九年级下册数学圆与几何，思维导图

啊啊。

同学们好，今天我们复习的专题是再看圆的定义。学习目标，一、通过从多角度认识圆的定义，加深对圆的概念和性质的理解。 二、在一些图形运动变化的问题中，能发现与圆关联的条件，并运用圆的有关知识解决问题，提高分析解决问题的能力。 三、能恰当的构造圆，解决几何综合问题，体会转化思想。 请你先回忆一下圆的定义，半分钟之后再来看视频。 在我们的教材中，圆是这样定义的，在一个平面内，线段 o a 绕它的一个固定端点 o 旋转一周， 另一个端点 a 所形成的图形叫做圆，其固定的端点 o 叫做圆心，线段 o a 叫做半径。 从画图的过程中可以看出，一圆上各点到定点的距离都等于定长。 二、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。因此，圆心为 o， 半径为 r 的 圆可以看成是所有到定点 o 的 距离等于定长 r 的 点的集合。 从这个定义可以看出，圆可以看做到定点的距离等于定长的点组成的图形。对圆的这个定义你真的理解了吗？我们来看几个题目。 第一，请先独立思考，三分钟之后再来看视频。 如图，正方形 a、 b、 c、 d 边长为二， e 是 ab， 中点 f 在 b c 边上 将三角形 b e、 f 沿 ef 所在直线折叠，得到三角形 p e f。 求 c p 和 ap 的 最小值。你是怎么做的呢？ 第一种思路，我们让点 f 在 b、 c 边上运动起来，画出相应的点 p， 观察 c p 和 a p 何时最小，请看动画。 这种思路似乎看的不是很清楚，我们再看第二种思路，我们先分析动点 p 的 运动特征，然后再去求最小值。 有已知 e 为正方形一边的中点 p e 是 由 b e 折叠得到的，所以 p e 等于 a， e 等于 b e， 其中 a、 b、 e 都是定点，因此动点 p 到定点 e 的 距离等于正方形边长的一半，也就是定长 e。 由圆的定义可知，点 p 在 以 e 为圆心， e 为半径的圆上运动。 由于点 f 是 bc 边上的一点，当 f 与 b 重合的时候，点 p 也与 b 重合， 当 f 与 c 重合的时候， e、 c 就是 折痕，即对称轴。我们可以画出相应的三角形 e、 c。 如图。 所以点 f 在 b、 c 边上由 b 运动到 c 时，点 p 就 会在原意上从点 b 运动到点 p 零。 那么对于弧 p 零， b 上的一点 p c、 p 合时最小呢？ 因为 p e 是 半径等于一 ec。 在 直角三角形 b、 e、 c 当中，可以用勾股定律求得，等于根号五。所以三角形 p、 e、 c 当中，两边之隔大于第三边，因此 p、 c、 e 共线的时候， p c 最小，那么可以求得最小值为根号五减一。 再来看 a p 何时最小。对于弧 p 零， b 上的动点 p a、 b 是 直径，所以三角形 a、 b、 p 是 个直角三角形斜边 a、 b 等于二。由勾股定律可得 a p 等于四减。 b p 的 平方的算术平方根。 请看点 p 从 b 到 p 零的运动， 这个运动过程中， p b 逐渐变大， a p 逐渐变小，所以 p 与 p 零重合时， b p 最大， ap 最小。我们就找到了 ap 最小时点 p 的 位置。下面再来求这个最小值。 在直角三角形 b、 e、 c 当中，两直角边是一和二，斜边为根号五。 设 ec 与 b、 p 的 交点为 q， 此时 bp 关于 ec 对 称， 对称点的连线被对称轴垂直平分，所以 p、 b 垂直 ec 于 q， 且 b、 q 等于 p q。 在直角三角形 b、 e、 c 当中，三边已知可求得斜边上的高为五分之二倍，根号五。 在直角三角形 a、 p、 b 当中，可得 p b 等于两倍的 b， q 等于五分之四倍，根号五，那么斜边 a、 b 等于二。用根股定律可求 a、 p 的 值是五分之二倍，根号五。 回顾这道题，我们利用圆的定义，先弄清了动点 p 运动的特征，再去求 pcpa 的 最小值就不难了。 下面我们来看例二，还是请你先独立思考，再来看视频。平面直角坐标系中 a 点坐标四零 b 点坐标零。三、若坐标轴上的点 c 满足三角形 a、 b、 c 式等腰三角形，写出点 c 的 坐标 点 c 在 坐标轴上，且使三角形 a、 b、 c 为等腰三角形，我们有思路一、在坐标轴上绞点 c， 看何时三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形，求坐标，请看 思路二、我们先分析作为等腰三角形的顶点 c 在 平面内的所有位置，再与坐标轴求交点。 已知两点，求第三点构成。等幺三角形一共有三种情形，就是 a、 b、 c 分 别作为顶角的顶点，我们来分类讨论。一、若点 a 为顶角的顶点， 则有 ab 等于 a、 c， 那 么动点 c 就 到定点 a 的 距离等于定长 a、 b。 根据圆的定义，我们就可以得出点 c 应该在以 a 为圆心，以 ab 长为半径的圆上。由于要构成等腰三角形，所以 abc 三点共线除外。 我们画出这个圆，看一看圆上的点 c 除了与 ab 共线外，是不是都满足条件？ 看三角形 a、 b、 c 都是等腰三角形，且 a、 b 等于 a、 c， 而要求点 c 在 坐标轴上，所以上述圆 a 与坐标轴的交点就是点 c， 当然不与 b 重合。 这个圆 a 与 x 轴交于 c 一 c 二与 y 轴除了点 b 外，还交于 c 三点。请看这些等腰三角形。 由于圆心 a 的 坐标为四零，半径等于五，很容易求得这三个点的坐标。 c 一 九零 c 二，负一零 c 三零负三。 第二种情形，点 b 为顶角的顶点，与点 a 为顶角的顶点方法完全相同。 b a 等于 bc， 则动点 c 到定点 b 的 距离等于定长 ab， 所以 点 c 在 以 b 为圆心，以 ab 为半径的圆上， abc 共线除外。 那么点 c 就是 上述圆 b 与坐标轴的交点，我们也很容易求得坐标。 这个圆与 x 轴的交点是负四零与 y 轴的交点零负二零八。第三种情形，若点 c 为顶角顶点，则 c a 等于 c b， 于是动点 c 到定点 a 和 b 的 距离相等。回忆下， 到一条线段，两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点 c 在 线段 a、 b 的 垂直偏平分线上， abc 共线除外，所以点 c 是 线段 a、 b 垂直平分线与坐标轴的交点。 我们画出图，这条垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别有一个交点。下面求这个 c 七、 c 八的坐标，我们可以用 方程的方法来计算，也可以用三角形相似来求得过程。在这里答案是， c 七八分之七零 c 八零负六分之七。 回顾刚才这道题，我们发现了与缘关联的条件，运用了缘的有关知识解决了问题，下面请看例三，还是先独立思考，再来看视频。 对平面直角坐标系 x、 o、 y 中的点 p 和点 a 给出如下定义，若线段 p a 满足， p a 大 于一小于二，则称点 p 是 点 a 的 环绕点。 当点 a 坐标为零一时，若直线 y 等于 k， x 加四上存在点 a 的 环绕点，写出 k 的 取值范围。题目给出了一个新的定义，环绕点， 点 p 是 点 a 环绕点的意思是 p 点到 a 点的距离大于一小于二，直线 y 等于 k， x 加四是过定点零四的与 k 有 关的一组动直线。 如果这样的直线上存在点 a 的 环绕点，写出相应的 k 的 取值范围。思路一，解锁动直线上的动点，如图 判断是否有点 a 的 环绕点，求相应的 k。 这个思路呢，有两动，一是动直线，二是动点。比较困难。我们来看思路二， 题目中点 a 是 定点，我们先分析定点 a 的 所有环绕点所构成的图形， 再看动直线何时与上述图形有公共点有公点时，即直线上存在点 a 的 环绕点无公共点时，直线上就不存在点 a 的 环绕点 p a 大 于一小于二，即动点 p 到定点 a 的 距离在一到二之间。 由圆的定义可得，点 p 在 以 a 为圆心，分别以一和二为半径的圆构成的圆环的内部不含边界，所以点 a 的 所有环绕点所构成的图形。如图， 过定点零四的动直线与这个图形有公共点即可。比如这条直线与上述圆环无公共点，说明直线上就不存在点 a 的 环绕点， 这条直线上边有多个点， a 的 环绕点就是这些点，再画一条，这条直线上也有多个点， a 的 环绕点就是这部分和这部分。 可以看出满足条件的直线有很多，那么我们要求出这个范围的边界情况在哪里呢？ 就是上述圆环中的大圆与直线相切的情况，下面我们来求一下此时 k 的 值。 直线与圆相切，我们要做出的就是过切点的半径。设切点为 c， 连接 a， c 则角 a c， b 等于九十度， c 等于二。由于 b 点坐标是零四， a 点坐标是零一，所以 a b 等于三。勾股定律可以算出 b， c 等于根号下五。 为了求点 c 的 坐标，我们过 c 点做外轴的垂线直角三角形 abc 当中三边已知可以求得斜边上的高 cd 的 长，进而我们就可以求出点 c 的 坐标了，是负三分之二倍，根号五三分之七。 代入解析式。 y 等于 k， x 加四，我们就可以求出此时 bc 直线的 k 等于二分之根号下五。 大圆的另外一条切线与 bc 关于 y 轴对称，最终 直线 y 等于 k， x 加四上存在点 a 环绕点时， k 的 取值范围为 k 大 于二分之根号下五，或 k 小 于负二分之根号下五。 对比本题的两个解析思路，我们可以看出圆的定义的使用给解析带来了很大的方便。 下面我们来小节一下本节课的学习。这节课我们做的三道题，已知条件当中都没有出现圆，但是我们根据圆的定义都发现了题目中与圆相关的条件，运用圆的知识来解决了问题， 这加深了我们对猿的概念和性质的理解，恰当的构造猿来解决综合问题，提高了转化思想。本节课就到这里，谢谢大家观看，再见，各位同学。大家好， 今天我们一起学习圆中求线段长度的常用方法。先看本节课的学习目标，希望同学们通过本节课的学习能够一、结合图形分析并掌握求线段长度的一些方法。 二、利用三角形与圆的一些特殊位置关系，求相关线段的长度，体会转化思想。三、在综合题中会分析条件和结论，选择适当方法求解，发展推理能力。下面开始学习。 首先我们一起梳理一下求线段长度的常用方法，主要有两种，第一，把要求的线段放到一个可解的三角形中， 如果放到直角三角形中，那么可解的条件有两种，已知两边，一般用勾股钉里求第三边，已知一边和一个锐角三角函数求第三边。 如果放到斜三角形中，可解的条件有两种，已知两边及夹角，或者已知两角及一边都需要做辅助线构造直角三角形。 