初二数学圆规五种作图方法

如何找圆弧的圆心呢？比方说给你一段圆弧，你知道圆心在哪里吗？今天亮教你尺规作图，两步搞定它。第一步，在圆弧上随便取三个点， a、 b、 c， 那 我们把这三个点依次相连。那么第二步，找到线段的垂直平分线。 那具体该怎么做呢？比方说，我们先去找 b、 c 的 垂直平分线，我们首先以 b 为圆心，用圆规画一条弧线，然后再以 c 为圆心，画另外一条弧线。那么这两条弧线呢？势必会交两个点，这两个点你把它连接起来，它就是我们的垂直平分线。 那么同样的道理，我们再找到 a、 b 的 垂直平分线，最后这两条垂直平分线相交的点就是我们的圆心 o。 那 为什么垂直平分线相交的点就是圆心呢？因为根据我们垂直平分线的性质， o a 等于 o， b 等于 o c， 既然这个点到圆弧上的距离都相等，因此这个点就是圆心。这便是我们使规做图，寻找圆心的方法啦，跟着亮亮无脑学习！

作为一名优秀的某汉工作者，做个圆的等分，你应该随手就能画很多种，以一号点为圆心画弧交于五点，六点连接两点交于七号点， 再以七号点为圆心画弧，交于八号点。接下来就是见证奇迹的时刻。这是五分之一，这是十分之一，这是七分之一， 这是六分之一，这是十二分之一。验证一下，七分之一还是非常准确的，你学废了吗？

这些还认识吗？直尺和圆规啊，就用它们。你能画正六边形吗？这不简单吗？我小时候可是数学课代表。中心点，先画个圆，直径两个点，在这两个点，以半径为半径， 半径一样。每个三角形都是等边三角形，这角度六十度，这两个角加起来一百二十度，所以这是个正六边形。那等边三角形呢？这个就相当于正六边形圆心的两个点，这就是正三角形，当然也可以这样， 这个非常容易证明。正方形呢，有点难度，不过难不倒我。中心点一样，先画个圆直线，然后画一条它的垂线，用大于半径的，然后连接四个点， 这也非常容易证明这条线垂线，这是直角，等腰三角形四十五度角，同样这边四十五度角，然后这个角是九十度。这两条线，这两条线都相等，这两条线也相等，所以这是个正方形。 试试这五边形呗，这五边形是奇数个边和角。呃，这玩意能用尺规画出来吗？就这还数学课代表了，我来给你画中心点， 以 a 点为圆心，原来圆的半径为半径， b 点为圆心， b、 c 长为半径。以 c 点为圆心， c、 d 长为半径。连接 c、 e、 c、 e 就是 五边形的一个边，把刚才的四个点连接起来， 这就是正五边形。证明稍微有些麻烦，这里就不证明了，其实就是通过构造黄金等腰三角形。黄金等腰三角形的角度是七十二度，两个七十二度就一百四十四度，就是正五边形内角的角度。厉害，还有更厉害的，能用尺规画正十七边形，谁呀？这是 高斯，高斯在一八零一年就证明用尺规可以画出正十七边形，解决这道两千多年的难题。 尺规作图可以做加减乘除和开根号，这样就证明了正十七边形是我平常很少见的图形，居然是可以用尺规画出来 的。这个关键问题的解决就是把三角函数的东西变成了熟悉的代数计算，开创了用代数方法解决复杂几何问题的先和。同时也可以知道正七边形这样简单的图形反而无法用尺规做图，而正二百五十七边形和六万五千五百三七边形反而可以用尺规做出来。

