晋中一模数学讲解立体几何

春风得意马蹄疾，年年岁岁有惊喜。这是我们二零二六年山西省晋中市刚刚高三英语考试结束的压轴第八题。同学们，这个题猛烈的看见很难，实则非常容易。 同学们，我们在之前给大家讲过，但凡遇到这种范围性选择题，什么法叫市值法？ 但是呢，同学们，近点，这个题，他其实本质就是一个函数零点问题，同学们，要想解决函数零点问题，一般用什么法？图像法，哎，对了，用图像法，这是常规，但是同学们，在考场上面，你用图像法做这个题，你就小题答错了，来，同学们看， 因为他最好问你 a 的 取值范围，我们完全可以采取实值看选项，这有负，因此我取个 a， 看能不能等于负二。如果 a 等于负二的话，往进一代，那么 f x 不 就变成已知函数了吗？ 那么就是负的 x 的 平方减去一个二 x， 对 吧？这个就变成负二倍的 e 的 x 次方减一啊，再减个 e， 不是 这样吗？ 其实同学们，函数零点不就是函数等于零对应的 x 值吗？因此这个等于零， x 一 等于几，零了， x 二等于几就等于负二， 这不是有两个零点，我同样道理，知道吗？再让这个东西等于零，那么 e 的 x 减一次方，是不就等于负的二分之一了，知道吗？这很明显，这就是不成立的吧， e 的 任何次方都不可能出现负数，因此这个时候不符合题， 他只有两个零，所以这个选项就死了。那么好，接下我再塞一个地方，我再试一个二，我再把二往这一带，那同样道理，把二带到这的话，那是这个函数是不是变成 x 平方加一个二， x 等于零，就这意思啊。因此 x 一 等于零， x 二是等于二了，对不对？人家这个根里边要保证 x 要小于等于一呢？因此这个根是不行的，即使这有一个根也不行，因此 c 就是 幺零。那么接下来同学们，余下我的 b 根， d 看去一， d 是 二分之一，到一，我们试记。 所以啦，是一个四分之一不就 ok 了？如果我让 a 等于四分之一，我写在这 负的 x 平方加一个四分之一倍的 x， 我 让他等于零，那么接下来我马上就算出来， x 一 等于个零， x 二等于个几啊，我们看四分之一吧， 这两个格是不满足企业呢，都是小于等于一的吧。第二，我让这个四分之一倍的一等于四八， 那不就等于个一吗？所以这个东西是等于四呢？对，这很明显， x 肯定是存在的，而且 x 肯定大于一，绝对是对的。忘四加个一吗？所以四分之一乘一最轻松就搞定了。 其实我告大家，在考场上面，你用这个思维做这道题，我告大家，绝对是登峰造极，所向披靡。希望同学们领略啊，熟悉这道题。

欢迎来到一模复习专题。首先读题，矩形 a b c， d， a， b 等于六， b， c 等于八， f 呢在 a b 上， e 呢在 b c 上，并且知道 b， e 等于二，很明显呢， e 是 一个定点， b， e 是 二， b， c 就是 六。 我们还知道 ef 绕 e 顺时针旋转四十五度到 e， g， 让你求的是 c， g 的 最小值。 那么首先我们进行模型识别，那这道题很明显是动点问题， f 是 动点， 这个 f 呢？哎，我们绕 e 点，时针旋转四十五度之后，得到了这个 g 点，所以说它俩都是动点， 只不过呢， f 的 轨迹我是知道的， g 点的轨迹呢，我是不知道，并且让我求的就是 g 点相关的动线段最值， 那这就是鲜明的主重联动。然后呢，我们继续观察这两个动点有什么样的关系，不难识别啊，这两个动点跟 e 形成了一个四十五度的定角，不管他俩怎么运动，始终保持这个夹角四十五度， 并且呢， f， e 和 g， e 是 相等的，所以说它们形成的两条动线段还满足定比关系，只不过呢，在这里定比是一比一而已。根据我们前面所学的几何模型基础知识， 非常容易识联，这就是鲜明的刮度特征。刮度的底层逻辑呢啊，就是旋转型相似来确定从零点轨迹，那也叫构造手拉手相似，进而主从联动。 要想构造手拉手，我们有两条路径，朋友们之前给你们讲过了，我们可以由主动到从动啊，也可以理解为顺刮动， 也就是说，根据主动点的轨迹来进行构造手拉手相似，找到从动点的轨迹，这就是顺刮动。 我们还可以啊，从这个从动点这一点呢出发，把这个从动点相关的动线呢进行转化，转化到主动点上面， 这就是逆刮斗。不管是顺还是逆，我们都是要构造手拉手相似，我们都需要找到目标三角形，如果是顺刮斗，我们目标三角形怎么找呢？ 如果是逆瓜豆，目标三角形怎么找呢？听好了，朋友们，你要想采用顺瓜豆，我们需要从主动到从动来构造手拉手相似，所以说目标三角形一定要有主动点 f， 它的轨迹，我知道它就是主动点，朋友们， 还要有主动点轨迹特征线段，它的轨迹。朋友们，题目中给我了， f 在 a b 上运动， 所以说能表示他的轨迹的一个特征线段，我直接拿出来这个 f b 行不行呢？朋友们，当然没有问题，你说老师 fa 行不行呢？当然也没有问题，只不过在这里我们找目标三角形的时候，越特殊越好， 所以说啊，再加上这个定点，那不就形成了这个目标三角形， f b 刚好也是直角三角形，对不对？朋友们，那我构造呢？根据定角定比来构造。 那在这里呢，我重点来讲逆轱辘，朋友们，顺轱辘再往下就是构造手拉手了， f e 顺时针旋转四十五度到 g， 那 我让 e b 呢，也要同样的旋转，然后呢，确定 g 点的轨迹。朋友们，这条路我直播回放里讲的非常清楚了，不再赘述。 好吧，啊，我只是在这里让你们对比一下如何来确定目标三角形。那对于这个逆轱辘呢，我们的目标三角形也非常清晰了啊，就是要从这个从动点这一点出发， 既然是逆刮动，那就需要对这个从动线段，朋友们，就是我们的目标线段进行转化，所以说目标三角形要有他脸，还要有我们的定点，目标三角形确定好了，然后根据我们的定角定比来构造手拉手相似即可。 我们知道 g e 呢，现在需要回过来，那逆时针旋转四十五度到 f e， 我要想构造手拉手相似，在这里呢，定比是一比一，所以说其实就是手拉手全等，我还需要对啊，和这个 e g 共顶点的 e c 线段进行同样的旋转。朋友们， 什么叫同样的旋转，我也要逆时针旋转四十五度，我的定比也要是一比一，所以说直接让 e c 逆时针旋转四十五度到 e c 撇， 然后呢，连接 f c 撇，我就构造好了手拉手全等啊， g c 一 与三角形 f c 撇一， 朋友们，这就是手拉手全等，有了这个手拉手全等，朋友们，那我们就实现了对这个目标动线段转化了呀。 g c 不 就等于 f c 撇吗？是不是？朋友们， 那它的最小值不就是 f c 撇的最小值吗？ f c 撇有什么样的特点呢？ c 撇很明显是一个定点，我要想求它的最小值 f 的 轨迹呢？它走的是线 点，线最直，垂，线段最短呀，朋友们，我直接做垂线段，那不就出来了吗？啊，所以说就是 c 撇 h 的 长度 对不对？那在这里啊，计算也非常简单，我们直接过 c 撇往这个 bc 做一个垂线啊， c p c 撇， p 就 形成了一个矩形， 很明显啊， ec 撇，它是六 ec 撇 p 三角形，是一个等腰直角三角形，所以说 ec 就是 三倍根号二，那么所对应的 c 撇 h 呢？它就是 b p 的 长，它就等于二加三倍的根号二，我们就顺利解决了。 所以说这种典型的刮豆原理的题目呢？哎，我们首选逆刮豆。当然，要想理解刮豆原理，我们需要有一定的相似模型的基础，那就是手拉手相似，要非常熟练 啊。我在这里重点给大家讲的是逆刮豆，朋友们能听懂吗？有任何的疑问可以随时来交流探讨， ok？

二零二六年山西省晋中市刚刚结束的高三一模考试数学的第七题。同学们，我们学了那么多的三角函数，但是在考场上面唯一出的一道题就是它，但是同学们，逆行，目瞪口呆，无言以对，殊死无策。 同学们，这个题的突破口其实在问题上，同学们一看，看似脚比较复杂，同学们，那可就是二啊！八减二倍塔，因此同学们，一定是我们的雨雪二倍角， 我们就能写成这个二倍的阿玛减倍，是不是他一出就等于二倍的 cosine 平方，阿玛减倍，它可以减个一嘛。咱们就经典二倍角公式，你把阿玛减倍的认为是一个角， 知道了吧。因此到了这以后，变完以后，我们只要从前面这个条件里面把 cosy 姐妹们求出来就 ok 了。来，同学们，再看这个题， c 二倍 c cosy 二倍 cosy， 它是非常结构对称的， 要想出现这个口塞喇叭姐妹，它展开应该是这种东西吗？口塞喇叭，口塞喇叭，加一个塞呀塞呀，要出现这种节奏呢，知道吗？要出现这种节奏，那只有一种，它两个东西都有个平方 平方的意思呢？出现这种吗？一平方，我给大家写一遍啊，我给你写一遍一平方，这不就是 c 平方 r 加一个四倍的 c 平方， 十一个白塔，再加一个四倍的十一个平方白塔等于个二分之二，二分之三吧，这第一十个吗？因为那两个不等式。第二个，好的一平方，行吧，加一个四倍的好的一行吧。 桃子要给他，再加一个四倍的，桃子也可以放给他，等于几啊？也没有二分之三了，然后怎么办？怎么办？两个是你想加， 两个是你想加，这不是等于一，所以就是一加上一个来，这个提出来四倍的啊。 你输了以后不就是阿巴塞也没再加一个四吧？就等于两三来结束了，马上我们就到投进阿巴这边来接你过来。负的，二十 一、二十一、二十一、二十一。

