二次函数交点坐标公式

同学们好，我是你们数学课代表，那么今天呢，我们来学习一下关于函数的一道简答题啊。首先呢，看题，那已知一个函数的表达式，那第一问呢？让我们求这个函数的最小值，那这个表达式是不是明显的可以化成顶点式啊，对不对？所以说第一问比较简单， 由函数原式抄一下， f x 是 等于 x 平方减去四， x 再加上三的，那化成顶点式又可以推出来 f x 呢？是等于 x 减去二的平方再减去一的， 那么也就可以直接推出它取最小值啊，对不对？你要是这个平方向等于零就可以了，对不对？因为它始终是大于等于零的。你又推出了 x 等于二十有最小值啊，又推出了 f x， m n 是等于负一的啊，那么这就是第一题啊。好，接下来看第二题。第二题呢，求这个函数图像与 x 轴的交点坐标。那求与 x 轴的交点坐标呢？其实就是潜在的告诉我们， f x 等于零的时候，算出来 x 与 y 的 值就可以了，其实 y 的 值就是等于零啊，只需要我们根据这个等式关系，然后解出 x 就 可以了，其实也就是把 f x 等于零带入啊。所以说第二问也比较简单，直接另 f x 等于零就可以了，那么也就是带入啊， 你又推出了 x 平方减去四， x 加上三是等于零的，那么是不是可以用十相乘法拆分一下啊？你又拆成了 x 减一乘以一个 x 减三是等于零的，又推出了 x 是 等于一或者 x 等于三啊， 那么三和一都有了，那么它的焦点坐标其实又求出来了，是有两个，对不对？就是推出了图像 与 x 轴的交点坐标为一斗零或者三斗零啊？

同学们注意，中考数学压轴题里二次函数和线段双交点问题是不是每次都让你头疼，画图瞎蒙，连力方程算到崩溃，今天我教你两部曲，两分钟吃透以后遇到直接秒杀！已知抛物线的解析式是 y 等于 a， x 方加二， x 减一， a 是 不等于零的，但是 a 是 正是负不知道。那所以说这道题肯定要分类讨论，有的时候 a 大 于零，开口方向向上，有的时候 a 小 于零，开口方向向下。但是呢，我们不难发现呢，这个二次函数的 c 是 一致的，那所以说这个二次函数与 y 轴的交点一定在负一，这 啊，这是一个小小的已知条件。那么接下来继续读题点， a 的 坐标是负五到负四点， b 的 坐标是一到负一。那所以说同学们跟老师先把已知条件给它标一下 a 点坐标和 b 点坐标。 那这个题的第三问呢，是老师在某一个压轴题中截取的一个压轴问，他说让这个抛物线与线段 a b 有 两个不同的交点，所以这里面老师把这个 a b 先连一下。 那如果想让一个二次函数与一段线段有两个交点，那肯定同学们能先理解一个问题， 就是肯定这个二次函数跟这个 a b 这段线段所在的直线肯定已经有两个交点了，只不过这两个交点在这段线段上而已。那所以这类题的第一个条件就是让某个二次函数与某条直线一定要先有两个交点。 那这个问题其实不陌生，其实就是将这两个函数解析式进行连立，而且连立完之后，让它们的得儿它大于零，就能满足这个条件。那首先二次函数已经知道了，那 a、 b 段所在的直线解是什么呢？解， 那也就是将 a 点负五，逗负四，还有 b 点 一到负一，代入到咱们的 y 等于 k， x 加 b 中。那这块老师就不带了这一答案啊， y 是 等于二分之一， x 减去二分之三，这就是我们 ab 这根线段所在的直线。解析式。佳佳老师连例一下， 二次函数减去式是 y 等于 a x 方，加上二 x 减一，让它们两个连立，最后结果是什么呢？二分之一 x 减二分之三等于 a， x 方加二， x 减一，然后化简一下， 然后让它的得它大于零，得它是等于 b 方减 c c， b 方就是四分之九，减去四乘 a 乘 c 方就是四分之九，减去四乘 a 乘 c 等于零，减一下 a， a 小 于八分之九。那这就是这种题型的第一个要求。首先先让二次函数与线段 a、 b 所在的直线有两个交点，那么第二个要求，也就是想让这两个交点一定要落在这段线段 a、 b 内，该怎么办？那首先跟老师分析一下， 首先老师来画一个草图，那如果咱们有一个二次函数，它想与线段 a、 b 有 两个交点，那比如说我现在假设它的开口方向向上，那我们该怎么处理呢？记住第二个步骤就是线端点， 如何线端点呢？其实就是线线段的两个端点，那做辅助线的方法就是我们可以过 线段 a、 b 的 两个端点，分别做外轴的平行线，也就是我们所谓的竖直线。那你会发现，如果这个开口方向上，而且跟线段的交点在线段的内部，我们就能满足题，对不对？那你会发现它这两条竖线与圆函数会交于 两个点，假设这点为 c， 假设这点为的儿，那很容易就发现 c 的 两点的纵坐标是大于 a、 b 两点的纵坐标的，也就是左端点值 y c 大 于 y a， 右端点值 y d 大 于 y b， 那 大于可以等于可不可以呢？那比如说这个二次函数，它就过这 a b 两个端点， 那这个时候满足满足这个二次函数与线段 a、 b 有 两个交点呢，其实也是满足的，而这两个交点正好是这两个端点 a 和 b， 那 所以说也可以让这个特殊情况， c 跟 a 是 相等的， 而且得跟 b， 它也可以是相等的，那所以说这块就是大于等于号，那这就是它的第一种情况，那它的第二种情况。如果说它这道题开口方向向下，那比如说画一个开口方向下的二次函数， 那这个时候我们的方法也是过两个 a b 的 两个的端点值也分别做 y 轴的平行，也就是竖直线， 那我们假设这两个交点一样的为 c 和 d， 那 你发现这种情况下， c 和 d 就 跑到了线段的下方，也就是这时候左端点值 y c 就 小于 y a， y d 也小于 y b， 那 同理它两个交点就是 a b 两个端点，也是满足题的，所以这块也是可以加等号。那所以说我们来分析一下今天这道题， 那今天这道题呢？他首先我们来看一下他的二次函数，二次函数就是 y 等于 a， x 方加 x 减一，那么 ab 这段呢？ a 点坐标是负五到负四， b 点坐标是一到负一，那所以说我们来画一下草图。 首先呢，我们也是不能明确 a 是 大零还是小零的，所以说在他的第二步，这我们一定要先假设他 a。 第一种情况， a 大 于零时， 那 a 大 于零时，那我们知道它就符合咱们的第一种分析。来我们画一下这道题的草图，那这种情况下，我们发现之前咱们就说过，它与外轴一定交在负一，然后 a 点是 负五到负四， b 点是一到负一，把 a b 连上。我要想让这个二次函数开口方向向上，而且与 a b 有 两个交点的话，我们就可以画直接它还得过这个零负一。那有些同学可能这样画，画一个黄色二次函数， 那有些同学可能这样画，画一个白色的二次函数。这两个的黄色和白色的区别就是，有的孩子认为他的对应轴可以在外轴的左侧， 有的孩子认为他对应轴可以在外轴的右侧。但实际上我们根据今天分享的通法来说，我们无论他是哪一种图，并不影响咱们的分析。我们画一下这两条竖线， 一个是过 a， 一个是过 b。 那 你发现它只要是这个题型，那么它左边的两个焦点，无论是在这 还是在这，它依然是都高于 a 点的。那右边的焦点也是，无论是跟黄色的焦点，还是跟白色的焦点，它也依然是高于 b 点的，那所以说它还是依然满足。当 x 等于 a 点，横坐标也就是 x， a 也就是 x 等于 负五时，这个二次函数的外值我们可以称之为外负五，它的外值一定是大于且等于，因为刚老说了，等于也是可以成立的，大于等于 a 点的纵坐标，也就是负四， 而且当 x 等于 x b 的 时候，也就是等于 b 点横坐标一的时候， 那我们的外一他也是大于等于 b 点中的标负一的。