函数图像的画法 北京初二下

我们今天怎么画一次函数的图像呢？比如说我们要做出这个 y 等于二， x 加一，他的图像，呃，我们怎么做呢啊？我们要做一次函数的图像，我们用的是秒点法，秒点法的话有三个步骤，第一个步骤，列表格，第二个步骤，秒点，就是要把点找出来。第三个步骤呢？连线， 那比如说像这一道题，我们要做这个函数的图像。首先第一步列表格啊，直线嘛，两点确定一条直线，那我们只要起两个点就行了， 那这两个点的起值你可以是任意的，直线上的点是有无数多个，那你只要任意起两点就行了，那我们一般来说是比较容易计算的，比较容易找的。比如说当 x 等于零的时候， y 等于一， 当 x 等于一的时候，带进去， y 是不等于三啊？我们就可以找两个点，那么这个表格列出来以后，第二步叫描 点，那这两个点哈，一个是 x 七零的时候啊，这个是 x， y 呢？就是等于一，这是一个点，一个是 x 等于一的时候， y 是等于三。第二个点啊，两个点，那所以我们要把这两个点找出来，那么这个点在哪里呢？ x 等于零， y 等于一，那么这边是一。哈， 那所以我们可以知道这个点就在这个地方，一三呢，就是 x 起一， y 等于三，一二三。好，那么是这个 啊，那么第二个点在这个地方，那么这两个点找到了，然后我们用光滑的曲线连起来，那么这条直线就是依次函数的图像。 所以我们要做一次函数的图像的话，我们就用描点法，在这个直线上任意起两点啊，这两点你随便可以起，但是我们一般的原则就是要起比较好计算的，还有这个点比较好找的啊，那么第二描点，把点找出来，第三连线。

一个视频学会对勾函数，那什么叫对勾函数呢？就是形容 y 等于 a， x 加上 x 分 之 b 这样的函数呢，叫对勾函数，然后里边的 ab 是 同号的， ab 是 大于零的，然后其图像是类似于反比例函数的一般双曲函数。 那么这个东西呢，它也叫耐克函数啊，因为它的图像呢，就像那个耐克的 logo 一 样啊，像一个对号一样。好，那我们就来研究一下它的函数图像啊， 就是当这个 a 大 于零， b 大 于零的时候啊，它的图像呢，是这样的啊，首先呢，它图像是经过一三象限的。 第二个呢，就是它的定义域是 x 不 等于零啊，因为 x 在 分母上啊，所以它是不能等于零的。 第三个呢，就是它的值域啊，值域就是它的 y， 它的 y 呢，是属于负无穷到负的二倍根号 ab 啊，并上二倍根号 ab 到正无穷， 那这个数是怎么来的呢？它其实是根据均值不等式来的啊，均值不等式就是当 a 大 于零， b 大 于零的时候，咱们是有 a 加 b 大 于等于二倍根号 ab 啊，有这个东西， 然后什么时候取到这个等号呢？什么时候 a 加 b 会等于二倍根号 ab 呢啊，就是当这个 ab 相等的时候，咱们会取到这个等号。 好，那么回到这个啊，如果当 x 大 于零，也就是我的图像是在第一象限的时候，那么你这个是大于零的，这也是大于零的啊，这时候咱们就可以放心的去用这个均值不等式了，所以 a 加 b 应该是大于等于二倍的根号下 a b， 那这里被 x 约掉啊，所以它就大于等于二倍根号 a b。 哎，那么它在第一项线内，它就有最小值，是二倍根号 a b， 然后什么时候会取到这个最小值呢啊，就是当我们俩相等的时候。哎，当我们俩相等， 那咱们得到这个 a， x 方就等于 b 啊，那么 x 方就等于 a 分 之 b， 两边开个根号 x， 就 等于根号下 a 分 之 b， 所以 是当 x 等于根号下 a 分 之 b 的 时候啊，它会取到这个最小值。 好，那这是在第一项线啊，第一项线，咱们发现它的 y 是 大于等于二倍根号 ab 的， 那么在第三项线，其实它相当于是跟它一样的，对吧？就是负了一下，所以它的 y 就是 小于等于负的二倍根号 ab 的 啊，所以它的值域呢，就是这样的。 好，我们再看一下它的函数图像啊，这个函数呢，它既不是增函数，也不是减函数，但是它是一个积函数，就是它的图像是关于圆点零零对称的。 好，那我们再来看一下这个 a 小 于零， b 小 于零的情况啊，那其实跟刚才的结论很像啊，只不过呢，第一个是它的图像是经过二四象限的， 然后第二个呢，是它的定义域依然是 x 不 等于零啊。第三个呢，是它的值域啊，值域也是一样的啊， y 是 属于负无穷到负的二倍根号 ab， 并上二倍根号 ab 到正无穷的。第四个呢，就是它也是一个奇函数啊，它是关于原点零零对称的。 好，那其实我们考试呢，不会考那么复杂的对勾函数，一般来讲，咱们常考的对勾函数呢，就是这个啊，就是 y 等于 x 加上 x 分 之一啊，那我们来看一下它的函数图像啊， 它的函数图像呢啊，是在一三象限的啊，然后呢，它在第一象限的时候，当 x 等于一的时候，它的 y 会有最小值二，然后在第三象限的时候，当 x 等于负一的时候，它的 y 会有最大值负二。 好，我们来看一道立体设 ab 为正实数啊，就是我们都是正的，则能确定 a 大 于等于 b 啊，咱们要推的就是则后边的能不能推出 a 大 于等于 b， 那我看条件一啊，有这么个东西，那我们从函数图像的角度啊，怎么做呢？其实你会发现，其实左边和右边是一样的，它们都是同属于 y 等于 x 加 x 分 之一啊，这个函数的， 那它想要的是什么呢？它想要的是它大于等于就能推出它大于等于，也就是想推出这个函数，它是一个递增的函数啊，就是随着 x 的 增大， y 也增大。 那我们来画一下它的函数图像啊，看看它是不是递增的啊，它是一个对勾函数啊，就这样的函数，然后这里边的 a、 b 都是正的，所以咱们是只要第一象限的这个部分， 那一看，这个图像也不是一个增函数啊，对吧？如果，哎，我是这一部分，那我其实就是递减的了，我就是随着 x 的 增大， y 反而还变小了，如果这个是大于等于，它，就有可能这块是小于等于了啊，所以条件一是不对的。 好，那我们看条件啊，它也是一样的，一个左边和右边长得很像啊，它们也是同属于这个函数的，那它其实是一个抛物线，对吧？啊，咱把这个 x 给它提出来， 它其实是啊，这样的一个抛物线啊，这个点是负一啊，这个是零，然后这里边 ab 是 正实数，那其实你要的就是第一象限的部分啊，就是要这一段， 让你发现这段的时候，他确实是一个递增的一个函数，对吧？啊，那递增的话，那么他大于等于确实也能推出他是大于等于的啊，随着 x 的 增大， y 也是增大的啊，所以他反而是对的，那么一错二。对啊，这题我们是选 b 选项的。 好，我们来总结一下啊，第一个呢，就是形容 y 等于 a， x 加 x 分 之 b 啊，它的函数呢叫对勾函数，这里边 ab 是 要大于零的啊，其图像呢，是类似于反比例函数的一般双曲函数啊，它的图像呢，像一个对号一样。 第二个呢，就是定义域啊，定义域呢是 x 不 等于零。第三个呢是值域啊，值域就是 y， 是 属于负无穷到负的二倍根号 a， b 到正无穷的。 第四个呢，就是它是一个 g 函数。好呢，关于对勾函数，今天我们就先学到这里，同学们记得点点关注哦。

高二的同学请注意，校内数学函数图像别乱画！三步快速画法更适用于所有基础函数图像。第一，先找出定义域。 第二步，找出零点、顶点碎点标好。 第三步，秒点连线，基础函数图像就成型了。关注新郑豫园高级中学，解锁更多校内数学解析方法！

一次函数形成问题太抽象，学会画图，压轴题，秒变口算题。哈喽，这里是只讲方法不讲琐碎过程的一桥学长。 一次函数呢，是初二北师大版期末考试的一个重难点啊。一次函数本来就很抽象了，如果他结合图像问题去考，那他就会更难了。本来啊，函数就是一个我们新学的概念，同时呢，如果结合图像，很多同学就不知道我如何下手。 今天呢，我们就从这个诗琪同学就这个问的问题出发啊，我们再来把这一类题目的这个思路梳理一下， ok， 好 让我们进入到题目呀，老师跟大家一起去读这个题。 这个题目讲的呢，是小明从家里出发，匀速步行去上学啊。出发十分钟以后，发现小明的课本没带，哎，去追他，然后呢，匀速骑车去追， 结果与小明同时到达学校，交接课本后，立即返回。已知以及已知小明距离家的路程与离开家的时间之间的函数关系，如图像所示，对吧？这种题啊，我们先看到，没关系，我们先画个图嘛，对吧，假设这里是家 啊，这里是学校，对吧？家，学校 好。然后他说小明距离家的路程，这里是 s， 对 吧？这里有个小明在走路好，后面有一个车在追，哎，好， 之间关系如何？是求 s 与 t 之间的函数关系啊。这种题啊，我们一看这种题是不是函数关系，我们去看它的斜率就行。首先它是一个正比例函数，因为函数我们可以设嘛， y 等于 k， x， 对吧？然后我们可以带点嘛特殊值，它经过什么点，经过二十二 b 带进去， y 就 等于十分之一 x， 对 吧？第一问，很简单就过了。好。第二问，请在图中画出小明的妈妈 离距离家的距离与小明离开家的时间的关系图像啊，请做画出数据，做适当的批注啊，什么意思呢？就是我们得画出来这个他妈妈距离家的距离和这个时间。 那那我们怎么做啊？是不是他妈妈？我们得看啊？他妈妈的速度显然是多少啊？不知道。然后呢？他妈妈这个 他妈妈的所有信息我们看有什么？这个跟他妈妈没关系啊，换个笔，颜色的笔，哎，这个有关系。出发后十分钟发现没带 剩下还有没有关系？哎，发现了破题点，是不是一定是这个十分钟？