正三角形倒过来怎么画对称轴

下面，哎，这些图形中各有几条对称轴呢？那我们知道什么样的图形它才有对称轴对称图形，哎，必须是轴对称图形。那什么是轴对称图形呀？ 必须对折后两边能够怎么样完全重合的图形，他才是轴对称，那折痕所在的这条线就是他的对称轴，对称轴。所以接下来我们就可以通过折一折的方法来找出这些图形的 对称。好，那我们先来看第一幅图，认识吗？什么图形？正方形，它有几条对称轴呢？四条，哎，我们可以来折一折，一起来看这个正方形，我可以怎么折？上下对折，你们看， 上下对折之后，上边和下边这两部分能够完全重合，能不能完全重合？所以这条线就是他的对称轴一条了吧。哎，我们找到一条，还有吗？我们还可以左右对折， 两边也能够完全重合，所以这条线也是也是他的对称轴。还可以怎么对折？斜着，哎，斜着，沿着对角线 对折，仔细观察两部分有没有完全重合？有，所以这条线斜着的这条线也是它的 对称轴，那我这样斜着，这条线是它的对称轴，那这样斜着呢，也是它的对称轴。所以正方形它就有几条对称轴，四条条给它画出来， 我们画的时候要画成虚线、虚线，所以正方形一共就有四条，四条。接下来我们再来看长方形，它有几条对称折啊？两条，两条。我们来折一折，它可以 上下上下对折，哎，仔细观察，重合了没有？重合了，所以这条线就是它的对称折。还可以怎么对折？左右左右对折， 左边和右边能不能完全重合？所以这条线也是他的对称轴。还可以这么对折。 哎，我听到有同学说还可以斜着看，行不行？我们来操作一下，我们来折一下。那我们来看， 斜着对折之后，两部分能完全重合吗？不能。能不能完全重合？这两部分是不能完全重合。所以这条线是他的对称轴吗？是不是？不是？那同样的，我这样再斜着对折一下， 两边能不能完全重合？也不能，所以这条斜着的两条线都不是他的对称轴。那正方形，那长方形，他有几条对称轴啊？两条，他只有两条对称轴，一条是， 一条是只有这两条斜着的，不是他的对称轴。那么再来看第三幅图，这个是一个什么图形？平行四边形。那他有几条对称轴呢？ 没有没有，有没有？没有？刚才我在下面转的时候，有同学画出来了两条，他是这样画的，斜着画出了两条。这两条是他的对称轴吗？不是，是我们来折一下。哎，沿着他的对角线啊，我们来斜着折一下， 仔细观察。沿这条线对折后，这两部分完全重合了吗？那我们再来观察一下，被这条线分成了这两个三角形，你仔细观察一下，他们这两个三角形长得一样。不一样，虽然长得一样，但是沿这条线对折后 还没有完全重合。能不能重合？不能重合。我们知道只有对折后能够完全重合的才叫什么轴。对称图形，这条线也才是他的对称轴，他长得一样，但是他不能完全重合。所以这条斜着的线是他的对称轴吗？不是的。那这条线不是。那换着斜着这条线呢？ 也不是。那斜着这条线呢？是不是也不是？那这样的平行四边形，它有几条对称轴？没有？没有，有没有？没有，就是零条， 哎，这里要注意啊，这个比较容易出错。我们再来看第四幅图，它也是一个平行四边形，只不过它有一点特殊，每条边都一样。对了，仔细观察，你会发现它的这四条边长短是一样的。那像这样的平行四边形在后面啊，我们会学到它叫菱形。 那这样的图形，它有没有对称轴呢？有，有，在哪呢？我们来你比划一下在哪斜着 哦，斜着，沿着他的对角线，看能不能完成，能不能能，所以斜着的这条线就是他的。那只有这一条吗？还有另一条斜着的，这样斜着重合了没有？重合了，重合了没有。所以这个菱形中他就有几条对称轴，两条两条。 好，这是一般的平行四边形，它是没有对称轴的特殊的，哎，也就当它四条边都相等的。像这样的平行四边形，它是有两条对称轴的，我们把它画出来，哎，这两条斜着 没问题吧？好，接着我们再来看三角形，哎，我们重点来看一下啊，这也是刚才你在画的时候错的比较多的。先来看第一个三角形，你观察一下它的三条边 有什么特点，三条边都一样长。像这样的三角形啊，三条边都一样长的三角形，它叫等边三角形，顾名思义，等边三角形，那就是它的边怎么样相等都相等。 那像这样的三角形，它有几条对称轴呢？一条还是三条？几条一起来看？我可以 啊，这样对折一下，竖着这样对折一下，观察重合了没有？重合了，所以这条线是他的对称轴吧？是一条了，还有吗？我这样转一下，这样是不是更方便我们观察。还可以怎么对折？再让他左右对折， 看。重合了没有？所以这条线也是他的对称轴。还有吗？现在两条了，我再转一下，还可以，左右两边也能够完全重合，所以这样的三角形，他有几条对称轴？三条，三条对称轴，我们也给他画出来， 哎，从这个顶点出发，哎，向对边画一条线，哎，这样折过来还可以，从这个顶点还可以从这个顶点出发啊，这样折过来也是他的对称轴，所以等边三角形就有几条对称轴。大声告诉我，三角。 好，那我们再来看这个，那这个三角形你观察一下它的边有什么特点，它的三条边都相等吗？不相等，有两条边，有两条边，它只有什么？它只有两条边是相等的。那像这样的三角形，它也有自己的名字，叫等腰三角形。 我们有腰没有？有腰没有。摸摸你的腰是不是在这？我们的腰左边和右边一样？不一样，一样一样。那你来看这个图形，它的这条边和这条边是一样长，所以它就叫等腰。等腰三角形。能理解吗？ 下面这条边和上面两条边的长短可是不一样的啊。这样的三角形，它就是等腰三角形。那这样的三角形，它有几条对称轴呢？一条？一条，几条在哪？左右对折，左右对折，左右对折。观察 能不能完全重合？能，两边能够完全重合，所以这条线就是他的对称着。那还有没有先给他画出来，找到了一条，还有吗？没有。我能不能这样从这个顶点出发给他对折一下？不能，能不能呀？不能。你能想象出来吗？ 看重合了吗？没有，重合了，没有。那我这样对折，从这个顶点出发，是不是也不能重合呀？是，所以等腰三角形他只有一条一条。 接着我们再来看这个三角形，先来看他的三角边，他的三角边长短一样吗？对，他的三角边长短都不一样，他只是一般的三角形。那这样一般的三角形他有几条对称轴呢？一条有没有？ 哎，和这个是一样的，是不是一样的？知道有人说一条在哪呢？在竖着，对着下面。哦，竖着左右对折过去是吧？那我听你的啊。哎，我又听到了不同的声音。那到底这条线是不是呢？ 是不是？是不是？是不是？两边能完全重合吗？所以这条线是不是它对称轴？大声告诉我，不是，是不是。那我换一下，我从这个顶点出发就直，你猜是不是？是， 是不是。那我再换这个领领。是，是吗？不是，是不是？不是。哎，我不管怎么对折，他都两边都无法完全重合，所以他有没有对称轴？没有，那是几条零。 哎，老师小结一下，做题认真听。一般的三角形它是没有对称轴的，如果它是三条边都相等，也就是等边三角形的话，它有三条对称轴，等腰三角形的话，它只有一条对称轴，听明白了吗？好，最后我们来看圆形， 这个比较简单，四条，四条，只要经过这个中心点的直线，我任意画 都是他的，什么都是他的，都是他的。什么？我只要经过这个中心点啊？我不管怎么折，我这样折也好，我这样折也好， 或者我这样折，我只要经过这个中心点的直线都是他的什么？所以圆就有多少条？无数无数，听明白了吗？听明白。

什么是轴对称图形？对折后两边能完全重合的图形是轴对称图形。什么是对称轴？对折后能使两边重合的线叫做对称轴。 轴对称图形的特点是，对称轴是一条直线，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等，沿对称轴将它们对折，左右两边完全重合。轴对称图形都有哪些？ 角五角星等、腰三角形等、边三角形等腰梯形、正方形、长方形、 圆和正多边形等都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴，原有无数条对称轴，每个圆的直径所在的直线 都是圆对称轴既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的，有不等边三角形、非等腰梯形等。

