青岛版八上数学几何题压轴

初二压轴必考题，几何辅助线构造我们一起来看这个题。在三角形 a b c 当中， a d 是 中线求角 c 的 度数，那角 b 等于三十度，这还有一个四十五度的角， d 点是中点 特殊角三十度，我要把它放到直角三角形当中，所以我过 c 做 c m 垂直于 ab， 再连接 dm。 那 么在这个三十度角的直角三角形当中，我能得出 c m 等于 cd 等于 b d m 等 等于 c， d 等于 b d。 第一个结论，我们用到的性质定律是，三十度角所对的直角边等于斜边一半。第二个用到的性质定律是直角三角形，斜边中线等于斜边一半，所以我们就得到了 b m 等于 c， d 等于 c m， 所以 这个三角形是等边三角形，这个角就为六十度，这个角给你了是四十五度的角，所以这个小角就是十五度。这个四十五度的角又是这个三角形的 外角，所以这个角也是十五度，所以这个边就等于这个边，这是一个等腰三角形。又因为这个边等于这个边，所以 a m 就 等于 c m a m c 就是 等腰直角三角形，这个角就是四十五度，这个角是六十度，这个角是四十五度，所以角 c 等于四十五度。加上六十度等于一百零五度。

宝珠们，福利来了一个视频，帮你搞定一个八上概数与几何的综合题，今天来给大家分享手拉手构造与等腰旁等角的问题。 如图，在三角形，如图，三角形 abc 的 顶点 a 点零三， b 点 b 零 c 点为 c， 零。 在 x 轴上，若括号 b 加三，反括号的平方加上 c 减三的绝对值等于零。那么第一问，要判断三角形 a、 b、 c 的 形状并与证明。根据这个 b、 c 的 等式，可以求得 b 等于三， c 等于三，那么三角形 a、 b、 c 就是 一个等腰直角三角形。接下来我们来看第二文过 a、 b 上的一点 d 点作射线，交 y 轴的负半轴于 e 点， 连接 c、 d 交 y 轴于 f 点。若 b、 d 等于 f、 d 求角 b、 c、 d 的 度数为多少。因为 b、 d 等于 f、 d， 那我们连接 b、 f 的 话，角 d、 b、 f 等于角 d、 f、 b 等于北。它由于三角形 a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形， 那么 a、 e 就 垂直平分 b、 c， 所以 f、 b 等于 f、 c。 这样的话可以求得角 f、 b、 c 等于角 f、 c、 b 等于阿尔法，进而可以求得北塔等于二倍的阿尔法。由于三角形 a、 b、 c 是 一个等幺直角三角形，角 a、 b、 c 等于四十五度， 所以角 a、 o、 b 等于北塔。加上阿尔法等于三倍的阿尔法，等于四十五度，所以阿尔法等于十五度， 这样的话可以求得角 b、 c、 d 等于十五度。接下来我们来看第三问，在二的条件下，若角 b、 c、 d 等于角 d、 f 等于十五度， h 是 ab 延长线上的一个动点，则 c、 h、 g 等于六十度 h、 g 交射线 d、 e 于 g 点， 则 d、 g 减 d， h 比上 a、 d 的 值是否变化？若变化的话请说明理由，不变的话请求出这个值。我们连结 b， f 因为 a， e 垂直平分 b， c， 所以 角 b， f， o 等于角 c， f 同时还有角 b， c， d 等于角 d， f 由于角 a， o， c 等于九十度， 那我们就可以求得 d 一 垂直于 b， f 又一只 d， b 等于 d， f， 这样的话我们就可以求出 d 一 垂直平分 b， f， 这样可以得到 h d， g 等于角 c， d， g 等于六十度角 h， d， g 等于六十度，我们可以以这个角来构造一个等边三角形 h dm 构造出了这个等边三角形之后，那么 dh 等于 dm 等于 h m 同时还有 hdm 等于角 d， h， m 等于角 d， m， h 等于六十度，进而可以得到角 g， m， h 等于一百二十度，因为角 d， h， m 等于角 c， h， g 等于六十度，这样可以得到角 d， h， c 等于角 m， h， g 进而可以证明三角形 d， h， c 全等于三角形 m， h， g 求全等可以得到 d， g 等于 mg d g 减 d， h 等于 mg 等于 d c。 又已知三角形 a， d， c 是 一个含六十度的直角三角形，那么 c， d 就 等于两倍的 a， d 这样我们就可以求出 d g 比 d， h 比上 a， d 等于二到手拉手构造与等腰旁等角的问题我们就搞定了，宝子们，你们学会了吗？

好，今天的话还是继续咱们的压轴练习，那么 咱们还是来看呗，关于压轴题怎么做，永远都是从一个内容出发，然后开始建立延伸，那么等边三角形现在同学们能开始识别了吗？等边三角形的常用考点是什么？ 同学们可以暂停了，然后观察一下，书写一遍，然后对比跟老师写的内容是否有区别， 这就是咱们常用考点。而三边等第一位朋友就是全等，第二位朋友是旋转，第三位朋友是 咱们的截取，实际上他还有非常多的朋友，但咱们先没没遇到的，就用不上呗，这个是角度可差。 然后呢，关于三线合一的就是垂直平分线， 因为这是常考的所有辅助线做法的一个思路。中线，然后呢，还有一个是角平分线， 然后垂直平分线是不是关于它的定义和性质？垂直平分线上的点到线段的啊？端点距离相等，这是它的性质。而关于中线，咱们常做的辅助线有中线嘛？中线背长， 然后还有他的最基础的定义，还有他的斜中半，这就是他关于中点非常多的玩法。斜中半，然后还有特别多的面积，然后中线还可以往后走，但是这个内容呢，是得学了平行线之后的。 呃，先弹一首吧，但这道题要用，那没办法，只能先说了啊，就是中位线，它是在衍生出来的斜中半中衍生出来的，而角平分线就是关于它的定义和性质。 好，这就是它常考的考点。然后呢，再往下边走的话，就是说走对上了， 但那个东西吗，就是属于压比这些题还要难的压轴题了，因为他是讲的是关于特殊的最值问题吗？那就是单独的一个专题来讲了，咱们先去讲如何做辅助线，对吧？ 那么现在来看看呗，这就是等边能做的，接下来顺时针旋转， a 等于 a， 呃，我看看是 a d a d， a 等于 a， d 等于 a e， 对 吧？然后呢，这是 b b b， 那 接下来该怎么办？第一问， d 为终点的时候， d 是 终点 a， 这是 b， 然后这是 c， 这是 c d a e 又等于六十度，叉叉加点点叉叉，那叉叉等了，点叉叉相等了，边等了边等了。 同学们，辅助线会了吗？连接呗，连接了，做全等，全等完了个屁的 e c 场有了吗？ 让他们看呗。这是一，这是一，这也是一，然后呢，这是多少度？ 它俩相等哦，三十度，三十度的所对的边等于斜边的一半。斜边在哪？斜边在这，斜边是二， 这是根号三，对吧？那这，这是九十度哟，同学们，对不对？九十度二，根号三，多少了？根号七吧， 这就是 e c 的 长。那它考的是啥呢？考的关于第二个勾股定律。所以说，这道题为什么我感觉是超标了呀，不知道怎么就考七下去了，八下去了呢？ 嗯，有点怪怪的。得，说实话啊，有点超纲了，这考的是八项的内容， google 定顶。哎，有点怪，就我总感觉这道题。哦，我说的为什么总感觉这道题 有点怪？好了，但是不管咱们，哪怕不会 google 定顶，是不是前面的大部分内容已经做出来了，那剩下的，哎，累， go go go， 那 就只是缺少一个小知识点而已，那会了，是不是这道题就结束了，对吧？然后关于第二个， d， a， e 等于一百 d， a e 等于一百二，这个角等于一百二，然后呢，咱们还是能得到 a 等于 a， b 等于 b， b、 b， 对 吗？然后请问用等式表示它们的关系？同学们现在到开动脑筋的时候了，因为这道题， 呃，关于第三问反而没有那么复杂，因为第三问有点超标了，咱咱们主要玩的就是第二位，哎，第二位，请问有选等吗？ 是吧？没全能，没全能，那咋办呢？是不是就通过这两个？这旋转行吗？好用吗？旋转有基础度数吗？没有，那只只能最优先解的话就是截取。那么同学们有哪个解析思路吗？你要截取哪段等于哪段？ 因为他问的是 a g 和 b、 d， 那 一定是在这两根线上进行截取的，不然的话哪来的关系啊？咱们已经找出方向了哟，截取它们二者七。 那先结前面的呗。 a g， 那 结 a g 怎么结啊？你要那都都说了只能结 a g， 那 不是结 a g 等于 cd 了吗？ a n 等于 cd， 然后呢？为什么还是一样？擦擦， 六十度点点，这也是，擦擦，同学们看看清了吗？擦擦，六十度点点， 六十度加，就因为这个大角是一百二，叉叉加点点是六十度点点，加叉叉等于六十度吗？外角等于好了，所以说两叉叉相等。截取了之后呢？ 是不是有 c、 d 等于 a n， a e 又等于 a、 d？ 全等了吗？ 全等了之后有啥用啊？重点是全等了之后有什么用呢？全等了之后，重点是在这，这有个 b。 所以 说这里咱们先写下第一个，先截取谁截取 a n 等于 c、 d， 但截取了之后为什么一定要全等？咱们得思考这个问题，然后得到了三角形 a， e、 n 全等于三角形 d， c， 呃， d， a， c 是 吧？边角边。 为什么一定要得到它？因为咱们要得到 e、 n 等于 bc。 为什么？ 这个是不是又是一个全等？呵，由此你发现又有一个全等。得到这个全等，你就能发现三角形 e、 n、 g 全等于三角形 c b g 角边 角角边也行。哎，随意。这个是是任意的了吧？这是六十度，因为上面是一百二嘛。这是六十度，这也是六十度， 这是对顶角，这个平行，你要正个平行也行，边角边角边角都行。乐意，随意了，这东西就说白了，没必要，对吧？但是由它得到的什么内容呢？是 n g 等于 g b， 哎，这个东西才是最重要的， 对吧？那接下来就到了咱们的线段和差了吧。线段和差， 那这个线段的和差玩法很高级吗？并不高级，很唠叨。 a g 是 不是 a， n 加 n g， 对 吧？那 b、 d 是 什么？ b， d 是 a， n 加 n， g 加 cd， 有区别吗？那不就是两倍的关系吗？好，来，同学们仔细观察一下啊。为什么这样说？这是一，一，这是二，这是二，这是一吗？那这是几？这是二加二加一，那不是二倍是什么， 对吧？看线段看着头疼。那做个标记嘛，做个 x y 也行啊，对吧？哦，对，做 x y 是 不是更方便点？这是 x， 这是 y， 这是 y， 这是 x， 那 这 二 y 加 x 加 x 等于 x 加 y 吗？等于二倍 x 加 y 吗？好，这是第一种。 哎，是不是感觉还行？这种玩法也还行吗？好，这是第一种方式，在 a g 上做截取。第二种不就是在 b、 d 上做了吗？那 b、 d 你 乐意截谁截谁呗，反正你往谁身上截都行。 截取 b， 呃， n 吧，对吧？你说有区别吗？来，同学们看看。哎呀，咱们来换一个，截取 a g 等于 d， n， 然后呢圈的三角形是谁？又要换了吗？来，又换，没办法啊，但是实际上步骤是没啥区别的，三角形 a， n， d 全等于三角形一。 呃，我对一下，让我对一对先 d d 对 的是 a g e e g a 由于解数之后，这个等于这个 边等于边，然后呢，角还是它呀？啊，这不是，不好意思，弄错了，角还是它呀，有区别吗？没区别，角还是它呀，点点等于点点吗？就刚刚说的叉叉等于叉叉呀， 对吧，还是它。那所以说有区别吗？没区别，还是边角边。然后呢？由此得到了什么内容呢？ 咱们得到了这个角等于这个角，这个角等于这个角， 那有什么用？ 朋友们，发现没？这还有个对角对过来了， 发现了没？边的边的 角的角的。还有吗？ 这个等于谁？ 是不是等于一 g 的？ 是不是发现这不好用，但这有个六十度呀，边不好用，那这有六十度呀，六十度。角等边等角，边角，哦，不，是角角边。由此你得到了个什么 啊？这个圈，哎，算了，写具体一点，由这个内容，你得到了角 b， g， c 等于角 a， n， c， 然后又由它，你又得到了一个比较神奇的三角形圈，等 b， g， c 全等于三角形 a， n， c 啊，这是 c n a a a s 然后这里咱们就得到了 g b 等于 n c。 来，又再换呗，这是叉叉，这是叉叉 a 检查就是边长检查，那这不就是 a g 了吗？这一个 b n 是 a g n d 又是 a g， 不 就是二倍 a g 了吗？ 好，同学们如果有问题可以暂停，然后回头看一看老师的思路是否是，就是说只要你能做出这个 全等你只要能解取对了这根线，那自然这道题就做出来了。哎，就说白了，只要你会解取， 咱会玩解取，这道题就结束了，对吧？这就是第二问 好。关于第三问的话，因为会涉及比较多的内容吧，因为属于超标的啊，老师只能先给你们简单的做一个角度的分析，然后大家通过这个内容进行思考就行了。第一个 他说的是 d， a e 等于一百二，对不对？然后要 a g e 为等幺三角形的时候， a g e， 那 只有 a e 等于 a g 的 时候，那会发生什么呢？ 变成这样了， 就变成这样了， 而这样的话，咱们就可以进行勾股定律了，然后因为这个就是说这个变成了跟 g 点重合的， 然后这是 e， 就是， 哦，说错了，不好意思，是 e g 等于 a g， 它俩重合，它俩重合了之后会发生什么事？那它俩相等了呀， 然后呢？这是 c， 这是 d， 没区别，就重新画一个，画成这样，不，这样画，呃，我看怎么画 a b？ 对，这样，对，画稍微大一点，就这样。这是，呃， e， 这是 g， 这是 d。 那 同学们关于这个玩意儿是不是就很很简单了？六十度，它，它等于它，它 这两边 a e 又等于 a d， 它，它也等于它，那这个玩意儿咋的了？有区别吗？这是一百二，这是三十度呀，哎，不好意思， 三十度，三十度，三十度，三十度，六十度九十度啊， a d 比 b d 的 值，知道了吗？ 这是设了呗，这 x r x 根号三 x， 第一种是二分之根号三， 对吧？这是选出来的第一种，因为第一种是比较好判别的，而第二种呢？因为是涉及到，呃，超超钢了嘛，对吧？ 他，你说超特别严重钢嘛，也没那么严重，就是咱要干个什么事呢？以他这个图上重新画一个呗， 好了，就是稍等，不好意思， 为什么这样做 类似于这样的一个多，然后呢？这是 m， 这是 d， 这是 e， 这是 g， 因为这里的话就是说也是十一 g 等于 a， e， 对吧？ e， g 等于 a， e 就是 这两个相等，这两条边相等。而这里会涉及到一个什么内容呢？咱们需要去考虑一个中位线， 就是说知道了中位线，你知，就是你知道中位线这个题之后就会非常的简单，为什么？哎？就就是说他这样做了之后，对吧？ 请问你怎么给我构建三角形呢？你要如何给我构建三角形？怎么玩？能怎么玩？这个等于这个这根你说它是终点吗？不知道，不确定，没人知道。 那就只能去找这条边的延长线呗，然后做平行， 这样你就会得到这一个 a， 这是二 a， 然后咱们就可以通过这个内容进行疯狂的扩建了，来吧，还是一样啊，交等， 交等，因为它俩平行，这个也是六十度，这个加这个等于六十度， 这个加和这个也等于六十度，因为上面这是一百二嘛，这是六十度，这个加这个六十度，所以说它俩全等它，它等于它，它这个三角形全等于这个三角形， 那这是不是二 a？ 那 发现不对了吧？那你都有个二 a 了，我要不要去证证，这个是不是也等于二 a 了？ 咱行还是不行呢？可以啊，然后这里已经正得了中点了呦，因为这条边等于这条边，他俩又相等，所以说他是中位线了，已经确认为中位线了， 然后咱们只需要正得这两个三角形全等就行。那全等吗？这边角边， 然后这边等于这边，结果呢？那或又或者是这个角等于这个角也没问题啊， 所以说这是最快的方式，然后呢，你就会得到这也是二 a， 同学们可以自己思考一下啊。这两个三角形为什么进行全等了？为什么全等？这是二 a 呦， 那这是 a， 这剩下的不是二 a 吗？角边角呗，对吧？你可以不正圈的也没事。 因为这个正了圈了之后，这也是二 a 嘛。就是这个是 a， 这是二 a 嘛？好了，然后咱们是不是可以进行勾股定力了，做个垂直开始勾股。那这是二分之三 a 啊， 一共是三 a 嘛？那三 a， 二分之三 a， 这是二 a， 二分之三 a， 这是二分之三倍，刚好 a， 然后呢， a d 是 不是？这是二分之 a， 那 这算下来就是刚好七 a， 那 这是几？呃，然后咱们要的是 b d， b， d 是 二分 b， d 是 二 a， 然后呢， a、 d 是 根号七 a， 请问它们的比值是多少？也就是二分之根号七吗？好了，这个第二问，因为有点拐。说白了，我， 呃，你让我怎么说出来它平行呢？我说是靠中位线，但为什么是靠中位线呢？ 说实话，我现在也没找到非常充足的理由。为什么一定是中卫线？ 因为我能想到的只能是做个中卫线，造造两个终点，然后呢？构造中卫线，然后就转移了，把这个边给转移了，但你要说具体什么原因，什么理由，老师还在探讨，老师还在思考， 所以说同学们有更好的建议或者更好的见解，欢迎留在评论区里边。然后呢？有哪些方向需要老师专项讲解的，也欢迎留在评论区里边。所以说好好学习，加油！

