深圳高三一模2026数学立体几何

好，第九题，正三轮台， d 为 b、 c 的 中点折好，这就难度就在于你能不能把这个图准确地画出来。好，我为了画正三轮台，我首先画个正三轮度，三轮锥，可以吧， 我没有用什么软件啊，都纯手工给大家画的，目的就是还原真实的考场，让你们心里大概也知道该怎么搞好。画到这里呢，就是上面呢，我再取一段，你看啊，从这里到这里取一段， 这里到这里取一段， 就到这取一段。好，我，然后呢，就把多余的擦掉。 刘一凡呢，说，我在考场怎么查？你就先铅笔作图呗，是吧，就这些方法是能想出来的啊。好，然后呢，我再把这个连起来， 简洁的啊，来， a、 b、 c， a， e， b、 c 看到 d 为 b、 c 的 中点。好， d 在 这里， 他让你判定这几个关系。首先第一个 a、 d 平行它。好，我们看 a、 d 怎么构成的，我们用不同颜色把它画出来来， a、 d 在 这里，对吧，他说要跟 ab 平行，就这个问题，怎么去想呢？ a、 d 能不能跟 ab 平行呢？ 首先第一次中点，我们把该连的连，我们比如说连接 a、 d， 你 发现 a、 d 是 垂直 bc 的， 对不对？这个没问题吧， 这个没问题，是不是？然后呢？ b、 c 先垂直 a、 d， 然后呢，这个 a、 e、 d 呢？我们来看一下啊，你这样是正三棱台，这两个边是平行的对不对？你看啊， b、 c 垂直于 a、 d， 那 然后呢， b、 c 是 不是也会垂直于 a a 一？ 有些人说不对，这个不一定，究竟是不是的嘞，你们来想啊，就算你过 a 一， 你做一条垂线，你反而就是会在 a、 d 上的。 然后呢，你通过这个一转换，你可以发现 a、 d 跟 ab 的 关系啊。你看，如果 a、 d 跟 ab 平行， bc 会垂直 ab， 那 么 bc 也会跟 ab 垂直，但实际上 bc 跟 ab 成六十度，所以这个是错的，知道吧？ 所以大家明白这一点，因为很容易证的。 bc 跟这个平面 a、 e， a、 d 是 什么垂直的关系，这个大家明白啊。 第二个呢， a、 d 跟平面 a b c a b c a d 在 这里，这个怎么去找呢？你们同样的呢？你把它找出它的终点就行了，终点在这里，看到没？你找出 d 一 来， 呃，这个终点，你看啊， a、 d 在 这里， d 呢？ a d 是 终点 d e 是 终点 a、 d 是 垂直于 b e c e b e c e 平行，所以这两条边只能平行一平行，所以它就是对的。所以 b 要选 三个， a d 垂直 a e c e a e c e 跟 a c e 是 什么平行的关系？ a d 呢？你自己想， a d 跟 a c 能有垂直吗？没有的，因为 a c 跟 a c 是 平行的，所以你重点要抓住 a c 平行于 a c 的 问题，而 a c 和 a d 呢，它不是垂直， 既然是多选，那么 d 看都不用看，就要选了。有些人说这太突然，能不能正我们来正它。 bc 垂直平面 a a 呢？ a a d 这个刚才你说了，怎么就这？有些人说你这个太突然了，我没听懂 怎么挣出来的。好，我们就大概就是用个逻辑跟大家挣一下。首先呢，你看啊呢， b、 c 是 垂直， a、 d 的， 这个没关系吧，因为等边三角形，这个 d 是 中点，然后三线合一， a d 跟 b c 垂直，这是第一个桥点，对吧？ 紧接着我们来看 bc 跟其他的有没有垂直的关系， a a 一 这一个关系来， a a 一 a 一， 由于它是正三轮胎，你们来想一个问题，这是个正三轮胎，你们如果把它还原之后呢？ 因为有些时候你们这么去看都看不出来的，但是你一还原就知道了。来你们把它还原， 如果把它还原到角 o 点，在这里，你会发现过 o 点一座垂线下来，它会在 a d 边上，这个是正三呢？能追的一个特征，它会在底面的中心点，因为底面中心点就在 a d 上 过 o 点一撮垂线，假如这个点呢？中心点呢？我标了一点，这个是垂直的 o e 是 不是垂直 b c， 那 你说 o a e 这一条边，你看 o a e 和这个 o a d 这个平面实际上是一个平面，对不对？也说 a a d 和这个 o a d 其是一个平面， 这里这个正的 b c 是 垂直于这个平面，所以这就出来了，这么说大家懂了吧啊？

立体几何弱爆了，口算直接秒杀！兄弟们，吹牛不要带上我！

刚考完的深圳异模数学立体几何，有多少人被这立体图给震撼住了？如果是你坐在考场上去做，你认为自己需要多久才能拿下？

同学们在我们之前的视频里专门讲过特殊立体几何的解析思路与技巧，而这一次的深圳异模数学试卷里，刚好就直接用到了这套方法，可以说是学以直用，立刻就能提分的典型题型。 下面我们就完整分析这张试卷，看看每一道题究竟在考什么，难度如何，对我们有什么要求。 一、单选择题一、考察的是统计里面最基础的平均值计算，属于送分题，所有同学都必须稳稳拿分。二、考察负数的基本概念与魔长计算， 只要基础概念清楚就能快速做对。三、考察抛物线的基本性质，侧重定义理解，属于圆锥曲线里的基础题型。 四、考察三角函数的周期与对称，中心重点在性质识别，不需要复杂计算。五、考察函数的既有性与周期性，综合运用，需要对函数性质有清晰理解。 六、考察三角函数的公式变换与运用，强调公式熟练，步骤规范。七、考察平面向量的投影概念，侧重理解几何意义，属于中档基础题。 八、考察不同函数之间的大小比较，需要结合图像与性质判断，是选择题里的区分题。二、多线题九、考察正三棱台的陷面关系，包括平行与垂直判断， 非常考验空间想象能力，也是我们之前讲过的特殊立体几何结构直接能用的地方。十、考察 双曲线的性质，以及直线与双曲线的位置关系，综合性较强，容易因为概念不牢丢分。十一、考察概率与期望的理解型题目 需要先读懂题目定义再进行分析，对临场理解能力要求高。三、填空题十二、考察解三角形的基本方法，属于常规必拿分题。 十三、考察等差数列的通向与前 n 项和性质，测重公式灵活运用。十四、考察及核心定义问题重点在逻辑推理与分类思考，是整张卷里很有亮点的创新题。 四、解答题十五、数列综合题，第一问接触，第二问测重求和方法，步骤清晰就能拿分。十六、概率统计大题， 考察概率模型构建与计算能力，提前常规思路固定。十七、立体几何大题，第一问证明平行，第二问计算角度与体积，刚好能用到我们前面讲过的特殊立体几何解析。逻辑。 十八、函数与导数压轴题第一问基础，后面两问主谱提高难度，用来区分高分学生。 十九、解析几何压轴题第一问相对基础，后面问题综合性强，运算量大，是顶尖学生拉开差距的关键。整卷总结，这张深圳一模试卷梯度非常清晰， 前面基础题保证大部分同学能拿到稳定分数。中等题侧重知识综合与严谨性，拉开中等生与普通生的差距。压轴题侧重思维深度与计算能力，用来选拔高分段学生。

二零二六届深圳一模数学真题重磅出炉！高三一模核心卷适配冲刺备考，满分一百五十分，覆盖选择、多选、填空解答，全题型 精准对标高考考项，考察平均数、负数、抛物线、三角函数、向量、立体几何、双曲线、概率数、列导、 果树、果园与双曲线综合等高频核心考点，压轴题直击高考难点，是高三冲刺阶段必刷的优质真题！吃透这份卷，考场答题更有底！

哈喽，大家好啊，那么今天咱们深圳高三的这个深一模的数学试卷啊，就已经出来了啊，那么这套试卷呢，为什么选择在现在来给大家录这个视频呢？也是因为这个试卷我刚刚把它做完啊。坦率来讲，这次的这个试卷呢，我们用八个字来概括，那就属于情理之中，预料之外 啊，那么情侣中的原因是什么呢？就是情侣中，就是咱们深圳一模的这个考题啊，继续与咱们高考不符啊，这已经不是第一年第二年这个样子了，那么情侣之中的话呢啊，也能遇见到是吧？深一模，深二模向来的风格就是高估高考 啊，可以这么说，这套深一模和咱们二十四年二五年高考的风格啊，起码和咱们新高考数学一卷的这个风格 啊，是完完全全不一样的，最初最突出的这个特点，那就是他的计算量会比高考的计算量要大，非常非常非常的多啊。那如果我们分开来看啊，因为这道试卷我也是刚刚做完，是吧？那你会发现前面的八个选择啊，八个选择可以说四个字，一马平川。那么第八道题的话，只要你用带特殊值的方式， 从二零二五年全国一卷的这个情况来讲的话，那你就会发现啊，几乎就是完全一样啊，这个高考风格还是很强的，那么到咱们的这个多选题，到咱们这个填空题的前两道都是如此，那么今年申一模的这个风格是很大程度借鉴了二零二五年高考风格的哪一点呢？ 是把新定义的问题既给它去掉又不去掉，这话怎么讲？第十四题，大家可以把它理解为一个新定义的问题啊，那么题，这个解答题，第十五题，可以说啊，非常的这个普通啊，竖列的求和的这个列向求和的问题，那么到咱们第十六题呢？哎，这个其实是我们寒假重点来给大家讲过的，咱们这个概率统计当中的 函数问题，只不过是我们分的三类函数中最简单的一类函数啊，所以忘了第十六题，这也可以说啊，非常非常的这个，呃，普通了啊。那么到底十七题这个立体几何里，相信出乎很多同学的意外，他不是普通的间隙，他不是普通的线面角和二面角的这种考法，他把它考成了一个什么呢？ 球的内接八边啊，内接的这个，呃，咱们这个八面体的这个情况，哎，就是我们可以看到啊，如图所示，是吧？哎，内接八面体的这个情况，那么这道题的难点在哪呢？这道题难点呀，在于设备质量和计算 啊，在设备上和计算，而且不再是一个常规的间隙就能搞定的问题。那么啊，那我相信这个是咱们深圳教科院啊，对咱们整个高考出题的这么一个啊，这么一个这么一个理解的一个方式吧啊，但是呢，在我看来，这个点是不符合咱们新高考的这个风格啊。然后那么第八题啊，属于我们寒假重点讲过的类型，就是我们的极简教材 啊，是我们当中讲的其中的一类。那么最后一题，圆柱曲线啊，属于非常规的问题，但是他的第一问 一共三问吗？第一问和第二问都比较简单，那么到第三问的时候实话实说，这就算你做的有些瑕疵，大家大差不差啊。但是这二五年的高考加今年的这个深一模，大家都笃定了一个方向，第十九题不再是咱们哎，二十四年出现的这个 新定义的这种问题了啊，新情景的这种问题，那我觉得这个是今年大家出题的一个主要一个风格的变化吧。好吧，那么，呃，可以这么说，这里边的核心的内容当中啊，都有重点的这个讲解啊。所以 如果大家接下来，哎，想对咱们这个身衣膜，对自己现在的这个程度啊，如果想有一个把脉和诊断的话，大家可以后台滴滴我。

申一模，我承认你赢了，刚出的物理试卷难度接近高考就算了，数学更是直接创飞所有人，大题立体几何和圆锥曲线公认的难只能靠选择题提提分了。还有语文作文物理考试败的牛顿怎么出现在了语文作文捏？直接难哭。各位同学，你觉得申一模难吗？

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

二零二六人大附高三开学考试题第十题，第十题是比较难的题，我们首先把这个题看懂，因为我们看着图的时候就会许多同学会感到懵，老师看了也开始也有点懵， 呃，我们再看这个，再读一遍题吧，说正方题，绕对角线旋转一圈，形成如下的空间几何体，其中曲线 a、 b、 c、 d 部分是双曲线的，局部是双曲线的离心率是多少，哎，这是关键， 我们就是说这一块是一个什么呢？是一个双曲线，那么要求双曲线，我们看要做什么？要求双曲线，我们双曲线，我们知道它有两个参数，需要求 a 和 b， 因为两个参数我们求出两个点的坐标就可以了，当然 a、 b 这两 a、 b、 c、 d 呢？这相当于是一个点，它已经对称关系，没有区别的，那么就是要求出这点的坐标，求出这点坐标，我们可以认为，那么它就是到了 这是 a 点，就是呃，参数 a 就 出来了。好，我们大的目标知道了，求双曲线的这两个参数，那么这两个参数又是怎么来的呢？ 显然 a 点这个坐标，实际上呢，这 a， 这形成一个什么呢？哎，一个大的圆，哎，这样的一个东西，那么它是怎么来的呢？它显然是由这个角和这个角形成的， 那么这个角呢？是一个什么呢？呃，它是一个，呃墙角模式的一个都相互垂直的， 那么也就是说这个角旋转的时候，它是一个什么？旋转了个圆，那半径呢？其实在哪里呢？这就是它的半径啊，那么这个怎么求啊？呃，我们看这个图， 我们看这个图，呃，墙角模式嘛，我们就呃看这个 b， 那 这是一个等边三角形，如果我们设这个为一，那么这个就是根二，这个就根二。好，我们等一下再求，我们再看这个，这一点就是我们刚才说这个 a， 这一点怎么求呢？这显然呢，是由 我们说上面有三条棱组成了，上面这个下面有三条棱组织这一条。那么一个正方题总共有十二条棱， 有十二条棱，上面三条，下面三条，那么还有多少条呢？还有六条， 那么这六条呢？呃，是哪一个六条呢？我们重新画一下。呃，这个看上去会比较复杂哈，这一条，这一条，这一条， 这一条，这一条，那么这六条呢？它的中点可以构成一个呃正六边形， 就是这样的构成一个正六边形，这个正六边形也就是说 它有个中点，这个中点呢跟正，呃正方形的中点是同一个中点中心部分， 这个就是正三角形，这就正三角形。好，现在我们知道这个，呃几何体形成一个双曲线的，呃 一个哪的部分是由哪里形成的？那么形成之后呢，我们就要找到这个坐标就可以求出来。我们首先看这个吧， 因为这里总体是一，那么这个就是二分之一，二分之一，那么这个呢就是二分之根二， 这个是二分之根二，那么这个距离我们说是呃六边，正六边形是由六个正三角形组成的，所以这个距离就是二分之根二，也就是说知道了，我们把这个画一个坐标系吧， 这个坐标系，也就是说这个这个点叫低点吧，也就是说这个就是二分之根二，这个就是二分之根二，我们写个低点的坐标吧， 那么低点的坐标就是二分之根二，当然这里面要这样看，有负的啊，这个关系不大，我们只知道大小就行了。好，下面我们再看。呃，这三个， 就是说这三个组成的这个旋转组成这个圆的，呃，半径是多少？实际上也就是说，呃，用这三个等边三角形组成的一个， 呃，旋转组成的一个圆，我们想知道它的半径是多少？好，我们知道这是根二， 这个是根二，那么这个是多少呢？哎，这个高应该是二分之根三倍的，再乘以根二，也就是二分之根六， 这个是二分之根六，那么半径是多少呢？它旋转一个圆，它半径呢？这个是二比一的关系，也就是三分之二，那么这个二分之根六，再乘以三分之根二等于多少呢？就是二分之根六， 乘以一个三分之二，它就等于三分之根六，那么我们就知道了。哎， 这个是多少呢？哎， a 点的横坐标，也就是说是三分之根六， 那么我还想知道呢， a 点的重坐标，那么我们带入到方程里面才能算出来，那 a 点的重作重坐标是多少呢？呃，其实呢，这个有经验的我们知道。呃，这三个做起来之后，我们看一下哈 这两个平面，把这个呃正方体呃三等分了，呃，它总的 总的对角线长是根三，总的对角线长是根三，那么他就是三分之根三。有的同学又要告诉我了，说他不知道，我怎么知道是三，是不是三等分呢？呃，不知道可以求，这个怎么求呢？我们说刚才已经知道了这个， 这个终点到中心的距离，我们刚才已经求出来了，等于啊，二分之根二，那么我们说，呃，这个是二分之根二，而这个是等于多少呢？这个是等于一。我们在这个很难画啊，画的不太好看， 把这个擦掉， 我们说这一点我们已经知道了，这一点已经知道了。刚才我们求出来三分之根六，那么它是垂直的，这个是垂直的，这个一是斜边， 那么这样一求可以求出来，就是一的平方减三分之根六的平方，就等于三分之根三， 注意看，这是三分之根三，是 a b 之间的距离，三分之根三，那么再除以二就是六分之根三，就是 a 点的坐标，是三分之根六，等于六分之根三， 这就是 a， 知道了是二分，这是 a， a 等于二分之根二， 二分之根二。我们把这个点坐标带入到方程当中去，带入到方中 方程里面去，可以求出 b 方等于四分之一，那这样我们有了 e 等于什么呢？ e 等于 a， 分 之 c， 也等于根号下 e 加 a 方分之 b 方，那么这个呢？啊，就有二分之根六， c 是 正确的。

立体几何第二问满分，关键面面加角为什么一定要加绝对值？今天一次讲完，同学们，我们来讲立体几何大体第二问必考面面加角。这道题套路非常固定，只要抓住核心分，稳稳拿到手。核心公式就是，两个平面的加角等于 两个平面法向量加角的余弦值，但一定要加绝对值，本质原因只有一个，面面加角的取值范围是零到二分之派，所以一定是锐角和直角。 而法向量的加角可能是锐角，也可能是钝角，余弦值可能正，可能负，所以必须加绝对值，把它强行变成正的。这一点和我们上节课讲的线面角完全一样，取值范围都是零到两分之派，计算时一律加绝对值。很多同学第二问丢分，不是不会求法向量， 就是忘了加绝对值，符号一错整问白算。下节课我把求面面夹角的完整标准步骤，一步一步教你怎么间系，怎么求法向量，怎么代公式，怎么判断符号，全程按高考阅卷标准来，让你第二问直接拿满。