三下数学改版后第一单元必考易错题就是数对称题，让孩子记住这句话，就能轻松解决这个三角形。他是一个等腰三角形，我们用实物来演示一下，因为他的这两条边相等，所以就这样给他竖着对折，两边可以完全重合，最终三角形只有一条。 我们再来看这个三角形，他的三条边相等，所以他是等边三角形，我们可以沿着这一个角去对折，可以完全重合，我们再以这个角为顶点，两角对折，也可以完全重合，所以等边三角形是有这样的三条对称轴。我们再来看这个普通的梯形， 无论怎样对折，他的两边都不可以完全重合，所以他有零条。这个让孩子练一练吧！开学第一周我们会学轴对称、平移和旋转。 第一周学完，让孩子就去做一张这样的同步试卷，你就会知道他的知识掌握的有多扎实。你看就是这一套下册的同步周末小卷，与下册改版后的教材同步，遇到重点疑错题，扫码还可以看视频讲解。 这里给总结的都是常考题，还有重难点题，以及心情竟题、思维拓展题。开学后就这样让孩子做好每周一练，成绩提升，看得见语数音都有，赶紧准备吧！

什么是轴对称图形？沿一条直线对折，对折后能完全重合的图形。什么是对称轴？对折后能使两边重合的线叫做对称轴对称轴的特征，对称轴是一条直线，画图时必须用虚线表示。轴对称图形的特征， 对折后无重叠、无空缺，完全贴合。呃，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等 轴对称中包含左右对称、上下对称、斜对称。常见对称轴图形有 长方形、正方形、圆形等腰三角形等边三角形、正五角星等腰梯形、菱形等。原有多少条对称轴？无数条平行四边形不是轴对称图形？

三下数学改版后第一单元必考的一种易错题就是数对称轴，这类图形出错率特别高，让孩子记住这句话，就能轻松解决这个三角形。他是一个等腰三角形，我们用实物来演示一下，因为他的这两条边相等， 所以我们就这样给他竖着对折，两边可以完全重合，所以他是等边三角形。我们可以沿着这一个角去对折， 可以完全重合，我们再以这个角为顶点，两角对折，也可以完全重合，所以等边三角形是有这样的三条对称轴。我们再来看这个普通的梯形， 无论怎样对折，它的两边都不可以完全重合，所以它有菱条这个梯形，它是等腰梯形，它可以这样对折，两边完全重合，它才会有这样的一条对称轴。开学第一周我们会学轴对称平移和旋转， 第一周学完，让孩子就去做一张这样的同步试卷，你就会知道他的知识掌握的有多扎实。你看就是这套下册的同步周末小卷，与下册改版后的教材同步，遇到重点易错题想法，还可以看视频讲解，这里给总结的都是常考题， 还有重难点题以及新情景题、思维拓展题。开学后就这样让孩子做好每周一列成绩提升，看得见语数英都有，赶紧准备吧！

好，今天我们来讲这个三年级下册数学的这个练习。一这些几道题和复习。首先第一期我们学过的对称图形， 对称图形他是两边，比如说我这个手机，我把他划了一刀，他他就是可以分成两半，而且两半都一样。我举个例子啊， 这是一张纸，我把它对折了，可以跟着我一起做，然后对折过后，我拿把剪刀把它剪下来， 然后两把是一样的，所以说这个图形就是对称轴。 我们现在看到第一大题，我把这一个三角形这样画一下，它的左边和右边都是一样的， 你折一个那种小三角形，然后呢把把它从这个最是 在中间画一条线，然后把两边都是一样的，就叫对称轴，所以说这个是打上勾，这个呢，我们划开看，这个不行，这样也不行， 因为这边没有，如果这边也有个这个图形的话，这样划开是可以的。 这个不要去打叉，这道题是在正确里面画勾叉，也不要打好这个乒乓球，怕有人说他不是，不是对称轴，我们来画一下哈，我这个画不直啊，我叉了，来， 我画不直啊。你们应该在书上数学书，翻开能能找到的数学书，翻开 这道题我我也画过的，就是他画不起， 这里可以直接用一只尺子比着画，他是可以的，所以说打上勾第二个一眼都能看出来，他这样划分一刀是可以的， 他是这两边一样，然后这两边也一样，上面的头头也一样，所以说可以判断这个也是正确的。 好，我们的第二题就是下面形象中是平移的，画三角形 是旋转的，画圆形要勾关键词，他是什么？跟着我一起勾他。这个你看吧。 呃，比如说我这个手机，他是个风扇哈，这样他是旋转的，我拿不出来风扇，他是旋转的。现在 你在书桌上把你那个抽屉拉开，他是不是平移的？ 那你又不可能，我现在是坐在书桌高头，你如果要把它弄成旋转的话，你可能会把，呃，书柜你都要给他整开。 刚才这个是圆形的，这个是平移的，所以说仓库里的这种东西， 比如说我举个例子啊，我这是一张纸啊，这是个物体啊，他就这样把你那个货送走，通过这个管道啊，把这个给你送走，这个是在一个地方 的，一个平移的地方，因为他这个是往到直起走，你们有没有做过就是在轻轨站里面做过这种东西，我换一个啊， 这种电梯啊，就是你懒得走，就是你懒得走，你就可以走。这个坐这个东西他直接把你平移过去，可以去坐一坐啊， 所以说这个也是平移的。画三角形 魔方，他是旋转的，他可以随随便便就可以转过来，转过去，所以说他是旋转的。也有人说要他是平移的，平移的， 他就是说那个转动可以竖着转，但是万一呢？中间要给他旋转一下又怎么办呢？所以说就要画圆， 先把它擦掉。这道题，哪些小鱼可以通过把这个数学书拿来，哪些小鱼可以通过平移与红色小鱼重合？ 首先第一个我们来平移一下，这个平移过来，他是可以的，所以说这个打上勾，我这边不好涂上颜色啊， 就打上勾，这个是，然后这个也是可以，我做对了吗？你们可以去尝试一下，就是我们刚才说的那种直升梯啊，这些我也举过例子的，就可以自己去用尺子 比着，然后竖着都可以去比较一下，中间鬼窝是可以的。 好，数学书第四题是什么运动的这道题呢？我们来看一下。第一个题 看起来是我们之前比如说过节呀这些的，我们要在窗外贴什么东西，就要贴这个 这个圆形的东西，贴这个圆形的东西，那证明呢？这个是可以转动的，有一个圆盘可以转你们家的那个 可以动的东西，但是他是个圆形的，比如说闹钟呀这些的都可以可以转的，转动一圈的那种，拿出来可以，就是我说一下，就是 给我在评论区里面说一下这种可以旋转的，然后我们就要在这里填，这里不像刚才那一道题一样，填填圆圈或什么的，就直接填旋转， 填上旋转，我这个写着不方便啊，就就旋转好。第二个 为什么他是平泥？因为呢？你看很多东西他是往竖着的或者斜着的，斜着的也叫平泥。比如说我刚才给你们举的一个例子， 就是这个东西一个柜柜，他轻轨站上面有个地方，他可以做，就是平移的东西，直接把你移到那边去，就是懒人他才做的这个东西，所以说 刚才这个叫平，这个呢，这个他是平移过来的，你发现没有？那往这下面他就是平移过来的， 然后旋转， 旋转就是跟刚才一样的，只是花纹变的区别不大。最后一个也是， 有些人说前两个都都是旋转，哎，后面一个他也是圆的，为什么他他不是旋转呢？说一下，他是平移，就是因为他要从那个地方这样 宽开过后他要移出去，他就叫平移。我后面还要讲方法啊，就是方法 要学会，就是自己讲，我现在讲了过后你们要学会自己讲，就是不仅，我就是用一些方法啊，让我们自己讲。我的公众号下面还讲过一个，就是费曼学习法啊，可以去看看。 就是我们学习法就是要来把不会的题拿来讲才叫真正的懂呢。 好，最后一道题，最后五六七七题，我把它弄在一起了。首先 按规律画出十根高头，上面首先第一个他哪来的逆子啊？有些人说他哪来的逆子啊？这道题我不会做，他前面都没有，我后面怎么得出来嘛？