德州一模数学答题技巧

一模成绩突然下滑，忽高忽不稳定。德州家长注意了，别再怪孩子不努力！你家孩子是不是天天学到半夜，提刷了一本又一本， 可成绩不升反降，越考越慌，越学越没信心。不是孩子笨，也不是不够拼，百分之九十的孩子都栽在了这一个问题上。学校进度太快，知识刚学完，还没吃透，新内容又压过来，漏洞越积越多，基础不牢，后面怎么学都白费。 今天，李校长把异模后提分核心直接告诉你，抓住这三点，成绩立刻稳住，轻松实现逆风翻盘！第一，抓准学科提分，关键点不瞎忙， 初中死磕数学思维直接拉开差距。高中狠抓答题技巧，少丢一分干掉千人。把时间用在刀刃上，提分才最快。第二，用好一天黄金记忆期，效率翻倍。早上大声早读背书，最快八点到十点，专攻难题， 思维最活跃。晚上必须十分钟整理错题，只学不消化，刷再多题也是白忙活。 第三，守住课堂主阵地，比补课更管用。课上听不懂，课后补死都没用。提前预习带问题，听课，下课立刻整理笔记，一堂课顶三堂课，基础越学越扎实。德州的家长，只要孩子照这三点坚持做， 成绩稳得住，提分看得见，新学期直接逆袭！你家孩子现在哪科最拖后腿？评论区打出来，李校长帮你一对一解决！

好像很难一步到位能够把它化成刚才咱们所说的累加的形式，是不是？所以这个为啥呢？因为他这里面有好几项。嗯， 那说明这个题要用一个方法叫做构造法，它需要去构造出来它是一个什么什么样的数列。这个也就是接下来一会我要讲的第四个方法。构造就是我构造。构造的是什么呢？等差和等比，就是构造这两项东西， 但是很明显 a n 不 一定，不一定不是等差，也不是等比了，所以，但是我们得需要去看其他样子的符不符合。怎么看呢？就看系数能不能提供因子把它变成一样了。你看它本身，它这里是有三个它，两个它。 嗯，那给他一个行不行？行，那就变成了 a n 加二减去 a n 加一，这边是变成两个 a n 加一减去二倍的 a n， 那 既然系数相同了吧？对，提一个因子出来，提一个二出来，是不是就？ 嗯，所以你看他的形式一样吧。一样。所以谁是一个等等比数列，那我就可以得出来 a n 加一减去 a n 这个东西，它为什么数列啊？公比为二的这么一个等比数列， 是吧？来看他的手相吧。手相是谁啊？手相是不是就是 a 二减 a 一 是不是等于几啊？三，所以是不可以求出来啊？那我们就可以求得他的通向公式，他就等于三手相 乘以 q 的 n 减一次方，所以是不是可以得出它来？ ok， 好 了，这不就是你的那个累加的形式了吗？嗯，是不是它的后一项减它的前一项得出来这么一个东西？嗯，啊，所以它就可以用累加了，那接下来后面是不是就会了？嗯，是不是角 a n 减去 a， n 减一等于三乘以二的 n 减二，依次往回推到 a 二减 a 一 等于三乘以二，多少次方？或者说上面你要是想想再多写一个，你就多写一个， 是不是又三乘二十几方？是不是要写对了啊？你看，这是 n 加一，这是 n 减一。嗯，所以其实一次要要少一个的，那这里是二的话，这其实是一次方了。嗯，这其实多少次方？零次方是这么一个情况吧。嗯，咱先这么写着，最后你累加完之后是不是要累加？对，哎，累加，这得到的就是 a n 加一， 减一减 a 一 等于。其实正常来说哈，我，我是现在是按步的给你讲的，正常来说，咱从这开始加就行了， 不用它就行了，行吗？咱就不用它了，因为你用它的话，你会发现我是不是还得多一步，是不是？所以咱就不要它了，咱们就直接从下一步这边开始不就行了吗？ 所以它就是 a n 减 a， 也等于三乘以二的零次方，加上三乘以二的一次方，那依次往后类推到三乘以二的 n 减二次方，那所有的三可以怎么样？提出来 就是二的零次方加二的一次方，一直加加加，加到二的 n 减二次方。 ok， 好， 这是一个什么求和？是哎，等比数列求和。是不是？等比数列求和一共有多少项？先一定要项数，可别找错了，一共有几项？ n 减一项， n 减一项，应该是从零开始的，所以是不是有好处？ 那你是不是就能把 a a 这个通项公式就出来了？最后一定要把 a 一 再移过去，可以吧？

好，其实记不记我觉得都不重要，重要的是我们先给你讲一下他为什么有这么一个公式的变化哈。比如说我举个例子，比如说十个人，十个人是要进行抽奖，十个当中有几个奖？ 有两个奖，那也就是我们知道里面有八个是不带奖的，有几个是带奖的，两个带奖的现在会要求十个人去抽，那么但他问的您是什么呢？第二个人中奖的概率，他要求第二个人中奖的概率，这个时候你想一想，那么这个是不是就要先看第一个人啊？嗯， 如果第一个人中奖好，第二个人也怎么样中奖？还有一种情况是什么一个人不中奖， 而第二个人怎么样中奖？中奖，是吧？所以你看在这个事件发生的时候，他因为条件不同，是不是也会导致他 最后中奖的概率是不是也会发生改变，对吧？这就叫什么？就能感受，这就叫什么？上限概率，说的是什么呢？当完成一件事的时候，他有多种方式可以去 实现，去完成，是吧？所以这就叫什么呀？权重度，所以通过这个例子你就能感受他的例子了，是吧？可以举个例子，如果我射他成功的概率为 a 几啊？ a 一， 第一次中奖的第一个人中奖的概率为 a 一， 那他为什么 b 二， a 二，他为什么 b 为 b？ 那 如果我让你用我们条件公式去表达的话，就是 ab 杠 a 一， a 一， 你是不是要这样去表达？嗯，对吧？那他呢？ p b 杠 a 二， p b 杠 a 二等等的是不是都可以这样去表达这个意思？嗯，所以最后才有了我们的什么公式啊？ 就是公式，对吧？会算吗？那我们来算一下吧，第一个人如果中奖的概率就是五分之一吧。嗯，因为十个里面是不是有两个奖，所以就五分之一。 那如果在他这种情况下第一个人中奖了，还剩几个奖在里面？呃，一个一个奖，所以他就变成概率九分之一，所以等于就是五分之一乘九分之九分之一，对吧？好，下一个呢？呃。 十分之一，十分之一一吗？他不中奖五分之四吗？不是， 他第一次中中的时候是五分之一，那不中就是五分之四吧。如果他没有中奖，他抽走的那一个是没有奖的，他应该剩下的是九分之几啊。二，是不是九分之二？所以最后他中奖的概率就是五分之四。乘谁乘以九分之二？乘以九分之二， 所以最后算下来等于多少？四十五分之一？四十五分之八，然后最后他俩加起来就等于四十五分之九，然后约就变成了多少 五分之一，所以他第二个人中奖的概率是多少？五分之一，是不是？所以他如果要写完整的话，应该是 p 谁啊？ p a 一 乘的谁啊？ p b 杠 a 一， 是不是这样的情况加上了谁啊？ p a 二 乘 p 多少？ p b 杠 a 二，是不是最后才得到了你最后这个 p b 发生的什么概率吧？当然了，那考试的时候只有两种情况吗？刚才我说了一个事件的发生可以有多种方式进行实现，只不过这个事件需要几种方式就可以实现了。 两种是不是可以了，但是会不会有多种？ ok， 好， 它才会有了一个省略，再加上 p a n 是 吧？乘 p b 杠 a n， 是 不是才会有这么一个式子？这就是什么公式啊？全概率公式，对吧？全概率公式啊。好，这一个是条件概率，一个是全概率。全概率啊，这两个考的概率还是非常多的。

你可能会遇到这样子的，也可能会遇到这样子的，这都没有关系，就这笔直是一个出来的，是一个含有 fn 的 n 的 一个式子。那我们就用什么方法累成？他的累成其实也很好，你看，其实也是一样的，他不是。第一项是 a n 比上数比上 a n 减一，数比上 fn， 是吧？那依次往回类推，那是不是就变成谁了？你多写几个吧，是这样子吧，那依次往回类推，你会发现它就变成了 a 三比 a 二等于 f 啊三，是吧？啊？那么 a 二比 a 一， 它就等于 f 啊二，当然了，我是这样写的啊，那这个时候你是不要进行累乘， 你累积完之后，其实你也会发现，他俩在乘的时候会发现一个什么特点，你 a n 比上 a n 减一，乘以 a n 减一，比上 a n 减二，依次往回推 a 三比 a 二，再乘以 a 二比 a 一。 你在乘的过程，他和他怎么了？ 约了？他和他怎么约了？那个 a 三和前面的那个 a 三分之 a 四是不是也约了？ a 二比 a 二是不是也约了？所以其实他累成之后得到的只有 a n 比上谁？ a 一 a 一 是不和刚才咱们那个做法其实是一样 的，是吧？所以最后累成之后，他只变成了 a n 比上 a 一， 等于，是不是等于 f 二乘 f 三，依次往后退，对不对？好吧，其实这个 f 二就是谁啊？ a 二比 a 一， 对， 是吧？那所以一会我们在写的时候呢，我们是这样写的，其实它的 a n 就 等什么呢？就等于 a n 比上 a n 减一乘。 那谁，我这个先给你这样写吧，是不？刚才是不是到这一步了？对，你是不是要让他乘他，他乘他，是不是这些都乘出来？嗯，他是 f n 减一，是不是就是你的第一项？嗯， 好，不好意思，刚才擦了啊，你是不是刚才擦了？刚才不是有 n 吗？擦了啊，是不是就是 a n 比上，比上 a n 减一，乘以 a n 减一，是比上 a n 减二，再乘以 a n 减二，是比上 a n 减三，依次往回推到 a 二乘以 比上 a 一， 是不是？是这个样子的吧？这个柿子不就那个推出来？对，他就是那个柿子，只不过是这里，这个柿子其实就是你的谁？ f n， 他 是你的 f n 减一，他是你的 f n 减二，他是你的 f 一， 就这样子的。其实就是你刚才我举的那几个例子。最后呢？你是不是还要把 a 一 乘过去？所以 a n， 他 其实就等他再乘一个，最后乘一个谁 a 一， 是不是就变成你刚刚那个样子了？这就叫什么方法？累乘乘法。哦，他就是累乘法，所以和累加其实是一样的，累加就是加起来，累乘就是乘起来了，是吧？

