天津高考数学各类型圆锥曲线模拟题

遇到三区线相切问题如何求解？今天主播为大家带来一道圆锥曲线板块的三区线相切问题，包含了多种圆锥曲线解析技巧，一起来感受圆曲魅力。大家好，这里是陈同学数学小课堂，今天给大家带来是一道圆锥曲线的题目， 这道题目出自二零二四年全国高中生数学联赛 a 卷一式的第十题。那虽然说它是以一道联赛难度的圆子曲线题，但是没有学过竞赛的高考生呢，也是可以去做一做的，因为这道题并没有用到太多这个竞赛相关的知识。那今天我为大家详细讲解一下这道题， 让我们来读题。在平面直角坐标系中，双曲线掏 x 方减 y 方等于一，右零点为 a， 将圆心在这个 y 轴上，且与掏的两侧各恰有一个公共点的圆，成为这个好圆， 也就是与双曲线两支相切的这么圆称为这个好圆。然后若有两个好圆外切于这个 p 点，圆心距为 d， 让我们求这个 d 比上这个 pa 长度的所有可能的值。那刚才我说了，由于这两个圆它都是在这个 y 轴上的，所以相切的这个 p 点它肯定也是在 y 轴上的。 那这个题目怎么去做呢？这里我们肯定还是最基础的来说，肯定是要去找这个连力的，所以我们首先要把这两个圆的方程给设出来，然后不妨可以把这两个圆它的圆心记为这个 a 一 和这个 a 二，然后我们可以把它们两个圆的方程给设一下，也就是 这里的 y 一 和 y 二分别代表是两个圆的半径。那么这样呢，我们可以直接把圆和这个双曲线进行一个连力， 这里呢我们把第二个等式的 x 方，用第一个等式的 y 方加一来表示，那我们就以得到一个只剩 y 的 市值，也就是 那大家看是不是这个就是关于 y 的 一个一元二次方程了呀？那这个方程的得它， 那这个方程的得啦，是不是一定是等于零的呀？为什么？虽然说这个圆和这个双曲线有两个交点，但他要看这个两个交点，我们由对称性可知，他们两个交点的重坐标肯定是相等的，所以他们两个重坐标相等，但这个 y 就 只能有一个曲子，所以他的得啦一定是等于零的，然后我们稍微化简一下就可以得到， 那么接着同理圆 a 二的话，与这个 t 连理可以得到类似的式子，也就是 那么做到这一步之后，接下来怎么去做呢？那我们回看一下，其中是不是要求这个 d 比上 pa 长度的所有可能的值，只要我们去把 d 给表示一下，他说是这个圆心距那 d 的 长度就是这个 r 一 加上 r 那 pa 的 长度，我们怎么去表示一下呢？所以大家看我把这个 p 点的坐标给设出来， 那我们根据两眼间的距离公式，我们就可以把 p a 的 长度给表示出来了，也就是是不是就得到这么一个式子。然后我们把 p 的 坐标给设出来之后，大家看一下，由于这两个圆它是外切于这个 p 点的，所以我们可以根据提议可以得到这个 y 三，还有 y 一 y 二以及这个 r 一 r 的 关系式呀。 然后大家看，由于题中给的这些式子都是完全对称的呀，所以我们是不是可以不妨设这个，我们不妨设这个 y 一 大于 y 二，也就是这个原 a 一 在原 a 二的上面，那当然原 a 一 和原 a 二互换一下位置，它只有得出来结果都是相同的，这里我们只用考虑 y 一 大于 y 二的情况即可，那我们就可以得到如下这两个式子 让大家看。由于呢题中让我们求这个 r 一 加 r 二比上这个根号下 y 三方加一的这个所有可能的值，所以我们是不是要让这个 r 一 加二与这个 y 三产生联系，然后大家看我们现在已有的这四个等式， 我们为了去把这个 r 一 加二与这个 y 三产生联系，所以我们尽可能要把其他值给消掉啊，所以呢，大家看，这里一式中这里有 y 一， 然后三式中这里也有 y 一 的平方， 所以我们是不是可以通过一式把 y 一 的平方给代换掉，使这个 r 一 和 y 三产生联系，然后同理我们可以通过二式把这个 y 二给代换掉，使 r 二和 y 三产生这么联系，所以我们就进行如下这个操作 好了。那么到这步接下来怎么做呢？大家看一下这两个式子是不是有类似的结构呀？这大家可能看的不太清楚，这里我给大家写一个方程出来，大家看一下我们构造如下这个方程， 大家看一下我们把这个 r 一 给带进去，是不是这个方程是成立的，然后把这个负的 r 给带进去，这个方程也是成立的，那说明什么？那说明是不是这个 r 一 和这个负的 r 二就是这个方程的两个根啊？然后我们去稍微化简一下，利用这个尾打顶你就可以得到。 然后我们再根据 d 是 等于这个 r 一 加二的，我们是不是就可以把 d 用这个 y 三给表示出来了，从而和这个 pi 的 长度产生关系了？也就是 然后最后我们就算出来 d 等于二倍根号二的 pa 的 这个长度，那所以最后我们就算出来这个， 我们算出来 d 比上这个 pa 的 长度，是这个定值为这个二倍根号二。然后这道题又解完了，它的所有可能值就只有这一个值，也就是这个二倍根号二。好了，那本期视频到此结束，感谢大家收看我们下期视频，再见！拜拜！

好，接下来我们看到例题，二十二零二二年的天津卷，椭圆 a 方分之 s 方加上 b 方分之外方，右焦点是 f， 右顶点 a 跟上顶点 b 满足 b， f 比上 ab 等于个二分之根三。第一位要求椭圆的离心率 啊，第一位绝对是超级简单，对吧？来，我们一起看一下啊，还是要给你画个图，对不对？所以一起看一看， 椭圆焦点是在 x 轴上，对吧？所以的话来 这样画可以不？ ok， 来往右一点， ok， 这是椭圆，对吧？他说什么右点点为 a， 右点点为 a， 那 也就是说这个应该是 a 喽，对吧？上点点是 b， 然后呢？呃，右焦点是 f， 这是 f， 对 吧？你看它告诉你的关系是什么？ b， f 是 什么， 对吧？很明显， b， f 是 这一段吧，对吧？这一段怎么表示？哼，应该非常简单吧，你看，这是 c 啊，这是 b 啊，对吧？你的幼儿园老师教过你，这个是不是 a 没问题吧？因为我们 a 方它是等于个 b 方加 c 方嘛， 是不是？哎，所以的话，这个 b f 的 话，他就是什么，他就是 a 啊，是吧？他是 a， 那 么看到什么？看到分子，分子是 ab， ab 是 什么， 对吧？ ab 是 不是来个勾股定律就可以了？所以 ab 他 应该是等于个根号下 a 方加 b 方，有没有问题，对吧？勾股定律，所以是等于根号下 a 方加上个 b 方，可以不？这个是等于个二分之根三的， 对吧？二分之根三，所以你发现通过这个式子，我就可以得到一个 a b 的 关系式嘛，对吧？所以第一问应该就很快就出来了，是不是？所以的话怎么办呢？ 嗯，给他两边来个平方可以不？所以应该得到分式化整式，那就应该是被 a 的 平方，呃，等于个三 a 方加三 b 方， 可以吧？三 a 方加三 b 方没问题对不对？所以就可以得到 a b 的 关系式了，也就说 a 方等于三 b 方， ok， 第一问，哎，是不是简简单单啊，对吧？所以离心力 e 它应该是等于根号下，这个公式我觉得大体是可以直接用的，因为这个也是很常规的一个公式，一减去 a 方分之 b 方开根号，所以一算应该得到是三分之根六，有没有问题？ 三分之根六， ok， 没问题吧？这个就是第一问来看第二问，第二问怎么做？思考一下，三分之根六对吧？ ok， 第二问看一下啊， 那第二问，他说什么？他说我的直线要与椭圆有唯一公共点 m 与 y 轴相交于点 n， 哎，然后的话 o 为坐标原点告诉你 o m 等于 o n， 并且三角形的面积为根三，让你求椭圆的方程。 你通过第一问来，我们说没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，更没有无缘无故的第一问，对不对？所以你发现这个题的第一问是为第二问服务的， 哎，第一问得到这个式子了，那第二问是不是再找到一个关系式，我这个题就搞定了，没问题吧。所以怎么办呢？来，重新给你画个图，可以不？对吧？重新给你画个图， ok， 我 想直接用这一个，可以不？ 没问题吧？哎，我直接用这一个， ok 吧。来 看好了，来，直接用这个没问题吧？ ok， 其他那些没用的我就不画了，可以不？这个去掉，哎，这个不要 对吧？他说什么？他说我这个直线要与这个椭圆有唯一共同点，对不对？ m 与外轴相交于点什么？与外轴相交于点 n， 你随便画就可以了，这样画没没意见吧？是不是？那假设这个是，这个就是我的 m， 对 吧？这个就是 n 呗，可以不？我假设我的 m 的 坐标是 s 零外零， ok， 假设我的 m 坐标是 s 零外零，然后的话来继续 x 零外零。后边看一下，他说什么 o m 等于一个 o n， 三角形，面积为根三，求椭圆方程，怎么办？ 怎么办？我问你，你能不能先把 m 的 坐标算出来？我为什么要算 m 坐标呢？ 哎，人家已经给你暗示了，可能都是明示了，他都告诉你 o m 等于 o n 了，对不对？你是不是要把这个算出来？把这个长度算出来，把这个长度表示出来，这题就搞定了，你要学会翻译，是不是这个是 o， ok， 可以 不？然后人家还告诉你面积了，面积等下再表示，是不是就可以了，对吧？那你想一个问题，我想算 m 的 坐标怎么算， 对吧？我想算 m 的 坐标怎么算？哎，这个题考了一个非常重要的点，哎，非常重要点，用到了极限思想。 哎，用到极限思想。你想个问题，我这个 m 点，假设我这个直线他是相交的，那他与椭圆是不是有两个焦点， 对吧？那么你想极限，我拿这个直直线怎么样？平移到相切，平移到相切，原来的两个焦点，一个是 x y 一， 一个是 x y 二， 如果这两两个点，两个点重合之后，是不是就是 m 点？有没有问题？ 理解我的意思吗？来，再讲一遍，我把这条直线给我平移下去，平移，平移之后就要平行了。平移之后它有两个点假设，一个是 a， 一个是 b。 假设 a 点坐标是 s 一 y 一。 假设 b 点坐标是 s 二 y 二。那么把这个直线平移到和椭圆相切，是不是意味着点 a 的 坐标跟点 b 的 坐标重合了？所以 x 零怎么算？ x 零是不是相当于是二分之一？ x 一 加上 s 二，有没有问题？ 你可以把它理解为终点坐标公式。所以你又看到 x 一 加 x 二，需要怎么办？是不得设直线连力啊，所以这题都搞定了。所以这题思路我觉得是非常简单了，非常的简单。所以现在怎么办？是不得设设我的 m n 可以 吧？所以得设为 m n 对 吧？随便设为对不对？设为 y 等于个 k 倍的 x 加 m 对吧？所以怎么样？让它跟我的椭圆连立对不对？所以椭圆是什么？ a 方等于三 b 方，钱越多越好，未知数越少越好。所以就三 b 方分之 s 平方，对吧？加上个 b 方分之外方， 对吧？它是等一个 e 的， 没问题吧？ ok， 直线写成一般式，那就是 k 位的 x， 然后呢？减去个 y， 然后呢？加上个 m 等于个零， 没问题吧？所以怎么样？拿着他们两个连力，他们两个一连力来，方程会不会写？这个留给你做作业有没有问题？ 英姐，对，你一倍方程就可以写出来了，可以不？这个我就不写了，可以不？ ok， 然后我们要写什么？我是不是得算个德塔？ 肯定得算吧，人家都告诉你相切了，是不是？所以是不得写个德塔，对吧？所以德塔等于多少？四倍的 a 方， b 方大 b 方对吧？四倍的 a 方， a 方是什么？ a 方是三 b 方，对吧？ a 方是三 b 方，所以是四倍 a 方 b 方 大 b 方负一方，分母减去大 c 方，对不对？分母是什么？分母就应该是 a 方 a 方加上 b 方 b 方没问题吧？所以就应该是三 b 方 乘上个 k 方，然后呢？加上个 b 方，减去个 m 方，这个是等一个零的，可以不？那么通过这个关系式可以得到什么？是不是可以就可以得到关系式？得一个得到一个式子，对不对？即 多少啊？那就应该是 m 的 平方等于多少？等于一个三 k 方加一 乘上个什么？乘上个 b 方，有没有问题？ ok， 没问题吧？ 所以写到这后面怎么办？后面是不可以写出这个点 m 的 坐标了，对吧？点 m 的 坐标是不相当于是 x 零， x 零等于多少？我上面讲了， x 零是不是应该是等于个二分之一？ x 一 加 x 二，没问题吧？那 x 一 加 x 二，那就应该是三倍 b 方 k 方加上什么加上个 b 方， ok， 这是加法，应该怎么办呢？把 y 划掉，剩下三个数相乘的负两倍，那就应该得到负六 b 方 km， 负六 b 方 km 可以不？ ok， 这个是 x 人，那外人呢？同样的道理，对吧？外人是不同样道理。我先给你约个化简一下可以不？ 这个一化简应该约掉个二码水上面就应该是还能约不？还能约掉个 b 方，对不对？水上面应该是负三倍 b 方，有没有写错？嗯，哦，不用约。为什么呢？看这个等于多少？ 这个是不是等于 m 方啊？对吧？所以直接给它替换就可以了。所以上面是负三 b 方 k， 然后呢？下面就是个 m， 没问题吧？这个是 x 零，对不对？那 y 零呢？同样的道理， y 零是不是应该等于个二分之一？ y 一 加 y 二，这个就很像我们的极限思想啊，对吧？极限思想啊，所以它等于个二分之一 y 一 加 y 二， 对吧？所以分母是一样的，三 b 方， k 方加三个 b 方，可以不？把 x 划掉，剩下三个数相乘的负两倍，那就应该得到的是两倍的 b 方， m 可以不？ ok， 还是一样把分母给我干掉，所以得到是 m 分 之 b 方， ok？ 哎，我问你 m 坐标是不是搞定了，人家告诉你 o m 等于 o n 啊，你是不是要给个面子啊，对不对？所以的话怎么写呢？因为什么呀？ o m 等于 o n， 对 吧？因为 o m 等于个 o n， 对 吧？所以 得到什么了？这个怎么算呢？是不是这个的平方之和，对不对？这个的平方之和分母，什么分母？就是 m 方嘛，对吧？所以分母就应该是 m 方，分子呢？那就应该是九倍，九倍，绝了， 绝了。这，这怎么算？合并一下对不对？平方开根，平方不用开根哈，那平方这个是九倍的 b 方，不对， b 的 四次方， k 的 平方加上 b 的 四次方，没问题吧？ ok， 加上个 b 的 四次方， 有没有问题？这边呢？等于等于一个 o n， 对 吧？等于一个 o n， 那 应该就是 m 的 平方， ok， 可以 不？所以通过这个式子我就可以算出 b 的 四次方乘上个九 k 方加一，九 k 方加一， 可以吧？右边等于什么？四边等于 m 的 四次方，可以不？然后怎么办？来，答案出来喽， 对吧？怎么办？这两个是不是合并？一合并你的 k 方是不是出来了？ k 方应该等于个三分之一，有没有问题？可以吧，所以通过这个式子可以得到。我的 k 方应该是等于个三分之一了，有没有问题？哎， k 方等于个三分之一， ok， 配方等于一个三分之一之后，你发现还没算出来啊，但是你发现有个条件还没用呢，人家告诉你面积，你要给个面子吧，你总不能不用嘛，是不是所以面积等于个根号三？再来一遍呗，是不是？所以怎么办？面积等于什么？所以 s 三角形 s 三角形 o， m， n 的 面积，它就应该等于个二分之一 底，底是哪一个底？是不是可以看作这一个 m 高呢？高是不是应该是我的 x 零？有没有问题？没问题吧？ ok， 所以 等于二分之一 m， 这个是底高呢？高就应该是 x m， 哎，这是 m 的 横坐标嘛，对不对？所以他应该等于什么？他应该是等一个二分之一，他不难了，就是你得慢慢算，慢慢算就可以了，对吧？所以这个地方变成什么？三倍 b 的 平方 k， 可以 吧？下面这个是 m 的 绝对值， 你上面也可以加个绝对值啊。这个不加也没关系啊。加不加这里还是最好加一下这里最好加个绝对值啊， 可以吧，最好加个绝对值。谁？这个地方应该是加上个绝对值，谁是 k 的 绝对值，可以吧，他应该等于什么？等于个二分之三？ 哦， b 方 k 的 绝对值， b 方 k 的 绝对值。哎，这应该得到 b 方 k 的 绝对值， ok， 这个是等于一个根号三的，因为人家告诉你面积了吗？这题就出来了，是不是这题就出来了，所以的话应该算的什么？算的 b 方应该等于多少？ b 方是不是应该等于一个二的，对吧？因为这个东西开出来是三分之根三吗？三分之根三，所以推出 b 方等于个二，这题都结束了，简单不？我觉得应该比较简单，所以椭圆方程就应该是六分之 s 平方加上个二分之 y 方等于个一， ok， 简单吗？应该比较简单，对不对？那比前面几个题都简单。二二年的北京卷跟天津卷都是比较简单的，然后新高考一卷、新高考二卷 以及这个假卷、理卷，假卷跟理卷这几个题目，他的这几张卷子，那个圆周曲线计算量是贼大的，哎，前面我们是不是都讲了，对不对？对吧？所以这个题目我觉得应该是比较简单，比较简单，可以吧？那么这个题我们就讲到这。

