2025中考试卷重庆数学三角函数

好看，十五题啊，这个题不是啥难题，但是就是想提醒咱们，应该用最准确的那个数据啊，最直接的那个数据， 嗯，看已知条件给的是这个 a c， 相当于这直角三角形，咱们有斜边，斜边五百，嗯，角度，这角度十八度，还有啊，这还有一个三角函数，这十八度的相应的三角函数都给咱们了。 嗯，问的是垂直高度 ab， 那 相当于已知斜边，求这个角的对边，那咱们找最直接的那个三角形的关系，那应该是对边和斜边的关系，这对比斜应该用的是正弦，用的是三十八度 啊，三十八度，这是最直接的，因为是对和弦之间的，对和弦之间的这个关系啊， 那咱们用三十八度对应的 ab 比 ac， 就是 ab 比上五百等于零点三零九，这样求出 ab 是 五百乘以零点三零九， 约等于一百五十四点五啊，那咱们不要用这些间接的数据啊，像这个，比如说用这个 cosine， 用零比斜，这样求出零点 说，再用勾股定律说，再求这个，呃，对边，那这样就不对了，这数据就不准确了，因为它都是约等的啊，它都是约等啊，你，你间接的话，那步骤一增多，相当于误差就会变大， 所以咱们就用约等的数，用最直接的，咱们算一次就出结果，这个相应的要更准确一些啊。

下雨时，雨往往是斜打的，且都是平行的。某雨天，小明站在如图所示的一把伞的正下方， a、 e 和地面垂直，也就说这里是垂直的伞骨 ab 等于 ac， 这两个相等 伞的直径 b、 c 等于一百， bc 是 一百。假如说焦点是点 o， 那 么 o e 就 应该是五十。伞的边缘 b 到地面的距离 b f 是 六十，这里是一百六十 与线 b g 与地面形成的夹角，这个角度是七十度。此时小明身上被淋湿，那么将伞向下拼多少距离，才能使得身上不被淋湿？那么 小明身上被淋湿的位置应该是从 h 到 d 这个距离 h d， 也就是说你应该往伞把伞往下 移动， h d 这个长度就不会被淋湿，因为点 h 就 会那个雨， h 那 个地方就会淋到 d 那 个位置。所以这个题就是让我去求 h d 的 长度是多少，那么这个题考我三角函数是吧？ 给我七十度的三角函数值了，来我们分析一下啊，告诉了我这个长度是一百六十，那我就能求 f g， 能求 f g 一 百六十是七十度的对边， f g 是 七十度，这个这样三角形的七十度，这个角的邻边，所以我一个 摊正它，摊正它七十度，我就能够求出来它是一百六，比上 f g 是 吧？摊正的七十，我知道是二点七五，所以我就能求出来 f g f g 我 求完之后，我再减掉五十， f d 是 五十，因为这是一个矩形，把这个五十减掉，我就能够求出来 d g 的 长度。 在这个小的 h d j 这个直角三角形当中，再来一个贪婪的七十，就能把 hd 求出来。再来一个 贪婪的七十度，就等于要求的 hd 比上我的 d j， d j 是 刚才求过的，是吧？你自己能解出来，然后再来等于二点七五，所以我的 hd 就 出来了。

在如图二所示的侧面示意图当中，遮阳棚 ab 的 长度是三点二米与水平面的夹角，这个地方是十八 立柱， ac 的 高是二点二四米，二点二四。当太阳光线 b、 d 与地面的形成的夹角是六十七度的时候，求此时 c、 d 的 长，也就是说让我求这个长度， 那么我们先把题目给到的十八度和六十七度放在直角三角形当中，也就是说我们先去做一个垂线，假如说这里是 e， 然后再过点 a 做 b e 的 垂线，这里是 f， 那 就会出现直角三角形，那么要求 c、 d， 要求 cd。 我 们从十八度的这个三角形开始去入手，我们通过口算十八度能够知道邻边 ac 的 长度能求出来，是吧？斜边知道能够把 af 这个邻边给他求出来， af 知道了，其实我的 c、 e， 我 就知道了。 c e 知道你要去求 cd， 其实也就是说你要去求 ed， 你 要去求 ed 的 话，你得知道 b e 或者知道 b、 d， 你 才能求出来这个六十七度的邻边 e、 d 是 多少。那么怎么求呢？来我们求 b e 啊，求这个长度，怎么求 b e 呢？这么求通过十八度的这个直角三角形，三十八度能够把 b、 f 给它求出来， 是吧？ b f 求出来之后，加上二点二四，这个二点二四，然后加到这边来，是不就能知道 b e 了？然后再在 六十七度的这个三角形当中，要知道了，六十七度的对边要求的是六十七度的邻边，所以摊着它六十七能够把 e、 d 求出来，然后用 af， 也就是说用 ec 整个的 ec 啊，减去我的 e、 d， 就 能够得到我想要的 c、 d， 是 不就可以了？

应粉丝要求，今天出一期三角函数，哈喽，朋友们大家好，今天给大家带来的是初中的三角函数部分知识点以及两道中考试题。在正式讲解知识点以及试题之前，我们先来认识一下，在直角三角形中，我们命 这个角为角 a， 这个角为角 b， 这个角为角 c， 而对应的线段则是 abc。 我 们以角 a 为例，角 a 这个是 ab， 就是 斜边，而这个 ac 就是 角 a 的 邻边，与它相邻的这个边 bc 呢，就是角 a 的 对边和它对着这个边。好，我们接下来步入正题，我们要先认识正弦与弦和正些这三个知识点。首先正弦，我们拿角 a 来举例，正弦又叫塞，也就是说塞 a， 它等于对边比斜边，也就是我们这道我们这道题中的 a 比 c， 而鱼弦口塞 a 就是 邻边比斜边，也就是我们这道题中的 b 比 c， 而正切就是弹进的 a， 它是对边比邻边，也就是我们这道题中的 a 比 b。 这个呢就是需要大家背下来。然后我我建议呢，大家是背右边的这个 文字，并不是背字母，因为我们在不同三角形中会看到不同的字母。然后就是我们还有一个重要的知识点，就是特殊角三角函数值，这个非常重要，我们以这个为例，我们就假如说这个角是角 a， 三十度，四十五度、六十度，我们所对应的 size 值、口 size 值和谈价值都在这里，这个需要大家背一下。 大家可能还记得我们之前所学过三十度角、九十度角、六十度角，它的一个比例关系，三十度就是一比二比根号三， 然后还有就是一个四十五度角，四十五度和四十五度还有九十度，一比一比根号二。然后呢，就是一个小支点，就是若角 a 加角 b 等于九十度，则算 a 等于口算 b 或算 b 等于口算 a。 我 们通过观察可以发现，算 a 就是 对边比斜边等于 a 比 c， 而口算 b 呢，是邻边，比斜边就是也是 a 比 c， 我 们可以发现呢， a， 它既是角 b 的 邻边，也是角 a 的 对边，所以我们才能得出这个关系式。 然后呢，就是给大家拓展的两个公式，这样公式呢，我们一般的时候是用不到的，它一般会出现在竞赛题或者是高中的题目中。我们先来读题，菱形 a， b， c， d 角 abc 等于六十度， e 是 c d 中点，则赛角 e b、 c 为 我们。首先呢，先是做辅助线延长 bc， 然后过点 e 做 e h 垂直于 bc 于点 h， 我 们先做出一个直角三角形， 因为我们这个三角函数是要在直角三角形里面才能够运用，所以我们首先就是就是要找一个方法来构造直角三角形。因为四边形 a、 d、 c、 b， 它是一个菱形，所以 bc 等于 cd， a、 d 平行于 bc。 然后呢，它这个对角角 d 还等于角 abc 等于六十度，又因为 a、 d 平行于 bc， 所以 由于两直线平行内错角相等，可以得到角 d 等于角 d， c、 h 这个角就等于六十度。 然后我们可以设设这个菱形的边为 a， 也就是说四个边都等于 a， 所以 这个由于 e 是 中点，所以我们就可以说 c e 等于二分之一 a， 又因为 e h 垂直于 b h， 所以 我们这里就是一个直角三角形， 所以 e h 等于 c， e 乘上三六十度。至于为什么是 c e 乘三六十度，我们可以啊来看一下 三六十度呢，他在这本题中等于 e h 比上 c e， 我 们要求出 e h， 所以 我们一定要在三六十的基础上乘上一个 c e， 才能将 c e 消掉，然后直取 e h。 所以呢，我们这个 e h 就 列出这个关系式，最后等于四分之根号三倍的 a， 然后呢，我们 e h 求出来了。 这道题我们要求的是 side 角 e， b， c e， b c， side 是 对比斜，所以我们现在还差一个斜边，也就是 be， 如果要求 be 的 话，我们直接求不出来，所以 be 可能需要勾股定律来解，那我们就先把 bh 求出来。此时此刻呢，我们可以先求 c h， 根据我刚才讲的， c h 就 可以用口塞六十度乘上一个 c e， 最后等于四分之一 a， 我 们刚刚将边设为 a， 所以 bc， 它也为 a， 所以 b h 就 等于 bc， 加上一个 c h 就 等于四分之五 a， 然后呢，根据勾股定律，在这个大的直角三角形中就可以看出来， b e 等于二分之根号七 a。 最后呢，我们就可以得出角 e， b， c 等于 e h 比 b e 等于呃十四分之根号二十一。 好，我们来看第二题，如图菱形 a， b， c， d 中点 o 是 b， d 的 中点， o 为 b， d 中点 am 垂直 bc， 这里是垂直 a m 交 b， d 于点 n o， m 等于八，求 m n 的 长 om 等于二，也就是说这条线的等于二， b， d 等于八， 这个长的对角线它等于八，我们最后要求的是 m n， 也就是这一个小段的长，然后呢，我们可以看到它是一个菱形，所以我们可以直接想到连接 a、 c， 就 可以构成四个直角三角形，然后呢我们根据这个菱形的性质就可以得到 o， b 等于 o， d 等于四， o， a 等于 oc。 然后我们注意观察这个三角形 a， m、 c， 它是一个直角三角形，然后点 o， 它是 a、 c 中点。根据直角三角形中斜边中线等于斜边一半，可以得出这个 o， c 等于 o， a 等于 o， m 都等于二。还知道这个 o， b 等于四， o， c 等于二， 所以 bc 我 们也可以求出来用。根据勾股定律，最后等于二倍，根号五。弹进的角 o， b， c， 也就是对比邻，就是 o， c， 比上一个 o， b 就 等于二，比四等于二分之一。 我们这个是先留着，我们一会会用到我们可以，因为为什么会用到它呢？我们注意啊，这里有一个小的直角三角形，然后这里还有一个大的直角三角形， 最后要导出的是 m、 n， 就 可以根据函数的值，最后将 m、 n 求出来，它们所对应的这个角都是角 o， b、 c， 我 在这里标注了角一在这，角二在这，角三在这，因为角一加角三等于九十度，角一加角二等于九十度，所以角二等于角三，也就是这两个角相等， 所以这两个角的塞沿值，也就是对边比斜边都相等，所以塞沿角 o， b， c 就 等于 o， c， 比上一个 bc 等于二，比上二倍，根号五，最后等于五分之根号五，所以塞沿角 a， m、 c 也等于五分之，根号五， 所以 m、 c 呢，我们就可以用塞沿角 m， a， c 乘上 a， c， 最后等于五分之根号五乘四等于四，五分之四倍的根号五。 根据这个 mc 的 五分之四倍根号五。而 bc 的 二倍根号，我们可以求出 b m， b， m 呢，就是用 bc 减 mc 最后等于五分之六倍根号五。还记得我们刚刚的弹力的值吗？角弹力的角 o， b， c 等于二分之一， 我们在这个这个小这样三角形中也可以运用这个弹力的值。也就是说弹力的角 o， b， c 等于 m， m n 比上一个 b m， 然后等于二分之一，我们将这两个，我们将 b m 的 值带进去， b， m 是 呃五分之六倍根号五。最后呢，我们就可以求出来， m， n 就 等于它的角 o， b， c 等乘上 b， m 就 等于五分之三倍根号五。所以最后我们求出 m， n 的 值为五分之三倍根号五。所以 此题选 c。

