八年级下册数学第一次函数思维导图

大家好，我们今天来讲解一下八年级下册第十九章一次函数的思维导图，这一张里面呢，他是这个整个八年级下册的重点内容哈，而且是难点内容。好，我们来看一下 第一个一次函数啊，他这个定义他是怎么样的呢？好，第一，第二个就是说我们学习一下函数啊，他是表示方法，他有列表法，有解释式法，还有图像法，有三种方法哈去表示，一般来说， 好，第二个一次函数，一次函数它有一种比较特别的，就是正比例函数啊，当它这一个 y 等于 k， s 加 b 中的 b， 它等于零的时候，就是正比例函数了， 他这个图像，他的一些特点，还有一次函数啊，形如 y 等于 k， 十加 b 这样子的函数哈，这个 b 等于零的时候，也就是刚才说的正比的函数， 那么它的图像，它的性质就是说这个 k 啊，它大于零的时候，那么这个 y 就随着 s 的增大而增大，但是这个 k 啊，它是小于零的时候，这 y 随着 s 的增大而减小。 这里要注意啊，特别的这里啊，他这个联系啊，就跟这个一元一次不等式，还有一元一次方程他的联系啊，啊，这个二元一次方程组，他们这个组合在一起，就是说他们两个啊，这个一次函数，他们的这个焦点啊，就是可组成二元一次方程组了。 好，第三个选择方案，这里是不是我们会选择一些最优的方案啊？他的步骤， 这是去分析实质问题中的这个建立这个函数它的模型哈，这个列出不等式或者方程，去求出这个 s 变化时候， y 的它的大小，结合实质去选择最佳方案，这里重点是一个思想，是怎么思想呢？转框的思想，还有就是比较这个函数值哈，解方程 在一个就是塑形结合思想，塑形结合思想，在我们这一个整个初中阶段呢，他都是比较重点的，而且是难点，但是却一些抽象的问题哈，他就是把这些变成具体化的啊。好，今天的这一个一次函数的讲解就到这里，谢谢大家。

前面我们学习了平面直角坐标系的知识，那同学们能写出这个坐标系图中各点的坐标吗？小芬说，老师，我能， a 点的坐标是二六， b 点的坐标是五四， 低点的坐标是二四，低点的坐标是二一。嗯，小芬知识掌握的不错哦！老师最喜欢画轴对称的图案了，所以老师先把坐标系中的四个点连接起来，组成一面小棋。接着分别以 x 轴和 y 轴为对称轴， 画出了关于 x 轴对称和关于 y 轴对称的轴对称图案。那同学们知道这两个图案标的点的坐标又是多少吗？阿道说，我知道 a 的 坐标是二负六， b 的 坐标是五负四， c 的 坐标是二负四， d 的 坐标是二负一。 小芝说， a 二的坐标是负二六， b 二的坐标是负五四， c 二的坐标是负二四，第二个坐标是负二一。嗯，同学们真棒！ 接下来我们来看看关于 x 轴对称的图案对应点的坐标有什么特点。 同学们看，通过对比能发现， a 点和 a 一 点的横坐标相同，纵坐标是相反数，其他对应点的坐标也有这样的特点。那就说明关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数哦。 再来看看关于 y 轴对称的图案对应点的坐标有怎样的特点？列出来后，能发现， a 点和 a 二点的纵坐标相同，横坐标却是相反数了。对比其他对应点的坐标，也能发现这样的特点， 那也就说明关于 y 轴对称的两个点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数哦！ 同学们看这条鱼，它是由平面直角坐标系内的点零零五四三零五一五负一三零四负三零零， 依次连接得到图案。假如将各点的横坐标保持不变，纵坐标分别成负一，那依次连接这些点，你们觉得会得到怎样的图案呢？ 我们来看看。横坐标保持不变，纵坐标乘负一，那么各点的坐标就变为，零零五负四三零五负一五一三零四三零零。 与原来的坐标相比，横坐标相同，纵坐标变为相反数了。依次连接起来后得到的图案也是一条鱼。 通过观察能发现，这条鱼与原图案是关于 x 轴对称的图案对称了，那么对应的点也就会对称了，那也就是说，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称， 假如是将这条鱼的各个点的纵坐标保持不变，横坐标分别成负一，然后连接起来，又会得到怎样的图案呢？ 纵坐标保持不变，横坐标乘负一，那么各点的坐标就变成，零零负四负三零负一负五、负一负三零负四负三零零。 与原来的坐标相比，纵坐标相同，横坐标变为相反数了。得到的图案也能发现是与原图案关于 y 轴对称的对应的点，也关于 y 轴对称，那就说明纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于 y 轴对称了。 简单总结一下，一、关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。二、关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标 互为相反数的两个点。关于 x 轴对称四、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于 y 轴对称。观看完整版课程，关注花花老师。

前面我们学习了平面直角坐标系的知识，那同学们能写出这个坐标系图中各点的坐标吗？小芬说，老师，我能， a 点的坐标是二六， b 点的坐标是五四， 低点的坐标是二四，低点的坐标是二一。嗯，小分知识掌握的不错哦！老师最喜欢画轴对称的图案了，所以老师先把坐标系中的四个点连接起来，组成一面小旗。接着分别以 x 轴和 y 轴为对称轴， 画出了关于 x 轴对称和关于 y 轴对称的轴对称图案。那同学们知道这两个图案标的点的坐标又是多少吗？阿道说，我知道 a 的坐标是二负六， b 的坐标是五负四， c 的坐 标是二负四，第一的坐标是二负一。小只说， a 二的坐标是负二六， b 二的坐标是负五四， c 二的坐标是负二四，第二个坐标是负二一。嗯，同学们真棒！ 接下来我们来看看关于 x 轴对称的图案对应点的坐标有什么特点。 同学们看，通过对比能发现， a 点和 a 一点的横坐标相同，纵坐标是相反数，其他对应点的坐标也有这样的特点。那就说明关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数哦！ 再来看看关于歪轴对称的图案对应点的坐标有怎样的特点？列出来后，能发现 a 点和 a 二点 的纵坐标相同，横坐标却是相反数了。对比其他对应点的坐标也能发现这样的特点。那也就说明关于歪轴对称的两个点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数哦！ 同学们看这条鱼，它是由平面直角坐标细内的点零零五四三零五一五负一三零四负三零零， 依次连接得到图案。假如将个点的横坐标保持不变，纵坐标分别成负一，那依次连接这些点，你们觉得会得到怎样的图案呢？ 我们来看看。横坐标保持不变，纵坐标乘负一，那么个点的坐标就变为，零零五负四三零五负一五一 一三零四三零零。与原来的坐标相比，横坐标相同，纵坐标变为相反数了。依次连接起来后得到的图案也是一条鱼。 通过观察能发现，这条鱼与原图案是关于 x 轴对称的图案对称了，那么对应的点也就会对称了，那也就是说，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称， 假如是将这条鱼的各个点的纵坐标保持不变，横坐标分别成负一，然后连接起来，又会得到怎样的图案呢？ 纵坐标保持不变，横坐标乘负一，那么个点的坐标就变成，零零负四负三零负一负 负一负三零负四负三零零。与原来的坐标相比，纵坐标相同，横坐标变为相反数了。得到的图案也能发现是与原图案关于歪轴对称的 对应的点，也关于歪轴对称，那就说明纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于歪轴对称了。 简单总结一下，一、关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。二、关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 三、横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称。四、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于 y 轴对称，观看完整版课程，关注花花老师。

八下数学最难的一次函数，八大题型全部吃透，稳进班级前三。一次函数的应用，八大提醒提醒一，分配方案问题提醒二，最大利润提醒三，行程 提醒四，工程问题提醒五，调用问题体积问题。完整电子版分享！