利用直角三角形来求解，那么实际上都是在解直角三角形。 第二种方法，把要求的线段和已知线段放到两个相似三角形中，利用相似三角形对应边乘比利求解。 我们需要熟悉相似的基本图形，如 a 字形、反 a 型、八字形、双垂直图形等。 那么在圆的背景下求线段长度需要注意什么呢？首先，圆中有很多重要的定理需要熟练掌握， 例如很多定理会出现直角三角形，像垂进定理，直径所对的圆周角为直角切线的性质定理和判定定理、切线长定理等，可能会要用到勾股定理或者锐角三角函数。 另外，由弦、弧、圆心角之间的关系定底以及圆周角定底和推论， 可以在弦弧、圆心角、圆周角之间相互转化。这是圆不同于直线形的特有性质，也是圆的题目比较灵活的原因之一，需要大家重视。 我们还需要熟练掌握圆中常见的相似三角形。由于圆中经常出现切线、直径等条件，所以经常会出现以下相似三角形，如 a 字型、反 a 型、双垂直图形等。 尤其是要注意双垂直图形中的基本结论，例如三组相似三角形、四组等级式等，需要熟练掌握。 下面我们进入例题学习。先看例一，请同学们按下暂停键，自己先独立做两分钟，之后继续学习。 好，我们一起看一下三角形 a、 b、 c 中已经知道两个角，角 b 是 特殊角，四十五度角 a 是 普通角。给出了锐角三角函数，如果知道一条边，这个三角形可解。 题目给出了圆 o 的 半径为五倍的根号二，注意角 b 特殊角，四十五度。 由同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，可以连接 c、 o、 a、 o 得到角 a、 o、 c 等于九十度。 弦 ac 可以 放到直角三角形 a、 o、 c 中求解。由半径为五倍的根号二，可以得到 ac 等于十。 过点 c 做 c、 d 垂直 ab 于点 d， 这样就能将三角形 abc 拆分成两个直角三角形。 在三角形 a、 c、 d 中已知斜边和一个锐角。利用三角函数，我们可以求出对边 c、 d 等于六。利用勾股定律可以求出 a、 d 等于八 三角形 cbd 是 一个等腰直角三角形，所以 bd 等于 cd 等于六，所以 ab 等于十四。那么这道题实际上是已知两角及一边，求三角形的第三边， 下面继续看。例二，请同学们按下暂停键，自己先独立做一下，四分钟之后继续学习。 好，我们一起看一下。首先，已经知道直线 e、 c 是 圆 o 的 切线， 想到连接半径 o、 c 得直角三角形 e、 o、 c。 注意 o、 a 垂直 cd 得到垂进地里的基本图形。这里边有一个条件非常特殊点， b 为半径 o、 a 的 中点， 所以得到 o， b 是 半径的一半，也就得到 o b 等于二分之一的 o、 d。 所以 我们可以得到角一等于角， d 等于三十度。 继续可以得到角二等于角三等于角四等于六十度。所以三角形 d、 o、 b、 b、 o、 c 和三角形 e、 o、 c 都是含三十度的直角三角形。 题目中已经给出圆 o 的 半径，所以这三个三角形可解长度分别可求。 那么这时候我们会发现只有 be 线段未知，我们现在要求 be 的 长，应该想办法把 be 放到可解的三角形中。 下面看一下方法。一、把 be 放到三角形 b、 e、 c 中，注意，三角形 b、 e、 c 已知两边和夹角， 而且角 bce 是 一个特殊角，一百二十度，所以想到过 b 点做 b、 f 垂直， e、 c 于 f。 在 三角形 bcf 中已知 bcf 是 二倍根号三角 bcf 等于六十度，可以求出 cf 等于根号三 bf 等于三。 在直角三角形 b、 e、 f 中已知两条直角边 e、 f 和 b f。 由勾股定律可以求得 b、 e 等于二倍的根号二十 e。 第二种方法，把 b、 e 放到三角形 b、 e、 d 中。 三角形 b、 e、 d 已知两边及夹角可以求第三边，而且角 d 是 特殊角，三十度，所以过 b 点做 b g 垂直， d， e 于 g。 三角形 b d， g 可解可求 b g 等于根号三 d， g 等于三， 所以 o g 为一。在三角形 b e、 g 中，已知 e g 和 b g 两个直角边，利用勾股定律可以求得 b e 等于二倍的根号。二是 e。 那 么刚才的立一和立二这两道题都是把要求的线段放到一个可解的三角形中，借助解直角三角形来求长度。 下面我们看例三，请同学们按下暂停键，自己先独立做两分钟，之后继续学习。 好，我们一起看一下这道题。直观看起来 a、 c 像是圆 o 的 切线，所以先连接半径 o， e 有 角平分线和半径相等，很容易证明角一等于角，二等于角。三 得 o， e 平行 bc， 得角 a、 e、 o 等于九十度。 已知这线段 a、 e 和 a d 集中在直角三角形 a、 e、 o 中，由于同圆的半径相等，所以可以设 o， d 等于 o， e 等于 r。 在 rt 三角形 a、 e、 o 中，由勾股定律可得 r 的 平方加上六倍根号二的平方等于 r 加六的平方解得 r 等于三。 也就是说，三角形 a、 e、 o 的 三边已知还知道 ab 的 长， 由 o、 e 平行 bc 很 容易得到一组 a 字形相似三角形 a、 e、 o 相似于三角形 a、 c， b。 利用对应边乘比例可求 bc 等于四。 这道题利用了勾股定律和基本的 a 字形相似，求线短长。下面我们看例四，请同学们按下暂停键，自己先独立做三分钟，之后继续学习。 好，我们一起看一下有已知 a、 c 为圆 o 的 切线， a、 b 为直径，可得角 c、 a、 b 等于九十度， e 是 弧 b、 d 的 中点可以得到 d， e 弧等于 b e 弧 由等弧所对的圆周角相等。想到连接 a、 d 得角一等于角二，同时还能得到角 a、 d、 b 等于九十度。 有已知条件，我们能够推出这么多，下面反过来从结论里分析，要证 a、 c 等于 c、 f， 也就是要证明角 c、 a、 f 等于角 c、 f a。 角 c、 a、 f 可以 看作是角一和角三的和角 c、 f、 a 可以 看作三角形 a、 f、 b 的 外角也就等于角二，加上角 b， 已经知道角一等于角二，需要证明角三等于角 b。 注意，这个题有一个双垂直的基本图，所以很容易证明角三等于角 b， 也就是第一小题可以得正 在证明时，我们经常用到的思考方法是，由已知推可知，由求证导虚知，从两头往中间凑。 下面看第二小题，已知 ab 等于四， ac 等于三，求 df 的 长。 我们一定要注意联系第一小题的结论， ac 等于 c、 f， 所以 可以得到 c、 f 等于三，也就只需要求出 cd 的 长， 那么注意到双垂直图形中已知两条边，可以求出其他所有的边。 那么一种方法是，先由勾股定底，求出 b、 c 等于五，再利用面积法求出 a、 d 等于五分之十二。继续由勾股定底，可以得到 c、 d 等于五分之九。 也可以利用双垂之中的相似三角形 a、 c、 d 相似于三角形 b、 c、 a 得到 a、 c 方等于 cd 乘以 c、 b， 所以 cd 等于五分之九， 所以 df 应该等于五分之六。 下面继续看例五，请同学们按下暂停键，自己先独立做四分钟，之后继续学习。 好，我们一起看一下。已知条件里边 a、 b 为圆 o 的 直径，所以想到连接 a、 e， 由直径所对的圆周角是直角，得到角 a、 e、 b 等于九十度。 由等腰三角形底边上三线合一，可以得到角一等于角二。 由 b、 f 是 圆 o 的 切线，可以得到角 abf 是 九十度。 这是从已知推出来的结论。反过来，从结论考虑，要证角 c、 b、 f， 也就是角三等于二分之一的角 c、 a、 b， 也就是要证明角三等于角一。 那么注意题目里边有两个直角，利用同角的与角相等，很容易证明角三等于角一，也就是第一小题可证。 同样我们用到的思考方法，从已知推可知，从求证导失之，从两头往中间凑。下面我们看一下第二小题， 已知 c、 d 等于二，看见的角三等于二分之一，求 f、 c 的 长。 我们发现已知的线段 cd 和已知的角不在同一个三角形中，我们需要通过等量代换集中条件，线段 cd 没法代换。那么考虑到把角三转化成其他的角度， 首先角三等于角一等于角二。注意角一、角二在圆里边是圆周角，我们经常用到的方法就是找他们所对的弧对的其他的圆周角， 所以想到连接 b、 d， 这样利用同弧所对的圆周角相等，可以得到角二等于角五等于角三。同时我们还能得到角 a、 d、 b 等于九十度。 所以在直角三角形 b、 c、 d 中，已知一条直角边和一个锐角三角函数， 我们可以求得 b、 d 等于四 bc， 也可以利用勾股定底求解。然后接下来注意已知条件， ab 等于 ac， 所以可以得到 ab 比 ad 大 二。如果我们设 ad 是 x， 那 么 ab 可以 表示为 x 加二。在直角三角形 abd 中，由勾股定底可以求边长。 设 ad 为 x 为 x， 得到方程 x 方加上四的平方等于 x， 加二的平方解得 x 等于三， 也就是 a、 d 等于三， ab 等于五，然后 a、 e 的 长度利用勾股定力可求， 这时候我们会发现只剩下线段 c、 f 和 b、 f 未知，那么同样要注意圆里边的双垂直图形 a、 b、 a、 d、 b、 d 都可知，所以利用双垂直中的相似可以求出边长 b、 d 的 平方应该等于 a、 d 乘以 d、 f， 所以 可求 d、 f 等于三分之十六，所以 f、 c 等于三分之十。 那么这道题比较综合，用到了圆中的很多重要性质，例如直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等， 还用到了等角的锐角三角函数值相等、勾股定底、双垂直的相似等。 下面我们小节一下今天的内容。在圆的背景下求线段长度，需要转化为直线形图形，我们要充分注意利用圆的重要性质， 在弦弧、圆心角和圆周角之间进行转化。 注意总结常见的辅助线的填接方法，例如连接半径、连接弦构造直径所对的圆周角，还要注意圆和其他知识的综合。 好了，今天的课讲到这里，请同学们认真完成课后作业，再见！同学们好，我们继续出山复习。今天讲创新作图 学习目标一、熟练掌握图形变化的性质和一些基本图形的特征。 二、通过对图形的观察、操作和想象，进而进行推理、实验和归纳，培养分析问题和解决问题的能力。三、渗透转化的数学思想，感受数学之美。 我们先看这样一个问题，在图中做出角 a、 o、 b 的 平分线， 这是利用直尺和圆规为工具的尺规作图，这是五大基本作图之一。 在右边，在网格中画出角 a、 o、 b 的 平分线， 这里点 a、 o、 b 都是格点连网格的特点，即角 a、 o、 b 中顶点边及角平分线的关系。 