六年级下册数学基本平面图形课本答案

本期视频王老师来讲一讲有关圆柱体的表面积。我们知道圆柱体它有三部分组成，上下两个完全相同的底面，两部分中间一个侧面 是由这三部分组成，所以它的表面积就是上下两个底面的面积加中间的这个侧面的面积。 那么我们把这个圆柱体给他沿高剪开以后，把它展开以后，他是这样的一个平面图形，我们知道 上下两个底面是圆，那就是圆的面积。我们知道圆的面积等于什么呢？圆的面积是 pi r 平方啊，所以啊，那这个圆柱体它的表面积是由上下两个完全相同的圆，圆的面积是 pi r 的 平方，因为它是两个圆，所以是 二拍 r 的 平方，那中间的这个侧面，那中间的侧面。我们前面一期视频讲了圆柱体的测面积公式， s 测等于 c， h 等于派 d， h 等于二排 r h， 所以 啊，我在这里写二排 r h， 这是它的侧面积。 那么同学们来观察这个二排 r 的 平方，我可以把它拆成二排 r， 是 不是乘 r 加二排二 h 呢？我可以把它写成二排二乘 h， 那 前后都有二排二，我可以把这个二排二给它提取出来，利用乘法分配律的逆运算。那这样我就得到了圆柱体的一个表面积公式， s 表等于二排二乘，括号里的 r 呢？加 h 啊， h 加二，谁在前谁在后都可以。 那么有的时候，这个圆柱体给的我们是底面圆的直径，还有圆柱体的高，那么我们还可以把这个二 r 给它换成 d， 因为直径是半径的二倍，所以啊，那二 r 换成 d， 那 就是派 d 乘括号里的 r 呢，是直径的一半，我可以把它写成是二分之 d， 然后再加 h， 那我还将得到另外一个表面积的公式，圆柱体派地成块里的二分之地加 h。 那 有了这样的表面积公式，再来计算圆柱体的表面积，是不是非常简单了？那首先我们来看第一个 已知圆柱体底面圆的直径是四厘米，高呢是八厘米。让我们求这个圆柱体的表面积，我就可以直接代入这个表面积。派 d， 乘括号里的二分之 d 加 h。 这个公式在这里我就不带写了，我直接写 三点一，四乘 d 是 四啊，乘括号里的二分之 d 啊，二分之四 加 h， h 是 八。来，我们计算一下啊，四去二十二，二加八是十四，派十二点五六，十二点五六，再乘十是一百二十五点六 平方厘米面积单位不要带错，我们求的是表面积。那同样的道理，后面这个圆柱体，它的底面圆的半径是二分米，高呢是八分米，我们可以带入圆柱体的表面积公式，二排二，也就是 二乘三点一四，再乘二，乘括号里的 r 加 h， r h 二 h 是 八。计算一下啊， 前面是三点一四乘二得四乘二加八是十四，派十二点五六啊，四十派一百二十五点六 平方分米。那对王老师所讲的关于圆柱体的表面积，以及遇到这样的圆柱体求表面积，你们都学会了没有啊？关注王老师，让数学变得 so easy！

同学们大家好，我们这节课继续学习平面图形，今天我们学习角，首先看一下老师提供的几幅图，你能在图中找到角吗？ 很明显这是一个角，是吧？角学我们学过，继续， 这也是一个角，这也是一个角，这是钟表，是针和分针所成的一个角。 好，那什么叫做角呢？由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这里的公共端点我们知道它就是角的顶点， 那自然这两条射线就叫做角的两条边，这是角的构成和它的定义。我们看一下能不能找到这些图形当中角的顶点。 两条射线 是两条边，然后公共端点，两条射线的公共端点是它的顶点，这是顶点。第二幅图 a、 c， 射线 a、 c 和射线 ab 是 角的两个边，公共端点 a 是 顶点。 第三个，这个射线 b、 a 和射线 bc， 公共端点是 b， b 是 它的顶点 b a， 射线 b、 a 和射线 bc 是 它的边。 好，那上节课我们学习的射线线段 直线如何表示？那对于角我们又怎样表示呢？我们这节课先学角的表示方法。 老师在这里画了一个角，它是由两条射线组成的，有一个公共端点，就是有顶点和两条边组成了这样一个角，那我怎样表示这个角？我们看到上面我标了一些字母，对不对？我标了一个 a， 标了个 b， 标了一个 c， 这三个字母，其中 b、 a 是 边， bc 是 边，那么这个公共顶点 b 很 重要，是不是？那我们在表示角的时候，我们就要把它重点看着好， 用三个字母以及符号，这个角的符号来表示。好，我们怎么表示？先写角的符号，然后再写字母。写字母的时候一定要明确一个中间的字母，我用这三个字母来表示，中间的字母一定是顶点， 角 a、 b、 c， 中间的字母一定是这个角的顶点， 中间的字母表示顶点，其他两个字母分别表示两个边上的点，所以我可以用角 a、 b、 c 来表示。有些同学说，老师呀，写这三个字母有点啰嗦，能不能只用一个字母表示？当然可以了， 我们可以把这一个端点上的这一个这个角直接写成角币，用一个字母来表示，或者是我们给它标上一个阿拉伯数字。一， 用一个字母用一个数字表示一个角，这个可以表示成角币，也可以表示成角一，还可以表示成希腊字母。阿尔法，这个读作阿尔法， 我们叫它叫角 r 法。我们总结一下角的表示方法。角的表示方法它有两种形式，第一种形式就是三个字母中间的字母表示顶点，可以表示成 a、 b、 c， 但是一定要加上角的符号。 第二种就是我们可以用单独的一个字母表示，这个字母一定是它的顶点。角 b 可以 用单独的一个数字表示，角一，可以用单独的一个希腊字母角二法表示，这些都是角的表示方式哈。继续 在角的表示方法当中，我们需要注意的，这个顶点中间的这个三个字母当中的这个中间字母一定是顶点，一定要写在中间上。然后第二个， 如果我们用一个字母来表示角的时候，那么这个顶点上这个顶点只有一，嗯，以以这个点为顶点的角只有一个时才能用一个带字母表示， 这句话是什么意思？比如说第一个图，角 a、 o、 b， 我 们正常可以表示成 a、 o、 b， 因为 o 是 顶点，在中间，角 a、 o、 b 在 这个 o， 这个顶点对应的这个角只有它这么一个角，所以我可以写成角 o， 这第二个就不行。为什么呢？因为角 o 这边有三个角，角一、角二，还有这个大角又好，有多余一个的角就不能再用一个字母表示了， 你不能用一个大写字母表示了，像这个可以表示成角 o， 但是这个就不行，因为这个地方有好几个，你到底是这个角是角 o 还是这个角是角 o， 就 混淆了。所以像这样的不能表示角 o， 这样的角 o 就 不行，只有这样的可以表示成角 o， 哈，这就是这个意思。以这个点为顶点的，只有一个角的时候才能用哈，好，然后第二个、第三个用小写的阿拉伯数字可以表示，比如说角一角二，这个我们以前也接触过，四五年级的时候，角一角二， 但是要画一个小短弧表示角一是这个，角二是这个哈，然后我们也可以用西。

