函数唯一零点求法

哈喽宝宝们，今天给大家讲一下函数的零点一道题，这个是让你求一个函数，这道题它是个对数形式，让你求零点，那对于任何题都有这三个步骤，先让它令函数为零，第二就解多余数方程，第三个就是验证定义域， 那首先让令函数值为零，是不是令 y 等于零？那怎么样让它等于零呢？那是不是能得到对，以二分之一为底，二 x 方减五， x 加三的对数。让它等于零，那我们给它等于零，我们给它换成指数形式，那就是 等于零，那是不是二分之一的一次方等于一，以二分之一为底，一的对数，它是等于零的，那所以就是让它这个 二 x 方，让他真数这位置等于一就行。减五， x 加三，然后等于一，然后我们解这方程，把一移过去，二 x 方减五， x 加三减一等于零，那就是二 x 方减五， x 加二等于零。 我们看一下这个式子，可以，它是可以因式分解的，可以分解成二 x 减一，乘上个 x 减二等于零，这是可以因式分解的。如果不会因式分解的，大家可以用求根公式，用求根公式就是 s 等于二，一分之 负 b 加减根号下 b 方减去四 a c。 然后这里我就不给大家代入，我们就用这个 x， 一 解的是二分之一， x 二解得的是二， 那然后呢？我们现在解了两个零点，我们看一下它符不符合定律啊？因为这个必须要真数是大于零的。我们把 x， 我 们把二分之一和二分别带入进去，当 x 等于二分之一时， 二乘上个二分之一的平方减五乘二分之一再加三，等于它是大于零的复合，然后当 x 等于二时， 二乘二方减五，乘二加三就等于八减十，加三等于他，也是等于他都是大于零的。所以说符合这个要求， 他的解就是一个是，那所以他的零点为二分之一和二，是不是蛮简单的？好，拜拜了，有什么可以留言哈。

导数的零点问题你掌握了吗？学长将重点讲解如何翻译题目，如何分析和思考，让你拥有举一反三，以不变应万变的能力。考虑到有的同学只喜欢刷题，不喜欢分析过程， 所以学长先给出参考答案，你可以自己做一遍。然后你还可以看一下二零一六年的导数大题，还有二零一七年的导数大题。第二问是一样的，都是已知函数有两个零点，求参数位的取值范围，只是给出的函数表达是不一样，但都是指数函数和密函数的结合。 关于函数零点问题，大家一定要掌握。我们来看二零二零年导数大题的第二问题目，有一个重要条件，函数有两个零点，这个条件如何翻译呢？学长的铁粉马上会想到两点， 第一点，方程 f x 等于零，有两个不相等的实数根。第二点，函数 y 等于 f x 的 图像与 x 轴有两个交点。 如果你没有办法形成条件反射，想到这两点，那么请参见高中数学教材人教版雷版必修第一册第一百四十二页。有的同学还会想到函数零点存在定力，所以以后看到函数有零点，大脑里都要瞬间从上面三个角度进行翻译，然后挑选出对你有用的信心。 同时大家要懂得举一反三，这里的函数也可以是导函数，如果题目说函数有两个极值点，那你就可以转化为导函数有两个变号的零点，这样就又变成函数零点问题。 关于第一点，我们的思路是将函数零点转化为方程的根，这里体现了函数思想和方程思想之间的转换。转化为方程之后，我们就可以用方程的一些思路解析。 比如如果方程为一元二次方程，我们可以使用判别式维达定律或者求根公式。 当然，有时候转换为方程并无法直接简化，比如本题转化为方程之后出现了超越方程。对于超越方程，我们一般会转化为函数问题，然后借助导数工具来研究，这体现了函数思想和方程思想的综合运用。 关于第二点，是运用数形结合的思想。函数有两个零点，可以理解为函数图像与 x 轴有两个焦点， 这里的 x 轴你可以理解为函数 y 等于零。这种转换对拓展你的思维有非常大的帮助。为什么呢？因为 x 轴在你的脑海中已经被固化了，但是如果转换为 y 等于零，就变成一个常数函数，这里就变成两个函数图像的焦点问题。 比如本题，等式的左边可以看成是函数 g s， 等式的右边可以看成是函数 a 七 s， 转化为研究这两个函数的关系， 这里表面看好像多此一举，实际上是一种思路上的统一。我们可以对这个等式进行变形，将 y 等于零的常数函数转换为其他函数。比如可以这样一下， 等式的左边可以看成一个函数，等式的右边也可以看成一个函数。一个是指数函数， 一个是一次函数。这样我们又拆成两个熟悉的函数，顺便卖个关子，学长给这里函数加上了双引号，是别有用意的。之后的视频会讲解，我们继续这两个函数，你可以理解为斜率为 a， 并且过点负二逗号零题目的条件就转化为指数函数与一次函数有两个交点，这就是大家所说的半分离参数法。 事实上，即使你没有听过半分离参数法也没有关系。如果你能将 x 轴想成是 y 等于零的常数函数与 x 轴有两个交点，想成是与一个常数函数有两个交点，那么你就能够举一反三了， 不信你试一下。还可以拆分成其他的函数，比如当 x 不 等于负二时，等式两边可以同时除以 x 加二，这就是大家所说的全分离参数法。 左边的分式可以看成一个函数，右边的参数 a 也可以看成是一个函数。即使你没有学过全分离参数法，你也能转化为这两个函数的关系， 甚至你不会被全分离和半分离的方法所束缚。比如你不喜欢分段讨论等式，两边就可以取到数，转化为新的一组函数的关系。 当然，还有其他拆分的方法，感兴趣的可以自己尝试一下。但是有一个原则，就是要选择我们熟悉的、容易解答的方案。我们再来看函数零点存在定律，对这个定律不熟悉的同学，可以参见人教版 a 版必修第一册第一百四十三页。 