9.1.2用坐标描述简单几何图形

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学第十六节课。用坐标描述简单的几何图形 今天的学习目标是掌握建立适当的直角坐标系。用坐标描述简单几何图形的方法，能够在给定的直角坐标系中写出几何图形各个顶点的位置的坐标，能够根据坐标计算出几何图形的面积。 如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为四。在正方形 a、 b、 c、 d 所在的平面内建立两个适当且不同的平面直角坐标系， 并说一说所建立的两个不同平面直角坐标系中表示正方形 a、 b、 c、 d 顶点的坐标。我们知道平面直角坐标系就是两个垂直的 x 轴和 y 轴就可以， 那我们这个点必须要有一个直角。那第一种方法，我们这个，我们这个正方形，我们知道有一个最中心的点，我们可不可以在这条边的中点以及这条边的中点，这个正中心的这个位置，以它为圆点，这里为 y 轴，这里为 x 轴，建立一个平面直角坐标系啊。 如果说我们以这种方向建立平面直角坐标系，我们看一下他所对应的点的位置应该在哪边长为四，那么他从这个边到这个终点的位置就应该是二，所以我们也可以标出每个轴的单位长度。 那照这种情况来看，我们 a 点所对应的坐标就是负二和二， b 点对应的坐标是二和二， d 点对应的是负二和二。 那除此之外，我们还可以以 a 点为，以 a 点为圆点，这样去画一个平面直角坐标系。我们看如果是这种情况的话，我们 a、 b、 c、 d 四个点的坐标又是什么？ a 点的坐标是不是就是圆点了？零零， b 点的坐标就是四，零 c 点的坐标是四四， d 点的坐标是零四。 所以我们可以建立平面直角坐标系，来描述一些简单的几何图形。我们在描述这些几何图形的时候，只需要用坐标去描述这些图形上关键点的位置，比如说刚才那个正方形，我这样去建一个平面直角坐标系，只需要找到 a 点、 b 点、 c 点和 d 点的位置，就可以把这个正方形给表示出来， 那建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同，你们看刚才我们两种方法得到的坐标就是不相同的， 所以说在规则的几何图形中，一般优先考虑顶点、边长等。建立直角坐标系，那我们第一个平面直角坐标系并不是很好画，因为它没有固定的边长，给我们第二个平面直角坐标系相对来说就比刚才第一个要好画一些。 来我们看一下，在这个平面直角坐标系中给出了我们四个点，我们顺找到这四个点，并顺次连接，我们看一看它是什么形状。 a 点是负二和二就在这里，这是 a 点， b 点是三二， b 点在这里， d 点、 c 点是负二、负一、 负二、负一，这个点是 c 点， d 点是三和负一是这个点。我们连接这几条线， 我们连接这几个点，我们是不是就会发现这是一个长方形啊？而且它的长是 ab， 这一段的长度是五，它的宽是 b、 d， 这一段的长度是三。 今天学的第二个知识点，就是我们要会求平面直角坐标系中图形的面积。已知三角形 abc 三个顶点的坐标分别为零三、九三、一、负一。我们可以画出一个平面直角坐标系，然后标出它的点， 看如图所示，画出平面直角坐标系，找到 a 点在这， b 点在这， c 点在这，那这个三角形的面积怎样去求？ 是不是我们三角形？三角形的面积公式是二分之一底乘以高，是不是我们这个三角形可不可以把这个 ab 当做底？它的高是不是就是从 c 点往下去做一条垂线，我们看这条线是不是就是我们的垂线？ 那这条线的长度是多少？是不是这个 a 点的纵坐标加上这个 c 点纵坐标的距离啊，它的相反数，所以说这段的长度就是四，而这段它的 ab 的 这段距离是不是就是 b 点的这个横坐标啊？所以我们这个三角形的面积公式就是二分之一乘以个， ab 乘以个。假如说这个点是 c， 不是 d 乘以个 cd， 结果就等于二分之一，乘以九乘以四，结果等于十八 来。在平面直角坐标系中，已知点 a 是 三二，我们画一个平面直角坐标系 x y 零 a 点是三，二，这里是三，这里是二， 这里是 a 点三二， b 点是三四三四，再往上找到四的点 四，这是 b 点 o a b 是 不是这个可以做底， 这个做底儿，然后这里 o 点去做 ab， 这条线所在的高就是它的垂线，这里是不是它的高， 所以它的高是三，它的底儿是，这段是二，因此它的面积是二分之一乘以二乘以三，结果就应该是三。那么看第二题，已知点 o 零零点 b 一 二，点 a 在 坐标轴上，且三角形 oab 的 面积等于三， 求满足条件的点 a 的 坐标。我们可以先画出一个平面直角坐标系 x 轴 y 轴零，点 b 的 坐标在一二的位置一二， 这是我们点 b 的 坐标。已知点 o 零零点 b 一 二，点 a 在 坐标轴上，三角形 oab 的 面积等于三，求满足条件的点 a 的 坐标。我们先画出这个平面直角坐标系 x y 零，标出点 o 和点 b， 点 b 是 一、 二，这是点 b 的 位置，点 a 在 坐标轴上，所以说点 a 的 坐标要么是在 x 轴上就是 x 零，要么是在外轴上表示零 y， 那 三角形 oab 的 面积等于三。我们先看，当这个点 a 在 x 轴上的时候，假如说点 a 在 这里， 那么它的这个三角形 o a、 b 的 面积是不是就等于 o a 这个底儿，乘以这个 b 的 这个纵坐标，乘以它这个高，乘以二分之一啊，所以就是二分之一。乘以个 o a 的 长度，乘以个 b， 点的纵坐标是二，结果就是 o a 的 长度等于三，所以说 a 点的距离到，所以说点 a 到点 o 的 距离是三。因此点 a 有 两个位置，一个是三，一个是负三这个位置。因此点 a 此时的坐标有两个，一个是 负三零，一个是三零。那我们再看，当我们的呃点 a 在 外轴上的时候，这个坐标是零，外点 a 在 外轴上， 假如说点 a 在 这里，那么三角形 o a、 b 的 面积是不是就等于这个仍然是 o a 的 距离，然后乘以点 b 到外轴的距离，这是一个横坐标，因此我们此时三角形的面积公式是，二分之一乘以 o， a 乘一个一，结果等于二分之一， o， a 等于三，所以我们的 o， a 等于六， o， a 等于六。也就是说，在外轴上，点 a 的 这个位置到点 o 的 距离的这个距离是六，所以说点 a 仍然有两个值，一个是零六，一个是零负六。所以说满足的点 a 的 坐标有四种情况。 好，我们看几道学堂练习题，已知点 a 负一零，点 b 二零，在外轴上还有一个点 c， 我 们把这个点画出来， x 轴外轴，点 a 是 负一零，这是点 a， 点 b 是 二零， 这里是点 b， 在 外轴上有一个点 c， 使得三角形 a、 b、 c 的 面积等于六。我们这假如说点 c 在 这里，三角形的 a、 b、 c 的 面积是不是就等于 a、 b 的 长度加上这个 c 的 这个纵坐标啊？所以三角形面积二分之一乘以 a、 b 的 长度 乘一个 c 的 总坐标 y、 c， 结果等于六，二分之一乘以 ab 的 长度，这里是负一，这里是二，是不是等于三呢？三乘以 y， c 等于六，所以说 y、 c 就 等于 四，因此我们点 c 的 总坐标就是四，所以说点 c 的 坐标就有两个，一个是零四，一个是零负四。 好，我们第二看第二题，解出下图中多边形 a、 b、 c、 d、 e、 f 各个顶点的坐标。这个题简单吧，点 a 在 x 轴上，所以点 a 的 坐标是负二零。点 b 在 外轴上，所以它的坐标就是零。负三。点 c 在 第四项线，它的坐 标是四零。点 e 在 第一项线，它的坐标是三三 点 f 在 外轴上，它的坐标是零。三。看第三题，如图，长方形 b、 c、 d、 e 各边分别平行于 x 轴或 y 轴。物体甲和物体以由点 a、 零、二零出发，这里是点 a 二零出发，沿长方形 b、 c、 d、 e 的 边做环绕运动。 物体假按逆时针方向，逆时针方向以每秒一个单位长度的速度运动物体以按照顺时针方向以每秒两个单位的长度这样运动。 那则两个物体运动后的第二、零二四次相遇的点的坐标是多少？我看这是不是就是我们呃七年级上册所学的那种环形跑道的问题啊？ 我们先来看到他第一次相遇的这个点的位置是多少，他们的他们两个跑过的这个路程和是不是就是这个长方形的周长啊？这个长方形的长是负二到二的这个距离是四，长方形的周长 就等于二乘以个四，加上长加它的宽，它的宽是二，所以就等于二乘以六等于十二是长方形的周长。