常德一模数学三角函数题目

哈喽，大家好，我们今天来接着练习三角函数题型。今天的这个题是有一个同学问我的，哎，这是为什么他问我了呢？因为前几天咱们的视频里头有过，他自己又做到了这样的题型，他发现还不是太会，所以我们再练习一下。 我不知道屏幕前的你什么样，我们共同来学习。会的，我们当复习，不会的，我们共同学习。 已知阿尔法属于零到二分之派，口塞阿尔法加六分之派，得五分之四。求塞阿尔法。那这是个什么题啊？你现在可能是想把它打开，变成口塞阿尔法，口塞六分之派，减塞阿尔法，塞也六分之派， 然后再往里边带数，但这个方法太麻烦了，所以说我们不用这个。你看啊，塞阿尔法，阿尔法等于谁？ 阿尔法等于阿尔法加六分之派，减六分之派，所以塞阿尔法就等于塞 阿尔法加六分之派减六分之派。我们是用已给的角去求不知道的角。 这么处理，那要好做很多。把它打开。是塞眼阿尔法加六分之派，乘以口塞六分派，减去塞眼六分之派，乘以口塞阿尔法加六分派。哎，塞勾勾塞， 然后塞眼阿尔法交六分之派。现在咱不知道，但是我知道口塞阿尔法交六分之派，所以它能处理吧。怎么处理？已知阿尔法的范围是多大？阿尔法交六分之派的， 所以阿尔法加小于二分之派啊。所以阿尔法加六分之派就大于六分之派，小于六分之四，三分之二派。那这样的话，他的散移值就取正的了吧。 sin， 阿尔法方加上口在方得一，所以它取五分之三，把五分之三带过来，再乘个口在六分之派，口在三十度，二分之根号三减去塞三十度，二分之一口塞阿尔法加六分之派是 五分之四 t 给了，那所以它的结果就谁了？十分之三倍根号三减四搞定。 怎么样，大家听懂了吗？祝大家每天学习愉快！当然了，你有不懂的话也可以随时找我啊！

近十年的高考当中，每一年都会考到 a 倍的三欧米伽 x 加倍加 b 的 形式， 它占了三角函数整个的半壁江山，超高频考点，那么我们这节课把它的所有核心考点八大题型给大家讲透好不好？好好，咱们先来说你要掌握的第一个 题型一，跟他有关的画图问题。你别觉得画图简单啊，高考考了很多回，很多宝子们拿不下，必须得快速学会去高效率画图好不好？好好，这是第一个。那么题型二呢？ 考什么？考性质吗？他也是函数吗？函数共几个性质？常见六大性质吗？对不对？第二个考大家值域问题，值域一般怎么考你？我给你写 儿上的值域，给定区间上的值域以及二次型值域，全是考点，每一个都可以考。你好，还有呢？第三个 考什么？单调性，重中之重，大题小题各种考。你那么单调性考的呀，什么呢？一样的儿上单调性，区间上单调性，给你单调性，请你给我求参数的问题。 还有呢，第四个叫什么？叫奇偶性的题型，奇偶性的题型怎么考？你斐等于谁的时候为基，斐等于谁的时候为偶得清楚好。第五个， 还有什么周期性？有人说胡老师这个周期性没什么可考的啊，简单啊， t 等于二派除以欧米伽是吧？ 哎，那是拉不开差距的，要考你的。第一个叫做变态周期，第二个叫动态周期。什么叫动态？求 omega 范围的问题，难点压轴见过没？第六个，对称性的问题， 对称线这里分为什么你首先得知道轴啊，中心啊，我应该怎么去求的问题，然后反过来我告诉你，你得会去求一些参数的问题，全是考点，你脑海里面得有这个体系行不行？行。第七个叫什么很重要， 看图，我给你一个图，求什么？这不应该都见过吗？求解析式的问题对吧？第八个叫做它跟复合函数、零点各种综合在一块考，你考大家八大题型，脑海里面看着燃不燃？ 有没有体系？有了，哈哈哈。我们先来一个一个去讲好不好？接下来讲第一个题型一，我们先来讲题型一，就是我如何快速的通过不同的路子把它的图画出来 看黑板啊。首先我们先来说这个式子当中，你得知道 a， omega 负 b 代表什么？先说 a， 你 觉得 a 代表什么？我画图，你思考 a 代表啥呀？自己说老外的高低。比如说我画一个图啊，这个图我画到这儿来吧， 我画了一个图，这是 x 轴啊， a 代表的叫振幅。什么叫振幅？就是震动的幅度。 什么叫震动的幅度呢？看到没？最高点到起始位置，最高点是不是在这对，起始位置在这对，你俩之间这一块叫做 a， 明白没？所以说从最高点到最低点是什么？自己打这块是 a， 这块也是 a 吧？震动的幅度吗？他不是对称的吗？往上震了 a 不 就往下震了 a 吗？ 这两个就是关于这个点对称的啊，没问题吧？没有，所以整个最高到最低之间的距离是几个 a， 两个 a。 好， 这幅清楚了 b 代表什么？ 上下平移的那个数据吧。是不是？你看我原本这个图像，你看这不是在这呢，我是往上平移走了，对，是往上移了。对，所以 b 大 于零叫往上平移， b 小 于零叫做往下平移，没问题吧？对，好， 继续。欧米伽代表什么周期？欧米伽跟什么有关？跟周期有关。 t 等于二派除以欧米伽绝对值。欧米伽越大 t 越小，是不是 t 越小？对，欧米伽越小 t 越大。一个周期吗？我们经常说，哎，我研究一个周期啊，是不是要一个周期？从这我给你画一下， 从起始点开始到结束，下一个是不是下一个周期了？你俩之间的距离是不是就一个周期了？是，能，能跟上吧。可以，关键问题在于，在于这个 f， 这个 f 在 物理里面叫什么？出向位，这个 f 是 最难理解的， f 决定着什么？ f 决定着 图像，我写下来与 y 轴 从哪开始交起来。什么意思？来看一下这个 fly 的 理解，我通过不同的简单的题目带大家深深理解一下 fly， 这很重要的啊，不要去死记硬背好吗？好， 比如说，我们举个例子啊，第一个又回到之前的基本概念了，你看一下概念有多么重要， y 等于三 x。 我 们先来看这个函数图像怎么画，然后跟它有关的，搞个 omega， 加个斐，怎么快速去画你都会会学会本质好不好？好，那它的函数图像是怎么产生的？还记得不？ 哎，对，我们在定义里面是不是给大家讲了，他的本质就是单位员转出来的，我先给他画一个单位员啊，我们从这个单位员中去转一下他。对的歪， 这个圆画的有点扯。好，如果在单位员中，我把这个角度的起始边放在这，然后呢？我从这开始转，你看，比如说我有一天，哎呀，把这个角度转到这来了， 这个点叫做 p 点， p 与单位员交出来两个坐标， x 零， y 零是不？给一个角度对应一个 y 零，给一个角度对应一个 y 零啊， 是吧？那其实我们根据三角函数定义 y 零是谁？就是三 x， 就 这个角度的三 a 值就等于 y 零了吗？ 是不是？知道呀？嗯，所以我现在他的图像是啥意思？就是我想把这些不同角度对应的 y 全给他拎出来，我看一下，转一圈，哎，随着角度的不同，我的 y 是 怎么变化的？那个变化趋势吗？能理解不？理解？可以。 那我们把它的图画一下，我给你取几个特殊的角度，咱先研究一下趋势，好吧？好的，那这几个特殊的角度是谁呢？比如说这个是四分之派，好吧？好，那这个是二分之派，行不行？行，我们取以四分之派为一个间隔吧。那这个是多少？ 四分之三派，这个是派派。下一个呢？四分之五派，这个是四分之五派。这个是四分之六派吗？就是二分之三派吗？对吧？还有这边这个是四分之七派，四分之七派，这个是二派。 我们取这些角度看看他的 y 值是怎么变化的。来，一定要去理解这个函数图像啊，你不能只去死背这个函数图像，要知道他的本质是在干什么。开始当角度取零的时候，他的 y 值是不是应该是零？是不是？是。来，我下一个角度取谁？ 四分之派，我把角度选给你，选一秒，下一个呢？二分之派，下一个呢？ 四分之三派，再下一个呢派。还有呢？四分之五派，四分之五派。再下一个二分之三派，四分之六派吧，好不好？好，下一个四分之七派，四分之七派，下一个是二派，二派。 我们看趋势来看图啊，在单位圆中看这里，如果取四分之二的时候， y 值是不是就这么高？对，取四分之二，把它 y 值这么高，移过来就这么高的 y 值吗？我就瞄到这来，没问题吧？没有，来取二分之二，是不是就这么高啊？对，平移过来一。哦，这么高。 那这个呢？是不是两边是一样的高度啊？对，对称的呀？没问题啊，下一个呢？图画的不是很标准， 取派的时候他不是零吗？对，对不对？再取下一个的时候是不是你两个应该是什么？大小相等？大小相等， y 值是负的。嘣嘣嘣，移过来是不是应该在这来？对，来四分之六派的时候呢？负一。 哦，跟这个是不是？你看把刚才走过的路其实就是相反方向，是不再走了一遍，对，来，这边的白纸呢，是不？哎呀，跟上面是不是大小向的方向相反的吗？在这，然后这个是零，这就是随着角度的变化歪的趋势。 那我们研究究的是特殊点啊，人家研究的肯定不是特殊点啊，我们研究所有的点啊，是吧？然后你可以把所有的点你发现全给他搞出来。最后那个函数图像啊，就长这样子，这些就在函数图像上， 你现在知道 y 等于三 x 描述的是什么了吧？就这些长度的那些变化全搞过来了，明白了，不？明白了，明白了，好，当你会了这个之后，然后我给他一，这二，我给你稍微变一点点啊， 大家别觉得前面听起来麻烦，都是跟你后面的地基问题好不好？来，你看，开始看啊， y 等于三欧米伽 x 这个图你会画吗？ 他是我从两个点跟你去讲啊，他也是由单位员转出来的吗？对不对？你看，这是单位员，一样的，当胡老师把起点选在这里的时候，这 x 此时此刻角度是几？角度是零吗？对不对？我们都默认欧米伽是大于零的。好吧，那他对应的函数图像应该怎么去画呢？来看这里， 嗯，一样的吗？ x 取零的时候就是角度起始边就在 x 轴上吗？他的 y 值是不是就是零了？那随着 x 的 增大， 那是不是角度再成个欧米伽一转，那个角度就出来了？有一个角度那是不就对应了一个 y 值了，是吧？那个 y 值的变化跟这边变化是一样的，一模一样的，还是这么变的。 转一圈，只不过你不知道这里是谁，反正就这样转一圈吗？你，你转的过程中，你来你来，转一下，来，角度一点一点越来越大，越 来越大，越来越大，我这变成一了，然后我这越过一，是不？从这边我这开始越来越小，越来越小，越来越小，我这不就变小了吗？是吧？反正你描述这个角度 x， 你 一点一点给他取他他他 y 值的变化跟这边的 y 值变化是一样的吗？是吧？反正你描出这个角度 x， 你 一点一点给他变化是一样的吗？是吧？反正你描述这个角度 x， 你 一点给他变化是一样的吗？是吧？反正你描述这个角度 x 变化是一样的吗？ 是不是？只是不一定说是这里是二分之派的时候到达一，有可能你 x 取个别人跟欧米伽一成啪， y 就 到达一了， 是这意思吧？是的，嗯，反正你起始在这，你在转的过程中，你的 y 值一定会经历这个过程。这，这能理解吧？可以可以，来开始这第二个啊，我们再来说第三个。 那第三个 y 等于三 omega x， 我 给他加个三分之派，我们默认 omega 大 于零。好吧好，哎，那他的图像咋画呢？ 你得会画图啊，平移了。哦，你还知道平移了是吧？我们也是从单位员的定义本质出发。哎呀，这个单位员画的， 你告诉我，如果 x 等于零，他的 y 值是多少？从哪开始的？ x 一 旦取零的话， x 取零啊， x 取零。注意啊，我要取 x 等于零的时候是，是不是找他那个 y 值的变化去设来，对吧？其实变成什么了？ 其实变成三分之派了，从这开始转的那三分之派定的 y 值是不是这么高？移过来我是要瞄他的 y 值吗？这不就在这吗？ 能理解不？然后开始转那 y 值，你跟我说咋转来？从从这开始，随着 x 的 增大，什么 omega 加乘以 x 加三分之派是越来越大了。 对，那你整个角度越大的时候来，整个角度越大看成整体了，是不是给个 x 乘个 omega 加个三分之派？一旦 x 等于零，好， y 值其实在这可是一旦 x 变大的过程中来， y 值怎么走？你告诉我？还是你 角度越来越大，是不是 y 值怎么变化？ y 值是一样的吗？ y 值先到谁？先到一，然后从一开始往下降是吧？对，降降，降到 y 值为零，然后是不是走的姿势跟他一模一样的，把刚才变化那个趋势再走一遍？对，所以他的 y 值这样变化的 能理解？不？能，所以我要为什么要给你讲这个事？你看啊，一旦加了 omega x 进来，一旦加了三分之派进来，其实你的起始位置就变了。 x 等于零的时候， y 值起始从这开始的，从三三分之派开始的，然后从三三分之派开始之后的整个图像的变化趋势和原始里面三分之派之后的变化趋势是一模一样的。再走了一波， 就我看的成 y 值的变化吗？你知道从三分之二之后 y 值是怎么变的？那这里三分之二之后 y 值就先怎么变的吗？一模一样的先到一吗？再到零吗？是这意思吧。所以你绘出来的图像是一样的， 能理解这意思吧？我再考察一下，看你们到底学会了没有。来再给你举个例子啊。第四个，你看好了， y 等于三 欧米伽， x 减去四分之三排，嗯，然后我们默认欧米伽是大于零的，没问题吧？对，来，开始你看他咋画， 这就是你把定义理解的不一样，你跟别人做题那个感觉就不一样，你不要去给我瞄点啊，瞄点也行，但是我希望你能够理解到这个层面上。 开始画吧，随着 x 的 变化，我的 y 值是如何变化的？把图像趋势给我画出来就可以了。 x 等于零的时候，起始位置在哪里？注意起始位置，四分之三派，负四分之三派。哎呀，往过倒吧，是不是在这这样子吧，负四分之三派，对，是不是从这开始起始的？对，负 x 等于零的时候， 对的 y 值是不是你对的 y 值的高度？是的，我这里本来图像表现的就是这个角度对的 y 值吗？是的，是不是它对的 y 值是不是就这么长吗？对，移过来就在这。好嘞，来吧，那随着这一块的增加，这个角度是不是越来越大？就这样转吗？ 看嘛， omega 是 正值， x 越来越大，是不是乘起来它是一个正值吗？随着 x 的 变大， 看这里，欧米伽越来越大， x 越来越大，减个四分之三派是不是就越来越大了？角度是随着角度变大的过程中角度就这么转，变大的过程中你跟我说 y 值怎么变化？ y 值看转这条线吗？往过转吗？角度大呀，大大， y 值咋变化了？看 y， y 值到哪了？ 对啊，你这是不是还没到负一嘞？哎呀，角度先到负一，然后呢？从负一是不是又回回去？他还是负的吗？回到谁？回到零，然后呢？再继续转是吧？从零再到一，再下来，图像的姿势就长这样子， 会了，不会了。对啊，明白了没有？明白了，这就是我是怎么快速大概把这个图像姿势定出来的，就在这的本质上反复去看， ok 吗？然后我们来给大家去讲 二零二四年高考真题，当时考过你的这个本质是怎么考的？来，继续看二四年新高考一卷考过的这道题目。然后呢？他说零到二派之间，然后有两个函数，一个是三 x， 这个我们会画，是吧？然后与另外一个函数，图像焦点的个数问题。 嗯，画呗，画出来几个焦点就是几个焦点呗，行不？我先画三 x 行不行？可以，三 x 图像 大概长这样，这里是派，这里是二派，对称的啊，最高点一，最低点负一，没问题吧？没有，再画他的图，我想把他的图画到旁边，然后最后给他二合一，行不行？可以。好，你看他的图咋画？ 首先，哎，你走一圈用的二派，他他走一圈用了多少？ t 等于二派除以三三三分之二派，是吧？是的。哎呀，那这个图像字是怎么画呢？起始位置，注意，刚想刚才我跟你讲过的，起始位置 x 等于零的时候，它的白值是多少？ 负一，在你心里有一个单位元行不行？行， x 等于零，它的起始位置在哪里？负一嘛？先看这块，我们待会最后再说这个二的问题。 起始位置在单位员的起始位置在哪里？负的六分之派，取零的时候研究的是这个角度，对，那 y 值，所以 y 值就在这对到这负二分之一，是吧？是吧？叫负二分之一嘛。我们先把它画完， 可以不可以？那他的图像姿势怎么画呢？这位置负二分之一，随着这个角度的变大来，角度的变大往正的越来越大来，让角度越来越大，是不是这么转 对不对？ x 越来越大，乘个三减个六分之派，是不是角度越来越大呀？随着这个角度一直在变大的过程中，起始位置在这，它的 y 值怎么变化？ y 值从负二分之一先一直回到零了吧？ 是还是不是？是从二分之一回到零，然后呢？从零到多少？从零上去到一再下来是不是？对，然后从下来再到负二分之一，再往下再走，到负一到哪才转一圈，回回来才到，转了一圈了， 对，是不是？你看嘛，你这到是在这个位置，这个位置是这边对应的图像吗？是不是然后回过来，是不是这是一个周期了，然后再往上走下一圈， 能明白不？可以，所以他此时此刻最高点是一，他的最最低点是负一，没问题吧？没有。然后我们把这两个图二合一嘛，二合一的过程中，只不过给这个图要成个谁二倍，成个二就行了。特殊点成个二。你比如说这个点变成什么了？ 变成负一，变成负一，对负一，然后我这个图像的最高点变成谁了？二变成二，那这个图咋画呢？ 二合一。而且你发现啊，这两字二合一的过程中，你的周期 t 是 不等于三分之二派，他的周期等于二派是不等于他的三倍， 说明我得把你这二派分成三份，三份，我其中一份就走完了一个周期了，你能理解我意思吧？能理解，分成三份，这是一份，这是一份，我在这一份里面是不是要走完这个周期呢？ 把，我这个这个姿势是不是要走一遍呢？对，能理解吗？哎，你的周期是我的三倍吗？人家是我的三倍，就是我走三次，人家走一次，就这意思啊，转一转一次。来，开始这个过程。怎么画？ 难度极大。我开始往上走了啊，照这个位置往上画啊，先嘣嘣嘣，嘣到多少到二到二来上去，然后继续呢？在下降，下降，下降。然后呢？下降到多少？ 下降到负二，然后呢？再上来，是不是一个周期了？到这是这个过程吗？是的哦，我这个图像画的不标准啊，这不是负二，这不正二吗？对不对？对，你知道就可以了啊。来，继续再往上走，是不是把这个过程再重复一遍啊？ 噔噔噔噔噔噔，上去了，是不是？对，噔噔噔噔，经过最低点拐上来，是不是到这个点？对，第二个周期了，没问题吧？没有，来开始，你看再往上走，走走走，走到这到经过负一拐上来，是不是到这了？对，我走了三次，完了， 这个图就画完了。会了，不会了，这个图像其实是以及这个题是咱教材里面的题目哦，教材里面用的是五点画图法，你可以五点画图吗？用五点把两个图一画，你找焦点，你如果你说我就想快，你看，按照图像姿势，这就是能力问题了，就是高手就这么做题的， 明白不明白？来找一下焦点吧。这几个一个，两个，三个，还有呢？四个，四个，五个，五个，六个，所以焦点的个数是六个， 会了没？会了，这就是我为什么煞费苦心前面给你讲了那么多图像的本质。 第一个画图，新高考考了好几次了，我们未来新高考中一定还会再次考到大家对于图像本质的理解的明白没有？你包括画图里面我们现在给大家讲的是什么？讲的是直接画，你后面还会遇到就是跟平移伸缩有关的一些问题，画图的技巧我们这节课讲不完了， 但是呢，这八大题型是大家拿下三角函数你必须要攻克的，而且每一个题型你必须要把它练扎实，练透，从一级别练到九级别。如果你不知道怎么去练，胡老师全给大家准备了八大题型整个的通关秘籍， 你跟着胡老师把这块全部抓紧时间打印下来练好，那么你三角函数妥妥里面拿高分。行，好，我们这节课就下课了，拜拜。嗯。

