重庆初三几何压轴题轨迹

我们来看这道题的二三两问，大体干就是角 a、 c， b 是 九十度。先看第二问 角 a、 c、 b 是 九十度，先给他标上来，然后他把 bc 边绕着点 b 顺时针旋转九十度到 b、 d， 所以 此时 bc 等于 b、 d， 这里是九十度啊。然后这些该相交的相连的我就不说了，下面有一个角度条件， d， m、 b 加上 f、 n， b 是 一百八十度。找到这两个角 d、 m、 b， 我 标成一个小圈哈，这个 f、 n， b 标成一个小叉，相当于小叉加小圈是一百八十度。还知道 d m 等于 f n， 我 们也给它标上来， f n 和 dm 是 相等的，那么现在他让我们猜想线段 b、 e， a、 c、 ab 之间的数量关系。我们来看看 a、 c 在 这， b， e 在 这， ab 在 这个地方。这道题没有什么特殊角，比如说四十五度，一百二十度、六十度等等。那咱们就可以直接先去从最简单的开始猜，就是两短相加等于一长， 那这个时候我们凭借我们的尺可以去大致测量一下，你会发现刚好是符合咱们的猜想的，所以我们就可以把结论先写出来， ab 它是等于 a、 c 加上 b、 e 的， 然后我们再朝着这个方向去证明就可以了。 那么三条线段间的关系，我们就可以结合截长补短的思想去进行做辅助线，那么我们做辅助线有个原则，就是做完辅助线之后，我们能够继续推导，通常是可以得到一组全等三角形。 那这里通过我们尝试，我们可以去把 b、 e 在 a、 c 这上面去给它补出来，我们把它延长 a c 至一个点 t， 让这里的 c t 和 b e 相等，然后我们去连接一下 b t， 那 这个时候我们的 a c 加 b e 就 变成了 a t 这一条，所以我们要证明的就变成了 ab 等于一个 a t 啊。然后我们根据刚刚来的啊，做完辅助线，看能不能得到全等三角形。首先 c t 等于 b e， 直角等于直角，那这里的 bc 还等于 b d， 所以 咱们能够得到一组比较明显的全等。我给大家简要的图一下啊， 这一个三角形和这一个三角形，我们能够得到是一个边角边的全等。好，我们先写出来我们第一个三角形 t c b 全等于三角形 e b d。 好， 说明咱们这个思路大概率是行得通的， 那么现在我们这个全等怎么用？待会儿来说哈，现在我们来看看。要证明 a b 等于 a t， 我 们会发现它们在同一个三角形中，那么就直接去证明它是一个等腰三角形就可以了， 所以我们等边对等腰哈。呃，等边对等角，我们直接去说明这一个角 t 和这边的 a、 b t 相等，那么如果能够正到它俩相等，它们所对的边 a t 和 a b 就 相等，那么这道题我们就正出来了。 所以现在我们来想一想其他条件怎么来用才能够正到这两个角相等呢？我们要思考一下了，比较关键的是这一对互补的角怎么来用起来， 那么我们可以想到零补角是互补的，我们就可以要么你把这个圈角的补角弄出来，要么你把这个叉角的补角弄出来，都可以正出来。那咱们这里选择下面这个图吧。啊，我们从这个 fn 这里入手， 我们可以在 b、 n 上取一点 k， 使得 f、 k 等于这边的 fn， 是 不是可以办到的？那么这样一来我们就可以得到三角形 f、 n、 k 是 一个等腰，是等腰的话，那这一个 f、 k、 n 是 不是等于下面这个角也是一个叉角？ 而我们知道叉角加圈角是一百八，那么这一个叉角它的补角是不是 f、 k、 b 也是一个小圈就得到了？这个圈角和这个圈角是相等的， 我们再看看它们所在的三角形，我们结合 f、 k 又等于 f、 n 等于 dm， 这里对顶角又相等，是不是可以得到第二组三角形全等三角形的呀？我们把第二组写出来， 三角形 f、 k、 b 全等于三角形 d、 m、 b， 我 们这里用的判定就应该是角角边了。 那么这一个全等之后，我们其实是可以得到对应的 f、 b 是 等于 b、 d 的， 好，可以把条件给它关联起来了，所以我们可以推出 b、 f 等于 b、 d。 好， 我们再连等嘛，等于 bc， 而这边的 b、 f 和 b、 d， 你 会发现它们在同一个三角形中，那咱们就可以锁定一个新的等腰三角形 f、 b、 d。 那 这个时候我们刚刚说了，想正这两个红色的角相等，那我们这里设未知数去倒角是最合适的，我们就从这一组新推出来的等腰出发， 我们就设这两个底角是 r 法。好，咱们这里稍微写一写哈。设角 d、 f、 b 等于角， f、 d、 b 等于 r 法。那么通过第一组全等，我们是不是可以同步一下了哈，那这个角 现在是不是也是 r 法？所以咱们推出角 c、 b、 t 等于角， e、 d、 b 等于 r 法。再来，由于 e、 b、 d 是 一个直角，我们进一步还可以得到这个角是 r 法的余角，那我们全等之后不就是这一个角吗？所以说我们得到它是 r 法的余角，就是九十度减 r 法。 我们下面只需要去推出 a、 b、 t 这个角，也是九十度角 r 法，这道题就正完了。好，现在我们来看看怎么用 r 法来表示这一个角呢？我们首先 三角形 b、 d、 f 是 个等腰底角，知道了我们的顶角 f、 b、 d 是 不是用一百八减去 这两个底角就可以了？那又因为这里是一个大大的直角，看到没有？所以说咱们可以把这一个小角得到，也就推出了角 fbc 等于一百八减二 r 法，再减去一个直角，也就是九十度减二 r 法。而我们下面这个角 a、 b、 t， 它是由这个九十度 减二 r 法再加上这个蓝色的 r 法的。所以说咱们就推出了角 f、 b、 t 等于九十度减二 r 法加 r 法，也就是九十减 r 法啊，咱们就推出了它和角 t 是 相等的，所以我们就得到我们的结论， a、 t 等于 ab， 也就是 a、 c 加上 b、 e 了，就搞定了。相当于这道题，我们通过 截长不短的思想，补出了咱们这个长线段，然后最终要去证这下面两个角相等，我们结合另外的条件去构造出一对新的全等，然后得到 a、 b、 f 等于 b、 d， 从而利用等腰去射角倒角转化就可以了。 好，这是我们的第二问，我们继续来看第三问。如图，将三角形 a、 c、 f 沿着 c、 f 翻折，得到三角形 a 一 撇， c、 f 要注意 f 点呢，它是 ab 上的一个动点， 所以这里是一个典型的翻折引元问题。我们先继续读题，点记是 ab 上一点，他没有给出来，我们先任意找一个点记的位置啊，方便我们分析。角 a、 c、 b， abc 是 三十度 好，相当于此时 abc 是 一个三六九嘛，告诉我们这里长度是二倍，根号三， 他说当三分之根号三倍 a 一 撇， b 加 a 一 撇记，再加二分之一 b 记取得最小的时候，要求三角形 a、 c、 g 的 面积。 那么很多同学看到这一串都已经蒙了，没有见过呀，三条线段相加，并且其中两条系数还不为一，还有同学说，哎，见过的有点像加权费马点，但是你看这是费马点问题吗？ 所以说它不能用费马点的思路来解决它。这道题我们来观察一下，我们先去明确里面这些点的属性哈，看谁是定点，谁是动点，那么这里观察一下哈， a 一 撇它是翻折产生的，它是一个动点 好， b 点是定点好，然后这里面 g 点我们知道它也是一个不固定的，是一个动点好，然后后面都是这两个，相当于这里面有一个定点 b， 还有呢两个动点 a 一 撇还有 g， 其中 g 点的轨迹是知道的，它是在 ab 上的，所以这道题咱们要研究这个最值，还要去想一想 a 一 撇的轨迹是什么样的， 那 a 一 撇的轨迹咱们直接根据前面这一个翻折就可以得到。当折痕是一条动直线的时候，这里要注意，我们是从动中去找一个定， 虽然说 f 点在动，但是我们可以确定 c 它是不是一个定点啊？ 所以它就是我们翻折引圆里面的圆心，那么半径呢？怎么去确认？咱们现在要找的是 a 一 撇的轨迹，我们就看看 a 一 撇它和这个 c 的 连线翻折之后， 对应的翻折之前对应的是不是 a c， 而 a c 根据提议是一个定长呀，所以说这里就有一个定点定长的一个引元了啊。