数学八下函数题100道带答案

这里是给自己家孩子整理的最值问题，八大解析技巧，有需要的家长评论区留言。

八下数学最难的一次函数压轴题全部吃透，稳进班级前三二六年八下数学压轴题专项训练一次函数十二大压轴题题型一，两个一次函数图像共存问题 题型三，一次函数与三角形全等问题题型四，一次函数与三角形存在问题 提醒五，依次函数中折叠问题提醒六，利用依次函数解决分配方案问题。完整版分享！

八年级数学最难的一次函数十二大题型寒假吃透，开学逆袭前三。

八下数学一共有两大压轴难点，一个是依次函数，另外一个就是平行四边形了。平行四边形这里细分又有菱形、矩形、正方形，咱们每一种图形都有五种性质，五种判定， 所以在很多题目他会综合在一起去考察，而且他还会结合着上一学期三角形这个全等三角形轴对称对应的一些模型去考，所以到这，老师就把菱形 结合着将军一马模型这类综合的选填压轴题的技巧教给大家，让大家遇到这种题目轻松秒出答案。 那有关于平行四边形这个章节啊，老师也把历年考过的易错压轴真题都做了一个总结，菱形、矩形、正方形、平行四边形全都拆分开来来去，呃，给大家规范了啊。这个假期呃，家长们就可以帮孩子打印出来，咱们逐个题型的学习练习， 把这些几何思维学透了，我们再去做这类综合题就不难了啊。下面呢，我带着大家一起来看看。这道题 说在菱形 a、 b、 c、 d 当中，它的边长为十，哎呀，菱形四条边都相等这么多，十，太高兴了。对角线 b、 d 等于十六，由于菱形的对角线互相平分，所以我连接 a、 c 之后， b、 d 等于十六，一边不就是八呗，对不对？ 哎，那我们整个这是十，这是八，菱形的对角线还互相垂直。我们还有一个隐含条件，不就是这是六吗？ 所以隐含条件 a、 c 不 就等于十二吗？这是我边读题边分享出来的隐含条件，我才写在这，万一用到呢，对不对？下面说 p 和 q 啊，是两个动点，问你 a、 p 加 p， q 的 最小值，看到折线段和的最小值首选，我们这道题用到什么模型？ 对了，我讲过无数遍了啊，讲过将军印马模型，它是将军印马模型的基本型，两定一动型的变形，哎，一定两动这种题目我教过大家解析的技巧，这道题的解析技巧叫做什么？ 哎，四个字叫做缓兵之计，还记不记得？哎，你虽然有一个点是动点，那我可以先把这个动点固定下来， 变成定点，去找到初步的最直的位置，再去研究你这个动点，再去解决你对不对？那我们下面就可以利用将军印马模型解题三部曲来解决了，叫做定对连，找定点对称连接，这里面 a 点的对称点就是 c 点 对称之后，然后呢，我去连接 c q 好 了，连完了之后，与这条线的交点就是最小值的位置，可是这个 q 点我们刚才把它固定下来了，它实际上是动的对不对？那它移动起来会怎么样呢？ 来，他移动这条线还会变短，因为点到直线的距离什么最短？垂线端最短对不对？数学有两大压轴难点特别重要，一个是依次函数，一个就是平行四边形。平行四边形继续往下细分，还有菱形、矩形、正方形， 所以对应的性质判定太多了，足足三十条，很多同学遇到这类综合的大题都做不出来，但是其实呢，平行四边形这里解题是有技巧的，我们把平行四边形这里常见的十五个模型掌握，像很多题目咱们都是可以秒杀的啊。 今天我就带着大家一起来说一说正方形这里相关的一个模型，十字架模型，那有关于平行四边形这一个章节，我们每一个图形、菱形、矩形对应的基础证明题，老师都给大家做了一套总结，都是历年 考试的真题，大家这个假期就可以打印出来，逐个题目逐个模型的来啊，这个学习和练习，这样的话，你把你的证明过程还有思维都固定下来以后咱们再去拔高就容易的多。

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八下数学一次函数与面积问题全部吃透，稳进班级前三！八下数学一次函数与面积问题公式法第一档、第二档、第四档，完整版可分享！

一般不是老铁我不会告诉他这个秘诀，今天悄悄告诉你，八下期末考试中经常有这样一类压轴题出没，那就是一次函数和四十五度狼狈为奸，让很多同学苦不堪言。 这个时候你不妨试一试构造等腰直角三角形，让一线三垂直来帮忙 更多一次函数解析大招，有需要的家长评论区留言即可领取！

好，我们继续来学习第一百三十页关于一次函数与我们的全等的构造。首先第一题给出直线解析式， y 等于二分之一， x 加二，与 x 轴外轴交于 a 点和 b 点好，解析式还是在图上做标记啊？已知解析式，求点或表示点 与 x 轴交点，令 y 点坐标应该是负四零，令 x 等于零，得到与 y 轴交点， b 点坐标应该是零二。 好，接着是 c 点，是在直线 ab 上，并且满足 b 点是 a， c 的 中点，也就提供的是 ab 和我们的 bc 是 相等的。接下来要求的是 oc 的 解析式，要求 oc 解析式，也就是要求 c 点坐标。利用点的坐标来求解析式， 那要求 c 点的坐标就转换成几何的信息，因为目前给的是边长相等是几何的信息，那这个时候求 c 点就是转换成几何，就是横平竖直的线段长度，那就过 c 点去做垂线。 好，那这个时候，因为目前啊，已知的就是我们的 b 点是中点， ab 和 bc 是 相等的， ab 角形可以找 abo 直角三角形，那我们就把 bc 也放在直角三角形中，所以选择过这个地方的 c 点去做外周的垂线， 好垂足。