通过观察验证，我们可以发现有些特殊的点，它在角 a、 o、 b 的 平分线上有两点，确定一条直线，就可以画出角 a、 o、 b 的 平分线。 这就是今天我们要讲的创新作图。创新作图题是在一定情境下，以无刻度的知识作为唯一的作图工具， 综合运用图形的性质、基本定律、图形变化等进行分析、推理和归纳，寻找作图依据。主要形式是找点和连线。 创建作图需要我们对所要做的图形进行作图原理和作图方法的探索。 接下来我们分两大类，共四种情况，一起来讨论创新作图类型一、在基本图形上画图。 一、以三角形为辅助模型。我们先看例题一， 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d、 a、 b 等于两倍的 c、 d 异为 a、 b 的 中点，请仅用无刻度的知识分别按下列要求画图。 第一问，画出三角形 a、 b、 d 的 b、 d 边上的中线，要画 b、 d 边上的中线，关键是找到 b、 d 的 终点 点， e 是 ab 的 中点。我们想到利用三角形 a、 b、 d 的 中位线可得到 b、 d 的 中点， 即想到要连接 ec 而已知 ab 平行于 cd， ab 等于 cd 的 两倍，从而我们只要证明四边形 a、 e、 c、 d 是 平行四边形就可以了。 连 ec， 我 们可得到四边形 a、 e、 c、 d 为平行四边形， 所以 e、 f 平行于 a、 d、 e 点为 a、 b 的 中点，所以 f 点是 b、 d 的 中点，所以 a、 f 为所求。 第二问，若 b、 a 等于 b、 d 画出三角形 a、 b、 d 的 a、 d 边上的高， 要画 a、 d 边上的高。结合 b、 a 等于 b、 d， 我 们可以知道要做 a、 d 边上的中线， 而三角形的三条中线相交于一点，只要找到三角形中 a、 b、 b、 d 这两条边上的中线即可。 像第一问一样，连接 e、 c 得到 b、 d 边的中点，所以 e、 d、 a、 f 都是三角形 a、 b、 d 的 中线。 连接点 b 和两条中线的交点距，则 b、 h 为三角形 a、 b、 d 的 中线。因为 b、 a 等于 b、 d， 所以 b、 h 为所求的高。 练习一，请按下涨停键自主分析，五分钟后继续学习 这道题啊，需要利用三角形三条高相交于一点，三角形全等以相似，你解对了吗？ 解决与三角形有关的创新画图问题时，一定要注意三角形的基本性质。如三条高三条中线，三条角平分线相交于一点， 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，三角形的中线平分三角形的面积等。 由于创新作图题只要求用无刻度的指示画图，因此找点很重要， 而一般情况下所找的点都是与三角形三边有关的特殊点，如边的中点、三角形的内心重心等。 二、以四边形或多边形为辅助谋型。 例如图，把角 a、 o、 b 放置在矩形 d、 e、 f、 g 中边 o、 b 在 e、 f 上 边， o、 a 恰好经过了点 d， 并且 o、 d 等于 o、 f， 请只用无刻度的指示画角 a、 o、 b 的 平分线， 要画角 a、 o、 b 的 平分线，结合 o、 d 等于 o、 f， 即要画出等腰三角形 o、 d、 f 的 顶角的平分线。 所以只要找到等腰三角形 o、 d、 f 的 底边 d、 f 的 中点即可。 有矩形可找到对角线中点，所以连接 ds， 依据交于点 c 作射线， o、 c 即是为所求。 解决与四边形有关的创新作图问题时，要熟练应用四边形的有关性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的基本性质。 例音，平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性来做同练习。二、请按下暂停键，五分钟后继续学习。 本题要充分利用平行四边形对角线互相平分，菱形的对称性即三角形的中位线的性质，请参考老师的解答进行定正。 三、以圆为辅助模型。例三， 如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a、 b、 d 均在圆、 o 上，请紧应无刻度的知识，按下列要求作图，一、 a、 b 边经过圆心 o， 在 图中作一条与 a、 b 边平行的直径。 第一问，即是要经过点 o 做 a、 d 的 平行线， 考虑到点 o 是 a、 b 的 中点，想到要做三角形 a、 b、 d 的 中位线， 有平行四边形对角线互相平分，可找到 b、 d 的 中点，所以连接 a、 c、 b、 d 交于点 k， 经过点 o、 k 作直径， e、 f、 e、 f 为所求。 第二个 ab 不 经过圆心 o、 d、 c 与圆 o 相切于点 d， 在 图画中做一条与 a、 d 边平行的弦。 像第一问一样，可以很容易找到 b、 d 边的中点。想到构造三角形 a、 b、 d 的 中位线， 那还需要找到弦 a、 b 的 中点，由此可想到垂筋定律。连接 o、 d 有 切线的性质，即 a、 b 和 c、 d 平行可以解决这个问题。 所以连接 o、 d、 d、 o 的 延长线交 a、 b 于点 t， 连接 a、 c、 b、 d 相交于点 k， 经过 t、 k 作弦 g、 h， 这 g、 h 为所求。 本题考察切线的性质、平行四边形的性质、垂筋定力等知识。解析的关键是从接论出发，逆推，不断地寻找条件。 练习三，请按下涨停键自主分析，五分钟后继续学习。 在圆中画图应立足于圆的对称性、垂筋定力及推论等性质， 借助圆心角、圆周、角、弧之间的关系和切线的性质等，构造有关点、线图形之间的特征、形状、位置和大小关系 类型二、在网格上画图。 例四，在时乘时的正方形网格中，线段 a、 b 在 网格中的位置如图所示，请紧应无刻度指示，按要求分别完成。下面作图。 第一问，在图一中画出一个以 a、 b 为边，另两个顶点 cd 也在格点上的菱形 a、 b、 c、 d。 由于菱形四边相等，对角线互相垂直平分，图中 a、 b 可以 由勾股定律算得长度为根号十， 所以以 a 点或者 b 点为端点作长为根号十的边。再利用对称性，我们就可以构造菱形。 如图，以 a、 b 为边，另两个顶点 c、 d 也在格点上的菱形可以有多种画法，我们参考其中一种。 第二个在图二中画一个以 a、 b 为顶点，另两个顶点 c、 d 也在格点上的菱形，并且使这个菱形面积最大或者最小。 以 a、 b 为顶点，它可以分为 a、 b 为边或者 a、 b 为对角线两种情况。 有第一问可以知道，以 a、 b 为边的菱形面积最小为六，最大为十。 而以 a、 b 为对角线的菱形有多个，面积最大的是为十五，面积最小的为五。 以网格或坐标为背景画图，关键是把握网格或坐标的特征。各格点之间的距离可能为正整数，也可能为五厘数。 借助勾股定律的逆定律构造直角三角形，酝酿以构造相关图形的形状、位置及大小。 练习式，请按下涨停键自主分析，自主完成。五分钟后继续学习 本题用直径所对的圆周角是直角画直角三角形应勾股定律计算边长、面积等。 课堂小结，本节课复习了基本图形的性质，进一步熟悉了图形变换的特征。 通过对图形的观察、操作和想象，进而进行推理、实验和归纳，提升了我们的分析问题和解决问题的能力。 通过不断生化转化的数学思想，感受到了数学之美。课后作业，请同学们完成复建证的作业。 下课时间到了，同学们再见！同学们好，今天我们一起来进行数学方法之观察与实验法的学习。 学习目标，一、经历观察、实验、猜想、证明的探索过程，丰富数学活动体验。二、结合实力，体会观察与实验法在解决数学问题中的作用。 三、通过多种方法解决问题，提高分析和解决问题的能力。 观察与实验在数学学习与解析过程中往往起着直观重要的作用，不仅可以帮助我们形成数学结论，探讨数学命题，而且可以帮助发现解析途径，从而实现解析思路的突破。 现在我们来看一个创意画图题，画图要求仅用无刻度尺和保留必要的画图痕迹。 请同学们按下暂停键完成两个画图，五分钟后继续学习。 先看第一问，通过审题和观察图形可以得到结论，这些小长方形都是全等的，每个小长方形的长等于它的两个宽。 如图一，如果连接 a、 c、 b、 c， 则角 abc 等于四十五度。 这是因为小长方形全等可得它们的对角线都是相等的，由图中两个阴影三角形全等，异正三角形 abc 是 等腰直角三角形，进而角 abc 等于四十五度。 我们还可以通过连接小长方形对角线 b、 d， 然后连接 a、 d， 同理可得角 b、 a、 d 等于四十五度。 第二问，通过观察实验发现，因为长方形的对角线是互相平分的，所以连接小长方形的另一条对角线得到的焦点 m 就是 ab 的 中点。 我们也可以通过延长小长方形的这条边与 ab 相交于点 m， 因为图中的两个直角三角形是全等的，因此 am 比 ab 等于一比二，所以 m 是 ab 的 中点。 怎样找出现段 a、 b 垂直平分线上的另一点呢？由第一问可以得到，角 a、 b、 c 等于四十五度，角 b、 a、 d 也等于四十五度， 所以三角形 a、 o、 b 是 等腰直角三角形 o 点在线段 a、 b 的 垂直平分线上，直线 o、 m 即为所求。 这种方法就是借助等腰直角三角形找到线段 a、 b 垂直平分线上的另一点的。 另外我们还可以借助正方形找到这一点，连接 c、 d， 证明四边形 a、 c、 d、 b 是 正方形。大家看，如果延长小长方形的这条边的话，就可以得到右边的图形。大家有没有从中联想到咱们学过的弦图呢？ 要证明四边形 a、 c、 d、 b 是 正方形的话不难，留给同学们自己思考吧， 我们也可以换个角度去考虑做出正方形。观察图形，把小长方形的长延长，我们就可以得到四乘三的网格， 把最后一列去掉，这样就可以很容易的在三乘三的网格中画出以 a、 b 为一边的正方形了。 除了做正方形的对角线，找到线段 a、 b 垂直平分线上的另一点外，我们还可以利用相似证出 m、 n 分 别是 a、 b、 c、 d 的 中点 过正方形对边中点的直线 m、 n 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。方法三，借助工具实验猜想 虽然我们手中能用的只是没有刻度的直尺，但是我们可以根据对九十度角的图感，尝试画出过点 m， 并且与 ab 近四垂直的直线， 发现它与图中三条线段的交点中，这个交点 n 比较特殊，我们猜想它是小长方形宽的中点。接下来我们就通过计算来验证一下我们的猜想吧。 连接 a、 n， 设小长方形，宽是 a， 则长是二 a、 b、 n 等于二分之五 a。 由勾股定律 a、 n 等于根号下二 a 的 平方加上二分之三 a 的 平方等于二分之五 a， 所以 b n 等于 a n， 所以 点 n。 