首先我们可以看这两个之间的差，这两个之间的差， 他们中间的时间是多少，时间是多少，然后来推测这里是时间是多少， 应该画在这个位置啊，我们先来发现一下规律。现在这里是几点呀？直播间告诉我。 嗯，对啊，但是有一个为什么要说两点两点的，其实我们钟表也讲过的有个特殊的问题，就是呢，他这根时针有指到二和三中间，一般针都有可能做不到， 就是这个都是很难判断的，这个不叫你们错，只是这个印刷他刷的不好，这个三，然后这个这个他的时间变化是有什么？直播间打出来， 我发了一道打气器啊，就是 对的，奖励五十个金币的百分之九十八，再来发波金币发九十八个。 好，我发了啊，看回放的也可以。这个针应该指向这里， 他就是旋转的，你发现没有，我们一单元是学的旋转的，他也跟旋转有规律，还有个方法是预测跟这个单元学了什么来做做好。他也不是完全考的，你是时间关系的， 我抽一个人，他来和这个打起气。请这个 做呀，可以直接做， 做对了。好，我发了，我发十个金币，你自己去领。好，这个三角形，我，我们第一个要用三角尺，我我我也拿一副三角尺出来啊， 我先把它开个封， 要来比较一下。要，就是这道题主要是考的我们观察力， 像，我也拿，跟你们一样拿出，不要拿出这种像枪一样的尺子哈，要拿成正版的，不要拿成这种，有有带斜的。这种。好，这个三角尺， 然后，哎，看得清楚吗？这个三角尺啊，我，他本来是这样，把它转动成这样，这样拿着这样是个三角尺，然后我们再转动一下， 转动成这个样子。好，然后再往到这边转，然后下一次我们再转一点。可以通过答案我们就知道了这道题的答案。 这道题的答案呢？自己想，我不干这道，这个题的答案很简单，我先搜一下。 好，第二题是一个圆圈，你们先把草稿纸拿出来， 你想象，我们来打个比方，就是一个地方，一个小区，他有四栋楼，我给大家举个例子，这个方法叫做举例子法，我们来举个例子， 这个小区有四盏灯，他隔一等一秒，他又要往到下面一个，等一秒他又往到下一个。首先我们来看到他的图形，他是这个图形是顺时针还是逆时针？ 对了一半，嗯，直播间或者评论区打算好发五个金币， 这个从这个演变成这个，然后这个往到这边，然后就成了这个，然后再往到这边，是这个，所以说这道题答案很简单，这个应该什么都不会做错吧？ 好，这个这最后一道题需要你们自己去折，像我一样，这里有个视频去折一下啊，我折的，这是我折的， 就像这样，我们要去剪一下啊。今天我们这个是个练习一的讲解，也是一个复习课啊。好，可以退出直播间的下课。

同学们，你们好，欢迎来到五年级数学课堂，今天我们一起来做一道五年级数学题， 将三角形向下平移三格，再根据对称轴画出另一半，组成轴对称图形。 我先给你一点时间，你来想一想怎么做这道题吧，你也可以准备一张草稿纸，在草稿纸上画出这样的图形，自己去做一做 好。首先呢，我们要将三角形向下平于三格，我们来看一下三角形的点，点在这里向下平 平移三个，一个，二个，三个，那么他的顶点就会到这里来，这个点向下平移三个， 他的另一个点就会到这里来，这一个点相加平易三格，另一个点呢就会到这里来，所以平易之后的图形呢就在这里。 接着我们再根据下面的这一条对称轴画出另一半，做成轴对称图形。我们看这个点 距离对称轴有一格，那么我们就在下面画一个，所以他的对称点呢就在这里， 而另外两个点呢，他们都在对称轴上面，所以呢他们的对称点和他们完全重合，那么另一半就要这样来换，这样子我们就组成了一个轴对称图形了。

挑战十六节课完成本师大班七项数学知识强化知七项最难章节轴对称图形这一期的视频我们将要讲解整个七年级下册最难的章节轴对称，打起十二分精神，仔细的去听。先来看第一部分基础知识的讲解。 第一个知识点，什么是轴对称？这一个基础知识我们在基础课程当中已经讲过了，我们当时是不是举了一个图形的例子， 我们是以这个图形为例，然后我告诉大家，如果说是一个图形，沿着一条直线折叠之后，它直线两旁的这个图像可以重合在一块，我们就把这个图形叫做轴对称。轴 在轴对称图形里面和我们的全等三角形类似，它也有对应的点，也有对应的边。 再来看第二个知识点，是等腰三角形和等边三角形的轴对称的性质，这一个知识点为什么重要？首先我们要知道，在等腰三角形里面，它底边上的这一条中线，底边上的这一条中线也好， 或者是说这个顶角的角平分线也好，或者是说底边的这个高线也好，他们都是同一条线， 为什么强调这一个地方？如果题目当中告诉了我们某某某某某， 如果题目当中告诉了我们某一个三角形，它底边上的中线是哪一条，你接着要反映出来，这一条线，它既是角平分线，也是高线，而且它还是垂直平分线， 这个这一个点一定要反映出来。当然在等腰三角形里面也是一样的了，等腰三角形，它的这个三条边上的中线、高线、角平分线、垂直平分线都是重合在一块的。 好，我们再看下一个知识点，垂直平分线，就是说什么是垂直平分线？ 这个也比较简单，垂直平分线就是我们这一条线段 和被一条直线平分，假设这一个直线是 co， 被这个直线 c o 平分，并且呢这条直线 c o 还和我们的 ab 它是垂直的，我们就把这条线段叫做垂直平分线。 在垂直平分线上它有一个特别重要的性质，就是这一个。这一条性质在我们去证明三角形全等也好， 或者是我们再去求某个线段的长度也好，经常会用到这一个性质就是在垂直平分线上的任何一个点到这个线段两边的距离它是相等的，假设这个点 c 到这个线段 a 的 这个端点和到 b 的 这个端点，这两个长度它是一样的，这是非常重要的一个性质。我们再来看第四个角平分线有什么性质？ 角平分的性质是角平分线上的点到这个角两边的距离相等， 还知不知道什么是距离？点到直线的距离是指什么？这个我们在基础知识课里面我们也强调过哈，这如果是一条直线，如果我们外面有一个点，我们假设这一个点是 c 的 话，这条直线是 l 的 话，那 c 点到 l 的 距离是什么？是不是 通过过这个 c 点做垂直于 l 这一条直线的一个线段？我们假设它的焦点是 o 的 话， c o 就是 点 c 到直线 l 的 距离，对不对？所以在角平分线上的一点到两边的距离是指什么？就是我从点 c 做一条垂直于 a o 的 线段，由这个 c d 这一条长度和过点 c 向 o b 做一条垂直于 o b 的 线段，比如它两个的这个距离是相等的， 这个东西为什么重要？它也是我们在后面去正三角形全等的时候经常会用的一个性质，或者是我们再去求线段的长度也好，去求角度也好，我们是不是通过都是通过一些三角形的全等，我们来这个等量的代换啊？或者是经过一系列的转化，我们才把这个边或是这个角给求出来的， 对吧？我强调这个地方的目的是什么呢？我是想让大家能够在就是说当你这个题目当中他出现了角平分线，而且他出现了一条这样的，就是说好比我们有一个题目给我们画的这个图哈，我只画一部分， 就说这里有一个角，然后这个角上呢有一条垂直平分线，有一条这个角平分线过，这在这个角平分线上有一个点，我们假设还是 c 这个 c 点到这一个，我们把这个线路记作，还是记作 o b 吧， o b 和 o a 吧， 这个 c 点到 o b 的 这个距离，题目中已经给我们划出来了，假设这个点是 d， 就是说这一条线路是题目中告诉我们的，你接着就要反映出来，我要做一条辅助线，我要做一条什么样的辅助线，就是从 c 点向 a o 引上一条这个垂直于 o a 的 线段，就是说这一个线段，我这个记作 e 的 话，要是通过我们做这个辅助线之后，我们就能得到 c e 和 c d 相等，这样你再去解决这个题目去，并且同时你还要知道什么，你还要知道 三角形 d o d 撇 三角形 d o c 全等于三角形 d 撇 o c。 通过知道这两个三角形全等之后，我们就知道了它的这个对应边和对应角是相等的。