假设为 d 点的话，那代表的是有两个三角形全等，有对顶角，有直角，有 ab 和 bc 是 相等的，进而借助全等得到 oa 等于 cd， 等于四， 另外 o， b 等于 b， d 是 等于二的，那这样的话就可以得到我们的 c 点的坐标，横坐标四纵坐标应该也是四。好，那写一下它的一个分析过程，交待辅助线过 c 点做 c， d 垂直于外轴于 d 点。 好，那从而就可以得到三角形 a、 o、 b 啊，应该是全等于三角形 c、 d， b 的 判定方法应该是 a， a、 s 好对点角，直角以及边好。进而也就可以得到的是 o， a 的 长度应该是等于 dc， 等于四。另外一个就是 o、 b 的 长度应该是等于 db， 是 等于二的，进而也就可以得到 o、 d 的 长度是等于四的。 那我们的 c 点的坐标横坐标就是 c 的 长度，四纵坐标是 o、 d 的 长度。四本身也是在第一象限啊，坐标是四四，那接下来就是根据 c 点坐标就可以求出 a o c 的 解析式。 oc 是 过圆点的一条图像，意思，呃，是正比例函数 y 等于 k x， 所以 直接得到对应的解析式就是 y 等于 x 好。接着第二题给的直线 l 一， 解析式是 y 等于负的二分之一， x 加三。 解析式是用来求点的，那可以得到与 x 的 交点，令 y 等于零，得到 a 点，坐标应该是六零。然后呢，令 x 等于零，得到与 y 的 交点， b 点坐标是零三。 接着是过 b 点的直线是 y， l 二是 y 等于二分之三， x 加上 b， 那 这个 b 反映的就是 l 二与 y 的 交点，而它与 y 的 交点就是 b 点，这个点坐标是零三，那我们就可以得到 l 二的直线。解析式， y 是 等于二分之三， x 加上三的， 那解析式又是用来求点的，那这条解析式它说的是这条直线与负半轴 x 轴、负半轴交于 c 点，那如果有需要 c 点坐标也是可求的 c 点坐标。另外等于零坐标应该是负二，零 好。接着 l 三这条直线是 y 等于 mx 减 m 啊。这条直线的话，这个有一个特点，它是有一个过定点的信息，这个定点就是与 m 无关，所以它可以表示为 y 等于 m 倍的 x 减一，所以它经过定点是一零 一零。这个点的话，在我们的图像与 x 轴形成的这个交点的位置啊，但是这个交点注意一下是与 y 轴的交点，是 q 点 啊，这个 q 点指的是与 y 的 交点，所以这个时候虽然说有过定点的信息，但是这个点暂时没有标字母，我们暂时先不管好。接着他说的是 l 三与我们的 l 一 这条直线的交点是 m 点， 与 l 二这条直线的交点为 n 点，并且满足 m q 和我们的 n q 是 相等的。 好，这两条边相等，仍然是一个几何的信息，可以转换成这个呃，图形的信息，当然暂时是没有的。好，那接下来就是 m 点和要求的是 m 的 值，要求 m 可以 理解为是求 l 三的解析式。用什么求解析式？用点来求解析式， 那目前上面有三个点， m 点， q 点和 n 点，这三个点目前都是未知的，但是这个 m 点它是两条直线的交点， 那 l 一 这条直线是已知的 l 三，这条直线是带参数 m 的， 所以可以连立之后得到 m 点的坐标，用参数 m 来表示。 同样的，我们的 n 点，它是已知的 l 二与我们的 l 三的交点，所以它也可以用我们的参数 m 来表示，进而借助 n q 和我们的 m q 有 等量关系，从而建立联系。 好的，首先我们先来表示这里面的 m 点和 n 点，也就是解析式连力。好，前面的求解析式的过程我们就不板熟了啊。 首先是 l 一 这条直线与我们的 l 三 y 等于 mx 减 m 进行连力。好，连力之后得到关于 x 的 方程，解方程可以得到 m 点的坐标， 当然这个地方实际上只需要用横坐标就可以了，因为点的坐标跟几何信息产生联系，就是做垂线转换成横平的线段长度， n 点也是转换成横平的线段长度，进而借助 m q 和 n q 相等形成的能够得到形的关系，也就是线段长度之间是有关系的。好，那这个计算过程草稿纸上进行就可以了。负二分之一 x 加三等于 m， x 减 m， 那就是一项，一项的话就是负二分之一 x， 然后呢，减去 m x 应该是等于负 m 减三，两边同时乘负一，那就全部变成正的。好，那这样的话和边同内项，也就是二分之一，加上 m 倍的 x 等于 m 加三， 从而两边系数化一， m 加三，然后呢，除以 m 加二分之一。好，那如果要尽量避免分数的分子分母里面又出现的分数好，那这个时候我们可以选择上下同时乘以二，从而可以得到 m 的 横坐标。是二 m 加一分之二， m 加六。 好，这是我们的 m 点的横坐标。好，接下来同理我们可以得到 n 点的横坐标，那就是我们的 l 二，这条直线 y 等于二分之三， x 加上三 和我们的 y 等于 m x 减去 m 进行连立，从而得到 n 点的横坐标。解出来之后，结果是二 m 减三分之二， m 加六。 好，那接下来的话，得到这两个点之后，要跟几何条件 n m q 和 n q 相等来产生联系，那就把点的坐标转换成横平的线段长度，因为现在我们得到的是点的横坐标， 那就是过 m 点做外周的垂线 m e， 另外一个过 n 点做外周的垂线，比如说 n f， 那 这样的话就是借助我们的 m q 和 n q 相等，是能够得到两个三角形全等 选等就可以得到 m e 和 n f 是 相等的，也就得到 m 点和 n 点。两个点的横坐标之间是有一个互为相反数的关系好，所以接下来就是胶带辅助线啊，过 m 点好，做 m e 是 垂直于外周于 e 点 好。