这题算出来是这鸟样，你们是信他还是信我？是秦始皇。挑战三十分钟，做一道中考压轴题，今天抽到山东青岛。 哎呦，重点问题看上去挺简单的，兄弟们，看我盘不盘他就完事了。 第一个问，平行时求 t 的 值，简单的一匹吗？ 完毕来，康康。第二问， 让我们写出三角形 p q h 的 面积和 t 之间的关系式思路也是秒出。用这个大三角形面积减掉这三个小三角形面积不就完事了？ 计算量有点大，但还是要坚持， 这是认真的吗？忍耐一下，兄弟们， ok 了，还好还好，不难算，有种再给点强度。第三问，什么时候直角三角形存在？ 那得分情况，看了这个角是无论如何也成不了九十度的，那么就分两种情况，要么这个角是九十度，要么这个角是九十度。先看第一种情况吧，当角 p、 h q 为九十度时， 一线三直角可以用这两个三角形相似来解决。 时间可能不够了兄弟们， 这十字像乘法好像也不行啊，我去，他在耍你啊皇上！ 对于这个答案我很是不安，虽然时间已经到了，但我还是要解完它。康康最后要用多少时间？ 第二种情况，也是一线三等角，可以用这两个三角形相似解决。 确定要算下去吗？不要放弃兄弟们。 可我感觉怎么越算越离谱，这他妈什么鬼， 就问你们离不离谱！兄弟们，这答案你给我我都不敢抄， ok 啊，算出来是这俩家伙！好的，现在跟着我颤抖着双手来核对答案。青岛 第一个问，三点二。咦，哦，对了嘛，吓老子一跳！来看，第二问 很完美，可是第三问感觉帮了我靠，第一种情况完全算错了，第二种情况使哪里去了？ 妈妈哥这里都是对的，写上去被我吃掉了，加上前两问一共花了一个小时零二分钟，还把第三问算错。这第一名谁爱要谁要哈哈哈哈。

这是初二期末考的一道几何压轴题，这道题的几何图的结构非常简单，都是特殊三角形组成，但具有很强的综合性，有百分之九十的错误率。我们先看看这个题它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 是 三十度的等腰三角形。角 a， 这里是三十度三角形 d、 e、 f 是 一个边长为七的等边三角形。如果 a、 e 的 长度是一个五倍，根号三，让我们来求 a、 b 的 一个长度，那么读完题之后，我们应该从哪个地方下手呢？一定要看一下条件给到那个数据的位置。 角 a， 这里是一个特殊角，三十度 a、 e 的 长是五倍。杠三， d、 e 的 长是七，根据这些条件的位置，那么在三角形 a、 d、 e 当中，我们首先可以利用这些条件来把 a、 d 的 长度算出来。说我们可以考虑过点 e 做 a、 d 的 一个垂线啊，这样做过来，这里我们可以标一个 h 点， 这里是简单的一个利用数据来算出一些边长，根据三十度的特性，我们这里可以把那个 h、 e 算出来，这个 h， e 呢？啊，算出来 啊，它等于二分之五倍啊，根号三，同理，这个 a、 e、 a、 h 的 长度也可以算出来，它算出来是一个二分之十五，要注意这个长度， 它是二分之十五。 h， e 的 长度，这里是一个二分之五倍。根号三，那么下方三角形 d、 h、 e 当中，再根据勾股定律，你就可以把这个 d、 h 啊，这里也可以算出来，算出来是二分之十一啊， d、 h 的 长度算出来是二分之十一， 好的，这是目前根据啊条件能够很明显的算出来是二分之十一，好的，这是目前根据啊条件能够坐高可以算出来，一般的学生基本上可以做到这一步， 那么做完这一步之后，把 a、 d 算出来之后，你要计算 a、 b 的 长度，就要往下看来计算 b、 d 的 长度，那么这个 b、 d 的 长度怎么来计算呢？我们肯定要来利用这个条件里面的特殊三角形， a、 b、 c 是 一个等腰三角形，中间的 d、 e、 f 它是一个六十度的等边三角形。那么想一想等边三角形常见的辅助线有哪些呢？ 因为等量三角它比较特殊，它常用的辅助线比较多，比如说你可以用它来构造一个手拉手全等，也可以用来进行一个旋转，因为有边相等，也可以来构造一线三等角的全等。当然也可以构造一个啊 六十度、一百二十度的半角模型，其实这个地方的 h、 e、 c 这个角，它很明显，它是个一百二十度， d、 e、 f 它是个六十度，当然半角模型这个地方你也可以去考虑对不对？当然这个地方我们最终要往下往下走，也就是你最终要去计算 b、 d 的 长度。说这个地方综合考虑，我们这个地方可以来选择 构造一个一线三等角，也就是构造一线三个六十度的一线三等角出来， d 这个位置它是一个六十度，所以我们可以利用 d、 e 和 d、 f 相等，上下构造一个一线三等角。 一定要注意不能够左右来构造，一定是上下构造，因为数据在上方，可以通过上下构造全等，把上方的数据传递到下面这里来，从而计算 b、 d 的 一个长度，可以往这个地方来考虑， 所以这个地方我们可以过点 e 啊，向 a、 d 这里画一条线，构造一个六十度，也就是构造一个一线三角三个六十度，并且在那个 a、 b 这个片上去构造三个六十度，这个地方我们标个 q， 点啊，这个地方做一个六十度啊，构造一个六十度。同理，下方延长 a b 也做一个啊，六十度出来啊，这里做一个六十度出来啊， 六十度啊，这个地方我们标一个，哎， m 点，对不对？所以通过这种方式我们就可以啊，获得一组啊一线三等角的全等三角形，也就是三角形啊 q d， e， 它是全等于啊，这个三角形 m f、 d 的 对不对？这个全等我们就可以来获得对应边的相等，并且计算出相对应的有些线段，它是可以计算出来的，比如说这个地方的那个 q e， q e， 根据全等，它就等于这里的 dm， 对不对？并且 q e 在 上方这个三角形 q e h 当中 he 它是一个二分之五倍根号三，你现在 q 点这里又做了个六十度，所以 q e 的 长度，根据特殊三角形，你可以把 q e 的 长度给它算出来，它算出来其实就是一个五，对不对啊？它等于五 啊，同理，这个 q d 啊，它就等于这个 m f 啊， q d， 它就等于啊，这个 m f， q d 这个怎么算呢？你肯定要把这个 q h 这个地方要算出来 q h 这里算出来，它是一个二分之五，所以 q h 加上 d h， 那就是二分之十，一加二分之五，就等于二分之六，就等于八，所以 q d 就 等于八，也等于 m f 也等于啊，这个八啊，就把这些数据就找到了，尽可能的就是通过这个权的呢，你把上方的数据就引到下方来了，因为你最终的目的是要算 b d 的 一个长度，好，这个是一个八， 好，那就已经回到已经走到中间这个位置来了，对不对？我们后面的那条路怎么走呢？你最终把数据传递下来之后，那么你要去算那个 b d 的 长度，这个地方怎么算呢？考虑到这个 d m 的 长度啊，这个长度它是等于五的，对不对？ 然后你要计算 b 的 长度，我们就往下看，就来计算 b m 的 长度，那么 b m 这个地方有一个六十度， m f 呢？它又是一个八，所以在三角形 b m f 当中，它是一个特殊角，而且还告诉了一个边，我们可以考虑过 b 点向 m f 做一条垂线，对不对？ 做这个垂线的目的就是为了啊，来联系到 b m 和这个 m f 它的一个边关系。边有特殊角嘛？做这个地方做一个垂直，对不对？这个地方标一个点记， 对不对？那这个地方你要来求啊， b m 的 长度，目前你直接利用这个高，虽然这里有一个三六九三十度六十度的小直角三角形，对不对？ m f 还有一个边长为八，你直接利用现现有的这些条件，还不足以把 b m 算出来说，对不对？我们还要看一看 角，特殊角，因为三角形 a b c， 它是一个顶角，三十度等腰三角形角 b 这个位置，它是一个七十五度，对不对？你现在过 b 点，又做了一个 m f 的 一条垂线， b g， 它是垂直于 m f 的， 对不对？所以这个角 m 角 m b g， 它是一个三十度，那么就可以获得哪个角啊？就是角 f b g 这个角， 这个地方应该是一个七十五度，所细线的同学，这个地方一定要去发现这个地方它有两个七十五度，两个七十五度 b g， 它又垂直于 m f， 我 们可以通过啊角平分线，因为这里两个七十五度 b f， 它就是个角平分线，我们过 f 点向 b d 做一条垂线，那么就可以构造一个全等， 对不对？其实根据角平分的性质，角平分上的点到两边的距离相等，所以这个地方的我们这里的 r 点，那么这里的 r f 肯定就等于 g f， 对 不对？所以这里呢， 通过啊倒角找到两个七十五度，判断出 b f 是 一个角平分线，哎呀， b g 又是一个高，所以我们再做一条高，那么就可以得到，根据角平分的性质就可以得到 rf， 就 等于 g f rf， 在 三角形 m rf 当中，它又是一个六十度三十度的直角三角形 斜边 m f 又是一个八，所以就可以得到这个 r f 呢？它就等于 g f， 它就等于 r f， 在 三角形 m r f 当中，它就是四倍啊，根号赛，因为六十度的原因，对不对？所以这一个就可以进一步的来得出 m g 啊，它应该就等于八减啊，四倍高三，对不对？所以在三角形啊，三角形 b m g 当中，它又是一个六十度三十度直角三角形，对不对？所以我们就可以直接来获得这个 b m， 它的一个长度，它应该等于两倍的 m g， 对 不对？你把这个数据拿进来就等于十六减去八倍 啊，根号三，对不对？所以由此我们啊，这个 ab 就 可以直接写出它的结果了，所以这个 ab 啊，它的长度应该等于 am 啊，当然你单独的计算出了个 bd 也是可以的，我这里写一个综合嘛，他就等于 am 减去这个 bm， 对 不对？ am 的 长度啊？图上面标的数据全部拿下来，那就从上往下二分之十五啊，加上中间的二分之十一，下方的那个五，那就是 m， 再减去变 bm 就是 十六， 减去这个八倍高三，对不对？这一串的数字啊，把它合起来就等于了啊，最终八倍高三加二，这个就是我们最终的结果 a b 的 一个长度，它是 八倍高三加一个二。所以这道题虽然每一步都非常的普通，对不对？每一步其实都是常见的做法，并不说特别突出的一个做法， 特别难的做法，但是把它放在一起，这个辅助性比较多，对不对？可能他的中位性非常的强，一般人可能还做不动，做不走，做不下去，对不对？你可能想到这一步，就不能够联想到他的下一步，对不对？所以这个地方一定要注意到数据的位置， 角度的位置，从上往下走，而且这个地方你还要去注意中间的这个小等边三角形，他常见的一些辅助线可以怎么来用？而且你最终的核心的长度，所以这个地方是从上往下构建的一个啊 等边三角形啊，为为基础的这样的一个一线三等角，对不对啊？由此往后计算这个题就比较简单了，好的，这个题大家可以参考下，还是具有很强的综合性的。好的。

