不等式基本性质

好，同学们，大家好，今天我们来学习不等式及其基本性质。首先我们要先认识不等式， 在现实生活中，两个量之间的关系不仅说有相等，还有不等，例如倾斜的天平，两边物体的质量不相等， 这就体现了不等关系。我们在表示不等关系的时候，一般采用不等号， 主要包括大于、大于等于小雨、小雨等于和不等雨。那么含有这种不等号的式子，我们把它叫做不等式。 好，我们看一下问题。问题一，要求用适当的式子去表示下列数量关系。第一个， a 与 b 的 差是负数， 所以 a 减 b， 它是负的小于零。第二个， x 的 五倍与一的差大于 x 的 三倍， x 的 五倍是五， x 与一的差减一大于 x 的 三倍，所以大于三 x。 第三个，二 x 与三的和不大于五， 那也就是二 x 加三不大于，说明是小于等于，所以二 x 加三小于等于五。第二个问题，闪电的温度大约是两万八千摄氏度， 比太阳表面温度 t 的 四点五倍还要高，也就是四点五， t 是 小于两万八的。 第三个药品，每片是零点二五克，每日的用量在零点七五到二点二五之间分三次服用， 那么在这种情况下，说明每次的用量大约是零点七五除以三到二点二五除以三之间，也就是零点二五。 x 大 于等于零点二五，小于等于零点七五。 这里面不大宇代表的是小宇或者等宇。用小于等于号表示不小宇代表的是大于或者等于。用大于等于号表示。 第二个，不等式的解与解集能够使不等式成立的未知数的值，我们把它叫做解， 所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。例如二 x 加三小于等于五， 当 x 等于零的时候，左边是等于三的满足，小于等于五，当 x 等于一的时候，左边等于五，同时也满足小于等于五， 当 x 等于二的时候，左边为七，那么在这种情况下，我们知道七是大于五的不成立。 也就是说，对于这个例题来讲， x 等于零和 x 等于一都叫做这个不等式的解。 那我们看一下思考一， 判断下列个数是否为该不等式的解，其中 x 等于负一、零点五、一点五和负二， 那么我们在进行判断的时候，只需要将 x 等于具体的数值代入到原来的不等式，看能否满足小于等于， 如果满足，那就说明是不等于的减，如果不满足，那就说明不是不等于的减。 好，再看第二个思考能不能找到其他减。比如 x 等于负十， x 等于零点九九， x 等于一，那么注意， 只要 x 小 于等于一，那么都是可以满足这个不等式的。那么将这些解在竖轴上面表示出来，可可以发现它们都落在表示一的点及其左侧， 所以该不等式的解集就是 x 小 于等于一。注意，我们在数轴上面去表示解集的时候， 因为我们的解集有两种情况，一种是含有端点的，还有一种是不含端点的。 那含有端点的，我们在竖轴上面表示时，需要将表示一的点画成实心的，如果不含端点，则需要把表示一的点画成空心的圆圈。例如 x 大 于等于二，那么对于这样的一个解集来看的话，我们就需要将表示二的这个点用实心点表示， 大于等于二全部在二的右边。再比如说 x 小 于负一，同样的，我们在用竖轴表示时，需要注意的是它这里面不含负一这个点，所以 应该用空心圆表示，因为 x 小 于负一，所以在负一的左边，也就是这么画 好，接下来我们看第三个不等式的基本性质一、加减性质。 我们看下面第一张图，通过第一张图，我们发现，天平左边的质量为 a， 天平右边的质量为 b， 同时这个天平向左倾斜，所以说明 a 是 大于 b 的。 那么在这种情况下，我们在天平的两端同时加上一个质量为 c 的 砝码， 那天平仍然向左倾斜，同理，同时减去质量为 c 的 砝码，倾斜方向也是不变的。 那么通过这样的一个图，我们可以知道，不等式的两边都加上或减去同一个数或式子不等号的方向是不会发生变化的。 那么用数学语言表达，即如果 a 大 于 b， 那 么 a 加 c 仍然大于 b 加 c， a 减 c 仍然大于 b 减 c， 这个性质对于大于等于、小与小与等于同样适用。 比如 x 加二大于五，两边同时减去二，得到 x 大 于三。 不等式的基本性质二、我们回忆一下，如果将刚刚的第一个天平两边质量同时扩大相同的倍数，比如变为原来的二倍，或者同时缩小为原来的几分之一， 我们思考一下这个天平倾斜方向是否会发生变化，那很明显，天平的倾斜方向是不变的。由此我们可以知道，当不等式的两边同时乘以或除以同一个正数 不等号方向不变，用数学语言表示，即若 a 大 于 b， 且 c 大 于零，那么 a 乘 c 大 于 b 乘 c， a 除以 c 大 于 b 除以 c。 例如，三 x 大 于六，那两边同时除以三，得到的是 x 大 于二。再比如，二分之 x 小 于四，两边同时乘以二，得到 x 小 于八。 我们发现同时乘或除以同一个正数，不等号的方向是不会发生变化的。这个点同学们一定要记着，除正数的时候符号不变，那同时乘除负数呢？ 我们来看一下，如果 a 大 于 b， 比较负 a 和负 b 的 大小，他说在竖轴上点 a 在 点 b 的 右侧。好，那么这种情况，我们就画一个竖轴，点 a 在点 b 的 右侧，这是 b 点，这个是 a 点。那么它们关于原点的对称点是表示的数是负 a 和负 b， 我 们对称点，这个表示的数是负 b， a 点的对称点过来，这里表示的是负 a。 那么在这种情况下，我们会发现负 a 在 负 b 的 左侧，所以负 a 小 于负 b。 例如，五大于三，则负五小于负三，零点二大于负一，则负零点二小于一。 也就是说，如果 a 大 于 b， 两边同乘负一，那我得到的应该是负 a 小 于负 b， 那两边同乘负三呢？那就变成了负三。 a 小 于负三 b， 那 我们观察一下，原来的是大于号，当我同时乘以一个负数的时候，我们发现它的符号发生了变化，大于变成了小于， 那由此我们可以归纳出性质三不等式的两边都乘或除以同一个负数不等号方向改变， 用数学语言表示，即如果 a 大 于 b， 且 c 小 于零，那么 a 乘 c 小 于 b 乘 c 小 于 b， 除以 c， 例如 负二， x 大 于六，两边同时除以负二，因为它除以的是一个负数，所以符号改变，大于号变成小于号，也就是 x 小 于负。三、 接下来看不等式的性质四和性质五，性质四，对称性。如果 a 大 于 b， 那 反过来 b 小 于 a， 例如三大于 x， 则 x 小 于三。性质五，传递性。如果 a 大 于 b， b 大 于 c， 那 么 a 一定是大于 c 的。 好，通过这个性质五，我们可以推广至其他的不等式链，例如 角 a 大 于角 b， 角 b 大 于三十度，那么我们可以推导出角 a 一定大于三十度。接下来我们看一下例题， 第一个在下列式子中属于不等式的。注意这个考察不等式的概念，就是说我们一定要有不等号。常见的不等号主要有 大于、大于等于、小于、小于、等于和不等于。那么我们接下来看一下。第一个负三大于零，它有不等号，所以第一个是 三。 x 加四， y 大 于零，有不等号，是的， x 等于三，它这里是等式，所以三不是。 第四个 x 平方加 x， y 加 y 平方，它没有不等号，它是一个代数式，所以四不是。第五个 x 不 等于五有不等号，所以它是的。第六个 x 加二大于 y， 加三 有不等号，所以它也是的。那综合打勾的一共有四个，所以这道题答案选 c。 好， 我们来看一下第二问，已知 a 小 于 b， 则下列不等式成立的式 a 选项。通过观察，我们发现两边同时乘上了负二，那么我们需要编号，所以 a 选项是错的。 b 选项 二减 a 小 于二减 b， 那 因为 a 小 于 b， 所以 这里的负 a 一定是大于负 b 的 两边，再同时加上二，所以最终得到的符号应该是大于号， 所以 b 选项是错的。 c 选项 a 乘上 c 的 平方小于等于 b 乘上 c 的 平方， 那我们现在知道 c 平方是大于等于零的，那么当 c 平方大于零时， 那 a、 c 的 平方是小于 b、 c 的 平方，当 c 平方等于零时， a、 c 的 平方是等于 b、 c 的 平方。所以两个综合一下， 我们可以知道 a、 c 平方一定小于等于 b、 c 平方，所以 c 选项是对的。再看 d 选项， a 除以 c 平方小于等于 b 除以 c 平方，这里的 c 平方在分母，所以一定要求 c 平方 大于零，那我们根据不等式的性质二，可以知道 a 除以 c 平方一定是小于 b 除以 c 平方的，不能有这个等于号，所以 d 选项错误。 好，那我们看一下本节课主要学习的内容是什么？第一个不等式的核心概念，不等式定义用大于、大于、等于、小于、小于、等于或不等于这些符号表示不等关系的式子。 我们把这个不等式而不等式的解，是能够让不等式成立未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解集是能够使不等式成立的未知数的值的全体，我们可以在数轴上表示出来，其中实心的点包含，空心的不包含。 那第二个等式的基本性质，不等式性质一两边同时加上或减去同一个数或式子方向不变，也就是弱。 a 大 于 b， 则 a 加 c 大 于 b 加 c， 第二个两边同时乘或除以同一个正数方向不变。即若 a 大 于 b， c 大 于零， 则 a 乘 c 大 于 b 乘 c， a 除以 c。 不等式性质。三、两边同乘或除以同一个负数方向改变。即若 a 大 于 b， c 小 于零， 则 a 乘 c， a 除以 c 小 于 b 除以 c。 其他性质，若 a 大 于 b， 则 b 小 于 a， 这叫对称性。 若 a 大 于 b， b 大 于 c， 则 a 大 于 c， 这叫传递性。

上课起立，老师好，同学们好，请坐！大家都认识天平，我们看给定的这幅图片，你又怎样的发现 陈桂峰，两边重量相同，请坐，体现的是相等的关系。我们来仔细观察这个图片，它的左侧是一个一个的金币， 它的右侧是钟表，钟表象征的是时间。我们可以把天平的平衡抽象到一句谚语里，一寸光阴一寸金，体现的是相等的关系。实际上这句话还有后半句，它的后半句是什么？ 寸金难买寸光阴，谁要更珍贵一些？时间体现的是不等的关系， 等和不等是自然界中两个不相同的数量关系，既然都是数量关系，他们研究的脉络就是大概相同的。比如说我们在七年级上册第五章研究的是含未知数的等式方程。我们先介绍了方程的概念， 然后又学习了等式的性质，进而利用等式的性质解一元一次方程。后面又解决了一些实际问题。 我们这一章是不等式与不等式组，我们在第一节课介绍了不等式的相关概念，那大家类比等式的研究脉络，猜一猜我们这一节课要研究什么？ 不等式的性质，我们要研究不等式的性质。那大家猜我们研究完不等式的性质，后面还要解决什么问题？ 也不等式也不等式，然后继续再解决什么样的问题？十级稳定。 后续几节课我们会一一的揭晓答案，看大家猜想是不是正确的。我们先来看本节课的课题是不等式的性质。大家根据本节课的课题，你能联想到哪些相关的知识呢？来，直接站起来抽就可以啊，不等式组 可以联想到等式子，请说还有没有其他想法？等式的性质还能联想到等式的性质， 请坐。根据本节课的课题，大家想通过这一节课的学习，我们能掌握哪些知识呢？谁能试着说一说不等式限制的内容哦？我们得知道不等式限制的内容， 还有没有其他同学有别的想法？请说，不等式限制的 不等式性质的应用。还有没有其他同学有想法？不等式性质与等式性质的区别，不等式性质与我们之前所学的等式性质的区别。还有没有不等式性质的来源，不等式性质的来源。 还有没有补充不等式性质的证明？不等式性质的证明， 请坐。还有没有其他同学补充？没有了，没有。我们来梳理一下我们对于某一个新知识的学习，大家想我们要先学他的什么呢？ 来，来人，他是怎么来的？然后呢？内内容，他的内容是什么？有几项？然后省略一些。正正，大家刚刚有人说到我知道他的内容了，我是不是就可以了解他和等式性质的区别， 对吧？然后呢，接着证明我们这个内容到底是不是正确的？证明，然后呢？应用，然后再应用， 然后还有剩下的两项，剩的这个两项他和本节课的知识有什么联系呢？学完今天这节课我们就会有所了解。 我们在七年级的时候介绍了等式的性质，等式的性质是从两个角度来进行描述的，是哪两个角度呢？ 加减乘除，得从加减和乘除两个角度。我们类比等式的性质，大家猜一猜不等式的性质要从哪几个角度来进行研究？ 加减乘除。也就是说，我们要探究一下，对于不等式来说，不等式两边同时加或减去同一个数或式子，大小关系会不会发生变化。 同样的，我们也要研究不等式两边同时乘或同时除以一个不为零的数，大小关系会不会发生变化。 接下来我们就以小组为单位进行探究，大家看清要求，请一至三组的同学完成探究。一举例子，探究不等是两。