如果一个函数在 b 区间上的图像连续，而且两个区间端点的函数值乘积小于零，那么在这个开区间内至少有一个零点。简单地说，如果函数有两个零点，我们在每个零点的两边总能找到一正一负的两个函数值。下面用示意图来演示， 这样大家就很清楚了。事实上，函数零点存在定力很容易理解，但是也很容易被忽略，等一下我们还会在实战中进行巩固。关于函数零点的翻译，我们就复习到这里，下面我们来看如何解答这道题。 我们将采用最朴素的方法解答。先写出函数的定义域，定义域为实数及二，接着对函数进行求导。这是大家做导数大题时最熟悉的操作。 对第一项进行求导，等于 e 的 x 四方对第二项进行求导，等于负 a。 但是你必须知道你为什么要求导，你才知道你后面要做什么。因为题目中的函数对我们来说是陌生的， 所以求导的目的是研究函数的单调性，进而研究函数图像的变化趋势。求完导做什么呢？判断导函数的正负导函数有两项组成，第一项 e 的 x 四方是恒大于零的。 第二项含有参数，无法确定它的正负，有参数就要分类讨论。如果负 a 大 于等于零， 也就是当 a 小 于等于零时，导函数大于零横成立得出原函数在二上单调递增，那么函数只有一个零点，不符合提议。接着你马上就要想到，如果负 a 小 于零呢？也就是当 a 大 于零时， 两个正数相减，就要看哪个正数比较大了。当一等 x 四方减 a 小 于零时，导函数就小于零，原函数单调递减。如果一等 x 四方减 a 大 于零，那么导函数就大于零，原函数单调递增。 如果一的 x 四方减 a 等于零，那么导函数就等于零。函数取到极小值，其实也是最小值，此时 x 等于洛 n a。 通过上面的分析，我们同时找到函数唯一的极值点，也就是函数图像的转折点，这个转折点决定了函数图像能否多次穿过 x 轴。 我们可以画出导函数的草图， 接着画出原函数的草图， 在 x 等于洛 n a 时取得最小值。函数要有零点，我们就要联想到零点存在定力。简单地说，在使得函数值一正一负的两个点之间产生零点，如果最小值大于零，那就说明所有的函数值都大于零， 这时没有零点。接着如图所示，如果最小值等于零，那就只有一个零点。这两种情况都不符合提议，我们继续看函数图像。 很多同学会想到最小值小于零就会有两个零点，这个一定成立吗？如果你不确定，那就请回归零点存在定例，现在最小值小于零， 如果能在罗恩 a 的 左边找到一点，使得函数值大于零，这样就能找到一个零点。同理，如果能在罗恩 a 的 右边找到一点，使得函数值大于零，那么就能找到另一个零点。 总之，我们要能够说明，在罗恩 a 的 左边图像能够穿过 x 轴，在罗恩 a 的 右边图像也能够穿过 x 轴，要不然图像可能是这样子的， 两边都没有穿过 x 轴，不存在零点，也可能是这样子的， 或者是这样子的， 都只有一个零点。所以，最小值小于零并不是一个冲要条件。但是根据刚才的分析，有两个零点可以推出最小值一定要小于零。也就是说，最小值小于零是函数有两个零点的必要非充分条件。 考试的时候无法一次性想这么多，也没有关系，可以先根据必要求出 a 的 范围。下面来求最小值，展开并化简合并同类项并提取公因子。 最小值要小于零，这样就可以求出 a 大 于一分之一。 但这还不能说是最后的答案，我们还需要证明充分性。根据零点存在定律，需要在负无穷到逻 a 区间找到一个点，使得函数值大于零。还要在逻 a 到正无穷区间找到一个点，使得函数值大于零。 有的同学可能会说，题目已经跟我们说有两个零点了，这是已知条件。根据函数的单调性分析，两边肯定是要穿过 x 轴的，不然就不符合条件了。你的猜测是有道理的， 但是解答题中需要有推理论证的过程，或许你可以将你这种感性的认识转化为数学语言，使用极限思想进行描述。这个函数由指数、函数和一次函数组成，我们分别分析它们的趋势。 先来看罗 a 的 左侧，当 x 趋近于负无穷时， e 的 x 四方趋近于零。因为 a 大 于零，所以负 a 括号 x 加二就趋近于正无穷。一个趋近于正无穷 相加之后的函数就趋近于正无穷。既然趋近于正无穷了，所以肯定能在罗恩 a 的 左侧找到一个点，使得函数值大于零，所以左边肯定存在一个零点。 再来看罗恩 a 的 右侧，当 x 趋近于正无穷时， e 的 x 四方趋近于正无穷。负 a 括号 x 加二趋近于负无穷，正无穷加上负无穷，结果怎么样呢？那就看谁的增长速度比较快了。 而我们知道，与一次函数相比，指数函数 e 的 x 四方呈爆炸性增长，所以 e 的 x 四方起到了主导性的作用。最后函数趋近于正无穷，所以罗 a 的 右侧会存在一个零点。 很多同学担心这样描述是不符合规范的，那我们来看教材是怎么描述的，请参见人教版 a 版选择性必修第二册第九十五页。 教材是这样描述的，当 x 趋近于负无穷时，与一次函数相比，指数函数 y 等于一的 x 四方成爆炸性增长， 从而函数趋近于零。当 x 趋近于正无穷时，函数趋近于正无穷。导函数趋近于正无穷。你会发现，在教材中也是使用了极限的思想进行判断函数的趋势，同时也使用了箭头符号来描述趋近于， 也使用了正无穷和负无穷的数学符号。再看看我们刚才的描述，与一次函数相比，指数函数一的 x 四方程爆炸性增长。这个说法就是照抄教材的文字。所以用极限思想，只要你准确地描述了函数的趋势，理论上是可以的。 