天津高考数学球立体几何面积的题

必刷题这么厚，有人刺杀我用它来挡刀都只能捅到目录，所以小王学姐就来带咱们疏通高考必刷题里的重点题型。话不多说，咱们上正餐！ 哈喽呀，小宝们，咱们今天啊，开始正式进入例题几何这个板块的必刷题了哈，那这个部分知识点也是又多又杂，烦死了。那今天呢，就开始跟着小王学姐一起通过咱们的经典例题来给它复习一遍。 那今天呢，咱们第一个啊，这个考点啊，就是立体几何的结构特征来看这道题啊，已知圆锥的 侧面展开图是一个面积为 pi 的 半圆，则该圆锥的高是多少？好，我们来看一下啊，我已经把这图画出来了，咱们的这个哎，圆锥的母线 l， 哎，是不是刚好就是咱们这个侧面展开图的一个半径呀？ 那题目中要求的是咱们 h 的 长度，那 l， h， r， 哎，刚好构成一个直角三角形，所以我需要先把 l 和 r 先求出来。好，那题目中只给了一个信息哈，就是咱们的侧面展开图，哎，它的一个面积是 pi， 哎，那这个派他又等于什么呢？等于二分之一派 l 的 平方，咱们的这个展开的吗？它的半径是 l， 所以 我就把 l 写上来。那我们的扇形还有一个面积公式是啥呢？等于二分之一哎，半径乘以弧长。 因此啊，咱们是不是就可以求出 l 的 长度以及弧长的长度？那 l 的 长度是咱们的根号二，哎，弧长呢，哎，他是根号二倍的派， 哎，这样咱们就求出来了哈，那 l 已经求出来了，咱们还差 r 没有求出来，对不？那 r 啊，我们可以怎么来求呢？哎，我们的弧长啊，是不是这个弧长刚好卷起来，就是咱们这个底面圆的一个周长？咱们的二 pi r 刚好是等于弧长的，等于根号 二，那现在呢？ l 有 了， r 有 了，我们 h f 就是 等于根号下 l 方减 r 方吗？哎，那等于根号下二减二分之一，等于两倍根号六。好，这道题咱们就选 a， 哎，这道题他考的啥呀？就考你知不知道，哎，咱们扇形的一个面积公式，哎，考，你知不知道，咱们这个圆锥的侧面展开图，它是一个扇形， 这是第一个啊，第二个呢？我们来看这道题，已知正三棱台 a、 b c 和 a b c e 的 上下底边长分别为六和十八。那这个是正三棱台啊，正三棱台说明它上面的一个，呃，三角形和下面的三角形，它都是一个等边三角形， 那他说内部有一个内切球啊，好了好了哈，内切球，正三轮台，那你首先就要知道的哈，他这个内切球，他的这个啊，这个与上底和下底的 切点啊，一定是在上下底的重心上的，上面三角形的重心与下面三角形的重心上的。那重心，哎，又是什么呢？哎，我们重心，哎，其实就是它高上的啊，三分之二处，哎，也就是说咱们正三角形啊，它的重心哎，是在咱们高上的， 那这个高呢？哎，重心是把它分为三等分，那咱们重心是在这个点上的，哎，上下笔是二比一，哎，回想起来没有呀，所以啊，这道题，只要你知道这个东西啊，这道题就非常非常简单， 那么来看，上底的边长是六，下底的边长是十八。那我简单给他画个示图啊，那这里也是相切的，那我给他连起来，哎，大概是一个这么样的一个内切球，那 我们这个长度是多少呢？这个长度，哎，他又是多少呢？记住啊，我们是二比一的一个关系，对不对？那他的这个高啊，上底的高，他是多少？ 上底的高是三倍根号三，哎。这里是六嘛，这里是三倍根号三，那下底的高是九倍根号三，对不对？哎，那这里呢？占了三倍根号三的 其中一份啊，那就是根号三。下面呢，哎，占了九倍根号三中的三分之一份，那就是三倍根号三，哎，这两个长度咱们就找到了哈。那我们这个内切球啊，是不是还有一个特点是什么呢？ 这个角和圆心连起来，哎，咱们左边这个三角形是不是和右边这个三角形是全等的？那同理啊，我们把圆心和这个点连接起来，是不是这两个三角形，哎，他也是全等的。 因此啊，你这里是刚好三，那咱们这边是不是也是刚好三，哎，你这里是三倍刚好三，那我们这边是不是他也是三倍刚好三。那这个正三棱台的高为多少？那其实求的是什么？求的是这一条的长度，哎，求的是这一条的长度，哎，那这一条的长度呢，就是等于这条的长度 乘以二，哎，那我们接着来算啊，那我们的侧边就是四倍根号三啊，那我把它连起来啊，那我这一条，哎，他也就是这一条给他平移过来，那这一条呢？他是多少啊？ 他不知道啊，我们要求对不对？那这一条呢？哎，就是下面我平移后的这条直线啊，他到这个点的一个长度是多少呢？哎，是不应该是三倍根号三，减去根号三呀， 对吧？因为上面这一段吗？这一段是根号三，那右边这一段就是两倍根号三，哎，所以啊，这个直角三角形，一边是四倍根号三，一边是两倍根号三，那我根据直角三角形哎求解就行了。那最后解下来呢，咱们这个高啊，应该是六。 哎，这道题啊，重点就在你要知道内切球他的重心啊，是在咱们上底下底的一个重心上的。 哎，这道题就解出来了，都是计算啊，没什么太难的。我们来看考点二啊，表面积与侧面积。那这道题，他说已知一个圆锥和圆柱底面半径和高，哎，分别相等，那圆锥形的结面是等边三角形，那这个圆柱和圆锥的侧面及之比是圆锥和圆柱的侧面及之比哈， 啊，它为多少？那我们来看啊，它的底面半径和高分别相等，那说明什么？说明我可以把它画成一个同底同高的哎，我就把它放在同一个图形里面来对比，你看，像小毛雪画的这样啊，与圆柱里面哎，含了一个圆锥，这样子来对比，那它的这个结面啊，轴结面， 它是等边三角形，那说明什么？我先假设它的这个底面的半径为 r 啊，就说它们 r 是 相等的嘛， 那我这个圆锥的，它的母线 l 长度是多少呀？是不是二 r， 对 吧？那它的高是根号三 r， 那 我就用这个 r 来表示它的这个半径，也用 r 来表示它的高，那我们就统一单位了，待会好比较 好。那我们 s 锥啊，它的一个测面积是多少？是不是等于二分之一？哎，咱们底面的这个，这个圆的周长二 pi r， 再乘上咱们的它的一个母线长度二 r， 那 这里算下来就是二 pi r 方啊，那接下来呢，咱们 s 柱呢？ 哎，它等于多少呀？一样的啊，底面周长乘以它的高根号三 r， 那 是不是等于两倍根号三 二方，哎，那题目中说的是圆锥与圆柱的比，哎，那我上下比啊，二派二方比上二倍根号三派二方，那等于多少啊？根号三分之一等于三分之根号三。哎，这道题呢，咱们就选 c 啊，这个呢，就是考你这个面积公式啊，考你面积公式比较简单。那下一道题呢？哎，有点搞笑啊，有点搞笑。这种题目呢，也是咱们现在高考啊，他可能的一个命题趋势，他就给你把咱们的知识放到实际应用题里来考你，那就看你能不能读懂题目了。 那这道题啊，前面都是废话，那现在啊，从这里开始制作一件三层的六角宫灯，哎，三层均为正六棱柱， 且里面是全空的啊，那其中呢，上层和下层哎，它底面周长均为一百二，高为五。那现在里面放入一个体积为三十六派立方厘米的球形灯， 且球形灯与各面的距离不少于九厘米，哎，那我们的这个侧面积至少为，哎，有些同学读到这里是读不懂的啊，我们题目中他已经说了，他是三层六角功灯，且他只告诉你了什么，咱们上层和下层就是说这层和这层，哎，他的一个 这个底周长和高，那中间的这个，他的一个边长和高是没有告诉你的，这就需要咱们自己去算，哎，也就是说，哎，我们的中间这个啊，是根据题目中，哎，他的求的就是他这个距离 的值在变化的，那现在要求的是它的一个侧面积。那我想问大家一个问题啊，我在这个容器里放上一个球，那我这个球到各边的一个距离长度是不是就代表了我球的半径？那如果说我这个长度越大，哎，说明我的这个球越大，那同理，我的这个容器啊，是不是就必须越大？ 那我容器越大，我是不是它的表面积就得越来越大了？所以啊，咱们题目中求的是至少，那至少就意味着咱们的这个 r 它就等于九，哎，这个球的半径它就等于九， 哎，你才能求出他的至少啊，那我们来看啊，既然他说他到个边的距离都不少于九，那我们上面这个高是五，下面的高是五啊，那我们二乘九就是他这个球心吗？到上面和到下面都是九，二乘九，减去咱们的二乘五，是不是就是咱们中间这个 正六轮住的高了？那就是八厘米啊，是他的一个高，这是他的高，那我们来把这个正六边形画一下，题目中说的是咱们到各个面啊，都是九，那说明，哎，这个内切球，哎，他到咱们就是这个斜面上个边，这边是九，这边也是九， 这条长度是多少呀？这条长度，哎，是不是应该是九除以二分之根号三呀？那等于多少？等于 六倍根号三，那这条长度就和咱们的边长是相等的，因为这是一个正六边形，所以这里是六倍根号三，这里也是六倍根号三，因此啊，咱们就算出来了，中间这个部分，他的高 h， 他 是等于八厘米的，他的边长 a 是 等于多少呢？是等于六倍根号三厘米的 啊，那这个时候咱们要求它的侧面积了，那上下两个部分啊，已经告诉咱们了，咱们先求 s 一， 它是等于什么呢？哎，底面周长为一百二，那底面周长乘以高嘛？乘以高是五，那再乘以二，哎，就是两个， 那等于多少呢？等于一千二平方厘米，那我们的 s 二，也就是中间哎，中间这一个，它的一个表面积啊，也是啊，咱们的周长就六个小长方形构成的， 六乘以 a， 六倍根号三，再乘以他的高就是八，哎，那等于多少呀？六乘六乘八二百八十八倍根号三平方厘米，所以啊，他的这个测面积至少就是为 s 一 加 s 二， 两个相加，哎，就算出来了哈，这就是这道题，就看你能不能读的懂。我们再来看下一个考点啊，考点三，咱们的体积，哎，这道题呢，哎，比较简单，我就不算了，但是我要讲一下，为什么我把这道题放出来啊， 这道题很明显的，你看，他说，哎，他上底是正方形，下底也是正方形，对不对？他没有告诉你上底，直接告诉你他是正方形，他只告诉了你下底他是一个正方形。但是啊，这几个垂着的面啊，竖的面，他都是一个正三角形，那正三角形有什么 特点呀？是不是三边相等啊？我假设这里是一，那这里是不是也是一，这里也是一，那这里是一，这里是一，那说明什么呢？说明这种啊，咱们倒着的这几个三角形，哎，他是不是都是等腰三角形啊，而且他的这个腰长都是一样的， 那说明什么呢？说明他们的底的长度也是一样的，这边等于这边，等于这边等于这边，然后又是一个垂直的关系，所以他其实就已经告诉你了，他上面就是一个正方形， 这个正方形呢？哎，他题目中又说什么呢？求这个东西的一个容积，那就是求他的体积，那这个体积啊，咱们可以直接去算啊，我们也可以干嘛呢？哎，我们给他补全，补成一个正方形， 哎，我给他补成一个正方形，哎，这就是为什么我要把这道题拎出来说的原因啊。他这个求体积啊，我们平时求的时候一定要想到一个方法叫割补， 哎，你可以去分割，可以去，哎，填补，重点就是把它啊补成，或者说割成你已经学过了的球体积的一些这种，呃，几何的一个公式，你已经学过的这些几何，哎，你就把它割补成这样的一个形状， 所以这道题呢，哎，咱们就可以用各部分来做哈，这道题选 c， 哎，你可以自己去算，我就不多说了，哎，我们来看一下这道题啊，重点是这道题，我要讲一下这道题，他说正六棱柱 p， a， b， c， d， e， f 的 体积是八倍根号三。问题来了，正六棱柱体积公式是多少？哎， 三秒钟答不出来，那你就该去复习了，咱们 v， 哎，六棱柱，它的体积是多少？两倍根号三，乘以 a 方 h， 哎，这是正六轮柱的一个提取公式啊，那它等于多少呢？等于八倍根号三，那说明咱们的 a 方乘以 h 是 等于，我看一下啊，等于十六的，那我们 p a 啊，它是是什么呢？我们先把 咱们的正六轮柱画出来，这是咱们的正六轮柱，那这是 p， 这是 a， b， c， d， e， f， 那 我们的 p a， 它的一个长度就是什么呢？是不是就应该是咱们的这条边和这条边？哎，就是一个垂直的嘛，这条边和这条边啊，平方相加，再开根，哎，就是咱们的 p a 的 长度了，哎，那这条边啊，我假设这点是 o， 那 a o 这个长度是多少呢？ 是不是刚好等于咱们的这个边长 a 啊，对不对？因为它是正六边形嘛，所以题目中这个啊， a o， 它其实就是 a 方，哎，咱就是 a， 那 我们要求的是 a 方加上，哎， p o 的 平方， p o 就是 咱们的高，哎， h 的 平方，哎，我们 p a 啊，它是等于这个的，那我们怎么去求它的最小值呢？哎，很明显啊，我们要把它先统一啊，先统一换成一元的一个形式， 那我换 a 啊，我换 a， 因为 a 方直接就有了，那就是十六除以 h 加上 h 方，哎，开根就是咱们的 p a。 好 了，到这一步啊，有的同学也不知道怎么算了啊，那你要知道啊，这道题他考的是立体几何，哎，也不仅仅是立体几何，我们中间这个部分怎么做呢？ 哎，用函数了，我就令 g h， 它是等于 h 分 之十六加上 h 方的，那我 g， 哎，对 h， 求倒啊，那就是负的 h 方分之十六加上二 h， 哎，那给他通一下啊， h 方分之三二， h 的 三次方 减去十六，哎，那很明显啊，当 h 等于二的时候，哎，它取到它的一个最小值，那我们把二带进去啊，那这道题呢，就选 a 两倍根号三， 对不对？我为什么要讲这道题啊？就是因为。哎，咱们现在这种。嗯，你很难去想到立体几何会跟函数结合在一起，或者说跟求最值结合在一起，但是这道题他就这么去考了，所以咱们的思维是绝对不能固化的。好了，贪多嚼不烂，我们今天就先讲到这，下期再见。拜拜。

今天继续给各位同学预测一下二零二六年高考数学的天空压轴题。我个人认为立体几何，所以各位同学在最后三个月的复习当中，要额外注意立体几何的小题，比如说结面面积问题， 比如说内切球体积的面积，外接球体积的面积问题，再比如说让你判断是否存在某个点，使得什么线面平行，线线平行，线面垂直等等一系列问题。再或者是用非间隙方法解决二、面角问题。线面角问题。 因为在小题当中，如果你间细去做的话，会比较耽误时间，而且有的题间细会非常的麻烦，那你就需要用一些其他方法，比如说三余弦定律、三正弦定律去解决这类小题。我给各位同学单独准备了两讲立体几何小题的拓展的练习题，各位同学如果有需要的话，可以点个关注，加入粉丝群，我会在粉丝群内发送给大家。

