肥东近几年中考真题，数学

二六年安徽中考数学压轴题考什么你拿出啊，近五年我们安徽中考数学的真题卷啊，以及呢近三年我们合肥比较好的啊，中考模拟卷呢，你认真分析一下，其实你就知道我们安徽二六年中考数学他到底会考哪一点了啊， 老师，接下来我跟大家分析一下啊，就是首先你要知道呢，我们总共安徽中考数学二十三道题里面是有四道压轴题的，选择了第十题，填空十四题的第二问，以及呢二十二题和二十三题，我们主体分析啊，就是近几年啊，我们第十题最多考的啥呀，就是考了多边形问题里面的动点问题，以及 呢这二次函数和反比函数跟几何的结合的问题， 在二五年呢，他是吧做了一些变换，但二五年考的啥呀，考的大家分类讨论的能力啊，二十二年呢，是我们的几何大题吧，有可能是我们整张试卷里面最难的这道题啊，这道题呢，考的最多的就是我们的呢相似和全等 几何证明里面的应用，以及求解里面的应用。那这个时候呢，大家呢，就对我们安徽中考必考的一些几何模型就要呢比较深度的了解了啊，你包括什么八字模型，翻字模型，旋转模型，将军马模型等等了啊，二十三题最后的题，二次函数，往年二次函数呢，考的最多呢，就其实考察我们孩子的计算能力， 当然近两年会做一调整，还考察我们的孩子呢对于抽象函数的性质的理解啊，所以呢，二六年的考生呢，一定要注意呢，对函数抽象性质的理解的能力呢，一定要加深，那具体该怎么做呢？ 解决压轴题的问题其实是没有捷径的啊，最好的方法呢就是长期的训练，在不断的训练之后呢，孩子的对压轴题的思路呢和思维呢不断的提升啊。王老师呢，我把近三年呢，我们安徽中考数学智力卷模拟卷里面一些优质的压轴题呢，已经汇集成册了啊，需要的家长呢，你打出压轴题三个字。

二六年安徽中考数学题考什么呀？其实啊，你拿出啊，我们近五年安徽中考数学的正一院以及的二十套二四年，二五年我们合肥的中考数学的模拟卷呢，你去分析一下你就知道了啊，我们中考数学的呢，压轴题其实分为四道题， 选择第十题，填空十四题的第二问，第二十二题的第三问，以及呢二十三题的第三问。我们做题分析一下啊，你看选择第十题，近年考的最多了，就是几何里面的什么锥子问题，以及呢动点的函数，对下问题， 第十四题，近年考的比较多的呢，就是几何里面的三折问题，以及二十二题的竖形结合的解析的问题，二十二题是我们的几何难题的解析能力，以及啊对我们常考的几何模型的应用。 二十三题，二次函数的题目呢，这两年变化的比较大啊，你像二三年之前一般的呢，都是考察我们孩子呢对二次函数的计算的一个考察，但是呢，从二十年开始啊，考察我们孩子呢对抽象函数的理解已经应用了啊，所以呢，这个呢，是我们同学们一定要加强的。 那应该怎么练习呢？压轴的这个训练提高啊，要每日一题的进行训练啊，王老师呢，我把我们的呢二十年，二五年呢合肥中考数学模拟卷里面比较好的一些压轴题来进行训练啊，王老师呢，我把我们的二十年，二五年呢合肥中考压轴题三个字。

今天我们继续来讲二零二四安徽中考的真题啊，第十题，选择题、压轴题，我们读一下题啊，呃，有一个直角三角形，然后呢， a、 b 的 长度是四，告诉我们了， bc 长度是二啊，也告诉我们了，然后这个时候呢， a、 c 上有一个点 d 啊，有一个点 d， 然后 d 是 怎么来的？是因为 b d 垂直， ac 这是做高啊，然后确定这个地点，然后呢， e 点是在 ab 上动，所以呢，我们连接 d e， 这个时候呢，我们再过 d e 再做一个垂线， df 跟 d e 垂直 啊，相当于 e， f 是 动点，然后呢，他们所构成的这个角九十度是一个定角啊，我们设 a e 为 x 四边形，这个图形的面积是 y， 然后说找出 x y 的 这个函数关系图像 啊，那我们既然设了 x， 我 们首先是不是得把这个四边形 y 给它表示出来，那么这个四边形显然是一个不规则四边形， 我们要割补，对吧？很显然，我们过 d 点啊，做一个垂线，那这样的话就构成了两个区域啊，一个是直角三角形，然后这边是一个直角梯形，是不是就可以去算了啊？好在整个计算过程当中， 现在是不是只有这个 f 点这个位置无法确定，对吧？我们设这个 a， e 为 x， 然后呢，这一段因为地点作为高啊，咱们作为高，很快可以把地点这个坐标啊，这个，呃，换句话说啊，这个题咱们还是要坐标系啊，就提前说一下坐标系，我们可以把 a 点作为圆点啊，然后以 a b 作为 x 轴做一个坐标系 啊，那么坐标系的话，这样的话，我这个所有点坐标是不是都可以表示出来，那最终我们就是要先把这个 f 点这个坐标表示表示出来 啊，那么很快的我们把这个 d 的 坐标表示出来啊，因为这个座高嘛，用相似三角形就很快就可以求出这个 d 的 坐标，这里我就简化了啊，五分之十六，五分之八，对吧？那 e 点的坐标我们是不是可以写成 x 多少零 也可以啊？那最关键的就是 f 的 坐标 f， 它的横坐标是 ab 的 长是四，那么纵坐标这一段我们不确定 啊，所以关键这道题，这个关键点就在于 d e 跟 d f 垂直，如何去表示出 f 的 这个坐标啊？这是本题解析的核心 啊，那么这个题呢，我们通常情况下，一般方法就是做相似，对吧？因为垂直的话，我们可以过低一点做一条垂线，然后这个三角形跟这个三角形是相似关系， 对吧？相似关系，相似关系，因为这个地点，这这段，这个值是能求出来的，对吧？所以根据相似比关系，是不是这两段都可以表示出来啊，尤其这一段，对吧？你再加上这一段， 哎，你不就可以求出这个 f 的 这个纵坐标啊，对吧？我们不是加法，是用减法，是用 d 点这个纵坐标减去刚刚相似出来的这一段，对吧？用减法做啊，然后求出这一段，哎，相似关系。但是啊，对于垂直关系来说啊， 啊，咱们初中阶段啊，最好啊学一些跟垂直有关的一些结论，这是我反复去强调的啊，反复去讲的，所以这个呢，我在这里就不去细讲啊，如果各位同学感兴趣的话啊，可以去稍微查一下一些资料啊，看一些视频学习一下啊，就是两条直线垂直的话，他们的 k 的 乘积是负一， 我们都知道平行的时候 k 乘积是负一，我们简单的用正切推导一下就可以了。这个地方啊，我就不做细说啊，那么 k 的 关系， 我们可以通过这个三个点的坐标可以把第一的这个 k 表示出来，对吧？大家可以自己去表示一下啊。这个 然后呢，可以把这个这个 k 的 坐标表示一下，你们用 k 的 坐标嘛， y 二减 y 一， x 二减去 x 一， 我们也把这个 k 的 坐标也表示一下，然后 k 一 乘 k 二等于负一，这样的话，我们目的就是为了得到 y 跟 x 的 关系，那最终我们得到 y 等于二分之一 x， 也就说这个 x 的 坐标我们也用 x 表示出来了。好，所以最终这个面积啊，面积 是这样子的吧，我们最终还是没有用这个三角形加梯形去做，我们还是用了这个三角形加上这个三角形去做，我们分成了两个三角形，对不对啊？那么左边这个三角形对吧？加上右边这个三角形，左边三角形是二分之一底乘高啊，哎，这个底不是四减 x 吗？二分之一底乘高是五分之八啊，底的这个坐标，然后加上右边这个小三角形底就是 y 的是二分之一 啊，二分之一二分之一乘上一个底，底是外边二分之一 x 吗？底乘以高高是 d 点，这个到这边的这个这个距离五分之四，对吧？然后最后呢，我们加起来这是二分之一 x 啊，最后我们加起来之后呢，它变成了一个这个一次函数， 并且是一个这个 y x 增大而减小的一次函数。所以在整个图当中啊，我们选 a 选项啊。