那我们看我们能不能在图像上找到时间，哎，这个是时间，并且小明花了二十分钟到学校，对不对？那这个时候 小明画了二十分钟到学校，那这个时候我们是不是可以在这里画出来十这个点？并且小明的妈妈是不是从十分钟这里一一开始，他一直到你离家的距离是不是零啊？ 到十分钟他，他怎么样了？同学们是不是开始追，然后他跟小明同时到达？什么同时到达学校？小明是在二十分钟的时候到达离家两公里的学校的，对吧？那他也就是说 他也在二十分钟的时候，他妈妈是不是也到学校了？那我们把这两个点连起来，是不是他妈妈的轨迹是不是就出来了？好，然后同时他妈妈 交接课本后还原路返回了？那是不是说从这个时段开始，他又以相同的速度又骑回家了？那他骑回家要多久？是不是十分钟？在这十分钟里，妈妈到家的距离是不是逐渐减小，一直到零了？ 那是不是我们是以相同的斜率可以画一个这样的一个函数？哎，这里是三十，这不就是妈妈的整个运动轨迹啊。 好，直接写出小明的妈妈在追赶小明及回家过程中距离学校零点五千米时的 t 的 值。好，首先这里有个坑呐，你看这里一直是离家的距离，这里是校，对吧？这里是家， 他要求的是距离学校零点五也就是什么，是不是距离加距离，学校零点五是不是等于？我自己不就不写了？距离学校零点五是不等于距离加一点五公里？ 首先我得把我们把这个读懂，这里很容易丢分呢？那是不是 y 等于一点五的时候， y 等于一点五的时候，这里有两个点，是不是我们可以把它带进去啊？这个，这个有很多方法呀，比如说我们设设设设例函数，但最简单的是，你看这里十到二十，他是均匀的走到二的，那 他从零走到二是均匀的。然后一点五是不是走了七点五，是不是十七点五分钟？ 同理，这个是不是二十二点五分钟这种题目就出来了？好吧，所以老师总结一下这类题目。首先我们在画图，我们首先可以在做这种题的时候把这个本质的运动图画出来， 然后我们去找这个图上的什么，我们首先去找他的特殊点的含义，比如说这二十分钟是什么意思？是你看他的距离是逐渐变大，逐渐变大，逐渐变大，一招一个方停了下来，说明这里就是他到学校了，那也就是说小明花二十分钟走到了距他家二两公里的学校 那所以啊，第一个问，我们可以用特殊值法解，第二个小明的妈妈要画他的函数，那我们要去找条件中妈妈的这个值，妈妈这里有一个重要信息，十分钟，那我们想办法把这个十分钟画出来。 我们还知道他在二十分钟的时候赶上了小明，所以我们可以把这一第一段画出来，然后他以同样的速度回去，可以画出第二段，所以这种题目就会这么做出来的。 ok， 同学，预祝你期末考试节节节高。

好了，同学们有了前面那个一次函数图像的对称性的基础知识，我们现在来看一道 唐氏某一中学 art star 五年级九年级下学期的开学考试的一个压轴题，初三入学考试的压轴题呢，是有点难度，那么我们这个讲解呢，可能会稍微快一点，所以对这个听这个视频的同学的这个基础知识呢，是要求是高一点的。 那么有些细节我们不会讲太细，请大家稍微理解一下，因为这个视频讲的太细了的话呢，那么这个市场就会要求很高，那我们就是用这道题，就是说，就表达一个意思，就说还得把基础抓好。那么对于这个压轴题的第一小问和第二小问就非常容易，非常简单。 那么我们先来读题，我们不妨约定，如果一个函数图像上存在不同的两点关于 y 轴的乘，那么我们乘这样的函数为四次函数。一、判断函数 y 等于 x 加 b， 其中 a、 b 为常数，是否为四次函数，并说明理由。二、若关于 x 的 函数 y 等于 括号，当 x 小 于零时， y 等于 x 平方， x 大 于等于零时， y 等于二， x 加二加 a 是四次函数，求 a 的 取值范围。三、已知四次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 经过点 a 零负负。四、且与经过圆点 o 的 直线交于 b、 c， 两点过点 f， f 坐标是零到 f， 其中 f 小 于零，做 x 的 平行线分别交直线 a、 b、 a、 c 与点 d， e 是否存在常数 f 是 o。 一、 垂直于 o， d 横成例若存在，请求出 f 的 值，若不存在，请说明理由。那么这道题呢，它有三个小问，三个小问呢？我们且不看第三问，我们看一二小问，它是比较容易的。首先我们快速把第一问和第二问求出来判断函数，第一问判断函数是否为 四次函数，那么首先这个函数我们要把它分成两种情况来写，对不对？第一种情况是什么呢？第一种情况是 a， 当 k 等于零时，是不是？那么 y 就 等于 b， 这是个什么函数？这是一个 菱形于 x 轴的函数，那么它关于，那么它的图像上呢？肯定是存在两个点是关于 y 轴对称的，而且这样的函数它是有无数个，这样这样的五角，无数对，这样的点，它都是关于 y 轴对称，对不对？它本身就是一个关于 y 轴对称图像，所以当 x 等于零时，它肯定是的。那么 第二种情况呢？就是当 k 不 等于零时，那么这是个什么图像呢？ 那么它是一个一次函数，对不对？一次函数的话， y 等于 x 加 b 的， 而且是要么是这样子，要么是这样子啊，或者是其他的都行，那么它就不是一个关于 y 轴对称的一个图像，对不对？那么它就肯定不是，那么我们也可以用函数的对称性的那个口诀来解释，你看 y 等于 ax 加 b， 那么它关于 y 轴对称的解释式应该是什么呢？那么关于 y 轴对称，那么就是 y 变 x 变 y 等于负 k， x 加 b， 是 不是？这是它的这个关于 y 轴对称的解释，那么和这个是一样的吗？很明显是不一样的，所以它不是次函数，对不对？ 所以那么我们证明，怎么证明呢？证明是这样证明的，我们假设， 假设 y 等于 k， x 加 b， 是 吧？它有两个点，有两个点。关于 y 轴对称，不妨 设其中一个点为 x 零到多少？ k x 零加 b， 是 吧？其中 x 零，它就不为零的，因为我们知道它如果为零的话，那么它这个点就在 y 之上，是吧？用我们的这个不想服务，用我们的题目不想服务，那么则另一个点 为多少呢？负 x 零到 k， 负 x 零加 b， 对 不对？那么就有 x 零加 b 等于负 k， x 零加 b， 这两个约调，那就是两倍的 k， x 零等于零，因为 x 零不等于零，所以 a 等于零，与 a 不 等于零矛盾， 所以不存在这样的点，对不对？那么第一问就解出来了，是不是很容易？嗯，好，我们给三分钟的时间，三十秒时间消化一下， 我们给十五秒钟吧。 啊，时间到，那么我们就看第二题， 那个第二问的话，就和第一问有明显的区别了，这个区别就是九年级和八年级的区别，那从第二问的这个问题中呢？啊，就能够看到这个九年级啊，如何俯视八年级了。那个第二问的话， 我们来阅读一下，若关于 x 的 函数， y 等于，哎，这是个分段函数，当 x 小 于零的时候呢，它是二次函数的样子，当 x 大 于等于零的时候，它是个一次函数，对不对？经过我的仔细研究呢，啊，这个函数图像大概会是这么画， 这是一个 x 轴，一个 y 轴，对吧？有点 y 七有八，那么当 x 小 于零的时候呢，它的图像是一个这样的函数， 那么在 x 大 于的时候呢？因为这个 a 不 确定，所以它这个与 y 轴的交点也是在上半轴，也许在下半轴，这个时间我就直接跟大家说了吧，这个只有可能是在下半轴，因为在上半轴它没办法跟这个呃曲线它有两个交点，好，那我们看一下啊，这个它说这个分段函数它是四次函数，它是四次函数， 函数啥意思呢？也就是说，那么在这个图像上存在不同的两两点，关于 y 轴对称，那么这么看我们可能看的出来对不对？它是说要求 a 的 曲的范围，那这个道题我们怎么去理解它呢？嗯，这个呢， 我们九年级同学想一想该怎么做？八年级同学可以稍微看一看就行了啊，感受感受， 解析思路呢，我们还是按照这个八年级的来，对吧？按照之前我们讲过的那个意思，函数的对称性，我们结合这部分知识点来考虑考虑，节约时间，老师就直接把这个思路讲出来，你看我们这个呃 y 七九八的意思函数的这条直线，对吧？ 哎，我们能不能够做出它关于 y 轴对称的直线呢？我们是可以的，哎，照样是 y 七九八，对不对？是这样子的一条直线，那我们说啊，它如果这个 y 等于二 x 加 a， 它关于 y 轴对称的这条直线，如果能够和我们这个抛物线的曲线 有个交点，有两个交点，那么这两个交点假设是在这里和在这里，那这两个交点它关于 y 轴对称的点是不是正好就在我们的原函数 y 等于二 x 加 a 上面？ 那么是不是就是说，哎，就证明这个圆函数它存在两个不同的两点，关于 y 轴对称，大家自己想一下是不是？ 那么题目第二小问，他告诉我这个分段函数它是一个四次函数，那么也就是说它一定存在这么两点，让圆函数的这个抛物线和圆函数的这个直线的这个关于 y 轴对称的这个对称直线 是有两个焦点的，对不对？好，那么第二问，它就转化为 这个 y 等于 x， a 关于 y 轴对称的 图像的直线现在怎么样？现在与凹物线有两个交点，有两个不同的交点， 那么现在要求什么？求 a 的 取值范围对不对？这道题目就转化成一个这样的问题，那这不就回到我们九年级的同学很熟悉的一个领域吗？对吧？啊？领域展开对吧？那么也就是说有一个函数图像有一个函数，它是 y 等于 x 平方， 然后呢？还有一个函数是多少呢？