也是我们的物体甲和物体乙第一次相遇，假如说他们相遇的点在这里，那么甲走过的这个路程是这段，乙走过的路程是这段路程和是不是等于它的周长， 因此第一次相遇所经过的时间就是十二除以个一加二，这是他所经过的时间是四秒，那四秒之后，那四秒的时候，我们的这个甲 四秒的时候，我们的甲移动了四个单位长度，所以说我们的甲走到了哪里？甲从这里走了一个单位长度两个单位长度，三个单位长度四个单位长度。所以说此时他们第一次相遇的点在这里，这是第一次相遇， 然后从这个点出发，我们再看第二次相遇的点在哪里？第二次相遇，甲仍然走了，是四个单位长度，是不是仍然是按这个方向走了四个单位长度？再数四个单位。 我们先把第一次相遇的这个点写出来，第一次相遇的这个点是在负一一这个点。第二次相遇，这个甲再走四个单位长度。 第二次相遇的时候，他们就在了这个点，这个点是负一和负一。第三次相遇，甲再次走四个单位长度一、二、三、四，甲就回到了原点， 甲就回到了他们起始的这个点， a 就是 二零。然后到了第四次他们再相遇的时候，这个甲是不是就又走到了第一次相遇的这个位置？因此他们相遇的点的坐标就是三个数，一个循环。我们的二零二四除以三 等于六百七十四，余上一个二，余上二。所以说我们的第二零二四就会走到这个位置。第二跟第二跟第二次相遇的位置应该是同一个位置，所以说我们第二、零二四次相遇的点的坐标就应该是负一负一，负一负一。 那第四题，四边形 a、 b、 c、 d 所在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度建立以点 b 为圆点哎，点 b 是 圆点， 以 ab 边所在的直线为 x 轴的平面直角坐标系，是不是？这是 x 轴，这是 y 轴。点 b 就是 我们的圆点， 然后写写出此时 abcd 的 坐标，那么点 a 此时的坐标就是一、二、三、四，就是负四零点 b 的 坐标是我们的圆点零、零点 c 的 坐标是一、二，这里是横坐标是二，纵坐标是一、二 二二点 d 的 坐标就是一二，三就是零三，那求出四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。我们这个四边形是不是可以把它分成两个三角形来求？先求三角形 a、 b、 d 的 面积等于等于二分之一，底乘高，二分之一乘一个底是 ab， ab 的 长度是四，乘一个 b、 d 的 长度等于三，结果就等于六。那第二个三角形 b、 c、 d 的 这个面积等于它的底 b、 d， 二分之一乘以三，乘以个 c 点的这个横坐标等于二，结果就等于三。所以说四边形 a、 b、 c、 d 的 面积就是六加三等于九。 我们来看今天学习的内容是用坐标描述简单的几何图形，要会建立坐标系，求出图中点的坐标，然后我们一般会考虑它的一些面积公式，或者是周长公式。 然后我们建立的平面直角坐标系不同的时候，图形上的点的坐标也不同，一定要记准关键点的位置，优先考虑顶点边长去建立直角坐标系，这样比较方便。 我们再利用坐标描述几何图形中最长做的一种题型就是利用平面直角坐标系去求图形中的面积。今天的课到这，这就是我们这节课学习的内容，你掌握了吗？

hello， 亲爱的同学们，欢迎来到关关老师的数学课堂，今天我们来学习九点一点二，用坐标去描述 简单的几何图形哈，那这个结呢，只有一个知识点，非常简单。只有知识点一，就是用坐标去描述我们的简单几何图形，应该怎么做呢？ ok， 那 这种题目我们通常就要进行画图，竖形结合好，画出图形之后再具体题目去具体分析知识点，非常简单。来吧，我们直接上题目吧。好，来看一下哦， 题型一，就是图形跟坐标的一个结合，好，来，我们一起看一下。第一题， 他说已知 a 的 坐标是负一到零，在这 b 的 坐标是五到零，在这 c 呢是负二到负四都给你了。然后问你三角形 a、 b、 c 的 面积是多少？那我三角形的面积会等于什么？三角形 a、 b、 c 的 面积是要等于底乘以高除以二。 那我们在坐标系里面求面积底哈，优先找谁呢？找与坐标轴重合的坐标轴与坐标轴重合， 重合的点哈，与坐标轴重合的线段作为底，与坐标轴重合，或者说跟坐标轴平行的 作为底。那你看我们现在这个三角形 abc， 你 看哦，是不是很明显 ab 在 s 轴上对不对？那我们是不是就以 ab 为底会比较好？ ab 为底的话，那高怎么画呢？高处过第三个点，往这条底的线上做垂直，比如说这个是 h， 我 们的 c， h 数就是高。 ok， 所以 这个三角形面积是不是应该等于二分之一的底数？ ab 乘以高数乘以 c， h 的 长度，对吧？好，那我们来观察一下图形 ab 的 长度等于多少？我们说水平方向的长度哈，水平方向 的长度与 x 有 关，跟那个坐标的横坐标有关系哈，与 x 有 关， 有关。然后呢，用右边减左边算它的长度，也就是大的减小的就可以啦。 那我们现在 a 的 横坐标 x 是 负一， b 的 x 是 五，右边减左边是五，减负一就等于五加一，等于我们的六个单位长度，对吧？好，同样的 c h 的 长度呢？ c h 的 长度很明显数就是 c 到 s 的 距离，我们说反而要看 y 对 不对， y 的 绝对值对吧？说负四的绝对值，那反而数等于四， ok， 那 我们就搞定喽。再回来说，等于二分之一的底数，六高是我们的四，对吧？约分月下二六约三，四出十二，一下就做完了，所以面积等于十二。好，这边给它补充一下数值方向的长度， 那根据刚刚水平方向数可以推出，应该与外有关，对不对？那同样的数要用大小，那数就上面是大的，下面的人是小的，所以数也是上减下，对应的就是大减小了。 ok， 这个同学们可以单独记一下笔记哈，算长度一定要会。好，那我们一起来第二题，请同学们自己做一下吧。来，花十秒钟，倒计时十秒哦， 好，时间到哈，我们一起来看一下，他说 ab 两个点，分别是负四到 a 跟三到 a， 然后过 ab 的 直线跟坐标轴的位置关系，那同学们观察一下这两个点说 y 一 样对不对？那 y 一 样的话，其实是谁跟谁平行啊？ y 一 样说反而跟 s 轴平行。好，那我们来画一下吧，看一下是不是好。 假设我现在是 s 轴，然后这个是 y 轴圆点来标一下点，一个是负四到 a， 那 说明 x 数在负四，一二三四，负四在这，我假设 a 就 在这吗？那负四到 a 对 过来的位置数在这里，这是 a 的 坐标，对不对？ 好，一个是三斗 a， 一 二三三，这是 b 啊， b 的 位置是三，对吧？那这个位置我们就记为三吧。那 a 是 不同样还在这，所以这个点是我们的点 b。 那 你看一下，很明显 ab 干啥了呀？是不跟 s 轴平行了，对不对？跟我们的 s 轴平行了啊，所以，哎，我们的结论是对的，对不对？ 所以同学们可以记住哈，反而要去找对方， y 相同，反而是跟 s 轴平行的，反过来跟 s 轴平行， y 才会相同，对不对？所以这题答案应该选择 a 跟 s 轴平行。 如果用垂直的角度来说呢，就应该要跟 y 轴垂直，跟 s 轴平行反而就会跟 y 轴垂直了，对吧？ 好，行，那我们今天课就到这，非常简单，来两题便是哈。老规矩，同学们可以自行去完成，然后我们一起互动一下哦。 ok， 那 我们今天课就结束喽，拜拜。

七年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们继续来探讨用坐标描述简单的几何图形。今天这节课一起来学习第二个知识点，根据坐标来确定图形。 请同学们读题目，在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来， 零负四，三负五，六零零负一，负六，零负三负五，零负四。 像这个题目，我们先要找到各个点，他在平面直角坐标系中，他在哪里，然后再把各个点依次连接起来，再来确定他是个什么图形 来。我们找到了各个点，找到了点之后，我们呀要把各个点依次连接， 这里要注意，连线的时候一定要把所连的点是按照顺序来连接，这样的话这个图形就出来了，你看看，就是这样一个蝴蝶形的是吧？好考点一， 根据坐标来确定图形根据坐标来确定图形。在如图所示的平面直角坐标是一种描出下列各点，并且将各个点 用线段依次连接起来。零四负一，一负四，一负二，负一，负三负四，零负二，三负四，二负一，四一一一 零四，他什么通过这个坐标的读出来了，你觉得他像什么呢？那么你要在自己的脑海里面建立这样一个平面直角坐标系， 然后再在你的脑海的平面直角坐标系中间找到各个点，然后呢想象把它连起来，那么你就知道他是一个什么图形了。