安徽的中考数学想要冲击一百四十分以上的，那以下这两本题集一定要好好练一练。第一份，这本安徽中考数学的复习宝典，他汇总了安徽近五年的中考真题和近三年合肥经典的模考题，比市面上的任何资料都更有针对性，还搭配了辨识训练和解析， 你不会做的就看解析步骤非常的细致。第二份，这本合肥中考亚洲真体的专列，连科大附中的老师都在亲自推荐，重点班的孩子也几乎是人手一本。那如果说能在中考前吃透这两分题集，稳稳的一百四十加，那电子版呢？我都已经整理好了，拿回去好好练一练，有需要的扣金榜题名私信找我要一下。

同学们好，今天我们学习一道用十字相乘解一元二次题型请看题。三 x 平方减四， x 加一等于零。 你用公式法可以求，但是用十字相乘更简单，三 x 方可以写成三 x 乘以 x， 一可以写成一乘以一或者负一乘以负一。因为我们一次项前面的系数是负数， 它决定我们常数项里面相乘的大数为负数，所以先写成三 x 乘 x 乘以一，乘以一，这个符号由负四前面的符号决定。 如果是负数，负号决定这两数里面大数是负号。这题比较巧，两数是相同数，所以我们决定一个数是负号， 他决定负号。再看长数项，长数项这边是加号，加号决定这两数是同号， 加号表示同号，如果这是减号，表示异号。因为是加号同号，所以我们下面个数也是负号，所以答案非常简单，是三 x 减一的叉乘以 x 减一的叉等于零，由此求出两个 x 值。

合肥经开区初三的家长们注意了，距一模还有四天的时间，朱老师连夜把二零二五年经开区数学专题完整的做了一遍，给大家做一下重点解析。 这个难度入门偏基础，没有偏题也没有难题，几乎都是课本知识和中考常规题型。按照经开区往年的命题规律， 一模的难度和题型跟这套基本一致，家长们可以放心了。但有三个地方要特别注意，第一，选择填空的基础题，科学技术法，相反数概率根的判别式，这几个必考点做的时候仔细看数字和条件，这里的分绝对不能丢。 第二，解答题中断方程组应用和规律探索题，答案直接从条件里找，读清题，按步骤写过程，分，一分都不要丢。 第三，压轴题，今年考二次的函数动点综合问题，有套路可以学，掌握方法至少能拿一半分。家长们可以把这套真题答案出来，给孩子们练一练，找找手感，查缺补漏。往年真题加上完整解析，朱老师已经整理好了，领取口令，数学我发给你！

各位同学大家好，我是大嘴老师，咱们之前的视频说了二次函数线段类压轴问题的基本思路和基本方法，咱们今天呢，从中考真题的角度来给大家说一下，咱们线段类的问题，中考到是会以什么样的方式去考察，我们 关注大嘴老师带你从容中考中字。 今天呢，咱们给大家说的是二零二五年湖南省的中考真题，这是一道呢整体难度偏大的题，为为了避免就是我从老师的角度去对他进行一个评价，有时偏颇呢，所以说我就去专门问了一下豆包，这是豆包对这道题的一个评价。 在中考考场那么紧张的环境下，看到这幅图，没有慌神，没有放弃，依旧完整准确的得出了最后答案的湖南考生，我只能送你两个字，牛批！ 这个视频呢，我不只是会把这道题给大家讲一遍，我和大家一起从学生的角度来看一下我们如何面对难题，还有面对难题时，我们怎样去拆解题目中的条件。 看完这个视频，你一定会对压轴题有一个全新的认知。好，我们现在来看，如图，已知二次函数 y 等于 a， x 倍的 x 减四等于，然后 a 不 等于零的图像过 a 点二二。这个时候我们读完这个条件以后，我们会发现二次函数的解析式并不确定，这里面有一个字母 a， 未知数，是吧，除了 x y 以外有一个未知数 a。 这个时候呢，我们之前说过，我们在求解析式的时候，除了 x 和 y， 你 有一个未知的字母，就需要找一个点，有两个呢，就需要找两个点，这个时候我们只需要找一个点去求，就能把这个解析式确定了，这个时候题里呢也告诉我们点 a 二二了，所以说这个时候如果让我们求解析式，我们就可以把二二这个点直接带进去去求就可以了。 而这时候我们来看第一问，刚好就让我们去求二次函数表达式，所以说我们把 r 带进去，就非常简单的一问这道题，不管是咱们同学们什么程度的学生，咱们这个题是必须得拿下的这一问， 然后呢，我们继续来读条条件连接 o a 点 p x 一 y 一， q x 二， y 三 y 三，我们图里也有这三个点，是不是它是三个动点， 这个时候呢，我们同学们不要去纠结动这个字，既然图上勾标在那个位置，我们就把它当做定点来看待，我们只需要去考虑清楚它在哪里动， 一定要搞清它在哪里动啊。然后呢这个时候呢，它题里有三个动点，是不是啊？ x 一， x 二， x 三，设了三个三三种字母是不是？那这个时候呢？我们就有的同学一看这么多动点，是不是这道题非常难了？你先不要去纠结，我们先先往下读，然后我们去看他怎么问我们，然后呢他给了一个条件， 且 x 三 x 一 x 二是它们大小关系，是不是大小顺序，然后它们是都是大于零小于二的，那说明咱们的这个动点呢？它是在咱们 这上面动的，就是 o 到 a 这段曲线上去动的，是不是啊？分析清楚这个以后，然后我们过屁 做屁屁平行于外轴，它们是平行于外轴的，读到这儿以后，我们就应该脑子应该想到那平行，我们之前说过平行于外轴的线段，我们是什么纵坐标减纵坐标，而且是用大的减小的，是不是这个时候 o a 这条线 断在明显是在我们的这个红线下面，是不是我们的红色的这条曲线下面？所以说 p 的 纵坐标已经大于 b 的， 我们用外 p 减外 b 就 可以得到 p b， 是 不是？然后呢？ 这就是我们读完这些条件分析出来的一个一一些思路，是吧？那我们来看问题。第一问，我们求二次函数表，老师我们说了把 a 二二带进去，我们不先不写过程了，我们把大家思路说一下，等下把过程让给大家，然后我们看第二问，如图一点， c d 是 在 o a 上，且直线 q c、 r d 都平行于外轴，那就跟我们的 p b 也都平行了呗。那，那这时候我们 q c 和 r d 是 不是也都能表示 是不是啊？平移外轴的，那这个时候我们来看一下，我们选一个来进行解答，我们不管选哪个，我们来看都是要表示 p b、 q c、 r d 这三条线段，是不是啊？ 那表示线段，我们就用纵坐标减纵坐标，那明显我们的基本思路有了，用纵坐标减纵坐标来得到我们的线段，那这个时候呢，对于 p 点、 q 点还有 r 点来说，横坐标都有， 我们之前说了，我们设点的时候不要设好几个字母，我们就是设出横坐标，然后表示出纵坐标，比如说那我怎么表示纵坐标呢？我们把横坐标带到解析式里，就可以表示纵坐标。我们第一问， 我们来看我们的答案啊，我们第一问，是不是确定了解析式二次函数？解析式 y 等于负二， x 方加二 x， 那 对于 p 点来说，拿 p 点来举例子啊， 它的横坐标是 x 一， 它的纵坐标就是把 x 一 代入到解析式里，就得到负二分之一 x 一 的平方加二 x 一 是不是就有了？那 p 点有了，那 b 点呢？我们这个时候我们看 b 点在谁上面， b 点在我们的 线段 o o a 这条线上是不是？那对于线来说，我们就是可以设 y 等于 k， x 加 b， 是 不是因为 o a 呢？