立体几何经典例题10道手写

好，各位朋友们来看绵阳高二期末这个十八题。如果说你用常规方法解析，很难把它算出来，这道题考的是引元模型， 我们不妨设这个 a、 b 档为 c 档，那你想，我们以这边为 x， 这边为 y， 肯定间隙是要减的，对吧？然后这个 b 点坐标，你想它是不是应该是三倍？扩散下斗零斗零， 然后单点坐标是零斗三倍三一下斗零， c 点坐标做个垂线嘛， 这个角，这个角是二分之拍减 c 他 呀，那是不是应该三倍 cos， 在 那加上一乘以 cos 这个角，是吧？ 而这个角是不就是你算出来就应该什么三 a c， 他 斗什么一乘以什么三 c 它吧。道理好了，每个坐标你都能写出来，那你就可以把这个 b、 b、 d 的 法向量好，你就用叉乘法叉乘，同学们自己算一下，算完了结果比较简单，这样一个结果 很好算的。各位好了，算出来之后还差个什么 c m 线了， c m 线了，你也可以写出来，这都不什么难事，只要你设出来之后好了， c m， 同学们也可以自己写，写出来就是这个东西， 然后逗塞在那紧或塞上逗零。好了，你去算这个塞阿尔法。你算完之后，它的表达是非常简洁，就是一除以括号角一加上 四分之一三二 c 的 平方乘以根号，要求它的最小值，它是不是求这个分母的最大值？分母的最大值是不是求这个三二 c， 它 当且它等于一十，也就二十等于九十度， c 它是不是等于四十五度？我想到这已经没有任何难度了。所以 ab 等于什么？三乘以二分之二，好没得说了，第三问 这个第三个，只要你会第二问第三个，很快搞定好了。你刚刚已经算出三 r 等于什么？一除以根号下这么多乘以根号二，他 是不是推出来是不等于二分之二？减倍大是不是等于 cos 倍大？那 cos 倍大你想是不是还有另外一个表达？是，就是这个法向量相乘， 然后 p a b 的 法项 p a b， 各位法项是现成的，就是 a 大 项，对吧？ a 大 项呢？你给它写出来也很简单，括号被它最终 化简，它就等于这个。嗯，朋友们自己写三倍三，最终算完啊。就这样一个九，然后这一坨乘以什么？这个三倍三是它好了，然后它就应该等于这个十字， 你想这两个是不是消掉了？这个是不是消掉了？那是不是就得到求扩散？是不是等于二分之一？二分之二。 哎，说明什么？说明此刻这个加角是四十五度，等于幺，对吧？那也就说 v 就 等于三分之一，乘以二分之一。什么？乘以 二分之三倍？根号这个一个平方乘以三等于四分之九。好，这道题如果你用这个方法事半功倍。好。

今天开始做高中必修二例题集合的解析觉醒，先从解析大招入手，看书学方法，做例题，再练配套练习。之前他已经把教材过了一遍，跟着赵立新老师和平县的网课也学了一轮，还把教材帮又仔细过了一遍，基础打得还是比较扎实。 今天做的是立体几何的第一节基础，立体图形的题型部分，一共三十道题，做下来特别顺利。一开始我还挺担心，怕实战是卡壳做不下去， 没想到上手这么顺。应该是这部分的题型相对基础，真正的难点估计还在后面，还是非常担心，不过先把眼前的基础打牢，一步一步来吧。

高中数学最难的立体几何新版二十一个母题全部背熟，稳进班级前三！高二一轮数学立体几何新版二十一个母题题型一，空间一面直 线夹角的求解题型三，空间平面与平面夹角的求解题型四，空间点线面间的距离求解 题型六，空间几何体的翻折问题完整版分享！

第二问让我们找的是平面 f b e 和平面 e b g 的 夹角余弦值。我们在第一问的时候，已经把这个呃 f b e 的 发向量 n e 给它求出来，是二零一 啊，这是第一问给它求出来的。第二问的话，我们把这个 e b g 的 发向量给它求出来就好了，所以我们需要的呃点的坐标 e b g 都在这了， e b g 都在这了啊。然后我们给他写这个面上的两个向量，比如说 g b 向量是四零负三，不能因为我反应快你就不说了啊，一块说 四零负三，然后我写了 g b 嘛，然后我再写一个 g e 吧，随机选一个幸运儿， g e 二负四一 啊，二复四一。然后我们再设频变 e b g 的 法向量为， n 二等于 x 二， y 二 z 二， 哎，然后是我们的 n 二点乘 g b 等于零， n 二点乘 g e 等于零，哎， 四 x 二减三， z 二等于零，二 x 二减四， y 二加 z 二等于零，哎， 所以在这个地方我们令 x 二等于，其实我们要令三啊，因为你这个 z 二就是四了，你这个 z 二就是四了啊，老师，我看不出来呀，那你就都令一，你就都令一，你先把这个 x 给他令出来一，其他的去求就行了，也一样的，明白不 啊？令 x 二等于三的话，你的 z 二得出来， z 二是等于四的，带进去啊， 是二乘三减四， y 二加四等于零啊，也就是二三得六十啊，六十 十等于四， y 二啊， y 二是等于十除以四，也就是五除以二二分之五，所以咱们能够得到它的 n 二是三二分之五四 三二分之五四啊，得到了它发向量了啊，让我们求这两个平面的夹角余弦值，那我们肯定是要求的是 cosine n 一 n 二两个发向量的夹角余弦值 啊。上边它俩点乘是二乘三加零乘那个东西加一乘四， 底下他俩的魔成，一个是根号下的二方加一方，一个是根号下的三方加二分之五的平方加四的平方，哎，然后在这个地方二三得六，加四是十，底下呢是根号的五， 这边是根号五啊，根号五，那个是根号下的九，在这写一下，九加四分之二十五加十六十六，也就是根号下的二十五加四分之二十五，对吧？ 然后也是根号下的四分之一百二十五，因为这个二十五可以写成四分之一百 啊，所以开根号的话应该是二分之。根号幺二五。根号幺二五，这个幺二五谁呀？这根号幺二五，我们可以把幺二五拆成就幺二五给他短除法一下，除以五 一二五，除以五二五，一十二十五二十五啊，然后再除五是五五的三次方是幺二五，所以出来一个五是五倍根号五， 根号幺二五是五倍根号五。好，回过头来，那就是二分之五倍根号五啊。是因为这个改版了，所以我写的这个数字会有一点丑啊，正常的话我写的会很清楚，我会让阅卷老师看的清清楚楚，明明白白的，明白吗？ 啊？上边是十乘二，底下是五乘五，五乘五啊，所以最后的结果应该是五分之，因为你要约完成剩个二吗？二得四吗？对吧？所以两个反向量的加角余弦值是五分之四， 五分之四啊，有了两个反向量的，看好了啊，最后一句直观重要，答，人家问的是平面啊，平面 f b e 与平面 这个 e b g 加角弦值，加角 余弦值为五分之四啊，就给他出来了减细啊，两个平面的夹角余弦值。我们是先求两个发限量的夹角余弦值啊，取绝对值就可以了。 好宝宝们，我的短视频时长有限，所以希望有缘通过我的短视频认识到大家，也希望大家能够来到我的课堂上，课堂是肯定要讲得更加的清晰深入，而且延伸的非常的全面到位的哈。 因为短视频时长有限制，所以我会说的稍微语速快一些，大家可以暂停看一下这两页。可以暂停看一下这两页。 好，那我们下一个视频再见喽！

那如果你的目标分数是在一百二十分以上的话，立体几何这个模块，那你尽量是要拿满分才行。 hello， everybody。 今天起我们要进入一个全新的模块，叫立体几何，咱们以前的几何知识几乎都是在一个平面上的，对不对？那以后我们要研究三维空间内的几何关系。 那进入一个新模块之前，我要先给大家讲清楚，这模块你要学什么？你要学到什么程度？呃，在目前的高考当中，立体几何这个模块，他的平均难度在一张试卷里面就是中等稍微偏上一点点，他要么出小题，要么出大题，有的时候小题可以出的非常非常难。他作为一个单选或者多选的亚洲， 整个立体几何大约在高考当中要考二十分左右，那如果你的目标分数是在一百二十分以上的话，立体几何那你尽量是要拿满分才行。 好了，那废话不多说了，我们先来看一下立体几何讲什么。第一部分内容我们会讲空间几何体，大家特别熟悉的小学学过的，什么正方体、长方体，其实都是空间几何体。我们要在你学过的那几个简单图形的基础上，再学一些比较复杂的，比如说棱柱、棱锥、台体和球。 一些常见的几何体，你学完之后，那图形就可以变得非常非常复杂了。我们就进入第二部分，研究一些线和面的位置关系，最常见的位置平行和垂直，未来大家要会的，比如说他给你一些条件，让你去证明这个面，还有这条线，哎，这两之间为什么是垂直的？ ok， 那 假如说这线你已经会了，接下来还学什么？那我姥姥都知道，垂直啊，太特殊了，垂直九十度，那有没有可能不垂直？比如 a d 一 这条线和这个面 a e， b c， 它就不垂直，那不垂直的时候，这个线和这个面所形成这个夹角是多少度啊？ 我们会涉及到一些空间中的角度问题，甚至有的时候还更恶心点。现在给你个动点，这点 p 在 a e， c 上动。问，在运动过程当中， b p 这条直线和 a d， e 这条直线，两条直线之间所形成那个角度什么时候最大，什么时候最小？ 那如果以上三个模块你都学会了，最后一个模块，大家联想一下，初中的时候你刚学几何，你学了什么？同位角内错角，学什么？一些简单的三角形知识之后 是不开始学习平面直角坐标系那个间系了。高中也一样，你研究一个东西，除了从几何角度来研究之外，三维空间内我也可以建立空间直角坐标系。 ok， 花了一点时间让大家大约认识了一下离地几何，咱要干什么？