二零二六最短的假期来了，开学之前我们先来练练圆锥曲线，我们来看第七题啊，设直线 l 与曲线恰有三个不同的公共点，他问你在这里边 m 的 垂直范围， 那么这种圆锥曲线的题，我们放到高三最近的模考里边怎么去做？来，你来看这个题啊，做着道具讲着哈，这个直线告诉你了，那么这个直线的话，他叫什么？他叫我们所说的动直线固定点啊，这个直线，这是第一个条件的话，他叫我们所说的动直线固定点，他定的是 动直线过定点，那么动直线过定点，我们在年前讲过，他的答题模板是不是把参数写出来，含餐的项和不含餐的项同时为零，所以在这里边的参数是谁参数是 m， 那 我们就把 m 给它提炼出来。我们来看答题模板啊，把这个参数提炼出来，含餐不含餐去合并同类项，所以这里边参数谁参数是 m， 含 m 的 项是 x 加一，不含 m 的 项 是负外，让这两个括号同时为零，求出来是定点坐标，所以在这里边它的定点坐标是非对零。这第一个考点。那接下来的话，我们来看第二个，看这个曲线， 这种题啊，肯定不是他俩年龄啊，计算量太大。我们来看啊，我把它这个曲线 c 转化一下，看它怎么去转化 这个曲线 c 的 话，我们直接看它并不规则，但是的话，我们说去掉根号的时候怎么办？完全平方是吧？把等式两边平方相当于是耳倍的绝对是 x， 去掉 x 平方就等于一个 y 方，那么当然在这里边这个 y 需要大于零，为什么要正减正才会取零？ 所以这个式子长得像谁？长得像我们所说的圆，那所以在这里边它相当于把它移向之后，相当于 x 平方，减二倍的绝对是 x 加上 y 方等于零。所以我们在圆的方程里边的话，学的是三平方，一个平方，两个平方，这里边还有一个一，一是一的平方，所以他俩放在一起， x 取正相当于 x 减一的方， x 取负相当于加一方， 所以 x 加减一的平方，加上一个 y 的 平方，等于一个一的平方，那么在这里边一平方、二平方，三平方，三平方是我们所说的圆。我们来看这道题啊，最后的话，我们进入竖形结合去理解，当这里边取加一的时候，他定的圆心坐标取的是 负一到零，那如果这里边是减一的话，它对的圆心坐标就是一到零，而在这里边的 y 必须要大对零，所以它是什么？它是上半圆，是不是啊？它是上半圆，好，这是半个圆， 然后这是半个圆，然后在这里边的话，我们说这个直线过了一个定点，坐标是这里边的负一到零，那我要他怎么办？我要他三个零点。我们说直线和曲线在相切的时候，相交的时候啊，有一种临界状态，临界叫什么？叫切， 直线和曲线的切永远是临界状态。我们来看啊，把这个点放在这个位置，恰恰让它和圆相切，那我们说相切产生的这个位置有一个交点，这个位置有一个交点，而在这里边的话，这个长度是几 一，这个长度是几二，所以他定的谁根号三，那么这个角 c 它就是一的条件，所以在这里边 tan 的 c 它定的是一，除上一个根号三。那我们说正切是谁？ 正切是斜率，斜率是谁？斜率是 k， 等于 m， 这个定直线里边的 k 是 m。 好， 这是两个点，直线往下走，往下旋转，恰恰会形成三个交点。那么什么位置是临界？当 x 零的时候，当这个 y 零 x 轴的时候，是一个两个三个， 这叫什么？竖形结合答案出来没有，所以临界的话，在三分之根号三，三分之根号三对应的是两个直线往下旋转，转到 s 轴是三个，所以 这是区域范围。你看这个题考的知识点相当多，所以最近高三的考题哈，一定要把你一轮二轮复习的知识点给它捞出来。这叫什么？这叫拿来主义。

关于圆锥曲线的压轴题呢，实际上有一个词呢，不管是哪个阶段，都会被反复的提到，不论是直取连利的计算量，还是各个方法的一个计算量，甚至是我们某个环节的一个计算量，这个计算呢跟我们圆锥曲线呢深度绑定。 那今天呢，我们也是针对于圆锥曲线某个环节的计算呢，做一个方法梳理，这个环节呢指的是我们圆锥曲线求最值时，比如说面积最值最后一步的化解处理，那今天呢也是讲五个形，这五个形呢都或多或少非常常见，如果这五个形式呢，你都会处理，那一般的圆锥曲线的压轴皮的最值问题 呢，基本上都能解，只要你把这个范围看好就可以了。那我们先说第一个，接下来第一个的特点呢，就是一个二次型比这个一次型 根式呢可以看成将密的一个结构，所以遇到这种形呢，我们只需要令这个根式呢换一个圆，你化解后呢，就会出现一个对高函数的一个形式，这样我们最值的化解呢，最终呢就是这么几个处理，一个呢是走这个对高函数，另外呢就是二参数 还可以呢，利用均值不等式，当然了这个呢一般都是求最小值或最大值，如果求范围呢，一般我们都是走最高函数和二参数 就已经够了。那你像第一个形呢，我们化解完之后呢，就是一个对勾函数，如果你对对勾函数的图像非常熟悉，那往下呢就非常好做。接下来呢我们来看第二个形，第二个呢就是四次比四次形， 这个呢也是某省特别愿意出的一个圆对曲线的一个模式，就像这种形呢，还是有一个通法，别说呢，我们可以将这个分子这个整体换一个圆，让这个圆呢反表示我们的 x 方，将分母呢进一步去整理化解。 此时呢，由于我们分子只有这个梯方，所以上下同除这个梯方，那这个时候你就会发现，实际上这个分母呢，就变成了关于梯分之一的一个二次函数，那自然而然这个最值呢，就好分析了。 实际上如果四次比四次懂的话，那你像二次比二次是一个道理，都是这样，上下同除，然后它就会转换成一个二次函数型。那接下来呢，我们来看第三种， 三种呢，实际上这个结构吧，好像比第一个和第二呢要复杂一些，但实际上呢，遇到绝对值呢，我们就给他都放到根式里，这样的话，由于绝对值啊，你还得分析这个正负，但是如果放到根式下呢，只需要给他加一个平方就可以了，然后分母呢，也给他放到这个根式当中， 依然还是我们把这个分母呢换一个圆，这样的话，一会儿化简完之后呢，就可以分离常数，你就会发现又能得到一个关于 t 分 之一的一个二参数型，那自然而然呢，这个最值，我们就能分析了。接下来第四个呢，这个也非常经典，实际上有的时候呢，你化简到一定程度了，你会发现会含两个字母，比如说 k 和 m。 在这个时候呢，我们稍微观察一下，有的时候呢，这个形式啊，分子和分母呢，有可能是一个联动型，什么叫联动呢？谁想就是这个分子啊，你把分子相乘的两项，你给他加一下，你会发现呢，他就是个分母， 可能说会这么巧吗？大部分的题都是这样，所以这个时候呢，我们可以这样去还原，比如说呢，由于这个分母啊，它是一个带平方的一个形式， 我们给它拆成两项相乘，那你把其中的一个整体换成一个 t， 那 实际上另外一个呢，就是一个一减 t 了，因为你分离常数也可以看出来，那这样的话，实际上就是一个二三数了，那既然往下解的话，就非常好解。不过呢，你像这种形呢，我们也可以利用均值不等式，因为 两项相加，能跟这个分母产生一个联动的话，那我们直接可以把成绩的形式改成一个相加的一个形式，利用均值不等式原形公式，从而呢也能得到一个我们想要的一个最大值。那最后一个呢？实际上这个结构呢，也是非常经典的，所谓的一个三次比四次， 这个呢往往是对一个对勾函数进行一个换元，这个如何来处理呢？实际上我们先同除一个 k 方，这样的话，分子呢，就会变成一个 k 加 k 分 之一，而分母呢，我们先给它化个碱，化碱完之后呢，你会发现，实际上我们同除完这个 k 方之后啊， 会得到一个 k 方以及 k 方分之一，再加上一个长数这样的一个形式，那此时呢，你给它配个方就可以了，所以我们就会分子和分母同时产生 k 加 k 分 之一的这样的一个形式。 好疑问呢，你就对这个结构呢，换个圆就可以了，那这就是一个标准的零一二的结构，零一二的结构我们就同除这个分子，这样的话分母就会产生一个对勾函数，你就能求相关的一些最值了。 所以你像虽然我们只介绍的五种，但实际上你通过这五种呢，已经能发现大部分的最值转化呢，都是可以通过换元转化成对勾函数或者是二参数的一个形式。那这个呢？也是我们圆的曲线最值的一个通用处理。

ok 啊，哈喽，朋友们大家好，今天我们要讲的是高考数学中一百个考点中的第十四个啊，那么从今天开始的话，我们将更新圆锥曲线啊， 那么我们今天要讲的第一个圆锥曲线的考点就是它的第一定义和第二定义，第三定义的概念以及应用啊。那么我们知都知道圆锥曲线有第一定义，那么什么是第一定义呢？这个应该都比较熟练了， 就是平面内一个动点到两点距离之和为常数啊，这轨迹叫做椭圆，一个动点到两点距离之差的绝对值为常数啊，叫做双曲线啊，也就是我们通常讲的 p f 一 加上 p f 二等于二 a 啊， p f 一 减去 p f 二的绝对值等于二 a。 好， 那么这第一定义没什么讲的，这个都属属烂熟于心了。上把。好，我们看到第二定义，第二定义到一个定点，距离比上它到定值线距离 为常数，那么这个常数是零到一，椭圆一到中轴，从上一的话是抛物线，那么你看到零到一，一到中轴从一，这有点像什么呢？有点像我们的离心率 好，也就是离心率在零到一的时候，椭圆，那么到了到这个定点，我们到这个定点啊，上面这个定点是焦点，看吧，这个定点也是焦点， 那么这个呢？这个定点也是焦点啊，这个定直线叫做什么呢？叫做准线 啊，所以它如果到定点距离和定值线的距离相等的话，那它就是个 power 线啊，因为离心率就是一嘛。啊，好， 那这个有什么用呢？这个往往可以帮我们推出我们在椭圆中有个非常重要的公式，叫做交半径公式啊，它可以帮我们推推导交半径。 那怎么推呢？我们来试一下啊，我们来试一下怎么推这个椭圆，然后呢？ 这是 x 轴，这是 y 轴，好，这 x， 这是 y， 好， 那么这个准线方程应该是什么呢？ x 等于正负， c 分 之 a 方 啊，这是准线方程，那就是这里有一个 x 等于 c 分 之 a 方啊，上面有个点 p， 这是 f 一， 这是 f 二啊，那么它到左焦点的距离比上它到左准线的距离啊，等于离心力一 啊，它到右焦点比上到右准线啊，我记作 p 二，那么这时候 p f 二比上 p p 二，哎，等于离心力 e， 而我设 p 点坐标是 x 零 y 零的话，那么 p f 二 就等于 e 乘以 p p 二， p p 二的话，就是 c 分 之 a 方减 x 零，那么 e 是 a 分 之 c， a 分 之 c 乘以 c 分 之 a 方，那就是 a 减 e x 零啊，那这就是 p f 二，那么同理， p f 一 就是 a 加 e x 零啊，这就是我们讲的交半定公式啊，这就是交半定公式的推导啊，这是根据我们的第二定义去推导的啊。好，那么第三定义是什么呢？ 就是它到两个关于圆点对称的两个定点的连线的斜率之积为常数，这个常数我们通常是什么呢？通常是一方减一啊，如果是椭圆的话， 就是负的 a 方分之 b 一 方，当交点是在 x 轴上啊，如果双曲线的话，就是 a 方分之 b 一 方，交点同样是在 x 轴上的啊，啊，在 y 上面，我们就倒一下， ok， 好， 那我们有了这三个定义之后呢，我们再来看啊，怎么去用？我们先看第一个应用，他说 f 一 f 二呢，是它的两个交点， m 二加 n f 二等于六。好，我们先把图画出来， 先画个椭圆，先画个椭圆好，然后呢，再画个 x 轴，再画个 y 轴，好。有了图之后，他说这是 f 一， 这是 f 二， 好，这是点 m 好， 这是点 n 好。 那么图有了之后呢，我发现 m 点和 n 点是不是在椭圆上呀？点是不是在椭圆上的 好，那么点在椭圆上的话，那我们立马会想到它的第一定义就是 m f 一 加上 m f 二啊，第一定义啊，这是第一定义， 等于二 a， 也就是八。那我就不跳步了啊，直接是二 a。 然后呢，同样的道理， n f 一 加上 n f 二也等于二， a 也等于八。好，那他要求的是什么呢？要求的是 m f 一 和 n f 一， 那不就这两个嘛，他就告诉你， m f 二加 n f 二十六。哎呦，这太简单了，算吧。那么也就是说，把它上下相加， m f 一 加上 n f 一， 应该等于十六减六十，那它大于等于两倍的根号下， m f 一 乘 n f 一 啊，这应该能想到，这样吧，你核到积利用基本公式啊，所以 m f 一 乘 n f 一 应该小于等于五，再平方二十五，所以答案选 c， 这是 d 定义，很快啊。 好，那我们再看第二定义，那么这个题的话，是二零二二年啊，那张就是史上最难的卷子啊，新高考卷啊，然后，呃，填空题的最后一个，那我们一起来再来研究一下。首先先画个椭圆， 然后把 x 的 y 轴画出来，这是 x， 这是 y 轴好。画好之后呢，他说椭圆 c 的 上顶点是 a， 那两个焦点是 f 一 f 一 f 二好，然后离心率是二分之一，过 af 二，这是 af 二，并且与与 af 二垂直， 好，那就这样子啊，垂直好，然后呢？交椭圆于 d e 两点，这是 d， 这是 e， 然后呢？ d e 等于六，求三角形 a d e 的 周长啊。好，那么过 f 一， 这是 f e， 把这个点擦了啊，修一下，好， 过 f 一， 那么这是 f， 这是 f 二，那我发现呢，这个离心率啊，是等于二分之一的 e 等于二分之一，那也就是 a 是 等于二 c 的 好，这一步应该没问题。然后上顶点又是 a， 那 也就说对于这个三样，这个是 这段长度是 c 吧，这个是 b， 那 这个就是 a 吗？那你 c 比上 a 是 一比二，那说明这个角是三十度呗，知道吧？所以我们就可以把这个角标出来，这个角度是三十度，那我们这个时候发现这个角应该是六十度， 那你把 a f e 连起来，那这不就是一个等边三角形上面，哎，因为你每个角都是六十度呀，这上面这个角也是六十度，那么三个角都是六十度，好，那么有了第一个条件之后呢，我迅速就可以得到这个 k d e 这个直线， 它的倾斜角的正切值就它的斜率三分之二三。好，那么我这个时候发现呢， d e 等于六，这个 d e 等于六，是不是就 d 点和 e 点到 f 一 的距离啊？它是不是就等于 d f e 加上 e f e 而 d f e 和 e f e 是 不是就是椭圆上点到焦点距离？那么是不是可以借助于我们刚才讲的交半径公式 啊？这个交半径是不是就通过第二定义推导的 啊？那么交半积分式就是 df 一 就是 a 加 e x d e f 一 就是 a 加 e x e， 好， 那么把提出来 x d 加上 x e， 哎，我发现这个式子有点像什么 哎，直线上的两个点，然后横作边相加，这不是有点像我们的微大定律吗？知道吧？所以接下来的话，我们想这个 s d 加 s e 是 不是就可以利用直线跟椭圆连力，借助微大定律去算呢？而这个直线方程的话，是很简单的吧，因为它的斜率有了， 然后呃，坐标 f e 是 负 c 零，那么它就是 y 减零等于 k 倍的 x， 好， 这是直线和椭圆，那么 e a 是 等于二 c， a 是 等于二 c 的 话， a 方就等于 b 方加 c 方啊，那也就是 b 方就等于三 c 方，那我就可以写成 x 方除以四 c 方 加上外方除以三 c 方等于一，那这个两边同乘以十二 c 方，那就三 x 方加四外方等于十二 c 方，然后把这个带进来，就是三 x 方加上这个平方就是三分之一乘三分之四 x 加 c 的 平方等于十二 c 方，好，那么这个时候两边同乘以三，就九 x 方加上八 c， x 加上四 c 方等于三十六 c 方， 那也就是十三 x 方加八 c， x 减去三十二 c 方等于零，好，我们这个时候就发现， x 一 加 x 二就等于负的 a 分 之 b， 负的十八分之 c， 那 么带到上市，这个 d e 就 等于二 a， 二 a 就是 什么呢？二 a 就是 四， c 加上 e， e 就是 a 分 之 c 乘以 e 是 题目告诉我就是二分之一吧。离心率就是二分之一 x 加 x， 二就十三分之八 c， 好， 然后中间是负的，那它等于六。好，我们这时候算一算喽，那就是十三分之 五十二， c 减去四 c， 那 就是十三分之四十八 c 等于六，那么 c 就 等于八分之十三，而它要求的是 a， d， e 的 长度，那我们把 a， d， e 连起来， a， d， e， 那 么因为这个是垂直的，然后呢？因为它的等边三角形，所以这个线其实是它的中垂线， 知道吗？中垂线上，那么就是说 e a 就 等于 e f 二，它的道理 d a 就 等于 d f 二，那么这个时候呢，我们就得到这样一个式子，就这个三角形的周长， 它等于它等于什么呢？它等于 a， d 加上 a， e 加上 d e。 啊，这个三角形，那 a、 d 的 话，其实就可以写成什么呢？ a d， 然后这个 a， e 就 等于 e f 二，知道吗？啊， 然后 d， e 就 可以写成 e f， e 加上 d f e。 好， 然后呢，这个时候再把 a d 转化， a， d 就是 d f 二 加上 d， f 一 加上 e， f 二加上 e， f e， 那 其实就是四 a 嘛。啊，四 a 就是 八 c 啊，那八 c 的 话就是十三，所以这个题就是十三。 所以这个二二年这个最后一道填空题啊，就可以借助于交半径去做啊，也是比较好做的。当然你要是能记住 啊，交点弦的弦长公式，那就更好做了，那我们后面再说。好，这是第二定义的应用，那我们再看第三定义，这是二二年假卷的第十个单选择题，同样的，我们来画个图， 好，图有了之后呢，我画个 x 轴， y 轴，哎呀，这画的不太有一丢丢丑啊， 这是 x 轴，这是 y 轴。好，然后呢，开始左顶点是 a， 左零点是 a， 然后 p q 在 c 上，且关于 y 轴对称，这是 p， 这是 q， 关于 y 轴对称。好，然后呢，若直线 a p 和 a q 的 斜率之积， 那么这是 a p， 哎呀妈呀， 好，我尽力了，那么给它修整一下， 不如我徒手画， ok 吧，对吧？好， 修一下，小修一下，问题不大，好吧，哎，好，哎，好，那么这个时候呢， a p 和 a q 的 斜率之积是四分之一，那 a 点坐标我们是知道的呀，那不就是负 a 零吗？啊，我用红笔写啊。 然后呢，你要用斜率的话，你肯定要坐标呀，那你 a 点坐标有了，你是不是缺 p 点坐标？那怎么办？设，设为设 q 点坐标是 x 一 y 一， 那 p 点坐标就是 x 零 y 零吧， 就是负 x 零 y 零，对不对？好，那我发现，哎，你 p 点往下做垂线，你往下做垂线，这个 p 一 撇， 它的坐标是负 x 零，负五二零，它和这个 q x 零 y 零正好，是什么呢？关于原点对称， 哎，这不巧了吗？稍息了吧。那这个时候不就可以用我们的结论吗？就是 k a p 一 撇乘以 k a q， 它就等于一方减一啊，是不是？哎，好，那么这里要注意，好啊，它给的是 k a p 乘以 k a q， 那 我们来观察一下 k a p 和 k 乘 k a q， 它是什么？怎么表示呢？是 y 二零除以 x a p 负 x 零加 a a q a q 是 不变的吧？啊，乘以 k a q， 这是上面这个式子，然后再看下面这个式， a p 一 撇， a p 一 撇，是不是负二零除以负 x 零加 a， 再乘以 k a q。 啊，你发现，哎， 这个式子和这个式子的区别是不是就是多了负一倍啊？所以 k a p 乘 a q 是 不是就一减一方呀，就乘以负一嘛。那它等于四分之一，那不就一方等于四分之三，那 e 就 等于二分之多少三？ 哎，这个题的话就是借助于第三定义 啊，可以迅速做出来。好，那么这是三个例题，分别是讲解了第一定义、第二定义、第三定义的应用啊。那么尤其是第三定义这个结论是非常好用的啊，同学们的话，自己课后要掌握一下啊，自己好好的 记一记， ok 吧。好，那我们今天要讲的就到此结束啊。