本系列视频耗时八千七百六十个小时制作，今天讲的是科西不等式、万能 k 法、糖水不等式。我们首先来看一下二维的科西不等式，它的公式是什么样子 的，在这里 a 的 平方加上 b 的 平方的和乘 c 方加 d 的 和大于等于 a， c 加 b， d 和的平方这个公式。那我们如何记住这个公式呢？就是用一个口诀，平和乘 乘和平，那我们看他的平的话，就是平方的意思，这个就是平方和嘛，然后乘呢，就是相乘的意思，平方和相乘是前面的，然后后面是 相乘的和再平方，这是我们记的口诀，就把二维的克西不等式的公式给记住了。然后我们小题的时候呢，也可以直接来用，那我们看一下这道例题，设 x y 都属于 r， 且 x 乘 y 不 等于零，则 这个式子的最小值。我们来看一下这个式子有什么相同的部分吗？就是每个字母他们都有一个什么相同的部分啊，是不是都带有平方？ 所以呢，我们来看啊，它们是不是平方和乘积的形式。那么我们就是要用和 c 不 等式来解这道题，所以我们的 a 就是 谁呢？ 这个式子大于等于 a 的 话就是 x， c 的 话呢，就是 x 分 之一加上 b 的 话就是 y 分 之二 乘 d 就是 y， 它们乘积和的平方。好，那我们来化解一下，一加二就是三，三的平方就是等于九，对吧？所以我们当且仅当 s y 等于 s y 分 之二的时候，也就是说 s 乘 y 等于根号，二十等号成立， 所以这道题选择 b 选项。好，那我们来看今天的第二个公式，万能 k 法，我们来看一下万能 k 法我们是如何运用这种方式来解析的， 它主要分为三步，三步有三个步骤，第一个步骤呢，就是问谁射谁，比如说题目中问一个非常复杂式子 的最大值啊，最小值啊，这些最值问题，它问的有多复杂，我们不需要化解啊，直接就是问谁射谁。那我们看这道例题，我们问的是不是 s 分 之四加 y 分 之一的最好值，那我们就直接射它等于 k 啊， 求谁谁就是 k， 这是第一步。然后第二步，我们要把 k 带入整理，变成某个变量，一元二次方程或者是不等式的这两种形式。第三个呢，我们确认最值 方程有解的时候呢，我们就可以大于等于零啊，这个式子大于等于零，确定一下最值，所以我们总结来看啊，这三步就是求谁射谁， 最后构造方程用均值来放缩就可以了。那我们看这道例题，已知 s y 大 于零啊，若这个式子的左边等于右边，对不对？然后他问这个式子的最小值？好，首先我们第一步是不是要设 设 s 分 之四加 y 分 之一等于 k， 那 么我们看啊，它还等于什么？是不是我们式子的前半部分的 x 加四， y 加六呀，它们是相等的，那这个式子呢，是不是也是等于 k 的？ 好，那我们看啊，我们就要代入整理什么呢？第二步，整理出来，它们两个式子相乘等于什么？ 大家来回答一下，这两个式子相乘的话， 是不是就等于 k 乘， k 就是 k 方啊，这是第二波。然后我们化简整理吧，这个东西他怎么整理呢？我们看啊，我们在做基本不等式啊，这种类型题的时候，我们一般是啊，有两个 分数，对吧？然后乘两个整数的这种式子是不是数没有这个六啊？有六的话不好看，所以我们怎么办呢？我们看，我们把前面的这个式子看成 k， 看成 k 的 话，那他是不是就可以变成这个 x 分 之四加 y 分 之一，这边乘 x 加四 y， 这边是不是就是加上六 k 等于 k 方？那我们再继续来画，把这个六 k 移到右边去， 就是减六 k。 好， 一到六边去了之后，我们左边就是一个非常常见的基本不能设的形式，对不对？它的话大于等于什么呢？嗯，我们来给它化简一下，它首先是四 加 y 分 之 x 加 x 分 之十六 y， 然后再加四 等于 k 方减六 k， 然后呢，我把这两个四移到右边来，是不就变成 减八了？嗯，那这个是不是就基本不等式？它的话大于等于根号下二二倍，根号下它们两个相乘的形式 约掉约掉，它是等于八的，所以说我们是不是就知道它的最小值就是八了？所以这道题选择 a 选项啊。我们化简出来了之后呢，我们可以看 右边的这个式子哈，它大于等于零，对吧？等号成立嘛，然后它，是啊，大于等于零的，这边也是八，然后我们把八移过去，这边就是十六嘛， 减去十六大于等于零，然后我们还可以解 k 的 范围，对不对？这就是万能 k 的 用法啊，一共分为三步， 接下来我们讲解今天第三个糖水不等式，我们看一下，我们 在运用不等式性质啊，大小比较的时候，经常会出这种小题，让你比较 a、 b、 c、 d 四个选项，然后它们的式子还比较复杂，那么我们就可以用糖水不等式来为小题节省一点时间。我们看一下糖水不等式是什么？ a 大 于 b 大 于零时，如果 m 也是为正的，那么我们就有 a 加 m 分 之 b 加 m 大 于 a 分 之 b。 好， 那我们来看一下这道例题吧。首先我们看 a 选项， a 选项的话，第一个是不是满足于 a 大 于 b 大 于零，第二个它是否满足于它？这个 m 就 相当于等于一呀， 一是不是大于零的，那么他直接不等式符号反过来了对不对？所以 a 是 错的。那如果说当我们不知道不等式的时候怎么办呢？赋值就可以了，比如说我们可以设一下吗？若 a 等于一， b 等于二分之一时，带进去看找返利，他是不是就是不一定成立？嗯？那 b 呢？ b 选项的话，如果 a 和 b 互为的啊，互为倒数啊，或者是有一些特殊的范围啊， 比如说我举的这个例子的话，他们是不是也是不成立的？把一带进去，我们把一带进去，那左边就是多少？左边是二， 右边呢是二分之五，是不是又反了？所以说 b 也是错的对不对？那 c 选项呢？我们来看啊， c 选项的话，我们知道 a 大 于 b 对 不对？题目中给的条件，那 a 减 b 是 不是一定大于零呢？ 我们把所有的式子都移到不等式的左边，然后加上的是 b 分 之 a， 减去 a 分 之 b， 对 不对？那他是大于零的吗？我们首先看左边，肯定是大于零，这个毋庸置疑嘛。那右边呢？右边的话就是相当于一个大于一的数减去一个小于的数，是不是也是大于零的？ 所以说 c 选项他是一定成立的。那 d 选项呢？ d 选项的话我们也可以复制带进去嘛，找出反例， 老师举的这个例子都可以往进去带哈，带进去发现 d 也是错误的。好，所以这道题 我们就选 c 选项了。那今天我们主要讲解了三个公式，第一个，科 c 不 等式。科 c 不 等式呢？我们就记忆口诀平和成 横和平来把它记住，解小题的时候速度会加快很多。第二个，万能 k 法的三个步骤，问谁射谁，然后把 k 带入进去进行整理化简，最后确定最值。第三个，糖水不等式，若 a 大 于 b 大 于零时， m 大 于零，则一定有 a 加 m 分 之 b 加 m 大 于 a 分 之 b， 大家可以课后记忆一下。

第二章不等式首先我们去看不等式的性质。 首先我们先研究数轴上两个数的大小关系，那么我们规定数轴上的右侧的数要大于它左侧的数。那我们来看，在数轴上， a 点所对应的数是 ab 点所对应的数是 b， b 点所对应的数 b 就 在 a 点所对应的数 a 的 右侧，所以 b 大 于 a， 那 同理 a 大 于 b， 那么这也就两个基本不等式。又告诉我们什么呢？看这个基本不等式，如果 a 大 于 b， 我 们可以将 b 移到左边去，就成了 a 减 b 大 于零，那同样 a 减 b 大 于零，我们又可以把 b 移到右边去，形成 a 大 于 b， 所以 它们可以互相推出。 a 小 于 b， 那 么也是 a 减 b 小 于零， a 等于 b， 那 么也是 b 减 a 等于零。 那么需要注意的是，上述的这几个基本不等式是比较两个数大小的依据，也说我们要比较两个数大小的依据啊， 就是采用这三个不等式。换句话说，比较两个数大小乘的方法就什么做差法，就把两个数做差， 那么做差比较法的基本步骤啊，首先第一步是做差啊，或者是我们可以做商， 但是我们主要的是做差，主要来讲做差。第二呢是变形，把它这个代数式去括号啊，还有这个呃，分解因式啊啊，或者是 其他的一些手段啊，进行变形定号。与零比较或与一比较，那么做商法，做商法与一比较，做差法与零比较 啊，做差法与零比较。那么我们来看具体的练习题。比较 x 加一乘上 x 加二 和 x 减三乘上 x 加六的大小，那么比较两个数的大小，我们只需要给它做叉就可以了。好，我们给它做叉。 x 加一乘上一个 x 加二， 减去一个 x 减三乘上一个 x 加六， 然后去括号， x 平方加上二， x 加上 x 加上二减去。注意，这要用一个大括号， x 平方加上六， x 减去三， x 减去十八， 然后去掉后边这个括号， x 平方加上三， x 加上二减去 x 平方减去六， x 加上三， x 加上一个十八， 然后消掉为零的项， x 平方，负 x 平方，这就是为零了。 三 x 加三， x 是 六 x， 六 x 减六， x 也是零项了。所以最后的结果是多少？最后的结果是二十 二十大于零，所以 x 加一乘上 x 加二大于 x 减三乘上 x 加六， 那这个题就做完了。那就说只要大于零，前面数就比后边数大，只要小于零，就是后边数比前边数大。 我们看不等式的基本性质，第一，对称性，那对称性是 a 大 于 b， 我 们可以推 b 小 于 a 啊，完全一样，只是换了一个位置。传递性 a 大 于 b， b 大 于 c。 哎，我们知道 a 肯定大于 c。 不 等式的可加性，如果 a 大 于 b， 那 么 a 加 c 就 大于 b 加 c， 那 同样 a 减 c 也大于 b 减 c， 可重性 a 大 于 b， 如果 c 大 于零，我们可以推出 a c 大 于 b， c， 那 么如果 a 大 于 b， c 小 于零， 我们又有 a c 小 于 b， c 同向可成性，如果 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零， 必须是同向 a， c 大 于 b， d 必须两个不等式都得。大于零可成方形。 a 大 于 b 大 于零，那么 a 的 n 次方大于 b 的 n 次方，这个条件必须 a 属于正整数， 那么可开放性。 a 大 于 b 大 于零，那么 n 次根下 a 大 于 n 次根下 b， 那 么条件也是 a b 虚实的正整数， 那么这是不等式的基本性质。我们再补充几个，如果 a、 b a 大 于 b， ab 是 同号，我们就可以推出 a 分 之一小于 b 分 之一。 如果 a 大 于 b， c 方不等于零，我们可以推出 a、 c 方大于 b、 c 方，这就是不等式的基本性质。 我们看练习题，第一， a 大 于 b， c 大 于 b， a 就 大于 c 啊，我们说这个所采用的是 不等式的传记性，不等式的传记性，我们说 a 大 于 b， b 大 于 c， 我 们可以知道 a 大 于 c， 那这个正好是违背了这个条件，所以是错误的。