六年级下册圆柱和圆规的推导过程

有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

同学们好，今天我们开始预习六年级下册的第三单元圆柱题。先看丹老师画在黑板上这个圆柱，丹老师手里拿着一个水杯， 它也是一个圆柱体。圆柱的表面分为几个方面来。首先认识一下，这就圆柱的上底面，它是一个圆形的，这是它的上底面，那么下面依然是一个圆形的，它也称为是底面，只是它的下底面 来，下底面都是圆形的，而且大小相等的两个圆。再看周围的这一圈的就是什么它的侧面，这是它的侧面。 好了，也就说这个水杯一周的这样的面就称为它的侧面，它的侧面是一个什么面？ 哎，是个曲面，对不对？侧面就是一个曲面。再来看这个圆柱的高有多高，是不是圆柱的高呀？从上底面到下底面的垂直距离就称为这个圆柱的高，也就是从它的圆心到这个圆心的距离就是圆柱的高。 好，再看一下圆柱里面有多少条高，从这个地方到这个地方是不是一条高，从这里到下面，这里如果是垂直的情况下，是不是都是高？ 所以从上底到下底所做的垂线都是这个圆柱的高，所以高有无数条，它有无数条。 再来研究一下圆柱的侧面是一个什么样面？曲面，那么我要想把它的侧面展开后是一个什么样呢？今天丹老师用一张纸可以把这个圆柱形的水杯的侧面给它包裹起来 来，你看正好严丝合缝的包裹起来了，那包裹起来了，我要把它展开的情况下，你猜它会是一个什么形状？ 如果说我沿着它的高来剪开的情况下，那么我展开之后它就是一个长方形，对不对？这是不是一个长方形？你再观察一下，我展开之后，它这个长方形的长就是原来的谁， 我展开之后，这个长方形的长就是原来这个圆柱的。什么看一下能不能观察出来？圆柱的顶面圆的周长有没有观察出来？这个好好理解一下。所以我展开之后侧面的长是 底面周长，清楚这个非常重要，我展开图的宽是谁来看？还是我把这个圆柱形的水平包裹起来？我展开之后这个长方形的宽是谁？宽就是这个圆柱的，是吗？高对不对？是不是圆柱的高呀？所以宽 就是圆柱的刀。理解这一点，这个展开的面积是不是就可以求出来了？你认识圆柱了吗？

关于圆柱体表面积的问题啊，他也是六下考试的重点，但是在我们的生活中，在我们考试当中，有的时候他不是让我们计算整个圆柱体的表面积， 你比如说有的时候考水桶、笔筒，求他们的表面积，我们这个水桶笔筒等，他只有一个底面加上一个侧面， 所以我们要推导出这样一个底册公式，就是只有一个底面和一个侧面的公式，这些公式在学校里你们永远都学不到，那今天王老师就教会你怎样推导圆柱体的底册公式，就是 s 底册。 哎，王老师，那还有底面积和侧面积公式来，同学们来观察。我们知道圆柱体底面是一个圆，那么这条中间的侧面展开之后，沿高剪开以后是一个长方形，这次长方形的是不是周长是 c 啊？ 那接下来我要把这个圆，我们利用转化的思想，把它转化成我们以前学过的近似的一个长方形。各位看看这里啊，我把它剪转化成一个近似的长方形，把它分 成若干个偶数等分。然后呢我把它转化成长方形，大家仔细看啊， 近似的长方形，这个是六上，我们就已经学过了。各位，那这个是不是派 r， 那 这个是不是就是 r， 因为转化前后它们的面积不变。那么接下来各位，我要把这个近似的长方形给他拦腰砍断。 为什么要拦腰砍断呢？因为我要把它把这个底面和中间的侧面给他放在一起。那为了更清晰的表达各位，我现在把这个圆给它擦掉，接下来同学们不要眨眼啊，仔细看啊， 我把它擦去以后来这个是不是拍耳？那么这拦腰斩断以后，上面是不是也是拍耳？把它俩怎么样给它接在一起？这是底面的周长拍耳加拍耳，是不是就是周长？所以啊把它分成两个， 这个是拍耳，这个呢也是拍耳，加起来是不是刚好是二拍耳？那么同学们来看，这一段是 这个宽是 r r， 那 么拦腰砍断中间分成一半，那上面这部分是不是二分之 r， 对 不对？所以这部分加上加上了这一部分，这个宽呢就是二分之 r 圆半径的一半。那现在我把这个底面这个圆和圆的这个长方形给它合二为一，那此时此刻那么这个底面积加中间这个长方形给它合二为一，那就是 这个长方形的长是不是 c 啊？也就是二派二乘宽，宽此时此刻变成了原来高，是不是加上这个二分之二， 所以就是 h 加二分之二，所以有了这个底色公式，只要告诉我们圆柱体底面圆的半径和圆柱体的高，我们就直接带入这个底色公式，从而求出它们的表面积，只有一个底面和一个侧面的表面积。 那对王老师所讲的，各位你学会了没有啊？关注王老师，让数学变得 very easy！

