函数压轴题消失术

知道吗？即使你现在高中数学零分，也能十秒速解高考压轴题，因为高中数学压根不用记忆，也不用复杂计算，只要你搞懂数学学习的本质，我的团队研究了近四十年的高考正题，从中总结出一套秒题方法，高中数学的所有题型就能直接套解体模板，学渣也能轻松逆袭。接下来分享三个函数压轴题 了解技巧。一、函数基偶与对称性比如这道题已知函数，并且给出一个数，让你求对称点的值。我们直接记住这个公式， x 一 加 x 二等于二倍 x 中心 y 一 加 y 二等于二倍 y 中心，所以 x 一 等于负三， x 二等于三加等于零，所以 f 负三加 f 三就等于 y 一 加 y 二等于二倍 y 中心已知函数。前面这部分是个奇函数，再减个八，所以中心为零。负 八等于 f， 负三加 f 三等于负十六，所以 f 三就等于负二十一，直接选 b。 第二，函数结合数列压轴体常规方法，先要分析函数对称性，再利用对称性求和， 步骤繁琐，还容易算错，易老师教你十秒搞定。这是二，这是一，二加一除以二等于二分之三，求求部分，这是九，再乘以九就等于二分之七秒出答案，选 d 没跟上是吧？我们再来一道，这是六，这是零，六加零除以二等于三，求求部分，这是 m， 再乘以 m， 答案就是选 d。 第三，奇函数求对应关系的题目，只要函数符合这个形式， m 不 等于零， n 大 于零且不等于 一，则必定是奇函数。我们直接看题，题目中三 b 对 应 m， 所以 负二， a 加 b 等于二乘三 b 化简后直接得出二 a 加七， b 等于零， 答案秒出不用推导，极有性。第一，不用带入复杂数值，一步列方程就能解。但是这个时候有的同学可能就会说，你是瞎猫碰上死耗子。换道题不一定有用，那我们再来一道高考真题。这是去年江苏卷的题目，相比上一道题难度更高，常规解法也更复杂，不仅需要画出构造函数，还要画出进行讨论。但如果我们观察题目，发现题目中给出的不等 式一加 x 和加二减 x 的 值分解后，先假设它是 b a、 c， 关于对称中心 b， 也就是二分之三，对称 a 加 b 加 c 就 等于三加二分之三等于二分之九。再次秒出答案，需要进行任何复杂的计算或者逻辑严密的推论吗？完全不需要。当然，只掌握一个公式，一种解析模型是远远不够的。像这样实用的解析模型，魏老师已经全部整理好了，全部加起来一共有八十多个。只要熟练掌握这些模型，考场上面对大部分数学题型都随 实现快速秒杀。需要的同学，后台告诉老师你的年纪，最后高考状元能够在四十分钟内做完整张数学试卷，并且拿到满分一百五十分，依靠的正是这些高效的解析模型。如果你能掌握这些解析模型，马上九八五就稳了，如果没能掌握，很有可能只能去装科。拿到后，每天练习一个解析模型，你会看到你的数学成绩从五十分到及格线，真的不用一个月。

本视频耗时十年，制作共计一百五十小时，带你一口气学完初中数学。看第二个，他说点 p 是 二次函数图像第一项线上的一个点，要使三角形 b、 c p 面积最大的时候，让我们求 p 点的坐标，那么面积问题是不明显，用水盆换个铅水灯。 我当时讲这个题目的时候，教你们怎么做来着？我们按步骤来，第一步是区分动定，那么在这里 p、 b、 c 当中， b 点和 c 点就是两个定点， p 就是 我们的动点。 区分动定之后，动点坐标你要把它设出来，那么把 p 点的横坐标设为 m， 纵坐标就是负的二分之一 m 方加二分之三， m 加二， p 点坐标是不是就知道了呀？然后你再把两个定点所在的直线解析式表示出来， b、 c 所在的直线解析式是不是 y 等于负的二分之一 x 加二。那么区分动定，把动点射出来以后，第二步是怎么样呢？过动点做 y 轴的平行线和两个定点所在的直线是不是交于点 h， 那么 h 点的红坐标就是 m， 那 纵坐标就是负的二分之一 m 加上二，是不把 h 点的坐标也表示出来了呀？那这个时候我们会发现题目当中有限定条件，限定的点 p 是 不是在 b 一 象限？ 既然点 p 在 第一象限，就说明 p 点永远在 h 点的什么上方，是 p 点的纵坐标会更大，那这个时候我们再求 p h 长的时候是不用加绝对值的，直接用点 p 的 纵坐标减去点 h 的 纵坐标，那我们就可以直接写三角形 p， b、 c 的 面积 等于什么呢？二分之一乘水平宽，水平宽是不是两个定点？ b、 c 之间横坐标差的绝对值就是四， 再乘铅垂高，铅垂高就是多少屁点动点和 h 点之间纵坐标差的绝对值，因为这个大小。确定了是不是不用加绝对值，直接用负二分之一 m 的 平方加上二分之三 m 加上二，再减去 括号，负二分之一 m 加二，那么去的括号是不相当于加上二分之一 m 减去二，二分之一乘四，结果就得到了二。然后括号里呢，我们稍微把它整理一下，就是负二分之一 m 的 平方加上多少？加上二 m 对 不对？然后你再把这个二给他乘进去，结果得多少是不得负 m 的 平方加上四 m 到这一步有没有做对？然后你接下来要做的是把它配方，求对的是不是要配方？那么你把这个符号提出来，负的 m 的 平方减去四， m 后面肯定要加几，是不是加四然后就可以得到负的 m？ 嗯？ 加四还要干嘛？减四，然后这个时候就可以得到 m 减二的平方减四， 最后再把这个负号干嘛乘进去，就是负的 m 减二的平方加四。所以这个三角形有面积的最大值是多少？面积最大值是四，什么情况下取得它的面积最大值是四。是不是当 m 等于二的时候， 那当 m 等于二的时候，这个 p 点坐标就是多少？你把这个 m 等于二带进去， p 点坐标就是二斗几，二斗三 是不是就算出来了？然后你们求出 p 点坐标是二到三以后，第二、第三位说的是什么？在二的条件下，使得 b、 c、 p、 q 为顶点的四边形是平行四边形，那在这里面 b 点坐标是多少？零到二， c 点坐标是四斗零， p 点，我们又求出来是二斗三，只有一个 q， 不知道是不是我们讲的平行四边形存在性问题当中的三定一动问题啊？三个定点，一个动点，怎么去求？是不是几何反直接平移就可以了？ b 点坐标零斗二，给你们画在这儿， b 点 零斗二， c 点四斗零，然后还有这个 p 点二斗三， 好给你们复习一下几何法平移，求平行四边形的存在性哈。那么现在你会发现三个点坐标是不是都已经固定了，让你找去第四个点，怎么去找？ 你把这三个点分别都连接起来，那现在你看你想让谁是平行四边形的边，如果你想让 b p 是 平行四边形的边，那我们就平移 b p， 你 的 b p 可以 往哪平移？是不是可以往这平移？那此时第三个点 q 就 在哪？第三个点，第一个点 q 是 不是就在这？ 第一个点 q 在 这个地方，那么此时的 q 是 怎么得来的？你会发现从 b 到 c 的 平移规律是不是就是从 p 到 q 的 平移规律？那从 b 到 c 是 怎么变的？横坐标从零变成四，横坐标加了四，所以从 p 到 q， 横坐标也得加四，就变成了六， 那么从 b 到 c 是 不是纵坐标减了二，那么从 p 到 q， 纵坐标也要减二，六到一，第一个点你就写出来了，然后你再去看我们刚才去平移的是谁呢？我们刚才平移的 b p， 我是 往上去平移，我能不能往下平移？可以的吧，所以这个地方就是我们的什么呢？ q 二， 好，此时这个 q 二哪来的？你会发现是把 b p 往下平移，平到这个位置，那 p 到 c 的 规律就是 b 到 q 的 规律， 那这个 p 到 c 怎么变化的？是不是横坐标加二，纵坐标减三，那么从它到它也是横坐标加二，纵坐标减三，是不是就是二到负一？ ok， 第二个点就出来了， 然后我们刚才平移的都是 b p 这个边，那么接下来看我可不可以平移 p c 这个边，如果你平移 p c 的 话，可以怎么平移？ p c 是 不是可以往这平移？是不是又重合了？那你可不可以往上平移？可不可以平移到这？ 那此时这个 q 三就在哪？ q 三就在这个位置，对不对？所以这个是怎么平移的？是不是把 pc 平移到这个位置了？那么此时从 c 到 d 的 规律就是从 p 到 q 三的规律， 从这个 c 到 b 怎么变化的？横坐标减四，纵坐标加二，所以从这个 p 到 q 三，横坐标减四，纵坐标加二，是负二得五，所以三个答案负二得五， 然后六斗一，二斗负一，都写出来没有？又给你们复习了一下，这个想起来了吧？好，两个动点的，会不会了？两个动点的还记不记得怎么做？这是一个动点的了，两个动点呢？我们要用代数法， 然后第一步列坐标，你值得写下来，位置的设出来，然后第二步讨论对角线，是不是按对角线分三种情况，然后利用什么公式对角线上面两个点横坐标之和相等。 ok， 想起来没？

我们接的数啊，同学们又考到了，又考到了第八题啊，单选题的压轴题，这个消失的数线，直接两秒三秒，直接出答案来。题目给了个不等式，求这个 b 的 最大值， 它求是 b 是 吧？我们就把 b 放到一边，其他的通通挪过去，得到它来观察选项。你看选项里面是不是没有 a 啊？选项里面没有 a 啊，但是我们这里是有 a 的， 说明我们这个 a 又消失了。 a 又消失啊， a 怎么消失啊？只能是这个括号又等于零啊！ 所以二减 x 等于零，所以 x 等于二， x 等于二。带进来立马得到正确答案，瞬间出答案，什么通通都不用管！更多精彩内容可以报我的系统课，高一高高三都可以。