那我们根据这两种情况下进行一下 代入， a 是 大于等于二十五分之七的，然后再看下第二个，第二个就是外一也是代入，那解完 a 就是 大于等于负二的，那所以说综合分析， a 不 但要小于八分之九，也就是跟这个 直线有两个焦点，而且要跟线段有两个焦点，还得满足这两个条件， a 还得大于等于二十五分之七，还得大于等于负二。所以综合得出，那么这一第一种情况，他就是 a 的 范围就是大于等于二十五分之七小于八分之九的。那我们再来看一下这道题的情况下的第二种情况，也就是当我们 a 小 于零时， 那 a 小 量就是满足我们的通法的。第二种情况，那再画一下草图，那我们依然发现，无论是黄线还是白线左侧虚线交点仍然在 a 点的 下方，右侧交点与白线和黄线的交点也在 b 的 下方，所以说他是不用区分这两种情况讨论的。那所以说我在讲这个通法的时候，我从来没管过这个问题对不对，那也就是只要按老师这个方法，肯定对 它是通法。那所以说这个时候我们依然让 x 等于 x a 时，也就是 等于负五时，我们的 y 负五一定是小于等于 a 的 纵坐标的，依然是负四，而我们 x 等于 x b 的 时候，也就等于一的时候， 我们的外值也就是外一，它一定是小于等于 b 点的纵轴标负一的。那同样的，把这个 x 等于负五和 x 等于一，分别代入到二次函数减去四， 那刚才代入完之后，是大于等于负一和大于等于负一，现在是小于等于负四小于等于负一，那所以结果肯定是刚好相反的。所以第一个 a 大 于等于二十五分之七，这个结论肯定是 a 小 于等于二十五分之七， 那这个刚才是 a 大 于等于负二，现在就是 a 小 于等于负二。那同样的，我们不但要求它的总条件 a 是 小于八分之九的，然后我们还要总条件 a 小 于零，而且 a 还要小于等于二十五分之七， a 还要小于等于负二，那所以这四种情况综合得出， a 只要小于等于负二，一定满足条件，那所以这道题它有两种情况都符合条件，所以整个题的答案 就是 a 是 大于等于二十五分之七，小于八分之九的，或者是 a 也可以是小于等于负二的。 所以说，在做这类题型的时候，我们不用过多分析本题的特殊条件，也不用在乎本题的特殊要求， 我们只要认为它是一个二次函数与线段有两个不同焦点的问题，我们只需要走这两步即可。 第一步呢，就是让二次函数与该线段所在的直线一定要先有两个焦点，那这个比较简单，就是连力让它嘚它大于零，这是这个本题的整个的前提条件。那么第二步呢？第二步就是线端点， 也就是我们画一个草图，因为每一个题的图它不一样，但是方法是一样的。我们每一个题都需要画一个草图，然后如果知道 a 的 正负，那肯定就可以在这两个中任选其一就可。 但如果不知道 a、 b 的 正负，我们需要分类讨论。而且在每一种情况下，画草图的时候都是过这两个端点值，画外轴的平行线 去观察他的外值到底是大于等于端点值的外值，还是小于等于端点值的外值，然后跟第一个情况结合，得出最终答案即可。

哈喽，同学们好，这节课呢，我们就进入二函数与焦点类问题的学习了，此类题型常常作为小压轴出现呢，比如说填空选择都会有，并且大题的中间疑问，对吧？总共两个模块，首先看模块一 那二次函数与直线射线交点的问题。首先二次函数与直线呢，是比较简单的，比如说有两个交点，有一个交点，哎，它有一个交点啊，或者没有交点， 咱们只需要把一函数二函数两个结式呢进行连立，变成关于 x 的 一元二次方程，以后去看德塔，对吧？德塔如果大于零呢，说明有两个交点啊，也就说他俩连立呢，刚好两个解。 如果是一个焦点的时候，得它是等于零，如果说得它小于零，就是没有焦点啊，这个是大家都知道的啊，我就不多说了。那与射线类的焦点的问题呢？有的时候相对于要麻烦一点点，为什么呢？举个例子，那 二次函数和射线的焦点类问题呢？稍微要难一点点，那举个例子，比如说射线 ab 这边是端点， a 这边是 b， 有 的时候我们不仅仅要去考虑射线所在直线和二次函数的关系，对吧？它所在直线，我们从看图就知道，哎，与二次函数有两个焦点， 但是呢，端点在他内部哎，那么这个时候的射线呢，与他只有一个焦点，当然端点有可能还在外部，对吧？ 所以射线和二次函数焦点的问题，不仅仅有的时候，我们要去观察德塔，从代数角度去观察，对吧？还要结合图像去看， 所以啊，此章节竖形结合也尤其的重要，明白吧？那我这里先说到这，我们在题目中实战一下。 那第二，如图函数 y 等于 x 方减 m 绝对值，这种绝对值函数的图一定要会画， 首先呢，我们要画出原本函数的样子，对吧？那你想，这整体加了绝对值，说明 y 这边没有负的，你要把负的部分呢，给它变成正的啊，就折叠上去。所以绝对值函数和原函数之间呢，有一些折叠关系啊，要搞清楚，也就对称关系。 嗯，接下来呢，给出一个 y 二直线，那问他们的一些焦点关系，对吧？首先第一个， 当 m 等于一的时候， y 一 为二，恰好有三个交交点的时候， b 呢，有唯一值，那这会我们的 y 一 就变为 x 方减一的绝对值，那这边是 y 二等于 x 加 b， 所以 这道题显然竖心结合会比较好做。第一个，如果有三个点的话，我啊，要是我的话，我就想到啊，这个地方相切的时候， 对吧？此时，哎，一二三三个焦点，那是不是只有这一种情况呢？ 你要把它平移过去啊，去看看，你想把它往上平移，就两个焦点了，往下平移，哎，这下面的时候呢，就变成四个焦点，你想象一下啊，再往下走，走走走走，哎，是不是有四过度到三，对吧？哎，你看，当这比如说我们的直线啊，经过它 这会呢，也是三个焦点，所以显然第一问呢是错的，咱们就不用去计算，但如果有同学说，我要想计算的话，也不难，是吧？也不难啊，简单说一下，像这种情况的话，这位焦点，这位焦点，而且这里呢是相切的， 如何找到此时的 b 呢？哎，我们只需要以切点入手，对吧？这个地方因为得两等于零啊，它两连立，让 y 二 等于 x 加 b， 与谁连逆呢？与 y 我 们记为 y 三吧，它实则是折叠上去的部分啊，是这个部分相切，对不对？那与这个函数相切的话，你就要把绝对值去掉， 它实则变，为什么呢？去绝对值，它就变为负 x 方加上 e 啊，当然此时这个图像其实只有它的一部分， 为什么是他呢？同学们，思考一下啊，思考一下，咱们回来啊，咱们回来，为什么呢？因为他实则是负的部分折上去的，对不对？也就说中间现在是负的，你去绝对值之后呢，变成其相反数， 所以要与他进行连力，连力之后去解 b 啊，这点要清楚啊。好，第二条啊，那就比较简单了，为什么呢？因为他经过这个点 啊，因为他的话可以把这两个点给他算到有他有经过的这个点坐标，把坐标带进去，就把 b 算出来，是吧？啊？当然我们这里知道啊，他肯定不是唯一值， 所以第一个错了，我们看第二个。那第二个，当 m 等于四的时候，一和二呢？只有两个焦点，这个时候给出一个范围。哎，咱们先把图画出来去看看啊，那如果有两个焦点，它其实在一和三个中间嘛，刚才呢，我们其实有图了， 这里是我们的三个，对吧？这里还有一个，我们都把它画出来啊。这个我交流有点远，强线要相交，所以你想在这个三的上面是两个焦点， 然后在这个三的下边也是两个焦点，但它不是无限下，因为它还有一个比较极限的位置在这儿，哎，有点歪啊， 对不对？