七年级下册数学思维导图第一章平方式

今天我们来预习七年级下册数学第一章第一节，相交线。这是数学最必应的一课，你们想和最好的朋友做平行线还是相交线？两条平行线永远不会相交，无论延伸多远，都会 保持相同的距离，朝着相同的目标前行，他懂得什么才是永久的陪伴。而两条相交线从很远的地方开始中会相遇，但相遇后又会越走越远。先不用急着回答，经过这一系列的学习，你的心中肯定有了答案。相交线就像这个叉子图，形成了两种特殊角，对顶角和零不角。 叉子图的四个角，为了方便，我们就叫他们角一、角二、角三、角四。我们首先来学习一下对顶角。首先来看角一和角三，这两个从形态上来说是针尖对麦芒相互顶着的两个角，角二和角四同样也是相互顶着的。对顶角是一种关系， 所以一定是成对出现，有人可能就会犯糊涂了，比如同样是相互对着的，他们也是对顶角吗？所以光看形态不够判断对顶角得有严格的几何定义。我们以角一和角三为例，找关键特征。第一，他们的顶点都是点哦， 这是公共顶点。第二，把角一的一条边反向延长这条延长线。简单说，角一和角三的两边互为反向延长线，直观上来说就是两条直线形成一个叉。 结合这两个特征，对顶角的正式定义就出来了，有一个公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角，就是对顶角。 那对顶角的度数有什么特点？老张在几何画板里给大家演示一下。拖动一条边，角一变大变小，角三都会跟着同步变化，而且二者度数始终相等，这就是对顶角的核心性质。对顶角相等。 比如已知一个对顶角是七十度，那另一个肯定也是七十度。接下来咱们看另一类角零不角。大家在观察角一和角二，这两个角拼在一起，刚好是一个平角，那他们的度数可就是一百八十度，也就是互补。像这样的角就是零不角。 同样看几何画板，不管怎么拖动边，角一和角二的度数和永远是一百八十度，所以零不角的性质是零不角互补。那零补角里的零字怎么理解？零吗？就是挨着的意思。 几何里的零关键在有公共边，比如角一和角二的公共边是 o c， 这条边让两个角挨在一起，这就是零的本质。 所以零不角的严格定义是有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角叫做零不角。除此之外，定义里还有一个隐藏条件，就是公共顶点扣住零不角的定义。我们就知道，这样和这样的没有公共边的角都不是零不角。好了，今天就讲到这里，我们下期再见了。

旗下平清县这里必考有十三大拐点模型，其中啊有三大家族对应的结论非常重要，那今天依依老师一个视频，带大家搞清楚这类模型的二次结论以及推导的方法。 那有关于平行线，这里啊老师也给大家总结了近三年考过的易错真题三十道。如果啊，我们的孩子做几何题，经常辅助线，没有思路，不知道该怎么做，家长们可以带孩子啊，把它打印出来，假期一天功课一个类型题，积累起来水滴石穿。 下面啊，咱们就来一起看一下这些平行线当中常见的模型吧。第一个啊，我们所说的这个模型啊，是铅笔家族，铅笔家族研究的是这三个角之间的关系，也就是这三角之合是三百六十度，其实就是做完平行线之后，有两个一百八十度的同旁内角， 同样拓展到铅笔眉尖型。我们可以做两条平行线，三组一百八十度的同旁内角，所以这几个四个角度之合就是一百八乘三了。 同样拓展到 n 个角，我们会找规律发现三个角之合一百八乘二，四个角之合一百八乘三，那 n 个角之合一百八十度乘 n。 建议 继续我们来看猪蹄家族，猪蹄家族其实它的模型结论非常通用，叫做蹄尖尖之核等于蹄丫丫，这是蹄尖尖，所以他俩之核等于蹄丫丫， 同样他们也是蹄尖尖之核等于蹄丫丫，只不过在这里面有两个蹄尖尖哎，两个蹄丫丫，三个蹄尖尖，所以我们总结叫做左凸角之核等于右凸角之核，拓展到 n 个角也是一样的。 最后来看鹰族，鹰族对应的结论是什么呢？鹰嘴的这个小嘴巴嘴等于与哎鹰嘴的一条边与平行线所夹，这两个角当中大夹角减小夹角 怎么判断大和小来？只需要移一移这条线平移到这，你就会发现这个角大，这个角小，那嘴不就等于大减小了吗？那它也是一样。 所以无论鹰嘴是低头鹰、抬头鹰还是抠脚鹰，咱们只需要找到嘴的这个角，找到大夹角和小夹角，就可以轻松用我们对应的结论来进行秒杀了。 最后呢，我们这个类型属于鹰嘴的变形，它四不像了，找不到踢尖尖和踢丫丫怎么办？ 利用我们拐点模型解题问题的通法，过拐点做平行，做一条平行线， 再利用平行线的性质来推导相等的角做角度转化，就可以迎刃而解了。那有关于这几类平行线常见的拐点模型，你现在学会了吗？

七年级下册数学平方根立方根素记寒假学会掌握，开学轻松当学霸！接下数学平方根立方根素记表开平方数字表开地方数字表估算二十以内的算数平方根用于比较大小十五以内的算数立方根常用开平方数字表练习板 常用开平方数字表练习板估算二十以内的算数立方根练习板十五以内的算数立方根练习板完整版七七。

同学们好，我是小狐狸老师。今天我们继续来学习人教版七年级下册数学第五节平行线的概念。 今天的学习目标是了解平行线的概念，以及平面内两条直线相交或者平行的两种位置关系。 第二就是掌握平行功力以及平行功力的推论，第三就是要会用符号语言来表示平行功力的推论。会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 我们来看这里有两条看不到尽头的轨道，我们把它想象成几何图形，也就是两条无限延伸的直线，而且这两条直线是不会相交的，对不对？ 那我们把这种图形呢，就叫做平行线。我们来看平行线的表示。我们前面学过两条直线的位置关系是相交 a、 b、 c、 d 相交，有一个交点，并且会形成四个角。 那除此之外，我们的位置关系还有一种就是没有交点，没有交点这种我们就把它叫做平行线，也就是在同一平面内不相交的两条直线。我们的直线就只有两种位置关系，一种就是相交， 另一种就是不相交。不相交就是平行。比如说我们的 a 和 b 直线 a 和直线 b 没有交点，那么 a 就 平行于 b。 我 们用符号语言平行线是这么去写两条斜杠， a 平行于 b， 读作 a 平行于 b。 一定要注意大小写，我们大写表示直线是两个大写字母，小写的话只用一个小写字母就可以了。那结论就是在同一平面内不重合的两条直线，只有两种位置关系，就是相交和平行。 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系就是相交或者是平行。 如图，相交的是第一个，我们来看第一条线，这里是一条射线，而这里是一条直线，他是不相交的，因为我们的射线没有办法往这边延伸。 看第二个，这是一条线段，那么他也没有交点。第三个，这是一条线段，但这是一条直线，这条直线可以延伸之后，这里会有一个交点，因此这里是相交的。 三是相交的，那我们看第四个，第四个是两个线段都不会进行延长，所以说他既不相交也不平行。来我们看第五个， 第五个的话是两条无限延伸的直线，并且没有交点，是平行，所以说第五个是我们的平行线。 那有同学会说了，老师你不是说两条直线在同一平面内不是相交就是平行吗？那为什么这个第四个它既不相交也不平行呢？还有第一个、第二个，因为我们说的相交和平行指的是线，直线是可以无限延伸的直线，这是我们的概念里面的 来看，是不是在同一平面内两条直线，所以说直线和线段射线是不一样的。因此我们就能得到这个结论，射线与直线是不相交的，但射线所在的直线与这条直线相交。也就是说第一题 第一个这个图形，假如说我把这个位置颠倒一下，这里是射线的这个端点，而这里是可以无限延伸的，那么射线所在的直线就与这条直线相交。 这句话的意思就是射这条射线虽然跟这条直线不相交，但是这条射线所在的这条直线，他是他们两个直线是相交的。 第二个就是线段与直线不相交，但线段所在的直线与两条直线相交或者是平行。第三个就是直线延伸后，与线段也会有一个交点。 第四个点就是两条线段是没有交点的，但他们所在的直线相交。看第四个，两条线段是没有交点的，但他们所在的直线就会有短点 两。第五个就是两条直线不相交，那么他就是平行。一般的我们说的两条射线平行，两条线段平行，指的都是他们所在的直线是平行的。 下面我们来看平行线的画法，我们先画一条直线，然后放，就是把我们的直尺或者是三角板放在这里。第二个就是靠，我们把直尺靠在这里之后，把三角板进行向上推移， 推移到一定位置之后，画下第二条直线，那么这两条直线就是相互平行的。 一如图，过直线 m n p q 相交于点 o， 这里一个交点 o， r 作为直线 m n p q y 的 一点，这里是 r 过点 r 划直线 ab 平行于 p q， 那么我们就先把三角板对折 p q 放置，放置之后再拿直角放在三角板的斜侧，然后让这个三角板往上平移，经过点 r， 那 么画出的这条线就是我们的直线 a b 做直线 c d 平行于 m n。 同样的方法，用我们的直角 先把三角板放在 m n 这条线上，然后把我们的直角放在这里，把三角板向上推移，经过点 r， 画出一条射线，经过点 r 画出一条直线 c d 与 m n 平行，如图所示。 我们在画图的时候，必须要确保直角定好位置之后就不再移动。第二个就是当三角尺移动的时候，要始终保持一边紧靠直尺。 过点 b 画直线， a 的 平行线能够画几条过点 c 再试试。我们可以画出过点 b 只有一条与 a 平行。过点 c 也是只有一条线与 a 平行，而且我们发现这条线和 a 是 平行的， 这条线和这条线也是平行的，我们会发现这三条线是不是也是互相平行的呀？因此我们就得到了一个平行功力及它的推论，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，直线外的一点经过它有且只有一条直线与已知直线平行。 并且如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。也就是，如果说我们有 a 平行于 b， a 又平行于 c， 那 么我们就可以得到 b 也平行于 c， 这就是我们平行线的传递性。 如果 b 平行 ac 平行 a， 那 么 b 就 平行于 c。 来下列推理正确的是，因为 a 平行于 b 平行于 c， 所以 c 平行于 d。 这里是涉及到了四条直线，所以说 c 不 一定平行于 d。 错的。 b 向，因为 a 平行于 c， b 平行于 d， 所以 c 平行于 d。 同样的还是四条直线，所以说仍然不行 c 向，因为 a 平行于 b， 所以 a 平行于 b， 这是不是咱们平行线的传递性啊？ a 平行于 b， a 又平行于 c， 所以 b 和 c， a 也是平行的， c 是 正确的。我们看 d 向，因为 a 平行于 b， c 平行于 d， 所以 a 平行于 c。 错了，仍然涉及到了四条直线，它可以是这样的四条直线对不对？答案就选 c。 我们看第二题，完成下列推理，并在括号内注明理由。