我们来看第九题，这是一个直方图，我们看这个 a 选项，他说频率分布直方图中要算这个 a， 我 们把每个矩形条的面积了给他加起来，他就应该正好等于一， 那这个矩形条的它这个宽度都是一样，都是十，所以我们把它的高度加起来，高度加起来乘以它的宽度十，就它的面积了，应该等于一。呃，长应该正好等于一啊，它就是零点零一，第一个高就是零点零一，第二个高就是零点零二， 第三个高就是零点零三，第四个第五个高就是 a， 所以 我们加个二 a， 然后第六个就是零点零一，零点零一，把它加起来，然后长个，让它乘以那个宽度十，这就是总面积了，总面积应该等于一。 把它一整理，这个里面零点零一、零点零二，零点零三，加起来就零点零六了，再加个零点零就零点零七了，零点零七乘以十就零点七就零点七，零点七的话就等于我们的二十倍的 a， 所以 a 就 能算出来了。 呃，啊，一减去一个零点七啊，就等于二十倍的 a， 那 这个时候呢？我们的 a 就 呢算成等于零点三，然后除以二十，然后它就等于一个零点零一五了，这个退出来， a 就 应该等于零点零一五啊， 所以 a 是 正确的。样本的极差我们看它这个数据上面给的我们了，它最小值是三十，最大值是九十，那就是三在三十到九十之间， 三十到九十之间，那就是最大值，减去最小值就是六十，那极差就是六十。六十没有不大于六十是正确的啊，而必须正确看我们中位数，中位数的话就是，嗯，我们把这个数据了 看一下，呃，我们看前两块面积占了多少？前两块面积它占了 零点零一，零点零占了百分之三十，我们主要看占百分之五十的位置上，那么看前三块的面积占了多少？前三块面积占了， 呃，零点零一、零点零二、零点零三加起来占百分之六十，所以呢，这个时候呢，我们我们再看一下，中间有个五十跟六十之间有个五十五，五十五的话也就从三十到五十五看它占了多少面积了。 这个时候他占的面积就应该是零点零点零三，再加上一个零点零一五就是零点零四五，还不到零点五，所以我们的零点占到百分之五十的位置上，他应该是在五十五跟六十中间啊。五十五跟六十中间 具体是多少，其实我们不用算了，他这个肯定错了，所以他的中位数应该是在五十五跟六十中间某一个数，所以他是错的啊。 然后四 d 要低于六十分钟，低于六十分钟的话，就把三前三块面积算出来，前三块这个面积算出来就可以了。前三块面积是正好是零点 零点零六乘以十就是零点六，零点六就是百分之六十，百分之六十的话总人数是一千人，一千人乘以百分之六十，那就是六百人是没问题的啊。 看第十题，嗯，从图上一眼就能看出来它的，嗯，方值是正负是二，所以这个时候 a 就 等于二， 然后我们就知道，当这个 x 取零的时候，哎，这个值取一，一正好占了我们方值的一半，所以我们此时刻呢， 也就是 f 零带进去，它就应该等于我们的二倍的 a 是 二了， sin 里面是一个 f 啊， sin 也就是 f 啊，它应该等于一，这个时候我们就能推出 sin f 等于二分之一，所以这个时候我们很快就能求出我们的 f f 应该等于三十度六分之 pi， 六分之 pi 是 处在我们这个它题题目里面给的我们这个范围里面的，所以是没问题的。所以这个时候呢，我们这个 f x， 我 们就确定出来它等于二倍的 sin omega x 加上一个六分之 pi， 然后再根据它在六分之派处能取得最大值，所以 f 六分之派了，它就应该等于二倍的 sin， 然后这里就是六分之派 omega， 然后加上一个六分之派，所以这个时候它应该整体应该等于二， 然后我们把这个时候一整理之后去算六分之派。欧米克加上六分之派，他就应该等于一了，他能等于一，那说明这个括号应该取二分之派了，这个括号取二分之派就是六分之派。欧米克加六分之派，那他应该等于二分之派，然后一整理， 呃，一张例，我们就能求出这个 omega 等于二， omega 求出来等于二，所以这个时候 omega 等于二是没问题的啊。然后再看 b 选项，那这样一来的话，我们就把 f x 的 解析式完全确定下来，它就等于二倍的 sine 二 x 加成一个 f 了， 那把这个 f x 图像向右平移，六分之派，根据左加右减，左加右减了，就把 x 给它替换成 x 减六分之派，带到这个设置里面 二倍的三，把这里面的 x 替换啊， x 替换成 x， 减去一个六分子派，右减啊，然后减完之后，然后加上加上一个，还要加一个六分子派。一张里，这就是你得到了个新的函数 g x， 那这个时候我们看一下你这个 g x 应该减多少了？就是二倍的三，在这里就是二 x， 呃，他减去一个三分之派，然后加个六分之派，那就相当于是减个六分之派了，这个时候就减个六分之派，你得到的是他啊，得到是他， 而不是二倍的三 x， 所以 二 b 是 错的。看 c 选项，他说 f x 图像的对称中心是这个他给的这个函数的对称中心，那我们把 f x 对 称中心算出来， f x 这个函数呢？因为它等于二 b 的 三， 嗯，二 x 加六分之派，我们把这个括号看这个整体，括号看成一个整体的话，就他就这个标准的正弦函数了，那标准的正弦函数，他的呃，对上中心应该是 kpi 零点， 所以这个时候呢，我们就是让他的横坐标长这个括号，等于 kpi 就 可以了。二 x 加上六分之派，把这个 x 解出来，就它对上主了，那解出来，在这里就是 kpi 减去一个六分之派，然后除以二， 那除以二，在这里就整体除二，那再等于二分之开派，然后减去十二分之派，这就是 f x 的 对称，对称中心啊，对称中心的横坐标，然后重坐标是零啊。 然后我们再来看他给的这个函数，他给的这个函数，他的括号整体是四 x 加三分之派，所以我要把他的，嗯，我另他这个题目，这个函数是 f x 吧，看 f x 的 对上角， f x 对 上角的话， f f x 对 上中心啊，对上中心横坐标 对上中心横坐标，那就是四，嗯，他给的那个是四四倍的 x 加三分之派令长体这个括号等于 k 派，把这个 x 解出来就可以了，就是横坐标了，此时解出来，它就是，呃， k 派，减去一个三分之派，然后除以四，它就等于四分之 k 派，然后减去一个十二分之派。 这里呢，二分之 kpi， 我 们给他写这边这个对象，这二分子派，我们给他写成四分之四分，可以写成四分之二 kpi， 然后减去一个十二分子 pi， 而这个二 kpi 呢，其实就是我们的 pi 的 偶数倍，而这里人家是四分之 kpi， 人家这个 fx 对 上中心呢，横坐标就是四分之 kpi 是 整数， 而它是偶数，偶数也属于长数的范围，所以这个时候呢，嗯，你，你是 f x 对 上组，一定就是 f x 的 对上组了，肯定是没问题的啊，所以这个时候呢， c 选项是正确的。呃，是它的对上中心啊，对上中心， 看四 t 四 d， 然后我们在这个图上把这个图像给它补齐了， 给它补出来。负六分之派的时候，大概在这个位置啊，它长好，我们再进去算一下，它就是负一了， 这个值是负一，二分之派的时候，大概在这个位置算出来那个值了，也是负一，所以在这里呢， 呃，负六分之派到二分之派之间，它就大于负一，因为它是开区间啊，所以是没问题的，所以四 d 是 正确的啊。

看第八题，如图所示，给了我们一个剪斜横波啊，他说 a b 两个字典呢，是 x 等于 a 等于两米和 x b 等于六米处的两个字典啊。 嗯，图二是一个 a 的 正等图像，我们从图一上可以得出它的 number d， number d 应该是八米啊，所以在图二上可以得出它的周期，周期在这里是是八秒， t 等于八秒， 那这个时候呢，我们就立马算出拨速，拨速指的那么大，除以周期，然后八米除以一个八秒，那就是一米零秒啊，到一米零秒，这是他的拨速， 那这个时候再看一下他的传播方向，此时刻呢，我们知道这个 a 字点呢，他要从平行位， a 字点，要从平行位置，要向这样的方向运动，所以 a 字点的振动方向，此时刻应该是，呃，向上啊， 向上运动， a 这点应该是向上运动，就是沿着 y 轴向上，所以这个时候呢，我们根据波的平移法，可以很快能判断它应该是向向右向波，它应该是一个右向波啊，右向波， 那么右向波的话，那这个就是 x 正方向传播波数是一米零秒，人家是没问题的，跟我算的是一样的啊。看 b 选项， b 选项的话，他说这点在零到两秒内 震了两秒，两秒就是四分之一个周期了，一个周期是四个震幅，四分之一周期，那就是他应该从平衡位置到最大最大位处，那就正好是一个震幅啊， 一个震幅，一个震幅的话，震幅是几啊？震幅是一，所以他应该是路上是一米，而不是两米，所以他是错的。 看 c 选项，这点 b 在 十八秒，十十八秒时的坐标，因为它有周期性，它的周期是八，我们把八的长处被扔掉， 十八秒里面抛个八的两倍就是抛，抛掉十六秒，那其实就是问题， t 等于两秒时刻， t 等于两秒时刻的话，那其实就是从头式位置啊，从头式位置，这个 b 点的位置我们开始算起，呃，再算两秒的正等方向应该是向下运动， 向下运动的话，我们四分之周期，它长好是运动到负的最大负一处，负的最大负一处，它的重坐标就是负一了，横坐标是不变的，横坐标是六啊，横坐标是六，重坐标是负一是没问题的啊，所以它是对的。 四四 d， 因为我们呃在十八秒的时候， b 值点在负的最大为一处，负的最大为一处，速度是零，所以它是错的啊。好，我们看第九题，第九题呢，是一个松星系统啊，这个松星系统来，我们在这里来画个示意图， 哎，他说，呃，是白矮星，质量跟太阳质量相同，天朗星的质量是太阳质量的两倍，我们就是白矮星的紫太阳的质量是大 m 吧，这就是白矮星，我们用 a 来表示，然后这边呢，有一个， 呃，天朗星，天朗星，我们用 b 表示，它的质量是我们太阳质量的两倍，所以我们用二倍的大 m 来表示，大 m 表示我们太阳质量啊， 这个时候呢，他绕着他们连线上的一个点 o 做一个圆周运动，做圆周运动的半径呢？这个 a， 它的半径我们记为 r a， b 的 半径我们记为 r b， 那 这个时候我们 r a 加 r b， 很 明显就等于他俩之间的距离，在这里，他俩之间距离是 l， 这是第一个四指，我们先摆在这里， 然后再一看。他们做圆周运动的时候，谁来提供所需的向心力呢？我们分别以 a 为啊，以 a 为研究对象来写 a 做圆周运动时来提供出它所需的相切面，那肯定是 b 对 a 的 弯引力， b 对 a 的 弯引力是多少？那就是 g 乘以二倍的大 m， 再乘以一个大 m， 然后比上一个它俩距离之间的平方啊，距离，那这个时候距离是 l， 所以 这个时候就是比上一个 l 的 平方 逼成一个 l 的 平方来提供它所求的向心力，向心力的话， a 的 质量，然后乘以它。呃，周期在这里他给了周期了，那么用周期来表达，四派方除以 t 方，然后乘以 r， 轨道半径是这一段不要写成 l 啊，是 r a， 所以 这个时候它是乘以 r a， 这是我们第一式。 然后第二个是指，就是以 b 为研究对象了，以 b 为研究对象，看 c 来提供 b 所需的相吸力了，那肯定是 a 对 b 的 万安引力了，这个万安引力是相相互的，所以它俩是相等的啊。 然后 g 大 m， g 二倍的大 m 乘以大 m 比上一个 l 的 平方，然后等于这边呢？二倍的大 m， 以 b 为研究对象了 b 的 质量，然后乘上一个十八方除以 t 方，然后乘上一个 m b 啊，这个时候不要查出来这是 r b， 它的轨道半径，那么因为这个时候它们是松箱系统，所以它们的角速度一定要时时刻刻相等，它们的周期也一样啊，所以周期都是大 t。 