苏科七上数学寒假几何作图题线段，

如图一点 m 在 线段 a b 上共有三条线段， a b、 a m 和 b m， 其中一条线段的长度是另外一条线段的两倍，则称点 m， 是 线段 a b 的 和谐点 啊。那在这里面呢，三条线段任意一条线段是另外一条线段的两倍，我就可以称作 m， 是 线段 ab 的 和谐点了，这是一个新定义问题啊。好，那第一想问他们线段中点是不是这条线段的和谐点？那当然是啊，如果线段中点是 m 的 话，那我是不是就可以得到 ab？ 它等于两倍的 am， 或者等于两倍的 bm 是 满足我们题目条件的，所以它是 好。然后接下来再来看第二个，他说如图二， cd 是 十二点， n 呢，是 cd 的 和谐点，则 c n 等于多少？好来，在这里面， n 如果在上面的话，我们就有三条线段，分别是 c n， 然后 d n 和 cd 啊，那我们有这样的几种情况，第一个 n 如果是中点的话，那我是不是就可以满足 cd 等于两倍的 c n 啊？那第二种情况就是我们可能是 咱们的 c n 等于两倍的 d n 啊。 c n 如果等于两倍的 d n， 那 此时是不是满足这样的一个情况，那 c n 就 占了整个的三分之二，所以它就是有可能是总共是十二吗？那占了三分之二，那是不是八， 对吧？那还有第三种情况，就是我们的 d n 如果等于两倍的 c n， 那 d n 等于两倍的 c n， 那 此时咱们的这个 n 其实就应该是 在也是三等分点，只是靠近 c 啊，那此时 d n 等于两倍的 c n， 对 吧？那 c n 只占了三分之一啊，那它就是四，所以有三种情况 啊，这是我们的第二问，然后第三问啊，解决问题如图三，我们的线段 ab 呢，总共长度是十五动点， p 是 从 a 点开始出发，然后它的速度是一个单位每秒，然后向 ab 进行一个 沿着 a b 向点 b 匀速运动。那点 q 呢？是从 b 出发啊，然后以两个单位每秒，然后向 a 匀速出发， p q 同时出发，其中一点到达终点的时候运动停止，那这里速度快的是 q， 所以 它最终的运动时间应该是二分之十五啊，不超过二分之十五。然后它说设移动的时间为 t， t 为和值的时候， a p q 三点，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点。好，那在这里面 a p q， 我 们简单来画一下啊， 这里有 a b 啊，然后 p 点可能跑在这啊， q 可能跑在这， a p q 这三点 其中一点恰好是另外两点为端点线段的和谐点。其实在这里面大家可以考虑一下啊，因为我们刚开始啊， p 可能在 a q 中间，然后走着走着，我们的 p 是 不是可能跑到了 a 和 q 的 后面去啊？也就是说 q 会跑到里面去， 对吧？但不管怎么样，我们的 a 点不可能成为和谐点，所以这里我们就分两种大情况啊，第一种情况就是我们的 p 为和谐点的时候。 好， p 为和谐点的话，我们根据第二问，其实也是要分几种情况的。那第一种情况就是 p 为中点， 对吧？那 p 为中点的时候，此时我们这个 a q 和 p 啊，应该是 a p 等于 p q， 是不是这样的一个关系？那我们就看看这里这个 a p， 然后 p q 和 a q 怎么分别去表示啊？那 a p 因为 p 的 速度是一个单位每秒，所以 a p 可以 用 t 来表示，然后呢？呃， q 是 两个单位每秒，所以 b q 是 不是就是两 t 啊？那我们的这个 a q 是 不是就可以用十五减二 t 来表示了啊？那 p q 它们之间的一个距离， 我们在这里面就可以用十五减三 t 啊来去表示， 那这三个都给它表示出来之后，然后我们来看啊，如果我们的 p 为中点的话，咱们是不是就可以得到这个 ap， 它就等于二分之一的 a q 啊？所以说 t 呢，就等于二分之一乘上一个十五减二 t 啊，那我们就可以把 t 求出来，它等于四分之十五啊，是在范围内的，对吧？那第二种情况就是 p 为三等分点的时候啊， 比如说靠靠 a 啊，大家也是画图啊， 是不是可能是这种情况，那此时我们能够得到的是咱们的这个 ap 和 p q 之间的一个关系，就可以得到咱们的 ap， 它等于二分之一的 p q 啊，所以说咱们的 t 呢，就等于二分之一的十五减三 t 啊，你也可以把 t 求出来，那 t 它就等于一个三。 那第三种情况就是 p 为三等分点靠 q 的 时候啊，那此时它应该是这样子的 啊， a p 等于两倍的 p q 啊，所以此时呢，我们可以得到 a p， 它等于两倍的 p q 啊，那就可以得到 t， 它等于两倍的十五减三 t 啊，那此时我们可以求出 t 的 值等于七分之三十。好，这是我们 p 为和谐点的时候。然后再来看一下，如果 q 为和谐点， q 为和谐点，那我们把图一画啊，它可能作为我们 ap 的 一个中点是可能的吧。 q 为 ap 中点， 好，那此时我们可以得到 a q， 它等于二分之一的 ap。 好， a q 的 话，它是十五减二 t， 然后乘上等于二分之一 t 啊，我们就可以得到 t t 的 值，它就等于一个六。 那第二种情况就是我们的这个 q 作为三等分点啊，比如说它 靠近我们的 k p 的 时候，那此时 a q 应该是等于两倍的 p q 啊，那 p q 的 话，大家在这里需要去注意了啊，因为它俩已经交叉了，我们的 b q 是 一个二 t， 然后 a p 的 话是 t， 总共长度是十五，所以在这里 q p， 它应该等于三 t 减十五了啊，大家需要去注意。所以第二问，我们能够得到的是 a q 等于两倍的 q p 啊，所以说啊， a q 呢，是我们的十五减二 t， 它就等于两倍的三 t 减去一个十五啊，那从而能够得到 t， 它是等于一个八分之四十五。 好，那第三种情况就是当我们的 q 还是三等分点，但是呢，它靠近我们的 a 的 时候，在这里能够得到的是 p q 等于两倍的 a q 啊，那 p q 呢？是三 t 减十五，那两倍的 a q 就是 两倍的一个十五减二 t 啊，我们在这里可以求出 t 的 值，它是七分之四十五啊，所以综上所述呢，我们这里 应该是总共有六个答案，大家都给它写出来就可以了。

