武忠祥2027基础篇严选题

好，学员们，大家好，今天给大家讲一下啊，就是鸿开的呃用书计划，然后学习计划。呃基础阶段呢？我们一般来说就是呃这个高等数学基础篇，然后还有六六零和真题真刷的基础篇，这个是金榜时代推出的呃考研基础三件套。然后我们分开来给大家讲。 首先第一本是呃高等数学基础篇，这本书的话今年新增了一个配套的研试卷，然后我个人认为这个研试卷是非常非常行的 啊，他真的是我觉得真的是一本就非常精髓，然后他也很好的弥补了，就是前几年，嗯，很多，可能我看很多学长学姐他们会说，就是呃做六六零的话做不动，然后演习就很好弥补这一点。然后这个高等数篇的话，我觉得是编的非常棒。然后我们可以看一下他的目录， 嗯，他的话就是每一张里面他都会先讲一下考试内容概要，然后再讲一下常考题型与典型例题，他就是分这两部分讲。然后呢第一部分呢，主要就是他是会集中的介绍一下这张会考什么东西啊？考试的题型，然后呢配合立体来讲， 我们拿呃第四张来举例。第四张呢？第四张他这里有四种，就是不定积分的概念性质。不定积分基本共是三种主要积分法，三类常见可积函数积分。然后他前面就是讲这些，呃，讲这些概念，然后呢配套一些具体来讲， 然后呢？后面呢？他在讲这个长考题型典型问题的时候，他就是比方说这一张他只有一个长考题，就是求不定积分，然后他会配很多，就是这这个部分就几乎全配立体来讲解做这类题的方法。 然后在在这个呃章节的末尾呢，他会配一个就是超链接，就是他会跟六六零联动起来啊，他卷接六六零就是在你刚开始学完这一张时候比较适合做的一些题目。 好，这个是呃高等数学基础篇。然后关于演选题呢，我觉得演选题他非常，他真的是非常非常好，尤其是你刚刚学完这个，刚学完这个高等数学基础篇之后，你去做演选题，你会发现他， 嗯，怎么说能让你错很多吧？可以这样说，就是他对你的基础，对你的概念把握非常好。然后这个选选择题呢，我觉得就是大家刚开始学完错很多是很正常的，因为你看我这里也标了很多，就是在目录这里标了很多我错的题。 就是大家如果一开始错的话，我觉得考研数学就数学，考研数学的学习呢，就是不断的错，然后再不断做错题吗？所以大家错的话，也可以像我一样把错题标在这个，就是目录这里，然后随时就可以回去翻看，也不需要做成错题的，因为那样的话太费费时间精力了。 然后就是这个演选题呢，他也是配有解析的，但是是电子版的解析，然后好像是舞蹈的公众号他也发了。然后 就是这个演选题呢，他题量不是很多，他一张的话，但是也是比较足够的，你可能写一张大概也需要一到两小时，他一张的话，嗯，我算下来就是大概就是看了一下，就是每一张大概是有二十二三十道题这个样子。对，然后都是分为这个选择题、填空题、解答题。 对，我觉得这个演选题真的是他今年呃金宝时代团队做出了一个最好的改编，他这个演选题非常非常棒， 就是他能在你学完知识点的第一个，第一第一时间让你巩固一下这些知识点。而且他对概念的考察非常深刻，我觉得他们就是就跟他们团队做六六零。是，就是风格是一贯，就是他们六六零做的也是很考察那个概念吗？考察你对概念深刻的理解，所以我觉得英语真的是真的非常值得一做。

看完基础篇的网课后，是先做严选题后，把书缝后面的标注的六六零部分的题目做六六零，剩一部分强调的这么对，这个问题很好啊，就是看完吴老师的这个基础篇这个课之后， 注意不是说把一本书看完了，然后再做题，按章复习第一章内容，看完就做这个严选题的第一章的题， 然后呢，这个第二张看完就做第二张的题，完了以后再做六六零。里边在这方标注的啊，第一张六六零他是希望你做什么，你可以去做那个相应的六六零，然后完了以后呢？有同学就说，哎，六六零不是还有剩余的题吗？ 剩余的题就可以放在强化阶段来做啊，这就是这个老师帮大家做了一个选择，这样做就比较科学。