是过圆点的，所以说这里他把解析式就设成了 正比例函数嘛， y 等于 k x， 然后呢，把 a 点带进去，得到了 o a 所在直线的解析式是 y 等于 x， 那咱们之前说了，竖着的线段横坐标相同，所以说 b 点的横坐标也是 x 一， 那把它带到咱们的直线解析式 o a 里面，那就可以得到它的纵坐标呢？也是 x， y 也等于 x 一 吧，那这个时候我们 pp 就 能表示出来了， pp 表示出来就是这用，这是谁？这是 p 的 纵坐标减去 b 的 纵坐标，那同理，我们 q 点也在 q 点， r 点也在二次函数上，所以说我们就可以把 x 二 x 三代入到，就可以得到我们的纵坐标了吧？然后呢， c 点呢和 d 点也在 o a 上，然后呢， c 点的 横坐标是多少？跟 q 点一样， x 二， d 点横坐标呢？跟 r 一 样是 x 三，同样可以得到它们的纵坐标，然后我们最终 把我们的这三条线段表示出来，这是我们基本上所有的咱们同学都可以掌握的，就你做题的时候，咱们基本上百分之，我个人认为啊，百分之九十的同学都能写到这一步， 你都可以写到这一步，因为到这一步他没有特别复杂的思路。我们也呢，就是按照题的要求，你既然让我表示这个线段，让我去列这些线段的不等式，那我就去表示这些线段，表示这些线段。咱们的基本思路也之前都给大家说过了，是不是纵竖着的线段，用纵坐标点纵坐标去算就可以了。 然后呢，这个时候呢，我们是要证明这些，比如说第一个证明 x 一 加 x 二大于二，那这个时候我们就来列出来嘛，你让我们列出来，那我就把 p b 和 q c 带到我们这个不等式里，是不是带到不等式里，剩下就是整理的过程啊，有时候这怎么整理？这整理其实就是我们多项式还有音式分解这里的东西了。那我们可以看我们把，比如说我们这个题到底怎么整理的呢？我可以先把我拿这个 上面的举例子，下面的不就不讲了啊，我把它们全先全移到一边来， 全移到一边以后，我们把平方的放到一起，是不是？我们来看一下，这两个是不可以提个二分之一啊？或者提个负二分之一可以吗？负二分之一被的 x 一 的平方减 x 二的平方。一看到这我们想到什么了？ 我们想到什么了？想到什么？是不是平方差公式呀？然后呢，这个时候前面有负二分之一，你可以去分母，也可以不着急去啊，答案里是先把分母去掉了，然后同学们看到按照我我这个地方写的这个地方是不可以看，不着急去的话， 是不是得到了我们这这的话咱们来看一下，哎，这中间有个加号啊，这前面和后面这两个式子里面是不是有个多项式？我们是不可以可以把 x 一 减 x 二给提出来，然后呢？后面就剩下了 括号里负二分之一 x 一 加 x 啊，这是不是前面剩下的，后面提完以后剩下个一大于零，是不是变成这了？ 变成这了吧，他让我们证明 x 一 加 x 二，这个地方写的加啊， x 一 加 x 二，所以说我们实际上是要看后面这个式子啊，这个里面有 x 一 加 x 二，是不是？你看他是不是让我们证明 x 一 加 x 二大于二啊？所以说我们就要看后面这个式子，看后面这个式子的话，我们来分析一下，前面因为题给了我们条件了，我们来看一下题里给了我们条件， 什么条件呢？是不是有 x 一 比 x 二小啊？ x 一 小于 x 二， x 一 小于 x 二的话，那我们这里 x 一 减 x 二就是负的，是不是它是负的？那负的话我们两两边同除以它 同除以他，我们是不是或者说是我们来看一下，就是说，嗯，两个式子相乘，最后结果是大于零的，那你这个是负的，那我们这个式子也就是负的，负负得正，这种思路也可以，我们也可以同除一个负数变号也可以 啊，那我们就可以得到负二分之一倍的 x 一 加 x 二加一是怎么？是不是小于零的？知道为啥小于零吧？因为咱们推出这个是负的，那这个也是负的，因为最后结果要大于零嘛，负负得正嘛，他是负的话，咱们来区分母，或者说你先移项也行， 都可以，随你啊。负一，然后这个时候呢，两边同除以负二分之一，同除以负二分之一，你注意要变号了吧？负一除以负二分之一，不就是二吗？是不是就可以得到我们的结果了？得到我们结果就推出来了 啊？推出来了怎么样都可以。然后第二问，第二，第二种情况呢？也是这，这不是第二种，就是他让两问选一问，真的也是一种思路，这就是咱们的 第二问是不是也没有很复杂的点？它最复杂的点实际上也就是咱们前面表示表示 r、 d、 p、 b、 q、 c 这三条线段表示出来以后，咱们不等式的化简这一块，咱们推导这一块呢？实际上咱们很多同学都可以做到， 是吧？然后咱们来继续来看咱们的第三问。对于第三问来说，第一眼看到这个图的时候，很多同学大概就已经放弃掉了，因为它太复杂了，这条图 很多根线是不是啊？根本看不清楚。这个时候呢，同学们可以结合自己这道题之前咱们前面其他题做的一个情况，包括自己当时所剩的时间来决定要不要往下看。如果你时间不多了， 前面还有一些漏的题没有做，或者还没有检查，你可以去检查了。第三问放弃掉了， 因为他给你带来的就是收益可能比你哎，前面要检查了，或者说再去补前面没有做的题的收益要少很多了。然后呢？如果你的时间还足够，然后呢？你的就是说基础也很好，前面的题没有什么特别大的问题，你可以继续去往下做 啊，咱们肯定是有这样的学生的。然后呢，咱们呢，我先把这个题的答案的这个题图给附到这了，但是呢，我并不打算按这个答案来走，因为 咱们很多同学，我可以这么来说，你想不到这条辅助线为什么这么做？如果我就按这个辅助线来跟你说，很多同学听完又跟没有听一样，为什么我就想当时或者说我去做，我就想不到这条辅助线做，不能以老式的视角 去来给你再去说这道题，那么对你来说这个题没有任何意义了，那咱们来重新来，就是从头来看这道题咱们到底该怎么去分析它。 那么来读如图，它第一下直接给了 x 二和 x 三，它们跟 x 一 的一个转化，是不是？那就说明 咱们的 r 点和 q 点，因为咱们 r 是 x 三， y 三嘛， q 是 x 二， y 是 不是 r 点和 q 点都能用 x 一 p 点 x 一 来表示了，是吧？包括我们前面的线段都能用 x 一 来表示。 这个时候读完这个条件，你脑子应该有这个思路，是不是延长 pb 交 x 轴与点 t， 哦，那意思是这个地方 pt 平行于 y 轴，你要知道这个点，然后 t 点是与 x 轴的交点，这个时候你第一反应就应该反应出来， t 点的坐标是 x 一 零，因为 p t 在 一条线上，它与 x 轴交点，是吧？然后呢，射线 q t tr， 这个时候你可以用笔把这线描出来 q t， 因为这线很多嘛。然后呢，咱们来把 tr 换一个颜色的笔 是吧？它们与 y 轴交于 r 一 q 一， 这题咱们只是知道哎，这些线与它交的这个点没有什么特别有用的信息了是不是？然后连接 a p， 分别在射线 a， t 上取一个点 m， 然后在 x 轴上取了一个点 n， 这又冒了一个射线 a t， 我 再换一条，怎么再换一个颜色的笔？有时候，那我考试没那么多颜色的笔可怎么办呢？ 这个时候呢，就是咱们把关键的线给它画出来，但你不要描很深。三条关键的线是吧？然后呢，后面又给了条件，角 a m n 等于角 pa o， 然后 m n 等于二倍根号二，角 pa o 在 这个位置， 角 a m n 在 这个位置，是不是这个位置？我画的线这儿是吧？