恭喜大家呀，即将走完速客版七年级上册的数学旅程，今天啊，我们就来攻克最后一张，也就是整个初中几何的基石线段角。别小看这两个简单的图形，他们可是你未来几何大厦的第一块砖。跟紧我这一张的考点啊，难点咱们一次性搞定！ 第一部分，直击灵魂的线。首先啊，我们来看线，生活中有很多线，比如说桌子的边缘，笔直的公路，在数学里面，我们把它抽象成了线段。 线段有两个最关键的特点，第一，它是直的。第二，它有两个什么端点也它的长度呢，是有限的，是可以测量的，这就好比一根有头有尾的铅笔一样。 那么如果我们把这根铅笔的一端无限拉长呢？他就变成了射线。射线只有一个端点，另一端是可以无限什么延伸的，这个有个端点，然后朝这边无限延伸的， 就像手电筒一样啊，射出的光，或者是像激光笔发出的光束一样，都是射线的绝佳例子啊。那如果把线段的两端都无限拉长的，没错，他就变成了直线。直线是没有端点的， 可以向两段无限的延伸，所以它的长度是不可测量的。那么这里有个小技巧，帮大家区分一下 线段两个端点像一座桥，有头有尾。射线一个端点像一道光，有头无尾。直线没有端点像宇宙无头无尾。那么这一张呀，关于线段最重要的考点是什么呢？毫无疑问是两点之间 线段最短，这个是基本的事实啊，这句话非常重要，他解释了为什么我们走路总喜欢超近道。在考试中，他经常和生活应用题结合在一起的，比如 河边建一个水泵站，怎么建才能让到两个村的这个水管总长度最短？核心就是利用这个原理。第二部分，无处不在的角，聊完了这个线呀，哎呀， 我们来看一下由线组成的这个图形。角。角是怎么来的呢？很简单，就是从一个端点出发，引出两条什么射线，这两条射线所组成的这个图形，我们就把它称为什么角，那这个公共的端点就把它叫做什么顶点。 这两条射线啊，就是角的两条边，比如说张开的书本钟表上的这个时针和分针，都形成了什么角，是不是这样子的？那么爱心也是啊，角的核心是什么呢？是它的大小。 脚的大小啊，和两边的这个长短是没有关系的，比如说这边可以这么长，对吧？但是他脚的大小是不改变的，你把扇子张开的越大，脚就是越大的，你看这样和这样是不是不一样呀？啊， 怎么比较两个角的大小呢？我们可以用叠合法，就像叠纸一样，把两个角的顶点和一条边成和，看另一条边的位置。当然了，最精确的方法还是用两角器啊，两角器的使用是必考的操作技能，大家一定要熟练掌握。两对齐， 中心对顶点，零线对一边。好，接下来是角的这种分类，这也是必考点啊，比如说锐角是大于零度，小于九十度的。钝角呢，是大于九十度的，是小于一百八十度的， 他看起来就是一条直线啊。周角呢，是等于三百六十度的，比如说旋转一周就回到原位了，这是周角 啊，这里有个小口诀，锐角小于直角小于钝角小于平角小于周角。它们之间的关系也要牢记，比如说一周角等于什么？两个平角是不是等于四个直角？ 核心考点与易错点大总结啊！好了，知识点我们串完了，那现在进入最关键的划正点环节。第一个考点，基本概念的辨析， 选择题里最爱考你线段、射线、直线的区别以及角的定义，记住他们的端点和延伸性啊。考点二，基本事实的应用，比如说两点之间线段最短的应用题是大题常课啊，一定要会画图分析。 第三个考点，做图题，比如说硬尺规呃一，一个角等于做一个角等于已知角的，或者是做线段的垂直平分线的，这是几何证明题的基础啊，动手能力一定要跟上的 啊！这里面的易错点就是角的表示方法，当一个顶点处只有一个角时，你可以用一个大写的字母表示，比如说角 a 角 b 角 c， 单独的一个角。但如果一个顶点处有多个角，你必须用三个大写字母来表示，比如说角 iob， 角 boc 啊，并且顶点字母要写在中间，这是无数同学栽过跟头的地方啊。第二个易错点，就是角的计算，看到一个复杂的图形，里面有很多个角，不要慌， 仔细寻找这个对顶角呀，比如说对顶角相等是不是还有没有邻补角，邻补角相加是等于一百八十度的这种关系，还比如说互余的两个角啊，是不是他们和是呃，九十度啊，这些往往都是解析的突破口。 同学们，线段角啊，这一张是你们从竖的世界正式踏入行的世界的大门， 它不难，但非常重要，它教会你的不仅仅是几个定义和公式，更是观察、分析和逻辑推理的几何思维。 把这一张学渣舍你的初衷几何之路就成功了一半。好了，今天的内容啊就到这里了。嗯，我是胡老师，祝大家嗯，好好复习期末考的那个优秀的成绩。