肯定没这样教过华哥独创的方法，三角函数的动态周期是我们期末考试的常考题型，而且往往他都是一个压轴题。很多同学呢，对这种问题说，总觉得我这个地方变来变去，没有一个什么好的方法，其实都是有套路的啊。今天华哥呢，带着大家摸清这个套路。 你看类似这种题目，它总是说什么 f x 点的 omega， 它在 x 区域前面有个 omega， 那 说明什么？说明它的周期是一个变化的对不对？加上三分派，在某一个范围上单调递增也好，或者在某一个范围上面，它是有几个零点也好，或者至少几个零点也好，然后我们去把这个 omega 的 范围求 一下，那这种题目我们的处理的方法是什么呢？首先一定要画图，竖形结合嘛。但是我们在去画这个函数图像的时候，可能会去想，我这怎么画一个变动函数图像呢？其实也没有那么复杂， 只是你要转变一下数学思维，你比如说对于这个函数图像来讲，那是不是我们整个函数图像左加右减，向左边平移多少多少个单位？那我平移了多少个单位呢？那是不应该是，首先我们看啊，它的周期等于二 pi 除以 omega， 而我们向左边平移的把 omega 提取出来之后是 x 加上三分派除以 omega， 说我要向左边平移三 omega 分 成派个单位，那你的 omega 是 变化的，我向左边平移多个单位，我能去看呢，没法看对不对？它是个变化的平移，那我们该怎么处理呢？听好了啊，我们平移不要平移具体的单位，而是平移它的周期， 因为我们知道周期是等于二 pi 比上 omega 的， 那么我们用这个数字去除以它的周期， pi 除以三倍 omega， 再除以什么二 pi 比上 omega， 那 你会发现这个 omega 是 不是就约掉了呀？得到的是什么？得到是不是六分之一个周期，对不对？所以我们等于说向左边平移六分之一个周期 就行，那你就在这个地方去标记好，它这是负的六分之一个周期，那么到这个点它就变成多少个周期啊？整个这是一个周期对不对？那它是不是应该是六分之五倍的周期？中间这个点我们是不是也能够把它描述出来？它应该是三分之一个周期，这个点是不是也能够看出来它是负六分派？负六分之 t 和三分之 t 的 中间的那个数，对不对？它就 是十二分之一个 t。 你 看啊，我们整体去画这个图的时候，一定不要想着说我是向左边平了多少个单位，然后去把这个图画掉，而是平了多少个周期，就这么一点点的变化，这个题就很好做了。 然后我们看一下屏幕条件怎么说的，零到三派上是单调递增的，那说明三派是不是只能放到这个地方来？你从零到三派不能超过十二分之 t 值不就可以了？所以你是不是得到证明一个不等式，我的三分之派要小于或者等于十二分之一 t 呀？是不是就得到了这样一个不等式？那你把这个不等式求出来，我们就把它放了，就出来了。我们再总结一下啊，就你去处理所谓的这种动态周期问题，这个后面的派呀，它是已知的情况下， 你不要想着我去平移它的多少多少个单位，因为这个单位它是个变量，你是没有办法去说的。但实际上呢，平移的按周期再去算的话，它就是可以变成一个 d 重量了，从一个变的变成一个定的，那么这个图像就很清楚了。而一旦你知道它是负的六分之一 t， 那 剩下的所有的这些特殊点， 极值点也好，零点也好，它都可以用周期去描述出来，然后你再结合题目条件去列出对应的不等式就可以了。第二个呢，其实你会发现，我们可以把这些东西稍微的省略一下，大家有没有发现我这个地方，我是用三倍的 omega 分 之 pi， 这个地方呢？是二 pi 以欧米伽，那么它们两者相处，你把欧米伽约掉之后，你发现没有，它其实就是三分之派除以二派，所以我可以迅速的判断它的周期的个数，那就是直接拿这个 尾巴我们去除以二派就好了。我们下面来看这道题，他说在零到二派上恰好有三个零点，那我们去求欧米伽的取值范围，这个地方属于负的三分之派，那说明左加右减，那是不是向右平移， 直接用它除以 ipad 是 不是向右平移六分之一个周期就可以了。所以我的图像画出来，那就往这边来六分之一个周期，再去画一个整个周期。当然你也可以多画几个周期啊，因为这个地方它是三个零点， 那么这边是不是也就对应的就变成这样子了？好，我们把这个六分之一个周期标记上去，那么到这来多一个周期吧，它是不是就是六分之七个周期？那么再往下面走，它这个地方就变成将加除以二，是不是六分之七个周期？是不是三分之二个周期？ 那么你到这个地方来到这个点来，它是几个周期？从三分之二 t 再多一个周期，是不是三分之五个周期？诸如此类，所有的这一点，我是不是都能把它用周期把它表达出来了？ 我们再看题目条件，他说零到二派范围内，刚好是三个零点，这是第一个吧，这是第二个零点，第三个零点在这，那么二派是不是就只能到这个范围？它可不可以等于这个点？可以吧？所以它大于等于六分之七 七个周期，然后小于可不可以等于这个点？没有办法，如果你等于这个点的话，那是不说明我有四个零点啊，说明它只能小于三分之五个周期。你把这个不等式一解， omega 它放就出来了。核心是什么呢？就是大家平时在去做这个题的时候，它没有办法去画图，因为它不知道向右边平移了三倍 omega 分 之 pi 是 多 多少。但是呢，你实际上用这个东西除以二派得到的是六分之一个周期，那你这边平移过来是六分之一个周期，三分之一个周期就完事了。这个期就很简单了，这就是压周期的考法。所以同学们以后再遇到这种动态周期的问题，是不是发现也可以轻松拿下了？

哈喽，大家好啊，我是毕业选赫，今天想给大家讲一讲二零一九年浙江高考的导数压轴题，这道题目计算量非常非常的大，而且难度也是相当的爆炸，当年没有一个人把这道题完整的写出来， 并且这道题所涉及到的导数知识点非常非常的多，包括横沉的问题以及对应的必要性探路， 还包括了主元变换放缩，二次函数的分类讨论，以及引零点相关的问题。那今天呢，我想借着这道题给大家讲一讲必要的探路到底如何去想到， 然后会用两种简单的放缩来避免巨量复杂的运算。同时我想告诉大家，我的这两种简单的放缩里面啊，有一个放缩是 log x 小 于等于 x 减一， 这个放缩大家可能觉得非常非常简单，而且它的精度啊并不是很高，那为什么能写呢？哎，实际上啊，变换一下就可以去证明了。那最后呢，我还会额外的再讲几种方法。好，那话不多说，我们就来讲一讲这道题目啊。 首先第一小问就不说了，第一小问直接对 f x 求一个导数，就可以直接把它单调区间写出来了。然后我们来看看第二小问。 第二小问说，对于任意的 x 属于一方分之一到正无穷均有 f x 小 于等于二 a 分 之根号 x， 让你去求 a 的 取值范围。 我们把这道题整理一下，就是说这样一个式子，小于等于零，对于任意的 x 属于一方分之一到正无穷是恒成立的。 那对于这样一个横乘立的问题啊，相信大家都有一个非常简单的思路，那就是参变分离，我们把 a 分 离到一边，然后呢，右边写成关于 x 的 一个函数的形式，我们只需要去求这个函数的一个最大值或者最小值，就可以把这道题写出来了，对不对？ 那这个思路，这道题可以吗？肯定是不可以的，为什么呀？因为你的 a 在 这题的这个地方也有，那肯定是非常非常复杂的，而且这个 a 的 正负性你现在都不知道。 你要把这个式子改变参变分离的话，你肯定要左右先同时去乘以一个 a， 对 不对？你要把这边的分母给去掉，但是你去乘以一个 a 的 话，你的正负号你都不知道，所以这个不等号啊，你也不知道要不要改。因此啊，你现在最一开始是非常迷茫的， 这个参变分离大概率是不行的，写起来很复杂，那面对这样一个复杂的横沉的问题，有什么好办法让我们入手吗？有一个办法叫做必要性探路， 因为他对于这样的 x 都是横成立的，那我们可以去取一些特殊的简单的 x 带进去，去求出 a 的 一些必要的条件，对不对？那最终的答案呢？只有可能比这个必要的范围要小，而不可能比必要的范围要大。 所以啊，我们就带一些特殊的值，我们可以先带 x， 等于哎，这个端点的值可以带进去看一看吧，端点的值一方分之一，我们带进去就是这样的一个式子， 那这样的一个式子，你想把 a 的 范围解出来， a 可以 解，但是它的解肯定长得非常非常的丑陋，对不对？因为它是一个一元二次不等式啊，你还要沉进去，然后这边的依次项系数和这个长竖项都非常的复杂， 看着就不想解，哎，那我们能不能带一些值，让他的解长得好看一点呢？有一个值可以带，我们可以带 x 等于一，这样的话这一项就等于零了，那剩下就只剩一个根号二，减去二 a 分 之一小于等于零，那这个解肯定很简单啊，解出来应该是 a 大 于零，且小于等于四分之根号二。 那这个结啊，相对你上面这个式子，肯定是非常非常美观的，而且 x 等于一本身就是有关绕眼 x 的 一个特殊的点。那你可以大胆的猜测这道题的答案就是这个东西。 那有人肯定会说了，这种必要性贪图的问题也太玄学了吧，居然需要你自己去取一个点，然后带进去，你还不知道这个答案对不对，但你要猜测他就是正确答案，这是不是有点玄学呢？对，他确实有点玄学，但还是有一些方法呢，去验证 你这个答案大概率就是对的。怎么去验证呢？我们来看看啊，为什么选择 x 等于一作为他的探路点呢？还记得我们刚刚题目要证明的式子吗？是不是要证明这个东西？哎，我现在把这两个部分移到右边去， 也就是说 p x 等于这玩意，然后 tx 呢？等于右边的这个函数啊，是不是题目就是要证明 p x 小 于等于 t x 横乘的，是不是题目就这个东西？那我问你啊，这个式子横乘的，你画一下他们的图像，是不是大概是这个样子， 这玩意是一个 t x， 然后这玩意是一个 p x， 对 不对？他们俩极端的情况，是不是这边有一个公共的切点啊？有一个公切点的时候是极端的情况，那我们这种必要探路啊，你肯定取点，要去取那种极端的点的情况， 这样才有大概率得到的是一个正确的答案，对不对？你如果去取一个无关紧要的点，你比如去取这个点无关紧要的，你带进去，说不定他这个地方啊满足，但是你别的地方就不满足了，能理解这个意思吧。所以我们去取点的时候啊，一定要去取攻切点来作为探度点， 因为这个点啊是最特殊的。那公切点要满足怎样的性质啊？我们假设这一点的横坐标是 x 零，那就要满足我们的 p x 等于 tx 零，也就是他们的函数值相等，并且呢，因为是公切点，所以这个点的对于两个函数的什么呀，导数值应该也是相等的， 所以有这两个式子，那这两个式子写一下，就这个东西，这东西需要你去解吗？哎，不需要你去解答，你高考的这些题目，肯定点都是非常非常特殊的，不可能说给你一个你根本解不出来的东西，作为他的一个探路点，这不可能的， 那你就把我们刚刚取的这个 x 等于一带进去啊，你会发现 x 零等于一的时候，你的 a 等于四分之根号二，而这两个解啊，正好带进去，就符合我们这边的式子，所以这就可以选做我们的探路点，因为它非常非常的特殊啊， x 零等于一，这边这个点啊，就是我们的攻切点，没问题吧？所以这就是我们为什么要选 x 零等于一作为探路点的原因。 好，那接下来呢，我们知道了，这玩意大概率就是一个最终正确的一个答案，所以我们就需要去证明 a 大 于零，小于等于四分之。根号二不仅是它的必要条件，更是它的一个充分条件。 首先我们把题目的形式再改一下，也就是现在要去证明 a 属于零到四分之一，到正无穷的时候，有这样一个式子，小于等于零，横乘立。 那这个东西很成立，你注意看啊，我们很多时候习惯于去把 x 当做助圆，但是这个题目里面啊，实际上它有两个变量，一个是 a， 一个是 x， 对 不对？现在你这个 a 和 x 地位其实都差不多啊，都是一个有范围的变量，让你去证明这个二元的式子小于等于零，很成立。 但是我们先去看 x 的 话，你会发现这边的 x 非常复杂，又有多余， x 又有，这边一个根号又有，后面还有一个不同的根号，那肯定相当的复杂。