青岛版初二数学下册主要讲的什么

大家好，我是心雨老师，一年一度的寒假又如期而至了，那么三十来天的时间是吧，那么这段时间呢，我们既可以预习下新的课程，也可以把以前的课程学的不太好的地方再查缺补漏一下是吧，再巩固提高一下， 这都非常好，所以好好利用一下。这段时间啊，还是挺宝贵的，玩了当然也要玩，对不对？我们既不要呢，光玩，也不要说光学是吧，玩一玩，学一学，是不是 最好呢？多做一些户外的运动啊，是吧，出去踢个球啊，跑个步啊，是吧，一身汗，嗯，洗个澡，然后再静下心来，再 认真集中注意力的去高效的学习是吧？你认真的学一个小时，顶人家磨磨蹭蹭的学三四个小时，是不是？其实最忌讳的就是磨磨蹭蹭的是吧？学习的时候态度不坚决，玩呢又不好好玩是不是？ 其实如果你能够把玩的效率跟学的效率都提高的话，其实啊，你既能玩好，也能学好，一点都不冲突，好吧， 问题的关键是要高效是吧，你玩时候好好玩，你学时好好学，是不是？这样的话，我觉得是比较聪明和机智的啊，自己想一想。 好，这里呢，我就把新版教材初二下学期这个合集课程给大家呢，简单的介绍一下。那么总共我们需要讲十三章的内容，本来每个版本一般是六章的内容对吧？因为想兼顾到各个版本嘛，让大家都有的学。那么寒假我们就需要讲这么十三章的内容， 然后再把这十三章内容简单给大家介绍一下。那么这前五章是数，然后式方程 这个代数板块，第六章和第七章呢属于函数的板块，第八章，第九章，第十章，这属于呢几何的板块， 那么其中的话，四边形应该是几乎所有版本教材的最大的一张是吧？重中之重，内容很多，也非常重要。 那么最后的这三张呢，是统计和概率的章节，这两张呢属于统计是吧？最后一张呢是概率。 那么这个第十二张稍微说一下数据的分析，跟原来的版本对比的话，数据的分析这张呢，加了不少知识进去了啊， 比如说那个四分位数相线图，还有什么分组，这些知识之前呢都是高中的知识，那么现在呢，就下放到初中了，所以呢，这块呢，重要性有所提高啊， 难道也不是多难吧，就是这个概念呢，要搞清楚，比之前是要复杂一些的，大家注意一下啊。 好，这就是这么十三章内容，我就简单的给大家介绍一下，希望大家能够愉快的去学习。其实学习这个事本来一点都不痛苦啊，什么是痛苦的呢？就是你不想学，但是你又不得不学，在那磨磨蹭蹭的去学那个才是痛苦的 是吧？本来人天生他是有求知欲的，有好奇心的，你就不想了解了解这个代表人类智慧最高水平的数学，他到底是个什么滋味吗？不想体会一下吗？是不是？所以有时候你要去调整一下心态是吧，不要太过于抱着目的的去学， 抱着一种好奇心，探索的积极的心态去学他是吧？好好学，学的时候你就静下心来是吧， 心无杂念，好好学，然后你其实你花不了多长时间，你就可以把它完全给他学好，学好之后呢，腾出点时间啊，玩去呗， 学又学好了，玩又玩的痛快是吧，生活有滋有味，这多好啊，是吧，那么课程制作的时候，这九个版本教材我都看过， 我看哪个教材里面说的比较好的，我就采用了，然后这个配图比较漂亮的，比较形象的，我就采用了，反正这个课程我就是这么慢慢做出来的，我还是希望能够全面细致，深刻透彻的把初中数学这个事给他说清楚，讲明白，不是那种蜻蜓点水式的这种课程啊， 所以还是需要大家稍微静下心来去学，学习没那么简单，但是呢，也没那么难就是了，是吧，静下心系统性的认真的去学 是吧，肯定能学的好的。好吧，好了，这个事我就说这么多，下面我们再来分别介绍一下各个版本需要学习的一些东西，有些事呢，还是需要给大家说清楚的。 好，我们先看一下人教版，他学呢，二次根式勾股定律是吧？四边形， 然后函数和一次函数以及呢数据的分析。那么其中这个第二十二张和第二十三张， 你就看这个第七张，这两张合成一张了是吧，其他的就没什么好说的嘛，你看这个数据分析是吧， 那加了四分位数加了呢数据的分组，这里面呢，还有一个镶线图，比之前这个版本确实加了不少东西啊，当然各个版本这块内容都加了，也不是说光人家版加，其他版本不加，这个国家肯定是 初中需要学什么东西，它是有一个统一的标准的是吧，所以我就说嘛，各个版本它最后学的内容都是一样的啊， 这就是人脚板是吧，按照这个对应的章节去看就可以了啊。好，然后再看一下北师版，北师版第一章呢，是三角形的证明及应用，没有一个完全跟这张匹配的一个课程， 这个章节你就看我这个第八章轴对称就可以了。轴对称呢，主要里面就讲了等腰三角形，还有这个角平分线基本上是吻合的啊， 然后第二张不等式和不等式组，你就看这个第一张是吧，那么这个第三张图形平移跟旋转呢？没有一个课程跟他完全是对应的啊， 本来我是想做一张就是图形的平移啊，轴对称和旋转就是图形的三大变化吗？一直没有时间单独去做，以后呢再给大家补上吧， 倒是没什么实质性的内容，他就是利用图形的平移啊，轴对称啊，还有弦状了，去处理几何方面的一些疑难问题，比如说去构造全等啊，构造相似啊之类的，可能你要用到这个平移啊，轴对称弦状，是不是就这么回事 啊？第四张是因式分解，第五张分式与分式方程，你就看这个第二张和第三张呗，第六张是平行四边形，那么这个呢，你就看第十张的平行四边形部分， 他后来的这个矩形、菱形、正方形、梯形，你们估计是放在九上去取是吧？ 那么我这个课程里面四边形的话就都包含那些东西了，你也可以先看一看吧，如果不着急呢，你可以以后再看也行吧。是不是这就是北师版，然后速刻版呢？第六章和第七章就是统计与概率，你就看这个第十一章和第十二章吧。 然后四边形就看这张呗，一式分解看这个第二张是吧？分式看这张，二次根式看这张，这个都对应的非常好，我也没什么需要再额外去说明的啊。然后华式版十五张是分式，那你就看这个第三张，分式与分式方程是一样的啊。 第十六张是函数及图像，那就看这个第七张函数和一次函数。但是这里面需要说明一点，是呢，你们这张里面应该学的反比例函数，但我这个课程里面反比例函数是还没有做的，我估计寒假的话可能没有时间去做， 以后再给大家补上啊。然后这个里面的第十七章和第十八章，你就看我这个课程里面的四倍行就行了，他分成两张来讲了，我这里面呢，就是一张，然后数据分析你就看这个第十二张就可以了。好，这就是华式版， 然后这叫版的话，二次根式、一元二次方程数据分析初步， 这都没什么说的，是吧？那么这个平行四边形和这个特殊的平行四边形他拆成两张了，那么这两张你就看我这个第十张就可以了。其他的呢，我也没什么好说的。然后就是香蕉版 第一张四边形，你就看这个第十张是吧？然后图形与坐标你就看平面直角坐标系名称不一样，内容一样的啊。然后依次函数呢，就看这个第七张函数和依次函数， 那么这个数据分析这张呢，你就看这个第十二张。数据分析还有个东西需要看一下， 他是把数据的频数分布也是放在数据分析这张了，然后呢，你就需要看一下第十一张的频数分布直方图这个知识点就可以了。 好，这就是相交版。好，再看下一角版，平面直角坐标系，你就看第六张，那么这个函数和一次函数，你就看这个第七张， 再者就是四边形，就看第十章，是吧？然后数据收集整理描述，你就看这个第十二章，那就这么回事。然后再看下互克板二次根式，一万次方程勾股定律，这没什么好说的。四边形，这没什么好说的。 然后数据的初步分析的话，这也是要看一下第十一张的频数分布值方图，再看一下第十二张数据的分析，他这个二十点一数据的频数分布，你就看看第十一张的 频数分布值方图就可以。好，这就是互可版，其他的也没什么需要说的。然后再看青岛版四边形二次根式， 这没什么说的，他这个函数和这个一次函数呢，分为两张，你就看我这个第七张就可以了，这一张就是讲的第十张和第十一张的内容，然后第十二张图形的平移和旋转还没做啊， 以后再补。第十三张是数据分析，你就看我这个第十二张，但是他这里面最后有一个呢，随机现象的变化趋势，那你就应该看一下第十一张的趋势图，这个知识点就可以了，也没什么难度啊， 这就是青岛版，就这么回事。好了，那么这几个版本我就都给大家介绍完成了，然后大家根据自己情况就尽情的去看，尽情的去学吧，有什么意见和建议呢？ 欢迎大家评论区留言。好吧好，那这个事我就说这么多，下面呢，我们开始正式上课了。

大家好，我们继续学习这个二次根式的乘除， 这乘除呢，嗯，主要依据的就是我们这两个公式，但是呢，嗯，在做的时候呢，还有一定的技巧。那我们一定是说，嗯，掌握了前面的这个分式的加减，然后呢和分母有理化， 他有的教材呢，是先算乘除，后算加减，那这个呢，也很正常，因为我们做四则混合运算的时候，我们都是啊，我们做四则混合运算的时候，我们都是先算乘除，再算加减的啊，所以说有很多地方的教材是先讲二次根式的乘除，再讲加减。 嗯，当然这个顺序呢，无所谓，我们就可以进行四则混合运算了。嗯，那我呢就以书上这例题这个为这个例子，嗯，这种题的它的解法有很多哈， 非常的就是有技巧啊。所以说，嗯，同学们，你不是说你学会了就学会了啊，你还要干什么？就说灵活运用啊，灵活运用特别重要啊。啊，这个呢，根号五乘根号十，那我们第一种方法呢，我们可以直接写成根号五十，然后我们再想， 那这种方法呢，是稍微有一点点麻烦的啊，那我们其实可以啊，把它拆成啊，比如说啊，根号五还是根号五，那根号十呢？变成根号五乘以根号二啊，可变成一个这个东西， 那这两个呢？还是根号十，那怎么最后呢？那两个根号五乘以等于五呢？所以呢，最后等于五倍的根号二和你这个根号五十，他等于二十五乘以二，最后还等于五根二是一样的啊，没有 谁对谁错之分。只不过说啊，我们在做简单题的时候，我们想一想我们用哪种思路比较好？然后呢形成一种自己的思路啊？这个很重要啊，这个很重要。嗯，同样呢，这个也是啊。 嗯，一开始我们学的是只有根号下相乘，那这里呢，我们学了一个，嗯，它带整数的部分也有根号的部分，那这个呢？因为都是乘，其实三倍的根号二，其实三乘以根号二，再乘以二乘以根号六。那其实呢，我们可以先把什么先把整部分相乘， 再把小数部分相乘，再把这个根号下部分相乘啊，先把整部分相乘，那整部分相乘呢？是二三得六，那这个根号下这个部分呢，我们可以直接写成根号十二，然后我们再画。那我们还可以把这个什么，还可以把这根号六写成根号二，乘以根号三， 那这个根号二和这个根号二乘起来，它就是二了啊，所以呢，嗯，根号部分乘起来的是二倍的根号三，二倍的根号三呢？再乘以六，那就是十二倍的根号三 啊。大家用哪种思路也可以啊？那这种三根号三分之，根号七呢？那就纯粹是一个分布有理化的一个问题，上下都乘以根号二十一啊，三七二十一都是开不出来的。 那这种呢，嗯，我们可以直接除，我们也可以就是说，嗯，把它化成分母性，先约分再除啊。我建议大家呢，就先约分二倍的根号六啊，除以四倍的根号三， 那这个可以约掉，可以变成二。那根号下约掉呢？他也可以变成二，所以说呢，你不要忘了这个二是根号下的啊。其实呢，我们整数部分可以和整数分约，根号下是可以和根号下约的， 那约完了之后呢，他是二分之根号二啊，这个就变得非常简单啊，你要是用别的方法做的，那就 比较麻烦啊，出发的话，就是啊，大家记住一个点，就是啊，整数部分可以和整数部分互相约，那根号下部分呢，也可以和根号下部分互相约啊，一定注意。 嗯，那这个呢？嗯，就是两个的了，那我们同样也是哈，就是根号下和根号下约，那我们其实可以写成根号八，能乘以根号二十七，然后呢可以写成一个就行啊，因为他都是根上八乘以二十七，那下边呢，就是根号十八了， 那十八呢？我们慢慢约啊，我们可以啊，先从最大开始约，先约个九，他约个九呢，他就变成了这个二啊，他约个九呢，就变成三了， 那这个二和这个八还是可以约的啊，所以说它变成了一个四，那根数分母就没有了，那分子呢是三乘以四，那三乘以四我们非常清楚，四可以出来变成二倍的根号三， 其实呢还是根号十二啊，我们做熟了之后就可以直接这样。那这个呢，我们也是啊，我们先和根号下约，他约完了之后呢，是十二，根号十二，那根号十二，我们知道啊，他是二倍的根号三，二倍根号三呢，就可以再和二约，那所以说最后得一个根号三 啊，那这个题呢，我们其实也可以，他底下是根号二十四，下面是二倍的根号二，那我们 啊，可以把它变成。是啊，他呢也可以等于根号二十四除以这个二呢，因为他下边带根号不太好约，我们看把它弄进去变成根号八，那这样呢，约完了之后呢，得到一个根号三也是一样的啊，就说大家做这种题的时候一定要灵活 啊，灵活你觉得哪一种你比较喜欢，你就用哪一种啊，做这些题灵活特别重要啊。 这个啊，也是，那我们首先把这个啊符号变成号，那其实那分母啊，就变成了这五倍的根号五，上面呢就是根号十六乘以八啊，变成这个样子， 那正呢啊，这个五和这个根号五好像是，如果我没抄错，因为这个是我抄的，如果说我没抄错的话啊，他应该是这个样子，那下边这个五倍的根号五上下都乘以根号五，所以呢是二十五 倍的这个根号十六乘以八再乘以五啊，这样都乘根号五了吗？那这个十六和八呢？那我们想一下啊，这个十六是四的平方啊，所以说他可以开出一个四来，然后呢这个八呢，可以开出一个二来 啊，它里边留下一个二，所以就是二十五倍的啊，八倍的啊，根号十 啊。这个嗯，一定要哦，认认真真的做啊，这种题一开始做的时候还比还是比较容易出问题的啊。那这种呢，我们就严格按照顺序写，严格按照顺序写， 那根号三是在下边的，下边呢就是根号二啊，除以根号二就乘以根号二分之一吧，那继续乘以根号六啊，那所以呢两个根号三乘起来就等于三了。嗯， 这个呢，前面是纯乘除的情况，那因为我们前面已经学了加减了嘛，所以说我们纯乘除的情况要加上加减了 啊，加上加减立三就变成变成变成就是有这个加减的这个问题了。那我们这个还是啊，先乘除， 乘除完之后啊，乘除完之后进行这个化成最减二次根式，化成最减二次根式呢，再进行加减合并啊，再进行加减合并。 这个呢，根号十二，我们已经非常熟了啊，他就等于二百的根号三啊，再加上这个啊，八加六，六八，四十八啊，那我们可以他是二二二，他是二三， 那所以呢，这个啊是四倍的啊，根号三啊，两个二可以出来啊，两个二可以出来组成一个，那最后呢，就是六倍的根号三啊，把它做化成最减之后呢？要能合并的，要合并，那这运用到我们上一课内容了啊，所以说，嗯，先乘除再加减，一定要注意。 那这个呢，我们可以进行分母有理化之后啊，再合并，我们也可以啊，直接合并，那这个根号二分之一，实际上是根号二分之一，再加上根号二分之五， 那它分母既然一样，那所以得到一个根号二分之六啊，不加一十六，那再进行分母有理化啊，就变成了这个二分之六根二啊，二分之六倍的根号二， 然后呢再进行约分，那所以呢，等于三倍的根号二，三倍的根号二，那我们也可以先给他约了啊，先给他分母幺理化啊，分母幺理化呢，这变成二分之根号二 啊，再加上啊二分之五倍的根号二啊，所以呢就得到了二分之六倍的根号二 啊，约掉等于三倍的根号二也是没有任何问题的啊，我尽量的用多种方法来啊，同学，可能还有别的方法，你自己思考一下啊， 那这个呢，就是简单的这个 a 乘以括号 b 加 c 的， 那就给它分配进去就可以了。这边呢啊，根号二乘以根号六，其实等于根号十二，再加两个根号相乘，那肯定就等于等于六了哈，根号六乘以根号六，那这个根号十二我们可以上一步就可以写成了，它就等于什么 二倍的，正好三啊，加上六啊，这两个，注意这两个是不能合并的，因为它俩不是同类二次根式，它是二次根式，它是一个整式啊，那最后呢？这个，嗯， 这个呢就，嗯，还是用我们的 a 啊，它乘以它，它乘以它，它乘以它的，它乘它啊，这个和我们这个什么是一没有任何区别的 啊，也是第一项乘以第一项，第二项乘第二项，第二项乘第一项，第二项乘第二项，注意符号啊，就可以了。那这个呢，我们先看啊，第一个是啊，三倍的根号十，一定注意里边和里边相乘，外边和外边相乘， 就根号里边的根号里边相乘，根号外和根号外相乘。那注意这是一个减啊，减去二倍的根号十五啊，这个呢就是加上啊， 三倍的根号十二啊，三倍的根号十二，根号十二也。注意啊，我们画出来它是可以什么的。最后这个呢根号六啊，减去二倍的根号十八啊，减去二倍根号十八。 那最后呢，我们看把它还能不能合并啊，还能不能合并，那这个三倍的根号十没有什么好弄的， 这二倍的根号十五呢，三五十五，他也没有什么好弄的，减去二倍的根号十五，但这个就可以了啊，这个就可以，因为我们这个十二我们已经做了很多遍了，这个十二就是啊，二倍的根号三嘛，所以说加上六倍的根号三，那再减去这个，减去这个 啊，这个是三倍的根号二啊，三倍的根号二，所以就是六倍的根号二。那看了一下，好像没有什么可以合并，如果没抄错的话啊，他就是这个样子啊，没有什么好合并的。 嗯，那这就是最后结果了啊，最后呢，这个啊，就是我们和公式结合在一起，这是 a 减 b 的 平方嘛，所以说我们就是 a 方减二， a， b 加 b 方就可以了啊，它的平方呢？就是啊，它平方是四、四、三，所以就是十二嘛。 啊， a 方啊，它是减减去二， a b 就是 四倍的根号三啊，再加上一啊，这个我们用平方展开就可以了 啊，这个是一个平方差公式啊，它加它 a 加 b 乘 e 减 b 就 等于 a 的 平方，减 b 的 平方一定注意这个顺序，那所以呢，它就最后就等于一啊，所以呢，这些题目呢，我们一定要就是 认真仔细啊，多加训练啊，这整个这一单元，它就是一个基本的运算能力。