在 线段 ab 的 垂直平分线上，看来我们的实验猜想是正确的，所以只要我们找到这个小长方形宽的中点，就可以 做出现段 ab 的 垂直平分线了。我们可以连接 p、 q 或者连接 cd， 找到这个交点。 方法四，借助平移可以直接找到过点 m 并且与 a、 b 垂直的线段。 如图，连接 ef， 则三角形 ef h 可以 看作是由三角形 b a、 h 绕点 h 逆时针旋转九十度得到的，所以 ef 垂直于 a、 b， 而 e 点向上平移半个宽的话到达 m 点。所以如果 f 点也向上平移半个宽，就可以找到一条线段与 e、 f 平行，并且与 ab 垂直了。 所以关键还是要找到线段 l、 f 的 中点。我们可以连接 cd， 然后得到 n 点，就是 l f 的 中点。连接 m n， 则线段 m n 垂直于线段 ab， 直线 m n 即为所求。 当然，因考虑问题角度的不同，这道题目还会有别的方法，大家可以课下继续研究，请同学们看。例二、 第一问， 大家可以很容易通过实验发现，这个数表中的十字叉也是一个定值，是二十四、 第二问，请同学们按下暂停键，两分钟后继续学习。 解定值为 k 方减一。通过观察实验可以发现规律， 设十字星的中心数为 x， 则十字星左右两数为 x 减一， x 加一。上下两数为 x 减 k， x 加 k。 因为十字叉是左右两数的乘积减去，上下两数的乘积等于 x 方减一。减去 x 方加 k 方等于 k 方减一。 可见，十四叉只是与列数 k 有 关的定值，这个定值为 k 方减 一。下面看第三问，请同学们按下暂停键，独立思考三分钟后继续学习。 答案是九百七十六，你做对了吗？ 同样，通过观察与实验，我们发现十字星中心数左右的数与中心数的关系是固定不变的， 左边的数小一，右边的数大一。中心数上下的数与中心数的关系跟中心数所在的行数有关系。 设中心数为 a， 则左右两个数为 a 减一， a 加一。现在我们可以通过表格来找一下上下两个数与中心数关系的规律。 第二行的中心数是三，上下两数为三减二， a 加四，填表得 a 减二， a 加四。 第三行中心数选择六，上下两数是六减四，六加六，填表得 a 减四， a 加六。 第四行中心数选择十一，上下两数是十，一减六，十一加八，填表得 a 减六， a 加八。我们可以发现， a 下所加的数都是行数乘以二。 那么其他行的中心数下面的数是不是也有这个规律呢？ 我们看第五行中心数选择二十四，上下两数是二十四减八，二十四加十，也有这个规律。 因此我们得到第 n 行中心数下面的数为 a 加二， n， 因为 a 上所减的数恰好比 a 下所加的数小二， 因此 d、 n 行中心数上面的数是 a， 减去二， n 与二的差。 下面是这道题的解析过程，设中心数为 a， 则左右两数为 a 减一， a 加一。 因为十字星中心数在第三十二行，所以中心数上下两数分别为 a 减去三十二乘二与二的差，即 a 减去六十二， a 加上三十二乘二，即 a 加六十四。 尤提一，得十字叉等于左右两数的乘积，减去上下两数的乘积等于两千零十五，解得 a 等于九百七十六。 通过以上两道例题的学习，我们可以看到观察与实验，帮助我们获得猜想，形成规律，找到解题途径。我们要大胆尝试，小心求证，不轻言放弃，这样才能获得成功的喜悦。 请大家完成课后作业中的题目，今天的学习就到这里，谢谢同学们，再见！同学们好，这节课我们来学习数学方法之归类比。 这节课的学习目标，一、理解数学方法之规范与类比的有关概念和常见类型。二、会求相关合情推理的题目。三、运用数学思想灵活解决相关问题，提高分析和解决问题的能力。 下面看合情推理的一般模式。合情推理是指从具体问题、具体素材出发，通过实验归类推广形成普遍性的命题，或者通过类比 联想遇见形成普遍性的命题。最后需要证明这节课我们来看其中的归类比。 关于归类比法的应用故事，春秋时代的鲁国的鲁班曾经被齿形的毛草割破了手，于是他联想到齿形的毛草能割破手。那我想要割断木头的话，是不是也可以用齿形式的工具呢？于是他发明了锯。 在我国古代的周笔算经中，勾股定律的特殊形式，二项式展开是细数三角形的发现 面顶棱公式都是基于数式或图形的直接观察归纳猜想中获得，如欧拉定律、格德巴赫猜想、四色问题等。类比与归纳是数学思想中两种最重要的发现问题与解决问题的方法。 下面看归纳与类比法的有关概念。归纳法是指从个别的或特殊的前提条件推导出一般的、普遍性的结论。如果在前提条件中列出了条件的所有情况，而推得的结论称为完全归纳法，这时推得的结论是真实的、正确的。 如果在前提中只列举了条件的一部分情况而推得的结论称为不完全归纳法或没举法，这时得出的结论未必真实可靠，它只是一种猜想。这节课我们说的归纳法是指不完全归纳法。 类比法有两个或两类对象在某些方面的相同或相似，作出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法。注意，在发明与归类的推理过程中经常运用到类比。 例如，我们依据 a 乘上 a 的 平方等于 a 的 一加二次方等于 a 的 三次方， a 的 二次方乘上 a 的 三次方，等于 a 的 二加三次方，等于 a 的 五次方。依次类推，可以归纳出同底数密的乘法运算为， a 的 m 次方乘上 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方， m 和 n 为正整数， a 大 于零。 结合 a 的 平方除上 a 的 一次方等于 a 的 二减一次方等于 a， 即上市。可类比得出 a 的 m 次方除上 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方。 m n 为正整数， m 大 于 n， a 大 于零。 类比法的分类初中常见的类比思想的类型有简化类比、结构类比、降维类比等三大类， 他们的食指都是从特殊到特殊的推理。先看简化类比，简化类比是指将原问题 类比到比原命题更简单的类似的命题，即简化问题的条件和结论。通过类比简化命题的解决思路和方法的启示，寻求原命题解决思路与方法，叫做简化类比。 例如，减元类比是指多元问题类比为二元或一元问题。将次类比，将高次问题类比的低次问题。 例如，已知 x 加 y 等于四， x 乘 y 等于四，求 x 方加外方的值，这时我们可以把 x 方加外方改写为 x 加 y 和的平方减去二倍的 x y 的 形式，进而问题得到解决。 这个问题是通过仔细观察已知项与未知项之间的关系，将式子的组成结构从已知项中找出相似之处，然后进行延伸，进而得出正确的结论。 结构类比是指从已知项的性质与定义等方面加以类比分析， 依据结构上的相似性来寻求类比问题，然后将类比圆做适当的代换，最终实现将圆问题向类比问题的转换。例如，根号下 a 方加 b 方。通过结构类比的知识可以转化为下面问题， 若把 a 和 b 看作是直角三角形的两条直角边长，那么根号下 a 方加 b 方就是斜边的边长。若将 a 和 b 看作平面直角坐标系内的点的坐标，那么根号下 a 方加 b 方是两个点 a、 b 和圆和零零的距离。 这种方法是我们高中所学，如果将其看作根式，则根号下 a 方加 b 方是 a 方加 b 方的算数平方根。 结构类比在应用中非常广泛，而且解决问题非常有效，特别是数形结合的题目。 第三种类比是降维类比。一维空间指的是直线，二维空间是平面，三维空间是立体几何。降维类比是指在研究某个维度较高的几何问题时， 可以先考察并解决一个与它类似的低维问题，这样使抽象问题具体化与简单化。然后将解决后者时的方法和结论用来尝试解决为数较高的问题。 例如，在平面上到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线，那类比到空间中到已知平面相等的点的轨迹是两个平行平面。 在这个类比的过程中，我们首先回忆平面几何中常用的定义、定义与结论。其次将立体几何的相关问题转化到平面几何中，并评判真假，进行有效类比，最后转化为类似命题。 好，下面看例一，请同学们按下暂停键，独立思考两分钟。 下面我们一起来看这看这个问题的解决方法。首先第一问直线 c、 d 是 三角形 abc 的 分黄金分割线，理由呢是设三角形 abc 边 ab 上的高为 h， 这时候三角形 a、 d、 c 的 面积可以表示为二分之一， a、 d 乘 h。 同理，三角形 b、 d、 c 的 面积可以表示为二分之一， b、 d 乘 h。 三角形 a、 d、 c 的 面积可以表示为二分之一， a、 b 乘 h。 这时候我们做一个比例，三角形 a、 d、 c 比上三角形 a、 d、 c 的 面积等于 b、 d 比 a、 d。 这时候我们由黄金分割点的定义点 d 是 ab 上的黄金分割点，可以得到 a、 d 比 ab 等于 b、 d 比上 ad， 所以 这时候我们得到它们的面积比也是相等的， 所以这时候由黄金分割线的定义能够得出 cd 是 三角形 abc 的 黄金分割线。第二问， 这时候我们知道这个线是中位线，因为三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，这时候我们能得到 s 一 等于 s 二等于二分之一的 s， 如果做一个比例， s 一 比上 s， 它不等于 s 二比上 s 一。 所以进而由黄金分割线的定义能知道三角形的中位线不是该三角形的黄金分割线。 好，下面我们来看归类法。归类法的分类分为代数领域的归类、几何领域的归类、统计领域的归类。它们的食指都是由个别特殊到一般的思想方法。 例如甲乙两人分别走在两条平行的道路上，他们都沿着相同的方向匀速行走，是说出运动过程中两人连线终点的轨迹。 对于这个问题，我们只需要考察他们的特殊情形，若加以同向同时同速行驶，连线终点的轨迹呢，是一条与道路平行的直线，只要说出来这种情形即可，认为答案基本正确，体现了我们规范过程中的 特殊到一般的思想方法。下面看规范法的分类的定义和注意。 袋鼠领域的归类是指通过对特殊的数式或方程的共性分析，归类或猜想出一般性的结论，主要是对教材中出现的概念、性质、法则的归类。 需要注意的是，通向体现在由具体数量运算和袋鼠结构关系到一般的表达式的归类过程。几何领域的归类是指通过对特殊图形的共性分析，归类或猜想出一般图形的结论。 需要注意的是，对几何对象的归类主要是以图形为主，需要兼顾数量关系。统计领域的归类是指通过对统计数据变化规律的共性分析，归类出数据一般性的规律或发展趋势， 需要注意由样本估计，总体也是归纳猜想的一种形式。好，下面看例二，请同学们按下暂停键，独立思考两分钟。 好，下面我们一起来看一下这个问题。由这个图表我们能够看出来， a 二等于二， a 三等于四， a 四等于七， a 五等于十一。 