八年级上册五三数学17章基础试卷

三角形三垂直模型大家好，我是树之傲的施老师，我们今天要讲的是八年级上册智教版数学有关于三角形三垂直的一道题。 那在讲这道题目之前呢，我们首先应该熟悉三角形三垂直的这个模型，我们可以看一下下面的这两个图形啊。三垂直的模型是什么呢？是如果说他告诉我们有一个等腰直角三角形 abc， 这个斜边 连起来不连起来都可以告诉我们等腰直角三角形 abc， 角 a 呢，是这个等腰直角三角形的直角顶点，两条腰长 a、 b 和 a、 c 相等。然后如果说过这个直角顶点 a 点，我们任意去画一条直线的话， 这条直线呢，可以是在这个三角形的外面，也就是左边的这个图形，也可以呢，是经过这个三角形 a、 b、 c 中间的，也就是右边这个模型。 那做这样的一条直线之后，我们经过这个等腰直角三角形的两个底角 b 和 c， 往这条直线上做两个垂线段，垂足分别为倒点和 e 点 所构成的这两个小的直角三角形 a、 b 倒和 a、 c、 e 这两个小直角三角形是全等的，全等的条件呢，也很好找啊。首先这两个小直角三角形斜边 ab 和 ac 是 相等 的，是这是一条边。还有呢，它俩都是直角三角形，有一对公共的直角啊，对应角直角九十度相等， 那剩下的啊，可以去找角，剩下的两对锐角里面，你任意去看其中一对都可以，比如说你可以看角二和角 b， 而这两个角呢，是同一个角，角一的与角，我们说同角的与角相等， 所以我们可以得到啊，根据刚刚所说的三个条件，我们可以得到这两个小的直角三角形是全等的，也就是 就是三角形 a、 b 倒全等于三角形 c、 a、 e。 全等的条件就是两个角，一个边 a、 a、 s。 啊，不管是左边的这个模型还是右边的这个模型，都是有这样的一个结论的 啊，三角形三垂直的这个模型没有问题的话，我们看一下例一这道题，他说如图角 a、 c、 b 是 九十度角， 然后呢， a、 c、 b 等于 bc， 是 不是相当于告诉我们了有一个等腰直角三角形 a、 b， c 角 c 是 九十度，对吧？直角顶点，然后呢，他说过 b 点 做一个 b， e 垂直于 c， e 于点， e， a 倒垂直于 c， e 于点倒 来这个条件是不是相当于告诉我们我们过这个等腰直角三角形的直角顶点 c 点做一条直线 c、 e。 然后呢，我们过这个等腰直角三角形的两个底角 a 和 b 往这条直线上是 a 倒 和 b， e 垂足，分别是倒点和 e 点，是不是跟我们下面的这个三垂直的模型是一样的， 对吧？那由此构成的两个小的直角三角形 a、 c 倒 和三角形 c、 b、 e 是不是也是全等的？全等的条件是不是也很好找？它们两个全等的条件的话，是不是有一个 a、 c 等于 b、 c 斜边相等， 还有是不是有一个九十度的角？ 还有，根据同角的与角相等，我们是不是可以得到 a、 c 角和 c、 b、 e 这两个角是相等的，它们这两个角呢？是同一个角，也就是角 b、 c、 e 这个小角的与角，同一个角的与角相等，由此我们是不是可以 得到这两个三角形是全等的？好，通过这两个三角形全等，我们是不是可以得到它们？这个对应的边是相等的，对吧？对应的边的话，也就是 a 导和 c e， 它们两个是不是相等的？ a 导等于八，那 c， e 是不是也是等于八的？这两条对应的边都是八，然后呢，它又告诉我们，导 e 是 等于五， 导 e 等于五，那对应的这个 c 导是不是应该是 c e 减去导 e 也就是三。好， c 导 是三，那对应的 b， e 是 不是也是三？它跟 c 岛是对应边，对应边相等。 好，这是我们通过这个三垂直的结论得到的一些对应边的一个相等的情况。那我们来看一下，它让我们去求的是三角形 d， c 岛的面积， 那 bc 岛的面积是不是就已经出来了？ bc 岛我们是不是可以看成一个以 c 岛为底， b 点到 c 岛上的距离为高的一个三角形，那也就是说它的底是 c 岛是三，高的话，是不是应该是 b， e 也是三？那所以三角形的面积 数学就是三，乘以三， 再乘以二分之一，也就是二分之九，那最后的答案就是二分之九。学习更多理科思维，记得点赞关注哦！

