矩形折叠模型八下教程

八项数学折叠问题，你不能不会的斜着公式，折痕公式他来了，像这样的求折叠之后的折痕的长度的问题，如果用常规方法呢，你需要用两到三次的勾股定力来算，而且还需要去做辅助线，中间很有可能出错，但是呢，如果用这个折痕公式，直接一个式子就可以除 答案。好，那这个公式就是折痕长度，它等于这个矩形的宽，除以矩形的长，再乘上矩形的对角线就可以了。好，那我们来用一下啊，这道题告诉我们，这个矩形的长 a， d 等于九，宽 a， b 等于三厘米，那么折叠之后呢，这个点 d 和点 b 是 重合的，那注意，我们这个折痕公式呢，它一定是在折叠之后，对角顶点重合的情况下才能使用的。好，那我们来用一下这个公式，折痕 e f， 它应该等于这个矩形的宽三，除 以矩形的长九，再乘上矩形的对角线，应该是根号下三平方加九平方。好，那么计算一下，就是三分之一乘上这个根号下是九加八十一，也就是根号九十，那么也就是三倍的根号十三和三一约分，最后答案就是根号十， 所以这个折痕 e f 的 长就是根号十，是不是秒出答案？好，这个小公式非常好用啊，所以说同学们一定要记住，你可以不用，但是你一定得会。 你设想一下，考场当中出了这样一个选择题或者是填空题，本来你用这个公式呢，一分钟就可以把这个答案写上去，继续下一题了，但是如果说你不会的话，你只能用常规方法。好，常规方法我也给你演示一下啊，常规方法的话，你要求出 a e、 d e， b f c f 的 长度， 那么咱们先设这个 a e 为 x， 那 d e 就是 整个九减去 x， 也就是九减 x， 那 折叠之后， b e 和 b e 的 长度是一样的，所以 b e 它也是九减 x。 那 么在这样一个直角三角形当中，因为这是矩形九十度，所以说在这个直角三角形当中呢，你可以用勾股定律来列示，也就是三平方加上 x 平方等于九减 x 的 平方，两个直角边的平方和等于 于斜边的平方。好，那么解开这个方程呢，我们可以得 x 等于四，那么这个 a e 就 等于四， d e 呢？九减 x 也就是 五，这个 b e 也是五，那么同样的方法，你也可以设 c f 为 x， 那 么 b f 就是 九减 x。 同样的，在这个直角三角形当中，运用勾股定律，你也可以求出这个 c f 等于四， b f 就 等于 五。好，那接下来呢，你要求 e f， 那 么你得把它也装在一个直角三角形当中，那么就要去做一个辅助线了。来，我们过点 e 往这个 b c 上面做垂线，垂足为点 h。 好 了，那么这个 e f 就 被装进了一个直角三角形 e h f 当中，其中呢， e h 等于 ab 等于三，而 h f 呢，等于五减四，也就是一。好，那么现在根据勾股定律， e f 应该等于根号下三的平方加上一的平方， 也就是根号十，这样才能求出答案，所以说这个公式是不是非常的省时间呢？同学们，好了，最后别忘了关注小七老师，带你学习更多有用的数学技巧。

好，我们继续来学习第一百页关于剪接与拼接的问题啊。首先第一题告诉的是如图，将一张矩形的纸片 a、 b， c、 d 按照以下的方式进行两次折叠， 首先第一次是将 a、 d 沿着我们的 dm 这条边啊，折叠到我们的 d a 撇的位置，折痕是 dm， 那这个时候形成的实际上是一个呃，四十五度的角，直角的一个角平分线啊，四十五度，所以这里面的 a、 d、 m 包括我们的 d a 撇 m 这两个三角形应该都是等腰直角三角形，四边形 a d a 撇 m 就 应该是一个正方形。 接着第二次又是将我们的嗯右侧的 bcm 这样一个三角形沿着 mc 进行的一个折叠，并且折叠之后的这个地方的 mb 刚好是落在我们的 mb 撇，也就是 dm 所在的这条线段上 啊，那这个时候给的是 ad 的 长度是等于一的，也就是矩形的边长宽是等于一的，让我们求的是 ab 的 长度，也就是矩形的长， 所以借助第一次的这个翻折，得到的是等腰直角三角形以及正方形，提供的是有等量关系的。另外，第二次折叠带来的是同样的啊，边和角的等量关系， 因为在第一次折叠之后提供的地点这是有四十五度的，加上我们的第二次折叠提供的直角，所以带来的是有一个特殊形 c， d， b 一 撇应该是一个等腰直角三角形。 好，那目前我们能确定的啊，就是有一条边长为一，那 bc 是 一，它和我们的 ad 是 相等的，进而也就得到 c b 一 撇是一，那 c b 一 撇是一的话，往型里面放是一个等腰直角三角形，所以这样的话就可以得到 dc 的 长度，就应该是等于根号二的， 那 dc 一 旦等于根号二，接着我们的矩形的对边的平行且相等，得到 ab 的 长度应该是等于根号二的 好。当然方法是不为一的啊。另外一个也可以借助我们的这个，嗯，第二次翻折， cm 是 角平分线，平分这个地方的角 bmd， 也就是这样的两个角相等， 借助平行倒角，那么我们的 cmb 这个角是可以内错角到我们的角 dcm 的 位置，从而可以得到 cdm。 应该是啊， dcm 应该是一个等腰三角形，那这个时候的 bm 是 我们的等腰直角三角形的斜边是根号二，所以记住，等腰三角形得到目标的根号二也是可行的。 好，接着我们来看第二题。好，第二题如图，三角形 abc 中 g 点和 f 点分别是 ab 和 bc 边上的中点，两个中点，我们可能会去想中点的中微线的用法， g、 f 可以 形成中微线，对应的是等于 ac 的 一半，如果需要可以去连线。 