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考这种老掉牙的三十头的还原了， 以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三式图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？你要抓的是教材背后的拓展模型， 这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置，有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 柱体啊，常见的柱体，锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分，就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四点线面的位置关系，这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六，一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂。因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积表面积里面的一些分析，全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合，不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么巨型模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三、垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题，辅助线一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角，二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做？甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面， 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略。 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型。胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好，好好下课！

同学们好，我们一起来看一下最近考的这个模考题的压轴题啊。来，我们边读题边翻译，在三轮锥 p a b c 当中，平面 p a c 呢？垂直平面 a b c， 且 a c 呢？等于六 p a 加 p c 等于六根二。哎，大家想到什么？ p a 加 p c， 是 不是它两个定点的距离之合是个定值啊？哎，我们是不是很自然地想到什么呀？自然地想到了椭圆，是不是所以椭圆 r a 等于六根二， a 呢？等于三根二。 那既然是椭圆， a 出来了， c 是 什么呀？ c 不 就是 a c 吗？所以呢，我们把 a c 来减去二 c 呗，所以 c 出来了。既然 c 出来了，我们 b 是 不是可以算出来 b 呢？等于根三， b 呢？等于三啊， 那这个 b 有 什么用呢？我们暂时不知道，继续往下走好， ab 呢，等于两倍的 bc， 哎，这个想到什么呀？是不是在平面上到两个定点的距离之比是个定值？很自然的想到什么呀？ r 是 圆， 如果这个你想不到了，这个题很难做了啊，或者说与你无缘。好，二是圆，如果不接的了，我们来回忆一下，什么叫二是圆， 二是圆，就是到两个。嗯，定点的距离之比是个常数，但这个常数呢，不等于一啊，等于一的话，那就中垂些了啊，为什么是个圆呢？让我们证明一下。嗯， 那我们可以进个 c 呗，不妨是 a 啦，是负 c b 啦，等于 c 零，这样的话啦， p 点是 x y， 求谁射谁。根据这个等式啊，根据这个比例关系呢，我们可以把它整理一下，两面平方可以整理成这个十字啊，当这个 number 不 等于 e 的 时候啦，就可以整理成了一个圆的形式， 这个圆，大家记住两个东西啊，第一个，这个屁呢，它是轨迹，是个圆，原先是它，原先这个东西能够记住了最好，但是这个半径为圆的这个公式呢？嗯，这个一定要记住它啊，因为用的非常多啊，如果临场去推的话，你没个两分钟你根本推不出来啊， 所以它应该是那么大，放减一分之二，那么大 c， 这个呢，尽管记得啊。好，如果这个题考我的话，三十秒，好 好，根据二十元，我们是不是可以把半径算出来？半径算出来有什么用呢？好，我们理解一下，你看这个他要求什么呀？求体积，体积最大，那不就底面积最大吗？高最大吗？底面积是什么呀？我们把 abc 看了，看底面积啊， abc 的 话，你看 a c 这个底边是不是固定的？是六，所以这个高是不是最大就最大？高是多少高？是半径的时候最大。这里呢，你可能不太理解，待会了，我们有这个动态的图，一看就明白啊，为什么是半径的时候最大？ 所以呢，我们先算一下这个 s 三角形底面积最大，那等于十二底乘以高，还有一个呢？嗯，因为还有一个 啊，零锥是底乘以高嘛？最高这个高是不是 p 叠啊？因为 p 叠呢，他们是垂直的，所以 p 叠到这个 a c 的 距离最大。 a c， 因为 p 叠是在这个椭圆上运动。椭圆什么时候最大啊？这个高，那应该是什么？上顶点的时候到这个 x 轴是不是最大 啊？同意了，它的体积 v 应该等于三分之一乘以什么高，高了就是这个 b 啊。好，至于为什么，来我们看看动态的图啊， ok， 今天跟大家做了一个动态的视频图， 来，我们一起看看，哎，来了，好，我们先看，你看 a、 b、 c 是 不是在底面，底面加这个高呢？就是 p， 这个三等锥什么时候最大？我们把 b 呢移动一下， b 是 不是在这个 r 是 圆上动啊？动动动动动动动，什么时候最大？你看是不是半径的时候最大，这个时候就是半径啊，半径，半径是四，刚才我们算了一下，你看，嗯，如果不是取半径的话，你看是不是逐渐变小啊，变小啊，变小啊，因为它是个圆，是不是？哎，你看，这样的话，我们是不是看的更清楚呀？ 看跟清楚啊，你看，所以这个 b 的 啦，在这个圆上运动半径的时候最大，好，底面积最大，盯住了，好，是不是还有高？最大高的话是什么呀？高的话，因为 p 的 啦，它是在这个椭圆上运动，椭圆上你看，无限接近于 x 轴啦，无限接近零， 继续往上走，上上走走走，走走走，是不是什么上顶点就是 b 的 时候是最大，这个 b 呢，刚才我们算出来是三，所以这个时候是不是最大，最大了是十二，好，有没有问题？你看看，来，我们看看，来，看看这个动态图啊， 因为这个 p， a、 c 和 abc 呢，是垂直的，这样的话是不是看得更清楚啊？因为有两个动点，一个动点呢是 b， b 呢，是在 r 是 圆上动，这个时候高，最大了就是半径。 p 呢，在这个椭圆上动啊，上顶点的时候呢？啊，最大， p 最大。 ok， 嗯，那我们这个动态图呢，就演示到这里啊，好，我们继续看。嗯， 呃，我们总结一下啊啊，做题不总结等于没做，总结完之后你不记得也等于没做啊啊，你记住了？嗯，对于这些关键词，你不能临场同临时的把它调用出来。那看到这些暗示啊，你看看，这不就是暗示吗？能够直接想出来，那也等于什么呀，也很难。嗯， 不能说，要等老师提醒，或者说有人敲着锣打着鼓告诉你啊，我要考二十元了，那不太简单了吗？所以大家看到这种 若按是你看 a b 等于两倍的 bc， 那 就是两个。什么呀？啊？两个线段之比是个定值，就选到 r 十元，这是第一点。第二个，这个半径必须要记住啊。还有第三个 pa 加 pc 是 什么呀？ 他是一个椭圆，你也必须要想得到啊，这个红圈圈的时候你想不到椭圆，这题难做。嗯，这个红圈圈你想不到什么， r 四圆也很难做。 r 四圆你如果连推的话，需要时间，一定要把什么这个要记住他。 ok， 好， 今天课我们就讲到这里，谢谢大家。

hello， 大家好，这是我们培优试听课的最后一节，我们培优课主要串讲各个板块压轴知识，有需要的同学可以看动态置顶或者联系屏幕上的联系方式进行咨询和报名。 ok， 我 们来讲这个题，你这样一看不太熟悉，但是我给你画个图，你马上就熟悉了。 我们画个平面的，其实对这个题你非常熟悉，比如这是 a， b， c， 让我们平面里面有一点，比如说就叫做 m， 然后过 m 的 这个动直线交 a， c 于两个点，不妨是 e 和 f， 然后让我们求跟 a， e 和 af 有 关的一些东西，那是不是我现在的这个过 m 动平面交射线 o a o b， o c 于 p q， r 跟我们这个二维里面的过 m 的 直线交 a， b， a， c 于 e f 其实是一个道理，只不过把二维推到三维， 所以你就明白了这个图形是怎么构建的，我们整体的证明逻辑是什么。那当时我们这种问题是怎么来证明的？这不是我们说我们可以把 am 写成一个 ab 加 ac 的 线圈组合， 那写成一个线圈组合之后，我们可以把 a， e 和 a f 设成 x 和 y， 然后我们利用比例去导成这个 number， a， e， 这个 a， e 和我们 x 有 关，然后加上这个 miu 倍的 af， 然后这个 miu 呢跟我们的 y 有 关，然后最后利用 e， f， m 三点共线，是不是我们的拉布拉加 miu 等于一， 然后呢我们就可以到 x y 的 关系，然后利用 x 的， 然后利用 x y 的 关系去算出它的一些面积周长这些东西。那这是我们二维在高一的时候非常常考的一种题型，那所以我们这个题的整整体证明逻辑基本上就这个样子了。 我们先来看第一问的第一小问，求 o m 的 长，我们这里六十度都有，对吧？所以理论上你 a， b， a， c， b， c 都可以求出来，然后 n 是 一个三等分点，然后 m 是 一个中点，你都可以求出来，全部都可以求出来，但是这样真的好做吗？我们来看二为中我们是怎么做的？比如说这是个向量型， 然后有个中点，然后让我们求这个的长度， a e 的 长度，或者这是一个四边形， 然后我们这里有个什么中点，然后有三等分点连过来，让我们求这段长度，对吧？这种题是不是经常出现在我们的选择题前几题？