比如说这个演讲题，这个是第一章里边的这个第二个题，给出以下四个命题，然后注意，这个时候呢，他说真命题的个数到底是有几个？就这四个命题，有哪几个是真命题，就一共有几个是真命题。然后你跟他说， n 就 像无穷的 a， n 也有一个极限， 则当 n 充分大的时候， a n 减 a 的 绝对值，小与一万的结成面之一，这个对不对？先让大家注意， a， n 也有个极限。我们严格的数学定义是什么？定义是对任意给定的 e 层的大一点， 那么这个时候呢？当 n 充分大就是小 n 大 于大 n 的 时候，我们能推出谁？我们能推出 a n 减 a 的 绝对值，怎么样？小与 e 次。 哦，那是定，就是被任意，又是给定。大家注意啊，这个 e 动词呢，是任意的，又是给定的啊，就是不管你给的多么小，恩，充分大都有这个式子成立。那么现在呢？恩，充分大能不能有这个式子成立呢？ 那么大家注意，虽然他很小，但是我的 e 字呢？是任意的，那我的 e 字呢？可以小与谁啊？小与你这个地方呢？一万结成分之一，因为我可以取这个 e 字呢，比你来的小。那么这样的呢？嗯，从大的时候有这个式子成立，那么能小于这个 e 字，当然能够小于这个，那么所以这个肯定是正确的。 那第二个对不对呢？那有同学说能够小于 excel， 这个东西比 excel 还得小，那它小与大的，它不一定能够小于小的，那这个说法没问题，但是你要注意，我们 excel 是 任意的， 那我说你能小于这个，也能够小于这个为什么？哎，当我你给了 excel 了以后，那我这个时候呢，我这个地方 excel 呢，我也可以取成一个一百分之 excel 呢，那么这样当然应该有这个权力啊，那么所以这个也是对的。 好，再来看下面， a n 也为极限，但是对任意的一次呢？大于零，当 n 充分大的时候，有这个式子成立，那位同学说，这个比一次呢还来得大，那么能小于一次呢？当然能够小于这个大的呀， 但是你要注意，这个地方呢，有一个核心问题，你看我们这个一次呢，是任意的，但是又是给定的，给任意给定的一次，但是这个地方呢，只是说了任意缺了给定二次， 那所以这个不行。为什么？如果没有给定，那我这个 excel 呢？我也可以取谁啊？我 excel 呢，我也可以取 n 分 之一啊，你没有给定二次，我这个 excel 呢，可以是变的呀，那么大家注意，如果这个 excel 呢，取 n 分 之一，那么大家注意这个要求这个东西，实际上这就等于谁，这就变成了 n 分 之一百。 那这个时候大家注意， a n 以 a 为极限，能不能得到 n 充分大的时候， a n 减 a 小 于 n 分 之一百，大家注意，这个现在是一个变的， 那么这个时候呢，其实它是变的，那所以它就牵扯到 a n 取向 a 的 速度的问题，这个数字是不是一定能成立呢？当然不一定，那你比如说我的 a n 等于谁？ a n 就 等于 a 加上谁啊， n 分 之一千。 那么大家注意，你看这个 a n 确实是以 a 为计算，但是呢，它两个一减，这个绝对值等于谁？它就等于 n 分 之一千， n 分 之一千能小于 n 分 之一百吗？不能啊，所以这个是错误的啊。那么这个主要是强调，就是我们定义里边是任意给定啊，这两个字，不能说这两个字很关键，这一部分呢是任意的，但又是给定的，没有给定二字，当然 得到这个结论，那先让这个搞清楚以后，大家看恩状况，大的时候他能小，以恩分治他，这个实际上跟这个是本质上是一个问题， 那这个当然也是不行的，就是你这个地方呢，这个一部分他不是个定值，他是个变的啊，我们这个得不到这个结论，在这两个都是错误的，那所以正面题的个数几个就两个，所以应该选它。 那么大家注意这种题就概念性非常强，就这种题就提醒我们大家，数学的概念一定要理解，而不是简单的背对数学的概念，背一些关键的字， 一定要抠啊，一定要把它的本质一定要抓住，一定要理解透彻。那么这样子我们上了考场，然后做这种题，我们才能做的速度快，准确率高。所以让大家注意我们这个编的这个题里边，这个三和四这两个选项所考到的关于数列极限这个概念的问题，在近几年我们卷子里边 多次有考到，所以我们平时编的这个方向，然后做相关的训练，这属于概念性的题目。

