数学漫画马年含几何图形方程符号

中线，高线，角，平分线，祝你万事皆如愿，正数负数，有理数，祝你好运。数对零角，零补角，圆周角，祝你万事没烦恼！方程代数因式分解，步步拆解皆顺利。 平面几何尺规作图，万事称心皆坦途。马年亮亮，祝你树海扬帆，策马扬鞭，未来可期，跟着亮亮无脑学习！

大年初一，源哥来拜年送祝福了，祝大家前程似锦，寒暑方舟全吃透，策马扬鞭，几何争鸣不犯愁，马跃龙门倒车应用样样牛，领马送福，项量运算 次次优！新的一年，愿孩子们数学稳提分，一路开挂，考出一项成绩，顺利上岸！新一院校评论区敲接接接！源哥帮大家把孩子的数学好运，升学好运全接住，祝大家新年快乐！

早上好啊昨晚上题没抄啊昨晚上这个这个这个那个塑身结合这个都会了吧。啊 我给它变一下啊变一下再再给大家变一下类型啊先讲那种难题之前我再给它再给它变个类型大家看一下啊啊怎么变我看看啊呃 怎么整 呃就是说塑形结合啊两不管是几条边你知道吧 不管是几条边只要你掌握了这个技巧啊只要你掌握了这个技巧 几条边都可以啊。嗯来一只啊一只。 呃 x 加 y 加 z 等于六对吧。呃知啊啊求 求呃根号 x 平方加一加上根号 y 平方加九加上根号 z 平方加十六 呃那边写了哈 z 平方加十六 求他的最小值啊求他的最小值 我怕用字母代替你们看不懂啊好了来我们来看三项的。嗯一样对吧先画小三角形啊这个 这个就是 x 对 吧它现在一吧对不对一的平方不是一吗就是求这条边对吧就等于它吧好了看这个 随便画啊你不要不要怕画错随便画大胆的画啊这个是 y 吧对不对它是不是就改成三个平方啊对不对。这就是三呗那么它就在这了呗对吧。画这个 啊这是 z 它就是四个平方呗对不对好了我们今天求它加它加它的最小值也就是说这条边加上这条边加上这条边三角边 加在一起的最小值对不对那么我们就画图呗是吧画图一告诉我们 x 加 y 加 z 等于六说明这三条线段在一起明白了吧。啊完了我们画啊 嗯 我先先画一条线段 啊先画一条线段假设这条线段它等于六，对不对？它等于六啊， x y z 随便随便取啊，随便取，怎么取都行啊，那么我就呃， x 在 这吧 啊， x 在 这， y 在 这， y 在 这，剩下是 g， 行吧，这这这可以随便画啊，那么这一段，这一段就 x 吧， 对不对？这段呢？就是 y 吧，这段就 z 吧， x 加 v 三， z 等于六，对不对？好了，我先画一个一啊，画一画一个一，跟 x 连上， 好了，这段是一对吧，好了，我再啊，这，这段是 y 吧，对不对？我再画一个三 一一二三画在这儿啊，大概啊，然后这么连啊， 对吧，记住这个三角形了吧，对不对？他，他这就是三，能看懂吗？那么这怎么办？这个图形怎么表示？这个图形怎么表示？ 会吧，就给他挪下来，就给这段挪下来，挪这来啊，给给这段给这段挪下来，挪这来，就相当于这样的，这能看懂吧，是吧？就相当给他挪下来， 把这边挪下来了，然后在这边取，它就是四呗，是不是？画四？画四呗，比它大大一截步呗，就取这 取这。我画的，我画的不标准啊，大概就这么样啊， 这是吧，然后再给他连起来， 你现在现在就变成什么了呢？这条边加这条边加这条边的最小值， 是吧？首先你得会画图啊，你得会画图，画图很重要，别给你三项时，你就，你就不会画图，给你四项时，五项时六项十项，给你一百项，你就给他往下读， 就是你不知道这钱怎么花的话，你就把这条线挪下来，跟他连上，再挪一下，再挪再挪，再挪，再挪，就一定往下连，后边连接一起，对不对？好了，那么我们现在就看吧， 这边是四，对吧？要想要想求要想求。这三条线段加在一起最小值是不是必须 我上面讲过了吧上个例题我讲过了对不对？他们要贡献嘛对吧他要贡献嘛。是不是他俩是活动啊随便活动嘛。嗯明明取值范围你随便不是吗？他俩就随便随便你取值啊。但是必须要在一条线上的啊 必须要在一条线上。嗯就是连接这个 啊必须得一条线上。那么给它往下延伸啊 对吧再给它拉过来 对不对？好了来我们给它分开。 嗯对吧。这段是三吧这段是四吧对吧这段呢不就是 x y 加 z 吗这段是六呗， 对不对？就就就拿图算咱就拿图算，不用不用算式了就拿图算。一三四加四等八这段就是八这段是六那么这段是几 这个长度是几不就十吗那么它的最小值不就是它的最小值不就是十吗这样题就完事了。 就是塑形结合很快的做题你知道吗非常非常快只要你会画图它就非常非常的快啊，就不用嘎嘎。这这也算干嘛了？没用啊太慢， 明白了吧知道吧，擦掉了啊没用了。 咳咳，再给大家来一道题啊。嗯 咳 咳。 这期是什么呢？ 说，呃啊 根号 x 平方减六 x 加十加上二分之根号二 x 的 最小值 啊。他最小值没有一致条件直接就问你最小值。 大家看看这道题 这道题难点在哪你知道吗？难点。难点不在这面啊难点在这这道题他他考察的是什么啊我看一下啊。 嗯咋考察就是你的你对特殊角的构造 知道吗？就是咱咱们学特殊角的构造。特殊角都有什么？是不是三月三十度了是吧？三月十五度了，三月四十五度了，烤山药三十度了，烤山药十五度了，烤山药四十五度了，烤山药六十度了，山药六十度了，弹力才六十度，弹力才四十五度，弹力才三十度， 它弹进了十五度，还考察一百五十度，这都是属于那种特殊角的，明白吗？要考察就这些考考察什么 c， 考察 t， 考察你这些特殊角 得运用啊。嗯，好嘞，我们来看这道题啊，拿过来题以后啊，咱先看啊，先看这写， 先写个几啊，大家看啊，这个咱先不看它了啊，咱先看它，它可不可以变成变成个来进平凡公式的变箱啊，可不可以？ 可以吧，我们我们前我前期给大家讲过啊，你得会拆，没有的话就拆，拆开让它变成有。看这下 它要是 x 平方减六 x 吧，那么减六 x 减六 x 的 话，那么那么 x 旁边那个系数是几啊？ 嗯，它得是三吧，对不对？是不是等于三？就是，也就说它是 x 减去三的平方， 开出来以后才能有 x 平方减六 x 吧，对不对？这边加九是吧？是不是这个形式跟这个形式差个差一吧，那么我就在这个补个一上， 是不是？也就是说这一项可以变成什么？ 可以变成什么 x？ x 减三的平方加一可以吧，那么这个呢，这个呢？ 这个咱先照写啊先照写，画图的时候我告诉你们啊，这先照写，加上二分之根号二 x 啊，好了，录到这儿，我们开始画图啊，我们开始画图，这图怎么画啊啊？ x 减三， x 减三，配上一个一，也就是说有一个边是一，它可以变成一的平方。嗯，这道题我也没算啊，我也没算，但是大概是不是我知道啊， 还可以配个一配一， x 减三啊。直线这个，这个根号里边这个 x 减三的平方，我们可以给它变成什么？ 可不可以给它变成三减 x？ x 减三和三减 x 平方以后数是一样的，是不变的啊，所以说我们可以给它变成三减 x 啊， 这样有利于我们做图啊。做图好了，来，我们来看啊，我们来看。我们来看是什么？什么一个概念呢？就是说，嗯， 三减 x 是 一个距离吧，对不对？是不是？也就是说怎么讲你们能明白啊？先这么讲啊， 这是一个结论，对吧？