hello， 今天给大家讲一下这个尺规作图，制作角平分线，看一下这个角 b、 a、 c 要做它的角平分线，我们怎么做？首先拿出圆规， 以 a 为圆心，任意长为半径画弧，然后呢，再以 c 为圆心， 大于二分之一 c、 d。 注意，大于二分之一， c、 d 为什么要大于二分之一？ c、 d 不 大于二分之一 c、 d， 我 们再以 d 为圆心，这个半径我们不动啊。再画弧，如果不大于二分之一，那么它们两人就没有交点，那我们此时 连接 a、 e， 那 么 a、 e 就是 它的角平分线。那老师讲一下它的底层逻辑是什么呢？我们来看，首先以 a 为圆心， 任意长为半径做的这一根线上，也就是说 这个 a、 c 和 a、 d 是 相等的，然后以分别以 c、 d 为圆心，大约二分之一， c、 d 为半径， 这个作弧什么意思？也就说，如果我们连线 c、 e， 我 们在连线 d、 e， 那 说明什么呢？啊？ c、 e 和 d、 e 是 相等的，为什么呢？因为圆规我们就是截等长的啊。 看啊，这一道的杠的和一道杠相等，两道杠的和两道杠的相等，同时它还有一个隐藏条件，什么？就是 a、 e 等于 a、 e， 那 就说这两个三角形起形是全等的，所以 全等之后，对应角是相等的，也就是说角一和角二是相等的，所以 a、 e 是 它的角平分线。 那同理，我们此时也可以再做一个线段的垂直平分线。是怎么做的啊？啊？我们如果这是 p， 这是 m， 我 们还是以 p 为圆心， 大于二分之一， pm 为半径，还是一个意思啊？你如果不大的话，它没有焦点啊，看半径，不要动，再以 m 为圆心 啊，有个焦点啊，在上面有个焦点，在下面也有焦点，你也可以整个的画完啊，可以整个的画完，没关系啊， 整个的画完，你看这是不是有焦点？如果他是 x， 这是 y 的 话，啊，大写的 y 啊，大写的 y， 那 我们只需再连接 这个 x， y 就是 它的这个垂直平分线，为什么呢？啊？再给我们讲一下，因为呢，如果我们连接 p x 和 x m 的 话，啊，这是一个什么？这是一个等腰的三角形， 那等腰三角形，为什么呢？啊？因为 p d 和 m d， x 和 mx 是 相等的，因为我们的半径都没有变， 我们的半径都没有变，所以这两个边是相等的，所以这是等腰三角形，对不对啊？等腰三角形，那同样的， 我们连接 p y 和，嗯， m y， 那 这形成这四条边是不是啊？ 相等的，这是一个菱形，菱形对角线是互相垂直平分的。菱形对角线互相垂直平分，这就是我们角平分线和 线角的角平分线和线段的垂直平分线 z 的 画法和原理，你学会了吗？哼。