题目里面给了这样一来的话，我们从一二两个公式上去分析一下， 先拿一比二，一比二，我们能得到一个非常有用的信息，一比二的话，等号左边一比就是可得等号左边就是一了， 等号这边是一，等号右边呢，它就应该等于 m 大， m 比上 r a 就是 我们的 r a 比上一个二， r b 等于一了，这个时候我们就能推出我们的 r a 比上 r b， 就 应该等一比二， 那等于我们的二比一啊，二比一啊，二比一，把这个二传过去可以二比一啊，这是我们的 r a 比上 r b 就是 二比一，那然后我们再把这两个呢加一下，这两个数字加一下 这两个数字加一下之后，一加二打好左边加，打好左边，打好右边加，打好右边啊，一加二可得打好左边，一加的话，那这个时候他就是，呃， 嗯，在加之前呢，我们第一个四字先给他整理一下啊，第一个四字两边我们跟他约个大 m， 约个大 m， 第二个四字呢，我们跟他约个二倍的大 m 啊，也就一比上一个一，四比上大 m， 再加上二四比上二倍的大 m， 这样的话加的话，我们 这个时候加的话，这样加一是把这个大 m 给它约掉，二是把这个二倍的大 m 给它约掉，然后再加这样一加的话，我们挡号左边就是加完之后，它就变成了 g l 方，加上一个三 m 啊，它就挡号左边就变成了 g b l 方，然后这里是三 m 乘一个三 m 挡一挡号右边了， 然后右边它就是四派方，比上 t 方都是一样的，所以我们把它提出来里面就是 r a 加 r b 了， r a 加 r b， 在 这里我们再把那个一式带过来， r 加 r b 就是 l 了，所以我们直接给它写成 l， 直接给它写成 l， 然后这个时候我们一整理就把大 m 就 算出来了，大 m 就 有我们泰行的质量，然后这个时候我们把它把这个大 m 解出来，它就应该是呃，四派方 l 的 三次方乘上一个三倍的 g t 方啊，这就泰行的质量就出来了， 泰行的质量就出来了。三，跟它答案对比，那就是四派方 l 三次方乘以三倍的 g t 方， 那就是 a 选项了，然后再看 a， 这个 b 就 错了，然后再看 c d 里面求了它俩的数率之积啊，数率之和和，数率之积，我们先看它的数率之线，数率之和吧，就是 v a 加上 v b 了， v a 加上 v b 等于多少了，在这里了， v a 我 们可以表示二派除上一个呃 t， 这就是它的角速度，角速度，然后再乘以它的线半径，而且二派 r 二乘上 t， 这就是 v a 了啊， 这就是限速率了，这就是它的呃，限速率啊。加上 v b v b， 它的这个数率表示就是等它的周长除以它的周期了，周长是二派， 嗯，二派 r b， 然后出上它周期是也是 t， 这个时候一整理，我们就把这个二派除以 t 了，给他提出来，里面就是 r a 加 r b， r a 加 r b 就是 l 了，然后这个时候它就等于二派 l 比上一个 t 了，二派 l 比上 t， 这，这是两个数律之合， 那 ipl 比上 t， 所以 是没问题的， c 是 对的，是 d 了，在这里了，我们看两个数之积，我们能算出来吗？两个数之积的话，在这里就是 v a 乘以 v b 了， v a 乘以 v b， 它应该等于这两下相长，长下，这就四派方比上 t 方，然后 v a 的 平方，然后乘以 v b 的 平， v a 乘以 v b 啊， v a 乘以 v b， 那 这个时候呢？呃，它肯定算出来，我们把这个 v a 和 v b 呢给它用角矢度来表达啊。 呃， v a 和 v b 啊，这里，这里是 r a 乘以 r b 啊，长进起来之后，这是 r a 乘以 r b 了， r a 乘以 r b， 就是这两项相乘， r a 乘以 r b， r a 和 r b 的 比例，我们刚才已经算出来是二比一，因为他们的和是 l， 所以 在这里我们很快来解说， r a， 他 其实就是三分之二 l r b 了，他就是三分之 l 了啊，因为他们和是 l， 他 们的比就是二比一啊， 所以这个 r a 就是 三分之二。我们带过来四派方，比上 t 方，它就是乘以三分之二 l， 然后 r b 就是 三分之 l， 然后一长里，这里就是，嗯， 九 t 方，然后上面就是八派方 l 方啊，就应该是这个样子，这是两个数律之积就算出来了啊，跟他对比，很明显他这里是错的啊，这是这个问题。

啊，所以咱们放到题当中呢，具体应用一下来看一看怎么样去使用这些方法，咱们去找到它的 焦点啊，咱们从底下的选项开始一个一个看啊，那第一个呢，如果说零小于 c q 就是 q 点呢？在 c c e 的 下半部分， 这是 c q 的 长度呢，大于零小于二分之一，因为棱长为一，那也就是要求 c q 呢，在中点以下，那这个时候呢，结面是什么形状啊？那咱们说找结面呢，就需要你把 胶线找出来，所以咱们把这个胶线看一下啊，实际上一连 apq， 根据咱们刚才的分析，那 ap 和 pq 就 已经是 结面的这个边界之二啊， a p 是 这个结面和底面的公共直线交线，那所以这一条线已经找出来了，那 p q 呢？是这个面和侧面的交线之一 啊，所以咱们要找结面，就是找它这个面和正方体的六个面所产生的交线。那现在有两个面其实已经找到了 啊，那接下来咱们用两种方法，一种用面面平行的方法，一种用立体几何公里三的方法，看一下这个界面怎么找啊？那你看已经找到底面和 apq， 侧面和 apq 之间的 交线，那接下来要找的就是找另外四个面，那另外四个面上优先找哪一个面？ 咱们说肯定是优先找前侧面和左侧面 和后侧面这三个面的交线。为什么先找这三个？根据咱们刚才说来的你看，不管用立体几何三还是面面平行，那咱们说两个平面有没有交线呢？那得先看它有没有公共点， 所以只要有公共点，那它边有一条公共交线啊，那所以 apq 的 和左侧面已经有公共点 a， apq 的 和后侧面已经有公共点 q， 那 所以咱们在找的时候呢，这两个平面优先去找，因为它已经有一个公共点，那再找其他的点，理论依据是有了的啊。 那第二呢，用面面平行还是立体几何宫底三，那要看先找哪一个平面，那如果咱们先找左侧平面和 apq 的 交线，那这个时候注意到，现在已经知道右侧面跟 apq 的 公共线是 pq， 左侧面儿和右侧面儿是平行关系，那并且都是和 a p q 的 交线，所以它是满足面面平行条件的。所以咱们能得出来，第一个就是左侧面儿和 a p q 的 交线儿 一定和 p q 是 平行的，因为 p q 是 同一个平面儿和右侧面的公共交线儿， 所以根据面面平行，左侧的线首先得平行于 p q。 那 第二，咱们说 a 点呢，是 a p q 和左侧面的一个公共点， 那所以咱们就得出左侧面交线的两个特征，第一，一定过点 a， 第二呢，一定和 p q 是 平行关系，那所以咱们就找出来了，那他的左侧面的交线就是 过 a 去做 c q 的 呃，去做 p q 的 平行线啊，那当然这个平行线在哪呢？因为 p q 呢， p 点是中点， q 点是 c q 的 一半啊，所以比较直观的看过去， p q 呢，应该和左边相同位置啊，这个线是一定是平行的， 所以咱们可以先把 p q 平移在左侧 a d 的 中点和下半部分的一个点 q 点位置啊，那所以过 a 座的大概就是 中位线，这儿要放大两倍，因为还得保证这一条线和它平行，和 p q， q 平行，那它自然就和 p q 平行， 所以就找到它和左侧的交线 a e， 那 这个 e 点呢，一定是在 d d e 线上的，因为 c q 长度不足二分之一，所以它放大两倍呢？ d， e 的 长度呢？不足 e， 所以 这个点呢，是在 d d， e 上面， 那所以咱们就找到它和左侧的交线 e 点啊，那 e 点有了 e 点和 q 点，咱们观察到它都在 后侧面上，都在正方体的后侧面上。那咱们说根据立体几何公里三 两个平面的公共点，只要找到两个，那这两个就可以唯一确定一条直线，那这一条直线就是两平面的公共交线。所以咱们说在 c q 大于零小于二分之一的时候呢，它的结面就是 a p q， e 啊，那因为已经封闭起来了，所以咱们不需要再去找其他面啊，就只要构成一个封闭的图形， 那你跟其他面的交线，他一定不在正方体内，那所以这个题一一选项是正确的。

实体啊，这是一个典型的横力作用下的双棒问题啊， 那么大家可以去参考。我有一个视频啊，就是在物理宝典之磁学片里面啊，专门有一期视频在讲这个横力作用下的双棒问题，如果你把我那个视频看懂了，这个题就非常简单了啊，我们这 接着我那个视频，我直接就用我那个结论了，他们这两个棒做什么运动了？我们把 bc 棒看成一个棒，把这个 p q 棒看成一个棒，这就是一个松棒问题。那么 bc 棒应该做一个加速度逐渐减小的加速运动，最后呢，加速度横定了， 然后 p q 棒呢？它做一个加速度逐渐张大的加速运动，最后它的加速度也恒定了，恒稳定的状态的话，它俩加速度应该是相当的，我们把它的 v t 图画出来啊，把它的 v t 图像画出来， v t 图像画出来，它是这个样子， 这是我们的微。然后这是我们的时间轴啊，嗯，一个是加速度逐渐减小，哎，他最终稳稳定了，然后就运，最后就稳定，之后他就一个匀加速直线运动了，一个是加速度逐渐增大，呃， 一个是加速度逐渐增大，他是这个样子，那么比如把这一时刻 他俩加速都相当了，哎，他就稳定了。最后就是，呃，也是做一个匀加速直线运动啊，在这里了，我们这个是 p q 棒啊，这个这个边是 p q 棒，然后上面那个呢？是我们的 bc 棒啊，我看看 bc 棒啊， 那在这里了，我们可以知道，哎，他们的速度差了，在逐渐拉大，逐渐逐渐拉大，最后速度差，稳定了， 我们 bc 的 这个速度，我们可以设为这个 v 一 吧啊，然后这个 pk 的 速度设为二，也就最后了。我们的 v 一 是大于 v 二，但是最后稳定之后啊，这个，嗯，我们假设 t t 时刻它就达到稳定了啊， t 时刻它达到稳定了，那这个时候呢？ t 时刻之后 v 一 减去 v 二，它就是一个确定的值了，它就是一个横定的值了啊，也就是 v 一 减去 v 二啊，在 t 一 之后它就横定了啊，横定，我们可以把这个 v 一 减去 v 二，最后横定的值可去可以算出来啊。 