结合图表还有我们列出来的这一行的数据，我们能够得到，当 n 大 于等于二的时候， a n 等于 a 的 n 减一，加上 a 减一，也就是第 n 行第二个数是第 n 减一行第二个数加上它的行数。 那这时候我们如果把这个式子进行一个改写，把每一个 n 行第二个数的 值提出来一个一的话，我们该改写成， a 二等于一加一， a 三等于一加一加二， a 四等于一加一加二加三， a 五等于一加一加二加三加四。 这时候我们就可以归纳出 an 等于一加上二分之一倍的一加上 n 减一的和乘上 n 减去一的差， 换解一下，得到最终的结果是，二分之 n 倍的 n 减一加一， a 倍的 n 加一等于二分之 n 乘上 n 加一加一， 所以他们的差我们就可以得到等于 n， 所以 这个问题进而我们就脱胎求进。通过这个问题我们可以看出来，我们是通过对有限的图标，也就是特殊的几个数进行了一个归类分析。归类为一般的过程， 它是以若干特例的考察，即特殊化为基础的 好归类法。一般步骤及特点一、要对多个特例进行综合分析。二、明确归类的方向，寻找这些特例的共性因素和规律三、猜想和表达找到的共性因素和规律四、要对猜想进行严格的证明。 特点一是具有一定的科学性，因为我们是以某些已知的事实材料与数学知识为依据的。二是有某种假定性，因为它没有经过严格的理论证明和实践经验，是一种猜测性的推断。 好，下面我们来看练习一，请同学们按下暂停键独立思考两分钟。 下面我们一起来看一下这个问题。 我们类比前个三个式子可以得到，被减数是从三开始连续基数的平方，减数是从 一开始连续自然数的平方的四倍，计算结果是被减数的底数的二倍减一。由此规律我们可以归纳出答案是， 括号一九的平方减去四，乘上四的平方等于十七。括号二是二 n 加一的平方减去四倍的 n 方等于四 n 加一。 好，接下来看练习二，请同学们按下暂停键独立思考两分钟。 好，下面一起来看这个问题。这个问题是需要我们来观察这个图标中 圆点的分布规律。先观察每个图形的最外侧都有四个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数 则有，第一个图形有四加一乘二，等于六个小圆点。第二个图形有四加上二乘三的积等于十个小圆点。以此规律我们可以得到第六个图形有四加上六乘七的积，等于四十六个小圆点， 第 n 个图形有四加上 n 乘上 n 加一的积，等于 n 方加 n， 加四个小圆点。好，下面再看。练习三，请同学们按下暂停键，独立思考两分钟。 好，我们一起来看一下这个问题。首先需要我们观察思考，若线段 a、 b 上有两个点时， c、 d 图中共有几条线段？ 再把线段上的点换成 m 个点，一共有多少个线段？下面给我们一个拓展的应用。 第一问，若以点 a 为左端，点向右的线段有线段 a、 b、 a、 c、 a、 d。 以 c 为左端，点向右的线段有线段 c、 d、 c、 b。 以点 d 为左端点的线段有线段 c、 d、 d、 b。 所以 共有三加二加一等于六条线段。第二问，类比。以一问可知，若线段上有 m 个点，则线段上共有线段。 括号里面 m 减一，加上括号里面 m 减二，加上括号里面 m 减三，一直加到三加二加一，最后结果是二分之 m 乘上括号里面 m 减一条。 第三问，我们把这个问题进行一个转化，如果把八位同学看成直线上的八个点， 每两位同学之间的一场比赛看，作为一条线段，那直线上八个点所构成的线段的条数就等于比赛的场数。因此一共要进行八乘上括号里面八减一，除二等于二，是八场散。 好，这节课就到这里，下面是课堂小结，我们这节课主要学习了归类比法的概念， 他是合情推理的主要形式。第二是学习了类比法的分类，有简化类比、结构类比、降维类比。第三种是归类法的分类，是有代数领域的归类、几何领域的归类和统计领域的归类。归类和类比法的特点都是 由特殊到一般，他们既有科学性，也有假定性。好，这节课的作业是完成课后作业中的题目，谢谢大家的观看。同学们好，今天我们共同探讨数学方法当中的猜想与推理法。 学习目标是能借助特殊值、特殊位置等方法猜测结论，并给出合理的解释， 能将问题合理转化，运用树形结合等思想方法解决问题，提高分析问题和解决问题的能力。 我们知道，猜想是发现问题和提出问题的重要手段，是探索和形成问证思路，进行数学推理的思维基础。 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，进而在问题解决中，如果能将猜想与逻辑推理相结合，往往会收到很好的解析效果。 下面我们通过两道典型的题目进行具体的分析。首先看第一个问题， 直线 y 等于 x 加 m 与双曲线 y 等于 x 分 之三，相交于 ab 两点， bc 平行于 x 轴， ac 平行于 y 轴。问三角形 abc 面积的最小值。 我们考察这个题目，题目给出的双曲线是定曲线， 直线 y 等于 x 加 m， 这里 m 是 任意实数。不难发现，不管 m 怎样变化，直线与 x 轴正方向的夹角始终是四十五度， 当 m 变化时，直线随之上下平移。因此，尽管直线是动态变化的，但它们始终保持平行。 又因为 bc 平行于 x 轴， ac 平行于 y 轴，所以三角形 abc 是 一个等腰直角三角形，而且这一特性在直线的运动变化过程中始终保持不变。 抓住运动变化过程中的不变性往往是解决问题的关键。在这道题目中，运用这一不变性，我们可以将三角形的面积进行转化。 三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一 a、 c 乘以 b、 c。 由于三角形 a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，因此面积可以表达为二分之一 b、 c 的 平方，进而表达为四分之一 ab 的 平方。 这样，求三角形 a、 b、 c 的 最小值就转化成了求线段 ab 的 最小值。 那么，直线运动到何处时，线段 a、 b 的 长度最小呢？同学们不妨按下暂停键，大胆地猜想一下 你们的猜想是怎样的？可能很多同学都会猜测，当直线经过远点时，线段 a、 b 的 长度最小。这一点从直观上看并不难猜出， 双曲线的对称轴与双曲线的焦点之间的距离是最短的。根据这一猜想，我们可以计算出面积的最小值。 将这条过圆点的直线方程 y 等于 x， 与双曲线的方程连立，就可以得到两个焦点的坐标，分别是根三、根三和负根三。负根三，此时 a、 c 等于 b、 c 就 等于二倍根三 可以计算出三角形 a、 b、 c 的 面积等于六。这样，我们在充分理解题的基础上，合理转换大胆猜想，就得到了这道填空题的解。 实际上，我们可以直接领略直线与双曲线的方程，得到 x 方，加上 m、 x 减三等于零。 由于直线与双曲线相交于 a、 b 两点，我们设 a 点坐标是 x 一 y 一， b 点坐标是 x 二 y 二 由一元二次方程根与系数的关系，我们可以得到 x 一 加 x 二等于负 m， x 一 乘 x 二等于负三。 通过刚才的分析，我们知道三角形 abc 的 面积可以表达为二分之一 bc 的 平方等于二分之一 x 一 减 x 二的平方。 稍作整理，我们就可以得到三角形 abc 的 面积就是二分之一 m 方加六， 也就是三角形 a、 b、 c 的 面积，实际上是关于 m 的 一个一元二次函数，这个二次函数显然有最小值，当 m 等于零时，三角形 a、 b、 c 的 面积最小，最小值是六。 从几何上看，当 m 等于零时，直线 y 等于 x 加 m， 恰好经过圆点，这与我们刚才经过大胆猜测的结果是一致的。 在这道题目的解决过程中，我们分析已知挖掘条件，将问题进行合理的转化，并结合几何直观进行大胆猜想，这样比较迅速地获得了答案。 下面我们再看一道解答题，同学们可以按下暂停键读题。 题目中已经给出 a 点和 b 点的坐标，点 p 是 直角坐标系内的一个动点。 第一问，要求满足角 a、 p、 b 等于三十度的点 p 有 多少个？同学们可以先在坐标系中画一画，找出几个特殊的满足条件的点 p。 通过图形不难发现， 点 p 应该在过点 a、 b 的 圆上，只要弧 a、 b 所对的圆心角为六十度即可，这个时候弧 a、 b 所对的圆周角就是三十度。显然，符合条件的点 p 有 无数多个。 第二问，若点 p 在 外轴上，并且满足角 a、 p、 b 等于三十度，求满足条件的点 p 的 坐标。满足条件的点 p 应该是第一问中分析出的圆与外轴的四个交点， 也就是点 d、 点 e、 点 f 和点 g。 根据已知条件，我们知道三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形。 题目中给出 a 点和 b 点的坐标，我们可以计算出 c 点的坐标。过 c 点做外轴的垂线，同学们可以根据垂径定力、勾股定力等知识计算得出 d 点和 e 点的坐标， 根据对称性就可以得到 g 和 f 点的坐标。具体过程我们这里不再赘述，同学们可以具体算一算，我们重点分析。第三问， 当点 p 在 外轴上移动时，角 a、 p、 b 是 否有最大值？若有，求出点 p 的 坐标，并说明此时角 a、 p、 b 最大的理由，若没有，也请说明理由，同学们思考一下。 通过前两问的解决，我们能够意识到，当点 p 在 圆 c 上时，角 a、 p、 b 等于三十度。 当点 p 在 该圆外时，角 a、 p、 b 小 于三十度。当点 p 在 圆内时，角 a、 p、 b 是 大于三十度的。 题目要求 p 点在外轴上移动，这样我们就可以将符合提议的点 p 的 范围缩小到线段 d、 e 和 f、 g 上。 也就是当点 p 在 线段 d、 e 或者 f、 g 上运动时，角 a、 p、 b 可能取到最大值。 以点 p 在 线段 d、 e 上为例， 同学们还是可以大胆的猜想一下，点屁运动到哪个位置的时候，角 a、 p、 b 最大呢？ 实际上，当点屁在线段定义上时，屁点 a、 点、 b 点，这三点不共线，因此这三点确定一个圆。随着点屁的运动，这个圆的大小和位置也在发生改变， 其中有一个特殊的位置，就是该圆与外轴相切时， 此时正是角 a、 p、 b 最大的时刻，同学们猜到了吗？我们看一看到底是不是这样的。 在 d e 上任取于点 m， 当然， m 点不与刚才的切点 p 重合。连接 m a m b， m b 交圆 h 于点 n 连接 n a。 因为角 a nb 是 三角形 a nb 的 一个外角，所以角 a nb。 由于角 a p b 和角 a n b 是 同弧 a b 所对的圆周角，所以这两个角相等。因此我们可以得到角 a p b 大 于角 a m b。 