今天我们来学习北师大版数学六年级下册第一单元圆柱的体积，那什么是体积呢？就是这个物体它占空间的大小啊，那么就要想到容积，容积和体积有所区别啊，容积它是从这个物体的里面去测量 啊，用这个数据来计算，那体积和容积的计算方法是一样的。那么五年级下册我们学过长方体的体积公式是长乘以宽乘以高，也等于底面积乘以高。那么我们用类比推理的思想呀，就可以得出圆柱的体积公式也是 这个底面积乘以高。那么圆柱的体积公式是如何推导出来的呢？这是一个核心的知识点，一起来看，他运用了转化思想等级变形的思想 来看，这是一个圆柱体，我们把它平均等分成十八份啊，十八份，然后把这个后面黄色部分啊，跟前面的这个黑色部分给他交叉到一起，拼成一个长方体， 二者的形状改变了，体积没有发生改变。那我们求出长方体的体积，它就是圆柱体的体积来看二者还有什么相似之处呢？二者的高相等啊，都是这么高， 二指的底面积相等，而且长方体的底面的长等于圆底面周长的一半，为什么呢？因为来看涂黄色部分我再放到了后面，这个涂黑色部分的九块我放到了前面，那么这个 各占一半，所以是这个长呀，就是圆底面周长的一半，用字母表示就为 pi r。 那 么这个长方体的底面的什么呢？ 就是圆柱体的底面半径分成的，这每一小块它是以直径来切开的，所以说呀，这每一个小块 它的长度就是半径的长度，所以啊，这一个长度，它就是圆的底面半径，所以圆柱体的体积就等于长方形的体积，就是 pi r 乘以 r， 再乘以 h， 化简一下就是 pi r 平方乘以 h， 所以 就等于底面积乘以高。那第四个呢？就是空心钢管的体积啊，它的体积也是等于底面积乘以高，它的底面积是什么呢？底面积是这个圆环的面积啊。好了，这就是 圆柱的体积的所有的核心的知识点，如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边爱学习的朋友。

小学数学动画第一级圆柱的体积，古代的劳动人民真是太让人佩服了，他们仅用自己的智慧和双手就建造出了这么雄伟的建筑。这么粗的柱子得需要多少木材呀？ 这个柱子是一个圆柱体，是不是算出圆柱体的体积就知道了。是的哦，那圆柱体的体积应该怎么求呢？别着急，先想一想你们学习过哪些立体图形的体积？ 我们学过长方体和正方的体积都等于比面积乘高，也就是 v 等于 s h。 那 你们再想想圆柱和他们有联系吗？ 圆柱体也有底面积和高，我猜圆柱的体积可能也等于底面积乘高。我们不仅能猜想，还要去验证我们的猜想。在学习圆面积的时候，我们采用了画趋为直的方法，就将圆转化成了一个近四的平行四边形。 那我们也可以沿着圆柱的底面直径并垂直于另一个底面切开，再将每部分都八等分，然后将它们拼在一起，这样就能将圆柱转化成为一个近似的长方体。 哎，我们还可以将圆柱进行三十二等分、六十四等分、 一百二十八等分观察，发现越来越接近长方体了。观察拼成的长方体与原来的圆柱有什么发现？ 转化前后的底面积高和体积没有发生变化。长方体的体积等于底面积乘高。最初的猜想，圆柱的体积也等于底面积乘高是正确的。 按照长方体体积等于长乘宽乘高这个公式，我们也能推导出圆柱的体积公式吗？善于思考，给你点赞！ 通过观察，我们知道长方体的长就是圆柱底面周长的二分之一等于派 r， 长方体的宽就是圆柱的底面半径， r 长方体的高就是圆柱的高 h 长方体的体积 v 等于派 r 乘 r 乘 h 等于派 r 的 平方 h， 派 r 的 平方就是圆柱的底面积 s 得到 v 等于 s h， 所以 我们依然可以得到圆柱体的体积等于底，面积乘高。 嗯，那现在只要知道这些信息，就可以求出圆柱体的体积了，咱们赶紧找找有没有对这个建筑的详细介绍。 嗯，快看，这上面有一根柱子的底面，半径为零点四米，高为五米，圆柱的体积 v 等于 s， h 等于胎儿的平方 h 代入得出结果。这个地方要注意，可以运用乘法结合律计算会简单一些。 没错，那我手中的这个水杯能装多少毫升的水呢？我来计算，水杯底面直径是六厘米，高十六厘米，列式为， 如果忽略杯子的边缘和底部的厚度，就可以看成它的容积是四百五十二点一六毫升。 啊，这个杯子装的水也太少了，这游玩一天下来都还不够喝呢，你看这是啥？哈哈哈，咱们接着去别的地方游玩吧。