现在来看一道几何求值的题目，这道题呢，如果是用高中的知识，他很容易就求出来了，放到初中呢，就要稍微麻烦一些已知。交 b 等于四十五度，交 bca 等于三十度， c、 d 是 交 bca 的 角平分线 b、 d 等于四， 求 cd 和 i、 c 的 值。遇到四十五度，我们就想到做垂线，三十度的一半呢，又是十五度，我们想到做垂直平分线， 我们过 d 做 bc 的 垂线，交于 e 做 cd 的 垂直平分线，交 bc 于 f， 连接 d、 f， 因为它是它的垂直平分线，就可以得到 d、 f 等于 c， f 呢，也是等于三十度的，这样我们就可以得到 d， e 等于 b， f 等于 b， d 乘以三十四分之五度，也就是二倍根号二。 d、 f 呢等于 c、 f， 它们是 d、 e 除以三十度，也就等于四倍根号二。 e、 f 等于 d， f 乘以 cosine 三十度， 也就被二倍根号六。这样我们就可以求得 c、 e 等于 e、 f 加上 c、 f， 也就四倍根号二，加上二倍根号六。 由于 d、 f、 c， 它是一个直角三角形啊。 c、 d 的 平方就等于 d、 f 平方，加上 c、 e 的 平方，那我们就可以求得 c、 d。 化简一下，就可以得到 c、 d 的 值是四，加上四倍根号三。我们再来求 i、 c 的 值呢，我们可以利用一相似三角形的方式来求，因为角 a、 b、 c 等于角 d， b、 f 等于四十五度，角 b、 c、 a 呢等于角 b、 f、 d 等于三十度。所以三角形 d、 b、 f 和三角形 a、 b、 c 是 相似三角形， 那我们就可以得到 d、 f 比上 i、 c 等于 b， f 比上 bc， 我 们又分别又可以求得呢？ b、 f 等于二倍根号二，加上二倍根号六， bc 呢？等于根号三，乘以二倍根号二加上根号六，这个比值就是一比根号三的，这样我们就可以求得 i c 等于 根号三倍的 d f， 最终求得 i c 等于四倍根号六。

上个视频呢，我们讲了二零二五年重庆市中考数学的填空压轴题，那个题目呢，非常的精彩，也比较难，大家可以去看一下我们上个视频的讲解。 那么今天呢，我们来讲一下二零二五年重庆市中考数学的倒数第二题啊，这个题目他虽然不是压轴题，但是他的难度已经达到压轴题的难度了，已经非常难了啊。啊，还有最后一道压轴题，我们下个视频单独来讲，我们今天就专门来看这个倒数第二题，我们一起来看个题目， 他说如图，在平面直角坐标系里面，抛物线 y 等于 x， 平方加上 b， x 加上 c 与 x 轴交于 ab 两点 b 点坐标告诉我们了是六零 a， 也没有告诉我们。然后呢，他说与 y 轴交于点 c， 然后呢又说这个抛物线的对称轴是直线 x 等于二分之五啊，那么到这为止之后呢，我们其实是可以把这个抛物线的方程给它算出来的 啊，那么求抛物线的表达式。呃，我知道有，嗯，很多人就直接把这个 x 啊等于二分之五，把它写成负二 a 分 之 b， 对 吧？然后 b 和 a 的 关系就算出来了，因为 a 呢，等于一，所以 b 立刻就算出来了，对吧？然后再算这个 c， 把这个 b 点坐标带进去。 但是呢，我我建议你们可以尝试一下这样算啊，你看对称轴是二分之五，那说明什么？说明 x 一 加上 x 二啊，就是说，就说这个抛物线啊，它和 x 轴的两个交点横坐标的和等于多少？应该等于五啊，就是说 x a 加上 x， b 应该等于五，这个应该没有问题吧？好，那这样子的话，你看 x b 是 知道了，对吧？等于六，那么说明 x a 就 等于负一， 对不对？ x a 等于负一，那说明这个抛线和这个 x 轴的两个交点啊，其实它就是这个方程，如果等于零的话，它的两个解其实我们已经知道了，那这样子的话，我们可以因式分解啊，你看这个方程啊，它就可以写成 y 等于，因为你 a 等于一嘛，对吧？所以它可以写成 x 加上一啊， x 减去六，对吧？所以你直接就可以写成 x 平方减去五， x 再减六，是不是？你看这个就很简单啊，你不信你把这个六零带进去看看啊，六带进去就是 啊，三十六减三十减六，对吧？等于零，然后他对准轴就是负二， a 分 之 b， 负二分之，负五等于二分之五，对吧？所以他肯定是对的啊，而且呢， a 点坐标我们刚刚说了是 a 点坐标是负一零，对不对？看，那其实我们还可以给它进行一个配方，它等于 x 减去二分之五的平方，然后呢，因为你要加上一个四分之二十五来，减去 四分之二十五，再减去六，对吧？等于 x 减去二分之五的平方，再减去四分之二十四，加二十五四十九， 对吧？应该没有问题啊，所以呢，你还可以给他配配方一下，那这样子的话，你看啊，他说和这个 y 轴交于点 c， 那 其实点 c 的 坐标我们也可以算出来，点 c 就是 令 x 等于零，对吧？所以 c 点坐标我们也知道了， c 点坐标就是令 x 等于零的话，那么他应该是负六，哎，说明 o c 等于 o b 啊，所以他就讲了半天，其实是告诉我们 o c 等于 o b 啊。 好，我们再看第一问，求抛物线的表达式啊，那这个就算出来了，比较简单，对不对？好，我们看第二遍，他说点 p 是 b c 下方抛物线上的一点啊，就一个动点在运动，连接 o p 啊，然后呢， 和这个射线 bc 交于点 q， 嗯，就是 bc 的 方程，其实我们能够快速的算出来，对吧？因为 b 点是个定点， c 点是个定点，坐标我们也知道，所以 bc 方程我们是知道的。好， 那么如果 p 点坐标知道了，那么 q 点坐标也是唯一确定的，对不对？好，他说这个 d e 啊，是这个抛物线上对称轴上的一个动点啊，两个动点，而且告诉我们 d 一 长度是固定的，也就说 d 点运动了， e 点就运动，他们的长度是固定的，是一是四， 说连接 b d p e， 说当 p q 比上 o q 取得最大的时候，求 p 的 坐标，即 b d 加 p e 的 最小值。 很难啊，很多人读到这就蒙了，完全蒙了，而且你第二题你做不出来，第三题你就做不出来，对吧？因为第三题是在第二题的基础上啊，进行提升的一个题啊。那怎么做呢？ 很多人有这个想法啊，你就说，比如说我设 p 点坐标，我 p 点坐标设它是 m m 的 话，那，呃，横坐标 m 中坐标就是 m， 平方减去五， m 减六，这个没有问题，对不对？ 好，然后呢，我们就可以把 q 整数表算出来，对吧？因为 bc 是 知道的嘛， q 整数表我们是能算出来的，然后怎么办呢？ 然后很多人说，哎，那 p q 比上 o q 嘛，全是大值的时候，那是我把这个 p q 给它算出来，对吧？ p q 的 话，那也简单嘛，就是啊， x q 减 x p， 对 吧？平方减去啊，加上 y q 减 y p 的 平方啊，很多人这样算，然后呢？ o q， 哎，我们也知道，对吧？ o q 等于根号下，呃， x q 减去零啊，就是 x q 的 平方，嗯，加上 y q 的 平方， 你看 q 点坐标，我们肯定是用 m 给它表示出来的，对吧？ p 点坐标，我们也 p q， 我 们也可以用 m 给它表示出来，行不行呢？ 原则上是可以的，原则上是可以的啊，原则。但是这个题目你这样做就很麻烦了，太麻烦了，因为你，因为你这里面这样，这种做法就特别特别的麻烦，其实是非常麻烦的。那我给大家建议一个，我不知道参考答案是不是这样做的啊？但是我给大家建议是什么呢？是， 如果你不是要求它的最大值吗？就是 p q 减去 o q 的 最大值，如果它取得最大值的话，那么那如果它取得最大值的话， 那就意味着什么呢？就意味着我 p q 比上 o q 加上一，哎，这个值它也能够同时取得最大值， 就这这个值和这个值是一样的，对不对？这样讲有没有问题？他俩只不过差个一啊，你如果取最大值了，那么这个东西也就取最大值了，对不对？好，那他等于什么东西呢？他等于 它等于什么东西呢？它等于 o q 比上 p q 加上 o q， 你 看啊， p q 加上 o q 是 什么东西啊？ p q 加上 o q 是 不是正好是 o p 啊？ 也就说如果，哎，如果它去掉最大值，就意味着它 去掉，就又意味着它去掉最大值，这样讲没问题吧？啊？它俩值差一个一嘛？意味着它去掉最大值，我为什么这样讲呢？是因为这两个式子话 o p 和 o q 我 们是容易算的，对吧？ 你如果算个 p q 的 话，它 x 和 x p x q 你 还要乘，这里面只有一个 p 点坐标和 q 点坐标，所以就比较简单。你如果是算 p q 的 话，你既要算 p 点坐标，也要算 q 的 坐标，这里面加减乘除就很麻烦 啊。所以呢，我是这么这么想的啊，所以我就想着它，它取最大值的时候就意味着它取最大值，所以我们就算 o p 和算 o q 就 可以了啊，好，这样子啊，好，那我们把它写一下啊， 就类似于什么呢？ p q 加就是 o p 比上 o q， 它要取得最大值的时候，对吧？我们在这种情况下看能不能算出 pi 坐标。那怎么算呢啊，知道这个还没完啊，还没完，后面还有很多坑在等着你啊。 p 点坐标， p 点坐标我们设出来了啊，我们就设 p 点坐标，那这样子的话， b c 方程我们是可以轻易算出来的，对不对？那 b c 方程是知道的， b c b c 的 话，我就苦算了啊，因为 o b 等于 o c， 所以 它是等于要知道算式，对吧？所以它比较简单啊，所以它就应该是 y 等于 x 减六， 你带进去看看啊，你看 b 点坐标是不是六零啊？六零带进去可以啊，然后 c 点坐标是零负六零负六，对不对？所以 b c 的 方程我们是知道的，是 x 减六，那这样子的话， x q 和 x 和 y q 是 不是能算出来？那就是连连利这两个 连立，这个 b c 和 o 和 o p， 那， 那我们首先还得把这个 o p 的 方程给它算一下，对吧？好，那这样子的话，呃，常规的做法就是设嘛， y 等于 k x 加上 b 还没有，对吧？ y 等于 k x， 好， 那么我们把这个 p 点坐标给它带进去，那就是，嗯， m 平方减五， m 减六，对吧？它等于 k m 啊，这样子的话，我们可以算出来， k 等于 m 分 之 m 平方减去五。我换个颜色吧。好吧，这样写，你们黑色看不见了啊。 k 就 等于 m 分 之 m 平方减去五 m 再减六，这没有问题吧？