数学基础性作业七年级下册76页

七年级下学期第二十九天十二分钟搞定学校作业。二十一点三十分开始属于自己的娱乐时间三个小时，期间完成了十项任务， 基础计算一页错一课时计算一页全对，数学实验班一页全对。典型题十道 全对，文言文一篇全对，古诗词一篇全对，阅读理解一篇扣两分。基础小卷一错一单词幺零三零错二，英语综合卷一套错一。周末激励计划比较成功，自己压缩了很多不必要时间。

同一平面内不重合的两条直线的一个位置关系是什么呢？那么直线的一个位置关系除了相交呢，就是平行，所以说不重合两条直线就是平行或者是相交。那么这里的第一题呢，我们选择 c 选项。 好，这道题呢，对大家来说应该是没有什么问题的，我们继续往下第二题，如图，在长方体 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g、 h 中，与 bc 平行的棱是什么？那我们来看一下 bc 呢，是这条边对不对？ bc 是 这条边，那么与它平行的边呢？就对边， 是不是 ad， f、 g、 e、 h 它们是不是都是平行的呀？对不对？所以说这里的答案呢，就是 ad h 和 f g。 第三题，如图，已知角 a o b， 即角 a o b 内部的一点 p， 那 么第一问是让我们过点 p 画这个直线 p c 平行于 o a， 交 o b 于点 c。 那 么如果有 三角板的话，我们会怎么选择，怎么画呢？我会选择把三角尺的直角边的一边放在这个 o b 重合放在这个 o b 上，对不对？然后呢 就是画垂直啊，那现在画平行呢，我就需要一个，比如说需要一个呃，三角板这样放着，然后呢在上面 放一个尺子，我的一个点靠在这个边上，然后呢我再只平移上面的这个直角，然后使它经过这个 p 点，那么这个是我画出来的，就是我过点 p 做的 o a 的 一个平行线，交 b c 呢， 交 o b 于点 c。 好， 这就是画法。第二问，要是做什么呢？ 第二问过点 p 画线段， p d 垂直于 o b 于点 d， 就是 刚刚我们之前在前面的课时中呢，我们有讲到过如何去做垂线，对不对？那这里呢，老师就不重复地去讲了，这是过点 p 做 o b 的 一个垂线 交 o b 呢？于点 d， 刚刚我们做的是一条平行线或点 p 平行于 o a 交的是点 c， 是 不是？好？第三问，问的是比较线段 p c 和 p d 的 一个长短关系，那么 这个 p d 是 什么？ p 是 o b， 相当于是直线外一点，对不对？那么到这个直线上最短的距离是不是就是垂线段呢？是不是垂线段最短？这个 p d 是 不是就垂线段？所以这个 p c 的 长度呢？它是大于我的 p d 的， 而我的依据是垂线段最短。 好，我们一起看一下答案。核心考点三，平行线的一个基本事实。哎，大家还记不记得平行线的基本事实是什么呢？我们看一下这个第四题啊，第四题告诉我们说 m c 平行于 ab， 是 这段对不对？ m c 平行于 ab nc 呢？平行于 abnc 也平行于 ab， 则我的点 mcn， 它是在同一条直线上的。理由是什么？这就想到了我们刚刚说的这个基本事实，有没有回忆起来，基本事实是什么？是不就是过直线外一点呐？ 我能够做什么呢？我尤其只能够做一条线与这个 a、 b 平行，是不是？所以它的依据呢？就是我直线 y 一 点，尤其只有一条直线与这条直线是平行的，这是 m、 c、 n 三点在同一条直线上的一个依据。

今天给七年级学生演示一下开学后第二周速通七年级下册从三月十一日开始，边玩边预习，黑马直接冲进班级前三。一、语文 把下册要背诵的考点按照知识清单的顺序逐一背诵，再看骆驼祥子速记口诀，背会考试闭眼抄。二、数学七年级全册知识点整理好了，吃透，怎么考都不难。再看看常考的平方根立方根速记表， 搭配二元一次方程，题型规范，做到举一反三。三、英语吃透每个单元重点考察的单词加短语加句型，背会考试怎么考都不怕！以上资料均有电子版取件码八。

同学们好，这节课我们来讲鲁教版五四至七年级下册数学课本的课后复习题。把书翻开，翻到第四十八页， 我们来看隋唐练习的第二题。证明，定角或等角的与角相等。这道题我们分两种情况来证明。 情况一，同角的与角相等。 我们写一下，已知 角一加上角二等于九十度，角一加角三等于九十度。求证， 角二等于角三。 首先我们要写好证明两个字啊，点上冒号，因为角一加角二等于九十度，这是已知， 所以角二等于九九十度，减去角一啊，来这一步的依据叫做什么呢？这个叫做与角的 定义，因为角一加角三等于九十度，还是一致，所以角三等于九十度，减去角一 与角的定义，所以角二等于角三。这一步的依据叫做等量代换。 好，来看第二种情况啊，我写到上面吧， 写到这里吧。情况二， 等角的与角相等， 已知角 a 等于角 b， 可以 吧啊，角 a 加上角 c 等于九十度，角 b 加上角 d 等于九十度。 求证，角 c 等于角 d。 来，我们整理一下证明过程啊，证明， 因为角 a 加上角 c 等于九十度， 角 b 加上角 d 等于九十度，这是已知条件。你看啊，这两个你可以分开写，你也可以写到一个已知条件里面啊，所以角 c 等于九十度，减去角 a， 角 d 等于九十度，减去角 b。 因为角 b 等于角 a。 好， 这是我们的已知条件，所以 九十度减去角 a 等于九十度，减去角 b。 好， 所以角 c 等于角 d。 这一步是等量代换啊， 其实后两步它都是等量代换。好，你做这样的题啊，当你分情况讨论的时候，你最后一定是要加上综上 所述这几个字啊，就是总结一下综上所述，同角或等角， 它的与角相等。 来把书翻过来看。第二题，证明定律，三角形的任意两边之合大于第三边。好，我把这道题写到上面啊，我们画一个三角形吧。 三角形 a、 b、 c， 已知条件是什么呢？ 已知三角形 a、 b、 c， 这就是我们的已知条件啊，如图所示，然后它让你求证， 任意两边之和大于四，第三边啊，就是 ab 加上 ac 是 吧？任意两边之和大于第三边， 或者是 ab 加上 bc 大 于 ac， 还有就是 ac 大 于 bc 大 于 ab。 有 已知啊，有求证。接下来我们写一下证明过程啊， 证明，因为点 a 不 在线段 b c 上，一定要注意啊，点 a 它是不在 b c 上，所以 由两点之间线段最短 可知。看啊， ab 加上 ac， 它是大于 bc 的， ab 加 ac 之和大于 bc， 两点之间线段最短。好，这就是我们推理过程啊，有，因为有，所以 那么其他两个我们同理可证。 就是这四个字一定要有啊，这四个字有了之后就不会扣分了。 a b 加上 b c 大 于 a c， a c 加上 b c 大 于 a b。 哎，同理可证啊，就是上面证明方法是一样的，然后我们直接写到写下来结论就可以了。 来想继续听课的同学啊，来找老师，在这里找老师，老师把这节课完整的链接发给你啊， 老师主要讲鲁教版五四至初中数学六到九年级你的课本和同步练习册，逐页逐题的来讲解。 想听的同学在这里来找老师啊，从绿泡泡里来找老师发绿泡泡的时候一定是要备注好你的年级和版本啊。

今天给七年级学生演示一下开学后第二周，速通七年级下册从三月十一日开始，边玩边预习，黑马直接冲进班级前三。一、语文， 把下册要背诵的考点按照知识清单的顺序逐一背诵。再看骆驼祥子速记口诀，背会考试闭眼抄。二、数学七年级全册，知识点整理好了，吃透，怎么考都不难。再看看常考的平方根、立方根速记表， 搭配二元一次方程，题型规范，做到举一反三。三、英语吃透每个单元重点考察的单词加短语加句型，背会考试怎么考都不怕！以上资料均有电子版，取件码七八九。

膝下人教香蕉线与平行线，您都学透了吗？这一张的知识非常非常的相似，好多孩子膝下的第一单元就懵掉了，可以看到我们每个知识点都会做细致的梳理，下面有对应的练习题，还有过关检测。 从基础到进阶这点梳理，这里面的题目的选举都比较的基础，我们往后翻，后面高频考点会更加的进阶一点。这一张我们梳理了七大高频，包括角的关系，猪蹄模型，可以看到七年级的题目步骤开始多了很多， 铅笔模型，还有锯齿模型，尖尖角形。我们往后翻第六个高频，是三角板的问题，我们梳理的非常的详细，都是这种手写的形式，孩子看着也不会有距离感，还有矩形折叠的问题，非常非常的细致。最后是这一张的单元卷， 让孩子检验一下学习的成果。一套两本书，第一单元就梳理了六十页，这个是手写解析的形式，一个是空白的练习题，两本书一对应，点击左下角，快给孩子练起来吧！

同学们好，这节课我们来讲鲁教版五四至七年级下册数学课本的课后新题，请同学们把书翻到 第五十一页，我们来看隋唐练习来看第二题， 如图，已知直线 b 垂直于直线 a， 直线 c 垂直于直线 a， 那 么 bc 平行吗？如果平行，请给出证明，如果不平行，请举出反例 来。我们做这样的题啊，首先我们先给出结论，直线 b， 它是平行于 c 的。 然后我们证明， 因为直线 b 垂直于 a， 已知，所以角一等于九十度，对吧？啊，直线 b 垂直于直线 a， 角一等于九十度， 因为直线 c 垂直于直线 a， 他 也是一只，所以角二等于九十度。好，这里的根据是什么呀？叫做垂直的定义啊， 你的每一步的依据你都要明白他是怎么来的啊，这是垂直的定义。角一和角二都等于九十度了，所以角一他是等于角二的，这个依据叫做等量代换。 所以你看啊，角一和角二，他俩的角的位置是同位角啊，同位角相等，两直线平行。所以呢， b 平行于 c， 同位角相等，两直线平行。 哎呀，有的同学说说，老师，这个题很简单了啊，对不对？我们在六年级的下学期和七年级的上学期经常去用， 但是这里老师给同学们一个新的啊，定力啊，就是在同一平面内垂直于同一条直线的，两条直线互相平行。好，他既是定力，他还是一个推论啊， 这个推论他是怎么来的？他是由同位角相等直线平行 推倒而来的。所以说我们叫做推论啊，有的教材叫做呃定理，有的教材叫做推论。 其实这个定理和推论啊，他都是由这个呃公理推出来的啊，但是呢，某些定理，某些定理他还得再由上一个定理去推出来，他也是一个小小的结论啊，他是属于定理的一种。我来写一下啊， 这个叫做推论，由同位角向能两直线平行推出来的，因为同位角向呢，也是我们通过定力啊，证明啊，推出呃，那个呃证明出来的叫做定力，对不对？哎， 这个概念已经搞明白它啊，推论，它是定力的一种，在同一平面内 垂直于同一条 直线的两条直线互相平行。 这道题，虽然说它是书后的一道习题啊，但是它也是一个推论，这个推论在以后我们做题过程中可以直接用啊，老师这两天在讲临沂策的时候，填空选择都有这样的题，直接用就可以啊。 来，把书翻过来，我们看下一页。 来，我们看一下第四题啊， 已知如图啊，点 d、 e 分 别在 a、 b 和 a、 c 上， c、 d 平分角 a、 c、 b 角 d， c、 b 等于四十度，角 a， e、 d 等于八十度。 求证， d、 e 平行于 bc， 你 看啊， dc， 它是平分角 a、 c、 b， 那 么这个两个角是不是全部都是四十度啊？哎，他俩加在一起， a、 c、 b 就 等于八十度，因为 a、 e、 d 等于八十度。好，这两个角相等， 它俩的位置关系是同位角，对不对？哎，同位角相等，两直线平行。来，我们，嗯，整理一下证明过程啊， 证明，因为 c、 d 平分角 a、 c、 b 好， 这是一只，所以呢，角 d， c、 b 等于角 d， c、 e 这个依据是角平分线的定义， 因为角 d、 c、 b 等于四十度， 所以角 dce， 它也等于四十度啊，来看这个大角，所以角 bca 等于角 dcb， 加上角 dce 等于八十度啊。 因为角 a， e， d 等于八十度，这是已知好，所以这两个角相等，所以角 a， e， d 等于角 b c a， 所以 d， e 平行于 b， c。 我 们的判定依据是什么？判定依据是同位角相等，两直线平行啊。 好啊，继续听这一节课的同学啊！继续听这一节课的同学来找老师。从哪里找啊？从绿泡泡里找，在这里备注好你的年级和版本，或者是你想哪一个年级的哪一节课啊， 老师会把这节完整的课程发给你，你来听就可以啊，老师主要就是讲这个课本和同步练习册主题主页的去给你讲啊，可以看一下 知识点，讲的非常详细啊，题也讲的非常详细，来看一看。想听的同学 来找老师啊，这一次都讲完了，都讲完了。