大家好，欢迎来到星星子爱数学这期视频，我们就开始讲解这个每日一题， 因为这个数学是需要刷题的，所以我们要考虑每个人做题的感受，所以我们增加这种每日一道题的这种刷题训练。嗯，所以大家希望可以把这些题都做了，然后并且把我做的这些题的方式按照，嗯，可可以通过自己的方式先做一遍，然后按照 这个对答案的方式跟我去按照我的思路来来一遍梳理。嗯，你会看到你有可能会跟我答案一样，然后有可能和我答案不一样，然后你会看到你搜完的答案可能和我还不太一样，因为我做的答案肯定是我用我的方法去讲，然后我也可能会对比一下和答案的方式， 一般来说啊，我自己做出来的答案肯定要比这个答案是要更好一些的，所以我也推荐同学们不要去盲目的看答案，因为有些答案他是不是特别好的。 然后这期视频就开始这个把，我们在这个系统课里面不是有很多部分的题没有讲完吗？所以我们就通过这种每日一题的方式，把那些系统课里面没有讲完的那些题，我进行每日的刷题，然后我会在每次发布每日一题的时候，我将会把下期视频讲的题目发在每日一题的这个评论区，大家可以提前做。嗯， 大家也希望这个，嗯卡着点，比如说一道大题需要在十五分钟内绝对完成，除非他是十七分的题，你就按照分值来写，如果是一道五分的题，你就要得在五分钟内完成，六分的题就在六分钟内完成，十三分的题就在十三分钟内完成，十五分的题就在十五分钟内完成。这样的话你高考也能做完试卷。所以大家，嗯， 注意好时间，然后大家还要得做好这种每日的刷题训练。这个数学要是不刷题的话呢，你学的那些东西都是白费的，所以每天有一定的训练才可以。所以，嗯，可以看一下这些视频。 今天的每日一题是上次正式课中有一部分因为剪辑的失误乱码的一部分题，呃，就那道题是乱码了，所以我把这个乱码的视频，我把它弄成每日一题发过来 看一下。啊。这道题他说四棱锥 p 高， abc 得它的底面边长为二的菱形，它是菱形，下面是菱形，我们一般就会想到什么下面边长是二，那菱形，我们一般都想到的是四个边都相等，对吧？好，把对角线相连，就是垂直，对吧？好，把对角线连上，所以想到菱形，我们就连对角线。好，我把对角线连起来，它垂直，好，垂直。嗯，好， 那现在我垂直了，那现在菱形也完了。那现在他说了什么？没有了，对吧？他又说了个角 a、 b、 c 为三分派，三分派多少度？六十度，对吧？这个实在不行啊，你如果不会，这个多少派，多少派是多少，你把派当一百八十度来，除以三等于十六十度，好，嗯，小差距。好，那角 a、 b、 c 就是 六十度，这个角是六十度。哦，好了，那我就把它先拉出来，我给你看一眼。啊，来，这个菱形 啊，大概就这么画一下，好，这菱形就叫 abc 的 好， abc 的 好，然后我对角线互相垂直，垂直，好，它是边长为二，又是六十度，对吧？六十度的等。你看这个这边，你看 abc， 它是一个等边向量，对吧？那它又是六十六度等边向量。对，幺向量，所以有 a c 也是二，那中间又会平分，所以是一，对吧？好，那我这又是个角平分线，就是它三线合一嘛，也是角平分线，所以它是三十三的角向量，就是一二，刚好三，对吧？所以这个边是刚好三，这也是刚好三， 这就完了。所以这个，这个是根号三，这个是根号三，这个是一，这个是一。好，我该标的长度标完了，那他他给我说了个 p a 等于 p c 啊， p a 等于 p c。 哦，这个你看 p a 和 p c 相等，都等于根号二，根号二，然后呢？ a c， a c 是 多少？ a c 是 二，对吧？中间有一个点啊，这个是二。好， 哎，这又是等幺幺型，等幺幺型又有一个三线合一嘛，对吧？好，那现在我要给证明什么？证明 a c 垂直于 p d， 你 看 a c 在 哪？ a c 在 下面， a c 要垂直于 p d， 看着好远，对吧？那这么老远的线，我要怎么去证明呢？是不是也要得用一些很多知识点？你看 a c 和 p p 的 很远，那我们的连接点在哪？我发现连接点在这，这个平面是连接点。哎，如果能正出来，如果能正出一个垂直，你看我要得正，他和他垂直，要么我先正线面垂直，我就能正出这个，这条线和这条线垂直，对吧？要么我就通过各种勾股定律算出来，它就垂直关系就可以了。那但是这种意面呢？它又不在同一个方向形里， 那我就不能用拼音法，用固定来读，对吧？好，那我再想一个方法，那我刚看到了，我刚分析到这三行，对吧？这三行我说的等腰项，对吧？那中点，那我把中点设为一个值，叫做 o 版，对吧？叫 o 点。好，那这样的话，我甚至都连到这个 o c 和 p 的 有点关系呢，是不是把 o p 给连起来，这样就有关系了，对吧？好，首先我 a c 是 不是和 p o 垂直，对吧？这是我这三相合一的来的吗？ a c 和 p o 垂直，然后呢？还有关系吗？ 你看 a c 还要跟 p 的 要有关系的话，那我这 a c 要如何去搭上这个 p 的 呢？有没有办法 啊？我现在目前看不出来，对吧？好，那我把这个，嗯 b， 你 看 bpo， 你 发现我在这里面有一个 bpo， 对 吧？那我把 bpo 这个三角形可不可以把它给分析一下？那我稍微分析一下这个 bpo 吧。好，因为我感觉就直觉来了啊。好，那 bpo 这三角形，那 bpo 我 知道它是刚好三，然后呢？ ppo 我 不知道多长，然后呢？ bp bp 我 也不知道多长， 那先放着，那 p o 的 话，其实我知道 p 有 多长，从哪知道？我从这等腰线可以看出来，这边这边，对吧？这边是根号二，你看这边又是一，这边又是一，那我直角三角形，所以它也是一嘛，所以我 p o 也等于一啊，对吧？一，根号三，那 b p p 我 知道吗？哎， b p 不知道，对吧？ b p 就 放着吧，那 b p 我 不清楚多长。 那，那没有办法，那这条感觉这种感觉没有了，那现在我要如何去证明这个 p 的 和这个 a c 垂直呢？你看 a c 和 p 的 垂直呢？你看 e 面垂直呢，对吧？我能找到它的平行线，比如说平行线是哪个呢？你看 p 的， 我们仔细看一下啊。哎，这条 a c， 我 发现啊，我发现了，你看 a c 和这个 p 的 要垂直，但是我现在找到个 a c 和 p o 垂直，哎，那我可以正什么 a c 和 p o 的 这个平面垂直，线面垂直嘛？好，那我只需要正什么 a c 和 o 的 垂直，那这不就直接出来了吗？菱形对角线垂直吗？这不就完了。好，因为什么 a b c d 为菱形，对吧？ 所以这个，嗯， a c 垂直于 b 的 好。嗯，取 b 的 交 a c 于 o 点好，这样就行了。好，所以 o o o 的 垂直于 o 的 垂直于 a c， 好， 这样行了， o 的 垂直于 a c。 好， 然后再你看啊，在 三角形 p a c 中，我是不是存在等腰这样形，这个 p a 等于 pc， 所以 三角形 p a c 为等腰，等腰三角形。 哎，所以它会怎么样？我这个 p o 垂直于 a c， 哎，这就完了。看 a c 和的 o o 的 垂直， a c 又和 p o 垂直，那我还在写一个什么 p o 和 o 的 交于 o 的 交于 o 点，然后 p o 属于面， 什么 p o 的， 然后这个 o 的 p o， 那 我觉得 o 的 和 p p o 都属于平面。那你看平面内的两条相交直线，一条直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直，对吧？所以 a c 垂直于面 p o d， 那 这样的话，我只我要得证什么 p d， 是 吧？好，那 p d 是 不是在这平面内呢？对吧？在平面 p o d 中，所以 a c 垂直于 p d 就 结束了。好，这就是证明方法。这个证明应该比较轻松吧，大家可以很清楚，可以看的到，所以列结合的题还是比较好做啊， 所以大家要有点信心，这个刷题是可以提分的。好，那我们再看第二个，第二个的话，它给了什么？ p b 和 p d 的 组成的余弦值，对吧？好， 那我要开始第二个，开始渐细了，对吧？那现在我在菱形这里，我是唯一知道什么，唯一知道对角线垂直，那我现在不知道第三个垂角线在哪里，对吧？第三垂角线我不知道在哪，他给了若 p b 和 p d 所得的余弦值为，这个你看 p b 告诉了 p d。 啊，这两个的余弦值告诉了，然后 p b 小 于 p d， 所以 p d 还是动点。好，那我要求直线 c d， c d 与平面 p b， c c d 与 p b， c d 所成的角线。啊，那我要开始渐细了，对吧？好，那我剪一下。嗯，我想这样剪好，然后这个为， 嗯，可不可以这样解析，可以，对吧？好，那我们标一下吧，这个是 z 轴，然后哪个是 x 轴，哪个是外轴？有 x 向外，对吧？这是 x， 这个是 y。 好， 我们要得写清楚。第二个，以 o 为圆点， 这个 o b 向量为 x 轴， o c 向量为 y 轴， o 垂直于面 abc 的 为 z 轴，间隙 如图。好，写好了，对吧？那写好了，我们就可以开始点坐标。我要得，求什么？你看，我要得，先表示这个 p 点，对吧？我要先表示 p 点，因为 p 点它在动，对吧？那我先把这个 p b p 的 这个关系里面，我是不是可以算出来这个 p 点坐标呢？你看， p b 和 p d 所成的余弦值为三分之杠三。那我是可以通过列这个 p b 和 p d 的 向量所得的角等于三分之杠三，我可以算出 p 点坐标， 可以吧？好，那现在 p 点我知道什么情况，那我把 b 点和得点先写出来来，得点，得点，它是负。呃，你看啊，得点啊，我看一下，它是在负的，根号三到零到零，对吧？然后 b 点，它是在根号三到零到零，根号三到零到零。好， p 点，那 p 点它在哪？它是不是在 x 轴和？你看 x 轴和 z 轴这个位置的平面内，就是，它不在外轴，它外轴的分量为零，对吧？那我直接写零，然后，但是我不知道 x 和 z， 对 吧？那我就果断设 a 和 b 就 完全可以吧。 好，那这里面呢？ a 肯定是，要怎么样？你看 a 是 什么？ x 的 分量，那我这个在图里面表示出来的 x， 它明显就是在 a 是 x， 它上面，它绝对是正的吧？那 a 肯定是大圆的，那 b 呢？ b 就是 我 z 轴上的分量，那 z 轴上的分量我发现明显在上面，对吧？那肯定 b 也是大圆的。好，那好了，那我们告诉了 p b 和 p d 所得的相值，那 p b， p d 是 吧？那我就可以写 p b 相等了，对吧？ p b 相等，等于根号三减 a， 对 吧？然后零到负 b， 对啊，对吧。然后 p 的 向量，那 p 的 向量就是负的，根号三减 a 到零到负 b， 好， 嗯，然后 p 和 p 的 所得弦值相等，那那弦值来 cosine 角， p b 向量和 p 的 向量所形成的夹角等于， 那他们是不是 p b 向量变成 p 的 向量，然后再比上 p b 的 模乘 p d 的 模，你看我备注那个公式，我就能直接开始用了，对吧？ p b 乘 p d 就是 对应相乘，那它就是平方差嘛，对吧？平方差 p b 乘 p d， 你 看对应相乘， 相乘一下，这个乘以在一起就是三，再减。你看，呃，这边是负 a 加高三，负 a 减高三就是负 a 的 平方就是 a 方，然后再减高三的平方就是三，对吧？这是什么答案嘛？然后再乘零，加起来零，对吧？然后再加上 b 方，上面就出来了。下面，下面的话就是模嘛，各自的模，各自的模的话，根号下，那这个算吗？根号三减 a 的 平方就是三，减二倍，根号三 a， 然后再加 a 方，对吧？ 就是，然后再加上 b 方，都没问题吧？然后再乘根号下，谁乘谁，那就是负的，杠三，那就是负的，杠三的话也是三，加上二倍根号三， a 加 a 方，然后再加 b 方，对吧？这是我的分母。那两个模也算出来了，平方也有了，对吧？好，然后我还有一个什么条件，你看 p p 点，他这边是不是还有一个叫做 pc， 对 吧？我可以把 c 点 表示一下，你看 pc 向量就是 c 减 p， 那 就是负 a 到，嗯，一到 b 负 b。 好， 那我要计算它的膜，也就是它的长度，你看 p c 的 膜等于多少？等于根号二。 p c 的 膜哪根号二，那就等于它的平方嘛。根号下 a 方加一，再加 b 方，对吧？这是我的答案吗？那我可以两边平方和两边平方，我得到 a 和 b 的 关系呢？ a 和 b 的 关系就是 a 方加 b 方，等于来，我减都是减一，那是 a 方加 b 等于一。 哎，我在下面还有什么关系啊？我上面下面是不是有 a 方加方， a 方加方，对吧？这，这这，对吧？ a 方加方，所以我可以把 a 方加方全部换成一嘛，对吧？好，那口算隐，你看口算隐这个这东西它等于相当 a 方加一等于一减三等于负二，对吧？然后比上这大坨的话，就 a 方加平方一，一加三等于四，四减二倍，根号三， a 开根号，对吧？然后再乘根号加四加二倍，根号三， a 会算吗？这是三乘三，对吧？二，得四四四三十六，十六，对不对？四三十二， 对吧？好，这个然后再开根号，那这就是我的呃，分母，然后分之二，它要等于多少呢？来，我直接打个绝对值吧，可以吧？然后口三值它等于多少？他说余弦值等于三分之三。三分之三。那 我通过这个式子我可不可以解出来呢？完全可以吧。来，这个下面的话可以提个数叫做十六，我提出去等于十六，可以提个四出去的话是二倍根号下四再减去十二。我提了个四出去，那就是三， a 方分之二，对吧？二约掉一等于三分之一，那四减三， a 方等于三嘛？那 a 方就等于 方，我这么一算等于三分之一，那 a 就 等于三分之根号三，它就解出来了 a， a 等于三，根号三，所以这块内容在草稿纸直接算，对吧？然后会算。那自己算出来 就拆掉了啊。会算吧？好，我刚算了一遍， a 等于三分之根号三，所以 a 最后等于三分之根号三，对吧？这是我刚解的过程，你刚不会不会解的，刚自己看一遍啊。然后我 a 又算出来了。 a 算完以后 p 点坐标是不是重新可以解出来了？所以 p 点坐标就是三分之根号三到零到 b， b 是 多少？那 b 等于一等于一减一方，一减去三分之根号的平方，三分之三平方多少来着？ 根号三分之一的三分之二，三分之二开，根号就是三分之。嗯，刚好六。三分之六吗？三分之刚好六，那 b 是 不是这个答案，对吧？我把 b 算出来应该没问题吧？看一下， 对，没问题啊，那 p 点我就算对了，那 p 点我算出来了以后，那我 p 点的值我就知道了。那我最后得干嘛？我得求直线线面角线面角线面角线面角，算出来叫做正弦值，对吧？然后最后要求余弦值。这题就稍微复杂一些，那线面角的话，我得写什么？ c 的 向量，对吧？ 看啊， c 的 向量，大家写一下， c 的 向量是？嗯，多减 c 是 负的，根号三到负一到零嘛，然后 pbc， pbc 的 话， pbc 啊，三个点 pbc。 嗯，我可以写 p b， 我 可以写 c， p b 好 像可以写吧。那 p b 向量， p b 向量就是多少呢？三分之二倍，根号三到零到负的三分之根号六，对吧？然后我还可以写个 c b 嘛。 c b 向量，那就等于这个算出来是根号三到负一到零嘛，对吧？然后你也该有的套路，你要有一下，叫设面 p b， c 的 反向量 为 n 等于 x， y z， 对 吧？然后你还要写一个 p b 乘 n 等于零， p a c b 乘以 n 等于零，然后你把 n 一 写，那这个过程就不写了啊。你顺着我那个做法做的话，没有化解的速度，就是刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三， 然后你把它化解一下，化解不了，那就这答案。好，那刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三。那这个 n 我 就算出来了， n 算出来了以后呢？来算一只。那我还可以算出来这个射什么？射 c 的 与面 p b， c 的 缩成角 v c 它，对吧？然后我算的是算 e c， 它，那就是等于口算也。什么？口算也？ c 的 和 n 的 相等值，对吧？然后再对对值。那最后这个口算值，我也不我也算了啊，算出来等于。嗯，算出来，最后化简是二分之根号二，大家踊跃的下去算一下。然后算之后，我算出来，我要算最后的余弦值。口算 e c， 它等于根号下一减去算也方 c， 它，对吧？那这算出来就等于二分之根号二。 好，所以我最后的左乘角的余弦值就是二分之二。最后答一下就行了。这题就比较轻松啊，这题就结束了，就是这题的步骤稍微有点多，但是他也没有逃离我们之前说过的那个思路，所以他也不难。嗯，也还是那个，也还是那个方法吧，对吧？没什么，没什么新奇的点，只不过是我多用一次还是少用一次的问题。那我放这。好， 那大家回去算一下啊。这边我忽略了几个知识点，忽略了几个向量，比如说这个，嗯，怎么算的？然后还有这个口算能力弱的话，你就必须得好好算一下啊，你要自己来一遍，所以答题卡呈现成答题卡，最后呈现出这样一个效果，这就差不多了，不需要把你所有计算都放上去啊。好， 一定要点赞、关注、收藏并推荐哦，咱下期见。