同学们大家好，我是来自福建省宁德市福安市德艺学校的吴思毅老师。本节课我们一起来学习一下一次函数与二元一次方程组。先来看一下学习目标， 一、认识一次函数与二元一次方程组之间的联系。二、会根据函数图像求解二元一次方程组。 三、综合运用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题。那我们现在来看一下下面这幅图，这幅图同学们你们看到的是鸭子还是兔子呢？ 第二幅图你看到的是三根木棒还是四根木棒呢？这两幅图我们从不同的角度来看，就会得到不同的结果，因此在生活中我们应该学会从不同的角度看待问题， 在数学的学习中也是如此。接下来我们将主要从数和形两个角度出发来分析和解决本节课的内容。我们先来看下第一个，我们所要解决的是一次函数与二元一次方程的关系。 来看看从数的角度出发，先来看下第一个问题，将方程二 x 减 y 等于负二转换成一次函数的形式，那么这个方程可以将它转换成 y 等于二 x 加二。 再来看下第二个问题，任意的二元一次方程都能转换成一次函数的形式吗？ 二元一次方程和一次函数能够互相转换，所以每个含有 x 和 y 的 二元一次方程都对应了一个一次函数，反过来也可以说每一个一次函数都对应了一个二元一次方程。 那从数的角度上我们分析完了，现在我们从形的角度来看看。 先来看一下下面这个问题，你能先写出二 x 减 y 等于负二的几组解吗？同学们可以试着写出三到四组解，那么老师这里给大家写了四组解， 在上面我们已经将二 x 减 y 等于负二转换成了一次函数 y 等于二加二的形式， 那么这里方程的解能否看作是这个函数图像上的点的坐标呢？现在我们就带着这个问题一起往下来探求一下。 既然要解决这个问题，应该先画出 y 等于二加二的图像，能得到它是这样子的一条直线。 那对于刚才我们所求解的二 x 减 y 等于负二的几组解，先来看一下第一个解， x 等于零， y 等于二，同学们能否在函数图像上找到这个点呢？他可以找到是零逗号二这个点。 再来看一下第二组解， x 等于一， y 等于四，同样的也能在图像上找到一逗号四这个点， 那么负一逗号零，负二逗号负二都可以在函数图像上找到它们， 也就是说从函数图像上我们就能找到方程的解，所以我们可以说二元一次方程的解就是对应函数图像上点的坐标。 那么现在我们一起来总结一下一次函数与二元一次方程的关系。先来看一下第一个从数的角度来看，每个含有 x 和 y 的 二元一次方程都对应一个一次函数。 第二个，从形的角度来看，二元一次方程的点的坐标。 那一次函数与二元一次方程的关系我们分析完了，现在我们来看一下一次函数与二元一次方程组的关系。先来看一下下面这道问题。 一号探测气球从海拔五米处出发，以一米每方的速度上升。与此同时，二号探测气球从海拔十五米处出发，以零点五米每方的速度上升。两个气球都上升了一小时， 现在来看一下第一小题，请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔外与气球上升时间的函数关系。 那根据提议，我们可以得出，气球一的海拔高度是 y 等于 x 加五，也就是以海拔高度五米的基础上，以一米每方的速度上升了 x 分 钟。 同理，气球二的海拔高度也可以写出来是 y 等于零点五， x 加十五的。 那么这两个函数的自变量的取值范围都是一样的。因为两个气球都上升了一小时，所以自变量的取值范围 x 大 于等于零，小于等于六十。 那么我们现在接着往下看一下第二小题，在某个时刻，两个气球能否位于同一高度？ 如果能，这时气球上升了多长时间，高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究。那题目中这里的同一高度说明什么呢？ 我们想一想，同一高度其实是说这两个函数中的外值是相等的。因此，从数的角度来看， 也就是求次变量为和值时，两个一次函数 y 等于 x 加五， y 等于零点五， x 加十五的函数值相等，并求出函数值。因此可以连立方程组 解的 x 等于二十， y 等于二十五。所以当上升二十分钟时，两个气球都位于二十五米的海拔高度。 那么我们现在接着往下看一下。从形的角度来看，二元一次方程组与一次函数的图像有什么关系呢？ 既然要研究函数图像，应该在平面直角坐标系中画出这两条函数图像， 由函数图像能发现它们有个焦点，读出这个焦点坐标是二十，逗号二十五的，所以当上升二十分钟时，两个气球都位于海拔二十五米的高度。 那么在前面我们已经将这个二元次方程组求解出来了，它的解是 x 等于二十， y 等于二十五。那你能发现焦点坐标和方程组的解其实是一样的， 所以从函数图像上我们就能找到方程组的解了，所以可以说二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图像的焦点坐标。 那么现在我们一起来总结一下一次函数与二元一次方程组之间的关系。先来看下第一个，从数的角度来看，方程组的解就是求自变量为和值时， 相应的两个函数值相等，即函数值为和值。而从形的角度来看，方程组的解就是对应的两个一次函数图像的焦点坐标。 那么一次函数与二元一次方程组之间的关系我们分析完了，现在来看看下面这两道题是怎么做的。 先来看下第一小题，如图，一次函数 y 等于 a， x 加 b 与 y 等于 m 加 x 加 n 的 图像交于点 p， 则方程组的解是。 那么从图中我们可以看出这个点屁，它的焦点坐标是零点六，逗号零点二的。前面我们已经总结过了，方程组的解其实就是函数图像的焦点坐标， 所以这一题方程组的解应该是， x 等于零点六， y 等于零点二。那现在一起再来看一下第二道题。 方程组的解为 x 等于二， y 等于三，则依次函数 y 等于负， x 加五与 y 等于二， x 减一的焦点坐标是多少？ 那这个方程组和这两个一次函数有什么关系呢？我们先从方程组来看一下， x 加五， y 等于五，可以把它转换成 y 等于负， x 加五。 而第二个方程二， x 减 y 等于一，可以将它转换成 y 等于二， x 减一。 也就是方程组的解就是这个函数图像的焦点坐标，因为方程组其实是和一次函数是一样的，那么这里焦点坐标可以写为二，逗号三。 那前面我们从函数图像上就能得到方程组的解是多少了，所以接下来你能否用图像法来求解这道方程组呢？ 我们一起来看一下吧。既然用图像法解方程组，首先应该将方程组转换成一次函数的形式，所以由方程组可以得到这两个函数的表达式，那么此时就能在 平面直角坐标系中画出这两个函数图像了。可以得到这两个函数图像有一个交点， 焦点坐标是二十，逗号二十五，所以也就是方程组的解就是 x 等于二十， y 等于二十五。 那么我们能否根据这道题一起来总结一下，如何用图像法求解二元一次方程组的呢？我们先来看一下，第一步，由方程组可以得到一次函数，所以可以总结为变函数。 第二步是在平面直角坐标系中画出这个函数图像，所以可以总结为画图像。 第三步，也就是根据图像能找到焦点，所以第三步可以总结为找焦点。 那第四步根据找焦点可以写下方程组的解是多少，所以第四步可以总结为写结论。 那一起再来看一下用图像法求二元一次方程组的解的一般步骤。有这四个步骤， 那需要注意的是，用图像法求二元一次方程组的解的时候，要求作图精确，且有时只能得到近四解。 那既然总结了如何用图像法求解二元一次方程组的？接下来我们来看一下下面这道便是一。 首先第一步应该是变函数，第二步画图像， 那第三步找焦点，根据函数图下来看的话，这两条直线平行，所以方程组无解。那接着往下来看一下，下面这道便是二， 同样的也是变函数画图像找焦点，那由图发现这两条直线重合，所以方程组应该有无数组解。 那刚才我们做了三种不同类型的图，现在我们一起来总结一下，看一下第一个，我们所画出来的两个函数图像是有一个焦点的， 一次函数主要是由两个参数 k 和 b 来决定的。现在我们一起来看一下这两个函数，它呢，它们的 k 和 b 值有何关系？ 先来看一下第一个函数的表达式，它的 k 值等于一啊。第二个呢，它的 k 值等于零点五，一和零点五不相等，所以我们可以总结为，当 k 一 不等于 k 二时， 两条直线相交，从方程组有五为一解。 那再来看一下第二个，我们画出来的两个函数图像是平行的。依然从 k b 值角度入手来看一下这两个函数，它们的表达是， k 一 等于 k 二都等于一， b 一 和 b 二不相等，所以我们可以总结为，当 k 等于 k 二， b 一 不等于 b 二时，两条直线平行，从而分成组无解。 