本视频耗时八百八十八点八八小时，梳理讲解圆锥曲线大题题型和方法。 圆锥曲线的大题题型比较多，方法也比较多，有时候我们做题的时候呢，没有选对方法，做半天发现也做不出来，所以我们接下来呢，就梳理一下这个圆锥曲线大题的题型，还有这些方法。 那首先呢，先说一下解析几何它做题的一个思路，我们看到这个题目的第一眼就是题目给我们的呢，都是几何条件，我们需要通过分析呢，把它表示成一个代数式啊， 然后再计算它，得到一个计算的结果，然后把这个计算的结果呢，再返回到这个几何的特征，其中最重要的一部分呢，就是几何条件到代数式的这个转化，我们一般叫翻译， 翻译，这呢我分了几部分啊，第一部分就是向量的，第二个呢就是长度的，第三个是面积的，呃，第四个就是角度， 还有一部分呢，就是代数式列出来了，然后呢要计算了啊，得到一个计算的结果，那我们知道解析几何呢，计算是一个大头啊，然后他也有很多，就是 就是各种方法，各种技巧吧，然后我在这呢分了一下啊，基本上就是这些啊，就是定制定点的非对称表达的处理，然后这种点成双根的这种，呃，方法，后面呢我就一个一个讲， 那我们先看第一部分啊，就是翻译的向量啊，这一部分，第一个我分的呢，是以九十度作为临界条件的啊，比方说 p 点在以 a b 为直径的圆上，我们做题的话，比方说这儿有一个 直线交于 ab 两点，然后这是 o 点吧， o 在 以 ab 为直径的圆上的话，如果我们用那个圆嘛，就是，呃，点到圆心的距离小于半径，那这样的话比这是 p 吧， 那 o p 的 距离比这个二分之一啊， ab 这个距离如果要小的话，那你看这个 o p 和这个弦长 表示起来都比较麻烦。那如果我们换一种想法啊，就是这有一个圆，这有一个直径 a b p 在 ab 为直径的圆上的话，就说明这里应该是一个直角， 那这样的话，也就是说 p 在 以 ab 为直径的圆上，我们转化成 pa 向量点乘 pp 向量等于零，数量积等于零，这个比较好算，那如果在圆内 园内的话，就是，哎钝角，那这样的话就小于零，园外的话就是锐角，数量积就大于零。 那我们看一个例题啊，这个例题的话，呃，第一问就不做了，第一问直接给出来了，那这个题的第二问的话，就相当于是这有一个椭圆，然后有一个直线 y 等于 x 加 m 与椭圆相交于 p q 两点啊，这个椭圆呢，这儿给了就是二分之 x 方加 y 方等于一，然后圆点 o 在 以 p q 为直径的圆的内部，那我们刚才说点在圆的内部的话，就可以表示成 o b 向量点成 o q 向量，呃，数量积小于零， 那我们现在需要的是 p 点和 q 点，那这个时候直接给它连立就可以了。先连立这个方程，消元得到一个二次方程，然后因为直线和 椭圆有两个交点，所以我们得先列一个 delta 大 于零，然后就可以解出来这个 m 的 范围是负根号三到正的根号三，然后 o p 向量点成 o q， 向量小于零，你看就是 x 一 x 二加 y 一， y 二小于零，这个呢，比那个列长度啊，要简单很多。 这个就是纯带尾达定里边啊，带入之后就可以出 m 的 范围， m 方是小于三分之四的，然后 m 的 范围就是这和上面这个式子呢，取交集就可以啊，交集的话应该下面这个式子更小一点，所以就取下面这个就可以了。 那这个第一部分呢，就是以九十度作为临界的啊，当然其他的也可以，只要是九十度的啊，都可以用向量。 好，那我们看第二部分，我分的呢，是三个点在曲线上的时候啊，就是这个 p a b 在 曲线上，然后 o p 向量呢，等于拉姆达倍的 o a 向量加缪倍的 o b 向量， 那这样的话，这个 p 点的坐标就可以写成拉姆达 x 一， 加缪倍的 x 二，拉姆达 y 一 加缪倍的 y 二，然后把 p 点代入，因为是三点在曲线上嘛， 带入之后呢，这个式子啊，看起来比较麻烦，那我们只要把它写开，合理的分配一下，念这一部分啊，就是拉姆大方 x 一 的平方比 a 方和这一部分拉姆大方外一的平方比 b 方放在一起， 那这样一整理就会发现，这个式子和这个式子应该都是等于一的啊，所以我们把这个带进去的话，哎，就出这了，那这个 x 一 乘以 x 二和 y 一 乘 y 二啊，它那个就是正常的一个尾答定律代换就又变得好做了。 那我们看一下这个例题啊，第一问这个离心率啊，这个不用管，我们还是看这个第二问就可以， 就相当于是，呃，这里有一个这个这个椭圆，然后过右焦点 f 二，有一个直线和椭圆交于 p q 两点， 然后第二问说这个直线的斜率是一，然后问你 c 上存不存在一点 m， 使得 o m 向量等于二倍的 o p 向量加 o q 向量？ 第一问，这个结果呢，是三分之根号六啊，就给到这了，就是 a 和 c 的 关系， a 分 之 c， 那第二问的话，按我们刚才说的就是这个 m 的 坐标，就可以写成二倍的 x 一 加 x 二，二倍的 y 一 加 y 二，然后这个时候呢，我们把它代入，然后代入之后就会出现这个 a 方分之二 x 一 加 x 二和 b 方分之二 y 一 加 y 二的平方等于一， 然后我们把它展开，展开之后呢，还是去给它配这个这个式子和后面这个式子啊，这里少有一个四倍， 这个式子跟这个式子去配，那这样的话我们一配就会得到应该是四加一，然后再加上四倍的 a 方 x 一 乘以 x 二和 b 方 y 乘 y 二啊，等于一。 那这个时候呢，也就是我们现在只需要 x 一 乘以 x 二和 y 一 乘 y 二，那这两个式子肯定是尾答定律，那尾答定律的话，我们就要把这个 p q 直线啊，这个是 y 等于 x 减 c， 然后这个 椭圆的方程啊，应该是 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一连力啊，整理出来这么一个二次函数，呃， 这个二次函数的话，我们整理一下，就是 x 方 x 啊，后边呢是常数部分伟大定律写出来， 然后的话把这个式子，你看这个式子的话，这里是四，这里是一，这里也是一，把这个一跟这个一一削，然后这个四挪过来就是负四，这个负四跟这个四约一下，就可以得到这个式子啊，它等于负一，然后我们把它带入， 就会出这个式子，就是 a 方加 b 方，分之 c 方减 b 方，然后 a 方加 b 方，分之 c 方减 a 方，这样一减的话，就可以求出来 c 等于零，那这个 c 等于零的话，它应该是不对的啊，所以这个题呢，就是不存在。然后这个是一个比较久的一个高考的题。 接下来是向量的等分点， a p 向量等于拉姆大倍的 p b 向量， 这个时候呢，我们就可以得到一个等量关系啊，就是 x 零减去 x 一 等于拉姆大倍的 x 二减 x 零， y 减 y 减 y 零。呃，这个时候呢，我们需要做一个判断啊，就是看一下这个 x 零和 y 零，谁等于零， 谁等于零的话，呃，那这个时候它的关系就会比较简单。假设这个 y 零是等于零的， 那这个时候你看它 y 之间的关系呢，就会变成负的 y 一 等于拉姆达 y 二，也就是说它的 y 会更简单一点。那这个时候我们做表达定理的时候，就得设 x 等于 m y 啊，也就是我们需要得到 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后呢把这个式子带进来，带进来之后呢，这个 y 一 就会等于负拉姆达 y 二， 那这样的话，往这一带就会出现一减拉姆的 y 二，然后下面这里就会出现负拉姆的 y 二方，然后我们把上面平方，然后除以下面这个 y 二呢就消了，只剩下了拉姆的。好，我们来看一下具体的例题啊，这个 抛物线方程呢，这儿已经有了，就是 x 方等于四 y， 嗯，设斜率为 k 的 直线，经过点 b 二零， 且与抛物线交于两点不同的两点 m n， 然后这是 b m 向量等于拉姆大倍的 b n 向量。拉姆大属于四分之一到四，求 k 的 取之范围，也就是说我们这个要求的是 k， 给的是拉姆大， 那我们现在要找到拉姆达和 k 之间的关系。通过题目给的这个等量关系，我们发现，哎， x 一 减二等于拉姆达倍的 x 二减二，然后 y 等于拉姆达 y 二，也就是说拉姆达和 x 一 x 二或者 y 一 y 二是有关的。 呃，这个 k 我 们知道啊，这个连立方程的时候，斜尾答定里啊，也会和这个 k 有 关，也就是说 x 一 加 x 二或者是 y 一 加 y 二啊，会等于一个 k 的 函数， 并且 y 一 y 二和拉姆达有关， x 一 x 二也和拉姆达有关，也就我们的目的呢，就是利用这个伟大定律，把拉姆达和 k 啊放到一起。 那这个时候我们通过观察呢，发现 y 的 式子更简单一点，所以我们列伟大定律的时候，就要列这个 y 的， 那我们设方程就要设 x 等于 m y， 那这样的话，整理啊，就会出现一个关于 y 的 二次方程，写这个伟大定律， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后把这个式子啊给他带进来， 那 y 一 加 y 二，就等于一加拉姆达 y 二，然后 y y y 一 乘 y 二，就是拉姆达 y 二的平方，然后这个式子呢，把 这个整体平方，然后除以下面就会得到一加拉姆达的平方除以拉姆达，然后等于四减四， m 的 平方除以四 m 方，那这个时候呢，拉姆达是有范围的，所以左边这个啊，就可以写成拉姆达分之一加拉姆达加二。这个呢，这不是一个 对勾函数嘛，然后它的范围就可以写了啊，就是这个四到四分之二十五，然后 这边啊，它有也就可以整理一下啊，整理成这个 m 分 之二减二啊，这个的话相当于是先约一个四就是 m 方，然后里边就会剩下，呃，约一个四的话， 相当于是二减二 m， 那 这样的话，我们相当于是把这个平方去掉这个整体来一个平方啊，这样，那这个时候再把平方开掉，就可以得到 m 分 之二减二的一个范围， 那这个范围的话就把 m 分 之二能解出来了。 m 分 之二解出来之后呢？呃，因为这个题需要有交点嘛，所以得先判断一下这个 delta， delta 大 于零，得到的 m 的 范围是小于二分之一，那这个时候呢，我们再写 m 分 之一的范围，因为 m 分 之一就是 k 嘛， 就可以写出来这个 k 的 范围了啊，就解完了。 然后就是条件翻译的这个第二种形式啊，长度，长度呢，我们最常用的就是根号下一加 k 方程乘以根号下 x 一 加 x 的 平方减四倍的 x 一 x 二。 这个式子，如果做题的时候推荐记这个啊，就是根号下一加 k 方 a 分 之根号下单调啊，这个的话就不用带进去再化简了啊，直接带这个式子就比较简单。 还有一个比较就是不太关注的，就是根号下一加 k 方 x 一 减 x 的 绝对值。这个的话我们高考考了好几次啊，你看，呃，这里假设中间有一个 f， 假设是二零吧，这个是 a 点，这个是 b 点， 那我们现在要求 a f 乘以 b f 的 话，如果我们直接想两点间距离公式啊，基本上就没法做了。如果我们用下面这个代的话，它就得根号下一加 k 方，然后 x 一 减二的绝对值，乘以根号下一加 k 方 x 二减二的绝对值。 那这个时候的话就可以得到一加 k 方扩起来乘以 x 一 减二，呃，再乘以 x 二减二，扩起来绝对值，那这样的话，这个式子又就变得能做了啊，也就是长度翻译的话，注意一下这个根号下一加 k 方， x 一 减 x 二绝对值。 我们看一个具体的例题，这个的话也是只看第二个啊，就是说有一个椭圆 x 方比十二加上外方等于一，然后呢？呃，上顶点就是 p 是 零一， 嗯，这个点 q 在 线段 a b 上，其实就是说明过 p 点做了一个直线，然后这个直线呢和椭圆交于 a b 两点， 然后我们把这个 pa 和 pb 又连起来了，然后连起来之后呢，它分别和 y 等于二分之二分之一， x 加三，这个直线交于 c d 两点。 然后第二问呢，我们要求这个 c d 的 最小值，按我们刚才说的那个呢，直接写成根号下一加 k 方，然后 x c 减 x d， 而且这个 k 呢，是等于二分之一的，那也就是根号下一加四分之一，那我们接下来就求这个 x c 和 s d 就 行了。 那我们首先呢，先设这个 ab 的 直线方程， y 等于 k， x 加二分之一，那这样的话 a 点就是 s 一 y 一， b 点就是 s 二 y， 然后连立方程，连立方程之后呢，整理出来一个二次函数，这个呢就是得到伟大定律，这个伟大定律是关于 a 和 b 的， 然后我们接下来呢，写这个 ap 直线和 bp 直线，呃，然后接下来就该写这个 c 点和 d 点了， c 点和 d 点呢？是 ap 直线和 y 等于负二分之一， x 加三啊，这个是负的负二分之一， x 加三，这个少打了一个，这样的话就可以交出来 c 点，那同理 d 点啊，也就出来了，这样的话 x， c 和 s， d 就 都出来了， 然后带我们刚才那个式子， c， d 呢，就等于根号下一加 k 方，然后 x， c 减 s， d 的 绝对值，这样带入进去之后呢，直接化减就行啊，其实带尾答定里化减就可以。后面这个式子啊，求最值的话用的是一个， 你看它下面是，这里是个绝对值， 然后上面这个式子的话，十六 k 方加一，它除以这个三 k 加一是除不了的，所以上面这里配了一个这个柯西不等式啊，你看根号，呃，十六分之九，十六分之九的话就是四分之三的平方， 然后加一的平方，那这样的话就是四 k 乘以四分之三，然后一乘一，这样的话上面就变成三 k 加一了，然后这里平方再开方，开完方之后，呃，也是三 k 加一的绝对值嘛，和下面这个三 k 加一的绝对值就约了， 然后这样的话，最后出来这个五分之六倍的根号五，这个范围反是不好出。 解析，几何里边的面积表示，嗯，最常规的就是二分之一底乘高，你把这个三角形的底和高分别表示出来，然后给它乘一块就行。第二个呢，就是分割 这个三角形里边如果有一根竖线啊，比如说固定的这个长度，如果是二，那我们就可以写二分之一乘以二，然后再乘以 x 的 叉， x 二减 x 一， 就是这两个顶点的 x 坐标。呃，如果有一根横线是固定的，比如说这个是三，那就是二分之一乘以三，然后再乘以 y 的 叉， 这个应该比较好理解。第三种表达方式呢，就是二分之一 x 一 y 二减 x 二 y 一， 这个 x 一 和 x 二呢，表示的应该是这个三角形边儿的项链啊，就是 x 一 y 一 x 二 y 二， 这个三角形的两条边向量比较好表示。那这个时候呢，我们一般用这个公式去做。那我们来看一个例题啊，我们例题我们就只讲这个。第三种， 有一个椭圆啊，这儿画了四分之 x 方加二分之外方等于一，已知上面有一个 a 点 x 一 y 点 x 二 y， 然后 o 呢为圆点，直线 o a o b 斜率相乘 就是等于负二分之一 q o a q o b， 那 这样的话，我们一般都会设这个直线 ab， 然后 o a o b 的 斜率相乘等于负二分之一。这个时候我们去列北大定律呗，然后屁为椭圆上异于 ab 的 一个动点啊，就是这还有一个 p 点，然后我们现在要算这个 a o p 的 面积和 b o p 的 面积， 这样你看，呃， s 一 s 二，我们要探讨 s 一 的平方加 s 二的平方是否为定值。如果这个你用底层高的话啊，比方说 a p a p 的 长度啊，这个好像也不行，或者你用这个 o a 的 长度，那这样的话，它都代换不了韦达定律啊，因为韦达定律的话，需要 x 一 和 x 二，呃， a 点和 b 点，还有这个 p 点， p 点设成 x 零 y 零，那这样的话，这个 a p 这两个这个三角形的两个边儿，它的向量是可以表示的，这就是 x 一 外一，这就是 x 零外零。那我们就用我们刚才说的这个表达式啊去求。 那首先第一步呢，是先连立，然后整理出来一个二次方程，尾答定里写在这儿，呃，然后呢， k o a 乘以 k o b 等于负二分之一，那我们带到这个式子里边，呃，整理一下，就是 x 一 x 二加二倍的 y y 二等于零， 然后代位达定里啊，代入，代入之后呢，就可以得到 m 方等于二， k 方加一啊，这个是一个关系。接下来呢，我们就设 p 点是 x 零外零，那这样的话， s 一 的平方就会等于四分之一， s 一 外零减 x 零外一， 那这样的话再平方一下，就不用绝对值了，那同理， x 二也是一样的，那我们接下来呢，就把它们俩加起来， x 一 的平方加 x 二的平方，然后整理一下，就是 x 一 的平方加 x 二的平方，这里是 y 一 的平方加 y 二的平方，这里是 x 一 y 一 加 x 二 y 二。 然后这个式子的话，我们就直接带伟大定律就行了啊，这三项带伟大定律带入，带入之后求出来分别是四二零，然后我们再把它带进去，就是四分之一四 y 零方加 s 零的平方啊，它就等于二，就可以证出来它是定值了。 我们来看这个角度的翻译解析。几何里边如果遇见了要求这个角度，一般是没有办法直接求的，我们都是通过这个 tangent 把它转化成直线的斜率 k， 这样就可以做了。 遇到了这种三点共线的问题的话，我们也是用斜率来表示啊， k a b 等于 k a c， 这样就可以证明三点共线，还有就是证明四点共圆， 这样的话就证明这个对角相加等于一百八，那证明它两个的 tangent 相加等于零就可以了。那这个 tangent theta 呢？ 它用这两个直线的倾斜角来表示啊，这个是 alpha， 这个是 beta， 那 这样的话，这个 tangent theta 就会等于 tangent r 减 beta， tangent r 减 beta 展开之后，应该就是 k 一 减 k 二，然后一加上 k 一 乘 k 二，这样的，也就是把这个角度还是通过 tangent 转化成斜率。 我们来看一个这个题目啊，就是椭圆的标准方程，这是四分之 x 方加三分之 y 方等于一，然后他说过右焦点 f 且斜率为 k 的 一个直线 哎，交于 a b 两点，问你 x 轴上是否存在异于 f 的 一个定点 t 是 否存在，这提个 t， 然后 a f 乘以 b t 等于这个 b f 乘以 a t 成立，那这个的话，你把它换一下就可以得到， a f 比上 b f 等于 a t 比上 b t， 就 a f 比上 b f 等于 a t 比 b t， 那 这样一拉，这个不就是角平分线吗？ c t 啊，也就是说我们现在要算这两个角度相等，那这样的话，我们应该就是直接证明 a t 和 b t 的 斜率相反啊，也就是说我们只需要证 k a t 加上 k b t 等于零就可以了。那有了这个思路之后呢，就好做了啊，第一件事呢，肯定是先连立， 就是画的那个图，我们先连立方程，然后整理出来一个二次函数，然后这个二次函数出尾答定里 y 一 加 y 和 y 一 乘 y 二，然后 写这个条件啊，因为由这个条件得到角 a t f， 这个角等于角 b t f， 那 这样的话，我们就可以得到 k a t 加上 k b t 等于零，然后我们再代入，就是 y 一 比上 x 一 减 t 等于零，然后我们再代入，就是 y 一 比上 x 二减 t 啊，这就是斜率。 嗯，整理一下，直接带尾答定理啊，就可以整理出来这么一个式子，因为我们这个 t 木要的是横乘力， m 呢是变量，所以我们让 m 的 系数为零就可以了。四减 t 啊，让等于零，那 t 就 等于四，那它定点坐标呢，就是四零， 也就是说，呃，直接遇到这种角度相等的啊，就是相等啊，或者说互补什么的，然后直接求贪婪他就可以了。 然后就是这个四点共圆椭圆的方程呢，还是已经有了，就是八分之 x 方加四分之外方，等于一过 f 二，画了一条直线 l， 然后它和 c 呢，交于 a b 两点 与 y 轴交于点 p 啊，下面这里有个点 p， p 在 e 的 下方的话，待会这个直线就会有一个要求， q 为点 p， 关于圆点的对称点 q 在 上边儿， 然后 q b 交 x 轴于 r， q b 一 连交 r， 是 否存在直线 l 使得 q r f 二 a q r f 二 a 啊，就是点的这四个红点啊，共圆，如果存在的话，判断直线的 l 的 条数不存在说明理由，那我们直接设这个直线 l， 然后把这个 l 求出来有几条，那这样的话答案就是几条， 那我们主要是要表示这个四点共圆这个条件。四点共圆的话，我们刚才说了，就是正它的对着的这个角就可以，也就是正这个角跟这个角正这两个角相加等于一百八， 也就是角 a q r 和角 a f 二 r 等于 pi 加起来，那这个时候我们就可以转换成 tangent 啊，就是 tangent a q r 等于负的 tangent a f 二 r， 那这样的话 tangent a q r a q r， 它是这样的啊，这个是 q， 这个是 a， 这个是 r， 这个角度 theta 跟上面这个角度 theta 是 一样的，那我们就可以用 a q 直线的这个角减去 q r 直线的这个角，那这样呢？但是 q r 呢？也是 q b， 那 这边呢？就可以写出来这个角，然后下面这个角呢是这样的， 这个点是 a， 这个点是 f 二，这个点是 r， 这个角 tangent 啊，前面加一个符号，那就跟下面这个角的 tangent 是 相等的，所以我们这直接写 k a b， 那 我们的等量条件呢，就已经有了，就是列这个式子就行了。 那我们接下来呢，先连立出伟大定律，然后出这个 y 加 y 和 y 乘 y 二， 这个角度加起来等于派，然后这两个 tangent 啊互为相反数，然后得到我们刚才在草纸上推的这个结论啊，就是你在试卷上写的时候，得这样正着去写， 那这个 k q a k q b 啊，还有这个 k a b 直接带就行了，你看这个式子， k a b 直接带进来，然后 k q a 这个 q 的 话就是这个 p 点， p 点坐标就是零啊，负二，那这个 q 点坐标就是零二呗，那这个坐标呢，就是可以直接写的， 嗯， x 等于啊，不对，这个应该是 m 分 之负二，这个上面应该是 m 分 之二啊，这 q， 那 我们带完之后呢，就可以整理出来这么一个式子， 然后题目说了一下，这个啊，这是后边又整理的一下，这个是等于零，然后后面说 p 在 e 的 下方，那这样的话，也就是说这个 m 分 之负二是小于负二的， 那这样的话，这个就会得到一个 m 的 范围是零到一。这个题目让我们判断的是条数啊，它并没有让你求等于什么。 那我们刚才也说了，这个设了一个直线，这个直线解出来有几条就是有几条，那也就是说我们现在要判断的是这个式子等于零的 m 有 几个解啊？有几个解就有几个答案。这个式子呢，比较复杂啊，直接看看不出来，所以我们就直接对它求导就可以了，构造一个函数 f m， 然后对它求导，求完导之后呢，这个导数是这样的，它是大于零和一吗？零的时候带进去 是趋近于富无穷的，一的时候带进去是二，二是大于零的富无穷，这大于零啊，所以这样合起来它就会有一条，这个就是角度的一些翻译。 接下来我们说解析几何的定值问题。第一种呢，就是题目说什么，你写什么，然后经过化简计算，它直接就是一个常数，这种呢最好了。 第二种呢，就是你化简计算完之后呢，它还有字母啊，当然这个时候我们看它这个形式啊，是整式还是分式啊？两种情况。如果是整式的话，比方说 m 加二，括起来 k 加三啊，这个式子它是一个定值，那这样的话，变量如果为 k， 那 变量的系数就得为零，也就 m 加二等于零， m 等于负二， 那如果它是分式的话，你看分式，因为我们作尾答定理吗？它经常会出现这种形式，比方二 k 方加一，上面是 m 加二，括起来 k 方，然后再加三， 然后这个式子为定值。如果我们现在只让上面这个 m 加二等于零，呃，下面这个二 k 方加一呢？ 它这个 k 变仍然会影响啊，所以说分式为定值的话，我们一般让对应的比对应部分乘比例，就是让 m 加二比二等于三比一，也就是说让上面是多少倍的二 k 方加一，然后把它约去啊，是这个意思， 那我们来看一下具体的例题。这个还是椭圆的表达式啊，就是九分之 x 方加外方等于一，然后他说在 x 轴上是否存在一个定点 t， 使得 ta 向量点成 tb 向量为定值啊？然后这个 ab 啊， ab 是 过 f 一 的直线啊，和椭圆交于 ab 两点，那这样的话很明显啊，就直接连立就可以了。 那我们先说这个斜率存在的时候，然后 ab 的 直线呢，就是 y 等于 k 倍的 x 加二，倍根号二，然后连立连立出来，整理出来一个伟大定律，然后 x 一 加 x 二和 x 一 乘 x 二， 那我们设这个 t 的 坐标就是 t 零呗，那我们 t a 向量点成 t b 向量，这样代就可以了，然后经过整理呢，整理出来这么一个分式， 这么一个分式的话，你看它这个分母，分母是九加九， k 方加一，上面整理出来前面这个是 k 方，后面这个是常数，那我们只需要让 k 方的系数 比和常数比相等就可以了，那这样的话就算出来这个 t 呢，等于负的九分之十九倍的根号二啊，这样就做完了啊，这个就是分式为定值 解析几何里边的直线过定点问题，我们一般呢就是先设直线 y 等于 k， x 加 m， 然后求 m 和 k 的 关系， 如果求出来 m 等于一个常数，然后三，它过定点呢，就应该是零三 m， 如果等于 k 的 一次函数三， k 加二，它过定点呢，就是负三二。 所以我们直线过定点的目的啊，就是通过化简约分得到 m 关于 k 的 一个表达式啊，一般就是依次函数。 那我们来看这个题目啊，直线的方程被这个椭圆的方程呢，是四分之 x 方加 y 方等于一，然后直线 l 不 经过 p r， 也就是说 与椭圆 c 相交于 ab 两点 ab， 然后这里有一个 p 二， p 二 a 与 p 二 b 斜率和为三。试问这个直线是不是过定点啊？若过定点的话，求出来定点坐标， 那我们刚才说直线过定点，我们就直接设这个直线 y 等于 k， x 加 m 就 行了， 然后把它连立啊，整理出来一个二次方程，写伟大定律，然后呢把这个等量关系写上，就是 p a 加 p b 等于三， 那这样的话，整理出来一个二次函数，整理出来一个就是这个代换的表达定例，然后直接把它带进去啊，就可以解出来， m 等于三分之二， k 减一，然后再给他带到圆直线里边。你看通过这个就可以看出来，它过定点应该是负三分之二负一， 这样就做完了，也就是直线过定点，我们只需要设 y 等于 k， x 加 m， 然后求 m 等于 k 的 关系就行。 另外一个就是圆过定点，圆过定点的话，这个就比较麻烦了啊，所以我们一般不通过这个表达式去出，我一般就是先猜后正啊，先找两个特殊位置，一般呢就是找对称的，画两个圆， 然后画完圆之后呢，找到它的焦点，它的焦点呢，就是这个定点。比方说先画两个圆啊，这两个圆有个焦点 p， 那 我们接下来呢，就正这个 p 点在圆上就是 p a 向量点乘 p b 向量正，它等于零就可以了。那这个 或者写这个圆的直径是 x 减 x 一 乘以 x 减 x， 二 加上 y 减 y 一 乘以 y 减 y 二，括起来等于零，但是这个式子也不太好写啊。圆过定点的话，一般推荐这个第一种方法就是先找一个特殊位置，把这个定点猜出来，然后再正这个点，在圆上。 解析几何里边有一类这个双切问题啊，就是过一点做圆或者椭圆的两条切线。那我们来看一下这类题应该怎么做。 这个题的话，椭圆的方程啊，这给了就是四分之 x 方加外方等于一，然后过点 a， 做这个 a 的 话就是上顶点啊，零一做圆， 它的两条切线啊，分别于椭圆 c 交于 b、 d 两点，然后当这个 r 变化时，求直线 b、 d 是 否过定点？ 那这样的话，我发现过 a 点做的两条切线啊，它应该是存斜率，是存在一个关系的，因为如果你 ab 直线确定了，那这个圆的半径呢，也就确定了，所以这个 a d 直线呢，也就确定了。 那所以我们第一步呢，就是先找这两个斜率的关系，那这个时候我们先设切线啊，就是你别说设谁，你就直接设过 a 点的切线， y 等于 k， x 加一， 然后呢你来表示这个和圆相切的一个等量关系啊，就是圆心到直线的距离等于半径， 这个时候呢，你整理出来一个二次方程，这个二次方程啊，它是关于 k 的， 那这个时候 k 呢，就会有两个根，这两个根分别就是 ab 和 ad 的， 所以我们就可以得到 k 一 乘以 k 二啊，等于一，当然是因为这个 k 一 加 k 二，它没有这个固定的关系，所以就没写啊，就是用不到 k 一 乘 k 二是等于一的，这个关系比较特殊啊，所以我们要用它。那接下来呢，我们就设 b d 直线， b d 直线的话跟它连立，连立完之后，整理出来一个二次方程，就会出来这个尾答定里， x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二，然后根据我们刚才写的这个 k 一 乘 k 二，其实就是 k a b 啊，乘以 k a d 等于一，带入这个尾答定里。 呃，然后再整理就会求出来， m 等于负三分之五， m 等于负三分之五的话，结合这个啊，就可以求出来这个直线过定点是零负三分之五啊，这个就是双切的一个问题。 然后就是同勾，同勾用的最多的呢，应该就是写几点几线的时候， 我们比较基础的就是过一个点，过椭圆上一个点做切线啊，这是 x 零 y 零，那它切线方程呢？就是 x 零 x 比 a 方，加上 y 零， y 比 b 方等于一。 然后我们还有一个说法，叫做几点极限啊，就是过椭圆外一点做椭圆的两条切线，然后这个是 a 点，这是 b 点，然后连 a b 求这个 a b 的 直线方程， 这个 p 点是 x 零 y 零，然后它也是这个 x 零， x 比 a 方加上 y 零， y 比 b 方啊，等于一。那它这个怎么求的呢？我们先设 a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二， 然后这样的话， pa 的 直线方程就是 x 一， x 比 a 方，加上 y 一， y 比 b 方等于一。 pb 的 直线方程啊，就是 x 二， x 比 a 方，加上 y 二， y 比 b 方等于一。 然后把 p 点代入，就是 x 一 x 零比 b 方等于一。这的话就是 x 二 x 零比 a 方 加上 y 二， y 零比 b 方等于一。然后通过这两个式子作比较，我们发现这个 x 一 x 二， y 一 y 二啊，是变的，所以我们把它变成一个 x， 就是 x， x 零比 a 方加上 y， y 零比 b 方等于一， 那 a 点在这个直线上， b 点也在这个直线上，那也就说明 a b 的 直线方程啊，就是上面这个式子，这是通勾的，一般的一个想法。 通勾，这里有一个比较典型的例题，涉及到这个三角形的外心，我们先看一下这个题目啊，就是 椭圆的标准方程是这个九分之 x 方加八分之外方等于一，然后这里有一个点， c 是 负三零，然后 d 点呢？是二零过 d 的 一个动直线与曲线 c 交于 m n 两点， 然后三角形 c m n 的 外心是 q， 我 们平时做题一般做的就是那个重心啊，很少做这个外心的。 o 为坐标原点，然后问你直线 o q， 然后与直线 m n 的 斜率之积是否为定值，也就是说我们现在应该要求一下这个 q 点，如果是定值，求出定值，如果不是的话，说明理由。 那好，那我们看啊，就是这个外心，它是垂直平分线的交点，你看这垂直平分线，呃，再连一个 c m， 再连一个 c n， 在 解析几何里边表示这个垂直平分线的话，我们需要知道终点， 然后的话，呃，再写这个，反正就是比方说 cm 吧，就是跟 cm 垂直的一个直线啊，这个反正写出来就不太好写，所以我们的一个想法呢，就是找这两个直线的时候，找这个 cm 和 cn 啊，因为它们俩是有一个对称的结构， 不找这个 m n 啊，虽然我们做题的时候会先设这个 m n， 但是我们不找它，我们看一下这个题目啊，就是先设，嗯， m n 的 直线 x 等于 m y 加二， 因为我们待会要设的是这个 m n 的 斜率和 o q 的 斜率，所以说这个 m n 的 斜率呢，是 m 分 之一啊，待会记着 连立这个方程，然后整理出来， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后 c m 的 终点我们就可以写了，就是二分之 x 一 减三和二分之 y 一， 然后 c m 的 斜率啊，也可以写，写完之后呢，就是写这个 c m 的 垂直平分线， 这个点差啊，直接写就行了。整理一下，就是 y 等于这个是 k， 然后 x 减后面这个，那 c m 的 垂直平分线，如果是这样的话， 那 c n 的 垂直平分线呢？同理可得啊，直接把 y 一 换成 y 二就行了。然后我们现在呢，相交于 q 点，也就是说 q 点啊，可以代入这两个方程啊，其实就跟那个极点极线的那个写法是一样的， 带完之后呢，我们就会发现 y 一 y 二呢，是这个方程的两根。你看这个式子，就是把这个 x， 就是 把这个 x 换成了 x 零， y 换成了 y 零，然后这不是 y 一 y 一 y 二 y 二，然后这个嘛，然后我们就把这个换成了 y， 你 看这个式子，也就是说下面这个式子里边，这个 y 一 带进去是对的， y 二带进去也是对的。 那这样的话，我们一整理，他就是一个关于 y 的 二次方程，并且呢，这个 y 一 y 二啊，就是他的根。那这个时候呢，我们就可以得到 y 一 加 y 二啊，应该是等于这个式子的。而上面这个 y 一 加 y 二呢，也有啊，所以他们俩就相等， y 一 乘 y 二等于八十 x 零。上面这个 y 一 乘 y 二呢，也有啊，所以他们俩也相等带进来。带进来之后呢，你看我们让这两个啊，让他去做一个比一做比的话啊，就会得到这个式子， 五分之四 m 零对，五分之四 m， 然后再整理一下，就是这个 x 零 就 s 分 之外零，就等于负五 m， 然后这个 s 零分之外零，不是刚好就是这个 k o q 吗？我们这个题目就是让你求这个 k o q 乘以 k m n k m n， 我 刚才说的是 m 分 之一啊，这个是负五分， 嗯，负五，然后乘的话就等于负五就结束了啊，这个象形的外心还是乘的话，就等于负五就结束了啊，这个象形的外心还是挺难的。 我们这次讲的呢，是非对称表达定律的处理方法。非对称表达定律呢，一共有三种处理方法。第一种呢就是用曲线代换，嗯，当然呢，他有一个要求啊，就是这里必须是 x 一 加 a， 这边呢是 x 二减 a， 然后这样的话，我们上下同乘一个这个 x 二加 a， 那 这样的话我们就可以得到 x 二的平方减 a 方，然后呢就可以代换成这个式子，负的 b 方分之 a 方 y 二的平方， 这样的话，下面这个 y 二跟上面这个 y 二就消了啊，所以呢，我们就可以得到负的 b 方分之 a 方 y 二，那跟前面这个 y 一 交叉， n 倍的这个 x 二加 a， 跟这边这个 x 一 加 a 交叉，嗯，这样的话就又能做了。 第二种方法呢，是这个乘法转换加法，那这个时候呢，我们写完未答定义之后，先让他们俩比一下啊，得到一个值，那这样的话，这个 x 一 乘以 x 二，就等于 m 倍的 x 一 加 x 二，那也就是说把这个乘法呢直接转换成加法。 第三种呢，就是题目给了一个大的分式，并且他说这个分式是定值，那这个时候呢，我们就可以根据一个就是已知结果是定值了，所以说 上面这有一个 n 倍的 y 一，下面有一个 s 倍的 y 二，那这个时候我们让它凑成伟大定律，也就是说上面直接给它写成 y 一 加 y 二，那就像是多了一个 n 倍的 y 二，那你后边呢，就得减去一个 n 倍的 y 二，因为它是定值 啊，因为前半部分啊，就是伟大定律代换了，这有一个负 n 倍的 y 二。 题目说了，这个式子是被定值了啊，你没有办法，所以他必须得消去啊，所以结果呢，一定是负的 s 分 之 n 啊，这个呢，是需要有一个提前知道的结果。好，那我们现在讲的这个例题呢，是 第一种方法对应的啊，这个曲线代换，看这个题目啊，已知一个椭圆，并且还知道了 p 点零一， ab 呢，为椭圆的左右顶点， 过 a 点做斜率为 k 一 的直线交椭圆于 e， 连接 e p 并延长交于 f， 然后直线 b f 的 斜率为 k 二。