所以在二维情况下是非常简单的，我们都知道可以利用向量去做，那放到三维里面我们也是一样的，现在有这三条边 的长度，然后有这它们的夹角，所以我们也可以理解为我们可以以 o a， o b， o c 作为一个基底去表示我们向量，因为它们长度知道夹角知道你去表示之后，我们就可以把它长度算出来，这是我们的核心思路。我们来看第一问， 我们的 o m 向量可以写成一个二分之一倍的 o a， 加上 o n， 然后呢？我们这个 o n 可以 由我们定比分点，写成 o b 和 o c， 对 吧？所以我们 o n 向量整体上就等于三分之一倍的 o c 向量，加上三分之二倍的 o b 向量。 有了这个之后，我们就可以把 o m 用 o a， o b， o c 来表示，就是二分之一， o a 加上六分之一 o c， 再加上三分之一 o b， 这是我们的 o m 向量。那我们现在知道 o a 的 长度， o b 的 长度， o c 的 长度，它们假假都知道，所以你只需要对折式子两边平方就把它 o m 求出来了，那么 o m 的 长度就是 三分之根号四十三。 okay， 我 们再来看第二小问，第二小问的话，空间中一个动点 t 定义这个东西，然后当四面体体积最小时是否算点 t 时，这个东西。所以我们应该先关注当四面体体积最小的时候是什么时候， 对吧？那我们根据条件，刚刚我们有二维的，其实是可以得到什么？得到我们的这个 x 和 y， 它们之间有关系，都是导数和的关系啊，如果你做多了就知道我们先把这个 p 口来画一下 p 啊， 所以我们也可以模仿刚才用一样的思路去写，因为现在已经写出来 o m 和 o a， o b， o c 的 关系，所以我们一样可以得到 x， y， z 这样的关系，对吧？如果我们把 o p 设成 x， o q 设成 y， 然后 o r 设成我们的。呃，这个啊，连错了，不好意思啊，应该在下面 o 娃设成我们的 z， 我 们就可以同理到这样的关系。我们的 o a 是 等于 x 分 之二 o p， 那 这个比例呢，就是我们这个长度的比例，对吧？那 o b 呢？是等于我们的 y 分 之三 o q， 我 们的 o c 是 等于我们的 z 分 之四 o r， 所以 我们就可以把这个 o a， o b， o c 全部带进去，然后得到 o m 是 等于一个 x 分 之一 o p 加上 y 分 之一 o q， 加上三 z 分 之二 o r， 让我们利用 m p、 q r 共面，我们就可以得到 x 分 之一，加上 y 分 之一，加上三 z 分 之二等于一。 当然这个题我觉得有一个地方出的不好，他出的这个思路是好的，但是他忽略了一个事实，就是我们在高中阶段讲的这个极值，其实只讲了二元极值， 包括基本目的是和各种函数导数，然后你消元之后一个二元条件极值，然后消元之后成一个单元的情况，对吧？ 那我们在平面的情况是当然可以的，因为平面的情况我们只有两个肌底，所以你只有两个未知数，两个未知数它们之间有一定的关系之后，那你就是一个单元极值，对吧？但是如果是三元的情况就不好说了。三元的情况的话，我们高中阶段其实是没有讲多元极值的。 所以说我觉得这个题唯一有一点瑕疵的地方，就是说他很多地方会用到多元极值的一个想法，那这个想法呢？可能对于很多高中生来说没有接触过，可能算一点超纲。 ok， 我 们得到 x、 y、 z 的 关系。然后下一步是我们来看这个体积怎么表示。 这个四面体 o 杠 p 是 吧？你现在有 z 了，有 y 了，所以我们底面是很好表示的。底面我们是不是 s 就 等于二分之一乘上二分之根号三三点六十度嘛，再乘上 y z， 所以 我们看体积怎么表示。 体积的话，我们首先是不是要过 p 做一个垂线下来，不妨就是 p 一 撇， 让它垂直于底面，垂直底面我们 p p 一 撇就是我们的高，那 p p 一 撇怎么算呢？我们 p 这不好算，但是 a 这很好算呀，对吧？因为你 o a p 是 共线的，所以我们可以把 a 这算一下。现在是 a 一 撇 勾线的话，由于我们现在 a、 o、 b、 c 是 不是这个四边形是固定的？只要这个四边形是固定的，我们这个 theta 是不是就是确定的，对吧？你也别管这 c 大 是几， c 大 是几根本不重要。为什么？因为我们要求的是当它体积最小时，也就是说我们只需要求当它体积最小时候， x、 y、 z 是 几就好了，我们根本不需要知道你最后体积最小是多少，他没有问，对吧？ 所以我们只需要知道这里有个三 n、 c 就 可以了。那这个 c 大 距离是多少，那也不用算出来，所以我们就可以把这个 v 写成什么？ 首先是我们三分之一的底底是什么？二分之一， 二分之根号三 y、 z 那 么高，什么高？是不是 p b 撇 p b 撇？是不是我们可以利用 c 来表示我们 o p 是 x， 所以 是不是 x 乘上三以及它？ 那我们刚说过这 c 两是个定值，是多少呢？其实你根本不用求，没关系，那么相当于求什么？求 x、 y、 z 的 最小值， 我们有了这个，然后我们求 x、 y、 z 的 最小值，那是不是很明显，你用一个均值不等式就可以了，但是这也是三元均值不等式是略微有一点点超纲， 所以我们你也别管是几，那三分之一不等式最后区等是什么？三分之一不等式最后区等是不是 x 分 之一加上啊？不对，等于 y 分 之一，等于我们的三 z 分 之二，那由于它们三个相加是几？相加是一，所以每个等于三分之一， 那么就可以把 x、 y、 z 全部求出来， x 就 等于三， y 就 等于三，然后 z 呢就等于二，然后我们就可以把这个 x、 y、 z 全部带回来，带到原来的带 x、 y、 z 的 式子里面。所以我们就会有 o m 是 等于一个三分之一 o、 p 加上三分之一 o q， 再加上三分之一 o r， 这是我们的 o m， 那 么发现这个三分之一，三分之一，三分之一，这三个三分之一之间，它能暗示我们什么呢？ 还是一样的，我们可以从平面中思考，平面中如果有一个点啊，这里是 o， 然后 a， 然后 b， 如果有个点满足， o m 等于二分之一 o a 加二分之一 o b， 其实你可以马上反应出来，这个点肯定是终点，对吧？我们这个 m 肯定是终点，那对于我们三维的情况，这三分之一，三分之一，三分之一，如果你熟悉的话，你可以马上反应出来，其实是三角形重心，也就是我们从二维的中点推到了一个三维的重心的一个情况。 那如果你不熟悉呢？不熟悉没有关系，我们把它往 mp、 q、 m、 r 上面转， 所以我们这就会等于三分之一 o m 加 mp 加上 o m 加 m， q 加上 o m 加 mr， 是不是就发现我们有什么呢？我们有，我们的 mp 加 m， q 加 mr 是 等于零的，那这个是不是我们三角形重心的一个向量表达呀？那是不是意味着我们 m 是 三角形 p、 q、 r 的 重心， 因为我们把它条件翻译完了，就是当四面体 o 杠 p、 q、 r 提最小的时候是什么情况呢？它就发现出一个条件，就是叫做 m 是 三角形 p q r 中心，然后其他都没有了，其他都不重要了。 ok， 有 了这个之后，我们再来看剩下的东西， d t 是 我们这个 t 到我们这个三角形 p q r 顶点的一个平方和，然后问是否存在点 t 使得 d t 小 于 dm。 这个设问是什么意思呢？就说是否有一个点 t 使得这个 d t 比 dm 更小，于是相当于就是什么这个 dm 是 否为最小值，对吧？如果 dm 是 最小值，那就不存在， dm 不是 最小值，那就是存在，对吧？ 这是我们这个设问，所以我们就想要这个东西，想要这个平方和怎么来考虑啊？我们现在把 p q r 解出来， t q r， 我 们随便画几个嘛，比如说上面有个 t， 然后这个 t 感觉挺大的，对吧？如果平面里面有个 t 呢？ 感觉挺小的，你再往下下面有 t， 感觉还是挺大的，对吧？那这个感觉我们怎么描述呢？所以我们就来看我们这个 t 应该怎么计算。 当然我这里会讲两种思路，第一种就是说我们这个平方和怎么算， 第一种是我们这里有个 t， 那 我们要算这个 t p t q t r， 我 们怎么算？是不是 t？ 往这边做个摄影， t 一 撇，然后我们把它转到这个 t t 撇的一个平方，加上 t 撇 p 的 平方， t 撇 r 的 平方，加上 t 撇 q 的 平方，然后这个 t t 撇要加三遍嘛？这是我们的平方和。我们就发现一个很 很那个什么的问题，就说我们如果直接取这个 t 撇是不是就行了？因为我们 t 撇是不是一定比我们的 t 要小？因为我不用加上这一段，这一段的平方加三遍，我不用加，对吧？ 所以我们因为要求最小，所以我们可以这样说，就说什么呢？就是说若 t 在 平面 p k， 而 y 又没要求最小，我们就尽量把它往小了画就行。 我们做 t t 撇垂直平面 p k r， 然后呢，我们有这个呃， t p， 在 平面 p k r 内， 我们就一定会有 d t 要大于 d t p， 这是非常好说明的，因为你中间有一段嘛，对吧？我们说呢，这行之后，我们下一步是不是就转到了平面内？我们只需要在平面内寻找什么最小就行了。一个三角形截口 r， 我 们寻找这个平面内到这个三角形顶点距离的平方和最小的点是哪个点，只要把这个找清楚我们就 ok 了。 如果说你熟悉解三道形的一些相关知识的话，那么你知道它肯定是我们的重心，你不熟悉的话，我们也可以证明一下，这里可以拿向量证啊，也可以拿解析法证，都可以。我个人是比较喜欢解析法的，就说我们把这个 p q r 都拿我们坐标来表示， x 一 y 一， x 二， y 二 x 三 y 三，然后我们这个 m 呢，就是 x y， ok， 然后我们来写一下这个平方和我们的平方和 m p 方， 加 m q 方加 m r 方，就等于我们的 x 减 x 一 的平方。加 y 减 y 一 的平方。加 x 减 x 二的平方。 加 y 减 y 二的平方。加 x 减 x 三的平方。加 y 减 y 三的平方。