好，今天我们来看两道八上期末考试的几何题。先来看第二十四题，这也是倒数第二题， 题目给了我们一个等腰直角。三角形 a、 b、 c， a、 b 的 长度等于六， d 点在 a、 b 边上， e 点在 bc 边上，并且角 c、 d、 e 等于角 c、 d、 a， 然后再做角 a、 b、 f 等于九十度。第一问不讲，你们自己去倒角就行了。第二问要注意有两种情况，因为这个角 e、 b、 f， 它既可以是顶角，也可以是底角，所以说角 a、 c、 d 的 值是有两个的 啊。我们重点来看这第三问啊，他问我们三角形 bdf 的 周长是不是会发生变化，我相信反应快的同学肯定马上能反应过来，他肯定是不会变的。并且由于题目只给了我们 ab 的 长度， 所以我们可以由此来预测，三角形 bdf 的 周长肯定和 ab 的 长度有关系，这个就是我们题目做多了之后应该有的基本经验。 好，接着，如果你看到角 c、 d、 e 等于角 c、 d、 a 这个条件，能马上想到反折全等的话，也就是过 c 点向 d、 f 做一个垂线， 如果你能想到这个，那么你就肯定能想到去把这个图形补成一个大的正方形，这个就是隐藏的半角模型了。之后两组全等就出来了。第一组，三角形 c、 d、 e 和三角形 c， d、 a 全等 全等之后 g、 d 等于 a， d， g、 c 等于 a， c 等于六。第二组，三角形 c、 h、 f 和三角形 c、 g、 f 全等 全等之后， h、 f 等于 g、 f， 然后你就会发现 t 的 值它是等于十二的，所以说三角形 b、 d、 f 的 周长是不会变的。 好，我们再来看第二十五题，这也是压轴大题了，同样的，它的底图也是一个等腰直角三角形， 然后 b、 d 垂直 a d， c、 e 也垂直 a、 d， 它的题干条件也很简洁，而且我敢肯定，百分之九十五的同学都能一眼看出来，这就是一个标准的内 a 型一线三垂直模型。 第一问，直接写全等就行了。第二问，若 a 一 等于六， c 一 等于九，让我们求三角形 b、 c、 d 的 面积。 如果你想的是用大四边形的面积减去三角形 abc 的 面积，那你就把问题搞复杂了。其实我们只需要顺着一线三垂直这个模型的思路走就行了， 因为 b、 d 的 长度我们现在是知道的，如果我们把它当做底边来看的话，那就需要延长 b、 d， 然后再过 c 点做一个垂线， 这个时候这个四边形它刚好是一个矩形，而 d 一 的长度我们也是知道的，所以 c、 n 也等于三，所以三角形 bc 的 面积是等于九的。 好，我们重点来看第三问题目问，若 a、 g 等于 b 一 角， b， a、 g 等于角 b f a， 然后让我们证明 b、 g 等于 c、 d 啊，怎么看这道题是不是都比上一道题难啊？哎，但是其实它也是一个模型题，从哪里看出来的呢？ 是不是从 a、 g 等于 b 一 这个条件看出来的呀？那当我们看到这样的一对既不相邻也不共线，并且还相等的线段时，我们应该想到什么呀？是不是逆等线模型呢？不知道你想到了没有呢？ 所以啊，现在的思路是不是就明确了呀，就是用逆等线模型来造全等就行了。如果我们过 b 点作出 ab 的 垂线的话，那上面这个 c 叉角是不是就可以通过内错角相等转移下来了呀？ 那如果我们再截取 b h 等于 ab 的 话，边角边的条件是不是就够了呀？然后我们再连接 e、 h 和 c h， 这样一来，三角形 b、 h、 e 和三角形 a、 b、 g 就 全等了，全等之后， h、 e 等于 b、 g。 所以 说接下来我们只要证明 h、 e 等于 c、 d 就 行了。怎么证明啊？是不是还是只能通过全等来证明呢？ 因为现在这个四边形是一个正方形，所以角 a、 c、 h 就 等于九十度减二法， 而由于角 d a、 c， 它也等于九十度减二法，再加上 c、 e 等于 a、 d， 所以 边角边的条件是足够的，也就是三角形 e、 c、 h 和三角形 d， a、 c 是 全等的， 全等之后 h、 e 就 等于 c、 d 了。所以说 b、 g 确实是等于 c、 d 的， 你学会了吗？

哈喽同学们，本期视频我们来讲解八上期末试卷第二十五题几何最值问题。首先我们来看题，如图，在直角三角形 a、 b、 c 中角 b， a、 c 等于九十度，这个角是九十度， a、 b 等于 a、 c 这两条边相等， ef 是 三角形 a、 b、 c、 f， b、 e 等于 c、 f 就是这两个角相等这条边 a、 e 这条边等于 c、 f 这条边。他问，当 a、 e 加 a 表示让我们求角 e、 a、 f 的 度数就是这条边 a、 e 加 a、 f， 它们的值最小，是求它俩中间这一个角， 这两条边夹的这个角度是多少？要是 a、 e 加 a、 f 的 值最小，我们之前讲求最短路径的是个原理，一个是垂线段最短，一个是 两点之间线段最短。但这里我们这两条线段它是有一个公共点，所以我们是没法直接用这个两点之间线段结论。那么咱们就想一下，能不能把其中一条线段 a， 比如说 a、 e 这条线段，或者是 a、 f 这条线段，我们能 搬到另一个地方，让它们首尾相连，比如说就 f 点，那我们在 f 点这里，如果说有一条线段 f、 d， 如果说它能与我们 a、 e 相等，那我们是不是只要 a、 f、 d 在 一条指，是不是那三点共线 a、 f、 d 三点共线其实是不是就解决了 a、 e 加 a、 f 最小了？所以那我们就想，那是不是在看已知条件怎么去构造能使这一个 a、 e 要等于 f、 d， 那 我们看看 看是不是有这一条边相等，这一角相等， 那么我们是不是有一条边，有一个角。那么如果我们再构构造一个这个 c、 d 这条边如果与 a、 b 相等，三角形 a、 b、 e 就 能全等于三角形 d、 c、 f 了，那加，如果说把这两三角形全等 a、 e 等于 f、 d 之后，我们只要 b 在 d、 a、 f 在 三点共线，就能 得出 a、 e 加 af 值就是最小了。这 a、 f、 d 三点勾线，我们 f、 d 又等于 a、 e， 是 不是 a、 e 加 af 值是不是就最小了？所以我们就这么去构造，思路就是这样 好，那么在 b、 c 上取一点 d， 使得我们的 c、 d 要等于 a、 b 连接 f、 d， 那 是不是就构造了一个三角形 d、 c、 f， 我 们是不是就可以证明出三角形以 e 可会全等于三角形 d、 c、 f， 对 吧？那它用的是不是就是边角边 s a、 s 这个判定条件是吧？ 好，那它们俩构造成功之后，我们的 a、 e 是 不是就等于 f、 d 了？如果要是 a、 e 加 a、 f 最小，所以就只需要 a、 f、 d 三点共线其实就可以了。那么我们构造成功之后，构造了全等，第一步是不是就是构造全等，第二步我们是不是就来计算这个角度，看这个角度怎么算？ 那既然要计算这个角度，我们肯定看已知条有关于角度的，我们才可以计算。但所以我们已知条件是不是有一个角 b、 a、 c。 既然我们角 b、 a、 c 等于九十度，那我们这要求的这个角是我们角 b 其中的一个小角，对吧？所以那我们如果说能知道他左边这个角，又能知道他右边这个角，或者是我们知道这个大角之后，能减去这个小角，是不是也能知道？ 好，那我换一个颜色。好，这个蓝色的角，如果我把它命名为角一，我把这边这个蓝色的角是角二，我要求的这一个红色的角，我把它命名为角三，这个有一点乱了，这个红色的角，我们把它命名为角三， 是不是角一、角二、角三也用这个蓝色角一、角二、角三要求到我们是不是我们这个角三？现在那我们来看看这个角是九十度加角二，是不是角一加角二加角三是等于九十度的？那我们再来看我们 ab 是 不是等于 ac， 对 吗？这样我们 ab 等于 ac， 然后我们角 bc 是 九十度，那么我们这两个角是不是就出来了？我们角 a、 bc 和角 a 是 不是 abc？ 是 不是就等于角 ab 一 百八十度减去九十度，是不是它相等？所以除以二，是不是就是他们俩分别的度数？其实是不就是四十五度？ 这两个角等于四十五度，那么我们就再来换到和角三相关，你看我们当时是构造了这个 ab 又等于 ac， 所以 我们 cd 是 不是也等于 a c， 对 吧？ c d 既然也等于 a c 的 话，那么我们这个角，我们这个绿色的角是不是就等于角二加角三了，对不对？ 是不是等于 d a c， 它是不是就等于我们角 a d c 是 不是就等于角 d a c， 我 们 d a c 其实就是角二加角三，对吧？它是不是就等于我们一百八十度减去四十五度除以二，对吧？ 这个角是四十五度，然后下面他两个底角是相等的，他的顶角是四十五度，那他下面两个底角的度数是不是就是一百八减四十五度除以二，那是不是就等于我们的六十七点五度？ 好，既然这个角求出来了，那么我们再来看角二加角三求出来了。我们现在要求的是角三，我们要求的是角三，如果能知道角二，但你看角二又和其他的没有关系。 我们既然这个全等了，我们是不是能知道角一加角三是不是也等于这一个 a、 d、 c， 对 吧？ 我们这一个，因为这两个三角形全等嘛，我们之前是不是这两个三角形全等了？根据它，我们角 b、 a、 e 是 不是等于等于角 f、 d、 c， 对 吧？ b、 a、 e， 我 们角 b、 a、 e 是 不是就等于角一加角三？ 是不是？所以我们角一加角三是不是？是不是？这就等于角一加角三是不是就等于角？是不是就等于六十七点五度？ fdc 就是 我们的 adc， 我 还是把它改成 adc， 这样是不是好看一点？ 好，我们角一加角三等于角二加角三等于六十七点五度，那我们现在要求角三，我们是不是可以求出来角一啊？对吧？因为我们角一 前面是不是角一加角二加角三是不是等于九十度？那角二加角三出来了，那我们角一是不是就等于九十度？减去 六十七点五度是不是就等于二十二点五度，对吧？那角一又出来了，角二加角三也知道了，那我们角 角一加角三也照了，那我们角三是不是就等于六十七点五度？减去我们的角一吧，二十二点五度是不就等于四十五度，对吧？所以角一 a、 f、 e、 f 就是 我们的角三，是不是就等于四十五度？其实这个题首先它 难在第一个，我们要会构造这个全等，第一步就是要构造全等，然后我们构造完全等之后我们求角度是不是就要会换角，对吧？就是要不断的换角，就是根据已知条件，我们要找已知条件，要会找已知条件。

八上的宝子们，福利来了，一个视频帮你搞定一个八上代数与几何的综合题，今天来给大家分享手拉手构造与四十五度角应用的问题。 在平面直角坐标系中， a 点为 a 零， b 点为零 b 以 ab 满足， a 的 平方加 b 的 平方加八， a 加八， b 加三十二等于零。 那么根据这个 ab 的 关系式，我们可以求得 a 等于负四， b 等于负四，所以 a 点坐标为负四零， b 点坐标为零负四。接下来我们来看第二文。一点为线段 o b 上的一点连接 a 一 过 a 点作 a， f 垂直于 a 一， 并且 a、 f 等于 a 一， 那么三角形 a、 f 一 就是一个等腰直角三角形，连接 b f 交 x 轴于 d 点。若 d 点的坐标为负一零，要求正一点的坐标 等线段 a、 f， a 一 共顶点 a， 它的夹角角 fa 一 等于九十度，是一个定角， 同时 ab 与等弦的共顶点 a， 并且还有角 ab 一 等于四十五度，那么这样的话，我们就要构造手拉手全等，所以要过 a 点做 ab 的 垂线， 它将 y 轴与 m 点，然后连接 f m， 那 么三角形 b a、 m 就是 一个等腰直角三角形 三角形 e， a、 f 也是一个等腰直角三角形，两个等腰直角三角形共直角顶点 a 点，那么必有手拉手的全等。所以可以证明三角形 a、 f、 m 全等于三角形 a、 f、 e 有 全等可以得到角 a m， f 等于角 a b e 等于四十五度， f m 等于 b e o 点是 b m 的 中点，因为角 f m o 等于角 d o， b 等于九十度，所以 d o 平行于 f m， 又一只 o 点是 b m 的 中点，那么 f m 就 等于两倍的 d， o 等于二，等于 b 一， 所以一点的坐标为零负二。接下来我们来看第三问。 在二的条件下，如图二，过一点作 e h 垂直于 o b， m 点是射线 e h 上的一点连接 m o 角 m o， n 等于四十五度。 要探求 m n 与 o m 之间的数量关系，因为三角形 a、 o， b 是 一个等腰直角三角形， 角 m o， n 等于四十五度。同时 e、 h。 垂直于 o b， 因为角 m o， n 等于四十五度，角 bo 等于四十五度，角 bo 的 顶角也等于四十五度。这两个四十五度角共顶点 n， 所以可以根据这两个四十五度角来构造等腰直角三角形，那么这两个等腰直角三角形就必定共顶点 n 有 手拉手的相等。过 n 点作 n、 o 的 垂线， 它将 o m 的 延长线于 c 点。三角形 c， n、 o 就是 一个等腰直角三角形，然后过 n 点作 na 的 垂线， 它交 o a 的 延长线于低点，那么三角形 dna 也是一个等腰直角三角形。两个等腰直角三角形共直角，顶点 n 有 手拉手的全等 连接 d， c 可以 证明三角形 n， d， c 全等于三角形 n， a、 o。 可以 得到角 n， d， c 等于角 n， a， o 等于一百三十五度。同时还有 c， d 等于 a， o 还等于 b， o。 因为角 n， d， c 等于一百三十五度，角 n， d， a 等于四十五度，所以角 c， d， a 等于九十度。连接 b， c 可以 证明 d， c、 b、 o 是 一个矩形。 这样的话，角 m， e、 o 等于角 c， b、 o 就 等于九十度，那么 m， e 就 平行于 bc。 又一只 e 点是 o b 的 中点，那么 m 点就是 c o 的 中点，又一只三角形 n， c o 是 一个等腰直角三角形， m 点是斜边 c o 的 中点， 这样可以证明 m n 垂直平分 c o， 所以 m n 等于且垂直 om。 这样的话我们就找到了 m n 与 o m 之间的数量关系和位置关系这道题目，我们就是要通过这个四十五度角来构造等腰直角三角形。有两个等腰直角三角形，共直角顶点，那么必有手拉手的权能。