豆包你好，这是七年级下册的地理书，开学了，我想自主预习一下。 请你根据第一单元的重点和目录生成一套同步练习题，以 a 四纸的形式罗列出来，留好答题空间，方便我打印。 好的，我现在需要你先翻到这本书的目录页，豆包看清楚了吗？第六张，好的，我会围绕亚洲的位置范围、地形、水系、气候分布这三块核心内容出题，包含基础填空、单项选择和读图分析题。最后再设置一道综合简答题，帮你把这张的知识点串联起来。 这就是豆包生成的练习题啦，题目很全面，题量适中，适合每天一练，如果有需要可以叫他把答案发给你。 长按点，更多点，导出文件，以 pdf 的 形式导出，按上方小箭头分享到这里，就可以打印了。

豆王你好，这是七年级下册的数学书，因为我们已经交完了第一单元，要马上就要进行单元测验了，所以我想请你帮我出一套单元测试卷，来检测我学的好不好。以 a 四子的形式如约出来，给好答题空间，方便我打印。 好的，你把书翻到目录页，给我看看第一单元的主要内容，我就能针对性出题了。这是第一单元的目录，我看到了这一单元的主题是相交线与平行线，我现在就围绕这个单元的核心知识点给你出一套单元测试卷。 好，豆包，现在已经帮我把视频生成好了哈。题型丰富，添加课本内容，长按点击更多导出文件导出，再点右上角的箭头分享到这里，就可以直接打印了。