大家好啊，我们来学习一下第七章二次根式。嗯，如果说你啊听着有点啊，如果说听完了之后你如果觉得有点困难的话啊， 我们可以回去复习一下啊，七年级的这个实数啊，应该是在七年级的上册啊，有一张叫实数啊，回去复习一下这个啊，我的，嗯，七上的这个也有啊， 那二次根式呢？是啊，紧接着实数以来的一个这个啊，我们的代数部分啊，代数部分。 那第一个呢？首先我们要啊复习一下，复习一下什么叫做啊，什么叫做平方根啊？什么叫做算数平方根啊啊，大家可以思考几秒钟啊， 那什么叫平方根呢？那我就不讲的太详细了啊，就是说啊，正负开根号，这叫这就叫做平方根啊，然后呢这呢就叫做算数平方根啊，上面那个他就叫平方根，平方根。一定注意，平方根是有两个的， 那比如说我说五的平方根实际上是正负根号，那我说二的算数平方根，那就是根号二啊，大家一定注意啊，这个多了个正负的呢，他反而就是说，呃，他这个汉字上他少 啊，少的呢，他这个汉字反而多啊。这个首先我们要搞就这个东西，如果你这个东西搞不清楚的话，那你这一张都在云里雾里的学啊，一定注意啊，那我们这个二次根式呢，我们不研究这个平方根的情况啊，我们研究算数平方根的情况啊。 嗯，什么样的东西叫做二次根式呢啊？就说他长得像这样的啊，但他也不一定全是这样啊。嗯， 其中的 a 呢叫做被开方数啊，那其实呢，我们就是二次根式呢，我们在实数上已经学了。这个根号呢，那其实就是说啊，一个东西的平方的一个逆运算啊，逆运算，那比如说啊，五的平方等于二十五 啊，那所以呢它的逆运算呢，就是根号二十五等于五啊，根号二十五等于五， 那二上哪去了？二其实在这呢，我们二一般都省略不写，那其实呢，到后期呢，到了高中我们其实也可以知道，你可以写成二十五的二分之一次方，他也等于五啊，他的二分之一次方，他的根号是没有任何区别的 啊，没有任何区别的啊，我们要稍微指导一下啊这个东西。嗯，这就是这个什么叫做二次根式那因为什么东西啊？因为是五的平方等于二十五啊，所以说根号二十五才等于这个。 那所以我们算在算根号二十五的时候，我们要在想谁的平方等于二十五，谁的平方等于二十五，他如果说能有人的平方啊，有一个数的平方，他等于二十五，比如说五啊，五的平方等于二十五啊，那所以呢他就等于五啊，那比如说根号五，谁的 这个平方等于这个这个这个五呢？谁的平方等于五呢？啊？没有，那没有，他就根号五就是最减形式了啊，根号五就最减。根号五，他也是一个数，他有的是可以算出来，有的是算不出来的啊， 他如果说有一个数是他的平方，比如说二十五啊，五的平方是二十五，那所以说根号二十五就等于五， 那根号五呢？没有一个数的平方等于五，那我们只能说啊，根号五的平方就等于五，那所以说根号五呢？他 啊，根号五，他就等于根号五，他已经是最减形式了啊，这个是我们的二次根式啊，这也是我们嗯，最减二次根式啊，这个一定要搞清楚啊，因为没有为什么说啊，他这个根号下啊，一定是负的呢？那比如说根号负一 啊，当然是说我们在实数范围内，实数范围内啊，到了高中我们学虚数的话啊，这个就可以做了啊，那谁的谁乘谁等于负一呢 啊？两个相同的数乘起来，因为我们知道正两个正数相乘，它等于正的，两个负数相乘，它也等于正的， 那是哪一个相乘等于负一呢？所以说我们就说在实数范围内啊，他是无意义的啊，无意义的同时呢，我们也要求了，就是说，呃，我们这个啊，双重非复性，也就是说啊，他本身要大于等于零，然后呢，被开方数也要大于等于零啊，因为根号零是没有问题的，零的平方等于零 啊，是没有任何问题的啊，这是我们首先要了解什么是概念。嗯，也就是说他这个这个这个啊，除了他如果说有意义的话，那根号下必须要大于，比如说根号下一个 x 减五， 那如果说我们要是他有意义的话，那必须是 x 减五要大于等于零，那所以 g x 大 于等于五啊，这个当 x 大 于等于五，就是他有意义啊，所以说呢，我们要首先判断是不是二次根，首先要判断他是不是这个东西， 那有很多，比如说根号三减派啊，那三是比派要什么？三是比派要这个小的，那三减派肯定小一点，那它呢，就不是啊，因为它这个根号下已经小于小于零了啊，它是不可能的 啊，这这些定义呢，我们要非常熟悉，那这个呢，它的性质呢？也就是我刚才说的双重配合性啊，它根号下也大于等于零，这个呢啊，被开方数也要大于等于零 啊。第二个呢，就是说二次根式的平方啊，就等于是被开方，比如说啊，他啊，先什么啊？他是一个二次根式，他平方了之后，他等于就跟他底下这个东西，那我们说了，就是说这就是他的逆运算吗？啊，所以说他先这个，这个 乘以这个，它的平方就等于这个嘛，那跟我们刚才说的这个啊，我们说根号 a 呢，写成 a 的 二分之一次方，那其实再乘以个二，那就是等于 a 嘛，啊，你给它乘过去，根据我们密算的性质 啊，这就是啊，二次根式的平方就等于它微开方数，那比如说就是说根号五的平方就等于五嘛， 啊，啊，根号十的平方就等于十啊，这个没什么好说的啊，那我们要注意的一点就是说我们也是实数里面放下去，就是，那这个是先根号再平方啊，等于根号啊，当 a 大 于等于零的时候，那其实这个啊， 先根号 a 的 平方等于 a， 那 我们只写这一个，嗯，不写 a 大 于等于零 啊，也可以啊，因为如果说我们这是提设，这是结论的话，你要想使它有意义，你想使它能算，这 a 就 必须大于等于，那我们在这呢写这个大于等于零呢，是一个，呃，就是 专门提醒我，专门提醒，那其实出来这根号 a 他 出在题中，那如果这个题还是对的话，那他肯定大一等，所以说这个其实就隐藏着一个 a 大 一等啊，隐藏一个 a 大， 这是先根号再平方就等于原来的数。那我们啊， 在识数的时候，我们学这个东西叫，那先平方再根号呢？ a 的 平方再根号，这个等于什么东西呢？ 这等于 a 吗？是不是等于 a 呢？啊？这个前面听过的同学一定知道他等于 a 的 绝对值啊，先平方再根号啊，你看啊，如果说我们一个正数是吧，先平方了之后是不是正的再开放，是不是就等于 a？ 那 如果是一个负数的话，先平方是不是得一个正数？那再经过二次方呢？是不是还得到正数？也就是说正数和负数输入进去通通得正，那和我们绝对值的这个意义不是完全一样吗？ 啊，所以说先平方再根号就等于绝对值啊，这个呢，他就没有这个正负之分了，正正的分都可以啊，这是我们这个二次根式的一些性质啊，我们主要考的内容就是让你识别一下是不是二次根式 啊。嗯，首先呢，就是说这个根号下必须大于等于零啊，小于等于零的这个东西不是。

初三同学一直呼吁讲一下这个初三下的这个数学，由于是这个旧课本呢，不是特别想讲，但是大家问的比较多，我呢 给大家更新一些。就是啊，寒假够预习的啊，大概两个单元左右啊。嗯，第六张平特殊的平行四边形大，大家大概已经都学到了啊，因为这学期特别长，所以呢，大概率是已经都学完了。嗯， 第一个呢，就是菱形的性质与判定。那首先呢，它的定义是什么？菱形的定义是什么？那我们学几何呢？我们学平行四边形也好，学全等三角形也好， 我们是先学什么？先学性质，再学判定啊，我们初中的几何都是这样的啊，这个我已经强调过多次了，那性质呢，就是说它已经是菱形的情况下，它具有什么样的性质？那就是说因为它是菱形，所以得到的这些结论，我们统统叫做性质 判定呢，就是说我们需要哪几个条件才能判断？就说因为什么什么什么，所以它是菱形啊，这两个呢，我们要区分好啊，性质判定，那定义呢，我们可以通过定义来判定。第一个定义呢，就是 一组对边相等的平行四边形啊，一组对边啊，一组邻边相等的平行四边形，它本身就是对边相等，那你带有一组邻边相等，那它就相当于是四条边都相等啊。 啊，这就是菱形的这个定义。那菱形的性质呢？就是第一个啊，它具有平行四边形的所有性质啊，平行四边形的性质，我们书上的一共有四条啊，大家一定要记清楚啊。啊，对边平行啊，对角相等啊， 对角线这个一，这个对角线这个互相平分呢啊，还有 对边平行，对边相等啊，对角相等啊，对角相等，平分啊，就这四点性质啊，大家一定要搞清楚啊，它呢，这个 菱形也就平行四边形的所有性质，那它第二场呢？不一样的地方，二三次就是啊，它不不跟平行四边形不一样的地方啊，第一个呢就是它四条边角相等，那它又有一个邻边相等，那相当于就是四条边相等了 啊，最下一个呢就是对角线互相垂直啊，对角线互相垂直且啊平分一组对角啊，并且每个对角线都平分一组对角啊，这是菱形所具有的特殊性质啊，对角线互相垂直啊，并且每一个对角线呢都平分一组对角，嗯， 这个菱形我们随便画一个，什么意思呢？就是如果它是菱形的话啊，这个角线相等，这个角和这个角相等， 那这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，平分于直角啊，最后一个呢就是它是轴对称图形，且是中心对称，那我们平行四边形已经是中心对称图形啊，它自己呢，它又是一个轴对称图形啊，这是平行四边形性质。然后呢，我们有一个平行四边形的这个 啊，特殊的算法，算面积啊，平行性这个菱形啊，菱形的特殊的算面积的方法啊，菱形的算面积呢，我们可以对对角线相乘的二分之一啊，对角线之积的二分之一来算它的面积啊，这是它的这个呃特殊的算法， 嗯，最后一个呢啊，就是这个这个菱形的判定啊，我们要知道什么东西才能判定它是菱形？那数上了，一共我们介绍了三条 啊，当然我们还有别的判定法啊，第一个呢，就是啊，定义啊，一组邻边相等的平四边形，也就是说我们先证他是平四边形，然后再证他一组邻边相等啊，这是一个判定。那你也可以直接证四条边都相等啊，四条边都相等， 然后呢，你可以正他啊，对角线相互垂直了啊，只要是平行四边形，对角线再相互垂直，那他就是平行了。那同样呢，我们也可以啊，正他对角线啊，互相平分并且垂直啊，就是对角线互相平分呢，证明他是一个平行， 然后呢，这个对角线互相垂直呢，证明他是一个菱形啊，这就是这个特殊平行四边形之菱形啊。 啊大需要大家记得东西多，因为经常和后边要混啊，所以说呢，嗯，学完了这一张呢，最后最好还是要自己多整理一个思维导图啊，你整理好思维导图之后呢，你才能越啊熟练的这个记忆。

大家好啊，我们有些同学对这个计算还是不是特别熟悉啊，一直强调的是这一张就是。嗯，以练习为主，你得这是基础运算能力的 啊，也是一种。嗯，所以呢，还是要多练啊。那我再给大家演示几道题，大家可以这个暂停一下啊，做完之后，嗯，然后呢再看， 我们首先看第一个哈，第一个还是标准的这种乘号分配率啊，乘号分配率，那啊，他呢根号三乘以根号三呢，很明显呢就等于三了。 那根号三乘以根号六呢？那我们在可以在心里想，这个根号六可以变成根号三乘以根号二，那根号三乘以根号三还是三，那这根号二呢？就没什么好变，所以说就是三加上三倍的根号二啊，这第一个， 那第二个呢？就是二倍的根号五加三，嗯，乘以三倍的根号五减二。嗯，这个没有什么好说的，只能是这样。嗯，这个 一个一个乘，那第一个呢？二根五乘以三，根五呢，它是二三得六啊，六根号五乘以五是五，所以呢加起来是三十，然后这个二根五再乘以负二，所以就是减四倍的根号五， 然后呢这个三再乘以啊，这个三倍根号五三得九，那就加上九倍的根号五，那最后呢三乘以负二呢，就是减去六。嗯， 那到这呢，我们看就看有没有同类二次根式有没有可以合并的啊？一看啊，这两个可以合并啊，这个呢和这个可以合并，所以呢三十减去六呢，就是二十四，这个负四根五加上九根五呢，就是加上五倍的啊，根号五 啊，这是这个题，嗯，那下一个呢？嗯，没什么好说的。嗯，它也不太能用什么减二 a b 加 b 方。嗯， 那 a 方呢，那我们已经非常熟悉了啊，它是一个八啊，二倍的根二的平方，因为二倍根二是根号八嘛，这个根号八的平方就是八 八，然后它减去啊，这个二倍二 a b， 那 就是我们在心里想一下啊，就是四倍的根号十二，但是呢，根号十二呢，我们很明显是啊，它等于二二倍的根号三 啊，那所以呢，他就是减去八倍的根号三。 嗯，最后一个呢，就是啊，加上六了啊，加上六，那很明显呢，我们先合并一下，就是十四，减去八倍的根号三。 嗯，这个呢，我们也可以用这个啊， a 方加二 a b 减 b 方的这个啊， a 加 b 的 平方等于 a 方，加二 a b， 然后加 b 方，那这个呢，我们仔细一看，它还可以，其实里边就直接可以合并的 啊，如果说你做的比较熟的话，它其实直接可以等于二分之根号二，再加上根号二的平方， 那我们直接给他平方就可以了啊，直接平方呢啊，得到四分之 三，三得九啊，九乘以二。我为什么不把它写成十八？因为反正我们也后边也要约啊，那他约掉呢，就是二，所以就是二分之九， 二分之九。那我们还是用前面方法来来这个做一下，看一下是不是。 嗯， a 方呢，它是二根号二分之一的平方，那所以呢，乘起来是二分之一，再加上二 a b 啊，两个啊，二，再乘以，其实它呢是二分之根号二 啊，再乘一个根号二，二 a b 啊，再加上二，那这个呢，它和它可以约掉，它乘它起来是二，所以说呢，还是二分之一加二加二，最后还是呢二分之九 啊？大家可以比较一下这两种方法。嗯，另外一个呢，这就是平方差了，还是啊，根号七减去二，根号七乘以加 b 的 平方，就 a 的 平方减去 b 的 平方， 根号七的平方呢，它就等于七，那二的平方呢，它就等于四啊，所以呢就等于三啊，这个呢，嗯， 稍微进行了一下变换，那它其实是，嗯 b 加 a 啊，然后乘以呢 啊， a 减 b， 那 其实我们这个平方差公式我们是用啊，我们是以这个减的这个啊，加的这个，因为可以随便调换嘛，所啊，所以说是我们其实是根据这个减的来判断顺序，那肯定是二倍根号二的平方减去根号六的平方， 那所以呢，给他俩互换一下啊，就是 a 加 b 乘以一减 b 了，所以就是加平方八了，我们已经非常数了，减去六就等于二， 嗯，这个呢，这两个题呢，是其实是一模一样的啊，这其实一模一样，那如果我们非要把它展开的话，那它其实有点麻烦的， 那如果说我们完全平方那一个学的比较好的话啊，那其实这个可以可以秒出答案的。那其实 a 加 b 的 平方，再加上呢，这个 a 减 b 的 平方， 那这是 a 方加上二 a b 减 b 方，那这呢是 a 方减去二 a b 啊加 b 方，那所以呢，这个正二 a b 和负二 a b 其实是没了， 那以 a 方呢啊，就是等于两倍的括号里 a 方加 b 方啊，或者说两倍的 a 方再加上两倍的 b 方啊，其实我们可以直接写的两倍的 a 方呢，就是 a 就是 根号二，根号二就是 a， 根号的平方就是二，两倍的 a 方呢，它其实就是四，那再加上两倍的 b 方呢？啊，这个它 b 等于根号三，所以 b 的 平方就等于三，两 b 的 就等于六，其实呢，它直接可以等于十， 那这个呢，其实也是啊，我们直接等于二 x 加上二 y 就 可以了 啊，你做也是这样啊，你把它展开之后啊，我们如果说因为 a 加 b 和 a 减 b 啊，它的核呢，就等于四， a 加四 b 啊，就等于二 a， 二 a 方加二 b 方啊，二 a 方加二 b 方。那如果说这个地方换成一个减号呢，如果换成一个减号呢？ 它其实啊， a 方 a 加 b 的 平方和 a 减 b 的 平方其实就差一个四 ab， 那 所以呢，它换成减的话，我们也可以看出直接就是四倍的根号六， 那这个呢，如果说换成一个减号的话，它也是啊，等于这个四倍的根号 x y 啊， 嗯，因为 ab 就是 根号 x y 嘛，所以说看到这种平方这种完全一样东西，我们要敏感啊，这两个呢就比较常规了，那这个 七分刚好七分之一，我们就分享出来，就是七分之根号七啊，上下都乘根号七，再加上这个四七二十八，四 k 出来两倍的根号七减去这个呢啊，这是七乘一百一百呢，是十的平方，所以说十倍的根七。嗯，那这个呢，就是，呃， 七分之一跟七七分之一加上二再减十啊，十减九，那其实就是负的十减去这个什么二有七分之一，那所以呢，负的啊，七又七分之六倍的根号七， 嗯，这样写出来是不行的啊，我们只能写上七负的七分之七，七四十九，四十九，九九加六啊， 五十五倍的根号七啊，这样啊，千万不能刚像我刚才写这样，就是说代分数乘代分数，因为 这个代分数这个地方是一个加七，有七分之二的时间是个加，你又你把它放到这也不合适，把它放后边也不太合适啊，所以说我们最后要一定要换成假分数的形式啊。 啊，最后一个，这个啊，这个三十二，是啊，十六乘以二，所以说是四倍的根号二再减去的啊，二分之三倍的根号二，再加上根号二， 那这个就是四减二分之三再加一了。其实四天加上一就五，五减去二分之三，五减去一点五，其实是什么啊？五到二分之十就是二分之七倍的根号号， 写后边也行，写上边也行，我们写上边更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，然后呢？这个八下的这个，嗯，课程我们就更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，嗯，然后呢，这个八下的两个单元基本上够用啊。 嗯，这一这一张你就是学会了啊，你每天多做一点这种练习题啊，绝对不亏。

