深圳一模立体几何建系方法

立体几何中如果涉及到定角，比如求某个二面角的余弦值，一般都是要间隙圆折。 p o 中 ab 是 底面圆 o 的 直径，且 ab 等于四，说明半径为二， c 是 圆 o 上一于 a、 b、 d 点既然是圆周上的，说明这里是九十度。就翻译题目的时候，就把那些能写的都写上。 pa 等于二倍根，三，无限长都是二倍根，三是这两个二面角。 pa、 c、 b 和 p b、 c、 a 分别是 alpha 和 beta， 求它们正切值平方的倒数之和的值。第一题我们要关注 alpha 和 beta 这两个二面角，二面角要么间隙，要么转成平面角。 这道题目可以是用间隙来做，但是那样子有点不需要，我们不需要把间隙用来第一问，就可以找到二面角的平面角。因为我们要找的就是在 p a、 c 面内垂直于 a、 c 的 和在 a、 b、 c 面内垂直于 a、 c 的 这两个等腰，所以这里取中点连接自动垂直， 这里设为 d。 那 么另外一个垂直呢？这里垂直，我们就让它平行于它，那很明显连接圆心就是这两个平行，所以这两个垂直。 同样的方法取中点连接，可以找到 p b、 c、 a 的 平面角， 所以 p、 d、 o 就是 二面角， p a、 c、 b 的 平面角。另外一个就是同理， p e、 o 是 二面角， p b、 c、 a 的 平面角 叫 p e、 o 上面角 p b、 c、 a 的 平面角都找到了各自的平面角，那就通过这个里的 alpha 和这里的 beta 去计算 tan 的 值。看 tan 的 值，要找到直角，这也很好找呀。因为 p、 o 垂直于底面，所以这两个都垂直于 p o。 找到两个直角，分别就可以翻译出 tangent alpha 和 tangent beta。 平方取倒数再相加， 因为它们取完倒数之后， p、 o 呢，都跑分母去了，所以直接把 p、 o 通分到分母。需要平方分子 o d 方交 o、 e 方，它们各自是 a、 c 和 c b 的 一半，所以平方之后是四再分母， a c 方加 c， b 方就是 ab 方， ab 方是十六，所以等于十六。移上四乘以 p o， 这里是二倍根三，这里是二，所以就是二倍。根号二。平方之后八等于二分之一。一问结束 第二问。如果已知了 tangent 的 alpha 和 beta 之间的关系是根三倍，那么要求出余弦值。此时就可以根据我们第一问求出来的结果和第二问单独的条件，可以得出 alpha 和 beta 的 正切值。 这里有三在分母，然后这里是一倍，所以一共是三分之四倍。 tangent 的 alpha 平方分之一等于二分之一，所以 tangent 的 alpha 方是三分之八。 线段的倍呢，应该是二倍，根号二。根据这两个值，相当于就是定出来了 c 点的位置，我们就可以根据 c 点来进行间隙。 因为 c 是 我们主要的研究中心，所以就把 c 建在圆点处，要求出这四个点的坐标， p， a、 c， b， c 是 零零零，没什么说的。 a 呢， a 是 在 x 轴上的，要求出 a， c 的 长度，就要求出 o、 e 的 长度，那么乘二之后就是 a、 c 的 长度，而要求 o、 e 的 长度可以通过看成的贝特来求，这是二倍根号二。看成的贝特也是二倍根号二，所以这里是一。 b 呢， b 要求的是 bc， 也就是 o d 的 长度二倍，因为 o， e 是 一，所以 o d 肯定是根三零二倍，根三零。 p 点的值是最后一个求的，因为它比较多一点，每一个都是非零的。 g 轴应该是 p， o 的 长度是二倍。根号二这两边呢，分别是 o， e 和 o， d， 这四个值都求出来了，就可以求出每一个平面内含有的两个向量，这两个向量就能确定出它们的法向量。由于这里是余弦值，所以一定要一个朝内一个朝外， 如果能看出顿锐就不需要，但是这里不容易看出来顿锐，如果你火眼金睛能看出来，当然就可以直接通过顿锐来判断，就不需要一个朝内，一个朝外 x， y， z， 然后另外一个也是 x， y， z 加个角标列出方程。由于 c 是 圆点，所以我们肯定是以 c 什么这样子的形式去写出我们的向量，因为就直接抄坐标就行。 一个朝内朝内的向量看起来是不是向下的，所以 z 一 应该是负数，我们就让 z 一 是负根三 x 一， 这里显示的是零， y 一 呢，应该是二倍根二。同样的方法求出 m 向量 朝外的应该 z 是 正的， y 是 零， z 取正值就取根三 x 值，不用就直接 z 值取一就行。 因为根三 y 二是零二，所以自己就直接取一，然后 x 取负二倍根号二，这是 m 和 n， 并且一个朝内一个朝外，那么就用点击再除以魔的乘 积，等于点击点击之后零，这也是零，所以只剩负根三，再除以这里的魔应该是根十一， 这里的呢，八加一是九，就开根是三，所以乘三，最后是负根号三十三分之一。感谢大家的收看！

同学们好，欢迎来到今天的数学题解析，我们来深度拆解这道深圳异模的立体几何题，看看不同解法背后的运算逻辑和效率差异。 一、第一问，线面平行的证明这道题的第一问，当球心 o 在 平面 abcd 上时， 要证明 p、 a 平行于平面 q、 b、 c。 核心思路，因为 o 在 平面 a、 b、 c、 d 上，且 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以 o 就是 正方形的中心。又因为 p、 a、 b、 c、 d 和 q a、 b、 c、 d 都是正四楞锥，所以 p、 o、 q 三点共线 且垂直于平面 a、 b、 c、 d。 我 们可以用向量法快速证明，建立坐标系后发现向量 p、 a 和向量 q、 c 是 平行的，而 q、 c 在 平面 q、 b、 c 内， pa 不 在，因此 pa 平行于平面 q、 b、 c 也可以用几何法证明，因为 p、 q 垂直平面 a、 b、 c、 d， 且 o， a 等于 o， c 等于 o， q 等于 o， p 都等于一，所以四边形 a、 q、 c， p 是 正方形，从而 a、 p 平行于 q、 c， 进而证明线面平行。这一问的解法非常清晰，是立体几何中证明平行的经典套路。二、第二问，求八面体体积本质是分析底面参数的过程。 第二问的目标是求八面体的体积，而八面体的体积等与上下两个正四棱锥体积之合。 因此整个解题过程的本质就是通过二面角的条件反推出底面正方形 a、 b、 c、 d 的 关键参数，再结合球的半径约束，最终完成计算。我们来看看几种不同的解法尝试。一、法相量法运算复杂的弯路 思路，通过尽力空间直角坐标系求出平面 p、 a、 b 和平面 q、 a、 b 的 法向量，再利用向量加角公式计算二面角问题。这种方法需要解一个复杂的方程，走来求法向量，然后代入加角公式，计算量非常大， 而且容易在代数运算中出错。正如图中批注所说，用法向量不是适当的办法。 二、定义法改进思路，但仍有瓶颈思路放弃法向量，转而利用二面角的定义去 a b 的 中点 h 连接 p h q h。 因为 p a b 和 q a b 都是等腰三角形，所以 p h 垂直 a b q h 垂直 ab 角 p h q 就是 二面角 p a b q 的 平面角问题。虽然思路更直接，但在设置变量时将 o q 设为二减 b， 导致后续的代数运算依然繁琐，运算还是有点烦。 三、优化变量设置，显著降低运算量。改进，将 o p q 的 长度重新设为一加 b， 利用球的半径为一的条件， 将核心关系转化为底面参数相关的平方和等于一，大大简化了后续的方程效果。虽然计算过程依然需要解二次方程，但相比前两种方法，预算量和出错概率都明显降低。 四、纯几何法巧妙，但门槛高，思路完全脱离坐标系，利用几何关系和三角恒等变换，通过设 o n 等于 x， 将二面角拆分为两个角之合，再用正切和角公式建立方程特点。这种方法非常巧妙，计算过程也相对简洁，但对几何洞察力和三角变化能力要求很高，属于高手解法。 三、解法总结与建议这道题的第二问，解法的演进过程其实就是一个不断优化思路，降低运算复杂度的过程。法向量法思路直接，但运算量大，容易出错， 不推荐作为首选。定义法优化变量是最稳妥的选择，既保证了思路的清晰性，又通过合理的变量设置控制了运算量。纯几何效率最高，但对能力要求也最高， 适合基础扎实的同学尝试。在考试中，我们应该优先选择定义法优化变量，它在思路清晰和运算简变之间找到了最佳平衡点。

同学们在我们之前的视频里专门讲过特殊立体几何的解析思路与技巧，而这一次的深圳异模数学试卷里，刚好就直接用到了这套方法，可以说是学以直用，立刻就能提分的典型题型。 下面我们就完整分析这张试卷，看看每一道题究竟在考什么，难度如何，对我们有什么要求。 一、单选择题一、考察的是统计里面最基础的平均值计算，属于送分题，所有同学都必须稳稳拿分。二、考察负数的基本概念与魔长计算， 只要基础概念清楚就能快速做对。三、考察抛物线的基本性质，侧重定义理解，属于圆锥曲线里的基础题型。 四、考察三角函数的周期与对称，中心重点在性质识别，不需要复杂计算。五、考察函数的既有性与周期性，综合运用，需要对函数性质有清晰理解。 六、考察三角函数的公式变换与运用，强调公式熟练，步骤规范。七、考察平面向量的投影概念，侧重理解几何意义，属于中档基础题。 八、考察不同函数之间的大小比较，需要结合图像与性质判断，是选择题里的区分题。二、多线题九、考察正三棱台的陷面关系，包括平行与垂直判断， 非常考验空间想象能力，也是我们之前讲过的特殊立体几何结构直接能用的地方。十、考察 双曲线的性质，以及直线与双曲线的位置关系，综合性较强，容易因为概念不牢丢分。十一、考察概率与期望的理解型题目 需要先读懂题目定义再进行分析，对临场理解能力要求高。三、填空题十二、考察解三角形的基本方法，属于常规必拿分题。 十三、考察等差数列的通向与前 n 项和性质，测重公式灵活运用。十四、考察及核心定义问题重点在逻辑推理与分类思考，是整张卷里很有亮点的创新题。 四、解答题十五、数列综合题，第一问接触，第二问测重求和方法，步骤清晰就能拿分。十六、概率统计大题， 考察概率模型构建与计算能力，提前常规思路固定。十七、立体几何大题，第一问证明平行，第二问计算角度与体积，刚好能用到我们前面讲过的特殊立体几何解析。逻辑。 十八、函数与导数压轴题第一问基础，后面两问主谱提高难度，用来区分高分学生。 十九、解析几何压轴题第一问相对基础，后面问题综合性强，运算量大，是顶尖学生拉开差距的关键。整卷总结，这张深圳一模试卷梯度非常清晰， 前面基础题保证大部分同学能拿到稳定分数。中等题侧重知识综合与严谨性，拉开中等生与普通生的差距。压轴题侧重思维深度与计算能力，用来选拔高分段学生。