那再来看一下第三个，我们所画出来的这两个函数的图像是重合的， 所以依然从 k b 值的角度入手，能发现这两个 k 值都相等，都为一， b 值也都相等，都为五。 所以可以总结为，当 k 等于 k 二， b e 等于 b 二时，两条直线重合，从而方程组有无数组解。 那么今天的知识点到这里就学完了，你能否将我们所学的知识运用到实际生活中去呢？现在来看一下下面这道题， 那么这道题其实是刚才我们所做的探测气球的那道题的应用题。升，先来回顾一下这道探测气球的问题，那前面我们根据题写出了两个函数的表达式， 那再回到这题中来看一下啊，在什么时候一号气球比二号气球高， 在什么时候一号气球比二号气球高呢？那这里老师给大家提供了两种方法，我们先来看一下方法一， 方法一主要是用代数法来求解的，那既然用代数法，我们应该先列出两个表达式， 所以啊，当 y 一 到 y 二时，可以解得 x 大 于二十。当 y 一 小于 y 二时，可以解得 x 小 于二十。 所以在二十分钟后，一号气球比二号气球高，而在零到二十分钟时，二号气球比一号气球高。那现在我们来看一下方法二， 方法二是用的图像法，那既然用图像法，就应该先在平面直角坐标系中画出这两个函数的图像 前面我们已经画过了，那这两个函数图像有一个交点，所以我们现在可以以 x 等于二十这条为界限来看一下 x 等于二十，他的左边的这部分， 左边这部分， y 等于零点五， x 加十五，它的函数图像是在 y 等于 x 加五的函数图像的上方，所以我们可以得出，当 x 大 于等于零 小于二十时，零点五 x 加十五大于 x 加五，再看一下 x 等于二十的右边的这部分， x 加五，它的函数图像是在零点五 x 加十五的函数图像的上方，所以我们可以得到，当 x 大 于二十时， x 加五大于零点五， x 加十五。所以我们所得到的答案和刚才用代数法求解出来的是一样的。 那么这两种方法同学们可以自行选择自己擅长的来完成。现在我们一起来小节一下吧。 首先第一个，一次函数与二元一次方程组的关系主要分两个角度来看。 第一个，从数的角度来看，方程组的解就是自变量为和值时，相应的两个函数值相等，即函数值为和值。 第二个，从形的角度看，方程组的解就是对应两个函数图像的交点坐标。再来看下第二个 用图像法求二元一次方程组解的一般步骤，这里主要有四个步骤， 一、变函数。二、画图像。三、找焦点，四、写结论。 那第三个是利用一次函数与方程组的关系解决实际问题。那么本节课我们主要是通过题目来建立数学模型解决函数问题的。 那本节课我们除了用建模思想外，还将数与形相结合，解决了一次函数与二元一次方程与二元、一次方程组的关系，所以数与形的结合是研究函数的一种重要方法。 那希望同学们今后能更多的将数与形相结合，解决更多的函数问题。那同学们本节课上到这里就结束了，希望大家及时完成课后作业，同学们再见！ 同学们好，我是安国市耀星学校的刘山老师，今天我们一起来探讨课题学习，选择方案。 生活中你应该有这样的体会，做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划是非常必要的。 拥有数学的知识和方法进行分析，可以帮助我们做出理性的决策。 现在刘老师家里边安装了宽带网，但是刘老师发愁了，不知道应该怎么去选择。下表给出了 a、 b、 c 三种上宽带网的收费方式， 请同学们观察表格并思考，选哪种方案能节省上网费呢？ 根据生活常识，节省上网费指的是费用最少。带着这样的目标请我我们一起来思考。问题一，哪种方案上网费是会变化的？哪种不变？ 观察表格，我们会发现 a、 b 会变化， c 不 变。问题二，方案 c 上网费是多少？ 观察表格当中的数据，我们可以很快地知道是一百二十元，同学们相信这两个问题一定难不倒你。那么我们接着往下思考，在方案 a、 b 中，上网费由哪些组成呢？ 分析表格，此时我们需要分情况讨论。 当累计上网时间不超过包月上网时间时，上网费用等于月使用费。 当累计上网时间超过包月上网时间时，上网费用等于月使用费加超时总费。那么什么又是超时总费呢？我们又该如何计算它呢？ 分析表格，我们不难得出，超时总费等于超时时间乘以超时费。 同学们，我们完成的非常好，那么接着请你来继续思考，三种方式中，上网费都受哪个量的影响？ 通过分析表格，我们可以发现上网费受到上网时间的影响，因此我们可以把上网费看成是关于上网时间的函数。 如果月上网时间为自变量 x， 上网费用为因变量 y， 那 么 x 的 取值范围又是什么呢？ 因为自变量 x 代表着时间，因此 x 大 于零。 同学们，我们继续往下思考，你能用恰当的方法表示出方案 a 的 上网费用吗？ 分析表格，可能有的同学已经发现了问题，超时费的单位与包时上网时间的单位并不一致。 为了便于计算，我们可以把超时费的单位由零点零五变成零点零五乘以六十元每小时。 月上网时间为 x， 则方案 a 的 网费为外一，方案 b 与方案分，方案 c 对 应的网费分别为外二与外三。 此时我们发现 y 一 的表达式应当包含两部分， 当 x 大 于等于零，小于等于二十五时，也就是包时上网时间不超过二十五小时时， 网费等于月使用费，因此 y 一 等于三十。 当 x 大 于二十五时，也就是包时上网时间超过了二十五小时时， y 一 的表达式等于三十，加上小括号零点零五乘以六十，乘以小括号 x 减二十五。 同学们，我们化解 y 一 的表达式可以得到如图所示， 根据 y e 的 表达式，我们可以得到函数的图像。 同学们，到此时我们已经把方案 a 的 收费方式分析完毕了， 那么你能不能类比方案 a 的 分析过程，得出方案 b 方案 c 的 收费金额。 y 二 y 三。关于上网时间 x 的 函数表达式呢？请同学们以小组合作的方式完成它， 并且在同一直角坐标系中画出他们的图像。同学们可以大胆的说出自己的想法，并且和对方进行交流。 好同学们，我们一起来展示一下我们的答案吧！和 y 一 的表达式一样， y 二的表达式也包含两部分，当 x 大 于等于零，小于等于五十时， y 二等于五十。 当 x 大 于五十时， y 二等于三， x 减一百， y 三的表达式等于一百二十，这是它们的图像。 同学们，在刚才的小组合作中，我们完成的非常好，那么请同学们继续以小组合作的方式探求下一步的思路。 好同学们，根据刚才我们已经把所有函数的图像得到了， 此时我们分析可知，借助函数的图像可以直观地看出，方案 ab 中上网费是变量，方案 c 中上网费是常量。 因此首先需要对外一、外二进行比较，找出省钱的方案，然后分别与方案 c 进行比较，从而达到省钱的目标。 因此，第一步在 x 大 于零的条条件下，不考虑和时外一等于外二，外一小于外二。 结合图像可知，若 y 一 等于 y 二，也就是三 x 减四十五等于五十。 通过解方程，我们可以得到 x 等于三十一又三分之二。在图像中，这代表着 y 一 与 y 二交点的横坐标。 观察图像，我们可以发现，在焦点的左侧，也就是当 x 大 于等于零，小于三十一又三分之二时， y 一 的图像在下方，因此，方案 a 省钱。 当 x 大 于三十一又三分之二时， y 二的图像在下方，因此，方案 b 省钱。 第二步，当 x 大 于等于零，小于三十一又三分之二时，再把方案 a 与方案 c 进行比较。 结合图像，我们可以直观地看出， y 一 在外三的下方，也就是 y 小 于外三。因此，在 x 大 于等于零，小于三十一又三分之二时，选择方案 a 最省钱。 第三步，当 x 大 于三十一又三分之二时，再把方案 b 与方案 c 比较大小。 若 y 二等于 y 三，也就是三 x 减一百等于一百二十解方程，我们会得到 x 等于七十三又三分之一， 这代表着 y 二与 y 三交点的横坐标是七十三右三分之一。 此时，通过观察图像，我们可以得到，当 x 大 于三十七、三十一右三分之二，小于七十三右三分之一时， y 二的图像在下方，因此，方案 b 省钱。 当 x 大 于七十三右三分之一时， y 三的图像在下方，因此，方案 c 省钱。 综上所述，当上网时间不超过三十一右三分之二小时时，选择方案 a 省钱。 当上网时间超过三十一又三分之二而不超过七十三又三分之一小时时，选择方案 b 省钱。 当上网时间超过七十三又三分之一小时时，选择方案 c 省钱。 同学们，我们会发现，对于上网时间有着不同需求的人，可以选择不同的方案，从而达到省钱的目标， 这样我们也就解决了刘老师的问题。同学们，不知道大家发现没有，在我们刚才探索的过程当中，其实有很多数学思想， 有分类讨论的思想，有类比的思想，也有图树形结合的思想。 老师希望大家在遇到实际问题当中，一定要有严密的逻辑思维，并且能做到学以直用。