哈喽，大家好，欢迎来到星星子爱数学，那么今天开始更新高考百日冲刺课第一点，我们首先来更新立体几何大题部分。 立体几何为什么要分大题和小题？是因为立体几何的大题和小题他的考点不太一样，所以我们按照考点的侧重点我们来，嗯，把大题分开和小题单独去这种讲解，所以下期我再出立体几何的小题部分。 那大体的话呢，是稍比较具有这个套路化的，所以呢，大家可以通过我后面给的一些例子进行把这些套路给背会，而且把那个几何法常考的模型给记住， 呃，这个立体几何你就可以有望考满分。所以立体几何他是无论出在呃哪种位置，除非他是在最后一道题的位置上，他就会稍微难一些，但是呢，他如果在前面的位置，比如说前四道题的位置，那他都不会很难。所以呢，这个视频可以你可以放心的看完，看完你可以得到立体几何满分，所以，嗯，大家要有点信心。好，那我们开始讲解。 首先，呃，这个内容就是基本知识点和部分的题型讲，讲完了高考的所有的考点，所以大家可以放心观看。然后有一部分题没有讲解，我将把这些题放在评论区，然后再通过后期的每日 每日一根的方式，把每日一根，每日跟一道两道题的这种方式就是按每日一题的方式来进行讲解，所以这部分题大家可以先自己做一做，然后我讲解完这些题，大家也需要进行自行嗯， 梳理和再做一遍，所以因为我讲我能讲的出来和我能自己做对，那是我的本事，所以大家需要你能听懂，也并不是你很厉害。嗯，你能听懂可能， 嗯，只能说明你是一直在跟着我思路，所以你需要自己做一遍才能验证你到底会了没有。所以我建议大家我讲完的那些题目大家可以自己进行。如果你是真的是零基础，一点都不会，你可以听完我的视频以后再做一遍，然后如果你是有点基础，你可以在我讲这个题目之前把它暂停，然后做一遍。然后如果你自己的做法和我的做法是那种比较 呃浓长，而且还比较贵难的方法，那你可以吸取我做的方法，然后改正你的这种思路。如果你觉得你自己的方法够好，那你就用你自己的方法，毕竟高考题也是不止一种方法的好， 所以这个视频大家需要做的就是，嗯，把这个基础知识点进行梳理，并且和这个习题进行自我检测，并且把这些我讲到的这个视频的所有内容看完，你就能，嗯，精通立体结合， 后面就是立体几何小能手。呃，后面这些题我们有讲的这些部分的题，呃，思路和方法和前面讲那些题是一样的，大家可以抽时间每日做一道或每日做两道的方式，把它做掉，放在评论区，大家可以自行去，自行去。这个截图好。 呃，立体几何呢？它分为第一问和第二问，那第一问往往是会考这种证明，所以呢，证明我们要如何证呢？它也有两种方法，第一种是几何法，第二种是间隙法。那么呃， 你，呃，我在这写了一句话，叫做高考一般不会让你在第一问就证明，第一问证明就要让你见戏，因为什么？因为一般在一些模考题或者是一些简单一些的题里面，你发现我所有的条件在题目中给出，那我第一问直接见戏，我就可以很快的用这个见戏的证明方式来解决。那这种方式根本就不用动脑子啊，那就直接两问直接结束了，所以没有什么难 难点。但是呢，我们通常在高考一般是要把这个几何法是因为我们是高一学的内容，那间隙法它是高二学的内容，所以，呃，我们高考是要考全面一些的内容呢，所以往往都是让你第一问几何，第二问间隙来做，所以我们要得都得掌握好，我们来看一下几何法证明。 首先我在这，你，你别看我罗列了这么多东西，但其实不多，呃，有些东西他是不需要你去你记住的，比如说这这些地方，但是呢，我要得讲一下，让你知道我这个几何法是在哪些逻辑上去建立的。那这些，我说上面写的这些基本事实和推论就是我几何法建立的逻辑，那我们要稍微搞清楚一下，如果高二你是掌握的很好，你可以直接跳到，哎，我讲这里的地方啊。好， 首先基本事实一，我是如何去定义平面的呢？我们定义，呃，不在同一条直线上，就是不共线的这三个点可以确定一个平面。哎，这什么定义的那，呃，我是几个点可以确定一条直线呢？ 还记得吗？是两点确定一条直线，对吧？好，所以这第一个点叫做，不过不共线的三个点可以确定一个平面。好，那我们看推论一。那我们说两点可以确定一个平面，那其中这三个点里面的两个点，我们可以确定一条直线，所以呢， 就是如果点在直线外，那有一条直线和一个点，我们可以确定一个平面。好，这个是，呃，他的基本事实和推断。好，再看第二个事实，如果一条直线上的两个点 都在平面内，哎，什么？两点？确定一条直线，对吧？直线上的两个点，那就确定这条直线吗？那这两个点都在平面内，那就说明我的直线就在平面内，这很好理解，没问题吧？好，然后我们再看。呃，这个基本事实三。 嗯，如果两个不重合的平面，如果有一个公共点，你看啊，如果有两个平面具有一个公共点，那么它们尤其只有一条通过该点的公共线，然后那意思是什么？我两个平面，比如说我这样一个平面 和这样一个平面，它具有一个公共点，我把它延伸，延伸，延伸延伸，我发现它们具有一条交线，那这条交线也在这个公共点上啊，是这意思，所以，呃，它就 它就这个很简单的一个事实，能看懂即可。咱们看基本事实四。呃，这叫什么呢？平行于同一条直线的两条直线相互平行，这叫做平行的传递性， a 平行于 b， b 平行于 c， 则 a 平行于 c。 好， 这叫平行传递性啊，这懂就可以了。来，我们再看这个推论二。刚刚讲过推论一了啊，经过两条相交直线，尤其只有一个平面，那这个也是通过它来得到的， 这个能看懂即可。就是两条相交直线可以确定一个平面，这个在后期的这个，呃，平面与平面平行的时候可能会用到，所以我们要注意啊，两条相交直线确定一个平面或者是三个不公线的点，可以确定一个平面，一条直线和一个点确定一个平面。好， 那我们再看推论三，推论三就是两条平行线，尤其只有一个平面。哦，意思是我如果有两条平行线，这两条平行线同在我的平面内是很好，那我们再看等角定律，它是什么？如果两个边，你看，如果两个角的两个边对应平行，则这两个角相等，会互补。这怎么理解呢？比如说我有一条线平行，我有一条线平行，你看啊， 你看这个角和这个角互补吧。如果是这样子啊，平行平行，你看这两个角相等，所以这叫等角定律。所以这就是一些基本事实和这个几何法建立的一些逻辑。那我们再看这个重点考点，我们考到这了啊， 直线与平面平行的判定好这个判定和性质。那我给你们讲一下什么叫判定，什么叫性质？为什么有些人觉得，哦，这个地方我加了个判定，又加了个性质，感觉，哦， 越来越难背了，越来越懂了。你看啊，我们看，首先判定定论。判定定论是什么？判定定论就是我现在不知道这个最后的结果，但是我要得正出这个结果，我要来的这些证明方式，所以意思就是直线和平面的直线和平面平行的判定定论意思是什么？我如何证明直线和平面平行好，就是人话， 那性质定论是什么呢？我如果知道直线和平面平行，他有什么性质呢？哎，这是性质定论，能听懂吧？好，嗯，那我们看下判定定论啊，这个就是我们高的大体往往要考察的内容，就是我如何证明直线和平面平行呢？如果 平面外一条直线和平面内一条直线平行，则先面平行。这句话要记住啊，你可以当顺口溜背，你看直线外一条直线 a 不 属于耳法，来，直线内一条平面内一条直线叫做 b， 属于耳法，看平行 a 和 b 平行，则先面平行。啊，这里面的这个耳法啊，一般你要得写这个面耳法， 我在这着急，我就没有写，所以我们在这个地方我们都要写一个面啊，不要忘记。好，这是判定定力，我们再看性质定力。那性质定力是什么呢？如果我有这个线面平行，你看我线面平行是已知条件，那我你看啊，线面已经平行了，这条线和底面平行了，那会有什么条件呢？那我过这条线做一个平面， 和我这条原来这个平行的这个平面交于一条交线了，对吧？这条交线和我这条线平行，就这句话， 所以呢，我得到线面平行，我可以做一个交面，就是我过这条直线做一个平面，我得到的这个交线呢，我就可以与原来的直线平行，这是一个很好用的结论。好， 我们再看平面与平面平行的性质和判定和性质。那面面平行如何去证明呢？面面平行，你看啊，来两条相交直线，可以确定一个平面，对吧？所以这个平面我就要得用这两条相交直线来确定。 所以前面的知识点重不重要呢？重要。但是，嗯，他影响，影响你考高分，他确实不是很影响啊，来看一下啊。那这个怎么写呢？如果平面就是，如果平面上两条相交直线与下一个平面平行，则面面平行，所以我得写什么？ 写平面内的两条相交直线。你看平面内的两条相交直线， a 在 耳法内， b 在 耳法内， a 和 b 交于点 p， 你 看耳法内的两条相交直线。这三句话是不是搞定了？来，平行于平面，平行于第二个平面，意思就是 a 和贝塔平行， b 和贝塔平行，对吧？好，五句话，我确定了，什么面面平行，这没问题吧？ 好，那我们要怎么得到它的推论呢？首先啊，这个一般来说，你看线面平行是在考试，不会跟你说的。那我要得把这个线面平行要展开吧。我们之间怎么说的？线面平行要写哪句话？看这看这看这，要写三句话，对吧？平面外一条直线和平面内一条直线平行，线面平行，对吧？所以我们要把它拆开，写出三句话来，所以我就会得到这样的一个形式，如果 你看一个平面内的两条相交直线和另外一个平面的两条相交直线平行，则面面平行。哎，这就很好用，对吧？因为我这里面不知道这个线面平行，那我要把下面线面平行给补全，会了吧？会了啊，那这就是两个平行，那我们再看啊，这里有两个推论， 我们看推论二，那这有点像平行的传递性，对吧？来，平行于同一个平面内的两个平面平行。我们刚说过平行与同一条直线的两个平行，对吧？那这个就是如果第一平面和第三平面平行，那第一平面和第三平面平行。 这个很容易看出来啊，这就是平行的传递性，所以在平面里共同适用。那我们再看，如果一个平面与两个平面平行。 呃，如果你看啊，已经有两个平面平行了，那我可以做一个共同交于两个平面的这样一个交面，那它会形成两条交线，对吧？那这两条交线平行，这就是平面与平面平行的性质定律。 好，那记住就可以了。那我们看啊，性质定律都都有些啥？你看线面平行，我可以做一个交面，对吧？交面会产生一条交线，交线和线平行，对吧？面面平行，我可以做一个交面，那它会产生两条交线，那这两条交线平行， 很容易，记住吧？好，那这个就是它的性质，我们刚刚梳理过了，我们就不看了。呃，你可以回去看一看我有没有漏掉的，你可以自己看一看啊。那我们再看直线与平面垂直。线面垂直，线面垂直。如何证明？我们要得看什么？看？判定定力，对吧？如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么线面垂直，这很容易理解的，对吧？ 两条相交直线可以确定一个平面，所以呢，这条直线如果与平面内的两条相交直线，我是不要写出来来， a 和 b 都是，而法内 a 和 b 交于 o， 这不就是平面内的两条相交直线的意思吗？对吧？好，我要得使得这条直线与平面内的两条相交直线都垂直。好，那都垂直，则先面垂直，所以我要写五句话，对吧？ a 属于二法， b 属于二法， a 交 b 与 o， 然后 l 垂直于 a， l 垂直于 b， 则 l 垂直于面。而法啊，这里还要写面啊？面面面面面。好， 我们再看性质定律。那垂直于同一个平面的两条直线平行，这很容易理解，没问题吧？哎，我第一条直线垂直于这个平面的两条直线平行，则这两条直线相互平行。 这个你如果是美术生，你画一下图，你能看得出来？呃，体育生嘛，你也画一下，可以吧？你不至于长这么大，你这个图也画不出来啊。所以，呃，如果两条直线都垂直于这个平面，则线线平行。好，这就是我们直线与平面垂直，如何去证明？我已经讲完了，我们再看一下 这个平面与平面垂直，那我刚会正了。直线与平面垂直，对吧？那直线平面与平面垂直就特别好正，你不要觉得很难来。直线与平面垂直，我刚正出来了，对吧？ 好，如果呢？我有一条平面，就经过这条垂直于这条平面的这个直线，则面面平面垂直，那就这么简单。所以你只需要写一句什么，你就只需要写一句，哎，这个平面就经过这条垂线就结束了。所以就意思就是我这个 l 就 在这个 b 塔平面内， 那 l 已经垂直于 r 平面，则 r 垂直于 b 塔，就这么简单，没有难度，对吧？所以很简单吧。那线面垂直怎么写？还记得吗？还记得吗？还记得吗？来，看这看这看这，我要写五句话，对吧？直线与平面里的两条相交，直线垂直，则线面垂直。 嗯，很好啊，那知道了，这个我们就。嗯，结束。那我们再看性质定义。性质定义，那如果我现在有了这个平面与平面垂直，那我可以找到什么？平面和平面垂直？他们肯定有一个交线，对吧？没问题。好，那这个交线呢？我可以在平面内找到一条直线 l 和我的这个交线垂直，那我就可以得到什么？得到这个 l 就 垂直于这个平面啊，怎么写啊？来看啊， 平面和平面垂直，对吧？那我 l 就 在 b 塔平面内， 那我如果得到 l 和我这个交线垂直，则线面垂直，所以我从面面垂直可以找到线面垂直。我要找什么？找交线和我这个平面内的一条垂线就可以了。很简单啊，这个推断和其他阶段你们自己看一下就行了，基本不会考。那这就是我的几何法证明。那几何法证明里面我没有讲什么， 我是不是直接开始讲线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，对吧？那我为什么要讲线线垂直，线线平行呢？ 为什么？知道吗？那是因为我们初中学过线线平行，线线垂直，所以呢，我要得有一点初中的基本几何尝试，不然的话，你这个立体几何会错的有点吃力。首先来看一下啊，中位线定力是什么， 还记得吗？记得，对吧？来一个三角形中，我如果找到两个边的中点，我连接，我就会与下面这个平行和这个直线相互平行，且这条直线等于下面这个直线的二分之一，这个中位线定力，对吧？很轻松，没问题吧？不用写那么多，很直接写两个中点。哎，所以他是啊， 两个中点，然后平行就完了，不用想那么多啊，来等腰三角形的性质。来等腰三角形会有什么性质呢？这两个边相等，则我等边对等角。这两个角相等，对吧？还有什么性质啊？ 还有我的这个三线合一，对吧？中线垂线和角平分线是同一条直线，没问题吧？好，我知道这些性质就可以了。来，我们还看一下等边三角形。那等边三角形是什么？是不是六十度的等腰三角形没问题吧？所以这三个边都相等，而且它有三个 三线合一，对吧？它还有一个。呃，三个三角合一有一个重重心，对吧？那个重心它是什么？上面比下面，它这条比这条是多少？比多少？二比一嘛，对吧？一共是三嘛？所以这边占三分之二，这边占三分之一，这个能清楚吧？这是等边三角形的性质。 你初中不太好，稍微补点初中内容啊。这个，这没有办法，我没有那个时间去给你补初中知识。那这个初中知识没有任何问题吧？这三个，那我们再看全等和相似，那全等相似，我不需要让你证明那么多东西，你只需要知道，哎，三个角相等，那就是相似，对吧？来，三个边相等，那就是全等，对吧？两边就是两角，你看两边一角， 呃，相等，那就是全等嘛，对吧？所以这个，呃，你知道基本的一些知识就可以了。然后我们还需要一些知道一些基本的一些几何图形，里面有这些平行垂直的关系，你就知就可以了。比如说什么？比如说我这个梯形， 那无论是我直角梯形还是等腰梯形，那我都有什么？我上下两个平，上下两条直线都平行，都没问题吧？然后我还会有哪些条件？比如说，如果是我的这个直角梯形， 那如果是直角梯形，上面和下面如果是二分之一，则我的这个对角线这个点，它就是一个三等分点，这没问题吧？好，这是几何图形，你要得稍微对这个平面几何有点感觉啊。然后还有什么？比如说正方形，然后长方形， 然后菱形，对吧？这是我们的一些考点，比如说正方形里面，我是四个边都相等，并且它有四个边都有这个垂直，而且我对角线一连也垂直，没问题吧？而且对角线相等。 然后呢，这个长方形它有什么性质呢？它长方形的对角线一连，它相等，但不一定垂直，没问题吧？但是呢，长方形它有什么？它天然有四个垂直，这没问题啊。然后呢？菱形，菱形有什么规则？菱形的对角线一连，它们相互垂直，但是这两个对角线不一定相等，对吧？但是我菱形的四个边都相等， 这没问题啊。好，那知道这些就可以了，基本就差不多。然后再平行四边形，那平行四边形对边相等，对角相等，没问题吧？对角相等，那对边相等且平行。好，所以我有些时候证明平行的时候，我只需要指出它是个平行四边形就可以了。那平行四边形如何证明呢？如果我的对边平行且相等，它就是平行四边形，如果我的四个边 就是对边两两相等，那就是平行四边形，对吧？这个比较好证明吧？这个初中的东西应该没有忘忘光啊。然后在这里啊，我要得在这个垂直，这里我要得稍微补充一个东西，叫做三垂线定律。好，那三垂线定律是什么呢？如果啊，我在这个平面而法内有一条这个 a 直线， 对吧？然后 l 是 一条这样一个斜线，但是交于平面没有问题啊，那我可以做这个 l 他的一个垂线过来，那我可以在这个平面内找到这个 l 的 一个摄影， 清楚吧？你看斜线摄影，这垂线没问题啊，如果我这条线和我这个斜线的摄影垂直，则这条线和这个斜线就垂直，这没问题啊。嗯，因为这个垂线肯定垂直于这个 a 的。 好，如果这条线垂直于这个 摄影，那就垂直于这条线吗？对吧？如果现在有什么这条线垂直于这个斜线，则这条线就垂直于这个摄影啊，倒过来用也可以。所以他到底是啥呢？我他其实就是一个线面，就是线面平行， 没问题啊，你看这条线和这个垂线肯定是垂直的，因为垂线肯定要垂直这个平面嘛，所以他垂直于他没问题。如果我证明出他垂直于他，那说明一条线与一个平面内的两条相交，直线垂直，则线面垂直，线面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直， 都没问题啊。所以，然后再来一个，比如说这条是垂线，对吧？垂线和这条线垂直，那斜线也和这条线垂直，那就说明这条线和这条线垂直，所以这条线就和这条线垂直啊，所以这个就是三垂线定律。其实就是什么？ 就是一个线面垂直不断在用而已，就是正过来，反过来用，所以这是我们初中的一些几何知识，我们要得会，然后这个几何法证明就这么多内容。 你很快就几何法证明的时候，还有一个点，就是我们初中可能会学过的一个知识，叫什么？叫如果是个直角三角形，我肯定有什么，肯定可以用勾股定律，对吧？如果给你一些边长关系让你去证明这个垂直，你可以用什么证明啊？ 我可以用勾股定律来证明垂直啊，不要忘记有些题他就是让你反反复复的在用勾股定律来证明。呃，那这个算不算高中学的内容呢？肯定不能算高中学的内容啊，你这个勾股定律一定要记住。好，那我们再看一下间隙法如何去证明。好， 我们先看一下啊。第二问，我们要一般考察什么？我们第二问，一般考察什么？二面角呀，线面角呀，点面具呀，面具呀，线面具呀，动点问题啊，外接球啊这类的一个问题。那。呃，一般来说呢，这些东西 我可不可以用几何法来做？可以，那我要用几何法怎么做呢？我肯定是在这个这一大堆图形里面，我要去，比如说 啊，我要找这个二面角，对吧？我可以找二面角的平面角，比如说我如果要求这个平面和这个底面的二面角，那我怎么找来？我要得找这条线做一个这样垂线，找出这个垂线，然后呢？再找出这条垂线。好，我要算这个角，那这个算这个角怎么算？我可以再做一个垂直，用勾股定律算，对吧？这是？ 嗯，这是几何法的做法，对吧？这也是你高一学过的内容。这不是你高一没学过，高一我们没有学间隙，所以我们高一这种什么二面角呀，还有这种下面角呀，我们都是用什么做的？都是用几何法去找那个角，找那个角的平面角，然后，嗯，然后用勾股定力把它算出来的。这个， 呃，但是高考题会让你这样做吗？那个图形一般都很复杂，你要去搁那找角，你肯定是在那段时间里面是找不出来的。所以呢，我们用几何法做这样的计算题是很不方便的啊，我们最好不要用几何法来做。 那我们用什么方法呢？我们可以间隙，那间隙是干嘛？首先间隙首要得找出三条两两垂直的线，以右手来间隙来，拿出你的右手 能不能比出像这样的一个图形来，你能不能把你的大手可以比成这样的形状，可以吧？好，那我们规定什么？你看，规定你的中指叫 z 轴，叫 z 轴。好，那你这样张出来，这个轴叫做 x 轴，然后你的这个 x y， z 还可以随意旋转。那比如说，哎，我长这样子， 那我现在啊，我的图形就是长这样子，那我现在规定他叫做这轴。那我可不可以用你刚才那个右手来怎么弄？我把右手张开，你的拇指指到哪了？拇指是不是指到这了？所以这是 x 轴，那食指指到哪了？食指是不是指到这了？这是 y 轴， 你能弄懂，你能弄清吧？可以啊，你要你如果把手摆成这样子，你的拇指就是 x， 食指就是 y， 中指就是 z， 一定要，一定，不要忘记，一定要摆成这样子啊。好， 那我们还有一个方法叫做这个，学过物理的人都知道这叫什么？这个叫右手螺旋定则，对吧？这也是拿出你的右手啊，不要拿出你的左手，把你左手收回去。好，拿右手。好，拿右手啊，拿右手，拿右手，拿右手。重要的事情说很多遍，好，我们一定要拿出右手来，你把它螺旋这样放着，你看啊，你的这个大拇指朝上，对吧？这就是 z 轴。好，那谁是 x 轴，谁是外轴呢？ 好，你看啊，你的拇指螺旋方向是哪个方向？是不是这个方向？你看啊，我们的 x 轴向外轴，这样就是 y， 对吧？所以这个就是你看你的卷法，你的，你如果手最后卷出来，应该是这样子的，你如果手卷出来是这样子的，你看，我如果在这建了个这轴，那你手如果卷成这样子了，那谁是 x 轴，谁是 y 轴呢？由 x 指向外，所以这边有一个 x， 那 这边肯定有一个 y， 肯定吧，你看，就这样卷的来，比如说这个，你看我这轴已经确定了，来，我右手来卷一下，是从哪指向哪，你的卷法应该是绝对是这样，对吧？从 x 指向 y。 好， 我再举个例子， 比如说我的 z 轴向下，那我的，呃，那我现在画这两条线，这条在前面，这条在后面啊。来，我拇指是不是这样放下去了？你的，你这个是我从哪卷到哪？是不是从这卷到这， 对吧？所以从 x 指向外，这是 x， 这是 y， 所以 这也很好做啊，要么你把你的手伸成这样子啊，都是右手啊，不要弄错，都是右手。来，你把你的右手拿出来做一遍来，这个右手指成这样子啊，拇指是 x， 食指是 y， 中指是 z， 任意旋转都可以。好，然后你可以把你的手弄成这样，螺旋状，由 x 弯向 y。 好，这个就是我的解析方法。所以我解析的时候呢，写法是什么？你刚刚是不是在图上已经把这个箭头已经标好了它如果是这样一个几何图形，我这个箭头已经标好了，对吧？那它上面肯定有 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g， 那 么一堆一堆点，对吧？