八年级数学上册数学作业本的第一百页纸上的第十六题，这些都是常规的考试题目。 某地出租车的计费方法如图所示， x 是 千米，表示行驶的里程， y 呢是元，表示车费，付款的时候，乘客每次需要加车费的记录上再加一元。 这句话可能很多人没看见，到底我们平时也没怎么见过这种题目啊，所以这里你要把这个题目仔细看清楚啊。 y 表示车费， x 表示您看行驶三千米的话就要付十块钱，但是这里说付款的时候，乘客需要在每次先付车费的基础上再付一元原料附加费。 好，那么先能看我们的题目，第一个起步价是十元，那就是不管您到了车行驶多少千米，对吧？从这个图形上看，到了三千米就十元，到了三千米之上开始就钱越来越多了。当 x 大 于三的时候， y 与 x 之间的关键是什么呢？我们设 y 等于 k， x 加 b 对吧？大于三十三 k 加 b 等于十，那么五 k 加 b 等于一十八。 好，那我们看到五 k 减三 k， 二 k， 二 k 等于四啊，等于八，二 k 等于八 k 等于四 k 等于四。三十一，十二，一，十二减二， b 等于负二。 所以那么这样呢， y 与 x 之间的关系式，我们就知道， y 等于四， x 减二。当然呢， x 大 于三的时候 啊， x 小 于等于三的时候呢？其实 x 小 于等于三时，那 y 就 等于十啊， y 等于十，这是一个分段函数，但是题目只问我们这一段的好，现在某一个 呃，乘客呢，付费二十七元，则这位乘客此次上车啊，乘出租车多少千米呢？那我们刚才说这二十七元呢，应该就是当 y 等于二十六时， 为什么说它 y 等于二十六？是呢？因为这二十七元呢，是等于这个付费的车费再加上一元附加费形成的，所以 y 等于二十六是四， x 减二等于二十六，四 x 等于二十八， x 等于七 啊，他这个乘车是七千米，所以这里注意啊，那么这个二十六啊，是因为在这个 y 的 基础上再加一，所以 y 等于二十七减一等于二十六啊。这个问题如果你没搞清楚这题，你就把它搞错了，就是很 本来是一个比较容易的题目，你就弄出丢分出来了啊。好，我们看到第十七题 在平面直角坐标系上呢，已知点 a 叫做负一负三，点 b 是 负四一点 c 是 负二三。第一个在图中叫我们做出 y 轴的 y 轴的数值，这么那么 y 轴的横坐标 会相反，是纵坐标相同，那么这个是 a 一 撇，对吧？它的坐标呢？这个是多少呢？左一下三，那右一下三， 对吧？那 b 呢？是左四上一，那一二三四，右四上一， b 一 撇，右四上一。那么 c 一 撇呢？是左二上三，那右二一二三，右二上三，右二上三。 好，上下左右的这个正负的关系，把它搞清楚。好，这就是我们所画的三角形， 一定要拿尺啊。好，在图中所画的如图所示，那么写出点 b 一 撇的坐标是四一，我们已经给他写了，在这个上面我们再写一遍， 好，求出三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇的面积，其实跟三角形 a、 b、 c 的 面积是一样的啊。呃，牵扯的，所以 s 三角形，那就等于多少呢？一二三一二三四五六。所以可以用这个三乘以六。 三乘六等于一，十八，减去二分之一乘以，这是一乘以六。二分之一乘以六减去，这是二。二二分之一乘以二乘以二，再减去二分之一乘以，这个是三，这个是几呢？这是四啊，三乘以四， 对吧？所以三等于十，八减二分之六，六减去这个是二，减去三，再减去六。呃，这个二六就是八。一十八减八等于十，减三等于七。记得点赞关注哦！