具体的你可以问一下你们的老师，看你们当地的评判标准是怎么样的。这样我们就可以下结论，要是函数有两个零点，只要满足最小值小于零就可以了， a 的 取值范围是一分之一到正无穷。当然，有的同学说，我就不喜欢用极限思想，我就想用找点的方 法，那也是可以的，只是难度就直线上升了。我们先在左侧找点，先看一下有没有特殊点。 通过观察， x 等于负二，就是一个特殊点，因为第二项变为零，同时参数位也被消掉了。但是负二满足条件吗？它是在螺 a 的 左侧吗？我们再检查一下，因为 a 大 于一分之一，所以螺 a 就 大于负一，所以负二确实是在螺 a 的 左侧没有错。 也就是说，当 x 等于负二时，函数等于一的负二次方大于零，所以在负无穷到洛 a 区间存在一个零点，我们继续在右侧找点，在右侧找点难度就比较大了。为什么呢？我们继续观察这个函数表达式，你可以想成是指数函数减去一次函数。 首先，我们找的点不能是一个具体的数值，为什么呢？因为如果 x 是 一个具体的数，那么一的 x 四方就是一个具体的数。而一次函数中参数位是可以取分之一道正无穷的数值，所以肯定有可能比指数函数的取值来得大。 别忘了我们的目标，我们希望得到的结果大于零，所以我们取的点必须含有参数位。其实很好理解，只有当指数函数也含有参数位，才能够随着 a 的 增大而增大，才有办法跟含有参数位的一次函数抗衡。 现在知道取的点要含有参数位，但是具体要取哪一个呢？我们再来回顾一下刚才的趋势分析， 我们得出一个结论，指数函数的增长速度比一次函数要大很多，所以理论上找的点越大，越容易满足要求。 你可能会想，那是不是直接找无穷大呢？有趣的是，这就回到了刚才用极限思想的描述方式了，你会发现刚才的极限思想和这里的找点已经是殊途同归了。当然，既然你想找到一个具体的点，那在实际操作上就要考虑容易计算， 才有办法得出结果。放缩找点是一个技术性很强的操作，有时候像是在开盲盒， 学长给大家模拟一下找点的过程，刚开始可以做一下试探，比如取 x 等于 a， a 是 不是在罗恩 a 的 右侧呢？没有错，因为 a 大 于罗恩 a， 这个大小关系是怎么得来的呢？ 根据切线放缩， x 大 于 x， 减一大于等于六 n x， 这个是需要大家掌握的不等式关系。将 a 带入函数，得到 fa。 到这里，有的同学会想到放缩，希望可以得到恒大于零的结果，比如对 e 的 a 次方进行放缩， 这个放缩的依据又是什么呢？依然是我们熟悉的切线放缩中的指数放缩，展开并和并同类项， 这个二次函数开口向下，通过画图像发现它并不是恒大于零的。在刚才的步骤中，有的同学在采用放缩之前会代入特殊值先检查一下。比如当 a 等于一十， fa 就 等于一减三，自然常数 e 约等于二点七一八二八 比三还小，所以相减的结果小于零。通过刚才的验证，我们发现 x 等于 a， 这个点无法使得函数值恒大于零，找点失效，我们再取大一点，如果换成二 a 呢？试一下代入， 将一的二 a 次方写成一的 a 次方，在平方进行指数放松， 展开并和并同类项。这是一个开口向下的二次函数，根据 a 的 取值范围，并无法保证恒大于零。如果用这种放缩方法，我们会发现找点失效，但事实上，这种失效并不是点的失效，而是放缩方法的失效。如果我们放缩成二次函数， 放缩的结果就是大于等于一横大于零，这样就找点成功了。如果你没有想到这样放缩，你取的点可以继续增大，比如换成三 a 代入， 同样使用上面那个放缩观察这个放缩的结果，我们发现只要 a 大 于零，就可以得出 f 三 a 大 于零，所以我们肯定能在逻 a 的 右侧找到一个点，使得函数值大于零， 这样我们就找点成功。有的同学可能会有疑问，那为什么不直接找三 a 这个点呢？当然可以，你也可以直接找大于三 a 的 点，比如四 a、 五 a 等等等，关键是你是否能计算出结果。 学长刚才只是展示了一个思考和探索的过程，当然这题还有其他放松找点的思路，对放松找点感兴趣的同学可以自己尝试一下。 不过有一个现实的问题，就是考试的时间是有限的，为了那一两分，花这么多时间来找点是否值得呢？比如对于本题，如果你没有办法马上找到点，你可以直接用极限的描述方式， 然后省出更多的时间去做其他的题目。关于函数两个零点的问题，你还可以做一下二零一六年和二零一七年的高考真题，学长希望你能深度思考并总结归纳，而不只是蜻蜓点水浮于表面。希望这个视频对你有所启发，记得点赞与推荐。

这有可能是二零二六年新高考卷一函数零点最难的一题，十秒钟教会你解决该题型。只需要记住一个写求法则，先构造后比较，再计算。最后勾选选项开始展示。我们先构造求什么，我们就构造成了，这里求 a。 观察一下 f x 的 式子 f， x 有 零点，那么就代表 f x 为零。此时就会得到一个式子， a 等于三， x 减去 x， 三次方除以 e 的 x 减一，加上 e 的 负 x 加一。再接着来或比较 比较 a、 b、 c、 d 选项与构造式之间的联系。通过上一步我们得到 a 的 表达式，观察 a 的 分母里面分别有 e 的 x 减一和 e 的 负 x 加一。此时看一下 a、 b、 c、 d 四个选项里面，分母上是和 e 没有关系的， 此时我们就要把 a 的 分母上的 e 全部消掉，那么就得到两个方程，分别为， x 减一等于零，负 x 加一等于零，最后解出 x 等于一。再接着 最后再计算，计算的时候，我们只需要计算最终的结果。将 x 等于一，代入上式的表达式 a 的 里面，那么最后得到 a 等于二分之三减一等于一，因此选项 d 是 正确的。最后勾选正确的选项 d， 学会了吗？提笔练一练，把答案打在评论区，关注我，带你学会更多的解析思维！