所以在这个之间啊，也就是在这个之间，或者在这个以上满足两个交点啊，把这些特殊的 函数解析式算到之后，我们就可以解出来了。那我们先看啊，它现在 m 等于四，也就是说 y 一 等于 x 方减四的绝对值， y 二还是 x 加上 b， 那么我们先找到它相切，对吧？其实我们刚才第一问给大家说过了，我们再算一遍啊，把谁和谁连立呢？把 y 二等于 x 加上 b， 与这个函数连立啊，它就是记为 y 三等于负 x 方加上四， 把它俩邻域就变为 x 方加上 x， 那 加上 b 减四等于零，此时让它的德塔等于零就好了啊，德塔 b 方一减去四倍的 b 减去四， 那等于零，解出这里的 b， 这里的 b 呢，就为 b， 就 等于四分之十七，是吧，也就说这会啊，这个地方是四分之十七要往上走，哎，这会呢，大于四分之十七，哎，前半截是对的，那这个地方呢，我们来简单算一下啊， 后半截我们只需要把这个点和这个点找到就好了，这边显示负二负零，这边是二负零， 把负二都零带进去，所以这会儿就变成 y 二等于啊，负二的话是零，是吧，所以就变成负二加上二啊，显然我们的 b 呢，这会儿应该是二，对吧，就变成 y 是 x 加上二，那么这个地方也就说是二，那这个部分，哎，记错了啊，不是它，是它啊，这个地方是二啊，这个地方是二，那这里把二勾零带进去，显然这个点呢，就变成负二，所以 b 就 在这个之间，那么也就说负二到二之间 等号不能取啊，等号一取，这就变成一个啊。这边是三个不可以，所以这里是没有等号的。那么第二个选项呢？线就是对的。好，我们第二个就过啊，擦一下， 那第三，当 m 等于负 b 的 时候，它俩一定有交点。哎，我们把它带进去， y 一 等于 x 加上 b， 它的绝对值。这边是 y 二等于 x 加上 b。 那有同学说了，是不是把它俩连立去看 delta 呢？其实不好处理的。不好处理，如果你把它俩直接连立是吧，它就变成 x 方，加上 b 的 绝对值等于 x 加上 b。 那 你说这个地方我们该怎么去判断它的 delta 之类的呢？不好判断是吧？因为这里有绝对值， 所以这道题啊，通过这种直接连立是不好处理的。还是啊竖形结合。看图啊，去看图，那一定有焦点，我们先找一个特殊位置。一个焦点的时候是吧？一个焦点的时候呗，如果是一个焦点的时候，它应该长成这样。 嗯，这个图我移一下啊，因为有点小了。那咱们回来啊，找到一个点的特殊位置。 当然啊，因为这里系数是一对不对，这里四十五度啊，特殊角一定要把控住。特殊位置，找到以后弦这是一个特殊点，我当然想表示出来了。好，把它解出来就好了啊，应该不麻烦。 那 x 方加上 b， 它的绝对值，那我们直接让它等于零就好了。所以 x 显然等于正负根号下的负 b 吧 啊， b 显示负的，因为如果不带这里绝对值，这函数化完整的时候呢？那把这如果说化完整啊，这个点的坐标应该是零。逗 b 呗，所以 b 肯定是负的，你折上去之后啊，这个点坐标就变为零逗负 b， 是吧？啊，所以 b 呢，肯定是负的啊， b 肯定是负的，所以它在根式下面呢，加个符号由它呢，我们就知道， 这个点坐标显然为啊，先把它表示出来啊，它就为根号下的负 b 逗零，那这个点的坐标就表示为零逗，负的根号下负 b， 对吧？结合原本的直线，当与外轴相交的时候，此点呢，还能表示为零逗 b， 中间我们自然判断出来 b 小 于零，所以后期的很多小阿周题呢，它有很多小细节。 b 如果小于零，那么此时我们直线和外轴的交点一定是在外轴的负半轴， 也就是它的图最极限的位置呢，应该是这样， 对吧？这条直线只能往下走，它不可能往上走，因为 b 是 小于零的，它只能交于外轴的负半轴，因为它坐标是零逗 b 嘛。 啊，这有个小细节，好，我们观察一下啊，如果刚好是一个焦点的时候，说明这个点和这个点它是同一个点，负的根号下负 b， 应该等于 b 此时就一个焦点， 是不是？那我们想，有没有可能没有焦点，有没有可能 b 继续往下走呢？ 哎，它是可能的呀，它是可能的呀，因为这个点是死的，这个点是死的，但是这个 b 呢，实则它可以活的，是吧，它可以继续往下走啊，当我们的 b 啊， 如果是小于负的根号下负 b， 是 吧？你看，这个点是负的，根号下负 b， 你 的 b 往下走， 那么这会儿就没有焦点，所以它一定有焦点的，肯定是错了，体会一下啊。首先啊，直线只能与外周负半轴相交，当这两个点相等的时候，哎，直线刚好是这样的， 哎，就有一个焦点，当我们的 b 是 比负的根号加负 b 还小的时候，就往下走了， 此时肯定就没有交点。所以第三问想要搞清楚，还是有些小细节的，是吧？包括这个细节，你关注到了没有呢？好，那第三个错了啊，我们看最后一个 来最后一个，最后一个呢， m 等于 b， 所以 y 写在上面吧， y 一 就等于 x 方减 b 的 绝对值 啊。这会，当然我们也可以判断出来， b 显然是一个正的啊，因为这个点坐标就为零负 b， 所以 b 肯定是大于零的。 b 如果大于零，那么我们的直线结合我们刚第三个，它是不是只能往上走，所以它的极限位置呢？在这儿 啊，它只能往上走，只能往上走，它说至少有两个焦点，对不对？哎，你一关注图 显然对的嘛，你看，现在这个地方就有两个焦点啊，这里不能算，因为 b 大 于零，我们经过圆点的话，是等于零， 你往上走的时候，哎，慢慢两个，变三个，变四个，再变三个，再变两个啊，慢慢往上平移，去感受它啊，去感受它，好，其中一个点呢，为零度 m， 对不对啊？对的嘛，因为这个时候呢，你的直线中间啊，你把零带进去，它就是零逗 b 呗。因为 b 又等于 m， 所以 它就经过零逗 m， 没错的啊，没错的，所以最后一个呢，它是对的啊，当然最后一个你要搞清楚，把第三个听懂是吧？判断出 b 的 方这个大小和零的关系啊，你就更好判断。所以这道题二和四啊，这两个是对的，咱们就过了啊。好， 那第三第三的第一问，求 b 点坐标 a c 解释啊，直接给大家 b 点坐标二斗三和，哎， b 点坐标这里好像不对吧。 二，没错，这应该是负三是吧，改一下啊，二逗负三。好，直线解式， y 等于负 x 减三，咱们看第二位， 咱们记一下啊， b 点坐标二逗负三 y a c 等于负 x 减三。嗯，第二文文， 如果函数 x 方减二， x 减三，使其顶点呢，永远是在 a c 上移动，平以后与抛物线呢啊，抛物线与射线只有一个交点，那么这会 顶点坐标横坐标呢？是 n， 写出 n 的 取值范围。那首先我们把 ac 线连接出来看一下， 如果函数平移后只能在 a c 上移动， a c 解析式是有的，那我就可以把它平移后的顶点坐标表示出来。假设平移后的顶点坐标即为 a 撇，那把它看成 n 到负 n 减三 啊，应该没问题吧。好，也就这会儿呢，我们的二次函数就变为 x 减 n 的 平方减 n 减三，对吧？把顶点坐标带进来啊，给出它解释。好，我们现在看一下啊，如果与射线是吧，他说了啊，射线 a b 只有一个焦点 连起来啊，这是有端点的。那显然函数的平移呢，有可能朝左平移，有可能朝右平移，我们要分类讨论了，我们先朝左平移吧， 如果朝左平移，它有一个焦点，会长成什么样呢？画画草图是吧？画画草图啊，如果朝左平移，它就会出现。 哎，这种情况吧，也就说和我们的 ab 刚好是相切的情况吧，这是一种， 那如果说它和 ab 是 相切，我就可以把二次函数和 ab 所在直线直接连立，让得大于零就行了。 