好，那你要先把圆点写清楚，这是以什么？什么为圆点，以 a 为圆点， 以 b 为圆点，以 c 为圆点，都可以，对吧？好，以 a 为圆点，什么？哪个向量为 x 轴？你看啊，一定要得记住啊，有些人很多时候都要写什么 a、 b 为 x 轴， a、 c 向量为 y 轴， a， d 向量为 y 轴， a， d 向量为 z 轴来解析。如图， 如图要写，因为你要在图里面做箭头啊，那个你高考做图的时候啊，你用铅笔把它写好，画好以后，你再用中性笔把这个箭头给描一遍，因为过不去那个机子，识别不了你那个铅笔画的啊。所以你要得让老师看你的间隙，你要得写一个如图给写好啊，然后按照题目的信息，我要得先写出点坐标 来，你 x、 y 在 你都清楚了，如果说这个 a、 b 长度为二，那 x 等于多少？ x 肯定是二嘛。那如果我说你看 b 点这个坐标，如果我说这个长度是二，那在 x 轴上，那要怎么写？ b 点坐标， b 点坐标，是不是只有 x 是 二零零，对吧？这个很会写吧， 如果在每个轴上，那对应的哪个轴以外的两个，比如说，如果我在 x 轴上，那 y 和 z 肯定是零嘛，对吧？他演的顺序也是 x， y， z， 对 吧？这个点的顺序也是 x、 y、 z， 所以 你要写出点坐标，慢慢写，你写个五分钟都没有关系，你这个点坐标写慢点啊，然后因为点坐标不能写错，如果写错了，那你这道题就全部废了，没有办法。然后呢，我还得写下量 啊，我要按照题目信息写点坐标，题目让你写哪个点坐标，你就写哪个点坐标，不要写那么多，你看啊，比如说这道题，你看啊，题目说了什么来？ p、 b、 c 和平面 p， d， c 的 夹角的余弦值。那我应该写哪些点坐标？我是不是写 p 点坐标， b 点坐标， c 点坐标写过了，把 p 点坐标写过了，所以我只要写 p、 b、 c、 d 四个点坐标，对吧？ 有些人就很可笑啊，你还要写 p 点坐标， a 点坐标， b 点坐标， c 点坐标， e 点坐标， d 点坐标，全写出来，你浪费时间不？很浪费时间啊，这没必要啊，你只需要把那个题目啊，要求你写的给写清楚就行了。好，点，坐标写好了，我要求向量，对吧？我要求向量，向量怎么求？就是中点起调，对吧？来，我教你如何写点坐标啊，你把点坐标竖着写 来，你看，一一对齐，对齐在这，可以吧？来，你项链也给我竖着写，来 a、 b 项链，那我就是 b 点减 a 点，对吧？中点减七点，来 x 中点减七点，就是得减 a， 得减 a， e 减 b， e 减 b， f 减 c， f 减 c， 对 吧？ e 的， 你看，这就写出来了， 你看啊，我让你竖着写的目的是什么？不要算错。很多人啊，这个横着写完以后啊，你看， a 写在这， b 写在这， c 写在这， d 写在这，然后呢，你 x 减 x 的 时候，你可能是用 y 减 x， 你 说你亏不亏吧？所以啊，你把这个竖着写好，你不容易出错啊。那个减的时候，你就是对应这样减，对应这样减，对应这样减，来中点减起点，你看啊，这 a b， 那 b 放在后面，对吧？就是 b 减 a， 得放在后面，对吧？得减 c 来，得减 c， g 减 e， k 减 h， 到 l 减 r， 这不完了吗？所以你要得会写这个点坐标啊。向量，向量会写了吧？向量就是终点减起点，终点就是这个起点就是这个，对吧？来复习一下啊。向量它是一个有象线段。好，这样一个有象线段，对吧？那这个有象线段它有些什么性质呢？首先，向量我要得会写，比如说这个叫，如果我知道这两个点坐标， 我可以通过中点减七点，中点减七点，中点减七点来把这项量算出来，对吧？这项量怎么写？会写了吧？如果现在知道一个项量，对吧？这是个项量啊，这项量来这里有一个误区，大家特别会 错，点坐标不用写等号，你看我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？但是项量必须写等号，不要忘记啊。所以很多人可能就是点坐标也写等号，项量也写等号，要么点坐标不写等号，项量也不写等号 啊。这这这。呃，见怪了啊，说，我不要这样搞，你看点坐标不写等号，向量写等号，嗯，记住啊，记住就行了。所以我现在如果知道这两个向量，随便一个向量，对吧？那向量的模怎么算？模就是我每个，你看 x， y， z， 对 吧？ x， y， z， 那 这 abc 这三个点我要怎么办？都平方和，你看平方和，再开根号，这不就是我的模吗？ 就是我的长度。向量的长度怎么算？就这么算。好，那这个两个向量的点击就是点乘乘 y， z 乘 z， 三个加起来，你看 a 的 加 b， e 加 c， f， 错了吧？好，那数乘就是比如说这个拉姆达就是个三，或者是二，或者是一，对吧？那这样一个数乘一个向量，那就是意思是我每个点坐标都要得乘这个数，那比如说我这是未知数，可以吧？那拉姆达乘以 a， 那 就是 a 倍的拉姆， b 倍的拉姆达， c 倍的拉姆达。你看我都乘这数乘它还是向量，但是点乘我就变成一个数，你看这是个数， 没问题啊。好，所以这是空间向量的一些基本知识，我就变成一个数，你看这是个数，没问题啊。好，所以这是空间向量的基本就用到这些，其他的不用知道就行了。好，然后这个向量 我就讲完了，向量如何做？没问题啊，现在如果我找到了两个平，就是平面内的两个不共线的向量，那两个不共线的向量也就是两个不共线的直线吧。那两个不共线的直线可以确定一个平面，对吧？那两个不共线的向量也能确定一个平面。好，那我如果要得求法向量的时候，我要得写什么来看清楚啊？向量如何求？来这里啊，非常重点，重点，重点，重点， 我要得首先写一个叫做设平面某某某的法向量为 n 等于 x、 y、 z。 哎，这句话必须写，就比如说，哎，我在这里你看他说平面 p、 b、 c， 那 我是不是要求平面 p、 b、 c 的 法向量，对吧？怎么写？设平面？平面，面吧，面别面 p、 b、 c 的 法向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 你 看是啥你就写啥，你看我就默写，默写啊，然后我再找出这个平面两两个不共线的向量，可以吧？我找出两个不共线向量，那我要干嘛？法向量是什么来？比如说这是个平面，那法向量就是与这个平面垂直的向量， 那垂直于这个平面，那意思是我这条这个法向量就垂直于这个平面的所有直线，那我是不是在平面内找了两个不共线的向量，那这个法向量是不是与这两个不共线的向量都垂直？那我就要列一个这样的式子，叫做这条向量乘以法向量等于零，因为你看啊，如果是向量和它垂直，那我可以互推出。你看啊， 这个 r 向量和我这个 n 向量如果是垂直的，那他们两个点击就为零，那这就是我两个向量点击为零，你就写成这样就行了。来，法向量具体怎么求的，我现在告诉你 啊，原来你们的法向量求法的话，你就要得写出这个式子来啊， a 点乘 n， a 点乘 n， 怎么写啊？来， x 乘 a， 那 就 a， x 加上 b， y 加上 c， z， 对 吧？等于零，然后这边是得 x 加上 y 加上 f， z 于零，然后你要解这两个方程，对吧？啊，你别这样了啊，我们直接就做。呃，首先啊，我们的口诀叫做求谁挡谁，交叉相乘外取负好，比如说，我要得求这个法向量，你看法向量里面的 x， 对 吧？我把这两个向量竖着写好，对吧？竖着写好，我求谁挡谁，我要求 x， 我 就把 x 挡住，你看， x 挡住了，挡住了，挡住了。来交叉相乘，它乘它，它乘它相减， 它乘它减它乘它。就是 b， f 减 c， e， 你 看 b， f 减 c， e， 可以 吧？交叉相乘相减。好，呃，那个我们再看 z。 怎么求？来，看啊，我要求 z 挡 z， 我 把 z 挡住，来，它乘它减，它乘它， a 乘 e 减 b， 等于， 可以吧？好，求 y 挡 y， 我 把 y 挡住，交叉相乘， a 乘 f， 再乘 n， 再减 c 乘 d， 对 吧？来，我要 y 取负，对吧？来，我要取个符号。 为什么要取符号？来，我给你看演示一下啊。我求 x 的 时候我挡住了，这四个是不是连在一起啦？ 我求 z， 我 求 y 的 时候，来，这四个断开了，那我是不是应该怎么样？我断开了，是不是规则稍微不太一样？那我就加个符号嘛。这行了， 所以你就这么理解这个到底是什么原因？你到大学你就知道了。好，这个不用管，你法向量这么求就行了。你这个不要把这个过程写上去啊，你也不要把这个口诀写上去。呃，你偷摸着用就行了。来，你看设这个向量来，点击为零，来，这三句话写好了，对吧？直接写法向量，比如说这是个一二三 一二一二三，这是个三四六。好，你会求法向量吧，你直接就算就行了，你看二乘六减四乘三，写出 x 来求 y 等 y， 对 吧？然后三乘 忘记了，哈，就那样一算就行了，一算就行了，这就结束，对吧？好，这个法向量会算了，对吧？法向量就是平面里与平面垂直的向量，算出来就行了。就他只要说平面，你看，比如说这样一个题，他说平面与平面的夹角，那我就要算这个平面的法， 这个平面的反向量。哎，我要得解决这个问题。你看二面角。二面角啥意思呢？来， a p d， 你 看 a， p d， 你 看 a p d， 这个平面和那个平面呢？ p d c p d c o， 这个平面。好，两个半平面的夹角，就是这个平面和这个平面的夹角。那我要算什么？这个平面的反向量。这个平面的反向量会算吗？会算啊，不要忘了我们会算好 反向量，会算了，我们再看怎么算后面的部分，比如说算二面角。二面角。什么二面角？就是我两个半平面的夹角，你看啊，这个叫半平面，这个叫半平面， 那我这两个半平面之间可以形成一个夹角，对吧？那这个夹角最小是多少度？最大是多少度，你知道吗？知道，对吧？你拿出你的卷子来翻一下，哎，我是可以从这个零度，你看我是可以从这样的形状可以一直翻过来，对吧？翻到一百八十度， 你再往下翻，和上面翻的一样，对吧？反正就是你零到一百八十度吗？那如果是两个平面的夹角是啥意思？那平面他是无限延伸的，他长这样的，对吧？来，平面是无限延伸的， 哎呀，这个是来，这是两个平面的夹角，对吧？它会形成一二三四四个角，那我要取哪个角呢？我要取小的角。所以如果考点是什么？考点？如果是两个平面的夹角，那我最后算出来，我只需要算它的最小的那个角就行了， 可以吧？但是如果是两个二面角的夹角，那它是从零到一百八十度的，对吧？零到一百八十度的，嗯，所以它的余弦值肯定有正有负。好，我们再看。呃，这个出两个 m n， 两个反向量，对吧？那我要得设，你看啊，二面角也有一些规则要写啊，你要得设二面角为 theta 啊，你就这么写就行了。然后 cos theta 啊，但是标准的写应该叫做设二面角的平面角为 theta。 好， cos theta 等于 cos theta m n， 那 cos theta m n 怎么算？ m 乘 m 的 摩乘 n 的 摩乘 n 的 摩， 可以吧？这很好记吧？好，很好记啊，那 m 点乘 n 会算吧？它们的对应 x 相乘，对应 y 相乘，对应 z 相乘，加起来，对吧？那 n 的 模怎么算呢？它的 x y z 全部平方开根号，对吧？加起来，然后它也是全部平方加起来开根号，对吧？这很好算啊。然后如果看图，看图，如果是钝角，那我就取它的负值。看图，如果是锐角，我们就取它的正值，如果你的观察力不强，你就直接取正值，往往百分之九十题都是正的。 好，这样就行了。好，最后你答一下，你就答一下。说什么你这个算出来口算谁？他他是我这两个向量的夹角。那我最后要答一下，你说什么？二面角口算，二面角的余弦值是多少多少就完了。如果让你算算怎么弄？算的话，我就用这个公式，根号下一减口算一方。这个公式有没有不会的？ 会的吧，一定会的啊，一定会啊。如果你算出来这个口算呀，然后你也可以画个直角三角形，然后你这个口算，如果是一个 a 比 b， 那 口算也是 a 比 b 呢？就是零边比斜边嘛，对吧？这是 b， 零边是这是谁他嘛？零边就是 a 嘛，对吧？然后 a 比 b， 那 我可以用勾股定力稍微算一下这个，那这个就是根号下 b 方减 a 方嘛。 然后呢？算一次他就是谁根号下 b 方减 a 方分之 b 嘛，对吧？这个，嗯，你也可以画直角三角形，也可以，干嘛也可以用这个嘛？这个我们怎么用？我们知道算一方 set 加 cosine 方， cosine 等于一嘛，所以我可以用这个公式，这是个三幺乘法式，对吧？如果要算 cosine， 我 可以把它移过去，叫做一减 cosine， 对 吧？平方我要看更好，这不就完了吗？这不是公式嘛。所以一定要记住啊。这个，如果他让你算正弦值，你就要得用这个方法算，没问题吧？那正弦值的话就轻松了。如果余弦值我不知道。正负无所谓，我平个方，你正负都无所谓了啊。那一减它，那 cosine 肯定是正的， 这没问题啊。好，我们知道了。二面角如何算？我们还要得看线面角如何算，对吧？线面角是什么？直线与平面的夹角，对吧？你看直线与平面的夹角，那这个角怎么算呢？来，这个角算出来叫做 sin theta。 来，注意，注意，注意，注意。你看二面角算出来叫做 cos theta， 对 吧？线面角算出来是 cos theta， 那 cos theta 是 啥呢？就是 cos theta。 这个 a 和 n a 是 什么？ a 就是 直线向的向量，比如说这直线向我取的向量叫做 a 向量， 可以吧？完全可以啊。然后呢？平面 r 的 反向量很向量。好，那怎么算？口算 a n 会算吧？口算 a， n 就是 a 乘 n 的 幺 n 幺，对吧？那算 x， 它肯定是一百零到一百八十度嘛，那肯定是正的，所以我给这个整体去绝对值，所以最后算出来，无论是正还是负，我都去 正会了吧。好，那口算 x， 它怎么算？来根号下一减三方，这就很好弄啊，那这个线面角就结束，线面角就这么算，那线面角的话也要得，也要写这句话，叫做设，你看某个直线与平面的夹角，也叫做设，某个线面角等于 x， 它 设什么？什么 vc 碳啊，你要写这句话，然后算完以后，最后还要得搭一下，搭一下，搭一下。好，那个距离，那距离公式是这个，那得等于一条距离是什么？距离是点面距，线面距，面面距，你看点到平面的距离，直线到平面的距离。呃，平面到平面的距离。 好，那怎么算？那我首先啊，点面距，我要转换成线面距，那点面距我要得有一条直线可以相交于这个平面，那我在这条直线上找向量 a， 那这个就向量 a， 那 直线那就好弄了，那直线上的向量就是 a。 向量好，平面，那平面的话呢？我要在这个平面和这个平面相交的这个部分，我要得找一个 向量 a， 所以 他们三个，比如说点面具我要转换成向量面面具我要转换成向量，所以我最后算的就是向量 a， 那 这个向量 a 是 啥，知道了吧？ a 就是 我的这个直线上的向量好，那就是法向量来，直接在这个公式来。这个公式和这个公式有什么区别？我不除以 a 的 模二。 看清楚啊，我不除以 a 的 模儿好，一定要注意啊，这个公式不要背错， a 点乘 n 比上 n 的 模儿好，这是距离公式来，呃，这个动点问题，动点问题是什么？动点问题就是这个意思，如果我有一个直线，比如说这叫做 ab 向量，这是 ab 向量，没问题啊，那我知道 a 点坐标叫做得 e f， 那我算出来这个 a b 向量是这个，对吧？这没问题。那现在我知道点 p， 我 如果上面写着什么 p 点在 a b 上运动，哦， p 点 p 点在这个 p a b 上，也没说 p a b 多长，对吧？那我就说了点 p 点在 a b 上，那我可以列什么？那我可以用向量共线定律，你看 a p 和 a b 共线，所以 a p 等于 a b 的 楞大倍。你看 a p 等于楞大倍的 a b， 那 楞大倍的 a b， 那 我 a b 向量，我知道的，那就是直接就是 那么大， b 那 么大， c 那 么大，那我可以写出这个点，对吧？好，那 a p 就是 p 点减 a 点，那我把 p 点设为 x 的 y 的 z， 可以 吧？那 x 减谁？你看 a p 嘛，那 p 点减 a 点，那 p 点减 a 点，我知道，就是 x 减得，你看 x 减得，那就是 a 那 么大， 没问题吧？ a p 嘛，好， y 减 e 等于 b 篮板， z 减 f 等于 c 篮板。我可以通过这个 p 点减 a 点，我可以得到 a p 向量，那 a p 向量这个我是用 lambdas 表示出来了，对吧？呃，表示出来了，好，我最后把这个 x 一 解，那 p 点的坐标又出来了。你看 x 一 解出来，那 x y z 就是 p 点的坐标吗？那 p p 点坐标也出来了，那 p 点坐标我出来了以后，我虽然带着 lambdas， 但我也是一个 p 点的表示方法，没问题吧？所以我 p 点的这种动点我表示出， 那表示出来了，我可以带进题目信息，比如说他告诉你了什么二面角呀，我可以带进去把这个拉曼解出来，这个就是重点问题，很简单啊，这个没有那么难。后面我们有题，我们可以做让我们看外接球，那外接球半径，我可以通过间隙把所有的顶点 给写出来，然后呢，我可以射球心叫做 o 的 x y z， 然后我知道什么外接球，那就是，呃，如果是这样的一个图形，那意思就是我外接球就是我所有的顶点都在球面上，那球面到圆心的距离都相等， 没问题吧？所以我可以把这个 o a 向量， o b 向量， o c 向量， o 的 向量就是所有顶点和这个 o 的 向量写出来，那他们的模，那他们的模不就是我原先到每个顶点的距离都是我的半径吗？我可以列这样一个式子，叫做 o， a 的 的模等于 o， c 的 模等于 r， 我 可以解出什么 o 点坐标，我可以算出这个 r， 这个 说着比较轻松，但是呢，计算量稍微有点大，那几何法也是可以通过这个外接球来算的，但是呢，啊，这个 不太直，就是，呃，用几何法去看那个外接球，他是不是那么很容易看出来的，所以我们能用间隙的时候，就是能直接用间隙来求外接球的话，嗯，我们用间隙来求，虽然说计算量比较难，但是我们不会花那么多时间在看图上。 如果你要用几何法来去弄这个外接球也好弄，但是需要再补充更多的一些知识，那个就是比较分数比较高的一些人的选择，那我们也可以再把它放在小题里讲，因为小题考外接球是考的真的比较少。那近年的话， 去年的高考题就考了一次吧但是，呃去年高考题也是考在一卷里了二卷基本没考二卷一直都是那个难度一直都是比较常规的题型但是呢我们也会补充，呃这个外接球在大题里如何考因为有这样的一个题我放这了啊所以外接球的话呃结合法的方式可以做但是我不会去大奖特奖在这个大题里那我们呃 在小题里把这个几何法的外接球在那个时候再建好这个几何法这个间隙法的这个计算我稍微讲了一下啊间隙法你发现哦这个计算其实很有套路对吧我只需要什么写这个我只要找出两两垂直的这个情况我可以间隙对吧。间完系我要写这句话写完这句话我要写点坐标写完点坐标我要写向量写完向量 我就开始求法。向量对吧向量就是要写这三句话然后向量哐哐哐一下就算出来了对吧然后二面角我要得设设对吧设然后设好以后可以代公式一下就算出来了你发现哦还真的挺 套路的你发现真的没有难度啊这个没有什么难度的然后线面角也是你设线面角为什么 set 然后呢算 set 代公式一下就出来了。好你要得算出反向量啊然后的这个距离也是你算这个点面距啊或者线面距啊面面距你就设它为的好那的往这一代公式就出来了。好 动点问题的话呃他如果说这样 p 点在某某个直线上运动那我要得写什么向量共线定力对吧。向量共线定力我把它写出来，然后我反解，把 p 点反解出来，然后用 log 表示 p 点，那我用这个动点， 把这个动点我画成了定点，对吧？那我至少我这个 p 点的这个坐标我可以表示出来，那表示出来以后带入题目信息，我截出来，这就很轻松啊。然后外界求半径的话，我就是要弄什么，我把顶点全部写出来，顶点坐标写出来，然后干嘛？射球星坐标 x、 y、 z， 然后通过什么？我球星坐标到球星到 这个顶点的距离就是半径来，我可以列一个等式，把这个 x、 y、 z 给算出来，这个就还是算量稍微有点大，然后别的就很简单，对吧？然后我们看一下几何间隙法证明是什么东西， 因为有些题目他那个第一问题目信息就给的比较全，所以我们直接用几何法来证明。好，我们这个很快就能看完啊。来线面平行，那我如果要得证这个线面平行，那我还能证什么？你看线面平行，我前面是用那个直线外平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，对吧？ 我还得找平面内那条直线是哪个，对吧？我现在我建好细了以后，直接可以算平面的法向量。法向量不就是垂直于平面的向量吗？如果线面平行呢？意思就是我这条直线和平面平行，则什么？ 这条直线后的法向量就是垂直的？好，所以我只需要正这条向这条直线上的向量和我这个法向量是垂直的，那意思就是我垂直就是点击为零呗，这就完了，我只需要算 a 乘 n 等于零就完了。好，如果是平面与平面平行，那，呃，我两个平面的法向量可以算出来，对吧？那这两个法向量就是平行的。 好，那我要得正，两个法向量平行，那我可以是它的数倍。要做平面向量基本定律嘛，对吧？这个向量和向量平行，他们是数倍关系， m 就是 那么大的 n 嘛。好，然后线面垂直，线面垂直，就是 直线与平面垂直，那这个直线和平面垂直，那他与法向量就是平行的。好，那他与法向量平行，那我可以用 他们是数倍关系吗？这就完了，我只要把这个向量算出来就可以了。一看他是一个两三倍关系啊，三倍关系还是两倍关系，我就证明出来了。这个向量和法向量垂平行，则直线与平面垂直，这不就完了吗？然后我再可以找什么面面垂直， 我还有什么方式？我算出来以后，他如果与我这平面内的两条向量 垂直，那也说明我线面垂直啊，这，这也比较轻松。然后面面垂直，面面垂直的话，就是我两个反向量嘛，对吧？这两个反向量，那面面垂直，我两个反向量也是垂直的，那我只需要这两个反向量垂直，那两个反向量垂直，我只需要把它们算一下点击是不是零就完了。那点击还会算吧？会算啊，会算 x y z 对 应，相乘相加就行了。好，这个就是我的间隙法证明，那间隙法证明明显就 不需要任何的知识点，直接一算就可以了。然后，呃，这个几何法证明要掌握清楚啊，一定要得。注意啊，这个勾股定律一定要得。会用。那个第一本可能会用到勾股定律。好，这就是我这个百日冲刺课立体几何的思路部分。那我们再看题目来练习一下啊。题目练习一下，这个不刷，光讲不练，那就是空本事。我们要得练练题。