把你容易犯的一些经典的错误消灭在萌芽状态。再来看一个，比如说像这个题，这是第一章的一个题目啊，说给出以下四个极限，其中极限等于 e 的 个数，就是这四个极限，有几个都等于 e， 那 有同学一看，说道，是这都等于 e 啊，应该选它呀。哎，你看这一加 x 分 之一的 x 方，这不是基本极限，这个也等于 e 啊， 那这个也等于一啊，原因是什么原因？他说啊，你凑一下基本极限，那么最后要算这个极限，因为根号一加 x 平方比上 x， 这个等于一啊，所以这个也是一啊。然后这个呢？因为你凑一下那个基本极限，最后就是 x 乘赛引 x 分 之一， x 曲线无穷赛引 x 分 之一，等价于 x 分 之一，所以这个极限就等于一啊，所以我选它呀！ 那么大家注意，选 d 就是 经典的错误，标准的零分，但很多同学会犯这样的错误， 那么大家注意身上这个题正确的答案是谁啊？不是 d 啊，这个是错误的，那么等于意义的呢？身上只有一个 啊，正确答案是 a。 那 么这种题目主要是想强调我们同学平时容易犯的一些经典错误，我们把你容易犯的一些经典的错误消灭在萌芽状态，而不要让你把这种经典错误带到考场上去，那你不是就考不了很好的成绩啊。 那么大家注意这个为什么错呢啊？你可注意，我们基本这些 e 是 这样讲的，那应该是一加 x 的 x 分 之一次方，这个等于 e， 那另外一个，那就是 x 趋向于无穷的时候，那这个时候一加 x 分 之一的 x 次方等于一， 那么它就属于，这两个是对的，这两个呢，看似跟它很像，但是实际上完全不一样，为什么不一样？你看这两个人家都是一的无穷大次方， x 就 像里边指向一，肩膀指向无穷，这也是个一的无穷大次方， 然后呢，这套趋向零，这个和这个是个倒数关系，这个等于一，但是你注意我们这个呢， x 趋向零，这里边是趋向无穷，肩膀是趋向零，这是无穷大的零次方，这个呢， x 趋向无穷的时候，这是个无穷大的零次方，所以它就不是这个类型。看到没有？ 那么事实上大家注意这个极限应该是不存在。因为什么？因为这写的是 x 去向零，那么大家注意你 x 如果从小于零的边去向零，这里边就去向负无穷， 那么大家注意，底数是负的时候，那么很多点上它的定义都没有，所以这个极限应该是不存在， 而这个呢，是一个无穷大的零次方，但是它可以改写，写成谁呀？ x 趋向于正无穷，那么这呢，可以写成 e 的 x 分 之幺幺， e 加 x 这个指数是个无穷比无穷，但是呢，我们知道 me 还是说比这个对数还是趋向无穷速度快，所以这个应该是 e 零方，这个极限应该是一， 这个等于 e， 没有问题啊，这个是等于 e， 这个等于一，这个是不存在，这个也错了，这个为什么错了？那么大家注意，你说有同学也说啊，老师， x 趋向无穷， 这个计算不就是一吗？注意，这是经典的错误啊，因为什么？因为注意 x 如果趋向于正无穷，这个应该等于一，但是呢，如果 x 趋向于负无穷呢？ 根号一加 x 方，这个极限等于负一，所以就不是这个极限等于一啊？为什么等于负一？因为你要做这个的话，那你想你这个地方把平方是不是要开出来？那么平方开出来的时候， x 就 像负，它等于负 x， 所以 这个里边是一加 x 方分之一，这个等于负一， 所以这个呢，如果 x 趋向于正无穷，那么这个时候呢，它应该是趋向 e， 但是如果 x 趋向于负无穷呢？它就 e 的 负一次方，那么所以这个极限应该叫做不存在，而不是极限的 e。 所以这四个极限里边等于一的只有一个，就只有这一个是等于一，这个是不存在，这个也是不存在，而这个呢，他应该等于一，只有这一个是等于一。那你像这种问题，也是我们这个里边反映了很多我们同学容易犯的一些经典的错误， 那么这些呢？我们在基础阶段就应该把这些东西理清楚，因为我们考卷里面也多次考到这些最基本的内容。