我们的 a 一 撇轨迹 就是以 c 为圆心的一个圆，半径呢就是二倍根号三，所以我们这里可以先把 a 一 撇的这个轨迹圆画出来。 好，我们这里找到 a 一 撇的轨迹了。为了方便我们分析，我们任意画出一个 a 一 撇的位置。好，假设 a 一 撇在这个地方，我们要求 a 一 撇 b 的 哈相关的线段，我们连一下 a 一 撇 b 好，然后还要求 a 一 撇记，我们还要连一下 a 一 撇记。好，接下来我们就要思考一下了，这三条线段里面，其实前面两段是和 a 一 撇挂钩的，那咱们单看前面两段呢？ 那这是我们哪一个模型？当我们的两个系数，其中一个是一，其中另外一个不是一动点轨迹在圆上动，这是什么知识点？这是一个 r， 是 圆的知识点， 所以这里我们应该把知识点定位在 r 式圆问题上面了。而 r 式圆问题，咱们只需要去构造一对相似三角形，就可以转化三分之根号，三倍的 a 一 撇 b 变成两条系数为一的线段之和。 那这个时候怎么去做呢？好，咱们把这个长度再标出来一下，这里是二倍根号三，那由于 abc 是 三六九，我们知道短边，那么算长边，再乘一个根号三就是六啊。你会发现 a 一 撇 c 比上 bc， 它是满足三分之根号三的一个比例的。我们现在只需要在 bc 上啊，定点和圆心的连线上去取一个点， 取一个点 t， 让 c t 的 长度也是 a 一 撇 c 的 三分之根号三倍，那么通过计算就应该是二， 那这个时候我去连接一下 a 一 撇 t， 同学们注意到，此时三角形 a 一 撇 c t 和 b c， a 一 撇就是一组子母形相似，我给大家写一写哈，这个相似，这里写详细一点，我们取 c t 等于三分之根号三倍的 a 一 撇 c 等于二。那么现在我们 c 一 撇 t 比 a c， a 一 撇 c 是 三分之根号三， 又因为 a 一 撇 c 比 bc 也是三分之根号三，而且他们有一个公共的夹角，所以咱们就可以得到相似了啊。我们写一写 c， t 比上 a 一 撇 c 等于 a 一 撇 c 比上 bc， 我 们是等于三分之根号三的，然后加角 t c， a 一 撇等于角， a 一 撇 c b。 公共角嘛，我们就推出三角形 t c， a 一 撇是相似于三角形 a 一 撇 c b 的， 并且相似比我们都知道就是三分之根号三，所以我们就把这一个线段的系数啊，实现转化，我们就可以得到 a 一 撇 t， 现在它就等于三分之根号三倍的 a 一 撇 b。 那么我们要求的前面这一节哈，前面这两个三分之根号三倍的 a 一 撇 b， 加上 a 一 撇 g， 现在就变成了 a 一 撇 t 加上 a 一 撇 g。 那 同学们观察一下 a 一 撇 t， a 一 撇 g， 此时我们知道点 t， 它是一个定点， 那么有有同学可能会说，点 g 现在不是定点了，咱们怎么去做？咱们先假设它是一个定点，再去做后续的一个求解， 那现在看看两定一动，那么点 a 一 撇在圆上动什么时候最小？当然是三点共线的时候最小，所以此时我们去连接一下 t g 和圆的交点，就确定了 a 一 撇的位置，这是我们假设点记在定点的位置的时候，对不对？好，现在我们取消点记的属性哈，定点属性现在它也在动了，我们思考一下 这里的二分之一 b g 我 们又怎么去处理？这里我们就需要去联想到胡不归的知识了，那这道题就是一个阿式圆与胡不归的综合， 那弧不规的知识就是去构造 rt 三角形，转化二分之一 b g， 让它的系数也变成一。所以现在我们就用弧不规的知识过点 b， 在 下方去做一个三十度角哈，二分之一对应的是三十度嘛， 这里标上三十度，我们写一下过程吧。此时过点既向这条边做一个垂线段儿 g h， 我 们在 r t 三角形 b g h 中是不是可以很轻松地得到这一条线段，它对应的就是 二分之一 b g， 让同学们想一想，前面这一这两个之合哈，就是 t g， 后面这一个是 g h， 现在它们相加什么时候最短？相信大家都知道了，就是三点共线的时候最短。 那么由于图形有点复杂哈，咱们就假设此时刚好贡献了哈，咱们就将就这个图来进行计算。那么现在我们看看要求的是什么呢？它要求 a c g 的 面积，所以咱们这里还需要去连一下 c g， 把要求的这个面积给大家涂出来吧。啊，涂出来， 那这个时候求面积，我们可以直接求，也可以间接求，那么更简单的做法就是间接去求，我们只要找到 b g 和 a g 或者说 a b 的 一个比值，就可以用它和这个大三角形的面积之比等于底边之比去进行转化。好，现在我们就把数据用起来了啊。首先我们这里的 bc 刚刚说了是六 c t 取了一个二，所以说这一段应该是四， 我们做了一个三十度，本身是三十度，所以说现在这个角整体应该是六十度，所以说 t b h 它是一个三六九，对不对？斜边是四，那么 b h 就 应该是二， 而下面这个 b h g 同样是一个三六九，长直角边是二，那么短直角边它就可以算出来是它除以根号三嘛，那就是三分之二倍根号三， 所以这个长直角边 b g 是 它的二倍，也就是三分之四倍根号三。 好，算出了 b g 的 长度。我们知道 a c 是 二倍根号三，那 ab 呢？是不是四倍根号三，那咱们已经知道了 b g 和 ab 的 一个比值关系了哈，不难发现就是一个 一比二啊，一比三哈， g b 是 一， ab 是 三，那么这里的 ag 就 应该是二，所以说 ag 是 整体 ab 的 三分之二倍。其实也可以简单算一下嘛，四倍根号三减三分之四倍根号三，那不就应该是三分之 八倍根号三吗？所以咱们这里就可以计算了哈， s 三角形 a c g， 它是等于三分之二倍的 s 三角形 a b c， 那 么剩下咱们就带数据计算就可以了， 三分之二乘以，那么二分之一底乘高，那咱们这里直接用两条直角边去计算，这里是二分二倍根号三。好，然后这条边是六，好，咱们这里算一下， 这里是四，那算出来就应该是四倍根号三就搞定了哈。最终的答案算出来了， 好，整个题其实综合性还是比较强。首先考察了一个翻折的引元，然后我们结合题目条件，发现前面两节和 a 一 撇挂钩，那么就想到它是一个 r 式圆模型， 我们就利用 r 式元的知识去构造相似转化线段，然后我们再看二分之一 b、 g， 点 g 在 线上动，就想到胡不归的知识去相应地去作角，然后确定最短的时候就是 t、 g、 h 共线的时候，找到点 g 的 位置，然后结合数据去求到 a、 g 的 长度和 ab 的 长度之比，然后呢转化为它们的面积之比，最后去计算就可以了。好，这道题我们就讲到这里。

必会几何超难点问题，求移动点到两定点距离比值最值这类问题分为两种情况，一种是之前我们讲过的动点轨迹直线形，另外一种就是今天我们要讲的动点轨迹原形。 学会了这两种情况的解法，那么在遇到此类问题还不信手捏来，更为重要的是，如果你能灵活运用这两个模型，你对双动线段问题的理解会有质的飞跃。如图，点屁是半径为三的圆 o 上移动点， 点 a 和 b 为沿外两定点圆心 o 到线段 a、 b 的 距离为四， a、 c、 b、 c 长度分别为五和三。 让我们求 p a 比 p b 的 最小值，这就是典型的求双动线段比例最直轨迹圆形。我学习和查了各种方法后进行比对，最终确定了这个问题的最优解法就是割线定理法。下面我就将这个方法分享给大家。 首先，对于双洞问题的核心思想就是将双洞转化为一定移动，而转化的手段就是构造相似。具体来讲就是要找到一条定线段，以这条定线段来构造所求的这两条洞线段所在三角形的相似三角形，也就是这个红色三角形的相似三角形。 我们知道线段 p、 b 是 圆的一条割线，我们设它与圆的另外一个交点为 q， 然后我们延长 b o 交圆于点 m， 另外一个交点为 n。 根据割线定律，我们可知 b、 q 与 b p 的 乘积等于 b， n 与 b m 的 乘积 不会割线定律的用相似也可以证明。而根据已知条件，我们易求出 b、 n 和 b m 的 乘积等于定值十六的。此时我们在 a、 b 上选取一点 d， 使得 b、 d 与 ab 的 乘积等于 b、 q 与 b、 p 的 乘积，因为 ab 为定长八，可求出 b、 d 为定长二， 这样我们就得到了一个定点 d， 然后我们将这个乘积式化成比例式，就可知这绿色三角形和红色三角形相似，而这个红色三角形就是我们目标三角形。那么对应边乘比例所求的这两条黄色线段之比就转化成了这两条绿色线段之比， 而这里 b、 d 又为定值二，那么问题就转化成了求 d q 的 最小值点， q 为圆， o 上动点， d 为定点，又是点圆最值，一箭穿心即可解决问题，计算还是交给你们。