大家好，欢迎来到星星子爱数学，那么今天的每日题是这道题，我们来看一下，他说如图， 如图，这是能长为二的正方体，我们的正方体，那特别好解析，对吧？他说这个沿这个相邻三个面的对角线截出了一个这样的多边形，它叫做 a， b 啊，多面体啊，多面体。好，这个多面体的怎么写法？我们看一眼吧， 大家就是把下底面写出来，对吧？ a， b， c， d， 然后在上底面开始从这个方向，然后写了个这样一个，啊，这样写了一个多面题嘛，看，他说 e 为 b， c， e 中点，哦， e 为 b， c， e 中点后，这个中点，然后过点 c， e 说过点 c， 还有 e， 还有一个得 e， 哦，这三个点三点成了一个平面嘛，对吧？哦，这样，这样，这三个点可以先成一个平面而法，哦，这是平面而法。好与这个多面体相交啊，多面体的各个面相交。好，各面相交，形成一个多边形。嗯，这很新奇的考法啊，见你们都没见过，他说在图中画出该多边形，然后说明做法和理由，然后并求这个面积， 好，这明显就是一个高一的考点，高三很少这样考，对吧？好，我们首先来连一下吧，你看 b， c 得一，那我们想到的什么？那我们就是，哎，你看得一和 c， 我 是不是可以直接连上，因为 b， c 得一嘛。好，然后 e 和 c 能不能直接连上，可以吧？ 好，那 e 和 c 可以 连上，然后现在就剩的是一个得一和 e， 对 吧？那得一和 e 这个面，那我能不能把这个 c e 延长一下？看，我把 c e 延长一下，延长到这里吧。 嗯，然后我再把这个得一和这个连接在一起，那这样的话，你看啊，我会出现什么？哦？但，但这个的话，我，我是要得稍微补全一下这个正方题，看啊，我把这个正方题稍微补一下，用绿色来补。 好，我这个转换题补全了，对吧？那个的一 c， 它是一个在后顶面的一个直线啊，不要，不要被它影响，然后我们再用这个方式来补看 c 和 e， 我 会与这个点连接，哎，你发现它会与我的这个顶点相交，对吧？然后的一和我这个顶点那么一连，哎，你发现我现在出了个焦点， 对吧？这个焦点叫 f， 好 吧， 这个焦点叫 f， 好，那现在这个 f 和 e， 那 我就把它连在一起就行了，对吧？ 哎，这样的话，我这个平面是不是就是我的平面 r 法可以了啊？那我大概这个方这个做图我是能做出来的。好，那这个图我做出来了，现在我要怎么去写这个过程？我们来想一下这个我是不是先，嗯，连接了这个， 嗯，我这笔咋回事？ 我是不是连接 连接这个 c 的 一，对吧？我把 c 的 一连上了，然后我再把这个 c e 给连上了，对吧？然后 c e 连上了，然后，呃，我再延长了这个 c e， 对 吧？ c e， 然后延长 这个 c e 交正方体于 b e， 对 吧？好，这是 b e 点吗？原来的 b e 点，那就交好了，那我再把这个的一 b e 连在一起， 然后浇水浇这个 a 一 c 一 于 f 点，对吧？哎，这样我就弄好了，然后再把这个 f e 连接， 这样就行了。嗯，哎，这样我就写好了，对吧？写好了，这是我的做法，这做法弄好了，然后我们再他要干嘛？他要说这个要求面积，对吧？因为这个 f， 还有这个 e 为 a 一 b 一， 这个，还有这个 b 一 c 中点， 所以三角形，嗯，那这样就好了，这样的话它就是一个梯形喽，它就只有一个梯形，而且上面是下面这个边长的一半嘛，它不是中位线嘛，这是 f， 这是 e， 然后这是得一，然后 c 嘛？好，那要得求这个面积， 那求这妹子的话，那这个得一。 f， 他 是我的侧棱上的一个部分，对吧？那我知道他是我的对角线的一半，那对角线的话，我会不会求？那我这正方形，他是一个以二为边乘的正方形，对吧？二，二，然后我的对角线就是二。二，二倍根号二，对吧？好呢，这是对角线，那对角线的一半就是根号二，没问题吧？好， 然后我做一个垂线过来，那这半部分这个 ef 是 多长？知不知道？好像不是特别清楚，对吧？但是我的这个的 e c， 你 看的 e c 也是我对角线，那对角线是二倍根号二，对吧？ 二倍根号二，那上面是我根号二嘛？这不是我对角线，它就是中位线嘛。一半嘛。好，那我知道这个关系。然后这部分根号二和根号二对应，那剩下的就是二分之根号二，那这部分就是二分之根号二，那这是 根号二，那这个是多长呢？这是多高呢？那我可以用这个勾股定律稍微算一下呢。勾股定律算一下，那就是根号二的平方就是二。减去这个二分之根号二的平方呢？是二分之一嘛，那就等于二分之三嘛，那就开根号呢？就是二分之根号六， 对吧？哎，这样稍微看一下啊，符合二分之根号六的平方就是四分之六，加四分之二等于四分之八，再除以二，刚好刚好二，对吧？好，那就是弄成功了，对吧？那就说明这个高度，那就是二分之 根号六，然后 e、 f， 它就等于根号二，然后最后得 e、 c， 那 就等于二倍根号。好，这样的话就可以算这个面积。 s， 那 就等于上底，上底加下底，乘高除以二，对吧？根号二再加二倍，根号二再乘以高。二分之，根号六再除以二乘以二分之一。好，算一下这个值就行了。等于四分之根号六倍的 根号二加二倍根号二，等于三倍根号二，对吧？好，重在一起，那这个重在一起的话是根号二乘根号六等于四分之，嗯，那就是根号二。这个我根号六，还可以把根号二提出来的吧？根号二乘根号二呢，是二嘛？二倍根号三，再乘三，对吧？ 然后二三得六，六倍根号三，对吧，然后再除以四，除以四的话呢？我就可以约个二嘛，二分之三倍根号三，这不答案就出来了吗？好，这题，嗯，这题就这么算，这样就算出来了，对吧？第一位， 第一个明显，这就是一个画图嘛，然后再稍微说明一下怎么画这个图，然后最后把这个面积这么一算就行了。小学数学问题嘛，那我们看第二个，第二个，第二个的话，它是平面而法，平面而法，谁和谁？你看我这 c、 c、 e 得一，我就都有，对吧？好，那我就可以看是渐细了，对吧？渐细， 我用蓝色的渐细吧，然后这个边，然后这个边。好，我渐细的过程稍微要写一下吧，这次我们详细的写个过程， 以的为圆点，这个的 a 向量为 x 轴，然后的 c 向量为 y 轴，然后的的一向量为 z 轴，间隙 如图，好记。好啊，那个箭头也标上在图上，然后我要求平面 a 一， b c 一， 对吧？ a 一， 然后 b c 一， 还有这个平面而法平面而法是哪个？是得一，然后 e 和 c， 对 吧？我只要写出这几个点就可以了。那 a 点坐标，等一下，我们要求是哪个面？你看 a 一 b c 一， 这个是 a 一 b c 一， 这个面，对吧？那就是 a 一 b c 一。 其实你可以看这个图，这个图好像就是，哎，你可以看出来它就是我的体对角线吗？体对角线不就是我的呃，法向量吗？那体对角线就与我这个结面是垂直的吗？那这样的话，其实你如果用观察法，你也可以写出这样一句话，叫做，嗯，观察可知 这个面 a 一 b c 一， 呃，法向量为 多少呢？体对角线我就写成一到一到一嘛。好，这完了，正方体对角线你不会写吗？对吧？会写好，那这样就完了呀，这个可以不用写，不用写这个过程，对吧？然后我只要写后面这三个点嘛，那我们也可以。那如果你这个观察能力也不强，那我们就罗老师算一遍啊。 a 一 点坐标的话，就是这个正方体是以 b 能长为二嘛？好，二， 这样的话呢，也好写，那 a 一 点坐标就是二，哎，又 x， 对 吧？二逗，然后零逗二嘛。然后 b 点坐标， b 点坐标是二逗二逗零。 c 点 c 一 点坐标， c 一 点坐标是零逗二逗二，然后得一点坐标，得一点坐标是零逗零逗二，一点坐标，一点坐标是。你看啊，一点坐标，它是 这边的一半，是 x 轴那个二的一半嘛，然后在这这个 y 轴上，它还是在这个 b c 上，那 b c 的 话呢？肯定是二嘛。然后高度，高度是我整个高度的一半嘛，那就是一斗二斗一嘛。好， c 点坐标， c 点坐标是，嗯，零斗二斗零斗二斗零嘛。好，我所有点坐标出来了，对吧？那这三个点构成我前面的面嘛？面 a 一 b c 一， 对吧？反向量为 n 等于 x y z， 对 吧？你要得写好这样设面，它的反反向量，对吧？写清楚啊，然后我再写什么？写两个向量，对吧？写两个向量，我想写谁呢？写这个。呃， a 一， 我想写这个， 你看啊， c 一 a 一， 我觉得这个好，算二到负二到零， 嗯，对吧？二减零，零减二负二，二减二零，对吧？然后再写一个 c e b， 啊，对， c e b c e b 向量，那就是二减零，二豆零豆负二，好，写好了，对吧？然后我们再写一个 c e a 一 点乘 n 等于零， c e b 点乘 n 等于零。好，最后 n 都没写，等于。求 x 把 x 挡住，你看，我把 x 挡住，我把这这两个挡住，然后负二乘负二， 再减零乘零，对吧？等于多少？等于二，二得四，对吧？好，然后我再求 y 等 y， 二乘负二等于负四，再减二乘零，等于负四，对吧？负四，然后我要给他取个负，对吧？那就是负四，取负，那就是四。 好，求 z 挡 z， 我 把 z 求挡住，然后二乘零，再减二至负二，二乘负二，那就等于负四，再加个符号，对吧？那就是四。哎，你发现就等于一到一到一。好，我这反向量就简化成功完了，对吧？你发现，哎，我这求出来和我观察的一样的呀。好，没问题啊。我们再把第二个反向量也写一下， 第二个反向量的话，我就写呃 c 得一吧，这个比较好写。那 c 得一的话呢？就是零到，呃，零到负，二到二，然后 c e 吧， 那就等于一到零到一，然后我再还得写个过程，你看，我还得设面得 e c 反向量 为 m 等于 x， 得 y 得 z， 对 吧？写好，然后再写这个 c 得一点乘 m 等于零， c e 点乘 m 等于零，然后再写 m， 求 x 乘 x， 它乘它减它乘它二负二，对吧？然后二乘一，再减它，那就是二嘛？对，然后求 z 等于乘零乘它，然后减它，那就是二嘛。好，所以等于负一到一到一嘛。好，两个我要得写什么？写两个平面夹角的余弦值，那两个我要得写什么？设两个平面的夹角 为 c， 它，对吧？然后口算也 c， 它等于口算也 m 乘 n， m 和 n， 对 吧？那等于 m 再乘 n， 比上 m 的 模，再乘 n 的 模，对吧？好， 乘在一起，再乘它，再乘它的二减一，那就是一嘛？比上这是刚好三，再乘刚好三就是三嘛。好，算完了，等于三分之一。好，那三分之一算完了以后，我们再看这个图，它好像，我们 看这个图，它像是锐角，对吧？然后最后答一下，所以来等一下，它是平面和平面夹角的余弦值啊。你看它是平面和平面的夹角，一定要注意啊。如果是二面角，还要得看个图，对吧？但是它说平面和平面的夹角一定是最小的那个角，对吧？我们就不用管了，那就是我们就连图都不用看是到底是锐角还是钝角？所以我们直接写。那平面 p n 呢？那你最后还要答的时候，你把这个写好， 平面而法与平面 a a b c e 的 假角的余弦值为三分之一，然后这么答一句就完了。好，这样的一道题。嗯，给大家呈现一下，让大家一定要得去用这种 正规的这样的语句。你看我这，我这个是没有没有把那个任何一句话省略掉啊，你把这个都补齐。好，你要得十五分钟内把这样的一个标准格式给写出来，这题就是满分。很简单啊，我们下期再见。嗯，把下期的题放在这。