什么方法会更快呢？因为他只要他如果能用几何的方法做几何的方法会，那么下面呢，我们来看二零零四年数二跟数三的考题， f 等于 x 乘上一减 x 的 绝对值，则零点 啊，是不是 f 的 极值点？零零点是不是曲线的拐点？这是这么一个关于极值点和拐点的问题。什么方法会更快呢？因为他只要他如果能用几何的方法做，几何的方法会更快。事实上大家注意啊， 你看这个题啊，我们注意他要没有这个绝对值的话，那是谁没有绝对值，就是 y 等于 x 乘上一减 x 啊，这个是个抛物线，它的零零点，这个要没有极值是不是拐点，那就很清楚，因为我们画一个图啊，这个就看 这是 x 轴，那么这个呢，它跟 x 轴有两个交点，一个呢就是谁，一个就是零点，一个就是一点点。那么另外大家看二次项的系数是负的，那么这个时候呢，它的开口是朝下的， 那么这个是朝向的呢？所以这个应该是这样一个抛物线啊，它应该是这样一个抛物线，这就是它，但是呢，人家现在问的可不是它，是它加绝对值， 哎，那它加绝对值是谁啊？那注意，对于这个还属于加绝对值，以后大家注意，就原来在 x 轴上方，那就是正的，加绝对值，还是它，那就说这个 f x 乘上一减 x， 这个取绝对值， 那么这样的话，你原来是正的，取的绝对值还是正的，就在上面，但是呢，原来是负的，一取绝对值就对称的，怎么样？翻上去这边也就对称翻上去。我们不关心这点，人家关心的是这点，所以现在这个绝对值，这个函数就是这个绿的这个曲线， 那么大家看零零点，零点有没有取得极值啊？零点等于零，他在这零点两侧都是为正的呀，所以马上就知道在零零点不但有极值，而且是极小值， 零点是不是拐点呢？那要看两侧凹向是不是发生变化。那么大家注意，对这种这样一个抛物线，那么它显然是一个谁，显然是一个凸的啊，就是原来这个呢，它是作为这样一个开口朝下的抛物线，它显然是一个凸的， 但是这边也是凸的，但是这个一翻上，这个凸的往上一翻对称，这原来是凸，这一翻这边就变成谁，这边就变成凹的了， 所以这个对应的曲线在零零点一侧凹，一侧凸，两侧凹向方向变化，那立马就知道这一点呢，就是拐点。 所以我们最后的结论就是， x 等于零，是极值点，并且零零点也是曲线的拐点，那么所以呢，你看 x 等于零，是 f 的 极值点，那么零零点也是曲线的拐点，但是这个就比刚才那个就简单多了，上了考场就速度快，准确率高。