好，那我们刚才学了矩形的性质，对不对？那矩形的性质 我们刚才学到了，对吧？首先呢，它一定是个平行四边形，那在平行四边形的基础上，对不对？我们有些特殊的性质啊，你像 在平行四边技术上，那我们知道是不是它的角是九十度呀？那在平行四边技术上，我们知道对角线是相等的呀，对吧？那我们学完性质，我们要看它的判定，既然是判定，对吧？我们 还是要看他的定义，他的定义我们知道他其实他的性质对不对？性质，首先呢，在平行四边基础上添加了一个角是九十度，这种是矩形，那我们也可以作为一个判定。判定什么？如果你知道了一个平行四边形，哎， 这个平行四边形，我中出来一个角是九十度，那就可以证明这个平行四边形它就是一个矩形，对吧？并且呢，这个判定两个方向。我们上节课学平四边形的时候，是不是咱已经学过了？是不是 一个是间接的判定？间接的判定是不是直接的判定？直接的判定呢？就是在普通的四边形， 普通的四边形在基础上，哎，我加了一个条件，加了一个条件，直接证明它是个矩形， 这是直接判定。那什么是间接判定？间接判定呢？我已经知道了，它是一个平行四边形， 那我再加一个条件，那我推出的是矩形，它就是一个间接的判定， 大家明白吧？一个直接和一个间接，直接什么？在普通的四面形的基础上，你添加了条件， 直接给他推出来是矩形，那他就是一个直接了。间接什么？你首先呢在平行四边形的基础上，然后呢你再添加条件，就说你已经知道了他是一个平行四边形，再添加条件变成了推出来他是个矩形，这就是一个间接判定。 好，那我们看一看啊，这两种一个直接判定，这样呢？ a、 b、 c、 d， 它是一个普通的四边形，是吧？那我们添加一个什么条件，它可以变成一个矩形，大家要多思考啊，多思考如何添加条件， 这呢是一个直接的判定，在普通的四边形的基础上。 大家说，哎，老师，我添加一个角是九十度，可不可以啊？人一个角是九十度，我们刚才的定义说了，一个角九十度，他必须在平行四边形的基础上，对不对？你添加一个角，那我们添加两个角是九十度，行不行啊？ 大家可以考虑考虑啊，可以举反例啊，可以举反例， 你看两个， 我这个，我这也是个四边形，是不是？你看两个角是九十度，你看他是一个矩形吗？是不是明显的？不是啊，也就说两个角是九十度，他也是推不出矩形的。那我们想一下，如果我三个角是行不行？大家可以看一下啊，我们知道四边形 内角和 四边形的内角和是三百六十度，对不对？三百六十度，你看内角和 三百六十度，如果我已知三个角是九十度，已知三个角 为九十度，是不是第四个角我也能推出来，是，也是九十度。那再一个四边形，如果它四个角都是九度，那你说它是不是矩形？是不是？一定是？也就是说我们如果添加三个角 为九十度的四边形， 三个角为九十度的四边形，那一定是一个矩形，这是一个直接判定，我们主要用到的是一个四边形的内角和三百六十度，大家可以回切了， 你可以试一下，你看一看，你如果一个四边形，你给他三个角都是九十度，你看一看他是不是一个矩形，好吧，那这是直接判定，我们再看一下间接判定什么？在平四的基础上，是不是在平行四边形的基础上， 在平行四边形的基础上添加条件，那首先我们要知道，在普通的四边形哈，我们现在呢就要复习一下上节课学的平行四边形的技术。那普通的四边形如何推出来？平行四边形是不是我们这个判定它有个 判定三幺幺，通过边的维度是不是有三种，两组对边分别平行，对吧？两组对边分别相等，然后呢，一组对边平行且相等， 是吧？这边的角度，那还有对角线的角度是吧？对角线呢，是互相平分，还有角的角度呢？角是对角相等，两个对角分别相等，是不是三幺幺？大家呢一定要不要学了后面的知识啊？把前面的知识忘掉，前面的知识呢，我们一定还要牢牢的记住，牢牢记住就是 普通的四边形，我有个是不是判定方法，三幺幺判断出平四边形，那在这个基础上 我在添加什么条件？第一个条件就是有一个角，是不是我们刚才学了它的定义，有一个角为九十度的平行边形，是不是是一个矩形？那我们还有另一种间接判定哈， 就是对角线相等的，如果你知道了这个平四面形，并且呢，你能把它的对角线，哎，你推出了它是相等对角线相等 的平四， 这是间接判定啊，这是间接判定， 这是直接，现在大家能明白他们之间的关系了，是吧？在普通的四边形，我添上了三个角为九十度，哎，我就能把这个四边形变成矩形，那在平行四边的基础上呢， 我有一个角是九十度，哎，这种平行四边形，它就是矩形，或者呢，如果对角线相等，这种平行四边形，它也是矩形，这是两个方向啊，两个方向。 好，那我们呢，做一道题练习一下啊，要判断一个四边形呢，它是否会矩形？下面是四位同学拟订的方案，其中正确的是，就是呢，要把一个普通的四边形，普通的四边形变成矩形，是不是？刚才咱学了， 这是一个直接判定，是不是，这是一个直接判定，那直接判定，我们刚才说了有一个条件是什么？是不是三个角为九十度？ 三个角为九十度，那是谁？ a， 对 边分别相同，是不是？对角线是否垂直平行，是不跟我没关系？三个角为直角，这个没问题，对角线是否相等是什么？这是一个间接的，间接的判定 基础是什么？你一定知道它是一个平行四边形了， 所以呢，这道题正确的就是选 c 啊，所以呢，你看，我们给大家直接总结的哈，就是你要看他这个四边形，是平四边形呢，还是 普通的四边形，对吧？普通四边形，那我们直接判定这一个，直接就秒出答案啊，秒出答案。其实呢，大家呢，可以看一下啊，这是一个正常用到的反例啊，一个等腰梯形，你看一下他的这个对角线相等之后，他根本不是矩形，对不对？ 还有一个是一组对边平行，另一组对边相等，对不对？我们当时学过平行四边形推它是不是一组对边平行，另一组对边相等，它也不是平行四边形，是吧？这是一个等腰梯形啊，这是一个非常经典的反例啊，这是一个反例啊， 并且呢，还是很经典的反例，经典反例啊，大家一定要牢牢的记住这个等腰梯形啊！ 好，看一下这道题，就是在平行四边形呢， a， b， c， d 里面， n 和 m 呢，分别是这个对角线 b， d 上的一两点啊。首先呢， a， b， c， d， 它是一个平行四边形，这是一致条件啊，那这是一条对角线两点，并且呢，还知道 b， m 和等于 d n， 是 吧？ b， m， d， n 相等，又连接了 a， m， a， n， m， c， 嗯， c， n， na。 然后呢，让我们要添加一个条件，让这个四边形 a， m， c， n， a， m， c， n 为矩形。 首先大家看一看 a， m， c， n， a， m， c， n 这个我们上节课学平行四边形的时候，咱是不是已经中过了，因为你看一下啊，咱再大家再说一说啊。首先呢，我们知道是不是平行四边形 a， b， c， d 中，是不是？我们知道它有个对角线互相平分，也就是说 o a 等于 o c， o， b 等于 o d， 是 不是？ 这是我们是不是？ a， b， c， d 是 平行四边形里面我们知道的 o 是 双中点，对吧？ o， b 等于，那又因为什么？又因为 b m 等于 d n， b， m 等于 d n， 那 你说我 o b 减去 b m， 这个等于 o d， 是 不是减去 d n， o b 等于 o d， 是 不是在左右两边同时减去一个相同的数，是不是同时仍然成立？那 o b 减去 obm， 是 不是这边就是 o m， 这边是什么了？是不是？ o n 是 吧？ o m 等于 o n， 你 看 o m 等于 o n， 这一块和这一块，我弄个叉吧，这个叉是不是它俩相等？这个圈和圈又相等，这是不是又是一个 o， 又是双中点？说明什么？是不是说明 a m c n 是 平行四边形？对角线互相平分是平行四边形。 也就是说，在这个题里面，其实给我们的这个条件，给我们了一个平行四边形 a b c d， 并且还知道了 b m 等于 d n， 我 们就能推出来它是平行四边形。现在呢，又推出来，你必再添加一个条件，变成矩形，是吧？变成矩形， 那平行四边形添加矩形到矩形，我们刚才说了要添加什么条件？第一个是不是有一个角 为九十度，它可以变成矩形？第二个是什么呀？第二个是不是对角线相等啊？ 那我们就看一下给的这些条件哪一个能满足？首先呢， o m 等于二分之一 a c， o m 等于二分之一的 a c， 大家可以看一下 o m 等于二分之一 a c， 这个呢，能不能满足？ o m 是 不是相当于 o m 又等于 o a， 你 看 o m 等于二分之 c， 也就是说 o m 等于 o a， 那 o m 还等于二分之一的 m n， 是 不是那 o m 等于 o a？ 其实呢，也能证明，是不是这个 n m 就 等于 ac， 它就能推出来 n m 就等于 a c， 对 不对？这是什么呀？这是对角线相等吗？对不对？ o m 等于二分之一 a c， 因为呢， o， m 又等于二分之一的 m n， 是 不是谁推出 m， n 等于 e c， m， n 等于 a c， 那 就是这个 a， m， c， n 这个平四边形是不是对角线相等啊？那这个题咱这个 a 选项先定上，大家看一下。 mb 等于 m o， mb， mb 等于 m o， mb 和 m o 相等，说明什么？说明 om 是 中点， m 是 中点，跟这个平行四边形 a， m， c， n 是 矩形，是不是没有任何的关系？那再看一下 b， d 垂直 ac， b， d 垂直于 ac， 说明什么？说明这条线是不是垂直平分？哎，垂直垂直，然后呢，它又是 互相平分，互相平分，这不是跟矩形，我们知道对角线，它是只要相等，我们就能对它是矩形，对不对？那这个也是不行的啊，那 a， m， b a， m b a， m b 这个角 等于 c n， d， c， n， d 等于这个角，这两个角相等，它能有什么关系啊？ 数字根本推不出你这两个角相等你，你推不出来它们角有九十度的关系。所以呢，这个也不行，我们用到的就是 a 选项，对角线相等，对角线相等。 好，那咱再看一下第三个啊，这个题，如图，四边形呢？ a， b， c， d 中这条线 a， c， b， d 相交于点 o， 然后呢？ a， o 等于 c o， a o 等于 c o 红，然后呢， b o 等于 d o， b o 等于 d o， 这个说明什么呀？同学们，我们已知了 a o， c o， b o， d o 对 角线，是不是这时我们就能推出来？对角线，互相平分 就能推出来？是不是四边形？ a， b， c， d， 它是平行四边形。 其实呢，就通过 a， o 等于 c o， b， o 等于 d o， 我 们就能推出它是平行四边形，然后呢，又已知 a、 b、 c 和 a、 d， c 等于一百八十度，就是 a、 b， c， abc 这个角和 a、 d， c， abc， a， b， c， a， d， c 这个角相加一百八，我们知道它是个平行四边形，平行四边形是不是角？ a， b， c 和 a， d， c 它是对角，是不是？它俩是相等的角， a， d、 c 它俩相等，你看两个角相等， 并且呢核还是一百八，是不是就能推出来它们都是九十度啊？就是说其实这个角和这个角其实都是九十度了，对不对？就是九十度了， 九十度，两个角相等，并且呢和是一百八。同学们，你想想，我们设为 x 是 吧？等于 x， 它们相加是二 x， 二 x 等于一百八，那 x 是 不是就等于九十度？所以呢，非常简单啊，非常简单。这个呢，不需要 同学不理解的哈，自己自己仔细考虑考虑啊，他们俩相同，和又是一百八，他只能是他们俩都是九十度啊，那又是平行四边形，又一个角， 这是两个角，是九十度了，是吧？那一个角是九十度。平行四边形，我们就能推出来它是矩形，对不对？那你说四边形 abcd 是 什么？是不是？那我们推到这里，大家都知道一定是矩形了，对不对？是矩形。现在呢，我们 又让我们啊，已知呢，这两个角它的比，直角的比值是三比二，那我们知道是不是渐比要十 k 啊？渐比 是 k， 那 我们就把这边是一个三 k， 一个二 k， 是 吧？一个是三 k， 一个是二 k， 这是二 k， 这是三 k， a， d， f 是 三 k， a， d， f 这边是三 k， 这是二 k， 我们看一下这个三 k 加二 k 加起来是不是九十度，是不是就能推出来？ k 等于十八度， k 等于十八度，那这个角是二 k， 是 不是它是三十六度？ 这边呢？是，是不是上面是五十四度，五十四度。 我们呢再看一下啊，已知呢， d、 f 和 a、 c 还是垂直的，是吧？这个条件我们还没用来， d、 f 和 a、 c 垂直，垂直，那这是一个直角三角形，这个角是九十度，这个角是多少度？是不是九十角？ dcf 等于九十度，减去 三十六度等于五十四度，是吧？这个角是五十四度，这个角是五十四度。现在要求 bdf 的 角，那你说我们又该怎么求？同学们又该怎么求？ 是不是我们已知是矩形里边，我们还有一个等腰三角形没有用过，矩形里边 o、 d 是 不是还等于 o c， o d 等于 o c 就 能推出来角 b、 d， c 就 等于角 a、 c d 对 不对？ a、 c、 d 是 不是就是 d c、 f， 它就等于五十四度，那 bdc 呢？ bdc 大家看一下啊，我给大家擦掉啊，重新 bdc 是 不是它也等于五十四度，它是五十四。然后呢，现在求的是 bdf， 求的这个圈儿 是不是整个的五十四？已知了 fdc 差是三十六，是不是我们就能推出来角？ bdf 就 等于 bdf 就 等于角 bdc 减去角 d， fdc 就等于五十四度，减去三十六度十八度。你看这是我们在这个思路哈，首先呢， 第二问，已知我们是矩形了。第二问，我们就见比设 k 设 k 呢？我们这个角求出来了，是吧？这个角其实呢在里面没有用到。然后呢，已知这个角已知垂直说我们就把这个角求出来，这已知这个角了， 是不是我们又知道 o d 等于 o c， 它是一个等腰三角形了，等腰三角形是吧？这个角我们就求了五十四度，那要求的这个角五十四减去三十六，是吧？直接十八度， 那这是呢？完整的步骤哈，这是完整的解析步骤，大家可以看一下哈，这是完整的解析步骤，大家可以看一下该截图截图哈，该截图截图。 好，我们呢把矩形的性质与判定法咱做一个总结。首先呢，咱看矩形的性质，关于边的这个三个维度，第一个边的这个是不是两组对边分别平行，两组对边平行走，这是不是用的什么？这个是 平行四边形的，知不知道？因为呢，矩形它也是个平行四边形，所以呢，平行四边形的这个性质它也有，它也有啊，那角的这个性质呢？是四个角为九十度，这个呢就比较特殊了，对不对？我们平行四边形，我们知道 他的对角是相同的，但是呢，这个是四个角都为九十度，那对角线这里面呢，我们知道对角线互相平分，这是平行四边形的，然后呢，对角线又一个相等，这是我们矩形特有的，对吧？矩形特有的啊， 那我们看一下，学完了性质，我们再看一下它的判定，今天呢，判定我们主要从两个方向，一个直接判定，一个间接判定。那三个角为九十度的四边形，是吧？我们知道它是一个直接判定， 还看了呢，有一个角九十度的平行四边形，和对角线相等的平行四边形，它都是矩形，对吧？这是一个间接判定啊， 间接判定好，那我们呢？通过性质以及判定呢？再把矩形这一个板块呢？就第一个模块就学完了。

八年级下册数学真正拉开差距的不是计算，是这三点。第一点，勾股定律公式不难，难的是什么时候用，怎么用。在几何里，一旦和图形面积最值放在一起考，很多孩子立马就不会了。第二点，四边形，这是八下几何的核心， 平行四边形矩形菱形正方形，性质一多，就开始乱证乱算。第三点，依次函数，这是初中函数真正的起点， 不是画个图就完了，而是图像解析式增减性要来回切换。这一步没打牢，后面的函数几乎都会吃力。八下数学，谁在这三块提前预习清楚，谁后面就明显轻松。