同学们，下面让我们来大显身手一下吧。 通讯公司就上宽带网推出 a、 b、 c 三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用外援与上网时间 x 的 函数关系如图所示， 请你完成下面的填空。同学们，相信有了前边的探求活动，这一定难不倒你。 好同学们，我们一起来看一下。第一问，每月上网时间不足二十五小时时，选择方案 a 最省， 每月上网时间为五十小时时，选择方案 b 最省钱， 每月上网费用超过一百二十元时，选择方案 c 比较合适，每月上网费用在六十五到一百二十元之间时，选择方案 b。 上网时间长， 好同学们，我们已经完成了我们的任务，那么老师想问问你的收获是什么呢？ 好同学们，有了刚才的畅所欲言，我们一起来把实际问题的解决过程中是怎样思考的。再来总结一下， 当我们立足于一个实际情境，通过寻找变量找对应关系，我们可以把实际情境转换成数全问题，进而构建出一次函数的模型。 通过类比分类讨论，数形结合，我们可以找到一次函数问题的解， 通过对一次函数问题的解，解释实际意义，我们可以寻求解决方案，进而解决实际问题。 好同学们，老师希望你能学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，学会用数学的思维思考现实世界， 并能体会到数学来源于生活，并应用于生活。 好同学们，老师也设计了课下任务，一、请你以小组为单位查阅活动报告的形式，并完成选择上网费用的总结性报告。 二、采用多种方式调查市场上客车租赁的相关信息，如费用、手续要求等，为我们第二课时做好准备 好，同学们，本节课结束了，再见！同学们好，我是安国市耀星学校的刘珊老师。今天我们一起来探讨课题，学习选择方案。 在上节课当中，我们学习了怎样采取上网收费方式的问题，通过解决问题建立了函数模型。 其实生活中除了有选择方案的问题，还有设计方案的问题，解决方法都是建立函数模型。 下面我们通过怎样租车的问题继续探讨如何进行分析和选择。 探讨二、如何选择租车方案 某学校计划在总费用两千三百元的限额内租用汽车，送二百三十四名学生和六名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师。 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示。 一、一共需要租多少辆汽车？二、给出最节省费用的租车方案。问题有点多，我们一个一个来分析。 首先来看第一个问题，一共需要租多少辆汽车？ 分析题目，我们会发现租多少辆汽车与乘车人数有关。 题目当中说有二十二百三十四名学生和六名教师，因此乘车人数是二百四十名。 同学们，我们分析的非常好，那么接下来我们看学习任务一，请同学们以小组合作的方式讨论完成以下问题。 如何由乘车人数确定租车数量呢？ 同学们，请大胆的说出你的想法，并和对方交流讨论。 好，现在让我们继续。 经过分析我们可以知道，为了要找到租多少辆汽车，一、要保证二百四十名师生都有车座。二、要使每辆汽车上至少有一名教师， 要保证二百四十名师生都有车座。根据分析，汽车的总数不能小于二百四十，除以四十五， 此时汽车的数量约等于六辆， 要使每辆汽车上至少有一名教师，汽车总数不能大于六。 综合可知，共需租六辆汽车。 同学们，问题一，我们完成的非常好，那么我们现在接着往下分析问题二，给出最节省费用的租车方案。 通过分析表格，我们会发现，假种客车的租金是每辆四百元，乙种客车的租金是每辆二百八十元。 此时可能有的同学会产生这样的疑问，我需不需要考虑人均租金呢？ 也许有的同学通过计算会发现，假种客车的人均租金要低于一种客车的人均租金。 根据生活常识，每当我们租一辆车，这个费用就是固定的，因此我们无需考虑人均租金， 在满足各项要求的前提下，应该尽可能少地租用假种客车。 此时我们发现租车费用随着租假车数量的变化而变化，因此我们可以把租车费用看成是关于假车数量的函数。 由此，我们接着往下看， 根据前边的要求，要保证二百四十名师生都有车座， 那么表达式应该如下，四十五， x 加上三十乘以小，括号六减， x 大 于等于二百四十， 化简后得到 x 大 于等于四 二，总费用不超过两千三百元，也就是 y 小 于等于两千三。 化简表达是我们得到 x 小 于等于五又六分之一， 因此 x 的 取值范围是 x 大 于等于四小于等于五又六分之一。 同学们，我们来看学习任务二，找出几种不同的租车方案。 根据表达式当中 x 的 取值范围，结合本题的实际意义，我们发现共有两种方案。 方案一，四辆甲种客车，两辆乙种客车。方案二，五辆甲种客车，一辆乙种客车。 那么请你思考，为节省费用，应选择其中哪个方案， 试着说明你的理由， 同学们也可以采用小组讨论的办法完成。 我们来看方法一，直接判定。 从表格当中的数据可以知道，假车费用是一辆四百元，已车费用是一辆二百八十元，所以应尽可能地少租用假。 因此，方案一最省钱，最省钱的费用是两千一百六十元。 方法二，代入比较。 方案一的方法中， y 等于一百二十乘以四，加上一千六百八十，因此方案一的费用是两千一百六十元。 方案二的费用是 y 等于一百二十乘以五，加上一千六百八十，也就是两千二百八十元。比较后，我们知道方案一省钱， 那么还有没有其他的方法呢？ 聪明的你一定可以想到，还可以利用函数的性质， 通过函数的表达式， y 等于一百二十， x 加上一千六百八十，我们可以知道这是一个依次函数， 根据一次函数中 x 的 系数，也就是 k 的 值等于一百二十，此时大于零，所以 y 随着 x 的 增大而增大， 所以方案一最省钱。 同学们，我们以上的任务完成的非常好，我们一起来总结一下吧。在怎样租车这个问题当中，我们可以通过建立函数模型解决实际问题。 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选出一个曲值能影响其他变量的值作为自变量， 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型。 在第一课时中，我们学习了解决实际问题的基本思路，那么这一节课相信你对函数模型的建立有了新的认知。 同学们，老师也给你布置一项课下作业，通过这两节课的探讨，为你对解决实际问题提供了参考。 请你结合生活中某个可以选择多种实施方案的实际问题，例如购物、通讯等，利用数学知识进行分析，选择最佳方案，并写出有关活动的报告。 本节课结束了，再见！ 各位同学好，我是来自长沙市长郡外国语实验中学的曾苏老师，今天和同学们一起来学习一次函数章节的数学活动。 在这一章节，我们已经知道了在一个变化的过程中，两个变量之间的关系， 若因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个自变量都有唯一的因变量与它相对应，则这两个变量满足函数关系。 在这一张节，我们主要认识了一次函数，知道了一次函数的图像是一条直线， 那么函数的思想是非常实用的思想方法，在各个领域，我们常常用它解决问题， 比如股票中的 k 线图，医学中的心电图，还有赵州桥的设计，以及人的指距与身高之间，都蕴涵着函数的思想。 积水成渊这个词大家都知道，其实它也与函数的思想密不可分。请同学们翻开教材一百零五页阅读数学活动。 为了估计一个水龙头一个月一年的漏水量，我们进行了必要的数据收集，请看小组调查情况， 水龙头关闭不严会导致漏水现象。为调查漏水量与漏水时间的关系，我们涉及了以下实验， later 二百三十毫升。 我们的实验结束了，一起走进课堂吧！它们给我们带来以上数据，请问两个变量之间满足函数关系吗？ 在这一个变化的过程中，水量随着时间的变化在不断变化，每一时刻都有唯一的水量与它相对应， 所以满足函数关系。那么请同学们思考猜想，这是什么函数呢？ 列表只是列出了部分的数据对应值，无法直观地表示出函数的关系。怎样直观地表示出函数的关系呢？ 对的，我们可以通过列表绘制函数的图像，由数到形，更直观地去猜想函数的关系。 我们以时间为横轴，水量为重轴，建立平面直角坐标系，根据列表依次描出各点 来观察这一些点的分布趋近于一条直线，因此 y 与 t 的 函数关系可以猜测为正比例函数。 现在有函数的图像能准确地知道一年的漏水量了吗？还不可以怎样准确地知道一年的漏水量？对的，我们可以求出函数的解析式。 同学们在用待定系数法求出函数的解析式时，由于选择的点不同，那么得到的解析式也会不同。 请看这一些比例系数都非常接近于四十六， 所以 y 与 t 的 函数关系更接近于 y 等于四十六。 