但是这个 a 复不复杂呀？ a 不 复杂，这边一个 a， 这边一个 a， 充其量它也只会变成一个有关 a 的 什么呀，二次函数吧， 对不对？所以我们可以先不看 x， 先去看 a， 也就是变换主元。我们把这个式子去改一下，就是左右去同时乘一个 a， 左右同时乘以 a 的 话，是没有问题的，因为我们刚刚得到的必要条件是 a 大 于零，对不对？所以这个不等号是不需要去变的，那就得到这样一个式子， 你看啊， a 方，也就是我们的二次项，二次项前面的系数呢？是零 x 一 次项前面的系数是根号下一加 x， 然后还有个长竖向负的二分之根号 x 小 于等于零，那这个式子如果我们以 a 为主元的话，它不就是一个关于 a 的 二次函数吗？二次函数大家肯定都会处理吧？好，那我们接下来来看一看啊。接下来就是要证这样的一个式子，小于等于零，对于 a 属于这个范围，以及 x 属于这个范围是横成立的。 刚刚说了它是一个二次函数，那我们就是 h a 等于这个东西。那二次函数的话，我们首先要讨论它的什么呀？注意这边的二次项系数 lo x 有 可能大于零，也有可能小于零，对不对？那二次项系数是影响它开口的一个关键，所以我们要对它的系数做一个正负性的讨论。 我们先来看看，当 lo x 大 于零的时候，这个二次项系数就是大于零的，也就是这个二次函数，它整体开口向上， 开口向上之后呢，我们就要看到他的对乘轴了，对乘轴负二 a 分 之 b 就是 这个东西，这个东西呢，根号是大于零的，然后下面 log x 刚刚说的大前提是大于零的，所以整个对乘轴小于零的 a， 你 注意了，对称轴小于零，而我们现在 a 的 范围是大于零且小于等于这个四分之根号二的， 所以他就怎么样啊？他就这样的，我们这个零在这，然后四分之根号二上单调递增，对不对？ 单调递增的话，我们最终要证明它是小于等于零很成立的。只需要去研究哪个点啊？哎，只需要去研究它的最大值，也就是 h 四分之根号二这个式子。 所以接下来啊，我们要证明的式子就变成了要证这个式子小于等于零，对于所有的 x 属于一方分之一到正无穷很成立。 当然这也是这道题最难证明的一个地方，就这样一个确定的横乘立的不等式，非常非常的难证明。那这个问题呢，首先你肯定想要求导，因为这个式子去求导肯定是能写的，为什么呀？ 你 non x 单独的已经光秃秃的在这了，你对 non x 求一个导，它就是 x 分 之一嘛。那后面这个和这个你求一个导，应该也不复杂， 都是什么一加 x 分 之差，然后还有个根号 x 什么什么东西吗？最终肯定能整理成一个分式多项式的形式，那肯定是能写的，但是这个计算量啊，你可以去看看标准答案之类的东西，非常非常的复杂， 写起来这个计算是有点恶心人了，哎，那有没有不用这个暴力求导的方法，我们来看看啊， 这个和这个相对已经非常简单了，对不对？问题就出现在这个诺言 x， 这个诺言 x 我 们能不能去找一些方法给它放松掉呢？然后证明那个放松后的式子小于等于零很成立。哎，有没有这样的一个方法呢？肯定是有的，关键是我们能不能找到这样的一个合适的放松。 哎，我们来看看啊。首先这个不等式在哪取？等啊，你肯定在 x 等于一的时候取，等我们带进去发现 x 等于一的时候，它等于零，然后它等于二分之一，它也等于二分之一，那肯定是取等的，所以 x 等于一的时候取等，那你想想啊，在 x 等于一处取等的 l、 e x 有 哪些放缩啊？ 如果你对放缩这个地方不太熟悉啊，那你至少应该知道一个放缩叫做 low x 小 于等于 x 减一，这个大家都知道对不对？但是如果我们用这个放缩去写这道题的话，我敢保证肯定是写不出来的，因为这个放缩精度实在是太低了，怎么可能高考压轴题 啊，最最后一道大题目，让你去用这个简单的东西去放松处理啊，不可能的对不对啊？更何况这是一个浙江的高考压轴题，那我们想一想啊，有没有更高精度的一个 log x 的 放松呢？ 你可能平时积累不多的话，你可能想不到了，但是我们能不能利用这个式子去制造一些更高精度的放松啊，完全是可以的，仔细看啊， 我们能不能把这个式子改写成两倍的 lo x 的 二分之一次方，这个没问题吧，相当于把这个二分之一移出来，二乘以二分之一就一嘛，那我们对这个部分啊，去使用一下这个不等式， 那不就是 lo x 的 二分之一次方怎么样？小于等于 x 的 二分之一次方减一嘛， 那整体写下来不就是浪 x 小 于等于两倍的根号 x 减一，这也是一个放缩，也是没有任何问题的，但是这个放缩绝对是比这个放缩的精度要高很多很多的。画一个图就知道的，这个 x 减一是这样一条直线， 你可以看到越到后面这个精度损失非常的大，但是这个根号 x 呢？这图像大概是这样的， 对不对？那这个精度肯定是更好的。哎，那有人想问了，那，那沿着这个思路，是不是可以写出一些更高更高精度的放缩啊？当然是可以的，我们这边不写二了，我们写四，然后这边就是 x 的 四分之一次方，那对烙印 x 的 四分之一次方，我们用一个放缩，就是这个东西， 就是这个地方，就是 x 的 四分之一次方吗？哎，这个精度应该会更高，刚刚两倍的根号 x 减一啊，应该是这个这样一个图像，那下面这个四倍的 x 的 四分之一次方减一，应该是就精度更高的 夹在中间的一个图像，你还可以以此类推去写，这个精度已经很高了，我们用这个先试一试啊，完全是可以的吧，我们来试一试。原来这个式子呢，利用我们刚刚的 log， x 小 于等于四倍的 x 的 四分之一四方减一，它整体就应该怎么样？ 就应该小于等于这个式子。那这个式子的话，哎，里面很多根号啊，写起来非常复杂，那我们就先把根号都处理掉，处理的话肯定就换元嘛，我们换元的话，就换这个东西吧，这个东西最复杂， 我们令 m 等于 x 的 四分之一次方，那根号 x 就 应该等于 m 的 平方， x 就 应该等于 m 的 四次方。代换一下就得到这个式子，对不对？ 那接下来我们就尝试去证这个式子怎么样？小于等于零，如果这个式子证明出来小于等于零，那不就证明出来了吗？看看啊，要证它小于等于零，就是要证明这个式子很成立。 那这个式子的话，我们再整理一下，左右同时平方一下，平方一下之后呢，二消掉就得到这个式子，那这个式子展开来之后啊，你会发现它最终就是 m 减一的四次方大于等于零，这显然是成立的， 所以这道题就证明出来了。并且你会发现啊，根据我们这边的换元，你这个式子大于等于零，肯定对所有 x 大 于等于零都成立吧。哎，不仅是对这边的 一方分之一到正无穷的成立了，他对 x 大 于零的所有值啊，都是成立的，所以这是我讲的方法。一就是用一个常见的放缩不等式，然后直接就证明出来了。 好，那接下来我们来看看有没有别的放缩方法呢？实际上是有的呀，哎， long x 除了它小于等于 x 减一，这个最简单的不等于，有没有别的更精确一点的不等于啊，哎，实际上是有的， long x 小 于等于二分之一，括号 x 减去 x 分 之一，这个我相信大家应该都知道，如果你不知道的话，你去简单的证明一下，积累下来就行了，这个用的还是比较多的。那这个式子有个前提条件啊，就是 x 大 于等于一。 哎，那你注意了，实际上这个性质他是成立的，对于任意的这个 x 都是成立的，但是如果用这个不等式的话，你只能证明出 x 大 于等于一是成立的。哎，但是你注意了，刚刚我们这个第一种情况，这个大前提啊，就是 x 大 于一嘛，对不对？ 我这边写对于这个都很成立是因为他，他真的是很成立的。好，我们来看看啊，那这种情况我们就只能证明 x 大 于等于一的时候是很成立的， 那用这个不等式的话，你会发现，哎，这边有根号 x， 这边也有一个根号，哎，但是你放松的话，这边没有根号啊，没有根号的话，你实际上不方便去计算的，对不对？因为你肯定要换元嘛。换元什么？根号 x 等于啥？那你带进来，他又有什么平方？又有什么平方分之一了，肯定是计算相对复杂的， 那有没有什么更好的办法呢？哎，有办法的，和刚刚一模一样的思路啊。我们把这个 looping x 变成两倍的 looping 根号 x， 然后再对这个 looping 根号 x 去用这个放缩，可以吧？那它就应该小于等于什么呀？小于等于二乘以二分之一的 根号 x， 减去根号 x 分 之一，最终也就小于等于这个东西。所以啊，我们就得到这样一个放缩的不等式论， x 小 于等于根号 x， 减去根号 x 分 之一，对于 x 大 于等于一，是恒成立的。好，那我们来试试这个放缩能不能写出来呢？ 啊？要证这个东西小于等于零，化解一下。就证这个东西小于等于零嘛。那这个东西啊，小于等于这玩意儿，这玩意儿我们去化解一下，就应该是什么呀？化解一下，把这个根号 x 和这个负四根号 x 合并一下，然后再换一下圆，这边换圆就简单了，直接定根号 x 等于 m， 然后前面这边就是 m， 这个是 m 分 之一，然后这个呢，也可以去表示出来，它就是根号下一加 m 的 平方，所以整体的式子就等于这个东西。那我们要证这玩意小于等于零，是不是可以尝试去证明这玩意小于等于零啊？要证这玩意小于等于零，不就是要证这个吗？ 对不对？要乘这个，我们两边平方一下，就这个东西，那再改一下形式，就这个东西，哎，这玩意基本不等式，肯定是大于等于二的吧，所以显然是成立的。因此啊，我们 x 大 于等于一的情况就可以证明出来了。 但如果用这个方法，你证明不到 x 小 于一，它也是成立的，对吧？但用刚刚这个方法一就可以证明出来， x 小 于一大于零，它也是成立的。 好，这是方法二。接下来我们再看方法三，方法三的话就是一个求导暴算，但是这个求导暴算啊，并不是像标准答案那样直接暴力的。对，这个式子求导暴算，不是的， 我们还可以做一些处理，让这个计算量稍微小一点。我们能不能先对它换一个圆啊？要正，这个式子是大于等于零的啊。这个式子大于等于零是我从这边相当于改改一下这个系数啊，把它写的简单一点。 首先我们念这个 x 等于 u 的 平方，哎，我们可以念这个 u， 也是怎么样也是大于一的，那么就可以把原来这个式子改成成关于 u 的 一个函数，也就是 p u 等于 根号二倍的 u 减去这个东西，再减去这个东西。你看这样写的好处在什么呀？这样写的好处在于，你 lo in x 变成了一个什么 lo in u 的 平方，就等于两倍的 lo in u， 它的求导是没有任何变化的，对不对？哎，就多了一个系数二， 但是你根号二， x 不 就变成了根号二 u 吗？他求导之后不就变成一个常量根号二的吗？ 对不对？