讲一下最新的五中稀缺的这个期末考试的第十题啊，我们来看一下题目。首先审题， c 呢等于 c， b 等于二。标一下二二角 a， c、 b 呢等于九十度，所以这样能得到一个等腰直角三角形 a、 c、 b， 因此 a、 b 呢等于二倍。根号二 点 d 呢，在 b、 c 上运动， d 是 动点 d。 在 运动的过程中呢，以 a、 d 为边，做一个正方形， 做一个正方形，过点 f， 再做 f， g 呢，垂直于 c 的 延长线，交它呢于点 g， 然后把 f、 b 呢给它连起来啊，交这个 d， e 呢于点 m， 这个 d， e 呢又跟这个 a、 b 呢交于点 n。 问，下列说法错误的是， 那这一题很显然它是一个怎么样反照这个二五年咱们的这个中考题出的一道这个压轴，对吧？我们这二五年的那个背景的话是一个刮豆模型，那这题依然还是一个呃，刮豆模型。所以这一题的话，就需要大家对刮豆模型呢有一个非常熟练的一个了解。 好，我们来看一下啊，这个刮动模型呢，我们就先不在这里面介绍了，有兴趣的同学。嗯，可以看我以前录的这个视频。我们来看一下这个刮动模型的话。呃，很显然这个点 d 呢是主动点， 点 e 呢是从动点好光度模型满足什么呢？就是主动点到定点的距离跟从动点到定点的距离比是一个定值。那这题很显然， a、 e 比上 a、 d， 就 这有个距离比， 这个距离比很显然等于根号二是一个定值。还有一个就是夹角的这个夹角，比如说主动点 和定点的连线，从动点和定点的连线，你看，以定点为顶点组成的这样的一个夹角，那这个夹角呢？也得是一个定角，那这题很显然它是一个四十五度，有了这两个条件，它才符合我们的这个刮动模型。 那刮动模型的话，熟悉的同学应该知道，就是主动点的轨迹它是一致的。现在主动点的轨迹呢， 是在一条直线啊，或者说他这是直线上面的一条线段，那么我点 e 呢？他应该也是直线上的一条线段，对吧？那么所以这样的话，我们就可以把从动点的轨迹给他，干嘛给他确定，我们要确定这个从动点的轨迹， 那从动点的轨迹呢？如何去确定呢？方法呢？有很多。那这题比较特殊，我们可以通过主动点的特殊位置去找从动点的特殊位置。 大家来看一下 d 点在特殊的位置时候，能推 e 点的这个特殊的位置，我们就把 d 放在哪个特殊位置，你比如说 d 可以 在 这个 c 的 时候，对吧？那如果 d 跟 c 重合，此时 a d 是， 是这个对不对？那很显然，那我的这个 d e 呢？是不是就呃等于这个 c b， 所以 这个当地在 c 的 时候，那 e 呢？是不是在这个地方？这帮我可以标个 e， 对 吧？好，那这时候我们再找 d 的 一个特殊位置， 那显然我们可以找当 d 在 b 点的时候，你是不是以 a d 为边？是不是再向外面再做一个？等腰直角三角形的时候，或者在外面再做一个这个，呃，正方形的时候，给它擦一下，那此时这个正方形画出来了，那刚好 应该是长这个样子啊，那刚好应该是长这个样子啊，那差不多呢，嗯， 在这啊，这个地方我图就不要画的特别准了啊，那很显然，那这是一几啊？这是一二，你看这三个点刚好在一条线上面，一一一二一三，我们刚才知道这个从动点的轨迹是一条直线，对吧？其实我只要找这条直线上面的两个特殊的点，就能把这条直线给它，缺什么给它基本确定了啊。 好，那这样的话，我们的一点的轨迹呢，就全部怎么样解决了？把这个图给它擦掉，五官的图都给它擦掉啊， 那这个一二的这个点的坐标呢，也比较特殊，也比较特殊，那我们来看一下啊，因为这个角是四十五度，这个角呢也是这个，呃，四十五度，所以这个三角形，这个三角形相当于就是一个等腰直角，是吗？三角形啊， ok， 那 我们现在把这条线呢再给它延长一点点，那整个 e 呢？就在这条直线上面干嘛动啊？这上面动。 好，嗯，我们来看一下啊， a 选项，他是说了当这个点 d 在 直线 bc 上面运动的时候，也就是说 a 选项有一个关键词，他把地点的这个运动的一个范围，从刚开始的这个边上面运动扩展到了这个直线上面运动， 所以现在这个 e 点的轨迹也是在整个直线上面动，而 a 选项让我们求 a e 加 c e 的 最小值，那很显然 a 选项求的是 a e 加上 c e， a e 加上 c e 的 话，它的一个是线段之和的最什么值？最小值，因此的话，那 a 选项很显然是一个将军印什么印码，而且是两定一动， 你看啊， a e 加上 c e 的 这个最小值，那很想我是不是做一下对称就可以了啊？那我就把 c 点关于它对称一下，我们把图给它标一下。 好，咱们把这个 c 呢给它对称过来，用个绿色的吧，对称过来，好，对称到这个地方，这边标一个 c e 撇， 那此时的话，我们的这个 c e 是 不是就变成了 c 撇 e， 然后直接连上 a c e 撇是不就可以了？也就是说，此时 a e 加上 c e 的 最小值，是不就等于 a c e 撇， a e 加上 c e 的 最小值，等于 a c e 撇，我们怎么去计算？那很显然我们还是要去。呃，添加辅助线，把它构造成一个直角三角形，我可以过 c 呢，往这边再做一条垂线啊， 这方我标个点 m 点 q 吧。 ok， 那 么现在我们开始一个计算，呃，咱们知道这个角呢，可能说是四十五度，那这个角呢，也是四十五度，所以 三角形这个地方呢，这个三角形它是一个等腰直角三角形，这条边呢是二，因此的话，那这个，呃，这条边的长度呢，就等于根号二。对称过来，这个长度也是根号二，这个方是垂直的，所以我们的 c c 一 撇呢，等于二倍根号二，是不等于二倍根号二， 而这个角呢等于四十五度，这个角呢也等于四十五度，所以我们的 c 一 撇 q， c 呢，它是一个等腰直角三角形，因此这条边呢， c 一 撇 q 等于二， c q 呢也等于二，所以我们再用勾股定顶，就能把它长度呢给它算出来了啊。那此时很简单，等于根号下， 应该是二的平方，再加上四的平方，所以答案呢，应该等于二倍杠五，所以这题的最小值呢，应该等于二倍杠五，并不是等于二倍根号二加二。如果你选了这个答案，你是估计没有看到这个关键词，它是在直线上面运动。好，这是 a 选项，所以当然呢，这题呢，就直接选 a 就 可以了。 这个和我们二五年的那个安徽中考题，他的那个第十题的压轴题的答案呢，也是 a 选项，如此一个类，一个意思啊，一个意思，但是他也是，呃，有一个审题的一个关键点。好，那这样的话，我们 a 选项呢，就不在这方继续讲了，继续我们看 b 选项， b 选项的话，它点 d 在 边 bc 上运动的时候，问我们正方形 a、 d， e、 f 面积的最大值，那 b 选项很简单， 这个正方形是不是等于 a d 的 平方，所以 a d 最大的时候呢，它整个面积就最大。那很想这个 a、 d 是 不是有一个直线形的距离，就是一个线段，那它距离最大的时候，肯定到 a b 的 时候是最大，所以那个 b 选项它是对的啊，所以这个 s 的 最大值呢，刚好等于二倍根号二括号的平方等于八。 c 呢？我们再看 c， c 是 点 d 在 这条边上运动的时候， b m 的 这个最大值是二分之一，我们知道这个地方是个垂直，所以这个图里面会形成一个一线三等角， 这有个一线三等角，这种题目在做一线三等角的题目的时候应该接触过，对吧？