正在学三角函数的同学们，你们是否为感到学三角函数里面有一些很多的角度而感到困惑呢？ 三角函数，直角三角形，三角函数作为我们中考的一个必考题，这期视频我们就来看一下如何来求解一些关于直角三角形中三角函数的一些问题。好，我们拿到一个题， 综合与实践活动中要利用侧角仪测量塔的一个高度。如图，某中学九年级数学活动小组测量学校面前这一棵大树 bc 的 一个高度，已知我们 a、 d 的 长是六，并且呢 角 d， a、 e 是 三十度。好，我们拿看，先看一下这个三角形 d a， d a 是 六，并且 d、 a、 e 是 一个三十度，并且呢 d、 a 是 不是垂直于我 e、 c 的， 所以说它是不是一个特殊三角形？是我们一个三十度、六十度、 九十度的一个特殊三角形。我们是不是可以利用这些特殊角来得出一个关系啊？是不是一比根号三比二啊？好，我们接下来再看一下，他们在斜坡上地处测得大树顶端 b 的 阳角是三十度，哪个角是三十度？是不是在图 中给我们标示出来了？是不是这个角为三十度？好，并且呢，在 a 处测得大数顶端 b 的 阳角是四十八度，好，哪个角是四十八度？是不是角 b， a、 c 在 图中表示出来了，它是四十八度？好，我们接下来看一下。第一问， 求 d 到地面距离 d、 n 的 一个长，是不是就求 d、 n 的 长？好，你看 d、 n 是 不是放在我们三直角三角形这个 d、 a、 n 中啊？所以说我是不是用他们的一个比例关系，我就能求出 d n 的 一个长啊？好，我们来看一下它的具体过程。我是不是可以由题 e 可以 知道我的 d n 是 不是垂直于 a c 的 呀？并且我是不是在直角三角形 a d n 中， 我的 a d 是 等于六米的，并且呢，角 d a e 是 不是等于三十度啊？所以说我的 d n 是 不是等于二分之一 a d 等于三米啊？好，所以说我 d n 的 长 是不是就是三米啊？好，这个第一问， d n 的 长我们是不是就求解出来了？以上就是第一问的一个思路以及它的一个过程。好，我们接下来看一下第二问， 第二问，让我们求什么呀？是不是求一下大数 bc 的 高度？好，要想求大数 bc 的 高度，同学们想一下，我们刚刚第一问，是不是求出了 d n 的 一个长， d n 的 一个长？好，现在我们有一个三十度的一个 阳角？好，我们要利用这个三十度，我们如何利用呢？我是不是可以过 d 点向 bc 引一条垂线啊？因为刚刚我们求出来 d n 的 长，是不是只需要求上面一段的长就好？恰好上面一段长是不是又构造我们刚刚做垂直的一个三角形里面？好，我们来看一下我是不是可以过点 d 作 d m 垂直于 b c 于点 m？ 好， 我是不是可以由提一支由提可知。 呃，由提之所以说，是不是我的一个 d n 好， 是不是等于 m c 等于三米啊？好，并且呢 d m 等于 n c 对 吧？ d m 等于 n c 好， 是不是我刚刚过的这个垂直好，做一个 m， 这里是垂直的啊。 dm 是 不是等于 m c， 因为它是一个矩形，所以说呢，是不是我可以在直角三角形 a d n 中 好， a d 是 不是等于六的呀？ a d 等于六角 d， a e 呢？是不是等于三十度？我们已知了一个边，一个角，是不是刚刚我们那个直角三角形，我是不是可以求另外一个边？所以我的 a n 是 不是等于 a d 乘以 cosine 三十度， cosine 三十度等于多少？是不是二分之根号三？同学们，这个三十度，四十五度，六十度，我们这个特殊的一个三角函数，我们一定要记住。好， 所以说是六乘二分之根号三，它是不是等于三倍根号三？好，我们求出 a n 的 长有什么用吗？求出 a n 的 长是不是？上面这一段我就知道，只要把 a c 的 长我们来表示一下，是不是就可以求 dm 的 一个长了？好，我们再去 b m 建立联系。好，接下来我们接着看。 我们是不是可以设大数的高度，大数的一个高度为 x 米，好吧， x 米。所以说，我的 bm 是 不是等于 bc 减去 mc 啊？是不是等于 x 减三米啊？好， bm 是 不是等于 bc 减去 mc？ 好， 接下来我们继续看。所以在直角三角形 abc 中， 我是不是可以得到角 bac 是 不是等于四十八度啊？好，所以说呢， 我接下来 a c 的 长是不是可以用 bc 比上 k 值的四十八度啊？是不是我的正切，它是等于对边比邻边的好，所以说，我是不是可以约等于 x 比上一点一啊？ 好，我们 a c 的 长求出来了。所以说，我 dm 的 长是不是等于 c n 等于 a n 加 a c 啊？它是等于多少呢？它是不是等于三倍根号三加上 x 比上一点一啊？好， b m 长，我们是不是表示出来了？接下来呢，我是不是就可以利用三角形 d b dm 了？好，我们接下来再看。所以在三角形 b dm 中， b d m 中角 b d m 是 不是题目中已知它是三十度？所以说我 dm 的 长是不是就可以写成 b m 比上 tan 的 三十度啊？所以说，是不是等于根号三倍的一个 b m 等于根号三倍的 x 减三倍的 m？ 好， 接下来呢，我现在是不是用两种方式将 dm 的 长度给表示出来了？是不是只含有一个未知数 x， 我 是不是令他们两个相等，我去求解 x 是 不是我这个大数的高度就能求出来了？好，接下来我们来看。所以说根号三倍的 x 减三是不是等于三倍？根号三加上 x 比上一点一，这样我是不是就能求解出 x 的 一个值啊？我们可以解得 x 是 约等于十二点五的十二点五，所以说我 bc 是 不是就等于十二点五米啊？所以说我数 bc 的 高度是不是就大约为十二点五米了？好， 同学们观察一下这个题，我们如何来求 bc 的 高度？我们是不是通过一些角度关系，我们去得到一些边的一些关系，我们通过一条边的两种方式来表示， 我是不是就可以求解最后的我的一个 bc 的 一个高度？好，以上就是一个第二题的一个完整思路，以及它的详细过程。

