26江苏高考数学考立体几何

必刷题这么厚，有人刺杀我用它来挡刀都只能捅到目录，所以小王学姐就来带咱们疏通高考必刷题里的重点题型。话不多说，咱们上正餐！ 哈喽呀，小宝们，咱们今天啊，开始正式进入例题几何这个板块的必刷题了哈，那这个部分知识点也是又多又杂，烦死了。那今天呢，就开始跟着小王学姐一起通过咱们的经典例题来给它复习一遍。 那今天呢，咱们第一个啊，这个考点啊，就是立体几何的结构特征来看这道题啊，已知圆锥的 侧面展开图是一个面积为 pi 的 半圆，则该圆锥的高是多少？好，我们来看一下啊，我已经把这图画出来了，咱们的这个哎，圆锥的母线 l， 哎，是不是刚好就是咱们这个侧面展开图的一个半径呀？ 那题目中要求的是咱们 h 的 长度，那 l， h， r， 哎，刚好构成一个直角三角形，所以我需要先把 l 和 r 先求出来。好，那题目中只给了一个信息哈，就是咱们的侧面展开图，哎，它的一个面积是 pi， 哎，那这个派他又等于什么呢？等于二分之一派 l 的 平方，咱们的这个展开的吗？它的半径是 l， 所以 我就把 l 写上来。那我们的扇形还有一个面积公式是啥呢？等于二分之一哎，半径乘以弧长。 因此啊，咱们是不是就可以求出 l 的 长度以及弧长的长度？那 l 的 长度是咱们的根号二，哎，弧长呢，哎，他是根号二倍的派， 哎，这样咱们就求出来了哈，那 l 已经求出来了，咱们还差 r 没有求出来，对不？那 r 啊，我们可以怎么来求呢？哎，我们的弧长啊，是不是这个弧长刚好卷起来，就是咱们这个底面圆的一个周长？咱们的二 pi r 刚好是等于弧长的，等于根号 二，那现在呢？ l 有 了， r 有 了，我们 h f 就是 等于根号下 l 方减 r 方吗？哎，那等于根号下二减二分之一，等于两倍根号六。好，这道题咱们就选 a， 哎，这道题他考的啥呀？就考你知不知道，哎，咱们扇形的一个面积公式，哎，考，你知不知道，咱们这个圆锥的侧面展开图，它是一个扇形， 这是第一个啊，第二个呢？我们来看这道题，已知正三棱台 a、 b c 和 a b c e 的 上下底边长分别为六和十八。那这个是正三棱台啊，正三棱台说明它上面的一个，呃，三角形和下面的三角形，它都是一个等边三角形， 那他说内部有一个内切球啊，好了好了哈，内切球，正三轮台，那你首先就要知道的哈，他这个内切球，他的这个啊，这个与上底和下底的 切点啊，一定是在上下底的重心上的，上面三角形的重心与下面三角形的重心上的。那重心，哎，又是什么呢？哎，我们重心，哎，其实就是它高上的啊，三分之二处，哎，也就是说咱们正三角形啊，它的重心哎，是在咱们高上的， 那这个高呢？哎，重心是把它分为三等分，那咱们重心是在这个点上的，哎，上下笔是二比一，哎，回想起来没有呀，所以啊，这道题，只要你知道这个东西啊，这道题就非常非常简单， 那么来看，上底的边长是六，下底的边长是十八。那我简单给他画个示图啊，那这里也是相切的，那我给他连起来，哎，大概是一个这么样的一个内切球，那 我们这个长度是多少呢？这个长度，哎，他又是多少呢？记住啊，我们是二比一的一个关系，对不对？那他的这个高啊，上底的高，他是多少？ 上底的高是三倍根号三，哎。这里是六嘛，这里是三倍根号三，那下底的高是九倍根号三，对不对？哎，那这里呢？占了三倍根号三的 其中一份啊，那就是根号三。下面呢，哎，占了九倍根号三中的三分之一份，那就是三倍根号三，哎，这两个长度咱们就找到了哈。那我们这个内切球啊，是不是还有一个特点是什么呢？ 这个角和圆心连起来，哎，咱们左边这个三角形是不是和右边这个三角形是全等的？那同理啊，我们把圆心和这个点连接起来，是不是这两个三角形，哎，他也是全等的。 因此啊，你这里是刚好三，那咱们这边是不是也是刚好三，哎，你这里是三倍刚好三，那我们这边是不是他也是三倍刚好三。那这个正三棱台的高为多少？那其实求的是什么？求的是这一条的长度，哎，求的是这一条的长度，哎，那这一条的长度呢，就是等于这条的长度 乘以二，哎，那我们接着来算啊，那我们的侧边就是四倍根号三啊，那我把它连起来啊，那我这一条，哎，他也就是这一条给他平移过来，那这一条呢？他是多少啊？ 他不知道啊，我们要求对不对？那这一条呢？哎，就是下面我平移后的这条直线啊，他到这个点的一个长度是多少呢？哎，是不应该是三倍根号三，减去根号三呀， 对吧？因为上面这一段吗？这一段是根号三，那右边这一段就是两倍根号三，哎，所以啊，这个直角三角形，一边是四倍根号三，一边是两倍根号三，那我根据直角三角形哎求解就行了。那最后解下来呢，咱们这个高啊，应该是六。 哎，这道题啊，重点就在你要知道内切球他的重心啊，是在咱们上底下底的一个重心上的。 哎，这道题就解出来了，都是计算啊，没什么太难的。我们来看考点二啊，表面积与侧面积。那这道题，他说已知一个圆锥和圆柱底面半径和高，哎，分别相等，那圆锥形的结面是等边三角形，那这个圆柱和圆锥的侧面及之比是圆锥和圆柱的侧面及之比哈， 啊，它为多少？那我们来看啊，它的底面半径和高分别相等，那说明什么？说明我可以把它画成一个同底同高的哎，我就把它放在同一个图形里面来对比，你看，像小毛雪画的这样啊，与圆柱里面哎，含了一个圆锥，这样子来对比，那它的这个结面啊，轴结面， 它是等边三角形，那说明什么？我先假设它的这个底面的半径为 r 啊，就说它们 r 是 相等的嘛， 那我这个圆锥的，它的母线 l 长度是多少呀？是不是二 r， 对 吧？那它的高是根号三 r， 那 我就用这个 r 来表示它的这个半径，也用 r 来表示它的高，那我们就统一单位了，待会好比较 好。那我们 s 锥啊，它的一个测面积是多少？是不是等于二分之一？哎，咱们底面的这个，这个圆的周长二 pi r， 再乘上咱们的它的一个母线长度二 r， 那 这里算下来就是二 pi r 方啊，那接下来呢，咱们 s 柱呢？ 哎，它等于多少呀？一样的啊，底面周长乘以它的高根号三 r， 那 是不是等于两倍根号三 二方，哎，那题目中说的是圆锥与圆柱的比，哎，那我上下比啊，二派二方比上二倍根号三派二方，那等于多少啊？根号三分之一等于三分之根号三。哎，这道题呢，咱们就选 c 啊，这个呢，就是考你这个面积公式啊，考你面积公式比较简单。那下一道题呢？哎，有点搞笑啊，有点搞笑。这种题目呢，也是咱们现在高考啊，他可能的一个命题趋势，他就给你把咱们的知识放到实际应用题里来考你，那就看你能不能读懂题目了。 那这道题啊，前面都是废话，那现在啊，从这里开始制作一件三层的六角宫灯，哎，三层均为正六棱柱， 且里面是全空的啊，那其中呢，上层和下层哎，它底面周长均为一百二，高为五。那现在里面放入一个体积为三十六派立方厘米的球形灯， 且球形灯与各面的距离不少于九厘米，哎，那我们的这个侧面积至少为，哎，有些同学读到这里是读不懂的啊，我们题目中他已经说了，他是三层六角功灯，且他只告诉你了什么，咱们上层和下层就是说这层和这层，哎，他的一个 这个底周长和高，那中间的这个，他的一个边长和高是没有告诉你的，这就需要咱们自己去算，哎，也就是说，哎，我们的中间这个啊，是根据题目中，哎，他的求的就是他这个距离 的值在变化的，那现在要求的是它的一个侧面积。那我想问大家一个问题啊，我在这个容器里放上一个球，那我这个球到各边的一个距离长度是不是就代表了我球的半径？那如果说我这个长度越大，哎，说明我的这个球越大，那同理，我的这个容器啊，是不是就必须越大？ 那我容器越大，我是不是它的表面积就得越来越大了？所以啊，咱们题目中求的是至少，那至少就意味着咱们的这个 r 它就等于九，哎，这个球的半径它就等于九， 哎，你才能求出他的至少啊，那我们来看啊，既然他说他到个边的距离都不少于九，那我们上面这个高是五，下面的高是五啊，那我们二乘九就是他这个球心吗？到上面和到下面都是九，二乘九，减去咱们的二乘五，是不是就是咱们中间这个 正六轮住的高了？那就是八厘米啊，是他的一个高，这是他的高，那我们来把这个正六边形画一下，题目中说的是咱们到各个面啊，都是九，那说明，哎，这个内切球，哎，他到咱们就是这个斜面上个边，这边是九，这边也是九， 这条长度是多少呀？这条长度，哎，是不是应该是九除以二分之根号三呀？那等于多少？等于 六倍根号三，那这条长度就和咱们的边长是相等的，因为这是一个正六边形，所以这里是六倍根号三，这里也是六倍根号三，因此啊，咱们就算出来了，中间这个部分，他的高 h， 他 是等于八厘米的，他的边长 a 是 等于多少呢？是等于六倍根号三厘米的 啊，那这个时候咱们要求它的侧面积了，那上下两个部分啊，已经告诉咱们了，咱们先求 s 一， 它是等于什么呢？哎，底面周长为一百二，那底面周长乘以高嘛？乘以高是五，那再乘以二，哎，就是两个， 那等于多少呢？等于一千二平方厘米，那我们的 s 二，也就是中间哎，中间这一个，它的一个表面积啊，也是啊，咱们的周长就六个小长方形构成的， 六乘以 a， 六倍根号三，再乘以他的高就是八，哎，那等于多少呀？六乘六乘八二百八十八倍根号三平方厘米，所以啊，他的这个测面积至少就是为 s 一 加 s 二， 两个相加，哎，就算出来了哈，这就是这道题，就看你能不能读的懂。我们再来看下一个考点啊，考点三，咱们的体积，哎，这道题呢，哎，比较简单，我就不算了，但是我要讲一下，为什么我把这道题放出来啊， 这道题很明显的，你看，他说，哎，他上底是正方形，下底也是正方形，对不对？他没有告诉你上底，直接告诉你他是正方形，他只告诉了你下底他是一个正方形。但是啊，这几个垂着的面啊，竖的面，他都是一个正三角形，那正三角形有什么 特点呀？是不是三边相等啊？我假设这里是一，那这里是不是也是一，这里也是一，那这里是一，这里是一，那说明什么呢？说明这种啊，咱们倒着的这几个三角形，哎，他是不是都是等腰三角形啊，而且他的这个腰长都是一样的， 那说明什么呢？说明他们的底的长度也是一样的，这边等于这边，等于这边等于这边，然后又是一个垂直的关系，所以他其实就已经告诉你了，他上面就是一个正方形， 这个正方形呢？哎，他题目中又说什么呢？求这个东西的一个容积，那就是求他的体积，那这个体积啊，咱们可以直接去算啊，我们也可以干嘛呢？哎，我们给他补全，补成一个正方形， 哎，我给他补成一个正方形，哎，这就是为什么我要把这道题拎出来说的原因啊。他这个求体积啊，我们平时求的时候一定要想到一个方法叫割补， 哎，你可以去分割，可以去，哎，填补，重点就是把它啊补成，或者说割成你已经学过了的球体积的一些这种，呃，几何的一个公式，你已经学过的这些几何，哎，你就把它割补成这样的一个形状， 所以这道题呢，哎，咱们就可以用各部分来做哈，这道题选 c， 哎，你可以自己去算，我就不多说了，哎，我们来看一下这道题啊，重点是这道题，我要讲一下这道题，他说正六棱柱 p， a， b， c， d， e， f 的 体积是八倍根号三。问题来了，正六棱柱体积公式是多少？哎， 三秒钟答不出来，那你就该去复习了，咱们 v， 哎，六棱柱，它的体积是多少？两倍根号三，乘以 a 方 h， 哎，这是正六轮柱的一个提取公式啊，那它等于多少呢？等于八倍根号三，那说明咱们的 a 方乘以 h 是 等于，我看一下啊，等于十六的，那我们 p a 啊，它是是什么呢？我们先把 咱们的正六轮柱画出来，这是咱们的正六轮柱，那这是 p， 这是 a， b， c， d， e， f， 那 我们的 p a， 它的一个长度就是什么呢？是不是就应该是咱们的这条边和这条边？哎，就是一个垂直的嘛，这条边和这条边啊，平方相加，再开根，哎，就是咱们的 p a 的 长度了，哎，那这条边啊，我假设这点是 o， 那 a o 这个长度是多少呢？ 是不是刚好等于咱们的这个边长 a 啊，对不对？因为它是正六边形嘛，所以题目中这个啊， a o， 它其实就是 a 方，哎，咱就是 a， 那 我们要求的是 a 方加上，哎， p o 的 平方， p o 就是 咱们的高，哎， h 的 平方，哎，我们 p a 啊，它是等于这个的，那我们怎么去求它的最小值呢？哎，很明显啊，我们要把它先统一啊，先统一换成一元的一个形式， 那我换 a 啊，我换 a， 因为 a 方直接就有了，那就是十六除以 h 加上 h 方，哎，开根就是咱们的 p a。 好 了，到这一步啊，有的同学也不知道怎么算了啊，那你要知道啊，这道题他考的是立体几何，哎，也不仅仅是立体几何，我们中间这个部分怎么做呢？ 哎，用函数了，我就令 g h， 它是等于 h 分 之十六加上 h 方的，那我 g， 哎，对 h， 求倒啊，那就是负的 h 方分之十六加上二 h， 哎，那给他通一下啊， h 方分之三二， h 的 三次方 减去十六，哎，那很明显啊，当 h 等于二的时候，哎，它取到它的一个最小值，那我们把二带进去啊，那这道题呢，就选 a 两倍根号三， 对不对？我为什么要讲这道题啊？就是因为。哎，咱们现在这种。嗯，你很难去想到立体几何会跟函数结合在一起，或者说跟求最值结合在一起，但是这道题他就这么去考了，所以咱们的思维是绝对不能固化的。好了，贪多嚼不烂，我们今天就先讲到这，下期再见。拜拜。

呃，各位数的家长，现在的高考呢，是越来越卷了啊，现在的学生的压力也越来越大。在二零二四年的时候呢，这个立体几何题目啊，它是很简单的，你只需要间隙就完全可以做出来。到了二零二五年之后啊，考察一个这个立体几何题，这个立体几何题呢，就是把这个外接球的支点 放在这个大学里面了，这个知识点放在这里面呢，其实原因很简单，就因为这些知识点，很多学生呢，没学会，学的不扎实，把学分的能力呢区分出来。 现在呢，就是很多学生他也意识到这个问题，就是把这些内研究外研究，知识点呢，很多学生呢都学会了。现在呢，高考为了增加学生度，先要考察你的空间想象能力，就用综合法来做这个立体几何题目，这也是高考的一个趋势。

什么？只要学会一个三鱼弦定律，瞬间秒杀一众立体几何小题！上一式你不小心扣了一百四十分的试卷，这一式玉哥帮你全找回来。今天的公式能让你零计算，秒掉以后所有的求立体几何余弦值的问题。 他的名字叫三鱼弦定律，也叫最小角定律，这个里面说的是啥？给大家看一下，现在大家简单证明一下。 在这个平面里，我有一个面垂直于你，然后随便找了一条线，它会形成三个角，第一个是和底面线的夹角，第一个和第二个是和这个平面线的夹角， 那么他们仨之间呢？叫这个垂直的角和水平的这个角乘起来应该等于它的乘积，这是三域限定里表示起来就是这个斜着的角 cosine c， 它就等于 cosine c 一 乘 cosine c 二，这是竖着的乘横着的，所以翻译成人的话就叫这样， 竖着的乘横着的，他们仨的余弦关系啊，竖着的乘横着的将等于一个斜着的，这就叫所谓的三余弦定律。那么怎么用呢？咱们一起来看一看啊！ 首先第一点，正方题， abc 得 a， a b c 得一，他说 ab 得 bc 得一，所以这将是个一， 这将是个一，这个地方将是个根。三、让你求 a 的 一与的 b， 也就这俩绿色的线的夹角。这个属于一道比较难的题了，但是你只要会这个公式，你百分之一万能做出来，瞬间提到一百一十加，怎么做呢？ 你过 b， 因为你想用它求余弦值吗？所以你一定要把它俩联系起来，现在它俩是一面直线，所以咋让它俩在一个平面里做一个平面直线，这样我把它做一个投影啊，当然呢，你要用虚线养成好习惯， 这样过去，那么这会产生一个焦点，你依然的发现这是中点，所以你相当于把这中点找到，这将是一个得撇，行不行？那么你相当于求啥？求得撇？假如这个点叫 o， 你 把它俩连起来， 相当于求的角得撇。 o 与这个绿色线的夹角，对吗？那得撇 o 和它夹角啥样呢？ 你笑了，很显然，我这个平面是垂直于这个平面的，对不对？我这个直线，所以说此时过这个直线的平面就是他应该垂直于这个平面，所以你就可以立马展示你的神威，这里面这就是你的垂面， 这就是你的底面。那你就用一下，这个是不是你所谓的竖着的角，这个是不是横着的角？这个是不是斜着的角？ 所以说你要求的是不是这个斜着的角，而竖着的这个，因为这个面垂直于他，他俩这个面是垂直的， 所以这个是竖着的角。竖着的角很好求啊，你这个边知道，这个边知道，所以他的角度一定能求。那么同理，你横着的角，这个边知道，这个边知道，所以他一定能求。那么咱们就快速求一下，因为你这条边是一，那他的角应该跟谁相等？应该跟这样一个角相等。呃，我把他求出来，这个边将是一个二分之一， 而这里呢？将是一个二分之，这是一，这是根号三，所以这将是一个二。二的一半是一个一，所以这个位置也是一个一，所以这是二分之一，这是一，他应该是一个算一手，这将是个几， 这还要做一个购物定理，所以说此时，嗯，这垂直的，你这是二分之一，这是一，所以我这将是一个二分之根号五， 对吗？所以你这有个直角，这有直角我能干嘛呢？我能求出它的余弦值，它的余弦值就应该这比，这应该是个一比二分之根号五。所以 cosine c 一 将等于个一比二分之根号五，五分之二根五。第二个 cosine c 二在哪？应该在这个位置，横着的就是水平的这个底面，那它将等于一个啥？很显然这个角你是知道的，它是一个等腰三角形，它应该长成这个熊样。 你的两边分别是一个，刚才刚求过，它是一，所以这边也是一，所以这将对应一个一，一，所以它根本不用求。这将是一个六十度的角，对不对？所以它的余弦值很容易求出来。 cosine theta 二将等于 cosine 六十度， 也就 cosine 三分之 pi 将等于一个二分之一，所以它俩相乘，你的 cosine theta 就 求出来了，它将等于一个 cosine theta 一 乘。 cosine theta 二将等于一个五分之根五，所以直接秒掉以后所有的求余弦值的问题，你就说它简不简单？

他说圆柱的底面是四 pi， 那 我可以知道这个底面的半径，对吧？这是二 pi， r 的 平方等于四 pi， 所以 r 就 等于二。 它的母线是八， l 等于八的侧面积恰好与该圆柱的侧面积相等，那我得先算圆柱的侧面积，对吧？ s 圆柱的侧面积就应该等于 四，乘以二 pi， r 就 等于 底面的 r 是 二，所以带进去它就应该是四十六派。 因为我们的圆锥侧面展开，它是一个长方形，二派 r 就 等于二派，乘一个四啊，乘个二就等于四派高是四，所以十六派，那也就是说 s 扇形， 他的展开，这个扇形，他也等于十六派，所以我们的扇形还等于什么呢？我们假设把这个扇形给它画出来。 好，我们假设这个底面的半径我们不知道，设为 r 二，那么 r 派 r 二就是弧长，所以他就应该等于二分之一的弧长，乘以母线 把该圆的圆掉，所以 八派，二二就等于十六派，所以派根派圆掉啊，所以二二就等于二。 那他现在让我们求这个圆锥的体积，本质上就是让我们求这个圆锥的高。 假设 p 垂直，那所以 p o， 它就等于根号下六十四减四等于六十。根号六十的话，就应该是就应该等于二倍，根号十五， 所以 v 锥就应该等于三分之一的底面积，乘以高，那就是 四 pi， 再乘以二倍，根号十五，就应该等于三分之八倍的根号十五。 pi。