如图，因为 ab 平行 d e， bc 平行 d e， 那 所以 abc 三点是不是要在同一条直线上啊？因为过直线外一点， 有且只有一条直线与已知直线平行，所以说 a、 b 与它平行， bc 与 d、 e 也平行。因为过点 b 是 只有一条直线与 d、 e 平行的，因此 abc 肯定在同一条直线上。我们所用的依据就是经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 我们看第二个，如图，因为 ab 平行 cd， cd 又平行 ef， 那 么我们就能得到第一条线和第三条线是相等，也是平行的， 所以就由 ab 也平行于 ef。 我 们所依据的定律就是平行线的传递性。也就是说，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。大家一定要把这些概念给记住，因为考试的时候是会考填这个概念的。 我们来做几道随堂练习题。第一题，下列说法正确的是。我们来看 a 项，同一平面内，没有公共点的两条直线平行，这不就是咱们平行线的概念吗？ 没有公共点的两条直线肯定是平行的。 b 项，两条不相交的直线一定平行。错了，他少了几个字，同一平面内。为什么？呃，我为什么就是一定要强调这个同一平面内呢？比如说，我给大家打个比方，正方体大家都见过， 对不对？正方的来，你们看这一条线，正方的这一条线和正方的这一条线，他们是不是不相交？因为他在上面，他在下面，他永远都不相交，但他们两个是不平行的，因为他们两个处于立体图形里面，不是同一平面内，所以说， 嗯，不符合我们的这个概念。好。 c 向同一平面内没有公共点的两条线段平行。错，我们的定义是直线， d 向那射线肯定也是不对的，答案就选 a。 好。 第二题，下列说法正确的是。第一个，一条直线的平行线只有一条，一条直线的平行线有无数条。 第二题，第二个，过一点，与已知直线平行的直线有且只有一条，这里少了一个点过直线外一点，因为如果这个直线在，因为如果这个点在直线上，那是不是就他就没有平行线，他就本身是他自己的这一条？ 好，第三个，错了，错了。第三个，因为 a 平行 bc 平行 a， 所以 a 也平行 d 跟 d 有 啥关系啊？那这不是 b 平行于 c 吗？ 好，第四个画写的有点不正规，整了。第四个，经过直线外一点啊，直线外一点，尤其只有一条直线与这条直线平行，这不就是咱们的定义吗？是不是？ 所以答案选 a。 好。 第三题，下列错误说法的序号是，第一个，两条直线不相交就是平行的，同一平面内，同一平面内两直线不相交，就是平行的。所以说第一个是错的， 看第二个，同一平面内两条平行的直线有且只有一个交点，平行线是没有交点的。第二个也是错误的。第三个，过一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过直线外一点，对不对？过直线外一点，所以第三个也是错的。第四个，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这不就是咱们平行线的传递性里面的概念吗？所以说第四个是正确的，因此答案选一、二、三。 好，我们看第四题。已知在同一平面内有一直线 a、 b 和一个点 p 或点 p， 画 ab 的 平行线可画多少条？如果说我们的点 p 在 这条直线上，那么它就没有平行线。如果说点 p 在 直线外，那么它就有一条，因此可以画出零条或者是一条，大家一定不要把这个零条给忘记了。 好，我们看第五题。若 ab 平行于 cd， ab 平行， cd 过点 e 做直线， ef 平行于 ab， 则 ef 与 cd 的 关位置关系式，那 ef 肯定也平行于 cd 啊。是不是？理由就是 同一平面内两条直线互相平行。理由就是我们这个 ab 和 c、 d 是 平行的， ab 和 e、 f 又是平行的，那么我们的 e、 f 肯定跟 c、 d 也是平行的，这是我们平行线的传递性，也就是说是两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 我们今天学了平行线及其表示在它的概念是，在同一平面内不相交的两条直线互相平行，记作 a 平行于 b。 平行线的画法，一放二靠，三推四画，先放三角板，再放直尺，然后把三角板往上推，画出直线就可以了。 平行公里以及推论平行公里是过直线外一点，注意注意这一下直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线平行。他的推论是，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，也就是平行线的传递性。 我们上这节课，我们通过这节课发现了平行线里面有许多需要背诵的概念，尤其是像这些推论这些功利一个字都不能错，因为考试的时候他就会考你默写这些功利或者是推论， 所以说大家从这节课开始一定要对咱们的概念极其熟悉才可以。好了，今天的课程就到这结束了，各位同学再见。

大家好，今天我们一起来学习一下七年级数学下册的平行线这个视频呢，我们要学习一下平行线的这个概念， 导入新知，生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些线给我们什么印象呢？如图，电梯的扶手给我们是什么印象啊？这个扶手是什么印象呢啊？首先他们两个线之间的距离肯定是一样的啊， 电梯扶手所在的直线会相交吗？啊，应该是不会相交的，要不然的话，我们呃往上走的话特别容易被卡住。 那么铁轨给我们什么印象？还有什么地方给我们相同的印象呢？铁轨啊，他们之间的这个距离，就是说两个铁轨之间的距离应该也是一样的，因为我们火车啊，两个轮子之间的距离是一样的， 他如果说不是一样的话，或者是呃有有变化的话，那么我们这个火车是不能顺利的在上面行走的。还有双杠的两个握杠给我们什么印象？哪些地方也有我们这种印象？双杠的两个握杠啊，他们两个之间的距离应该也是相等的，还有什么地方呢？我们接下来看一下。 首先先看我们这个今天的学习目标，第一个，了解两条直线的平行关系，掌握有关的符号表示。 第二个，学会用三角尺、两角气画平行线。第三个，掌握平行公里及其推论，培养空间想象能力， 探寻新知知识点。一、平行线的定义及表示如图，分别将木条 a、 b 与木条 c 钉在一起，并把它们想象成在同一平面内，两端可以无限延伸的三条直线。 转动 a， 直线 a 从在 c 的 左侧与直线 b 相交，逐渐变为在 c 的 右侧与 b 相交，想象一下，在这个过程中，有没有直线 a 与直线 b 不 相交的位置呢？ 啊，它是什么意思呢？就是说我们把这三根木条分别用钉子固定了之后呢啊，它是能活动的，就说我们这个 a 是 可以围绕着这一点来进行活动啊，中间的这个钉子这一点 啊，所以说我们看一下它活动的过程中啊，肯定能出现我们接下来的这个图，那么也肯定能出现我们第三个图的这种情况， 所以在木条转动的过程中，存在一个直线 a 与直线 b 不 相交的位置时啊，这时我们说直线 a 与 b 互相平行， 那么平行线在生活中是很常见的，你还能举出其他的一些例子来吗？当然了，有很多，比如说我们这个啊，视频是摩托车在平行高速路上奔驰， 然后下一个呢，就是我们的铁轨啊，因为铁轨之间呢，这个距离一定是要相等的，要不相等的话，我们火车是没有办法在上面运行的啊。再来看一下我们这个跑道，塑胶跑道的这两条线应该也是平行的。 好，接下来我们看一下平行线的概念。首先在木条转动过程中，存在直线 a 与直线 b 不 相交的情形，这时我们说直线 a 与 b 互相平行，记作 a 平行于 b， 那 么在同一平面内不相交的两条直线就叫做平行线，那这一个啊，正好也是一个定义，我们需要记住。而且呢啊，我们在判断它是否是平行线的时候呢，也能用得到 啊。值得注意的是什么？就是平行线的定义，包含三层意思啊。首先呢，就是第一个在同一平面内是前提条件啊，这个里边呢，我们要特殊的去说一下， 因为如果不是在同一平面内，这是同一平面内，如果不是在同一平面内的话，那么不相交的两条直线啊，有可能就不是平行线了啊，这是一个。第二个不相交，就是说两条直线没有交点，这个没有问题。 第三个平行线指的是两条直线，而不是两条射线和两条线段，这个我们尤其要记住啊，它是两条直线，并不是射线和线段，这是我们做题的一个关键，特别容易在上面出现错误。我们看一下平行线的表示法， 我们通常用啊两个斜杠来表示平行，比如啊，我们这个是两条直线，这是直线 ab， 下面是直线 cd 啊，我们就可以记作是啊，书写的形式就是 ab 平行于 cd 啊，是两个斜杠，它们之间读作是 ab 平行于 cd， 然后比如 a 平行于 b， 就是 说两条直线平行啊，这是 a 线，下面是 b 线啊，我们可以读作是 a 平行于 b。 同一平面内两直线的位置关系啊，我们这里面呢，因为前几个视频已经学过了相交，那么这里边是我们学的是平行。 所以说啊，同一平面内两直线的位置关系呢，一个就是平行，另一个就是相交了。但是在相交里面，我们有一个特殊的情况啊，就是出现了垂直，垂直情况，是我们相交的一种特殊情况啊， 所以说啊，有相交里边有两个，一个是垂直，另一个是指示相交啊，也就是所谓的是斜交啊，但不垂直。两直线平行呢？我们书写方式就是 a 平行， b， a 平行与 b， 那 么垂直呢，就是 a 垂直与 b， 这个垂直的符号要注意。 所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交两种。 好，我们看考点一，平行线的识别。下面说法正确的是 a 选项，两条不相交的直线一定平行，这个是错的。为什么呢？因为两条不相交的直线，他没有说在同一平面内，如果不是在同一平面内的话，他不一定是平行的啊。 第二个，在同一平面内，两条不平行的直线一定相交，这是对的，这是没有问题。 c 选项，在同一平面内，两条不相交的线段一定平行，那么在同一平面内，我们在上面画一下就行啊。在同一平面内，比如说我们这是这个线段，然后呢，我是这个线段啊，这个线段记作是线段 ab， 我下面的线段叫做线段 c d， 那 么我们来看，它是不平行的，但是因为线段是有长度的，所以说它也不相交啊，所以说 d c 选项也是错的。 第四个，在同一平面内，两条不相交的射线互相平行，那也是不对的，因为射线呢，它也是有方向的。我们在这里画一下，假如我这条射线是射线 o a， 那我再画一条射线，这条射线是射线啊， c、 d 啊，当然后边延长的部分没有画出来， 那么射线呢，是由一端啊为端点，然后往另一个方向无限延伸，那么这样的话， o a 是 往这个方向，是往这边的方向延伸的。 o c、 d 呢，是往这边的方向延伸的，所以它俩肯定是不相交了，但是它俩也不是平行的，所以它也是错的。