那这个东西我们就是一个关于 x 和 y 的 一个二次方程，二次函数嘛，对吧？咱们可以整理一下，它就等于 三个 x 方减二倍， x 一 加 x， 二加 x 三， x 加上 x 一 方，加 x 二方，加 x 三方，然后加上 三 y 方减二 y 一 加 y， 二加 y 三， y 加上 y 一 方，加 y 二方加 y 三方。 ok， 这是我们说这个表达式，那我们可以把它既看作关于 x 的 二次函数，也把它可以看作关于 y 的 二次函数。所以我们在 x 等于三分之 x， 一 加 x， 二加 x 三， y 等于 三分之 y， 一 加 y， 二加 y 三的时候取最小的，对吧？所以我们就说重心取最小， 动心取 m i n， 所以 我们的 dm 就是 我们的 m i n 这样子，所以就不存在嘛，对吧？ 这是一个思路，那另一个思路。我这思路其实我觉得是比较好想的，就是说我们既然这整个题都是在空间中，就是把我们二维的平面的东西推掉，推广到空间中， 那我在解决这个问题的时候，我就想，那我能不能先画到平面里面？先画到平面里面，我就想到了，如果它不在平面里面，我们就可以把它归到平面里面，那我们只需要证明平面里面的东西，单这个题你也可以直接证，就是说 我们不妨就 p q r 这个平面嘛，对吧？我们外面有一点 t， 所以 我们就不妨 p q r 这个平面的纵坐标都是零，所以我们相当于就在后面加一个 z 减零的平方，加 z 减零的平方，加 z 减零的平方， 然后这边多一个三 z 方，那是不是 z 取零也同样的说明，我们这个肯定是在平面内取得到一个最小值，对吧？ 这个是两种思路，当然我自己是不敢直接设这个重坐标的，因为我觉得可能有点害怕，因为你坐标多了的话，我觉得可能会比较复杂，所以我是选择这种方法，当然你设一个 z 也没有问题，最后可以得到 z 零 o。 这我们第二个 教第二步呢，整体思路还是比较简单的，在做到这一步之前都是在翻译我们的这个条件。 o 杠 p 幺 r 体积什么时候最小？那这个呢？就是根据我们经典的解散型的题型，平面向量的题型，那个面积就是之前可以画那个图，这个图 这个面积什么时候最小，根据这个来的，那把这个推广到三维立体的图形之后，就成了这样一个题，成了这样一个题之后，后面都是比较简单的一些东西了。 ok， 这我们第二问，整体来说我觉得第二问难度还好，第三问也还好，第三问就是有点难算，但思路很好想 角 c 大 等于二分之 pi 时，即四面体 o p q r 内切球半径为 r 球 r 的 最大值，二分之 pi 的 话，你大家可以画一下，就长这样，呃，就做标准的样子嘛，对吧？ 这里面的话虚线感觉没连上啊。 ok， 那 我们现在是不是 pk 完它全部在弄？我们现在根据上一位我们得到一个东西，就是这个，这个跟我们角度是没有关系的，对吧？我们全程是跟角度没有关系的， 根据上一页我们有这个 x 分 之一加上 y 分 之一加上 三， z 分 之二是等于一的，就这个东西，有了这个东西之后，我们来看这样一个四面体，这样一个四面体的话，你的 p、 q、 r 是 不是全在运动？全在运动，那我们怎么来刻画这个那些球呢？我们怎么来刻画那些球的半径呢？ 是不是我们现在连这个内切球的球心你基本上都找不到？因为你 p、 q、 r 全在动，我这里也是啥？这也是 q， 这样，呃，这样对吧？全在动你根本找不了。所以我们就想到我们在解决内切圆问题的时候是怎么解决的？ 内切圆的 r 我 们是怎么算的？我们是不是说这个内切圆只要你定不了圆心，我们一律是用 s 等于 r p 去算的。 在平面中是不是 s 等于 r， p， r 是 不等于 s 除以 p， 我 们 p 是 半周长，对吧？ 那对于三维的我们的那些球，我们也可以有一个差不多的公式，叫做什么呢？叫做我们的 r 是 等于三 v 除以 s 表， 这什么东西呢？这就说我们可以把这个球心揪出来 i， 然后把这边连一下，把它看成四个四面体的体积求和，我们都用这个底面乘上我们这个高，比如这里是高， 然后同样的另外的高度是一样的，然后最后就等于它的一个总的体积，对吧？所以说我们就可以得到这样一个公式，叫 r 等于三 v 除以 s 表。那这下就稍微好一点，因为我们至少有一个表达式可以来表达这个 r， 所以 我们就要看一看这个 v 和 s 表的是多少？ v 是 等于 六分之一 x y z， 对 吧？因为你这都九十度嘛，你 x y z， 然后二分之一，然后乘的时候再乘三分之一嘛？六分之一。我们来看 s 表， s 表的话，首先这个 o、 p、 q、 o、 p、 r、 o、 q、 r 都很好表示， 二分之一 x， y 加上 y， z 加上 x， z 加上 s。 三角形 p、 q、 r 什么难点就在于什么呢？如何来表示这个 s 三角形？ p、 q、 r 这个东西，我们现在知道它三边长度，你这里是 x， 这里是 y， 这里是 z。 三边长度，这边是根号 x 方加 y 方，这边是根号， x 方加 z 方。这边是根号， y 方加 z 方。 ok， 我 们有这三边长度之后，我们就可以 来求这道题面积。那三边求面积我们最常想到的应该是什么？三边求面积，我们最常想到的是不是函数公式？ s 等于根号下 p p 减 a， p 减 b， p 减 c， 但是我们说函数公式在这里很难用， 为什么呢？因为你这全是根号啊，你这就半周长根号，根号，根号再减根号，你根号消不掉，你这个乘出来太大了，对吧？这是我们函数公式。那你想到函数公式不好用之后，我们马上就想到函数公式，还有个变形叫什么？叫秦九少公式，对吧？秦九少公式长这样。 s 等于根号下我们的四分之一， a 方 c 方减掉 二分之 a 方加 c 方减 b 方的方。这个东西你发现它有一个好处叫什么？它有一个好处叫我们在用三边去求面积的时候，它都是平方向，所以对于代根号的非常友好。 举个例子，你如果是什么根号七，根号五，然后二倍根号二这种三角形，你用函数公式是不是非常难求？你每一项又是根号二，根号五，根号七，但是你会发现，如果你用秦九少公式全是平方，你全部都可以消掉，对吧？所以就很好算， 并且秦九少公式是初中课本有的，这个只是我在这里说一下，当然应该应该是绝大部分同学都不知道这个公式的， 因为我觉得公式是非常好用的。为什么好用呢？就是在三边求边长的时候，它是平方，海伦公式不是平方，这是它的区别。 所以对于三边边长为根号的这个三角形，你用奇数差公式求它的面积，绝对是很好算的。如果我们不知道怎么办呢？不知道也可以嘛，我们就来算一算嘛， 我们用我们常规的去证明整数乘公式，或者证明函数公式。一个思路嘛，我们用余弦定里写出一个假角，然后把这个假角再写成正弦，再用正弦定里去表示面积。什么？就是这么想的，我们不妨设置里为 sine。 我们的口三 c 倒又等于什么？括号就等于我们的 x 方加 y 方加 x 方加 z 方减 y 方减 z 方。底下就是根二倍根号下 x 方加 y 方，乘上根号下 x 方加 z 方。 ok， 我 们把这东西整理一下，就等于 根号下 x 方加 y 方，乘以根号下 x 方加 z 方。除上啊，不比上 x 方啊，分之 x 方，不好意思，说错了， ok， 我 们有一个向量函数，我们下面写算一下，它下面就算面积的过程，算一下，它就等于我们的根号下 e 减。我们的可在方嘛，那就是 x 方加 y 方， x 方加 z 方，上面就是 x 四次方。然后这个东西等于看一下 底下还是 x 方加 y 方，然后 x 方加 z 方。 上面什么？上面是我们这个东西成开嘛？ x 四方加 x 方， y 方加 x 方， z 方加 y 方 z 方减掉 x 方，所以就剩下 x 方 y 方加 x 方， z 方加 y 方 z 方， 所以我们就得到这个东西。我们得到这个东西之后，我们算 s， s 等于二分之一乘上三 e， c， 它乘上根号下 x 方加 y 方，乘上根号，下 x 方加 z 方加 z 方，它又等于什么？我们分母就约掉了吧，就等于二分之 根号下 x 方 y 方加 y， x 方的一方加上 y 方的一方， 我们就找到这个东西的面积，找到这个东西面积之后，我们就可以把它全部带入我们的 r 表达式里面。 r 就 等于我们分子应该是这个六分之一。 x， y、 z 等于三，所以是二分之一。 x、 y、 z 分 母呢？ s 表它又是一个二分之一。 x， y 加 y， z 加 x， z 加上二分之一根号下 x 方 y 方加 x 方， z 方加 y 方 z 方。 ok， 我 们只要除以这个式子就好了。那我们把 x、 y、 z 都除下来，它就等于我们底下 x 分 之一加上 y 分 之一，加上 z 分 之一，加上根号下 x 方分之一加 y 方分之一加 z 方分之一 分之一，对吧？我们就拿它这样表达式，这样一个表达式，然后我们把这个东西来考虑一下，这样一个表达式里面有多少个未知量呢？我们表达式是不是三个未知量？三个未知量，但是我们只有一个方程，所以这意味着什么？ 意味着我们这个题是不是有两个变量？那对于两个变量求极致，我们一般是怎么办？ 两种思路，多变量求其值。第一种，要么整体换元，你能整体换掉，比如说你有 x 和 y 两个变量，你现在把 x 加 y 作为一个整体，那换掉是不是只有一个变量了？那单变量我们来处理， ok， 这是第一个，如果能整体换元，可以整体换第二个呢？主元法 就是有两个变量，我们去求其值，我们就一个一个处理，一个一个处理之后，你先处理掉一个比较好处理的，我们再处理那个难处理的，那都处理完了，我们是不是就可以算到它最小值，对吧？所以这个也是一样的，你很明显没有办法整体还原，所以我们先把它代换一下， 这边就是一加上三， a 分 之一上面是一， 那剩下这根号里面怎么办呢？我们是不是因为我们还有一个自由度，所以我们可以把 x、 y 处理掉，然后把它变成一个只剩 z 的， 所以我们在这里可以利用一个我们的基本不等式， 我们基本不等式的话，是不是有 a 方加 b 方，因为这个 x 方分之和 y 方分之，相当于是这两个的平方嘛？