告诉我们一个 k 一 等于三倍的 k 二啊，让你求 直线 ef 的 方程。那我们先来把这个图画一下，首先就有一个 p 点零一，嗯，左右顶点 ab 过 a 点，做了一个 k 一 啊，斜率为 k 一 的一个直线，它和椭圆交于 e 点，然后我们再把这个 e p 延长交于另外一点的 f， 再连这个 b， f 是 k 二，然后 k 一 等于三倍的 k 二。求直线 ef 的 方程，其实就是求直线 ef 的 k 呗， 所以我们考虑的话，直线 ef 呢，它是过定点零一的，所以我们设 ef 的 直线方程，跟椭圆连立啊，就可以得到 e 点和 f 点，然后呢，再表示这个 a e b f 的 斜率啊，也就是这个 k 一 等于三倍的 k 二，这样的话就可以得到一个等式了啊，这个等式边未知数呢，只有 ef 的 斜率啊，就能解出来。 好，那我们来看这个过程啊，首先呢，就是先设这个 e f 直线啊， e 点 f 点坐标，然后把这个椭圆跟直线连立，连立完之后呢，整理出来一个二次方程，这二次方程呢，有伟大定律， x 一 加 x 二， x 一 乘以 x 二， 然后因为 k 一 等于三倍的 k 二，那我们就可以直接写了。前面这个式子是 k 一 等于三倍的 k 二，那我们发现下面是 x 二减二啊，所以我们就处理它都成一个 x 二加二， 那这个式子时候呢，就变成了 x 二的平方减四呢，又可以写成负二倍的 y 二的平方啊，因为这个 x 二的平方比四，加上 y 二的平方比二，应该是等于一的两边都乘四，那 x 二的平方减四，就会等于负二倍的 y 二的平方啊，这样带的， 这样带完之后呢，跟上面这个 y 二就消了啊，消完之后就可以得到后面这个式子，那这样的话，还是这个负的 y 二，负二倍的 y 二，那把这个擦一下 这边这个负二倍的 y 二，嗯，跟前面这个 y 一 乘，这个 x 一 加二，跟三倍的 x 二加二乘，这样的话，我们就可以得到一个式子啊，负二倍的 y 一 乘 y 等于三倍的 x 一 加二乘以 x 二加二。 这样的话，我们就把这个非对称伟大定律啊，它这个系数不相同，给它转变过来了啊，用的是曲线代换， 那在知道的这个前提下呢，我们再直接代换伟大定律啊，就可以得到这个式子， 这个式子呢，解出来两个 k， 那 k 等于一和二分之一，这二分之一是可以舍去的啊，这个舍去的过程我就不写了，这有点麻烦。然后所以这个 e f 的 直线方程就是 y 等于 x 加一，嗯，这个是处理非对称伟大定律的一种方式啊，就是曲线代换。 今天我们来讲题次化啊，一个在特定情况下特别好用的一个方法。那他处理的呢，一般是斜率相乘啊，或者相加，当然我们平时做题遇到斜率相乘或者相加还挺多的，所以这个题次化呢，还是有比较学习一下的。 我先举一个例子啊，就是它问题的形式，如果是 y 一 减 s 比上 x 一 减 t 啊，乘以 y 二减 s 比上 x 二减 t 的 话，你看这个就是两个斜率相乘啊。如果是这种形式的话，那我们可以考虑如果把 y 减 s 比上 x 减 t 这个式子，如果作为一个整体的话，那上面这两个量明显就是这一个二次函数的两根啊，所以我们只要找到这个二次函数就行了。 那我们高中呢，要什么东西啊，我们就自己拿就可以了啊。我们这个时候呢，先改椭圆，因为我们要的是 x 减 t 和 y 减 s 嘛，所以我们就直接改，改成 x 减 t 再加 t， 改成 y 减 s 再加 s 啊，就硬拿。 这个时候呢，直接展开，展开之后啊，你看把它整理一下，你就发现这个是平方向，但是这个呢是依次向，后面呢是常数向。 那这个时候呢，好像不太行啊，因为如果都是二次项的话，你看如果都是二次项，我们做一个除法啊，同除这个 x 减 t 括起来的平方，如果都是二次项的话啊，就可以， 但是你像现在呢，他都是有二次的，有一次的也有长竖向。那怎么办呢？就得靠这个直线了啊，我们把直线也写出来，直线也是啊，我们要什么就还是硬拿，呃，就 x 减 t 和 y 减 s， 然后我们把这一部分， 因为这个直线这个方程不是等于一吗？然后我们把这两部分给它相乘，那这个时候乘出来之后呢，他就是一个二次的 长竖向这部分呢？你把这个直线，因为直线这不是等于一吗？你把它平方，然后再跟他乘，那这样的话也就会变成二次的。但是这个就比较麻烦了，我们高考里面出的很多题，还有模拟题啊，这个长竖向这部分啊，一般都是零。 那我们再来看一个例题，现在有一个双曲线啊，二分之 x 方减 y 方等于一点 a 呢，是二一直线和双曲线交于 p q 两点啊，求这个已知的是 k a p 加 k a q 等于零，求直线的斜率。 那我们看题目要求的结果呢，是 y 一 减一除以 x 一 减二，加上 y 二减一除以 x 二减二等于零，他呢非常符合这个奇次化的形式，跟刚才说的哎，一模一样。所以呢，我们就来上手了，还是要什么直接拿啊？ 我们要 x 减二来了啊，要 y 减一啊，也来了，那这个直线呢，仍然也是减二减一。 那我们把这个曲线啊，先整理一下，曲线整理完之后呢，我们就发现后面这部分是一次的，你看前面这部分是二次的，那我们就把后面这部分， 你看把后面这部分和这个直线相乘，因为这个直线是等于一嘛，所以它成了之后呢，应该是不动的，那这样的话把它再一整理， 你看这个时候呢，就都是二次的了，那都是二次之后呢方，方程两边同时除以这个 x 减二的平方。 好，那这个时候呢，它就可以换成这样啊，同除 x 减二的平方嘛，那我们就会发现这个 你看它现在就作为一个整体的变量了，那二次函数的两根啊， x 一 加 x 二， 用尾答定律啊，就可以直接表示出来，然后他是等于零的，他如果等于零的话，那也就是上面这个四 n 减四 m 等于零，也就是 m 等于 n， 就 可以求出来这个 k 等于负一。 这个题次化唯一不好的就是他没有解答定理那一步，也就是说高考的时候呢，要不然你就做对，要拿一个满分，如果你结果错了，过程分可能得不到，所以我一般不太建议我的学生用这个题次化。 今天我们来说的是仿设变换啊，做解析几何题的时候啊，有的时候比较复杂，然后经常会看见有人说这个仿设变换可以直接秒， 那我们今天呢，就来讲一下这个放射变换是个什么意思。当然呢，这个放射变换呢，我是不建议考试的时候用的，我们来看一下它具体的一个过程。 放射变换的话，就是有一个椭圆，那这个时候呢，我们给它做一个伸缩变换啊，变成一个单位圆，因为这个椭圆的话， 哎，他不就这样有点扁吗？然后我们给他 x 方向和 y 方向啊，分别都缩小 a 倍和缩小 b 倍，那这样的话，我们就可以把它缩成一个圆了，那这个时候我们只要能找到先后的这个顺序， 先后的这个性质啊，这样的话，我们就可以把这个椭圆的各种的问题啊，转化成圆的各种问题，而圆的话就会比较好做 变换。前后的点呢，我们前边就是 ab 啊，后边的话就是 a 撇和 b 撇，斜率就是 k 和 k 撇， a o， aob 的 面积啊，就是 s 和这个 s 撇， s 撇都是变换之后的第一个性质呢，就是它这个斜率， k 啊等于 a 分 之 b， k 撇啊，也就是 k 比 k 撇等于 a 分 之 b， 因为它我们这个变的话，它数值方向啊，变 a 倍，水平方向变 b 倍，那数值方向如果变的话，它相当于是在扩大，然后水平方向变 b 倍的话，它相当于是在缩减， 因为它是一个除法嘛，斜率啊，是数值的除以水平的，它虽然都是扩大的一个倍数，但是反映到这个 k 方面啊，数值方向这个扩大的倍数 就是这个还是这个倍数，然后水平方向扩大，这个倍数就应该是它的分之一 面积面积，这个呢，就是啊水平方向和数值方向的放缩，那这个的话就是直接乘起来啊，因为面积嘛，就是底乘高， 那他这个高放缩的倍数和这个底放缩的倍数直接乘起来，那就是结果。还有一个就是长度啊，这个长度的话就需要记一下，让他不太那么正常。 还有一些就是位置关系啊，就是三点共线啊，直线的平行啊，还有这个直线和椭圆的关系啊，就是相交啊，相离啊， 还有这个相切啊，就是原来如果是这个关系，他放缩成这个圆之后啊，还是这个关系，还有这个直线的等分点，比如三等分点，二等分点，这个三角形的四心，然后就是变完之后，这个东西还是 就是还是在那个位置线段的笔直，也就是说如果你求的是两线段的笔直啊，在椭圆里边，然后当你放缩成这个圆之后啊，他仍然是一个笔直，这个笔直是不变的 面积的比值啊，也就是说你求的是在椭圆里边一个面积的比值，然后你放到圆之后，直接求在圆里边对应的比值就可以，这样的话操作就会简单很多。 我们看这个题，有一个椭圆啊，动点 p 满足 o p 向量等于 o m 向量加二倍的 o m o n 的 斜率之积为负二分之一， 然后存在问你存不存两个点， f 一 f 二，使得 p f 一 加 p f 二为定值，那 p f 一 加 p f 二定值的话，那这个 如果有一个 f 一 有 f 二加起来还是定值，那他显然应该就是一个椭圆啊。如果是椭圆的话，那其实就是求这个 p 点的轨迹嘛。好，那我们看这个我们的求法，我们就求 p 点的轨迹方程就可以了， 那我们先把它做一个这个反射变换， x 撇等于二分之 x 啊， y 撇呢，等于根号二分之 y 啊，就是一个是 a， 一个是 b 嘛。然后大家往这一带啊，就是 四 x 方被四 x 撇平方比四加上二倍的 y 撇的平方比二等于一，那这样一整理的话，就会变成这个了，那 s 撇平方加 y 撇平方等于一，这个呢就是一个圆，然后呢，这个 m n p 点坐标啊，分别也变一下， 变完之后呢，这个 k o m 啊，乘以 k o n， 这个斜率原本等于负二分之一，当我们变完之后呢，它应该就等于负一了啊，就是我们刚才上面那个性质， 那相乘等于负一的话，也就是说 o m 撇和 o n 撇，它应该是垂直的，那它垂直的话， p 撇 p 点这个啊，这应该是 p 撇， p 撇坐标呢，设成 x 撇 y 撇，然后 n 撇坐标直接用三角代换，三角代换的话，这个是阿尔法，嗯， 椭圆里边，这个，你看椭圆里边，如果你设这个点坐标的话，参数方程它是 a 位的 cosine 法， b 位的散而法，这个而法呢，不能代表这个角度啊，就是这个角度，不是而法， 但是如果在圆里边的话，你看这个点坐标，如果是 r cosine 法啊， r 散而法这个而法呢，就代表的是这个角度。 好，那因为它是九十度的话，所以我们这个 m 撇对应的坐标呢，就可以是 cos 阿尔法加二分之派和这个 cos 阿尔法加二分之派。 诱导公式啊，把二分之派去掉，负的 cos 阿尔法， cos 阿尔法，然后再利用这个 op 向量啊，因为它这个 项链嘛，其实放松完之后，它是关系是不变的，那这个屁撇呢，就可以得到二倍的 cosine 法减 cosine 法和二倍的 cosine 法加 cosine 法。 这个时候呢，我们直接把它们两个平方加起来，你就发现它等于五，也就是说这个屁撇的轨迹呢，是一个圆啊， s 撇的平方加 y 撇平方等于五， 那我们放松的时候，就是你看这个经过反射变换之后，圆题目的椭圆就仿射成一个圆了啊，也就是说如果我们再变回去的话，这个圆呢，也会变成椭圆，那这边这个圆他反射变换回去也会变成一个椭圆， 那反射变回去之后呢，就可以变成这个就是屁点坐标，二十分之 x 方加十分之 y 方等于一，也就是说存在的这两个点呢，就是它的焦点啊，这样就可以了，反正这个反射变换呢，就是 把这个椭圆直接按倍数给他变了就可以啊，变成圆，然后这里边的各种性质呢，就直接， 嗯，把这个背一下就可以，像这种各种性质，当然考试的时候呢，其实就正常做就行，这个不太建议用。 今天我们来讲一下这个几点极限在做解析几何大题的时候有什么用？嗯，几点极限这个东西呢，它其实是一个二级结论，但是很多人呢总是说，哎，这个几点极限记了也没有用呀，对吧？啊？在大题里边也不能直接写， 那我们今天呢来展示一下这个几点极限记住之后呢在大体中的作用。首先呢就是这个几点极限的定义， 这个啊应该很多人都没有问题啊，这如果不太清楚的话，可以去看一下我写的那个圆锥曲线的二 g 结论啊，那个里边有证明，就是你果椭圆 y 一 点 p x 零 y 零，嗯，做椭圆的两条切线， p a p b， 然后把这个 a b 连起来， a b 的 直线方程呢，就是这个，呃，就是换一半啊，其实跟那个切线的规律是一样的，当然这个 p 点如果在椭圆内啊，也是一样的，过 p 点做一根弦，然后这两个弦的端点呢是 a 和 b 过 ab 分 别做切线，那这个时候呢，他这个切线啊，就会有一个焦点 m， 然后这个 m 呢在定直线上，这个直线呢也是啊，这个换一半的规律， 大家首先呢得先明白这个，然后呢就是得明白一个自极三角形啊，大家可以暂停把这个定义看一下，然后呢我来解释一下啊，这个怎么理解？ 考试的时候呢？呃，我们自己三角形的理解呢，就是任意一个四边形啊，就任意找一个四边形， 这个的话就是 a、 b， c、 d， 然后这个四边形呢，对角线连线会有一个交点，你看就是这个屁点，然后这个边的延长线啊，也会相交 m 点和 n 点，然后这个时候呢，这个 这三个点构成的三角形呢，叫自极三角形，也就是说 p 点，它所对应的极限呢，就是 m n， 然后 这个 m 点对的极限啊，就是 p n， 也就是说如果你知道了 m 点的坐标，那 p、 n 直线的方程呢，你就能写，如果你知道了 p 点的坐标，那 m， n 直线的方程你也能写。好， 那我们来看这个题目啊，这是我们的一道模拟题，大家可以先看一下题， 他说呢，有一个椭圆 e， 它的 ab 呢是左右顶点啊，然后点 m 大 m 小 m 零，与椭圆上点距离的最小值为一，那这个的话，求这个小 m 的 坐标是很容易求的，就是三零， 然后主要是第二个过这个 m 做一个直线 l 交椭圆 e 于 c、 d 两点，然后连接这个 a、 c， b， d 交于点 g， 证明啊，这个这点在定直线上，那正这点在定直线上的话，其实我们就是成求这个这点的横坐标 x 跟他的纵坐标 y 之间的关系。 那我们先画一下图啊，有一个椭圆，还有一个 m 点过 m 呢，拉直线 c， d， 然后把这个 a、 c 和 b d 连起来，相交于点 g。 那我们做题的思路呢，也很简单，就是先设过 m 的 直线 c、 d， 然后连立出伟大定律。第二个呢，就是直接写直线 a c 和 b d 啊，两点式写就可以了，相交呢，得到 g 啊，也就是说这两个式子呢，连立 好。第一个呢，就是先设这个直线方程，然后椭圆跟直线连立出伟大定律 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后呢再写这个 a c 直线，再写 b、 d 直线。好，那接下来应该怎么办呢？ 嗯，其实接下来的话，就应该求这个这一点的横坐标啊，跟这个这点纵坐标。那这个时候呢，我们发现这个 a、 b、 d、 c 这四个呢，可以构成一个四边形，而且这个 m 点是边长的延长线，这个这点呢，也是一个边长延长线啊，所以也就是说， 嗯，哎，这个点是 c， 这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 d， 这是 m， 然后这是 j， 也就是说这个 j 是 边长延长线的交点，这个 m 呢，也是，那也就是这个 j 呢，应该在 m 点对应的极限上， 这应该在 m 点对应的极限上，对吧？因为那个自极三角形嘛，那这个 m 点对应的极限，我们代入啊，就是三 x 比四加上零 y 比啊，没有 等于一啊，也就是解出来这个 x 呢，应该是等于三分之四的，也就是说，我们现在知道这个这点，他所在的直线啊，应该是 x 等于三分之四，也就是说你求这个这点的横坐标啊，他应该是横成立的啊，所以这个式子 我们让它外相等，这样就能解 x 了啊，也就是说我们让它外相等，也就是这个式子等于这个式子啊，这个式子不就是用来求 x 的 吗？然后我们就可以直接得到 x 等于三分之四， 这样的话你就可以得到满分。当然如果你这个有时间比较多的话，你可以在这一步啊，把这个 x 整理一下，然后把尾答定里代入一下，这样的话这个估计更能得满分， 可以吧，就是说这个字迹三角形和几点极限记一下还是非常有用的。 关于这个调和点列的知识啊，我想把它分成三部分来说，第一部分就是这个调和点列和这个阿是圆，那第二部分是这个调和点列和这个几点极限啊，这个也是考试中考的最多的。 第三部分呢是这个调和线数与自极三角形，这个的话就比较难了，如果知道这个结论的话，将会做的特别好做，如果不知道一般呢也就做不出来了。我们这一次呢，先看第一部分啊，就是这个调和点列和这个 r 是 圆。 先看这个调和点列的定义啊，就是对一个给定的线段 a、 b， 他 有一个内分点 c 有 一个外分点 d， c， a 比上 cb 等于 d， a 比上 db， 那 这个时候呢，这个 a、 c， b， d 四点就构成一个调和点列， ab 叫做基点啊，也就是说 开始的两个点先给出来 cd 呢，叫做内外分点，画图的话就是这样画，就是 ab 两个点先给了固定，然后出来一个 c， 出来一个 d， c， a 比 cd 是 一样的， 那到这的话我们就会想到这个 r 式圆的定义， r 式圆的话就是有一个线段 a， b， c 点呢是动的，然后 c a 到 c b 的 比值是定值，那这个时候的话，如果我们放在这啊，就是 c a 比 c b 等于 k， 那 这样的话，它就是 r 式圆，对吧？它如果是 r 式圆的话，那你看啊， 和我们这个题的定义是很像的，因为它如果是 r 是 圆的话，那我们画出来图，就是有一个 ab， 两点是固定的，然后这个 c 呢，到 ab 的 距离比为定值，然后 c 点啊，它的轨迹是一个圆，这样一画，那这个圆呢，就会跟 a b 这两点有两个交点啊， c 一 和 c 二，那这个 c 一 呢，是符合 a c 一 比上 b c 一 等于 k 的， 那 c 二这个点也符合 a c 二比上 b c 二等于 k， 那 这个式子的话，它不就是这个调和点列吗？ 