哈喽，各位同学，大家好，我是文英老师，今天这一讲呢，我们一起来学习菱形的性质。那首先呢，我们要先来看一下在这个特殊四边形当中，菱形它具有什么样的性质，那么后面呢，我们还会再去学到菱形相关的一些判定。 那么在这节课当中呢，我们要清楚，首先什么是菱形，它的定义是什么，那么它所具有的一些性质来解决一些计算的问题。那我们首先来看一下今天的学习目标， 第一个我们要清楚菱形的一个定义，什么样的形状的这个四边形是一个菱形，它和平形四边形有什么样的区别？第二个我们要清楚菱形所具有的特殊的性质。第三个应用菱形的性质进行计算和推力。 ok， 那 我们一起来进入今天的这个课程。那首先呢我们先看一下这个这几个图片啊，这就是我们在生活当中能够接触到的一些菱形啊，比如说我们挂衣服的门口，挂衣服那个衣架钉在墙上那个样子的 啊，是有菱形出现，对吧？比如说我们的门啊，窗户，哎，上面会有这样的菱形出现，比如说什么很多不同的这种图案啊，地毯啊，毛衣上面的这个图案也都是菱形。 菱形是个非常好看的图形，它非常的具有对称性，而且呢它有非常多的特征，它的性质很多哎，所以今天呢，我们就一起来学习这个生活当中非常常见非常熟悉的菱形它相关的一些性质。 那首先呢，我们来说一下什么样的是一个菱形呢？哎，首先我们看一下在这个图片，在这两个图当中，我们能很清楚的分辨出来啊，菱形是哪一个呀？ 是这个，那平行四边形是哪一个？是这个，那他俩之间呀有很多相似的地方，有很多不一样的地方，那我们今天呢就对比着平行四边形来学习一下菱形相关的一些内容。 我们想啊，这个平行四边形，如果我们把它，哎，比如趁着两个角，然后换一换位置，哎，或者说呢，调整一下，是不是可以变成一个菱形呢？ 哎，有这种特殊的情况的时候是可以的。什么情况？就是一组邻边相等的时候呢，这个平行四边形就可以叫做菱形了，也就是说当 a d 和 c、 d 是 相等的状态的时候，那这个时候呢，咱们这四条边都会相等了，因为平行四边形对边是平行几相等的， 哎，如果一组邻边相等了，四条边都相等了，它就变成了一个菱形，哎，这个就是菱形它具有的定义。那所以第一条同学们要记住的有关于菱形的定义，就是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，这是它的基础定义啊。 那接下来我们再继续往下看，我们清楚了菱形的定义之后呢，我们就来了解一下菱形的性质。那首先刚刚咱们说了一组菱边相等的平行四边形就是菱形了，那也就是说他得是一个平行四边形的基础上，有一组菱边相等， 那么菱形就应该具有平行四边形所有的性质，哎，也就说第一个菱形是特殊的平行四边形，它所具有平行四边形所有的性质。所以比如说对边是平行的，对边是相等的，菱角是互补的，对角线是互相平分的， 这些都是平行四边形所具有的性质，而菱形也都具有，因为它是特殊的平行四边形， 那除此之外，他还有哪些性质呢？独特的性质来，第一个说，他四条边都相等，哎，咱们说了一组邻边相等的平行四边形是菱形，而平行四边形本身对边是相等的，所以菱形呢，四条边都相等。 第二个，菱形的两条对角线互相平分，并且每一条对角线平分一组对角，也就是说这两条对角线是互相平分的，哎， b， 比如说这是 o 啊， b o 等于 d， o， a o 等于 c o 互相平分， 并且每一条对角线平分一对角，哎，这里面这个对角都被平分掉了，哎。接下来第三个说，菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线，哎，轴对称图形大家能看得很清楚了，而平行四边形它不是轴对称图形， 对吧？哎，所以菱形它所具有的一个独特性质，这三条需要同学们都能够记住，哎，这是菱形相关的一些性质，那么它具有平行四边形所有的性质，还有它独特的性质都要记下来，那其实考试爱考什么呢？哎，其实爱考的就是菱形所具有独特的性质，这个一定要记住了。 好，那我们来说啊，这个性质我们讲清楚了，那么我们总结一下他有哪些类啊？怎么分类？首先按边来讲的话，按边来讲，对边是平行的，四条边都相等的，这菱形的性质， 角按角来说，对角都是相等的，按对角线来分啊，菱形的对角线是互相平分的，并且每一条对角线都平分一组对角，最后对称线，菱形是一个轴，对称对称轴是对角线所在的直线。 那菱形的性质在用起来的时候，其实会有一些小小的问题要需要同学们去关注到。第一个就是有一组菱边相等的四边形，不一定就是菱形，必须得是平行四边形才行，所以说到菱形的定义的时候，必须得说到有一组菱边相等的平行四边形才可以啊，这是第一个， 第二个，我们说一个图形的对称轴，他应该是直线哎，并不是线段，而菱形的对角线其实是他的线段，所以我们不能说菱形的对角线就是菱形的对称轴。我们要说什么？要说菱形对角线所在的直线是菱形的对称轴， 不要直接说对角线就是对称轴，这句话是不对的，对称轴一定是直线，不是线段。好了，那么最后一个，嗯，菱形的每条对角线把它分成两个全等的等腰三角形， 菱形的两条对角线把它分成四个全等的直角三角形，由此可以与勾股定律及等腰三角形的性质结合起来，得到对角线与边之间的关系。 哎，其实我们常考菱形呢，还考什么呢？因为我们知道了这个对角线一分，哎，左边和右边都是等腰三角形，哎，这个对角线一分，上面和下边也都是等腰三角形，哎，这是它的特点。那么 根据这个对角线啊，根据这个等腰三角形有特殊的性质，我们知道这条线对角线是互相垂直的，互相垂直呢，就会出现了四个直角三角形，直角三角形就存在勾股定律之间的关系，那你就说这条边，这条边，这条边他们之间存在一个勾股定律的关系， 这四个直角三角形都有这样的关系，所以很常考的就是给你某一条边的长度啊，让你去求一下对角线的长度，对吧？或者告诉你对角线的长度，让你去求一下菱形的边长，这个问题要都清楚，这个地方说的是在菱形的性质音的时候需要注意的一些点。 好，那接下来呢，我们再继续往下说这个菱形的面积，哎，求菱形的面积，同学们会想到的，求平行四边形是怎么求的呀？平行四边形的面积就是，哎，底乘高嘛，那菱形一样也可以这样去用，所以一般的方法就是底乘高就可以了 啊。那对于菱形来说呢，还有一个特殊的做法，因为它的对角线是互相垂直平分的，对吧？对角线互相垂直，那么我们就可以用两条对角线长乘积的一半，也就是说 a c 乘以 b d 再除以二就是它的面积， 哎，就是它的面积。那有同学问老师，这个是怎么来的呢？哎，其实很简单，同学们可以去把它当做什么呀？四个小小这样三角形去算一下也可以，哎，或者说我们直接把它变成两个等腰三角形的面积，然后去计算 也可以，大家同学们可以去试一试，自己去找一下，这个公式就很容易出来了啊。那么也就是说对角线互相垂直的这样的四边形，我们可以用两条对角线长乘积的一半，那也说其实正方形也可以啊，那么同学们我们学到正方形的时候呢，就会带大家再来看一看，他也有这样的一个公式 好了。那么这是菱形的一个面积公式啊，其实要掌握到这两个，那比较考的要多的呢，就是这个两条对角线长乘积的一半。 好，那这个呢，就是菱形的一个面积的公式。那说完这些呢，我们接下来一起来做一些跟菱形相关的题目，我们一起来看一下。 首先第一个题说已知，如图，在平行边形 a、 d、 c 的 当中， ab 是 等于 a、 d 的 对角线， a、 c 与 b、 d 相交于点 o。 第一个让你去证明一下， ab 等于 bc 等于 cd 等于 ad， 也就说证明一下这四条边都相等。 第二个再证明一下对角线平行的，那我们来看一下，其实我们只需要知道它如果是个菱形是不是都可以做到了， 哎，这里面说到了 ab 等于 ad， ab 等于 ad 是 一组邻边相等，然后平行四边形 a、 b、 c、 d 也给出来了，也就是说已知一组邻边相等，已知它是平行四边形，那它能不能是一个菱形啊？ 是不是按照菱形的定义，它就可以得到了？来，也说四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， ab 等于 cd， 然后 ad 是 等于 bc 的， ab 是 等于 cd 的， 哎呀， bc 等于 ad， 这是这个平行四边形的性质，对边是相等又平行的， 而这里面 ab 是 等于 ad 是 已知的，也就说这四条边一定都是相等的啊，一组邻边是相等的，平行四边形一定是个菱形，我们只要把这四条边都相等，都正下就可以了，那它就是一个菱形，那这四条边确实都相等。 好，接下来看一下 ac 垂直 b d， ac 垂直 b、 d 怎么得到呢？我们知道 ab 是 等于 ad 的， ab 等于 ad 的 话，那么这是一个等腰三角形，对吧？啊，整个四边形是菱形的话，我们知道 o、 b 是 等于 o、 d 的， 角线是互相平分，然后有垂直的关系，对吧？哎，垂直等腰三角形，我们可以根据它三线合一的性质，我们知道 o b 等于 o d， o b 等于 o d， 这里面有垂直的关系，那这有垂直 a、 c 就 会垂直 b、 d， 我 们就得出来了。哎，这个比较简单，只要我能证明出来它是菱形就可以解决了。 好，来，接下来我们看第二个问题啊。第二个问题说，在菱形 a、 b、 c 当中，对角线 a、 c 和 b、 d 相交于点 o、 b、 a、 d， 这里面这是六十度啊，那么 b、 d 等于六，整个长是六，然后求一下菱形边长 ab 和对角线 ac 的 长度。 那么这个题比较特殊了啊，这里面说到了这是个菱形，那所以四条边都相等，这又给出个六十度，说明什么呢？ 说明这个 a、 b、 d 和三角形 b、 c、 d 啊，他应该都是两个等边三角形，对吧？应该有六十度出现吧？是等边三角形好，然后 b、 d 是 六，我们就能知道了。菱形对角线是互相平分的，那这就应该是三，这就应该是三， 对吧？三加三得六嘛。哎，所以接下来呢，我们再看一下，那这这个角度就应该是三十度，对吧？菱形的一组，它的对角的，所以这是三十度，这是九十度，这是六十度。 哎，在一个三十度、六十度、九度的直角三角形当中，让你去求一下它的这个斜边长，是不是会求呀？ 三十度的斜边是斜边一半， ab 的 长是六，可以出来，对吧？那你说我不用这个行不行啊？这个 abd 是 个等边三角形了， ab 还能不是六吗？哎，一秒就能出来了，所以它一定这个地方是六，这地方是三，那 oa 是 多长啊？ o a 你 得算吧，得用勾股定律算。哎， ab 的 平方减去这个 o、 b 的 平方，能求出 a、 o 的 平方，哎，那求出 a、 o 的 平方，能求 o a 的 长，那就能求 o、 c 的 长， o a 和 o c 是 相同相同的，那么对角线 a、 c 的 长呢？就是二倍的 o a 的 长， 对吧？来，我们捋一下思路啊。首先，因为它是一个菱形，对角线互相平分了，所以能算出来 o、 b 的 长应该是三， 然后我知道这是六十度，知道它是一个等边三角形了，所以能求出来 ab 的 长是六，然后就可以根据勾股定律去求得谁啊？ o a 的 长， o a 的 长是三倍，根号三，那么知道 o a 的 长，就能知道 o、 c 的 长， 也能知道 a、 c 的 长，这个时候就是六倍根号三，我们就能做完了。哎，所以这个就是利用邻群性质来计算的一个基本的做法。 好，来，接下来我们继续往下看，练习看例三例三这个问题说，菱形 a、 b、 c、 d 的 边长为二， b、 d 的 长是二，边长为二， b、 d 其中一条掉线也是二， e、 f 分 别是 a、 d、 c、 d 上的两个动点，满足 a e 加 c f 等于二，满足 a， e 加上 c、 f 最长的加最短等于二。来，可以问求证一下，三角形 b、 e 全等于 b c、 f、 b、 d、 e、 b、 c 啊，我看着也很全，等找一下条件对不对？哎，条件，第一个他说了，哎，这里面 b、 d 是 二啊， b、 d 的 长是二，边长也是二，所以 b、 d 和 b、 c 的 长度相等的 e 组边相等。找到了， 接下来再去看。说 a e 加 c f 等于二，也就是说 a e 加上这是二，那么 a e 加上 d e 是 不是也是二啊？ 能理解吧？整个长咱们是二，也就说 a e 加上它是二， a e 加上它也是二，那么是不是 e、 d 和 c f 应该是相等的？哎，所以这个 e、 d、 c、 f 这两个长度是相等的，那一组边了，又一组边相等，两组边相等了，接下来我只能再去找个角了，对不对？哎，所以证明这两三题全等，一定是边角边哪个角呢？哎，那就是 这个角，对吧？哎，只能这个角，我们发现这条边是二，这条边是二，这条边一定也是二，那这应该是个什么三角形啊？ 哎， abd 和 cdb 它都是等边三角形，都是等边三角形的话，那这和这一定都是六十度，所以这两个三角形全等的条件毋庸置疑啊，一定是边角 边，对吧？哎，我们来写一下，它判定的条件是通过边角边来证明的。边这条边和这条边要注意它是怎么样导出来的。哎，都是根据这个，根据这句话来得到的， a e 加 c f 等于二， a e 加 c f 等于二的话呢， c f 就是 二减 a e， 而这个 d e 也等于二减 a e， 所以 它的长度是相等的，这是边，然后角这条边是直接告诉的，所以我们能够得出来。 好，这是第一问，就证明第二个。让你去判断一下这个 b、 e、 f 是 个什么形状？什么形状啊？是个特殊的三角形，对吧？它什么特殊的三角形呢？我们知道整个这个角应该是一个六十度的啊，因为这是个等边三等边三角形嘛，右边，所以这个大角一定是一个六十度的。 那旁边我们刚才证明出来了， b、 b、 e 和 c、 b、 f 这两个小角，它俩是相等的呀，全等三角形对应角相等，那它加上它应该是六十度，那它加上它应该也是六十度，所以 e、 b、 f 一定是一个六十度角， 那这是六十度。这个 b、 e 和 b、 f 肯定相等啊，全等三角形对应边相等，那么一组边相等啊，有两条边相等，还有一个加角是六十度，那他一定是一个等边三角形了， 对吧？来，我说清楚了啊。这个题第二问，我们能确定中间是个等边三角形，为什么呢啊？一组边相等，你才能够得到，根据全等能得到边相等，还有角相等，又根据这个角是六十，他加他也是六十 出来了，哎，倒倒一个角能得到它是一个等边三角形，那这个问题我们就解决了。 好了，那么这几个例题呢，就是说到的跟菱形性质相关的一些计算和证明，希望同学们能够听明白。那接下来呢，我们再继续来做几个练习。 首先第一个说在菱形 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 已知 ab 是 五， o a 是 四，求一下 b 的 长， 这是最简单的一类问题了啊，已经知道这是五，这是四，我们知道对角线的菱形的对角线是互相垂直的吧，那这是五，这是四，这就是 三嘛？三四五，所以 b、 e 的 长呢，就是三加三，哎，二倍三就是六，所以最后结果 b、 e 的 长是六零。这个非常简单啊，知道这一部分这块的求法是非常多的，很多地方都会让大家去求，比如求个对角线啊，或者求个边长啊，这些都要会的。 ok， 这是第一位第一个练习，来，接下来我们看第二个练习。第二练习说，在菱形 a、 d、 c 当中，分别延长 a、 d 和 a、 d 到 e、 f 之后， b、 e 等于 d、 f， 现在连接一下 c、 e、 c、 f， 求证一下， c、 e 和 f、 c 是 相等的，哎，求证一下，他俩是相等的，那怎么证明啊？哎，还是我想去证全等，对吧，我把全等证出来就可以了，那我证一下这两个三角形全等呗。哎，第一个，上面这个 a、 b、 c、 d 是 菱形，所以 b、 c 应该等于 c、 d 一 组变相等， 然后菱形的话，他的对角应该是相等的，所以呢，他的他们相等的，这个角的补角也应该是相等的，比如说这里角一跟角二应该是相等的，哎，所以说边角边能做两个三角形全等，那么 e、 c 就 等于 c、 f 了。所以关键是边角边正得全等，就能得到我们要求的两条边是相等的了啊。所以这地方呢，利用一个菱形的性质，对角和菱边相等的一个性质就可以了。 好啦，那么第二问我们也讲到这里了，比较简单来，接下来我们看第三个问题。第三个问题说，如图所示，四边形 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 菱形 a、 b、 c、 d 的 周长是二十， b、 d 对 角线是一，一条是六，求一下 a、 c 的 长，求另一条对角线的长，哎，这很常见啊，周长是二十的话，边长应该是多少呢？ 二十除以四应该是五，也就边长是五。对角线 b、 d 是 六的话，它的一半是几呢？一半就是三，那所以这个时候要想求，在这个直角三角形里，我想求 o、 c 的 长就能求了， a、 c 就是 它的二倍，那就是 所以第一问我们就解决了，第一问非常的简单啊，第一问非常简单，第二问说求四边形， a、 b、 c、 d 的 高， d、 e 的 长。想求高，想求高怎么办？想求零分高，必须得知道菱形的面积，才可以把面积等于底乘高， 底呢就是五，那高是多少呢？我知道面积就行了。菱形的面积公式有两个，一个是底乘高，还有一个是对角线乘积的一半，那也说这条对角线是八，这条对角线是六，它乘积一半应该是二十四， 总面积是二十四，然后我知道底是五，那高应该怎么样做呢？还是二十四除以五就可以了。哎，所以高我们就求出来了五分之二十四， 那要想求他的时候，我们要看清楚他问的是什么，问的是高，我们就想到跟高有关的面积公式，对吧？面积公式里面是什么，我们把它带入进去就可以了啊。菱形的面积公式考了有两个，不仅有底乘高，还有掉线成绩的 清楚，这些呢，我们的内容就全部都讲完了。好了，那最后呢，我们再来总结一下今天我们学习到的内容。首先第一个我们清楚什么是菱形的定义，一组菱边相等的平行四边形才是菱形，那这里面必须要注意的是平行四边形， 也就是说菱形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。那也就说如果平行四边形，他说到了啊，他说这个四边形是平行四边形了， 我只要找一组邻边，它是相等的，它就一定是一个菱形，满足这个条件，对吧？那什么样的四边形能是平行四边形呢？就是我们以前学过的，对吧？哎，四条边，呃，四，一个四边形，它可以两组对边分别 平行啊，两组这边分别相等啊，一组这边平行相等等等等。他可以是一个平行四边形，他是完平行四边形之后他再有一组零边相等，他就可以成为一个菱形了，这是菱形的基本定义。要想判定一个四边形是不是菱形，我们可以先用它的定义来判定。 第二个就是菱形它的性质，菱形它具有四边形所有的性质，除此之外它还有自己的一些特殊的性质，对吧？