我们先来看前三个小题，还有第四个小题写不开了，先写前三个小题。首先呢，我说一说题干，就是这么一个， l 一 直线 l 一 y 等于 k 一 x 加 b， 它有两个参数不知道，所以至少要知道两个点的坐标带入才可以求出来。 然后直线 l 二 y 等于 k 二 x 加四，很显然它有一个参数 k 二不知道，所以只需要找到一个点的坐标带入就 ok 了。 第一小题写出 l 一 l 二的表达式，所以我们刚才说了，要知道两个点的坐标，那么你就沿着这条直线来找，哎，有一个点 a， 哎，有一个点 c， 所以 把这两个点的坐标代入，然后二元一次方乘除，解除 k 和 b 来解除 k 一 和 b 来就 ok 了。 然后呢，在这条直线上我们来找，只要找到一个点的坐标带入就可以了，哎，有一个点 a， 然后把它带入。第一小题，送分题，拿到了第二小题，点 c 到直线 ab 的 距离， 要求的是点到直线的距离，那也就是什么高了，高和什么有关系？高和面积有关系。这道小题呢，我们可以通过两种方法来做，第一种方法我只讲思路了啊，因为这种压轴的题呢，就需要水平稍微高一点同学来做啊， 点 c 到直线 ab 的 距离。首先第一种方法呢，就是点到点到直线的距离， 这是高。三角形里面高和三角形面积有关系，所以我们来看，我们第一种方法可以通过三角形 c a、 d， 也就是 a、 c、 d 的 面积来求这个 a， c、 d 的 面积呢，可以等于二分之一。底儿是 c， d， 高是点 a 到 c、 d 的 距离，高是不是等于 e 啊？ 那么这个底儿 c d 这个直线关系式通过第一小题已经求出来了，它的关系式我就写在这个地方了， y 就 等于什么呢？负的 x 加四， 所以说点 d 的 坐标迎刃而解，令 x 等于零的时候，把 y 求出来，所以这个点 d 的 坐标呢？就等于零，逗号四， 那于是 c、 d 知道，然后高，把 a、 c、 d 的 面积求出来，那么我要求的是点 c 到直线 l 二的距离，那么我过点 c 做 c h 垂直于 l l， 那 么它的面积还可以怎么求呢？ 还可以以 a d， a d 为底儿，然后以 c h 为高。那么在这个平面直角坐标系里边，我们已经知道了两点的坐标，所以任意两点之间的距离，距离公式是不是就 ok 了？那么 a d 哎，距离公式 a b 就 等于一减零的平方，加上一个三减四的平方，求出来就 ok 了， d 人知道了，那么再乘以高，根据面积不变求出来，这是第一种办法。第二种办法呢？我们来看你，当我们把 l 二 这个函数关系是求出来的时候，我们看到它的斜率是负一的时候，心里面就应该非常的清晰，这个角一定等于多少的？四十五度的，这个角一定等于四十五度的，为什么？斜率等于一或者是负一的时候，它一定是一个等腰直角三角形的，为什么呀？ 我另外的零，然后代入之后，这个 b 的 坐标就求出来了，它等于四对角零，也就是说 o b 等于四， o d 等于四，这是个 o b， d 是 个等腰直角三角形，所以我是四，我是四，那么这个角是不是直角了？ 那么你要求的是 c h 是 吧？你看 c h 是 不是在一个等腰直角三角形？你是四十五啊，这个 c h d 也是个等腰直角三角形啊。 所以我知道了 c d 的 长度等于三了。那么我根据勾股定律啊， d h 的 平方加上 c h 的 平方就等于三的平方，又因为 d h 和 c h 相等，所以 c h 是 不是也求出来了 两种办法？好，第二小题也结束。第三小题。点 p 在 l 二上，在这条直线 l 二上是一个动点，若三角形 a p c 等于 s， 三角形 a o c， 求点 p 的 距离。 好了，这是 c 啊，然后有一个点 p 呢，在直线 l 二上。好，那我们来想一想，有一个点 p 在 l 二上，哎， 他说呢，有一个点 p 在 l 二上，然后使得 a p、 c 和 a o c 来，我们先把 a o、 c 连起来， 这个三角形是 a o c， 然后呢，是一个 a p c， a p c 还有一个三角形呢，是 a p c 用蓝色的。 那你来研究研究你这听题的，来研究研究 a p c 和 a o c， 它们两个人是不是有一条底儿，有一条边儿是公共的边儿啊。 那么三角形的面积就等于二分之一底乘高啊，也就是说 s 就 等于二分之一，乘以一个 它的底是共同的 a c， 然后再乘以它的高就可以了。它的面积又相等，那底又相等，你说它的高相不相等， 那肯定相等了，是吧？面积相等，底又相同，所以这个点 p 到这个直线 l e 的 距离和点 o 到直线 l e 的 距离是不是就相等了呀？相等的话，什么样的情况下，我到你的距离和我到你的距离是相等的， 那也就是说，如果我连接一下 o p 的 话，这个 o p 肯定平行于 l e 呀，因为平行线之间的距离它永远是相等的呀。 那这么一分析我们就知道了，原来我连接一下 o p 的 话，那么这个是平行于 l 一 的，那并且我还过圆点，所以我平行线之间它的斜率是相同的，我的这个呢， l 一 是求出来了， l 一 求出来是，嗯，等于看看二 x 加一， 所以这个 o p 的 话，它肯定 y 等于二 x 喽，对吧？斜率相同嘛，过圆点嘛。 那于是我这条直线的函数问题是知道这个点 p 的 坐标是不是和 l 二的焦点的坐标啊？所以呢，我们就连立 啊，我们就连立一下，因为这个这个法，这个地方太局限了，我不准就不详细的写了啊，只讲这个思路，我相信我们同学是没问题的啊。连立一下 y 等于这个负 x， 负 x 加四，然后求出来点 p 的 坐标就可以了。点 p 的 坐标求出来等于我看看啊，三分之八和三分，三分之四和三分之八。 好，第一种情况求出来了，那你想一想，这个点 p 人家是在这条直线上呀，是不是？所以这个点 p 一定在这个点 a 的 右边呢？当然不是了，还有可能在哪里？还有可能在这边， 是不是这个点 p 还有可能在这边，对不对？这个时候啊，你这个 a p c， 那 么就变成了，哎，这个地，这个三角形， a p c 就 变成了这个三角形，红色的这个三角形， 然后呢，这个 a o c 呢，它等于 a o c， 同样的道理，是不是这个 a c 的 边是相同的呀，对吧？ 那也就是说底相同的话，就是 o 到直线 l e 的 距离和 p 到直线 l e 的 距离是不是相同的呀？ 对，所以那么这个时候我这个点 p， 它应该在什么样的这个直线函数关系式的直线上呢？ 对应的直线上呢？那就相当于把 l 一 这条直线怎么样了？因为我到你的距离和我到你的距离是相同的，那么 平行的话，我到你的距离和我到你的距离是相同的。所以这个 o c 的 长度是几啊？点 c 的 距，点 c 的 坐标是零多少一吗？ o c 是 不是一啊？那么这条直线如果称之为 l 三的话， l 三是不是相当于把 l 一 向上平移了一个单位， 对吧？向上平移了一个单位，所以我们学过了呀，那么平移的话，是上加下减，左加右减，向上平移一个单位，那么于是我 l 三呢？就变成了， 这趟能看见哈，二三就变成了 y 等于二， x 加一，向上平移，上加再加上一，那也就是 y 等于二， x 加二，那么我这条 l 三的知道了，然后和 y 等于负 x 加四，然后再连一 好， y 等于二， x 加二和 y 等于负 x 加四，连立起来之后，那么解出来的这个坐标就是三分之二和三分之十。 第三小题就解决了。这个第三个小题呢，真的是需要你对这道题有比较清晰的理解才行 啊，你得明白高相同的意思是啥呀？意思就是两条平行的线上，那么他的距离是相同的，如果这个理解不了，你这道题就很难了，是不是？好，我们再来看第三第最后一道小题啊， 这个第四个小题呢，他，他的，他是说呢，哎，有一个点 q， 哎，他说呢，在这个平面内呢，有一个点 q， 使得他到四个顶点的距离之和， q a 加上 q c 加上 q o 加上 q b， 它是最小的。哎，在这个平面上呢，有一个点 q， 使得这四个线段的长度是最小的。那么我们就先来看看呀， q a o 到 a c o b 的 距离，那很显然你不可能在这个四边形的外面吧，外面的就肯定是更大的，所以那个点一定一定是在这个四边形的内部的。 ok， 我 随便来点一个点，我先来看看 哦， o q a q o q c q b， 我 先来点上点点，然后我来找找感觉，那你就发现了，这个 q a 加上 q o 它什么时候最小呀？是不是三点共线的话，它就是形成一个三角形，两边之隔永远大于第三边。 所以啊，我们知道，哎，也就是说，当 q a 加 q o， 它三点共线的时候最短。同样的道理， c q c 加上 q b 什么时候最小？ 当然是 c q b 三点共线的时候喽，所以我们分析完了就知道了，什么时候这个点 q 在 哪里的时候，它们的核最小呢？就是连接一下 a c， 连接一下啊，连接一下 a o， 连接一下 bc， 那 么这个焦点为 q， 此时此刻这个 q o 加上 q a 三点共线最短， q c 加上 q b 三点共线最短。然后人家让你求的是，当他的 啊四条线段的和最小的时候，求的是 q 的 坐标， 要求他的坐标。那很显然，我们来看 q 的 坐标不就是 o a 和直线 bc 的 函数图像的焦点坐标吗？那我们只要把 o a 这个函数关系式求出来， d c 这个函数关系式求出来就可以了呀。那么你的坐标不是一三吗？他不是过原点吗？设 o 直线 o a 的 函数关系式依次为正比的函数 y 等于啊 m x， 那么把其中的一个点代入，是不是 o a 的 函数关系式求出来了？那么点 b 的 坐标不是四逗号一，然后这个地方不是一逗号零吗？零逗号一吗？先等啊 啊，零逗号一嘛。所以啊，你就设它的函数关系式为， y 等于 n， x 加上一个啊小 q， 对 吧？然后把这两个点的坐标带入二二元一次方乘组解出来之后， 那么你就可以把这个方程哎，这个的方程呢，解出来就是，呃，这个的函数关系式解出来是 y 等于三 x 这个的函数关系式解出来呢，是 y 等于负的四分之一， x 加上一， 那么于是你就把这两个函数关系式连立起来， y 等于三 x， y 等于负的四分之一， x 加一连立之后， 解除他的焦点的坐标 x y， 最后呢， q 点的坐标为三十三分之四和这个十三分之十二。那么这个思路啊，听明白了之后，你自己啊来做一做，做出这个答案来就 ok 了。

这是一道八年级的数学压轴题，已知点 c 在 线段 a、 b 上角 a 等于角 b 等于九十度，角 d、 c、 e 等于一百二十度， a， d 等于根号三 a、 z 等于四 d， c 等于 c、 e。 求 b、 e。 很多同学拿到这道题的时候会想到一线三等角，什么叫一线三等角？ 比如给出我们一个图形， 如果告诉我们这个角等于这个角等于这个角的情况下，这个边又等于这个边的情况下，那么我们就能推理出这个三角形和这个三角形全等， 那么这个必须要是三个角相等，对不对？这道题型里面给出我们一个角 a 等于九十度，角 dce 等于一百二十度， 那么我们不具备三个相等的角，那么我们就要去构造三个相等的角，我们做一个 d、 h 和一个 e f， 首先我们使 d、 h、 c 等于一百二十度，再使 c、 f、 e 等于一百二十度，那么这个角等于六十度，这个角就等于三十度， 同样的，这个角是三十度，这个角是六十度。好，我们来推理一下角 d、 h、 c 等于一百二十度，它就等于角 c、 f、 e 对 不对？它们都是一百二十度的角，那么 dc 又等于 c、 e， 我 们再来看一下 这个角加上这个角是不是等于六十度，那么这个角加上这个角是不是也等于六十度？那么是不是意味着这个角等于这个角？ 那我们就能断定角 d、 c、 h 等于角 c、 e、 f 对 不对？ c、 e、 f。 那 么通过这三个我们能够判定三角形 d、 h、 c 全等于三角形 c、 fe 对 不对？ c、 fe， 那么我们就能够得到 h、 c 是 等于 f、 e 的 好，我们再来看求 b e 这段长度， 一个角为三十度的直角三角形斜边和直角边的关系比是什么样子的？ 我们勾股定律是不是他们的关系比是一比，根号三比二好，那么我们求出 f b， 是 不是就求求出 e b 的 值了？ f b 是 不是等于二分之一 f e 啊？对不对？那么 f e 又等于 h c， 那 么我们看看 h c 等于多少？ 我们知道 ac 是 等于四，那么 a h 等于多少？同样的也是勾股定律，这边是根号三， 那我们通过勾股定律能够得到这个是一，这个是二，对不对？那么是不是 a h 等于一，那么 h c 呢？是不是就等于三？那么 f e 是不是也就等于三？那么 f b 等于二分之三， b 是 不是就等于二？二分之三倍根号三。 关注我，每天带你解析不一样的题型。

一道亚洲题问题探求第一位，如图一，在锐角三角形 a、 b、 c 中，分别以 a、 b、 a、 c 为边儿，向外做等腰直角三角形 a、 b、 e、 a、 b、 a、 c 为边儿，向外作等腰三角形。 a、 b、 e 和 a、 c、 d 使 a、 e 等于 a、 b。 好， 它等于它， a、 d 等于 a、 c， 它等于它。然后角 b、 a、 e、 b、 a、 d 等于九十度。 好，这标俩直角符号，然后连接 b、 d 和 c、 e， b、 d 和 c、 e 这两条直线。请判断 b、 d 和 c、 e 的 数量关系。哎，我怕乱，我就用 相同的一个颜色的笔给它描出来，我要求 b、 d 和 c、 e 这两条直线的长度关系，一看不就是相等，哎，你想正相等， 那不就得把它放在三角形里面求证明三角形全的对一遍就行了。那我把它放到这个三角形还是这个三角形，哎，一看给你的条件多的地方，哦，那就是 a、 e、 c 和 a、 b、 d。 哦，这个两个三个角形看起来还真的是全等，咋看呢？瞄一下啊，这个 a、 d 这个边儿是不是等于 a、 c 这个边儿？ 等下这角三角形，那在这个三角形它的一个边儿，这个三角形它的一个边儿一个对应边儿已经相等了。好，再看这个红色的， 那你这一条边还等于这条边啊，又是一条对应边吧。在这个三角形当中红边，这个三角形当中红边。哦，然后剩下的这个绿边不就是我们要求的那条直线吗？ 哦，那就是红、蓝、绿三条边组成个三角形，这也是一样，三个对应边相等的话，我就全等，但是这个绿边我现在不知道相等不相等，要让你证明，你说你已经知道两个边相等了， 你要求全等，另外一个边还不知道，那你肯定就是 s a s。 那 你就求红边跟蓝边的夹角喽。 红边跟蓝边的夹角，那就是这个，这个红边跟蓝边夹角，那就是这个呀，你看这不相等吗？这都是九十度，中间是一个公共角，俩一样， 我九十度加上你，我九十度加上你。哎，那咱俩也相等，这不是典型的手拉手模型喽。 好，那我这一题已经整完了啊，他等于他手拉手模型，我们和旋转挂挂钩看下。手拉手和旋转有啥关系？你看我这个三角形和这个三角形 红、绿、蓝三角形，它旋转了多少度之后变成了这样， 你看旋转多少度？不得先找旋转中心，就点 a， 再找旋转角。旋转角怎么找来？是不是对应边之间的夹角， 也就是我从这条边对应着你这个三角形的这条边，那你的旋转角，这不就是九十度吗？哎，所以说这俩三角形是旋转了九十度过去的。 太好了，好，就先就先联想到这儿吧，先看深入探讨了。哎，刚才是问题探讨一下，现在深入探讨一下。第二，如图二， 在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于五 啊， bc 等于二，然后角 abc 等于角， a、 c、 d， abc 等于角， a、 c、 d 等于角， abc 等于四十五度。我要把这三个角找出来啊， abc 是 这个四十五度， a、 c、 d 是 这个四十五度， a、 d、 c 这个四十五度。好，哎，这俩角相等，哎，等腰三角形，这两个边相等四十五，四十五，内角和一百八，这还是个直角。等腰直角三角形出来了， 好，让你求 b、 d 的 平方的值， b、 d 平方的值，我再给他把这条直线描出来，显亮一点啊。 b、 d 这条边的平方， 求一条线段的平方，那我肯定不是把它放在直角三角形里面的，放直角三角形里面，三边关系就是平方了 哟，我怎么把 b、 d 放在它里呢？放在直角三角形里，这是个直角三角形。刚才说手拉手旋转 物旋转，你这咋还虚线都标出来了。妈呀，题没看完。嘿嘿，这是最 重要的啊，题一定要看完再再读啊。假同学受到第一位的启发，构造了如图所示的一个和三角形 a、 b、 d 全等的三角形。 受第一位启发，嗯，它也旋转了，将 b、 d 进行转化再计算。 那这个 b、 d 刚才和它类似啊。中间一个三角形，两边做等腰直角三角形，你这也是一个等腰直角三角形，那就这个就是中间那个三角形，那你向这边做了一个。哦，那你现在再往这边做一个等腰直角三角形， 那么我这个 b、 d 能转化成谁？不就转化成 e、 c 了吗？啊，好把它描出来啊。哎，那这两条线段相等嘞， 让你准确地描述出叙述辅助线的做法。辅助线的做法， 准确的描述。那我不就是以 a、 b 为边做一个等腰直角三角形，使得 a、 e 这个边等于 a b， 而且使角 b a、 e 等于九十度吗？我和你的描述是一模一样哦，完事 好啦，现在 b、 d 转化成他了，我要求他的平方，就是求他的平方，他的平方。这这，这是一个直角三角形吗？这边肯定不是。那看这个。这，我看啊，这是四十五度。哎，你做的这个辅助三角形， 好像这也是四十五度，这也是四十五度。那这的四十五度加上这。原来人家告你这的 a、 b、 c 这个角等于四十五度，那我这不就成了啊，九十度的角了吗？ 啊？直角，也就是把 e、 c 放在直角三角形里面。那我不是知道你这个 b、 e 和 b、 c 就 好了， b、 c 现在等于二，已知 b、 e 等于多少？ b、 e 在 这个直角三角形当中， 斜边，哎，你的直角边告诉我是五，一比一比根号二，那你这是五，我这就是五倍的根号二喽，它是它的根号二倍。啊，这两边有了，那我要求 e、 c 的 平方。 哎，重写一下 e、 c 的 平方，它其实就等于。我们要求到 b、 d 的 平方，它就等于五倍的根号二的平方加上二的平方。 五五二十五乘二，五十，加上二得四，等于五十四。好，第二个搞定。第三，如图三。妈，这是变式思考，哎，又变了，好难呀。 如图三，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 bc。 好， a、 b 等于 bc。 我 瞄一下角， a、 b、 c 等于六十度，这儿是六十度。嗯，等幺三角形，有一个角是六十度，那这你不就是等边三角形吗？ 三个六十度好，然后角 a、 d、 c 等于三十度，然后 a、 d 等于四， 这节等于四， b、 d 等于七，这节等于七，则 c、 d 的 平方。哦，买，又求一个线段的平方，那你这 c、 d 的 平方我不还得给你割 直角三角形当中吗？那像它似的，便是思考，我再转化呗，转化到哪能成 九十度呢？你这三十度，我把你咔嚓割下来，然后咔嚓，对到这行不行？哼！但是这是一个什么样的操作？ 这也不是旋转了吧，都没有旋转中心了，便是思考，那你得在人家这基础上走，对吧？我好像这样倒过来，插着 差过来，我的 a d 在 这，那我 c d 跑这了， 这三十度倒是差到这了。三十度和这是九十度了，那这 这和它能合上吗？那也不是直角三角形啊，有点怪哦，好像这个思路不太能行得通， 我们在借鉴之前呢。这个图一图二啊，看它辨识，也就是说这个三角形，这个三角形它是旋转了九十度过去的，那我这个三角形旋转九十度到哪了？旋转九十度， 我天，我也不能旋转九十度啊，我这是九十度，我才能旋转九十度，我这都不知道是多少度。 嗯，旋转九这个边，哦，这是个等边三角形，那这个边是等于这个边的。哼， 我能不能，我能不能旋转六十度啊，我咔嚓，把，这个边 我看啊，反正你是个旋转，旋转多少度？那不得看题的条件吗？你这有六十度现成的，那我就旋转六十度了。你这是九十度现成的，那你旋转九十度了，所以我这是六十度，我旋转六十度啊，我把这个边咔嚓旋转到这， 哎，这个蓝色，那么我的三角形我是不是就加上啊？到这了，哇，这个角也不知道是多少，大概齐画一下吧。嗯，画到这， 我旋转六十，哎，这个人家是有一个倾斜角旋转六十度，这个边到这，那，这个三角形整体的转过来，呦吼，可买了的。旋转到这的话， 那也没有直角三角形啊，也没有直角三角形啊， 我先把它的旋转的性质先标出来。啊。啊，你这个边旋转六十度到这，这个边旋转六十度到这，哦，那旋转六十度，那这就是六十度了， 这是六十度，我再看对应边，这个边等于它，那你是四，这个边没告诉等于它， 这个边等于他。我看，啊，这个边等于这个边，哦，这又旋转到六十度，哎，这旋转六十度，你看他是一个等边三角形，哎，那我这旋转六十度是不是也是一个等边？他有一个顶点嘞？ 哦，我相当于这个旋转是绕着点 c 旋转的，所以这两条边绿色和这条白色边之间的夹角是六度，这两条对应边又相等。太好了，那我 再把这条边连接一下吧。哎，因为你等腰三角形六十度，那我一连上他不就是等边三角形吗？等边三角形，那么这就是六十度， 整个这也是六十度，哎，等边三角形了，这是六十度。 好，刚才人家这个角是三十度，旋转角还没看呢，是吧？三十度，那我这儿的角是三十度，哎哟，天呐，六十度，三十度，完了，直角三角形又凑出来了， 看看咱刚才要求谁来。 c、 d、 c、 d， 哦，现在在这个等边三角形当中呢，那这个 c、 d 不 就等于，哎，再来一个 a、 b， c， d， e 吧，那不就等于 d、 e 吗？ 它等于它，那我不就把它又放到了这个直角三角形当中了吗？太棒了， 那要求他，我就得知道他和他，啊，这是四，这是七，那他的平方不就等于七的平方？ 七七四十九，减去四四一十六等于，嗯，三十三。 ok， c、 d 的 平方就等于 d、 e 的 平方就等于三十三。学废了，关注我吧。

