90下数学第二单元二次函数思维导图

二次函数段位天梯，五题封神，百分之九十学生都在第四关，你敢试试吗？ 第一题，函数与方程的关系，直接拿下二次函数和一元二次方程之间的关系啊。这道题呢，仅仅就只有这一个考点，如果你能想到就很快做出来了，不然的话，你可能还没有头绪。 两个关于 x 的 方程，这是第一个，这是第二个关于 x 的 方，这两个方程唯一不同的就是这个 m 和这个 n 的 参数，那我们可以把这个 m 移到右边去， n 也移到右边去，就变成了 x 平方，加上二， x 减三，这样的一个 一元二次函数，当 y 分 别等于 m 或者等于 n 的 时候，得解，对不对？那也就是说我们可以画一个图啊，把这个一元二次函数大概给画出来， x 平方加二， x 减三，令它等于 y 的 话， 对称轴是负一，一个焦点是一，另外一个焦点呢，是负三。好，大概就是这个样子。 大概啊，就是这样的一个二次函数， y 等于 x 平方加二， x 减三。第一个方程其实就是当 y 等于 m 的 时候吧，那我们就假如这里是 y 等于 m， 第二个方程是 y 等于 n， 我 们知道 m 是 大于 n 大 于零的，那这里呢，就是 y 等于 n， x 一 x 二就画出来了吧，这个就是 x 一， 这个焦点呢，就是 x 二，这个焦点是 x 三，这个焦点是 x 四。现在要比较这四个根的大小不一目了然啊，一三四二 一一三四二，所以答案选第二个。这道题的特点就是给了两个关于 x 的 方程，我们把它转化成同一个一元二次函数， x 平方加二， x 减三， 然后呢，分别让这个函数的 y 等于 m 或者是等于 n， 然后呢，其焦点就是关于 m 的 和关于 n 的 这两个不同方程的解啊。这种题目呢，大家好好的体会一下，其实难度并不大，关键就是你要能想到是函数和方程的关系。 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类， 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 第二题，函数图像与系数的关系，轻松闯关此类二次函数图像与系数关系的问题，我们的解法是非常灵活多变的，但是思路往往万变不离，其中第一个思路叫数与形的结合，哎，数形结合， 第二个思路或者叫方法呢，叫等量替换，好竖形结合，那么这个图形中几何关系会千变万化，等量替换用的最多的就是伟大定律，或者叫根与系数的关系。 那么这道题呢，体现的淋漓尽致，这种类型的问题啊，图像与系数关系的问题，它其实是很灵活的，灵活在几何图形可以有各种各样的三角形相似，全等去考你， 而等量替换有时候会涉及到不等式，那么难度呢，也会大大的增加，对代数基本功的考察是非常到位的。首先，二次函数给了我们一些已知的条件解析式 a、 b、 c 三个参数，但实际上 c 我 们是知道的，是等于负二，也就是说这里是负二 a x 平方加 b， x 减二，因为过了定点和 x 轴的两个根，一个是 x 一， 一个是 x 二，而且 x 一 和 x 二都是有范围的。第一问，是否正确啊？有经验的同学很容易得到啊。这个 a 减 b 加 c， 实际上就是当 x 等于负一的时候， y 的 值， x 等于负一的时候， y 是 不是在这里啊？大于零吧，所以第一个选项就错了。 第二个，这个呢，是白给的啊，两个不相等的时，根就是 x 一 和 x 二两个交点了，所以第二问是对的。第三问， a 加 b 大 于零，此时我们就需要做等量替换了。我们要找到 a 和 b 的 关系， 根据两个根的范围， x 一 和 x 二这两个根的范围，我们很容易得到对称轴的位置。对称轴就是 x 一 和 x 这两个根的中点吧，要过这个中点好，那也就是说 对称轴负二， a 分 之 b 刚好。对称轴也是包含 a 和 b 吗？它是大于二分之一，小于二分之三的，这个没问题吧，因为最小值 就是 x 一 取负一， x 二取二的时候，相加再除以二就是它的终点嘛，是二分之一。最大值呢，就是 x 一 取零， x 二取三的时候啊，除以二二分之三。好，有了这样的一种关系之后，因为 a 是 大于零的，这没问题吧。开口向上， 我们把这个不等式同时乘以负二 a， 然后变号 b 大 于负三， a 小 于负 a。 好， 现在我们就加一个 a 啊， b 加 a， a 负 a 加 a， 就 变成了负二 a， 所以 b 加 a， 也就是 a 加 b 小 于零，大于负二 a。 大家看啊，我们这里的给出来是大于零的关系，所以呢，就错了，第三个也是错的。好，再来看第四个， 那么回过头来看一下第三问，是不是体现出了等量替换呢？我们用对称轴的位置 得到 a 和 b 的 关系，因为对称轴只包含 a、 b 两个系数，而对称轴的位置是可以通过 x 一 x 二两个根的范围来确定对称轴的范围的。好，接下来看第三个， a 是 否大于三分之二，这里呢，就只有 a 了，这该怎么办呢？我们可以利用 二次函数中的 c 是 已知的， c 是 不是等于负二啊？那我们能够找到 a 和 c 的 关系，那 c 又是已知的，是负二，找到这个关系之后， a 的 范围是不也就知道了？那 a 和 c 有 什么关系？那还是通过尾答定律的两根之积吧。 x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， x 和 x 的 范围都知道了，所以 a 分 之 c 的 范围是不是也知道大于负三小于零啊？这个大家自己去算呢，是很容易得到的， c 是 等于负二的， 那么 a 的 范围是不是就知道了？根据这样的一个不等式，很容易得到 a 是 大于三分之二的，没有问题，所以第四个呢，是对的。大家想一想，这第四问是不是还是体现了等量替换呢？ 因为这里只有 a， 所以呢，我们尽量去找 a 和一个常数的关系，这个常数就是 c， 这个 c 和 a 的 关系恰好是为达定比中的两根之积。接着我们再来看第五个。好，第五个呢，就有些同学有困难了，我们依然利用等量替换。首先我们把不等号的左右两边同时除以 a 的 平方 就得到了 b 除以 a 的 平方减去四倍的 c 除以 a 大 于四，就是判断这样一个不等式是否成立。我们得到了 a 分 之 b 和 a 分 之 c 这两个整体， a 分 之 b 就是 两根之合的关系， a 分 之 c 是 两根之积的关系，所以我们可以用 x 一 x 二来表示，于是就转化为 x 一 加 x 二的平方， 这个负的平方，这个负号呢，我们就消掉了，因为它本来就负一的平方就是一嘛，减去四倍的 x 一 乘以 x 二 大于四。好，这样呢，我们可以做一个进进一步的化简了 x 一 减 x 二的平方要大于四， 就判断这样一个不等式是否成立。 x 一 减 x 二是有范围的吧，因为题目的已知条件 x 一 x 二的范围告诉我们了，所以它的平方也是有范围的。我们乘法的最小值就是 x 一 和 x 二相减绝对值的最小值，那不就是二减去零啊。所以 平方的最小值是大于四的， x 一 减 x 二的平方是大于四，小于绝对值的最大值就是三减去负一就是四吗的平方一十六 这样的一个关系。那其实我们只要判断的是 x 一 减 x 二平方是否大于四吧，是大于四的啊。所以呢，第五个也就对了。这道题 第五问依然体现的是等量替换，只是第五问的等量替换，我们在做等量替换之前，先做了一个特殊化的处理，把不等号左右两边同时除以了 a 的 平方，然后把不等号左边。 大家看这里啊，不等号的左边就变成了两根之合和两根之积，不等号的右边是一个常数，最后我们再利用乘法公式 做一个化解，最后得到关于 x 一 和 x 二的关系与四来做一个比较。这道题的第五问有点特殊，在往期历年的考察中是很少出现的，前面这四问都是老生常谈的。这最后这一问大家一定要引起重视，但其实方法依然是等量替换。利用谁啊？ 利用韦达定律，而且这个题目中给出了 x 一 和 x 二的范围，那其实就是这方程的两个根吧，那韦达定律是一定会用到的哎，因为都已经给出了两个根的范围了，那一定会用到这两个根和系数的关系嘛？ 这道题大家好好体会一下。讲到这里，中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴正题汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。第三题，无图天书去分类讨论，进入家境， 他是一个以二次函数作为背景的，而且需要数形 结合，以及呢分类讨论啊这样的一种典型的问题。那既然要竖形结合，这个题目条件中呢，又没有给我们画图，所以这个图啊，要我们自己来画。给出一个平面直角坐标系，那首先画一个 x y 轴， 同时呢，在坐标系中有 c 点和 d 点构成了一个线段，那两个端点， c 点和 d 点的坐标分别是负一和负一啊，那大概呢？ c 点就是在这里， 这是 c 点，负一和负一。好，那么接着我们再来看 d 点的坐标是四和负一， d 点呢，大概在这里，哎， 大概是四和负一的位置。好，那其实我们可以发现呢， cd 这个线段啊，我把这些线给擦掉， cd 这个线段呢，我们用蓝色来表示一下， 是平行于 x 轴的，这个没问题吧，而且他们的重坐标呢，都是负一。好，现在有一个抛物线来了，这个抛物线呢，在这里 它是一个含有参数的二次函数，这个参数呢是 m， 我 们不知道 m 的 具体值，只知道 m 是 不等于零的， 那么这个抛物线，它和我们刚才的 cd 线段有一个公共点，而且是只有一个公共点，这就是非常重要的条件呢，只有一个公共点，在此约束条件下，问 m 的 取值范围， 那我们的突破口一个就是和 cd 线段只有一个公共点，这个重要的约束条件还有一个呢，就是二次函数它本身的这个方程， 那我们看一下二次函数它本身我们能够发现什么隐含条件吗？这个二次函数，它的解析式 y 等于 mx 平方减二， m x 加二，虽然不知道具体的图像，但我们知道它的对称轴，这个就是隐含条件了，对称轴是 x 等于一， 对吧。好，那么我们就把 x 等于一呢，这条直线，也就是对称轴给画出来，这绿色的这条线， x 等于一。好，也就说不管 m 是 取什么值， m 取什么范围，这个二次函数的对称轴一定就是 x 等于一。 那么以 x 等于 e 为对称轴的二次函数和 c、 d 线段只有一个公共点，那么求 m 的 范围，这个题目条件就越来越明朗了。那此时呢，我们显然在图形大概确定了之后啊，我们就需要分类讨论了， 分两种情况。首先第一种情况是开口向上的时候，那么我用绿色来画这个抛物线呢， 它只能有一个公共点，那也就是说大概就是这样的一个图，对吧？你看 这个二次函数，绿色的和我们蓝色的 cd 线段，是不是只有一个公共点啊？公共点就在这里吧。好，那么该如何表示呢？其实我们要把这个 c 点，大家看啊，这个 c 点它和 x 轴的对称点是多少啊？是 在这里，对称点我们取作 c 次，它的坐标呢是三和负一，这个没问题吧？其实这个题目条件就落到了，不管开口向上还是开口向下啊，这个二次函数它和 c、 d 的 交点是在 c 次 b 这一段，而且呢，大家想一想，这个二次函数能不能和 c 次有交点？ 如果二次函数和 c 次有交点的话，那大概就是这样的一个二次函数，那么他必然会和 c 点也有交点，那么就有两个交点了，不满足条件，那么二次函数能不能和 d 点有交点呢？和 d 点有交点，就是这样的一个图，大家看一下，和 d 点有交点当然是可以的， 所以，哎，我们不管开口向上还是开口向下，我先把这个擦掉，先写上二次函数与 c、 d 交点位置 在 c 次 d 线段上，且与 c 次不相交， 对吧？