现在呢？ x 减三啊，三减 x， 如果说 x 是 这些的话，那么这些就是三减 x 吧， 这个长度就是三减 x， 对 不对？对吧？总长度是几？总长度不就是三吗？能不能理解这个问题？能不能理解这个问题？ 嗯，能理解这个问题吧？总长度就是三，这一段就是三减 x， 那 剩下一段就是 x， 用，用图来表示出来就是这样表示出来的啊。剩下这一段就是加上 二分之杠二 x 加上这一段的图形里面配上去是什么样的啊？那我画给你们看啊。 嗯，画给你们看。假如说 这段等于三啊，这段等于三，是吧？然后，嗯， 这段等于 x， 这段不比这段等于 x， 这个 s 有 点远，这段等于 x 吧，这段等于 x 吧，这边就是三减 x， 这段等于 x， 总长度是三，对吧？好了，这边是三减 x， 对 不对？我们构造一个三角形出来啊，三减 x 是 吧？这边就是一吧， 这段是一，对不对？这段是一啊，然后呢？连上去对不对？那么这个代数式 就是这段了吧，我们看这 a， b， c， d， c， a， c 就是 这段吧， 是不是？好了，我们现在啊来研究这个根号二 x 啊，这根号二是什么？ 嗯，刚才我跟你我讲这道题之前前面我都已经讲过了啊，这几个角，特殊角啊，特殊角，哪个角？ 它能等于二倍的吧？二分之二二，嗯，哪个？三四十五度吧。我靠，对三四十五度等于 等于二分之二， 这是死的啊，不信你上去查字典去啊，自己去查去啊，这是死的。你是说什么呢？我们给定角了，明白吗？这个二倍根号二的目的是什么你知道吗？就是告诉你角度， 就是告诉你角度，下个三角形，你，你下一个三角形的角度是多少？它就是三四十五， 他就是三点四十五度，给角给你定出来了啊，下个三角形顶点就是四十五度啊，以以低点为为，那什么？那么我们该怎么做这个三角形，对不对？那么这个怎么做？ 我们就不能取长度了，明白吗？我们要取角度，知道吧？因为二分之二就是四十五嘛， c 四十五，那么我们又画一条我看看啊，这，这在这呢，我们就画一条， 这个角是四十五度的角啊， 这个角四十五度，对吧？好了，那么以这个，以这个点 c 点啊，往 这个 a， b， c， d， e 好， 就坐这就行 e 吧，以 c 点往 d e 做条垂线， 对不对？那么这个三点四十五度是不是等于二倍刚好二了，对不对？这个边比这个边 c f 比 cd 就 等于四十五度呗啊？ c f 比 cd 就 等于刚好二啊，不就等于二分之刚好二，因为它是四十五度， 明白了吧？这是死的啊，这是死的。那么下一步我们再怎么办？ 比如说，比如说，那么好了，那么 c 点是证明什么呢？证明这个 c 点它是动的啊，它是动的，它动哪它动哪， 它是最小值。嗯，现在要求是什么？要求的就是 a c 加 cf 的 最小值。 能，这把能，能不能听明白？要求什么？这道题求的是什么？要求的就是 a c 加 cf 的 最小值。你说为什么？大伙为什么你要做垂线呢？因为它是三四十五度， 他就告诉你三四十五度，你就必须要做垂线，这是死的啊，就不用问我为什么啊，自己回去查字典去。好了，我们连上以后，我们现在就要知道所求的就是 a c 加 c f 的 最小值。 c 点是动的，点 c 是 移动的啊，它可以移动，随便移动，移动到哪儿它最小就这两段距离最小，移动到哪儿。角是固定的，说明必须要做直角，也就是说什么呢？ 通过点 a 做 d、 e 的 垂线啊， 大家在这吧。 嗯，小于 m， 这个是九十度，也就是说点 c 移动到这儿的时候， 点 c 移动到这儿的时候， c 撇啊，这边距离是最短的，明白了吗？你不管你怎么移动，它是最短的，不信你看你怎么移动都行，移动到这也行？始终移动到这也行，它是最短的啊。好了， 那么我们现在看啊，我们现在看这个角是四十五度吧，对吧？他告诉咱们的啊，二一杠二二，对吧？这个角四十五度，那么这是直角吧，说明这个角也是四十五度，对不对？对吧？这是九十度及九度，两段之间平行，这个角也是四十五度，对不对？ 对吧？那么这个角也得是四十五度吧？对，顶角相等吗？这个角也是四十五度，这是个直角，那说明这个角也是四十五度，它说明 ab 等于 bc 撇，这这条边等于一， 对不对？ b c 撇等于一吧，对吧？那么 a c 撇 a c 撇 在这了啊，要求是最小值的。 a c 的 c 撇撇啊。 c 撇 m m， 那么 a c 撇加上 c 撇 m 的 最小值就是它的最小值吧。我们要求这求这个， 那么我现在要求 a c 撇的话怎么办？这边等于一，这边等于一，那这边等于几？是不是杠二，对不对？ 是不是就等于括号二，对吧？那么他是一，他是一吗？他不就括号二吗？好了，这个我们求出来了啊。他等于括号二，我们来求这个啊，我们来求这个。这个等于多少？ 能不能看出来这个等于多少？ 哼，能不能？能不能看出来这段是二吧？ 因为整个长，整个长度嘛，对不对？整个长度是三嘛，对吧？整个长度是三，这段长度是一，这段长度就是二呗， 能看出来吧，对不对？能不能看出来这个长度是二吧？那么这段长度得几？ 嗯，我要演演演算一遍啊。 c 撇 m 比上，因为它三四十五度啊，比上 c 撇 d 等于 二，分之根号二，对吧？ c 撇 d 等于二， 对不对？ c 撇 d 等于二，对不对？那么 c 撇 m g 撇也得等于二吧？也得等于。呃，也得等于根号二吧。 是不是大业加成一千六，他不就刚好二吗？对吧？是不是？能不能看出来？那么他的角是多少不就求出来了吗？ 能不能看出来啊？ 没毛病吧？嗯，把这边求出来了，把这边求出来加在一起， 不就是这道题的最小值吗？而这道题主要考察的是什么你知道吗？ 这题主要考察是什么？主要是考察你画图啊，比比咱们前面讲的第一道题的类题要难的一部分在哪呢？首先你要会拆开， 会，呸啊，这是第一，第二，你要会画图，第三，你要知道一些特殊角，他给你个二分之二分之二 x 的 目的是什么？目的就是告诉你三点四十五度，把你角定出来，明白了吧？啊？ 没什么了，是不是那个那个，那个画图很快做题是吧？写修就这么修快啊。但是这道题我们要可以用那什么啊，可以用那科七不等式， 用科七不等式就给他秒了，明白吗？但是科七不等式不能用在一个做这个做题上面哈，他需要初中阶段的啊。初中阶段科七不等式不能直接用，但是科七不等式可以用在哪呢？可以用在 啊填空题、判断题和选择题上，但是后边大题科级不等式不能用，你要用的话你还得写步骤知道吗？怎么证明科级不等式完了以后才能用它啊？还不如用我们塑形结合的快呢啊，拜拜，先讲到这。