你如果直接对他去求导的话，这个根号二 x 求导，他还是有根号的，很烦。所以说啊，我们如果这样去换元之后呢？他的范围没有怎么变化，而且求导之后 no 也没什么变化，这个东西可能相对复杂一点，但是不用怕，你这边直接求导之后就变成一个常数了， 能懂我的意思吧？所以我们这样去写啊，接下来去看一看。对啊，求导根号二减去这个东西，再减去这个东西，哎，屁撇一是等于零的，那我们接下来要研究他的一个二次导数， 二次导数的话就是这个式子，这个式子相对看着有点复杂，但是你把它改写一下形式，不就这个东西吗？ 哎，一个负什么什么分之一加上什么什么分之一，那我们要去判断这个二阶导数的正负性， 那么要去判断这个二阶导数大于零还是小于零，就看这个值和这个值哪个大。那给这个和这个平方一下，就他们的分母平方一下，就是看这个和这个哪个大，这个和这个哪个大呀？很显然是左边大吧。 这个 u 方加一括号三次方，它里面直接有一个 u 的 六次方，而且它本身就比这个二倍的 u 的 四次方是大的，它里面就有 u 的 四次方嘛，所以这个是肯定大于这个东西的，因此它大于它，所以它的二阶导数就是大于零的。 二阶导数大于零，说明一阶导数是递增的，然后屁撇一又等于零，我们的屁撇 u 就 大于屁撇一等于零， 这就说明什么？我们在这个一到正无穷上是递增的，所以我们的 pu 就 大于 p 一 也就等于零，因此就证明出来了，我们这个式子在一到正无穷上是横成立的， 你可以发现这个计算量并不复杂吧，对吧？就是我刚刚说的一个思想啊，并且这个方法不仅可以证明，对于 x 大 于一是成立的， x 小 于一，它同样是可以证明的。我们刚刚直接这个函数的性质啊，全都分析出来的，在零到正无穷上全都分析出来了，所以都是可以证明的， 因此就是方法三。最后当然还有一个方法四啊，方法四没什么好说，就直接暴算好，那写到这个地方，我们第一种大情况就写出来了，也就是 这个二次函数的系数 long x 大 于零的时候，也就是开口向上的时候，我们就写出来了，也就是 x 大 于一的时候。那接下来还有一种情况是什么呀？ 哎，刚刚说了，这个已经证明完毕了，那接下来我们来看看第二种情况。第二种情况就是 x 小 于一，并且题目说的大于等于这个一方分之一的时候， 此时呢，诺言 x 也就是他的二次项系数是小于零的。这个二次函数啊，开口向下，既然他开口向下，我们还是一样的研究他对称轴，对称轴此时是大于零的。哎，大于零就复杂了呀，因为你本身这个自变量 a 的 范围啊，它就是大于零的。 那大于零之后呢？我们还是可以进行一个分类讨论，当然我们要先看看它的端点的值怎么样，就是这个范围，它的端点两个值怎么样？我们把这个二次函数啊，把端点的两个值带进去看一看啊， 带进去之后你会发现啊， h 零它就等于负二分之根号 x 肯定小于零，另一个端点 h 四分之根号二。哎，这个式子不就是我们刚刚研究的那个东西吗？ 刚刚研究的那个东西，我们有几种方法，不仅证明出 x 大 于一是成立的，还证明出 x 小 于一也是成立的，对不对？所以实际上啊，他的两个端点都是小于零的， 那两个端点都小于零，那这个事情就很好办了。你的对称轴如果在这个右端点的右边，也就是我们的对称轴如果大于等于四分之根号二的时候，那不显然这个二次函数在这个部分怎么样都是小于零的吗？ 所以这种情况显然是成立的，那最终我们要证明的就只有最后一种情况了，就是当我们的对称轴如果在这个部分呢，那这种情况下就这样的啊，这是二次函数，然后对称时候，在这 x 等于零，在这就是零，然后四分之根号二，在这就是四分之根号二。我们现在就要去研究它的顶点了，按照道理，这个顶点的函数值应该是小于等于零的，也就是按照道理，它的第二，它应该是小于等于零的， 所以接下来我们就要去证明 deirta 是 小于等于零的。好，那我们来看啊，此时对称轴是小于四分之根号二的，这个式子你可以化简啊，注意， x 小 于一，这完全是个负的，你把乘过去，记得要变号，也就是这个式子小于零。 实际上这个玩意是不是按照道理他可以把 x 小 于什么东西给他解出来？因为你左边是一个单调递增的函数，一个单调递增的函数小于零，那这玩意你去带几个值，你会发现啊， x 与一的时候，他已经大于零了。所以实际上啊，这个单调递增的小于零，他肯定是能解出 x 小 于一个什么什么东西的， 但是是解不出来的。所以啊，这涉及的一个知识点叫做隐零点，你可以设这玩意他是一个 x 零，然后他肯定是小于一个 x 零的，这个 x 零呢，就满足烙印 x 零加上根号下二 x 零加二是等于零的， 然后带到后面的式子里面进行一个计算啊，就涉及到一个隐零点的考点，那当然啊，这个地方用隐零点是完全没有问题的，就是这边的 x 小 于 x 零刚刚说的， 当然这边我的过程没有写零点，我是直接取的一个点，叫做 e 的 二分之三，四方分之一，因为这个值你给他带进去，这玩意应该是大于零，但是只搭那么一点点，所以最终 x 肯定是小于这个东西的，没问题吧。 那接下来我们就证明啊，我们的 deirta 在 x 属于一方分之一到一的二分之三，四方分之一上是很小于零的。那接下来这个 deirta 应该等于什么呀？仔细看，这个 deirta 应该就等于就这个式子吗？等于 b 方减去一个四 a， c 也就等于一加 x 减去 啊，四乘以负的二分之根号 x， 再乘一个 long x， 所以 就等于一加 x 加上二根号 x 乘以 long x， 没问题吧， 所以就这个式子要证明它小于零，要证明它小于零。我们把这个式子改写一下啊，左右同时除以根号 x， 这样的话 long x 就 解放出来了，前面系数就是二，就证这个式子小于零。这个式子有根号，看着很烦，那我们就令 x 等于根号 t， 也是证明这个式子是小于零的，没问题吧？哎，这个式子看着就很简单嘛，那此时 t 的 范围就是 e 分 之一到 e 的 四分之三次方分之一了。好，我们记这个式子，记作一个 k t， 对 它求导，就是这个简单的式子， 这个简单的式子是完全可以把它的这个单调性写出来的。写下单调性，就是 k t 在 负二加根号五到正无穷上是递增的， 这个地方可能需要估算了，不估算的话确实写不起来了。负二加上根号五，应该是约等于零点二三的，而这个零点二三呢，显然在我们这个区间的左边，对吧？所以就说明什么呀？所以就说明 k t 在 这个范围上是单调递增的， 既然是单调递增的话，那一定就小于它的，把这个值带进去，对不对？ kt 小 于这个东西，而这个东西我刚刚说啊，估算它大概是零点四七，零点四七，这个带进去啊，实际上是非常非常难算的，那我们是不是可以把零点四七大概放缩成这个零点五啊？我们把二分之一带进去， 二分之一带进去的话，就应该是二分之五减去四倍的零二，而零二大家都知道，他应该是约等于零点六九三吧，零点六九三乘以四，然后和这个二点五比较，那减起来肯定是小于零的，所以最终我们就怎么样就证明出来了。 当我们的对称轴在这两个点中间的时候，依然这个式子是成立的，它的最大值也是小于零的。 所以啊，最终第二种情况我们就证明出来了，开口向下的时候，无论你怎么去取这个整体的函数一定都是小于等于零的，然后再结合刚刚证明的这个开口向上也是小于等于零的，所以这道题就全都证明出来了。 我们回看一下这道题啊，考点真的是相当的丰富啊，最开始的一个必要性探路，让你去把答案给猜出来，这一步就已经劝退当时很多很多的考生了啊，这个实在是太大胆了这一步，当然这后面二零一九年后面这个必要性探路考的还非常非常的多的，就已经变成了一个比较时尚的考点了， 大家可以看一看，为什么要选择它作为探度点，这边我刚刚讲了，找的就是它的公切点，找的就是它的最特殊的点。那接下来第二个考点就是 变换主元，这个式子如果你 x 看作主元的话，那处理起来是相当的复杂，但是如果以 a 为主元的话呢？它就是一个二次函数，对吧？二次函数。接下来就是第二个考点，那就是 讨论他的二次项系数，讨论他的对称轴，讨论他的最值，那讨论着讨论着，你就要去证明一个式子叫做这个东西小于等于零。这玩意证明也是相当的复杂的，很多人写这个题目啊，就直接去求导那个计算量，相当复杂，相当吓人， 那这边我就讲了三种方法，第一个就是放缩，用最简单的不等式，你也可以做到非常高精度的一个放缩，哎，没问题吧？ 那第二种方法还是放缩，但是用的是另一个不等式，而这个不等式呢，我也改写了一下，改成根号的一个形式， 当然还有第三种方法。第三种方法就是对原本这个式子去换一个圆，换一个圆之后呢？为什么要换圆？我们就是希望后面的求导简单一点，所以这边就换了 x 等于 u 的 平方，也可以证明出来。当然第四种方法就直接去报算，这个没什么好说的。 写完这呢，我们只写了一半的部分，才证明了一部分，接下来还要去证明另一部分，也就是开口向下的时候。 开口向下的时候呢，这边就是一个经典，比较简单的，比较自然的一个隐名点的问题了，但是这个隐名点取值也非常难取啊，最终就证明出来了。好，今天就讲到这个地方啊，希望大家能学到东西。