零四， x 坐标点， y 坐标是四， 说明啊，他在 y 轴的正半轴四的位置，是吧？零四， 来看一看零四，那么依次找到了各个点的坐标之后啊，我们把它顺次连接，依次连接，那么就形成了这个五角星的图案 啊，那么通过连接之后，它是个五角星。好，再来看 这一个平面直角坐标系，在平面直角坐标系中描出下列各点，并且将各点呢用线段依次连接起来。一、零，它在 y x 轴的正半轴一的地方。三。零，哦，它是在 x 轴的正半轴三的地方啊，那么它在正半轴， x 轴的正半轴 四和一，他在第一项线第一项线都是正数呀。二，一，他是在第一项线二和三，第一项线一和二，第一项线一和一，第一项线零和一。零和一，那么他在哪里啊？他在 y 轴的正半轴 一和零。你看，又回到了一和零，对吧？看看，这就描出来了，他就像一艘小船啊，大部分点都在第一象限啊， 都在第一项。写好了，知识点三，求直角坐标系中图形的面积。同学们，我们把前面的平面直角坐标系我们学好了之后，我们就可以想象到 找到这个图形，然后根据这个图形的特点，我们可以求出图形它的面积是多少， 请同学们看图。三角形 a、 b、 c 的 顶点坐标分别为， a 是 负三的二，负三的二的话，同学们，他在第几项弦呐？ 哦， x 轴呢？他在负半轴，那么 y 轴呢？他在正半轴，说明他在第二项弦，是吧？ a 在 第二项弦 啊， a 是 负三的二， b 呢，是负一的一，负一的一，那么他在哪里啊？老师们，他在 x 轴的负半轴，是吧？ x 的 负半轴在 y 轴的正半轴啊， 所以说他在第二项线 c 点呢，是负四，负一，他在第三项线，求这个三角形 abc 的 面积，同学们，求三角形 abc 的 面积，你有什么好的方法呢？ 我们可以根据我们小学所学习的什么呀，三角形的面积公式，底乘高除以二，对吧？还有其他方法吗？ 还有其他方法吗？我们是不是还学过在方格中间数方格的方法，是吧？看能够凑成几个这完整的方格，它就是多少。好，我们来探讨探讨 啊。那么我们也可以采用什么割补法，把这个三角形放置在哪里啊？放置在一个正方形里面里面啊，你看，我们可以把这个三角形放置在这样的一个正方形里面，或者长方形里面 啊，长方形里面，然后减去这个其他的三角形啊，在这个长方形中间减去其他的三个 三角形，是不是就剩下了中间的这个大的三角形，我们所求的三角形，对吧？所以说这个是什么割补法，把它割去其他的，就得到了这个所求的 好。看看三乘三哦，这是个正方形哦，边长乘边长三乘三，把放在这个三乘三的正方形中间来求啊。三乘三，减去，减去第一个三角形二分之一，乘一，再乘二 啊，这个二分之一呢，其实就是除以二，大家注意啊，除以二是不是就乘以二分之一，除以一个数就是乘这个数的倒数乘二分之一啊，再减去二分之一乘三，再减去二分之一乘二 乘三，数字等于二分之七，我们就求出来了三角形 abc， 三角形 abc， 它的面积是二分之七 啊，那么在直角坐标系一种，求三角形面积有三种方法。第一个是直接法， 这是我们小学阶段所学习的求三角形的面积，直接求它的面积，用公式直接求是吧？利用三角形的面积公式进行计算。第二个呢是分割法， 把它割开分割，哎，选择恰当的直线，将三角形分成两个便于计算的计算面积的图形。我们可以补乘法， 将三角形的面积化为特殊的四边形，或者是与若干个三角形面积的差啊。 总之要动脑筋，你想要用哪种方法，你就用哪种方法，哪种方法适合于你，你就用那种方法 好求直角坐标系中图形的面积，请老师们看这个题目。 在平面直角坐标系中描出下列各点，并且将各个点用线段依次的连接起来， a 点五，一， b 点二一， c 点二负三，说说你得到的是什么图形，并计算所得图形的面积，怕什么？ a 五和一， b 二和一都是在第一项线是吧？ c 二负三，同学们得到的是什么？得到的是三角形，得到的是三角形。根据我们所看到的，它是一个直角三角形，得到的是个直角三角形， 对吧？直角三角形的话，我们现在就可以求出它的面积了，可以用直接法求啊。用 你看，用 ab 的 长乘 bc 的 长，再除以二，也就是乘二分之一，是不是啊？底乘高除以二呀，底是 ab， 勾呢，是 bc 是 吧？用 ab 的 长乘 bc 的 长，再乘二分之一，是不是就得到了这个三角形的面积 啊？有二分之一乘三乘四，是不是等于六，它的面积就求出来了。这里面有单位啊，因为它是坐标系中间这六个单位好。 在平面直角坐标系中描出下列各点，并且将各点用线段依次的连接起来，得到一个封闭图形，说说你得到的是什么图形，并且计算所得图形的面积。 a 是 负一的二， b 呢是负二的负一， c 呢二负一， d 呢？三二。你看看，这是个平行四边形。平行四边形，这个是一个非常正规的平行四边形， 是吧，我们就可以用它的什么呀，它的底乘高就得到了啊。平行四边形底呢？是几个单位长度啊？ 一个，两个，三个四个单位长度是不是四乘三，对吧？四乘三数就等于十二，所以啊， s 平行四边形 a， b， c、 d， 是 吧，就等于四乘三，等于十二啊， s 是 面积的纵轴。好， 再做做这个题目，在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系， 若点 a 的 坐标为点一，点 b 的 坐标为二和二，则点 c 的 坐标是多少？ 同学们，这个很容易啊，你确定了点 a 的 坐标，点 b 的 坐标，我们就可以得到一个平面直角坐标系啊，是吧？啊，你看看就得到了这个平面直角坐标系，根据 a 点，根据 b 点他们的坐标，我们就可以确定坐标系了 啊。让我们再求出 c 点，再找到 c 点的坐标，再找到 c 点的坐标，那么 c 点的坐标是多少呀？ c 点， c 点的坐标是不是一的三，一的三，是吧？一三， 这个很容易好基础巩固题，三角形 a、 b、 c 中点 b 和点 c 的 位置如图所示，点 a 的 位置正确的是什么？ d， a 的 位置正确的是什么？同学们，我们只要确定平面直角坐标系吗？啊，如果 c 是 九的三， b 是 五的 五，那么根据 b 的是五的五，我们可以确定他的横轴和纵轴，是吧？那么横轴坐标的话，是五，说明 b 点他在第五个啊，横轴上的第五个，那么我们确定他的坐标，先确定他的坐标，是吧？五。那么 a 点的话， a 点跟 b 点它在横轴的同一个坐标上面，横轴的同一个坐标上面，所以说 a 点它也是五， x 坐标是五， y 点的坐标呢？它减去两个，是不是五得三？所以说选择 a 是 吧？ b 点他和 a 点有一个相同的地方，就是 x 轴的坐标都是一样的，都是五，是吧？那么只是 y 轴坐标不同， y 轴坐标呢？ b 在 上面一点，他要减去两个单位， 是不是五减二等于三，所以说 a 就是 五和三啊。好。第二题，长方形 abcd 的 长呢？是 ab 等于五， bc 等于三。请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的 abcd， 它的坐标 ab 的 长。是五的话， bc 的 长，是三的话， ab 的 长， bc 的 长啊，宽的 bc。 同志们，这很好确定呢， 很好确定。你们看看我们，因为三角四边形 abcd， 它的它是个长方形呢。我们呢，要以 d 点为圆点，以 d 点为圆点啊， d 点为圆点 啊， d 就 在 y， a， d 呢在 y 轴上， c， d 呢就在 x 轴上，这样更加合适，更加好，对吧？更加好。那么你也可以不以 d 点 为坐标，是吧？你也可以以 a 点， b 点， c 点都可以啊。如果你以 a 点为原点的话，那么它的坐标就改变了啊。 因为以 d 点为圆点， a， d 在 y 轴上， c， d 在 x 轴上建立平面直角坐标系，如图所示。因为 ab 等于五， bc 等于三，所以说 a 呢，是不是点的三 啊， b 呢是五的三， c 呢是五的零， d 呢就是零的零， b 为圆点就是零的零。同学们啊，要记住了，你可以先画出一个 ab， 一个长方形， ab 等于五， bc 等于三啊。好， 将下列个点用线段依次连接起来。折成的图形是什么？折成的图形是什么啊？ 你看，第一个点是负一的零，负一的零，你要想想它在哪里？它在 x 轴的负半轴，负一的零啊，然后是负顶点五的二，它又是在 x 轴的负半轴，然后是负一的二， 负一的二，负一的二。同志们，最后呢，折成的是什么？折成的是 d。 一个机器人折成的是个机器人，你自己可以在纸上画一画，纸上画一画 好第四题，请你在如图所示的方格纸内描出下列各点， a 一 的一， a 一 得一， b 五得四， c 八得。