今天开始我们将进入一个全新的章节，例题集合。例题集合在我们高考中大概是占了二十分左右的分值，那么希望考到一百二十分以上的同学们呢，例题集合是一定要拿到满分的。 我们来看一下例题集合，我们首先要从几个方面来学透它，那么第一个就是我们需要去了解我们的空间几何体，也就是我们今天这几个所需要做的内容。 那么第二节课呢，你需要了解我们空间几何体之后，你就需要知道它的平行与垂直关系。跟我们初中一样，我们初中在平面内去研究了平行与垂直，那么我们在立体几何里面呢，也要去研究平面内的平行与垂直的关系。 第三个模块就是空间中的角度问题，这里的角度呢，他可能就不再是平面内的角了，比如他问你直线 a、 e、 b 与我们的直线 c、 e、 c 这两条直线所形成的角度为多少？ e？ 或者是问你啊，我们的 b、 a、 e、 c 这个三角形，这个面与我们上面这个 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d、 e 这个面所形成的夹角又是多少？那么最后一个模块呢，我们就可以考虑到我们的空间向量 与间隙法，去解决我们前面的平行、垂直以及角度的一些问题。我们的空间向量以及间隙法，它就是利用一个工具去解决我们前面的两大核心问题， 花了一点时间搞清楚我们高中立体几何所需要掌握的内容有哪些。那么今天我们来看到要讲的内容，今天我们要讲的东西有四个东西，柱体、 锥体、台体以及球体。我们今天的内容呢，主要是了解一下我们这些体的一些特征。首先我们来看到柱体，我们柱体是什么呢？首先它有两个平行的面，在这里我们的平面 a、 b、 c、 d 与我们的平面 a 一 b 一， c 一 d 一， 这两个面呢是平行的，平行之后我们去把它们对应的点呢，去连起来之后所形成的这个空间几何体呢？我们就把它称作为柱体，这里有几个新的 词我们要掌握。首先这是一个点，我们的 a、 b、 c、 d 的 四个点，以及下面的 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d、 e 这四个点呢，我们把它叫作为顶点，每个点都叫顶点。然后我们刚刚说的两个平行的面，我们叫做底面， 这个上面的呢，我们通常把它叫做上底面，下面的呢那叫做下底面，其实都可以用底面来表示，然后另外的旁边的这些 一条一条的我们称，为什么呀？这里不再叫边了，旁边的呢我们把它叫做侧人，就是侧面的人嘛，那上底面与下底面这边的叫人吗？他也是人，但是他只不过不是侧人而已，明白吗？他每一条边都叫人，每一个点呢都叫顶点。 然后上下两个平行的面，我们把它叫做底面，旁边的这一些面称作，为什么称作为侧面，这个很好理解吧，就是根据他的位置来确定他的名字啊，这不是侧人，我们这里笔误啊，应该是侧面，我们这里写成侧面就可以了。 那注体它的表示方式又是哪一些呢？首先它的上底面有四个点，然后下底面也有四个点，所以我们可以把它写成 a、 b、 c、 d， 中间打一个横杠，然后 a、 e、 b 一、 c 一、 d 一 就可以了。当然你也可以用我们柱体的体对角线，比如我们这里连接 a、 c 一， 你就可以用 a、 c 一 来表示这个柱体，当然你用 b、 d 一 也是没有任何问题的，或者说 a、 e、 c 都可以用它的体对角线也能去表示这个柱体。 下面我们来看一下柱体有哪些分类。第一个分类标准，按照底面的多边形分类，比如我们第一个它的底面是四边形，第二个呢，底面是六边形，所以我们第一个就叫做四棱柱，第二个就叫做六棱柱。如果底面是三角形或者说三边形，我们不叫三边形吗？叫三角形， 那么叫做什么三楞柱，五边形呢？就叫做五楞柱，这是以底面的多边形来分类的。那么第二种就以位置关系来分类，我们按照侧楞与底面的关系来分类，看到第一种我们叫做直楞柱，什么叫直楞柱呢？ 它的侧轮与底面是垂直的，我们想想看，我们这里一个地面，然后我们这里有一根电线杆，竖直的或者说垂直的插在地上，那么像这种，我们就把它垂直叫做垂直底面，懂吗？所以应该能够理解，所以呢，我们这里是以它的关系来分类的，如果侧轮与底面垂直，那我们就把它叫做 呃，直楞柱，如果不垂直呢？我们就直接叫做什么斜楞柱就可以了。当然斜楞柱是我们的 柱体里面才有的称呼，这么多人柱，其中以四人柱考的最多，那我们来看一下四人柱它常见的模型有哪一些？首先第一个就是普普通通四人柱， 如果我们现在把两个底面分别变成什么平行四边形，那底面为平行四边形的话，它就变成了一个什么平行六面体。为什么叫平行六面体呢？首先它这条侧棱呢？每条侧棱都是平行的，对不对？然后我们两个底面呢？它又是平行四边形，所以我们就可以把它叫做什么 平行六面体，为什么是六面体？你数一数两个底面，然后呢？对面一个面，外面一个面，然后这里两个面一共是六个面， 然后我们再去把它垂直，如果我们的侧人去垂直了我们的底面，我们就可以把它叫做什么呀？直的平行六面体，这个当然不一定是正方题啊，平行六面体直平行六面体，仅此而已。 那在特殊一点，当它的两个底面为矩形的时候，那它变成了什么？我们常见的正方体对不对？ 底面如果为正方形呢？它就叫做正四棱柱。什么叫正四棱柱？你等会就知道了，底面是正方形，我们就把它叫做正四棱柱，我们等会讲锥体的时候，也会出现这个正这个字。好，那我们什么时候是正方？就是每条棱怎么样都相等的时候，就为正方题。 接下来我们来看到锥体，那么什么叫锥体呢？它很简单，首先有一个多边形的底面，然后其他的侧面呢？都有一个什么公共顶点的三角形，那么这种空间几何体呢？我们就把它叫做锥体。那锥体我们怎么去表示？首先它这个 点啊，这个公共的点，我们把它称作为顶点，顶点不一定是在上面的，它这个叫顶点，我们记顶点为 s， 然后下面为 a、 b、 c， 那 么这个锥体我们就可以把它写成 s， 然后以杠 a、 b、 c， 它就表示的是一个锥体，并且 s 呢，它是表示的是顶点，那根据底面的 边数的条数，我们可以把它分为三人锥、四人锥、五人锥，那它的区别是什么？唯一的区别就是底边的啊，底面的条数边数不一样。锥体它有一种特殊的存在，比如我们这三个图形，你会发现 它的底面，第一个它是一个正六边形，然后第二个呢是一个正方形，第三个是一个正三角形，并且它的顶点做一个竖直的线下来或者投影下来，它一定在我们底面的中心。像这种锥体我们就把它叫做什么 正追题啊，然后我们分别以它的底边的多少为命名。第一个它底边是一个六边，底面是一个六边形，所以我们第一个叫什么？叫做正六人追， 正六人追，那么第二个呢？相信同学们也能够知道，第二个就是正四人追，第三个就是正三人追，正三人追他也可以叫正四面题，有几个面，一个面，然后旁边有三个面，所以我们可以把它叫什么？正四面题也表示的就是我们的正三人追。 棱柱以及棱锥的定义就是这些，下面我们来看到圆柱、圆锥以及球的一些概念，那么圆柱圆锥呢？我们通过旋转的定义来理解它， 圆柱它是以我们矩形的一边为轴，然后去旋转所得到的一个空间几何体，它呢就叫做圆柱。那我们怎么表示这个圆柱呢？ 我们分别以两个底面的中心 o 一 以及 o 来表示，那么它就可以写成圆柱， o 一 o 就 可以了。圆柱呢，它这里有几个新的定义，首先它这旁边的这条线，我们把它叫作为母线， 它只要不是垂直于我们这条轴的任意一条线，比如我们这边一条线，然后这边一条线呢，都叫做它的母线，它侧面只有一个面，对不对？因为它是一个整体嘛，所以我们把这个旁边这个整体的面呢，同样也是叫做侧面，跟前面一样的，我就不再书写我们的圆锥，怎么叫 圆锥呢？它是以我们直角三角形的一条直角边为轴，然后去旋转所得到的一个空间几何体。我们的圆锥可以写成 s o， 以顶点于我们底面的中心来表示的是圆锥，同样它旁边的边，我们也把它叫做母线，然后呢，它旁边的这个面，我们同样把它叫做侧面。最后一个球球我们怎么去理解？那圆我们是说平面内 任意一个定点的距离都相等的一个形状，是不是我们就把它称作为圆？那么球呢，就是在空间内到我们球心这里，应该是说任意的距离都是相等的，我们就把它称作为球，只不过是从二维变成了三维，仅此而已。 最后我们再来看到人台以及圆台这两个几何体，他是怎么来的？我们的人台呀？他其实补全之后就是我们的人追，截去一部分之后， 就得到了我们的人台。这里呢，它是一个人追，我们把上面这一部分截去之后呢，它就变做了我们的人台，那么人台怎么表示？同样跟我们的助体表示的方式是一样的吧，它可以用 a、 b、 c、 d， 然后呢一杠 a 一 撇 b 一 撇 c 一 撇 d 一 撇来表示。圆台呢，它其实也就是通过我们的什么圆锥把我们去截得一部分所形成的空间几何体， 我们把上面这一部分截掉之后，就得到了我们的圆台，那么圆台我们怎么去表示？同样用我们上下两个底面的中心来表示，它就可以表示为圆台 o o 一 撇。 那么到这里呢，我们今天要讲的这一些空间几何体的概念，相信同学们都应该能够了解。看到一个例题，来帮助理解一下我们前面所讲的一些概念。看到第一个 侧面是全等的等腰三角形的人椎是正人椎，那么相信同学们理解起来是比较困难的，我这里画了一些图来帮助同学们辅助一下。第一个图你看一下，首先呢，我们这里的所有侧面这个面，以及我们这里的面，还有底面呢， 就是最里面那个面哈，我们不叫底面，应该叫里面那个面，他是不是都是全等的等腰三角形，但是你看看他是一个正人追吗？我们正人追的要求是什么呀？首先底面你得是一个正多边形，并且呢我的顶点他投影下来 在底面的中心吧，所以很明显我把图画出来之后，那么同学们肯定能看出来，第一个就错了，第二个侧人都相等的人追是正人追，侧人都相等的人追就是正人追吗？ 我们这里只给了一个什么要求啊，侧棱他都是相等的，那我们现在随便画一个侧棱都相等。好，这是侧棱，然后呢，这个也是侧棱，然后我们再画一条侧棱，长度是一样的，他只要要求对不对，那我们把长度画成一样就可以了。 那我们来看一看他这个正棱锥，他这个棱锥是不是正棱锥？我想问一下，你的侧棱只保证了长度相同吗？你只能说这三条棱他的长度相同吧，所以 第二个我们也是错的。然后再看到第三个，他说底面是正方形的人追，一定是正四人追，底面是正方形，那我们还有一个要求是什么呀？我们的顶点的投影呢？一定要在什么底面的中心？那我们来画一下 里面。首先我们就画一个正方形啊，这里的画法是斜二侧画法，我们后面会讲，你不能直接画成一个正方形啊，那如果我们这个人追呢？他斜过来可以吧？我们斜到这边来哦，我们去往旁边斜，画到这个地方，然后呢，我们这条边在这里，这条人， 然后接着往下画，我们把它画完之后，你会发现呢，它顶点的投影并不在我们底面的中心，对不对？所以呢，第三个很明显也是错了，然后再看到第四个正四面体，就是正四人追。我想问一下，正四面体我刚刚还特意讲到过吧，四个面，你看看这个 正四人追，假设这是个正四人追，你看他有几个面，底面一个面，然后侧面的一个、两个，三个，侧面有四个面吧。所以正四面体他其实应该是正三人追。我们刚刚才是不是特意讲到过，看到第五个顶点在底面上的投影， 既是底面多边形的内心，又是底面多边形外形的，人追必是正人追，我们来好好看一下这句话， 顶点他在底面上的投影，那么这个投影又是这个多边形的内心，又是这个多边形的外心，说明这个多边形怎么样？他是两心合一，外心也在这里，然后呢？内心也在这里，说明这个多边形 一定是一个正多边形嘛。然后顶点的投影呢？刚好在这个内外心上，所以第五个就是对的。这里我们选到这里，希望同学们对前面的一些概念能够有所了解，我们下期视频再见。

立体几何你没有刷过这三十道基础大题的话，你千万别说你空间想象力不行，因为立体几何对逻辑构建的要求本身就很高，他 需要你把常见模型和辅助线做法刻在脑子里。尤其是高二同学，不要急着学普型法、向量间隙的技巧，先用传统几何法把自己的空间想象力锻炼出来。你看这道二零一八年全国卷的折叠问题， 很多同学觉得难，如果你能沉下心，把这三十道基础题老老实实推一遍，把每种图形的辅助线做法都练成肌肉记忆，到时候什么三垂线、定力等体积法自然就融会贯通了。拿走，下载打印吧！你的突破从今晚开始！