同学们大家好，高一数学的天花板来了，今天我们继续来看函数领域的和相切函数的零点问题，那么这类问题呢，肯定是我们考试中最难的一类了，大家看看自己有没有能力把它做对。我们首先来看 f x 等于一个分段，一个正比例函数和一个指数函数的变形，这个没有太大难度，我们 g x 呢，等于 f 这一大堆，这是一个二次函数形式，一个复合的形式，它减 m 等于零，有六个零点，六个六个根，问你 m 的 范围。 大家注意，这里边的镶嵌不仅仅是函数进行镶嵌了，二次函数嵌在了一个分段函数里边，而且大家来看 m， 它也镶嵌了，所以说大家可以点个暂停，自己看看能不能尝试解完这道题。 ok， 屏幕前的家长请做好收藏，老师给大家做一个详细的讲解。大家来看，首先我们不要去讲别的，先把函数图像画出来，我们先把 f x 画出来 啊，那来看我们正比的函数最好画呀，三分之 x， 大家来看，大家注意好斜率啊，斜率三分之一，大家看，三斗一，不要画成这样啊，不要画成四十五度或者甚至更高的，大家注意细节，三分之 x， ok， 那 么我们这个函数应该怎么画？老师教大家，大家来看啊！首先我们来画二的 x 密，这是原函数，那么他加二，左加右减，往左平移两个单位，这是一一个两个他就平移到这来了，那么这个点是几？我们可以代入啊，零往里代，零往里代，二的二是应该得四，对不对？ 那么这个东西呢？往下平移两个单位，平移到二了呗，那这个图像就大致就长成这样来看，然后又加了个绝对值，我们要把 负的都删掉，给它翻成正的，对不对？说白了就是从二这下来再上去，那么找到二这个纵坐标下来再上去就完事了，大家看能理解吧？ 那么有人说，老师，那下来这个点怎么怎么看呢？那我们另里边的零就可以算了，二的 x 加二等于二，对吧？二减二不等零吗？那么 x 加二他不就得等于一吗？二的一次方等于二啊，对不对？所以说 x 等于负一，那你这个点就是负一到零，对不对？ 所以我们这个图像大致就画完了，老师，把这边擦掉啊，这个图像，那么我们 f s 图像画完之后，我们来审视一下这个数啊这个问题，那么 f 这一堆等于 m 啊，对吧？它有六个零点， 那么大家想再看黑板，最多有几个呀？就等于一个数。 f x 最多有几个？最多有三个最少啊，有两个的时候也有啊，有两个的时候也有两个的时候也有，没有的时候就没有，肯定是淘汰了，两个行不行？大家想是两个还是三个？ 老人说，老师六个，你问我两个还是三个？大家注意外层，外层啊，现在我们看的是 f 几能得 m 啊？一共有几个数啊？比如说 m 在 零到二之间，那是不是有三个数啊？如果在这边，那是不是两个数，一个两个呀，对不对？那是两个还是三个呢？大家注意，一定是三个，一定不能是两个，为什么呢？因为你要看他内层，内层是一个二次函数， 二次函数得到一个数，最多有两个根，最多它等于一个数最多有两个根，那么他说一共有六个根， 那么二三数得三，这里边的外层三个根，比如说 a、 b、 c， 那 么二三数得 a 有 两个，二三数得 b 有 两个，二三数得 c 有 两个，最多对应六个根，对不对？所以说外层必须有三个根，也就是 abc 三个外根，每个外根对应两个内根，一共是二乘三得六个根， 这是唯一的一种破局的方法，对吧？所以你外层如果是两个，你一共就有 a 和 b 两个解，那你说另二三数得 a， 你 怎么也解不出三个根来呀？所以说肯定是不合提不合提议的， ok， 那 么至此，我们将复合函数这个环节过去，也就是说我们的函数要求等于 m 必须有三个解，那么我们的 m 初步范围就出来了， m 必须大于零， 小于等于二，大家看可以等于二啊，二在他这个范围里，对不对？等于二也是有三个根的，对不对？所以说我们大致来看这条线，哎，大致来看这条线，这是一个，这是一个，那么这条线老师就给它擦掉了啊，不合题， ok， 那 么这三个根大家可以发现啊，可以发现 x 一 x 啊，别说 x 一 了，这不是 x， 这是内部中间他俩这叫 a， 这叫小 b， 这叫小 c。 那 么大家有没有发现， a 小 于 b 小 于零小于 c， 也就这四个数里边 c 是 最大的，对不对？那么我们再审视一下这个二次函数，它开口向哪？它开口向下 对不对？那么他的对这个图像的横坐标就是这关内部，也就是负 x 方加二， x 加 m， 等于小 a 有 两个根，等于小 b 有 两个根，等于小 c 有 两个根，那么大家注意，只要确定谁有两个根就可以了， 你不用确定三次，你只要确定一次就行。大嘴只要确定小 c 这边有两个根就 ok 了，他有两个，他就一定有两个，他就一定两个，为什么呢？因为他们仨里边 c 最高，也就是说这个就是 y 等于 c 的 话，那么大家想 c 都对应两个根了，那么 b 和 a 在 它下边，那肯定也是两个根呢， 不用你去再去列式子了，对不对？所以我们就怕啥呀？我们就怕 y 等于 c， 它在这，或者 y 等于 c， 它在这 啊，那这就不合提议了，那两个根，两个根加上他五个根，对不对？