一定要直尺把几个点顺次连成一个封闭图形。同学们，这是什么？一得一，五得四，八得一，肯定他是个三角形对吧？啊，是个三角形 啊，已经叠接起来了，它是个三角形，那么这个图形是什么？就是三角形。如果每个小方格的边长为一厘米，则这个封闭图形的面积是多少平方厘米啊？ 我们看 a、 c 是 几厘米啊？ a c 呢？数一数 a c， 然后呢？ b 点到 a、 c 的 距离是垂线段，它的高是吧？高的话是不是三呢 啊？一二三四五六七说七乘三等于二十一，二十一乘二分之一是不等于十点五是吧？就是十点五平方厘米。好，底乘高除以二，底乘高乘二分之一啊，除以二就是乘二分之一。 好了，能的提升题，在平面直角坐标是一种，描出下这个点， a， 负二的二 b， 二的 e， c， c 呢，是四的负二， d 呢是负三的负二。描好后，把各个点用线段依次连接起来，最后一个点与第一个点点起来，得到的是个什么图形呢？看看， 得到的是这样一个啊，四边形啊，得到的是一个四边形，他不是长方形，不是正方形，不是平行四边形，不是梯形，他是一个不规则的四边形，我们统称为四边形，明白了吗？ 好，求这个四边形的面积，我们可以采用什么？可以采用这个割补法 是吧？把它放在一个正规的长方形中间，然后减去两个三角形，减去三个三角形的面积，是不是就得到了一个它的面积啊？四乘七是吧？ d、 c 是 不是七个单位 啊？然后它的宽呢？是不是四个档位？一二三四是吧？就得到了个大长方形的面积。大长方形的面积四乘七，减去第一个三角形，一乘四乘二分之一乘一乘四是吧？二分之一乘一乘四，减去第二个 三角形，面积二分之一乘一乘四啊，二分之一乘四，再减去什么？再减去一个一乘二， 一乘二。哦，减去一个一乘二，减去一个长方形的面积是吧？长方形的面积再减去一个二分之一三角形的面积，是不是就得到了这个？剩下来的这个四边形的面积等于十九？那什么这叫做割补法？割补法 好拓展。探索题，如图，在平面直角坐标系中，已知 a 是 负三的三， b 是 负二的二，负二， c 呢？ 这个坐标都给了你，我们只要一字把它连接起来，然后得到了这样这样一个图形啊，求阴影部分的面积，那么我又把它放在一个大的长方形中间，然后减去 a， e， f 是 吧？减去 a， b 什么什么？减去 b， o， d 是 吧？减去 e， 什么 d。 这几个三角形是不是得到了这个阴影部分的面积啊？ 也采用割补的方法，因为它不是个规则图形，不是个规则图形，所以采用割补法更好。 好了，那么我们一起学习了用坐标描述简单的几何图形。其实啊，这样的题目，这样的知识点，我们只要多做题，你就能够熟能生巧。 首先呢，我们学习了建立合适的平面直角坐标系，然后学习了根据坐标来确定图形。最后学习了计算坐标系一种图形的面积，这个要灵活运用。 最后，老师布置几个题目，考考大家，巩固所学的知识。打开书到课的练习，在练习中选三个题目做一做，在配套的练习册中选一版做一做。好了，我们今天这节课啊，就上到这里，同学们再见！

这个故事要从一个棋盘说起，在这个中国象棋的棋盘上有几个一路的子，如果在这里建立一个直角坐标系的话，使得这个帅位于点，负一和负二，马位于点二和负二。问你，这个坐标系该在啥位置呢？ 要想找到坐标系，那咱当然得从这两个点入手了。不难看出，这俩点的纵坐标都是负二，那也就是说，它们同在的这条直线也就是 y 等于负二了， 那这条自然就是 y 等于负一，而这条就是 y 等于零了。等，等， y 等于零，这不就是 x 轴吗？到此，坐标系咱就找到一半了。 接下来咱看看这俩点的横坐标，这里是负一，这里是二，很明显，他俩之间相距了三个单位，那这里的横坐标就是零，这里就是一了。横坐标为零，那这个点所在的直线不就是 x 等于零了吗？换句话来说，这里就是 y 轴， 那这俩直线的交点也就是炮所在的位置就是坐标系的原点了。到此，整个坐标系就找全了。如果我进一步问你，这个兵的坐标是个啥呢？嘿嘿，这个简单，从这到这距离是三，而这边是 x 轴的负半轴，所以这一点的坐标也就是负三。 而从这到这距离就是一，这里是 y 轴的正半轴，那他的坐标当然就是一，因此，这一点的坐标自然就是负三和一了。搞定 好了，就讲这么多，总结一下，解决这类问题的关键就是根据这两个点的坐标确定直角坐标系的位置。之后的计算就很简单了。怎么样，听懂了吧？赶紧动手试试吧！

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们旗下第九张平面直角坐标系，九点一点二，用坐标描述简单的几何图形，我们来看一下本次的一个学习目标。第一个呢，我们要掌握建立适当的直角坐标系，用坐标呢来描述我们简简单的几何图形的一个方法。 第二个呢，能在给定的直角坐标系中呢，写出几何图形各个顶点的一个位置坐标，能够计算出我们坐标的，根据坐标来计算出我们几何图形的面积，这是我们本次的一个学习目标。 好，我们来先来复习一下什么叫做我们的平面直角坐标系呢？当我们在平面内画两条什么呀，互相垂直的，并且呢圆点重合的数轴组成的，平面组成的呢，就是我们的平面直角坐标系。 我们把什么轴称为 x 轴或横轴呢？我们把水平方向的，对吧？我们把什么轴称为外轴或纵轴呢？把竖直方向的，并且呢两坐标交点的，为我们平面直角坐标系的一个什么呀，就是这个点为我们的圆点，这个是我们上节课所学的平面直角坐标系， 并且呢，我们知道这个是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，这个也要知道。好，当这个知道之后呢，我们来看一下， 按照如图所示呢，我们正方形边上为六的一个正方形呢，放在这里，那你如何来建立我们的一个平面直角坐标系，可以写出我们正方形顶点的坐标呢？我们现在已经确定了 ab 为 x 轴，那你的外周如何来画呢？ 是不是你可以以 a d， 为什么呀？ a d 为外周来画出，并且呢，我们以每个小格子。为什么呀？ a、 d 为外周来画出，并且呢，我们标出来，是不是我们就能写出来了？ 比如说 a 点呢，就是零逗号零，那我们 b 点呢，就是多少呢？六逗号零， c 点呢，是六的逗号六， d 点呢是零逗号六，这里是我们第一个。那你再想一下，我们可以 以我们 a、 d 为外周，是不是能以什么呀？能以其他的为外周呢？比如说你以 b、 c 为外周也行吧，或者是以它为外周也行吧。其实都可以啊，但是你在写坐标的时候就要注意了，就可能不一样了，比如说我们以最中间的为外周，那我们来看一下，当我们标出之后呢，我们是不是就能写出我们的 abc 点的一个坐标呀？所以说当你标的，当你画的不同的时候，你所标的点也是不一样的，此时我们 a 点呢，就是负三逗号零， b 点呢就是三逗号零，以及我们 c 点呢，就是三逗号六，以及 d 点呢，是负三逗号六。这里要注意啊。 好，那我们知道啊，一般的呢，我们可以建立我们的直角坐标系，来描述一些简单的几何图形，再用坐标， 在用坐标描述简单几何图形时呢，只需用坐标描述这些图形上的一个关键点的位置，这时呢，建立我们的平面直角坐标系的不同，然后图形上的点的坐标也是不同的， 所以说，为了能够方便写出我们图形上的点的坐标，在建立我们平面直角坐标系时，要考虑图形的一个形状特征。类似的，在我们平面直角坐标系中呢，有简单几何图形的一些关键点的坐标，比如说顶点呀，我就可以确定我们的什么呀图形的 形状。那我们来想一下，比如说我们现在给了你一个长方形的顶点坐标，让你去画出我们这个长方形，是不是我们根据这个几个给出来了？比如说我们先来确定 a 点，一个是负三逗号二，那我们知道应该是在这里， 那第二个呢？是负三逗号负二是不是在这里？同样的三逗号负二以及三逗号二，一个是在我们的三逗号二，是不是先读三，再读二，然后三逗号负二在这里， 那 a、 b、 c、 d 点四个点做出来之后，是不是我们连接好了，然后呢把它们连起来是不是就是我们的一个长方形呀？所以说在我们来画我们图形的时候啊，在我们的平面直角坐标系画图形的时候，一定是确定我们关键点的位置，连接起来就是我们的 形状了，大家可以啊，好，当我们知道这个时候呢，我们来看一下，所以说我们本节课的内容呢，还是比较简单的，那我们来讲一下， 已知 a 点呢为负一逗号零， b 点呢为二逗号零，然后 y 轴上有一个点 c， 使得我们的什么呀？三角形的面积为六，此时呢它的呃 c 点的坐标为多少呢？我们先来确定 a、 b 两点八， a 点在负一逗号零，我可以在这里， b 点呢在二十六号零在这里，那 a、 b 两点之间呢？