好，我们先来看一下核心考点，一是垂直的定义及垂线的画法。那么什么是垂直的一个定义呢？ 就是两条直线相交，它是不会形成四个角，对不对？我们画一下，两条直线相交，它会形成四个角，那么其中一个角是直角的时候呢？这两条直线就是互相垂直的，比如说这条直线是 a 好， 另外一条直线呢是 b， 那么这个时候我们就说这个直线 a 和直线 b 它是互相垂直的，而且我们可以用 a 垂直于 b 来表示，用垂直符号 a 垂直于 b 好， 以及垂线的画法。什么是垂线呢？就是 我能够保证两条直线相交，它有一个角是九十度，对不对？那么这个时候呢？我我可以说 a 呢是垂直于这个 b 的， 是不是？ 那如何去画这个垂线呢？我们一般是选用三角板，就比如说这个第一体， 他说过直线 m y 的 一点 q 做直线 m 的 垂线。下列各图中借助直角三角板操作正确的是，那么我们来看一下，我要保证两条直线相交，有一个角是直角，对不对？先来看一下这个 a 选项， a 选项这个直角三角板呢，它是刚好有一个九十度的角的，就是这个角 对不对？那么我需要把直角三角板的一边与 m 直线 m 是 不是重合呀？对不对？那么另外一条垂直的这个线 是不是刚好就会垂直于 m？ 那 么你看这里的 a、 b、 c、 d 四个选项中，是不是只有我们的 d 选项，它是将三角板的一条边与我的直线 m 去进行到重合，对不对？那这个时候呢？这个角 刚好呢就是九十度，所以说，而且我要保证什么呢？而且我要保证这个 q 点呐，它要在这个一边上，是不是 因为题目说了是过直线 m y 的 一点 q 做的直线 m 的 一个垂线，所以呢，我不仅要让这个三角板的一边与直线 m 重合，而且呢，我另一条边，另一条垂直的边还要 经过这个点 q， 所以 说，这里的 a、 b、 c、 d 四个选项中，正确的是应该是我的一个 d 选项，对不对？好，这是第一题，其实呢，就是讲垂线的一个画法，选 d。 好， 那我们再来看一下第二问。第二题，小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮他解决。 如图，线段 a、 b 和 c、 d 相交于点 o， 则下列条件中能说明 a、 b 垂直于 c、 d 的 式。那么这个时候我们来看一下这个图啊。第二题的图在这边， a 选项说的是 a、 o 等于 b o， 说明什么？说明我这个点 o， 它是 ab 的 一个中点。好，再看 b 选项，角 a、 o、 c 这个角对不对？等于角 b、 o、 d 这两个角相等，你会发现这个角 a、 o、 c 和角 b、 o、 d 什么关系啊？我们在上一个课时学到了， 它们是什么呢？是零补角，那么当两个角是零补角的时候呢，它们的和是等于一百八十度的，所以说这里呢，角 a、 o、 c 加上我的角 b、 o、 c， 它就是等于一百八十度的，对不对？ 那么这里还有个条件是什么呢？是相等，那说明它们俩相等都等一百八十度，是不是除以二啊，就等于九十度。 我保证了两直线相交，有一个是直角，那么这里的线段 a、 b 和线段 c、 d 是 不是就是互相垂直的呢？对吧？所以说 我们判断了 a 和 b 之后，我会选择 b 选项，但是在学习的过程中，我们还是尽量的把 a、 b、 c、 d 四个选项都看一遍，我们再来看 c 选项，角 a、 o、 c 等于角 b、 o、 d 在 途中找一下角， a、 o 是 a、 o， c 是 哪个角呢？是这个角角 b、 o、 d 呢？是不是在下面 右下角的这个角？哎，这两个角是什么位置关系啊？它们是对顶角，是不是？那么对顶角呢？它是始终相等的，不管我这个线段 a、 b 和 c、 d 它是否是垂直的，它们俩都相等，那么这个 c 选项我也可以排除了。 好这个 d 选项， c o 等于 o d， c o 等于 o d， 跟刚刚的 a o 等于 b o 是 不是有点类似啊？它们都是讲的什么呢？ o 点是 c、 d 的 一个中点，所以说这里的 a、 d 选项都是错误的。那么这道题呢，选择 b 选项， 这是给的一个详细的一个解答过程。对于我们培优的这本书，上科科练，这本书上呢，每一道题呢，都有详细的解答，如果你自己做的情况下不懂，也可以去看一下答案的一个详情。 好，接着看一下第三题。这个第三题呢，是二零二四年北京的一道中考题，那么先给大家一点时间，大家自己来做一下这道题。 好，我们一起来看一下。如图，直线 a、 b 和 c、 d 相交于点 o， 你 看 a、 b， c、 d 相交于点 o， 对 不对？好，继续看。 o， e 垂直于 o c， o e 垂直于 o c 给了我一个直角符号，说明什么？说明，根据这个条件我就可以得到我的角 c o e， 它是等于九十度的。好，继续看，若角 a o c 等于五十八度，角 a o c 在 哪呢？在这里对不对？等于五十八度， 则角 e o b 的 度数为多少呢？那这个时候呢，我们可以简化一下这个图啊，你看，这里有了角 c o e， 它是等于九十度的。好，我先不看这个 o e 这条线，那么我可以知道这个角 a o c 和我的角 c o b 什么关系，是不是零五角的关系啊？对不对？相加等于一百八十度， 刚好呢？中间是不是多了一个九十度啊？我是可以用什么呢？我是不是可以用一百八十度，先减去这个角 a o c， 然后再减去这个九十度的角，剩下是不是就是我角 b o c 的 一个 b o e 的 一个度数啊？对吧？好，那我们把它写一下。 这里呢，根据零补角，我是可以得到角 a o c 加上呢我的角 c o b， 那 这个时候 c o b 我 们刚说了，可以把它看成角 c o e 和角 b o e， 是 不是好？加？角 c o e 再加上我的角 b o e， 它是等于一百八十度的， 是不是？好，这里角 a o c 我 知道五十八度， 角 c o e 多少度啊？是不是九十度啊？加上九十度， 再加上呢？我的角 b o e 等于一百八十度。 好，那我们来算一下，这里五十八度加上九十度，算出来多少度呢？是不是一百四十八度？好吧，这个地方擦掉， 擦不掉了，我们就继续写啊。 好，我们继续看。一百四十八度，加上我的角 b o e 等于一百八十度。 那这个时候我通过移项是不是可以求出我的角 b o e 啊，对不对？那么角 b o e 就 等于一百八十度，减去一百四十八度等于三十，这个没有没有度啊，把它划掉三十二度。 所以这道题呢，我们选择 b 选项是不是？好，那就是第三题，我们接着往下看 核心考点二，关于垂线的一个基本事实，那么大家还记得吗？我们垂线的一个基本事实是什么呢？就是在同一平面内，我过一点 做已知直线的垂线是不是只有一条，对不对？有且只有一条。 那么你看这个第四题，他说在同一平面内过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是多少呢？是不是有且只有一条啊？那么选择我的一个 b 选项， 这个基本事实，大家需要记住了啊。好，他是这样说的，大家一定要把这句话记完整。在同一平面内过一点，有且只有一条直线， 与已知直线垂直，这就是关于垂线的一个基本事实。接着往下看，核心考点三，垂线段的定义及性质。 那我们通过在实际问题中，我们通过这个第五题，在实际问题中，我们来回顾一下这个垂线段的定义及性质是什么呢？好，大家先看一下这个第五题， 然后回忆一下它的定义和性质是什么呢？然后呢，老师再带着大家一起来看一下这道题， 这呢是一道实际问题呢，是说这个力定跳远的对不对？力定跳远的，大家在运动会或是在体育课上的时候，经常会遇到这样的 一个运动，是不是？而且呢，如何去测量这个力定跳远的一个成绩？大家还记得吗？一般会选择什么？一般会选择我身体 到这个地面最低点，对不对？就是最近的一个距离的另一个点到直线的距离，直线的这个垂线段就叫做我的什么呢？立定跳远的一个成绩，那你看 这个 c d 点，就是我脚所站的一个位置，是不是小明脚所站的一个位置，然后他呢跳到这个沙坑上面去，那你会发现他的脚呢出现了一前一后，是不是？那你看我取什么？我是不是取他的一个最低点，就是什么呢？就是我的一个 p 点这个位置。那如果我跳远的时候呢，我的手先落地呢？比如说只要是我身体的某一个部位落到 这个点，比如说这个标一个点啊， n 点，那么我的跳远的成绩是不是从 n 点到这个直线的一个垂一个距离啊？也是我们的一个垂线段，那么垂线段的定义就是 过直线外一点到这个直线上各点的距离，什么距离呢？垂线段的距离就是做垂直这一段的长呢，就叫我的一个垂线段， 它是最短的，那这个时候呢，我是不是过点 p 做这个直线起跳板的这条线的一个垂线是不是就可以了？那么 p 做垂直是不是刚好是这个 a 点呢？所以说呢，这个哪一段长是我力定跳远的一个成绩呢？是不就是 a p 的 一个长 线段 p a 的 一个长度，对不对？所以这道题呢，我们选择 c 选项， 你看他是不帮你说了，从身体这个答案解析上写了，他说立定跳远的成绩计算呢，是从身体接触地面的一个最近的地方 到起跳线的一个距离，是不是就是我的一个最短距离，对不对？也是垂线段的一个长度嘛？ 接着往下看核心考点四点到直线的距离。第六题，在下列的图形中，线段 p q 的 长表示呢？点 p 到直线 m n 的 距离的是，那么什么是点到直线的一个距离呢？ 就是我过直线外一点，对不对？那么到这条直线的一个什么呢？垂线段就是我的什么呢？就是我点到直线的一个距离。那我来看一下这个 a、 b、 c、 d 四个选项。 你看这个 a 选项，这个 p 点到 m n 的 一个距离是做的什么？做的一个垂线，是不是啊？你看 b 选项，这个 p 点到 m n 的 一个距离啊，它做反了，它把 p 当成什么？当成了垂足，是不是？ 所以说这个 b 选项肯定是排除掉的。好，再看 c 选项， c 选项呢，它是过点 p 做的直线 m n 的 一个垂线，对不对？但是呢，它的垂足在这个 这个地方，对不对？但是它 q 点呢，取的又是另外一个点，那明显这个 p q 啊，它是不是比我这个这段长，是不是要长一些，对不对？ 而所以说这个 p q 呢，它表示的不是这个点 p 到直线的一个距离啊，所以说这个 c 点是错， c 选项是错误的。 d 选项， d 选项，这画的啊，这个 p q 啊，它只是一一个线段，这个 p 点呢， 是在这条直线上，而 q 点呢，是在 m n 上，但是这个 p q 啊，它是垂直的吗？是不是的，对不对？所以说呢，这个 d 选项我也不会选，所以说我这道题选什么呢？选择我的一个 a 选项， 你看这里规划了点到直线的一个距离，大家把这句这句话把它理解下来，就是直线 y 点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的一个距离。 核心考点五，与垂直有关的角度计算。这种题目啊，你看他给了我们一个多少？二百三十六考，说明什么？说说明这个考点啊，在考试中它是经常出现的，那么我们在做这这种类型的题目的时候呢，一定要引起注意了啊， 如果平常出错，你一定要找到出错的地方在哪里，避免考试的时候出错。那我们来看一下这个第七题，大家先来看一下，然后呢自己做一下，看你能不能够选对这个角 c o f 的 一个度数呢？ 好，我们一起来看一下这个第七题。如图，直线 ab cd 相交于点 o， 给了一个条件， o 一 平分，角 b o d o 在 了，在这 o 一 平分，角 b o d 说明什么？ 说明我这里的角 b o e 和我的角 d o e 是 不是相等的呀？是不是根据角平分线的一个形值，然后再看 o f 垂直于 o e 是 不是前面说到的是不是 o f 垂直于 o e， 那 么这里我可以得到什么呢？角 e o f 它是等于九十度的，还是把它写下来，角 e o f 等于九十度？ 好，继续往后看，若角 a o c 等于四十六度， a o c 等于四十六度， a o c 在 哪呢？在这儿。 a o c 四四十六度， 则角 c o f 的 一个度数多少？ c o f 在 哪呢？是不是在这儿？哎，你看这个 c o f 明显它其中一个角 a o c， 我 是不是已经知道了，题目给我了，四十四十六度对不对？那么我需要求出这个角 a o f 是 不是就可以了呀？好， 那如何去求这个 a o f 呢？我们一步一步的来看，现在这个角 a o c 是 一个已知角，那我要从它作为突破口去想一下，这个角 a o c 呀？跟哪些角有关系呢？ 你看跟我的角 b o d 什么关系啊？是不是对顶角，对顶角相等，那么这个角 a o c 等于四十六度，我就可以知道这个角 b o d， 它是等于四十六度的。你看前面讲了一个什么？讲了一个角平分线啊，对不对？ 这个 o e 平分，角 b o d。 那 说明什么呢？说明我这的两个小角是不是等于二分之一倍的角 b o d 啊？那我可以求出这里的角 b o e， 它等于我的角 d o e。 等于呢？二分之一倍的角 b o d， 也就是二分之一乘四十六度， 算出来结果等于二十三度， 对不对？求出了角 b o 一， 好， a b o 一 求出来之后呢？这个角 a o f 怎么求呢？你看有了一个九十度，这个角 a o f 跟我的角 b o f 什么关系啊？是不是 互为零补角相加等于一百八十度？前面有道题的时候，我们是不是也遇到这样的这样的角的一个划分呢？那这个时候我要求角 a o f 怎么求呢？角 a o f 加上 我的角 b o f， 对 不对？等于一百八十度。 那么这个角 b o f 诶，它等于多少度呢？它是不是可以拆分成九十度和我的这个角 b o e 啊？是不是它可以写成九十度加上二十三度， 对不对？那这个九十度加上二十三度算出来是多少呢？是不等于一百一十三度， 所以我要求这个角 a o f， 它就等于一百八十度，减去这个一百一十三度， 那么就等于六十七度。好，求出了角 a o f， 这个角 c o f 是 不是就出来了呀？角 c o f 就 等于 我这里原来的角 a、 o、 c 四十六度，加上呢这里的六十七度等于一百一十三度。 所以这道题呢，我们选择 c 选项，对不对？大家能够理解吗？就是一步一步地去进行推导。 好，我们接着往下看 这个第八题。 这个第八题有两问啊，大家先一问一问的来看一下，看你呢把我们前面讲的那些核心考点呢，有没有理解透， 把我们刚刚第七题的这个推导的过程有没有理解。这一类题目在考试中，不管是你平常的月考还是期中，期末考试中出现的次数会比较多啊大，当然呢，大家做的时候也会出现各种各样的问题，那么我们在看这类题目的时候呢，一定要 理解它的一个内在逻辑是什么。那这个第八题我们一起来看一下。如图，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 这里又出现了一个什么呢？垂直，是不是我就可以得到九十度 o e 是 垂直于 ab 的？ 好，那我给它画一个直角，在这 画一个直角，继续看垂足为点 o。 好， 这是题目给我的一个已知条件，都在这了，那我先来看一下这个第一问， 直接写出图中角 b、 o d 的 一个对顶角，那我们来把 b o、 d 找到，在这儿，它的一个对顶角是什么呢？是不是我的角 a o c 呀？好，这个空我就填上角 a、 o c， 再看角 a、 o c 的 零补角，为什么呢？那可能有的同学就说了， 很明显啊，角 b、 o、 c 对 不对？好，马上填零补角 b、 o c。 看第二题。那这个时候呢，我们需要注意的是，你看这角 a、 o c 啊，我往上看是由角 b、 o、 c 和它构成零补角，对不对？那往下看呢？往下看是不是还有个角 a、 o d 啊？对不对？那么 这个角 a、 o、 c， 它有几个零补角啊？是不是有两个零补角？那么我就要写上角 c o b 和角 a o d， 两个都必须写上啊。好，再看第二题，如果角 c、 o e 比上角 a o d 等于二比五，找一下 c o e 在 哪？是不在这角 a、 o d 呢？是不是在这？这俩什么关系啊？二比五的一个关系。 哎，但是我仔细的来看一下啊，你看这个角 a、 o d 怎么样和我的角 c、 o e 能够联系得更紧呢？你会发现这个角 a、 o、 d， 它有一个对顶角，它的对顶角是什么呢？是不是我的角 c o b 啊？对不对？好，角 a、 o d， 它有个对顶角，那么就和我的角 c、 o b 是 相等的。 这道题呢，它既然给的我是什么呢？角度之间的一个比值，所以我可以通过设未知数的一个方法去设出来。那么这里的角 c、 o e 呢？它可以设成，根据这个比值二比五，我设成什么呢？设成二 x， 这个角 a、 o d 呢？我就把它设成什么呢？设成五 x， 对不对？设好了之后，那么这个角 c、 o、 b 是 不同样是五 x 啊？那么看一下，这个角 c、 o、 b， 它是由两个角组成的，其中一个角呢？是角 c o e。 还有个角是什么？是不是我的角 b o e b o e 多少度？ 根据这个垂直，我是不是就可以得到这个角 b o e， 它是等于九十度的， 对不对？那么你看我根据这个什么呢？角 c o b， 用角 c o e 加上角 b o e， 是 不是可以列出一个等式？那么角 c o b 是 多少？五 x， 它等于我的角 c o e c o e 刚刚表示出来了，二 x 加上我的角 b o e b o e 多少度？九十度？ 好，这样是不是列出来了一个等式，我可以求出我设了这个未知数 x 的 一个值，对不对？好，移项五 x 减二 x 值多少？三 x 等于九十度， 那么我就可以算出来，我的 x 呢是等于三十度的， 好，把 x 算出来之后呢？那这里我的角 c o e， 我 是不是知道了？二 x 六十度，角 a o d 多少度？五 x 一 百五十度， 对不对？好，都出来了，再看一下题目，让我求什么？让我求这个角 b o d 的 度数，哎， b o d 在 哪？它跟我的角 c o b 什么关系啊？ 是不是互为零股角啊？对吧？那互为零股角相加等于一百八十度，这里的角 b o d， 我 可以选择用一百八十度 减去角 c o b 是 不是？那么就是一百八十度减去一百五十度 等于三十度， 是不是这个时候角 b o d 是 不是就可以求出来了？好，那我们来看一下这个完整的一个解答的过程啊， 好，看一下。首先呢，我根据提议我设出 根据比值设出未知数，对不对？然后呢，再根据零步角得到一百八十度，求出呢？角 a o c， 它的方法跟老师刚刚讲的方法是不太一样的，它求的什么呢？它先求的角 a o c。 为什么它先求角 a o c 呢？ 因为这个角 a o c 跟我的角，跟我的角 b o d。 刚说了是对顶角是不是相等的呀？我求其中一个，是不是就可以得到另一个是不是？ 那么这个角 a o c 呢？加上角 c o e 也是等于九十度的，因为题目说了嘛， o e 垂直于 a b 对 不对？ 所以呢，我也可以求出这个角，通过求角 a o c 求出角 b o d。 这两种方法都可以，哪种方法好理解，大家就用哪种方法 好，我们接着往下看第九题。好，大家先看一下题目，思考一下这个第九题要用什么样的方法去求呢？ 先看一下这个题目。 好，我们一起来看一下。如图，直线 a、 b、 c、 d 相交于点， o 角 a o c 等于四十度。 好，我先找到这个角 a o c 等于四十度， o e 呢？平分角 a o d， 那 说明这个角 a o e 和我的角 d o e 是 不是相等的两个角啊？因为平分了嘛，射线 o f 垂直于 a b， 在图中画出这个射线 o f， 并求角 e o f 的 一个度数，大家画出来的是什么样子呢？那可能有的同学他画出来的是在 a b 的 一个上方，对不对？有的同学可能说，哎呀，老师，不止还有这个 a b 的 下方是不是也可以画出 o f 啊？那么一种情况呢？是 这条射线 o f， 还有种情况是往下。所以说我们要分两种情况来讨论一下这个角 e o f 的 一个度数。我们先来看一下，当这个 o f 在 a b 上方的时候，我如何去求这个角 c o f。 我 们一种情况，一种情况地看，根据题目的已知条件， a、 o、 c， 我 知道了四十，对不对？ 好，那我可以求出什么？求出我的角 a、 o、 d。 为什么？因为它们俩互为零，不角。好，我写在这儿。那么角 a、 o、 d， 我 可以求出来，用一百八十度减去角 a、 o、 c， 减去四十度，等于一百四十度。根据这个角平分线 o e 平分角 a、 o、 d， 我 可以求出这个角 a、 o e 和我的角 d、 o、 e 相等， 它们呢？等于二分之一倍的角 a、 o、 d 是 不是等于七十度？ 好，再看，既然这个 o、 f， 它是垂直于我的什么呢？ a、 b， 我 好把垂直符号写在这儿。哎，它是垂直的，我还可以得到什么呢？是不是得到九十度的角啊？写在这边啊，那我是可以得到角 a、 o、 f 和我的角 b、 o、 f 都等于多少度？都等于九十度。那你这个时候再看，我要求角 e、 o、 f， 是 不是可以把它放在这个 a、 o、 f 中啊？对不对？我选择用这个九十度减去这个角 a、 o、 e 是 不是就可以了？那么此时呢，我的角 e、 o、 f 就 等于九十度减七十度，算出来结果呢？是多少呢？是二十度， 是不是就是一种情况？好，那我再看第二种情况，就是当这个 o f 啊，它在 a、 b 的 一个下方的时候，对不对？好，我把它写 f 一 撇， 这个时候呢，我要求这个 e、 o、 f， 它是不是有一点不太一样啊？对不对？你会发现这个 o、 e 和 o f 是 不是隔得有点远呐？对吧？它是一个什么呢？是一个钝角好，还是刚刚的已知条件？我知道什么呢？这个是 九十度，对不对？好，还知道呢，算出来这个角是多少度？是七十度，这个角呢？是 四十度，但是现在它是不是四十度我都不用管了，为什么呢？我直接可以用这个九十度，加上我这个角 a o e 是 不是就等于角 e o f 的 一个度数，对不对？所以这个第二种情况呢，我的角 e o f， 它就是等于九十度，加上要求多少度？七十度，算出来，结果呢？是一百六十度。 好，我们看一下，跟大家求的是不是一样的呢？ 是不是要分两种情况去求，对不对？好，我们来看一下，一个完整的一个解答的过程，应该如何去写啊？先把这个笔记清楚掉， 你看第一种情况，当这个射线 o f 在 直线 ab 上方的时候，求出来是二十度，对不对？前面这些条件呢，根据 主干题目的主干，我可以得到这个角 a o e 等于七十度啊，角 a o f 等于九十度是一样的，我在后面，后面第二，第一种情况和第二种情况都是可以用到的。好，这是第一种情况，我们第二种情况呢， 就是当我的射线 o f 在 直线 ab 下方的时候，求出来呢，是一百六十度，对不对？好，相对这种分类讨论呢情况大家一定要注意，很多同学容易漏到，漏到，漏掉其中一个啊， 老师也是有点激动。好，我们继续往下看。这道题有一个易错点，大家需要注意一下，就是 当没有告知，告知这个垂线的一个画法的时候呢，往往需要分情况讨论，就比如说我们刚刚这道题对不对？ 它只是让你画出这个 a b 的 一个垂线 o f， 射线 o f 是 不是那么分两种情况？在 a b 的 上方和下方的时候，你都要去求一下这个角 u f 的 一个度数。