高考数学前面的选择填空题会有这个五分到十分的这个立体几何，这个我们是必须要满分拿下来的。这个高考还有这个一百天， 我们是不是过关了？你用这个题目来检测一下自己的立体几何怎么样，掌握的怎么样啊？ 他说一个人长为二的这个正方题， a、 b， c、 d 和 a b， c d， e 点和 f 点是中点啊，分别是 a、 b 和 c， d 中点 点记在 c c 撇上，不含这个 c 撇和 c 的 两个端点。在下面的这个说法正确的是，首先 a 选项 e f g， 他 说这个 e f g 是 一个钝角三角形啊，这个其实你猜都能猜出来它是正确的啊，你猜都能猜出来它是正确的。 这个 a 选项我给大家提供两种解法，第一种解法就是你就如果它是一个钝角三角形的话啊，这个 e f 平方加上一个 f g 的 一个平方，一定是小于 e g 的 个平方。嗯，我们第一个法 e a 选项的法一，你就是直接算，因为它每个边长是二，这两个是中点， e f 是 可以算出来的， f g 也是可以算出来的， e g 也是可以算出来的啊， e g 你 用这个直角三角形可以算出来的，怎么算？你自己去算了，我给大家提供思路啊。 然后你算了以后， e f 的 平方加 f g 的 平方，刚好小于 e g 的 平方，所以 a 选项就是对的，这是法一法二 a 选项。我给大家提供一个向量的这个解法啊，如果我们的扩散 f e 向量和 f g 向量所形成的夹角，如果它小零的这个东西，它等于 f e 向量点成一个 f g 向量，除以一个 f e 的 模， 乘以一个 f g 的 模，对吧？如果这个小零，我们只要这上面小零就 ok 了。 也指示 f e 向量点成一个 f g 向量，看它是正负。 f e 向量，我们做一个转换，它等于一个 f b 向量加上一个 b e 向量，然后再点成一个 f g 向量。 为什么做这个转换？这个转换以后，这个 b e 向量和 f g 向量 b e g 向量和 f g g 向量点乘是等于零的。因为两个垂直 b e 和 f g， b e 向量垂直于这个侧面，所以 b e 向量和这个 f g g 向量点乘以等于零的，所以它只剩下前面这个，它就等于一个 f b 向量 点成一个 f g 向量，后面是零。 f b 向量 f b 向量和 f g 向量，显然这是一个钝角，它是小于零的，这两个向量点成肯定是小于零， 所以我们的这个扩散 f e 向量和 f g 向量就是小于零，所以这里个夹角 就是蹬脚啊。反二是用向量的方法，如果不清楚，同学反复观看一下啊。这个反二，也就是说 a 选项，我们用了两个方法 推出来 a 选项是正确的， b 选项了，这个 b 选项大家一定要仔细听，因为 这个我往网上观看，有个老师讲这个 b 选项，我个人认为他讲错了。嗯，比方这个是讲错的。这个老师他做的图啊，他说延长这个 f， 他 说延长这个 f 和这个 a a 撇教育 n， 然后他说这个面就是 e、 f g 的 一个平面，我个人认为这个是不正确的啊，我个人认为这个是不正确的，懂吧？ 我个，所以他说这个 e f g 的 这个洁面是一个五边形 啊，所以我个人认为它是不正确的，那么正确的方法是什么？我讲给大家听啊，仔细听。所以这个 b 选项很重要啊，这个 e f g 这个洁面，如果我们把它扩大的话，你看好了， e f 和 a c 是 平行的，那么 a c 会和这个 g 和 a a 撇上某个点连接起来是平行的。比方这个点是 a 吧， 我们连接，也就是我们做一条平行线，肯定能做出来，这个是 a， 就我们一定能做出来。 ng 平行于 ef， 平行于 ac， 懂吧？ ng 平行 acac 平行 ef， 因为 ef 是 用周期啊，这样可以做出来，这个做出来以后我们就扩大把 efg 这个平面就扩大成 efg 原音了， 这是可以的吧？这是完全可以的啊。我连接这个，首先我们这么扩大，然后我们再进一步的把它扩大。怎么扩？你看好了，我用蓝颜色的笔，我延长 f g， 他 会和 b 撇 c 撇交与 交于某个点，嗯，然后我们再延长 e a 音，它会和 a 撇 b 撇交于某个点， 然后我们再连接这两个点，嗯，这两个点就是这两个点，它会和这两颗边交相交， 我们连接好这两个点，相交的话，交的这个点，然后加我们是 m， 这个是 m， 这两个点加这个点还是 m， 这个点是 k 吧。 好，然后我们连接剩下的这个 m a 和 k g， 那 所以 m k g m k g f e n 就是 洁面，我这个洁面可以说逻辑最严谨啊。所以正常情况下它是一个六边形， 不是平行四边形。即使你这个 g 点和 cp 点重合，你即使你这两这个点重合了，他才有可能是四边形，但是我们这不包含这个两个端点，所以他永远不可能是四边形，只可能是六边形。 我再讲一遍啊，这个 b 选项很重要，有的老师都讲错了啊，有的老师讲的它的可能的形状是四边形。 ok， 好 了， 然后我们再讲啊，这个 c d 选项，把这个图擦掉啊，我把这个图擦掉是说，所以 b 选项是错的， 他说，即使 c 撇 c 的 终点时， e f、 g 与底面 a b， c d 所成角的正确时，当然你可以间隙 一起几何。我个人的主张，如果你能用几何的方法，就不用间隙啊。 e f、 g 和底面所成的角，我们可以直接把它找出来。怎么找？延长 e f o 延长 e f， 延长这个 e f 啊，我还是借用那个老师的图吧。还是借用那个老师的图， 你看，延长 e f， 懂吧？下面以 c 点做 e f 的 垂线 h， 也就是说这个角是直角，根据三垂线定律，那么 g h 就 一定垂直于 e f。 再讲一遍啊，下面这个 c h 就 垂直于 e f， 也就是 e h， 那 么根据三垂线定律，那么 g h 也一定垂直于 e h。 那 么角 我们要求的正确字就是角 c h g， ok， 也就是这个角就是我们要求的这个 两个平面所形成的角。 e f、 g 和底面所成形成的角，懂吧？我们把它找出来了，找出来了，这个角是啥？它那个 c h g 就 等于， 就等于这个是 c 点，就等于 c g。 除以一个 c h， c g 等于多少，它终点它是等于一， c h 等于多少。很简单啊， 因为这个是中垂线，所以这个角是四十五度，这个是一个等于二直角三角形，这个 c f 是 等于一，所以 c h 是 二分之根号二，所以 c h 是 二分之根号二，所以刚好是等于根号二的，所以 c 选项是正确的。好，所以 c 选项是正确的， ok， 懂了吧？所以 c 选项是正确的， c 选项是正确的。我们再看 d 选项啊， d 选项我给大家提供两种方法去做， ok， 第一种方法就是无脑间隙法啊， 就是当我们如果没有达到一个很高的一个水平，一起几何的话，你就间隙，对吧？你就间隙，你就按照这个方向间隙 这个 z， 这个是 x， 这个是 y， 我 们间隙 这个，他说这个 g 点 e 点 b 点 f 点这个三轮锥，这个三轮锥 是在一个外接球，噢，是在一个，有一个外接球，这个外接球的半径一定是在底面 e、 b、 f 的 外圆的圆心，也就是 ef 的 中点，这个中点往上升，就垂直于这个 这个 ef 的 这个中点就是底面的外接圆的圆心，这个垂线上面加这个外地球的球心 o， 在 这里，懂 𠲎， 这个 o 在 这里， 这个 o 点的坐标 o， 假如下面的外锥圆的圆形，我们 o 一 撇外地球，整个这个三棱锥外地球球形，我们 o， 那 么这个 o 点的坐标 我们可以做出来是二分之三，二分之三是它的高，是 h， 极点的坐标就是零二 h 一 撇 异点的坐标，就这个异点的坐标是二一零， 因为外地球的球形 o e 等于 o g 等于 o f 等于 o b， 对 吧？我们 o e 就 等于 o g， 就 等于外地球的半径，所以 o g 就 等于一个 o e 就 等于一个外地球的半径 r， ok， 我 们平方的话就是 o g 的 平方就等于 o e 的 平方就等于二的平方。 o g 的 平方，我们可以用这个坐标来表示出来，这是二分之三的平方， 加上一个二分之一的平方，加上一个 h 减 h 撇的平方就等于 o 一 的平方， o 一 的平方就是二减二分之三的一个平方，加上二分之一的平方，加上一个 h 的 平方，这两面很容易约掉，这里面 h 平方，这里面 h 平方只有二分之一平方和二分之一的平方约掉了，对吧？ 那最终很容易就弄出来。 h 就 等于一个二， h 一 撇， h 一 撇平方加二就等于二分之 h 一 撇加上一个 h 一 撇分之一。 根据这个均值不等式，它大于二，乘上一个根号下二分之一，也就是根号二， ok， h 带领跟和二，那我们的半径的平方就等于这个。后面这个你看 o 一 的平方就等于二减二分之三的一个平方，加上一个二分之一的平方，加上一个 h 的 平方， ok， 那 它就等于一个二分之一，加上一个 h 平方，它就大于等于二分之一。加上 h 大 于零，根号 h 一 平方就大于零，二就等于二分之五。 那外地球，他说外地球的表面积最小值 s 就 等于四派， i 平方，那就大于等于四派，乘以 i 平方乘一个二分之五就等于十派，所以 d 选项就是对的。第一种方法是间隙啊，无脑间隙， ok， 那 除了间隙，我们是不是还有其他方法？当然有哦，我们还有一种方法，就是 除了间隙，我们可以用几纯几何的方法。这个外接球的球心，你看 o e 的 平方等于 o g 的 平方， o e 的 平方等于 o e 撇的平方加上 o e 的 g 的 平方，我们可以做一个，我们可以做一个这个，我们可以做一个垂直， 大家看不清楚吧？红颜色的笔画一下做一个垂直，做一个垂直以后，你看这个点啊，这样的话，在这个直角三角形当中， o g 的 平方就等于这个平方加上这个的平方，这个加这个，这个点，我们用这个点是用一个，呃，叫什么点？叫 w 吧，这个垂直角 w 的 话，那所以我们用两个勾，五厘米啊，你看 o e 的平方，我们在这里写啊， o e 的平方就等于一个 o o 一撇的平方加上一个这个 e o 一撇的平方。 o o 一撇的平方，也就是 h 的平方加上 e o 一撇的平方。 e o 一撇很简单啊，就是二分之根号二的平方， 也就等于 h 的 平方加上一个二分之一 o e 的 平方就是国际球半径 r 的 平方，所以 r 的 平方就等于 h 平方加上二分之一，对吧？好了。 然后 o e 的 平方，它又等于一个，等于一个 o g 的 平方，就等于这个 o g 的 平方， o g 的 平方就等于 o w 平方加 g w 平方，它就等于一个 o w 平方加上一个 g w 的 平方。 o w g w 是 这个 g 的 个高度， g 的 高度我们加 h 一 撇就是 h 一 撇，减去一个 h 的 平方，就是 g w 的 平方加上 o w 的 平方。看看 o w 平方，下面 o w 平方，这是一个 和下面这一个是一个矩形， o w 和 o 一 撇 c 是 相等的，它就得 o 一 撇 c 的 平方， o 撇 c 的 平方， o 撇 c 是 多少？有的同学 o 撇 c 他 弄不出来啊，你看好了， o 撇 c 怎么弄啊？ o 撇 c 在 这里， o 撇 c， 这里又可以做一个直角三角形，你用这个垂线啊，你用这个 o 撇做这个 e b 的 这个平行线，这里有一个直角三角形，这个直角三角形一个边，这个边 是这个长度的二分之一，这个长度是等于二分之三的啊，自己慢慢想。那所以 v 撇 c 的 平方就等于二分之一的平方， 加上一个二分之三的一个平方。好，大家再仔细想一下，也就等于也就是这个平方等于这个平方，这和我们刚才见 c 的 结果是不是一样啊？ 我们间隙的结果，你看最终的这边和这个是一样的， h 的 平方加二分之一， 我们的我们的这边右边这一坨，它等于 h 的 平方加上一个二分之一，我们左边这一坨和这个东西是一模一样，也就是说 两条道路最终指向了同一个这个终点。剩下我就不讲了，既然他们结果是一样，后来的方法都是一样啊，后来的方法都是一样， ok， 后来的方法都是用均值不等式，都是用一个均值不等式， ok， 懂 𠲎。 所以 如果你分数比分平时都是一百二十五分或者一百二十分左右，把这个把我讲的这个方法仔细看，首先自己按个暂停，看自己能不能做出来啊，尤其是这个 b 选项和 d 选项， a 选项我讲了两种方法， d 选项我也讲了两种方法， ok， 嗯， 这个大家同学们自己仔细的把这个方法好好吸收一下，如果你不看我的这个视频，自己做出来，恭喜你啊，这个高考数学立体几何这一块应该没有什么太大的问题了。

然后他又平白无故多给了我一个线线垂直。你往往给你线线垂直都不是什么好事啊。因为一个线线垂直没用，咱刚才说了，两对线线垂直，两个线线垂直才能蹦出火花，才有线面垂直。线面垂直又有新的线线垂直了，来回就考这么点玩意啊。接下来我们来做一道大题， 说四边形 a、 b、 c、 d， 它是菱形，挺，哎，你说你就这菱形，你要用到什么条件？低段位的宝贝说啊，你这两边相等，我不能说你错，但是我们现在学完垂直了，你说菱形里面有个非常明显的垂直，你一会大概率要用到的是什么？ 是不对角线 b、 d 和 a、 c 线线垂直啊，这一会肯定要用啊，那肯定要用的好，那题目还给我什么条件都 be 垂直于里面， be 是 什么东西呢？哦， be 在 这 b 垂直于底面的，相当于说什么呢？说说明你这地面上，你给我立一个旗杆啊，你这旗杆，你说你这线面垂直，你能得到什么？你这旗杆是不是跟面上任何一条线，包括对角线也是在面本身的对不对？这这粉的跟面上任何一条线都线线垂直， 那第一问问我哦，让我证明面面垂直不，我们说了，你想正面垂直，然后你另外一个面经过这条线。好嘞，面面垂直， 那我先在这个题目上把要正的这两面画出来， a、 e、 c 是 它小灰面， b、 e、 d 小 粉面。 按照我们刚才思路，咱得找啊，这两面其中一个面的垂线，你不要找线面垂直嘛。所以，所以这里面谁是 r 发谁是 b 啊？这道题你找哪个面的垂线好找啊？这样的一个问题，这是你每道正想证明面面垂直的时候都会遇到的一个小难点，你要先找到某一个面的 线面垂直，然后另外一个面经过这条线就好了。但是谁当这个下面这个面是一个问题啊？是他来当还是他来当？ 我们是有判断方法的啊？咱讲的是科学，你不是要先证明线面垂直吗？啊？你要你想证明线面垂直，你肯定条件你得垂直，条件得很多，你才能证到线下面垂线，下面垂线才垂直，对不对？所以你这两面谁的垂直条件多？ 粉面上线的垂直条件多，还是灰面的垂直条件多呀？你到目前为止，你就这里面出了一个垂直，这这垂直里面还有 b、 e 这条线，所以你无论怎么想，你一定是粉面不动，你找粉面的垂线对不对？ 那整这道题灰面我不看了啊，你说哪条线能是我粉面的垂线？你从头到尾读条件，首先第一个条件，菱形。哎，菱形怎么样来着？对角线垂直吧，我 a c 肯定跟 b d 是 垂直的。来读第二个条件啊，这这个没用这个条件， b e 跟底面， b e 跟底面线面垂直，那我能出来这个 b e 跟底面任何一条线，你说你用哪条线？你刚冒出来这个 a c， 这个你自己连出来这条线是不是 a c 显然在底面上嘛？那你好了，那你 b、 e 就 跟底面上任何一条线，包括 a c 垂直， a c 垂直于 b e， 那 你这不就轻松地找到两对线线垂直了吗？而且 a c 你 重复使用了两次， a c 是 交集花， a c 既跟 b d 垂直， a c 又跟 b e 垂直，那就跟这两条线所形成的粉面线面垂直。 那你线面一垂直好嘛？人让你正什么来着？人让你正的是面面垂直，一个面是 b e， d 啊，这个粉面另外一面 a e c， a e c。 哎，那我奶奶能看出来， a e c 肯定经过 a c 啊， a c 就 在 a e c 上，所以由线面垂直，另外这个绿面经过了这条线，我就一下能推出来面面垂直。 ok， 那 这道题呢？我把过程贴在这，大家如果有需要的话，你贴着去看，我今天重点给大家讲思路，那我们来看第二本，它说 abc 是 一百二十度哦，这是一百二十度，相当于是一个一百二十度的一个菱形。我先不往后看，我就把这个一百二十度菱形我先研究。好喽，你这一百二，那如果我一分为二的话，你就是六十度啊，六十度，六十度，那你相当于是俩等边三角形拼起来的喽。 ok， 了解了，这是 a b c d， 然后他又平白无故多给了我一个线线垂直。你往往给你线线垂直都不是好事啊，因为一个线线垂直没用，咱刚才说了，两对线线垂直，两个线线垂直才能蹦出火花，才有线面垂直。线面垂直，又有新的线线垂直了， 来回就考这么点玩意啊。接着往后看，条件说， a e 垂直于 e c。 哎，哪条两条线啊？这是 a e， 呃，这是 e c， 相当于 a e c 这三角形，这是直角三角形。 这个条件，一会你说直角能有啥用？那我有可能会用到勾股定律是吧？它方加它方，等于它方啊，类似这样的，或者也有可能，它这明摆着是一个线线垂直，线线垂直也有可能能退出来新的东西。 比如你再有一个线线垂直条件，你再加一个啊，两个线线垂直，那就有线面垂直，线面垂直又有新的线线垂直，那具体这两条路它是用勾股定律还是我去找新的线面垂直和线线垂直去？这我目前还不确定，我看他问我什么说三棱锥体积是这个三棱锥 a、 c、 d、 a 四个点形成的，人平白无故把体积告诉你算啥？那不就算边长算高的吗？这是一个三棱锥啊，那是三棱锥，你谁当底面谁当高，这能看出来吧？我肯定把 a、 c、 d 当底面啊，这个 a、 c、 d 跟这个面垂直的线，题目中说了不 b、 e 吗？ b、 e 跟整个底面不垂直吗？所以这就是高，这就是底面。所以三分之一底面成高底面积 a、 d、 c 什么东西？ a、 d、 c 目前为止每一个边长他都没给我，是吧？那我就射呗，我射这边长 a、 a， 这高就是二分之一 a， 三十六十九十三角形嘛。所以底面积二分之一底啊，这是二分之高三 a， 这也是二分之高三，加起来根号三 a， 再乘以二分之一，这底面积四分之高三 a 方 底面积了，这高的长度我也得用这个 a 来表示一下，让它最后等于这个三分之高六，我才能把这个 a 值求出来，对吧？你再引入个别的量，比如说你在这儿再设一个 h， 那 么，呃，有 h， 一个变量，有 a 俩个俩变量，你让它等于三分之高六 a 俩变量一个方程解出来，所以 b、 e 一定你要用 a 来表示，才有可能做题 想求这个高，那把这个边长，我得放到直角三角形里面啊。那放哪个直角三角形里面？题目中有有什么条件来给我一个 a， e 和 e、 c 啊？这这，这不是直角吗？是吧？我一会得用上这个三角形，所以我就把 b、 e 呢往那个面啊这个面上这个条件上去考，是吧？我，咱们画一个这个粉色吧。在这反面，我发现 g 是 中点， 哎，你那还是直角啊。 a， 这不是斜边中线吗？斜边中线等于斜边一半，所以 e g 我 相当于一会一定能算出来。我只要把 a、 c 除以二分之一。好了， a、 c 的 长度是根号三 a， 那 二分之一，它就是二分之根号三 a。 你 都有 e、 g 了，你要求 b e， 那 我肯定连接这个三角形 a， 在 这三角形里面， b， e 跟整个底面线边垂直，跟面上任何一条线线垂直，这是直角 b， g 长度哦， b， g 长度二分之一 a 勾股定律 b， e 长度根号下它方减它方，这算完应该是，这是一，这是根号三，那这个应该是二分之二 a， 好 了，高有了，所以用上这个体积公式，整个三棱锥体积等于三分之一底面积。刚才求完的四分之根号三 a 方，再乘以高高也求完了二分之根号二，他说这个是三分之根号六，那我一下就把 a 解出来， 解完这个 a 应该等于二，那就问这个三棱锥的侧面积，注意，由三棱锥侧面积跟表面积不一样啊。人，按照题目这说法，这三棱锥 a、 c， d， a， c， d 是 底面，那三棱锥一共有四个面，除了底面之外的另外三个面面积之合就是侧面积， 那我由 e 为顶点，那我先跟 a、 c 连，我先求一下这个面积，这个是直角三角形，特别好求，在 a 是 二的情况下啊，这是二，这也是二，这是一，这是根号二。 我求直角三角形的面积，肯定是二分之一底乘高那俩直角边。我要求的啊，我先求 a、 e， 因为 a、 e 在 这个三角形里面，我一直要用到 b、 e 跟底面垂直这个条件，线面垂直，线跟底面任何一条线就垂直啊，这是其高，这就是路，所以 a 是 刚好的，它方加它方就更好，路 相等。呃， e、 c 我 也放到直角三角形里面来，根号二，二，呦，这也是根号六欸，所以第一个侧面表面积二分之一，根号六，乘根号六。接下来还有两个，一个是 a、 e、 d， 还有 e、 d， c， 目光锁定在 a、 e、 d 上， 呃，说实话，大不了把三边都求出来，是吧。这根号六，这几啊，这边长是二。那最后 e、 d， e、 d 是 在放在直角三角形里面，我还是用这根旗杆来做，因为旗杆跟底面任何一条线形成这直角，那根号二。 b、 d 长度啊， b、 d 长度跟 a 的 长度一样，是二。哦，这也是二，根号二，所以它的长度是根号下二加四，哎，也是根号六， 那这三角形三边，你看啊，根号六，根号六，二，它相当于是一个等腰三角形啊。题目画的是难看了一点，那我那二分之底乘高，这个做出来一个高，这是一，这根号五 s， a、 e、 d 的 面积二分之一二乘根号五。 最后一个 e、 d、 c， 还是求三边呗。呃，这个是二，这个，哎，谁算完了啊，这是根号六，这也刚好六，哎，所以 e、 d 跟 e c 这两边都是根号六二的三角形，跟它面积是一样的呀， 所以一二三面积和加起来得到答案，三加二倍，根号五。以上就想给大家介绍的全部内容，今天我们重点讲了四个定律。第一个定律，线面垂直的性质。如果你已知线面垂直，那么线跟面上任何一条线线垂直。 反过来我想推线面垂直。你想知道线面垂不垂直啊？想让你证明，那你就找这面上任何的两条相交直线，如果都跟这条线线垂直，那么线线就能推出来线面垂直。 第三个，我想判断两面是不是垂直，你只要让其中一个面经过另外一个面的垂线即可。最后，我已知面垂直了。那有什么性质？这一节课呢？这种类型题我们还没遇到啊！