今天我们来研究圆柱的体积，首先在这之前我们学过长方体和正方体，而我们知道长方体和正方体都有一个通用公式，它们的体积公式为底面积乘高， 而圆柱是否可以转化转化成长方体或正方体呢？首先他也有一个，也有一个底面也有一条高， 那么我们试着把它转换一下。在之前的经验中，我们在之前我们学过圆的面积的推导，类似圆的面积推导公式，摆放得到一个长方体，而它的上面底面， 它的底跟圆的底面是一样的，而它的高，它的它的高也是一样的。那么底面积我们我们就那么我们知道 长方体的体积是底面积乘高，而我们变化成的这个类似于长方近似长方体的长方体的立体图形，它的底面和高都是一样的。那么圆柱的表面积，圆柱的体积 是不是也可以用底面积乘高这个公式来呢？为什么他的底面和长方体的和这个长方体的底面相同呢？在之前的学习中，我们把一个圆平均分成了八份，我们拼接圆的，我们拼接一下， 把它拼成一个近似近似长方长方形的一个图形，那么它它的面积也就相当于圆的面积， 而圆柱的底面刚好是一个圆，所以它就可以拼成像长方长方形的底面这样的图形。那么由此我们也可以得知圆柱的体积， 圆柱的体积也就等于底面积乘高，把它写成 s h， s 就是 底面积， h 就是 高。

今天我们接着预习六下第三单元，圆柱。首先我们来介绍一下圆柱的特征。 一、底面的特征，圆柱的底面是完全相等的两个圆。好，我们来看一下底面是哪两个面啊？这是一个圆柱， 上面这个面叫底面，下面这个圆也叫底面，那这两个圆是完全相等的，所以我们在解题的过程中，把上面这个圆和下面这个圆统称为底面。 好。二、侧面的特征，圆柱的侧面是一个曲面，我们看一看 侧面是这一个面，是吧？那这个面它是一个弧形，所以我们统称它为曲面，对不对？那这一个面我们就称之为侧面。好，这里备注好侧面 哦。三、高的特征，有无数条高，我们看高，是不是从这里到这里啊？是圆柱的高对不对？那一直往下还有无数条对不对？好，这是高的特征。 好，接下来我们来进入今天的重点，那么怎么求这个面，这个面和这个面呢？那公式是怎么样的呢？我们来看， 首先底面是上下都是两个圆，对不对？那圆大家还记得它的公式吗？ 好，求圆的面积，那求底面底面 它的公式是？就是求圆的面积，对不对？圆的面积是什么？ pi r 的 平方对不对？但是呢，圆柱它有两个面，这里一个面，这里一个面，所以呢它要乘以 r， 那么侧面面积怎么求啊？我们来看看这个图形，看，这是一个圆柱，从上到下剪开以后，把它分成 这个平面图，上面是一个圆，下面是一个圆，中间呢是一个长方形，对不对？那么我们要求这个面 的面积是不是和这个圆的周长是一样啊？是不是？所以我们要求侧面积的时候，就要把底面周长求出来，再乘以高。好， 底面周长。底面是个圆对不对？圆的周长还记得吗？如果它给你的值是直径，那就是 pi d， 如果它给你的是半径呢？那就是 r 帕 r。 好， 我们求出底面周长以后再求它的侧面。怎么求啊？侧面面积 用底面周长乘以它的高帕 d h 或者呢？ i 帕 l h。 好， 这三个公式大家要记住。

大家好，我今天给大家讲的是圆柱体积推导过程。呃，我这里有一个圆柱，呃，因为我们知道要求这个体积的话，我们得从这个面上去思考，嗯， 也就是说我们一开始的点到线线呢，我们再到面面，我们再到体式这样一个规律。 然后呢，我们可以先将这个圆柱的底，也就是这个圆给他分成若干等份，也就是偶数份， 然后分成这个样子。之后也就是我们再把它这个圆柱把这个圆柱切开，拼成一个近似的长方体，随着分割的份数越多，拼成的立体图形就越接近长方体。 然后我们把这个拼成的长方体再和这个圆柱进行比较，我们发现他他这个圆柱的体积和长方体的体积是一样的， 然后长方形的底面积也就相当于圆柱的底面积高，也就相当于圆柱的高。 嗯啊，所以呢，我圆柱的体积公式也就是底面积乘高， 然后也可以写成 pi r 的 平方乘高。嗯，因为呢，它这个底面是一个圆，我们又知道圆的面积，呃，用字母的话就是 pi r 的 平方， 嗯，然后呢高也就等于长方体的高，所以它的体积公式是底面积乘高，也就是 p r 的 平方乘高。

同学们好，这里是何老师今天继续给大家讲解六年级期末中一道易错的题目，我们一起来看。 这道题说把一个高是六十四厘米的圆柱，按照五比三的比，结成了两个圆柱，结厚的表面积比原来增加了 四百八十四平方厘米。问这两个圆柱的体积相差多少？在这道题里边，我们首先要理解一下， 他这个五比三是根据他的高给切开的，对吧？所以说我们可以把六十四 根据五比三，我们就得到这两个圆柱的高，那我们还差什么呀？体积等于底面积乘以高高有了，那我们剩下就是底面积啊，这两个与圆柱的底面积是不是相同？ 是相同的，对吧？是相同的，那他结成两个圆柱之后，增加的这个四百八十四平方厘米有多少个？哎，我们来看就会变成这一种情况， 一刀下去切开，他实际上增加了两个圆面啊，增加了两个圆面，所以说这个四百八十四就是我们两个底面积的 和啊，那一个我们就可以计算出来了。好，我们来看一下这道题的过程。 首先啊，我们先把六十四按照五比三的比例切开，那其中的一个，那实际上就是五和三加起来八分之五， 这是几个圆柱的，稍微计算一下，这个是四十厘米，这是一个圆柱，另一个也是一样的计算 五加三，这一个占三份，那他是多少啊？那实际上很简单，可以算出来，他是二十四 厘米啊，这个是高椅子。然后我们计算四百八十四，它是两个底面积的和，那我们除以二那一个底面积的就是二百四十二平方厘米。 好，然后这题问的是体积相差多少啊？体积相差多少？我们就把两个圆柱的体积相减就可以了，用四十乘以 底面积二百四十二，然后再减去二十四乘以二百四十二。最后稍微计算一下这一道题的 答案就是三千八百七十二，单位立方厘米。 好，这个就是体积相差，最后要注意答题。 ok， 这道题我们就完成了， 同学们都写对了吗？