哈喽，朋友们大家好，我们继续来看江苏省初一上期末压轴题讲解。今天看第三套苏州市工业园区的这道期末。那这道题呢？他这个图也太丑了，把这个正正方形给它拉成长方形了。我们来看一下这道题啊， 是二十七题啊，上面写成二十六题了。正方形纸片是我们身边熟悉的物品，将正方形纸片进行摆放，可以产生一些有趣的数学问题。第一个 如图 a， 如图一所示，将正方形纸片 ab 按照图一的方式摆放，那么已知 ab 的 周长之和为十二。那我们是不是用平移法表示大正方形的周长？我们看把这条边向上平移，是不是相当于是这一段，那结合 b 的 上面这条边有了， 那同理，左边这个呢？ a 这一段是有的，把 b 的 左边给它平移到这，哦，这个也有了，那同理，是不是每一条边正好都可以把它给把它累加起来？所以两个小正方形的周长和正好是等于大正方形的周长。所以这道题第一问非常简单直接就是十二。 那第二题呢？第二题说，将七张大小相同的正方形纸片 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g 按如图二方式摆放。注意啊，这里面前面有大小相同这四个字。这是这道题的一个核心，我们根据大小相同就可以把它的形状画出来，看一下究竟是谁盖住了谁。 好，那么请写出这些纸片，自下而上，从下面到上面。从图中来看，最上面的肯定是谁啊？肯定是 a， 哦， 对吧，因为 a 一 点点都没盖住。那我们接下来关键看谁在最下面呢？或者说 a 盖住的是谁呢？朋友们可以注意到，这里面我们漏出来相对比较多的呢，是 b 跟 c， 尤其是咱们的 c， 它漏的是不是应该最多的？你看如果把 c 给它补充完整是在这， 那你发现除了看不到的这一块，因为他被 a 挡住了，其他地方是不是没有被别人挡住？所以我可以这么说， c 一定是在 a 的 紧接着他的下面。好，接下来再看哪一块呢？我们来看一下跟 c 有 关的，因为 c 要直接挡着他们对不对？那这里面我们看，如果 f 点是在这的 f 这条边，在这，那如果我把这个正方形大概的给他给画出来，是不是应该是大概在这个位置？那你发现 在这个形状的过程中，因为他和 a 的 宽要是一样的，和 d 的 宽也是一样的，在这里，在这里他被 a 挡了一部分，他被 c 挡了一部分，其他的东西是不是没有被别人挡了？所以这里面呢， f 点是从上往下数的第三个，那我们写就要倒着写了，接下来是谁呢？其实他就一个逆时针转就可以了，是不是我们的 d 他 正好被其他三刻给挡住了，所以是 b d 再下来呢？我们看一下这个 b， 这个 b 只有这一块。哎，有同学说，老师他这个东西不是只有被 a 挡，为什么他可不可以在第二个呢？这个问题是什么？这道题图很丑， 我们的说了，每一个都是一个是正方形，但实际上他在图中画的是长方形，所以他实际上的形状应该这个样子，你发现他肯定被 d 盖住了一部分，不然不会只看到这条线下面的部分，所以这道题呢， b 是 在 d 的 左侧 好，然后同理，剩下的呢，就一样了，我们把这个 g 是 不是也被 b 给挡了一部分， 然后最左边呢，是这个 e， e 被 g 挡了，所以它实际上是一个呃，先放 e， 再过来一个顺时针方向的一个过程啊。 好，我们来看一下第三题。第三题其实我们讲的还是蛮多的，就是根据题目的意思来进行方程的一个应用啊。九张大小不同的正方形纸片， a， b， c， d， e， f， g， h， i 可以 得到无缝 右部重叠的一个长方形。已知正方形边长为二，求长方形周长。那长方形周长是不是要把邻边两邻边和给它给求出来？所以呢，我们来看一下这里面。 首先，这是这么多个正方形边长只知道一个，那我们从最中间来看的话，你发现 a 和 b 之间没有什么太大的联系，或者说得利不出来 b。 所以呢，我们将 根据要设就设最小的一个原则，我们假设 b 的 边长是 x， 然后加来试图用 x 把所有的边都表示出来，那你看 c 这条边呢，它正好是 a 和 b 的 和，所以 c 呢，是 x 加二，然后再看 d， d 这条边呢，它是 c， 比它多了一个 a， 所以 是 d。 是 在 x 加二的基础上再加一个二，也就是 x 加四， 那 e 呢？ e 是 c 和 d 的 和。看图就可以看出来了， c 是 x 加二， e 是 x 加 d 是 x 加四，所以是二， x 加六。哎，就是这样一步一步探判断，那 f 呢，正好是 d 和 e 的 和，所以 f， d 在 哪？ d 是 x 加四， e 是 二， x 加六，得到的结果呢？是三 x 加十， ok， f 出来了，再看 g， 你 看 g 这里它其实包含了三段对不对？也就是 e、 c、 d 三个的边长。 b， c d， b c， e， f 出来了，是 g， b 是 x， c 是 x 加二， b c e， e 是 二 x 加六，得到的结果是四 x 加八，好， g 有 了再看 h， h， 你 发现它正好比咱们的 g 多了一个什么？多了一个 b， b 正好是 x， 所以 你是四 x 加八， h 是 x 加上 四 x 加八等于五 x 加八好， h 有 了再看 i 呢？ i 这条边，它跟 h 好 像没什么关系，但是呢，我们看上面这条边，它是不是由 fda 来表示的？所以呢， i 它是 f， 三 x 加十， d， x 加四， a 是 二，所以是四 x 加上十六，好的，那这样这所有的边都被表示出来了，我们是不是要列一个关于 x 的 方程， 那这个方程就在于什么呢？它长方形对着的边是相等的，比如说这个宽，或者说这个长，或者这个宽，那么算谁呢？肯定算宽，为什么？因为它的宽是由两组大的边给它给表示出来的，也就是 f 加 i 等于 g 加 h， 这样计算量是不是小一点？所以呢，我们根据由 f 我 简写啊，我们考试肯定不能写 f 加 i 等于 g 加 h 的， 来，我们把这几个给它给加起来，也就是三 x 加十加上一个 i 呢，四 x 加十六等于 g 是 四 x 加八， h 呢，是五 x 加八好，中间合并同类项。七 x 加二，十六等于九， x 加上一个十六。哦，二 x 等于十， x 等于五，也就是说小 b 的 正方形的面积边长是五。那然后我们怎么求周长呢？周长是不是就是邻边和一个邻边是 f 加 i， 所以呢，它的一个宽 f 加 i 呢，是七 x 加二十六，把 x 等于五带进去，七乘五三十五加二十六 是六十一，然后长呢？看图最简单的是不是 i 加 h， i 是 四 x 加十六， h 是 五 x 加八， 也就是九 x 加上一个二十四等于九乘五加二十四，五九四十五，四十五是六十九，所以它的一个周长 c 两倍的长加宽六十一加六十九是一百三，一百三乘二 等于二百六十。最后呢，再给他答一下。好，这道题相对来说，我觉得第二问可能稍微有点不太好，想最后一问呢，还是比较常规的题型，我们自己总结一下。

如图，已知线段 a、 b 上有两点 c、 d， 而且呢，知道 a、 c 比上 d， b 等于一比二， a， c 比 b， d 等于一比二，那见比射餐，我们去射短的这个 a、 c 是 x， 那 b、 d 我 们就可以用二 x 来表示。 现在告诉我们 e、 f 分 别为 a、 c 和 d b 的 中点，那既然是中点的话，我们的 e、 c 是 不是就是二分之一 a、 c， 那 就可以用二分之一 x 来表示，那 d、 f 是 不是就是二分之一的 b、 d， 那 它就等于 x， 现在呢，告诉你 e、 f 啊，整个 e、 f 的 长度是二点四，而且 c、 d 它的一个长度是一问我们 ab 的 长，那你看，这里有一个等量关系，就是我们的 e、 f， 它在这里是不是就等于二分之一 x 加上一，再加上 x， 那等于二点四，这样的话，我们就可以把 x 求出来啊， x 求出来是十五分之十四，那 x 有 了，我现在要求 ab 的 长度，你可以看一下，在这里 ab 是 不是就等于 ac 加上我们的 c、 d， 再加上一个 b、 d， 所以 是等于 x 加上一，再加上一个二 x， 那 此时是咱们的三 x 加一啊，把 x 带进去求出来，答案是五分之十九啊，所以 ab 的 值是五分之十九。