大家好啊，我们觉得这个特殊的平行四边形这节课还是要总结一下的啊，也就是说，呃，我们学完这个这节这一单元呢，他有的老师呢，会让我们画一个思维导图啊， 那这个呢，就比较像是一个思维导图性质的啊，我把它称之为就是这个平行四边形的进化啊，加入光荣的进化吧。啊，就是这个， 嗯，它进化了有两条方向啊，有两个方向，当然最后都是殊途同归的啊，那我们看啊，我们首先呢，我们上一节学了平行四边形，那么这一张特殊的平行四边形，所以呢，我们要从这个正常的平行四边形开始 啊。那首先我们上一个单元的平行四边形呢，我们主要是研究了它的四个判定和四个性质啊，这个呢我们一定要非常熟 啊，在这个平行四边形非常熟的基础上呢，那我们平行四边形进化成菱形呢，有两两组方案。那第一组方案呢，就是说我们让平行四边形的一组邻边相等啊，你让它一组邻边相等之后，它四角边的都相等了， 那四角边都相等呢，就变成菱形啊，这个没有什么问题啊。第二个呢，我们平行四边形的对角线来说呢啊，就是说，嗯，它是什么？它是 互相平分啊，就互相平分，那我们互相平分，又让他互相垂直一下，他也变成菱形啊啊，大家不信的话可以再画一下关于这个对角线的东西，考对角线的题，我们可以当场画一下，那比如说他说对角线又互相平分又互相垂直， 那我们就先画一个对角线，我让他啊互相平分，互相平分呢，也就说这块和这块要相等，互相平分又垂直，那我们连接这四个点，那我们就是 以阴为果。那画出来怎么着他也是一个菱形啊，但是我这个随便画，大家用啊，尺子准确的画一下啊，可以试一下 啊，他进化成菱形之后呢，大家啊，嗯，其实大家可以看出来啊，啊，他一个是从边角进化，一个是从对角线进化， 那么看平行四边形有第二种计划方式。第二个第一个呢就是说他一个角是直角，嗯，平行四边形啊，他是对角相等的啊，并且呢邻角互补啊，他只要一个角是直角，那四个角就都已经是直角了，那四个角是直角的情况下呢，他就变成了矩形。嗯， 第二个问题呢，也是从对角线开始进化啊，我们平行四边角线，他本来是互相平分的，你又让他互相平分之后又相等啊，本来呢，比如说这两个啊，他啊，我们这样 这样吧，我们指上这一块等于这块，然后这一块等于这块。嗯，你这样的画出来他就是个平四边形啊，但是呢我又让他相等，就是这一块啊，因为互相平分嘛，他要相等的话，那这块和这块也要相等啊， 你这样再画出来啊，你这样的话，你画出来呢，他就是一个矩形啊。嗯，他来试一下，靠对角线互相平分又相等啊，你这样画出来他就是一个矩形，嗯， 那同样的呢，嗯，矩形呢，他要变成进化成最终形态正方形，那他要怎么办呢？你就说他要没有，他要走他原来的路啊，就说，嗯，他走的这条路 是一个角，是直角，然后呢是对角线相等，那他你变成矩形之后，他每走的一条路是这条路，所以说你只要把这条路给他补全了啊，你说他当时矩形的情况下啊，他一组邻边相等啊，一组邻边相等啊，矩形一组邻边相等的时候才变成正方形 啊，因为矩形它缺的就是这个四角边都相等了啊，但是呢，我们只需要让它一度平面相交的四角边都相等，四角都是直角就变成正方形了，本来四个角就是直角， 然后呢我们可以让它啊，对角线啊，对角线已经有相互平分，然后又相等，我们只需要给对角线加上垂直啊，这两个是或者的啊，只要满足一个条件就可以啊，进化成这个正方形， 同样的也是啊，你啊，你进化成菱形，你走的是这条路，你并没有走这条路，你再把这条路给补上的话，其实啊，这上面东西呢 和这个是一样的啊这上面东西呢和这个是一样的啊，只是呢，呃，你没有来得及走路呢，你最后终会补上，就是我们欠的啊，最终要还，那你不还你就变不成你想要的样子啊。那 菱形的话啊，我们变成啊，只要让他一个角是直角啊，他就变成正方形了啊。菱形啊，这个就不解释啊，因为菱形和这个是菱形，已经四条边都相等了啊，你一个角是直角啊，那他就四个角都是直角了，那四条边相等，四个角是直角，那肯定是正方形啊 啊，第二个呢，就是说菱形的对角线它已经啊互相垂直平分了啊，就缺个相等，你只需要让它对角线再相等，再变成正方形啊，这就是啊，这个平行四边形的进化啊平行四边形的进化啊，两条路啊，殊途同归啊，欠的总要还啊。这是 啊，这个东西，那学了这个东西呢之后呢，我们要对对角线的这个有一个清醒的认识啊。对角线啊，我们对关于对角线呢有三个关系，第一个呢相互平分，第二个垂直啊，第三个相等。那我们啊想问一下同学啊，这一二三哪个比较重要啊？可以暂停思考几秒钟 啊。答案呢是相互平分啊，重要啊互相平分更重要啊。你没有互相平分，你只有垂直相等。啥也不是啊啥也不是。你在互相平分的基础上你加上垂直啊，它可以有质的变化你在 互相平分的基础上你加上相等，它有质的变化啊。因为互相平分啊，它已经证明了它是一个平行四边形了。 你在平行四边形上啊，垂直啊，它变成菱形，你在平行四边形上相等，它变成了矩形啊。但是大家都有的话，那变成正方形，三条都存在的话变成正方形，那只有垂直和相等呢？那还是呢，我们用刚才我说的时候啊。嗯， 你就是，你可以画一下试一试。你让他用垂直啊让他垂直啊，我们说垂直啊，你让他相等啊，这块缠这块缠这样 还是稍微有点啊，反正说你自己画一个，你让他垂直，你让他相等啊，你尺子脸上画一个直角等的啊，大概是这样啊，垂直又相等，那你连接他四条边啊，啥也不是啊啥也不是 啊。所以说呢只有垂直和相等，啥也不是啊，我们一定要记清楚这个角形，角形的题也经常出啊啊，这呢就是我们这个关于特殊四边形的这个整体的总结思维导图。

大家好啊，我们继续学习这个二次根式的这个性质。二次根式的性质呢，分七点二，七点三， 那七点二呢？其实我们主要讲的是这个整数啊，整数指数啊，被开方数是整数的这种，呃，二次根式的这种化简。嗯，七点三呢，我们主要讲的是分数的这种， 这个啊，被开方数的这个被开方数是分数的这种，这个二次根式的画件啊，那首先呢，我们的依据呢，就是这几个啊，我们上面讲过了啊，就是啊，先根号再平方啊，就等于这个原数啊，嗯， 先根号再平方，都等于原数，但是呢，嗯，它只要存在的理性啊，就是默认啊， a 是 大于等于零的，然后呢，先平方再根号呢啊，就是绝对值，这个一定注意啊，先平方再根号绝对值 啊。另外一个呢，就是这个啊，根号 a 乘以根号 b 呢，就等于啊，就啊，根号 a b 啊，但是根号 a b 也等于根号 a 乘以根号 b 啊这种样子，但是它前提呢是 a 和 b 统统都大于等于零 啊。另外一个呢，就是这种这种的根号啊，根号 a 除以里边相当于也是等于根号 a 除以根号 b 啊，它前提也是 a 大 于等于零， b 大 于零啊， b 大 于零，因为 b 在 分母上，所以说呢， 嗯，本来是 b 大 于等于零，但是它由于在分母上又不能等于零，所以说只能取到 b 大 于零啊，这是我们的这个理论依据啊，分母理化啊，分母理化呢，就是 当然最简二次根式呢啊，包含分母有理化，就是说你想把它化成最简二次根式啊，其中有一个分母有理化动作。嗯， 那最简二次根式呢，首先就是说啊，它的分母啊，不存在啊，如果它是一个分数，它的分母 是不存在根号的啊，分母是不存在根号的啊。其次呢就是说，嗯，根号下的所有的这些东西呢，它都是啊，都是说啊没有开得进的这个因素或者是因素啊，啊，就是说根号下呢，你是不能出现平方这种东西的啊，那我们先 理论基础呢，就这么些啊，那我们通过练题来这个说明一下这几个问题，那我选了七点二和七点三的几个 c 题啊，我们通过这个 c 题讲一下。那第一个呢，就是啊，先平方代根号这个东西还没有什么好说的，他就是等于三啊，并且呢这个三呢，他也是这个他本身就是大于等于零的，下一个呢就是六十四，那这个六十四呢，我们可以写下八的平方，所以呢他就直接等于八了， 那这个二十呢，其实我们第一步要做的其实是要把它置因数分解啊，置因数分解，要不然分成啊， 嗯，当然就是我们一开始的时候做的时候知因数分解，知因数分解了之后呢，你好判断他这个有没有平方吧，那比如说这个啊，是二乘以二乘以五这种东西， 那当然你也可以看成是四乘以五啊，四乘以五都是一样的，那这个五呢是没有根据平方的，四呢是二的平方，那这两个二呢，也可以啊，让我们更方便的看出是二的平方。那如果说你啊比较快啊，一下子就看出来是四乘以五至二的平方，那你就啊， 我们说过代平方呢，可以去掉平方出来，那所以呢，它就是二倍的根号五，二倍根号五， 嗯，下一个呢就是二百四十。二百四十呢，我们也要置因数分解，它首先有一个二乘以五，二乘以五是十啊，再会剩二十四，二十四呢，就是四乘以六等于二十四，四六，二十四。 嗯，这个六呢，嗯，看又有二乘以三啊，这是置因数分解分成不能分了为止啊，分成不能分了为止。那我们看啊，这个二和这个二其实是可以变成平方的，然后这个四呢，它也是二平方。 那所以呢啊，这个三和五呢？他没有办法啊，他没有跟他平方的，所以说呢，能出来的就是这两个二啊。这是啊，他俩组合也是二平方，他自己呢是二平方。 那所以呢啊，他是一个四倍的根号十五，四倍的根号十五， 那四倍的根号十五呢？我们看哈，这个四是可以进去的啊，四是可以进去的，那四进去之后变成多少了啊？四想进去之后，他得先平方才能进去，所以说呢，这二百四十是不等于十六乘以十五， 那如果说你一眼就可以看出二百四十等于。当然我们现在我是做完了之后，我啊，如果我们做对的情况下，二百四十肯定是等于十六乘以十五，那如果说你一眼能看出它等于啊十六乘以十五，那下一步等于四根号十五也是可以的 啊，这我们做多了之后呢，你就啊可以啊，一眼就看出来。那我们验算一下，十六乘以十五，是不是这个二百四十， 那十六乘以十五呢？首先呢，我们十乘以十五是一百五十啊，那六乘以十五呢？是九十啊，没问题，是二百四啊，这就是这个我们啊，这个啊化成最减二次根式啊，最减二次根式， 整出面化成最减二次根式，那这个呢？它有个八乘以十八，那我们还是啊，这个啊，嗯，八乘以十八呢，我们可以直接先把它 啊，八乘十八等于多少？先乘成这种单读一个了。那我建议你不要这样，因为你这样反而很麻烦啊，所以呢，我们这个是等于二乘以四啊，八乘二乘以四，那这个呢？变成 二乘以九二九十八，那这样呢，大家同学，大家就看出来了啊，大家看出来，那这两个二呢啊，是可以出来的啊，变成二，这个二呢也可以出来变成二，所以说呢，外边已经是四了， 那这边呢就是九啊，九呢，是三个平方，所以呢他就等于十二啊，就全部都出来了啊，没有任何一个留在里面。嗯，那八乘以十八，是不是啊？我们知道十二平方是一四四，那八乘以十八是不是一四四呢 啊？我们可以乘一下啊，八八六十四六，然后呢一八到八六十四啊，没有任何问题。嗯， 这个呢就是三乘以二十五，二十五呢，是五的平方，这个十五二十二百二十是十五的平方，那所以呢三就只能在里边，那五和十五是可以出来，它是等于五乘以十五带根号三的，那最后呢？这个五乘以十五，五五五五二十五 啊，嗯，五五二十五，一二点七十五，所以说七十五倍的根号三啊，七十五倍的根号三啊， 那这个呢？是一个这个带根号的这个题，那我们这个四可以变成二是可以出来的，没有任何问题，但是呢，这个我们知道先平方再根号啊，它是等于绝对值的， 所以说呢是 a 的 绝对值，而呢 b 呢，它有个三次方，那所以说也是 b 的 绝对值，然后呢乘以一个根号 b 啊，根号 b， 它如果说 ab 都大于零的话，那我们直接就是二 ab 乘以根号 b 啊，他如果说没有说啊，这个 ab 的 大一点的话，那我们只能写成这个样子啊，只能写成这个样子，那下一步呢？这个也是啊，这个九可以变成三个平方，可以出来的，那这个 x 加一的平方呢？因为 x 加一的平方，我们不能确定这个 x 加一到底是大一点还是小一点， 所以呢是 x 加上一的绝对值啊，这样是更加稳妥一些，这就是七点二的关于整数的这些，这种 啊化成最简二次根式啊，化成最简二次根式，那下面呢就是分数的这个最简二次根，我们分数最简二次根呢？首先是，嗯，有一个这个东西啊，首先是有一个这个东西啊，这个 理论依据，那这个呢，非常简单，上下都是带平方的，那我们可以直接等于二分之一，那这个呢啊，就稍微麻烦一点啊，这个呢是分母可以，那我们直接等于五分之根号二啊，这个根号二是没有什么， 嗯，他是开不出来的，所以他就就直接等于根号二，那这个呢，我们第一步可以变成根号十一分之根号二，但是呢，我们分母不要求不能允许有这个呃，根号存在，那所以说呢，我们上下都乘以根号十一， 上面都乘以根号十一，那他就变成了啊，十一分之根号二十二啊，十一分之根号二十二，那这个呢也是比较简单的，我们一眼就看出下边是十三平方，上面是十二平方，所以就是十三分之十二， 那这个呢和上边这个差不很多啊，那下这下边呢，实际上是三乘以九，那我们熟悉了之后呢，就是三倍的根号三，上面呢就是根号二啊，由于我们分母不要不允许有这个字母，所以说我们上下都乘以根号三啊，上下都乘以根号三 啊，得到呢，这个根号三乘以根号三，再乘以三呢就是九，上面呢就是根号六啊，九倍的根号六啊，根号乘以根号三的根号六， 这个呢和上一个没有太大区别，但是呢，这个也是，呃，因为十二我们已经非常熟悉了嘛，啊，是三四十二啊，三四十二，所以说呢，我们根号十二呢，就是二倍的根号三啊，上面呢是根号十一，那很明显呢，我们已经做了多次，上下都要给它乘一个根号三， 上下都乘以零号，下边乘以零号三呢，等于六啊，上下乘号三呢，是根号三十三，那那还有一些，比如说啊，根号二加上一分之根号五，那这样的，那我们如何的把它 分母有理化呢？那这时候呢，我们要用到一个这个平方差公式，那下边是 a 加 b 呢，那我们就给它乘一个 a 减 b 啊，分数的性质呢，我们上下都乘以 a 减 b， 那 这块呢是乘以根号二减一啊，上面也乘一个根号二减一， 那 a 加 b 乘 a 减 b， 就 等于 a 的 平方减 b 的 平方，那根号二的平方是二，一的平方是一，那分母就没有了，那么只看分子就行了，所以呢，给他乘进去，分配进去，所以他就等于根号十，减去根号五， 那同样的，如果说他是一个这种根号三减根号二，分之根号六的话，那这种情况的话，那我们也是一样的，我们得给他上下都乘一个啊，根号三加上根号二，上面也乘根号三，加上根号二， 那同样的，这是 a 加 b， 乘以 e 减 b 啊，我们用我们的这个啊啊，平方乘公式得到三个平方，根号三个平方减去根号二的平方就三点二的一，那根本也是没有了，根没有了之后呢，它就啊这个，可这个就可以要乘了， 那这个乘呢，乘完之后是根号十八，根号十八，它是啊可以开开出来的啊，可以开出来的，所以呢，嗯，这上面呢，就等于一个三倍的根号二加上， 这里边呢，根号三乘以啊，根号二乘以二六呢是十二，十二也是可以被开出来，所以说二倍的根号三啊，得到了一个这个东西啊，就是这种分母由利化 啊，我们分母由利化完成了之后呢，它才是最减二次根式啊，这是我们这个啊，这七点二和七点三的主要内容啊，我们要多做题啊，如果不会呢，再回来看看这些例题。