那我们再再来看一下，我们怎么算这个 v 一 减去 v 二这个横定的值了，因为最后的时候它俩加速度相等啊，也就是我们 bc 不 等加速度，我们设为 a bc， 呃，这个 p k 不 能加速，也是 a， 因为它俩加速度相等才能维持 v 一 减去 v 二是横定啊，你看了它的一个稳定状态，那么它横定之后，这个回流里面感应式是多少了？回流里面感应式我们那个结论里面写的非常清楚，它就是 b l， 然后在这里的 l 就是 它的导体棒，这个导骨的宽度啊，就是 v 一 减去 v 二啊，这是也不再是回流里面稳定的时候的感应式， 这感应式呢？他又，呃，除以总电阻就完了吗？电稳定时的电流就算出来了，稳定时电流就是 b l， 然后 v e 解气 v 二，然后除上它的总电阻 r 电流有了之后呢？安培力我们就能表达出来，那么对我们这个 bc 棒而言，嗯，它的和外力就是 f 解气一个安培力，那就在这里就是 b l， 然后乘上一个 v e 解气 v 二， 然后比上一个 r， 这是电流，电流的基础上再乘以 b， 再乘以 l， 这就是安培力了，等于我们的大 m 穿成一个 a 了啊，这是我们第一式啊，这就是个我们线空的牛顿第二定律，稳定之后啊，线空的牛顿第二定律我就给他写出来了，然后再写我们的 p q 棒， p q 棒其实它只是一个安培力， 这时候安培力呢，就是 b 方，就这一项了啊，就这一项直接给它写下来， b 方 l 方 v 一 减去 v 二，然后这个时候了，呃， b 方 l 方 v 一 减去 v 二，然后比上一个，呃，比上一个 r， 它就应该等于小 m a， 一 四加二四啊，我们加一下，一四加二四，一长里我们就得到了 f， 就 等于我们的大 m 加上一个小 m 乘以 a， 所以 最后我们可以把它稳定的时候加速度都求出来， 稳定时候加速度就求出来，之后就是 f 大 f 比上一个大 m 加上一个小 m， 那 这个时候他觉得大 f 是 十纽，然后大 m 加小 m 是 三千克。哎，我们就取的标准的国际单位，所以这个加速度单位就是米麦发秒，所以最终稳定的时候，他应该加速度就是三分之十米麦发秒， 所以这个时候呢，二 b 是 正确的，那它的速度在无限长大啊，你知道足够长的话，它在无限长大，所以这个 a k 呢，是错的，速度不会趋近于一个值啊，从我们的 v t 图像上就看出来了。然后再看 c 导体棒，安培力趋近于多少，安培力趋近于多少，那就是最终稳定的状态之后了。最终稳定状态我们求出来这个 a 是 三分之十， a 是 三分之十的话，我们二十里面带一下，那最终稳定的时候，这个 b 方 b 方 l 方，然后 v 减去 v 二，然后比上一个 二，它就等于我们小 m a， 小 m 是 一，所以它就等于三分之十了，这个时候呢，我们就把 v 这个时候它就是安培力了，这就是稳定时的安培力啊，稳定时的安培力，它就等于三分之十牛顿啊，三分之十牛顿， 所以这个时候呢，二比 c 也是正确的啊。然后再看，呃，我们这个时候呢，我们把这个 v 减去 v 二，给它求出来 v 一 减去 v 二的值，这个行径的时候等于多少了？它就等于 b 方 l 方是一，然后 r 是 二，所以在这里了，我们算出来它应该三分之二十， 呃，单位就是每秒了啊，这个速度差应该是三分之二十。稳定之后啊，它的速度差从最开始是在中间拉大，最后就达到一个稳定值三分之二十啊，嗯， 然后我们再来看四 d 选项，四 d 选项说你作用三秒，然后交替棒与 b、 c 边的距离是多少？也就问它们之间的相对位移啊，这个，这个相对位移三秒，作用三秒之后啊，然后它们之间的相对位移是多少？ 那这个时候我们怎么写了？因为整个回整个这个过程当中呢？我们把大 m 和小 m 看成一个系统，这个系统它动量并不守恒， 系，系统动量变不出哈，它系统总的系统动量是在增加的，因为增加为什么会增加？主要是受到一个横力 f 的 作用，所以它的动量增加量就是 f t 啊，那我们这个 f 乘以 t， 就是 我们系统的动量增加量，那系统从初始时刻动量是零， 默特的就是三秒时刻的动量呢？我们假设设为是 m， 呃， mv， 嗯，我们设为 v 一 撇吧，就是那一时刻啊，三秒时刻的这个 b c 棒的速度就是 v 一 撇，然后再加上那个时刻 这个 p q 棒的动量，那就是 p q， 当时的我们是 v 二撇吧，那这个时候这个 t 是 三啊，然后我们把这个带过来，然后计算一下，这边左边就三十了， 这就其实就是一个系统的动量定律吧，就相当于系统的动量定律啊，就是我们系统动量增加了，增加的量是谁呢？纯粹是由于这个大 f 的 作用，造成他的动量不循环了，所以他的动量增加量就是大 f 乘以时间啊，就三十， f 是 十，然后时间是三秒，所以它就是三十啊，这样的话，我们算出来，导航左边是三十，导航右边呢？大 m 是 二，带进去二倍的 v 一 片，加上一个 v 二片，这就是 v 二片。 v 二片，我们带过来算一下啊，这时我们就能得到一个 三十等于二百的 v 一 撇，加上一个 v 二撇啊。那么紧接着我们再再怎么考虑，他问这个相对位，相对位，我们在以我们的 p q 棒啊，以 p q 棒，从动量的角度，以 p q 棒为研究对象，写他的动量定力，他的动量定力在这里写出就是 b， 本来应该是安培力，就是写成 b 方， l 方，然后乘上一个，嗯，这里其实就是 b 一 减去 v 二，就相对，速度 v 相对， v 相对，然后比上一个 r， 然后乘以这个时间的 t， 然后这是安培力的冲量，安培力的冲量就应该等于它的动量变化量就等于 m 乘以一个 v 二撇了啊， v 二撇就是三秒时刻它的速度，那这个时候呢？我们写安培力的冲量时候，把这个 v 相对跟得二 t 呢？要用，嗯， 因为它速度是变化的，它其实就是微相对跟德 t 啊，微相对。你如果把微相对跟时间 t 化成一个 v t 图像的话，其实就围成了一个面积，它其实就相对为宜了，所以在这里我直接把它相对为宜给它写上啊，就给它写上相对为宜，这段时间里面相对为宜 啊，直接给它可以写上相对为宜写上 x， x 比上 r 这边就应该等于 m v 二撇了啊，然后这个 x 是 几啊？他说此时刻是五，我们把五带进去算一下， 无代进算一下的话， b 方 l 方是一，然后这个小 m 是 一，一就给它扔掉了。所以这个 v 二撇只是我们解出来，如果就是若 x 等于五米， 则我们的 v 二撇就能解出来。 v 二撇解出来，它就应该等于个，呃，二分之五， 二分之五，二分之五就是二点五米啊，二点五米每秒，二点五米每秒。 v 二片等于二点五米每秒的话，他必须满足我刚才推的这个式子。三十等于二倍的 v 一 片，加上 v 二片，所以此时的 v 一 片我们就能算出来了。 v 一 片此时刻就能解出来，他就等于一个 三十，减去二点五就是二十七点五，二十七点五再除以二，那就是十三点，那就十三点七五了，十三点七五米每秒，那这个时候我们看一下 v 一 撇减去 v 二撇等于多少？这时刻的 v 一 撇减去 v 二撇， 他就应该等于十三点七五，减去一个二点五，然后一减的话算下来就应该是十一点，他应该十一点五，嗯，十一点二五啊，十一点二五， 他就是十一点二五啊。那十一点二五米每秒的话，这个是有问题的， 这个时候他是有问题了。为什么呢？我们这个速度差，速度差他是在从此时此刻从零开始增大， 我们从这个 v t 头像可以看出来，它是从零为速度差，是从零开始增大，慢慢逐渐增大，最后达到一个稳定值，稳定值的 v 一 减 v 二是多少？我们刚才已经算出来了，是三分之二十，也就是说你最大是大的三分之二十， 三分之二十大概是多少？就是六点几。现在的话，你三秒的时候，你直接把我的速度差给涨成十一点二五了，所以这种情况是不存在的，所以实际就不用选了啊。

欢迎来到期末压轴题巡回讲演成都站，这是一道成都某区的刚刚出炉的医诊最后一题的最后一问。 在直播间，我和我的小伙伴们用了七种方法给大家一一拆解，我在这里选取一种相对来说大家容易理解，简单高效的方法。首先读题如图， a 点是一个定点， m， 在 面积函数上，若三角形， a， m， n 为等边三角形，让你求 n 的 坐标。 首先给大家讲解一下直播间我们用了哪几种类型，我们通过观察题目已知条件，它有鲜明的刮斗特征。那直播间呢，我们用刮斗原理区分了三种方法给大家易拆解。 还用到了一线三等角，又分三种类型构造，一线三直角，还有一线三六十度都可以。 还有一位朋友分享了引元的方法，我认为相对来说比较简单，我就重点给大家分享法器 具体如何操作。首先我们需要明确的是 o 点， a 点，关于这个直线对称，所以说易得， o， n， a， n， m， n 全部相等，进一步可以得到 o、 m， a， 它们三点是共圆的， a， o， m 共圆。既然共圆呢，我们要用共圆的性质， a， n， m 是 六十度角，圆形角，所以说我们继续可以得到角 a， o， m， 它是等于三十度， a， n， m 等于六十度， 角 a， o， m 等于三十度。然后呢，又因为角 a， o， x 等于四十五度，这个很容易识别啊，因为这个 a 往 x 轴做垂线，与 o 形成等腰直角三角形， 所以说进一步可以得到角 m， o， x 就 等于十五度。什么意思呢？看吧，这是定角又过圆点，所以说 m 的 轨迹就是正比的函数。这个十五度角啊， 虽然拓展内容学过，但是呢大题我们还是需要来证明一下他的所对应的斜率也非常简单，朋友们，十五度是半特殊角，我们只需要画特殊角就可以了。过 m 做 m h 垂直轴，然后呢，做一个三六九，这个是为 p 吧， 那么就异得呀，异得 o m 直线，我们非常容易求 y， 就 等于二减杠三 x 求完就是这个啊，然后 我们发现 m 又在反面函数上与 x 分 之二连立，那是不是 x 就 可以求出来了， x 求出来呢？哎， m 点的坐标那就确定了，然后 am 就 确定了， am 确定了，那么 an 呢？也可以确定了，进而呢， n 点的坐标就可以求出来了， 但是还没有完。朋友们，这题的特点啊，它是我们发现给我的反比函数与一次函数，它都是关于 o a 是 轴对称，朋友们， 所以说 m 在 这边可以形成等边三角形，那么它所关于 o a 对 称的点呢？ m 撇也可以这个形成等边三角形，然后所对应的 n 撇呢，也是满足 t 一 的，所以说 n 最终有两个答案在这里计算啊，我就不带着大家算了啊，这个就是用到了引元的方法， 其他六种思路，那么如果有兴趣学习，请来我的直播间，或者看我的直播回放，有任何的疑问可以随时提问交流， ok！