同学们好，这节课我们来讲平行线的证明。第一课时 来看基础巩固。第一题，如图， d e 是 过点 a 的 直线，要是直线 d e 平行于 bc， 应该有怎样的条件？ 题目要求的是 d e 平行于 bc， 我 们需要找出对应的角的关系啊， 来看一看啊。我们根据平行线的判定定律可以知道内错，角相等，内错，比如说，角一等于角 c 内错角相等，或者是角三等于角 b， 角三等于角 b。 还有呢，角一加角二 加上角臂等于一百八十度，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，对不对啊？那我们找一找有没有啊？ 呃， d e 平行 b c 的 话，我们是可以被 a、 c 这条直线所截。角一等于角 c， 我 们选择 c 选项啊，你看角。呃， a 选项是角二等于角三，他俩的位置关系不对啊。角 c 等于角 c。 角三， 角 c 和角三它俩的位置，它既不是内错，也不是同位，对不对啊？不对，角 b 等于角 c 呢？它是一个三角形的两个底角啊。 来看第二题，如图，已知 角二等于四十度，要是直线 a 平行于 b， 角一应该等于多少度？我们看一看角一和角二的关系。嗯，两直线平行，应该是同位角形的， 对不对？哎，角一应该是和这个角相等，但是这个角和角二他俩正好是一组邻补角一百八十度减，角二减去四十度的话，这里是一百四十度，角一应该是等于一百四十度。来看第三题， 如图，直线 l 在 这里啊，截两直线 l 一 和 l 二所形成的八个角，可以判定 l 一 平行于二的条件。我们一个一个来看啊，来看角 a 选项，角二加角四，角二加角四等于一百八十度，它俩只是一组邻补角，不可以判定直线平行。 b 选项，角三加上角八等于一百八十度，角三加角八，角八在这里啊，角八和角二是相等的。角二加角三等于一百八十度啊，是等量代换，我们可以把角八等量代换为角二。 你看角三加角二等于一百八十度，哎，可以的啊。 b 选项可以。 c 选项呢？角五加角六，角五和角六， 角六和角四是相等的，角四和角五是相等的，不应该是相加，应该是相等啊。 d 选项，角七加角八，角七加角八等于一百八十度。 角二和角八他俩是相等的啊，对，顶角相等，角二和角七呢，他俩是同位角，同位角应该是相等。第三题，我们选择 b 选项。好，来看第四题，如图所示，不能判定 a、 d 平行于 bc 等 来，首先我们将这个 a、 d 和 b、 c 先找出来啊， a、 d、 b、 c 我 们一个一个来看啊。 a 选项，角二等于角三， a、 d、 b、 c、 b， a、 c 所结，它俩是内错角相等，它是可以判定的啊。 b 选项，角一等于角四， 应该是 ab 和 cd 被 ac 左斜。角一和角四它俩是一组内错角，但是它要判定 ab 平行于 cd， 哎，所以 b 选项不可以啊。 c 选项，角 d， a、 b 加上角 abc 等于一百八十度。 d， a、 b 和 abc 这两个角加在一起，同旁内角互补，两直线平行，哎，可以。 d 选项，角 a、 d、 c 加上角 b、 c、 d 等于一百八十度，也是同旁内角互补，两直线平行。所以说，这道题我们选择 b 选项啊。 b 选项是不能判定的。 好继续听课的同学，嗯，来找老师啊！在这里找老师，老师把这节课完整的视频课发给你啊。老师主要就是讲裸教版五四制的初中数学六到九年级课本和同步另一侧的主题主页来精讲， 就是老师带着你把基础题去给你讲透的，让你稳固的去提升啊。想听的同学，来找老师啊。