第二一个， a 大 于负 b， 我 们可以推出 c 减 a 小 于 c 加 b， 大家看这个是负 a， 这一个是正 b， 那 么我需要把负 a 找到啊。也说从前边这个式子里边找到负 a， 那 么 a 大 于负 b， 我 可以推负 a 小 于 b， 然后两边同时加上一个数，不等号不变， 所以负 a 加 c 就 小于 b 加 c， 负 a 加 c， 正好是 c 减 a， 所以 这个是正确的。 a 大 于 b， 能推出 a、 c 方加大于 bc 方吗？刚才咱们补充也说了，这里必须是 c 方，不能等于零， 否则就相等了。如果 c 方等于零，那么 a、 c 方就等于 b、 c 方，所以错误。 a 大 于 b， c 大 于 d， a、 c 大 于 b， d， 这是同向可乘性。我们说同向可乘性，必须 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零，我们才有同向可乘性，所以它是错误的。 那么 a 方分之 a， c 方分之 a 大 于 c 方分之 b， 等于说将不等式同时除以一个不为零的数，既然它在 c 方，既然在分母上，那么就已经说明了 c 不 等于零，那么在 a 比 c 方大于 b 比 c 方，那么同时出上一个大于零的数，不等号不变，所以这是正确的。 a 方大于 b 方， 能否推出 a 大 于 b？ 像这样的，我们可以直接取个数，比方说负三的平方 大于一方，负三的平方是九，一方的是一，九肯定大于一，那能否推出负三大于一呢？显然不能，所以他推不出来，所以他就知道错误了。 第七节 a 大 于 b， 能否推出 a 方大于 b 方呢？那么我们举实例，负一大于负三，那么能否推出负一的平方大于负三的平方呢？ 显然不能，负一的平方是一，负三的平方是九，显然不能，所以是错误的。那么 a 大 于第八个 a 大 于 b 的 绝对值，能否推出 a 方大于 b 方呢？ 那么首先这一个已经能说明 a 是 一个正数，它大于 b 的 绝对值， 那么这个 a 方肯定大于什么 b 方吗？啊？看似表面上是一定的，但是大家要注意，任何数的绝对值都是正的，那么我们可以举一实例来看一看 三大于 负二的绝对值，那么我们能否推出三方大于负二的平方呢？ 显然是可以的，显然是可以，所以这个是正确的。那么从这个实力上来看，虽然 b 的 绝对值， 它无论是正负，它都是正的，但是 a 已经比它大， a 就是 一个正的了，所以它肯定是大于九。一个 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零， 那么能否推出 c 分 之 a 大 于 d 分 之 b 呢？那么我们可以看一下，先有 c 和 d， c 和 d， 在 分母上，我们就要先考虑 c 和 d， 好， 我们来考虑一下，因为 c 大 于 d 大 于零，所以 c 分 之一小于 d 分 之一大于零。 再看 a 大 于 b 大 于零。好，我根据同项可乘性，给它按照方向给它写出来，这个是 b 小 于 a 大 于零，所以我据同项可乘性， c 分 之 b 就 小于 d 分 之 a， 那么 c 分 之 b 小 于 d 分 之 a， 一 看与它不太一样，那么怎么办呢？ 这里与它同向可乘性是相违背的，这是 a 大 于 b 大 于零， d 大 于 c 分 之一大于零，那么 d 分 之 a 大 于 c 分 之 b， 但是这个是 c 分 之 a 大 于 d 分 之 b， 与我们的同向可乘性是相违背的，所以是错误的。 有限区间概数由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，这两个点叫做区间的端点， 那么在数轴上两减之间的一切的实数所组成的集合就叫做区间。也就是说，从负三 到三中间所有的实数构成了一个集合，就叫做区间，那么其中负三和三就叫区间段减值。 两端都含端点的区间叫做 b 区间。这第一个两端都含端点的区间叫做 b 区间。那么它的不等式的表达方式就是 x 大 于等于 a 小 于等于 b， 也说从 a 点到 b 点， 那么数轴上表示就是从 a 点到 b 点是十点所表示的这个区间里边的所有的 x 啊，所有的这些 x 都在这个区间范围内啊。用几何表示描述法表示是这样的， 用区间表示就是两个用中括号来表示，如果 ab 这边都有等号，都有等号，那么我们就用中括号， 那么两端都不含端点的区间叫做什么？开区间，那么也是不等式的形式，就是 x 大 于 a 小 于 b， 集合就是 x 大 于 a 小 于 b， 数轴上表示，数轴上表达一下就是 a 和 b， 因为没有等号，所以它取不到，我们用虚点来表达， 那么用区间的形式表达，就是用小括号表示，因为 a b 是 取不到的，所以我们用小括号来表示。 那半开半闭区间呢？那就是一边开一边闭，有可能前开后闭，也有可能前闭后开， 我们看具体的不等式。第一种不等式是 f 大 于等于 a 小 于 b， 这就要叫做前 b 后开。你说前边含着什么等号，那么后边含着什么？ 没含等号，那么我们用数轴表示，就是一边是实点，一边是虚点， 那么集合的形式就是 x 大 于等于 a 小 于 b， 区间表示就是开这个。前边是用 b， 因为 a 能取得到，所以我们用中括号，后边的 b 我 们是取不到的，所以我们小括号，这也叫做前 b 后开。 不能是 x 大 于 a 小 于等于 b， 那 么集合是 x 大 于 a 小 于等于 b， 那么我们看前面的 a 没有等号，后边的 b 有 等号，也说后边的 b 能取到，前面的 a 是 取不到的，那么我们用数轴表示 a 取不到应虚点， b 取得到应实点啊，所以用区间的方式表示，就是 a 取不到，用小括号， b 用中括号，因为 b 能取得到。我们再看无限区间，无限区间，首先我们先看开区间 集合， x 小 于四，那么我们用竖轴上表达 x 小 于四，那么找到四，四取不到。小于四，我们说竖轴上的数， 右边的盈余大于左边了， 它在这块区间内， x 小 于四， 那么我们表达方式小于四，因为往这全部是负的，它没有边界，所以我们用负无穷来表示， 那就从负无穷一直到四，数轴从左到右越来越大，从负的那一边没有边界，一直到现在，四到了最后有边界了，所以我们叫做负无穷到四。因为四又是取不到，所以用小括号 结合， x 大 于四大于四，就是永远比四的值要来的大， 所有的数都在四的右边，那么有没有边界？没有边界，所以右边没有边界，我们用正无穷表示，这就是四到正无穷。又因为四没有取到等号，所以我们用小括号 右半开区间集合。 x 大 于等于四，那么这个四是取到了，大于等于四， 四能取到，一直到右边没有边界，所以是四到正无穷，四能取到，所以用正括号。 g 和 x 小 于等于四，小于等于四就是在四的 左边啊，四的左边，那么都比四来的小，四是啊，能取的到，所以我们中括号，那么左边没有界限，我们叫富无穷 啊。那么实数级呢？我们说左边也没有界限，右边也没有界限，叫富无穷到真无穷。 那么因为负无穷与正无穷都是符号，仅仅表示的是一种数据的听向性，就是倾向性啊，它倾向于哪一侧，所以呢， 我们说它不是一个确切的数啊。所以正无穷和负无穷 不能用 b 去减， 不能用 b 去减。 看三一元一次不等式。关于不等式 ax 大 于 b 的 解决问题，首先我们看不等式的形式是 ax 大 于 b， 这是一元一次不等式， 那么他的解析需要看 a 的 取值范围，所以我们分了三类讨论。 a 大 于零的时候，那么他直接把 a 除过去， x 大 于 a， 分 之 b， 比方说二， x 大 于三， a 大 于零，不等号不变，所以 x 大 于三除以二，也就是 b b a 同理， a 小 于零呢？ a 小 于零，不等号要变号，原来的大于号要变成现在的什么小于号 负二， x 大 于三，我们两边同时除以负二不等号要变号了， x 由原来大于号变成小于号。 第三个， a 等于零呢？ a 等于零，如果 b 小 于零，那么 a 是 零， b 又是小于零， 来说零大于负的，所以零永远大于负的，所以解集是啊，全其是数，不管 x 取什么数，零永远大于负数， 那如果 b 大 于等于零，解集就是空集，零不能大于零，零 肯定要小于正数啊，所以它的解集是空集好。第四，一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是， ax 平方加 b， x 加 c 大 于零或大于等于零， ax 平方加 b， x 加 c 小 于零或小于等于零，那 abc 为常数。 那么解决一元二次不等式它的解，我们一般的方法就是通过二次函数的图像及性质进行分解。那么我们首先看一下一元二次函数的图像及性质， 我们通过判别式来判定它的根的情况，也就是说判定一元二次函数图像与 x 中的交减的个数。首先 dy 等于 b 方减 c a c， 那 么如果 dy 大 于大于零， 对于一元二次方程， ax 平方加 b， x 加 c 等于零而言，它有两个不相等的实数根，那分别就是二 a 分 之负， b 加减根号， b 方减 c， a， c。 那 么如果将一元二次方程变成一个一元二次函数， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 那 么 a 我 要求是大于零，那么我们都知道，一元二次函数 a 大 于零，开口朝上，因为有两个相异的实数根，所以它与 x 轴有两个交点， 也说 dy 大 于零，与 x 轴有两个交点。同理， dy 等于零，有两个相等的数数根， dy 等于零，实际上就是 b 方减 c， c 等于零，也就是它等于零，所以它只剩下了二 a 分 之负的二 a 分 之 b， 那 么有两个相等的实数根，就说明二次函数 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 与 x 轴有一个交点， 那么但是它小于零嘞，那没有实数根，没有实数根，就说明这个函数的图像与 x 轴的交点是没有的啊，没有的，就这样没有交点。 继续看。那么通过上面的图像， a， x 平方加 b， x 加 c 大 于零， a 大 于零，它的图像来看，如果这个二次函数是大于零的，我们把图像 画在这里。 如果二次函数它大于零，那就说明谁大于零， y 大 于零，因为是 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 所以 是 y 大 于零。 大家看 y 大 于零，那就是说在 x 一 的上侧， x 二的上侧 啊。那么也就说，当 x 在 这个范围内和这个范围内时， y 大 于零，也就是 x 小 于 x 一 或 x 大 于 x 二，我们称大于零，大于去两边。 那同理， a， x 平方加 b， x 加 c 小 于零，它的解集呢？小于零，我们看这个图像下侧部分，它的函数值都小于零， 下次部分它的 y 都小于零，那么我们又称这个解集。就取这两根的中间部分，也就是 x 大 于 x 一 小于 x 二， 我们看 d 等于零， d 等于零。那么如果 ax 平方加 b， x 加 c 大 于零，那应该怎么取值呢？图像 这里有一个交点，大家看这一个交点， x 一 等于 x 二，它会，那么 x 不 等于负二，一分之 b， 也就是不等于这个值就行了，因为这个值在上还能大于零吗？就成等于零了。 所以我们只需要 x 不 等于负二，一分之 b 只要不等于这一个焦点两边是不是都大于零啊？ 那么小于零呢？有没有小于零？它最小是等于零，所以它没有小于零，就是空集。再看小于零，小于零，小于零，它的图像与 x 中没有交减，那么开口朝上， 那么 a x 平方加 b， x 加 c 大 于零，那么对它来说它就恒大于零。