是不是相距了一个多少呢？相距了一个三，对吧？那面积为六，我们知道啊，面积等于我们的什么呀？底是三乘我们的高，再乘我们的二分之一等于六， 那是不是就是多少呢？三 h 就 等于十二 h 呢，就等于四，那此时呢，你这个高可以是上边是吧，也可以是啥呢？也可以是下边，所以说我有两个答案，一个是零逗号，什么呀？ 四，一个是零逗号负四吧，所以说我们选 d， 这个要能理解啊。好，所以说我们此时正确答案选 d。 再来看一下我们第二道题，来， 长方形的 a、 b、 c、 d， e 的 一个各边的分别位于 x 轴和我们的 y 轴物体甲和乙 同时由 a 出发，那就是甲乙从 a 出发，然后呢，沿我们正方形 b、 c、 d、 e 的 边做我们的环绕运动，也就是说我甲，嗯，环绕运动，也就是这样转， 对吧？然后呢，甲按照逆时针方向以一秒个单位长度运动，物体以呢以顺时针方向呢，以两个单位方向运动，然后则两个物体运动后的第二零二次相遇的坐标点是什么？那我们来讲一下，甲按逆时针，是不是甲往上以往 下，对吧？然后呢，甲是一秒每个单位，然后呢，我们的呃乙呢，是一呃两秒，呃两秒每个单位。那你想一下啊，就是说我现在有一个甲乙，然后在同时在 a 出发，一个是往上运，一个是往下运动， 然后呢，他问你啊，第二零二次相遇，那我们来先来看一下我们第一次相遇，是不是？我们知道啊，两个相遇的话呢，就是他们俩的速度之合一 加二，对吧？然后呢，他们的整个的运动的一个路程是多少呢？这里是我们知道啊，他是一，这里是四，对吧？那我们是不是就知道了，四加一等于 几？四加一等于五，然后再加一呢？等于六，那上半边是六，是不是我们下面边也是六，那同时就是十二十二除以它呢？就是我们运动就是相遇一次的一个时间，也就是四秒。 那你看一下四秒相遇，我们先来看下第一个点，他运动四秒之后相遇的时候，我们来想一下，是不是甲从这里出发，是不是往上走四秒？走四秒走了四个单位，那此时他的位置应该是这里吧？这里应该是 多少呢？是负一逗号一，对不对？那你想一下，从一走到这里，然后再走两个，再走一个，是不是负一逗号一，那你想一下第二次相遇呢？是不是我们再走，走四秒，也就是一二三四，也就是负一，逗号负一， 对吧？这是第二次相遇，第三次相遇呢？是不是再走一二三四，是不是也就是回来了？二，逗号零，那你同样的再走呢？是不是他一直来做这个循环呀？ 当他做这个循环的时候，那你想一下，二零二次是几次呀？也就二零二四除以我们的三，也就是最后算完了，就等于三，呃 呃，三七二十一，三六一十八，然后呢等于二十二，三七二十一，然后呢等于十四。我们知道啊，三四一十二，是不是余了一个十二，然后余了一个二，那是不是我就说完完整整的走了六百七十四次的一个循环，然后呢再走两个，从 再走两个，是不是从它再走到它也就是两个？那我们正确答案应该是负一逗号一，对吧？这道题大家一定要能弄懂啊，一定要能弄懂。好，那我们再来看下我们第三道题啊，我们说了，如图，已知我们 a、 b， c 呢？ a、 d 垂直于 b， c， a、 d 等于四，然后 b、 c 等于 b， d 等于 c， b， d 等于 c， d 等于四，让你建立我们的平面直角坐标系，然后写出我们的 abcd 点的一个坐标。 那是不是我们以 d 点为圆点，以 a、 d 为 y 轴，以 b、 c 为 x 轴，此时建立是最好的？好，那我们也能是什么呀？也能以 b、 c 为 x 轴，以我们的 b 点 为圆点，然后画我们的垂线，然后写出我们的 y 轴就可以了。那此时的他的坐标呢？我们知道啊， a 为三多号三，那我们知道 b 是 零，多号零，以及 c 呢？就是六多号零，大家要知道啊， c 点为六多号零，这里应该是写错了啊， 好，这里应该是谁啊？是 a 点为三度号啊，这里应该是谁？ d 点为我们的三度号零，大家要明白。好，大家建立的坐标上不一样的，所以说我们写出来也不一样，有的同学可能以这样，然后呢？以这样来建立，呃， 以，以我们的什么呀？以我们的 bc 为横轴，以我们的 a、 d 为纵轴，此时也能建立，也能写出我们的坐标， 大家要适当的位置来建立就可以了。好，那我们来总结一下我们本节课的一个内容，就是用我们的平面直角，用我们的坐标描述简单的几何图形。然后呢，我们知道啊， 建立我们坐标系，求我们图形中的点的坐标的时候，一定是要什么呀？根据我们的不同的位置，然后建立不同的坐标系，但是我们要知道，我们要在我们关键的位置建立我们的直角坐标系，优先考虑我们的顶点、边长等建立我们的直角坐标系。 第二个呢就是我们求我们平面直角坐标系图形的一个面积，大家要会求知道它的距离。好，那我们这节课呢就上到这里，我们下节课再见。

从高空俯瞰我们生活或熟悉的城市，你是不是很容易发现那些地标建筑？这是首都北京的天坛公园，可以把七年殿俯瞰成一个圆形。那么在平面图上，能用坐标标记出它的位置吗？这是水立方，可以把它看成一个正方形。 那么通过标记正方形的四个点，是不是可以画出它的形状呢？鸟巢可以看成是椭圆形，这样的图形要标记几个点呢？ 央视大楼，这座造型前卫、结构极具辨识度的现代建筑，在严谨而理性的坐标器世界里，是不是同样能被精准描绘、清晰勾画呢？ 你的城市如果用坐标来描述，会是什么样子？从点到面，从简单到复杂，坐标系让我们的世界数字化这节课让我们一起探索。

今天来认识一下将 x 坐标增加与将 y 坐标增加这两个模块，它们都在运动分类中。 将 x 坐标增加这个模块可以控制角色在舞台上从当前位置沿着 x 的 轴方向移动，而不改变 y 轴方向的坐标。 输入框中输入的数值的绝对值即为角色移动的距离。正负为移动的方向。当输入为零时，角色 x 的 方向并不移动。当输入为正数时，角色会沿着 x 轴的正方向移动，也即向右移动。输入为负值时，角色会向 x 轴的负方向移动，也就是向左移动。 当使用这个模块改变角色的位置时，并不会改变角色面向的方向。同样，将外坐标增加，这个模块可以控制角色在舞台上从当前位置沿着外轴方向瞬间移动，而 x 轴方向不移动。 同样，我们输入零时，角色在外轴方向并不移动。当输入为正数时，角色会沿着外轴的正方向移动。输入为负数时，角色会向外轴的负方向以及向下移动。而且我们都知道，在平面中任何物体的移动都可以将它分解为 x 轴方向与外轴方向的移动。 所以当这两个模块结合在一起时，就可以控制角色在舞台上以我们想要的方式任意的移动。希望今天的视频能给你有所帮助，感谢大家观看我们下个视频，再见！拜拜！

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天来学习用坐标表示平移的题型讲解。 我们先来回顾一下已经学过的知识。点一，平面直角坐标系中点的平移。在平面直角坐标系中，将点 x， y 向右或者向左平移 a 个单位长度，那么我们就可以得到对应的点 向左或者是向右平移的话，我们改变的是它的横坐标，而非纵坐标，纵坐标保持不变，所以说我们得到的对应点就是 x 加 a y 或者是 x 减 a y， 那 如果将点 x， y 向上或向下平移 b 的 单位长度，我们就可以得到对应的点为 x 逗号 y 加 b 或者 x 逗号 y 减 b， 向上或向下平移，我们改变的是纵坐标，横坐标保持不变。 下面是我们图形的平移和各点坐标变化的关系。一般的在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加或者减去一个正数 a， 相应的新图形，就可以看作把原图形向右或者是向左平移的 a 个单位长度得到的。 那如果我们把各个点的纵坐标都加或者是减去一个正数相应的新图形，我们就可以看着把原图形向上或者是向下平移 a 个单位长度得到的。所以我们图形的平移和点的平移 其实是一样的，点的平移是横纵坐标的变化，图形的平移其实就是它图形上各个点的平移。 好，下面我们来看相关的细节讲解。第一题，在平面直角坐标系中，将点 m n 先向右平移两个单位长度，向右平移改变的是它的横坐标 m 加二， 再向上平移一个单位长度 m 加二之后 n 加一，这是它移动之后得到点的坐标。所以说答案选 d。 我 们看第二题。如图所示，在平面直角坐标系中，三角形 abc 位于第一象限，点 a 的 坐标是四、三， 也就是说一个小格代表一把三角形 a、 b、 c 向左平移六个单位长度，得到三角形 a、 e、 b e、 c e， 则 b e 的 坐标是 b e 的 坐标，那不就是负三 e 吗？所以答案选 c。 好，我们看第三题。欲将某图形的各顶点的横坐标保持不变，横坐标保持不变，纵坐标减去三。