这个呢，是比较简单的一个，那我们看一下这个类似的题，有一个三角形 abc， 然后这个 ab 等于六，有一个边长， ac 等于二倍的 bc， 求这个三角形面积的最大值，那这样的话，也就是说 ab 是 定的， c 是 一个动点，那我们就找这个轨迹呗，那由 r 是 圆可知呢，这个 c 点的轨迹为一个圆，那如果我们画图的话，它就是这样的，那这个时候呢，这个圆和 ab 就 会有两个交点， c 一 和 c 二， 那这样的话，它 a c 一 bc 二，它是一个调和点列，所以呢，它就符合我们这个规律，也就是说 a c 一 等于二倍的 bc 一， 那这个时候我们就可以解出来这个 bc 一 等于二，那同时 a c 二呢，也等于二倍的 bc 二，就可以解出来 bc 二等于六，那这两个联合起来，就可以解出来这个 c 一 c 二的长度啊，就是八，也就是说这个二 r， 那 也就是说半径啊，这个半径这个高 是四啊，最大的时候，所以这个面积 s 就 等于二分之一，乘以底乘高就算出来最大值了。那这个是做题的时候考试的，一般就是填空选择会出的 这个是调和点列，和这个阿是圆啊有关的一个知识，那我们如果想学好这个调和点列的话，还得了解一下它的几个性质。嗯，第一个呢就是调和性， a c 分 之一加 a， d 分 之一等于 ab 分 之二，那这个呢是得背一下的 共恶性，也就是说如果你正着说 a c， b d 是 调和点列的话，那你反着说 d b c a 也是调和点列，那这样的话它也符合这个调和性这个等式。 第三个的话就是啊，这个不是调和性，就是 ab 的 中点为 m， 然后这个 m a 的 平方等于这个 mc 乘以 m d 啊，这个也是就背一下就行。 c d 的 中点为 n， 就是 反过来吗？ n c 的 平方等于 n， d 的 平方等于这个 na 乘以 nb， 我 们今天来说的呢，是这个调和点列和极点极线相结合的时候啊， 那首先呢就是这个调和点列啊，我们在上一篇已经说过了他的定义，那如果他和几点极限相结合的话，首先就是这个椭圆外有一个点屁，然后我们过这个屁点呢 拉一根弦，那这样的话他和这个椭圆就会交于 ab 两点，然后这个上面呢？ q 啊， q 是 怎么产生的呢？就是做 p 的 极限，然后这个 p 的 极限呢，会跟这根弦相交于点 q， 那 这样的话这个 b q a p 啊，就是一个调和点，调和点列，那同样啊，就是如果我们这里已经有一个 p 点了，然后我们先找到它的极限，这个时候呢，我们过 p 点再做一根啊，这个椭圆的弦相交于 ab 两点， 那这个时候呢，和极限啊，也会交于点 q b q a p 啊，也是一个调和点列，这个呢是它的两个性质， 那我们来看这个题目啊，这里已知有一个椭圆，四分之 x 方加二分之外方等于一过这个 p 点四零的动直线 l 和 c 交于不同的两点 ab， 在这个线段 a b 上呢，取一个点 q， 它满足的呢是 a p 乘以 q b 等于这个 a， q 乘以 p b， 证明这个 q 点总在定直线上。那如果我们画一下图的话，它的图像大概就是这样的， 所以我们可以看一下它符不符合这个调和填列，那也就是说把这个已知条件给它变一下，变成这个 p a 除以 p b 啊，就等于这个 q a 除以 q b， 这样一比的话，我们就发现它应该是符合这个调和点列的，也就是说这个 q 点呢，应该在 p 点所对应的极限上啊，也就是 x 等于一，那也就是说呢，这个 q 点 最后要求的结果就是在定直线 x 等于一上。那我们接下来呢，就是要写这个过程，那首先就是写这个直线 y 等于 k 倍的 x 减四，最后把这个 q 的 横坐标整理出来，然后得到这个 一个关于 k 的 表达式啊，直接让它等于一就可以了。那我们来写过程的话，首先是先写 a b q p 的 坐标，把这个长度表示一下，这个长度其实就是它的翻译方式嘛，根号下一加 k 方乘以这个 x 之间的差， 这个是已知条件啊，然后把这个已知条件代入整理这个 x 二， x 一， x 零，还有这个四啊，它都是有大小关系的，所以可以直接去绝对值，那去完之后呢，等于这个式子，然后我们再把它整理整理成 x 零等于什么？ 我们其实已经知道这里的 x 零是等于一了，对吧？那我们得分的话，写一下这个连立，整理出来伟大定律， 然后整理出来伟大定义之后呢，我们下一步就直接带入等于一啊，因为考试的时候，对吧？你想得到这个分数，你想多写一步的话，你就把上一步这带好啊，当然呢，这个算的结果就省了，绝对结果肯定是一， 那这样的话就得到结论， x 等于一，也就是说这个方法呢，还是非常好用的，当然你用这个定比点差去正啊，也是可以的。 今天我们来讲调和线数与自极三角形，这个相对于极点极线来说呢，就更麻烦一点。那我们首先呢来看一下它的定义啊，和它的一些性质， a、 c、 b、 d 四个点呢，是调和点列啊，这个是一个前提， o 呢为直线外一点，那我们把 o 跟这四个点分别连起来， 那这样的话，这四根直线呢，就构成了调和线数。他的第一个性质呢，就是如果你再找一根直线啊，和这四个直线相交，那这个时候呢，这四个交点仍然构成调和点列，也就是说这个啊是调和线数，那我们旁边再拉一根直线， 又会有四个新的交点，那这四个交点呢，仍然是调和点列。第二个呢，就是调和线数呢，一共有四条直线，如果我们取其中一条的平行线， 那这样的话，这根直线呢，就会跟另外三条相交 abc， 那这个 b 呢，就会是 a c 的 终点。那我们这个例题讲的也是这个性质，它是应该是高考的一个乙卷啊，一个高考题， 那从图像上来看的话，就是这样的，就是四根直线，呃，我这个其中有一根直线是水平的，那我再拉一根水平的直线，那这样的话有三个焦点，那这三个点呢？ b 就是 它的终点。 第三个性质呢，就是调和线数的四条直线，如果有一条是和 x 轴垂直的，那这个时候呢，另外三条直线的斜率啊，是成等差竖列的，就是这样的，就是一条垂直，另外三条呢，成一个等差竖列。 那我们看啊，这个，这是我们这个自极三角形，那自极三角形的话，它这两个点 m 点还有 n 点，你看它这里就是延出来了四根直线啊，这四根直线呢，刚好就是调和线数， m 点和 n 点，对的，这四根直线都是一个调和线数。好，那我们来看一下这个例题啊，这个忘了取消啊，待会我们看这个，先看这个例题，这就是那个高考的一个乙卷， 已知这有一个椭圆，然后过 p 点一负二，它这个直线呢，和 e 交于 m 两点，有点 ab 啊，这两个点呢，是椭圆上的点，过 m 做一条 平行于 x 轴的直线和线段， a b 交于点 t， 然后这个点 h 呢，满足 mt 向量等于 t， h 向量其实就是过 m 点交于点 t， 然后再往这沿沿，这个长度一样的啊，到这个 h， 然后它让我们证明的是 h n 过定点，那画图的话就是这样的一个图， 那这个图的话，这个题做过的啊，不管是老师还是学生啊，应该 就是都都还是挺烦的啊，因为他这个题的计算量特别大，那我们观察这个题的话啊，你看这个 p 点，他所对的极限呢，是这个二 x 减三， y 减六等于零，而我们这个题的直线 ab 的 个 方程刚好就是屁点锁定的极限，那也就是说这个 n 点啊，还有这个焦点 m 点，再加上这个屁点，这四个点呢，刚好就是一个调和点列，那这里有一个 a 点，那你看这个 ap， 呃， am， 这是 a， 嗯，这个是 p am， 然后这是 ab 这根直线，然后这个是 an 这根直线，那这样的话，它刚好呢就是一个调和线数 过 m 点，拉的是一根水平的线，那这个水平的线呢，跟 ap 啊，他就平行。根据我们刚才调和线数的那个性质呢，和 ab 的 交点是 t， 那 我们假设和 a n 的 交点如果是 d 的 话， 那这个时候呢，这个 mt 啊，就会等于 t d， 而根据题目的描述呢， mt 等于 th 啊，也就是说这个地点和这个 h 点啊，应该是同一个点，也就是说题目让我们正的这个 h n 过定点， 呃，也其实它过的这个定点呢，应该就是 a 点，对吧？那所以待会呢，我们正的时候，直接正这个 h n a 三点共线啊，就就就更好了。那我们看一下这个，知道这个之后呢，就可以在我们做题的过程中啊，省掉好多东西。 做题的思路呢，首先第一个就是设过 p 点的直线，设这个直线方程连立伟达定里呢，写出 m 点和 n 点的坐标，这个时候未知数啊，只有一个 k。 第二个就是通过 m 点，还有这个直线 ab 写出来这个 t， 写出来 t 之后呢，再得 h， 这个时候未知数呢？还是过 p 的 这个直线的 k 啊。第三个呢，就是通过写两点式 得到 n h 的 直线，研究新直线的 k 和 b。 那 我们刚才呢，其实还有一个想法，就是 直接研究 nha 三点共线啊，这个呢应该是更好，那这样的话，设直线的时候， 他没有说这个 k 不 存在吗？对吧？所以说我们可以先考虑这个特殊情况不存在的时候，那我写的时候就不写这个 k 不 存在了，我就直接按这个 k 存在的部分啊写一下，就是先设这个直线 y 等于 k 倍的 x 减一加二，然后 m 和 n 点的坐标连立，这个方程啊，写 x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二为达定力。然后呢，这个直线 ab 表达出来， ab 表达出来之后呢，我们根据这个，因为是在 m 点，就这是 ab， 这个点是 m 吗？ m 往这拉一根线水平拉的啊，所以说这个 t 点坐标能求，因为这个长度 h 点长度跟它相同，所以这个 h 点坐标呢，也可以求出来。 那求出来之后呢，我们就是想的是直接正啊，三点共线，那这样的话，我们就写两个向量， a n 向量和 a h a h 向量，然后证明它共线的话，其实就是直接把它们之间做一个减法啊，当然这是交叉相成之后的减法， 如果我们算出来等于零就对啊，如果算出来不等于零啊就不对，当然如果我们没有就是没有说这个调和线数这个知识的话，就是我们不知道他们三点共线，也就是说我们想着，哎，算出来之后万一不对呢？ 但是如果我们知道这个调和线数的话，我们已经猜好了啊，他就是这三点就是共线了，也就是说他减出来之后呢，一定是零。那我们这个时候啊，直接带一样伟大定律啊，也不用算，直接让它等于零啊就得了，那这样的话我们就可以挣出来这个直线过的定点呢是零啊。负二， 这个如果你纯算的话，大家感兴趣可以查查这个答案啊，就是计算量特别大， 我们来讲一下这个定比点叉反在解析几何大题里边的应用。 那首先呢，我们就得先了解一下这个定比分点公式啊，知道 a b 两点的坐标的时候啊，可以求出来这个 p 点坐标， 那这里呢有一个证明，已知条件呢是 a p 向量等于 l m w 的 pp 向量， a 点坐标和 b 点坐标， p 点坐标呢，我们设成 m n， 然后我们要求这个 p， 那 这个时候呢，直接写这个向量的一个表达式就可以啊，然后就可以把这个 m 推出来， 那同理呢，这个 n 也可以推出来，那这个时候呢，我们就可以得到 p 点坐标了。 好，这个呢是我们需要记的一个公式，那我们来看一下这个题目实际中的应用。看这个例题啊，这里呢有一个椭圆 m， 然后呢斜率为 k 的 直线 l， 嗯， 它和 m 呢有两个不同的交点， a b， a 点和 b 点，然后有一个 p 点啊，这个负二零，这里有一个 p 直线 pa 和椭圆 m 的 另一个交点为 c， 然后直线 p b 与 m 的 另一个交点为 d 啊，也就是说我们需要把 pa 和 p b 连一下， 产生了 c d 两个点，然后 c d 和 q 是 共线的，那也就是说把这个 c d 直线一连，它经过这个 q 点啊，这个负四分之负的，嗯，四分之七，还有四分之一， 求 k 的 值啊，这个 k 呢，是直线 ab 的 这个 k， 那 也就是说呢，我们已知的条件啊，是一个 p 点和一个 q 点坐标，然后呢这个 c d 直线经过 q， 求这个 ab 的 斜率， 那我们这个题呢，主要就是把这个条件翻译一下 abcd 四个点坐标，然后已知的呢是这个 cd 过定点嘛，所以说我们就可以写出来这个 cd 的 一个关系，然后让我们求的呢是 ab 的 斜率啊，那也就是 y 一 减 y 二除以 x 一 减 x 二呗， 那也就是说我们呢把上面这个式子里边的啊，这个 y 三 x 三， y 四 x 四，转化成这个 y 一 y 二 x 一 x 二啊，就可以了，也就是说我们需要找他们之间的关系，然后做题的思路呢，就是把这个啊转化成后边， 然后呢我们利用定比点差啊，这么一个参数啊， round， 然后呢实现一个转换。 好，那我们来看做题，我们先设这个点坐标，然后呢设 a p 向量等于拉姆大倍的 p c 向量， b p 向量呢等于喵倍的 pd 向量， 那这个时候呢，根据这个公式啊，就可以直接出这个 x p， 那 这个外 p 呢也能出来，那然后呢 a c 在 椭圆上，所以我们就可以写两个式子代入，后面这个式子呢是相当于是都除了都成了一个拉姆方， 然后呢把这两个式子做叉，做叉的时候呢，我们把它整理一下，那这样的话，你看就是蓝色啊，就是蓝色的这一部分，他应该刚好呢，就是这个 x p， 然后绿色的这一部分呢， 现在还不知道，就在这放着就可以了。然后蓝色的这部分 y， 那 你看他刚好就是这个 y p， 所以 这个时候呢，我们把它带入就可以得到 一个式子啊，也就是说这个式子啊， x 一 减拉姆的， x 三除以一减拉姆的啊，等于负二分之三。 那这个时候呢，我们把这个式子写在这和 x 一 x 三有关的呢，还有这里有一个式子，那你看这个 x p 等于负二啊，也就是把这个式子拿过来了啊，这个式子， 然后这两个式子连累呢，我们就可以解出来 x 一 等于多少， x 三等于多少，也就是说把这个拉姆达呢，作为一个中间变量，就可以把这个 x 三变成 x 一， 那同理呢，这个 x 二和 x 四啊，也可以得到，那再根据这个向量，然后我们可以把 y 的 关系呢也写出来。好，那这个时候呢，也就是说这个关系呢，我们就剩下代换了 c d q 共线啊，那这个时候呢，就是 k 相等嘛，然后我们就可以写出来这么一个式子，那这个式子之后呢，我们把这个 y 三 x 三， y 四 x 四啊都代换掉，代换完之后呢，这个式子里边现在就只有 y 一 y 二 啊，这个是我们要的啊，但是这个拉姆达和 miu 呢，我们不要啊，也就是说我们在利用这边这些式子，你看这个拉姆的这个式子和这个式子，拉姆达和 miu 呢，其实都可以换成这个 x 一 和 x 二，那我们再一换呢，就可以换出来下面这个式子， 然后它就等于这个 x 一 减 x 二，也就是说 y 一 减 y 二，除以 x 一 减 x 二就等于一啊，也就是 k， 这样的话，这个题就做完了啊，也就是说定比点差这么个东西呢，它只是找，就是利用它作为一个桥梁啊，把这个坐标之间做一个转换。 今天我们讲这个队友点差，在解析几何里边的一个应用。那首先呢，我们先来了解一下这个队友式啊，它核心的意思呢，就是说 如果这个直线上有 ab 两个点啊，并且这个直线过的如果是 x 轴上的定点 大 m 啊，这个小 m 零，那这个小 m 的 这个式子啊，就可以直接写出来啊，这个公式呢，我们把它背一下，然后他有一个对应的这个队友式啊，在这，那他如果直线过的是 y 轴上的定点 n 啊，这个零 n 的 话，这个小 n 的 值啊，也可以直接用公式带出来。那这里呢，这这边有一个证明啊，大家可以自己去看一下啊，就是设 am 向量等于拉姆单位的 mb 向量，然后三个点坐标都写出来，这个时候呢，这个外值啊，这个值是等于零的，所以我们就可以得到拉姆 单位负的啊，这个 y 一 比 y 二，然后呢我们把这个拉姆单位到上面这个式子里边啊，就可以出来这个 m 的 表达式， 这个 m 的 值就正出来了。下面这个式子呢，我们把方程两边同乘以 y 二的平方，再把方程两边同乘以这个 y 一 的平方，嗯，然后这个时候把两个式子相减啊，就可以得到下面这个式子。 下面这个式子呢，再整理一下就可以得到。这个队友是 x 一 y 二加上这个 x 二， y 一 等于呃， a 方乘以这个 y 二的平方减 y 一 的平方除以 x 一 y 减去 x 二 y 一， 它和那个定比点差一样，也是你记住这个公式，然后套用就可以了。 我们来看一下这个例题，已知一个椭圆啊，四分之 x 方加 y 方等于一，然后这里有一个直线，这个直线呢，过的这个应该是负一零，这个点 与 e 交于两个不同的点 m n， 这里有一个点 p 一 零，然后 pm 和 p n 分 别与 e 交于 cd 两点，判断这个直线 cd 啊，是不是过定点。那我们来画一下图啊，首先呢，就是有一个椭圆， 有一个 p 点啊，这个是一零，题目告诉我们了，然后这个直线呢，它过的点是负一零，那与椭圆相交于 m n 两点啊，这个是 m n， 然后我们再连这个 m p 和这个 n p 分 别和椭圆交于 c d 两点， 然后再把这个 c d 连起来，让你证这个 c d 呢，是不是过定点，它这个还是呢，有两条相交的直线啊，并且 这两条相交的直线呢，它过这个点都是这个一零。 m n 直线呢，过的点是负一零，那它都过的是 x 轴上一个定点，所以我们就会考虑到先设这几个点的坐标， 然后呢，直线 m n 过的点是负一零啊，所以就可以写一个对偶式，这个小 m 等于 x 一 y 二减去 x 二， y 一 除以这个 y 二减 y 一， 等于负一 直线 m c 和 n d 啊，它也都过 s 轴上的一个定点，所以这两个式子呢，我们都可以写一个关系啊，一个是 x 一 y 三减 x 三 y 一 除以这个 y 三减 y 一 等于一。 一个是 s 四， y 减去 x 二 y 四啊，除以这个 y 二减 y 四等于一。 如果我们能得到这个 x 三减 y 四乘以 y 四减去这个 s 乘 y 三，比上这个 y 四减 y 三等于几的话，比方说我们算出它再等等于五啊，或者等于六啊，那我们就能证明这个直线过的这个定点啊，是五零或者是六零 啊，这个呢，是我们的一个想法，所以呢，我们就是把题目中所给的这个 x 一 x 二， y 一 和 y 二啊，都转化成 x 三 x 四和 y 三 y 四。 