好，嗯，我只看到了一个同学，我很满意三十和一百零五啊，好多同学是一百二的，一百二是错的， 你们觉得一百二是对的，其实是有问题的啊。那三十度呢？肯定是大部分同学都会，也是最简单的，对吧？好，我们来看看啊，就是我们到了期末考试啊，很多时候这种分类讨论的啊，挺多的啊，你看这个第七期、第八期，其实都是分类讨论的啊。 这个题，那我们首先画图， a、 o、 b 是 八十度， 然后 a、 o c 等于五分之三， b o、 c。 第一种情况大家都会啊，说这样， 它是它的这个五分之三，设它为三 x， 这是五 x， 好， 那么三 x 加五 x 等于八十 x 等于十，好，角 a o、 c 等于三十度， 对不对？好，第二种情况，有很多同学说我也会，那就画在它的外面呗，是吧？你让这个 aoc， 比如说 这样，然后这个是 boc， 那 么此时我们设它为三 x， 那么这个是不是就是五 x， 那 这个五 x， 那 么是不是对应的这个地方是二 x， 那 是不是二 x 等于八十度， x 等于四十，好，那么三 x 等于一百二，所以角 a、 o、 c 等于一百二，对吧？一百二的答案是这么出来的吧， 你看上去也没有问题啊，哪里出了问题呢 啊？你现在你们有意识到哪里出了问题吗？我看他那个标写标注啊，对，就是这个地方，你这个时候 a、 o、 c 确实是一百二没有问题，但你说这个 b、 o、 c， 你 现在算出来多少度了？ 五 x 两百度了，怎么可能啊，也就说你真的画出了这个 b o、 c， 也不应该是算那个两百度，应该是反过来算，那个叫三百减啊，三百六减两百一，一百六的角，对吧？也说真画出这个图，它也不可能是算这个两百度的角，所以说这个地方就错掉了 啊，那错掉了，说明我们这个时候很可能是反过来算那个后面的那个 boc， 而不能算这个方向的 boc 了，对不对？所以我们这个时候啊，重新画个图， 这个情况错了啊， 那它可能是什么样呢？可能就是说这个 aoc 啊， 它越过了这个平角线，然后呢？ b、 o、 c， 因此就它就不能算这个了，它就得算下面这个，所以这个时候我们再去求求看这是多少？三 x， 这是五 x， 这是八十度新的方程 x 算出来三十五。想参加我们 t o 训练营的家长可以在评论区留言哦。

如图，点 c、 d， 在 线段 ab 上点 c 是 线段 ab 的 中点， ab 呢？等于两倍的 b d。 若 c、 d 等于三，求 ab 的 长为多少？ 好，那在这里给了你 ab 和 b、 d 的 一个数量关系啊，我们可以去设参数，假设这个短的 b、 d 是 x， 那 我们 ab 就 可以用二 x 来表示了。 c 作为 ab 的 一个中点，那我们 bc 是 不是就是二分之一的 ab？ 哎，就等于二分之一乘上一个二 x 加上 x 就 等于二分之三倍的 x 啊。 bc 用二分之三 x 来表示。现在告诉你 c、 d 是 三，我们就可以列一个等量关系出来，因为 c、 d 它就等于 bc， 减去一个 b、 d 嘛。 bc 的 话，我们是二分之三 x， 那 b、 d 呢？是 x， 它就等于一个三，所以我们就可以把 x 求出来， x 等于六，那现在我要求 ab 的 长度 ab 总共是三个 x， 那 就是三六三乘六啊，等于十八。答案，选 b 选项。

几何图形的定义，这章节中的判断正误这一类型一定是我们七年级上册起因某一个重灾区，百分之九十同学都不知道 它这里面的定义是什么，而导致白白丢分。那今天呢，我们来看几个经典的判断题，来教给大家如何去做对这类题目，我们来看一下判断正误。 第一题，连接两点的线段叫做这两点距离，这句话等是对还是错的？很多同学都会觉得这句话没问题，但是注意了，这句话是错误的，为什么呢？因为我们知道 距离，距离它指的是一个长度，而不是一条线，所以说正确的话，应该是说连接两点间的线段的长度叫做这 两个点的距离，注意是长度才能叫距离，线段不能叫距离。这是第一句话，接下来我们来看一下下一句话，两点之间线段最短，那这句话是正确的，因为两点之间确实是线段最短。那接下来我们来看一下下一个， 如果 a p 等于 b p， 则点 p 为线段 a b 的 中点。很多同学也觉得，哎，这句话没毛病啊，也确实是对的、错的，因为想要让一个点作为一条线段的中点的话，举个例子，比如说 a 在 这地方， b 在 这地方，它们连接在一起就是线段 a b， 那 如果点屁不在这条线段上面，而跑到了这条线段外，比如说屁的话，那此时 a p 和 b p 连接起来是不是也相等，对吧？那此时 p 就 能说是 a p 的 终点吗？很明显是错误的，所以这句话也是错误的。好，我们来看一下第四句话，过两点，尤其只有一条直线，那这是正确的，因为我们两点确定一条直线。 第五句话，直线 a b 等于十厘米，这句话是错误的，因为直线它是无限延伸的，没有长度。第六句话，两点之间线段叫做两点之间的距离，也是错的，错误，跟第一句话是一样的，没有长度，必须要有长度才叫做距离。 第七句话，河道改直可以缩短航程，是因为经过两点，有且只有一条直线是错误的，因为 它句子中所表示的是短，就是字眼短，这个字眼跟下面这句话是没有任何关系，跟直观是没有任何关系。正确的说法应该是河道改直可以缩短航程，是因为两点之间线段最短。 好，现在来看一下第八句话，射线 a b 与射线 b a 是 两条不同的射线，很多同学会觉得这是错的，但其实这句话是对的，为什么呢？因为射线跟直线和线段是不一样的。射线 a b 指的是以 a 为端点， 然后向右这样子去射 a 和 b， 而且射线 b a 的 话，应该是以 b 为端点向右射。 那很明显，这两条根本就不一样，一个是 a 在 b 的 左边，一个是 a 在 b 的 右边，所以说他们就是两条不同的射线，这句话应该是对的。 那么这八句话就是我们定义概念的这个一个易错的题型。怎么样？这类几何图形中的定义概念判断正误问题，你学会了吗？