今天这节视频重点讲思路，讲大家如何去做辅助线，讲大家如何去想对一些书写的规范。比如说啊，你想说明线面平行的时候啊，找到线线平行了，你还得附加条件。说啊，你这条线呢，在这个面上，以及这条线不在这面上，这些附加条件，这些书写规范，今天不做要求， 要不然这视频太墨迹了啊。今天这个视频的主要作用是帮大家串思路，你得先会正了，你再去想书写过程。 ok， 那 我们正式开始啊，三棱柱八八八八， e 是 a b 的 终点， e 是 a b 终点，然后让我证明 b c， e 跟 a e， c 是 平行的。 说实话，这题老生常谈了，大家看，这是线面平行，不是几个方法，给我打个数出来，一个两个还是三个还是四个来着？在这呢，你要么找平行四边形，你要么找中位线，你要么做平行面，咱一个一个试。 首先用神奇的目光或者神奇的小尺子，你把这个线往那个面上去移，大家自己看，你这条线太长了，对不对？太长太大了，这个这个面他根本容纳不下你这么长的东西。所以咱如果想主动找什么平行四边形，稍微有点难，那你也别在一棵树上吊死怎么办呀？做中立线喽， 看好中位线。第一步，你得在这个线跟面之外上选一个点啊，你选谁呀？那有同学想，哎，我选 b 一， 哎，你这么一选完，你跟这一个端点连完之后，你要想跟这面怎么有交点？你这么交，这是交出去了，不是特别好做。所以这个 b 一 啊，不能用 啊，你整个图形，你就一二三四五六七，一共七个点，你 b 不 能用，你只能用谁？是不？只能用 a 来这 a， 我 跟两个端点进行连接，一个 两个。那我现在关心的是这两条线和我这个大黄面，它的焦点在哪？上面这好看不？这我都交出来了，这焦点必然在 a、 a， e， c， e， c 那 面上吧。我设一下这点焦点之一。 第二个，这条线跟黄面有没有焦点？傻了，那不就点 e 吗？我不用设了，我现在需要做的是把这俩焦点连起来。我需要说明这 e、 g、 e 是 不是 b、 c， e 的 中位线呀？ 多笨的宝贝才能看不出来啊？你 e 是 a、 b 的 中点，那 g 是 a、 c， e 的 中点，因为侧面是一个平行四边形，平行四边形的对角线肯定是相互平分的，所以在整个大三角形当中，这俩中点一连接，必然是中位线。 那就证明完了， e、 g 跟 b、 c e 线线平行，那因为 e、 g 呢？在这个面上， b、 c， e 呢？不在那面上，所以线面就平行了。第一个，乘法结束， 接下来再来一个乘法，先证明线线平行步。第一，咱可以做平行面，对不对？哎，平行怎么做来着？过俩端点做这面上某条线的平行线，比如说过 b 点啊，做平行线，我觉得做 a、 e 平行线特别好做。 大家看啊，我把这条线一到穿过 b 这位置的时候，我发现，哦，我这么一做，看这点很明显，它应该是一个终点。我做一下， 那究竟这两条线是否真的平行，那你就去研究这侧面上的事呗。这侧面是一个平行四边形，因为他不是三棱柱吗？那具体他没说是直的，所以呢，这个地方我也不敢说他是直角啊，我就直接画一个普通情况， b 一 是上面的终点， e 是 下面的终点，这你考试的时候都不用一步一步正，你就说，显然他是一个平行四边形，因为对边平行且相等呗，所以有了两条绿线平行。 哦，那过 b 点主动做了个平行之后，我发现，哎，这三点就已经确定一个面了。我为了说明真的是面面平行的，我找到一对平行还不够，还得找另外一对，哎，能找 b c 一 不？不能， b c 一 是你最后要正的，你得找另外的这条线，这条线跟刚才咱这面上有没有某条线肯定是平行的。傻了， 神奇的目光，我把这条线往下移移移，往这面上去推一下就推到 e c 了。呀，咱知道上下底面肯定是全等三角形，那我做了这个中线出来，它俩肯定平行，所以两对线线平行，我就找到了两对线线都平行了，那它这两条线所形成的面 a e， e c 和 c e b 啊，这点没设，这两面面平行正完了，这是面面平行的做法。 好嘞，第二问，它设 f 是 a a e 的 中点好，然后 b f 跟 a e 这焦点，它是一个大 m， 然后呢， c f 跟 a e c 也有个焦点，这焦点呢，是一个大 n， 怎么样让我证明是 m n 跟 b c e 平不平行， 最最后落这点，它是线线平行。哎，线线平行怎么正来着？是不告诉大家有两个思路，第一个思路，你用平面几何去做。第二个思路，你用力的几何的线面平行去做，你看有没有一个现成的线面已经平行了，然后你再去过这面做个交线出来，那交线跟着线一定平行。两个方法我全都讲，因为对这道题来说，那的确两个方法真的都能用。 首先我用立体几何方法，大家看啊，在题目里面有没有一个线面平行，我已经已知的哦，第一问是不就有啊，我不是都知道了吗？绿线跟蓝面平行啊，我刚正完，我不能忘了哦，那大家自己看 m n 是 啥东西？ m n 好 像是 c e b f 这面上的线吧，我连接一下， 而且 m 好 家伙，还是这蓝面跟绿面的焦点嘞，所以用这几个方法，啥辅助线都不用，绿线跟蓝面是平行的，经过绿线我做了一个面，结果这两面呢？还有交线呢？交线跟我原来这些必然平行，直接结束 哦，那我光讲这个我觉得还不太够，因为有时候大家真识别不出来这个线面平行，有的人真忘了哈，所以我不能强求大家一定得会这个方法，大家还得会第二个，用平面几何的知识去做 哈，让我证明 m n 和 b c e 平行不？题目中说 m n 怎么来的，它是 c f 和 b f 这么交来的， 那大家自己看喽，我想说明他俩平行不平行哎，我只要证明这俩三角形是否是相似的是不就行了。换角时，我只要证明这边的比例关系跟另外这边的比例关系，这 m n 是 否都是各自边上的相同的极等分点喽？那我按照这个思路来想一想啊。 首先我来看一下 n 点，它是极等分点，绿的比粉的，大家能不能用平面几何知识告诉我，我已经看出来了，大家看出来没哦，这是绿的比粉的，这是不是绿的比粉的呀？这是不是绿的比粉的呀？因为这个绿三角形跟粉三角形居然是相似的嘞，因为这俩不平行线吗？ 相似比是几比结， f 是 中点，所以 a、 e、 f 应该整个 c、 c 的 一半是一比二，一比二，一比二，所以 n 点应该是一个一比二的三等分点。好， n 点这事我证明完了，我问大家， m 点它是这几等分点， 那这图形现在已经太复杂了，对不对？哦，那你看看 m 点是几等分点的话，这个问题好像正好是在侧面上的一个问题，我把这侧面单独拨出来给大家看， 像扒皮一样。刚才已经扒过了，说了，这侧面它是个平行四边形， a、 b、 b、 a、 e、 f 都是各自的终点，各自连一下。 现在我想知道这 m 点究竟是这蓝色 f m 比 mb 这条线段上的极等分点，大家能不能看出来？有没有一步到位的方法？ 这可不是高中数学知识哦，这平面几何知识，我把 a、 e、 b 连起来，大家能不能看出来？你看，在这整个大三角形里， a、 e 是 一个边上的一个中线，同时 b、 f 也是这三角形的中线，俩中线相交，这心是重心吧？重心有什么性质？ 那么妥妥的把中线分成一比二的性质吗？所以这 m 点它也是一个一比二哦，一比二，一比二，平行线线平行类结束。 这咱也可以把一整个立体几何问题分解成两个不同面上平面图形的问题，用平面几何来做。 ok， 这就是今天要讲的第一个平行证明的小例题。呃，难度还好吧？

这样作为开胃菜，本身难度并不高啊，只是用它来讲核心方法啊，一会咱是有难题的。 ok， 找线线平行，已经把它找完了。那接下来我们来找面面平行的方法就是，你要过这个线找到一个面，那这面咋找啊？有的宝贝可不会了，我教大家如何做平行面。 第一步，就像刚才说的，这条直线呢，一定是以个线段的形式在立体几何当中出现的，所以意味着吧，他必然有两个端点，想做平面，就从这俩端点入手。第一步，先从其中一个端点做，那面上某条线的平行线一定非常好找。我这做完之后，哎，是不是支棱出来另外一个端点了？我记为端点之一， 那宝宝们自己看， m、 n、 g 是 三个不同点，三点本身就能确定一个面对不对。所以我们做辅助线的方法特别清晰，就过其中一个端点做条平行线出来，连接一下，形成一个面。结束， 我记下来过两个端点当中的任何一个做平行线。好，面是做完了，那我如何证明面面真的平行啊？小傻瓜，面面想平行，我们一会会讲啊，咱得找到两对线面平行， 咱得说明这两条红线，第一个跟底面平行，第二条红线也跟底面平行。如果两条红线都跟底面平行了，那面面就平行了。面面一旦平行，那第三条边 m n 就 一定跟底面也平行。因此大家会做完辅助线之后，你还得会证明，你就找两对线面平行， 哪两对？这面一共就仨边， m n 是 你最后要正的，你不能用，那你要用 m n， 那 不就直接正完了嘛。所以你一定用 m n 之外的另外两条边。 你去说啊，这蓝的跟蓝的线线平行，那线面就平行了，一对找到，然后再换一个啊，这个粉的跟面上的某条粉线，他也线线平行，线线一平行，线面就平行了，第二对也找到。 所以大家有没有发现我解释一大痛，最后的根本是什么？就是你过两个端点，做这面上某两条线的平行线和平行线。如果觉得乱，刚才啥也没听懂，没关系，你就记住一句话，过端点做线线平行结束 举个具体例子。还拿刚才这道题啊，第三个方法啊，我要证明，绿线跟绿面平行咋做来着？过俩端点做那面上的平行线， 比如说啊，我过点 n 咋做平行线哦，过 n 点，你要么做 b c 的 平行线，哎，咱这样做，你这样做支出去了对不对？支出去真没法做。你要么做 e、 c 的 平行线哦， e c 的 平行线本身就是 m， 能变成方法二了 啊。那现在如果方法不让用了，那你就只能做 e b 的 平行线，太好做了。 n 点是中点，我在 a b 上再取一个中点，可不就构成中位线了吗？好，所以我取 a b 中点，我记为 h 那面一共就需要三个点，这三点我都找到了，我再连接一下，那是否真的面面平行嘞？刚才咋说的？我得找到两对线线平行吧。第一对线线我已经找到，第二对，这个线跟谁平行？傻了，这都中点？ h， m 是 a d 的 中位线， a d 同时等于 b c， 所以 相当于说，根据平行的传递性，这蓝的跟蓝的也平行。 好家伙，粉的跟粉的平行，那你线面是平行了哦，蓝的跟蓝的平行，那也是线面平行了。两对线面平行，面面就平行，我把它涂黑。面面一旦平行，那其中一个面上任何一条线，包括这 n m 就 跟另外的面是线面平行的，咱就整完了。 对于这道题来说，第二个方法显然最简单，第一个方法其次。那有的宝宝想问了，那你为啥非得还想第三个方法嘞？你昏头了，我是故意的，因为有的时候出题也故意出成，你用前两个方法，那题你做不了，你就只能大胆的去做面，真的有那种高考题。 所以今天我要强调的是这三个方法，做平行四边形、做中位线以及做面。不是你选一个会，而是三个方法你都得会，因为考试不一定考哪个。以上就是给大家介绍的如何证明线面平行的方法。

那接下来我们来进入第二部分，线面垂直。我们先来讲一下线面如果垂直了，它的定义和性质。它的定义是，如果啊，如果一条直线和一个面内任意一条直线都是垂直的，那么我们就称直线跟平面相互垂直。 这之前这个例子给大家举过了，这是你家门前那块地，这是政府给你家支的这个电线杆子，这电线杆子跟这个地面如果不是豆腐渣工程，就应该是线面垂直，对不对？这电线杆子跟你地面上画的任何一条直线啊，你随便画直线，他都是线面垂直关系，你把任何一条直线，哎，平移到那去啊，在立体几何这个这个观感下，他就是直 角， ok 啊，这句话是有关线面垂直的，这个这个这个含义呢？如果现在题目中已经告诉你这 条线跟这面已经垂直了，那么你天然就能得到这面上任何一条直线都跟这条线线垂直。所以内涵逻辑式，我可以由线面垂直推出线线垂直。用语言写一下啊，如果 l 和 alpha 线面垂直，那么 l 和 m 线线垂直 机器和我们学平行的时候一样，你这么写，写错逻辑没错，但是形式上有点问题，那你前后 l 是 没变的，但是你由这个 r 面突然转化到 m 线上，那你 m 和 r 啥关系？是不是得发生关系，你才能这么来回推啊？ m 在 r 发上这一条箭，你得加上 ok 二推一，这才对。 这是今天的第一个啊，性质定律，你已知线面垂直了啊，他有什么性质？那反过来，我如何判定一个线和一面是否线面垂直呢？如何判定？非常非常关键。如果线有一条直线和一个面内的两条相交直线都垂直，那么线面就垂直。 我们还从刚才这个定义开始讲起啊，线面垂直，你得满足，哎，这条直线跟平面内任何一条直线哎，都垂直，他才叫啊线面垂直。 但是这个判定定律告诉你了，其实不用那么多条直线，不用判定平面内无数条直线，你只要满足平面内两条相交直线都和你 l 是 垂直关系，那末线面就垂直， 追剧里面的，嗯，相交很重要啊，你两条直线不相交不行。因为什么呢？我给大家举个反例，现在这个底面上有 a、 b， 还有 c、 d 啊两条直线，然后在这个底面 y 有 一条直线， 是这个 a、 d， 那 会发现我要平移，一平移一平移，我发现，哎呦，平移到这来，这条绿线跟俩粉线都 都是九十度，都是线线垂直关系。意思就说你这绿线跟平面内两条直线都垂直，那你这条线跟平面垂直吗？显然不垂直，平行关系吧。 我们就线面垂不垂直的判定，一定要求平面呢，你得找到两条相交直线都跟我这条直线垂直啊。那来写一下具体过程，如果两条直线分别是 m 和 n， 当我发现如果 l 和 m 线面垂直了， l 和 n 也线面垂直了，而且 m 和 n 还是相交直线，你得写出来啊。那有交点啊，交点是 p 好 了， m 交 n 与点 p， 那末推出线和面线面垂直，那就又漏条件啦。这回我不说了，讲一百遍了，大家自己说你漏了哪个条件，是不是你又 m、 n 这个线，然后突然你推到面线面啥关系？ m n 都在面上， 必须要写这个定律。内在逻辑是我有两对线，线垂直，最终能推出线面垂。