你们再去求题目所问我们的问题，基本上都是迎刃而解的，为什么这两个三角形全等？我在这里我就不重复了，我们在基础课程当中有讲过，自己去看。 再来看第五个知识点，这个地方就是他的难点，也不单单是这一个知识点是难的哈，是整个章节把我们把我刚才给你们讲的这五个知识点全都融合在了一块， 你要对这五个知识点非常的熟悉，当你看见某一个条件，你又要接着反应出来，我这看见这个条件的时候，我要怎么去做，你才能把这一招的这个题目做好？什么叫将军引马？ 我们先来看他数学的描述，数学的描述是说屁在直线 m n 上随意的移动，问点屁运动到哪个位置的时候， a p 和 b p 的 距离最短。这句话有点晦涩难懂，我在这里给大家举一个例子，就是古代行军打仗的时候， 有一个将军，他命令这些士兵在 a 点扎了一个营房，第二批士兵在 b 点扎了一批，扎了一个营房， 他们的这个养的马需要去喝水，这时候将军就问士兵，我们要把这个饮水点设在哪个地方，能让我们从 a 这个营房到饮水点的距离， 加上从 b 点到饮水点的距离最短，这个就是我们这一个问题的来源和出处。这个饮水点是不是就可以在这个 m n 这一条河上随意的移动啊， 那么我们怎么样可以找到这一条最，这个最，也就说我们这个最佳的这个饮水点在哪呢？ 就是用我们的轴对称的性质，你看现在 ap 加 bp， 我 们不知道它是，它加起来是什么样的，那我如果以这一个 m n 这一条和为对称轴， 我做 a 点的对称点，当然你做 b 点的对称点也是可以的哈。 我假设这个地方，我叫我把它记作 a 撇，那么我们根据垂直平分线的性质，这个屁点到 a 的 这个距离和我屁点到 a 撇的距离是不是相等的？ 那么我 ap 加上 bp 的 距离，它是不是又等于 a 撇 p 加上 bp 的 距离啊？ 那我 ap 加上 bp 在 什么时候最短？是不是就是当我两点之间，两点之间什么时候什么时候最短？不就是两点之间线段最短吗？当我是一条直线的时候是最短的吗？ 如果我的这一个点 p， 我 们假设你取在了这里的话，那你看这个 ap 加上 bp 是 不是比我们刚才所说的这个线段的距离是要长的？ 这就是将军引马的来源。为什么这个知识点五比较重要？是因为在题目当中他经常会问我们， 给我们给我们画一个什么什么巴拉巴拉的一系列的图形，然后画完这个图形之后，问这个图形里面的两个线段， a p 加上 b p 的 最短长度是多少？让我们去解决这一类的题目。 我们看见这个相关的题型的时候，我们再去讲哈，你先知道这个东西，你先知道这个基础知识，然后再去学如何去运用，我们继续往下看。好，这样呢，我们就开始第二部分 重点题型的讲解，我们来看看这一块他都有哪些题型哈。第一个轴对称的现象，这一个非常的简单，必须要会， 他就是问我们什么样的图形是轴对称图形，你看一看吧。第一幅、第二幅、第三幅、第四幅，他们都分别是什么运动？第一个是不是冰壶啊？第二个是滑冰， 第三个这是什么运动？我看不出来，这一个也是滑冰，那在这里面谁是轴对称图形？那我们就看看有没有一条直线能把这两个这四个图形分成可以对折在一块的。这个这个，这个这种情况吗？ 你是不是发现只有这个图形三可以啊？图形三的对称轴是什么样的？不就是这样吗？就是从中间把它劈开吗？这样他两边就可以折叠，之后可以重合在一块，对不对？这是这种题型啊，比较简单，这一个你们自己做一做， 哪一个不是？是不是一眼就能看出来这个不是轴对称图形，剩下的这三个都是。再来看第二个轴对称的性质和运用， 看见没？一看这个题目，一看这个图形是不是就感觉有点难度了已经，我们看看它到底怎么难，然后我们看看这一类的题目我们要怎么去想啊？ 如图，点 p 是 角 a、 o、 b 内的一点，看看点 p 在 哪里，是不是在这里 分别做出 p 点关于 oboa 的 对称点 p 一 和 p 二。当你读到这句话的时候，这一句话它隐藏的这个信息量多了， 你要能得出来哪些哪些这个信息你才算是学的合格呢？我在这里给大家讲一讲哈，我们就以这一个 p 和 p 一 为例， 既然这个 p 一 它是关于 o b 的 对称点， p 一 是 p， 关于 o b 对 称， 我连接 p 和 p e 之后我出现的这些结论，也就说我能得到的这个结论必须要有下面的这些东西。 第一个我知道了，我们假设这一个焦点是 h 的 话哈，我就知道，首先它是这个 p h 等于 p 一 h， 这个是没问题的，对吧？第二个 o b 是 p p 一 的垂直平分线，对吧？ 也就是这一个角是直角。第二个，第三个我能知道三角形 p e h m 全等于三角形 p h m， 这个也没问题吧？这个是怎么来的？你看 p e h， 我 们来证明一下哈。这个地方我再再写个小括号， p e h 是 不等于 p h， 这个毋庸置疑的，对不对？ m h 和 m h 它是一个公共面， 而且我刚才说了，这个 o b o b 是 p p e 的 垂直平分线， 那么我们通过垂直平分的性质，我们是不是就知道垂直平分线的点到这个线段，两段的距离是相等的，就是 m p 一 就等于 m p， 这个不就是 s s s 吗？对吧？通过这个三角形全等之后，你是不是又得到了它的这个对应的角对应的边是相等的， 这是我们要得到的信息。当然你在考试的时候，你不用把这些东西都写出来哈，你就知道就行，就是你心里要有同样的同理， p 和 p 二关于 o a 这一条边对称，我们也是能得出来这些条件。 好，我们现在，现在我把我把这些东西都擦了哈，因为我如果不擦的话，我没地方写了，你们自己好好的琢磨琢磨这我说的这个地方。然后我们继续往下看，条件 连接， p 一 p 二交 o b 于点 m 交 o a 于点 a， 若角 a o b 等于四十度，看看这个角 a o b 在 哪里？ a o b 在 这里，四十度， 则角 m p n 的 度数是多少？角 m p n 是 不是在这里？你看这一个题型是我 之前讲过的哪种题型？是不是我们在讲这个全等三角形里面求角的度数问题的这种题型啊？我怎么着教到你们来？是不是我们要先直观的去判断一下这个角 m p n 它等于什么？ 这个角 m p a 我 们是不是很显然我们能看到它在这个三角形 m p a 里面？那我是不是可以用三角形的内角和去求解， 也就是角 m p a 等于一百八十度减去我们假设哈，假设这一个角是角一，假设这个角是角二， 就是我写这个一和二的目的是为了我们就不用字母去表示了，这样我们更清晰一些，他是不是就是一百八十度减去角一，再减去角二， 那么我下面我要是想去求他这个度数的话，我的问题是不是就去变成了去求角一和角二的度数？我们来看看角一，哎，角一这个地方你是不是也有条件反射了？什么条件反射他是不是三角形 m p p e 的 外角， 它是它的外角的，那它等于什么？这个角一是不是就等于角 m p e p 再加上角 m p p 一 啊？刚才我们说了这个三角形 m p 这个地方是 h m p h， 它是全等于三角形 m p e h 的， 那么这两个角是不是就是相等的？那它就等于二倍的角 m p e p 吗？ 对不对？同理，我们这个角二是不是这一个三角形的外角，也就是这个三角形 p n p 二的外角，那我角二等于多少啊？角二我就等于二倍的角 p p 二 n 吗？对吧？ 好，那我用一百八十度减去他俩我下面的这个目标，我是不是要么有两种方法吧？这个这个时候你们也要想到了哈，我是不是有两种方法，要么我把这一个角单独求出来 和这一个角单独求出来，或者是我把他两个的核求出来，对吧？我们的问题就变成了， 我们的这个思路就变成了单独求出角 m p 一 p 二或求角 m p 一 p， 再加上角 p p 二 n 的 这个度数吗？ 