哈喽，艾瑞巴蒂，大家好，我是老王。那么今天我们来分享一下关于高三一模啊，沈阳一模这个第十七题， 这道题呢，有很多宝贝们呢，在这个栏的这个位置算错了啊，就是这个栏的算的时候有问题，那么如果你现在的这个成绩啊，如果说在一百分以上，并且做这个题很丝滑，没有任何问题，那你现在可以划走了 啊，但这个视频你可以不用听了，这个哈哈，如果，但如果你是一个艺考生，或者是单招，或者说说你的成绩这次考试没到一百分， 那么并且这道题还错过啊，比如说第一问的立体几何那么平垂直这块可能真的有的时候有问题，包括在这个第二问做的时候挺麻烦，然后第三问呢，我们懒得没算出来。 那老王强烈建议你听一听这个视频，这个视频我会详细的去给大家解答一下这种立体几何题过程应该如何写，什么地方写的好，什么地方应该不用太去详细写，然后呢？什么地方必须要写，然后最后我们还会在这个呃，这个题就稍微大家看的给大家讲一下怎么算 这里边呢，我讲的方法呢，跟答案稍有区别啊，比答案稍微简单一些，然后还有一些细节东西，相信你听完会收获满满。好话不多说，我们现在来看这道题啊，这个题首先第一问呢， 我们只说注意事项啊，至于具体的思路，我们说答案上面都有啊，我们来看第一问正那个 p 也平行于 b 的 e， 对 吧？那很多同学都会写的，那接下来我们来看这道题它怎么写啊？它说连 a c 交 b 的 o， 然后四边形 abc 的是菱形， a o 等于 c o， 这首先来说这个辅线上边呢，怎么去说呢？就连完之后呢？在前面全写完，然后接下来这个地方呢， a o 等于 c o 之后啊， pe 等于 c e， 所以 说呢，这个 o e 就 平行于 p a 了。 接下来大家也不要忘了什么这个线不在面内和线在面内，然后所以说这个线就平行于这个面了，所以说这个地方的小细节啊，大家一定要特别注意。 好，那这个第一问呢，我们也就完事了，接下来我们来看一下这个第二问啊，这第二问呢，说这个求三棱锥 p b 的 e 的 这个体积 啊，我们看答案的方法其实比较麻烦，如果说按老王的方法来说的话，其实咱们在做这种 p b 的 e 的 时候，我们应该先干什么呀？先把这个 p b 的 e 给他，把顶点换一下对不对？换成以 b 的 e 分 别算， 看看是以 b 为顶点， p 的 e 好 算，还是以得为顶点好算，还是以 e 为顶点好算。通常不会是 p 为顶点好算，因为题中给的是 p 为顶点嘛，所以说这个式子呢，就是这三个中的某一个，那么这个呢，我们来说是比较好算的，大家有没有看出来以 b 为顶点， p 的 e 比较好算？看一下， 先看思路啊， b 为顶点， p 的 e 为底面，你看在这那由于这个底面呢，它是一个面面垂直的，那 p c 的 和这个 a b c 的 它俩垂直的，所以其实 b 到这个 c 的 距离 这段长，实际上就是它的高，就是 b 到面 p 的 e 的 高，然后接下来结合 p 的 e 的 面积， 三分之一底面乘以高，那这个式子就应该算完了。在这里边呢，在老王说一下，就是首先来说你看这道题其实体现了一个什么，就是像这种体积的问题很少考，对吧？以前我们准备的时候都是以这个空间向量间隙为主， 但是你看他这个式子呢，他现在放在的第十七题之后呢，他变成三个问了，所以说他可能会考一些关于这个立体几何中其他的东西，比如说下回可能会考你表面积 体积，还可能考考什么棱台或者是内切球的，或者外接球的这个半径什么的，这都有可能在这个题中考啊。那这里边呢，咱们说他这个题主要就是说什么时候 把它换顶点，换底面做，什么时候割补呢？通常一个三棱锥啊，主要还是以换顶点换底面做会比较好。那么在这里边，这个点到这平面的距离哪个高好求？一般就是用 b 为作为顶点，就是因为 b 到这个 p 七的这个距离的个高，就这段上的高好求， 所以才是基于这样一个逻辑。然后 p 得 e 这个式子呢，我们在做的时候不要去只是局限于 p 的 e， 你 应该把眼光放长远一点， 那 p 的 e 和 p c 的 它俩不在一个面内吗？对不对？所以这样的话，你如果看成是 b 到 p c 的 距离，这样的话，这个点 b 到 p c 的 距离，你就能比较容易的看出来，是啊， b 到 c 的 距离了。 好，接下来我们来看一下这个第二个的过程啊，我们首先来说可以取一下 c 的 的终点 m 啊，那我们取完终点 m 之后呢，我们可以连接一下这个 bm， 连接一下 b m 啊，这条线连完之后呢，那么因为这个四边形 abc 的是菱形，你注意我写的这个过程啊，如果你写的没有我写的详细，我建议还是以我写的为准啊，因为你的过程可能会扣分，你可能说这次没扣，那下次不一定扣不扣了，所以以老王写的为准啊。四边形 abc 的 菱形，然后它是等边， 然后 bm 的 高三， bm 垂直于希得， bm 垂直于希得了之后呢，因为 p 的 垂直面也被希得，哎，这都得去描述去证明啊， p 的 垂直面也被希得，所以 p 的 垂直于 bm， p 的 垂直于 bm， 对 吧？然后所以说 p 的 还希得小于 d 了，所以这个 bm 垂直两条相交线，那 bm 垂直于 p， 希得。 接下来呢，我们说 p 的 垂直于希得，然后 p 的 等于希得等于二，所以说 d e 呢，这是在求三角形 p 的 面积， 那这样的话呢，我们说三角形 p 得 e 的 面积二分之一，底乘高就等于了一，这样的话，三棱锥 p b 得 e 的 体积就可以变成三分之一，底面乘以高，变成 b， p 得 e 的 体积， 然后就三分之一乘 b m 乘 p e， 然后等于三分之高三。这题就搞定了啊，大家可以看一看，这个过程呢，比这个标准答案给的过程呢，要简单一些， 而且呢，这边拓展一下思维啊，大家一定要注意，这个体积好不好求，主要看高好不好求，这是第一个，第二个，咱们在做底面积的时候呢，一定要眼光放长远一点，可以把这个底面积给它延长，这样的话看起来可能会更容易能看得出来。 ok， 这是我们说的第三，嗯，第二问。 好，接下来我们看第三问啊，说这个呃，棱 a p 上是否存在一点 f， 使得 f b 得 e 的 这个正弦值是十四分之三倍到二十一，这个很多同学啊，都没做出来， 原因呢，就是因为大家见的细啊，可能跟答案见的细不太一样，在这里边老王需要去提示一下啊，我们见细的时候呢，尽可能的要以这个底面的这个垂直为出发点， 就是说在这道题的时候，它这个 a b c 的是个菱形，对吧？所以你应该把 a c 给它连上，然后以这个点为圆点做，会相对比较好做。有很多的宝贝们是这么做的啊，是这个得 a 为为这个 l 轴完了之后，这个线 过了这个终点啊，为他为 y 轴，然后去建的一个系。这样做的方法呢，倒不是不行，但是如果说这个数啊，相对比较麻烦的时候，他可能会不太好做。而且呢，建议大家，如果说要是想更好的间隙的话，尽量找底面的垂直啊，找底面中的垂直。 所以这道题呢，我们就可以把这个 a c 的 连上，然后呢终点就可以设为 o， 这个 o a 呢是 l 轴，然后 o b 呢是 y 轴，然后接下来你经过点 o 呢，自己往上去做一条线，是 z 轴，这个怎么说？这个话来看，我给你写，已经很写的很详细了，大家可以看一看啊，以 o 为圆点过 o 作 o n， 垂直于平面为奇的啊，那你就考试的时候，你在这上面标个 n 呗， 然后以 o a， o b， o n 为 s， y， z 轴解析，然后接下来就开始写点坐标啊，写点坐标，点坐标呢？正常情况来说，先需要什么点坐标就写什么点坐标，然后在你找二面角的时候，尽量用一个必得，因为这样的话，这个必得可以用两遍，求 f， b 的 反向量可以用一遍，求 b 的 e 反向量也可以用一遍，对吧？ 然后接下来看我们的做法啊，你看我怎么做的？我是先求的是这个栏的，因为这个 f 点呢，他肯定是用栏的表示，对吧？这里边一定要特别注意一个小细节，就是这位置一定要去看啊，这个位置， 这个位置，阿拉伯一定要加范围，因为这个题问的是什么？问的是是否存在，所以说阿拉伯算完之后，如果在这个零到一范围内，他就存在，不在零到一范围内，他就不存在啊，一定要加一个范围，这是小细节啊。然后接下来呢，我们来说一顿算，算完之后， f 表示出来了， l 表示出来之后呢，接下来就求向量乘，它也相乘得零。在做这种向量相乘得零的时候呢，也希望大家要注意。先去做什么？你看我做怎么做的，我先去做必得 e， 为什么？我为什么不先去做 f b、 d 呀？因为我怕做 f b d 的 时候挂了，因为 f 不 带喇嘛的嘛， 他不好算。这样的话呢，我先求必得 e 的 反向量，如果说我这个后边这个式子没算出来的话，老师给我判卷的时候，你看这对对对对对对，哎，到这也对，好，他就得分了，对不对？那你说，你如果说不先去做这个，然后你先去做这个的话， 那你这个过程如果说挂掉了，错了，比如说，哎，这个，这个跟答案写的不一样，完了之后呢？那这个地方人家老师可能就不会给你看了，所以你会少得两分，一定要注意啊，这都是细节，你让老师天天给你扣，扣着你的题去给你找分啊，对不对？不可能老师十秒钟就趴完这张卷了啊， 不是说错了，十秒钟就趴完这道题了。好了，回到这道题啊，那向量 n 呢？那我们来说就正常做呗，向量 m 先去做 必得一的反向量，这就不多说了啊，求出这个反向量，令其中一个为一，对吧？那我们说答案的方法呢？其实它更丝滑一些。答案的方法呢，是不是令它为一？是应该令它为二或怎么样的？这样的话，它算的这个反向量是一个，呃，整数，而不是分数。 这块呢，我们给你的建议是什么呢？如果说你平时就习惯令谁为一，那你就尽量就还是令谁为一，因为这个东西不是说在于简单不简单的问题，主要在于说你的这个过程是不是熟练， 你别今天令他为一，明天令他为二，后天令他为高三啥的，你说，哎呀，这个别人算，算的简单，别人算的简单并不一定会适合你啊， 一定要注意，因为你的这个数学呢，并不是特别好，一定要认这个事。所以说什么时候才能让自己准确率高呢？就是你做的熟练，你才能高啊。一定要注意，不是说答案做的方法就一定好，也不是说别人的方法就一定适合你，一定要找到适合自己的方法。 好，那个向量 m 求完这个反向量之后啊，然后向量 n， 向量 n 呢？那么这个是 n 乘 b 的 n 乘 n 乘的 f 的 零。