哈喽，大家好，我是番茄学术，那么今天我们讲解的是零基础十五课里面的第十课，立体几何的上半部分，我们今天要讲的是各种图形的体积，表面积，体积，表面积。 好，第二个就是平行，第三个是垂直好，空间向量在下一期视频中。 好，那么这一期视频的话，对应的章节就是一数一百，讲里面的几何体的表面积，体积以及位置关系的判定，里面的平行关系的证明大权以及垂直关系的证明大权。如果有这本书的话，可以在课后把这里面的练习完成一下。 好，那我们废话不多说，开始吧。首先立体图形里面，我们先把平面图形里面的呃，一些小小面积啊，周长之类的给它搞明白。那首先是圆，第二个是 弧，圆弧扇形，这叫扇形，对，下面是弧对，弧长。 ok， 来看一下，如果这个圆的半径为 r， 那 么我可以求它的周长和表面积，对不对？那表面积是多少呢？ pi 平方吧，对不对？好，五周长呢？周长， 周长是不是二 pi r， 这个每个人都知道吧，我记得是小学学过的。嗯，好。第二个是这个扇形面积，扇形面积有两种求法，第一个是我如果知道它的弧长，假设弧长为 n， 哈，这个蓝色的叫做弧长，只有圆弧。嗯，我假设它为 n， 然后这个母线假设它为 l， 那 么它的面积怎么求呢？二分之一 n l 面积。 那求扇形面积的话，还有另外一种方法，把这个扇形放在圆里面， 圆里面，你看这个扇形好，假设它角度为 r， 放嘛，然后，哎，那它的半径是 l 喽，对不对？好，那我现在只知道它角度和这这个的弧长。好吧，那我要求它的话，我先求大的 这个圆的面积，圆的面积 pi 平方。好，那我先要求这个。我假设它是弧度值啊，它占多少分呢？它这边占是不是占了二？ pi 分 之二法，如果是按弧度值来说的话，对不对？好，如果是角度的话， 按弧度值来说是这个，如果按角度来说是三百六十分之，假设三百六十分之二法， pi 二方。好， 这样子是角度，你得还是得转换成弧度啊， ok 吧，不然的话你等会这边不知道怎么约啊，约完之后这边是度数啊，知道吧，所以你要知道弧度， ok 吧，弧度制的， 然后这边再进一步约分派派约掉，所以就是二分之一而放而方。 ok， 这个也可以求扇形面积，但是用的比较少，一般还是用这个。对， 好，学完了之后，我们来到柱形，锥形台体以及球的面积与表面积，或者是说侧面积。好，我们来看，首先是 首先是这个柱形，那柱形的体积，我们先看体积哦，体积的话是 s h。 s 是 什么？下面的这个的面积 s h 有 的人会记 pi r 方 h 也是没有问题的。为什么这个底面就是一个圆呐？底面的话可以求啊，底面这个 s 就是 pi r 平方了，对不对？你想记这个记呗，我又不强求你记 不记这个。对，你可以记这个，也可以记这个，但是这个不好记啊， pi r 平方 h 不好记啊， pi r 平方 h 不好记哈，对，所以我们一般记 s h 可以 吧？好，锥体的话，一般锥体的话，所有的锥体它的 体积都是三分之一 s h， 所有的台体都是三分之一 s， 括号 s 上加 s 下，加上根号下， s 上 s 下，括号 h。 好， s 上就是上面这个这个圆的 面积，然后所以就是根号下，然后再根号下 s 上 s 加， 其实这个是前面两个的综合题啊，为什么呢？你看啊，如果这个 r 一 等于零等于零，那他是不是不是圆台了，就变成圆圆锥了，对不对？那等于零的话，零零，那这边就是变成了三分之一 s 下，也就是三分之一 s h， 不 就这个吗？对不对？ 好，那另外一个呢？如果，哎， r 一 跟 r 二一样了，他是不是圆什么圆珠吧，对不对？ 那一样的话，那他加他等于二 s， 那 他他乘他，嗯，开个根号就是 s 三 s， 然后外面乘个三，三分之一三 s h， 哎，不就是 s h 吗？哎，有没有发现跟他一模一样对不对？好，这是他们的体积，大家一定要记住哈，就考试的时候就是用的还是比较多的， 当然我说了啊，就是你记 r， 你 记这个也行嘛，但是这个不好记，你还是记这个吧，老老实实记这个吧。上面和下面可以吗？ 面积慢慢求嘛。这个面积还不好求吧。面积很好求的呀，所以就不要总是把 r 放进去。 为什么总强调？是因为我去年出了一题，别人总说我教错了，可是实际上是没有错的，可以 s 上 s 下，刚好是 s 上下，可以吧，他总记这个 r 去了，知道不？都一样的哈。好，那讲完了体体积的话，我们来讲侧面积哈， 我们来看一下侧面积，这个侧面展开是一个矩形，那矩形怎么求面积啊？底乘高吧，那底怎么求啊？底面怎么求啊？这个底底是多少呀？ 二派儿吧，二派儿下面的周长，然后这边呢？ h， 所以 就是二派儿 h。 好，那到了锥圆锥呢？它的这边是一个什么？它的它的展开图啊，它的侧面展开图啊，我要求侧面记嘛。侧面展开图是一个扇形， 那扇形的话我要知道它下面这个弧长是多少了。弧长是多少也是二 pi r 嘛，对不对？然后它的母线呢？是这个 l， 所以 它是二分之一弧长乘母线二 pi r 乘 l， 然后二分之一和二约掉就变成了 pi r l。 pi r l 好， 最后一个这边的话直接记哈 pi r 一 加 r 二括号 l， 原台的最特殊了。原台的怎么求呢？我们一般是补全，补全之后用呃，用整体的减去这个切掉的这个部分， 但是哈，你不要去正了，也不要去叽里咕噜搞一大堆了，等会会产生歧义，你会搞，搞得等会会觉得 r 二减 r 一， 但是不是的哈，这是按比例来，最后算到的是 pi r 一 加 r 二 l 可以 吧。推就不推了，大家不要去推啊，直接记就好了。推还是比较麻烦的， 这是他们的侧面积好也是直接记就好了，最难记的就是这个。呃，那个台体的嘛， ok， 好 侧面积哦。没没，不是说表面积哦，表面积的话这是要加两个圆哦，这边表面积要加下面这个圆的面积哦，如果要这边的话就是下面和侧面有区别哦。我现在求的是侧面积 ok 吗？侧面积对， 好，接下来是球球，这个我觉得比较好记了，球的话，首先体积的话是三分之四 pi 而立方， 表面积呢？四 pi 而平方。好，我们记住哈。怎么去分别？这两个长得很像对不对？好，一般体积的话是不是立方多少立方多少呀？所以你看他这边是立方， 然后这边大的数，他这边就比较小， ok 吗？所以他是三分之四。好，这边面积的话一般都是平方，所以他是二次方，然后这边小，他就比较大一点，我一般是这样记的。 ok， 那 这些图形的表面积，体积周长什么叽里咕噜一大堆的，一定要记住啊。好的，然后这边题，呃，带大家做一个，然后其他的不建议大家做太多哈，因为有的题还是比较难的啊， 你做一两个，然后只要记住这些图形的面积，表面积，体积之类的，侧面积之类的，我觉得就 ok 了。嗯，好，然后题目遇到了，再就是试卷遇到了再说。对， ok， 当然能做多少做多少喽，看不懂答案的就不做喽，知道吧。好，继续。体底面积是二派，侧面是是六派的圆锥的体积。好， 这种题啊，一定要画图哦，画图稍微画一下，虽然比较丑陋，但是还是要画喽。底面积为二派哦，那这个 r 怎么求呀？面积是派 r 平方，它会等于二派，派派约掉 r 方等于二，那 r 就 等于根号二喽，根号二，根号二。 好，侧面积为六派，侧面积怎么求呀？侧面积是二 pi r 这，这边弧长是二 pi r 这，然后这边是 l。 好， 我们来求一下 二分之一二 pi r l 我 喜欢现场推啊。二分之一 n l 比较好推吧， 就是弧哦，就是扇形的面积嘛，我一般喜欢这样推过来嘛，你直接记 pi 二 l 也 ok， 没问题的，你看二分之一和二约掉了 pi 二， l 等于几啊？侧面积是六， pi 六 pi 好， pi 约掉 pi 约掉 r 等于根号二。刚才已经斜了，那根号二再除以过去， 移向过去了，这边乘法移到左右边就是除法了。好，所以 l 就是， 呃，上下同时乘根号二，二分之六，根号二，二和根号六就消掉，变成三根号二，所以 l 等于三根号二，三根号二。现在求什么？求体积？ 体积怎么求？三分之一 s h 三分之一 s h， s 告诉你了，底面积告诉你了，二派告诉你了，现在就差高了。高怎么求？勾股定律了？看，把它拿出来，把这边全都擦掉。勾股定律， 嗯，这边三根号二，这边呢？根号二，括号平方减去根号二，括号平方等于它的平方嘛。 好，那就是三三得九，二九十八，二九十八，减去二那十六，然后开根号的话就是四，所以这边是四，高是四。好，那三分之一 s， s 是 二， pi h 是 四，所以二四得八， 三分之八怕，所以选 b。 ok， 我 觉得就差不多了。好，那么到第二关，平行与垂直，那平行与垂直的话，我们首先来看平行啊，平行比较简单 啊。平行的话，首先我们从线线开始，因为所有的你，不管是正面线，线与面，面与面，叽里咕噜一大堆的都是从线开始的。对，所以我们首先先看线，线 好，线线怎么会平行呢？好，我们来看到中位线，哎，初中学的吧，对不对？假设这是 a， 这是 b， 这是 d， 这是 e， 把 d e 连起来，假设 d 是 a， c 中点， e 是 b， c 中点，然后把这个连起来，我们叫做中位线。中位线， 那中位线会平行与下面这个 a、 b 会平行且相等， d、 e 平行且等于二分之一的 a、 b， 这个结论非常重要。嗯， 好的，那通过这个的话还有平行四边形。为什么平行四边形？ 那？因为有的时候 a、 b、 c、 d 啊，我们来看哈，有的时候我要证 a、 b 平行， c、 d 不 太好证，那这个时候我们去侧面证 c、 b、 c 与 a、 d 平行且相等，平行且相等的话，那这就代表它是平行四边形，平行四边形多一边就相互平行。呃，那就证明到了 a、 b 平行 c、 d 这第二个，这是第三个。 l 一、 l 二干嘛呢？ l 一 垂直这条线， l 二也垂直这条线，那么他俩就垂直， ok 吗？啊，说错了，他垂直他，他垂直他，那他俩就平行，可以吗？ 就是这个或者是垂垂直于下面这个面， l 一 垂直下面这个面， l 二垂直下面这个面。啊，那也可以的，你不信的话，你拿两支笔插在你桌子上，它俩是会不会平行？垂直往下插，可以吧？ 好，线线平行的话，大概就是这三类，基本上啊，基本上所有的就是这三类，前面两类居多一点，但是这个也非常重要。哦，好吧，那还有一种就是 l 一、 l 二、 l 三， 如果 l 一 平行 l 二、 l 三平行 l 二，那，那那 l 一 和 l 三也会平行，可以吧？ 线线平行，那他们三都平行。对， ok， 这是线与线喽。啊，具体怎么正的话，等会我会带大家过一下，就是具体的思路，具体的怎么去写哈，现在是过一下思路，知道吧？好，即使是线面， 线与面的话是这样子的，我要求这条线与这个面平行，那我们在面里面找一条线就好了，比如说我要证明 l 平行这个而法，我要在而法里面找一个线 a， 如果 l 平行 a， 那 么 l 就 平行，而法好， 线平行面，在面里面找一条线与它平行就 ok 了，我们就证明到了线平行面，这是思路，思路具体写肯定不是不，不会这么简陋，但是我们脑子里第一时间有这个思路就 ok， 然后具体的我们的做题的时候，具体做题的时候要详细的写， 下面继续往下，接着是面与面好，面与面平行的话，首先还是一样的，我先画图， 我要证明什么呢？ r 法与贝塔平行，那我要证明 r 法与贝塔平行，我们只需要在 r 法里面找两条线 a b 干嘛呢？这个 a 平行贝塔， b 平行贝塔，那我们就证明到了什么？而发与贝塔平行，好，那其实这边哈，它平行这个面其实就是它平行这面里面的一条线，根据刚才说的呀，我要找线平行面的话，就是在面里面找一条线嘛，对不对？所以其实啊， 本质上我就只需要在在这个面里面找一点，找 c d， 嗯，我直接找 a 平行 d， b 平行 c a， 那 也是 ok 的， 也能证明到他们俩是平行的，这俩是一样的， ok 吗？ 这是平行的一些思路哈。然后笔记的话我会放在网盘里， b 站的小伙伴的话会在顶顶置评论区，其他同学可以去微信公众号搜索一下我的名字，然后里面会发， 好，我们来，具体的话我们要写这么多，来瞅一眼，来看到这我要证线与面平行的话，需要证明到哪一些呢？