是不是 a 方加 b 方会大于等于二分之 a 加 b 的 平方啊？对吧？我们和的平方跟这个平方的和的一个比较， 所以我们这里可以写成小于等于根号下二分之一，一减上三， z 分 之二的平方加上 z 方分之一， 我们是不是就顺利的先把 x、 y 这两个变量搞掉了，对吧？然后最后就剩下一个 z， 因为我们在处理这里时候相当于什么？相当于先把 z 看作参数，我们主元先定 x、 y， 对 吧？我们先把 z 看成参数，然后主元法先把这处理掉，之后我们再处理 z， 然后我们只要求出后面这个式子的最大值就可以了。 那怎么求呢？第一步肯定是先和等变形一下，还是我说的，你在处理函数导出题的时候，你先能代数和等变形，先变形，那么这里先换个元，令 t 等于我们的三 a 分 之二， 呃，三 a 分 之一吧，三 a 分 之一主要是把这里面的这个呃 z 都处理掉。零 t 等于三 a 分 之一，它有一个取值范围，是哪里呢？你换元千万别忘了换了元的取值范围，你一旦忘了这个事，你很容易算错， 我们前面这里是不是这些都是正数？所以你的三 a 分 之二是不是属于零到一？所以我们这个是不是属于零到二分之一？ 它属于零到二分之一，我们就可以把这边再等于下去， 等于我们的一加 t 加上根号下 十一 t 方减二， t 加二分之一分之一。 ok， 那 我们知道这个式子之后，我们就另分母嘛，另 f t， 我 们只需要把这个极值处理一下就好了。一加 t 加上根号下十一 t， 方减二， t 加二分之一，那有这个东西呢？我们就对它求导嘛， f 撇 t 就 等于一加上根号下十一 t 方减二 t 加二分之一，上面是十一 t 减一， 那我们就要判断这个东西的真负。 f 撇 t， 那 这个东西我们说你现在令它等于零， f 撇 t 等于零， 然后我们就会有，你现在是一个这边根号 十一梯方减二 t 加二分之一等于一减十一 t。 那 解这个方程我们怎么解呢？ 你第一步是不是就想到这个可以两面平方，但是什么问题？在初中数学老师有反复强调过，你要两面平方，你一定要考虑增根的问题， 就是因为我这边可能是比如说我这边是个 a， 这边是个负 a， 你 平方的结果其实是一样的，所以说平方我们很容易会出现增根，为了避免增根出现的情况，我们在采取两边平方的时候，我们一般都是先讨论正负，这样的话你可以避免后面去验证增根的情况，这个是一些初中的一些问题， 所以说我们先考虑一下。第一种 t 属于我们的十一分之一到我们的二分之一， 那此时我们说我们的 f 撇 d 就是 大于零的，因为这两边都是大于零的，对吧？所以我们第二种情况， t 属于零到十一分之一，那此是我们这东西两面平方差没有问题，对吧？两边都是正数， 因为你对两边平方筋求解方程，这并不是一个等价变形，我们就有这个十一 t 方减二， t 加二分之一 等于一减十一 t 的 平方，然后我们就可以解开了 t 解的我们 t 就 等于一个 一百一十分之十减三倍根号五，于是我们就有我们这个 f t 在 零到 一百一十分之十减三倍根号五上递减，然后我们 一百一十分之十减三倍根号五到我们的二分之一上递增，于是我们就可以把它最小值写出来了。 f t 的 最小值就等于我们的 f 一 百一十分之十减三倍根号五， 结果是多少呢？结果是一个十一分之十二加三倍根号五， 然后我们再加进去算 r， r 就 小于等于 三分之四减根号五，所以 r 的 最大值就是一个三分之四减根号五， ok， 这是我们这个题，这个题的第三问，其实难点在哪里？第三问你会发现我们的表述其实并没有难点，其实难点全部都在你后面的运算上面，你如何处理这个多元函数，如何求它的极值， 对吧？难点就在就在这里。前面的表述，我觉得只要你会一些基本的例题集合和基本的我们平面向量，平面几何解散到形的知识，我觉得前面都很好处理的， ok， 就 我们这个题， ok， 我 们来看下题，第一问就直接不多说了。第一问的话比较简单，就是我们证明 p a 垂直 f g， p a 垂直我们的 f g， 那 由于我们发现我们标一标这些是根号二嘛？这些是一嘛，对吧？根号二， 我们顶上这个是一个等腰直角三角形，对吧？所以说我们两边都是等腰直角三角形的话，你就取个中点，两个垂直就结束了，所以第一个就不多说，我们来看第二个。首先我们来思考一个问题，在看第二个之前，我们这图形是怎么生成的？ 我们现在叫 pc 垂直底面，然后我们把 pc 给定了， pc 是 二，这底下是二，然后这里有四十五度，两个角四十五度， 然后这四十五度限制我们的 b 和 d， 所以 你就想一个事情，就叫做我们这个图形应该怎么来刻画 我们 f 和 g， 还有我们的 e， 这几个点是不是依赖于我们 b 和 d， 只要我们 b 和 d 刻画好了，我们这几个点是不是你就出来了，我们就可以表示了，所以说我们这个图形的生成逻辑是什么？ 本身有个 p、 a、 c， p、 a、 c 是 我们固定的核心图形，然后这里有两个四十五度，这两个四十五度就刻画了我们的 b 和 d， 然后刻画 b 和 d， 之后我们接下来这些 f、 g、 e 就 全没有了，对吧？ 所以说我们这个题的核心难点在哪里？核心难点在如何利用好这个四十五度去刻画 b 和 d。 当然如果你 直接去刻画，我们是很好想 b 和 d 的 轨迹是什么的，因为你想想我们这里都是四十五度，那只要满足是四十五度就可以，那满足是四十五度，你是不是是一个圆锥，这样圈下来 是不是这样一个圆锥？这个角度是四十五度，这个角度四五四十五度，它是个圆锥，然后我们这个底面去结这个圆锥，那结出来 b 和 d 的 轨迹肯定是什么？ b 和 d 的 轨迹肯定是圆锥曲线，你平面结圆锥结出来肯定是圆锥曲线， 对吧？所以相当于我们就去刻画这个 b 和 d 的 轨迹。刻画好了，我们这个题就会有点困难。 ok， 这个是在讲第二问之前要说明的事情，就我们这个图形的一个生成逻辑，我们有了这样一个事情之后呢，我们就要看怎么做。 首先我们说要去刻画 b 和 d， 然后刻画这个角，那其实按照刚刚我说的那个逻辑，你就知道这个题几何法基本上做不了。 为什么？第一个你已经料想到他的轨迹是圆锥曲线了，那你怎么用几何法做呢？你几何法怎么能算出圆锥曲线呢？对吧？这第一个，第二个呢？是我们来发现一下，就是说你这个角很好表示吗？你刚刚画的那个 h 就 可以表示这个角， 对吧？这个就是我们的这个要算的 theta， 要算的 theta 之后呢，我们相当于 f h 和这个呃， g h 都是二分之杠二，然后我们只需要算 f g， 是 不是就可以得到这个 theta 的 数值范围了？算 f g f g 呢？你这又是个等幺， 对吧？并且你长度也知道都是一，所以呢，你就需要这个是，你就需要这个角，你需要这个角的话， 那我们发现一个很核心的问题，叫你需要这个角，你用几何法，你还是要刻画一个东西，叫什么？叫 b 和 d， 你 b 和 d 没有刻画， 然后我们就发现我们这旋着一个四十五度，旋着这个四十五度去刻画我们这个 b 和 d， 你 会发现用几何法有点困难，对吧？你怎么刻画都刻画不好这个 b 和 d 的 轨迹，你刻画不好之后，我们就很难继续进行下去，就说旋着的四十五度， 再加上我们刚刚说的，我们已经可以预判到它的轨迹是圆圈曲线了，所以我们就可以利用间隙的方法，并且这题为什么好间隙，是因为你这个有线面垂直啊，对吧？所以说我们就建个系 x 这边， y 上面 z 间隔 c 间隔 c 之后我们这四十五度就很好刻画了，因为我们我们只需要把这个向量写出来，夹角是四十五度，我们算夹角角是不是就行了，对吧？ 所以说我们来写一写 c 就是 零零零，我们的 a 就是 二零零， p 就是 零零二，于是我们把这个 b 和 d 设一下， b x b y b 零，于是我们就可以把这个方程写一下，啊，不是方程，把这项量写一下， pa 等于一个二零负二， p b 等于一个 这个 x b y b for arc ok， 有 了之后我们就可以算这个空间中两直线的角嘛，对吧？我们的 cosine pi p b 就 等于我们的二倍 x b 加四，底下就是一个二倍根号二，乘上一个 x b 的 平方，加 y b 的 平方再加四，拆开我们的口算四分之派等于二分之根号二。于是我们就可以利用这个把我们 x b 和 y b 的 关系算出来，我们就可以得到 y b 方等于四 x b 相当于我们这个平面给它截了一个抛物线出来。 所以我们接下来就是先用一些圆锥弦的方法，就是把这个 b 和 d 的 关系得到，因为我们还我们依然有这个 d x d y d 零嘛，所以我们这个 d 也有 y d 方等于四 x d 有了之后呢，我们标就都刻画好了，刻好了之后我们看它还有条件呢，叫 pc 平行于平面 ebd， pc 平行，平面 ebd， 那 是不是我们就知道线面平行，推线线平行，就是说我过这个线做的一个平面与我们另一个平面有交线，那这样和交线平行对吧？我们是不是 ebd 啊？ 那不妨交线交在哪里呢？交线底下交一个 h， 那 由于我们这个 p c 平行 e h， 我 们是不是知道我们这个呃，不对，交应该就在这里。 我们 p c 平行 e h， 我 们 e 是 终点，所以你是不是得到我们的 h 也是终点，所以说 b d 过 h h 是 多少呢？幺零零，所以我们就可以利用我们在底下这个平面里面的关系，得到这个 b 和 d 之间的关系。然后我们就不妨可以设一下， b 设成 m 方二 m 零， e 设成 n 方二 n 零。这个你怎么设都可以啊，你设参数方程呀，直接设坐标啊，都是可以的，只是系数不同啊，你设一个这个 x b 和 x d 也可以，都可以。 然后我们就找到这样一个式子，找到这样一个式子之后，我们先没 b d 过这个一零零，所以说我们就可以由斜率底下这个平面的斜率啊，你现在不管哪一种，就会有 m 这个二 m 除上一个 m 方减一，对吧？