接着给的是 d 点和 e 点，分别是在我们的 a、 c 边上的满足， a， b 和我们的 a、 c 是 相等的，这是一个等腰三角形边，等也能够提供他的两个底角是有相等的关系。 好，然后呢，接着给的信息是，呃， a d 是 等于两倍的 e、 c 的， 最后要求的是比值，所以做一个选填的题目，那具体的线段长度等于多少，对结果应该是没有影响的。那我们不妨假设较短的这条边 c、 e 的 长度为一， 那这样的话， a、 d 的 长度就应该是等于二的好，然后呢，接下来它是将我们的这个三角形分成的四个部分，一、二、三、四四块，并且这四块恰好能够拼成图二的一个矩形。 矩形它特有的性质的话，就是首先是四个直角，那这四个直角反映到我们的这个图一里面，比如说角一，它是一个直角三角形， 所以在这个地方啊， d、 f 和我们的记忆形成的这个交点的位置应该是有直角啊，带来的这四块应该都是有一个角是直角，也就对应的是我们的图二中的啊，矩形的四个直角 好，然后呢，接下来就是边的等量关系，重点看这两个图形之间的这种联系啊，比如说一图形一，图形一反映到图形二，就是这个位置啊，那这个时候他的两条直角边，我们可以假设为，比如说记作 a 和 b 的 话，短直角边为 a， 长直角边为 b， 那这个时候就需要注意，就是 a 这条直角边，在我们的二这个图形里面，它是较短的那条直角边，所以找到二这个图形里面较短的直角边，也就是这个地方啊，也是 a， 也就是矩形的宽，就应该是二 a， 好，同样的，这个地方的 b， 他 也是我们的下面啊，四图形四的一个长直角边，所以找到图形四的长直角边，那他应该也是 b， 所以 矩形的长就应该是两倍的 b， 好， 那同样的啊，这个地方的这个在用的时候还有我们的三和四 好，那这个地方既然两个都是 a， 注意来观察，就是这个地方的三好三里面，其中有一条直角边是 b， 另外一条直角边是这个地方，假设焦点为 o 点吧，也就是 o f。 好， o f 这条线，所以三的啊，另外一条这个短直角边就是 o f 啊，比如说这个是 o f 的 长度啊，那 o f 的 话，也是我们的四这个图形的一个短直角边，那找到图形四短直角边，所以这段长和我们的 o f 是 相等的，也就是这个地方啊，右侧的这两段长对应的都是图形 e 里面的 o f 这一段， 所以这两段长是相等的，又是中点，所以这两段长都是 a。 好，同理的话，我们的二和三，二和三也是有一条公共边相等，也就是 o g， 反映到图形二里面，就是这样的两段长，应该是都是 o g 的 长， 从而得到这两段长应该都是等于 b 的， 所以再把它还原到我们的图形一里面来，因为我们是借助矩形的对边相等，得到它是两倍的 b， 然后又得到三和四的两个长直角边是相等的，所以两段长都是 b， 反映到图形里面就是 o g 的 长度是等于 b 的。 同理的话，刚刚我们分析的三和四这两块的短直角边是 a， 三和四的短直角边是 a， 也就是 o f 的 长度为 a， 所以 这里面提供的信息就是我们的 d f 和 g e 是 有相等且啊，不，呃，是有垂直且互相平分的性质。 好， d f 和我们的 g e 是 垂直且互相平分，那这样的话带来的是四边形，也就是 f g d e， 它应该是一个菱形啊，连接此时的 f g， d e 啊，这个四边形，它应该是一个菱形，对角线互相平分 且垂直啊。 d e， f g 是 一个菱形啊，菱形能够带来它的四条边都是相等的啊，那四条边都相等，比较特殊的就是刚刚有条根提杆条件提供的 g 点是中点，中点得到 g， f 是 平行且等于 a c 的 一半 好，那这个地方的 g f 又和我们的 d e 是 相等的，从而得到 d， e 是 等于 a c 的 一半，而 a c 的 长度是等于 d e 加二加一，也就是 d e 加三，等于两倍的 d e， 从而得到 d e 的 长度就应该是等于三的啊， d e 的 长等于三啊， 也就得到啊，这个 a c 是 等于两倍的 d e 啊，也就等于 也就得到三。加上第一等于两倍的第一，第一就是三。第一一旦等于三，就得到这个菱形的边长就应该是等于三的 啊，菱形的边长都等于三。另外一个就是我们的体干条件，还有一个 ab 和我们的 ac 是 相等的，那就都等于六，那进而 g 点是中点，也就得到 ag 和我们的 bg 长也都是等于三的。那这里面就有一个特殊的信息，就是 g a 啊，注意来观察啊，就是此时的 g a， 它是等于 g b， 同时等于 g d 好， 也就是从 g 点出发的 g a， g b 和 g d 都是相等的，引含的有一个特殊信息连接，此时的 b d， 反用斜边中线可以得直角， 也就是两个等腰，两个 r 角，两个 b， 它角二， r 加二 b， 它等于九十度啊，啊，等于一百八，从而得到 r 加 b， 它等于九十度，也就得到 b d 和我们的 a c 是 有一个垂直的位置关系啊。所以反用斜边中线啊，得到 r t 三角形 abd， 好，一旦得到它是直角三角形，接下来进行勾股的计算， ab 的 长是等于六的， ad 的 长是等于二的，所以在我们的直角三角形中就可以得到 b、 d 的 长度好，它就应该是等于四倍的根号二。 