首先这个线不在这个面里面，所以写 a 不 在这个面里面， 不在用这个符号表示啊，在的话也用这个符号可以吧？你不用管什么东西，反正在就这个，不在就这个可以吧，这叫属于哦，这叫包含于，但是我一般念属于了。无所谓，你只要会写就行啊，随便你怎么念啊， 念属于肯定是念错的，因为这叫包含于。嗯，回顾一下集合之间的关系吧，集合 元素与集合之间用的是属鱼的符号。那集合与集合之间呢？集合与集合之间 用的什么符号？用的是这个有印象吗？包含鱼有印象吧。好，那这个就是叫什么？包含鱼的一半，那也是包含鱼可以吗？ b 包含在 a 里面。对，就是这个，但是我一般念属于了啊，随便你怎么哈，但是你要理清楚啊，具体写的时候你要理清楚啊。好， 那这个就等于不可能，线不可能等于面，知道吧？线不可能等于面，所以就他就把等于那个直接去掉了，所以就直接只有一个属于了。 ok， 我 们继续啊。好， a 不 在这个面里面，然后另外 b 在 这个面里面，然后 a 如果平行 b， 那 么就证明他了，他是平行的，一定要写这些东西啊，不能偷懒啊，重点还是要都要达到的好。第二个，面与面平行，面与面平行， 我们要怎么做呢？首先 a 与 b 都要在这个而法里面好，其次， a 与 b 还要有一个交点， 不能平行的两条线啊，一定要有交点的两条线哦，分别与另外一个平行。刚才说了，你如果就找两条线也 ok， 因为我要正这条线平行于另外一个面，就是在这个面里面找一条线与它平行，它平行它那就它就平行这个面是不是？所以就是本质还是找两条线可以吗？好， 然后就证明到了 alpha beta 平行。好，那接着。呃，还有两个小东西哈，就是这个，如果这条线平行于这个面，然后如果有一个面呢？正好经过这条线，它就会与另外 就是与这个面有一条交线，这条交线也会与它平行，这个知道一下就好。然后还有这边如果两个面平行，另外一个面经过它交于两个，呃，有两条交线嘛？两个面平行，另外一个面切着，它有两条交线，它这两条交线也会平行。 稍微有一点点印象就好了。因为考试考的不多哈。具体还是前两种。 ok， 然后我们来具体写两个题。嗯，有两个比较经典的题， mac 烊 先花两分钟读一下题。嗯，好，时间差不多啊。这边有个小技巧哈， 在立体图形里面哈，它不管线怎么去扭曲，好比如说一个直角，那它到到这里面就变成这个了 啊。没有关系，角度是会变的。但是两条线，你看两条线啊，如果他平行的话，不管他怎么扭曲，角度怎么扭曲他都是跟着一块扭曲的，你看不管怎么扭扭扭扭扭，三百六十度旋转，三百六十度转一圈， 这两条线都会平行，可以吧？这是平行线的性质，在立体图形里面平行的线也会平行。好，那我们来看一下啊，一般写这种题的话我们先读题，读完题再去看条件 ok 吗？不然的话你看完条件题目又忘了 啊？就是就是，看完条件不知道找什么东西，等会又要读一遍题，又会回去找，这样比较麻烦。 ok， 所以 我们直接先读题。 m n 要平行。 p b c p b c p b c， 线要平行面，好的，那我们家面里面要找一条线与它平行喽，对不对？刚才说了，线是不会那个的，所以我们只需要干嘛呢？线，如果这条线与这条线就叽里咕噜这一堆线平行的话，它是不会有扭曲的，所以我们就有一个方法。干嘛呢？ 拿把尺子，我们来找辅助线。好，这是你的尺子啊，你已经对比了，这条线是 跟它重合的，然后你拉一下，上下左右移，你的尺子上下左右移，那这条线是一直会与 m n 是 平行的，那这条线我要干嘛呢？哎， p b c 到他们顶点上晃一圈，你看一下哪个有焦点，你看是不是 b 这边有一个焦点。哎，大概率就是你要做这条线干嘛呢？与他平行，你看这条线是不是与他平行的吗？是吧，对不对？因为这条线本来就与他平行的。那这这上面这条线是不是也跟他平行啊？好，那这条线怎么做呢？一般我们有两种， 取中点，中点做辅助线。第一步，取中点第二个，呃，对角线相连。对角线， 那我们来看矩形，对角线相连会相互平分，平行四边形相互平分，或者是菱形，或者叽里咕噜这一大堆的东西都是对角线相连，等会会有一个例子。啊， 好，那我们这边的话就是取 p c 中点了，然后连起来，可以吗？好了，那我们等会就是 a b c d e 没有 e 好， 取 p c 中点， e， 好， 等会我们再来看具体怎么做，我们还没看第一步嘛，对不对？好，四棱锥 p a， b， c， d 中底面 a， b， c， d 干嘛呢？是边长为二的菱形。 菱形，菱形是特殊的平行四边形吗？首先会相互平行吗？是不是？然后每条边还会相等吗？是不是 d c p 是 等边三角形， d， c p 是 等边三角形 d， c， b 啊？这，这些不用管，因为这是第二个的，用不到，现在我们用不上这些。好， 继续啊。 m 和 n 分 别是 m 和 n 分 别是什么？ d p 中点和 a b 中点。好，那我们接着来看， 那我们刚才已经说了，就是我要去就这两条平行了，直接证好像证明不到。首先我们第一步要取点了，取 p c 中点。呃， e 好， 连接 连接。呃， b， e， 好， 我们来瞅一眼哈，这边是中点啊，啊，这边又有一个中点，这什么东西啊？连起来是什么东西啊？中位线，哎，如果我们证明到了它与 b、 n 平行且相等，那就证明到了它是平行四边形，可以吧？好， 那大概率就这样喽，对不对？刚才说了，一共就有两种，一种是这个平行他的一半，他平行他嘛，一种是就是平行四边形嘛，对不对？平行四边形，对角对边，相互平行嘛。所以我们这个要用到两个性质，第一个中位线了，连起来，连起来， m e 连起来好。嗯， m e 连起来好， m、 e 分 别为中点，所以 m e 平行且等于 二分之一的 d、 c 可以 吧？平行且等于它的一半。然后呢？因为这是平行四边形，对不对？呃，这是菱形啊，因为是菱形啊，因为是菱形菱形， 所以这两个也是平行的。然后呢，又因为 n 是 中点啊，因为它是菱形，然后 n 为中点为中点写的，写步骤就这样写， n 为中点，然后呢？所以，嗯，所以，嗯， b 平行且等于二分之一的 d， c， 它平行它，然后又等于它一半，可以吧？因为它是中点啊，所以， b 首先 nb 等于 a 一 半的 ab 嘛，又等于一半的 dc 嘛，是不是？ 所以 nb 平行且等于一半啊，平行且等于。是这样写哈，平行且等于等于写到平行的下面。嗯，好，那这样的话，哎，它平行且等于二分之一的 d， c 它平行且等于二分之一。说错了，它平行且等于一半的，它 nb 平行且等于一半的 d c。 好， 那这个 n nb 和 m e 是 不是平行且相等呀？ n， 呃， n b 平行且等于 m e 对 边平行且相等，那点就是所乘的平行四边形的话，是什么啊？所乘的四边形是平行四边形。对，所以， 嗯， b e m 这个四边形是平行四边形，我这边简写了啊，好，所以呢，平行四边形的话， m， 嗯，就干嘛平行？呃， e b 它平行它好，它平行它的话，它就平行这个面了，对不对？所以， m n 平行 p b c 好， 当然你要多写几步哈，首先 m n 不 在这个面里面， b e 在 这个面里面，所以它平行它可以吧？你要多写这两步啊，具体的大家可以对一下答案， 可以截图作业帮或者有艺术的可以直接拿艺术的那个练习册对答案去看。好的，这是第一个题，接着我们来看到这个题还是一样的，我们先瞅一眼哈。我先看题， b e c 干嘛呢？要平行是 a 呢？ a c e d a c e d 好，还是一样的，呵，拿尺子比着，呵，这这边比着比着，你猜一下能比到哪里啊？一共三个点，你把这个尺子挪挪挪，你看哪里有焦点肯定就在哪里，知道吧。 好，挪挪挪吧，很好挪吧。我直接就挪这根线喽，你看挪到这是不是这边有个焦点这边有个焦点，给它连起来好再给它放回去 啊，肯定是正它与它平行了对不对？在不管是平面还是立体里面，线线平行的话它是都是会平行的，所以我们就可以用这个方法，可以吧？ 好哎，这边中点能取直接取中点吗？哎，刚才说了一共有两种，没有对角线，连的话记住连对角线哦。可以吧，矩形、 矩形和那个平行四边形之类的。这一类东西啊，都是连对角线，那直三棱柱，直三棱柱的话旁边是矩形可以吗？矩形的话对角线相连就会相互平分连着 a e c， 哎呃，假设它交于 o 点可以吧？好，连 a， e， c 交于交，交 a， c， e 于 o， 好 连接。呃，连再连什么 o d。 嗯，好， 这是作辅线啊，继续啊。因为值三能助啊，一定要写啊因为它是值三能助，所以 o 为 a， e， c 中点可以吧，一定要写这一步啊，好，又因为 d 为中点，中点， 好哎哎他终点他终点，哎，在这个三角形里面他是不是中规线啊？好，一般哈。在哪个三角形里面是在哪个三角形里面？再呃，多写几步哈。 a e c b e 中 o， d 平行，呃 c d， 呃 c b e 或者这样子，或者 d o。 哎，不要这样写啊，你写 b e， c 平行， 你看，因为答案要我们求 b e c 嘛，所以我们写 b e， c， 你 不要写 c b e 哈，这样不好看，知道吧？ b b e c。 好， 这边从上往下过来的，那你这边也是 d o， 可以 吧？你不要写 o d 哈，最好就是就是这边怎么样的，你另外一边也怎么样，可以吧？ 这样写好看一点。对，就是好看一点，在这个三角形里面，它会平行，那，那等于它的一半就不用写了。为什么？这边是不需要用到边长关系，不需要用到边长关系，我们就不需要去写，那左边的话需要用到边长关系，就是二分之一，那你就多写一步， ok 吗？好的， 好了，那所以啊，多写两步，就是 o， d 在 这个面里面， b， e， c 不 在这个面里面，所以 b e c 平行它啊，我这个我写全一点， 因为 b e c 不 在平面， a， c e d， 呃， d o 在 平面， a c e d， 所以 b e c。 平行平面 a， c d， ok， 完美。好了，那这就是平行。好，接着我们要讲垂直了，那垂直的话跟平行很像了，但是垂直的话这个辅助线需要我们找。 那，那那，那平行就不需要找了，平行拿个尺子比着对一下就好了。对，好，垂直， 首先还是讲线线垂直啊，线线垂直，那线线怎么垂直呢？首先三线合一还是三角形里面的，你看三角形帮我们可多忙了，对不对？刚才中位线这边又三线合一了。 好，如果这边这两条边一样的话，等腰三角形的话，那取这边的中点连起来，它就会。呃，垂直， 三线合一，中位线角平分线还有一个高，对不对？好，那等腰或者是等边呢？这都是一样的哈，只要有两个边 相等的话，就可以取中点，然后连起来。对，好，那还有一个就是圆里面 好，直径所对的圆周角是九十度，它也会垂直，可以吧？这两个边垂直。有的题目会这样子， 那另外一个就是刚才用到的 a l 一 l 二干嘛呢？如果它两平行， l 一 垂直这个，那另外一个也会垂直，这个可以吗？它两平行，它垂直它，那它也会垂直它或者是 l 一 与 l 平行， l 一 垂直这个面，那 l 二也会垂直这个面，可以吧？这是平行线之间性质嘛。好，这就是怎么去正线线垂直，好， 哎，我遗漏了一个，还有一个是菱形，菱形对角线相连，它会相互垂直。 菱形还是菱形啊？随便你们怎么教啊，我语文有也有点不标准。好，那接着我们来学 面面垂直。啊。说错了，线面垂直。慢一点，线面垂直，线面之后再面面。好，那我如果要线垂直面的话，我需要在面里面找两条线，我们来瞅一眼哈。 好，我要求这个 l 垂直 r 发，我们在 r 发这个平面里面找两条线干嘛呢？找两条相交的线，嗯，我假设是 ab， 干嘛呢？这个 l 垂直 a， 这个 l 垂直 b， 那 么就 l 就 垂直这个面了。