六年级第一单元数学圆柱画法

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习圆柱的侧面展开图，我们来思考一下圆柱的侧面展开后是什么形状？我们先来研究沿着高剪开， 我这里拿硬纸做了一个圆柱，没有上下两个底面，只有周围的侧面。现在我们沿着勾剪开之后，再把它展开，看能得到什么，得到一个长方形，所以沿着勾剪开，将圆柱展开后，得到一个长方形，那此时长方形的长等于圆柱的哪一部分？ 长方形的宽又等于圆柱的哪一部分？我们再来观察一下，这是圆柱的侧面，沿着勾展开得到一个长方形，这是长方形的长，我们再把它还原回去， 看是圆柱的哪一部分，再看一下，你可以一直盯着长方形的长看，最终变成了圆柱的哪一部分。我们发现长方形的长就等于圆柱的宽，再把它还原回去，就等于圆柱的。 所以展开后，长方形的长就等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。 那如果这个长方形就是圆柱的侧面展开图，那我们把它还原成圆柱。有几种情况可以这样还原，这是一种情况，那这个时候长方形的长就等于圆柱的底面周长，而长方形的宽等于圆柱的高。 那还有没有其他情况？我们还可以这样还原，变成一个细细的高高的圆柱。那这个时候长方形跟圆柱又有什么样的关系呢？长方形的长就等于圆柱的高， 而长方形的宽呢？等于圆柱的地面周长。我们下去之后，可以自己拿指示一下，便于我们理解。那我们想一下，如果一个圆柱沿着高剪开后，会不会出现一个正方形？我们再来看一下，这个圆柱沿着高 将侧面展开，得到一个正方形，这条边是圆柱的高，这条边是圆柱的底面周长。再观察一下，给他还原，这是底面周长，展开后是正方形，这条边长。我们在图上标一下， 这条边是圆柱的底面周长，这条边是圆柱的高，而正方形四条边是一样长的，也就是圆柱的高等于底面周长。所以当圆柱的底面周长和高相等时，侧面沿高展开是一个正方形。那我们思考一个问题， 此时直径与高的比是几比几，也就是 d 比 h 等于几比几？从这里入手来找答案。底面周长和高相等，也就是 c 等于 h。 让我们求直径与高的比，那我们把周长用直径来表示派， d 等于 h， 可以 求出 d 比 h 等于一比派。可以根据比例的基本性质，内向基等于外向基。得到答案。也可以用假设法假设最后结果都等于一， 求出 d 等于 pi 分 之一， h 等于一，所以 d 比 h 等于 pi 分 之一比一。再化解一下，同时乘 pi 等于一比 pi， 那 直径跟高的比就是一比 pi， 那 半径跟高的比呢？也就是 r 比 h 等于多少？ 同样根据底面周长和高相等来计算一下底面周长，我们用半径来表示二 pi， r 等于 h， 可以 得到 r 比 h 等于一比二。 pi 也是这边的方法，第一种方法，内向肌等于外向肌。第二种方法，假设最后结果都等于一， 我们可以得到 r 等于二派分之一， h 等于一，所以 r 比 h 等于二派。分之一比一， 同时乘二派，一比二派，所以半径比高等于一比二派。这是我们研究的第一种情况，沿着高将侧面展开，一般情况下得到一个长方形，特殊情况得到一个正方形， 当底面周长和高相等的时候，侧面沿着高展开是一个正方形。那我们来看第二种情况，沿着斜线剪开展开后是什么？我们来观察一下，这是圆柱的侧面，现在沿着这条斜线给它剪开， 得到一个平行四边形，所以沿着斜线剪开，将圆柱侧面展开后，得到一个平行四边形，那此时平行四边形的底 就是圆柱的底面周长，而平四边形的高等于圆柱的高。我们来看两道练习题，第一题下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的？底面一样，都是两个完全相同的圆，我们只观察侧面， 第一个图侧面沿着勾展开的，第三个图侧面展开是一个平四边形，说明它是沿着斜线展开的。那第二个图呢？这个线不是直的，那应该是随便撕开的。第二题，下面哪个图形是圆柱的展开图？ 这三个图形侧面展开后都是长方形，那他考察的是展开后长方形的长等于圆柱的底面周长。 那我们需要求出圆柱的底面周长，再和长方形进行比较。先看第一个图，当底面周长等于六点二八时，它才是圆柱的展开图。那我们计算一下底面周长，已知直径是二，用派底 三点一四乘二等于六点二八厘米，所以第一个图形是圆柱的展开图。再看第二个图，当底面周长等于二十的时候，它才是圆柱的展开图。那我们计算底面周长，同样是已知直径，用派底三点一四乘四等于十二点五六厘米 等于二十，所以第二个图形不是圆柱的展开图。再看第三个图形，当底面周长等于三十，他才是圆柱的展开图。那这个很明显，直径等于三，那周长肯定不等于三，所以第三个图形也不是 同样可以计算一下。求出底面周长三点一四乘三等于九点四二厘米不等于三，所以不是。那今天内容就讲完了，你学会了吗？

这是两种，这是周长公式，这是面积公式，那么还有一个比较重要的是侧面积， 侧面积呢在表面积之中是必不可少的，那么侧面积我们把圆柱展开之后，首先就去获得获得一个长方形，旁边有两个圆，这就是一般大部分常见的圆柱的展开图，那么我们可以发现，展开之后圆，我们把底面积圆圆的周长就相当于 这个侧面积的长，所以说长就等于拍 d 或 r 拍二，那么这个宽呢？从实践中我们可以得知，因为我们的侧面就是沿高展开，所以说呢侧面高就是呃宽就是高，那么这下我们就可以求出来了，那这个呢就是 r 拍二 h， r 拍二 h 或者是拍 d h， 这两种都是测面积公式，那么我们来推导一下表面积公式，表面积公式照样也有两种， r 拍二 h 加上 我们说的拍二的平方乘以二，这就是如果已知半径的话来求，如果不知道半径的话，就变成了拍 d h 加上拍括号 d 除以二的平方再乘以二， 这是两种不同的公式。那么体积呢？现在我们要讲的最重要的一部分体积，体积呢，我们首先体积怎么推到呢？这是我们从上面来看这个圆柱，那么我们给它分成若干份等等等，这分的只是其中的很小一部分，之后呢我们再拼合，你就会得到一个长方体， 你就会得到一个长方体，那么这个长就是圆周长的一半， 圆周长的一半，那么这个就相当于我们所说的这个半径，那么这俩一乘就相当于整个圆，也就相当于我们的底面积，那么这是高，所以说长方形它有两种公式，一种是底面积乘以高， 另外一种是长乘宽乘高。那这种方法呢，我们暂时不要采用这种，这个呢，现在我们已经知道了，圆的底面积等于 这个长方体的底面积，那么他既然他俩相等的高，也是一定相等的，所以说呢，我们就可以得知，原圆柱的公式就是底面积 乘高，字母表示就是就是 v 等于 s h， 这个 s 大家都知道，就是底面积，那么圆锥，圆锥呢？我们来看一下。 首先大家都见过这两种最常见的平面图形，平面图形我们可以发现长方形和三角形等底等高，那么如果我们拿一根棒棒在这里旋转一周，我们就会获得一个圆柱形圆柱体，那么 那我们把三角形旋转一周，这是直角三角形，我们就可以获得圆锥。 那么既然他们在原来的图形中是两倍关系，那么在立体图形中，他们是否是两倍关系呢？经过实测，我们把圆锥 中间的部分掏空，我们装上沙子往圆锥里面倒，倒了三次才成功倒满，说明圆柱是圆锥的三倍， 那么由此我们就可以推出圆锥的公式， v 等于三分之一 s h， 这个三分之一怎么来的我都不用说了吧，是从 v 等于 s h 除以三，把这个除以三变成乘以三分之一，我们可以把三分之一放在最前面，就变成了三分之一 s h， 这就是圆锥的立立体体积。