这是一个曾经被认为不可能完成的任务。两千年来，人类只知道如何用尺和圆规画出正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们优雅对称，却仿佛构成了一道无法跨越的边界。 但有一个问题始终笼照在几何的迷雾之中，正时期边形能不能用尺规作图完成？一七九六年，在德国的一间大学课堂里，十九岁的高斯第一次意识到这个问题，可能从一开始就被问错了。因为尺齿并不只是画直线的工具， 它代表的是直线的方程。圆规也不只是画圆的工具，它代表的是圆的方程。而所谓的尺规作图，本质上只是在不断的寻找直线与圆的焦点。 而从代数的角度看，这些焦点的坐标恰恰来自三种运算，加法、减法和平方根。 那一刻，高斯意识到，尺规作图的本质不是画图，而是计算。为了继续前进，高斯引入了一个全新的视角，负平面。 在负平面上，横轴是实数轴，纵轴是虚数轴。每一个点都可以写成 a 加 b i 的 形式，它既是一个数，也是一个向量。当这个向量的模长等于一，它就落在一个特殊的圆上及单位圆。在复数世界里，乘法有着清晰的几何意义。 两个负数相乘，比如 z 一 等于一加 i， z 二等于 i， z 一 乘以 z 二等于一加 i 乘以 i， i 的 平方等于负一 得到的 z 三等于负一加 i。 此时的 z 三的魔长等于 z 一 的魔长乘以 z 二的魔长。 z 三的角度等于 z 一 的角度四十五度，加 z 二的角度九十度，等于一百三十五度。因此，负数的乘法就是魔长相乘， 角度相加，于是把一个魔长为一的项链不断相成，就相当于在单位圆上不断旋转，也等价于在圆上均匀的走过相同角度，这样的话，单位圆就会被均分。 当高斯写下这个方程， x 的 十七次方减一等于零，他看到的不是抽象的符号，而是把整整一圈精确分成了十七份。这十七个解正是正时期边形的十七个顶点。接下来高斯做了一件极其大胆的事， 他并没有直接去求解这个十七次方程，而是一步步的把它降维，从十六次降维到八次，从八次降维到四次，从四次降维到两次，最终获得这个方程的解。只要你有初中的数学基础， 跟着我的思路就可以领略高斯的降维求解艺术。首先， x 的 十七次方减一等于零，可以进行因式分解。显然 x 零等于一是一个根， 他是与十轴正半轴的焦点，其余是十六个根的密次之合。高斯创造性的将这十六根分为两组， y 一 和 y 二组。高斯发现 y 一 加 y 二等于负一， y 一 乘以 y 二等于负四，根据维达定律构造二次方程。那么为什么和式负一 而基式负四呢？接下来给出几何视角的直观证明，为什么和式负一强项十七个向量沿圆分布，联想下力学知识，合力为零，也就是矢量之和为零，去掉 x 零等于一这个根，其余的十六个根之合就是负一。 为了下一步，计算机按照高斯的方法进行分组， y 一 和 y 二组。下面来计算 y 一 乘 y 二，需要借助前面介绍的复数相乘的几何意义。旋转相乘 y 二组的结果 相当于按照 y 二组的大小逐个角度旋转。第一步乘以 x 三，这个根就是旋转六十四度，接着是乘以 x 五，就是旋转一百零六度，这样以此类推。最后的结果是十六个根分别被加了四次， 每个向量的顶点位置都有四个不同颜色的点，代表每个向量被加了四次。最后的结果就是 y 一 乘以 y 二，等于负四。求解第一次分组后，关于 y 的 一元二次方程就完成了，第一次降为十六次， 第二次降为八次。接着按照以下的黄金分之图继续降为十六次。降为八次是求解关于 y 的 方程，八次降为四次是求解关于 z 的 方程，次次降为两次是求解关于 w 的 方程。 经过一系列的降次，最后可以得到 cos 二派除以十七的解析式。可以看到这个解析式完全是四则运算和开根号的形式， 因此通过这个解析式可以尺规作图得到正时期边形。一切的问题都归结为如何用几何方法求解一元二次方程。高斯引用了一个优雅的几何工具克莱尔原法，确定两个点 a 点零一和 b 点 sp， 以这两个点为直径作圆， 圆与 x 轴的交点就是方程的解。那么如何证明这个方法有效连接定点 a 零一和点 bsp， 以两点连线为直径作圆，会交 x 轴于两个点，这两个点就是一元二次方程的解。首先写出圆的直径式方程，接着带入点 a 和点 b， 经过整理后，另外等于零。最后可以得到原来的一元二次方程， x 方减 s， x 加 p 等于零。因此使用克莱尔元法可以求解一元二次方程。 以高斯克莱尔原法尺规作图，首先从十六次降到八次，求解关于 y 的 一元二次方程，得到解 y 一。 接着从八次降到四次，求解关于 z 的 一元二次方程 得到解 z 一。 最后从四次降到二次，求解关于 w 的 一元二次方程，得到 w 一， 得到 w 一 后，取一半就得到了 cosine 二派除以十七的值，再用圆规依次截取十七段，最后就得到了一个尺规作图的正时期边形。十九岁的高斯一举解开了两千年来的数学难题， 他以量少至今为信条，一生攻克无数难题，登峰造极，而直到临终指归作图证实七边形仍是他此生最引以为傲的荣光。