当然有同学说，哎，有没有可能相切呢？不在 a、 b 上，那我们解出此坐标验证一下就可以了。验证一下。好，那我们把二函数和 a、 b 所在的直线进行连立，是吧？一个是它，一个是 y， a b， 因为本身 a 和 b 它的坐标是相同的。知道的不是相同的啊，知道的啊，你就可以算出它几式，或者 a c 和 ab 是 关于平行于 y 轴的直线对称。那它俩的斜率呢？就是互为相反数，是不是啊？原本它是负 x， 那 这边就是 x， 那 它又经过 a 点坐标， a 点坐标呢？是，呃，一斗负四。 好，你把它带进去算一带进来，这边是负四啊，显示减五，把它俩进行连立。 连立以后，有同学说，有点复杂啊。没有关系，连立之后呢，我直接把它拆开啊， x 方减去二 n， x 加上 n 方减 n 减三，把它直接拿过去啊，减 x 加上五等于零。 那现在整理一下， x 方减去，它俩合起来二 n 加一，再加上 n 方减 n 加上二等于零。看起来有点复杂。不要着急，你往后整就行了。反正要求得它 b 方减 c， a c， b 方呢，就变为四， n 方 加上四 n 加上一，减四 a， c， 是 吧？把四乘过来啊，也就是说减去四倍的 n 方，减 n 加上二。这里我直接打开啊，减四 n 方加上四 n 减八等于零。 好，整理一下。刚好你看复杂的地方给它减掉了，对吧？它俩加起来八 n 等于七， n 就 等于八分之七。好，具体这个八分之七在不在 ab 射线上，或者在他反向延长线上，我们验证一下。 怎么验证呢？八分之七，我们看在不在 b 的， 他是不是比 b 小， 是吧？应该比 b 小 的话，他肯定就在射线上，如果比 b 大， 他在这边， 那 b 点坐标是多少？这里如果是一，那 b 点坐标是二斗二斗级，对不对？显然八分之七比二要小，哎，它就和射线此时啊， a b 是 相切的， 对吧？是相切的好。这有一种情况，当有的同学也会说，还会出现往左平移的另外一种情况，什么情况呢啊？咱们画一下图啊，那咱们回来啊，有的同学他也会想，会不会有这种情况， 哎，一个焦点啊，像这种情况，暂停思考会不会有？好，咱们回来有没有呢？啊？显然没有，为什么呢？因为它的原函数和直线就有两个焦点，它在朝左平移的过程中呢，有两个变成一个相切了， 对吧？你说的这种情况，它是什么呢？它可能原本啊，直线和函数就有一个焦点，但是它是原本有两个焦点，在你函数往这边平移的过程中呢，变成相切一个焦点， 所以它往这边平移的过程中，不会出现和 ab 只有一个相交，它只会出现啊，像这种情况，相交啊，只可能出现相切， 懂了吧？所以朝左平移相切的这个答案呢，咱们就找到了， n 就 等于八分之七只有一个啊，记下来。好，剩下就是朝右平移了，咱们看看。 那如果是朝右平移，因为我们一个焦点，他肯定是在零个和二个之间嘛，往左边是零个，我们就不说了，对吧？往 右边呢，比如说这个时候，这个时候相切的啊，往右边平移，它就会由一个变成两个，但是我们要的是一个，有没有某一个特殊位？

今天咱们来分享到二次函数中的对值问题，先看题，如图，抛物线 y 等于 a， x 平方减四， a x 加五，与 x 轴交于点，交于点， a 是 负一，偶号零，写上 五一，逗号零 b 两点交 y 轴，点 c 点 p 为抛物线的顶点，也就是这条抛物线这个顶点在这里。 第一，当 y 等于负 x 加 b， 与 a p 有 交点时，求 b 的 范围，要求 b 的 范围。也就是说，假如说这里的 a p， 它就是 y 等于负 x 加 b， 那 这里的 b 是 不是也就是这个高， 这里的高也就是这里，这就是 b， 对 吧？好，那求这种的 b 的 范围，那是看到这种范围，咱们要找，咱们要开干什么？是不是要找他的极限，也就是说这个 y 等于负 x 加 b， 他的极限是可以动到哪里？ 那他在这条他肯定是在 a p 上有个焦点， a p 上有个焦点，那他的极限是不是两点，一个 a， 一个 p。 所以 咱们就要 首先是不是要把这个解吸式啊，底啊都给它找出来，对不对？也就把它解出来，都解出来， 那是不是咱们才好特别方便入手？所以咱们先把解吸式二次函数解吸式的抛物线解出来，也就是首先它其中改的是 y 等于 ax 平方减四， ac 减四， a x 加五。抛物线上是不是有一点 a， 它是交于 y 轴的，交于 x 轴的，所以代入 a 是 负一和零，就可以知道是 a 加上四， a 加五 等于零五， a 加五等于零， a 就 可以知道是负一。有了负一，好，代入解式是 y 等于负 x 平方加上四 x 加五，这里 p 它是不是顶点，也就是顶点，它还是一样是负的。二， a 分 之 b 等号四， a 分 之四， a， c 减去 b 平方， 那有了这个直接带入 a， 负一 b 四， c 减去 b 平方，那有了这个，直接带入 a 负一 b 四 a c 五，所以在一个坐标是二，都号九， 有了。屁，有了这些条件。好，咱们开始解第一问。第一问，咱们刚说说他两边极限就是 a 和 p， 那 把他们这个 a 和 p 分 别带入进去，是不是就可以解出 b 的 值？解出 b 的 值是不是 b 的 范围就有？所以带入 a 与 y 等于负， x 加 b， 一加 b 是 不是等于零？ b 是 不是因此就等于负一啊？好，这是 b 解出一个值，这是它的极限，也是可以等于的。所以代入 p 于 y 等于负， x 加 b， 也就是负二加 b 等于九，然后 b 就 可以就等于十一， 发现没 a， 他 是不是在下方？屁，他是不是最在最顶面，最顶端，对吧？好，所以这里的 b 他 肯定是小于或等于十一，大于或等于负一的，因为什么呢？这里 b 假如说是这样的， 因为他是负的负 x， a 是 负的， k 是 负的，所以他这肯定是过二四三点， 这么斜着二十二四相线，所以肯定是可以在这里，对吧？好，也就是说它肯定是小于或等于十一，大于或等于负一的。继续看第二问， m 的 坐标是 t 减一等号 m， n 的 坐标是 t 加一等号 n。 好，在抛物线上，若 t 他 给出范围了，是小于二大于负一的，求 m 减 n 的 范围。要求 m 减 n 的 范围怎么办？ 肯定是不是首先要把这里头的 m 和 n， 肯定是要把这些带 t 的 这种呃，这种呃式子都要求出来，然后再利用 t 的 范围，然后再去求以 m 减 n 的 范围。 好，首先咱们把 m 的 横坐标带入到 y 等于负 x 平方加四， x 加五，中 m 是 不是就可以知道是负的？ t 减一的完全平方，还要再加上 四位角 t 减一，再加五，然后化简一下，把这个完全平方可以完全平方差，然后给解出来是不是负的括号， t 平方减二， t 加一， 然后再加上四倍的 t 减一加五呀？拆括号，也就是负 t 平方加上二 t 减一，再加上四 t 减四加五， 然后把这些合并同类项，也就是负 t 平方加上六 t m 它是不是这个小 m 是 不是代表出来了？把 m 都带进去了，也就是这个 m 的 这个坐标点都带进去，那肯定还要再把 n 带进去，然后再求出这个 n 就 可以了。 好，带入 n 与 y 等于负 x 平方加四， x 加五之中 n 就 等于负的框 t 加 e 的 完全平方， 然后再加上四倍的 t 加一加五，然后拆括号，这里咱们就省略拆括号，也就是负 t 平方减去二 t 减一，然后再加上四 t 加四，再加五，合并同类项，继续合并同类项，把这里头的合并同类项，也就是负 t 平方加上二 t 加八， m 和 n 是 不是都表达出来了？ m 减 n 也是不是可以表达出来？那么 m 减 n 是 等于什么呢？是不是负 t 平方加上六 t， 然后还要再加上 t 平方减去二 t 减八，所以 m n 再继续合并同类项， t 平方 t 平方没了， 然后这里正六 t 和负二 t 就 变成了呃，四 t 了，这里后头减八不变，也就是 m 减 n 是 四 t 减八，其中是不是给了 t 的 范围，给了 t 的 范围直接代入， 先把呃这个 t 的 t 等于二带进去，这里咱们还是找极限，但是这里不过它是小于和大于，这里没有极限，极限是无穷的，所以 咱们要找它这个呃小于或大于的数字最小的或最大的，也就是先把 t 带进去了， t 只等于二，带不进去，减出是等于零，再把 t 等于负一带不进去，减出是负十二，那么肯定是 m 减 n 是 要小于零大于负十二的。好，咱们接下来把这道本把本题来做一个总结，如何下手？ 遇到这种求最值问题，首先要看他给的点坐标，这个这种把基本的都得求出来。条件解出来先，首先肯定要把这些基本条件解出来，然后看到这种， 比如说点在动啊，线在动，肯定是要把这些呃点和线，不是点和线是这里头的坐标，点和这些极限肯定是要带进去的，如果遇到这种带这种未知数含参的，那也是要带进去。好 呃，表达出他的横坐标或者纵坐标，然后再利用他给出的范围再去解他要解的什么就可以了。

今天咱们来讲到二次函数中的这一只问题。 首先先看题，如图，已知抛物线 y 等于负的四分之一， x 平方加二分之三， x 加四，与 x 轴交于 ab 两点 ab 解析式是不是已经给出来了？写上是 y 等于负的 四分之一， x 平方要再加上分之三， x 加四，对吧？好，与 y 轴交于点 c， 点 c 作 p， 是 抛物线上 bc 两点之间一个动点，也就是它在 bc 之间移动， 不与 b、 c 重合，也就是说它肯定是不与 b、 c 重合，而且这个屁还是在这一段距离运动的。过点屁做 p d 平行于 y 轴， p d 要平行于 y 轴 直线， b， c 于点 d， b、 c 和点 d， 求 p d， p d 的 最大值，要求 p d 最大值， 在求 p d 最大值。首先解析式，这个解析式是不是有了呀？二层解析式有了，那咱们点的坐标是不知道？首先是肯定式，咱们选择的是把点的坐标都给求出来， 首先 ab 它是不是交于 x 中了， x 中，所以也就知道是 y 等于零， y 等于零，就有了个一元二次方程，也就是负的四分之一， x 平方加二分之三加四等于零，两边同时乘以四， 也就是负的 x 平方加上六， x 加十六等于零。然后再 把这个负号去了，也就是 x 平方减六， x 加上减十六等于零一十分解一下，也就是 x 减八，乘以 x 加二等于零，就可以知道 x 一 等于八， x 二等于负二。 观察图像是不是 a， 它是在 b 的 左侧，也就是说 a 在 b 的 左侧，肯定是 a， 它的横坐标应该是负二， b 的 横坐标应该是八，所以就是可以知道 a， 它的坐标是负二，得号零， b 的 坐标是 八，逗号零。同样往这里的题目也说了， c 它是不是交于 y 轴呀？ y 轴也就 x 等于零， x 等于直接代入 c， 它坐标是不是有了？有了是零，逗号四。 好，这里是不是要求 p d 的 最大值啊？要求 p d 的 最大值是不是跟 d 有 关系？ d 它在哪里呢？是不是在 bc 上面？ bc 上面他因此没给一条线段，他给的是一条直线，所以两边都出头了，肯定是一个解析式。所以咱们设 bc， 他的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 因为这是个一次函数嘛。 好， k 这种一次函数，咱们不像二次函数要用三个点，一次函数只用两个点就可以了， 两个点有 b 有 c 就 可以求出来。意思还有一些是，首先知道是 c， 坐标是零，逗号四， b 坐标是八，逗号零，然后直接带入脑，咱们设的是 a 等于 k， x 加 b 值。哦， b 就 可以知道是四，然后八， k 加 b 等于零，因此咱们就可以得到 k， 它是等于负的二分之一， b， 它是等于四。有了 k， 有 了 b， 咱们直接代入解析式， c， b 的 这个解析式是 y 等于负的二分之一， x 加四。 那现在咱们现在要看要求的 p、 d 最大值该咋办？ 首先咱们其中是不是说 p， 它肯定 p， 它是不是在 b c 这条这条线上运动，不与 p c、 b 重合对不对？要是不与 c、 b 重合，所以 p， 它运动只能在这一个范围之间好，其中它只是给了一个引用的形式， 他是不是什么也没有，什么也没有，还是一样，咱们就用咱们的最熟悉的设参数法。设参数法呢，肯定是设 p 的 横坐标有了 p 的 横坐标，重坐标是不是也有了？ 所以设 x， p 等于 a， 也就是 p 的 横坐标，所以是不可以表达出来 p 的 这个坐标呀，是 a 逗号负的四分之一 a 平方加上二分之三 a 加四，其中给了一个条件，我们知道过点 p 作 p d 平行于 y 轴， p d 要是平行于 y 轴， 它会说明什么？是，是不是说明 p d 这条线上的所有咱们设 p 的 横坐标是不是 a 呀？那在这 p d 上面所有的点，它的横坐标是不是都是 a？ 所以 咱们刚才求，是不是求出来 d 在 这个 y 等于负的二分之一 x 加四的解析式上面，那么 d 它是不是也可以表示出来了？横着横着边还是 a 吗？也就是 a 逗号负的二分之一 a 加四 d， 把 a 代入到解析式中了， 现在是不是可以表达出来 p d 了？用 p 的 纵坐标减去 d 的 纵坐标，也就是负的四分之一 a 平方加上二分之三， a 再加四，加上二分之一 a 减四，四四约了， 最后只剩下了负的四分之一 a 平方加上二 a。 咱们刚说了，题中也说了是不是 p， 它是不是不与 bc 重合？不与 bc 重合，也就是 bc 乘和。是不是要关于它的 x 坐标无所谓嘛，关于它 x x， 它咱们测的是不是 a 呀？ a c， 它的 x 横坐标是不是零？ b 它的横坐标是不是八？那 a 是 不是有了个范围？ a 它是不是要大于零和小于八呀？满足这个条件，是不是可以知道最大等于 a， 最大值 a， 它是不是等于四呀？为什么呢？一般的是不是中间值它是最大的？还有一种， 它这个顶点是不是最大的顶点，咱们可以解出来，也就是它的这个对称轴，还有最后咱们可以解出来是负的二， a 分 之 b， a 它是负的四分之一， b 它是二分之三 好代入就可以知道他的对称轴为四，对称轴也就是他这在这个顶点，顶点，他这个二次函数是不是倒立着的， 也就是开口向下，开口向下顶点是不是他这上面最大的点？也就是说 a 的 最大值为是不是为四呀？ a 的 最大值为四， 其中是不是也要求最大值？所以 a 咱们是不是就有了？是 a 等于四呀？ a 等于四代入，咱们刚才的解出来的 p d 好， 那么 p d 它是不是负四加八，然后这里是不是等于四？它这里是不是只求最大值？不要忘后面还有呢？然后与 p 的 坐标，还要把 p 的 坐标求出来，咱们的也就是 p d， p d 解出来了是四，好代入， y 等于负的四分之一， x 平方加上 二分之三， x 加四代入的不要是 p d 啊， p d， 它只是这一条线段而已。咱们刚解出来是什么？ a 的 最大值是不是为四？ a 有 的最大值 也就是 a 等于四了， a 等于四好，但是咱们刚设的这个 p 的 坐标之中就可以写出 y， p 等于六，也就是 p 的 纵坐标为六，所以就可以知道 p 的 坐标是不是四，得号六呀？