你 x 取什么值，你看 x 取什么值，它都大于零，所以这就是 r， 那 么取什么值都大于零，那么还有小于零的吗？没了，所以就取空集。 那么第二个方法呢？我们采用因式分解法，如果 a x 平方加 b， x 加 c， 容易分解，先进行因式分解，然后求出对应方程的根，再根据大于去两边小于去中间进行求解。我们举一个实例，例如 x 平方减去三， x 加上二小于零， 我们先给它十字相乘分解因子， x 减一，乘上 x 减二小于零， 它有两个根，一个根是一，一个根是二，那我们根据小于取中间，那么谁是谁在中间呀？ x 在 中间嘛？ x 大 于小根，小于大根， 那么然后呢？可以把它写成区间的形式，一到二都取不到，请开区间。那同理，如果我把它改成大于号呢？ 那就是 x 减一， x 减一，乘上 x 减二大于零， 那么大于号，我们取什么？取两边？那就是 x 比小跟小，比大跟大， 如果有区间的形式， 哎，就这种形式，哎。 x 属于负无穷到一，因为比一都小嘛，所以是负无穷，负的没有边界，并且按二的公式，因为大于二嘛，比二大，但是没有边界。 第五，我们看含绝对值的不等式。含绝对值不等式。绝对值不等式的性质 也是 x 小 于 a， 我 们可以推 x 大 于负， a 小 于 a， 前期是 a 大 于零，因为 a 小 于零，任何数绝对值都大于零，所以 a 不 能小于零。既小于取中间，同样是大于号，取两边 也是一样的，哎，这比较简单，因为什么 x 的 绝对值等于 a？ 是， 所以 a 加其大于零，那么 x 的 x 就 等于 a 或 x 等于负 a， 那么通过竖轴，这是负 a， 这是 a， 那 么在这个负 a 和 a 中间这段上， 我们叫 a 的 绝对值啊。小于 a， 在 a 的 这段上小于负 a 或大于 a 上这段上，我们叫 a 的 绝对值大于 a， 所以 说大于取两边，小于取中间。那么我们把 绝对值那边的唯一一个 x 换成代数式呢？一样吗？一样 啊，那就是 ax 加 b 取中间，那么绝对值是谁就谁取中，小于号就谁取中间，那么绝对值里边是谁？如果大于号的话，就是绝对值里边这个代数式就取两边。 历年真奇已知， a 大 于零小于 b 小 于一，则我们将零点五换成谁啊？换成二分之一， 那么 a 选项就变成了二分之一 a 小 于二分之一 b， 那么 b 选项是二分之一 a 大 于二分之一 b， c 选项二分之一 a 等于二分之一 b， 那 么 d 选项 a 的 b 次方大于一个 b 的 a 次方。 那么这个题呢？我们先来排除 c， 为什么？因为 a 呀， a 和 b 不 相等，它零点五的 a 次方和零点五的 b 次方就一定不相等。那么接着再看 a 和 b， a 和 b 呢？二分之一 a 小 于二分之一 b， 那 么我们完全可以取一个特殊值来代入法。那么既然 a 小 于 b， 我 们就可以猜出 a 等于三分之一， b 等于二分之一， 那我们可以代入那二分之一的三，二分之一的三分之一次放大，还是二分之一的二分之一次放大呢？ 我们说大零小一的时候，数越大是不是越小啊？所以二分之一的 a 次方大于 他。咱们说大于零小于一，底数大于零小于一的时候，指数越小越大嘛。所以三分之一比二分之一来的小，所以它也大。所以这个题选 b 选 b， 那 第二个 x 减二乘上 x 减三小于零的解集式， x 减二乘上 x 减三小于零，我们说他有两个根，一个根是二，一个根是三， 小于零取中间，所以 x 大 于二小于三，我们写上二都取不到，就用开取键二到三。 第三题，不等式， x 平方加二， x 减三小于零的解集，那么我们首先给它分解因子， x 加三乘上一个 x 减一小于零，它的两个解，一个解是负三，大家要注意这个点， x 加三，它是负三，不是正三啊。你可以令 x 加三等于零， x 减一等于零，所以它有两个根， x 一 等于负三， x 二等于一，那么小于零，我们取两根的中间部分，那么取负三到一 都取不到，没有等号，我们就用开区间 四奇。若二分之一 x 方小于五分之四 x 方，则 x 的 取值范围， 那么二分之一比五分之四要来的小，那么同样的 x， 那 么我们同样可以取一个数，我们同样取零。二分之一的零次方 和五分之四的零次方是相等的， 那么我们再看二分之一的一次方和五分之四的一次方 谁大？那很显然，五分之四是零点八，二分之一是零点五，它大，所以这个解集就是零到正无穷相等。 第五不等式， x 减二的平方减一小于零的解集式，那么这个解集我们有两种方法，那么我们采用将 x 减二平方展开的方法来解一下。 根据完全平方公式， x 减二的平方就等于 x 平方减去四， x 加四，所以 x 减二的平方减一就等于 x 平方减四， x 加四 减一等于 x 平方减四， x 加三，那么把它分解因式， 那么它小于零，实际上就它小于零，它小于零，我们取两根的中间，一个根是负一，一个根是负三， 也是负三到负一。 再看第六题，若 x 大 于零小于一，则下列式子正确的是，那么今后再做类似的练习题，我们要直接取数，这样的话，我们做题的速度会加快。 x 大 于零小于一，我们直接取一个三分之一，令 x 等于三分之一，所以 x 平方就等于九分之一， x 三次方就等于二十七分之一， 那么一目了然，谁最大？ x 最大，然后是 x 平方，然后是 x 大 于 x 三次方， 所以 x 大 于 x 平方大于 x 三次方。选 b， 故答案是 b。 好， 本课程内容到此结束，谢谢大家观看。

接上期不定不等式定义，今天一分钟搞定两个核心性质类比等式学孩子不混淆，记得牢！性质一，等式 两边同时加上或减去同一个数不等号方向不变，那么这个性质的总结是，加减不变向。性质二，两边同时乘以或除以同一个正数不等号方向不变，那么这个总结是乘除正数不变向。 我们可以举一下例题，比如三大于二，那么三加上一和二加上一，等式两边同时加上一的话，那么就是 四大于三，那么等式不等号的符号依然是不变的。那么同时乘以或除以呢？是，比如六是大于四的，那么同时乘以二的话，就变成 十，二是大于八的，那么不等号的方向也是不变的，所以加减和乘除正数都是不变向的。那么总结就是， 加减乘除正数不等号方符号不变。那么下期讲最容易错的性质三，关注，别错过！

第二章不等式首先我们去看不等式的性质。 首先我们先研究数轴上两个数的大小关系，那么我们规定数轴上的右侧的数要大于它左侧的数。那我们来看，在数轴上， a 点所对应的数是 ab 点所对应的数是 b， b 点所对应的数 b 就 在 a 点所对应的数 a 的 右侧，所以 b 大 于 a， 那 同理 a 大 于 b， 那么这也就两个基本不等式。又告诉我们什么呢？看这个基本不等式，如果 a 大 于 b， 我 们可以将 b 移到左边去，就成了 a 减 b 大 于零，那同样 a 减 b 大 于零，我们又可以把 b 移到右边去，形成 a 大 于 b， 所以 它们可以互相推出。 a 小 于 b， 那 么也是 a 减 b 小 于零， a 等于 b， 那 么也是 b 减 a 等于零。 那么需要注意的是，上述的这几个基本不等式是比较两个数大小的依据，也说我们要比较两个数大小的依据啊， 就是采用这三个不等式。换句话说，比较两个数大小乘的方法就什么做差法，就把两个数做差， 那么做差比较法的基本步骤啊，首先第一步是做差啊，或者是我们可以做商， 但是我们主要的是做差，主要来讲做差。第二呢是变形，把它这个代数式去括号啊，还有这个呃，分解因式啊啊，或者是 其他的一些手段啊，进行变形定号。与零比较或与一比较，那么做商法，做商法与一比较，做差法与零比较 啊，做差法与零比较。那么我们来看具体的练习题。比较 x 加一乘上 x 加二 和 x 减三乘上 x 加六的大小，那么比较两个数的大小，我们只需要给它做叉就可以了。好，我们给它做叉。 x 加一乘上一个 x 加二， 减去一个 x 减三乘上一个 x 加六， 然后去括号， x 平方加上二， x 加上 x 加上二减去。注意，这要用一个大括号， x 平方加上六， x 减去三， x 减去十八， 然后去掉后边这个括号， x 平方加上三， x 加上二减去 x 平方减去六， x 加上三， x 加上一个十八， 然后消掉为零的项， x 平方，负 x 平方，这就是为零了。 三 x 加三， x 是 六 x， 六 x 减六， x 也是零项了。所以最后的结果是多少？最后的结果是二十 二十大于零，所以 x 加一乘上 x 加二大于 x 减三乘上 x 加六， 那这个题就做完了。那就说只要大于零，前面数就比后边数大，只要小于零，就是后边数比前边数大。 我们看不等式的基本性质，第一，对称性，那对称性是 a 大 于 b， 我 们可以推 b 小 于 a 啊，完全一样，只是换了一个位置。传递性 a 大 于 b， b 大 于 c。 哎，我们知道 a 肯定大于 c。 不 等式的可加性，如果 a 大 于 b， 那 么 a 加 c 就 大于 b 加 c， 那 同样 a 减 c 也大于 b 减 c， 可重性 a 大 于 b， 如果 c 大 于零，我们可以推出 a c 大 于 b， c， 那 么如果 a 大 于 b， c 小 于零， 我们又有 a c 小 于 b， c 同向可成性，如果 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零， 必须是同向 a， c 大 于 b， d 必须两个不等式都得。大于零可成方形。 a 大 于 b 大 于零，那么 a 的 n 次方大于 b 的 n 次方，这个条件必须 a 属于正整数， 那么可开放性。 a 大 于 b 大 于零，那么 n 次根下 a 大 于 n 次根下 b， 那 么条件也是 a b 虚实的正整数， 那么这是不等式的基本性质。我们再补充几个，如果 a、 b a 大 于 b， ab 是 同号，我们就可以推出 a 分 之一小于 b 分 之一。 如果 a 大 于 b， c 方不等于零，我们可以推出 a、 c 方大于 b、 c 方，这就是不等式的基本性质。 我们看练习题，第一， a 大 于 b， c 大 于 b， a 就 大于 c 啊，我们说这个所采用的是 不等式的传记性，不等式的传记性，我们说 a 大 于 b， b 大 于 c， 我 们可以知道 a 大 于 c， 那这个正好是违背了这个条件，所以是错误的。第二一个， a 大 于负 b， 我 们可以推出 c 减 a 小 于 c 加 b， 大家看这个是负 a， 这一个是正 b， 那 么我需要把负 a 找到啊。也说从前边这个式子里边找到负 a， 那 么 a 大 于负 b， 我 可以推负 a 小 于 b， 然后两边同时加上一个数，不等号不变， 所以负 a 加 c 就 小于 b 加 c， 负 a 加 c， 正好是 c 减 a， 所以 这个是正确的。 a 大 于 b， 能推出 a、 c 方加大于 bc 方吗？刚才咱们补充也说了，这里必须是 c 方，不能等于零， 否则就相等了。如果 c 方等于零，那么 a、 c 方就等于 b、 c 方，所以错误。 a 大 于 b， c 大 于 d， a、 c 大 于 b， d， 这是同向可乘性。我们说同向可乘性，必须 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零，我们才有同向可乘性，所以它是错误的。 那么 a 方分之 a， c 方分之 a 大 于 c 方分之 b， 等于说将不等式同时除以一个不为零的数，既然它在 c 方，既然在分母上，那么就已经说明了 c 不 等于零，那么在 a 比 c 方大于 b 比 c 方，那么同时出上一个大于零的数，不等号不变，所以这是正确的。 a 方大于 b 方， 能否推出 a 大 于 b？ 