好，我们开始今天了，我今天不调侃你们了，为啥呢？因为你们开学，我也开学，嗯，并不是很想开学。 来，我们看一下我们今天的题啊。首先，呃，这个是天津的，天津的高考题，他并没有什么难度啊，但是有些同学估计，嗯，想不到的话，还是容易出错。我们看一下阿尔法，贝塔为两个不同的平面，则下列 结论中正确的是。首先第一个，如果 m 平行于 r 法， n 平 n 属于 r 法，那我们可以看一下，如果这样，这是 r 法平平面，这是这些 m， 那 如果你 n 再这样的话，所以说 a 不 对啊。 然后 b 选项的话， m 垂直于 r 法 n， m 垂直于贝塔，则 r 法垂直于。嗯，垂直于贝塔，那我们看一下，它这里边说的是 m 垂直于贝塔，那我们看一下，它这里边说的是 m 垂直于 r 法， 比如说这是阿尔法，这是贝塔 m， 所以 说 b 选项错误， c 选项的话，应该是正确选项啊。如果 m 平行于阿尔法 m 平行阿尔法 m 呢，又垂直于贝塔，那就这样，所以说这时候阿尔法、阿尔法和贝塔是垂直的。然后 d 选项，如果说你 m 在 阿尔法面内， r 法垂直对他的话，这个肯定不一定啊。看，比如说你的被他长这样， 所以只有 c 选项是正确的。好，第二题，看一下你的圆胎，它的侧面展开图是一个半半个圆环，侧面积是四胎，那我们看一下，我们假设这里边你这个侧面积里边的小圆半径是 r 大 圆半径是 r 大 r， 那所以说你这个面积 s 等于二分之派，因为是以半高圆环啊，二分之派，二方减小二方等于四派，那所以说我们可以得到大方和小二方的关系等于八。好，然后我们再看它要的是形成的圆台， 剩下底面积的绝对值是差。好，我们看形成圆台之后，把这个记为小 r 一， 这个呢就为大 r 一。 那我们看一下你小小 r 和小 r 一 之间的关系是什么呢？因为你小 r 的 半所对应的半圆是小 r 一 所对应的圆的值。呃，小 r 所对应的 半周长是 r 一 所对的周长，所以说也就是 r 一 是等于二派分之，派二的就等于二分之二。同理，你的大 r 一 等于派 r 一， 派二比上二派等于二分之二。 那所有说二一二一二二他们之间有这样的关系，那我们看一下他的上底和下底面积之差的绝对值，应该就是派二一的平方减派二一，小二一的平方就等于四分之派 二的平方减四分之派小二的平方。那也就是提出一个四分之派 二方减小二方，二方减二方等于八派八，所以说就等于二派， 这个是找他们的关系就行了啊。好，第三题，三棱锥，然后 a e 等于 e， b a e 等于 e， b e 是 中点，然后 a f 等于二倍的 f， c 三等分点， ag 等于三倍的 g d 四等分点。然后他说，嗯， ve 是 表示的 va 杠 e， f， g， 然后 v 二表示的是 v a 杠 b， c， d， 然后我们去看 v 和 v 二的比值，它都是以 a 为顶点，那我们现在转换一下顶点啊。 嗯，因为你 ef 在 平面 abc 内，所以说 a e f 这个平面的面积和 abc 的 面积有关系，所以说我们把 v e 表示成什么呢？ v g， a， e， f， 同理，你这个 v a， b， c， d， 它写成 v d， a， b c， 那 所以这个面积就等于什么呢？三分之一乘 g 点 d， g 到 a、 e， f 的 距离，再乘以 s 三角形 a， e、 f， 然后它的面积 v 二的体积就等于三分之一，乘以 d， d 到 abc 的 面积跟距离乘以 s 三角形 abc， 那 所以说 v 一 比 v 二，其实也就等于 d g 到 aef 的 距离乘以 s 三角形 aef 比上 d， d 到 abc 的 距离乘以 s 三角形 abc， 那 你看一下，我们看一下它们两个的比值啊， 这个距离之比，因为点 d 呢，是四等分点，所以说距离之比是四分之三。 好， s 三角形 aef 和 abc 的 面积之比， f 到 f 到 abf 是 ac 的 三等分点。那所以说你看一下这个面积的话，乘，这是乘啊，乘以，嗯，二分之一，或者说我们这样写 就用都是对 a 的 话，就是二分之一 a， e 乘以 af 乘以三 a 比上二分之一， ab 乘以 ac 乘以三 a， 那 所说三 a 三 a 约去 a e， 二分之二分之一去 a e 比 abafbc， 所以 说就是，嗯， 三分之一乘以三分之一，所以四分之三乘三分之一等于四分之一。好，这是一个体积的转换啊。好。第四题的话，他说圆锥的轴结面顶角是三分之二，派一个顶角 等腰三角形。既然轴结面是等腰三角形的话，也就说这个圆锥他的最大就这个角， 轴结面这个角是三分之二，派三三，他说的是过顶点的所有结面里边。我们看一下过顶点的所有结面 应该全都是什么呢？全都是等腰梯， 等腰三角形。都是等腰三角形的话，你上面的顶角阿尔法呢？是， 嗯，大于零度，小于三分之二 pi， 那 所以说你那个结面的面积 s 应该等于二分之一， l 方乘以三阿尔法，也就等于二分之九乘以阿尔法。阿尔法在什么时候最大呢？当阿尔法等于二分之 pi 的 时候，面积有最大二分之九。 好，我们看下一道题，这道题首先是一个正三棱锥，正三棱锥，我画一个正三棱锥， s， a、 b、 c 侧楞长为一，然后 ef 分 别是 sa 和 sc 上的动点，它说的是让当你 b、 e、 f 它的周长最小的时候是根号二。那我们做一个什么工作呢？把你这个三棱锥的侧面给它展开。怎么展呢？就是你这样这样 沿着把 s、 b 这个就相当于撕一个口子，然后 s、 b 这样 b 撇啊， b 撇。 好，那这时候你 b、 e、 f 它周长最小的时候是什么呢？这是 b 撇， e、 p 撇。那周周长最小的时候，其实也就是 b 撇， e、 f， b 撇撇，他们在同一条线上，那就是我们这个图，嗯，有点抽象， 最小的时候是根号二，而我们这 sb 撇啊，一，他一，那也就这时候他是等于九十度的。他问你这时候三棱锥的，嗯，侧面积，那我们看一下，这时候其实你这里边每个角这是多少度？三十度，然后一，一，那有这些的话，你每个面的面积就可以求了。 测面积就是三个三乘以二分之一， s a 乘以三十度等于四分之三。 好，这是第五题。好，接下来这个第六题稍微好玩一点。啊，我，我不知道你们大概能够想到那个是什么样的图形，不能，就是你不行的话，你就，嗯把这个自己找一个长方形的水瓶子， 嗯，然后装水去看一下，试一下。你先不要纠结这个四十五度，你就看一下水平面，可能是这样的，也就是不超过这个角角， 也有可能超过这个角角往上面去的。不超过这个角角的话，从我们主视图的方向看，它是一个三角形，但是你别忘了它是一个什么呢？长方体，那所以说它是一个三棱柱， 而这里边超过这个角角的话，下边他是一个长方体，上边是一个大的三棱柱。那好，我们看一下他这两种情况的话，我们一个一个去考虑啊。如果是这种情况的话，那也就是假如说我们设它的腰长是 a a， 因为他说你本来的水的体积是四百毫升，然后 嗯嗯边长为十的，这水平面是不是哦？他要的是墨水，墨水平，那我们看一下，如果是四百毫升的话，也就是说你你有什么呢？你应该满足的是二分之一 a 方等于四百， 比上十等于四十，因为你这个三层就是他的体积，或者说我换用另外一种方式去表示他这个， 嗯，体积我记为 v 一 吧， v 一 其实也就是这个三角形的面积，二分之一 a 方乘以你的高高，其实那那就啥呢？你长方形的长，长方体的长乘以十应该等于四百， 那也就说你这个 a 应该等于多少呢？四倍根号五，但是四倍刚好是五是大于八的，也就说它这个本来我们不超过这个角角的话， a 应该小于八，但是现在按照它满足体积等于四百的话，你这个 a 是 大于八的，所以说这种情况不存在， 那也就说应该是这种 v 二的情况。 v 二它的体积分两部分，那假如说我们把这一段的长度记为 b， 那也就是它的体积分为下边的长方体、长方高，分别是八乘十乘以 b， 再加上这段是八、八 八乘八乘二分之一，这是三三棱柱的体积，再乘以十，它等于四百。我们去解一下，你这个 b、 b 是 等于几呢？一是可以的， 那所以说接下来就求他接触的面积，那你这面积 s 是 什么呢？首先前边是这样一个什么呢？梯形，梯形，前边一个，后边一个，所以说这是两个。还有底面这个面积，所以说就是二乘四十 加上一乘十加九乘十加八乘十，等于二百六十，所以这是他最后的面积啊。 好，这是第六题。然后接下来我们看一下第七题。第七题也是一个体积转换。首先平行六面体 p 是 a、 e、 d， a、 e、 d 上的一点，然后他说三棱锥 哪个呢？ v、 b 一 杠 a、 c、 p， 好 比上 v、 a、 b、 c， d 杠 a 一 b 一 c 一 d 一 的体积，那我们去看一下你的 v b 一 杠 a、 c p， b 杠 a、 p、 c。 那 我们看一下啊，这里边 p 点所在的直线是谁呢？是 a、 e、 d， 因为 p 在 a、 e、 d 上，而你的 a、 e、 d 呢？ a、 e、 d 又平行于 b， e、 c、 e、 b、 e、 c， 所以说你 a、 e、 d 平行于面 a、 b、 e、 c， 它平行于这个面的话，也就这个线上的任何一点到 b 面 a、 b 一 c 的 距离都相等，所以说 d p 到 a、 b、 c 的 距离就等于 d d 到 a、 b、 c 的 a、 b、 c 的 距离。 那所以说这时候我们就可以把这个三棱锥的体积，本来它的体积等于三分之一，乘以 d， p， 杠 a， b， e， c， 再乘以 x 三角形 a， b， e， c 现在就等于三分之一 d， d 到 a， b， e， c 的 距离乘以 x。 三角形 a， b， e， c， 它就等于谁呢？就等于三分之一 v， d， 杠 a， b 一 c 的 距离，那我们再把它轮换一下，整顶点就等于什么呢？哎，这个没有三分之一了，就等于 v。 我 现在让以 b 一 b 一 杠 a， d， c 的 距离的体积，它就等于 二分之一 v， b 一 a， b， c， d 就 等于三分之一乘二分之一 v， a， b， c， d， 杠 a 一 b 一 c 一 d。 好， 它的一比六是这样来的啊， 好，那接下来我们看一下第八题。第八题，这个是茂名的一模题，我们看一下难度有没有啊？首先，嗯，这道题是，如果说没有图的话，你能不能想到啊？首先你看一下，如果是没有图的话，我们画一个正方体， 正方体，然后 abcd， 我 们看一下假设没有图啊， a 一 b 一 c 一 d 一， 然后 a， e 等于二倍的 e， a， e 三等分点 c， f 等于二倍的 c， e， f， c， e， f， c 三等分点，然后过 b， 这是 e f 平面 所结的周长。我们先想一下你这个接下来它的，嗯，它的那个结面怎么画啊？结面的话，我们上一节课说要干嘛呢？要找平行线，那我们看一下往上边去找平行线的话来，或者说过 f 点做 e， b 的 平行线， 假如说平行的话，假如说这是 n 点， n 点平行的话，我们需要知道 n 点在哪里？如果 若 n， f 平行于 e， b 的 话，应该有 s。 三、三角形 e， a， b 和三角形 f， c， e、 n 是 相似的，也就有什么呢？ e， a 比上 ab， e， a 比上 ab 应该等于 c， e， f 比上 c， e， n 等于一比二。 cf 是 等于多少呢？是等于二， 它冷场为六的话，它是二，二比四。嗯，等一下，我看一下。我说呢，这不是二分之一啊。 e， a， b 上 ab 应该是等于 四比六，那所以说 c、 f 是 二，所以说 c， n 是 三，所以说 n 为中点。 那你同理，同理什么呢？过 e 点做平行线，也就会得到 a、 d 的 中点 m， 所以 说那也就是 m 和 n 点是 是中点，然后去求。那我，那，所以说这个图形出来的话，那它的面积就好求了吗？这个面积的话，你看一下。嗯， 你这里边去算他们的长度。 n、 f， 这是二三，这是 n， f 等于 a 等于 e， m 等于根号十三，然后 b， e 等于 b， f 等于，这是四六，所以说等于二倍，根号十三，然后 n、 m、 n 的 话，三三就等于三倍根号二。那所以说，哦，对，他要的是周长，就是加起来六倍根号十三加三倍根号二。那你看一下，如果要面积的话，能算不能面积？面积的话，你把它给分割一下就行了啊。好，这是第八题。 好，第九题的话题好像有点简单，其实很快就可以过了。圆柱内有个棱长为二的正方体，各个顶点都在圆柱上，剩下 轴结面为正方体。注意啊，你里边有一个正方体的话，轴结面是正方体的。轴结面正方体的。嗯，不是正方体的对角线的结面，所以说对角线不是正方形啊。所以说 a 是 错的。 b 选项过正方体的中心， 将平面圆柱体积分成相等两部分，这个是肯定的，只要是过中心的位置，都是可以 将体积分成两部分。圆柱的表面积的话，那我们看一下，棱长为二，这是二，那半径这是什么呢？根号二，这是二，那所以有半径有高，那表面就可以求 好 d 选项。如果圆柱的圆柱的上下底面是一个球的两个结面，该求的体积，那其实也就是让你求这个圆柱的外接球。圆柱的外接球，也就是说球心是连接你这个正方体正中心的位置和 a 一 去求就行了。刚才说了，这是一，这是根号二，那所以这是根号三，二等于根号三， 剩下的自己算好。这是第九题。第十题的话，我们看一下第十题，这道题答案给的方法是，嗯，见了坐标系，其实不用见坐标系，你直接看图就能够出来啊。首先你要知道 e 是 在哪呢？ a c 上的一个终点， a， c 上的终点，屁是你 b c 上的一点，可以取到 b 和 c， bp 等于拉姆，那被的 p c， bc， 一 会儿在这上面进行移动，等于二分之一的时候，正好也就说你那个 p 点呢，就是中点 终点，然后他说这时候 e p 平行于 a d， 那 肯定要中位线，所以说 a 选项正确，然后 b 选项，他说当你当中的等于二分之一的时候， e p 垂直于 a c， 它底面是长什么样呢？底面是这样， 所以说你 e p 和 a c 都不垂直，怎么会和你 a、 c e 垂直呢？ b 选项错误， c 选项它说的是存在拉姆的，使得 a e e， a e 在 哪呢？在这 和你的 c、 e、 p 平行。来，你看一下啊，你这时候它两个是什么直线啊？意面直线呀，所以 c 选项不对， d 选项拉姆呢？会使得 e p 平垂直于平面。 a 一 b a 一 a a 一 a c c e e p e p 那 那我只要垂直垂直 ac 吗？垂直 ac， 那 也就是当你 p 点是 b 点的时候就可以满足。 所以说第十题简单啊，选 a d 好 看。十一题 谁提这道题啊？能做不难？来，我们看一下三棱台侧面 a a c a c c e a e 是 等腰梯形，且与底面垂直，这个垂直条件很强的啊。 a c 一 等于一， a a 一 等于根号二， a c 等于 bc 等于三 a 三三 ab 等于三倍根号二，三倍根号二。那这不就是告诉我们这个角是直角吗？这个角是直角的话，那所以说 bc 垂直于 ac， 这是 ac， 是 两个垂直平面的交线，所以说 bc 就 垂直于 垂直于面。 a c c 一 a 一， 那 a 选项是正确的。好， b 选项他要的是 v a 一 杠 abc a 一 杠 abc 和 b b a 一 b 一 c 一， 它的体积，那我们看一下这个体积应该怎么求啊？那就是他们的体积关系是怎么来的啊？那我们看你这个 v a 一 杠 abc， 它是等于什么呢？它等于三分之一乘以 h， 这个 h， 我 们记作是你这个它 a 一 到底面的距离 h 乘以 s 三角形 a b c 没有问题吧？好，那你应该要 v b 杠 a 一 b 一 c 一 b 杠 b， 它也等于三分之一，什么呢？乘以 h 乘以 s 三角形 a 一 b 一 c 一， 那这两个三角形它因为是三棱台，它上下平面是平行的，它的边长之比是一比三的话，那它面积之比是一比九，所以说 b 选项是正确的， 好，这是 b 选项啊。好， c 选项的话，我们看一下 v a 一 杠 abc 和 v b 杠 a 一 c c 一 b 杠 a 一 c c 一， 那我们也是来个转换嘛，让它等于 v b 杠 a 一 ac， 好， 它是 b 杠 a c c e， 那 我们看一下它其实也就是，嗯，最后的体积之比，其实转化成了三角形面积之比。哪个三角形呢？它的体积等于三分之一点 d b 到 a， e， a， c 的 距离，它等于三分之一啊。还有乘以 s 三角形 a， e， a， c， d， b 到 a 一 c， c 一 的距离乘以三角形 a 一， c c 一， 这两个距离还是相等的，所以说面积之比就是它们两个的三角形的面积之比之比。三角形 a 一， a 一 a c， 这个三角形 和三角形 a 一， c， c， c 一 和这个三角形，它们两个同高，嗯，同高，但是底底是什么呢？一比二比上一， 那三比上一，所以说体积之比应该是三比一，所以说它应该等于三倍的它啊，所以说 c 选项是错误的。 三棱台的体积，那我们看一下这里边三棱台上下底面积都有，只差一个谁，那高，那这个高在做的时候，刚才其实这个 h 是 可以求的，这是一一一， 然后刚才说是等腰梯形，那所以说这个，嗯，高，也就是一了一，一根号二吗？ 所以高是一，那所以 v d 选项 v 就 等于三分之一，乘以二分之一，加二分之九，加根号下二分之一乘二分之九，等于六分之十三。好， d 选项结束。 好，十二题的话，这道题也比较简单，你们自己做吧。 十三题，我们来看一下三棱，嗯，三棱柱，它有水侧棱， a a 一 的长度等于十八， 然后底面三角形，三角形 ab 边上的高，这个长度是 h， 那 也就是这个 c 一 到 ab 的 距离，这个是 h。 好，他说的是当 a、 b、 c 置为底面的时候，高度为十六，那这个长度是十六，那我们看一下，我们设 s， 三角形 a、 b、 c， 就 把它设为 s， 那 所以这时候微水也就等于十六， s 就 为微水。 那我们看一下温水，他在不管是你竖着放还是横着放，他水的体积是不变的，那我们看一下，这个，他要的是这个高度啊。上边，嗯，这里边， 那刚才是横竖着放，我们看一下，横着放，横着放，它的 v 水还是等于十六 s， 但是我们换一种计算方法，也就什么呢？它还等于这个，呃，四棱锥的体，四棱柱的 体积，四棱柱体积在算的时候，它底面积是这个等腰梯形高是这个 a a 一 的长十八，那也就说你这个这个面积就为 s 一 s 几，它是等于十八 s 一， 而你的 s 一， 我把这个梯形的高，也就是我们水面的高借为 h 撇儿， h 撇儿，那它应该，那我们看一下，嗯，你这里边本来是有它 s 和 s 之间的关系，那所以说 s 撇儿 比上 s 等于十六，比上十八等于八比九。那然后我们看一下，那你这里边梯形的高，我把它设为 h， 它这个 h 一， 呃，梯形的高设为 h 一 的话，它和这个 h 是 有关系的。是什么关系呢？ 根据我们这个，嗯，它两个面积的比值是八比九的话，这两个三角形面积的比是八比九，上边和下边这个比值应该是一比边，长之比是一比三，那所以说 h 减去 h 撇比上 h， 它括号的平方是一比九， 所以说 h 撇是等于三分之二。 h 刚才其实到这个九的时候，你应该就考虑到它跟三有关了啊， 这个十四题也是考察你空间立体想象能力的，它重叠的时候， 它这里边 a、 e、 c 和 b、 d， e 都经过了正方体最中心的那个位置，也就是这个 e， 现在它到底面的距离其实也就是 b、 d 和 a、 c 的 正中间的位置。 那所以说你看一下他这时候再分割出来这个体体，那如果要求的话，我们再把它分割，我们去找 b、 c 的 中点连接，找 a、 d 的 中点连接，那首先你看一下这个 e、 e、 abc、 d 这个中点，我记 f、 f 撇，那所以说 v， 嗯，要求的体积就等于 v a， b， e 杠 f 撇 f e， 再加上 v e 撇 杠 f 撇 f c、 d， 也就是一个三棱柱和一个四棱锥体积相加，这样的话你应该就好求一点， 那那你们自己求吧。哦，还有就正方体体积是是十六倍根号二的话，那也所以说 ab 的 三次方等于十六倍根号二， ab 等于二倍根号二，那你求吧，这是根号二，根号二，二倍根号二，根号二，二倍根号二，他说体积很好求了，自己求了啊，三分之十倍根号二，好结束。

很多同学一提到外接球，内接球立马崩溃了，但是显哥说，一定要知道球心怎么去找的，我们往往都是放到一个直角三角形当中，你找到球心了之后，然后在勾股定里算，不就完了吗？比如我们先来一个非常简单的例子， 正方体，他的外接球，球心在什么地方？外接球的半径是多少？就是啥意思呢？正方体、长方体，他的体对角线，这个结论都知道，我们看一看他为什么呢？ 为什么呢？你肯定知道为什么，对不对？为什么的话，当然是非常非常简单的了，为什么呢？因为我们找到底面的外心，底面的外心当然就是长方体的中心， 我们再找到一个侧面的外心，当然就是他的中心，我们从这往上做垂直， 我们从这个地方啊，往这做垂直，那当然这个中心就是长方体的中心，长方体的中心就是他的球心了， 能听懂吧？那所以，所以体对角线啊，体对角线就是球的直径，当然由对称性可知也可以。所以长方体、正方体的体对角线就是外接球的直径，就等一个根号下， a 方加 b 方加 c 方， ok， 所以 我们今天这节课不讲结论，不讲结论，我们基本上每道题都给大家说一说，包括正方体、长方体，他也是啊，就是你得知道他为什么球心在那个地方。来，我们先讲一道题，他说在平面四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d， 这是显然的， 然后呢？ a、 c 和 b、 d 交于 o， 而且 a、 c 和 b、 d 是 相互垂直的，然后呢？他说 a、 c 和 b、 d 是 垂直的， o， a 等于一，然后呢？这个 o、 c 这是一，然后 o c 等于二， o b 等于二， o d 等于二， 然后减去 o、 c、 d， 这个啊，这个三角形把这个三角形剪掉了，然后呢？呃，将三角形 a、 o、 d 沿着 o a 折起来，就这样折喽。 然后呢，我们再把这个 o、 b、 c 沿着 o b 翻折起来，使得 b 和 c 重合于 p。 然后呢，问 p a、 o b， 它的外接球的表面积是多少？它把 c 点沿着 o b 这样折起来了，它把 d 点沿着 o a 这样折起来了。是不是你翻折过程当中，这个三角形是直角，三角形，它永远不变， 这个三角形是直角，三角形，它永远不变。所以你翻折上去之后，那么这个，这个，这个 po 它是垂直于底面， 听懂了吗？ po 是 垂直于底面的，那也就是说我还画这个图吗？不太想画了呢啊，大概画一小下，对吧？你应该能给我提前想象出来啊，提前想象出来，这张是 o b， 这张是 o a， 然后呢，这个地方是这样的，然后呢，他们这个地方是 p 点，对吧？应该是没有问题，这呢是个 p， 然后呢，这个地方就应该是这条线， 然后这呢是这条线，大概画完之后，是，画完之后大概是长的这个样，对不对？所以应该是非常简单，非常简单题目了。那么这个地方就应该是 o 啊， p 是 谁呢？ p 既是 c 又是 d， 因为 c、 d 重合在一点是它，然后这个地方是 b， 这地方是 a， 所以 这个角是直角，这个角也是直角，这个角也是直角，那这就说明 o a， o b， o p 两两垂直 啊，他只是说的特别深奥而已，又是翻折又是什么？那么这个地方的外接球是不是我们就应该是把它放到一个正方体里边啊？放在一个长方体里边，或者说啊，是不是啊？因为这个长度是二， o a 的 长哦， o a 的 长度是一， ob 的 长度是二，那么这个 oc 或者 o d 呢？ oc 和 o d 都是二，所以他的外接球和对应的长方体的外接球是一样的，他实际上就是一个强角四面体， 那他所对应的长方体，他为什么他放到长方体里边？他的外接球和长方体的外接球是一样的，因为四个不共面的点确定唯一的一个球面，这四个点正好是对应的长方体的顶点，所以我们假设这地方是 a， 我们假设这辆是 b， 我 们假设这辆是 c， 所以 它的外界球的直径就应该等于根号下 a 方加 b 方，再加 c 方，等于根号下四。加一，再加四就应该等于根号加九是三， 所以二的话就应该是二分之三，所以它的表面积就应该是四。派二方四分之九，所以答案是九个派，所以这是最最简单的题目了， 应该能想得到吧。啊，就是把它想成一个长方体就可以了，因为为什么把它想成长方体，就应该是放在这个位置。给大家画一画你就明白了， o a o b， 我 们字母的顺序不变，你看这辆是 o b， 对 不对？这辆是 o a， 这辆是 o p， 看到了吗？这辆是 p， 这辆是 b， 这辆是 o， 这辆是 a， 所以这四个点确定四个不共面的点确定唯一的一个球面，这四个点恰巧正好是长方体的顶点，所以他的外接球和长方体的外接球是同一个，所以把它想成 a， 把它想成 b， 把它想成 c， 就 可以了， ok， 所以 这是第一道题，非常的简单。我们再看第二道题， 第二道题他说在三棱锥当中，四个顶点分别在球面上，那么 pa 等于 pb 等于 pc 等于四， 然后呢， ab 等于 bc 等于二， ac 等于二根三，问球的表面积是多少？这道题也是非常简单的一道题。首先这个地方用到了我们深挖教材课本上的一个结论，他说 pa 等于 pb 等 p c。 那 当然，我们要想找球心的话，我们必须得知道底面的外心在什么地方，底面是是一个什么三角形呢？又，因为你幼儿园毕业了，你对数特别敏感，你看二二二跟三， 所以这个底面呢，是一个一百二十度的等腰三角形。那么大家思考一下， p a， p b， p c， 那 你说 p 点在底面投影是谁？ 这个地方很关键，积累知识，积累知识啊，如果不积累这个知识，这道题很难想。 ok， 所以 我大概给大家画一画你，嗯，我想想怎么画啊，啊，我们想想怎么画，就这样画吧， 对吧？你好好的思考一下，好好的思考一下，我们大概就这么画， 就是由于底面呢？它是一个啊，一百二十度的等腰三角形， 对吧？一百二十度等于上行。然后呢，屁点在底面上的投影呢？他应该是落到了 外面，因为为什么落到了外面呢？就是因为他的外心，外心底面上的外心应该是在外面的，所以这辆是个屁，所以这辆是 pa， 然后这辆是 pb， 然后呢？对吧？这辆是 p c。 要会画图啊，这辆是 p c。 好， 大概能明白了吧。然后呢，这个地方是 b a b， 然后这辆是 a c， 然后这辆是二，这辆是二，这辆是二根三， 所以这个地方是 o 一， 这呢是 o 一， 所以说白了就是这个锥有点歪，有点歪啊。好，那么再大家再想一想，他又告诉我了， pa pa 等于 pb 等于 pc， 是 不是说明这个 po 一 垂直底面，你能想明白不？ 浙江用到了一个小结论， p a 等于一个 p b， 这是我们新华教材上，也是我们课本上扣元体。 p a 等于 p b 等于 p c， 说明 p 在 底面上的投影， p 点在底面上的投影 围什么形围？三角形 a b c 的 外心，需要解释不？需要解释，不 pa 等于 p b 等于 p c， 那 么 p 在 底面上的投影就为三角形的外心，那也就是说 poe 是 垂直于底面的， 那 poe 垂直于底面的话，那大家思考一下球心在什么地方？那球心当然是在这个地方了，某个点上， 就是在这个提高的某个点上。所以这个结论是非常简单的啊，你看 p 到底边的距离。假设这张是 o 啊，投影啊投影，由于 pa 等于 pb 等于 pc， 所以 这三个三角形是全等的。 这三个三角形全等的哪个三角形呢？就是 p a o， 然后全等于三角形 p 啊 b o 全等于三角形 p c o 这个问题吧，因为公共边是 po 啊 p 的 投影 p o， 然后呢，这个这个斜，这这三个边相等的，那所有边都相等 s s s， 所以 我们就能够推出 o a 等于个 o， b 等于个 o c， 所以 o 为外型， 明白了不？