这个题呢，只能选第二个。 下一题，下列说法中正确的个数有。第一个，在同一平面内不相交的两条线段必平行啊。这个题是，呃，对不对呢？同一平面内不相交的两条线段必平行。刚才我们在第一个题就演示了，他是错的啊。 第二个，在同一平面内不相交的两条直线就是平行的，因为我们知道在同一个平面内，两条直线要么就是相交，要么就是平行。 第三个，在同一平面内不平行的两条线段必相交啊，那也是不对的，和我们第一种情况的是类似的错法。 第四个，在同一平面内不平行的两条直线必相交啊，这是没问题的，因为刚才也已经说过了，在同一平面内的两条直线呢，只有两种状态，一个是平行，一个是相交。所以说这个题应该选第二个。 接下来我们看一下一放， 先把啊三角尺放在我们这个 a、 b 这个线上啊，把，就是说有刻度的这一面啊，要给它对齐。二靠，二靠呢，是需要另一个三角尺直接靠，靠过来之后 三推，那就是把我们刚才先放的那个三角尺推上去 四画，然后推上去之后呢，紧接着我们直接沿着它画下来就行，那么画出来的这条直线就是和我们 a、 b 这条直线平行的了， 那就先知已知直线 a、 b 和直线外一点 p 过 p 点，画一条直线与已知直线 a、 b 平行。那么我们还是采取刚才我们啊所用的这个画法，一啊 一放，先把三角尺啊给它放齐，二靠把另一个三角尺给它对好。三推，把我们的这个三角尺往上推，一直到我们第一个三角尺的这个啊刻度这一这一条线上和我们 p 点，这啊重合，也就是过我们 p 点的位置的时候 丝画，然后我们拿起笔来啊，沿着它直接画下来，画出一条直线来，那么这条直线就是啊过 p 点，而且呢还和 a b 平行了，所以说就是符合要求了， 这种方法你会了吗？啊，很简单，我们只需要在我们的纸上啊来做几遍，都能熟练掌握的。 接下来看一下考点一，按要求做出平行线，如图，在三角形 a、 b、 c 中， p 是 a c 边上的一点，过点 p 画 ab 的 平行线，过点 p 画 ab 的 平行线啊，那么画它的平行线，我们一 放的时候，应该让我们的三角尺的边应该是在和 ab 对 齐，也就是说和 ab 对 齐之后我们再去考，所以我们接下来看一下它的操作，先和 ab 对 齐，然后呢上面这个衡量呢，相当于是一个固定作用， 紧接着啊，就是我们沿着它那条横梁往这边去推动，所以过了 p 点之后呢，我们再接着把它的这个线画下来，那么画下来的这条红线呢 啊，我们给他啊，要放上一个，比如说在顶端或者是末端放上一个字母，然后呢我们就可以表示这条直线了，那么画出来的这条红线就是和我们 ab 是 平行的，而且是过点 p， 所以 p d 就是 所要画的直线了。巩固练习，如图，在三角形 a、 b c 中， p 是 a c 边上的一点啊， p 又是 a c 边上一点，过点 p 画 b c 平行，呃，画 b c 的 平行线 啊，过点 p 画 b c 的 平行线，那么我们就需要啊，把尺子要刻动那一片在和 b c 式共线，所以我们接下来看一下， 这么下来啊，画出来这条红线就是和我们 bc 是 平行的了啊，同样也是我们在它的顶端，或者 是啊，可以说在这个图上是在左侧或者是右侧，我们标上一个字母，比如说这个是在右侧，标的是 e， 那 么 pe 呢，就表示我们画出来的这条线了，所以也做出来了，那么 pe 就是 平行于 bc 了，就已经做完了。 接下来看一下知识。点三，平行公里及其推论。第一个，经过点 c 能画出几条直线？经过点 c 能画出几条直线呢啊，我们可以展示一下啊，这个图中给我们展示了，看它在转动，说明我们能画的直线也是在转动啊，这个区间内啊，是有无数条的。 第二个，与直线 ab 平行的直线有几条？与直线 ab 平行的直线有几条，那它应该也是无数条的啊，我们来展示一下啊，那我们刚出来的这几条红线呢，就是和 ab 平行的啊， 它的粗细不一样，只要你画的越细，而且呢空间也是无限大的，所以它也是能画出无数条来。 第三个，经过点 c 能画出几条直线？经过点 c 能画出几条直线？与直线 ab 平行，那就相当于是在直线外一点，画一条直线与 ab 平行。那么这个呢，其实只只有是一条了，因为没有别的线了，再有别的线肯定是相交，或者是不在这一点上只有一条了，这是 第四个，过点 d 画一条直线与 a、 b 平行，过点 d 画一条直线与 a、 b 平行啊，也是和我们第三个一样，只能画出一条来，我们看一下。 那么我们刚才把过点 c 的 画的这条直线和过点 d 的 这条直线呢？我们都称为是一个是 a， 一个是直线 b， 我 们来发现与三中所画的直线是平行的吗？经过这个目测观察的话， a 和 b 应该是平行的。那么接下来呢，我们就是要论证一下我们得出来的这个推论 啊，平行公里就是直线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行啊，这是刚才我们啊真正的去演示出来的， 比如说我们这个图里边 ab 啊，过点 c 画 ab 的 平行线，那么就只有是一条，过点 d 画 ab 的 平行线也只有是一条。 温馨提示，平行公里中强调直线外一点，若点在直线上，不能有平行线，所以说这个也是我们做题的一个关键，一定要小心，一定要知啊，注明他是直线外一点，如果这一点在直线上，我们是不可能画出平行线来的，这一点我们一定要记住点。 第二个有且只有强调这两条直线是存在的，也是唯一的有且只有啊，也就是说我们过直线外一点的这条啊，画一条平行于我们已知的这个直线的平行线啊，肯定是能画出来，而且呢只有是一条。 接下来平行公里的推论，平行线的传递性啊，这就是我们一个传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，那我们看一下啊，几何语言， 因为 a 平行于 c， c 平行于 b， 所以 a 平行于 b 啊。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行啊。这是我们直接来的推论，是在做题的过程中，或者是选择题的过程中，是可以直接应用的。 接下来我们做一下题，考点一，平行功底及其推论的应用。下面说法中正确的是，第一个，过一点，有且只有一条直线与已知直线平行过一点啊，那么这一点到底在哪里呢？他如果在这条直线上的话，我们是画不出来的，所以说他是不对的。 第二个，平行于同一条直线的两条直线互相平行啊，这是没有问题的啊。第三个，一条直线的平行线，有且只有一条是错的啊，无数条的。 第四个，若 a 平行于 b， b 平行于 c， 则 a 平行于 c 啊，这就是我们平行线的传递性，没问题。所以这个题呢，选二、四，选第四个。 下面巩固练习。若 ab 平行于 cd， ab 平， ab 平行于 ef， 通过传递性我们就可以得到啊。 cd 是 和 ef 应该也是平行的 啊。如图所示， mc 平行于 ab， mc 平行于 abnc 平行于 abnc 也平行于 ab， 则点 mc 是 一条已知的直线，点呢？ c c 在 这里。 然后我们就是说过点 c 啊，要画一条直线，画一条啊，平行于 a b 的 直线，那么有且只有一条，所以说那么 m n 肯 m c n 肯定就是共线了。所以我们用的理论是什么呢？就是这个经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 链接中考啊，这个中考题也是非常简单的，三条直线， a、 b、 c， 若 a 平行于 c， b 平行于 c， 则 a 与 b 的 位置关系，那肯定是平行了啊，这是我们平行线的传递性。选第二个 基础几何体，下列说法正确的是同位角相等， 这个肯定是不对的。同位角相等，因为他也什么前提条件没有啊，我们后面会学习关于同位角，平行线里边同位角啊，他单独的说，肯定是不对的。第二个，过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直， 这是不对的啊，它没有强调说明在同一平面内，如果没在同一平面内呢？在一个空间的话呢？呃，它是有很多的，有无数条的，所以是错的。所以过一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 那么这一点，它到底在这条直线上呢？我们是不知道的，如果这一点在这条直线上，那么我们就是画不出来平行线的，所以这个题也是错的。 第四个，对于直线， a、 b、 c， 若 a 平行于 b， b 平行于 c， 则 a 平行于 c， 这是我们平行线的传递性，这个是没有问题，所以这个题应该选第四个。 第三题，完成下列推理，并在括号内注明理由啊，这就是让我们写那个推理了。第一个，如图，因为 a、 b 平行于 d， e， bc 平行于第一，这是已知的，所以 abc 三点啊，在同一条直线上，这是为什么呢？就是我们过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以是这一条经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 第二个，如图，因为 ab 平行于 cd， cd 平行于 e、 f， 这又是已知的，所以呢，应该推出来是 ab 平行于 e f， 这是我们平行线的一个啊， 传递性来了根，根据的是，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，没有问题。好，接下来我们看一下能力提升题。如图所示， ab 平行于 c bc， ab 和 bc 是 平行的， p 是 ab 的 终点， p 是 ab 的 终点。 画出线段 p q， 使 p q 平行于 a d， p q 与 dc 交于 q 点，那么这个里边呢？我啊，就啊，不用那个尺子给大家画了。这个如果大家有兴趣的话，可以自己在纸上来画一下，我大概给画一下就可以了。 p 点啊，使 p q 平行于 a d， 那 么我们是 p 点从这里出发， 然后呢，交 dc 以 q 点，这是 q 点。 第二个 p q 与 bc 平行吗？ p q 与 bc 平行吗？啊，是平行的啊，为什么呢？因为我们 a d 和 bc 是 平行的，我们过 p 点的话呢，是 p q 平行于 a d， 所以 传递性就是我们 p q 和 bc 肯定也是平行的，这个没有问题。 第三个，测量 p q， 测量 d q 啊，测量 d q， c q， 判断 d q 和 c q 是 否相等，那这个里边呢？呃，感兴趣的同学呢，可以自己在草稿纸上画一下，然后实际去量一下，量出来之后它肯定是相等的。 测量 a d， b c 啊，下面是判断 a d 加 b c 等于二倍的 p q 是 否成立，我们来看一下这个。首先呢，我们要先做一个啊，过点 d 做，比如说是 d e 平行于 a b， 然后呢， d e 和 p q 呢？