哈喽，大家好啊，我是燕玄鹤，今天来给大家讲一讲第十届圆梦杯的导数压轴题。这道题啊，质量还是挺高的，但是非常易错，而且这道题是典型的那种看着很好写，但是写起来啊，就全都是障碍的题目。 首先这个第二小问，第三小问就非常容易在细节上丢分，因为有关极致点的问题啊，你肯定去用他的必要条件去写题目，那后续就会出现一些细节上丢分的问题。 然后这个第三小问无法用常规的引零点来写，需要我们去变换主元，以 a 为主元，并且把极大值点啊，是可以看作一个关于 a 的 函数，然后再进一步操作的。 所以这道题比较反常规，整体难度还是挺大的。我们来看看这道题如何去写吧。首先我们来看看第二小问，第二小问说，若 x 等于一减 a 是 f， x 的 极值点，让你求 a 的 去值， 这道题肯定是对它求一个导数。然后呢，因为一减 a 是 极致点嘛，所以 f 撇一减 a 就是 等于零的，也就是让我们去解这样的一个方程，解出来的 a 大 概率就是这道题的答案。哎，那很显然啊，这个方程也就是这个吧，能不能看出来它有什么解啊？ 可以看出来 a 等于二分之一是它的解吧，因为 a 等于二分之一的时候， e 的 一减一等于零，所以 a 等于二分之一是它的解，但是你还需要去证明 它只有 a 等于二分之一这个解，或者说它还有其他的解，对不对？不能说你这个解是看出来的，那怎么去证明呢？肯定是再去求一个导数， 我们令 ga 等于这个式子对它求导，就可以得到两倍的括号一减去这玩意，那很显然啊， ga 就 在零到二分之一上递增，二分之一到正无穷上递减，而我们刚刚说了， g 二分之一等于几，哎，就等于零。所以啊， 所有的 ga 都小于等于 g， 二分之一也等于零，因此只有 a 等于二分之一的时候， ga 等于零。 好，那写到这，很多人就说了，哎，那答案就出来了， a 等于二分之一，那如果你这样写的话，肯定是要去扣分的。为什么呀？因为你使用的这个条件只是一个极致点的。什么条件啊？必要条件啊，对不对？ 满足这个倒数等于零的点，他不一定都是极值点啊。所以你还需要去把 a 等于二分之一的时候，这个点带进去，那 a 等于二分之一的时候，我们把这个函数直接写出来，你会验证，你可以发现啊，此时的一减 a 也就是二分之一啊，确实是他的极大值点， 然后他的极大值是多少也是二分之一。那只有这样你才能确定答案， a 等于二分之一是没问题的， 对吧？你就比如 y 等于 x 的 三次方，你对它求导三， x 的 平方尼等于零， x 等于零确实是它的一个满足导函数等于零的点啊，但是它是极值点吗？它在 y 等于 x 三次方里面不是极值点啊，就是这个道理嘛， 一个必要条件，你肯定是需要去验证的。好，这是我们的第二小问好，我们来看第三小问。第三小问说，若 f x 存在小于二分之一的极大值，让你求 a 的 取值范围，哎，你会发现啊，二分之一这个极大值是不是在哪个地方见过呢？ 想到这你就会发现，我们刚刚的第二小问，不就是 a 等于二分之一的时候， f x 有 一个极大值，并且这个极大值啊，恰好就是二分之一啊，对不对？ 而这种情况， a 等于二分之一，不就相当于是我们第三小问的一个临界的情况吗？ 临界情况就是正好存在等于二分之一的极大值，就是我们 a 等于二分之一的时候，对不对？那既然这是临界的情况，那最终的答案啊，一定与二分之一是有关的，那最后的答案要么就是什么 a 大 于二分之一， 说不定前面还能再小于一个什么什么东西，当然也有可能是什么 a 小 于二分之一，然后呢？还能大于一个什么什么东西都有可能，对不对？那一定二分之一是最终答案里面的临界情况。 好，那考虑完这个东西之后，我们就要思考一下了，什么时候他才能存在一个极大值呢？注意，题目明确说的是极大值，而不能是极小值，或者说是模棱两可的极值，对不对？所以我们先来分析一下这个条件什么时候才能有极大值。 要分析这个的话，我们就要求导，然后看它的单调性之类的东西了，我们来看看啊，我们对函数求一个一阶导数，一阶导数就是这个东西，但这个东西不太好分析啊，我们再求二阶导数， 二阶导数，你会发现这边的四 x 直接变成一个常数了，实际上这个已经能看出来一点东西了，如果你看不出来的话，我再给你求一个导数， f 撇撇撇 x， 它是不是应该等于 x 加 a 加三，再乘以 e 的 x 减 a 次方，对不对？这个函数是不是说明我们 f 撇撇 x 就是 二阶导数，它一定在负 a 减三到什么正无穷上是递增的呀？ 这边 f 撇撇 x 在， 这个没问题吧？那既然在这个区间上递增，你再仔细看啊，我在这个 f 撇撇 x 里面取两个点， f 撇撇，一个是，比如负 a 减二， 这个负 a 减二肯定在负 a 减三到正无穷里面，对不对？那 f 撇撇负 a 减二应该等于多少？应该等于负四，对不对？你看这个式子，它应该是等于负四的，那就是小于零的呀。所以我们可以再取一个大于零的，那就可以得到 f 撇撇 x 在 一定范围内，这个负 a 减二到一定的范围内，怎么样？小于零，然后在一定的范围内到那个正无穷是大于零的，对不对？所以这个单调性实际上是非常好判断的。 好，那我们来判断一下。但是判断之前啊，因为我们刚刚最一开始说了，你最终答案肯定和二分之一有关，所以这个地方我们可以对 a 简单的进行一个分类，我们可以分 a 大 于二分之一和 a 小 于二分之一的时候。 好，我们来分类看一下。当 a 大 于二分之一的时候，首先可以取 f 撇撇，什么呀？负 a 减二，它一定是等于负四小于零，对不对？那大于零的点可以取到吗？完全是可以取到的。为什么呀？ 因为你的 x 足够大的时候，这玩意超级大，那这玩意也是超级大的，两个正数乘起来肯定比你这个四要大吧，这个取点也是非常好取的，所以也就说明我们 f 撇撇 x 啊，在刚刚的说的那个范围里面，一定是有一个零点的，对不对？ 那 f 撇 x 一定在这个范围内是先减后增的，这个没问题吧？既然先减后增，你再仔细看啊，我再取几个点在 f 撇 x 里面， f 撇零是不是大于零的？ f 撇 a 仔细看，带到这个里面， f 撇 a 应该等于一减去二 a， 而我们的 a 大 于二分之一，所以它是小于零的，这又说明什么呀？这就说明我们 f x 的 图像是不是大概是这样的呀？ 是零对应的函数值大于零的，然后这边有一个点， a 对 应的函数值是小于零的，然后这个地方就会存在一个零点 x， 所以呢，我们的原函数 f x 就 怎么样在零到这个 x 上是递增的，然后在 x 到 a 上呢，又是递减的，所以 x 这个点啊，一定就是 f x 的 一个极大值点，对不对？ 所以这就证明出来了，当 a 大 于二分之一的时候，原来这个函数 f x 一定百分之百是有极大值点的， 而且这个极大值点啊，就在我们的零到 a 这个区间上，没问题吧？好，那讨论完了 a 大 于二分之一之后，我们肯定还要讨论 a 小 于二分之一啊。那 a 小 于二分之一的话，实际上这个讨论是非常非常复杂的，很难去讨论。 我可以告诉你最后的结果是什么样的，这个你就不要讨论了，最后写题目也用不到 a 小 于二分之一的这个情况，而且网上是有一堆错解的，有人说这个 a 小 于二分之一的时候，他就没有极大值，这肯定是错的，不是这样的，当你的 a 很 接近二分之一的，比如零点四九九的时候， 非常接近二分之一吧，他还是有极大值的，但是再小一点，他就没有极大值了。那确实， a 再小就没有极大值，但是你不能说 a 小 于二分之一，他就完全没有极大值，这是错的。为什么呀？你思考一下呀，你 a 等于二分之一的时候，他还有一个极大值， 有极大值就说明他什么呀？他能上去，然后下面拐拐拐，一点点点点，然后再上来，那你这个 a 再小那么一咪咪的话，你这个肯定还是有一点点拐的，只是拐的程度小一点了，还是有极大值的，他只有到达一定程度之后，才会没有极大值。能听懂我这个说法吧。 好，那写到这啊，我们分析了一下，大概什么时候会有极大值，那我们就看这道题怎么写吧。这道题目首先第一个思路肯定是什么？引零点，引零点是怎么写呢？就是这样的，我们设极大值点是 x 零，那就有 f 撇 x 零一定是等于零的，这是一个必要条件，对不对？ 然后呢，题目又说极大值是小于二分之一的，也就是说 f x 零，它是小于二分之一的，那这个题目就应该就是根据这个方程啊，这是一个二元的式子，然后得到 x 零与 a 的 关系， 得了 x 与 a 的 关系之后呢，带入这个里面进行一个消元，消元之后得到的不等式进行解就行了，解完之后呢，再看看你这个范围对不对？事实上这样写的话，非常非常难计算，你这个式子和这个式子结合起来，这个计算是非常困难的，基本上是写不起来的。在考场上这个方法应该不太行。 那引零点在这道题用不了，该怎么办呢？哎，事实上你不能简简单单就舍弃这个方法呀，引零点，至少你能得到一个方程吧，能得到我们极大指点 x 零和 a 的 一个方程，对不对？根据这个方程，至少我们能求出你这个 x 零和 a 有 怎样的关系，对不对？那我们就求求看吧， 看下它到底有啥用好，还是一样的涉及大。指点是 x 零，那就有 fpx 零等于零，那就是这个式子对不对？这个式子的话该如何处理呢？仔细看啊， 复杂的地方就是这个东西对不对？ e 的 x 零减 a 次方这玩意的话，哎，我能不能进行一些放松啊？它是不是一定大于 x 零减 a 加一的？根据我们的最熟悉的不等式， e 的 x 次方大于等于 x 加一， 什么时候取？等啊？ x 等于零的时候取？等，所以我们这个东西一定是大于等于这个东西的。为什么想到这个呀？因为你会发现这两个形式 很像那种共乐的形式，对不对？好，那我们继续写啊。所以四 x 零他不就等于这个东西吗？也就是四 x 零是大于等于，右边这个乘下来就应该是 x 零加一括号的平方减去 a 的 平方， 化简一下就能得到。什么呀？我们把四 x 零移到这个平方里面，然后把 a 平方移到左边，就得到这个式子。这个式子你注意了，我们平方能不能消掉啊？能不能去掉啊？完全是可以去的吧。因为题目说了， a 怎么样， a 是 大于零的， a 既然大于零，你 x 零减一，你不管是正的负的，那都有 a 大 于等于什么呀？一减 x 零或者 a 大 于等于 x 零减一，这都是对的，两个都是对的。 因为你的 x 零减一啊，如果是正的，那就开方嘛，正的话，就 a 方和这个 x 零减一的平方一起开方没问题。那如果里面是负的呢？那你 a 一个正的数乘以的 a 大 于等于一减 x 零， 也就得到什么呀，也就得到你这个 x 零一定是大于等于一减 a 的， 相当于得到了你的这个极大指点和 a 的 一个范围，对吧？当然，这个东西有没有用我们还不知道，那你先写到这个地方，说不定后面就有用了呢。 当然啊，这种不等式放缩取等条件，你还是可以看一下的。什么时候取等啊，就这个玩意儿要啥时候取？等，就是这玩意儿取等，这玩意儿取等，就是我们上面放缩的这个式子。就这个东西， e 的 x 零减 a 次方大于等于 x 零减 a， 加一去等，它什么时候去等啊？它应该是 x 零减 a 等于零的时候去等，对不对？ x 零减 a 等于零的时候去等， 此时 x 零是不是等于 a？ 我 们可不可以把这个方程带入到最开始这个条件里面？ 带入进去之后，是不是可以把 a 解出来啊？解出来之后，你会发现 a 等于二分之一，又是 a 等于二分之一。所以这道题很有意思啊，它就是围绕 a 等于二分之一这个特殊的情况展开来出的题目。 好吧，所以这说明了什么呀？说明只有 a 等于二分之一的时候，才能有 a 加 x 零等于一， a 等于二分之一的时候。那 a 不 等于二分之一的时候呢？ a 不 等于二分之一的时候，就应该是 a 加上 x 零要大于一，因为它取不了等，对不对？所以我们就得到这个条件， a 不 等于二分之一的时候，一定有 a 加 x 零大于。好，准备工作已经做完了，接下来我们来看看这道题真正应该如何去写。可能你第一次接触到这种方法的话，就不太想得到啊，来看看吧。我问你啊，在这个函数里面， a 如果不同的话， 极大值 x 零一样吗？