像这样的，我们可以直接取个数，比方说负三的平方 大于一方，负三的平方是九，一方的是一，九肯定大于一，那能否推出负三大于一呢？显然不能，所以他推不出来，所以他就知道错误了。 第七节 a 大 于 b， 能否推出 a 方大于 b 方呢？那么我们举实例，负一大于负三，那么能否推出负一的平方大于负三的平方呢？ 显然不能，负一的平方是一，负三的平方是九，显然不能，所以是错误的。那么 a 大 于第八个 a 大 于 b 的 绝对值，能否推出 a 方大于 b 方呢？ 那么首先这一个已经能说明 a 是 一个正数，它大于 b 的 绝对值， 那么这个 a 方肯定大于什么 b 方吗？啊？看似表面上是一定的，但是大家要注意，任何数的绝对值都是正的，那么我们可以举一实例来看一看 三大于 负二的绝对值，那么我们能否推出三方大于负二的平方呢？ 显然是可以的，显然是可以，所以这个是正确的。那么从这个实力上来看，虽然 b 的 绝对值， 它无论是正负，它都是正的，但是 a 已经比它大， a 就是 一个正的了，所以它肯定是大于九。一个 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零， 那么能否推出 c 分 之 a 大 于 d 分 之 b 呢？那么我们可以看一下，先有 c 和 d， c 和 d， 在 分母上我们就要先考虑 c 和 d， 好， 我们来考虑一下，因为 c 大 于 d 大 于零，所以 c 分 之一小于 d 分 之一大于零。 再看 a 大 于 b 大 于零。好，我根据同向可乘性给它按照方向给它写出来，这个是 b 小 于 a 大 于零，所以我记同向可乘性。 c 分 之 b 就 小于 d 分 之 a， 那么 c 分 之 b 小 于 d 分 之 a 一 看与它不太一样，那么怎么办呢？ 这里与它同向可乘性是相违背的，这是 a 大 于 b 大 于零， d 大 于 c 分 之一大于零，那么 d 分 之 a 大 于 c 分 之 b， 但是这个是 c 分 之 a 大 于 d 分 之 b， 与我们的同向可乘性是相违背的，所以是错误的。 有限区间概数由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，这两个点叫做区间的端点。 那么在数轴上两减之间的一切的实数所组成的集合就叫做区间。也就是说，从负三 到三中间所有的实数构成了一个集合，就叫做区间，那么其中负三和三就叫区间段减值。 两端都含端点的区间叫做 b 区间。这第一个两端都含端点的区间叫做 b 区间。那么它的不等式的表达方式就是 x 大 于等于 a 小 于等于 b， 也说从 a 点到 b 点， 那么数轴上表示就是从 a 点到 b 点是十点所表示的这个区间里边的所有的 x 啊，所有的这些 x 都在这个区间范围内啊。用几何表示描述法表示是这样的， 用区间表示就是两个用中括号来表示，如果 ab 这边都有等号，都有等号，那么我们就用中括号， 那么两端都不含端点的区间叫做什么？开区间，那么也是不等式的形式，就是 x 大 于 a 小 于 b， 集合就是 x 大 于 a 小 于 b， 数轴上表示，数轴上表达一下就是 a 和 b， 因为没有等号，所以它取不到，我们用虚点来表达， 那么用区间的形式表达，就是用小括号表示，因为 a b 是 取不到的，所以我们用小括号来表示。 那半开半闭区间呢？那就是一边开一边闭，有可能前开后闭，也有可能前闭后开， 我们看具体的不等式。第一种不等式是 f 大 于等于 a 小 于 b， 这就要叫做前 b 后开。你说前边含着什么等号，那么后边含着什么？ 没含等号，那么我们用数轴表示，就是一边是实点，一边是虚点， 那么集合的形式就是 x 大 于等于 a 小 于 b， 区间表示就是开这个。前边是用 b， 因为 a 能取得到，所以我们用中括号，后边的 b 我 们是取不到的，所以我们小括号，这也叫做前 b 后开。 不能是 x 大 于 a 小 于等于 b， 那 么集合是 x 大 于 a 小 于等于 b， 那么我们看前面的 a 没有等号，后边的 b 有 等号，也说后边的 b 能取到，前面的 a 是 取不到的，那么我们用数轴表示 a 取不到应虚点， b 取得到应实点啊，所以用区间的方式表示，就是 a 取不到，用小括号， b 用中括号，因为 b 能取得到。我们再看无限区间，无限区间，首先我们先看开区间 集合， x 小 于四，那么我们用竖轴上表达 x 小 于四，那么找到四，四取不到。小于四，我们说竖轴上的数， 右边的盈余大于左边了， 它在这块区间内， x 小 于四， 那么我们表达方式小于四，因为往这全部是负的，它没有边界，所以我们用负无穷来表示， 那就从负无穷一直到四，数轴从左到右越来越大，从负的那一边没有边界，一直到现在，四到了最后有边界了，所以我们叫做负无穷到四。因为四又是取不到，所以用小括号 结合， x 大 于四大于四，就是永远比四的值要来的大， 所有的数都在四的右边，那么有没有边界？没有边界，所以右边没有边界，我们用正无穷表示，这就是四到正无穷。又因为四没有取到等号，所以我们用小括号 右半开区间集合。 x 大 于等于四，那么这个四是取到了，大于等于四， 四能取到，一直到右边没有边界，所以是四到正无穷，四能取到，所以用正括号。 g 和 x 小 于等于四，小于等于四就是在四的 左边啊，四的左边，那么都比四来的小，四是啊，能取的到，所以我们中括号，那么左边没有界限，我们叫富无穷 啊。那么实数级呢？我们说左边也没有界限，右边也没有界限，叫富无穷到真无穷。 那么因为负无穷与正无穷都是符号，仅仅表示的是一种数据的听向性，就是倾向性啊，它倾向于哪一侧，所以呢， 我们说它不是一个确切的数啊。所以正无穷和负无穷 不能用 b 去减， 不能用 b 去减。 看三一元一次不等式。关于不等式 ax 大 于 b 的 解决问题，首先我们看不等式的形式是 ax 大 于 b， 这是一元一次不等式， 那么他的解析需要看 a 的 取值范围，所以我们分了三类讨论。 a 大 于零的时候，那么他直接把 a 除过去， x 大 于 a， 分 之 b， 比方说二， x 大 于三， a 大 于零，不等号不变，所以 x 大 于三除以二，也就是 b b a 同理， a 小 于零呢， a 小 于零，不等号要变号，原来的大于号要变成现在的什么小于号 负二， x 大 于三，我们两边同时除以负二不等号要变号了， x 由原来大于号变成小于号。 第三个， a 等于零呢？ a 等于零，如果 b 小 于零，那么 a 是 零， b 又是小于零， 来说零大于负的，所以零永远大于负的，所以解集是啊，全其十数，不管 x 取什么数，零永远大于负数， 那如果 b 大 于等于零，解集就是空集，零不能大于零，零 肯定要小于正数啊，所以它的解集是空集好。第四，一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是， ax 平方加 b， x 加 c 大 于零或大于等于零， ax 平方加 b， x 加 c 小 于零或小于等于零，那 abc 为常数。 那么解决一元二次不等式它的解，我们一般的方法就是通过二次函数的图像及性质进行分解。那么我们首先看一下一元二次函数的图像及性质， 我们通过判别式来判定它的根的情况，也就是说判定一元二次函数图像与 x 中的交减的个数。首先 dy 等于 b 方减 c a c， 那 么如果 dy 大 于大于零， 对于一元二次方程， ax 平方加 b， x 加 c 等于零而言，它有两个不相等的实数根，那分别就是二 a 分 之负， b 加减根号， b 方减 c， a， c。 那 么如果将一元二次方程变成一个一元二次函数， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 那 么 a 我 要求是大于零，那么我们都知道，一元二次函数 a 大 于零，开口朝上，因为有两个相异的实数根，所以它与 x 轴有两个交点， 也说 dy 大 于零，与 x 轴有两个交点。同理， dy 等于零，有两个相等的数数根， dy 等于零，实际上就是 b 方减 c， c 等于零，也就是它等于零，所以它只剩下了二 a 分 之负的二 a 分 之 b， 那 么有两个相等的实数根，就说明二次函数 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c 与 x 轴有一个交点， 那么但是它小于零嘞，那没有实数根，没有实数根，就说明这个函数的图像与 x 轴的交点是没有的啊，没有的，就这样没有交点。 继续看。那么通过上面的图像， a， x 平方加 b， x 加 c 大 于零， a 大 于零，它的图像来看，如果这个二次函数是大于零的，我们把图像 画在这里。 如果二次函数它大于零，那就说明谁大于零， y 大 于零，因为是 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 所以 是 y 大 于零。 大家看 y 大 于零，那就是说在 x 一 的上侧， x 二的上侧 啊。那么也就是说，当 x 在 这个范围内和这个范围内时， y 大 于零，也就是 x 小 于 x 一 或 x 大 于 x 二，我们称大于零，大于去两边。 那同理， a， x 平方加 b， x 加 c 小 于零，它的解集呢？小于零，我们看这个图像下侧部分，它的函数值都小于零， 下次部分它的 y 都小于零，那么我们又称这个解集。就取这两根的中间部分，也就是 x 大 于 x 一 小于 x 二， 那么看 d 等于零， d 等于零，那么如果 ax 平方加 b， x 加 c 大 于零，那应该怎么取值呢？图像 这里有一个交点，大家看这一个交点， x 一 等于 x 二，它会，那么 x 不 等于负二，一分之 b， 也就是不等于这个值就行了，因为这个值在上还能大于零吗？就成等于零了。 所以我们只需要 x 不 等于负二，一分之 b 只要不等于这一个焦点两边是不是都大于零啊？ 那么小于零呢？有没有小于零？它最小是等于零，所以它没有小于零，就是空集。再看小于零，小于零，小于零，它的图像与 x 中没有交减，那么开口朝上， 那么 a x 平方加 b， x 加 c 大 于零，那么对它来说它就恒大于零。你 x 取什么值，你看 x 取什么值，它都大于零，所以这就是 r， 那 么取什么值都大于零，那么还有小于零的吗？没了，所以就取空集。 那么第二个方法呢？我们采用因式分解法，如果 a x 平方加 b， x 加 c 容易分解，先进行因式分解，然后求出对应方程的根，再根据大于去两边小于去中间进行求解。我们举一个实例，例如 x 平方减去三， x 加上二小于零， 我们先给它十字相乘分解因子， x 减一，乘上 x 减二小于零， 它有两个根，一个根是一，一个根是二，那我们根据小于取中间，那么谁是谁在中间呀？ x 在 中间嘛？ x 大 于小根，小于大根， 那么然后呢，可以把它写成区间的形式，一到二都取不到，请开区间。那同理，如果我把它改成大于号呢？ 那就是 x 减一， x 减一，乘上 x 减二大于零， 那么大于号，我们取什么？取两边？那就是 x 比小跟小，比大跟大， 如果有区间的形式， 哎，就这种形式，哎。 x 属于负无穷到一，因为比一都小嘛，所以是负无穷，负的没有边界，并且按二的公式，因为大于二嘛，比二大，但是没有边界。 第五，我们看含绝对值的不等式。含绝对值不等式。绝对值不等式的性质 也是 x 小 于 a， 我 们可以推 x 大 于负， a 小 于 a， 前期是 a 大 于零，因为 a 小 于零，任何数绝对值都大于零，所以 a 不 能小于零。