好， b、 d 一 旦出来之后，接下来我们就可以去在我们的 b、 c、 d 中求 b、 c 的 长度，因为目标代求的是 d、 f、 d 点，这个地方是直角三角形， f 点是 b、 c 的 中点，所以 d、 f 是 直角三角形，斜边中线等于斜边一半，所以求 b、 c 的 长度啊。 所以接下来在 b、 c、 d 这样一个直角三角形中，首先是勾股定律得到对应的 b、 c 的 长度应该是等于四倍的根号三，然后借助斜边中线等于斜边一半， d、 f 是 等于 b、 c 的 一半，也就是二倍的根号三 啊。另外一个求记忆的长度啊，那记忆的话，这个是，嗯，距菱形的一条对角线啊，也就是要求这个记忆的长度，那要求记忆的话，可以转化为求它的一半的长度， 那它的一半就是求 b， 那 因为 d、 f 已经知道了是二倍的根号三，那对角线互相平分，得到这个 o、 d 的 长度就应该是 d、 f 的 一半，也就等于根号三。那接下来就是在我们的 r、 t 三角形 d、 o、 e 中 啊，利用勾股定律就可以得到 o、 e 的 长度，应该是等于根号六的啊，那得到根号六之后啊，从而就可以得到我们的 g、 e 的 长度啊，我们就放在左边那 啊。接下来就是得到我们的 g、 e 的 长度，就等于两倍的 o e， 也就等于二倍的根号六，从而得到目标带求的 d、 f 比上 g、 e 的 长度， 那 df 的 话刚刚已经计算过啊，是二倍的根号三，然后呢， g， e 的 话是二倍的根号六。化简之后的结果，根号二分之一，也就是二分之根号二，目标的两条边的一个 b 值二分之根号二。 所以关键的啊，找到图一和图二之间的这种联系，从图一到图二，找到等量关系，再反用图二的图形图形来得到图一中的等量关系。后面啊，就是一个是反用斜边中线得直角，另外一个斜边中线等于斜面一半，以及勾股计算啊， 好，接着我们来看第三题。第三题是将一个矩形的纸片 m， n， p， q， 把它按照如下的操作进行折叠，第一个将它的一个端点啊，一端 n， 然后呢沿着 a， m 进行一个折叠，折叠之后形成的是有一个正方形 a， b， m， n。 好， 接着在图二中把这个正方形把它展开，展开之后沿着 c， d 折叠成两个全等的矩形。 这个题目最后也是要求边的比值，那这个时候我们不妨假设这个地方啊，第二个得到的两个全等的矩形，他们的呃宽为一，那他们的长就应该是等于二的，正方形的边长就应该是二。 接着再把这个纸片展开展开之后啊，折出内侧的矩形 a， b， c， d 的 对角线。好，那这个时候的对角线是可以求的，也就是两直角边长分别是一和二，那么对角线的长度 b， d 就 应该是等于根号五的。 好，接着把 b、 d 折叠到我们的 d， e 的 位置，那么在这个折叠的过程中， d， b 就 应该是等于 d， e 的，是等于根号五的， 然后呢，接下来是按照如图啊，把它展开之后得到的这样的一个 e f 再做 e f 啊，那做完之后得到矩形 a e f b。 好， 那这个矩形实际上对应的就是一个黄金矩形，此时的 a e 和我们的 ab 的 一个比值，好反映到第三个图形里面， a e 的 这段长度，它应该是等于 d e， 然后呢，减去 ad， 好进行共线运算啊，他应该是等于 d b， 减去 d a， d b 的 长度是等于根号五的， d a 的 长度是等于一的。 好，那这样的话，另外一个就是 ab 的 长度是等于正方形的边长是二，好，从而得到目标的两条边的比值， a e 比上 ab， a e 的 长度是等于根号五减一， ab 的 长度为二，所以最后得到的结果就是二分之根号五减一，实际上也是我们一个黄金分割的这样一个数据啊。 好，所以这个地方啊，重点是分析出来这里面折叠带来的等量关系啊，尤其是边的等量关系后面啊，就是一个常规的一个勾股计算啊。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天继续来学习初中数学几何模型，今天学习的是第二十九个模型，矩形的翻折。 本视频的题目来自万维初中数学几何模型，需要购买视频同款学习资料的同学，这里可以按下暂停键查看购买的方法。 好，咱们一起来看一下这个模型啊，那么矩形的折叠这部分内容啊，在我们学习啊轴对称这部分的时候会经常遇到哎，当然了，在我们学习四边形啊，学习矩形的时候，也是经常出现的一类题型。 好，咱们一起看一下已知条件在矩形 a、 b、 c、 d 中啊，这个矩形就是我们通常所说的这个长方形啊，以对角线 a、 c 为折痕折叠三角形 abc 点 b 的对应点为 b 一撇，哎，就是把这个长方形啊，沿着这个对角线 ac 给他折叠过来，点 b， 折叠以后，他跑到了 b 一撇这个位置。 好，那么在这个前提下，就有几个结论了。首先第一个，三角形 a、 b、 c 全等于三角形 a、 b 撇 c， 哎，就折叠前后的这两个三角形是全等的。 第二个结论，折痕 a、 c 折痕也就是这个对角线 a、 c 了，因为它是沿着 a、 c 折叠的啊，折痕 a、 c 垂直平分 b、 b 撇， 也就是 a、 c 所在的这条直线呀，它应该是这个线段 b、 b 撇儿的垂直平分线哦。第三个 结论，三角形 a、 e、 c 是等腰三角形。哎，这个三角形 a、 e、 c 这个点 e 呢？它是这个啊， a、 b 撇与下面这个 c、 d 这条边的一个焦点哎，三角形 a、 e、 c 是等腰三角形。 