哎，你也可以是这条，这条都 ok， 都 ok。 对 面里面找两条相交的线，不能是平行线啊，平行线就不行。好，这是线面垂直， 嗯，就这一个，没有别的。接着面面，面面就跟线面是一样的，面面垂直是建立在线面垂直的基础上。我们来瞅一眼，这个 l 如果是垂直而发， l 如果垂直而发，然后呢？ l 又属于贝特，如果贝特是在这个面里面的，嗯， 那么这个贝塔就干嘛？贝塔就垂直而发。嗯，这就是面面垂直， 我要想正一个面啊，这是贝塔，我想正这个面啊，去垂直另外一个面，那我们只需要在这个面里面找一条线去垂直这个面就 ok 了。好， 然后哈面面垂直，有一个有一个。呃，小结论， 呃，如果 a 垂， r 法垂直被它呀， r 法如果垂直被它，那么如果这条线啊垂，它们不是有一条交线吗？ a 垂直于交线，假设交线为 r， 哈， a 垂直于交线， 那 a 就 垂直另外一个面，可以吧？垂直于交线的线垂直于另外一个面，但是建立在它俩先垂直的情况下。哦，好吧， 好了，那接着我们就可以看到怎么如何去证明哈。刚才是思路哦，思路就是做到垂直的时候你要脑子里有这些思路可以吗？你没有这些思路，你就没办法往下写啊，对不对？好，那具体的我们来看。 首先看线面垂直的判定力。我就要，首先你要垂直这两个线 啊，先写前提条件吧。我觉得这个这个应该导一下。先写前提条件就是 ab 干嘛呢？都在这个而法里面， 然后呢？ ab 还有交点，有交点，然后 l 垂直 a， l 再垂直 b 的 话，那么我们就证明到了 l 垂直，而法就是线与面垂直，我们要写这些条件就可以证明到 考试的时候尽量一个都不要少啊。那有时候会省略掉一些，但是尽量还是不要少，能多写一点写写一点呗，我们时间哈哈，挺充足的吧，哈哈。一个小时，现在不是睡就是两个小时，都要睡半睡，睡一个半小时喽，现在喽，很多人同学的基础对不对？所以有时间还是多写点喽。好吧， 好了，往下面面垂直好看，这个如图二。 呃，这个比较简单，如果 a 垂直于 b 它，然后 a 又在而发里面，那么就证明到了 a 而发与 b， 它是垂直的， a 垂直， b， 它 a 在 而发里面，而发垂直， b， 它 就是面面垂直，然后面面垂直的性质就是刚才说的，如果这个 a 垂直于交线，那 a 就 垂直这个面，可以吧？好，记住这些我们就 ok 了。 好，还有一个就是比较普遍的了，就是脑子里一听就会的就是 l 如果垂直于这个面，垂直于一个面，就垂直于面里面的所有的线啊， 其他的我们就可以不用学了。然后我们也是来两个比较典型的例题啊，我们来看到第一个题啊，首先，呃，还是一样的，我们先看一下它要证明什么，然后我们在图里面先看一看它要证明什么呢？证明 p a b。 嗯，红色的 垂直谁啊？ p a d， p a d， 这是要证明两个面垂直对不对？那两个面垂直的话，我们只需要在其中一个面里面找一条线去垂直另外一个面就 ok 了。你可以在这里面找一条线，也可以在这里面找一条线。那哪个好，那哪个好找呢？那肯定是根据题目来看对不对？好，我们来瞅一眼啊。 四能追 p a b c d 平行， a b 平行， c d 平行的，嗯， 然后 b a p， 哎， b a p 这个角多少度啊？九十度， c d p 呢？哎，也是九十度，哎，那你看它垂直它，我再如果找到它垂直另这个面的另外一个边，不就证明到了 a b 垂直另外一个面吗？是不是有没有呢？有， 这边是垂直的九十度，这边是垂直的九十度。好，因为什么呀？它两平行啊，它两平行， c， d 垂直 p d。 那 a， b 也垂直 p d 喽，对不对？好，首先先写一下，因为它是九十度，这两个都是九十度，所以， 因为九十度，所以 a， b 垂直 p a。 呃， c， d 垂直 p d。 又因为 a， b 平行 c， d， 所以呢？ 所以是不是 a， b 也垂直 p d？ 好， 我们瞅一眼啊，它俩平行 c， d 垂直这个，那它也垂直啊，它俩是平行的吗？平行的话它垂直，它也垂直。对，所以 a， b 就 垂直了这个面的两条边。 ok， 那 我们就可以写了， 在。哎呀呃 a。 写写慢点。 p a， p d 在 平面 p a， d 里面， ab 不 在 p a， d 里面。我少写两个平面这两字啊，偷懒。 所以 a， b 垂直 p a， d。 我 少写平面的两个字哈，你们不能学我啊，我是，嗯，好。然后又因为 a， b 干嘛呢？在 p a， d 里面，所以 p a， b 垂直 p a， d 平面，平面，你们不要审字啊， 正到了线平行啊，垂直面，我刚是说垂直吧，哈哈，有点忘了。证明到了它垂直这个面，那么它所在的平面也会垂直那个面。对，这不是面面垂直的证明过程吗？是不是？好的，那做完这这一个的话，我们再来看这个啊。 好，我们来瞅一眼四能追 p a， b， c， d， p a d 干嘛呢？哦，还是一样的，看一下证明谁啊？ a， d 垂直 p b， a， d 垂直 p e， b。 我要正线，垂直线的话一般不是特别好正，如果能直接正到的话，那就不会那么好。这这这个题就就不要写了啊，送分给你啊，对不对？所以一般线垂直线的话，我们是需要通过正线垂直面去判断， 你光正正不出来啊，他又不在同一平面内。好，那我们来瞅一眼哈，看一下题目给你什么东西啊？ p a、 d 垂直， a， b， c， d 这两个面会垂直。呃，有什么用呢？没什么用，好像 ok， 然后 a、 b 干嘛呢？ a b 与 c、 d 平行的，其次呢， b a 呃 d， a b 等于六十度 d， a b 六十度， 然后 p a 等于 p d 等于根号二，根号二，根号二，注意哦， p a 还垂直 p d 呢，所以这两干嘛呀？哎， 这是一个等腰直角三角形哎，那二根号二，根号二，这个是多少呀？是不是根号二倍啊？注意哦， 如果这边是四十五度，然后直角嘛，那这边一，一根号二，它们的比例是这样子的，一比一比根号二，那我如果知道它是一的话，那它就是根号二倍，同样的，我知道它是根号二，我要求它的话，你，你就除以根号二就行。 那现在的话，我知道这个边长，也就是这个边长为根号二，那就是二，也就是 a、 d 等于二。 好，然后 a、 b 等于二， c、 d 等于二， a、 b 也等于二耶，哎，二，我们先瞅一眼这个二，二等腰，等腰直角三角形，里面又有一个是六十度，所以它是等边可以吗？它是等边，红色的是等边，下面这个 a b， d ok， 然后现在让我们求的是 a d 垂直， p b 好， 刚讲垂直的时候说了，就是如果你看到等腰或者是等边干嘛，看到等腰干嘛？把中点连起来 找 p d 的。 哦，不是说错了， a d 的 中点，假设这个中点为 o 可以 吗？连起来它会干嘛呀？ p o 是 不是垂直 a d 啊？对不对？取 a d 中点哦， o 连 p o。 好， 那你注意哦，这边三线合一，它垂直 a d， 对 不对？好，这边又是一个等边三角形，这边又可以连起来， o b 也连起来。 拿黄色的啊，不对，拿蓝色的啊。 来看一眼，在这个三角形里面， p o 垂直 a d 在 这个三角形里面， b o 垂直 a d 哎， a d 垂直这两个边，那是不是就垂直这两个边所在的平面呀？ 是不是好，因为 pa 等于 pd 好， 又， a d 等于根，呃， pa 方加 p d 方开个根号，这边倍数关系可以直接用，但是真正写的时候你要勾股定你可以吧？等于二， a b 也等于二，所以， 嗯，然后这边多加一个吧， d a b 等于六十度，所以，哎，慢一点，这边多写几步吧。 ok， 因为它首先因为 pa 等于 pd 嘛，所以 p o 垂直 a d。 好， 接下来另外一个证，它是等边三角形， 所以三角形 a b d 等边三角形， 所以 b o 也垂直 a d。 那 你看 a d 垂直两个边， a d 垂直这个面的两个边就是垂直这个面喽，对不对？ 呃， p o o b 属于 p o b 所，呃，然后再加一条 a d 不 属于 p o b 这个面，平面啊，你要你们不能省啊， 平面 p o b。 所以呢？所以 a d 垂直 p o b 平面，平面不能省。 所以啊，又因为什么？又因为 p b 在 这个面里面，在面里面是这样子，平面 p o b， 所以 a d 垂直 p b。 好 了，那垂直大概都是这样子哈，一般我们要看到等腰三角形一定要敏敏感一点哈，等腰三角形看到了，你就把那个 哎，把另外一个边的那个中点连起来，连起来，然后连起来，这样就垂直了， ok， 不好，就是这个 线垂直，线一般不找，直接找这两个线垂直。一般找线垂直面，进而去找垂直。 ok， 那 么本期视频就到这，那么我们今天学了，就是首先体积表面积，第二个平行，第三个垂直。好了，那么感谢大家的收听，如果觉得视频还不错的话，可以给我点赞投屏加关注。 呃，你们的点赞投币和关注的话是会给。嗯，平台推送给更多的同同学，有需要的同学也是对我的最大的支持。好了，拜拜。

所以通过这道题目教给大家思维，就是说什么呢？垂直问题当中，垂直那条件啊，特别多，特别杂，有的时候呢，你不知道往哪个思考路径上去分析，你可以逆向思人，让你证明的东西肯定是对的。那你由这个，你如果把它当成已知条件，你看你能推出来什么啊？如果已知面面垂直了，你一定就找过交线的垂线去。 一个蛮经典的题目说，在四棱锥 p a、 b， c、 d 当中，底面是梯形，什么样的梯形呢？他告诉我 a b 和 c d 平行的，然后呢？ a b 是 二倍， c d， 哦，这又是下底面，是上底面这个两倍这样的关系，然后给了我一个长度， p a 和 a b 它俩相等。 对于这道题来说，哎，同学们，人有说 p a 是 整个这个四棱锥的高，没有说线面垂直，是不是没说啊？没说啊，没说这是旗杆，那他给什么呢？他给 p a， b， c、 d 和 a b， c、 d 面面垂直，就是绿面跟这个底面面面垂直。 那题目给慢慢垂直，我们干嘛来着？一定要找过两面交线的垂线。具体这道题目前来说，谁垂直于 a b， 他 没有说啊，没有说没关系，我们先来看第一问，说 m， 如果是中点， c m 跟 p a d 垂直过 c m 跟 p a d， 这是这是太老套的题型了。同学们第一个方法在面上找这条线长度大小、方向一模一样的，我一下找到了，我过 p a 连个中点出来啊，这应该大约就是一个平行四边行，为啥他俩平行呢？我只要证明这两平行且相等就好了。那么这两条线都是跟 a b 平行， 且是 ab 二分之一的线，所以那既然我连完终点之后这俩平行相等，那它就是平行四边形，那线线一平行， 线面就平行。这第一个方法啊，第二个方法，你如果连 ab 的 终点，你去通过面面平行来正也是可以的。我一下看出来了，首先他俩是平行的，这俩也是平行的，面面不就平行了吗？面面平行，线面就平行。 嫌我讲太快的，翻到上面那个视频再看一遍就好了，不想浪费太多时间在弱智问题上来看。第二，问，他说 a c 垂直于 ab 哪两条线呢？这一条线垂直于 a b 停，是不是出现了交线的垂线，而且这条线还在这个黄面上，那我就能得到什么来着？是不是这条线跟另外的那个面线面垂直啊？舒服。哎，你线面一垂直又如何呢？你线面都垂直了，那这个线跟面上任何一条线，它俩 垂直，它俩也垂直。我看他最后问我什么？他最后问我 c m 跟 b b 垂直不，这是 c m， 这 p b， 我想证出来这个东西，我的思考路径是什么？我，我怎么来证啊？因为整个这个题目当中垂直条件，你会发现凡是垂直的问题，条件都很多，你要来回去推，呃，我想证明 c m 和 p b 垂直不，我发现这个 p b 呢？正好在我刚才推出来这个 p a b 这面上，是吧？