那所以这道题你先知道这个小小问题才可以。那你想一想，那既然 po 一 它是外，它的投影是外型，那就说明 po 一 是垂底面的 pu 一 垂直底面的话，又因为我们刚才说了球心在哪地方？球心就是在他的外心往上做垂线上，所以球心是在这个高上面的某一点上，哪个点极等分点没有结论。 那所以我找到球心了，我勾五定零就可以了。我，那往哪勾啊？对不对？我往哪勾？我做一个直角三角形，我们做这个红色的直角三角形，大家可以看，就他 应该用虚线，我们做这个红色的直角三角形就可以了。他，然后呢？还有他 啊，这个这个大概能能想明白不？我这个量画实线了啊，不然的话你看不太清楚这他，那首先这个 o a 他的长度是半径，然后呢，这个 o e a 当然就是半，就是底面的半径，底面外接圆的半径，当然就应该是二， 就是我们记作小二就应该是二，他为什么小二是二呢？就是因为这是个等，这是个等边。这样行，这是六十度，因为这个整个的角是一百二十度，这个角是六十度， 六十度的话，那现在这是个等边啊，或者说用正弦定律，正弦是三十度，然后呢，二二等于一个二，比上一个乘三十，正弦定律也是可以的。那所以二点二， 那我们这个 o 一 怎么算呢？ o o 一， 由于 o 是 球心，所以 o p 是 半径，所以我们得先算出 po 一 来， 算出 po 一 来之后，然后呢，这个 po 一 就应该等于个提高减去一个半径，对不对？那这个 po 一 怎么去算呢？由于这个长度是二， 对不对？然后 p b 的 长度他是四，他告诉我了，所以 p o 一 的长度我们就能够算出来，等于根号下 p b 的 平方减去一个 o e b 的 平方，那 p b 的 话，就应该等于根号下十六，再减去一个四，等于根号下十二，三是十二根三， 没错吧？所以这个地方就应该是二根三，所以这个 o o 一 o o 一 的长度，它就应该等于一个整个的提高。二、根三减去个球的半径， 对不对？因为这个地方是球的半径吗？所以在这个红色的直角三角形当中，我们勾股定律就算出来了，那就是二根三减去一个二的平方， 然后呢，再加上一个四，它就应该等于二的平方，然后一顿狂算就可以了。然后这是十二，再减去四根三，二，再加上一个四，就应该等于零，所以二就应该等于个十六，十六除以四是四比根三， 对吧？四比根三，你让我求它求的表面积， s 等于个四派，二方就应该是三分之一十六等于个三分之六十四个派。 所以这道题选 a 好， 能想明白，不要会找球心好来。我们再看这道题，大家可以看怎么只有 d 选项，这是多选择题的一个选项，我们就讲讲这个选项， 这个选项我们讲两种方法，能长为二的一个正方体，然后 m、 a 分 别为终点。哦，这终点，这终点， 然后呢？分别是它的中点， q 呢？是一个动点， q 是 d 一 a 一 的动点啊， q 是 a 一 d 一 的动点，它说经过 c m b， n， 它是一个选项嘛？所以其他的条件你不用看， m 是 终点， n 是 终点， b 是 终点，然后呢？还有个，还有谁？ m n 还有个 bc 是 吧？ c 是 终点， ok， 人家让你求过这四个点的外接球怎么做？第一种方法 就是你得知道外接球的就是怎么确定一个球面，你最后很多同学连怎么确定球面都都不知道了，就只知道算，或者找找球心，或者是背二级结论， 因为这一张确确实实二人结论非常多。那你想一想，这四个点有多么的巧，正好是底面的这个长方题，所以这道题你看看，我们从这做一个重点， 我们一连接它，看到了吗？我们呢，这个地方做一个重点，我们再一连接它， 然后呢，我们再连接他，也就是说他把正方体切成两半了，上下两半啊，就是上下来完完全全一样，就从中间中截面去截了一个，那大家再看这个 m、 n， 然后 b、 c 绝了，巧了，他正好是下面这个长方体的四个顶点， 又因为四个不共面的点，肯定确定唯一的一个球面，也就是说以这四个点为啊过这四个点的这个外接球，说白了就是下面这个长方体的外接球 啊，长方体的外接球啊，长方体八个顶点在一个球面上，实际上不需要八个点，四个不共面的点就可以了，就找这四个点，所以这道题直接秒杀掉了。也说二，二就应该哪个根号下， 这是 a 等于几呢？二 b 等于几呢？二 c 呢？等于一根号下 a 方再加 b 方再加 c 方，就是下面这个长方体的外接球，就是过 m、 n、 bc 四点的外接球， 所以它就应该等于个根号下四加四，再加一等于个三，所以二等于个二分之三，所以 s 等于个四派二方，四分之九等于个九个派。 当然做这道题当然得用这种方法了，因为这才直接是一个选项。明白，好，那么万一你找不到，你想不到呢？所以我们在讲复杂的，讲复杂的就是我们找到球心， 我们找到球心看，这是 b， 这是 c， 这是 n 啊，然后过这三个点，然后过 m， 是 不是这时候？嗯啊，这这时候怎么办呢？我们就应该找到一个面的外心，往那做垂直，垂直于这个面，球心一定是在那条线上， 所以找哪个面呢？我们当然找的是这个三角形，那这个三角形是什么呢？这个三角形显然是一个直角三角形，它的外心就应该是在 斜边的中点上，那既然在斜边的中点上的话，那我们就应该往这哎，过这个斜边的中点，往上坐啊，当然他坐过去之后，他就应该啊，这个投影永远是在这条线上啊，所以我没画出来吗？我看有用吗？啊，先画出来吧，也，也行， 看到吗？这条线，这条红色的线和这个 b、 n 是 完完全全对称的，平行且相等，所以这个过这个 o 一， 它的外心是 o 一， 这个是 o 一， 我们往这做垂直，他的垂线正好是落到这个点的中点上，能听懂吧？那所以球心落在什么地方呢？球心一定落到这个上面的某一点上，当然具体哪个点我不太清楚，我们假设这样是 o， 他 肯定是落到这个 o 一， 往这做垂直的某一点上， 那所以这时候我们怎么怎么求出半径来呢？我们随便做个直角上也行 啊，应该是虚线，但是我用绿色颜色表示吧，就我们做这个绿色的三角形来，这个长度。我们知道 啊，就这个直角三角形，我们找到一个垂直关系勾股定律的关系，那么由于这个长度显然是半径，是求的半径，而这个长度的话，就应该是一，这是一，这是二，那这个说明这是根五，那就是个二分之根五，所以这个长度是二分之根号下五， 没错吧？所以我们是不是得设出一个未知数来，我们设这个数，这个数为 d， 因为你不设这个数的话，你不知道这是几，所以我们就找到了一个关系式，也说地方 再加上一个四分之五，他就按那个二方，那现在呢？你这是两位数，你还是搞不出来啊，所以你还得再找一个关系式，再找一个什么关系式呢？你不要忘了，人家这个球呢，还过 m， 那 这就说明 o m 的 长度，它也是半径， 那所以 o m 的 长度怎么算呢？ o m 的 长度就应该等于啊这个数的平方加上一个这个数的平方，我们假设这个点记作 o 二吧，听懂吗？我们记着这个点记作 o 二， 所以 o m 的 平方当然也等一个半径的平方，它就应该等于个 o o 二的平方，再加上一个 o 二 m 的 平方。我们又找到了一个关系式，其中 o o 二的平方呢，就应该等于一个棱长是二，所以这个长度是 d， 那 就是二减 d。 二点零的 d 的 平方加上一个 o 二 m， 哎， o 二 m 怎么求呢？ o 二 m 如果不好求，你可以拿着降维的思想，你可以把它这个正方形拿出来，你看 o 二 m 怎么去求？是不是这道题就搞定了？你看 m 是 这个点的终点， 对不对？然后呢？这个点有个终点，所以一连接这个 o 二呢？显然是它的终点， 明白了吧？这是 o r， 那 你说 o r m 怎么求？是不是相当于我们往这做一个什么线，做个中，做个平行线，这全都是初中平面几何的知识吗？由于这个点 o 它是中点，所以这个长度的话，就应该是啊底边的一半，也就是这个长度是一， 那这个长度是一的话，那，那这个地方很明显，这呢就是多少，这个长度是一，那这个长度就二分之一， 就这段长度，所以勾股定律的话，就应该等于根号下一加四分之一，那就是它欧二摩的平方就应该是四分之五，好麻烦，四分之五， 所以这两个式子连理方程就搞出来了。地方再加上一个四分之五，等于二方，所以等于它，那就相当于地方减去四 d， 再加上一个四，然后再加上一个四分之五，地方加四分之五干掉。所以 d 等于一， 对不对？那 d 等一的话，二方就应该等个一加四分之五，等个四分之九，和刚才答案一样的，这就是找球形的方法。 ok， 好， 能明白了不？

我杜米亚讲二零二六届哈三中三月检测的压轴填空题。这里 a 一 在底面上摄影为 b d 中点 a m 则 a 一 m 垂直底面， 这时候 a a 以与底面夹角为四十五度，进而求出这些线段的长度。这时候我可以验证此三棱锥外接球球心为 a m 半季为根号。二、现在我可以如图间隙写出相应点的坐标。 现在为了求出目标，我还需要探求球心 m 到结面距离。我可以先求出结面法向量 b 在 结面上， 如图，点 m 到结面距离 h 刚好是向量 in b 在 法向量 n 上投影长度，进而求出 h。 再结合此图，可求出结面圆半径，进而求出结面圆面积。

一天一个小技巧，零基础也能向考场。今天讲立体几何最急问题，废话不多说，直接向前提 好。我们来看这道题，他说已知球的半径为一，半径为一，然后呢，四轮锥的顶点为 o， 底面的四个顶点均在球面上，哎，你看四个顶点均在球面上。 他说，则当该四根锥的体积最大时，问他的高等于几？你看这个呢？是不？我们的立体几何的体积的一个对角问题对不对？那该怎么做呢？这款呢，我们有两个方法， 第一个呢，是用到我们的基本不等式思想，也就是我们的 a 加 b 大 约等于二倍根号 a b 去把这个题做出来。第二点呢，就是可以结合我们的求导思想，利用导数把我们的最大值给算出来，这个题他只有一个量对不对？那我们是不是首先得要再设一个量呀？ 那这款是不要求谁射谁啊？他问，他问我们的高对不对？那我们就射高为 h 是 不是？好，你看现在知道了高为 h， 又知道了我们的 o a 等于一，那我是不可以根据勾股定律把我们的 o e a 算出来呀？我们的 o e a 是 不等于我们的根号下一减 h 的 平方对不对？那现在知道这个之后可以干什么呀？他现在在问四棱锥的体积对不对？那我是不是先把公式表达出来呀？我们的棱锥体积公式是不是 v 等于三分之一底乘高对不对？ 嗯，你看我们的高就还是高，对不对？哎，高就我们的 h， 我 们现在是不是得看 s 呀？看看能不能把 s 给它转换成 h 的 形式对不对？ s 该怎么转换成 h 呢？当四棱锥的体积最大，那么呢，我们的底面积是不也越大越好呀？什么时候底面会最大呢？是不？当底面为一个正方形的时候，我们的底面积它最大的， 这是一个结论啊，大家可以记一下，当我们的底面是正方形的时候，往往它底面最大的。那所以呢，你看，我现在知道了 a、 b、 c、 d 是 正方形，我刚刚呢，又把 o、 e， a 算出来了，那么所以呢， 因为 o 为中点，所以呢，我们的 a、 c 是 个二倍的 o e， a 啊，那然后呢，我们该怎么算正方形的底面积呢？我们的正方形底面积，它有个小结论，它呢是我们的对角线乘积的一半。 记住了，我们正方形的面积可以用对角线乘积的一半来算，那所以呢，我们的底面积是等于我们的一个 a c， 哎，乘以 b、 d 对 不对？ 对，角线乘积的一半，再乘个二分之一。那你看，因为它是我们的正方形，对不对？所以 a、 c 是 不等于 b、 d 啊？那这款呢，就等于我们的一个 a、 c 的 平方，对不对？乘以二分之一，那 a、 c 的 平方等于几呀？ a c 的 平方是不等于它的平方呀？是不等于我们四倍的一个 e 减 h 方呀？再给它乘个二分之一，所以呢，是不是应该是二倍的一个 e 减 h 方呀？这款应该等于我们的一个二倍的 e 减 h 方，对不对？ 那你看，我现在是不是的确把 s 用 h 的 形式就表达出来了，所以呢，我们就给他带进去，对不对？我们给他化简一下，等于三分之二倍的 h 减 h 的 三次方， 是不等于我们一个三分之二 h 减三分之二 h 的 三次方呀。哎，你看，我们现在把体积表示成了一个三次函数，但是呢，他说这个体积是有最大值啊，对不对？那么我们的什么函数肯定有最大值呀，是不是二次函数呀？ 那我们该怎么把这个三次函数转换成二次函数呢？是不可以利用求导呀？哎，我们给他导一下，就能把三次函数导成二次函数，对不对？那这里呢，我们就连 fh 等于它，对不对？ 所以呢，根据我们的基本求导公式，这里呢，我们的 f 撇 h 是 不等于三分之二减去一个二 h 的 平方呀，它现在成为一个二函数，对不对？哎，那我是不给求这个二函数的最值了。又，因为我们之前讲过， 一个数的导函数是不就是原函数斜率啊？哎，所以呢，当这个导函数为零的时候，就是我们原函数的极值点，对不对？那么呢，我们就让它等于零，对不对？所以呢，是不是可以解出来呀？二二一约 h 应该等于三分之刚好三，对不对？ 哎，因为它是我们的长度，所以不能为负值，对不对？我们把 h 解出来了，那是不可以列个三段式了？其实考试的话，写到这里就可以直接把答案写上去了，因为就这么一个极值点，所以这个值就是对应的体积最大值。后面就是列三段式正极值点是极大值还是极小值，对导数大题写法有帮助。我们列 h， 还有 f 撇 h， 还有 f h 的 一个三段式，对不对？我们得要知道 h 的 范围对不对？那根据题目呢？因为 h 是 我们的高，所以呢，它肯定要大于零，对不对？那它小于几呢？你看我们的轮锥的顶点是不是为 o 呀？那么所以呢，它的高是不是肯定不能超过半径呀？所以它的高应该小于一，对不对？ 所以呢，我们的 h 应该是一个大于零小于一的数，那么呢，我们就要在这个范围里面去判断函数的增减性。我们的 h 应该是一个大于零小于一的数，那么呢，我们就要在这个范围里面去判断函数的数为零。 我们教判断，在这个区间里面，它是增还是减呢？那我们在这个点里面呢，找个三分之一，然后带进去，你看那这块是九分之四减九分之二，它是不是九分之二，它是大于零的，对不对？原函数的斜率大于零，原函数应该单调递增，对不对？那么同理哎， 在这块找一个点，它应该是我们的小于零，然后单调递减，用函数函数。哎，一增一减是不会有个最大值啊？那么这个点就是我们的最大值点。我们现在需要把 f h 算出来吗？不用吧，为什么呢？你看题目里面，他说当该四棱锥的体积最大时，让我们求 h， 是 不是啊？ 那你看我们现在是不是的确算出来了，哎，当体积为最大的时候，我们的 h 是 不是出来了，就是我们的三分之三， 嗯，所以选 c 对 不对？在这里呢新城也祝各位高三考生高考顺利，祝各位长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