今天我们来推圆柱的体积公式，在之前的学习中，我们通过把圆拼成类似于长方形的图形，从而求出了圆的面积公式。今天我们来 圆柱能否用这种方式求出来呢？我让我们来试一下。首先把一个圆柱平均分成八份拼，然后拼成一个类似于长方体的体。 我们发现长方形的长等于圆柱底面周长的一半，长方形的宽就是圆柱底面的半径，长方形的高就是圆柱的高。 我们知道长方形的体积公式等于底面积乘高。长在拼成的长方形中，长方形的底面 等于它的底面积就等于圆柱的底面积高就等于圆柱的高。所以由此我们可以推断出圆柱的体积公式等于底面积乘高。嗯。

大家好，今天讲人教版六年级数学下册第十六页，我们先来认识一下圆柱，我们先看图片中给的这几个我们生活中常见的一些图形，那么通过观察同学们找一找这些物体的形状有什么共同点， 我们可以看到它每一个呢都是有上下两个面，都是圆形。我们再来看它的侧面，都是一个曲面， 而且呢它上下是一样粗的，它是可以滚动的，那么上面这些图形的形状呢，都是圆柱体，我们简称圆柱。 那么生活中还有哪些圆柱形的物体呢？比如说水杯，保温杯，羽毛球等，易拉罐等等，可以说圆柱在我们的生活中十分常见， 那么接下来我们看一下是企业的利益。观察一个圆柱形的物体，看一看它是由哪几部分组成的，有什么特征。我们先来看，首先呢每个圆柱呢，它是有上下两个面组成的， 这个面和下面这个面，这两个面呢都叫做底面。然后圆柱它还有一个侧面，就是这个侧边的面，它叫做侧面。那么圆柱呢是由这三个面组成的，也就是说有两个底面，上下两个面还有一个侧面， 所以一共是三个面，那么两个底面之间的距离呢，就叫做高，就是这个的高度，所以 每一个圆柱呢，它的组成就是有三个面组成，两个底面和一个侧面，而且呢它还有一个高，这个高呢它是指的是两个底面之间的距离，我们可以看到两个底面中的距离可以有无数条，所以它的高呢也有无数条。 我们再来观察它有什么样的托称。首先我们可以看到它的底面，两个面都是圆的，这个面和这个面而且大小是一样的，并且是互相平行的。第二个呢，圆柱呢，它的高是有无数条的，而且它的高呢都是相等的。 第三呢，我们可以看到它的侧面是曲面的，那么我们把这个曲面给展开，就是通过下面这个两个小朋友，他们展开以后可以发现呢它是一个平面，而且呢平面是一个长方形， 我们可以自己找一下生活中常见的一些圆柱，然后把它剪开，看一看它的侧面，会发现是一个长方形，那么 如右图所示，像这个小朋友一样，把一个长方形的硬纸贴在木板上，快速转动这个木棒，那么看看我们转出来的形状是什么样的， 我们通过观察可以发现转到的形状呢，它是一个圆柱形，我们再来观察这个圆柱的高，这个圆柱的高也就是说它的旋转轴，我以长方形的哪条边为旋转轴，那么这个条边就是圆柱的高，那么长方形的另一个边呢，就是这个底面的一个半径， 那么这就是我们这个立体要掌握的圆柱的组成和特征。还有我们家长方形的硬纸进行旋转以后，可以得到一个什么样的形状？