这里说下列语句中是定义的式，所以你会很快发现我是想要去选择什么 b 选项的。稍等一下哈， 是要想去选择这个 b 选项的，叫做这两点之间的距离，所以大家抓住啊，如果说对，对于以后你再碰到一个题，说，啊，我要去问什么是定义的话，那你直接看有没有叫做这两个字，所以这个题咱们直接选择 b 选项就 ok 了。 你要说哦，什么什么叫做定义呢？那其实书上其实对于给我们的也就是什么一句话说这样的描述叫做定义，那你就看找括号一，括号二，括号三，括号四这四句话它们之间的一个什么？一个通信， ok， 好， 那这个是咱们的第一题，选择 b 选项哈。 问，下列是命题的事，那什么样的叫做命题呢？我们说可以判断，可以判断什么呢？可以判断为正确或者是错误的。判断为正确 或错误的陈述句 叫做命题。那在这里呢，我们要抓住几个关键词啊，这个命题还是我们在呃，相对于定义这个概念来说，它是考的比较多的，首先你要知道它是可以判断，首先你要第一个它是可以去判断的，判断什么呢？它是正确或者是错误 的这样一个陈述句。第二个啊，关键点一定要是陈述句，所以他要满足两个条件，我们才能把它称为命题。第一个说是他可以去判断正确或者错误，第二个他必须是陈述句。比如说我现在呃，说明天一定会下雨吗？ 这句话是一个，呃，是命题吗？不是，为什么？他是一个疑问句，对不对？是，是对吗？对吧？我说啊，你今天吃饭了吗？ 对吧？那这些话他都是一个反问，其实是一个疑问句，他都不是一个陈述句。 ok， 好， 那这个是我们刚说的，是从陈述句的角度去判断他是不是一个命题，那除了这个之外，我们说是他可以判断正确或者错误。再万一一句话，我说明天会下雨，你知道这句话是正确还是错误的吗？ 你没有办法去判断，对吧？你不知道哦，我明天到底是会不会下雨，对不对？所以他是不能去判断他是正确或错误的， 它是不能去判断它是正确还是错误，所以呢，它就不是一个命题。那在这个命题里面呢，我们又分为真命题和假命题。哈，那正确的，那当然，我能判断它是正确的，那我们就把它叫做真命题。 如果它是一个错误的，我们就把它叫做假命题呢，就可以对它进行举反例， 就是你举出一个我可能不会成立的这样一个例子，然后告诉我你这个命题是假的，那我就可以判定它是一个假命题。而当你举了很多很多的例子，或者是你通过证明的方法都证明不出来它是正确的， 都证明不出来它是假的的话，那它就可能是相对的一个证命题。所以你去判断它是个假命题啊，我们在初中阶段最好的方式就是去举反例。好，接下来我们来看一下下面语句，其中是命题啊，我们先看看什么叫做命题。首先说对角大于九十度， 钝角大于九十度，它是一个陈述句，对吧？那你接着来看看这句话是正确的还是错误的呀？钝角是不是大于九十度？是大于九十度的呀？啊？钝角大于九十度，直角等于九十度，锐角是小于九十度的。所以这个第一个它就是咱们的命题，并且是一个什么命题，并且是一个真命题。 好，第二个，两点之间线段最短。首先它是一个陈述句吧，对吧？其次那两点之间是不是线段最短呢？ 当然是了，对吧？你，你两点之间现在就讲是我们学过的基本事实啊。所以这个第二个是命题，并且是真命题。好了，接着第三个，明天可能下雨，这是老师刚刚举的例子，你能判断这句话是对的还是错的吗？你现在你就告诉我，你说明天下可能下雨，这句话正确还是错误的， 你没办法吗？那有时候天气预报还不准呢，对吧？所以第三个它不是一个命题哈。第四个，做 a d 垂直于 bc， 那 首先你会发现它是一个什么？它是一个陈述句，没有问题，对吧？那接着你能发，你能说这句话是正确的还是错误的吗？ 做 a d 垂直于 bc， 它只是我们一个什么，一个辅助线，或者是一个啊线段一条直线的一个做法，它只是一个描述性的语句， 对吧？只是一个描述性的语句，你不能去判断他是正确还是错误的，所以第四个他不是命题啊。第五个，我们说同旁内角互补，他才是能够去判断两条直线平行的一个条件，那现在他都不互补了，他他肯定就不能判断了嘛？所以他是什么， 他是可以的，对吧？他是一个真命题，所以呢，他肯定是一个命题啦。所以这个题咱们选择一二五，也就是我们的 b 选项。 首先第一个说相等的角是对顶角，哎，你说对顶角相等这句话是什么？是正确的，对不对？这是我们学过的。那除了这个以外，你看现在老师先画一个三十度的角，没有问题吧？ 嗯，那我接着再画一个三十度的角，可以吧？也没有问题啊。那你说他们俩一定是对顶角吗？不是啊，那他俩相等吗？当然相等了呀，所以相等的角是对顶角，这句话是 错误的。 ok， 是 错误的哈。接着我们来看看，说两条直线被第三条直线所截，同位角相等。你说这句话怎么感觉是个半拉子，对不对？你看我现在先画两条直线， 然后被第三条直线所截，同位角。你看这个是一个大钝角，这个是看起来像个锐角，他俩相等吗？不相等呀，对吧？那，那什么情况下同位角相等呢？来，快发动你的小脑袋想一想，是我们这这一张刚学过的知识是什么？我们是 平行直线，两条直线它们要是怎么样？它们要是平行的，对吧？两条平行直线被第三条直线所截，同位角才是相等的，所以这也是一个假命题。 ok， 接着第三个等角的补角相等，这就是真的哈。你要想就是两个角，比如说我现在这里随便画的两个角，它俩是相等的，他们的补角是不是加起来等于一百八十度啊？比如说我这两个角都一个是 r， 一个是 beta， 那 alpha 和 beta 是 相等的，它们的补角 alpha 的 补角是一百八十度，减 alpha 吧，那 beta 的 补角是一百八十度减 beta， 那 你说它们俩相不相等？一百八，一百八相等， alpha， alpha 相等，所以它们两个也是怎么样也是相等的，所以第三个是真命题。 ok， 接着我们来看一下第四个垂直于同一条直线的两条直线互相平行，那这个是正确的吗？ 看看看我们的角落啊，看看我们的墙，墙角，墙角下面就是三条直线，是互相 分别垂直的，你看啊，这是我，我看看能不能画出来。这个是咱们竖的这一条柱子对不对？那下面是地面的长，这边是地面的宽，你看这里是个直角吧，这边是个直角，这边也是只是个直角，那 这两条直线都是跟这一条竖着的柱子是垂直的，那你说下面的这个拐角是平行的吗？不平行呀，他俩都相交并且成九十度了呀，所以这句话是错的。那怎么样把这句话去改对呢？同学们 想一想，想一想，如果咱们是家长朋友的话，也想一想啊。嗯，这个经常做数学题有助于保持年轻，这个是可真的啊，我们说是什么是 同一平面内，你会发现我们墙角的这个他都不在同一个平面内，所以呢，他们是怎么样是不会产生平行而产生了相交。 所以如果要把这句话改对的话，就是我们要在他说在前面加一个说在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是什么？是互相平行的，所以这个题的真命题的个数就只有一个啦，所以这个题咱们选择 a 选项。 好，那个就是我们真假命题。那关于真假命题里面呢？我们还有一个就是非常呃，重要的一个题型，就是说我们会把这样的一个 不断句的，或者是没有如果那么的形式改写成如果那么的形式，那一般这种呢，我们就要去找什么是提设或者叫做结论吧，有的地方的说法不是很一样啊，提设也就是我们的条件，然后以及我们要找的结论。 把这句话读一下，互为相反数的两个数的和为零，互为相反数的两个数的和为零，那什么情况下这两个数的和才能为零呢？哦，互为相反数的条件下，你看老师一读完这句话是不是就出来了？所以 改写成如果那么的形式的话，那在这里就是什么？就是如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零。你会发现哦，这两个数是加起来的，因为我们知道互为相反数一共就是两个数了，对不对？所以有时候我们是需要适当的去加一点咱们的这个修饰语言。好，这是第四题， 第五题，也就是我们要来到的第三个考点是定理，定理就是它的正确性是经过推理论证的，那这样的呢？我们把它这个真命题把它叫做一个 定理，就是说这个题这这一个它不仅是真命题，并且它的这个真命题还是经过那个推理论证的，是正确的。那这样的呢？我们把它叫做定理，那你就想想定理它一定是正确的，对吧？而且它最大的一个作用，它就是可以为我们后续的证明去提供这个依据。 ok， 好， 那我们接下来看看第五题，说，如图所示，用两个相同的三角板，可以过点 p 做出直线 m 的 平行线 n， 那 这是两个三角板，做出了 m 和 n， 这两条直线是平行的，让你去解释其中的 道，也是其中道理的定理是哪个你会发现啊？为什么这两条直线平行呢啊？两个三角板，两个相同的三角板，而这两个三角板，上次老师说过，我们说对于我们初中阶段的两个三角板，一个是四十五、四十五、九十度的三角板，以及三十六、十九十度的这两个三角板我们要非常熟啊， 一看这两个三角板是什么，是三六九的对不对？那三六九的这个角等于三十度，这个角等于三十度，这两个角是 m 和 n， 这两条直线被这个三角板所截的一个什么，一个内错角，而这两个内错角是 相等的，对吧？那这两个内错角相等，两直线平行， ok， 出来了，所以这个题咱们选择 b 选项，这个是咱们书上已经说过的定律啊，这是第五题， 接着我们来看看。呃，证明，那什么叫做证明呢？一个命题的正确性经过推理才能够做出判断，那么这个推理的过程就叫做证明，就是这个它的定义，包括 定你命，定你定义以及证明的定义，咱们都不用去背啊，这个对于背的话其实是没有太多的用处的，那我们只要知道什么叫做证明就可以了，就是你去证明它是个正确的，那这个过程就叫做证明就可以了，就只要知道这样就行了。而相对于命题的话，真假命题啊什么的，这个是我们要特别关注的，因为它确实是我们的高频词的考点。 第六题，关于命题，它说法正确的是，你看 a、 b、 c、 d 四个选项是什么？真命题，假命题，假命题假命题， 他在说他的真假命题。那老师一上来我们说到那个命题的时候，我们说要判断一个命题它是不是真命题，或者一个假命题的话，特别是判断假命题最好的方式是什么？ 举反例嘛？所以你会发现这里的 b、 c、 d 都在举反例。而我们如果是不去看选项，你会发现 a 的 绝对值大于 b 的 绝对值，则 a 大 于 b。 如果这个是我们在小学阶段没有学过复数的情况下，那这个就是对的。但是现在我们学过复数了，对不对？我们复数说绝对值大的反而小啊？所以如果说 在这里啊，如果说这个 a 它是一个负数， b 它是一个正数，那举个反例的话，比如说我 a 是 负三，正数是二，那你说这个，这次前面这个是不是成立的啊？后面 a 跟 b 就 不成立了呀？或者是我的这个 b 也是负二， 对吧？也有可能，对吧？二或者是负二，它都是成立的，但是这个 a、 b、 c、 d 里面它哪个选项是符合题的呀？就是咱们的 d 选项了呗，对吧？所以这个题选择 d 选项， 判断一个命题它是假命题，最好的方式就是去举反例。好吧，好，接着我们来看看下面第七题，能说明锐角 r、 法贝加贝塔的和是锐角的假面题的例证图，其实就是要我们干嘛？要我们去举反例。 那对于 a、 b、 c、 d 四个选项，你怎么样去说？哎，那我到底是拿 a 做去反，你还是拿 b 呢？还是拿 c 呢？还是拿 d 呢？其实你会发现这个 a、 b 包括这个 d 啊， d 的 图形就长得不是很好看啊。你看 a、 b 这两个选项，这 r 和 b 它都比较小，对不对？那两个锐角的话，你说十加二十、三十加二十，这两个比较小的时候，它的和确实是一个锐角，那你什么时候说它是一个，呃， 不是一个锐角呢？那你肯定是两个角之间至少有一个要大于四十五度，比如说我这个四十五度加上六十度，两个锐角加起来，它是不是就不是一个锐角了？ 所以你在这里你要去举反例的话， a、 b、 c、 d 你 肯定要挑其中角最大的嘛，那其中角最大的，你看这个 c 是 不是比 a、 b、 d 都要大一点呢？对吧？那 a、 b、 d 大 一点，那你现在你，哎，你题目有没有给出？哎？老师，这没有四十五度，也没有六十度，怎么样去判断它是一个啊？它不是一个锐角呢？怎么办呢？那这个时候我们就可以过这去算吗？ 做一个平行线，那平行线做 l 一 去平行于这个 l， 二，可以吧，两直线平行内错角相等，所以我们可以把这个 beta 给它转移到什么？转移到上面来，我们比如把它变为 beta 撇， 那这样的话 r 加 beta， 你 会发现，哎，这个大角好像就不是一个什么，就不是一个锐角了，它是一个钝角了啊，那这个呢，是我们的第一种证明方式，那其实还有第二个，虽然我们在初中阶段关于三角形的内角和等于一百八十度是在八上才学习哈， 但是小学其实我们已经知道了，三角形的内角和是等于一百八十度，你可以干嘛呢？你可以稍稍的把这个题给补全，补全之后呢，你会发现，哎，这个角是一个什么？是一个锐角，对吧？ 那一百八十度去减 alpha， 减 beta 它是小于多少度的呀？小于九十度的，那这两个就应该是怎么样？就应该是大于六九十度的呗，所以它就肯定就不是一个锐角了。或者是你换另一个思路去思考，如果它的三个角都是锐角，都是锐角的话，那比如说 应该怎么讲嘞？好像如果它的三个角都是锐角的话，那比如说应该怎么讲嘞？好像如果它的两个角是 加起来是锐角，这个角加起来是锐角的话，那也就相相当于一个小于九十度的再加另外一个小于九十度的，那么加起来他们是能等于一百八十度吗？