另外一个就是过 n 点好，做 n f 垂直于外周于 f 点 啊。借助我们的 m q 和 n q 相等，就可以得到 m q e 这样一个三角形，它应该是全等于三角形 n q f 的 对顶角、直角以及边相等， a a s 正全等 啊，正得全等之后，得到横平的 m e 和我们的 n f 是 相等的，而 m e 的 长度对的就是 m 点的横坐标，也就得到的是二 m 加一分之二， m 加六 好，那这个 n f 注意一下，是右横减左横，也就是零减去二 m 减三分之 m 加六， 好，那这个时候就是从而可以得到这样的一个关于 m 的 一个分式方程好，相当于是一个分式方程啊，那接下来就是去分母，这是二 m 加六啊。 当然这个地方在计算的时候可以稍微简化一下，就是这个分子部分实际上是一样的啊，分子部分是一样的啊，但是注意一下，不能直接两边同除，因为分子有可能等于零好，所以这个地方就是有可能是二 m 加六是等于零的 好，从而得到 m 是 等于负三的，大家注意一下啊，并不是说算的结果是负三，它就是成立的。如果 m 等于负三，那么 l 三的解析式是负三 x 加三，而负三 x 加三的话，会发现这条直线应该是刚好经过 b 点 好，一旦它经过 b 点的话，那我们的 m 点和 b 点这两个点实际上就重合了，好，就重合了啊，所以这种情况是要舍掉的 好。另外一种情况就是当这个二 m 加六，如果说不等于零的时候，那分子我们就可以两边同除好，从而就可以得到它们的分母部分，也就是二 m 加一就应该是等于负的二 m 减三， 好，把这个数字计算一下，从而得到 m 的 值应该是等于二分之一的好，从而就可以得到我们目标带球的这样的一个 m 的 值就应该是二分之一，从而得到结果好，这是我们的第二题 好。接着我们来看第三题好。第三题的话，首先给出的是直线 y 等于 x 加二 好，这个直线解析式是用来求点和表示点，那这个地方就是与 x 轴交于 b 点，那 b 点坐标求出来应该是负二零，另外是 c 点， c 点坐标求出来应该是零二， 而这个地方的负二零和我们的零二之间是有特殊联系的。 oc 和 ob 是 相等的， oc 是 一个等腰直角三角形， 实际上就是对于这种直线啊，他的 k 如果是一或者是负一的话，也就是 k 啊，等于正负一的时候，实际上提供的都是有四十五度角，等于要直角三角形，或者是说四十五度角这种信息 好。接着是地点的坐标是零一，好地点是一个已知的点啊，提供的 o d 的 长就应该是等于一的。接着 c e 和我们的 b、 d 是 垂直的 好坐标与这个地方有垂直，而我们图形本身是有垂直的，也就这个直角可以跟我们的坐标原点处的直角来产生联系。这两个直角往型里面放，形成的有一个倒角的基本型， 也就可以得到这个地方的 obd。 这个角一和我们的角 oce 的 角二，这两个角应该是有相等的关系的， 而这组相等的角旁边的 b o 和我们的 c o 是 相等的，所以相当于具备的一边等加上一角等。接着让我们求的是 e 点的坐标，那这个 e 点的坐标现有的图形直接是求不了的。 e 点，这个点啊，它可以理解为是 c e 和我们的 b d 的 交点，从函数的角度来看， e 点是一致的，点的坐标是可以用来求解析式的， b、 d 的 解析式就是一致的， 但是 c e 的 解析式目前是未知的， c 点是已知的， e 点是要求的，所以直接是不能直接用 c e。 那 这个地方注意观察，就是角一和角二是相等的， o b 和我们的 o c 是 相等的。然后呢，这个地方 o 点，这也有直角，所以相当于是 b o d 这个三角形里面满足角边直角的这个信息。 所以同样的角二， c o 这条边以及 o 点处的直角，所以我们需要把角二 o c 边和直角放在同一个形里面，那就是延长此时的 c e 好 跟我们的 x 轴形成交点。 好，这个交点我们假设为 f 点的话，那这样的话就形成的是有两个直角三角形，有一个全等的信息。好，那这个时候交待辅助线就是延长 c、 e， 然后交 x 轴于 f。 好， 一旦延长相交之后，借助我们的角度倒角，是可以得到角一是等于角二的，另外还有 ooc， ob 是 等于 oc 的 以及直角，从而就可以得到三角形 b、 o、 d， 它应该是全等于三角形。 c o、 f 的 判定方法的话就是 a s a 角一等于角二边相等以及直角。证得全等之后，是可以得到 o、 d 的 长度，就应该是等于 o f 等于一，进而也就可以得到 f 点的坐标，就应该是一零 点的坐标，是用来求解析式的， f 点的坐标是用来求 c、 f 的 解析式，那根据我们的 c 点以及 f 点，我们就可以求出来 c、 f 的 解析式是负二 x 加二。 c f 一 旦出来之后，那么这个 e 点可以理解为是 b、 d 和我们的 c、 f 的 交点，那接下来还需要去求 b、 d 的 解析式，根据 b 点是负二零， d 点是一零零一， 那就可以得到 b、 d 的 解析式。 y 应该是等于二分之一， x 加一，那接下来就是把两个解析式进行连立好，连立完了之后，就可以得到我们目标带球的一点的坐标，那它的横坐标是五分之二。 好，任意带入其中一个解析式，得到重坐标应该是等于五分之六的，从而得到目标的一个结果。 所以这个地方是借助边角勾全等的这种想法。然后呢，借助全等提供边等，进而提供横平竖直的边相等，进而提供点的坐标。点的坐标从函数的角度来看是求解析式， 求出解析式之后再去利用解析式连力得到目标带求的一点，它可以看作是一个交点啊。