同学们大家好，我们这节课继续学习角，这节课我们学习尺规作角， 承接上节课的内容。你知道如何比较角的大小？第一种方法是用量角器进行测量，通过测量出度数来比较大小。第二种方法是采用叠合的方法， 比如说我这里有两个角，这是在世界上的两个角，如何比较大小呢？如果我现在没有两角器，我如何比较大小？ 我们的叠合的方法是希望他们的端点能够重合，并且一条边能够重合，看一下另一条边的位置，但是我现在无法移动。 带着这样的思考，我们进行今天的学习，在这种无法移动的前提下，我们怎样去比较角。 比如说在这里有一个角叫 a、 o b， 我 想把这个角 做一个和它完全一样的，已经知道一个角 a、 o b， 我 现在做一个角要和它完全一样。那首先我们明确角的几个部分，第一个端点好端点我已经确定了， o 和 o 撇对应 边，一条边也确定了 o b 和 o 撇 b 也确定，剩下的就是另一条边了。我现在好在有量角器，我可以量一下角 a o b 的 位置啊， a 角 a o b 的 度数，然后我再量一下这个角的位置， 我可以把这个角做出来，对不对？但是恰恰如果向老师说的，它没有量角器，只有尺子和圆规，那怎么办呢？ 这就是我们不用量角器，用直角和圆规能不能做出这样的角呢？ 那这地方就涉及到什么是尺规作图，这个尺是什么样的尺？这个尺是没有刻度的直角 完全看我们做图的思路想法，而不是去通通过测量，然后规呢？自然就是圆规，所以尺规做图是用的是没有刻度的直角和圆规。 那我们现在这节课的重点就是用尺规来做一个角，这个角的前提要求是和我们给出的角是一样大小的。 看这里啊，比如说有一个角是 a o b， 要求用尺规做出一个角，是 a 撇角， a 撇， o 撇， b 撇实线，两个角完全相同，大小完全相等。那我们看一下这样的应该怎样做。 这个说到做角，首先我们要回归到角的组成部分，首先有顶点，所以我们要先确定顶点对不对，确定一个顶点，然后再确定一条边， o a 这条边比较好确定，它是一个水平的，所以我们来确定一个顶点是 o 撇，然后这条边是 o a 撇。 好，这条边确定了之后，我们剩下的就是要确定这个 o b 对 不对啊？好，那我们怎么确定呢？我们拿着我们的圆规，以我们的 o 点为圆心，以任意长度为半径做一条弧， 这个弧自然会交在我们原来这个已知角的两条边。做一条弧，这个弧自然会交 c 点， 交在 o b 上。我们教教 d 点，这个可以同学们自己去念名哈。然后现在我们重复刚才的操作，以 o 为圆心，以刚才的长度在 o 撇 a 撇上做，这次是以 o a， 这次是以 o 撇为圆心， 以同样的长度， 这个就叫做 c 撇。 c 撇已经确定，但是 d 撇不确定，我们现在要集中所有的精力把 d 撇确定了。 d 撇怎么确定？重点来了，我们现在同样以 逗号圆规，现在是以 c 为圆心，以 c d 的 长度 为半径啊，以 c 为圆心，以 c d 的 长度到我们这个角上，就是以 c 撇为圆心，以 c d 的 长度做一条弧。 当我们做完这条弧之后，这个弧和我们刚才做的第一条弧有一个焦点，这个焦点是 d 撇连接 o， d 撇 得到一条射线 o b 撇，那么这个角就是和我们已知的这个角是一样的。 有些同学说，老师为什么是这样？原理是什么？首先， o c 和 o 撇 c 撇是相等的，因为它俩都是以 o 为圆心，以 o c 的 长度，也就是以任意长度的一条弧。

我们开始一起学习一下啊，线段中点模型的一些题型。先看一下第一题，如图， abc 三点在同一直线上， abc 在 同一条直线上， p 一 p 二分别是线段 ab 和 bc 中点， p 一 是 ab 中点啊， a p 一 等于 p e b 线啊， p 二呢是 bc 中点， p 二是 bc 中点。找一下，这是我们画一条这种直的啊，像三角号一样的啊，这样， p 二是 bc 终点，然后并且 ab 告诉我们等于六，这长度等于六，那乘六的话，终点都很好求啊，三和三不好求啊， bc 呢等于四 啊，这段呢等于四，终点呢？二和二则线段 p 一 p 二长，那么三加二是不是就可以了？那三加二就能得到几啊？三加二等于五，这个题选 c 选项是吧？啊， 太简单了是吧，送分题的都是，但实际上它本质上应该怎么考？你就跟考 p 一 p 二的长度啊，应该等于什么？等于 a c 的 一半是吧？等 a c 一 半等于六加四啊，等于十是吧？ 啊，六加四等于十啊，乘以应该说啊，怎么怎么考，你把它变成一个 m， 把它变成一个 n 是 吧？用字母考你更高级一点对吧？好啊，大大家都会出题的，对吧？这时候我们得到什么答案，是不是也应该是 m 加 n 的 一半？应该答案是二分之 m 加 n 这个结论对吧？ 好，我们看一下第二题，如图，已知点 c 是 线段， ab 上一点，点 c 是 线段， ab 上一点。随便一点，不用管了， ac 小 于 bc， 我 们能看出来，也不用管了。点 m， 点 m， 点 m 和点 a 呢，里面是 ab 和 bc 终点。先看一下， m 是 ab 终点， m 是 ab 全部终点画一条弧， 画一条弧， a 呢是 bc 终点， n 是 bc 终点下面弧啊，这上面画太乱了，是吧？画条弧啊，其中 m n 等于四，找一下 m a 这块长度等于四， bc 呢？等于十，这儿长等于十，我们看一下，通过它是十，通过 bc 是 十，那我们就求出来，那它的一半就应该是五和五， 那看一下这个五，这个五里面包含一个四，所以其余部分呢？应该是一，那这个五和这个四，那个 n b 和 m n 加起来应该等于九，所以它应该等于九，它是九的话，那这边也等于九啊，从而就可以求出来。什么？ ab 的 长度，是吧？ ab 的 长度，而且我们这段也能求出来，是吧？那这是五，求出来了这一，那这呢是八，是不是也能求出来？所以都可以求出来。那我们要求现在 ab 的 长度是不是也可以求出来了？那现在 ab 的 长度应该等于什么？ 九加九等于十八，所以在第二题选 a 选项，是吧？那你从另外一个方向去考虑一下这个线段 ab 长度是不是应该等于 谁的，和谁有关系？现在 ab 的 长度和谁有关系？看 ab 的 长度，那就。