八点一一圆柱及其侧面展开图第一题，下列食物当中，能抽象成圆柱体的是 a 选项。 a 选项，它是一个正方体。 b 选项， b 选项是一个球体。 c 选项， c 选项可以抽象成是一个圆柱体， d 选项，它可以抽象成是一个圆锥体，所以正确答案应该是 c 选项。 第二题下面的四个图形当中，是圆柱的侧面，展开图的是圆柱的侧面，展开图说它是一个长方形，所以答案，选择 a 选项。第三题，如图，一张长方形纸分别沿长宽可以围成不同的圆柱 a 和 b 两个圆柱的侧面积进行相比较。假设我设长方形的长是 a， 宽是 b， 那围成圆柱 a， 它的侧面积应该是它的底面的周长是 b， 那 么侧面积应该是等于底面周长再乘以它的高是 a， 所以 a， 它的侧面积应该是 b 乘以 a， 而 b 呢，围成圆柱 b， 它的侧面积现在底面的周长变成了 a， 高是 b， 所以 它的侧面积也是 a 乘以 b， 两个侧面积应该是相等的。答案，选择 a 选项。

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家新年好，这条视频呢，是我们新年的第一条视频。首先呢，祝各位小朋友快快乐乐，健康成长，祝家长们平平安安，幸福生活。 那么寒假过半了啊，我们休息之余呢，把六下的两个非常重要的内容，圆柱圆锥和正反比例先预习一遍啊，圆柱圆锥呢，有些小朋友可能学过了啊。呃，再听孙老师讲一讲哪些不一样的体会。 那么圆柱圆锥呢，我们依旧是从三个方面来讲，从基础啊，构造到表面积和体积。 第二个呢，是归类与拓展啊，我们一向都是先讲基础，然后再进行提醒，归类啊，再拓展。那第三个呢？思路总结与发散。 那在我们把所有的类型的题目讲完了以后，在更高的视角，我们再来看一下这些类型，这些题目。呃，我们能总结出哪些思路？这些思路又怎么样能运用到更复杂更难的题目里面？ 这种学习方式呢，也是我们啊小学到初中的一个非常大的跳跃吧。小学呢，我们老师给你总结是吧，到了中学以后啊，需要我们小朋友自己总结。好，首先呢，我们这节课呢，是基础知识， 来，大家来看，这是一个长方体。呃，我在讲长方体正方体的时候就跟大家讲过啊，我说圆柱圆锥跟长方体正方体的题型百分之八十是差不多的，那那么长方体呢，是分成了 上下两个底和它的什么侧面？呃，就是前后左右四个面了，所以一共是六个面。那么也就是说，我要去求它的表面积的时候，是不是上底加下底，以及前后左右四个面， 那求出来，再把它一加，就是它的表面积。当然我们也有第二种求法，就是什么呢？把前后左右，因为它的展开图是一个长方形，我们又称之为侧面积，大家还记得不 是吧？这个前后左右展开是一个长方形，是我们的侧面积，这个侧面积的长是底面周长，是不是底面周长，是不是展开是底面周长啊？长是底面周长，宽的是高，所以侧面积又可以通过底面周长乘高得到， 是吧？底面周长乘高，底面周长就是长加宽的和乘二了，是吧？这个长方形的周长如果是个正方形，就是边长乘四。好，也就是说我们的表面积在长方体上面会有两种求法。好，那么接下来我们看到一个圆柱， 圆柱呢，依旧是分成了上底和下底，但是他没有前后左右啊，是不是我不能够说把前后左右全部求求出来，然后再相加，他没有前后左右，但是 侧面展开呢？依旧还是个长方形，是吧？所以我们可以通过第二种方式，上底加下底，再加上侧面积 把它求出来，可以通过上底下底再加上侧面积求出来，侧面积依旧是底面周长成高啊，那么这个底面周长啊，这个底面周长是啥呀？因为它的底面是一个圆嘛，所以底面周长就是这个圆的周长，圆的周长怎么求，大家还记得吗？ 啊？派乘直径对不对？派地或者呢？二派二，大家还记得吗？底面周长派地或者二派二 啊。我们在学习圆柱圆锥的过程当中啊，有一个很很重要的问题，我们有的小朋友可能前面的圆的知识啊忘记了，如果有忘记了，可以到前面我的视频里面再去复习一遍啊。 好，那么这样我们圆柱的表面积就是上底加上下底再加上侧面积，那底面周长成高，那么上底加下底呢？是怎么求来着？都是是两个圆，对不对？圆的面积是不是 pi r 的 平方，所以两个的话就是二 pi r 的 平方 再加上侧面积，侧面积是底面周长乘高，底面周长是二排二，对吧？二排二乘 h 高，所以这个就是我们的表面积了啊，上底加下底，再加上侧面积。好，接下来我们看一道题目， 一个圆柱的底面直径是两厘米，高是九厘米，它的表面积是多少？来暂停大家做一下。 好，我来讲很简单吧，是吧？底面直径，那我们先把上下两个底求出来，上下两个底吗？底面直径先除以二，求出半径对吧？二，除以二的平方，二平方乘派，对吧这是？呃，一个圆 再乘二，变成上下两个底，再加上侧面积，侧面积是二派二乘啊，这边是派地乘 h 对 吧？派地乘 h， 二乘三点一四是周长，周长乘高是侧面积，最后求下的是六十二点八，大家做对了吗？ 啊，并不麻烦是吧？很简单。好嘞，继续第二题，仓库里有很多的铁皮啊，然后呢，我们需要把这个铁皮啊，你看这是底，这是侧面，哎，看看哪两个可以 并成一组，做成一个无盖的圆柱形水桶，大家看一下。 好，我来讲，那么这是侧面，是不是这是侧面，要跟这个底能搭配的上，其实很简单了，我们只需要看什么这个侧面的长，是不是这个底的什么周长，对不对？底的周长，你看这边是直径是四分米，它的周长应该是多少？ 四派就是十二点五六，所以一和四是可以的，二后面不行，是吧？所以我们选择的是一和四。好， 来，我们看第三个，一个圆柱的侧面展开图，是一个正方形，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？ 看一下。是个圆柱啊，侧面展开呢，是个正方形，这说明一个问题，说明什么？底面周长和高相等，对吧？底面周长和高相等，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？来，大家先做一下。 好，我来讲。那么 我们要求它的表面面积需要上底下底加上侧面积，对吧？尤其是这里的底面周长和高又是相等的，所以我只需要把底面周长求出来高也就知道了， 对不对？底面周长很简单，直径告诉我了，是四分米，四派，所以四乘三点一四等于十二点五六，等于十二点五六。在这里啊，我讲的这些题目派都取三点一四啊。 好，四乘三点一四等于十二点五六，是底面周长又是高，所以他的测面积就很简单了，十二点五六乘十二点五六对一百五十七点七五三六啊，这个小点后面比较多啊。 好，那么这个测面积咱们已经求出来了，咱们还需要上下两个底的面积，对吧？他的直径是四分米，所以我们用四除以二，先把半径求出来，是二分米，那这样的话拍二平方 再乘二是吧？三点一四乘二的平方是一个底，十二点五六，十二点五六再乘二，就是两个底，再加上侧面积，一共加出来等于一百八十二点八七三六， 大家做的对吗？啊？有可能计算会出问题，对吧？这个计算麻烦了一点啊，计算要当心啊。 好，这是这道题，我们继续。那么我们前面讲了三道题，尤其第三道题，来，我们稍微总结一下，我们要求圆柱的表面积啊，是通过哎，把这两个求出来，两个上下两个底面积，然后把侧面积求出来，再一加就可以了，对不对？ 好，既然我要求这两个，那我需要啥呢？我求这个底面积就需要什么底面半径二， 侧面积，我们需要什么呢？需要底面半径二和这个高，对吧？所以总结下来，我们要求圆柱的表面积，其实是只需要两个东西，一个是什么二，一个是 h， 一个是底面半径，一个是高，对吧？我为什么给大家总结这个呢？就是我们在做题目的时候，你看到要求什么？首先脑子里面要反映出来我需要的条件是什么，于是你才能知道我从前面的这个描述的条件里面要提取什么样的信息，是吧？要往哪个上面去靠。 好嘞，我们继续。接下来我们分类啊。呃，我们不是求表面积吗？