角 a m n， 这个时候呢，我们来看问题既， t 等于 r 一 q 一 减 o n， r 一 q 一 要找到是不是这个长度 r e q e o n 呢？哎，在 x 轴上问，当 x 一 为何值时， t 有 最大值？注意，我们这个时候确定好问题以后，它就是让我们找 t 的 最值，而且问 x 一 是何值时， 读完这个时候，第一反应，这个题里面跟 x 二 x 三已经没有关系了，所以说我们应当把 x 二 x 三化成 x 一， 为什么要化呢？ 为什么要化？因为这题里面涉及到 r 点 q 点啊。但是呢，没有 x 二 x 三，就是咱们未知数的字母越少，是不咱们这个题的难度就会越起越小一些？所以我们第一反应，我们要先把 r 点和 q 点先化成 x 一， 用 x 一 来表示， 这个同学们很好理解了吧。然后呢，表示出 x 一 以后，就是 r 点 q 点都用 x 一 表示完以后，那我们下一步该干啥？ 我们这个题让我们在干啥？求 t 的 最值，那我们是不是应该把 t 给表示出来，才能去求最值？我们求最值是不是应该一个 t 点应该有个式子呀，我们才能求它的最值啊。那 t 等于谁？ r 一 q 一 减 o n， 那这个时候我们的关键点就到哪了？ r 一 q 一 等于多少？ o n 等于多少？分别去看是不是。那 r 一 q 一 等于多少呢？我们是不是得知道 r 一 的点和 q 一 的点它的坐标是多少呀？ 我们是不得知道 r 一 这个坐标和 q 一 的坐标啊，是吧？那 r 一 的坐标和 q 一 的坐标该怎么办呢？那我们讲一下。同学，那，那同学，这个地方我有，我该怎么去考虑？ r 一 点 q， 我 这个地方啥也不知道呀， 你并非什么也不知道，你时时要注意，我们这个题始终围绕着谁来做了。 x e， 你 射出来的点都是已知量，你就把它当做已知的数字来看待。所以说我们这里面知道好几个点， p 点是已知的， r 点是已知的， q 点是已知的，包括 t 点是已知的，甚至于这个题的 b 点也是已知的，还有 a 点也是已知的，你看我们有这么多已知点，说白了你不是想求谁就求谁吗？ 如果这些点我都给成你数字，你是不是能求出很多东西？比如说他不是数字呀，是字母，你就把他当做数字来做，只不过他的预算量会大一些来，毕竟他是压轴题，是不是啊？怎么可能给你纯数字呢？ 我们已经已知了这么多点，你还有什么做不出来的？是不是？你说你这个站着说话不腰疼，那咱们来看，拿 r 一 来说，那我们同学们来想，对于你来说，我们从学生角度来说，我们要算 是吧，与一个线与外轴的交点 r 一， 我们现在是不要确定 r 一 的点，我们已我们的思路已经到了，我们要表示 r 一 q 一， 我们是不是要先确定 r 一 这个点的坐标和 q 一 点的坐标，那我们 r 一 对于 r 一 来说， o n 先放一边啊，一条一条来表示我们先放一边， 我要算 r 一 是不是我们要算点的坐标？是不是得知道解析式 r 一 在谁上面？在 r e t 上， r e t 上，那有人说我 r e t， 我 不知道呀，这条线 r e t 上面还有谁？还有 r， 它这里面有两个已知点， r 点和 t 点 r 点，你说 r 点知道吗？知道的呀，你不是设了 r x 三 y 三吗？ t 点呢？咱们刚才说了是 x 一 零啊，那 x 三 y 三，咱们 x 三 y 三，同学们可以自己下来画，咱们这个地方不给大家去重点画了。 x 三是不是等于 x 三？咱们刚才说了是不是等于二分之一 x 一 提的条件 y 三呢？咱们 y 三刚才是不是 y 三等于负二分之一 x 三的平方加二 x 三，这是咱们的 y 三啊。然后呢，你是不是可以把 二分之一 x 一 给带到这里面去算，带进去算，这个带的过程我不给大家算了啊，咱们直接写出最后的结果，负八分之一 x 一 的平方加 x 一， 然后 t 点呢？是 x 一 零 是吧？ t 点是 x 一 零，那这个时候我们的 r t 是 不是都知道了？我们这个时候可以设 r t 这条线是 y 等于 k 一， x 加 b 一， 那这个时候呢，我们可是不可以把 r t 两个点带起来，我给同学拿 r t 来举个例子，然后剩下的我就给大家只说思路，然后同学们自己下来做一下，然后交个作业啊， 然后呢把 r 点带进去， 同学们能看懂吧？我们把 t 点和 r 点都带到了这个解析式里，得到了，这么我们就可以解出来 k 一 等于多少， b 一 等于多少。我们解出来这个地方，我们解出来 k 一 等于四分之一 x 一 减二， b 一 呢，是负四分之一 x 一 的平方加二 x 一， 那这个时候我们的解其式 r t r e t 的 解其式就是 y 等于四分之一 x 一 减二， x 加上 减去四分之一 x 一 的平方加二 x 一， 那这个时候我们令 r 一 是与谁的交点？与 y 轴交点，我们令 x 等于零，是不可以得到 y 是 等于负四分之一 x 一 的平方加二 x 一， 我们的 r 一 这个点有了吗？有了吧，纵坐标有了吧， 用 x 一 表示的是不是？用 x 一 是不是表示出来了？同理，你能不能表示出 q 一？ 同理，我说的同理就是 q 是 在谁上面， q 是 在 q t 上， q 点也有 q 是 x 二 y 二，你可以把它通过这转化了成 x 一， 是不是？这是不是走咱们最基本的思路， 我要找 q 一， 我是不是就要找 q 一 是哪条线上的？是 q t 上，它是与外折的交点，表示出 q t 这条线以后，我立 x 等于零， q 一 有了吧？ q 一， q 一 有了以后， 我把这里擦了啊， q 一 有了以后，我们的 r e q 一 是不是就表示出来了？ 是不是啊？到这一步，同学们觉得有很复杂的思路吗？我没有吧，就是我们说的我们这些点都是已知的， 就算是设的字母也是已知的。我们这些点呢，我们在它是与 x 轴外轴的交点的时候，我们可以把这些点所在的线的解析式算出来，然后呢去求与坐标轴的交点，不就可以把这这些点表示出来了吗？那这个时候呢，我们 r e q 有 了， 也是用 x 一 表示出来的，是不是这个地方已经确定了？确定了。好，我们确定了，那我们现在是不是缺 o n？ 我 们来看 o n， o n 是 在 x 轴上，有人说，那我们继续用你刚才的思路嘛，我们 o n 在 m n 上，我把 m n 表示出来，问题是你 m 点不知道呀，它这里的 m n 是 取的时候他没有给咱们说怎么取，只不是取完了以后，给了咱们一个角的条件，给了咱们一个线的条件， m n 的 长度的条件，是不是啊？那这个时候我们同学们该怎有时候我该怎么去看这个 o n 呢？ 咱把这些线擦一擦，把这些线擦一擦，咱们来想一下，那我这个地方算 o n， 题里还有什么条件没有用？是不是还有这两个条件我没有用， m n 是 二倍，根号二，然后呢角 a m n 就是 这个角嘛，等于角 p a o 等于这，我画了绿点点的这两个地方，是不是这个地方跟咱们的 o n 感觉都有点关系啊？ 那这个时候咱们给的是几何上的一个关系了，我们就来盯着这个地方看，如你就盯着这来看， 我们来看一下 mn 和那盯谁看的？我们先来看给的这个 mn 和角 amn 他 们，这如果你能看出来他这在跟 t 也有关系，是这么一个三角形里， 这么一个三角形里，那然后呢？