好，那么我们接下来看一下这几个结论啊，是如何得出来的。好，我们来看，首先第一个 三角形 abc 全等于三角形 ab 撇 c， 那这个其实很好理解，这折叠前后嘛，这两个图形肯定是全等的了啊，哎，因为他俩是成轴对称的。那这里如果想证明的话，其实也比较简单，因为折叠前后，你看这个 ab， 他折叠以后啊，跑到了 a b 撇这个位置，哎，所以呢，这个线段 a b 和 a b 撇这两条肯定是相等的，同样道理， 这个 bc 它和这个 b 撇 c 肯定也是相等的。好，那么这个角 a b c 和这个角 a b 撇 c， 哎，它俩肯定也是相等的。哎，所以呢，我们利用边角边这个判定条件，就可以判定出这两个三角形是全等三角形了。 好，这里啊，光有一个全等啊，其实记住这个结论还不够，我们发现如果他俩全等的话，他还有一些角的一些等量关系，哎，比如说这里上面这两个啊，哎，这两个角一和角二肯定是相等的， 这里既可以利用轴对称的知识来解释，也可以利用全等三角形的知识来解释。好，角一角二相等，那下面肯定还有两个等角呀，哎，那么这个角角角三，这个角三呢，和这个角 a c b 撇，他俩肯定也是相等的。好，那所以啊，我们在得到全等三角形这个结论之后啊，他的对应边啊，对应角相等这些结论，那当然也是需要我们一定一并把它记住的啊。 好，进来看。第二结论，折痕 ac 垂直平分 bb 撇。这里首先如果利用轴对称的知识，这个 b 和这个 b 撇肯定是关于 ac 对称的，那如果对称的话，我们当时啊，就有这样的一个结论啊，哎，那这个 ac 就应该是 bb 撇的垂直平分线， 如果想证明的话，其实难度也不大，我们刚才得到了这个 a、 b 和这个 a、 b 撇儿相等啊， a、 b 等于 a、 b 撇儿，那说明什么呢？说明这个点 a， 它到线段 b、 b、 b 撇的两个端点距离相等，因此这个点 a 一定在这个线段 b、 b 撇的垂直平分线上。好，同样道理，这个 b、 c 又等于 b 撇 c， 哎，那说明这个点 c， 它也一定在线段 b、 b 撇儿的垂直平分线上。根据两点确定一条直线，既然 a 和 c 都在线段 b、 b 撇儿的垂直平分线上，所以这个直线 a、 c 肯定就是线段 bb 撇的垂直平分线。好，这里呢，还可以利用全等三角形来进行证明。比如说我把中间这个焦点啊，哎，我给他设一个点 f， 哎，那很显然，我 我可以证明这个三角形 a、 b、 f 应该是全等于三角形 a、 b 撇 f 的，哎，它俩肯定是全等三角形了，哎，因为呢，这有 a、 b 和 a、 b 撇相等，中间 a、 f 是公共边角一和角二相等，哎，所以我利用边角边就可以证明了。 好，这两个角如果相等的话，那中间这两个啊，角 a、 f、 b 撇，哎，和上面这个角啊 a、 f、 b 他俩肯定相等啊，是对应角的， 同时他俩又互补啊，哎，所以他俩就肯定都是九十度，哎，所以这里就垂直了，哎，那么同时根据全等我这个 bf 啊， bf 和这个 bpf 也相等，那所以就是又垂直又平分，所以咱怎么都可以证明这个结论啊，所以他也可以好第三个结论，这里要注意啊，第三个结论呢， 是比较容易被我们忽视的一个结论，咱们一起来看一下三角形 aec 是等腰三角形，这个是怎么证明的呢？我们刚才已经分析过了，角一和角二是相等的， 同时呀，这个四边形，因为它是一个长方形呀，它的这两条对边，也就是 a、 b 和这个 c、 d 肯定是平行的，这样一来，这个角一肯定还等于角三，哎，这是两直线平行内错角相等 好，因此我们就得到角一和角二相等，然后呢，角一他又和角三相等，这样的话，是不是角二就应该是和角三相等的 好，角二和角三相等，你看这个角二和角三就是三角形 a、 e、 c 的两个内角，哎，根据等腰三角形的判定等角对等边， 所以呢，角二和角三如果相等的话，我们就应该得到你这个 a、 e， 他就应该等于 c e 等角对等边，哎，所以啊，这个三角形 a、 c、 e 就是一个等腰三角形， 这个结论呢，有的时候容易被我们忽略啊，哎，他呢，又有这个折叠的轴对称，同时又利用了一个平线的有关的一个知识来判定的等腰三角形。 好，那这几个结论啊，咱们给它证明完毕之后啊，其实呢，我们在解决这个啊长方形的折叠问题的时候，还有一个小的技巧，大家注意观察这个三角形 a、 d、 e， 哎，它呢，应该是折叠之后产生的一个新的直角三角形， 那么我们往往可以在直角三角形当中啊，利用勾股定理，哎，列出方程来求有 关的边长，因为如果告诉我们 a d 这条边的长度了，又告诉我们 c d 这条边的长度。哎，那这个 d e 和这个 a e 啊，我们都能求出来，因为什么呢？这个 d e 它加 c e 是等于这个长方形的长。 哎，那同时呢，我们刚证明出来，这个 c e 和 a e 也相等。哎，所以这个 d e 和 a e 的和我们也可以表示出来。 我如果设第一位 x， 那么我们就可以用 x 表示 a e， 这样的话呢，在这个三角形 a d e 当中，通过勾股定理就可以列出方程来进行求解了。好，那具体的解题技巧，咱们通过例题来和大家一起来进行练习。 好，咱们看一下啊，关于这个模型的一些典型的例题。首先这个啊，八十六页的第二题， 如图，将矩形纸片 abcd 放入平面直角坐标器中，这里如果有没有学过平面直角坐标器同学也没关系啊，我们就把它当成一个普通的一个图形题去求有关的线段长度就可以了。