已知线段 a、 b、 c、 d 的 公共部分， b、 d 是 等于三分之一， ab 等于四分之一， c、 d 线段 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 之间的距离是十。让我们去求一下啊，求一下 ab 和 c、 d 的 长度好了，那这个呢，依然是一样的啊，看到比呢，咱们依然可以是 k， 那这样子的话呢，我就可以设一下，我设一下，那个 b， d 是 x， b， d 是 x， a、 b 的 话就是三 x， c， d 呢就是四 x。 好， 那 b 呢？是谁呢？呃，那个 e 啊， e 呢，它是 ab 的 终点 对不对？ e 是 ab 的 终点，然后 f 呢是 c、 d 的 终点，这样子的话呢，它说 ef 之间的距离，那我们就可以表示一下 y， 对 不对？那我们看一下啊，这 ef 应该是等于整个的 a、 c 减去 a， e， 再减去一个 fc， 对 不对？我们可以将它用每一个都给它表示出来。 b、 d 这边是 x， a， b 呢是三 x， 所以 说明 a、 d 呢就是二 x， c、 d 呢是四 x， 那 b、 c 呢，是不是也是一个就变成了三 x， 所以 我们这样子的话呢，就可以把每一段都给它表示一下。好，那接下来我们来设一下啊，设 b、 d 等于 x 厘米，则 a、 b 呢，就等于一个三 x 厘米， c、 d 呢就等于四 x 厘米，所以 a、 c 呢，就等于它整个长，对不对？就等于一个六 x 厘米。那因为 e 和 f 分 别为 ab， 还有 cd 的 中点， 所以 a、 e 呢，就等于二分之一， ab 就 等于一点五 x 厘米， 那 c、 f 呢，就等于二分之一， c、 d 就 等于二 x 厘米，所以 ef 呢，就等于 a、 c 减去一个 a， e 减去一个 c， f 就 等于一个二点五 x 厘米。 然后这个里面告诉我们了，因为 e、 f 呢，它是等于一个十厘米的，所以就有二点五， x 呢，就等于十，解得 x 就 等于四，所以就知道了。 ab 呢， ab 就是 等于一个三 x， 对 不对？ ab 是 三，三 x， 所以 它就是十二厘米。 cd 呢，是等于四 x， 那 就是十六厘米。 ok， 其实就是线段的双中点问题很好解决的。

期视频我们来探讨七上数学关于线段长度的一道压轴题，它既是重点，也是难点。双中点问题是七上几何的重点，前面两期视频我们已经讨论过双中点问题的多种情形， 这道题之所以难，是因为它还包含了动点问题。动点问题是七上几何的难点之一，但是只要掌握了正确的方法，这道压轴题也会变成基础题。 首先我们来审题，这是一道选择题，在考试中可能也就占两大三分，但它的复杂程度堪比一道计算题。难点之一在于这道题的已知条件很多， 射线 ab 上有一点 c， 给了 ab 的 长度为三十米，又给了 a、 c、 b、 c 的 关系。 另外还有两个动点 p、 q， 它们分别从 a、 b 两点同时同向出发，分别以两米每秒和一米每秒的速度沿 a、 b 方向运动，运动时间为 t 秒。 还有 m、 n 两个中点， m 是 b， p 的 中点， n 是 q， m 的 中点。可见这又是一道关于双中点的问题， 已知条件的信息量很大，有的同学看到这里已经蒙了，不知从何下手。 难点之二，这道题中线上的点很多，相应的线段也很多，同学们看到有这么多点已经眼花缭乱。 难点之三是存在动点 p 和 q， 它们运动速度不同，中点 m 与动点 p 有 关，所以 m 也是一个动点。中点 n 与动点 q 和动点 n 都有关，所以 n 也是一个动点。 难点之四是这道题要判断三种说法的正确的个数，所以一、二、三三种表述都要进行计算和判断。 基于以上的审题和初步分析，这道题是当之无愧的压轴题，它一般会出现在选择题的最后一道，如果不是特别有信心在五分钟之内能解决掉它， 建议同学们先绕过他，做完后面的题，再来做这道题。

七、下密的运算这个章节如果你没有掌握构造思想，那么考试一定拿不到高分。今天老师一条视频教会大家如何进行构造。已知二的 a 次密等于三的 b 次密等于六的 c 次密，则 a、 c 加 b c 分 之 a、 b 的 值等于多少？这简直是一类口算题。不好， 我们看后面需要 a、 b 的 乘积， a、 c 的 乘积以及 b、 c 的 乘积。前面是只有 a， 只有 b， 只有 c， 那 么如何得到它们的乘积呢？你一定要想到的一个知识点，二的 a 次密，整体的 b 次密，我们会出现二的 a、 b 次密，所以我们想构造出来一个 a 乘 b， 可以 进行整体 b 次密。好，那么前面的部分整体 b 次密，那它就变成了二的 a、 b 次密。这个我们可以先不用管，因为这个题里面我们压根没有 b 的 平方，将它整体 b 次密之后，它是变成了三的 b 平方次密。好，那么这个整体 b 次密应该等于什么呢？六的 c 次密相当于我们把它整体进行 b 次密。那好，有了 a、 b 和 b、 c， 还缺谁啊？还缺 a、 c， 对 吧？我们也可以在这边整体 a 次密或者是整体 c 次密都可以。那么我们对这个式子整体 a 次密的话，这边是二的 a 方次密，那这边就变成了 三的 a、 b 次密，那这边整体 a 次密就变成了六的 a、 c 次密。所以你会发现这个时候 a、 b 有 了， a、 c 有 了， b， c 也有了。那么如何能出现 a、 b 次密除以 a、 c 加 b c 呢？你会发现左边有一个什么问题， 三的 a 次密和二的 a、 b 次密，它们的底数虽然不相同，但是它们的指数是一样的，如果底数不相同，指数一样，我们可以有个什么计算呢？二的 a 次密乘 三的 a 次密，它是可以写成二乘三整体的 a 次密，对吧？那么这种情况下，我们将上下两个式子同时相乘，那么二的 a、 b 次密，乘三的 a 次密、 ab 次密就应该等于右边的六的 b c 次密，乘 六的 a、 c 次密。那么乘完之后，左边的部分应该变成了什么呢？左边的部分就变成了六的 a、 b 次密好，右边的部分相乘的话，我们是指数相加，所以右边就是六的 b、 c 次密。加上 a c 次密好， 我们要求的是什么？ a b 除以 a c 加 b c。 那 在这个式子里面，我们会发现 a b， 它就等于谁呢？ b c 加 a c 好， 那么所以 a b 就 等于 a c 加 b c， 那 它们的值最后是不是就是一呀？这个就是构造思想，你看到什么就要构造什么。