那么咱们来看，那这个三角形里的话，那我就感觉这个我换个换个颜色啊，我就感觉 这个红色三角形跟它全等，我就感觉跟它全等，那我们的思路是不是可以去正它们两个三角形全等啊？ 那全等的话，哎，这有个对顶角 mn 给了二倍根号二，那 o a 看着跟 mn 感觉是对应的，我可以算下 o a a 点坐标有啊， 二二，哎， o a 算出来也是二倍根号二，感觉是不是往这上面去靠了？如果这两个三角形全等，那么那么 o t 就 等于 t n o t 咱们有了 o t 长度是 x 一， 那你 o n 不 就二 x 一 吗？哎，这不就定下来了吗？那所以说咱们的所有的，咱们所有的点都应该往这个两个三角形全等上去套了，是不是我们现在就要去证明三角形 o t a 全等于三角形 n t m， 是 不是我们就要挣这两个三角形全等了？我们所有的现在的视线都应该放在这两个三角形全等上了，是吧？那这两个三角形呢？我们现在有一组对顶角有一组边， 是不是还缺条件？正好题里现在我这个条件就用不上 amn 等于 pao， pao 不 在这三角形里啊，但是 pao 跟这个角 oat 感觉是相等的，就是如果 oat 和 pao 相等，那咱们的 ot 和咱们的这个里的 t m n 也就相等了呗，就是我们拿他们都和 pao 相等，那这两个角也相等，哎， 角角边两个三角形全等了，是不是？那题里我们就剩这一个条件了，我们是不是就得盯着这个条件了？那所以说我们现在要正全等，我们现在就是要正这这三个角相等，也就是我们要正角 pao 要和角 oat 相等了， 是不是啊？如果能得到这两个角相等，如果能得到这两个角相等，加上我们的条件 amn 等于角 p a o， 是 不是我们就可以推出角 o a t 等于角 amn， 然后呢？加上我们提的提的条件，对，零点和 m n 等于 o a 两个三角形，当全等出来了，两个三角形全等出来了以后呢？两个三角形全等，哎，然后我们 o t 等于 t n， 然后 o n 就是 二 x 一， o n 也有， r e q 也有，哎，两个带 x 一 的式子一减，我们整理式子是不是可以通过配方求最值？是不是就出来了这个题，哎，貌似我们就卡到这一步了，卡到这一步， 是不是卡到我打问号的这一步了？是不卡到这一步，正他俩相等去了？有，当然如果考试的时候你就卡在这了，时间不多了怎么办？你就当拿起拳头，你先把剩下的过程写出来，先拿上这个剩下过程的分再说， 知道了吗？不在这里纠结了，如果时间不多，如果咱们还有时间，咱们就继续去分析，那咱们现在来继续分析啊，继续去分析， 那我们现在目标转到哪了？转到证明这两个角相等上去了，是不是转到证明这两个角相等去了？那这个时候咱们同学们来想一下，这么一个点，我们证明两个线段相等， 那不证明两个角相等我们有什么？初中阶段我们有什么方式可以证明两个角相等啊？有什么方式可以证明两个角相等？什么我可以直接给大家写出来，就应该啊，全等相似， 还有什么平行是吧？这里你觉得能用平行吗？明显这两个角这里跟平行没关系，是吧？所以说我们大概率是要从全等相似来做， 如果你能想到从全等来做，那这个时候就是延刚才我给你贴的那个答案的那个答案的那个辅助线延长 ap 与外周交于交于一个点， 如果你就是考虑到你就压根真的这个同这个，这个辅助线，很多同学应该想不到，包括我第一反应也没有想到，我并不像很多老师，我能一眼看出来，我也没有想到我要去成全能的，我第一反应是从相似的角度去做的， 因为全等的话，我看图里我感觉没有特别，因为我一般情况下，我觉得二次函数的他肯定也需要做辅助线，只不过呢，如果我能不做辅助线，我尽量不做辅助线，这里包括这里也有很多线了，是不是？那我就从相似，如果两个三角形相似，他们对应角也相等， 那三角形相似的话，他是在这么的一个三角形里， a p b， 咱 p a o 是 不是在 a p b 里？咱们图里已经有的嘛？是不是呗？然后咱们 o t a 呢？就在三角形哪里面， o t a 就 在咱们三角形 a t o 里，如果这两个三角形相似，那么它就走，它们就怎么样，如果这两个三角形相似，那么它们就是什么关系了，他们就什么关系， 什么关系，两个角就相等了吧。那咱们现在来看这两个三角形是否相似，咱们正相似的话，这个就是比较难的一个点了，很多同学咱们不一定好，不一定能，不一定能看出来了，咱们就按照咱们的我我的思路给大家说了啊，咱们来看一下 这个这两个角，什么叫对顶角，角一等于角二， 角二又和咱们的这个地方角三什么关系？同学不知道，同学能看出来吗？它们是相等的关系，因为 b t 是 x 一， o t 也是 x 一， obt 是 等腰直角三角形。 还记得咱们 b 点坐标吗？咱们前面说了，周围是把 b 点坐标画出来的一个原因，咱们这里所有的点的坐标已知的都有用 啊，因为 b t 等于 o t 等于 x 一， 所以角二等于角三，是不是啊？角二等于角三，那角一等于角二，所以咱们角一等于角三，是不是一组角有了，角一等于角三，一组角有了吧。 那咱们证明相似，要不就是两组角分别相等，两个三角形相似，或者说什么加角相等， 什么两边成比例且夹角相等，那这个时候咱们来看一下你该用哪个呢？这个时候咱们有没有发现，咱们这里面咱们很多现在都能表示 p b， 角一的夹角是 p b， 还有谁？ ab， 角三的夹角是谁？ o t， p b 和 o t 对 应是不是？然后还有一个就是 o a， 这个时候你有没有发现 p b 你 能表示用 p 点的纵坐标减 b 点的纵坐标，咱们前面也表示出来了，也有，是不是？有，有吧？然后 t 点的 o t 有 吗？有，有。 ab a b 点坐标有吗？有，能表示， 而且 b 点坐标很简单， x 一 x 一 o a 长度有。这个时候你去把这四条线段两两的这样去去比一下，你会发现它们的比值是一样的，它们的比值最后比下来都相等，且等于 一减二分之一 x 一， 你会所以说两个三角形相似，两个三角形相似，确定了，所以说咱们这两个角相等，确定了，这两个角相等呢？两个三角形相全等确定了，确定的话， o t 等于 t n， o n 就 等于二倍的 x 一， o n 等于二倍 x 一， 然后呢，我们是不是 o n 就 有了 o n 有 了以后，而一 q 一 减 o n， 咱们最后都是关于 x 一 的式子，都是关于 x 一 的式子， 关于 x 一 的式子，我们整理出来，我把这个地方就擦了啊，都是关于 x 一 的式子，我这里也没有把所有的答案给大家写出来，我只是给大家最终的一个结果答案。 然后呢，咱们最后解出来，就是整理出来就是这个样子，咱们最后 x 一 等于五分之六十，它有最大值五分之十八， 五分之十八，这个呢就是咱们最后的结果。然后我给出来的这个我的作弊方式呢，就是我根据题的条件，我怎么去想的，我就怎么去做的， 并没有说是，哎，我必须得这样去做辅助线，我没有按照咱们提里那样的三条辅助线去做，因为我第一反应，我真的没有想到这样去做辅助线， 我没有想到用相似去求 r 一， 用相似去求 q 一， 我没有想到我第一反应，因为在函数里面，我们求与坐标轴的交点的时候，如果能知道线 这条这这根线的解析式，那么他与坐标轴的交点我就很好求，我是第一反应，这样这也是我觉得咱们很多同学就是他们强调求与坐标轴交点的第一反应， 然后呢我再去求那个我们 o n 的 时候，我也没想，没想到用全等，因为我 第一反应就是说咱们要就是我这个思路，我们要去找角相等，我想的是不是全等就相似，然后我是优先去找了相似，因为这里面我发现他们里面很多线段咱们是能表示的，他们的相似比我可以列出来， 然后呢，最终我们就得到了我们要的结果了。