let's jump 今天我来给大家讲解高考类型中的任意三角的三角函数，还有啊同角三角的三角函数关系类型的题目。 第一题啊，出自二零二零年的山东高考真题，已知直线 y 等于 x， 三 x 加上 cos 的 图像如图所示，则角 c 塔式。首先我们来关注一下题目，则角 c 塔式。我们看一下选项， a、 第一象限角 b 第二象限角 c 第三象限角四 d 第四象限角那么我们就要先想 这四种象限分别对应着不同的三 x、 三 x 和 cosine theta。 就 拿第一象限举例，第一象限中三 x theta 大 于零， cosine theta 也是大于零。那么对于第二象限角，三 x theta 是 大于零，但是 cosine theta 却是小于零。那么这道题目很明确了，就是让我们找出三 x theta 和 cosine theta 在 不同的具体不同的符号，比如说大 x theta 大 于零， cosine theta 小 于零之类的。让我们去找到这道题的 具体的 cosine theta 和 cosine theta 的 符号，然后来判断这道题的选项。我们来看这个图，我们根据这个图，我们知道与 y 轴相交， x 等于零。 如果 x 等于零，我们来观察这个函数，如果 y 等于 x 等于零，我们知道 y 应该等于 cosine theta。 我 们观察到这个图里面与 y 轴交点时， y 是 大于零的，也就是说 cosine theta 应该是大于零的。好，第一个我们得出一个结论，就是 cosine theta 大 于零。第二个，当与 s 轴相交时，我们发现 y 等于零。好，既然 y 等于零，我们知道应该是 x b 的 三 sine theta 应该是等于负 cosine theta 前面我们了解到 cosine theta 是 大于零的，那么负 cosine theta 应该是小于零，也就是说 x 被的 cosine theta 是 小于零的。那我们继续观察，我们观察到当与 s 相交时，这个 s 值是大于零的，也就是说 x 大 于零，乘以 cosine theta， 结果是小于零。显而易见， cosine theta 应该是小于零。那么既然 cosine theta 小 于零， cosine theta 大 于零。小于零，我们能知道这个图像应该是在第几项线， cosine theta 大 于零， cosine theta 小 于零， cosine theta 大 于零，所以只能在这两个里面，然后再取 cosine theta 小 于零。所以说这道题答案就是第四项线，答案选四 d。 我们来观察这个第二题出自二零二零年全国高考真题。若 r 法为第四象限角则好。这道题很明确，第一个 r 法为第四象限角。让我们判断 q 三幺二法和三幺二法的值。 首先我们来知道， q 三幺二法和三幺二法分别对应的是三角函数中的二倍角公式，三幺二法等于三幺二法乘以 q 三幺二法，而 q 三幺二法等于 q 三幺二法的平方减去三幺二法的平方 或者一，减去两倍扣一，减去两倍的三，有二法的平方或者两倍的扣三，有二法的平方减去一。这道题很明确，它是第四象限角，我们知道第四象限角三也 阿尔法应该是小于零，而 cosine 阿尔法应该是大于零。也就是说， cosine 阿尔法和 cosine 阿尔法的值符号我们确定了。接下来利用二角公式，我们将要求出 cosine 阿尔法和 cosine 阿尔法的值。我们能观察到 cosine 阿尔法应该是 cosine 阿尔法的平方，减去 cosine 阿尔法的平方，因为对于这两个 不同符号都进行了平方处理，我们无法观察到 cosine 阿尔法具体是大于零还是小于零。那我们来观察一下 cosine 阿尔法。我们知道 cosine 阿尔法应该是等于 cosine 阿尔法，应该是等于两倍的 cosine 阿尔法乘以 cosine 阿尔法。好，我们知道 cosine 阿尔法和 cosine 阿尔法是不同符号，也就是说小于零， 那么 cosine 阿尔法就是小于零。答案是就是选四 d。 这道题答案很明确， 接下来我们再看一下第三题。第三题出自二零一八年北京高考命题。 在平面直角坐标系中，弧 a、 b， 弧 c d， 弧 e、 f， 弧 g、 h 是 圆 x 平方加 y 平方的上的一段四段弧点 p 在 其中一段角， alpha 为 x 为矢边， o p 为中边。若 tan 的 alpha 小 于 cosine alpha， 小 于 cosine alpha， 则 p 所在的圆弧是。 这道题题目很明确，首先第一个我们要判断 sin alpha、 cosine alpha 各自的值大小。也就是说在不同的弧 a、 b， 弧 c、 d， 还有弧 e、 f， 还有弧 g、 h 这四段弧里，我们要分别判断 sin alpha、 cosine alpha、 cosine alpha 的 具体值， 就是根据这个已知条件来判断他们是否符合这个已知条件，如果符合我，则这个圆弧是 p 所在的点。来，我们来首先分析一下弧 a、 b。 在 弧 a、 b 来，对于弧 a、 b 来说，首先 sin alpha 是 大于零的， cos alpha 也是大于零。 我们知道在弧 a、 b 这一段， pi 的 二法应该是等于三减二法，除以 q 三减二法，而我们又知道 q 三减二法最大值是不超，不会超过一的，也就是说三减二法会除以一个零点几的数字，我们假设是零点九最大， 那么三减二法除以零点九是大于三减二法的，因为三减二法除以一个九，除以十，也就相当于乘以一个十 九分之十是大于三幺二法的。也就是说 tangent 的 阿尔法应该是比三幺二法要大的。我们来看一下已知条件，在已知条件里，我们可以观察到 tangent 的 阿尔法应该是要比三幺二法小的，所以说 ab 这一段我们排除掉。 接下来我们再看一下 cd 这一段 cd， 同样的道理， q 三幺二法和三幺二法都大于零，但是 q， 三幺二法的取值最大最大取一，也就是说三幺二法最最分母最大取一，也就说贪 g 的 二法最小也是比三幺二法要大。 贪 g 的 二法最小值是比三幺二法大于等于，也就是说贪 g 的 二法在 cd 这一段应该是大于等于这个 三幺二法。但又因为 cosine 法，我们在这一段 cosine 法是取取不到这个九十度，因为我们知道 tan 的 二法等于 cosine 法除以 cosine 法，如果令 cosine 法取到零，也就是说 cosine 法如果取到零，我们知道 这个分母是不能等于零，所以说这一段是不存在的。 q， 三幺二法最大也只能取一，所以说贪吃的二法也是要比三幺二法要大于等于。所以这道题弧 c d 段也是错误的。 我们再来分析一下弧 e f 段。弧 e f 段我们能观察到，首先三幺二法肯定是大于零的，然后 q 三幺二法是小于零的。我们知道三幺二法除以 q 三 f， 那 肯定也是小于零的 好，首先姑且贪婪的二法 e f 段，姑且现在暂时确认为呃正确。然后我们先再来分析一下 g h g h。 我 们来分析一下 g h 是 在第三象限，我们知道第三象限的角 三二法应该是小于零， q 三二法也是小于零，但是三二法除以 q 三二法的贪婪的二法应该是大于零，也就是说贪婪的二法应该是比三二法和 q 三二法都要大的。 那我们观察题目已知条件，发现贪吃的答案应该是最小的才对。所以说我们这道题答案应该是 e f 段，所以答案选 c。 我 们来看一下接下来的考点。同角三角函数的基本关系，也是高考中常见的题型。第一题出自二零二四年全国甲减的高考真题， 已知 cosine alpha 除以 cosine alpha 减去 cosine alpha 等于根号三，让我们求 tan 的 alpha 加四分之 pi 的 值。首先我们对问题进行一下分析， tan 的 alpha 加四分之 pi 的 值，我们根据 tan 的 alpha 的 呃合公式，上面是 tan 的 alpha 加上 tan 的 四分之 pi， 也就是一。下面是一减去 tan 的 alpha 乘以 tan 四分之 pi， 也就是 tan 的 alpha。 明显我们明显能观察到，这道题其实关键是要求出 tangent 二法的具体值。好，那我们就要从已知条件里去寻找 tangent 二法具体值。我们来观察一下这个题目已知条件 q 三二法除以 q 三二法减去三二法，我们能明显的观察到，如令 这三项都除以一个 q 三二法，分子会变成一，分，母会变成一减去 tangent， 二法等于根号三。 我们现在能观察到具体的形式了，也就是说，一除以一减去贪婪的算法等于根号三，那么一减去贪婪的算法应该是不是等于一除以根号三，也就是三分之根号三？ 那么贪极的阿尔法应该是等于什么？一减去三分之根号三，也就是等于三分之三减去根号三，这是贪极的阿尔法的值。我们再带回已知条件中，我们刚才拆解开的形式，也就是贪极的阿尔法加上一除以一减去 答案解的 alpha， 我 们不将这个值带入到已知条件里面，我们就能求出具体的答案。答案选二， b。 经过计算， 接下来我们再来观察一下第二题。第二题出自二零二三年全国乙卷的高考命题， 这种类型题目也常见，也考点也非常多。来，我们首先观察第一题，若 theta 属于零到二分之派， theta 的 theta 等于二分之一，则 cos theta 减去 cos theta 的 值。 好，这道题很明显，我们要求出具体的 cos theta 和 cos theta 值。为什么这么说？首先他给出你 theta theta 实际上是告诉你 cos theta 和 cos theta 的 倍数关系。 第一个，第二个给出你 theta 的 范围是让你去去判断 theta 和 cos theta 的 正负情况。所以这道题思路很明确。首先第一题我们应该是利用 cos theta 除以 cos theta 等于二分之一，也就是说 cos theta 应该是等于两倍的 cos theta。 在 这基础上，我们知道 cos theta 的 平方加上 cos theta 的 平方应该是等于一，也就是说 cos theta 的 平方加上一个 cosine theta 的 平方等于一，我们又知道 cosine theta 现在是等于两倍的 cosine theta， 那 我们把 cosine theta 转化为两倍 cosine theta 的 平方，应该这边就会变成加上四倍 cosine theta 的 平方等于一，也就是说五倍的 cosine theta 的 平方等于一，那么 cosine theta 的 平方应该是等于五分之一 三以 c 大 应该是等于正负五分之根号五。好，接下来我们就是应通过这个角度范围来判断三以 c 大 究竟究竟取正还是负。我们知道在零到二分之派的时候，三以 c 大 应该是取正，所以说三以 c 大 是正五分之根号五， 取正五分之根号五好，三 e、 c、 d 的 值确定了，我们知道 q 三 e、 c、 d 等于两倍的三 e、 c、 d， 也就是说 q 三 e、 c、 d 应该是等于五分之二倍根号五，根据角度判断它在零到二分之二，所以取正也是正五分之二倍根号五。那么当然接下来我们再考察一下这个题目， 他说令三 e、 c、 d 减去 cos 三 e、 c、 d 的 值，那么我们知道 cos 减 cos 三 e、 c、 d 的 值应该就是五分之根号五，减去五分之二倍根号五。答案是不是五分之负五根号五，五分之负根号五。 好，接下来再接着让我们看第三题，出自二零二一年的全国甲卷高考专题。 若阿尔法属于零到二分之派，贪心的阿尔法等于扣三耳耳法除以两二减去三耳法，则贪心的阿尔法的值。好，首先我们观察一下这个题目，我们是需要去求贪心的阿尔法的值，我们已知条件是贪心的阿尔法等于扣三耳法除以二减去三耳法。 一般来说，遇见这种题型，我们首先要把贪心的阿尔法拆开。我们知道贪心的阿尔法应该是等于三耳法除以扣三耳法， 这个没有疑问。接下来我们应该进行散野阿尔法又可以继续拆，可以拆成两倍的散野阿尔法，扣散野阿尔法。而下方的扣散阿尔法，我们可以转化成一减去两倍的散野阿尔法的平方。 好，接下来这个题就很明确了，它应该利用十字相乘原理。我们在这边部分继续写上这个题目。 上方是两倍的散引 alpha， 扣散引 alpha 除以下方是一减去两倍的散引 alpha 的 平方，等于扣散引 alpha 除以二减去散引 alpha。 好， 十字相乘。 我们得出这个题应该是两倍的 sine alpha， 也就是四倍二和二相乘是四倍的 sine alpha， cosine alpha 减去再乘一次是两倍的 sine alpha 的 平方。 cosine alpha， 它应该是等于 等于上面下方这两个方程，也就是 cosine alpha 减去两倍的 cosine alpha 的 平方 cosine alpha。 我 们对这两个进行一次化简，我们观察到它们两个同时具有两倍的 cosine alpha 的 平方， cosine alpha 可以 约掉，也就是说， 这道题目就变成了四倍的三 y r 法。扣三 y r 等于扣三 y r 法。我们知道扣三 y r 法，扣三 y r 法是可以约掉，因为扣三 y r 法在这道题目里面，它是属于零到派，但 哦，在这道题的范围里面，它是属于零到二分之派。零到二分之派的时候，扣三 y r 法是取不到这个零的 零到二分之派，但并没有，并没有取二分之派，对吧？所以是取不到这个零的，那么也就是说 cosine alpha 是 可以消掉的，也就是说四倍的 cosine alpha 等于一，那么 cosine alpha 应该是等于四分之一。 好，现在知道了三幺二法的值，我们要就要继续去知道 q 三幺二法的值。三幺二法是四分之一，那我们根据三幺二法的平方加上 q 三二法的平方等于一，这个来判断 q 三幺二法的符号一减去四分之一的平方等于多少，我们来进行计算， 一减去 三幺二法的平方等于 q 三幺二法的平方， 一减去四分之一的平方，也就是四分之四减去一个十六分之一，对吧，也就是十六分之十五等于 cosine alpha 的 平方， 那么 cosine alpha 应该是等于四分之根号十五，对吧？取正负，但是因为这个角度范围是在零到二分之派，所以直接取正。那么我们知道 tan 的 alpha 等于什么？ 是不是等于扣三牙法除以扣三牙法，也就是四分之一除以四分之根号十五，也就是乘以一个根号十五分之四，对吧？四分之四约角，对吧？所以答案是十五分之根号十五选选 a， 对 吧？这道题也很明确， 接下来再让我们继续做第四题。第四题出自二零二一年的全国新一卷高考专题 time 的 set 等于负二，让我们求三 e set 乘以一加三 e 二 set， 还有三 e set 加 cosine set 的 值。 这道题目如果你刷题的次数不过多，你是一眼看不出来。其实我们知道上方这个一加二三二 set。 首先我们知道三一可以拆成什么？一可以拆成三 set 的 平方加上一个 cosine set 的 平方， 加上两倍的 cosine 二 set 也就是两倍的 cosine set 乘以 cosine set。 这个我们一看就能知道这是什么完全平方公式，也就是说 size 的 平方加 cosine size 的 平方加二二倍的 size。 cosine theta 它可以写成 它可以写成 sine theta 加上 cosine theta 的 括号的平方乘以 sine theta 除以 sine theta 加上 cosine theta。 好，接下来再让我们观察平方和这个可以约掉，对吧？那么上方就剩下一个 sin theta 的 平方加 cos sin theta 乘以 sin theta 约掉只剩下这一部分，对吧？ 好，我们看现在能很明确的看出来我们要求的是什么的值，现在我们知道是 tan 值的值，对吧？ tan 值的值，我们要去求它的话，我们是不是应该给分母添上一个 sin alpha 的 平方？哦？ sin theta 的 平方加上 cosine theta 的 平方等于一对吧？ 等于一分母，如果是一的话，我们可以直接写出来，对吧？因为所有数字的分母是不是都是一？ 所有就是，呃，常数的数字的分母都是一对吧。所以我们在这里面可以直接把一转化成 sine sine 平方加 cosine sine 平方。好，我们来再来观察题目。 好，上方我们进行一次运算，上方我们进行一次运算，上方就是 sine theta 的 平方加上 sine theta 乘以 cosine theta。 好，我们对这这几个式子同时除以 cosine sit 的平方。我们来看一下，第一个 sine sit 的平方，除以 cosine sit 的平方就是 tangent sit 的平方。 第二个在 c 的 cosine sit 除以 cosine sit 的平方，也就是 tangent sit， 下方 sine sit 的平方除以 cosine sit 的平方，也就是 tangent sit 的平方， 加上 q 三 c 的 平方除以 q 三 c 的 平方等于一。好，我们知道的三角 c 的 值，对吧？我们来进行计算，上方就是四减二 除以四加一，四减二是二，四加就是五，答案就是五分之二选 c 这道题目考察的知识点也很明确，就是三一加上三以二， c 的 等于三， c 的 加上 q 三 c 的 q 二的平方，就是考察一个完全平方公式。 好，这道题很明确了，我们接下来再分析一下第五题。第五题出自二零二零年的全国高考真题，已知阿尔法属于零分零倒派，且三倍的 cosine 阿尔法减去八倍的 cosine 阿尔法等于三倍的 cosine 阿尔法减去八倍的 cosine 阿尔法等于五。让我们去求 cosine 阿尔法的值， 观察题目，他给你给了什么？是不是给了一个阿尔法属于零倒派？很明显，很明显，这是让我们去判断 q 三二八和三阿尔法的具体值。什么时候会用到判断正负正负的这个符号的情况呢？ 一般来说都是出现平方，也就是说我们要把三以三倍的 q 三阿尔法拆成平方的形式，我们可以把它拆成三倍的二， q 三以阿尔法等于五。 这样题目一下子很明确了，首先我们先要先要求出这个 cosine 二法的值，再判断 cosine 二法正负情况，再去求 cosine 二法的值，再判断 cosine 二法的正负情况。好，三倍的 cosine 二法乘以二倍的 cosine 二法等于就是六倍的 cosine 二法的平方减去一个三减八倍的 cosine 二法等于五，我们把五移过来，就是六倍的 cosine 二法的平方 减八倍的 cosine 二法减八等于零，我们同时除以一下，二啊，这边是三，这边是四，这边是四，好，接下来我们一起进行运算。 首先 a 等于多少？ a 是 不是等于三， b 等于负四，对吧？ c 等于负四来进行计算，应该是负 b， 也就是四，正负根号一下， b 方减 c， c 也就是四。四十六减去四乘以三乘以负四 除以二， a 的 话二乘以三，好，在左边右边进行计算，也就是四正负十六加上一个四乘四四三十二，十二乘以四，多少？四十八，对不对？ 十二乘以这个四，是不是就是四十十二乘以四，对吧？就是四十八。然后因为这个负负的得正，所以说应该是十六加上一个四十八，我们来算一下，十六加四十八是多少？十六加上四十八是不是六十四？ 答案就是六十四，好，也就是说六十四开出来是不是八，这就不是，就是四正负八除以一个六，对不对？好，首先我们来观察，四加八除以六等于多少？四加八就是十二，十二除以六是不是二？那 cosine 最大会不会出现 就是 cosine 这个值，会不会出现二的情况，不会，对吧？我们知道 cosine 最大值是不是一，所以等于二，这个情况我们要舍去 等于二，对吧？舍去，那接下来再分另外一种，四减八，对，是不是负四？负四除以六是不是负三分之二？负三分之二是有可能，对吧？我们就取负三分之二，也就是说 cosine c 的 值是负三分之二， 我们现在知道 cosine c 的 值，我们怎么求 cosine 这个二法的值？我们知道 cosine 二法的平方， cosine 二法的平方等于一，对吧？也就是说 三分之负三分之二的平方加上三乙阿法的平方等于一，所以三乙阿法的平方应该是等于一减去三二三分之二的平方也就一减去九分之四，对吧，是不是等于九分之五？那么三乙阿法是不是应该等于正负 三分之根号五，对吧？我们又知道这个阿法是属于零到派，所以肯定是取正，对吧，也就说是等于三分之根号五， 正三分之根号五，对吧？所以答案选 a， 对 吧？有没有问题？好，我们再接下来再讲一下第六题。 第六题出自二零一九年的江苏高考命题，已知 tan 的 alpha 除以 tan 的 alpha 加上四分之 pi 等于负三分之二，则三以 r alpha 加上四分之 pi 的 具体值。好，首先我们看下这个题目，我们首先要对题目进行分析，对吧？ 我们进行一下分析，三眼阿尔法加上四分之 pad 值，我们来观察一下它等于什么，我们来进行一次简单的 应该是不是等于三眼阿尔法乘以二分之根号二，加上一个扣三眼 阿尔法乘以二分之根号二，都有二分之根号二，对吧？我们把二分之根号二提出来，是不是二分之根号二三二阿尔法加上一个 cos 二阿尔法，那没有问题，注意写好一点， 这个就是我们题目需要求出来的值，对吧？也就是说题目其实本质上是不是让我们求三幺二法和扣三幺二法的值，也就是即使你要把三幺二法和扣三幺二法的值求出来就可以了，对吧？那我们来观察一下这个题目的已知条件。 已知贪婪的阿尔法除以贪婪的阿尔法加四分之派等于负三分之二。那我们对下方这个进行一下处理，贪婪的阿尔法加四分之派应该等于什么？我们来看一下啊。 我们进行一下运算，贪吃的阿尔法加四分之二，是不是等于贪吃的阿尔法加一除以一减去贪吃的阿尔法， 这个是贪吃的阿尔法值，对吧？然后接下来是特别是贪吃的阿尔法除以，它等于多少？负三分之二，对吧？哎，我们来进行一下运算，贪吃的阿尔法除以贪吃的阿尔法加一除以等于，这个应该是等于贪吃的阿尔法乘以一个 单减的阿尔法加一分之一减去单减的阿尔法，有没有问题？ 然后我们再来进行运算，分子相乘，对吧？ tangent 阿尔法减去 tangent 阿尔法的平方除以 tangent 阿尔法加一等于负三分之二，对吧？好，到这一步就没问题了。然后我们就进行一下运算， 我们在右边计算计算过程。好，那也就是说负三分之二，它减的阿尔法减去三分之二，应该是等于 贪警的阿尔法减去贪警的阿法的平方，对吧？好，来，我们来多给他们同时乘以一个三，同时乘以三，就是负二贪警的二法减去二等于三倍的贪警的二法减去三倍的贪警的阿法的平方，对吧？ 好，我们再把这个移到右边去，把这两个都移到右边去，应该就是三倍的贪婪的 alpha 减去三倍的贪婪的平方， alpha 加上两倍的贪婪的 alpha 加上二等于零，对吧？来，我们再对这个进行一下运算， 我们在上方写出运算过程， 三倍的贪婪加五就是五倍的贪婪，对吧？然后就是负三， tony 的 平方加上五倍的 tan 减的 alpha， 再加上多少？再加上一个二等于零，对吧？我们来提取， a 等于负三， b 等于五， c 等于二。好，接下来再进行计算， 负 b 也就是五正负负五，正负根号下五二十五减去四乘以 a 是 负三，对吧？负三乘以二除以二， a 就是 二乘以负三就是负六，对吧？好，再进行计算， 负五，这不是负五，正负根号下二十五减二十五，是不是加上四三十二乘以二就是二十四，对吧？也就是四十九，对吧？负五正负四十九除以负六，对吧？好，这是我们这道题， 负五正负四十九除以负六，也就是说应该是等于负五，正负七除以一个六，对吧？ 首先我们来看一下负五的情况，负五减负七是多少？负五减七对吧？五加七是不是十二，也就是说等于负二，对吧？第一个是负二，第二种情况是负五加 加七就是二，对吧？也就是二除以六就是三分之一，对吧？也就是说它的算法可能有两种取值，第一种是负二，然后第二种情况是三分之一，对吧？好，我们把负二和三分之一的情况都代入到这个向量 r 加上四分之 pad 里面。 好，首先我们来看那三阿尔法加四分之 pad 值，我们刚才拆过，是等于二分之根号二三引阿尔法加 cosine 阿尔法，对吧？来，我们来进行计算。三，阿尔法可以写成什么？是不是可以写成？ 我们看一下这道题目，三幺二法可不可以写成三两倍的三幺二法？扣三幺二法加上扣三幺二法可不可以写成扣三幺二法的平方减去三幺二法的平方，对吧？ 我们为什么要这么处理呢？因为我们知道了它的值，对吧？我们可以这么运算，我们分母是不是应该有个一，也就是三幺二的平方加上扣三幺二的平方？ 好，那到这里题目就很明确了，应该可以写成二分之二单独提出去。我们对分子分母同时除以三二法乘以，就是同时除以 cos 二法的平方，上方就变成两倍的 tan 值的 alpha 加上 一减去 tan 值的 alpha 的 平方，除以 tan 值的平方就是 tan 值的平方， 加上括号平方就是一。好，那么我们接下来就是把负二和三分之一这两个具体的值带入进去，我们就能得到正确答案。接下来就是将 type 二把的两个具体的值带入进去。哦， 这边应该是负六，对吧？所以我们这边这边有一点点出错啊，答案应该是二或负三分之一才对。好，我们将这两个具体值带入进去，我们可以得到答案，应该是 十分之刚好二。具体的计算过程我在这里不多做解释， 主要是了解这道题的思路过程。第一个，我们先要对三亚阿尔法加四分之派拆解，拆解之后我们观察到应该是要求出贪婪的阿尔法值，贪婪的阿尔法值我们根据前前面这个已知量去求已知量，我们也可以拆解，将下方拆解成贪婪的阿尔法，加上一 除以一减嘛，除以一减去贪婪的阿尔法，然后我们根据这个已知条件得出来贪婪的阿尔法的值，再再回到这个里面去求出三亚阿尔法加四分之派的值。好， 接下来我们再来看一下第七题出自二零一八年的全国高考真题。这道题题目其实考察的形式非常简单， 三阿尔法加上 cosine 比特等于一， cosine 阿尔法加 cosine 比特等于零。让你去求三阿尔法加 cosine 的 三阿尔法加比特的值。首先我们来对这个题目已知条件就这个问题进行一下分析，问题应该是三阿尔法 cosine beta 加上 cosine alpha， sine beta， 这个是我们需要求的给出的具体值，也就是说我们要么就求出 cosine alpha 和 cosine beta 的 具体值，要么我们就求出 cosine alpha 乘以 cosine beta 和 cosine alpha 乘以 cosine beta 的 值。这是我们解析的两种思路。 我们来看一下已知条件，三引二法加 cosine 等于一， cosine 二法加 cosine 等于零。其实我们这道题的正确做法应该是对这两个进行平方。首先我们来对上方这个进行平方，上方进行平方应该是等于三引二法，就是说三引二法加上 cosine 也等于一，这个进行平方， 给它进行一个平方应该是等于 sine alpha 的 平方加上两倍的 sine alpha， cosine beta 加上 cosine beta 的 平方。好，这个这种一对吧。然后我们再对这下方这个进行一次开放，下方这个是，另外这一个是 cosine alpha 加 cosine beta 的 平方 也拉开进行一次平方，应该是等于 cosine alpha 的 平方，加上两倍的 cosine beta， 乘以 cosine alpha， 再加上一个 cosine beta 的 平方等于零，对吧？好，现在我们来把多余的步骤全去掉， 来观察一下这两个式子，三幺二法的平方和 cosine 二法的平方加起来是不是等于一？ cosine 别的平方和 cosine 别的平方加起来是不是一？然后中间这两个是不是我们刚好我们需要的值？所以我们应该对这两个式子进行干什么？是不是加起来，加起来应该是不是等于一加上 二？我们把这两个两个面的二提出来，是不是就是二？ sin alpha， cosine beta 加上两加上 sin beta， cosine alpha 再加上一个一，对吧？我们这边右边还有一个一等于多少？是不是一加上零，这个的值是不是零？它是等于零，对吧？所以一加零是不是等于一？ 我们接下来再进行计算。首先一和一，我们移到右边去，是负二，就是负二，对吧？一减二是不是就是一减二是不是就是负一？也就是说两倍的这个 两倍的 sine alpha， cosine beta 加上 sine beta， cosine alpha 应该是等于负一的，对吧？所以这两个加起来是不是应该等于负二分之一？所以正确答案题目的答案就是 这道题的答案应该就是负二分之一。 好，接下来我们再来观察下一道题目。 下一道题目是第八题，出自二零一八年的全国高考真题 f x 一 致函数 f x 等于 tan 的 x 除以一加 tan 的 x 的 平方的最小正周期。 好，那我们首先看见 tan 的 x， 我 们知道 tan 的 x 跟三 s 比上 cos 是 吧？那我们进行一个简单的一个化简， 首先它长成单指的 x 除以一加上单指的平方 x， 对吧？我们对它进行一次化简，上方是三 x 除以抠三眼 x， 下方是一加上三以 x 的平方除以扣三也平方 x， 对吧？好，我们来进行对下方再进行一次化化减，等于三以 x 除以扣三以 x 除以 扣三 s 平方一加上一，是不是可以拆成扣三 s 平方分之扣三 s 平方，那么上方扣三 s 平方加三 s 平方就是一分之扣三平方 x， 对吧？来，我们再对这个进行一次化简， 三 x 除以 q 三 x 除以 q 三 x 平方分之一，可不可以拆成三以 x 乘以 q 三三 s 除以 q 三 x 乘以 q 三 x 平方，对吧？那就是不是可以等于三以 x 乘以 q 三 x？ 来，我们看一下这道题要求的是最小正周期，对吧？一般求最小正周期是不是只有一个三衍函数或者一个 q 三衍函数，所以我们要把这个转化成只有一个三衍或者 q 三函数形式。好，这个公式我们一看就知道是什么，是不是应该等于二分之一倍的 二倍的三 x q 三 x， 对 不对？它可以转化成这种形式，对吧？ 我们来继续在这边右边进行一下写写法，我们来再在右边进行一下写，这边有一点点。好， 这道题下方应该是刚才我们的，刚才我们的结果是不是三 x 乘以 q 三 x， 对 吧？好，我们对它进行一次化简，它可不可以写成二分之一乘以二三 x q 三 s， 对 吧？ 那我们知道关于分母里面就是这个括号里面，这个应该可以写成什么？是不是可以写成二分之一乘以三二 x， 对 吧？ 好，周期跟什么有关系？是不是跟 s 前面的系数有关系？ s 前面的系数是不是就是 omega 等于二，对吧？那 t 是 不是等于二？ pi 除以 omega 等于二， pi 除以二，对吧？所以正确答案是什么？是 pi， 所以 答案选 c， 对 吧？ 所以这道题答案选 c。 我 们接着再观察这个第九题，第九题首先知道它的答案法对吧？我们要求 cos 二法平方加两倍的 cos 二法。二二法。 觉得这种题一定，你看啊，虽然知道它是 r 的 值，但是我们不能具体的去求三 r 法和 q 三 r 的 值，因为这道题没有给你具体 q 三 r 法就是阿尔法的取值范围，对吧？也就是你没办法判断三 r 法和 q 三 r 它俩的符号情况，所以这道题最好的做法是这么做。分子，首先我们就这个，我们对它进行一次 化简，它是不是可以拆拆成 cosine 平方？阿尔法加上二倍的就是四倍的 cosine 阿尔法。 cosine 阿尔法对吧？ cosine 阿尔法是不是等于两倍的 cosine 阿尔法乘以 cosine 阿尔法，再乘一个就是四倍，对吧？然后分母是不是 cosine 阿尔法的平方加上 cosine 阿尔法的平方分子，分母是不是可以同时除以一个 cosine 阿尔法的平方？分子就是一加上四倍的分子的 alpha， 对 吧？ 分母是不是就是单调的 alpha 的 平方加上一个一，对吧？好，我们再把单调的 alpha 的 值带进去， 一加上四分之三乘以一个四，对吧？也就是一加三对吧？一加三除以多少？单调的 alpha 的 平方是不是四分之三的平方，也就是十六分之九加上十六分之十，也就十六分之二十五，对吧？也就是我们要算的就是四乘以一个二十五分之十六，对吧？ 那就是二十五分之四乘十六，是不是四六二四斜四斜四加一四得四五六六十四。答案是不是二十五分之六十四。所以这道题选什么？选 a， 对 吧？这道题答案选 a 没问题吧？ 来，我们来再看第十题，出自二零一六年的全国高考整体，如果 tan 等于三分之一，求 cos 二 tan 二 tan 好， 这道题很明确，我们知道 cos 二十 tan 可以 拆成什么，是不是可以拆成 cos cos 平方减去 cos cos 的 平方 分母是不是具有 sine sit 的平方加上一个 cosine sit 的平方分子分母同时除以什么？是不是除以 cosine sit 的平方，也就是上方就是一减去单着的 sit 的平方除以分母是单着的 sit 的平方加乙，对吧？ tanzi 是不是三分之一？一减去三分之一平方是不是就是一减去九分之一，也就是九分之八，对吧？九分之八除以一个三分之一的平方，就是九分之 九分之就是九分之一，对吧？九分之一加一是不是就是九分之十？九分之一加上一个九分之九就是九分之十，对吧？九分之八除以九分之十是九分之八乘以一个十分之九，对吧？约掉除以二就是四，除以二就是五，答案就是五分之四，所以答案选四 d， 对 吧？ 这道题答案就选四 d。 好，我们再来看一下这个第十一题，知道 tan 的 alpha 等于两倍的 tan 的 五分之派，然后我们去求 cosine alpha 减去 十分之三派，除以 cosine alpha 减去五分之派。其实这道题目它有一个非常比较隐晦的知识点，我们可以看出来 十分之四，我们现在题目知道的是不是跟它的五分之派有关系的，也就十分之三派有点多余，对吧？那我们需要想一下十分之三派跟五分之派是什么关系？其实仔细观察不难发现，二分之派减去一个五分之派其实是等于十分之三派的，对吧？ 二分之派就是十分之五派，对吧？十分之五派减去一个十分之二派是不等于十分之三派。所以我们可以把上方这个扣在引这个进行一次化简， 对上方这个进行化简，就是，我们来算一下，是不就是 cosine 阿尔法减去一个二分之派减五分之派，对吧？就是 cosine cosine 什么？是不是阿尔法 减五分之派加二分之派，对吧？这个时候就要用到诱导公式，对吧？哦，首先积变对吧？积变会变成散影，然后符号看下线，这个我们看成一个锐角，锐角加一个九十度，是变成了 就变成钝角，对吧？钝角再扣散影是不是应该负，所以说应该是负，负散影阿尔法减去五分之派，对吧？ 想一下啊，等一下 cosine alpha 减去五分之派，对吧？我们把它看成一个锐角，然后锐角加上一个二分之 派，锐角加一个二分之派就是钝角，对吧？钝角，我们知道 cosine alpha 钝角是不是取负，所以说是负，这个对吧？再除以是什么？除以 sine alpha 减去五分之派，对吧？ 我们接着再观察这个第三 alpha 平方加两倍的 sine alpha alpha， 觉得这种题一定，你看啊，这虽然知道它是 r 的 值，但是我们不能具体的去求三 r 法和 q 三 r 的 值，因为这道题没有给你具体 q 三 r 法就是 r 的 取值范围，对吧？也就是你没办法判断三 r 法和 q 三 r 它俩的符号情况，所以这道题最好的做法是这么做，分子，首先我们就这个，我们对它进行一次 化简，它是不是可以拆拆成 cosine 平方？阿尔法加上二倍的就是四倍的 cosine 阿尔法， cosine 阿尔法对吧？ cosine 阿尔法是不是等于两倍的 cosine 阿尔法乘以 cosine 阿尔法，再乘一个就是四倍，对吧？然后分母是不是 cosine 阿尔法的平方加上 cosine 阿尔法的平方？分子，分母是不是可以同时除以一个 cosine 阿尔法的平方？分子就是一加上四倍的 tangent 阿尔法，对吧？ 分母是不是就是单调的 alpha 的 平方加上一个一，对吧？好，我们再把单调的 alpha 的 值带进去，一加上四分之三乘以一个四，对吧？也就是一加三，对吧？一加三除以多少？单调的 alpha 的 平方是不是四分之三的平方？也就是十六分之九，对吧？十六分之九加上十六分之 所以就十六分之二十五，对吧？也就是我们要算的就是四乘以一个二十五分之十六，对吧？那就是二十五分之四乘十六，是不是四六二四写四写四加一，四得四五六六十四，答案是不是二十五分之六十四。所以这道题选什么？选 a 对 吧？ 这道题答案选 a 没问题吧？ 来，我们来再看第十题， 出自二零一六年的全国高考真题。如果贪婪的 c 大 等于三分之一，求 q 三二十 c。 好， 这道题很明确，我们知道 q 三二十 c 可以 拆成什么，是不是可以拆成 q 三，以 c 的 平方减去三以 c 的 平方 分母是不是具有 sine sit 的平方加上一个 cosine sit 的平方？分子分母同时除以什么？是不是除以 cosine sit 的平方，也就是上方就是一减去单减的 sit 的平方除以分母是 tangent sit 的平方加 e， 对吧？ tanzi 是不是三分之一？一减去三分之一平方是不是就是一减去九分之一，也就是九分之八，对吧？九分之八除以一个三分之一的平方，就是九分之 九分之就是九分之一的九分之一。加一是不是就是九分之十？九分之一加上一个九分之九就是九分之十，对吧？九分之八除以九分之十是九分之八，乘以一个十分之九，对吧？约掉除以二就是四，除以二就是五，答案就是五分之四，所以答案选四 d， 对 吧？ 这道题答案就选四 d。 好， 我们再来看一下这个第十一题，接着看一下这个第十一题，出自二零一五年重庆高考真题。 这道题首先有一个很隐晦的点，就是我们知道的是什么是贪婪的二法等于两倍的贪婪的五分之派，对吧？我们来观察一下分子，分子扣三要二法减去十分之三派，已知条件里面只有涉及到这个五分之派，对吧？没有涉及到十分之三派，所以我们要对十分之三派进行处理， 仔细观察我们其实不难发现，十分之三派应该是等于二分之派减去五分之派的。 来，我们去看一下，二分之派是不是等于十分之五派？五分之派是不是等于十分之二派？十分之五减去十分之二是不是十分之三派没有问题吧？所以说上方这个 cosine alpha 我 们可以进行一次化，进行一次化减 就可以变成 cosine alpha， 它原本是减十分之三派，对吧？可以减二分之派，减五分之派。我们对这个进行一下运算， 勾三 r 法是不是应该就变成 r 法加五分之 pi 减二分之 pi， 对 吧？接下来是不是积变不变？符号看象形，所以积变，对吧？变成散影，然后符号看这会不会变。锐角减去一个九十度，是不是就是在变成负角，对吧？负角是不是勾三是正的，所以说三也不变，对吧？三也就是正， 三也 r 加上五分之 pi， 对 吧？它要除以什么？是不是三也 r 减去五分之 pi？ 好，我们对这两个进行一下运算啊。上方就是散以 r 法乘以扣散以五分之派，加上 扣散以 r 法乘以散以五分之派，对吧？下方就应该是散以 r 法扣散以五分之派减去扣散以 r 法散以 五分之派，对吧？那其实仔细观察我们不难发现，我们要的是贪吃的啊，我们以这条件里面是不是贪吃的阿法的值和贪吃的阿法五分之派的之间的关系，对吧？所以我们要把这里面的赞和扣三一这些值都变成贪吃的值， 那怎么变呢？我们可以发现，其实我们可以同时除以什么？除以一个 cosine alpha 乘以 cosine 五分之派。 第一个是不是就变成 tangent 的 尔法乘以一个一，加上一个 cosine 尔法除以 cosine 尔法是不是一三以五分之派除以 cosine 五分之派是不是 tangent 的 五分之派？ 下方三幺二法 cos 五分之派，三幺二法除以 cos 二法，是不是 tan 的 二法减去一个 cos 二法除以 cos 二法是零一，对吧？然后三幺五分之派除以 cos 五分之派就是 tan 的 五分之派。那我们再进行一下计算啊， tan 的 二法就是两倍的 tan 的 五分之派，对吧？ 加上 tangent 五分之派，这是题目已知条件哈，就是 tangent 二百等于两倍的 tangent 五分之派，对吧？下方就是两倍的 tangent 五分之派减去 tangent 五分之派， 那么分子就是三倍的 tangent 五分之派，分母就是 tangent 五分之派，约掉，对吧？所以答案选什么？三，对吧？选答案是不是这个 c， 对 吧？好，这道题有没有问题？这道题答案选 c， 对 吧？ 那我们再来验算看一下。这个十二题出自二零一五年的福建高考真题。首先第一个知道三元阿尔法是等于负十三分之五，且阿尔法为第四象限角，则贪及的阿尔法值。 这个题很简单，对吧？首先第四象限角 cosine 二法一定是什么正，对吧？ cosine 也是正。那么 cosine 二法等于十三分之五，那 cosine 二法的平方是不是应该等于一减去三二法的平方？再开个根号，对吧？一减去十三分之五，负十三分之五的平方就是一减去一百六十九分之一百六十九分之二十五，对吧？ 我们知道 q 三二百的平方应该是等于 q 三 r 法应该是等于根号一减去一百六十九分之二十五，对吧？一百六十九减去二十，我们算一下 九减五四对吧？四幺四四也就十二，对吧？也就是说 q 三 r 法应该是等于一百六十九分之一百四十四，也就是十二分十三分之十二，对吧？ 且 cosine 二角是第四角，所以应该是正，所以是十三分之十二，那么它按减的阿尔法应该是等于负十三分之五，也就是三乙阿尔法除以十三分之十二，对吧？ cosine 二法，那么具体一下就是负十三分之五乘以一个十二分之十三，对吧？约约答案就是负十二分之五， 我们来看一下啊，所以答案选四 d 对 吧？这道题其实很简单，好，我们来再看一下二零一五年的四川高考正题，知道了三元阿尔法加两倍的 cos 阿尔法等于零，对吧？还知道了两倍的三元阿尔法， cos 阿尔法减去 cos 阿尔法平方的值，那我们要去求这个的值，对吧？ 来，我们首先看一下这道题怎么做，首先你去看到这个题目有两种办法去求这个题目需要的条件，对吧？ 第一种是求出三幺二法 cos 二法具体值，对吧？第二种，你是同时除以在分母再写一个三幺二法的平方，再 cos 二法的平方，然后同时所有分子分母同时除以 cos 二法的平方，对吧？但是我们观察到 前面已知条件里是没有 cos 二法的具体值，所以说我们只能取第一种办法，也就是把 cos 二法， cos 二法的具体值求出来。 好，根据前面的这个条件，三幺二法等于两倍的 cos 二法，加上加上两倍 cos 二法等于零，对吧？也就说三幺二法应该是等于负二 cos 二法，对吧？我们还知道三阿法的平方加上 cos 二法的平方等于什么？是不是等于一？ 好，那我们来进行一下计算啊。我们把三角 q 三 r 法，就是我们把三角法转化为负二倍的 q 三 r 的 平，负二倍的 q 三 r 法，那这道题就可以变成负二 q 三 r 的 平方加上 q 三 r 的 平方等于一，对吧， 也就是说五倍的 q 三 r 平方等于一，对吧？那 q 三 r 的 平方是不是等于五分之一？ q 三 r 是 不是等于五分之根号五？好，我们现在已经到了 q 三 r 等于五分之根号五，对吧？那我们接下来再求三 r 的 值对不对？ q 三 r 的 值是五分之根号五，对吧？我们知道我们刚才根据已知条件，通过这个得出来，是不是三 r 等于负 二倍的 q 三也二法，对吧？所以 q 三三亚法的值是不是负五分之二倍根号五，对吧？好，现在 q 三亚法和三亚法具体值都知道，我们带进去 第一个是不是二乘以负五分之二倍根号五乘以一个五分之根号五，对吧？减去五分之根号五的平方就是二十五分之五，对吧？ 好，我们对分子左边这个进行计算，二乘以负五乘以五就是负五五二十五，对吧？二十五分之刚好，五乘以刚好五就是五，对吧？五乘以二就是十，对吧？好，减去一个二十五分之五，对吧？ 好，再来计算，二乘以负二十五分之十，就是负二十五分之二十，对吧？减去一个二十五分之五，所以答案是不是负二十五分之二十五，等于答案就是负一，所以这个值是负一，懂了吗？ 有没有问题？再重新看一下，是不是二乘以负二十五分之十，就是负二十，对吧？负二十五分之二十，然后再加减去一个负二十五分之五，就是负二十五分之二十五，就是答案就是负一，对吧？好，那今天的讲解到此结束。