既小于取中间，同样是大于号，取两边 也是一样的，哎，这比较简单，因为什么 x 的 绝对值等于 a 是， 所以 a 加其大于零，那么 x 的 x 就 等于 a 或 x 等于负 a， 那么通过竖轴，这是负 a， 这是 a， 那 么在这个负 a 和 a 中间这段上， 我们叫 a 的 绝对值啊。小于 a， 在 a 的 这段上小于负 a 或大于 a 上这段上，我们叫 a 的 绝对值大于 a， 所以 说大于取两边，小于取中间，那么我们把 绝对值那边的唯一一个 x 换成代数式呢？一样吗？一样 啊，那就是 ax 加 b 取中间，那么绝对值是谁就谁取中，小于号就谁取中间，那么绝对值里边是谁？如果大于号的话，就是绝对值里边这个代数式就取两边。 历年真奇已知， a 大 于零小于 b 小 于一，则我们将零点五换成谁啊？换成二分之一， 那么 a 选项就变成了二分之一 a 小 于二分之一 b， 那么 b 选项是二分之一 a 大 于二分之一 b， c 选项二分之一 a 等于二分之一 b， 那 么 d 选项 a 的 b 次方大于一个 b 的 a 次方。 那么这个题呢？我们先来排除 c， 为什么？因为 a 呀， a 和 b 不 相等，它零点五的 a 次方和零点五的 b 次方就一定不相等。那么接着再看 a 和 b， a 和 b 呢？二分之一 a 小 于二分之一 b， 那 么我们完全可以取一个特殊值来代入法。那么既然 a 小 于 b， 我 们就可以猜出 a 等于三分之一， b 等于二分之一， 那我们可以代入那二分之一的三，二分之一的三分之一次放大，还是二分之一的二分之一次放大呢？ 我们说大零小一的时候，数越大是不是越小啊？所以二分之一的 a 次方大于 他。咱们说大于零小于一，底数大于零小于一的时候，指数越小越大嘛。所以三分之一比二分之一来的小，所以它也大。所以这个题选 b 选 b， 那 第二个 x 减二乘上 x 减三小于零的解集式， x 减二乘上 x 减三小于零，我们说他有两个根，一个根是二，一个根是三， 小于零取中间，所以 x 大 于二小于三，我们写上二都取不到，就用开取键二到三。 第三题不等式， x 平方加二， x 减三小于零的解集，那么我们首先给它分解因子， x 加三乘上一个 x 减一小于零，它的两个解，一个解是负三，大家要注意这个点， x 加三，它是负三，不是正三啊。你可以令 x 加三等于零， x 减一等于零，所以它有两个根， x 一 等于负三， x 二等于一，那么小于零，我们取两根的中间部分，那么取负三到一 都取不到，没有等号，我们就用开区间 四奇。若二分之一 x 方小于五分之四 x 方，则 x 的 取值范围， 那么二分之一比五分之四要来的小，那么同样的 x， 那 么我们同样可以取一个数，我们同样取零。二分之一的零次方 和五分之四的零次方是相等的， 那么我们再看二分之一的一次方和五分之四的一次方 谁大？那很显然，五分之四是零点八，二分之一是零点五，它大，所以这个解集就是零到正无穷相等。 第五不等式， x 减二的平方减一小于零的解集式，那么这个解集我们有两种方法，那么我们采用将 x 减二平方展开的方法来解一下。 根据完全平方公式， x 减二的平方就等于 x 平方减去四， x 加四，所以 x 减二的平方减一就等于 x 平方减四， x 加四 减一等于 x 平方减四， x 加三，那么把它分解因式， 那么它小于零，实际上就它小于零，它小于零，我们取两根的中间，一个根是负一，一个根是负三， 也是负三到负一。 再看第六题，若 x 大 于零小于一，则下列式子正确的是，那么今后再做类似的练习题，我们要直接取数，这样的话，我们做题的速度会加快。 x 大 于零小于一，我们直接取一个三分之一，令 x 等于三分之一，所以 x 平方就等于九分之一， x 三次方就等于二十七分之一。 那么一目了然，谁最大？ x 最大，然后是 x 平方，然后是 x 大 于 x 三次方， 所以 x 大 于 x 平方大于 x 三次方。选 b， 故答案是 b。 好， 本课程内容到此结束，谢谢大家观看。

现在我们来学习基本来学习不懂事的基本性指这节课。我们学习不懂事的基本性指一和基本性指二。 我们先看做一做已知二小于三，先用大于号或小于号填空。二加二分之一，三加二分之一，二减根二，三减根二。 我们先在观察结果，由此可猜测出什么结论。我们看先看，由于二加二分之一就是二分之五， 三加二分之一就是二分之七，二分之五小于二分之七，所以二加二分之一小于三加二分之一。 就是说两边同时加上一个相同的数，不能和没有改变方向。 我们再看一下，二减根二约等于零点五八六，根二是约等于一点四一是吧，带进来算，就是约等于零点五八六，那三减根二就约等于一点五八六。所以呢， 二减根二小于三减根二。意思是说，我们在不等号的两边同时减去一个相同的数， 不等号不改变方向。由此可猜测，如 a、 b、 c 都是实数， 且 a 小 于 b， 则 a 加 c 就 小于 b 加 c， a 减 c 也小于 b 减 c。 下面来说明这个猜测是真的。设 a、 b、 c 都是实数，若 a 小 于 b， 则 a 减 b 就 小于零。 从而我们来看一下， a 加 c， 把 a 换成 a 加 c， 把 b 的 换成 b 加 c， 那 就去括号， a 加 c 减去减 b 减 c， 仍然等于 a 减 b 就 小于零。 因此 a 加 c 就 小于 b 加 c。 意思说，我们在不等号的两边同时加上相同的数，或者相同的式子，比如说两边都加 c 吧， 那么不等号方向就不改变。一，原来 a 小 于 b， 现在就还是小于。 类似的，如果我们两边同时加上负 c， 不 等号就也不变。以，原来是小于号，现在还是小于号。这就是 a 减 c 小 于 b 减 c。 若 a 大 于 b， 同样可同样的道理可以得到， a 加 c 大 于 b 加 c， a 减 c 大 于 b 减 c。 类似的，我们还可以证明，在不等式的两边都加上或减去同一个整数，不等号的方向不变。 小学我们学的不等式基本性质就是在两边同时加上或减去同一个数。现在我们初中了，可以在两边同时加上或减去同一个整数，不等式的方向不变。 这就是不等式的基本性质一、不等式的两边都加上或减去同一个数 或同一个整数，不等号的方向不变。这就是不等式的基本性之一啊。是指两边同时加上或减去 同一个数。小学是同一个数，到初中了可以减去同一个整数啊。 那么再读一遍吧。不等式的基本型之一，不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整数，不等号的方向不变。 我们来看，第一，用大于号或小于号填空， 已知 a 大 于 b， 则 a 加根号七，这边 b 加根号七，还两边加上同一个数，不得不改变方向。根据不等式基本性质一，刚刚学的，那就这里还是填大于 二。已知三小于七，则三减 x。 什么七减 x， 我 们两边同时减去同一个式，总式哈，同一个总式 x。 根据不等式基本限制性质一，以不改变不等的方向，两边同时减去个相同的式，不改变方向。 以前是小于，现在还是小于三减 x， 小 于七减 x。 借，因为 a 大 于 b， 根据不等式的基本性质，一得 a 加根号七大于 b 加根号七二，因为三小于七。根据不等式的基本性质，一得 三减 x， 小 于七减 x。 做一做，做一做。 已知三小于五。先用大一号或小一号填空。三派五派，三派小于五派二分之三，二分之五， 三派小于五派。是两边同时乘以一个无理数派同时乘以一个正数派 二分之三。二分之五是指两边同时除以二，同时除以一个正数二还是小于号，不改变方向。在观察结果，由此可猜测什么。结论， 由于排约等于三点一四，三排就等于三乘，排约等于九点四二，五排等于五，五乘一排就约等于十五十五点七， 于是三排就小于五排二分之三小于二分之五。由此猜测，若 a、 b、 c 都是实数， 且 a 小 于 b， c 是 大于零的，则 a、 c 就 小于 b， c、 c 分 之 a 小 于 c 分 之 b。 下面来说明上述猜测是真的。已知 a 小 于 b， 于是 a 减 b 就 小于零， 又 c 大 于零，于是 a 减 b。 括号乘以 c 小 于零， 还是乘一个整数，它还是负数，负的哈。 a 减 b 是 小于零，就是 a 减 b 是 负的，那么 a 减 b 是 负的，负的乘一个正的一号相乘还是负的小于零， 从而有 a、 c 减 b， c 就 小于零。因此 a、 c 就 小于 b， c 又 c 分 之一大于零，同理可得 a 乘以 c 分 之一，就小于，就小于 b 乘以 c 分 之一。这就是 c 分 之 a 小 于 c 分 之 b。 对 于实数 a、 b、 c。 若 a 大 于 b， c 大 于 c 大 于零，类似的可以得到， a、 c 大 于 b， c、 c 大 于 c 等于 c 等于 b。 就是说在不等式的两边同时乘以或者除以同一个正数，不等号的方向不变。好，这就是基本性质二， 中上可得不等式的基本性质二，不等式的两边都乘或除以同一个正数， 不等号的方向不变啊。再说一遍，不等式的基本性质二，不等式的两边都乘或除以同一个正数。记住了，正数啊，不等号的方向不变 啊。看第二，用大于或小于号填空，已知 a 小 于 b， 什么 b 排第一次？ 我们看一下，两边都呈的是一个正数，都呈的是同一个正数。根据不等式基本性质二， 不等号的方向不变，那就还是填小于。我们看一下这小题哈，已知 a 大 于 b， 三分之 a， 三分之 b， 相当于两边同时除以三除以正数。三、根据不等式基本性质二， 不改变方向，那就还是钱大于借。一，因为 a 小 于 b 派大大于零， 根据不等式的基本性质二，得 a 派小于 b 派。而且呢，因为 a 大 于 b， 三大于零，根据不等式的基本性质二，得三分之 a 大 于三分之 b。 那我们看第三，利用根号五大于二比较二分之根号五减一与二分之一的大小， 因为解，因为根号五大于二，根据不等式基本性质一，得，我们两边同时减去一哈，根号五减去一，就应该大于二减一， 这是根据不等式基本性质一，两边同时减去一。我们看构造一个根号五减一，这边一个一哈二减一，就 我们看这分子就相当于是两边同时减去一的来的。我们再看分母相同，就相当于是两边同时除以二的哈。 好，这里根号五减一大于根大于二减一，其就是根号五减一，我们就是构造这个分子了哈。先构造的这个分子， 又因为二分之一大于零，根据不等式的基本性质二得两边。我们这两边同时乘以二分之一啊， 左边乘以二分之一，就得二分之根五减一，右边乘以一，就是二分之一。根据不等式基本性质二，不改变不等的方向。以前是大于号，现在还是大于号。 好，我们来总结一下。这节课我们学了不等式的基本性质一和基本性质二，不等式的基本性质一是在不等式的两边。 翻来再看一遍吧，不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整数，不等的方向不变。 不等式基本性质一是加上或减去两边同时加上或减去同一个数，可以是同一个整数。 不等式的基本性质二，不等式的两边都乘以或除以同一个正数。 只说正数，不能说正数了，因为正数就不不清楚它是正还是负了哈，所以这里不等式基本性质二，确定了这里是同一个正数， 没有说整事哈。 好了，这节课我们就讲到这里，有不懂的下来问。