也是不一样的，对不对？ x 零不一样，它的极大值 f x 零也不一样，对不对？ 但是我们的这个 x 零与这个 f x 零，它们变化的根本原因是谁发生的变化？是我们的 a 发生的变化， 也就是 a 变了，导致它的极大值点 x 零变了，导致它的极大值也变了。所以我能不能说 极大值点 x 零是一个关于 a 的 函数啊？每一个 a 确定下来之后，就应该都能对应一个不同的极大值点，是不是因为你 a 确定下来之后，这个函数就是确定了函数确定的，那极大值点就确定了呀？能听懂吗？ 所以我能不能设 x 零，它就等于 h a 这个 h 是 一个对应法则，我不知道这个对应法则是什么，但我可以把它设出来，因为我刚刚说了， x 零是关于 a 的 一个函数。那既然如此，我们能得到怎样的一个条件啊？那一定就是什么条件啊？ f 撇 x 零，它肯定是等于零的吧？ 只不过此处我们不用 x 零这个东西写了，我们用 h a 来表示了，对不对？是不是得到这个条件了？那这个条件化解一下。就这个东西嘛， 看着复杂呀，但实际上就是什么呀？就是 x 零加 a 加一，然后 e 的 x 零减 a， 次方再减去四， x 零等于零，就是我们刚刚 什么呀？就这个条件一模一样的，只是我们把 x 零等于 h a 带入进来了。好，那我们来继续看啊， 那为什么我要写成这种有关于 a 的 函数的形式呢？哎，仔细看啊，我刚刚说了，不仅是 x 零是 a 的 一个函数，我们 f x 零也是 a 的 一个函数，对不对？所以我继续设啊，我设每个 a 对 应的 f x 的 极大值 是 m a， m a 又是一个新的函数，这个对应法则我根本不知道它是怎么对应的。那我就先设出来， m a 等于啥呀？ m a 不 就等于我们的 f h a 吗？ 不就等于刚刚 f x 零吗？实际上就是写了几个公式给它对应起来。那我们把这个 f h a 带进去，不就是这个东西吗？是不是？你看题目啊， 我们就相当于这个 f x 把 f h a 带进去了。好，那 m a 等于这个东西，那你注意啊， m 二分之一是不是应该等于二分之一啊？ m 二分之一的意思就是， m 二分之一是什么意思？就是当 a 等于二分之一时，因为我这个 m a 是 一个关于 a 的 函数里面的这个 a 等于这边的二分之一的时候，这个 m 二分之一代表什么意思？代表着此时 f x 的 什么呀？极大值它正好等于二分之一，是不是说明这个含义？ m 二分之一等于二分之一是哪来的？是我们第二小问给的， 没问题吧？哎，那这下我们整个这道题目的问题就不再以 x 作为主元，而以 a 作为主元，我们现在就全都在研究 a 了， 那接下来我们只要去研究 ma 是 如何变化的就行了。如果我们的 ma， 比如它是一个单调递减的，又因为我们 a 等于二分之一的时候，极大值就已经是二分之一了。然后 ma 如果单调递减，不就说明当我们的 a 大 于二分之一之后， 它的极大值就都小于二分之一吗？不就是题目中的情况吗？能听懂我这个意思吗？所以啊，接下来我们只需要对这个 m a 求一个导数，去判断它的单调性就行了。但这件事啊，应该是相当复杂的，因为你可以看到这个式子里面啊，我们这个 h a 是 射出来的，你根本不知道 h a 等于啥呀， 对吧？但是你不妨去试一试。你看啊，求导之后 m p a， 注意这边是一个一长串的复合函数，求导非常容易写错。好吧， 来，我一步一步的带你去求下这个导数。首先对这个部分进行求导，这部分要分两个部分去求导，首先是他导，他不导，他导，他不导就是他导数是这个吧，后面不导，然后他不导，后面导， 后面导是这个东西的一个复合的求导。复合求导就是什么？这个东西导数再乘以 e 的 这个次方。 好，那后面这个部分也要求一个导数还是一个复合函数，对不对？复合函数的话，就应该是四乘以 h a， 再乘以这个内部的函数 h 撇 a。 那 这个式子我给他去化解一下，你仔细看，我先把所有 e 的 这个 h a 减去 a 次方的东西提到一起，那就得到这个式子，然后再减去单独的这一串。好，接下来仔细看啊，我把所有 h a 的 东西提出来，那括号里面就是这样一个式子， 然后加上后面这个式子。写到这啊，你看啊，这是个啥呀？这不就是这个吗？ e 的 什么什么次方乘以 h a 加 a 加一， h a 加一减四， h a 减四， h a， 它等于几啊？它等于零， 对不对？所以他的导数看似非常复杂，实际上这一长串全都等于零，只剩下了后面的这一长串，也就是这个东西。 哎，有意思吧？那写到这啊，它的单调性好不好？分析，非常好分析，因为这个 e 的 多少多少次方一定是大于零的，只要去看这个部分就行了。那这个部分呢？注意啊， 一减 h a 减 a， 它就是什么呀？注意，我们 x 零是等于 h a 的， 也就等于一减 x 零减 a， 对 不对？一减 x 零减 a， 在 哪个地方出现过？刚刚引零点分析这边我出现过，一减 x 零减 a 是 怎么样的？是小于零的 是不是？既然它小于零，就说明什么啊？注意啊，这个小于零是 a 不 等于二分之一的时候小于零。 好，这就说明 a 不 等于二分之一的时候，我们的 e 减 h a 减去 a 是 小于零的，所以 m p a 小 于零。 m p a 小 于零，说明什么啊？说明，当我们的 a 大 于零的时候，这个函数关于 a 单调递减 什么意思呢？也就是说我们的 a 变大了，然后我们 f x 取到的极大值 就应该怎么样，就应该减小，而我们 a 等于二分之一的时候，这个极大值恰好是二分之一。所以呢，那写到这不就说明了，当我们 a 大 于二分之一的时候，我们 m a 这个函数一定是小于二分之一的，对不对？ 好，那 a 小 于二分之一呢？ a 小 于二分之一。注意啊，我们还没有完全去证明 a 小 于二分之一的时候，它存不存在极大值， 但是 a 大 于二分之一的时候，它是一定存在极大值的，所以，所以这个地方是没有问题的。 a 大 于二分之一的时候，这个 m a 小 于二分之一，就说明它所有的极大值一定是小于二分之一的，就没问题。但是 a 小 于二分之一的时候，你如果去写这个 m a 大 于 m 二分之一 等于二分之一，你这样写的话，可能不太好，就是非常不严谨，因为你根本没有证明出来， a 小 于二分之一的时候，他到底有没有极大值，对不对？但是这妨碍我们做题吗？完全不妨碍的，因为 a 小 于二分之一时，就算他有极大值， 就算有极大值，这个极大值都怎么样啊？这个极大值都一定是大于二分之一的呀。大于二分之一不就是和我们题目是不符的吗？我们题目是要小于二分之一啊。所以 a 小 于二分之一，不管怎么样，你不需要去证明它存在性，它一定是不符合的， 对吧？而我们又证明出来， a 大 于二分之一一定存在，对不对？一定存在极大值， 并且还证明出来这个一定存在的极大值一定小于二分之一，那不就说明最后 a 是 大于二分之一的吗？ 所以这道题到这个地方就写出来了，我觉得这个题目的思想还是非常非常复杂的，实际上极大值就是引点这边的一些问题啊， 确实他是有这种，就是你去用题目上的那种参数作为一个主元，去把 x 主元变换成比如这边的 a， 这个参数的主元是有这种解法的。那这种解法呢？一般叫什么呀？叫引函数求解问题。 这个引函数呢，是一个大学里面学的内容，但是啊，我这边写的这个过程和引函数是没有任何关系的，没有半毛钱的关系的。 你可以看到，我这边求导什么的都是用复合函数的求导法则，和引函数是没有关系的，所以这个解法是完全不超纲的，也是没有问题的。好吧，比较难的地方就是这边 x 零看作关于 a 的 函数，这种思想啊，你可能见的比较少， 对吧？为什么这样写呢？因为这个题目你写着写着，你会发现你以 x 为主元，引零点，怎么写都写不出来，计算量非常非常巨大，看着又不想写，那一定要转换一下思路啊。况且我们已经有一个条件，就是 当 a 等于二分之一的时候，正好是临界情况，那临界情况 a 等于二分之一，那我们就不妨以 a 作为主元，对不对？ a 作为主元，所以也就有的这道题的一个思想。而你以 a 为主元之后，你会发现啊，你对 a 去求一个导数，正好这个部分啊，他就是等于零的，所以他的导函数异常的简单， 对吧？而写到这边啊，你就会想当然的去研究一减 x， 零减 a， 它到底是大于零，小于零还是等于零的。那这个怎么去研究呢？这玩意就要靠我们的引零点去研究了，就是这边进行一个放松，可以研究出来。 好，所以这道题啊，到这就完全写出来了，感谢大家的收看啊，希望你能学到东西。

挑战寒假二十一天，每天搞懂一道压轴题。今天要挑战的是高中数学。现在的高中生真的惨，考的一年比一年难，尤其上个月深圳中学的这道高一期末大题，函数与方程的综合应用， 叠加了新定义问题，又叠加了不等式恒成立及能成立问题，难度直逼高考压轴题。但如果这道题你听懂了，会做了，在函数这块 秒杀百分之九十九的同龄人。好，接下来我们来看看怎么个事？这一道题从题干到一会，写的步骤都嗷嗷长，所以我也会把题干我的版书解析步骤通通放到粉丝群当中，大家自行取用。当然也建议大家横屏观看。 请看他说已知函数 f x 和 g x 的 定义域分别是第一、第二，对于任意的 x 零属于第一。如果恰好有 n 个不同的时数， x 一 x 二一直到 x n 在 第二范围内，能够使得 g x i 等于 f x 零，其中这个 a 是 一二一直到 n 的 正整数，那 末就称 g x 是 f x 的 n 重复式函数。它的第一问让判断 g x 如果等于 x 角的值， f x 如果等于 x 平方， x 在 零到正无穷的左 b 右开的范围内，是否前者为后者的二重复式函数？霍老师说否？孩子们读懂题了吗？ 而这种题作为压轴难度，他的第一问就在挑衅一样的来跟我们确认你读没读懂，但凡咱要读懂，第一问就能做。可是这么高难度的题目，放在高考当中，给大家一个数据，能全国所有考生做的出来，这种题目的占比 不足百分之五。所以你放心，你们班倒数第一不会做，咱们班正数第一也不一定会做。那我们为什么要来做这样的题目呢？主要是第一个目的，你像这道深圳中学的期末考题，实话讲，它是一道蛮不错的题目，但是 由于期末之后紧接着跟着寒假，所以寒假最多之前有个家长会，好题也没有讲，没有评，但咱要是不给大家说道说道，这不就浪费了。 其次，这种好题，正所谓高屋建林，登高望远，那何为高？恰恰通过这类题目，你就能看得出数学本身它的顶层架构，它的深度逻辑，以及能够从中窥见接下来我们到底数学应该如何把握，如何来学。