我们已经有了在这个区间上是单调递增的。这个区间说的是谁呀？说的是 x 大 于负二分之派，小于三分之派。那它这一坨 t 的 范围呢？就是 omega x 加六分之派，因为 omega 是 大于零的，所以直接成就完全没问题。 负二分之派， omega 加六分之派，这边是三分之派， omega 加六分之派。也就是如果这一坨是 t 啊，我就不另了啊，这个函数就是 y 等于三 t 在 t 是 这个范围上是单调递增的 啊， t 是 上面这个范围上单调递增，我就写的比较简约了啊，三 t 的 函数图像，嘚嘚嘚嘚 嘚儿啊呃。然后，呃，在这个范围上单调低增。我们知道 omega 是 大于零的，这是六分之派减去一个东东这是六分之派加上一个东东 啊，一个六分之派，这六分之派在这呢啊，六分之派在这呢啊。减去一个东东和加上一个东东，那有可能，有可能是这样子的， 有可能是这样子，六分之派往左走一点，六分之派往右走一点，它的范围很有可能就是，呃，六分之派。呃呃，左边一段到右边这一段，就是就有可能是这样子的，对不对 啊？嗯，然后在这我们给他去限定一下，在这上面是单调递增的，也就是说你肯定跑不过二分之派。 omega 加上个六分之派 大于等于负二分之派，当然肯定是比六分之派要小的，这个就不用写了，因为 omega 是 大于零的。然后呢，三分之派 omega 加上个六分之派要小于等于二分之派，当然也不用再写它是大于等于六分之派的，因为 omega 是 大于零的， 所以我们去给它推。嗯，上左右两边同时除以一个 pi。 负二分之一 omega 加六分之一大于等于负二分之一啊。负二分之， omega 大 于等于负二分之一，就是负的六分之三减六分之一，负的六分之四，也就是负的三分之二啊。然后 omega 小 于等于 负三分之二乘以个负二啊。所以 omega 小 于等于负三分之二的时候，我是给它变号了的 啊。然后这个是三分之一 omega 加上个，嗯，六分之一小于等于二分之一。三分之一 omega 小 于等于三分之一 omega 小 于等于一，这个是小于等于三分之四，这个是小于等于一 omega 还是大于零的嘛？所以 omega 大 于小于零，小于等于一就好了。这个三分之四是用不到的，因为三分之四 有点大，有点大，我取的肯定是。呃，交集嘛，交集它俩的一个公共的范围。 好，宝宝们，我的短视频时长有限，所以希望有缘通过我的短视频认识到大家，也希望大家能够来到我的课堂，课堂是肯定要讲得更加的清晰深 入，而且延伸的非常的全面到位的哈。因为短视频时长有限制，所以我会说的稍微语速快一些，大家可以暂停看一下这两页。可以暂停看一下这两页。 好，那我们下一个视频再见喽。