好，我们现在上第二堂课，圆柱的表面积的第一课时， 那么在上这堂课之前，我们准备如下的学具，找一找圆柱形的物体，自备。 a 四纸、剪刀、胶条、笔、直尺，并把一张纸围成圆柱形的圆筒。同学们准备好了吗？ 好，那么我们还是上课之前先预学思考这样的问题，观察一下圆柱它的侧面是什么图形呢？ 我们带着这样的问题，我们去解决这样的问题，做一个圆柱形的纸盒，这个圆柱形纸盒呢是底面，是半径为十厘米的圆高是三十厘米。那么做这样的纸盒到底用多少张纸呢？到底用多多少纸呢？ 说说你是怎么想的？好，这位同学说，到底用了多少纸，实际上就是求圆柱的表面积，也就是求圆柱的两个底面面积和一个侧面面积的，和，大家同意吗？ 大家都同意，但是问题就来了，两个底面面积很容易求出来，因为是圆的面积，但是它的侧面是一个曲面图形，我应该怎么求呢？ 就回到了我们刚开始的预习的问题，圆柱的侧面到底是什么样的图形？我们应该怎么求它的面积？ 同学们想一想，我们应该怎么解决这个问题？好，有人就说，老师我刚好有一个用纸围成的圆柱形的纸筒，我们把它剪一剪，看看是什么样的图形。 好，我们接下来就探讨圆柱侧面展开图是怎样的一个图形，同学们请动手试一试。好，我们看一下这位同学的分享。圆柱的侧面沿着高线剪开， 展开后得到一个长方形， 我是把圆柱沿着直尺边缘滚动一周，圆柱的侧面印下的区域是一个这样的长方形，因此我也认为圆柱的侧面 展开之后应该是一个这样的长方形。好，所以刚刚这两位同学是怎么展开圆柱的侧面呢？ 他们都是沿着高线剪开进行，圆柱的侧面展开的时候，他们发现这个展开后的图形是一个长方形，那么这个长方形的面积我们应该怎么求呢？ 请你想一想，圆柱侧面展开图与圆柱之间有什么样的关系？我们应该怎么求这个侧面积？好，我们看这些同学的分享。 这是我刚才剪开的圆柱侧面展开图，这个长方形的长正好可以围绕茶叶桶底面一圈，所以长方形的长就等于圆柱的底面周长， 而这个长方形的宽正好与圆柱的高相等，因此长方形的宽就等于圆柱的高， 长方形的面积等于长乘宽，所以圆柱的侧面积就等于底面周长乘高。 在圆柱形的胶带卷的底部做这样的一个标记，然后在长方形的侧面展开图中将其沿着边缘滚动， 发现圆柱底面正好可以转一周，因此我们认为长方形的长 就是长方形的长。大家可以看到是这个部分就是圆柱的底面周长这个部分滚动周过程中，我们也发现长方形的宽，也就是这个部分 是胶带的高，我指的高是指的是他这么放着的时候他的高。 因为长方形的面积等于长乘宽， 所以我们可以推导出圆柱的侧面就是他的底面周长 成高。好，感谢两位同学的分享，那么我们称圆柱的侧面面积为圆柱的侧面积。好，那么谁来总结一下这两位同学探讨的过程和方法呢？我们听一听这位同学的总结， 他们都是将圆柱的侧面展开变变成了一个长方形， 那么长方形的长就是圆柱体的底面周长，而长方形的宽就是圆柱体的高， 所以长方形的面积按照公式是一个长乘宽，那么把长转化成圆柱体的底面周长，把长方形的宽 转化成圆柱体的高，那么这个长方形的面积长成宽，就转化成了圆柱的侧面积，是底面周长成高。 那么我们用 s 测来表示圆柱的侧面积的时候，那么圆柱的侧面就是底面周长成高，高是 h， 底面周长就是底面圆的周长是 c， 那么这个周长 c 就 等于派 d 或者是二派 r， 所以 我们就能得出圆柱的侧面积就是派 d h 或者是二派 r h， 我 们可以做这样的一个总结。 那么在我们这样推导圆柱的侧面展开图与圆柱之间关系的时候，这里实际上有一个数学当中特别重要的一个思想在里面， 就是把一个曲面转化成平面来研究，所以就涉及到我们的数学中特别重要的转化思想。 那么通过侧面展开的方式，我们把不知道应该怎么求的曲面转化成了我们可以求的平面的图形，相当于把未知转化成了简单的问题。 那么在以后在学习类似的问题，在解决类似问题的时候，希望同学们也能灵活的运用这种转化的思想，把复杂问题转化成简单的问题，把未知的问题转化成已知的问题。 那么学到这里，同学们，你们还能提出新的问题吗？好，有同学就提出这样的问题，老师我现在明白了。沿着高线展开，圆柱的侧面展开图是长方形，反过来讲，长方形能围成圆柱， 但是老师我发现正方形能不能围成圆柱呀？同学们试一试，看正方形能不能围成圆柱，是可以围成圆柱的，所以这位同学就说了一个这样的问题，圆柱的侧面展开图是不是也可以是正方形？ 那么这时候这两者之间有什么关系？什么样的圆柱侧面展开图是正方形呢？ 这是一个非常好的问题，我们可以课后继续探讨。还有一个同学提出的是这样的问题， 我们刚刚研究侧面展开图的时候，我们都是沿着高线展开，那么我不沿着高线展开，我这样剪开的时候，它的侧面展开图又会是什么图形呢？ 我们课后继续探讨这个问题，那么最后我们来解决这个问题。现在你知道了圆柱的侧面怎么求？那么你能解决这个问题吗？ 我们一起算一算，看这位同学计算的过程。圆柱的表面面积可以分为两部分，一个是侧面的面积，一个是底面的面积。 它的侧面的面积等于底面的周长乘以高高，也就是三十厘米，它的底面的面积也就是一个圆，它的半径是十厘米， 所以它的直径是二十厘米。二十厘米乘以三二一四，再乘以它的高也就是一千八百八十四平方厘米。它的底面面积是两个 圆，那那两个圆的半径为十厘米，所以是三点一四乘以十的平方，再乘以二，就等于六点六六百二十八平方厘米，所以它的表面积是是一千八百八十四，再加上六百二十八，也就等于 两千五百一十二平方厘米，所以他至少需要两千五百一十二平方厘米的纸板。好，同学们，大家都同意吗？好，这堂课我们马上要结束了，那么通过这堂课的学习，你收获了什么？ 有人说我收获了，怎么求圆柱的侧面积？我学会了它的推导过程，有人说我学会了圆柱的表面积的公式， 你还有什么样的收获？欢迎大家在课下线上线下一起交流，我们这一堂课收获了什么？ 那么最后也不要忘记，我们还新发现了，新提出了这样的问题，那么圆柱的侧面展开图除了长方形和正方形之外，还可能是什么图形呢？ 如果不沿着高剪开，像这样斜着剪开的时候，他的侧面展开图又会是什么图形呢？ 这样提的问题非常的好，那么老师希望同学们在学习的过程当中，不只是学习知识，而是在善学习过程当中，善于思考，不断发现新的问题，提出新的问题， 这样才能保证我们对学习始终保持一种好奇心和旺盛的研究的这种欲望，最后能使得我们的学习能够走向深度和广度。 那么最后我们来做这样的一个练习，看第一题，当圆柱沿着这个高剪开的时候，它是一个 哎，它是一个正方形，那么上面最后的圆柱沿着高线剪开的时候是长方形，那么中间圆锥沿着高线剪开会是什么样的图形呢？ 是一个善行。我们再看这样的问题，现在你能解决这样的问题吗？ 好，今天的课我们到此结束，我们停课不停学。希望同学们在家里也能健康的学习。我们疫情结束后，我们学校再见。