大片，那最后得不到积分，在半径为二的球里边内接一个圆锥，要求这个圆锥体积最大，还是让你求这个最大体积， 这些人就是一个最大最小值得应用题，那么这种题呢，我们说第一步就是建立目标函数，那么怎么来建立目标函数呢？那就是引入一个变量，要把这个题目里面要求最大或者最小的这个量用一个函数表示出来， 那么大家看这个呢，是在半径为二的球里边，我们在这画一个平面图，来，我们画一个平面图，我们来看一下啊，假如说这个内接的圆锥是这样一个 啊，一个圆锥，那这个时候呢要注意这个呢？假如说是球心啊，那么在这呢画一个这个高啊，那这个呢应该是二，我们现在呢是要求内接这个圆锥的体积最大， 那么现在呢，我们就是要把这个体积 v 呢用一个某个变量的函数表示出来，那我现在就要引入变量，引入谁呢？我们知道这个锥的体积是不等于三分之派， 底面圆半径的平方乘上高度 h， 那 么现在引入谁呢？哎，我们一个第一个想法就是引入谁啊，这个锥的底面圆的半径，如果把这个记作一个 x， 那么大家看你这个锥的体积也好表示啊，这个 v 等于谁？ v 等于三分之派 x 平方，这是底面圆半径平方再乘谁要乘上这地方的高度， 但这个高度等于谁，就等于上面这个半径，再加这一段，它这段等于谁？那么这段根据直角三角形的勾股定律，所以它应该等于谁？你看这是上面的半径，再加上这段，这段等于谁？ 根号放到这个直角三角形里边，二方减 x 方再开方，这个是刚好表示的是这段，这段加上上面这段刚好是高，好了，这体积就表示出来了， 那表示出来以后再下来呢？那就是求这个函数的最大值，这就是叫建立目标函数，建立好以后求最大值，这个大家都知道，求导数找住点做判定， 但是这个时候你可注意看，这有 x， 这还有 x， 你 想想这个呢，你要求导数找住点，这个本身导数就比较复杂，你要解住点，解完还得判定，那么这样子呢，就用算量比较大，就很容易出错， 所以这个时候就要特别注意了。有的同学上了考场，这一写出来就闷着头求导数找住点做判定， 结果由于这个目标函数比较复杂，所以用向量就比较大，可能一开始就哪里就算错了，写了一大片，那最后得不到几分， 那么所以碰到这种目标函数建立好，你发现再往下做比较麻烦的时候，这个时候不妨考虑一下有没有更好的目标函数，就是能不能把体积表示的更简单，因为这个目标函数不是唯一的， 那么体积等于谁啊？三分之二派底面圆半径乘高。哎，那么引入高作为他的这个变量呢？ 把这个记做 h， 那 么这个时候呢，大家注意，你看目标函数 v 就是 谁啊，它就应该等于三分之派 h 乘上底面圆半径的平方， 这个的平方等于谁？这个平方是不在这个直角三角形里边，应该等于二的斜边的平方，减去谁减去，注意这一段的平方，但是这一段等于谁呢？这段不是就等于 h 减去二吗？ 啊？那所以你这个底面圆半径的平方就等于二方减去 h 减二的方， 那么这个时候呢？大家看这个写出来是谁？三分之派 h， 对， 这是两数平方差等于两数，和这一和又是个 h 乘上两数的差，那么它减去这个东西，实际上后面就是二二减去一个谁啊？减去一个 h， 那么这个呢？你看这个目标函数就比刚才简单多，这是三分之派，我们把它乘进去，那这就是二二的 h 平方减 h 的 三方， 你注意这是个多项式函数，那所以这个时候你看 d v d h 这个倒数比原来这个简单多了，因为这个求的话是三分之派，那么这个地方就是四二的 h 减去三 h 的 平方， 那这个呢？当然可以往外提一个 h 就是 三分之派，然后 h， 那 么这里边呢？就是四二减谁呀？减这个三 h， 那 这个等于零，那我们就得到谁呀？这个 h 就 等于三分之四的二， h 肯定应该是大于零的，那好了，那么这个我们就得到这个呢，就是他唯一可能取得基值点，并且从这个地方可以看出，你看 h 是 在这 h 要比他小，倒数为正， h 要比他大，倒数为负，那么倒数为正变负，那这个就是增到减，这一点肯定是极大， 但是又是唯一可能取得几值点，那所以这个地方一定是取得最大值，那么最后呢，可以把它带进去，这个最大值带进去算一下，最后我们可以得到这个最大值是八十一分之三十二派二的地方， 那么举这个例子呢，主要是想强调就是对这种最大最小值的应用问题，那么第一步呢，就建立这个目标函数，这步很重要，就是当你把这个目标函数建立好以后，你先要看一下这个坐下去方便不方便。 你比如说像这个目标函数，你一看求导数，找住点不方便，就不要急于蒙着头去往下做，这个时候就得想一想有没有更好的目标函数。 那你想想这个题如果上了考场，有个同学就按这个蒙着头做下去，结果可能就写了一大片，错了一大片，最后得不了几分。但是呢，如果另外一个同学他换了这个目标函数，人家可能写了这样三五行，人家可能就得满分。 这就是我们所强调的就是最大最小值的应用题。这是个第一步，目标函数写好以后，如果你觉得用算比较简单，就算下去，如果不简单，像这个地方你就不要闷头算下去，在这想想有没有更简单的目标函数，您可在这多花点时间，不要把大把的时间都花在那种繁琐的用 算上，这就是做最大最小值应用题最应该值得注意的地方。好，这是我们要看的例八。