我要求一下 b m 的 这个最大值，那这个地方呢，我们就可以几何转代数啊，几何转代数， 那这条边呢，是二，我们可以设个圆就可以了。设这条边是 x， 那 这条边呢，等于二减 x， 把 b m 呢设成 y， 我 们知道这方有一个一线三角的相似，那熟知一线三角相似的乘积式的结论的同学，这方就可以直接写了啊， 或者你把比例式列出来，那我们直接写乘积式，应该两个 y 等于 x 乘上二减 x， 那 这方把 y 呢写出来，应该等于二分之一， 这个负的二分之一 x 的 平方再加上 x 配方就可以了。那就是负的二分之一 x 的 这个平方再减二， x 再加一，再减一，等于负的二分之一 x 减一，括号的平方再加上二分之一。所以 当这个 x 等于几时？等于一时，它的最大值呢？等于二分之一一，刚好呢，在这个取值范围上面，对吧？好，所以 c 答案呢，也是对的啊。这题比较难的是这个 d 选项啊，像有很多同学当时呢可能没有办法很好的处理这个 d 选项， d 选项呢，是一个模型， 这模型大家可以学一学啊，就是目前像咱们安徽的话，考的不是那么多啊，不是那么多，它是一个斜大于直的模型。斜大于等于直来讲一下啊，那 这个三角形是一个直角三角形，那这种题目呢，因为我们要求 a n， a n 刚好是这个直角三角形的斜边，对吧？我们遇到直角三角形的斜边，我们可以考虑取一下 a n 的 中点，取 a n 中点 o， 我 们取一下它的中点 o。 啊，这个地方的话，嗯，图不一定很准啊，就差不多这是点 o。 好， 这是它的中点，那显然的话， o d 是 不就是这个？呃， o n 的 这个 a n 的 一半，所以它是等于二分之一 a n。 好， 那这时候我们可以设个圆，把 o d 呢设成 x， 把 o a 呢也设成这个 x， 那么我这时候我再过 o， 那 向这再做一条垂线，在这再做一条垂线，把垂足呢标为点 h。 很 显然，此时我是不是形成了一个直角三角形 o d o h。 现在的话， o d 在 这里面是不是作为它的这个斜边，而 o h 呢，是作为它的这个什么边，这个直角边，显然这个 o d 的 话，它一定是大于这个 o h 的。 那什么时候能等于 o h？ 就是 当这个地点和这个 o 点，就是这个 h 点和这个地点刚好重合了，那此时 它的这个斜边呢，刚好肯定是等于这个 o h 的。 有时候这方有一个取等的过程，有一个取等的这个这个过程。好，那这时候我们就把这个 o d 和 o h 用我刚才射源的这个量给它表示进去啊，所以 x 呢，就大于等于。我们看一下， o h 等于呢，我们射的这条边是 x， 因此这个 o b 这条边呢，它应该等于二倍根号二，再减 x， 而这个地方 o h b 始终是一个等腰直角三角形，所以我的 o h 应该等于这条边，再除以根号二，所以它就大于等于 根号二分之二，再减多少减 x， 然后把这不等式解出来，那就根号二 x 大 于等于二倍根号二，再减 x， 把不等式解一下啊，那就根号二，加一倍的 x 大 于等于二倍，根号 x 应该大于等于二倍根号，除以根号加一分母由里化， 那又变成的是根号乘以这个根号，再怎么样减一啊？减一这括号打不下去了，那应该等于多少？所以的话应该是 x 大 于等于这个四减二倍根号，而我刚才说了这个 o d 呢，它是等于 a n 的 这个一半，因此 a n 的 话就应该大于等于八减四倍根号，所以 d 答案呢，它也是对的啊。所以这题大家重点学习一下 d 的 这个模型的一个处理的方法。

今天来给大家讲一个初三的期末几何压轴题啊，这是一个关于相似三角形综合的题，我们看题如图所示，点 d 在 直角三角形 a、 b、 c 的 斜边 bc 上连接 a、 d， 然后做 d， a， d， a 垂直于 a、 e， 使得 a、 b， a、 d 比 a， d 等于 a， c 比 a、 e， 然后呢，连接 d， e 交 ac 于点 f， 连接 d， e 交 ac 于点 f 啊，若 ac 等于六，这个是六， a、 b 等于八，这是一个六八十模型啊，对不对？也就三、四五。好，我们把这个这个 b、 c 就 十算出来啊。第一个问和第二个问都比较简单，这里面就不讲了，我们主要是看这个第三个问， 当 b、 d 等于二十，求 a、 f 除以 c、 f 的 值等于多少，就是 a、 f 比 c、 f 的 值等于多少。这种题你看 a、 f 和 c、 f 它俩是不是在一条直线上，对不对？像这种在一条直线上，我们要想到什么做平行， 通过平行把它这个笔给转化过去，那这里怎么做平行呢？还有一种，我们还有一种思路是什么呢？我们通过求它的长度，因为这个 ac 是 已知的，那我们要么就是把 af 求出来，要么就是把 cf 求出来，这也可以啊， 这里面我们就是我用的是那种做平行，然后呢，把这个 c、 f 的 长度求出来。我们第一题是不是可以得出 a、 a、 b 三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 e 相似啊？我这 b、 d 等于二，我们整个 b、 c 是 十，那我们这个 c、 d 等于多少？ c、 d 是 不是八呀？ c、 d 是 八，那么这个 c、 e， 我 们通过这个 a、 b、 d 和 a、 c、 e 相似，我们可以把这个 c、 e 求出来啊，我们这通过第一个直接第一个就行。三角形 a、 b、 d 相似于三角形 a、 c、 e， 那 我们这个 a b a， b 比 a c， 那 a b 比 a c 就 等于 b d 比 c e， 我 们带入进去 a、 d 是 八，八除以六等于二，比上 c e， 我 们就可以求出 c e 就 等于二分之三， 这个 c e 值是二分之三啊。好， c e 等于二分之三，我们怎么求？要么求 af， 要么求 cf， 这个是八，而且这个三角形是什么？是一个三四五的模型，是不是？那我们可以做完做这个垂直啊，做一个垂直下来，通过 f 点做一个垂直下来，我们假设这个是 m 点， 那这个 fm 是 不是应该是垂直于 c e？ 为什么垂直呢？我们看啊，我们第一个测出这个角和这个角是相等的， 这是直角，那这个角角 b 和这个角 b、 c a 是 应该是互余的，对不对？它和它相等，那它和它加起来是不是应该是等于九十度啊？所以这就是一个直角， 我做完垂直之后，那这两个是平行的，我们通过平行线分线段成比例，那我们这个 dm 比上 dc 是 不是应该等于 f m 比上 e、 e、 c 啊？而这个三角形，这个角，这是一个三四五模型，角是定值，我们通过三角函数，我们知道这是一个， 那这个是短的直角边，这个就 c m 是 短直角边， f m 是 长直角边，而 cf 呢？就是斜边，那他三四五，我们就可以设它。为什么？三 a 四 a 五 a， 我 们再通过平行线和线段成比例啊？我们就是作 f m 垂直于 bc， 交 bc 于 m， 我 们可以得出。还有是 角 b c、 e 就 等于九十度，所以我们这个 f m 就 平行于 e c， 通过平行我们就可以得出对应的线段成比例啊，那我们就是 看射啊，射 c m 等于三 a， f m 等于四 a， 还有是这个 c f 等于五 a， c f 等于五 a， 好， 我们这个就是 e m 比上 dc 就 等于 f m 有 平行吗？ f m 平行于 e c 吗？就 f m 比上 e c， 而这个 c d 等于多少呢？我们这个 c d， dc 就是 这整个 bc 是 十吗？十吗？ b d 是 二，那我们这 dc 不 就是八吗？ dm 是 多少呢？这个是三 a， 整个 dc 是 八，那不就是八减三 a 吗？对不对？八减三 a 比上八就等于 f m 是 多少？ f m 是 四 a， 四 a 除以二分之三，这里面减一下，我们 a 是 等于 七十三分之二十四啊， a 是 七十三分之二十四，那我们这个 f f c c f 是 不是应该他是五 a 吗？