比如说交于点 f， 因为 d e 是 平行于 a b 的。 然后呢，我们已知条件是 a d 和 b e 也是平行的，所以说在四边形 a、 d， e、 b 里面呢，我们就可以知道四边形 a， d， e， b 应该是一个平行四边形啊，那我们这边写一下 a、 d， e、 b 为平行四边形的话，我们就能得到一个知识，是什么呢？就是我们 a， d 其实就等于 b e 的， 同理呢啊，我们 f 点啊，这里边相交的是个 f 点，那么我们又因为我们 p 是 a b 的 中点，所以我们就直接能得到 f， 其实就是 d e 的 中点了， f 是 第一的终点，为什么呢？因为我们这个四边形 a， d， f， p 也是一个平行四边形，那么下面呢，也是一个平行下边 p， b， e， f 也是一个平行四边形，所以说 a p 等于 b p， 那 我们就知道 d f 等于 e f 了，那 d f 等于 e f 了，我们就来看 又过他的中点，往下做的一个平行线，那么我们过点 q， 再往下做一条平行于 ab 的 平行线，假如交于 bc， 以点 j 点 交到这个 j 点之后呢，我们发现啊，同样来证的话，就是 f q j e 也是一个平行四边形，就能得到 f q 其实就等于 e j 了， f q 等于 e j 了之后， 根据我们刚才啊，第一个，其实我们直接可以测量就可以，第一个呢，那么啊， d q 和 c q 是 相等，因为我们 p 点是终点，做一条平行线之后呢，发现 q 点也是 dc 的 终点了，那么同理呢，过 q 点做平行于 ab， 交于点 j， 那 么我们就可以得到，其实 q 点是 dc 的 终点，就可以得到， j 点呢，其实就是 ec 的 终点了，所以呢，我们 ec 啊， e j 啊，就是说我们的 ec 就 等于二倍的 e j， 那 我们这里可以写一下， 而又 e j 呢，和 f q 是 相等的，所以说我们 ec 其实又等于二倍的 f q。 那么接下来我们第二问，是 a d 加上 b c， a d 加 b c， 其实就可以写成是 a d 加上啊 b e 加上 e c， 那 么 a d 加上 b e， a d 和 p f， b e 和 p f 都是相等的，所以说 a d 加上 b e 就 等于二倍的 p f， 而 e c 呢， e c 就 等于二倍的 f q， 所以 我们直接这边写， 所以最后就是等于二倍的括号里 p f 加上 f q， 那 么 p f 加上 f q 其实就等于 p q， 所以 就等于二倍的 p q。 而这道题呢，我们第二问，它给的是理由。第三问呢，是经过测量的啊，都是测量成立的，因为我们是在初一，还没有强制性的就是让我们去推理它，因为这是一个我们在初二和初三要学的内容，到时候我们再去推理就可以了，现在我们就只是说先大概的能记住它就可以了。 下面是拓广探索题，如图，直线 a 平行于 b， b 平行于 c， c 平行于 d， 那 么 a 平行于 d 呢？为什么啊？是平行的，我们通过平行线的这个传递性就可以得到啊。我们看一下这个解析， 因为 a 平行于 b， b 平行于 c， 所以 a 平行于 c。 这就是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，因为 c 平行于 d， 所以 a 平行于 d。 这也是啊，和我们上面的这个推理是一样的，最终我们就能得到了。 好了，视频到这里已经是靠近尾声了，我们做一个课堂小结。首先先看平行线的定义，第一个在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，那么这个里边我们一定要注意，一定是在同一平面内啊，如果不是在同一平面内不相交的两条直线不一定是平行线。第二个是平行公里 过直线外一点，有且只有一条直线与已知线与已知直线平行平行公里的推论。第三个就是我们啊，就是平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。关注我，带你开启学霸模式！

大家好，今天我们一起来学习一下七年级数学下册的平行线的判定。第一课是首先导入新知图一二中的直线平行吗？你是怎么判断的？那么图一我们来看，他应该是不平行的，图二呢，应该是平行的啊，我们怎么判断呢？第一个就是说我们可以延长 啊，你看图一延长之后呢，是有焦点的，而图二延长之后，包括反向延长都是没有交点的。所以说啊，在同一平面内 不相交的两条直线就叫做平行线，这是我们上个视频所学的内容。那么在同一平面内呢啊，其实我们这个直线有两种方式，一种是相交，一种就是平行了啊。 好，接下来我们来看判定两条直线平行的方法有两种，第一个是定义在同一平面内不相交的两条直线叫平行线， 还有是平行公里的推论，决定平行线的传递性。那么如果两条直线平行于同一条直线，那么两条直线平行啊，这都是我们上上一个视频所学习的内容。接下来同学们想一想，除应用以上两种方法以外，是否还有其他方法呢？ 接下来我们的学习目标啊，第一个是通过直尺和三角尺画平行线的判定方法一，第二个能用平行线的判定方法一来推理判定方法二和判定方法三， 第三个能够根据平行线的判定方法进行简单的推理啊，可能我们看到平行这个学习目标的时候啊，有点发蒙啊，其实这一节呢，我们主要是学习同位角、内错角，还有同旁内角他们对平行线的判定啊，他们之间是可以互相推理的，所以这样的话我们去学习一下就知道了。 看刘心之，先看知识点，一，同位角相等，两直线平行。我们已经学过用三角尺和直尺画平行线的方法啊，就是一放啊，二靠 三推，把它推到这个外面这个红点上去啊，四画啊，接着就是把它画下来，就是过我们已知直线啊，外一点画平行于它的平行线。 在画图的过程中，什么角始终保持相等呢？还有第二个直线 a、 b 位置又是如何呢？那么我们先把这个啊，它的平行线 a 先画出来， 画出来之后就是上面了，就是上面这个我们红线的位置其实就是平行于 b 的， 当我们发现是由这个尺子，然后推到我们这个尺子啊，那么它角一和角二我们分别画出来，它肯定是相等的，因为都是由一个角推上去的。 那么我们再来看一下，角一和角二是什么关系呢？其实我们在以前的视频里就学过，学相交线的时候呢，角一和角二正好就是一个同位角， 接下来将其最初和最终的两组特殊位置抽象成几何图形啊，这是我们几何图形了。由上面的操作过程，你能发现判定两条直线平行的方法吗？其实就可以得到了，就是同位角相等，两条直线平行。我们接下来看一下 判定方法。一，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线是平行的，所以说如果出现了这个啊，两条直线被第三条直线所截，我们找一下这个同位角就行。而我们这个图中角一和角二正好就是我们的同位角，一个 f 边上的这两个角， 简单说成就是同位角相等，两直线平行。那么几何语言呢，就是可以这样去写，这是我们在做求正题啊，就可以用到的。因为角一等于角二，这是已知的，所以 l 一 平行于 l 二是同位角相等，两直线平行。我们这个括号里的内容呢，是我们的判断方法，一定要写上，这样容易得分。 看一下考点一，利用同一角相等判定两直线平行。下图中如果角一等于角七，能得出 a、 b 平行于 c、 d 吗？写出你的推理过程。角一等于角七啊，我们来看，角一其实是和角三是对顶角， 是和角三对顶角的话，所以啊，角一是等于角三的，那通过等量代换呢？我们就知道，角三其实就等于角七，而角三和角七正好是同位角的关系，所以我们就能直接得出 a、 b 平行 d 了啊。接下来我们看一下它的过程， 因为角一是等于角七的，这是已知的，角一等于角三，这是对零角相等，然后，所以角七等于角三，这是等量代换啊。所以呢， ab 平行 cd 一定要写上是同位角相等，两直线平行， 做一下巩固练习。如图所示，角一等于角二等于三十五度，角一等于角二等于三十五 啊，则 a、 d 与 c、 d 的 关系，角一等于角二等于三十五，那角二也等于角三等于三十五，因为它是对等角，所以就能得到呢。角一等于角三等于三十五度，而角一和角三呢，又是同一角，那就能得到啊。 c、 d 和 ab 平行，理由是什么？其实就是同一角相等，两直线平行。 再看一下知识点二，内错角相等，两直线平行，两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角。由同位角相等，可以判定两直线平行。那么能否利用内错角来判定两直线平行呢？如图，由三角三等于角二，可推出 a 平行于 b 吗？如何推出 角三？如果等于角二，能不能推出 a 平行于 b？ 当然是可以的，因为角三等于角二，而角三和角一是相等的啊，是对边角相等，所以我们就能得到呢。是角二和角一相等，而角二和角一呢，又是同位角，所以我们就能推出来了，就是 a 平行于 b， 那 么就是同位角相等，两直线平行。 我们看一下它的解析过程啊。 接下来看判定方法二，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线就是平行的啊， 简单说成就是内错角相等，两直线平行，几何一元就是因为角三等于角二，已知的。那么 a 平行于 b， 为什么呢？是因为内错角相等，两直线平行，角三和角二正好是内错角的关系，是一个 z 字形。 好，我们看一下考点一，利用内错角相等判定两直线平行完成。下面证明如图所示，如图所示， c b 平分角 a c d c b。 如果平分角 a、 c d 的 话，我们就知道角一其实就等于角二了，这是平行线的定义。 角一又等于角三，我们就能得到角二，其实也等于角三，就能正出 a、 b。 平行线的定义在我们的七年级上册就已经学过角平行线了， 因为角一等于角三，所以角二就等于角三啊，这是又是一个等量代换，所以呢， a、 b 平行于 c、 d， 这叫同内错角相等，两直线平行。 好，我们看一下巩固练习。已知角三等于四十五度，角一与角二互余，是说明 a、 b 平行于 c、 d， 角三等于四十五度，角二和角一互余。什么叫互余呢？互余就是相加得九十度啊， 然后角二和角一明显就是对顶角，它俩是相等的，所以它俩啊，分别就等于二分之九十等于四十五度，那么就可以得到角一等于角三了啊，正好就能推出。或者是角二等于角三啊，就可以推出 a、 b 和 c、 d 平行了。有内错角相等。 看一下解析过程。因为角一等于角二，对顶点相等啊，角一与角二互余，所以角一加角二等于九十度啊，它俩又是相等的，所以角一等于角二等于四十五度。 因为角三等于四十五度，所以角二就等于角三，所以就能得到 a、 b 平行于 c、 d。 那 么用的是内错角相等，两直线平行。那同理呢，我们也可以用角一等于角三，也能证出 a、 b 平行于 c、 d， 这里边用的就是同内角相等，两直线平行。 看一下这是点三，利用同旁内角互补，判定两直线平行。