这个视频里，我来给你讲讲如何利用二参数来求点坐标。在一次高尔夫球比赛中，小高在沙坡下的 o 点打出一球飞向 a 点的球洞。球的飞行路线是个抛物线，如果不考虑空气阻力的话，当球飞到最大高度十二米时，球移动的水平距离就为九米，因此最高点的坐标也就是九和十二了。 如果再告诉你，山坡 o a 与水平方向 o c 的 夹角为三十度， o a 两点相距八倍，根号三米，那点 a 的 坐标是多少呢？小高这一杆又能否把球打进 a 点的动力呢？ 首先来看第一个问题， a 的 坐标不就是 o c 和 a c 这两线段的长度吗？由于这里是三十度，那 a c 的 长度自然就等于 o a 的 一半，也就是八倍根号三除以二，第四倍根号三了。 接下来就 o c。 由于这里是三十度，那 o c 的 长度自然就是 a c 长度的杠二三倍，因此 o c 的 长度就等于杠二三乘四倍，杠二三算一算，结果就等于十二，那一点的坐标也就是十二和四倍杠二三了。这一问搞定了，接下来就要看看这个球能不能进洞了。 不难看出，如果这个球能够进洞的话，那就说明这个球的飞行路线肯定会经过 a 点，换句话说， a 点就一定在这条抛物线之上。那你只要把 a 点的坐标带进这个抛物线的解析式里算一算，不就可以决定了吗？因此，接下来咱就来围观一下这个抛物线是个啥情况。 根据图中的条件，这个抛物线一定经过点 b 和点 o， 点 b 的 坐标是九和十二，那咱就可以把它的解析式设为， y 等于 a 乘 x 减九的零方加十二。 由于还经过了零零点，把这个坐标代入解析式，得到零等于 a 乘零点九的平方加十二，算一算， a 就 等于负二十七分之四。因此，这条抛物线的解析式，也就是 y 等于负二十七分之四乘 x 减九的平方加十二了。化简一下就是这样， 解气式搞定了，那就可以把 a 点的坐标带进来验算了。把十二带进来算一算， y 就 等于三分之三十二。哎，刚才这点的动坐标不是四倍杠二三吗？这俩也不相等啊，因此 a 点就不在跑位线上。换句话来说，小高这一杆还是把球打偏了。 好了，就讲这么多，总结一下，处理这类实际问题的关键就是你得根据给出的条件，把抛物线的解析式搞定，然后再利用这个解析式就可以求出相应点的坐标了。怎么样，听懂了吧？赶紧动手试试吧！

好，同学们今天会给大家带来一个关于这个啊，函数一道二十四题，那么大家都知道，呃，基本上我会把这个去年每一套二模卷的这个呃，二四二五啊，十七十八，基本上都会在这里讲一遍， 对吧？那么我觉得如果说能够去把去年二模的这些题你都去真的想透吃透，你再举一反三的话，我觉得应该是有一个比较大的一个收获，对吧？而且其实每一道题，每个人的解法不一定就只有一种，或者说是一样的， 那么如果说你用不同的方法，比较少见的这个方法去做出来，其实也是很宝贵的这个呃，财富，对吧？那我们来看一看这个这道题吧，这道题其实难度并不高啊，有很多种想法或者说解法，但是这道题大家可以去想一想，他再要 考你的什么样的一个能力，对吧？其实这道题是要考你这个啊，用未知数去表示点坐标的一个能力。我们来看第一问，他说这个抛物线与 x 轴交于 a 点二零， b 点呢？在这个呃， a 点的左侧，对吧？因为 a 在 b 的 右侧嘛，那么 b 就 在左侧，那么大概比如说在这啊，与 y 正半轴交于点 c， 大 概率是这样的一个图像， 他现在告诉你呢，如果 a b 等于六，好，第一问， a b 等于六的话， a 点坐标二零，所以马上可以写出我们的 b 点坐标应该是负四，逗号零，对不对？好，那么毫无疑问，我最喜欢还是先去找我们这个对称轴所在的横坐标，那么其实是不是就是 a b 的 中点， 所以说我们的这个顶点 p 的 横坐标是不是就应该等于二分之 x 一 加 x 二，那么就是负一，对不对？那么顶点的横坐标是不是负一啊？ 对吧？好，那么顶点的横坐标是负一的话，我们可以直接用我们的这个什么顶点坐标公式。那么负二 a 分 之 b 是 不是就等于负一啊？代入负二 a 分 之 b， 那 么是不是就应该是二 b 是 不是就应该等于负一？所以解得 b 应该等于多少等于负二分之一？ 好，那么所以 y 是 不是等于负四分之一 x 方再减去二分之一 x 再加上 c？ 随便你带一个坐标 a 点或者 b 点带进去解一解，算出来 c 值应该等于二，所以 y 等于负四分之一 x 平方 再减去二分之一 x 再加上二啊。如果说这个在这个地方不知道这个顶点坐标横坐标为什么是负一， 包括说为什么是二 b 等于负一的话，你可以来专门问一下我，好吧，这个地方需要知道啊，是一个基本的知识点。那么第二题他说如果用含 b 的 代数式去表示点 b 的 坐标，那你看他这题除了相当纯粹， 没有什么额外附加效条件，只是让你用 b 的 代数表示屁。那么首先你要记住，这种题往往先去干嘛呢？先去统一字母，因为他说用 b 表示，那么我现在想办法把所有字母都换成 b， 那 么有限星系是不就 a 二零啊？所以你把 a 二零是不是代入， 那么零就应该等于负一加二 b 加 c， 那 么所以你得到你现在的抛物线是不是变了？ 所以现在是不是应该变成啊？抱歉，写错了， c 应该等于一减二 b， 所以 是不是应该得到 y 等于负四分之一 x 平方再加上 b x 再加上一减去二 b。 好，当你得到这个抛物线了之后呢？其实就离答案做出来很过很快了，对不对？因为还是老套路啊，在我第一问用过是不是我们的顶点坐标横坐标的公式啊，对不对？那么 p x 这时候算一算，负二 a 分 之 b 带进去算一算，算出来应该是不是等于二 b 啊？ 那么所以你的顶点 p 是 不是只需要把二 b 往抛物线里面带就可以了？那么算一算，算出来应该是不是？呃， b 方减二 b 加一对不对？所以我觉得这两问，其实前两问还是比较送分的，包括说第三问，我觉得 甚至都很好拿分啊，是真的很好拿分。那我们大概去画一画这个图，它是经过点 p 的， 这样呢，大概要一个抛物线好顶点 p， 比如说在这里，他说这个直线 pc 交 x 轴与点 e， 好， 我把 pc 去延长一下，那么这里交到一个点 e， 他 说如果 bc 等于 ec， bc 等于 ec 意味着这里是个等腰，所以这里是个弧角，这里也是个弧角， 对不对？哎，这个题其实你要求抛物线的一个表达式的话，你看啊，现在其实抛物线有两个未知数，对不对？但是我在上一问做的基础上，实际上我就已经做到了把它表示成是不是 只有一个未知数的前提下。那么只有一个未知数的前提下，我其实只需要知道一个点坐标，就能去把这个抛物线给解出来了。 那么怎么样利用这个 b c 等于 e c 呢？我觉得这道题很无脑的方法，就是去把这些 pc 求一求，而且非常好求。为什么这么说呢？因为你 a 点坐标已经知道对不对，所以你 b 点坐标是不是可以一下就写出来的， 对吧？因为我们求过对称轴，是不是二 b 啊？是不是二 b 啊？那么所以 b 点的坐标是不是关于二 b 对 称的，对不对？是不是关于二 b 对 称的？