好，边 bc 在 x 头上，并且过圆点连接 od， 将纸片沿着 od 折叠，使点 c 恰好落在边 ab 上的 c 撇处。哎，他是沿着 od 来折叠的。至于这个点 o 到底是不是 b c 的终点，咱们不知道，已知条件当中也没给。哎，反正呢，他就是沿着 o d 来折叠的 o 呢，我们现在目前知道的信息只知道啊，这个 o 是 b c 边上的一个点哎， o d 呢，是它的折痕折叠之后，这个点 c 落到了 c 撇这个位置，那这个 c 撇刚好又在 a b 这条边上。好，已知条件当中还给我们了整个这个 a、 b 的长等于十，因为这边有其他的线呢，我把它写在外面一点啊，哎， a、 b 的长等于十， b、 c 的长等于六，哎，我给它写下边，好， b、 c 是六， 求 c 撇的坐标，没学过坐标也没关系，这里相当于啊，只让我们求出线段 bc 撇的长。 还有一个就是让我们求出线段 o、 b 的长，你看，我只要把 b、 c 撇的长和这个 o、 b 的长分别给它求出来，那么 c 撇的坐标我们就明确了， 所以没学过坐标，我们就把它当成一个啊，普通的一个求线段长的问题就可以了。好，那这个问题我们应该如何来解决呢？首先我们来观察 啊，根据折叠有关的性质，或者说根据咱们刚才所学的这个模型，折叠前后的这两个三角形呀，肯定是全等三角形，哎，那么也就是说三角形 ocd， 他应该是全等于三角形。 o、 c 撇 d， 哎，他俩肯定是全等的，哎，因此呀，这个 c、 d 和这个 c 撇 d 肯定就应该相等，所以 c 撇 d， 他就应该等于 c、 d， 那么 c、 d 的长呢，肯定和 a、 b 相等呀，哎， c、 d 的长也是十，哎，所以这个 c 撇 d 的长呢，它就等于十啊， c 撇 d 等于十，我给它标在这儿吧，啊，它长度是十。 好，我们继续来观察这个 a、 d， 它和 b、 c 的长度肯定相等，哎，所以 a、 d 的长度呢，就是六，哎，那这里有一个直角，哎，因此呀， 在这个直角三角形啊， a、 c 撇 d 当中，我是不可以利用勾五定理了，一条斜边长是十，一条直角边长是六，因此另外一条直角边长，也就是这个 a、 c 撇，它的长度，我利用勾五定理就可以给它求出来了， 他应该等于根号下十的平方减去六的平方。哎，因此呢，就应该等于八。 ac 的长等于八，那也就意味着这个 bc 撇的长度呢，就等于二，因为总长度是十嘛。好，那第一个问题我们解决了啊， bc 撇的长，他就等于二。 好，接下来我们还要求一下， o b 的长是多少？ o b 的长在这。哎，你看啊，这里啊，在这个直角三角形 b o c 撇当中，它是一个折叠以后才出现的一个新的直角三角形，哎，这里是一个直角，那我们刚才和大家说了，可以在这个直角三角形当中呀，利用勾股定理，我们来列方程。 好，他现在啊，要求的是 o b 的长度，我就设 o b 的长度为 x。 好，那接下来我只要用 x 把这个啊 o c 撇给他表示出来，那这里呀，就可以列方程了。 好，根据折叠的这个性质，这个 o c 撇的长度呢，肯定是和 o c 的长度相等的。哎，因为这两个三角是全等嘛，哎，他俩是对应边， 因此我只要表示出 oc 就可以了。那 oc 的长怎么用 x 表示呢？是不是整个 bc 的长是等于六，这是已知条件， o b 的长又等于 x， 所以 o c 的长就应该等于六减去 x 好， o c 是六减 x， 那么这个 o c 撇，它的长度肯定也是六减去 x。 好，因此我们在这个直角三角形 b o c 撇当中。 好，根据勾股定理，两条直角边的平方和，那么也就是 x 的平方加上二的平方，应该等于斜边的平方，斜边是这个六减 x， 你看，这样啊，我就列出一个关于 x 的一个方程了，有的同学说呀，这个含有平方的这个方程我没学过呀，是吧，那这方程怎么解呢？没关系，注意看啊，等号的右边，我们可以利用完全平方公式把它打， 打开之后呢，他也会出现一个 x 的平方，那左右这两个 x 平方是不是就消掉了呀？好，就是 x 平方加四，这个等于这边呢，应该就是三十六首平方减去几的二倍，那就是十二 x， 再加上尾平方 x 平方。好，这样一来，这两个 x 平方我就直接给他消掉了，所以呢，他就可以转换成一个一元一次方程了啊，哎，这里求来呢， x 应该等于啊，十二分之三十二，剩下再同时除以四，就等于三分之八。 哎，所以啊，这个 o b 的长度就是三分之八，写到这为止，没有学过坐标系的同学就已经算完成任务了啊，那学过坐标系的同学也没关系啊，那不就求个 c 撇的坐标吗，它在第二象限啊，哎， o b 的长，是啊，三分之八，所以呢，点 c 的横坐标一定是负的呀，所以呢，横坐标就是负的三分之八。好，那么重坐标呢，肯定就是 b c 撇的长， b c 撇的长度是二，哎，因此它的坐标就是负的三分之八和二。 那么这道题啊，咱们就给他解决了，他是一个利用矩形折叠模型来解决的一个求有关线段长度的问题。哎，用到了一个勾股定理和方程的这样的一种解题思路。当然，前提你得对这个模型比较熟悉，你得能把有关的边。 哎，用含有未知数的癌啊，这个，这个柿子呀，来给它表示出来，这样的话，你才能顺利的列出方程，求解。好，那这道题啊，咱们就一起练习。到这里，我们再来看下一个八十五页的利益。