好，这就是我们对题目条件的理解。那接下来我们还是分两种情况吧，一个是开口向上，一个是开口向下，就迎刃而解了， 开口向上，开口向上，那其实就很容易发现呢，我用绿色来表示一下，当 x 等于三，也就是在 c 次的时候，那么这个函数值一定是在负一的下方，那也就是说当 x 等于三十。 哎，这个二次函数的 y 是 小于负一的，那当 x 等于四的时候，那么就是这样的一个位置， 当 x 等于四时，这个 y 是 大于负一的，可不可以等于呢？如果是等于负一的话，就是再负一上，这也是满足条件的吧，我们刚才已经说了。 好，那么这就是第一种情况，那么我们直接解一下就可以了。当然呢，除此之外，还有一个约束条件，开口向上吗？ m 就是 大于零。好，那么 x 等于三的时候，代到上面的解析式中吗？ y 就 等于九倍的 m， 减去六倍的 m， 加二要小于负一，这是第一个。第二个呢，就是 x 等于四的时候，带进去一十六倍的 m， 减去八倍的 m， 加二要大于等于负一。解这个不等式组再结合 m 大 于零，大家看一下啊，第一个可以得到 m 小 于负一，第二个可以得到 m 大于等于负八分之三。好，那么大家结合这三个结论啊，一个是小于负一，大于等于负八分之三，还有 m 大 于零，很容易得到，是无解的吧。第一种情况可以推出 无解。好，第一个条件，也就是说这个开口呢，是不可能向上的。 接着我们再来看第二种情况，开口向下。哎，其实开口向下我就换一个图啊，我用绿色蓝色来表示一下吧，开口向下其实跟开口向上差不多，你看就是这样的一种情况，那么我们根据第一种情况，开口向上就可以做一个类比了，当 x 等于三十，那么这个 y 呢，就是大于负一， x 等于四十，这个 y 呢，就是小于等于负一，这就不再对数了啊，以及呢， m 小 于零，因为是开口向下，好，那我们继续解，那也就当 x 等于三的时候，我们可以做一个化简，九， m 减六， m 加二是大于负一， 推出 m 大 于负一，第二个式子可以化简，得到十六倍的 m 减八， m 加二是小于等于负一，可以得到 m 是 小于等于负八分之三，再结合 m 小 于零，所以呢，当开口向下的时候， m 是 有范围的，可以中上推出， m 是 大于负一，小于等于负八分之三。哎，这就有解。好，有同学说到此为止呢，我们就写完了吧，我们直接写在上面， m 的 范围是大于负一，小于等于负八分之三，哎，是做完的吗？ 这里这道题他的难点也是很容易被忽略。第三种情况的，这也是一个考点啊。第三种情况，第三种情况是什么呢？我们不管开口向上还是开口向下， 那么当这个二次函数它的引点在 c d 直线上的时候，也就是说啊，我把这个先给擦掉。假如是这样的一种情况，或者是这样的一种情况，哎， 顶点在 c d 上的时候，是不也可以啊？那么此时呢，就要满足 二次函数 y 等于负一，以及呢， y 等于 mx 平方减二， mx 加二这样的一个方程，我们做一个连力，就得到 m x 平方减去二， m x 加三等于零吧，这个方程的第二，它等于零。好，我们来看一下 这个 delta 等于零的时候，也就说明了这个二次函数和 c d 是 相切的吧，那么这个 delta 就是 四倍 m 平方减去一十二倍， m 要等于零，可以得到 m 等于零，或者 m 等于 三，首先排除 m 等于零的吧。好，那也就是 m 等于三。 好，那得到了 m 等于三之后，所以呢，还有一个情况条件，就是 m 等于三，要做一个补充， 那有同学说 m 等于三，它的图像是什么样的呢？那当然就是 m 是 大于零的吧，等于三，开口向上，而且它的焦点呢，是在 x 轴上，和 c d 只有一个焦点，就是这个蓝色的这个大点，蓝色这个大点，那看图中这个点好，那图像呢？就是这样的， 所以第三种情况啊！第三种情况，我们说 delta 等于零的时候，也就是二次函数和 cd 线段相切，千万不能忽略。好，那么到此为止呢，这道题就讲到这里啊，大家好好体会一下，其实就是一个数形结合，哎，加上分类讨论。那么关于 第一种情况和第二种情况，不管开口向上还是开口向下啊，在这个这个地方的判断， x 等于三十外小于负一， x 等于四十外大于等于负一，以及 x 等于三十外大于负一， x 等于四十外小于等于负一。这样的一种推论，大家一定要熟悉和掌握。这种分类讨论 在高中的二次函数中也会经常遇到啊，好，大家好好体会一下。第四题，函数与不等式综合， 有难度，有深度，这道题说的特别的好，他主要考察不等式的问题，而且是不等式中最难的不等式主，他把不等式主的所有类型都涉及到了，而且可以说是中考中最难的不等式类型。 其中有三个需要大家关注的，一个是要建立不等式主，第二个是要解连续的不等式主。什么叫解连续的不等式主呢？ 我给大家举个例子啊，比如说这是一项要小于这一项，要小于这一项，或者是这一项要大于这一项要大于这一项，这是连续的，这个怎么解？这中间是有一个陷阱的，我等下就给大家交代一下。 第三个要过的关就是讨论，哎，讨论不等式主的解，讨论解成立的条件， 这是非常麻烦的。也是呢，有很多同学转不过这个弯啊，我等下也会给大家解释。我们先来看第一个建立不等式呢，这个题目中是很容易得到的，因为给出的已知条件是重坐标的大小，都可以直接根据横坐标到对上角的距离关系，可以得到一个不等式组啊，是可以建立的。 那如何去解不等式组？那你就说一下，我们以这个为例，这里是一式、二式和三式，这分别是三个式子，这三个式子呢，满足这样的连等关系，我们是可以把它变成两个不等式主的，也就是一大于二，也就是这一块， 同时呢，这一块也要写上二大于三，那么也就是说，右边这一个不等式主，其实和左边这个连续的不等式是等价的关系，是等价的， 那有同学很多时候就经常把它写成下面这种情况，那就麻烦了，一大于二，这没问题，我们保留这一块，又写一个一大于三，哎，再想想下面这个不等式主和我们的连续不等式是不是等价的关系了，就不是了。我举一个反例啊，比如说 我们由下面这个不等式，我们可以得到一个五是大于三的，同时也能得到五是大于二的，那能不能得到五就大于二大于三了呢？就不行吧，你看五大于二，这是前面两项，又取一个五大于三，那不就是这个不等式组啊？你或者你可以这样写吧，把这个二写在上面，三写在下面，就更加直接一点。 好，我讲清楚了啊，你在解这种连续不等式的时候，你要把它分成不等式主，分别去求第一个不等式和第二个不等式，那你如何得到这两个的呢？你一定要连续的啊，是这一个，同时又是这一个， 为什么呢？其实因为这两个不等式主都有一个二在里面，这样的话就不会把范围扩大或缩小了。如果你写的是这一个，再加上 一和三的话，那就错了，因为你忽略了二的存在了，因为二和三并没有构建一个关系。好了，这是一个非常容易出错的地方。接着再来看讨论不等式组解成立的条件。我举一个例子，比如说我们现在得到了 x 的 范围是大于四， 同时你又得到另外一个不等式， x 要大于 m 小 于 n， 那 现在要问 m 和 n 满足什么样的条件才能够使 x 大 于四有解， 这就是一个比较麻烦的讨论呢。其实你画一个图就可以了，一个竖轴， x 是 四，那也就是说这个区间里面是一定成立的。那换句话来讲，含有 m 和 n 的 这一个范围，比如说 x 大 于 m， m 这个是 n， 也就是说这第二个区间， 我用红色表示一下，这个红色的这个区间要和蓝色的这个区间有交集，有共同的部分。既然有共同的部分，那不就是这个 n 一定要大于这个四不就可以了，就会有这一部分共同的曲线了。如果 n 小 于四的话，那就变成这样了，那就没有共同部分了。 所以呢，这种问题啊，解成立的条件的讨论，我们画一个数轴，去找公共部分，然后找到极限位置就可以了。好，这道题呢，以上这些内容都会涉及到，如果你搞清楚了，刚才我说了这个一二三啊，尤其是这个解不等式和讨论不等式主解成立的条件的话，那这道题呢，你就成功了一半。 因为这道题还有一个非常难的地方，就是挖掘隐含条件。什么叫隐含条件啊？就是题目已知没有给你的，你得自己去推的这些条件。 先来看题，二次函数告诉我们了，图像上有 abc 三个点，横纵坐标用一二和三来表示，现在横坐标的范围给了我们两个，要对应它们重坐标的大小，这不就看离对称轴距离的远近啊。我先画个图，对称轴 x 等于二，那这个函数图像呢，大概就是 这样的一个开口向下的图像。好， x 一 大概就是在这个位置吧， x 一 x 二呢，大概就在这个位置。 x 二很明显啊，这里填的是一个大于号啊，我这里就不再解释了。 接着我们来看第二问，第二问他给出了 x 关于 m 的 区间范围啊，这个 m 是 一个参数，同时呢，又给出了一个存在 y 一、 y 二、 y 三的这样一个大小关系， 要求 m 的 取值范围。那首先我们要干什么？建立不等式吧。这第一步，建立不等式。建立不等式，那就根据 y 的 范围来建立一个关于 x 的 不等式啊。很明显啊， y 一、 y 二、 y 三这样的关系，那就是 x 一 减二的绝对值要大于 x 三减二的绝对值要大于 x 二减二的绝对值，这是没问题的吧？哎，这三个横坐标到 对称轴二的距离和他们的重坐标大小是有一个相应关系的。那这个不等式列出来了之后，那你怎么解呢？好，我们继续解啊，我们把它变成一个不等式组，那就是 x 一 的减二的绝对值大于 x 三减二的绝对值，这是一式。 第二个式的绝对值的 x 三减二大于绝对值的 x 二减二，这没问题吧？这是我们刚才讲的解不等式组的这个时候方法。那现在问题就来了，这样一个含有绝对值的不等式组，你该怎么解啊？ 你完全没有头绪，对不对？所以这个时候我们发现呢， x 一、 x 二、 x 三，如果能够和二有一个大小关系，去掉绝对值就好了，是不是啊？我们碰见绝对值，唯一的解法就是去掉绝对值，那如何去呢？就要挖掘隐藏条件了。首先 我们根据这样的一个关系啊， x 一、 x 二、 x 三，它们分别是有一个大小关系的， x 一 小于 x 二小于 x 三，而 y 的 关系呢，它却不是一二三的关系，是一三和二的关系。那么这就有一个隐含条件，这三个点 abc 不 可能出现在对称轴的同侧， 我讲清楚了，能不能，能不能理解啊？你看，如果这是我用绿色表示一下吧，这是 x 一， 这是 x 二，这是 x 三，那他们的大小关系呢？也就是三二一的关系，也就是一个顺子的关系，这里呢，这个三出现在中间，所以就导致了这三个点不可能在 x 轴的同侧，也就是既不可能在左侧，又不可能在右侧， 那也就是说，我们一个个讨论，当这三个点不在左侧的时候，那就证明在右侧一定会有一个点，那至少右侧这个点就是 x 三，那也就说明这个 x 三要大于二，对不对啊？就出现在右侧了，所以第一个隐含条件啊，又能推出 x 三大于二， 哎，这个大于二是不是很重要啊？因为我们要解绝对值不等式，这个绝对值是不是就去掉了？好，这个时候啊，我们现在越来越有头绪了。同时我们再来看，同时 这三个点不在右侧的时候，不在右侧，那就至少有一个点在左侧，那肯定是最小，这个点至少要在左侧吧，所以就是 x 一 要小于二。好，关于这两个引含条件就非常重要了，我们就能够把绝对值给去掉了。好，进而这个绝对值的不等式呢，就变成了 二减 x 一 大于 x 三减二， x 三减二大于绝对值的 x 二减二。好，这个时候呢，还是有点讨厌，依然有一个绝对值存在，但是呢，已经简化了很多。接着我们再来继续讨论这个绝对值了， 首先呢，我们把这个叫一式，这个叫二式，我们继续可以化简吧，一式化简得到 x 一 加 x 三小于四，这没问题吧？这是一式化简后的结果。那二式呢？我们就可以讨论一下，当 x 二大于等于二的时候，那去掉绝对值， x 三减二大于 x 二减二，这没问题。 