是怎么是不可能的嘛？所以你如果自己这样去举反例的话，这个 c 选项也是可以判断出来的。当然最好的是哈， 我们在当前学习的阶段，就不要去用超前的知识去解这个题，做平行线是最好的，这个呢，是咱们的这个第七题，接下来我们来看看这个第八题， 这个题选 c 哈，这个给的这个解析这里就不是特别好啊。这个啊，是因为是想着咱们是培优的这个课程嘛，所以大家对于三百内角和等于一百八十度是大家都知道的哈，所以是用了这个。但其实在同步里面的话，我们最好还是去用做平行线的方式去做， 如果两条射线是两条平行线被第三条直线截得的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行，你看到这里，就算你把这句话念不明白， 那你也可以把第一问做对啊，我们看到我们刚刚改写的这个第四题吗？第四题，我们如果后面跟的是什么？是跟的提设或者是叫条件吗？然后那么后面跟的是什么？是结论，对不对？所以你会发现，如果的后面他就跟的是提设，所以这里就是我们的提设， 就是画红色部分的这一部分，接着老师换个颜色啊，画紫色部分的这一部分啊，那么后面跟的就是这个的结论，所以这两条直线互相平行，第一份就已经出来了，你不用把它读明白。 语文默写，小学的时候，我们是不是就做过这种题叫什么？照着它抄一遍，那现在你就把如果后面红色的字抄在其设后，抄为其设，然后紫色的字后面抄，为什么抄？抄为结论，那这个题就已经出来了呀， 是不是送分题非常 easy？ 接着第二问，哈哈，第二问就有很多同学就已经不会做了，为什么呢？它是画出图形，并用数学符号叙述这个命题。 首先呢，这句话很多同学就念不明白了，我们来一起看看说，如果两条射线， 那是什么样的射线呢？那这两条射线是什么的平分线，这个平分线是内错角的平分线，那这里什么的内错角呢？哦，两条平行线被第三条直线所截得到的内错角的平分线是这两条射线 是不是有一点点绕这个题，所以你会发现啊，那这样的话，你要去用数学符号去呃，叙述这个命题，你要去画出这个图形的话，那你就首先这个图就不是很好画啊，老师画在这里啊， 这是两条平行线，然后呢，第三条直线， ok， 已经出来了，所捷德得到的一对内错角，那比如说是这两个内错角吧， 的两条射线，内错角得到的平分线，那这个角的平分线，我们把记为这个 r， 然后这个题给它画出来， 那这两条射线是互相平行的，那这个图就画出来了。那要我们用什么用数学符号去叙述这个命题，那我们现在就要用什么用数学语言给他，怎么样给他说出来啊？那这样的话，我们就对需要对他进行一个标注了，比如说这两条平行线，我们记作 a、 b 和 c、 d， 那 第三条直线我们把记作 e 和 f， 然后呢这个内错角的平分线，我们把它记作 g 和 h。 ok， 那 现在教你写了，那写的话如果后面是提设，那么后面是结论。所以我们要说已知 这里的 a， sorry， 应该是大 a 哈， 已知 a、 b， 它是平行于 c、 d 的， 然后呢，这个 e、 f， 其实我们在这里不是很好说哈，我们只说 e、 f 与 a、 b、 c、 d 相交于，比如说我们这里还记成一个 m、 n 吧，这里的 e f 交 a、 b 于点 m， 角 c、 d 与点 n。 好， 这样它的第三条直线结也出来了，那么接下来我们就要说角平分线了，然后这里的 g、 m， 平分角 a， m， n， 这里的 n、 h， 它是平分角 m， n、 d。 让你去干嘛呢？让你去正，这两条直线是互相则， 这里的这个叫什么？这里的 g、 m， 它是平行于 n、 h 的， 那这个是让我们去进行的一个啊，数学符号去描述的。 好吧，那接着我们第三份就是要我们去证明我们刚刚说的这个它是一个正确的。那为了少画一个图啊，我在这里就还是呃，用咱们板上的这个去进行一个演绎证明哈， 好像不太行，擦不掉。那行，那我们换下一页 ppt 吧，老师，再画一下， 等一下吧，说被卡住了，哎，刚讲到了第几题了？十三，哇，是不是很明显看视频的时候我们老说卡成 ppt， 就是 这样啊，就老卡成 ppt 是 吧。 那刚刚我们说的这个证明的过程啊，稍等一下啊。 ok， 用推理证明的方法去证明它。那我们刚刚把这个图再画一下哈，怎么又回去了嘞？ ok， 那 把这个图再画一下，这个是两条平行的直线， a、 b 和 c、 d， 然后呢，这一条线是第三条直线，我们把它记为 e、 f， 然后与 a、 b 交于点 m， 以 c、 d 交于点 n， 这里的 g、 m 是 a m， n 的 角平分线， 这里的这个 n、 h， 它是角 m、 n、 d 的 一个角平分线。那我们现在要来证明它的时候呢，我们就要用，因为这里的 a、 b 它是平行于 cd 的， 所以我们这里的角 a、 m、 n， 它跟咱们这个角 m， n、 d 是 内错角。所以呢，它们俩是什么呀？是相等的哈。然后又因为这里的什么呢？这里的 g、 m、 n 的， 然后呢，这里的这个 n、 h， 它是平分角 m、 n、 d 的， 那所以我们要正的是这两条射线互相平行，那这样的话，我们要正这两条射线平行的话，你就假设这两条平行，那是不是这两个内错角就是相等的呀？那现在我们就是目的就要找找这一组角是相等的嘛？那因为这里平分嘛，所以这里的角 g， m， n， 它是等于二分之一角 a， m， n 的， 因为它是它的角平分线哈，这里的这个 m， n， h， 我写到这来哈，就跳过点 f， m， n， h， 它是等于二分之一倍的角 m， n， d 的。 那你看，这里的这个 a， m， n 和 m， n， d 都是相等的，所以这里的角 g， m， n， 它是等于这个角 m， n， h 的， 那这样我们就能得到这个 g， m， 它是平行于这个 n， h 的。 ok， 那 这样就是咱们这个题，这个题的一个啊，证明，证明它是一个真命题。我们刚说了啊，真命题大多数时候都是需要自己去经过推理论证的。好了，那么这个过程呢？大家同学们自己下去再看一看哈。 ok， 好， 接着 九题，这里啊，题干很长啊，说如图，在三角形 a， b， c 中， d 和 e 它是 ab 上的点， f 和 g 是 a、 c 上的点，这里有一个 f、 d 是 垂直于这个 ab 的， 已经告诉我们了哈，并且垂直符号已经给我们画出来了。 然后连接 e， f， e， h 以及 e， g， 给定三个条件，一、二、三，让我们从三个条件里面选两个作为已知条件，另一个作为结论去组成一个真命题。哦，那在这里你首先想到三个里面挑两个，你有几种挑法呢？ 是有几种的？有三种的，我可以挑一和二，也可以挑二和三，还可以去挑什么？去挑一和三，对吧？那如果我挑一和二作为已知条件的话，那我的结论就是三了吗？ 那我挑二和三作为已知的条件的话，一就是结论了吗？那一和三作为结论，作为条件的话，那二就是对应的。什么 对应结论？那题目说了要我们吃什么是真命题吗？所以我们就需要去对这个三个去分别判断。当然我们如果在考试的时候你挑一个出来就可以了，只要判断它是一个真命题，我们后面两个就不用再做了啊。那在这里我们平时学习的时候还是需要怎么样？还是需要更严谨一点的。好吧，好，那我们来看看 这里的这个题的第二问为，顺便说一下，他说是证明上述命题，那老师就把两个题一块两问就一起讲了啊。首先我们来看看第一个说，如果是挑一和二的话，作为已知条件，那除了这里的 f d 是 垂直于 ab 之外，还有这里的 e g， 它也是垂直于 ab 的。 那由此我们能得到什么呢？能得到这个 f d， 它跟咱们的这个 e g 就是 怎么样？就是平行的呗，对吧？那它两个平行。再看第二个条件，说角阿尔法和角贝塔是相等的，这两个角是相等的，要物证的是角 c 和这个什么角 c， 它是等于角贝塔加上角 e g h 的。 ok， 那 在这里首先我们要看一下第二个这里给的已知条件我们怎么样去使用哈？这里的阿尔法和 beta 相等怎么样呢？你看，因为这里这两条红线是怎么样是平行的？那平行之后我们能产生什么呢？ 产生了，这里有一组内错角是相等的，也就是我现在画的这个红圈圈。这两个角是什么？是内错角相等，那一个相等的角加上阿尔法， 一个相等的角加上 beta， 而这 r 法和 beta 又是怎么样？又是相等的，所以这两个大角来看着啊，老师，现在在图上画的这两个大角是怎么样是相等的？那它两个相等就能得到什么呢？来，老师换个颜色哈， 就能得到我这里的这个 e h 这条紫色的直线和下面这个 b c， 因为一组内错角相等，可以得到它俩是怎么样？是平行的，那它俩平行我可以得到什么呢？可以得到这个角 a h e 和这里的角 c 就是 怎么样？就是相等的嘛。那 题目要求的这个角 c 角贝塔在这里，还有一个是角 e g h， 哎，它们都不在一块，怎么办呢？那我们可以往这去做一个平行线去证明它哈，那这个角它跟这个角是相等的，对不对？那它跟它平行，那我们可以，哎，这不往这做平行线哈，稍等一下， 这个平行线坐，这不行，因为我们要产生的这个叫什么？作为这个条件，然后去证明第三个结论啊，那我们在第三个结论这里我们先简单的回顾一下吧， 我们说已经去证明出了这两条直线去平行的，对吧？那这两条直线平行，我们接下来要去证明这个结论吗？那这个结论你看角 c 我 们刚是不是已经给导到这来了？ 那也就是这要去证明这个角它是等于这个贝塔加上角 e g h 的。 那如果说同学们哈，我们如果学习了，就是你如果能够知道三角形的内角和等于一百八的话， 那你在这里就可以说这个角它加这个角 e h g 是 不是等于一百八十度？那这个 e h g 加角贝塔以及这里的角 e g h 是 不是等于一百八十度？所以你就能够得证了哈，用这个三角形的内角和去可以去证明呢？ 除了这个以外呢，当然我们老师也强调过说我们在同步的这个阶段，我们还是怎么样，还是不要去。呃，去进行一个这个叫什么？不要去进行一个超前的知识这个学习。那在这里如果说不用超前的知识，我们可以怎么样去学习呢？可以去做呢？我们可以去过点 h 做一条平行线， 平行于这个 e g， 也就是我现在做的这个 l， 我 把它记做 l， 可以 吧？ a b c d f， 我 们就 m n 吧，一会好好写字母， 这里的 m n 是 平行于 e g 的， 那这样平行完了之后，我们可以产生一个什么呢？这里的这个 beta 我 就可以把它导到 e h m 这来，没有问题吧？这里的这个 e g h， 它跟咱们这个 m h a 它是一个什么？一个是同位角，所以这里的 beta 加这个角就可以把它转化到这里的 e h m， 加上 m h a， 也就是等于这个 e h a。 那 所以这个第三个我们就已经证出来了，那要一个结论，作为 条件两个几，作为条件的话就一二，那结论是三就怎么样就是可以去证明的了。 ok， 那 这个是我们的第一个，我们说刚刚说的有几种组合，有三种组合嘛？除了一二三还有什么？还有一三和二，还有二三 合一，那么后面两个呢？我们也简单的来看一看啊，那后面两个其实也是一个正确的哈。那如果说我是用这个一三和二，老师把这个笔记稍微擦一下哈。 哎，稍等一下，好像又有点问题了， 他为什么不让我用橡皮了？没有就没有吧，没有。老师换个颜色，稍微将就着讲一下。 ok， 那 这个吧，用这个图讲吧。那我们刚刚你们就看一下我们自己的这个题哈，那我们在这弄一下这个，如果我是一三和二的话，也就是我知道这个是个垂直的， 那也就是说我知道这个是一个垂直的条件，并且我知道这个角 c 它是等于角 beta 加上这个角的，那我们如果是知道这两个条件的话，我们怎么样去运用呢？那首先呢，呃，关于这个角它等于这两个角相加，我们是不是得同样的去给它转化过去啊？ 你看这个角等于这个角吗？那这个角可以转换成这个角是不是？那这样的话就可以证明角 a、 h、 e 跟角 c 是 相等的。那由此我们就知道了这两条直线是怎么样是平行的喽。那同样的垂直的话，那这两条直线又是怎么样？又是平行的？那因为 第一组平行，也就是这里的横着的两条直线平行的话，就会产生这个大角跟这个大角是怎么样是相等的？那他们俩相等，再由斜着的两个 平行哈，我们可以得到我现在画的两个圈圈是怎么样是相等的。那大的减圈圈，大的减圈圈，剩下的 r 把和 beta 就是 怎么样就是相等的。所以我如果用一三去正二的话，这个题也是怎么样也是正确的哈。 ok， 那 如果我用二三去正一，我可以试一下。这个橡皮出来了没啊？哎，出来了，卡出来了， 为啥都不让我擦嘞？ 好像又卡，我又用不到橡皮了。好，那还是它吧。那如果我用一三，一三用一，用二三去正一的话，那你看啊，同样的，我是不是也可以去证明两条横着的直线是平行的， 换个颜色啊？同样的，我们也可以去证明这两条直线是平行的嘛。那平行完了之后呢？因为这两个平行，所以两个大角是相等的，但 大角减掉阿尔法，大角减掉贝塔，也就是我们的第二个条件吗？那剩下的两个红色的，也就是我现在画成紫色的，这两个角不也是相等吗？那相等的话，所以这两条直线是怎么样？是平行的？那平行的这是一个直角，那这就只能是一个直角吗？所以我们也能证明一是正确的啊。所以这里的三，这里的一二三两两组合都是能够去证明它是正确的哈。