由 a、 b 两点，请仅用圆规做出 a、 b 的 垂线 a、 c 请暂停自己尝试思考一下，并做一做，以中为始。先分析一下 半径为 a、 b 的 两圆相交于一点与 f 点。三角形 a、 b 是 边长为 a、 b 长的等边三角形角 e、 a、 b 是 六十度 圆一与圆 a 相交于 d 点。三角形 a 一 也是等边三角形 a、 h 是 中线角一 a、 h 是 三十度角 h， a、 b 是 九十度 a、 h 垂直于 a、 b。 点一与点 d。 对 于 a、 h 对 称，用找中点的方法即可做出点 c。 开始作图吧。以 a 为圆心， a、 b 为半径作圆，以 b 为圆心， a、 b 为半径作圆，两圆相交于点 e。 以 e 为圆心， a、 b 为半径作圆，相交圆 a 于点 d。 以 d 为圆心， a、 b 为半径作弧，相交于圆 e 于点 c。 此时 a、 c 垂直于 a、 b， 点 c 即为所求点。

二四年开始辽宁进行统一中考了，那么从统一中考之后，我们二四年二五年的中考，包括我们平时考试里边这个耻辱作图的占比比之前增加了好多。 这个知识啊，本来是在我们在北师版七年级学的，人教版呢，可能是八上也学了一些，然后之后就不咋学了，但是整个考试中，整个贯穿我们初中三年以及这也是我们中考必会的一个 用无刻度的直尺以及圆规去画垂直平分线，角平分线做三角形做角等等，那么有些小孩还不会呢， 那么佟老师啊，把这些梯形给大家汇总全了，并且对于那视频讲解，像咱们小孩在需要的时候，可能老师在黑板上一画就过去了，后来就没有这种演示的过程了。那么佟老师这个视频你可以反复观看， 助力咱们孩子二六年耻辱作图，没问题，领取的留言，耻归作图！

零零竖，小天爷，你初中的时候是不是都学过一句话，然后这个圆心坐标二零五，是不是得找出来啊？这里是一，这里是二，那是二零，那也就说这个 c 点是在这半径是一，然后画圆啊？ 圆吧，还可以吧。嗯，中庸之美，是吧？特别的圆。嗯，可圆，他现在是不是就可非常的圆？是不是？好看吗？漂亮吧？ 不漂亮你就把它当成非常标准，圆就圆规画的啊，我的手就圆规。嗯，然后现在我们来看啊，他要过点第一零，那说明这个点是谁？ 这个点是 d 吧，是不是一零啊？ d 点的坐标是一零啊， c 点的坐标是二零。好，给你标到这了，他说过点 d 一 零做两条互相垂直的直线，你看啊，这个直线他俩是互相垂直的，过点 d 是 不是？ 这是一条直线了？是不是？文子轩，这是不是一条直线？然后另一条直线和这条直线怎么样？垂直，而且还得过这个点？地 交于哪两个点？ m n 两点，那这里是 m 行吗？这里是 n， 可以 吧？然后这个是什么角？直角对不对？来抬头，然后后面不要让我一直强调 这里是直角，对吧？哎，那你觉得这个 m 的 连线一定会过哪个点？一定会过哪个点？圆心，为什么？那你画的不行啊？为什么？你看啊，他是不是一定会过圆心？ 你看这个圆心是不是正好就在这，对不对？我画的是不是也非常标准？他正好是不是就卡到这个圆心上，对不对？ 是不是？那为什么这里这个 m n 一定是过这个圆心呢？非常甜，其实也能甜，是不是？甜？ 是不是一定过圆心？是不是？那么来看这个 m n 为什么一定是过圆心的呢？ 为什么？为什么这个 m a n 一定是过圆心的？ 史建涛抬头，为什么你不要感觉这个画出来的不是画出来的？不要笑，他一定过这个圆心，这个圆心不刚好卡在这吗？ 我画的非常标准，他就是卡在这，对不对？不要打辫，就是卡在这。为什么 我们说谁所对应的圆周角是直角？握圆心的圆周角。 我的老天爷，你初中的时候是不是都学过一句话，那直径所对的圆周角是直角，所以说这个镜一定是直径，那他一定过圆心，是这样子的，懂不懂？懂不懂 啊？ are you clear？ 懂不懂？全灯懂不懂？懂了吧？所以这里是不是已经是过圆心的？