如图，在举行 a b c d 当中， a b 等于三 bc 等于四点 e， 在 cd 边上将三角形 bce 沿着 be 折叠，点 c 落在了点 f 处啊，它俩是一对对应点 好 b f 和 e f 分别交 a d 与点 m 和点 n， 并且还告诉我们这个 m n 和这个 n e 相等。哎呀，这个条件好像比较少见啊，哎，它俩是相等的。 好，继续，他现在让我们求这个线段 o m 的长度应该是多少啊？这里首先一看啊，这个 a m 呀，应该是在这个直角三角形 a b m 当中的，我如果能在这个三角形当中啊，利用格偶定理来立个方程，哎，我就可以求出 a m 的长，这跟刚才那个姐姐是不是比较类似啊？好，但是这道题呢，有一个问题，我如果设 a m 的长为 x， 那么这个 b m 的长我该如何表示呢？这个呀，是这道题的一个难点， 我们还是得首先从已知条件入手，他给了一个 m n 等于 n e， 这个已知条件，我们应该如何来进行利用呢？好，我们注意观察啊，点 c 经过折叠跑到了点 f 这里，所以角 f 啊，他应该，这里应该是一个直角，哎，他应该和角 c 的度数是相等。 好，那么角 d 这里也是一个直角，哎，这两个直角相等，然后 m n 呢，和这个 e n 又相等，然后这两个对顶角是不是也相等呀？因此啊，这两个小的直角三角形应该是全等的啊，也就是三角形，这个啊， m f n 应该是全等于啊，三角形 e d n， 哎，这两个三角全等，因为有两角，还有一边啊，那就是 a a s。 好，这两个三角形全等之后我们来看，那是不就意味着这个 f n 和这个 d n 应该就相等了？哎，所以 f n 等于 d n， 那这个结论对我们解题有什么帮助呢？注意看啊，这里的 mn， 我已经标上一道杠了，这个 dn 呢，我标了个两道杠。 好，然后这个 e n 是一道杠，这个 f n 又是一个两道杠，那是不是意味着什么呀？这个 d m， 它的长度应该是和 e f 相等的啊，这里如果写的话，我应该怎么 怎么写呢？是不是这个 f n， 它加上一个 e n， 哎，就应该等于这个 d n 加上一个 m n， 这里利用的是等式的性质，哎，因为 f n 等于 d n， 这个是我们刚刚得出来的一个结论。 好，然后这个 m n 等于 e n 呢，这是已知条件，在这个等式左右两边加上两个相等的量，等式依然成立。好，那这个两个线段之和， f n 加 e n 就应该等于 e f。 好，那这边呢， d n 加 m n 就应该等于 d m， 哎，所以我得到了一个这样的一个等式。好，同时我们根据折叠的性质呀，这个 e f 还等于谁？ e f 是不是应该等于 e c 啊？哎，所以呢，就告诉我们，这个 d m， 它的长度就等于 e c。 这个条件 对我们解题还是挺有用的啊，因为这个 e c 啊，我们是可以想办法来给他表示的，因为他呢，是在整个 c d 这条边上啊， 哎，在这条边上的话，那我们可以想办法去利用这个啊， cd 它的长度，哎，但到目前为止啊，好像跟这个 am 好像还没有扯上什么关系。 那么从这个角度来讲啊，我们可以考虑暂时不设这个 am 为未知数啊。那么我们设谁为未知数，对于解解这道题来说比较有好处呢，你看， e， f， d， m， c e 它们的长度呀，都是 x， 所以啊，我不妨先设 c e 的长度为 x， 哎，这样的话，可能对我的解题会有一定的帮助。好，我们来看，如果我设 c e 的长度为 x 的话，我们先一 一步一步的来 c 如果是 x， 那么这个 c d 的长是三，这是已知条件。所以呢，这个 d e 的长应该就是三减 x， 好写下面啊，哎， d e 的长，它等于三减 x 好， d 的长，如果是三减 x， 那这个 d 跟谁相等呢？它肯定是和 f m 相等的，因为这两个小三角形全等呀，哎，所以呢，这个 f m 就也等于三减 x， 好，这个我给它标在这啊，在这里，它等于三减去 x， f m 如果等于三减 x， 那是不是这个 b m 我们就可以表示了呀？哎，因为呢， b m 它的长，它等于 b f 减去 f m 好，那么 b f 的长是不是应该和 b c 是相等的呀？哎，这也是折叠的这个性质呀， b c 和 b f 相等，所以 b f 的长度等于四， 好减去 f m 我们刚表示出来，它等于三减 x， 那就是四减去括号三减 x。 哎，所以这里算出来，应该是等于 x 减一，所以 b m 我们表示出来了啊，它是 x 减一。 好，现在 b m 有了，我这样画一个括号啊，表示是这段的长啊，哎， x 减一， b m 有了，现在是不是我需要去表示这个 a m 了？ a m 怎么用 x 表示呢？这个 a m 它呢，应该是等于 a d 减去 d m。 好，那么 a d 的长度应该是多少呢？ a d 的长啊， 应该是等于四，哎，所以它就等于用四减去一个 d m 的长是多少呀？ d m 长在这儿啊， d m 长是 x， 哎，所以呢， a m 的长我就可以表示为四减去 x。 好，那现在啊，在这个啊直角三角形当中啊，我就可以利用这个勾五定理来列方程了。 好，刚才这个地方有地方错一下啊，这个地方不是 x 减一，应该是 x 加一啊，这里出现了一个简单计算错误啊， x 加一，哎，这个括号打开吗？应该是正义啊，哎，这里就是 x 加一。 好，现在我们在这个直角三角形当中来列一下方程， a b 的平方加 a m 的平方等于 b m 的平方。