分类啊，把它这个表面积里面的这个内容啊，我们分类把它讲一讲。首先我们先来看侧面积， 呃，第一道题，一个水杯，那水杯上的装饰袋是八厘米，它的面积是多少平方厘米？来看一下，来，先做 好好，来，我们看这个侧面呢，这个装饰带啊，是一个高八厘米的一个侧面积，是不是啊？要求侧面积很简单，底面周长呈高，所以直径是六厘米，那么就是 啊，三点一四乘六，再乘八解决了。那我说了，这里派我们后面讲的题目派读去，三点一四啊，三点一四乘六乘八等于一百五十点七二平方厘米，答对吗？很简单的一道题啊，来继续。 压路机的前轮直径为一点二米，轮宽两米，压路机工作每小时每转动十周，问每分钟压路多少平方米？看这是个压路机的前轮， 它的直径呢？是一点二，轮宽是两米，它压出去是什么呀？它压出去是不是一个长方形，对不对？是吧？是个长方形， 这长方形的宽呢？其实就是两米长方形的长呢，是这个轮子滚动出来的距离， 是滚动出来的距离。滚动出来的距离大家还记得吗？还记不记得这个距离是怎么来着？这里面有个数量关系是什么来着？是圆的周长乘，滚动的圈数等于滚动的距离，大家想一想是不是啊？圆的周长乘，你滚动了几周，就等于你滚出去多少距离， 是不是那么圆的周长在这里直径已经告诉我了，是两，是一点二米吗？对不对？直径是一点二，所以周长就应该是多少？一点二乘三点一四，一点二乘三点一四，那么乘二呢？就得到了什么？就等于它滚动一周，它能滚出多少平方米？ 是不是滚动一周就是一点二乘三点一四，是周长，是周长滚动滚动一周，他往前滚的距离，再乘他的这个，这边的宽是两米，也就说我滚动一周滚出来的面积是七点五三六平方米，对不对？ 是吧？然后呢？然后滚动一周是七点五三六，他说每小时要滚动十周啊，所以我们用七点五三六乘十，对，七十五点三六平方米啊，这是十周，也就是说每一小时我能滚动这么多的面积， 那最后要求的是每分钟压路多少平方米？一小时等于六十分，所以我还得用七十五点三六除以六十等于一点二五六平方米，大家做对了吗？好，这也是一个典型的题目啊，很基础。好。第三个， 有一根长一米，横截面的直径是二十厘米的木头，浮在水面上，正好有一半露出水面，问，这根木头与水面接触的面积是多少啊？这个木头与水面接触的是多少？哎，大家先做一下。 好，我们看啊，它与水面接触是哪个部分？你看这边是一个半圆，对不对？看到没有？这边是个半圆啊，这边也是个半圆，那这两半圆凑在一起变成一个整圆，再加上， 再加上什么？这是半个侧面积，对不对？侧面积的一半。好，好，现在我们知道了，它跟水接触的面积是一个整圆，加上侧面积的一半，对吧？那现在就好求了， 单位换算一下，长一米，因为他最快求平方厘米，所以一米等于一百厘米。那接下来呢？直径是二十厘米，那么他的半径就应该是十厘米，哎，把半径求出来，方便我们去求这个整圆的面积，所以三点一四乘十的平方等于三百一十四，哎，这个两个半圆加在一起就是三百一十四 平方厘米，对吧？接下来我们求测面积，测面积很好求啊。呃，测面积的一半嘛，所以用这个圆的周长乘一米的这个长度，对不对？所以用二十啊，三点一四乘二十，周长再乘一百，是他的长 对吧？是等于他的测面积，然后除以二等于半个测面积三千一百四十，最后把这两个加在一起，三百一十四，加上三千一百四十，等于三千四百五十四平方厘米， 走对了吗？好，继续。好，第二个呢，我们讲组合体的表面积，来来看 好这个呢，我们会发现这个图啊，上面的这个部分就是我们刚刚求的那个啊，一个半个侧面积，然后前后两个半圆加在一起，是一个整圆，跟我们刚刚求的是不是一样，对不对？然后下面这个部分呢，是一个正方体啊，正方体的几个面？ 五个面吧，是不是五个面？好，大家先做一下。好嘞，我们来对一下答案， 二的平方乘三点一四就是什么？前后两个半圆加在一起是一个整圆，对不对？然后呢，四乘三点一，四乘四就是它的侧面积，再除以二是侧面积的一半，是吧？四乘三点一，四不是周长吗？周长乘四对吧？是这个长， 哎，然后呢，这是一个整个的测面积，再除以二得了半个测面积，这个加在一起就等于上面这个部分三十七点六八， 然后下面就很简单了，是五个正方形，是吧？所以是四的，它的边长是四吗？四的平方乘五，再加上上面的三十七点六八，等于一百一十七点六八平方分米，答案对吗？好看，下面一个 在一个棱长为五分米的正方体木块前后上下左右 各个面的中心位置挖去一个底面直径是两分米，高为两分米的圆柱，大家注意啊，啊，这个黑的这个部分进去是个圆柱啊，他会往里面挖啊，他有高的啊， 他的直径是两分米，高是两分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是多少？大家先做一下。 好，我来讲。这个挖出来之后啊，大家会发现， 虽然这个面被挖掉了，但是他到里面去了呀，是不到里面去了，对不对？里面一样也有这个面，我们在求表面积的时候，里面这个面可以移上来，也就是换句话说是什么呢？说明，说明这个 正方的这个面跑到里面去了， 是吧？正方体的表面积没变的同时，他还多出来了什么，因为他往要往里挖，他是有高的，还挖出去一个侧面积圆柱的，这里面有个侧面积，大家能理解不？几个侧面积呢，六个，前后左右上下每个面都有吧？六个侧面积，也就是说 这个模型的表面积是由一个正方体的表面积，一个完整的正方体的表面积加上六个圆柱的侧面积构成的，对不对？大家，大家想对了吗？是吧？所以那接下来我们就好做了。好，我们用 五乘五乘六是整个正方体的表面积，再加上啊侧面积，一个侧面积是三点一，四乘二乘二，是吧？因为它的直径是二，所以三点一，四乘二等于它的周长再乘它的高二就等于它的侧面积里面周长乘高嘛，对吧？一共是六个，再乘六， 哎，这俩加在一起就等于这个模型的表面积是二百二十五点三六，大家做对没有？好，这个也是，其实你看我们讲在这里啊，这些题型跟我们长方体、中方体的这以前求的这个表面积和体积是不是一样？其实这题我们都做过的，是不是啊？ 好，来我们看下面一个，第三个，三个半径是三厘米，两厘米、一厘米高，都是两厘米的圆柱体，连接成如图的立体图形，求它的表面积是多少？好，大家先做一下。 好，我来讲这三个圆柱体啊，它的半径分别是三二一厘米，高呢？都是两厘米。 然后我们会发现一个问题，哎，我们首先你看我们刚刚在求这个表面积啊，组合图形的组合体的表面积的时候啊，大家一定要注意， 我们需要知道我们要求的是哪些部分，那你得把这些部分给他搞清楚，这样我才能有目的的去求，是吧？那我要求的是哪些部分？我们会发现 这个上面，你看这个小的圆柱的这个上面， 再加上这个大圆柱的上面，凑在一起，不就是大圆柱的上面吗？大家能理解不？这三个凑在一起就是什么大圆柱的上底，对不对？是不是？呃，然后再加上这个大圆柱的下底，也就是上下 的这个表面积，就是这个大圆柱的上底加下底，对吧？好，那我只需要考虑什么呢？侧面，侧面，侧面就是大圆柱、中圆柱和小圆柱三个圆柱的侧面， 是不是？所以我们现在把它这个分析好了，我们要求的是大圆柱的上下两个底，以及这三个圆柱的三个侧面， 对不对？好，那么接下来我们就可以求了，首先大圆柱的上下两个底，三点一四乘三的平方乘二，对吧？大圆柱的上下两个底是五十六点五二平方厘米，那么接下来我要求的是这三个圆柱的侧面积， 三点一四乘三，求这个大圆柱的侧面积三点一四证明是半径吗？三吗？所以三点一四乘三乘二，三乘二是直径，对吧？所以派地底面周长再乘高，高是两厘米啊，乘下来等于三十七点六八，这是大圆柱的侧面积。 然后中圆柱的侧面积三点一四乘二乘二，它的半径是二嘛？所以二乘二是直径，三点一四乘直径等于底面周长，底面周长乘高等于侧面积，这是中圆。 哎，上面的这个小圆柱呢？