球的体积是怎么推导的？这个稍微有一点点难啊，基础特别特别不好的宝贝，那个你可以跳过，但是如果你相信我的话，留下来好好听，你一定能恍然大悟。这球的体积，哎，他，他这公式长什么样？他怎么推导的？这没法直接讲，因为讲他之前要先补充一个非常古老的数学原理，叫祖更原理。这字啊 更，这文言文啊，说密室契童则机不容易，看不懂，咱们新中国人直接看翻译之后的句子。他说 夹在两个平行平面之间的如果有两个几何体，哦， arduino 是 两个平行的平面。他说这两个几何体当被平行这两个平面的任意平面所截时，比如说我在中间随意做一个新的面出来的话，若满足两个截面的面积总相等，这么像切片一样切出来俩平面吗？他说，无论中间这个平行，这平面你选在哪？如果这面积总是相等的， 我们整个两个几何体的体积必然相同。这说实话，这个其实蛮好理解的啊，你个几何体怎么构建出来的？是不是由一个一个面一点一点叠出来的，大家把它理解成一层一层的啊？如果每一层的面积相同，那你叠出来整个体积 必然也相同，这就叫祖公原理。他也给大家解释了啊，为什么我觉得这个棱台和圆台长得虽然不一样，但是能用同一套体积公式呢？如果两个台体上底面面积一样， 下底面面积也一样，那我同样高度来结的这个结面，因为这每一个面，它它是一个相似关系，比例关系是对应的，所以同样的高度的这个面，面积必然相同， 你每一层面积都相同，那我一层一层拼起来，它的体积就像体积一样，自然能用同一套体积公式。就这么回事啊，那但是这个学是学完了阻根原理，跟我们的球有啥关系呢？ 接下来费点力气给大家推导一下球的体积是怎么推导的。这个稍微有一点点难啊，基础特别特别不好的，宝贝，那个你可以跳过，但是如果你相信我的话，留下来好好听，你一定能恍然大悟。 现在我要推导球的这个体积，那我不直接推倒一个球啊，我嘎一半推倒一个啊，半球体积我就乘以二呗，是吧？那这个半球我现在直接来求它体积，说实话，你得用微积分来做微积分，我会，你不会， 所以我另辟径，我现在在右边再画个圆柱出来，这个圆柱呢，底也是一个半径为二的圆，高呢，也是半径为二的这个高，所以大家可以看到，哎呦，这两个几何体啊，这个整体高度是不是也是 r 啊？所以它俩的这个高度是一样的啊。好，那我干一个什么事呢？我在这个圆柱里面，以上底面为底面，以下底面的中心点为 顶点，我挖一个圆锥啊，就是把这个圆锥的这部分给它挖空了，挖没了啊，就中间上面这一部分是空心的，这构造出来了，它有什么用呢？你看一下， 我现在用一个平面来截，就相当于我这这一个面来切这两个几何体啊，这个半球不用说，我这么一切像切西瓜一样，那我切出来的肯定是一个圆，对吧？你切西瓜切不出来一个正方形，肯定是个圆。那么问题是你这个新的几何体，我这么一切切完，它结面是个什么形状呢？ 大家想你如果没有这个圆锥，我没抠之前，我一个平面去截圆柱，那我这个平面肯定肯定是个圆无疑。但是现在我不小心，我又抠出一块吗？不是。那我这个面跟我抠出这个圆锥，它形成的。大家空间想象能力怎么样？是不是也会形成一个小圆面？ can you imagine that？ 画成虚线大家可能更好理解一点啊，这大圆，呃，后面那半段是看不见的，这小圆因为它整个都在我的体内，我整个就全都得画成虚线才行，现在再看舒服点没？说白了，我这么一切切完，它形成这个界面是一个圆环，对吧？那现在我们对比来看一下，一左一右这俩界面有啥关系？ 我说整个我这个结面到底面这个距离，比如说是个小 h， 哎，那我如果想求我这个半径，那根据勾股定律，这点到这点距离正好是这个 r 才对，所以这圆的小半径根号下 r 方减 h 方，有了半径呢？它的面积就是 pi 它的平方大 r 方 减 h 方，那回头我再算一算这圆环面积，圆环面积我就用大圆减小圆，大圆半径啥子都知道，你这圆跟上下底面是同一个圆，半径就是二，你关键要求出来这小圆半径， 这好不好求呢？就我求线段，我给你把线段放在三角形里面，我就这点这点连接一下，我发现这三角形你整个是九十度，它一半是四十五度，这还直角，所以它应该是一个呃，等腰直角三角形。那我整个这个高度呢？是同一个高度，是 h， 所以 你这是 h， 我 也是 h。 interesting， 大 圆半径大 r， 小 圆半径 h， 那 我圆环的面积就是 pi r 方，大圆面积减去 pi h 方，小圆面积就是 pi r 方减 h 方。 那么在我这个高度任意变化的过程当中，我发现，哎呦，你一左一右面积是同一个面积是一样的。那根据我们的祖公原理，你随便一截面积是一样的。那我整个一层一层叠起来，这个半球和圆柱挖完这个这个圆锥剩下的部分体积就一样。 我的体积。我会求的体积是，我用个割补法，是吧？整个大体级减去一个圆锥体积即可，大体级 pi r 方再乘以二，所以 pi r 立方。圆锥体积我先写一个三分之一， pi 底面积是，呃，是 pi r 方，它整个的高哦，整个的高是二哦，也能合并成一个二个立方， 一倍的减三分之二倍的 pi r 立方。但这不是我最后求的体积，我求的是半球，我最后还得把它乘以二。整个一个大球，体积三分之四， pi r 立方。一定要背下来，高考必考。 ok， 体积公式推导完了，半径为 r 的 一个球，体积是三分之四， pi r 立方。

众所周知，猫的身体是可以压缩的，有一种猫比较特殊，它的头是球形，所以就可以出成立体几何体。假设圆头蝙蝠除了圆头外，其他身体部分都可以压缩的话，请问多大的正室面体可以装下它？ 其实这是一个简单题，我宁愿出城装下两个冒点或者 n 个冒点。这是一个有趣的问题，看完这个视频，你就会了。观察例题、几何小题、真题。你必须要注意到一个现象， 专题考察的审美非常具有实用价值。所以容器问题，比如说一个碗里面能放多少球？多球相切相关的容器问题很常见。二零二五全国二卷填空最后一题，二零二三新高考一卷 多选择题都出现了，这类题型，务必研究透彻。今天我把我寒假作业立体几何里面的题目选出来， 寒假作业一共有六册，去粉丝群找企微助教领取。本视频会彻底剖析多球相切以及多球堆积在一个角落。此类问题如何求解？此类与等比数列的求和相结合的东西是经典的，经典，必须掌握。 这种许多球在角落里面挤是一个很常见的模型，不仅是四面体，有正方体，有正方体，我们之前讲过了，你自己去翻那个江苏百校联考的视频，任何的多面题几乎都可以考。 而且我不仅可以考有限的这个球，你看这里，一个球，两个球，三个球挤在角落还可以考无限的。 就是啊，我可以这样考，你就是我呢。比如说这个球是铁做的，然后呢？铁烧红了，他不是铁水吗？ 然后我可以教你计算，哎，这个东西，这个东西，这个东西无限的能堆下去，至少要多少铁水才能做那么多弹珠？这也是一个出法，因为等比数列嘛，这个是有一个等比数列求和的考法，很灵活，但是你最基本的一定要会。 我们举个例子，把上次啊，很久之前那个江苏百校的再重复一遍， 他是正方体，我们先讲正方体，从正方体开始讲起，正方体他都有一个内些球，这是毫无疑问的。这个我不画，我只画圆心，当成 o 一。 好，这个球是这样大的，对吧？那这个角落和这个 o 一 连起来，这是不是有个空隙的？这里有个空隙，这个不好画，但是你知道就行，这里也可以有一个 g 与正方体相切，也与这个球相切的球元气是 o。 好， 那么假如说第一个球的半径是二一，第二个是二，以此类推，第 n 个是 n， 那 么这有什么通向公式呢？有通向公式的啊，首先， 无论你这个球怎么挤，它一定是什么？我这个点到是 a， 一定是在 a o 一 这条线上的，对吧？好。同时还有一个无可争议的点， 这个圆心因为是外切，所以它大小是什么？ r 一 加二，这也没有任何争议。好，还有一个没有任何争议的 a o 二，它是可以用 r 二来算的， 因为相切嘛，对吧？和正方体的三个面相切，那我就可以做一个小正方体在里面， 对吧？这个正方体的边长，它就是 r 二，所以呢， a o 二是多少？ 这是体对角线嘛，它就是根号三 r 二嘛，对吧？这画的有点乱，但是你这个空空计算能力起码要能估摸一下，所以 r 二它的规律，只要牢牢抓住 a o 二，它是根号三 r 二，你这个规律就立刻找到是什么根号三 r 二加 r 一 加 r 二，一定等于什么等于。 假如说这个正方体的边长是 a 的 话，一定等于二分之二三 a 它是个定值，那么同理第三个呢？ a o 三相对于 r 三的这个推导也是一样的。我先确定 a o 三是根号三 r 三，然后 根号三 r 三加什么等于二分之根号三 a 啊，肯定是加什么 r 一 加 r 二加 r 三嘛，对吧？典型错误，过早归纳，想当然。 我画在这里， r 三啊， o 三，这个是根号三 r 三，这个长度是多少？ o 二 o 三，那就是 r 二加 r 三嘛，对吧？那 o 二 o 一， 它就是 r 二加 r 一， 所以呢， 不是 r 一 加 r 二加 r 三，但是起码是他们相加，不同的是是 r 一 加二， r 二加 r 三，是这个就中间的，你这个 o 二做一个过度的球，他是要加直径的嘛，对吧？所以就不止啊加一个 r， 所以呢，接下来我们就有规律了， a o 四等于多少？根号三 r 四，根号三 r 四加什么等于二分之二三呀？有经验了也不会错了，是 r 四加二， r 三加 r 二加 r 一， 对吧？所以我们就可以得出通项公式，根号三 r n， 这是一个通式，加 r n 加 r 一 加 c 码 i 从一啊， i 从二到 n 减一， r i 等于二。根杠三 a， 根据这个式子就可以求竖列 r n 的 通项公式，那是不是可以求了，对吧？好，怎么求 这个通项公式？不要，不会啊，是基础的，基础写两个式子相减，对吧？ 我用 n 减一的式子再写一遍，就是根号三加一， r n 减一，加 r 一 加四个码， i 从二加到 n 减二， r i 等于二分之二，所以就可以得到。什么式子？ 根号三加一， r n 减， r n 减一等于什么 啊？这里这个减这个等于多少？等于 r n 减一，所以就得到了比例关系。 r n 比 r n 减一是多少，它是一个定值，然后你自己去算它这个等比数列的通项公式就可以了。这就是这个题的 全部奥秘。因为他是等比数列，而且他是越来越小的嘛。你看这个球堆到这个角落，肯定是越堆越小，公比小于一，所以有什么性质？所以一定有一个性质，当 这个 n 趋于无穷的时候，他这个是有一个上界的，他是极，这个极限是存在的， 他是有一个上界封死在里面的。什么上界？你总之你这个二再大，你总和肯定不能超过这对角线，所以肯定有上界，这个上界他也是考察重点。 好，所以这种球在几何几何图形里，个角堆来堆去，一直堆到无限。这个怎么做？就是找公比，根据几何关系找公比，比如说这里 这个四面体 a、 b、 c、 d， 这样下来这个球有什么公比关系啊？用什么关系找？很简单，你这个球一切，我先画两个，两个切的情况，这样一来，你看 这个这个圆形是 o 一， 这个圆形是 o 二的话， a o 二连起来， o 二，再做这个面的垂线，它是不是也有一个直角三角形？这个直角三角形它的比例是一致的啊？ 你看这里连下来这个这样三角形就这条，它是可以贯穿所有球心的， 因为这个角它是固定的，所以你这个假如说这个是 r 的 话，那这个一定是有一个固定的值的。我故且当成蓝不蓝先啊，这个蓝不蓝是多少先别算，总之就是有固定值，利用这个固定值 可以算出等比的关系，或者不一定是这个直角边，这个斜边，就这条， 比如说 miu r 也可以用这个算，哪个都可以，总之就是用这个来算。 好，讲到这里呢，其实聪明人就已经听透了，这两道题已经彻底讲完了，但是有的人不聪明怎么办？我带到这两个题目里面重新讲一遍。 看题，他说正四面体的体积是八个二三，他绕弯了，他故意要你麻烦一下，由体积算边长，这个边长我直接写了啊，写答案边长他是 a， 等于二个二六。 然后呢，有些东西你必须要搞清楚啊，必须要搞清楚，有些公式我们上个视频也讲过，正四面体边长 a 的 话高是多少？三分之根号六 a， 这个不要每次都推倒，最好记住 外接球半径多少三啊。四分之根号六 a， 内切球半径多少？十二分之杠六 a。 你 有这个积累了，那肯定就方便算了嘛，你这个内切球直接代公式就是十二分之根号六乘以二杠六，二乘六等于十二，那就是一。 所以呢，这个球的半径直接秒杀是一快无数个，直接省下两分钟好。然后呢， 他就按照这个堆来堆去，他这里算九个球的表面积之合，不是说在角落上堆九个啊，不是说很细的弹珠，像我跟他讲的一样，堆九个。不是，是题目中画了九个，中间一个加四个角两个，对吧？一加八就是九吗？好，那怎么算呢？很简单， 这四面体根据对称性，那我只需算一个角就行了。好，我就画一下，我就画到另外一个图中 a b、 c、 d， 因为我画的时候他那个直角更明显，对吧？这个其实这个图明天就不该给，就应该给，你自己想象才对的。好， 这是一个中间的那些球，我当成是圆形 o 一， 然后呢？ o 二画在这，刚刚说了 o 一 o 二一定什么？一定是在过 a 做 bcd 这个面的垂线的这个上面。好，我 o 一 有点歪，画在这一定是在这个上面， o 一 内切球的半径是一边长是二幺六，所以呢，这里方便了，我就直接说这是一 o 一 到底面的距离，对吧？