这是一道初中几何压轴题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 b、 c 角 a、 b、 c 等于九十度， e 在 b、 c 上， c、 d 垂直于 a、 c。 若 a、 e 等于 d、 e 求证，角 a、 e、 d 等于九十度。这道题三角形 a、 b、 c 是 等腰直角， c、 d 垂直， a、 c 是 相等的，怎样求证这个角是直角？ 这道题如果用一个比较特殊的全等三角形并列就非常好做，因为 ab 等于 bc， 那 么我们可以做一个 e、 d、 e、 f 是 这个三角形，也是等腰直角三角形，也就是这两条边相等，那么这是四十五度，这也是四十五度，那么这个角就是一百三十五度， 因为这个也是四十五度，这是九十度，这个角也是一百三十五度。 这两条边相等，这两条边相等，那么剩下的 a、 f 和 c 一 也是相等的， a 一 又等于 d 一， 那么这两个三角形其实就是边边角相等。边边角，那么边边角相等， 能不能证明这两个三角形是全等三角形呢？如果这个角是钝角的话，完全是可以的，也就是边边角 相等的情况，下角是钝角，那么这两个三角形全等， 这两个三角形全等，说明呢？对应角相等，也就是这个角和这个角相等。还有呢，这个角和这个角相等， 而这两个角加起来是四十五度，等于这个四十五度，所以这两个角加起来也是四十五度，而这个角也是四十五度。四十五度加四十五度九十度，那么剩下的角就是九十度。 这道题的关键点在于什么呢？在于边边角， 如果 a 是 大于等于九十度的话，那么边边角完全是可以证明两个三角形全等的， 那么这个结论其实也比较简单，如果是边边角，边边角，这是一个大于九十度的角，再画一个 大于九十度这条边，这条边边角，边边角，那么怎么证明这两个三角形全等呢？我们可以从这个地方延长做一条垂线， 垂直就可以了， 垂直的话，那么这个角和这个角相等， 因为是直角三角形，那么三个角的相等，这个角也相等，两个角相等，那么这三个角必须相等，而这条边又是相等的，所以这两个三角形首先全等，全等的话，那么这条边和这条边相等， 因为它是直角三角形，两个边相等，那么第三边必须相等，所以这两个三角形，这个三角形和这个三角形又是全等三角形，那么对应角也相等，那么这个角和这个角也是相等， 这样的话，这个角和这个角相等，那么角角边这两个三角形是全等， 我们就证明了这两个三角形确实是全等三角形，也就是边边角让这个角大于九十度，当然等于九十度的时候，是钝角的时候， 这两个三角形是全等三角形。利用这个定律证明这道题就比较容易，当然也有其他的方法，大家也可以思考一下。

哈喽，小伙伴们大家好，今天我们来上一个有难度的题目啊，是我们这沪科版的八年级上册期末试卷刚考完，前两天高考完，新鲜出炉的一个二十三题的压轴题， 我们一起来看一下这个题目。这个题目其实有一定的难度，而且考的题型还是比新颖。挺新颖的 啊，难住你应该难倒了百分之八九十的学生，你们可是可以把视频暂停一下，然后自己去尝试做一下试试。我们其实这个题目乍一看好像是一次函数的，你再深研究， 呃，他又不是啊，不单单考了函数，说白了是函数以几何的结合，同时呢，还涉及到动点问题啊。呃，综合性还是比较强的。首先 ab 分 别与 x 轴、 y 轴交于 ab 两点， o、 c 平分角 a、 o， b 这里有平分是比较关键的，因为我们都知道这是一个直角对不对？ b o， a 是 一个直角，那你这平分这边不就意味着是 四十五度，四十五度对吧？然后 d 是 这上面的一点过点， d 做 d， e 平行于 a， o， c 这两个是平行线，那意味着这里啊， b， e， d 这里也是四十五度。 然后已知 a、 o 呢，等于 m， 这个点的坐标是横坐标为 m， b o 呢，是等于 n， 且满足这个关系啊，满足这个关系。然后第一小问要求 ab 两点之间坐标。其实第一小问已经难倒了百分之五十学生了， 因为他不知道怎么求 ab 两点之间坐标，同时他不知道这要怎么用啊？那你第一问求不出来，第二问没法求，那第三问就没法求， 他们之间就是连贯性的，我们现在数学题综合性很强，连贯性很强，所谓综合性，就是你说他考的是一次函数，他也考，但他不单单考一次函数，是不还有几何，还有动点，结合了很多。同时呢，你要知道这里是什么， 你如果看不出来这是什么，你就没办法求出 a 和 b， 这是完全平方公式啊，这个是完全平方公式，所以你要通过因式分解给他变形，他就可以变成 n 减四的平方，再加上啊，绝对值， n 减二， m 绝对值等于零， 那我们都知道任何数的平方和任何数的绝对值，它都是非负性的，两个非负性的数相加等于零，只能让他们分别等于零，对吧？所以 n 减四等于零，那 n 就 等于四哦， sorry 嗯， 碰到了，那摁就等于四，然后摁减二， m 等于零的话，那 m 就 等于二，这个里面就可以出来了。由此我们就可以得到 a 点的坐标， a 点的坐标就是二零， b 点的坐标就是零四啊，就零四，那这就可以解出来了哈。然后再看第二小问，第二小问其实也挺巧妙的， 你刚一读完题目说 d 是 ab 的 终点，你觉得，哎呀，这个终点是个特殊点，应该也不算难，但是你再去求的话，你就想了，这怎么要突然求 o e， 这 o e 要怎么办呢？你只知道 a 和 b 两点之间的坐标，有没有其他更巧妙的方式了呢？ 是不是就开始难住你了，对吧？所以呢，我们这里面怎么办？你要想到终点，终点你一般会做什么啊？比如说你要这等腰三角形，是不是三线合一？ 那我们现在因为学了全等了，那你会不会想到我们的倍长中线呢？如果我们这因为平行线，我给他延长出去啊，延长出去，假如说我们把这个 d、 e 延长交 x 轴，这一点为 f， 然后我我们是不是可以顺着这个平行再给它捅出去啊？这个捅出去使得捅出去捅多长呢？我们再延长 f、 d， 使得 d、 f 等于 d、 g 啊，这一点，假如说是 g 点，然后你再连接 b、 g 啊，这一点是 g 点，再连接 b、 g， 接下来你就需要去证明这两个三角形是否全等的啊？也就是三角形 b、 d、 g 是 否全等于三角形 a、 d、 f 啊？ b、 d、 g 和 a、 d、 f 是 不是全等？当然是全等，因为 d 是 终点啊，我们来写一下，因为是 d 是 终点， b、 c、 b、 d 是 不是就等于 a、 d， 这是一个条件，那这个是对零角，两个角相等，角一是不可以等于角，二 角一是不等于角，二是对零角，然后因为我们这个延长出去，我做的是 f、 d 等于 d、 g 是 不根据 s、 a、 s 这两三点全等，那为什么要证明这两个圈角是全等呢？哎，全等，那我们就顺次可以知道这里就可以是九十度 啊，因为你可以知道啊，这个位置是四十五度，这个位置假如打叉的这个地方，叉的这个地方是四十五度，那因为平行这个地方也是四十五度，对不对？然后呢，那对顶角这里也是四十五度， 这个角 o、 f、 e 也是四十五度，因为你有上下全等内错角相等，这个也四十五度，这一下四十五度，那这不就九十吗？是不是？那我们就可以知道，毕也毕竟是垂直于 o、 b 的， 所以呢，那这有什么用？那我们就可以啊， 我把多余的擦掉，我们把这个图画的方便一些啊， 由前面的推理，我们就可以直接知道，你连接 b g， b g 就 垂直，垂直于 o b 的 啊，垂直于 o b 的。 现在他要是要求 o e， 那 我们就可以设一下，比如说 o e 为 x， 直接设啊，设 o e 等于 x， 那 么 o e 一 旦为 x， 因为这边都等于四十五度啊， 看我标这个地方，这些，这个地方都是四十五度，所以呢，它是等于 o f 的 啊，它是等于 o f 的， 因为我们知道啊，根据上面的这个全等，根据这个上面全等， af 是 不就等于 bg， 对 吧？那 af 又等于什么呢？ af 是 不等于 a 点的横坐标，加上 of 对 不对？也就相当于是二加 x， bg 又等于什么呢？ b g 它又等于 b e 的 啊？ b g 它是等于 b e 的， 为什么等于 b e？ 因为这里四十五度，这里四十五度，这又是直角， 所以 b g 又等于 b e， 那 我们的 b e 是 不是四减 x， 所以 b g 就 四减 x， 那 这又可以等于四减 x。 通过这个关系，由此可以解出来， x 等于一 啊， i 呀，等于一，那我们的 o e 就 可以求出来了，长度为一。那你们回头再把第三小问看一下，我们下一个视频把第三小问讲一下啊。