好，那么这个方程就知道了呀。方程就等于 y， 呃， m 分 之 m 平方减去五 m 减六乘以 x， 对不对？好，那这样子的话，我们这，这是 o p 的 啊，这是 o p 的 方程，那我们就可以把 o p 的 方程和 b c 的 方程啊，就是表达式啊，我们给大家连累一下，那就是 m 分 之，嗯， m 平方减五 m 减六 x， 它等于多少呢？等于 x 减六，是不是？那我们可以把 x q 算出来啊，这个算出来就是 x q 了啊， 那么减一呗，那就是 m 分 之 m 平方减去五 m， 嗯，五 m 减六，再减一啊，减去 m， 不是 减一，减 m x 等于负六， 对吧？好，那这个就是五 m 减六 m， 所以 x 等于多少？等于负六乘以 m 平方减去六 m 减六分之 m， 这个就是 x q 了啊，就是负六乘以 m 平方减六 m 减六分之 m， 这是 x q， 那 么 y q 呢？ y q 的 话，就等于 x q 减六，对不对？带到这里面嘛。好，那就是，呃， m 平方减六 m 减六分之负六 m 再减个六，对吧？那就是减去六 m 平方， 嗯，加上三十六 m 加上三十六，对不对？等于 m 平方减六 m 减六，然后是负六 m 平方加上三十 m 加上三十六，好，哎，你看上面我可以提一个负六出来吧，是不是 提一个负六出来，那它就应该是 m 平方减去五 m， 再减去六 m 平方减六， m 减六。就是很多人坐这就蒙了啊？很多人坐这就蒙了。就说，我的天呐，这这这么麻烦，对吧？我接下来我还要怎么办呢？我还要算这个 o p 除以 o q， 对 吧？那 o p 呢？ o p 等于多少？ 这太麻烦了，是吧？你看啊， o p 等于多少？ o p 它等于根号加 x p 的 平方，加上啊， y p 的 平方， 对吧？ x p 还好说，是 m， 那 么 y p 的 平方， y p 它本来就是有一个平方的， m 平方减五 m 减六，你还要再给他平方啊，就好麻烦，对吧？那这样子的话，你看 o q 也是啊， o q 还有个上下都有 m 平方，那这样子的话，这算这能算出来吗？ 我当时一开始坐这的时候我也蒙了，哎，我觉得首先它这个方法肯定是这样做的，但是坐到这之后就是该怎么办呢？我后来我想了一下啊，看说明这个题目它肯定有个陷阱在里面， 你看啊，你看啊，这个式子就 x q 和 y q， 你 看这有没有什么特点？父母是一样的，对不对？你看分子，分子有没有特点？ 分子有没有特点？你看啊，这个是 m， 对 不对？我把它写一下，再标一下啊，这个是 m， 对 不对？这个是 m 平方减五 m 减六，对不对？ 对不对？你有没有发现这个 m 就是 x p 啊？你有没有发现这个 m 平方减五， m 减六就是 y p 啊， 有，有没有发现？发现了，现在发现了吧？啊？一开始可能没发现啊，所以我当时坐这坐，这时候我就想，他肯定是有关系的啊，没有关系，他不可能让你这样去算的，不可能那样算不出来啊，绝，绝对算不出来，所以他肯定是有关系的。 那这样子话，其实我们可以把这个东西给它化解一下了，对吧？化解成什么呢？就是 x q 就 等于，哎， m 平方减六， m 减六分之哎，负六倍的 x p 对 不对？好，那么 y q 呢？ y q 就 等于 m 平方减六， m 减六分之负六倍的 y p 对不对？因为你 m 值是定下来的，对不对？所以这个 x p 和 x q 之间是有关系的， y p 和 y q 之间其实是有个比例关系啊，有个比例关系的，那这样子的话，哎，就好算了啊，你看啊， 那我要算什么呢？我要算的是首先是 o， 首先是 o p 啊， o p， o p 等于多少呢？ o p 等于，呃， x p 的 平方加上 y p 的 平方，对不对？我还要算一个 o q o q 呢，你看啊，它是等于 我把这个 x 平方 y 平方，哦，我把前面这负六除以 m 平方减六， m 减六给它提出来，它就变成了三十六除以 m 平方减六， m 减六。括号的平方里面是不是 x 平方， x p 平方加上 y p 平方啊， 对不对？有没有问题？没有问题，你看这两个比值，这两个比值你要求最大值，它俩一比是什么东西啊？你看 o p 比上 o q， 它俩一比等于什么东西啊？等于根号下 o p 比上 o q， 这个 x p 平方加 y p 平方是不是没有了啊？对不对？所以就等于三十六分之，嗯， m 平方 减去六 m， 这减去六 m 啊，不要写这五减五 m 了吗？减六对不对？它的平方好，就等于这这个东西，对不对？好，我们可以给他开放一下啊，给他算一下啊，它等于什么呢？它等于 等于六分之，哎，上面这个东西 m 平方减六， m 减六，这值到底是正的还是负的，对吧？你因为你要把它开出来嘛？你开出来你要考虑它是正的还是负的呀，对吧？你看啊，你看啊，这个东西这个值 啊， x q 是 不一定是正的 x p 是 不是一定是正的， 对不对？负六是负的，对不对？那么 m 平方减六， m 减六呢？一定是负的，对吧？因为 x p 和 x x q 都是正的嘛，所以中间这个负六除以 m 平方减六， m 减六，它一定是正的，所以呢？ 这个下面因为负六是负的，所以 m 平方减六， m 减六肯定是负的，所以这应该加个负号，对吧？负 m 平方加上六， m 加上六，那我把它挪一下位置啊， 等于这个东西我把，我把它，我把这个东西给删了啊，我把它删了吧啊， 要不然的话就就看不出来该怎么做了啊。 嗯，就等于他了。那意思什么意思？我要求他的最大值了，对吧？要求他最大值，那他的最大值我们是不是可以给他配个方啊， 对不对？它就等于多少啊？六分之，嗯，负的 m 减三的平方，对吧？那你要，你要，呃， 就要减一个九，对不对？加上九，加九，加九的话就加上十五呗， 是不是你就要加上一个，你就要减去一个九嘛，再加上一个九就是负的， m 减三的平方就是负的， m 平方 减六， m 就是 加上六 m， 再呃，再加上九减九减九的话。对的啊，所以这没有错啊，我来验证一下啊， 所以就等于这么个东西，对不对？所以这个 o p 比上 o q 就 等于这么个东西，那你要求它最最大值呢？它开口向下最大值，那肯定是在对正轴，这取的对不对？对，正轴呢，是 m 等于三，所以呢，当 m 等于三十，哎，取得最大值，这时候 p 点坐标，哎，我们就算出来了， p 点坐标就是三，然后 m 平方减五， m 减六呢？呃，三的平方减去五乘以三减六啊，九减去 六等于三，三减去十五负十二，是不是？九减去十五减六就是负，六减六负十二？对的啊， 所以就是三负十二了，所以 p 点坐标我们就算出来了，三负十二，对吧？好，接下来我们就不用管其他东西了啊， 这都是都删了啊，这，这都是一些工具啊，我们不用这个东西，因为他后面做题他不用这个东西，对吧？好，那我们就给它全部都删了啊，全部都删了， 你就已经算出来了啊， p 点坐标是三负十二，然后呢？然后你看啊，他说，呃，首先求 p 点坐标，然后求 b d 加 pe 的 值，这时候 p 点就固定了啊，然后呢， b 点也是固定的，这时候 d e 呢？是运动的， d e 是 运动的， 那这个东西是不是将军一马问题啊？是啊，是，是将军一马的一个变形问题，我们以前讲过的，这时候你应该怎么办呢？你看， d e 是 在运运动的， b 点和 p 点是固定的，应该怎么办？ 很明显，你要过 b 点做一个啊，外轴的平行线 向下做垂直，然后呢，长度呢？等于多少长度呢？等于 d 等于四， 应该要做一个四，做一个四，比如说这是 b 一 撇向下做四啊，你要使这个 b b 一 撇 等于四，那这是我 b b 一 撇的那个 b 一 撇的坐标，我们就知道了，横坐标不变，横坐标呢？就是，呃，六零是吧？横坐标是六零，对吧？横坐标就是六啊，纵坐标呢，就是负四了， 所以 b 一 撇坐标，我们是知知道了，然后呢，然后我们再过这个 b 一 撇做这个对称轴啊，一个一个对称点，那这样子的话，我们就，我们就这样， 哎，做一个对称的情况，然后这个地方， 嗯，这个地方就是这个，比如说这个是 b 两撇， 就是 b 一 撇 b 两撇和这个抛物线的交点的这个地方啊，就是我们要找到 b 两撇的这个点，然后呢，然后我们再连接这个 b 两撇到这个 p， 这就是很常规的将军印码的问题啊。 b 两撇到撇，这时候，你看啊，我们要求的是什么？我们要求的是 b d， b d 加上 pe， 对 不对？ b d 加上 pe， 那 就转化成什么东西啊， 你看啊， b d 是 不是等于啊？ b 一 撇 e 对不对？ b d 是 不是等于 b 撇 e 了？这时候的 e 撇在什么地方？ e 应该在这个位置啊， e 应该在这个位置， e 啊，应该在这个位置， e 撇吧，写 e 撇吧， b 撇 e 撇， 你看 b 一 撇一撇是不是等于 b d， 对 吧？因为是平行四边形嘛，我 b p 一 撇平行且等于 d e， 所以 它是个平行四边形，所以 b d 就 等于 b 一 撇一撇，这没有问题吧？ 哦，然后你 b 一 撇一撇是不是等于呃 b 两撇一一撇， 对不对？而 p 一 撇 b 两撇是共线的啊，共线的，你这个呃 b b 一 撇和 b 两撇它是定点 定点，那么两个定点之间肯定是线段最短，对不对？所以这时候就是 p b 一 撇是最短的， p b 一 撇是最短的，那你要怎么求呢？那你怎么求这个这个这个东西呢？ 那你看啊， b 点 p 点坐标，我们是知道的，是三负十二啊， b 两撇的坐标呢？ b 两撇坐标呢？ b 一 撇坐标，我们知道，是六啊，负四， 六负四，哎，他这个不是焦点啊，他这应该不是焦点。这个 b 两撇的坐标啊，这个地方他不应该是焦点啊，应该是， 应该不是，这个地方不是这么画的啊，我这画的有点不太不太合适啊，应该是这样画的，应该是过 a 点做垂线，哎，然后呢？这样画的， 哎，这个这个才是这个才是 b 两撇啊，然后呢？这样画的啊，这样画的啊，这这样，好，那么这个这个，这，这点，嗯，这一点， 这一点是一撇点，这一点啊。 好，那你看 b 两撇点 b 两撇点，它应该是 a 点的一个横坐标， a 点横坐标就是负一，对不对？重坐标呢？重坐标就是负四 啊，那我们求的是什么？我们要求的是 p b 两撇，它就等于根号下啊，三减去负一，就是四四个平方， 对吧？再加上负十二，再减去负四，嗯，就是负八，负八的平方就是八的平方，八的平方六十四等于这是十六加六十四，这是八十根号八十八十的话就十六乘以五吧， 那就应该是四倍根号五，所以这个长度，哎，最小值的长度应该就是四倍根号五，就四倍根号五，所以这个题目呢，很难，是不是很难啊？我们再看最后一个， 删了啊。好，最后一个，他说在二中 p q 比上 o q 取最大的条件下，也就说 p 点坐标是三负十二将这个抛物线啊，沿着这个射线 bc 的 方向啊，平移二倍根号二个单位，那就说 你看这个 bc 啊，我们刚刚讲了 ob 等于 oc， 对 不对？所以它其实是一个等腰直角三角形，那所以它这个这个就就是四十五度，对吧？ 