嗯， 现在 ab 长度是不是和这个一半有关系啊？和他一半。让我求求 ab 的 话，那 ab 直接不好求的话，我们就可以求它一半，是吧？那么思路上你就可以求 mmb， 是 吧？求 mb， 为什么不求这个 am 啊？ am 条件更少，是吧？求 mb， mb 中已经包含这个四了，是吧？再求这一段就可以。这段是不是正好等于五啊？可以求答案了，是吧？ 好，这是第二题。这两个题是不是正好等于五啊？可以求答案了，是吧？好，这是第二题。这两个题也是线段 ab， 图呢？没有图是吧？又没有说如图，又没有各种的写如图啊，没有写如图，说明他没有图，没有图就是无图题。无图题的话，很可能就是有两个答案， c 或 d 里面，是吧？很可能，但是也不尽然好。已知线段 ab 等于四。我们先简单画一个线段 ab 等于四， ab 等于四，然后已知线在线段 ab 所在直线上。看下这个词啊，所在直线上做线，做线段 bc， 那这相当于等四在所在直线上， ab 所在直线。有可能啊，是这么一条直线上做线段 bc， 使得 bc 等于二。这时候我们想一个问题，这个 bc 等于二，换啊， 线段 ab， 它就有两种可能性，那么 c 呢？就有可能在 b 的 左边，就比如说 c 在 这个位置，但是 c 呢？还可能在什么？在这个 ab 的 延长线上，是吧？在他的右边是有两种可能性的，所以说他需要让分类讨论， 因为只告诉人 b， c 等于二。明白没有说 c 点在 b 的 左边还是右边，那从 b 点距离 b 点为两个单位长度就可以向左，也可以向右，对吧？向左的话就变成这样子，那它就是二，它也是二，那向右的话，就变成它是四，它是二，是吧？ 若点 d 是 线段 a， b 中点滑一下， ab 中点，点 d 点 d， 线 ab 中点滑，那和 d 是 不是就和 c 是 不是重合了啊？那这个时候呢？那点 d 是 ab 中点，点 d 又跑到这个地方去了，是吧？那它是二，它也是二。点 e 是 线段 bc 中点， 点 e 是 线段。再看下第一种情况，点 e 是 线段 bc， 那 这是点 e 是 它终点，那就得到什么，它是二的时候，它是，它是一，它也是一，对吧？把这个二擦掉哈， 好点， e 是 第二种情况，点 e 是 线段 bc 终点点 e， 线段 bc 终点 e 在 这，是吧？它是 e， 它也长度也是一，求第一的长度，求第一第一，那这个求第一长度的话，那么这个长度直接是一，这个答案距离上，那这个第一呢？第一是这边长度，它包含了一个一，一个二，加起来四个三，所以答案呢，是选 c 选项一或三，两种情况。要分类讨论啊，要分类讨论的 有点难度了，是吧。看一下第四题，如图，点 c 是 线段 a， b 上一点，不用管，点 d 是 a， c 中点，标一下点 d 是 线段 a， c 中点，这一段点 e 呢是 bc 中点，点 e 是 bc 中点啊，这一段等于这一段等于这一段。 若 c， e 等于五分之 a， b 啥情况？什么叫 c， e 等于五分之 a， b 搞那么复杂等于二。那么看，既然等于二的话， c， e 等于五分之 a， b 搞那么复杂等于二，那 ab 能不能求出来？ ab 五分之一， ab 等于二，那 ab 呢？两边同时乘以五，就等于 ab 等于十，到 ab 等于啊，等于多少等于十， 那求 d 的 长度。那 d， e 我 们去看一下 d， e 是 不是这是一个中点和这个中点之间距离他们还是没有公共部分的，是不是等于这个 ab 一 半？根据前面公式，我们直接能得到 d， e 等于二分之一， ab 等于二分之一，乘以十等于五。做完了，所以说，所以说选 c 选项。那你看一下，我们说一下过程，求什么？求 d， e 怎么求啊？二分之一 b 再代入，再求值四步哈，注意下这个四步法。 求什么？怎么求？代入求值哈啊，四步去做，再讲一个，再讲几个题哈，看一下第五题，如图，点 c 是 线段 a， b 中点点 c 是 线段 a， b 中点点。标一下点 c 是 线段 a， b 中点 点 p 是 ab 上任意点点 p 任意点，不用管它。点 m 是 ap 中点点 m 是 ap 中点点 m 是 ap 中点， m 是 ap 中点好 点， a 呢是 b p 中点点 n 是 b p 中点，那就是在这是它的中点。那这就是我们前面说的什么三中点模型啊，这不就明显的三中点模型吗？是吧？ 则下列结论，错误的是，这是个否定词。对，这种否定词圈出来，千万不要把正确选上了，是吧？看第一个选项，第一个选项 m n 等于 bc m n m n 是 谁啊？ m n m n 是 不是就等于谁啊？就是那种啊。第一个我们的结论，第一个结论是无共部分的时候，这是两个中点之间距离等于全部的一半啊，全部一半 我们看一下。所以 m n 应该等于二分之一 ab 二分之一 ab 等不等于 bc 啊？是不是 bc 就 等于二分之 ab 啊？所以第一个是正确的。第二个 mc m c 在 哪呢？ m c m c 就是 我们第二条链吗？这是什么？有公共部分的时候是吧？有公共部分的时候，这个 m 是 左边的中点， c 呢，是全部中点，这两个中点之间间距等于右边部分的一半，所以应该等于什么？ m c 应该等于二分之一的。谁啊？右边部分一半二分之一的啊？ b p 上 b p 好， 它给我们是什么？二分之一 ab 减 a p a b 是 吧？ b p 啊，啊，就是我们的那个那个那个条件，对吧？没问题是吧？而且它 相当于更好理解，是吧？那二分之一 a b 二分之一 a、 b 等于多少？二分之一 a、 b， 我 们就可以把它转化成什么啊？转化成 a c 是 吧？二分之一 a a p 呢？二分之 a p 也可以转化成 am， 是 吧？所以正好呢， m c 应该等于 a c 减去 am， 是 吧？所以第二个也是 b b 选项也是正确的。看 c 选项， c n c n， c 呢，是全部中点， n 呢是右边部分中点，它应该等于是左边的一半，是吧？左边是谁啊？ 二分之一的 a p 是 吗？ a p 等不等于 ab 啊？减去 b p 啊，啊，也也正确，是吧？也是正确的，跟第二 b 选项本质上是一样的。 我们来看一下四 d 选项，他说 m n 等于 m n， m n 是 不是左边和右边的终点啊？等于二分之 a b 是 吧？他说等于二分之 a、 b 再加上二分之 c p， 对 吗？那肯定就不对了，是吧？这个题，这个题呢？四 d 选项第六题， bc 是 线段， ad 上任意两点， bc 是 线段任意任意两点，还管它干啥？