当 x 二小于二的时候，我们可以继续去确定是 x 三减二大于二减 x 二。好，你看啊，不管是上面这个时候 x 大 于等于二，还是下面小于二的时候，其实是有同样的结果。 我们先来看下面的结果，下面这个结果可以变成 x 三加 x 二是大于四的这类问题吧。有 这个绿色的，推出这个绿色的直接一项就可以了。那你上面呢？可不可以统一啊？上面能不能也推出 x 二加 x 三是大于四的呢？当然也可以，因为 x 二是大于等于二，同时 x 三，大家看这个上面 x 三是大于二，一个比二大，一个是大于等于二，加起来是不也就大于四了？所以 这二是虽然做了一个分类讨论，但是其结果是一样的，都是 x 二加 x 三大于四。好， 我把下面这个分类桶就擦掉了，因为空间不够了。那也就是说，最后我们由 y 一 y 二 y 三的大小关系， 得到了这样的两个不等式组，这样的两个不等式组是一个确定的范围，也就是说 x 一 x 二 x 三，他们的和啊，要满足这样的一个大小关系， 同时我们的目标呢，是求 m 的 取值范围，而这个 m 呢，刚好又限定了 x 一 x 二 x 三的范围。那于是我们可以把上面关于 m 的 参数的不等式呢，做一个连立，这一项叫三，这一项叫四，这一项呢叫五三四加上五四，是不是就是 x 一 和 x 三的和的关系啊？ 所以啊，我这边右边再写一个式子，我用蓝色来写一下， x 一 加 x 三是要小于 二， m 加四大于二， m 加二，同样的道理， x 二和 x 三，那就是四式加上五式， x 二加 x 三要小于 二， m 加五要大于二， m 加三。好了，现在啊，你看 x 一 加 x 三， x 一 加 x 三，是不是整体啊？ x 二加 x 三， x 二加 x 三是不是也是整体啊？我们可以让 x 一 加 x 三就等于一个 t 一， 那右边呢，也就是一个 t 一， 你可以换元啊，你也可以不换元，那其实也就意味着， 首先确定了 x 一 加 x 三，也就是 t 一 吧，还是用 t 一 来表示的吧。 t 一 是大于四的，那我把四画出来，是在这里是小于四的同时， t 一 又要在一个关于 m 的 左右区间范围内，这个左区间呢是 二 m 加二，右区间呢是二 m 加四，又要在这样的一个区间。好，这两个区间要有交集，那不也就意味着 最小的这个二 m 加二要小于这个四是不就可以了？这是我们刚才讲的讨论不等式解成立的条件的一个方法呀。好，于是我们就得到了一个关于 m 的 第一个不等式了。 二 m 加二要小于四，同样的道理，我把这个擦掉，我们再来看第二式，你把 x 二加 x 三当做 t 二， x 二加 x 三当 t 二。首先我们知道它是大于四的，那我去画一个四啊， 是大于四的，同时又在一个二 m 加三和二 m 加五这样的一个区间内，这两个区间要有交集，那不就意味着二 m 加五只要大于四就可以了，所以二 m 加五要大于四。好，这个不等式组就好解了吧，也就是我们要求的 m 的 范围了， m 小 于一大于负二分之一，这你还不会解的话，那我就没办法了。那这道题呢，就讲完了，其实是很有难度的啊，他关于不等式主在中考应用中最麻烦的部分啊。这道题都涉及到了一个是建立不等式主，是怎么建立的呢？是根据 y 的 大小关系，建立了一个关于横坐标 x 的 绝对值的关系。那有了绝对值就比较麻烦，我们得去绝对值。那就需要挖掘这样的一个引含条件，最小的点和最大的点，它们之间和对称轴的关系了，而这个对称轴刚好就是二啊，非常的巧，就能够把这个绝对值给去掉了。然后 解不等式的时候呢，你就需要把这个连续的不等式变成两个不等式连立起来，这中间还有一个易错点，刚才我已经讲过了，你不要搞错了。最后呢，再来讨论不等式主解成立的条件啊。这道题呢，思路就是这样的， 有一定的中性，大家好好体会一下其实不等式主的问题呢，这一道题就足够了。中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？ 为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。第五题，三大法宝一点认识， 终极 boss 即将登场，像这种复杂的函数问题是有万能的解析思路，我在往期课程讲过很多次了，今天就这一道压轴题，我再来重新的讲一次，一定能成为以后大家解决此类问题的模板。给出三大法宝， 同时大家一定要建立一个认识，花两分钟时间把方法论先简单的概括。第一个法宝叫射横 表中，看过网课的同学一定知道，也就是一个函数上的点，如果设出它的横坐标是 x， 那 么重坐标你就不要设成 y 了，因为重坐标是可以用横坐标来表示的，也就是我们只需要设一个未知数，而不是两个。 第二个法宝非常重要，叫寻表列解查，这个呢，我的网课同学大家一定也知道，实际上就是解决此类问题的五个步骤，五个字，从左到右，你照做就能解决问题了。 那么很多同学还是解不出来这些问题，那是什么原因呢？就是最后一个法宝，你没有用好，叫方程组的特点，什么意思呢？这个呢，我在函数界面也讲过，方程组其实最重要的有两个元素，一个叫未知数 个数，也就是说啊，你这个方程组是 x y 的 方程组，还是 x y z 还是 x y z m， 有 多少个未知数的个数，那么未知数的个数一定要等于方程组的个数，这样才解得出来。好，那也就是说， 如果我们设了两个未知数，就一定要列出两个方程，而方程是什么方程，是一个等量关系，对不对啊？也就是等号左边要等于等号右边，那这个等量关系其实往往是几何中的等量关系，线段相等、三角函数相等、 角度相等、三角形全等，三角形相似的比例关系，这些都是几何问题中的等量关系。那换句话来讲，现在啊，我们回过头来看一看，如果此类问题你不会做， 很有可能是你取盈的。这个过程中，你没有找到相应的等量关系，或者说你设了 x、 y、 z 三个未知数，你却只找到了两个等量关系，那么你就列不出完整的方程组，你就解不出问题。 好，这个呢是我们的三大法宝。接下来讲题的时候呢，我会逐一的让大家去体会。还有一个认识，这个认识我刚才其实已经提到了，二次函数也好，反比例函数也好，你这类问题不会做，其真正的原因不在于函数本身。你这个二次函数是很简单的，它的性质，比如说对称轴啊，或者是与德尔塔的关系等等，这些都是很简单的， 难在哪里呢？此类问题不会做，一定是你的几何关系没有找到几何关系，或者叫几何关系没有找全，也就是说你的问题不是出在代数，不是的，你真正的问题出在几何上面，大家好好的去反省一下啊。好，接着呢，我们来看这道题， 这道题呢，它的计算量是比较大的，重点是第三问，我们前两问呢，很容易得到啊。第一问直接写出，那我就直接写了， a 点的坐标 一和零，一点的坐标负五和零， c 点的坐标零和负二分之五。好，我们来看第二问，连接 ac 以后，有一条直线 p、 q 是 平行于 ac 的， 大家看，这就是第一个几何等量关系，同时焦点。我们记住 m 点，根据题意，其实这个 m 点是 q p 的 中点，对不对啊？所以 m q 等于 mp， 同时 p， q 平行于 a c， 这是不是两个几何关系？而且是由等量关系可以建立的？要求 p 点的坐标啊， p 点是一个动点，但其实满足这样的平行和相等关系以后， p 点就为定点了。那首先呢，我们就可以设 p 点和 q 点这两个点的坐标， p 点的坐标我们命为 m 和二分之一 m 平方加二 m 减去二分之五，这是不是就是设横表中啊？我们不需要设为 m 和 n 吧，只要一个未知数就可以了，未知数越少，我们你看未知数的个数越少，是不是我们需要找的关系数就越少啊？那这样的话是不是就是越容易实现呢？好， 六点在外轴上，所以呢，它的横坐标是零重坐标设为 n， 现在我们要求的是 t 点的坐标，也就是求 m 等于多少就可以了。我们设出了几个未知数呢？ 两个位置数，那也就是说我们需要找的方程个数就是两个，也就是说我们要找的几何关系是两个，这两个的几何关系刚才是不是一开始就分析出来了？这第二位还是比较直接的，所以我们接下来寻表列检查。第一步寻，这个时候啊，等量关系的寻找往往需要转化，比如说平行这个关系， 其实就是这个角的，我们记住角一，它等于下面这个角一，这两个角的正切是不是相等的？这个绿色的和这个绿色的这两个角的正切是不是相等啊？而这个角一的正切是不是一个固定值啊？因为 c 点和 a 点是定点啊！好，所以第一个等量关系，角 角一的正切等于。你们很容易啊，把下面这个角一的正切给算出来，就是 a 点的横坐标比上 o c 重坐标的相反数吗？ 二分之五，这是第一个等量关系。第二个等量关系，我们再来看 m q 等于 mp。 我 们既然把 q 点和 p 点的坐标都知道了， m 点就是终点，而这个 m 点的终点是在 b c 这条直线上的，是不是就是一个等量关系啊？于是 m 在 l b c 上，而 b c 直线的解析式是不是很容易求出来啊？ l b c y 等于负二分之一， x 减去二分之五。好了，我们第一步寻就寻完了两个等量关系，刚好我们的未知数也是两个，于是就是第二步 叫表，表什么呢？就是表示这两个等量关系中，等号左右两边的线段或者是角度以及特殊的三角函数了。那么首先第一个是指啊，角一的正切，上面这个角是角一，那么角一的正切很容易用 p q 来表示吧。你看过 p 点做一个平行于 x 做的这个焦点去做 n。 角一的正切，直接用 p q 的 坐标来表示了 p 点的横坐标 m 的 绝对值比上 q 点的重坐标减去 p 点的重坐标， n 减去二分之一， m 的 平方减二 m 加上二分之五。好了，这就是第一个等量关系，等于二分之五吧。我们得到了第一个方程， 关于 m 和 n 的 虽然有绝对值，但很容易去掉。接着来看第二个关系， m 在 b c 直线上，这个 m 呢，是 p q 的 中点，所以 m 点的坐标很容易得到啊。 m 除以二， 二分之一的 n 加上四分之一 m 平方加上 m 减去四分之五，那这样的一个点在 b c 直线上带进去嘛？二分之一 n 加上四分之一 m 平方，加 m 减去四分之五，等于 负，四分之一 n 减去二分之五。好，现在我们就有两个式子了，这是一式，这个是二式。一式和二式就是关于 m n 的 方程了吧，那么第三步就是列出方程，第三步列 方程，顺便我们做一个化简，把这个一式和二式就写在下面了。 m 是 小于零的，所以呢，分子就变成负 m， 而分母呢，很显然是大于零的，直接去掉绝对值。 n 减去二分之一 m 的 平方加 m 加上二分之五，等于二分之五。 好，这第二个式子呢，也可以做一个简单的化简。二， n 等于负， m 的 平方减去五。好，这个方程呢，这个第一个式子，我们可以继续做一个化简呢， 最后得到两倍的 n 等于 m 的 平方，减 m 减五，这是最后的一式。两倍的 n 等于负， m 平方减去五， m 减五，这是最后的二式。我们的目标是求 p 点的坐标，那也就是把 m 给求出来吧，这解出来很容易解得啊，把 n 给消掉， m 等于零， m 等于 负二。我们列出方程之后，第四步是不就是解方程啊？解方程是不是在这里啊？叫解， 最后是不是还得检查啊？第五步，这有两个答案，一个是等于零，很显然要舍掉，那就只保留负二，这就是最后一步，查第二问，是不是轻松搞定了？屁点的坐标是负二和 负二分之九，这是一个典型的寻表界检查的过程。这第二问并不复杂，因为这两个几何关系，一个是平行，一个是线段相等，也就是终点在直线上是很容易构建的。而复杂的问题往往也出现在几何关系的寻找上。比如说第三问啊，我们接下来就看第三问了。 