一天一个小技巧，零基础也能向考场。今天讲立体几何最急问题，废话不多说，直接向前提 好。我们来看这道题，他说已知球的半径为一，半径为一，然后呢，四轮锥的顶点为 o， 底面的四个顶点均在球面上，哎，你看四个顶点均在球面上。 他说，则当该四根锥的体积最大时，问他的高等于几？你看这个呢？是不？我们的立体几何的体积的一个对角问题对不对？那该怎么做呢？这款呢，我们有两个方法， 第一个呢，是用到我们的基本不等式思想，也就是我们的 a 加 b 大 约等于二倍根号 a b 去把这个题做出来。第二点呢，就是可以结合我们的求导思想，利用导数把我们的最大值给算出来，这个题他只有一个量对不对？那我们是不是首先得要再设一个量呀？ 那这款是不要求谁射谁啊？他问，他问我们的高对不对？那我们就射高为 h 是 不是？好，你看现在知道了高为 h， 又知道了我们的 o a 等于一，那我是不可以根据勾股定律把我们的 o e a 算出来呀？我们的 o e a 是 不等于我们的根号下一减 h 的 平方对不对？那现在知道这个之后可以干什么呀？他现在在问四棱锥的体积对不对？那我是不是先把公式表达出来呀？我们的棱锥体积公式是不是 v 等于三分之一底乘高对不对？ 嗯，你看我们的高就还是高，对不对？哎，高就我们的 h， 我 们现在是不是得看 s 呀？看看能不能把 s 给它转换成 h 的 形式对不对？ s 该怎么转换成 h 呢？当四棱锥的体积最大，那么呢，我们的底面积是不也越大越好呀？什么时候底面会最大呢？是不？当底面为一个正方形的时候，我们的底面积它最大的， 这是一个结论啊，大家可以记一下，当我们的底面是正方形的时候，往往它底面最大的。那所以呢，你看，我现在知道了 a、 b、 c、 d 是 正方形，我刚刚呢，又把 o、 e， a 算出来了，那么所以呢， 因为 o 为中点，所以呢，我们的 a、 c 是 个二倍的 o e， a 啊，那然后呢，我们该怎么算正方形的底面积呢？我们的正方形底面积，它有个小结论，它呢是我们的对角线乘积的一半。 记住了，我们正方形的面积可以用对角线乘积的一半来算，那所以呢，我们的底面积是等于我们的一个 a c， 哎，乘以 b、 d 对 不对？ 对，角线乘积的一半，再乘个二分之一。那你看，因为它是我们的正方形，对不对？所以 a、 c 是 不等于 b、 d 啊？那这款呢，就等于我们的一个 a、 c 的 平方，对不对？乘以二分之一，那 a、 c 的 平方等于几呀？ a c 的 平方是不等于它的平方呀？是不等于我们四倍的一个 e 减 h 方呀？再给它乘个二分之一，所以呢，是不是应该是二倍的一个 e 减 h 方呀？这款应该等于我们的一个二倍的 e 减 h 方，对不对？ 那你看，我现在是不是的确把 s 用 h 的 形式就表达出来了，所以呢，我们就给他带进去，对不对？我们给他化简一下，等于三分之二倍的 h 减 h 的 三次方， 是不等于我们一个三分之二 h 减三分之二 h 的 三次方呀。哎，你看，我们现在把体积表示成了一个三次函数，但是呢，他说这个体积是有最大值啊，对不对？那么我们的什么函数肯定有最大值呀，是不是二次函数呀？ 那我们该怎么把这个三次函数转换成二次函数呢？是不可以利用求导呀？哎，我们给他导一下，就能把三次函数导成二次函数，对不对？那这里呢，我们就连 fh 等于它，对不对？ 所以呢，根据我们的基本求导公式，这里呢，我们的 f 撇 h 是 不等于三分之二减去一个二 h 的 平方呀，它现在成为一个二函数，对不对？哎，那我是不给求这个二函数的最值了。又，因为我们之前讲过， 一个数的导函数是不就是原函数斜率啊？哎，所以呢，当这个导函数为零的时候，就是我们原函数的极值点，对不对？那么呢，我们就让它等于零，对不对？所以呢，是不是可以解出来呀？二二一约 h 应该等于三分之刚好三，对不对？ 哎，因为它是我们的长度，所以不能为负值，对不对？我们把 h 解出来了，那是不可以列个三段式了？其实考试的话，写到这里就可以直接把答案写上去了，因为就这么一个极值点，所以这个值就是对应的体积最大值。后面就是列三段式正极值点是极大值还是极小值，对导数大题写法有帮助。我们列 h， 还有 f 撇 h， 还有 f h 的 一个三段式，对不对？我们得要知道 h 的 范围对不对？那根据题目呢？因为 h 是 我们的高，所以呢，它肯定要大于零，对不对？那它小于几呢？你看我们的轮锥的顶点是不是为 o 呀？那么所以呢，它的高是不是肯定不能超过半径呀？所以它的高应该小于一，对不对？ 所以呢，我们的 h 应该是一个大于零小于一的数，那么呢，我们就要在这个范围里面去判断函数的增减性。我们的 h 应该是一个大于零小于一的数，那么呢，我们就要在这个范围里面去判断函数的数为零。 我们教判断，在这个区间里面，它是增还是减呢？那我们在这个点里面呢，找个三分之一，然后带进去，你看那这块是九分之四减九分之二，它是不是九分之二，它是大于零的，对不对？原函数的斜率大于零，原函数应该单调递增，对不对？那么同理哎， 在这块找一个点，它应该是我们的小于零，然后单调递减，用函数函数。哎，一增一减是不会有个最大值啊？那么这个点就是我们的最大值点。我们现在需要把 f h 算出来吗？不用吧，为什么呢？你看题目里面，他说当该四棱锥的体积最大时，让我们求 h， 是 不是啊？ 那你看我们现在是不是的确算出来了，哎，当体积为最大的时候，我们的 h 是 不是出来了，就是我们的三分之三， 嗯，所以选 c 对 不对？在这里呢新城也祝各位高三考生高考顺利，祝各位长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

今天继续给各位同学预测一下二零二六年高考数学的天空压轴题。我个人认为立体几何，所以各位同学在最后三个月的复习当中，要额外注意立体几何的小题，比如说结面面积问题， 比如说内切球体积的面积，外接球体积的面积问题，再比如说让你判断是否存在某个点，使得什么线面平行，线线平行，线面垂直等等一系列问题。再或者是用非间隙方法解决二、面角问题。线面角问题。 因为在小题当中，如果你间细去做的话，会比较耽误时间，而且有的题间细会非常的麻烦，那你就需要用一些其他方法，比如说三余弦定律、三正弦定律去解决这类小题。我给各位同学单独准备了两讲立体几何小题的拓展的练习题，各位同学如果有需要的话，可以点个关注，加入粉丝群，我会在粉丝群内发送给大家。