不用管了，点 m 是 ab 终点，点 m 是 ab 终点。标一下， 点 m 是 ab 终点， n 呢是 c 的 终点， n 是 c 的 终点，它还是 c 的 终点。好家伙，它不挨着啊，是吧？中间怎么空一块啊，是吧？那空一块怎么办？往后看吧， m n 等于 a 啊，这边长度等于啊，小 a， bc 呢？等于小 b， 终于把它补上了，这小 b 是 吧，则线段 a、 d 等于多少？那 a、 d 多少相当于让我们用 a 和 b 来表示，是吧？啊，表示一下， 线段 a d， a d， a、 d 是 不是全部？这时候你你观察会发现这个 a 和 b 的 关系啊，小 a 小 b 的 关系，它是不是就就差一个什么啊？这个 m b 和 c n 啊？对啊， a 减 b 是 不是等于 m c 加加它，所以它俩的和就应该等于什么？等于个 a 减 b。 我 们看明白 这一段小弧和这个，这个直弧和这个和这个和这个折线，小弧和折线一，一个小弧和一个折线是一个 a 减 b， 那 那另外一个小弧和另外一个折线呢？也是一个 a 减 b， 对 吧？ 那我们的 ad， 我 们看一下 ad， ad 中和我们的 ab 有 关系的，那我们看一下它可以表示成什么？表示成 m n， 这个小 a 上加上一个什么？加上这个 am， am 加上一个 n d m a 为什么表示 m a m a， 因为就等于这个小 a 啊，对吧？ am 加上 n d 呢？就是一段小弧加一条折线，我们刚才通过分析能得到它就等于 a 减 b， 整理一下它，就随二 a 减 b 这个答案，答案就填二 a 减 b。 哈，二 a 减 b。 好， 这是第六题啊，关于这后面题，我们到下个视频再讲啊，先讲到这。

我们继续学习一下啊，线段中点模型结论的第四个结论叫三中点模型，三中点模型呢，顾名思义就是有三个中点，那分别是谁的中点呢？我们来看一下已知点 c 是 线段啊，读读题的时候不要关键词啊，因为以后的时候会碰见直线了哈。点 c 是 线段， a b 上任意一点， 点 c 是 线段， a b 上任意一点，然后点 m 一 是 m 二 m 三分别是终点，那三个终点，是吧？那么首先看，一个个看，别着急啊， m 一 是 a c 的 终点，这样 m 一 是 a c 终点，这样去看哈，找找到。 m 一 是 a c 终点，那 m 一 是 a c 终点，我们画一条短弧， m 一 是 a c 终点，对吧？ m 二呢是 bc 终点， m 二是 bc 终点，那，那，那因为这个弧跟差不多，那我们可以那这个画弧，我们可以画画条这样，这样带棱的这种，是吧？那就能明显区分出来他们不一样，对吧？那这是 m 二呢是 bc 终点。 好，我们再继续看一下， m 三呢是 ab 终点， m 三呢是全部的终点，是吧？那我们读到这时候，我们看 m 一 和 m 的 关系，是不是就我们前面那个啊？ 结论一两线段无共部分的，那我们读到这儿的时候，我们就发现这个 m 一 m 二，它就等于谁啊？等于二分之一 ab， 是 吧？二分之 ab， 对 吧？啊，就是说我们的第一个结论， m 一 m 二等于二分之 ab 是 我们前面第一个结论中两线段无共部分的时候，这个 m 一 是左边部分的终点， m 二呢是右边部分终点，它们之间间隔呢，等于全部的一半。 那我们看一下，因为这个 m 三呢，又是 a b 终点，那么 m 三是 a b 终点 a m a m 三和 m b 就 正好等于全部一半，是吧？就正好等于二分之 a b， 所以 它得到第一个结论。 好，这第一个这个结论本质上就是那个我们前面讲过第一个结论，是吧？我们来看一下第二个结论。那么看一下，既然我们 m 三是 a b 终点，我们再画一下 m 三是 a b 终点 m 二 m 三等于什么？看一下 m 二 m 三，这个 m 二 m 三指的是谁？你看 m 三是全部终点， m 二呢？是右边部分终点，这时候是谁啊？ m 二和 m 三，它分别是 bc 和 ab， 终点 bc 和 ac ab， bc 和 ab， 它们是有公务部分的，是吧？有公务部分呢？就是我们说的那个我们前面的结论二 图形前面那个什么结论二啊？结论二、结论二和结论三里面的结论，是吧？ bc 和 bc 和 ab， 它们是有共部分的，那这时候那有共部分的时候，这个 m 二 m 三，它就是什么点？这两个中点之间间隔就等于非共部分的一半，那谁是非共部分？这时候 bc 和 ab 看一下啊， bc 和 ab 的 非共部分就是 ac， 是 吧？所以它就等于二分之 ac， 他 们可还可以正出来，是吧？好， 那二分之 a c 呢？因为 a c， 那 a c 看一下 a c， 它也是有终点的，是吧？是 m 一， 所以说二倍的二分之一的 a c 就 等于什么 am 一 和 m e c， 是 吧？就等于 am 一 和 m e c。 就 这么一小结论，这三种点模型，这三种点模型里面，它本质上是，那我们前面的结论一和结论二、结论三就相当于两现在无共部分和两现在有共部分的，它一种综合一起总组成了一个什么三种点模型。 好，那我们再看一个叫线段的多中点模型啊，这一个其实更简单哈，我们看一下条件，如图，点 m， 在 线段 a n 的 延长线上点看，虽然很多，一个去找点 m， 找点 m， 在 这是吧？ m 在 线段 a n 的 延长线上能看出来了，这就在线段 a n 的 延长线上，且 m n 等于二，它中间部分标一下，它长度等于二 a。 第一次操作，分别取线段 a m 和 a n 的 中点啊，取 a m 的 中点是 m e， 得到什么？ a m e 等于 m e m， 对 吧？ m 分 别取什么线段 a m 和 a n 的 中点 a 呢？啊，得到一个什么？这一段等于画一下啊，这一段等于这一段 分别取线段 a m， a m 和 an 的 中点 m 一 和 m 二，这第一次操作是吧？啊，我们再看一下第二次操作呢，分别取线段 a m 一， 再取 a m 一 啊，和 a n 一 的中点 a m 一， 是在一段 a m 一 的中点得到，得到什么 m 二，是吧？得到一个 m 二 m 二啊， a n 一 的终点呢？得到一个什么 a n 一 的终点得到一个啊，这一点和这点相同，是吧？ a n 一 的终点得到 a n 二，等于 a n a n 二 n 一， 是吧？