好，我们继续来学习第一百二十五页关于一次函数与横纵线段的问题，那也就是横平或者是竖直的这种线段啊，如果是横平竖直的线段的话，横平的线段长度它是一条水平方向的，那这个时候就用两个点的横坐标相减来表示对应的线段长度。 相对位置如果确定的话，就是右横减左横相对位置，如果不确定，加绝对值就可以了。如果是一条纵向的线段长度，也就是数值的线段长度， 那这个时候就是用两个点的纵坐标相减来表示数值的线段长度。上纵减下纵相对位置确定，就是大减小相对位置，如果不确定，就加一个绝对值就可以了。 好，这是横平或竖直的线，那如果说出现的是斜线，那斜线的话，就是有一个化邪为直的这样一种想法，那如何化邪为直？就是横平竖直构造直角三角形， 那通过构造横平竖直的直角三角形，借助勾股的这种想法，把它转换成我们目标带球的斜线上面来。好，我们来看对应的题目。首先第一题告诉的是如图。好，直线解析式是已知的 y 是 等于负 x 加六与 x 轴， y 轴分别交于 a 点和 b 点啊， x 的 交点是 b 点， y 轴的交点为 a 点。 好解，清式是已知的，用来求点或者是引入参数表示点，那么令 x 为零， a 点的坐标就是零。六令 y 等于零，得到的是 b 点的坐标应该是六零。好，接着他说的是与我们的 y 等于二分之一 x 这条直线的交点是 c 点， 那这两条直线是两条确定的直线，所以对应的形成的焦点 c 点应该也是一个确定的点，那就把两个解集式进行连立，也就是 y 等于负 x 加六 好，和我们的 y 等于二分之一 x 连立连立，我们可以得到对应的 c 点的坐标，横坐标是等于四的，纵坐标是等于二的好， c 点也是一个确定的点啊。四二 好。接下来他说的是 p 点是直线 o c 上的一个点，并且告诉的是 p 点到 a b 的 距离是二倍的根号二 好，那这个时候具体的这个 p 点所在的位置应该是不确定的，可以大致的判断一下啊。这个上面 o c 上有一个比较特殊的点，是 o 点 o 点到 b c 的 ab 的 距离。 好，注意一下，这个 a b 往型里面放有 a b， o j 是 一个等腰直角三角形，也就是对一次函数而言，如果说解析式里面的这个 k 好， 它是等于一或者是负一，也就是 k 的 绝对值。如果等于一的时候，引含的是图形里面会有四十五度的角 啊，一三象限，二四象限的角。平分线，包括跟他们平行的直线都和坐标轴是有四十五度夹角的，所以形成的是一个等腰直角三角形。 o 点到 ab 的 距离，我们可以简单计算一下，是三倍的根号二，所以比它要稍微小一点， 但是具体的它在 c 点的左侧还是在 c 点的右侧是不确定的啊，所以严格来讲，这个地方的位置，具体的位置暂时是不定的啊，比如说 p 点在这，然后对应的它到我们的 a b 的 距离啊，这个距离比如说既作 p h， 那 p h 的 长度就是二倍的根号二 好， p h 虽然说是一条垂线段，它虽然说是一条垂线段啊，但是在平面直角坐标系里面，它并不是一条横平或者是竖直的线。 那既然不是横平竖直的线，我们就有一个化邪为直的想法，那这个时候就是找这个 p 点横平的去构造一条线啊。横平的构造一条线，能形成等腰直角，也可以竖直的构一条竖直的画一条线，把它放在直角三角形里面，理论上来讲都是可行的 好。当然有同学想，我能不能横平竖直这样构造其实也是可以的啊，也是可以的啊，只是说对于本题而言，比较特殊的就是 ab， 它是有四十五度夹角的啊，那横平和竖直的线理论上来讲都是可行的，但是在实际操作的过程中，我们尽量用竖直的线， 因为竖直的线的话，他们的横坐标是一样的，横坐标一样，我们通过解析式是可以直接表示纵坐标的，所以在表示点的时候，相对而言会更直接一些。 好，所以这个时候就是竖直画一条线，和我们的外肘平行平行倒角，那么 a 点处的四十五度就可以到我们的 q 点的位置，从而就可以得到 p h q， 它就是一个等腰直角三角形边之间有一个一比一比根号二， 那 p 的 ab 的 距离是二倍的，根和二就可以得到 p q 的 长度就应该是等于四的啊。所以这个地方啊，首先是在我们的这个啊交代，简单交代一下辅助线啊，过 p 点 啊，做 p q 是 平行于 y 轴，然后交 ab 于 q 点 啊，从而得到在我们的 r t 三角形，也就是 p q h 中，利用勾股定律等腰直角三角形可以得到 p q 应该是等于根号二倍的 p h， 也就是等于四的， 那 p q 等于四。 p q 是 一条竖线，那竖线的长度在表示的时候是上纵减下纵， 那也就需要知道 p 点和 q 点的纵坐标，那 p 点和 q 点都是在已知的直线上，那直线解析式一个是用来求点，一个是引入参数表示点，那这个地方我们就直接引入参数来表示这两个点。 p 点我们假设为 t， 根据直线解析式得到。啊，它的纵坐标是 t， q 点的横坐标是 t， 根据 ab 直线解析式，纵坐标是负 t 加六。 好，那这样的话就可以得到我们的 p q 的 一个长度应该等于上纵减下纵，也就是负 t 加六。然后呢，减去 p 点的纵坐标二分之一 t 好。 但是有一个问题，这个 p 点它不一定在 c 点的左侧，所以我们做外周的平行线跟 a b 的 交点，目前是 p 在 下， q 在 上， 但是 p 点如果在 c 点右侧，一样的思路我们牵垂的话，那这个时候得到的是 p 在 上， q 在 下， 所以相对位置实际上是不确定的。