由于 m 点的任意性，我们可以得到结论，确实，在这个特殊位置，也就是圆与 y 轴相切的时候，角 a p b 取得最大值。 如何计算此时点 p 的 坐标呢？我们连接 h a 作 h i 垂直于 x 轴垂直于 i 圆 h 与 y 轴相切于点 p。 由于 p h 垂直 o p h i 垂直 ab， 所以 四边形 p o i h 是 一个矩形，因此 o p 等于 h i， p h 等于 o i。 根据这条件，我们可以得到 o i 等于三，所以 p h 和 h a 都等于三。在 r t 三角形 h i a 中，我们可以计算出 h i 的 值为根号五，所以 p 点的坐标就是零根五。 点 p 在 线段 g f 上的情况也是如此，所以我们可以得到结论，当点 p 在 外轴上移动时，角 a p b 确实有最大值，此时点 p 的 坐标分别是零根五和零负根五。 我们一起回顾一下整个解决问题的过程。 尽管猜想的结果不一定是正确的，但是在认真审题，充分理解题意的基础上，大胆的猜想可以帮助我们寻求解析的方向和路径， 配合合理的转化树形结合等等，往往会有意想不到的收获。 今天的作业是完成课后作业中的题目，谢谢大家！大家好，我们今天复习选择题。 本节课的学习目标是，一、了解选择题的主要解答方法，并能灵活选择，正确运用各种方法正确解答选择题。二、理解数学中考选择题典型例题的解答方法 会应用其解决类似问题。中考数学选择题的特点中考数学选择题有着它自己的显著特点，即四选一的单选题型。 除了题干，还存在四个备选的答案，它的求解就是区别正确与错误即可。婴儿在做选择题时切记只看题干，而忽略了四个选项所提供的信息。 中考数学选择题考察的知识点中考数学选择题考察的知识较为广泛， 近几年比较典型的题目主要考察函数的图像及性质、数据分析及推断、整式和分式的运算、方程组的解数轴、多边形的内角和与外角和等知识点 中考数学选择题的主要解答方法有直接法、排除法、特例法、验证法、度量法等。 下面我们介绍中考数学选择题的典型例题及其解答方法。第一种方法，直接法 直接法是指由题干所给出的已知条件和任务要求出发，经过严谨的推导或计算，得出正确答案。通过与选项进行比对，确认答案的方法。 例一，请同学们按下暂停键审题并思考，两分钟后继续学习 此题。我们应该先列出符合条件的所有命题，然后逐一判断其是真命题还是假命题，最后得出真命题的个数。进而本题采用直接法 一提一用三个不等式中的两个不等式作为提舍，余下的一个作为结论组成一个命题，这等价余，先选一个不等式作为结论，余下的两个作为提舍。因二能组成三个命题， 第一个命题，把最后一个不等式 a 分 之一小于 b 分 之一作为结论，其余两个作为题设。第二个命题，把第一个不等式 a 大 于 b 作为题，设。 第三个命题，把第二个不等式 ab 大 于零作为结论，其余两个作为题设。下面我们逐一判断这三个命题的真假。 首先我们看第一个命题，有的同学列举两个数， a 等于三， b 等于二，符合条件 a 大 于 b， a b 大 于零，那么三分之一小于二分之一婴儿这个命题是真命题， 大家思考一下，这种做法对不对呢？这种做法是不对的，因为举例子说明的是特殊情况成立，但是特殊情况成立只能推出，一般情况可能成立。 因此我们不能用特例法证明一个命题是真命题。为了证明符合条件的任意 a、 b 结论都成立，我们借助函数来证明 此题。表面上考察不等式和命题。七十、考察反比例函数的图像和性质，同时考察分类讨论和数形。结合思想， 我们把 a、 a 分 之一和 b， b 分 之一看作反比例函数 y 等于 x 分 之一。图像上两个点的坐标， 根据 ab 大 于零这个条件可知， ab 同是正数或者 ab 同是负数。当 ab 都是正数时，点 a， a 分 之一和点 b， b 分 之一在双曲线第一项线这之上， 根据这两个点的横坐标 a 大 于 b， 画图可知，对应的纵坐标 a 分 之一小于 b 分 之一，原因是在双曲线 y 等于 x 分 之一的每一支上， y 随 x 的 增大而减小。 同理， ab 都是复数时，点 a a 分 之一和点 b b 分 之一在双曲线第三象限这之上，当 a 大 于 b 时， a 分 之一小于 b 分 之一，这个结论依然成立。 这样我们就证明了满足 a b 大 于零并且 a 大 于 b 这两个条件的任意 a、 b 都有结论， a 分 之一小于 b 分 之一，进而第一个命题是真命题。 下面我们看第二个命题。同样的，根据 a b 等于零这个条件可知 a、 b 同是负数， 当 ab 都是正数时，点 a a 分 之一和点 b b 分 之一。在双曲线第一象限这之上，根据这两个点的纵坐标 a 分 之一小于 b 分 之一，可知对应的横坐标 a 大 于 b。 当 ab 都是复数时，这两点在双曲线第三项线折折上，结论依然成立，进而第二个命题是真命题。 最后，我们来看第三个命题，根据 a 大 于 b 这个条件，分为三种情况，分别是 ab 都是正数，并且 a 大 于 b 或者 ab 都是负数，并且 a 大 于 b 或者 a 是 正数， b 是 负数，自然满足 a 大 于 b。 前两种情况我们刚刚证明过，是成立的。最后一种情况，由于 a 是 正数，点 a a 分 之一在双曲线第一项线这之上， 由于 b 是 负数，点 b b 分 之一，在双曲线第三项线这支上，看图可知，这两个点的纵坐标 a 分 之一大于 b 分 之一， 这与已知条件 a 分 之一小于 b 分 之一相矛盾，因此第三种情况是不存在的。这样我们证明了第三个命题也是真命题。所以例一，真命题的个数为三个。 例二，请同学们按下暂停键审题，一分钟后继续学习。 下面有四个推断所有合理推断的序号时，请同学们按下暂停键审题，一分钟后继续学习。 本题。我们应该根据体干和图表所给出的信息，利用所学过的统计知识，逐一判断每一个推断是否合理，最后得出答案。进而本题采用直接法。 第一个推断，这二百名学生参加公益劳动时间的平均数一定在二十四点五至二十五点五之间。请同学们按下暂停键思考，一分钟后继续学习。 从第一个表格可以看出，把这二百名学生按性别和学段两种方式进行分类，即男生人数与女生人数的和是二百，初中生人数与高中生人数的和也是二百。 从第二个条形图可以知道，男生、女生参加公益劳动的平均时间分别是二十四点五和二十五点五。 一、二，这二百名学生参加公益劳动时间的平均数 x 一 八等于二百分之二十四点五乘以男生人数，加上二十五点五乘以女生人数， 不需要计算平均数一定在二十四点五至二十五点五之间。第一个推断正确， 第二个推断这二百名学生参加公益劳动时间的中位数在二十至三十之间。请同学们按下暂停键思考，一分钟后继续学习。 什么是中位数呢？将一组数据按着由小到大或者由大到小的顺序排序。如果数据的个数是基数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数。 如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 第一个表格中，学生按性别分类的信息比较完整。这二百名学生中，参加公益劳动时间在零至十小时的共有十五人，劳动时间在零至二十小时的共有六十人， 在二十至三十小时的共有五十一人。婴儿劳动时间在零至二十小时的人数是七十五人，在零至三十小时的人数是一百二十六人。 这说明第一百和一百零一个数据在二十至三十之间，所以第二个推断正确。 第三个推断这二百名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在二十至三十之间。请同学们按下暂停键思考一分钟后继续学习。 这二百名学生中，参加公益劳动时间在零至十小时的共有十五人。婴儿劳动时间在此范围内的初中生人数 x 小 于等于十五，大于等于零。 当 x 等于零时，初中生共有一百一十六人，中位数位于二十至三十之间。 当 x 等于十五时，初中生共有一百三十一人，中位数位于二十至三十之间。所以第三个推断正确。 第四个推断这二百名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在二十至三十之间。请同学们按下暂停键思考一分钟后继续学习。 我们先求出在每一个时间范围内的高中生人数，例如，劳动时间在十至二十小时之间的总人数是六十人，三十一加二十九等于六十， 所以此范围内的高中生人数为三十五人，六十减去二十五等于三十五。用此方法可以求出后面其他几个范围内的高中生人数。 劳动时间在零至十小时之间的总人数是十五人，所以高中生人数 x 小 于等于十五，大于等于零。 当 x 等于零时，高中生共有六十九人，中位数位于十至二十之间。 当 x 等于十五时，高中生共有八十四人，中位数位于十至二十之间。所以第四个推断不正确，所有合理推断的序号是，一、二、三。答案，选 c。 前面立一和立二都用了直接法，我们总结一下直接法的优缺点。直接法适用范围较广，其优点是直接得出正确选项，比较直接。 步骤是遇到直接求结比较困难繁琐时，直接法比较费时，推导或计算失误时，容易选择相应的干扰选项。 二、排除法排除法是指不直接实时解答或进行具体的操作，而是利用给出的已知条件排除错误的选项，从而得到正确选项的方法。 例三，请同学们按下暂停键审题并思考一分钟后继续学习 此题。如果用直接法来做，可能由于考虑不全面、计算失误等原因选错答案。如果采用排除法来做，就能够很好的利用四个选项所提供的信息，大大提高准确率。 选项 ab 和 cd 的 区别是， k 能否等于零？题干中关于 x 的 方程有两个实数根，这说明这个方程是一元二次方程。根据一元二次方程的定义， k 不 等于零。排除 a 和 b。 在 c 和 d 中选择选项 c 和 d 的 区别是， k 能否等于负一。当 k 等于负一时，方程变为负 x 方减二， x 减一等于零，它有两个相等的实数根，符合题意，所以答案选 d。 排除法的优缺点，排除法的适用范围较广，它的优点是无需直接求解。对于一些难度大、无法正面求解的题目，使用排除法可以大大提高准确率。 缺点是有时部分选项的排除比较复杂，不易排除。三、特例法当题目所给的条件具有一般性或开放性，甚至个别条件并不影响答案的确定， 可以采取比较特殊的数值位置或图形进行计算或推断，再与选项进行比对，从而确定正确的选项。这种方法我们称为特例法。 例四，请同学们按下暂停键审题并思考，一分钟后继续学习 此题。直接化简代数式，然后代入计算，容易失误。一、提一，对于满足已知条件， m 加 n 等于一的任何一组 m， n 的 值，代数式的值是个固定的数值， 我们可以选一组特殊的 mn 代入代数式，结果仍然不变，这是因为一般情况成立可以推出，特殊情况一定是成立的。因此，本题采用特例法。 