看画的有点乱，我们一个个去看，经过第三次操作，又这样找了，连续这样操作 n 次，让我们去总结一下 m n a n 的 一个关系， 如果考试的时候，比如说问你什么 m 二零二六， n 二零二六，还是这种 m n n 的 时候，那对于这种底数比较大的时候，我们一般情况找规律的时候怎么去找嘞？ 那我们上学期的找规律题有没有讲过？就是先从最小的开始找，我们先找求一下 m 一 n 一 等多少，再求 m 二 n 二等多少，再求 m 三 n 三等多少，然后找出规律就可以提出来 m n a n 等于多少，是吧？我们看一下。先求 m 一 n 一 m 一 n 一， 就是我们前面说的什么 m 一 n 一， 看一下他们是 m 一 n 一 m 一 是全部的中点， n 一 呢，是左边部分的中点，那它俩之间距离呢？就应该等于非公部分的一半，那就得到它等于二分之一的谁啊？非公分是谁啊？是 m n 的 一半，是吧？等于二分之一的 m n， 求出来，等于二分之一，乘一个 二，乘一个二 x 等于个 a 啊，这是 m 一 n 一， 那么再求 m 二 n 二，是吧？ m 二 n 二是谁的终点？我们看 m 二 m 二在这是吧？是这个是这个 a m 一 的终点， a 二呢，是它的什么？是它的谁啊？ n 二是 a n 二 a n 一 的中点，是吧？相当于也是左边部分中点，那么这两个，那这两个什么 m 二 n 二之间的间隔，它应该等于什么？也是非共部分，是谁啊？但是我没把没用的都擦掉哈， 来看一下。那这是一个什么来？ m 二 m 二是 a n a m 一 的中点， a 二呢？ 重新画一下啊， n 二呢，是 a n 一 的中点，这时候我们看这两个中点之间间隔就应该等于非共部分一半，是不是等于他一半，所以就等于二分之一的，什么 m 一 n 一 就等于二分之一，乘一个乘以这个 a 啊，是吧？到一个二分之 a， 好， 我们继续再看 m 三 a 三，重新看一下 m 三是 a a m 二的中点，是吧？ a m 二的中点 n 三呢？是 a n 二的中点，所以说这两个 m 三 n 三的间隔就等于二分之一，非共部分是写 m 二 n 的 一半就等于二分之一，乘以什么？ m 二 n 上一个引求出来，乘以个二分之 a 等于二的二次方分之 a， 对 吧？ 那你看一下，这是二的二次方分之 a， 这是二的一次方之 a， 这，这是什么二的？嗯，我们就不讲了哈，二的零次方分之还没求到，是吧？好，我们继续看一下，这时候我们看一下求 m n n a， 它的时候应该等什么？我们看一下它是三的时候这二的二次方，这二的时候是一次方。那么说你看一下这是这是 n 的 时候，它应该等于什么？二的二的什么 n 减一次方的 a 啊？上面答案是写的二分之一的 n 减一次方，跟正常本质上是一样的啊，当你也可以把它写成什么，比如说这就写成二分之一乘以 a， 这呢写成二分之一的二次方乘以 a， 是 吧，所以它也可以写成二分之一的。 谁啊？ n 减一次方乘以 a， 这个选项也是可以的，一样的哈，写他写他都对。好，这是他的几个结论啊，找规律的是吧？都是等于前面那个一半啊，这一个多重点模型，相对来说大家好好理解的话也是不难啊，对吧？ 好，大家要把这几个模型记下来，因为我们，嗯，后面的话还要继续去学习他的一些题型啊，我们用这些结论去去学习。好，这个视频就讲到这。

啊你为什么跟踪小朋友？什么居然还在洗澡。是我呀。啊啊快停下快去小蝶 真的是小杰，我是在暗中保护走冰套服啊。怎么他不上来跟我上人的车回这里， 超市马上就到了。啊叔叔超市在那里没想错吗？没想错你们上当了啊。你是坏人，救命。

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经过短暂的调整，我们继续整理与复习，刚才呀，同学们纷纷提出了自己的问题，让我们来看看，除了已经提出的这些问题外，同学们又提出了哪些问题呢？ 立体图形是否也能分别绕点线旋转呢？会是什么样的呢？其他我们学过的平面图形经过旋转得到的立体图形是什么样的呢？ 圆锥的体积、高底面积之间有没有正反比例关系呢？ 圆柱体表面积或者体积还有没有其他的计算方法呢？电视机前的同学们，你们提出什么问题了吗？ 让我们来看看同学们提出的这些问题，有的是比较了知识之间的相同点和不同点提出的，有的是从知识拓展或者有联系的角度提出来的， 掌握了方法之后啊，提问题并不难呢。那么同学们提出的这些问题，哪些能引发你的思考呢？你能尝试着解决一下吗？下面啊，就来让我们听听同学们都对哪些问题感兴趣吧。 圆锥的表面积如何计算呢？我对这个问题很感兴趣，我把圆锥展开以后，发现是两部分， 底面是一个圆，侧面展开是一个扇形底面积，只要测量出半径是三厘米，就可以计算出面积了。 那这个扇形的面积又是怎样计算的呢？我觉得可能和圆心角有关。像我做的这个圆锥，扇形的圆心角是一百二十度，正好是周角的三分之一， 这个扇形的面积呢，就是圆面积的三分之一。我测量出半径是九厘米，先算出圆的面积，再乘三分之一，就能计算出这个扇形的面积了， 再把两部分加在一起，就是这个圆锥的表面积，而且我还发现这个扇形的曲边长度和圆锥底面周长是相等的。 那扇形的这两条半径和圆锥又有什么关系呢？开始我想可能是圆锥的高，但是当我把侧面围起来看一看时， 发现半径在圆锥的侧面上并不是圆锥的高。这位同学呀，通过制作学具 操作观察，解决了圆锥表面积怎样计算的问题，而且他还发现了 展开图中扇形的半径并不是圆锥的高。让我们一起来看看圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，而展开图中扇形的半径是从顶点到底面任意一点的线段， 确实不是圆锥的高，它叫母线。将来我们上了中学，会继续了解和认识它呢。 还有的同学呀，对学过的平面图形经过旋转得到的立体图形会是什么样的这个问题感兴趣，让我们来听听他想到了什么平面图形呢？ 我想看看等腰梯形经过旋转会是什么样的呢？我以等腰梯形上下底的中点连线为轴旋转，发现会形成这样的立体图形， 我还能计算他的体积呢。看这个图形的体积，就是用大圆锥的体积减去上面这个小圆锥的体积。 这位同学在研究问题的时候啊，用到了实验和画图的方法，有兴趣同学也可以像他这样，再看看其他的平面图形经过旋转会是什么样的呢？ 最后我们再来看看这个小组同学对圆柱体表面积或者体积还有没有其他的计算方法。这个问题感兴趣，听听看他们得到了怎样的结论呢？ 我们组在研究这个问题时，想到了上学期在研究圆面积计算时用到的方法。