就四十五度，他说沿着 b c 方向平移二百一十二个单位，实际上我们转化成数学语言平移的话，他就是说我们向左边平移两个单位， 哎，向左边平移两个单位，然后再向下平移两个单位，这样子的话，不就是综合来看就是二百一十二个单位吗？对不对？那平移的话，我们肯定要把原来的那个图形啊，给它配个方， 你配方之后才能看到平移吗？配方之后，配方之前是这样子，对不对？配方之前 y 等于 x 减去二分之五的平方，减去四分之四十九， 对吧？对不对？算一下啊，那个六六减二分之五，二分之十二，二分之七，四分四十九，对的啊，那这样子的话，你先向左平移，左加右减， 向左平移吗？左边是加，那就是 x， x 减去二分之五，再加上二，那就是 x 减二分之一，对不对？ x 减二分之一，它的平方，然后呢？你你要减去四分之四十九，再减二啊，那就是四分之五十七， 四分之五十七，四分之八吗？四分之五十七，对的啊，所以 y 一 撇的表达式，哎，我们就写出来了，就是 x 减二分之一，括号平方减去四分之五十七 啊，然后你看啊，他说，呃，我们把它给删了啊，把这个删了啊，然后他说这个 m 为 p 的 对应点，那就说 p 点也是向左偏移，然后再向下偏移，那么 p m 点 要坐标应该就是什么呢？就屁点向左平两个单位，那就变成一了，向下平两个单位就是变成负十四了， 对不对？那你把一负十四带带进去看看啊，一的话，那就是二分之一，二分之一的话就是四分之一， 四分之一的话减去四分之五十七就是负四分之五十六，负四分之五十六就是负十四啊，对的啊，所以 m 点做出来就是这个东西啊，所以你要随时验证啊，然后呢？ 呃，然后这时候我们可以把这图给它画一下啊，你看啊，你看啊， p 点在这个位置，对不对？嗯，在这个位置你向下平移啊，那么我们可以简单的把这图画一下。呃， p 点坐标是三负十二，这个对称轴呢？是二分之五，嗯，大概在这个位置吧。 新的对称轴是二分之一嘛？二分之一大概在这这个位置啊，大概在这个位置。 好，大概在这个这个位置啊，然后呢？ p 点呢？应该可能在这个位置， p 减去，减去二一二五六，那不对， p 点应该在这个位置 啊， p 点。假如 p 点在这这个位置，我们简单画个图啊，不对，这应该是 m 点了，不是 p 点， m 点好，然后呢？怎么办呢？嗯，他说我们要 n 呢，是 y 一 撇上的一个动点啊，然后呢说 n a b 减去 o p m， 那 么 o p m 肯定是一个定角了，肯定是一个固定的角，我们是能够算出来的啊， o p m o p m 的 话应该是这个角， 这个图啊，我画的不够精确啊，所以呢，你看着有点怪， 其实 pm 一定是平行 bc 的， 其实 pm 一定是平行 bc 的， 因为他说沿着 bc 方向嘛，所以 pm 一定是平行 bc 的 啊，所以这个 pm 和这个和这个对称轴，它一定是成一个四十五度的一个角，对吧？ 好，这个 o p m， o p m 减去四十五度等于角 n a b n a b o o p m 减四十五度， 哎，这个减四十五度是哪个角啊？ 你看啊，你看啊，这减四十五度是不是这个角啊？我们把，呃，我们把它换一下啊，就应该这个角，你看，我把它延延长，就这个 m m 点啊，做一个 x 轴的一个对称点，那个 o p m 是 不是这个角啊？ 对吧？ o p m 嘛，那么它和四十五度有没有关系啊？其实是有关系的，你看啊，这个角是不是四十五度， 就是因为你 pm 肯定是和 bc 平行的嘛，你 bc 肯定和横坐标是垂直的嘛， 对吧？我如果做这个 l， 我 如果做这个 l 平行 x 轴的话，那么这个角度一定是四十五度，就是 pm 和 l 的 夹角，这个 r 法一定是四十五度，这个没有问题吧？好，那你，那你看啊，他减四十五度是不是相当于我做一个， 我把它延长，我把它延长，对不对？那它就比如说这个交与点，这个是这个 r 点， 这是 r 点的话，就这个点是 r 点，就是 o p 和这个直线 l 啊，交于 r 点，那这样子的话，这个这个角，这个角是不是我们要求的这个是角 呃， prm， 它是不是就等于角 opm 减去四十五度， 对不对？就是，就是 p， 呃， prm 就 等于 opm 减四十五度，所以就是 nab 等于 opm 呗，啊，等等于这个 prm 呗， prm 对不对？那么 p r m p r m 是 怎么算的？ p r m 是 不是就是就是 p r m 是 不是就是这个角啊？ 对吧？因为 x 轴和这个 l 是 平行的嘛，对吧？所以它俩是内错角，所以就相当于这个角，就相当于这个角，它其实就等于什么呢？等于角 b o p b o p， 这个对不对？ 就等于角 b o p 吗？好，那相当于 n a b n a b n a b 等于角 b o p， 那， 那你看啊，那是不是相当于第一个情况， n 在 这，在这个 o p 和这个，嗯， 和这个 y 一 撇和这个 y 一 撇的交点上啊，对吧？那么如果这个点是 n 的 话，恰好这个这个 b o p 就 等于 b o n， 哎，就是等于 n o b 嘛。所以第一种情况是什么呢？第一种情况 n， 它为什么呢？为这个 o p 啊，与 y 一 撇的交点，这个好求啊，对吧？你把这个 o p 方程算出来啊。 o p 方程是怎么算的， 对吧？ o p 的 方程， o p 的 就是 k 吧。先把 k 算出来，等于啊，负十二除以三 等于负四，所以 o p 它就等于。第一种情况是 y 等于负四 x， 对 不对？这时候呢？你 y 等于负四 x 和这个一连律，对吧？ 就是，呃，负四 x 等于 x 减二分之一的平方减去四分之五十七啊，这种情况是能够算出一个 n 的 啊，能够算出一定 n 的 啊，那么第二种情况是什么呢？第二种情况， 那肯定还有其他情况吧，因为题目中说的是你要求了所有的吗？第二种情况是完全对称的一种情况啊，完全对称的一种情况，因为你 n 点，你没有说是在呃这个抛物线这 x 九的上方还是下方，对吧？说明你肯定有一个对称的情况。对称的情况就是做完全对称呗，就这样 啊，我往往往往上做，那么你这个抛物线啊，你这个抛物线啊，你一定往上延长，对吧？往往上延长，那这这就是一个 n 点，所以你把这个方程给它算出来，这个方程算出来，这个也简单，对吧？这个就相当于 p 点，我要做这个 x 轴，这个对称点就 p 一 撇点， p 一 撇写呢，就是横坐标，一样的纵坐标是十二，对吧？所以 o p 一 撇的方程呢？是 y 等于呃四 x， 对 吧？所以你第二个要连累什么呢？第二个要连累四 x 等于呃 x， 减二分之一的平方减去四分之五十七，哎，这两个，哎，这是 n 一 了，这是 n 二了，这就是两个 n 了，其他的应该就没有了，其他应该就没有了。 所以呢，我们要解下这两个方程啊，那我们来解一下啊，我把它删了啊。 好，再减一下的话，那啊，左右两边同时乘以一个四啊，同时乘以一个四，那先给它先给它化解一下吧，就是负四 x 等于 x 的 平方加上四分之一，对吧？减去 x， 减去四分之五十七， 那就是 x 平方减 x， 不 对，不是减 x 啊， x 平方加上三倍的 x， 加四 x 移过来就是加三倍 x， 然后呢，再减去 四分之五十六，五十六除以四等于十四，对吧？十四等于零， 那这个就二和七呗，二和七行不行？二和七这是五不行，哎， 二和七就是五，不行。其实你这个，这个，这个就可以，是吧？这个负四 x， 这个四 x 移过来就应该是是五啊，所以，但这个不行啊。这个那就是求公公式也算一下了吧。 我不用求公式啊，我这样算， x 加上二分之三，括号的平方等于十四，加上四分之九，对不对？那等于四分之四分之 嗯，五十六加九六十五， 四分之四，四十六减五十六，五十六加五十六加九六十五，对的啊，那么 x 呢，就等于正负二分之 正，负二分之根号六十五，再减去二分之三，那肯定是取正的啊， x 肯定是取正的，所以呢，应该是负的就没有了。那就是第一种情况， n 就 等于二分， n 呢？横坐标就是二分之根号六十五，再减三减三， 对不对？ 六十五，多多多少？八八六十四，八点多，八点多，五点多，二点多，对的啊，应该是对的啊，应该是没有问题啊。好，这个呢，就是横坐标了，那么重坐标呢？就把它 呃带到这个 o p 的 方程里面， o p 就是 四 x 负四 x 负四， x 就是 二，就是六，减去二倍根号六十五啊，这是 n 一 n 一 啊，那么这个呢，我们也给你算一下啊，这是 n 一， 这是 n， 这个就简单了，对吧？这个因为能够给它化解，这个就简单啊。 那么这个呢，就是 x 平方加上四分之一，减去 x 减去 x， 对 不对？再减五 x， 对吧？减去四分之五十七等于零，那就是四分之一啊。四分之五十七就是 x 平方减五， x 再减去减五十六嘛。五十六除以四等于十四 十四等于零，对吧？这个就是负七二一一， 是吧？那就是 x 减七， x 加上二等于零，那肯定是 x 等于七的。 x 等于七的话，那么 y 呢？就等于二十八，对吧？所以 n 二， 所以这是 n 一 啊。那么 n 二呢？就应该是七二十八四七二十八。对的啊， 四倍二。嗯，所以这两个应该有两个。呃，很难，对吧？这个题目很难很复杂，你要做清楚的话，我觉得是很不容易的啊。 好，那么这个题目呢，就给各位讲到这啊。嗯，如果你觉得还不错的话，可以分享给你的朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子。那我们下个视频，再见。拜拜。