好，这个是二幺六，然后再算 o 二 o 一 o 二之间一定什么？一定是 r 二加 r 一， 然后呢，这个长度是多少？肯定和 r 二成比例关系，但是这个要算怎么算呢？很简单，这不是和面垂直了吗？ abc 这个三角形是等边，所以这个弄过来，这个恰好是中点的，这个三角形恰好是可以算的，然后呢， o 二做这条垂线，那这个角就与这个三角形是共用一个角了，那这个 a o 二就可以算 好，而且 o 二做这条线垂线呢，恰好就是和，呃，恰好就是到这个面的距离，也就是这个 r 二这个半径，对吧？所以呢，这个还是很方便的，就是享受了它的对称性的这个福报。可以这么说。好，我们算一下， 他边长是二高六，那么这个就根号六，对吧？这个是底面的重心，这整个长呢，是根号六乘根号三，也就是三根号二，对吧？根号六乘根号三，他是三根号二啊，不要，不要算错，三根二，一比二，这个就是根号二， 对吧？然后呢，高我也可以直接算， h， 就是 三分之。根号六，这个是根号二，对吧？然后呢，高我也可以直接算， h 就是 十二，十二除以三就是四。 好，所以这个 a o 一， 那也就是四减一，等于三，对吧？所以呢， a o 一 等于三，同时这个 a o 一， 它是等于 o 一， o 二加 a o 二的 a o 二就是我们要算的这个长度是等边三角形里面乘根号三，就是三根号二。 所以呢，我把这个点当成 m， 这个是 h 的 话，那么上角 n a h 就是 根号二除以三个二，就是三分之一，所以这个就可以这么表示。 o u r r 一 加二， a o 二就是 r 二除以三，这个角等于多少？就是三倍的 r， 所以呢，这个就是一加三倍的 r， 这样一来啊，一加四倍的 r， 这个是三 r， 所以 这样一来， r 二就算出来了，等于二分之一。然后呢， r 一 也是同理的。 怎么算？很简单，我把圆心标起来，圆心，我把这个蓝色线插了前。呃， 圆心标在这 o 三，大概标一下就行了。 a o 三的长度同理，它是三 r 三，因为角度不变啊。然后呢， o 二 o 三，它是 r 二加 r 三 o 一 r 二，它是 r 一 加二，所以就可以直接算了。三 r 三加二，二加二，三加上二，二加二，一等于什么？等于 a o 一 等于三，所以呢， r 三也可以算， 算出来四分之一。然后这个题就做好了。表面积嘛，代公式派， r 一 方一个球， r 有 几个球？ r 有 四个球，所以呢，四 r 二方 r 三也有四个球， 这样算就是最后的答案，等于九派。但是这个题把九个球出成这样就太简单了，没有意思。我讲一讲， 这个九个球，假如是只往一个角堆，就是这是一个球，第二个球，第三个球一直堆九个，这个怎么算？这才是我们真正有兴趣的，对吧？好，刚才说了，这个角是固定的，你到这个面的距离，因为恰好是到这个面的距离，他相切嘛，所以呢， a o n 它一定等于什么？一定等于根号三 r n。 假如说 o n 半径是 r n 的 话，然后呢，就有一个式子，就可以列这样的式子， a o e 就是 整个的长嘛，它是三， 它换算成 n 的 这个式子怎么错，怎么换算，很简单，就是三 r n， 对吧？然后呢，再算第 n 个球与 n 减一之间的那个距离，也就是 r n 加上 r n 减一，然后呢，就是第 n 减一个球与第 n 减二个球之间的差距，一直加加到第二个球与第一个球的差距，这也是什么？这也就是说 除了 r 一 加 r n 之外，其他的都是有一个二的系数，所以就是 i 等于二加到 n 减一， r i 也就这个东西，然后呢，三 r n 到前面，所以呢，化解一下，就是说四 r n 加 r 一， r 一 就是一了，我就直接写了 加一加这个等于三。就是这样一个式子，叫你求数列通项，然后你再求出 r n 等比通项，再求用等比数列前 n 相和的公式求前九相和就好了。 但是他如果要算表面积的话，你不是，呃，不应该直接求 r n 的 前九项和，而是 r n 作为一个等比数列，通向算出来了。行，然后呢？表面积的通向他也是一个等比数列，只不过公比是原来的这个平。呃，这个的平方仅此而已。 然后呢，在哪家也行，总之也是逃不出等比出来这个框架。好，这样一来，这个题就彻底讲透了。再看第二题，正四棱锥高为三 侧面底面所乘角三分之派。那就等于告诉你这个这个长是个二三吗？那就等于告诉你底面正正方形是边长是二个二三。好，这个正四棱锥定要搞清楚，它就是正方形， 不是说这个棱长也算进去全部相等，没有他正正四的，这有些人还搞不懂，他就是正方形中心取过来，竖起来 这个中垂线上面取一点 p 形成的这个几何体。好，求 o e 为正四的锥与四个底面都相切。好，这里有一个有意思的问题， 请问是不是所有正四人追都存在那些球？ 有些几何体是不存在那些球的啊？这要搞清楚，比如说我这个台，这个台，比如说这样子他是能放球的，那我稍微高一点，他就放不了了。 所以有些几何体他存在，那些球本来就是。呃，有一个巨大的信息含量的。那么请问这里正四人追这个几何体是不是一定存在？记住，不要纠结此类问题，你存在也好，不存在也好，你反正是那样算， 比如说我把这个中点，反正这个内内切球如果存在的话，原型肯定在这个现场的，我就照样的算就行。无解就是不存在，有解就是存在，就这么简单。 好，这里也是一样的，内切球他都告诉你这个面与这个底面的夹角了，那这个就好算了嘛，对吧？我这个点做过来，做这个垂线，这两个半径一样，然后利用这个列勾股定律就好了， 这个高是三，所以呢，这个就是三减二，这个三角形，他这个是六十度，这个是三十度，所以上一三十度一定等于什么？一定等于二比三减二嘛，所以这个半径他是可以直接求的，等于多少等于一， 这就是第一个，那些球的半径，你这样求出来，那肯定存在了。好，这是第一个，我先把圆心标出来，总共是三，那么他的球心是这个位置，因为这个是一吗？这个是二。好，然后呢，他要算求 n 很 简单， n 取过来，这个我就把不变的给抓住，不变的量是 o e p o e p 长度是二， 对吧？它等于什么？首先看好啊，首先你要从 p o n 加起，然后呢再算 o n， o n 减一，一直加加到 o 二 o 一。 好， p o n 是 什么？我知道，半径就是这个做垂线，对吧？这个做垂线，那就是半径，这个是 r n， 那 么这个是三十度，所以呢，这个是 r n， 所以 p o n 就是 r n， 然后这个呢？这个就是老生常谈了， r n 加 r n 减一，两个圆啊，两个球外切了，那肯定是断定相加了，对吧？然后呢，一直加，加到 r 二加 r 一， 老生常谈的。把这个这个首尾给抽出来，首先是三， r n， r e 是 多少？算过了是一，然后呢， c 个码 i 从这个二加了 n 减一，二 i 两倍，然后呢，这个二在这里，对吧？ 写两个数字，二等于三， r n 减一，加一加二，这个嘛， i 从二到 n 减一，啊 i， 这里也要有一个细节的问题， n 到底是 多少？因为我这里有出现 n 减一啊，很多次的，对吧？所以你要注意，这里是 n 等于二，到时候那个通项呢？ 这个 r 一 和二吻不吻合还要再说的，这里我们是默认 n 很 大，这要搞清楚，所以呢，两式相减二减掉，一减掉，剩下的是三， r n 减三， r n 减一，然后呢，加 r n 减一等于零， 这个呢，就是减掉 r n 减一等于多少？等于三分之一。首项 r 一， 它是一，所以呢，通向公式 r n， 它就有一个三的 n 减一次方分之一，对吧？好，验证一下。 我们先用同样的方式算 r 二，然后再验证一下，如果说 r 二它也是相应的吻合了，那就没问题了，对吧？我们知道顶端这个 p 到 o 二是多少等于二， r 二， 它 po 一 等于 po 二加 po 一， po 一 是三，它等于二， r 二加 r 二加 r 一， 那 r 二这样一来等于多少？它就是三分之一， 对吧？啊， po 一 是二，啊， po 一 是二，这个二减一就剩剩一了， r 二是三分之一，它是不是吻合，所以这个通项就没问题了。所以题目要求的这个表面积可以直接求就是 四派二方，对吧？带进去四派九， n 减一乘分之一， 然后呢，九 n 减一，我把这个弄好看一点，同时成个九，那也就是三十六派九分之一的 n 次方。好，这就是这就是这种答案。这样一来，这类问题我们就彻底讲透了，以后千万不要不会，尤其是全国二卷 这个寒假作业，它这个六和十九都是选择寒假作业的，寒假作业的文件可以去置顶评论，蓝色链接找助教领取，好下课。

教你一招让立体几何压轴题直接将被打击！这道题百分之九十的人第一眼直接头皮发麻。这道题确确实实不好想，但只要你掌握等体积换顶点这个核心，操作三十秒，就能把乱麻一样的图 变成清晰可解的诡计问题。今天显哥用这一招，带你暴力拆解武汉二调中最难的十四题！第十四题，他说四棱锥当中， a、 b 等于 a， d 等于根十， c、 b 等于五，然后 c、 d 呢，也是五。那这就说明这是一个正形喽， 它是完全对称的一个图形，这没问题吧？然后呢， b、 a、 d 是 九十度，这个角是九十度，那么 p、 b 大家可以看 p、 b 等于四，然后 p、 c 的 话等于三。现在呢，他说在三角形 p、 b、 c 内找一点 q， 使得这个锥的体积相等。 一开始我也没想到很很好的方法，这道题啊，就说白了，这个 q 在 这，就在这个三角形的体积相等。 我觉得这道题做这道题的关键是什么呢？那你想一想，这个锥的体积好，表示 q、 a、 b、 c、 d， 因为 a、 b、 c、 d 这个底面积是非常好求的。然后呢，关键是 q， p、 a、 d 你 觉得好求吗？这道题很难，因为 p、 a、 d 这个三角形都不知道这些长度， 所以我先给你连一连，你觉得是以谁为底面比较好？你看 q， 假设在这，然后呢，这是这么一个面， 听懂吗？是 q、 p、 a、 d， 你 先思考一下。所以这道题我觉得 q、 p、 a、 d 是 非常关键的。那你想一想，我们应该是以谁为底面比较好呢？ q、 p、 a、 d 这个三角形面你肯定没法求，因为我不知道 p、 a 是 几， p d 是 几？ 是因为底面的数据我都知道，是不是我应该是以 q、 a、 d 为为号，也就是说这个锥的体积。这个题太难了，因为等体积法你转化不太好，想 q p、 a、 d， 它就应该等于一个什么呢？ p、 a、 d， q 啊，就是换个顶点呗，它肯定是同一个锥，这个是没问题的。那现在呢？他说这个体积它等于等于什么呢？等于 q、 a、 b、 c、 d， 那 q、 a、 b、 c、 d 的 话，我又怎么转换呢？我也想成以 ad q 为底面，那如果以 ad q 为底面的话，是不是相当于我得转化成什么呢？ q、 a、 b、 d， 所以这道题难点就在这一开始，我也没想到，确实挺难想的啊，听明白了，因为这个地方我想转化成以 a、 d、 q 为底面，所以到这一步的时候，我也想把它转化成以 q 为顶点，以 abd 为底面，那所以它就应该等于几倍的呢？来，我们就需要算出这个数据来， 我们连接一下这个长度，我们再连接一下它，因为它是个正方形，所以我们看一看整个的，先算一下 abd 的 面积， a、 b、 d 的 面积显然是二分之一十，那就是五，这是 a、 b、 d 的 面积是五。然后呢，我们再算一下 b、 c、 d 的 面积，这个长度是二十，根号一下，二十是二根五，那所以这个长度是根五，这个长度是根五，这个长度呢？还是根五？ 所以这个长度的话，那根五的话就是二十五减五，二根五，那二根五的话，那他俩的面积就应该是一比二的关系，所以这个三角形面积就应该等于十，这个面积是一比二的关系，那这个面积就应该占整个面积的三分之一， 所以这个体积就按那个三倍的为 q， a、 b、 d。 一定要思考为什么转换成 q， a、 b、 d， 那 我转换成 q， a、 b、 d 的 话，我就可以换个顶点，我们以 a、 d、 q 为底面， a、 d、 q 的 话就 b， a、 d、 q， 所以 这道题很难啊，不太好想以 a、 d、 q， 为什么呢？为底面，那所以它俩的体积是相等的，因为它说体积相等嘛，那也就是说为 p， a、 d、 q， 那就应该等个 v 三倍的，然后 b， a、 d， q， 所以 你看压入题很难，除了压入题，确实其他的都很简单啊。那这时候呢，都是以 a、 d、 q 为底，那大家思考一下这句话是什么意思呢？是不是 p 到这个 a、 d、 q 的 距离， 他就应该等于个 b 到 ad q 的 距离的三倍？又因为我们可以有相似，那是不是说明这个长度？假设我们做一个结面，是不是说明这个长度比上这个长度，他就应该等于个一比三的关系？ 谁是三 q p 到这个距离，是啊，长一点的，所以这个地方就应该有一个什么呢？我们假设做一个 m， 他 这呢就应该有个三比一的关系，这个 m 呢，显然和 ad q 是 同一个面， 知道为什么了吧？再说一遍，是因为底面积是相同的，都是 a、 d、 q， 他 们的体积是三倍关系，所以热量是三比一的关系。又因为整个长度是四，所以呢，他一定要一个三，一个一定要一，那这时候还没完，还需要再转化。为什么呢？因为我们不确定 q 的 轨迹是什么，因为人家让求 p q 的 长度，你得求出 q 的 轨迹来， 所以这道题同理来一遍，也就说 q， a、 b， c、 d， 我 们还可以转换成谁呢？我们还可以转换成以 a、 c、 d 为底面。为什么转换成 a、 c、 d 呢？大家可以看它就应该等于两倍的 q， a、 c、 d， 然后呢，它就应该等于两倍的。换个顶点还是以 d， q， c， a， d， q 为底面，这是在同一个面上啊。 a、 d、 q 和 m 在 同一个面上，由于它们的体积是二倍关系，所以它们到 a、 d、 q 这个面距离是二比一，到这个面距离是二比一的话，那又因为这辆是三，所以这个地方长度就应该是二比一的地方，我不知道你能理解不？我们假设这个点是 n， 实际上他们是共面的啊，这是一个相当于一个结面吧，这就是 ad q 的 那么一个面，那这就说明 q 的 他就应该是在这么一个线上运动，这辆是二比一的地方。明白了，在这么一条线上运动的话，他们的体积正好是 满足啊，他们的体积相等。那么又因为人家让你求 p q 长度最小值，这辆是直角三角形，因为有个三是五嘛， 这个角是直角，因为这辆是四，这辆是三，这辆是五，所以 q 的 轨迹是它，这辆是一，这辆是一，这辆是三比一，这辆是二比一。你能听懂不？就是等体积法不太好想，所以人家要求 p、 q 的 最小值，那就是等面积法呗。啊， p、 q 就 应该等于个多少呢？ 这量是三，这量是二，根号下九加四，根号下十三，然后呢，这个量是三乘以二， 所以答案是十三分之六倍的根号下十三。所以这道题是极难的啊，一开始我还没想到，确确实实不太好，想听懂了吗？就是等体积法换顶点，换成以谁为顶点。一开始我觉得这一步很关键， q 在 这个 p b c 面内，所以呢，我们得转换成以 ad q 为底面， 以 p 点为顶点，然后这个地方换个顶点就可以了。听懂了，那为什么他在这么一条直线上呢？就是因为这个地方是三比一的地方，因为距离嘛，这辆是三比一， 然后这辆是二比一，当 q 在 这条线上的时候，他正好同时满足三比一和二比一嘛，对不对？你再体会一下。这道题是极难的。