那么我们再回到题目的已知条件里面去，我们看看怎么样去求它，好，它好做这一个，这个角 a o b， 这里是四十度，我们怎么样能让它产生关联？ 这个地方是四十度，哎，我这时候我是不是发现了这一个，我们这两个角，就是这一个角 m p 换一种颜色，也就是我们这个角 m p e p 和这个角 m p 二 p， 它是不是在三角形 p p 一 p 二里面，是吧？它是不是在这个三角形里面？ 我如果要求它两个的和的话，我是不是就等于一百八十度减去这一个角 p 一 p p 二， 那我下一步的思路，我是不是，我如果能把这个角求出来就好了，我怎么样能求出来这个角？我怎么样能用这个四十度和这个角关联上呢？ 我把这些，我把我画的这些东西先擦掉哈，我擦掉，我们下面的目标就是求 p p 一， p p 二了啊？ 我把它擦掉，擦掉之后是不是就很明显了？你看这个地方是四十，这个地方是垂直的，这里是垂直的，那你说他这个地方是多少度？四边形的内角和是多少度？是不是三百六十度？ 那他这里是不是就是三百六十度？减去四十度，减去这一个角，再减去九十度，九十度就是这一个角，再减去九十度，是不是就是这一个角？你说他在这个四边形这个里面吗？瞄一下啊， 它在这个四边形里面，这样我们是不是就得到了这一个角 p 一 p p 二等于多少？那它不就等于，然后那它不就等于一百四十度吗？ 我们得到了这个一百四十度之后，我们不就知道了这一个， 我们不就得到了这一个，这个角 m p e p 加上角 p p 二 n 的 度数吗？等于多少？是不等于四十啊？然后你再把它带到这里边去，再把它带到这里边去， 不就得出来了吗？对吧？你看角 e 是 它，它这个地方不就是一百八十度，减去二倍的 这个角 m p 一 p 二，再加上这一个角 p p 二 n 嘛，它就等于一百度啊， 最后我们得出来这个结果就是一百度啊。自己好好的琢磨琢磨哈，看看我们的这个思路是怎么样一步一步一步这个演化过来的。 这个二杠一自己做一下，二杠二也自己做一下。题目越难你越要去练，你如果说害怕这个题目，你觉得他难，你不想去做，那你永远都学不会 这些，这些都自己做一做哈。我们再来看题型三，刚才我说的比较难的那个地方，将军引马来了，我们看看怎么样，他是怎么着引这个马的。 哎呀，看起来又有点难啊这个题，但是不要慌，你又，你要知道，就是说你看见一类题型，你要知道它的这个解题的思路是什么，它就不难了，看哈。如图，在锐角三角形 a、 b、 c 中， ab 是 四， ab 是 四，三角形 abc 的 面积是十，它告诉了我们一个边长，告诉了一个我们一个面积。其实当你读到这两句话的时候，你又要想到什么？有可能是 有可能用高去求，有可能是用高求解，为啥？ 因为告诉我们一个边，告诉我们三角形的面积，那不就是这个三角形的面积。不就是二分之一底乘高吗？不就是二分之一 s、 h 吗？是吧？ 这是我们学的公式啊，有可能会用到这个这个公式啊。这，这是你看见这个题目的一个内心的反应，你做题做多了，你自然而然就会有这种反应。然后再看角 b、 d 平分，角 a、 b、 c 好， 垂直这个平分线来了。 看到平分线，我们就要想到平分线上的一点到这个角两边的距离是相等的，看看有没有这个东西。 b、 d 平分， b、 d 这一条线是垂直平，是这个这，这个平分线。哦，他没有告诉我们什么垂直的东西，那我们先不管，我们先继续往下， 若 m 和 n 分 别是 b、 d 和 bc 上的动点，问 c， m， 你 看是不是问这两个。但是这个时候和我们刚才讲的那个知将军密码的知者唯一的区别在哪？它这里变成两个动点了，是吧？我们刚才好像只有一个动点啊。不要怕， 它的这个底层逻辑都是一样的，看看 c m 是 这一个边， m n 是 这一个边，问它们两个加起来的最小值是多少？ 哦，这是要考我啥？那我，那我得想办法干啥？我是不是得想办法把这个 n 点挪到这个 这个 m 所在的这一条直线的另一侧，我是不是得想办法把它挪到这边来？就，就我得这边找个 n 撇，或者是我把这个 c 点我挪到这边来。 这个题我们挪谁比较好挪？是不是挪 n 比较好挪？因为这个 c 点它是这个三角形 a、 b、 c 的 端点啊，它不大好去好去操作，看起来不是很很好操作的样子，那我们就先挪 n 呗，挪 n 怎么挪？我是不是过这一个？那不，我是不是做这个 关于 b、 d 的 对称点就可以啊？好，我开始做对称点，对称点，对称点，我就是这样，是吧？这个 b、 a， 我， 我是这样的，哎，我这样做，做一个这样的，先先做一个它的这个垂线， 做一个垂线之后呢，我再在这个垂线上量和这一个，我们假设这个交点是 h 吧，我要量出来和 h n 相等的这个线段，那我这样我这个 n 点它会落在哪里呢？ 这个是不是我们现在遇到的这个问题？就是说我如果是去做 n 点的 n 点关于 b、 d 的 对称点的话，我这个 n 点的对称点我会落在哪里？还记不记得我刚才说的这个地方它是不是一个平分线？ 那他是平分线之后我们学过在平分线上的一点到直线两边的，到这个角两边的这个距离相等，为什么？因为这两个三角形是全等的， 哎，但是我这一个我看起来好像和我们这一个性质不是很一样吧，对吧？我们的这个直角在哪呢？是不是到这来了？他是不是成这里了？ 我告诉你们，即便是如果是这是一个角平分线的话，就是说我们这个角平分线还有一个隐藏的性质是什么？如果是我这一个，我有一条线哈，这一条线我和这个角平分线是垂直的， 假设我这个焦点是 a， 这个焦点是 b， 这个焦点是 c， 仍然有 ab 等于 bc， 为什么？因为这两个三角形仍然是全等的，为什么？ 因为我在这里给大家解一下啊，我把这个地方记作角一，这个地方记作角二，我把这个点记作 o， 我 是不是可以有角一等于角二，因为 ob 是 角平分线， 我是不是含有 o b 等于 o b？ 为什么？因为我这个地方是公共边，我是不是含有角 a， b o 等于角 o b、 c 等于九十度，这样我是不是就变成了 as？ 呃，这是 asa 还是 asas a 吗？对吧？我是不是用 asa 我 就可以证明。我说刚才说的这两个三角形全等，那这两个三角形全等了之后，那你说这个 ab 和 bc 他 不就相等了吗？对吧？好了，我们知道了这个性质之后， 我先擦掉啊，如果说你没听懂，你又再重复的听两遍，那我们有了这个结论之后怎么办？我们有了这个结论之后，我不就知道 n 在 哪了吗？不就在这里了吗？对吧？他不就在这个 ab 上了吗？ 我们不管这个 n 它是怎么动呢？你看 n 在 bc 上动，对吧？ n 在 bc 上动， 那我它的对称点我就始终是和这个，那我始终就落在这个 b a 上， 因为 b、 d 是 它的角平分线呀，对吧？明白了吧？所以我们这个 n 撇的移动轨迹，所以我们做了这个垂直这个，这我们做关于 b、 d 的 这个对称点 n 撇之后这个 n 撇的运动轨迹， 这个 n 撇的运动轨迹，它就是在 ab 这一条直线上的。 好了，我们现在我们这个 n 撇我们知道在哪了，那我们如果想要去求 c m 加 m n 的 话，它是不是又变成了 n 撇加上 m n 撇 m 就是 说这个 c m 加上 m n 撇， 对不对？就这里就这一条线段和这一条线段是相等的了。好了，我再把这些东西擦掉哈，我们知道了这个结论之后，也就是说我这一个，你这个 c， 这我们这个线段之后 这个 n 撇啊？对，刚才还有一个，还有一步没有讲哈。假设我的 n 在 n 撇在这里， 假设我的 n 撇在这里，我这时候我的 n 撇 m 加上 m 加上 m c 之后，它是不是肯定不是最短的？在什么时候是最短的？