如图，如果角一加上角二等于一百八十度，能判定 a 平行于 b 吗？ 角一加上角二是一百八，那么我们知道角一和角三又是邻补角，也就说明角一加角三也是一百八，所以呢，就能推出来啊，角三等于角二，这是同角的补角相等，所以就能得到 a 平行于 b 了啊，同位角相等，两直线平行，那我们接下来看一下它的解析过程。 能，因为角一加角二一百八啊，这是已知条件，角一加角三一百八，这是邻补角的性质，然后就能得到呢，所以角二等于角三，这是同角的补角相等，我们要把这些条件写上，这样不易失分。所以呢， a 平行于 b， 那 么就是同位角相等，两直线平行，因为角二和角三正好是一个同位角。 接下来我们看一下探求新知判定方法。三，两条直线互补，那么这两条直线平行， 简单说成就是同旁内角互补，两直线平行。几何语言呢？就可以用啊，我们证明的时候用到的啊。因为角一加上角二等于一百八，所以 a 平行于 b， 同旁内角互补，两直线平行。 接下来看一下考点。一，利用同旁内角互补判定两条直线平行。如图，直线 a、 b、 c、 d 都和 a、 e 相交，且角一加上角 a 等于一百八，求证， a、 b 平行于 cd， 角一加上角 a 的 一百八。那我们知道角一和角二其实是对顶角是相等的，所以角二加上角 a 也是一百八，那就可以直接来用啊，同旁，而且呢，角二和角 a 正好是同旁内角，所以就可以用同旁内角互补，两条直线平行，就能推出 ab 平行于 cd 来了。 接下来我们看一下它的求证过程，证明，因为角一加上角 a 的 一百八，这是已知条件，角一呢等于角二，这是对顶角相等， 所以呢，角二加上角 a 等于一百八啊，这是用的一个等量代换，所以 ab 平行于 c、 d 用的就是同旁内角互补，两只线平行。 好，接下来看一下巩固练习，根据条件完成填空。角二等于角六，角二等于角六，这能得到什么？因为角二和角六正好是同一角，是谁的呢？是 abcd 被 e、 f 所截的同一角，所以我们就可以得到 ab 平行于 cd， 这里是同位角相等，两直线平行。第二个呢，是角三等于角五，角三等于角五，同理，它是内错角，也是 a、 b、 c、 d 被直线 e、 f 所截出来的内错角，所以就能得到 a、 b 平行于 c、 d， 这里是内错角相等，两直线平行。 再因为角四加上谁等于一百八，角四加上谁等于一百八呢？我们这里边其实要用到同旁内角了，那么角四和谁是同旁内角呢？只有是和角五，所以我们这里边写角五。那就能推出 ab 平行于 cd 啊，这里边是同旁内角互补，两直线平行。 念经中考结合图啊，我们下面这个图用符号语言表达定理同和内角互补，两直线平行的推理公式啊。这里面呢，我们刚才已经讲过很多了啊，因为角一加上角三等于一百八，所以 a 平行于 b。 哈，这个问题呢，刚才我们已经展示很多次了， 看一下课堂检测的基础巩固题。第一题如图，可以确定 ab 平行于 c、 e 的 条件是什么？我们看一下 ab 平行于 c、 e， 那 这两条直线要平行的话，我们来找关系， a 选项，角二等于角 b， 角二等于角 b， 角二和角 b 不 存在。我们刚才说的三个角同位内错和同方内角，所以说它是不对的。 第二个，角一等于角 a， 角一等于角 a， 角一和角 a 其实是同胞内角的关系，那么它也不可能是相等的啊 c， 想想，角三等于角 b， 角三等于角 b， 我 们来看角三和角 b 正好是 ab 和 c、 e 被 b、 d 所截的这个出来的同位角，所以同位角相等，我们就能得到两直线平行 ab 平行 c、 e 了，所以第三个是对的， c 现象是对的。第四个，角三等于角 a， 角三等于角 a， 那么角 a 和角三我们没有办法去判断，如果是强，要用内错角相等的话，应该是角一和角二才是内错角相等才能判断呢，所以这个题呢，应该是选 c。 第二题，如图，已知角一等于三十度，角二或角三满足条件。角一等于三十度，角二或角三满足条件。什么是 a 平行于 b 的？ 角一如果等于三十度的话，那么角三等于三十度，就可以得到 a 平行于 b， 那 是内错角相等，或是角二等于一百五十度啊，因为啊，角二加上角一正好是同胞内角互补，两直线平行，所以这是两个，一个角二是一百五，或者角三等于三十。 第三题，如图一，角一等于角四，角一等于角四可以推出，那么角一和角四我们要看它是谁的内错角，角一和角四呢，正好是 ab 和 cd 被直线 b、 d 所截的内错角，所以就能得到 ab 是 和 cd 平行的 理由是什么呢？就是内错角相等，两直线平行。第二个，从角 abc 加上角什么等于一百八，可以推出 ab 和 cd 平行角 abc， 那 我们家里什么东西等于一百八的话，应该是找同胞内角，那么 a、 b、 c 应该是和 b、 c、 d 是 同胞内角，所以能推出来，那么理由是什么呢？就是同胞内角互补，两直线平行。 第三个，从角什么等于角什么可以推出 a、 d 平行于 bc， a、 d 和 a、 d 和 bc， 如果是平行了，那我们看角三要紧，等于角二的话，这就可以啊，这就可以推出来，因为这是 正好是内错角相等，两直线平行。第四个，从角五等于谁？可以推出 a、 b 平行于 c、 d 角五，那我们来看啊，找同一角就行了，等于角 a、 b、 c 就 行了，就能推出 a、 b 和 c、 d 平行来了。 理由是同一角相等，两直线平行。第四个，根据条件完成填空啊，角一等于谁？ a、 b 平行于 c e， a、 b 平行于 c、 e， 那 我们角一要和角二相等，就正好能推出来，它是一个内错角啊，那就能推出 a、 b 平行于 c、 e 了， 这里用的是内错角相等，两直线平行。第二个，因为角一加十等于外八，这是来找同旁内角的。 c、 d 平行于 b f， c、 d 和 b f 平行，那么角一应该是和谁呢？应该是和角三相加一百八，那这样正好构成是一个啊， u 字形啊。那么 c、 d 和 b、 f 分 别就是这两个边了，所以说应该是加角三等于一百八，这是同旁内角互补，两直线平行。 第三个，因为角一加角五等于一百八，角一加上角五是等于一百八，那他俩相加得一百八呢？我们能证出来啊，我们看边就是 c、 e 和 d、 b 是 平行的了， 也可以说 ab 平行于 c、 e， 这里得的呢？就是同方内角互补，两直线平行。第四个，因为角四加谁等于一百八，又是找同方内角，我们看 c， e， c， e 平行于 ab 和 ab， 那 么 c、 e 平行于 ab 呢？我们就看，其实找 c、 f 和 ab 平行就行了，那么 c、 f 和 ab 平行，角四一定是和角三相等的一百八，所以这里面是角三，也是同方内角互补，两直线平行。 看一下能力提升题，如图，已知角一等于角三，角一等于角三， a， c 平平分，角 d， a、 b， 它平分的话，我们知道根据平分线的定义，角平分线的定义，所以角一是等于角二的，角二就等于角三的，你能判断哪两条直线平行啊？角二等于角三了，那么内错角相等的话，就是 d、 c 和 ab 平行。 我们看一下解析过程，例如如下，因为 ac 平分角 d， a、 b， 这是已知条件，我们能得到角一等于角二，这是角平分线的定义。 又因为角一等于角三，角一等于角三，我们能得到角二等于角三，这叫等量代换，所以呢，就能推出 ab 平行于 cd 来了。因为角二和角三正好是一个内错角，是内错角相等，两直线平行。拓展探索题，如图，已知角 mca 等于角 a， 角 mca 呢？应该是这个角 等于角 a， 角 a 是 这它俩相等，我们就可以看。找一个 z 字形啊，这是一个 z 字形，就是 b a， c， m 是 一个 z 字形，所以就能得到是 ab 这个条件就能得到。是 ab 要平行于 m n 下面角 d， e， c 等于角 b， 角 d e， c， d， e， c 是 我们这个角等于角 b 等于这个角啊，那我们这个条件能得到什么呢？ d， e， c 等于角 b， 它俩正好是构成啊，同为角，我们来看 ab 和 d e 就 平行了，所以这个条件能得到是 ab 平行于 d e， 那我们可以根据我们上一个视频学的这个平行线的啊，传递性，所以说 a b 平行于 m n， a， b 又平行于 d e 就 能得到 m n， 其实就是平行于 d e 的。 好，接下来我们看一下解析过程。因为角 m c， a 等于角 a 啊，所以 a b 平行于 m， a 是 内错角相等，两直线平行，又因为角 d e c 等于角 b 啊，所以 ab 平于第一，同一点相等，两直线平行，所以第一平于 m n， 那 我们是那个传递性的那个定理，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行啊，这个需要我们背过的。 好了，视频到这已经是接近尾声了啊，大家肯定是觉得这一节学的是非常简单啊，如果觉得他这一节比较啊不太好分辨的话，我们只是稍加一点练习就可以了。课堂小结啊，平行线的判定是意图， 我们有三个判定方法，就是同位角、内错角和同方内角，但是一定要注意他们的数量关系啊，同位角和内错角是相等的，内错角一定是互补才能断出，才能推出两条直线平行的。然后啊，数量关系，位置关系，一定要记住，关注我，带你开启学霸模式！

好，我们来看一道七年下关于平行线和角度问题的名校真题。已知这道题也是第一次月考的真题啊。已知 c、 d 平行于 ab， 然后 o e 呢，是角 a、 o d 的 平分线，有这两个角是相等的啊。然后他现在说了， o e 是 垂直于 o f， 也就这个角是九十度，对不对？现在告诉我们， d 是 五十度，要求角 b、 o f 的 度数， 那么我们想知道 b、 o f 的 度数，我们又知道了 o e、 f 是 一个九十度，那么我们只要知道 a、 o e 的 角度，是不是就可以求出来这个 b、 o f 的 角度了，对不对？那么来分析一下啊，既然 cd 跟 ab 这两条线是平行线， 那么我们是不是就有一个什么同旁内角互补，对不对？也就是说这个角 d 跟 a o d 它是一个什么 互补的角啊？所以我们就可以把这个 a、 o d 算出来了，用一百八减去五十等于一百三。好，又，因为 o e 是 不是 a、 o d 的 角平分线啊？ 那么我们就可以求出来 a、 o e 的 度数对不对？除以二就行了。好了，那 a、 o e 也算出来了， eof 也算出来了，那这个 f o b 这个角是不是就很简单了，对吧？好，我们来写一下过程啊。 好，因为 c、 d 平行于 ab， 那 么这两个就是同旁内角同旁内角互补，所以这个角 a o d a o d 这块写错了啊， a o d 它呢就等于一百八十度，减去角 d。 好， 那么角 d 是 五十度，所以 a o d， 我 们就可以知道它是一百三十度了。好，又，因为 又因为 o e 是 角 a、 o d 的 角分线，所以角 a o e 就 等于二分之一的角 a o d 就 等于二分之一。乘上一百三十度，等于六十五度。又因为 o f 垂直于 o e， 所以 角 e o f 就 等于九十度。好了。 ok， 最后一步， 最后，所以角 b o f 就 等于一百八十度。减去一个角 e o f， 再减去角 a o e， 那么就等于一百八十度。减去六十五度，再减去九十度。好，当然这个九十度应该放这啊，就是这个 e o f 是 九十度。好，最后减出来等于二十五度。 好了，那我们这道题我们就做出来了，最后的角 b o f 等于二十五度。