三点一四乘一，乘二，乘二，十二点五六。最后咱们把这些怎么样加在一起等于一百三十一点八八平方厘米，大家做对了吗？ 好，那么接下来我们要讲圆柱的体积，首先我们依旧还是从长方体来往圆柱上面引啊，因为毕竟长方体我们学过嘛， 长方体的体积咱们怎么求来着？是长乘宽乘高，对不对？那么长乘宽又是什么底面积？所以我们又可以用底面积乘高，对吧？然后那么到圆柱上面我们就要注意了呀， 圆柱它有长宽吗？它没有哎，对不对？所以我们只能用底面积乘高，底面积乘高，那么我怎么去理解底面积乘高能求体积这个事呢？ 大家注意我们可以怎么去理解？我们可以把这个圆柱或者这个长方体理解成是有很多个底面积啊，叠在一起的对不对？很多个底面积叠在一起对吧？然后求他们的和，能不能理解 有多少个底面积呢？有高个高就是底面积的个数，能不能理解？ 哎，不知道有没有小朋友能理解哎，我就把一个底面积求出来乘高就表示他有很多的底面积叠在一起，对吧？然后求他们的和，这就变成了一个圆柱体，大家能不能理解再去求他的和。如果你能理解的话，那么恭喜你 这就是微积分这就是微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊。他的核心思想就是先微分再求和 啊，把你看求体积的时候把它变成很多的体积啊，底面积，然后切分成很多的底面积，再去求他们的核，就变成了体积。 我们在高中的时候啊，学到低分的初步啊，导数和积分的初步，那么主要学微积分的还是到大学，所以如果你能听明白了，那你已经把这个微积分的核心思想掌握了 啊，所以你已经很厉害了。呃，我们钱学森老人家说过啊，说这个十四岁还能不会微积分吗？哈，这个我们当做一个玩笑话，大家觉得他可能太聪明了啊，不了解我们普通人的智商，但实际上 实际上能理解吗？好理解的并没有那么复杂哈，是不是我觉得我在听的小朋友们应该都理解了，对吧？如果当然了。呃，我们是理解了他的核心思想， 如果我们真要去运用微积分的话，当然我们还缺几个这个知识没学过，比方说你需要掌握的是导数 还有极限的思想，对，把这两个掌握了，那么微积分你就能用了啊，如果感兴趣的孩子可以去搜一搜啊，关于这个导数啊，就是微积分方面的这个简单的课程，去看一看 这个比你做多少，这种什么小蓝本，小成本，做多少道这种题目他都来的，对你来说更重要，价值更高。 哎，这才是真正去学习数学啊，讨论数学，研究数学的方向，不是去做那么几道死磕几道的那几道难题就管用了，去学这个，这个对你来说帮助大。好嘞， 来我们来看啊，我们现在已经知道了，这个圆柱的体积是底面积乘高，对吧？那么接下来我们看一看，这边有四个图形哎，哪些图形是可以用底面积乘高来计算的呢？来看一下 哪个二和三，对不对？是不是二和三？为啥？大家注意啊，我们用底面积乘高有一个条件是这个底面积从下到上，无论在哪哪一块，他都必须相等，对不对？这样你才能乘高啊， 是吧？高的意思是几个底面积吗？对不对？你底面积都变化了，那你怎么能称得上是几个相同的底面积呢？不行的，是不是你像这个， 这个就不行了，你直接成高不行，因为下面的底面积明显要大一点，上面小对不对？这是个圆柱，那更不行了是不是？所以能用底面积成高的必须怎么样？哎，他这些面跟下面要垂直是吧，也就是满足什么，就是这个底面积从上到下他不能变， 哎，只要是不能变的，我都可以用底面积乘高的方式来算，能理解不？哎，这道题可以更方便的让大家理解，假如我为什么用底面积乘高，为什么长方你乘方，你能用底面积乘高？圆柱圆锥它也能用底面积乘高。 好，来看第二个，一个圆柱形玻璃杯侧得内直径是八厘米 啊，杯内豆浆的深度是十六厘米，正好占杯内容积的百分之八十，这个杯的容积是多少？在这里我要说一下， 呃，在长方里上正方体里面我们已经讲过了，我们求容积的时候啊，是不考虑这个容器的容积 b 的 厚度的，所以我们一般直接把体积当容积啊，当然这不是精确的算法，那在这里呢，我们只是忽略到那个 b 的 宽度，是吧？的厚度。好，那么大家做一下。 好，我来讲很简单，底面积乘高是体积对吧？在这里也是它的容积。 首先直径是八，所以除以二等于四厘米是半径，那么它的底面积就应该是四的平方乘三点一四， 深度是十六乘十六，体积求出来了，而这个体积又占杯内容积的百分之八十，对应关系相除，是吧？分量除以分率得到单位一，总共的容积是一千零四点八， 一千零四点八，大家做对了没有？哎，单位再换一下是吧？从立方厘米变成了，呃，毫升。 好，继续从圆柱形水桶里面倒出三点一四升的矿泉水，那么水面的高度正好降低了五分之一，已知水桶的底面直径是二十厘米，水桶里原来的水有多少升？好，大家先做一下。 好，我来讲。呃，那么我怎么讲呢？这题目有方法有很多，那么我们呢，讲的方法呢？从问题出发的，先把思路捋一遍，首先他要求的是水桶里面的水有多深，也就是说求高， 那么求高的话，我们是什么体积？除以底面积吧，是不是啊？体积除以底面积，那么也就是说我们需要体积和底面积，需要把这两个求出来，这里面呢， 底面直径是二十厘米，哎，有直径，那么底面积肯定是能求的，对不对？是吧？那关键是呢，体积不知道，他说倒出了三点一四升的矿泉水，水面高度正好降低了五分之一，这里面是什么关系呢？注意， 倒出的三点一四升的矿泉水和总共的体积的关系是什么？哎，他们的关系是什么？他们都是底面积乘高吧，是不是？而高的比是一比五来，水面的高度正好降低了五分之一，这说明倒出了一份，而总共的高度是五份， 是吧？这个很好理解，对吧？那么体积呢？是不是都是用底面积乘高啊？所以倒出的体积是 s， 底乘上高是一，呃，总的体积是 s， 底乘五，那么把底约掉之后，我们会发现，他们的体积的比是不是就是他们高的比一比五啊， 对不对？就是一比五，体积的比是一比五，那么倒出三点一四升的矿泉水不就占了整个体积的五分之一吗？所以整个的体积是不是就是 三零一四除以五分之一等于十五点七升，这是这个整个的体积，总的体积，对吧？然后总的体积有了，再除以底面积，就等于水的水的高度，对吧？好，我们用 三点一四乘二十除以二的平方，这是求的是什么底面积对不对？然后再用呃呃换算一下，换算成这个三点一四平方分米，因为这个前后都是分米嘛，前面是深呀，前面是深呀，所以最后我们用十五点七除以三点一四 等于五分米，原来的水桶里的水深是五分米，大家做对了吗？哎，这里面主要是一个从高的比啊，从高的比去看出他们的体积的比，因为底面积相同，所以高的比他就是体积的比，对不对？ 来接下来我们要看圆锥的表面积，到了第三个部分了，这是个圆锥， 那么圆锥的表面积怎么求呢？在这里啊，我说一下，在小学我们圆锥的表面积，他没有做更多的要求 啊，没有做更多的要求，但是我孙老师呢，会给大家拓展一下，因为他并不难，只要你们能够理解，哎，而且是从小学知识点往上延伸的，我都会给大家进行拓展。那么首先这个圆锥的表面积啊， 他是不是分成了？下面是一个圆，圆锥下面是个圆，对吧？他的侧面展开啊，是个扇形， 对不对？大家再看一下是不是侧面展开，底下面是个圆，侧面展开他是个扇形，是个扇形。那么我们求的时候就就就就就怎么办？就用底面积加上侧面积这个扇形就可以了啊，我们在六年级就是这么求的， 就是怎么求的扇形怎么求啊？扇形是呃，一个整圆的一个部分，对吧？我们需要知道的是这个扇形的这个圆形角是多少，对不对？我们知道了这个度数，哎，我们就知道了，它占整个圆三百六十度的几分之几，我就可以把这个扇形给求出来了，对吧？这个大家应该都会， 那么关键是我需要知道的是什么？这个半径，对，我得把这个半径得得得求出来，知道了半径，知道这个圆心角，我就能求出这个扇形的面积，也就是这个圆锥的侧面积，是不是？