高三必看三角函数必考题！很多同学抢壳在不会构造角公式用错，今天跟着显哥用两种方法速解，记住，凑角不是瞎凑，积化和差不用死背，学会推倒，直接秒算。他说阿尔法贝塔满足这么一个式子，贪的阿尔法等于二， 然后呢？甚贝塔等于？他问，贪婪的贝塔等于多少？这道题你可能想不到，用极化和差，你用凑角其实也挺好做。明白了，为什么呢？因为凑角他也是和差公式激化，和差和差化基本质上也是也是和差公式。 所以这道题我一看，这地方有个角，这两个角相减，正好是贝塔，这地方还是一个贝塔，所以，所以我们可以凑出一个角来。你看，我把这个贝塔凑出来， 我把这个贝塔凑出来的话，那就应该是二法啊，二法减去一个，二法减去个贝塔， ok， 你 看看是不是肾贝塔，所以呢，它等于个两倍的考肾二法减贝塔，哦，能想到不？这叫凑脚对不对？然后呢？前面把括号打开，大家可以看一下，把括号打开的话，是不是肾二法 考甚二法减去个贝塔，然后呢？再减去考成二法，然后呢？甚二法减去个贝塔，明白了不？然后呢？等一个两倍的考甚二法减去个贝塔，然后再乘一个甚二法。 那么我们把和差公式打开之后呢？显然这个地方他俩是可以合并同类项的，所以我直接啊在这上面写了，那这条约掉的话，那是不是这条约掉一个？ 约掉一个的话，还剩一个？又因为你让我求的贪认特，所以我把考生二法除过去是贪认特，把它除过来也是贪认特，所以我们就得到了。把它除过来啊。申，二法除以考生二法显然是贪认的二法，也就是说贪认特二法。哎，我们直接写贪认的 算法减 beta 吧。贪婪的二法减去个 beta 就 应该等于负的。贪婪的二法能接受不？看到吗？贪婪的二法减倍，它就应该等于负的。贪婪的二法。又因为贪婪的二法等于二，所以它答案就是负二。第三哈，我是运算的快了一点，它俩合并了，它俩合并了一个，把它约掉了一个，然后呢？把考生除过来 把考生除过来就是贪人的二法减贝塔。我把考生除过来，他就是贪人的二法。有个符号听懂吗？就是你多写一行就可以了。把它约掉了。把考生除过来是贪人的，把考生除过来是贪人的， 所以有个符号就可以了。那但是呢，你让我求的是贪人的贝塔呀，你现在只求出贪人的二法减贝塔呀。是不是我们再用一个和差公式，贪人的二法减去贝塔，他等于负二，他是不是就应该等于一个贪人的二法？直接写了二， 减去贪婪的贝塔，然后呢，比上一个一，加上一个贪婪的二法是二贪婪的贝塔，所以呢，他就应该等于负二。听明白了，这个二，这个地方是贪婪的二法，贪婪的和差公式，所以这个答案就应该是二，减去贪婪的贝塔就应该等于个 负二，再减去一个四倍的贪婪的贝塔。所以啊，三倍的贪婪的贝塔就应该等于负四。稍微麻烦一点的啊，就是凑脚就可以了，凑脚就可以了。 当然，如果你会计划和差，如果你非常敏感的反应过来，这道题是计划和差，可能做的会简单一些。来来来，来，我们看第二种方法。那第二种方法怎么去做呢？首先大家 look 一下，瞪起你的卡姿兰小眼睛，大家看这是什么东西？ 所以计划和差和差法公式，如果你要会用的话，死记背。绝对不可能啊，因为你想不到去用，你最好是会推倒，所以大家录看一下。这是什么感觉呢？两倍的考圣二法圣贝塔，是不是有点这种感觉？来看一下公式，两倍的考圣二法，圣贝塔是不是就是他呀？ 听懂我的意思吗？你看，你一定要会推倒，你会，你看两倍的考圣二法圣贝塔，不就是圣二法加倍塔减去圣二法减倍塔吗？ 听懂我的意思了吗？所以，那这个点我一看就是激化和差呀，所以他就应该等于什么呢？甚二法减贝塔，然后呢？加上一个二法，听懂吗？中间是减吧，甚考甚减没了，减去一个甚二法减贝塔，然后呢？减去一个二法。 好来理解一下，你看会推导不？也说，把他想的二法，把他想的贝塔，把他想的二法，把他想的贝塔。你推导一下，是不是两倍的考生二法甚贝塔。 所以我们这条是用了计划和差，你看，我们把它想成二法，把它想成贝塔和差。公式一打开，正好肾考肾约掉了，就剩考肾肾，所以，那这个数是几呢？这个数正好是肾二二法减去个贝塔，而后边是谁呢？ 后边正好是肾负贝塔，前面有个符号就是肾贝塔二法约没了，正好是一个负贝塔，肾是奇函数一项，哎，肾贝塔就正好约掉了，也就是说我们就能够得到肾。二二法减去个贝塔就应该等于个零， 没错吧？那肾多少等于零呢？是不是肾啊？肾多少的零是不是肾啊？派加 k 派等于零， 这个没问题吧？因为肾和肾约掉了吗？肾一定等于零了，肾 k 派等于零就直接 k 派吗？啊？直接 k 派啊，肾 k 派等于零， 明白了吧？肾 kpi 等于零，肾零等于零，肾 pi 等于零， ok？ 那 么由于你这道题让我求贝塔，所以我就能表示出贝塔来，所以这道题做的是不是简单了一些？二二法减去 kpi， 二二法减去贝塔，你让我求贪认的贝塔，那就应该等于个贪认特二二法减去个 kpi 没问题吧？那又因为贪认它的周期它就是 pi， 所以 减 kpi 是 不影响的，就应该是贪认的二二法，所以来一个二倍角公式就可以出来了， ok 不 ok 吧？是不是简单多了？所以上面是二得四，一减四是负三，所以答案选 d 厉害吧。所以你看这道题做的就非常的简单了，听懂了吗？写了这几行。

百分之九十的学生哈都会说三角函数很难学，为什么呢？因为我们在高一学的时候需要背大量的公式，那事实是如此吗？我们来看看题啊，已知阿尔法属于二分之派到派，那么这个二分之派到派在哪里？ 在第二项 c， 然后的话满足这个式子，他问你这个知识多少？这是一道选择题啊，我们按题目来解，那三角函数公式量很大，那我们来看这个题它调用了多少知识啊？ 这题的考点是什么？高三一模卷，然后的话，他考的是我们在高一所学的三角函数。好，那么在三角函数里边，我们到底应该怎么去学？我们来看这个题啊，来，我们来看这个第一个公式啊，第一个公式里边的话会出现什么？会出现？我们把这个公式拆一下啊。 c 比特正弦乘下一个余弦，减去一个余弦，乘上一个正弦。所以三角函数学习的核心是什么？ 学公式的模型，不要单纯的去背那个公式，三角函数他背不明白啊。正乘于余乘正，他考察的是什么？考察的是正弦的两角和差公式。那么在两角和差公式里边，正于他俩是同角，他俩是同角，那我们来看这个公式的模型，满足不？满足？ c 一 被他可在一被，他可在他 c 一 他。那么换句话说，在这里边我们还需要调一个知识点是什么？ 是函数的均有性，余弦的均有性，那在这里边我们调谁？我来看一下啊。这个 sin be 减阿尔法，我可以用它的什么？积函数的属性，所以它相当于是负的 sin 阿尔法减贝塔可不可以？可以， 那在这个位置的话，我把它变成 cosine 的 贝塔减阿尔法可不可以？可以啊，为什么用？余弦是自带的偶函数，所以这个公式我可以把它变成谁？ sin 贝塔。 cosine 贝塔减阿尔法，因为它是 y 斜，它是偶函数，然后的话减去一个 cosine beta。 sine beta 减阿尔法好，正乘于余乘正，它等于谁？它等于正弦的第一个角，去掉一个第二个角， 所以在这里边的话，我们完全的去套公式。那这个位置相当于谁？ sine 第一个角去掉第二角，那就是 beta 减去一个 beta 减阿尔法，减 beta 加阿尔法。所以在第一个式子里边，我相当于得到谁？ 我相当于得到了 sine 阿尔法的具体数值。 sine 阿尔法等于谁？哎，等于五分之四。勾三股四弦五。我们是不是可以直接得到和余弦？它在第几项线？在第二项线， 所以在这里边余弦取的是负的勾三勾四弦五，那么这是第一部分。第二部分我要求的这个角和一个条件区别是什么？这个位置是二二法，它是二二法，所以它考察谁。二倍角公式，余弦里边一加上口 c， 二二法，它对应的是二倍的 口 c 方，它是正弦的二倍角。二倍的正弦除上一个余弦，我们上下约个分，把二约掉，把余弦约掉，它相当于谁？ 剩了一个口塞阿尔法除上一个塞阿尔法是正七的倒数，或者我们说它是其次，是余弦取谁负三，正弦取谁四，余弦取谁，对应的是负三，他对应的是四，所以负大四分之三。 所以三角函数学的时候哈，同学们一定要去学这个模型，如果在这道题做的时候有一个很大的误区啊，那个误区我刚开始做的时候给大家跳过去了。误区是什么？很多同学看见这个误区，我刚开始做的时候给大家跳过去了。误区是什么？很多同学看见这个误区，我刚开始做的时候给大家跳过去了。把它打开， c 与 beta 减 alpha 怎么办？把它打开，打开之后去合并同类项，太麻烦了。其实这个题哈和我们十九题考的有点像，二五年的十九题考的是 c， 五 x 也是一个拼凑的关系。好，这个题我们就讲到这，下次学三角函数，学什么？学模型，不要单纯的去背公式。

来吧，同学们！这是一道新鲜出炉的高三一模题，涉及到三角函数，我们一起来看它关联到哪些知识点。 已知阿尔法属于二分之派到派阿尔法在第二象限，并且有这个等式，则一加 cosine 二 alpha 除以 cosine 二 alpha 等于多少？很明显，这道题的考点是三角函数， 如何求值呢？已知条件比较复杂，我们先从问题入手。分子中有 cosine 二 f 分 母式 cosine 二 f， 很 明显它考察的是二倍角公式。 我们先化简这个式子。分子根据余弦的二倍角公式，它就等于二倍的 cos a r 平方分母。根据正弦的二倍角公式，它就等于二倍的 c a r 乘以 cos a r 先化简目标式 使用二倍角公式，分子等于二倍的 cos alpha 平方分母等于二倍的 cos alpha 乘以 cos alpha 而法属于二分之 pi 到 pi 而法在第二象限。注意，这里是开区间，所以余弦值一定不取零。分子分母上下同时约掉一个 cosin 而法再把二约掉。 这个式子化简的结果就是 cosin 而法除以 cosin 而法，这是标准的其次式。当然，它也等于阿尔法正切的倒数， 如何求他的值呢？回头来我们再研究已知条件。已知条件比较复杂，在三角函数这个章节当中，公式量非常大，同学们一定要熟练掌握公式的结构、模型以及公式的用法。 请看正弦乘余弦，减去余弦乘正弦。很明显，他考察的是两角和差的正弦公式， 两角和差的正弦公式正乘于于乘正。 同学们在使用三角函数公式的时候，一定要熟练掌握公式的模型，公式的结构特点在两角和差的正于弦公式当中，这个角和这个角它们是相同的，另外， 打圈的这两个角它们也是相同的，同学们一定要熟练掌握三角函数公式的结构模型。再看已知条件， sin beta， cosine beta， 这两个角相同， cosine alpha 减 beta， sine beta 减 alpha 问题是这两个角不相同的，如何变呢？利用三角函数的奇偶性， 我们可以变它，它是正弦函数，把它改变以后，它就是负的 c 而发减贝塔当然也可以变余弦，余弦自带偶函数，不影响正负号。 改变它就是口 c， 贝塔减而发。改变哪一个都无所谓，哪一个简单我们就变哪一个。 余弦函数自带偶函数，不影响正负号，所以我们改变余弦，它就是 cosine beta 减阿尔法。改变以后，已知条件就变成， sine beta 乘以 cosine beta 减阿尔法 减去 cosy theta 乘以 cosy theta 减 r 等于五分之四。请看 正弦乘余弦减去余弦乘正弦等式的左侧不就是两角叉的正弦公式吗？所以它就等于 cosy theta 减去被它减而发。请看中括号里面，它就是而发，所以这个式子它就等于 c 而发等于五分之四。 c 而发等于五分之四。而发在第二象限，那么而发的余弦值一定是个负值。勾三股四减五，所以口 c 而发 等于负的五分之三。口 c r 等于负的五分之三， c r 等于五分之四。所以我们要求的这个式子的值就等于负的五分之三，除以五分之四等于负的四分之三。 这样这道题目就搞定了，做对的同学，恭喜你们，五分又到手了。回过头来，我们再把这道题目总结一下。这道题的考点是三角函数，涉及到的知识点有 二对角公式、两角合差的正弦公式以及三角函数的奇偶性。正弦函数为奇函数，余弦函数、自带偶函数。

如果是一个 a 倍的三 f 加减 b 倍的 cos， 那 么它的最大值就是根号下 a 方加 b 方，最小值前面加一个符号。 看第一道真题，求函数的最大里我们找 a 找 b， 三 f 前面是五，那么 a 等于五， cos 前面是十二， b 等于十二， 那么最大值就是根号下 a 方加 b 方，直接代入五方加十二方，根号下就是等于十三。这道题选择 c。 第二道题大家可以口算一下结果，点主页看合集查看更多知识点。