挑战二十五分钟带你速通高一数学下一休二第八张立体几何的所有考点主要包括立体几何的表面与体 积空间点直线平面之间的位置关系，空间直线平面的平行垂直划重点从高一到高三高中每 考点阿斌老师我都会持续跟完，后续也会对重点公式的推导过程及典型考法持续更新。做这个系列的原因在于，数学其实本质就是公式的灵活应用，但最重要的是这些公式你能熟练的背下来才能灵活应用。关注阿斌高中数学，带你躺着学高考数学也能 多拿三十分！第八单元多面体旋转体的定义多面体定义若干个平面多边形所围成的几何体图形如下。 相关概念，面围成多面体的各个多边形棱相邻两个面的公共边顶点棱以棱的公共点旋转体，一条平面曲线绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，如图所示。注意，轴形成旋转体所绕的定直线称为轴。棱柱的结构特征棱柱的概念定义有，两个面 互相平行，其余各个面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都是互相平行的。由这些面所围成的多面体叫做棱柱图形即表示， 如图可记作棱柱 abcdef 杠 a 撇 b 撇 c 撇 d 撇。 相关概念，底面两个相互平行的面叫底面侧面，其余各面侧轮相邻侧面的公共边顶点侧面与底边的公共顶点。轮柱的分类按底面多边形数来分，三轮柱、四轮柱、五轮柱。按侧轮 是否与底面垂直，侧轮垂直于底面的轮柱叫做直轮柱，侧轮不垂直于 底面的棱柱叫做斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。知识点，三棱锥的结构特征，棱锥的概念定义，有一个面是多边形，其余各边都有一个公共顶点的三角形， 由这些面围成的多面体叫做楔，图形即表示，如图可记作楔 s、 杠 a、 b、 c、 d， 其中 s 是 顶点。相关概念，底面 是多面形，侧面有公共顶点的各个三角形，面侧能相邻侧面的公共边。顶点各侧面的公共顶点楔四楔，底面是正多边形，并且顶点 与底面中心的连线。垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。知识点，是棱台的结构特征。 棱台定义，用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥底面与截面之间大部分多面体叫棱台，图形即表示。如图可记作棱台 a、 b、 c、 d 杠 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇。 相关概念，上底面平行于轮锥底面的结面，下底面圆轮锥的底面、侧面，其余各面侧能相邻侧面的公共边。顶点侧面于上下底面的公共顶点 分类有，三轮锥、四轮锥、五轮锥。捷德的轮胎分别叫做三轮台、四轮台、五轮台。知识点，五圆柱的结构特征，圆柱定义，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边寻找一周 形成的面所围成的旋转体叫圆柱，形状及表示。图中圆柱表示为圆柱。 o 一 撇 o。 相关概念，圆柱的轴旋转轴，圆柱的底面垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。 圆柱的侧面平行于轴的边，旋转而形成的曲面。圆柱侧面的母线无论旋转到什么位置，平行于轴的边。四点六、圆锥的结构特征圆锥定义， 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图形，即表示图中圆锥表示为圆锥。 s o 相关概念，圆锥的轴旋转轴，圆锥的底面 垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。侧面直角三角形的斜边旋转而形成的曲面母线，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点七、圆台的结构特征圆台 定义，用平行于圆锥的底面的平面去结圆锥底面与结面之间的部分叫做圆台。图形，即表示图中原台表示为圆台。 o 撇 o。 相关概念，圆台的轴旋转轴，圆台的底面垂直于轴的边，旋转一周所形成的圆面。圆台的侧面 不垂直于轴的边，旋转一周所形成的曲面母线，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点八、球的结构特征球定义， 半圆，以它的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。图形，即表示图中的球表示为球。 o 相关概念，球心， 半圆的圆心半径连接球心和球面上任意一点的线段，直径连接球面上两点并经过球心的线段。 知识点九、简单组合体的结构特征概念，由简单几何体组合而成的这些几何体叫做简单几何体基本形式，一种是由简单几何体 拼接而成，另一种是由简单几何体截去或者挖去一部分而成。知识点时水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤，第一， 画轴，在已知图形中取相互垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 o 点。 画直观图时，把它们画成对应的 x 撇轴与 y 撇轴两轴相交于 o 撇，且使得角 x、 o、 y 等于四十五度或者一百三十五度， 它们确定的平面表示水平面。第二，画线，已知图形中平行于 x 轴或者 y 轴的线段， 在直观图中分别画成平行于 a 撇轴或者 y 撇轴的线段。第三，取长度。已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图形中保持原长度不变。平行于 y 轴的线段在直观图形中长度为原来的一半。 知识点十一、空间几何体直观图的画法几何体直观图的画法步骤，第一，画轴与平面图形的直观图画法相比，多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z 撇轴。 第二，画底面平面 x 撇、 o 撇。 y 撇表示水平平面。平面 y 撇、 o 撇、 z 撇和 x 撇。 o 撇， z 撇表示数值平面。按照平面图形的画法画底面的直观图。第三，画侧能 已知图形中平行于 x 轴或者在 x 轴的线段，在其直观图中平行性和长度都不变。 第四，层图去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。知识点十二， 能住、能追、能抬的表面积多面体对应的图形以及表面积。多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积点。十三、能住、能追、能抬的体积能住体积为 v 楞柱等于 s 乘以 h， 其中 s 为楞柱的底面积， h 为楞柱的高楞锥， v 楞锥等于三分之一， s 乘以 h， s 为楞锥的底面积 h 为楞锥的高 楞台， v 楞台等于三分之一。括号内 s 一 撇加上根号下 s 一 撇， s 加上 s， 括号回来再乘以 h， 其中 s 一 撇 s 分 别为轮胎的上下底面面积 h 为轮胎的高知识点。十四、圆柱、圆锥圆台的表面积对于旋转体，圆柱 底面 s 底等于 pi r 平方，其中 r 为底面圆的半径，侧面积 s 侧等于二 pi r， l 表面积 s 等于二 pi r 括号内是 r 加 l， 其中 l 为圆柱的母线，圆锥底面积 s 底等于 pi， r 平方侧面积 s 侧等于 pi r l。 注意， l 是 母线，不是高圆台。 上底面面积 s 上底等于 pi， r 撇的平方，下底面面积 s 下底等于 pi， r 平方，侧面面积 s 侧等于 pi。 括号内 r 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 l 为母线表面积，表面积 s 等于 pi， 乘以括号内的 r， 一 撇的平方加 r 的 平方加上 r， 一 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 四点十五、圆柱圆锥圆台的体积 几何体积圆柱微圆柱等于 s 乘以 h 等于 pi， r 平方乘以 h。 说明圆柱底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆锥圆锥的体积等于三分之一 s 乘以 h， 圆锥底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆台体积圆台的体积等于三分之一。括号内的 s 加上根号下的 s 乘以 s， 一 撇加上 s 乘以 h， 等于三分之一 pi r 的 平方加上 r 乘以 r， 一 撇加上 r 的 平方，再乘以 h， 其中圆台上底面圆的半径为 r， 一 撇面积为 s， 一 撇下底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 知识点十六、球的表面积和体积公式一、球的表面积公式 s 等于四 pi r 平方，其中 r 为球的半径。二、球的体积公式 v 等于 pi r 的 三次方。知识点十七、平面 一、平面的概念几何中所说的平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的。立视于直线，向两端无限延伸。几何中的平面是向四周无限扩展的。 二、平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，他的锐角通常画成四十五度，且横边长等于其邻边的二倍。 如图一，如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，被遮挡部分用细线画出来，如图二，但平面的表示法。图一的平面可以表示为平面 r 法，平面 a、 b、 c、 d。 平面 a c 或者平面 b d。 注意， a、 c 和 b、 d 都是对应的对角。知识点十八、点、线面之间的位置关系一、直线在平面中的概念如果直线 l 上的所有点都在平面阿尔法内， 就说明直线 l 在 平面阿尔法内，或者说平面阿尔法经过直线 l。 二、一些文字语言与符号语言的对应关系 点 a 在 直线 l 上对应的符号表示 a 属于 l。 点 a 在 直线 l 对 应的符号表示是 a 不 属于 l。 点 a 在 平面阿尔法内， a 属于平面阿尔法，点 a 在 平面阿尔法外， a 不 属于平面阿尔法。直线 a， 在 平面阿尔法内，直线 a 包含于平面阿尔法 直线 l。 在 平面 r 法外，直线 a 不 包含于平面 r 法，直线 l， m 相交于点 a， l 与 m 的 并集等于点 a。 平面 r 法与平面贝塔的并集等于直线 l。 四十点十九、平面的基本性质及作用 基本四十一、过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面，相关图形表示符号 abc。 三点不共线存在唯一的平面阿尔法使得 abc 属于阿尔法。作用，一是确定平面，二是证明点线共面问题，三是判断两个平面重合的依据。 基本四十二、如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，点 a 属于直线 l， 点 b 属于直线 l， 且点 a 属于平面而法点 b 属于平面，而法能推导出直线而包含于平面而法 即可判定直线和点是否在平面内，又可以说明平面是无限延展的。基本是十三、如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 p 属于阿尔法，且 p 属于贝塔，能推导出阿尔法与贝塔的并集等于 o 且 p 属于 l。 用途，一、判定两平面相交的依据 二、判定点在直线上。二、利用基本四十一和四十二，再结合两点确定一条直线，可以得到下面三个结论， 推论一，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。推论二，经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三，经过两条平行直线有且只有一个平面。 知识点二十、空间两直线的位置关系意面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线。 意面直线的发滑衬托平面法如图一、二、三所示。为了表示意面直线不够面的特点，作图时通常用一个或者两个平面来衬托。三、判断两直线为意面直线的方法一、定义法二、两直线既不平行也不相交。 空间两直线的三种位置关系，共面直线和异面直线在共面直线中分为了相交直线，即在同一平面内有且只有一个公共点。 平行直线是在同一平面内没有公共点。相交直线与平行直线都属于共面直线。异面直线不同在任何一个平面内没有公共点。 知识点二十一、直线与平面的位置关系直线 a 在 平面阿尔法内则有无数个公共点符号表示是直线 a 包含于平面阿尔法对应的图形表示。若直线 a 在 平面阿尔法外，则有两种情况，一是直线 a 与平面阿尔法相交， 则公共点只有一个公共点，也就是直线 a 与平面阿尔法的并集，等于点 a。 直线 a 与平面阿尔法平行没有公共点的时候，则直线 a 平行于平面阿尔法对应的图形表示。 知识点二十二、平面与平面的位置关系若两平面平行，则没有公共点对应的符号表示平面阿尔法平行于平面贝塔。图形表示 两平面相交有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上，也就是平面阿尔法与平面贝塔的并齐，等于直线 a o 对 应图形表示。知识点二十三、基本是十四、平行于同一直线的两条直线平行。对应的图形语言符号语言，直线 a、 b、 c a 平行于 b， b 平行于 c， 则能推导出 a 平行于 c。 作用 证明两条直线平行。说明基本四十四、表述的性质通常叫平行直线的传递性。 知识点二十四、空间等角定义定义如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 对应的符号语言， o a 平行于 o 撇 a 撇 o b 平行于 o 撇 b 撇，推导出角 a、 o、 b 等于角 a 撇、 o 撇 b 撇或者角 a、 o、 b 加上角 o 撇、 a 撇、 b 撇等于一百八十度。 注意关键点，两角相等或互补。对应的图形语言作用判断或证明两个角相等或互补。推广，如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所形成的锐角或者直角相等。 知识点二十五、直线与平面内一条直线平行， 那么该直线与此平面平行。对应的符号语言，直线 a 不 包含于面，而法直线 b 包含于平面，而法直线 ab 平行，则能推导出直线 a 平行于平面，而法 对应的图形语言知识点二十六、直线与平面平行的性质定律一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。 符号语言， a 平行于平面阿尔法 a 属于平面贝塔，平面阿尔法与平面贝塔的交集等于 交线 b 则能推导出直线 a 平行于交线 b 对 应的图形语言知识点二十七、平面与平面平行的判定定律 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行对应的符号语言， 直线 a 在 平面阿法内，直线 b 在 平面阿法内，直线 a 与 b 的 交集等于点 a， 且直线 a 平行于平面北塔，直线 b 平行于平面北塔。 推导出平面阿尔法与平面贝塔平行对应的图形语言知识点二十八、两个平面平行的性质定律 文字语言如果两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行对应符号语言，平面阿尔法平行于平面贝塔，平面阿尔法与平面伽马的交线等于直线 a。 平面贝塔与平面伽马的交线等于直线 b 不 能推导出直线 a 平行于直线 b。 对 应的图形语言 知识点二十九、两直线的位置关系意面直线定义不在任何一个平面内的两条直线画法有以下三种，两条直线的位置关系可以是共面直线和意面直线。如果是共面直线，只有一个公共点，平行直线没有公共点， 意面直线也没有公共点。两个定理基本事实是，文字语言平行于同一直线的两条直线。平行符号语言，直线 abc、 直线 a 平行于直线 b 直线 c 平行于直线 b， 则能推导出直线 a c。 平行。作用证明空间两条直线平行 等角定理内容，如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。作用证明两个角相等或互补是平面内两条直线的夹角定义，平面内两条直线相交成四个角，其中不大于九十度的角称为这两条直线所成的角或者夹角。 规定两条直线平行时夹角为零，垂直时夹角为九十度范围。两条直线夹角阿尔法的范围是零到九十度。 知识点三十、意面直线所呈的角定义，已知两条意面直线 a、 b 经过空间任意一点 o 分 别作直线 a 一 撇平行于 a， b 一 撇平行于 b， 则意面直线 a 与 b 所成的角就是直线 a 撇与 b 撇所成的锐角或直角范围 c 塔大于零，小于等于九十度。特别的，当 c 塔等于九十度时， a 与 b 相互垂直，记作 a 垂直于 b。 知识点三十一、直线与平面垂直的定义定义，如果直线 l 与平面阿尔法类的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面阿尔法相辅。垂直记法， 直线 l 垂直于平面阿尔法有关概念，直线 l 叫做平面阿尔法的垂线，平面阿尔法叫做直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足图，是画法。 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直。注意 过一点垂直以已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 知识点三十二、直线与平面垂直的判定定律文字语言，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号语言，直线 l 垂直于直线 a， 直线 l 垂直于直线 b。 直线 a 在 平面 r 法内，直线 b 在 平面 r 法内，且直线 a 与 b 的 交点等于 p， 则直线 l 垂直于 r 法。对应的图形语言知识点三十三、直线与平面所成的角有关概念， 斜线一条直线与平面阿尔法相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。如图中直线 p a 斜竹斜线与平面的交点图中点 a 摄影 过斜线上斜轴以外的一点向平面引垂线过垂足和斜足的直线，叫做斜线。在这个平面上的摄影图中，斜线 pa 在 平面阿尔法的摄影为直线 a o。 直线与平面所成的角。 定义，直线的一条斜线和它在的平面的摄影所成的角途中角 p a o 规定一条直线垂直于平面，它所成的角是九十度。一条直线和一个平面平行，或在平面内，它所成的角是零度。 取值范围设直线与平面所成的角为 c 塔，则 c 塔大于等于零，小于等于九十度。知识点三十四、直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一平面的两条直线平行符号语言， a 垂直于平面 r 法 直线 b 垂直于平面， r 法则直线 a b 平行对应的图形语言注意，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离。 如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意一点到另一个平面的距离都是相等的， 我们把它叫做这两个平行平面间的距离。知识点三十五二、面角的概念定义从一条直线发出的两个半平面所组成的图形相关概念， 这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。画法 记住，二面角阿尔法 l beta 或者二面角阿尔法 ab 杠 beta 或者二面角 p 杠 l 杠 q 或者二面角 p 杠 ab 杠 q， 其中中间是表示的是直线二面角的平面角 若有点 o 属于直线 l o a 在 平面阿尔法内， o b 在 平面贝塔内， o a 垂直于 l o b 垂直于 l， 则二面角 阿尔法 l b 的 平面角是角 a o b。 二面角的平面角阿尔法的取值范围是，大于等于零，小于等于一百八十度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角。知识点三十六、平面与平面垂直一、 平面与平面垂直的定义定义一般的两个平面相交，如果他们所呈的二面角是 直二面角，就说这两个平面相互垂直对应的画法记住，平面 r 法垂直于平面贝塔平面与平面垂直的判定定律文字语言，如果一个平面过另一个平面的垂线， 那么这两个平面垂直对应的符号语言，直线 l 垂直于平面阿尔法直线 l 在 平面贝塔内，则能推导出平面阿尔法与平面贝塔垂直对应的图形语言。 知识点三十七、平面与平面垂直的性质定律文字语言，两个平面垂直如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直对应的符号语言， 平面 alpha 垂直于平面 beta， alpha 与 beta 的 交线为 l 直线 a 在 平面 alpha 内， a 与直线 l 垂直，则能推导出直线 a 垂直于平面 beta 对 应的图形语言。好了，以上就是本期视频所有必考知识点和公式结论，一定要点赞收藏哦！从高一到高三，高中每册考点阿斌老师我都会持续跟完， 后续也会对重点公式的推导过程及典型考法持续更新。关注阿斌高中数学，带你躺着学懂高考数学！

必刷题这么厚，有人刺杀我用它来挡刀都只能捅到目录，所以小王学姐就来带咱们疏通高考必刷题里的重点题型。话不多说，咱们上正餐！ 哈喽呀，小宝们，咱们今天继续来讲例题几何啊，那今天呢，第一个考点啊，点面线位置关系的判定。哎，知道 哎，湖北的二零二五年的联考题哎，就很有那个味了啊，以前高考很经常这么考。那这道题，他说 ab 表示两条不同的直线，阿尔法、贝塔、伽马三个不同的平面，那下列推理正确的是，那首先来看选项， a r 法交，贝塔等于 a， 那 b 属于阿尔法，我的 a 就 平行于 b 吗？哎，你直接画图呗， 这两个面，一个阿尔法，一个贝塔，那这是咱们的 a 这条线对吧？啊，那我的 b 属于阿尔法，那我的 b 如果是这样的一条直线呢？那我延长下来是不是就会跟直线 a 相交呀？ a 很 明显的就是错误的选项啊，排除那 b 选项来看啊， 阿尔法贝塔交于 a 啊，那 a 平行于 b， 那 b 平行于阿尔法，且 b 平行于贝塔，这么一看，好像没什么太大问题，对不对？我这个 a b 平行，那我好像确实这个 b 平行于阿尔法，也平行于贝塔， 对不？但是啊，注意你忘记了一个线面的关系，那就是属于，如果说我的 b 它属于贝塔，或者说它属于阿尔法呢？它在这个面内呢，那它就不能用平行来表示了。所以说 b 啊，它就是有一个点，哎，很多同学可能就会在这个点出错啊， 就是它还有一个属于关系，所以咱们 b 选项啊，它也不是完全正确的 b 选项排除 c 选项，线段 a 平行于贝塔，哎，线段 b 也平行于贝塔，那我这个 ab 相交吗？哎，肯定不对啊，我这样子，我一样平行啊，我一个平行这条，一个平行这条啊，哎，所以说这个就 c， 完全没道理啊，在那胡说八道。 所以这道题只能选 d 了啊，那 d 就是 没什么问题的，而阿尔法贝塔平行，那阿尔法交伽马等于 a， 贝塔交干嘛等于 b？ 那 其实 ab 啊，它既然是平行，那我上下平移都是一样的，但当我贝塔啊，平行于到这个阿尔法这个位置的时候，它们的交线是不是就重合了？那它如果不在这个位置的话，那这个交线就是平行的。所以说 d 选项没毛病啊，选 b， 下一道题，哎，如图是正方体平面的展开图，那让你在这个正方体中啊，下列命题正确的是，那这道题非常 简单啊，他既然给了你一个展开图，那他问的是正方体内，你把这个展开图还原成咱们的正方体就可以了，对吧？那这个呢，就是相当于玩色子啊，我不知道你们玩色子的时候都有没有去想象过，他各个面能把它还原就行。那这个题呢？哎， 就很简单，难度不大，我们来画画一下啊，这是一个正方体啊，你只要能把它的这个就是还原，对，就没问题。那我们 ab 啊，我就以中间这块为它的底，这就是它的 ab， 对 不对？那这是 c， 这是 d， 那 我把右边这块翻折起来，我这 c 啊，它上面是不是对应的就是 n， 那这边呢？哎，这一块我给它翻折起来啊，我的 a 上面对应的就是 f， b 上面对应的就是 e， 那 左边呢？这块呢，就是做这个正方体的后背了，那这块呢？哎，就是做它的侧边了，那这个 m 啊，转过来，它就变在 d 的 上方了哈， 好，那这样呢，咱们就把这个正方体给它还原出来了。我们再来看题目，他说 a m 平行于 b n， 那 不是非常平行吗？哎，这两个面都平行啊。然后呢？哎，这个又可以构成一个平行四边形，和我们的 a、 b， m、 n 这两条线又可以构成平行四边形，所以肯定平行，没毛病 啊。那再看 b 选项， b f 垂直于 d n， d n 是 哪？换换个颜色啊。 b f 垂直于 d n 啊，那这垂直吗？我们把 b n 啊给它平移过来，先做个平行四边形连接过来。那我们的 a e 是 不是平行于 d n 啊？那我的 a e 又是垂直于 f b 的， 对不？所以说他肯定垂直啊，咱们 b 选项也正确。再来看 c 选项，他说 c e 等于 m e 啊，那 c e 是 什么？是这个正方形的对角线，对吧？那 m e 也是他的对角线，那长度肯定相等啊，也没毛病。那 d 选项，嗯，大概率就不会对了，对不对？这是一个多选题。 那 am 与 df 是 异面直线吗？ am 这里 df 啊，这肯定不一页面啊，直接都在一个面了，是不是？我们只要把这个这个各个点还原到位，哎，那就直接能判断出来了，所以说第选项就错误的哈。这道题还有点意思哈，看着就是好像难度不那么大哎，但是他就是能考到某些人啊。那再来看第三题啊，第三题，这个是考点 线面平行与面面平行的判定，哎，那考的就是你判定了吗？平行的判定了吗？那我们再来看啊，他说三棱柱 a， b， c， a， b， c， d 中点 d， 嗨，在咱们 b b， e 上，且 b d 等于三分之二倍的 b b e， 也就是说这里是两份，这里是一份，那 e、 m 分 别是 a e， b e a， a e 的 中点 n 在 棱 c c 一 上，若 m n 平行于平面 c， d， e， 哎，要求这个 c e， n 和 c n 的 比好，我们来看啊，它说 m n， 哎，平行于咱们这个面啊，这个三角形这个面，那 m n 是 它的一个中点， 那我既然，哎这个东西要平行这个面，哎，那我是不是要想办法做一个平行四边形，哎，让它跟这个面相交啊，那我把它这个 m 啊延长，哎，垂直于 a b， 延长 啊，那我这条线是不是平行于这个 c， e， c 的， 对不对？然后这条线呢？交这个 d， e 啊，于咱们点 f 了，我给它命尾点 f， 好， 那我这条线 m f， 它肯定平行于 n c 这条线，那我把 c f 连接起来啊， 那这条线，哎，他的投影是不是肯定平行于咱们的 m n 呢？哎，题目中说平行嘛，对吧？所以这里呢，咱们 m f， c， n， 它就是一个平行四边形，那我们 m f 的 长度，它其实就等于 c n 的 长度了， 那我们 m f， 它的长度是多少呢？哎，我们来看一下啊，把这一块给大家拎出来 画一下，我们的这是 b e， d 啊，这是 a e e， 我 们的 b e， d， 哎，是不是占一份？我假设这里的长度是二，哎，那他这边是不是就应该是三呀？在整个这个棱柱里面，你给他带进去算一算，对不对？那我的这里啊， m 啊，包含不是这么算的，应该是这样的一个，那 m 是 这个 a 一 b 一 的中点，那我这里 m、 f 坐下来，哎，它是不是就是这个梯形的中位线呀？因为它平行于 b， e， d 也平行于 a， e， e， 它就是咱们这个梯形的中位线。那中位线的长度有什么 关系呢？跟他的上底和下底，他是不是应该等于他的上底加下底除以二呀？这里的长度他应该是多少？他应该是二分之五吧， 那我们 m、 f， 他 就等于 c， n 等于二分之五。好，那我刚刚假设 m、 b， e、 d 是 二，那我们整个 b， e， b， 他 就是六的这个长度，但我们 c， e、 c， 他 也是等于六的。 c， e、 n， 它等于多少？是不是等于六？减去 c， n 等于六，减二分之五，等于二分之七。所以啊， c， e、 n 比上 c， n， 它就等于七，比五，等于五分之七。 哎，这道题咱们就做出来了，选 b， 哎，重点就是大家能不能反应过来，它是一个梯形的中位线。好，这道题过，我们来看下一道题， 这道题又是一个多选择题哈，如图这四边形 a， b， c， d 是 边长为二的，哎，注意，边长为二， 那正方形啊，那 a， e， a， b， b， c， d， e， d 都垂直于地面 a， b， c， d 啊， d， d 等于这些关系我就不念了，等于 三，对吧？ d， d 等于三，那这边是二，这边是二，这边是一。好，那点 e 现在在这个线段 c、 c 一 上，哎，平面 b， e， d， e， 哎，交线段 a， a， e 于点 f 则好，我们来看一下 a， e， b， e， c， e， d， e 四点不够面，我先把这个长度差了啊，那这道题他要正，他说这个 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d、 e 四点不够面，对，不对这个选项 a， 那 我们来看一下啊，这个 b、 b、 e 的 长度是一，那我把这个 b、 b、 e 的 长度是一，那这个点啊，我假设它是 m， 那我们 m、 d 的 长度是不是和 b、 b、 e 的 长度相等？那 am 的 长度是不是又和这个 c、 b 的 长度相等？所以咱们这个 b、 e、 c、 e， 哎，它的这个长度是不是就和咱们 a、 e、 d、 e 的 长度相等，对吧？然后，哎，我们 a、 e、 b、 e 又平行于 c、 e、 d、 e， 哎，它就是一个平行四边形，它怎么是不共面的呢？哎，它肯定共面啊，所以说 a 选项错误，那 b 选项啊，他说该几何体的体积为八，很明显啊，他这个图形是一个什么呢？是一个长方体给它切割成的，且咱们的这个高，哎，应该是四，哎，应该是四， 它就是两个它重合在一起，那它的高就是四。谁说它的体积是什么呢？这是二，然后它的高是四，那就是底面积乘高 十六，那十六除以二，哎，就是八，所以咱们这道题体积是八，没问题啊，没毛病。那第三题我们来看啊，他说过 a 一 c 一 b 一 d 一， 四点的外接球啊，我们先把它连接起来看一看， a 一 c 一， 哎，连接起来 b、 d 啊， a 一 b、 d 啊，给它连起来。 好，你会发现什么呢？发现啊，好像这个图形它是一个三棱锥，对不对？它是一个三棱锥。那我们再来看一下它底边的长度，好像我 b、 d 和 a、 e、 d 的 长度相等，又和咱们 a、 e、 b 的 长度相等，这三条边好像是相等的呀， 那说明什么呢？说明它的底边呀，是一个正三角形，对吧？那我们这个东西呢，它就是一个正三棱锥啊，正三棱锥 啊，那他的一个外接球的表面积呢？ ok， 给大家看一下。外接球，他的 r 是 四分之，根号六 a， 内接球呢，他的 r 是 十二分之，根号六 a， 这是一个常用的一个数据啊，大家可以背一下。那你知道这个东西之后呢？哎，他的 a 是 多少？ a 是 两倍根号二，哎，这是他的这个边长，所以他的外接球的 r 是 应该等于四分之，根号六乘以两倍根号二等于，哎， 根号三啊，那它的面积是多少呢？四 pi r 的 平方啊，那就是等于 十二 pi， 所以 c 选项它也是正确的啊，这里是 c e 啊，连错了，我就说怎么画的不像，再看 d 选项，结面四边形 b， e， d， e， f 的 周长最小值为十。来看一下 b e， d， e 和 f 的 周长啊，那我们 f 啊，是这个面与 a、 a， e 的 交点，那我们肯定想到的是做什么呢？做它的一个平行四边形，哎，我这里是咱们的 f， 哎，我这个平行四边形交这条 a， a， e， 它的一个焦点呢，就是咱们的 f 啊，那我们 f d， 哎，是不是和这个 b e 相等？哎， f b 也和咱们的 d， e 相等，那现在求的什么呢？求的是它的一个周长啊，它的周长，哎， 是不是四边相加，那又等于什么呢？是不是等于两倍的 b e 加上 d e， e， 因为它是平行四边形嘛，它的对边相等，所以可以转换成这样的一个形式。到这一步啊，很多同学就不知道该怎么做了，那我来把这个图像给你画一下，我要求的是这条边加这条边的一个 啊，这个长度的最小值，我把这个图像啊给它展开啊，我换成这样的一个图像， 这里，哎，是咱们的 c e c， 这是 b e b 啊，这是 d e d， 那 我们现在要求的是把 d e e 加 b e 的 一个长度什么时候是 最短呢？那我画出来就很明显了啊，只有当 d e， e b 这三点共线的时候，也就是说它形成一个这样的一条线的时候，哎，那它是不是长度是最短的呀？那这个时候长度等于多少啊？这是二，这是二，这是三，哎，这，这条是五了，哎，那就两倍， 那就应该是十，所以他的最短最小值应该是十，哎，第选项没错哈，这个题还挺有意思的哎，你又把它展开，又要把它合上的，你有没有发现啊，我又考了一个合上的，又考了一个展开的 啊，这个求最值还是比较有意思的啊，这个方法请大家记住。好，我们再来看考点六啊，线面垂直与面面垂直的判定，那这道题它是四轮锥啊， p a b c d， 那 底面是 a b c， d 是 矩形， ab 是 等于二的，那 bc 就 等于三。好，那 pa 等于 pb， 等于根号六， 两边都相等啊，这边是根号三，这边也是根号三，那说明什么呀？说明他这两个侧边，哎，他是是等腰三角形哎，是等腰三角形，那等腰三角形有什么性质啊？哎，他的这个 垂线，哎，也是他的两条角平分线，也是他的这个底边的这个平分线，哎，他这个点也是平分，哎，这个底边的 啊，所以这个性质咱们就知道了哈，那该四棱锥的体积为，那我们棱锥啊，要求他的这个棱锥的体积 v， 他 一般是等于什么呀？等于三分之一，底乘高，底乘高。那现在底，哎，他的边长都告诉咱们了，底咱们知道了，但是高咱们不知道，那我的高该怎么求呢？ 哎，这个时候啊，我们刚刚那两个信息就派上用场了，我要求的是 p 点垂直于 abcd 的 这个线的长度，那我能不能，哎，我就取 cd 的 中点， ab 的 中点，一个为 e， 一个为 f， 哎，我给它连起来。 我们要找垂直嘛，肯定要先用别的信息，哎，别的垂直来转换，那我们刚刚这个等腰三角形啊，它就天然的蕴藏了一个垂直的信息，所以我们就拿来利用一下。那我们把这个 p e 和 p f 连接起来以后，哎，我们 p e 是 不是它就垂直于 ab 的？ 那我们 p f 又垂直于 cd 的， 那我们的 ab 和 cd 它又是平行的，所以啊，我们有什么？有 p f， 它也垂直于 ab， 那 我的 pe 又垂直于 ab， 所以 什么呢？我的 ab 它垂直于咱们平面 p e、 f 的 两条相交的直线，那就说明我们的 ab 啊，它就垂直于这个平面，哎，垂直于咱们平面 p e， f， 哎，我的 ab 垂直于这个平面，那我来我做这个点啊，我过 p 点做 ef 的 垂线， 哎，那我的 ab 是 不是就垂直于咱们的这个？我测这点为 o 啊，垂直于咱们的 po 啊？啊，那我的 po 它就垂直于咱们底面 a， b， c， d 啊，那我的 po 就 很自然的就是高了啊，那我们 po 长度该怎么求呢？哎，还是利用咱们的这两个等腰三角形哈，那我们 c b 的 长度就等于 e f 的 长度啊，那 e f 又是等于 e o f 的， 我假设 o f 它等于 x， 那我的 e o 的 长度是不是就是三减 x， 我 们有什么关系呢？我们的 p o 是 它们的公共边啊，那我的 p o， 哎，它的 p o 的 平方，它是不是就等于，哎？ pe， pe 是 多少呢？我们来看一下啊，你算一下，这边应该是根号五，那 p f 的 长度应该是根号二，那我们五减去 三减 x 的 平方，哎，它是等于什么呢？等于二减去 x 的 平方的。那我把这个式子一展开啊，我会发现 x 它等于一，哎，算出来 x， 它等于一，也就是什么呢？咱们的 p o 这个高，哎，它等于一， 哎，那我高知道了，底知道了啊，这个体积不就出来了吗？谁知道题选 b 哈，那主要就是考你能不能正出。哎，咱们这个平面啊，它是这个 p o， 它是垂直于这个 a b c d 的， 你能不能找到这条线给它正出来。好，以上呢，就是咱们今天要讲的这个立体几何的必刷题哈，那我们下期继续，拜拜。