而回到这道题目本身，如果是第一问 他考你读没读懂题，第二问就考你读懂之后会不会应用。那第三问干啥呢？就是他在教你重新做人。怎么讲呢，就是你会发现人外有人，天外有天，数学也是难上有难，所以第三问难度再再升级，尤其对于高一的宝子，这是高一上学期的期末考题，出走一个学期归来 仍是少年，孩子不会做。所以呢，我们把这道题跟大家详细说道说道。今天在欢老师的课堂上，要么学到，要么得到，总不白来的。 所以我们来看第一问，我给大家推荐的方法，希望人人都能学会，叫做逻辑，没有听错，我们用的就是逻辑分析能力，你看怎么着？咱刚才读的时候，发现字母特多特乱，对不对？第一问和原题干也不容易对得上，所以这个时候我是这么来写白书的， 建议大家烟草纸上也这么来写，写完之后，你就自然会第一问了，拢共两步，基本就能结束战斗。好，你看前边写 f x， 后者是 g x， 他 说前者的定义是第一，后者是第二，那我就前边第一，后边第二。他说对于任意的 x 零属于第一的时候，那这个 x 零是从第一当中随便取，想取啥取啥。那么如果恰好有 n 个不同的实数，比如说从 x 一 逗号 x 二一直到 x n， 一 共有 n 个的话，那么他就把这俩人之间 这种关系称之为 n 重复设函数。你看啊，这个是 n 个啥？ n 个能够使得 g x i 等于 f x 零， 前面从定域当中选一个，这叫 x 零，能够使得二者函数值相等。那你想，对于一个固定的 x 零，拿上去，它的 f x 零就是一个固定的值，而 g x i 等于这样一个固定的值。倘若此时此刻你的后边能有 x 一 x 二两个结果，它就是二重负数函数，那有八个结果呢？那就八重呗，那要是一个呢？那就是一重，所以说 n 个就是 n 重，它就是这么来的。因此你将第一问 g x 等于这个表达式将写在后面。你看，它毕竟是前者，是后者的多少多少重， g 是 f 的 多少多少重，它也没欺负咱，它上面题干用大写字母，下面就用小写字母，它问的是这个是否为它的二乘负值函数。所以说 g x， 你 就写到这等于 x 的 绝对值， f x， 你 就写在前面，等于 x 平方。 好，那么如果你跟我说，对于任意的哦，哎，他都是二重负整数，那也就是说我随便整一个值带进去，后者呢，跟他相等的话，都得有两个结果。那感情好，我一下子就盯到了一个特殊值，看我的红色笔，各位想到了吗？就是 x 等于零的时候， x 等于零的时候。请问 f 零等于多少 等于零？好，咱往后写。也就是说你得让这个 g x i 等于零，也就是 x 的 绝对值等于零，那么告诉我，你后边得出来的是几个结果？ 显然 x 的 绝对值等于零， x 就 得等于零，这是唯一的一个结果，因此 它要的是二重赋值函数。你这就一个结果，是不是就找出反例来了？所以它并非对于任意的，你看，我就找出来了一个反例，所以在这里边又融合了我们在课本之内学到的反正法的逻辑， 这个反正法就是我找到的另外一个反例，你把它找出来，你发现这就一个，所以它就不是否第一问解释完毕， 我们再来看看第二问又是怎么个事儿。妈耶，分段函数可能这个地儿要涉及到分类讨论，大家尽量听。还是这句话，要么学到，要么得到，都不白来。他说，如果已知 u x 等于这么个东西， x 是 零到三的 b 区间， v x 等于这样的分段函数。如果 v x 是 u x 的 二重负值函数，让我求 a 的 趋之范围。这样我们比量着刚才的逻辑体系，把这 u 啊 v 啊来弄一下， v 是 它的，所以我就写在第一问旁边儿。 你既然跟我聊它是它的复式函数，现在是它是它的复式函数，那么显然这个 v x 是 写在后面的，而 u x 是 写在前面的。 好，然后我们现在在各自研究的时候，实在发现这个 u x 太简单了，因为它给出来了 x 的 范围，那么你是不是就能够求出来这个 u x 的 取值范围，它的值域？ 所以我先行给大家写一下，你就知道了，这个值域我一会儿会有怎么样的用途。 u x 等于 log， 以二为底， x 加一的对数。由于以二为底，它是这样的递增状态，所以 x 等于零带进去就是最小值。 x 等于三，带进去就是最大值，所以 x 等于零带进去，那这个地儿零加一就是一，那么它整个的值就是 零，因此 u x 的 结果就属于零。再把三带进去，三加一呢，这个就是四，二的二子方等于四，所以说零到二。所以请记住 u x， 它的值域是零到二的 b 区间， 而这个 v x 呢，它是这样的两个结果。你看，根据刚才所学，你跟我在聊什么辐射函数的时候，应该是前面的值 等同于后面你像刚刚这个零，所以呢，前面这个值值域咱知道了，是零到二，然后那后者要跟这个值相等，我为了方便表示，这样我把它表示成是 t， 也就是说它的值域咱就用 t 来正式表示，值域是零到二的 b 区间， t 就 代表零到二的 b 区间。 好，那么也就是说，这个 v x 等于 t， 你 要的是最终永永远远得有两个实数解，因为有两个实数解，就会称之为你是二重复式函数， 所以我要求的就是两个实数解。那对于 u x， 说到这，咱们就得说 v x 去了，我让它上面等于 t， 我 让它下面等于 t， 我 来各自研究。不过在研究之前，我对这个分段函数有一个明显的把握，我给大家画一下啊，这个地方会用到一丢丢函数，图像的变换 来两个上下我都画好了。你像这个是二的 x， 四方本来应该是这么着的指数函数，但上加下减向下平一个单位之后，它就过圆点了。 旁边这显然是能因式分解的，它可以写成是 x 减一乘以 x 减二，所以呢，它会过 x 等于一， x 等于二，这样的两点开口向上的抛物线就都画完了。那这个分段函数把它画出来，是到这一直增，但 好端端在原点这个地儿的递增就开始出现变化了，它到这块儿是不是就递减了？所以我们认为它会以原点或者说 x 等于零处为一种分界线，咱要分别讨论。 有同学还不太明白这块儿为什么这样，我呢？先把第一种情况给你讲了，当 a 小 于零的时候，对于上面而言， v x 它是等于二， x 减一嘛？ 在负无穷到 a 的 左开右闭区间上，值域为，你看它是不是从负着一路过来，所以它的最大值就是在 a 处取得，所以它的值域就是负无穷一直到最大值。把 x 等于 a 带进去，那就是二的 a 次方减一。 而这时候我们认真观察，就会发现，这个二的 a 次方减一啊，它是一个负数，你看图可以知道，你直接去看它的表达式也能知道，毕竟 a 是 一个小于零的数，二的 a 次方减一就是一个负数，那这说明什么呢？这说明如果 您是一个小于零的数，而我家的 t 是 属于零到二的一个非负数，那你说它俩这辈子有系出现相等吗？完全没可能，所以说一重都没重，直接就是个零重，一个解都没有， 所以你往这里边来代，也就是说这个数值它前边已经被判定值域啊，是一个负的，而我希望它能等于的这个 u x 的 值是一个正数。好，它是负的，它是正的，它俩这辈子压根没有等的可能性，一重也不重，所以它是不能够满足题干当中的一种情况，显然这种情况下是无解的。 那难道整个第二问都误解吗？那倒也不是，毕竟 a 小 于零，你这不才看上面呢，我们还得抱希望于下边，所以你再看看下面这种，它是一个完完整整的方程， 该方程为 x 方减去三， x 加二等于 t。 哎，你用求根公式就能写出来这两个根。 话说求根公式画一个长长的分数嘛，二分之这块负 b 就是 正，三加减根号下 b 方减去四 a c， 这个我给大家直接整理，你想 b 方就是九，减去四倍的，这是一，然后这块是二减 t， 所以 你打开括号，你会发现这是九，这是八，减完之后就是一，而这是负负得正，一加四 t， 所以 根号下就是一加四 t， 接下来呢，就上难度了。为什么理科学习总是千丝万缕？我一直说要连点呈现才是理科，甚至连线得要成面。咱们现在先体会一下连点呈现啥意思。你看到这个结果，能否想起刚刚咋说的 a 的 范围， 咋说的 t 的 范围，如果你想起的话，你看这个 t， 它是零到二。所以请问这两个结果最小值是什么？无非是三取 负号的时候， t 取更大的二的时候，也就是说一加二倍的四等于一加八等于根号九是三，三减三，妈耶，刚好呢，踩中了零这个边界，再往上就都会比零大，所以我根据上面的缘由 就能得出， x 一 二这两个根绝对都是大于等于零的，而你别忘了， a 是 负的，所以它能够做到大于等于零，那就是绝对大于 a 的， 而这就说明它满足题干要求。为啥这么说？因为 x 它大于 a 的 时候，可是取右面开口向上抛物线这段分段函数的值，而这个函数作为开口向上，那它可就是一直到正无穷，这是它的最低点，往上，这都是正的。 你现在跟我讲这两个都是大于零的，那就是在这个范围内我是取得到的呀。所以这恰恰说明呢，它是满足题目二重 复式函数的要求。既然这个结果是取得到的，那么就证明最终的结果当中这个情况是符合的。尽管上面是无解，但是下面争气啊！所以 a 小 于零，它是榜上有名的， 而这只是对于 a 小 于零的分析，黄老师还会有关于 a 大 于零的分析，那我就不在这个视频给大家讲了，确切是压轴题，在短视频平台让大家这么来听是有压力的。所以呢，如果数据好， 下一个视频我继续来。更如果大家想听别的，随时评论区告诉我，剩下的我给大家扔到粉丝群当中，咱们就下个视频见喽！