等于一个二 n 除上一个 n 方减一，我们就可以推出来我们的 m n 是 等于负一的， m i 等于负一之后，我们现在有了这个 pa 和 pb 的 这些向量，我们就可以去算法向量，把这个平面 pa 和 pa 向量算出来就可以了。所以我们设平面 pa 比还有 pa 地把向量分别为 n 一、 n 二。 ok， 我 们有了这个之后，我们就呃还是把它坐标写一，写 n 一 等于 x 一 y 一 z 一 n 二 等于我们的 x 二 y 二 z。 有 了这个之后，我们现在就去写我们的这个呃垂直，所以我们有 p a 点乘 n 一 是等于零的， 然后 p b 点乘 n 一 是等于零的。因为这个立体几何题已经非常复杂了，所以说你就没有必要太去纠结中间专业细节了，专业细节他不会扣你的，我们就会有 二倍 x 一 减二， z 一 是等于零的， m 方减二， x 一 加二， m y 是 等于零的，所以我们可以取一个这个 n 一 出来， 取一个我们的 n 一 是等于二 m 二减 m 方二 m， 同理我们可以取一个 n 二改成 n 就 行了， n 二 就等于一个我们的二 n 二减 n 方二 n。 有 了这些之后呢？ 那接下来就写我们的余弦嘛，对吧？我们的 cosine 这个 n 一 n 二，把这些全部算进去，就等于个 五加上二倍 m 方加 n 方分之二减一。 然后呢，我们现在不是有这个 m n 等于负一吗？所以我们去算一下呗。我们现在有这个 m n 等于负一，我们这边 m 方加 n 方就会大于等于， 因为这个肯定是正的，我们 m n 肯定是一正一负嘛。所以我们这里注意， m 方加 n 方是大于等于二倍 m n 的 绝对值，因为你现在是一正一负，你这个基本功能是要求都是正数，正数的话，你把这两个取绝对值就好了，对吧？所以我们就会得到它是一个小于等于负 九分之七，所以说我们这个 cs r 的 一个最大值就是一个负九分之七。 ok， 这我们的第二文我们来看最后一文，最后一文的话，我觉得 它主要就是如何翻译这条件，把这个条件翻译到我们的一个函数问题上去。首先我们来理解一下条件， 就是说若 b d 平行 f g 就 先别管吧，我们看后面是干嘛的，点 p a b d 都在同一个球面上，且给定该球半径时候，三菱锥的体积有三个可能值，求该球半径取的范围。啥意思？相当于我们现在是不是一个半径叫做 r， 然后一个体积叫做 v， 那什么叫给定半径时，我的这个 v 有 三个可能值呢，就是我们把 r 写成一个 f v 的 形式，对吧？那我现在 就是说我 r 取多少的时候，我这个 v 有 三个取值，相当于我们就变成了一个这个函数的焦点问题， 比如说我 v 长这样，长这样，你 r 去哪去，这样的时候是不三个区，对吧？就是这个道理。所以说我们的本质就在什么本质，就说我们要建立这个 r 和 v 的 关系式，只要把关系式建立好，我们接下来就可以解决掉， 对吧？ ok， 这我们来建立一下啊。但是你要始终理解一个什么东西， 你要始终理解我们这个立体几何的构图，它一定是以 b、 d 为核心的，你不要去设什么微，不要去设什么其他的 f 点呀， g 点呀， e 点这种东西，你一定就设我们的 b、 d， 因为你的核心逻辑 f、 g、 e 这些全部点是依赖 b、 d 生成的，只要你 b、 d 刻画了，你剩下全部都能刻画好。 ok， 我们现在来看，若 b、 d 平行 f、 g 是 什么意思？ b 在 这里平行 f、 g， 我 们第一问是不是得到了我们 pa 是 垂直我们的这个 f、 g 的， 所以我们 pa 就 会垂直我们的 b、 d 嘛？所以我们就会有 b、 d 垂直 a、 c 嘛，因为你这个 p、 c 也垂直 b、 d， 我 们这个 b、 d 垂直这整个平面，所以 b、 d 是 垂直 a、 c 的。 首先 b d 垂直 a、 c， 这个是比较好得到的。让我们来看剩下的 b、 d， 那 由于 b、 d 垂直 a、 c， 所以 说我们 b 和 d 的 干嘛？横坐标是不是相相同的，对吧？横坐标相同，那 z 坐标就呈相反数嘛，所以我们不妨 b 就是 一个 t， 二倍根号 t 逗里， d 就是 我们的 t 逗负，二倍根号 t 逗里。 ok， 这是我们的第三设了一个条件。 那我们再看，我们现在需要去表示它的一个外接球，外接球怎么表示呢？对吧？我们就想一个能表示的方法， 外接取，我们是不是？首先你要有一个外接圆，那我们现在 b、 d 都有了， a 也有了，是不是底面外接圆是最好表示的？所以把外接圆原先需要取一下，不妨记作 s， 所以 我们先把这个 s 点确定下来， s 点确定下来就可以了，所以我们不妨 s， 嗯，就等到右边来吧。对， s 点就是我们的 x 零逗零逗零， ok， 我 们的 s 点，然后把 s 点的一些 x 里的关系求出来先。我们是不是可以利用这个 s a 等于 s b 啊， 对吧？利用 s a 等于 s b， 我 们可以把 x 零和 t 的 关系求出来，我们 s a 就 等于我们的这个二减 x 零嘛，对吧？你这里整个是二，这边是 x 零，二减 x 零，我们再说 s b， s b 等于什么？ s b 等于根号下，这边加这边吧。垂直的等于根号下我们的二倍根号 t 的 平方加上 t 减 x 零的平方，所以我们由 s a 等于 s b 就可以得到我们的二减 x 零的平方等于二倍根号 t 的 平方加上 t 减 x 零的平方，然后我们就可以建立 x 零和 t 的 关系， 我们就有我们的这个。呃， x 零是等于一个 t 方加四， t 减四，然后二倍 t 减二，注意这里 t 要大于零。 ok， 我 们接下来再看， 然后是什么？然后是我们要求这个外接球嘛？我们现在有这个外接圆了，那所以我们是不是外接圆往上做垂线就可以了？做垂线做到哪呢？ 做垂线我们做到一个 o a 等于 o p 是 不是就可以了？那 o a 等于 o p， 由于我们 os 垂直底面，我们 p c 垂直底面，所以我们 pc 跟 os 是 不是平行的？平行的话它们几个是不是共面的，对吧？那共面就很好说了，共面的话，我们这个 o 是 不是一定在我们 p a 的 中垂线上？那哪里是中垂线呢？我们是不是 c e 也是中垂线？因为就是个等腰直角三角形，所以相当于是我们 o e c 共线， o e c 共线的话，相当于这里是四十五度， 四十五度，四十五度，这也垂直，我们又有什么？我们是不是有这两段相等的？所以我们这边 r 又可以跟 x 零建立上关系，我们就有 r 方， 就等于我们的 x 零方加上二减， x 零的平方就等于我们的二倍， x 零的平方减上四倍， x 零加四。 ok， 我 们有了，然后我们外接球的半径有了，我们就差一个什么？差一个我们的体积，呃，体积在哪呢？哦，这里体积下面写写体积，体积很好写啊，体积 v 就是 我们的这个高度乘上底面的面积，然后再乘三分之一，这就是一个三分之一 乘上我们的这个二分之一底面积 四倍，根号 t 乘 t， ok， 我 们全部表示出来了，我们 r 方等于这个， v 等于这个，然后 x 等于这个，而现在就是我们如何把这个 r 方跟我们如何把 r 跟 v 建立上联系。 所以你会发现我们整体的逻辑叫什么？ r 跟 r 方有关系， r 方跟我们 x 零有关系， x 零跟我们 t 有 关系， t 跟我们 v 有 关系， 所以相当于中间有这么长一串逻辑链，我们要从 r 导到 v， 我 们需要从 r 到 r 方，再到 x， 再到 t， 再到 v， 那 这样的话，三个可能值好像很难想，对吧？这么长个链条，你三个可能值，这怎么想？ 所以说我们就要分析下这每一步间的关系，由于我们 r 是 大于零的，对吧？ r 肯定大于零， r 大 于零的话，我们 r 跟 r 方之间是不是一一对应呀？ 有一个 r 就 一定有一个 r 方，有一个 r 方也一定有一个 r， 它不会有，多的也不会没有，对吧？说明这是一对应。我们再看 v， 这里 v 和 t 是 不是也是一一对应啊？对吧？我们是单调的嘛，这东西单调的，单调的话就意味着我们这边是不是也是一一对应？ 就是有一个 t 就 有一个 v， 有 一个 v 就 有一个 t， 对 吧？所以我们现在到了哪里呢？中间这两步，我们发现中间这两步这式子可就不单调了啊，就不一一对应了呀。所以我们核心逻辑叫什么？ 叫 r 方和 t 的 对应，只要把这个对应好，用中间的 x 零对应好，那我们 r 和 v 就 自然可以对应上。那这是我们的最后一步，就是如何把 r 方跟 t 对 应。那你会发现我们 r 方写成了一个 x 零的函数， x 零写成一个 t 的 函数，那这就是什么？这就是复合函数零点问题啊， 对吧？或者说复合函数交点问题也可以，零点问题也可以， 在我们高一的题型里面很常考的就什么 f， g， x 有 几个零点，或者什么我们的这个 a f 方 x， 什么加上四倍 f， x 加什么七种，能修几个零点？就这种问题， 这种问题，负函数零点的问题，我们首先应该干嘛？首先是不是应该把两个函数分析清楚？把这两个函数分析清楚之后，剩下就简单了，对吧？ 首先我们来看第一个函数叫 x 零等于 t 方加四， t 减四，除上一个二倍的 t 减二， 我们来写写，它是等于我们的。先分解一下常数 t 减二的平方，加上一个八倍的 t 减二， 再减上一个，再加上一个八，这边是一个二倍的 t 减二， 所以我们这就等于什么？等于我们的，呃，二分之 t 减二，加上这个 t 减二分之四， 再加上我们的四，对吧？所以我们这个函数实际上是怎么来的？这函数是不是由我们这个函数变来的？就叫做二分之 x 加上 s 分 之四这个函数变来的。所以我们先把这个函数刻画一下，画个图， 那对于我们 x 分 之四加上二分之 x 这个函数，它是不是长这样？这边还有底下的 x 分 之四，呃，这个二分之 x 加上 x 分 之四，那它的这个最小值在哪？取到二倍根号二，对吧？然后取到最小值是多少？ 也是二倍根号二，那这边由于是个奇函数，所以它底下是长这样的，完全一样的，所以我们有了这个之后，我们就可以把我们的我们现在这个平移过后的函数刻画出来，上加下减，左加右减向右平移两个单位，向上平移四个单位，得到这样一个东西， 这里是二画高一点吧？长这样， 二倍根号二加二，这里是二倍根号二加四。然后这边是一算一下它长这个样子，这里是 t， 这是 x 零。 ok， 我 们把第一个函数分析清楚，我们还要分析第二个函数，这个函数就是我们的这个函数，这个二次函数 r 方。