不够六个根，所以说是这个道理，所以我们就让 y 的 c， 也就是这个根往里带的时候，对应两个根，那底下就都是两个根，就六根，合提议了， ok， 那 么我们用 m 来表示这个数，那么大家想啊，这个解式是啥的？是不是三分之 x 啊？ 它的纵坐标是 m， 横坐标 c 应该得几啊？ c 应该等于三 m， 大家看能跟上了吧？横坐标的三 m 乘以三分之一，就等于一个 m， 对 吧？所以说我们小 c 就 等于三 m， 那 么换句话说，我们只要令接下来的二次函数 二十三数，我们来写一下，负 x 方加二 x 加 m， 等于我们的三 m， 也就是等于我们的小 c 等于这个根。大家来看，这个函数的自变量，就是这个函数的阴变量，大家看能理解吧？因为它是镶嵌在一起的， ok 吧？复合函数好，那么让这个方程有解，并且有几个解， 有两个解，对不对？我们挪一下， x 方减二， x 减 m 加三， m 加二， m 等于零。这个方程有两个根的等于 b 方 减四 a c， 也就是八 m 必须要大于零才能有两个根，对不对？所以可得 m 小 于二分之一，对吧？八 m 小 于四， m 小 于二分之一， 它要是有两个根了，那么大家注意， b 和 a 你 就不用管了，肯定是有两个根的，一共肯定是有六个根，对不对？所以 m 小 于二分之一就是答案，那跟上一个，也就是零到二分之一，零到二分之一开区间，大家看这道题学会了吗？

如果你能在六月高考前刷到这条内容，那真的要恭喜你找到了数学快速提分的捷径，这也是一条大概率会被限流的视频。所以你肯定不希望自己的对手刷到。从三月开始，只要用对方法，你的数学成绩 完全可以实现跨越式上涨。你一定要先明白一件事，数学提分从来不是靠盲目刷题，要听懂并掌握了我接下来讲的这套思路，就是你 数学一步到位的最快路径。去年十二月，我带过一位河南同学，平时数学只有三十多分，我让他用了一套非常特别的学习方法，仅仅六十天，成绩直接冲到一百一十五分。他能进步这么快，核心只有一个，吃透高考高频解题模型，很多题目不用复杂计算，也能稳稳拿分。其中最常用最好用的就是零点。 把这道高考真题举例，普通同学一上来就想数形结合，常规解法至少十分钟。但学霸的思路完全不一样。先看题目，函数只有唯一零点，选项都是具体数值，而且数值里有 e， 但没有复杂指数结构，说明 e 必须消掉，只有 e 的 零次方才会等于一。所以直接锁定 x 等于一，把 x 等于一，带入圆式，很快就能算出 a 等于二分之一。直 接秒出答案，是不是非常简单？肯定有人会说，这只是碰巧换一题，又没用了。那我们再看这道不等式题，照样能秒出答案，是不是非常简单？肯定有人会说，这只是碰巧换一题，又没有 x， 必须消掉，那 x 只能取 一打 x 等于一。再如不懂事，简单化简，就能直接求出 a 的 范围，全程几乎不用动笔。像这样高考直接能用的解析模型，都已经全部整理成了视频，一共五十多个，全是考场能直接秒题的技巧，学会之后遇到同类题型，不用一步步推导，直接出答案。需要的同学后台告诉我你的年纪，比如高三加数学。最后跟大家说句实在的，我带的学生是靠着吃透这五十 多个秒题模型，数学成绩从四十五分直接冲到一百多分，成功逆袭上一本高考数学。看似有一百二十多个题型，其实核心考点就能行。只要你真正掌握这些高考必考内容，再难的题在你的眼里都是小菜一碟。

好，我们来看这个题，函数 f x 等于二的负 x， 四方乘以以零点五为底， x 对 数再减一问，这个函数零点的个数是几个？ 哎，我们看到了零点，都能想到什么呢？嗯，零点可以转化为 x， 这个 f x 等于零，这个方程的解。好，就是这个方程的解啊。二的负 x， 四方乘以以零点五为底， x 的 对数减一等于零，这个方程有几个解？这个就有几个零点，对吧？好，来，同学，这个方程会解吗？ 不会，不会解，这怎么解啊？这指数用对数还解不会解，对吧？好，这个方法排除 pass 不 行，还有什么？嗯，这个还是图像跟 x 轴的交点。哎，特别好啊，就这个图像 与 x 轴的交点，这个图像与 x 轴的交点来，这图像会画吗？ 不会，不会画，有吧。那这图像不会画，有的时候，那老师我瞄点，当然也可以麻烦，对不对？作为选择题，咱们瞄好多点，而且还不一定很精确，是吧？哎，也不太好，这方法 还有没有什么招？还是我们从方程这个角度去入手啊。既然他是个方程，他就是个等式，是吧？我们的等式就有很多的性质，我们可以对等式进行一些变形。等价变形是吧？我们说这个等式，我这个左边这个函数图像不会画，那原因就是因为这图像有点复杂， 两个，一个指数是一个对数，给它撑起来了，有点复杂，是不是？那么我们要想办法能给他变形，变形啊，给他左边放点，右边放点，让两边都简单一点，我们是不是就有可能两边都会化了？哎，那么我们想想怎么变形啊？ 说，如果看这个方程的话，我们第一步也没别的什么操作可以干，只能先把这减一给他挪过来，挪过来好像没啥用。 二的负 x 四方乘以以零点五为底， x 对 数等于一。你这还是左边太复杂，你这右边把零变成一了，也没啥变化，是吧？那还得再进行操作，再进行操作怎么办呢？就得垂直过去，把左右这左边俩复杂除过来一个，是不是把谁除过来？ 二的负 x， 把这个二的负 x 方除过来最好，为什么呀？因为二的负 x 四方，我们知道指数是负的，本来它就是一个 取到的意思，是吧？我再给他除到一底下来，等于取到，再取到他是不是正好就回去了？嗯，对吧？所以这个更简单啊。