其实这个我在做的时候也会有考虑的，就是你在做这个得 b 的 f， 你 要看一下这两个 这个向量选择谁会比较简单，一定要特别注意啊，那么这个得 b 比较简单，然后得 f 比较简单啊，所以说这个向量 n 才算的相对简单。你在做任何一个向量的题的时候，这种东西都需要有考量的啊， 不是说你随便找 b 得也行，得 f 也行， lp 也行，随便找，你随便找的话很容易错啊，或者说很容易算的时候会很麻烦， 所以说在你找点坐标，找这个啊向量的时候也都要特别注意。好了，那接下来我们来看令 z 二的一呢？然后接下来这个 c 特是它的二面角。看这道题还有一个细节，这道题中呢，求的是题中给的是正弦值， 你一定要先干什么？先去做出他的余弦值，用正弦值去做出余弦值。那话说回来了，如果说这个后边又挂了前面，后边这个计算又又错了，那最起码你这么写还给分呢，对不对？哎，这有一分那有一分，加起来也不少分。 好，那接下来这个口算其的算完之后就变成这样了，就下来 m 乘以下来 n 等于他乘他比他末乘他末。接下来我来给大家实际操作一下，这道题应该怎么算啊？如果大家在算这个篮子没算出来的宝贝们啊，应该仔细看一看，看看老王怎么去算，可能会给你一些灵感和收获啊。 好，我们来观察，你就记着啊，这种比较麻烦的题一定要多观察。我们先去从谁入手呢啊？我们来观察一下上边呢，其实也没有什么好方法了，上面我就正常做了。那就是横成横，纵成纵呗，是不是？嗯， 二栏减二比乘根号三栏的啊，加上二分之根号三就得得这个了，下边注意看这个东西有点意思啊，这个东西它得什么呢？等于根号下一加上四分之三，对不对？它是不是等于二分之根号七啊？ 那这个是，你看它是二分之根号七，你看这是不是也有个根号七？所以说啊，你可以先把这个二分之根号七给它乘到 等式的右侧，就让它乘个二分之根号七，你可以把它划了，然后把二分之根号七乘到这边来。那你看这个上面是不是变成了二分之七了？比成十四对不对？然后七和它约成二，是不得四分之一啊， 所以说这样的话这个根号三，讨厌的根号三就没了，这边变成四分之一了，然后这有个根号，对吧？照抄根号三栏的。那这个其实你也可以在这个位置，你一看好像没有什么太好的方法，到这你就只能硬算了， 三 l 的 方，然后四 l 的 方减去八 l 的 加上四，然后再加上一个一， ok， 当你坐在这之后再来再看，下一步再观察，你能观察出什么？这个东西你就去想，我要不要通分呢啊？通分简不简单呢？如果简单你就通，不简单就不通呗，对不对？ 然后你去给他通个分，看一看他通分之后应该等于什么，你发现他好像还行，所以说你通个分， 那就二倍高三栏杆上面是四，栏杆减四，然后加上三栏杆，哎，你会发现它等于二倍高三栏杆的分之七栏杆减四，对吧？哎，这些东西你在答案中你是看不出来的啊，这都是一些小细节啊。好，那接下来我们来说，它就是 二倍根号，三栏的上面是七栏的减四不动，然后接下来呢，我们来说下边下面是根号下，你看下边根号下也没有什么好方法了，就通分呗。 所以把底下通个分啊，底下通个分就是三栏的方分之，那就是七栏的方减去八栏的加上四， 等于多少呢？等于四分之一，哎，然后接下来你发现一个什么问题啊？你发现这个柿子他这边底下是不是有个二， 然后这有个四，对不对？所以说你把这个二和四他俩可以成在一起。好，那接下来呢，我就观察，你看啊，就是所有的过程，你说那你怎么能看出来？ 多看呗，我也不是一眼就看出来了，对吧？你要一定要继续做这个题的时候你做这个，呃，你现在，你看你现在这个数学不太，不太难，不太难的话，那就谁算的好，谁就是王道呗，对不对？你别到时候你挂这道题了，这道题你挂了的话，及格就很难了啊。 好了，那这道题做到这之后呢？接下来再来看，那么这个二和这个四，他俩可以约剩个二，对吧？然后接下来你看他应该怎么去化简呢？你发现一个什么问题？看这看这， 这是不是有个三栏的房开出来是什么？开出来是不是高三栏的，对不对？开出来是不是高三栏的，那这是不是有高三栏的？他俩是不可以 划掉了，对不对？哎，所以说你可以把这个和这个给它划掉，你说那我能，我能，那我哪能看出来，你多观察肯定也能看出来啊。把二把这个二给它乘到分子上，就是十四篮子减八， 然后等于刚下啊，就是七栏的方，然后减八栏的加四啊，然后接下来呢？平分，那这个没没办法了，那就是一千一百九十六栏的方加六十四，这就说命运让我们必须得这么算了啊，那我们只能这么算，二十八乘以八，八百六十四，八百六十四，二百二十四，二百二十四栏的 等于七朗的方减八朗加四， ok， 嗯，得到这个之后呢，然后接下来求这个朗的一百九十六朗的方减去七朗的方啊，那就等于呢，这个一百八十九 l m 的 方，然后减去二百二十四，加加上八，是二百一十六啊，然后加上六十等于零， ok， 接下来我们两边同时出个三来，变成六十三 l m 的 方减去七十二 l m 的 加上二十等于零。 有很多同学也会挂到这啊，比如说，哎，坐到这之后发现这个十字相乘啊，不会怎么试也试不出来啊，有可能这个试十字相乘确实有点麻烦，如果实在实在不行，那你只能求用公式了 啊，就是二百分之负 b 加减 b 方减 c， 因为你想啊，这题不能落在这，是不是你，就你，你想想，你做到这之后，你要是空了的话，那扣你四分，五分啥的都很有可能，那就有点不合适， 所以说我们说尽可能的就这道题就是这么设计的，因为其他题比较简单吗？所以说这道题可能算起来就会比较这个难一点啊，所以说你不要觉得说都简单或者都难，嗯， 这道题啊，它是三和二十一，当然我也不是一下就想到的啊，我也是去试了一下啊，那这个呢，应该是就是负二和负十啊， 那么所以说就是三栏呢减二乘上二十一，栏呢减十的零啊，所以栏呢等于三分之二或者二十一分之十。那有同学说，那你这个跟答案不一样啊 啊，因为我这个呢跟答案设的栏的也不一样那，但是最后的结果是一样的啊，所以说大家不用担心，你看答案，答案应该是三分之一和二十一分之十一，他跟我这个不是正好是一减的关系吗？所以说他的意思是没有毛病的啊， 好了，那栏得这俩之后，他都在零到一之间，所以栏的算的就是他了，然后接下来让你求什么？让你求这个啊， a f 的 长度，那两点间距离公式，这样就搞定了。 所以说老王去要去给大家去总结一下，大家这个时间会比较长啊，那么你在听的时候呢，尽可能听一些细节啊， 因为这道题你想做对的话，它的过程是很重要的。然后还有就是计算一定要总结一个事，就是如果你对于这种比较麻烦的计算的时候，多做多注意多观察啊，老王手动给你做这块，大家可以看一看是不是 以观察为主，对吧？你如果什么东西都硬算，不是说都能算出来的啊？好，那希望大家通过这只视频呢，能对这道题有一些灵感啊。那么好，今天的分享就到这里，祝你的数学越来越好，拜拜。

我们来看第一题，这里告诉我们一个衰变方程是这是一个贝塔衰变，那么他告他问我们碳十四的核指数是多少，核指数就它的质量数就等于它的中指数加上质指数啊，在这里的质量数是十四，所以它的核指数就十四了，所以这个 a 是 错的。 b 选项衰变过重，因为它要释放能量，所以这个时候呢，它有质量亏损，所以二 b 是 正确的。这个题这个就结束了，正式考试就结束了，我们看下一个 c， d 都不用看， 那么我们下面讲解的时候，还是把每一个选项都给大家讲明白，看 c 选项，嗯，蛋蛋十四的质子数是七，碳十六，碳十四的质子数是六，七比六，应该是多一，不是少一，所以它是错的啊，是 d， 这个贝塔衰变了，它这个电子来自于它的原子核内部，是原子核内部的一个中子，哎，然后变成质子的过程当中啊，产生了一个电子， 那这个时候了，我们的要注意，这就是我们的贝塔衰变的本质啊，我写的这个就是贝塔衰变的本质，所以这个尸体是错的，它是来自于它的原子和内部啊，不是核外电子。第二个，在这云强电场当中禁止释放一个电子， 那在这里匀强电场，我们画一个匀强电场，他的电场强度呢是 e， 那 这个时候呢，你静止释放，他肯定是沿着他的力的方向运动了， 那你静止释放之后，他的电场力就朝左，因为他是电子啊，跟电场强的方向相反，所以他的速度呢也是朝左，他应该做一个垂直为零的匀加速直线运动，沿着这个电场线方向，所以他的轨迹方向跟我们电场线方向是重合，没问题啊。呃，这个题就结束了，然后看下一个， 但是我们下面讲解的时候，还是把每一个选项给大家讲明白。二、 b 选项，他说电子的电视呢？中间张大，电视呢？怎么变？要看电场的做功，这个时候呢，他做匀加速直线运动，电场力对他做正功呢，所以电视呢，应该是减小，所以这个二 b 是 错的。 然后看 c 选项，对他做正功呢，不是副功啊，他的速度方向跟电场速度方向跟电场力的这个方向呢，是相同的啊，所以他应该是正功。 四、 d 加湿度的方向加湿度的方向就跟力的方向是一样的，因为这个时候电场力它在核外力，所以这个加湿度方向应该是朝左啊，加湿度方向朝左，而你的电场前头的方向呢，是朝右，所以这个时候呢，它俩是相反。所以这个第二题呢，就选 a， 看第三题。第三题呢，我们知道零到十秒，他给了一个 vt 图，我们看零到十秒是匀加速直线运动，十秒到三十秒是匀速直线运动，三十到三十五应该是一个匀减速。 我们先看他的 a a 选项， a 选项他为零到十秒内牵引力的功率，牵引力的功率我们给他表达出来。 零到十秒里面啊，这个小车呢，这是零到十秒力，小车受到一个牵引力 f， 水平方向受到牵引力 f， 然后还有一个阻力小 f。 呃，数值方向力，我们不用看，它数值方向力肯定是平衡了，我们不用管它，所以这个时候它的额外力就是大 f 减去小 f 应该等于我们的小 m， 这个时候他就应该，他应该知我们加速度了，我们知道零到十秒他是匀加速直线运动，所以加速度是恒定的。从中我们就能解出，这个大 f 应该等于 m a 加上一个小 f， 然后建立的功率呢，我们就能表示出来，功率就等于 f 乘以 v， 然后我们把它带过来， m a 加上一个小 f， 然后乘上一个 v， 这个时候呢，我们的括号是一个定值，因为我们零到十秒是匀加速直线运动，括号里面就是一个定值，括号里面是个定值的话， v 随着时间呢，它在增大，很明显在增大啊。 v 随着时间在增大，它做一个匀加速直线运动， 所以这个这个 p 呢，随着时间这个时候 p 就 占比于 v 了，那这个时候 v 随着时间体均匀增加， p 随着时间体也就均匀增加，所以这个 a 是 藏卷，藏犬的牵引力的功率是随着时间均匀增加啊。 