好，那么所以说我们可以把一点的坐标写出来吧， 对不对？应该是多少？应该是不是二减去四 b 等号零，是不是？是不是？ 如果你写二减四 b 等于零的话，恭喜你就答错了啊，大家想一想，为什么？为什么？其实你说如果你要去表示这个点坐标，我告诉大家一个最无脑的方法，直接用中点公式二分之 x 一 加 x 二是不是应该等于你终点的坐标？你终点的坐标是不是二 b 啊？ 对吧？你中点的坐标是不是应该是二 b 啊？对不对？好，那么所以说你的这个 x 一 是不是应该就是四 b 减去你另外一个减，是不是二啊？ 所以你 b 点坐标是不是四 b 减二，逗号零？ b 点坐标是四 b 减二，逗号零的话，所以你 e 点的坐标是不是跟它是对称的，就应该是相反数二减四 b 对 不对？你 c 点的坐标你看是不是就是与 y 轴的交点是零，逗号一减二 b？ 观察一下，其实如果熟练的同学或者听过之前课的同学都知道这个一下就能够把斜率是不是看出来， 是不是就相当于这个 tan theta 值，是不是就应该是二分之一？当然如果你去自己去解的话，也可以就是设 c e， 把 c e 设成 y 等于 k， x 过点 c 是 不是一减二 b 啊？设成加一减去二 b， 然后再带入我们的这个二减四 b 逗号零，那么所以 k 解的应该等于多少？应该等于负的二分之一吧， 所以 y 是 不是等于负二分之一的 x 加上一减去二 b， 对 不对？好，如果你把这个解析式解出来了之后，其实你基本上就已经做完了最后步干嘛？最后步干嘛带入你的点屁啊？ p 点坐标是不是二 b 逗号 b 方减二 b 加一，好，去算一算是不是 b 方减去二 b 再加上一应该等于多少？是不是负一减三 b 啊？就是 好，一是约掉了拿过来负三 b 变成加三 b， 那 么是不是 b 方加 b 等于零，那么是不是解得 b 等于负一？还有个 b 等于零跟题目条件是不是违背的？所以解出来 b 等于一 好， b 等于出来了，带回你的这个，呃，最开始设的这个抛物线，那么带回 y 等于负四分之一 x 平方再减 x 再加三，那么就出来了， 好，那么这道题还是相当简单的吧，对吧？那么主要一个就是点坐标的表示， 对吧？所以还有就是你在里面注意千万千万，对吧？不要阴沟翻船，把点坐标表示错，那么这道题当然还有一个方法，大家会发现坐标轴自带直角对不对？那么所以如果你过点屁往下做一条垂线的话，你会发现 里面存在相似三角形，对不对？那么这道题其实你用这个相似三角形做也是可以的。好吧，所以我跟大家说，其实条条大路通罗马，关键是在于你自己到底喜欢哪种，包括平常训练哪种比较稳，或者说比较有感觉。 好吧，那我们这个下期再见。如果你有这个呃想听的题型，或者说自己有不懂的不理解的这种题型你也可以留在评论区，或者在这个后台私信我。

这道题呢，是沈阳的某重点中学刚考完的一道题，那也是难倒了一片同学。那其实在老师看来呢，这个题就属于大傻子题，为什么呢？因为它就像做实验一样，只要把实验做对了，每一个节点，弄明白它的原理，那么这种题就迎刃而解。那么这道题呢，首先它有个心病，也参与其中。那我们读一下， 我们把函数图像上横坐标与纵坐标互为相反数的点，叫做这个函数图像的互反点。那具体什么叫互反点呢？其实就是顾名思义，横纵坐标互为相反数，就是加起来等于 零的点。那么无论是在我们的初二阶段还是初三阶段，只要新定义里含有横纵坐标关系的这种新定义，我们都把它转化成函数思想，也就是它就相当于这种点一定落在了 y 等于负 x 这个一次函数图像上，那这样的话就比较容易理解。 好，我们看一下第四问压轴问如图，点 q 的 坐标是 m 到零 为 x 轴上一个动点，那么也就是说咱们的点 q 是 任意动的，它只要是 x 轴的点都可以。而下一句话，过点 q 做直线， l 垂直于 x 轴，若函数 y 等于负 x， 方加二 x， 如果大于等于 m， 也就是它这块是有一个要求的。对于这个二次函数呢，我们只截取横坐标大于等于 m 的 这部分图像，而且把这个图像称作为 w 一。 那比如说在第一个图中，哪一部分是 w 一 呢？也就是大于等于 m 的 右侧部分，也就是老师画的这个橘色部分，称之为这道题的 w 一。 然后呢，做了什么变换呢？将 w 一 沿直线 l 翻折后，那我们将它翻折一下，翻折后 那就是这个函数，那这部分翻折后的图像呢？它给它积为了 w 二，所以说这一部分称之为 w 二。而本题的要求是什么呢？是当 w 一 和 w 二两部分组成的图像上恰有两个 互反点，那么刚才老师说了，什么叫互反点？就是一定落在了 y 等于负 x 这个图像上的点。那所以说我们可以在图中找一下 y 等于负 x 这个图像 好，也就是这个橘色图像是 y 等于负 x。 那 么我先分析一下目前给的这个案例， 那么这个案例呢？你发现它两个橘色部分这是相接的啊，那这个橘色部分图像 w 一 和 w 二跟这个 y 等于负 x， 确实在这种情况下，它就存在了两个 互反点，也就是在求这两个 w 一 w 二与 y 等于负 x 的 相交点，所以这个点它也叫 互反点，那这个点也叫互反点，它有两个互反点对不对？也？这种情况其实就满足咱们题中的已知条件， 但是由于本题它直线 l 也就相当于 q， 它是一个未知的动点，那所以说这类题呢，我们就需要做一下实验，那这个实验我们该如何做呢？那我们在第二个图中画一下。首先我们先将 y 等于负 x 这根线先画出来。 好，这就是 y 等于负 x 这根直线，那我们从右侧向左侧依次做实验。好，那我们在它的右侧先取一根线，那比如说这根线就是咱们的 l， 那 与 x 轴的交点就是点 q， 它的坐标为 m 到零。那同学们观察一下这道题该取哪两部分？ w 一 和 w 二，那由于这道题的图呢，它稍微有点不够，那我们把这个 抛物线再接一会，假设是这样，那这样的话我们说了，那原图像呢？直接取大于等于 m， 也就是直线 l 右侧部分，那我们来看一下，画一个橘色，那也就是这部分， 然后这部分就是 w 一， 而把 w 一 沿着直线 l 翻折之后，那也就是跟它对称，这边 这边称之为 w 二，而这两部分组合到一起，跟这个 y 等于 负 x 有 焦点的话，那么这个焦点呢？就称之为互反点。那我们看一下这个图像跟我们的 y 等于负 x 这根线有没有焦点呢？是不是没有焦点？那所以说其实这种情况下，它的焦点个数为零， 那我们就更别提他有两个互反点的要求了，他一个互反点都没有，那我们继续做实验，将我们的这个直线 l 继续向左移，那我们会发现其实他有一个临界位置，就是只要我们的 l 在 这个焦点的右侧，你会发现他的图像都长这样， 对不对？那比如再做一个，那，那这个情况，那我们再画一下他右部分和左部分， 那它的右部分依然是从这块的右边，还有把它翻折，那是不是仍然这个小黄色区域与 y 等于负 x 还是没有交点，那么当直线 l 继续往左移，移到什么位置的时候，这段图像就会与 y 等于负 x 有 交点了呢？那我们很容易就能发现，其实就当这个直线 l 它正好过这个这个交点的时候， 那这个时候呢？我们右侧部分也就大于等于 m 这部分应该怎么画呢？那老师用黄色画一下，那就是这一块，对不对？那把它进行翻折的话，就是这一块，那你会发现这一部分图像它正正好好，它与这个 y 等于负 x， 有 且只有一个交点，其实就是这个尖的部分， 也就是这个最顶的这个顶点的部分，对不对？