同学们呢，我没有写出咱们第三问的一个所有的步骤，我希望同学们咱们下来今天留个作业，同学们按照我刚才说的思路，同学们自己去推一遍，咱们这里面 咱们来看啊，咱们竖着表示线段，横着表示线段，包括咱们用这里面刚才我 a b o a 斜着表示线段，咱们都用到了，都用到了， 然后咱们还有通过全等来证明 o t 等于 t n 这样来表示它 e 也用到了，包括咱们通过相似， 就是咱们这里面带的相似。所以说咱们同学们把这个题自己去第三个自己写一遍，你就会基本上呢这里面的一些呃，咱们呃很多东西你都可以去 过一遍，咱们前面说的相当于都过一遍，然后你再碰到类似的题，咱们呢同学们就也会有思路，咱们到底该怎么去考虑问题 啊？这是咱们今天所说的，谢谢大家。咱们呢后续呢还会继续给大家带来一些真题的一些分析。 好，今天就说到这里，燕子，没有你我怎么活呀？燕子。

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近年中考真题分析。好的，欢迎来到我们本周的这个每日一题啊，今天我们讲的是一道关于呃二函数的一道压轴题，那也是近几年蒸烤的一道真题啊。 那么首先看一下，这是他说如图在平面直角坐标系里面给了一个抛物线的一个解析式， y 等于 x 加 c， 然后经过的点 p 是 四的负三， 然后交于 y 轴于零逗一。那所以说我们就知道了，这里 c 肯定是等于一，对不对？好，直线是 y 等于 k x， 那 个这个直线的解析是并没有给出来 啊，并没给出来。然后他说这个直线与抛物线会交于 b c 两个点。第一问呢，我们求这个抛物线的函数表达式，实际上这个题是第一问，是不是中分题就很简单，对吧？我们直接把这两个坐标带进去，所以我们只需要带入 啊，零斗一与这个四斗负三啊连立解的一个方程是不是就可以解出来的？我们就不写了啊，这里解出来 y 是 等于我们的负的四分之一， x 平方加一啊。好，第一问，我们就结束了。好，第二问，他说，若以三角形 a， b， p 的 三角形呢，是以 ab 为幺的等幺三角形，那么求点 b 的 坐标，那么这里已经给定了的 a 点的坐标是知道的， b p 点坐标也是知道的，所以说 p 点呢， 只有 b 点一个动点。好，我们就直接假设 p 点的坐标啊， b 点的坐标为 x， y 嘛， 对吧？当然实际上这个我们不需要假设 x 到 y 了啊，就假设它的位 x 到呃 a 吧， a 到负四分之一， a 方加一，毕竟我们的这个呃函数解析式已经求出来对不对？所以它的恒重坐标的关系已经找到了，我们就直接设它的坐标就可以了， 那么他说以 ab 为幺的话，那就两种情况，那么要么就是 ab 等于 ap， 要么就是什么 ab 等于 bp， 两种情况是不是就可以了，对不对？然后这里呢，我们就推荐直接用我们的单数法就可以了啊，当很多同学，我们知道很多同学用几何法，他们知道我们什么呢啊，他知道两元一线，他会用两元一线的方法去 呃去求我们的等腰三角形的存在性问题呃，但我给大家的做法就是，嗯，直接更多的时候一线可以用啊，可以用一线就一线就是指的我们的中垂线对吧？ 中值线的方法去可以去使用，但是呢，两元的方法直接用代数去解就好了，对吧？因为为什么呢？你两元实际上最后呃只是找到了点 b 的 位置，你最后求求点 b 的 坐标还是得用代数法去列方程去求解，所以说我们直接用代数法就可以了啊，因为实际上题目当中 在解析的这个答案呢，并不需要知道你去并不需要你去找到点 b 的 具体的位置，只需要你求它的坐标就行了啊。所以这里的 a b 的 a p 呢，你要跟旧式立方成这样，这就是 ab 的 平方等于 ap 的 平方，对吧？来说说 ab 啊，我们就啊就是呃， a 是 b 吧，那就是 a 减零的平方加上负四分之一 a 方加一 好，再减去一的平方等于 ap 的 平方， ap 呢，就是啊，我们的四减零啊的平方加上我们负三减一啊 减一的平方。好了，我们就把呃 a 给它写出来了啊，那第二种方法也是一样的啊，这个方程我就不帮大家解了，这个自己去解啊。这个地方很简单，主要是看我的第三问。 呃，他说如果过了点 m， 零到 m 做 y 轴的垂线，会交 ab， 于一个点大会交 a c 呢？于点 e， 探求是否存在一个常数，使得 o 大 垂直 o e 是始终成立的，若存在一起求出 m 的 值好了，然后把这儿擦了啊，我们今天主要是讲第三问， 然后图呢，我给大家画出来，在这啊，第二题的备用图，你看 b c 的 位置就在这啊，是过圆点的一条直线。好，然后呢？呃，它会与 跑步线交于 b c 两点嘛，然后呢？呃，又连接了 ab 和 ac， 嗯，然后呢，这个就是零度 m， 这个就是 m 点啊，过点 m 做了一条垂线，会给这两条直线一个交一点大，一个交一点 e。 好，如果这个时候有 o 大 垂直 o e 去让你求这个，是否？呃，有这个长处啊，使得这个垂直是很成立的啊。那么看怎么去求解呢？ 这道题我想的两个想的一个办法就是这样子，呃，就是我们常规的思路啊，就是肯定是先求我们的， 呃，大点和 e 点坐标，大点的和 e 点坐标对不对？然后把大点和 e 点的坐标求出来。之后呢，我们要么利用摄影机顶 啊，要么利用摄影，因为这是垂直，这也是垂直，那么很明显，这是有个摄影模型，对不对？那可以利用大 m 乘以 em， 它是等于 o m 的 平方啊，用 这个来啊，用胜利的这个这个结论，我们去列方程啊，去可能看看能不能找到一般的值，或者说呢，直接就干什么呢？你现在求得了大点和一点坐标，直接利用 o e 啊，是个 o e 垂直我们的，呃，这个 o 大 对不对？ 那么一定会得到 k o e 点乘，我们的这个 ko 是 等于负一的，对吧？啊，就是这两种方法，实际上这两种可能，这两种方法可能得到的方程是一样的啊，大概得到方程是一样的，那么就尝试一下呗， 对吧？那首先我们就只需要知道是如何去求点大和点 e 的 一个坐标，用哪些方法求的合适呢？好，第一种 好，李总，好，我可能会想着去，呃，直接连立啊，直接连立 y 等于负四分之一 x 平方 好，加一，然后呢？ y 等于 k x 好， 连立之后呢，我去把 b 点和 c 点的坐标先给它求出来。 b 点和 c 点的坐标求出来之后呢，然后我再利用我再去求啊， y a， b 和 y a， c 的 直线形式好， y a， b， y， c 的 直线形式求出来之后呢，我们就可以利用什么这个 y 大 等于我们的 y e 啊，它们的重坐标都是等于 m 了。好，把大点的坐标和一点的求出来，这个方法可不可行呢？好，我们先尝试一下啊，先尝试这个方法。 好，我们发现我们连累出来之后呢，会是什么样子？会是这个样子，所以说负四分之一 x 的 平方加一等于 k x， 好， 这里乘一个四吧。啊，乘一个负四的 x 平方减四等于负四 k x， 好， x 的 平方 加上四 k x 减四等于。同学们，如果这个方程去求解的话，你们觉得复不复杂？ 