好，这是我们小学的求法， 但是到了初中啊，到初三我们就不这么求了，我们初三怎么求呢？大家注意我们在这里的半径，其实就是哪啊？哎，就是这个这条线是圆锥的顶点到底面这个圆的圆周上的距离， 到圆周上任意一点到这个圆锥顶点的距离，叫什么呢？叫母线， 在这里叫半径啊，实际上在圆锥里面这叫母线，叫母线啊，记住啊，这个半径和这个母线是一样长的啊，一样的啊，我们只不过把它，把它，把它圈起来了，对不对？叫母线。好，在这里我们要回忆一个知识点， 这是一个圆，我可以把一个圆切拼成一个什么一个长方形，径四的长方形，对不对？ 所以圆的面积啊，我们就是什么用，因为这个切出来这边宽是半径，大家还记得不？下面是什么呀？是周长的一半，是周长的一半，所以这个圆的面积就是什么周长的一半，成半径，对不对？大家还记得吧，这个知识点。好，我们如果知道了，记住了这个知识点，那么大家注意， 如果一个扇形的一个扇形，是不是也可以把它切开，只不过他拼成了这个长方长方形短了点吗？对不对？是不是？大家能不能理解？他不是扇形有一部分，这个圆的一部分被切掉了，是吧？现在是个扇形，他也可以拼啊，切，拼啊，只不过这个长方形没那么长了吗？对不对？ 是不是？而他依旧是这边是他的半径，而这边呢？这个弧长一半在上面，一半在下面，对不对？对吧？这个弧长其实在我们圆锥里面，是不是就是底面周长啊？大家能理解吗？是不是那底面周长的一半，这是底面周长的一半，所以 这个扇形的面积又可以怎么求呢？底面周长的一半乘半径，而是吧，底面周长的一半乘半径，而这个半径又是什么来着？我们刚刚说的叫什么？叫母线，对不对？所以，哎，所以这个扇形又是母线乘底面周长除以二， 哎，我要是直接说母线乘底面周长除以二，大家可能理解不了，但是我用上面这个图，大家再看一看，再理解一下，你就能理解了，对吧？因为这个知识点咱们学过呀，咱不是学过，整圆可以切片成一个长方形，那么圆的一部分作为一个扇形来讲，当然也可以切喽，对不对？ 来，这就是作为圆锥来讲啊，它的侧面积啊，我们初三的一种求法就是母线乘底面周长除以二，用字母表示的是 pi l pi r l r l 是 母线的意思啊。好嘞，这是给大家拓展了一下。呃，我觉得是能理解的， 能理解的，是吧？哎，我们所有的基础知识我们都具备，所以理解起来也不困难，这是测面积好了，那么圆锥的表面积，我说了啊，呃，小学阶段的不做更多的要求，哎，我该拓展的给大家拓展，大家理解了，那么接下来我们主要来讲圆锥的体积， 这是个圆锥，这是个圆柱，这俩呢，他们的底面积相等，他们的高也相等，那么他们体积的比是一比三啊，也就是说等底等高的圆锥是是与他等底等高圆柱的体积的三分之一。 那我要去求圆锥的话，是不是就是用底面积乘高之后再乘三分之一？那因为底面积乘高是求出来跟他等你等高的一个圆柱的体积再乘三分之一，就等于什么圆锥的体积，大家听明白了吗？ 大家听明白没有啊？就是底面积乘高再乘三分之一啊，或者除以三也行。那么至于体积的比，为什么是一比三呢？我们小的阶段 不做要求，为什么不做要求呢？他需要还是得需要用微积分来进行推导啊？那么我前面说了，可能有小朋友去看了啊，如果你学了，学了微积分之后，你能够把这个一比三的这个笔啊能推导出来， 那我要给你竖大拇指，你可太厉害了哈。呃，不信你去问问你们学校里的老师，看看他能不能给你解释为啥是一比三，你可以解释给他听啊，那你就超级厉害。好了，那么我们现在知道了啊，圆锥的体积是怎么来的？ 接下来我们看题目，一个圆锥的底面半径是五厘米，高是十二厘米，这个圆锥的体积是多少？很简单吗？来做一下 底面积乘高再除以三，对不对？底面积，底面积是五的平方派五的平方乘三点一四，再乘高十二，这求出了等底等高的一个圆柱，而圆锥需要除以三，所以等于三百一十四，大家对吧？很简单，一道题，好，下面一道题， 这边有两，这边是个沙漏啊，是两个完全相同的圆锥形容器沙漏，大家都见过吧，是吧？然后呢，就上面的往下面漏沙，哎，他说这个高呢，是六厘米啊，每个圆锥的高是六厘米，里面装满了细沙， 这个漏口每秒可漏细沙，零点零六立方厘米，漏完全部的细沙，用十五分钟。这个沙漏的底面积是多少？大家先做一下。 好，依旧思路先搞清楚啊。要求沙漏的底面积是不是用体积除以高，是不是体积除以高 哦，这是圆柱，但是要注意的是，这里是圆锥哦，圆追求体积的时候是不是除以三，所以我反过来要求底面积的时候，需要先用体积乘三，再除以高，才等于底面积，这就跟什么一样， 就跟我们当初学三角形一样，三角形要知道了，底要求底边上的高，是不是面积乘二除以底， 为什么？因为我求这个面积的时候是底乘高除以二来的嘛，大家能不能理解这个意思，是吧？好，所以依旧我们还是先把体积求出来。体积，那体积，他说每秒漏细沙零点零六立方厘米，一共用了五分钟，这说明 他的体积就是多少，哎，这相当于是个工程问题，工作效率是每秒零点零六，工作时间是五乘六十三百秒，对吧，所以算出来是十八立方厘米，一共漏了这么多的沙，也就是他的体积啊，能理解吧？ 好，知道了它的体积，我们用体积乘三除以它的高等于底面积，这道题目就做出来了，哎，在这里我要强调的就是一定要注意我们沙漏啊，我们这个圆锥啊，要求底面积或者求高的时候不要忘记了，体积要乘三， 千万不能忘了啊，我们有些小朋友比较粗心的，这个不能忘记啊，提醒自己。 好，我们接下来看，这是我们最后一道题了，一个直角三角形的两条直角边，分别是三厘米，四厘米，斜边是五厘米。哎，三四五啊，勾三股四减五啊，这边这边呢，又也稍微有点超啊， 哎，我们一旦看到是三四五这样的三角形，那么他一定是一个直角三角形啊，为什么呢？他满足勾股定律，三个平方加上四个平方就等于什么五个平方啊，三四五，这个等到了初中以后啊，一看这个知道这是个直角三角形。好嘞， 那么接下来他要做的是分别以三条边所在的直线为轴，把三角形旋转一周，得到一个立体图形啊，那很简单，旋转一周嘛，来， 这是以四厘米作为轴啊，旋转一周之后得到了一个圆锥，得到了一个圆锥，对吧？ 以四厘米为轴，旋转一周不到了个圆锥吗？这个圆锥的，呃，高是四厘米，底面的半径是三厘米，就是这条边，对不对？半径是三厘米哎，它的体积好不好求，很好求吧！ 来，底面积乘高，再乘三分之一或者除以三等于三分之一，乘三点一，四乘三个平方，乘四等于三十七点六八立方厘米，对吧，很好求的。好嘞，那么当然这是这是第一种啊，这是第一种啊，它剩下两边，大家先做一下，比一比，看看谁的体积大。 好嘞，我来讲了啊，我们继续，我们求出来第一个图形了，接下来我们看第二个， 哎，我把它这样放了，我沿着三厘米这条边来来转，以三厘米的为轴，对吧？那么这样转下来的话，就变成这样一个扁扁的圆锥了，是吧？它的高是三厘米，它的底面的半径就变成四厘米了，对不对？变成四厘米了，那么它的体积也好求， 体力就是三分之一乘三零四乘四的平方，乘三等于五十点二十四立方厘米啊，这个不难，那么麻烦的是什么呢？还有一个五厘米，对不对？以五厘米为轴，他转出来会是什么样子的？会是这个样子的， 那会是两个圆锥，上面一个大一点的圆锥，下面一个小一点的圆锥，是吧？这个 这是丙图啊，他的这个半径底面半径，这个底面积是不是上下两个圆锥都一样，对不对？半径是多少呢？半径是多少半径我现在不知道，我得求出来半径其实就是五厘米这条斜边上的高啊，是不是？这个半径是不是五厘米斜边上的高啊？ 对，五厘米斜边上的高，好求了吧，三乘四除以五就可以了，对不对？是吧？五厘米斜边上的高，那么 他的这个上面的这个大的圆锥和下面大小的圆锥的高啊，我们分子也称之为 h 一 和 h 二啊，这边是两个高嘛？