因为这个题目并没有把这个 p 点给我们，所以往往涉及到一个分类，我们用绝对值来表示，分类讨论即可，也就是把分类讨论的问题变成绝对值方程解的问题。 好，那这个时候的 p q 的 长度是等于四的好。把它整理一下，也就得到的是呃，负的二分之三 t， 然后加上六的绝对值等于四， 也就得到的是负二分之三 t 加六的值等于四或者是负四好，从而解这样的一个绝对值方程，得到对应的 t 的 值好，从而得到 t 是 等于三分之二十好，或者是三分之四啊 啊，三分之四或者是 t 等于三分之二十啊，这个 t 的 值出来之后，我们就可以得到对应的 p 点的坐标啊，那根据我们的 p 点这个坐标的表达式啊，那就直接得到横坐标为三分之二的时候啊，三分之四的时候 好，对呢，重坐标应该是三分之二，那横坐标如果是三分之二十的话，根据这个表达式得到重坐标应该是三分之十啊，从而得到目标的一个结果。 当然理论上来讲，我们横平的构造也是可行的，也是可行的啊，只是说这个时候的点的重坐标是一直的是等于这个，比如说这个 t 的 话，那重坐标是二分之一 t， 那 就是二分之一 t， 然后呢，等于负 x 加六， 然后呢，把这个 t 点的横坐标表示出来，再用右横减左横加绝对值表示。呃， p t 的 长度等于四也是可行的啊啊，包括有同学会想，我们能不能直接把 pc 横平竖直放在直角三角形里面啊？这个其实也是可行的 啊，也是可行的啊，那这个时候就可以得到啊， p h 毛毛，它也是一个等腰直角三角形，那 p h 是 二倍的根号二，那么就得到两条直角边长都是二，那把 p 点表示出来之后，横坐标加二， 然后呢，纵坐标加二，得到 h 点 h 点在 ab 这条直线上也是可行的，只是说我们直接牵扯到我们的这个 ab 这条线上来会更直接。一， 我们来看第二题，首先告诉的是直线 y 等于 k， x 加 b， 经过 a 点和 b 点，在图上做标记啊， a 点坐标是负二零 好， b 点坐标是零四，那点的坐标从函数的角度来看，应该是求解稀式的，根据 ab 两个点，我们是可以去求 ab 的 直线解稀式，也就是这个地方的 k 和 b。 所以 第一问的话，直接代定系数法， a 点坐标代入，也就是零是等于负二， k 加 b 的 b 点坐标代入四是等于零，加上 b 的 好，从而待定系数法得到 k 和 b 的 值， k 等于二， b 是 等于四的，那 ab 的 解歧式是已知的，也就是 y 是 等于二， x 加四的 好。接下来还有一个点是 c 点， c 点坐标是零负一好，那根据 a 点和我们的 c 点是可以求出 ac 直线解析式的，因为第二问里面也用到了 ac 这条直线好，那待定系数法求出 ac 的 解析式是负二分之一， x 减一 好。所以这个地方啊，首先第一个啊，就是根据我们的带电系数法啊， ab 的 解析式应该是 y 等于二， x 加四。另外一个 a c 解析式， y 是 等于负二分之一， x 减一 好，那解析式是用来求点以及引入参数表示点。接下来给的是 e 点，是 ab 线段上的一个点好，已经限定的是线段上的一个点啊。然后呢， f 点是直线 a c 上的一个点。实际上啊，接下来的话给的信息， ef 的 长度是等于三的 好，两个图形，一个横平，一个竖直。第一个是如图， e e、 f 如果平行于外轴，那平行于 b c， 也就是平行于外轴，平行外轴就说明 e f 是 一条竖线，竖直的线段，长度在表示的时候是上纵减下纵， 那目前就是如果要知道纵坐标的话，我们就需要知道一点和 f 点的坐标，那这两个点的坐标目前都是未知的，但是这两个点都是在两条已知的直线上，所以我们是引入参数来表示一点和 f 点的坐标。 好，首先我们是一点，一点它是在已知的 ab 这条直线上，令它的横坐标假设为 m， 那 根据直线解析式就可以得到纵坐标是二， m 加四。 好，因为要保证一点是在线段 ab 上的，所以这个时候的横坐标 m 是 有限制条件的，应该是大于负，大于负二，然后呢，小于 零的好，因为是线段啊，所以是可以取等的，所以这个地方的 m 它是有范围的。好，接着根据我们的这个一点就可以表示出 f 点， 因为是一条竖线，横坐标是一样的，那 f 点的横坐标也应该是 m。 根据 a c 解析式得到纵坐标是负二分之一， m 减一， 那接下来点的坐标表示出来之后，表示 e f 的 长度。 e f 是 一条数值的线段，上纵减下纵，因为一点已经说了在线段 a b 上，所以相对位置是确定的，一在上， f 在 下， 所以就用一点的纵坐标二 m 加四，减去 f 点的纵坐标负二分之一， m 减一，从而得到结果是等于题干条件提供的三，也就得到了一个关于 m 的 一个一元一次方程。好解，方程得到对应的 m 的 值应该是等于负的五分之四的。 好， m 的 值一旦出来那么一点的坐标也就知道了，横坐标是负的五分之四，然后代入表达式，得到对应的纵坐标应该是五分之十二。 好，这是第一种情况，就是我们的 ab 的 一个呃解析式啊，然后另外一个就是引入参数，表示一点数值的线段。当然，如果说这个题目没有限制在线段 ab 上 啊，如果没有限制在线段 a b 上，那如果说这个一点是在直线 a b 上，它有可能是在 b 点的右侧和 a 点的左侧， 所以这个时候如果在 a 点的左侧，那做 y 轴的平行线，得到 e f 这条数值的线段， e 点在下， f 点在上，相对位置就会发生改变，那我们在表示线段的时候注意一下，就要加绝对值，大减小就可以了，相对位置不确定是加绝对值。 