送分题你要接得住！我们看到这是八年级数学数学作业本九十五页之上的第十六题，那么实际上我们考试的时候百分之 嗯，多少呢？大概百分之六十啊，都属于是送分题，也就说我们都会让您送给你及格。 在第十九届亚运会上，中国队在射击、游泳等项目中共获了四十四枚金牌，且游泳项目所获的金牌数量比射击项目所获的金牌的数量两倍少四枚球，游泳项目与射击项目各获了多少金牌？ 射游泳项目与射击项目各获得的是 x 枚金牌与 y 枚金牌。好，有时间，有的字我没写完啊， 那我们看到共获四十四枚，那就是 x 加 y 等于四十四，然后呢？呃，这个游泳的比设计的两倍还少四， x 等于 y 的 两倍再少四。你看，我们就按照题目的意思来写就可以了。 哎，那么这个由于这个应用题当中这个计算的过程呢，我们可以省略。 x， 二幺减四对吧？二幺减四加 y， 三幺减四等于四十四，三幺等于四十八， y 等于一十六，对吧？ y 等于一十六，那么 x 这个一十六两倍，三十二，三十二减八减四等于二十八 啊，这个就太容易了，所以游泳的获得的金牌是二十八枚，射击的获得的金牌是一十六枚啊。游泳时间有的字没有写完，大家自己补充完整。 哎呦，这样的题目数真的是送送分题哎，这个就一定不能做错了。好，其实下一题呢，也是送分题，都很简单的。第十七题， 为了更好的开展古树明末的系统保护工作，某一个公园对园内的六棵板栗古树进行了坐标确定的位置啊，并且定期行事，在如图所示的正方形的网格在他们建立平面，这叫坐标系。 此的股数 a、 b 的 位置分别是， a 是 二一， b 是 五五， a 是 二一， b 是 五五。好，那么现在题目问我们这个股数 c 的 位置，当然首先我们把平面直角坐标系给它表示出来，二，哎，那就是说我们返回了，往左一，左 二，对吧？哎，那就是这个是 y 轴，因为往右边呢是二，往上呢一，所以我们倒过来往下去，所以我们下，哎，那往下一，左二，就这一点，这一点，那就说明是什么东西呢？坐标圆点， 好，那么这个是 y 轴，这个呢是 x 轴，好，我们首先把 x y 轴给它找出来。 当然是不是呢，我们来验证一下啊，我们看到这个 a 点是二一，然后这个 b 点五五一二三四五，右五一二三四五，嗯，没错， 好点， c 呢？一二一二，左二，上二负二二，好点。 c 的 坐标是负二，打个括号啊，逗号打括号。 那么在图中标出古数，三三一二三三，啊，这里一二三，这啊，这，呃，这个叫做 d 啊，他是三三， 那我们看到 e 是 四负一，一二三四下一，这 e 是 四负一， f 负一负二，左一下二一二， f 在 这， f 负一负二， 好，那么这一种题目呢，都是送分题，送分题呢，你要确保万无一失，比如说有的人呢，他把这个箭头啊 x， 他 没写，那箭头 y 没写， 对吧？哎，这个单位长度呢，我们也可以写一写规定的圆点正方向，单位长度的直线，对吧？竖轴的三要素，对吧？我们尽可能把它表示清楚一点啊，这样确保呢改进的老师啊，给我们。嗯，不扣分，记得点赞关注哦。

八年级数学上册课本一百七十一页纸，这里问哪个团队的收益大，这里涉及的数据都比较多，所以我们简单的看一遍，说 a b 两个银行的， 哎，上一项理财产品敢这么多数字，多麻烦，多难计算，所以这里我们就不多讲，小明利用平均数方差求出来了。 从方差来看呢，这个三零三八，三点八六三三，对吧？三点八六一七百分，百分之多少，我们这个都差不多 啊，他这 b 团队的收益略微高一点，从这个平均数来看，其实都差不多啊，从方差来看呢，这个 b 的 方差小一些，那么所以 b 团队的波动较小， b 团队就是更稳定一点， 利用这个四分位数，我们看到这里的图形，那么这 b 团队啊，就更集中，呃，更稳健一点，就是他波动小，对吧？ a 团队的那个，他这个就是波动大， 对吧？这个不稳定啊，给我们这样的一个感觉啊，有时间呢，有的时候就咱们就看一遍，看这里的数字特别多， 我们把刚才读遍，记入四分位或相近图，可以发现， a 团队的收益的中位数比 b 的 差的差不多，但 a 的 收益的效果比 b 的 波动大，两个团队的经营效益基本差不多，但 b 的 比 a 团队更平稳一些啊， 好，这里呢数字呢很麻烦，我们不再一笔写了，你看这个题目我们就不做了啊，这里的有的时候计算呢，有时间的关系，咱不做。这里的题目也很麻烦，数字很多， 我们下面看一下。对于我们考试经常可能考的那种题目，咱们来做一下。