数学不好就把数学当语文来学，像积累好词、好句、古诗文一样，积累几何最基础的符号语言。初中几何中除了圆，还有四边形，也是中考的常课，它是一定会出现在中考卷当中的，其占比呢，大概在三到十分左右。 他的难是难在知识点众多，包括了平行四边形、矩形和正方形，还有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。要熟悉他们的性质和判定， 题目里面还会出现各种各样的模型，比如手拉手模型、半角模型、一线三等角模型。要熟悉这些模型的解析方法，其破题的方法就是在熟悉上面的知识点， 把每个知识点的符号语言都分门别类的记忆好，在具体的情景中写出对应的符号语言，就可以拿到分数。那我们来看这道题，题目说正方形 a、 b、 c、 d， 就 要调用我们所积累的正方形的性质，四条边相等，四个角都为九十度， 又说了角 e、 f 是 四十五度，那这里就出现了半角模型，那它的解题方法是什么呢？旋转， 而这道题的最后一句话已知的就是旋转，那根据旋转我们就要得到它的相关的性质，就是三角形全等，所以有三角形 a、 b、 g 全等于，三角形 a、 d、 f 全等。就要想到全等的性质，对应边相等，对应角相等，因此就有 ag 等于 a、 f 等于角 f a、 d， 然后结合这个角 e、 a、 f 是 等于四十五度的，所以我们就会得到角 d、 a、 f 加上角 b a、 e 等于四十五度。等量代换就是角 g a、 b 加上角 b、 a、 e， 也即是角 g、 a、 e 等于四十五度， 由图中我们就可以得到这两个角都是四十五度，所以边角边三角形 a、 e、 g 全等于三角形 a、 e、 f。 第一问得正，由第一问的全等，我们又要想到全等的性质，对应边相等，对应角相等，所以那我们这里就会得到 e、 f 是 等于 g 的， 结合第二问给出的数据，它们是等于五的，以及角 a、 e、 b 是 等于角 a、 e、 h 的， 再加上垂直的性质，那我们又可以看到一个角角边全等，三角形 a、 e、 b 全等于三角形 a、 e、 h。 再次想到全等的对应边相等，那就会得到 a、 h 是 等于 a、 d 的。 有了等量关系以后，就要联想到射源法解决问题。假设正方形的边长是 x， c、 f 就 等于 x 减三， c、 e 就 等于 x 减二，在直角三角形 c、 e、 f 中，三边都有了联想。勾股定律，列出方程， 解方程，即可得到 a、 h 的 长。你看数学不好，我们就把它当做语文来学习，记忆我们所需要用到的符号语言，然后在具体问题当中具体分析，写出符号语言就能够拿到相应的分数。关注我，带你了解更多差生逆袭的方法。

好，各位同学，咱们接下来继续讲向量代数与空间解析几何的大体，整体里面的大体主要是从二零一零年到二零二四年。哈。 首先我们看第一题，求过点，一二负五，并且与直线二 x 减 y 加 z 等于一， x 减三， y 等于三平行的直线方程。这道题啥意思？求直线方程对不对？ 说到底，就算求直线方程，直线方程咋写？我们写出来它的一般形式是不是？我们通常都是这样写， x 减去 x 零比上 m 等于 y 减 y 零比上 n 等于 z 减 z 零比上 p。 现在两个问题， x 零 y 零是啥？ x 零 y 零 z 零是直线方程过的点吧， 对不对？这是不是有了 x 零 y 零内零？第二个问题， m n p 是 啥？ m n p 是 不是直线方程的方向向量呀？ s 等于 m n p， 我 们用 s 向量来表示直线方程的方向向量啊。 好，那就是说现在距离我们把这道题写出来只差，就是因为我们不知道直线方程的方向向量，我们只要我们只要知道直线方程的方向向量，就能把题做出来，是不是？那好，我们接着推 已知他给你的这条直线和让你求的这个直线方程，他们两个啥关系？平行吧，那你说这两条直线的方向向量也是平行的， 假如说给你的这条直线，他的方向向量是 s 一， 你知道吗？让你求的这条直线，他的方向向量是 s 二，那现在是不是 s 一 平行于 s 二啊？两向量平行对应分量成比例。那我在写的时候， 我本来是要算，是要算让咱们求的这个直线方程的方向向量 s 二呢？但是因为他们这两个方向向量呢，又平行，所以不管我求 s 一 还是我求 s 二都可以，都没问题。其实就是我求出来的 s 一 可以写成 s 二，反正咱们在写的时候， 在写的时候算出来的方向向量，在写的时候也是也是要化成这个最简形式的吗？对不对？那好，接下来我们就把目标转换到了求已知直线方程的方向向量上， 他给你的这个直线方程呢？是一般式方程，就是说有两个平面，分别是平面一和平面二来表示的这条直线由两个平面方程所表示，是不是？那你说这条直线， 就是说已知的这条直线，这个直线方程的方向向量和这两个平面是啥关系？和这两个平面是平行关系吧？就是说 s 一 他平，他和第一个平面是平行关系，和第二个平面也是平行关系，那和这两个平面是平行关系， 那和这两个平面的法向量是不是垂直关系啊？对不对？法向量是垂直关系吧？那就是说 s 一 既垂直于 第一个平面方程的法向量， s 一 也垂直于第二个平面方程的法向量，是不是？那现在是啥？现在是我已知我已知 n 一 n 二向量，是不是？求一条 既垂直于不写了？求一条既垂直于 n 一 向量，又垂直于 n 二向量的向量是不是？那好，现在这个问题，那我们求出来的这个向量是不是就是已知直线方程的方向向量？ 刚好我们已知直线方程的方向向量和让咱们求的这个直线方程它的方向向量，他们两个又平行，是不是？我们只需要写出的最简形式，我就知道它的点，我是不是就可以把答案写出来了，对不对？所以现在的问题就变成了， 第一，先把这两个平面方程的法向量， 我们通过差乘运算，是不是去求出已知直线的方向向量，也就是咱们要求的这个直线方程的方向向量，对不对？那有点，有方向向量，我们就把题就写出来了嘛。那好，我们写一下，换个颜色啊， 减 u t 之 n 一 向量等于二负一一吧， n 二向量等于一负三 零吧，对不对？故所求直线方程 方向向量 s 就 等于 n 一 向量叉乘 n 二向量 i g。 你 们在写的时候啊，就写到这就可以了，就是二负一一，一负三零，写到这就行了，不需要说你再一步一步给它算出来，在这直接写答案等于啥？三一负五 负物啊， 你看咱现在刚刚，其实我们其实正正常来说，我们求出来的这个方向向量是已知这条直线的方向向量，但是他和他的方向向量又是平行的，所以就是说我们没有那么多的要求，直接这样写就可以，没问题啊。那现在有点 有点有方向向量，可不可以写直线方程啊？可以吧。故所求直线方程为， x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y 零比上 n 等于 z 减去 z， 零减去负五，是不是等于加上五啊？ z 减 z， 零 比上 p 吧， p 是 负，对不对？这是咱们的第一题，第一题我们因为这头一道题嘛，第一道题我们就把这个式子给它拆出来算一下，就算这一道啊，二今 他其实这个呢，是先行代数里面的知识，一个很简单的三阶行列式的计算。嗯，这个大家记住就行了，不用说想那么多。二负一，一 一负三零他咋算的？他在计算的时候就是 去掉第一行，去掉第一列是不是剩下去掉第一行，去掉第一列，那就是负一的， 你看，去掉第一行是一，去掉第一行，去掉第一列负一的一加一四方是不是乘以主减负？