纵坐标改变的是我们的上下平移，那么就是将该图形 减，我们就是向下平移，也就是将该图形向下平移三个单位长度。答案选 d。 我 们看第四题。在平面直角坐标系 x、 o、 y 中，线段 ab 的 两个端点分别为 a 点的坐标是负一负一， b 点的坐标是一、二 平移线段 ab 得到线段 a 撇 b 撇，已知点 a 的 对应点 a 撇的坐标为三负一， a 到了 a 撇的位置，坐标由负一负一，到了三负一，说明他的重坐标没有变化，横坐标由负一变成了三，也就是加四加四，就是向右平移了四个单位，是不是 向右平移四个单位？那也就是说整个线段向右平移四个单位，那么点 b 撇的坐标也就是从点 b 向右平移四个单位。一加四二，是不是这样一个点？所以答案选 b 好。第五题，在平面直角坐标系中，把点 a 负三负五，向右平移五个单位，得到点 b， 则点 b 位于第几象限。 那我们看一下点 b 的 坐标向右平移 x 加五，负三加五五，这是我们点 b 的 坐标，结果就是二五负五，这里写错了，二负五。所以说我们的点 b 是 不是位于第四象限？ 好，第六题如图所示，已知三角形 a、 b、 c 点 c 在 外轴上， c 在 外轴上，所以说 c 点的坐标就是零 c， 且坐标为零六。哦，所以说 c 的 坐标是零六。在直线 ab 上有一个点 m， ab 上有个点 m， 它的坐标为负三点五六。将三角形啊，那既然是负三点五六，它就跟 c 是 在同一条水平线上，所以说我们的 m 应该是在这 将三角形 a、 b、 c 向右平移，得到三角形 a 撇、 b 撇 c 撇。若 a 撇 b 撇经过点 c， 则点 c 的 坐标是多少， 那其实也就是让我们来看平移了多少个单位，是不是平移了多少个单位。你看 m 点的坐标是负三点五六。如果说我把整个图形向右平移， a 撇 b 撇，就是 ab 往右平移的这个点，它在这个它这条线上唯一能够平移之后跟 y 轴有交点的。这个交点不就是我们的 m 移到这个位置吗？因为我们的 m 和 c 在 同一条线上，我把整个三角形往右移的时候，只有 m 点 m 会走到 c 的 这个位置， 是不是所以说它平移了几个位置呢？平移之后，我们的 m 走到了 c， 走到了 c 的 位置，走到 c 的 位置，那么 m 原来的横坐标是负三点五，它走到了零的位置，那也就是向右平移了三点五个单位。 向右平移了三点五个单位，那么我们的 c 点也是向右平移了三点五个单位，所以说 c 撇的坐标就是三点五六。 好，第七题，如图所示，每个小方格的单位长度为一，在平面直角坐标系中有一个三角形 a、 b、 c， 且三个顶点都在格点上，点 a 的 坐标为负一、三， 同样的，我们可以看出来 b、 c 的 坐标，对吧？点 b 的 坐标为负二零，点 c 的 坐标为负三、二，好，有没有用？我们先放在这 第一问，将三角形 a、 b、 c 先向下平移四个单位长度，再向右平移三个单位长度后，得到三角形 a、 e、 b、 e、 c， 写出 a、 e、 b、 e、 c 的 坐标，并划出三角形 a、 e、 b、 e、 c。 好， 我们也就是把三角形先向下平移，再向右平移，也就是把它的各个点先向下平移，再向右平移。我们先看点 a， 点 a， 先向下平移四个单位长度，走到这个位置，然后他再向右平移三个单位长度，走到这个位置，这个位置就是我们的 a 一， 他的坐标是 二负一。然后我们再来看点 b， 同样的，点 b， 先向下平移四个单位，一、二、三、四，走到这里，再向右平移三个单位走到这里，所以我们 b 一 的位置就是一负四。 然后我们再来看 c、 c 点，先向下平移四个单位，再向右平移三个单位，就走到了这个竖轴的呃，那个外轴的位置。所以说我们 c 一 在这 c 一 的坐标就是零负二。 好，这就是我们 a 一、 b 一、 c 一 的坐标，然后它让我们画出三角形 a 一、 b 一、 c 一， 那不就是这个样子吗？红色的线，这个是不是？好。第二问，让我们求出三角形 a 一、 b 一、 c 一 的面积。 我们知道三角形面积求法是用割补法，那如果说我们把这个三角形进行分割，这样分割一道，那这个三角形 它的这个底边我们是不知道它的长度的，只知道这个底，这个底边的长度也不知道，这个底边的长度也不知道。所以说我们的分割的方法不行，那我们得用什么？那得用我们的补法把它补到一个大的图形里面，补到哪个大的图形就补到我们这个 这个大的矩形里边，补到这个大的矩形，再减去这个小三角形，减去这个小三角形，减去这个小三角形的面积。是不是？那么第二问的这个面积，就是先看大矩形的面积是二乘以三，然后减去第一个小 三角形的面积，是二分之一乘以一乘以二，再减去二分之一乘以一乘以二，再减去二分之一乘以一乘以三，分别减去这三个小三角形的面积，结果我们算一下就等于二分之五。好，这个大家自己看下去算就行了，这就是我们三角形 a 一、 b 一、 c 一 的面积。 我们看第三问，点 m、 x、 y 在 三角形 abc 的 边上，按照一中的步骤平移，之后点 m 的 对应点 m 一 的坐标为多少？ 那我们 m 点的坐标到达了 m 一， 不也是先向下平移四个，再向右平移三个吗？所以说 m 一 的坐标就是 x 加三和 y 减四，这是不是我们 m 一 的坐标？ 好，我们看第八题，如图所示，在平面直角坐标系中，点 a、 b 的 坐标分别为负一零和三零，这里是负一零，这里是三零线。同时将点 a、 b 分 别向上平移两个单位，长度 向上平移两个单位，再向右平移两个单位，分别得到点 a、 b 的 对应点和 c、 d， 那 么 c、 d 的 位置我们是不是就能表示出来？看，点 a 先向上平移，那么就是它的 y 轴加二，然后再向右平移， x 轴加一，所以点 c 的 坐标就是 零二，点 d 的 坐标就是四二。好，我们看第一问，求点 c、 d 的 坐标以及四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。 c、 d 的 坐标我们已经写出来了这个四边形的这个面积，那我们是不是可以把这个小三角形移到这边来？ 移到这边来之后，我们这个四边形的面积是不是就转化成了这个矩形的面积？这个矩形的长是四，这边是三，这个是一，所以长是四，高是二，所以说这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积就是四，乘以二等于八。好，我们看第二问，若在外轴上是否存在一个点 p， 外轴上是否有一个点 p 连接 p a， 我 把这个图形先擦一擦， 连接 p a 和 p b， 使得三角形 p a、 b 的 面积等于这个四边形的面积。若 存在，后面没有，我们这个图形给压到了。若存在，让我们求出点 p 的 坐标，若不存在，让我们说明理由，那我们就先假设点 p 存在呗。假设，我们就先设一下，设 p， 点的坐标为零 p， p 点的坐标为零 p， 那 么这个三角形 p a、 b 的 面积是不是就是 ab 的 这个长度？四乘一个它的这个高，然后再乘个二分之一啊？所以 s 三角形 p、 a、 b， 它的面积就等于二分之一乘以四乘以这个 p 的 长度， 我得取绝对值，因为这个点 p 有 可能出现在他的负半轴是不是好？二分之一乘以四，乘以 p 就 等于二倍的绝对值 p， 他的这个大小等于第一问求出来的这个四边形面积等于八，是不是？所以二倍的绝对值 p 等于八， 所以说绝对值 p 等于四，也就是我们的 p 应该等于正负四。因此在外角上存在一个点 p， 使得三角形 p a、 b 的 面积与这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积是相等的。而且点 p 的 坐标有两个，一个是零四，一个是 零负四。好了，我们这节课的内容到这里就结束了，同学们再见。