哎，这里我插一句话，这个 y 等于二， x 加 a， 它关于 y 轴对称的直线是什么？有谁能够快速告诉我？ 八年级同学都能告诉对不对？那就是说关于 y 轴对称的这个直线的解析式，那就是关于 y 轴对称，所以 y 不 变， x 变，对不对？所以它的对称的图像是 y 等于负二， x 加 a 没问题吧？好，那么也就是说 y 等于负二， x 加 a， 这两个东西，我们把它看成函数的话，那么这上面是一个二次一元，呃，那个二次函数 下面呢？是一个一次函数，那么 x 和 y 呢？是两个变量对不对？如果我们把这两个式子看成是那个方程的话，那么这是一个啊，二元二次方程，这也是一个二元一次方程， 对不对？那么 x y 是 他们的两个啥呢？是他们两个位置数，那么如果连立这两个方程，解出来 x、 y 具体的值是啥呢？反映在这个图像上，是不是就是这两个点的坐标？那我们连一下吧， x 平方等于负二， x 加 a， 这个 x 平方等于负二， x 加 a， 那 么 x 平方加二 x 减 a 就 要等于零，那么这是一个一元二次方程。一元二次方程的话啊，那么它的第二它就有可能是大于零等于零，小于零。如果第二它是大于零的话，证明这个一元二次方程有两个解，有两个解的话，那么也就证明了我们这两个相交的曲线啊，它是有两个不同的交点， 对不对？现在题目转化为关于 y 轴对称的直线与抛物线有两个不同的交点，这个题目告诉我们它们是有两个不同的交点的，那么也就证明了，哎，这个是得它，它应该是大于零的，得它大于零，那么 b 的 平方减 c， c 就是 四，加上四 a 要大于零，得出 a 是 要大于负一的，那么 a 大 于负一就是我这个 a 的 曲的范围。也就是说，当 a 大 于负一的时候，我这个一元二次方程它是有两个不同的解，这个一元二次方程有两个不同的解的话，那么这个函数解析式和这个函数解析式，它们所对应的图像就会有两个交点，它们有两个交点的话，那么这个 直线它关于 y 轴对称的这条直线就会有两个点，关于和之前的这两，这边两个点是关于 y 轴对称的，那么他们就是以这个原函数啊，原来这个分段函数就是一个四次函数，逻辑闭环就怎么来的， 是不是看上去很难，但是把这个思路一分析的话，就还是很简单，那么第二题就答案就是 a 的 大于负一。 好，然后我们再看第三题，第三题我们就不看了，为什么呢？因为这么一道压轴题，它总共也就是十分，我一二小问解出来，那这道题就只会扣四分了，我觉得已经是很划得来了。在真正的考试中，最后一一小问呢，难度稍微高一点，需要有一些同学可以跟进，但如果有想法要提升这个压轴题解题能力 的可以和我联系。今天的分享呢，就到这，谢谢大家的观看，喜欢的可以加个关注，点个小心心和收藏。

好，同学们，今天我们来讲依次函数的图像该怎么画。我们先举个最简单的例子， y 等于 h 加， 我们都知道 y 等于 x 加一，这是一个比较简单的意思函数，那么它的图像到底应该怎么画呢？那我们首先呢，可以先列一个表格， 上面写自变量 x， 下面写自变量 y， 从负二开始吧， x 等于负二，负一，零一二 点点点点点。然后非常简单，当 x 等于负二的时候， y 是不是等于负一？当 x 等于负一的时候， y 等于零，当 x 等于零的时候， y 等于一， x 等于一的时候， y 等于二， x 等于二的时候， y 等于三。好，也就是说我们可以把这个 x 看成是横坐标， y 看成是重坐标，我们应该知道，负二逗号负一，负一，逗号零， 零逗号一，一逗号二，二逗号三。我们是是不是可以把这些 x、 y 的解，把它写成这么多个坐标，其实是应该是有无数个，因为我们都知道 y 等于 x 加一，它虽然是一个等式，但是因为它有两个未知数，所以我们根本就求不出来 他具体的解是多少。或者我们也可以说这个等式他有无数个解，也就是说有无数个 x， 那对应的 y 也有无数个。我把这无数个 x， y、 x、 y 一一对应起来，是不是生成了无数个点？ 那么剩下的事情就简单了，我们把这无数个点画在这个坐标轴上，因为时间原因啊，我们就画这五个点，看看到底有什么神奇的现象。 负二逗号负一，我们画的稍微标准一点啊，负二负一是不是在这里？负一逗号零 是不是在这里？我们这个圆圈给他点大一点，然后是零逗号一，一逗号二，还有二逗号三， 时间关系，我们就是取这五个点，我们会发现这五个点有一个什么共同点， 同学们应该能看出来啊，这五个点是在一条直线上， 那么这条直线就是我们要求的 y 等于 x 加一函数的图像。那有些人说，老师你这个只是说这五个点，你为什么说它是一条直线呢？ 要注意啊，我们只是取了这五个点，那我们当然可以取很多很多个点，往右边再取，往左边再取，或者我们取中间取一个负一点五，对应的是负零点五，对不对？当 x 等于负一点五的时候， y 等于负零点五，那么这个坐标就负一点五。逗号负零点五，负一点五在这里，负零点五在这里，你看 这个点是不是也刚好在这条直线上？要注意啊，不是因为我们把这几个点连成这条直线，而是因为这条直线是由无数个密密麻麻的点构成的，把它形成了一条直线， 这条直线就代表着这个函数，这个函数也可以写成这条直线。我们知道函数，我们可以画出这条直线，我们看到这条直线，我们可以用代替系数法来求出这个函数， 这个就是依次函数。我只是举一个 y、 z、 x 加一这么一个简单的例子来教同学们可以用列表 法来画出这条直线。那当然我们在熟练了之后，我们就想啊，同学们，我们需不需要画五个点，六个点、七个点其实是不需要的，我们都知道两点确定一条直线，也就是说我只要图画的够标准，我只要取任意两点就行了。比如说 取这两个点，负一逗号零零逗号一负一逗号，零零逗号一，是不是取这两个点我们连起来 啊？熟练之后我们就是用两点确定一条直线来快速的把一个依次函数的图像给画出来。关注陈老师，中考不迷路。

一次函数斜着跑，二次开口像个 u， 三次图像，哈哈叽，反比曲线分两边，根号函数看着我直对直，图像像个逼，你学会了吗？别忘了点赞加关注哦！

每天半小时轻松学数学，这节课咱们来学习函数的图像，了解函数的图像，知道怎么样画常见的函数的图像，以及函数的图像在实际生活中有什么样的意义呢？ 这个图呢，是自动测温仪记录的图像，他反映了北京的春季某天气温的时间，气温的温度 t 如何随着时间 t 的变化而变化。那么这是一个什么样的图像呢？ 从图像上你能看到什么信息吗？这就是咱们本节课所要学习的内容。关于函数的图像，好，那首先咱们来回顾正方形，它的面积与边长 x 之间有什么关系？那咱们知道面积等于边长的 平方，所以 s 与 x 之间的表达式就是 s 等于 x 的平方， 那咱们可以看出来，每给 x 一个值，有唯一的一个 s 与它对应，所以 s 是 x 的函数， 那这个式子呢？咱们称为是函数的解析式，在这里边 x 的取值范围是，那对于正方形边长而言，正方形边长只要大于零就可以了，所以 x 取值范围是大于零。 那么对于 s 等于 x 平方而言，咱们呢可以利用在平面直角坐标系中画图的方法来表述 s 与 x 的关系。那么怎么样借助平面直角坐标系来表示的关系呢？想要借助平面直角坐标系，咱们 必须要找到点，那我们来回顾，在平面找个位中平面的点可以用一对有序输出对来表示，也就是说在坐标平面内，这个点实际上是点的，坐标与有序输入对是一一对应的。 那么怎么样获得图形的点呢？咱们知道点动呈现，那想要获得图形的点，在平面直角作为题中，咱们就需要找到有序实数对， 好，怎么样找有序实数对呢？咱们知道一个自变量对应唯一的一个函数值，那 s 等于 x， 平方一个 x 对应一个 s， 所以咱们可以分别把 x 当成一个横坐标，把 s 当成一个纵坐标， 这样咱们就一一的对应了一个点，所以自拍量 x 一个确定的值，与它 对应的函数值， x 是唯一确定的，那这样的话，咱们就唯一的确定了一个点，给一个 x 确定了一个点的位置，给一个 x 确定一个点的位置，这样咱们把所有的点给连起来，就变成他的图像。 好，那咱们来看这个表格。对于 s 等于 x 的平方， 如果 x 等于零点五，那 s 等于零点五的平方等于零点二五，那 x 等于一的时候， s 等于一的平方，一乘一等于一，那一点五的平方，一点五的平方是二点二五，二平方是四，二点五的平方六点二五，然后咱们呢依次可以把它给全部的 看出来，这样每给一个 x 对应一个 s， 所以咱们呢以 x， x 为横坐标的值， 以 s 为纵坐标的值，那么 x 等于零点五的时候， s 等于零点二五，那么画出来 x 是零点五的时候， s 是零点二五，这个点。在这，当 x 等于一的时候， s 是一， x 是一的时候， s 是一， x 等于一点五的时候， x 是二点二五，一点五的是一点五的时候是二点二五，然后二的时候是四，好把这些点连起来，这些点连起来之后，他是间断的点，但是咱们知道这个零点五到一之间是不是还有无无穷多个数啊？比如说零点六呀， 啊，零点六五呀，零点七啊，零点九九呀等等。那所以咱们呢用平滑的曲线把它给连起来，把这些点给连起来，这样组成的一个图像就是 s 等于 x 的平方这一个函数关系，其中 x 是大于零的， 那大于零的时候，咱们知道大于零的话是用空心的点来表示，所以咱们就把 s 等于平方的图像给画出来了。如右图所示， 根据这个图像咱们可以看出来，随着 x 的增大，它是上升的趋势，所以 s 是增大的，也就是说 s 随着 x 的增大而增大。