哈喽，大家好，欢迎来到星星子爱数学，那么今天开始更新高考百日冲刺课第一点，我们首先来更新立体几何大题部分。 立体几何为什么要分大题和小题？是因为立体几何的大题和小题他的考点不太一样，所以我们按照考点的侧重点我们来，嗯，把大题分开和小题单独去这种讲解，所以下期我再出立体几何的小题部分。 那大体的话呢，是稍比较具有这个套路化的，所以呢，大家可以通过我后面给的一些例子进行把这些套路给背会，而且把那个几何法常考的模型给记住， 呃，这个立体几何你就可以有望考满分。所以立体几何他是无论出在呃哪种位置，除非他是在最后一道题的位置上，他就会稍微难一些，但是呢，他如果在前面的位置，比如说前四道题的位置，那他都不会很难。所以呢，这个视频可以你可以放心的看完，看完你可以得到立体几何满分，所以，嗯，大家要有点信心。好，那我们开始讲解。 首先，呃，这个内容就是基本知识点和部分的题型讲，讲完了高考的所有的考点，所以大家可以放心观看。然后有一部分题没有讲解，我将把这些题放在评论区，然后再通过后期的每日 每日一根的方式，把每日一根，每日跟一道两道题的这种方式就是按每日一题的方式来进行讲解，所以这部分题大家可以先自己做一做，然后我讲解完这些题，大家也需要进行自行嗯， 梳理和再做一遍，所以因为我讲我能讲的出来和我能自己做对，那是我的本事，所以大家需要你能听懂，也并不是你很厉害。嗯，你能听懂可能， 嗯，只能说明你是一直在跟着我思路，所以你需要自己做一遍才能验证你到底会了没有。所以我建议大家我讲完的那些题目大家可以自己进行。如果你是真的是零基础，一点都不会，你可以听完我的视频以后再做一遍，然后如果你是有点基础，你可以在我讲这个题目之前把它暂停，然后做一遍。然后如果你自己的做法和我的做法是那种比较 呃浓长，而且还比较贵难的方法，那你可以吸取我做的方法，然后改正你的这种思路。如果你觉得你自己的方法够好，那你就用你自己的方法，毕竟高考题也是不止一种方法的好， 所以这个视频大家需要做的就是，嗯，把这个基础知识点进行梳理，并且和这个习题进行自我检测，并且把这些我讲到的这个视频的所有内容看完，你就能，嗯，精通立体结合， 后面就是立体几何小能手。呃，后面这些题我们有讲的这些部分的题，呃，思路和方法和前面讲那些题是一样的，大家可以抽时间每日做一道或每日做两道的方式，把它做掉，放在评论区，大家可以自行去，自行去。这个截图好。 呃，立体几何呢？它分为第一问和第二问，那第一问往往是会考这种证明，所以呢，证明我们要如何证呢？它也有两种方法，第一种是几何法，第二种是间隙法。那么呃， 你，呃，我在这写了一句话，叫做高考一般不会让你在第一问就证明，第一问证明就要让你见戏，因为什么？因为一般在一些模考题或者是一些简单一些的题里面，你发现我所有的条件在题目中给出，那我第一问直接见戏，我就可以很快的用这个见戏的证明方式来解决。那这种方式根本就不用动脑子啊，那就直接两问直接结束了，所以没有什么难 难点。但是呢，我们通常在高考一般是要把这个几何法是因为我们是高一学的内容，那间隙法它是高二学的内容，所以，呃，我们高考是要考全面一些的内容呢，所以往往都是让你第一问几何，第二问间隙来做，所以我们要得都得掌握好，我们来看一下几何法证明。 首先我在这，你，你别看我罗列了这么多东西，但其实不多，呃，有些东西他是不需要你去你记住的，比如说这这些地方，但是呢，我要得讲一下，让你知道我这个几何法是在哪些逻辑上去建立的。那这些，我说上面写的这些基本事实和推论就是我几何法建立的逻辑，那我们要稍微搞清楚一下，如果高二你是掌握的很好，你可以直接跳到，哎，我讲这里的地方啊。好， 首先基本事实一，我是如何去定义平面的呢？我们定义，呃，不在同一条直线上，就是不共线的这三个点可以确定一个平面。哎，这什么定义的那，呃，我是几个点可以确定一条直线呢？ 还记得吗？是两点确定一条直线，对吧？好，所以这第一个点叫做，不过不共线的三个点可以确定一个平面。好，那我们看推论一。那我们说两点可以确定一个平面，那其中这三个点里面的两个点，我们可以确定一条直线，所以呢， 就是如果点在直线外，那有一条直线和一个点，我们可以确定一个平面。好，这个是，呃，他的基本事实和推断。好，再看第二个事实，如果一条直线上的两个点 都在平面内，哎，什么？两点？确定一条直线，对吧？直线上的两个点，那就确定这条直线吗？那这两个点都在平面内，那就说明我的直线就在平面内，这很好理解，没问题吧？好，然后我们再看。呃，这个基本事实三。 嗯，如果两个不重合的平面，如果有一个公共点，你看啊，如果有两个平面具有一个公共点，那么它们尤其只有一条通过该点的公共线，然后那意思是什么？我两个平面，比如说我这样一个平面 和这样一个平面，它具有一个公共点，我把它延伸，延伸，延伸延伸，我发现它们具有一条交线，那这条交线也在这个公共点上啊，是这意思，所以，呃，它就 它就这个很简单的一个事实，能看懂即可。咱们看基本事实四。呃，这叫什么呢？平行于同一条直线的两条直线相互平行，这叫做平行的传递性， a 平行于 b， b 平行于 c， 则 a 平行于 c。 好， 这叫平行传递性啊，这懂就可以了。来，我们再看这个推论二。刚刚讲过推论一了啊，经过两条相交直线，尤其只有一个平面，那这个也是通过它来得到的， 这个能看懂即可。就是两条相交直线可以确定一个平面，这个在后期的这个，呃，平面与平面平行的时候可能会用到，所以我们要注意啊，两条相交直线确定一个平面或者是三个不公线的点，可以确定一个平面，一条直线和一个点确定一个平面。好， 那我们再看推论三，推论三就是两条平行线，尤其只有一个平面。哦，意思是我如果有两条平行线，这两条平行线同在我的平面内是很好，那我们再看等角定律，它是什么？如果两个边，你看，如果两个角的两个边对应平行，则这两个角相等，会互补。这怎么理解呢？比如说我有一条线平行，我有一条线平行，你看啊， 你看这个角和这个角互补吧。如果是这样子啊，平行平行，你看这两个角相等，所以这叫等角定律。所以这就是一些基本事实和这个几何法建立的一些逻辑。那我们再看这个重点考点，我们考到这了啊， 直线与平面平行的判定好这个判定和性质。那我给你们讲一下什么叫判定，什么叫性质？为什么有些人觉得，哦，这个地方我加了个判定，又加了个性质，感觉，哦， 越来越难背了，越来越懂了。你看啊，我们看，首先判定定论。判定定论是什么？判定定论就是我现在不知道这个最后的结果，但是我要得正出这个结果，我要来的这些证明方式，所以意思就是直线和平面的直线和平面平行的判定定论意思是什么？我如何证明直线和平面平行好，就是人话， 那性质定论是什么呢？我如果知道直线和平面平行，他有什么性质呢？哎，这是性质定论，能听懂吧？好，嗯，那我们看下判定定论啊，这个就是我们高的大体往往要考察的内容，就是我如何证明直线和平面平行呢？如果 平面外一条直线和平面内一条直线平行，则先面平行。这句话要记住啊，你可以当顺口溜背，你看直线外一条直线 a 不 属于耳法，来，直线内一条平面内一条直线叫做 b， 属于耳法，看平行 a 和 b 平行，则先面平行。啊，这里面的这个耳法啊，一般你要得写这个面耳法， 我在这着急，我就没有写，所以我们在这个地方我们都要写一个面啊，不要忘记。好，这是判定定力，我们再看性质定力。那性质定力是什么呢？如果我有这个线面平行，你看我线面平行是已知条件，那我你看啊，线面已经平行了，这条线和底面平行了，那会有什么条件呢？那我过这条线做一个平面， 和我这条原来这个平行的这个平面交于一条交线了，对吧？这条交线和我这条线平行，就这句话， 所以呢，我得到线面平行，我可以做一个交面，就是我过这条直线做一个平面，我得到的这个交线呢，我就可以与原来的直线平行，这是一个很好用的结论。好， 我们再看平面与平面平行的性质和判定和性质。那面面平行如何去证明呢？面面平行，你看啊，来两条相交直线，可以确定一个平面，对吧？所以这个平面我就要得用这两条相交直线来确定。 所以前面的知识点重不重要呢？重要。但是，嗯，他影响，影响你考高分，他确实不是很影响啊，来看一下啊。那这个怎么写呢？如果平面就是，如果平面上两条相交直线与下一个平面平行，则面面平行，所以我得写什么？ 写平面内的两条相交直线。你看平面内的两条相交直线， a 在 耳法内， b 在 耳法内， a 和 b 交于点 p， 你 看耳法内的两条相交直线。这三句话是不是搞定了？来，平行于平面，平行于第二个平面，意思就是 a 和贝塔平行， b 和贝塔平行，对吧？好，五句话，我确定了，什么面面平行，这没问题吧？ 好，那我们要怎么得到它的推论呢？首先啊，这个一般来说，你看线面平行是在考试，不会跟你说的。那我要得把这个线面平行要展开吧。我们之间怎么说的？线面平行要写哪句话？看这看这看这，要写三句话，对吧？平面外一条直线和平面内一条直线平行，线面平行，对吧？所以我们要把它拆开，写出三句话来，所以我就会得到这样的一个形式，如果 你看一个平面内的两条相交直线和另外一个平面的两条相交直线平行，则面面平行。哎，这就很好用，对吧？因为我这里面不知道这个线面平行，那我要把下面线面平行给补全，会了吧？会了啊，那这就是两个平行，那我们再看啊，这里有两个推论， 我们看推论二，那这有点像平行的传递性，对吧？来，平行于同一个平面内的两个平面平行。我们刚说过平行与同一条直线的两个平行，对吧？那这个就是如果第一平面和第三平面平行，那第一平面和第三平面平行。 这个很容易看出来啊，这就是平行的传递性，所以在平面里共同适用。那我们再看，如果一个平面与两个平面平行。 呃，如果你看啊，已经有两个平面平行了，那我可以做一个共同交于两个平面的这样一个交面，那它会形成两条交线，对吧？那这两条交线平行，这就是平面与平面平行的性质定律。 好，那记住就可以了。那我们看啊，性质定律都都有些啥？你看线面平行，我可以做一个交面，对吧？交面会产生一条交线，交线和线平行，对吧？面面平行，我可以做一个交面，那它会产生两条交线，那这两条交线平行， 很容易，记住吧？好，那这个就是它的性质，我们刚刚梳理过了，我们就不看了。呃，你可以回去看一看我有没有漏掉的，你可以自己看一看啊。那我们再看直线与平面垂直。线面垂直，线面垂直。如何证明？我们要得看什么？看？判定定力，对吧？如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么线面垂直，这很容易理解的，对吧？ 两条相交直线可以确定一个平面，所以呢，这条直线如果与平面内的两条相交直线，我是不要写出来来， a 和 b 都是，而法内 a 和 b 交于 o， 这不就是平面内的两条相交直线的意思吗？对吧？好，我要得使得这条直线与平面内的两条相交直线都垂直。好，那都垂直，则先面垂直，所以我要写五句话，对吧？ a 属于二法， b 属于二法， a 交 b 与 o， 然后 l 垂直于 a， l 垂直于 b， 则 l 垂直于面。而法啊，这里还要写面啊？面面面面面。好， 我们再看性质定律。那垂直于同一个平面的两条直线平行，这很容易理解，没问题吧？哎，我第一条直线垂直于这个平面的两条直线平行，则这两条直线相互平行。 这个你如果是美术生，你画一下图，你能看得出来？呃，体育生嘛，你也画一下，可以吧？你不至于长这么大，你这个图也画不出来啊。所以，呃，如果两条直线都垂直于这个平面，则线线平行。好，这就是我们直线与平面垂直，如何去证明？我已经讲完了，我们再看一下 这个平面与平面垂直，那我刚会正了。直线与平面垂直，对吧？那直线平面与平面垂直就特别好正，你不要觉得很难来。直线与平面垂直，我刚正出来了，对吧？ 好，如果呢？我有一条平面，就经过这条垂直于这条平面的这个直线，则面面平面垂直，那就这么简单。所以你只需要写一句什么，你就只需要写一句，哎，这个平面就经过这条垂线就结束了。所以就意思就是我这个 l 就 在这个 b 塔平面内， 那 l 已经垂直于 r 平面，则 r 垂直于 b 塔，就这么简单，没有难度，对吧？所以很简单吧。那线面垂直怎么写？还记得吗？还记得吗？还记得吗？来，看这看这看这，我要写五句话，对吧？直线与平面里的两条相交，直线垂直，则线面垂直。 嗯，很好啊，那知道了，这个我们就。嗯，结束。那我们再看性质定义。性质定义，那如果我现在有了这个平面与平面垂直，那我可以找到什么？平面和平面垂直？他们肯定有一个交线，对吧？没问题。好，那这个交线呢？我可以在平面内找到一条直线 l 和我的这个交线垂直，那我就可以得到什么？得到这个 l 就 垂直于这个平面啊，怎么写啊？来看啊， 平面和平面垂直，对吧？那我 l 就 在 b 塔平面内， 那我如果得到 l 和我这个交线垂直，则线面垂直，所以我从面面垂直可以找到线面垂直。我要找什么？找交线和我这个平面内的一条垂线就可以了。很简单啊，这个推断和其他阶段你们自己看一下就行了，基本不会考。那这就是我的几何法证明。那几何法证明里面我没有讲什么， 我是不是直接开始讲线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，对吧？那我为什么要讲线线垂直，线线平行呢？ 为什么？知道吗？那是因为我们初中学过线线平行，线线垂直，所以呢，我要得有一点初中的基本几何尝试，不然的话，你这个立体几何会错的有点吃力。首先来看一下啊，中位线定力是什么， 还记得吗？记得，对吧？来一个三角形中，我如果找到两个边的中点，我连接，我就会与下面这个平行和这个直线相互平行，且这条直线等于下面这个直线的二分之一，这个中位线定力，对吧？很轻松，没问题吧？不用写那么多，很直接写两个中点。哎，所以他是啊， 两个中点，然后平行就完了，不用想那么多啊，来等腰三角形的性质。来等腰三角形会有什么性质呢？这两个边相等，则我等边对等角。这两个角相等，对吧？还有什么性质啊？ 还有我的这个三线合一，对吧？中线垂线和角平分线是同一条直线，没问题吧？好，我知道这些性质就可以了。来，我们还看一下等边三角形。那等边三角形是什么？是不是六十度的等腰三角形没问题吧？所以这三个边都相等，而且它有三个 三线合一，对吧？它还有一个。呃，三个三角合一有一个重重心，对吧？那个重心它是什么？上面比下面，它这条比这条是多少？比多少？二比一嘛，对吧？一共是三嘛？所以这边占三分之二，这边占三分之一，这个能清楚吧？这是等边三角形的性质。 你初中不太好，稍微补点初中内容啊。这个，这没有办法，我没有那个时间去给你补初中知识。那这个初中知识没有任何问题吧？这三个，那我们再看全等和相似，那全等相似，我不需要让你证明那么多东西，你只需要知道，哎，三个角相等，那就是相似，对吧？来，三个边相等，那就是全等，对吧？两边就是两角，你看两边一角， 呃，相等，那就是全等嘛，对吧？所以这个，呃，你知道基本的一些知识就可以了。然后我们还需要一些知道一些基本的一些几何图形，里面有这些平行垂直的关系，你就知就可以了。比如说什么？比如说我这个梯形， 那无论是我直角梯形还是等腰梯形，那我都有什么？我上下两个平，上下两条直线都平行，都没问题吧？然后我还会有哪些条件？比如说，如果是我的这个直角梯形， 那如果是直角梯形，上面和下面如果是二分之一，则我的这个对角线这个点，它就是一个三等分点，这没问题吧？好，这是几何图形，你要得稍微对这个平面几何有点感觉啊。然后还有什么？比如说正方形，然后长方形， 然后菱形，对吧？这是我们的一些考点，比如说正方形里面，我是四个边都相等，并且它有四个边都有这个垂直，而且我对角线一连也垂直，没问题吧？而且对角线相等。 然后呢，这个长方形它有什么性质呢？它长方形的对角线一连，它相等，但不一定垂直，没问题吧？但是呢，长方形它有什么？它天然有四个垂直，这没问题啊。然后呢？菱形，菱形有什么规则？菱形的对角线一连，它们相互垂直，但是这两个对角线不一定相等，对吧？但是我菱形的四个边都相等， 这没问题啊。好，那知道这些就可以了，基本就差不多。然后再平行四边形，那平行四边形对边相等，对角相等，没问题吧？对角相等，那对边相等且平行。好，所以我有些时候证明平行的时候，我只需要指出它是个平行四边形就可以了。那平行四边形如何证明呢？如果我的对边平行且相等，它就是平行四边形，如果我的四个边 就是对边两两相等，那就是平行四边形，对吧？这个比较好证明吧？这个初中的东西应该没有忘忘光啊。然后在这里啊，我要得在这个垂直，这里我要得稍微补充一个东西，叫做三垂线定律。好，那三垂线定律是什么呢？如果啊，我在这个平面而法内有一条这个 a 直线， 对吧？然后 l 是 一条这样一个斜线，但是交于平面没有问题啊，那我可以做这个 l 他的一个垂线过来，那我可以在这个平面内找到这个 l 的 一个摄影， 清楚吧？你看斜线摄影，这垂线没问题啊，如果我这条线和我这个斜线的摄影垂直，则这条线和这个斜线就垂直，这没问题啊。嗯，因为这个垂线肯定垂直于这个 a 的。 好，如果这条线垂直于这个 摄影，那就垂直于这条线吗？对吧？如果现在有什么这条线垂直于这个斜线，则这条线就垂直于这个摄影啊，倒过来用也可以。所以他到底是啥呢？我他其实就是一个线面，就是线面平行， 没问题啊，你看这条线和这个垂线肯定是垂直的，因为垂线肯定要垂直这个平面嘛，所以他垂直于他没问题。如果我证明出他垂直于他，那说明一条线与一个平面内的两条相交，直线垂直，则线面垂直，线面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直， 都没问题啊。所以，然后再来一个，比如说这条是垂线，对吧？垂线和这条线垂直，那斜线也和这条线垂直，那就说明这条线和这条线垂直，所以这条线就和这条线垂直啊，所以这个就是三垂线定律。其实就是什么？ 就是一个线面垂直不断在用而已，就是正过来，反过来用，所以这是我们初中的一些几何知识，我们要得会，然后这个几何法证明就这么多内容。 你很快就几何法证明的时候，还有一个点，就是我们初中可能会学过的一个知识，叫什么？叫如果是个直角三角形，我肯定有什么，肯定可以用勾股定律，对吧？如果给你一些边长关系让你去证明这个垂直，你可以用什么证明啊？ 我可以用勾股定律来证明垂直啊，不要忘记有些题他就是让你反反复复的在用勾股定律来证明。呃，那这个算不算高中学的内容呢？肯定不能算高中学的内容啊，你这个勾股定律一定要记住。好，那我们再看一下间隙法如何去证明。好， 我们先看一下啊。第二问，我们要一般考察什么？我们第二问，一般考察什么？二面角呀，线面角呀，点面具呀，面具呀，线面具呀，动点问题啊，外接球啊这类的一个问题。那。呃，一般来说呢，这些东西 我可不可以用几何法来做？可以，那我要用几何法怎么做呢？我肯定是在这个这一大堆图形里面，我要去，比如说 啊，我要找这个二面角，对吧？我可以找二面角的平面角，比如说我如果要求这个平面和这个底面的二面角，那我怎么找来？我要得找这条线做一个这样垂线，找出这个垂线，然后呢？再找出这条垂线。好，我要算这个角，那这个算这个角怎么算？我可以再做一个垂直，用勾股定律算，对吧？这是？ 嗯，这是几何法的做法，对吧？这也是你高一学过的内容。这不是你高一没学过，高一我们没有学间隙，所以我们高一这种什么二面角呀，还有这种下面角呀，我们都是用什么做的？都是用几何法去找那个角，找那个角的平面角，然后，嗯，然后用勾股定力把它算出来的。这个， 呃，但是高考题会让你这样做吗？那个图形一般都很复杂，你要去搁那找角，你肯定是在那段时间里面是找不出来的。所以呢，我们用几何法做这样的计算题是很不方便的啊，我们最好不要用几何法来做。 那我们用什么方法呢？我们可以间隙，那间隙是干嘛？首先间隙首要得找出三条两两垂直的线，以右手来间隙来，拿出你的右手 能不能比出像这样的一个图形来，你能不能把你的大手可以比成这样的形状，可以吧？好，那我们规定什么？你看，规定你的中指叫 z 轴，叫 z 轴。好，那你这样张出来，这个轴叫做 x 轴，然后你的这个 x y， z 还可以随意旋转。那比如说，哎，我长这样子， 那我现在啊，我的图形就是长这样子，那我现在规定他叫做这轴。那我可不可以用你刚才那个右手来怎么弄？我把右手张开，你的拇指指到哪了？拇指是不是指到这了？所以这是 x 轴，那食指指到哪了？食指是不是指到这了？这是 y 轴， 你能弄懂，你能弄清吧？可以啊，你要你如果把手摆成这样子，你的拇指就是 x， 食指就是 y， 中指就是 z， 一定要，一定，不要忘记，一定要摆成这样子啊。好， 那我们还有一个方法叫做这个，学过物理的人都知道这叫什么？这个叫右手螺旋定则，对吧？这也是拿出你的右手啊，不要拿出你的左手，把你左手收回去。好，拿右手。好，拿右手啊，拿右手，拿右手，拿右手。重要的事情说很多遍，好，我们一定要拿出右手来，你把它螺旋这样放着，你看啊，你的这个大拇指朝上，对吧？这就是 z 轴。好，那谁是 x 轴，谁是外轴呢？ 好，你看啊，你的拇指螺旋方向是哪个方向？是不是这个方向？你看啊，我们的 x 轴向外轴，这样就是 y， 对吧？所以这个就是你看你的卷法，你的，你如果手最后卷出来，应该是这样子的，你如果手卷出来是这样子的，你看，我如果在这建了个这轴，那你手如果卷成这样子了，那谁是 x 轴，谁是 y 轴呢？由 x 指向外，所以这边有一个 x， 那 这边肯定有一个 y， 肯定吧，你看，就这样卷的来，比如说这个，你看我这轴已经确定了，来，我右手来卷一下，是从哪指向哪，你的卷法应该是绝对是这样，对吧？从 x 指向 y。 好， 我再举个例子， 比如说我的 z 轴向下，那我的，呃，那我现在画这两条线，这条在前面，这条在后面啊。来，我拇指是不是这样放下去了？你的，你这个是我从哪卷到哪？是不是从这卷到这， 对吧？所以从 x 指向外，这是 x， 这是 y， 所以 这也很好做啊，要么你把你的手伸成这样子啊，都是右手啊，不要弄错，都是右手。来，你把你的右手拿出来做一遍来，这个右手指成这样子啊，拇指是 x， 食指是 y， 中指是 z， 任意旋转都可以。好，然后你可以把你的手弄成这样，螺旋状，由 x 弯向 y。 好，这个就是我的解析方法。所以我解析的时候呢，写法是什么？你刚刚是不是在图上已经把这个箭头已经标好了它如果是这样一个几何图形，我这个箭头已经标好了，对吧？那它上面肯定有 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g， 那 么一堆一堆点，对吧？