你像这里的第一题，你看这么多数字， 我们来看到这第二题，好，我们这一题呢，考试有可能考的，我们就来讲一下学生的平时作业期中，呃，这个成绩分别按的百分之四十、百分之二、百分之四十比例计入总评成绩。那么小亮呢，平时期中期末的成绩分别是，那我们九十占了百分之四十， 对吧？呃，这个九十二呢，占百分之二十，这个八十五呢，占百分之四十 啊，所以我们四九三十六，二九一十八，一十八点四，加四五二十四，八，三十二、三十四，那么最后呢？这个等于就是七十八十八点四， 好，所以他的总评的成绩应该是，呃，八十八点四分啊，那么像这样的东西，我们必须要会做。我们看到这里的第三题， 第三例，有个某小的卖部，有五种冷饮的啊，八元、五元、三元、两元、一元，某件的销售如图，那么这一天呢，冷饮呢？平均的价格，那么平均的价格啊，我们可以用八元乘以它的百分比，八元在哪里呢？是 a， 那 占百分之六啊，乘以零点零六，你乘以百分之六也可以，对吧？嗯，那下面的是五元五元呢，我们说有百分之一十四， 还有三元三呢，有百分之五十一元呢，有百分之九。好，这样我们把它加起来，它等于三点二 啊，所以他的平均呢是三点二元。我们看到第四题，第四题，这里要求这个四分位数啊，呃，我们有必要把这些数字我们重新抄一遍，你看到这里最小的是一十七点八， 有这个一十七点八，然后呢有二十一点零，有四十二点八，有五十四点六，五十六点二，六十六点四， 嗯，然后有啊，这个数字比较多哈，看着有点要慢。一点六十六点四，六十 五十六点二，有六十二，点四，有六十六，点四，有六十八，点七，有七十三，点三，有七十九，点三，有一百七十六点四，有一百九十八点三。 好，一共呢？这是十二月份的一二三四五六七八九十十一、十二， 那么他的这个中位数，那一二三四五六七啊，这两个数加起来除以二，那么这两个数加起来除以二，六十二点四加六十六点四，除以二呢，是六十四点四。 好，他的中位数是六十四点四，他的下四位数，那就前六个数的一半的部分，那就第三第四个数四十二呢，等于四十八点七。 呃，下上四位数就倒过来第，就这两个数啊，这个是上四位数，七十三零三加七十九零三，除以二，就等于七十六点三啊，这个单位是毫米。 哎呀，第五题的这个数字就太多了，我们就不再算了，我们看到第六题 第六题某一个小区里有五百户，对吧？估计这个用水量不高于二十的户数，不高于二十的户数，这里五十一和三十三，那就是五十六、七八、八十四， 对吧？所以那么就占总共的这里一百户，那么就是总共的这个是，对吧？五十一加三十三除以一百，就是百分之八十四， 那占总共的百分之八十四。那么平均呢？我们这里我们把这个零到五平方米的当做零到十，当做五，所以我们用五乘以五十一，然后呢加上一十五乘以三十三，然后加上二十五呢，乘以十，然后加上三十五乘以六 啊，这就他们的平均的，呃，平均的这里是一百户，那么一百户现在总共的这里有五百户，所以我们乘以五百，这就是，呃，他们应该也就是一一 等于六零五零立方啊，六零五零立方。我们的第七题， 小明所在的身高是平均身高一点六五，小亮所在的身高呢？班的身高一点六零。小颖说小亮一定比小明高。小亮的班小亮在哪里呢？ 说小亮所在班级的身高一点六六六六零，小明一点六五。这个怎么能说小明一定比小，小亮一定比小二什么矮呢？你们班上的平均身高矮，但是不代表你是最矮的， 平均数只是代表一个班上的一个一个平均的一个水平，但是对于个体的来讲，他可能有很高的同学，当然有可能很矮的同学， 那么对于你单个的人来说，你是不知道到底属于高那一类还是矮一类的，所以小颖的说法是不正确的啊，小颖的说法是不正确的。记得点赞关注哦！