哈喽，同学们，这里是小曼老师的数学课，今天我们来讲解一套二零二六年最新的中考一模试卷，带你速通一轮复习。先来看我们这里的第一道题， 他说中国古代数学著作九章算数就最早提到了复数，问我们负二零二六的相反数是多少？那这个很简单嘛，送分题对不对？直接选我们的 a 选项二零二六呀。 再来看第二题，他说博物馆呢，已经逐渐成为巴拉巴拉，这些东西都没有用，我们直接看他要求的是什么，他说其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪个？那大家来想， 那他考的考的不就是我们的定义吗？对吧？我们 abcd 依次来看一下。首先你看我们的 a 选项，他是轴对称吗？很明显不是的呀，这边跟这边都不对称的吗？对吧？那如果说我们横着来一条线的话，他也不对称呀， 所以说 a 选项直接排除了，然后 b 选项的话，你会发现它很明显是一个轴对称，但它是中心对称吗？它其实不是，因为你看上面这个东西，如果说转到下面来的话，它是不重合的，没有东西跟它重合，所以它不是中心对称图形。再 看 c 选项，它其实很明显可以是一个轴对称吗？你看可以沿着一条竖线，左右两边是重合的，但是呢，上面转到下面的话，也没有办法跟它重合吗？所以也不是中心对称。 那答案肯定是四 d 了呗，我们来看一下四 d 这个选项哈。首先很明显中间竖着来一条线，它可以是轴对称，然后绕着中间这个点旋转一百八十度以后，上下都是可以重合的，左右也可以重合嘛，对吧？所以说第二题很明显，咱们答案就是四 d 选项了哈， 然后再往下看，再看第三题。第三题呢，他考的是我们的科学计数法，他让我们把这个三三七零万让我们用科学计数法来进行表示。那么大家来思考一下，对于这种问题呢，咱们一般 就是先把这个单位咱们先给他换成数，因为他现在是万吗？对吧？那就是三三七零乘了个一万，对不对？我们来给大家讲一个，如果你不太会转换的话，那么标准的做题思路可以这样去做哈， 三三七零万其实就是三三七零乘一万，对不对？那么一万写成数字的话，大家来写一下哈，你看 这个是一千，对不对？个十百千，然后再来一个零，不就是一万了吗？它是什么呢？它是一乘十的四次方呀，所以一万其实就是一乘十的四次方，所以三三七零万其实就是三三七零。 我给大家写到这里哈，三三七零乘十的四次方，对吧？然后你在它的基础上再转换成科学计数法，就简单的多了。因为科学计数法呢，我们就是想要一个一到十，呃，前面是一到十的一个数嘛，所以说你看小数点，现在在零的后面，那你往前挪呗，一二三挪三下，就变成了三点三七， 因为你挪了三下，所以说我们要写成乘十的三次方，然后面还有一个乘十的四次方嘛，我们全部写上，然后最终化简，得到的结果，那不就是成了个十的七次方嘛，十的三次方乘十的四次方是十的七次方，所以，所以答案选什么？很明显就是我们的 c 选项了吗？ 第三题是不是也就做出来了，对吧？我们考察的是科学计数法哈。然后我们继续再往下看，再来看我们的第四题，他说下列运算正确的是哪个？那这道题呢，他很明显考察的是我们的， 考察的是我们的一些小公式哈。我们先来给大家依次复习一下。首先我们知道 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方是等于什么呢？这里大家能不能记住哈，那它就是 a 的 m 加 n 次方了呗，对吧？然后如果是 a 的 m 次方除 a 的 n 次方呢？那就是 a 的 m 减 n 次方了呀。 然后又如果说是 a 乘 b 括起来的 m 次方呢？那就是 a 的 m 次方再乘 a 的 n 次方嘛？如果是 a 的 m 次方括起来的 n 次方的话，就是 a 的 m 乘 n 次方，对不对？这些常见的运算法则大家一定要搞清楚哈， 所以说我们再来看一下这道题。首先 a 选项，那这个呢，考察的是我们的完全平方公式，那它它拆开呢？应该是 a 方加 b 方，再加个二 a b， 对 不对？所以 a 选项就错了。再来看 b 选项， 这个很明显就涉及到咱们的公式了吗？那我们依次来拆一下，首先这里有一个三次方，那咱们就一次负二括起来的三次方乘什么呢？ a 的 平方括起来的三次方，再乘 b 的 负一次方括起来的三次方，咱们一步一步来进行计算哈，目的就是为了怕咱们算错。那么负二的三次方呢？就是负八了呗， a 的 二次方扩起来的三次方，套用的是我们这个公式啊，所以是 a 的 六次方，再乘个什么呢？再乘个 b 的 负三次方，那你来对比一下，很明显这里它这个是不对的嘛，对吧？所以 b 选项也错了。再来看 c 选项除法 a 的 六次方，除 a 的 五次方，那应该用用减法呀，六减五等于几呢？六减五等于一，所以这里也不对。再看四 d， 这个是乘法，那应该是三加四了呗，所以就是七，那对应答案呢？就是 a 的 七次方，是不是？呃，四 d 是 正确的呢，对吧？第四题的答案就是我们的四 d 选项哈。然后咱们再往下看， 再来看我们的第五题，他说如图，在我们的三角形 a、 b、 c 中告诉我们角 c 是 六十度直线 d， e 经过点 a， 并且 d、 e 平行 bc， 大家来看，这里有了一个平行的条件，对不对？那么咱们肯定要跟我们的六十度来结合一下，看一下我们这个时候能推出什么条件。 六十度这个角呢？对应的也就是六十度了呗，对不对？那错角相等呀，然后还告诉我们 d、 a、 b 是 二十度，让我们去求角 b、 a、 c 的 度数，哎，那这不直接求出来了吗？对吧？用一百八十度减二十度，再减六十度，是不是直接就做出来了？这不就是我们整体的一个解体思路吗？所以它考察的其实是平行线哈， 这个还是比较简单的，那就是一百八减去二十度，再减六十度，就等于一百度了呗，所以答案就是我们的四 d 选项哈，这大家需要注意的。 然后我们继续再往下看，再来看我们的第六题，他说如果关于 x 的 方程， k， x 方加六， x 减九等于零，有两个不相等的实数根，求 k 的 取值范围。 这道题看似很简单，不就限制个得儿它吗？但是它是有易错点的，大家能不能看到它的易错点在哪里呢？看到的同学可以直接在弹幕里打一下哈。 其实这道题你读到这里以后，你就发现了，它肯定是有易错点的呀，它的这个参数 k 是 在我们呃，这个二次项这里的呀，所以说我们肯定要分情况讨论呀，讨论它是不是 一元二次方程嘛，对吧？那我们来看一下哈。因为这道题它告诉我们有两个不相等的实数根，所以说它必须是一个一元二次方程，所以我们必须要限制上 k 不 等于零，这是一个前提条件，大家能理解吗？ 然后我们再来先指德尔塔，德尔塔等于 b 方减 c， a， c 就是 减四乘 k， 再呃，四乘个 k， 再乘个负九吧，它应该是大于零的，也就是三十六加上三十六， k 大 于零，一加 k 大 于零，所以 k 大 于负一， k 大 于负一，并且 k 不 等于零。那答案选什么呢？很明显就是我们的二 b 选项呗，是不是我们就快速做出来了？这是这道题对应的一个整体的解析思路哈，说白了就是给大家强调一下易错点，千万不要忘了。然后我们继续往下看，再来看我们的第七题， 他说，如图，在我们的平行四边形 a， b， c， d 中告诉我们， e 呢，是线段 a、 b 上的一个点，呃，连接 a， c， d， e， a， c 和 d， e 相交于了点 f， a， e 比上 e b 等于 二比三，大家来看哈，给了一个比值，那就是如果这个是二 x 的 话，这个就是三 x 了呗。让我们去求三角形 a e、 f 这个三角形 c、 d f 这个三角形之间的一个面积比。 那大家看到这个图，我们立马来想，首先它是平行四边形，然后它要研究的这两个三角形，你没有发现它的两个底边 d c 和 a e 是 平行的吗？对吧？所以说我们立马想到，它不就是咱们相似里面 常考的八字形吗？所以它一定是相似的呀，因为 d c 平行 a e 嘛，对吧？对应角都是相等的，我们可以得到相似。那咱们知道相似以后，我们再来想，面积比等于什么呢？在我们相似里面，大家来复习一下哈， 面积比是不是等于我们相似比的平方呢？所以说我们这个时候来求一下相似比。现在我们知道 a e 是 二 x， 然后呢？ e b 是 三 x， 那 ab 不 就是五 x 了吗？对边相等，所以说 dc 也是五 x 呀，所以说它们之间的一个相似比是什么呢？是二比五，这是相似比， 那面积比呢？面积比是相似比的平方，所以就是它的平方，那就是二十五分之四了呗。所以答案选什么 很明显了吧， c 选项对不对？我们就快速做出来了哈，大家看一下自己能不能跟上。所以说你会发现每道题其实背后都是有对应的小考点的哈，只要考点你提前学过了，那么每道题其实咱们都是能快速做出来的。 然后我们再往下看吧，再来看我们的第八题，他说如图，在三角形 abc 中，以 ab 为直径的一个圆 o 经过了点 c， 也就是这里有一个圆吗？经过了点 c， 然后我们现在，我们现在以点 b 为圆心，适当的长为半径，画弧，分别交 abbc 于点 m、 n。 大家来看哈，就是你看， 呃，我那个圆规，以这个点 b 为圆心，然后我画了一个弧，然后交于了 m 点和 n 点。大家能理解这个逻辑吗？画了两段弧呀，对吧？然后继续再分别以点 m， 点 n 为圆心，大于二分之一 m， n 的 长，呃，长为半径，画弧，两弧在它的内部交于了一点 p， 就是我现在再在 m 点和 n 点，以它为圆心，然后大于啊，大于二分之一 m， n 的 长为半径，又画了一个弧，然后呢，它们交于了一点 p。 那 大家来思考一下，其实这个做图过程非常明显呀，这不就是咱们知识点在学基础知识那里就学过的一个做做图的一个思路吗？它做的不就是角平分线吗？ 大家忘了的同学你去复习一下，你在角平分线，那咱们学角平分线做图的时候，其实就是用的这个方法哈，这就是标准的角平分线的一个做图做图思路。为什么它是角平分线呢？因为你看，首先它是不是画弧交于了点 m、 n 了呢？所以 b m 是 不是一定是等于 b、 n 的？ 然后它又分别以点 m、 n 为圆心，然后又画了一段弧，那么 mp 和 n、 p 肯定也是相等的呀，对不对？因为它以点 m 和点 n 为圆心，画弧的时候用的是相同长度的弧嘛。所以说咱们现在 mp， mp 也是等于 np 的 呀。 那你看，你连接一下，那根据，呃， b m 等于 b n， mp 等于 np， 还有 bp 等于 bp， 你 看根据 s s s， 你 是不是就可以得到上下两个小三角形是全等的呢？对吧？全等的话，那不就得到这两个角相等了吗？咱们之前讲角平分线的做法的时候，就是用这个思路来给大家去讲的。 所以说大家，呃，你看到这个图的时候，你应该立马反应出来它其实说白了就告诉你一句话，就是这个，这个两个小角是相等的， b、 e 呢？它是一条角平分线，这是大家需要注意的。所以说你看这道题他说了一大堆，其实核心不就告诉你一个条件吗？ b， e 是 角平分线呀， 然后他问我们下列结论正确的是哪个？那咱们现在 a、 b、 c、 d， 它只有一个是正确的，那这个时候你最好就不要照着什么哎，我来研究一下 a 正不正确，我来研究一下 b 正不正确。 你最好不要一个一个对着去思考，因为它本身只有一个是一个是正确的。如果说，比如说你做题的时候非要证明它是正确的，非要证明它是正确的，那你的思考思呃，思考时间就会非常多。所以说咱们最好就从条件出发，我们来看一下我们能推出什么， 比如说在这道题目里面，这两个小角是相等的，那我能推出什么呢？它现在在圆里面呀，在圆里面两个圆周角相等，一定要注意哈，这两个角 a、 b、 e 和这个角 e、 b、 c， 它俩都是圆周角呀，圆周角相等，我们可以推出什么呢？我们可以推出它们所对的弧是相等的呀， 所以弧 a、 e 是 不是等于弧 e、 c？ 这个是我们非常直接的可以推导出来的，所以说你看，那不就说明这个 e 它是这个弧 a、 c 的 中点吗？那对应的不就是我们四 d 选项吗？所以 a b c， a、 b c 你 根本不用看，因为四 d 它是显而易见的一定正确的，这就是我们对应的一个解析思路哈，大家看一下自己能不能跟上，这是我们第八题哈，然后我们继续再给大家往下看，再来看我们的第九题， 他说在同一个平面直角坐标系中告诉我们，函数 y 等于 x， 分 之 k 和这个 y 等于 k， x 减四。