所以我们这个 c f 就 等于五 a 就 等于七十三分之一百二， c f 出来了，这个 ac 长度是六，那我们这个 af 长度不就出来了吗？对不对？ af 长度出来之后就是等于六，减掉七十三分之一百二，这就是 七十三分之四百三十八，减一百二等于三百一十八。 af 长度出来了， cf 长度，那 af 比 cf 长度是不是出来了？所以我们看 af 比上 cf 就 等于 七十三分之三百一十八，除以七十三分之一百二，那就等于一百二十分之三百一十八，这里面不要忘了约分啊，这里面能约多少呢？约掉一个六， 这一百二除以六不等于二十吗？三百一十八除以六五六三十三，六十八应该等于五十三，所以它这个 a f 比上 c f 的 比值就是二十分之五十三， 这里面你看就是通过平行做平行，把这个长度求出来，这里面还用什么三角函数？ 这个角是定角，这个模型呢，是一个三四五模型，所以我们可以通过平行线分线的成比例把它设出来，然后求它的长度，求完长度之后，另一个 c f 出来了，那 a f 是 不是就出来了，对吧？ 那所以我们这个最后比值就出来了，这是一种思路啊，我们是用几何法做的，还有一种思路是什么？我们可以间隙啊，间隙也是有技巧的，我们怎么间隙呢？我们以 c 点为圆点， 这个是 x 轴，然后这是 y 轴，我们可以建立坐标系啊，假设 c 点就它就是圆点了。 o， 那 我们这个 a、 b、 c， 还有这个 d， 还有哎，这个 e， 它的坐标是不是都能求出来？而且我们这个就是 a c 的 表达式也能求出来， d e 的 表达式也能求出来，对不对？我们这个一样的，把这个通过这个，把这个 c e 等于二分之三求出来，那我们这个 d e 的 表达式和 d e 和 a c， 它的焦点 f 是 能求出来的，这里面我们不用把它 的完整坐标求出来，我们只需要通过横坐标。为什么我们就要通过横坐标写呢？我们 a 点的横坐标是很好求的啊， 这个可以用通过等级法来求啊，这两个相乘面积，然后我们这个是不是也可以用三角函数来求 a 点坐标求出来之后呢？我们这个 f 点的横坐标，我们只要只需要 a 点和 f 点的横坐标之比 就可以了，或者我们就是把这个 a 点到这个，比如说 m 吗？这个是 n， 它的 a f 和 c f 的 比值是不是等于 m m 比上 m c 啊？所以我们只要把它横坐标求出来就算出算出它的比值就 ok 了啊。这间隙法也是一种很好用的，只要用一次函数求它的焦点坐标就行了。 好，今天就讲到这了，如果大家还有什么其他有趣的题，或者还有其他难题的话，可以私信我，或者在评论区留言，我们一起讨论一下。

同学们，大家犹如图，在长方形纸片 a b c d 中， a d 等于四， a d 等于六点， e 是 a b 的 中点，那么我们可以写出来， a e 是 等于二的， b e 也是等于二的，它告诉你 f 是 a d 上面的一个动点，那并且的话，我们将 a e f 沿 ef 翻折，翻折之后呢，得到了这个基点，得到了三角形 g e f， 那 则 g c 长的一个最小值是多少？ 好，这道题呢，我们就是考察了大家的这个隐形元的一个一个问题，那么我们去观察一下这个里面是属于哪一种类型的呢？首先这个基点它的轨迹又是怎样子的呢？我们可以观察得到，这个 e 点的话，它始终是一个定点，那 f 点是一个动点，并且我们这个 a e 翻折过来之后就变成了 e g 啊，也就是这个 e g 就 等于 a e， 它永远是等于二的， 也就是说这个 g 点的话，它翻折不，不论它怎么翻折，它的这个运动轨迹，它到一点的距离它永远是等于二。我们可以知道呢，这个就叫做一个定长定点 啊，这种隐形元的一个模型啊。 好，这样子的话呢，我们就可以简单地画出它的一个轨迹，情况 是从 a 到 b 的 一个半圆，现在我们要求一呃，这个 g c 的 这个最小值啊，也就是求什么呢？求这个圆， 这个半圆上面的一个点到 c 点最近的是什么？那我们之前是有学过一个圆外的一个点到圆上的距离最短的，应该怎么算呢？是应该连接他的圆心，然后然后连接这个点这个距离。 如果我们这个点 a 到圆心的距离我们设为 d， 那 么 a 点到圆的最近的距离就应该是这一段，那么这一段呢，就应该等于 r， 呃， d 减 r， 这个就是我们的最小值，那么同样的道理，我们现在这个 g 点是在这个半圆上面， 我们要求这个半圆上面到 c 点 g c 最短的，那我只能是连接 e c 好， 连接 e 射之后，我们就可以发现我们 e c 可以 轻而易举的就可以算出来，那么 e c 的 话呢，就应该等于， 就等于根号下二的平方四，加上六的平方三十六，那么我们就等于根号四十啊，就等于二倍根号十 二倍根号时，我们现在就把这个一 c 点到圆心的距离给算出来，就是我们这里的 d， 那 么我们再减去这个半径这一段，那么就可以得到 g c 的 最小值，那么 g c 就 等于二倍根号时，减去 r， 等减去二，所以我们答案呢就选 a， 答案就选 a。

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今天我们来看一道中考模拟卷的压轴题，那么这道题是运用了全等和相似的知识。我们先读一下题。在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b 等于四十五度， ac 等于 ab， c、 f 垂直 c、 e 那 么我们第一问，要求证角 d、 c、 f 等于角 a、 c、 e， 那么因为这是一个平行四边形，所以 ab 是 平行 c、 d 的 角 b、 c、 d 是 一百三十五度，那么这个角是九十度，所以说角 ecb 加上角 fcd 就是 四十五度。 那么因为 ab 等于 ac， 那 么角 a、 c、 b 也是四十五度，所以角 e、 c、 b 加上角 a、 c、 e 也是四十五度。那么我们就能证出角 d， c、 f 等于角 a、 c、 e 那 么我们再看第二问 p 在 a、 d 上， a， p 等于 d f， p h 平行 c、 f 然后我们要找出与 a、 e 相等的线段并证明。这时我们可以先进行一个倒角。 那么因为第一问，我们证出角 a、 c、 e 等于角 d、 c、 f， 那 么我们就设它为而法，那么这个角就是九十减而法。因为平行，所以角 p g， a 也是九十减而法。 那么这时又因为 a、 c 等于 cd， 我 就看到了一边一角，想到了构造在 q、 d， 呃，在这个三角形里面做 q、 d 垂直 cd， 那么因为角三角形 a、 c、 e 和三角形 q、 c、 d 中，呃，已经有一个等角和一个等边，我们又做了一个垂直，所以说这两个三角形就全等了。 a、 e 就 等于 d q， 那么因为角 q、 d、 c 是 九十度，角 a， d， c 是 四十五度，所以角 q、 d， a 也是四十五度。那么这时又有一组等边， 通过我们之前的倒角又能得出角 a、 j、 p 等于角 c、 q、 d 所以 在三角形 a p j 和三角形 q f、 d 中，呃有一组边相等，两个角相等，那么它们就全等了。 q d 就 等于 a h 等于 a e， 那 么我们就能证出 a e 等于 a h。 第三问，在二的条件下， b c 等于五倍的 p f， 我 们要求 c e 比上 c f 的 值， 那么我们可以设 p f e x， 那 么 bc 就是 五 x， ad 就是 五 x， 因为 ap 等于 f d， 所以 它们就是二 x。 那 么这时因为第二问，我们证出 c e 等于 c q， c e 比上 c f 的 值就转化为 c q 比上 c f 的 值。 这时我们发现三角形 q、 f、 d 和三角形 a、 f、 c 是 相似的，因为 d、 q 是 平行 ac 的， 那么我们就能证出 a、 f 比上 f d， 也就是它们的相似。比是三比二， 那么 c f 比上 f q 就是 三比二， c f 占三分， f q 占两分，那么如果要求 c q 比上 c f 就是 五比三，那么第三分的答案就是五比三。