拿下三角函数，你必须得会的技巧叫凑角，做题速度不但快，而且正确率还高。 那么这节课我们就把题型三凑角里面的门门道道给大家讲透彻，以后考试这个直接拿满分行不行？行，好，我们来先来看凑角问题长啥样。 那很多同学其实拿到这种题型，第一个展开塞考，考塞是不光会展， 除了会展之外，我们得用点思维去做题，他就快嘛，计算量就少嘛，对不对？对，来，你看啊， 什么是凑脚？首先你得有第一个就是意识。什么意识呢？只要题目给了一个角的某一个三角函数值，这个角就是一只角。来，这个意识记得写到本子上啊。 我问你，这个角是不就是已知角？知道，只要给了这个角度的随便一个三角函数值，这个角就得当已知角，对不对？ 明白不？为什么？因为他的考三值，他的贪着的值全能算出来，你三十度，六十度，为什么为已知角呀？那不就是因为他三考三贪着的，知道吗？知道对不对？他是不是可以三十六十九十度平起平坐？ 他是不是可以和这些角度平起平坐了？是的吧，哎，对了，那是不是这个角也叫做已知角？所以本题有两个已知角，打包看整体啊，一个是你，一个是你，然后我们要求的这个角度叫做未知角。那凑角的核心就是用已知凑未知吗？就这么简单。 来。第一步，你跟我说这道题尔法加四分之派，怎么拿已知角给他凑出来？ 一般就是两一加，两一减吗？来两一加还是两一减？两一减而法加上贝塔，这是一个整体哦，打包看整体哦。减去贝塔减去四分之派用已知表示未知就欧了。 先给它凑完第二步。这不就简单了吗。题上咱求啥呀求考三。我写一下啊。求的是考三 阿尔法加四分之派给左边添个烤餐给右边同时添个烤餐。但是你这里注意细节啊你可千万不要把它打开了啊。人家这个是整体这个是整体别再给他展开回回去了明白了吗？明白好嘞然后接下来你不就会了吗 两个东西一剪哎呀所有人都会叫什么考考考塞塞是吧上攻是吗考塞我写下啊注意易错点。考考这里是塞塞加号 减面加吗？是不是知道哎。加号三耳法加贝塔这里应该是三贝塔减去四分之派来把已知的结果全给它往进带。哪个知道这个这个是负的五分之三 这个是十三分之十二这俩一乘是不是来继续加号的前面啊这个是多少你别在那跟我墨迹半天啊。看这两关系。什么关系 同角吗？对，同一个角的三也和考三加起来平方和为一你可以拿平方和为一去算但是有点麻烦喽你看五分之三和谁是一组数据啊 和谁是平方和为一这都要脱脑而出的正负五分之四平方和一定是一 常见数据要倒背如流的啊。来你看看这两个是不是也是同角啊。平方和为一哎呀，十三分之十二和谁啊正负正负十三分之五平方和为一吗对不对？对哎，接下来主要干嘛 第三步要干啥确定什么正负的问题这很重要。咋确定啊跟谁有关呀 是不跟你俩加起来所在的象限有关？是的，而法已知范围我写喽，认真看哦。 尔法大于四分之三派小于派，贝塔大于四分之三派小于派。你把他俩加起来不就欧了。 同向可以加吧。哎，不懂事的性质。同向是可以加的，尔法加贝塔大于你俩。一加二分之三派小于二派。哎呦，这在第几项线呀？第四项线， 这个是在第四项线哎。第四项线的 cos 值正的还是负的？正的 正的还是负的？正的正的还是负的？正的正的。哎，符号就没了。确定下来了，该下一个了。贝塔减四分之派来是不？再搞一波贝塔有了没？没有，贝塔减一个。四分之派大于 四分之二派，就是二分之派小于四分之三派。哎呦，这在哪呢？这个确定出来在哪？ 第二项线对应的考三值，正的还是负的？负的。负的。把正号抹掉对吧。会算答案了，不会来告诉我答案是多少。底下 负的六十五分之二，六十五分之负二十，负的五十六，这不就答案了吗？ 是吧。所以这道题其实比较简单。简单的地方在哪里？在于第一步，凑脚，没有为难你。简单呀， 但是不是所有的题目人家给你一个条件，吭哧，你俩一加俩一减往出一凑就能出来的很多，你发现哦，靠，题目条件已经不够用了。那怎么办？我们等下会讲，不要着急哈。然后接下来这道题目 就是他比较简单的地方在于确定范围，没有为难你，你很快能确定出来，但有的题目你发现你的范围确实确定出来是模棱两可的，就是你确定那个范围，咦，他可正可负，那应该怎么办呢？这都是我们接下来给大家讲的问题，来看下一个题目。看凑巧的第二种考法， 一样的吗？你看这道题目中已知角是哪个角度？有几个已知角？是不？刚刚说过了，给这个角的三角函数值，它就是已知角，那这个是未知角， 当你有了凑角的思维，你就不会想着光想着把它塞考考塞展开了。哎，你就会想把这个未知角是不是用已知角给它凑出来来，能凑出来不？你告诉胡老师，能不能 就一个呀？这一个咋凑他呢？是不是压根就不够呀？是的，所以那咋办呢？除了他是一只脚，咱们心里是不是还有三六九四十五也叫一只脚？ 所以呢，凑脚的核心就是，我可以用已知角加减一个你心里的特殊角，我把这个未知角给他凑出来也可以， 是吧？哎呀，关键问题，就这道题中这个特殊角是谁呢？你是不是想半天呀？想吗？你告诉我是谁呢？ 嗯，胡老师，我想不来，就不是让你想的，是让你算的。既然不知道这个特殊角是谁，我告诉你个技巧哦， 咱们可以通过移项，只要把已知角和未知角一加一减，能出来一个特殊角就可以了，然后再把这个未知角用你俩一表示结束， 反其道而行，就我算，我算出来你这个特殊角是谁，我就往这一带，你俩一加一减就是他了。但是我现在不知道是谁，我就这不是可以移项吗？是不是现成的这两个一加一减，只要能够出来特殊角，这不就找到特殊角了吗？ 能理解这意思了吗？来，我带你们操作一下第一步。有的宝贝可能都已经蒙了。没蒙吧。来，你看现有的角度是谁。我先写下来啊，叫做 六分之派减而法。一只角和他是不是一加一减啊。我再把这个写下来，这是三分之二派加二而法。哎呀，他俩一加一减能出来特殊角吗？不行 不行。为啥？因为阿尔法消不掉。对是吧，那你把阿尔法消掉不就完了吗。这个角是一致的，他的二倍能求出来不？可以，二倍角也是一只角，一半也是都是，都是连带的。所以这事不简单吗？我给他乘个二，二倍角也是一只角。 是的，不是的。来，接下来是加还是减呢？能跟上不？两个一加等于谁啊。哎呀，二而法这是整体啊。二而法二而法没了，三分之派加三分之二派是派，这不就特殊角度吗？ 我们要干嘛？我们要表示的是踏实是不是。是的，来，开始了啊。所以说定准啊。 三分之二派加阿尔法未知角用两个东西去表示是不是拿你两个去表示就可以了。派减去二倍的，六分之派减阿尔法搞定。 这是不叫已知角？是的，这是不叫特殊角。是的，不就把它表示出来了吗。对，所以这个特殊角不是想出来的，是算出来的。发现没有发现。哎。第一步搞定之后后面第二步就简单了。题让我求啥。求 cosine 两边同时给他加 cosine。 哎。这个你写个小括号就可以了啊。我写个大的了。写大的就写大的吧。靠，再派减去二倍的来六分之派减一个而法展开吗？考考塞塞。展开是还是不是啊？是个毛线是什么？又是 这个东西是什么？诱导公式？嗯？诱导公式嘛，是吧，派钱是整数，可以给他踢出去。是用诱导公式。名称变还是不变？名称不变，靠三，这应该是 二倍的六分之派减个 r 法是不是长这个样子？我再带个括号吧，这样你看起来更加清楚一点 是吧，外面是正还是负的？负的正还是负的？负的。哎呀，看的是原来角度派捡一个东西捡哪去了？对应的考餐值负的负的，欧了 是吧，能看懂吗？等于你可千万不要把这个二给人乘进去啊。你乘进去你就看不来他和这个角度是二倍的关系了，你就把二写到外面看的很清楚吗？对不对？来吧，你看二倍的这个角度， 然后题目给的是这个角度。啥关系啊？二倍角公式吗？二倍角公式一共有三个，还记得不记得有哪一个 考三二二法等于写一下，考方减去三方，第二个二倍的考方减一，第三个一减二倍的三方二倍的一倍角的三值， 你二倍的，这不一倍吗？一倍角的三值用第几个？一二三是不是用第三个？是不是只要你两个是二倍关系就可以了吗？是不是来开始带一下啊？哦，符号不变， 一减去二倍的三六分之派减去，而法这六个平方 是不可以出结果了，出一下吧，等于负的一减去二乘以九分之一，所以答案是负的九分之七。完了，这是我今天给大家讲的法一凑脚 没问题吧。没有，从上一道题目到这道题目，两种凑法不太一样，上一个，哎，直接一凑，这道题目直接凑不够用了，这个特殊角应该怎么去找？这就是所有这种类型题目的思路。会了啊，但是这道题我还想给你升级一下， 就是像这种哎呀，需要借助特殊角去做的题目啊，或者题目很明显啊，他只有一个条件，只有一个，让你求其他的啊。我们还有一种做法，就是我想把它看成整体。嗯，这叫什么思路？ 再给你讲个法二非常好换元。我们来讲一下法二，把这种类型问题给大家升级一下，像刚才的立一，拿换元做不太好做，为什么？因为条件里面有尔法和贝塔两个角度，如果凑脚的问题，就像这个只有一个尔法， 只有一个尔法，我们往往可以采用换元的方法。我来写下来，法二叫做换元， 货源就是整体思路呗，把那个打包看整体来，我如果令 t 等于六分之派减去 r 法，是吧？把这个打包看成整体的思想吗？那这不就是三 n t 吗？ 没问题吧？没有，然后题目让你求靠三，既然引进了新元，我就把所有的东西全给他换成 t 吗？把这个而法是不是也得给他换成 t 啊？那你不得反解一下吗？来把而法反解一下吧。而法等于谁？而法等于 六分之派减一个 t 该没问题吧。所以说带入了开始，别着急啊，来，我写一下啊，考赛三分之二派加上二倍的把耳法是不是换一下六分之派减一个 t 长这样能跟上吗？对， 这是多少写一下啊。考三，这应该是派减去一个二 t 吗？是不是搞进去跟刚才一样，又到公式踢出去名称不变吧。考三二 t 外面是正的还是负的？外面是负的， 然后这给的是什么 t？ 三 t， 这是二 t， 是 不是二倍角公式啊？跟刚才一模一样的啊，我写到这来等于负的多少？一减去二倍的三 t 的 平方带进来， 一减去九分之二，所以答案是负的九分之七。 按道理来说，换元一定要确定什么？确定新元的范围，那这道题新元的范围 怎么确定呢？或者说鑫源的范围对于我做题影响大吗？如果不影响的话，我确不确定其实都无所谓了，是吧？你算题，你看鑫源的范围对我没有影响吗？你可以看一看， 好，有影响就去确定，没有影响我就不用确定了吗？确定的目的就是因为他对我做题有影响吗？是吧？看一下有影响吗？没有，这就是我们今天给大家讲的凑脚问题，然后第一个正常凑，第二个不够了，借助特收角，第三个换圆。 但是呢，凑脚的技巧和方法远不止这些，他还有更多高级版的考法，你只有把基础版高级版所有的考法全部掌握透彻，那么以后做这种题型才不会出错。 所以这些基础和高级版的方法全部在我们给大家配套的三角函数二十三大题型当中，都是期末必考的， 老师全都给大家梳理出来了。而且你配套的同类型题目的辨识训练，然后你可以留一下二十三大题型，然后我给你安排拿走打印，尽快训练起来。跟着老胡的课程，我们期末考试冲刺满分好不好？好好下课！

跟着老胡走，数学幺四九各位同学大家好，我是老胡。今天我们学习高三一轮复习第四章的第六节， y 等于 a bit 三 a omega， x 加 five。 这一部分我们主要学习两个东西，第一个东西是平移，第二个是求残缺图像的解析式。首先我们来看一下知识点，平移指的是如果 y 等于 sign， x 如何把它平移成 y 等于三倍 sign 的 二 x 加上，比如三分之 pi， 那 平移的话， 一般情况下一次平移只能平移一个量，所以这里面变成了 a 倍 sign， omega， x 加 five， 这里有三个量，要通过三次平移， 在平移的过程中间， a 在 任何时候平移都不会产生影响，所以我们把 a 放到最后去平移。为了说明问题，我们把 a 放到最后一个位置去平移。 首先来看第一个，我有可能把 y 等于三 x 平移变成 y 等于 x 加上三分之派，这里谁发生了变化，因为它是 a 倍的三 omega， x 加 find， 比较一下系数就可以看得出来。在这里我们是对 find 进行的变换， 然后 y 等于 sine 的 二 x 加上三分之派，在这里很明显是对 omega 进行的变换，从这到这是对 a 进行的变换，的确进行了三步。第二种方法 可以先对 omega 进行变换，也就是 y 等于 sine 的 二 x， 然后再对 f 进行变换， y 等于 sine 的 二 x 加上三分之 pi， 最后再对 a 进行变换。 其实什么时候对 omega， 什么时候对 five， 什么时候对 a， 随便换。但是为了说明问题，我们把 a 放到最后来看一下先 omega 还是先 five， 它们会不会不一样，其实是有很大差别的，很多学生在这里会被绕住， 希望通过这次的学习，大家能够彻底弄懂到底怎么平移的。一般情况下，左右平移只对 x 进行加减， 大家记住这句话，左右平移只对 x 进行加减，那所以 y 等于三， x 变成 y 等于 sin x 加三分之 pi。 应该是将 y 等于 sin x 这个函数的图像向左边 左加右减嘛，向左边平以三分之 pi 个单位，就会得到这个函数图像。好，再来看一下 omega， omega 是 跟周期有关系，这里的周期 t， 它是等于二 pi 除以一的，所以它就等于二 pi 后面的这个周期呢，它是等于二 pi 除以二的，所以它的周期是 pi， 也就是说，将这个函数它的周期 缩短，缩短为原来的一半，就会变成它。但是呢，我们在做题的时候不会遇到说什么周期缩短，我们大概率的情况下会遇到横坐标缩短，所以大家需要注意，题目说什么周期缩短，或者说是遇到横坐标缩短，说的都是周期， 因为你周期本来说的就是横坐标缩短吗？好，再来看第三个，这里的最大值 是一，最小值是负一，但是你前面成了个三，那么最大值就是三，最小值就是负三，所以呢，这里是把它这个函数图像上下拉伸为原来的三倍。 好，这是第一条线，就这样过来了。再来看下面这条线， omega， omega 是 跟周期有关系，那前面的这里的周期是等于二 pi 除以一，所以它是二 pi， 那 这里的周期呢？是二 pi 除以二， 它是等于 pi 的， 所以应该是将它的横坐标 缩短为原来的一半， 就可以得到 sine 二 x。 再来看由它到它是不是向左边平移了？到底向左边平移了多少？是平移了三分之 pi 吗？没有，是二 x 加了三分之 pi。 那 实际上 x 只加了多少呀？你看 x 应该加多少？因为前面有个二嘛， 所以 x 只加了六分之一。刚刚我们说过，左右平移只对 x 进行加减，相当于我只要对 x 加了六分之一，实际上就是二 x 加了三分之一，所以它应该是向左边平移了六分之一个单位。 再来，在这里，它的最大值是一，最小值是负一，这里最大值是三，最小值是负三，所以拉伸为原来的三倍 就得到了。大家把上下两个看一看，觉得有什么差别？ 先来说相同的东西，哪些是相同的？横坐标缩短为原来的一半，横坐标缩短为原来的一半， 拉伸为原来的三倍，拉伸为原来的三倍。他们经过三次平移，其中有两次他的尺度是完全一样的，唯独有一个不一样的，就是这个是向左边平移了三分之派，这个呢，是向左边平移了六分之派， 这个是不一样的。所以各位同学在做题的时候，尤其需要注意这里面它到底是先 five 后 omega 还是先 omega 后 five。 但是呢，我觉得根本就不用记，你只需要记住一点，平移的时候只是对 x 进行加减就可以了。 这是第一种类型的题目，也就说给了你 f x， 让你平移变成它。但是有一些题目呢，它会让你从这里出发，它也就说啊，某一个函数，某一个函数，这个函数你不知道了， 他说某一个函数经过了向左边平移了三分之二，然后呢，又把横坐标缩短为原来的一半，又把它拉升为原来的三倍，然后得到了这个函数，他把这个函数解析式告诉你了，他问你原本的这个东西是多少？ 那学生做题应该怎么做？他给你的是，先 by， 再 omega， 再 a， 然后得到它。那你在做题的时候就要倒着过来，那你就是先 a 一下，再 omega 一下，再发一下，然后你就能把它算出来 它是怎么，它是这样过去的，那你就要这样回来，否则你就有可能会变成这样。变成这样的话，那你底下的东西就全部都错了。因为 five 和 omega， 它的位置变掉了以后，尺度会不一样，所以它是顺着过去，你就逆得回来。这是第一个题目。 再来看第二个，求残缺图像的解析式，那求残缺的图像的解析式。也就是说，我们要求的是 y 等于 a 倍， sin， omega， x 加 phi， 最多嘛，加上一个 h， 因为 h 是 平移，很容易看得出来，所以这里我们就不再说它。 那也就是说，我要算 a， omega， 还有 five。 一 般情况下，相对而言难一点的是 five 会稍微难求一点，总体而言都不是难题。 a 可以 怎么做？看图就可以了， 你可以看看它的最大值是多少，最小值是多少，到底有没有经过偏移，很明显，一眼就可以看得出来。 再来看 omega， omega， 我 们知道它和周期有关系，周期等于二， pi 除以 omega 的 绝对值，这是 sine 和 cosine， 那 如果是 tangent， 它是等于 pi 除以 omega 的 绝对值。但是很多时候呢，题目并不一定会给你完整的周期，那我们要知道，两根相邻的对称轴，它是半个周期，所以你就要列出一个式子，半个周期就等于两根相邻的对称轴，那么就 x 二减 x 一， 它的绝对值吗？ 你把这个式子列出来，然后是不是在这里就可以算出 t t 就 等于两倍 x 二减 x 一， 然后 t 又是谁？又是二 pi 除以 omega， 如果是三也和 cosine 的 话，那么在这个式中间是不就可以把 omega 算出来了 啊？这是两根相邻的对称轴，那两个相邻的对称中心是不是也是半个周期？那如果是一个对称轴和一个对称中心， 这里是对称轴，这里是对称中心，那么它是不是就是四分之一个周期是不同样的去列类似于这样的一个式子就可以了？好，一般情况下都是先上 a， 再上 omega。 第三步，上 five five 的 话，我们做题都是带点， 因为 a 和 omega 都已经算出来了，那这个是个具体的值，这也是一个具体的值。然后呢，我们可以带一个点进去，那么带点一般情况下带的要么就是最高点，要么就是最低点，而不会带零点， 因为在正弦函数中间，零点会有好多个，在一个周期内，它有三个零点，余弦也是类似的， 那么你就算是带个零点进去以后，你要考虑它是先负后正还是先正后负，这里就会非常的啰嗦。所以不到万不得已，我们坚决不会带这个 零点，而会带最高点或者是最低点，因为在一个周期内，它只有一个最高点，一个最低点还是很容易能判断出来这个 five 的。 具体的等一下我们题目中间会去说。好，这里主要就是讲到这两个知识点，下面我们回到 ppt 上来， 首先看一下第六节，它位于三角函数与解三角形的位置，它位于三角函数中间的第六个知识点，我们已经讲过了，这里就不再赘述， 这里是它平移的步骤，各位同学需要的话可以暂停的看一看。下面我们来看自主诊断 函数 f x 等于 a 倍的 sin omega x 加 five。 它的最大值是 a， 最小值是负 a， 很 显然错了，错在什么地方，因为我并不知道这个 a 到底是正数还是负数，万一 a 是 个负数呢？它最大值是负 a， 最小值是正 a。 第二题，函数三倍的 sin， 二 x 向左边平移四分之一，那左加右减，所以它平移了以后就是 sin 的 二小括号 x 加四分之 pi。 我 们刚刚讲过的平移，它只是对 x 进行加减， 所以它等于 sine 的 二 x 加上二分之 pi， 那 根据诱导公式既变哦不变符号看象限，所以它应该等于三倍 cosine 的 二 x， 所以 这个东西错的。 第三个，把这个图像上的点各点的横坐标缩短。刚刚说过了，横坐标缩短就是周期缩短，那原本的周期 是二 pi 除以一就是二 pi， 所以 现在的周期就会变成 pi， 那 所以 omega 是 不应该要等于二， omega 等于二。那么这个解析式 y 等于 sine 的 二 x 解六分之八，是不是只是对这个东西变，而跟它没有关系，所以它是错的？ 下面我们来看一下常见的题型。常见的题型有以下三个，第一个，关于图形的变换，第二个，求解析式。第三个，综合应用。首先我们来看一下图形的变换， f x， 它的图像与 x 轴相邻的交点之间的距离，那是不是就是两个零点之间的距离？是三分之 pi， 那 是不是说明了二分之 t 就 等于 三分之派，所以 t 就 等于三分之二派，那 t 又等于二派除以 omega 的 绝对值， omega 本来就是个大于零的题目说的，所以 omega 等于三，那此时它说得到的是 g x 的 图像， 那 y 应该是等于 a 倍的 sine 的 三 x 加上三分之派。 要想得到这个东西，那你看怎么样能得到它？函数名都变掉了，有两个想法，第一个想法，把这个 sin 改成 cosine， 第二个想法，把这个 cosine 改成 sine。 我 会选择把 cosine 改掉，原因是因为不会多出来符号。你看 a 倍 sine， omega， x 加上 反 z 派，因为根据基变偶不变符号。看下线，它在第二线线，第二线线的三是个正值，并不会读出来符号。当然你要改这个也可以，改这个的话，那你就要用二分之派减也是可以的。 好，现在比较一下，这个是 a， 这个 a， 这个是三，这个是三， omega 就 已经是三了，没问题。那所以它要向哪边平移，那就是 a 被 sin 的 三 x 加 加 five， 再加三分之派，那这个东西就应该和这个东西是完全一样的，也就是说三 x 加三 five， 再加三分之派，就等于这个东西 三 x 加二分之派。当然呢，也有可能会加二 k 派， 所以三 x 跟三 x 约掉，那么三 five 就 等于六分之派加上二 k 派，所以 five 应该等于十八分之派加上三分之二 k 派。 所以我只需要向左边平移十八分之派个单位就答案就出来了，所以正确答案选 c。 这是第一小题，在第一小题中间是不是一定要知道平移的时候指示对 x 进行加减？ 第二小题，将函数这个东西的图像向左边平移，左加右解，所以平移以后应该是 sin 的 omega x 加上二分之派，再加上三分之派 sin omega， x 加上二分之 omega pi 再加上三分之 pi 就是 它了，它说这个是曲线 c， 然后呢？说曲线 c， 关于 y 轴对称， y 轴对称是不是应该想的是偶函数啊？ 偶函数这里看到的是三，所以我是不是要把这个东西把它变掉？那换句话说，这个东西他是不是一定得是二分之派的基数倍？上一节课讲过，二分之派的基数倍是不是说明他应该是等于 二分之 pi 加上 k pi 的 呀？两边每一项都有 pi， 把它全部约掉。所以二分之 omega 加上三分之一就等于二分之一 加 k， 所以 二分之 omega 等于六分之一加 k， 所以 omega 等于三分之一加二 k。 因为 omega 大 于零，所以它的最小值三分之一。这个题的正确答案选 c。 第一题和第二题有非常像的地方，就是要变三角函数名，这里需要各位同学你的诱导公式掌握的要非常熟练， 这是第一种类型，咱们再来看第二种类型的题目，求残缺图像的解析式。刚刚我们说过求残缺图像的解析式，是不是求 a， 求 omega 还有求反？ 下面来看一下 a 是 不是很容易就能看得出来，因为最大值为三，最小值为负一，是不是说明这个函数图像被向上平移了，平移了一个单位， 因为你想，如果它没有平移之前，它的最大值是不是二？没有平移，它的最小值是不是刚好是负二，所以 k 它等于 一。有一些老师教的呢，就是把这个和这个相加除以二也是一样的啊。再来看，那 a 是 不也就出来了呀？ a 等于二。再来看 omega， omega 是 跟周期有关系。你看，从这到这两根相邻的对称轴是半个周期，所以半个周期就等于十二分之五派。 减掉负的十二分之 pi， 那 也就是加上十二分之 pi 等于二分之 pi， 所以 周期就等于 pi， 周期就等于二。 pi 除以 omega 的 绝对值，那是等于 pi， 所以 omega 等于二。 omega 等于二，可以等于一。这里都出来了。最后看看 five， 刚刚我们讲过， five 是 要带点，要么带最高点，要么带最低点。随便吧，咱们带一个最高点进去。先把解析式写出来， f x， 此时它是等于二倍三的二 x 加 five 再加一， 要带的点是负的十二分之 pi 等三，所以三等于两倍 sin 二乘以负的十二分之 pi 加 five 再加 e， 所以 sine 的 负的六分之 pi 加 five 就 等于 e。 三多少是 e 啊？三九十度是 e， 所以负的六分之派加 five， 应该是等于二分之派加上二 k 派，所以 five 就 被算出来三分之二派加上二 k 派。 因此 c 答案错误。这个题的正确答案 d d， 这是第一小题。再来看第二小题， 如图所示，是它的部分图像， a b 的 长度等于五，则此函数的解析式， a b 的 长度等于五。 这么长是五，那又因为这么长是二，那，所以这么长就是四，那所以这么长就是三，那这么长是不是两根相连的对称轴，所以 两根相邻的对等轴是半个周期，它就等于三，所以周期就等于六，周期又等于二 pi 除以 omega， 说明这个东西等于六，所以 omega 等于三分之 pi， 那 么此时 f x， 它就等于两倍 sine 的 三分之 pi x 加 five。 不 知不觉是不是已经知道了 a 和 omega 了，现在就是要算 five， 刚刚也说过算 five， 带点进去算， 我们要带的是它的最高点或者是最低点，但是这个点的横坐标我们不知道，这个点的横坐标也不知道，所以最高点最低点都不知道。那没有办法了，看看题目中间还有没有，有，这里还有个 e 在 这呢， 它经过的是零逗一带进去，所以一等于两倍三 y， 那 所以三 y 就 等于二分之一。那又因为 five 在 这个范围之内， 所以 sine 应该是等于一百五十度，也就是六分之五 pi， 所以 f x 等于两倍 sin 三分之 pi x 再加上六分之五 pi。 做了这两个题，是否发现求残缺图像的解析式的题目几乎是相同的， 这是第二种题型。再来看第三种题型，综合型的题目。看一下这个题目， y 等于 f x， 由函数这个东西向左边平移六分之派个单位， 那左加右减，所以平移了以后，它应该是等于 cosine 的 二 x 加六分之派，再加六分之派， 所以等于 cosine 的 二 x 加上 alpha 值牌，所以等于负的 sine 二 x。 它说这个函数图像与它交点的个数，那下面不就是竖形结合了吗？ sine x 的 图像本来是这个样子的，那负的，所以它就会变成这个样子。 除此之外，我们还要知道这里的周期变成了 pi 了，而不会是二 pi， 所以 从这儿到这儿，这里应该是 pi， 这里应该是二分之 pi， 那 所以这里应该是四分之 pi， 这里四分之三 pi。 再来画一下这个函数图像，令 x 等于零， y 等于负的二分之一，大约在这个位置。 另 y 等于零， x 等于一，一大约在这个位置。 所以这个图形可能是这样的，但是呢，有可能是因为我们做图做的不准，也就是说有没有可能它从这里就直接上去了呢？所以我们要算一算四分之三派的时候，看看它有没有超过一， 那四分之三派，二分之一乘以四分之三派，再减二分之一，那就等于二分之一，四分之三派减一， 四分之三派派是三点一，四乘以三，这里应该是九点四二，九点四还剩个二点几，二点几减一， 还剩个一点几，一点几除以二，还剩个零点几，所以它在这里就是这样的图形，那后面有没有会超过呢？在这里我们还可以，还是需要去带一个点， 这个点应该是四分之七派。你把四分之七派再带到这里面来看看它和一的大小，很显然肯定飞出去了， 因为在这里都已经是零点六几左右了，所以后面它肯定能够超过一。因此这个题的正确答案它只有三个焦点， 一、二、三，所以正确答案选 c。 通过今天这个课程的讲解，我们主要讲到了两个东西，第一个是平移，第二个求残缺图像的解析式。 最后，欲渡关山，何惧狂澜。风生水起，正好扬帆。我们下期课再见，拜拜。