大家好，今天讲人教版六年级数学下册十八页例二，我们今天看圆柱展开侧面图与圆柱各部分间的关系。我们先看第一，圆柱的侧面展开后是什么形状呢？那么如果我们要把圆柱的侧面给它剪开， 那么他有几种剪的方式呢？首先呢，我们可以沿着高进行展开，那么沿着高我们剪开以后，可以发现展开以后呢是一个长方形，也就是做一做中的这一种形状。 第二种方式，我们剪开的时候可以沿着斜线剪开，也就是说我还是沿着他的侧面中的任何一条斜线，但是我是直着剪开的，那么这个时候展开以后是平行四边形，也就是剪开后是这个形状的， 那么我们还可以沿着它不规则这样剪开，如果不规则剪开以后，它的展开图形就是一个不规则的图形，但是呢侧面展开图不可能是梯形，因为呢圆柱的上下底面它的周长是相等的，那么沿着不规则曲线剪开后，它的效果是这样的， 也就是这种形状。那么剪开方式呢？有这三种，我们今天重点来学一学。是沿高给它剪开，那么我们沿着高剪开以后，会发现它变成了一个长方形，也就是说我们将它的曲面变成了一个 长方形，体现了一个化曲为直的思想。那么我们再来观察这个长方形，它的长 宽与圆柱有什么样的关系，我们可以呢把这个长方形重新包在这个圆柱上，就是像这样重新包一下，那么我们看一下能发现什么呢？我们可以发现这个底面就是这个底面，它的 周长刚好是这个长方形的长，也就是说长方形的长等于圆柱底面的周长。我们再来看它的宽，这个长方形的一个宽刚好是这个圆柱的高。 所以我们可以得出来两个非常重要的结论，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽呢就等于圆柱的高。那么如果我们这个圆柱底面的周长，圆柱底面的周长和它的高和这个圆柱它的高是一样的时候，那这个时候我们就发现 这个长方形的长和宽是一样了。那么侧面展开图就可能是一个正方形，也就是说 圆柱的侧面展开图可能是长方形，也可能是正方形。那只有当圆柱底面的周长等于高时，它的展开图就是一个正方形。接下来我们看一下下面的做一做。第一题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。 第一个，它的展开是一个长方形，那么它是沿着高剪开的。第二个呢，我们发现它是一个不规则图形，也就是说它沿着侧面是不规则剪开的。 第三个呢，它是一个平行四边形，那说明我是沿着它的侧面斜着展开的。 接下来看第二题，一个圆柱形的茶叶桶的侧面贴着商标纸，那个圆柱的底面的半径呢是五厘米，也就是说它底面的半径我们知道是五厘米， 那么高呢是二十厘米。那么这张商标纸展开后变成了一个长方形，我们要求这个长方形的长和宽。首先我们先来看它的宽，宽呢就等于它的 原来圆柱的高，它的高呢是二十厘米，所以它的宽就是二十厘米。我们再来看它的长，这个长呢就等于原来圆柱的底面的 一个周长，他底面的周长也就是二拍二，也就是二乘三点一，四乘他的底面半径是五，也就是乘五，通过计算等于三十一点四厘米。答，长方形的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米，你理解了吗？