我把第三问单独写在下面的空白处，奇异是如图二所示， d 点和圆点关于 c 点对称，那其实 d 点是一个定点，它的坐标是零和负五。 过圆点的直线 e f 啊，和抛物线相交于 e 点和 f 点，然后把 d 点和 e 点给连起来，和抛物线交于 g 点，再把 g f 给连起来，得到一个九十度的直角， 这就是解析的突破口啊，这个九十度一定不是白给的。问啊，当这个角是九十度的时候，求 d e 的 解析式。大家看看我们要求 d e 的 解析式也，这条直线其实已经有一个定点了，对不对啊？我们只需要把 e 点的坐标给求出来，是不是一切就迎刃而解了？ 好，我们很容易想到的。首先呢，设点的坐标 e 点横坐标令为 x 一， 那它的重坐标根据设横表中二分之一 x 一 的平方，加上两倍的 x 一， 减去二分之五。可是这个 e 点是如何得来的？我们无法直接求出这个 x 一 吧，我们必须得寻找关系， e 点是由这条过圆点的直线和抛物线相交得来的，而另一个焦点就是 f 点呢，应该也会成为我们需要设的未知数的点。 同时，如果只有 e 和 f， 那 这个九十度是不是就没办法用了？这个九十度的顶点 g 点是不是也得是一个未知数的点啊？那我们至少得设出 e、 f、 g 这三个未知数的点，那也就说至少得有三个未知数， x 一、 x 二和 x 三。好，接下来我们再念 f 点， x 二，二分之一， x 二的平方加二倍的 x 二减二分之五。一点 x 三，二分之一的 x 三平方加两倍的 x 三，减去二分之五。我们现在其实已经比较头痛了，有三个未知数了，但这不可避免， 如果你再搞出第四个、第五个未知数出来的话，那这道题就更加复杂了。所以回到我们这个最后一个法宝，未知数的个数要等于方程的个数，而这个方程组的个数呢，就是几何关系的个数。好，我们现在来看一下有哪些几何关系。首先这个九十度的角啊，它其实是一个典型的化斜为直，把它变成 一线三垂直的相似，这个没问题吧？也就是说，这条绿色的线比上这条绿色的线，等于这条绿色的线，这个是一个常规的思路啊，那也就是说，这个九十度的角能够带给我们第一个等量关系，就是三角形的相似。我把交点写一下，这个交点呢，记作 t 点， 这个交点呢，记作 s 点。所以我们首先有三角形 e、 g、 t 相似于三角形 g、 f、 s 的， 也就是啊，我画一下这个蓝色的小三角形和这个蓝色的大三角形是相似的。然后找出了这一对三角形相似之后啊，很多同学就继续往后面做了。但是呢，你只有一个等量关系，你是无法解除上面 x 一、 x 二、 x 三三个未知数的，你就会越做越晕。所以呢，我们找到了一个等量关系之后啊， 不要继续去算呐，我们得继续干什么？找等量关系，为什么呢？因为未知数的个数是三个，那方程就需要三个，就需要三个几何关系在这里啊，所以我们只找到了一个，我们接下来还要继续去寻找。而这种几何的等量关系一定是要和 e、 f、 g 这三个点相关的， 你不可能去找这个点，比如这个点，我们记住 m 点的话，你这个 m 点你找到了等量关系，那你还得把 m 点给设出来，对不对啊？那你又多了一个位置数，你找一个关系，又多一个位置数，那就相当于白找了。这一点啊，大家一定要养成这个习惯，我们要去找和设出来的 e、 f、 g 相关联的一些几何图形关系，我们把这个焦点记作 弧点，这个焦点记作 x 轴的线，那这个焦点呢？记作 z 点 好，这个时候就很容易发现啊，这个红色三角形和这个红色三角形是不是 a 字形的相似啊？也就是三角形 f、 w、 o 相似于三角形 o、 z、 e， 这又是一对等量关系好。进而我们又可以发现，下面的这个小三角形和这个小三角形也是相似的。 这里啊，这个三角形和这个三角形对应角相等了，三角形 e、 t、 g 相似于三角形 d、 q、 g。 好 了，我们得到了三对三角形相似，构造出三个关于 e、 f、 g 三个点的等量关系，那接下来呢，很多事情就变成了体力活了，那就是计算了。 所以说最关键的，最难的这道题我们就解决了，其他类型的函数问题啊，最难的也就是找这个等量的几何关系啊。那接下来我们就把三角形相似变成三个比例关系， 根据第一对三角形相似，我们很容易写出来， e t 比上 g， t 等于 g， s 比上 sf。 第二对三角形相似，我们也很容易写 f， w 比上 o， z 等于 w， o 比上 z， e 啊。第三对三角形相似也很容易写了， e， t 比上 b， q， g 这些都是体力活了吗？ 好，我们的第一步啊，寻表列，检查这万能的五个字，我们是按顺序做的，第一个字寻就已经做完了，我就写在这里。 寻做完了，接下来第二个字就是表了，哎，表谁啊？表示这个比例关系中这么多线段，我们要用 e、 f、 g 这三个点的坐标，也就是三个位置数 x 一 x 二 x 三表示出来。 好，那我们就一个个表示呗，其实呢，就是大家细心一点就可以了， e t 等于这个大家自己表示了，我就不再解释了啊，你这个要是不会的话，那那后面就不用看了， 加上二 x 一， 减去二分之五，减去二分之一 x 三次方的平方减二 x 三加上二分之五。大家在写的时候一定要注意符号， e， t 等于就这个等量关系啊，我做了一个交叉，是吧，其实是一样的啊，这个大家 不要觉得这个等量关系看不惯啊，跟后面两个其实三角形相似的等量关系，你交叉来交叉去是一样的。 x 三减 x 一， g s 等于 x 二减 x 三 s f 等于二分之一， x 二的平方加两倍 x 二减去二分之五， 减去二分之一 x 三的平方减两倍 x 三加上二分之五。这个符号啊，大家注意啊， f w， 这就是第二对等量关系中的四条线段了，二分之一 x 二的平方加上二倍 x 二，减去二分之五 o， z 等于一点钟坐标的相反数。负二分之一 x 一 的平方减二倍的 x 一 加上二分之五 w o 等于 x 二， z e 等于负 x 一。 好，接着我们第三对三角形相似中的 e， t 等于一点的动作，标二分之一 x 一 的平方加二倍 x 一 减去二分之五。减去 g 点的动坐标二分之一 x 三的平方减二倍 x 三加上二分之五 p， g 等于 g 点的横坐标减去 e 点的横坐标 x 一。 最后一条线段 q g q g 等于 负 x 三。最后啊，还有一个 d q 线段等于二分之一 x 三的平方加二倍 x 三加上二分之五。好了， 到此为止啊，我们的体力活也算做完了一大半了，等量关系中的这些线段都给表示出来了，那我们只需要把这些线段带入到等量关系中去，构造三个方程，形成一个方程组，把 x 一 x 二给解出来就可以了，于是就是第三步列， 这个表达式有点长啊，大家千万不要出错啊，这很容易算错，我把这个三个方程呢原始方程啊给写出来。 第一个等量关系，二分之一 x 一 的平方加二倍 x 一 减去二分之五。减去二分之一 x 三的平方减去两倍的 x 三加上二分之五。这是分子分母，就是 x 三减 x 一 要等于 分子 x 二减 x 三。分母呢，又比较长， x 二的平方加二倍的 x 二，减去二分之五，减去二分之一， x 三的平方减去两倍的 x 三加上二分之五，这确实比较长啊， 这就是我们的一式了。二式同样的带进去就可以，二分之一 x 二的平方加上两倍的 x 二，减去二分之五，比上负二分之一 x 一 的平方减去两倍的 x 一， 加上二分之五等于 x 二，比上负 x 一。 好，三式我们用同样的方法带进去 分子，二分之一 x 一 的平方加二倍 x 一 减去二分之五，减去二分之一 x 三的平方减去两倍的 x 三，加上二分之五分母二分之一 x 三的平方加两倍的 x 三。都写出规律了啊，加上二分之五 等于 x 三减 x 一， 比上负 x 三。好了，这就是二次和三次。我们把一二三三个式子做一个化简啊，总是在列方程啊，我们把这个方程继续做一个化简。 我以一式为例啊，是可以进行英式分解的，变成二分之一的 x 一 加 x 三，乘以 x 一 减 x 三，加上两倍的 x 一 减 x 三，分母就是 x 三减 x 一， 这是不是有规律啦，看出来了吧？等于 x 二减 x 三，比上 二分之一的 x 二加 x 三， x 二减 x 三，加上两倍的 x 二减 x 二减 x 三。 啊，这是可以消掉的，我们等下再整体做一个消除啊。第二个式子同样的可以做一个化解，交叉相乘，最后啊，这个二式啊，你知道交叉相乘，然后就约掉了很多，最后就变成了 x 一 乘以 x 二等于负五。 而第三个式子呢，第三个式子稍微做一个交换，因为第三个式子等号左边的分子是含有 x 一 x 三的线，那么把这个 x 三减 x 一 放到下面来，把左边的分母放到右边的分子上去，做一个交换，也很容易得到 x 一 乘以 x 三等于正五。那么接下来啊，我们只需要解这样的一个一二三四啊，把 x 一 x 二 x 三给解出来就可以了，就很好解了啊，看根据二式和三式，是不是很容易得到 x 二等于负的 x 三啊？ x 二和 x 三负为相反数的关系，代入到一式中去， 然后我们最后呢，就只要解一式就可以了，一式呢，最后就化简为 x 二和 x 三互为相反数，那这一块大家看这一块是不是零啊？二分之一对不对啊？好啊，这些计算的过程大家千万不要出错，我再次强调， 等号左边变成负二分之一的 x 一 加 x 三减二等于二分之一，进而化简得到 x 一 加 x 三等于 负五。我们要求 d e 的 解析式，就是把 e 点的坐标给求出来就可以了吧， e 点就是求 x 一 嘛，因为 x 一 加 x 三等于负五，而且 x 一 乘以 x 三呢等于五， x 一 乘以 x 三等于五，很容易解出 x 一 等于负五， 加根号五除以二。或者有两个答案， x 一 等于负五，减根号五除以二。这个时候啊，我们寻表列检查啊，已经到了最后一步了解完了方程之后需要检查，那这两个 x 一 哪一个满足条件呢？ 我们根据其意很容易得到。 x 一 是那个 e 点的横坐标，这个 e 点它是一条直线和抛物线的两个焦点，所以 e 点的横坐标一定要小于对称轴负二对不对啊？ 那所以这个 x 一 负五加根号五除以二呢，就舍掉了，于是 x 一 最后的值就是 x 一， 最后就等于二分之负五减根号五好， x 一 的值知道了 一点的坐标是不是也就知道了，好一点的坐标最后能求出来，二分之负五减根号，五重坐标带进去就可以了。 四分之根号五减四分之一十五好， e 点的坐标求出来了，和 d 点做一个连力很容易求得。 d e 的 解析式， l d e y 等于负二分之一 x 减五啊，这道题呢，就做完了，关键就是把 e 点的坐标给求出来。 好，这道题啊，花了很长的时间啊，在计算方面，虽然计算很复杂，但是呢，我们回过头来去看，这道题，最关键就是找到这三对相似的三角形， 然后有了等量关系，表示等量关系中的线段。最后解方程啊，这个方程呢，还是比较复杂的代数运算，算的时候千万别出错。所以这种类型的压轴题啊，函数压轴题 都是设横表中选表列解差。在设未知数的时候，我们如何寻找等量关系，一定要按照未知数的个数等于等量关系的个数这样的思路去寻找最难找的几何关系。所以这种类型的问题，你要是不会做，你不能说你代数运算不行，那是最基本的基本功， 往往问题就出在你找不到几何关系，这三个三角形相似，你找不到。当然这道题啊，你还有其他的方法可以去解决，你可以设这两条直线的方程，设一个 k 一 和 k 二出来，然后和抛物线连力，利用根与系数的关系， 但是他依然离不开最后的一个一线三垂直的三角形相似啊，因为要利用这个直角， 虽然方法不同啊，但是我给到的这种方法，他一定是万能的。也就是说，你只要按照这三个法宝去解决，尤其是寻表列检查，你按照这个顺序去做的话，这一类的问题一定是可以解决的。如果你出了问题，那肯定就出在几何关系没有找到上，你去补几何知识。 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