好，小伙伴们大家好啊，我是胖叔，从今天开始呢，胖叔会跟马哥合作去录制二五年的中考数学压轴题，那么首先出炉的是重庆中考的数学压轴，胖叔今天讲的是二十五题，是一道函数几何的综合题。 那么在正式看题以前呢，咱们先来梳理一下这道题需要掌握的一些核心方法， 那么这里面呢，总共四个核心方法，前两个是关于题目的第二问的，哎，题目的第一问求解析式，太简单了，咱们直接就不讲了，前两个方法要点是关于第二问的后两个方法要点关于第三问。咱们先看一和二。 首先第一个呢就是转化比例，咱们经常会在坐标系中函数几何综合题目中呢，看到题目需要我们去处理两条线段的还是斜线， 那咱们知道坐标系里面斜线其实就是不好去搞的啊，不好搞的，那么咱们这时候通常要用到一个想法，叫做什么呢？叫做画斜为直，斜线不好处理，我要把它画成横竖线啊，这里的直指的是横竖线， 横竖线段的坐标线里面能用坐标很容易的表示，所以咱们转化成横竖线问题就简单了。那现在问题来了，这个比例怎么画横竖线呢？哎，那就要结合咱们其他的几何知识了，我们想一想，什么情况下能进行比例的转化呀？ 我们学过的哪个知识里面，是不是咱们学过的相似里面能够进行比例的转化？那我所以现在的想法就是构造一个相似吗？那没有现成的相似，我构造一个相似，那构造相似的话，我们最常用的 相似是啥呢？其实就是 a 字和八字，所以接下来想法就是咱们构造 a 字八字相似就好了。 那么结合画斜位置，画斜位置需要有横竖线，我现在又要构造 a 字八，那我怎么构呢？那就很简单了，我们可以 做竖线，做竖线来得到 a 字和八字啊，那这里面做了两条竖线，他俩平行的，那其实得到的就是一个八字了。哎，那这时候呢，我要求圈 b 叉，圈 b 叉其实就等于谁了呢？就等于了这个图形中的小 a 和小 b 的 比， 小 a 小 b 都是竖线，哎，那所以呢，他处理起来就比这个斜线要简单的多了。好，这是第一个方法，要点画斜为止啊，其实就是斜着的比例不好用，我通过构造 a 八相似，把它画成横竖线的比例关系。 接下来第二个，第二个是一个求最值的意识啊，就是有时候我们可以看到一条定直线上有两个动点，而这两个动点之间呢，间隔了一个定长线段，哎，这个定长可以是任意值。我们举例子，甲方说他是一个二， 那看到这个二以后呢，题目通常会让我们求一个这样的东西啊，它让我们去求线段 a p 和线段 b q 和的最小值，圈加叉和的最小值。 那遇到这类型的问题呢，我们首先要有一个大致的期待，我要求两条线段和的最小值，那么什么样的情况，这个和最小是比较好求的？那你最基本的嘛， 两条线段是不是最好是首尾相连？首尾相连了以后呢，不管是用两点之间线段最短，还是更复杂一些的将军印码的思路去求，哎，他都是有办法可以去处理的啊。但是现在图中两条线段没挨住，那我就没法搞， 所以咱们的第一个想法就是，我得先让他俩挨在一起，那他俩咋挨在一起呢？注意到题目给的一个条件呢，就是 p q 等于二，哎，这里呢，隔了一个定长二，两个动点隔定长。 看到这种情况，你就要想到一个操作，叫做作平移， 做平移哎，我可以让圈儿线段沿着 p q 往过移，沿着 p q 往过移，然后呢，移到这个位置啊， a 变成了 a 撇儿， p 和 q 重合了啊，得到这个是圈儿线段 哎，那这时候你会发现，你求它俩合的最小值是不是就变成一个将军一马问题了，哎，就有办法去解决了，对吧？所以呢，隔定长做平移，这个意思哎，你要具备 然后呢，这个大体的想法有了以后呢啊，当然顺便我补充一下啊，平移的时候呢，他也不是绝对的，不是非得把圈移到这里，你相应的，你把叉移过来，叉移过来是不是也能起到两条线呢，首尾相连的作用，对吧？所以呢， 隔定长，平移的时候呢，两条线呢，你任意移一个都行啊，然后呢，只是做题的时候怎么好算，你就怎么移就行了。好了，这个说完了以后呢，咱们接下来补充一个小的要点，就是隔定长平移平移是知道的啊，但是呢，我们要注意一下这个图形的特点， 圈平移得到圈，那这时候这个图形中呢，一定会出现一个什么东西，一个什么特殊的图形 圈平移得到圈，他俩平行且相等，那这里呢，是不是一定会得到一个平行四边形啊？ 平行四边形有啥用呢？你会发现，因为定长是二，那所以上面 a a 撇也是二。哎，那 a 点呢？肯定题目会给你条件有它的位置，那知道了平移量以后呢， a 撇的位置你也就确定了，你才能进行接下来的计算。 这也是为什么啊，就这个平四啊，仅仅因为有这个平四，有这个二能得到 a 撇的长度，这也是为什么隔定长 才做平移，不是任意长度咱都做平移，一定是隔定长才做平移，因为只有隔定长平移完了这个 a a 撇知道 a 撇的位置才能确定，你才能进行接下来的计算，对吧？所以一定注意，平移完了得平四，利用平四可以确定平移后点的位置 好，然后呢，咱们把它写下来得平四 好了，那这就是隔定长平移的完整的操作思路了。看到隔定长，这是问题的标志，你就要想着去做平移，做平移呢，可以让两个分开的线段挨在一起，然后在计算的时候注意啥呢？注意一定要得这个平四，利用平四来确定平移后点的位置 好，这是隔定长的方法要点。那这两个讲完了，咱们就可以看一看这道中考题的第二问。然后首先呢，一些基本的点作不要表达，是我帮大家都已经求好了，标在了图上啊，标在了图上，大家可以自己先看一下这道题，看能否利用刚刚讲的方法把它解决啊。然后呢，尝试完了， 来看胖叔的讲解。好，那胖叔就开始了，咱们先梳理条件啊，题目告诉我们说有动点屁 是抛物线上的动点，然后呢，有动点 d 和 e 在 抛物线的对称轴上移动，然后移动的过程中呢，保持这有一个定长四啊，其实一看这个定长，你就要想到了隔定长对不对？ 而有了四以后呢？现在题目说啥呢？题目说，哎，有这么两段线段，一个是 p q， 一个是 o q。 题目让我们求这两段线段的比，你看，又看到了线段的比例，斜线的比例啊，想着干什么，画斜位置对不对好，它俩比例最大的时候，求屁的坐标，然后再求两条绿线和的最小值。 其实读题读到这样的，你如果对刚刚讲那些方法熟悉，你已经发现了，这道题就是两个问题的拼接，两个问题的拼接。这道题目中呢，咱们既要处理线段的比例最大值，然后呢，又要去求一个隔定长的线段和的最小值。 哎，那这种拼接的问题呢？哎，其实处理起来反而是容易的，你只要看清楚它是哪些问题，那咱们就一个一个去处理就行了， 哪个好处理，咱就先处理哪个。那这里很显然了，你想求和最小呢，你至少得先知道屁在哪吧。那所以咱们第一步肯定是先利用比例最大求屁的坐标， 然后再接下来呢，有了屁的坐标，知道了屁的位置，我就能利用平移去求两条绿线和的最小值了。好了，题目拆解成了两个子问题，咱们现在一个一个处理，首先第一个求这个比例的最大值， 求圈和差比例的最大值，还是那个逻辑，斜线的比例你就不好处理啊，斜线不好弄，那咱们要想着去化，写为直，要去转化，那比例怎么转化呢？你要够相似， 画斜为直，要用什么线构相似呀？用横竖线找 a 字和八字好，那现在怎么找呢？那我肯定不能随便上来胡就构造嘛，我得先观察一下已知条件，那很容易发现呢，这个叉旁边呢，正好有一条已知的竖线，已知的竖线是六， 那现在我怎么去勾相似？想一想，这有六了，哎，我是不是过了撇再做一条竖线就可以了？做完竖线以后呢，我就得到了红蓝两个三角形是相似的。哎，那这时候圈比叉就等于了 p f 比上六。所以接下来我是不是只要求出 p f 的 最大值问题就可以了啊？因为我要求的是比例的最大值，比例的最大值这边就是 p f 比六，所以我只要求出 p f 的 最大值问题就搞定了。 而 p f 的 最大值好了，你会发现就简单多了，这是咱们二次函数里面的常规操作。求一个铅垂线的最大怎么处理？设坐标， 然后呢，上减下，表示出 p f 的 长度，表示出 p f 的 长度以后呢，你会发现它其实就是一个关于 t 的 二次式，那我只要配方就可以求出它的最大值了。哎，那这个题呢，也没有让我们求最大啊，它只是让你求此时 t 的 坐标，也就是 t 的 值。所以呢，我们可以得到，当 t 等于三的时候，比例取最大， t 等于三，那么屁点坐标，我把屁带进来，屁带进来，坐标自然也就搞定了。好，那到这呢，咱们就完成了第一个子问题，比例最大时点屁的坐标搞定了。 好，搞定了以后啊，那么我们会发现呢，屁点坐标已经有了，屁点坐标的话，咱们大致去找一找它，它大概在这个位置啊，你会发现它跟题目给的是异同呢，首先是有比较大的偏差的， 然后其次呢，就是接下来呢，你再去在这个图形中求什么两条线段合的最小值的话，图太乱了， 图太乱的话就容易导致你出错，容易导致你画的画的看不清楚了，不知道该咋办。所以这里呢，要养成一个好的习惯，处理完一层问题以后，接下来咱们最好重新画一下图，再去解决问题二。 重新画图的话，你就画跟问题二有关的内容就可以了。那首先抛物线你得画出来， 抛物线画出来以后呢，点屁位置你要标好，然后接下来呢，他说 d e 在 这个对称轴上滑动，长度等于四，那我把 d e 两个动点呢，就随便一画啊，这种动点就很好画，你只要满足题任意画就可以了。画出来以后， b d p e 啊，求它俩合的最小值，那这重新画图出来以后，哎，一换就是很显然的隔定长平移的问题了啊，我这两个球和最小我没挨在一起，我要把它俩往一块移， 移的时候呢，可以圈往下移，也可以叉往上移，那这里移谁呢？理论上都可以，但是我建议大家最好是移叉，为啥呢？因为这个 p 点是 x 轴上的点，它是相对简单的， 你最好留着它，方便咱们后续的计算，简单的点要留着，帮助咱们简化后续的计算，所以咱们就平移 p e， 让 p e 沿着 d e 方向，也就是向上平移四个单位，哎，那这时候呢，你会发现 p p 撇也就等于四 p 撇的坐标就算出来了。算出来以后呢， 我现在呢，要求的问题就变成了，啥呀？我变成了有一个点 e， 它是在对称轴上动的。 然后我现在要求啥呢？我要求这个圈线段和这一段啊，这一段圈和这一段叉线段它俩合的最小值。那这是一个典型的什么问题？ 是不是就标准的将军印码问题了？那这个我就不细说了啊，咱们把流程走完就行了，将军印码就做对称，那，那显然 b 的 对称点就是 a， 我 直接对称到 a d， 那 所以直接连一个 a p 撇， a p 撇的长度呢？很好，求两个点坐标都知道两点间距离公式四倍根号五就搞定了。 好了，到这为止，整个第二问就彻底解决了。你发现这道题呢，其实就是若干个子问题的拼接。咱们一块回头看一看，我们经历了哪些问题。 首先第一个呢，是处理了一个斜线的比例关系，斜线的比例不好处理，咱们要通过构造相似化写位置，对吧？所以呢，你看到这有已知的竖线，那就再做一条竖线，把问题变成了求 p f 的 最大值， 而 p f 最大值就是第二个问题，铅垂线的最值啊，这个是二次函数的基本功，不再赘数了，配方求最值就 ok 了。 然后搞定这两个以后呢，接下来第三步啊，第三步呢，我们要去求一个隔定长的和最小，隔定长的和最小。哎，那这时候咱们就隔定长做平移，转化成将军印码问题，最后问题就结束了， 所以呢，拆解下来就是四个小点啊，画斜为直，够相似转化比例、铅垂线、求最直、隔定长、做平移以及将军印码啊，这四个要点，你看 哪块掌握的不到位，注意去加强。好第二问讲到这里，然后接下来开始第三问。第三问呢，还是先铺垫两个核心的方法。首先是沿斜线平移，沿斜线平移啊，什么叫沿斜线平移呢？比如说 我有时候会给你这样的一个条件啊，不是，我是出题老师啊，老师会告诉你，比如说这有一个点是一四， 这有一个点是一四，然后他说这个一四点呢，要沿着这个已知直线的方向向上平移根号二个单位啊，平移以后呢，比如说得到一个点屁，现在呢，他让你去求屁的坐标， 你发现这个平移呢，跟咱们平时遇到的不太一样，咱们平时的点平移呢，沿着水平数值方向平移，你都可以秒，但现在呢，给的是沿斜线平移，斜线呢就不好处理，所以怎么办呢？还是那个想法，斜着的咱们就想画斜位置， 画斜位置，那么这种平移问题的画斜位置就特别容易了，你就简单粗暴，直接干斜横竖线就可以了。 啥意思呢？哎，我要求这个斜着的平移啊，那我就直接做横竖线，找到它水平和竖直方向的平移，斜着平移根号其实就相当于水平移这么一段，数值移这么一段，我只要求出这两段长度问题就搞定了， 那长度等于多少呢？你会发现很简单，因为这个直线它跟坐标轴的夹角是一致的， 他跟坐标轴夹角是一致的，你会发现他跟这些横竖线段的夹角呢，也就一致了。所以这边呢，其实相当于有一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形的斜边是根号二，那直角边就都等于一，哎，所以你会发现，从已知点到 p 相当于怎么平移的呢？ 