各位同学大家好，我是奥数师，今天呢，给大家分享一下二五到二六年九上期末的几何压轴第二十三题，来，我们先看题目本身啊。首先呢，他说数学课上，老师们以举行为背景，探索动点产生的数学问题。 嗯，第一个，四边形 a， b， c， d 呢，是个矩形哎，我们大致标注一下哈，这是一个矩形对吧？ b c 呢，永远小于二倍的 ab， 也就是长和宽之间呢？呃，存在的小于两倍的一个关系。 呃，继续呢， a、 c 是 它的一条对角线，连了一条对角线点 e 是 平面内的一个动点，注意，它是平面内的一个动点， 对吧？那说明什么呢？说明它的范围比较广一些，那我们看看具体来怎么进行哈，好，他说 c e 始终等于二倍的 ab， 也就是 c e 的 长度呢，是 ab 长度的两倍，做 c e 的 垂直平分线。 那换一句话说，说明什么呢？ c f 和 cd 是 相等的，那或者说这两条相等，再加上它也相等， 对吧？然后呢，呃，连了一些线之后呢，他说小敏画出了点 e 在 b c 的 延长线上的图形， 如图一，判断四边形 c， d、 h、 f 的 形状。那我们来看哈， c d， h、 f。 显然呢，我们能知道，第一，垂直平分线，第二呢，有一个直角。 第三，刚刚说了啊， c e 是 ab 的 两倍，那垂直平分说明它零边还相等，还有三个角是直角。那我们就能知道了，第一种情况，显然就是什么图形呢？是个正方形， 对不对？这是第一种比较显然的情况哈。第二呢，小节呢，画出了点 e 和点 a 重合时候的一种形状，猜想 h g 和 c d 之间的一个关系，我们刚刚已经知道了啊， c， g 的 长度 对吧？ c、 e 呢，是 ab 长度的两倍，那说明这两条边和这条边三条边都相等， a g 等于 g， c 同时呢，等于 cd， 对 吧？那放到 a、 d、 c 这个直角三角形之中，那我们显然就可以得到一个信息哈，三十度所对的直角边等于斜边的一半，说明这个角度就是三十度， 对吧？这角度呢，就是一个三十度。好，接着呢，我们看一下 h g 和 cd 之间的关系， h g 在 这儿，那 cd 呢？在这个位置，那事实上，我们求的就是 h g 和 a、 d 之间的一个关系，对吧？那我们显然可以看得出来哈， a g 的 长度 是不是等于根号三倍的这个 h g？ 换一句话说，就是 cd 的 长度等于根号三倍的 h g。 那前两问呢，相对都比较这个正常和简单一些啊。来，我们关键看第三问啊，他说保持图二中的几何矩形 a， b， c， d 形状不变，小齐呢，继续改变点 e 的 位置，不再与 a 重合，且其他条件不变， 对吧？然后呢，请直接写出直线 ef， 注意这个词哈，叫做直线 ef， 说明情况，最起码有好几个， 对不对？那我们的一种情形，求角 a， e， c 的 一个度数，那我们先想哈，首先呢，由于这个，嗯，图二的矩形不变，那我们能知道什么东西呢？ 知道了 c a 和 c e 是 一样长的，那再换一句话说呢，我们就能知道哈，点 e 是 在哪呢？在以 c 为圆心， c a 长为半径的一个圆上，对吧？我们大概呢，把这个圆心给它画出来啊， 好，大概是这个样子的，对吧？那说明说明了什么呢？说明这时候呢，点 e 就 在这个上面去运动， ok 吧？点 e 呢，就在这个圆上面去运动，那要求什么呢？要求它要经 e f 直线 e f 要经过点 a， 那 我们找找关键的信息条件哈，说明什么呢？第一个信息能说明的是 a、 e、 f 是 三点共线的，对不对？ 我们能知道的一个关键核心点叫做 a e f 贡献 好，那言外之意是什么呢？言外之意就是这个点 f 呢，在直线 b c 上，那我们还得画出来 a、 e、 f 三点是共线的情形，那在直线 b、 c 上，我们大致把直线 b、 c 稍微画一下哈， 大概是现在的这个样子，对吧？ f 呢，在这条线上，那我们大致先尝试着去做一做哈，由于点 e 在 它上面动，那 a、 e、 f 三点是共线的，那我们大致先把它画出来， 先尝试一种情形哈，好，这种情形里面呢，我们知道了哈，这个地方是不是所谓的那个点 e， 但是呢， f 含在哪呢？ f 含在 c e 的 垂直平分线上， 那既在 c e 的 垂直平分线上，还得共线，那我们可以得到的信息就更多了一个东西了，那假设这个点是点 f 的 话，我们就能知道 f c 是 不是等于这个所谓的 f e， 对 吧？这是第二个比较关键的条件哈，就是 f e， 它是等于这个 f c 的， 在 c f c e 的 垂直平分线上。接着呢，我们就得尝试着去拖动这个角度了哈，那我们看看啊，大概呢， e 点在这个位置的时候，好像就有这个 f c 和 f e 相等的一个数量关系了，那这个时候呢，它是点 f， 这个呢，就是所谓的点 e， 对 不对？那要求 a e、 c 的 度数，那我们就得把这个 e c 呢， 它得稍微连接一下，对吧？那这时候呢，我们得到了什么东西呢？ f c 和 f e 是 相等的， c a 和 c e 是 相等的，要想求 a e、 c 的 度数，我们假设这角是角差了，那充分说明这个也是一个差，那这个呢，也是一个差，而这个角度呢是三十度， 这时候呢，我们大致呢就能把这种情形给他画出来了啊，就是，这就是我们的第一种情况，大致我们画出来就在哪个三角形，在这个三角形 a、 e、 c 之中，内角和一百八，我们就能知道有三个叉， 再加上一个三十度，它等于一百八十度，那我们就可以把叉呢？嗯，求得出来了，这个呢就等于五十度， 对吧？这就是第一种情况哈，这就是第一种情况，当然呢，点意是可以在这个圆上面去运动的，而且在平面内，我们就得看看他有没有别的一种情况哈。那我老师呢，拿蓝色的笔来画一下哈。 好，我们随机画一下啊。哎，看一下啊，什么时候呢？能满足这个 f e 等于 f c， 同时还得贡献，对吧？那焦点在哪呢？我们能知道的一点是，这时候的 f 点就在这个焦点的位置，对吧？那我们来拖动它，好去观察， 我们先往右头动嘛，好，这时候 f 肯定不太可能， f e 和 f c， 不 可能，不可能。哎，我们发现啊，这个位置附近的时候，是不是有一种可能的情况，那这个就是我们所要的一个点， 对吧？那这个点是那个点 f， 嗯，我们再稍微拖一点点哈，就更合理一些了，好，大概这个位置好，这时候呢，同样求的是这个 a e c， 那 我们能知道什么呢？这条边和这条边是相等的，同时呢， c a 和 c e 永远都是一个相等的关系， 对吧？这时候呢，我们怎么办？要求 a e c， 我 们还是假设 a e c 的 度数是叉，那充分说明这个也是一个叉，对吧？那同理，这也是个叉，这是个直角，这是个六十度。 那在蓝色的这个图形之中呢，我们就又可以列出来一个方程了，是什么呢？一个叉，两个叉，三个叉，加上这儿的一百五，就是三叉， 加上一百五十度，等于一百八十度，那差呢，我们可以求得为十度，对吧？这就是我们所要的第二种情况，当然，还有没有别的呢？我们继续往下探索探索啊，不一定存不存在，呃，接下来呢，老师以橙色的这个颜色来给大家画哈，那 同样的，这条线是不是还可以继续往下动，对不对？那过点 a e， 那 这时候我们还是观察哈，那直线 ec 的 话，如果 e 在 这儿的话，它跑到右边，那 f c 和 f e 有 没有可能相等呢？ f c 和这个 f e 显然是不太可能等的，那我们就继续往下划，好好，继续 好，那挪动，挪动，挪动，挪动到这个位置的时候，好像也不太行，对吧？那什么时候是可行的呢？老师给大家自己画出来哈，那这种位置的时候呢，我们是可行的，我们把这个这个是点 e e c 连一下，那这个 f 就 跑这去了， 大概呢？ f 在 这个这个位置， ok 吧？那这时候呢，我们同样哈，就开始去看看这个角度，刚刚我们已经说过了啊， c e 和 c a 永远是相等的，所以这个呢就变成了叉，这个呢变成叉， 那这样的情况之下呢，我们就可以知道哈，这个大角它本来也是一个叉，对不对？那这是一个三十度，那说明剩下的这个大角呢就是叉减三十， 对吧？那这样的话呢，我们在这个三角形之中就可以用内角和一百八呢把它求解一下，就是三个叉减三十度等于一百八十度，这样的话叉就可以得到为七十度， 对吧？那继续再往下画，有没有可能呢？我们能大概知道哈，如果一点在这个位置再去转的话，那 e a f 这时候的这个 f e 和 f c 它的 就不太可能相等了，对吧？那继续往下，那这个位置上面有没有可能呢？我们看一下啊，如果连接这个 a e， 这是一个 f， 那 f c 和 f e 相等的可能就只有在这个位置的时候， 这样的话呢，大致我们就把情况给它找出来了哈，一共呢就是这么三种情形，第一种就是这个红色的这个五十度，第二个呢是蓝色的这个七十度，这呢就是这个题目的全部。 嗯，今天呢就给大家分享这么多有需要讲解的内容，欢迎大家评论区留言。