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七年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们一起来学习第八章实数，一起来探求平方根。什么是平方根呢？带着问题进入今天这节课的学习。首先呀，请同学们做一做这几个题目， 三的平方等于多少？三的平方等于三乘三等于九。负三括号的平方等于多少，等于负三乘负三等于九。 三分之二的平方等于多少啊？等于三分之二乘三分之二等于九分之四。负三分之二括的平方呢？等于负三分之二乘负三分之二等于多少也等于九分之四。 零点八的平方等于零点八乘零点八等于零点六四。负零点八括号的平方等于多少呀？等于负零点八乘负零点八也等于零点六四。 老师们，通过做这三个题目，我们有一个共同的发现，无论哪一个数的平方，他都是一个非负数，非负数，对吧？你看看他们都是非负数啊。 那么今天我们呀，反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数呢？ 比如说已知一个数的平方等于九，那么这个数是多少呀？ 我们今天来探求平方根的相关知识。那么今天这节课呀，一共有两个学习目标，第一个学习目标呢，了解平方根的概念， 掌握平方根的性质。第二个学习目标呀，就是要能够利用平方与开平方互为利润上的关系，来求某些非负数的平方根，非负数的平方根零和正数的平方根。 带着这两个学习目标一起进入今天的学习，平方根的概念以及性质。什么是平方根？那么平方根有什么性质呢？ 请同学们看这个题目，要做一张边长是三分米的方桌面，你看方桌面在这里，它的面积是多少？同学们，既然是边长，边长，只有水有边长，只有正方形才有边长吧， 那么正方形的面积怎么求啊？是不是边长乘边长，是吧？要做一张边长是三分米的方桌面，它的面积是多少 数？边长乘边长就是三乘三等于几啊？等于九。这个问题实际上就是求三的平方等于多少？三的平方等于多少？他说三的平方等于几啊？三的平方是不是等于九呢？ 是不是他就是九平方分米，所以啊，这个桌面的面积就是九平方分米，所以啊，这个桌面的面积就是九平方分米。 那么这个就是已知了底数和指数，底数是几啊？底数是三，指数是几啊？指数就是二，用求幂的运算， 求密密是多少九，对吧？同学们，这个其实就是平方运算，平方运算大家知道了吗？已知底数和它的指数求密的运算就是平方运算，平方运算。 那么现在反过来要做一张面积是九平方分米的方桌面， 你看看九平方分米的方桌面，它的边长是多少分米呢？它的边长是多少分米呢？同学们， 实际上就是要求出一个数，使它的平方应该等于九平方分米，对吧？谁的平方等于九平方分米呢？那么你想的出来吗？你说谁的平方等于九呢？ 现在我们反过来了，异过来了，是吧？啊？写圆我们知道了，三的平方等于九，还有一个数字呀，还有负三括号的平方也等于九， 负三的括号的平方是不是等于负三乘负三是不是等于九呀？写圆括号里应该是正负三，对吧？但是这里负三能做这个正方形的边长吗？ 所以负三它是不符合提议的，不符合提议， 所以负三不能够用，对吧？所以方桌面的边长应是三分米啊，几分米啊？三分米。那么你还能得到什么问题呢？同学们，你还能得到什么问题啊？ 如果一个数的平方等于九，这个数是多少？如果一个数的平方等于九，这个数是多少？这个数有可能是正三，也有可能是负三，对吧？ 正三的平方，三的平方是不是等于九？负三括号的平方也等于九，所以这个数是多少？有可能是正三，有可能是负三，对吧？由于正负三括号的平方等于九，所以这个数是三或者是负三。 那么想一想，三和负三有什么特征？三和负三，三和负三是不是一对相反数，对吧？三和负三是不是互为相反数啊？你是我的相反数，我是你的相反数，三是负三的相反数，负三是三的相反数， 这是不是一种巧合呢？大神们，我们来做练习，看看是不是一种巧合。想一想，填一填，写出右拳和左拳中的问号表示的数 来看看。八和负八， x 是 八，那么 x 的 平方呢？是不是等于八八六十四？ x 如果是负八，是不是负八？ x 的 平方呢？是不是负八乘负八也等于六十四， 对吧？好，来看第一个数字，四分之三 x 如果是四分之三， x 的 平方呢？是不是四分之三乘四分之三等于十六分之九， 那么负四分之三。如果 x 等于负四分之三，那么 x 的 平方是不是负四分之三乘负四分之三也等于十六分之九？ 下一个。哎，谁？ x 如果不知道，那么 x 的 平方是一百二十一，你们说谁的平方等于一百二十一， 谁乘谁等于一百二十一？我们反过来想啊，逆过来想，谁乘谁等于一百二十一， 两个相同的数相乘等于一百二十一的是谁啊？是不是十一乘十一等于一百二十一，所以有可能是十一，还有可能是负十一，对吧？十一或负十一 啊，那么零点三六呢？ x 的 平方如果等于零点三六， x 是 多少？那么 谁乘谁等于零点三六啊？是不是六六三十六，是不是零点六乘零点六，所以他有可能是零点六，还有可能是负零点六，对吧？负零点六乘负零点六也等于零点三六啊， 两个负数相乘，负负得正啊，所以他是不是变成那个正数零点三六啊？好，零。同志们， x 平方等于零，那么你们说 x 是 多少？是不是零乘零等于零呢？所以 x 是 零，零的话，有正零负零吗？没有，没有正负之分，对吧？ 就是零。那么最后一个 x 平方等于负四，同志们，你有没有感到疑惑？ x 平方等于负四，那么 x 的 平方都是一个非负数，对吧？ x 的 平方都是一个非负数啊， 任何一个数的平方，他就等于一个正数， x 的 平方怎么能够等于一个负数呢？任何一个数的平方，他都是一个非负数，都是个正数，或者是零，你这里是负四，不可能，不可能，对吧？所以他是找不到 它的平方的，是吧？找不到的，因为没有任何没有哪个数它的平方等于一个负数， 对吧？根据刚才的问题啊，要找出一个数，使它的平方等于给定的数。我们抽象出这个概念，一般的，如果一个数 x 的 平方等于 a， 同志们思考理解，如果一个数的平方 x， x 的 平方啊，一个数的一个数 x 的 平方等于 a， x 的 平方等于 a， 也就是 x 的 平方等于，那么这个数 x 叫做 a 的 平方根或二次方根。同志们，两种叫法，要么叫平方根，要么叫二次方根， x 叫做 a 的 平方根或二次方根。比如说，三的平方等于九，那么三就是九的平方根，或者是三是九的二次方根 啊。四的平方等于一十六，四是一十六的平方根，或者是四是一十六的二次方根 啊。负五括号的平方等于二十五，那么负五就是二十五的平方根或者是二次方根，明白了吗？ 例如正负三括号的平方等于九，那么正负三就是九的平方根或者是二次方根。 好，我们来看看这几个问题，根据刚才的学习，这几个问题你是否能够回答的出来呢？一百二十一的平方根是什么？一百二十一的平方根是不是正负十一， 对吧？正负十一，那么零的平方根是多少呀？零的平方根是零。 四十九分之一十六的平方根是什么？四十九分之一十六的平方根。七七四十九，四四一十六，对吧？所以说他就是正负七分之四负九，有没有平方根？为什么 负九是没有平方根的，为什么呀？啊，因为啊，没有哪个数的平方等于一个负数呀，是吧？你想想有哪个数的平方等于一个负数啊？因为没有哪个数的平方等于一个负数，所以负九是没有平方根的，明白了吗？ 正负十一，他就是零，正负七分之四，那么负九有没有平方根？没有平方根，因为一个数的平方不可能是一个负数，没有哪个数的平方是一个负数，对吧？一个数的平方不可能得到一个负数， 他只能是零或者是正数啊。如果你能够回答的出刚才的几个问题，相信刚才的题目你学的非常的好。通过这些题目的解答，同学们你发现了什么？ 底正数有几个平方根的？一个正数是有两个平方根的，是吧？一个正数是有两个平方根的一一正一负，他们是互为相反数。比如说九， 他有几个平方根？有两个，一个是正三，一个是负三，正三负三互为相反数。零有几个平方根？零，只有一个平方根，他就是零。负数呢？是没有平方根的，对吧？没有一个数的平方是负数的， 因为任何实数的平方都是非负数，要么是零，要么是正数，非负数吧，所以负数是没有平方根的。 通过学习我们来规范总结平方根的性质，它是什么？第一，正数有两个平方根，它们互为相反数 啊。三负三，四负四，五负五，对吧？互为相反数。第二，零的平方根是零， 负数没有平方根。同学们，这就是平方根的性质啊。三个正数有两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。 好来做题，巩固知识，求下列个数的平方根，六十四的平方根呢？怎么求啊？解， 因为正八负八的平方等于六十四，所以六十四的平方根是正负八，对吧？因为正八负八的平方等于六十四，所以六十四的平方根是正负八。 第二个也按照这样的方法来做，百分之九，他的平方根是多少？因为正负十分之三括号的平方等于百分之九，所以百分之九的平方根是正负十分之三。 好，下一个。第三，零点零一的平方根。因为正负零点一，括号的平方等于零点零一，所以零点零一的平方根是正负零点一。 他什么？你做对了吗？好，判断下列说法是否正确。一的平方根是一，他什么？一的平方根是一吗？错误，一的平方根是正负一 啊。一的平方根是正负一，所以是错的，它有两个互为相反数。第二，负一的平方根是负一。错误，因为负数没有平方根，是吧？负数是没有平方根的 啊，因为没有哪个数，没有哪个负数的平方等于一个正数啊。任何一个负数的平方都等于一个正数啊，所以负数是没有平方根的，记住了啊。第三，零点五是零点二五的一个平方根， 零点五乘零点五等于零点二，当然呢，是其中的一个呀，还有负零点五啊，对不对呀？所以这个是正确的，零的平方根是零，正确， 零只有一个平方根，就是它本身。第二，填表， x 是 八负八，五分之三，负五分之三的时候，那么 x 的 平方是多少？ x 等于八的时候， x 的 平方就是六十四。 x 等于负八的时候，它的平方就是也是六十四。 x 是 五分之三的时候， x 的 平方呢？是五分之三乘五分之三等于二十五分之九， 负五分之三也是二十五分之九，那么 x 平方，嗯，等于六的平方。同志们， x 是 多少？ x 是 正负六，对吧？正六或者是负六。同志们，这可这可要填上正负六啊， 要填上正负六啊，顶点二五的平方根是多少呀？是不是正负点点五，正点点五和负点点五？ 同志们，做出来了吗？好了，今天呢，老师带着大家一起认识了平方根，了解了平方根的性质，如何找一个数的，一个非负数的平方根。 最后啊，老师呢，布置几个题目，巩固巩固大家今天所学的知识。请同学们打开书到课本的练习，在中间选 三个题目做一做，从你配到的练习册中选一版来做一做，看一看今天的知识你有没有学到位。好了，今天这节课我们上到这里，再见！