哈喽，大家好啊，今天再给大家讲一个非常有趣的知识点，正多面体和欧拉公式。不知道大家在高中阶段有没有听说过正多面体，尤其只有这边的五种。 其实这个知识是非常反直觉的，因为我相信你在生活中见过什么正多少面的头子，又或者见过什么正多少面的东西，有的甚至他能是一个一百面， 而实际上啊，这些东西根本就不是正多面体，因为正多面体就只有这边的五种。今天我来给大家讲一讲高中模考出现的欧拉公式和正多面体。首先会带大家证明正多面体只有五种。 然后给大家分享两道高中模考里面出现的题目啊，都是和欧拉公式有关的啊。首先会讲一讲这个探六式，也就是足球西。 然后带大家讲一讲这个二零二一年八审年考考过的一道大兴机场的题目，这道题当年几乎是全军覆没，除非你接触过图论这种思想，不然考场上第一次接触到这个题，基本上百分之百是写不出来的。好，废话不多说，我们开始今天的讲解。 首先我们来证明一下正多面体，尤其只有五种。先读一读题目啊，对于凸多面体，有一个著名的欧拉公式， v 加 f 减 e 等于二， v 是 顶点数， f 是 面数， e 是 棱数。这边为什么用 v， f 和 e 表示啊？下面给大家多拓展一下好吧， 为什么？因为顶点的英文是什么，是 vertex 面呢？面大家应该都知道是 face， 还有一个是棱，棱的话应该是一个 age 啊，所以用他们的首字母大写，然后来表示这边顶点、面和棱，然后大家如果写题目射顶点，射面，射棱的话，你不要去射什么 m、 n、 p， 你 最好就射 v、 f、 e， 这样啊，就比较的专业啊，懂吧？ 哈哈。然后还说了一个正多面体啊，正多面体就是每个面都是全等的正多边形，那我们接下来就用欧拉公式来证一下这个正多面体，尤其只有五种，那该怎么证呢？我们肯定是把这个正多面体的一些特征给设出来，比如啊，它的顶点是 v 格， 它的面应该是 f 格， 还有一个应该是他的棱，棱应该是一个。这个是题目上欧拉公式已经给我们的一个提示，我们肯定是要把这三个量给设出来的，那单单的设这三个量有用吗？这三个量我们只知道一个关系，就是 v 加 f 减去 e 是 等于二的，这不行啊，我们只有一个等式，对吧？ 这边我们只是粗略的设出了它的三个特征，顶点、面和棱，但是我们并没有设出它每一个面是什么样的一个情况，有可能它的面是一个正三角形，有可能它的面是一个正四边形啊，就是正方形。 那我们不知道面的这个情况的话，也就无法继续往下写，所以我们还要再设一个量，就是面， 我们设每一个面，它是一个正 n 边形。 呃，注意啊，这边正 a 边形 a 应该是大于等于三的，因为没有正两边形这样的说法，对吧？那我再问你啊，你单单的射出每一个面是正 a 边形，能唯一确定一个正多面体吗？还是不能的， 比如你看这边的正四面体和这边的正八面体，他的每个面都是一个正三角形，对吧？啊？包括这边的正二十面体，他也是一个正三角形，所以你单独的射出这个正 a 边形出来，还不能唯一的表示这个正多面体，所以我们还得设一个量，还需要设哪一个量呢？ 每一个正多面体里面啊，我们刚刚研究的是它的面，那我们还可以研究它的什么东西啊？是不是还可以研究它的顶点啊？你看一下这几个正多面体，它的顶点所连接的棱数相同吗？这个顶点连接的三条棱是三，这个顶点呢也是三， 这个顶点呢，它又变成了一个四，对吧？所以我们还可以再设一个量，也就是在顶点处再设一个量，设每个顶点连接了 m 条棱。注意这边 m 应该也是大于等于三的，因为不可能一个顶点连了两条棱，这是不可能的。 好，那设了这些量之后，接下来我们该做的事情应该就是去寻找这个 m 和 n 之间的等式或不等式。 你寻找出 m、 n 之间的等式或不等式之后呢，你就可以确定这个 m、 n 它能取哪些值，那能取哪些值？最终应该我们能算出来啊， m、 n 它应该能取五组值，这五组分别对应了这边的五个正多面体， 那这样的话，这道题也就写出来了，所以接下来我们就去构造这个 m、 n 还有 v、 f、 e 之间的一些等式关系，我们来看看能写出哪些等式关系呢？首先第一个应该就是 v 加 f 减 e 等于二，那还能写出怎样的一个等式关系呢？ 我们来看看啊。现在我们就肯定要把这个 n 和 m 给写上去了，因为刚刚写的这个等式关系啊，只和 v、 f、 e 有 关。 那你先来看看这个 an 啊，我们来看一看这边的 an 有 怎样的一个关系啊？每个面都是一个正 an 边形，我们看这个正四面体啊，举个例子， 那每个面都有几条棱啊？你看一看这个面他有几条棱啊？是不是就是有 an 一 条棱啊？因为他是一个正三边形，就是正三角形嘛，所以他这个面就有 f 个面。那 an 乘以 f 代表什么？ n 乘以 f， 是 不是把每一个面的 n 一 条棱都算上去啊？那你来看啊，这条棱被算了几次呢？在 n 乘以 f 这个数里面，是不是当我们计算这个面的时候， 呃，这个 ab 吧棱 ab 被计算了一次，当我们再算旁边的这个面的时候， 就是算这个面的时候，这个 ab 能又被算了一次，那 ab 能是被算了两次的，那我们再来看这个能，这个能是不是也被算了两次啊？在这个面里面我们计算了一次，在这个后面 这个面里面，我们这个棱又被算了一次。所以你可以发现啊，你的 n 乘以 f， 相当于是每个棱都被算了两次，也就是所有的棱数乘以一个二，所以这边的 n 乘以 f 应该是一个二 e 的。 这个其实是图论里面最基本的一个知识啊，但是如果高中你没有接触过的话，这边你还是要好好思考一下的 好。我们刚刚把 n 给算出来了，现在 m 又有怎样的一个关系呢？来看一看，一个顶点连接了 m 条能，这是一个顶点，它连接了 m 条能，这边就是三条，那你来看啊， 每个顶点连接了 m 条，能一共有多少个顶点啊？是不是一共有 v 个顶点啊？那我们让这个 m 乘以个 v， 相当于每一个顶点它都连接了 m 条能，那这样算的话， m 乘以 v 里面啊，每条能就被算的两次啊。这条能 ab 能 a、 b， 当我们以 a 这个顶点去算的时候，我们把这条能算了一次，当我们以 b 为顶点去算的时候，这个能 a、 b 又被算了一次，所以 m 乘以 v 里面，相当于把每一个能都算了两次， 所以 m 乘以 v 就 等于能的个数， e 再乘以一个二，它就等于二 e。 写到这边我们就发现了，我们把 m、 n、 v、 f、 e 这五个量，我们都用一些等式关系给联合起来了，那接下来我们肯定就去尝试消元，我们不希望看到 v、 f 和 e， 我 们只希望看到 n 和 m， 那 我们继续去消元。消元的话，这边很简单，我们设这个是一式，这个是二式，这个是三式。我们把二式改写成 f 等于二比 n 乘以 e， 然后三式变成 v 等于二比 m 乘 e， 然后带到一个一式里面，带到一式里面，我们就可以得到二 e 比上 m， 加上二 e 比上 n， 再减去一个 e， 它应该是等于二的。 这个式子再化简一下，你就可以得到。我们把 m 和 n 都放到一边，因为我们希望去研究 m 和 n， 所以 m 分 之一加上 n 分 之一，再减去二分之一，它应该是等于一分之一的。而这个一分之一啊， 这玩意是不是大于零的？所以 m 和 n 之间的关系我们就得出来了，我们得到一个关系，就是 m 分 之一加上 n 分 之一是大于二分之一的，那写出这个式子来，我们就相当于把 m 和 n 进行了一个约束，那接下来我们就可以写出 m 和 n 的 取值了，我们来看一看啊， 因为 m 和 a 最小都是等于三的，那我们来看一看，到 m 等于三的时候， a 可以 等于几啊？ a 是 不是可以等于三啊？因为三分之一加三分之一等于三分之二啊，是大于二分之一的，那 a 还可以等于几啊？ a 是 不是还可以等于四？三分之一加四分之一等于十，二分之七也是大于二分之一的。 a 还可以等于五， 加起来应该是十五分之八也是大于二分之一的。 a 可以 等于六吗？ a 等于六的话不行了，因为三分之一加六分之一应该是等于二分之一的就不行了，所以 m 等于三的时候，只有这三种情况。我们继续来看一下，当 m 等于四的时候， a 可以 等于几啊？ a 是 可以等于三的， 那 a 可以 等于四吗？等于四不行了，四分之一加四分之一等于二分之一了，那接下来当 m 等于五的时候呢？ a 可以 等于， a 可以 等于三吧？ a 可以 等于四吗？不行了，那再接下来当 m 等于六的时候呢？ a 最小是三， 六分之一加三分之一已经不行了吧，所以 m 等于六开始就已经不行了，所以最终尤其只有这几种情况，一共是几种情况啊？一种、两种、三种、四种、五种，一共是五种情况，也就对应这边的五个正多面体，我们来算一下分别是多少？ 当 m 等于三， n 等于三的时候，你怎么去确定它是正几面体呢？我们来看一看啊，我们一开始是不是把这个面数给设出来了？所以我们现在 m 和 n 出来之后，我们只需要把这个 f 给算出来就可以了。 f 可不可以算出来啊？是可以算出来的， 所以我们接下来就是去算一算这个面数。 f 啊， f 是 几，那就是正几面体。 f 是 可以算出来的，我们带到这边的式子里面，你看一看啊，带到这个里面就是 v 加 f 减 e 是 等于二，然后三 f 等于二 e， 三 v 等于二 e， 我 们把这个式子带到这个里面，这个式子也带到这个里面，是不是就得到 e 的 一个等式？