当时我们把圆等分拼成近似的长方形， 于是我们把圆柱的两个底面也等分拼成近似的长方形放在一起，我们发现拼成的长方形的长刚好也是底面周长，而长方形的宽就是底面半径。 这个大长方形的面积就是圆柱的表面积。大长方形的长是圆柱的底面周长宽是高加半径的和。所以我们认为圆柱表面积还可以用底面周长乘高加半径的和来计算。 这个小组在研究问题的时候用到了什么方法？对，是转化的方法。 他们把圆转化成近似的长方形，进而沟通了转化前后图形之间的联系，找到了圆柱体表面积的另一种计算方法呢。 当然，除了刚才同学们研究问题时用到的方法之外，像对比、分类、尝试推理这些呀，都是我们在研究和解决问题时常用的方法呢。相信大家掌握了这些方法之后， 下面的问题一定难不倒你。让我们来看一看上面一排图形旋转后会得到下面的哪个图形，想一想，连一连！ 我们知道，长方形以长或宽为轴旋转形成圆柱，直角三角形以直角边为轴旋转形成圆锥。 再看这些边，他们都是旋转后图形的底面半径。所以我的结果是这样的，同学们，你们的想法和这位同学的一样吗？让我们来再看看下一道题。 用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是三分米，高于底面半径的比是二比一，制作这个油桶至少需要多少平方米的铁皮？ 这个油桶的容积是多少升？让我们来听听同学们是怎么想的吧！ 我先根据高于底面半径的比是二比一，求出圆柱的高是六分米。先看第一问，制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮，就是求圆柱的表面积，所以结果是这样的。 再看第二问油桶的容积，这是我计算的结果，同学们，和你们的一样吗？ 同学们，请大家注意看这个同学的计算过程，他先算出了十八派加三十六派的和是五十四派，进而求结果。我们同学在计算的时候啊，也可以像他这样呢。 再看这道题，甲乙两个圆柱的高相等，甲的体积是一百点四八立方厘米，底面积是六点二八平方厘米， 乙的底面积是二十五点一二平方厘米，乙的体积是多少立方厘米？这个问题你能解决吗？ 我是这样想的，从题目中我们可以得知，甲和乙的高一样，所以用甲的体积除以它的底面积求出高，也就是十六厘米，这个高也是乙的高， 所以再用高乘乙的底面积，就是乙的体积，也就是四百零一点九二立方厘米。 我想到刚才在整理知识时，同学们找到的正比例关系，因为两个圆柱的高相等，所以圆柱的体积和底面积呈正比例， 于是我列出这样的比例，一百点四八比六点二八等于 x 比二十五点一二，然后解比例得到一体积为四百零一点九二立方厘米。同学们，你们听清楚了吗？ 最后这位同学呀，根据高一定的时候圆柱的体积和底面积成正比例关系，列出了比例式，解决了这个问题。看来同样的题目，我们可以从不同的角度去思考呢。 刚才有的同学想到了我们学过的平面图形经过旋转会得到什么样的立体图形这个问题， 而笑笑和淘气对这个问题啊，也很感兴趣呢，他们分别以直角梯形的上底和下底为轴，将直角梯形旋转一周，得到了这样的两个立体图形。 笑笑说，我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲乙两个立体图形的体积也相等。 可是淘气却不同意笑笑的看法，淘气认为甲乙两个立体图形的体积不相等。同学们，你同意谁的说法？请写出你的思考过程。 同学们，让我们来听听大家是怎么想的。 通过观察，我发现笑笑得到的立体图形可以分成两部分，下面是圆柱，高三厘米， 底面半径三厘米。上面的立体图形可以看作是和下面等底等高的圆柱，再挖掉一个最大的圆锥。 陶器得到的立体图形可以分成圆柱和圆锥两部分，它们等底等高高都是三厘米，底面半径也都是三厘米。于是我分别计算出两个图形的体积，这是我的计算结果。 因为两个图形的体积不相等，所以我同意陶器的说法。 同学们，你们发现了吗？这位同学呀，并没有计算甲乙两个立体图形的体积具体是多少，而是通过比较四十五派和三十六派的大小，就得出了自己的结论，是不是很巧妙呢？ 让我们再听听其他同学是怎么想的。我同意淘气的说法，但我的思考过程和你的不一样， 我发现圆柱和圆锥是等底等高的，我把圆锥的体积看作一份， 那和它等底等高的圆柱的体积就是三份。笑笑得到的立体图形上半部分有三减一两份，下半部分有三份，一共五份。 而淘气得到的立体图形的体积是一加三，一共四份，所以它们的体积不相等。 你的想法启发了我，大家看，其实两个立体图形的下半部分是等底等高的圆柱，所以体积相等，我们只需要比较上半部分就可以了。 笑笑的上半部分是圆柱减圆锥，也就是三减一两份，淘气的就是圆锥一份，所以也可以比较出它们的体积不相等。 同学们，后两位同学呀，关注到了圆柱、圆锥在等底等高的时候，体积之间的避暑关系也解决了这个问题。好了，同学们，经过今天的学习，你有什么收获吗？ 相信这一个学期的学习一定有很多让你印象深刻的地方吧！你最喜欢的一次数学活动是什么？ 印象深刻的一种解决问题的方法是什么？你最满意的一幅作品又是什么呢？同学们可以以数学日记的形式把它记录下来，分享给你周围的同学和家长们听一听吧！

同学们大家好，我们这节课继续往下学习，这节课我们学习比较角的大小。看到比较这两个字我们并不陌生，因为前面我们学过比较两条线段的长短，同学们还记得我们如何比较线段的长短吗？ 第一种方法我们用的是度量的方法，我们叫做度量法，用刻度尺去量它们的长度进行比较。比较大小的就是第二种方法叫做叠合的方法，把它们放在同一条直线上， 可以让它们的端点相同，看一看哪一个线段是更长的。叠合的方法，我们今天比较讲同样用的这两种方法，我们分别看一下，第一种 如何比较两个角的大小呢？比如说这里有很多的角，任意比较两个角，我们怎样比较这两个角的大小？这个地方首先我们要明确一个角的大小是什么，角的大小是角张开的，这一个角度 和这个边的长度无关，一定是它张开的角度，所以我们看一下第一种方法，我们可以测量使用我们以前学过的量角器。我在这个地方再强调一下我们怎样测量一个角，比如说有个角是这样的， 我们如何测量？第一个我们首先要把脚的顶点和我们两脚气的中心点对齐，这个中心这个点对齐。其次零刻度线和我们的一条边重合， 如果这条边是和我们的内侧刻度线重合，那我们的另一条边在读度数的时候，一定是读的内侧的刻度线。那看一下这个角是五十到六十之间是五十五度， 这就是我们测量的方法，我们把两个角分别测量一下，然后比较角的大小，测量出它们的角度，进行比较，叫做量测。