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天继续来学习人教版七年级下册数学第十八节。用坐标来表示平移 今天的学习目标是掌握用坐标表示点的平移规律，了解并掌握用坐标表示图形平移的规律与方法。 我们把一个图形平移之后，就会发现它所对应的点的位置发生也发生了相应的变化。那我们怎样去描述这些点发生的变化呢？ 那我们就借助平面直角坐标系。在平面直角坐标系中，我有一个初十点是 a， 是 负二和负三。我如果说向右平移五个单位长度是不是就走到了 a 一 这一点，此时的坐标就应该是三和负三。 如果我们把 a 点向左平移两个单位长度是不是就到达了 a 二这一点，他此时的坐标就应该是负四、负三。 如果把我们的初十点 a 继续向上平移四个单位长度就得到这个点 a 三。此时的此时的坐标就应该是负二和一，向下平移两个单位长度就得到了负五。 向下平移两，向下平移两个单位长度，我们就得到了负二、负五这个点 a 四。我们 观察上述坐标的变化，我们会发现一些规律，我们向右平移了五个单位长度的时候，我们的这个纵坐标没有发生改变， 向左平移的时候，纵坐标也没有发生改变，所以我们左右平移不改变纵坐标。而再看我们的上下平移是不是横坐标没有改变，所以我们的上下平移的时候不改变他的横坐标。 因此，如果说我们把这个具体的数值用字母来代替的话，就是向右平移 a 个单位长度，点的位置就应该是 x 加 a， y， 那 向左平移 a 个单位长度，所得到的点的坐标就是 x 减 a， y， 因为我们的纵坐标 y 要保持不变，只对它的横坐标进行右加左减， 那向上平移 be 单位长度，我们就能得到点的坐标是 x y 加 b， x 不 x 不 变，那向下平移 be 单位长度的话，我们得到点的坐标就是 x， y 减 d， 上加下减， 所以我们就可以总结出点的平移规律。在坐标系内，左右平移的点的坐标规律就是纵坐标不变，横坐标进行右加左减， 上下平移点的坐标规律就是横坐标不变，纵坐标进行上加下减。来我们看这道例题，在平面直角坐标系中点 a 负三，负五，向上平移四个单位长度，向上平移就是横坐标不变，纵坐标加四， 所以此时我们得到点的坐标就是负三，负五加四，那再向左平移三个单位长度，向左平移就是纵坐标不变，横坐标减三个单位长度，所以此时减点的坐标就是负三减三和负一，因此答案就应该选 c。 我 们看第二个题，在平面直角坐标系中点 a 向上平移三个单位长度 x 保持不变， y， a 加上三，此时点的坐标是一一 再向左平移两个单位长度，纵坐标不变，横坐标减二，就等于一减二一，所以此时 a 撇的坐标就是负一。一答案选 a。 那 如果刚才我们看的是点的平移，如果说我们是一个图形在进行平移呢？正方形 a、 b、 c、 d 四个顶点，如图所示。在这里 将正方形 a、 b、 c、 d 向下平移七个单位长度，再向右平移八个单位长度。画出平移后的图形，先向下平移七个单位长度，然后再向右平移八个单位长度，我们就得到了一个正方形 e、 f， 我 们就得到一个正方形 e、 f、 g、 h。 那 说出平移后各点的坐标， 点 e， 此时的坐标就是六负三， h 的 坐标就是七负三， f 的 坐标是六负四，点 g 的 坐标是七负四。 那如果说我们直接平移正方形 abcd， 使点 a 移动到点 e 的 位置，是不是这样平移过来？这样移过来的话，我们正方形的位置是不是也不发生变化呀？ 那这样平移过来的话，我们就会发现 abcd 移过来之后与我们的 e、 f、 g、 h 会完全重合，所以说此时我们就会得到和前面正方形位置相同的一个正方形，那因此我们就可以把图形平移转化为我们点的平移。 所以我们如果说一个图形向左或向右平移 a 个单位长度，也就是我们图形上所有的点都在向左或者向右平移了 a 个单位长度，让它的横坐标加减 a。 如果一个图形如果一个图形向上或向下平移 b 的 单位长度，也就是说这个图形上所有的点的纵坐标进行加减 b。 在平面直角坐标系中，线段 a、 b 平移后得到线段 a 撇、 b 撇点。 a 的 坐标是二一，我们可以画出这个点的坐标 x、 y， a 点的坐标是二一，这里这是 a 点 a 撇的坐标是负二负三，一二负二 负三，这是 a 撇的对应点点 b 负二、三点 b 是 负二、三点 b， 在 这里，它对应点的坐标是不是要把这个 a、 b 这个点的位置跟这个位置是一样的呀？ 他们俩就应该是一个平行的关系，平行且相同的关系。所以说点 a 移动到了这个位置，点 b 是 不是要用同样的方式移动到这个位置啊？我们看点 a 怎样去移动的？点 a 是 不是点 a 的 横坐标由二到了负二，就是减四， 它的重坐标由一到负三，也就是减四，所以说它移动的点就是向下平移四个单位，向左平移四个单位，因此我们 b 点的坐标平移后，对应的位置也是减四，减四，就得到负六和负一，因此答案选 c。 好，我们看几道随堂练习题。第一题，在平面直角坐标系中，将点二一向下平移三个单位长度，也就是我们的纵坐标减三，得到了二二、负二。这个点二负二，横坐标为正，纵坐标为负，此时我们的点应该位于第四象限。 第二题，将三角形 a、 b、 c 各顶点的横坐标分别减去三重坐标不变，得到的三角形 a、 e、 b、 c 相应点相应顶点的坐标，则三角形 a、 e、 b、 c。 可以 看成，将三角形横坐标减去三重坐标不变，那不就是向左平移了吗？ 向左平移三个单位长度。答案选 a。 我 们看第三题，如图，点 ab 的 坐标分别为一、零和零二，若将线段 ab 平移至 a 一、 b 一 的位置，则 a 减 b 的 位置是多少， 则 a 减 b 的 值是多少？我们看 a 点，这样平移过来之后， a 点平移到 a 一， 这个点是横坐标发生了一个一到三的变化，也就是要向右平移了两个单位长度，但是纵坐标是向上平移了 b 个单位长度， 那这个 b 等于几呢？我们看 b 点 b 点从 b 移到了 b 一 的位置，它的纵坐标有二到了四，是不是向上平移了两个单位长度， 所以说 b 等于二，那 a 呢？由零到达了 a 的 位置，不就是向右增加两个位置吗？所以说 a 也等于二，因此我们的 a 减 b 的 值等于零。 我们看第四题。在平面直角坐标系中，已知点 m 将点 m 向左平移三个单位长度后，落在 y 轴上向左平移，也就是 y 不 变， x 减三， 三， a 减九，再减去三，落在了外轴上，外轴上横坐标等于零。因此我们就可以解得 a 应该等于四，所以点 m 的 坐标应该是三负三。 好，我们看第五题。如图，三角形 o、 a、 b 的 顶点 a、 b 的 坐标分别为三五和四零，这里是四零。 把三角形 o、 a、 b 沿 x 轴向右平移，得到三角形 c、 d、 e。 若 c、 b 等于一， 如果这里等于一，那么点 d 的 坐标我们向右平移了几个单位，是不是要找一找？我们平移了 o 点到了 c 点的位置，这里等于一，整体等于四，那 c 点的位置是不是三呢？所以说我们整体是向右平移了三个单位长度，那如果说， 那此时我们的点 d 是 有点 a 向右平移三个单位长度得到的，所以说我们点 d 的 坐标就是六、五横坐标加三，纵坐标不变。 我们看第六题，如图，已知点 a 是 负四负一，点 b 是 负五负四，点 c 是 负一负三。 三角形 a、 b、 c 经过平移得到三角形 a、 b、 c。 对 于三角形 a、 b、 c 中任意点平移后对应的点 p 一 也是向右平移， 任意点对应的点就是 p、 e、 x 一 加五， y 加三，那是不是就说明我们的三角形是向右平移了五个单位，向上平移了三个单位呀？ 那写出此时 a 一、 b 一 顶点的坐标，所以点 a 的 坐标就是由负四加五等于一，负一加三等于二，得到了 a 一 的坐标，点 b 一 的坐标负五加五等于零，负四加三等于负一点 b 一 的坐标是零，负一 c 点的坐标 负一加五等于四，负三加三等于零，这是 c 一 点的坐标。那画出平移后，三角形 a 一、 b 一 c， 找到他们三个点的坐标，是不是就连线就可以了？ a 点是一、二，这是 a 点， b 点是零，负一，这是 b 点， c 点是四零，这是 c 点。连接这三个线是不是就可以了？ 好， c 好。 第三题，求 c 二型 abc 的 面积，那我们要求 c 二型 abc 的 面积，但是我们不知道 abbc 和 ac 的 长度，那怎么办？我们要求面积就有两种方法，一种是分割法，一种是凑整法。 那这里我们把它分割成这个三角形。两个三角形之后，这个点的位置我们也不知道，所以这个长度也不知道，因此不能用这种方法，那我们就只能用凑整，也就是说，看三角形 a、 b、 c 在 哪个大大的这个图形里面，我们是不是可以用这个 长方形的面积减去这个三角形面积，减去这个三角形面积，减去这个三角形面积。长方形的面积就是长乘以宽在这个长方形里面，所以长方形的面积是三乘以四，长乘宽，然后减去二分之一，乘以第一个三角形的面积，二分之一，乘以它的底是一，它的高是三， 再减去这个三角形的面积，它的底是二，它的高是三，所以等于二分之一。乘以二乘以三，再减去这个三角形的面积， 减去二分之一，乘以个底是一，它的高是四，所以就等于十二。减去二分之三，减去三，减去二，结果就应该等于二分之十一。 来我们看一下这节课的知识思维导图，用坐标表示平移，其中有点的平移，点的平移就是向 x 轴平移，或者向外轴平移，就是纵坐标不变，横坐标右加左减。向外轴平移，就是横坐标不变，纵坐标上加下减。 那关于我们图形的平移，我们也是横坐标进行相加减，纵坐标进行相加减，我们可以把图形的平移转化成点的平移。好了，这就是我们这节课学习的知识点，你掌握了吗？