九下数学最难的二次函数七大题型，寒假吃透，开学稳进前三。二次函数七大题型，题型一，一般式化为顶点式题型二，平移变换题型三，图像的性质 题型四，二次函数与一次函数的图像题型五，二次函数与三角形面积 题型六，二次函数与 a、 b、 c 题型七，求二次函数解析式完整版分享！

这道九年级二次函数这一张的绝对必考的必考题，一定要搞清楚它考察的是哪些知识点？ a 选项， abc 的 积大于零，有图可知，抛物线开口向下， a 小 于零，顶点坐标负一斗 n 对称轴方程负二， a 分 之， b 等于负一，所以 b 等于二， a 也小于零。抛物线交 y 轴于正半轴，这个点的坐标是零到 c， 所以 c 大于零，因此 a b c 负负正大于零， a 正确，不符合条件，不符合。呃，错误选项， b a 减 b 大 于等于 am 方加 b m a 减 b， 咱们联想到什么呢？该不该联想到，当 x 等于负一的时候的 y 值 是 a 减 b 加 c， 那 么 b 选项，当 x 等于负一时， y 等于 a 减 b 加 c， 那 么 am 方加 b m， 咱们联想到什么呢？当 x 等于 m 时， y 等于 am 方 加 b， m 加 c， 没问题吧？由于抛物线的顶点坐标是负一负 n， 那 么开口向下，也就是说当 x 等于负一的时候， y 取得最大值，所以说 a 减 b 加 c， 这个 x 等于负一时的外值永远应该大于等于 x 等于 m 的 时候的外值，有没有问题？ 没有，所以 b 选项正确，不符合 要求。 c 答案， c 答案，这种是经常会让很多同学迷惑的。三、 a 加 c， 没有 b， 没有 b， 但是咱们在做题的过程当中，咱们知道什么呀？ b 是 等于二 a 的。 有题可知，对称 抛物线是轴对称图形，那么负二关于负一的轴，对称点 是零，负三关于负一的轴，对称点是一， 有没问题？没有。所以说当 x 等于一的时候的 y 值为负。 我讲清楚，没有 这里，那 b 又等于二 a 嗯，错误，所以该不该选 c 呀？那么 d 为什么是正确的？ 由顶点坐标是负一到 n， 所以 无论 x 取何值， a x 平方加 b， x 加 c， 永远都小于或等于 x 等于负一时候的 y 值 n， 对 不对？ 对不对？也就说 a x 平方加 b， x 加 c， 既然小于等于 n， 它是不是永远不可能等于 n 加一呀？ 既然不可能等于 n 加一，也就说我们永远找不到这样的 x 满足这个方程。那么这个方程该不该没有实数根呢？应该的，今天这题超级无敌爆炸重要！ 没听明白的听两遍，咱们下期再见！

二次函数全部背熟，开学就可以躺平了！二次函数定义题型，二次函数方程式 二次函数三大解析式带点系数法求解析式二次函数三大变换完整版分享！

二次函数小题，每次做每次错，今天啊，小帅就教大家利用二次函数的小模型法则，轻松解决这类二次函数小题啊！本道题正确答案选 c， 你 昨天做对了吗？做对了记得在评论区扣一。好，我们正式来讲解这道题目啊 啊，题目我们就简单代过一下啊，二次函数啊，图像与 x 轴交于 a 点三，零与 y 轴交于 b 点啊，对称轴是 x 等于一，下面有四个结论问你正确的个数啊，本题一共有两个是正确的啊，分别是第二条和第四条正确的，我们来具体看这个题目。 好，在看题之前呢，我们先怎么样？还是老老规矩啊，给大家看一下本道题需要我们掌握的模型， 像这类这个二次函数的小题啊啊，这种判断小题，大家一定要掌握几点啊，遇到比如说给了你一个二次函数， 那我们需要从哪几个地方啊去进行剖析呢？首先，第一点，先看开口判断 a 的 正负啊，这是第一点，比如说开口向上，那么 a 大 而零，开口向下， a 小 而零。 第二，看对称轴是在啊， x 轴正半轴还是在 x 轴负半轴， 判断负二， a 分 之 b 的 正负啊，判断出它大于零还是小于零，那么根据我们什么负二， a 分 之 b 的 正负以及 a 的 正负，怎么样进一步判断 b 的 正负啊？ b 的 正负是多少对吧？好，这是我们的第二点啊。第三点，我们要看什么特殊点，也就是我们的零点， 零点 x 一 x 二分别是在什么位置啊？具体的值能否求出来？好吧，第四点啊，这个是我们拓展第四力。 第四点其实是什么？第四点我想讲的是什么伟大定律啊？不知道大家有没有听说过这个就是说啊，我们的二次，一个二次函数 a x 方加 b， x 加 c 等于零，这个二次函数它有两个什么？ 呃，假如说啊，得它是大于零的话啊，它对跟有，就是跟 x 轴有两个交点，分别是 x 一 和 x 二，对吧？这两个 x x 二其实是有关系的啊， 首先这两个 x x 一 和 x 二加起来，他们的和呢，是等于负的 a 分 之 b 啊，注意，这个 ab 是 在我的这个式子里面啊，这个式子里面是等于负的 a 分 之 b， 这两个的成绩呢，是等于 a 分 之 c 啊，我希望大家能够记住，好吧，当做一个拓展内容，根据这个二次函数的式子可以得到这个 好，这是我们的伟大定律啊，很重要。这个高中会这个常考啊，高中初中的话用的比较少，但是大家记一下，好，这是我们的模型，我们现在来看题， 根据我们刚刚所说的啊，这个四步曲啊，其实是三步，对吧？最后一步是拓展三步曲，我们首先第一步看什么？看二次 f 的 开口，很显然这个开口是什么？大于零，那么我们首先第一步 a 是 大于零的， 这是第一步，对吧？我们写好啊，做这个题，不要怕啊，你不要觉得这个第三条第四条感觉很复杂，你就不去做他啊，其实很简单的，怎么样？我们只要按照我们的三步曲走，这类题目全部搞定啊，跟着我的节奏走，第一步 a 大 于零，第二步看对称轴负的这个二 a 分 之 b， 对吧？是等于一对吧？他是大于零的好，那么很显然 a 大 于零啊，负的二 a 分 之 b 也是大于零的，那么很显然这个 b 必须是小于零的喽，对吧？不然这个负二 a 分 之 b 怎么大于零呢？ b 显然很小于零的。好，第三点， 第三个是什么？我们看的是零点，对吧？也就是我们的什么与 x 轴的交点，很显然一个是什么三零， 那这边一个能不能算出来呢？其实可以算出来，为什么？根据我们的对称轴， x 等于一啊，以及一个零点是三零，那么这个很显然就是负一零了，对吧？ 这个很显然很容易算出来，这个我就不多说了啊。另外一个焦点是负一零。好，那我们三部曲都有了。好，那我们现在知道 a 乘 b 乘 c 小 于零，那 c 是 大于零还是小于零呢？ c 在 这个图中的几何含义是什么呢？啊？其实很简单啊，你看这个式子，我把它令什么 x 等于零，你会发现这个 y 是 不是就等于 c 啊？哎，那是不是就是什么 b 点的，什么纵坐标， 是不是就是我们 b 点做的标？他肯定是小于零的吧，为什么？因为他 b 在 这个 y 轴的负半轴上，所以 c 小 于零啊。那么很显然 a 大 于零， b 小 于零， c 小 于零，那么乘起来肯定怎么样？是大于零的啊，乘起来肯定是大于零的，那我这边擦掉一点啊，太乱了。 好，我们来看第二个，他说二 a 加 b 啊，等于零，二 a 加 b， 二 a 加 b 是 不是等于零的？换个颜色啊，很显是等于零，因为我们刚试了负的二 a 分 之 b， 这个颜色怎么这么淡呢？换一个深一点的颜色。好吧， 刚我们说啊，这个负的二 a 等于二 a 啊，也就是什么二 a 加 b 等于零， 很显然，对吧？这个就很很简单，根据什么我们对称轴，这个式子直接带进去， ok， 解决第二个，你看难不难？根本就不难，这还是什么？这还是这个选择的压轴题呢，很简单，对吧？ 没有半点难度啊。我们再来看这第三个到底难不难？他说四 a 减二， b 加 c， 小 二零 a。 注意，大家以后看到这种比较复杂的式子，你不要害怕啊，你不要一个一个算， a 等于多少， b 等于多少， c 等于多少，你要怎么样用整体意识，其实这个式子它是怎么来的？ 它其实就是根据我们二次函数啊，随便带了一个 x 的 值，对不对？你看 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 哎，我令这个什么 x 等于负二，是不是就得到了这个三式？它就等于四， a 减二， b 加 c， 你 看是不是就是这个第三个式子？ 所以这一类啊，你大家看到这种比较复杂的，你不要一个一算，它其实本质上是什么？它其实本质上是带了一个点进去，明白我的意思吗？好，那你看， x 等于负二的时候，它是大于零，小于零呢？ 我们知道 x 等于负一的时候，刚刚算了这个零点啊，你看，所以我们不是白算的， x 等于负一的时候，他的 y 的 值是零，哎，那 x 等于负二又在后面了，对吧？这个 x 等于负二， 他肯定是怎么样大于零的嘛，对不对？根据我们的图显而易见，哎，所以他说小于零，那肯定就错了，三 pass 掉，对不对？三又 pass 掉了，好，我们再看最后一个四， 他说 a x 方加 b， x 大 于 a 加 b 啊，这个怎么做呢？这个就要用到一个什么方法？添补法啊？添，哎，怎么写 增添的？添啊，我觉得增补法吧，一样。好吧，增补法两边怎么样同时加一个 c？ 哎，你会发现 x 方加 b， x 加 c 大 于等于 a 加 b 加 c， 其实本质上让我们证这个是词 对不对？两边同时加一个 c， 那 为什么要做成这样一个式子？这样方便，怎么样有助于我们凑成这个二次函数的样子，对吧？他这边是有一个 c 的， 我们这边没有 c， 所以 我们两边都加一下。好，来看这个式代表什么意思？代表什么意思？ a 加 b 加 c 是 什么意思啊？是不是就是说，哎，这个是当什么 x 等于一的时候，哎，我们的 y 的 值，对不对？哎，怎么回事？ x 等于一的时候， y 的 值是 a 加 b 加 c 吧，是不是二次函数的值？好，那这个是什么意思啊？这个就是我们二次函数的值。 是不是二次函数？哎，那他代表什么意思？他的意思就是什么呢？就是说，哎，这个二次函数的啊，无论 x 取什么时候，这个二次函数的值总归大于等于。当 x 等于一的时候，二次函数的值 是不是这个意思？那换句话是什么意思？换句话就是说，这个 x 等于一的时候，二次函数取最小值，对不对？哎，因为所有的值都比他大呀，所以他肯定是什么？他肯定是二次函数的最小值， 对不对？哦，那你看 x 等于是不是二次函数最小值？很显然，因为什么？因为他在最底下，这个是不是 f， x 等于一的时候啊？也就是 y， 对吧？ y 下面小小标写一下， x 等于一， x 等于它是不是最小值？哎，那你发现它就是最小值，所以这个什么这是对的，因为什么呀？ 当 x 取任意值的时候，都大于等于 x 等于一的时候，二次函数的值是不是？你看任意取是不是都比它大，或者说最起码是等于它，对吧？好，那么这个题目就解出来了，最后答案是什么？二对的，四对的啊，咱们就选 c， 好 吧， 难不难？一点都不难，关键是什么啊？关键什么？我们要怎么样掌握这几个模型啊？模型积累是什么？根据？看到这种二次函数的小题，首先第一步看开口判断 a 正负，第二步看对正轴判负二分之 b 的 正负， 根据这个判断 b 的 正负。第三步看零点，看 x 一 x 二啊，其实还有一个什么呢？看跟 y 轴的交点啊，这个点就像我们的 b 点，这个题目当中的 b 点，对吧？看这个点啊，也要看一下。好，那么最后补充一点，就是什么伟大定律啊，这个不常用，大家要记一下。好吧，好，本期我们就讲到这，点赞加关注，我们下期见。