角一跟角二 好，角一跟角二属于同位角，那根据平行的判定，我们知道同位角相等，两直线平行。那这里我们可以推导出 l 一 是平行于 l 二的。现在已知角三等于七十五度，要求的角四的度数，我们又知道了 l 一 跟 l 二是平行的， 角三等于七十五度的情况下，我们可以推导出这个角应该也等于七十五度。因为对顶角相等，而角四跟这个角属于同旁内角，由两直线 平行，同旁内角互补，可以推导出角四应该是等于一百八十度，减去七十五度等于一百零五度。 好，这个题就应该选择 b 选项。所以我们的第一题呢，首先是利用平行的判定，推导出 l 一 平行于 l 二，同一角相等，两直线平行。再利用 平行的性质，两直线平行，同旁内角互补，根据对顶角相等，然后推导出角四的度数应该是一百零五度。 好似图，这是小康设计的一个指风指风车的示意图，其中 a、 b 跟 cd 是 相交于点 o 的， 在这个风车的杆上，若角 a 等于角 b， 角 a 等于角 b 等于五十六度。跟我们刚刚第一题一样，我们来分析一下。首先角 a 跟角 b 属于是内错角，那内错角相等，可以得到两直线平行， ab 被 ab 所截的两条直线分别是 bc 跟 ad， 所以 这里我们可以推导出 ad 是 平行于 bc 的。 接着他问，他给了角 d 的 度数是八十四度，要求的是角 c 的 度数，而角 c 跟角 d 呢？它又是内错角。那根据两直线平行，内错角相等，可以推导出角 c 应该是等于 角 d 等于八十四度。好，那这道题就应该选择 d 选项。 同样的，我们是先根据平行的判定内错角相等，两直线平行，推导出 a、 d 跟 b、 c 是 平行的。然后我们再利用两直线平行，内错角相等，推导出角 c 等于角 d 等于八十四度， 好。第三题啊，这是一个我们平行的性质跟判定的一个正错步的一个 判断啊。我们来看一下，如图，下列选项中判定错误的是。首先审题，判定错误的是 a 选项。若角 a 等于角三好，那角 a 跟角三是同位角，它们是 ab 跟 df 被第三条直线 ac 所截形成的同位角。同位角相等两直线平行，即 ab 平行于 df， 所以 我们的 a 选项应该是正确的。 接着来看一下 b 选项，若角四加角二好，等于一百八十度。角四跟角二是我们的直线，第一跟直线 a、 c 被我们的直线 d、 f 所截形成的同旁内角。当角四加角二相加等于一百八十度的时候，我们说同旁内角互补，两直线平行，所以可以推导出 a、 c 是 平行于 d 一 的，这个是正确的 c 选项。若 a、 b 平行于 d、 f， a、 b 平行于 d、 f， 则角三等于角四。我们来看一下角三跟角四是 直线第一根直线 a、 c 被第三条直线 d、 f 所截形成的内错角，而我们给定的两条直线是 a、 b 和 d、 f， 而不是我们的第一根 a、 f 或者 ac， 所以 c 选项是错误的。 好，接着我们来看一下 d 选项。若 a、 c 平行于 d、 f、 a、 c 平行， a、 c 平行于 d， 则角 a 等于角一好，我们来看一下角 a 跟角一是 直线 a、 c 跟 d 一 被第三条直线 ab 所截形成的同位角，那两直线平行，同位角相等，所以 d 选项是正确的。 不，这道题错误的就应该是我们的 c 选项。所以我们一定要找准被截的两条直线以及截线是哪一条，然后区分清楚对应到我们的同位角、内错角同旁内角。 这个传统的老式自行车呢，承载了一代人的回忆图一是自行车放在水平地面的实物图，图二是其几何示意图，其中 abcd 都与我们的地面 l 是 平行的，并且告诉我们，角 bcd 是 等于六十度的，角 b、 a、 c 的 度数是五十四度。好，要是 a、 m 跟 c、 b 平行，则角 m、 a、 c 的 度数应该是多少？好， 那首先题目说 a、 b 跟 c、 d 都跟我们的地面，这个 l 是 平行的，根据平行的传递性呢，我们就可以得到 a、 b 跟 c、 d 也是平行的。 那当 a、 b 平行于 c、 d 的 时候，我们就可以得到角 abc， 它应该是等于角 b、 c、 d 等于六十度的，因为两直线平行，内错角相等。接着他要问的是，当 a、 m 跟 bc 的 度数好，因为 两直线平行，同旁内角互补，所以若 am 平行与 bc 则有，则我们可以得到角 m、 a、 c 好，加上这个五十四度，就是加上我们角 c、 a、 b， 再加上这个角 a、 b、 c。 刚刚我们说角 a、 b、 c 等于六十度，它应该是等于一百八十度的， 那所以可以求出来，角 m、 a、 c 应该是等于。我们一起来算一下，一百八十度减去六十度，应该是一百二十度，一百二十度再减去五十四度，应该是六十六度，所以角 m、 a、 c 的 度数应该是 六十六度，这是这道题。那首先先利用平行的传递性得到 a、 b 跟 c、 d 平行，然后利用平行的性质得到角 a、 b、 c 的 度数，再根据平行性质，两直线平行， 同旁内角互补，然后得到角 mac 的 度数。好，第五题第五题，这个是啊，让我们尝试去说明两个角相等，利用平行的性质，或者说是判定。如图， a、 d 平行与 bc 角 b， a、 d 的 平分线交 c、 d 于点 f 交 b、 c 的 延长线于点一角 b 加上角 b、 c、 d 等于一百八十度。好，这个角加上 这个角等于一百八十度，是说明角 c、 f 一 等于角一。我们一起来看一下， 请将下面的梳理过程补充完整解。因为 a、 d 平行与 b、 c， 这是题目给的已知，所以角二等于角一。我们来看一下， a、 d 平行于 b、 c 角二等于角一，那这个是 两直线平行，内错角相等，所以这里应该是两直线平行。 好，利用的是平行的性质啊，内错角相等。 好，来看一下。 接着他又说，因为 a 一 平分角 b、 a、 d， a 一 平分角 b、 a、 d 是 题目给了的啊 a 平分角 b、 a、 d， 所以 可以得到角一等于角二。那这个我们利用的是角平分线的定义。 我们说啊，角就是过 角的顶点啊，经过角的顶点的内部的一条射线，将我们的这一个角平分成两个相等的角，我们就称这条射线为这个角的平分线。那根据这一定义呢？我们就可以推导出角一应该是等于角二的。好， 那刚刚我们已经说了角二是等于角一角 e 的， 而又说了角一跟角二是相等的，那等量代换下来，是不是就说明我们的角一是等于角 e 的 啊？好， 等量代换。那因为题目又说了角 b 加上角 b、 c、 d 等于一百八十度，那我们来看一下角 b 跟角 b、 c、 d 是 我们的直线 a、 b 跟直线 c、 d 被 b、 c 所截形成的同旁内角，那它俩如果是相加的，和等于一百八十度，可以得到被截的两条直线 a、 b 应该是平行于 c、 d 的， 那这个就是我们平行的一个判定，同旁内角互补， 两直线平行， 好。那所以呢，当我们推导出 a、 b 平行于 cd 之后，我们又可以得到角一等于哪个角呢？那你看一下 a、 b 跟 c、 d 被直线 a、 e 所截可以形成的角一的同位角，应该是我们的角 c、 f、 e， 所以 角一等于角 c、 f、 e， 那 这样的情况下，上面我们又说了角一等于角 e， 那 等量代换的情况下，可以推导出角 c、 f、 e 等于角 e， 好， 这个是这道题，我们接着看下一道题， 好。第六题，如图， bc 平行于 e、 f、 e 是 我们直线 f、 d 上的一个点，角 abc 等于一百四十度。 好，角 abc 等于一百四十度，角 c、 d、 f 等于四十度。 第一问是说明 ab 平行于 cd， 让我们来看一下 ab 跟 cd 啊，是不是平行的？让我们来看一下由题目告诉的 bc 平行与 ef。 我 们可以知道， 因为 bc 平行于 e、 f， 所以 可以推导出这个角，角 b、 c、 d， 它应该是等于我们的角 c、 d、 f 等于四十度的， 好，等于四十度，这个是两直线平行内错角相等。好，那又因为我们的角 a、 b、 c， 因为角，题目告诉角 a、 b、 c 它是等于一百四十度的， 所以我们发现，哎，一百四十度加上四十度是一百八十度，它们又是同旁内角，那进而根据同旁内角互补，两直线平行，可以推导出 a、 b 平行于 c、 d。 那 所以可以得到角 a、 b、 c 加上角 b、 c、 d 等于一百四十度，加四十度等于一百八十度， 那这个时候我们就可以推导出来 a、 b 平行于 c、 d。 好。本质上我们都是去呃，利用题目给定的我们的已知角，然后再去呃，推导出要么是内错角相等，要么是同旁内角互补，要么是同位角相等，去得两条直线平行好。接着来看一下第二问， 第二问，连接 b、 d 啊，连接 b、 d。 若 b、 d 平行于 a、 e 好， b、 d 跟 a、 e 是 平行的，并且说了角 b、 a、 e 等于一百一十度。 好，角 b、 a、 e 等于一百一十度。让我们写出所有与角 b、 a、 e 互补的角。 好。我们来看一下 a 一 呃平行于 b、 d。 又说了角 b、 a 一 等于一百一十度，那根据两直线平行同旁内角互补，我们可以推导出角 a、 b、 d 应该是等于七十度的。 好，它等于七十度。我们在大条件下给的角 a、 b、 c 是 一百四十度，所以我们也可以推导出角 c、 b、 d 应该是等于七十度。 接着题目又说了 bc 跟我们的这个 d、 f 是 平行的，那根据两直线平行内错角相等，可以推导出这个角 b、 d、 g 也是等于七十度的。 题目还告诉了角 c、 d、 f 等于四十度，那根据 角 c、 d、 f 加上角 c、 d、 e 是 一百八十度，这两个角是四十跟七十度，那中间这个角一百八十度减四十度，减七十度 应该也等于七十度。再接着我们看一下 a 一 平行与 b、 d。 那 再根据两直线平行同位角相等，我们推出角 a、 e、 g 也等于七十度。这个时候我们来看一下与角 b、 a、 e 互补的角，互补的角就要求应该是等于我们的七十度， 那我们这个时候来观察一下有哪些啊？就是这个图中所有七十度的角都是我们角 b、 a、 e 的 五角，那我们来看一下，就应该有一、二、三、四、五，分别是角 a、 b、 d、 角 c、 b、 d， 还有角 b、 d、 c、 角 b、 d、 g 以及我们的角 a、 e、 g。 好，这是本道题啊。这个第二题我们要注意一下。首先要理清楚什么是角 b、 a、 e 互补的角与它互补记相加的和应该等于一百八十度，那根据它本身等于一百一十度，所以它与它互补的角应该等于七十度。然后我们再利用平行的 静止，然后推导出这个图中等于七十度的角有哪些，然后一一列举下来就好。如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于角 b 等于六十度。好，这个角等于六十度。 好，角 c 等于 r 法 d 是 我们 a、 b 上的一点，一是 a、 c 上的一点角 a、 d 等于六十度。其实读到这儿，我们就已经能够判断出有两条直线是平行的了， 因为角 b 跟角 a、 d 一 是直线 d a、 b 和 b、 c 被直线 b、 a、 b 所截形成的。呃， 两个同位角，那同位角相等，两直线平行，可以推导出 d、 e 跟 bc， 它的位置关系应该就是我们就是平行的啊，好点， f 是 线段， bc 上一点连接 ef 或点 d， 做了 d g 平行与 a、 c。 好，这条直线跟 a、 c 是 平行的，交 ef 于点 g。 第一问，若阿尔法等于四十度，求角 e、 d、 g 的 度数，我们来看一下阿尔法，它等于四十度，刚刚我们说了，它求的是角 e、 d、 g 的 度数。 由角 b 跟角 a、 d、 e 等于六十度，推导出 d、 e 平行于 bc， 那 r 法也应该等于角 a、 e、 d 等于四十度。再根据我们的， 它要求的是这个角的度数，对吧？再根据两直线平行内错角相等，可以推导出角 e、 d、 g 的 度数，应该是等于我们的 r 法就等于四十度。 好，来看一看啊，那我们来一起写一下过程。首先变为角 b 等于角 a、 d 一 等于六十度， 那所以可以推导出来的有 d 一 应该是平行于 b、 c 的 两直线平呃同外角相等。两直线平行，那由 第一平行于 b、 c， 我 们又可以推导出来，那是角 a、 e、 d 应该是等于角 c， g 等于 r f 好， 等于 r f 平行于 r， f 是 四十度，那就等于四十度。 再接着看一下，题目告诉了 d g 平行于 c， a、 c， 那 又因为 d、 g 平行于 a、 c 啊。这个时候呢，根据两直线平行内错角相等，我们可以得到角 e、 d。 谨记，我们要求的这个角，它应该是等于角 a、 e、 d 等于四十度的。 好，这个是第一问。第一问，我们同样是利用给定的角去推导两直线平行，再利用平行的性质去导角的度数。接下来看一下第二问， 好，第二个，这个稍微有一点点的复杂，就是要我们一起去利用平行的性质，然后把这些角呃表示出来，然后再去求我们阿尔法的度数， 那一起来看一下，角 f e c 好， 这个角等于二倍的角 d e f。 好，角 d g e 角角 d g f 等于四分之三倍的角 b f g 好， 它要求的是阿尔法的度数，所以相当于我们去表示这些角的时候，要找到与阿尔法的一个关联。那首先我们来看第一个等式，呃，二倍角的关系，那我们就先来设角 d e、 f 是 x， 好，我设了角 d e、 f 是 x 之后，那角 f e、 c， 它就应该是二 x， 好， 那我们来设角 d e、 f 等于 x， 则角 f e、 c 等于二 x， 好，接下来看第二个等式，我们来看一看能不能找到与 x 的 关系啊？那角 d g、 f 来观察一下角 d g、 f 是 不是等于一百八十度减去这个角， 而这个角利用平行的性质，两直线平行内错角相等，它也应该等于二 x， 那 因为 b g 是 平行于 a c 的 好， 这个可以表示乘二 x。 我 们接着来看一下，还要表示角 b f g， 而角 b f g 相当于是一百八十度减去这个小角，那你看下这个小角，我们利用平行的性质，发现它应该是角 e、 f、 c 应该是等于角 d e、 f 等于 x 的， 所以 它应该就是角 b f 一， 就应该等于一百八十度减 x， 那 我们就一起写一下，因为 d g 平行于 a c 好， 还有我们的 d e 平行于 b c， 所以 可以推导出来的由角 d g、 e 等于我们的角 f、 e、 c 等于二 x， 角 e f、 c 等于角 d e、 f 等于 x 哎，这个时候我们发现给定的第二个等式里面的两个角，我也可以用含 x 的 式子表示出来，所以可以得到的有角 d、 g、 f， 它应该是等于一百八十度 减去二 x， 而角 b、 f、 g 等于一百八十度减 x。 这个时候我们再把这两个式子替换进到第二个等式里面，我们就可以把 x 求出来了。好，所以就有 一百八十度减二 x 等于四分之三，对的一百八十度减 x。 好，这个解出来，我们的 x 应该是三十六度啊，这个同学们自己可以解一下。这个解答的过程我在这里就不详细的去写了。好，求出 x 是 三十六度之后呢？我们发现我们要求的是谁的度数呀？阿尔法， 那刚刚已经说了，我们来观察一下，角 c 是 阿尔法，根据平行，我们其实在第一问里面已经说了，角 a、 e、 d， 它是不是也是等于阿尔法的？ 那我们发现阿尔法它其实就等于一百八十度减去三 x， 因为阿尔法与下面的这个角 d、 e、 c， 它们是互补的，那阿尔法应该等于一百八十度减去三 x， 既一百八十度减去一百零八度，三乘以三十六度是一百零八度，那最终解出来 r 的 度数应该是七十二度。当然这个题呢，我们也可以 不用去设另外一个未知数 x， 大家可以直接把角 d、 e、 g 以及我们的角呃，这个 f、 e、 c 用含阿尔法的式子去表示出来，根据它们之间的一个二倍角的关系，然后，呃，再去解析。 好，这个是倒角，根据平行的性质去倒角之后求对应角的度数啊。