那基于这个想法呢，我们来看一下这个题目，就是我们整体的思路啊，是从这往这变啊，先写这个 mc 的 队友，是 因为这个 mc 队友是他过的是一零这个点嘛，然后我们把这个一还有这个 a 方啊都带进去， 然后我们这个时候整理呢，就可以得到 y 一 和 x 一， 因为我们刚才说了，我们是想把这个 x 一 x 二 y 一 y 二啊，上边这一排换到下边这一排。 好，那我们同理呢，也可以得到 y 二和 x 二，那这个时候呢，就好办了， m n 它的对偶式呢，有一个这个式子啊，就是 x 一 y 减去 x 二， y 一 等于 y 一 减 y 二，这个式子里面呢，都是 x 一 x 二 y 一 和 y 二，而我们要的呢是 x 三 x 四 y 四， 上面这里啊，刚好求出来了他们的关系，所以我们就直接把他们带入就可以了。 然后这个带入之后呢，再整理一下啊，也就是我们刚才说的这个，我们要整的是 x 三 y 四减去 s 四， y 三等于后面这是七分之十三倍的这个 y 四减 y 三， 那这样的话，我们就能通这个直线 cd 的 队友式啊，知道直线 cd 过的定点呢，应该是七分之十三零，这个队友式的话，他需要背的这个 方程啊还是比较多的啊，也是直接套用就可以。我们再来看一个这个队友点差的一个例题，那首先呢，就是这个队友点差的一个例题，那首先呢就是这个队友点差的一个例题，那首先呢就是这个队友，是啊，还是必须要记清楚 看这个题目啊，已知一个椭圆 x 方比九加上外方比五等于一，然后过这个椭圆呢，左右两个顶点， a 一 a 二 做了一个直线 a 一 m a 二 n， 然后与 c 分 别交于 m n 两点，他说的这个 m 应该是在上方， n 在 下方， 与 y 轴呢连线啊，连线的话与 y 轴会交于这个 p q 两点，那若这个直线 m n 横过定点一零啊，并且呢 op 的 模等于拉姆大倍的 o q 的 模，让你求这个拉姆大的值。 那我们先画一下图啊，把这个题目好翻译一下。首先呢就是一个椭圆啊，两边分别是这个 a 一 a 二两个顶点， 然后我们不按题目的这个说法去理解啊，我们先写一个 m n 直线啊，这个 m n 直线过一零这个点，然后呢把 a e m 和 a 二 n 分 别连上，这个时候呢它和外格的交点啊，分别为 p 和 q， 然后呢我们再去求这个 p 点和 q 点的一个纵坐标，让他们作比，就可以求出来 round 的。 然后这个呢，我们发现它也是两条这个相交的直线啊，并且呢 m n 这个直线它过的还是 x 轴上定点一零，所以呢我们就会考虑啊，先设这个 m n 点， p 点和这个 q 啊， 先写直线 m n 的 一个对偶式，那这样写出来 x 一 y 二减去 x 二， y 一 等于这个 y 二减 y 一， 这边的话就是 x y 二加上 x y 一 等于九乘以 y 二加 y 一。 这个时候呢，我们整理一下，其实就是把这两个式子加一下，然后减一下，求出来这个 x y 二和 x y 一 分别等于多少。 然后呢再根据这个斜率啊写出来 m n 啊，这两个值，其实就是你看这个，这个的话其实就是 a e p m 三点共线，后面这个的话呢就是 a 二 q n 三点共线， 然后我们直接给他做比啊，就是负的 m 比 n。 整理一下呢，就是 x y 这个 x 二 y 一 跟上边这个啊能对起来，然后这个 x y 二啊，这个是对这个，后面这个是对 x y 一， 然后对完之后呢，我们把这个带入五倍的他啊，带到下面这里，这里是五倍的四外二啊，带到上面这，然后呢我们就会整理出来这么一个式子， 二倍的 y 一 加四倍的 y 二啊，除以这个四倍的 y 一 加八倍的 y 二啊，就等于二分之一，这样的话就出来了啊，它这个的话也是啊，就是这种交叉的两条直线交叉的，我一般喜欢用这个对偶式去写， 今天来讲的呢，是斜率双用啊，这个呢，也是最近比较流行的一个做法啊，也是为了后面讲那个武汉二调那个题，嗯，做一个铺垫。那现在比较流行的呢，就是这个 直取啊，不连力，也就是说我们以前一般都是连力写伟大定律啊，但是有一些题他特别难啊，但我们那个武汉二调那个题啊，可以看一下啊，他就特别难，所以呢，不连力啊，这个反而就好做了。 还有这个讨书不求倒啊，当然也有大家就调侃高考呢，不交卷，但是不交卷的话，零分也是分， 那我们先看这个斜率商用，先看椭圆的第三定义啊，就是这个 m 点，如果是 x 零外零， a 点是 x 一 外一， b 点呢，和 a 点对称是负 x 一 负外一， 那这个时候呢， m a 和 mb 的 斜率啊，就会存在一个关系， k m a 点乘 kb 等于负的 a 方分之 b 方。嗯，它的图像的话，大概就是这样的， ab 呢，是关于零零对称。 还有一个最主要的呢，就是这个直线的表达式啊，直线两点式的话，这个写的肯定是没有问题， 如果我们把它整理的话，就会出现一个东西， x 一 y 二减去 x 二 y 一， 那这边呢，是 x 倍的 y 二减 y 一 减去 y 倍的 x 二减 x 一。 那也就是说，如果我们把一个直线整理成这么一个形式了，那这个直线呢，就会经过 m n 这个点啊，其实就是一个形式上 弄成一致的。那我们来看一个例题，这个呢是那个例题， 这好像也是一个高考题，一九年 a 方分之 x 方，第一问直接写出来呢，就是六分之 x 方加三分之外方等于一，直接看第二问就可以，这个点 m n 呢？在 c 上，且 am 垂直于 an ad 呢？垂直于 m n， d 为垂足啊，证明存在定点 q， 使得 d q 的 长度为定值， 它画图的话，大概就是这样的，你看过 a 点的往 m n 做了一个垂线 q， 那 我如果我们想求它过定，求这个 d q 为定值的话，那我们其实呢，就是求 m n 直线过定点， 你看求这个 m n 直线过定点 p， 那 这样的话，这个 d p 和 d a 是 垂直的，也就是说地点应该在以 ap 为直径的圆上，那这样的话， d 到 ap 的 中点啊，也就是说这个圆心 q 的 距离呢，应该就是定值啊。所以说这个题正 d q 为定值，其实就转化成了正 m n 直线过定点。 那我们刚才写的那个直线的表达式的话，也就是说我们能写出来那么一个队友式啊，就可以说明直线过定点。那那我们首先呢，先设这个 m 点和 n 点啊， x 一 y 一 和 x 二 y 二， 然后呢，这个 m n 的 直线方程啊，就可以这么来写，对吧？就是按那个两点式整理的。好，那我们接下来呢，写这个 n 点的对称点啊，如果为 b 的 话，那这样的话，这个 k a b 乘以 k a n， 就 等于后面写的这个式子， 这个应该没问题啊，就是刚才那个第三定义，所以呢，我们就可以推出来这个 k a n 啊，等于后面这个式子， 也就是说利用这个曲线把 k a n 做了一个转换。那我们接下来要求的呢，就是 k a n 乘以 k a m 啊，等于负一，因为它俩垂直嘛， k a m 啊，这个不动 k a n 呢，利用刚才那个代换啊，代换掉，这个时候呢，把它整理一下，就可以整理出来一个 x 二 y 减去二倍的 x 一 y 二。 但是这个呢，并不是我们要的，我们要的应该是 x 一 y 减去 x 二 y 啊，它这系数应该是一样的，你像现在系数不一样，所以呢，我们就得再操作一遍刚才那个流程。 同理，我们就可以得到另外一个式子， x 一 y 二，减去二倍的 x 二 y 一。 你看上下两个式子啊，就是把这个 x 一 和 x 二， y 一 和 y 二互调一下就可以。 然后这两个式子呢，再相减啊，就可以得到三倍的 x 一 y 二减去 x 二 y 一， 等于后边这里是二倍的 y 二减 y 一， 那这里是一倍的 x 二减 x 一。 那这个时候呢，我们把这个三除过来啊，三分之二，这呢就是三分之一。但是我们那个形式，这应该是负的啊，所以这应该是减去负三分之一。 那这样的话，也就是说我们就可以说明这个直线过的定点是三分之二，负三分之一，也就是说这个 q 点啊，应该为 ap 的 中点，三分之四啊，三分之一。 当然这个题如果用直接的做法做的话，也挺好做的，我们讲这个方法呢，主要是用来处理一些特别难做的啊，就是比方说就是那个武汉的二调那个题，我们之后把那个题讲一下， 嗯，因为解析几何这个题是有一定难度的，但是呢，它又不是最后一道题，所以说如果我们想得到一百二或者一百三左右，那这个解析几何呢，还是需要攻克一下的， 但是呢它的计算特别的麻烦，所以呢我们今天就讲两个这个计算技巧，可以帮我们节省非常多的时间。 第一个呢就是这个点乘双根啊，它解决的形式呢是这种括号乘括号啊，比如说 x 一 减 m 乘以 x 二减 m， 或者这种 y 一 减 n 乘以 y 二减 n， 我 们做解析几何的时候，遇到还是非常多的。 那在说这个之前呢，我们先来说一个这种基础的一个呃，理解啊，就是二次函数的话，它的根和二项二次项的系数，如果固定之后，这个二次函数呢，就唯一了，比如说有一个二次函数啊，它的根是一和二，二次项系数呢是五。 那如果让大家写一下这个二次函数的话啊，那我们一般呢就会这么来写，就是五倍的 x 减一乘以 x 减二，那这样的话，这个二次函数就是呃根为一和二，然后二项式系数为五的一个二次函数，并且呢只有这一个。那 所以说如果我们做解析几何的时候，你看我们经常这样连立嘛，那这个时候呢，它是一个二次函数，那我们先看它二次项的系数啊，就是一加五 k 方， 然后这个二次函数的根呢，我们连立嘛，对吧？我们一般设的就是 x 一 和 x 二，所以呢就可以写成 x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二， 那也就是说这个二次函数连累完之后呢，和右边这一部分是一样的，也就是他们两个都是一个二次函数，并且根呢都是 x 一 和 x 二 二项式的系数，二次项的系数是一加五 k 方，那这两个二次函数既然一样的话，那左边 x 等于一，右边的 x 呢，也就可以等于一， 那这个时候你看左边是可以算出来一个数的，而右边呢，就可以得到一减 x 一 乘以一减 x 二这个整体啊，因为有这个式子，所以才产生了我们点成双根的这个算法。 那我们来看一下具体的这个题目啊，如果有一个椭圆 x 方比二十，加上 y 方比四等于一，有一个直线 y 等于 k 倍的 x 加二，当然这个直线呢，怎么着都行。这个呢，就是呃，那个题目圆体里边的这个直线我拿出来了， 然后他如果连立的话，呃，就是这个，直接把呃两边通成二十，然后把这个 y 带入嘛， 那这个时候呢，他就可以整理成右边这个式子啊，他的解释呢，就是我们刚才解释的根是 x 一 和 x 二，二次项系数呢是一加五 k 方，所以呢他们俩是相等的， 那也就是说二次函数等于二次函数，确保这个二次项的系数和根相同即可。好，那我们来看一下这个例子啊，就是具体的用处， 如果我们想求 x 一 减二乘以 x 二减二，哎，那我们就会发现，哎，这个 很像啊，但是差点意思就是差这个 x， 如果我们让 x 等于二的话，它就可以一样，那我们就另 x 等于二代入，你看左边这个式子，当你把二代入之后呢，它就只剩一个 k 了，右边这个式子代入之后呢，就是我们想要的这个东西， 那这个时候我们再来整理一下，左边就是八十 k 方减十六，右边呢就是这个整体，那我们只要这个二减 x 一 乘以二减 x 二，所以我们把这一块留下来，把一加五 k 方除过去啊，就得到了这么一个式子， 那这样的话，这个二减 x 一 乘以二减 x 二啊，就可以不用拆，直接算出来。 那我们看一下这个 x 一 加三乘以 x 二加三，大家可以效仿一下刚才上面那个列的话， 哎，这个那如果是 x 一 加三乘以 x 二加三的话，我们就会发现这个 x 呢，应该是等于负三，我们等于负三，把它带进去， 就可以得到这样的两个式子。那右边这一块啊，这个还是我们要的，那我们把左边合并啊，就是五 k 方减十一，那右边这个式子呢，就是整理一下，把一加五 k 方除过来啊，这样就可以了。 当然有的同学可能觉得就是这个式子嘛，然后你就直接拆开，那比方上面这个 x 一 乘以 x 二减二倍的 x 一 加 x 二，然后再加四，你算着也很好算，对吗？直接带入伟大定律，然后通分就可以啊。这个确实是啊，没问题。 那如果遇见稍微难一点的，那比方说这个 y 一 乘 y 二，这 y 一 乘 y 二的话，大家如果直接展开啊，这个肯定也没问题，但是如果我们按刚才那个想法做的话，就会更快一点， 那这里看到 x 一 加二乘以 x 二加二，那我们直接就让这个 x 等于负二，你看他跟上面这个式子就会一样，如果等于负二的话，直接代入，那左边部分呢，直接等于负十六， 右边部分呢就是一加五 k 方，然后呢？呃，我们要求的这个整体，然后把这个整体除过来啊，负十六除以一加五 k 方，等于二加 x 一 乘以二加 x 二， 然后 y 一 y 二呢，是 k 方倍的它，所以它再乘以 k 方，就是负十六 k 方再除以这个。 当然这个呢，其实你用这个伟大定律啊，直接代入算也是没问题的。好，那我们再看，如果是这种 y 一 减 y 一 加一乘以 y 二加一，那我们代入的话啊，它后面这个式子呢，就会出现这个二 k 加一， 那如果你再用伟大定律代换的话，直接展开就是二 k 加一扩起来的平方，那这个式子呢，是要跟那个分式通分的，也就是说他应该通分的时候要乘以这个一加五 k 方， 那这个式子呢？呃，也能展开啊，就是展开的时候就会有一点麻烦。那如果按我们刚才讲这个方法算的话， 这个 x 一 和 x 二，它前面的系数都是 k， 我 们把 k 给它提出来，那就是 k 方，那这个时候呢？呃，后面这个式子就是 k 分 之二 k 加一，那我们这个时候带的话，就是带这个 k 分 之二 k 加一就可以了。 当然因为上面这个列的话是 x 减 x 一 和 x 减 x 二，所以我们利用它等于负的 k 分 之二 k 加一，然后把它代入， 带入之后整理的话，你看左边这一部分啊，就是我们要的，那我们直接管右边就行啊，不对，右边这部分是我们要的，我们直接管左边，那左边一合并啊，就是这个式子，因为这个一加五可以放，是整体除过来的，所以你实际写的时候，这个一加五可以放先不除啊，也行， 然后到这之后呢，我们题目要乘的式子呢，是 k 方倍的它，所以我们这里前面呢，需要再乘 k 方，那上面这个 k 方就会消掉啊，就会直接等于这个式子，二 k 加一或者平方减十五 k 方除以一加五 k 方啊，直接就是这个外一加一乘以外二加一， 它处理这种复杂的式子啊，就比较好用， 比如这个 x 一 减一乘以 x 二减一，那我们这个式子明显就是 令 x 等于一， x 等于一的话，一带啊，你看这个左边一带进去，直接就是四十五 k 方减十九，然后再除以一加五 k 方就可以。那如果是 x 一 减乘以 x 二减，哎，你看也是这个 n 带进去啊， n 方，然后五 k 方加 n 乘二的平方减二十，把一加五 k 方直接除过来啊，就完了。 那如果是外一减一乘以外二减一，那这个时候直接带进去啊，是把 k 方提出来，那里边就会剩下这个 k 分 之二 k 减一，然后我们带的时候还是带负的啊， k 分 之二 k 减一，往里边一带， 就是这个式子，然后把这个一加五 k 方处过来，然后再同乘一个 k 方，这个式子也就出来了。这个如果用惯了特别好用的，刚开始用的时候就是可能有一点麻烦，就是 计算方面就是理解问题没问题，就是理解题的话没问题啊，就是计算有一点卡的，可以学学，这个特别好用，这个是点乘双根。 第二种呢，就是这个非对称表达定律啊，这个大家做题应该遇到特别多啊，非对称表达的话，它处理的问题呢，就是 x 一 与 x 二系数不同，或者是 y 一 与 y 二系数不同的，当然是加法，因为乘法的话就无所谓这个系数了。 那我们处理他的话，一般有三种方式啊，第一种就是曲线代换，就是这里是 y 一， 这里是 n 倍的 y 二，他们这个系数不是不一样吗？我们把这个 x 一 减二，然后统一给他乘一个 x 二加 a， 这 x 二减 a 啊，同乘 x 二加 a， 那这样的话，它就可以用这个曲线代换了啊，然后这里呢，就是代换成这个负的 b 方，分之 a 方啊，乘以 y 二的平方，当然如果这里后边还带常数的话啊，就换不了了。待会我们讲这个具体例题的时候来说一下， 然后换完之后，上下这个 y 二就消了，那你看这个式子跟这个式子，这个式子跟这个式子，它们在交叉相乘的时候，就不会出现这个非对称伟大定律了。 第二个呢，就是这个乘法和加法的互换啊，就是把 x 一 乘以 x 二转化成一个加法，一般是这种依次的。 第三个呢，就是分式为定值，就是题目已经提前告诉你啊，这个式子是定值，那这个时候呢，我们可以通过强行的配凑尾答定理就是剩下一个啊，只剩下外一或者只剩下外二就可以。那我们先来看这个第一个曲线代换 表完题目中的曲线是这个，然后直线是 y 等于 k， x 加一， x 一 加 x 二和 x 乘以 x 二上都有。然后我们题目的给的一个等量关系呢，是 y 一 比上 x 一 加二，然后等于三倍的 y 二比上 x 二减二， 那这个式子如果我们要整理的话，就是这个这样啊，就是 y 一 倍的 x 二减二乘以三， y 二倍的。呃，这个 x 一 加二，那这个时候其中呢，有一个这个负二倍的 y 一 和六倍的 y 二， 你看这个式子如果挪过来之后呢，它应该是六六倍的 y 二加二倍的 y 一， 那这个时候 y 一 和 y 二的系数呢，是不一样的，所以我们再用尾答定里直接代换呢，就不好代了。 那这个时候呢，我们就会考虑啊，就是可以用曲线代换，你看这个用曲线代换的话， 把右边这部分啊，就是右边啊，是上下同乘一个 x 二加二，因为这里是 x 二减二嘛，不能两边同乘啊，就是你动一边就可以了，那动的话，我们的想法是给它乘一个平方差，那 x 二加二， 那乘完之后呢，这里就是 x 二的平方减四，那你看，根据这个式子， x 二的平方减四的话，应该等于负二倍的 y 二的平方啊，就是这样， 那你看，那通过这个大家应该可以发现啊，就是只有这个 x 二减二的时候，这里才可以用，如果你这里是减的三，那这里就会得到二倍的外方，负二倍的外方，然后还有一个常数啊，这个就做不了了， 所以说能不能用曲线代换呢？