七年级的同学们，大家好，今天这节课我们继续学习平方根。上节课呀，我们学习了算数平方根，一个正数有两个平方根， 一个正的平方根，一个负的平方根，那么我们取其中的正平方根为它的算数平方根。那么算数平方根有什么性质呢？ 还有哪些知识点呢？今天呢，我们继续探讨。首先来探讨算数平方根的双重回复性。负数有平方根吗？根号 a 是 什么数呢？根号 a 中的 a 可以 取任何数吗？ 同学们，请你们思考这三个问题，负数有没有算数平方根？负数连平方根都没有，哪里有算数平方根呐，对吧？所以说负数是没有算数平方根的。那么根号 a 是 什么数啊？ 根号 a， 它是什么数呢？它是一个非零的数，非零的正数啊，是一个啊，大于等于零的非负数， 对吧？大于等于零的非负数。根号 a， 其实它就是算数平方根。根号 a 中的 a 可以 取任何数吗？这是不行的， a 它必须是大于 等于零的数，对吧？这就是 a 的 双重非负型啊。那么什么是双重非负型呢？第一个被开方数 a， 它必须大于等于零，它是个非负数，对吧？那么根号 a， 它本身 啊，本身根号 a， 它本身它就大于等于零的啊，其实它就是 a 的 算数平方根，就是 a 的 算数平方根，所以说根号 a， 它是大于等于零的数字， 所以说这两个非负数它就是双重非负性。双重非负性啊， 同学们理解了吗？也就是说非负数的算数平方根是非负数，负数不存在算数平方根 啊，也就是当 a 小 于零的时候，根号 a 没有意义。记住了啊，这个 a 不 能够小于零，他必须要大于等于零啊，是一个非负数 来做做这几个题目，算数平方根有意义的。识别下列算式是否有意义？为什么来看第一个 根号负四有意义吗？没有意义，因为任何一个负数是没有算数平方根的，是吧？所以说根号负四是没有意义的 啊。来看第二个负根号四当然有意义啊，这个负号他在根号外面呢，其实他就等于负二，所以说第二个是有意义的。第三个 负三括号的平方的开根号，也就根号负三括号的平方。同学们，他有意义吗？他有意义，他其实就等于三，对吧？负三的平方是不是等于九啊？其实他就是根号九，根号九是不是等于三， 对吧？是等于三的，所以说第三个是有意义的。那么第四个呢？根号十的平方分之一， 实际上就等于根号百分之一，那么根号百分之一是不是就等于什么？等于十分之一就是百分之一的算数平方根，对吧？所以说有意义，同学们，你判断出来了吗？ 好，下列一个是是否有意义？为什么来看第一个负三负根号三有意义吗？有意义。 因为负号在根号的外面，它实际上就是一个负数，有意义。第二个根号负三有意义吗？没有意义。你看负号在里面 啊，被开方数，它必须要大于等于零，所以说负三根号负八括号的平方有意义吗？当然有意义啊。 哎，任何一个实数的平方，要么是零，要么是一个正数，对吧？所以说里面总的来说他就是个负数，负八的平方他就是个负数呀，是吧？ 啊？负八的平方是不等于六十四，其实就是根号六十四就是求六十四的算数平方根它就等于八，就等于八，其实就是负八的绝对值等于八，是吧？啊，所以说有意义。第三个有意义吗？ 第四个有意义吗？九分之一的平方是不是等于八十啊？八十一分之一其实就是根号八十一分之一啊，他有意义的，他什么？总的来说，我们要判断他有没有意义，只要看这个根号里面 他必须是一个非负数，对吧？如果他是个负数，那么他就没有意义啊。不要管根号外面的正负性，只要管根号里面的正负性，如果根号里面他是一个非负数，他就有意义。 好，第二题，夏利克是从 x 为和值的时候有意义同志们来看，第一个根号负 x， 他 说没 x， 这个 x 前面有个符号吧，要是它有意义，这个 x 它必须是什么数字它才能变成个正数啊？一个一个大于等于零的数，负 x 是 不是必须要大于等于零，那负 x 必须要大于等于零 啊，同志们，所以 x 必须小于等于零，对吧？啊，因为负 x 必须大于等于零嘛。所以说我们解得负 x 是 不是等于 x 等于什么？等于啊？ x 小 解得 x 小 于等于零，对吧？ x 小 于等于零啊，好。第二个， 咳 啊，根号 x 的 平方加一，根号 x 的 平方加一。同学们，这个的话， x 的 平方 x 为任何数的时候， 它的平方都是一个非负数，对吧？ x 为任何数时， x 平方都是个非负数，一个非负数加上一，它还是一个非负数嘛？所以 x 可以 为任何数，任何实数，对吧？啊？ x 加一， x 的 平方加一，它大于等于零，横乘以 x 可以 为任何数，是不是这样的 好考点三，利用非负性来求字母的值，他说呢，利用非负性来求 m 的 值啊！来看看，哎， 若 m 减一的绝对值加上根号 n 加三等于零，哎，同学们，这个的话， m 减一的绝对值， 它是个非负数啊。根号 n 加三，它也是个非负数，那么两个非负数加起来要等于零，同志们， 它必须是零加零才等于零。有的人说，丁老师，为什么不是正数加正数等于零呢？正数加正数能等于零吗？它是大于零的数字，所以说唯一的就是零加零， m 减一 等于零， n 加三等于零，对吧？ m 减一等于零呢？ m 减三加三等于零呢？ n 就 等于负三， 对吧？所以说 m 加 n 等于负二，是吗？因为 m 减一的绝对值大于等于零，根号 m 加三大于等于零 啊！又因为 m 加一加上哎的绝对值加上根号 n 加三等于零，所以 m 减一等于零，根号 n 加三等于零，所以 m 等于一， n 等于负三。 那么 m 加 n 呢？是不是一加上负三是不是等于负二，对吧？一加上负三是不是等于负二？这个题目就做出来了 啊！在这里我们得出经验，几个非负数的和为零的时候，则每个非负数都是零。 初中阶段学过的非负数有绝对值啊，有偶次幂啊啊，以及一个数的算数平方根呐 啊，这些都是非负数啊！这三种情况它都是非负数啊！所以说，如果几个非负数相加等于零，那么这几个非负数都是零。 好，求下列各是字母的值。若 a 加三等于零， 他什么？ a 是 多少？ a 是 不是就是负三，是吧？若 m 减七，扩的平方等于零，至零的平方等于零吧，它是非负数吧，是吧？嗯， m 减七的平方是个非负数吧。这个，既然这个非负数它等于零的话， m 减七当然是零了， m 就 等于七呀， 对吧？若根号 a 减五等于零，他什么？因为根号 a 减五，它是大于等于零的，所以大于零就不可能了，现在只有等于零，所以说 a 减五也等于零，所以说 a 就是 五。 好。若 a 减三的绝对值加上根号 b 加四等于零，他们只有零加零才等于零，所以说 a 减三等于的绝对值等于零， b 加四等于零，对吧？ a 减三的绝对值等于零， a 就是 三， b 就是 负四 啊， a 就是 三， b 就是 负四，那么 a 加 b 呢？ a 加 b 是 不等于负一，那么负一的二零二五次方等于多少？就等于负一，因为它是偶次方啊，如果二零二六呢？那么就等于一，对吧。 这里二零二五，他是 g 字方啊，不是偶字方。如果是偶字方就等于一，这里是 g 字方，就等于负一。还是原来的数字。 好了，再来做一做链接，中考的题目啊，我们的中考中也会出现这样的题目，来看看第一个题，计算根号九的平方减六十二，所得的结果是多少？同志们，等于多少呀？ 你想出来了吗？对了，是 c 啊，三倍根号五啊，六的啊，这不是六十二，是六的平方，是六的平方啊，是六的平方 啊，那么就是 c 三倍跟套路第二完全相同的四个正方形。四个正方形完全相同的四个正方形呢？前提条件要搞清楚啊，面积之和是一排，那么每个正方形是不是二十五， 是吧？折正方形的边长是多少？那么每个正方形是二十五，每个小正方形二十五，那么它的边长是不是五？五加五是不等于十，对吧？ 啊，那么折正方形的边长是多少？哦？是五小正方形是五拼成的啊，拼成的大正方形就是十啊，就是十。好，第三题， 入 m n 为实数， m 加四的平方加上根号五， n 减五等于零， 那么设为 m 等于负四， n 等于五，对吧？ m 等于负四， n 等于五啊，那么 m 加 n 呢？其实它就等于 一等于一，对吧？啊，等于一，一的平方是不是就是一啊？它就是一， 好巩固题目。四的算数平方根是多少？四的算数平方根只有一个哦，负数不能来哦，啊，是不是就是二呀？ 好，下列说法正确的。是啊，负一的算数平方根是负一。错误，任何一个负数都没有算数平方根。 a 排除零，没有算数平方根，零的算数平方根是零， 对吧？就是 b 错误。负一的相反数没有算数平方根。负一的相反数是谁？哦，负一的相反数是不是一啊？一，有没有算数平方根？有啊，一的算数平方根是一啊？ 啊， d 负一括的平方的算数平方根是一。当然呢，负一括的平方是多少？负一括的平方是不是等于一？一的算数平方根是不是一啊？所以说 d 才是正确的。 好了，第三题填空看谁算的又对又快。一个数的算数平方根是三，那么这个数是多少？ 一个数的算术平方是三，那么这个数是多少就是九呀。三，三等于九，是吧？一个自然数的算术平方是 a， 那 么这个自然数是多少？是不是 a 的 平方 是吧？和这个自然数相邻的下一个自然数是多少呀？嗯，相邻的下一个自然数一的后面是二，所以说 a 的 平方加上一 啊一的相邻的下一个是不是二？二的下一个是不是三？二加一等于三，三加一等于四是吧？根号八十一的算数平方根是多少？根号八十一的算数平方根。根号八十一就是算数平方根啊，他就是九，是吧？啊？根号八十一等于九，所以说 啊，他的算数平方根等于多少呀？根号八哦，这个可要搞清楚哦。 根号八十一的算数平方根啊，先要把根号八十一，先要把方开出来，是不是等于九，也就是九的算数平方根九的算数平方是三。哎呀，老师也忽略了这一点， 所以说他转了两道弯，很容易混淆，有的同学很容易写成九，是吧？其实是三 啊。根号八十一，本来就是九，就是九的算数平方根，对吧？我把根号八十一求出来呀，是不等于九？九的算数平方是不等于三。所以说这里还加深了一道题目。 好，第二啊，第四，二的算数平方根为多少？根号二，对吧？根号 二五的算数平方根是根号零点零零二五啊， 因为谁的平方等于零点五？因为零点点五的平方，对吧？等于零点零点二五，所以说零点零二，零点二五的算术平方根是根，零点零点五啊，零点零五，也就是根号零点零点二五等于零点零五，好。第二个， 因为九的平方等于八十一，所以说八十一的算术平方根是九。啊，根到八十一等于多少等于九。 第三个，因为谁的平方等于三的平方？因为啊，三的平方等于三的平方，所以说三的平方的算数平方根就是根号三的平方，是吧？ 啊，也就是三等于根号三的平方就等于三。