相当于是向右平移了一个单位，又向上平移了一个单位，右一个上一个，哎，于是平移后的点坐标你就直接可以算出来了，它就是一个二，逗号五， 这个就是沿斜线平移的处理思路啊，就是化写为直的想法，方法也很简单粗暴，你直接做横竖线啊，利用这个直线和坐标轴的加角跟横竖线的加角，我就可以得到它水平数值的平移量了。 好，这是沿斜线平移啊，那么今天呢，其实沿斜线平移的话呢，咱们讲的是相对比较简单的一种情况是 k 等于正负一啊， 我这里叠个假啊，就是实际上他沿任意直线平移呢，最后都是能算的啊，但是呢，今天讲的这道题呢，他只涉及到了关于 k 等于正负一直线的平移，所以咱们今天就只讲到这个程度，大家先掌握这个，后面有机会了，况叔给大家再录一个沿任意直线平移的处理思路啊。 好，然后呢，这个沿斜线平移就说了啊，然后呢，接下来呢，呃，咱们举的例子是比较简单的啊，直接就是线这个直线上的两个点的平移。那么其实呢，有时候咱们还会遇到一种题呢，他会这么去描述啊，他会告诉你说 已知一个点 a， 比如说点 a 的 坐标是五一，然后他让这个五一呢，沿着 x y 等于 x 加三的方向啊，沿着 y 等于 x 加三的方向平移，得到了一个点 b， 这个点 a 呢，不是在直线上的，但是他会告诉你说，沿着这个直线斜着往上平移了多少个单位啊？随便说，比如说平移了一个，也是根号二个单位吧， 也是平移了根号二个单位。哎，那我遇到这种情况要怎么处理呢？其实跟刚刚是一样的，哎，你看啊，他沿着这个直线的方向平移，其实在告诉我们什么呢？其实就是在说 ab， 他 得跟这个直线是平行的 啊，从 a 到 b 这个线段得跟它平行，这才叫沿着直线这个方向去移。所以呢，你发现这条线它跟横竖线的夹角也是多少度呀？四十五度，所以呢，咱就直接开干， 简单粗暴的做横竖线，那么就得到了这里面角是四十五度啊，因为它沿着直线方向平移，所以它跟横竖线的夹角与直线和横竖线的夹角是一样的，所以，哎，这边也有一个等值，这是一，这是一， 哎还是啥呀？还是右一上一，所以 b 的 坐标就搞定了，就是六二，这是任意一个点沿着这个直线平移的一个计算方式。 好，那这是点的平移。说完了，那有的时候呢，题目还会告诉我们说，抛物线，抛物线啊，比如说现在有一个抛物线 y 等于 x 减二的平方加一啊，他告诉你，这个抛物线呢，也要沿着这个直线斜着往上平移，跟二个单位。哎，那抛物线沿着直线平移怎么处理？ 那咱们想吧，抛物线平移，你也不会看整个抛物线，你会研究抛物线上的特殊点？谁呀？哎，是不是就是研究抛物线上的顶点，这个顶点呢？他就是二一，那他相当于在说什么呢？相当于在说要让二一沿着这个斜线平移，根号二个单位 是不是也是跟刚一样的分析？其实就是往右移一个，往上移一个，往右移一个，往上移一个。哎，我就得到了平一后的顶点坐标。是谁啊？平一后的顶点坐标是三二， 有了平移后的顶点坐标，那么你这个新抛物线你自然也就能画出来了。所以抛物线沿斜线平移，其实也是看顶点横竖方向的平移，顶点横竖方向的平移，你搞定了新顶点算出来了，那新抛物线也就能画出来了。 好，这就是沿斜线平移的处理思路啊，咱们今天只谈 k 等于正负一，也就是与坐标轴夹角是四十五度的直线的平移。好了，这是第三问的第一个要点。好，然后接下来继续。还有一个就是三角函数的处理啊，三角函数的处理， 就咱们经常会在函数几何题中看到要三角函数啊，给你个三角函数，让你去求处于此类的。比如说咱们举个例子啊，有这么个抛物线，抛物线上有一个点 p， 现在题目告诉你 p a b， 这个角的正切值等于二， p a b 这个角的正切值等于二，现在让我们去求 p 的 坐标， 那我要求这个 p 的 坐标怎么处理呢？怎么去解决呢？你会发现这个正切值一定得用起来，但是正切值咱们初衷阶段只能在什么三角形里用呢？直角三角形。所以呢，上来的第一步一定是先做垂线， 那做垂线的时候还是那个想法啊，就坐标线里面，我是不喜欢斜线的，我一定希望他是横平竖直的线段，所以呢，这里这个特殊角做垂线应该怎么做呀？我要做垂线是不是肯定是过撇往 x 轴上做垂线？好，做完了以后你会发现这个正切值其实就是 对边比邻边 ph 和 a h 的 比，而他俩的比等于二的话，他俩都是横竖线。哎，那你会发现接下来思路就很简单了，我只要把这两段横竖线表示出来，带入解方程就完事了。 而表示这俩函数线，你会发现需要谁的坐标呀？我是不是需要有 a 的 坐标，需要有 p 的 坐标， a 的 坐标是可以解出来的， p 的 坐标是动点。不知道，所以怎么办？我是不是设一下 p 的 坐标，表示线段长解，关于坐标的方程就结束了， 这就是坐标线里面三角函数的处理，其实就是做垂线构造直角三角形。然后呢，得到横竖线的比例，设坐标表示线段列方程啊，都是一些基本的操作。 好了，这个技术要点咱们说完了，那么接下来咱们来看一下这个第三问。第三问，首先呢，还是大家自己先做一下啊，自己先做一下啊，带着刚刚的思路方法尝试一下，看看能够做到什么程度啊。然后呢，完了再来看旁授奖。然后咱就开始吧， 首先呢，他说在二的条件下，二的条件下的话呢，咱们屁点的位置你是知道的吗？你肯定先把它标出来， 标出来以后呢，他说要让抛物线沿着射线 bc 的 方向平移二倍根二个单位。射线 bc 啊，你发现它的 k 是 四十， k 是 正负一啊， k 正负一，所以这里面夹角四十五度。我知道了，哎，那这个平移的话，有了刚刚的铺垫，咱就会处理了。 然后接下来呢，他又说到了 m 是 p 的 对应点， n 是 新抛物线 y 撇上的动点。那你就会发现，这个题接下来肯定得先干啥呀， 肯定得先把这个平移处理掉，得到屁的对应点， m 得到平移后的画无限解析式。因为这些都跟你接下来的所求是有关的，所以这个题还是一个呃，拼接的题目啊，你先得搞定平移。 搞定平移完了以后呢，接下来呢，你才能画出图去处理这个角关系啊，还是一个拼接的问题，所以咱们就一个一个来先处理平移。 处理平移方法刚刚讲过了啊，其实现在就相当于是要让这个图呢，沿着斜线平移一个二倍根号二。 斜线平移二倍根号二的话，那我就看它水平数值的平移量。水平数值的平移量的话，那你因为这角是四十五度，所以这角也是四十五度，那很明显了， 它其实就相当于是向左移两个单位，再向下移两个单位，沿斜线平移。说白了就是这么回事，左移两个，下移两个，我就分析出来了，分析出来以后，那么心抛物线和 p 的 对应点 m， 咱就都能搞定了啊，都能搞定了啊，咱们来看啊，首先搞抛物线，抛物线的话，那你就得看顶点，看顶点的话，配个顶点式，配完顶点式以后，这个顶点的坐标有了二分之五，逗号负的四分之四十九，负的四分之四十九， 然后呢，他要沿着这个斜线平移，就是左移两个，下移两个，左移两个，下移两个，那平移后的顶点坐标就有了平移后的顶点坐标，左移两个是不是就是 二分之一啊？然后呢，他再往下移两个单位，就是负的四分之五十七，哎，所以平移后的这个顶点也就有了。平移后的顶点有了心抛物线自然就可以给他画出来了， 于是顶点有了新抛物线图画出来的，那解析式也就很好求了啊， a 是 不变的吗？ a 还是正一，顶点是，这个顶点是有了，看着复杂，但是你化简一下一般式其实还是比较简单的。哎，我这个平一后的抛物线就搞定了， 核心思路就是看清楚平移量以后先搞顶点，搞了顶点就有了图，有了解析式，然后呢，这个平移问题就处理完了，然后这是处理了 y 撇嘛， m 呢，就更简单了， m 其实就是 p， 左移两个，下移两个，那么它的坐标呢，直接就是一逗号负十四 好了。这是第一步处理平移，平移处理完了以后呢，接下来第二步，我们就要去处理这个角关系了。 处理角关系的话呢，这里面两个角啊，一个是 n a b， 一个是 o p m n 呢，是心抛物线上的一个动点啊，那现在这个点在哪呢？我也不知道这角多大，我都不好，不太好画这个视意图。那所以呢，咱们肯定先看后面这个角，后面这个角的话， o p m 都是已知点了，那咱们可以先把这个角画出来。画出来以后呢，我们发现呢，题目说了一个有特点的条件，是他减了一个四十五度，这个角，这个角他要减一个四十五度， 那我这个四十五度肯定不能凭空造吗？对吧？那大概就这个题目中会给咱们提供已有的四十五度。哎，那我们观察一下在哪呢？哎，是不是就刚刚这个直线呀，他跟坐标轴跟横竖线的夹角是四十五度。哎，那他跟咱们的这个 opm 有 什么关系呢？ 还记得吗？ pm 是 啥呀？ pm 是 p 沿着这个射线的方向平移得到的 m， 哎，那也就是说 pm 和它是啥关系？ pm 和 bc 这两条线其实是平行的关系，所以 pm 跟横竖线的夹角也是四十五度。好了，我现在想要它减去一个四十五度来，那你说怎么做？ 它跟横线竖线的夹角都是四十五度，我想让它减一个四十五度怎么办？做个横线吧， 做了横线，完了，下面这个角就是四十五度啊，下面这个角就是四十五度，那剪完了上面这个角，上面这个角就是它俩的差，所以呢，这个角是不是就等于了咱们的 n a b 啊？等于了 n a b， 所以 我就其实通过导角呢，找到了等于 n a b 的 角， 就是这个货，而这个货呢，你再进一步的去看一下，你会发现它可太可爱了。为啥呢？因为它呢 边是横平竖直的啊，一个边是横线，对边是一个竖线，横线呢，是横坐标三，竖线是纵坐标是个十二。那你会发现，这个角不光是找到了他的什么值，也就求出来了，他的正切值 对边十二零边三正切值，竖线比横线等于四，是不是也就知道了啊，那这就太可爱了，正切值三角函数都知道了，这个角的大小基本上就可以确定啊，那这时候呢， 我们要求的 n a b， 它等于这个角，那三角函数肯定也一样等于四。哎，那我就对这个角有谱了，它具体等于多大三角函数说了算。哎，我就知道， 知道以后呢，示意图也就好画了啊，咱们在这个抛光线大致画一个点啊，画一个点不用太准确啊，这个题你画太准确了，反而这边会很乱啊，你画个大概就可以了，画出来以后，其实就是这个角的正切值等于四。 那我现在的任务就变成什么了，要利用这个正切值去求 n 点的坐标。哎，那这是不是咱们刚刚铺垫的最后一个技能呀， 怎么去求呢？特殊角做垂线嘛，对不对？特殊角做垂线啊，做垂线，把这个正切值放到一个直角三角形里就好了 啊。好，放进去以后，哎，这一页写不下了，咱们换一页啊，我现在要处理这个正切值，其实就是 n h 比上 a h 啊，就是 n h 比上 a h， 那 现在呢，我们只要表示 n h， a h 的 长就可以了， 而表示他们的长的 a 点坐标。知道，那我是不是就再设一个 n 点的坐标， n 点的坐标，接下来利用坐标表示这两节线段的长度就完事了。 好，那接下来要表示表示的时候呢，有一些小细节希望大家要注意。首先啊，咱们要表示 n h， 然而表示 n h 的 话呢，从图上看啊， n 在 x 轴的下方，所以呢， n h 的 长度相当于这个纵坐标的相反数。但是啊，注意一下， 图是你自己画的，图是你自己画的，这只是个示意图。那么这种自己画的图呢，你就一定要考虑一下你的这个线段表达式，他要不要带啥呀？要不要带绝对值？ 