所以把二的负 x 给它除过来，以零点五为底， x 对 数等于 二的负 x 次方分之一，那么我们知道分之一本身呢？又是负一次方，就相当于二的负 x 次方，再负一次方，那就是什么呀？二的 x， 二的 x 次方。 好，那么这个时候我们看这个等式的左边是一个，这叫什么？函数？对数函数，右边是一个指数函数，那这俩函数图像是不是都是我们掌握的图像啊？哎，那么我们就可以画出这两个函数的图像，那么这两个函数图像的什么就是这个方程的解呢？ 这两个图像的交点的横坐标，交点的横坐标就是这个图像的解。那么问我们这个，原来这个函数零点个数其实就是这个方程解的个数，那也就是我们这两个图像的交点个数，对吧？好， 我们来画一下图像坐标器，画出来以零点五为底， x 的 对数的图像增的，减的，减的单调递减啊，对数函数图像单调递减啊，它应该大概是这样的，过一零点 二的 x 四方增的增的指数函数图像过零一点，那图像大概是这样。 好，很明显我们能够看出来两个图像一个增的，一个减的，那么我们说他们的焦点肯定是一个唯一的啊，焦点肯定是唯一的，那么我们说这个焦点就是这个方程，这个焦点的横坐标就是这个方程唯一的一个解，而这个解也就是我们原来这个函数 f x 的 零点零点啊，所以我们这个零点的个数应该是一个。 好，我们来总结一下，那么我们判断一个函数的零点个数。当然咱们刚才同学们啊，其实给了很多方法，看这个方程的根有几个或者呢？如果我直接会画这个函数图像的话，直接画函数图像去判断它与 x 轴的交点，有几个 都是可以的，是吧？但是如果像我们这道题似的，这个函数比较复杂，我不会画图像的时候考虑什么呢？我们给它转化成 两个相对简单的函数，就像我们进行的这个操作，我们分别去画两个简单函数的图像，我们看他们的焦点，哎，来判断我们原函数零点个数，加油考生，点个关注。

高中数学先有思路再刷题，没有思路不要轻易刷题，为什么？容易刷的自卑哈。来，我们来看下函数零点，然后我们把这种题转化一个套路，已知函数 f s 两段，这是分段函数是不是？然后关于 s 方程有四个不同的根，他问你在这里边 k 的 范围， 那么拿到这种题目之后，我们怎么去做？好？我们从考点的角度去理解，那么这种题的话属于什么？它并不是单纯的求餐问题，它是什么？它是函数零点问题，在零点里边的话，我们怎么样去转化？我们把它转化成为直线和曲线交点的个数。 所以遇到这种题的时候，放在选择题，我们用什么方法？我们用竖形结合，那么这种题会不会考解答？不会，解答题不会这样去考哈。来，我们来看怎么样一个竖形结合法建立一个直角坐标系。然后的话我们来画对应的图像， 第一段里边它对应的是一个开口向上的二次，把它配平之后，它对应的是 s、 c i 二分之一的完全平方，所以在这里边它有一个对称轴，对的是谁？对的是负的 二分之一，然后的话开口向上，当然他去零，所以在这里边他对应的是一个开口向上，那么这个位置 x 小 于等于零，所以这个位置是你可以取到的点，那么这个点坐标谁？当 x 取零的时候，他取的是四分之一。好，那接下来我们来画第二段， 第二段整体加绝对值，它是一种什么？它是一种翻折，为什么？因为没有 for one。 那 我们先来画它的基础函数，在这里边基础函数是谁？是这里边的对数，所以的话 l n x l n x， 那 么对应的是 这个图像对数图，然后的话去掉一个一，我们说上边是加，下边减，相当于向下平移了一个单位，这是第一种。第二个的话我们还可以理解，它零点，它零点是谁？乱一是一，所以一减一等于零，所以在这里边相当于它有唯一的一个零点，是谁？ 是乱 e 啊？好，那么图像的话，整体加绝对值相当于它没有负的，那负的去哪了？翻上去，是不是啊？翻上去，所以在这里边它的图像 相当于是在这个位置，那么图像说 r x 等于 k， 有 四个不同的零点，所以在这里边我们把它转化成谁？我们看一下这个转化思路啊，我们把它转化成为 y 等于 f， x 和 y 等于 k， 怎么办？交几个？交四个。我们来看一下啊，我道具的， 如果在这里边，我让 y 等于 k， 在 这个四分之一的上方，那我们拉一条线来看一下啊，一个，两个，三个，所以它不满足提议，那继续往上走，还是三个，所以往下降。如果我让 y 等于谁？ k 在 这个位置，那么这个位置是一号零点， 二号零点，三号零点，四号零点，所以恰恰是四个根，那么这个直线的话，我们继续往下走，他依然会满足四个零点，他的临界在哪？临界在这， 因为什么下方没有了，是不是？所以的话，这个零点谁？这个零点是 y 等于零，如果在这里边有四个零点，相当于 k 的 取值范围是在零到四分之一的中间，然后零这个位置是两个零点，所以它去开四分之一，这个位置是四个零点，所以这个四分之一取到 b。 那 我们说之后遇到这种题的话怎么去做？其实说直白点还是什么？还是我们所学的基本初等函数的函数图像翻折也好，平移也好，就是他们的汇总。所以以后遇到哈之后遇到这种题，我们的方法都是数形结合，从数形结合转化成为直线曲线交点的个数。 好，这个题的转化思路我们就讲到这啊，函数零点历年来在高考题里边，它属于我们选择题的压轴，这道题作为高三二轮复习，还可以作为高一来说八高题。