你看，去掉它，去掉去掉这一行， 去掉这一行，是不是剩下这四个数字？这个二减横的是对不对？那就主减负，主就是左上跟右下， 这是这是这连起来就主对角线，剩下这条就负对角线，主减负，那就是负一。乘以零是零减去一乘以负三，是不是负三呀？零减去负三，是不是零加三，对不对？主减负， 加上第二条，你看啊， 去掉第一行，去掉第一列，接下来就该这是二几二负一，接下来就该 去掉第一行，去掉第二列，那就是负一的第一行，第二列，对不对？剩下的是不是二一一零啊？这个行列是主减负，对不对？二乘零是零吧，零减一是不是 再加上看，去掉第一行，去掉第三列，是不是负一的一加三啊？乘以啥？这是不是就剩下二负一，一负三，二乘负三等于几？负六，对不对？减去 负一乘一是负一，减去负一等于加上正一吧。那最后是不是就等于？你看负一的平方是一，对不对？零加三是三吧， 负一的三次方是负一吧，负一零减一是负一，负一乘负一是一吧， 这负一的一加三是四，负一的四次方是一，对不对？这是一一乘以负六加一是负五吧，所以就是三一负五，正好对应这个三一负五，这是咱们这个三阶行列式的一个计算哈。 接下来继续看第二题，你看第二题是不是还是 求过点 a 二负三负一，并且与直线 l 这个直线呢？还是给你两个平行方程表示的？是不是平行的直线方程？ 直线方程让咱们求的这个直线方程和给的这条直线还是平行关系，是不是？那跟上道题一模一样？你看啊，也就是说你要求直线方程，你是不是得知道这个直线方程过哪个点？过的点有了，是不是还要知道这个直线方程的方向向量啊？ 这个直线方程和这条直和已知的这条直线是平行的，那让咱求的这个直线方程的方向向量和已知的这条直线的方向向量是不是也是平行的？也是平行的？ 再说了，两两直线平两向量平行对应分量成比例嘛，是不是？也就是说我只需要算出已知直线的方向向量就行，那已知的这条直线又是由两个平面所表示的， 那平面一和平面二是不是啊？那就是说已知的这条直线， 已知的这条直线，他的方向向量是不是既垂直于平面一的法向量，又垂直于平面二的法向量，对不对？所以你就这样写就，然后你通过平面一 n 一 叉乘 n 二算出来的向量就是这个直线 l 的 方向向量。这个直线 l 的 方向向量呢？又和让咱们求的这个直线方程，它的方向向量是平行的。 对，他们两个平行，那我们就取最减形式就行，化成最减形式，然后把点带进去就行了嘛，就这样写减 由题知，这两道题一模一样， n 一 n 一 向量就是平面方程一的发向量是二三负一吧。 n 二向量等于啥？大家看到这儿，你可不能不会写啊，它是不是相当于一 x 加上零乘以 y， 再加上二乘以 z 等于一啊？所以 n 向量，所以平面二的法向量是不是就是一零二啊？一零二，那就是故所求直线方程， 故所求直线方程的方向向量 s 向量等于 n 向量，差乘 n 向量。连计算方法都一模一样，是不是？ 它是啥？二三负一一零二，它最后算出来等于啥？它最后算出来？答案是六负五负三。大家下去的话，一定要自己算。 那你看啊，我现在知道了直线方程的方向向量 s， 又知道它过哪个点，那我是不是顺理成章就可以把直线方程写出来了？故所求直线方程为， 故所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减去 y， 零减去负三等于加上正三吧。 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p 吧，对不对？这是我们的第二题， 其实这种题其实为啥说要从一零年给大家说到二四年呢？主要就是限量这一块的大题，并不难，考，法呢，也相对固定。大家呢，只是说学完之后没梳理，特别是自学的那种，学完之后没梳理就有点蒙蒙的， 就这样。所以说我说给大家来梳理一下，可能讲的还是有一点乱，有一点乱。嗯，有问题的话大家在后台说吧， 随后应该会保持不说每天都更吧，最起码不会像之前这样，就是很长时间更一次，不会出现这种情况。这是咱们的第二天， 接下来我们看第三题。一、平面过点一零负一，并且平行于向量 a， 也平行于向量 b， 让你求这个平面方程，让你求这个平面方程。平面方程咋写的？是不是 a x 加 b， y 加 c， z 加 d 等于零？或者写成 a 倍的 x 减去 x 零，加上 b 倍的 y 减 y 零，加上 c 倍的 z 减 z 零等于零，其实这个 d 就是 负 x 零减去 b， y 零减去 c， z 零就是它是不是？无非就是一个化简了，一个没化简。大家知道这个那么好， x 零 y 零 z 能大家知道是啥是平面过的这个点点？我知道了，那就是 abc 了。 abc 是 啥？ abc 是 平面方程的法向量吧，你看让你求直线方程的话， abc 是平面方程的法向量，对不对？那直线方程呢？你写的就是它的 s， 叫方向向量，这个大家要有所区分啊。直线方程的方向向量和这条直线，它们是 说的笼统一点，叫平行关系。平面方程和平面方程的法向量，他们是垂直关系，是不是？你看让你求的这个平面，让你求的这个平面，平行于向量 a， 也平行于向量 b， 那 是不是 其实准确来说是让你求的这个平面方程，既平行于向量 a， 也平行于向量 b， 那 你说 让你求的这个平面方程，他的法向量是不是既垂直于向量 a， 也垂直于向量 b？ 那 现在的问题不就绕，不就又绕到了 已知向量 a 和向量 b， 让你求另一条既与向量 a 垂直，又同时垂直于向量 b 的 向量吧，是不是？那我们就写一写呗，换个颜色啊，这个大家能懂吗？ 我们再捋一下，再捋一下啊，你看，就是说让你求的这个平面方程，它既平行于向量 a， 也平行于向量 b， 那 你说，让你求的这个平面方程，它的法向量是不是既垂直于向量 a， 也垂直于向量 b 啊？ 对不对？就是这样一个理，那也就是说，我已知 a 向量和 b 向量，我需要找到另一条同时垂直于 a 向量，也垂直于 b 向量的向量，是不是？我们就写一下解。 由提之， a 向量等于二，一负一， b 向量等于一负一二，那就是故所求平面方程。 故所求平面方程的法向量 n 等于 a 向量差乘 b 向量等于啥？ i j k 是 不是？ a 二一负一，一负一二，最后的答案等于啥？它们差乘之后，最后的答案是不是等于 一负五负三，对不对？那你看，我现在知道了平面方程的法向量，也知道了平面方程，过了这个点，那我是不是就可以写平面方程了？故所求 平面方程尾，故所求平面。 这不就是 a b c 吗？ a 倍的是不是一倍的呀？一倍的 x 减去 x 零，对不对？加上 b 倍的，那加上负五乘以，那是不是就减去五倍的 y 减去 y 零， z 减去 z， 零是几？ z 零是负一， z 减去负一，那不就 z 加上正一吗？ 等于零，这是没有化简的，你也可以写成化简之后的形式。化简之后的形式呢，它就是 x 减去五， y 减去三， z 等于几？ x 减五， y 减三， z 等于四。这是我们的第三题。 四、已知点， a 二负三负一 b 一 二负二 c 二零一，求三角形 abc 的 面积。 嗯， s 三角形 abc 等于二分之一倍的 ab 向量差乘 ac 向量的摩长，是不是？这是因为啥？这是因为我们知道一个以 a 向量 b 向量为 林边的三角形的面积为 二分之一倍的 a 向量差乘 b 向量的摩擦，就是因为这个，所以我们才能直接写出来这个答案，写出来这个式子啊，不是，答案是这个式子，行，大家看一下啊。接下来我们就直接写了，减 由提之， a b 向量就是 a a 点和 b 点两点，确定一条直线是不是这条直线，那就中点坐标减去起点坐标一减二，是不是负一 ab 向量它等于啥？负一五负一 ac 向量等于啥？中点坐标减起点坐标嘛， ac 向量是不是等于零三二，对不对？故 所求三角形 abc 面积 s 就 等于二分之一倍的 ab 向量差乘 ac 向量的模长等于二分之一倍。嗯， 我们先说，我们先写答案，二分之一倍的根号下一百七十八 二分之一倍的更换价一百七十八加，这个是 ab 向量叉乘 ac 向量的模尺啊，我们在这拆开来写， ab 向量叉乘 ac 向量，它等于啥？等于 i 减 k 负一五负一零三二，它等于十三二负三。 是这样的啊，那就是说 ab 向量叉乘 ac 向量的模长呢？不就等于根号下十三的平方加上二的平方是四吧，加上负三的平方呢？不就是九，是等于根号下一百七十八的 就是这个。这是咱们的第四题，你看，又出现了这种题。五求过点 a 一 二一与且与直线 l 是 有两个平行方程所 表示出来的直线方程啊，平行的直线方程就是让你求这个直线方程。要想写出来直线方程，我们是不是得先知道他过哪个点，还得知道这个直线方程的方向向量对不对？然后我们根据题目呢，可以知道 已知直线方程方的方向向量 s 一 和让咱们求的直线方程的方向向量 s 二，他们两个是平行的吧，对不对？两向量平行对应向量成比例，看似不在求 s 二，实际我把 s 一 求出来，直接写就可以，对不对？只不过我们写成对减形式， 为了方便来讲，我们写成对减形式，那现在我们就变成了求 s 一。 你看啊，这个直线 l 是 由两个平面 所表示出来，分别由平面一和平面二所表示出来的，那是不是我们这个直线既平行于平面一，也平行于平面二啊？ 那直线方程的方向向量是不是也是平面平行于平面一，也平行于平面二？那么我们直线就是直线 l 的 方向向量 s 一， 是不是既垂直于平面方程一的法向量，也垂直于平面方程二的法向量？那么我们 知道平面方程一的法向量 n 一， 平面方程二的法向量 n 二，要求另一条与它们两个既垂直于 n 一 向量又垂直于 n 二向量的方向向量 s 一。 是不是通过差乘啊？ 我们写一下解，由题知， n 一 向量等于二负四一， n 二向量等于三负二负二吧， 三负二负二，那故所求直线方程 方向向量 s 向量等于啥？是不是等于 n 一 向量叉乘 n 二向量等于啥？ i j k 二负四一三负二负二， 他等于啥？他是不是就等于十七八这个呢？咱们这个三间行列式我们在第一道题的时候已经给大家讲过了，我们就不再往下继续讲了啊。 然后我们你看现在是不是知道了，现在我们知道直线方程的方向向量了，是他也知道过哪个点，我们就顺势写出来他的这个直线方程不就行？故所求直线方程为 直接写吧。所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p， 是 不是？这就是咱们的直线方程，大家看一下，我们继续看第六题，那不是还这一样吗？ 给你一条已知的直线方程，是有两个平面，是分别有两个平面方程一和平面方程二所表示的，是不是？然后让你求过点 a， 并且平行于直线，平行于这条已知的直线方程 l， 它的一个直线方程。 那你看那不是最后还让你写这个直线方程吗？那要想写出来直线方程，我们得知道这个直线方程过哪个点吧？ 是不是知道过哪个点？是不是还得知道这个直线方程的方向向量 s 呀？那你看让咱们求的这个直线方程的方向向量和已知的这条直线方程，它的方向向量就是直线 l 的 方向向量，是不是平行的呀？ 那也就是说我们只需要写出直线 l 的 方向向量，是不是就可以把这个直线方程写出来了？知道直线 l 的 方向向量，就可以把直线方程写出来，因为它们两个平行对应向量成比例，我们算出直线 l 的 方向向量之后， 把它画成最减形式，然后用到咱们这个直线方程里边，行了嘛？那好，现在的问题就转变成了，我们求直线 l 的 方向向量， 求直线 l 的 方向向量。这个直线直线 l， 它是不是有两个平面方程来表示的？那也就是说直线 l 既平行于平面一，也平行于平面二， 对不对？那就是说直线 l 的 方向向量是不是既平行于平面一，也平行于平面二？我们继续往下说，是不是就直线方，直线 l 的 方向向量，既垂直于平面一的法向量 n 一， 也垂直于平面二的法向量 n 二啊， 对不对？那现在我们知道 n 一 向量，知道 n 二向量，我们找另外一条既垂直于 n 一， 又同时垂直于 n 二的向量，是不是就能找到？通过叉乘就能得到了？是不是？减由 t 值 n 一 向量一二三 n 二向量三五七。故左求直线方程 方向向量 s 向量等于 a 向量。叉乘 n 二向量等于啥？ i j k 一 二三三五七等于啥呀？ 他们差乘之后的结果是负一二负一，对不对？你看，现在我们知道了直线方程的方向向量，也知道过哪个点，我们写直线方程不就好了吗？故 所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p。 这是不是咱们所得到的这个直线方程呀？是不是这是咱们所得的直线方程？ 我们继续看第七题，你看，其实考题的这种套路都很一样， 都很一样，咱不说一模一样吧，最起码套路是一样的。你只要说看到这种题，你认清他在问你啥，咱们挨个分析了这么多道，你现在应该也有一点自己的判断力。我们最后来分析一下这道题 过这个点，并且与直线平行的直线方程，还是让你求直线方程，对不对？还是让你求直线方程？你要求直线方程呢？我们得知道第一知道过哪个点， 这是第一。第二知道它的方向向量对不对？知道直线方程，方向向量有这两个，我们就可以写出直线方程过哪个点，咱们知道过九八五吗？是不是？ 那方向向量呢？他咱方向向量目前来讲，题中并没有很明确的表示，但是他我们知道啥？我们知道让咱们求的这个直线方程和给咱们的这条直线，他们两个是平行的， 他们两个是平行。也就是说我知道已知的这条直线，他的方向向量就可以直接写出要让咱们求的这个直线方程。 你又看，已知的这条直线是由两个平面来表示，分别平面一、平面一和平面二。你看啊，这条直线是不是既平行于平面一，也平行于平面二啊？ 那这条直线的方向向量是不是既平行于平面一，也平行于平面二？ 