像这个题就是二零一四年数一双，求下列曲线，就是下列曲线中有渐近线的， 那么有渐近线，那大家想给了一条曲线以后有有没有渐近线，我们得三个，都得看第一个水平的有没有，第二垂直的有没有啊？那么第三斜的有没有？ 那么大家想你这段话给了几个曲线？给了四条曲线，每一条曲线都看一下水平垂直斜有没有？这题得做多长时间 可以做出来，但是就很慢，那么所以呢，怎么会做的更快一点呢？哎，我们再来给大家总结一下，以后可以做的快。你看关于这个斜极限， 我们过去是不是要看两个极限，那么一个呢？啊？是要看谁啊？ x 趋向于无穷的时候啊，这个 y 除 x， 这个极限如果等于 a， 那么并且呢， x 趋向于无穷的时候，那谁呀？外减 a， x 这个极限等于 b， 那 么这两个就可以推出，它就有斜渐近线， y 等于 x 加 b， 那 注意，这三种渐近线确定起来最麻烦的就是第三种斜渐近线，有没有简单的方法呢？实际上我们说有简单的方法，你看斜渐近线怎么定义的呢？ 他是这样定义的啊，那就说这是一条曲线，那这是谁？ y 等于 f x， 那 么如果有一条直线， y 等于 a， x 加 b， 和这个曲线有这样的关系，什么关系呢？就是当曲线上的点 沿着这个曲线去向无穷远处的时候，取线上点到这个直线的距离去向零，那这个直线就叫做它的斜渐线。那么根据这个定义呢，实际上我们可以立马得到一个结论，那就说如果若 这个 y 等于 f x 能够写成谁啊？能够写成一个 a， x 加 b， 再加上一个谁啊？这个阿尔法的 x， 那 么其中这个阿尔法 x 呢？在 x 趋向无穷的时候，它趋向零，那么这个时候则 y 等于 a， x 加 b， 就是 它的斜减点。也就是说，如果你的 f x 能够写成这样一个一次多项式是上一个直线，那么加上一个谁啊？ x 去向无穷的时候的无穷小的话，这个直线就是你的斜减点线啊。 那有了这个以后呢，大家看这个题呢，做起来就方便的多了，为什么呢？那么大家有没有注意看这个，这个呢，就是一个现象函数，但是他后面这个，当 x 趋向于无穷的时候， x 就 像无穷，我们立马知道三 x 和这极限就等于零啊，所以我们立马就知道他应该有斜渐线， y 等于 x， 他 说有渐近线的，那剩下这四个里边就是只有一个有渐近线，我已经知道他有斜渐线，那这个答案肯定是他呀， 那这多方便啊，那这就快了很多很多。所以呢，我们在确定这个斜渐线的时候 以后，可以利用这个技能，如果你这个 f x 能写成一个向量函数加一个 x， 就 像无穷的时候无穷小，那这个向量函数就是它对应的那个斜减减线的方程，只有灵活使用方法，你才会速度快，正确理解。

就是问数一和数二，那一般说来数一要比数二、数三难度要更大一些啊？啊？那么数二呢？比数三要难度大一点啊。所以这个地方要说难度的话， 应该数一最大，下代数二，那最容易的应该是数三，这跟我们对专业的要求是相匹配的。

对于基础阶段藏东西这个问题啊，我们有些同学就是会觉得这个基础严选题可能会稍稍做不动吗？ 那么我们怎么解决呢？就是我个人是觉得啊，基础啊，基础阶段这个基础严选题呢，我们不要把它当做一个啊，这个训练的这种题型来做，我们就把它当成这个立体来做就行了。 因为，呃，就是因为吴老他这个教学特点，所以导致他基础阶段不会给你讲那么详细，那么有一些知识点呢，我们需要在严选题中来给他学习到 我们可以在做严选题的时候啊，通过一些啊，就把这个题不会的，因为基础严选题还是比较基础的。如果说你这道题不是因为计算错误，各种各样的错误犯错，而是因为你 不了解这个知识点，那么你完全就不需要去死扣它。你看到这个，看到这个题第一眼你都想不出来你学过这个知识点，但你不需要去死扣它，你直接 啊，对吧？你直接就是啊，看解析对吧？听讲解，把这道题背后的知识点弄懂了，那你知道这个知识点弄懂了，那你这道题自然自然而然就会做了，所以说，嗯，就是应对藏东西这一点，就是我觉得不要把这个延伸题当成这个训练题来做，你当成一个呃立体来做就行了。 然后我给大家推荐一位我自己在看的一个 b 这个严选题的讲解吧，就是 b 站上有位老师叫陈汉老师，然后他讲的这个严选题的也非常啊，他会给你补充很多知识点， 然后让你在听严选题的讲解的同时呢，也能够把背后的知识点啊。吴老可能没有提到知识点，给它全部弄清楚。

听了课不会做题怎么办？听了课不会做题这个话讲的有点笼统啊。就听了课不会做题，原因可能是多方面一个呢，就是你听了课以后就直接去做后面题，那这个是有可能就不会做，原因是什么？你还没把课堂的内容消化掉，你可能例题你都没做过。所以呢，你听完课首先是消化课堂内容，先把例题做会， 是自己做会不是看会，然后再做后面那些题，我相信你肯定能做一部分，但是不可能说啊，你这课一听完，后面题都会做了，那除非后面这题都非常简单。你大学也是这样子啊，不是说你大学上一堂课，后面作业题你都会做，有些会做，有些不会做，这是很正常的一件事情， 但是要注意，就听完课不能急于去做题，那是效率最低的一种做法。那就是这个太着急了，听完课一定首先是下来消化课堂的内容，那么课堂老师讲的例题先照模画虎做几道呀？然后你自己再去独立做题啊。 那你小孩学走路，一开始要家长扶着你再走几走一段，然后你再去走，那你说这个一开始学走路就这个，家长不要扶，你自己去走，那肯定是走不了嘛。 所以呢，就是这个，听了课以后，这个例题自己一定要自己先做，招模画虎有了基础，然后慢慢去，再自己独立去做题目。不要太着急啊，就心太急了啊。就是课一听，我去提就会做了，没有哪个老师说你把课一听，你题都会错了。没个老师能做到这样子的啊。也不可能做到这样子的啊。 县级段遇到不会的是直接看答案还是多花点时间？第一个基础阶段不会做的题，你先看一下人家标准答案来看，不光是看怎么做要看啊，我怎么没想到他怎么想到这样做，哎，一定要看这个，但是到强化阶段的时候啊，就不会做，自己要思考，那个时候你思考有基础了， 你现在呢？你要思考你花很多时间，你这个效率很低。所以现在呢，可以看一下答案怎么做，但是不是光看他怎么做更重要，看他怎么想到这样去做。我以后怎么才能想到这样做啊？这很关键。