但是这个时候它其实也就能满足它的焦点个数才只有一个，也是不满足有两个的情况。但是如果我们的 l 继续往左移，再来一种情况，比如说到这儿， l 到这儿之后，那我们这个时候它的图像该怎么画呢？首先 l 的 右侧部分，那就是咱们这次拿红色的画， 那就是这根红线，对不对？那它左侧部分是不是将这根图像红色图像进行翻折，那你会发现这一次的红色区域跟咱们的 y 等于负 x， 就 的的确确有几个焦点了，是不就有两个焦点了？一个是这个红色的焦点， 还有一个就是这边还有一个交点，但这个交点不一定就落在零点啊，只是刚巧差不多落在这而已，但是不一定落在这，那这个时候是不是就充分满足了咱们这个要求？有几个焦点？两个焦点，那所以说当直线 l 我 越过了它本二次函数 与本 y 等于负 x 这两根原函数的右交点的时候，你发现它就满足了其中的条件，所以说我们第一个临界点， 那就是它的右焦点，那也就是只要比右焦点小的就对了，对不对？那这个时候你会发现它都会有两个焦点，那比如说再再来一个， 比如说 l 跑这来，那是不是依然的画一下它的图像，比如说紫色，那它右部分图像就是这 这个整个紫色部分左侧呢？就是把它进行翻折。哎，那你会发现这种情况下它也依然满足。咱们有几个焦点，是不是两个？一个还是这个 右焦点，对不对？还有一个就是左侧部分与它的左边这有一个焦点，那所以说无论是在对称轴这头，它红色区域，它也是两个焦点，那所以说这种情况下都是满足的。 那继续再往左移的时候，移到什么位置，你就会发现它又变了呢？那是不是除了原二次函数和原 y 等于负 x 的 右焦点之外，它还有一个左焦点，是不是？那咱们再研究一下它当它走到左焦点的时候发生什么情况， 左焦点是不是就在这？那我们画一下，这个大约就是这根直线，它正好过原二次函数和原 y 等于负 x 这根直线的左焦点。那么这个时候它的图像长什么样呢？我们再画一下，那它的右半部分就是这 左半部分，就是翻折。哎，你会发现黄色的 m 区域，它与整个 y 等于负 x， 咱把 y 等于负 x 换一种颜色啊。 好，老师把这个 y 等于负 x， 这根线呢画成了橙色的线，比较容易观察。那么这个时候我们发现，老师最后画的这个黄色的 m 区域与这个橙色的 y 等于负 x， 刚好有三个焦点，一个是这有一个对不对？ 还有一个就是在这个焦点处有一个，还有一个是右焦点，还有一个。所以这个时刻你会发现就黄色这个它的焦点个数发生了变化，它有三个焦点了， 对不对？所以说它从零个焦点变到一个焦点，变到中间区域，正好有两个焦点，然后到这块的时候，它整个变成了三个焦点。那所以说咱们的第二个临界点就是左焦点， 而且在左右焦点的中间区域都是符合咱们的要求的，都是有两个互反点，而且不包含端点。 因为这个直线 l 刚好交原函数的右焦点的时候呢，它只有一个焦点， 交左焦点的时候呢，它有三个焦点，它都不符合题，那所以说只能在中间取，也就是我们的 m 的 取值范围，也就是点 q 的 位置，或者说直线 l 所在的位置呢，一定要在左焦点和右脚点中间的部分，那左焦点在这根线，右脚点在这根线，老师划一下， m 就 在 这段区域，而且左右都是空心的点，不能取短点值。好，继续，我们让直线 l 继续往左运动，那如果继续再往左运动之后又发生了什么情况呢？我们再来画一个草图。 好，老师把草图画完了，那么刚才咱们的最后一个直线 l 的 位置呢，是与它原两个函数的左焦点处相交，那么咱继续再往左平移，那比如说直线 l 在 这个位置。 好，那这种情况下，我们再来找一下它 w 一 w 二的位置，首先保留原二次函数 l 的 右侧部分黄色 这部分图像，也就是右边叫 w 一。 那我们很容易就发现，其实咱们右半部分 w 一 这个图像，它已经与橙色的 y 等于负 x 已经存在了 两个焦点了，而这两个焦点已经叫互反点了，对不对？那所以说我们这种情况下，如果想让它有且只有两个互反点的话，那左半部分图像就不能再产生 互反点了，也就不能再与橙色图像有交点了。那么这个时候该如何去限制呢？那我们大致的画一下左半部分图像，就是将黄色区域沿着直线 l 翻折到左侧。 哎，那老师现在画这个图呢，就很明显有点像它左侧没有焦点的情况了，那这个时候它依然是满足，把这边也用红色画一下， 它仍然就满足。 w 一 和 w 二正好有两个互反点的时候，因为 w 一 右侧它是有两个的，而左侧的 w 二是没有的， 那什么时候就没有呢？那同学们知道，那肯定它是有有的时候有没有的时候。我们都知道二次函数和一条直线有焦点，有几个焦点它是由得它决定的， 也就是让这两个函数连立成方程之后，得它如果大于零，它有两个焦点，得它如果等于零，它就有一个焦点，得它如果小于零，它就没有焦点。所 所以说我们等于零其实就是一个临界点。但是这道题呢，它想让它左侧图像与这条直线无交点，所以就将左侧部分图像与 y 等于负 x 连立之后，嘚儿它一定要小于零。那左侧图像的解析式是什么呢？那么其实这个如果二次函数学明白的孩子是非常简单的， 因为我们直线 l 与 x 轴的交点是 q， 而且点 q 的 坐标是 m 到零，那我们都知道，那这道题其实左右 w 二 w 一 两部分呢，是关于直线 l 对 称的， 那所以说它原来这个函数的顶点坐标是零到二，因为它的解析式是 y 等于负， x 方 加二，很容易知道它的顶点坐标是零到二，那么所以说它到左侧这个图像，它的坐标就变成了什么呢？因为关于 m 对 称，所以这块的距离是 m， 那 这块的距离仍然也是 m， 那 所以它的坐标就是二 m 逗二， 那所以说新的 w 二的解式就是用 y 等于 a 是 不变的负的括号 x 减去二， m 括号外的平方加二来表示这是知道它顶点写的顶点式。那所以刚才老师分析过了，那其实它的第三种情况其实就是什么呢？其实就是让两个函数连立之后，但是它小于零，那也就是说让哪两个函数呢？一个是 y 等于负的 x 减 二， m 括号外平方加二与咱们的函数连立来化点一下。 好，这就整理好的结果，那么必须让这个一元二次方程的得它，也就是 b 方减四， a， c 小 于零，四 m 加一块平方减去四乘 a 就是 负一，再乘 c 负四， m 方加二，让它小于零，那么这个时候我们再次进行换点， m 小 于 八分之九，也就是在这种情况下，只要我们右侧一定有两个焦点，左侧永远没有焦点的话，我们就一定能保证他有两个互反点，那么再继续往左平移的情况就不用再分析了，跟咱们这种情况是一模一样的。那反过来呢？老师再把上面这种情况的答案给他解出来， 那么老师把下面这个给它往下移一下。好，那上一种情况呢？其实老师已经总结过了，就是在两个临界点的中间部分，而且不包含端点。那哪两个点呢？其实就是原二次函数 y 等于负 x， 方加二与原直线 y 等于负 x 连立的那两个交点，我们连立一下， 那两个焦点呢？一个是 x 的 二，一个是 x 的 负一，也就左焦点肯定是负一到零，这是左边的焦点，右焦点肯定是二到零，那在它俩中间部分。所以说我们的 m 的 取值范围就是大于负一小于二，这是它的第一二种情况 出现的一个答案。那我们第三种情况的答案呢？就是刚才我们解的这个 m 小 于八分之九。所以综上所述，我们的答案总共有两部分， 一个是 m 可以 大于负一小于二，也可以 m 小 于八分之九，这就是我们这种题的做法，像做实验一样，但是如果说做的非常熟练的孩子，其实他是非常容易找到临界点的位置的。