hello， 大家，他说如图，在梯形 a、 b、 c、 d 中，他说梯形 a、 b， c， d， a， b， c， d。 你 看啊， a， b， c、 d， 它是个梯形。好，那 a、 b、 c、 d， 它是个梯形，他说什么？角？ a， b， c， 你 看 a、 b、 c， 它是个九十度， 等一下啊，它是九十度，然后还有什么角？ b， a， d， 角 b， a， d， 它是九十度。哦，它是个。等，它是个直角梯形。 比如说，我可以把它这样画出来，那是什么？这边是 b， 这边是 a， 这边是 d， 这边是 c。 好， 你看，这边是直角，它不就直角题型嘛，对吧？好，他说 a 等于两倍的 b， c， a 等于两倍的 bc， 哦，所以这个边是这个边相等，对吧？ a 等于两倍， b， c 等于二，你看 a 等于二， a 等于二，所以它是一，它也是一，那它也是一。然后呢？呃，这个根号二倍的 ab 等于二，那根号二倍的 ab 等于 ab 呢？就等于 二除以根号二，对吧？上下同乘，根号二等于多少？二分之二倍根号二，对吧？我约掉等于根号二，所以 a、 b 等于根号二，这个会算数吧？好，会算啊。好， a， b 等于根号二。好，会算了。好，算完了。那 e 为 a 的 中点， e 是 a， b 的 中点， e 是 a、 b 的 中点。哦，好， 然后 e、 c 的 中点。好，所以再将把 a、 b、 e， 你 看，把 a、 b、 e 给翻折上去了哦，所以 a 点变成了 p 点。好，翻折过去了啊，所以我翻过去以后呢？这个边和这个边和我原来是一样的吧，所以它也是一，它也是根号二吧？这没问题啊，没问题。好，我要得求证。什么？ p， e、 c， 你 看 p， e， c， o， 这条线 换个笔，你看 p、 e、 c， 哎，这个平面和哪个平面垂直？ a， b， c， d， 哦，那就是底面嘛，对吧？我这条线和底面垂直啊，这条平面和底面垂直，那我要怎么怎么写呢？面面垂直，我只需要正线面垂直，对吧？还记得吧？还记得啊，所以面面垂直，我要得正线面垂直。那线面垂直是哪条线呢？ 大家注意啊。好，我现在它是一根号二，没问题吧？这是一根号二，那现在我只需要找一个垂直于底面的直线， 我要得看一下边长关系啊，现在他说的一根号二，那我这条线是多少？你看啊，我把我把这个里面给换一下，他叫做这个是根号二，这没问题啊。然后 a e， 你 看 a e 这边是 e， 这个 e 点，这是一，然后 bc 也是一，好，这也是一，这也是一，对吧？然后我现在这个垂直，现在他是把 a b e 给翻过去了。那 a b e 的 话，那 b e 是 多长呢？ 我可以通过勾股定律算一下吧。可以啊，一的平方加根号的平方就是二，加一等于三，所以是根号三，所以这个长度是根号三。 好，根号三，那现在我知道这个长度是根号三，那我 e c 等于多少呢？那 e c 就是 和 a b 平行背，它也是根号二呗，所以这个也是根号二， 没问题啊。那 p c 是 多少呢？ p c， 他 说，他说了吗？啊？ p c 等于一，那 p c 是 一，这是 p c 是 一，那 a b 是 根号二， a b 是 根号二， a b 是 根号二，那 p c 是 一。 好，这个是一，那我刚翻折过去之前，你看，翻折过来之前，我原来是把这个 a b 这条平面，你看，我把 a b 翻折过来变成了 p b， 对 吧？那它是变成了根号二，它是变成了一，所以它这个是一，它这个是一，它是个等幺三角形。等幺三角形有什么规则还记得吗？三线合一嘛，对吧？所以它垂直过来。它，是啊， 垂直的，对吧？所以他找到一个终点呢？就是垂直，对吧？所以我可以在这找一个 f 点，做这个 e c 的 终点，就做 f 点，对吧？好， f 点，那他我就可以找到一个垂直，那他就垂直于这条线，这没问题吧？我还得找这个上面的垂线。找到一条垂线，对吧？那我再找，那这条线我还得垂直于这个底面上的另外一条线，那怎么做呢？ 我是不是还要得再找一下？可以啊，那我现在再把这个给拉出来，你看 p f 和这是 f 点，对吧？这是 p 点。好，然后我再跟你看 p f 这条长度，知不知道呢？我可以知道啊，你看我把这个三角形直接拉出来，你看这个下面是根号二，这个就是二分之根号二都没问题啊，这个是一，那这个长度是多少呢？ 可以算出来吧？这个也是二分之根号二。勾股定，你们算一下，可以算出来，然后这个是二分之根号二。那我在下面这个底面，我能不能再找一条？你看他已经垂直于这个底面了，那我再找他垂直于另外底面上另外一条线，那我可以找谁跟他没有连在一起，对吧？那可不可以连一下，把这个 f b 给连在一起？可以连在一起啊，那我再把这个底面再拉一下，比如说你看 我长这个样子，这没问题啊，这是 b 点，这是 c 点，这是 e 点，这是 d 点，这个是 a 点，对吧？然后我把 e c 连在一起，中点叫做 f 点。好，那这又是垂直，那这个是一，那这个是二分之根号二，对吧？那 f b f b 多长呢？会算吗？会算啊，会，会算。这是二分之根号二，这个是一，所以这个长度就是 多少呢？算一下，它是二分之根号六，对吧？平方和嘛，对吧？二分之根号六，我就算出来了，那 b f 是 二分之根号六，我可以在这个三角形里，你看啊，我把这个三角形拉出来，你看， p b， 这是 p， 这个是 f b， 对 吧？那我在这个三角形里面， f b 是 二分之根号六，这没问题啊， p f 是 多长？二分之根号二，然后呢？ p b 多长？ p b 是 根号二，那它符不符合勾股定律？算一下来，四分之六加四分之二等于四分之十，四分之十就是二分之。 那你看，我算一下，二分之根号六，有四分之六加四分之二，四分之二等于四分之八嘛，四分之八就是 呃，根号二嘛，这就对了嘛。好，所以，那我算出来就是根号二嘛，所以它就符合勾股定律，对吧？所以它是直角，所以我就可以得到那 p f 垂直于它，这是我用等腰长形垂直中来的，对吧？然后我再通过勾股定律，我算出来， p f 垂直于它，所以一条直线与平面，呃，底面的两条相交，直线垂直于它，所以一条直线与平面，呃，底面垂直，对吧？线面垂直，那就意味着 哇， p f 又是哪个平面内的？ p b c 平面内的，所以面面垂直。哦， p e c p e c 啊，所以面面垂直，这就弄出来了，对吧？所以这道题在考什么？这道题一直在让我们用什么？用勾股定律，对吧？所以咱要好会用啊。所以我们写一下过程啊，这个过程就是就这么写就可以了。首先我刚是怎么想的？这想法， 我把它全部，那不用擦掉啊。首先我是知道这个 a d b c 根号二倍的 ab， 对 吧？好，所以我在这里画这个。把它们拎出来是干嘛？你看我为什么会拎出来？你为什么不会拎出来？我们要得有一点点这个。嗯，这种做题的，这种交流。呃，我可以把图拎出来，你能不能把这个图拎出来画呢？所以我，我们要学会把图拎出来画啊。呃，因为什么？ 你看啊。呃，我刚第一个图画的是哪个？第一个图画的是他，对吧？嗯，我，我通过这个画图，我是原来知道他是根号二，对吧？他是一，我翻折过去哪个地方没变，你看翻折后我是不是要写一个这样的画，因为我翻折了嘛，我翻折后性质不变，对吧？ 要得写这句话啊，所以哪个边变成哪个边了？我翻的谁？我是把 a e b 翻过去，对吧？ a b e 翻过去了。好， a b e 翻过去了，所以 ab 等于谁？ pb， 对 吧？它就等于根号二，这没问题啊。然后 a e 等于 pe 等于一，对吧？这没问题吧？好，没有问题。然后在三角形 a b、 e 中， 它是，呃，直角三角形，对吧？所以我们写个 r t 也行， r t 三角形 a、 b、 e 中，我就可以得到什么 b e， 就 可以通过勾股定根号三，对吧？就不用写那么多字。好，我只要写一个这样的字就行了。好， b e， 我 算出来了，那 b e 是 根号三，那没问题啊，那 b、 e 是 根号三，那我到哪个三角形去了？好，我可以开始往我这个要正的这个三角形去，对吧？ e c 我 知道了，然后 e p 我 知道吗？ e p 我 只知道 e p 是 怎么算出来等于一的，还记得吗？那我是因为我知道 p c， 对 吧？那 p c 是 等于一的吧？好， p c 又是一的吧？你看 p c 等于一，你看 p e 又等于一，所以三角形什么 p p 谁？ p e c 为等幺三角形呢？ 好，这可以写出来吧，所以我找出来它是等幺三角形了，所以我可以做什么？做 e c 中点为 f， 对 吧？然后连谁呢？连 p f 啊？ p f， p f 和谁呢？我要得写 f b， 对 吧？好，连 p f 和 f b。 现在我要得把这个三角形拎出来看了，对吧？那 p f b 里面我知道谁呢？我知道它和它都等于一，然后中间又是那个中位线，对吧？所以下面我是被分为了什么？分为了这个二分之根号二，对吧？好，所以 三角形 p 什么？ f c 中，我可以得到 p c 等于多少？ p p f 等于多少 p f 我 可以算出来等于二分之根号二，对吧？这没问题，我可以算出来二分之根号二，没问题吧？二分之根号二算出来了，然后我在哪里看？我在这里看，对吧？在三角形，你看这都是直角三角形吧？二 t 三角形， 你看在 r t 直角三角形，哪个三角形中？ b f c 中，对吧？你看 b f c 中，我通过这个一二分之根号二，我可以算出来什么 b f 等于二分之根号六，这没问题吧？所以最后在三角形哪个中？ p e p f c， 对 吧？ p f c 中，我可以发现什么 p f 的 平方加上 f b 的 平方等于 p b 的 平方，所以什么？ p f 垂直于 f b？ 你 看等腰三角形，我还可以写出什么 p e c 是 等腰三角形，所以什么 p f 垂直于什么 ec， 对 吧？你看我一条垂直，两条垂直，我两条垂直出来了，对吧？我还要得写什么？你看 p f 垂直于 e c， p f 垂直于 f b， 对 吧？那 e c 和 f b， 那 e c， 你 看 e c 在 f c 这，对吧？ e c 和 f b 交于 e c 交 f b 于 f 点，对吧？你看一条直线与平面内的两条相交直线吗？ e c， 你 看和 f b 都属于面，哪个平面内 a b c 的 吗？ 所以谁谁垂直于谁？ p f p f， 对 吧？ p f 垂直于平面， a 比 c 得好，线面垂直正出来了，对吧？那线面垂直正出来，我要得求面面垂直，我还得写什么？因为 p f 属于平面，哪个平面？ p e c， 对 吧？所以什么面 p e c 垂直于面 abc 的， 这就是我的证明思路。所以大家会做证明了吗？会了吧，你看我通过什么？我通过勾股定律，搁这一点一点的来，我就可以把这个呃给证明出来，这没问题啊，所以我把证明思路放这里， 可以吧？好，那证明我们会了，那我们看一下第二文如何去求证这个角，你看我把它拎出来，所以你要得画，你也得会画这样的图，你也得会有这样的一个思路，所以大家得会做这样的方式 就行了。那我们再看一下第二个的思路啊，那这个证明会了吧？好，会了啊，那我们再看证明。呃，第二个，他说 p b c 与平面 p d c 的 夹角的余弦值，那我就稍微把图擦一擦， 干嘛了？是不是要证明？呃，不，我们要得写这个余弦值，对吧？那我要得怎么解析来看一下来，我现在刚刚找到了一条垂，呃，我发现它是一个等腰梯形，对吧？它也是垂直，它也是垂直，对吧？好，那我找到垂直了，那我要得正 p b c， 你 看 p 点 b 点 p 点 c 点 b 点，对吧？然后 p 点 c 点和的点，我在哪间隙比较好，能看出来吗？我是不是在这里间隙会更好？你看，这是个垂直，这是个垂直，可以吧？嗯，我就能见系吧这完全可以啊，那我就能见系了。好，那见系就这样见，那哪个是 x， 哪个是 y， 还记得吗？ 有 x 指向 y 吗？对吧？这是 x， 这是 y， 好， 那我见好系了，那我就要得写清楚这句话，对吧？是吗？那你看第二个，我要写哪句话？以 c 为圆点，对吧？ 然后 c b 向量为 x 轴，然后 c e 向量为 y 轴，然后 c， 呃，对到垂直于 e b c 的 直线见 z 轴 z 轴。好，如图，你把如图写好，这东西它就能理解好，这就弄好了，对吧？我还要写哪些点？你看啊，我是要写 p 点坐标， b 点坐标， c 点坐标就没有了，对吧？我只需要写四个点坐标来，能不能写出来？ p 点坐标可不可以写出来？ p 点坐标不太好写，对吧？我往后写嘛，我先写 b 点坐标。那 b 点坐标我是不是知道 c b c b 是 多少，还记得吗？你看啊， c b 是 一，对吧，可以吧？然后呢？ ec 是 多少？ ec 是 根号二嘛，对吧？然后这个 p， 这个 pc p c， 它是什么？那个等腰三角形，它在这个平面内，对吧？所以，而且我又知道 p f 又垂直于这个底面，对吧？所以我知道这个 p p 点，它的这个终点是按这个终点来走的嘛，对吧？我刚是按 f 来算的嘛，对吧？还记得啊，所以这个我能找到这个 p 点坐标，这个也可以找到啊。 b 点坐标是 x 为一，对吧？然后 y 为零，对吧？一 b 点坐标是一到零到零， 这个问题啊， c 点坐标， c 点坐标，是啊，你看我 e d， e， d 是 多少一，对吧。然后 d 点坐标是先往哪走？先往外轴走， 走到一，再往负向的 x 走一，对吧？来，先往 x 负向，负向 x 一， 那是负一嘛，对吧？然后 y 轴走到 e， e 是 多长呢？ e 是 e， c 是 多长？根号二，对吧？那是根号二，然后，呃，零，对吧？他在没有，在这轴有分量。 ok， 好， 这个我就表示好了。那表示好了，我再把 p 点算出来，那 p 点是我向 x 轴走多少？ 走根号二，对吧？你看我在外周有没有，我在 x 轴有没有， x 轴没有，对吧？零，然后走二分之根号二，对吧？然后这周这周我要走多少？我刚算了 f， 它 p 等于根号二吗？这个我刚算过，是二分之根号二，对吧？好，所以它是二分之根号二。那不知道在哪看这啊？看这好， 所以 pbc 的 我就能都能写出来，对吧？然后我要得写什么？ pbc 和 pbc 的 发向量，对吧？那我要得写 pbc， 那 就是什么射面？ pbc 的 发向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 对 吧？还要得写什么 p b 向量，对吧？然后 p b， c， 你 看啊，我 c 点在这个这三个点里面，那我最好用什么？你看我 c 点是圆点，对吧？零零零，我 谁减谁最好，方便，那是 b 减 c 更方便， b 减 c 更方便。那就直接写 c p 向量。 c b 向量就是 p 点坐标嘛。零到二分之根号二到二分之根号二嘛，这个很好写，对吧？ c b 向量， c b 向量，我再写下，一到零，对吧？就很清楚吧？好，我还要得写个什么话来， c b 向量点成 n， 对 吧？就很清楚吧？好，我还要得写个什么话来， c b 向量点成 n 等于零， 我要干嘛了？我要开始求反向了，对吧？来， n 直接写，等于。来，我求住 x， 挡住 x， 它乘它，你看根二根二分之根号二乘零，再减零乘二分之根号二，那就是零嘛，对吧？来，求外挡外，那就是零乘零等于零，再减一乘根号二分之根号二，再取负，对吧？那就是二分之根号二。本来是负的二分之根号二，我要得在外的取个负，对吧？那我要得求 z 来，那零乘零，再减 一乘二，二分之二就是负的二分之二， n 向量我就算出来了，那 n 向量算出来了，我要干嘛了？我要得算另外一个法向量，对吧？好，另外一个法向量，我现在把 p、 b、 c 都算出来了，对吧？我还要得算 p， d， c， 对 吧？那也有 c， 那 也有 c， 那 怎么办？我也好写，对吧？设面 p d， c 的 法向量 为 m， 等于 x 到 y 到 c， 好 弄，对吧？来， p 到 c， 那 c 作为圆点，那就是 c p， 然后 c、 d， 对 吧？这个好写的哈。零到二分之根号二到二分之根号二，然后 c， d， c、 d 向量的话，就写来负一到根号二到零，对吧？得点坐标。好，我还得再默写什么 c， p 点成 m 等于零， c， d 点成 m 等于零。所以 那大家这边我可以开始就不说怎么做了，你们自己做一下。那这边我们可以看到这个向量还可以化简，对吧？我们可以同时除以根号二，我就得到了根号二到一到负一，对吧？所以最后我们再开始求两个向量的夹角，那就是口算 e c， 它就等于口算 e m n， 对 吧？好，所以我们就一解就行了。 等于默写公式。来， m 点乘 n 比上 m 的 模，嗯，点成 n 的 模，对吧？来，你不会的话直接写正的。好， m 点乘 n， 那 m 点乘 n 来算一下，零乘以根号二，零，对吧？一乘以二分之根号二，二分之根号二，对吧？然后在这个点，这个点也能化简，对吧？这个化简一下等于多少？等于东乘以二 就没有了，对吧？然后再同除以根号二，那就是零到一到负一嘛，这也能化解啊？然后我们再除以一，然后再加上负一，乘负一还是一，对吧？加一比上谁？ m 的 魔， n 的 魔， n 的 魔，等于根号下，他加他等于根号二嘛， 对吧？然后再乘以他是根号下二加一加一等于二三四，根号四等于二嘛，对吧？就是乘二就是一，加一等于二，就是二分之根号二，算出来了，那余弦值等于二分之根号二。那我最后算出来了吗？那直接就是答案，余弦值就是他。最后答一下， 什么来面 p b c 于面什么 p d c 的 夹角等于弦值为二分之根号。那这题就拿满分了，多少分？十七分，你说值不值？很值，对吧？好，我们把它整理一下，我把它整理在，我们拿这个满分吧。应该可以啊。 好，所以拿这个满分容易吧？很容易啊，这个，嗯，立体几何就这么做的，所以我们觉得慢，其实不是很慢啊，很容易啊这个，嗯，立体几何就这么做的，所以教大家要多做点题。 我们看一下这道题，他说如图，在四棱锥 p a， b， c， d 中底面 a， b， c， d， 它是一个平行四边形。哦，给了平行四边形的意思就是下面就可以是平行的，对吧？就是我有平行的这样一个关系。然后他说什么 a、 d 垂直于 b d， 他 说 a、 d 垂直于 b、 d， 哦，这样先垂直 好，垂直好，然后他说 p a， p a 等于 p 得等于 a 得，哦，有 p a 等于 p o， p a 等于一，然后 p 得等于一，所以这个 a d 也等于一，然后 b、 d 也等于一，然后 f 是 哪个点？ f 是 中点 a， 所以 这个是二分之一 a， 二分之一。嗯，好，重标一下啊， 好，二分之一，二分之一。好，标好了，那我们再看。他说 p b 等于根号二，那 p b 等于根号二 o， 这是根号二。 好，那现在知道这些条件了。他说点 f 为零， p 的 中点 f 是 p 的 中点。好，这没问题。他说 af 垂直于，我要得证明什么？我要得证明 af 垂直于 bp， oh， af 要垂直于 bp oh， 这条线。看啊，我要正，这条线和 这条线垂直。感觉好像我们学过一些证明。你看我们的，我们学过线面平行，嗯，然后面面平行，线面垂直，面面垂直，对吧？但是我们学过线线这种类型吗？ 哎，我们发现好像，呃，不好正啊，对吧？但是我们正过什么？我们正过线面垂直，对吧？那如果我们线面垂直的话，我们就能证明线就是一条直线和平面垂直，那这条直线和平面的所有直线垂直吗？那我如果能正出来线面垂直也挺好的，对吧？这样的朋友也能做，所以 那我就要得想办法找能不能往线面垂直往上走。可以啊，我们这个思路可以搞一下，然后我们看一下这些那么多三角形，然后给那么多边长，那我大概率要用 勾股定力，对吧？好，来，首先给了这个一一，哎，你看啊，这个 a 的 b， a 的 b， 这个三角形它给了一一，所以我这个 ab， 然后它又这个又是个直角，你看这又是个直角，那 ab 等于多少呢？ ab 等于根号二，对吧？好，它等于根号二，然后呢？ pba。 哦， pba 这个是根号二，根号二一，所以它又是等幺三角形，然后这样可以看到啊。呃，好像没用，那我们放着吧，然后 还能怎么看？然后我这边知道了，这边是一，这边是一，然后这是二分之一，还有呢？你看啊， af， 那 af 我 就知道呢，你看 p a 的 这个三角形，它是什么？你看 p a 的 这个三角形， p a 的 这个三角形，你发现这边是一，这边是一，这边是一。哦，他是一个等边三角形，可以吧？好，等边三角形，所以我又引了他的中线，这个点是 a f 点，对吧？所以他是一个垂线，没问题吧？三线合一嘛。对，好，所以这边是二分之一，这边是二分之一，这个没有任何问题，所以他这个垂直我可以找到。哎，我可以找到，是吗？ 这个 af 和 p 的 垂直，嗯，那 af 要和 pb 要垂直的话，我要怎么弄？那我是不是要找 af 和这个平面垂直？哎，也行啊，可以，那我要怎么找到第二条线呢？那我再找一下啊。你看，我找到第一条垂直，那我再看一下与它相交的另一条直线，能不能找到一个垂直？你看在这个三角形里， 我发现它好像不好找，那我再看看边长，这边是一，然后这边是二分之一，然后这边是根号二。哎，你在这个三角形我看啊，我把这个 p， 我把的放这 b， 放这屁，放这屁的 b。 可能黄色，有点黄眼啊，黄颜色。我们把这个屁的 b 给拎出来，我们看一下。屁的 b， 我 们拎出来。他这个是根号二，那这个是一，然后这也是一。哦，我发现这是个垂直， 这我也没问题，所以我发现 o p 得 b， 那 这个角是垂直的，这，这没问题吧？好，所以，所以我在这里还能再怎么看，这是个垂直。那 f 点在这， f 点在这啊， f 点在这，然后这长度是一，所以这是二分之一。好，那我可以把这条线给算出来吧。这条线怎么算？这是二分之一一，那算出来等于二分之根号五吗？对吧？二分之根号五。 所以 p f 不 就等于二分之根号五，那这条长度是二分之根号五。好，那我在最后一看。哎，这条线长度，知道了，你看这，我用荧光笔看一下。你看我这条线长度，我知道。这条线长度，我知道。这条线长度我也知道。我是不是可以带一下勾股定律尝试一下？可以啊，所以我试一下。那我把这个三角形又拎出来， 你看这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 f。 哎，你发现这个哪个点来着？ f b， 对 吧？ f， b 是 二分之根号五，刚算，对吧？然后 ab 等于根号二，然后呢？ a f 等于 ab 等于多少？我们看一下。 ab 等于 啊，在这里看啊，二分之一一，那就是二分之根号三嘛，对吧？二分之根号三。好，那我们看一下它是符不符合勾股定律？来，稍微算一下，等于四分之三加四分之五开，根号等于四分之八，四分之八等于根号二。 哦，可以，所以他符合勾股定律。这是个直角哦，那就挣完了。那就是 a f 垂直于 f b， 那 a f 垂直于 f b 啊，我用荧光笔你看， a f 刚刚是三线合一，垂直于 p d， 然后 a f 又垂直于 f b， 所以呢， a f 垂直于这个底面的所有直线，所以 a f 垂直于 p b。 哎，利润挣完很轻松啊。所以我们梳理一下这个过程。 所以这种证明题，其实呢，就是你不断的画三角形，哎，大致画着画着哦，你可能就证明出来了。这个，嗯，你要说，呃，有没有一个通用的方法呢？这是找不出来的，但是我们可以发现这些方法基本都是源于什么。源于，我这样耐心去做题，慢慢去读题，然后我一点点拆解这个图形，我就能找到规律，对吧？好 在，首先我第一个长方形画的是哪个？是它，对吧？你要得，一定要记住你的顺序啊，这是我第一个长方形，在三角形那个 a p 的 中，对吧？呃，这个，呃，我可以直接说什么，呃，看啊，它上面是 pa 给了，然后 p 的 给了， a 的 也给了。好，直接就写了。那我们直接写它叫 因为三角形 a p 的是等边三角形， 所以什么 a f 垂直于 p 的， 没问题吧？并且什么 a f 等于二分之根号三。好，然后这是我第一个图形找到的规律，然后我再看我第二个画的图，我第二个画的图是这个图形。那在三角形什么 p 的 b 中会怎么样？我是不是可以找到 这个 p b？ 那 p 的 我知道的吧？你看我 p 的， p 的 我知道的，然后 p b 我 也是知道的，然后，呃，得 b 我 也是知道的，对吧？所以在三角形中，那它也是个直角三角形，写个 r t， 在 直角三角形中我就可以有什么 f b， 我 可以算出来等于二分之根号 五嘛，对吧？好，哎， b 我 可以算出来。好，那最后我们在三角形哪个中 a f b 中，它有什么规律啊？你看 af 的 平方加上 b f 的 平方等于 ab 的 平方，所以谁垂直谁 af 垂直于 bf， 这不就完了吗？好，那 a f 垂直于 b f， 然后还有哪个垂直 a f 垂直于 p 的， 所以呢？那 p 的 和 b f 交于哪个点啊？你看 p 的 p 的 和 b f 交于 f 点，对吧？好， f 点。你看，三句话写出来了，而且还有写什么 p 的 和 b f 都属于哪个平面？你看 p 的 和 b f 都属于平面 p 的 b， 对 吧？面 p 的 b， 所以 谁垂直谁？ a f 垂直于平面 p 的 b， 所以呢？ af 垂直平面 p 的 b， 所以 它垂直于平面内的所有直线。那这条直线包包含 b p 呢？那 b p 在 不在这条直线上，在，对吧？ b p 属于面 p 的 b， 对 吧？所以 af 垂直于 b p。 哎，证明完毕，这就结束了，很轻松吧？很轻松啊。好，所以我们的思路就是这样来，我们就很快很快就结束。 那我们在求什么？二面角 a p 的 c 好。 呃，你有可能会看不懂这个，这个是什么意思啊？呃，这个我们要得，怎么看？你要得这样看，你看我断句的时候我就有三个，三个一个断，你看 a p 的 可以吧？然后 p 的 c， 可以 吧？来， a p 的是一个平面， p 的 c 是 一个平面，就这意思。好，那 a p 的 这个平面，你看 a p 的 这个平面，这个平面 和 p 得 c 这个平面， p 得 c 这个平面。哦的二面角可以，求出来吧。可以啊。好，那我要怎么间系呢？有间系方法吗？我们知道这是个等边三角形，而且下面已经是垂直，那怎么弄？那我就按着这个垂直建呗。那我就比较好建。哦， 那我就按这个垂直直接间系，然后你看这个一个箭头，然后再来一个箭头， 可以吧？好，我这样解析，那我，嗯，我这样解析，好，对吧？那我要得写清楚哪个是 x 轴，哪个是 y 轴，哪个是 z 轴，可以吧？我知道这个是 z 轴，没问题吧？我大拇这个右手右手螺旋一下，从哪指向哪？ 从 x 指向 y， 对 吧？这就是 x， 这是 y。 好， 我们标好那标好箭头。来，我们开始写点坐标，写二面角 a p 得 c 的 正弦值，那 a 点知道 d 点知道 p 点也好，求 c 点也好做，对吧？好，那这个题要不要写一遍？写一遍啊，以什么的为圆点？ 嗯的， a 向量为 x 轴的， b 向量为外轴，然后垂啊，直于的面的 a， b 为 z 轴，渐线 如图。哎，你要写如图啊，你这个箭头是要画到图上去的。好，记好了，那记好 c 了，那怎么我要写点坐标，先写点坐标， a 点， b 点， a 点坐标，对吧？然后的 p 点坐标坐标和 c 点坐标，对吧？好， a 点坐标是哪？ x 是 一到零到零，对吧？ p 点坐标， p 点坐标是。 你看 p 点是向 x 的 二分之一，然后就是往上走，对吧？往上走多少高度呢？是不是二分之根号三，对吧？二分之一，二分之根号三。哎，不对不对不对，来， y 有 没有， y 是 没有，对吧？ y 是 零，然后二分之根号三，对吧？来，会求的。来，看过来， 这这这，这，不会啊，来看，这个是，这是中点，对吧？这是中位线，这是二分之一，来，这个高度是多少？这边是一，这边是二分之一，所以这边是二分之根号三嘛，对吧？所以你别不会求啊，你会求来得点坐标原点嘛？零零零零， c 点坐标， c 点坐标来，会不会求？你看啊， c 点坐标，它是什么？你看这条线，你看 a 的 这条线和 b、 c 这条线，它是相互平行的，都没问题吧？所以啊， 那我往 a 的 方向走，是往 x 的 正方向走，那往 b 的 b， b、 c 方向走，就是往 x 的 负方向，对吧？而且它下面是平行四边形，那我 a 就是 向 x 走，走一，那我往 c 走，那就是向 x 走，走负一呗。好，那 x， 那 c 的 话呢？ c 的 话是哪？ c 的 话是 x， 就是 负一，对吧？然后 y 呢？ y 式啊，我是不是还要走到这个 b， 我 才能往这拐，对吧？那 b 的 话是一嘛？然后零嘛，对吧？平面内好， a p c 得，我就出来了，然后我要得写 a p 得，对吧？ a p 得向量， a p 得平面，那就像写什么面， a p， 我 得设法向，对吧？设面 a p 得的法向量为， 嗯，等于 x 的 y 的 z。 来，我先看一眼啊，哪个是 a p 的 向量？ a p 的， 你发现 a p 的 这个平面全部都在哪个轴上？来？我，我是这样间接的写，没问题吧？这是 z 轴，这是 x 轴，然后 a p 的 就在这个面上，这没问题吧？那我要得求它的法向量，我要不要去算呢？我应该不用算吧。我 z 轴，你看我 y 轴是不是就垂直于它？垂直于这整个平面， 没问题吧？所以啊，我这个法向量就不用，不用不用，不用使了，不用使了。所以啊，嗯，怎么写啊？我们就直接这样写，由图可知。 呃，面 a p 的 的法向量为，你看我是外周，对吧？那外周我有一个量就可以了。那这个 n 我 就在外面取个一就行了，零到一零就完了，你看，这是代表外周，对吧？好，这是法向量。说好了，那我们再算另外一个向量，那设什么？第二个向量叫做哪一个向量？ p 的 c 吧，设面 p 的 c 的 法向量 为 m， 对 吧？好，等于 x 的 外的 c 的 好， p 的 c 的 平面 p 的 c， 这个平面，哦，好像不规整，对吧？那我们就要得算好。那 p 的 c 我 们有没有圆点在里面有对吧的点，写向量会更好写，对吧？好，那就是的屁。然后的 c 来得 p 向量写一下，得 p 向量就是 p 点坐标二分之一到零到二分之根号三，然后得 c 向量写一下负一到一到零，对吧？好，我要得求 m 了，对吧？呃，求 m， 我 们还要写一个过程，叫什么要写得。呃，得 p 点乘以 m 等于零，对吧？然后得 c 点乘以 m 等于零，对吧？ 好，我们要写好这些话，对吧？然后最后写 m 直接写，对吧？ m 来求 x 乘 x 零乘零减一乘二倍二分之三，那就负的二分之根号三，对吧？来求外导外二分之一乘零，再乘一减，那负一再乘二分之三，就是减个。呃，就它乘它减，它乘它就是 正的二分之三嘛。然后我再取负嘛。就是负的二分之根号三，对吧？外取负来求 z 挡 z， 然后二分之一乘一，然后乘零嘛，对吧？又是二分之一。好，我发现哦，我可以约掉一个二，约掉一个二分之一，对吧？然后负号我有两个月比较多嘛。那我就弄个少一点的。那我这边都带一个正的负号，可以吧。这边是根号三逗，根号三逗一来负一 可以吧。我这样化解没有问题吧？我可以这样化解好。那化解好了，两个法向量算出来了。那我最后要得写什么二面角的正弦值？我要得设什么二面角的平面角。嗯，设哪二面角呢？好，还要写一下 设二面角，抄一下 a 杠 p c a 杠 p d a 杠 p d 杠 c 的 平面角为 c， 它可以吧？然后我要写考算 c， 它对吧？考算 m 和 n 的 角，没问题啊。等于 m 点乘 n 的 模，乘 n 的 模没问题吧？好， m 点乘 n 来算一下 m 点乘零就是零乘以根号三来这边这边这边来零乘高三没有吧？一乘高三。那上面就是个根号三，没问题吧。下面 m 的 幺， m 的 幺就是它的幺，那它的幺就是根号三平方三，对吧？三加三等于六，六加一等于七，对吧？根号七，然后再乘以这个根号一，对吧。那是一嘛？好，那这是我的 cosine 值。那我先不要化简它，然后我要算 cosine 它， 那算一 c， 它等于根号下一减口算一方 c 它，对吧？记好公式好，带进去，等于根号下谁减谁一减去七分之三就是七分之七，减七分之三等于七分之四嘛，对吧？然后最后就是七分之四开根号就是七分之二倍根号七嘛，这不就做完了。所以二面角的正弦指数就算出来了，最后打一下， 嗯，最后怎么答？八面角角，这个 a 杠 p 的 杠 c 的 正弦值为什么七分之二倍更好，七，这就完了。好，所以我们通过这道题，我们知道了什么？我们可以。呃，我们可以要通过这道题，我们发现就是你如果把这些模板背会了，没有难题啊，没有难题，好，这个就全部套模板就可以了，对吧？这样的题完全就很轻松。 别看我写的大位置，你打卡就写这么多，你看我写的多，对吧？