二五年建业区期末考试初三填空题的最后一题我们看一下圆 o 经过 a o 的 中点 b o b 等于一 p 是 这个圆 o 上的动点，过点 b 做 ap 的 这个 直线。当 p 旋转一周时，问你点 q 运动的路程是多少？要求点 q 的 运动路程，那我们大致判断一下点 q 的 运动轨迹，这里很明显能够发现 ab 的 长度是一，这里又是垂直，所以点 q 的 轨迹就是以 ab 为直径的圆，那我们先把它的圆大致画出来。 ok， 这样的话， q 的 运动轨迹就是以 ab 为直径的这个圆 o 一 撇。那你也可以理解为，我可以先把这个圆 o 一 撇画出来，画出来之后，我圆 o 上的任意一个点与 a 点的连线，这条直线与圆 o 一 撇的交点就是 q 点。那我们具体来看一看， q 到底运动了多少 p 点从这里运动，你看随着他运动，他运动之后，那我连起来。我想说，随便再画一条 p 一， 假设 p 点运动到 p 一 这里， 那么 q 点就运动到 q 一 这里。假设 p 点运动到 p 二这里，那么 q 点就运动到这个 q 二这里，那么随着它一直运动，一直运动，这里都没有什么特殊情况，一直这样运动过来，运动过来，只要它能相交就可以。但有一个特殊的情况，当 p 点运动到 从 a 点做圆 o 的 一条切线的时候，假设是这里随便取个名字就叫 p 三。当 p 点运动到 p 三的时候，你看此时 q 点是运动到这个位置，我们把它也叫 q 三。 那你 p 点再往这边运动的时候， q 点就不会再往这个方向过来了，因为再往这个方向过来，你看 a、 q 如果一连的话，它就没有办法与这个圆 o 相交了，所以此时就是一个临界点，当 p 点运动到 p 三的时候， q 点在 q 三，当 p 点再继续往这边 这个顺时针运动的时候，你看往这边运动，再过来，他就逆时针回去了，所以你看从这里过来，过来，过来，过来，他是从这里一直到这里，然后再逆时针回去。当然这里有一个切点，那上面也有一个切点，这里我们假设他叫 p 四，这里叫 q 四，所以这样的话从 p 四开始一直运动，运动运动， p 一、 p 二到 p 三，那么 q 点就会从 q 四运动到这个运动过来，一直到 q 三， 然后从这个 p 三再往这边运动过来，到这个 p 四，那它又会返回去再这样运动。所以整个 q 点的运动轨迹实际上就是这条弧长的两倍，就是这一条弧 q 三 q 四的两倍。我们只要把这段弧长求出来就可以了，那求它的弧长，我们就要求它的半径和角度。半径的话很简单，因为这个 ab 是 一，所以半径就是二分之一。那角度的话也比较简单，这个长度是二，这个半径是一， 所以这个角就是三十度，这个角是三十度的话，那这个弧这是三十度，这就是六十度，这是六十度，所以这个角角圆心角就是一百二十度，所以我们就是一百八十分之 n 二乘以半径，然后再乘以两倍，这样的话，我们给它算出来就是三分之二。 pi 搞定。

今天我们看一个二零二六年交大附中九上数学的选择题。这道题是一个关于线段长度的问题，在几何中，我们求线段长度，首先分为三步，第一步是线段转换，第二步是轨迹确定，第三步是定量计算。 我们看此题，它的 m n 是 一个双动点问题。在双动点问题中，我们首先进行线段转换的时候，将双动点转换为一个单动点问题， 进行平移或者是旋转，转换为单动点之后进行定量计算。 好，我们看下此题。如图，在四边形 a， b， c， d 中， ab 平行于 cd， d， a 垂直于 ab， ab 等于八， cd 等于四， cd 等于四倍的零三，并且点 m 和 n 分 别在 ab 和 bc 上做动，点 a， m 等于 c n。 我 们看这个题有已知条件。前面这些可以得出， d， a， c 是 个特殊的直角三角形，角 dc 等于六十度， ac 它的边可以求出来是个八，也等于 ab， 所以 c， a， b 也是六十度，我们就可以得出三角形 c a， b， a， b， c 是 个等的三角形， 我们根据已知条件可以得到这些结论。同步，我们看 am 等于 c n m 运动过程中它是个双动点，求 m 的 长度，我们就想办法将 m n 转换成一个单动点。同步，要将 c n 和 a m 进行转换，放在同一个三角形或几何图形中， 那我们就可以做一个 c e， 使它平行等于 m n， 这样我们可以将 c e 转化到这边。在一个三角形中同步，也可以将 m n 转化到 c e。 这这里。这样 啊，双动点问题就转化为单动点问题。单动点问题，我们就确定 e 的 轨迹， e 的 轨迹确定出来之后，再进行定量计算啊。思路处理完了，我们现在开始看一下怎么计算。 首先我们呃做一个 c e 平行等于 m n， 这一步连接 em 交 a b f 得到 emnc 为平行四边形，它是平行四边形，这样我们可以读出来这个边等于这个边， em 平行等于 c n， 就 因为 am 等于 c n， 这两个边相等，所以 a m 就 等于 e m， 所以 我们知道三角形 e a m 是 个等腰三角形，是个等腰三角形。之后我们就要确定 e 的 轨迹。 我们通过特殊形状上确定轨迹的话，我们看一下在这个角度问题，在这里面的角度，我们看下这个角度是多少， 因为角 d a 按垂直 ab 和长度问题可以得出来 d a， c 等于 a c a b 等于角 b 的 六十度，因为这是个等边三角形，刚才我们在分析那块自测数的一块形已经得出，所以 emf 就 等于三十度。 这样我们根据外角等于不相邻的两个，两个内角和，所以得出来 m e a 等于 m， a， e 等于十五度。所以我们就可以确定 e 在 a g 上运动的时候， ga 与 ad 的 夹角为十五度， 那 e 的 运动轨迹就是在 a g 上，在与 a d 夹角为十五度的一条直线上，轨迹确定出来。我们经过定量计算，我们做 c h 垂直于 a j， 这样 c 到 a g 的 运动轨迹的最小距离 c e 的 最小值就是 c h， 也就即是 m n 的 最小值 c h。 我 们看 c h 和 c a 和 h， 它是一个等腰直角三角形，为什么？因为 h a c 是 等于这个十五度加三十度等于四十五度，这是直角，所以我们可以可以得出来， c h 等于一个二二分之二的 ac 等于四分之二。