欢迎大家来到鲁教版五四至七下数学的同步精品课堂，我是咱们的课程主讲老师逍遥子。今天呢，咱们一起来学习第七章二元一次方程组的第一节，认识二元一次方程组。关于本节课呢，有如下四个学习目标，咱们一起来看一下。第一个， 掌握二元一次方程的概念哎，会判断一个方程是否是二元一次方程。第二个，掌握二元一次方程组的概念，会判断一个方程组是否是二元一次方程组。 第三个，理解二元一次方程和二元一次方程组的解。前三课呢，是咱们本节课的哎，重点其实也是咱们 常考的一些考点哎。第四个，会列简单的二元一次方程，解决实际问题。对于第四个问题，随着咱们课程学习的深入，还会有专门的章节来学习二元一次方程的实际应用，咱们本节课呢啊，仅要求会列简单的二元一次方程组就可以了。 好的，那么咱们首先来探讨什么是二元一次方程的概念，那么咱们首先来看一下课本上的定义是如何来叙述的， 他是这么说的，含有两个未知数哎，并且含有未知数的项的次数都是一， 这样的方程叫做二元一次方程，那从字面意思来理解，它包含了两个大的限定条件对不对？那么第一个限定条件就是要含有两个未知数哎，这个比较容易理解，是吧？那么第二个大的限制条件是 哎，对含有未知数的项做了限定，那么含有未知数的项他有什么限定条件呢？那么含有未知数的项他的次数都是一，哎，这样两个大的限定条件，满足这样的方程，咱们就叫做二元一次方程，哎，例如下面这四个方程， 哎，大家可以观察一下，咱们不难发现，这四个方程呢，哎，都是含有两个未知数，那第一个条件都非常容易满足，对吧？那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。咱们以最后一个方程，五 x 加三 y 等于三十四为例来介绍一下， 比如五 x 加三 y 等于三十四，哎，这个方程它首先含有两个未知数，是吧？一个是 x， 一个 y， 哎，这是第一个限制条件，没有任何问题，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项，它的次数都是一。那么咱们首先就要找到含有未知数的项，对不对？然后再来看这一项的次数， 那么对这个方程来讲，含有未知数的项一共就是两项，对不对？其中一项是五 x， 另外一项是三 y， 那 么咱们来看五 x 这一项它的次数，那怎么来看呢？那五 x 明显是一个单项式，对不对？那么单项式的次数， 那怎么着啊？所有字母的指数和对不对？那它只有一个字母 x， 而且它的指数是一，所以这一项的次数就是一。那么三 y 也是一个单项式，它的次数也是一，哎，所以它就满足了第二个限制条件， 含有未知数的项，哎，这一项的次数呢，都是一，哎。所以你首先要找到含有未知数的项是哪些项，再来判断这些项的次数是否都是一。好了，同学们，那么通过这个概念，咱们对二元一次方程的定义，哎，有了一个基本的了解， 那么如何通过这个定义来判断一个方程是否是二元一次方程呢？下面咱们再来做进一步的归纳总结，哎，应对考试当中常见的一些考题， 因为考试当中啊，并不像老师刚才介绍的那么简单，哎，那么明了，那么一目了然，对吧？考试的过程中，他会出现各种变化条件，让你来判断一个方程是否是二元一次方程，那咱们一起再来更深的归纳总结一下。 判断一个方程是二元一次方程，化简后呢，必须满足三个条件，哪三个条件呢？咱们一起来看一下。第一个只含有两个未知数，哎， 其实也比较容易理解，但是呢，这里面它有两层含义，那第一层含义它是什么呢？那只含有两个未知数，那就不能含有一个未知数，也不能含有三个和三个以上的未知数，这是它的第一层含义，对吧？ 哎，当你判断一个方程，哎，它里面只含有一个未知数，那它肯定不是二元一次方程。如果它里面含三个和三个以上的未知数，那它肯定也不是二元一次方程，哎，这是它的第一层含义。那它的第二层含义是什么呢？ 那即然只含有两个未知数，那么当你化简以后，哎，就剩下了这两个未知数，那就一定要要求这两个未知数前面的系数不能为零，哎，这是它的第二层含义。 好的，再看第二个限定条件，含有未知数的项，哎，次数都是一，含有未知数的项的次数都是一， 哎，这里需要注意的是，他指的是项的次数，而不是某个未知数的次数。咱咱们举个简单的例子，例如这个方程吧，那么大家来看 他是否是一个二元一次方程呢？咱们先来看前两个条件啊，那只含有两个未知数没有问题，那在这个方程当中，他只含有两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 对 不对啊？哎，第一个条件是满足的，那第二个条件是否满足呢？ 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们首先要找到含有未知数的项，那含有未知数的项有几项？那明显有两项，其中一项是 x 乘以 y， 另外一项是二 x， 对 不对？那对 x 乘以 y 这一项， 它是一个单项式，那么单项式的次数指的是所有字母的指数和，那么 x 这个字母，它的指数是一， y 这个字母它的指数是一，那所有字母的指数和自然就是二次，对不对？那另外一项就是二 x， 那 么二 x 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现 这个方程当中含有未知数的项 x y 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现这个方程当中含有未知数的项 x、 y 这一了，而是二，对不对？哎，你看人家要求的是什么？ 含有未知数的项的次数都是一。就是说但凡含有未知数的项，但凡含有未知数的项，它的次数都必须是一。 而含有 x y 的 这一项，它的次数是二，对不对？它是一个单项四，单项四的次数指的是所有字母的指数和它是二次的。所以对于这个，你乍一看啊，含有两个未知数，哎， x， 这是一， y 这也是一，这个 x 也是一，那它是否是二元一次方程呢？那它明显不是，对吧？因为它不满足含有未知数的项的次数都是一，对吧？也就是下面咱注意当中提到的，哎，注意，是项的次数，而不是指某个未知数的次数，它指的是 项的次数是否都满足是一，对不对？哎，含有未知数的这些项 次数都是一的时候，嗯，那才满足条件，所以这个方程自然不是二元一次方程。好的，这是第二个限定条件。那么第三个限定条件指的是什么呢？其实它隐藏在含有未知数的项的次数都是一这里边， 哎，只不过咱单独把它拿出来做一个介绍，让同学们哎，更明确的用来判断。第三个限定条件是， 方程中的代数式都是整式。也就是说，哎，方程中等号左侧的代数式和等号右侧的代数式都必须是整式，都必须是整式。那咱们在六年级的时候学过整式包括什么？单项式和多项式，对吧？ 那言外之意，哎，就是未知数它不能出现在根号下，也不能出现在指数上，哎， 对不对？比如说，方程当中你出现了 x， 分 之一 i 位置数出现在了分母上。比如说，方程当中出现了根号 x， x 出现在了根号下。再比如说，方程中出现了三的 x 次方， x 出现了指数上，那这些通通都不是二元一次方程。因为咱们要求方程中的代数式都是整式， 但是对于咱们常考的哎，一般是会考这个，哎，是否会出现在分母上？哎，你一旦看到未知数出现在了分母上，那他一定不是二元一次方程。 好的同学们，为了检验大家哎，对二元一次方程这个概念的理解程度，咱们一起来做一道练习，来巩固一下。 好的判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？为什么？好，咱们首先来看第一个， x 加三， y 减九等于零， 那这里面含有 x， 含有 y， 那 含有两个未知数，那就满足了第一个限定条件。那第二个限定条件，含有未知数的项的次数都是一，那含有未知数的项一共是两项，一个是 x， 那 这一项的次数是一， 另外一项是三 y， 那 这一项的次数也是一，所以第二个限制条件也满足。那第三个限制条件，方程中的代数式都是等式，那明显的是，哎，左侧是一个多项式，哎，右侧是一个数字零，哎，他是一个单项式，对不对啊？单独的一个数或者字母也是单项式，所以等号左右两侧 都是整数，所以第一个它就是二元一次方程，它满足三个限制条件。那再来看第二个，三 x 方减二， y 加十二等于零，那首先来看第一个限制条件，含有两个未知数，哎，那是否满足呢？ 哎，这有 x， 这有 y， 确实是含有两个未知数，一个 x， 一个 y， 但是再来看第二个条件，含有未知数的项，它的次数是否都是一，那么咱们首先来看它含有哪些项呢？哎，含有未知数的项，那第一个就是三 x 方，那么三 x 方这一项怎么着？ 他的次数就已经是二次了，所以他不满足，对不对啊？哎，二负二 y 这一项啊，他的次数是一不假，但是三 x 方这一项，他的次数是二，所以他就不满足第二个限制条件，就不用再往下看了。那再来看第三个，哎，和第二个其实类似，虽然都含有两个未知数 x 和 y， 但是含有未知数的项， x 立方这一项，哎，他的次数是三次的，所以不满足，哎。要求含有未知数的项，他的次数都是一这个条件，所以三也不是。再来看第四个，哎，那这个就非常明显，老师一再强调过， 方程中的代数式必须是整式，无论是等号左侧的，还是等号右侧的。而言外之意，未知数不能出现在根号下，不能出现在指数上，而这出现在了分母上，所以 他不是正式方程左侧的这个代数不是正式，那自然也不是二元一次方程。好的，再来看第五个， a 等于二分之 b 减一，那咱们把它化简一下，其实就是 a 等于二分之 b 减二分之一，对吧？那到这咱们看， 它含有两个未知数，一个 a， 一个 b， 对 不对啊？啊？含有未知数的项，其中一项是 a， 那 这一项的次数明显是一，另外一项是二分之 b， 这一项的次数也是一，哎，方程中的代数式都是整式，左侧是 a， 哎，是个单项式，左侧二分之 b 减二分之一，是一个多项式，所以左右两侧都是整式，所以它满足二元一次方程的三个条件。再来看第六个， 二， x 加十等于零，哎，那首先他第一个条件都不满足，因为他只含有一个未知数 x， 对 不对？咱们要求他是含有两个未知数，对不对啊？所以六不是。 再来看七， y 等于二， x 加一，那么还有两个未知数，一个 y， 一个 x， 那 么含有未知数的项，其中一项是 y， 另外一项是二 x， 那 么这两项的次数都是一，哎，所以满足第二个条件， 那么等号左右两侧都是整，四也满足第三个条件，所以七没有问题。四，二元一次方程。再来看八 x y 加上 x 加三， y 等于二十。那首先来看第一个限制条件，哎，方程中确实只含有 x y 这两个未知数，对吧？就两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 哎，第一个条件满足，那第二个条件是否满足呢？含有未知数的项，它的次数是否都是一呢？ 咱们来看含有未知数的项一共有几项？一共有三项对不对？其中一项是 x y， 另外一项是 x， 哎，最后一项是三 y， 哎，这是含有未知数的三项，对不对？那么这三项当中来看，第一项，哎，第一项是 x 乘以 y， 那 么 这一项的次数是几啊？是二，对不对？他是一个单项四，单项四的次数取决于所有字母的指数和，那明显是二次，那到这你就能判定他不满足第二个限制条件，对不对啊？第二个限制条件说的是含有未知数的项的次数都是一，而这出现了 这一项的次数出现了二次，所以他不是二元一次方程，哎，所以综合以上，咱们就能得到哪些是二元一次方程呢？哎，一五七是二元一次方程，其他的不是，对吧？哎，至于不是的原因，在这咱们一个一个的都进行了分析，对吧？ 好的同学们，那通过这道例题，我相信同学们对二元一次方程的判断已经做到心中有数，应该遇到类似的问题就能轻松的解决掉，对吧？ 好的，那咱们再来探讨另外一个问题，什么问题呢？二元一次方程组的概念，咱们首先还是来看书本上的定义，书本上是怎么说的呢？ 哎，共含有两个未知数的，两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。那在这里面咱们分析一下它的限制条件或者是关键词对不对？那第一个限制条件就是 共含有两个位置数在这，注意关键字共含有，就是一共含有两个位置数。哎，那怎么着呢？哎，两个一次方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组。那咱们首先来看个小例子，好吧？哎，例如 x 加 y 等于八，哎，是一个方程，然后五 x 加三， y 等于三十四，也是一个方程，这时候在左侧用一个大括号把它们连立起来， 哎，就组成了一个方程组，就组成了一个方程组。咱们首先要知道方程组是什么概念，对吧？哎，你看这是一个方程，下面又是一个方程，左侧用一个大括号把它们连立起来，就组成了一个方程组，对吧？那什么样的方程组它才是二元一次方程组呢？就是刚才 定义中提到的两个条件，共含有两个未知数，这是第一个条件，咱们来看看是不是满足呢？哎，那么这 两个方程当中并不是要求每一个方程都含有两个未知数哈，是要求这两个方程当中一共含有两个未知数就可以了。那么这两个方程当中是不是 一共只含有 x 和 y 这两个未知数啊，哎，这是满足的。那再来看第二个条件，要有两个一次方程，那什么是一次方程呢？哎，在这老师给同学们解释一下，他有两层含义，一层含义是 含有未知数的项的次数都是一，这和咱们二元一次方程里那个限制条件是一样的啊，含有未知数的项的次数都是一，那第二个限制条件是什么？ 而方程中的代数式都是整式，哎，所以与咱二元一次方程当中的第三个限制条件也是一样的，对吧？哎，这就是一次方程它的含义。好的，那通过刚才的介绍，咱们来判断下一个方程组是否是二元一次方程组呢？那咱们一起来看 他是否满足第一个条件，共含有两个未知数。那么来看，第一个方程当中确实含了两个未知数，那第二个方程当中，哎，他就含了一个未知数，但是他 人家要求的是啥啊？共含有两个未知数，他只是要求你这个方程组当中，哎，只要一共含有两个未知数就可以，那明显他满足，对吧？ 哎，虽然下面这个方程它只含有一个未知数，但是上面这个方程它含有两个未知数，这两个综合起来，那它一共还是含有两个未知数，所以它满足第一个限制条件，一共含有两个未知数，哎，那再看一看，它所含的两个方程是否是一次方程呢？ 哎，那么大家来看，含有未知数的项的次数都是一，哎，这一项的次数是一，这一项的次数是一，没有问题。那这一项的次数也是一，也没有问题。满足含有未知数的项的次数都是一 和二元一次方程当中的那个要求是一样的。那第三个方程中的代数式都是整式，那么 x 加二 y 是 一个多项式，那它是整式三， x 是 一个单项式，那也是整式，那数字一和数字四更不用说了，对吧？所以它完全满足二元一次方程组的，哎，这个定义 这里需要提示的大家，它一共含有两个未知数，一共含有就可以了。好的，那么如何利用二元一次方程组的定义来判断一个方程组是否是二元一次方程组呢？咱们再来做进一步的汇总总结，以便同学们考试或者做练习的时候能更好更快的把它解决掉。 咱们一起来归纳一下，判断一个方程组四、二元一次方程组化简后必须满足以下条件，哪些条件呢？哎，那么第一个大的条件刚才咱们已经介绍过了， 共含有两个未知数是吧？那么共含有两个未知数是什么意思呢？哎，它的意思就是组成方程组中的各个方程， 哎，不必都含有两个未知数，只要一共含有两个未知数即可，对吧？就像咱们刚才举到的那道例题是吧，他第一个方程当中含有两个未知数，第二个方程当中只含有三 x 那 一项只含有一个未知数， 但是这个方程组总的来说他仍然是含有两个未知数，对不对啊？所以他要求的是组成方程组的各个方程不必都含有两个未知数即可。哎，这是第一个条件，希望大家能理解。 那么第二个限制条件是只含有两个一次方程，那两个一次方程是什么意思呢？一次方程是什么意思呢？就是含有未知数的项的次数都是一。哎，先看看这些方程当中找出来含有未知数的项，再来看含有未知数的这些项，它的次数是否是一，和咱们二元一次方程当中的 判断方法是一样的。另外一个要求就是方程中的代数式都是整式，哎，这就是第二个限制条件，只含有两个一次方程的意思。所以，哎，如果你只看课本， 你判断二元一次方程组的时候，仍然会有一定的障碍。但是经过这样的归答和总结以后，相信同学们对判断二元一次方程组应该信手拈来，不信的话，咱们做一道练习试一试。 哎，下列方程组是二元一次方程组的是哪一个？哎，那么咱们首先来看 a 共含有两个未知数，没有问题哎， x、 y 两个未知数，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。那咱来看看。哎，这个方程当中含有未知数的项是 x 乘以 y， 那 么 x 乘以 y， 它的次数是几啊？ 它是一个单项式，那么这一项的次数是二，所以它就不满足，怎么着，含有未知数的项的次数都是一，这个限制条件是不是啊？所以它不是二元一次方程组。 再来看 b 含有两个未知数，哎，第一个限制条件是满足的哎，只含有 x 和 y， 对 吧？第二个限制条件， 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们把含有未知数的项通通找出来，第一项二分之 x， 次数是一。第二项负二分之 y， 次数是一。第三项 x 次数是一。第四项 y 次数是一，所以第二个他也满足， 是吧？含有未知数的项的次数都是一。第三个方程当中的代数式都是整式，那没有任何问题。第一个方程左侧是一个多项式，第二个方程左侧也是一个多项式，那右侧都是数字，一也没有问题，所以方程中的所有代数式都是整式，哎！说方程中的代数式，指的是 对每一个方程来讲，哎，等号左侧的代数式，他要是整式，哎，等号右侧的代数式也要是整式，哎，就是这个意思啊，可以减数为方程中的代数式都是整式，所以这三个限制条件 b 都满足，所以他是二元一次方程组。再来看 c， x 加 z 等于一， x 加 y 等于明显出现了 x、 y、 z、 i 三个未知数，那出现了三个未知数，自然不满足第一个条件，是吧？共含有两个未知数，所以它不是二元一次方程，它都含三个未知数了，是吧？再来看 d， 第一个限制条件只含有两个未知数， x、 y 没有毛病，是吧？第二个 怎么着？含有未知数的项的次数都是一，那大家来看第一项 x， 它的次数是一。第二项，哎，这一项它的次数 y， y 这一项也是一。而对 x 分 之一这一项，哎，它的次数是几啊？哎，大家说了， 它根本就不是正数，对不对？哎！首先不满足第三个限制条件，那么正确的答案应该选择 b， 正确的答案应该选择 b。 好的，同学们，那么研究过二元一次方程和二元一次方程组的概念之后，咱们再来探求二元一次方程和二元一次方程组的解，哎，那么有了概念做铺垫以后，对于解来说，那就相当的容易。那什么是二元一次方程的解呢？非常简单， 使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个解。 那么读这句话呢，可能有点绕嘴，咱们稍微把它简化一下。怎么来简化呢？哎，是一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，哎，这样能简单一点，是吧？把这个 圈一圈，哎，可能有这俩字读着就稍微有点绕嘴，如果把它圈起来，把它略掉，哎， 使一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 哎，这里面为什么会出现一组？那大家再想一下，咱们都是二元一次方程了，这里面还有两个未知数，一个 x， 一个 y， 哎，所以，哎，这未知数是成组出现的，是不是成组出现的， 哎， x 等于多少， y 等于多少，他们俩共同决定了这个二元一次方程的解是不是所以是一组未知数的值。那咱们通过一个具体的例子，让大家更好的理解什么是二元一次方程的解， 比如这有一个二元一次方程， x 加 y 等于八，哎，这么一个二元次方程，那么咱们不难发现， x 等于六， y 等于二，带入这个方程的话，那么左侧就等于八，对不对？那右侧人家明确已经给的是八，所以就是 二元一次方程左右两边的值相等了，对不对？所以它就满足了二元一次方程解的定义，哎，使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，那这一组未知数的值是不是 x 等于六， y 等于二啊？所以这一组未知数的值， 咱们就记住， x 等于六， y 等于二，左侧用大括号把它连立起来，就叫做二元一次方程的一个解，一个解， 所以这句话是绕嘴，但是相信同学们理解起来都非常容易。那什么是二元一次方程的一个解？那就是 x 要寻找的一个值， y 要寻找的一个值，是不是寻找完以后，能使这个二元一次方程左右两边相等，那这一组 x， y 的 值，那就是二元一次方程的一个解，对不对？那么大家 不难发现， x 等于六， y 等于二，是它的一个解。那老师来问，如果 x 等于一， y 等于七，哎，是不是也是它的一个解一个解啊？那没有问题，对吧？一加七等于八，所以 x 等于一， y 等于七，哎，也是这个二元一次方程的一个解，那有的同学又好说了，那么 x 等于二， y 等于六， 哎，那它也等于八，它也是二元一次方程的一个解，哎，这是四的整数，哎，那，那如果说是 x 等负一， y 等九，是不是也是八呀？哎，那么说一说， x 等于负一， y 等九，他也是二元一次方程的一个解，哎，这都是正整数啊，负整数，那咱们还可以试小数，对不对？比如 x 等于零点一，哎， y 等于七点九，那他是不是加起来也等于八，所以 x 等于零点一， y 等于七点九，也是二元一次方程的一个解。那老师写了这么多，想要表达什么意思呢？那就是下面这句话， 一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解，无数个解，对吧？就像上面的举着的这个例子，老师刚才写的这么多，他通通都是 x， y 等于八这个二元一次方程的解，所以一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解， 那什么时候才有有限个解呢？哎，一般是对未知数的取值附加某些限制条件，那么他才有可能出现有数有数个解。 那么什么时候出现什么样的限制条件呢？那么咱们常见的是，比如让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的正整数解，哎，正整数解什么意思？那就是说 x 和 y 的 取值都必须是正整数， 哎，那这样是不是就对 x y 的 取值附加了限制条件啊？那就就是这句话的意思，哎，如果让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的 所有的正整数解，那么它解起来，可能它的解就只有有限个解，有限个解。咱们最常见的限制条件是 x， y 的 取值都是正整数，或者说 x， y 的 取值都是负整数，或者说 x、 y 的 取值都是自然数。这是咱们在考察的题目当中最常见的三种限制条件，最常见的三种条件以第一种正整数，哎，出现的居多，出现的居多。后面咱们会讲到啊，类似的题目， 好的，那咱们现在来利用二元一次方程的解做一道小的练习，咱们一起来看，若 x 等于负二， y 等于三四方程， x 减开 y 等于的解，则开的值为多少？那么非常简单，这道题直接是考察二元一次方程的 解的定义是不是？那么 x 等于负二， y 等于三，是它的解，那么咱们只需要把 x 等于负二， y 等于负三，带入这个方程，那这个方程的左右两边就应该相等，对不对？只需要带入这个方程就可以了，那咱们把它带进去得到什么呢？ x 是 负二， 哎， y 是 三，那自然是减三 k 对 不对？把 y 换成三，把 x 换成负二，负二减三， k 等于一，是不是啊？ 那么咱们就得到了三 k 等于负三，所以 k 等于负一，非常简单的一道题啊，所以 k 的 值为负一。 好，那么接下来有了二元一次方程解的概念，咱们来看二元一次方程组的解是怎么回事？ 咱们来看书本上的定义，二元一次方程组中，哎，各个方程的公共解，那么二元一次方程组中有几个方程啊？那当然就是有两个方程了，他还说各个方程 其实就是二元一次方程组中两个方程的公共解，两个方程的公共解，因为这两个方程对每一个方程来讲，它可能都有无数个解，在这无数个解当中，总有一个解是重合的，总有一个解是重合的，也就是说他们的公共解， 这个公共解呢，就叫做二元一次方程组的解。咱们来看看具体的例子，例如刚才老师讲到的这个例题， x 加 y 等于三十四这个方程组，那么咱们来看 有这么一个解， x 等于五， y 等于三，哎，当 x 等于五， y 等于三，那么代入 x 加 y 等于八，这个方程它是成立的，对不对？那么代入下面这个方程，五 x 加三， y 等于三十四，咱们代一下， 五五二十五，三三得九，一加也是三十四也成立，所以 x 等于五， y 等于三，哎，是这两个方程的公共解，是这两个方程的公共解，那么 x 等于五， y 等于三，就是这个方程组的解，就是这个方程组的解。哎，方程组的解和二元一次方程的解 写法都是一样的，都是用左侧大括号括起来，右侧把 x 和 y 的 值分别写上，分别写上，也就是这种哎表述形式。所以二元一次方程组的解也是理解起来非常容易的，对吧？ 那么关于二元一次方程组的解，他的具体的解的情况是什么样子的？那么咱们一起来看一下。一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的，哎，也就是说他们的这个公共解一般情况下是唯一的，但是有的方程组可能有无数个解，也可能无解，咱们 本节课呢？哎，不研究解的具体情况哎，只是让你给出一个解，让你来判断这个解是否是二元一次方程组的解，咱们只研究这种情况，本节课至于如何解这个二元一次方程，解这个二元一次方程，它到底是有 无数个解，还是有唯一的解，还是有还是没有解？那咱们以后讲解的时候再做具体介绍，本节课在这不做介绍啊。 好的，下面咱们来做一道例题，来检验一组数到底是否是二元一次方程组的一个解。那用什么方法呢？自然是用代入法，对吧？ 哎，他给了一组解，咱们就把这组解带进去，看他是否满足二元一次方程组就可以了，对不对？哎，例如 方程组 x 加 y 等于十二， x 加 y 等于十六，它的解是什么？那么咱们一起来看一下 abcd 到底哪一组是它的解啊？ 首先来看 a， x 等于六， y 等于四，咱把它带进去， x 等于六， y 等于四，一带等于十，满足第一个方程，那没有问题。再来看第二个方程是否满足呢？ x 等于六二，六于十二， y 呢？等于四，哎，确实等于十六，那么 a 它就是这个二元一次方程组的解，为什么？因为它是这两个方程的公共解，同时能满足这两个方程，所以 a 就 没有问题了。那么这道题自然选择 a， 哎，剩下的 b， c、 d 就 排除了。那么咱们再用 b 来做一下介绍，为什么他不是，好吧，那么 x 等于五， y 等于六，咱们现在来说 b 啊，那么五加六等于十一，那明显不满足这个方程，因为人家要求的是 x 加 y 等于十，所以 b 自然不是，对吧？ c、 d 都是类似的情况，老师在这不作虚数了，所以正确的答案选择 a 非常简单，用代入法来判断一组数是否是二元一次方程组的解。