注意看这道题啊，我敢打标票百分之九十五的同学他都做不出来啊。这道题目是一道选择的压轴题，不要看他题目简短，但是你不一定做出来，不妨你来试试看。 好，我们今天就来讲这道题目啊，这道题目他是有难度的啊，在讲这道题之前呢，还是老规矩，我们先把这个本道题的模型给大家讲解一下。 本道题的模型也很简单啊，一个二次函数啊，呃，我随便画一个二次函数啊，这个它的方程是 x 方加 b， x 加 c 等于零。 现在问你，这个二次函数的顶点坐标是多少啊？有没有人能给我直接说出来的，在评论区里扣个二，我来看看有多少人能直接说出来啊。 p 点坐标是多少？负的二， a 分 之 b 啊，这个我相信大家都很熟悉， 纵坐标怎么表示呢啊，我不，不知道你们会不会啊，纵坐标，可能有一些人不知道，纵坐标是四 a 分 之四， a c 减 b 平方啊，这个是 p 点的坐标， p 点的坐标啊，就是随便给你一个这个抛抛物线啊，二次函数，它的顶点坐标是这个， 大家有能力的把它记一下好吧，尤其是这个横坐标，横坐标必须记住啊，纵坐标有能力的把它记住好，这是我们的模型，看起来很简单，对吧？我们来看题目啊，看题目你就不一定会做了，他说二次函数 a， x 方加 b， x 加一啊，五 a 不 等于零啊，表明这是二次函数，它的图像顶点啊，在第二象限， 并且呢，他告诉你这个二三数过点一零啊，过点一零。现在问你，当 a 减 b 为整数时， a 乘 b 等于多少？哎呀，这个怎么 大家，哎，我不知道你们怎么想的哦，看到这个什么 a 减 b 为整数，一看就头疼，是不是像这种条件根本就不会用啊？ 哎，你别着急啊，这一步不会用，咱们怎么样？先把前面的这一串这一行式子啊，给他用，这个什么数学模型给他表示出来，我们再看后面的东西啊，先不要一步登天，懂不懂？先看我们前面的怎么做。 好，那我们怎么样？既然二十二，既然他是这个什么二次函数，我们直接画图呗，对不对？哎，画图先行啊，证明后面咱们再接着， 他说图像顶点在第二项写，且过一零点啊，一零点，是这个啊，一零点，哎，那我们这纠结了，这个二次函数抛物线这个开口是向上还是向下的呢？ 我们来想想，他说顶点的第二项写，我们来尝试画一下啊，因为我也不知道是向上还是向下，对吧？假设我们这个二次函数他的开口是向上的，并且他顶点在第二项写，哎，那我就是这样子，对吧？画着， 哎，你会发现这样他过不了这个一零点，你发现没有？哎，他过不了这个一零点，所以说抛物线啊，二次函数开口向上的时候，他过不了一零点，不符合这个提议，所以说我们判断出来他的怎么样函数图像，哎，这个开口必定是向下的， 对吧？向上，因为他过不了这个一零点，所以啊，那我们知道了，那就是这样子呗，是不是这样一个二次函数，这个假如说我们的顶点啊，顶点，假如说就是屁点，好吧，哎，那我们就明白了，这个二次函数，他的开口是向下的啊，开口向下的， 所以首先第一步啊，这个 a 小 于零，对不对？好，第二步啊，你还记不记得我们上上一次视频讲的三部曲，第一步是什么？看开口第二步什么看？这个对称轴，对称轴负的二 a 分 之 b， 他 竟然在第二项前面也小于零，对吧？ 又，由于 a 小 于零，那么这个 b 肯定怎么样也是小于零的，对吧？因为 a 小 于零， b 小 于零，所以负的二分之 b 才小于零啊，这个大家一定要明白。好，第三个，是吗？我们之前是看的零点，对吧？也就是我们的这个焦点啊，但是这个里面其实看不出来，因为只有一个，对吧？所以这个我们就不看了。好， 我们再来看。哎，他还说过一零点，那我们把这个一零带进去，看看能不能得到什么，是不是有特殊点啊？记得一定要带进去啊，带进去那么就什么零等于，哎，这个是 a 加 b 加一， 哎，我们得到这样一个式子，是不是？哎？零等于 a 加 b 加一，这是我们唯一得到的一个什么等式，那么他肯定很重要。好， 现在我们来看，他说 a 减 b 为整数， a 减 b 是 多少呢？哎，既然我们已经有这个什么哎，这个一式，这个方程，那么我们不妨啊，把这个一式转化一下，也就是什么呢？这个 b 啊， 呃，这啊，就 a 吧， a 就 等于什么？负 b 减一，对不对？ a 等于负 b 减一，我们把它带进去，带到这个 a 减 b 里面，那么我们的 a 减 b 啊，为什么要这样呢？这个啊，我跟大家讲，这其实是什么呢？是一个消原思想啊，消原思想 就是，你看啊，这个 a 减 b 为整数，他有什么两个未知数啊，像遇到这种情况的时候，我们怎么样尽量减少未知数的这个数量啊，能消的把它消掉啊，懂我这意思吗？消元思想，大家一定要有这个意识，所以 a 减 b， 我 们怎么样就把它全部转化为 b 啊，把这个 a 消掉。 好，那我们把这个 a 等于负 b 减一带进去好， a 减 b 就 等于什么负 b 减一，再减 b 等于负二 b 减一啊，也就是说他的意思是，当负二 b 减一为整数时，那么求 a 乘 b 的 值是多少了？哎，大家就转换成这个好，那么既然要负二 b 减一为整数，那我们现在就要 这个，这个从这个 b 下手了，对不对？求出这个 b 的 范围，那么我们再判断这个负二 b 减一，什么时候为整数？哎，跟着这个小帅的思路走啊，大家不要跑偏了。那么负二 b 减一啊，我们现在就求这个 b 的 范围了，首先 根据我们的这个二式啊，这个 b 首先是小于零的啊，这没问题，对吧？那 b 还有什么范围呢？光一个 b 小 于零，你无法判断负二 b 减一为整数，那么这个时候 b 肯定有很多值了，那 b 还要还有什么范围？哎，我们来看啊， 你不知道大家有没有发现啊，这个，哎，我换个颜色吧，这个根据我们这个等式啊， a 加 b 加一等于零，哎，我们刚刚说这个什么 a 等于负 b 减一，对吧，他 a 有 没有范围的？ a 不是 小于零吗？ 哎，根据我们的一式，哎，你要会这样调用啊， a 小 于零，所以负 b 减一也小于零，哎，怎么样？所以 b 大于负一，哎，这一步就有点难度啊，这一步就有难度，所以 b 大 于负一，所以 b 大， 这个怎么想到的？我跟大家说，就是你看到一个等式啊，比如说这个 a 加 b 加一等于零， 其中呢，这个 a 也小于零， b 也小于零啊，比如说这两个未知数，他都是有一个范围的，那么其实你可以怎么样？通过什么？就是一边倒的思想，比如说 a 就 等于吧啦吧啦吧啦啊，用这个 b 的 表达式表示出来，然后根据什么 a 的 范围，然后间接的求出 b 的 范围啊， 然后再根据这个 b 原始的啊，比如说 b 小 于零啊，那么结合两端就可以得到 b 的 范围了啊，这大家一个思想一定要牢记。好吧，好，那么我们结合一下， b 小 于零大于负一啊，我们的 b 的 范围 b 属于负一到零啊，这个是高中的写法啊，其实就是什么 b 大 于负一小于零，好吧，这高中的写法了啊，高中的写法，这擦掉太乱了。 好，这个 b 的 范围我们求出来了，对吧？好，我们接下来看， b 的 范围是负一到零之间啊，现在又，现在呢？又知道这个什么负二， b 减一是整数，哎，我们来想， 那这个时候怎么样他负二 b 减一是整数呢？我不知道大家有没有发现啊，假如说啊，假如说我们这个 b 大 于零的话， 是不是 b 只要是一二三四五啊，或者说是 b 等于二分之一也行，对不对？好，那如果 b 小 于负一的时候，哎，是不是等于就是什么负二负三负四都可以，对不对？ b 在 负一到零之间，他取什么值呢？哎，我们注意好 b 前面的这个系数是什么？负二负二乘以个 b 啊，减一是整数，那么其实就是负二 b 他 也要整数了，负二 b 也为整数，对不对？ 哎，那负二 b 是 整数， b 又在负一到零之间，那 b 只能等于多少负二分之一嘛，对不对？你其他数值负二 b 还能为整数吗？肯定就不行，所以我们的 b 怎么样等于负的二分之一哎， b 等于负二分之一，那么间接求出什么？ a 的 值？ a 根据这个式带进来， a 就 等于多少？ a 等于负 b 减一嘛，就等于这个二分之一减负二分之一，哎，负 b 减一对吧？对的啊，好， a 乘 b 就 等于多少四分之一。最后答案选择 b 选项啊，有难度。这道题目有难度啊， 是一道这个初中的二次函数压轴题和不等式的结合啊，这个题目不仅考了二次函数啊，不等式是一个什么？初中的难点啊，初中难点， 你不要觉得不等式简单，我跟你讲，不等式，他一旦出题目，你难的题目比二次函数还要难，我跟你讲，不等式很难的。好吧，所以我们把整个这个思路再给大家理一遍啊，本道题他的这个框架是什么呢？首先一个模型是什么？我们要知道啊，这个二次函数 过这个他的这个顶点坐标负的二分之 b， 四 a 分 之 c， c 减 b 平方，这个目的给我背下来。好吧，第一个模型， 同时本道题目怎么样？大家不要害怕啊，看到这个什么 ab 为整数，像这种陌生的条件，大家不知道怎么办的时候，不要着急， 我们怎么样把能做的先给他做好啊？像比如说前面这一句，是不是你可以先把图像先画一画啊？然后怎么样看一下他这个什么 a 的 正负啊， b 的 正负啊？初步判断一下。还比如说在什么啊，有零点的时候啊，我们还要再看一下零点，比如这个题目其实就 啊有点那个，哎，有的啊，有的一零这个点，对吧？那你把它带进去看看呗，带下这个什么特殊点，特殊值，把它带进去，算一下能不能得到一些什么式子，对不对？然后怎么样 啊？难点是什么？难点就是这里要求出这个什么 b 的 范围啊，以及这个 a 减 b 为整数，要把这个 a 消掉啊， a 消掉以及求这个 b 的 范围。 b 的 范围是怎么求的？首先一个 b 小 于零啊，我们这个刚开始就能求出来。 其次怎么样根据这个什么 a 小 于零，以及 a 和 b 的 这个什么等式，我们怎么样一边倒啊，把 a 等于巴拉巴拉巴拉多少 b 啊？求出来，然后怎么样？ a 小 于零，最后怎么间接求出？ b 的 范围是 b 大 于负一的， 最后怎么样结合两个范围， b 是 大于负一小于零，哎，这个时候我们怎么样再根据 a 减 b 为整数，也就是我们什么负二， b 减一为整数的时候，我们怎么样直接推算出 b 等于负二分之一 啊，一步一步来的啊，不要着急，懂不懂？像这种题目他有难度的，所以怎么样一步一步来啊，我们能把能做的先给他做好，后面怎么样，我们自然会啊，求出啊，后面的东西，懂吧？所以不要着急啊，不要一不要想一步登天。好吧，好，今天我们就讲到这，点赞加关注，我们下期见。

这套九年级二次函数的必考题，考察了二次函数图像的很多性质，一起来看。对称轴为直线， x 等于一与 x 轴的一个交点的横坐标在三和四之间。三、 关于对称轴的对应点是负一。四、关于对称轴的对应点是 负二。根据抛物线是轴对称图形，所以说与 x 轴的另外一个焦点的横坐标应该在三和呃，负二和负一之间。 那么 a 答案立即可以搞定。因为 a 答案恰好是当 x 等于负二的时候的 y 值，这个必须要会， 而当 x 等于负二时，对应的 y 值是小于零的。 a 错 b 二 a 加 b， 二， a 加 b， 抛物线的对称轴是直线， x 等于负的二， a 分 之 b， 所以 由题 负二， a 分 之 b 等于一，因此二 a 加 b 应该等于零。 b 错 c 答案， b 方减四 a c， b 方减四 a， c 出现在哪里？抛物线的最值是四， a 分 之四， a， c 减 b 平方，所以由题 四 a 分 之四， a， c 减 b 平方，最值为 m。 化简整理， yes， 所以 说正确答案应该是 c， 那 么它的 d 答案错在哪里？ d 答案错在哪里？ a x 平方加 b， x 加 c， 也就是当 x， 也就是抛物线上的点对应的 y 值。由于 抛物线的最大值是 m， 所以 说 x 平方加 b， x 加 c， 应该小于等于 m， 既然小于等于 m， 所以 说 它比 m 小 或等， 那么是不是找不到这样的 x， 使 x 平方加 b， x 加 c 等于 m 加一乘以，因此无实根。 亲爱的们，听没听明白的，听两遍消化，咱们下期再见！