看完基础片的网课后，是先做严选题后，把书文后面的标注的六六零部分的题目做了就可以吗？拿六六零剩一部分强调的这么对，这个问题问的很好啊， 就是看完吴老师的这个基础篇这个课之后，注意不是说把一本书看完了，然后再做题，按章复习第一章内容，看完就做这个严选题的第一章的题， 然后呢，这个第二章看完就做第二章的题，完了以后再做六六零里边在这方标注的啊，第一章六六零他是希望你做什么，你可以去做那个相应的六六零， 然后完了以后呢？有同学就说，哎，六六零不是还有剩余的题吗？剩余的题就可以放在强化阶段来做啊，这就是这个老师帮大家做了一个选择，这样做就比较科学啊。

如果你从今天开始考研数学的学习，并且高数基础跟的是武忠祥老师，参考我这样的调整可以助你更上一层楼。那么首先如果你的基础延缓期正确率高于百分之六十，那么后续的规划主要根据你有没有做六六零。如果你基础阶段已经开始做六六零了，而且正确率不错的话，我推荐你直接开武忠祥强化，开二六的课， 那么开五中央强化之后，直接做八八零的基础和综合，八八零可以先刷综合基础留到学现代的时候刷。如果你的八八零综合刷不动，你可以先刷基础，然后学现代的时候再刷八八零综合高速过完开现代记得一定要复盘高速阶段的错题和讲义。 然后开现代的时候分为两条线，一边高入复习，一边现代学习。高入复习主要是复盘奖励加刷八八零的剩余部分。八八零刷完之后呢，你可以买一本一千题刷，或者完成六六零的剩余部分。那么现代学习可以参考主页的现代满分攻略，也就是主页置顶第一个。 如果你基础阶段没有刷六六零，我建议你直接开现代基础高速复习，就是复习讲义加刷六六零。然后现在学习的话，跟刚才一样，现在学完之后再开五中强的高速强化，直接刷八八零，同时复盘八八零的现代错题。如果八八零现在复盘完了，可以买一本一千题刷一下一千题的现代部分。 然后就是两个同样的后续调整。高数现代全部学完之后呢，初二就完成八八零以及一千题剩余部分后再开真题，数一数三就是一边学概论，一边完成高数现代八八零和一千题的剩余部分。你按照这个规划走的话，你的目标给我定在一百三以上。当然习迪策的正确率仅供参考， 如果你的习迪策正确率低于百分之六十，我建议你直接开高数强化技术，学完之后直接跟吴老强化刷八八零， 后续学习以做图八八零为第一目标。高速强化学完开现代，然后也是分为两条线，高速复习线，复盘讲义加八八零，错题后刷六六零。现在学习线就是选择老师听课加做题，如果你的人选题正确率远低于百分之五十，建 议你先做基础七百题，后续学习的规划可以参考我后面要出的视频。然后就是两条路线的参考时间，仅供参考。下一期视频咱们讲一下如果你基础比较差，该怎么样尽可能的去调整。

基础篇的例题和严选题在学习完之后，呃，隔多长时间再来重写一遍，需要达到什么程度啊？这个问题也问的很好，那吴老师认为你就这样子，你就从第一张，一张内容，一张题目 啊，严选题，一张内容，一张严选题，把它通通过完，过完以后回头来再来做一下第一张的那个严选题， 那么这个时候看你还能做出来多少啊？哪些题不会做？原因在哪里啊？那么有同学说到什么程度，是不是要做到每道题我拿到以后都自己会做，这个要求就高了啊？你要完成达到这个目标，你可能要很长很长的时间，其实这段时间就不够了， 但是呢，要达到什么程度就够了呢？如果你目标是九十分，达到一个什么程度，那九十分就是一百五十分的百分之六十，那就是第二遍做的时候，第一张的严选题正确率达到百分之六十就够了。 如果你的目标是一百二十分，那回头来做的时候递上的原选题，你的正确率要达到百分之八十就够了。所以这个什么程度是跟你基础和最后的目标是密切相关的。