大家好啊，我们继续学习这个正方形的这个形折判定。 嗯，正方形呢，首先呢啊，和前面一样啊，我们首先它定义，它定义呢，是啊，有一组邻边相等的矩形啊，叫做正方形啊，有一组邻边相等的矩形叫正方形。嗯，那其实这个 还有没有别的呢？其实我们也可以说啊，就是，呃，有一个角是直角的，这个菱形也是正方形 啊，因为我们前面有过这样的东西啊，但是我们课本上说的呢，是有一组邻边相等的矩形叫做正方形，那我们就用课本上定义，那其实呢啊，我们说有一个角是直角啊，一个角是直角 的啊，菱形啊，也叫正方形啊，这个完全没有任何问题的啊， 然后呢我们就是性质，他的性质呢？就啊，我们前面写的菱形的性质啊，长方形的性质啊，菱形性质，矩形的性质以及平行面形性质，他都是有的。那然后呢，他除了说啊，他们没有的性质，他自己啊的性质，当然这里边也有一个啊， 正方形的四个角都是直角，四条边都相等啊，四个角都是直角，四条边都相等。那第二个呢就是正方形的对角线呢啊，相等且互相平分啊，相等且互相平分， 嗯，这个呢是三个意思啊，首先是有这个相等，然后呢互相垂直，然后呢是互相啊，互相平分啊，互相垂直和互相平分啊，所以说是互相垂直平分啊，同学们一定要搞清楚这个意思啊， 判定呢啊，这就是他性质啊，性质非常多，那我们，嗯，其实理论上，嗯，我们小学学的所有的这个正方形性质都可以任意的用啊，四角角，直角啊，小边都相等啊，嗯，然后角线的这一部分啊，都可以直用。 嗯，然后呢判定呢？第一个判定就是我们定义判定，我们用一组邻边啊相等的这个矩形的矩形啊，然后呢第二条判定呢？是啊，对角线互相垂直的矩形， 那我们绕矩形的角线已经是什么？已经？是啊，相等又互相平分了，它就缺一个垂直啊，就缺一个垂直，所以说只要对角线垂直了，那它就是正方形了啊，首先绕对角线垂直的矩形啊，一定注意啊，先正它是矩形，再正什么啊？对角线垂直啊，它就是正方形了。 那第二个呢？就是啊，我们刚才说的啊，有一个角是直角的菱形啊，首先我们先证是菱形，然后呢我们再证其中一个角是直角，那它就是正方形了啊，一定要大家要搞清楚这个证明的这个过程啊，下一个呢就是对角线相等的菱形是正方形啊 啊，首先正他的菱形，然后我们再正对角线相等啊，对角线等，因为我们知道这个对角线相等，是啊，到了矩形才啊有的这个性质，所以说又是矩形又是菱形，那他肯定就是正方形了。 嗯，最后呢，是我加的这一条啊，我加的这一条，最后第五条啊，第五条，我们用这个证明也完全没有问任何问题啊，虽然我们说没有啊， 啊，就首先证明他是矩形，然后呢再正一组邻边相等啊，他就是正方形了啊，这个也完全没有任何问题啊，这就是所有的这个正方形的这个性质和判定啊。正方形的性质和判定。

大家好啊，我们今天讲一下，专门讲一个专题，叫终点四边形啊，这个呢，在我们这个这个这个考试的过程中出的问题还挺多的啊，我把它规定为六点四吧啊， 嗯，其实我们说是没有这个东西的啊，终点四边形呢？我们先介绍一下啊，定义连接一个四边形的四条边的终点啊， 连接一个四边形，四角边的中间，那比如说这个 a、 b、 c、 d 是 任意一个四边形啊，那然后呢？找到 a、 b 的 中间，然后找到 b、 c 的 中间，找到 d、 e、 d、 a 的 中间啊，然后连起来啊，把这四个点顺次连起来，那我们就说这个 e、 f、 g、 h 是 a、 b、 c、 d 的 中点四边形啊，中点四边形，那这个中点四边形是个什么东西呢？啊？那所以呢，我们首先要把这个啊，这个这个这个， 嗯，先认识一下这个四边形的分类啊，四边形的分类啊，四边形的分类呢？我们分成任意四边形，就是随便一个啊，随便画一个四边形啊，当然呢，四边形其实分成啊，凸四边形和凹四边形和 啊，我们不研究这个凹四边形，那凹四边形，比如说这样的飞镖这个形状的啊，这呢它也是一个四边形啊，这也是一个四边形啊，两个对号啊， 啊，这种的，这种的四边形，它也叫四边形，但是呢它叫凹四边形，我们初中不研究这个凹四边形啊，所以说我们专门只针对于这个凸四边形，那凸四边形呢？我们就啊普通四边形啊，不叫任意四边形啊，叫普通四边形 啊，就是我们任意画一个啊，他没有啊，也对边也不相等，对边也不平行，然后呢，对角线也不互相平分之类的哈，任意一个四边形叫任意四边形，那稍微规整一点呢，就叫做梯形啊，大家不知道大家还记不记得这个梯形的定义啊？梯形定义， 梯形的定义呢？是只有一组对边哈，只有有的同学会把这个只有这两个字忘掉，会说一组对边平行的，那另外一组对边也平行，他是梯形吗？那很明显不是哈啊，一组对边，只有一组对边平行啊，他才会是梯形啊，只有一组对边， 然后下面那个就是平四边形的平四边形，我们啊，上册最后一个已经学过了啊，上平四边形，点四边形，四条性质，四条判定。那平四边形呢？继续啊，可以变成菱形，矩形，正方形啊，这，那我们分别啊，来研究一下。这个啊，四边形的这个啊，中点四边形分别是什么东西？ 那我们呢，首先画了一个普通的四边形，那我们连接一下它的中点四边形，那一般情况下呢，这个同学都已经能看出来了啊， 这个，嗯，它应该是一个平行四平行啊，任意四边形的，这个中点四边形呢，它是平行四边形。嗯 嗯，所以呢，那我们正吃着正一下啊，那我们其实只画一个对角线就可以啊，那我们看啊， e、 f 啊，在三角形 a、 b， a， b、 d 中啊，再加上 a、 b、 d 中，这个 e、 f 呢，明显两个中点是这个 a、 b、 d 的 中位线，那所以这个 e、 f 呢，就平行且等于二分之一 b d 啊，是吧，非常明确。那在这个啊， b、 c、 d 中，那这个 g、 h 呢？也平行且等于二分之一，这个 b、 d 啊，在下边这个三角形中，这个 g、 h 是 下边这个三角形的这个中轨线，那它呢平行且等于二分之一，这个 b、 d， 那 所以呢， e、 f 和 g、 h 它就平行且相等了，那平行相等，它就是个平行四边形。那同样呢，你用另外两条边正也是一样的啊，另外一条边也是一样。那最后呢？我们 普通四边形的中点四边形，那平行四边形的这个中点四边形呢？ 啊？还是平行四边形啊？平行四边形还是平行四边形？那矩形的重点四边形它是菱形。为什么矩形的这个，呃平行四边形是菱形呢？因为我们知道矩形有一个非常重要的东西，就是说它的对角线是相等的 啊，它对角线是相等的，那两条对角线都相等，那这两条是等于这条的，那这两条等于这条。那如果说这个外边这个四圆形它对角线相等的话，那这个那它四角边肯定就相等了啊，因为它等于二分之一，它它等于二分之一，它 啊，他俩对边本来就相等，那只要说这个四边形他对边相等啊，所以说呢，他就是一个菱形了啊，对角线相等啊，只要这个任意四圆形的对角线相等，那他这终点四圆形他就是个菱形。那是不是只有矩形 才能是菱形呢？这个不一定啊，我们只要啊，因为我们矩形的这个对角线是先是相互平分，然后再相等，那我们只只有一个相等 啊，只要说对角线相等啊，他的这个重点四边形就是菱形啊，他不必要非得是矩形的重点四边形才是菱形。当然我们是把我们已经学过的这个啊，矩形的重点四边形是菱形，那同样的菱形的重点四边形呢是矩形，因为我们知道我们菱形就要像一个性质，就是互相垂直， 那他互相垂直了之后呢，那这邻边也就像他跟他是平行的，他跟他是平行的，如果说这两个垂直的话，那这两个肯定也垂直 啊，那所以呢，这个菱形的这个中点四边形变成矩形了啊，这两个啊，一定要记住，矩形的平行的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形呢是矩形， 那正方形的中点四边形呢？他依然还是正方形，因为正方形已经啊进化到头了啊，已经没有什么别的东西了啊，所以呢啊，我们一定要 注意这个啊，终点四边形的问题啊，其实呢终点四边形的东西呢，我们还是从通过这个对角线的性质，那如果说我有一个四边形，他对角线只是垂直，他就是任意一个四边形，那我们看一下啊，这个垂直 啊，这两个我们画一个垂直，然后呢我根据这两个东西我们画一个啊四边形，那我们连接一下这个四边形， 那它只要垂直了之后呢，它重点四边形，它就是一个矩形了，然后就这个矩形了，因为首先我们啊任意任意四边形的中点四边形，它首先是个平行四边形， 然后又因为这个对角线是垂直的，所以说它一个角就是直角，那通过我们前面正的那个，它就是一个矩形啊，一个矩形。

初二数学下册有哪些重难点，同学们需要提前预习的呢？第一，二次根式和上学期代数部分难度持平，算是平稳过渡，但要注意的是，平方根所涉及的知识点非常容易出错。 如果说有理数识数学的都很好，这张基本上学得轻松愉快。有理数计算初一就学了，如果到这个时候还有问题，最好趁寒假赶紧填坑。 第二，勾股定律。这个非常重要，是初中几何的基石定律，很简单，难的是勾股定律和逆定律的应用。最短路进将军、引马这些基本模型一定要吃透。 第三，平行四边形。如果八上的三角形没有学好，这块就有点费劲，别的同学一条辅助线搞定的事道理这就是想不出来。 平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义、性质判定，这些都得先背，背完了再动手画一画，例题做一做，切记，一定要动手动脑，熟练掌握。 如果再加上三角形，再加上初三的圆，结合二次函数，妥妥的中考压轴题，这块学不精，中考很难破百分。 第四，一次函数下学期的重中之重，同学们要理解。这种代数式和图像之间可以相互翻译的思维方式，对同学们来说有点颠覆认知，一下子很难接受，所以最好提前了解适应一下。 所以这个寒假预习很重要，假期大预习、课前小预习，能让同学们少受很多罪。 第五，数据分析。这块很简单，不用怕，各位八年级的同学们加油关注我，这个寒假带孩子们精准查漏，高效预习，形成文档，弯道超车。 嗨，大家好，我是他爸黄体强，我在江西九江，我是一个家长，专业正规陪跑，感谢您的关注。

然后啊，我们继续学习这个啊，这个六点二矩形的这个性质和判定 啊，其实呢，嗯，这个也比较简单，我们还是在平行四边形的这个基础上啊，第一个它定义呢，是有一个角是直角的平行四边形叫矩形啊，有一个角是直角的平行四边形啊，这里我们还是说， 嗯，他的这个定义定一定要记住，其实呢，他也是这个判定一啊，所以说我们先正完他是平行四边形啊，然后呢再正其中有一个角是直角，那他就可以是矩形了啊， 然后呢他的性质呢啊，有这么几条，当然呢，平行四边形最具有的所有的性质他都是有的啊。 嗯，第一个呢，就是四个角都是直角啊，四角都是直角，这个我们都非常清楚啊，这个非常重要的一个点就是对角线相等啊，一定注意这个矩形，因为后边我们还有对角线很多东西，菱形对角线是垂直啊，这个矩形对角线呢是相等啊， 当然他俩都有平行四边形的性质，平行四边形的性质呢，就是这个对角线互相平分，所以说呢，我们可以认为矩形是平行，是这个对角线呢，它既互相平分又相等啊。 啊，最后呢，他判定呢，就第一个呢，我们可以通过这个定义来判定，就是有一个角是平行四边形的，这个 有一个角是直角，平行四边形是矩形啊，第二个呢，就是对角线相等的平行四边形啊，对角线相等的平行四边形呢，那我们这个 如果说，嗯，这是他的第二条判定，我们先证他平行四边形，然后呢再证对角线相等，那其实呢，如果说我们只谈对角线的话，其实呢 啊，我们对角线相互平分啊，可以正出它是平行四边形，然后呢，再且相等，继续也可以正它是矩形啊，所以说这条呢，我们可以隐身出另外一条来啊，就是说我们先正平行四边形啊，正平行四边形啊，再正什么对角线相等， 正平四圆形呢，我们可以直接正这个角线相互平分其相等啊，这也是一个小的一个东西啊，最后一个就是说三个角是直角的，这个四边形它就是矩形啊，注意是四边形的，它不是平行四边形的，任意一个四边形只要三个角是直角就可以了，为什么呢？ 因为我们它的性质四个角是直角就可以了，为什么呢？因为四边形的角和呢，是三百六十度啊，这隐藏了一个 三百六十度的一个问题，那三个角都是直角了，减去三个啊，九十啊，他就剩下一个还是九十啊，所以说三个角是直角就可以判定他是啊，矩形了啊，这就是呢，这个啊，矩形的这个判定和 性质啊，也是比较简单啊，大家还是要在做题中来这个多多的这个，嗯，体会和熟练运用这几条啊。嗯，需要这样的，有的同学就容易混啊，千万不要混，千万一定要把它记清楚。