那么这条直线的方向向量是不是既垂直于平面一，也垂直于平面二？你看啊， 方向向量和这条方向向量和直线，其实它们是共线，也是平行关系嘛？是不是说做农村也就是平行关系，但是平面 和法向量，他们是垂直关系，是不是？那也就是说我的这条直线，我的这个直线平行于平面一，也平行于平面二，那不就是说我的这条直线垂直于 平面一的法向量 n 一 也垂直于平面二的向量 n 二吗？对不对？那现在不就是说我知已知 n 一 向量和 n 二向量，求另外一条既垂直于 n 一， 又垂直于 n 二的向量，是不是？ 就这道题，我们继续往下写啊？解，由题知， n 一 向量等于三二零吧，是不是？因为它就是三 x 加二， y 加零， z 加一等于零嘛？ n 二向量 是不是等于零二一啊？对不对？那故所求直线方程 方向向右 s 等于啥？ n 一 向量叉乘二向量等于啥？ i j k 等于啥？三二零零二一叉乘之后的结果是， 二负三六，对不对？那现在我们知道了直线方程的方向向量也知道过哪个点，我们是不是就可以写出直线方程呀？过，所求直线方程为， x 减去 x， 零比上 m 等于 y 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p， 是 不是？这是咱们的第七题 第八题，已知向量 a b c 让你算 a 向量叉乘 b 向量点成 c 向量，那我们就顺着计算呗，是不是？姐再也不会出这么简单的计算题了吧？ 一步一步算呗， a 向量叉乘 b 向量等于啥？哎， j k 四四零三二八，它等于啥？它是不是等于三十二负三十二负四， 对不对？那好，那 a 向量叉乘 b 向量再点乘 c 向量等于啥？ 他是不是就等于三十二乘以一？是不是加上负的三十二乘以零，再加上负四乘以六吧，等于啥？你看负三十二乘零，这没了， 那不就三十二乘一是三十二吧，四六二十四，负四乘六是负二十四吧。减去二十四等于几等于八，是不是？接下来我们看第九题， 求过点负三负二零，并且与直线 l 垂直相交的直线方程。只不过有些不一样的是， 前几道题让你算直线方程呢，都是给了你有两个平面刻画出来的，就是有两个平面所表示出来的这种直线方程。现在呢，直接给你的是直线方程的 点向式，这个是点向式，直线方程直接给你的是点向式的直线方程。那好，那还是一样的嘛，我们要先写出来直线方程，要想写出来直线方程，得先知道点吧，点有了对不对？让你然后再知道直线方程的方向向量。 那好，我们分析一下直线方程的方向向量，就是让咱们求的这个直线方程，它的方向向量和直线 l 就是 已知的这条直线，它的方向向量有什么关系？ 垂直关系吧，因为直线 l 垂直于让咱们求的这个直线方程嘛，是不是？当然了，那就直线 l 的 方向向量也垂直于直线方程，让咱们求的这个直线方程的方向向量， 那咱们又知道，那既然它们两个垂直，你看啊，如果 a 向量垂直于 b 向量，是不是就能够推出来 a 向量？点成 b 向量是等于零的，对不对？ 咱们现在最好的办法就是把这个垂足坐标给它设出来，你看你设成 a、 b、 c 可不可以？可以，理论上来讲可行，但是好几个参数你没有办法解，对不对？没有办法解，你看为啥我说设这个垂垂足坐标， 你看直线 l 和直线方程是垂直的，直线方程还过这个点，那你说让咱们求的这个直线方程是不是和直线 l 一定有个交点呀？ 他们两个还是垂直关系，就把他们两个的这个焦点设成垂足坐标了是不是？你看终点坐标减去起点坐标也好，你把他看成终点，他看成起点也好，他看成终点，他看成起点也好，他们两个相减，你是不是就能得到这条 让咱们求的这个直线方形的方向向量？只不过带参数还是三个未知数，你不好解对不对？那么有没有一种办法是我们可以把它变成只有一个未知数呢？这样我们就好解了吧，说干就干啊，我们想一下， 他现在给你的这个直线方程是点向式、点向式的直线方程，我们可不可以把它转换成参数方程的形式？就是说变换成 x 等于 x， 零加上 m， t， y 等于 y， 零加 nt， z 等于 z， 零加 pt， 这个 t 呢？是参数是不是？你看你转换成这种形式之后， 这 x、 y、 z， 那 不就是这几个点吗？ x、 y、 z， 那 不就这个直线方程上面就是已知直线 l 上面的一个点吗？是不是那两个点不就出来了？终点坐标点是起点坐标，是不是让你求的这个直线方程，它的方向向量就出来了？ 你又你又知道已知的这条直线他的一个方向向呢？他们两个有什么样的过垂直吗？他们两个点乘又等于零，那我自然就可以把 t 减了，是不是？这是一个思路啊，我们写一写减 由题之直线 l 参数化后就是参数方程化嘛？参数化后为 x 等于 x 零，那不就是零吗？ x 能加上 mt， m 又是一，是不是？你看 m、 np 分 别是一一负一吗？ y 等于 y， 零加 nt， z 等于 z 零加上 pt 吧。 p 是 负一，那不就一减 t， 是 不是？ 然后我们再写一下，且直线 l 方向向量为 s 一， 它等于啥？是不是等于一一负一啊？对不对？那么我们你看啊，现在 就是说直线上面的点我们是不是给它射出来，也就是说转换完之后 x y 那 不就是直线上面的点了吗？对不对？那直线方程的方向线也写方直，就是说直线 l 的 方向线我们也写出来了，我们只需要把这个直线方程它的方向线给它表示出来不就行了吗？ 直线方程，那就所求吧，所求直线方程方向向量 我们给它写成 s 二吧，所求直线方程 方向向量 s 二等于啥？终点坐标减去起点坐标，是不是？ 那不就变成了？其实不管你谁减谁都无所谓的，你可以把直线上面的点看成是终点，你也可以把这个点看成是终点，都无所谓的， 那不就可以给它写成 t 减去负三，那不就 t 加上三吗？二加 t， 你 看啊，二加 t 减去负二，那不就加上二四加 t， 这个是一减 t 再减去零吗？那不还是一减 t 换个颜色啊， 你看我们又知道啥？我们现在是不是 让你求的这个直线方程，它的方向向量 s 二写出来了，对不对？已知的这个直线 l， 它的方向向量 s 一 是不是也有了？ s 二和 s 一 又是垂直关系，对不对？那不就是我们接着往下写啊， 那不就是因为 s 二垂直于 s 一， 故 s 二点乘 s 一 是等于零的吧？ 那是不是就能够推出来他们两个点乘，那不就 t 加三加上四加 t 是 不是？你看啊，一减 t 乘以负一，那不就等于 t 减一吗？ 加上 t 减一，它应该等于零吧？你注意看啊，一个 t， 两个 t， 三个 t， 三， t 三加四是七吧，七减一是六吧，三 t 加六等于零， 是不是就推出来三 t 加六等于零。继续写吧，是不是就推出来 t 等于负二啊？ 是不是？现在是不是就推出来 t 等于负二？那现在就是将 t 等于负二 代入 s 二等于啥？是不是就等于一二一减去负二是不是三啊？那看 s 二是啥？ s 二是咱们要求的这个直线方程的方向向量， 就是这个直线方程，它的方向向量有了吧？一二三点有没有？