你看我写的不多吧。好，所以，呃，我们练过程中就就把这个答题方式就先练完了，就是做法， 所以立体几何的时候是会马上，对吗？这道题他说四棱锥 p 杠 abc 的， 它的底面边长为二的菱形，哦，它是菱形，下面是个菱形，我们一般就会想到什么，你看下面边长是二，那菱形我们一般都想到的是四个边都相等，对吧？还有对角线相连，就是垂直，对吧？好，把对角线连上，所以想到菱形，我们就连对角线。好，我把对角线连起来。好，它垂直。好，它垂直。嗯， 好，那现在我垂直了，那现在菱形也完了。那现在他说了什么？没有了，对吧？他又说了个角 abc 为三分之派，三分之派多少度？六十度，对吧？这个实在不行啊，你如果不会，这个多少派，多少分之派是多少？你把派到一百八十度来，除以三，那也是六十度，好。嗯，小插曲，好，那角 abc 就是 六十度，这个角是六十度。哦，好了，那我就把它先拉出来，我给你看一眼。啊。来，这个菱形 啊，大概就这么画一下。好，这菱形就叫 abc 的 好， abc 的 好，然后我对角线互相垂直，嗯，垂直好， 它是边长为二，又是六十度，对吧？六十度的，等。你看这个这边，你看 a、 b、 c， 它是一个等边三角形，对吧？那它又是六十六度等边三角形，对吧？所以有的 a、 c 也是二，那中间又会平分，所以是一，一，对吧？好，那我这又是个角平分线，就是它三线合一嘛，也是角平分线，所以它是三十三十度的角，三角形就是一，二，刚好三，对吧？所以这个边是刚好三，这也是刚好三， 这就完了，所以这个，这个是根号三。哎，这个是根号三，这个是一。好，我该标的长度标完了。那他他给我说了个 pa 等于 pc 啊， pa 等于 pc。 哦，这个三角形，你看 pa 和 pc 相等，都等于根号二，根号二，然后呢？ acac 是 多少？ ac 是 二，对吧？中间有一个点啊，这个是二，好， 哎，这又是等幺三角形，等幺三角形又有一个三线合一嘛，对吧？好，那现在我要给证明什么？证明 ac 垂直于 p 得，你看 ac 在 哪？ ac 在 下面， ac 要垂直于 p 得， 看着好远，对吧？那这么老远的线，我要怎么去证明呢？是不是也要得用一些很多知识点？你看 a c 和 p p 的 啊，很远。那我们的连接点在哪？我发现连接点在这，这个平面是连接点哎， 如果能正出来，如果能正出一个垂直，你看我要得正，他和他垂直，要么我先正线面垂直，我就能正出这个，这条线和这条线垂直，对吧？要么我就通过各种勾股定律，我算出来它有垂直关系就可以了。那但是这种意面的它又不在同一个方形里， 那我就不能用那拼音法，用个固定来做，对吧？好，那我再想别的办法，那我刚看到了，我刚分析到了这个三角形，对吧？这个三角形，我刚说的等腰三角形，对吧？那中点，那我们把中点设为一个值，叫做 o 吧，对吧？叫 o 点， 好，那这样的话，我甚至都连了这个 o， 那 我要得使得这个，你看 a c 和 p 的 有点关系，那是不是把 o p 给连起来，这样我就有关系了，对吧？好，首先我 a c 是 不是和 p o 垂直，对吧？这是我这个三线合一得来的吗？ a c 和 p o 垂直，嗯，然后呢？还有关系吗？ 你看 ac 还要跟屁的要有关系的话，那我这个 ac 要如何去搭上这个屁的呢？有没有办法 啊？我现在目前看不出来，对吧？好，那我把这个，嗯 b， 你 看 bpo， 你 发现我在这里面有一个 bpo， 对 吧？那我把 bpo 这个三角形，可不可以把它给分析一下？那我稍微分析一下这个 bpo， 啊，好，因为我感觉就直觉来了啊，好，那 bpo 这三角形，那 bpo 我 知道的，它是根号三，然后呢？ bpo 我 不知道多长，然后呢？ bp b p 我 也不知道多长，那先放着那 p o 的 话，哎，其实我知道 p o 多长，从哪知道？我从这个等腰三角形可以看出来啊？这边，这边，对吧？这边是根号二，你看这边又是一，这边又是一，那我直角三角形，所以它也是一嘛，所以我 p o 也等于一啊，对吧？一根号三。那 b p b p 我 知道吗？哎， b p 不知道，对吧？那 b p 就 放着吧。那 b p 我 不清楚多长。 那，那没有办法，那这条感觉这种感觉没有了。那现在我要如何去证明这个 p 的 和这个 a c 垂直呢？你看 a c 和 p 的 垂直，你看 e 面垂直嘛，对吧？我能找到它的平行线，比如说，呃，它的平行线是哪个呢？你看 p 的， 我们仔细看一下啊。哎，这条 a c， 我 发现啊，我发现了，你看 a c 和这个 p 的 要垂直，但是我现在找到了 a c 和 p o 垂直。 哎，那我可以正什么 a c 和 p o d 这个平面垂直线面垂直嘛。好，那我只需要正什么 a c 和 o d 垂直啊，这不就直接出来了吗？菱形对角线垂直嘛，这不就完了。好，因为什么 a b c d 为菱形，对吧？ 所以这个，嗯， a c 垂直于 b 的， 好。嗯，取 b 的 交 a c 于 o 点，好，这样就行了。好，所以 o o o 的 垂直于 o 的 垂直于 a c， 好， 这样行了， o 的 垂直于 a c， 好， 然后再你看啊，再 三角形 p a c 中我是不是存在等腰三角形 p a c 等于 p c， 所以 三角形 p a c 为等腰等腰三角形， 哎，所以它会怎么样？我这个 p o 垂直于 a c， 这就完了。看 a c 和的 o o 的 垂直， a c 又和 p o 垂直。那我还在写一个什么 p o 和 o 的 交于 o 的 交于 o 点，然后 p o 属于面， 什么屁 o 得，然后这个 o 的 屁，那我觉得 o 的 和屁屁 o 都属于平面，那你看平面内的两条相交直线，一条直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直，对吧？所以 a c 垂直于面 屁 o 得，那这样的话，我只我要得证什么屁得，是吧？好，那屁得是不是在这个平面内呢？在，对吧？在平面屁 o 得中，所以 a c 垂直于屁得就结束了。好，这就是证明方法。这个证明应该比较轻松吧，大家可以很清楚的题还是比较好做啊， 所以大家要有点信心，这个刷题是可以提分的。 好，把这个放这。好，那我们再看第二本，第二本的话，它，它给了什么？ p b 和 p 的 所成的余弦值，对吧？好， 那我要得开始第二个开始解析了，对吧？那现在我在菱形这里，我是唯一知道什么，唯一知道对角线垂直，那我现在不知道第三个垂直条件在哪里，对吧？第三个垂直条件我不知道在哪。他给了若 p b 和 p d 所得的余弦值为，这个你看 p b 告诉了 p d 啊，这两个的余弦值告诉了，然后呢？ p b 小 于 p d， 所以 p 点还是个动点。好，那我要求直线 c d c 得与平面 p b c， p b c c 得与 p b c 组成的角一致。哦，那我要开始剪辑了，对吧？好，那我剪一下。嗯，我想要这样剪好，然后这个为 我可不可以这样剪辑，可以，对吧？好，那我们标一下吧，这个是 z 轴，然后哪个是 x 轴，哪个是 y 轴？有 x 弯向 y， 对 吧？这是 x， 这个是 y。 好， 我们要写清楚， e o 为圆点， 这个 o b 向量为 x 轴， o c 向量为 y 轴， o 垂直于面 a、 b c 的 为 z 轴间隙 不涂好，写好了，对吧？那写好了，我们就可以开始点坐标，我要得，求什么？你看，我要得，先表示这个 p 点，对吧？我要先表示 p 点，因为 p 点它在动，对吧？那我先把这个 p b， p d 这个关系里面，我是不是可以算出来这个 p 点坐标的？你看 p b 和 p d 所成的相值为三分之高三，那我是不是可以通过列这个 p d 和 p d 这个向量所得角等于三分之高三，可以算出 p 点坐标的，可以吧？好， 现在 p 点我不知道什么情况，那我把 b 点和得点先写出来，得点，得点，它是负的，根号三到零到零，对吧？然后 b 点它是在根号三到零到零，根号三到零，零到零。好， p 点它在哪？它是不是在 x 轴和？你看 x 轴和 z 轴这个位置的平面内，就是，它不在外轴，它外轴的分量为零，对吧？那我直接写零，然后，但是我不知道 x 和 z， 对 吧？那我就果断说 a 和 b 就 完全可以吧？ 好，那这里面呢？ a 肯定是要怎么样？你看 a 是 什么？ x 的 分量，那我这个在图里面表示出来的 x， 它明显就是在 a 是 x 它上面，它绝对是正的，那 a 肯定是大圆的，那 b 呢？ b 是 我 z 轴上的分量，对吧？ z 轴上的分量，我发现明显在上面，对吧？那肯定 b 也是大圆的，那好吧，那我们告诉了 p b 和 p d 所得的均值，那 p d， p d 是 吧？那就可以写 p b 相等，对吧？ p b 相等，等于根号三减 a， 对 吧？然后零到负 b， 对啊，对吧？然后 p 的 向量，那 p 的 向量就是负的，根号三减 a 到零到负 b， 好， 然后 p 和 p 的 作成一个向量，和 p 的 向量所形成的夹角，等于看他们是不是 p b 向量变成 p 的 向量，然后再比上 p b 的 模，乘 p 的 模。你看我备注那个公式，我就能直接开始用，对吧？ p b 乘 p d 就是 对应相乘嘛，那它就是平方差嘛？对，平方差 p d 乘 p d， 你 看对应相乘 交叉一下，这个乘以一在一起就是三，再减，你看，嗯，这边是负 a 加高三，负 a 减高三就是负 a 的 平方是 a 方，然后再减高三，平方就是三嘛，对吧？这是什么答案。然后再乘零加起来零，对吧？然后再加上 b 方，上面算吗？下面，下面的话是模嘛？个子模，根号下这个会算吗？根号三减 a 的 平方就是三减二倍，根号三 a， 然后再加 a 方，对吧？ 这是？然后再加上 b 方，都没问题吧？然后再乘根号下谁乘谁，那就是负的高三，那负的高三也是三，加上二倍，根号三 a 加 a 方，然后再加 b 方，对吧？这是我的分。那两个毛也算出来了，平方也有了，对吧？好，然后我还有一个什么条件，你看 p p 点，他这边是还有一个叫做 p c， 对 吧？我可以把 c 点表示一下，你看 c 点是多少？零到一到零，对吧？零到一到零。好，那我通过 p c， 我是 可以把 p c 的 长度表示一下，你看 p c 向量就是 c 减 p， 那 就是负 a 到一到 b 负 b， 好， 那我得算它的膜，也就是它长度，你看 p c 的 膜等于多少？等于根号二。 p c 的 膜哪根号二，那就等于它的平方呢？根号下 a 方加一，再加 b 方， 对吧？这是我的答案吗？那我可以两边平方和两边平方可以得到 a 和 b 关系呢？ a 和 b 关系就是 a 方加 b 方等于。来，我剪头减一，那是 a 方加 b 方等于一，我同样是关系。哎，我下面还有什么关系啊？我上面下面是也有 a 方加 b 方加 b 方，对吧？ 对对，对吧。 a 方加地方，所以可以把 a 方加地方全部换成一嘛，对吧？好，那口算引，口算引，这个这东西它等于乘到 a 方加地方等于一减三，等于负二，对吧？然后比上这大坨，这大坨的话就 a 方加地方是一，一加三等于四减二倍根号三 a 开根号，对吧？然后再乘根号下四加二倍根号三 a 啊，会算吗？这会算了吧，来，两个相乘成在一起的也平方差，对吧？四乘四六，四平方十六再减它的平方，对吧？ a 方，然后这是三乘三，对吧？二得四四三十六，十六，对不对？四三十二， 对吧？好，这个然后再开根号，这就是我的呃，分母，然后分之二，他要等于多少呢？来，我直接打个对折吧，可以吧。然后三，你知他等于多少？他说余弦等于三分之三，三分之三。那 我通过这个式子我可不可以解出来呢？完全可以吧。来，这个下面的话可以提个数叫做十六，我提出去等于十六，提四出去二倍根号下四再减去十二，提了个四出去，等于三分之根号。三两边同时平分开掉两边开方的话，那三倍根号就刚好三分之一，刚好三分之一，那四减三， a 方等于 a 方，我这么一算，等于三分之一，那 a 就 等于三分之根号三 解出来 a， a 等于三分之三，所以这块内容在草稿纸自己算，对吧？要会算把自己算出来就擦掉了啊。会算吧。好，我刚算了一遍， a 等于三分之三解得，你看他要得等于多少？我刚等于三分之根号三，所以 a 最后等于三分之根号三，对吧？这是我刚解的过程，你刚不会不会解的，刚自己看表。然后我 a 又算出来了。 a 算完以后， p 点坐标是不是重新可以写出来了？所以 p 点坐标就是三分之根号三到零到 b， b 是 多少？ 那 b 方等于一减一方，一减一方就是一减去三分之三的平方三分之三平方多少张？根号三分之一，三分之二，三分之二开根号就是三分之刚好六，三分之刚好六，那 b 是 不是这个答案对吧？我把 b 算出来应该没问题吧？看一下， 对，没问题啊，那 p 点我算对了，那 p 点的值我就知道了。那我 p 点的值我就知道了。那我最后得干嘛？我得求直线线面角线面角线面角算出来叫做正弦值，对吧？然后最后求余弦值，对，就稍微复杂一些。那下面的话我得写什么？ c 的 向量，对吧？看啊， c 的 向量要写一下。 c 的 向量是？嗯， d 减 c 就是 负的根号三，负一到零嘛。然后 p b c p b c 的 话， p b c 三个点 p b c， 嗯，我可以写 p b， 我可以写 c， p b 好 像可以写吧。那 p b 向量， p b 向量就是多少呢？三分之二倍，根号三到零到负的三分之根号六，对吧？然后我还可以写个 c b 嘛。 c b 向量，那就等于这个算出来是根号三到负一到零嘛，对吧？好，通过这两个向量，我可以算出这个 m， 对 吧？然后你该有套路，你要有一下叫设面 p b， c 的 反向量 为 n 等于 x， y， z， 对 吧？然后然后写一个 p b 乘 n 等于零， p a c b 乘以 n 等于零，然后你把 n 一 写，那这个过程就不写了啊，你顺着我那个做法做，还没有化解速度是刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三，然后你把它化解一下，化解不了，那就这答案，那刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三。那这个 n 我 算出来了。 n 算出来以后呢？来算一只。那我还可以算出来这个射什么？射 c 的 与面 p b c 的 所乘角 v c， 它，对吧？然后我算的是三 c， 它就是等于扣三也。什么扣三也 c 的 和 n 的 向量值，对吧？然后再对值，那最后这个扣三值我也不也算了啊，算出来等于，嗯，算出来，最后化简是二分之根号二。大家踊跃的下去算一下。然后算出来，我要算最后余弦值，扣三等于根号下减一减去余方 c， 它，对吧？那这算出来就等于二分之二，等于二分之二。 好，所以我最后的左算角的余弦值就是二分之二。最后答一下就行了。这题就比较轻松啊，这题就结束了，就是这题的步骤稍微有点多，但是他也没有轻松啊，这题就结束了，就是这题的步骤稍微有点多。但是我放这好， 大家回去算一下啊。这边我忽略了几个知识点呢。忽略了几个销量啊，比如说这个，嗯，等算的，然后还有这个口算值等算的对，可能如果销量薄，算能力弱的话，你就必须得好好算一下啊。这个到底怎么来的，你自己来一遍。所以答题卡呈现出答题卡最后呈现出这样一个效果，这就差不多了，不需要把你所有的算数都放上去。好， 他说三棱台 a b c a b a b c e， 他 中，他说 a e b a e a e a 等于 a e a 等于 b， c 等于二。哦，这个是二，这个是二。好， 然后 b b 一， b b 一， 它是根号二，这个是根号二。好， a， c e a， c e 啊，这个和 b c e 一 样长。看啊，这条线和这条线一样长啊，这个很容易能想到，这是个等腰三角形，对吧？好，等腰三角形，然后我们要最终成这个正什么呢？ ab， 你 看 ab 和 bc 垂直， 所以我们不知道这是垂直，我们要得正态垂直。好，那我们能看到那个垂直条件，你能，目前很快就能写出来的话，你赶紧写上。因为什么？ a， c， e， 你 看啊，我再写点， 因为 a c e， 它等于 b c e， 所以 三角形。 a， c e， b 为等腰三角形， 所以你看啊，我取 a b 中点为啊， a b c 的 吧。好，这个点叫的，然后连 c e 的 来，我把 c e 的 连在一起，我就会有什么 c， e 的 垂直于 a b。 好， 这是我得到的一个条件。好， 那我现在有了这样一个条件了，然后我又知道什么其他的都不清楚，对，我都不清楚的情况下，我现在还有一个乘比例嘛，对吧？我，我还有乘比例。 那首先啊，我们这个台体肯定是一个横切的，原来是一个三棱锥，我横切了以后，它是个台体，所以上上底面的各种边长和下底面的各个边长，它们的边长对应成比啊。那我们可以得到，你发现这个 a 一 c 一 a， 我 发现它和什么和我的这个 a 的 相等， 这，这没问题吧？好，哎，哎，肯定不一样，好，看错了啊，我们这个 a 一 b 一 a 一 b 是 一嘛，对吧？ a 一 b 一， 它和我的这个 a 的 相等都等于一，而且又它又平行，你看 a 一 b 一， 它平行于 a 的， 所以啊，在这里我们能，我们能干嘛？我们能把它给画一个平行四边形，可以吧？我把这个 b、 e、 d， 你 看我把这个 c、 e、 d 和 b e、 d 连在一起，把 b、 e、 d 连在一起，那我可以说什么？你看平行且相等，所以四边形 a 一 b 一 a 的 为平行四边形。嗯，好，那平行四边形了，那我刚有一个垂体条件，对吧？那平行四边形，那意思就说 a 一 a 就 平行于得，呃， b b 一 得，嗯，我觉得这个条件， 哦，然后我有这个条件了，那我可以看一下，现在这里面是不是有三个边长关系，我发现这个 b 一 的和 b 这三角形 b 一 得 b 中是不是？嗯，你看我这三角形，我再稍微换一下， 它这边是 b 一， 这边是得，然后这是 b， 那 b 的 它是一，然后得 b 也是一，这边是根号二，那我们可以看出它就符合勾股定律，对吧？嗯，这个 b 一 得的平方加得 b b 的 方，然后等于 b b 一 平方，所以这个 b 的 它就垂直于的 b 嘛。好，那我就有一个垂直关系，那有了垂直关系，然后我们还有第二条垂直关系，你看这条垂直关系，我刚刚还有哪条垂直关系来着？ c 得一，看 c 得一，嗯， c 一 得和 ab， 那 我 ab 已经垂直两条交线了，那 我把这个相交给写清楚， c 一 的和我这个 b 的 相交于点的，哎，然后 c 一 的和 b 的 它都属于面 b 的 c e， 所以 直线 ab， 它就垂直于面 ab 的 c e， 对吧？现在我也就找到了直线和平面垂直 b 的 c 一， 所以 a b 就 垂直于 b c 对 b c b c 在 哪？你看 b c 啊，然后我还有一个这个关系啊，然后这个 b e c e 属于面 b 的 c e。 看看啊， b 一 得一， c 一 b 一 得一 c 啊，得 b b 得得得 b， 然后 b b 一 得一啊，这样就对了，这样就对了，这个 b 一 都都得带 b 一 啊，都得带 b 一。 好，那，那这个问题就结束了。然后，嗯，我们就可以说这个 ab 它就垂直于 b 一 c 一， 对吧？ b 一 c 一， 然后又因为这个 b 一 c 一， 它又平行于 bc， 那 平行的话，那我就可以得到 ab 就 垂直于 bc。 好， 这就证明完毕了。这个，这个证明应该比较轻松，大家都能掌握。 看一下第二问，那第二问的话，他这个就是我就可以开始解析了嘛，他说什么 a b a b， 然后 b e a e， 哦，这个前面这个平面和底面是垂直的，都可以开始解析，他说求平面的二面角的正弦值啊，这个就还是很常规方法嘛，对吧？怎么建这个系呢？ 大家想一下，你看前底面和底面垂直，那现在我刚我第一问又正出来，这个 a b 和 b c 垂直，那我就顺着这个垂直解析呗，可以吧？好， 这是第一条垂直来，第二条垂直，是不是这样？我们第三条垂直，我可以垂直于这里，这样写可以吧？我就这样建吧。那这样建，然后 x， y， z 标好，这个是 z 来，我右手来挪曲，从哪挪到哪，从 x 转到 y， 对 吧？ x 转到 y， 右手右手，好，这个建好。系了，那我就可以开始写了，对吧？拿掉了。以 b 为圆点， 这个 b， c 向量为 x 轴， b， a 一 向量为 y 轴，垂直于 a， b， c 为 z 轴间隙如图。好，这就写好了，然后开始点坐标，全部都写完，求这面来，求这面到二角，那这平面的话，我这边三点，这边三点，我们挑空点来， c， c， c， c 一 到这面， 那我们就不要把所有点坐标都写上啊，我们把这个只需要写关键点， c c 一， c， c 一， 这是我写的必须要写的两个点， c， c 一， 对吧，然后还要写哪个点呢？你看我第一平面它是有 b 和 b、 e， 然后第二个平面它是有 a 和 a、 e， 我们要写哪些比较方便呢？你看我这个里面要是不要写个 b， 那 b 一 写不写？不用了，我这三个就够了吧。 b， b 还是一个圆点，我还动什么脑？然后 a 和 a 一， 我要挑哪个？那我就挑个 a 嘛，就完了，这就是我写的四个点，不用多写了啊，就这么多。来， c 点坐标，我们看啊， c 点坐标，它是在 x 轴上走二，二到零到零，对吧？ c 点坐标来， c 点坐标不好写，是吧？ c 点坐标就不好写。 呃，那 c 点坐标呢？那你先放会啊，那我们再看这个 b 点坐标， b 点坐标是零零零，然后 a 点坐标是这个零二零，然后 c 一， 再看 c 一 啊，你看 c 一， 我从这里观看我从这里观看啊， c 一， 它是在 y 轴上运动了一对吧，然后在 x 轴上又运动了一，所以我们大概这么想，它应该是一到一到这个高度，这个高度是多少呢？啊？这高度还得稍微算一下， 对吧？啊，不用算，这高度还是一对吧？这是整个高度还是一啊？这个也好写嘛。 c 一 点左边就是一逗，一逗一好写完了。如果呢？你这个 c 实在写不出来怎么办？那你可不可以把 b 一 挑出来写上，可以吧？然后我把 b 一 挑出来写上，对吧？ c 两个平面都不写 c 一 的话，好写吗？这， 嗯，要么你就写这个情况，要么你就不写 c 一， 你把 a 一 和 b 一 给写上去，嗯，都好做啊，都好做。然后前三个平面，前三个是一个平面，然后前两个和最后一个也是平面，对吧？那我就要开始求两个平面的发向量，好，设面， c， c， e b 为。嗯，设面，它的反向量为 n 等于 x y， z， 然后，嗯，这个完了。 c， c， e b， 对 吧？然后我就把 b 当圆点， b c 向量， b， c， e 向量， b， c 向量是二到零都零，然后 b， c， e 向量就是一到一到一，然后 b c 点成 n 等于零，然后 b， c， e 点成 n 等于零啊， 减 n 等于来求 x 倒 y 乘一，再减乘一零，对吧？然后求 y 倒 y， 然后乘一，再减零二嘛，然后加负二，然后加负二，然后，然后最后一划减，就是零，负一到一就是反量，然后我们再算第二个反向量，对吧？第二个反向量它是啥？ a， c， c， 你 看， a c a c c c e a e a e 也不，也不平等，那，那我就设面 这个 a， c， c e 反向量为 m 等于 x y z 那 好，那我就设面这个 a， c， c， e 一 反向量为 m 等于 x y z， 好， 那我就设面这个， a， c， c， c， e 一 反向量为 m， 等于二到负，二到零，然后 a， c， e 一 向量， 嗯， a c 一 向量，那就是一到负，一到一，然后，呃，也同样， a c 乘 m 等于零， a c 一 乘以 m 等于零，所以 m 就 等于这个数。来，你们自己算一遍。我直接写了啊，等于负二，负二零，然后 可以化简，它就是一到一到零。你应该这样算，算的啊，然后你可以化简出来，然后你要干嘛了？求两个平面的二面角，对吧？那我就要得设 a c， c， e b 与面 a， c， c， e 形成角为 c， 它，然后呢？口算 c， 它等于口算圆角。 m 和 n 的 夹角就是 m 乘以 n 比上 m 的 魔，再乘 n 的 魔，大家就这么一算，这应该会算数啊，零乘它，零乘它就是一嘛，对吧？然后比上，上面的魔是根号二，上下面的魔就是根号二，等于二分之一嘛，我算出来二分之一，然后最后我得算什么正弦值呢？ c， c， 它等于根号下一减口三一方 c， 它等于二分之二，所以算出来了，最后打一下就行了。 打一下，好，那这题就结束了吧。他说如图，在四棱台， a， b， c 得 a， b， c 得 e， b， c 得 e， d 得 e， d 得 e， d， 所以 算出来了。然后中，他说下，里面是二的正方形，下面是二 对二，二二好，然后侧棱这个得得一，长得得得，然后与底面垂直。哦，这是垂直。然后他又说，正方形，哎，很好，间隙没问题啊。然后他又说，得得得等于一，然后得一， c 也等于一。我们要知道啊，侧棱台，我们，我们一般来说，我们是把这个锥体，比如说像这样的锥体， 这样，这样一切我们怎么切的啊？你要看清楚。哎，我是如果是平行的底面切的，我们才能叫台体，对吧？好，所以我们平行的底面切的，所以呢，我们这边长会和底面成比例，好，他，我们这边长会和底面成比例。好，他，我们这边长会和底面成比例。他说是这条线 一 b， 好， 我要平行于哪个？ a c 得一， a c 得一。好，这条平面，那么你看这是个线面平行吧。我，首先这个最后的结论叫线面平行，我们可以按结论往回走来。 b， 嗯， 用个黑色笔，你看，我的结论叫做 b b 一 平行于平面， a c 得一，对吧？我为了要推出线面平行，我要写什么？我要写平面外一条直线与平面内一条平行线平行，对吧？然后，嗯，它要平行于平面内一不属于面 a c 得一，对吧？然后，嗯，它要平行于平面内条直线，那内条直线是哪个呢？ 对吧？我要得搞清楚，所以我要得找辅助线。好，我们看一下。哎，在这里如果能找到跟他差不多平行的线，哎，我找一下，哦，大概好像是这条，可以吧。那这条，那这条具体是哪条呢？好，我大概看一下。啊，你看的一 b 这条对角线连起来了，那我是不是把下面对角线也连起来，哎，连起来，你看，连起来以后，下对角线和上对角线绝对是平行的，这没问题吧？因为这是台体嘛，对吧？好，所以我可以干嘛？这边有做个图。呃，做 这个的 b 连接啊，你可以写连接的 b， 好， 我们写连得 b 交啊。 好，交于 a 交 a， c 交 a b c 的 e 版啊，这是 e 点，可以吧？好， e 点，坐标 e。 好， 那现在我是不是要干嘛连的 e e， 那 我在这里看出来，大致看着好像是平行四边形，对吧？好，我只要证明它是一个平行四边形，我就能证明完毕，对吧？这就是就当平行了，对吧？好，那我再看一看，它上面这个 d e b， 有 没有条件啊？有，对吧？你看 d e b， 它是我上面这个正方形的，对吧？上面的正方形它是变成唯一的嘛，对吧？嗯，好，所以 d e b， 呃，得一比一，你看啊，得一比一，它等于多少呢？一，一根号二嘛，对吧？只有根号二。好，我在下底，我是不是也可以算一下来得 b 等于多少？得 b 等于。我们算一下，下面也是正方形，是二倍根号二，二倍根号二，而且这个 e 点又是中点，对吧？ e 为，你看。呃，这个得 b 中点，所以这个得 e， 它等于根号二 啊。也可以说我们，我们数的，我们求的不是得 e 啊，我们要求 e b 嘛。 e， 那 这条线是根号二，而且又平行，那意思就是你看，所以我把这块往下放一放。啊，这块往下放一放。好， 我现在有了个相等，对吧？你看这个相等吧，然后平行且相等，就是平行四边形，对吧？好，又因为这个得一 b 一， 平行于这个 e b 平行且相等，所以什么四边形？ 这个得一 b 一 b e 为平行四边形，好吧，所以什么得一 e 平行于 b e b， 那 就完了。好，那平面外一条直线与平面内一条直线平行，那平面内那个哪条是内的？得一 e 吗？对吧？得一 e 属于平面 a c 得 e。 好， 这不就证明完毕了吗？对吧？这个很好证明吧。 不要说不会啊，这你也没见到过比这还简单的题目，我们如何解析呢？你看我，我这第一问，第一问做完直接就可以解析了啊。来，我发现哦，这又是个垂直，那怎么建？哎，这样建呗，可以吧。哎，这个建的非常好。 嗯，好，哪个是 x， 哪个是 y， 哪个是 c， 可以 可以，秒出吧。来。这是 z 轴，对吧？这是 x 轴，这是 y 轴，对吧？好记，好细。呃，我们稍微写一下，它的那个支点怎么写啊？以得为圆点，什么为 x 轴？得 a 向量为 x 轴，对吧？然后得 c 向量为 y 轴，然后得得一向量为 z 轴，间隙如图，对吧？ 如图好，就结束了，然后如图，那我就开始写点坐标。来写点坐标，你看 a c 得一，那要写 a 点坐标， c 点坐标得一点坐标，然后还得写，你看 b c c 一 b 一， 我都需要写吗？ b c c 一 b， 我 只需要写三个点就可以了。 b， 然后 c 有 了，那就 b c c 一 吧。 b c c 一。 好，这样就可以结束了。那 a 点坐标我们写一下吧。 a 点坐标是 x， 二零零，对吧？ c 点坐标就是零二零，对吧？高度一好，然后 b 点坐标，那 b 点坐标就是二二零嘛。 然后 c 一 点坐标，那 c 一 点坐标就是。你看 c 一， 它是什么？是往外轴一，对吧？ x 没有走，那 x 就是 零一零啊。 c 一 是往高度还有一，对吧？高度还有一。好，这就说点坐标 好，那我写好点坐标要干嘛呢？开始写反向量，对吧？那 a c 得一，我们看一下。 a c 得一是 a， c 得一，哦，不，是一个对称平面，它如果在这个 x 轴和外轴微成平面， x 轴和这轴微成平面，外轴和这轴微成平面的话，我们就可以直接写反向量，对吧？那这两面好像不是，那我就得设反向量，设 a 面， a 得一， a， c 得一的反向量 为 n 等于 x， y 都 z， 对 吧？然后我要写 a c a c a， 那 就写一个 a， 好 吧，算它少减，那多 a 我 减一下，那就是二到零都负一嘛。然后再写一个 a， c c， 它就是零到二都负一嘛。然后我要再写 a a 向量点乘 n 等于零，得 a， c 向量点乘 n 等于零等于零。所以你看我 n， 我 写出来等于来去 x， x 乘以负一再减，减成二乘负一，那就是负的嘛？那是负的嘛？那是负的嘛？ 然后求 y 到 y， 然后负一乘零，再减负一乘二嘛？还是负二，嗯，它乘它减它乘它乘它乘它乘二，对吧？ 二，然后二得四四百，所以就除以二，就是一斗一斗二嘛。好了，然后再写一个射面哪面呢的 c c b 吧。那我就写的 b b c c 一 b b c 一 c 的 反向量为 m 等于 x， y， z 就 写成了。好，那 b c、 c 一 的话，那写什么呢？ c b 吧， c、 b 相等，就是 c b 相等，就 b c 减二斗负，二斗零斗零嘛，对吧？ b c， b 减 c 好， 然后 c e b c b 好 写 c， b 好 写 c， b 一 斗负一嘛。 然后我再写这个 c、 b 向量点成 m 等于零，然后 c e、 b 点成 m 等于零，那 m 向量直接写来，求 x 乘零乘零乘零乘二，再减负二，对吧？ 二好，二乘负一，然后再减零乘二嘛，对吧？然后我再取个负嘛，外取负，然后再求 z 加 z， 二乘一减零嘛？等于零一一，这就求完了，反向了。那求完反向呢？我可又开始搞那题目，对吧？还要求两角的加角， 加角为 c， 它，对吧？然后它就等于 m 点成 n， 比上 m 的 魔，再乘 n 的 魔，对吧？好， 然后在这里啊，我要去正的。为什么？你要清楚吗？我在这里虽然是是两个面的交叉，上面说是两平面的交叉，如果是二面角加角，它是零到一百八十度。如果是平面角加角，我要取最小角。这个我在前面讲过，还记得吧？不要忘记那两边乘以乘以一， 然后再加上二乘以二，然后比上下面母二的话，就是一加一加四，四五六，对吧？根号六，然后再乘以根号二，没问题吧？等于三，比上多少就是二倍根号三嘛，对吧？二倍根号三。那我同时告诉他，就等于二分之根号三，这会不会约？这个应该，这个初中就算，应该没什么问题吧？好，那二分之根号三，他应该是六十度的余弦值，是 二分之杠三。呃，三，三十度，对吧？三十度的余弦值是六三二分之杠三，对吧？三十度是不要拍六分之拍，对吧？三十度。好，那 c 它等于六分之拍。那最后我要你看它求的是假角大小，那这题就结束了，你看是三分，得手很容易吧。