所以呢，我想用上 p b， 那 么呢，我这个条件在使用的过程当中， a c 和 p b 肯定线线垂直没错吧？你线面都垂直，那线跟面上任何一条线都垂直，所以这肯定是我要用上的一个条件啊。就是你看你要证什么？你往这上去推， 那倒是，接下来又如何？ a c 和它垂直，你要证的是 c m 和它垂直啊。那如果你发现我们已知 a c 跟 pb 垂直，你要证的是 c m 和 pb 是 否垂直。你如果在做题当中遇到瓶颈了，不会思考了？这初学者学垂直的时候经常遇见这种情况啊。我教大家一个方法叫逆向思维。 你去想啊，人家让你证明这个东西是不是肯定是对的，所以 c m 首先一定跟 p b 垂直啊，这，这是让你正的。那 p b 怎么样呢？我发现，哎， p b 怎么前前后后出现两回啊？ p b 既跟 c m 垂直， p b 还跟 ac 垂直。 相当于说整个题目的问题当中， p b 是 交际花类， p b 和 c m a c 两条线都垂直，那就跟这两条线所形成的面线面垂直。那线面一垂直，那这条线跟面上任何一条线，你整个三角形，你跟这两条线都垂直，那它一定跟第三条线 线线垂直。我知道证明角度了，我通过让我证明条件，我反推得 am 和 p b 得垂直，那人家让你正这个东西的时候，你就得把 am 给我连起来。 如果你能证明出 p b 和 a m 是 垂直的话，写下啊，写一下面都忘了。 p b 垂直于 a m， 那 p b 就 跟这两条线所形成的面哪个面呢？ a c m 呗，线面垂直，那如果一旦你有线面垂直了，那好嘞，这条线跟面上任何一条线，包括 c m 线线垂直， 这整个问题，哎，非常流畅。那最关键点就在于，你能不能告诉我为啥 a m 和 p b 是 垂直关系啊？ m 什么东西来着？ m 首先是 p b 中点， 哎，你这是终点中线的情况下在下垂直，那你必须得告诉我这个 a p a b 是 等腰三角形，有，人家有没有说是等腰的 p a 等于 ab， 人家真的说了啊，那不就推出来了吗？你 am 是 等腰三角形的中线，那初衷之时你就能推出来三线合一， a m 垂直于 pb 线面垂直，线线垂直。做完了， 从这道题目教给大家思维就是，说什么呢？垂直问题当中，垂直那条件啊，特别多，特别杂，有的时候呢，你不知道往哪个思考路径上去分析，你可以逆向思，人让你证明的东西肯定是对的，那你由这个，你如果把它当成已知条件，你看你能推出来什么啊？你推着推着发现，哎，我就我得推出来这两条线垂直，你要用上 am， 那 你就把 am 进行一个连接啊，这是我们连辅助线的一个方法，用逆向思维来做。当然我要提醒大家一下，我们下节课会告诉大家，你即便不用逆向思维，有的时候你题目条件一读完，你就一定知道怎么连辅助线，应该是下两节课会教大家垂直小妙招， 今天主要作为一个定力的一个介绍和简单的一些应用。我们下节课是有关垂直的一个小练习课，因为这节课毕竟讲了四个定力，是吧，你得会用咱下下节课讲垂直小妙招，你放心，垂直你到最后一定学的比平行还明白。那今天就讲到这，希望大家学习愉快，晚节早话。

好，第九题，正三轮台， d 为 b、 c 的 中点折好，这就难度就在于你能不能把这个图准确地画出来。好，我为了画正三轮台，我首先画个正三轮度，三轮锥，可以吧， 我没有用什么软件啊，都纯手工给大家画的，目的就是还原真实的考场，让你们心里大概也知道该怎么搞好。画到这里呢，就是上面呢，我再取一段，你看啊，从这里到这里取一段， 这里到这里取一段， 就到这取一段。好，我，然后呢，就把多余的擦掉。 刘一凡呢，说，我在考场怎么查？你就先铅笔作图呗，是吧，就这些方法是能想出来的啊。好，然后呢，我再把这个连起来， 简洁的啊，来， a、 b、 c， a， e， b、 c 看到 d 为 b、 c 的 中点。好， d 在 这里， 他让你判定这几个关系。首先第一个 a、 d 平行它。好，我们看 a、 d 怎么构成的，我们用不同颜色把它画出来来， a、 d 在 这里，对吧，他说要跟 ab 平行，就这个问题，怎么去想呢？ a、 d 能不能跟 ab 平行呢？ 首先第一次中点，我们把该连的连，我们比如说连接 a、 d， 你 发现 a、 d 是 垂直 bc 的， 对不对？这个没问题吧， 这个没问题，是不是？然后呢？ b、 c 先垂直 a、 d， 然后呢，这个 a、 e、 d 呢？我们来看一下啊，你这样是正三棱台，这两个边是平行的对不对？你看啊， b、 c 垂直于 a、 d， 那 然后呢， b、 c 是 不是也会垂直于 a a 一？ 有些人说不对，这个不一定，究竟是不是的嘞，你们来想啊，就算你过 a 一， 你做一条垂线，你反而就是会在 a、 d 上的。 然后呢，你通过这个一转换，你可以发现 a、 d 跟 ab 的 关系啊。你看，如果 a、 d 跟 ab 平行， bc 会垂直 ab， 那 么 bc 也会跟 ab 垂直，但实际上 bc 跟 ab 成六十度，所以这个是错的，知道吧？ 所以大家明白这一点，因为很容易证的。 bc 跟这个平面 a、 e， a、 d 是 什么垂直的关系，这个大家明白啊。 第二个呢， a、 d 跟平面 a b c a b c a d 在 这里，这个怎么去找呢？你们同样的呢？你把它找出它的终点就行了，终点在这里，看到没？你找出 d 一 来， 呃，这个终点，你看啊， a、 d 在 这里， d 呢？ a d 是 终点 d e 是 终点 a、 d 是 垂直于 b e c e b e c e 平行，所以这两条边只能平行一平行，所以它就是对的。所以 b 要选 三个， a d 垂直 a e c e a e c e 跟 a c e 是 什么平行的关系？ a d 呢？你自己想， a d 跟 a c 能有垂直吗？没有的，因为 a c 跟 a c 是 平行的，所以你重点要抓住 a c 平行于 a c 的 问题，而 a c 和 a d 呢，它不是垂直， 既然是多选，那么 d 看都不用看，就要选了。有些人说这太突然，能不能正我们来正它。 bc 垂直平面 a a 呢？ a a d 这个刚才你说了，怎么就这？有些人说你这个太突然了，我没听懂 怎么挣出来的。好，我们就大概就是用个逻辑跟大家挣一下。首先呢，你看啊呢， b、 c 是 垂直， a、 d 的， 这个没关系吧，因为等边三角形，这个 d 是 中点，然后三线合一， a d 跟 b c 垂直，这是第一个桥点，对吧？ 紧接着我们来看 bc 跟其他的有没有垂直的关系， a a 一 这一个关系来， a a 一 a 一， 由于它是正三轮胎，你们来想一个问题，这是个正三轮胎，你们如果把它还原之后呢？ 因为有些时候你们这么去看都看不出来的，但是你一还原就知道了。来你们把它还原， 如果把它还原到角 o 点，在这里，你会发现过 o 点一座垂线下来，它会在 a d 边上，这个是正三呢？能追的一个特征，它会在底面的中心点，因为底面中心点就在 a d 上 过 o 点一撮垂线，假如这个点呢？中心点呢？我标了一点，这个是垂直的 o e 是 不是垂直 b c， 那 你说 o a e 这一条边，你看 o a e 和这个 o a d 这个平面实际上是一个平面，对不对？也说 a a d 和这个 o a d 其是一个平面， 这里这个正的 b c 是 垂直于这个平面，所以这就出来了，这么说大家懂了吧啊？

刚考完的深圳异模数学立体几何，有多少人被这立体图给震撼住了？如果是你坐在考场上去做，你认为自己需要多久才能拿下？

立体几何间隙出错整问白给 x、 y、 z 三条轴，必须满足这一个铁律。同学们，我们今天重点讲立体几何怎么正确间隙。先记住一句死规定，建立空间直角坐标系三条轴， x、 y、 z 必须两两互相垂直，不是只垂直一组就完事，是三条轴， 每两条都要垂直。很多同学上来就随手间隙，结果越算越乱，就是这里错了。比如这道题给了等腰直角三角形 p， c、 d， 所以 c、 d 都 p d。 题目又告诉你， c、 d， t a p p d 和 a p 是 两条相交直线， 马上就能推出 c， d 面 p a， d 一 推出线面垂直，我们就知道 c、 d、 d。 这时候 a、 d、 c、 d 已经互相垂直了。很多同学就想，那我直接以 d 为圆点， a、 d 为 x 轴， c、 d 为 y 轴，行不行？可以，但是 z 轴从哪来？有同学说，凭空竖一条线当 z 轴呗。 方法是可以的，但如果坐标轴过图中顶点是最好的，这样往往表示点坐标时会更简单一些。这就是立体几何间隙的一个小窍门。下一个视频我们看这个 z、 z 轴该如何建立，快快关注我吧！

哈喽，大家好啊，那么今天咱们深圳高三的这个深一模的数学试卷啊，就已经出来了啊，那么这套试卷呢，为什么选择在现在来给大家录这个视频呢？也是因为这个试卷我刚刚把它做完啊。坦率来讲，这次的这个试卷呢，我们用八个字来概括，那就属于情理之中，预料之外 啊，那么情侣中的原因是什么呢？就是情侣中，就是咱们深圳一模的这个考题啊，继续与咱们高考不符啊，这已经不是第一年第二年这个样子了，那么情侣之中的话呢啊，也能遇见到是吧？深一模，深二模向来的风格就是高估高考 啊，可以这么说，这套深一模和咱们二十四年二五年高考的风格啊，起码和咱们新高考数学一卷的这个风格 啊，是完完全全不一样的，最初最突出的这个特点，那就是他的计算量会比高考的计算量要大，非常非常非常的多啊。那如果我们分开来看啊，因为这道试卷我也是刚刚做完，是吧？那你会发现前面的八个选择啊，八个选择可以说四个字，一马平川。那么第八道题的话，只要你用带特殊值的方式， 从二零二五年全国一卷的这个情况来讲的话，那你就会发现啊，几乎就是完全一样啊，这个高考风格还是很强的，那么到咱们的这个多选题，到咱们这个填空题的前两道都是如此，那么今年申一模的这个风格是很大程度借鉴了二零二五年高考风格的哪一点呢？ 是把新定义的问题既给它去掉又不去掉，这话怎么讲？第十四题，大家可以把它理解为一个新定义的问题啊，那么题，这个解答题，第十五题，可以说啊，非常的这个普通啊，竖列的求和的这个列向求和的问题，那么到咱们第十六题呢？哎，这个其实是我们寒假重点来给大家讲过的，咱们这个概率统计当中的 函数问题，只不过是我们分的三类函数中最简单的一类函数啊，所以忘了第十六题，这也可以说啊，非常非常的这个，呃，普通了啊。那么到底十七题这个立体几何里，相信出乎很多同学的意外，他不是普通的间隙，他不是普通的线面角和二面角的这种考法，他把它考成了一个什么呢？ 球的内接八边啊，内接的这个，呃，咱们这个八面体的这个情况，哎，就是我们可以看到啊，如图所示，是吧？哎，内接八面体的这个情况，那么这道题的难点在哪呢？这道题难点呀，在于设备质量和计算 啊，在设备上和计算，而且不再是一个常规的间隙就能搞定的问题。那么啊，那我相信这个是咱们深圳教科院啊，对咱们整个高考出题的这么一个啊，这么一个这么一个理解的一个方式吧啊，但是呢，在我看来，这个点是不符合咱们新高考的这个风格啊。然后那么第八题啊，属于我们寒假重点讲过的类型，就是我们的极简教材 啊，是我们当中讲的其中的一类。那么最后一题，圆柱曲线啊，属于非常规的问题，但是他的第一问 一共三问吗？第一问和第二问都比较简单，那么到第三问的时候实话实说，这就算你做的有些瑕疵，大家大差不差啊。但是这二五年的高考加今年的这个深一模，大家都笃定了一个方向，第十九题不再是咱们哎，二十四年出现的这个 新定义的这种问题了啊，新情景的这种问题，那我觉得这个是今年大家出题的一个主要一个风格的变化吧。好吧，那么，呃，可以这么说，这里边的核心的内容当中啊，都有重点的这个讲解啊。所以 如果大家接下来，哎，想对咱们这个身衣膜，对自己现在的这个程度啊，如果想有一个把脉和诊断的话，大家可以后台滴滴我。