哎，你要去看一看这个 n h， 这个 n 点是不是一定要在 x o 上方，一定在 x o 下方，或者它也可以去上方？那如果上下都可以的话，那这个长度的话，它就得带上绝对值，才能保证一定是正数。 好，那我们想一想，我要保证 n a h 的 正切值是四，那 n 点能不能去 上方？ n 点能不能去上方？抛物线是无限延伸的，是不是感觉 n 在 上方的时候呢，也可以保证这个角的正切值等于四呀？所以 n 是 上下都能去的， 所以表示 n h 长的时候呢，我们需要给纵坐标加上绝对值，写出来应该是 n 方减 n 减十四的绝对值。 好，所以注意上下不确定，带上绝对值好，再来。那我接下来还要表示 a h a h 呢，打眼看应该是 n 减负一， n 减负一就是 n 加一，那么 n 加一用不用带绝对值呢？ 原则其实就是看 n 和 a 的 左右位置关系，如果左右确定就不带，左右不确定就要带，那这里 n 和 a 的 左右关系确定不确定。 n 是 怎么来的？这个角来的？这个角来的，那我们会发现啥呢？这个角是个锐角，这个角也得是个锐角，它俩得相等，都是锐角。那既然 n a b 是 锐角，那我们想一想， n 点能跑到 a 的 左侧去吗？如果 n 点跑到 a 的 左侧了，这是 n， 那 你是不是得到了 n a b 直接是一个钝角了，就不合提议了嘛。 所以呢，这里面有个细节要注意， n 点肯定在 a 的 右边，这里 a h 的 长不用带，绝对值一定是 n 加一。好了， 这个事情一定要想明白啊，想明白了以后，方程就列出来了，而且呢，在这个过程中呢，咱们还得到了一个意外收获，就是我们其实通过分析呢，确定了 n 的 一个大致范围， n 要在 a 的 右边的话，那你 n 的 这个值， n 的 值肯定要比负一要怎么样？负一要大，所以呢， n 等于 n 大 于负一，你要记得把它备注在旁边，因为解方程完了，可能要干啥呀，可能要取舍，对吧，注意这些细节 好了，得到这个方程以后呢，绝对值方程呢，看似复杂，其实很好解，其实就是分成一正一负两种情况啊，我们把它 呃去分母乘到右边以后呢，可以得到一个方程是正的 n 方减 n 减十四，等于正的四倍的 n 加一。还有一个是正的等于负的啊，就是两种不同的方程，那都是一元二次方程啊，肯定会解 解出来呢，分别有四个答案啊，总共有四个答案。那这里面呢，因为 n 大 于负一，那你注意取舍的话，会发现 n 二 n 四就舍掉了啊，就舍掉了最终正确的 n 点横坐标就这俩，然后带入到 n 点的坐标表达式，那么整个 n 的 坐标就搞定了。好了， 这个题就彻底解决了，解决以后呢，咱们还是回过头来干了，看一看干了点什么事情啊。 这个题呢，其实处理了两也是两个子问题啊，第一个就是关于沿斜线平移的处理，沿斜线平移的话，咱们注意啊，沿斜线平移，核心想法就是要画斜为止啊，而且很简单粗暴， 你就强行做横竖线，强行做横竖线，画斜位置就可以了啊，斜着沿二倍根二个单位，其实就是沿横竖线各以二个单位，各以二个单位啊，这个看的是直线和横竖线的夹角，直线和横竖线的夹角， 然后呢，接下来问题二，问题二呢，处理了一个角关系啊，那在处理这个角关系的过程中呢，你会发现有一个要点，就是这个四十五度，这个四十五度啊，大家一定要有意识，题目给你的等式中有加减四十五度，那这个四十五度一定不会凭空出现， 题目中会给跟四十五度有关的角，所以咱们要去关注条件，那这个是比较明显的，这根线跟坐标轴跟横竖线的加角是四十五度哎，那所以呢， 与它平行的 pm 与坐标轴与横竖线的夹角也是四十五度啊，正是因为想到了这个四十五度，咱们才想到了这个关键的辅助线啊，做了这根横线， 所以呢，注意倒角的时候找已知的四十五度，题目要求有四十五度，你注意找已知的四十五度。 然后最后啊，最后就是咱们三角函数的处理了啊，你注意就是做垂线，找横竖线的比例，设坐标，得线段，列方程就完事了。好了，整个题就说完了啊，这道题呢，其实，呃，还是比较有难度的啊，然后呢，它里面呢，其实 主要的难点在于堆叠了太多的问题，你会发现他的每一问呢，都相当于是若干个小问题的结合，其实在正常的一个函数综合题里面呢，这里面的很多环节都可以单独出疑问的， 比如说处理这个平移求抛物线，他可以单独出疑问的，处理这个角关系也常常看到的是单独的疑问，但是他就是把这些问题直接堆到了一起， 导致这个题的后两问看起来都比较复杂啊。这个就需要大家有比较扎实的基本功，对于函数最值的一些基本的操作方法呢，比较熟悉。然后呢，你才能顺畅的去处理这种题目。好了，今天就讲到这里啊，拜拜。

不传播焦虑情绪，李老师，只希望大家都会两道题哈，我们今天来拆解一道二五年的中考真题。 这个中考真题呀，把二次函数图像于性质啊，方程不等式全部考了一下，而且老师在做这道题的时候哈，也陷入了他的陷阱，我们来看看这道题该怎么办？ 他说二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 图像与 x 轴交于两点，其中一个点给了负一，另一个点 x 一 在二三之间，也给了有下列结论，他让我们去判断哈，我们先看第一个， 第一个 a， b， c 相乘于零的关系，所以我们来判断看 a 管的是什么？ a 是 开口方向对吧？那么 a 肯定大于零，那么 a 和 b 放在一起管的是什么？是对称轴。那么在这道题里面，我们看一个点是负一，另一个点在二三之间，那就证明我这个对称轴啊，怎么样， 一定在零和二分之一之间。所以通过这个式子，我们就能判断出来， b 小 于的是负 a， 这个我们之后有用哈。而且看 a 大 于零，对称轴在 y 轴右侧，左同怎么样？右异对吧？左同右异的话，我们就能判断出来 b 是 小于零的 好。再看 c， c 管的是什么呀？ c 管的是二次函数图像与 y 轴交点，所以在这里面 c 也小于零好， c 小 于零， b 小 于零， a 大 于零，那么这个结论是不是对的呀？所以结论 e 就是 对的。 我们再来看结论二，结论二，我们发现呀，他只让我们判断二 a 加 c， 他 把 b 约掉了，是吧？那这个时候我们就想 啊，二 a 加 c 这种形式，如果我在左右两侧都添一个 b， 那 么是不是就有点像我们二次函数这种性质啊？所以在这里面我们看令 x 等于负一哈，为什么令 x 等于负一呢？因为题里给了呀，负一的时候函数值为零，所以我们看令 x 等于负一的时候，式子变成什么？是不是就 a 减 b 加 c， 它就是等于零的， 但是它让我们判断的这个式子里面有没有 b， 是 不是没有 b， 所以 我们就想，那没有 b 啊，我两左右两侧加一个 b 是 吧？那就变成了 a 加 c 等于什么？ b 是 吧？啊？ a 加 c 是 等于 b 的， 那 b 跟 a 有 什么关系啊？ b 是 不是小于负 a 呀？所以就有了 a 加 c 怎么样？小于负 a 是 吧？所以 a 移过去二 a 加 c 小 于零，所以结论二是不是也是正确的？好，结论二也是正确的，我们看结论三， 结论三啊，是四 a 减 b 加二 c 关系啊，这个好像大致一看，我没有什么思路，是吧？那我们想换一下，如果未知数越少越好，是吧？我们已经知道了 b 等于什么呀？ b 是 不是等于 a 加 c， 所以 我们就把它换一下，看看它能变成什么。 今天老师改成竖版了啊，就是因为今天要写的东西有点多，来，我们看四 a 减 b 加二 c， 好， 写在这，四 a 减 b 加二 c， 我 们看它等于什么？ b 等于的什么呀？是 a 加 c 是 吧？它就等于四 a 减去括号， a 加 c 加二 c， 那 么它化简完应该是什么样的呀？化简完就应该是三 a 加 c， 所以我们现在只需要判断谁啊，只需要判断三 a 加 c 就 可以是吧？啊，这三 a 加 c， 我 们该怎么办呀？想让 a 前面的系数变成三，或者是三的倍数，那么我们在原来的式子当中怎么样？就得令 x 等于 三，是吧？所以令 x 等于三，我们看令 x 等于三的话，那变成什么？大家跟我一起看，是不是就变成了九 a 加三 b 加 c 啊？ 令 x 等于三是吧？好， x 等于三，它是大于零的。好，我们看，嗯，九 a 加三 b， 因为我们想要的式子里面没有 b， 所以 我们还是要想办法把它换掉，那就变成了九 a 加上三倍的 b 是 谁？ a 加 c 加 c 就 大一点，好化简。九 a 加三， a 加三， c 加 c 是不就大于零？再化简变成了什么？十二 a 加四， c 大 于零，看十二 a 加四， c 大 于零，如果不等式两侧同时约掉四，是不就能变成三 a 加 c 是吧？所以就推到它，那就证明啊，它是大于零的，但题里面是小于零，所以三就不对。好，四和五啊，是这道题重头之重。我们来看，若 m 和 n 是 关于 x 的 一元二次方程，这个方程的两根 入，而且 m 小 于 n， 让我们判断 m 和 n 的 取值范围，这个时候我们就去想啊，要求方程方程的根实际上是不就是函数图像的焦点呢？那我们看一看这个函数图像，大家眼不眼熟 啊？大家肯定会说，那跟二次函数解析式也不一样啊，但是这个是不是这个二次函数的焦点式呀？ 是吧？看焦点是一个根是负一，一个根是 x， 一 对应上面，所以这一侧就是什么，就是我们二次函数的这个图像。 那么我们把这个加 c 移过来，是不就相当于这个方程等于负 c， 那 也就是说我们判断它们根的范围的时候，判断的是什么？是二次函数图像与 y 等于负 c 图像的交点。那 y 等于负 c 是 什么呀？我们知道 c 在 这，所以负 c 肯定是跟它关于 x 轴对 y， x 轴对称，是吧？所以我们在这画一条直线，那么这条直线就是 y 等于负 c。 好，那方程的两根是谁呀？所以对应下来，这是一个根，这是一个根，那么人家说了 m 小 于 n， 所以 这个根是 m， 这个根是 n， 那 m 的 范围是什么？ m 的 范围小于负一， n 的 范围大于二，所以对不对？所以啊，它就是对的，是吧？这个呀，就是方程 跟什么函数图像的关系，是吧？来，我们看最后一个关于 x 的 不等式的解析，是这个老师刚开始做的时候哈，上来就发现，哎，这侧也有 c， 这侧也有 c， 我 直接就把 c 约掉，但是这个是不对的哈，这种方法做起来是很困难的。 来，我们看这一侧是什么呀？这一侧呀，是不是还是二次函数抛物线解析式？那么我们要判断它大于它的解析式是什么？ 我们只需要看的是什么呀？还记不记得我们之前学的时候，如果他比他大，那就证明他的图像在他的图像上方，是吧？那这一侧图像已经给出了，我们只需要把这个图像给出来就可以。我们看这一侧是什么图像啊？ 是不是依次函数，那也就证明他的图像是一条直线，而且这条直线的 k 值是什么？是负 x 一 分之 c， 那 就证明我要过哪个点，就是 这个点，因为这个地方也是 c， 对 吧？好，然后我们去判断这 k 值， k 值 c， 我 们知道 c 呀，是小于零的， x 一 是大于零的，那就证明我这个 k 值怎么样？ 前面还有个符号，所以 k 值啊，是大于零的。那么这个一次函数啊，就是一个与 y 轴交点在这一侧，而且向上走的一个一次函数，我们把它做出来 就是这样。那他让我们判断的是什么呀？是二次函数在一次函数之上的那部分。哪部分呢？是不是这一部分是二次函数在一次函数之上啊？我们再看二次函数在一次函数，那么是不是就这部分？所以看好这两侧， 那么这个值就应该是什么呀？是，应该是 x 小 于零，大于这个点，是吧？那这个焦点的坐标具体应该是什么呢？我们可以令这一侧啊，怎么样？看一看这个直线与 x 轴交点是什么？ 令什么？令 y 等于零，也就是说我们令这个整体为零，是吧？令它为零的时候，我们可以解出来 x 啊，就等于 x 一， 那么就证明这条直线 应该交在这个点，所以啊，这个直线我们应该修正一下，就是这样，那就证明 这个解集应该是什么？是 x 小 于零或 x 大 于 x 一， 而不是它相反的，是吧？所以第五个就不对了，那么这道题正确的就是三个，所以选的应该是 b。