t， t 代表着时间不能为负。 现在知道了函数的解析式，我们可以通过函数的解析式计算出一个水龙头、一个月以及一年的漏水量。 通过大家的计算发现，一个月的漏水量相当于是三千六百一十三瓶矿泉水，这约是八百个成年人每天所需饮水量。 而一年呢，则相当于是四万三千九百五十九瓶矿泉水，这相当于是九千六百个成年人每天所需饮水量。 现在同学们你能感受到积水成渊所蕴涵的数学道理了吗？ 在面临这一个实际问题，我们用数学的方法建立了函数的模型去解决问题。分了哪一些步骤呢？ 首先收集必要的数据，由数据我们画出了散点图，再根据散点图，我们选择合适的函数， 求出函数的解析式。利用函数的解析式我们去解决问题。最后还可以做实际的应用， 那么这就是函数建模的基本步骤。在学习了以上新的方法，我们可以用它去来练习一下教材一百零五页数学活动一、 预测二零三零年的世界人口数首先在直角坐标系中画出世界人口增长曲线图， 我们可以以年分为横轴，人口数为重轴，建立平面直角坐标系，根据列表描出各点 来观察这些点的分布趋近于一条直线，这不是严格意义上的直线形，所以 y 与 x 近似。于是一次函数 确定了函数的关系，我们可以写出它的解析式， 在这里选择用待定系数法确定两个点的情况较多，得到的解析式也会较多。那么我们可以这样去思考， 从一九六零年到二零一零年，我们可以计算出世界人口平均每年的增长数是零点七八亿。 那么现在以一九六零年三十亿人口为基础， 根据世界人口平均每年的增长数确定模拟函数 y 等于三十，加上零点七八，乘以 x， 减去一千九百六十的差。 确定了这一个函数的解析式，我们就可以用它来估计二零三零年的世界人口数约为八十四点六亿人。 其实函数的思想是非常广泛的应用，比如我们的交通出行， 想知道速度与制动距离之间的关系，收集得到了以下数据。现在同学们可以以小组合作的方式开始研究。 在研究的过程中，我们首先可以根据列表绘制成函数的图像， 同样的观察这些点的分布趋近于一条直线，不满足一次函数的关系，该怎么办呢？ 现实研究中，我们常常还可以借助信息技术帮助我们进行分析。同学们请看老师的操作， 老师利用 excel 表格在这里输入收集所得的数据。通过 excel 表格可以绘制成函数的图像。 选择全部的图表，选择散点图， 可以得到函数的图像，那么在这里可以选择添加趋势线。 以初中阶段函数学习为例，限性，即一次函数不太符合 多项式，非常接近这一个函数的关系。多项式就是我们即将要学习的二次函数，因此速度与制动距离之间的关系是二次函数关系。 现在还可以通过 excel 表格得到它们的解析式。 得到这一个函数的解析式，我们可以利用它去解决问题。 根据刚刚得到的函数的解析式，我们可以去解释法律法规中的相关数据。 比如交通安全法实施条例第八十条规定，机动车在高速公路上行驶时， 当车速超过每小时一百公里时，应当与同车道的前车保持一百米以上的距离。那么请同学们说说数据建立的依据是什么呢？ 利用刚刚得到的这一个函数的解析式，我们可以计算出，当速度是一百时，它的制动距离约为八十二米。 考虑到实际驾驶人的反应时间，所以一百米以上才足够安全。所以我们的法律是严谨的，具有科学依据。 那么讲到了交通出行，同学们，我想问一下大家，超速你认为危险吗？ 是的，超速是危险的。利用刚刚得到的函数的解析式，老师想和大家说说超速为什么危险呢？ 通过这一个解析式，我们可以计算出部分超速所对应的制动距离。请看这两组数据， 当速度仅增加了五十，可自动距离却变成了两倍。 也就是说，越快的速度需要更远更远的安全距离。若距离不够，很容易引发交通事故。所以 在生活交通出行时，我们要注意出行安全。 今天的作业，同学们可以自己去探讨乒乓球下落的高度与反弹高度之间的函数关系。 完成以下列表，并求出它们的函数模型。 最后，老师想用这样几句话来回顾一下今天的这一堂课， 一滴清水，生命之源，一时惩快生命之速，一次心跳，生命之舞。 函数建模，寻求本质，探索规律，助力发展。我认为数学它最大的魅力就是来源于生活，最终也运用于生活，这就是它的生活味。 同学们，这一堂课我们就学到这里，我们下次再见！老师利用 excel 表格，在这里输入收集所得的数据。通过 excel 表格可以绘制成函数的图像。 选择全部的图表，选择散点图， 可以得到函数的图像，那么在这里可以选择添加趋势线。 以初中阶段函数学习为例，限性，即一次函数不太符合 多项式，非常接近这一个函数的关系。多项式就是我们即将要学习的二次函数，因此速度与制动距离之间的关系是二次函数关系。 现在还可以通过 excel 表格得到它们的解析式。 得到这一个函数的解析式，我们可以利用它去解决问题。大家好，我是宁夏吴忠市利通区第九中学的马晓燕老师。 前面我们复习并构建了一次函数这章的知识结构体系。 学习中，大家以实际问题中的数量关系和变化规律为背景，体会了函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。 在具体的情境中理解了一次函数的意义，结合图像讨论了函数的性质，用函数的观点升华了对二元、一次方程和不等式等知识的认识，优化了知识结构。 今天让我们再次走进一次函数，进行习题训练， 请同学们观察这个一次函数图像，你能从图像中获得哪些信息？ 观察函数图像可知，该一次函数图像经过第一、二、四象限，直线从左向右呈下降趋势，即外随 x 的 增大而减小， k 小 于零。 此外，直线与 x 轴交于正半轴，与 y 轴也交于正半轴上，可以得到 b 大 于零。 我们知道，函数既有数的特征，又有形的表现，由形到数的认识是数形结合的一种探求方法。 由此，通过从图像上观察得到的信息，明确了 k 和 b 的 取值范围。 在上述条件下添加条件，如图所示，点 a 和点 b 是 这个一次函数图像上的两个点，你又能得出哪些结论？是怎么得到的？ 根据待定系数法，可以求出函数解析式。因为一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像，经过点 a 和点 b 可得四， k 加 b 等于零，负 k 加 b 等于五。 解方程组得 k 等于负一， b 等于四。所以这个一次函数解析式为， y 等于负， x 加四， 完全正确。是的，由一次函数图像上两个点的坐标，我们就可以确定函数解析式。一次函数解析式与直线之间的数形对应关系体现了数形结合的思想。 若函数图像与 y 轴交于点 k 由一得一次函数解析式为， y 等于负， x 加四， 令 x 等于零，则 y 等于四。由此可知，直线与 y 轴的交点坐标为零四。 如果把这个一次函数解析式看作关于 x 和 y 的 二元一次方程，那么直线上每个点的坐标都是方程负 x 加四等于 y 的 一个解。 由直线与 x 的 交点坐标可以得到 x 等于四， y 等于零，是方程负 x 加四等于 y 的 一个解。 再比如，由 b 点坐标负一五可得 x 等于负一， y 等于五，也是方程负 x 加四等于 y 的 一个解。 两位同学思路清晰，条理清楚，讲解的非常到位，在今后的学习中，我们也要努力达到以形铸树的效果。 这条直线上的每个点都把直线分成两个部分，比如点 b 左上方的点的函数值大于五，它们的横坐标都满足不等式，负 x 加四大于五，所以该不等式的解集为， x 小 于负一， 点 b 右下方的点的函数值小于五，横坐标全部满足不等式，负 x 加四小于五。该不等式的解集是 x 大 于负一。 你分析的很透彻，表达的既完整又清晰，是大家学习的榜样。 方程、函数和不等式是描述数量关系的三种重要模型，借助函数图像，可以从形的角度直观地解决方程和不等式的相关问题。 有了这些知识储备，在上述条件下继续添加条件，如图所示，直线 y 等于二分之一， x 加一与直线 y 等于负， x 加四交于点 c。 你 能得到哪些信息？还能提出哪些问题呢？ 令 y 等于零，则二分之一 x 加一等于零，解得 x 等于负二， 可得直线 y 等于二分之一， x 加一与 x 轴的交点的坐标为负二，零 令 x 等于零，则 y 等于一。所以直线 y 等于二分之一， x 加一与 y 轴的焦点 e 的 坐标为零一。 将两条直线的解析式连立成方程组，解方程组后就可以得到这两条直线的焦点 c 的 坐标为二二。 非常好，你关注到了函数解析式与两条直线的竖形关系，这就是以数解形。 由于这两条直线的焦点坐标为 r、 r， 从图像中可以看出， 当 x 大 于二时，一次函数 y 等于二分之一， x 加一的图像位于一次函数 y 等于负 x 加四。图像上方。 所以我们可以直观地得出不等式二分之一 x 加一大于负 x 加四的解集是 x 大 于二。 没错，借助函数图像可以解一元一次不等式。