这道函数零点题考的非常好，重点考的不是死算，而是估算范围，构造函数同构转化思路一旦打通，其实特别简单，高二高三都可以听得懂。快跟着显哥一起来拆解。他说这个函数，这个函数零点分别为 x 一、 x 二，让我们求证下面的范围 有什么？那这句话的意思就是说，我们看一看， e 的 x 一， 再加上一个两倍的 x 一， 他就应该等于二， 因为他都等于二吗？然后下一个呢？就应该是我直接给他写了，我给你暗示了，你还能看出来不？也说另外一个零点是 x 二，那就是 x 二，再加上一个两倍的浪 x 二，哎，他等于二。好，我给你暗示了啊，快读读题，他说有两个零点，所以这句话什么意思？ 这道题考点是什么？是不是相当于大家可以看是不是又通告，如果你看不出来就完蛋了，那么大家可以看是不是这个点，我可以把它写成 e 的 long x 二就是 x 二，再加上一个两倍的 long x 二，它就应该等于二。明白了，哎，大家再思考一下，这个函数是单调的，不也说我们另这个函数啊，另这个 s x 吧，它等于个 e x， 再加上一个二 x， 是 不是它是个增函数？加增函数它就应该是个增函数。 那既然是真函数的话，那你想一想， x 一 等于二，这个是 x x 一， 等一个 x x 二，它都等于同一个数，那说明它俩一定是相等的，那也就是说，它单调，说明 x 一 就应该等于 x x 二。哎，这句话太重要了， 这句话太重要了，明白了，当然还都等于二啊，还都等于二，就是函数值等于二，所以我们算 a 选项， a 选项的话，是两倍的 x 一， 再加上一个 x 二，那两倍的 x 一 就相当于两倍的 lo x 二。 x 一 是 lo x 二吗？再加上一个 x 二，哎，不就是它吗？它就等于二，所以 a 选项过于简单了。 那么我们再看 b 选项，哎， b 选项对还是不对呢？ b 选项就是 x 一 乘一个 x 二， x 一 乘 x 二的话，那不就相当于 x 二乘以 long x 二吗？ 或者说 x 一 等于 long x 二，它俩能相等吗？ x 二的话就应该等于一个 e x 一， 你看啊，我觉得它一定不对啊， 为什么呢？你看 x 一， 它是 long x 二，我把它写成 long x 二，可以吧？那 x 二呢？我们只对互化一下，它就应该等于 ex 一， 它应该等于 ex 乘啊，它怎么写的加呢？听懂吗？它应该是乘啊， 所以应该是不对的吧，他应该是乘才对啊，所以如果你看范围的话，你可能会更精确。我估计是肯定是不对的啊，因为他应该是乘才对啊。因为 x 二等于一 x 一， 因为 x 一 等于 l x 二，对不对？ ok， 所以 我们这个是 b 选项，你看 c 选项。 c 选项有点难。 c 选项啊，他说 x 一 x 二，他们的范围是大于加，在一起是大于三分之四的，谁能告诉我怎么做？ x 一 加 x 二，他是大于三分之四的，对还是不对？ 是不是相当于钱越多越好，未知数越少越好？你都知道他们的关系式了，那当然，我们转换成未知数越少越好，他就应该等于他，他要等于他的话，要让我算他的范围，我怎么算呢？ 它怎么算呢？是不是相当于它是个超越的形式啊，所以这地方就是考你转换的能力。你看它等于 x 一， 再加上 e x e x 的 话，就应该等于二减去二。 x 一 说白了就是二减去 x 一。 说白了这道题就是求 x 一 的范围，能反应过来不？你觉得你能做对不？就是一直我在转化成简单函数，那 x 一 的范围是什么呢？由于这个函数是单调递增的，函数，就是 h x 的 图像是单调递增的。这条线呢，是 y 等于二， 这条线是 y 点二，所以这个焦点的话就是 x 一。 所以我得看一看这个 x 一 的范围，我才知道它大不大于三分之四。那所以我随便带个零呗。我随便带个零，我把零一带一的零方是一，一加零小于二，那所以零应该是在这， 我再带个一，我把一带进去就是一加二，显然是大于二的，那一应该是在这啊。一在这画的比较写的比较粗略，当然你还可以更精确。你比如我带个二分之一，我带个二分之一的话，根号下 e 再加个一，大于二吗？ 我猜大于二的根号下 e 大 于一。本质上平方 e 大 于一，所以实际上二分之一是在这，也是这个根实际上是在零到二分之一之间。 你要想精确还能精确，你再想想四分之一都可以，只是我估计够了，不够再精确。听明白了，所以你会发现这个 x 一 呢，他是小于二分之一的，他小于二分之一，就大于二减二分之一， 二减二分之一的话，那当然就大于几啊？大于一点五了，大于一点五，当然大于一点四了，大于一点三三了，所以大于三分之四，所以这个选项是正确的。好，那我们再看 d 选项， d 选项的话，你让我算 x 一 乘 x 二，思路还是一样的。好，那我们再看 d 选项的话，你让我算 x 一 乘 x 二，思路还是一样的。钱越多越好，未知数越少越好， 就说白了，你得转换成少的位置数。那所以我们把 x 二换掉， x 二是谁呢？就是 e 的 x 一， 对吧？那 e 的 x 一 又是谁呢？ e 的 x 一 就应该是刚才写了，就应该等于二减去二 x 一。 哎哎，大家思考。哎，别别别别，我这样写的有点问题，你觉得我能把它换掉不？我是不是不能把它通过它换掉？二减二， x 一 等于它。 为什么？因为这个答案让我证明小就跟上一下 e 啊，所以你得和 e 有 关系，你得和 e 有 关系才可以。所以这道题应该转换成 e 比较好，也就说这辆是二减去 e 的 x 一， 对不对？然后呢？乘一个 e 的 x 一， 对不对？两倍的 e s， e 是 它，又因为 x 一 呢？它是大于零小于二分之一的，那说白这个数得大一，这个数大一，二减大一的数就小于小于 e 的 x 一， 又因为 x 一 小于二分之一。小根一说，它也是正确的。好，这就是我们今天给大家讲的导数啊。