好的各位同学大家晚上好，今天晚上的星光老师再继续给大家介绍一下手拉手模型，我们看题啊，说是已知三角形 a、 c、 b 和三角形 d、 c、 e 都是等腰直角三角形，对吧？等腰直，然后呢，角 a、 c、 b 和角 d、 c、 e 都是九十度，那就是直角顶点在一起重合着呢，然后呢，连接了 a、 e 还有 b、 d 相交于点 o， a、 e 与 d， c 交于点 n。 现在让我们求证 a、 e 等于 b、 d。 我 们一般号如果碰到了两个等腰直角三角形， 这个直角顶点重合，然后呢，左手拉右手，左手拉左手，右手拉右手，那这就是非常经典的手拉手模型，对吧？那手拉手模型必然会出现一对全等三角形，我们找一下这个图里面，图一里面全等三角形是哪两个呢？是不是就是三角形？ 是不就是三角形 a、 c、 e 全等于三角形 b、 c、 d 啊？ 用的是 s， a、 s， 为啥呢？你看啊，这个 a、 c 和 bc 是 相等的，然后呢，这个 c、 e 和 cd 是 相等的， c、 e、 c、 d 是 等腰直角三角形，两个腰嘛， a、 c 和 bc 也是一样。然后呢，你看 a、 c、 e、 a、 c、 e 这个大角和 b、 c、 d 这个大角，是不是都是哪个呀？都是九十度加上角 a、 c、 d， 对 吧？你这个 b， a、 c、 b 加上一个 a、 c、 d 就是 九十度加 a、 c、 d， 然后呢，这个 c、 d 加上一个 a， c、 d 也是九十度加 a、 c、 d， 对 吧？所以说这两个钝角是相等的，那刚好两边夹一角，就是一个手拉手全等，那全等以后，你看这个长边，就这个钝角三角形的这个长最长的这个边 a、 e 和 b、 d 是 不是就是直接就相等了？ a、 e 就 等于一个 b d， 对 吧？这第一步很简单， 就是我们把这个手拉手圈的模三角形模先找出来，然后呢，它的对应边相等就行了。然后那你看这两个把这个图清理一下啊， 这两个三角形 a， c， e 和 b c d 它俩全等以后，还出现了一个什么性质呢？就是它的对应角也是相等的，对吧？就是这个角哎， b， d 这个 b， d， c 和 a e， c 这两个角也相等，然后呢，这两个角哎，也相等，就是 e a， c 和 d b， c 这两个角都是对应角嘛，对吧？好， 那他俩都是对应角，以后就可以了，咱们咱直接看第二个吧。第二个说 a c 等于 dc， a， c 是 啥呢？ a， c 是 右边这个等腰直角三角形的腰， 然后呢， dc 是 左边这个等腰直角三角形的腰。那你先两个等腰，直角三角形的腰都相等，哎，那说明他们的四条腰是不是都相等呀？ a c a c 又等于 dc， 那 dc 又等于 dc 了， dc 又等于 c e， 哎，这四条腰都相等的话，而且它又是个等腰直角三角形，这两个角又是直角的话，那你首先哈， 你这两个等的直角三角形必定是全等的嘛，对吧？首先这这个第一个三角形 a， c， b 全等于三角形，谁呢？ d c e 还是 s？ a s， 对 吧？这是第一第一个全等三角形，全等的直角三角形，那第二个呢？那你看， 呃，这里是咱们现在要找直角三角形的话，肯定得找直角，那你看 dce 角， dce 和角 acb 是 个直角，咱们已经用了，那你看还有一个 mce 和 ncb 是 不是 全等呢？你首先 c e 和 cb 是 相等的，又有一个直角，我们只要能证明一个 c m 和 c n 相等就行了，那你看 c m 和 c n 相等吗？思考一下， 喝口水啊，肯定是相等的，对吧？怎么正呢？首先啊，这里面图案里面也存在一组手拉手全等模型，咱们先把这这组手拉手全等三角形模型给它找出来，你看是不是就是一个 a 还是 a c e 和 b c， d， 对 吧？三角形 a， c， e 全等于三角形 b， c、 d 和第一问一样，第一问这个 a， c、 e 看起来比较的胖啊，看起来比较瘦。然后第二个图里面这个 a、 c、 e 比较的胖，那你它俩全等以后还是 s、 a， s 嘛？那你像这个角是不是就等于一个这个角啊？就是 c， a， e 就 等于一个 c、 b、 d 对应角嘛？然后呢，这个 c、 e， a 就 等于一个 c、 d、 b， 就 这两个角是也是对应角相等的，除此之外呢，这个角其实是直角，为啥呢？八字模型，那你看啊，首先在这个图里面，这是一个八字模型， 因为这两个角相等，所以它们的对顶角是相等的。那你另外两个角的和是不是也相等呀？ 根据三角形内角和一百八十度得到的，那你好，另外两个角当中各有一个角是相等，那你这个九十度肯定是相等的，所以这里肯定是个直角。好，那现在我们已经找到了第二个直角了，对吧？好，那我们来看一下， 现在找到直角以后，那我看这个直角所在的点是哪个三角形呢？思考一下， 是不是 a o b 和 d o e 这两个直角三角形。我们先看一下这两个直角三角形到底是不是全等三角形呢？首先我们找一个它的对应边，你 d、 e 和 ab 肯定是全等的， 为啥呢？因为你第一个三角形 a、 c、 b 已经全等了三角形 d、 c、 e 了，那你他的这个斜边肯定是相等的，对吧？还有一个，这两个都是有九十度的，我们再找一个锐角就行了。再找哪个锐角呢？再找哪个锐角？大家思考一下 看啊。首先 c a 这个 c、 a、 o 这个角就是右上角 c a、 a 这个角和这个 c、 b、 n 这两个角是相相等的，对吧？然后因为你这个 c、 b 和 c、 d 是 相等的，为啥呢？因为这 两个等腰直角三角形，两个腰相等，所以三角形 c、 d、 b 是 一个等腰三角形，对吧？那你这个角 c、 d、 o 和这个 c、 a、 o 肯定是相等的， c、 d、 o、 c o 肯定因为 c、 d o 等于一个 c、 b、 o， 对 吧？然后呢，这个 c、 a、 o 又等于一个 c b o， c b o 和 c o 相等是根据这个手拉手模型得出来的，它俩是对应角。然后呢， c、 d、 o 和 c b、 o 相等，是因为这个三角形 c、 b、 d 是 一个等腰三角形吗？因为它的这个 c、 b 和 c、 d 这两个腰是相等的，对吧？然后这样一来的话，那首先我们可以看到这个，那你看这个角 e、 d、 o 是 不是就等于一个四十五度加上角多少呢？嗯， c、 d、 o， 对 吧？然后呢，角这个 b、 a、 o 是 不还是四十五度加上角这个 c、 a、 o。 因为 c、 d o 和 c a、 o 是 相等的，那你这个 e、 d、 o 和 b a、 o 也相等，比如说这个角和这个角是相等的，对吧？好，那在这个直角三角形 d， a、 e 和 a o、 b 里面有一个直角是相等的，因为它俩是对顶角，然后呢，还有这个 一个比较大的这个锐角，就是 e d o 和 b a o 相等，同时斜边也相等。那咱们第二个是不是三角形 d a e 就 全等于三角形？ a o b 用的是啥呢？用的是不是就是一个 a a s 呀？对吧？因为这个 d e 边和 ab 这条斜边，它不是这两个角的公共边，是第三条边，对吧？ a a s 这是第二组全等三全等的直角三角形。那好，那这样一来的话，是不是就是一个 d o 就 等于一个 a o 了，对吧？ d o 是 不是就等于 a o 了？因为是对应边嘛，对吧？那你 d o 等于 a o 以后，这个把这个涂擦一下， d o 等于 a o 以后，那你看一下三角形，这个直角三角形 d o， m 和 a o， n 是 不是全等呢？你看 d o 等于 a o， 哎，一组直角边相等，然后还有一个直角相等，接下来你看这个 c d o， 这个 m， d o 和这个 na o 是 不是也相等？ m d m， d o 就是 一个 c d o 在 这和这两个是相等，咱们已经正过了。那好，那第三个是不就是三角形？这个 d o m 全等于三角形 a o n 用的又是啥呢？这个时候用的是一个 a s a， 因为 a o 和 d o 刚好是两个角的公共边，对吧？ a s a ok 了，现在已经找到三组。那我们接下来看这个 e、 c m 和 b c n， 因为 c e 和 c b 是 相等的，又有直角，我们再找一个， 再找一个边或者角就行了，对吧？那你看，咱们根据第三个这个三角形， d o， m 全等于 a o n， 那 你是不是 d m 就 等于一个 a n 呀？ 对吧？ d m 就 等于 a n， 但是同时 c d 又等于 c a， 那 你从 c d 里面把 d m 一 减， c a 里面把这个这个 a， n 一 减，是不是就可以推出来 c m 就 等于一个 c n 呀？ c m 等于 c n， 然后呢？ c e 等于 c b， 又有一个夹角是直角，哎，那这第四个三角形，这个 e， c m 全等于三角形 b c n 这个时候是 s a s 两个边，一个是 c e 和 c m 两边夹一角，对吧？比如说这里面图二里面有四对全的直角三角形都被我们找到了， 找起来的话，其实考察的是大家对这个全等三角形判定定律的一个应用，而且呢，这里面很多条件都需要我们通过上一个全等三角形来推出来的，对不对？好的，那各位同学，这道题呢，咱们今天就到这，好吧，各位同学再见。

初二的选填的压轴题啊，他说呢，有一个正方形 a b c d， 并且呢它的边长是六，这个点 e 呢，是 b c 的 中点，这是一个 c 啊， b c 的 中点，点 f 呢，距离点 d 是 两个单位，也就是 d f 等于二， 然后呢，他说呢，点记是 a c 直线 a c 上的一个动点，在这个上面呢，来回移动，你不知道他在哪个地方，然后问的是什么呢？问的是这个 g f 减去 g e， 他的最小值等于多少？ 那么我们来看，我们在上面呢，随便取一个点记，这是 g f， 这是这个 g e， 那 么要让他们两个人最小， 我们说要想求谁减谁最小的话，我们是不是在三角形里边两条边的 叉，哎，两边之叉永远小于第三边，是不是学过这样的东西，那我们就想着把这个 e g 和 f g 怎么样放到一个三角形里边去， 这样的话呢，我们就做点 f 关于直线 a c 的 一个对称点 f 一 撇，于是呢，这个 g f 一 撇和 g f 是 不是就相等了？ 那么这个时候你看 f 一 撇记和 eg 呢，他就可以在一个三角形里了，于是呢，我连接一下 f 一 撇记，连接一下 f 一 撇 e， 这个时候啊，哎，你和你啊，你们两个人是相等的哈，因为做的是对称， 那么它减去它是不是永远？我们说三角形的三边关系就是，哎，这个 g f 一 撇减去这个 g e 呢，它就永远小于第三边，也就永远小于这个 f e f 一 撇， 它永远小于 e f 一 撇，那么它比它小，可是这个地方要求的是个最小值， 它什么时候就可以等于这个 e f 一 撇呢？是不是就是在同一条线上的时候啊？所以这个题我们就有思路了，延长一下这个 a c， 然后连接一下 f 一 撇 e， 延长 f 一 撇， e 交直线 ac 于点记啊，作点 f 关于 ac 的 对称点 f 一 撇，然后呢，我延长 f 一 撇 e 交直线 ac 余点记，这个时候这个点记就是我们想要求的这个点记，因为此时此刻呢，三点共线，这个时候就有最小值。哎，这个呢，如果我们做题做的多了，你就知道了哈，求谁减谁最小的时候，三点共线， 那你看 f 一 撇记，减去一个 e g， 是 不是正好就等于 e f 一 撇了， 所以这个题就有思路了。那么 e f 一 撇等于多少啊？这是一个直角三角形，那么初二我们就学了个勾股定律嘛，所以它就等于 i 二三，然后列式的勾股定律求出来就可以了。这是一道选填的压轴题，那么这道题呢，就是复习了 两直线，两条线段的差的最小值，往往呢，我们要把它放到一个三角形里，通过三边关系来求，什么时候最小呢？三点共线的时候啊，把它基础信息记住。

哈喽，同学们好，八年级同学呢，马上期末了，那期末的重难点呢？依然集中在几何的辅助线中，难度题的辅助线是如何想到的呢？那么我带你通过这道题再来感受一次。你可以先暂停自己去思考，思考完了咱们一会回来啊，一会见。 好，咱们回来一块看看。如图，角 c a b 等于 c b a， 我 把它看成角一，这里看成角一，它们都为四十五度，那这里也就为九十度，对吧？ m n 呢？分别是 b c。 延长线上两点做了垂直，这里有个直角，把它标出来，最后给出 m 和 n 呢，也相等，我把它看为角二。还有角二，求证， c n 等于 b m， c n 呢？在这 bm。 在 这，很多同学第一个想法去找 c n 和 b m 的 全等，因为刚好还有靠着的相等角，但这么来看，它们有直接相关的全等， 对吧？除此以外，有正全等。还有一种正法，可以找到 c n 和 b m， 它相等，利用线段的和差，比如说这里的 b n， 它是等于 c m 的 bc 作为它两的公共线段，所以我们用 b n 去减 bc， 它也等于 c m 减 bc。 那 从这个线段和差关系我们知道，如果我们得到 b n 等于 c m， 也可以得到我们想要的结论，对吧？那么这两个线段相等，又可以回归到全等吧。 但是依然没有直接相关的全等。不管是第一种蓝色三角形全等，还是这个部分所在三角形全等， 题目中好像没有直接相关的线段相等条件，但是给出了一个等腰三角形， c a 等于 c b。 嗯，题目中一直在给角，只有这个条件暗含了有相等的线段，所以这个条件一定是此题的非常关键的钥匙， 因为这里才有相等线段，你要证明全等，一定要有相等的线段，那么我们一定要靠着这两相等线段去找全等。你看 c a 会和我们想要的 c m 组成一个三角形，对吧？我把它勾出来 啊，这个关键的条件和我们想要的它是组成三角形，我们要去关注它， 也就是说这个三角形我先写下来啊，多关注 a c m。 那 现在我写的相当于是草稿纸上的梳理思路啊，不是你的正正确的步骤，我们在梳理思路啊，你不要想的这是步骤啊，我们要关注 a c m， 那 么接下来咱们就要看看另外一个关键线段， c b 对 应的三角形， 对吧？那 c b 对 应的三角形，好像这样看，要和它要全等，似乎没有那么辅助线，是不是我们就要多考虑从 c b 角度去出发 好，怎么做辅助线呢？那 acm， 这是一个特殊三角形，同学们关注到没有？ acm， 它是一个直角三角形， 那么说明靠着 b c 所在的三角形应该也为直角三角形。那同有同学就说，哎，我们是不是应该延长延长这里的 a c， 哎，延长这里 a c， 因为这里自带了一个直角，我们连接这延长， 找到这有个三角形 c b。 假设啊， c b p 和 a c m 的 全等， 这是一个方向，但是你要这么假设，如果这俩三角形全等了，我们想要的结论有没有，对吧？假设它俩全等，你们怎么进行下一步呢？那你会发现其中还有个关键条件，这个垂直根本就没用， 说明我们此蓝色的构造是不太对的，对吧？不对，按道理我们构造出来 辅助线应该和这里的条件会相关，如果有发现辅助线做出来和条件都不相关，那么这个辅助线大概率是有问题的。那我们现在就擦一下，我们来讲讲这个直角三角形怎么用啊？ 那咱们回来，如果重点线段 bc 这边的直角不能用，我们是不是应该在这边考虑直角，对吧？哎，这就是辅助线那些思路了，所以我们靠着 b 这边做垂直，做垂直好，那让它为直角， 这里如果为直角，会发现这里角一本来是四十五度，这还是个特殊角呢，我们先放在这，不知道用不用啊？自然我们要找到这条线段 bc 啊，组成的某个三角形 和现在的 a、 c、 m 要进行全的，那么这里的九十度是不是我们就可以把它进行延伸了？ 那有一条边了，有一条边了，那这里的九十度我们自然要把它延长去看， 这就会出现一个重点三角形，一个点 p， 主要看一下啊，我们关注一下 cpb 此三角形能不能得到此三角形和我们的 acm 的 全等，所以辅助线也是一定的长势啊。这边不行，我们试下这边，如果这边也不行，咱们再换方法。 好，那现在有什么呢？ bc 等于 ac， 这是很明显的。再者，那这里有九十度，这里有九十度 啊，再来个角，我们肯定是最写的那个键的，这里的九十实质我们只是延长了，还没有用，对吧？你想这里有九十，怎么利用这个角？那这么多垂直，你肯定要去想想双垂直 倒角呀，这么多垂直啊，我们常常会用双垂直来倒角，对吧？你看这有垂直，反过来这边是不是也垂直？那这有直角，反过来这有直角， 所以双垂直的倒角立马就出来了。直角，直角啊，这双垂直八字倒角，角二，自然这是角二。如果有同学说啊，我双垂直八字倒角想不到，那这道题你就不要想做出来，这么基础的倒角你肯定是要会的，因为中难度题拆开就是很多简单题组合而成， 你的基础型都搞不定，就不要想解重难度题。好，双垂直八字搞定以后，这是角二，这是角二，那么自然它俩就是全的。好，写下来，三角形 c a、 m 全等于三角形啊！直角出来短边长边，直角出来短边长边 b c p。 好，此全等。有了以后，我们有了角二，这也是角二，对吧？这个地方也是角二，但是我们最终的目的是要什么呢？ b n 和 c m 要相等呀，现在的 c m 等于谁呀？ c m 是 等于这里的 b p 的， 所以我们的目标是不是现在转换成了 b p 等于 b n。 如果我们得到 b p 等于 b n， 那 么自然就有 c m 等于 b n。 所以 我们现在有个重点，重点的中间步骤要去证明 b p 等于 b n。 当然写出它以后，我们就会想到找 b p 和 b n 的 全等， b p 在 这， b n 在 这，它俩全等就很明显了。这里有角二，这里有角二，是吧？它还有公共边， 你刚才特殊角标出来四十五，四十五，这下就看出来了，三角形 b n、 d 全等于三角形 b n、 d 啊！ b p、 d 写的有点丑。 好，有它以后，我自然就有什么呢？我就可以得到它。 b p 等于 b n， 有 b p 等于 b n， 我 再结合这里的 b p 等于 c m， 他就得到了他，有他就得到了他，有他就得到了他。哎，这道题我们就搞定了，那我在这里给大家再总结一下，我拿到这道题是怎么去思考的。 首先题目要 c、 n 等于 b、 m， 我 第一反应去找它俩的全等，发现直接相关全等是没有的。除此以外，基本功很重要，因为你会发现 bc 作为公共线段我也没，我们也可以去找，换个颜色啊，找 b、 n 和 c、 m 的 相等也是可以的。那么如果它俩相等，我们自然要去想想有没有全等关系。 那有全等的话，一定要有相等的线段，但是题目中是没有的，它隐藏了一个相等线段，所以就是 c 等 c b， 这是非常非常关键的突破步骤，只有你想到它才行。有全等一定要有相等线段呀， 那只有这里有啊，我一定要牢牢把握它去关注。所以有 a、 c 和 c、 m 组成，有三角形，自然我又能想到。那么和 c、 b 相关的三角形应该和它有全等。 那么我们靠着 c、 b， 因为 a、 c、 m 是 特殊三角形，直角三角形，我在这边做直角三角形，发现不行，条件没有用，那我就靠着这边做， 对吧？靠着这边做延伸之后，我想九十度有什么用呢？因为现在关键三角形还没有出现，但是我们把它一延长就出现了，哎，有相等的线段有九十度，有九十度，那再来个角很好，这么多垂直，能想到双垂直的倒角吗？ 哎，所以你看这个九十，九十倒九就倒出来了，后面就顺理成章了，难度就下降了。好，那么做辅助线绝大多数他确实是非常有思路的，还有一小部分是需要灵感的，对吧？这点不可否认。那么这一刻希望对你有帮助，再见。拜拜。