呃，测量法或者是度量法。 好，我看那第二种方法，我们同样使用线段给我们的起式叠合的方法。叠合怎么叠呢？为线段的叠合法，是找相同的一个端点，那角呢？我们找相同的顶点， 像第一个 a o b a o b， 然后把 c o 撇 d 也放过来，发现两个完全重合，那么它们两个就相等。 第二个 a o b 和 c o 撇 d， 发现 c o 撇 d， 当它们的端点相同，一条边相同的时，哦，这个还要一同，一条边相同，不光是端点哈。这个地方老师补充一下，不光是顶点 和线段不一样的哈。我们我们线段是只有顶，我们的端点重合，这个是 不光我们的端点，我们的顶点要重合，并且一条边也要重合，一条边也要重合。重合完之后观察一下另一条边，另一条边如果和我们给出的这个角重合了，那说明就相等。如果另一条边在我们 已知角的内侧，这叫内侧，内侧是不是？ 然后我们叫它小，是不是我们这个角小，原来那个给我们的角是大的。如果我们的顶点和我们的边重合，另一条边在已知角的外侧，在这是不是？那 这个给我们的这个角 c o 撇 d 就 比我们原来的角 a o b 要大。 也就是说叠合的方法是顶点重合，一条边重合，看另一条边。 好，我们看一下这个题目，说比较一下 a o b， 比较一下 a o c， 比较一下 a o d， 比较一下 a o e。 好， 我们看一下怎样比较。我们可以用第一种方法度量的方法，第二种方法我们继续可以用叠合的方法。发现这个题用叠合的方法非常有优势，因为它们有一条边本来就是相同的， 是不是有一条共同的边是 o a， 对 不对啊？都有一条共同的边是 o a。 那 我们就看另一侧的边顶点 o 重合， o a， 这个边重合。我们看一下 另一侧的那个边，比如说这里的 o e 吧， a o e o e 在 这， o d 在 这， o c 在 这， o b 在 这。所以最大的角很显然就是角 a o e。 然后其次是角 a o d。 再一个就是角 a o c。 然后再一个就是角 a o b。

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好，现在我们继续来学习第四课，欣赏与设计 图形啊，是人类社认知社会最初的形态符号，那就让我们一起走进图形的世界，就看看小小的图形又将会给我们带来怎样的惊喜呢？ 大字两岸中啊，有很多的数学高手，从向日葵的花旁中你读出了什么？ 你是不是解读出了旋转运动呢？勤劳的蜜蜂精心制造的蜂巢，你是不是又能发现平移、旋转和轴对称的身影呢？ 小小的蜘蛛啊，他们知道八卦形网是一个非常美丽又复杂的 八角形几何图案，你是不是也能读出图形运动的身影？我们从大自然中受到启发，将其应用于数学。我们又将从数学的知识出发去服务于生活。 从大自然中我们获得了很多设计的灵感。请看，这是被评为新世界七大奇迹之一的北京大兴国际新机场。 如果用运动的视角来观察，你又能发现哪些图形运动的身影呢？让我们先来欣赏一段小视频， 你是不是被深深的吸引了？如果从图形运动的视角来观察，是不是发现了平移、旋转和轴对称的身影？ 相信通过今天的学习，掌握了设计的方法，有一天你也能设计出像新机场这么酷炫的作品。那就让我们从身边简单的几幅图开始研究吧！ 最美人间四月天，校园里的丁香花悄悄地绽放了，多想回到美丽又熟悉的校园啊！ 其实丁香花的花期并不长，我想留住这一抹芬芳，想让它绽放在方格纸上。那该怎样利用图形运动的方式呢？ 我发现丁香花是由四个一模一样的花瓣组合而成的，这是其中一个花瓣图形 a， 把它绕点 o 顺时针旋转九十度，得到了图形 b， 然后再绕点 o 顺时针旋转九十度，经过三次这样的旋转后，这个花瓣图案就得到了。 我有不同的想法，我觉得还可以利用轴对称得到。 我先画出一个花瓣 a， 再画出这个花瓣关于这条对称轴的图形，然后再以这条线作为对称轴，画出这两个花瓣关于它的轴对称图形就可以了。 我想综合你们的两种方法试试看。将 a 以大正方形对角线所在直线作对称轴，画出图形 b， 然后 a、 b 一 起再到中心点按逆时针旋转九十度，也画出来了。 受你们的启发，我觉得还可以试试平移花瓣图形 a， 先向右平移三格，再向下平移三格，然后一起绕中心点 o 逆时针旋转九十度，也得到了花瓣图案。 同学们可真了不起，运用了旋转、轴对称以及各种组合的方法，都设计出了丁香花瓣的图案。 虽然同学们的方法不一样，但都是先确定一个基本图形，再让基本图形经过平移旋转和轴对称运动得来的。 看如此的美丽夺目，是不是让你想到了促生的丁香花？它象征着一种团结互助的精神。 拂堤杨柳醉春烟，春风中欢快的风车为春色增添了一抹律动。那这幅风车图案又是如何得到的呢？它的基本图形又是什么呢？ 我发现它是由好多正方形和三角形组合而成，一个正方形和一个三角形组合成一个直角梯形，就像一扇风车叶，先标出右下角顶点 o， 把它向右平移一格，再绕点 o 顺时针旋转九十度，接着向下平移一格，由这个图形继续绕点 o 顺时针旋转九十度，向左平移一格，再绕点 o， 按顺时针旋转九十度， 向上平行一格，这样就得到了一个完整的风车。嗯，有一个同学啊，选择的基本图形不一样，看他是如何设计出来的。 同样一幅图案，选择的基本图形不一样，那进行的运动也就不尽相同了。 老子在道德经中有句话，万物之始，大道至简，演化至繁。那简约的平面图形啊，其实并不简单，伟大的艺术创作中，可都是有他们的身影的。 熟练的利用平移旋转和轴对称，再加上一点想象力，相信你也可以设计出精美的作品。 笑笑迫不及待的分享他的创作，快看看我的三角形之旅，我先设计了两个对称的三角形做基本图形，像不像一个沙漏？ 我将它绕中心点 o， 顺时针旋转九十度，三次得到了一副图案。看这样的设计还不错吧！ 在笑笑的描述中，你是不是感觉到了设计带给他的快乐？在静止的图案中，我们也能读出图形的动态美。还有的同学进行了不一样的创作， 只是改变了一下三角形的旋转中心，就能创作出不一样的图案。淘气啊，也带来了它的最新设计，请你先猜一猜，这幅图形的基本图形会是什么呢？ 其实啊，它还是由我们最熟悉的老朋友三角形得来的，不信你快看看， 动起来了，这样的作图对你有所启发吗？同样是一个小小的三角形，却能设计出这么精彩作品，相信你还有更多的创作。 那在今天的图案设计中，我们先分析了基本图形，接着找到基本图形运动的方式进行设计，最后呈现精彩的作品。 那就让我们用运动的视角来欣赏其他同学的精彩设计吧。 一个圆利用旋转、平移和轴对称可以设计出这样的作品。 其实啊，图形的设计在心理学上也有很多运用，在心理学课上，李老师就利用这样的图形对人们的心理进行过测试。 数学之美啊，处处存在，希望你用心去发现。最后老师向大家推荐一本数学书籍，学帮你学几何。