朋友们，今天咱们探讨一类让人抓狂的题，函数的零点问题，你是不是还在？一看到求零点个数就老老实实解方程，是不是还在为参数取值范围挠到头秃？停？今天这条视频，你将彻底和这些方法说拜拜！ 看完你会发现，零点问题根本不是算出来的，而是看出来的，不信你往下听。首先，咱们要颠覆一个认知，什么叫做函数的零点？教科书说 f x 等于零的减，但在我眼里，零点就是函数图像和 x 轴亲嘴的地方。 但是如果题目不是 f x 等于零，而是 f x 等于 g x 呢？是不是又懵了？你看，所谓的零点问题， 本质上就是两个函数图像的交点问题，要么是和 x 轴相交，要么是和一条水平线 y 等于 k 相交，又或者是两个复杂的函数 f x 和 g x 在 打架， 看谁打赢了，交点就是零点。记住这句话，复杂的问题都是画出来的，不是算出来的。当然有人说，我就想硬算行不行？行！第一种方法叫直接求零点，就是令 f x 等于零，然后解方程， 你解出来几个就是几个零点。但现实很骨感，高考要是让你这么轻松解出来，那还是高考吗？所以，这个方法咱们留给送分题真正的大 boss 看下一种。第二种方法，零点存在性定律，很多同学背的滚瓜烂熟， b 区间连续端点，一正一负，中间就有零点，但光背没用，你得会用。你想啊，你只知道这有个零点，但你不知道有几个呀， 万一他进去逛一圈又出来了呢？所以定律只能告诉你有没有，却无法告诉你有几个。要确定个数，就必须结合函数的单调性。 怎么做呢？这就需要通过求导确定函数的单调区间和极值点，只要在单调区间内极值点一正一负，那么这个区间内就有一个零点。就是这么简单，把函数切成一段一段的，每一段就有一个零点穿过， 这就是用导数分解函数，精确打击。不过通常题目也不会这么直白，最常见的还是 f x 等于 g x 减 h x 的 形式，这时需要将其拆为 g x 等于 h x 的 形式， 然后在一张图上画出这两个妖精打架图形的焦点就是 f x 的 零点。这方法的好处是，你不用管原函数多复杂，你只需要看两个相对简单的函数图像，零点的情况一目了然。 很多含参数的零点问题，本质上就是问参数取多少时，这两条线能碰上，这就是数形结合的降维打击。 下面我就以一道高考真题为例，看看究竟该怎么做这类题目。题目让我们证明 f x 存在唯一的零点， 首先一眼就能看到 f 零等于零。接着再对 f x 求导，目的是求函数的单调性别被这个纸老虎吓到。化简后的 f x 导数为 x 平方乘一加 x 分 之一减三 k。 显然 f x 在 零到三 k 分 之一减一上单增，在三 k 分 之一减一到正无穷单减。又因为 x 大 于零时，卢安一加 x 减 x 很 小于零，于是可以得到 f 二 k 分 之一小于零。 有了这些关键的信息，便可以画出函数草图。函数从零开始到三 k 分 之一减一单增， 然后开始单减，当大于二 k 分 之一时小于零，那么显然在三 k 分 之一减一到二 k 分 之一之间必有一个零点，从而命题得正。 这便是利用零点存在定力和单调性解决函数零点问题的方法。是不是很简单？ so easy！ 下面我们来总结一下解函数零点问题的思路。第一步，想清楚是谁和谁相交，还是和 y 等于 k 相交，或者 g x 等于 f x 的 形式。 第二步，利用导数将函数按单调区间分段，然后结合零点存在定力，画出函数草图，最后看焦点个数就完事了。以上便是关于函数零点问题的其中一种解法的讨论， 但是都知道讲的是一加一，考的是造航幕。最后给大家留一个练习题，看大家能不能利用这种方法解出题目。我是二十六号学长，关注我，学习有用的数学知识。

这真的是求零点的经典好题啊！咱来看一下，已知 f x 等于它，则函数 y 等于它的零点个数为多少个？那首先我要画出 f x 图像，咱看 f x 图像应该如何去画？ 当 x 大 于零的时候，咱把它画出来。咱看啊，加了个绝对值， e 加绝对值之后，这负的部分进行翻折，也就变成它了，看明白了吧？ 接下来咱看。对于他来说，当 x 小 于等于零的时候， y 等于二的 x 的 绝对值 也就等于二的负， x 次方，也就等于二分之一括起来的 x 次方。看明白了吧？所以我就得到，当 x 小 于等于零的时候，他的图像是这样画的，看明白没有呀？ 这个关键的点的地方是多少呢？是等于一。好，我把它标注出来了。接下来同学们，咱来看它了，现在要它的零点，那么我就另外的值等于零，也就相当于 二倍的 f x 扩起来的平方减去三倍的 f x 加上一等于零。 那咱看。我把它处理一下，处理之后，也就相当于二倍的 f x 减一括起来乘以 f x 减一括起来等于零，所以我就得到 f x 等于二分之一， 或者是等于一。那咱看图，现在 f x 图像出来了呀，它等于二分之一的时候，咱知道这个点是一，所以走在零到一的中间。那同学们看一下，此时此刻有几个焦点，一个焦点，两个焦点， 所以当他等二分之一的时候，有两个，是不是啊？接下来当 f x 等于一的时候，看图这条线， 这条线是不是也就是等于一的线？一个焦点，两个焦点，三个焦点，所以此时此刻他的解是几个？三个，此时此刻 x 有 三个。那这样一相加的话，我就知道对于此题来说，零点个数就是二加三等于五。听懂没有？关注楼老师，数学更上一层楼。