有，那不就是故所求直线方程为， x 减去 x， 零减去负三，那不就加上正三吗？比上 m 等于 y 减 y 零，比上 n 等于 z 减 z 零， z 减去零，那不就是 z 吗？ z 减 z， 零比上 p， 是 不是十过点一，负一二做直线， 他的一个垂线，然后让你求垂足的坐标，我们来写一下啊，假设我画的这条蓝色的线就是已知的这条直线， 做他的一个垂线，那不就长这样吗？刚好这个垂线呢？又过一负一二的这个点，是不是让你求垂足坐标？垂足坐标，那不就是垂线和直线的一个焦点吗？ 对不对？垂线和直线的交点，那你看啊，垂这条垂线，我现在是不是知道了一个点，一个点在直线上， 一个点呢？是不是？我是已知的那两点，是不是可以确定一条直线？那有直线，我是不是就能写出来这个直线的方向向量， 那刚好我们这个垂线的方向向量，我们给它写成 s 一， 直线的方向向量呢？我们给它写成 s 二，在这我们是不是就是 s 一 点乘 s 二等于零？ 哎，你会发现他们有关系。我能确定一个等式，是不是那一个式子可以确定一个变量。理论上来讲，我们可以把垂直坐标设成 abc， 或者设成 x， y、 z 都没问题，理论上也是这样的，但是一个等式确定一个变量，三个变量，你是确定不出来的吧？那所以在这我们就要想，我有没有一种办法是我可以只出现一个变量，然后表示出来直线上的所有点。 刚好我们就想到了参数方程参数化，我们写一下啊，解直线方程参数化后，等直线方程参数化后， y 等于 y， 零加 n t， z 是 不是等于 z， 零加 p t 啊，对不对？那参数化后是这样，那么我们可以直接写呗，设直线上的点 点 q 吧。 q t 等于啥？ 是不是就等于直线上的点 q t， 那 就是说我们现在就是已经在设这个垂足了，对不对？直线上的点 q t 是 等于啥？ t 减一，一加二 t， t 是 不是那 直线的方向向量？方向向量 s 一， 不写 s， 也就 s 吧， s 等于一二一，对不对？那 垂线过 b 点过的这个点，我们给它加上成 b 点嘛？过 b 点一负一二，那这条垂线那不就是 b？ q 向量是不是等于啥？ b q 向量，那就 q 减去 b， 那 不就是这是 q， 这是 b 呗，就是 b q 向量，那是这样的，那就 q 减 b， t 减一，再减一，那不就 t 减二， 然后 t 减二， b q 向量，那就是 t 减二，二， t 加二， t 减二，你看啊， b q 向量不就是它吗？ b q 向量，那我们就把这个 s 向量擦了啊，对吧？那 b q 向量是不是垂直于 s 向量？那就因为 b q 向量垂直于 s 向量，那就能够推出来 b q 向量点成 s 向量， 它是不是等于零的？那是不是就能够推出来？你看 b q 向量点成它点成 s 向量，它等于啥？是不是 t 加二加上四， t 加四加上 t 减二等于零啊？那不就是六 t 加六，哎， t， 不 不，这是 t 减二 t 减二，不是 t 加二 t 减二，那不就六 t 等于零吗？是不是推出来 t 等于零，六 t 等于零及 t 等于零。现在我们算出来的参数 t 是 等于零的，那也就是说还是根据还是按咱们分析的。这样来说嘛，我们接下来该算垂直坐标了，是不是？垂直坐标呢？不就是将 t 等于零 带入到参数化之后的这个参数方程里边，不就好了吗？是不是？那就写呗，将 t 等于零带入参数方程，得 减的垂足坐标 给它，垂直坐标为 t 等于零，那不就是负一一零，是不是？为啥这样，我们说一下啊，你看啊，因为我们把这个直线给它参数化了，换成参数方程了，是不是？那就这样， 那就是说 x、 y、 z 就 已经是我们这条直线上的一个点，就是这条直线上的点，他们呢？垂线和直线方程相又有一定的关系，但这个关系是在 t 等于零的时候才满足的， t 等于零的时候满足我们，所以我们将 t 等于零代入到参数化后的直线方程里边，是不是已经解出来垂直坐标了，是不是？这是我们的第十题，我们看第十一题求过点 p 五负一二， 并且与平面派一二 x 加三外减七， z 等于负十四和派二 x 加二外减三， z 等于二十，他们的交线平行的直线方程。 你看第十一题，是不是和我们做的这种题，第七呀，第六呀， 第五呀，这种题是不是一样呀？让你算直线方程，你得知道直线方程的点和直线方程的方向向量是不是？但直线直线方程的方向向量呢？你现在并没有直接给到你，你知道你知道的是 让你求的这个直线方程和给你的这个直线方程，他们两个是平行的，那这两条直线方程的方向向量是不是也是平行关系啊？ 而另外一条而已知的这个直线方程，它是又是有两个平面，分别它是，它又是有两个平面派一和派二表示出来的，是不是？那就是说另一条直线方程，它平行于平面派一，也平行于平面派二， 也就是说已知的这条直线方程，它的方向向量平行于平面派一，也平行于平面派二。那是不是就是说已知直线方程的方向向量，它平行于 平面方程的法向量 n 一， 既垂直于平面方程的法向量 n 一， 又垂直平面方程的法向量 n 二。啊，那不就是已知两个平面方程， 已知两平面方程呢？发现了 n 一 n 二，让你求另外一条与 n 一 n 二分别垂直的向量，是不是同时满足这样一个条件的向量？就是咱们要算这个直线方程的方向向量。我们来重写一下 减，由题值 n 一 向量等于二三负七，二向量等于一，二负三，故所求直线方程 方向向量 s 等于 n 一 向量叉乘 n 二向量 i j k 二三负七，一二负三等于啥？是不是等于 五负一正一啊，对不对？故所求直线方程为 x 减去 x， 零比上 m 等于 y， 减 y， 零比上 n 等于 z 减 z， 零比上 p， 是 不是？这是我们的第十一题， 接下来咱们看第十二题，那是不是就是直线和平面的夹角呀？那直线和平面的夹角是啥？ sin theta 等于啥？等于直线方程的方向向量点成平面方程的法向量 n 比上 直线方程方向量的模长乘以平面方程法向量的模长，是不是？那你不就算直线方程的方向向量和平面方程的法向量吗？我们就写一下呗。解 u t 之 直线方程啊，不由题知，直接写吧。 n 一， 那就是平， n 一 等于一负一零， n 二等于一一一 n 一 和 n 二呢？它分别就是直线方程，就是给咱们这个直线方程不是有两个平面方程表示出来的吗？分别就是平面方程一和平面方程二的法向量。故直线方程 方向向量 方向向量 s n 一 向量叉乘 n 二向量等于 i j k 一 负一零一一一，它等于啥？ 它是等于负一负一二的。现在我们知道直线方程的方向向量，那 平面方程 法向量 n 向量等于啥的，它是不是等于一负二一啊？那好，我们接下来往下算， s 向量点成 n 向量等于啥？你看负一乘一 负一吧，负一乘负二乘二吧，二乘一二吧，等于几？等于三？ s 向量的模长，那不就等于 根号下负一的平方？一负一的平方一，二的平方是四，等于几？根号六、 n 向量的魔长，一的平方是一吧，负二的平方是四，是不是也等于根号六啊？