然后 e 是 不是就可以算出来了？ e 算出来之后呢？ f 就 可以算出来了。这道题你算一下， f 应该是等于四的，所以它是一个正四面体， 它是一个正四面体。 当 m 等于三， n 等于四的时候，你还是一样去算了，那 f 是 等于六的，它是一个正六面体，我们对应一下吧， 正四面体就是 m 等于三， n 等于三的时候，正六面体应该是 m 等于三， n 等于四的正八面体应该是 m 等于四， n 等于三的正十二面体应该是 m 等于三， n 等于五的正是 正二十面体应该是 m 等于五， n 等于三的每个面都是正 n 边形，我们带进去看一看，是不是啊？ n 等于三，每个面都是正三角形。 n 等于四，每个面都是正四边形。 n 等于三，每个面是正五边形。 n 等于三，每个面是正三角形，然后 m 代表着它连接的棱棱三条，呃，三条，四条， 所以这道题就写出来了啊，这个思想还是非常重要的啊，在高中模拟里面也多次出现过啊，比如之前的一个大兴机场。等会我们来看一看这道题， 拿到这边欧拉公式相关的题目啊，你一定要知道去设哪些量，这个顶点、面数和棱，这三个首先肯定是要设出来的，因为欧拉公式里面就是这三个量。那其次呢，如果题目涉及到正多面体，你肯定还要把这个每个面他是正多少边形，你给它设出来，不然接下来是不好去展开的。 然后还可以去设一设这个每个顶点连接的多多少条棱。这边有一种算两次的思想，就是你可以用 n 乘以 f 去表示它的棱，你也可以用 m 乘以 v 去表示它的棱数，然后这个算两次，就可以构建这样的一个等式关系。 所以这个思想值得大家去学习学习。好，接下来我们来看一看这个泰六十啊，就是足球西，这个题目默认是只要你会欧拉公式啊，我们先把欧拉公式再写在旁边啊。 v 加 f 减去 e 等于二， 那你看这道题，这道题其实你已经知道它有多少个顶点了， v 也就出来了，它等于六十，他先问你有几个五边形， 它的每个面的形状只有五边形或者六边形，那既然他问你有几个五边形啊，我们肯定是要把这个五边形给设出来的，所以你设这道题有 m 个五边形， 有 n 个六边形，接下来我们就围绕这个 m 和 n 去构建一些等式或者不等式关系。我们来看看啊，你把五边形设出来 m 个，六边形设出来 n 个之后有怎样的一个等式？关系啊？ 是不是这边的 f 你 就可以表出来了？ f 是 不是应该等于 m 加上 n 啊？一共有 m 加上 n 的 面 e 呢？棱数应该有多少个啊？棱数的话是不是还是用刚刚那种算两次的思想啊？每一个五边形连接的五条棱，每个六边形连接的六条棱， 那就是五 m 加上一个六 n， 它就等于是什么呀？它是不是就等于两倍的棱长啊？因为你去算的话，这条棱啊，它既在上面这个六边形出现了一次，它也在下面的这个五边形它出现了一次， 所以每条能被算了两次，所以这边的五 m 加上六 a 应该就等于两倍的 e。 同时题目上还给我们的一个条件，每一个顶点它都有三条棱， 所以这个二 e 还能等于什么呀？二 e 应该等于一共有六十个顶点，每一个顶点有三条能六十乘以三，因为每条能被算了两次，所以你要 你要让这个人数 e 再乘以一个二，所以这三个等式就出来了。那这三个方程是和刚刚那道题的方程是一模一样的，那我们接下来就去解这个方程，解出来这个 m 就是 有几个五边形，所以去解一下 就是六十加上 m 加上 n， 再减去一个 e 的 话，我用这个来代，应该就是六十乘以三除以二，它等于二。 第二个式子就是五 m 加上六 n， 它应该就等于六十乘以三，这就是一个 m 和 n 的 二元一次方程组。那解一下你就可以解出来， m 是 等于十二， n 是 等于二十的，所以这个足球心里面应该是有十二个五边形。好，接下来我们来看一看这个二零二一年最难的一道八审年考题啊， 他规定一个东西叫做曲率啊，多面体的每一个顶点他都有一个曲率，这个曲率等于二派和多面体在该点的面角之河的差，也就是二派减去 这个顶点的面角之河。这个面角之河什么意思呢？多面体的面的内角叫做多面体的面角，这个题目就非常的绕啊，这这些新的定义放在你的面前，考场上肯定读的是很烦的。 但后面给你举的一个例子，然后他说多面体的总取律等于每个顶点的取律之合。那我们来举一个例子，就按他说的这个例子来，他说一个正四面体， 正四面体每个顶点都有三个面角，你看这个顶点啊，他的面角其实就是这个面的里面这个角，还有这个面的这个角，还有最外面这个面的这个角，相当于就是他这个顶点连着三个角吗？ 然后每个面角都是三分之派，所以这个顶点 a 的 一个曲率应该就是二派，减去三分之派乘以三，然后它一共有几个顶点，一共有四个顶点， a、 b、 c、 d， 所以 总的就是这个玩意乘以四，所以它的总曲率应该就是四派。 那你再看一看这个定义实际上就是什么意思啊？前面这个每一个顶点，他都需要一个二派去减去一个东西一共有四个顶点，那这个取总取率是不是可以写成二派乘以顶点数 再减去？你看啊，后面这个东西啊，每个角他的曲率里面都需要减去对应的几个面角，那把每个面角都加起来，不就是，不就是所有的面的所有的角都被减去了一次吗？所以后面就是所有的角， 所有面的内角和， 对吧？所以这个公式是可以改写成这样一个式子的，这个式子至少读正，让你，至少这个式子让你读正应该舒服一点。 好，我们接下来写一写这道题，第一题他要求四能追的一个总取率。四能追是什么？我们先把四能追画出来，我画一个最简单的四能追啊， a， b， c， d， 我 们看这样一个四能追求四能追的总取率， 那我们用刚刚求出来的这个公式啊，嗯，取率这边我就设成是入了，一般一般都有入来表示，那入应该就等于，首先是二派乘以一个顶点数，顶点数一共有几个顶点？ 一共是五个顶点，所以是二派乘一个五，再减去所有面的内角和，我们来看看啊，他一共有几个面啊？一共是有五个面吧？五个面里面有几个三角形啊？是不是有四个三角形？五个面里面有几个三角形啊？是不是有四个三角形的面，还有一个是四边形的面， 那我们就算一下，这四个三角形和一个四边形的内角和那一个三角形的内角和是一百八十度，也是 pi， 所以 是四乘以 pi， 再加上一个四边形的内角和是 二派，所以最后应该是十派，减去六派，应该等于四派。这是第一道题，那么看下第二道题，第二题，第二道题就是当年最难的一道题啊，这个 就是利用欧拉公式去证明一些东西，他让你证明这类多面体的总取率是一个常数，他告诉你欧拉公式，欧拉公式就是 v 加 f 减 e 等于二，那既然欧拉公式给给了你，你一定要把这三个量先设出来，所以你设 顶点是 v 个，面数是 f 个，棱数是 e 个， 那你光光的去设，那你单独的去设这个 v、 f、 e 是 不行的，你肯定还要设别的量，不然这道题你这个取率都表示不出来，对吧？那你看看设什么量才可以去表示这个取率啊？ 我们看刚刚第一道题给我们的一个思考，第一道题我们是根据它每一个面，它是一个不同的三角形或者是一个正方形，我们来把这个后面的式子给表示出来的，那现在呢？你知道啊，那不知道怎么办呢？ 哎，就是这道题最大的一个难点啊，这道题因为不知道你这个每个面是一个几边形，所以你无从去下手。那我们不妨就把每一个面是几边形都设出来， 设这个 f 个面中啊，每个面的人数也是每个面是几边形， 每个面的边数是 x 一、 x 二等等等，一直到一个 xf。 所以 这个思想其实有点偏竞赛的思想了，就是把一堆不知道的东西全都射出来，相当于构建不等式或者等式之间的关系。首先第一个关系就是 x 一 x 二和 xf 之间内在的一个关系啊， x 一 加上 x 二一直加等等，加到 xf， 它是不是等于两倍的一个等数啊？ 这就是我们前面几道题，我来给大家回看一下前面几道题写的这样的一个等式，五 m 加六 n 等于二一，还有第一道题里面写的一个 n f 等于二一， mv 等于二一，都是这样一个思想。 好，这就是第一个式子。那接下来我们是不是可以把取律用式子表示出来啊？我来表示一下，取律应该等于，我刚刚写的应该是二派乘以顶点数，再减去所有面的内角和二派 乘以顶点数是 v， 再减去所有面的内角和。现在一共是 f 的 面，每个面的内角是多少啊？我们一个一个的面去算， 第一个面的边数是 x 一， 那一个面有 x 条边，它的内角和是多少，这个不知道大家还记不记得了，哎，不行的话你就推一推就知道了。三角形它是一百八十度，四边形呢，就是正方形它是三百六十度，五边形呢，应该是五百四十度，所以应该是 x 一 减二乘以一个 pi， 再加上 x 二减二乘以一个 pi 再加等等等，一直加到 x f 减二乘以一个 pi， 所以 这些式子加起来啊，就是它所有面的一个内角和相加。那你看看这个式子，其实这边你应该知道你已经写出来了，因为里面这个 x 一 x 二一直加到 x f， 你 可以用这个式子来代进去， 然后最后化简出来，应该是一个 v f e 的 式子，不出意外应该就是这个式子，然后就可以带进去了。我们来算一下，应该是二派乘以 v， 减去括号 x 一 加 x 二加等等等，一直加到 x f， 再减去一个，这边一共有多少个二啊？ x 一 共有 f 个，那二应该也有 f 个，所以应该是减去二 f， 然后最后再乘以一个 pi， 我 们把这个式子的二 e 带进来，最后就应该是二 pi 乘以一个 v 减 e 加 f， 这个 v 减 e 加 f， 你 看一看啊，不就是这个式子吗？它就等于二，所以最后应该等于四 pi， 所以这道题最后答案应该就是就是四派，也是第一道题和题目的这个特殊例子给你的这个四派，就是今天给大家讲的正多面体和欧拉公式，希望大家可以好好吸收吸收。这种图论的思想在前几年考过，然后模拟题里面也频繁的出现过， 如果大家一点这种思想没有的话，第一次遇到这个题绝对是无从下手的，所以还是希望大家能学习学习这些， 至少有一个最基本的思想，就是拿到这种题，拿到这种题目，你应该设什么量干什么，你一定要知道。