设 m 等于一， n 等于零，代入代数式，代数式的值是。三、答案选 d， 大家思考一下，设 m 和 n 都等于二分之一，可以吗？不可以，因为当 m 等于 n 等于二分之一时，代数式中的第一个分式分母为零，代数式没有意义。 大家注意，在选特殊值时，不仅要使计算简单，还要使原代数式有意义。 特立法的优缺点，特立法是解选择题的一种特殊解法，只适用于题目条件具有一般性或开放性的选择题。特立法的优点是能化繁为简，降低运算和推理的繁琐。 不足是适用范围有限，结论的严谨性不足。四、验证法验证法是把题目所给的四个选项或某一合适的条件带入题干进行验证，找出正确答案的方法。 验证法是解选择题的一种特殊方法，它经常要和排除法结合使用。例五，请同学们按下暂停键审题并思考，一分钟后继续学习。 根据二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是两个方程的公共解。 要判断一组 x、 y 的 值是不是方程组的解，我们可以把它带入每一个方程进行验证，只有当它是每一个方程的解，它才是二元一次方程组的解。进而，本题采用验证法， 把选项 a 和 c 带入第一个方程，等号不成立，排除 a。 c。 把选项 b 带入第二个方程，等号不成立，排除 b。 所以 答案选 d。 为了确定答案，我们把 d 选项带入两个方程，等号都成立，它是方程组的解。 验证法的优缺点。验证法的优点是无需直接求解，避免繁琐的推理或计算。缺点是适用范围较小。 下面我们对本节课进行总结。中考数学选择题的主要解答方法有直接法、排除法、特例法、验证法、度量法等。当我们面对一个选择题时，在以上各种方法中如何选择呢？ 我们要根据题目的特点，首先考虑简单的方法，例如特例法、验证法等，其次考虑排除法，最后考虑直接法。有时两种方法会结合使用。 今天的作业是完成课后作业中的题目，谢谢同学们好，今天我们来一起学习数学方法在填空题中的应用。 本节课有两个学习目标，一、了解填空题的主要解答方法，并能灵活选择，正确运用各种方法正确解答填空题。二、理解数学中考填空题典型例题的解答方法，会应用其解决类似的问题。 首先我们来了解一下中考数学填空题有哪些特点。中考数学填空题与选择题不同，没有被选答案可供选择，它能够比较真实地考察出同学们的真实水平。 填空题较为灵活，考法多样，并无固定的形式，但是往往计算量不大，具备一定的思维开拓空间，有多种思考方式。 中考数学填空题考察的知识较为广泛，近几年比较典型的题目主要考察函数的图像及性质、统计图表中数据的含义、代数公式的几何表示、相似图形的性质、 网格中角度的计算与比较、实际问题最优解和尺规作图等知识点。 填空题的主要解答方法有以下几种，直接法、构造法、树形结合法、等价转化法、特殊指法等。本节课我们就前四个方法主要说明。 第一个方法，直接法。直接法是指由提干所给出的已知条件和任务出要求出发，经过严谨的推导或计算得出正确答案的方法。 我们来看第一，某活动小组购买了四个篮球和五个足球，一共花费了四百三十五元，其中篮球的单价比足球的单价多三元。求篮球的单价和足球的单价 设篮球单价为 x 元，足球单价为外元。依提力可列方程组为，请同学们按下暂停键，一分钟后继续学习。 我们可以应用直接法，直接依据提议找到等量关系，列出方程组。题目中给出了明确未知数的设定，设，篮球的单价为 x 元，足球的单价为外元。我们可直接依据提议找等量关系。 题目中说，小组购买了四个篮球和五个足球，一共花费了四百三十五元。根据这个等量关系，我们可列出方程，四 x 加五 y 等于四百三十五。 题目的另一个已知条件，篮球的单价比足球的单价多三元。根据这个等量关系，我们可列出另一个方程， x 减 y 等于三。这样我们构成了一个二元一次方程组，从而解决了这个问题。 第二，二零一七年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示， 中国创新综合排名全球第二十二，创新效率排名全球第几呢？请同学们按下暂停键，两分钟后继续学习 这道题。我们仍然可以运用直接法，直接按提意读统计图，读取统计图中的信息，从而解决问题。拿到统计图，我们首先要读横轴与纵轴所代表的量。 第一幅统计图中横轴为创新综合排名，纵轴为创新产出排名。第二幅统计图横轴为创新产出排名，纵轴为创新效率排名。 题目已知条件，中国创新综合排名全球第二十二。这给出的是第一幅统计图中横轴的信息。 题目所求创新效率排名，也就是第二幅统计图中纵轴的信息。 我们还观察出第一幅图的纵轴与第二幅图的横轴所代表量是相同的，所以这道题要求我们将两幅统计图结合起来读图。 图中的每一个小点代表都是一个国家或经济体，所以我们要分别在两幅统计图中找到代表中国的点。 已知条件，中国创新综合排名全球第二十二。我们来看第一幅图的横轴 综合排名全球第二十二。找到横轴上代表二十二的这个刻度，我们发现标红圆圈的这个点，它在横轴的刻度是二十二，所以这个点代表的是中国。 我们再看一下这个点所对应的创新产出排名是多少呢？看纵轴的刻度是十一，这说明中国所对应的创新产出排名为十一。 我们可以把这个结论应用到第二幅统计图中。创新产出排名在第二幅统计图中是横轴，所以在横轴上找到刻度十一。 我们又观察到这个点，他的在横轴的刻度是十一，所以这个点代表的是中国。 最后我们要找中国的创新效率排名，所以在第二幅图的统计图中找他在纵轴的刻度，我们得到刻度是三。所以这道题的答案是，中国创新效率排名全球第三。 我们来小结一下直接法的优缺点，直接法适用的范围较广， 对于考察概念、定义、定义及性质，且已知条件与所求提涉关系简单明了的题目，用直接法容易解决，比较直接。 他的不足是遇到直接求结比较困难、繁琐。已知条件与所求结论间的关系不明确的时候，直接法不容易得到准确的答案。 我们来看第二个方法，构造法。构造法是根据提设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。 例三，如图所示的网格是正方形网格，则角 p a b 加角 p b a 的 度数是多少？其中点 a b p 是 网格线的焦点。 请同学们按下暂停键，两分钟后继续学习。 同学们观察得到，从途中我们无法直接得到两角的和，我们可以想办法构造两角和， 我们知道三角形的一个外角等于不相邻两内角和，所以我们可以尝试 延长 ap 至网格线交点 c 连接 bc， 这样的话我们就有角 p a b 加角 p b a 等于角 c p b。 我 们将两角和转化为了一个角，角 c p b。 我们设每一小格的边长为一，这样的话可以得到 p c b c pb 的 长度，从而求出角 cpb 的 角度，从而再得到两角和。经过计算，我们发现 p c 的 长度为根号五， bc 的 长度为根号五， p b 的 长度为根号十。根据勾股定律、逆定律，我们发现三角形 c p b 是 一个等腰直角三角形，所以角 c p b 等于四十五度， 所以角 p a b 加角 p b a 的 度数为四十五度。 下面我们小节一下构造法的优缺点。构造法需要把问题与某个熟知的概念、公式、定义、图形联系起来进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来不清晰的关系和性质显现出来，从而解决问题。 运用构造法时，需充分挖掘、提炼与结论的内在联系，找出构造什么，怎么构造，这要求同学们要有数学中的创造性，还有对知识掌握的熟练程度。 第三个方法，树形结合法。树形结合法指的是借助于图形，从而使问题形象直观，便于分析、简化计算的过程，从而得出正确的结论。它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想。 我们来看。例四，在平面直角坐标系 x、 o、 y 中，点 ab， 其中 a 大 于零， b 大 于零。在双曲线， y 等于 x 分 之 k 一 上， 点 a 关于 x 轴对称的点 b 在 双曲线， y 等于 x 分 之 k 二，则 k 一 加 k 二的值为。请同学们按下暂停键，一分钟后继续学习。 题目中给的已知条件均为几何特征，例如，点 a 与点 b 关于 x 轴对称，点 a 在 双曲线上，点 b 在 另一只双曲线上，而求解的结论为两双曲线方程的代数特征 k 一 加 k 二的值， 所以需要数与形结合起来解决问题。已知条件，点 a 与点 b 关于 x 轴对称，它对应的代数特征是什么呢？若点 a 的 坐标为 ab， 则点 b 的 坐标为 a 负 b。 点 a 在 双曲线 y 等于 x 分 之 k 一 上，这说明点 a 的 坐标 a b 满足解析式，我们可得到 b 等于 a 分 之 k 一， k 一 等于 ab， 点 b 在 双曲线 y 等于 x 分 之 k 二上，我们可以得到点 b 的 坐标 a 负 b 满足双曲线方程，即可得到负 b 等于 a 分 之 k 二， k 等于负 a b， 此时 k 一 加 k 二就比较明显了， k 一 加 k 二等于 ab 减， ab 等于零，所以这道题的答案是零。 数形结合法被广泛地应用于数学的各个领域中，例如函数问题、方程与不等式问题解析、几何问题、最优解问题等。 第四个方法，等价转化法。等价转化法是把原问题转化为一个易解决的等价命题，从而解决问题的方法。 转化的原则是，将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的转化为具体的和直观的问题，将复杂的转化为简单的问题，将实际的问题转化为数学问题等。 我们来看一下它具体怎么应用呢？例五，如图，在三角形 abc 中， m、 n 分 别为 a、 c、 b、 c 的 中点。若三角形 c、 m、 n 的 面积为一，则四边形 a、 b、 n、 m 的 面积为多少？ 请同学们按下暂停键，一分钟后继续学习。 经过思考，我们发现直接去求四边形 a、 b、 n、 m 的 面积比较繁琐，我们可以将其转化为两个三角形的面积差，即三角形 c、 a、 b 的 面积与三角形 c、 m、 n 的 面积差。 题目中说， m、 n 分 别为 ab 和 bc 的 中点。三角形 c、 a、 b 与三角形 c、 m、 n 又共用角 c， 所以 我们知道三角形 c、 a、 b 与三角形 c、 m、 n 是 相似的，它们的相似比是一比二。 由相似比、一比二，我们可以得到它们的面积比应该是四比一。题目中又给出已知条件，三角形 c、 m、 n 面积为一，所以三角形 c、 a、 b 的 面积为四。最后我们得到四边形 a、 b、 n、 m 的 面积为三。 这道题的答案是，三。 等价转化法是要把未知的知识转化为已知的知识加以解决，需要反复尝试以找到适合的转化方式。在尝试的过程中有可能会离目标结论越来越远，所以需要同学们时刻把握转化的方向。 下面我们来做一下课堂小结。我们主要介绍了直接法、构造法、数形结合法、等价转化法。那么这些方法主要可以应用于哪些填空题目呢？ 直接法通常用于考察概念的填空题。构造法通常用于所求结论，在题目中不能直接用数学对象表示出来的题目。 数形结合法通常用于已知条件与所求结论不同，属于几何或代数的题目。 等价转化法则通常用于需要把未知知识转化为已知知识解决的题目。还有特殊指法，它通常会用于出现极值、特殊值临界状态的题目。 每一种数学方法都可单一使用，但是有时我们需要把两种方法结合起来使用。 本节课的作业完成课后作业中的题目，今天的课就上到这里，谢谢同学们的观看，同学们再见！