在这里边咱们呢描完点之后，用平滑 的曲线把这些点给连起来，那不在曲线上的点，比如说零，逗号零，他们知道 x 的大于零呢，所以这个零这个地方咱们用空心的圆圈来表示。 好，那咱们来看这样的两个画图像的题目，画出来 y 等于二， x 加一的图样，以及画出来 y 等于负 x 的分之六的图像， 那从第一个 y 等于二， x 加一，那 y 等于二， x 加一，咱们知道 x 的取值范围是取全体实数， 那既然取全体实数，咱们总不能把 x 所有的数都取完吧？负九十九，负九十八，负一百，然后零一二三五分之一，八分之一等等，你把这些所有的数能取完吗？啊？肯定取不完， 取不完的话，那咱们怎么办呢？那咱们就取一些比较简洁的数值，比如说取负三，负二，负一，零一二三，这样的话既有负数又有正数，还有零，就比较具有代表性，所以呢，咱们取的时候可以取这几个就行。 好，首先怎么看出来 x 取的范围是取全体的实数，然后 x 等于负三的时候， y 等于二乘负三，再加一，负六，加一和负五。 那如果 x 等于负二的话，二乘负二加一是负三， i 等于负一的时候，二乘负一再加一等于负一，依次计算出来之后。好，这是列完表格之后， 列完表格写出来对应的 x， y 之后，咱们再秒点， x 等于负三， y 等于负五，负三负五秒出来。 然后依次把这些点用平滑的曲线连起来，通过观察发现这些点在一条直线上，所以这个平滑的曲线呢，也就一条直线。好画的图像呢，是一条直线，通过观察发现图像也是上升的状态。 啥是上升的状态？你看，从左往右看，这是不是上升的状态？也就是说，当这边量 x 越来越大的时候，对应的函数值也是越来越大，我们叫做 y 随 x 的变大而变大。 然后看第二个题画 y 等于负的 x 分之六。同样呢，咱们先列表，列表取出来对应的 x 和 y 的值，那咱们知道 x 的取值范围是啥呢？ x 在分母上不能取零。对，所以呢，咱们取这些数之后，为啥不能取零呢？因为它是 分母，分母不能为零。所以呢，咱们列表取点的时候，可以取一些负数，取一些正数， 然后再描点，在平面直角格别中描出来上述表格中的点。好，咱们把这些点依次描完之后，用平滑的曲线把它们给连起来。 好，发现呢，它有两条分支，它是由两条曲线所组成的，以后咱们会学习到它叫双曲线。好，现在呢，咱们知道它的图像大致是这样的即可， 所以咱们可以看出来，画函数图像分为三步，第一步列表，第二步秒点，第三步连线。这里 两个图像都是这样的，先列表，再秒点，再连线。好，那么给你一个函数，关于是你会画他的图像了吗？哎，咱们就遵循这三步走，列表，秒点，再连线，就可以把他图像画出来了。 好，第一步列表，列表的话呢，表里边咱们取一些自变量的值，以及对应的函数 y 的值。第二步，秒点，秒点，自变量的取值呢，要符合实际意义，以自变量的值为横坐标，相应的函数值呢为纵坐标， 然后描点，最后连线。连线的时候按横坐标由小到大的顺序连，那么所描的点用平滑的曲线连起来，所组成的图形 就是函数图像。那既然咱们把函数图像给画出来了，咱们知道函数图形上呢，这点是有无数多个的，怎么样判断平面直角作为一个点或者一个点的左标有没有在函数图像上呢？比如说 给一个点的坐标，你能不能判断这个点是不是在函数图像上呢？好，那么判断的时候呢，是通过代入的方法，比如说判断 这两个点是不是在 y 等于二加一的图像，那咱们可以怎么办呢？咱们可以把这个 x 等于负零点五带入，你看当 x 等于负零点五的时候， y 的值， 那 y 等于多少呢？ y 等于二乘以负的零点五，再加一等于负一加一等于零， 那所以零点五零，它是在含图扬，而这个点呢，是不在含图扬。好，再看第二个，当 x 等于一点五的时候， y 就等于二乘 x 加一，二乘一点五，再加一等于三，加一等于四，那还等于一点五的时候， y 等于四，那所以第二个是在还是同样同样的方法，咱们可以判断 x 等于二的时候， y 的值把 x 等于二带入，这就是二分之六，等于三，那所以第一个是在的。 那第二个，当 x 等于四的时候， y 就等于四分之六，等于二分之三，那二分之三和二不相等，所以第二个不在函数图像上，所以咱们判断他在不在函数图上。怎么办呢？咱们把横坐标的值给代入看看，等不等于 纵坐标函数值， y 的值等于它的纵坐标，那么它就在函数图像上，否则就不在。好，这是判断一个点由是否在函数图像上。那咱们来看第二个问题，第二个问题呢，是在实际问题之中，函数的图像。 好，这个图咱们刚来课前的时候看了，这是个自动测温仪即可。图像反映了北京的春季某天气温体随着时间体的变化而变化，他是怎么样呢？可以看出来，气温先下降，然后上升，然后又下降， 还能得到啥信息呢？还能得到这个四十的时候，他这气温是最低的，十四时候气温最高，咱们可以得到每一个时间的时候相应的温度。好，这里边呢，咱们来看一看。从这个函数图样可以知道，这一天 气温最低是四十的时候，最低是零下三度，也就是负三度。那几点的时候气温最高呢？是十四时的时候气温最高，最高为八度。 好，从几点到几点气温下降，然后从四十到十四时，气温呈上升，从几点到几点气温又成下降。那所以从图上可以看出来，从零时到四十是下降的， 他这个趋势，咱们从图像上的看的是他的一个趋势啊，这个趋势，这是下降的，然后从四十到十四，十，四十到十四十的图像是这样，这是上升的 啊，从十四时以后，十四时到二十四时，这又是下降的。好，这是图像反应来的特点。 好，第二个下图呢，反应的过程是小明从家去食堂吃早饭，接着去图书馆读报纸，然后又回家，其中 x 的时间外表是小明离家的距离，小明家食堂还有图书馆在一条直线上。 好，看到图像的话，咱们先看横轴和纵轴，横轴 x， x 表示的是时间，单位是分钟，纵轴是外外表，它是小明离家的距离，单位是千米。 好，这是基本的信息。那咱们来看小明从家去食堂吃饭。小明从家去食堂吃饭， x 表示时间外表小明离家，那小明离家距离越来越远，越来越远，越来越远，那吃饭的时候他就坐在 看食堂，坐在食堂，这时候他离家的距离是不不会改变了，对，等于零点六，从第八分钟到第二十五分钟，一直坐在食堂里边，这时候的距离呢一直是零点六。所以从 八到十八分钟的时候，图像显示的是他在食堂吃饭。那吃完饭之后呢，接着去图书馆，那这一段他就是去图书馆的，那说明二十八分钟的时候到图书馆了，图书馆离家的距离是零点八千米。好，那这 距离为啥不变呢？因为在图书馆看书呢，他坐在图书馆里边。好，所以这时候他离家的距离不会改变，然后回家，那回家的时候这个距离越来越小，越来越小，一直做，一直变到六十八分钟的时候，一直变到距离是 零，从五十八分钟的时候开始从图书馆出发回家。好，那图像分析完了，那咱们来看一看 食堂离小明家有多远？那食堂离小明家刚才都说了，这个点八分钟的时候到食堂，所以食堂离小明家有零点六千米，小明从家到食堂用了八分钟。 好，所以呢，食堂离小明家的距离是零点六千米，小明从家到食堂用了八分钟，那在食堂吃早餐用了从八分钟到二十五分钟，一直在吃早餐，所以呢，二十五减八等于十七分钟。 那食堂离图书馆从二十五分钟的时候出发到图书馆的时候是二十八分 中，那用了三分钟，用了三分钟，那多远呢？零点六千米变到零点八千米，所以是零点二千米，因为它是在一条直线上的，所以咱们直接相减。好，所以呢，距离是零点二千米，用了七分。啊，用了三分钟， 小明读报纸用了多少？读报纸从二十八分钟到三十八分钟，一直在读报纸，读报纸用了半小时，又用了三十分钟。 好，然后接着来看图书馆，立小名家，图书馆看到没？图书馆离小名家有多远呢？是零点八千米。 那从图书馆里回家的时候速度是多少？那从图书馆也就是从零点八千米一直走走走变到零千米，所以他走了 零点八千米，路程是零点八千米，它的时间是多少呢？时间是六十八，减去五十八用了十分钟，所以速度等于路程除以时间零点八千米，除以十，等于零点零八千米每分钟。 啊，这是这样的一个题目，那从这个图像之中，咱们要学会从图像中获取信息。 a h 考试常考的题目， 我们来看一个练习题，小明同学骑自行车去郊外春游，如图呢，表示他离家的距离外，嗯，外表示的是他离家的距离， 单位是千米与所用的时间 x x 呢，表示的是小时。那小明到达离家最远的 地方小明到达离家最远的地方，那到地的时候，离家最远最远的地方是用了三小时，距离呢是三十千米。 好，所以小明到达离家最远的地方呢，是用了三小时，最远是三十千米。第二个小明出发二点五小时以后， 二点五小的时候离家多远呢？二点五小时以后，咱们来看一看，二点五小时在这正中间，那所以呢，那他应该是啥呢？ 在这里边二点五小时， 所以在这个点，这个点应该是线段点 c 和点 d 的终点， 因为这个二和三的终点，那画到左边的话，肯定是十五和三十的终点，十五和三十的终点咋求呢？ 用十五加三十除以二等于二十二点五，所以这个点表示的是二十二点五，也就是说出发二点五小时以后，离家是二十二点五千米。 好，这是这样的一个题目，或者咱们通过计算也可以。如果通过计算的话，那咱们来看一看。 嗯，从二十到三十，他的路程是从十五变到三十，说明他的速度是多少呢？ cd 这一段的速度， c、 d 这一段的速度是等于三十减十五除以三减二等于十五千米每小时。 