大家好，欢迎来到星星子爱数学，那么今天的每日题是这道题，我们来看一下，他说如图， 如图，这是能长为二的正方体，我们的正方体，那特别好解析，对吧？他说这个沿这个相邻三个面的对角线截出了一个这样的多边形，它叫做 a， b 啊，多面体啊，多面体。好，这个多面体的怎么写法？我们看一眼吧， 大家就是把下底面写出来，对吧？ a， b， c， d， 然后在上底面开始从这个方向，然后写了个这样一个，啊，这样写了一个多面题嘛，看，他说 e 为 b， c， e 中点，哦， e 为 b， c， e 中点后，这个中点，然后过点 c， e 说过点 c， 还有 e， 还有一个得 e， 哦，这三个点三点成了一个平面嘛，对吧？哦，这样，这样，这三个点可以先成一个平面而法，哦，这是平面而法。好与这个多面体相交啊，多面体的各个面相交。好，各面相交，形成一个多边形。嗯，这很新奇的考法啊，见你们都没见过，他说在图中画出该多边形，然后说明做法和理由，然后并求这个面积， 好，这明显就是一个高一的考点，高三很少这样考，对吧？好，我们首先来连一下吧，你看 b， c 得一，那我们想到的什么？那我们就是，哎，你看得一和 c， 我 是不是可以直接连上，因为 b， c 得一嘛。好，然后 e 和 c 能不能直接连上，可以吧？ 好，那 e 和 c 可以 连上，然后现在就剩的是一个得一和 e， 对 吧？那得一和 e 这个面，那我能不能把这个 c e 延长一下？看，我把 c e 延长一下，延长到这里吧。 嗯，然后我再把这个得一和这个连接在一起，那这样的话，你看啊，我会出现什么？哦？但，但这个的话，我，我是要得稍微补全一下这个正方题，看啊，我把这个正方题稍微补一下，用绿色来补。 好，我这个转换题补全了，对吧？那个的一 c， 它是一个在后顶面的一个直线啊，不要，不要被它影响，然后我们再用这个方式来补看 c 和 e， 我 会与这个点连接，哎，你发现它会与我的这个顶点相交，对吧？然后的一和我这个顶点那么一连，哎，你发现我现在出了个焦点， 对吧？这个焦点叫 f， 好 吧， 这个焦点叫 f， 好，那现在这个 f 和 e， 那 我就把它连在一起就行了，对吧？ 哎，这样的话，我这个平面是不是就是我的平面 r 法可以了啊？那我大概这个方这个做图我是能做出来的。好，那这个图我做出来了，现在我要怎么去写这个过程？我们来想一下这个我是不是先，嗯，连接了这个， 嗯，我这笔咋回事？ 我是不是连接 连接这个 c 的 一，对吧？我把 c 的 一连上了，然后我再把这个 c e 给连上了，对吧？然后 c e 连上了，然后，呃，我再延长了这个 c e， 对 吧？ c e， 然后延长 这个 c e 交正方体于 b e， 对 吧？好，这是 b e 点吗？原来的 b e 点，那就交好了，那我再把这个的一 b e 连在一起， 然后浇水浇这个 a 一 c 一 于 f 点，对吧？哎，这样我就弄好了，然后再把这个 f e 连接， 这样就行了。嗯，哎，这样我就写好了，对吧？写好了，这是我的做法，这做法弄好了，然后我们再他要干嘛？他要说这个要求面积，对吧？因为这个 f， 还有这个 e 为 a 一 b 一， 这个，还有这个 b 一 c 中点， 所以三角形，嗯，那这样就好了，这样的话它就是一个梯形喽，它就只有一个梯形，而且上面是下面这个边长的一半嘛，它不是中位线嘛，这是 f， 这是 e， 然后这是得一，然后 c 嘛？好，那要得求这个面积， 那求这妹子的话，那这个得一。 f， 他 是我的侧棱上的一个部分，对吧？那我知道他是我的对角线的一半，那对角线的话，我会不会求？那我这正方形，他是一个以二为边乘的正方形，对吧？二，二，然后我的对角线就是二。二，二倍根号二，对吧？好呢，这是对角线，那对角线的一半就是根号二，没问题吧？好， 然后我做一个垂线过来，那这半部分这个 ef 是 多长？知不知道？好像不是特别清楚，对吧？但是我的这个的 e c， 你 看的 e c 也是我对角线，那对角线是二倍根号二，对吧？ 二倍根号二，那上面是我根号二嘛？这不是我对角线，它就是中位线嘛。一半嘛。好，那我知道这个关系。然后这部分根号二和根号二对应，那剩下的就是二分之根号二，那这部分就是二分之根号二，那这是 根号二，那这个是多长呢？这是多高呢？那我可以用这个勾股定律稍微算一下呢。勾股定律算一下，那就是根号二的平方就是二。减去这个二分之根号二的平方呢？是二分之一嘛，那就等于二分之三嘛，那就开根号呢？就是二分之根号六， 对吧？哎，这样稍微看一下啊，符合二分之根号六的平方就是四分之六，加四分之二等于四分之八，再除以二，刚好刚好二，对吧？好，那就是弄成功了，对吧？那就说明这个高度，那就是二分之 根号六，然后 e、 f， 它就等于根号二，然后最后得 e、 c， 那 就等于二倍根号。好，这样的话就可以算这个面积。 s， 那 就等于上底，上底加下底，乘高除以二，对吧？根号二再加二倍，根号二再乘以高。二分之，根号六再除以二乘以二分之一。好，算一下这个值就行了。等于四分之根号六倍的 根号二加二倍根号二，等于三倍根号二，对吧？好，重在一起，那这个重在一起的话是根号二乘根号六等于四分之，嗯，那就是根号二。这个我根号六，还可以把根号二提出来的吧？根号二乘根号二呢，是二嘛？二倍根号三，再乘三，对吧？ 然后二三得六，六倍根号三，对吧，然后再除以四，除以四的话呢？我就可以约个二嘛，二分之三倍根号三，这不答案就出来了吗？好，这题，嗯，这题就这么算，这样就算出来了，对吧？第一位， 第一个明显，这就是一个画图嘛，然后再稍微说明一下怎么画这个图，然后最后把这个面积这么一算就行了。小学数学问题嘛，那我们看第二个，第二个，第二个的话，它是平面而法，平面而法，谁和谁？你看我这 c、 c、 e 得一，我就都有，对吧？好，那我就可以看是渐细了，对吧？渐细， 我用蓝色的渐细吧，然后这个边，然后这个边。好，我渐细的过程稍微要写一下吧，这次我们详细的写个过程， 以的为圆点，这个的 a 向量为 x 轴，然后的 c 向量为 y 轴，然后的的一向量为 z 轴，间隙 如图，好记。好啊，那个箭头也标上在图上，然后我要求平面 a 一， b c 一， 对吧？ a 一， 然后 b c 一， 还有这个平面而法平面而法是哪个？是得一，然后 e 和 c， 对 吧？我只要写出这几个点就可以了。那 a 点坐标，等一下，我们要求是哪个面？你看 a 一 b c 一， 这个是 a 一 b c 一， 这个面，对吧？那就是 a 一 b c 一。 其实你可以看这个图，这个图好像就是，哎，你可以看出来它就是我的体对角线吗？体对角线不就是我的呃，法向量吗？那体对角线就与我这个结面是垂直的吗？那这样的话，其实你如果用观察法，你也可以写出这样一句话，叫做，嗯，观察可知 这个面 a 一 b c 一， 呃，法向量为 多少呢？体对角线我就写成一到一到一嘛。好，这完了，正方体对角线你不会写吗？对吧？会写好，那这样就完了呀，这个可以不用写，不用写这个过程，对吧？然后我只要写后面这三个点嘛，那我们也可以。那如果你这个观察能力也不强，那我们就罗老师算一遍啊。 a 一 点坐标的话，就是这个正方体是以 b 能长为二嘛？好，二， 这样的话呢，也好写，那 a 一 点坐标就是二，哎，又 x， 对 吧？二逗，然后零逗二嘛。然后 b 点坐标， b 点坐标是二逗二逗零。 c 点 c 一 点坐标， c 一 点坐标是零逗二逗二，然后得一点坐标，得一点坐标是零逗零逗二，一点坐标，一点坐标是。你看啊，一点坐标，它是 这边的一半，是 x 轴那个二的一半嘛，然后在这这个 y 轴上，它还是在这个 b c 上，那 b c 的 话呢？肯定是二嘛。然后高度，高度是我整个高度的一半嘛，那就是一斗二斗一嘛。好， c 点坐标， c 点坐标是，嗯，零斗二斗零斗二斗零嘛。好，我所有点坐标出来了，对吧？那这三个点构成我前面的面嘛？面 a 一 b c 一， 对吧？反向量为 n 等于 x y z， 对 吧？你要得写好这样设面，它的反反向量，对吧？写清楚啊，然后我再写什么？写两个向量，对吧？写两个向量，我想写谁呢？写这个。呃， a 一， 我想写这个， 你看啊， c 一 a 一， 我觉得这个好，算二到负二到零， 嗯，对吧？二减零，零减二负二，二减二零，对吧？然后再写一个 c e b， 啊，对， c e b c e b 向量，那就是二减零，二豆零豆负二，好，写好了，对吧？然后我们再写一个 c e a 一 点乘 n 等于零， c e b 点乘 n 等于零。好，最后 n 都没写，等于。求 x 把 x 挡住，你看，我把 x 挡住，我把这这两个挡住，然后负二乘负二， 再减零乘零，对吧？等于多少？等于二，二得四，对吧？好，然后我再求 y 等 y， 二乘负二等于负四，再减二乘零，等于负四，对吧？负四，然后我要给他取个负，对吧？那就是负四，取负，那就是四。 好，求 z 挡 z， 我 把 z 求挡住，然后二乘零，再减二至负二，二乘负二，那就等于负四，再加个符号，对吧？那就是四。哎，你发现就等于一到一到一。好，我这反向量就简化成功完了，对吧？你发现，哎，我这求出来和我观察的一样的呀。好，没问题啊。我们再把第二个反向量也写一下， 第二个反向量的话，我就写呃 c 得一吧，这个比较好写。那 c 得一的话呢？就是零到，呃，零到负，二到二，然后 c e 吧， 那就等于一到零到一，然后我再还得写个过程，你看，我还得设面得 e c 反向量 为 m 等于 x， 得 y 得 z， 对 吧？写好，然后再写这个 c 得一点乘 m 等于零， c e 点乘 m 等于零，然后再写 m， 求 x 乘 x， 它乘它减它乘它二负二，对吧？然后二乘一，再减它，那就是二嘛？对，然后求 z 等于乘零乘它，然后减它，那就是二嘛。好，所以等于负一到一到一嘛。好，两个我要得写什么？写两个平面夹角的余弦值，那两个我要得写什么？设两个平面的夹角 为 c， 它，对吧？然后口算也 c， 它等于口算也 m 乘 n， m 和 n， 对 吧？那等于 m 再乘 n， 比上 m 的 模，再乘 n 的 模，对吧？好， 乘在一起，再乘它，再乘它的二减一，那就是一嘛？比上这是刚好三，再乘刚好三就是三嘛。好，算完了，等于三分之一。好，那三分之一算完了以后，我们再看这个图，它好像，我们 看这个图，它像是锐角，对吧？然后最后答一下，所以来等一下，它是平面和平面夹角的余弦值啊。你看它是平面和平面的夹角，一定要注意啊。如果是二面角，还要得看个图，对吧？但是它说平面和平面的夹角一定是最小的那个角，对吧？我们就不用管了，那就是我们就连图都不用看是到底是锐角还是钝角？所以我们直接写。那平面 p n 呢？那你最后还要答的时候，你把这个写好， 平面而法与平面 a a b c e 的 假角的余弦值为三分之一，然后这么答一句就完了。好，这样的一道题。嗯，给大家呈现一下，让大家一定要得去用这种 正规的这样的语句。你看我这，我这个是没有没有把那个任何一句话省略掉啊，你把这个都补齐。好，你要得十五分钟内把这样的一个标准格式给写出来，这题就是满分。很简单啊，我们下期再见。嗯，把下期的题放在这。