那你看，所以 sin theta 就 等于 s 向量，点成 n 向量，比上 s 向量的摩擦，点成 n 向量的摩擦等于啥？三、六分之三是不是等于二分之一啊？ 那是不是就推出来故 theta 等于多少？ theta 是 不是等于六分之派？那比如说极直线方程与平面的夹角为直线方程 与平面方程加角为六分之八，多少度？三十度。那么我们在这总结一下啊， 平面方程 与法向量垂直吧，它们是垂直关系。那直线方程 与方向相等 平行吧。那 a 向量平行于 b 向量，那是不是就是 a 向量与 b 向量各对应分量成比例？ 那 a 向量垂直于 b 向量，那不就是 a 向量点乘 b 向量等于零吗？以 a 向量 b 向量为 邻边的三角形，面积为二分之一倍的 a 向量差乘 b 向量的模长，是不是？那你看，已知 a 向量 b 向量，求另一条与 a 向量 b 向量 垂直的向量 用叉乘。其实这样写的话，大家可能有点 看起来有点复杂，我们拿个式子来决定啊，比如说 c 向量等于 a 向量，叉乘 b 向量，那么 a 向量就垂直于 c 向量， b 向量呢？也垂直于 c 向量。也就是说，我知道两条，我知道两个向量，我要找另一条与它们两个都垂直的向量，我就用叉乘。叉乘得到的向量一定垂直于这两条向量的任意一条向量，并且是同时垂直。

一切模糊又 甜，没计划的。

法平面方程，这是怎么来的？我们用几何直观理解，为什么切向量能当法向量用？这是知能行。第五十八个知识点， 今天用一个具体例子一步步搞透来看这条空间曲线参数方程是 x 等于 t， y 等于 t 的 平方， g 等于 t 的 立方。 现在咱们在 t 等于一的位置标记一个切点 m， 它的坐标是一一一。切向量怎么来的？先在曲线上取一个点 q， 从 m 到 q 连一条割线，让 q 慢慢靠近 m， q b 进 m 时，割线方向稳定下来了，这就是切向量的几何含义。 好，现在咱们把切向量画出来，用黄色箭头表示，记作向量 t 对 参数方程求导，得到一二 t 三， t 的 平方代入 t 等于一切向量，就是一二三一二、三就是 m 点的切线方向。记住它， 切向量有了。那什么是法平面呢？过 m 点垂直于切向量的方向肯定有不止一根垂直方向有无数个，每一根都和切向量成直角，这些垂直方向在同一个平面上铺开，就是法平面。法平面就是过切点垂直于切线的平面。 换个角度看一下，从侧面看，切向量垂直穿过法平面。现在来推法平面方程，在法平面上取一点 p， 从 m 到 p 连一个向量 mp， mp 垂直于 t， 所以 点击等于零，把具体的数代进去。切向量是一、二、三向量， mp 就是 x 减一， y 减一， g 减一。展开点击一乘 x 减一，加二，乘 y 减一，加三，乘 g 减 e 等于零，系数一、二、三正好是切向量的分量。 化简一下， x 加二， y 加三， g 等于六，这就是 m 点的法平面方程。最后看完整图景，把切向量延伸成切线， 切线方程和法平面方程都写出来，咱们转一圈看看。从侧面看，切线和法平面完美垂直，再换一个角度，沿着切线的方向看过去，切线缩成一个点，法平面完全展开。总结一下，切向量是参数方程对替求导， 法平面用点击等于零来推，切线用对称式搞清楚三者关系，考试就不怕了，讲清楚概念就能直接开练。 所以我决定自己来录，把这些核心知识点做成视频，帮大家快速复习，直接上手。今天讲的是第五十八个知识点，切线与法平面、切平面与法线。下期视频我们继续聊方向、导数与梯度。

我是来自法国的费马，我的梦想就是在数字与方程的世界里寻宝。我有三大核心成就，每个配个小案例，一听就懂。一、费马小定律，现在银行卡加密网站密码安全，很多都靠它，当底层密码卫士守护信息不被破解。 二、解析几何先驱，把几何图形变成代数方程，让曲线能计算，能画图，打通几何和代数的大门。三、费马大定律，我随手写下的一个猜想，困扰了人类三百多年，被誉为数学史上最迷人的选案。我有我的小梦想，那你呢？

老师，老师你写的是周长吗？可以是。可以是。老师，老师你写的是任意长数吗？可以是。可以是。老师，老师你写的是组合数吗？可以是。可以是。老师，老师你写的是补集吗？可以是。可以是。老师，老师你写的是光速吗？可以是。可以是。老师，老师 你写的是电容吗？可以是。可以是。老师，老师你写的是碳元素吗？可以是。可以是。老师，老师你写的是学习成绩 c 等级吗？可以是。可以是。

来，同学们，今天我们来看一道特别烧脑的数学题啊，如果你有耐心的，可以看老师的整个视频，仔细看，认真看，或者说你想自己算一下的暂停视频。哎，我把条件给你说一下，图中呢都是等边三角形。答 你丙，好，他给出的是这几个数据，然后 b、 c、 d 都是我自己标的，还没有给出来，但是全是等边三角形。然后甲呢是二十四点七，乙呢是二十六，丙，不知道让你求丙呢，我们看一下，他们又有很多这个等量关系在里边的， 我们为了方便解这种题，建议大家用方程去做。首先呢，我们看一下，首先逆有关于 x 的 等量关系，所以 x 就 看 a 和 b 是 否相等，它的边长应该是二十四点七减 x 吧， b 是 不是也相等，它的边长应该等于这个不就是一个一个饼。减去 a 和 b 整数的话是 x， x 减去二十四点七 x， 对 吧？整理后得到是二 x， 二 x 减去二十四点七确定， 那他一和 f， 一 和 f 怎么求呢？就相当于这个 b， b 这会儿还有，这会儿按个 b， 意思是 b 减 cd 呀， cd 是 二次减七减 x 呢，就是二次减，二次减 x， 它减完之后就是一和 f 的 长度，应该是 二十九点四减三， x 等于 x。 然后我们看看 m 和 c， 它是相等二十六和平积的数，那它是等于除以这个点，二十六减 x， 二十六减这个 s 等于什么呢？就等于 减去这个 d 呢，就是二十六减 x， d 呢就是二十一减去二十四点 x。 最后 s 整理出来是不是五十点七减三？那这一步之后呢，开始的条件，我们把笔都写出来了，我们起来汇总。 s 会用二十六这块来表示的， e， f 是 从二十四这块推出的，然后推到 c 这块了，对不对？我是不是可以得到这些 e 是 不是等于这块 e 加上 h 啊？ e 我 们看是什么？ e 是 不是就四十九点四减三， x 就是 e 对 吧？ h 呢？是不是就，呃，五十点就是五十点七点三 x， 哎，两者相加呢，就等于 c， d， a 的 这个关于它的 x 表示 c， d， x 表示就等于二 x 减去二四点七啊，是不是就关于 x 四点一个方程啊，这个方程 x 等于多少是一个它的最终的解， 这解出来呢，是五点六啊，这题就讲完了啊，时间比较长，整体的思路呢是设点为 x， 然后从这块推 a， b 推到 c， 然后这一块推这个 j 推到 s， 还有一个关于 x 的 一个方程。同学们一定要练习训练自己的思维啊，每天一道数学题，关注老师，咱们一块来学习。