肯定是这个 c 和 n 撇连起来是一条线段的时候是最短的， 对吧？也就说我这个 n 撇和 m 和 m， 你 如果是想找到这个 c m 加 m a 的 最小值的时候，它们这个三点肯定是共线的。 但是我这个 n 撇我又在 ab 上移动，那我移动到什么的时候，什么位置的时候，我整个这个 c n 撇它是最短的，那它不就是当我这个 点，这个 c 点，这是 c， 这是一个点，这个问题是不是就变成了这个直线 ab 外一点， 当它它的这个最短的，这个当这个点，这这个叫什么呢？直线外一点到这个直线的距离了吗？什么时候最短？不就是当它这个垂直于 ab 的 时候，它是最短的了吗？ 比如说我这个 n 撇在这里的时候，我 n 撇运动到这的时候，我这个 c n 撇它是最短的呀。你看这个时候不就是我们刚才这一个， 这个这个看见这个条件之后，自己自己的一个心理反应嘛，就是有可能会用高求解，那它你看它这个不可不就是它的高嘛，对吧？之后这个就是说这个 m 点在这 n 撇在这的时候，这个 c n 撇是最短的嘛？ 它就等于 c n 撇，对吧？那你再把这个，你根据这一个公式，你把这个 c n 撇求出来，不就完了嘛？ 怎么求啊？就是二分之一乘以 ab 乘以 c n 撇就等于十，然后 ab 是 四，你带进来，你把这个 c n 撇求出来，这个题就解决了。 你看，其实我们这样一步一步的去往下想，这个题目没有我们想的这么难，对吧？这个你们自己做， 这个自己做，训练三杠二也自己做，就是自己要自己动脑子，好好的去思考，不要害怕。 在这情况下看题型，四等腰三角形的分类讨论，这个分类讨论，分类讨论的是什么？我们通过题目来讲啊， 看等腰三角形，一个腰的垂直平分线与另一个腰所在直线的夹角是四十度， 则这一等腰三角形的底角是多少啊？一看这个题还不好做啊，我画个等腰三角形，我画个等腰三角形啊，我做一个垂直平分线， 那我们，我们做的这个有点特殊哈，我们我们重新画一个，画一个普通的 等于二三角形，哦，一个腰的垂直平分线，那大约在这个位置，你大胆的画哈，做图的时候自己大胆的画就行。只要是 你知道你画的这个线是什么，然后你知道他的这个性质就行，你肯定画不了。像这个，这个，这个，这个题目里面画的这么规范，你不用管，你就画 这样做下来嘛，是吧？我知道这个地方是垂直的，然后我知道这个三角形如果是 a、 b、 c 的 话，假设我们这个交点是 d 的 话，你知道 a、 d 等于 b、 d， 然后它两个垂直就行了，然后继续往下与另一个所在的直线的夹角是四十度，那也就是说我这个地方是四十度呗， 然后他问什么？他问这一个三角形的底角是多少？那我一看这个填不简单，那我求出来这个顶角 a， 那 我这个底角不是说是一百八十度减一除二吗？对吧？ 角 a， 他 不就等于一百八十度减去，减去这一个角九十度吗？减去九十度，再减去四十度，然后再除以，再然后这这样我们就得到了这个角 a 了，然后这个角 b 不 就等于角 c， 不 就等于二分之角 a 吗？对吗？就这么简单，我这个题目做完了， 你如果是做到这里就做完的话，你这个题目做对了吗？这个我们这一个等腰三角形，他这个题目里面有没有告诉你他是一个锐角，等的锐角的等腰三角形， 也没有告诉你他是一个直角的等腰三角形，他也没有告诉你他是一个钝角的等腰三角形啊。那你是不是要对这三种情况进行一个分类讨论啊？刚才我们讨论的只是锐角三角形的， 那如果是直角三角形的，对吧？这个题目当中没有告诉我们的情况，我们都要去把它考虑出来。如果是直角三角形的，那我们来看看呗。那直角三角形好像好像符合不了 t e 吧？ 你看这个地方是直角的话，整张三角形一个交的垂直平分线，哦，垂直平分线在这， 然后我这样，如果是垂直的话，我是不是，你看他这个时候，他这个同位角是不是就出现了我这两个，我这两个边不就平行了吗？我不会和我这一个这个腰产生做这个出现任何的夹角， 对吧？所以直角三角形这种情况是不存在的。那你再看钝角三角形呢？如果我这个角是钝角的，这个这个等腰三角形呢？ 那还是做一下嘛？这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 我过这一个点，我过这一个点，做了一个垂直平分线，画的不是很好看，重新画一下，可能你看不出来， 嗯，这样吧，大体垂直哈，大体垂直做了一个垂直平分线与另一个腰所在直线的夹角是四十度，那我他他在哪里夹？这很明显吗？是吧？这个是不是比较明显？那我是不是就是在这个延长线上？延长线上，延长线上 这个地方我们出现了这个夹角四十啊？那这个题目是不是也比较简单？ 那这个题目是不是也比较简单？就是我这个地方是九十度，我是不是就可以得出来这个角是多少度？这个地方不就是一百八十度减去九十度减去四十度， 然后我就知道这个角是多少了？我知道这个角之后，我再用一百八十度减去我刚才求的这个角，不就能求出来这个顶点了吗？求来这个顶点之后再除以二不就可以了吗？对不对？ 这个地方他不就是九十度加上四十度吗？这是他的顶角，然后你再用一百八十度减去九十，再减去四十度，再除以二，你就可以得到他的这个底角是多少度了，对吧？ 这个题目他的容易犯错的点在哪？就是你容易一看这个题目这么简单，你又直接按锐角三角形去算了，或者是你直接去按钝角三角形去做了他。其实这三种情况我们都需要去考虑， 最后得出来的答案就是你锐角三角形算出来一个角，假设我们算出来那个角是五十吧，我只是举例子哈，具体他等于多少你们自己去算。 最后我们的这个答案是五十度或者是三十度，这个三十度就是我们通过这一种情况算出来，当然这个数这个三十、三十，这个数和这个不一样哈，就你们自己去做。我只是跟你们说最后这个答案的他的形式是什么， 这一个就是我们锐角三角形那种情况下的答案，这一个就是我们钝角等腰三角形的这个答案，能明白吧？好，继续往后这个也是自己做一做，这个也自己做一做 好。再来看题型，五角平分线性质的运用，还记得我给你们说的这个角平分线都有什么性质？来吧，就是说再重复一遍哈，再重复一次 角平分线，角平分线上的一点到这个两边的这个距离，它是相等的。除了这种情况之外，如果 和角平分线垂直的这个线段，他的这两边的这个这个长度也是相等的。好，我们看看问题，看题型。 第一个例五，如图， a r a b r a c r a 分 别平分，也有说这个三角形，这个三角形内角，三个内角的角平分线 id 垂直于 bc， id 垂直于 bc。 好， 看见这个东西了，要接着想起来啥？我接着好像要做辅助线了吧，是吧？先不用着急做辅助线，你先心里有这个想法就行，先继续往下看看他的问题是什么。三角形 a、 b、 c 的 周长是十八，也就说 a、 b 加上 bc， 再加上 a、 c 等于十八， i d 等于三， i、 d 是 三，则三角形 a、 b、 c 的 面积是多少？ 哎呀，我这个我要是想求面积，我得知道高啊，但是我这个高好像没有告诉我任何信息，但是他告诉了我平分线和垂直了。我这是我先不管他三七二十一，我先做个，做个辅助线再说。 我假设这个焦点是 e， r e 是 多少， r e 是 不是也是三？ 哎，这样的话，我看着这个时候，是不是我知道了这两个三角形就是这这个 b、 i、 c 这个三角形的勾，我还知道了这个 a、 b、 i 的 这个勾，哎，那我如果再往这，再，我再往这做一条，我再往这做了一条，我又做了一条勾，那我是不是又知道了 a、 i、 c 这个三角形的这个勾啊？ 哎，那我是不是还可以除了我知道这个三角形，这个三角形 abc 的 高之外，如果我用这一个三块，这个三角形的面积加起来也可以啊， 而且我还知道它的周长是多少。