大圆锥的高和小圆锥的高，是吧？所以这个丙这个图形的面体积应该怎么求啊？ 是两个圆锥加在一起，对不对？所以我们先把这个半径求出来，三乘四除以五等于二点四厘米，这个大家都会吧，三乘四啊，斜面上的高，然后 接下来我们求大圆锥加小圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 一， 这是什么？上面的大圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 二，是下面的小圆锥，对吧？这两个加起来大圆锥加小圆锥，哎，那么我们会发现 前面都是三分之一乘三点一，四乘二二点四的平方，那么这个是不是可以提出来了？是不是提出来之后乘剩下的相加 h 一 加 h 二。注意了， h 一 加 h 二是多少？是不是这个五厘米啊？ 是不是斜边啊？所以 h 一 和 h 二这两个高，我们不需要单独把它求出来，直接把它加在一起，变成了三分之一乘上三点一四乘二点四的平方乘五，对吧？ 最后等于三十点一四四立方厘米。好，这个大家会做吗？做下了没有？哎，这是我们今天讲的，稍微麻烦一点题目，今天都是讲的基础啊，哎，大家听的应该是比较轻松的，也不难，对不对？好，最后比较一下谁大呢？ 五十点二十四大于三十七点三十七点六八大于三十点一四四，乙的体积大于丙的体积，大于丙的体积，所以最后奇的体积最大啊，好，今天讲的不难吧， 哎，今天是新年的第一节课啊，没有很困难，讲点基础的，中间呢，我们有体积的推导方式，我们用了这个积分的方式啊，我觉得大家应该是能理解的，对吧？好，那么今天我们就先讲到这里。

八点一一圆柱及其侧面展开图首先我们来画一个圆柱，圆柱是由 上底面、下底面和它的侧面所组成的。我们看上底和下底 这两个底，它都是圆形，而侧面呢，它是一个圆柱体。我们在外面看到的圆形的柱子，它就是一个圆柱体，那圆柱的高是上底面的圆心 o 一 到下底面的圆心 o 二之间的高度。我们把它叫做圆柱的高，它是 h， 那 圆柱的母线连接它到侧面有一个焦点， a a 撇，这个 a a 撇叫做圆柱的母线。那本节课还涉及到圆柱它的 底面积和它的体积。圆柱的底面积上下两个底，那 s 底它应该是圆形 pi r 的 平方，那它的体积 为圆柱应该是等于底面积乘以高 s d 乘以它的高是 h， 我 们说 h， 它是 o 一 到 o 二之间的距离，那把底面积换成 pi r 的 平方，也就是 pi r 的 平方乘以 h， 这里的 r 是 底面，它这个圆的半径。 第一小题，如果一个圆柱的侧面展开图正好是一个正方形，那么圆柱的高等于它底面的什么？我们看 侧面的展开，要么它是一个长方形，要么它是一个正方形，那 这里宽，它是圆柱的高 h， 而这里的底呢，展开来就是下面这个底面，它这个圆的周长，所以圆柱的高，它应该是等于底面的周长。答案，选择 c 选项。 第二题，如果某圆柱形水杯的底面直径是五厘米，高是十五厘米，那么此圆柱形水杯的侧面积是多少？侧面积？它的公式是， 底面的周长再乘以高，底面周长那是二， pi r 乘以高是十五。先告诉你底面的直径，那直接是五 pi 乘以十五，所以最后是 七、十五 pi。 答案，选择 b 选项。第三题，如图，在长方形 a、 b、 c、 d 当中， ab 等于 a， b、 c 呢等于 b。 现在告诉你， a 大 于 b， 也就是高大于底面的半径。将长方形 a、 b、 c、 d 绕着 a、 b 所在的直线旋转一周之后形成圆柱。假 将长方形 a、 b、 c、 d 绕着 b、 c、 b、 c， 这里是小 b 所在的直线旋转一周，形成圆柱。以 g， 两个圆柱的侧面积分别是 s 夹和 s e， 那 么 s 夹和 s、 e 的 大小关系？首先我来把 s 夹表示出来， s 夹，我们说底面周长乘以高，现在它的高是 ab， ab， 它是 a， 那 么 a 乘以底面周长，底面圆的半径是 b， 那 周长应该是二 pi， 再乘以 b， 所以 应该是二 pi ab， 那 再来看 s、 e， s、 e 是 底面周长乘以高，高现在是 bc， bc， 那 是 b， 再乘以底面周长，现在变成 cd， cd， 它就等于 ab， 也就是 a， 所以 底面的周长是二 pi 乘以 a， 那 应该是等于二 pi， a、 b 两者是相等的，所以它的大小关系应该是 s 夹等于 s、 e。 答案，选择 a 选项。

大家好，今天呢，我们继续来学习六年级下册数学第一单元圆柱和圆锥面的旋转的第二课时试一试。那首先呢，我来先带大家做一个总体的复习啊，可能有某些人忘了，这就是我们上学学的 啊，圆柱和圆锥有什么特点？呃，就是圆柱有两个底面，然后有一个侧面，侧面当然就是长方形啊，那聪明的人已经猜出来圆柱的表面怎么算了啊，这个我们下节课再说啊，我们不用管它， 然后还有高，然后呢？圆锥的顶点，侧面，底面，呃，底面半径，底面直径，底面周长和底面积圆心，然后还有高，然后我们简单复习之后就可以来看今天的课程了， 因为今天是跟这个有关的啊，今天我们得看量一下它的高，怎么量的？拿盒尺量，非常合理啊，圆柱呢，有 n 条高，就是无数条高的意思啊，它有很多，然后圆柱只有一条高，这个需要记住，这就完事了。 然后我们来看一下，找一找下面图中的圆柱或圆锥，那我们来说一说，圆柱和圆锥有什么特点呢？啊？圆柱是圆柱，呃，圆锥是圆锥，圆锥它是有一个小小零点的啊， 然后这没啥找的吧？这个我跟你说啊，这个电池是圆柱，然后这个上面是圆柱， ok， 然后这个是圆锥， 这是不规则呀，这玩意，然后这这个啊，这个灯光叫做圆锥， ok， 那 往下看，那下面哪些图形是圆柱或圆锥呢？第一个肯定是哎，第一个他肯定是 圆锥，第二个是圆台啊，圆台，这，这是什么？这肯定不对啊，这个是斜，斜，斜圆柱啊，这个是斜圆柱，初中刚学的这个叫做斜圆柱，但它也是圆柱啊，来看一下这个演示。 好，然后我们来看一下第四题，找一个圆柱形，一个圆锥形的物物体啊，这个我们就跳过了啊，自己找去啊。然后那个，这个题啊， 这个题其实不算难，我跟大家简单说一下吧。其实这种题在第一单元来说有点常见啊，我看一下啊，他说他的圆柱的底面直径就是这个 高，就是高，其实圆柱的高就是这个盒子的高，已经暗示了，然后把二十四罐这种饮料如图放入，然后它的长宽高， 其实这个很简单啊，兄弟们，你好好想一想，那一看，横着一二三四五六六个瓶子，对吧？那就是六个底面直径底数六点五乘六，对吧？那那宽呢？一个，两个，三个，四个，有四个，那就六点五乘四呗，哎，对吧？ 然后这个切开就不说了啊，其实这个切开是初一哈。嗯，但是你死死意想一想，也能发现啊，他确实有这种题，但是他为你增加表面积了。 好，那我们今天呢，就上到这里了，我们学习完了雨薇尔旋转的第二课时，那我们下节课来研究一下圆柱的表面积，那我们下一课再见了啊。