上下平移，行，你再把它改写一下，我还是明确告诉你，改写成顶点式，你就不用猜了，不用去试那个焦点式了， 该是 y 等于 x 减一个平方再减 m， 哎，所以它的顶点应该多少？ 顶点是一到负 m 啊，一到负 m， 好， 所以它的这个顶点是一到负 m 呈现一个什么样的规律？ 呃，顶点的零坐标横为一，在 x 等于一这条直线，在 x 等于一的这条直线上，那我们就不用画这个那么精确的抛物线了，是不是？它大概是说你这个抛物线应该是在这条直线上上下移动。 嗯，好，这是第三个啊，上下平移型的啊，把它改写成顶点式，那你再往下翻，翻到第四个这个跳绳型的，跳绳型的，这个 你就需要把它改写成你所谓的双根式了，看一看会不会改。应该是 y 等于 a 倍的 x 减三乘 x 加一， a x 减三乘以 x 加一。 这样的话，我们是不是可以抓住它的两个焦点，一个是左边的负一逗零和右边的这个三逗零，对吧？ 对，负一斗零和三斗零。你有没有发现它这个 a 是 不确定的，实际上它的开口大小，开口方向以及它的顶点是不是都是不确定的啊？那所以这个我就直接告诉你，当 a 特别大的时候，它应该是这样一个 啊，然后呢，当 a 变得稍微小一点的时候，它就这样，再小一点，它就这样啊，直到 a 等于零的时候，有没有发现 y 就 等于零了， 然后 y 不 断在变负的时候，那么不是负的很多的时候大概是这样一种情况， 然后呢，再负一点的时候，大概就是这种情况，但它对称轴是确定的啊，它对称轴是不是 x 等于一啊？嗯嗯，好。然后呢，再往上的时候它就这样， 有没有发现这相当于一个人在跳绳一样，对不对？嗯，哎，左右两个焦点，这两个根其实就相当于是两只手在甩这个绳一样，而且是一个橡皮筋一样的绳， 所以这就是我们所谓的跳绳型啊。跳绳型的话，你发现这三项当中呢，都有一个 a 需要把 a 提取出来，剩下就是一个分解音式， 这就是焦点式的一个分解。然后呢，下面的这两个啊比较重要了，也是我们中考里常考的，现在新的二次函数的考法里也会经常考。今年中考不是变题型了吗？那你看一下这个一样该写成顶点式， 改写成顶点时，你改写一下长什么样子。应该是 x 减 m 的 平方加二 m。 哦， x 减 m 的 平方加上二 m。 好， 这就是我们的 y， 所以 它的顶点坐标，你再来告诉我一下， m 到二 m， 那 你能不能直接告诉我这个顶点有什么样的一个特征呢？ 不确定，但是可以知道横坐标和纵坐标的关系。好，非常好，你能知道横坐标和纵坐标的关系，但是是不是有点不确定？到底它 会成为一种什么样的一个状态，是吧？它它，它是一个什么样的变化规律？是不是这个意思？对，它会动。好的，你知道它肯定会动，横纵坐标都是确定，都是不确定的。好了，那我可以直接告诉你， 假设哈，你看纵坐标是横坐标的二倍啊。你需要先以后形成一个正确的认识，叫反动点，反动点必有轨迹，这是我们初中里面动态问题最重要的一句话，反动点必有轨迹。 好，那我们初中里面的轨迹我告诉你，你八年级的时候轨迹最多就是直线 啊，然后你到了九年级的时候，你发现这个轨迹就变成什么了呢？是不是就变成圆了， 对不对？好，但是呢，在这种题目里面，它的轨迹是不会出现圆的，因为出现圆就超纲了。二次函数里的轨迹绝对不会出现圆，它的轨迹啊，当然，我们现在这个轨迹除了直线，还有可能在这里面，有可能是抛物线 啊，这是第六个动画图形。一会我会说啊，但是你要明白啊，它们都是不一样的哈，就说在直线轨迹，直线在带中里面会出现， 然后呢？在己中里面也会出现，然后呢，新定义里面也会出现，而抛物线它仅仅存在于带中里面 啊，不然的话，那就超纲了啊，你先知道这个出题规律是什么，然后呢？远啊，远轨迹它能出现在几宗里面？还有呢，出现在新定义里面，但绝对不会出现在 带总里面。好，这是我们对于这个它的轨迹的一个非常清晰的一个认识，那你可以想象一下，你猜一下这个 m 和 m 到二 m 这个顶点，它的轨迹是一个直线呢？还是一个 凹陷呢？说明你对这个地方应该是没有。 不不不，清晰啊，是不是它就是 y， 等于二 x 这样一个直线，它的纵坐标，你看，当横坐标是一的时候，纵坐标是二的时候，纵坐标是四，当横坐标是三的时候，纵坐标是六， 是不是这个意思？嗯，好，那不就是这样一条直线吗？ 嗯，好，那不就是这样一条直线，听懂了吗？ 嗯，好。以后只要是遇到了这种横纵坐标，里面都含有同一个字母， 它必是直线或者是凹陷，但是这种都是依次的，肯定是直线，都是依次的，肯定是直线。 好，那这个抛物线它只能是，它只能是这种。啊，我先给你来一个啊，因为这个 a 已经说了， a 是 一，对不对， a 是 一。所以呢，是不是这个抛物线它一直是在这条直线上就这么上下移动的， 能听懂吗？所以这就是这个抛物线它的动画轨迹，我们把它叫滑雪上山。行 啊，你也可以让它滑雪下山，一般都是滑雪下山，滑雪下山性，说白了就是它顶点轨迹是一条直线，听你说。嗯。

一个动画快速搞懂，二次函数 y 等于 ax 方加 b， x 加 c 的 三个系数分别影响图像的哪个方面？这是一个三维坐标， 那么为了更加直观，接下来我们将在二维坐标上去讨论。先看系数 a， 当 a 逐渐增大的时候，抛物线开口变小为负数的时候，开口向下。 结论， a 决定开口方向和宽窄， a 正向上， a 负向下， a 的 绝对值越大，开口就越窄。再看系数 c， 当 c 增大，整个图像向上平移，当 c 减小，整个图像向下平移。结论， c 决定图像上下平移，图像始终经过零 c 点。 最后看吸出 b， 当 b 增大，抛物线向左平移， b 减小，抛物线向右平移。实际上 b 控制的是对称轴的位置。结论， b 改变时，图像左右平移，对称轴随着移动， 三个系数共同决定了抛物线的样子。最后请记住， a 管形状， c 管上下， b 管左右。下次看到二次函数，你就能一眼看出图像特点。

今天我们来看这道题，看到二次函数的题目，马上先画草图。画草图要知道对称轴的位置以及开口方向，还最好还要知道一个与 y 轴的交点在正半轴还是负半轴。 有题可得，这个抛物线的对称轴是 x 等于负一 交， y 轴与 y 轴正半轴零撇一，并且 m 大 于零，说明开口向上。所以我们就话说了这么一个草图，现在我们要根据这个草图来解决这道题。 a、 b、 c、 d 四个点的横坐标都已经告诉我们了，我们要先来看选项， a 选项说，如果 y 大 于零，总有 y 大 于等于零。 有题目可以看出来， a 点的横坐标比 b 点要小， y 二大于零，要么在左边，要么在右边，如果在左边的话，因为 a 点横坐标比 b 点的要小，它一定是在 b 点左边的，那么根据这个增减性一个趋势可以得到 y 一 一定是大于零的。但是如果 b 点在右边呢？ b 点在右边， a 点的横坐标要比它小啊，那我们就没有办法确定 a 点到底是在 x 轴上方还是在 x 轴下方。 举一个最明显的例子，如果 b 点就是零撇一，那你 a 点就应该是呃嗯，要到负二了， 这个时候是大于零的。但是如果继续往上走， b 点继续往上走，那 a 点也要继续往下走， a 点的横坐标也随之增大，那当 b 点横坐标是一的时候， b 点的重坐标还是大于零，因为它会继续往上走，但是这个时候 a 点的横坐标是一减二，是负一，在这幅图当中，负一它就是在 x 轴的下方。 所以直接举一个例子，当 b 点的横坐标是一，也就是说 t 等于一的时候， y 一 就是小于零的， 所以总有就把这个选项说错了。来看第二个选项，如果 y 二小于零，总有 y 三大于零。现在我们把第一题当第一个选项当中做的假设擦掉。 如果 y 二小于零，也就是 b 点要在 x 轴的下方，在这一块 总有 y 三大于零，这个说法正确吗？如果 y 二小于零，那 y 三就一定会跑到 x 轴上方吗？那可不一定， 如果 c 点的位置在这里，那它就呃没有大于零， 这个是不确定的，没有办法说明 y 三会大于零，所以 b 选项是错误的。 c 选项如果 y 一 y 二之积小于零，总有 y 四大于零。 现在我们再次把上上个选项做的假设擦掉。 y 一 y 二小于零，那肯定是一个正一个负。如果 ab 两点都在对称轴左侧， 在这个时候它们一个正一个负。 y 四是 d 点的纵坐标， d 点的横坐标比呃 b 点要大二，因为 b 点的横坐标是大于负二的，这是肯定的，因为它纵坐标要小于零。 有图像我们就可以看出来， b 点的横坐标一定要大于负二，那 b 点的横坐标加上二就一定大于零，也就是呃 d 点的纵坐标一定是会在 它上方的，它的横坐标也是一定大于零的。 我们来具体的写一下分析过程。 c 选项当中 我移过来一些，因为 y 一 y 二小于零，所以我们可以假设这种情况，当然也可以在右边， 我们只需要找到返利就可以了。我们假设 y 一 大于零， y 二小于零， 这个时候由图像我们可以得到 t 是 大于负二的，所以 t 加二也是大于零的， 因为 t 加二它就是地点的横坐标，所以我们就可以发现 y 四一定是大于零，而且还大于一呢，因为这里 t 加二大于零， 抛物线过零点一，这个点还大于一呢。 那我们再来看看这右边的情况。如果 b 点和 a 点都在对称轴的右侧， 那 b 点都到这了， d 点不就是更要往上了吗？ 到对称轴右侧的时候， b 点一定横坐标大于负一， t 大 于负一，那 t 加二就一定大于一，那 它横坐标大于零的时候， y 四都能大于零呢？那 d 点的横坐标是一以上的时候，那它不就更大于零呢？它就更上去了，所以 c 选项才是正确的。 最后我再我们再来看看 d 选项，如果 y 三 y 四大于零，总有 y 二大于零，先来把这些假设全部擦掉。 y 三 y 四大于零，我们先把它都标在右边，因为 c、 d 两个点是偏右的，我们就把它标标在右右边。 y 三 y 四大于零，我们把 y 三标在这里， y 四我们把它标在这里， 那 y 二一定大于零吗？首先， b 点的横坐标值比 c 小 一，那 c 点的横坐标扣掉一之后，它一定会到 x 轴的上方吗？那可不一定， 有可能它减一之后只到这里，有可能它能到这里，那这是不一定的，所以 b 选项是错误的。 最后选出这道题的正确选项是 c。 遇到这种题目，我们可以先看选项再进行分析， 因为，嗯，有很多的东西是不确定的，但是这道题还是算比较划算的，草图应有的条件都给了，画的是比较轻松的，今天的讲解就到这里。