好的，各位同学，大家晚上好，今天晚上呢，星光老师再给大家介绍一下手拉手模型。好的，同样题二说是在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 好 等腰三角形嘛，对吧？点 d 是 直线 b、 c 上的，一点不与 b、 c 重合，那既然是直线 b、 c， 他 有可能是在点 b 和点 c 之间， 在线段 b、 c 上，也有可能是在点 b 的 左侧，也有可能是在点 c 的 右侧，三种情况，三个范围，对吧？好，现在把这个线段 a、 d 绕着点 a 逆时针旋转到 a、 e， 使得 a、 d 等于 a、 e。 肯定你同一条线段旋转过来的嘛。然后呢，让 d、 a、 e 等于角 b、 a、 c。 就 说 老的这个等三角形的顶角和新的等三角形的顶角是相等的，对吧？然后呢，把 b、 d 一 连接，把 c、 e 一 连接，这就是非常标准的左手拉左手，右手拉右手手拉手，对吧？那你看图一里面哪个三角形全等呢？是不是就是三角形这个 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e 啊？ s a、 s， 对 吧？因为你 a、 b 和 a、 c 相等， ad 和 a、 e 相等，然后呢，角一和角二也相等，因为角一加角三是角 b、 a、 c。 角二加角三是角 d a、 e、 b a、 c 等于 d a、 e。 也意味着角一加角三等于角二加角三，把角三给它减掉，就剩角一等于角二了，两边减 a， 角二 s， 对 吧？好，那你看 如图一点 d 在 线段 b、 c 上，如果 b、 a、 c 是 九十度啊，对吧？那好，现在求的是 bc， 也求的是这个角， 那你看这里 b、 c、 a 肯定是四十五度嘛。等腰直角三角形顶角是四十五度，那这个角 a、 c、 e 是 多少？ a、 c、 e 不是 等于 a、 b、 d 嘛？ a、 b、 d 也就是角 b 是 四十五度呀，对吧？那你这边也是四十五度，两个四十五度一加是不是九十度？九十度，对吧？ 第一问很简单，第二问点 d 在 先到 b、 c 上，如果 b、 a、 c 等于六十度，顶角是六十度，那有一个角是六十度的等腰三角形，它是等边呀，对不对？那这里是不是也是六十度呀？ 然后角 b 也是六十度 a、 b， 因为三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 是 全等的，那你这个角 a、 c、 e 是 不是也是六十？那两个六十一合并是不是一百二十度？很简单，对吧？ 第三个，如图三，我们设角 b、 a、 c 是 r 法，也就说等腰三角形的顶角都是 r 法，就是 b、 a、 c 是 r 法， d、 a、 e 也是 r 法，对不对？这个角是 r 法， 那这个角也是 r。 好 角 bc 是 一个半打，哎，这里是半打。那好，那当点 b 在 线段 bc 上移动时，那就是不会出 bc 的 范围。 r 和 b 打的关系是多少？那你看 bc 是 不是两部分构成的，一部分是 bca， bca 的 话等于三角形的顶角是 r 法。那你两个底角是一百八十度减 r 法，再除以二，是不是九十减二分之一 r 法，也就说这个角，也就说角这个 bca 就是 一个九十度减二分之一的 r 法。然后呢，那这个 a、 b 角这个 a、 b、 c 也是九十度减二分之二，反正这是两个底角，对吧？那好，那 a 角 a、 b、 d 不 就等于角 a、 c、 e 吗？那比如说角这个 b、 c、 e 就是 两个九十度减二分之一二法，就是二乘一个括号，九十度减二分之一二法 就等于一百八十度减二法，那 b、 c、 e 是 败打，败打等于一百八十度减二法，把减二法移给败打，是不是就是二法加败打等于一百八十度呀？ 对不对？互补的吧，对吧？那第四步还是 b、 a、 c 是 二法， b、 c、 e 是 白搭。现在点 d 在 直线 b、 c 上移动了，哎，不在，不单单在线段 这个 b、 c 上，是在直线 b、 c 上，那直线 b、 c 就 包含了第三问情况在线段 b、 c 上移动，那第三问已经说了，如果说他在线段 b、 c 上的话呢？二法和白搭是互补的，那如果说出了线段 b、 c 呢？咱们看一下这个图，对吧？点 d 已经跑到点 c 的 右侧，那你这个 b、 c、 a 是 不是九十度减二分之一二法，然后角 b 也是九十度减二分之二法，那这个里面哪两手拉手，哪两个三角形是全等呢？是不是三角形 a、 b、 d 全等于三角形，哪个呢？ a、 c、 e 啊， 对吧？那这个时候 a、 c、 e 是 不是就是角 b 啊？那好，那这个 b、 c、 e 还是九十度减二法？两个九十度减二法 给它加在一起是一百八十度减二法，等于败的，那还是一个。就是当点 d 在 点 c 的 右侧的时候，它还是一个二法加败的， 是一个一百八十度，跟你在 b、 c 线段上运动的时候，哎，这两个关系是一模一样的，都是互补的，对吧？那好，那如果点 d 跑在点 b 的 左侧去，他反正在 c、 b 的 延长线上，不在 b、 c 的 延长线上，那你看是不是这个图案，对吧？好，这个图的话，咱们看一下。 那你看这个 b、 a、 c 是 r 法，那你这个角 abc 角 abc， 角 abc 是 不就是他的哪个角补角吗？这一百八， 把这个九十度减二分之一二法，给它一减去，它就等于一个九十度加个二分之一二法。你说 a、 d、 b 是 一个九十度 加二分之一二法，那 a、 d、 b 又等于 a、 c、 e 啊，对吧？也就说角 a、 c、 e 是 一个九十度加二分之一二法。那好，我们要现在算 b、 c、 e 是 这个小角的话，是是直接把 a、 c、 b 减 a、 c、 b 是 多少？ a、 c、 b 就是 九十度减二分之二法。那好，那九十度加个二分之一二法， 减去一个括号，九十度减二分之一 r， 那 去掉括号，九十度加二分之 r， 再减去九十度再加二分之一 r， 那 就等于一个多少等于 r， 那 就是二分之一 r 加二分之一 r， 也就是 r 等于一个 r 等于一个 r， 因为九十度减掉没了，对吧？好，那这种情况下，哎，那 r 法就等于 r 法，等于 r 法和 r 法是相等的。然后呢？点 d 在 直线 bc 上移动的时候，就是你点 d， 在 点 d， 在 点 d 的 左侧的时候，那 r 法和 r 法是互补的， 然后继续点 b 跑这个点 d 跑到点 c 的 右侧的时候，又跑到 b、 c 延长线上的时候，那依然还是阿法下拜的是一个弧的一百八十度，对吧？这就是两种情况，对不对？就是，呃，阿法下拜的是一百八或者二法等于拜的。好吧，好，各位同学，那这道题咱们今天就到这，好吧，各位同学再见。