大家好啊，今天呢，我们来看一下六年级下册第一单元的圆柱和圆锥的第二课，圆柱的表面积，其实这一单元你要是说吧，它非常简单，其实第一课是面的旋转，主要是什么？认识一下圆柱和圆锥 旋转吗？然后接下来呢，现在呢就是圆柱的剩下的就是表面的体积，还有体积了，为什么不缺圆锥的表面？因为圆锥的表面涉及到扇形，扇形这个是属于初中内容啊，然后今天的内容非常多，我们赶紧讲啊， 这个我们就直接来看研究一下啊。首先呢圆柱体，我们知道圆柱的表面，它是分为两个底面，还有一个侧面积的 底面，他就是圆，他就是我们六上学校的圆，哎，我不会求的，可以看一下我圆的面积的讲解视频拍儿方，那这个呢，就是两个圆，就是你得看他什么情况，最基本的圆柱他就是两个圆，哎，没有问题， 两个圆就是两个底面积，然后再加这个侧面，我们现在就来研究下侧面积怎么算侧面，你其实你把它展开啊一下就能发现了，看一下 圆柱的表面积，然后来看一下，我们来研究下侧面，侧面给他展开之后呢，他其实就是一个长方形，哎，你仔细观察就能成，可以自己做一下实验，然后给他展开啊一下你就看出来了， 他就是一个这个长方形，知道吧？然后呢底面的周长，呃，但是这个长方形的长和宽仔细自己量，自己实验一下，这个长呢，就是底面周长，就圆的周长高呢，呃，不是宽呢，就是圆柱的高， 这样呢，长方形的面积是等于长乘宽，那么圆柱的侧面积也就等于底底面周长乘高了。哦，那现在可能有人觉得是比较乱啊，然后我们现在来捋一捋， 总体来说呢，现在我们圆柱的表面积就是两个底面积加上一个侧面积，而底面积是 pi r 方两个底面积。最基础的圆柱表面积啊， 就是二派二方，再加上什么呢？再加上侧面，侧面是什么呢？里面周长是不就是派的，也可以写成二派啊，就是派的 h 二派二 h 也是可以，所以这个公式就是圆柱的表面积。哎，可能有些第一年级的不知道我在说什么啊，呃，这个上六年级自己就知道了。 然后呢，这个就是曲面面积转化成长方形面也就能算了，很简单呢，然后呢，如果，呃，他这个吧，你得看他什么呢？你得看他这个底面周长和高是否相等，如果他们相等的，那很就是正方形了啊，这也是很很简单。 然后呢，如果我们不沿高展开，这个圆柱可能是什么样的这个 图形的，哎，可以，可能有很多种图形，这种斜圆柱的一个预预期。然后现在我们来看一下，你能算出至少多大面积的值板吗？这个就是一个实际实践操练了。怎么说呢，这是一个圆柱侧面的展开图，侧面就是底面周长乘高，底面周长是三点一四乘十乘二，再乘三十， 哎，这样就对了。然后，然后接下来呢，我们在这个就是侧面，然后我们再加上三点一四乘十的平方，在那个加上一八八四就可以了。 哎，非常的简单，只要知道公式就可以了啊，这是推导的公式，我们过调好。这个是练习啊，很简单，就算底面周长啊。 哎，等一下等一下。这里还有一道题是吧？这道题，呃，他没有给详细的解析。呃，还是把公式给大家啊。二派二，二派二方加上二派二 h 也可以拍的啊。 这个就是圆柱的表面积的公式了。那下节课呢，我们来继续来深入看一下圆柱的表面积。那我们下节课再见了。

c 题八点一第一题，把三个同样大小的圆柱拼成一个高为三十厘米的大的圆柱，表面积减少了六十平方厘米。原来每个小圆柱它的体积是多少立方厘米？那我们看， 原来它是三个同样大小的，那我把它画出来，现在是一个，两个， 然后第三个我继续在下面画出来，把这三个如果往下压，那就叠成了一个大的圆柱。大的圆柱，那么减少的面应该是 这里的一个底面，这里的一个底面，这里的一个底面，那也就是减少的是四个底面面积。它就好比是我们有一个 大的这个圆柱，我现在要把它变成三个圆柱，那我切一刀，切两刀，切两刀之后变成三个圆柱，表面积增加的是一刀是多两个面，两刀就是四个面，所以 拼成一个大的跟切成三个小的都是增加的。同样的表面积和减少的同样表面积数量是相等的，那这里我们看，它减少的应该是四个底面面积。 四乘以 s 底应该是等于六十平方厘米，那么底面积应该是等于十五平方厘米。现在问你每个小的圆柱它的体积是多少？底面积有了，看它的高， 现在拼成的是一个三十厘米高的大的圆柱，那么圆柱每一个小的，它的高应该是三十，除以三是 十厘米，所以小圆柱的体积是底面积十五，再乘以它的高是十，最后应该是一百五十立方厘米。答案，选择 b 选项 第二题，如果一个圆柱它的高扩大到原来的三倍，底面半径扩大到原来的两倍，那么圆柱的体积就扩大多少。你看圆柱的体积公式 v 等于 pi 乘以 r 的 平方乘以 h， 现在告诉你，高扩大了三倍，也就 h 变成了三 h， 底面半径扩大到原来的两倍， r 变成了二 r， 那 r 的 平方它就变成了是四 r 的 平方，再乘以前面的 pi， 那 现在得到的是变完之后的 体积，那变完之后的体积系数多了一个四乘以三是十二，所以它扩大了十二倍。答案，选择 d 选项 第三题如图一，一只封闭的圆柱容器内成了一半的水，容器的厚度忽略不计，圆柱容器底面的直径为高的两倍， 现在将该容器竖立起来，设图一，图二当中水所形成的几何体的表面积分别为 s 一、 s 二，那么 s 一 与 s 二的大小关系，那我们来看 s 一， 它的大小应该是 直接是上下两个底面的面积，加上它这个侧面的面积，那直接是 二乘以 pi 乘以 r， r 是 h h 的 平方，再加上侧面的面积是 二。 pi r 乘以这个水面的高度应该是二分之一 h， 那 再来看 s 二，它的表面积 s 二的表面积，首先是 两个这个半圆的面积，上下底两个面，再加上半个这个圆柱的侧面的面积，那 s 二它就等于 二分之一。乘以 pi 乘以 r 的 平方， r， 它是 h， h 的 平方，再乘以二是上下两个底面，再加上它一半的侧面的面积是 二， pi r 底面周长乘以它的高，现在它的高是多少高是整个 h 再乘以一半是二分之一，那我们来看下面化解下来等于 pi 乘以 h 的 平方，再加上这里是 pi r h， 而 s 一 化解下来它是 pi h 的 平方，加上 pi r h， 那 现在用 s 一 减去 s 二，减完之后就是 pi h 的 平方，很明显是大于零的，所以 s 一 它应该是大于 s 二的。答案选择 c 选项。

hello， 欢迎来到范老师的小课堂。今天我们继续学习六下第一单元，圆柱与圆锥的问题。看黑板这道题， 这道题的话，你要先抓住一个关键词，等底等高，等底等高。它告诉我们一个信息，就是圆柱的体积和圆锥的体积有一个比， 比上圆锥的体积等于三比一。有了这个比，我们就好解了，他们之间有个体积之差，那也就说他们的分数差是两份 四十除以两份，求出他每一份的体积是二十立方米， 那三份的话，圆柱就直接乘三就行了，二十乘以三等于六十立方。所以我们把数字填上去，圆柱是六十，圆锥占一份是二十。这道题你抓住这个关键词，你也能拿下它。

好，大家好，今天呢，我们来看一下六年级下册数学第一单元，圆柱和圆锥的第一课面的旋转啊，然后呢，我们小学一共就会说这个， 呃，四个立体图形吧，第一个是长方体，第二个是正方体，第三个是圆柱这个，然后最后就是圆锥。那我们现在呢，就来看一下圆柱和圆锥的学习部分。 首先第一课面的旋转，说什么呢？就是认识一下圆柱和圆锥，以及圆柱和圆锥是如何形成的，那我们来看一下，首先我们举一个例子，它是怎么形成的呢？这些都可以形成圆柱和圆锥，然后我们来观察一个定点啊，点动呈现， 点一动是一个面，面一转是一个面，立体图形就是这么来的 啊，那当然圆柱和圆锥呢，也是这样的，那正常我们来思考一下啊，这个非常重要，跟以后我们学表面的体积都有关系。这个长方形它旋转之后是什么呢？哎，我们转一下 就会发现它是一个圆柱啊，那如果是以长方形长旋转，它还是一个圆柱， 那我们以正方形一条边，他还是一个圆柱。哎，这个是为什么呢？我们等到圆柱的表面给他细说。好，那我们继续往下那三角形一转，他变成了什么呢？变成了圆锥，以另一个边转也变成了圆锥， 但是啊，他以斜着边旋转，会形成一个什么图形呢？大家可以去试一试。好，然后我们来看他会形成哪个图形啊？第一个是圆柱，第二个是是什么啊？他让连线是吧？ 第一个肯定是连第一个了，刚才说过第二个半圆形，你想一想啊，他旋转一下嘛，脑袋里空间 想一想啊，第二个是一个球，第三是个圆锥啊，第四个有点复杂，这个图形吧，大家没见过，他叫圆台啊，他叫圆台什么意思呢？就是上下两个面，他们的面积不一样，就叫圆台啊， 就是上下两个面的面积不一样啊，就叫做圆台。大家硬记一下，梯形旋转的，这个其实很简单啊，聪明的呃，一下就能想出来，不细想了。这个 好，那我们现在来看一下这个重点啊，圆柱和圆锥有什么特点？和同伴交流，那圆柱呢？上面下面两个面叫做底面，中间呢是侧面，中间有一条膏。 好，那圆锥呢？圆锥有一个顶点，有个底面，还有个侧面，然后有个圆心，然后是有一条膏， 不是这个他就可以称成什么呢？呃，之前我发过视频说过圆的周长和圆的面积，这个，呃，圆的周长面积，半径和直径在这里就变成了底面半径，底面直径，底面周长和底面积了。 哎，可以看一下这个总体思想就是看一下，认识一下圆柱和圆锥，并且知道它们是怎么形成的，并且知道那堆点动成线，线断成面，面断成体啊，就可以了哈，这这课就掌握了。 好，那我们今天呢就上段任务完成了六下六年级下册数学第一单元圆柱和圆锥第一课面的旋转的第一课时，那我们下节课呢，就来看一下第二课时的试一试，来思考一下这个问题，怎么测量圆柱的和圆锥的高呢？那我们下节课再见了。