你看这两个函数，问我们它的图像大致是哪个？ 那我们做这种图像共存问题哈，这个这它它的类型叫做图像共存。大家可以记一下，其 数学里面每一道题它背后都是有题型的，而每一个题型都是有解析思路的。比如说咱们看到图像共存问题，我们一般常见的解析思路就是我假设一个正确一个函数里面的那个参数是是某某一个值，然后我再验证一下另外一个正不正确。我们举个例子哈， 比如说咱们假设 a 选项里面的反比例函数是正确的，因为反比例函数，你看它这个简单吗？对吧？这个 k 很 容易去判断，你在一三象限， k 不 就大于零吗？ 所以说我们假设现在反比例函数是正确的，那不就得到 k， k 是 大于零的吗？然后你再来验证一下，那另外一个 y 等于 k， x 减四，它图像是不是图上画的？这个呢？ 你会发现很明显不是的呀，因为 k 大 于零的时候，它应该是单调递增的呀，对不对？所以说这个很明显是不对的哈。嗯，而且这道题其实我们我们因为它比较简单，我们是有更简单的一个解析思路的，就是它这里是 k x 减四，对吧？所以说我可以直接把这里 a 选项排除了， b 选项排除了，因为它们跟 y 轴的交点都是大于零的，然后 c、 d 的 话，你再对应的来研究一下不就行了吗？ 所以说因为这道题比较简单哈，咱们直接排除。那如果说咱们讲一点朴实一点的方法的话，对于图像共存问题，就是老师刚才讲的方法呃，先假设一个正确，得到一个参数的取值范围，比如说大于零啊，小于零，然后再来验证一下另外一个函数的图像是否正确。我们来看 c 和 d 哈， 对于 c 选项来讲，这个时候很明显它 k 也是大于零的，对不对？我们来假设它正确，再来验证另外一个是否正确，另外一个是 y 等于 k x 减四，那应该是单调递增的呀，很明显 c 选项也不对，那肯定就是四 d 了呗。 四 d 的 时候，这个时候你会发现你看它在二四项减，所以 k 小 于零，然后我们来验证一下 k x 减四，正好单调递减，然后跟 y 轴又交于负，呃，交于负半轴，所以很明显是正确的呀，这就是我们第九题哈， 咱们给大家讲了的是给大家讲的是图像共存问题对应的一个解析思路哈。然后我们继续再往下看，再来看我们的最后一道题哈，这是我们选择题的最后一道题了，我们来看一下 这道压轴题难不难呢？其实不是特别难哈。嗯，它告诉我们，已知二次函数 y 等于 x 方加 b， x 加 c 和 x 轴的一个焦点是四零，它的对称轴呢，是直线， x 等于一部分图像如图所示，有下面四个结论。 那我们根据已知条件下来推一推呗，因为它一个交点是四零，对称轴是 x 等于一，那左端点肯定就可以求解出来了呀，你想想对不对？左端点加右端点应该等于二倍的 x 轴，也就是左端点加上四，应该等于二乘一， 那么 x 肯定就等于负二了呗。所以这个点就是负二零，我们是不是就快速做出来了，对吧？咱们给它直接写成负二了哈， 这个点是负二。然后我们看一下这道题对应的四个结论分别是什么？首先第一个，他说 a 乘 b 乘 c 小 于零， 这个很简单嘛，对吧？判断一下 a、 b、 c， 他 对应的符号不就行了吗？因为开口向下，所以 a 小 于零，然后负二， a 分 之， b， 这个时候是等于一的， 所以它是大于零的。这个时候你看哈，因为 a 小 于零，然后前面又有一个符号，负负得正，然后整体又是大于零的，那推出 b 一定也是大于零呗。然后跟 y 轴的交点交于正半轴，所以 c 也大于零呀。这个时候 a 小 于零， b 大 于零， c 大 于零，所以最终结果肯定是小于零了呗。第一个结论很明显正确。 再来看第二个结论， b 方减四 a、 c， 那 这个说白了不就是得它吗？对吧？得它等于 b 方减四 a、 c 啊。现在它有两个焦点，所以应该大于零，那么第二个不用看了，直接错。再来看第三个，八 a 加 c 等于零， 这个怎么做呢？其实第十题是非常经典的二次函数结论问题，对吧？给你一个二次函数，给你一二三四五六个结论，让你判断哪几个结论是正确的。对于这种题目呢，其实咱们也是有对应的解析思路的，比如说在这道题目里面，我们来给大家讲一下八 a 加 c， 对 于大家碰到这种里面只含有两个字母，也就是你看哈 abc 中只 还有两个字母，然后给的是两个字母关系的一个式子，比如说类似这种八 a 加 c 等于零啊，或者说什么二 a 加 b 啊，或者说什么三 b 加 c 啊， 就我这边随便举例子哈，就是如果说对于 abc 三个字母，它给你的是其中两个字母之间的关系的式子的话，那么咱们对应的解析思路非常简单， 首先第一步是干啥呢？首先第一步你去找对称轴，对称轴可以得到一个式子，对吧？第一步你去找对称轴。第二步呢？第二步你再去找什么呢？你去你去带直，去图上找点带直。我们给来给大家写一下，找点带直， 因为它是一个二次函数呀，对不对？假如说它过某一个点，那我是不是可以把这个点带进去？那我是不是又得到了一个关于 abc 的 一个式子呢？对吧？你看这个可以得到一个关于 abc 的 一个式子，然后找对称轴呢？我们可以得到关于 ab 的 一个式子， 那我们找到两个式子，或者说这里我找，呃，或者说我这里再找一个式子，那我不就找到三个式子了吗？反正就是一共找两个，或者说三个式子，那么我们稍微给它转换一下，稍微互相代换一下， 一般就能凑出来你想要的找的这个两个字母关，关于两个字母之间关系的一个式子了，大家能理解吗？这是非常固定的解题思路。所以说这就是老师为什么跟大家讲 数学其实很简单，因为每一道题背后其实都是有解析方法的，关键就在于你之前会不会之前有没有人给你讲过，那比如说现在老师给大家讲过了，我们来试一下这道题。 我们首先来找对称轴，对称轴等于一，所以负二 a 分 之， b 等于一，所以 b 等于负二 a， 你 看是不是有一个条件了，对吧？然后我们再来找第二个，找点带值，那我要带哪个点呢？ 这里给大家讲一个讲一个小方法哈。如果说他给你的这个式子是不等式的话，他给你的式子是不等式的话，那么咱们一般带点的话，比如说我可以带 x 等于一的时候， y 是 不是大于零的，那这个时候我是不是得到大于号了， 对吧？如果说他是一个不等式的话，那你就去带某一个点，在某一个点处大于零或者说小于零，然后因为他这个时候是等于号，对吧？他不是不等式了，所以说你就带具体的知道值的某一个点，就是你知道 x 等于几， y 等于几的那个点， 那这个时候在图里面其实只有两个点，一个是负二零呀，一个是四零呀，对吧？只有这两个点是已知的，也就说明了这道题目里面你要么带负二零，要么带四零呀，对吧？只有这两个点是已知的，也就说明了这道题目里面你要么带四零。你自己先去凑一下哈， 比如说这里哈，我们来给大家带一下负二零，咱们一般从小一点的开始带嘛，负二零带进去呢，就是四 a 减二 b 加 c 是 等于零的，对吧？你看你这里得到的是等于号，因为第三题它本身给的这个式子是一个等式，所以说我们在带点的时候，我们要带的是呃，可以得到等号的那个点。 那他如果说，比如说第三个结论，他给你的是一个八 a 加 c 大 于零，或者说什么二 a 加 c 大 于零是这种不等式的话，我们可以知道 x 等于一，你看 x 等于一的时候， y 是 大于零的，然后这个时候你看二和三也是一样的啊，你还可以带 x 等于二的时候， y 是 大于零的， x 等于三的时候 y 是 大于零的， 这些点你都可以去试。关键就在于你看他现在要求的这个式子是等式还是不等式哈？因为他现在是等式，所以说我要带的点肯定是负二零或者说四零了。 那我们现在得到这个式子以后，你来看一下，肯定要把这个 b 给它消掉吗？对吧？那怎么消呢？不就利用我们对称轴得到的这个公式吗？它是负二 a， 所以 那就是四 a 加上什么呢？加上四 a 加 c 等于零， 那不就是八 a 加 c 等于零吗？你看我们推导出的这个式子，不正好就是第三个结论吗？所以第三个结论很明显是正确的呀，是不是快速做出来了？ 所以说所有的你觉得做不出来的数学题，本质都是有方法的，关键就在于你之前有没有老师给你讲过哈，这是我们第三个，大家可以总结一下我们给大家讲的一些小方法。然后我们这里继续再给大家来看我们的第四个结论哈，他说直线 y 等于 k， x 减四， k 经过点零 c 这个直线哈，你看 k， x 减四 k， 那 我是不是可以先把 k 提出来呢？对吧？ y 是 不是就等于 k 的 括号里面 x 减四呢？ 那我们得到这个他的一个式子以后，我们可以立马发现，他肯定过一个定点，他肯定过四零呀，对不对？他肯定过四零这个定点，因为当 x 等于四的时候， y 一定等于零啊，因为零乘任何数都等于零嘛， 所以他又过零， c 又过四零，那其实我们可以直接把他的图像画出来了嘛，对吧？大家一边读题要一边往外推条件哈，那我们画完图以后再来看，他说那么关于 x 的 不等式这个东西大于零的解集是什么？ 他现在给你的这个不等式呢？你会发现他很复杂，那我们能应解吗？不可能应解呀，大家就记住二次函数的结论，问题 就是不可能让你应解的，他一般给你类似这种式子的时候，还给你一个直线的时候，那绝大概率就是要研究二次函数和这个直线的一个大小关系啊，对吧？你会发现左边这个式子，他不就是二次函数和我们的这个直线混杂到一块了吗？ 或者说你看不出来也没关系，你就记住了二次函数的结论，结论问题绝大概率他考察的就是两个函数在比大小，所以说你就先把二次函数给它拆出来，大家能理解吗？碰到这种 a x 方，然后你看又加了个 c， 看起来很像我们二次函数的解析式，但是又不完全像的，那你就把二次函数提出来，绝对没问题哈。你先把二次函数提出来，你看一下它是什么样子的， 我们提出来以后呢，就是 a x 方加上 b x 减 k x 加 c， 我 们来换一下位置哈，咱们先把二次函数放到一块儿，那就是加 c 减 k x， 再加四 k 大 于零嘛，对不对？ 然后你发现这个负 k x 加四 k， 你 稍微提个符号，它不就变成了 k x 减四 k 吗？这不就是我们想要的这个直线吗？所以说我们进行一下移项，那不就是 a x 方加 b x 加 c 大 于 k x 减四 k 吗？左边是不是我们的二次函数，我们可以记为 y 一， 右边是不是我们的这个直线，我们可以记成 y 二哈，大家来看一下，那他研究的不就是两个 y 一 和 y 二之间的一个大小关系吗？也就是当他们的 x 相等的时候，来比较一下什么时候 y 一 大于 y 二。 那我们直接看图像就行了呀，对不对？我们找一下二次函数在一次函数上方的那个部分，那很明显就是这一段了呗， 对吧？那对应的这不就是零到四吗？所以说他说解集是零到四，很明显没有问题啊，所以第四个结论也是正确的。那么答案选什么？很明显就是我们的二 b 选项了呗，是不是快速就做出来了？ 