哎，那么也就是说呢，这个三的平方加上 a m， a m 的长是四减 x 加上四减 x， 括号的平方就应该等于斜边，也就是 x 加一的平方啊，列出这个方程之后，接下来我解一下这个方程啊，同样道理啊，我们只要把这个呃 四减 x。 好，那具体的这个计算的过程啊，大家呢，可以自行去完成一下，可以按下暂停键啊。好，这里解出来， x 应该是等于五分之十二。 好，注意，我们这的 x 设的是 c e 的长啊，他不是我们最后要求的这个 a m 的长， a m 的长啊，我们是用四减 x 来表示的啊，所以最后啊，写这边吧。啊，好，所以最后 a m 的长就等于四减 x， 也就是四减去五分之 十二，哎，那么就应该等于五分之八。好，所以最后的答案应该就是 c 选项。 所以啊，这个题啊，在咱们举行折叠这个问题当中啊，属于有一定难度的题型，因为啊，他又把折叠的性质和全等三角形有关的知识给他结合起来了，这当中涉及到的线段之间的关系会比较多一些， 那我们在啊设未知数列方程的过程当中，可能需要一定的解题的技巧。好， 今天的这个模型就和大家一起学习，到这里我们题册当中关于这个模型还有更多的习题，大家可以自行进行练习， 我们下节课和大家一起来学习终点四边形模型，欢迎大家收看。如果喜欢我的课程，请关注明老师初中数学课堂。如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！

初中几何模型之勾股定理这一讲我们一起来学习。巨型翻折模型难度，星级，三颗星巨型翻折模型是指我们在题目中会遇到巨型翻折折叠的问题， 我们先来看翻折的性质。一、翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，折痕是轴对称对称，轴对应点的连线被折痕垂直平分。 第二点，折叠前后的两部分图形全等对应角，对应线段面积都相等。解决巨型翻折问题，我们要注意以下两步，第一步， 利用折叠和句型性质找出线段之间的关系。在折叠后形成的直角三角形中设未知数，利用勾股定理列方程求解。 首先呢，我们先要找条件对应线段对应角面积这些条件关系，找出关系以后，我们再利用直角三角形勾股定理列方程求解。来看今天的立体 如图，在进行 abcd 中， ab 等于三， bc 等于五。在 cd 上取一点一连接 be， 将三角形 bce 沿 be 折叠 点 c 恰好落在 ad 边上的 f， 点出点 ce 的成为。 我们来看，将三角形 bce 进行了折叠， 我们将题目中的条件标在图上， ab 等于三，嗯， bc 等于五。那么经过翻折以后呢，我们会发现线段 bc 它是等于 bf 的。 我们经过题目中给定的线段长短的条件， 进一步推算出，在直角三角形 baf 中， af 等于四， 嗯， ft 五减一等于一。这个时候我们可以根据地方程求解，嗯，设 ec 的长度为 x， 那么 f e 也等于 e c， 所以 f e 为 x， d e 为三，减去 x。 这个时候我们在直角三角形 e d f 中 我们可以列出一个勾股方程，那么 x 的平方等于一的平方，加上三点 x 整体的平方，最后我们解得 x 等于三分之五。 我们来看第二题。如图，将长方形 abcd 沿 e、 f 进行折点，点 c 恰好落在 ab 上的 c 票处，若 ab 等于六， bc 等于九，则 bf 的长尾 文根据题目标出长度线段的长度。那么进一步我们可以得到 cpb 等于 ab 的一半，等于三。 这个时候我们可以设 bf 为 x， 由 bc 等于九，那么我们可以得知 fc 等于九减 x， 又因为 fc 它是等于 cpf 的，因为它是翻折过来的，对应线段 相等。那么在直角三角形 cprbf 中，我们可以列出一个勾股方程，三个平方加 x 个平方等于九，减 x 整体的平方，最后解得 x 等于四，所以这道题最后的答案为 a。 那么我们再次要强调一下翻折问题，一定要注意，折痕为对称折，翻折前后图形全等，对应线段相等，面积相等。 抓住这几个相等，我们就可以将对应线段的关系找出来。最后根据 直角三角形勾股定理，设未知数列勾股方程求解。好，这就是这一讲的所有内容，我们下一讲再见！

八下数学折叠问题，你不能不会的斜修公式，他来喽，就是折痕公式，我们来看如图，矩形 abc 得，它的长为九厘米，宽是三厘米，将其折叠，使点得与点 b 重合。那么折叠后问你 b f， 它的长度是多少？ 那这里的折痕是不是就是折过来了之后就是 e、 f 为折痕呀？那我们就可以用折痕公式直接求出，那我们折痕公式的内容呢，是宽比长乘以对角线，所以呢，我们来代值宽。在这里是 ab 三，长呢是九乘以它的对角线 ab 的 构成的这个直角三角形下， ab 是 对角线，它可以用勾股定律计算出根号下 ab 是 三， a 的是九，因此就是三方加上九方得到是三倍根十，我们给他放下来这个对角线是三倍根十，约掉之后得到的是根号十。你看我们折横是不是迅速秒出结果了？ 好，这个呢，就是我们用折横公式来去解它，真的是十秒就出结果。那常规方法，肯定有同学说，老师，那常规方法我应该咋解呢？各位同学你别担心，我们也把常规方法也讲一下。 在这儿我们如果正常去做，它是不是可以设它是 x， 那 这里呢，就是九减 x。 好， 由于它是折叠关系，所以一得它折下来是在这里，这也是九减 x。 