解决函数的问题时，大家一定要做到心中有数，不忘其行。 因为减 g 的 坐标是负二，零减 a 的 坐标是四，零减 c 的 坐标是二二。 那么线段 a、 d 的 长度可由点 a 和点 d 的 横坐标之差的绝对值来得出，即 a、 d 的 长度等于六。 在三角形 a、 c、 d 中， a、 d 边上的高可以用点 c 的 纵坐标表示，即 a、 d 边上的高为二，所以三角形 a、 c、 d 的 面积就等于二分之一乘六，乘二等于六。 因为点 e 的 坐标为零一，点 d 的 坐标是负二零，所以三角形 d、 o、 e 的 面积就等于二分之一乘二乘一等于一， 进而得到不规则四边形 o、 a、 c、 e 的 面积等于六，减一等于五。 很好的想法，你在解析的时候用到了转化的思想，将未知转化为已知。在利用函数图像解决问题时，图形的问题本质就是关键点的坐标问题， 一旦关键点的位置确定了，那么线段的长度、面积的大小也就确定了。 请继续思考，在上述条件下，在 x 轴上是否存在点 f 是 三角形 b、 c、 f 的 周长最小， 若存在，请求出点 f 的 坐标，若不存在，请说明理由，请同学们尝试完成。 通过审题，我们发现点 b 和点 c 都是定点，点 f 是 动点，要求三角形 b、 c、 f 的 周长最小， 需要找出点 c 关于 x 轴的对称点，利用两点之间线段最短， 当三点共线时， b、 f 加 c、 f 的 值最小，则三角形 b、 c、 f 的 周长最小，即可解决问题。 具体做法是，作点 c 关于 x 轴的对称点 c 撇连接 bc 撇交 x 轴于点 f 连接 c、 f， 则 b、 f 加 c、 f 的 值最小， 此时三角形 b、 c、 f 的 周长最小，因为点 b 的 坐标是二负二。 由待定系数法可以得到直线 bc 撇的解析式为， y 等于负三分之七， x 加三分之八，令 y 等于零，得到 x 等于七分之八，则点 f 的 坐标为七分之八零。 这样，我们把一次函数的知识与轴对称的知识有机结合到了一起，用轴对称的知识解决了一次函数的问题。 接下来看这样一个问题，若动点 p 在 线段 d、 a 上，从点 d 开始，以每秒一个单位的速度向点 a 运动， 设点 p 的 运动时间为 t 秒。是否存在 t 的 值，使三角形 a、 c、 p 为等腰三角形，若存在，请直接写出 t 的 值，若不存在，请说明理由。 我们先来分析提议，要使三角形 a、 c、 p 为等腰三角形，根据提议需要进行分类讨论。由等腰三角形的定义可知，分为以下三种情况。 先来看第一种情况，以 a、 c 和 a p 为等腰三角形的腰，即 a、 c 等于 a p。 如图，因为点 a 的 坐标是四零，点 c 的 坐标是二二。 由勾股定律可得， a、 c 等于根号下二的平方，加二的平方等于二倍根号二， 此时 a p 等于 a、 c 等于二倍根号二，所以 d p 等于六减二倍根号二。由此可得 t 等于六，减二倍根号二。 第二种情况，若 a p 和 c p 为等腰三角形的腰，则 a p 等于 c p。 如图，由提一得 a o 等于 o， k 等于四，则角 o、 a k 等于角 a k、 o 等于四十五度。因为 ap 等于 c p。 由等边对等角可得， 角 o、 a、 c 等于角 a、 c p 等于四十五度，此时角 a、 p、 c 等于九十度， 则 c p 等于 a p 等于二，可得 d p 等于六，减二等于四，所以 t 等于四。 第三种情况，当 a、 c 和 c p 为等腰三角形的腰时， a、 c 等于 c p。 如图，有等边对等角可得，此时角 c p， a 等于角 p a、 c 等于四十五度， 即 ac 等于 c p 等于二倍根号二。在三角形 a、 c、 p 中，角 a、 c、 p 等于一百八十度，减四十五度，减四十五度等于九十度。 此时点 p 与坐标原点 o 重合，即点 p 的 坐标为零零。 由勾股定律可得， a p 等于四，即 d p 等于六，减四等于二，即 t 等于二。 综上所述，满足条件的 t 的 值为六减二倍，根号二或四或二。 本题属于一次函数综合题，考察了一次函数的图像和性质，用待定系数法求一次函数解析式、最短路径问题等腰三角形的定义、性质和判定三角形的面积等知识。 解析的关键是利用轴对称解决最短路径问题。用竖形结合和分类讨论的思想思考问题。 对于问题三，你还能提出其他问题吗？请结合图形和条件，设计一个你感兴趣的问题并解答。请写在作业练习单对应位置上。 课程进行到这里，这节课就接近尾声了，同学们请回顾本节课的学习过程，思考并回答以下问题。 本节课我们以一个基本的一次函数图像为主线，通过设计开放性的题型，不断地添加条件进行拓展、延伸。 回顾了一次函数的基本知识，用函数的观点、看方程和不等式，进一步体会用函数图像可以直观地描述函数方程、不等式之间的关系，并通过练习一次函数相关的综合题型， 掌握了转化、树形结合和分类讨论的思想。在学习的过程中，我们从研究对象、研究方法、关注的问题三个方面 再次梳理了一次函数的研究内容、研究方法和研究路径，感受了树形结合和转化思想的魅力所在。 从函数到方程，从变化到不变的量，培养了推理能力，几何直观和模型观念，发展了运动变化的变量思维。 一次函数是大家初中阶段学习的第一类具体函数是函数的特例，也具有函数的通性，为后续学习其他类型的函数提供了研究思路和方法。 以后遇到新的函数时，我们可以类比学习一次函数的研究内容、研究方法以及研究路径展开研究。 同学们，结合今天的学习经验，请完成作业挑战吧！其中一星为基础作业， 二星为拓展作业，老师相信同学们一定能挑战成功！同学们，再见！

好，咱们一起呢来学习一下二子跟式及其性质啊，这个呢是八年级下学期的第一张， 嗯，第一节呢介绍的是二子跟式的性质啊，那么一共呢有三个知识点啊，咱们看一下这个思维导图，那么主要有三个，一个呢是他的概念， 第二个呢是有意义的条件，第三个呢是他的性质。那么对于概念来说呢，咱们在初中阶段呢，经常遇到这样的定义啊，也就是一般的说，我们把形如，这个形如呢啊，就是形式上 像这个样子的啊，就叫做什么啊，比如说后面咱们还会介绍到一次函数啊等等，那么这个是都是用这种形式，那也就是用形如，那么这里边呢，咱们看到呢，他是把形如 根号 a 啊， a 大 于等于零，这个是一定要注意 a 的 范围，这样的式子呢叫二次根式。 那么对于二次根式来说呢，这里面强调呢是两点啊，是两点，一个呢就是根号 啊，这个根号上面呢是不能有其他数字的啊，比如说后面呢，咱们会看到，比如说三次根号啊，比如说五次根号啊，这样呢都不叫二次根式啊，因为咱这里面强调的是二次根式，所以第一个呢根号上面呢不能有数字， 第二个呢就是这个式子一定要有意义啊，二次根式怎么样才能有意义呢？就是被开方数呢，要大于等于零， 那么这里面数学上的有意义啊，对于根式二次根式来说呢，就是要满足 a 大 于等于零。那在这里面提醒大家呢，就是在数学上，目前这个数学上来说呢， 目前数学上啊，那么有两个方面啊，表示呢有意义的啊，第一个呢就是指根二次根式啊，这里边这个根号下的这个 a 呢，要 a 大 于等于零 啊。第二个呢就是咱们最常见的 a 分 之一啊，就是如果是字母或者是单项式啊，或者是多项式，那么当做分母的时候呢，分母都不能等于零。 那这个呢，在后面做题的时候呢，一定要注意啊，因为咱们现在学到了二次根式，那么很多同学呢，就侧重在 a 大 于等于零，那么在有一些判断里面呢，如果是分母的话啊，比如说二次根式放在分母上，他就不能够为零了啊，这一点呢一定要注意。 那么对于二次根式的性质呢，咱们一共呢有三条啊，三条，第一条呢是双重非复性， 那么所谓的双重非负性呢，就是指二次根式本身是大于等于零的，而且呢，对于二次根式来说呢，还咱们还要求呢，被开方数是非负的，那大于等于零，因此呢，咱们看到了啊，第一个非负数， 第二个呢非负，所以呢叫做双重非负性。嗯，第二个性质呢就是，嗯，先开方再平方，那因为既然是开方二次根式呢，咱们知道 a 是 等于零的 啊，既然他大于等于零啊，所以呢，咱们看到他平方以后，这个 a 呢，肯定是大于等于零的，那这个里面呢，在实际使用这个式子的时候呢，既有正用也有逆用，所谓的正用呢，就是进行化简，二次根式的化简 逆用呢，一般来说呢，就是因式分解啊啊，大家在做题的过程中呢，一定会遇到这样的题。 嗯，第三个性质呢，就是先平方再开放，那在这里面咱们要注意的是什么呢？就是刚才提到的双重非负性， 双重非负性 a 平方呢，肯定是满足了啊。嗯，开出来以后呢，这个 a 啊，这个 a 呢，咱们看到了，因为它有三种情况， a 大 于零， a 等于零和 a 小 于零。 