主要看这个。呃，平方差这个公式啊，就是他能不能刚好只剩下一个 y， 那 这个时候呢，我们就是得到负二倍的 y 二的平方，上面是 y 二，那这个 y 二跟下面这个 y 二就会消掉一个，那消掉完之后呢，你看它就成这样了啊，就是 y 一 比上 x 一 加二等于三倍的 x 二加二除以负二倍的 y 二， 这个时候呢，你再给他交叉相乘，哎，你看负二倍的 y 一 y 二，这里就变成 x 一 加二乘以 x 二加二了，那这个式子呢，它是就不会产生这个非对称的回答了，所以我们直接代入啊，就可以， 这个代入的话， y 一 乘 y 二，这个还有这个 x 一 加二乘以 x 二加二，就可以用前面那个点乘双根去代啊，就特别快就可以求出来这个 k 呢是一或者二分之一，当然这个实际的题里面这个二分之一还会被呃根据实际情况呢，会舍去， 反正就是说非对称表达定律处理啊，就是用这个曲线代换就行。 第二个呢就是乘法换加法啊，就是我们已知的是 x， 就是 题目里边有 x 一 乘以 x 二，然后也有这个 x 一 加 x 二，这个乘法呢，它是不会存在什么系数不一样的，其中这个 x 一 加 x 二呢，它的系数不一样了，所以我们就会考虑把这个乘法换成加法。 你看这个曲线还是这个式子啊，这个直线直线是 y 等于 k， x 加一，跟刚才那个是一个，我用的是跟刚才那个一模一样的。 那如果这个等量关系呢，就是 y 一 除以 x 一 加二啊，等于三倍的 y 二除以 x 二减二， 就是，呃，还是交叉相乘啊，直接交叉相乘，然后负二倍的 y 一 和六倍的 y 二，还是这个问题啊，就还是处理不了。那这个时候呢，我们不考虑刚才那个曲线代换了，我们考虑直接给它乘起来啊，那这个时候呢，我们就把这个 y 给它代换掉， 代换掉之后呢，直接交叉相乘，哎，你看就会整理出来这么一个式子，这个二 k 加三和六 k 减一 x 二，它俩系数呢？不一样啊，不能用伟大定律，所以我们就会考虑把这个乘法 x 一 乘以 x 二啊，直接给它换成加法二， k 乘以这个 x 一， x 二等于 x 一 加 x 二，也就是看一下它们俩之间的关系。 那这个时候我们直接带进去啊，带进去之后呢，就刚好可以提出来一个一减 k， 要得到这个式子等于零，那这个时候呢，肯定是 k 等于一或者 x 一 等于后面这个式子， 那这样的话后面这个式子就可以舍掉，因为后面这个式子它不是一个定值啊，是一个变量。 这个呢就是斐对式尾谈的第二种换法啊，就是把这个乘法换成加法。

吃透高考真题，高考数学秒出答案！应咱们粉丝要求，下面咱们看一道圆锥曲线的大题。 已知直线和抛物线交于两点，嗯，弦长 a b 是 四倍，根号十五，那咱们看到这里，是不是直接给它连立，然后利用尾啊定底，利用弦长公式把这个求一下就行了。来练习一下。 x 减二， y 加一等于零来， y 方等于四，等于二 p， x 带进来来， y 方等于二 p 乘以二 y 加一二， y 减一， y 方等于四 p， y 减二 p， 那 y 方减四 p， y 加二 p 的 点可以吧？来写下， y 一 乘 y 二等于二 p， y 一 加 y 二 等于四 p， 可以 吧？那这里写一下先乘公式， ab 是 不是就等于根号下一加二方乘以 y 一 减 y 二的绝对值，可以吧？那就是根号五乘以根号下 y 一 加 y 二平方减去四倍的 y 一 y 二，好，把数带进来，根号五乘以 来，这是十六平方减八 p， 然后这个值等于四倍，根号十五，可以吧？那，那咱们就知道了，十六平方减八 p 等于四十八，那算到这里， p 有 一个值是二啊，还有一个负值，负值给舍了。 好，第一问就算到这里，咱们看一下第二问啊， 他说设 f 是 c 的 交点， m n 是 c 上两点，然后 f， m 和 fn 垂直，那咱们先画下图看一下， 它的是一六零，可以吧？ 这是 m， 这个是 n。 好， 那咱们把 m n 连一下，然后看这条直线来 m n 这条直线，它斜率是不是一定不能为零啊？对不对？如果斜率为零，横着一条线，那只有一个交点，那咱们现在可以设直线 l， m n 对 不对？ 斜率为零，咱们设横截式， x 等于 y 加 n， 可以 吧？那刚才是不是用过 y 一 加 y 二了，对不对？那咱们现在用的是 y 三和 y 四，可以吧？ 设点 m 是 x 三 y 三，点 n 是 x 四 y 四。好，那咱们看啊， 让你求它面积最小值，那好，那咱们可以用弦长公式求 m n， 对 不对？然后也可以用点到直线距离求高，对不对？那好，那咱们现在求一下呗，来 利用弦长公式是不得先连力啊。 x 等于 m， y 加 n， 然后这个是 y 方等于四， x 来，把 x 等于它带进来， y 方等于四， m， y 加四 n， y 方减四 m， y 减四， n 等于零来。伟大定律是啥？ y 三加 y 四等于四， m y 三乘 y 四等于负四 n， 可以 吧？ 咳，好看一下啊，在这里写一下 m n 等于啥呀？是不等于 根号下一加 m 方乘以 y 三减 y 四的绝对值等于根号下一加 m 方乘以谁？根号下 y 三加 y 四平方减去四， y 三乘 y 四等于根号下一加 m 方乘以谁？带进来来， 十六安方减去负四恩乘以四，对不对？那就是加十六恩，好，这个式子先放到这里，再看一下，下一个 点到直线距离，对不对？我们设为 d， 它的高是 d 啊，根号下一加 n 方，对不对？然后把一逗零带进这个直线方程里，可以吧？那是啥呀？ n 减一的角值对不对？ 那现在是不是差一个 m n 的 关系啊，对不对？那咱们是不是有一个条件没用上呢？向量相乘等于零，对不对？那看一下来，直线 f m 是 啥呀？是不是 x 三减一 到 y 三， f n 是 啥呀？是不是 x 四减一到 y 四，然后它们相乘的零写一下， f m 乘 f n 等于 x 三减一乘 x 四减一， 加上 y 三乘 y 四，可以吧？来，把它打开， x 三乘 x 四减去 x 三加 x 四加一，加上 y 三乘 y 四， 那好，那算到这里，是不是咱们不知道 x 三乘 x 四和 x 三加 x 四，那好，在这里再算一下， x 三加 x 四等于啥？把它带进来呗，对不对？ m y 一 加 n， y 三加 n 加上 m， y 四加 n， 可以 吧？那就是 m 倍的 y 三加 y 四 加二 n， ok， y 三加 y 四等于多少？是不是等于四 m， 那 它就是四 m 方 加二 n。 好， 下一步咱们看一下 y 三乘 y 四得多少？ y 三乘 y 四等于啥？是不是等于 m y 一 加 n 乘以 m， y 二加 n 啊？可以吧？ 那把它打开算一下啊， m 方啊，这里还是三四啊。 m 方乘 y 三， y 四 加上 m n 乘以 y 三加 y 四加上一个 n 方，对不对？来，把 y 三 y 四都带进来，这是 m 方乘 y 三 y 四得多少？是不等于负四？ n 加上 m， n 乘以 y 三加 y 四，这是四 m， 对 不对？加 n 方来一正一负，对不对？得零呗？那它就变成 n 方，好， 把所有的都带进来，可以吧？那它是四 m 方哎， x 三乘 x 四， 它是 n 方，对不对？然后减去四 m 方加二 n 加一，然后加上 y 三乘 y 四， y 三乘 y 四是负四 n 减四 n， 可以 吧？这里是 n 方减四 m 方，然后都是 n， 对 不对？那就是减六 n 加一等于零。 那咱们是不是有式子来，四 m 方等于 n 方减六， n 加一，对不对？那好，咱们知道 m n 的 表达式了， 可以吧？那咱就可以带进来呗。然后看到这里啊，咱们得限定一下 n 的 取值，对不对？这个式，这两个式子是不是都得大于零啊？对不对？ n 方大于零，那同理它也大于零，那好，那咱们现在就可以看一下 n 的 取值范围，然后我们利用一下求根公式，对不对？来， 二， a 分 之负， b 加减，根号下嘚儿，它对不对？嘚儿等于啥？三十六减四，那它就是二分之六加减二倍，呃，四倍根号二，那就是三加减二倍，根号二 大于取两边，小于取中间，那也就是说 n 的 取值是大于等于三加二倍根号二或 n 小 于等于三减二倍根号二，对不对？来看， 那这个三角形面积是啥呀？是不是 s 三角形 f， n 等于啥？等于二分之一乘以 m， n 乘以 d， 对 不对？ 来，把这些都带进来，他是根号下一加 m 方乘以来四 m 方等于他，对不对？那他又变成四倍的 n 方减六， n 加一，对不对？然后再加上十六 n， 然后 d 是 啥？是不等于 一加 m 方分之一 n 减一的绝对值，对不对？它和它约掉对不对？然后看里面剩啥？来二分之一乘以， 这是谁？四 n 方二十四 n， 对 不对？负的二十四 n， 它是减八， n 加四 乘以 n 减一的绝对值，对不对？来，把四提出来，他是不是二乘二分之一，对不对？它里面是根号下 n 减一方 乘以 n 减一，绝对值，对不对？那他是不是就是 n 减一的平方啊？那看他最小值，那是不是只需要把这个三减二倍根号二带下来就行了，对不对？来，三减二倍根号二，再减一，他的平方 就是二减二倍根号二平方算一下，四加八，然后减去八倍根号二，那就是十二，减去八倍根号二，这就是它最小值。好，算到这里就结束了。好，这节课上到这里下课。

高考数学圆锥曲线填空题，你的解析思路清晰吗？跟着主播的思路一起看看这道题目吧！ 点个关注不迷路， see you tomorrow， 我 们下期见！

这道题堪称摄影几何在高考圆锥曲线中的巅峰之作，让无数考生在考场上猝不及防。近五年高考里，他的难度足以位居榜首，他就是二零二二年以卷圆锥曲线压轴题，题目如图所示。 这题综合了调和点列和调和线数与对和定义等背景分析，在以后的视频中会给大家呈现出来。首先写出 ab 的 直线方程， 设出 m n 两点坐标，根据题意写出 th 两点坐标， 注意到直线 a h 与直线 a m 斜率倒数和为三。 再根据二次曲线对核定义，可以得出 a m 与 a n 斜率倒数和为定值。 用一般式写出直线 a m 与 a n 的 直线方程， 两直线相乘，可得过 aman 上所有点的方程， 拆开得到等效方程。 将等效方程中的 x 方用椭圆方程替代，就得到过 amn 三点的方程。 消除公因子 y 加二就得到 m n 的 直线方程。这个方程只有 m n 两点，满足两点，确定一条直线，再根据直线 m n 过 p 点，即可得到 k 一 分之一，加 k 二分之一为三， 所以可以得到 a n 与 h 斜率相等，最后得到 n h 过 a 点零负二。

学好圆锥曲线二级结论必不可少，我们今天给大家罗列一下圆锥曲线当中必会的十大常见二结论。第一个二结论，第三定义及点叉法。第二个呢就是第二定义推出来的交板硬问题，焦点线问题，这是我们考试的重中之重。 第三个问题就是焦点三角形问题，全国卷不论哪个地方，包括平常的模拟题特别喜欢考，它的结论也是非常多的。第四大结论就是双曲线的渐近线问题， 只要考双曲线间接线，基本上是必考的，常见的间接线的结论真的是太多了，比如做双曲线的一条切线，交两条间接线与 a b 两点，那么这个切点它一定是线段 a b 的 终点，当然这个三角形的面积也是定值 x 一 乘 x 二， a b 两点坐标 y 乘 y， 它都是定值，这都是高考的重中之重。 第五个就是阿基米的三角形问题，它的结论也是非常多的啊，相切问题，点叉法终点切点弦问题等等，这都是我们考试的重中之重。第 第六个就是抛物线的十三大结论，比如抛物线的焦点线问题，三角形问题，平均性质等等。第七个解答题你必须得会英俊利他，能够简化你的计算，还是非常好使的，希望各位同学能够背过。第八个就是几点极限问题，这也是我们考试的重中之重。 第九个就是非对称表达定律，也是常出现的一种情况，怎么去处理？我们常用的方法大概有三种左右。第十个呢，就是常见的光学性质，以及他们怎么去证明出来的，希望各位同学能够把推导过程以及他们常见的一些结论熟记于心，电子版的手写笔记呢，显哥都帮你总结好了，现在就可以下载打印。

圆锥曲线问题，你还在连逆方程硬算，算出答案，花十分钟考试时间早没了。我是小晴老师，九八五毕业，高考数学一四五今天教你画图加心算，三秒锁定答案，秒杀圆锥曲线选择填空题来看这个高考题，传统方法至少五分钟，反锁易错， 我们只需要画个图，把条件一标，根据勾股定律就可以直接算出来焦距是十二，如此一来，用定义我们能够算出来 a 等于四，再用焦距等于十二，算出来 c 等于六，那么离心率不就等于 a 分 之 c 也就等于二分之三，直接秒杀。 所以圆锥曲线也叫解析几何，重在几何，一定要画图。再来看这一个高考真题，传统方法依旧复杂，那我们这个时候怎么办呢？把条件一标， 两个交半径之比为一比三，那么如此以来，我们再结合这个瞬秒公式， e 等于根号下 k 减一分之 k 加一，那么这个 k 是 什么呢？就是两个交半径之比，如此一来， k 等于三，带到公式当中，根号下三减一 会算吧，三加一也会算吧，如此一来，直接就等于根号二选 a 是 不是能够三秒得答案？圆锥曲线不是让你算的，是让你看的。 把代数问题几何化处理，出题人考的是你的几何思维，不是计算能力，还在时刻回答定你几何画图，三秒出答案。我把过去五年大考真题里反复出现的真正能打的圆锥曲线七十二条秒杀技巧整理成了电子版，想要的点我主页私信你的年级，我直接发你。

各位同学大家好，我是闫发国老师。今天呢，我们给大家讲一下这个我们周中册的一道错误率最高的小题哈，叫做原理性的光学性质，这一道题目它是多选择题的，第十题就第二题哈， 啊，我们刚刚呢给大家讲了这个圆形虚线，就椭圆双一线抛物线的关联性质，然后我们找我们给大家讲一些题目，实测一下，他说这个椭圆呢，大家看，他告诉你什么呢？他告诉你 b 方呢，等于二啊，这是一个小小突破口啊， b 方呢？它题目呢，已经给你了，等于二，对吧？ 使椭圆 c 在 p 处的切线 l 呢，与直线 p f 一 所成的角的大小呢？这个是四分之派，所以大家知道这个角呢是四分之派， 大家能理解吧？这个角是四分之 pi 的 话呢，大家注意到我们这条线呢，这个灰色的线呢，是与这个切线呢是垂直的啊，切线 l 呢，我们给它写好，这是切线 l 好， 那么大家要知道 这两个角呢是相等的，比如角平分线吗？这两个角是不是相等的，对吧？就是入射光线和反射光线好，那么跟这个角是不是相等，所以这个角呢，也是多少呢？也是四分之 pi， 对吧？那么也就是说这个大角呢是九十度，这个角呢是九十度啊，所以呢，我们由光学性质呢，我们知道 p f 一 呢 垂直于 p f 二啊，那么 s 三角形 p f 一 f 二呢，就等于 b 方弹性的二分之九十度， 是吧，所以就等于二，所以 a 呢是正确的好 b 选项，它问你离心率，问你离心率呢，我们要根据 a 选项呢去转，也就是说，呃，椭圆上存在 存在 p， 使得 p f 一 这个垂直于 p f 二，那也就是说我们卡一个最大角卡一个，这 p 零，其 即什么呢？角 f 一 p 零 f 二，这个最大角呢？要大于等于什么？九十度啊，最大角呢？要大于等于九十度，那也就是说， 大家看一下，我们画一个，底下画一个图，这个呢是 c， 这个呢是 a， 这个角是 sine theta， 也就是说这个 sine theta 等于 a 分 之 c 大 于等于这个三 e， 什么四十五度等于二分之根号二，所以呢，大于等于，所以这个 b 呢，是错的啊。那么接下来 q 点在这上面啊， q 点在上面，他问你 o q， 那 你要看哈，就是我们要的，我们有两个理解哈，第一个呢，大家注意， 第一个，大家注意，就是呃， q 点呢？就是我看应该怎么去表达哈？点 q 在 椭圆上 相对于椭圆外 o q 呢较小，我举个例子哈，那么 o q q 点在这比 q 点在外部肯定要是要小一点的。好，这是第一个，那么在这个 o o q 与这个 o q， 这我我我得看表达哈，一个垂直与 o q 与这个 l 垂直 相对于其他情况也干嘛 o q 呢？较小，那么同时满足是什么时候呢？同时满足 就是 q p 重合在短轴顶点， 那么这个时候 o q 的 最小值等于 b 呢，等于根号二啊，这最小什么意思呢？你看啊，就这样 是吧？好，这个呢是呃， c 选项， c 选项呢是正确的啊， d 选项问你 f 一 q f 二，这个错在哪了呢？ 这个的话呢，大家要注意到 f 一 q f 二，呃，我们知道 a 分 之 c， a 方分之 c 方大于等于二分之一，所以 a 方小于等于二 c 方，而 a 方等于 a 方，加这个，这 b 方加 c 方， 所以呢，这个 b 方呢？小于等于 c 方啊， b 方呢？小于等于 c 方，我们当当 b 方小于 c 方时啊， 大家看，我们以以 f 一 f 二为直径做做圆啊，与椭圆 有四个交点啊，与椭圆有四个交点。好，那么大家我们画个图感受一下哈，画个图感受一下来， 呃，我们其他的就不画了哈，那大家想这个呢？ f 一 f 二，这个呢，是 o 点，对吧？那么大家要知道，我们画一条切线， 画一条切线，那当 当这个 q 在 这个位置的时候呢？你看啊，我们标一下， q 在 圆外的时候呢，那么 这个时候呢， f 一 q f 二呢？角是干嘛的？是小于二分之 pi 的， 当这是 q 一 啊，当 q 点呢？在内部的时候，那么角 f 一 q 二 f 呢，是大于二分之 pi 的， 当 q 点在 q 三，那么在这个圆上的话呢，大家知道角 f 一 q 三 f 二呢，是等于二分之 pi 的， 没问题吧？好，那么这道题目呢，就给大家分享到这里，所以 d 呢，也是干嘛的？也是错的，所以综上这题选什么呢？选 a c 啊，错误率非常高。这道题目。好，那么给大家就分享到这里，感谢大家点赞关注，谢谢大家。