同学们，我们已经学习了哪些平面图形呢？谁来回答一下？好，扫个牌，长方形，长方形，正方形正方形，平行四边形平行四边形梯形梯形 三角形三角形，圆形，好，圆形，请坐啊！那么看到这些平面图形，我们首先想到的是什么呢？ 谁来举手回答。好，陈新田，他的面积和周长啊，首先想到的是他的面积和周长，请坐。那什么是图形的周长呢？ 好有序。图形的周长就是围绕图形边上绕上，围绕封闭图形绕上一圈的周长啊，封闭图形一周的长度，一周的长度，请做。 这些封闭图形，我们都把它围成了什么颜色？红色，红色部分就是这些封闭图形的周长。周长，封闭图形一周的长度就是周长。那什么是面积呢？ 啊？刘德阳，封闭图形的大小啊，封闭图形的大小。好，请做。还有补充的吗？ 比如说我们这个桌面啊，连续封闭图形平面的大小，封闭图形平面的大小。好，请坐，我们这个桌面叫什么？ 平面叫物体的平面，物体的表面是吧，物体的表面或封闭图形的大小叫做面积，物体的表面好，看一下，这些封闭图形呢，我们都把它 绿色部分就是他们的面积。好，今天呢，我们就来整理复习平面图形的周长与面积， 那么哪个同学说一说周长与面积有什么区别和联系吗？ 来，王乐川，你要说周长主要是指什么？嗯，指这个图形的长度，围绕一封闭图形的一周的长度。一周的长度它是用什么单位？ 嗯，用长度单位啊，用长度单位计量好，那么面积呢？面积是物体表面的物体表面的封闭图形的大小啊，那用什么单位计量？ 面积单位哦面积单位计量好，请坐。那么周长与面积的区别是计量单位不同还有什么不同吗？ 您刷刷举手。好，刘轩，计算的方式不同啊计算的方式不同好，请坐。平周长与面积的计算方式不同计算的公式来不一样是吧现在来请同学们拿出 下面我们来看好谁来点评一下，看他每一个都整理对了没 好，连续。你要说 他的他的平行四边形的周长算公式，平行公式应该不是这样写的啊。平行四边形的周长公式整理错了是吧？对，应该怎么呢？嗯有没有学不学了，没有学过，但是我们会算吗？ 不会算，不会算好，请说有没有人会算平行四边形的周长的有没有 它的周长这条边和底这条边和底几条边之合呀？四条平行四边形的周长是它四条边之合虽然我们没学公式但是我们会算啊，要会算 好在这里呢他这一个呢是错的，不能说底价高啊。周长不是底价高好，那么这些公式都对了没有看一下有没有 好那么三角形和梯形我们学了没有？学了没学他的周长公式但是会不会算 会会，会还是不会？会应该会吧三角形就是什么三条边之河梯形呢？四条边之河学会推理从平行四边形的四条边之河要推倒出三角形的周长 好，那么嗯，长方形，正方形和圆圈我们选了它的计算公式这是周长面积看一下都还有什么呀对了，好，那么这个同学呢你看一下这个同学， 这个同学他都写对了，没有，笑人的说。阿里琴，来看一下， 写对了啊，都写对了，好，请坐。 好，我们又回到这里，老师来把它们都整理出来了，请同学们讨论的很认真。那么 好，哪个同学来说一说，你会哪个图形的面积公式推导？你会就举手 啊。刘德雅，我会长方形的面积公式推导啊。长方形的面积公式是怎么推导出来的？用数格子的方式推导出来的啊？用数格子的方式 数一个有多少格，数一个有多少格就有多少。快，还有没有 我们可以更加紧密的话，就可以先数它下面底下那一层的和数，然后再数它旁它旁边的那个和数，然后相乘起来，就等于它的面积啊，这排数是吧？一排有多少个数，然后再数数，然后相乘呢？这个排一排的个数就相当于它的 好个函数，就相当于它的 y， 所以 长方形的面积计算公式是，长方形用字母表示 s 等于 a b。 好， 坐下来。还有谁来 好？反过来一些，四边形是由长方形推导出来的。好，怎么推导呢？ 因为平行四边形那个角他可以移到那个缺的地方啊。平行四边形左边这个三角形沿着高剪下一个三角形，是吧？嗯，然后平移到 右边，就拼接成了一个什么长方形，长方形，也就是说平行四边形的面积计算公式是由长方形推倒出来的。好，请坐。 还有谁啊？陈新田，三角形是由平行四边形推倒的，怎么推倒的呢？两个三角形等于一个平行四边形，两个三角形 随便两个三角形都相等的三角是大小相同，大小相等就可以了吗？完全相同，完全相同的两个三角形。 好，形状完全相同的两个三角形就可以拼成一个平行四边形，这个三角形的底也就是平行四边形的 平行四边形的底，它的高呢？平行四边形的高，那为什么要除以二呀？因为它与它的角就等于角有两个三角形拼成的，是吧？所以要求一个三角形的面积就是平行四边形的面积要除以二。好，坐下来， 好，写出来。爸，你看，我会梯形的面积啊，你会梯形的面积公式的。看到两个完全一样的梯形可以组成一个平行四边形啊。两个完全一样的梯形可以拼成一个 平行四边形。平行四边形，这个时候他的底就是谁，他的底加上他的下底，加上上底就等于平行四边形的啊。梯形，一个梯形的 上底加上另一个梯形的什么呀？下底就等于他两个梯形的下底相加，就等于他平行四边形的。什么呀？底，所以呢，是上底加下底乘以高。还要什么呀？初二初二。因为是一个的 两个才能拼拼成一个平行四边形。梯形呢，只能画一半。好，请做好，还有好连续 圆。圆形可以用长方形来推过来啊，怎么推的呢？呃，把圆形分成很多个一样的三角形，然后拼接在一起，就 就像一个长方形一样。好，把圆形切分成很多个细小的三角形。三角形是吧？然后拼接成一个近似长方形的，那么长方形的长就相当于 圆的。什么圆的直，圆的半径长相当于什么？周长一半啊？周长的一半长相当于周长的一半宽呢？宽相当于半径啊，宽就相当于半径，所以它的 他本来中间呢，省略了一部分啊，就说宽呢，就相当于他的半径，然后呢，二分之 c 周长的一半乘以半径变形以后就得到它的平方。好，请坐好，这么多的 面积和周长公式，能不能少记几个呀？能能能，怎样才能少记几个呢？记住长方形的。为什么记住长方形的就行了，谁来说 好你来呀，因为其他图形都是由长方形推导而来的啊，其他这些图形都是由长方形直接或间接的推导出来的是吧？好，下面请同学们请坐啊，用小组活动 小组讨论，你能根据各个图形的推导过程拼摆出图形与图形之间的关系吗？

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