那因此呢，咱们看到应该写成呢，绝对值 a， 也就是说当 a 大 于零的时候呢，开出来的这个就是 a， 如果 a 等于零呢，开出来的就是零啊，但是如果是 a 小 于零的话呢，开出来的是负 a 啊，那这个呢，主要是在化简求值的时候呢来使用， 那这个呢，是咱们呃这一张的这个脉络啊，那么一般来说呢，咱们在呃复习的时候呢，重点的一些知识点啊，咱们来看一下。那么第一个呢，就是 呃，一般的我们把形如啊，刚才咱们已经看到了啊，把形如根号 a， 但这里面要写上 a 大 于等于零 啊，这样的式子呢，叫二次根式啊，这个呢，咱们对于定义来说呢，是反复强调的啊，反复强调的， 那么二次根式中被开方数 a 呢，也可以是一个数啊，当然呢，也可以呢是字母或者式子啊，但是必须注意呢，整体一定要满足呢， a 大 于等于零， 在具体的问题里面呢，如果已经知道啊，他告诉你了啊，这个题告诉你，这是 a 一个二次根式，那么就意味着什么呢？意味着这里边这个 a 呢，一定是大于等于零的 啊，这个是隐含条件了啊，也就是说他告诉你这是一个二次根式了，既然他是一个二次根式，那么这里面呢，一定是大于等于零的，就是有意义。 第二个呢就是二次根式有意义需要满足的条件啊，刚才咱们讲了，第一呢，必须含有二次根号啊，当然二次根号呢，咱们一般在念的时候呢，就念成根号下 啊，根号下啊，就不粘这个二，在书写，包括咱们平时念的时候呢，这个二就不体现出来了。那么被开方数呢，必须是非负的啊，因为它大于零，大于等于零嘛，所以必须是非负数。 第三个呢是二次根式的性质。二次根式性质呢，刚才咱们已经看到了啊，它呢有这样三条啊，第一个呢是根号 a 啊，这个是大于等于零的， a 呢，也大于等于零啊，因此呢，咱们可以看到呢，这是双重非负性， 如果用文字语言来描述的话呢，一个非负数，一个非负数，它的算数平方根啊，它的算数平方根，那这个时候怎么样呢？也是非负的啊，所以这个地方呢，填的是算数 平方根啊。第二个性质呢，是先开方再平方啊，先开方呢，既然是里边有根号 a， 所以 a 呢是大于零的 啊，所以呢，咱们看到了一个呢，嗯，非负数的啊，这个地方因为 a 大 于等于零嘛，所以是非负数 的算数平方根，本身呢啊，平方算数平方根的平方是等于它本身。第三个性质呢，就是根号 a 的 平方等于 a， 就是 先平方再开放， 那这个时候呢， a 如果大于等于零的话，那么这个时候呢，就是等于 a 啊，所以呢，咱们看到呢，嗯，一个非负数的平方， 它的算数平方根呢，就等于它本身啊，就等于它本身， 那么这个性质三呢？咱们也可以给它写成什么呢？写成根号下 a 平方等于绝对值 a， 是 吧？等于绝对值 a， 那 这个呢就分成三种情况了， a 大 于零， a 等于零， a 小 于零。那刚才咱们在分析知识点的时候呢，已经看到了， 所以用文字来描述的话呢，一个数的平方的算数平方根，那就是这个数的。什么？就是这个数的绝对值 啊？这个呢就是关于知识点。

八下数学最难的一次函数的图像，寒假吃透开学逆袭题型一，一次函数的图像。题型二，正比例函数的图像题型三，一次函数的性质题型四，一次函数图像与系数的关系 题型五，一次函数图像上点的坐标特征题型六，一次函数图像与几何变换等。吃透这些，开学领跑全班！

同学们好，咱们今天接着来分享一次函数数形结合的题，就是一个选择题，看哪个选项都对，然后不知从哪下手，那怎么办呢？那我只能说大家对定义理解不通透， 比如说关于函数，它，它是一条直线，那么它的图像究竟长什么样子？咱们有两种方法，第一种方法，画草图观察一下， k 等于负二小于零，所以说这图像肯定过二十四象限， b 等于大于零，肯定与 y 轴交到正半轴， 你看这题图像就已经非常确定了，就是这样的，所以说他过一二四项线，那么 b 选项直接 pass 掉，第一个 a 选项他过负二都一，咱把 x 等于负二代入不就可以了吗？ s 等于负二的话， y 是 应该得五的，所以说 a 选项不对，那么 d 的 选项咱们刚才就已经分析出来了，二四象限是 y 随 x 增大而减小的，所以说 d 也不对。那么 c 为什么对呢？是一道平行的问题。我把平行给大家讲一下啊，平行的话，这两条直线首先是 k 相等， 有同学说为什么呢？因为比如说啊， y 等于负二 x， 他的草图是这样子的，那加一代表他把这个图像向上平移了一个单位，平行前后他俩不猜， 平移前后他俩是平行的，所以说他要跟谁平行的话，首先 k 相等，不不影响 k 的 取值啊，所以说这题选三 c， 非常好的一个题，而且非常综合，他就很好的全释了竖形结合分析题的一个思路啊，这个竖形结合非常重要，这个题就为大家讲解到这里。

好了，同学们有了前面那个一次函数图像的对称性的基础知识，我们现在来看一道 唐氏某一中学 art star 五年级九年级下学期的开学考试的一个压轴题，初三入学考试的压轴题呢，是有点难度，那么我们这个讲解呢，可能会稍微快一点，所以对这个听这个视频的同学的这个基础知识呢，是要求是高一点的。 那么有些细节我们不会讲太细，请大家稍微理解一下，因为这个视频讲的太细了的话呢，那么这个市场就会要求很高，那我们就是用这道题，就是说，就表达一个意思，就说还得把基础抓好。那么对于这个压轴题的第一小问和第二小问就非常容易，非常简单。 那么我们先来读题，我们不妨约定，如果一个函数图像上存在不同的两点关于 y 轴的乘，那么我们乘这样的函数为四次函数。一、判断函数 y 等于 x 加 b， 其中 a、 b 为常数，是否为四次函数，并说明理由。二、若关于 x 的 函数 y 等于 括号，当 x 小 于零时， y 等于 x 平方， x 大 于等于零时， y 等于二， x 加二加 a 是四次函数，求 a 的 取值范围。三、已知四次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 经过点 a 零负负。四、且与经过圆点 o 的 直线交于 b、 c， 两点过点 f， f 坐标是零到 f， 其中 f 小 于零，做 x 的 平行线分别交直线 a、 b、 a、 c 与点 d， e 是否存在常数 f 是 o。 一、 垂直于 o， d 横成例若存在，请求出 f 的 值，若不存在，请说明理由。那么这道题呢，它有三个小问，三个小问呢？我们且不看第三问，我们看一二小问，它是比较容易的。首先我们快速把第一问和第二问求出来判断函数，第一问判断函数是否为 四次函数，那么首先这个函数我们要把它分成两种情况来写，对不对？第一种情况是什么呢？第一种情况是 a， 当 k 等于零时，是不是？那么 y 就 等于 b， 这是个什么函数？这是一个 菱形于 x 轴的函数，那么它关于，那么它的图像上呢？肯定是存在两个点是关于 y 轴对称的，而且这样的函数它是有无数个，这样这样的五角，无数对，这样的点，它都是关于 y 轴对称，对不对？它本身就是一个关于 y 轴对称图像，所以当 x 等于零时，它肯定是的。那么 第二种情况呢？就是当 k 不 等于零时，那么这是个什么图像呢？ 那么它是一个一次函数，对不对？一次函数的话， y 等于 x 加 b 的， 而且是要么是这样子，要么是这样子啊，或者是其他的都行，那么它就不是一个关于 y 轴对称的一个图像，对不对？那么它就肯定不是，那么我们也可以用函数的对称性的那个口诀来解释，你看 y 等于 ax 加 b， 那么它关于 y 轴对称的解释式应该是什么呢？那么关于 y 轴对称，那么就是 y 变 x 变 y 等于负 k， x 加 b， 是 不是？这是它的这个关于 y 轴对称的解释，那么和这个是一样的吗？很明显是不一样的，所以它不是次函数，对不对？ 所以那么我们证明，怎么证明呢？证明是这样证明的，我们假设， 假设 y 等于 k， x 加 b， 是 吧？它有两个点，有两个点。关于 y 轴对称，不妨 设其中一个点为 x 零到多少？ k x 零加 b， 是 吧？其中 x 零，它就不为零的，因为我们知道它如果为零的话，那么它这个点就在 y 之上，是吧？用我们的这个不想服务，用我们的题目不想服务，那么则另一个点 为多少呢？负 x 零到 k， 负 x 零加 b， 对 不对？那么就有 x 零加 b 等于负 k， x 零加 b， 这两个约调，那就是两倍的 k， x 零等于零，因为 x 零不等于零，所以 a 等于零，与 a 不 等于零矛盾， 所以不存在这样的点，对不对？那么第一问就解出来了，是不是很容易？嗯，好，我们给三分钟的时间，三十秒时间消化一下， 我们给十五秒钟吧。 啊，时间到，那么我们就看第二题， 那个第二问的话，就和第一问有明显的区别了，这个区别就是九年级和八年级的区别，那从第二问的这个问题中呢？啊，就能够看到这个九年级啊，如何俯视八年级了。