好，接着第二小题的话给的是 ab 式啊，这个 ef 是 平行于 o a 的， o a 是 x 轴上的线段，也就是 ef 平行 x 轴是一条横平的线， 横平的线段长度在表示的时候是右横减左横，也是需要点的坐标，所以这个时候仍然是根据已知的解析式来表示点的坐标。 ab 解析式是二 x 加一，然后 ac 解析式是负二分之一， x 减一， 那还是一样的。先表示一点横坐标，假设为换一个字母啊，区别于前面一问，假设为 n 的 话，那纵坐标就是二 n 加四， 那接下来就表示这个地方的 f 点啊， f 点的话，目前注意它跟一点是有关系的，就不需要再重新设参数了，那这个时候就是他们的是一条横平的线，横平的线的话，对应的是纵轴上的坐标是一样，也就是纵坐标是二 n 加四， 那根据它的纵坐标是二， n 加四表示它的横坐标，那就把这个纵坐标令这个 a c 直线解析式的 y 等于二 n 加四，好，也就是令二 n 这个地方的首先是一点，横坐标是 n， 纵坐标是二， n 加四，好，接下来就是令我们的二 n 加四是等于负二分之一 x 加减一的，这是 f 点的横坐标，然后减一好，从而可以得到 f 点的横坐标的表达式。 f 点的横坐标，此时就应该是等于负四 m 减十 啊，一项和平同内项系数化一好，那表示出来对应的点的坐标之后，接下来就是我们目标的线段，也就是 e f， 此时 e f 是 一条横平的线啊，因为一点是在线段 a b 上，所以做 x 轴的平行线， f 点始终是在一点的左侧，一点在右侧，所以相对位置确定的情况下，右减左，表示 e f 的 长度，也就是用我们的一点的横坐标 n 啊，这个地方是 n 啊， 一点的横坐标是 n， 然后呢，减去 f 点的横坐标，应该是负 n 减十啊，然后呢，它是等于三的，那从而就可以得到对应的 n 的 值，应该是等于五，这个啊，那就得到结果啊，是负的五分之七， 好，那得到 n 的 值之后，从而就可以得到我们的目标带求的一点的坐标。横坐标是负的五分之七，好，带入到对应的这样的一个表达式，得到它的纵坐标应该是五分之六啊，也就得到一点的坐标。 所以如果是横平的线，就是右横减左横，如果是竖直的线上纵，根据求得的解析式引入参数表示点，进而表示横平数值的线段。建立方程的想法啊。 一样的，如果说没有限制这个一点是在线段 a b 上，那这个时候一点如果在 a 点的左侧，那做我们的 x 轴的平行线，会发现一点在做 f 点在右，所以相对位置就会发生改变。那在表示线段长度的时候，就注意要加绝对值 啊。这个题目已经限定的是在线段上，所以不需要加绝对值啊，或者说不能加绝对值啊。

八下的孩子对于今年数学的一个重难点呢，就是一次函数和四边形，那四边形呢，因为有之前的一个几何的基础哈，学起来呢，相对比较还算轻松一些。 但是函数内容呢，他比较抽象，而且难理解，尤其呢是函数的综合体，是很多孩子的一个丢分的一个重灾区哈，所以说，函数一定要做一个系统的一个专项练习， 要确保把每个专题每类题型都吃透。推荐艾麦斯函数训练营，瑶瑶之前呢，一直在用艾麦斯的一个几何模型，那整体用下来呢，它的编排还是很不错的。那这本书呢，它的题型呢，是属于不偏不怪的，而且比较硬实。 每道题呢，它都有一个视频的讲解，而且字迹也够大，排版呢也清晰，每道题他先有知识点拨，然后再搭配母题的一个详细解析，最后呢是巩固练习，能够帮助孩子呢把专题呢真正吃透。 内容呢，是从函数的一个初步认识到一次函数实际问题到一次函数的综合题，像行程啊，工程等高频考点呢，都包含在内。直级八年级的函数的一个核心难点，那函数学渣时哈，对后面的学习像反比例函数啊，二次函数，锐角三角函数都能打下一个很好的基础。所以说哈，八下开始学函数的孩子， 非常建议配上这本函数专项。那在孩子做难题时呢啊，先让他去独立思考五到十分钟，如果孩子没有思路，就可以直接扫码呢，看视频讲解，看到有思路的地方，就让孩子暂停，然后自己呢去独立完成。同时呢，做好相关的一个错题整理 八下数学难度哈确实是明显有所提升，而且所说的八年级两级分化关键的学科就是数学，而且就是在八下，所以对于函数和几何这一部分的内容一定是要牢牢抓住的，尤其是函数，确实难理解，让孩子呢把基础打扎实，对于孩子后续的学习才会有所帮助。

八下数学最难的一次函数十六大题型，寒假吃透逆袭班级前三！八下数学寒假预习一次函数十六大必考点及例题。考点一，一次函数的概念。 考点二，判断一次函数的图像。考点三，根据一次函数的性质求参数。考点五，确定一次函数经过的象限 考点七，根据一次函数的性质比较函数数值大小。考点八，根据一次函数的性质比较自变量大小。考点十一、一次函数的平移完整版分享！

八下数学最难的五大压轴题，寒假吃透开学逆袭班级前三八下数学一次函数实际应用五大压轴题题型一，分配方案问题 题型二，最大利润问题题型三，行程问题题型四，几何问题题型五，其他问题以上均有电子版。