教你一招让立体几何压轴题直接将被打击！这道题百分之九十的人第一眼直接头皮发麻。这道题确确实实不好想，但只要你掌握等体积换顶点这个核心，操作三十秒，就能把乱麻一样的图 变成清晰可解的诡计问题。今天显哥用这一招，带你暴力拆解武汉二调中最难的十四题！第十四题，他说四棱锥当中， a、 b 等于 a， d 等于根十， c、 b 等于五，然后 c、 d 呢，也是五。那这就说明这是一个正形喽， 它是完全对称的一个图形，这没问题吧？然后呢， b、 a、 d 是 九十度，这个角是九十度，那么 p、 b 大家可以看 p、 b 等于四，然后 p、 c 的 话等于三。现在呢，他说在三角形 p、 b、 c 内找一点 q， 使得这个锥的体积相等。 一开始我也没想到很很好的方法，这道题啊，就说白了，这个 q 在 这，就在这个三角形的体积相等。 我觉得这道题做这道题的关键是什么呢？那你想一想，这个锥的体积好，表示 q、 a、 b、 c、 d， 因为 a、 b、 c、 d 这个底面积是非常好求的。然后呢，关键是 q， p、 a、 d 你 觉得好求吗？这道题很难，因为 p、 a、 d 这个三角形都不知道这些长度， 所以我先给你连一连，你觉得是以谁为底面比较好？你看 q， 假设在这，然后呢，这是这么一个面， 听懂吗？是 q、 p、 a、 d， 你 先思考一下。所以这道题我觉得 q、 p、 a、 d 是 非常关键的。那你想一想，我们应该是以谁为底面比较好呢？ q、 p、 a、 d 这个三角形面你肯定没法求，因为我不知道 p、 a 是 几， p d 是 几？ 是因为底面的数据我都知道，是不是我应该是以 q、 a、 d 为为号，也就是说这个锥的体积。这个题太难了，因为等体积法你转化不太好，想 q p、 a、 d， 它就应该等于一个什么呢？ p、 a、 d， q 啊，就是换个顶点呗，它肯定是同一个锥，这个是没问题的。那现在呢？他说这个体积它等于等于什么呢？等于 q、 a、 b、 c、 d， 那 q、 a、 b、 c、 d 的 话，我又怎么转换呢？我也想成以 ad q 为底面，那如果以 ad q 为底面的话，是不是相当于我得转化成什么呢？ q、 a、 b、 d， 所以这道题难点就在这一开始，我也没想到，确实挺难想的啊，听明白了，因为这个地方我想转化成以 a、 d、 q 为底面，所以到这一步的时候，我也想把它转化成以 q 为顶点，以 abd 为底面，那所以它就应该等于几倍的呢？来，我们就需要算出这个数据来， 我们连接一下这个长度，我们再连接一下它，因为它是个正方形，所以我们看一看整个的，先算一下 abd 的 面积， a、 b、 d 的 面积显然是二分之一十，那就是五，这是 a、 b、 d 的 面积是五。然后呢，我们再算一下 b、 c、 d 的 面积，这个长度是二十，根号一下，二十是二根五，那所以这个长度是根五，这个长度是根五，这个长度呢？还是根五？ 所以这个长度的话，那根五的话就是二十五减五，二根五，那二根五的话，那他俩的面积就应该是一比二的关系，所以这个三角形面积就应该等于十，这个面积是一比二的关系，那这个面积就应该占整个面积的三分之一， 所以这个体积就按那个三倍的为 q， a、 b、 d。 一定要思考为什么转换成 q， a、 b、 d， 那 我转换成 q， a、 b、 d 的 话，我就可以换个顶点，我们以 a、 d、 q 为底面， a、 d、 q 的 话就 b， a、 d、 q， 所以 这道题很难啊，不太好想以 a、 d、 q， 为什么呢？为底面，那所以它俩的体积是相等的，因为它说体积相等嘛，那也就是说为 p， a、 d、 q， 那就应该等个 v 三倍的，然后 b， a、 d， q， 所以 你看压入题很难，除了压入题，确实其他的都很简单啊。那这时候呢，都是以 a、 d、 q 为底，那大家思考一下这句话是什么意思呢？是不是 p 到这个 a、 d、 q 的 距离， 他就应该等于个 b 到 ad q 的 距离的三倍？又因为我们可以有相似，那是不是说明这个长度？假设我们做一个结面，是不是说明这个长度比上这个长度，他就应该等于个一比三的关系？ 谁是三 q p 到这个距离，是啊，长一点的，所以这个地方就应该有一个什么呢？我们假设做一个 m， 他 这呢就应该有个三比一的关系，这个 m 呢，显然和 ad q 是 同一个面， 知道为什么了吧？再说一遍，是因为底面积是相同的，都是 a、 d、 q， 他 们的体积是三倍关系，所以热量是三比一的关系。又因为整个长度是四，所以呢，他一定要一个三，一个一定要一，那这时候还没完，还需要再转化。为什么呢？因为我们不确定 q 的 轨迹是什么，因为人家让求 p q 的 长度，你得求出 q 的 轨迹来， 所以这道题同理来一遍，也就说 q， a、 b， c、 d， 我 们还可以转换成谁呢？我们还可以转换成以 a、 c、 d 为底面。为什么转换成 a、 c、 d 呢？大家可以看它就应该等于两倍的 q， a、 c、 d， 然后呢，它就应该等于两倍的。换个顶点还是以 d， q， c， a， d， q 为底面，这是在同一个面上啊。 a、 d、 q 和 m 在 同一个面上，由于它们的体积是二倍关系，所以它们到 a、 d、 q 这个面距离是二比一，到这个面距离是二比一的话，那又因为这辆是三，所以这个地方长度就应该是二比一的地方，我不知道你能理解不？我们假设这个点是 n， 实际上他们是共面的啊，这是一个相当于一个结面吧，这就是 ad q 的 那么一个面，那这就说明 q 的 他就应该是在这么一个线上运动，这辆是二比一的地方。明白了，在这么一条线上运动的话，他们的体积正好是 满足啊，他们的体积相等。那么又因为人家让你求 p q 长度最小值，这辆是直角三角形，因为有个三是五嘛， 这个角是直角，因为这辆是四，这辆是三，这辆是五，所以 q 的 轨迹是它，这辆是一，这辆是一，这辆是三比一，这辆是二比一。你能听懂不？就是等体积法不太好想，所以人家要求 p、 q 的 最小值，那就是等面积法呗。啊， p、 q 就 应该等于个多少呢？ 这量是三，这量是二，根号下九加四，根号下十三，然后呢，这个量是三乘以二， 所以答案是十三分之六倍的根号下十三。所以这道题是极难的啊，一开始我还没想到，确确实实不太好，想听懂了吗？就是等体积法换顶点，换成以谁为顶点。一开始我觉得这一步很关键， q 在 这个 p b c 面内，所以呢，我们得转换成以 ad q 为底面， 以 p 点为顶点，然后这个地方换个顶点就可以了。听懂了，那为什么他在这么一条直线上呢？就是因为这个地方是三比一的地方，因为距离嘛，这辆是三比一， 然后这辆是二比一，当 q 在 这条线上的时候，他正好同时满足三比一和二比一嘛，对不对？你再体会一下。这道题是极难的。

好，各位大佬们，今天吕哥教大家一个非常逆天炸裂的立体几何当中的一些秒杀大招跟小技巧。好，我们举的题目也是刚刚考完的二零二六年江南石校 刚刚考完的新鲜出炉的立体几何多选择题啊，这题是第十题，位置六分，我这个视频教大家用结论直接秒掉这六分，压根就不用间隙啊，间隙又慢又 难，算是吧。好，我们直接用各种结论加几何法，全部把这四个选项轻松干掉，六分到手。好，各位，听我娓娓道来，听我给大家讲解一遍，我将讲的非常详细，你基础不好也能听懂。好，看， 如图，已知，这是个正方体的人长为二。好，正方体我们把它圈出来啊，所有人边都为二 好，现在 b c， 哎，这条线和我们 b， c， 哎，这两个交角点 o 啊， m 为 ab 的 中点啊，正方体的其余各面中心都为 e， f， g， h， i 啊，每个中心都为它，那这个选项我们第四体才要用到，我们现在先别晃。 好，首先我们下面说法正确是，来啊，各位来。好，你们各位，在座很多同学看到例题的多选择题，哎呀，可能就蒙一个就走了，技术好一点，中档一点的同学呢，哎，见个戏啊见个戏，这算半天啊，技术好的同学就是结论加方法信息差，全部 带走。好，所以这里打破性杀，老师教给你看好了啊， a 选项 d o a 教你证明这条线，这条线垂直于我们的 bc。 好， 证明这条线跟我们的 bc 是 垂直的， 证明线线垂直啊，证明线线垂直。在例题题和多选择题当中，肯定是可以用一些特殊的手法， 比如说三线合一，比如说勾股定律啊，再比如说线面垂直，那现在我想证明 d、 o 跟 b、 c。 大家听好， 只要去转化在体内的那条线，这两个我们看明白了，这两条线哪个在体内？毋庸置疑， b、 c 在 我们外面，在表面上只有我们 d、 o 在 体内，所以我们要把 d、 o 给它 转化到我们的一个平面当中，因为他在体内，听懂没有？因为 d、 o 在 这个正方体的体内，要把它转化成一个平面当中。好，所以转化这一条， 转化这条，把这个 d、 o 放在一个平面当中，怎么放？怎么扩展结面，各位看好了啊，看好了，我们 b、 c、 e 我 们是要有的，要用的，所以 b、 c、 e 我 肯定要留着，我不动， 我 d、 o 要扩展个平面，并且跟 b、 c、 e 要有什么交界，要有连接处，要有我们的磕碰处，所以 b、 c、 e 不 懂，要把 d、 o 包括在里面，毋庸置疑。怎么办？把 b、 d 跟我们的 d、 c、 e 连接起来，不就结束了吗？ 听懂这个思路没有？我讲的很慢了啊，讲的很慢。好，我把这两个连接起来。看好了啊，把 b、 d 跟我们的 d、 c、 e 给它连接起来， 好，连起来。你看现在哪个平面在平面 d、 b、 c、 e 当中啊？看平。看好了啊，再讲一遍，在平面 b、 c、 e、 d 当中，这个平面，因为这个平面，我问你，这三角形是什么三角形？ b、 d、 c 什么三角形？等边三角形啊，看明白了，因为三条边，你看我们的 d、 c 这条边，我们的 b、 d 这条边，我们的 bc 这条边，都为 怎么我们的一个正方体，一个一个正方形的什么斜边吗？啊，所以我们 a 选项直接秒掉了，好，我写慢一点啊，来，由于，怎么呢？由于我们的三角形 b， d， c， e。 为什么等边三角形，对不对？为，哎呀，等边三角形好，等边三角形，因为三条边都为正方形的一个斜边对吧，斜边都是一样的 好，他对，等边上角形又又由于什么又由于我们 o 为中点，好，结束了。等边上角形，那 b， d 等于 c， d， o 也为中点，所以 d， o 所以 d， o 垂直于我们的 bc。 什么东西？三线合一轻松搞定， 听懂六六六啊，弹幕扣出来，六六六啊，搞定，所以我 a 选项你 基础好点，你能听到，你学会，下次可以直接建立。我是讲慢一点，为什么这样做，我们的平面把 b， d 跟 d， c， e 做起来，所以有的同学说，哎，为什么辅助键他想不到，所以我讲个思路，到底为什么这样做？听懂了，好，所以 a 就 对了吧。好， a 秒掉一个， 好，继续看 b 选项啊。 b 选项这里，哎呀，完蛋完蛋，有点尴尬，这个点我，这我写下面的，因为 b 选项我要补行啊。看啊 三， d， b， e， d， b， e 哪个？ d， b， e 这条线，哎， d， b， e 我 们都能看出它是什么啊，体对角线，发现没有？ d， b， e 这条线是不是体对角线嘛？ d， b， e 我 没画，我没连啊。 d， b， e 是 条体对角线 与 c， m， a 与这条线所成角的正弦值为它。现在 b 选项几何法直接搞定啊，你间隙太慢，直接几何法，几何法，线线几何怎么办？