二零二五年陕西中考正题第十三题，十三题是反比例函数，也就是我们填空题的倒数第二题，这很多年了，一直是反比例函数，而且在中考里面，反比例函数是整个三个函数里面考的最为简单的一个 啊，注意我们 k 的 几和一其实就可以了，那么 k w 图像在一三象限，那么在每个象限内外随 x 增大而 减小，那么这就是一三象限图像呢，是双曲线，那么 k 小 于零的话，它就在我们的二四象限， 那么在每个象限内外随 x 增大而增大，那么这是第一点，那么第二点的话，一定要注意，它是关于圆点中心对称的，第三点呢，我们要注意，那么 k 的 绝对值 啊，那么这块呢，我们给它变形一下，这块就更好理解了。那么它的变形式是不是就 k 等于 x 乘以 y， 那 么随便找一个点，做 x 轴的垂线和做 y 轴的垂线，我们来看一下， 那么 x 乘以 y 是 不是就是长乘宽，也就刚好这个矩形的面积， 是吧？那么这块我们加一个绝对值，那么也就是说我们 k 的 绝对值就等于矩形的面积。 好，这块要注意，那么接着来看一下第十三题过原点的直线，那过原点的直线，我们一般情况下，在我们考试里面是不是都出现的是正比例函数， 那么正比例函数是关于原点中心对称的，反比例函数也是关于原点中心对称的，所以两个焦点是什么关系呢？也是关于原点中心对称的吧。 那么关于原点中心对称的两个点，他的横坐标互为相反数，也就是负 m 等于 m 减六，那或者呢，就是 m 加上 m 减六等于零，我们说了两个数互为相反，数和为零，那么二 m 就 等于几啊？ 等于六， m 就 等于三，那么同理， n 加上 n 减六等于零，所以 n 就 等于三，是吧？那么 m 也知道了， n 也知道了。我们说了 k 的 这个关于反比例函数的这个表达式的变形式， k 等于 x 乘以 y， 所以 m 乘以 n， 是 不是就等于我们的 k， k 就 等于三三得九吗？ 好，这是我们的第十三题，我们来看一下填空题的压轴题，其实在中考题里面，填空的压轴比我们平时模拟考试的压轴题要简单的多。 好，我们来看一下第十四题， ab 等于六，然后 ad 呢等于八，这是一个平行四边形，角 b 呢等于六十度，所以角 a 呢？平行四边形，菱角互补，所以这个是一百二十度。 好，接着我们来看一下 m， n 是 动点问题，看到动点问题挺头疼的。好，那么且 am 等于 an， 也就是 m 在 动的时候， n 也在动，而且它们俩同时靠近 a， 或者是同时远离 a， 那么也就是说我们三角形 amn 是 一个等腰三角形，那么也就得到了。刚才我们说了角 a 是 一百二十度，所以这个角是不是就等于三十度，这个角也就等于三十度，那么接着我们就得到了这个是 做了等边三角形 m n p， 我 们把这个图形放大一点。 好，我们来看一下， 那么刚才我们说了这个角一百二十度，因为菱角互补，那么接着题目中又告诉 a， m 等于 a n， 那 这个就很明显三十度，这个是三十度等腰三角形吧， 他做了一个 m n p， 是 一个等边三角形，是吧？所以每个角是六十度。发现了我们什么 n p、 n p 和 ad 是 垂直的关系，包括我们 am 和 mp 是 不是也是垂直的关系？ 好，我们回过头来看一下，那么钥匙的点屁始终在三，呃，这个平行四边形， a、 b、 c、 d 的 内部或者在边上， 屁点在内部或者在边上，那么当 m n p 面积最大的时候，那么 d n 的 长为多少？好，要求这个的长度，我们是不是要知道这个屁点拥用到什么位置的时候它最大了？刚才我们说了，那么这是垂直的，是不是垂直的一条线？ 好，我们把这个放大一点，垂直的一条线，那么我们来想一下，什么时候 m n， 也就说我们的 p 点，这个它的面积最大， 这是一个等边三角形，那肯定边长越大，它的什么面积越大，那么 m 这个 n p、 n p 什么时候最长呢？那是不是 p 点刚好是这个样子，是不是？当然我们把这个图形再画一下，那么图形大概应该是个这样子， 是不是？那么此时 n p 才是最长的吧？那这样的话，我们这个等边三角形才最大，面积最大。好，我们再来看一下，刚才我们说了， 这个是一个三十度，这个是个六十度，所以这个是垂直的，那么这个垂直的话，我们想一下怎么去算一下这个边或者是 a n， 那么取决于我们这个等边三角形怎么去处理吧。好，我们来看一下，刚才我们说了，这个 n p 是 垂直于 b、 c 的， 好，垂直，那么垂直的话，我们想到了高，是吧？好，那么来看一下，过点 a 做垂线， 那么这是六十度，这个是三十度。好，三十度所对的直角边是斜边的一半，所以这个是三吧。好，利用勾股定律，我们算出来，这个就是肯定是三倍根号三，所以这个也是三倍根号三的问题吧。 那么接着我们来看一下，在这个等边三角形 a、 m、 n 中，这个边是三倍的根号三。 好，这个是个一百二十度，我们有一个口诀叫一比一比根号三，所以 an 等于多少？ an 等于三吧， 一百二十度的等腰三角形，那么呃，两个边比上底是一比一比根号三，那如果这块不会的话，其实你就做过点 a 做垂线， 是不是符合三线合一，那么我们的这个长度呢？是不是就是二分之三倍的根号三， 然后呢又得到这是一个三十度，三十度所对的直角边是斜边的一半。好，那么 x 平方加上三分之二分之三倍的根号三，我们来写出来， x 平方加上二分之三倍的根号三的平方等于 二 x 的 平方，那当然利用这个式子我们也能算出来，那么这块呢，如果说你等腰三角形一百二十度等腰三角形你用的多了，其实我们也能归纳出这个规律它的，我在这块画一下， 这是一百二十度，且是等腰三角形，那么腰比底是一比一比更好算。 好，那这样我们知道了， a、 n 是 三，所以 n、 d 呢？是八减三等于五。好，这个题我们就结束了。

这是二零二五年全国一卷的压轴十九题。三角函数融合导数，让无数同学无从下手，今天用最通俗的讲解，让你三分钟彻底弄懂这个题。首先看第一问， 求函数在某一区间的最大值，对 f x 求导，得到 f p x 等于五 sin， 五 x 减五 sin x， 此时令导函数为零，得到一个三角方程解得有且只有一个变号零点对极值与端点值比大小，即可得到最大值。第二问叠加了许多逻辑用语，题目要求证明存在 cosine y 小 于等于 cosine 塔。不难想到，用单位圆将三角函数转为点的横坐标 作与 x 轴正半轴夹角为西塔的射线交 a， 那 么 cosine 西塔就是 a 点横坐标同理作夹角为 a 的 射线交 b， cosine a 就是 b 点横坐标， b 点坐标随 a 增加具有周期性， 考虑零到二派即可。当 a 大 于西塔，小于二派减西塔时， cosine a 本身就比 cosine 西塔小，故取 y 等于 a 得到 cosine y 小 于等于 cosine 西塔即可。当 a 等于零时， y 大 于等于负西塔，小于等于西塔，取 y 等于 a 加西塔就满足。 当 a 在 零与西塔间时，无论 a 多小，西塔多大，西塔与 a 加西塔间必存在比西塔大的点， 所以在这之间存在外满足提议。当 a 在 派加西塔到二派范围内，则与前面类似， a 等于二派时取西塔即可。而 a 在 派加西塔与二派间时， 注意到 a 杠西塔此时与派加西塔间始终存在满足提议的点，所以说存在外属于 a 减西塔到派加西塔内满足提议。 来到第三问，要求 b 的 最小值，而 b 是 这个函数的最大值。这个函数的最大值同时受派的影响。 也就是说，当斐变化过程中，这个函数的最大值会不停变化，我们要做的就是找出这个最大值的最小值，就是最终要求的 b。 仿照第一问的思路，我们对这个函数求导解出的极值点是含 k 的 式子，将这些点代入，可得该函数的极值， 前者显然小于第一问给出的三倍根号三，我们不考虑将后者的极值通过诱导公式化简，得到只含一个余弦的值。考虑到余弦函数周期为二，派取 k 等于一、二三、四、 五六。当 f i 变化时，这六个极值中的最大值就是整个函数最大值。这里我们再次考虑用单位元，当 f i 等于零时，显然有 a、 e 与 a 六的横坐标最大，此时最大值为六倍的 cosine 三十度等于三倍根号三。 而当 f 增加时，等价于所有射线顺时针旋转，又由于旋转的弧度小于六分之派， a 一 点的横坐标必然增加，所以当 f 不 等于二 k 派时，函数最大值必然高于三倍根号三。综上所述， b 的 最小值为三倍根号三。

宁波初三同学，这道题是咱们将北一模的一道送分题啊，居然有一半的同学还会把这个公式记错，一会二分之一，一会二分之根号三，是不是脑子里记红了？其实呀，根本不需要啊，怎么死记硬背啊？今天呢，安老师教我们一个左手记忆法，来，咱们看啊，我们首先伸出我们的左手 来，从大拇指开始算啊，我们几个度数，从小到大一次数，零度三十度，四十五度，六十度，九十度，好吧，好，那么三引看左，靠，三引看右啊， 那么我们这个三角函数的数字多少啊？就是二分之根号 n， 好 吧，那比方说我们的三引三十度，三引三十度是多少了吗？来，首先伸出三十度是这个手指是吧？左边有几根手指呢？一根对吗？三引三十度就是二分之根号 n， 就是 二分之根号一，是不是就二分之一呢？那么同理，考生应，我们要看右边，那么考生应六十度是多少？来， 六十度，零度，三十度，四十五度，六十度，是不是这根食指手指啊？来，六十度，六十度的右边有几根食指啊，一根，对吧？二分之根号一，也是二分之一。 那至于这个，回到这道题啊，我们是摊进他啊，我们最好都是记住啊，摊进的四十五度是一，那么不会的时候，是不是用正弦四十五度和余弦四十五度算出来除一下，对吧？那么这个道题，你看三十度是多少了，二分之一，对吗？ 考三六十度也是二分之一啊，然后来正弦四十五度，是不是十一啊，所以十二了。最后，好，那么这个特殊字啊，我们一定要记清楚啊， 考试的时候你总不能盯这个手吧。当然，在你紧张的记不清楚的时候，我们可以来伸出我们的左手记忆法，用安老师左手记忆法保证他是正确无误的是吧？关于三角函数里面的公式，我们还是要好好背一下啊。那么关注安老师下期带我们来攻克网格里面的三角函数。