大家好，今天我们来看这道一次函数与几何图形相结合的题目。先来看题，在平面直角坐标系中，一次函数 y 等于 k， x 减三的图像与 y 轴交于点 a 与 x 轴，负半轴交于点 b。 先看第一题，如图，若点 b 负四零，点 b 关于 y 轴的对称点为点 b 撇，求直线 ab 撇的函数表达式。 先写几啊。有题目可以知道，点 b 的 坐标是负四零，然后 b 撇和 b 关于 y 轴对称，所以可以得到 b 撇的坐标是四零， 因为他要求的是直线 ab 撇的解析式。那么直接把 b 撇的解呃 b 撇坐标带进去，就可以求出这个 k， 进而求出解析式，当 x 等于四时， y 等于四， k 减三等于零，所以可得 k 等于四分之三，所以解析式为 y 等于四分之三， x 减三。那么我们第一小问就顺利求出来了。再来看第二小问， 在 e 的 条件下，点 c 是 线段 b、 b 撇上不与点 b、 b 撇重合的一个动点。注意，这里是不与点 b、 b 撇重合的，点 d 是 线段 a、 b 撇上的一点。先满足角 a、 c、 d， 也就是这个角等于角 a、 b、 b 撇。 当三角形 a、 c、 d 为等腰三角形时，求点 c 的 坐标。这里有个条件是三角形 a、 c、 d 为等腰三角形。 等腰三角形我们并不知道哪两个条边是相等的，所以我们要分类讨论。分三种情况来讨论，分别是 a、 c 等于 cd 等于 ad， 还有一种最后一种是 ca 等于 ad， 那 么我们依次去算。 先看第一种，也就是 c、 d 等于 a、 d 的 情况。由一开始的题目我们就可以得到角 a、 b、 b 撇，它是等于一个角 b、 b、 b 撇，呃角 b、 b 撇 a 的， 然后又用一开始的条件，角角 a、 c、 d 等于角 a、 b、 b 撇，我们可以得到，因为所以这角 呃角 a、 c、 d 应该是等于角 b、 b 撇 a， 然后又有我们的这个条件，我们可以进而得知呃角 a、 c、 d 等于角 c、 a、 d， 所以 这两个 有这两个条件，知道角 c、 a、 d 等于角 c， b 撇 a， 然后竟然可以得出等腰，也就是 a， c 等于 c b 撇， 然后我们会发现，因为它是在平面直角坐标系中，所以角 a、 o、 c 是 一个 直角三角形，然后我们就可以得到 o a 的 平方，加上 o、 c 的 平方等于 a、 c 的 平方。然后我们细看这里的 o， a， 我 们是知道的，因为这是 y 等于，哦不对，刚才算出来 y 等于四分之三， x 减三，所以 a 的 坐标也就是是零负三，所以 o a 就是 等于三，这里的 o， a 等于三， 然后 oc 的 话，它就相当于是 o b 撇减去一个 ac， 然后它就是四减 ac， 然后剩下一个 ac， 所以 我们可以设 ac 等于 x， 设 a， c 等于 x， 然后根据这个勾股定律来列一个方程，然后可以得到九，加上四减 x 的 平方等于 x 方， 然后我们就可以算出 x 是 等于八分之二十五的，因为 a、 c 它是等于 b、 c 的 嘛，所以可以得到 b， c 也是等于八分之二十五，所以 o， c 等于八分之七， 八分之七，所以他要求的就是点 c 的 坐标嘛，所以点 c 的 坐标就是八分之七零，这样我们第一个解就顺利求出来了。再来看第二种， 第二种的话就是 a、 c 等于 c、 d 的 情况，稍微画浅浅画一下图啊，就是这种情况 c 在 这 这种的情况的话，我们采用一种倒角的方法，因为角先设设角 acd 等于二 r 法，因为它是个等腰三角形，等会算起来应该会方便一点，所以设的是二 r 法。角 a、 c、 d 啊， 然后因为角 a、 b、 b 撇等于角 a、 c、 d， 所以 角 a、 b、 b 撇等于角 b、 b 撇 a 等于一个二二法， 然后因为 a、 c 等于 c、 d， 它们两个它俩相等嘛，所以可以得到角 c、 a、 d 等于角 c、 d、 a。 因为三角形内角和等于一百八十度，然后又得，我们又假设了角 a、 c、 d 等于二 r 法，然后就可以算出呃角 c、 d、 a 就是 等于九十度减 r 法， 然后因为角 c、 d、 a 等于角 c、 b 撇 d， 加上角 d、 c、 b 撇， 所以可以得到角 d、 c、 b 撇等于一个九十度减三二法， 进而可以求求得角 a、 c、 b 撇等于九十度减二法。因为刚才 a、 c、 d 是 二二法，角 d、 c、 b 撇又是九十度减三二法，两者一相加，就是角 a、 c、 b 撇的度数。 然后一开始不是知道了吗？角 a、 b 撇 b， 他 是等于二二法，再用一个三角形内角和，我们就可以得到角 c、 a、 b 撇，他是等于角 a、 c、 b 撇的，他们两个都是等于九十度减二二法，所以我们就可以得到 a、 b 撇等于 c、 b 撇，这样就好算了嘛，因为 o、 a 等于三， o、 b 撇等于四，勾股定律很容易就可以算出 a、 b 撇这个值等于五，所以 c、 b 撇也是等于五， 然后 o、 b 撇等于四嘛，所以 o、 c 它就是等于一，然后 c 在 负半轴上，所以 c 的 坐标就是负一零。第二种情况我们也顺利求出来了。再看第三种， 第三种的话就是 a、 c 等于一个 a、 d 撇的情况，大概就是呃，先不看最后的答案，大概可以画成这样。 这种情况的话，因为啊，这个点是 d 啊。角 a、 c、 d 等于角 a、 b、 b 撇等于角 a、 b 撇。 呃， a、 b 撇 b 嘛。然后又由这个 a、 c 等于 a、 d、 c， 我 们可以知道，角 a、 c、 d 等于角 a、 d、 c。 然后因为角 a、 d、 c， 它是等于一个，如果它是个三角形的话，它是等于一个角，角 d、 b 撇 c 加上一个角，加上角 d、 c、 b 撇。 