利用角的关系呢？求三角函数值，那不一定都是互补或者是互余，知道吧？那么你看哈，我们这样的一个题啊，它是有难度的哈，已知 theta 呢，是第四象限角，对吧？欸，三 e theta 加四分之 pi 等于五分之三欸，它还是大于零的， 让我们求贪界的 theta 减四分之 pi 等于几好？那么这样的一道题，首先我们可以观察一下它们两者这两个角之间的关系哈，虽然你这个函数名不一样，对不对？我们不能直接得到，但是呢，我们可以找它们之间的关系， 什么关系呢？你看，一个是 theta 哎，两个都是 theta， 我 们要想找它们有特殊关系的话呢， 就找它们的和或差为定值，那么都是 c 它，我们就让它们相减，你看哈，我们四分哎， c 它加四分之派，当做一个整体减去 c， 它减四分之派 是一个整体，那么 c 减 c， 它没了，四分之派减负四分之派等于二分之派，那也就是说呢， c 它加四分之派 和 theta 减四分之二，那么这两个角相差为二分之二，你既不是互补，也不是互余，但是呢，它们相差是二分之二，这样的话呢，其实我们就可以用诱导公式 找到他们之间的关系了，为啥呢？因为诱导公式就是化简的，是什么呢？就是前面的这个角是二分之派的整数倍，我们就可以用诱导公式化简嘛。好，但是这道题难在哪呢？ c 它加四分之派，你这个象限的确定，你看 c， 它是第四象限角 哎，第四象限对吧？而我们这个 sin theta 加四分之 pi， 那 么等于五分之三，它又大于零，哎呀，意味着什么呢？大家说第四象限的一个角，你加上四分之 pi， 那 是不是 相当于是你在第四象限的一个 c 塔逆时针旋转了四分之派，这样的一个角度，你的正弦值变成了一个正的，那说明你旋转到了，是不是第一象限呀？ c 塔加四分之派，对吧？那所以其实这是我们的难点啊，我们能得到 c 塔加四分之派为第一象限角， 对吧？这是我们这道题最难的一个地方，好多孩子呢，都看不出来，为啥我要确定他的相线呢？因为我们要由他， 是不是求他的余弦值吗？所以你看我们 cosit 加四分之派，那就是正的了，那么你开方直接等于根号下一减 sin theta 加四分之派的平方，你要是不判断它所在的象限，你前面有正负，那你得到的结果就多一个，那么直接填空题就是零分了，好，那么所以等于根号下呢？一减五分之三的平方，哎， 就等于五分之四，好，我为什么要求它的余弦值呢？大家来看啊，因为你最终要求的是正切值啊，我首先得到这个角的正切值，是吧？那所以我们的 tangent c 加四分之半， 那么是不是就等于 sin sit 加四分之 pi 除以 cosin sit 加四分之 pi， 对 吧？好，那么 sin sit 加四分之二是五乘三，五乘三除以五分之四，那就是四分之三， 好，我们得到了它，我们来看我们的目标，所以贪戒它 c， 它减四分之派，那么我们刚才已经找到了它俩之间的关系了呀，对不对？你看你它，你要往它身上去转化，往已知的这个角， 那么 c 减四分之派，你要通过移项，是不是就等于 c， 它加四分之派，键减二分之派，贪戒它，这个好， c 加四分之派，当做一个整体减去二分之派， 是吧？哎，就是这样的哈，大家要真真听啊，你看，这个时候我们就可以再来一步，等于负的 tangent 二分之派减去这个整体 theta 加四分之派， 对吧？哎，就是呃，它俩相加，这是这样的一个关系，但是这个关系呢，我们以前没有学过。那没有学过怎么办呢？啊？大家你想一想啊，我们这个 tangent c 减四分之派等于它， 其实呢，你没有学过这个正切的时候，这个二分之派的基数倍，你要改变函数名。其实我们没有学过这个余切，现在已经从教材上删去了， 这也是我们的一个难点。为啥说这道题比较难呢？所以其实在这里的话呢，我们应该再来一步，我给你换一个啊，已经写不下了哈。哎，已经写不下，我们换一下他其实等于什么呀？负的 把正切换成正弦余弦你就不可以转化了吗？它等于什么？好，这里我分割一下啊，它就等于负的，哎，我把这个符号写前面哈， c 二分之派减去 c， 它加四分之派。比上 cos 二分之派，然后减去 c， 它加四分之派， 对吧？那正正弦与弦你会了呀？好，我继续往上写哈。那么这等于负的什么呀？ cosine sine 加四分之派，除以 sine sine 加四分之派。那这两个值我刚才已经求出来了，一个是五分之四，然后一个是什么呀？啊？五分之三，那么前面还有一个符号，所以就等于负的三分之四。 那你看这道题来总结一下，它是一道压轴题，这里边有两个难点，第一个难点是什么呢？就是通过 set 为第四象限角，还有 set， set 加四分之 pi 大 于零，我们推出这个角是第一象限角，从而我们得到 cosine set 加四分之 pi， 对吧？那他 c 特加四分之派的正弦和余弦我们都有了，然后我们就可以求出他的正切值，然后找到他的正切值和他的正切值是不是之间的关系啊？就是未知角向已知角转化。然后呢，正切你要改变函数名，不知道怎么变 化成正弦除以余弦，再去改变函数名，从而呢得到最终结果。非常难的一道题，你听懂了吗？关注老师，学习更多高中数学知识！

同学们好，今天咱们来看一道有关三角函数的题型。首先这道题说了 cosine omega x 与 cosine omega x 减三分之派相邻的三个焦点构成一个直角三角形，求 omega 的 值。这个题首先咱们 先要干啥？求出三个焦点来求出三个焦点的办法，比如说有做图来观察，这个题，做图不是太好做，尽管周期一样，但是做的图不能去观察，所以咱们就采取计算就可以了。所以咱们可以干什么？连立 cosine omega x 和 cosine omega x 减三分之派，然后给他进行右边进行展开就行。 二分之一 cosine omega x 加上二分之根三 sin omega x 很 容易得到，你看这摞过去二分之一啊 tan omega x 等于三分之根三， 所以这个时候咱们就很容易得到 omega x 是 谁了，是 omega x 是 不等于六分之派加 k 派了，然后 x 是 谁？因为 omega 是 大零的，除过去就可以 说六 omega 分 之派加上谁， omega 分 之什么 k 派， 所以咱们把他的点咱们都来看一看，看是谁，咱们拿出三个点来就行。正常大家要知道交的点应该是什么格局， 比如下面交一个，上面交一个，再下面交一个，他都是这么一个格局。先把格局得大概知道，你任意拿出三个点来，比如说拿出这三个点来，是不是相当于肯定是这两个？是这个是直角吗？如果你拿的是这个呢？是也是第二个点，这个是个直角， 所以你就只需要随便取三个点，直角肯定是第二个这个角，所以咱们现在给 k 就 取零， k 取零，咱们就取出相邻的三个点来， k 取零，咱们就知道了这个什么 x 一 是 x 一， 它是谁？六欧米伽风之派，咱们把它认为是标个点吧， a 点吧， a 点就谁了，六欧米伽风之派，斗谁 三分之跟三。然后咱们再来看看 k 等于一时，那 k 等于一时，咱们来看看 x 二它是谁？ 是不是就是六欧米伽风之谁七派， 六欧米伽分之七派。这个时候咱们来看一看。呃，刚刚这个 a 点咱们相当已经做出做出来了，咱们可以看看，来看看这个 b 点是谁？ b 点就是 六欧米伽分之七派，斗 逗三分之，我看 omega 这个出来了，这个点，这个点应该带入随便一个函数面去求啊。对，应该带入随便函数去求，也就是说刚刚求到这个点，只是这两个函数交点的时候，这个对应的 对应的这个什么贪 omega， x 的 y 值并非原函数的，那刚刚就是有一个点咱们需要去纠正，也就说咱们现在不管带入这两个函数来，一个函数 x 一， 既然取六 omega 分 之派了，咱们带进去， 那就是六分之派了，那就是二分之根三了。那咱们这个如果带六六 omega 分 之七派的话，咱们带进去，咱们看一看 cosine 六分之七派，负的二分之根三了，对，然后 k 等于二十， x 三就是谁六欧米伽分之谁 十三派，咱们带进去，假设是 c 点还是带入圆函数，不管带入这个函数还是这个函数都可以，它就是六欧米伽分之十三派，逗，应该是正的二分之根三， 刚刚差点算成了这个什么钛欧米伽 x 的 值了，应该是原函数的值。钛欧米伽值是什么？只是我算 x 的 时候的一个式子，并并非真正原函数的一个 y， 所以 这个时候按照咱们刚刚理论，是不是 ab 和 b， abc 是 直角啊， 所以咱们就知道了这个什么啊， ab 和 bc 它是直角。如果说是咱们是在高一的话，可能这个做起来就吃力了一些，如果是在高二高三的话，是不是可以利用斜率或者说向量相成为零去走？所以咱们可以走什么？ b a 向量乘 bc 向量等于零就行，我觉得这样就很容易， b a 向量就是谁 负的欧米伽分值派负 根三， bc 向量就是谁以减 bc 向量对 欧米伽分值派负根三，它等于零，所以得到了负的欧米伽方，分值派方加上三等于零， 所以咱们很容易解出来。欧米伽方等于三分之派方，所以欧米伽因为是正值，所以欧米伽等于谁三分之根三派。这道题也就结束了。 当然了，这道题的话就是相当于咱们是强解他，因为作图确实不算是很容易，但是一定要明白他交错点的格局应该是这样的。好，这道题咱们就说到这，如果有大家有什么问题可以在评论区打出来。