哎，那我算算，你看，我先算这个三角形 a、 b、 i 的 面积，它是不是等于二分之一 ab 乘以三， 同理，三角形 b、 i、 c， 哎，我这个题往上做出来了呀，对吧？二分之一 bc 乘以三，三角形 a、 i、 c 就 等于二分之一，这个 a、 c 乘以三。哎，我把它加起来，我不，我这个数，这不都整好了，我不就正好可以把它提出来吗？ 你说这个三角形加起来哈，我就不，我就不写这个数了哈，它就等于二分之三，二分之三 ab 加上 bc， 再加上 ac。 啊，那这个数不就是十八吗？那我这个题做出来了，它就等于二十七啊。 哎，你看是不是我们这个思路一步一步的，它并没有我们想的那么难，看见题目不要被它吓到， 用上一步一步的往下去做就行。要运用好我们这个线的性质，就是你只要是基础知识扎实，你看见这个东西你能反应出来，看见某些条件，你能接着反应出来，他要考我们什么，这个题目你就能做出来。 继续往下，这个你自己做吧，五杠一，五杠二你都自己做哈。好，我们来看题型六，垂直平分线性质的运用，看看这一类的题目它会考我们什么样的类型。 例六，三角形 abc 中 bc 等于十， ab 的 垂直平分线，呃，等等等等。哎，他怎么没给我图啊？ 上一个题目当中，他是不是也没给我图？就是我们在做那个等腰三角形的那个题的时候，他是不是也没给我们图？他竟然没给我图，让我自己画上一个题，我分类讨论了，这个题我是不是有可能也会分类讨论？ 你看这时候你又长记性了，知道看见这种没图的题要记得要去分类讨论，那这种它分几种情况呢？我们先不管它分几种情况，我们就先做一个最简单的，然后我们再去深入的思考，先做简单的，就是从简入深，先做出来其中的一种情况。 我们先随意画一个三角形三角形 abc， 是 吧？ 这样 a、 b， c， ab 的 垂直平分线我们随意画就行哈，你这个没事，你只要是记得它的性质就行， 我们这个我们离远一点吧。假设这样吧，这个地方他看看他说的是什么？ ab 的 垂直平分线与 ac 的 垂直平分线分别交 dc 于这里是 d， 这里是 e， 你 说这一个线段是 d， e， 对 吧？好问，我们 a d 加上 a e 的 值，那简单啊，我根据这个垂直平分的性质， a d 就 等于 b d， a e 就 等于 e c， 而且已知条件当中告诉的我们两个边长分别是 bc 和 d e， 那 我这样 a d 加上 a e， 它不就等于 b， d 加上 e， c 就 等于 这个 bc 再减去 d， e 吗？他不就等于十减四就等于六吗？是吧？这个题我们就这这这一个题我们不就做出来了吗？但是我们刚才画的时候，我看着我画的有点别扭，我除了这种情况之外，我还有什么情况？ 我有没有可能我这两个，我把这个过程擦掉哈，我在这边画， 我有没有可能我这两个垂直平分线这个相交啊，就是说我有没有可能是这样的， 还是随意的画就行哈。 a、 b、 c， 我 有没有可能？我这个 d 点在这里，我这边换过来，我这个 e 点在这里，就说我这里是 e， 我 这里是 d， 有 可能吧？ 那我再去求 a、 e 再加上 a、 d 的 时候，它又变成什么了？ 这个 a、 d 它就等于 b、 d 了呀？ b、 d 等于什么？ b、 d 它等于 b、 e 再加上 ed 啊。 a、 c 这个 a、 e 又等于什么？ a、 e 就是 这一个线段啊， a、 e 就是 这一个线段，它的这个垂直平面在这里，那它不就等于 e、 c 吗？是吧？ a、 e 就 等于 e、 c， 它就等于 e、 d 再加上 dc 啊，是吧？那我这样我就可以推出来， a、 d 加上 a、 e 就 等于 b、 e 再加上 ed， 再加上个 ed， 再加上 d、 c， 那 也就去这个线段里边找呗。 be 是 哪一段？ be 是 哪一段？ be 是 哪一段？ be 是 这一段， dc 是 哪一段？ dc 是 这一段？哦，它两个，它这 b、 d、 b、 e 加上 ed 再加上 dc， 这三段加起来就等于 bc， 它就等于 bc 加上 ed 吗？它不就等于十加四就等于十四吗？ 对吧？这不就是第二种情况了吗？有的同学说，那他有没有第三种情况？第三种情况有，第三种情况是哪种？我把第一种情况去掉了哈。第三种情况是哪种？第三种情况就是这种， 就是说他们两个相交在相在这个 bc 这个边上，他们两个重合了，就这两个点重合了 d 和 e。 但是你根据这个提议去看，他没有跟我们说重合，为什么说 他说的是交于这两个点？如果是他两个相交的话，他们两个不就碰到一个点上去了吗？ 将来这个题他出的有点奇异哈，他也有可能是失，但是就是说你有有可能你写失 可能是对的，也有可能是错的，这个完全取决于出题人。但是如果是在我们这种很大型的这种测试当中，他是不会出现这一类的题的。但是你要通过这个题目学会什么？你要学会这个分类讨论的这种思想， 就是这个思维的逻辑，逻辑你要学会，你先不要注重这个题目的答案是什么，能明白吗？还有这个画图就是你自主画图的能力，你不用管你画的这个东西是不是垂直的，就是你不用管他画的是垂直的还是不垂直的，你只要认为他是垂直的就行了，你只要是认清楚他们之间的线段关系就行了。你看我现在我画出来， 我们就以这个图为例，就以这个图为例，就以这边这个图哈，你看我画出来这个 a d 和 b d 它是相等的吗？它不是相等的呀，但是我认为它是相等的，就是我知道它两个是相等的，我把它看成它两个相等的就行了，懂吗？你做题的时候你就这样去做就行了。 例七，自己做一下。七杠一，自己做一下。好了，我们这一节课的内容讲完了，是不是有点难度？ 这个我还是只是讲了其中的一部分哈，就是说中档水平左右吧，拔高的那些东西我还没有讲 好好的去消化消化。我们马上就还有最后一节就讲完了，这个七年级下册的强化，还有最后一章，但是这一章的内容是比较重要的，一定要自己好好的看一下就可以了啊。

下面的图形各有几条对称轴，长方形有一二两条对称轴。正方形有一二三、四四条对称轴。平行四边形 没有对称轴。等腰梯形有一条对称轴。等边三角形有一二三三条对称轴。等。腰三角形 有一条对称轴。等。腰。直角三角形有一条对称轴。五角星有一二三四五五条对称轴。正五边形 有一二三、四、五五条对称轴。圆形有无数条对称轴。正右边形有一二三、四、五六六条对称轴。

怎么是轴对称图形？沿一条直线对折，对折后能完全重合的图形。怎么是对称轴？对折后能使两边重合的线叫做对称轴。对称轴的特征，对称轴是一条直线，画图时必须用虚线表示轴对称图形的特征， 对折后无重叠、无空缺，完全贴合。呃，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等轴对称中包含左右对称、上下对称、斜对称。常见对称轴图形有 长方形、正方形、圆形等腰三角形等边三角形、 j、 五角 c 等腰梯形、菱形等。原有多少条对称轴？无数条平行四边形，不是周对称弧形？