好，那你要先把圆点写清楚，这是以什么？什么为圆点，以 a 为圆点， 以 b 为圆点，以 c 为圆点，都可以，对吧？好，以 a 为圆点，什么？哪个向量为 x 轴？你看啊，一定要得记住啊，有些人很多时候都要写什么 a、 b 为 x 轴， a、 c 向量为 y 轴， a， d 向量为 y 轴， a， d 向量为 z 轴来解析。如图， 如图要写，因为你要在图里面做箭头啊，那个你高考做图的时候啊，你用铅笔把它写好，画好以后，你再用中性笔把这个箭头给描一遍，因为过不去那个机子，识别不了你那个铅笔画的啊。所以你要得让老师看你的间隙，你要得写一个如图给写好啊，然后按照题目的信息，我要得先写出点坐标 来，你 x、 y 在 你都清楚了，如果说这个 a、 b 长度为二，那 x 等于多少？ x 肯定是二嘛。那如果我说你看 b 点这个坐标，如果我说这个长度是二，那在 x 轴上，那要怎么写？ b 点坐标， b 点坐标，是不是只有 x 是 二零零，对吧？这个很会写吧， 如果在每个轴上，那对应的哪个轴以外的两个，比如说，如果我在 x 轴上，那 y 和 z 肯定是零嘛，对吧？他演的顺序也是 x， y， z， 对 吧？这个点的顺序也是 x、 y、 z， 所以 你要写出点坐标，慢慢写，你写个五分钟都没有关系，你这个点坐标写慢点啊，然后因为点坐标不能写错，如果写错了，那你这道题就全部废了，没有办法。然后呢，我还得写下量 啊，我要按照题目信息写点坐标，题目让你写哪个点坐标，你就写哪个点坐标，不要写那么多，你看啊，比如说这道题，你看啊，题目说了什么来？ p、 b、 c 和平面 p， d， c 的 夹角的余弦值。那我应该写哪些点坐标？我是不是写 p 点坐标， b 点坐标， c 点坐标写过了，把 p 点坐标写过了，所以我只要写 p、 b、 c、 d 四个点坐标，对吧？ 有些人就很可笑啊，你还要写 p 点坐标， a 点坐标， b 点坐标， c 点坐标， e 点坐标， d 点坐标，全写出来，你浪费时间不？很浪费时间啊，这没必要啊，你只需要把那个题目啊，要求你写的给写清楚就行了。好，点，坐标写好了，我要求向量，对吧？我要求向量，向量怎么求？就是中点起调，对吧？来，我教你如何写点坐标啊，你把点坐标竖着写 来，你看，一一对齐，对齐在这，可以吧？来，你项链也给我竖着写，来 a、 b 项链，那我就是 b 点减 a 点，对吧？中点减七点，来 x 中点减七点，就是得减 a， 得减 a， e 减 b， e 减 b， f 减 c， f 减 c， 对 吧？ e 的， 你看，这就写出来了， 你看啊，我让你竖着写的目的是什么？不要算错。很多人啊，这个横着写完以后啊，你看， a 写在这， b 写在这， c 写在这， d 写在这，然后呢，你 x 减 x 的 时候，你可能是用 y 减 x， 你 说你亏不亏吧？所以啊，你把这个竖着写好，你不容易出错啊。那个减的时候，你就是对应这样减，对应这样减，对应这样减，来中点减起点，你看啊，这 a b， 那 b 放在后面，对吧？就是 b 减 a， 得放在后面，对吧？得减 c 来，得减 c， g 减 e， k 减 h， 到 l 减 r， 这不完了吗？所以你要得会写这个点坐标啊。向量，向量会写了吧？向量就是终点减起点，终点就是这个起点就是这个，对吧？来复习一下啊。向量它是一个有象线段。好，这样一个有象线段，对吧？那这个有象线段它有些什么性质呢？首先，向量我要得会写，比如说这个叫，如果我知道这两个点坐标， 我可以通过中点减七点，中点减七点，中点减七点来把这项量算出来，对吧？这项量怎么写？会写了吧？如果现在知道一个项量，对吧？这是个项量啊，这项量来这里有一个误区，大家特别会 错，点坐标不用写等号，你看我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？但是项量必须写等号，不要忘记啊。所以很多人可能就是点坐标也写等号，项量也写等号，要么点坐标不写等号，项量也不写等号 啊。这这这。呃，见怪了啊，说，我不要这样搞，你看点坐标不写等号，向量写等号，嗯，记住啊，记住就行了。所以我现在如果知道这两个向量，随便一个向量，对吧？那向量的模怎么算？模就是我每个，你看 x， y， z， 对 吧？ x， y， z， 那 这 abc 这三个点我要怎么办？都平方和，你看平方和，再开根号，这不就是我的模吗？ 就是我的长度。向量的长度怎么算？就这么算。好，那这个两个向量的点击就是点乘乘 y， z 乘 z， 三个加起来，你看 a 的 加 b， e 加 c， f， 错了吧？好，那数乘就是比如说这个拉姆达就是个三，或者是二，或者是一，对吧？那这样一个数乘一个向量，那就是意思是我每个点坐标都要得乘这个数，那比如说我这是未知数，可以吧？那拉姆达乘以 a， 那 就是 a 倍的拉姆， b 倍的拉姆达， c 倍的拉姆达。你看我都乘这数乘它还是向量，但是点乘我就变成一个数，你看这是个数， 没问题啊。好，所以这是空间向量的一些基本知识，我就变成一个数，你看这是个数，没问题啊。好，所以这是空间向量的基本就用到这些，其他的不用知道就行了。好，然后这个向量 我就讲完了，向量如何做？没问题啊，现在如果我找到了两个平，就是平面内的两个不共线的向量，那两个不共线的向量也就是两个不共线的直线吧。那两个不共线的直线可以确定一个平面，对吧？那两个不共线的向量也能确定一个平面。好，那我如果要得求法向量的时候，我要得写什么来看清楚啊？向量如何求？来这里啊，非常重点，重点，重点，重点， 我要得首先写一个叫做设平面某某某的法向量为 n 等于 x、 y、 z。 哎，这句话必须写，就比如说，哎，我在这里你看他说平面 p、 b、 c， 那 我是不是要求平面 p、 b、 c 的 法向量，对吧？怎么写？设平面？平面，面吧，面别面 p、 b、 c 的 法向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 你 看是啥你就写啥，你看我就默写，默写啊，然后我再找出这个平面两两个不共线的向量，可以吧？我找出两个不共线向量，那我要干嘛？法向量是什么来？比如说这是个平面，那法向量就是与这个平面垂直的向量， 那垂直于这个平面，那意思是我这条这个法向量就垂直于这个平面的所有直线，那我是不是在平面内找了两个不共线的向量，那这个法向量是不是与这两个不共线的向量都垂直？那我就要列一个这样的式子，叫做这条向量乘以法向量等于零，因为你看啊，如果是向量和它垂直，那我可以互推出。你看啊， 这个 r 向量和我这个 n 向量如果是垂直的，那他们两个点击就为零，那这就是我两个向量点击为零，你就写成这样就行了。来，法向量具体怎么求的，我现在告诉你 啊，原来你们的法向量求法的话，你就要得写出这个式子来啊， a 点乘 n， a 点乘 n， 怎么写啊？来， x 乘 a， 那 就 a， x 加上 b， y 加上 c， z， 对 吧？等于零，然后这边是得 x 加上 y 加上 f， z 于零，然后你要解这两个方程，对吧？啊，你别这样了啊，我们直接就做。呃，首先啊，我们的口诀叫做求谁挡谁，交叉相乘外取负好，比如说，我要得求这个法向量，你看法向量里面的 x， 对 吧？我把这两个向量竖着写好，对吧？竖着写好，我求谁挡谁，我要求 x， 我 就把 x 挡住，你看， x 挡住了，挡住了，挡住了。来交叉相乘，它乘它，它乘它相减， 它乘它减它乘它。就是 b， f 减 c， e， 你 看 b， f 减 c， e， 可以 吧？交叉相乘相减。好，呃，那个我们再看 z。 怎么求？来，看啊，我要求 z 挡 z， 我 把 z 挡住，来，它乘它减，它乘它， a 乘 e 减 b， 等于， 可以吧？好，求 y 挡 y， 我 把 y 挡住，交叉相乘， a 乘 f， 再乘 n， 再减 c 乘 d， 对 吧？来，我要 y 取负，对吧？来，我要取个符号。 为什么要取符号？来，我给你看演示一下啊。我求 x 的 时候我挡住了，这四个是不是连在一起啦？ 我求 z， 我 求 y 的 时候，来，这四个断开了，那我是不是应该怎么样？我断开了，是不是规则稍微不太一样？那我就加个符号嘛。这行了， 所以你就这么理解这个到底是什么原因？你到大学你就知道了。好，这个不用管，你法向量这么求就行了。你这个不要把这个过程写上去啊，你也不要把这个口诀写上去。呃，你偷摸着用就行了。来，你看设这个向量来，点击为零，来，这三句话写好了，对吧？直接写法向量，比如说这是个一二三 一二一二三，这是个三四六。好，你会求法向量吧，你直接就算就行了，你看二乘六减四乘三，写出 x 来求 y 等 y， 对 吧？然后三乘 忘记了，哈，就那样一算就行了，一算就行了，这就结束，对吧？好，这个法向量会算了，对吧？法向量就是平面里与平面垂直的向量，算出来就行了。就他只要说平面，你看，比如说这样一个题，他说平面与平面的夹角，那我就要算这个平面的法， 这个平面的反向量。哎，我要得解决这个问题。你看二面角。二面角啥意思呢？来， a p d， 你 看 a， p d， 你 看 a p d， 这个平面和那个平面呢？ p d c p d c o， 这个平面。好，两个半平面的夹角，就是这个平面和这个平面的夹角。那我要算什么？这个平面的反向量。这个平面的反向量会算吗？会算啊，不要忘了我们会算好 反向量，会算了，我们再看怎么算后面的部分，比如说算二面角。二面角。什么二面角？就是我两个半平面的夹角，你看啊，这个叫半平面，这个叫半平面， 那我这两个半平面之间可以形成一个夹角，对吧？那这个夹角最小是多少度？最大是多少度，你知道吗？知道，对吧？你拿出你的卷子来翻一下，哎，我是可以从这个零度，你看我是可以从这样的形状可以一直翻过来，对吧？翻到一百八十度， 你再往下翻，和上面翻的一样，对吧？反正就是你零到一百八十度吗？那如果是两个平面的夹角是啥意思？那平面他是无限延伸的，他长这样的，对吧？来，平面是无限延伸的， 哎呀，这个是来，这是两个平面的夹角，对吧？它会形成一二三四四个角，那我要取哪个角呢？我要取小的角。所以如果考点是什么？考点？如果是两个平面的夹角，那我最后算出来，我只需要算它的最小的那个角就行了， 可以吧？但是如果是两个二面角的夹角，那它是从零到一百八十度的，对吧？零到一百八十度的，嗯，所以它的余弦值肯定有正有负。好，我们再看。呃，这个出两个 m n， 两个反向量，对吧？那我要得设，你看啊，二面角也有一些规则要写啊，你要得设二面角为 theta 啊，你就这么写就行了。然后 cos theta 啊，但是标准的写应该叫做设二面角的平面角为 theta。 好， cos theta 等于 cos theta m n， 那 cos theta m n 怎么算？ m 乘 m 的 摩乘 n 的 摩乘 n 的 摩， 可以吧？这很好记吧？好，很好记啊，那 m 点乘 n 会算吧？它们的对应 x 相乘，对应 y 相乘，对应 z 相乘，加起来，对吧？那 n 的 模怎么算呢？它的 x y z 全部平方开根号，对吧？加起来，然后它也是全部平方加起来开根号，对吧？这很好算啊。然后如果看图，看图，如果是钝角，那我就取它的负值。看图，如果是锐角，我们就取它的正值，如果你的观察力不强，你就直接取正值，往往百分之九十题都是正的。 好，这样就行了。好，最后你答一下，你就答一下。说什么你这个算出来口算谁？他他是我这两个向量的夹角。那我最后要答一下，你说什么？二面角口算，二面角的余弦值是多少多少就完了。如果让你算算怎么弄？算的话，我就用这个公式，根号下一减口算一方。这个公式有没有不会的？ 会的吧，一定会的啊，一定会啊。如果你算出来这个口算呀，然后你也可以画个直角三角形，然后你这个口算，如果是一个 a 比 b， 那 口算也是 a 比 b 呢？就是零边比斜边嘛，对吧？这是 b， 零边是这是谁他嘛？零边就是 a 嘛，对吧？然后 a 比 b， 那 我可以用勾股定力稍微算一下这个，那这个就是根号下 b 方减 a 方嘛。 然后呢？算一次他就是谁根号下 b 方减 a 方分之 b 嘛，对吧？这个，嗯，你也可以画直角三角形，也可以，干嘛也可以用这个嘛？这个我们怎么用？我们知道算一方 set 加 cosine 方， cosine 等于一嘛，所以我可以用这个公式，这是个三幺乘法式，对吧？如果要算 cosine， 我 可以把它移过去，叫做一减 cosine， 对 吧？平方我要看更好，这不就完了吗？这不是公式嘛。所以一定要记住啊。这个，如果他让你算正弦值，你就要得用这个方法算，没问题吧？那正弦值的话就轻松了。如果余弦值我不知道。正负无所谓，我平个方，你正负都无所谓了啊。那一减它，那 cosine 肯定是正的， 这没问题啊。好，我们知道了。二面角如何算？我们还要得看线面角如何算，对吧？线面角是什么？直线与平面的夹角，对吧？你看直线与平面的夹角，那这个角怎么算呢？来，这个角算出来叫做 sin theta。 来，注意，注意，注意，注意。你看二面角算出来叫做 cos theta， 对 吧？线面角算出来是 cos theta， 那 cos theta 是 啥呢？就是 cos theta。 这个 a 和 n a 是 什么？ a 就是 直线向的向量，比如说这直线向我取的向量叫做 a 向量， 可以吧？完全可以啊。然后呢？平面 r 的 反向量很向量。好，那怎么算？口算 a n 会算吧？口算 a， n 就是 a 乘 n 的 幺 n 幺，对吧？那算 x， 它肯定是一百零到一百八十度嘛，那肯定是正的，所以我给这个整体去绝对值，所以最后算出来，无论是正还是负，我都去 正会了吧。好，那口算 x， 它怎么算？来根号下一减三方，这就很好弄啊，那这个线面角就结束，线面角就这么算，那线面角的话也要得，也要写这句话，叫做设，你看某个直线与平面的夹角，也叫做设，某个线面角等于 x， 它 设什么？什么 vc 碳啊，你要写这句话，然后算完以后，最后还要得搭一下，搭一下，搭一下。好，那个距离，那距离公式是这个，那得等于一条距离是什么？距离是点面距，线面距，面面距，你看点到平面的距离，直线到平面的距离。呃，平面到平面的距离。 好，那怎么算？那我首先啊，点面距，我要转换成线面距，那点面距我要得有一条直线可以相交于这个平面，那我在这条直线上找向量 a， 那这个就向量 a， 那 直线那就好弄了，那直线上的向量就是 a。 向量好，平面，那平面的话呢？我要在这个平面和这个平面相交的这个部分，我要得找一个 向量 a， 所以 他们三个，比如说点面具我要转换成向量面面具我要转换成向量，所以我最后算的就是向量 a， 那 这个向量 a 是 啥，知道了吧？ a 就是 我的这个直线上的向量好，那就是法向量来，直接在这个公式来。这个公式和这个公式有什么区别？我不除以 a 的 模二。 看清楚啊，我不除以 a 的 模儿好，一定要注意啊，这个公式不要背错， a 点乘 n 比上 n 的 模儿好，这是距离公式来，呃，这个动点问题，动点问题是什么？动点问题就是这个意思，如果我有一个直线，比如说这叫做 ab 向量，这是 ab 向量，没问题啊，那我知道 a 点坐标叫做得 e f， 那我算出来这个 a b 向量是这个，对吧？这没问题。那现在我知道点 p， 我 如果上面写着什么 p 点在 a b 上运动，哦， p 点 p 点在这个 p a b 上，也没说 p a b 多长，对吧？那我就说了点 p 点在 a b 上，那我可以列什么？那我可以用向量共线定律，你看 a p 和 a b 共线，所以 a p 等于 a b 的 楞大倍。你看 a p 等于楞大倍的 a b， 那 楞大倍的 a b， 那 我 a b 向量，我知道的，那就是直接就是 那么大， b 那 么大， c 那 么大，那我可以写出这个点，对吧？好，那 a p 就是 p 点减 a 点，那我把 p 点设为 x 的 y 的 z， 可以 吧？那 x 减谁？你看 a p 嘛，那 p 点减 a 点，那 p 点减 a 点，我知道，就是 x 减得，你看 x 减得，那就是 a 那 么大， 没问题吧？ a p 嘛，好， y 减 e 等于 b 篮板， z 减 f 等于 c 篮板。我可以通过这个 p 点减 a 点，我可以得到 a p 向量，那 a p 向量这个我是用 lambdas 表示出来了，对吧？呃，表示出来了，好，我最后把这个 x 一 解，那 p 点的坐标又出来了。你看 x 一 解出来，那 x y z 就是 p 点的坐标吗？那 p p 点坐标也出来了，那 p 点坐标我出来了以后，我虽然带着 lambdas， 但我也是一个 p 点的表示方法，没问题吧？所以我 p 点的这种动点我表示出， 那表示出来了，我可以带进题目信息，比如说他告诉你了什么二面角呀，我可以带进去把这个拉曼解出来，这个就是重点问题，很简单啊，这个没有那么难。后面我们有题，我们可以做让我们看外接球，那外接球半径，我可以通过间隙把所有的顶点 给写出来，然后呢，我可以射球心叫做 o 的 x y z， 然后我知道什么外接球，那就是，呃，如果是这样的一个图形，那意思就是我外接球就是我所有的顶点都在球面上，那球面到圆心的距离都相等， 没问题吧？所以我可以把这个 o a 向量， o b 向量， o c 向量， o 的 向量就是所有顶点和这个 o 的 向量写出来，那他们的模，那他们的模不就是我原先到每个顶点的距离都是我的半径吗？我可以列这样一个式子，叫做 o， a 的 的模等于 o， c 的 模等于 r， 我 可以解出什么 o 点坐标，我可以算出这个 r， 这个 说着比较轻松，但是呢，计算量稍微有点大，那几何法也是可以通过这个外接球来算的，但是呢，啊，这个 不太直，就是，呃，用几何法去看那个外接球，他是不是那么很容易看出来的，所以我们能用间隙的时候，就是能直接用间隙来求外接球的话，嗯，我们用间隙来求，虽然说计算量比较难，但是我们不会花那么多时间在看图上。 如果你要用几何法来去弄这个外接球也好弄，但是需要再补充更多的一些知识，那个就是比较分数比较高的一些人的选择，那我们也可以再把它放在小题里讲，因为小题考外接球是考的真的比较少。那近年的话， 去年的高考题就考了一次吧但是，呃去年高考题也是考在一卷里了二卷基本没考二卷一直都是那个难度一直都是比较常规的题型但是呢我们也会补充，呃这个外接球在大题里如何考因为有这样的一个题我放这了啊所以外接球的话呃结合法的方式可以做但是我不会去大奖特奖在这个大题里那我们呃 在小题里把这个几何法的外接球在那个时候再建好这个几何法这个间隙法的这个计算我稍微讲了一下啊间隙法你发现哦这个计算其实很有套路对吧我只需要什么写这个我只要找出两两垂直的这个情况我可以间隙对吧。间完系我要写这句话写完这句话我要写点坐标写完点坐标我要写向量写完向量 我就开始求法。向量对吧向量就是要写这三句话然后向量哐哐哐一下就算出来了对吧然后二面角我要得设设对吧设然后设好以后可以代公式一下就算出来了你发现哦还真的挺 套路的你发现真的没有难度啊这个没有什么难度的然后线面角也是你设线面角为什么 set 然后呢算 set 代公式一下就出来了。好你要得算出反向量啊然后的这个距离也是你算这个点面距啊或者线面距啊面面距你就设它为的好那的往这一代公式就出来了。好 动点问题的话呃他如果说这样 p 点在某某个直线上运动那我要得写什么向量共线定力对吧。向量共线定力我把它写出来，然后我反解，把 p 点反解出来，然后用 log 表示 p 点，那我用这个动点， 把这个动点我画成了定点，对吧？那我至少我这个 p 点的这个坐标我可以表示出来，那表示出来以后带入题目信息，我截出来，这就很轻松啊。然后外界求半径的话，我就是要弄什么，我把顶点全部写出来，顶点坐标写出来，然后干嘛？射球星坐标 x、 y、 z， 然后通过什么？我球星坐标到球星到 这个顶点的距离就是半径来，我可以列一个等式，把这个 x、 y、 z 给算出来，这个就还是算量稍微有点大，然后别的就很简单，对吧？然后我们看一下几何间隙法证明是什么东西， 因为有些题目他那个第一问题目信息就给的比较全，所以我们直接用几何法来证明。好，我们这个很快就能看完啊。来线面平行，那我如果要得证这个线面平行，那我还能证什么？你看线面平行，我前面是用那个直线外平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，对吧？ 我还得找平面内那条直线是哪个，对吧？我现在我建好细了以后，直接可以算平面的法向量。法向量不就是垂直于平面的向量吗？如果线面平行呢？意思就是我这条直线和平面平行，则什么？ 这条直线后的法向量就是垂直的？好，所以我只需要正这条向这条直线上的向量和我这个法向量是垂直的，那意思就是我垂直就是点击为零呗，这就完了，我只需要算 a 乘 n 等于零就完了。好，如果是平面与平面平行，那，呃，我两个平面的法向量可以算出来，对吧？那这两个法向量就是平行的。 好，那我要得正，两个法向量平行，那我可以是它的数倍。要做平面向量基本定律嘛，对吧？这个向量和向量平行，他们是数倍关系， m 就是 那么大的 n 嘛。好，然后线面垂直，线面垂直，就是 直线与平面垂直，那这个直线和平面垂直，那他与法向量就是平行的。好，那他与法向量平行，那我可以用 他们是数倍关系吗？这就完了，我只要把这个向量算出来就可以了。一看他是一个两三倍关系啊，三倍关系还是两倍关系，我就证明出来了。这个向量和法向量垂平行，则直线与平面垂直，这不就完了吗？然后我再可以找什么面面垂直， 我还有什么方式？我算出来以后，他如果与我这平面内的两条向量 垂直，那也说明我线面垂直啊，这，这也比较轻松。然后面面垂直，面面垂直的话，就是我两个反向量嘛，对吧？这两个反向量，那面面垂直，我两个反向量也是垂直的，那我只需要这两个反向量垂直，那两个反向量垂直，我只需要把它们算一下点击是不是零就完了。那点击还会算吧？会算啊，会算 x y z 对 应，相乘相加就行了。好，这个就是我的间隙法证明，那间隙法证明明显就 不需要任何的知识点，直接一算就可以了。然后，呃，这个几何法证明要掌握清楚啊，一定要得。注意啊，这个勾股定律一定要得。会用。那个第一本可能会用到勾股定律。好，这就是我这个百日冲刺课立体几何的思路部分。那我们再看题目来练习一下啊。题目练习一下，这个不刷，光讲不练，那就是空本事。我们要得练练题。