拿下 y 等于 a 倍的三 omega， x 加 y 加 b， 我 们必须拿下三角函数里面的止于问题， 因为这是高考超高频考点，每一年都会考，而且在我们高一下学期解三角形。第二问大题也要用到它，一共是三大考法，今天一口气全部给大家讲透彻，以后一分不丢行不行？行，那它是哪三大考法呢？一共第一个， 他一般会让你求止欲吗？说在儿上你给我求个止欲是吧？就 x 属于儿吗？这指的是 x 的 范围。第二个就是在某个区间上让你去求他的止欲， 然后还有化简之后跟二次有关的，叫二次型的止欲问题。我们先来说第一个，叫做考法一， 在 r 上让你去求值域的问题。好吧，通过具体的例子咱们来说一下啊， e j 第一个例子，比如说 y 等于二倍的三，二， x 加上三分之派加一个六， 我让你求 x 属于 r 上它的止于问题，会吗？不会，这个你要会的话，你首先得会我们上一节课给大家讲过的啥？前面讲过的图像的什么 平移伸缩变换吧，对不对？我们讲平移伸缩变换的时候说里面这个东西，你两个一个跟 什么有关？ x 方形的伸缩有关，一个跟平移有关，你们跟我歪直有关系没有？没有吧，跟歪直有关系的，这个影响的是歪的伸缩问题，这个影响的是歪的什么问题？ 平移问题。我让你求的是在儿上他的最大值，最小值值域，求白的值域。我没写完，你自己写啊。来，你跟我说是不？只要知道这个图大概是怎么画就可以了。那我没有二没有六的时候，胡老师大概给你画一下图啊，比如说他的图像大概长这样， 最高点是一，最低点是负一吧，成了个二，变成什么了？会画图不把图像学会画出来，是不是它的图像所有的 y 值升为原来的两倍？两倍，图像大概长这样对不对？最高点变成谁了？ 最高点变成二，最低点是负二，然后加了一个六，是把整个图像往上平移几个单位？六个单位，那这个最高点变成谁了？ 最高点八，哎呀，你说整个图像是不是都往上大概这样走了 是不是？你看一下啊，这个点跑到这来了，这个点跑到这来了，能看来不可以，对吧？你大概会画这个图，其实你一眼就看出来这道题它的最大值和最小值是谁了，来，告诉我，最大值怎么求？ y 的 最大值等于 是不就是二加一个六等于八？因为你的最大值是一嘛，乘二加六的意思是不是？是的好，那 y 的 最小值呢？ 最小值负二是不是对不对？对，负一嘛，拉伸一下，负二，再往上移六个单位嘛，加个六应该是四，以后就不用画图，这个图得在你的心里出现，有问题吗？没有，没有问题，来，开始讲第二个， 他还会怎么考你？比如说 y 等于负二倍的三，二， x 加三分之派，然后加个六，依然 x 属于二。我让你求值域问题，求的是最大值，最小值啊，来，怎么求？ 我们把这个图像心里必须得有，结合前面咱们讲过的什么图像变换， 如果没有这个负二，没有六，图像会画吧？他的姿势保持不变吗？是不是跟刚才一样长这个样子？乘个负二是什么意思？乘 个负二。那你不知道乘个负二是什么意思？乘个二总该知道吧？知道是不？跟刚才一样的。乘个二是不是所有的白纸 拉为原来的二倍，两倍零，这个点二倍还是零吗？所以这些点是不动的是不是？是的，然后还有个符号是什么意思？负二是什么意思？来告诉我。对了，成个符号是整个图像，是不是歪直打个颠倒呀？哎，你看我把这个图像给大家大概画下来， 图像是不是大概长这个样子？对，哎呦呦呦，长这样， 我瞄一下，长这样没问题吧？然后加个六是啥意思？最高点你就是二 o， 这是负二 o 加个六是什么意思？把所有的图像往哪移？往上平移六个单位。那他的图像我给你画一下啊。哎呀，这这，这咋画呀？这 图像姿势是不是大概长这个样子了？对，其实就是把这个点移到这来了，这个点平移到这来了，能理解不？可以，来，你跟我写一下它的最大值和最小值啊。此时 y 的 最大值是谁？最大值的话还是二加六， y 的 最大值还是二，如果你是负的， 去他的绝对值，是吧？叫做二加六。是几八？那 y 的 最小值呢？负二加六，负二是吧？还是负二加六等于四？接下来我们来总结一下。那对于这种题，我以后总不能每个题都画图吧？总结， 对于 x 属于 r， 像它 y 等于 a 倍的三欧米伽， x 加倍加 b， 它的最大值，最小值是谁？你自己说 它的最大值， a 的 绝对值。哎，很好，你看二加六，二加六，二是谁？是不是都前面这个数字的绝对值啊，叫做 a 的 绝对值往上平移一个单位加 b 吗？ 为什么？你看这个图像的变化你就知道了。是不是来，那他的最小值怎么去求解呢？观察，负二加六是不给他添了个负号？是的，负二，这也是负二加六，给他的绝对值填个符号吧。是的，都拿绝对值去说话，给他绝对值加了一个 b， 这就欧了。 给定区间求值域，会了没有？会了，所以这种题一般出现在选择填空里面，口算你必须得能算出来好不好？好，那么考试中除了说我给你 x 属于 r， 让你给我求值域之外，我会跟你变一下。 我不想考你儿了儿，看的是整个图像上的值域问题，我想看你某一个区间，所以就是我们的第二个考法，考你在某个区间上让你给我求值域的问题。我们今天说的是值域啊。好，先通过一个简单的例子来说明一下，第一个 y 等于三 x， 然后 x 属于六分之派到三分之二派，让你求它对应的值域问题。 最大值，最小值，会吧？会，这是入门级的宝字们，简单，但是它是所有后续复杂问题的起点，所有问题的起点。三的图像你是不是会划大概长这样子？这是一个周期吧。二派派， 如果没有这个区间，最大值是负一，所有人都会是不是？是啊，好，那有这个区间说明什么？ 你得卡一下这段区间，看看这个区间上最高点最低点在哪里，对不对？对，那六分之派在哪里？六分之 派，这是三分之二派在哪里？一百二十度。对，一百二十度在哪里？一百二十度，在，在这，大概在这是不是？可是这两个对应的 y 值谁高谁低呢？ 不要跟我说粗心了，随便往这一画。哎呀，这个最高，你画的低他就最低，这边画的低，他就是最低。粗心的本质就是细节把控不到位。来 告诉胡老师，哪个对应的点 y 值更低呢？六分之派。为什么感觉？感觉， 那下次感觉就不对了，他是三分之二拍在这，这个更低一点，这个更高一点。我来告诉你，为什么六分之拍是三十度，是不是？是的，从左往右走了三十度。 哦，对吧，这是多少度？一百二十度，是不是距离这个点是差了六十度吧？对，你两边是对称的吧，你差三十度，他差六十度，是不是你更靠近对称轴一点呀？ 知道你距离这个点是不是更远一些？你是不是三十度更近一些吗？知道，能不能理解这意思啊？可以。对啊，所以说你更高一点在距离对称轴肯定是更近一些了，这不是对称轴二分之派吗？ 二分之派。好了，我们现在要研究的是哪一段，看清楚了吗？要研究的是这一段跟我们当年研究二次函数一模一样的。所以说当 x 等于二分之派的时候得最大值， y 等于最大值几一， x 等于谁的时候得最小值。三六分之派，是不是？哎，三十度吗？这不六十度，看到没有？对，能理解啊，它等于六分之派的时候， y 得最小值。怎么求最小值把？六分之派是不是往进一带啊？ 这不叫三六分之派，得到的结果是二分之一，所以值域是多少呢？值域就是二分之一能取到，如果这里是开取间，对应的 y 值就是开取间。 如果是自变量 x 是 b， 它就是 b， 没问题吧？没有。好，第一个我们讲完，然后再开始来讲第二个，变一下形为等于二倍的三二 x 减三分之派。我说 x 属于零到派，依然让你去求值域的问题， 给到大家几种方法，会做吗？不会，这个图像是不是比刚才变得更复杂了？是的，图像变复杂并不害怕，因为我们教材里面讲到一个方法，叫什么 五点画图，五点画图，我只要能把你的图画出来，跟这样，啪，取件一卡，法一叫五点画图，必须得会画五点画图啊。法二呢？我接下来讲，法二叫啥？换圆，整体换圆， 五点画图，大家自己可以完成一下。换元是个什么意思？你看这里，如果是一个变量 x， 我是 会的，变成一大坨，你不会了是吧？那我就把这一大坨给它看成 t 呗。撒，以 t， 我 总该会画它的图像吧，是不是就变成这种了？ 对，包大包换元来换元法第一步，干嘛？令令 t 等于二 x 减去三分之派，换元一定要注意新元的取值范围。很好， 那我们是不是由 x 范围把 t 的 范围给它求出来啊？是的，来，那我带你一步一步求。好吧，你看，跟上节奏啊， x 是 大于等于零，小于等于派，那二 x 呢？ 大于等于等于零，小于等于等于二派，那二 x 减三分之派呢？大于等于大于等于负的三分之派，小于等于，这是四派， 五派，三分之五派。 ok， 所以 我把 t 的 范围写到这里来， t 的 范围属于负的三分之派，到三分之五派完了， 然后这是第一步，我来写一下啊，这是第一步，用这个黄色笔写下第一步就叫换元。那第二步呢？ 第二部本题就换成心圆及其心圆范围的问题了。题就变成什么了？变成 y 等于二倍的三 t， 然后 t 的 范围我再给你抄一遍，三分之派负三分之派，到三分之五派就变成它了，你跟我说你不会吗？ 会不会换元？这个题整个就变成心元及其心元范围的问题了，跟前面就没有关系了。来，第二步，开始操作一下，画一个图，这个时候横坐标是谁？ 这叫 t， 刚才这个横坐标是谁？是 x？ 对 了，搞清楚啊，来回答，胡老师，最高点是几？最高点是二，最高点是二， 拉了吧，是吧？最低点是谁？负二，找一下负三分之派在哪里？负三分之派往我是不是往这边还得画一下负三分之派大概是多少度？负六十度。负的六十度是不是在这？ 这叫负的三分之派在这，因为这是九十吗？是不是？好嘞，三分之五派在哪？接近于二派， 这是二派吧？对，跟二派差了多少？跟二派差了三分之派，差了六十度，是吧？对，从这到这是九十度啊，我到你是差了六十度，是不是走哪 是不在这呢？哎，这叫做三分之五派。哎，现在问题来了，你别着急啊，你看，我们先要把对应的那一段图像给他卡出来，你看，我研究的是这一段图像， 没问题吧？没有。那现在最大值毋庸置疑吧？二，当 t 等于 二分之派的时候，是不是在这的时候？对，对吧，我们的 y 取得最大值等于二，那关键是 t 等于谁的时候取最小值，它俩是一样的，你两个你是不是得知道谁高谁低的问题？这是细节，我刚刚已经给你讲过了，怎么去判断 怎么去看呢？这不是九十度吗？看谁距离他近谁的值就低吗？对不对？你看这是多少？六十？六十度，你到这是不是差了三十度？三十度，你俩之间差三十度距离是不是？是的，来，你看看。哎呀，你跟我之间差多少度？差三十度多少？ 这俩是不是差？这是三分之几，差了三十度是吧？对，这段是六十度，那这段就是三十度，加起来是不是九十度吗？知道你距离我对成差三十度， 你距离我对称轴差三十度，咱咱俩到对称轴的距离是一样的，所以说你两个的高低是一样的。所以说当 t 等于负三分之派或者说三分之五派的时候，我们的 y 都取得到最小值，是还是不是 知道不是个什么呀？宝子，不是说这个端点处就得最小值呀，对吧？你刚才能够判断出哎呀，谁高谁低非常好，但是其实他对于咱们这道题影响不？ 不影响，我的最小值在这呢，这不最高点吗？这不最低点吗？对不对？对，这道题不影响，但不代表别的题不影响。你刚才能看谁高谁低？这个是很好的，但是考试中如果一旦发现最小值，就不用判断了，明白没有？明白了，所以说最小值在哪里取得啊？自己打 三分之二，所以当 t 等于这是二分之三派的时候， y 的 最小值等于负二就完了。 会了，没有？会了，这就是我们今天给大家讲的第二种在区间上怎么去求值域？当然你别着急啊，我们后面考题还会考他的拉伸啊， 他给你一个区间，给你值域，反过来让你求一些代餐的问题，是不是单接是基本功？别着急，先把这些体系先带大家拉通好不好？好，接下来我们来讲第三个跟二次型有关的值域应该怎么去做？考法三教 二次型的值域问题。你看，我就没有说二次呀，我说的是二次型，因为他考你的时候不一定一定是二次的形式出现的是二次那个 style 风格出现的二次型长啥样子呢？他长的样子是一般啊，经典的你看一下。 y 等于 a 倍的 三， x 平方加上 b 倍的三， x 加 c， 那 能不能把三也换成靠三？ 可以不可以换成考三？不都一样吗？ a 倍的考三， x 平方加上 b 倍的考三， x 加 c， abc 就是 系数吗？对不对？对，来，我们直接通过例题 带大家去做题。 y 等于 cos， 二 x 减去六个， cos 等于 x 加一，求它在 x 属于给你加个区间喽。零到派上的值域问题， 值域就是最大值，最小值吗？怎么求？自己说先化简？对啊，先化简，一般要么化简成 a 倍的三 omega， x 加倍，要么化简成二次形。就两个大的方向吗？对吧？对，当然还有些特殊的变态的方向，常见是这两大类，你告诉我。哎呀， 你化解成这个样子，上辅助角，你起码角度得一样吧。这两个角度是不一样的，上不了辅助角。是的，不一样。那怎么办呢？一个是 x， 一个是二 x， 什么关系？二倍二倍角关系是吧？二倍角关系有二倍角公式没有？有啊，二倍角公式一共三个 cosine 二 x 等于 一个是跟一倍角的 cosine 有 关的，一个是跟一倍角的纯 cosine 有 关的，一个是跟一倍角的纯三有关的。一二三用哪一个？ 嗯，把角度只要统一起来嘛，角度一定得统一。条件中给的是 cosine， 我是 用第二个，变量越少越好，是不是这意思？是的，好嘞，我给它带过来。等于带一下啊。二倍的 cosine x 方 减一是不是后面有个加一有个加一是不是就没了？对，减去六个 cosine x 完了。接下来拿什么去做？ 第一步拿什么去做对吗？前脚刚刚讲完的吗？你凭啥说他是二次呀？你说他二次不就因为他可以换元吗？对不对？来，开始换一下。我令 t 等于 cos 换元一定要注意心圆的曲值范围。 t 的 范围是多少？自己打 t 的 范围是零到一， x 是 在零到一之间的， cos 是 在零到一之间的。 cos 的 图像 这次是在零到派，零在这，派在这里，负一到正一，所以 t 的 值是负一到正一。 ok， 没问题啊。没有，这是草稿。 然后呢？原式变成什么了？原式变为 y 等于二， t 方减去六个 t， 心圆及其心圆的范围问题你不会吗？ 会不会二次函数吗？你们看到的答案里面绝大多数是给你配方的是吧？用代数式给你说最大值有的人看不来，所以小题胡老师更建议大家去画图更直观一点好不好？好，二次函数开口朝 上吗？是不是？是屁。对称轴负的二 a 分 之 b 等于二分之三对不对？对，然后卡负一到一的区间吗？跟刚才那个卡区间是一样的，负一和一在哪里？ 自己打啊，你俩是不是都在对称轴的左边呢？对啊，你心里有一条无形的 x 轴吗？ x 轴它不一定在这啊，有可能与图像有交点，我是随便画的， 是不是？是负一在这，一在这对上去，对上去，对了，图像是不是应该是这一段呀？对，所以这里得最大值，这里得最小值。来写一下，当 t 等于负一的时候， y 得最大值。当 t 等于一的时候， y 得最小值。往进带 二加六等于八，二减六等于负四，所以 y 的 值域 y 属于负四，逗号到八就完了。 这就是我们的二次型。但是我们在高考当中考过的他不一定直接就这个样子，他考过是一个分式的，你通过各种换元发现他是二次型，这就是进阶的考法。我们今天讲的直域问题只是整个考法里面半壁江山。为了帮大家把整个三角函数的 八大考点，二十三大题型彻底扫清障碍，胡老师把历年十年的高考真题，所有跟他们有关的题型全给大家总结成了三角函数二十三大题型满分攻略。所以你现在 手边还没有，你必须拿它去做训练，你考试才能够游刃有余。如果大家没有的话，找胡老师我给你安排好不好？拿走打印，寒假直接用起来。

还有三十天气末考试，期末考试一定要把这个题拿下，为什么？因为期末考试他必考。我们来看这种题怎么样快速出答案？已知，求它。那么这种题在做的时候哈，我给大家讲一个方法， 在这个椅子条件也好，结论也好，它出现的是什么？它出现的括号内是两个角，而这个括号内的两个角，不管是和也好，差也好，背水也好，能够出现定值， 两个角的话，不管是加减乘除哈，他能出现定值。那我们用什么样的方法？我们用整体代换。整体代换是什么意思？拿根绳把它捆起来， 我们所说的整体代换就是拿根绳把它捆起来，神圣不可侵犯。来吧，我们来看到底怎么样不能侵犯啊？我把这第一个括号看成一整体，把第二个括号看成一整体。 所以说在这里边，这个 a 对 着谁阿尔法减去一个四分之三派，这个 b 对 着谁四分之派减阿尔法。那么这两个角往那一站， 你会看到什么？你会看到他是个正的，他是个负的。换句话是什么意思？整体代换的目的地就是要削谁， 谁不知道把谁消掉。那么在这里边你不知道谁？阿尔法是几度知道吗？不知道，所以怎么办？消阿尔法来看怎么去消啊？它俩一加，把这个 a 加上个 b， 正的负的没有了，它俩放在一起，相当于是 负的二分之二，所以我要求的，哎，这个一的条件变成谁变成了 c， a 等于一个三，把它一个项 cosine b 定的是 cosine 的 负的二分之 pi 减去个 a。 既变偶不变符号看相线， 这是什么？是不是既变偶不变？在这个位置的话，我们用谁？用诱导公式，它是个 g， 所以 要变，变成谁变成 c a 负二分之 pi 在 y 的 负半轴去掉一个角度跑在第三项线，第三项线的 s 取负，所以它取负。 所以呢？答案去多少负的三分之一是不是很简单？清华考试把它拿下来啊？必拿分，你说这个分都丢掉了咋办？对自己不可原谅。好，这个题我们就讲解到这里。