那所以二点五小时的时候行驶了零点五小时，那零点五小时十五乘以零点五等于七点五千米，所以呢，他应该行走了七点五千米。 好，原来是十五十五加七点五等于二十二点五，也可以算出来他离家的距离。 好，这是这样的一个题目。 好，那咱们来看一看。用图像信息题呢，主要呢是观察图像，利用树形结合思想， 从图像中获取信息。主要的步骤呢，首先先看横坐标和纵坐标代代表的具体的含义，然后呢，从图像上来判断函数与自变量的一个关系。 好，对于某些特殊的端点，某些拐点，还还有某些特色线，比如说平行于 x 线，这些特殊的点，特色线有什么具体的实际意义，咱们也要记住。 好，来看一个拓展提升题目，如图，正方形 a、 b、 c、 d 边长是四啊，这是一个边长是四的正方形点 p 是正方形的一个动点，是个动点， 沿着从 a 出发，点 p， 从 a 出发，沿着 a、 d、 d， c、 a、 b， 然后 b、 a 的这一种顺时针方向的路径匀速移动。点 p 经过的路径长是 x， 经过的路径长是 x。 三角形 a、 p、 d 的面积是 y， 求下列图像大致能够反过来面积 y 与 x 之间的一个关系的是啥？那咱们来看一下点 p， 从 点 a 出发，点 p 跑到这的时候，三角形 a、 p、 d 这时候不存在，所以它的面积是零，一直跑一直跑，一直跑到 d 的时候还是零，当这时候 a、 d 的长是等于边长是四，也就是说 当他跑的前四个单位长度，这个 y 呢，都是不存在的， y 都是等于零， 那咱们是不是直接可以看出来呀？ x 等于四的时候，它只是零，然后咱们来借看， 好，接着超过四的时候，那这时候 a、 d、 p 这么大，如果跑到这的话， a、 d、 p 这么大， 如果跑到这的话， adp 这么大，可以看出来 adp 的面积在增大。一直跑到点 c 的时候，点 p 点 c 重合， adp 的面积呢，是四乘四除以二等于八啊，一直路径是八的时候，它的面积是八。 好，接着咱们再来看一看，好， 接着从点 c 开始跑，那 接着从点 c 开始跑的话，那咱们来看点 p 继续跑，那这时候 a、 d、 p 的面积是这么大，又跑到这， a、 d、 p 的面积这么大，这时候咱们发现形成的 a、 d、 p 这个三角形，这些三角形是以 a、 d 为底，高呢， 也都相同，所以是同底等高的三角形，那所以它的面积的时候不再改变了，这么长一直是等于八 好，最后与点臂重合，这时候他跑的路程是四四四跑到十二，接着跑到这的话， a、 d、 p 跑到这的话， adb 变短，所以呢，看出来面积在减小，一直与点一同时的时候，面积变为了零，好，所以面积一直在两千为零，可以看出来是选 选 b 好，就是这样的一个题目， 看本节课的课后练习题。第一个某人早上呢，进行登山活动，从山脚到山顶，从山脚跑到山顶，在山顶呢，休息了一会， 沿原路返回。如果用横轴表示的时间， t 用纵轴表示与三角的距离是 h 与山脚的距离，那么四个图中反映出来 h 与 t 的关系，那他爬山的时候，随着 t 的增加， h 应该是先增加的， 让他休息了一会，休息的时候他的高度不改变，所以应该是水平的，然后呢，他有严重返回，所以速度呢？所以呢， h 又该下降，那所以咱们来看大致的话呢， 把 a 和 b 排除掉，再看 c 和 d， c 和 d 的区别在于哪呢？区别在于 c 选项， c 选项。这个时间点的时候，为啥突然 h 变成零了呀？ 他难道是掉到山崖了吗？就算掉到山崖啊，他也不是瞬间，他也经过有时间的呀，所以这一个不对，应该是经过了一定的时间， 从这个时间点到这个人经过一定时间慢慢的下去了，而且这个速度呢，要比这个速度要大，也就是下山的速度比上山的时候速度要快一些。 好，所以是选 s， d 第二个好。最近连降雨雪，水库水位上涨，如图表示某一天水位变化，临时的时候是警戒 水位，好，观察零时的时候警戒水位，警戒水位是在这 好，然后四十的时候是零点二米，八十的时候是一米好，八十的时候属于最高，从图片上看确实是最高点点 p， 点 p 在这表示的是十二时的， 十二时的水位是零点六米，好，这是对的，他让选的，他让选不正确的好。 c 八十到十六十的水位，八十到十六十，八十到十六十的水位是 下降，然后保持不变，他说都在下降，那不是都在下降，从八十到十二十是在下降，十二十到十六十是保持不变的，所以 c 是错误的 啊。 d 这一天的水位都高于警戒水，那咱可以看看，这是最低的零时的时候，这是警戒水位， 那其他时间确实都高于警戒水位，说明就有危险啊。好，这是这样的一个图像题，那从图像上咱们也可以发现，根据图像咱们可以解决实际生活问题，给实际的生活做一个预判。 好，第三个，在平面指角作为中画出来这个函数的图像，先列表，再描点，再连线。好，表格已经列出来了，但是需要咱们股权。当 x 等于负三的时候， y 就等于二分之一，乘负三等于负的一点五。 y 等于负二的时候， x 等于负二的时候， y 就等于二分之一乘以负二等于负一，那当 x 等于负一的时候， y 就等于二分之一乘以负一。负的零点五。 好，依次把这些点全部的补充上之后，然后咱们给它描点，负三、负二分之三给它描出来。负三，负二分之三描出来。好，然后 负二负一描出来，接着把零零、负一、负二分之一、零零这些点依次给它描出来。最后呢，咱们用平滑的曲线 把它给连起来，发现他一条直线。好，在这里边呢。这个图像画的不太精准，你画的时候你需要注意，你画的时候需要注意，这应该是在负一点五的地方。好，第二个点五，逗号二在不在？ 在函数图像上，那咱们把 m 等于五，带入 m 等于五的时候， y 的值等于二分之一乘以五，二分之五，二分之五和二不相等，所以它不在函数图像上。好，这是这样的一个题目。 好，第四个，这个图像呢，是反映的过程，是张强从家跑步去体育馆，在那里边呢，锻炼了一阵后，去文具店里面买笔啊，跑步去 体育场，说明十五分钟就到体育场了，体育场离家的距离呢？是二点五千米啊，在这锻炼一会，然后开始走到文具店，证明四十五分钟的时候走到了文具店， 文具店离家呢，是一点五千米，到文具店，然后散步回家，一百分钟的时候离家的距离是零。好，第一问体育场离家，体育场离家是二点五千米， 那通加到体育场用了十五分钟，或者是提问非常简单，那体育场离文具店多少？那咱们来看，他们是在一条直线上的体育场二点五千米，然后呢，文具店 离加是一点五，那所以它俩之间的距离是多少呢？是二点五减一点五，等于一千米。 第三张强在文具店，文具店停留了四十五，六十五，那六十五减四十五停留了二十分钟。 第四个，从文具店回家平均速度是多少？那从文具店回家，文具店，这是离家的距离是一点五千米，用的时间这是 三十五分钟，所以呢，速度是一点五除以三十五，如果这样写的话呢，他等于是七十分之三，单位是千米每分钟。 好，当然了，当然了，咱们还可以啥呢？还可以把这个转化为 千米每小时，如果转化为千米每小时的话，就是用一点五除以三十五分钟，是多少小时呢？是六十分之三十五，这样计算的呢？咱们 得到的单位是什么？千米每小时。好，这是这样的一个好，得到的是七十分之十八千米每小时，七分之十八千米每小时，好，这是这样的一个题目。 这是咱们本节所学习的函数的图像，主要学了两块知识点，第一个关于函数的图像的画法列表描点连线 列表的时候要注意自变量 x 取值范围要注意在他有意义的情况下，而且呢，尽量去简洁，取得有代表性。 瞄点的时候要瞄准，连线的时候呢，用平衡的曲线相连。然后呢，咱们又讲了图像所表达的实际的生活的异地。那咱们这节课我就上到这里，下一节课再见。

侄子放学给我炫耀他做的函数模拟器，呦，学会画抛物线了，少你个鸡腿，不要吃着看书，给你整点好玩的。小子，不错呀，还用上了变量，通过函数改成实时渲染，把过程封装，再利用小数系化。参数的不长， 现在就能直接看到参数对函数的影响。同样的方法还能看到各种代数方程的图像。不仅如此，接下来还要让你听到函数的声音。先找一段声调不变的音频， 找不到自己喊一段也行啊。这段声音让他循环播放不要停，再用函数值设定他的高低音。接着把公式一改，让三角函数也站上舞台。 只要再把三角函数与代数方程做个有机的合并，还能听到心跳的声音。 最后试着改成极坐标下的参数方程。

二次函数规律总结，一个视频全搞定。咱看细数为正，开口朝上，细数为负，开口朝下。 接下来后边加向上平移减，向下平移加向左平移 减向右平移好，前边系数变成二倍，图像要变瘦。 前边系数变成二分之一，变成之前的二分之一，图像要变胖。学会没有关注楼老师，数学更上一层楼。