高考数学最难的立题几何必刷一百道，寒假吃透，稳进班级前三！高中数学立题几何大题一百道一解答题一到三题四到六题十二到十三， 十六到十八题三十三到三十五。完整版评论领取！

咱先给大家讲线面平行，因为它的考法最多，考试频率也最高。哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。在证明平行跟垂直的时候，我们经常需要大家去主动的连接一些辅助线，帮助我们证明。那这些辅助线究竟如何做？正法究竟有哪些嘞？今天咱用一个视频帮大家解决平行问题，快点开始吧！ 无论是平行还是垂直，研究的无非是线线、线面跟面面这三种情况。按理来说，哎，我应该先讲线线平行对不对？哎，我今天偏不。咱先给大家讲线面平行，因为它的考法最多，考试频率也最高。 那如何证明线面平行嘞？咱有两个方法，一个是线线正，一个是面面正。哎，听着好头疼啊，怎么这么乱套。我给大家画个图，我想证明这条线跟线之外的一个面，想说明这俩平行，我只要在面上找到一条合适的线，如果这俩线线是平行的，那不用说线面必然平行， 这是第一个方法。第二个方法想证明线和面平行，咱找到一个合适的经过那条线的面，如果上下两个面面面平行，那根据面面平行的性质，面上任何一条线，我无论怎么画这几条红线都跟底面是平行关系，自然就包括面上我想正的这条线。 那有的同学想到了啊，你说的挺简单的，找条线或者找个面，这咋找啊？这全都是套路，我要给大家讲清楚如何找到面上跟它平行的这条线嘞？两个方法，第一个方法叫神奇的小眼睛， 在真正的题目里面，这条直线呢，必然是以一个线段的形式来出现的，那有的时候你会发现，在咱想要证明的这个面上，它可以出现跟你要正的那条线段大小、长度完全相等，方向还一模一样。你用你的目光一下就能锁定到这面上的一条线跟它能构成平行四边形， 或者油头眼睛不好使，没事，你拿着你那个直尺看看这条直线大约有多长，然后你让这尺子方向不能动，把它往那面上去推，推着推着推着，你发现在某一个地方在这面内真的出现跟它长度大小完全一样的另外一条线段了，那这线就找到了。 好，那问题是我这线找是找到了，我如何证明他俩真的平行嘞？这里面一定要注意，我们连辅助线一定要把这平行四边形另外两条边连起来，想证明这两条边平不平行，你不能直接证，你得证明他这另外两条黄色的边平行且相等。这就是套路， 因为我初中学过啊，你这两条边平行且相等了，好，那他就是平行四边形，那另外两条边就平行线线平行了，那线面就平行。 举个例子，现在有两个正方形， a、 b c， d 跟 a b e、 f， 这是一个正方形，哦，这也是哦，折起来了呗，怎么样？ n 和 m 分 别都是它各自边上这中点。 ok， 然后让我证明 m、 n 跟 b、 c、 e 是 平行的， m 在 这， b、 c 这条边在这，这是线面平行吧？咋正？神奇的小尺子，神奇的目光，我把 m 这条线往那个面上去移动，哎，我移着移着移着，我发现，哎， 在这面上我真的找到了一条跟 m、 n 大 小方向完全相同的线。那我看着，哎，这俩点你看着像啥点啊？好像像中点，对不对？那我就知道怎么连辅助线喽，我就取中点，先把它取出来设一下，一个是 g， 一个是 h， 连接 g h。 啊，那我为了说明这两条线真的平行，你不能在卷子上说，我看出来了， 你得正咋正连接另外两条边，我只要证明这两条蓝线平行且相的就行，太简单了。因为 n h， 那 就是 a b 的 中位线， m h 是 c、 d 的 中位线，那 c、 d 跟 a、 b 又平行且相等，那自然而然它俩的中位线就平行且相等。 再讲一遍，绿的跟粉的平行相等，那它俩的一半小绿跟小粉也是平行且相等，那不用说了，整个四边形就找到了，是平行四边形，它两个对边， n m 跟 g h 线线平行，那 g h 在 哪个面上？我就通过线线平行得到了线面平行 结束。这就是神奇的目光，或者叫神奇的小尺子，把这条线往那面上去移，我找到跟我一模一样的线。 哦，那当然，有的时候吧，他光会这一个方法还不行，因为啥呢？有的时候出题特损，他把这个线段啊，搞的特长，相应的那个面吧，他搞的特短。结果吧，你在平移的过程当中，咱好好的把这条线段往这面上移。我一移动，发现，哎呦，这面太小了，根本就装不下，我这平行四边形我找不到， 我找不到平行四边形，我就做不了了呀。所以今天讲的每种方法，它都不是万能的，都有它的局限性。所以当如果面特小的时候找不到平行四边形，我就用第二个方法找出对称， 这是我要挣的线，这是我要挣的面，大家在这线跟面之外的另外一个地方取一个点，一般来说这个点都非常非常明显，然后接下来都是常规操作，把 g 点跟两个线段的端点分别连接， 连接一条线，两条线，那我姥姥也能看出来，这两条线肯定得跟我这面是不有交点呀，一个两个，我把这交点连起来，哦，你这两点都在这绿面上，那你说这条线在不在绿面上也在，而且你一定会发现，这交点的连线就是你想找的线线平行。 再讲一遍，很简单，取个点连接两条线，找两个交点连起来，线线一定平行，那如何？正线线平行，大概率百分之八十的情况，你会发现，这交点正好捷德整个线段是一个中点，它是一个一比一的中位线，当然偶尔也有可能不是中点啊，比如说它是一个一比二的三等分点啊，一比三的四等分点， 理论上都行，只要两边的比例是一样的，这边是一比三，你那边也得是一比三，保证是相似图形，那两条线就一定平行。举个例子， 还拿刚才这道题来说，我想证明线面平行，大家要在这条线和面之外，第一步先取一个点。 取谁呀？这一共就这么几个点，你不能在面上面取，这三点不能用，你不能在线段上去，这两点也不能用。你要么选 f， 咱要么选 a， 要么选 d， 那 傻子才选 f 呢。 f 你 这么连完，这这这，这太复杂出去了对不对？那 d 也是一样，你 d 这么连完， e 也出去嘞。所以我只能选非常明显的唯一能做的，那就是选 a， 接下来我把我选的这个点 a 跟两个端点 m、 n 连一下，首先我跟 n 点连，那我发现连的过程当中好像没跟绿面有交点，对不对？没关系，你继续延长，继续延长，人家已经帮我延长好了， 我发现 a、 n 这条直线我延长完。哦，跟那个绿面交到点 e 类，所以 e 就是 我想要的两个交点当中的其中一个，不够。再来我把 a 跟 m 连接起来，然后延长。延长，延长，你一定能延长到谁啊？肯定延长到 c， 因为这不对角线吗？这不正方形吗？所以这条线跟绿面的交点，再点 c。 好了，你啥也不用干了，点 e 和点 c 都在这绿面上，那它的连线 ec 就 一定是你想找的那条线，那它究竟平行不平行？太好说明了， n 和 m 都是中点，中点，因为它们都是正方形的对角线交点，所以 m、 n 就是 ec 的 中位线，线线平行了，那线面就平行了。