但是我们现在发会发现，这里的角 a、 d、 c， 它是等于那个角 c、 b 撇 a 的， 然后呃，所以就说明呃 d、 d 与 b 撇重合， b 与 c 重合。然后我们回过来看题目 呃，点 c 是 线段 b、 b 撇上不与点 b、 b 撇重合的一个动点，所以第三种情况我们要舍掉。 所以综上我们得出了两种答案，一个是 c 一， 也就是八分之七零，一个是 c 二，也就是负一零。好了，我们第二小问也顺利 好，我们接着来看第三题。如图三，若角 o、 a、 b 等于六十度，动点 c。 在 线段 b、 o 上 将线段 a、 c 绕点 a 顺时针旋转六十度，得到线段 a、 d 连接 c、 d、 o、 d。 请直接写出现段 o、 d 长度的最小值，他让我们求的是最小值， 然后告诉我们角 o、 a、 b 等于六十度。一开始题目其实已经告诉我们了，这个 o、 a 它是等于三的，所以相当于三角形 a、 b、 o 这个三角形已经固定了，就不用再管它它会不会变了。 将线段 a、 c 绕点 a 顺时针旋转六十度，也就是相当于这个角， 也就是 c。 角 c a d。 角 c a d 等于六十度。因为它是旋转嘛，所以 c a 等于一个 ad， 然后我们可以发现三角形 c a、 d 就 相当于一个正三角形， 然后它现在要求的是 o d 长度的最小值 o d 现在在这边肯定不好算嘛，我们想着把它能不能找到全等，把它给转化一下， 我们会发现 c a 和 a d 是 相等的，然后角 b o b a o 等于六十度，角 c a d 也等于六十度，呃，所以角 b a o 等于角 c a d。 也就是然后他们俩共共同都有一个角 c a d， 也就是然后他们俩共共同都有一个角 c a d。 然后就需要我们自己截取了一个，我们在线段 ab 上截取 am 等于 ao， 这样方便构造全等 a m 等于 a o 之后呢？我们看看全等条件够不够，够不够？第一个是 a m 等于 a o， 也就是边的条件。第二个是角 m a c 等于角 o， a d 是 角的条件。然后第三个是 c a 等于 d a， 呃，这利用了 s a s， 所以 我们可以证明三角形 a c 全等于三角形 o a d。 然后我们就顺利地把这条 o d 边转换到 m c 这来了，所以可以得到 m c 等于一个 o d。 然后我们现在就相当于要求 m c 的 最小值， 求 mc 的 最小值的话，我们会发现这里 o a 的 长度是固定的，然后 am 是 等于 a o 的， 所以可以得到 am 值是固定的， m 的 点就相当于就是固定在这不动，然后只能去考虑 c 怎么跑， c 怎么跑使 cm 最短？那么肯定是垂垂直最短嘛，所以当角 mcb 等于九十度时， cm 取最小值。 嗯，那么我们就继续看当角 bcm 等于九十度时，它具体是多少。 这个角等于三十度，三十度所对直角边等于斜边的半， o a 等于三，所以 ab 的 值就是六， 然后又得到。又因为 am 是 等于三的嘛，所以 m b 他 就是等于三。 三十度所对直角边等于斜边的半，得到 cm 等于二分之三，所以 cm 的 最小值就是二分之三， 进而可以得到 o d 的 最小值，也也是二分之三。所以第三题也就迎刃而解了。好了，今天的课就讲到这里，拜拜。

这道题太难了啊，双重二次根式的化简可谓是我们整个八项二次根式这个计算章节的王炸题型，为什么？因为这类题目隐晦的考察了你构造的思想，今天我用一个视频，三个步骤带你搞定这类亚洲题。 那有关于二次根式这里的题型啊，老师也给大家准备了计算必刷的五十题，这个假期家长们就可以帮孩子打印出来，逐个题型来进行练习，每天十道题，把计算能力咱一定要提升上去，速度提上来啊。下面咱们一起来看这道题， 想想这道题，我想化解双重的这个二次根式，把它的帽子摘下去。那怎么样才能把二次根式小帽子摘下去呢？咱们想到二次根式的性质， 是不是？我们有根号下 a 方等于 a 的 绝对值的这个性质对不对？所以如果我把根号下的这个家伙变成谁的平方的形式，咱们是不是就可以摘帽了？这个就叫做摘帽仪式。 那怎么把它变成谁的平方形式呢？咱们这个时候就搬救兵了，这个救兵就是我们所说的，哎，完全平方公式，完全平方公式长成什么样啊？ a 方加减二 a b， 再加上 b 方的形式对不对？那你看，这有一个二乘根号三，好像是一个二 a b 的 形式，所以我要把二乘根号三，就可以写成二乘根号一， 再乘以根号三，可不可以？哎，那这个时候我们还要拆前面四，我得拆成两个数， 我得让对应他们满足 a 方加 b 方，哎，两数相加等于四，而且这两个数开方之后相乘得等于这里 ab 的 形式对不对？也就是等于这个根号三形式， 所以找两数相乘等于根号三，哎，对不对？那两数相乘等于根号三，这两数的平方相加还等于四，这两个数是啥呀？ 不就是对应哎一的平方和根号三的平方吗？对不对？哎，这个时候你会发现这个式子有首平方，有尾平方，哎，中间是不是还有 g 的 二倍呀？所以构造出了一个完全平方形式，它就直接等于一加根号三的完全平方了， 再加上外面的小帽子对它进行化简，而一加根号三一定是正的，所以去掉我们的小帽子，它就直接等于一加根号三了，完美的脱帽仪式。 那下面啊，给大家留一个小小的练习，大家自己做一做。请你啊来给它化简一下，还是一样凑完全平方公式，找两个数相乘等于它，找这两个数的平方相加等于它。那下面请你自己做一做，把答案留在下面。