三分钟带你通透初中数学板块，很多家长啊，跟我反映，孩子一上初中数学啊，就断崖似的下降，感觉这个知识点啊，是又多又散，完全学不懂。别着急，今天啊，咱们花三分钟把它一次性理顺。 我们在小学啊，从接触这个数开始，那么初中呢，我们依然是整体，他出来一个实数啊这个概念，那么实数呢，又分为有理数和无理数，对吧？有理数呢，分为整数和分数。 无理数啊，什么呀？是什么？无限不循环小数，对吧？根号二啊，对吧？根号三啊这些，那么我们就来到了平方根，还有立方根这两个板块。 接下来我们研究完树了，就来到了代树式柿子这一块，柿子里面啊，我们分为了整式，分式还有根式，接下来我们要运用一个什么树形结合的这个思想 进而出来的，这个是树轴，还有平面直角坐标系。那好， 接着我们就来到了非常挠头的这个函数部分啊，函数分为一次函数，二次函数，还有反比例函数和锐角三角函数。 其中非常特殊的就是这个锐角三角函数，它的问题主要是研究的边角关系， 他研究边角关系的前提是在直角三角形当中啊，他有一个大帽子，直角三角形，那么我们就出来了勾股定律啊，研究三角关系三角形，我们学到了哪个？全等还有相似， 进一步演变到以四边形为背景的一些考题，就来到了平行四边形，菱形、正方形和矩形。 好函数还没有完啊，它函数还是可以变成什么，可以看成 左右两边相等方程的形式，那么前提是他与零比较相等的时候，他是方程，那么不等大于或者小于呢？就是来到了不等式， 接着看函数，他要画出来，对吧？画出图形就来到了平面几何这个板块，涉及到直线圆和抛物线。 函数的应用就是概率问题，那概率它主要研究的是统计 好整个初中啊，数学这个骨架啊，就这样立起来了，赶紧把这条视频转发给孩子，一起来看一下。接下来我们要做的就是逐个去击破每一个知识点， 不是要知道啊，函数意思函数是什么，而是要用我们已经学过的这个知识去灵活解决这些题型变化的能力啊，比如说我们这和图形关系几何变换。 好，关注我，下期啊，给你讲透天津中考数学的套路，宝贝们下课！

看，这就是我的第三代思维模型手册，人类的智慧精华尽在你的鼓掌之间！我把一百个思维模型的电子卡 片笔记都装进了这里。没错，他也是原中百只模型思维卡片。听券版第三代卡片变薄了，所以不能再叫卡片了，里面图多字少， 也不能叫书，叫册子。此外，还有两个听券的地方，一是加了目录和页码，但这次成了小册子，顺序就算固定下来了，就 加了页码。二是错了一下顺序，原来卡片是独立的，每一张都是正面图文笔记，背面是模型 logo。 这次成了小册子，就把模型 logo 和图文笔记合在一个对开页里， 方便观看。会有朋友问他和我之前的那本书有啥区别，区别是它小巧，放包里不占地方。第二是它图多，更多的思维格式化，适合快速消化，看过我视频的同学可以拿来日常温习和做思考题。 第三是工艺好，它是全本铜版，彩印精致，这配色配合着逻辑装钉，看起来更像是武林秘籍了。没错，它就是一本提升思考功力的思维秘籍，人类的智慧精华就尽在这鼓掌之间！ u u u。

哈喽，大家好，这里是郭凯老师，今天郭凯老师给大家带来的是圆的综合问题。哎，第一问我们是常规求圆的切线，第二问，会应用到勾股定律，我们来看啊，他说，如图，以点 o 为圆心， a、 b 长为直径作圆，在 o 上取一点 c， 延长至 延长 ab 至点 d， 连接 cd。 那 么好，题目中告诉我们第一个条件，谁呀？角 d， c， b 等于角 d， a， c 找不到 d， c， b 等于 d a， c。 好， 那他给我这个条件，其实就想让我去证明第一问了吧，对吧？哎，第一问很明显，一定是想让我利用角度转换了，对不对？咱来看啊，证明切线讲过两种吗？有切点连切点，无切点做垂直。那这道题很明显，怎么样？有切点对不对？那就连接 o， c， 因为把这先连上 ab 为直径， 所以这样角 a， c， b 就 等于九十度，对不对？哎，直径所对的圆周角是九十度吧，来，右音，哎，咱们接下来看啊，这回就要用到这个角了，我给大家画上这个角和这个角，嗯， 九十度了吧，那不能说又因为啊，所以说，所以谁呀？角 b， o， c， 我 画红色这个啊，加上角 o， c， a 就 等于多少度？我画橙色这个等于九十度吧，对不对？来看啊，又因为谁呀？ o， c 等于 o， a， 所以 角 o， c， a 等于角 d， a， c， 对 不对？因为这两个都是半径吗？来看啊，那好，又因为角 d， c， b 等于角 d， a， c， 是 不是？所以就能证明一件事，角 o， c， a 等于角 d， c， b 啊，好， o b， o， c 加上 o， c， a 等于九十度，那 o， c， a 又等于 d， c， b， 我 是不是直接进行一个角度转换就行了，对不对？所以，哎，角 d o c 加上角对着下来的啊， d c d 就 等于九十度，完事了，对不对？而且 o c 是 半径吧，对不对？来其实就已经完事了啊，所以这 o c 垂直于 d e， 因为 o c 为半角，所以 c d 为圆， o 切线， ok， 第一问就证明完毕了。第二问，我们来看一下啊， c d 等于四， d， b 等于二，让我们去求 a e 的 长， 那一旦涉及到直角，肯定是要用到勾股定律了吧，也没有给我角度，所以说，我们既想 求 a e， 那 么就要找到所在的谁呀？直角三角形是哪一个，对不对？哎，他所在谁呀？你看 a e 垂直于 a d， 我 们先来分析一下这是，那就是 r t 三角形， a d e 这个直角三角形里边有个 a e 吧， 对不对？那我接下来我还要去求谁呀？你说，哎，我缺谁呀？我缺 c e， 我 缺 ab， 对 不对？但是我们又要去想 c e， 我 们怎么求？接下来，哎，我们知道圆的，既然两个都是切线，有一个切线的性质吧，对不对？哎，如果说大家不记得这条性质，也可以说咱们把 o e 连上， 怎么样？却证明这两个三角形全等这个三角形，这个三角形全等， 哎，这两个三角形看啊，有一条公共边，哎，还有一条，因为他俩本身其实都是直角三角形吗？然后就可以斜边，直角边就用上了，还有一条半径，这条边 h l 就 能证明全等了，那是不是证明 c e 其实就是 a e 啊？我们来看，那 ab 怎么求？其实求 ab 就 让我们求直径的吧，对不对？直径怎么求？既然只给了我两个数，那我就根据这两个数里面再去求啊，那你说，哎， 直径不能直接求出来，我们可不可以进而去求半径了，对不对？在谁中啊？在直角三角形 a o d 这个直角三角形中，是不是可以把半径给求出来？好，那我既然目标已经定好了，我们可以去求了。来， 因为角 o c、 d 等于九十度，所以 o c 的 平方加上 c、 d 的 平方就等于 o d 的 平方吧。那 o c 的 平方， 其实咱们就可以直接把它设成是 x。 来啊，设 o c 为 x 对 不对？那是不是 o b 也为 x 啊？哎，所以说，你看啊，咱们看 o c 的 平方就是 x 的 平方加上 c、 d 的 平方，四个平方等于 o， d 的 平方，是二加 x 的 平方，对不对？哎，咱们最后解一下啊。来， x 方加上十六等于四，加 x 方加四 x， 那 么好，四 x 等于十二，对不对？哎，那 x 就 等于三呗。哎，所以说 o c 等于 o b 等于三，所以半径是三，那直径是谁呀？哎， ab 等于六吧。 来，那既然 ab 等于六了，我们其实还需要证明一个， c e 和 a e 是 相等的，对不对？我刚才说了，有两种方法，如果你知道切线的性质，你可以直接去描述，如果你不知道，你还可以利用三角形全等，因为也比较简单啊，来连接 o e， 因为谁呀？ a e 垂直于 a d 来， oc 垂直于 d e， 对 不对？哎，所以在 r t 三角形 a o e 与 r t 三角形 c o e 中，谁呀？ o e 等于 o e， o c 等于 o a， 所以 r t 三角形 a， o e 全等于 r t 三角形 o e， 对 吧？那这是不是我就想要的就出来了？谁呀？是不是？所以 a e 等于 c e。 那 么好，我做到这里了，我其实还是延续我上一个步骤吧，对不对？我写在上面啊，来，我红笔最后一步写在上面。是不是在直角三角形 a， d， e 中， a， e 的 平方加上 a， d 的 平方等于 d， e 的 平方， 那我这个时候设 a e 为 x， 那 是不是 c， e 也为 x？ 所以 说 a， e 的 平方就 x 平方加上 a， d 的 平方。看好了，是二加这个六吧，是八的平方， d， e 的 平方是四加 x 的 平方。其实思路都是一样的，还是继续去做一个 好，那最终我们能得到八， x 等于四十八，那 x 等于多少等于六呗， 是不是？这就求出来了， x 等于六，那所以 a e 就 等于六吧，我们就解决完毕了。视频的最后，大家如果不会的题目或者希望郭改老师讲的题型可以放在评论区，或者私信郭改老师。同龄的小伙伴如果喜欢学习数学，可以来四中南门对面的幸福之一室和郭改老师一起探讨交流与学习。

球员的周场圆环的面积、方中圆圆中方阴影部分的面积是六年级数学的重难点。但凡期末能够满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。有规划的妈妈呢，早为孩子准备了这本几何三十六模型， 关键是他把小学阶段必学的三十六个几何模型都清晰归为九大类。比如总是难倒孩子的圆环模型、弯角模型、公型模型、圆方模型、捆圆模型等，每个专项都包含详细的模型推导步骤、核心总结和经典母题解析， 学完做便是练习，举一反三，稳固巩固知识，难度由浅入深。最大的亮点是配有动画视频演示，孩子一看就懂，不会的还能扫码看名师讲解，再搭配一本练习册，查缺补漏。一本书从四年级用到六年级，性价比超高，赶紧安排起来吧！

初三同学，现在圆的知识基本上已经学完了，这个圆最重要的核心考点其实就以下几种。第一种碰见说是切线的时候一定要连接圆心和切点 构成直角。二是看直径，直径所对应的圆周角是九十度，然后再看半径，如果两个半径在同一个三角形中，那么构成的这个三角形很有可能会用到这个角。