如图，已知角一等于九十度。为了保证两条铁轨是平行的，下列添加的条件中正确的是好，我们有一个判定两直线平行的一个 方法，就是通过判断。什么呢？两条直线被第三条直线所截，如果它们的同位角相等，那么两直线是平行的，那么我们来看一下这个图，我们来找一下它的同位角，这里呢，已经给出来角一是等于九十度的，对不对？好，那我再来找一下，图中哪个角和角一是同位角呢？ 是不是要在什么两条直线的同侧，也要在什么被第三条直线所截？这个第三条直线的同侧对不对？你看这个角一和我的角四是不是就在同侧的，对不对？那我要保证这个角四也等于九十度的时候， 这个铁轨是不是就平行了呀？所以这道这道题呢，我们选择 c 选项。如图，直线 a、 b c、 d 被直线 e、 f 所截，这个角一呢，和角二是相等的，看一下角一角二在哪个位置啊？角一和角二 还有呢？角 c n f， c n f 在 这，和我的角 b m e， b m e 在 这，他说是说明我们的 ab 平行于 cd， 还有呢， mp 平行于 n q， 那 我是不是要找对应的一个同位角？ 看题目给我的一个提示，他说解，因为角 m、 n、 d 在 哪呢？ m n、 d 是 不是在这， 对不对？还有呢， c、 n、 f 这什么角啊？这两个什么角？是不是对顶角？对顶角始终都是相等的，所以这里呢， 角 m n、 d 和角 c n f 相等，是因为对顶角相等，加上题目的已知条件，这个角 c n、 f 和我的角 b m e 是 不是相等的？那么我可以得到什么呢？你看，都有公共的角 c n f， 我 可以得到这里的角 m n d 等于角 b m e。 好，你看角 m n d， 哪个角？是不是这个角？对不对？好，还有呢，角 b m e， 是 不是这个角？这两个角什么关系？同位角相等，两直线平行， a、 b 和 c d 平行， 你看，所以我就可以得到 a、 b 是 平行于 c、 d 的， 依据呢是同位角相等，两直线平行。 继续往下看，因为题目告诉我，这个角一和角二是相等的，我是不是还有一条平行线没有正啊？是不是这个 p m 和 n q 啊？两条直线平行，我没有正，那我也是需要找什么呢？是不是也是需要找同位角的呀？对不对？那么你看 这个角，角 p m e 和我的角 q n m 是 不同位角，那么角 p m e 需要用角 e 加上角 b m e， 角二呢？需要加上角 d n m 才等于角 q n m， 那 么他们俩 a 角一，角二相等，这两个角也相等，相加之合是不是就相等呀？即可以得到角 e m p 等于角 m n q， 那 么我就可以得到这里的 mp 平行于 nq， 依据呢，是同位角相等，两直线平行，如图，如果角三等于角 d， 哎，角三和角 d 什么关系？是不是内错角的关系啊？那么内错角相等，我可以得到什么呢？可以得到这里的 b 平行于 df， 依据呢，就是我的内错角相等，两直线平行， 如图， ab 是 垂直于 bc 的， 你看 ab 垂直于 bc， 说明什么？九十度嘛，对不对？ bc 垂直于 cd 呢，也说明等于九十度。 好，角一又和角二相等，那我们一步一步的来看一下，根据这个垂直，我可以得到这里的角 abc 和我的角 bcd 都等于九十度相等的，而这两个角什么关系啊？ 是不是内错角，内错角相等，两直线平行啊，对不对？ ab 平行于 b、 c、 d， 是 不是好？既然角 abc 和角 b、 c、 d 相等了，还有呢，角一和角二相等，那我这两个角分别呢？把这个 角一、角二都给减去，减去相等的角，剩下的这个角 b、 e、 c， 这个角 c、 b、 e 啊，和这个角 b、 c、 f 是 不是相等了？内错角相等，两直线平行。我们来看一下这道题的一个过程如何去写。 首先我要说明一下，因为这道题它问的是什么呢？ b、 e 和 c、 f 的 一个关系，所以在我解这道题目最开头呢，我先要说明一下，这个两是什么关系呢？是平行的关系。理由如下， 因为 ab 垂直于 bc， bc 垂直于 c、 d， 所以 我可以得到这个角 abc 等于角 b、 c、 d 等于九十度，也就是这里的角一加上角 abc， 角二加上角 b、 c、 f， 又因为角一和角二相等，所以呢，这个角 abc 和我的角 b、 c、 f 相等，两直线是平行的。好，这就是第四题。 好，我们一起来 a、 b、 c、 d 每个选项都来组个看一下。 a 选项角一等于角三，你看角一、角三什么关系啊？是不是？对顶角对顶角相等对不对？对，顶角始终都是相等的，跟我平不平行没有什么关系，所以这个 a 选项排除 b 选项角二加上角四等于一百八十度。先找出角二和角四，这个角二和角四什么关系啊？ 零补角对不对？零补角本来就是互补的，相加就等于一百八十度，那么这个 b 选项也排除，跟我的平行也没有什么关系。好， c 选项角一等于角五。哎，看这个图，上角一角五什么关系啊？ 没什么关系对不对？它又不是两条直线被第三条直线数所截，它的角一两边，角五两边这直线都不一样，是不是？所以它俩没关系，那么 c 选项排除掉，就选我的 d 选项。那我们来看一下，为什么选择我们的一个 d 选项呢？ 角三加上角四等于一百八十度。哎，角三和我的角四什么关系啊？ 是不是同旁内角的关系？同旁内角互补的时候，互补就是之和为一百八十度。角三加上角四等于一百八十度的时候呢，我的直线 a 与直线 b 就是 平行的。所以呢，这个第五题，我们选择 b 选项， 大家一定要找清楚啊，哪两个角角三角四，它们刚好是这个直线 a、 b 被这个直线 c 所截而形成的这个同旁内角。第六题，我们看一下题目的一个已知条件，如图，直线 c、 d、 e、 f 交于点 o o a、 o b 分 别平分角 c o e 和角 d o e， 这有个平分啊，记住，有一个条件等会是可以用的，并且呢，角一加上角二等于九十度，还有一个条件，数量关系是说明一问， o a 垂直于 o b， 如何去证 o a 垂直于 o b 啊？ 那是不是要想办法什么？我想办法求它们的一个和，如果它们的和啊，这个假角角 a o e 和角 b o e， 它们的和等于九十度的话，那么我是不是就可以证这里的 o a 垂直于 o b， 那 如何去证呢？ 好，我们把它写下，写在这里解， 先根据题目已知条件，你的条件是什么呢？这个角 c o e 和角 d o e c o e， d o e 什么关系啊？零补角是不是相加等于一百八十度？好，先根据题目的已知条件，因为 o a 有 点连比啊。 好，我们重新来写一下，因为题目告诉我， o a、 o b 分 别 平分我的角 c o e 和和我的角 d o e。 那么我可以得到什么呢？得到这里的角 a o e， a o c 是 不是相等的角 a o e。 我 们主要是为了求这个角 a o e 和角 b o e 的 一个度数，对不对？那么我们就写角 a o e， 它是等于二分之一倍的角 c o e 呢？ 它是等于二分之一倍的角 d o e 的， 对不对？那这个时候呢？所以我要求这个角 a o b， 它是不是这两个角的一个和呀？那么角 a o b 就 等于角 a o e 加上我的角 b o e 也就等于什么呢？也就等于二分之一倍的角 c o e 加上二分之一倍的角 d o e。 刚刚说了，我们从图中可以发现，这个角 c o e 和我的角 d o e 是 互为邻补角相加等于一百八十度的，那这个时候我可以提一个二分之一出来二分之一倍的符号，角 c o e 加上我的角 b o e 对 不对？等于一百二十一百八十度乘二分之一也等于二分之一，乘一百八十度等于九十度， 对不对？所以我正好就可以得到什么呢？这里的 o a， 它是垂直于我的 o b 的。 好，这是不是就是第一小问它的一个证明的过程？你在写的时候呢，也要按照这样的一个步骤去推导，我们来看一下 第二问，求证 a、 b 平行于 c、 d。 刚刚我们第一问证出来的结论，这个第二问是不是也可以用啊？对不对？好，那么大家先思考一下，如何去证我的 a、 b 平行于 c、 d 呢？用我们刚刚的三个判定方法，第一个同位角相等，第二个内错角相等，第三个同旁内角互补。 我们来看一下 a、 b、 c、 d 刚刚用的条件，还有一个没有用，就是角一加上角二等于，我们往上翻一下啊， 九十度这个条件是不是还没有用，对不对？那么在第二分钟我们就需要来用一下这个条件， 那这里角一加角二等于九十度，这里已经有什么呢？这已经证了一个 o a 垂直于 o、 b 了，那么放在这个 a、 b、 o 这个三角形里面的话， 这个角一加上我的角 a、 b、 o 等于多少度？是不是等于九十度啊？那么它和我的角二是不是就相等？等于错角是不是相等？两直线是不是就平行了呀？对不对？好，我们来看一下完整的一个解答的过程， 这是刚刚说的一个方法，还有个方法是什么呢？你看，因为角一加角二是等于九十度的，所以呢，我可以把角一加上角 a、 o、 d， 它就和角等于角 a、 o d， 角一加上角 a、 o、 b， 这个 a、 o、 d 可以 写成什么呢？角 a、 o、 b 和角二之合是不是等于一百八十度？所以呢， a、 b 是 平行于 c、 d 的？ 好，我们来清楚一下，你看这是怎么得到的呢？因为 这个角一啊，本来加上角二是等于九十度的，现在呢，我刚刚在第一问里面证出来了，这个 o a 和 o b 是 垂直的，对不对？所以说呢，这个角一加上角二等于九十度，再加上一个九十度，是不是刚好就是一百八十度啊？是不是？ 那么这个角 e 和我的角 a、 o d 什么关系啊？是不是同旁内角的关系？同旁内角互补，两直线是不是就平行了呀？是不是？那，那么刚刚我们说的那个方法呢，可能还没有讲到三角，还没有涉及到这个三角形的一个内角和尽量还是用这个方法， 这个方法就是我们刚刚说的九十度，再加上一个九十度等于一百八十度，而这两个角的一个关系呢，是同旁内角的关系，所以同旁内角互补，两直线呢，就平行了。 好，我们一起来看一下。如图所示，已知直线 a、 b、 c、 d 一， 好在这 a、 b、 c、 d、 e， 并且呢，角一等于角二，角一、角二什么关系啊？是不是内错角啊？内错角相等，两直线是可以平行的，我可以通过角一等于角二推出 a 平行于 b， 那 么再看角三加上角四等于一百八十度，角三角四什么关系啊？是不是同旁内角互补？那么我可以得到这里的 b 平行于 c， 对 不对？你看 a 平行于 b， b 又平行于 c， 说明这个 a c 怎么样？是不是平行啊？对不对？通过这两个得到 a 平行于 c， 是 不是？是不是我们刚刚讲到这个平行公理能够推导出来的？好，这是第七题， 角一等于角二，角一、角二什么关系？ a 错角。但是呢，除了我们要找到 a 错角以外的，我还需要判断一下它是哪两条直线被第三条直线所截呢？你看角一、角二，是不是我这里的 b、 c、 a、 d 两条直线被 a、 c 所截啊？那么角一和角二相等，我可以得到什么呢？得到，得到我的 a、 d 平行于 b、 c， 这也是一个易错的点啊。大家在找角的时候，不光要找内错角、同位角、同旁内角，还要找它是哪两条直线被第三条直线所截的。 序号二，角三等于角四。我看一下角三、角四什么关系啊？一样的对不对？内错角。那么它们是哪两条直线被第三条直线所截呢？是不是我这里的 a、 b、 c、 d 被 a、 c 所截啊？那么内错、内错角相等，我可以得到什么呢？ ab 平行于 cd。 好， 第三序号三角 b 等于角五，角 b 在 哪？在这 角五呢？在这什么关系啊？是不是同位角？那么我来看一下，是哪两条直线被第三条直线所截呢？是不是这里的 a、 b 还有呢？这里的 c、 d 被我的 bc 所截，那么同位角相等，我可以得到哪两条直线平行呢？是不是这里的 a、 b 和 c、 d 平行呀？对不对？ a、 b 平行于 c、 d。 再看一下序号四角 b 加上角一，加上角三等于一百八十度。我找一下角 b 在 哪？在这儿，对不对？角一加角三角一加角三，是不是我这里的角 b、 a、 d 啊？对不对？ 那我就来看一下这个角 b 和我的角 b、 a、 d 什么关系？ 是不是同旁内角的关系？既然是同旁内角，找一下，哪两条直线被第三条直线所截呢？是不是这里的 a、 d 和我这里的 b、 c 被 a、 b 所截呀？对不对？那么同旁内角互补两直线平行，我可以得到这里的 a、 d， 它是平行于 b、 c 的。 那么再来看一下这里的四个选项中，能够判断 a、 b 平行于 c、 d 的是什么，是不是二十三呢？所以这道题呢？选择 b 选项。

今天给七年级学生演示一下开学后第二周，速通七年级下册从三月十一日开始，边玩边预习，黑马直接冲进班级前三。一、语文， 把下册要背诵的考点按照知识清单的顺序逐一背诵，再看骆驼祥子速记口诀，背会考试闭眼抄。二、数学七年级全册，知识点整理好了，吃透，怎么考都不难。再看看常考的平方根、立方根速记表， 搭配二元一次方程，题型规范，做到举一反三。三、英语吃透每个单元重点考察的单词加短语加句型，背会考试怎么考都不怕！以上资料均有电子版，取件码，二三三。