平移相交，所以 b 选项我们用的方法叫做平移相交， 平移相交现在又由于它考我们的体对角线，各位在平时复习当中，一旦有体对角线， 线线所成角线线，其中有一个是体对角线，直接我们的扩前面啊，不是扩前面是不行啊，直接不行。看，所以你的思路应该像我这样行云流水， 两个线线所成角一其中一条线啊，一条线，它是体对角线，是体内的一条对角线，不管是正方体还是长方体， 都是给他补行。听明白了，补行就是给他 copy 啊，给他复制把他，我恨不得把这个复制一下，然后点一下粘贴贴上去就好了，我还懒得画了啊。所以各位听到这里给老师一键三连投个币啊，奖励几个，真的不容易啊，我还画图画半天， 对吧，我的我的手写的啊，不容易啊，各位投个币好不好，求求了。好，所以现在这里啊，我加快我们的视频，直接扩比一个正方形出来，直接画正方形放旁边。好，我们一起来加速啊，开始把它画一个正方体，直接给它扩比过来啊，我们随便画个草图，哎，画太丑了。没关系没关系， 就给他扩比一下好，这样这边上面也给他扩比一下 好，上面这里也得扩比一下好，就把这里叠起来，大家，大家知道我意思就可以了啊，就是把这地方给它画一个一模一样出来啊，一模一样出来，现在直接平移出来啊，我们这两条线段， d b 一 跟 c m 平移一条，就可以平移一条，随便平移哪一条，比如说我们就平移我们的这个体对角线吧，把 d b 啊，把这个点 用 b 二表示啊， b 二表示，因为 d b 一 它是平行，我们的 c b 二的都为体对角线，发现没有好，所以现在题目结束了，结束了好把这体对角线连接起来啊。 d b 这条体对角线跟我们的 c b 二这两条体对角线是平行的啊，因为都为体对角线，所以一旦平，把这条 d b 一 平移到我们的 c b 二。 c b 二跟我们的 c m 是 不是有一个角点？ c 点，所以这个角就是我们要找的什么线线角好，最后我们把 b 二 m 给它连接起来，此题结束。好，此题结束。所以我放在这个上角形 c m b 二当中，我用一遍余弦令理，那我们这个角的正弦值啊，余弦值出来了，余弦值出来了，那我们正弦值就出来了。听懂六六六 搞定好，那自己给它算一下吧啊，给它算一下，首先这三边好不好算？ c m b 二 m c b 二好不好算？都很好算啊，都很好算，购物定礼啊！首先我们算 c m 吧， c m 等于什么？ c m 这条边等于根号下二的二的平方，这是二平方，加上一的平方就是根号五，搞定一个， 搞定一个。好，继续我们的 b 二 m 算一算啊。 b 二 m b 二 m 是 整个这段，整个这段 b 二 m 等于根号下，这是二，这是一，有三个平方，加上我们的这个 b 二 m 放在这上面，这上面当中啊，放表面这张当中，这是二的平方， 多少？九加四的话，刚好十三吧。啊，刚好十三好，还有一个我们的 c b 二，对不对？ c b 二好， c b 二怎么算？ c b 二还是一样用我们的。哎，把这个连接起来，听懂没有？ c b 二怎么算？把我们体对角线怎么算？应该都会吧。啊，两边各五厘米吧，算一下吧，把这个连接起来吧。 好，所以 c b 二在这一个直角上，直角上当中等于我们这一段，这段是我们二的平方，加上我们这一段，这一段放在底下直角上中。二，一根号五，根号五的话就是啊，不是五二二，根号八，二倍根号二是八嘛，二倍根号二平方嘛， 二倍杠二平方。长这样，好，再算出来就是根号十二，根号十二的话是我们的二倍杠三。题目结束了，三边都搞定，那求这个角的什么余弦值，再求正弦值，好，我们直接背什么余弦定零，好。这个图看上这个造型啊，很好看，是吧，我就不答出来了，所以现在我们求扩上引 角 mc 二的余弦值，余弦定，你直接开杠，两零边的平方，也就是两零边一个 c m， 一个是我们的 b 二 c 啊，就这两个， 也就是我们二倍根号三的平方加上一个根号十三的平方啊，根号十三的平方啊，不对，不是根号十三平方，对吧？根号五的平方啊，根号五的平方，减去斜边，减去对边，对边是我们的 b 二 m b 二 m 是 我们的 根号十三，减去根号十三的平方。好，底下是二，乘上二倍根号三乘上一个根号五，这个算出来就是我们的。呃，可算四，根号十五， 下面是，呃，十二加五七七，十三，下面是四，对吧？四，好，约掉一个四，根号十五分之一也是十五分之。根号十五，好，各位看到没有？现在各位大佬们还要通过我们的根号十五分之一也是十五分之。根号十五，好，各位看到没有？现在各位大佬们啊，一减去余弦值吗？不用了， 因为他的小题，他说线段所角的正弦值为十五分之二五，我们明明算出来的是余弦值等于十五十五分之二十五啊，对吧？正弦值应该是 e 减去十五分之根号十五的平方啊，所以他是不是正弦值应该是余弦值才对，所以 b 就 错了， 听懂六六六，听懂六六六好搞定！那现在各位啊，看好了，我们 a 跟 b 其实也算比较常规的解法，那现在大招正式来袭，就是我们的 c 跟 d 这两个选项，看看到底有多快，领会一些论的方法。 首先看好了啊，看好了，我们点 m， 他 为你点 m， 这个点到平面， a， b， c， 好， a， b， c， a， b， c， 我 们把它画一下啊，把它画一下，因为我红笔找不到了啊，我，我随便给大家看一下啊，把 a， b， c 给它画出来，好， a， b， c 这个平面吧， a， b， c， 好， 这个平面好，这个平面我为了好看，我把它画成我们的阴影部分啊，阴影部分好，各位奖励的几何啊，还是多选题，非常的难讲啊，非常的辛苦，各位 小帅小美们，赶紧给老师一键相连啊，一键相连真的是制作不易啊好不好，我们把它给它画，全为了好看一点嘛，哎，你看，还是为了大家好看一点啊，好看点好，这个平面好，问你点 m 看点 m 到这个平面的距离啊，这个平面的距离为多少？ 现在直接结论啊，你看啊，我问你，我把 b 点 m 到这个平面距离， 点 b 到这个平面距离。我问你啊，我问各位，点 m 到这平面距离跟点 b 到这平面距离有什么关系？二分之一的关系，这个大家都能听懂，对不对？点 m 到这平面距离，等于二分之一的点 b 到这平面距离。因为 m 也是中点，这可以理解成一个中位线，能懂吗？ 这是不是它整个上角形的什么中位线？所以这一段等于二分之一的它啊？所以我们点 m 到这平面距离。 点 m 到这平面距离，等于二分之一的点 b 到这平面距离。所以我现在算点 m 到平面的到这个平面 a、 b、 e、 c 的 距离，我直接转化。为什么 转化为 b 到这个平面？ a、 b、 e、 c 的 距离，现在就好算了啊，好，算了。哎，那又有人要为了，而是你总按到这个，我点 b 到这平面距离怎么搞啊？首先你如果这个会的话，常规方法换顶点，等体积法搞定。 那我现在不常规了，我都讲这什么意思呢？不常规直接结论就可以了，直接秒掉就可以了。好，我们点 b 到这个平面距离啊。看好了，点 b 到这个平面的距离，就这一段啊，这一段，这一段。点 b 到平面距离就是等于体对角线的三分之一。 神奇。小结论。好，不知道怎么来了啊，各位，我二零二四年我就讲过了啊，各位看啊，各位，看我的主页啊，我的主页点到这个利益几何当中啊，利益几何当中。这个视频，这个视频，各位看啊，二零二四年八月五号这个视频， 你们进去看一下啊，这个视频我就讲过这个结论了。好，所以推导过程也讲过了，你们自己感受一下啊，感受一下，又考到了，所以非常高，你看我当时写立体几何，常常考结论模型每年都考，高考也会考啊。所以自己去补啊。自己去补。 所以我们点 b 到这平面距离就什么？就是的，就是我们这个体对角线的三分之一，这一段占三分之一。体对角线 这个平面把体对角线平均分成三份，我要的这份就占三分之一。听懂六六六，没听懂啊，没听懂，你们自己看补视频去吧。啊，我以为我在直播呢啊， 听懂了吧。好，现在我们拿出我们的一张白纸看好了啊，由于什么呢？由于我们 b 到这个平面 a、 b、 e、 c 的 什么距离？就是等于三分之一的体对角线。 b 第一。好， b 第一。我刚刚已经算过。题对角线啊，题对角线刚才算过。就是一二嘛。就是我们的二倍杠三，对吧？二倍杠三就等于三分之一乘上一个二倍根号三，也就是我们的 多少三分之二倍根号三啊，三分之二倍根号三啊，二倍杠三。好，所以这也别急啊，别急。哎，同学，三分之二倍杠三，所以 c 错了，不是没 不对啊，因为我这个是指的是点 b 到这平面距离。我题目要是点 m 到这平面距离，他说什么关系一半的关系，中位线出一半的关系，所以我们 m 点到平面 a、 b、 e、 c 距离就他的一半，所以三分之根号三秒掉，所以选 c 对 逆不逆，天震不震撼，非常好用啊。自己去看啊，二零二四年我就讲过了。好， d 选项又直接秒掉啊， d 选项直接秒掉。看好多面体这个，因为每一个点都为每个平面什么点，每个平面什么中点， 每一个平面的中点看到没有？中心嘛，所以他绝对是一个什么什么东西？正八面体，正八面体的一个内接球半径，直接结论秒掉。好，这里我讲，先讲了一遍。好，各位看好怎么操作啊？来来来， 非常的辛苦啊，你看，又画了一个图，我给大家看一下啊，看好了啊，中点嘛，这个平面的中点嘛，这是 e 点嘛，然后这个是我们的 底下，这是我们的一个 g 点嘛，前面这个终点是 h 点嘛？啊，后面这个终点是 i 点嘛，后面这篇终点是 i 点嘛，是吧，题目都有啊，已经告诉你了啊，这些东西把它画出来就可以了。好，看。好，现在把所有的终点给它连接起来，各位看好了啊， 来来来，才子操作，连接一下，然后跟后面这个终点连接一下。好，跟我们背面这个终点也连接一下。好，长这样，跟我们前面这个终点把它这样连接 好，连接一下。好，这里也连接一下，每，反正每个终点两两连接就行了。好，这里也连接一下 啊，真的不容易啊，第一节讲讲起来真费劲啊，所以各位认真听啊，认真听。好，再把这个全部复制一遍嘛，啊，连接在一起，连接在一起啊，这边也连接在一起。 好，这边也连接在一起。好，各位，像不像我们那个成龙历险记当中那个潘潘什么毛那个宝盒呀？就是巴拉恶魔那个，看到没有？结束了， 所以我们可以得到，看图说话啊，即我们的 e、 f、 g、 h、 i、 o。 这个为什么为正 八面体？为正八面体。好，那么正八面体它的一个内切球的半径啊，正八面体的内切球半径也就直接小结论秒掉，小结论等于三倍的体积，除上我们的表面积结束。 好，那现在，哎，这还还有一条线没画啊，现在这里还一条线没画，这两个点中间还没连接起来啊，这个好看了啊，所以现在直接套结论啊。套结论怎么算呢？因为它的正八面体所有都相等啊，所有每一个面都为什么都为都一样，都为都一样， 而且是一个，我们等边上角形，对吧？等边上角形好算，随便画个，随便构建一个，我们勾股定力啊，用这边勾股定力吧啊， 我们的人长就是 e f， 等于我们的一加一根号二啊，所以人长为二啊，所有的都为二，都为根号二，说错了，都为根号二。 所以我们这道结论，三倍的体积，体积是三分之一，我们的根号二的平方乘上一个二表面积呢？一个表面积，表面积是一个面，一个面是等边长的形，等于四分之根号三边长的平方，根号二的平方是有八个，给它乘上一个八，搞定好，这个算出来也就是三分之根号三结束秒掉， 对不对？哎，对了，好，随便选 a、 c、 d， 各位讲完了，不容易啊，能不能跟下来？好，所以你看看啊，非常的震撼， 所有选项压根就别间隙啊，别间隙！这六分其实是比较简单的啊，非常的有说服力，刚考完的江南十校的例题解答题送给大家，各位能听懂，觉得老师讲的可以，你能听懂啊，给老师一键相连， 辛苦一下啊！比较感谢各位大佬好，我们今天这个视频我们在这里自己体会一下，做好笔记好不好，各位再见！