今天我们来看六年级下册圆柱的表面积，下图是一个圆柱的展开图，让我们计算这个圆柱的一个表面积，那我们通过这个展开图呢，我们知道这两个圆呢是圆柱的上下两个底面， 那么这个长方形呢，是圆柱的侧面展开图，所以呢，我们要求这个圆柱的表面积，其实呢，就是求上下两个底面的面积加这个侧面展开图的面积。 好，那么它的侧面积和底面积要怎么去求呢？圆柱的上下两个底面是两个大小相同的圆圆的面积我们之前学过是 pi r 的 平方啊，通过面积公式我们可以计算，那么圆柱的侧面积，它是一个长方形展开，长方形的长呢也是三十七点六八， 宽呢是十。长方形的长宽和我们的圆柱有什么样的关系呢？哎，我们通过对比发现，长方形的长呢，其实就是我们这个圆柱的底面周长， 宽呢就是我们圆柱的高，所以呢，我们的侧面 面积计算的话，长乘宽其实就是底面周长，乘什么呀？乘高。好，接着呢，我们只需要把已知量盖入进去计算它的侧面积就可以了，周长是三十七点六八 乘十，所以侧面积的面积是三百七十六点八平方厘米。好，接着我们来看底面， 上下两个底面，我们可以先求其中一个底面，其中一个底面呢啊，我们是 pi 二的平方，而这个 r 题目呢，没有告诉我们我们的已知量是周长，所以呢，我们的第一步先需要通过周长把这个圆的半径求出来， 我们通过周长三十七点六八除以 pi 三点一四除以二来得出我们的半径，半径是六厘米， 接着我们就可以计算其中一个底面的面积了，那么底面的面积是三点一四，乘什么呀？六的平方计算结果是一百一十三点零四 平方厘米。好，侧面积我们计算出来了，底面积算出来，最后呢，我们来计算这个圆柱的表面积，用侧面积三百七十六点八去加上 两个底面的面积，其中一个底面面积是一百一十三点一四，哎，乘二得出呢，它的结果是六百零二点八八平方厘米。 好，那么我们圆柱的表面积就计算出来了。那大家看一下这个侧面展开图给我们的是已知周长，那如果说他给的是底面的直径和半径，我们应该怎么样去求呢？哎，我们的侧面是给的是周长和高，加上二派二， 那么已知半径的话，能知道周长等于二 pi r， 那 么我们的圆柱的表面积也可以写成二 pi r h 加上二 pi r 的 平方， 那给的是，如果是直径呢？哎，我们周长是等于 pi d， 所以呢，圆柱的表面积还可以表示为 pi d h 加上二 pi 二分之 d 的 平方啊。那么我们可以根据题目给出的已知量，不管是周长，直径还是半径来求这个圆柱的表面积，你学会了吗？关注我，学习更多解题技巧！

来学习六年级下册北师大版第一单元啊，圆柱的表面积。首先我们来看看如图，要做一个圆柱形的 纸盒，那如果接口不接的话呢，至少需要用多大面积的纸板？首先呢，圆柱是一个立体图形，那我们要求它的表面积的话呢，我们要搞清楚它有几个面啊，要求哪些面的面积？来我们看看淘气所说的， 实际上求圆柱的表面积，也就是求什么呢？上节课我们说过了，圆柱有三个面，两个底面和一个侧面，那我们就是要求两个底面和一个侧面的面积， 那好，我们来看笑笑说的，他说圆柱的底面积容易求出来，那么圆柱的侧面积该怎么求呢？嗯，现在我们已经知道了，是用两个底面积 加上一个侧面积，那底面积的话呢，就是一个圆，圆的话呢，在我们六零上册已经学习过了啊，圆的面积公式啊， s 等于 pi r 的 平方对吧？啊， 直到半径的话就可以求面积的。来，我们来看看第二点，圆柱的侧面展开后是一个怎样的图形呢？你能想办法说明吗？ 那么我们在学习面的旋转的时候呢，知道圆柱是由一个长方形纸片，对吧？然后沿着长或高旋转一周得到的，那你想想它的面积， 那圆柱侧面积，我们把它展开之后，沿着高啊看笑笑，沿着高把它展开之后呢，我们又可以得到一个长方形 啊，那长方形的面积怎么求呢？那我们不就知道了吗？长方形的面积是等于什么？长乘宽对吧？那我们所以呢，要把长求出来，宽求出来，那我们就也就知道那个圆柱的侧面积该怎么求了。那好，我们继续来看看第三点， 圆柱的侧面展开图的长和宽到底跟这个圆柱有什么关系呢？该怎么样求出圆柱的侧面积呢？啊，这是这节课的重点， 那好，我们来一起来看一下啊，他画的图，我们把圆柱展开之后呢，我们可以知道啊，你看看这个长方形的长 是否就是围着啊，这个圆柱底面绕了一周呀，对吧？又是说这个圆的底面周长，你看把它展开之后，比如说这个底面周长了吗？那好，那你们回顾一下圆圆的底面周长该怎么求呢？ 圆的底面周长 c 等于派 d， 对 吧？或者是等于二派 r 啊，对吧？因为半径是直径的二分之一 啊，所以呢，我们可以写成派 d， 也可以写成二派 r， 那 高的话呢，是什么呢？你看看圆柱有多高，那么这个展开图这里是不是有多高呀？其实呢，这个这个长方形的宽 就相当于是圆柱的高，这长方形的长就相当于是圆柱的底面周长，所以呢，我们就可以推测出啊，圆柱侧面积公式了。 那么原本呢，长方形的面积公式的话呢， s 长是等于长乘宽的，那现在呢，圆柱的呃， 圆柱的底面周长啊，就相当于是长方形的长，圆柱的高的话呢，就相当于是长方形的宽，所以呢，我们求圆柱侧面积的时候呢，就可以用底面周长乘高了。 那好，那我们看看这个字母表达式啊， c 表示底面周长， h 表示高，所以呢，这个圆作侧面积的话呢，就是 s 侧等于 c h， 那 我们可以进一步把它的公式全都写出来啊，刚刚说了 c 面圆的周长公式对吧？可以写成 pi d h， 还可以写成什么呢？对，可以写成二派 r h 啊，就是直径乘啊，圆周率乘高，直径乘，半径乘高再乘二。那这两个字母表达式一定要搞清楚啊，这三个互相转换。 好，我们再来看看第四点，你能计算出至少需要多大的面积纸板吗？那现在我们就分开求，刚刚已经说过了啊，有两个，呃，底面积和一个侧面积，那侧面积的话呢，它使用的是二二看派 啊 r h 对 吧？啊，二 pi r h， 所以呢，可以求出侧面积是一千八百八十四，然后呢，我们再把两个底面积求出来。底面积该怎么求呢？就是用圆的面积公式 pi r 的 平方， 那就是十的平方乘三点一四，因为它有两个底面积，所以呢，我们得乘二，算出来等于六千二百八十 cm 的 平方面积单位啊，平方厘米，然后呢，我们再把它们加在一起就可以求出来了， 八千一百六十四平方厘米，然后再答就可以了啊，我们最后总结一下，圆柱的表面积该怎么求呢？那我们 一起来把它总结一下啊，圆柱的表面积是等于啊，两个底面积加上一个侧面积。 好，那两个底面积的话呢，也就是两个圆的面积。圆的面积公式 pi r 的 平方，所以呢，就是二 pi r 的 平方加上侧面积。那侧面积的话呢，我们有三种表达形式，第一种，根据底面周长来求 那个侧面积，就说加上 c h 对 吧，那长相当于是底面周长宽相当于高。好，那么第二种表达方式的话呢啊， 还是二 pi r 的 平方啊，加上 pi d h 已知直径来求测面积。好，那第三种的话呢，是已知半径来求圆柱的测面积，那就是二 pi r 的 平方，加上啊， 二 pi r h 这三个公式我们都要熟悉掌握。