那这节课我们要研究如何画这样一个二次函数的图像。首先来探讨一下这两个二次函数有怎样的关系？请看我们在上一个二次函数上，任取一点 p， 令其横坐标为 a， 则其重坐标为二分之一， a 减一，括号外的平方。下面这一个二次函数当中有一点 q， 它的横坐标也为 a， 则其重坐标为二分之一， a 减一，括号外的平方加三。 同学们观察 p 点与 q 点它的重坐标，发现 q 点的重坐标比 b 点的重坐标大三。也就是说我们给定的 x 的 值， 它所对应的下面这个函数的函数值永远大三，永远大三，很好。 从而我们认为下面这个二次函数，它的图像是由为什么是由下面的函数向上平行三个单位长度得到的？那么这样一个二次函数的点标， 它是由 y 等于二分之一被 x 减一，跨 y 的 平方向下平行三个单位长度得到的。 很好。其他同学同意吗？同意。那么对于一般的二次函数， y 等于 a 倍 x 减 h， 括号 y 的 平方加 k， 我 们来看一看，老师布置了两个函数图像， 现在 a 等于零点五， h 等于一， k 等于负三。请观察动画分析两个函数之间的关系。这是 k 小 于零的情况，这是 k 大 于零的情况。你们发现了什么？意赏， y 等于 a 倍 x 减 h， 括号 y 的 平方向上或向下平移 k 的 绝对值个单位可以得到 y 等于 a 倍 x 减 h， 括号 y 的 平方加 k。 听清楚了吗？听清楚了。 那我们变化 a 跟 h 的 值，再看一次，是否还具有刚刚的性质呢？很好！由此我们就总结这样两个二次函数，它们之间会有怎样的关系？数学， 你说它们的图像 y 等于 a 倍 x 减 h， 括号 y 的 平方向上平移或向下平移，所以它们是通过什么平移？上下平移，它们的关系是通过上下平移得到的。 那当 k 大 于零时，当 k 大 于零时，向上平移，当 k 小 于零时，向下平移，很好，坐下。那么同学们来看，回顾一下，昨天我们讲了左右平移， 向左平移，它是左向右平移，是右伸。那么我们的左右平移的规律是 左左加右减加右减自减量。那我们类似的，今天分析一下 上下平移的规律，谁能总结？刘翔，上加上上下平移，上下平移，上加下减，上加下减，函数值是在函数值后面下减，那二次项系数 a 呢？ a 不 变。很好，大家掌声鼓励，从而我们得到上下平移的 规律。接下来我们发现这样两个二次函数的图像可以通过上下平移所得到。 能不能由平移的性质去分析一下这样一个二次函数，它的图像 会有哪些性质呢？来两分钟讨论一下 a 有 关老 a 大 于零时，老 a 大 于零，再呃， a 大 于零， x 小 于零时， y 随 x 到抓与 h 吧来抓了。 大于 h 时，当 x 小 于 h 时， y 等于 x 的 根号二点九。好，那好的同学请举手。黄平原，我们讨论完后，发现这两个函数图像通过上下平移可得，当 a 大 于零时，开口向上， a 小 于零时，开口向下。好， 为什么 a 大 于零时就开口向上？因因为他们两个函数。我们是昨天学习了这样一个二次函数的图像和性质，那今天所学的二次函数是由昨天所学的二次函数通过上下平移 得到的，因为 y 等于 a 倍 x 减 h 的 平方，因为它是由 y 等于 a 倍 x 减 h 括号的平方平移所得，所以 它们开口方向相同，所以当 a 大 零时， y 等于 a 乘以 x 减 h， 括号， y 的 平方加 k 的 开口方向也是向上。继续， 当 a 小 于零时，开口方向向下，它们的对称轴相同，都是 y， 都是 x， 直线 x 等于 h， 你 刚刚说是它们平移得到的对称轴要相同还是怎么平移得到的？ 上下平移是由于他们是上下平移得的。同学们来看看，在平移的过程当中，对称轴变， 因此他们两个函数图像的对称轴相同，好继续，从而他的对称轴是相同的，都是直线 x 等于 h 很好，顶点横坐标都是 h。 纵坐标， 老师你们调一下，调哪一个调 k 好？ 我们把这个关掉，观察出来了吗？纵坐标随着 k 值的增大而增大， 那具体纵坐标是多少？我们来看 k 等于二点一的时候，他的纵坐标 a 点的纵坐标也是二点一，那继续。现在 k 等于负三点九， a 点的纵坐标也是负三点九， 那么它的正坐标应该是 k k 的 值，从而顶点坐标应该是顶点坐标，应该就是 h 比 h 撇 k， 嗯，好增减性。 当 a 大 零时，在对称轴左侧， y 随着 x 的 增大而减小。 当大于零时，那么对称轴的左侧应该如何描述？也就是当当 x 时很好，当 x 小 于 h 时，继续歪，随着 x 的 增大而减小， 所以我们称之为 d 减好。当 x 大 于 x 时， y 随着 x 的 增大而增大，我们称之为是递增。那当 a 小 于零时呢？当 a 小 于零时，当 x 大 于 x 时， y 随着 x 的 增大而减小， 也称之为 d 减。当 x 小 于 h 时， y 随着 x 的 增大而增大，也称 d 增， d 增。很好， 最后最值，当 a 大 于零时，它有最小值，最小值是 a 大 于零时，调一下，它有最小值，最小值是 h， 比上 k， 最小值是 h， 比上 h p 函数的最小值是现在 a 大 于零，它开口向上，函数图像有什么点？顶点？最什么点？最小点啊，最低点。所以函数值会有最 小值，在什么时候取最小值？当 x 等于 h 时，当 x 等于 h 时， 它的最小值为，它的最小值是 k。 很好，那当 a 小 于零时，它有最大值，那我们调一下，它有最大值， 最大值在哪？什么时候取得？ x 等于 h 时，最大值为 k。 很好，回答的非常好。研究完它的函数图像之后，我们来看这样的一种 x 函数的表达形式，它是非常便于观察哪一个点的坐标 顶点错了，所以我们把形容 y 等于 a 倍 x 减 h， 括号加 k， 这种函数表达式叫做二次函数的顶点式，顶点式。接下来请同学们准备， 老师要选两个同学，上面做给刘宇豪，周二雪，周二雪站那边，刘宇豪站这边。左边的同学先开始准备好了吗？好，开始，刘宇豪，不要紧张。好， 大家掌声鼓励一下这两位同学，请回座位。同学们来观察一下这样两个 r 函数，它的区别在于，一个开口向下，一个开口向上，一个 h 为 三，一个 h 为负三，所以它的对称轴和它的对称轴不一样，一个 k 等于五，一个 k， 这个 k 也等于五，它们相同的地方。那么我们来回顾一下怎么 画二次函数的图像，一定二列三秒四连线，那么你们会画这样一个二次函数的图像吗？ 会会会，会，拿出你的导学案，开始注意你的格式。好，同学们一起来看看以上几个同学所做的图像，第一个是否正确？不正确，哪里不正确，想做就好。他的对正折画错了， 对正折应该是直线 x 等于负一，直线 x 等于负一，还有他的定点坐标又画错了， 顶点坐标应该是负一撇负三，所以图像也画错了，他的顶点应该在负一撇负三那里，把这个顶点坐标描绘好， 那其他的点取值是否正确？正确的都跟你的一样，那么我们应该把这些点描绘出来之后，再通过什么对称性？那关于谁对称？关于直线 s a 负一对称，所以应该要画出它的对称轴， 画出直线 x 等于负一，然后 a 点的对应点，我们来看 a 点与对称轴 多少个单位？一个，所以对称过去应该在哪里？个点的坐标是二撇或负二撇八分之五，那这样一个点的对称点， 他与对称轴的距离？是啊，所以对称过去也应该是两个单位横坐标到了负三， 那这个点关于对称轴对称之后的横坐标应该是多少？应该是负四，这边对正对称过去应该横坐标为多少？最后年限 紧张，这个图像是否确确确，赵俊浩同学回答的非常好，那我们来看第二个函数图像， 想好的请举手，原谅你说他的顶点坐标错了，他的顶点坐标错了，应该是负一撇负三。其他的地方这点描绘正确了吗？ 正确，那表是正确的。他的描会了，描错了，哪个点描错了？直线 x 等于负一，左侧的点都描错了，那右侧的点描对了吗？ 描对了。我们来看看这一个点，它关于对称轴，对称过去，它与对称轴的距离为一，一， 但是他画的这一个点与对称轴的距离为二，因此他就错了，这也是同学们需要注意的。我们来看第三个，他心背 没有错，但是他画的有点，画的有点丑。是的，下面这里并没有很光滑，除了有点丑之外，没有其他的毛病了。好， 谁能补充？不信，其他的都没有什么毛病。只有他画图那里，他的函数图像最高，描出的点应该要描长一点，超过 x 轴， 展现出这个二次函数的图像，往上可以无限延伸，很好。坐下，他应该再多描述一些点， x 轴上方的点，刚刚那个 x 等于二十， y 等于一点五，一点五，一点五，一点五， 把它描绘出来，再把它折对冲过去，那就是 x 等于负四十，也是一点五。同学们，观察一下，它的列表跟你的列表相同吗？不相同，他把这一个顶点坐标列在了最中央。 我们观察一下这两个 x 的 值，它有什么特征，就像 x 等于负一，对冲过去的 这两个点的横坐标。关于直线 x， a 不 一，对称很好。那继续看，这两个横坐标也是对称的， 很好。坐下。同学们，像这种，先瞄他的零点坐标，再在他的左右两侧各列两个 关羽，对称，对称，这样的作图方式叫做五点，那么以后我们用五点法做图，也是可以复制二次函数图像的。最后我们来看这个二次函数图像画的好不好， 这是要表扬的谁的图？来，大家掌声鼓励，下面同学们来看到这个第二个例题，请动笔。好，我看到大家做完请看黑板，跟你的结果相同吗？相同，不同， 那你是比他的步骤多还是多了什么？王思睿，我首先说明了这个函数图像，它的顶点坐标 为二撇一，然后我就得知了，我就设这个函数图像为 y 等于 a， 乘以 x 加二，括号 y 的 平方加一，因为知道顶点，所以设它的什么式？ 顶点式很好，那么这个同学要注意格式，下面请看正确的格式。那我们再来看看这两个函数，它的图像可以通过平移得到了吗？可以， 谁能说清楚？油菜，你说抛物线 y 等于二分之一 f 的 平方，向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度很好。坐下，同学们来看，先向右平移一个单位， 再向上平移三个单位，那还有其他的平移方式吗？有没有同学？李欣，还可以将抛物线 y 等于二分之一 x 平方，先向上平移三个单位长度，再向右平移一个单位长度很好， 那如果它是向上平移三个单位，应该得到哪个？阿奇函数的图像 可以得到 y 等于二分之一， x 平方加三很好。然后再向右平移一个单位长度，得到。我们所要的还是很好， 从而我们总结这两个函数图像，他的关系可以通过什么平移，左右平移和上下平移，因此他们之间的平移规律应该是两者结合起来 啊，一起读一遍，左加右减次变量，上加下减函数值。

今天我们做一个二次函数图像性质的题目，这是二次函数表达式，经过负二分之一零，对称轴是 x 等于一， x 等于负一的时候， y 大 于一。根据这三条我们就可以判断出来，它的开口是向上的，也就是 a 大 于零。 根据对称轴，我们进一步判断出 b 和 a 的 关系来， b 等于负二， a， 那 b 就 小于零。同时经过负二分之一零，把这个负二分之一零带入表达式，可以得到 abc 三者的关系， 从而进一步得出 c 和 a 的 关系来， c 等于负的四分之五， a 小 于零，所以 a 乘 b 乘 c， 应该是大于零。第一个说法是错误的。第二个判断三点函数值大小，这就要根据点和对称轴之间距离来判断。 开口向上，离的对称轴越远，函数值越大。判断一下三者的距离对称轴的关系。可以看到，第一个 负三外一离的对称轴最近最远，零外三离得最近，所以外一最大，外三最小，外二中间，外一大于外二大于外三，所以第二个是错误的。第三个判断这个方程的两个根的范围， 把这个方程进行适当的变形，左两边同时除以四，可以得到这样的关系。也就是说，其实我们根据对称性可以得到二次函数于 x 轴的两个交点，就是 x 等于负二分之一和 x 等于二分之五， 也就是求的是 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加 c 于 y 等于负二分之一。两个函数之间的 焦点的情况。数形结合，我们可以看到， y 等于负二分之一的时候，与函数两个焦点就是在负二分之一和二分之五之间，所以第三个是正确的。第四个判断 a 的 情况， 当 x 等于一的时候，等于负一的时候， y 大 于一，所以把 x 等于一， y 大 于一，给它代入列一个 不等式，同时把 b 和 c 和 a 的 关系给他带入，就可以得到 a 的 不等式，解出来就是 a 大 于七分之四，所以第四个正确的，所以这个题目正确的序号就是三和四。这道题就是这样的，关注我，我们一起在题 i 中勾刨。