好，能力提升题，用大小完全相同的二百四十块正方形地板地板砖铺一间面积为六十平方米的会议室的地面。每块地板砖的边长是多少 啊？同学们，铺什么呀？铺地面怎么来铺啊？说每块地板砖的边长为 x， 由题我们得到了二百四十 x 的 平方等于六十，对吧？等于六十，所以说 x 的 平方是不是等于四分之一啊？六十除以二百四十是不等于四分之一？ 好，我们给 x 平方开根号就可以啊，这求出它的算数平方根呐，是吧？啊，求出四分之一的算数平方根就得到了 x， 对 吧？啊， x 等于根号四分之一等于二分之一，等于零点五啊，所以每块地板砖的边长是零点五米。 他什么这个用方程来解好拓展探索题，这个题目更难啊。 x 加上二 y 的 绝对值 加上根号三， x 减七加上五， y 加 z， 括号的平方等于零。那同学们，这个的话，他们都是非负数，非负数等于零，那么每一个非负数都是零， x 加二， y 等于零，三 x 减七等于零五， y 加再等于零，对吧？这中间三 x 减七等于零的话，我们可以解出来，那么 x 等于是等于三分啊，等于多少？等于三分之七， 那么等于三分之七， x 等于三分之七，那么 x 等于三分之七，那么 x 加二 y 等于零，我们又可以算出 y 出来，对吧？有舍有得啊！三 x 减七等于零， x 加二， y 等于零五， y 加 z 等于零 啊！解得 x 等于三分之七， y 等于六分之负六分之七，再等于六分之三十五啊！我们再把这 x， y， z 的 值带入到这个式子中间去， 是不是我们就求出来了它们的值，这个算式的值，这个式子的值等于六分之一百七十五，同学们，你做出来了吗？ 好了，回顾我们所学的算数平方根的知识，我们首先明白了算数平方根的概念，然后我们学习了算数平方根的双重回复性 啊。最后我们学习了算数平方根的具体应用，同学们，你是否还记得学好了呢？最后老师布置几个题目，考考大家，巩固我们所学的知识点， 打开书到课后的练习，在练习中选出三个题目做一做。然后呢，打开你的练习册啊，然后做一把啊，做一把，如果你能够快速准确的做出来，今天这节课你学的非常的好。好了，我们今天这节课上到这里，同学们再见！

注意，本视频耗时三个月，精心制作，一站式带你系统学完初中数学七年级下册，高效吃透重难点！哈喽同学们，我是中考数学蔡老师， 今天我们来学习人教版数学七年级下册第九张平面直角坐标系第一个知识点，用坐标描述平面内点的位置。 第一课时平面直角坐标系的概念学习目标一，正确认识平面直角坐标系，会准确的由点写出坐标，由坐标瞄点二，平面内点的坐标的有序性请你思考， 类似于利用竖轴确定直线上的点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？在平面内 画两条互相垂直、圆点重合的竖轴，组成了平面直角坐标系，右边就是平面直角坐标系。我们把水平的竖轴称为 x 轴或者是横轴， 习惯上取向右为正方向，那反过来说明向左就为负方向。竖直的竖轴称为 y 轴 或者纵轴，取向上为正方向，那么向下为负方向。两坐标轴的交点 o 称为平面直角坐标系的圆点，这就是一个平面直角坐标系，这边是 x 轴， 这边是 y 轴。向右为 x 轴的正方向，向上为 y 轴的正方向。在平面直角坐标系上有一个点 a， 有点 a， 分 别向 x 轴和 y 轴做垂线。垂足 m 在 x 轴的坐标是三， 我们说点 a 的 横坐标就是三，垂足 n 在 外轴上的坐标是四，我们说点 a 的 纵坐标就是四，那 a 的 坐标就是三四。 写的时候用括号括起来，两个数之间要用逗号隔开，而且这两个数字的位置不能变。现在我们来尝试写一写其他点的坐标。 b 点向 x 轴做垂线， 再向 y 轴做垂线。 x 轴的焦点是负三，所以横坐标是负三。 y 轴的焦点是负四，所以纵坐标是负四，那么 b 点的坐标就是负三、负四。 c 点我们可以看到， 它在外轴上，向横坐标做垂线在圆点上，所以横坐标为零，纵坐标在二上，所以 c 点的坐标就是零二、 d 点在外轴的负半轴上，所以它的坐标就是零。负三， e 点在横坐标上，而且在 x 轴的负半轴上， 所以它的坐标就是负二、零。这里需要同学们注意，表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间要用逗号隔开。现在我们来总结一下确定点的坐标。 首先过点画垂线，横坐标画 y 轴的垂线，纵坐标画 x 轴的垂线。具体来看一道练习。练习一下列选项中平面直角坐标系的画法。正确的是，平面直角坐标系要有 x 轴，有 y 轴， 而且 x 轴和 y 轴是相互垂直的，所以排除 c 选项。除此之外，在坐标轴上必须要有单位长度，可以排除 a 选项， x 轴和 y 轴相交于原点， 圆点的右边是正半轴，圆点的左边是负半轴，排除 b 选项。那这道题就选 d。 练习二，写出图中 a、 b、 c、 d、 e、 f 坐标。 a 点的坐标是负二、负二， b 点的坐标是负五 四， c 点的坐标是五负四， d 点的坐标是零负三， e 点的坐标是二五， f 点的坐标是负三、零。想一想，圆点 o 的 坐标是什么呢？没错，当然是零、零。那么圆点 o 属于 x 轴还是 y 轴？其实圆点 o 既属于 x 轴，又属于 y 轴，观察一下 x 轴上的点的总坐标有什么特点？我们发现在 x 轴上的坐标有两个，一个是 o 点零零， 一个是 e 点负二零。想一想， x 轴上的点的坐标有什么特点呢？在 x 轴上的坐标有圆点零零， e 点负二零， m 点三零。可以看到 x 轴上的点的纵坐标为零。 y 轴上的坐标有三个，一个是零二，一个是零零， 还有一个是零负三。所以我们观察到在外轴上的点的横坐标为零，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了一、二、三、四四个部分， 每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。 在图中，第一象限在这个位置，这是第二象限、第三象限、第四象限是逆时针进行一个走的方式。第一象限、 第二象限、第三象限、第四象限。这四个象限同学们一定要明确它的位置，不能找错。坐标轴上的点不属于任何象限，也就是在横坐标上，还有纵坐标上的点，它不属于任何一个象限。观察如图，坐标系填写 各项线内的点的坐标的特征，这是第一象限里边，横坐标都是正的， 纵坐标也都是正的，所以在第一项线，横纵坐标的特点都是正数。再来看第二项线，我们以 b 这个点为例，发现 b 点的横坐标是负二，纵坐标是三， 所以在第二项线内，横纵坐标的特点，横坐标为负数，纵坐标为正数。在第三项线，以 c 为例， c 的 横坐标为负四，纵坐标为负一，所以在第三项线，横纵坐标都为负数。第四项线我们发现横坐标为正数，纵坐标为负数。所以在第四项线的时候， 横坐标为正，纵坐标为负。观察如图，坐标系填写坐标轴上的点的坐标的特征在 x 轴，这是在象限内的点的特点。我们再来看一下在坐标轴上点的特点。在 x 轴 分两种情况，在 x 正半轴上，在 x 的 负半轴上，在 x 轴上的点的坐标，它的特点是纵坐标为零。横坐标要区别在 x 正半轴上，那横坐标肯定为正，纵坐标为零。在 x 轴的负半轴上， 横坐标就为负纵坐标为零。在外轴上也分两种情况，在外轴的正半轴上，在外轴的负半轴上，外轴上的坐标有个特点是横坐标为零，所以 在外轴的正半轴上，横坐标为零，纵坐标为正数。在外轴的负半轴上，横坐标为零，纵坐标为负数。 圆点的坐标就是零。零横坐标轴上的点的坐标用字母表示为 x。 零纵坐标上的点的坐标用字母表示为零。 y。 再来看一个点，点 a、 b、 c、 d 到坐标轴的距离。 a 点的坐标是四、五，所以我们找到四、五这个位置。我们来看一下 a 这个点到 x 轴的距离是这一段， 它的长度对应过去是五，到 y 轴的距离是这一段对应过去是四。再来找 b 点，负二，三到 x 轴的距离是三，到 y 轴的距离是 二。 c 点负四，负一到 x 轴的距离是一，到 y 轴的距离是四。 d 点三，负二 到 x 轴的距离是二，到 y 轴的距离是三。从这个表格我们可以发现， 距离它都是正数，而且我们发现到 x 轴的距离是 y 轴上的数，到 y 轴的距离是 x 轴上的数。所以一个点， p 坐标是 x， y， 它到 x 轴的距离就是 y， 到 y 轴的距离就是 x， 而且是 y 的 绝对值， x 的 绝对值是一个正数。来看一道例题。例一，在平面直角坐标系中描出下列各点，第一个 a 四五，也就是横坐标是四，纵坐标是五，这样我们就找到了 a 点，同样 b 点 负二，三横坐标是负二，纵坐标是三。 c 点横坐标是负二，点横坐标是四，纵坐标是负二。 e 点横坐标是零， 纵坐标是负四。像这种在平面直角坐标系中描点的题，我们首先要在 x 轴上找出表示的点，再在 y 轴上找出表示的点。 过这两个点分别做 x 轴和 y 轴的垂线，垂线的焦点就是这个点。归纳总结 坐标，平面内的点和有序数对及点的坐标，它们俩是一一对应的关系。平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，点到 x 轴的距离是该点的纵坐标的绝对值， 点到外轴的距离是该点横坐标的绝对值。比如 a 点。来做几道练习。练习一， 如图，点 a 的 坐标是，我们先找到点 a 的 位置， a 点的横坐标是一，纵坐标是二，所以 a 点的坐标就是一。二选 b 练习二， 如图，在平面直角坐标系中，坐标是零负三的点式，我们来找到零负三，零横坐标是零，纵坐标是负三，找到负三在这个位置，所以 零负三这个点的坐标应该是点 d 选 d 向练习三，点三、负二所在的象限，我们要知道象限分为四个，分别是一、 二、三、四。我们先找到三负二这个点，三横坐标是正数，在右边负二纵坐标是负数，所以三负二这个象限应该是第四象限。练习四，在平面直角坐标系中， 第二象限内有一个点 m， 它到 x 轴的距离为五，到 y 轴的距离为四，则点 m 的 坐标是多少到 x 轴的距离为五，所以说明 y 的 绝对值等于五， 到 y 轴的距离为四，说明 x 的 绝对值等于四。又因为 m 在 第二象限第二象限的特点，横坐标为负，纵坐标为正，所以它就是负。四五课堂小结这节课我们学了平面直角坐标系，首先它的定义， 在平面内，两条互相垂直、圆点重合的竖轴组成了平面直角坐标系。象限分四个，按逆时针走，分别是一、二、三、四。在第一象限内，横坐标的符号是正号， 纵坐标的符号是正号。在第二象限内，横坐标是负号，纵坐标是正号。在第三象限内， 横纵坐标都是负号。在第四项线内，横坐标是正号，纵坐标是负号。我们认识了在平面直角坐标系里边，点和有序数对是一一对应的关系，并且向 x 轴画垂线， 垂足对应数为 a， 向外轴画垂线垂足对应的 b， 那 这个点的坐标就是 a b。 今天的分享就到这里，我们下期见。