讲一下这道一次函数压轴题啊，有关动点轨迹的问题，来，我们读一下题， 点 a 的 坐标是三减 m 到负 m 减二，点 b， 关于点 a 啊，点 b 与点 a， 关于 x 轴对称 c、 d 两点的坐标分别是二到零，零到二。最终，让我们求三角形 b， d、 c 周长的最小值。 好，首先看一下这个点 a 啊，点 a， 它肯定是一个动点了，因为它会随着 m 的 变化而变化，但是要注意啊，你这个点 a， 它的横纵坐标都是关于 m 的 依次的整式来表示的吧。哎，就是这个三减 m 和负 m 减二，它的次数都为一， 那这个点 a， 虽然它是动点，但是它也不是随便乱动的，它有一定的规律啊，遇到这种情况，它一定在一条直线上运动，哎，也就说它的运动轨迹啊，一定是某个一次函数的图像好，为什么呢？给大家解释一下啊。 呃，比方这样吧啊，先举个例子啊，假设在坐标系当中有某条直线，这条直线解析式，我假设它就是 x 加一了啊， 说，这上面随便来一个点，哎，我记作点 p 吧。好，如果我设点 p 的 横坐标为 m， 那 么它的纵坐标啊，如何表示？你是不是只需要将点 m 带入这个关系式就好了？所以它的纵坐标就一定是 m 加一， 对吧？那反过来，我如果只知道点 p 的 坐标是 m 到 m 加一，好， 只知道是 m 动 m 加一啊，那反过来，能不能正出它的运定运动轨迹一定在这个依次函数上动呢？ 啊，肯定是可以的是不是？但如何推出，你只需要设什么？设它的横坐标等于 m， 横坐标就是 m， 纵坐标呢？等于 m 加一， 然后这两个关系式只需要消掉这个参数 m 就 好了，如何消呢？做叉。哎，我往上减啊， y 减 x， 左边减，左边等于右边减，右边 m 减 m 也可以消掉，那就等于一，最终把负 x 移过来，就会等于 x 加一，从而我就证出这个点一定在这个一次函数上运动吧，对吧？就是它了。 同样道理啊，你这个点 p 的 横纵坐标，你也可以给他复杂化，是不是道理都是一样？哎，他可能这个横坐标，我要说他是 m 加二呢，随便举一个啊， m 加二或者几倍的 m 加几都行啊，那他的纵坐标是如何的？ m 加二带入这里，那就变成了 m 加三，对吧？ m 加二再加一， m 加三啊，那同样道理，反过来，我只告诉你这个点的坐标，问他所在的函数关系式是不是他，那一定是，对吧？ 还是同样的道理去推导啊，只需要设横坐标为 m 加二啊，纵坐标 y 等于 m 加三，然后还是消掉参数啊，我们再做个叉，那就是 y 减 x 等于三点二，一， m 减 m 消掉， 最后移移过来啊，同样会得出。哎，正出这个点的坐标啊，这个点的运动轨迹一定在这个函数的图像上啊。 所以呢，你只要清楚这个小结论了啊，那最终这道题呢，你只需要找到点 b 的 运动轨迹，最终就转化成了将军一马问题，而且是将军一马当中那个直线型啊，有关将军一马呢，我曾经也给大家讲过，一共三大类型，是吧？直线型，夹角型和平异型。 好了啊，那看一下吧，那这道题，你看，他告诉我们点 a 的 坐标是三减 m 到负 m 减二，但是呢，我们要找的那个三角形是跟这个点 b 有 关，而 b 又与 a 关于 x 轴对称，所以我们不去找点 a 的 运动轨迹，要去找谁啊？找点 b 的 运动轨迹吧。 所以根据这个对称性，我们可以知道，点 b 的 横坐标跟点 a 的 横坐标是一样的，是三减 m， 而纵坐标是不是互为相反数啊，那就是三减 m 到 m 加二。好，那既然点 b 是 关于 m 的 依次的这么一个整式来表示的啊，这么一个整式来表示，所以它的轨迹一定在某条直线上运动。 好，那这条直线的关系式如何确定？那我们就设 x 等于三点 m 啊，它的纵坐标 y 就 等于 m 加二，同样去消掉这个参数， 这回这个参数是不得相加呀，一个是负 m， 一个是正 m， 所以 左右相加就变成了 x 加 y 等于五，我们就可以得出 y 等于负 x 加五。好，也就是说你这个点 b， 他的运动轨迹啊，一定在这条直线上运动，所以我们大致画下他的图像啊，这个 k 值是负一下降的， 对吧？直线下降啊，并且既然是负一了，他与坐标轴的夹角一定是四十五度啊，那他的大概轨迹就是这样， 哎，这个角是四十五度，所以点 b 啊，一定在这条直线上运动。那最终让我们求 b， d、 c 周长最小值，其中 d、 c 是 一个定边啊，因为 c、 d 两点坐标分别是二、六零零度二，我们可以求出 c、 d 是 二倍根号二， 所以只需要求出 d、 b 和 c、 d 这两边的最小值，那这两边的最小值，它是不是就是将军一马直线型啊， 我们只需要做个对称吧，做点 d 的 对称点就好了啊，像他做垂线，然后再延长啊，他的对称点我记作 d 撇，然后我再连接 b d 撇，那 b d 与 b d 撇相等，所以 b d 加 bc 的 最小值就是 b d 撇加 bc 的 最小值，然后再根据两点之间线段最短， 我们要求的这两边的最小值，也就是 c d 撇的长，那最后这个 c d 撇又如何？求解？将军一马当中啊，不要忘了二次利用对称性是吧？什么意思？二次利用对称性 啊，就相当于翻折问题啊，你把这个这给个点吧，给个 e 吧啊，这个 d e 相当于翻哪去了？那你得把 e d 撇连上，二次利用对称性。好，有了这个对称性，我们就可以得到这两个边是相等的，并且这两个角也是相等的。哎，这个角是四十五度，所以可以得出这是一个直角， 而这个点一的坐标是什么？根据这个一次函数关系式，明显发现他应该是零到五，对不对啊？这个边上为二，所以这个边上为三，那他就是三，既然这还是垂直还是垂直，那地铁的横坐标是不是就是这个三呢？哎，就是这个三啊，纵坐标那也就是这段距离了。哎，三到五我们就可以求出地铁坐标， 那最终 c 地铁的长，那就靠 c 二斗零和这个三斗五就可以求出啊。最终这个 c 地铁利用两点间距离公式就行了，是不是纵坐标的差的平方啊，也就五点零的平方二十五，再加上三点二的平方，也就是一 啊，加上一个一啊，最后应该是根号二十六啊，所以最终这道题的答案啊，就是这条边定边二倍杠二，加上这两边的最小值，他那周长的最小值就是二倍杠二，加上根号二十六啊。

各位同学，新年快乐！我们知道天下武功唯快不破，我们在高考和模考当中也能够出奇招获大胜，这何乐而不为呢？是不是？我们今天介绍一种神奇的消失术，快速秒杀一类压轴题来，我们看一看。第一题告诉我，这个等式 左侧有 e， 有 根号，右侧只是 x， 所以 我们就要想办法让左侧的 e 消失，要想消失怎么办，就必须让 e 上面的次数等于零，根号消失， e 也消失，所以我们得到 x 加上二， y 减去二等于零， x 减去二， y 减去二也等于零，构成了这个二元一次 方程组，从而得到 x 就 等于二， y 呢，就等于零，也就得到了 x 分 子 x 加 y 就 等于二的平方等于四，瞬间秒出答案。 然后我们看下边二四年的一道高考压轴题，这道题我们知道它有交点，那好了，我就让这两个式子相等，那就得到 a 倍的 x 加一的平方减一就等于口三 x 加上二 a 倍的 x。 我 们观察到等号右侧有口三 x， 而左侧没有，怎么办？我就让口三 x 消失，令 x 等于零的时候，口三 x 是 不是刚好等于一？所以我们把 x 等于零，代入上面这个等式当中，就会得到 a 减去一等于一，从而得到 a 就 等于二，瞬间秒杀，选出四号 d， 剩下的时间做大体香不香？好了，祝各位同学马年吉祥，马到成功，金榜题名！

太无敌了，太爽了！同学们，第八题，选择题的压轴题，只需要一秒，只需要一秒就能够把它做出来！前段时间我刚讲完类似的题目，这位同学，昨天他的一模，他就直接考到了相似的题目， 就是这道题只需要一秒就结束。看到这种不等式，这个求值的只需要一秒，直接让任意消失，直接让一消失怎么样？这个任意消失啊，就是 m 等于零啊！ m 等于一啊，怎么样？用这个一消失啊，就是 n 等于零啊！ 直接结束！同学们，一个是一，一个是零，他的杀，直接就选 d 答案，瞬间出答案！更多精彩内容可以报我的系统，高一高三都可以。

我们来接的爽，像这种题什么通通都不要管，他来直接看他这边有一，这边没有一，有一等于无一，说明我们这个一要消失。一怎么消失啊？就是一脑门上的东西它等于零，它等于零。 一脑门上的东西等于零，所以它等于零。由这个方程组我们能够解的 x 等于二， y 等于零，直接把它带进来，我们就得到它直接等于四，非常爽。 来看这个高考题，这两个函数有焦点，说明它们两个是相等的，说明它又等于它，它又等于它。 这边有 cosine， 这边没有 cosine， 就是 没有 cosine， 等于有 cosine， 说明这个 cosine 要消失。 cosine 怎么消失啊？就是 x， 这里的 x 要等于零， 你令 x 等于零，带进来解的， a 等于二，直接选 d， 直接选。更多精彩内容可以报系统，高高一高高三都可以。

一分钟教你搞定函数的压轴题！大家记住一点啊，只要题干里给的分段函数，你能画图，他考察的第一个数学思想绝对是数形结合，所以我们要先把图画出来， 画完图之后看人家说的啊，这四个都是相等的，那么我就要画一条横线去看看他怎么样，就跟这个图像有四个交点了。 还有绝对值的式子，你要解它，咱们就得去绝对值吧，那去绝对值，我就得看它正负，所以当 x 等于 x 一 时， 这个对数其实是个负的，那么咱们就能把绝对值符号去掉了。去完这个符号有两个 log， 你 不把它俩合并在一起，人家一直分着加分着，合并在一起之后，肯定要应用对数的积算，那么我们 x 一 x 二的乘积就出来了， 所以原来的问题是不是就把它俩消掉了？我把这个问题转化了，再看 x 三和 x 四有什么关系？它俩是二次函数上的点，而且是外值相等，那么这两个根有什么特点？ 关于对称轴，对称对吗？所以 x 三加 x 四等于对称轴的二倍等于六，那他俩的加法有让你求他俩的乘积会不会，会呀？代换呀？代换完了，那么原来的问题就转化成了一个一元二次函数的值域问题。 x 三它自然是在二到三里，所以我要在二到三里看它的值域，得到的范围就是八九结束。记住一点，压轴题考察的不是新公式，是考察的你转化与化规的数学思想。

这知识生怎么不擦黑板呢？咱们上课了啊，老师，黑板先别擦，这题我们都不会，这不是高考压轴题吗？这种题没有人会做是吧？不会，不会，不会。像这种在高考里面，这种函数比大小的问题，咱们之前讲过的常规方法是怎么做的？来，小题你回答一下 构造函数求导，再分析单调性就行了。对，你说的没错，但是这种题你如果按照这种方法来做的话，那你后边的题目这不就没时间做了吗？ 今天呢，咱们就来给大家来教你们一种方法，那么这种方法呢，以后碰到这种高考压轴题，就直接可以变成小学的这个口算题，我们瞪眼法就能做出来，那就是泰勒展开。 好，那么我们高中阶段呢，其实你记住这五个就可以了，分别就是 e 的 x 方论一加 x、 散 x 扩散 x 以及餐厅的 x 的 泰勒展开。好，现在呢，我们就再回到我们这道题目里边， 那你看，根据现在题干中给出来的这个已知条件， a 是 e 的 零点一次方， c 呢是这个向量零点一。那这两项咱是不是就可以直接代入到我们这个向量公式中，你直接把它这个零点一带到 e 的 x 方里面来，零点一带到我们这个向量 x 里面来，就可以得到这个 e 的 x 方，那么或者说 e 的 零点一次方，那它是一点一零五幺六左右，约等于，然后呢，我们这个向量零点一呢，是约等于这个零点零九九八， 所以这样的话，你就可以来比较一下我们对应的 a、 b， c 谁大？ a 大 于 b 大 于 c， 哎，对，所以呢，我们对应的结果就是 a 大 于 b 大 于 c， 那 这些答案呢，就直接选择这个 a 选项就可以了， 所以就说这五个公式呢，各位呢，在考试里面一定要记住，能在我们高中的，甭管说是我们的期中、月考、期末，还甚至在高考里面都能帮到你们。