七、上动角问题角度计算这一章会直接影响下侧平行线以及平行线拐点模型的学习，那如果咱们孩子现在动角问题角度计算还经常没有思路，压轴题得不了分的话， 那我们这个假期一定要花时间把它刷透学透。动角问题这里常见的一共有五种常见的类型，每一种类型都有它对应的分析方法和解决问题的技巧。 如果咱们孩子现在经常没有思路的话，家长们一定要把这套题打印出来，带着孩子分类型的进行学习，这样才能把我们的孩子举一反三的思维建立起来。下面啊，我就借着这道题，再来带着大家把角度计算这一块的内容复习一下 来一起看啊。这里面角 a o b 等于一百一十度啊， a o b， 这是一百一十度， c， o d， 这里等于四十度。 告诉你 o e 平分， a o c 它平分，那这两个角是不是都是五十五度？ off 平分， b o d， 那 这两个角都是二十度？ 好，如图，当 o b， o c 重合的时候，让你求对应 e o f 的 度数。第一个问属于白给分的类型题，因为它属于我们对应双角平分线模型的结论，一半一半又一半， 这两个小角相等，这两个小角相等，哎，他俩不就是五十五度，再加二十五度吗？哎，再加二十度吗？等于七十五度。 继续我们来看第二个问，说 oboc 重合的时候，求 aoe 减 bof 的 值，来 aoe 这个角是不是五十五度，来 bof 这个角是不是二十度？ 所以 aoe 减 bof 直接是五十五度，再减去二十度等于三十五度。 这个题前两个问并不难，它最关键的一个问在哪呢？那 o e 平分的是这个角， o f 平分的是谁呀？平分 b o d， b o d 是 这个角啊，对不对？ 所以你会发现这两个角它都是动的，因为这两条线都在动，对不对？好了，那接下来 a o e 减 b o f 的 值，我们可以怎么表示呢？由于对应的 a o e 其实就是二分之一的角， a o c b o f 不 就是二分之一的角 b o d 吗？所以咱们只需要表示出 a o c 和 b o d 就 可以了。那怎么表示 a o c 这个角呢？哦，你会发现原本这个角度数给你了，就是一百一十度，对不对？ 而它转动的速度就是每秒三度个这个，这么每秒转三度对不对？所以整个这个小角的度数是多少啊？是不是它转过去的三 t 啊？ 所以整个这个角 a o c 就 等于一百一十度，再加上三 t， 对 不对？那对应咱们再来表示一下角，哎， b o d， b o d 人家原本是多少啊？ 哦，原本是不是 c o d 是 四十度，这是四十度啊， b o d 不 就是四十度再加三 t 吗？那他们的一半那不就是五十五度，再加上二分之三 t 再减去，哎，对应二十度再加上二分之三 t 吗？ 哎，你会发现剪掉了之后二分之三，二分之三剪完没了，他不就剩下三十五度了吗？所以会发现他俩的值会发生变化吗？ 不变，永远是一个定值，这个定值就是三十五度。那有关于整个这样一道综合的大题啊，往往前两个问不难，但是最后一个问需要你自己画图，找清楚动态角度之间不变的量，这样就能够轻松求解了。

各位初中的小伙伴们看过来，我是你们的初中数学蒙老师，今天由老师带着大家做一道关于基本平面图形里边线段长度的计算题。首先我们来看题，已知线段 a、 b 等于四， 在直线 ab 上做线段 bc， 使得 bc 等于二，点 d 是 线段 a、 c 的 中点，问线段 ad 的 长为多少？首先他求的是线段 ad 的 长度，你看这个题，他首先没有告诉我们图形，那我们现在就要画图形，画图的话我们竖形结合去分析，那 看到这种无图的这种几何题的话，一般情况下都要分类讨论，一般情况下都会产生两个及两个以上的答案，那我们这个题的话，我们可以分为就是点 c 在 点 b 的 左侧的情况下，或者说是点 c 在 点 b 右侧的情况下。那我们首先先看第一种点 c 在 点 b 的 左侧， 你看他说线段 ab 等于四，那我们现在可以画出来这个线段 ab， 它的长度为四，在直线 ab 上做线段 bc， 使得 bc 等于二，那你看这个点 c， 很 显然是不是就变成 ab 的 中点了，对吧？那我们找到这个点 c， 他 说点 bc 等于二，那我们标出来 bc 这段长度为二， bc 如果等于二的话，大家看一下 a、 c 很 显然就是四减二也为二，对吧？那你再来看，他说若点 d 为 a、 c 的 中点，则线段 a、 d 的 长为多少？ 你看点 d， 又为 a、 c 的 中点，你看点 d， 是 不是就此时把 a、 c 的 中点，你看点 d 是 不是和 c、 d 就 为一， 那此时我们把 a、 d 的 长度就求出来，第一种情况下就是 a、 d 等于一，那再来看第二种情况下， 你看他说线段 ab 等于四，我们画出来这个线段 ab 是 等于四的情况下，他说直线 ab 上做线段 bc， 使得 bc 等于二，那此时我们就要考虑点 c 在 点 b 的 右侧，你看，我们标出来 bc 是 等于二， 你看他又说点 d 是 a、 c 的 中点，你看点 d， 此时我们找到 a、 c 的 中点，那你看，做到这的时候，我们已经可以求出来 a、 c 的 长度， a、 c 的 长度，我们可以求出来是四加二等于六。那你再来看，他又说点 d 是 a、 c 的 中点，很显然 a、 d 是 不是就乘六除以二，是不是等于三， 对吧？你看这个题，第二种情况下， a、 d 我 们算出来是等于三的，所以这个题他有两种答案，一个就是 a， d 等于一个 a， d 等于三，所以我们选 c。 这个题就讲到这里。

三角形中中位线和角平分线的题目如图，在三角形 a、 b、 c、 d、 e 分 别是 b、 c 和 a、 c 的 中点，我们根据这个题目可以得出 e、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中位线，我们由中线的定义可以知道这个结论 啊， d、 e 等于，所以我们就知道 d、 e 平行等于二分之一 ab， 我 们看 b、 f 平分角 a， b、 c 交 d， e 于 f， 点已知 ab 等于八， bc 等于啊， ab 等于十， bc 等于八。求 e、 f 的 长度，我们求 e、 f 长度，就首先要求出来 e、 d 的 长度和 f、 d 的 长度。 我们现在来解这个题， 因为 d、 e 是 b， c， a、 c 的 中点，所以 d、 e 平行等于二分之一 ab， 又因为 b、 f 平分角 abc。 在 这里我们要提个知识点，遇到平分角 平分与平行 b 乘等腰，我们看一下 b、 f 平分 abc 在 d， f 平行于 ab， 所以 这个角一它是等于角二的， 又因为平行，所以角一等于角三。等量代换可以得到角二等于角三，在这三角形中两个角相等，三角形是等腰三角形。把这块知识给大家复习一下，所以我们从这个角度开始考虑 角 a、 b、 f 等于角 d， b、 f 等于角，因为 f、 d 啊，因为 e、 d 平行于 ab 嘛，所以它还等于角 b、 f、 d， 所以 三角形 b、 f、 d 为等腰三角形，所以 b、 d 等于 f， d。 我们知道 ab 等于十， bc 等于八，所以我们就知道 f、 d 等于二分之， ab 等于五， b， d 等于二分之一， bc 等于 f， d 等于四，所以 ef 就 等于 e， d 减，应该是啊，对，减 f， d。 嗯， e、 d 啊，这个地方应该是 e、 d， 因为 e、 d 是 五减四就等于一选 a。