专题三了，那个我今天一看，哦，专题三了，还有六个小节，嗯，就三三节，三三个小本，三个大本，然后咱就结束了这个假期，那离你们开学好像又近了一步哎，我们看一下我们今天的题啊。 嗯，专题三的例题结合，然后第一块小题考法的例题结合，初步这里边考的都有什么呢？首先， 嗯，立体几何里边那些空间几何体的侧面积，表面积，体积，所以说这些公式你首先要记得牢一点。第二个，他这个平行垂直，还有嗯，线线 平面里边的，还有空间里边的平行垂直关系，还有与球有关的内切，球外内切外接， 还有这空间关系，这个咱我忘了，我给咱们总结忘没了，反正是回回学校看时间，估计还得再重新总结。来，我们看一下我们今天的题啊，现在题挺好玩的， 来，首先我们看一下第一道题，嗯，这个正四棱台，他上 ab 的 长度是等于二倍根号二， 然后 ab 是 等于根号，然后测棱于底面所乘角是六十度，底面角所乘角是六十度，他让我们求测面积，求测面积的话，因为他四个测面积是一样的，只要求一个测面积就行了。而测面积最重要的是什么呢？求你测面积上的高，我们把测面积给你画出来。 测面积其实也侧边，侧面是什么呢？ a 一 b 一 b a， 而且上底是根号二，这是二倍根号二，那如果做垂直，做垂直，这是根号二，那这是二分之根号二，二分之根号二，那所以说你不用看这个图上啊， 这个 q 吧，所以说你要求这个侧面积的话，也就是要求 a 一 q 的 长， a q 的 长，你现在知道 a q 等于二分之根号二，所以说你需要的是 a a 一， 那 a a 一 怎么知道呢？我们看一下，它说的是侧棱和底面所成，角六十度，你过 a 一 做底面的投影， 放在 e 点，然后 e 点呢？因为它从上往下看的话，其实是长这样的， a b c d a 一 b 一 c 一 d 一， 然后二倍根号二，根号二，那所以说 a a 一 在底面的投影落在了哪了？就在这，那我们看一下二倍根二， a c 的 长是四，那所以说 ac 的 长是二，这段长是一，也就是 a e 的 长等于一。而而且呢，你这里边哪个角是就六十度呢？角 a e a e 等于六十度，而 a e e 是 垂直于面 abcd 的， 所以说这里边就有 af 是 等于二好。 a a e 等于二，那你的 a q 就等于根号下二方减二分之根号二，括号的平方，那它就等于什么呢？就等于四分之根号七。 好，那这里边你算出来 a q 的 长度， a e q 的 长啊，这是 a e q， 那 所以说 s 测 等于四乘以，嗯，四个啊，因为四个面都是这样算的，二分之一乘以上，底加下底，根号二加二倍，根号二乘以高，二分之根号十四，答案就出来了，六倍根号七，好，这是立一 第二题，这道题他说的是正方体，你画一个正方体， a b c d a 一 b 一 c 一 d 是 c c 一 的重点。好，这是 p， 它说的是若三角形 b b p 第一， 以 b 一 d 为轴，旋转一圈，我们先看一下这个三角形长什么样啊？我把它给画出来， b d 一， 好，这是 p， 这里边呢，你应该知道。呃，边长是二的话， pc 等于 pc 一 二根号五，一二根号五。还有你这个 d b 的 长式作为对角线的话，你棱长是二的话，它是二倍根号三的 二倍根号三。那我们看一下。嗯，二倍根号三的话，还有这个作为最中间的位置的话，这个长度二根号二。 好，那也就是说其实是长这样一个三角形，根号五，根号五，这个是二倍根号三，进行绕着它进行旋转，旋转应该是得到两个嗯，圆锥，而且这两个圆锥底面半径都是等于根号二。嗯，那个啥 高是等于根号三，然后你求一下它的表面就行了，是两个这样的圆锥，不加底面积，它也就是它两个的侧面积相相加， 自己看。然后这道题的话是一道很经典且简单的题，它绕着它转的话，那也就是你看一下这个每一条线，它所旋转之后，除了 ab 这条线 形成的这些都是一个曲面，也就是它最后形成一个这样的圆， 下边是一个圆面，也就是这个几何体的表面积是什么呢？是大的圆台，大的圆台的侧面积， 大圆台侧加底，然后再加一个小圆锥， 测面积就可以了。嗯，你们自己算啊。这个我不说了，这个比较简单。这道题挺好玩的，一个三阶魔方，嗯，二十七个单位，咱们就把那个单位记为一就行了。 嗯，每个边长都是一，那所以说这个长是三三三三三，然后他说中间一层转动了四十五度之后，那我们看一下，本来你的表面积是什么呢？是三乘三乘啊，三乘三乘六。 那我们看一下，首先你这三乘三乘六变了没有？没有，他只是增加了什么呢？增加了，你看这样一个小三角形。这个小三角形， 那你看一下，还有在我们看不见的那边还有两个三角形，也就是说你看啊，是长这样的，比如说他对应的是这一块，那这个对应的是这一块那边还有个他，他，那你看一一个，呃，有几个这样的三角形呢？一二 一二三四，那对应的下边这个第二层下边还有四个四加四，那上边这一层下边这一块这一块这一块再加四，下边这一块这一块也就是再加一个四，也就是总共是几个呢？十六个这样的小三角形。 那所以说我们的目标是干嘛呢？求这一个小三角形的面积，它怎么求呢？我们来看一下。问题在于，我们知道这个魔方的边长是等于三， 这个边长是等于三，那这个小三角形的边长是不知道的，我们把小三角形的边长设为什么呢？设为 x， 那 这也是 x， 那 这段的长是什么呢？ 是，你看一下，这是 x 九十度，所以说它是根号二 x， 这也就是根号二 x， 那 所以说就有二 x 加根号二 x 等于三 x 呢？是等于三减二分之三倍根号二的，这个自己算啊。那所以说每个小三角形的面积 s 呢？就等于二分之一乘以三减二分之三倍根号二，括号的平方自己算。我抄答案了， 四分之二十七减二分之九倍根号二，那所有增加的面积 s 就 等于十六 f 一， 就等于一零八减七十二倍根号二。这道题。嗯，你自己不行的话转个魔方，家里边有魔方没有？ 好，然后接下来看这道题，他说圆台上上下底面半径分别是一和三，这道题你要是再错错有点过分了啊。嗯，出去别说你是实验高中的学生，我开玩笑的。 已知三棱锥 s 三， s a， b， c 如图所示啊，这里边 a s a b a c 两两垂直且长度都等于三，长度等于三，然后 e f 分 别是中点，那这是二分之三， 三三二分之三，二分之三。好，我不标了。然后 g 呢？是靠近 cs 上的三等分点，它让你求下边这个棱锥的体积，我把它记为 v 二。 那 v 二其实就等于什么呢？ v s abc 减去 v s e， f g， 那 v 我 就把它记成 v 一 减 v 三吧。那 v 一 就等于什么呢？ v 一， 它这里边是很明白的，三分之一乘以 三乘三乘三乘二分之一，好，这是其实也就是最呃，他这个比较大的面积等于二分之九啊，体积。然后那你看一下 v 三，也就是我们这 v s， e， f， g 如果直接求的话，其实不好求，我们把它轮换一下。顶点， 它等于什么呢？ v 以 g 为顶点， s， e， f 也就是等于。那 g 到， 也就是我先写吧，它体积就应该等于什么呢？三分之一 d g 点到 s， f， e 的 面距离乘以 s 三角形 s， f， e， 那看一下 s 三角形，哎，它的面积好求，因为你 ef 垂直于 sa， 嗯， efsa 的 面积，它 s 三角形，嗯， sfe 就 等于二分之一乘二分之三乘二分之三，一个二分之三是 s 一， 一个二分之三是 ef。 那所以说这个距离怎么乘呢？ d g f 一， 因为你既是 cs 上靠近 c 的 三等分点，所以说它就等于三分之二。 d， c 到 s， e， f 的 距离也就等于三分之二，乘以三等于二，也就等于 a c a c 的 一三分之二啊。好，那然后你剩下的自己算就行了，这题多好玩。 好，接下来这个东西你自己看。 好，我们接下来看这道题，他说体积为二派，体积先给你了，圆轴结面为正方形，那 ab 我 把它设为二， r 的 话， bc 也是二 r， 那 所以说你的呃体积 v 就等于派， r 方乘以二， r 等于二派，那也就是你这个 r 等于几呢？一，好，他说点， e 在 这个圆周上，点 e 在 圆周上的话，那 a， e 和 e b 肯定是垂直的，他问的是 c c a e b 体积最大，那 v c a b e， 它的体积就等于什么呢？等于二分之三分之一， c， b 的 长乘以 a， e 乘以 e b， 那其实如果这道题你，嗯，其实一看出来，它应该就怎么呢？ a e 乘 e， b 什么时候最大呢？就是当它为等腰直角三角形的时候， 因为它底边 ab 是 确定的嘛，就看 e 的 ab 的 距离最大值。 e 什么时候最大呢？在你这个圆上的话，就是当它坐在这的时候，作为 ab 正好中垂线过圆心的时候 与原焦点这一点，当然你也可以按照答案的那种。嗯，那啥基本不等式就是什么呢？你要求，因为这 c b 的 场是等于二三分之二， a， e 乘以 e b， 这是第一种方法，法一法二的话， 你就老老实的，因为你 a 一 方加上 b 一 方等于 ab 方等于四，那所以说，嗯， a 一 方加上 b 一 方就大于等于二， a 一 乘以 b 一， 那所以说就有 a 一 乘以一， b 小 于等于二，当且仅当 a 一 等于 b 一 等于根号二的时候，等号成立。但是你也可以用这种方法啊，我觉得你其实一画图的话，答案就出来了。 好，接下来看这道题，这道题估计是问题最多的，那我们看一下这道题在处理的时候怎么进行处理啊？来我们看一下它是进行打印的一个零件。 a 多面形、多边体，多边形 a， f， r 垂直于 abc 平面， 这个垂直于底平面， c， t、 d 垂直于平面， ab 垂直于 bc， 这是一个直角， ab 平行于 ef， 然后还平行于 r s， 还有 c、 d， 然后这里边，那我不念题了，你们自己看啊。长度关系里边有 ab 等于 bc 等于八八， a， f 等于这个四四，然后 r a 等于 r f 是 二分之根号五二分之根号五二分之五，二分之五二分之五，二分之五。 那然后他问你这个多面体的体积，来，我们看一下这个多面体其实是完全对称的，我们先看一下你这个从上到下去看的话，其实他的图形大概长什么样呢？从上去下往下去看，这是四八， 这是八，又一个四。好，这是 a、 f， 这是 r 在 底面的投影，这是 t 在 底面的投影 c、 d， 那 所以说你看一下 r s 连接的话，其实你的 s 落在了这， 那我们看一下你这是 e， 所以 说 f e 的 长是等于多少呢？它是等于十，那它等于十的话，这一段长是等于几呢？二，那也就说你 r s 的 长是等于 错了，这是十二啊。 f e 的 r e 的 长不是 f e 的 长， f 一 的长是十二，这段的长是二，所以说 r s 的 长是十，那我们看一下，它是完全对称的，所以说我从这先切割一下，也就连接 b e， 连接 b， e 的 话，等于说是完全把它切割成了什么呢？两个这样的几何体完全对称的，那所以说其实我们只用求其中的一个，然后再考虑乘以二就行了。 那切割完的这个几何体，我们现在只看哪个几何体呢？ r s， a， b， e， f， 那 我这个几何体我们还要再进行切割，我们怎么做呢？过 b 点做 ar 的 平行线， 这个点我记为 q， 然后再过 q 点做 r f 的 平行线，这个点我记为 n， 那所以说 v， 这个就等于什么呢？等于首先有一部分是 v a， r f 杠 q b， n， 还加上谁呢？那我们看一下，剩下这个 q s， b e n q s， b， e， n， 它我还需要再分割，那它怎么分割呢？你看一下，我连接 s， n， 连接 s， n 的 话，也就说刚才说的那个 q s， b， e， n， 它应该怎么表示呢？它就等于 v s， q， b， n， 加上什么呢？ v， s， b， e， n， 是 不是就等于这样两个三棱锥，那然后我们去求它的体积就行了。那这个三角，这是一个三棱柱，它底面是，它等于什么呢？等于 ab 的 长， a， b 乘 s， 三角形 a， r， f， 加上这个呢？它等于，嗯，三分之一乘以高，其的也就 q s 乘以 s， 三角形 q， b， n， 然后再加上 v s 到底面的距离， v 啊 v， 我 直接写啊，三分之一 d， s 到 b n， e 的 距离乘以 s， 三角形 b， n， e， 那 这里边我们都需要什么算什么？一，它和它一样二三 一。三角形 a， r， f， 二分之根号五，二分之五，二分之五四，那所以说这是二，那所以说你求一下它那个高， 所以说这个高是应该是等于根号下二分之五括号的平方减二的平方，然后你算一下，有了高之后，你就可以把它的面积给表示出来了，而且这个高 也就是你这个等于 d s 到 b n e 的 距离那一结束了，它也可以，它也可以说三，三的话， b n e 更好处理了呀。 b n 是 等于四，这块也是等于四，它是直角，那所以说二分之一乘四乘四。好， 他解决，他解决，他也解决，那体积。最后，哦，这应该是二倍啊，二分之一的它等于这，所以说你看一下这道题，还挺挺好玩的，就是看你空间感怎么样了啊， 好，我们我看一下，我们继续。好。第三，这道题在正三棱柱 abc 这里边点 d 呢，是 bc 的 终点。其实做这样的题你先干嘛呢？先画图，这是我用答案上的图啊，就是，嗯，我其实是不用间隙的啊。第一问，你看一下他 a 选项，要的是问的是 a d 和 a e， c， a， d 和 a e c 它肯定不垂直啊，所以 a 选项肯定错多简单了。第二个， b e， c， e b e c e 和平面 a a e a， a， e d 垂直不垂直呢？肯定垂直啊，因为你这个平面和 bc 是 垂直的，所以 b 选项是对的。 c 选项 a d， a， d 和 a 一 b 一 a 一 b 一 和 a d， 它俩不平行啊，它俩都，你看 a a 一 都在这，那 d 选项 c c 一 和 a a 一 d c， c 一 和它 a a 一 都平行了，所以说这个肯定也是对的 过啊。 好，这道题我们来看一下正方体 a， b， c d 杠 a， 就 这 p 是 上边的一个动点， p 是 动点，首先它说 d， c， d 在 哪呢？ d c 平行于平面 b p d e， 那 d p 和 d c 是 平行的吗？所说 a 选项很简单啊， a 选项是肯定对的， b 选项他说 b c、 e， 我 把这个给擦了，哎，用垫子，好处就在这 黑板我都有时候都不舍得擦擦。 b c， b e c， b e， c 和你的 b p b p， 你 看一下它在哪个平面呢？在这个平面 这里边，你 b、 e， c 垂直于 b c e b e， c 又垂直于 b c e b c e， 所以 说你 b、 e， c 垂直于面 b p c e， 那 所以说 b 选项也是正确的。 c 选项它说你那个体积是定值，我们看一下定不定啊？ p 是 一个动点，那它作为到面 a 一 a， b e， c， 它这个面积是定的，但是 p 到它们的距离是不确定的，所以说 c 选项错误。 d 选项我们看一下，如果这道题你有时间的话，你尽情的间隙设 p 点坐标，然后求这两个面的法向量，嗯，看一下能不能 p 点式的这两个发线量互相垂直，如果你不想没时间的话，咱就考虑没时间的方法就是什么呢？你要是这两个平面垂直的话，用定义的话，也就是说这两个平面它的二面角是等于九十度的，那他俩的二面角你得找他们的交线。我们看一下 b b， e p 这个平面 a a， e p 这个平面， 那它俩交线是谁呢？是这个 p p 一。 那所以说你要求的那个面 b b 一 p 与面 a a 一 p 的 夹角，其实也就角谁呢？角 a 一 p b 一。 那我们看一下，我画一个正方形， a 一 b 一 c 一 d， 它是一个正方形，会不会使得角 p 会使得这个角是等于九十度呢？不存在的，那所说 d 选项是错误的。 继续例四，例四，这道题估计也有好多同学懵啊。来，我们看一下 三棱锥底面斜边长是二倍，根号二的等腰直角，三角形，等腰直角，这，这是我做题的时候差点忘了一个结论。嗯嗯，的条件， s 在 底面的投影是 a c 的 终点，那也就说你这个 s a 和 s c 相等， s a 等于二二，那然后 a、 c 的 长是二倍根号二，这是根号二，那所说根号二，根号二。还有就是，嗯，我们看一下它这里边，哦，等腰直角，对，就是等腰直角，那所说 a、 c 的 长是二倍，根号二的话， ab 根二，二，这段长是二，这段长也是二。还有就是 o a 的 长是根号二。那又有一个什么呢？你看一下你这里边 s o 是 垂直于底面的，所以说 s o 垂直于 o b， s b 的 长度也是二， 那也就是说在这里边三角形 s a、 b 为等边三角形。 然后呢，你这里边我们要求的是谁呢？要求的是 s e 和 c， e 的 动点，动点 e 在 移动的时候最小值。那我们看干嘛呢？就相当于是把这个 s， a、 b 这个平面干嘛呢？给它，哎，平铺过来， 平铺过来，这是你的 c， a， b， 就是 刚才画的这个。我，再我再我擦掉。标一下它的长度关系啊， 这是二倍根号二，这是二， ab 的 长也是等于二，然后 s， a、 b 它是这样翻折，这样翻折过来了， 与 abc 现在放在同一个平面内，它这个翻折过程中不影响 se 的 长度，也不影响 se 的 长度，那所以说这是二二，那你看一下 e 在 ab 上移动的时候，什么时候 se 加上 se 最小呢？就是连线， 那这时候怎么求呢？这是二，这是二，这个角呢，等于九十度加六十度。那你用一下域线定力就可以把 cs 给求出来了啊， 不用我求了吧， c c， s 平方等于啥啥，自己写 好，这是感悟，提升自己看。然后这道题的话，没什么难度啊。它测面积是三派的话，你根据测面积公式算出来，母线长 l 是 等于三的， 嗯，然后 s 三角形 a， 它也是 l 三， ab 半径是一一一，那所以说 s o 的 长是等， s o 的 长等于二倍根号二，那面积等于二倍根号二没问题，所以 a 选项正确。 b 选项侧面展开图的圆心角 阿尔法是等于二 pi， r 比上 l 等于三分之二 pi， 所以 b 选项也对， c 选项，它说由 c 点绕侧面旋转一周之后又回到 c 点，那其实你就把它的侧面展开图给它画出来， 所以说 c 到 c 撇最短距离呢，这就是三三，那然后这段的长，这个是多少呢？三分之二派，你用一下余弦定力，哦，不用余弦定力就正常的求就行了。所以说它等于三倍根号三， c 选项正确， d 选项，它说若 ac 的 长等于根号， ac 的 长是根号二的话，我们会发现，嗯，二，根号二， ab 的 长是二，那所以它的长也是根号那所以说 s 不是 v o， s， a， c 的 体积， 嗯，等一下 v o， s， c， a 的 体积，我们可以把它给轮换。顶点就是等于什么呢？等于 v， s， o， c， a 的 体积。那我们看一下，这时候根号二，根号二，其实也就是说你现在的三角形 a， b， c 是 长这样的， a， b， c 直角 o， 那 所以它的体积就等于三分之一乘以 s， o 乘以 s， 三角形 a， c， o 就 等于三分之一乘二倍根。号二乘二分之一乘一，等于三分之根号二，所以它这个是错误的。 嗯，立五立五这个结面问题啊，很很很很好的一道题。来，我们看一下，边长是一，用 r 法去一个平面， r 法去截正方体，截面面积是 s， 经过了哪？ a 选项，我们看 a 选项经过 b， a 一， c 一， 哎，那正好连线不就是一个平面吗？面解自己求啊。 b 选项经过 b， g， h， 那 这时候你看一下，我们找找结面最经常用的就是平行线或者是延长线， 好过 h 做 b， g 的 平行线正好交于点 d， 而你过 g 点做 b， h 的 平行线也是交于它，所以说这个 结面就出来了。好， c 选项经过 e、 f， g， 还是找平行线，先把它们两个线画出来。那过 e、 f， 过 g 点做 e、 f 的 平行线 a 在 这， 那你看一下这里边，再去做他们的品，除了他还有谁呢？还可以找，在这也有，其实这个估计好多同学直接根据你的，嗯，你，你高中所学就应该能猜到啊，是长这样的一个平面。 那如果你没有想到的话，同学你应该怎么考虑呢？就刚才我们第一个先过你 g 点做 e、 f 的 平行线，做到这 a， 那 接下来要做你 g、 e 的 平行线了。 g， e 平行线在 f 点不好做的话，我们过 h， 所以 有这条线， 那再再做一个，再过他做 e、 f 的 平行线，有他，然后那这些一连就是一个六，嗯，等边六边形啊， 这是 c、 d 选项的话，我们看他说经过了谁呢？ e、 f 第一。那我们看一下 e、 f 连他俩的线在哪呢？在这 这个就要用到延长线了， 它与 d、 a 交于这个点，我记为 a 撇，与它交于这个点 b， 嗯， c 撇吧。 而你看一下中点，中点，所以说其实这个也是连接，就是这样的。哎，这是中点啊，哎，不是中点，错了，错了，错了，错了， 连连。 那然后你看一下这里边，它和它的比值是二比一，所以它和它的比值是一比三，所以说是一个三等分点啊。 a、 b、 d， 好，来看一下这个棱长为 a 的 正方正四面体木块点 p， 在 v a、 c 内过 p 点锯开，使这个平面既和 v、 b 平行，又和 a、 c 平行。那我们还是做平行线，先过点 p， 做 a、 c 的 平行线， 然后再因为你那个平面要和 v、 b 平行的话，那我们过在这条线在这儿中点，然后做 v、 b 的 平行线。哎， 他也做 v、 b 的 平行线。 a， 好， 那也就是他和他都平行，于且等于二分之一 v b， 这是 a， 那 所以二分之一 a， 二分之 a， 他 中点中点，中位线二分之 a， 中点，中点，中位线二分之 a， 所以 就等于二 a， 好，来，我们看一下，这道题也是需要延长的啊，我们看一下，他说的是你这里边 e、 f 分 别是中点过 a， e、 f 做三棱柱， 嗯，它与交面交于点 p。 哦， bc 上交于点 p， 那 我们看一下，还是我先延长 c、 c、 e， 为什么呢？因为你这个 a、 f 延长之后会交到这，这个点我记为 m， 那然后那这个平面就是谁呢？我连接你这个 e、 m 这个点就是 p， 那 我们要求的就是什么 b， e， p 这段的长度， 这段长度怎么求呢？我们看一下，你再延长到 m 点，这时候你 s 三角形 a， 啊，不用 s 了。 a a， e， f 和 三角形 m， c， e， f 是 完全相等的全等三角形。所以说， 所以说你的 m， c， e 是 等于几呢？等于二，二一一。 然后还有什么呢？还有就是你看一下我过 e 点做它的平行线的话， c 一 这个点，我把它记为 n 点，它是等于一。那其实 m p c 一 与三角形 m 一 n 是 相似的，相似比是二比三，那所以说 b 一 c 一 比上一， n 是 等于二比三， 那所以说一 n 的 长是等于多少呢？一 n 等于二，所以说 b 一。 嗯，不是，这是 p c， p c 一 是等于三分之四，那所以说 b p b 一 p 就 等于二减三分之四等于三分之二。 数学美，自己去看吧。好，结束了啊。