同学们，今天我们看二五至二六上学期九年级期末的一题填空压轴。首先看一下，如图三角形 abc 中角 c 为九十度， bc 等于一， ac 等于二，当然同学们看到这里勾股定律，这也可以求出它等于根号五，对吧？然后呢， 这个正方形，正方形，正方形，正方形全部为正方形，而且 a 一 b a 二 a 三呢，在 a c 的 上面， b 一 b 二 b 三呢，是在 ab 的 上面。现在用线段 b n c n 的 常用 n 的 大数数来表示。这种题呢，就是规律题，对不对？那么这题我们的突破口在哪里呢？如果同学们有学过相似或者之类的，我们都知道这里 很多相似的三角形，这个三角形和这个三角形，这些都会是相似，对不对？或者我们学了三角函数，比如说这个，这两个告诉我们有什么用呢？其实就告诉我们，这个天津 a 呢，就等于一比二，对不对？天津 a 会等于啥？等于这个角等于这个角，等于这个角，等于这个角，因为它都是 垂直，垂直，所以它们都是平行的。那我们来看一下，现在要求 b 一 c 一 b 二 c 二 b 三 c 三，一直到 b n c a， 那 我们怎么来看呢？ 求这个角，这里我们不妨设它为 a 吧，然后因为我们添紧这个角等于一比二，所它为二 a， 然后呢，因为它是正方形，所以它也为二 a 二 a 二 a， 那 突破口在哪里？在这它整个为一，所以二 a， 这个就是一减 a 嘛，所以第一个正方形里面是一减 a 会等于 二 a， 然后这也可以推出 a 呢，是等于三分之一的，所以我们 b c 呢，就会等于二 a 嘛，所以等于三分之二。同理，我们就来看这边了，我们看这个三角形了， 知道，第一，我们知道这一个呢，此时会等于三分之二，然后我们这里还是设它为 a 一， 这里是二 a 一， 对不对？然后这一段呢，是三分之二减 a 一， 所以我们又可以得到 三分之二，减去 a 一， 就等于二 a 一， 这里可以推出 a 一 呢，是等于九分之二，所以 b 二 c 二呢，是等于九分之四。我们再算一个， 我们还是一样先把它擦掉。好，我们看第三个，此时这里呢是等于九分之四， 所以这个呢，我们设它为 a 二，同理，这里为二 a 二，对不对？所以我们一样的九分之四，减去 a 二，等于二 a 二，所以这里可以推出 a 二呢，是等于二十七分之四，所以 b 三 c 三，就等于二十七分之八，因为等于二 a 吗？对吧？二 a 一， 所以等于二十七分之八。现在我们找找规律，如果是 a 呢，那么他的 b n c a 呢？我们这里看一下一和相关的， 一乘二等于二，二乘二等于四，所以我们知道这是二乘以一，这个三好像也乘以一即可。然后我们看一下这个规律满不满足，二乘以二， 三乘以二，对吧？验证一下，这里是二乘以二，再乘以二，所以这里呢，就是三乘以三，再乘以三，再乘以三。 所以我们自己可以看到，这是二的平方，三的平方，这也是 二的立方，三的立方，所以这个 n 呢，就是二的 n 次方，三的 n 次方。那么这题呢，就是三的 n 次方，二的 n 次方，或者三分之二的 n 次方，这就是规律题，一般这种规律题呢，我们基本上算出前三前四个去找规律，从而推出这一个 n 的 一个长 常规的一个代数式，所以这题的答案是三分之二的 n 次方，或者三的 n 次方。分之二的 n 次方，这就是这一题的答案，同学们跟上了吗？

学数学难吗？一点都不难，大家好，我是 banana banana 老师，今天呢，咱们来看一下上午刚刚考过的初三上学期 这个期末考试的填空压轴题，也就是第十五题。这道题呢，主要还是考察这个相似三角形求线段长度的一些技巧啊，当然了，利用咱们课上讲过的一些特殊模型和方法呢，会相对的更简单一些，所以给大家分享两个办法啊。第一个就是常规的办法，咱们一起来看一下。 在三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 c， b 等于九度， a， c 等于 b， c 等于六啊，那斜边的话就可以得到是六倍根号二，一比一比根号二，等腰直角三角形。 大家看到等腰直角三角形以后，可能会想着去做一条三线合一的垂线，但是做不做呢？目前直觉来看的话，大概率是不做的啊，因为这样一做的话，有 增加了这个交叉线啊，这个图就更复杂了，所以咱们接着再往后看啊。点 d 是 ab 边上的一个三等分点，那就可以得到 a、 d 和 b， d 的 长度，分别是二倍根号二和四倍根号二，也就是说其实他俩的长度比为一比二。 那结合这个图来看的话，大家其实已经见过很多了啊，很有可能就是什么呢，过某个点去做相似啊，就做平移线去构造相似，比如过点 f 座呀，或者过点 a 座，或者过点 b 座啊，这种题大家也见过很多了，那咱们接着再往后分析。 呃，这呢是相交于点 f， 若这两个角相等啊，角 a、 e， b 等于角 a， d， c， a， d， c 啊，这两个红色的角相等的，那给了角相等，那大家能想到什么呢？ 要想到两点，第一点啊，就是这个三角形的相似，第二点呢，就是跟三角函数相关的，而这两个这个角呢，都是钝角啊，所以咱们就往相似这边去想， 那这包含这两个红色角有没有相似三角形呢？有，最直接的就是一组子母形的相似啊，就是 a、 d、 f 和 a、 e、 b 啊，这两三角形是相似，但是它们的相似比知道吗？啊？不知道，目前来看的话是不知道的，所以咱们再看看还有没有包含这两个 红色的角的这个相似的三角形呢？啊？是有的啊，因为咱们题里边呢，是给了等腰直角三角形，所以这个蓝色的角呢，它应该等于四十五度， 那左边这也是个四十五度，所以两个红色两个蓝色相等啊，包括其实这个角啊，这个小角，它也是一个四十五度角，那就可以得到啊， a、 c、 d 这个三角形和 a、 e、 b 这个三角形，它俩是相似的， 那他俩相似之后，这个就很好用了啊，因为相似比是知道的六比六倍根号二嘛，对吧？也就是一比根号二，那在这知道 a、 d 是 二倍根号二，所以 b 的 长呢，就是二倍根号二，再乘个根号二就可以，所以他应该是等于四的。 那接下来 c、 e 的 长也就得到了 c、 e 是 二，那算到这是二，上面又是一个直角，所以 a、 e 的 长就是一三根号十，所以是二倍根号十啊， a、 e 的 长就得到一，呃，二倍根号时了。接下来 e、 f 呢，是这个二倍根号时当中的某一部分。 如果我能得到 a、 f 和 fe 的 比例关系，那这个 fe 的 长也就直接得到了，那所以其实就回到咱们最开始猜测的那个样子，那去根据这个线段长去构造一个这个相似就可以了啊。那怎么构造呢？过点 a 做这个 c b 的 这个平行线啊，这种题大家也练过很多了啊，应该大概率是能想的到了啊，就是做完平行线之后，就可以利用下边的这一组相似啊， 就是题里边给的一比二的这个比例关系，咱们就可以得到这个 am 长为三啊，然后接下来再利用这组八字形的相似 啊，就可以得到他俩的相似比为三比二。那换句话来说， af 和 fe 的 这个相，呃，这个比例关系，也是三比二的比例关系，那咱们就相当于占了二倍根号时当中五份中的两份，所以用二倍根号时去乘个五分之二就可以了啊，等于五分之四倍 根号时，那这道题就解决了，那这个就比较考验大家的这种基础知识和对这个呃，对于这种图形的感知能力，或者说这种熟练度究竟够不够啊？ 那呃另一种办法呢，就是利用一二三四五模型啊，这个当当就是刚才分析的时候，大家其实也感觉到了啊，在这上边呢，他其实是存在一个 一三根号尺的这样的一个三角形的啊，我给大家把这个条件在标上，这是二倍根号尺啊，上面这是二六二倍根号尺啊，这一三根号尺。所以咱们就可以知道这个上面这个小角呢，他就应该是十八点五度， 那下面这个角呢，他就应该是二十六点五度啊，二十六点五度，而咱们知道这三个蓝色角他都是四十五度，所以说利用这个关系呢，外角的这个关系又可以推出来，上面这个小角也是二十六点五度， 那由此就可以得到，在这个三角形当中啊， a、 f、 c 当中啊，他其实是一个特殊的三角形，因为这个是六，而左右两边这个这两个角也都特殊，所以过点 f 做一条垂线， 比如说这个是 m， 那 咱们就可以得到左边这个三角形是一三根号十。上面这个三角形啊，就是一二根号五啊，所以假设一下啊，比如说我假设这条边为 x， 那 这就应该是三 x， 这就是二 x 啊，那六就对应的是五 x， 所以 一份的话就是五分之六，那咱们知道这是一三根号十啊，所以这应该是五分之六倍根号十。 然后接下来最后的结果，用二倍根号十减去五分之六倍根号十，也是五分之四倍根号十啊，两种办法都可以，不知道大家在考场上有没有把它做出来？好，关注我不楠老师帮你解决所有数学问题。