用坐标来描述简单的几何图形，这个应该怎么操作呢？我们都知道很多图形它都是写出几个关键点就可以了，比如说这里有一个三角形，对不对？ 这个三角形 a、 b、 c， 我 们就说这个三角形是 a、 b、 c， 对 不对？或者说我们要说一个平行四边形，假如说说平行四边形 a、 b、 c、 d， 你 看是不是都有几个点来构成的，所以我们可以用点去描述一个几何图形，对吧？ 好，来看到这个正方形 a、 b、 c、 d， 它的边长如果是六，那么以 a 为圆点， a 为圆点，那么也就说这个是 x 轴，那这一条就是 y 轴。好，我们把这它这里没有把 y 轴画出来，我们把 y 轴画出来， 这条就是 y 轴。好了，那么这条是 y 轴的话呢？那么写出正方形的顶点 a、 b、 c、 d 这四个坐标。好，那我们就标一下喽。点 a 的 话，它是在圆点的，所以它肯定就是零。零， 由于它的边长是六，所以 b 点的坐标横坐标就是六，重坐标就是零， 然后这个 o、 d 的 a、 d 的 长度也是六，由于它在 y 轴上，所以它就是零六，然后呢，这个正方形这里是六，这里也是六，那么这个 c 点的坐标就是六，六 就 ok 了，对吧？好，那么请另外建一个直角坐标系，这个时候正方形的 a、 b、 c、 d 坐标又是什么呢？与同学怎么样交流一下。那么如果你换一个坐标系啊，那么它这些点呢？它肯定就不一样。 下面是这样说的，它如果以 a、 b 这条线段的中点为圆点，假如说它的中圆点在这里，哎，这个是 x 轴，这个是 y 轴，那么 a 点的话，由于这里是三，它在负半轴，所以就是负三零。 b 点在正半轴，这里是三，这就是三零，那么这个 c 点的坐标就是三六，这个 d 点的坐标就是负三六，它会发生改变， 那这个的话我就不单独画出来了，刚给大家用红色的这个线稍微描述了一下，对吧？好，这样的话他这几个顶点就会发生变化。来看一下他的总结，他一般的 可以建立平面直角坐标系，来描述一些简单的几何图形，在用坐标描述简单几何图形的时候，只需要 用坐标描述这些几何图形上关键点的位置就可以了，这个时候建立平面直角坐标系的不同，那么他的坐标也会不同。为了方便咱们写出 这个图形上点的坐标，在建立直角坐标系的时候，一定要考虑这些图形的什么形状以及特征，知道吧？啊？ 来看到例题，二，在平面直角坐标系当中，长方形 abcd 的 顶点坐标分别是 a、 负三、二 b， 负三、负二、 c 三，负二、 d， 三二，叫我们画出长方形 abcd 啊，那么我们这里就要画一个直角坐标系吧，对不对啊？因为他在这里的坐标都是三二，所以我们至少要都画出三来，对不对？好，这里是零，这里是一，这里是二，这里是三，这里画的不是特别标准啊，大家如果有尺子的话，用尺子画一下， 负一，负二、负三，一二三，负一，负二、负三。好了，那么先看 a 点， a 点的坐标是负三二，找到负三， 再找到这个二，你延长过来，找到它们的焦点，这个点就是 a 点，负三二，这个就是 a 点，再看到 b 点， b 点是负三负二，那找到负三，找到负二，延长过来， 这个就是 b 点， b 点是负三负二，然后再找 c 点， c 点是三负二，三找到负二，找到延长过来， 这里就是 c 点。三负二，再来看到 d 点是三二找到三，找到二， 好，这个就是 d 点。三二教我们把这个长方形画出来，那么由于我们现在指标了点，所以你想要画出长方形，你还要把它连起来，知道吗？ a， b 啊， b， c， c， d， a， d 连起来好了，那么这样的话，咱们就把这个长方形给画出来了，当然了， 书上也是有标准答案的，大家可以看一下。呐呐，他的图就在这个位置啊，跟我是一样的 数学家卡蒂尔，这个人老厉害了，他在十七世纪引入了坐标系之后，用方程 来表示曲线啊，拍了代数方法，用代数方法解决几何问题的先和，那从那以后数学的面貌就发生了划时代的变化，以后这个代数和几何两大领域就更加紧密地联系在一起了。 方格纸上有 a、 b 两个点，那么如果以点 b 为圆点建立直角坐标系， 那么则点 a 的 坐标是负二一。如果你以点 a 为圆点建立直角坐标系的话，那么点 b 的 坐标是多少呢？那其实如果你懂得规律的话，很快就能求出来了，但如果你不知道规律的话，那你就跟着我一起把这个规律找出来。好吧， 来，我们看一下，这里，我画一个直角坐标系，现在它的圆点呢？我就把它第一次它是把谁当圆点？它是以点 b 为圆点，所以第一次咱们这个圆点就当做点 b 点， b 是 在这里的， ok， 然后点 a 的 位置是负二一，那我们找到负二，假如说这里是负一，这里是负二，那么这里呢？就是一对不对？好，那么延长过来这一段， 这一段，这一段就是 a 点啊，焦点就是 a 点， a 点的坐标是负二一，好了，那我们就标好了，对不对？那如果反过来呢？好了，那我们把这个图复制一 遍，复制一个出来，我现在把这个直角坐标系啊，单独 把这个中点交在那个位置，好看，中间这个地方擦掉，这个是 ab 两点还原一下。好，现在呢，你把这个圆点放在 a 点这个位置好了，反过来了， 那从 a 点到 b 点水平过去，是不是两个单位？所以这里是一，这里就是二，往下的话，一个单位，这里就是负一，所以 b 点的坐标 对呢，就是二负一，对不对？好了，那 b 点就找到了，发现这个规律了吗？这个应该不用我多说对不对？大家记住就好了。好吧，所以这个呢，选 b， 这里有一个直角三角形，它叫我们画直角坐标系之后，把这几个点标出来。好，我们来看一下角， c 等于九十度，这里已经标好了， a， c 等于三， a， c 这条边等于三， b， c 等于四， b， c 这条边等于四啊，叫我们建立平面直角坐标系，写出三角形 abc 这三个顶点的坐标。其实找直角作为圆点是最好的，所以我们这里最好是以 c 为圆心啊， c 为圆点， 刚说错了啊，不是圆心，是圆点，这个就是 x 轴，那这个竖下来的就是 y 轴， 那么这个 a 点的坐标呢？就是三零，对吧？因为横的是三，然后呢，它这个 a 点又是在 x 轴上的，因为它重坐标对的是零， 咱们应该先把 c 点标一下， c 点就是原点，就是零零，对吧？那 b 点的坐标就是零四， 那因为横坐标对应的是零，重坐标，这里是四，所以零四，所以 a 点坐标三零， b 点坐标零四， c 点坐标零零。 ok 了，那么就表示出来了。 如图，这是一个角钢的横截面，建立适当的平面直角坐标系，然后用坐标来表示角钢各顶点的位置， 并且图中呢，小正方形的边长代表十厘米的长度，那我们应该怎么建立呢？这个答案就不唯一了，有很多啊，你可以以 a 为圆点， 你也可以以这个 c 为圆点，对吧？你也可以以这个 e 为圆点，它的方法有很多，那我们这里呢，就取一个最简单的，对吧？我们就取这里吧。啊，这里为圆点 呐，这个是 x 轴，这个是 y 轴， 这个点就是 o 点呐，这个就是 y 轴。那么去表示的话呢，你如果想表示的简单一点，你这里 就把这个小正方形边长为十厘米的长度，你就因为这里一段一段就是十厘米，那么你不想表示那么大，你就把这里的直角坐标系的一个单位长度把它当做十厘米，所以你要把这句话写出来，什么话呢？就是 这个取一个单位长度， 取一个单位长度代表 长度十厘米。好，你这样缩了一下之后，后面的再去表示点就好表示多了，那看，这里是一，这里是二，这里是三，这里是四啊，这就是极限了。 然后这里是一，这里是二，这里是三，这里是四。好了，那我就直接在图上表示这些点了。看 a 点，这里是一，这里是二，所以 a 点的坐标是一二。 f 点横坐标是一，重坐标是三，所以就是一三。 这个 b 点横坐标是三，重坐标是二，所以是三二。 c 点横坐标是三，重坐标是零，所以是三零。 a 点坐标横坐标是四，重坐标是零，所以是四零。 一点坐标横坐标是四，重，坐标是三，所以是四三， 对吧？所以我们就把它写出来， a 点坐标一二， b 点坐标三二， c 点坐标三零， d 点坐标四零。 然后 e 点坐标四三， f 点坐标一三就可以了，好吧？