在 这个三角形中，它满足勾股定律的式子。我们可以在这儿写一下， 三方加 x 方等于九减 x 的 平方 x 呢，我们在这解出来的是四，所以说这段呢就是四，那这段就是五，这里九减四还是五，我们要求出 e f 的 长度，我们要过点 e 给它做一个垂直， 我们假设这个是 h 吧，上方这是四，那底下这也是四，这个斜边是五，这个是三，哎，它平移过来，这段长度也是三， 我想要求出 e f， 是 不是我还得知道这段小丢丢呀，对不对？所以说我们就不得不求出 c、 f 的 长度，那还是一样的。在底下的这个三角形 b c b j f 当中呢？继续还是用勾股定律，具体怎么用呢？老师简写一下，设 c f 是 y， 那 么它折下来，说明这段也是 y， 这段是三，它折到这里呢，这段就是三了，我们这段是 y， 那 这段九减 y， 同样的一个式子， 哎，换了一个字母而已，也就是三方加 y 方，等于九减 y 的 方，那你知道了，它得到的结果肯定还是一样的呗，它也是四， 所以这段是四，那说明整个这段是五，五减去这个四是不得到，这是一。所以说在这个三角形中，我们继续勾股得 e f 的 长度，根号下三方加一方，根号十，是不是一，就可以算出来答案。 那同学们可以比较一下两种方法它的难易程度。所以说呢，希望同学们还是可以记住这个折痕公式，因为它用起来真的超级好用，超级简单，好希望这个视频呢，对同学们有所帮助。关注吴老师数学不迷路，记得点赞关注哟！

这个最小值怎么求呢？第一步，先确定 f 的 运动轨迹。第二步，确定 cf 最小时 f 所处位置， 三点共线时 cf 取得最小值。第三步，计算 cf 的 最小值。大家可以将答案打在评论区，欢迎点赞收藏，关注我，带你中考提分！

哈喽，各位家长，各位同学大家好，我是你们的徐老师，今天给大家带来的是初中几何四十八个模型当中的第二十二个叫举行翻折问题。举行的翻折问题在 考试当中，包括平时的题目当中是经常常见的，那么我们第一个叫折在里边的一个图形啊，那如果折在里边的话，我们如图，在举行 abcd 当中，已知了 ab 的长度等于三， bc 的长度等于五，那根据举行的一个对边的关系， ab 等于三，那必定 cd 也等于三， bc 等于五，那 adb 也等于五。这个时候由于 点 d 落在了点 f 处，所以啊，我们所组成的三角形 ade 和三角形 afe 必定是一个全等的，因为翻折过来肯定是全等的啊，他就是原来的他们，所以我们根据题目已知的一些条件， 我们可以非常轻易的得到一些东西啊，我们根据题目给出来的东西呢，我们得到了 ab 等于三， 对吧，且 ad 翻折之后所对应的边就是 af， 也必定是等于五的，这是题目给我们的条件，然后可以直接推导出来的。那根据题目已经提供的条件，我们可以得到 一些东西，由于一条直角边等于三，斜边等于五，所以另外一条直角边它的勾股数肯定也就是四了呀，那么 bf 等于四， bc 等于五，那必定可以得到 cf 是等于一的， 由于 cf 等于一，而且 de 和 fe 也是相等的，题目要我们求的是 ec 的长度， ec 是这一段我们竟然不知道，那么我们这个时候我们就可以把它设为未知数， x， ec 等于 x， 那 d， e 的长度就是三减去 x 的长度，同时 fe 的长 长度也是三减 x 了。那这个时候由于这个 ecf 是一个直角，所以我们必定三边关系可以用勾股的关系来给他 写出来，也就是 fc 的平方加上 ec 的平方，必定也就等于 ef 的平方了。那么这个整个解的过程里边只含有一个位置数，只需要同学们把它相应的边 所代表的未知数把它带进去就可以了。具体的书写过程我就不带大家去写了，大家可以自己去尝试一下啊。这是折在里边的模型，那如果出现了第二种情况，就是折在外边的时候，我们怎么办呢？题目 已知了， ab 的长度是十八， ab 的长度是十八，我把它写到这，那 cd 的长度必定也是十八了。 bc 的长度是十二，那么 ab 的长度必定也是十二。 那根据这样的一个翻折的过程，我们可以得到的条件又有些什么呢？因为啊， bc 的长度是十二， 所以 b 撇 c 撇的长度必定对应的是 b， c 的长度也是十二， 也是十二，对吧？而且我们还得到了一个东西，翻折过后的 c 点落在的这个 cp 这个位置是 ad 的终点，所以呢，上边的 a c 撇等于六， d c 撇同时也等于六。题目要我们算的是 f c 撇的长度，那这个 f c c 撇的长度又等于了什么呢？ f c 的长度，那如果这个时候我们把 其中的 fcp 要求的未知数设为是 x 的话，那 cf 的长度必然也就是 x 了。 fd 的长度呢，就是 cd 的长度减去 cf 的长度也就变成了十八，减去 x 的长度，那在这里边一个直角三角形已知了斜边的长度，已知了两条直角边分别对应所代表的数值。 那我就可以用 fcp 的平方就必定等于 fd 的平方，加上 cpd 的平方， 那里边只含有一个 x， 去解出来就可以把对应的 fc 撇的程度给直接算出来了。同学们，如果你碰到了这样翻折的一个 题型的话，无论他是翻在里边还是翻在外边，请你牢牢记住这样的一个举行翻折模型，他其实就是利用我们设未知数的方式去求解呢。好了啊，恭喜大家又学会了一个新的集合模型。 如果您觉得我的视频对您有帮助，感谢您关注且转发给更多有需要的人。好了，今天的课程到此结束，我们下节课再见。