八年级数学上册数学作业本八十六页数学作业本八十六页上的第一题下列关于公理和定理的联系说法，不正确的是，注意啊，不正确的 公理和定理都是真命题，这是正确的。公理定理啊，都是用了呃，说明其他的推理的一些依据啊。 呃，公理是广大劳动人民在日常生活中总结出来的。呃，不需要来说明为什么的。这样的真命题，这样的正确的道理，我们把它叫做公理， 定理呢，是通过推理认证得到，是正确的啊。这些真命题，我们把它叫做定理，所以公理定理都是真命题。 b 公理就是定理，定理也是公理，这就不对了， 定理呢，是通过证明的，是真命题，对吧？那么公理，你说公理是定理，好像还有些道理，说定理是公理，那就绝对不行的，对吧？ 那么定理呢，是通过证特例证明得到的真命题，而公理呢，是不需要证明他本身就是呃正确的，所以定理不能叫做公理啊。 所以这句话呢，不正确的应该是。 b。 我 们看到公理和定理都可以用了推理认证的依据，这是对的，对吧？公理和定理都是用了作为其他推理的论据的依据， 公理的正确性不需要来证明，但定理的正确性需要证明，这是对的。哎，刚才我们说公理呢，是广大人民啊，在日常生活中总结出来的，不需要来说明为什么是正确的，这样的正确的道理。好，第二个， 如果角一加角二等于九十度，角三加角二等于九十度，则角一等于角三。我们看这里，角一啊，是角二的余角，角三也是角二的余角， 所以我们看到这里的角一呢，就等于九十度减角二，这里的角三呢，也等于九十度减角二。 那么根据相等的量，我们可以等量代换，所以角一就等于角三了。但是当这个道理是正确的之后，我们把它现在称为叫做同角的与角相等， 同角的与角相等。 不过在证明的过程中，角一等于角二，你可以理解为是等量代换 啊，但是当这个我们现在用来证明其他的问题，我们做一个得到这个结论的时候，咱们总结出来的书本上用一句话叫做同角的如角相等，这句话来说明啊，来作为这一个结论， 我们看哈，同一个角的余角是相等的，对吧？角二的余角，角二的余角，角二的余角，有可能是角三，有可能是角一，对吧，就是所有跟他互余的这些角啊，都是相等的。我们看了第三个 阅读，角 a o b 和角 b o c 互为补角 a o b。 在 这里啊，这个大角 b o c 互为补角，它们两个呢，加起来等于一百八十度，也就是 a o c 三零共切。另外呢，题目说 o d 平分角 a o b， 哎，就是说这里的角一啊，等于这里的角二，现在题目又说角二加角三等于九十度，问角 b o e 等于二分之一角 b o c。 现在我们就来开始证明这些内容。 呃，因为角 a o b 加上角，这个 b o c 等于一百八十度，哎呀，这个图跟文字不在一起啊， 角 a o b 加角，如角 b o c， 一 百啊，互为补角，互为补角，那就和为一百八十度，才称为互为补角，所以这个我们的理由呢，我们称为角补角的定义， 角 a o b 就是 刚才的角一、角二、角 b o c 刚才的角三、角四，那也就是角一加角二加角三加角四等于一百八十度。 又因为角二加角三等于一百等于九十度，刚才这里已知条件，角二加角三，四个角一百八，所以一百八减这个九十，留下的角一加角四也是九十度， 所以这里的角一加角四也是九十度。题目上说叫等式的基本性质就是这一百八十， 这个是一百八十度，这也是一百八十度，这减九十度，这里减九十度，对吧？减二加减三，九十度吗？就这边减，减二加减三，这边减九十，所以我们这样叫乘等式的两面都同时加上或减去同一个数，对吧？或者同一个整数，同一个整数啊，所得的结果还是一个等式 好。因为 o d 平分角 a o b o d 平分角 a o b 就是 角一等于角二，这里的角一等于角二呢？我们叫做角平分线的定义，角平分线的定义 好，那么所以角三等于角四好，我们看了角一，刚才角一加角四等于九十度，角二加角三等于九十度。刚才已知有我们推了这个，这两个角相呢？好，这两个角互如，这两个角互如， 所以角三等于九十度，减角二，角四等于九十度，减角一，角一等于角二，角三就等于角四。等量代换，不过现在我们这里写的就不是等量代换了啊，我们得到角三等于角四的时候，我们就根据什么东西呢？根据等角的与角相 等，等角的与角相等。 什么叫等角的余角？我们看了啊，角三和角四，在这角三的余角是角二，角四的余角是角一， 是角二的时候啊，角二的余角是角三，角一的余角是角四，当角一等于角二的时候，它们的余角也就相等了啊，这些要把它都背下来，并且多练练熟，记得点赞关注哦！