大家好，今天我们演讲的核心是掌握不等式的核心规则。不等式就是比较两个式子大小的工具。学习不等式就像玩游戏，要先懂规则。最重要的规则有两条，第一条是传递性， 比如小明比小红高，小红比小刚高，那么小明一定比小刚高。 在不等式里，如果 a 大 于 b， 并且 b 大 于 c， 那 么 a 一定大于 c。 第二条是可加性，如果 a 大 于 b， 那 么在不等式两边同时加上同一个数， c 关系不变，结果 a 加 c 仍然大于 b 加 c。 这里有一个关键陷阱，必须注意，当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向必须反过来 掌握。这两条核心性质是我们进行所有不等式证明的坚固起点。有了规则，我们还需要证明的工具。今天我们要掌握三种核心证明方法。第一种是最直接的比较法， 要证明 a 大 于等于 b， 只需看 a 减 b 的 差是否大于等于零。第二种是分析法， 他向侦探破案，我们从想证明的结论出发，反向推导他需要什么条件，直到找到已知事实。 第三种是综合法，他向搭积木，我们从已知条件出发，正向运用规则，一步步推导出结论。实际解析时，我们常常会混合使用这些方法， 但请牢记一个共同原则，每一步推导都必须有明确的依据，决不能想当然的跳步。现在我们用一道经典例题来实战演练 证明，对于任意实数 a 和 b， a 的 平方加 b 的 平方都大于等于两倍的 a 乘 b， 我 们的结论是，这个不等式是横乘立的。如何证明呢？先用比较法计算左边减右边的差， 即 a 方加 b 方减去两倍的 ab。 大家看这个叉能简化成什么？没错，它就是 a 减 b 的 完全平方。一个实数的平方有什么特点？ 总是大于等于零，因此，这个叉大于等于零。原不等式得正取等号的条件是 a 等于 b， 我们也可以用分析法来验证。要证明原式等价于，证明这个完全平方大于等于零，这同样是成立的。 看一个简洁的结论，背后是严谨逻辑和多种工具的应用。以上就是今天内容的总结，我们的核心收获是掌握了不等式的核心规则与三大证明工具。为了巩固所学，这里有一个小练习， 请证明 x 的 平方加一大于等于两倍的 x。 大家可以尝试使用比较法，它和我们刚才的例题非常相似。在实战应用中，请务必警惕两类常见错误。 第一类是当两边乘以含有字母的式子时，必须讨论这个式子的正负，否则可能导致符号方向错误。第二类是证明过程中不能随意跳过必要的推导步骤。 建议大家每推进一步，都反问自己这一步的依据是传递性还是可加性或是其他规则。通过这样的刻意练习，你的证明一定会越来越严谨。不等式在信息学奥赛中应用广泛，今天打好这个基础，未来就能迎接更精彩的挑战。

第二章不等式首先我们去看不等式的性质。 首先我们先研究数轴上两个数的大小关系，那么我们规定数轴上的右侧的数要大于它左侧的数。那我们来看，在数轴上， a 点所对应的数是 a， b 点所对应的数是 b， b 点所对应的数 b 就 在 a 点所对应的数 a 的 右侧，所以 b 大 于 a， 那 同理 a 大 于 b， 那么这也就两个基本不等式。又告诉我们什么呢？看这个基本不等式，如果 a 大 于 b， 我 们可以将 b 移到左边去，就成了 a 减 b 大 于零，那同样 a 减 b 大 于零，我们又可以把 b 移到右边去，形成 a 大 于 b， 所以 它们可以互相推出 a 小 于 b， 那 么也是 a 减 b 小 于零， a 等于 b， 那 么也是 b 减 a 等于零。 那么需要注意的是，上述的这几个基本不等式是比较两个数大小的依据，也说我们要比较两个数大小的依据啊， 就是采用这三个不等式。换句话说，比较两个数大小乘的方法就什么做差法，就把两个数做差， 那么做差比较法的基本步骤啊，首先第一步是做差啊，或者是我们可以做商， 但是我们主要的是做差，主要来讲做差。第二呢是变形，把它这个代数式去括号啊，还有这个呃，分解因式啊啊，或者是 其他的一些手段啊，进行变形定号。与零比较或与一比较，那么做商法，做商法与一比较，做差法与零比较 啊，做差法与零比较。那么我们来看具体的练习题。比较 x 加一乘上 x 加二 和 x 减三乘上 x 加六的大小，那么比较两个数的大小，我们只需要给它做叉就可以了。好，我们给它做叉。 x 加一，乘上一个 x 加二， 减去一个 x 减三，乘上一个 x 加六， 然后去括号， x 平方加上二， x 加上 x 加上二减去。注意，这要用一个大括号， x 平方加上六， x 减去三， x 减去十八， 然后去掉后边这个括号， x 平方加上三， x 加上二减去 x 平方减去六， x 加上三， x 加上一个十八， 然后消掉为零的项， x 平方，负 x 平方，这就是为零了。 三 x 加三， x 是 六 x， 六 x 减六， x 也是零项了。所以最后的结果是多少？最后的结果是二十 二十大于零，所以 x 加一乘上 x 加二大于 x 减三，乘上 x 加六， 那这个题就做完了。那就说只要大于零，前面数就比后边数大，只要小于零，就是后边数比前边数大。 我们看不等式的基本性质。第一，对称性，那对称性是 a 大 于 b， 我 们可以推 b 小 于 a 啊，完全一样，只是换了一个位置。传递性 a 大 于 b， b 大 于 c。 哎，我们知道 a 肯定大于 c。 不 等式的可加性，如果 a 大 于 b， 那 么 a 加 c 就 大于 b 加 c， 那 同样 a 减 c 也大于 b 减 c， 可重性 a 大 于 b， 如果 c 大 于零，我们可以推出 a c 大 于 b， c， 那 么如果 a 大 于 b， c 小 于零， 我们又有 a c 小 于 b， c 同向可成性，如果 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零， 必须是同向 a， c 大 于 b， d 必须两个不等式都得。大于零可成方形。 a 大 于 b 大 于零，那么 a 的 n 次方大于 b 的 n 次方，这个条件必须 a 属于正整数， 那么可开放性。 a 大 于 b 大 于零，那么 n 次根下 a 大 于 n 次根下 b， 那 么条件也是 a b 虚实的正整数， 那么这是不等式的基本性质。我们再补充几个，如果 a、 b a 大 于 b， ab 是 同号，我们就可以推出 a 分 之一小于 b 分 之一。 如果 a 大 于 b， c 方不等于零，我们可以推出 a、 c 方大于 b、 c 方，这就是不等式的基本性质。 我们看练习题，第一， a 大 于 b， c 大 于 b， a 就 大于 c 啊，我们说这个所采用的是 不等式的传记性，不等式的传记性，我们说 a 大 于 b， b 大 于 c， 我 们可以知道 a 大 于 c， 那这个正好是违背了这个条件，所以是错误的。第二一个， a 大 于负 b， 我 们可以推出 c 减 a 小 于 c 加 b， 大家看这个是负 a， 这一个是正 b， 那 么我需要把负 a 找到啊。也说从前边这个式子里边找到负 a， 那 么 a 大 于负 b， 我 可以推负 a 小 于 b， 然后两边同时加上一个数，不等号不变， 所以负 a 加 c 就 小于 b 加 c， 负 a 加 c， 正好是 c 减 a， 所以 这个是正确的。 a 大 于 b， 能推出 a、 c 方加大于 bc 方吗？刚才咱们补充也说了，这里必须是 c 方，不能等于零， 否则就相等了。如果 c 方等于零，那么 a、 c 方就等于 b、 c 方，所以错误。 a 大 于 b， c 大 于 d， a、 c 大 于 b d， 这是同向可乘性。我们说同向可乘性，必须 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零，我们才有同向可乘性，所以它是错误的。 那么 a 方分之 a， c 方分之 a 大 于 c 方分之 b， 等于说将不等式同时除以一个不为零的数，既然它在 c 方，既然在分母上，那么就已经说明了 c 不 等于零，那么在 a 比 c 方大于 b 比 c 方，那么同时出上一个大于零的数，不等号不变，所以这是正确的。 a 方大于 b 方， 能否推出 a 大 于 b？ 像这样的，我们可以直接取个数，比方说负三的平方 大于一方，负三的平方是九，一方的是一，九肯定大于一，那能否推出负三大于一呢？显然不能，所以他推不出来，所以他就知道错误了。 第七节 a 大 于 b， 能否推出 a 方大于 b 方呢？那么我们举实例，负一大于负三，那么能否推出负一的平方大于负三的平方呢？ 显然不能，负一的平方是一，负三的平方是九，显然不能，所以是错误的。那么 a 大 于第八个 a 大 于 b 的 绝对值，能否推出 a 方大于 b 方呢？ 那么首先这一个已经能说明 a 是 一个正数，它大于 b 的 绝对值， 那么这个 a 方肯定大于什么 b 方吗？啊？看似表面上是一定的，但是大家要注意，任何数的绝对值都是正的，那么我们可以举一实例来看一看 三大于 负二的绝对值，那么我们能否推出三方大于负二的平方呢？ 显然是可以的，显然是可以，所以这个是正确的。那么从这个实力上来看，虽然 b 的 绝对值， 它无论是正负，它都是正的，但是 a 已经比它大， a 就是 一个正的了，所以它肯定是大于九。一个 a 大 于 b 大 于零， c 大 于 d 大 于零， 那么能否推出 c 分 之 a 大 于 d 分 之 b 呢？那么我们可以看一下，先有 c 和 d， c 和 d， 在 分母上我们就要先考虑 c 和 d， 好， 我们来考虑一下，因为 c 大 于 d 大 于零，所以 c 分 之一小于 d 分 之一大于零。 再看 a 大 于 b 大 于零。好，我根据同向可乘性，给它按照方向给它写出来，这个是 b 小 于 a 大 于零，所以我据同向可乘性， c 分 之 b 就 小于 d 分 之 a， 那么 c 分 之 b 小 于 d 分 之 a 一 看与它不太一样，那么怎么办呢？ 这里与它同向可乘性是相违背的，这是 a 大 于 b 大 于零， d 大 于 c 分 之一大于零，那么 d 分 之 a 大 于 c 分 之 b， 但是这个是 c 分 之 a 大 于 d 分 之 b， 与我们的同向可乘性是相违背的，所以是错误的。 有限区间概数由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，这两个点叫做区间的端点， 那么在数轴上两减之间的一切的实数所组成的集合就叫做区间。也就是说，从负三 到三中间所有的实数构成了一个集合，就叫做区间，那么其中负三和三就叫区间段减值。 两端都含端点的区间叫做 b 区间。这第一个两端都含端点的区间叫做 b 区间。那么它的不等式的表达方式就是 x 大 于等于 a 小 于等于 b， 也说从 a 点到 b 点， 那么数轴上表示就是从 a 点到 b 点是十点所表示的这个区间里边的所有的 x 啊，所有的这些 x 都在这个区间范围内啊。用几何表示描述法表示是这样的， 用区间表示就是两个用中括号来表示，如果 ab 这边都有等号，都有等号，那么我们就用中括号， 那么两端都不含端点的区间叫做什么？开区间，那么也是不等式的形式，就是 x 大 于 a 小 于 b， 集合就是 x 大 于 a 小 于 b， 数轴上表示，数轴上表达一下就是 a 和 b， 因为没有等号，所以它取不到，我们用虚点来表达， 那么用区间的形式表达，就是用小括号表示，因为 a b 是 取不到的，所以我们用小括号来表示。 那半开半闭区间呢？那就是一边开一边闭，有可能前开后闭，也有可能前闭后开， 我们看具体的不等式。第一种不等式是 f 大 于等于 a 小 于 b， 这就要叫做前 b 后开。你说前边含着什么等号，那么后边含着什么？ 没含等号，那么我们用数轴表示，就是一边是实点，一边是虚点， 那么集合的形式就是 x 大 于等于 a 小 于 b， 区间表示就是开这个。前边是用 b， 因为 a 能取得到，所以我们用中括号，后边的 b 我 们是取不到的，所以我们小括号，这也叫做前 b 后开。 