这个地方如果 a、 b、 d， 这是个平行四边形啊，平行四边形，这是前提。平行四边形。当给三个这个字母的坐标系的时候，他们三个都给的时候，同学们，这个 c 是 不就注定已经定死了？哎，那 如果给了三个，这三个坐标怎么能快速的求，快速的求出它的面积啊？怎么求啊？同学们， 你们有什么好的办法吗？好，我先提供一个你们最常用的办法。很多同学用的最常用的办法是啥呢？他把 ab 算出来，哎，比如说 x 一， y 一， z 一， 对吧？然后你也可以把向量 ad 写出来，向量 ad 算出来 x 二 y 二 z 二，对吧？哎，这是我们常用的办法。那这个 ab 和 ad 坐标怎么办？是用 b 的 减 a 的 就是向量 ab， 哎， d 的 减 a 的 就向量 ad， 对 吧？这俩向量。 那写出来之后，很多同学用什么办法呢？同学们，你们有什么办法呢？你可以打一打哈，我看一看。这个时候可以 有一个办法是可以把它的模算出来，有这个长算出来，对吧？然后你也可以把什么把这个 a、 d 的 模算出来。 这个膜，哎，是不是用根号下它方加它方加它方也能出来哈。这俩膜都出来之后，再用 cosine 值， cosine 值，哎，是不是向量？刚才咱说过，是不两个向量相乘，再除以模，是不等于余弦值啊？ 哎，圆值。那么这个三角形的面积二分之一，这俩边长再乘以 c 这个角就是这个三角形面积。三角形面积出来之后，再乘以二，就是平行四边形面积，哎，这是我们常用的办法。 那这个办法呢？是我们中规中矩的，可不可以呢？可以，但是要慢，我们能感觉到，是吧？你，你把这个向量，你首先把模算出来，你算一下他的模，再算一下，又算一下，然后这个勾三值再算一下，是不是？哎，比较麻烦哈，那现在我告诉你一个比较快的办法哈， 用这个办法，好，我们用这个四边形的面积，用叉乘，同学们哈，叉乘这个在高中阶段，它如果严格来说它属于有点超纲，但是它算平行四边形面积，这里这里，我要说一下，它会非常快哈， 怎么办呢？就一步就出来了哈。那有同学说，这这个东西太啰嗦了啊，太长了，那我现在告诉你怎么记哈，它并不是那么难记哈，也不要死记硬背啊，它有一些好的办法， 那我们看哈，向量 ab， 向量 ad， 这个和这个，这是比较好弄的，是吧？因为咱的前提是他们的坐标都给了哈，前提是他们坐标都给了，而且这是平行四边形，这是前提哈。 好，然后怎么办呢？把这个向量 a b 啊，你看 x 一 y 一 z 一 x 一 y 一 z 一， 写两遍啊，写两遍，你把这个 a d 也写两遍，是吧？哎，是吧，这个好理解，对吧？ 写两遍之后我们干啥呢？我们掐头去尾，把这块给它去掉，哎，这个尾去掉，结果我们算法向量是一样的啊，一会我们要说法向量的问题，去掉之后，这个地方剩下的同学们哈，是这样，它乘以它减去它乘以它， 哎，他乘他减，他乘他，就是这个平方哈，带平方，然后他乘他减，他乘他，再平方就是他，他乘他减他乘他，哎，就是他的平方，哎，就出来了哈。一开根号 啊，我再说一遍哈，这个是用于我们求平行四边形的面积， 空间向量可以，平面向量也可以。这个我们讲那个解三角形的时候我们会说，说过这个东西哈。哎，他用平面向量求这个坐标，平面向量的坐标直接秒出这个平四边形的面积哈。那现在我们说空间向量一样可以用空间向量，在我们知道这两个 向量的前提下组成的这个平行四边形，我们想求它的面积，我们就用这个差乘啊，差乘， 差乘的计算是这个计算方式，那如果我们借助于这个来画简单的方法怎么办呢？我们把其中就 ab 哈， x y z 一 写两遍， x y z 一， x y z 一 这样哈。再说一下，写两遍， x y z 一， x y z 一， 然后再把它也写两遍哈，写两遍，写完之后，因为我们要算这个根号下这一堆哈，掐头，去尾，掐头这两个不要，哎，去尾这两个不要， 这好写，是吧？哎。弄完之后，它乘它减，它乘它再平方，哎，就是它， 它乘它减它乘它再平方就是它，它乘它减它乘它再平方就是它，哎，最后一开根号就完了哈。 哎，这就是计算它的平行四边形的面积。所以同学们，你们在遇到这种啊，洁面面积或者求这个平行四边形这种面积的时候，用什么比较快呢？用向量是最快的哈，用空间向量是最快的，好理解哈。哎，哪不明白，随时问哈。 嗯，海伦秦九兆是吧，都是求求面积的。然后我们举个例题哈，说空间空间像 a、 b、 c 三个点哈，他问这个面积， 那是不是相当于这个意思啊？给你三个点了，完求这个面积。面积，那我们怎么办呢？同学们， 你可以，你随便拿两个点就行， a、 b、 a、 c 也行， b、 a、 b、 c 也行，对不对？但是其实得是一个点啊，你比如说这个 a、 b、 a、 b、 a、 b、 a、 d， 这个 a， 哎，得是从同一个地方出发啊才行，明白吧？哎，你要知道这个这个地方啊，那这里面你就随便整就行了， a、 b、 a、 c 整出来， 对吧？整完之后直接往里带，算的过程中怎么算呢？同学们，你这个向量 ab， 我 们写这里哈，负一，负一零，哎，负一负一零，然后向量 a、 c 是 二零四，二零四，对不对？去掉，哎，去掉， 然后根号下，根号下这零啊，这不四的平方十六吗？加上这又是零啊，是不二的平方四啊，这又是零啊，这四的平方是不又是十六啊？哎，三十二加四三十六，三十六开根号是不六啊， 那六的话是谁啊？那这个答案，我说这个答案得六行不行呢？对不对啊？同学们， 六不对，为啥不对？因为你这个 a、 b 和 a、 c 我 们如果相连的话，你想是不求这个平行四边形的面积， 你想是不是？它求的是一个平行四边形的面积，而我们这个是三角形，所以你要乘以二分之一，你 a、 b 乘 a、 c， 实际上你求的是这个平行四边形，画一个完整了它的平行四边形的面积，而我们要的是一半，这半不要啊，所以算完是三。

然后他又平白无故多给了我一个线线垂直。你往往给你线线垂直都不是什么好事啊。因为一个线线垂直没用，咱刚才说了，两对线线垂直，两个线线垂直才能蹦出火花，才有线面垂直。线面垂直又有新的线线垂直了，来回就考这么点玩意啊。接下来我们来做一道大题， 说四边形 a、 b、 c、 d， 它是菱形，挺，哎，你说你就这菱形，你要用到什么条件？低段位的宝贝说啊，你这两边相等，我不能说你错，但是我们现在学完垂直了，你说菱形里面有个非常明显的垂直，你一会大概率要用到的是什么？ 是不对角线 b、 d 和 a、 c 线线垂直啊，这一会肯定要用啊，那肯定要用的好，那题目还给我什么条件都 be 垂直于里面， be 是 什么东西呢？哦， be 在 这 b 垂直于底面的，相当于说什么呢？说说明你这地面上，你给我立一个旗杆啊，你这旗杆，你说你这线面垂直，你能得到什么？你这旗杆是不是跟面上任何一条线，包括对角线也是在面本身的对不对？这这粉的跟面上任何一条线都线线垂直， 那第一问问我哦，让我证明面面垂直不，我们说了，你想正面垂直，然后你另外一个面经过这条线。好嘞，面面垂直， 那我先在这个题目上把要正的这两面画出来， a、 e、 c 是 它小灰面， b、 e、 d 小 粉面。 按照我们刚才思路，咱得找啊，这两面其中一个面的垂线，你不要找线面垂直嘛。所以，所以这里面谁是 r 发谁是 b 啊？这道题你找哪个面的垂线好找啊？这样的一个问题，这是你每道正想证明面面垂直的时候都会遇到的一个小难点，你要先找到某一个面的 线面垂直，然后另外一个面经过这条线就好了。但是谁当这个下面这个面是一个问题啊？是他来当还是他来当？ 我们是有判断方法的啊？咱讲的是科学，你不是要先证明线面垂直吗？啊？你要你想证明线面垂直，你肯定条件你得垂直，条件得很多，你才能证到线下面垂线，下面垂线才垂直，对不对？所以你这两面谁的垂直条件多？ 粉面上线的垂直条件多，还是灰面的垂直条件多呀？你到目前为止，你就这里面出了一个垂直，这这垂直里面还有 b、 e 这条线，所以你无论怎么想，你一定是粉面不动，你找粉面的垂线对不对？ 那整这道题灰面我不看了啊，你说哪条线能是我粉面的垂线？你从头到尾读条件，首先第一个条件，菱形。哎，菱形怎么样来着？对角线垂直吧，我 a c 肯定跟 b d 是 垂直的。来读第二个条件啊，这这个没用这个条件， b e 跟底面， b e 跟底面线面垂直，那我能出来这个 b e 跟底面任何一条线，你说你用哪条线？你刚冒出来这个 a c， 这个你自己连出来这条线是不是 a c 显然在底面上嘛？那你好了，那你 b、 e 就 跟底面上任何一条线，包括 a c 垂直， a c 垂直于 b e， 那 你这不就轻松地找到两对线线垂直了吗？而且 a c 你 重复使用了两次， a c 是 交集花， a c 既跟 b d 垂直， a c 又跟 b e 垂直，那就跟这两条线所形成的粉面线面垂直。 那你线面一垂直好嘛？人让你正什么来着？人让你正的是面面垂直，一个面是 b e， d 啊，这个粉面另外一面 a e c， a e c。 哎，那我奶奶能看出来， a e c 肯定经过 a c 啊， a c 就 在 a e c 上，所以由线面垂直，另外这个绿面经过了这条线，我就一下能推出来面面垂直。 ok， 那 这道题呢？我把过程贴在这，大家如果有需要的话，你贴着去看，我今天重点给大家讲思路，那我们来看第二本，它说 abc 是 一百二十度哦，这是一百二十度，相当于是一个一百二十度的一个菱形。我先不往后看，我就把这个一百二十度菱形我先研究。好喽，你这一百二，那如果我一分为二的话，你就是六十度啊，六十度，六十度，那你相当于是俩等边三角形拼起来的喽。 ok， 了解了，这是 a b c d， 然后他又平白无故多给了我一个线线垂直。你往往给你线线垂直都不是好事啊，因为一个线线垂直没用，咱刚才说了，两对线线垂直，两个线线垂直才能蹦出火花，才有线面垂直。线面垂直，又有新的线线垂直了， 来回就考这么点玩意啊。接着往后看，条件说， a e 垂直于 e c。 哎，哪条两条线啊？这是 a e， 呃，这是 e c， 相当于 a e c 这三角形，这是直角三角形。 这个条件，一会你说直角能有啥用？那我有可能会用到勾股定律是吧？它方加它方，等于它方啊，类似这样的，或者也有可能，它这明摆着是一个线线垂直，线线垂直也有可能能退出来新的东西。 比如你再有一个线线垂直条件，你再加一个啊，两个线线垂直，那就有线面垂直，线面垂直又有新的线线垂直，那具体这两条路它是用勾股定律还是我去找新的线面垂直和线线垂直去？这我目前还不确定，我看他问我什么说三棱锥体积是这个三棱锥 a、 c、 d、 a 四个点形成的，人平白无故把体积告诉你算啥？那不就算边长算高的吗？这是一个三棱锥啊，那是三棱锥，你谁当底面谁当高，这能看出来吧？我肯定把 a、 c、 d 当底面啊，这个 a、 c、 d 跟这个面垂直的线，题目中说了不 b、 e 吗？ b、 e 跟整个底面不垂直吗？所以这就是高，这就是底面。所以三分之一底面成高底面积 a、 d、 c 什么东西？ a、 d、 c 目前为止每一个边长他都没给我，是吧？那我就射呗，我射这边长 a、 a， 这高就是二分之一 a， 三十六十九十三角形嘛。所以底面积二分之一底啊，这是二分之高三 a， 这也是二分之高三，加起来根号三 a， 再乘以二分之一，这底面积四分之高三 a 方 底面积了，这高的长度我也得用这个 a 来表示一下，让它最后等于这个三分之高六，我才能把这个 a 值求出来，对吧？你再引入个别的量，比如说你在这儿再设一个 h， 那 么，呃，有 h， 一个变量，有 a 俩个俩变量，你让它等于三分之高六 a 俩变量一个方程解出来，所以 b、 e 一定你要用 a 来表示，才有可能做题 想求这个高，那把这个边长，我得放到直角三角形里面啊。那放哪个直角三角形里面？题目中有有什么条件来给我一个 a， e 和 e、 c 啊？这这，这不是直角吗？是吧？我一会得用上这个三角形，所以我就把 b、 e 呢往那个面啊这个面上这个条件上去考，是吧？我，咱们画一个这个粉色吧。在这反面，我发现 g 是 中点， 哎，你那还是直角啊。 a， 这不是斜边中线吗？斜边中线等于斜边一半，所以 e g 我 相当于一会一定能算出来。我只要把 a、 c 除以二分之一。好了， a、 c 的 长度是根号三 a， 那 二分之一，它就是二分之根号三 a。 你 都有 e、 g 了，你要求 b e， 那 我肯定连接这个三角形 a， 在 这三角形里面， b， e 跟整个底面线边垂直，跟面上任何一条线线垂直，这是直角 b， g 长度哦， b， g 长度二分之一 a 勾股定律 b， e 长度根号下它方减它方，这算完应该是，这是一，这是根号三，那这个应该是二分之二 a， 好 了，高有了，所以用上这个体积公式，整个三棱锥体积等于三分之一底面积。刚才求完的四分之根号三 a 方，再乘以高高也求完了二分之根号二，他说这个是三分之根号六，那我一下就把 a 解出来， 解完这个 a 应该等于二，那就问这个三棱锥的侧面积，注意，由三棱锥侧面积跟表面积不一样啊。人，按照题目这说法，这三棱锥 a、 c， d， a， c， d 是 底面，那三棱锥一共有四个面，除了底面之外的另外三个面面积之合就是侧面积， 那我由 e 为顶点，那我先跟 a、 c 连，我先求一下这个面积，这个是直角三角形，特别好求，在 a 是 二的情况下啊，这是二，这也是二，这是一，这是根号二。 我求直角三角形的面积，肯定是二分之一底乘高那俩直角边。我要求的啊，我先求 a、 e， 因为 a、 e 在 这个三角形里面，我一直要用到 b、 e 跟底面垂直这个条件，线面垂直，线跟底面任何一条线就垂直啊，这是其高，这就是路，所以 a 是 刚好的，它方加它方就更好，路 相等。呃， e、 c 我 也放到直角三角形里面来，根号二，二，呦，这也是根号六欸，所以第一个侧面表面积二分之一，根号六，乘根号六。接下来还有两个，一个是 a、 e、 d， 还有 e、 d， c， 目光锁定在 a、 e、 d 上， 呃，说实话，大不了把三边都求出来，是吧。这根号六，这几啊，这边长是二。那最后 e、 d， e、 d 是 在放在直角三角形里面，我还是用这根旗杆来做，因为旗杆跟底面任何一条线形成这直角，那根号二。 b、 d 长度啊， b、 d 长度跟 a 的 长度一样，是二。哦，这也是二，根号二，所以它的长度是根号下二加四，哎，也是根号六， 那这三角形三边，你看啊，根号六，根号六，二，它相当于是一个等腰三角形啊。题目画的是难看了一点，那我那二分之底乘高，这个做出来一个高，这是一，这根号五 s， a、 e、 d 的 面积二分之一二乘根号五。 最后一个 e、 d、 c， 还是求三边呗。呃，这个是二，这个，哎，谁算完了啊，这是根号六，这也刚好六，哎，所以 e、 d 跟 e c 这两边都是根号六二的三角形，跟它面积是一样的呀， 所以一二三面积和加起来得到答案，三加二倍，根号五。以上就想给大家介绍的全部内容，今天我们重点讲了四个定律。第一个定律，线面垂直的性质。如果你已知线面垂直，那么线跟面上任何一条线线垂直。 反过来我想推线面垂直。你想知道线面垂不垂直啊？想让你证明，那你就找这面上任何的两条相交直线，如果都跟这条线线垂直，那么线线就能推出来线面垂直。 第三个，我想判断两面是不是垂直，你只要让其中一个面经过另外一个面的垂线即可。最后，我已知面垂直了。那有什么性质？这一节课呢？这种类型题我们还没遇到啊！