虽然说你会发现哈，像这个第十题，虽然说它是压轴题，但是咱们绝大部分同学，其实你是应该能做出来的，因为他考察的考点非常固定哈， 比如说第三个结论，第三个结论我们是不是讲了一个方法，第四个结论呢？是不是老师告诉你了，他核心其实研究的就是两个函数在比大小哈。所以说我们继续这道题给大家总结一下，其实初中数学呢，咱们不说考满分，你考个高分，你扣个五分六分， 嗯，咱们比如说满分一百二，你考到个一百一十分往上，其实都是轻轻松松的，关键就在于，哎，之前有没有老师给你讲过这些类似的解题方法，如果说你学过的话，那么你成绩提起来是很快的哈。 但如果说大家总觉得现在努力，但是不提分，上课明明也刷题了，但是感觉一道做题自己就就没有思路了，成绩呢，每次考试都呃平稳的稳定在某一个范围内，怎么都提不起来。 如果说你也是这种情况的话，其实大概率就是因为你的学习方法存在问题，你老师给你讲的课程呢，也太简单了，没有人给你总结题型，没有人给你总结解析思路，那么大家如果说也存在这些问题，并且你想快速提分的话， 那么你可以点击这里，你来找到小曼老师的联系方式哈，因为老师我就是从不及格提到很多次满分的，所以老师非常了解咱们各个成绩段的同学如何数学快速提分哈。 ok， 那 我们这里话不多说，我们继续往下看，再来看我们的填空部分，他说使得根号下 x 减五有意义的， x 的 取值范围是多少？那这个很简单嘛，我们直接让 x 减五，大于等于零不就行了吗？所以就是 x 大 于等于五，对吧？ 再来看十二题，如果 r 法贝塔是这个方程的两个实数，根问我们 r 法加贝塔，再减去 r 法乘贝塔的值是多少？ 那这个很明显，一个加一个乘，那考察的不就是咱们的韦达定律吗？对吧？韦达定律，那么对应的 r 法加 beta 呢？等于负 a 分 之 b， 那 就是二了呗？ r 法乘 beta 呢？ a 分 之 c， 那 就是负五了呗。所以就是二减去负五，那不就是二加七吗？所以答案就是七呀，快速就做出来了，对不对？ 最后再往下看，再来看我们的十三题，甲骨文是什么？巴拉巴，这些东西都没有用，我们直接来看他要求什么，他说把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，那么这两张卡片正面恰好是甲骨文，利和山的概率是多少？这个是利，这个是山， 也就是把这四张卡片你看洗匀，然后我随便抽两张，然后这两张正好是利和山的概率是多少？那这考察的不就是咱们的求概率吗？求概率有两个方法，一个列表法，一个数状图法，对不对？咱们用数状图法来给大家举例子哈，你看这四张卡片呢，我们可以分别标成 a、 b、 c、 d， 那假如说刚开始，然后第一次开始抽，是不是有四种可能，对不对？你看 a、 b、 c、 d 四种可能嘛？然后一定要注意哈，是从中随机抽取两张，是一下子抓两张，所以说你抓完 a 以后， 那下一个它只有三种可能，就是 b、 c、 d 了，对不对？然后同样的道理，这个是 a、 c、 d， 这个是 a、 b、 d， 然后这个是 abc， 然后你看一共有几种可能呢？三乘四等于十二十二分之几呢？我们来看一下哈，同时包含 b 和 c 的 呢，这里有一个，这里有一个，也就两种情况呗，所以说是十二分之二，那对应的答案呢？是不是就是六分之一啦？那我们快速就做出来了，对不对？ 这是我们的十三题哈，大家一定要搞清楚，然后我们继续再往下看，再来看我们下一道题十四题。他说如图，热气球探测显示呢，同热气球 a 处 测得一栋楼顶部 c 处的阳角是三十七度，大家一定要注意三十七度在哪里？咱们一定要知道这个阳角是怎么去画的哈。他说在 a 处测得 c， 这里的阳角是三十七度，那就由 a 这里画一条水平线， 然后上面这个角是三十七度呀，对吧？然后测得这栋楼底部 b 处的辅角是六十度呀，对不对？阳角和辅角对应的是哪个角，一定要自己搞清楚哈。然后他说热气球和这栋楼的水平距离是三十六米， 那就是这段是三十六嘛，长度是三十六，问我们这栋楼的高度是多少？那其实很简单呀，咱们直接利用三角函数来求解嘛，对吧？我们分成两段，上面这里有一段，比如说这个点是 d 点的话，那我们就分成 c、 d 加 d、 b 了嘛， c、 d 是 多少？大家来思考一下。 c、 d， 你 看又知道对面是三十七度了，那我们是不是知道 c、 d 比上咱们的 a、 d 是 等于 ten 三十七度呢？所以 c、 d 就 等于 a、 d 再乘个 tan angle 三十七度呀，对吧？三十七度哈，然后再加上 d、 b、 d、 b 同样的道理啊，对吧？它其实就是我们的呃， a、 d 再乘个 tan angle 六十度嘛，对吧？因为咱们的 d、 b 比上 a、 d 也是等于 tan angle 六十度的。那我们来化简一下， a、 d 呢，是三十六，那就是三十六乘个 tan angle 三十七度呢，是零点七五，再加上 a、 d 三十六乘个 tan angle 六十度 case， 六十度不就是根号三嘛，然后根号三约等于一点七三，那就是再乘个一点七三嘛，所以就是三十六乘括号里面零点七五再加一点七三，对不对？ 这个最终求出的结果呢？大家接下来自己去算哈，它是八十九点二八，你看正好是小数点后两位嘛，它就是要精确到零点零一，所以答案就是八十九点二八了呗。我们直接就求出十四题的答案了，对不对？是不是快速做出来了？ 这道题的计算的话，大家自己下来去算一下哈。然后我们再来看我们的十五题，他说在某一个施工段内，施工队呢，他计划在一定时间内完成两百四十米，注意哈，一共是两百四十米的地铁轨道的安装工作，现在安装了三天以后， 安装三天以后改进了安装技术，每天比原计划多安装三米。那大家来想哈，他这道题，他已经设原计划每天安装 x 米了，那就是原来呢，每天安装 x 米，你看每天安装 x x x 是 不是安装了三天呢？然后剩下的这几天呢？每天都安装 x 加三， 因为他说了每天比原计划多装了三米吗？对吧？然后结果提前六天完成了安装工作，然后问我们根据题可以列什么方程？那咱们就是来找一个等量关系来列方程吗？那这个等量关系在哪里呢？大家来思考一下。 其实这个时候呢，咱们可以从时间上面来列方程呀，对吧？我们现在不知道时间，但是我们知道他们时间之间来列方程，我们来想一下， 原来多少天可以完成呢？原来的话一共二百四十米，每天装 x， 那 不就是二百四十除 x 吗？这是原来的，现在呢？ 现在的话，首先大家来想哈，我们是不是花了三天的时间，用的是之前的那个每天安装 x 米，所以首先花了三天，然后呢再加上什么呢？现在用了几天呢？ 我们现在还剩下多少米呢？大家来想一下，它本来是二百四，现在安装了三天，每天安装 x 米，那不就是二百四十再减去三乘 x 吗？这是它剩下的还没有安装的，对吧？然后我们再除什么？我们再除上它每天安装多少呀？它每天安装 x 加三呀？ 这是他现在就是我，呃，改进以后我花的时间，对吧？这是我现在花的时间，这是原来花的时间，他们之间是啥关系呢？他们是提前六天完成了安装工作， 所以说前面刚开始花的时间多吗？现在花的时间少，现在花的这个少的时间，再加上六天就是原来的时间了呗，对吧？因为他们之间的关系就是， 呃，原来的时间就等于现在的时间加六天吗？对吧？我们现在列出这个方程，这不就是这道题的答案吗？是不是快速做出来了？你看，很简单，就是按照逻辑来列方程哈，核心就是你要找到那个等量关系在哪里，你要根据谁来列方程哈。 ok， 最后呢，再来看我们十六题，十六题呢，就是咱们的一道压轴题了哈，是我们填空题里面的压轴题，大家看一下自己能不能做出来。 它告诉我们，如图，在等边三角形 a， b， c 中 ab 等于五， d 在 a c 边上， a， d 等于三，那 d， c 不 就等于二了吗？然后 e 呢，它是一个动点， 连接 d， e 以 d e 为斜边作等腰直角三角形。它问我们当 d e 的 长为整数的时候，这个三角形 d， e、 f 的 面积是多少？那么这道题做完以后呢，咱们来思考一个点，你会发现，哎，它这道题 他说 d， e 是 整数，那这种怎么思考呢？是不是很少碰见这种哎，让一个线段是整数的题目呢？ 其实，呃，碰到这种题目的话，咱们的解析思路就是，哎，那你看一下 d， e 的 取值范围是多少，然后在这个取值范围里面，我们让它是整数不就行了吗？对吧？ e 点在哪里动？ e 点在 bc 上面去动呀，他不是说了吗， e 是 bc 边上的一个动点，所以说咱们就来求一下 d， e 的 一个 取值范围，求一下最小值，求一下最大值不就行了吗？然后在这个取值范围里面让他去等于整数不就行了吗？你把这一步想清楚以后，那么这道题很简单的就快速做出来了呀，所以说我们现在来带大家去想一下哈，什么时候有最小值呢？ d 是 一个定点，然后 e 呢？是在上面动的，那肯定是垂直的时候有最小呀，对吧？然后我们还知道 c 这里是六十度，那对边三角形啊，所以 c 这里是六十度的， 那我们来给大家看一下哈，三十度左右的直角边等于斜边的一半，所以说这个就是一了呗。那 d e 最小值不就是根号三了吗？因为一比根号三比二哈，这是最小值，那什么时候最大呢？很明显肯定是走到最远的地方呀，什么时候最远呢？ b 点的时候最远，于是我们可以把 d b 连接起来，说白了就是如何去求 d b 的 长度， d b 怎么去求呢？ 现在你看哈，这个地点呢，它也不是终点，所以 b、 d 跟 a、 c 也不垂直，那这个时候怎么办呢？肯定还是要放到直角三角形里面， 呃，放到直角三角形里面嘛，对吧？然后你看下面这不是有一个现成的直角三角形吗？对吧？这不就是直角吗？对不对？虽然说在这个三角形里面我们不知道角度，但是你知道边呀， 因为下面这个边，你看它是等于一的，那所以说剩下的这一块绿色的这一块不就是四了吗？因为它等边三角形 bc 是 等于五的，对吧？五减一就等于四，然后竖着的这条线呢，它是根号三呀，刚才我们在右边的这个小三角形里面也求解出来了。 再说一个四，一个根号三，斜边呢，不就是根号下四的平方，再加根号三的平方，就是根号下十九了呗，这就是我们对应的 d、 e 的 一个取值范围，那我知道它的取值范围了，那我再来看一下它里面对应的包含哪几个整数呗？根号三是一点多的一个数，根号十九呢？ 这个时候你就来想呗，我们知道哈，三的平方是等于九的，四的平方是等于十六的，五的平方是等于二十五的十九，很明显在这两个范围内，所以说它其实是四点多的一个数，对吧？一点多到四点多，这里面包含了 几个值呢？首先有二、有三，有四， d、 e 是 不是可以等于这三个值呢？对吧？然后我们再来求三角形 d、 e、 f 的 面积，其实这个时候也很简单，你直接 直接来进行计算不就行了吗？咱们直接设 d、 e 是 x 就 行了呀，因为它是一个等腰直角三角形，然后等腰直角形的三边之比是一比一，比根号二。如果 d、 e 是 x 的 话，那么 d、 f 和这个 f、 e 都是 x， 除根号二了呗，对吧？所以说要求面积，那不就是二分之一乘个根号二分之 x， 再乘个根号二分之 x， 那 不就是四四分之一 x 方吗？