大家好，我是土豆老师，又到了我们分享八上期末专题的时间了啊，这条视频主要是跟大家分享我们八年级上学期当中的最值系列当中的所有题型，基本覆盖我们的考点啊，那么这条视频当中我们主要是讲到以下四类 啊，首先我们说整个八上的最经典的两类，也就是对称最值和这个瓜豆原理两种题型 啊。那么在对称最值系列当中，第一类最简单的也就是我们的将军一马问题，一次对称，两次对称，结合两点之间线段最短或者是垂线段最短处理的一种最基础的最值题型。 那么第二种呢，也就是利用我们的平移思维去解决将军一马的这个变形，也就是这个河边采沙和造桥选址的， 他就能构造题型好。第三种呢，也就是利用全等加上我们的将军印码结合。那么最后一种呢，也就是我们的随动位四，也叫刮豆原理的一个考察 啊，那么听完这条视频呢，希望对大家能有所帮助，大家可以在这种题当中学会这四种思维，并且加以利用，一定可以突破我们的期末考试这种题型啊，满分。 ok， 那 么我们接下来来讲到第一种题型，也就是对称对称 啊，那么对称最值的考察题型主要是针对啊我们连续线段的和啊，连续线段和 的最值，也就是一般情况下，它主要是考察两条及两条以上的线段的这个和的最值问题。好，那我们来分析第一道题， 他说如图，在 r t 三角形 a b c 当中，角 c 是 等于九十度，角 a 呢，它是等于三十度，也就是它是个三六九。 好，紧接着告诉我们，这个 b n 的 长度是等于六的，那么是不是可以理解为这个 n 点呢？我可以让它固定，也就是我们把当成是一个定点。好，接下来呢， m 和 p 分 别是 ab 和 ac 上的动点啊，那么关注一下， 他说当 pm 加上 p n 最小的时候，咱们的 b m 的 值是等于五的，因此我们一定要去解决这个问题，什么时候 pm 加 p n， 它是最小的，它是最小值啊。 那么在这个题当中哈， pm 和 p n 刚好就是两条连续的线段，但是大家注意啊，对称最值，最简单的呢，是两个定点加一个动点 啊，而这个题目当中呢，他是一个定点，两个动点，那这个时候呢，由于你这个 p 点在移动，这个 pm 也在运动啊， p n 也在这个变化，那么这两条线段的和当然不能目测得出来啊。 ok， 那 么这道题我们就采取最基础的思维，对称最直，我们一般是做对称嘛，通常而言，我们是做定点，关于动点所在直线的对称，所以这个题我们关于 n 点去做 a c 的 对称点， 我把它稍微延长一下啊，那假设这个点就是 n 撇点，因此呢，我们关注一下，连接 p n 撇，也就是构造了中位线啊，中垂线，对不对？所以说 p m 加上这个 p n 的 最值就会变成什么呢？ p m 不 动，是不加上一个这个 p n 撇呀？ ok， p n 撇，因为它俩相等嘛。而这个时候我们理解一下，由于 n 点是固定的，做完对称过来，那这个点应该也可以理解为是一个固定的点对不对？ 但是此时这两条线段就会变成什么呢？啊？叫头尾相连这样的一条线段对不对？而它是个定点呢？那此时你 p m 加上 p n 撇是不是应该大于等于两个点的连线呢？ 也就是我们连接 m n 撇，也就是两边之合大于第三边嘛。那么特殊的情况下，它当将会重合大于等于 m n 撇，对不对？ 而这个时候我要去找它的最小值哈，而 m n 撇呢，并不固定啊， n 撇是固定的对不对？但是 m 点还可以在这个线上移动呀，那你说什么时候最小？ 当然是垂线段最小了呀，所以我们最终只需要去过 n 撇点，往 ab 上做垂，找到这个 a m 撇点 啊，因此这条线段又会继续大于等于 n 撇 m 一 撇，所以它的最小长度其实就是这个 n 撇 m 一 撇嘛。啊，而此时它对应的 b m 的 长度是等于五，那我们来标注一下，这个就等于五不， 那这个是六十度哈，求的是此时所对应的 ab 的 长度。那这个时候我们来理解一下，由于现在这个长度是等于五的，而这个三角形是个三六九，对吧？那么你看 这个 b n 撇的长度，利用三十度数的直角边等于斜边的一半，它是不是应该等于十呀？那么这个线段是不是就应该等于四呀？ 而此时由于 n c 是 等于 n 撇 c 的 哈，所以这个是二，这个是二嘛？那我们是不是算出了这个 b c 的 长度是不是就应该等于八呀？ 所以我们再利用呃，三六九三十度所对直角边等于斜边的一半，我们可以计算出 ab 的 长度就应该等于一十六 啊，所以答案是选择 d 选项。好，这道题也就是利用了这个对称最值，加上我们的这个垂线段最短的这么一个思路去解决问题。好，接下来呢，我们继续来看到第二道题， 他说如图，在坐标系当中， a 点的坐标是零斗一，然后 b 点的坐标是四斗零， c 点的坐标和 d 点的坐标，他的横坐标都是用 m 表达的啊，那么这个是 m 加二 勾二，然后 d 点坐标是 m 勾二，因此我们能够发现，其实我如果把这个 c、 d 啊，我把它直线划出来，它应该是平行于 x 轴嘛， 对不对？那这个时候呢，它让我们计算的是当这个周长最小的时候， m 的 值。那首先这个四边形哈 a、 b， c， d 的 周长， 它是不是应该等于这个 a、 d 加上 c， d 加上 c， b， 再加上一个 ab 啊？ 对吧？我们这个时候要关注一下哈， c 和 d 是 运动的，但是呢， c、 d 之间的长度是不是永远会固定等于二呀？这个是等于二的，对不对？而你再观察 ab， ab， 啊啊，这个我 换一下啊， ab 的 长度其实也应该是固定的，虽然说我们没有学过勾股定律，但是我们知道这个三角形，对吧，肯定是一个固定的嘛，也就是说 ab 将是一个定值。所以也就是说，你既然要敲整个和的最小值，有两个是定值呀，那我是不是就只需要让 ab 加上 cb 最小就可以了呀？ ok， ab 加 cb。 好， 那么问题来了， 由于 a、 d 和 c、 d 并不连续，你要处理两条线段的和的最小，那一定要让它变成连续啊，对不对？所以我们要借助什么思维呢？平移 来看一看啊？ a、 d 加上 c、 d 没有连接起来，但是你看 c、 d 的 长度是固定的，那如果我将 a、 d 沿着 d、 c 的 方向向右平移两个单位的话，所以你看是不是相当于我们在这里去构造了一个 平行四边形啊？虽说平行四边形我没有在八下，哎，还没有学到，对不对？但是这个小学阶段我们就接触过，相当于我把这个 a、 d 向右平移，那你这个 a 撇呢？它这个点坐标是可以求的，是不是二逗一呀， 对吧？所以此时你看 a、 d 加上 c、 b 的 最小值，它是不是就变成了这个 a 撇 c 加上 c、 b 的 最小值呀？ 而你再关注你这个 a 撇 c 加上 c、 b 啊，你 a 撇是固定的， b 点是固定的，是不是只有 c 点在这个线上运动，那此时就是标准的将军一马了呀？所以我们可以过 a 点去做这个 这个外点二，这条直线的对称点啊， a 两撇，那这个 a 两撇我们是可以算的，它的横坐标依然是二，而它的纵坐标呢，就是三。 ok， 那 么接下来一样的道理，我们连接 a、 c， 那 你想此时 a 撇 c 加上这个 c、 b 是 不是就变成了 a 两撇 c 再加上 c、 b 啊？那这个时候这两条连续的线段当然是两点之间 线段最短吗？那他是不是应该大于等于 a 两撇 b 啊？对吧？那此时咱们的这个 c 点的具体位置是不是应该在这，对吧？应该在这。我把这个点还是写一下，他是 m 加二都二，好，接下来让我们算的是 m 的 值，对不对？那我们比较经典呢， 今年下学期我们学了，你看这两点坐标知道求的是它与已知直线的交点，那我们是不是用面积法就可以？哎，所以我们可以将这个延长下来啊， 我把这个延长下来，找成 h 点啊，然后将 h 和 c 连接起来，我们利用这个三角形的面积呢，等于这个三角形加上这个三角形就可以了啊，那我就把它写一下，也就是 三角形 a 两撇 h、 b 的 面积，它是等于三角形 a 两撇 c， h 的 面积加上三角形 h、 b、 c 的 面积 啊，那我们可以代入计算一下来，二分之一乘以一个 a 两撇啊， a 两撇 h， 那 就应该是三，乘以一个它的 h， b， 那 就应该是二，对不对 啊？再加上这个 a 两撇 c、 h， 那 就是二分之一，我们以三为底，高就应该是 c， 到这个的距离是不是 m， 再加上这个二分之一 h， b、 c， 那 就是以二为底，高就是二嘛？啊，这个时候我们把 m 计算出来就可以了，这个 m 呢，算出来是等于三分之二的啊。所以说这个第二题的答案是选择 b 选项， 那这种题型呢？我们在这个讲义当中讲过，他其实叫做这个，呃，河边采沙问题，对不对？还有一个题型叫这个，这个造桥选址问题也是差不多的，利用平移去解决，然后把它转成连续线段，结合对伸最值去处理 好，这是第二道题，大家要理解清楚啊。好，接下来继续来到第三种题型，叫全等加上对伸最值的结合 好。他说如图，在等腰直角三角形 a、 b、 c 当中， b， a、 c 是 等于九十度的，然后 d 和 e 分 别是动点啊，这个是动点， 那这个也是个动点。好，他说都在移动，但是我保证一个事情，就是咱们的这个 a 一 的长度呀，它始终是等于 c、 d 的 长度啊。 好，虽然都在动，但是保证呢，这两条线段是相等的，这两个动线段始终相等，那么我们把这种角方向不一致啊，但是它的线段始终保证相等，且都在变的，这样一对线就叫逆等线 啊。好，接下来他让我们去求什么呢？求 a、 d 加上 b 一 最小啊，一样的道理啊，你这个 a、 d 加 b 一， 一定要转成连续的，因为它目前是不连续的，对吧？ 我把转成连续的，那么也就是说我们至少要把 a、 d 给它转到 b、 e 旁边来，或者说把 b、 e 转到 a、 d 旁边来，对不对？那怎么转呢？ 上面这个第二题是利用平行平移去转嘛，对不对？那么这道题它不能平移，因为它没有已知固定线段，所以这道题只能用全等来进行构造。那么这个全等的核心条件是不就要利用 a、 e 等于 c、 d 来进行构造呀？ 好，那我们来看一下，包含 a 一 的三角形是不是就 ab 一？ 包含这个 c、 d 的 三角形是不是 a、 c、 d？ 显然它们两个不全等呀， 对不对？那我们就利用这一对线段来进行一个构造啊，比方说我就利用 a、 e 等于 c、 d， 我 构造一个三角形跟这个 b、 a、 d 全等，可不可以？当然是可以了呀，这个线段等于这个线段，对不对？好，那么你想，如果我过 c 点做垂线， 哎，这个能保证什么呢？能保证这个长度等于这个长度，这个边等于这个边，对不对？一边一角，那我是不是就勾到边角边就可以？也就是我们在这里直接使得 f 啊，做完垂之后啊，取这个 f、 c， 它刚好是等于 ab 不 就可以了吗？ 对不对？此时你们想，我们把这个连接起来， f、 d 连接起来，是不是始终构造了三角形 a、 b、 e， 它永远会全等于三角形， 这个 a、 b、 e 啊，对应其 c、 f、 d 吗？那此时你看我们全等之后， b、 e 是 不是就被我转到了 f、 d 这里来？所以我们讲，你最终 a、 d 加上 b 一 的最小值，是不就变成 a、 d 加上 d、 f 的 最小值，对吧？那不来了，由于你 f 点是取的垂直且，对吧？距离是等于 ab 的 吗？所以它相对是固定的， a 点也是固定的，那这个长度加这个长度最小值，是不是直接连接 a、 f 就 可以，对吧？我把这个连接起来撒，那连接起来之后，接下来我们要找清楚具体的 d 的 位置是不是就在这儿？这就是 d 的 位置，对吧？而我们此时算的是在最小的时候，我们角 a、 e、 b 的 大小，那注意啊，角 a、 e、 b 啊， 它是不是全等它这个角度永远会等于谁？那角 a、 e、 b 啊，你可以按对应这个对应性来写， a、 e、 b， 它是不是使用等于角 c、 d、 f 呀？对吧？也就是会等于这个角呀？ 那不就是等于这个角吗？而等于这个角，这个角我们要求出来，我们来看一看哈，由于 c、 f 是 等于 a、 b， 是 不是也等于 c、 e 啊？所以说这两个边相等，你看这个角是不是一百三十五度， 对吧？这个角是一百三十五度呀，所以他是个等幺三要行动，那底角是不等于四十五度，除以一个二，也就是二十二点五度，因此我们计算这个角是不等于六十七点五度啊，也就是你算的这个角 aeb， 他 就应该是这个六十七点五度。 那就结束第三题了，那这道题呢，思维大家也可以沿用到这个其他题型当中，那么关于逆等线这种题型，它相对是非常固定的啊，好，大家注重理解。好，那我们来到最后一道题，刮豆原理啊。 啊，那么刮豆原理一定是找轨迹了，找从动点的轨迹对不对？一般刮豆原理解决的是规范图形的这个 啊，第三个点的轨迹的问题，也就是定住从嘛好，没有学过这种思维的同学哈，可以在其他的地方找到对应的视频去理解什么叫刮豆原理。那这道题呢，我们来讲解它的核心思维， 他说如图，在 r、 t 三角形 abc 当中啊，这个角 a、 c、 b 是 九十度角， b 是 等于三十度，它是个三、六、九， 接下来 d 是 bc 边上的任意一点，它说明它是个动点嘛，而 f 呢，它是一个 ac 的 中点，那它应该是相对不动的，对不对？接下来它以 a、 d 为边去做等边三角形 a、 e、 d 啊，那么显然，这里 a、 e、 d 呢，就会因为 d 点的运动，且因为它是等边三角形这个形状，它一定会 整体进行运动，对不对？但是运动的过程当中，我们的 a 是 不是不动，叫定点对吧？而因为地点的运动哈，它会导致 e 点的运动， 那我们就将这个先动的这个地点啊，叫做主动点，将一叫成从动点，那我们瓜豆原理的核心原理就是，如果特殊图形在运动啊，那么从动点的轨迹类型，他会与主动点的轨迹类型是一致的。 也就是说你这个 d 既然是在直线上运动，他轨迹就是直线呢？那 e 也应该是一个直线，对不对？他他是直线的话，现在我们用到一个基础原理就可以了。是不是两点就可以确定一条直线？所以我们可以采取一个办法，也就是我们可以再找一种位置， 再找一种位置下对应的一点。我把两个一点一连，不就找到了一点的轨迹吗？是不是的？所以此时我们就可以找到一个特殊的位置呀？那在这个题目当中，我们怎么找特殊位置呢？哎，我们就将一点也放在 bc 这条线上啊，来，我们找这个位置，你看 我把一点放在上面的话，那这个就是一个一撇，然后 d 一 点是不是就相当于向右一点点，对吧？因为 d 一定要在这个线上啊，所以你看这就构造一个等边三角形吗？这是个等边三角形，这是垂直的，那左边和右边都是三六九吗？ 对不对？所以说我们最终可以确定一点的轨迹，是不就是这个连线？哎，这个蓝色就是一的轨迹啊。好， 那么确定轨迹我们不能定性哈，我们不能指定性，我们要定量的，我们要定清楚这条指直线的一个具体位置在哪里，才能方便我们去计算所谓的这个。呃，取最小值之后对应的这个角度嘛， 对不对？所以我们要把指直线的这个具体位置角度找出来。好，那么这一题里面哈，因为我们原始的 a、 d 是 一个等边，而我在这里又构造了一个等边哈，那么它一定会形成手拉手拳的， 那也就是可以找到一对全等三角形哈，三角形 a、 e、 e 撇，它会全等于三角形 a、 d、 d 撇， ok， 那 么因为全等哈，我们来找清楚那具体位置，这个角是不是就应该等于这个角，它是六十度，对吧？它是不是就是六十度呀？而这个角本来就是六十度呀，那这个角是不是也是六十度 而一点呢？我们关注一下，因为它相当于在这构造个三六九吗？它是不定点对不对？所以它是经过一撇点，且与这个水平线段夹角啊，为这个一百二十度的这条线上运动， 对吧？那此时我们就明白了啊，原来一点的轨迹是这个蓝线，那么他取 c 一 最小 c 点是固定不动的呀，对吧？ c 点固定不动，那么 c 最小之时不就是点到直线的距离啊，那我做垂这个一两撇啊，就是他最小时所对应的位置吗？ 对吧？而这个时候让我们求的是 f 一 c 这个角度，也就是这个角度哈，那你就要 关注了，那这个怎么去求解？这个题没有编对不对？他没有已知编，但是我编的关系是很多的，而且这个图形当中存在很多三六九啊，那我们在这里就进行一个合理的推导就可以了啊，怎么推呢？ 由于你这两个角是相等的，你这个 c 一 撇呀，它其实我如果过 c 点往这一边做垂的话啊，假设它是 h 点，那么是不是因为角平分线的性质，咱们的 c h 会等于 c 两撇一呀， 对不对？这两个是不是相等的？而因为你这个角度是三十度，哎，对吧？那么我们的 c h 是 不是始终会等于 a c 的 一半， 而 f 点刚好是中点，那么也就是说 c h 是 不是应该等于 ac 的 一半，也就等于 c f， 那 是不是可以侧向说明，哎，这个边就会等于这个边等于这个边，那你看三角形 f 一 撇一两撇 c 啊，它就是一个等腰三角形了，那此时你看它的这个顶角啊，是不是一百二十度， 对吧？九十加三十嘛，那么他两个底角是不是就直接出来了，对吧？两个底角应该是都等于三十度就可以了。 好，那这道题我们就讲完了，那么在这个视频当中哈，大家一定要充分理解关于最值的这个几种类型，到了九年级之后呢，我们最值会继续向上拓展，变成圆形轨迹， 所以这个专题的这个知识储备还是比较多的，希望大家认认真真理解。好的，那我们下期视频再见。

这道题是最近初二期末考试填空题当中的一道小压轴题，我们先来看看他的基本条件。三角形 abc 是 一个等腰 r 的 三角形满足 a、 c 等于 b， c 等于三， a、 e 等于 c， f 等于一，我们的问题是来求 b p 的 一个长度。 虽然这个题的结构看起来非常的常规，条件也比较简单，但是对于目前初二的学生来说还是具有一定的小难度的。 目前初二所学的知识几何体系当中只学了一个全等三角形和勾股定律，那这个地方你要通过全等来转化构造勾股来计算 b p 的 长度，还是具有一定的小难度的， 大家不妨先自己暂停来做一做，想一想，看看自己在短深之内能不能想到一些解决思路。当然这个题的做法肯定不止一种，我们今天主要是来探讨这个题的一个技技巧性的一个做法，也就是在短深内能够解决这道题的一个特殊做法。 起来看一看。由于这个题的位数据的位置以及三角形 a、 b、 c 又是一个等腰，而且三角形它具有一定的特殊性，所以这个地方我认为比较简单的一个做法就是去建立一个坐标系，通过建平面坐标系来算坐标，来找到 b p 的 一个长度， 那么这个地方建立坐标系为了后期坐标的方便表示以及计算。这个地方我们要把三角形 a、 b、 c 旋转一定的夹角，也是把它旋转成这样的一个位置，然后以 c 点为坐标，圆心 a、 c 为一个 x 轴啊，这里是一个 x 轴， 然后 bc 为一个 y 轴，这样来建立坐标系，来计算这些坐标就非常的容易，也非常的直观。这里是一个 y 轴，这里 c 的， 这里是一个圆点，所以这个地方根据我们这个条件的数据，我们就可以看得出来，这个 a 的 坐标就是一个三到零 一的坐标，点一的坐标这里是二到零点， f 的 坐标就是零到一点， b 的 坐标就是零到三。然后你要来计算点 p 的 坐标，我们就来把 b、 e 的 解析式给它算出来。这个地方你直接根据我们刚刚的这些坐标啊， 轻松的就可以算出 b 的 减一式，他算出来应该是 y 等于负二分之三， x 加三，然后同样的道理，把 a、 f 的 减一式也给他算出来，他算出来是 y 等于啊 负三分之一 x， 然后加一个一，然后 p 的 坐标就是这两条直线的一个焦点，所以你连立方程组直接就可以求得啊，这个 p 的 坐标，它应该是七分之十二 到七分之三，对不对？然后你再来求 b p 的 距离，就是直接求得 b p 的 距离，它就是一个 七分之六倍根二十三。所以通过建立坐标系的方式，你可以把复杂的几何问题转变成一个代数的问题来处理，就非常的直接， 也非常的简单，大家可以参考这种方法。在今后的一些几何填空压轴题或者解答题当中，你可以选择根据条件来选择，这样的间隙来做，可能有意想不到的效果。好的，这里方法就是这样。