不能是 x 大 于 a 小 于等于 b， 那 么集合是 x 大 于 a 小 于等于 b， 那么我们看前面的 a 没有等号，后边的 b 有 等号，也说后边的 b 能取到，前面的 a 是 取不到的，那么我们用数轴表示 a 取不到应虚点， b 取得到应实点啊，所以用区间的方式表示，就是 a 取不到，用小括号， b 用中括号，因为 b 能取得到。我们再看无限区间，无限区间，首先我们先看开区间 集合， x 小 于四，那么我们用竖轴上表达 x 小 于四，那么找到四，四取不到。小于四，我们说竖轴上的数， 右边的盈元大于左边了， 它在这块区间内， x 小 于四， 那么我们表达方式小于四，因为往这全部是负的，它没有边界，所以我们用负无穷来表示， 那就从负无穷一直到四，数轴从左到右越来越大，从负的那一边没有边界，一直到现在，四到了最后有边界了，所以我们叫做负无穷到四。因为四又是取不到，所以用小括号 结合， x 大 于四大于四，就是永远比四的值要来的大， 所有的数都在四的右边，那么有没有边界？没有边界，所以右边没有边界，我们用正无穷表示，这就是四到正无穷。又因为四没有取到等号，所以我们用小括号 右半开区间集合。 x 大 于等于四，那么这个四是取到了，大于等于四， 四能取到，一直到右边没有边界，所以是四到正无穷，四能取到，所以用正括号。 g 和 x 小 于等于四，小于等于四就是在四的 左边啊，四的左边，那么都比四来的小。四是啊，能取的到，所以我们中括号，那么左边没有界限，我们叫富无穷 啊。那么实数级呢？我们说左边也没有界限，右边也没有界限，叫富无穷到真无穷。 那么因为负无穷与正无穷都是符号，仅仅表示的是一种数据的听向性，就是倾向性啊，它倾向于哪一侧，所以呢， 我们说它不是一个确切的数啊。所以正无穷和负无穷 不能用 b 去减， 不能用 b 去减。 看三一元一次不等式。关于不等式 ax 大 于 b 的 解决问题，首先我们看不等式的形式是 ax 大 于 b， 这是一元一次不等式， 那么他的解析需要看 a 的 取值范围，所以我们分了三类讨论。 a 大 于零的时候，那么他直接把 a 除过去， x 大 于 a， 分 之 b， 比方说二 x 大 于三， a 大 于零，不等号不变，所以 x 大 于三除以二，也就是 b b a 同理， a 小 于零呢？ a 小 于零，不等号要变号，原来的大于号要变成现在的。什么小于号 负二， x 大 于三，我们两边同时除以负二不等号要变号了， x 由原来大于号变成小于号。 第三个， a 等于零呢？ a 等于零，如果 b 小 于零，那么 a 是 零， b 又是小于零， 来说零大于负的，所以零永远大于负的，所以解集是啊，全其十数，不管 x 取什么数，零永远大于负数， 那如果 b 大 于等于零，解集就是空集，零不能大于零，零 肯定要小于正数啊，所以它的解集是空集好。第四，一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是， ax 平方加 b， x 加 c 大 于零或大于等于零， ax 平方加 b， x 加 c 小 于零或小于等于零，那 abc 为常数。 那么解决一元二次不等式它的解，我们一般的方法就是通过二次函数的图像及性质进行分解。那么我们首先看一下一元二次函数的图像及性质， 我们通过判别式来判定它的根的情况，也就是说判定一元二次函数图像与 x 中的交减的个数。首先 dy 等于 b 方减 c a c， 那 么如果 dy 大 于大于零， 对于一元二次方程， ax 平方加 b， x 加 c 等于零而言，它有两个不相等的实数根，那分别就是二 a 分 之负， b 加减根号， b 方减 c， a， c。 那 么如果将一元二次方程变成一个一元二次函数， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 那 么 a 我 要求是大于零，那么我们都知道，一元二次函数 a 大 于零，开口朝上，因为有两个相异的实数根，所以它与 x 轴有两个交点， 也说 dy 大 于零，与 x 轴有两个交点。同理， dy 等于零，有两个相等的数数根， dy 等于零，实际上就是 b 方减 c， c 等于零，也就是它等于零，所以它只剩下了二 a 分 之负的二 a 分 之 b， 那 么有两个相等的实数根，就说明二次函数 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 与 x 轴有一个交点， 那么但是它小于零嘞，那没有实数根，没有实数根，就说明这个函数的图像与 x 轴的交点是没有的啊，没有的，就这样没有交点。 继续看。那么通过上面的图像， a， x 平方加 b， x 加 c 大 于零， a 大 于零，它的图像来看，如果这个二次函数是大于零的，我们把图像 画在这里。 如果二次函数它大于零，那就说明谁大于零。 y 大 于零，因为是 y 等于 ax 平方加 b， x 加 c， 所以 是 y 大 于零。 大家看 y 大 于零，那就是说在 x 一 的上侧， x 二的上侧 啊。那么也就说，当 x 在 这个范围内和这个范围内时， y 大 于零，也就是 x 小 于 x 一 或 x 大 于 x 二，我们称大于零，大于去两边。 那同理， a， x 平方加 b， x 加 c 小 于零，它的解集呢？小于零，我们看这个图像下侧部分，它的函数值都小于零， 下次部分它的 y 都小于零，那么我们又称这个解集。就取这两根的中间部分，也就是 x 大 于 x 一 小于 x 二， 那么看 d 等于零， d 等于零，那么如果 ax 平方加 b， x 加 c 大 于零，那应该怎么取值呢？图像 这里有一个交点，大家看这一个交点， x 一 等于 x 二，它会，那么 x 不 等于负二，一分之 b， 也就是不等于这个值就行了，因为这个值在上还能大于零吗？就成等于零了。 所以我们只需要 x 不 等于负二，一分之 b 只要不等于这一个焦点两边是不是都大于零啊？ 那么小于零呢？有没有小于零？它最小是等于零，所以它没有小于零，就是空集。再看小于零，小于零，小于零，它的图像与 x 中没有交减，那么开口朝上， 那么 a x 平方加 b， x 加 c 大 于零，那么对它来说它就恒大于零。你 x 取什么值，你看 x 取什么值，它都大于零，所以这就是 r， 那 么取什么值都大于零，那么还有小于零的吗？没了，所以就取空集。 那么第二个方法呢？我们采用因式分解法，如果 a x 平方加 b， x 加 c 容易分解，先进行因式分解，然后求出对应方程的根，再根据大于去两边小于去中间进行求解。我们举一个实例，例如 x 平方减去三， x 加上二小于零， 我们先给它十字相乘分解因子， x 减一，乘上 x 减二小于零， 它有两个根，一个根是一，一个根是二，那我们根据小于取中间，那么谁是谁在中间呀？ x 在 中间嘛？ x 大 于小根，小于大根， 那么然后呢，可以把它写成区间的形式，一到二都取不到，请开区间。那同理，如果我把它改成大于号呢？ 那就是 x 减一， x 减一，乘上 x 减二大于零， 那么大于号，我们取什么？取两边？那就是 x 比小跟小，比大跟大， 如果有区间的形式， 哎，就这种形式，哎。 x 属于负无穷到一，因为比一都小嘛，所以是负无穷，负的没有边界，并且按二的公式，因为大于二嘛，比二大，但是没有边界。 第五，我们看含绝对值的不等式。含绝对值不等式。绝对值不等式的性质 也是 x 小 于 a， 我 们可以推 x 大 于负， a 小 于 a， 前期是 a 大 于零，因为 a 小 于零，任何数绝对值都大于零，所以 a 不 能小于零。既小于取中间，同样是大于号，取两边 也是一样的，哎，这比较简单，因为什么 x 的 绝对值等于 a 是， 所以 a 加其大于零，那么 x 的 x 就 等于 a 或 x 等于负 a， 那么通过竖轴，这是负 a， 这是 a， 那 么在这个负 a 和 a 中间这段上， 我们叫 a 的 绝对值啊。小于 a， 在 a 的 这段上小于负 a 或大于 a 上这段上，我们叫 a 的 绝对值大于 a， 所以 说大于取两边，小于取中间，那么我们把 绝对值那边的唯一一个 x 换成代数式呢？一样吗？一样 啊，那就是 ax 加 b 取中间，那么绝对值是谁就谁取中，小于号就谁取中间，那么绝对值里边是谁？如果大于号的话，就是绝对值里边这个代数式就取两边。 历年真奇已知， a 大 于零小于 b 小 于一，则我们将零点五换成谁啊？换成二分之一， 那么 a 选项就变成了二分之一 a 小 于二分之一 b， 那么 b 选项是二分之一 a 大 于二分之一 b， c 选项二分之一 a 等于二分之一 b， 那 么 d 选项 a 的 b 次方大于一个 b 的 a 次方。 那么这个题呢？我们先来排除 c， 为什么？因为 a 呀， a 和 b 不 相等，它零点五的 a 次方和零点五的 b 次方就一定不相等。那么接着再看 a 和 b， a 和 b 呢？二分之一 a 小 于二分之一 b， 那 么我们完全可以取一个特殊值来代入法。那么既然 a 小 于 b， 我 们就可以猜出 a 等于三分之一， b 等于二分之一， 那我们可以代入那二分之一的三，二分之一的三分之一次放大，还是二分之一的二分之一次放大呢？ 我们说大零小一的时候，数越大是不是越小啊？所以二分之一的 a 次方大于 他。咱们说大于零小于一，底数大于零小于一的时候，指数越小越大嘛。所以三分之一比二分之一来的小，所以它也大。所以这个题选 b 选 b， 那 第二个 x 减二乘上 x 减三小于零的解集式， x 减二乘上 x 减三小于零，我们说他有两个根，一个根是二，一个根是三， 小于零取中间，所以 x 大 于二小于三，我们写上二都取不到，就用开取键二到三。 第三题不等式， x 平方加二， x 减三小于零的解集，那么我们首先给它分解因子， x 加三乘上一个 x 减一小于零，它的两个解，一个解是负三，大家要注意这个点， x 加三，它是负三，不是正三啊。你可以令 x 加三等于零， x 减一等于零，所以它有两个根， x 一 等于负三， x 二等于一，那么小于零，我们取两根的中间部分，那么取负三到一 都取不到，没有等号，我们就用开区间 四奇。若二分之一 x 方小于五分之四 x 方，则 x 的 取值范围， 那么二分之一比五分之四要来的小，那么同样的 x， 那 么我们同样可以取一个数，我们同样取零。二分之一的零次方 和五分之四的零次方是相等的， 那么我们再看二分之一的一次方和五分之四的一次方 谁大？那很显然，五分之四是零点八，二分之一是零点五，它大，所以这个解集就是零到正无穷相等。 第五不等式， x 减二的平方减一小于零的解集式，那么这个解集我们有两种方法，那么我们采用将 x 减二平方展开的方法来解一下。 根据完全平方公式， x 减二的平方就等于 x 平方减去四， x 加四，所以 x 减二的平方减一就等于 x 平方减四， x 加四 减一等于 x 平方减四， x 加三，那么把它分解因式， 那么它小于零，实际上就它小于零，它小于零，我们取两根的中间，一个根是负一，一个根是负三， 也是负三到负一。 再看第六题，若 x 大 于零小于一，则下列式子正确的是，那么今后再做类似的练习题，我们要直接取数，这样的话，我们做题的速度会加快。 x 大 于零小于一，我们直接取一个三分之一，令 x 等于三分之一，所以 x 平方就等于九分之一， x 三次方就等于二十七分之一。 那么一目了然，谁最大？ x 最大，然后是 x 平方，然后是 x 大 于 x 三次方， 所以 x 大 于 x 平方大于 x 三次方。选 b， 故答案是 b。 好， 本课程内容到此结束，谢谢大家观看。