所以说你现在有了 d、 e 的 取值了，它分别是二、三、四，那么面积呢？面积就等于四分之一， d、 e 的 平方呀，等于什么呢？ 你看，那就是四分之一乘二的平方乘个四，这个呢是四分之一乘三的平方就乘个九，四分之一乘四的平方就是乘个十六，这不就是我们最终三个结果吗？我们分别来计算一下，这个是一，这个是四分之九，这个呢是四， 所以说最终的结果就是一或者四分之九或者四，是不是就把最后一道压轴题给做出来了呢？大家看一下，其实也没那么难哈，它核心就在于你能不能看出来，这里我们是要去求我们的一个取值范围的哈，这就是我们十六题，大家看一下自己能不能跟上， 那大家能跟着听到这里呢，真的都非常棒哈，说明你绝对是愿意努力，绝对是想提分的同学。所以说，既然大家想提分，大家既然跟着老师听到这里了，那么老师也送大家一个福利，因为老师我自己是从不及格提到很多次满分的嘛，对吧，我是有自己的一套方法的，并且往年我都会带很 很多初三的同学，在最后的几个月里快速提高个三四十分，那么大家也是一样的，今年大家能听到这里，然后呢，能听到老师讲课，所有的这些同学，老师也可以教你老师之前用过的一些很快速的提分方法哈， 大家都可以点击这里来找到我的联系方式。小曼老师来跟你分享一下我之前用的一些快速的提分方法，你现在用起来差不多花个两三个月的时间，你也能快速提高个三四十分哈，绝对是没有问题的。 ok， 我 们紧接着进入到咱们的大题部分哈，先来看十七题，嗯，第一小问解方程，这个呢，首先大家看到这个解方程，你能不能看到他的易错点在哪里，看到的同学可以直接打在弹幕里哈，咱们做数学题就是这样，我看到题我就能立马反应出来他的易错点在哪里，他的考点是什么？ 其实这道题很明显，它现在是一个分式方程，对不对？所以说你最终求出的那个结果必须要检验一下，这个就是容易扣分的点哈。那我们先来求解一下，对角线相乘呢，就是三倍的 x 加三，就等于二倍的 x 减二， 三， x 加九呢？他是不是就等于二 x 减四？所以 x 呢？是不是就等于负十三，对吧？求出来以后，你最后一定要加一，加一句话，加什么话呢？就是你要写经检验， x 等于负十三呢，是元方程的解，一定要加上这句话哈，不然要扣分。这是我们第一小问，再来看第二小问， 也不等于组，那咱就把这两个分别解一下呗。首先，第一个 x 加八小于四， x 减一，那就是负三， x 小 于个什么呢？小于个负九了呗，所以说就是 x 大 于三，注意哈，一定要变号，一定要变号哈， 不等式除乘除复数要变号。再来看第二个，第二个呢，二分之一 x 小 于等于八，再减去个二分之三 x， 嗯，把这个移到左边呢，就是二 x 小 于等于八， x 小 于等于四了呗，这两个一连立，那不就是三小于 x 小 于等于四吗？你看是不是也解出来了，这是我们十七题哈。再往下看，再来看我们的十八题， 十八题呢，就是一个计算求值问题嘛，先看第一小问，让我们来进行计算，负二分之一括起来的负二次方，那它就是负啊，就是 负二分之一的二次方分之一吗？对吧？你看谁的负二次方？这个负指数密答也要会求哈，那它对应的呢？其实就是你看下面负二分之一的平方，不就是四分之一吗？然后四分之一分之一，那不就是四吗？就是四，再减去什么呢？根号十二， 根号十二不就是根号下三乘四吗？那不就是二倍的根号三吗，对吧？再减去四乘 cos 六十度 to sum 六十度是二分之一，三角函数一定要背过哈，所以四乘二分之一就是二了呗，所以再减个二，那最终的结果不就是二减二倍的根号三吗？这是我们第一小问，大家看一下，很快就可以跟上了吧。然后我们再来看第二小问哈，先化简，再求值，那我们就先给它化简一下， 像这种题呢，咱们就呃先该不动的先直接列下来，然后再减去什么呢？ x 方减一，直接 我们利用咱们的平方差公式 x 加一，再乘 x 减一呗，然后这里就是二倍的 x 减二嘛，对吧？咱们在化简的时候，先尽量的把每一项都给他，呃，写的比较详细一点，能拆的就拆，你看能提公因式的就给他提出来哈。然后面是除法， 咱们再给它写成乘法，那就是乘 x 减二分之上面这个东西哈，嗯， x 方减二， x 加一，它是三项的，对不对？这里给大家总结一个解析思路哈，就是当你碰到三项的时候，一定要想一想，它能不能变成两项，怎么变呢？ 完全平方公式啊，对不对？完全平方公式，一定要去想一想，三项能不能变两项，能不能利用完全平方公式给它变过去？变过去，现在很明显是可以的呀，对不对？ x 方减二， x 加一，这不就是 x 减一括起来的平方吗？所以说我们现在来化解一下， 这个时候呢，咱们肯定要先进行乘法嘛，在这里来化解一下， x 减二和 x 减二消掉了， x 减一呢，和这里 x 减一消掉一个，所以它就变成了 x 加一分之二， x 再减去 x 加一分之 二倍的 x 减一，那就是二 x 减二了嘛。然后我们合并到一块呢，就是二 x 减二， x 再加二， 这里一定要注意哈，它是减去括号里面二 x 减二，所以拆开以后就是二 x 减二， x 再加二，这里一定不要不要写错了哈，所以结果就是 x 加一分之二了嘛，这就是我们首先化简以后得到的结果，大家看一下自己能不能算对， 然后再把值带进去，那不就是二分之三加个一呢，那不就是二分之五了吗？二分之五分之二，那就是二乘个五分之二，那不就是五分之四吗？我们是不是就快速做出这道题了呢？对吧？所以说大题的前几道题都是比较简单的，大家一定要搞定哈。 然后我们再往下看，再来看我们的十九题，这道题呢，其实也不难，大家来看一下，它说如图，在菱形 a、 b、 c d 中角 a b c 是 一百二十度， 我们先来想一下几何有什么性质呢？菱形它是不是你看四条边都是相等的，对吧？然后又有一个一百二十度，那就说明这里肯定有六十度的，你看等边三角形嘛，对吧？肯定都是有的哈。 然后我们知道 a 是 负十零， b 是 负二零，我们来写一下哈，给大家来写一下，对应的 a 点呢是负十零， b 点呢是负二零，那对应的线段 ab 的 长度我们是不是就可以求解出来了？大家来想一下， 那这个菱形的边长，负十和啊，负十到负二的距离不就是八吗？所以说我们就能求出它这四条边其实都是八，对吧？ 然后反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像经过点 c， 第一小问，让我们去求反比例函数的表达式，那说白了不就是需要我们求一下 c 点吗？因为只有把 c 点求出来，我们才能求出这个表达式吗？那么 c 点的坐标如何去求？ 肯定要利用一下咱们的性质吗？对吧？你看这个时候呢， c 点是不是可以做垂线？做完垂线以后，这个角肯定是六十度呀，对不对？ 这个角是六十度，然后我们知道他每个边长都是八岁，这个就是八了呗，然后这个是三十度，三十度所有的直角边等于斜边的一半，那下面这段就是四了吗？对吧？那你想哈，负二，然后往右走了四个，那就是负二加四了呗，所以他的横坐标不就是二了吗？是不是就快速做出来了？负二加四哈， 因为它的底边是等于四的，那高呢？高肯定是四倍的根号三呀，所以就是二逗号，四倍的根号三是不是就快速做出来了？ 所以说这里哈，咱们就是几何跟我们的函数结合到一块了，大家到了初三以后，肯定你快要中考了嘛，会遇到越来越多的这种综合题哈，几何几何跟函数结合到一块， 所以说知道点了，那你就利用待定系数法 y 等于 x 分 之 k 嘛，然后往里面带值，那就是二乘四倍的根号三，就等于八倍的根号三嘛，对吧？ 然后我们这里化简一下呢，就是 y 就 等于 x 分 之八倍的根号三，我们就能把反比例函数的表达式求解出来了，然后求完以后再来看第二小问， 它说菱形的对角线 a、 e、 b、 d 相交于点 e， 将菱形 a、 b、 c、 d 向右平移，当点 e 恰好在反比例函数的图像的时候，问我们三角形 a、 b、 e 扫过的面积是多少？ 那咱们说白了就是我要知道一点，现在平移到哪里了，对不对？刚开始一点在这里，那我是不是得求一下一点的坐标呢？怎么去求呢？ 我们这里给大家讲过一个公式哈，就是如果已知两个点的坐标，然后要求这两个点终点的坐标的话，给大家来写一下，这两个点如果是 x 一 y 一 x 二 y 二的话，如果说要求这两个点 它们连线这个线段的中点的坐标的话，那它对应的就是 x 一 加 x 二，除个二，逗号二分之 y 一 加 y 二， 对不对？这个公式忘了的可以再去记一下哈。所以一点的坐标其实就是 a、 c 两点坐标，横纵坐标分别加起来除个二嘛。所以说一点的坐标呢，其实就是你看哈，负十加二，负八负八，再除个二不就是负四了吗？然后纵坐标就是零加四倍的根号三，再除个二，那不就是二倍的根号三了吗？ 所以说你看一点的坐标是不是有了，然后呢？它向右平移，你看一直向右平移，然后正好经过反比例函数，在反比例函数上的时候，它对应的纵坐标其实不变，还是二倍的根号三吗？对吧？ 因为它只是这个正好就是向右平移嘛，对吧？它的高度是不变的，那这个时候我们再把这个外值带入到反比例函数的表达式里面不就行了吗？对吧？咱们把这些给它往里面带一下哈。当 y 等于二倍根号三的时候， x 是 等于什么呢？ x 是 等于八倍的根号三，再除个二倍的根号三是等于四的，所以说我们就知道对应的一点的坐标平移以后呢，是四逗号二倍的根号三。那你来想 从这个点变成这个点，它是怎么平移的呢？平移了几个单位呢？负四到四，很明显平移了八个单位长度呀，对吧？所以说对于咱们要找的这个三角形 a、 b、 e 也是一样的，说明三角形 a、 b、 e 向右平移了八个单位长度呗。那我们就直接来给大家去画图哈，大家要注意，我们把图给大家画出来。 三角形 a、 b、 e， 你 看 a 是 负十往右走八个呢，变到哪里了呢？变到差不多变到负二这里了嘛，然后 b 点加，呃， b 点往右走八个单位长度的话， 那你想哈负二加八是等于六的，那咱们比如说在这点这里哈，那你看它平移到这里了。三角形 a、 b、 e， 然后平移到这里了， 那我们平移扫过的面积是多少？那其实就是咱们对应的，你看蓝色的这一部分嘛，它是一个梯形呀，对吧？我们把右边这个点写成 b 撇哈，因为 它不就是 b 点向右平移平移到这里了吗？变成 b 撇了，那这个点呢？咱们写成 e 撇，其实说白了，它要求它扫过的面积，也就是要求这个梯形，我们现在要求这个梯形 a b 撇， e 撇 e， 这个梯形的面积啊，这里有点挡住了，我重新给大家写一下哈， 哪个题型呢？就是我们的 a b 撇儿，然后 e 撇儿， e 这个题型的面积，对不对？刚才上面这里也挡住了，对吧？那这个 x 呢？是等于四的哈，这里大家自己计算一下就行了。 x 是 等于四的，刚才有点挡住了哈，所以说我们现在知道要求的是这个梯形的面积，那梯形的面积怎么去求 呢？对于这种不标准的图的话，咱们一般你可以给它进行割补法嘛，对吧？那这道这道图呢，咱们直接割一下不就行了吗？ 