你发现了什么？那我们来折一下啊，我们刚刚说，其实所有的图形呢，我们都是通过上下一条线来判断它是不是轴对称图形。那么这里呢，我们可以发现， 第一幅图形长方形是不是竖的折肯定是可以对称的，那么除此之外呢，我横着折可不可以？当然可以，横着这么一折，只要在最中心，那么上下呢，也能够完全对称，因此呢，他有两条对称轴， 当然除了这两条以外就没有别的啊，斜着是不可以的，对吧？斜着给大家说一下啊，他确实分成了两个相同的图形， 但这两个图形不能够重合啊，他必须通过，就是没办法直接折叠重合啊，他必须要通过旋转之类的才能够重合，对吧？啊，所以虽然说分成了两个图形是一样的，但这两个图形不对称啊，对称是比一样要求更高的一个方式啊。 好，那我们再来看第二幅图形，正方形。首先先来找我们最容易找的，竖着的肯定没问题吧，哎，那横着的呢？哎，也没问题，那么除了竖着和横着这两条对伸轴以外，还有没有？哎，当然有，是不是可以斜着来？ 正方形就跟我们长方形不一样了，当我们这样斜着来的时候，他是不是也可以啊？那么除了这样一种斜的方式呢？哎，这种斜着是不是也可以啊？所以呢，他这里一共有一条，两条，三条，四条，一共有四条对称轴啊，所以呢，我们的正方形一共有四条对称轴， 哎，那么你知不知道圆有多少条对称轴呢？ 这个同学们可以想象一下。我们首先呢，先来画一个圆，那么同学们知道啊，圆心会决定我们圆所在的位置，而这个半径呢， 哎，会决定我们圆的大小。那么圆的对称轴，首先竖着肯定没问题，对吧？左右是能够重合的， 那么这么横着呢，哎，也可以，那么像正方形这样斜着可不可以？当然也可以，那么这边斜着有，这边斜着也有。那么除此之外，还有没有 我们发现这么蓝色的，这样斜着的方式也可以，对吧？两边都是半圆，一合起来，啪，重合了，哎，那它的对横轴到底有多少条呢？ 哎，我们这么写字也可以。最后啊，我们发现，只要是经过圆心，好像我无论怎么画都可以画出来，因此一个圆，他是有无数条对称轴，哇，太多太多了，数不清了，对不对？所以呢，圆是有无数条对称轴啊。 那接下来，我们一起来小节一下。第一个，长方形，横着竖着各一条，一共是两条对称轴， 正方形横着竖着两个斜着的方向，一共是有四条对称轴， 那么圆呢，哎，就非常特殊了，只要经过圆心，画一条直线，就都可以成为他的对称轴， 所以这个对称轴啊，有非常非常多，多到数不清，无数条对称轴啊。那么这三点，我希望同学们既能够记住，又能够理解啊，理解性的把它们记下来啊， 长方形马上想一想，横折竖折两条，正方形，横折竖折，斜着两条，一共四条圆了，哎，一共有无数条，所以呢，这个就是咱们对称轴的一个具体的条数。当然，这里呢，我们列出了三种特殊的图形， 在我们日常生活当中，我们还会有非常多的图形，可以让同学们来判断他一共有几条对称轴，那么接下来跟着于老师一起来进入咱们的经典立体环节。 好，我们来看一下，这里呢，一共有三幅图形啊，分别是一个爱心啊，一个五角星，以及一个类似于标签的一个形状。 画一画下列图形的对称轴，那么这里注意一下啊，除非他是无数条啊，否则的话呢，你要将他的对称轴呢，最好是全部画出来。那我们来看第一幅图，一个爱心， 那么这个爱心同学们应该容易找到吧，哎，应该是从我们这个心窝窝到心尖尖，哎，这两个点确定的直线就是他的对称轴，所以呢，第一幅图形他的对称轴呢，应该长这样子， 那么第二幅图形，这个五角星呢，它的对称轴呢？哎，同学们看一下，比如说我们先从这个点出发， 最上面这个点，那么它跟最下面这个窝窝是不是两者连成一条直线就可以了，哎，那么这么一来就组成了它的对称轴啊，所以呢，这个是一条。那么除此之外呢，哎，我们以这个点为顶点，是不是跟下面的窝窝一连起来也可以形成一条， 那么这里一共有几条呢？我们画了两条，那还有没有呢？哎，当然有，同学们可以看一下，它一共有五个尖尖，其实同学们可以想一想啊，我把这个五角星啊，我给它旋转一下，我把这个点是不可以放最上面，同样的，我可以把这个点放最上面吧， 这个点也可以放最上面吧，这个点还可以放最上面，所以经过每一个顶点应该都有一条，对不对？而且他都是跟对面的这个窝窝连在一起啊，就这个 转折点连在一起就可以形成一条直线，那么这条直线化成虚线，就是他的对称轴，所以这里呢，一共有 五条，五个顶点对应五条对称轴，当然这里也需要注意一下啊，同学们，画完之后呢，这五条对称轴啊，如果你画的非常标准，那么中间一定会交于同一个点 啊，他不会出现很多种不同点的情况啊，他会交于同一个点，所以呢，同学们，这个是检验大家画对称轴画的是否标准的一个非常重要的特征啊，五线交于同一点， 好，这是第二幅图，那么第三幅图呢？哎，首先这么来，有没有对称轴，没有，对不对，只有这样来才有啊， 所以呢，他的对称轴应该是这样子。好，那我们最后呢，来做一个总结啊，心形是有一条对称轴，我们的五角星一共有五条对称轴，我们的箭头形一共是一条对称轴，同学们一定要将它们准确的画出来，并且呢，不要有遗漏啊， 每一个有没有对称轴，有几条在图当中需要非常清晰的给它表达出来，并且呢，将它画出来 啊。当然这种题目呢，画完之后呢，我相信啊，起码你画出来的啊，你是知道对不对啊，比如说你这里横着画了一条，你就发现他肯定不对， 因为上下是没办法重合的，对不对啊？所以呢，画完之后啊，我们是有一个稍微检查他正确与否的标准，同学们可以自行来看一下。好，那把这个例题听懂之后呢，接下来再跟着于老师一起来看一下我们的经典练习题， 下面图形中的虚线是它的对称轴吗？是的画勾，不是的画叉，那么这里呢，一共给了四个图形哎，然后呢，每个图形呢，都给了一条虚线，然后问这个虚线是不是它的对称轴， 那我们逐一来判断一下。先来看第一幅图，那么第一个图形是一个长方形，当然它也像个正方形啊，但是呢，不影响咱们最终的结果。 那么第一个图形，沿竖直的虚线对折，发现呢，两侧是能够完全重合的，所以呢，它是对称轴，因此这里呢，我们应该画一个勾，好，再来看第二幅图，其实就是看你沿着这条虚线，你两边能不能够完全重合，对不对？ 那么第二幅图，同学们想象一下，这个时候沿着虚线我们对折一下折直啊，那能不能形成它的对称轴呢？哎，第二幅图形，它是等腰分量型，通过顶点往下面呢画一条虚线， 那么沿竖直虚线啊，底面的中线来对折，两侧呢，是完全重合的，所以呢，它也是对伸轴。 所以我们发现啊，这个判断呢，其实非常简单，就你想象一下，你是一个在折指的过程，那么折指这里一折， 哎，两边能不能重合？如果能重合，画一个勾就可以了，如果不能重合，哎，那么画一个叉就 ok 了。好，这是第一幅图和第二幅图啊，那我相信同学们也可以非常快速的判断出来，那我们再来看后两幅图， 第三个图形，平行四边形，那么沿虚线对折，后两侧是没法重合的，对吧？因为平行四边形他无对剩，所以呢，他不是轴对剩，当然啊， 呃，同学们可以进一步思考一下，我们的平行四边形到底是不是轴对称图形呢？就它到底 这条线不是，它有没有别的线能够使它重合呢？哎，其实我们之前在知识讲解部分给大家说明了啊，平行四边形它不是轴对称图形，对吧？它没有任何一条线能够使它对折之后重合，所以这里无论他画在哪里都是一把叉。好，那我们再来看最后一幅图， 最后一幅图画了一条竖直的线，那么沿着这条竖折的虚线对折后，哎，发现了两侧波浪形状是没办法重合的，所以呢，他不是对伸轴啊，因此呢，这个也不是。当然，我们再细一步来探讨一下，那么这里有没有对伸轴呢？ 哎，显然也是没有的，对吧？啊，这里呢，其实你无论怎么对折都没法使它们重合啊，因为 左右两个部分他就本身就不重合，对吧？如果你从上下的角度来看呢，啊，也没法重合啊，所以呢，这里呢，是都不重合啊，注意一下。好，那么这个呢，是咱们的练习题部分，太棒了。

轴对称图形对称想象物体或图形两边的形状大小完全一样。什么是轴对称图形？图形沿着一条线对折，图形两边能完全重合就是轴对称图形。对折的这条线就是对称轴对称轴的数量。 一个图形沿哪几条线对折后能够完全重合，就有几条对称轴。说一说你在生活中还见过哪些对称轴现象？生活里的对称轴，正方形的手帕、圆形的盘子、蝴蝶的翅膀、脸谱等。 正方形有几条对称轴，四条长方形有几条对称轴，两条圆形有几条对称轴，无数条等边三角形有几条对称轴，三条等腰三角形有几条对称轴，一条 五边形有几条对称轴，五边形。五条边都相等的情况下，有五条对称轴，三条边都不相等的三角形和平行四边形是对称图形吗？不是，因为他们无论怎么折，折，横两边都不能完全重合，所以不是折对称图形。