尊敬的各位评委老师，大家好， 我是今天一号试讲考生，我试讲题目是正切函数的图像与性质，下面开始我试讲上课，同学们好，请坐。 从上节课呢，我们一起学习了正弦余弦函数的图像与性质，我们先来回忆一下我们上节课我们是如何研究的，我们是不是先在平面直角坐标系中画出了正弦函数图像， 然后我们话说正弦函数图像呢，我们通过观察函数图像，我们可以得到它的单调性对不对？ 然后我们又得到它在 x 等于什么时候取到最大最小值对不对？然后我们根据我们之前讲的奇函数和偶函数， 我们知道奇函数是在平面直角坐标系中是关于原点对称，偶函数呢是关于在平面直角坐标系中关于外轴对称。那么是不是可以根据函数的图像，我们可以大致来判断正弦函数和余弦函数的基偶性对不对？ 然后我们有这个猜想，之后呢，我们是不是又去验证得到了正弦函数的余弦函数的性质，对吧？那么这节课呢，老师带领大家一起来学习一下正切函数的图像与性质。 对于正切函数图像性质呢，我们先来分析正切函数有什么样的性质，然后我们利用这正切函数的性质呢，我们再来画出正切函数图像， 再利用图像呢，我们再来分析一下正切函数的单调性，基友性有没有最大最小值啊？我们一起来看一下正切函数的图像性质。 好，我们先我们再来回忆一下，我们讲正弦余弦函数的时候，我们讲了它第一个非常重要性的是什么？是三角函数所特有的，是周期性，对不对？那我们先来回忆一下，我们讲周期性，我们讲了正弦函数，余弦函数周期是 二 k 派，其中呢， k 是 属于整数，且 k 不 等零，它最小正周期呢？最小正周期是二派。好，同理，我们来看看正切函数的周期是多少？我们一起来分析一下。好，第一个性质，周期性。 好，周期性。我们可以看到，我们讲我们之前，再来回想我们之前讲三项函数诱导公式，我们讲了一个 tangent x 加派，还记得是多少吗？ tangent x 加派，好，我们是不是对于正切函数我们是不可以用定义啊？它应该是等于 cosine x 加派，然后再除以 cosine x 加派， 没问题吧？好，三 x 加派。我们讲了又，我们讲了那个诱导公式，它是等于负的三 x， 对 不对？好，负的三 x， 而 q 三 x 加派等于负的 q 三 x， 那 这个是不是等于贪心的 x？ 好，那这告诉我什么呢？这也即是正切函数 y 等 tangent x， 周期为 pi， 对 不对？好， y 等 tangent x 周期等于 pi， t 就是 代表周期的意思， t 是 周期为 pi。 好， 我们再来看我们讲，我们再来回一下我们之前讲的这个 三角函数定义，我们给出这个正切函数定义是什么？定义是属于 r 吗？ 没事，定义不属于 r 对 不对？因为因为我们可以这样看嘛。我们来看这个正切函数定义，呃，正弦比上余弦，首先这个余弦是在分母上的，那这个分母呢？是一定不能为零的，对不对？ 也就说 q 三 x 是 不能为零的， q 三 x 不 能为零的话，那是不是说明 x 应该不等于二分之派加 k 派啊？ 对吧？好，它定义域我们我们讲过是 x 不 等于二分之派加 k 派， k 是 属于整数，对吧？好，我们 y 等于 tangent x， 这里面定义域呢？ x 是 不等于二分之派加 k 派， 好， k 是 属于整数。好，那这个定域是不是关于原点对称啊？ 关于原点对称的话，那接下来我们想看它是奇函数还是偶函数啊？我们要判断这个函数是奇函数和偶函数，我们是不是只需要判断 f x 和 f x 之间关系啊？对不对？好，那我们来看 tangent 负 x， 贪心的负 x， 我 们根据我们之前讲的诱导公式，那这个是不是应该等于负的贪心的 x， 好， 那这个是 f 负 x 等于负的 f x， 那 这个是不是说明 y 等于贪心的 x， 它是一个奇函数，没问题吧？好，奇偶性。第二个性质，奇偶性 好， y 等于 tangent x 为奇函数。 好， y 等于 tangent x 为奇函数， 那我们知道它周期是派，那我们是不是只需要画出来它在一个周期里的图像就可以了？我们画出来 y 点它念是在一个周期里的图像，之后呢？我们依次向左向右平移派个单位，是不是就可以得到正切函数图像了？ 没问题吧？好，那我们也是，我们仅需要画出它在一个周期里的图像就行了。好，那我们我们又知道它是个基函数，那我们是不是只需要画出来 在零到二 pi 的 图像就可以了，对不对？因为我们如果画出来 y 等于 tan x 在 零到二分之 pi 的 图像的话， g 函数是关于原点对称的话，我们是不是可以利用对称性就可以画出来它在负二 pi 到零的图像了， 对吧？好，那现在这个问题呢，就转化为我们如何来画 y 等于 tan x 在 零到二分之 pi 的 图像。 好，我们还和我们画探求正弦函数和余弦函数一样，我们还是利用单位元来看一看。好，我们在平面直角坐标系中呢，我们来画出一个单位元 y o x， 好， 这个呢，是一个单位元。 好，我们现在只需要画出来是在零到二分之 pi 图像就可以了。 呃，我们画出来它在零到二十 pi 图像之后呢？我们再利用它是奇函数。奇函数关于原点对称呢？那这样呢？我们是不是就可以得到了负二十 pi 到零的图像，对吧？利用这个奇函数， 利用这个奇函数，我们可以得到负二十 pi 到零。好，那我们来看，我们假设呢，我们在零到二十 pi 任意取个角， f， 好，这个角是 f， 而这个单位圆呢，和 x 轴正半正交点是 a 角， f 的 中边和单位圆交点是 p。 好， p 的 坐标呢？我们设为是 x y， p 的 坐标是 x y， 好， 我们利用三角函数定义，我们可以知道 x 应该是等于 cosine alpha， 对 不对？ x 等于 cosine alpha， y 是 等于三 alpha， 对 吧？ y 是 等于三 alpha， 好， 这个是我们之前讲的三角函数定义，对吧？ 好，我们来看 tangent alpha 如何表示呢？ tangent alpha， 我 们之之前呢，学习了同角三角函数之间关系，我们知道 tangent alpha 等于三 alpha 除以 cosine alpha， cosine， 对 吧？好，那是不是就是我们来，我们过点 p 呢？嗯，做 x 轴的垂垂线，垂足为 m， 好， 垂足为 m， 垂足 m， 好。 那我们来看看如何用已知这个图像中的线段来表示呢？ 是 y 比上 x， 对 不对？我们再写就是 y 比上 x， y 比上 x， 是 不是？这个就是 pm 的 长比上 om 的 长，对吧？也就是 pm 的 长比上 om 的 长 好， pm 长比上 om 长好，我们延长射线 op 延长射线 o p， 然后呢？我们这个，我们在这个，我们过点 a 呢做，我们过点 a 呢做和这个 pm 垂直的线，嗯， pm 和这条线是平行的，然后交 o p 呢于 n， 好，那这个呢？我们记为是 n， 好， 我们我们写清楚一点，好吧， 好，而这个点呢，我们记为是 p， 好， 这个点是 p 啊，我们把 p 的 坐标在这边设出来， p 是 x y， 好， 我们过点 a 呢， 过点 a 做做直线，和这个 pm 是 平行的，和 pm 平行的，我们延长射线 op， 它们两个，这两个线段是不会交于一点啊，我们把这个点记为 n， 好， 这个点呢？我们记为是 n 好， 这个点记为 n 的 话，好，我们我们大家注意看这个三角形 opm 和三角形 ona 是不是应该是相似的，对吧？我们可以很容易看到。看出来这两个三角形相似的话，那这两个三角形相似的话，我们初中学过。相似三角形对应边是成比例的，对不对？相似三角形对应边成比，我们以及这个三角形 opm， 然后相似于三角形 o n， a， 好， 这样三人相似，那对应边乘比例，那 p m 比上 o m， 那 是不是应该等于 a， n 比上 o a 啊？没问题吧？好，那应该等于，呃， n a 比上 o a 好，我们注意看这个，这个圆是单位圆，单位圆 o a 是 半径，对不对？那它半径长度为一，那这个是不是整理一下，是不是应该等于 na 啊？ 好， na 的 na 的 长度呢？就代表着 tangent 的 alpha， 对 不对？也就是说这个长度呢，就等于这个角的正切值，对不对？好，那我们在平面之，那我们可以取 alpha 呢？比如说取零， 取六分之派，四分之派，三分之派，对不对？我们依次取的话，那我们是不是可以得到这个 这个贪镜算法值，对不对？得到贪镜算法值呢？我们在平面直角坐标系中把这点描出来，然后用一条平滑曲线连接起来，我们是不是就可以就可以得到 y 的 贪镜 x 在 零到二分派图像了，对吧？我们画出来这个 y 的 贪镜 x 在 零到二分派图像，我们一起来看一下。 好，我们在这边画一下。 好，我们注意看，我们现在再来分析一下，这是一个平面，叫做坐标系。 好，我们来看，当这个 alpha 越来越小的话，当这个 alpha 越来越小，那对应这个 n a 的 线段长度是不是越来越小啊？ 嗯，对吧？当 n a 的 线段长度越来越小的话，以及当我们来看，当 alpha 越来越趋近零的话，和零非常接近的话， n a 的 长度是不是又越来越趋近零啊？ 那当 alpha 等于零的话，那 n a 长度就是零，对不对？以及这个 alpha 呢？等于零的时候，贪心的 alpha 就是 零。好，我们再来看，当 alpha 越来越靠近二分派的时候，这个 n a 线段 a 的 长度是不是越来越大呀？ 对吧？当他越来越靠近二分派的时候， n 的 长度是非常大，对吧？对不对？越来越靠近二分派，你看，我们来看这个线段 n a 的 长度是不是越来越大，对不对？以及它靠近二分派的时候呢？ n a 长度是越来越大的，对不对？ 那我们在平面直角坐标系中来画出来 y 的 tan 加 x 在 零到二分派图像，好，大致是长这样。 好，这个，这个直线呢？我们来看一下这个直线呢？是 x 等于二分之 pi， 对 吧？二分之 pi 是 不能取到的它，对吧？因为它不在它定义里面，对吧？那这个是 x 等于二分之 pi， 好， 这个图像呢？