hello， 大家好，我是你的高老师，我们来看两道这个圆柱跟圆锥的一个填空题。第一题从一个圆柱的上面跟前面进行观察，看到的形状分别如下图啊，要会翻译这个三式图 啊，这个是这个俯视图，一个是主视图，然后这个看到的就是就是应该是的上下底面，然后这个看到的话，就是他的就是正面看过去的主视图。那这个这个五厘米的话，其实就是什么？就是他的直径啊，所以这个 d 就是 五厘米，这个两点我们肯定就是高了。有了这个数据之后，第一个问题，圆柱的底面半径是多少？五厘米是直径半径的话，五的一半吗？那就是二点五，二点五厘米， 然后底面的周长给的是直径套周长公式 c 等于派 d。 呃，至于派取三点一四还是保留派的话，根据学校的要求，我们就保留派了。派 d 的 话，那就是五派单位都是一致的，也不涉及到单位的换算高的话，那就是 二点五厘米啊，所以这是一个，呃，圆柱跟他这个三十度的一个考察。第二题的话，是这个圆锥以直角三角形所在的直线为轴，就这条四厘米的 所在直线为轴，呃，旋转一周得到的图形的话，那当然就是圆锥了啊，需要有一定的空间想象能力， 然后他说底面积是多少，那旋转成的图形，我们可以大致的画一下，大概就是长这个样子的，那就是长这个样子 就画的有点丑啊，这样子啊，是一个圆锥啊，然后他的底面积，底面积那这个三厘米的话，那当然就是底面圆的半径了，所以就是 s 等于派二的平方，那保留派的话三三得九九派单位是一致的平方厘米高是多少高？当然就是四厘米了 啊。所以这个题目本身不难，但是有一些同学他可能空间想象能力比较弱的话，对他来说就会比较困难啊。我们，呃，这个 空间想象能力还是非常重要的，从平面到立体，从那个二维到三维的一个空间啊。所以你要对应好这个数据对应的是什么东西，这个对，这个数据对应的是什么东西。然后我们以前学过的很多的公式的话，一定要活学活用。喜欢我的视频给我点个关注吧。

我是汤汤，学习时间到，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱的表面积。好，那首先我们来认识一下圆柱的组成，圆柱是由两个底面和一个侧面组成，其实圆柱在日常生活当中很常见，比如说我们喝水的水杯，还有 啊，这是目前我们吃的甘蔗，对吧？甘蔗可以近似的看成一个切完之后的近似的可以看成一个圆柱。好，那么那圆柱它是由两个底面和一个侧面组成，那么上下底面是圆中间的侧面，我们来看一下它侧面展开。好，这是一个圆柱，那么它的上下面展开之后，上下是 一个圆，对吧？然后侧面如果沿着这个高从这个地方剪开的话，那他这个展开的侧面就是一个长方形， 他是这个是垂直的啊，如果沿高剪开，垂直剪开的话，它是一个长方形，那么上下底面是一个圆，如果是斜着剪开的话，那他也会形成一个平行四边形的侧面，那么上下底面还是两个相同的圆。好，那么我们来看一下它的侧面积，那我们再给他拼的时候，你看这个长方形的长和这个圆他们是 衔接在一起的，他们的长度是一样的，那这个的话长度其实就是跟圆的周长是一样的，那这个长就是二 pi r 或者是 pi d 上撇 c 的 圆周长的公式，那么高，这个其实就是圆柱的高 h。 同样道理，如果说是斜着剪开是一个平行四边形的话，那么给他就是给他再还原回来的话，他就是一个 圆，那么它的长度其实也是圆的周长，所以那圆的周长还是二 pi r， 那 么上下是两个相同的圆，那么我们在看它的面积的时候呢？长方形的面积是长乘，对吧？长乘以这个宽，长乘宽，二 pi r 乘 h， 所以 它的侧面积就是二 pi r h， 再加上两个圆的面积，圆的面积是 pi r 的 平方，也就是两个有二 pi r 的 情况，我们具体再来看一下，那么表面是由侧面加两个底面积，它的侧面积也就是长方形。那么还有一种特殊情况是正方形，当圆的周长和它的圆柱的高是相等的时候呢，它就展开就是一个正方形， 所以它的公式 s 表面积 s 就是 二 pi r h， 二 pi r 就是 pi d 或者是 pi d h。 两个圆的面积是 pi 二的平方乘以二，也就是二 pi r 的 平方。我们来看一道例题，一个圆柱的高是十厘米，底面半径是两厘米，那它的表面积，表面积我们由刚才我们知道，表面积是有两个圆和一个侧面。那首先我们来求一下侧面，侧面刚才说的是长乘宽，也就是二 pi r h， 那 么就二乘以三点一四，再乘以二 pi r h 乘以它的高高，这里是十万，那么它是一百二十五点六 平方厘米，上下底就是两个圆，三点一四乘以二的平方。拍二方乘二，那就是二十五点一二平方厘米啊，他俩加在一起一百二十五点六，加上二十五点一，等于一百五十点七二平方厘米。

今天我们来学习北师大版数学六年级下册第一单元圆柱的体积，那什么是体积呢？就是这个物体它占空间的大小啊，那么就要想到容积，容积和体积有所区别啊，容积它是从这个物体的里面去测量 啊，用这个数据来计算，那体积和容积的计算方法是一样的。那么五年级下册我们学过长方体的体积公式是长乘以宽乘以高，也等于底面积乘以高。那么我们用类比推理的思想呀，就可以得出圆柱的体积公式也是 这个底面积乘以高。那么圆柱的体积公式是如何推导出来的呢？这是一个核心的知识点，一起来看，他运用了转化思想等级变形的思想 来看，这是一个圆柱体，我们把它平均等分成十八份啊，十八份，然后把这个后面黄色部分啊，跟前面的这个黑色部分给他交叉到一起，拼成一个长方体， 二者的形状改变了，体积没有发生改变。那我们求出长方体的体积，它就是圆柱体的体积来看二者还有什么相似之处呢？二者的高相等啊，都是这么高， 二指的底面积相等，而且长方体的底面的长等于圆底面周长的一半，为什么呢？因为来看涂黄色部分我再放到了后面，这个涂黑色部分的九块我放到了前面，那么这个 各占一半，所以是这个长呀，就是圆底面周长的一半，用字母表示就为 pi r。 那 么这个长方体的底面的什么呢？ 就是圆柱体的底面半径分成的，这每一小块它是以直径来切开的，所以说呀，这每一个小块 它的长度就是半径的长度，所以啊，这一个长度，它就是圆的底面半径，所以圆柱体的体积就等于长方形的体积，就是 pi r 乘以 r， 再乘以 h， 化简一下就是 pi r 平方乘以 h， 所以 就等于底面积乘以高。那第四个呢？就是空心钢管的体积啊，它的体积也是等于底面积乘以高，它的底面积是什么呢？底面积是这个圆环的面积啊。好了，这就是 圆柱的体积的所有的核心的知识点，如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边爱学习的朋友。