这个题到这里就结束了，正式考试，看下一个 b， c、 d 都不用看啊，然后我们下面讲解啊，自己给大家把每一个选项都说明白啊。 b 选项怎么计算了？我们再来看一下 b 选项， b 选项的话就算面积就行了，为 t， 图为上面积，那就是整个这个 t 项的面积了， 整个这个 t 项的面积，我们把这个 t 项的面积给它算出来，二分之一， 二分之一上底，上底是二十，然后下底是三十五，然后乘以高高是四十，然后再就等于一个， 呃，一千一百啊，这一千一百米，所以这个二 b 是 错误的 c 选项。呃，他问这个零到三十五秒的平均速度，平均速度呢，我们用 v 八等于 x 除以 t 来计算 x， 刚才我们已经算出来是一千一百米，带过来一千一百米，那除以时间三十五秒啊，都不用去算了，这个时候他连比下来肯定不是三十了啊。所以这个时候呢， c 是 错的啊， 四 d 四 d 的 话，我们在这里呢啊，应用一个动能定力啊，零到三十秒力，我们先要用动能定力的话，在这里我们必须把这个呃摩擦阻力做的功给他求出来。摩擦阻力做的功要求出来的话，就得要知道它的呃摩擦力的大小。 摩擦力的大小怎么求呢？是根据它匀速时牵引力来求啊。匀速的时候呢，它的牵引力跟阻力是相等的，所以这个时候呢，阻力小 f 就 应该等于匀速时的牵引力一乘以的五十方牛顿啊，然后对它在零到三十秒内 应用动能定律啊，由动能定律可得，由动能定律 可得。这个时候呢，我们动能的张量就等于我们的合理做的功。合理做功，这个时候有两部分，有两部分功，一部分是我们牵引力做的功，即为 w f， 还有一部分是呃阻力做的功，阻力做的功就是负的小 f， 然后乘上 x 一 x 一 是这段时间里面你走的微一，它等于它的动能的张量二分之一 m v 方 v 就是 三十秒时刻对应的速度减去初十动能 啊，这个时候呢，我们要把 x 一 给它计算一下啊， w f 呢，解出来，它就应该等于二分之一 mv 方，然后减加上一个 f x 一， 计算 f x。 计算 x 一 的方法其实还是算零到三十秒内微梯头根坐标轴的面积就可以了。在这里二分之一 m 是 五乘以十的五平方，然后再乘以四十的平方，加上一个后面 f 乘以 x 一， 我们在这里算一下，四十的平方就是一千六，一千六乘以二分之一就是八百，八百乘以五啊，那就是四千，那就是四乘以十的五次方啊，再乘以一个十的三次方，就十的八次方， 然后加上一个 f x 一 了。到此为止，已经比我们这个四 d 选项这个答案了，你看四他四乘以十的八次方还要加一个账的，他肯定比这个四 d 答案要大了。所以我们在这里不用算了， 我们要非要算是准确的值的话，待会我们就要把 x 一 算出来， x 一 应该算这块面积啊， 算这块面积，红色的这部分阴影部分的面积零到三十秒，零到三十秒啊，然后我们把这红色的面积算出来，这就二分之一 x 一， 在这里就等于二分之一，上底二十，下底三十，然后乘以高四十，然后等于二十五一千，这应该是一千， 算出来是一千米的话，那就是带过来，那就是四乘以十的八次方，然后再加上一个小 f 是 一乘以十的五次方，然后再乘以十的三次方，那它加起来就是五乘以十的八次方了。角儿啊， 这是我们这个 c d 选项，所以它肯定是错误的啊。但是我们正式考试的时候就没必要啰里啰嗦算这么多了， a 选项直接选出来，看下一个题，节约时间，基本上题 基本上三道选择题呢？我们大概用个十秒钟的时间全部搞定啊。

来看实验题，这是测干电池的电容式跟内阻。第一步他先测量这个电表的内阻，如图所示，开关接 a， 给了一组数据，开关接 a 的 时候，我们把这组数据给它表示出来啊，那么开关如果接 a 的 话，这个电路就应该是这个样子， 这是电压表，然后下面是一个电流表啊，跟一个 r 一 在这里串起来，这个时候它就是 r a 了啊，根据它给我们的读数，这是我们的接 a 的 时候，在这里呢，我们看一下它告诉我们的 u a， u a 知道了之后，这这这这两条之路是并列电路说明所，所以我们下面这条支路上，我们 电流又小的，我们就知道它的电阻了，而 u a 也是下面这条之路的电压，除以下面这条之路的电流电流，这就是下面这条之路的总电阻了，总电阻又等于 r a， 加上下面这条之路的总电阻呢，就等于 u a 比上 r a， 它又等于什么？它就等于我们的 r a 加上一个 r 小 a， 所以 这个时候呢，电流表的那一组，我们用它算出来的 u a 比上 r a， 然后解去一个 r a， 然后给他带过来，就可以填在这里去了。 u a b 上一个 i 小 a 键是一个 r 小 a 啊，然后我们看接，他说把开关掰到 b 上面，又得到一组数据， 开关接到 b 上面的时候，这个回路就变成这个样子了，这是我们的电流表，然后电压表跟我们这个电轴箱是并列的关系啊，它变成这个样子了，变成这个样子之后，它告诉我们的 u b， 呃，又知道 r b， 那 这个时候我们知道电流表的数值就是干路电流了，所以这个时候 i b 它就应该等于我们的 u b。 电压表上的电流就是 u b 比上 r v， 然后加上这个 r b 这条支路上的电流， r b 这条支路上的电流，它就应该在 u b 比上一个 r b。 啊，这样的，这样的话，我们根据这个矢指把这个 r v 给它求出来。 呃， r v 在 这里很明显它就应该等于 u b 比上一个，就给你这个式子，把这个式子里面这个 r v 给它解出来就可以了啊，那解出来之后它就应该是 u b， 嗯，比上一个 i b 减去一个 u b， 比乘一个 r b， 把它上下同乘一个 r b 乘以 r b， 然后比乘一个，下面就是 i b 乘乘一个 r b， 然后减去一个 u b， 这就是我们的这个问题。 好，我们来看第二题。呃，这里告诉我们这么一个，咳咳，嗯， 这里告诉我们， 经过精确测量，知道电压表的内阻是两百欧，电流表的内阻是九欧，他们用图二手式的电路来完成干电池的内阻跟呃，电动式的测量。 图二这个图就在这里啊，图二这个图，然后告诉我们这个电镀箱 r 一 的阻值是一欧姆， r 二的阻值是一千八百欧姆。 毛细测量过程中，电流表的示数是十八毫安，电压表的示数是六十毫伏，他问此时干路电流是多少，路端电压是多少？那我们在这里看我们这个电路图，他说此时，嗯， r a 这个时候是九欧姆， r a 是 九欧姆，这个时候 r e 是 一欧姆，那 rs 的 读数此时是十八毫伏， 十十八毫安，十八毫安，那根据这两，这两个 r 一 跟 r a 他 是并列的关系，并列的话，我们知道他的电轴比了，电轴比是九比一的关系，所以 r 一 上的电流就是我们的。呃，电流表的电流的 九倍啊，反比的关系，跟你这是并列电路并列电路电轴比，但电流是反比，所以这个时候呢，电轴比是九比一，所以电流就是一比九，所以这条支路上电流就十八毫安，然后乘以九，也就九倍的 乘以九两个干路电流了，那就是两部分加起来了，两部分加起来就是干路电流了，那就是十八毫安，乘以九，那就是十十倍的十八毫安， 这就是干路电流。干路电流的话，我们看一下他等于多少，这在等一百八十毫安，一 百八十毫安的话，他要单位是安配，所以在这里是零点一八安配啊，零点一八零安配吧，或者零点一八安配都可以啊，这是干路电，然后他让我们求下干路电压，呃，路端电压，路端电压的话，先看电压表的示数，电压表的读数在这里了，他是六十毫伏啊，六十毫伏， 六十毫伏的话，然后我们在这里来知道 r v， r v 这个说是一千八百欧，嗯，是 r v 是 多少？ r v 是 两百欧姆， r v 是 两百欧姆啊， r v 是 两百欧姆，然后这里的 r 二了，它是一千八百欧姆， r 二是一千八百欧姆。 根据我们的，因为 r 二跟 r v 是 串联的关系，串联，串联电路的话，电轴比等于电压之，电轴比就等于电压之比，电轴比，这个时候就是 r 二比上 r v 就是 一千八，比上两百就九比一，所以它的电压 r 二所分的电压呢？这个时候它就是 呃， r v 的， 就是 r v 分 的电压的九倍啊，就是九倍，就是六十的九倍，就是五百四，就是五百四十毫伏， 这是 r 二十分的电压， r r 二十分的电压，那这个时候呢？我们看一下 回路里面的这个时候还有谁这个时候漏端电压一定是这两，这两段，这两段之间的电压就是 这里我们接一个理想电压表的话，一定是这两段之间的电压，所以这两段之间的电压这个时候是多少？应该是还要加上我们这一部分的电压，这一部分的电压的话，我们算一下，其实就是电流表的电压，电流表的电压在这里就是十八毫安， 然后乘以九五，他分的电压是多少啊？十八乘以九八九七十二一九九，那就幺六二，这个时候因为有个毫，所以这个时候长下的是毫伏，所以这应该是这两块，这 一百一，这块电压再加上一个五百四十毫伏，再加上一个六十毫伏，才是我们刚才说的这个漏端电压啊，才是这个漏端电压。那这个漏端电压测试，我们加起来漏端电压， 它就应该等于五百四十毫伏，加上一个六十毫伏，再加上一个一百六十，一百六十二毫伏， 等于，嗯，七百六十二毫伏，就等于零点七六二伏特啊， 这是它的这个问题啊，这两问就搞定了，然后它调节滑动电阻器，记录了做主数据之后呢，会制了一个 u i 图像，问这个电池的电动势是多少？内轴是多少， 那这个时候我们把它这个写一下啊，他给了这个图像之后呢，我们这种图呢，先不要着急去处理数据，我们一定要把它的解析式写出来啊，因为它是直线，一定要把它的解析式写出来， 这个时候呢，它的 u 表是电压表的示数啊， u 表是电压表的示数，那这个时候呢？当电压表的示数是 u 的 时候，我们看一下漏端电压这个时候是多少？根据刚才我们漏端电压的算法，漏端电压它就应该等于电压表的示数， 呃，就是 r 二，此时刻如果电压表的时数是 u 了，这不是六十了， r 二所分的电压呢？它就是九倍的 u， 这是 r 二所分的电压就九倍的 u 了。加上电压表的时数 u， 然后再加上一个呃电流表，此时它是分的电压 啊，电流表此时的电压，电流表此时的电压呢？就是加上一个呃电流表的读数，此时是 i， 那就是是它的电阻是九，那就九乘以 i， 这这块是 r 二，此时刻当电压倍的时候是 u 的 时候，电流倍的时候是 i 的 时候， 然后我们读出来的九 u 是 不是我们的 r 二所分的电压？ u 就是 我们电压表所分的电压，九倍的 i 就是 我们的电流表所分的电压。这三块加起来是不是就是我们的漏端电压了？哎，好，我们漏端电压又等于什么呢？漏端电压又等于我们的漏端电压， 它又等于我们的回路里面电动势减去一个我们的电源的呃干路电流，然后尝尝它的内阻，尝 尝它内阻啊，那干路电流在这里的。这个写出来干路电流其实就用电流表这一块来写了，当电流表的次数是 i 的 时候，那下面这个 r 一 所分的 r 一 的电流就是它的九倍的 i， 所以 干路电流这两部分加起来就十倍的 i， 所以这个这个时候呢，漏端电压又表示出 e 减去一个十倍的 i， 然后乘以小二，然后他两个都是漏端电压，所以漏端电压应该相等，那他俩相等，也就是 e 减去十倍的 i 二等于九 u 加上 u， 再加上一个九九 i， 那 就是十 u 加九 i， 十 u 加九 i， 就 等于我们 e 减去一个呃十倍的 i， 然后乘以小二，把它一整理，我们把这个 u 求出来， u 求出来，它就应该等于一个十分之一。 解析，一个十二加九倍的 i 比上一个十，然后这个时候呢， u i 之间的关系呢？它就是一个一函数，这是我们一函数的重叠句，这是，这是一一函数的斜率啊，这是斜率， 这是斜率，这是种拮据，种拮据，所以我们读它的种拮据呢，一下就能把它的电动势求出来， 在这里呢，我们读一下它的重叠句，你把这个直线给它延长，延长，让它交上去，大概就交到这个点上，这个点是多少呢？我们读出来是一百四啊，然后再看它的杭杭跟杭州的交点，因为待会我们算这个，要算它的这个斜率，要用到， 这样的斜率要用到啊，我们把这个直线给它画出来，大家画的时候要打上尺子去画，在这里呢，一二三四，大概三十四 横坐标，这个是三十四号啊，重坐标，这里是一百四十毫伏啊。读出来，那这个时候呢，我们重作重叠句，刚才说了，一比乘十，它就应该等于一百四十啊，一百四，要注意这里电压取的是毫伏啊， 所以在这里呢，我们取出来这个 e 就 应该等于一百四十，乘以也就一千四百，这个单位是毫伏，因为我们那个坐标系里面单位都是用的毫伏毫安啊，所以在这里呢，我们读出来，呃，这个电动式了，他就应该等于多少？他就等于一点四伏啊，一点四伏， 一点四伏的话，我们看一下他能保留三位小数，三位小数是两位小数，所以加个零就可以了，一点四零伏啊， 然后还要求下内阻，内阻的话就求我们这个直线的斜率，直线的斜率在这里就是一百四比上三十四了啊，也在这里直线的斜率就是一百四比上三十四了，那我们除一下，一百四比上三十四， 一百四比上三十四，它就是单位，就是欧姆了啊，大家要注意，因为它好比好就比掉了啊。然后等于这边的斜率，斜率的值是多少？十倍的小 r 加上九比上十，十倍的小 r 加上九比上十。 然后把它一整理，我们就能推出十倍的小 r 加上九，它就应该等于一千四，比上一个一千四，比上一个三十四啊，三十四， 咳咳，一千四比他三十四，呃，我们来比一下啊，算一下，这个时候就相当于是七百七百除以十七了，七百除以十七，那这里就是， 嗯，四有四四十八，六十八的话，这里是二十四，十一，十七， 嗯，然后这是三十三十，里面了只有一个十七，这就是十三十三，然后这里就是十三乘以七十七 八五十六一四三一三六七个，这应该是七个啊，七个的话就是一四四十九 幺幺九一十一。后面我就不用算了啊，一百一里面肯定超有超过五个了，多有五个了，这在这里约等于四十一点一八，约等于啊，约等于四十一点一八。 四十一点一八的话，我们出还要解析个九啊，这个时候要解析一个九，解析一个九的话，他就是三十二点一八了。 三十二点一八的话还要再除以十啊，就是小 r 了，那就三十二点一八，还要除以十，就三点二一八。因为我们这个单位刚才说了已经是欧姆了，所以在这里他就是欧姆了啊，三点二一八欧姆， 三点二一八欧姆，然后我们看他保留几位，几位有效数值，两位三点二一八，那就三点二欧姆就可以了啊。

第七题，这里告诉一个例子，他从 o 点出发啊，嗯，他在车上里面先做圆柱运动，我们算一下他的圆柱运动的半径，在左侧车上，因为他的字眼全都是 b， 说在左侧车上里面那个半径呢？我们算出 r e r e 就 等于 m v 零，然后比成一个 b q， 比成一个 b q， 那 这个时候呢，我们知道他的圆心呢？一定他出发的时候这个速度是竖直向上，他的圆心呢， 一定要在这个速度的垂线上，那就在这条虚线上，那它这个出发点呢？它一定在轨迹上，所以从这个轨迹这个点，沿着虚线，我们截一个 m v 零，比上 b q 的 距离啊，我们截一个 m v 零，比上 b q， 那 截出来是多少？因为长个这个 o 到虚线， m n 的 长度是二分之三， m v 零除以 b q， 所以 我们把这个虚线给它三档分， 三档分之后呢，这个点就是 o 一 点， o 一 点呢？长号到 o 点的距离就是 m 为零，除以 b q， 所以 这个时候呢， o 一 o 就 它的半径了。 很明显。这个时候呢，我们在这里做圆周运动的时候呢，它我们把它的轨迹大致画出来，它就应该是这个样子，这到这里正好是四分之一圆弧，但它还要向这边运动，向这边运动的话，它就这样一个带回来，它的 到达 m n 这个边界时，速度方向大概就这个方向。进去之后呢，他就是应该做一个呃匀速直线运动，穿过这个右边这个边界，然后再到了这个尺差里面，我们算一下这个角度啊，在这里算一下这个角，这里是垂直， 这个角度是垂直，那根据我们刚才说的这个 o e 这段呢，就是只剩下二分之一 m 为零，除以 b q 了， 那这个呢是我们半径就是 mv 零去 bq， 所以 他们处在一个二倍的关系，所以这个角度呢，此时刻这个角度就是六十度，这个角度是六十度的话，这个角就是六十度了， 待会你在这个车场里面，这个角就是六十度了。在这第二个车场里面进去之后他又做一个圆周运动啊，然后出来的时候， 然后到这边过来，然后长个，因为他做周期性运动，所以他从待会回来之后又能到了这个 o 点，而且到 o 点时候速度要是 v 零啊，所以这个时候呢，上下两部分是对称的，他的轨迹啊，那我们掌握轨迹了，他就他就这样运动， 掌握轨迹，他就是这样沿着这个箭头方向这样动啊，然后这样转过来，就这样一个运动。那么我们看他的问题， 他说在左侧运动的时候，这个圆心到 m n 的 距离，圆心也就是 o e 到 m n 的 距离，刚才我们也写过了，这段距离只就剩下呃， 上上下多少了？二分之一倍的 mv 能吹 b q 了，所以这个时候应该是二分之一啊，二 b， 这个时候他说是在右侧运动的时候旋长跟半点子的关系，那个时候我们把这个右侧这个轨节稍微给它放大，重新在这里画一下， 因为这个角度是六十度啊，他进去的时候这个跟这个虚线，这个速度方向跟虚线的夹角是六十度，所以出来的时候夹角也是六十度。在这里呢，我们把他把这个轨迹画大一点， 那他右侧的时候进去是这样，进去这个夹角是六十度，那他轨迹画出来就是应该是这个样子， 然后从这里出来的时候，这个角也应该是六十度，把他的两个速度的垂线 都画出来，这个垂线的焦点了，就他的第二段轨迹的圆形，我们记为 o 二，这个 o 二这个圆形角了。根据速度的偏转角，速度在这里呢，是从跟这个虚线 跟虚线之间的夹角，从正的六十度变成负的六十度，所以这个时候呢，他的速度偏转角是一百二十度，这段过程的速度偏转角就他对圆弧的圆形角了，就是一百二十度， 那此时刻我们这就是我们第二段半径了，轨迹的半径，那这就选这个点，就选成我们在这点设为 m 点吧，这个点设为 n 点，哎，我们换个字母，嗯， 这个点设为 a 点吧，这个点设为 b 点，那么从 a 点到 b 点，那就就全场了。我们这个时候呢，有一个三角形，你看 o 二 a b 这个三角形啊，这个三角形它是一个特殊的三角形，它是一个等腰三角形，这个特殊的等腰三角形呢，它的顶角是一百二十度啊，顶角是一百二十度， 那么顶角是一百二十度，等于三角形的话，他的腰跟底的关系就一比一比跟上三，这个是死的。所以这个时候呢，我们的选场 a b， 这个时候比上一个 r 二，他应该是跟上三比一啊，所以直接就是跟上三比一，所以这个二 b 是 错的。那再看 c 选项， 他说在左侧市场里面运动时间和右侧运动，在右侧市场里面运动时间之比， 这个是时间怎么算呢？我们先算左侧的时间，左侧的时间主要看他这个圆弧对的圆心角上下对称，我们算一半，算一半的话，这个圆心角是多少？这个很明显，这个圆心角圆弧对，圆心角是一百二十度，所以上下两部分合在一起，就是一百二百四十度，二百 四十度占整个三百六十度，长圆的多少就占三百六十度的三分之二， 然后然后再他再占了这个比例了，然后再乘以一个大 t 大 t 一， 就是左边的这个周期啊，就是我们这左边的时间了， 那就等于这个 t 大 t 一 是多少，就是它周期，我们在这里用周期公式就可以了。这边二百四除以三百六之后就三分之二，然后乘以它的周期，周期就是二 pi m 除以 b q， 这时候乘上 b q 啊，然后这是 t 一， 就有 t 二了， 刚才他的圆弧所在的圆形角了，是一百二，一百二除上一个三百六，然后乘以一个 t 二 t 二，就他 在第二个在右侧运动时候，他那个长圆的时间，那就是一个周期，那就是在这里了。三百六十分之一百二，就三分之一了，然后乘以一个二派 m， 他的尺杆、枪都是二 b， 要注意了，所以把这个带成二 b， 然后一长里，这里在这边就变成三分之一派 m 除以 b q， 上面呢是三分之四 pm 比上 b q， 所以 这两部分时间之比了，很明显是四比一，所以 t 一 比上 t 二啊， t 一 比上 t 二，它就等于四比一，就正确了。 然后再看这个题到这里就可以结束了，那用它的单选择题啊，正式考试这个题就结束了。然后我们再来看，我们下面讲解的时候来看一下四 d。 为什么错误的啊？他说完成一次全呃，完成一次周期性运动总时间， 总时间的话肯定不是三分之嗯，肯定不是三分，三分之五倍的 pm 除以 q b 了。因为三分之五 pm 除以 q b， 正好是我们 t 一 加 t 二， t 一 加 t 二，正好加起来就三分之五 pm 除以 b q。 这个时候人家除了在车场左右车场里面的运动时间之后，是不是在这个虚线里面还还一段时间了？俩虚线之间 啊？所以这个时候呢，它肯定这个时间呀，要大于啊，要大于这个三分之五倍的 pm 除以 q b， 所以 这个实际是错误的啊。