你看 a e 平行到 b b， 呃， b e 撇这里了，那这不就是一个平行四边形吗？因为 e e 撇一定是平行于 a b 的， 对不对？然后 a e 撇一定是平行于 b e 撇的， 因为 a e 它平平行啊，平移过来以后不就是 b e 撇吗？对吧？所以它是个平行四边形，然后这个底边呢，是八呀，然后这个高呢？高是二倍的根号三呀，所以说它其实就是八，再乘个二倍的根号三， 这是这个平行四边形的面积啊，对吧？平行四边形的面积有了，然后我们再来看一下剩下的这个三角形的面积，从 b 到 b 撇，他肯定也是走了八个单位长度的呀，然后高呢？也是二倍的根号三，那就是加上三 三角形的面积要乘个二分之一哈，二分之一乘八，再乘二倍的根号三，对吧？把一个梯形的面积转换成了什么呢？转换成了一个平行四边形，加一个加一个三角形的面积，我们来计算一下，那就是十六倍的根号三，再加上个八倍的根号三，那不就是二十四倍的根号三吗？这就是我们这一道题的答案， 大家来看一下，我们是不是就快速求解出来了呢？十九题整体的一个解析思路哈，说白了，这道题它就是几何跟函数进行了一下结合哈，进行了一下结合， ok， 那 我们继续往下看，再来看我们的二十题，他说如图， 五 g 时代，万物互联，然后万物互联，互联网、大数据、人工智能和各行业呢应用以深度结合，为了保障信号通畅，某通信公司在山上建了一个五 g 基站， 已知斜坡 c b 的 坡度为啊，坡度为 i， 等于一笔根号三。你看它这里其实也给你解释了吗？不就是 b e 比上 c e 这个边，比上这个边等于一笔根号三吗？ 那我们来写一下哈， b e 比上 c e 等于一笔根号三，那不就是三分之根号三吗？然后 b e 比上 c e， 不 就是咱们 tangent 角 b c e 吗？对吧？那不就是这个角角 b c e， 它不就等于三十度吗？对吧？ 因为三十度的正切是三分之根号三呀。所以说，其实说白了，我们就把这个角度给它求解出来了，对吧？我们求出这个角度以后，咱们还知道哈点 b 处的通讯塔 ab 垂直于水平地面，这个是垂直它，它跟地面是垂直的。 然后呢，在 c 处测得塔顶 a 的 阳角是四十五度，这里一定要注意哈，你要知道这个阳角指的是哪一个角呢？它是角 a c b 还是角 a c e 呢？ 这里大家来思考一下这个阳角，它一般指的都是，你看我要水平来一条线，然后我再往上去看嘛，对吧？所以说它其实指的这个阳角呢，指的是角 a、 c、 e 哈，这里一定要搞清楚，然后在地点处测的它顶 a 的 阳角是五十三度，五十三在哪里呢？它指的是哪个角呢？ 还是一样的，你看这里来一条水平线呀，那对应的肯定是这个角是五十三度嘛，对吧？然后这些度数都有了，还告诉我们 c、 d 的 长度是二十六， c、 d 给了一个边长就给了一个长度，那说明咱们肯定要是从这里入手了，对不对？先来看一下第一小问，要求什么？它要去求角 a、 c、 e 的 度数， 那这个很简单呀，直接四十五度了呗，不就是这个阳角嘛，对吧？这个就是送分儿的哈，然后再往下看，再来看我们第二小问，他说点 d 处到水平地面 c、 q 的 距离为几米啊？就让我们求这个距离 c、 q 嘛， 那么咱们来思考一下点 d 在 这里，它到水平地面的距离，哎，那直接做个垂直不就行了吗？它在一个直角三角形里面啊，在三十度的直角三角形里面， 然后斜边还是二十六，三十度所对的直角边等于斜边的一半，所以就是十三了呗，也可以快速求解出来呀，所以前两位前两位就是送分哈，我们主要来看一下第三问，它让我们去求通讯塔 ab 的 高度， 我们来思考一下 ab 的 高度如何去求呢？这个就稍微需要大家去想一下了哈，那肯定是要利用我们已知的这些度数嘛，你看又有三十度，又有四十五度，又有五十三度，是不是我们就要去列方程来求解了呢？对吧？那这个时候怎么列方程呢？咱们先把已知条件求一求哈， 我们现在知道 cd 是 二十六，这个是十三，那下面这个底边就是十三倍的根号三了呗，对吧？然后我们想在这个五十三度这个直角三角形里面也来列方程的话，怎么去列呢？大家来思考一下，我们现在如果说要设未知量的话，咱们可以设谁呢？ 我们要设的这个未知量，肯定要尽可能的把这几个三角形都结合到一块，哈，那这个时候其实你可以想一下，我是不是可以把这几个三角形都结合到一块哈，那这个时候其实你可以想一下，我是不是可以设一下 m 等于 x 呢？ 因为 m e， 你 想想它如果说加上左边的 c m 的 话，是不是它就放到了这个大三角形 a c e 里面了，对吧？它是大三角形 a c e 的 底边，那如果说我放到五十三度的这个小三角形里面的话，其实它也是可以的呀。 你看我们设这个点是 n 的 话，其实我们就是做了一个 d n 垂直 a e 这条线嘛，对吧？所以说这里你看是垂直的，这里是垂直的，这里也是垂直的，它下面是一个矩形呀，所以上面这里也是 x 呀，对边相等。那我是我们是不是知道 d n 等于 x 了？ 在这个五十三度的三角形里面，我们知道 d n 是 x 了，那我是不是就可以表示出来 a n 了呢？ a n 等于什么？ a n 它是不是就等于 x 再乘个 tangent 五十三度了呢，我们把 a n 也表示出来了， 那咱们现在再来一下哈， a n 表示出来了，然后呢，我们还有什么条件没有用呢？三十度用了五十三度，用了四十五度是不是还没有用呢？怎么去用四十五度呢？那我就利用这个大三角形的两个直角边是相等呗。 a n 有 了 a n 呢，是 x 乘个 tangent 五十三度。呃，然后这个 e n 呢？对边相等也等于十三呀，所以说就是十三加上 x 乘个 tangent 五十三度，你看哈，这个是我们 a e 的 长度， 等于什么呢？它等于我们 c e 的 长度， c e 的 长度是十三倍的根号三，再加个 x 呀，我们来化解一下，就是十三加上 tangent 五十三度呢，你看这里有了它是三分之四嘛，就是加上个三分之四 x 就 等于十三倍的根号三，再加 x， 也就是三分之一 x 就 等于十三倍的根号三，再减个十三 x 呢，就等于三十九倍的根号三，再减个三十九。我们现在是不是把 x 求解出来了？ x 求解出来了，以后不要忘了哈，我们现在要求的是 ab 的 长度，那 x 有 了 a n 是 不是也就有了呢？ a n 等于什么呢？ a n 它就等于 x 乘个 tangent 五十三度 啊。 tangent 五十三度呢，是三分之四，就是三分之四，再乘个括号里面三十九倍的根号三，再减去三十九倍，这个是我们 a n 的 长度。那现在如果说我们想求 a b 的 话，是不是得把这个 b n 的 长度也得给它求一下呢？那 b n 的 b n 的 长度怎么去求呢？大家再来想一下，其实这个也很简单， b n 的 话，你是不是可以放到这个三角形里面呢？这个三角形它其实也是一个三十度的三角形呀，为啥呢？为什么是一个三十度的三角形？ 因为你看你这个 d n 肯定是平行于你下面这个底边的嘛，然后你这个底边和 c b 肯定形成的也是三十度的夹角呀，所以说它是一个三十度的直角三角形，对吧？ 然后我们现在知道了哈，这个 d n 是 等于 x 的 嘛？你看 d n 是 等于 x， 也就是这段是 x。 那 求 b n 的 话，你再来写一下哈，那 b n 它不就等于 x， 再乘个， 再乘个 tangent 三十度嘛？ tangent 三十度是三分之根号三呀，三分之根号三 x， 那 就是三分之根号，三倍的括号里面三十九倍的根号三，再减三十九呗。现在 a n 有 了， b n 有 了，你要去求 a b 的 长度，那你直接让这两个东西做减法不就行了吗？对不对？是不是很简单？ 这个下来大家可以自己去算一下哈，就是你直接用 a n 减 b n 就 行了，就是直接让这两个式子做减法嘛。然后最终求出的结果给大家来看一下哈，最终求出的结果是六十五倍的根号三，再减九十一， 大家自己去算一下，然后来验证一下，看你求助的是不是这个结果哈，这里考察的就是计算能力了，肯定要大家自己去算的，这就是我们这道题对应的整体的一个解析思路了哈。然后我们给大家继续再往下看一道吧。再来看我们的二十一题， 他说为了弘扬中华优秀传统文化。然后呢，我们现在某区准备在 全区初中举行唐诗朗诵比赛，某校啊，某校七一、七二两个班各有学生五十人，注意总人数是五十人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛。为了了解这两个班唐诗诵读情况，现在对这两个两个班的学生呢，进行了一个测试， 随机抽取了十名学生，一定要注意哈，这两个条件很关键，我们知道一班和二班呢，他们分别抽了十名学生，对吧？ 然后抽完以后呢，给大家来看一下它收集的数据。七一班和七二班是不是收集了一下它们的成绩呢？然后整理数据，按照区间是不是分。呃，整理了一下，然后分析数据。分析了什么呢？ 分析了它们的平均数，中位数以及众数。第一小问是让我们求 m、 n、 x、 y 的 值，那咱们依次来看一下呗。首先来看这个 m 和 n 的 值， m 和 n 的 值呢？首先 m 代表的是七二班在七十到八十这个范围内有多少个人？那我们直接来数一下呗，你看七十，七十，七十很明显有三个呀， 然后九十到一百的话，这里有一个，九十有一个，九十五很明显有两个呀，所以说 m 等于三， n 等于二，这两个数据出来了，再来看一下 x 和 y， x 指的是七一班的中位数哈，大家来想哈，中位数现在是十个人，它是偶数，所以直接用十除二就行了，就等于五岁。我们要找的是从小到大排列以后第五位的那个数是多少， 那大家来看一下哈，我们知道呃，五十到六十是一个，然后六十到七十是三个，那现在到这为止已经四个了呗，所以说七十到八十这个区间范围内，我们可以给他列出来，然后找那个第一个就行了，因为你看这个不就是到这不就四个了吗？那下一个不就是五个了吗？那就从七十开始，从七十开始找一个最小的哈， 那这里你看正好 a 有 七十吗？没有七十，然后对应的分别是七十五、七十五以及七十五，那这三个都是七十五，那我就知道了，你看，呃 呃，从七十以下已经有四个了，然后七十往上的第一个就是我们要找到这个中位数，那不就是七十五了吗？所以说咱们就求出了这个中位数， x 呢，应该是七十五，那 y 是 多少呢？ y 是 七二班的重数，那我们来看一下，哪个是最多呢？ 在这个里面谁是最多的？很明显七十是最多的呀，因为七十有三个呀，你看看是不是找不到别的比七十更多了，所以说我们就知道了，它对应的这个 y 呢，应该是七十，对吧？ 然后再继续往下看，第二小问呢，他说如果规定测试成绩在八十分以上的学生，唐诗诵读为优秀，让我们估计七二班五十名学生优秀的人数是多少？那咱们来看一下哈，七二班八十分以上的呢？有几个呢？我们来看一下， 那这里对应的就是二加二了呗，所以是十分之四，然后这个是十个人里面的一个一个情况吗？十分之四个是优秀的，然后我们现在是五十个人，所以你再乘个五十不就行了吗？