是 y 等于 tangent x， 好，我们是仅仅画出来 y 等 t n s 在 零到二倍图像，那我们还要得到负二倍到零，负二倍到零，我们刚才已经通过分析我们得到了， 它是一个奇函数，对不对？奇函数是关于原点对称的，我们利用这个关于原点对称，我们就可以得到它在负二倍到零的一个图像。好，我们来画一下 这个 x 等于负二分之 pi， 好， 图像大致是长这样，对吧？好，那这样呢？我们就画出来 y 等于 tan x 在 负二分之 pi 到二分之 pi 的 图像，对吧？ 好，那我们如何再得到正切函数 y 的 time 是 在 r 上图像呢？我们是不是利用这个周期性，我们是依次把这个图像呢？向左向右平移 kpi 的 单位，我们是不是又回到 y 的 time 图像了，对不对？好，请同学们来看。 ppt 上老师画这个图像， 我们依次向左向右平移 kpack 单位就可以得到，对吧？我们可以得到它，这个图像呢？是不是就是依次把这个图像就依次平移就行了，对吧？我们把这个图像呢，就是平移过以后的图像，我们称为是正切函数图像。 好，我们画出来正切函数的图像，对不对？好，我们根据图像呢，我们可以很容易看到。 那这个函数 y 等 tan x， 它是不是在负二分之 pi 到二分之 pi 上是一个单调递增的，对不对？我们来可以看到，随着自变量增大，函数值是在增大的，对不对？ 好，我们可以观察到第一个性质， y 等于 tan x 是 在负二乘 pi 到二乘 pi 是 递增的。其实呢，它是不是我们平移过以后，它是不是应该是在负二乘 pi 加 k 派到二乘 pi 加 k 派都是一个递增的，对不对？好，这是第一个性质。 好，我们来看第二个性质是什么？我们来看 y 等于 tan x， 值域是什么？能不能取到最大最小值呢？我们以这个，我们以这个负二派为负二派到二派为例。好，我们来看，当这个函数呢，越来越靠近二派时候，我们发现它图像是不是越来越大呀？ 越来越大，那以及呢？ y 等 ten x 在 负二派到二派上是没有最大值的，对不对？同理，我们来看，当 x 越来越靠近负二派的时候，我们来看它图像呢，是不是 越来越越来越小，对不对？就是和这越来越对应的函数是越来越小的。那告诉什么？那你告诉我们 y 等贪婪 s 在 负二分派到二分派上是既没有最大值，也没有最小值，对吧？那我们来看它的值域是什么呢？ 既没有最大值，也没有最小值。我们来看这个图像，我们可以很容易观察到它值域应该是负无穷到正无穷，我们也可以说成是值域，是 r， 对 吧？好，我们把我们刚才观察到两条性质总结一下写下来。好，第三个性质，单调性。 y 等于贪心的 x 在 x 属于，应该是 kpi 呃， kpi 减二分， kpi 减二分 pi， 然后到 kpi 加二分 pi 上呃单调递增， 好，这是单调性。我们来看第四个性质，我们刚才讲了 y 等于 tangent x 没有最大最小值，对吧？它值域是 r 对 不对？第四个性质，呃， y 等于 tan 的 x 值域， 值域为，我们可以写成负无穷到正无穷啊，我们也可以负无穷到正无穷。我们之前讲过这个函数的定相关定义的时候，我们知道负无穷到正无穷其实就是表示 r， 对 吧？ 我们可以写成区间的形式，负无穷到正无穷，我们也可以直接写成它值域呢，就是 r。 好， 我们一起来看 ppt 上展示这两道练习题，老师给大家两分钟时间，两分钟以后呢，我们请同学来回答一下。 好，时间也差不多，我们一起来看一下有没有同学愿意自告奋勇回答的。好。三组答案来说。 好，我们先来看第一题吧，第一题，他要比较这两个角度，正切值大小对不对？正切值大小，好，我们可以很容易观察到这两个角度啊，是不是 一个是在，一个是在零到二人派，对吧？一个是在， 一个是在二分之三派之间，对吧？好，那我们应该我们是不是我们知道了 y 等 ten x 在 k 派 减二分派到 k 派加二分派是单调递增的，对不对？那我们想办法就是把这个两个角度呢， 变成同一个单调区间里就行了，对不对？怎么变呢？大家不要忘了，我们刚才已经讲过了， y 的 tangent x 周期为派，对不对？那我们来看第第二个 y 等于 tangent 四分之五派，对不对？ tangent 四分之五派 y tangent 四分之五派。我是不是可以写成 贪心的四分之派加贪心的派，那是不是应该等于贪心的四分之派，对不对？贪心的四分派，好，我们来看第一个，第一个他是贪心的三分派，对不对？贪心三分派，好，那现在呢，我们把两个这个 两个角度的正弦值，正切值呢，变成了同一个区间了，对不对？都变成了零到二分派了。我们知道 y 的 贪念 s 在 零到二分派上是一个单调递增的，那现在就比较了贪念三分派和贪念四分派的大小， 那我们很容易看到呢？三分之派是大于四分之派的，它又是个 y 等的贪念 s 又是个递增的函数，那是不是我们可以得到是贪念的三分之派大于贪念四分之派，对吧？很好，请做好。我们再来看第二个， 第二个他是不是还是比较这两个大小关系，对不对？好？还是比较大小关系？我们一起来看一下。好，他现在给的是，他现在给的是贪心的贪心的三分之派，好，第二个他给的是 第二个，他给的是贪心的四分之三派， 对不对？好， tangent 四分之 pi 是 在这个区间里，对不对？好， tangent 四分之三 pi 是 不是在这一只的一个区间里，对不对？那这两个我们应该如何比较呢？ 我们来看一下，好， tangent 四分之派呢？呃，它是，我们根据图像它是不是一个，是不是一个大一大零的数，对不对？好，我们来看第二个，第二个它让我们比较 tangent 四分之三派，对不对？好， tangent 四分之三派呢？ 我们，我们，我们利用这个 tangent x 周期为 pi 的 话，那 tangent 四分之 pi 三 pi， 我是， 我是不是可以理解成 tangent 的 负四分之 pi 加上 tangent 的 pi， 对 吧？ tangent tangent 的 pi 减四分之 pi， 那 我们利用周期用它应该等于 tangent 的 负四分之 派，对不对？贪念负四人派。我们又知道 y 等贪念 s 是 个奇函数，贪念负四分之派等于负的贪念四分之派，而我们知道贪念四人派呢，它是个大零的数，那负的贪念四人派呢？那，那是不是就是一个小零的数啊？ 那告诉我们什么？那以及是贪心的四分之派大于贪心的四分之三派，对吧？好，不知不觉呢，这一课就快结束了，有没有哪位同学愿意帮大家回一下，你这这一课有什么收获呢？好，三组，大家来说一下 啊。这一课其实我们是研究了正切函数的图像和性质，对不对？我们和之前研究的正弦和余弦函数正好相反的。我们先通过 表达式呢，我们先分析出来正切函数有什么性质，然后我们利用正切函数的性质来画出来正切函数图像，对吗？我们分析出来呢，它的周期是派， 然后又分析了它是一个奇函数，我们利用奇函数呢，我们只需要画出来零到二 pad 图像，我们利用对称性就可以得到负二 pad 到零的，我们再进行向左向右平音 k pad 单位就可以得到 y and x 图像，我们画出来它外，等它 x 图像之后呢，我们可以观察到它的单调区间， 对吧？有没有取最大最小值啊？外的值意是什么？对不对？很好，请做好扣作业呢，大家就把练习题一练习题二做了，有余力的同学呢，可以先做一下练习题三。好，从下课各位评评老师我的思想到此结束，谢谢老师。

同学们好，这几天咱们一直在讲讲讲讲讲讲！就是一次函数的数与形结合。有同学说，哦，我已经做的非常快了，那咱们找一道题来检验一下自己吧，看看咱们这个题，大家是不是很快能看出来。说已知一次函数的图像为直线，则关于 x 的 方程， a x 加 b 等于一 说，突然出现这个，这我有同学说，我想解这个方程，那我解不了啊，那当然解不了啊， a 和 b 都是未知的呀。有同学说，啊，那好说，我把这个呃图像中二斗零和四斗一带进去吧，带入这个解析式，当然这是一种方法，但是这个方法有点不可取， 也能把 a 和 b 求出来， a 和 b 求完之后再解这个方程，照样可以解出来。那么但是呢，我如果不解，我用眼睛看也知道 x 等于四。有同学说，那为什么呀？ 我就先给大家讲第一种方法，说这题我实在没有方法了，我见点就带吧，因为这个点在这条直线上呀，它符合这个直线等量关系啊，那么就是二， a 加 b 等于零，然后四 a 加 b 等于一。好，这道题咱们通常都用加减法去解，二减一， 二， a 等于一， a 等二分之一， a 等二分之一，那 b 得几呢？ b 就 得负一，所以说这个 y 就 等于二分之一， x 减一，那当二分之一 x 减一等于一的解是多少呢？就能解出来 x 等于四，你看是不是验证了刚才的猜测呀？ 这是第一个方法，不可取，但是实在没招了，这也是一条路，大家也是见点就待， 见点就带啊。那么有些时候，他如果不给你二斗零这个点，只给你这一个点，这个题照样得四，那就是我要讲的第二种方法，咱们要学会观察图像， 就这个数形结合非常重要。观察图像，观察图像，大家想一想， a、 x 加 b 等于一，不就相当于是 y 等于一吗？ y 等于一就相当于图像上对应的纵坐标等于一的那个点，那咱们用肉眼也能看见纵坐标等于一的那个点，横坐标对应的是四，所以说此时 x 对 应的那个角就是四，就求出来了，这是完美的竖形结合。孩子， 函数要靠用心去领悟，这个题得几也不重要，重要的是思考方法。这题虽然解了两种方法，但是最可取的是第二种方法。那么第一种方法呢？他给你两个完整的点，咱们当然可以用第一种方法，虽然他慢， 但是如果没给你二斗零这个点，那么你第一种方法你就求不出来， a 和 b 就 不行了，咱们就要用第二种方法，数形结合，这两种方法大家都要会，这是最关键的，同学们听懂了吗？没听懂可以给我留言呦！