好，因为首先这里的一次性的起数已经含有含有 k 这个参数了，如果说你去把 x 求出来的话，那肯定 x 是 比较复杂的，不信我们试一下吧，对吧？好，我们就接着解啊， x 的 平方加上四 k x 啊，这的话，你应该加上四 k 方， 好，等于四加上四 k 方。说是 x 加上二 k 的 平方，它应该等于四加上四 k 方， 好，所以说 x 加上二 k 就 等于啊，二倍根号下一加 k 方， 正负啊，好，所以说 x 等于负，二 k 加减二倍根号下一加 k 方。你看我们解出来关于 b 点和 c 点的横坐标啊 b， 你 看这个解出来肯定是 b 点和 c 点横坐标， 他身上是很复杂的。如果你再去用这个再去求 b 点和 c 点的重坐标，然后再去求 ab， 再去求这个 y a b 和 y a c 的 话，你会发现他就相当复杂，对吧？是不是相当复杂？所以这个方法肯定是直接手机掉了。那等你这个算出来，可能别人别的同学早就交卷了啊， 那说这个不可行，对吧？好，那个，这个不可行的话，我们应该怎么去？到底去设哪个参数才能够真正地去求得到我们的呃，大点和 e 点的坐标呢？我们可以设简单的，我们设谁呢？我们设 b 点的坐标和 c 点的坐标，因为首先 b 点和 c 点的坐标都在这个 y 等于 k， x 上 直接设，直接设 b 点和 c 点坐标啊，因为这个一，这个是正比函数，对吧？正比函数的坐标是不是很解析？是不是很简单，对不对？那我们就直接令它为 a 斗 a x 啊， a 斗 k 好， c 点的坐标呢？是 b 斗 kb， 好， 它的形式就简单很多，对吧？它的形式简单很多。然后呢，我们再去求我们的 y a b 好， y b 求出来。呃，我先先一个步来吧，对吧？好，先求 a b 的 斜率，先求 k 的 k 吧，好，所说 k b 求出来，等于 k a 分 之 k， a 减一好，所以说 y a b 的 值就等于 a 分 之 k， a 减一倍的 x 好， 加一好，那么同理，我们把这个 y c 给它求出来，等于 a 分 之 k b x， 那 k b 减一倍 x 好， 加一好。这两个值减减式求出来的时候，我们是不是就可以求点大和点一的坐标了，对不对？所以说我们令 好 y 等于 m， 我 们去把大点的坐标给它求出来，我们先求大点的坐标啊啊，所以说 m 就 等于 a 分 之 k， a 减一 倍的 x 好， 加一，好，那这里就 a m 就 等于了 k a 减一倍的 x 好， 加 a 好， 于是 x 就 等于 k a 减一分之 a 倍的 m 减一好，对吧？这个没问题的，好，同理的，所以说大点的坐标就出来了啊，说大点的坐标就是 k a 减一分之 a 倍的 m 减一 好，逗 m 好， 同理，我们就可以把一点的坐标求出来，一点的坐标啊，其实形式是一样的，对不对？你看，我们把，你看，我们可以发现这两个方程是一样的啊，形式是一样的，就是把 a a 换成 b 了，对不对？ a 换成 b 的 话呢，实际上我们代入 m 求出来，你看它也只是把只需要把这个 a 换成 b 就 行了， 好，就是必备的 m 减一好，逗， m 好， 所以现在跟就跟我们刚刚说的，我们现在可以利用任意理 好去求解关于这个 m 的 方程，要么利用 k o e 点乘我们的 k o 大 等于负一好，可以求两个都可以，我们随意选一个吧，对吧？我们随意选一个 好，选哪个都可以了。实际上最后你发现这两个解出来是得到方程是一样的啊。假设我们就利用 ko 一 乘 ko 大 的负一嘛。好所说，我们发现最后这个就是等于了，呃， k 倍的 a 减一分之， a 倍的 m 减一 好，乘以 k b 减一分之。必备的 m 减一好，它等于负的 m 方的啊，这是我们利用呃， k 乘 k 二等于 k 乘 k 二等于负一，得到了 负的 m 方啊， k 乘 k 二等于负一得到这个方程啊。然后我们发现，呃，当我们化简一下吧啊，化简一下， 这 a 乘 b 得到的是 m 减一的平方，对负的 m 方好去乘以这个 k a 减一，我先下来啊，再乘以 kb 减一啊。 那么这个方程我们怎么去看都求不出来 m 的 值。实际上你会发现，因为这里面太多参数了， a a b 是 参数， b k 也是未知数， 你根本求求不出来。如果说你想令让他看 m 能够取到你个常数，他是一个横等式的话，那除非左两边都同时等于零，对不对？但是如果这边要等于零的话， m 就 只能等于一，这边要等的话， m 就 只能等于零，就是 m 方啊， 所以也不行。那么到这的话，基本上你们就停住了，卡住了大部分，大部分同学啊，我们就停这就卡住了，我们这个不知道该怎么去做了。 但是让我们再回过头去，发现有这么多个未知数，我必须得把选择干什么，是不是消餐对不对？要么就去把 ab 给它消掉，或者是把 k 给它消掉，怎么都可以 啊，对吧？至少你得消掉几个才行。如果说你全是这么多参数，你根本就不知道个人去求解，那我们去利用哪个条件还能再去消未知数呢？ 用这还有个条件没使用，就是我们是射的点 a 和点射的点 b 和点 c 的 坐标，而 b 层呢，同时又在呃一次函数上啊，这个这个正点函数上，它还在我们的抛物线上，对不对？而抛物线的解析式呢，是求出来的，是已知的， 是一致的，所以说 a， 所以 说 b， c 这两个点的横轴坐标呢，是本身就存在这个关系的。好，所以说我们找一下 ab 和 k 子的关系啊， ab k 三者之间的关系，那么呃，实际上就是连立吧。 呃， y 等于负四分之一， x 平方加一好， y 等于 k， x 好美丽，刚才得到刚才一样的方程啊，我们就照写啊， y x 平方减二减去加上 a 加上四 k x， 对 吧？好，减四等于零， 好，是不是得到这一个方程了，对不对？那说现在我们就知道这个 ab 和 k 之间的关系了，我们可另外打点零，找到 a 加 b， 那 因为 ab 本身就是这个方程的两个根，对不对嘛？因为我们设的 b 点的横轴标为 a， c 点的横轴标为 b， 那 么 bc 本身就是啊，这个这个正比的函数和这个抛物线啊的交点，所以说，你看你连你之后解出来的，解出来的这 x 的 值，是不是肯定就是 ab， 对 不对啊？我写详细一点，它就是 x 一 加上 x 二就是 a 和 b， 好， 它等于什么呢？等于负的一分之 b， 对 不对？那就是负的四 k 好， x 乘以 x 二，就等于 a 乘 b 好， 就等于遇到我们的负四， 好，然后你看这里是不是有 ab， 对 不对？少说说，这就是负四 倍 m 减一的平方等于负 m 的 平方，那这后面怎么办呢？后面这是 k a 减一乘以 k b 减一，我们干什么？很明显，我们可以发现，如果把这个这一个多项式乘多项式给它展开的话啊，是不是就可以得到 k 方乘以 a 乘以 b， 对 不对？那所以说我们去考虑给它展开，就得到了十 k 方乘以 ab 好， 然后呢，再减去 k 一 倍的这个 a 加 b， 这画个大括号好，再减一，好，再减一。所以说我们最后展开，我们发现这是负四倍 m 的 平方减一 啊， m 减一的平方，四倍减一好，等于负 m 方好。这里带进去之后，我们看会得到什么东西啊？呃，这里是， 呃，负四 ab， 那 负四倍的 k 方加上四 k 方 好，那就到这儿是不就已经消掉了，对不对？好，再减一个一，对吧。