它等于几呢？ 十和五十消一下，四乘五就等于二十呀。所以说第二题的答案就是二十人，二十人是优秀的哈。 然后再来看第三小问，他说，如果选举了一个班级参加组织的比赛，你选七一班还是七二班呢？让你说明理由。这个时候咱们一般就是去看他的分析数据这一部分了，有平均数，你看还有中位数，还有众数，那我们现在要选谁呢？ 在这个里面呢，我们依次来看一下。首先咱们知道他平均数是一样的，所以说这个维度就不用考虑了，因为他们平均数一样，对吧？ 中位数很明显，七一班要好一点，中数一个七十五，一个七十，那很明显七一班还是要好一点呀。七一班不仅中位数的成绩高，而且中数就是中数的话，他也大一点，就是考 呃，七十五分，他的人要多一点，那不管是从中位数还是中数来看，肯定都是七一班好一点呀，对吧？而且他们的前提是平均数都一样，所以说这个就是你的理由呀，你就可以去选七一班，对不对？七一班他各项数据都是要好一点的，这是我们这道题对的一个解题思路哈。 然后我们继续再给大家往，再给大家往下看一下哈。再来看我们第二小问，他说某超市以每件十元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于 十九元。经过市场调查发现呢，该文具的每天销售量和销售单价之间满足依次函数关系。这句话非常关键， 它告诉你满足什么关系，目的是为了啥呢？就是为了让你来列咱们的函数关系式嘛，对吧？既然是一次函数关系，然后第一小问让我们求 y 和 x 之间的函数关系式， 所以说这里我们直接设未知。呃，我们直接代定系数法，我们直接设 y 等于 k， x 加 b， 然后你随便取两个点带进去，带进去就行了呀，比如说 x 等于十二的时候， y 等于三十六， x 等于十三的时候， y 等于三十四，你看 你直接取两组值带进去不就行了吗？对吧？然后我们第一小问求出的最终结果呢？大家自己去算一下哈。我们求出的结果是， y 等于负二， x 加六十，这个是我们的函数关系式。然后再来看第二小问，如果该超市每天销售这种文具，获利一百九十二元，问我们销售单价是多少？ 那对于这种题呢，咱们直接设未知量呗，对吧？销售单价那不就是 x 吗？他已经设好了，那我们就不用设了，咱们直接来列方程，他获利一百九十二。那么一百九十二等于什么呢？大家来列一下这个方程。 呃，咱们获得利润呢？其实就等于我们卖了多少件，再乘上什么呢？乘上每一件我赚了多少？也就是我们的售价减去进价，现在售价是 x， 进价是十元，那就是售价减进价，这是我每一件赚了多少钱，对不对？然后我再乘我的销售数量， y 是 什么呢？ 你看数量， y 是 负二， x 加六十啊，所以你再乘个负二， x 加六十，你把这两个东西拆开， 拆开以后是不是就可以得到一个呃，一元二次方程了呢，对不对？然后你来计算这个方程不就行了吗？这里我们来给大家计算一下哈，它其实对应的呢，就是一百九十二就等于负二 x 方，然后加六十 x， 再加个二十 x， 然后再减个六百， 呃，我们全部移到左边呢，就是二 x 方，再减去八十 x， 然后我们再加上个六百，再加一百九十二，那它就是七百九十二了呗，就等于零，对吧？然后我们这里同时再除个二， 那不就是我们对应的就是 x 方，再减去四十 x， 再加上三百九十六就等于零吗？对吧？ 这个大家可以自己去算一下哈。然后这里怎么算呢？我们一般可以考虑一下十字相乘法，但是呢，这里他这个，他这个数有点大，那怎么用十字相乘法呢？嗯，给大家教一个小方法哈，就是你可以慢慢的去凑嘛，你可以先把这个 三百九十六，咱们可以先来给他除一下哈，我们慢慢的来给他除一下哈。三百九十六，咱们先除个四试一下呗。四九三十六， 然后呢？呃，这个是三十六，然后四九三十六，那他其实是四乘九十九，那这个很明显不行吗？那咱们就先给他写成哈，他可以拆成四乘九十九， 那这个九十九是不是可以拆成九乘十一呢？四，那他就是四呗，四乘九再乘十一，你自己来凑一凑，看看能不能凑出来。那个十字相乘法如果说还是不行的话，那么你就还需要继续再往下给他拆一拆，呃，拆的尽量就是简单一点， 比如说这个四我们可以拆成二乘二，这个九是不是可以拆成三乘三，然后再乘个十一？说白了这个就是我们拆到最简了，二乘二，乘三，乘三再乘十一，那这个时候说白了就是这几个数你可以试着去凑一凑， 你可以自己先凑几个哈，然后你发现实在凑不出来的话，你可以再试着去去用一下公式法。但是我们这里还是可以先试着凑一下的，比如说这个十一是一个比较特殊的数，对不对？那你就可以试着先看一下，那我用十一和前面的这几个数，二乘二、乘三，乘三，四乘九等于三十六。三十六和十一行不行呢？ 你可以试一下，你发现 a 好 像不行，因为三十六和十一加起来或者说减起来也不等于四十呀，那他就不行了，那你就再试呗，十一单独不行的话，那你再试一下十一乘二呗。你再试一下十一乘二再乘三呗。再试一下十一乘个什么呢？ 乘三再乘三，就这个应该之前咱们刚已经试过了哈，就是四乘十九嘛，反正就是你可以依次去试呀，对不对？ 或者说这里还可以十一乘二再乘二，你可以依次都和他们进行一下组合去试一下，看一下能不能凑出四十。这个是考察计算能力的，所以说就需要你自己去试一个一个去凑。这里其实咱们是可以凑出来的，就是让十一和咱们的二你去凑一下， 那你看十一乘二去凑一下的话，是不是二十二，剩下的是啥呢？二乘三再乘三，那就是三乘三等于九，九乘二就是十八，那不就是二十二和十八吗？他俩其实加起来正好等于四十呀，对吧？然后因为前面是负四十，所以这里加两个符号， 那对应的不就求出来了吗？老师，这里是怎么算出来的呢？老师自己也是一个一个试出来的呀，对不对？大家绝大部分同学计算能力没那么厉害的话，咱们这里试，试出来以后呢，他一个是十八，一个是二十二， 那么这两个姐全部都能要吗？大家来思考一下，是不是全部都能要呢？需不需要舍弃呢？做这种大题的话，一定要思考是否需要舍弃。咱们现在讲过什么呢？咱们讲过哈。 呃，超市以每件十元的价格购进一批文具，然后销售单价不低于进价，并且不高于十九元， 所以说他不能超过十九呀，对不对？咱们的销售单价不能超过十九，那这个二十二得舍弃呀，所以最终结果只有一个，就是他的销售单价呢，应该是十八元。这就是我们这道题对的一个解析思路哈，大家自己来看一下。 ok， 然后我们最后再来看一下第三小问吧，他说设销售这种文具呢，每天获利 w 元，问我们销售单价为多少元时，每天获利最大，最大利润是多少？这种就是很常见的题了吗？利润问题跟我们第二问一样，第二问呢，就是利润是一百九十二， 那它说白了就是在第二问的基础上，把一百九十二换成 w 不 就行了吗？对不对？ w 等于什么呢？等于我们的 x 减十，你看售价减进价再乘销量。销量呢？就是第一问，我们求出的那个函数关系式，它是 y 等于什么呢？ 它是 y 等于负二 x 加六十，所以就是括号里面负二 x 加六十。大家这里你看自己来化简一下，化简出来呢，是负二 x 方加八十， x 再减六百嘛，对吧？我们做到这里以后，你发现它是一个开口向下的二次函数嘛，问我们什么时候利润最大， 那我们先来看一下它的顶点处呗，顶点是负二分之 b 就是 负的，负四分之八十就等于二十，那能不能取到二十呢？ x 是 否能取到二十？很明显不能呀，他应该不呃，不高于十九元呀，所以说那什么时候取到最大呢？ 他是一个开口向下的对不对？二十是对称轴，十九在左边，你看咱们要的那个范围全部都在左边，都是单调递增的呀。所以什么时候取到最大值，咱们跟函数结合起来来看，非常简单，就是十九的时候有最大值吗？所以说我们就知道了，当销售单价为十九元的时候，每天获利最大。 最大利润呢，就是你把 x 等于十九带进去，你来求一下不就行了吗？最终求出的结果呢是一百九十八，大家可以下来自己去算一下，这就是我们对应的最终的一个结果哈，大家看一下自己能不能跟上。 ok， 我 们继续来看二十三题，这是一道圆的题目哈，咱们一般考试大题的话，经常会出圆相关的题目，比如说这道题，他说如图三角形 a、 b、 c 中告诉我们，角 a、 c、 b 这里是垂直的。 a、 d 平分角 b a、 c， a 这两个小角也是相等的吗？ a、 d 是 一个平分线， 然后 d、 e 垂直， a、 d 这里还有一个垂直，然后以 a、 e 为直径作圆 o， 这些条件咱们现在都有了。第一小问，让我们求证 b c 是 圆 o 的 切线，那大家来想，那这道题说白了就是考察正切线嘛，对吧？那怎么去正切线呢？咱们对应的有一个解题思路叫啥呢？ 大家来思考一下，就是我们键切线要干嘛呢？我们键切线，我们要连切点，对不对？键切线连切点，然后我们得垂直或者说正垂直。 我们来给大家写一下哈，就是得垂直或者说正垂直。那什么时候得垂直，什么时候正垂直呢？如果说他已知就是一个切线的话，那咱们肯定要正垂直吗？能正出来 o d， 比如说你看连切点嘛，把 o d 连接起来，如果我们能证明出来 o d 是 垂直于 c b 这条线的话，那我们就证明出来 b c 啊，也就是 c b 这条线就是圆 o 的 切线了，对吧？这是整体的一个解析思路哈， 那我们来看一下怎么去证明它是垂直呢？现在这个图里面，它本身已经有两个直角了， a、 c、 d、 a、 d、 e 都是九十度，所以说对于这种直角特别多的话，咱们一般常见的解题思路呢，就是不断的给它转角。 比如说现在你看这个角是角一，这个角是角二的话，角一和角二是不是相等的？然后你又发现角二他在等腰，三角形里面呀，圆里面特别容易出等腰，所以说我们现在可以得到角二，是不是跟角三也相等呢？角一等于角二等于角三，这个条件我们现在可以先写出来哈，这三个角是相等的。 然后我现在是不是又知道角一加上这个角，比如说这个角是角四的话，我现在是不是还知道角一加角四也是等于九十度的呢？对吧？那既然角一、角二、角三都相等的话，那我是不是也可以得到角三加角四等于九十度呢？ 我是不是就证明出来了，现在这个角 o、 d、 c 就是 九十度，我就证明出来了 o、 d 是 垂直 bc 的， 所以紧接着我就可以证明出来 bc 是 圆 o 的 切线。第一小问，是不是搞定了，特别迅速哈， 所以说这是大家一定需要注意的，当直角特别多的时候，咱们一般对应的解析思路呢，就是不断的进行转角哈。 然后我们再来看第二小问，告诉我们 a、 c 是 三， b、 c 是 三倍的根号三，那我们来看他给我们的这个条件，在直角三角形里面，两个直角边一个是三，一个是三倍的根号三，你不觉得这个条件很特殊吗？这两个直角边他们之间有一个一比根号三的关系啊？ 大家来想一下，是不是？所以其实你应该能快速推出来角 b， 这里应该是三十度，上面这个应该是六十度，因为三比三倍的根号三他正好对应的，你看他不就是 tangent 三十度，或者说 tangent 六十度吗？三和三倍根号三对吧？所以说我们就通过这个条件要推出角度哈， 那对应的因为 a、 d 是 角平分线，所以说这两个小角都是三十度了呗。