一天一道压轴题，考试多拿二十分，这道题上海每年都会考，很多同学每次都会错，张老师带你十秒过思路，数学零分也能听懂。好，那这是六项圆柱圆锥里面的基本概念啊，与公式的推导，那往往这部分在我们的心课感里面还是比较的重要。那他说，你还记得圆的面积公式， 对吧？好，那么把它这个圆切开来，然后拼成，拼成一个长方形，拼成长方形。好，那我们说圆柱的这个体积公式呢？那就把这个圆柱啊，一个个都切开来，切完之后呢，拼成了一个长方形，那拼成一个长方形，好，那么他说，第一问，在研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程中啊，我们都用到了转化， 对吧？我们把圆转化成了长方形，把圆柱转化成了长方体，那这个是我们初中四大数学思想之一的一个转化的思想啊，非常重要。好，然后接下来第二个，他说，通过观察拼成后的长方体和原来的圆柱有什么关系？那拼完肯定体积是相等的了，对吧？ 体积是相等的，所以在这里面我们说啊，这个圆柱圆柱的高等于长方体，长方体的高。好，然后圆柱的底面积， 它就等于长方形的底面积， 那么根据我们体积相等，所以圆柱的这个体积， 它就等于长方体的体积啊，等于长方体的体积。好，那么在这个里面的话，我们说啊，呃，底面积是相等，所以它是个圆嘛？圆，那么这个时候它应该等于 pi r 的 平方，对吧？好，那这个题就就是我们长方的一个底面积了，那长方体积是等于长方的底面积乘以高嘛？所以 pi r 方乘以一个高 h， 那 就可以了。好， 然后最后我们看啊，那进一步观察图案，圆柱的高是十哦，十厘米，这个是十厘米，那他说拼成近似的长方体表面积增加了六十平方厘米，那为什么会增加呢？其实大家看啊，增加的就是我们这个两侧， 两侧的这两个长方形的面积，对不对？好，那么这两个长方形的话，我们说这个时候高，就是我们这个长方体的高，那这个下面这个，那么这个宽啊，宽的话，其实就是我们半径了，对吧？我的半径了，然后都是两块吗？好，所以在这里面是二乘以乘以这个半径的话是 r， 然后乘以我们的高，他应该等于六十，对吧？所以 r 乘以 r 乘以高的话，我们说是十等于六十，所以这个半径啊，半径的话，那么这个应该等于三，要注意单位三厘米，对吧？好，然后他问这个圆柱的体积。好，那么 v 圆柱， 根据我们上面推导的体积公式啊，那么应该是 pi 乘以三的平方，对吧？好，然后再乘以一个， 乘以一个 h 的 话，十啊，那么这个应该是等于九十帕，对吧？好，然后圆周率取这个三点一四嘛，所以是两百八十二点六立方厘米。