好了，最后我们得到的是负四倍 m 减一的平方等于 m 方， 所以说最后靠这个等式就可以把 m 来解出来啊，最后再解出来啊，我写到这啊， m 就 等于多少呢？等于二，或者说三个字 好，就解出来。实际上这个题的难度呢？呃，这个二十个题，这个难度呢？肯定第一题肯定是不难的，对不对？错误的第二问呢，也是不难的啊，我们知道我们的基本方法也是不难的，主要是难点。第三题确实还是稍为比较难，无论是 呃，考做法还是考计算啊，都是比较复杂的。首先第一个问题就是很多人他不知道，就是不知道怎么去啊，就是利用欧大垂直欧这个条件，现在我们知道就是你把图画出来啊，你要么可以采用圣地里， 可以采用圣地里，呃，去用相似笔啊，去得到。关于啊，我们的大 m， 我 写字啊， 就是第二种方法是用设里去用大 m 乘以我们的这个 e m， 它是等于我们的 o m 的 平方，好利用这个极限的关系，这个是啊，常见的方法。第二个就是用我们的斜率相乘的负一，我们可以不用考虑设里，不用考虑这个数字，直接把点大和减的坐标找到好，我们就可以找到什么呢啊？ o 大 乘以 k， o 大 乘以 k o e 等于负一，利用斜率相乘啊，它们的 k 值相乘是等于负一的啊，我们来求解这个方程。然后其次的难点在哪呢？其次难点就在于这 啊，在这，因为大部分同学可能考虑就是啊利用方程，嗯，去先把 b 点求出来，再把 c 点求出来，然后呢，最后再利用好大点和 e 点的很重坐标都是等于 m， 去把大点和 e 轴 e 点坐标给它求出来。但实际上这个方法我们刚才试过了，是行不通的，而且它很复杂， 当你试的这过程中实际上已经浪费了很多时间了，所以说如果说你再继续往下走的话，肯定是走不动了。所以说同学们， 当你尝试这个问题，计算计算问题已经很复杂很复杂的时候，你就可以考虑放弃啊，可以考虑放弃换其他的思路。所以说我们在发现之后呢，我们就直接放弃啊，用这个方法直接去设点 b 的 坐标，点 c 的 坐标，因为点 b 和点 c 都同时在， 又同时在正比函数上，还在我们的抛物线上，而利用正比函数去设它的坐标，像是形式很简单的，对吧？好，我们的完整思路就是这样。好了，我们本周的每日一题就到此结束了啊。呃，有问题的我们再问啊，下期课再见。

今天呢，我们来讲二零二五年的安徽中考的真题压轴题部分啊，这也是咱们去年安徽省的一个中考试卷啊，我们先看一下第十题，那第十题呢？是选择题压轴题啊，他说一个四边形 a， b， c、 d， 然后这边呢， ab 是 四， bc 是 三， ab 是 一，相当于这个直角梯形，这边都知道了，然后现在啊， ab 上有一个动点， e 动点，具体不知道在哪里啊，但是在线段 a b 上好，这个时候呢，他绕着这个地点啊，旋转九十度到达 f 点， 所以这道题，嗯，他其实来说是一个旋转问题啊，旋转之后，那这个就是九十度，所以那就是 e 在 动， f 在 跟着动啊，这就是主从关系啊，主动从跟着动，我们看一下选项啊， a 选项 e c 减 e d， 哎，在这 e c 减去 e d， 求最大值，所以其实我们只要单独分析 e 的 位置就可以了，因为 c d 是 确定的，对吧？那减减号，这也不是不是符合这个将军密码，那么减号大家去观察一下啊，这个 e d， 它随着 e 点在这里移动啊， e 移到最左端的时候，这个 e d 越来越大，是吧？那么与此同时相反的时候啊， c f 啊，这个 e 往左边，这个 c e 是 越来越长，往右边 c e 是 越来越短，所以要使得整个式子相减最大值，那么是不是叫 e c 最大，这个 e d 最小啊，对吧？所以在哪里啊？其实就是 e 点移到跟 a 重合的部分，是这样吧，所以很显然 e 点在 a 点的时候，那这个时候 d e 是 最短的，同时 c e 是 最长的，那么就符合题目的要求，对吧？那么如果 e 点跟 a 重合的话，那么最终答案就是， 就这个，对吧？减，就这个，因为这个长是一啊，那这个长是带个根号的，是不是啊？这个长度是，呃，这是三啊，这是四啊，这是三，所以这是五，那所以答案是五减一啊，是四，对吧？是个整数，所以这个是错误的啊。 好，我们顺便把 c 看一下， c 的 话跟 a 这个很像啊， c 选项是加号，所以我们再看啊，是 ec 加上 ed， 这个就不用多言了啊，很显然它是一个将军印码的问题，我们只需要过 d 点做一个这个对称点，对吧？然后连接 c d 就 可以了啊，连接 c d， 这个就是 c 选项的 这个最小值啊，所以这道题咱们用勾股定力做就可以做出来了啊，这条边是四，那这条边也是四吧，哎，四倍根号，所以 c 用了将军印码的这个模型啊，所以 c 正确 啊。这道题呢，因为问的是错误答案，所以 a 选项上来第一个就是错误的啊。嗯，来，我们再看一下 b d 这两个选项啊，嗯， 好，那么 b 选项说 f b 最小值， f b 最小值也是一样，我们要去找寻 f 的 这个具体的这个移动轨迹 啊。那其实呢，这个 f 点啊，嗯，他跟着易动，那么 f 点他其实如果你理解为坐标的话，他的横纵坐标都在动，那这时候我们就不好把握啊，不好把握 f 的 具体位置，所以能不能确定就 f， 他 能不能确定一个 x 轴或者是 y 轴的这个值，如果是个定值的话， 我们是不是确定起来稍微容易一些，对吧？所以我们最终还是要转到旋转这个问题上，那么旋转往往会得到一些相似或者全等关系，所以这里呢，如果想把这两条边联系到一起去的话，那么我们最好就是过 f 点啊，做一条垂线，垂直 ab， 然后过 d 点呢，再垂直于 bc， 好。 在旋转过程当中，我们很显然可以发现这个三角形跟这个三角形是不是全等关系，对吧？全等关系啊，那这样一来的话， 我们就可以得到这条边和这条边相等，那这个就是一个正方形一啊，这是一个非常非常重要的信息，一旦知道这个正方形是一的话，相当于 f 点，他一定是在这条直线上动，他一定在这条直线上动，当我们知道在这条直线上动的时候，那么 b 跟 d 选项 就很显然了，那么 f b 的 最小值来， f 在 这动，他的最小值，那就肯定一直往下，往下往下，他不能到对底夹，对吧？因为还要保证 d e 是 垂直的，所以 f 在 这个位置上啊，那么 c 在 这个位置上，此时此刻 f 在 如此地方，我们就可以得到 f b 的 最小值，对吧？最小值是一跟三的进行勾股，根号十，所以 b 是 正确的。 好，最后 d 选项 fc， fc 的 最大值也是一样呀， f 在 这里动，对吧？动，动到哪里最大呀？哎，很显然啊，当他动到这个位置时候最大， 对吧？跟他垂直的时候最小啊，所以到这个地方是最大。因为斜边关系嘛，所以在这个地方的时候，我们依然可以勾股一下，这是三啊，这个是二，所以根号九加四，根号是三，所以 d 选项也是正确的 啊，所以第十题呢，用了这个将军印马的模型加法、减法，然后还有一个这种旋转模型啊，这就是我们这个安徽中豪二五年的第十题的亚洲题啊。

安徽的家长注意了，想赢在起跑线，选对教辅是关键。这本秒杀中考，专为安徽考生量身定制，深入分析近五年安徽考勤。这里磁透安徽中考命题规律，里面是五年真体打底，配上个趋势模拟卷，再加强化训练册，基础加强化真体加模拟， 三位一体，完全贴合安徽考纲，含金量极高，基础打牢，进阶巩固，才能做到全方位提升。