动脚问题，射线旋转真的难倒了我们太多孩子了，其实这种问题解析是有技巧的，咱们把解析的三要素四步曲掌握，所有的动脚问题按照这个方法都能拿满分。 那有关于动脚问题啊，这里常考有五大压轴题型，老师都给大家总结出来了，如果孩子啊，做压轴题还经常没有思路，拿不到满分，那对应我们一定要把它打印出来，分题型进行练习， 带着孩子把对应动角问题旋转的本质学会，这种题咱们是轻松拿下的啊！下面咱们就借着这道题，带着大家一起说一下动角问题通用的解析技巧来这里说， a o b 等于一百二十度，这是一百二十度， o c 从 o a 开始绕着点 o 逆时针旋转啊， o c 是 这么转过来的对不对？每分钟转二十度， t 时间不就转这么大的角度吗？ o d 从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转，速度为每分钟五度， t 时间不就转动这么大的角度吗？那 o c 和 o d 同时旋转，设时间为 t， t 在 这个范围内 t 取和值的时候，两条射线是垂直的， 现在啊，它是一个射线旋转的问题，我想求它俩何时垂直，那我只需要求对应的这两条射线组成的角角 c o d 等于九十度不就完事了吗？ 那关键是怎么表示对应的角 c o d 呢？咱们来一起看，这里有一个小技巧，我可以把角度旋转的问题变成什么。 竖轴上动点的问题拍平了，用点的动态问题的方法来解决这道题目，也就是表示，你看动点问题怎么表示，是不是比表示的是点运动 t 时间之后到达的位置， 动角问题就表示对应的哦，射线运动 t 时间之后的位置，我以这条线为基本，假设它为那个竖轴上的圆点，哎，那对应这个数字，哎，字母不就是 a 吗， 对吧？然后接下来有一个动点 c 从 a 出发，哎，它的速度走的路程是不是就表示出来了， 对吧？同样这有一个 b 啊， a 和 b 之间差多少呢？是不是差一百二十啊？那 b 不 就是一百二十吗？哦，那这还有一个动点 d d 往这走，运动时间 和速度都有了，那距离不就有了吗？所以表示角不就是竖轴上表示两点间的距离吗？表示两点间的距离怎么表示啊？先表示点运动 t 时间之后的位置呗，对不对？所以其实这里面动射线 o c， 咱们就可以用零加二十 t 表示，因为这是正方向， 同样 o d， 咱们就可以用一百二十再加五 t 来表示对应射线表示出来了，下一步表距离，也就是表示对应这个角 c， o d， c， o d 怎么表示啊？由于这是一个追集问题啊，刚开始 c 在 d， 后面追一会就追上了，所以 c 点和 d 点的大小位置关系是不确定的。对于这种点求距离，我们要用哪一句口诀啊？未知差绝对啊， 未知差绝对，所以我们直接用这两点表示的数作差加绝对值就可以表示距离了，就可以表示两条动射线之间的夹角了，也就是一百二十加上五 t 再减去二十 t， 哎，化简一下，不就是一百二十再减去十五 t 的 绝对值吗？ 我们想让这个夹角等于九十度，我们让它等于九十度，直接解这个绝对值方程时间 t 不 就出来了吗？ 所以你看，把动角问题拍扁变成竖轴，动点问题一样的思路，三要素四不取，咱们就可以轻松求解。那这道题答案交给大家，请你来算一算最后的时间等于多少，把答案留在下面吧！

来，各位家长注意了啊，七年级上册期末考试有非常重要的一张就是几何初步，这里边呢，主要分为线段和角两大模块。 呃，它其实呢，是为我们七年级下册学相交线和平形线更为复杂的几何问题打基础的 啊，期末考试的时候呢，分值占比也非常高，于是老师给同学们整理了这个几何初步、线段和角这两大专题资料，每一道题呢，都有详细的答案解析，回复几何初步拿去练习。