那个第二问的话， 我们来阅读一下，若关于 x 的 函数， y 等于，哎，这是个分段函数，当 x 小 于零的时候呢，它是二次函数的样子，当 x 大 于等于零的时候，它是个一次函数，对不对？经过我的仔细研究呢，啊，这个函数图像大概会是这么画， 这是一个 x 轴，一个 y 轴，对吧？有点 y 七有八，那么当 x 小 于零的时候呢，它的图像是一个这样的函数， 那么在 x 大 于的时候呢？因为这个 a 不 确定，所以它这个与 y 轴的交点也是在上半轴，也许在下半轴，这个时间我就直接跟大家说了吧，这个只有可能是在下半轴，因为在上半轴它没办法跟这个呃曲线它有两个交点，好，那我们看一下啊，这个它说这个分段函数它是四次函数，它是四次函数， 函数啥意思呢？也就是说，那么在这个图像上存在不同的两两点，关于 y 轴对称，那么这么看我们可能看的出来对不对？它是说要求 a 的 曲的范围，那这个道题我们怎么去理解它呢？嗯，这个呢， 我们九年级同学想一想该怎么做？八年级同学可以稍微看一看就行了啊，感受感受， 解析思路呢，我们还是按照这个八年级的来，对吧？按照之前我们讲过的那个意思，函数的对称性，我们结合这部分知识点来考虑考虑，节约时间，老师就直接把这个思路讲出来，你看我们这个呃 y 七九八的意思函数的这条直线，对吧？ 哎，我们能不能够做出它关于 y 轴对称的直线呢？我们是可以的，哎，照样是 y 七九八，对不对？是这样子的一条直线，那我们说啊，它如果这个 y 等于二 x 加 a， 它关于 y 轴对称的这条直线，如果能够和我们这个抛物线的曲线 有个交点，有两个交点，那么这两个交点假设是在这里和在这里，那这两个交点它关于 y 轴对称的点是不是正好就在我们的原函数 y 等于二 x 加 a 上面？ 那么是不是就是说，哎，就证明这个圆函数它存在两个不同的两点，关于 y 轴对称，大家自己想一下是不是？ 那么题目第二小问，他告诉我这个分段函数它是一个四次函数，那么也就是说它一定存在这么两点，让圆函数的这个抛物线和圆函数的这个直线的这个关于 y 轴对称的这个对称直线 是有两个焦点的，对不对？好，那么第二问，它就转化为 这个 y 等于 x， a 关于 y 轴对称的 图像的直线现在怎么样？现在与凹物线有两个交点，有两个不同的交点， 那么现在要求什么？求 a 的 取值范围对不对？这道题目就转化成一个这样的问题，那这不就回到我们九年级的同学很熟悉的一个领域吗？对吧？啊？领域展开对吧？那么也就是说有一个函数图像有一个函数，它是 y 等于 x 平方， 然后呢？还有一个函数是多少呢？哎，这里我插一句话，这个 y 等于二， x 加 a， 它关于 y 轴对称的直线是什么？有谁能够快速告诉我？ 八年级同学都能告诉对不对？那就是说关于 y 轴对称的这个直线的解析式，那就是关于 y 轴对称，所以 y 不 变， x 变，对不对？所以它的对称的图像是 y 等于负二， x 加 a 没问题吧？好，那么也就是说 y 等于负二， x 加 a， 这两个东西，我们把它看成函数的话，那么这上面是一个二次一元，呃，那个二次函数 下面呢？是一个一次函数，那么 x 和 y 呢？是两个变量对不对？如果我们把这两个式子看成是那个方程的话，那么这是一个啊，二元二次方程，这也是一个二元一次方程， 对不对？那么 x y 是 他们的两个啥呢？是他们两个位置数，那么如果连立这两个方程，解出来 x、 y 具体的值是啥呢？反映在这个图像上，是不是就是这两个点的坐标？那我们连一下吧， x 平方等于负二， x 加 a， 这个 x 平方等于负二， x 加 a， 那 么 x 平方加二 x 减 a 就 要等于零，那么这是一个一元二次方程。一元二次方程的话啊，那么它的第二它就有可能是大于零等于零，小于零。如果第二它是大于零的话，证明这个一元二次方程有两个解，有两个解的话，那么也就证明了我们这两个相交的曲线啊，它是有两个不同的交点， 对不对？现在题目转化为关于 y 轴对称的直线与抛物线有两个不同的交点，这个题目告诉我们它们是有两个不同的交点的，那么也就证明了，哎，这个是得它，它应该是大于零的，得它大于零，那么 b 的 平方减 c， c 就是 四，加上四 a 要大于零，得出 a 是 要大于负一的，那么 a 大 于负一就是我这个 a 的 曲的范围。也就是说，当 a 大 于负一的时候，我这个一元二次方程它是有两个不同的解，这个一元二次方程有两个不同的解的话，那么这个函数解析式和这个函数解析式，它们所对应的图像就会有两个交点，它们有两个交点的话，那么这个 直线它关于 y 轴对称的这条直线就会有两个点，关于和之前的这两，这边两个点是关于 y 轴对称的，那么他们就是以这个原函数啊，原来这个分段函数就是一个四次函数，逻辑闭环就怎么来的， 是不是看上去很难，但是把这个思路一分析的话，就还是很简单，那么第二题就答案就是 a 的 大于负一。 好，然后我们再看第三题，第三题我们就不看了，为什么呢？因为这么一道压轴题，它总共也就是十分，我一二小问解出来，那这道题就只会扣四分了，我觉得已经是很划得来了。在真正的考试中，最后一一小问呢，难度稍微高一点，需要有一些同学可以跟进，但如果有想法要提升这个压轴题解题能力 的可以和我联系。今天的分享呢，就到这，谢谢大家的观看，喜欢的可以加个关注，点个小心心和收藏。

同学们好，咱们这个例题七，上一道题的例题七就已经很有难度了，那咱们今天看一看这个例题八，大家看能不能会做。如果这个题也会做，咱们一次来说求解一式应该是问题不大了，说已知直线，它与两坐标轴所围成的面积是四， 而且这个题已经明确说 k 小 于零了。既然是 k 小 于零，咱们的草图大约就是这样画出来的。 如果他不说 k 小 于零，这个题最后结果是两种情况，那人家都说小于零了，这个题最后结果是一种情况。那么如果想用面积来列等量关系，咱们得知道他跟横横轴和纵轴所交点的坐标是多少要求出来。 那么跟横轴的交点呢？就是令 y 得零， y 等于零的话，求出 x 等于负一了，所以说 a 点坐标是负一到零，那么 b 点坐标呢？就是 x 得零的时候往里带，纵坐标是 k， 所以 说 b 点纵坐标是 k， 那 么这个三角形的面积应该用 o a 乘以 o b 乘以二分之一等于四， o a 的 一 o b 等于负 k， 应该是，为啥呢？因为 b 的 坐标是 k， k 小 于零，所以说 o b 的 长度应该是 k 的 绝对值是负 k， 我 就直接这样带了。然后等于四，咱们就可以求出 k 等于负八， k 的 负八解析式就是 y 等于负八， x 减八。大家看，咱们完全可以通过面积去求解析式呀， 而且这个题只有一种情况，那我听说，哎，这么多未知数，我咋就蒙呢？不要蒙他，只要跟面积有关系的，咱们就先把跟 x 轴和 y 轴的焦点坐标求出来就行了。 当然这个焦点能得数就得数，得不了数就用待定系数去带着，最终有等式，你怕什么呀？最终他说这个面积是四，这不就是等量关系吗？咱就会把 k 求出来。大家看这个例八难度也已经非常大了，同学们听懂了吗？

那我说说看， y 轴分的话， y 轴左边对应的应该是， y 轴对应的是 x 小 于零，对应的 y 的 绝对范围呢？ y 小 于 y 小 于二， y 小 于二，是不是啊？当 x 小 于零的时候， y 怎么样？小于二。 右边的部分，当 x 大 于零的时候， y 大 于二哦，当 x 大 于零的时候， y 大 于二。当 x 等于零的时候， y 等于二哦， x 等于零的时候，是不是啊？来，非常好，坐下来。 所以你看，我们通过刚才这两个问题来发现研究一次函数的内容，我们研究什么啊？从他的定义，特例性质，那么我们可以从这里面补充啊，对吧？对于不同的 k 的 曲的范围，对应的它的图像也就怎么样？不一样是不是啊？那说说看，如果当 k 大 的岭， b 小 的岭，它经过哪些象限呢 啊？经过的是一、三、四，这时候我们可以脑袋里面可以画出它的长图，对吧？大致图像啊，大致图像，它的位置还有呢？我们还有 k 小 圆点， b 大 圆点以及 k 小 圆点 b 小 圆点的图像， 来说说看啊，这是他的对应不同的四个曲的范围啊，是对的，位置不同，对吧？再补充完整。那就是当开大于零的时候，我们知道了 y 随 x 的 正道，而怎么样正道当开小于零的时候呢？ y 随 x 的 正道而减小， 以及我们研究了如何去求一次函数的解析式，对吧？以及从中探求来与面积有关的问题，线段的问题，终点的问题。 那么与坐标轴的交点和方程不等式的联系，那我们再看看，如果说啊， 将这个函数平移，那么平移的规律我们同学们没有啊，补充出来讲一下平移又怎样的规律？ 我们举例吧，比如说将这个函数的图像向左平移三个单位。