然后我们利用已知条件来推一推哈，那么它现在要求的是 b、 e 的 长度，我是不是可以先求出来 ab 的 长度呢？对不对？ ab 的 话三十度所在的直角边等于斜边的一半，所以 ab 呢，就等于二倍的 ac， 它就等于六。 然后我现在要求 b e 的 长度的话，其实你求出 n e 不 就行了吗？那么 n e 的 话，其实很明显它也在一个直角三角形里面，所以说在这个直角三角形里面，因为它上面对的这个角又是三十度，所以说我只要得到一个边不就行了吗？那我求一下 a d 不 就行了吗？ a d 等于什么？ 你看哈， a c 比上 ad 是 不是等于 cosine 三十度就等于二分之根号三呢？所以说 ad 的 话，其实就是，呃， ac 的 长 ac 是 多少呢？我们来写一下哈， ac 是 三，所以其实就是三乘二，再除个根号三嘛，也就是三分之六乘个根号三，那就是二倍的根号三了呗。 那大家来看哈，我们现在求出 a d 了， a d 是 二倍的根号三，那么对应的我们想求 a e 的 长度的话，还是一样的道理。我们再来利用一下三角函数呗。 大家来看哈， a d 比上我们 a e 的 长度，是不是就等于 cos 三十度，也就是二分之根号三呢？然后 a d 现在是二倍的根号三，所以说 a e 其实就是二乘个二倍的根号三，再除个根号三，那不就等于四吗？ 所以说既然 a e 等于四，那么 b e 很 明显等于二了呀，这里利用的不就是六减四等于二吗？所以第二个是不是就快速做出来了，对吧？所以说你会发现这种题其实本质核心都不难哈，就是利用条件一步一步往下推就行了。 然后我们再来看第三小问，他说在第二小问的条件下，直接写出阴影部分的面积，我们来看一下阴影部分在哪里？阴影部分是下面这一块哈。 那这种不规则的阴影面积的话，怎么去求呢？肯定没有办法直接求出来，咱们一般都是割补法，像这种阴影部分面积呢？咱们是不是可以给他？ 呃，咱们是不是可以给他加减一下也是行的呢？对吧？因为现在割补不太不太方便了，因为他本身这个图形就不太标准。那割补法不行的话，再来想下一个加减法呀。 加减法和割补法是求阴影部分面积里面最基础的两个方法哈，那怎么加减呢？我们现在可以给它加上一块吗？你看，我可以先来求三角形 a、 d、 b 的 面积啊，对不对？ 对不对？用三角形 a、 d、 b 的 面积减去 a、 d、 e 的 面积不就行了吗？然后 a、 d、 e 不 太好求的话，你还是可以给它再割一下的吗？对吧？加减和这个割补法咱们结合到一块去进行考察，我们来给大家写一下哈， 你一定要注意哈，对于这种阴影部分的面积，就是一边割补一边加减，反正就是慢慢的给它凑出来就可以了。比如说现在这个阴影部分的面积，很明显我们可以用三角形 a、 d、 b 的 面积再减去什么呢？减去 a、 d、 e 的 面积， 但是 a、 d、 e 呢？它这一块它也不是一个标准的图形呀，你看咱们画一下，你看发现下面这里还是有弧形的呀， 碰到圆弧，咱们一般是不是就想到扇形的面积了？所以说在这个不标准的 a、 d、 e 里面，咱们再把 o、 d 连接起来，我们来构造扇形哈，就是对于有圆弧的，咱们一般都是构造扇形，这是常见的解题思路，所以说再减去三角形 a、 o、 d， 然后再减去我们的扇形 o、 d、 e 就 可以了。说白了你看求解出来了呀，你接下来就是代值计算嘛，那我们来给大家代一下哈。首先 a、 d、 b 的 面积的话，就是先来求一下 d、 b 的 长度嘛，我们现在知道这个是三十度， a、 c 是 根号三， 然后呢， a、 d 是 二倍的根号三，那么 c、 d 肯定就是根号三了呗，对吧？三十度所在的直角边等于斜边的一半，然后 c、 b 呢，等于三倍的根号三，所以 d、 b 呢，就是二倍的根号三，所以就是二分之一乘底边二倍的根号三，再乘高高的话就是 a、 c 的 长度嘛，对吧？ a、 c 是 三，所以再乘个三， 然后再减去 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 话，你会发现它是一个一百二十度的一个等腰三角形嘛，因为 o、 a 等于 o、 d 啊，对吧？然后两个底角 o、 a、 d 等于 o d， a 等于三十度，然后 a、 a、 a、 d 又是二倍的根号三。我们在上面给大家画一下哈， 这个三角形面积肯定很好求了呀，因为它就是一个一百二十度的一个等腰三角形，它是一百二十度。然后我们现在知道底边是二倍的根号三嘛， 因为，呃，一百二十度的等腰三角形，他三边之比是一比一比根号三，现在底边是二倍的根号三，那两两个直角边肯定就是二了呗。我们来求一下他的高，直接做垂直， 那这个就是六十度，这个就是三十度了呗。三十度左右的直角边等于斜边的一半，那他就是一了呗。所以说面积呢，就是二分之一乘二倍的根号三，再乘一二分之一乘二倍的根号三，再乘个一嘛， 然后再减去扇形的面积，这个扇形的话，这里肯定就是六十度了，因为左边这里是一百二十度嘛， a o d 是 一百二十度，所以说 d o e 就是 六十度了。扇形面积公式，三百六十度分之 n pi r 方三百六十乘，呃，分之六十乘个 pi， 再乘 半径 r 是 多少呢？我们现在求出 a e 等于四了， a e 是 直径啊，对不对？那半径肯定就是二了呗。所以说 r 的 平方就是四了呗。我们来化解一下哈。 嗯，这里乘出来呢，是三倍的根号三，再减去根号三，再减去六十和三百六，消一下六六三十六就是六分之四派，六分之四派也就是三分之二派嘛。再化解一下，就是二倍的根号三，再减去三分之二派， 是不是我们就快速求解出来了呢？对吧？这就是我们这道题对应的一个解析思路哈。 ok， 那 以上就是咱们关于一模考试的一些必考题型了哈，那学会这几个必考题型呢？其实只是我们提分的第一步，你想快速把分数提起来，其实最关键最核心的还是我们的学习方法， 因为只要你方法用对了，那么之前你辛苦一两年提不起来的分数，现在只花几周的时间就能快速提分，有有逆袭提分的潜质。 所以你可以点击这里添加小曼老师，我来送你一节价值上千的顶尖学霸逆袭方法课，全都是我自己从不及格逆袭到多次满分的保姆级经验分享，看完以后保证你会对数学学习恍然大悟，提分就跟喝水一样简单！

高三的同学，一模马上要来了，一模从来不是来给你惊喜的，他的特点是难度大、计算量大、综合性强的一场考试，成绩大概率不会乐观。但是一定要清晰的是，一模难，他不是来打击你的，而是帮你做一次最彻底的 自我审查，不用纠结排名，不用内耗分数，只看一件事，你到底丢了多少分，哪些知识点还需要掌握，这是重点。 一模是最后的一次大规模的补漏查缺的机会。三月底前，基础知识必须全部拿下，一轮复习的知识清单来回看，反复被逐点过，这才是一轮最核心的收获。而现在距离高考呢，仅剩几十天，我们 还要学会忍受，吃苦、扛住。一是要吃学习的苦，刷题、背书、复盘，日复一日。二是要扛住情绪的苦，焦虑、崩溃、自我怀疑都要自己消化。 三更要忍得住孤独，少点娱乐，少点情绪，少点没用的社交。孩子，你现在熬的每一分钟，刷的每一道题，忍下的每一次委屈，都会在高考那天变成你最美的底气。加油吧，高三生！

苏北四式异模新鲜出炉，这套卷子质量真的很高，难度适中，分值分不合理，高度贴合近几年高考模式，做过的同学都直呼跟高考太像了！一到三题都是基础题，八十分以下的同学必须会做，必须拿分。 第四题是易错题，一定要注意分焦点在 x 轴、 y 轴两种情况讨论。第五题考残差概念，也是基础题，八十分以下必会。 第六题为中档题，先根据正态分布曲线的对称性求出参数 a 的 值，这里 a 等于一，再对目标式乘一注意到一等于 x 加一减 x， 再结合基本不等是求解最小值。这道题八十到一百二十分的同学必须会。 第七题同样是中档题，根据正方形的对称性，确定椭圆上三点的坐标关系，结合 a 方等于 b 方加 c 方的关系变形求解离心率一百分左右的同学要稳稳拿下。第八题。一百二十分以上必会题。先对贪杯的表达是用二倍角两角和的正切公式进行恒等变形，得到贝塔与凹法的两组关系式， 再结合锐角的范围，通过方程思想加选项验证求解。第九题是基础题，八十分以下的同学争取拿到全部分数。 第十题中档题 a 选项已知 b、 c 平行 a、 d， 所以 b、 c 平行于平面。 p a、 d、 b 选项计算棱锥的高为定值，所以体积也为定值。 c 选项外接球的球心为 o 一 o 二的中点， 结合等腰直角三角形，计算出外接球的半径，进一步得到表面积。 d 选项角到线面角的表达式，结合三角函数求最小值。这道题一百二十以上必须拿满分。 第十一题分析数列的核心性质，基数项为等差数列，偶数项为等比数列。 n 大 于二 m 时具有周期性。针对选项逐一分析 a 带入 m 等于五，利用周期性求 a。 二零二六 b 分 情况讨论 m 的 范围。 c。 分 析偶像求和，分析 s， n 小 于零时 m 的 最小值。 d。 写出乘积通项，用错位相减法求和判断和的符号。八十到一百二十分的同学争取拿到部分选项分。 第十二题基础题特别注意，容易漏掉常数相不相等，八十分以下必须完全掌握。第十三题基础题根据投影向量的定义建立方程，一百分左右必会题。 第十四题，先根据奇函数的性质定义域关于原点对称求出 b 的 值，再利用 f 负 x 等于负 f x 的 定义求出 a 的 值。随后分析函数的定义域与单调性，将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域分类讨论求解集。一百二十分以上必会题。 第十五、十六十七题常规题。八十到一百二十分必须拿满分。八十分以下至少把第一问做对。第十八题抛物线语言的综合数列证明，难度和计算量都比较大，想要冲刺一百二十分以上必须拿满分。八十分到一百二十分必须完全掌握第一问和第二问中第一小问的证明， 争取拿到第二问中第二小问的分数。八十以下必须拿下第一问。第十九题考察集值零点横成力问题，难度和计算量都很大，一百二十以上必须完全掌握前两问。 第三问，争取大部分分数冲刺满分八十比一百二十，必须完全掌握第一问，争取第二问的分数，八十以下必须拿下第一问。

高三的同学们，一模考完别光顾着开心或者难过，这份提分攻略一定要收好！ 一模啊，不是终点，是帮你找一轮复习漏洞的关键，这才是它的真正意义。很多同学光听老师讲错题、抄错题本基础，一班的同学六科错题一大堆，根本顾不过来， 过段时间还是错，纯粹是浪费时间。听好了，正确做法就这两步，第一，找到错题对应的知识点，重新学习，直到熟练掌握，搞不懂立刻去问专业的老师，把漏洞补牢。 第二，针对这个知识点，刷十几道新题，做到又快又对，这个知识点才算真正的掌握。 意外啊！结合一模的地区排名，对照往年院校录取位置，看看自己离目标还差多少。 没达标的同学，挑提分最快的科目重点攻坚，达标了就按部就班，稳扎稳打，剩下的时间别盲目刷题，抓准漏洞，逐个突破，二轮复习才能效率拉满。