前面我们学习了平面直角坐标系的知识，那同学们能写出这个坐标系图中各点的坐标吗？小芬说，老师，我能， a 点的坐标是二六， b 点的坐标是五四， 低点的坐标是二四，低点的坐标是二一。嗯，小分知识掌握的不错哦！老师最喜欢画轴对称的图案了，所以老师先把坐标系中的四个点连接起来，组成一面小旗。接着分别以 x 轴和 y 轴为对称轴， 画出了关于 x 轴对称和关于 y 轴对称的轴对称图案。那同学们知道这两个图案标的点的坐标又是多少吗？阿道说，我知道 a 的坐标是二负六， b 的坐标是五负四， c 的坐 标是二负四，第一的坐标是二负一。小只说， a 二的坐标是负二六， b 二的坐标是负五四， c 二的坐标是负二四，第二个坐标是负二一。嗯，同学们真棒！ 接下来我们来看看关于 x 轴对称的图案对应点的坐标有什么特点。 同学们看，通过对比能发现， a 点和 a 一点的横坐标相同，纵坐标是相反数，其他对应点的坐标也有这样的特点。那就说明关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数哦！ 再来看看关于歪轴对称的图案对应点的坐标有怎样的特点？列出来后，能发现 a 点和 a 二点 的纵坐标相同，横坐标却是相反数了。对比其他对应点的坐标也能发现这样的特点。那也就说明关于歪轴对称的两个点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数哦！ 同学们看这条鱼，它是由平面直角坐标细内的点零零五四三零五一五负一三零四负三零零， 依次连接得到图案。假如将个点的横坐标保持不变，纵坐标分别成负一，那依次连接这些点，你们觉得会得到怎样的图案呢？ 我们来看看。横坐标保持不变，纵坐标乘负一，那么个点的坐标就变为，零零五负四三零五负一五一 一三零四三零零。与原来的坐标相比，横坐标相同，纵坐标变为相反数了。依次连接起来后得到的图案也是一条鱼。 通过观察能发现，这条鱼与原图案是关于 x 轴对称的图案对称了，那么对应的点也就会对称了，那也就是说，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称， 假如是将这条鱼的各个点的纵坐标保持不变，横坐标分别成负一，然后连接起来，又会得到怎样的图案呢？ 纵坐标保持不变，横坐标乘负一，那么个点的坐标就变成，零零负四负三零负一负 负一负三零负四负三零零。与原来的坐标相比，纵坐标相同，横坐标变为相反数了。得到的图案也能发现是与原图案关于歪轴对称的 对应的点，也关于歪轴对称，那就说明纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于歪轴对称了。 简单总结一下，一、关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。二、关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 三、横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称。四、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于 y 轴对称，观看完整版课程，关注花花老师。

我们来讲一下一元函数方程中的配方法，首先第一个我们需要知道的是什么是配方法，它就是对这个一元函数方程进行配方，使它出现这个完全平方式以后，再直接开平方来求解的一种方法。 那么关于配方法的依据的话，它实际上就是完全平方公式啊，我们来写一下 公式，也就是 a 方加减二 a， b 加上 b 的 平方，等于 a 加减 b， 括号 y 的 平方。如果在这里我们将这个 a 看成未知数 x， 然后 b 看成是常数啊， 那么此时的话，这个式子就变成了 x 的 平方加减二 b， x 加上 b 的 平方，就等于 x 加减 b 括号 y 的 平方。好， 那么在配方的时候的话，我们需要怎么样去配？就要配成一字相系数的平方，那么主要在配什么呢？就是你得把这个数给他配出来啊，这个时候我们看一下他跟谁有关系，是跟这个一字相系数对不对？那么再看一下那 b 的 平方可以怎么得到？将这个一字相系数，这个 你就写二 b 就 行了，不用管他前面的符号，然后呢，给他除以一个二，再平个方，对吧？他是不就等于 b 的 平方了？好，那么也就是说配方他需要配成一次像系数一般的平方哈，配方，这是我们必须要会的，配成 依次向系数一半的平方。好，我们来看一下第一题啊， x 的 平方减四， x 减一等于零，来解一下。 第一个，首先我们将这个常数项给它移到等号的右边去，移项啊， 那么 x 的 平方减四， x 等于一，然后的话就可以配方了，配成一次项系数一半的平方，也就不要管它的符号，因为符号的话，它是跟着这个一次项系数走的，所以你只要配四 四除以二，然后再平方，那也就是四，对不对？那么在这里我们在写的时候要注意一下啊，怎么去书写的问题，减四， x 加上一个系数一半的平方，对吧？那也就是二的平方等于多少呢？一加上多少 二的平方啊？等式的左边加了一个二的平方，等式的右边也要加上一个二的平方，那么左边就变成了一个完全平方式，那也就是 x 减二扩大的平方，它是等于五的， 然后我们就给他写什么啊，这里刚忘记写字了，背方，然后就直接给他干嘛？开方对吧？开方的话也就是 x 减二等于多少？正负根号五，那么在这里一定要注意，一个数的平方等于五，一个正数的平方根有两个啊， 所以这个圆方程的根 x 一 就等于这个根号五加二， x 二等于负根号五加二。 我们来看一下第二题，二 x 的 平方减三，四减一等于零，那我们说在上面的话，我们只会配 x 的 平方加减二 b， x 加 b 的 平方，它可以写成 x 加减 b 块的平方，那么我们现在就是要 把它变成二次项系数为一才能去解，对不对？好，那么将二次项系数变为一的话，只需要将等式两边同时除以一个二就可以了啊，那么第一个步骤就是画二次项系数为一啊， 画 x 的 平方的系数为一，那我们就得到了 x 的 平方减去一个二分之三， x 减去二分之一等于零，然后的话就是进行移项， 将这个常数项移到等号的右边去，那就等于二分之一，那么就开始是配方了，配成一次项系数一半的平方啊， x 的 平方减去二分之三 x， 那 它的一半二分之三， 二分之三，一半就是四分之三，四分之三的平方啊，四分之三括号的平方，左边加了四分之三的平方，那么右边自然也要去加上啊，这些都是小的细节，一定要去注意好，那么就可以写成 x 减 四分之三括号 y 的 平方，然后我们给他算一下，他就是十六分之十七啊，所以直接就是干嘛了？开方，开方就得到了 x 减去四分之三，那么他就是等于正负四分之根号十七， 嗯，写这边来了啊，那么解得 x 一 就应该是等于这个四分之三加根号十七，或者 x 二等于四分之 三减根号十七，那么你写四分之三加四分之根号十七也可以，写这边写四分之三减四分之根号十七也可以啊，都是可以的啊。那么在这里我们再来讲一下，就是在这个过程中容易出现错误的一个点啊， 特别是当它的二次项系数给它化为一，那只需要对这个 方程两边同时除一个二次项系数就可以了。好，那么除完了之后就做一项，然后一项，第一个要注意一项变符号啊，一定要去变啊。 第二个就是关于在配方的时候，建议大家去做什么工作呢？我们说配成一次项系数的平方， 你不要把这个四分之三的平方给它算出来，写成十六分之九，那你这里写十六分之九，你很大概率有可能在这里就直接减去十六分之九，导致错误了啊，所以建议大家怎么写，你就写成四分之三平方，把它保留在这，左边加上一次性系数一半的平方，右边也加上 平方，把这个平方给它保留下来啊，不然的话容易出现错误啊。然后就是十六分之 十七，然后我们说一个数的平方等于十六分之十七，那么这个数给他开方之后，平方他是有两个平方根的，不要出现错误啊。最后我们来总结一下配方法的步骤啊。 第一步，如果它的二次项系数不为一的话，要将二次项系数为一啊，二为一划二次项系数为一，也就是将方程的两边同时除以一个二次项系数就可以了。那么第二步就是移项， 移项就是将长竖项移到方程的右边，使得方程的左边为二次项和一次项，也就是方程的 左边为二次项和一次项，右边为常数项啊。 那么移项的时候一定要注意，将数或是从等号的左边移到右边，或者从右边移到左边，跨等号就要变符号啊。第三步，也就是来到了最关键的地方，就是要配方，那么第一个要配成什么样子的？配成 依次向系数一半的平方，那么在这里要注意一个细节，就是这个平方该怎么去四十写，就是左边写成什么，左边写成左右两边啊， 左右两边写成平方的平方的形式，也就是我们刚才说的四分之三括号 y 的 平方不要去写成十六分之九啊，要注意一下。 那么第四步的话就是开方求解啊， 就可以了。