好，看一下第十八题，将一副三角板如图放置，将三十度的三角板固定不动，将四十五度的三角板绕着点 a， 顺时针旋转， 点 c 呢，始终在 a e 的 上方，在旋转的整个过程中，若两块三角板有一组边互相平行将，求 b a、 e 的 度数 啊，求 b a、 e 的 度数。好，那么求 b a、 e 的 度数呢，其实就是让我们去求这个 三角形啊， a b、 c 的 旋转角啊，就转了多少度啊，它跟它平行， 那么这道题呢，其实啊，考的也是一个，嗯，相当于考的是一个线段的一个旋转问题啊，一个旋转问题，那么我们啊，这个地方呢， 我用一个动态图呢，去跟同学们去演示啊，去演示，当然我们在考试的过程当中，我们要学会在草稿纸上去画图啊，去画图，好， 那么这是我们的一个图啊，这是我们的静态的图啊，静态的图，那么为了，呃，让同学们能够有很好的啊，这个直观性啊，很好的直观性啊，我把它做成那个动图的啊，这个 情况好，大家看啊，是不是这个啊，这个 a b、 c 啊，再绕着它进行旋转啊，旋转。 好，他让我们选的是哪一角？我们来看，再一次看一下，他让我们选的是 b a e 啊，将来求 b a e。 好，求 b a e， 其实就是我刚才讲的这个旋转角啊， b a e 就是 旋转角，对吧？那我们啊，如果说他说点 c 呢，而且 a 零二在什么 ab 的 上方啊，那么比如点 c 不 可能转到这个位置啊，不可能转到 ab 的 下方来，对吧？在上方，也就说它的旋转的范围应该是， 应该是这个范围啊，应该是范围，也就意味着什么呢？ ab 应该正好转 多少度呢啊？就转这个度数啊，转这个度数，你只能转到这个度数，对吧？只能转这个度数，应该是一百三十五度啊，左右，一百三十五度左右。 好，那我们啊，就知道了，我们这个算出来，这个，呃， b、 a、 e 的 它的这个范围呢，应该在零到一百三十五度的这个范围啊，一百三十五度啊，大家都在这个位置啊，这个位置，这个位置。 好，我们来看一下，那么我们看第一次平行啊，第一次平行应该是哪个平行啊？我认为应该是，大家看啊，你们仔细看一下， 仔细看一下，第一次平行，可不可以是 b、 c 平行于我们的 a、 e 呢？ 应该是可以的啊，他说这个三角形的任何一边啊，和我们这个什么平行，对吧？那么第二次平行，那可不可以是我们的这个 b、 c 平行于我们的 a、 d 呢？ 对吧？那么第三次平行，那可不可以是我们的这个 a、 b 呢？平行我们的 d、 e 呢？所以说这道题呢，要想做这道，做出这道题呢，应该有三个答案啊，有三种情况啊，三种情况。 好，我们来看一下第一种情况啊，那么第一种情况的话，应该是我们的 bc 平行于我们的 a、 e， 那么这个情况比较简单啊，那么这个时候呢，它应该等于多少度呢？ b、 a、 e 呢？就应该等于四十五度，那为什么等于四十五度呢？因为 b、 a、 c 等于四十五度，对吧？因为 b、 a、 c 等于四十五度啊，这叫等于四十五度， 那么这个整个这个角是九十度啊，所以说 b、 a、 e、 e 呢？应该也等于多少度呢？也等于四十五度啊，也等于四十五度， 那么这样的话就我们很啊，很显然我们把这个点做好了啊，第一种情况啊，那我们来看一下第二种情况啊，那么第二种情况应该是点 b 继续旋转啊，继续旋转，那么这个时候谁和谁垂直呢？这个 b、 c 呢？和我们的这个什么 和我们这个 a、 d 啊， b c 和 a d 呢？它们两个互相平行啊，当它们两个平行的时候呢？让我们再来看一下 b、 a 等于多少度啊？那么这个呢，也比较好算啊，比较好算， 那我们讲这个角等于四十五度，那么这个角也应该等于四十五度，那么这个角等于多少度呢？等于三十度，所以说 b、 a、 g 呢？应该等于七十五度啊，应该等于七十五度，那么这是我们的第二种情况啊，第二种情况，大家会发现，我们如果说能够把图做出来啊，做这个题目还是非常简单的这种情况 好，我们来看一下第三种情况啊，第三种情况，第三种情况的话，应该是当我们这个什么 a、 b 平行，我们的 d、 e 的 时候，那么也就是说当这条边和我们的 d、 e 相平行的时候，我们还是一个道理啊，还是一个道理，那么他们两个平行，那么也就意味着这个角是九十度，那么这个地方也是九十度，那么所以说角 b、 a、 e， 它应该就等于一百二十度，所以说这道题的答案应该是啊，它应该是第一个，应该是多少度啊？ 有一百二，对吧？刚才这个地方是七十五度啊，这个地方是一百二十度，对吧？还有一个就是这个地方啊，平行的时候是四十五度啊，这个答案 应该是四十五度啊，或七十五度，或一百二十度啊，或一百二十度。好，我们这道题就讲到这里。

老师，这道题太难了，这是去年考完试听到孩子说的最多的一句话。这道题啊，百分之九十的同学无从下手，核心原因是没有掌握这类题型辅助线的技巧， 也是我们初一阶段一大辅助线做题技巧。过拐点做平行线，我们来看一下，如图，以之巧记， 等于角 e 加上角 f 啊，这个角等于它加它来求证， 角 a、 角 b、 角 c、 角 d， 四个角之和等于一百八十度。那遇到这样的问题，我们该如何处理呢？我们来看一下。 这是典型的一个叫猪蹄模型，但是猪蹄模型的前提是这条边和这条边得平行，但是题目中没有说 b e 和 c f 平行，所以在这里我们要注意过拐点，先做一条平行线， 那平行于谁呢？无所谓，我们之前遇到的猪蹄模型是他和他平行，我们做了一条平行线，和任意一边平行， 那这条直线 a 和 b 平行，那么就和 c 平行，所以 abc 是 互相平行的。但是在这里啊，我们要注意这两条线不平行，那该如何处理呢？好，我们过点 g 啊，做条平行线， 我们 g 做什么呢？ h， 这是 m， 好，任意设为两个字母，那同学们来观察一下。那么角记的话，就被分成了角一和角二两部分啊，角一和角二两部分， 也就角记啊，此时等于角一加角二。好，我做的这条线是和 b e 平行的啊。 h m 平行于 b e， 那么两直线平行内错角相等，所以这个角一啊，就应该等于 角一，对吧，而角记又等于角一加角二，角记 又等于角 e 加上角 f。 同学们来观察这个式子，角一是等于角 e 的， 也就是一等于角 e， 那 么角二就应该等于什么？角 f 好，也就是这个角啊，此时是等于它的内错角上的两直线平行，所以由它我们就可以推导出 h m 不 但是平行 b e 还平行于什么？ c f 是 吧？好， h m 平行它， h m 平行它。有了这两个条件，我们就能推导出，所以 b 和 c f 也是平行的好，那这个条件有什么用呢？我们再来看一下，让求证的是， a。 角 a 加角 b 加角 c 加角 d 等于一百八。我们再来观察图角 a 加角 b 和这个角的关系啊，这个角我记错角三 好，角三加上这个角，计算角四，角三加角四，它们是互补的关系和应该等于一百八，而角 a 加角 b 再加上角四 也等于一百八十度，所以啊，角三就应该等于角 a 加角 b， 因为他们都是加角四等于一百八，是不是角三等于一百八减角四，角 a 加角 b 也等于一百八减角四，所以角三等于角 a 加角 b， 同理，那这个角我们叫做角五，这个角叫做角六。角五加角六也等于一百八。角 c 加角 d 加角六也等于一百八，同理，可得角五 也就等于角 c 加角 d。 好 了，同学们注意，此时出现了角 a 加角 b 以及角 c 加角 d， 我 们要求着的是四个角之和，我们不妨啊，把这个等式的右边进行相加， 所以角 a 加角 b 加角 c 加上角 d， 右边的四个角相加，应该等于左边的两个角相加，应该等于角三加角五， 那我们此时转化成了四角之和，转化成了三和五之和。我们再来看角三和角五好，因为 b 一 平行于 c f， 所以 角三加上角五应该等于一百八十度。为什么？因为他们是一组同旁内角两直线平行，同旁内角互补。所以啊，角三加角五等于一百八十度， 即角 a 加角 b 加角 c 加角 b 也等于一百八十度。是不是同学们啊，赶快为孩子收藏起来，让他挑战一下。这种题型非常的好，非常考察孩子的一个基本功，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路！