啊，这个数学是一个螺旋式的过程啊，我们现在又开始回到了等腰三角形的学习 啊，这是一个预习课啊，就是他的内容会非常的就是非常的简单，如果说想听一些这种提升的这个部分等到咱们开学以后再进行啊，好。呃，性质的话，这个等腰三角形性质一的话就是等边对，等角就是反过来的话就是一个推论的话就是等角对等边。 哎，一定要记住这一张整个的内容啊，可以相互颠倒使用啊，互为逆定理啊，性质二的话就是啊，三线合一，反过来就是置二退二啊，就是我稍微写一下啊，等边， 对啊，等角反过来就是它的逆定理对吧？它的逆定理啊叫等角对等边， 等角，对啊，等边。呃，我再补一句，就是性质二是三线合一，不是三线合一 啊，他这个反过来的话就也当然了可以当做一个定理来用，但是需要进行证明一下啊，这一张所有的内容整个记住这一张所有的内容全部可以进行一个逆定理的一个推论与学习， 咱们在学校里边学的时候就是这样的，就是把所有的这个性质反过来再推一遍。啊。好，那咱们直接看题了啊，咱们直接看题这个进入这个题目来学习一下等腰三角形的这个两个性质 好。呃，说有一个直角三角形 a b c， 直角三角形 a b c 做了两，一个高，做了一个高，做了一个角平行线啊，然后在这个角平行线上做了第二个高，然后让我们证明什么呢？ 证明 em 等于要证明 em 等于这个 f m 啊，他俩相等的吗？他俩肯定相等，对吧？因为他让我们证明 em 等于 f m 肯定是相等的啊，那怎么证呢？我们，哎，这个有同学就已经想好了，我怎么证明他，他等于他呀， 我最好是证明这两个三角形全等就好了这两个三角形全等就好了啊，那，那这两个三角形全等怎么证呢？ 对吧？这个边等于这个边不知道，这个角等于这个角也不知道，对吧？我知道一个什么公共边，知道一个有一个直角。 哎，如果他俩如果想挣这两个三角形全等，那么我们最好是证明啊。如果这个 em 等于 f m 就 好了，那这时候就陷入了一个死循环，就是我想挣 em 等于 f m， 需要挣这两个三角形啊，全等。 那我想证明这两个三角形全等，我又得证明 em 等于 f m 此循环啊，这是肯定不行，对吧？这个，那怎么能够打破这个死循环呢？从外部寻找条件，就不要再纠结于这两个小三角形全等了。 哎，怎么从外部寻找条件呢？借助我们的，哎，我们的这种意识，三线合一的意识。那 em 等于等不等于 f m 肯定相等于， 肯定相等，因为我们要正的这个东西，对吧？那么如果他俩相等会形成什么？哎，他俩相等还有一个直角，这是个什么东西啊？这不三线合一吗？对吧？也就是说这个东西他其实是一个等腰三角形，他肯定是等腰三角形 啊，三线合一，它是等腰三角形，那么就有啊，等边对等角，也就是说这个角，这个角，这个角 c e f 等于角 c f e 肯定相等的，但是我们此时还不知道它俩相不相等，对吧？ 那它俩相等，我怎么能证明它俩相等呢？只要证出，反而而言之，只要证出它俩相等，那么 e m 就 等于 f m 它俩，它俩怎么能够相等啊？哎，用这个题目当中唯一给的这一个角平分线就可以去挣出来。角平分线就可以挣出来啊，是不是 r 发？ r 发，对吧？这个角是什么呀？这个角是不是就等于这个角，这角是 b， 它吧，就是这个角是九十减 r 法， 对吧？在这个三角形，在这个直角三角形当中，这阿尔法，这是九十减阿尔法，我给它标成北的，可以吧？同理啊，看，在这个倒三角形当中，在这个直角三角形当中，这是阿尔法，这个角是什么？ 这个角是不是也是九十减二分，也是北的？也就是说这俩角是相等的啊，这俩角相等，那么一切就说得通了。哎，咱们从结论往前推一推，从已知往往往后推一推。哎，有一个共同的内容，把它勾起来，就是啊，这两个角相等，就能挣出这个题目来了。 步骤怎么写呢？呃，咱们作为一个这个预习课，相当于预习预习的一个小小练习，咱们这个稍微写一下步骤，对吧？稍微写一下步骤，第一步写什么？因为角平分线，所以啊，这个角一等于角二。 哎，在哪个直角三角形当中，这个角和这个角互余，所以这个角等于九十减去角二，对吧？在哪个直角三角形当中，因为这两个角，这个角九十度是互余的，所以说这个角，这个角等于九十减这个角一， 对吧？好，这个时候我们就知道了，角就是前面，前面一通准备之后，角 c e c e 这一个 f 就 等于角 c f e 了，我们知道了这两个角相等之后，也就是这是一个等腰三角形，所以注意，这个时候我们还需要正全等吗？我们可以不正全等了，所以啊， c 啊， e 啊等于 c f， 哎，角相等凭什么转化成了边相等等角对等边这个东西可太神奇了，哎，两个角相等转化成了两个边相等， 神奇，神奇，这个东西非常的神奇啊，角相等转换成了边相等，然后，那我凭什么？凭什么这两个边相等？因为 c m 垂直吧，又因为 c m 垂直于 e f， 所以 e m 等于 m f。 哎，那这又是为什么呀？为什么我连全等都没正？我直接下了结论，因为性质，三线合一， 等腰三角形的中线、高线、角平分线，三线交汇点啊就出来了。整个过程当中没有用全等，咱们直接使用了这样的一个类似于二级结证的这样的一个内容，明白了吗？哎， ok， 这就是我们等腰三角形部分的一个内容 啊。好，我们好好复习一下这几个知识，咱们下期再见。

大家好啊，我们继续学习这个七点四二次根式的这个加减啊。嗯， 经过我们上一节课的学习呢，我们此次二次根式的加减呢，都是要在啊上一节最减二次根式的情况下啊，我们先把所有的这个根式化成最减二次根式，然后呢再进行加减啊，这是我们 为什么要先学这个最简二次根式及二次根式性质呢？为什么先学下一课再学这一课呢？就是如果说你上一节课这个，呃，二次根式的这个化简啊，我们先来化简吧， 就说你把它化成最简二次根式，如果说你不太熟的话，那你做这一个呢？那可能说有一点啊慢，或者是说做错的概率比较高啊，所以说 啊，我们这一张呢啊，练习啊，就是他考的也是我们的基本运算能力，这个练习比较重要啊，先最好是先把上一张练好了之后呢再来学这节课啊，比较好一点。嗯，好的，那第一个呢，我们要讲一个叫什么叫同类二次根式。 同类二次根式呢，就是我们首先把它化成最简二次根式，之后啊，它的被开方数相同的啊，它就叫做同类二次根式啊。那比如说，那我举个例子啊，比如说啊，根号二啊，根号二和所有的这个根号二的倍数， 那比如说二分之根号二啊，二分之根号二，它是二分之一倍的根号二吗？和三倍的根号二和五倍的根号二啊，这种呢通通都是同类二次根式。嗯，那因为它长得都不一样，那我们化简之前它长什么样我们不清楚呢，比如说这个 三倍的根号二吧，那其实它化简完之前是应该是根号十八啊，这个三进去之后变成九二九十八，那这个根号十八和这个根号二呢？大，在我们没有化成这个减二次根之前，你是完全看不出来的啊，它到底是不同类二次根十，那所以呢， 嗯，我们首先要把它画成最减二次根式之后，我们才能确定它是不是同类二次根式啊，这个非常重要啊，那我们书上呢，有这么一个题，就说谁和谁是同类二次根式，你看它长得完全是不一样的啊，那这根号二呢？我们就没有必要呃，画了它没有什么好说的，它本来就是一个最减二次根式啊，它 也没有分母。然后呢，我们判断是不是 z 二次根式呢？有两点啊，第一个看有没有分母啊，分母有没有根号，那分母他连分母都没有，那分母肯定不存在根号的问题。那第二个就是这个根号下来的地方，他还不能，能不能再化那根号二，我们就知道他没有什么余地了啊，那这个根号七十五呢？ 我们开始看啊，那我我已经比较熟练了，我一眼就看出他是二十五，三乘以二十五是七十五 啊，那既然是三乘以五的平方呢，那他很明显就等于五倍的根号三啊，五倍的根号三。呃，我们同学们做熟了之后也可以这样的啊，那这个呢？啊，五分之一，那这个我们做熟了之后呢？那肯定上下都乘以根号五十，那就是五十分之根号五十啊。 啊，那五十分之根号五十呢？嗯，我们先写一下吧。啊，五十分之根号五十，嗯，那五十分之根号五十呢？呃，那这个五五十呢？很明显呢是二乘以二十五，所以呢他就等于啊， 五倍的根号二啊，这下面是五十，下面没有动，上面是五倍的根号二。嗯，那做完之后呢，我们还要再约一下分，再约一下分啊，除一下五，所以说它是十分之根号二啊，十分之根号二 啊，所以呢，我们在没化减之前呢，他长什么样你完全不知道，你看这个根根号五十分之一，最后变成十分之二啊，最后呢就是这个二十七分之一。那我们下面二十七呢，我们已经画了很多次了，非常熟悉了，是三九二十七，那所以说呢，是三倍的根号三 分之一号三呢，就变成了九分之根号三啊，九分之根号三， 那这个呢，我们就可以看出谁和谁同类项了。那很明显呢，九分之根号三和五分之根号三呢？它是啊，同类二次根式。那十分之根号二呢？和根号二，它是同类二次根式 啊，所以呢，在我们没有化解之前，我们是完全看不出来的，那化解之后呢，我们就知道它和它是同类二次根式，它它是同类二次根式啊，就是说我们化了对减之后被开方数下面相同的。 那比如说我们比较熟悉的就根号二啊，根号三，根号五啊这些啊，根号七啊，根号十一啊这些，它的倍数或者它的几分之几啊，都是啊，这个同类二次根式。 那我们完同类二次根式完事了之后呢，我们要可以找出进行合并啊，我们可以合并同类二次根式，合并同类二次根式呢，很明显啊，我们就把它当成合并同类项就可以了啊，就当合并同类项行了啊。那 m 倍的根号 a 和 n 倍的根号 a 加起来，那它就是 m 加 n 倍的根号 a， 那这个呢？也是啊，举个例子，三倍的根号二和二倍的根号二加起来，它就是五倍的根号二，这个和我们小学的这个逻辑是没有任何问题的啊，三个根号二加上两个根号二呢，肯定等于五个根号二嘛。 那我们先看一下这个例题，例题呢，我们一定注意，第一步呢，我们首先把它变成最减二次根式，你不把它变成最减二次根式，你是不太好看出来的啊，你也不太好合并，你也不知道它的前面这个系数什么东西。嗯，那这个刚好十二呢，我们已经是啊，老演员了啊，这三四十二， 三四十二，一定注意，这是一个乘的一个啊，他虽然二倍根号二是二乘以二，不是二加根号的意思啊。嗯，所以说呢，三四十二啊，所以说呢，二根三，所以呢，二倍的根号三，乘以二，所以就是四倍的根号三， 四倍的根号三，那这个减去这个根号二七二二七，我们就分三九二十七啊，所以是三倍的根号三，那最后加上这个根号十八呢？根号十八，我们也是二九十八啊，所以说呢，是二倍的啊，二九十八， 嗯，二乘以九，那所以说三倍的根号二啊，三倍的根号二 啊，那这个呢，它俩可明显是同类二次根式了啊，同类二次根式，四倍的根号三，减三倍的根号，所以说它等于根号三， 那这个呢，再加上三倍的根号二啊，它俩是不能合并的啊，根号三，根号二不是同类二次根式，我们其实就可以把这个根号三看成 a， 根号二看成 b， 所以 说 a 加三 b 啊，它是一个意思，跟我们合并同一下是没有任何区别的啊。这是第一个题。嗯，那第二个例题呢？是这样的， 那这个呢？是五乘以九啊，五九四十五。呃，那这个九肯定要变成三的，三和这个三约着，所以说他只只剩一根号五了啊，那他只剩一根号五，呃，那这边呢？我们顺便给他这个什么吧啊？ 嗯，我们可以上下把这个五写上面，根号五分之五，然后呢我们上下都乘根号五，得到了，它是等于五分之二十五，那其实我们可以换一种思路。嗯，这个根号五和这个五，那五其实是根号五的平方啊， 那所以说他可以和他约啊，约完之后剩下根号五减去根号五，那这个区块我们加号要变减啊，这个根号五是零零的减根号五，所以说负的根号五 啊。然后我们再做几个合并同类二次根式的题啊，也是从我们习题和练习上找的啊。嗯， 每一个题呢都有每一个题的特点啊，你可以先做一下，然后呢看我怎么做的，跟你是不是一样啊。我们看这个啊，五倍根号二，这个没啥啊，好多的了啊，它本身就是啊，同类二，最深最减二次根式了。那这根号八我们也已经非常熟悉了啊，二四得八，二根二嘛， 加上二倍的根号二，大家看这个七倍的根号十八十八呢，是二乘以九啊，那个九呢？我们出来可以变成这个什么三是吧？三乘七呢，就是二十一倍的根号二了， 那最后呢，它全是根号二，所以说我们就可以进行合并。那五加二呢？是七啊，七呢，加这个 二十一啊，七加二十一是二十八，所以说呢，它是二十八倍的根号二，二十八倍的根号二 啊，那这个呢，我们啊先取括号啊，或者说我们同时进行吧啊，它就是根号六，减去啊，它呢上下都乘根号二，所以说呢是二分之根号六，这个上下都乘根号三，所以说就是减去三分之根号六。嗯 嗯，那个那我们可以把根号六提出来，一减二分之一，减三分之一了，那所以呢，挺明显的是六分之根号六 啊。这个小学的这个口算能力我们还是要比较熟的嘛， 就是二分之一啊，加上三分之一，实际上是等于六分之五啊，二三得六，一减六分之五，再六分之一啊。 嗯，最后一个呢，这根号四十八呢啊，我们也可以变整数，那其实我一眼能看出来，它是三乘以十六啊，三乘十六是四十八啊，所以呢，这个十六可以变成啊，出来，可以变成四倍的负的四倍的根号三 啊，来减去两倍的根号三，那这个呢？这个根号十六呢？可这个四可以约掉啊，可以加上根号三啊。第一步呢，呃，我们数一下，把它变成最减二次根式啊，最减二次根式之后呢，我们再合并 负四减二啊，加一，相当于是啊，把根它提出来，是负四减二，这是负六啊，加上一，所以说负五倍的减号三啊， 还是啊多练。那这一节课呢，我们既然学了这个二次根式的加减，那下一节课呢？我们肯定要学二次根式的乘除了啊。

看一下今天这几道，看一下今天这几道题，也是和二元一次方程组有关的同一个类型的题， 当他不让你去直接去解的时候，咱们看看来怎么做，告诉你一点小信息啊，告诉你条件，让你去求其中的值的时候，看一下第一个题，他说 x 和 y 相等， 让你去求 m， 那 你发现了，这里面是不是还有一个多余的未知数？ m， x 和 y 相等，那就相当于假设，我就让 x 去等于 y， 把 x 用 y 去写出来，那第一个式子就变成了四， y 等于 m， 第二个就变成了三， y 等于 m 加一，那这两个可不可以解？我用上面的去减去下面的，是不是等于 y 就 等于个负一啊？那 y 等于负一， m 等于四， y 就 等于负四，那这个题就做出来了。 好，第二题，他说 x 和 y 互为相反数，互为相反数的两个数相加等于零， x 加 y 等于零，或者是怎么样？ x 等于负 y， y 等于负 x 啊，这都是互为相反数的一个关系，那我就写成负 y 吧。 x 等于负 y， 那 第一个字就是负。 y 加二， y 就 变成了 y， 那 k 就 等于 y， 那 下面 二 y 等于 k 加二，我们刚刚说了， y 等于 k， 那 二 y 就是 二 k， k 等于 k 加二，那 k 不 就等于二吗？所以这个题 c， 再看下一个题，下一个题，这个题啊，包括第五十五题。第五十六题有两种方法， 麻烦一点的，你可以，它反正是一个方程组，我都可以通过消元的方法，把 x 等于啊，多少多少表示出来， y 等于多少多少表示出来，然后再把这个 x 和 y， 它肯定是一个和 a 相关的一个关系式，对吧？一个代数式把它带入到这个里面， 那就能把 a 求出来，这个我就不多说了，那咱们说一个比较简单的方法，你来观察一下，这个地方是二 x， 这是三，这是 x， 他 俩一减是不是就得到了二 x 后面 y 减去二， y 是 不是正好是三 y？ 所以 这个题我用一减去二就直接得到了 二 x 加三， y 等于 a 减一，那题上告诉你， a 减一是等于二的，所以 a 就 等于三。同样的，先看一下这个题， 这地方是 x 减 y， 你 说如果这两个一二是我去相加的话，那 y 是 不是就消掉了？那就变成了我刚刚讲的这个笨方法。你可以把 x 去用和那个含 m 的 一个代数式表示出来， 你也可以再去把 y 表示出来，然后再把这个式子带入到 x 和 y 里面，这样很麻烦呀。那我再来观察一下，如果我不让他俩相加，我让他俩相减呢？我用一减去二，我只要能得到这个式子就可以了呗。你注意啊，一旦是这种题， 这种类型的题，你首先考虑的是我看看能不能把这个式子给凑出来，那一减去二之后，三 x 减 x 变成二， x 负外减外就是负二外等于那四， m 减 m 是 二， m 加六， 那这里我同时除二， x 减 y 就 等于 m 加六，是不出来了， m 加三，对吧？他又告诉你 x 减 y 等于几啊？五，说明这个后面它等于五， m 加三等于五， m 等于几啊二。这个题出来了。好，再看一下这个题，他说 m， 你 首先看 m 为负整数， m 为负整数，对吧？ 然后问你说， x y 的 方程组有整数，几有整数，你看人家说 x y 均为整数，就是意思就是我的 x 等于几， y 等于几，这两个他都得是整数。 那咱们来观察一下，这个式子很简单啊，这个你看他俩是不能消掉，用一加二的话，好，一加二， 那三加 m， x 就 等于十， x 等于三加 m 分 之十，对吧？然后你再把 y、 x 带入进去，把 y 表示出来， y 就 等于 你最好是带到这个式子里面，简单呀，对吧？嗯，那就是三加 m 分 之十五。 题干告诉你 m 是 负整数，然后也就说 m 小 于零，而且是整数， 然后 x 和 y 都是整数，它俩都是整数。然后你去试这个题，既然是一个选择题，你可以把它三个都带进去试一试。 他问人家问你 m 的 值，那你把 m 带进去， m 是 负二，那他这这个地方三减二是一，那他就等于十，他就等于十五，他俩都是整数，符合。你这样挨个去带进去试一下，你可以试一下，他们三个都符合， 这是选择题。如果是填空题或者是大题，你就要去试一下了。他既然是整数解，也就是他下面这个数肯定也得是一个整数。

很多初二的孩子在寒假预习的时候碰到了这种题，百分之八十的人都会卡住，不知道怎么解。 今天呢，咱们不绕弯，直接教给你方法拆解它的步骤，把这种题彻底的拿下。在二字根式这里呢，一共有六大经典题型，你必须全部掌握，林老师已经帮你整理好了，留下七八九拿去练习吧。好，咱们来看题， 当 x 大 于零小于四的时候，让我们对这个式子进行化解。咱们在做这道题之前，你首先要知道两个基本公式，第一个就是我们对 a 先开方再平方，结果是它本身。 第二个呢，是我们对 a 先平方再开方，结果是它的绝对值。那么有了这两个公式，我们就可以对这道题进行化解了。我们看这一部分，它就是 x 加一，而这一部分它是 x 减四的绝对值。 好，接下来咱们只要把这个绝对值给它去掉，就可以把题目搞定了。我们需要判断绝对值里面的正负，那么由于 x 是 大于零小于四的，所以这个绝对值里面呢，是一个负数， 所以原式它就等于 x 加一减去负数的绝对值，也就是它的相反数四减 x。 然后呢，再去掉括号，所以化简的结果就是二 x 减三，搞定，你学会了吗？