经常有同学说老师不会做证明题，那你首先你得知道做证明题靠什么啊？那顺便在这讲一下，做证明题实际上在做什么？证明题往往就给了一些条件，让你要证明一个结论。 那你说做证明题做什么？实际上就在题目的条件和结论之间架桥梁，这个桥梁架起来，你的证明题就做完了呀。 但是呢，题目有了以后，那条件也知道，结论也知道我怎么样在条件和结论之间架桥呢？靠着谁？靠的就是这两个，靠的就是定力和性质呀。 但是这个时候定力性质我学了一大堆，我是用哪个定力，用哪个性质呀？那你得知道每个定力他的数学意义，他的作用，你才能知道应该用哪个定力。所以这个时候呢，一定要理解，不是光知道条件结论，一定要理解他的数学意义。 那么大家注意，这个拉格挡是中指定律，它的数学意义是什么？这上主要有两个方面，一个呢，大家注意左边这是什么？ f b 减 f a， f b 减 f a 是 它在 ab 区间函数的改变量，除以自变量改变量。左边呢，实际上是这个区间上的平均变化率， 那么平均变化率它是这个区间一个整体形态，但是右端是这点导数，它是一个局部形态。 所以这个拉格朗定律的第一个伟大意义，他把整体和局部跟我们联系起来，我们用导数这样的局部形态来研究一个函数在一个区间上整体形态架起这个桥梁。 这是第一点。第二点讲的通俗一点，你看左边是函数值，右边是谁？导数值呀？那所以拉格朗定律呢？它的伟大意义就是把函数值和导数值跟我们联系起来了。所以什么时候应该想到这个拉格朗定律呢？ 如果你给的条件是导数，你要研究函数，谁能联系他？两个拉格朗定？反过来，如果你给的是函数，研究是导数，谁能把他俩联系起来拉格朗定，那么这样子我们就知道了拉格朗定的数学意义作用，那么就知道什么时候应该用它。

这个第七章学完大概听课花了听课加做题，然后一共花了一天吧？听课是听课是花了三个小时， 然后做题是大概是花了四个小时。这一张严选题的这个题量比较多啊， 但是他知道这一张呢，就是比较基础。就是。呃，不是说比较基础吧，就是难度不算那么大， 因为很多攻科的朋友应该大学里面都学过电路啊，自动控制或者信号系统这些这些。呃，这个微分方程这一张的话在这些科目中都有应用。然后这一张我，但是虽然简单吧，然后错的也不少。 嗯，大部分都是错的，大部分都是计算错误。对，这个后面还有二刷。

这个第五章非常的困难啊，听课大概听了三四个小时，然后复盘讲义又花了两三个小时，然后做这个严选题吧，又花了两个小时， 癌症又花了两三个小时，然后也是错的非常离谱。本来说是要把第六张今天也一起做了的，现在看起来不太可能给我干立结了。

命题，这四个命题里面，真命题的个数到底有几个？第一个，他说 x 去向无穷， f 去向 a， 那 么这个时候 n 去向无穷， f， n 就 去向 a， 那 么大家注意，这个是函数极限， x 去向正无穷，它以 a 为极限，那实际上几何上看的话，那这个时候注意 f， 这是 f x， x 向下无穷，它取下 a， 那 实际上呢？也就是说这个是 a 啊，但 x 无限增加，那这个 f x 和 a 要多近有多近，注意，这是函数，这实际上是个竖列，竖列就是个整标函数啊。那你注意，刚才人家 x 是 取任意大于零的任意式数，这个呢， n 就 只取谁一二 啊？那这就是 n， 所以呢，这个 f 的 一，实际上就这点的值， f 二就这点的值， f n 就 这点值。 那么大家注意， x 以任意方式取向无穷大的取向 a， 你 是个特殊，当然取向 a， 所以 这个一看就是对的。任意当然可以推特殊， 但是反过来呢，这个极限单元 a 能推出这个极限单元 a 吗？那么这个极限单元 a， 你 只能说整数点上取向 a， 那 别点上，你管不了呀，所以这个特殊当然不能推，一般这肯定是错的。然后下面呢，啊，那大家注意看， x 趋向 x 零， f 以 a 为极限，那 n 趋向无穷的时候， x n 又趋向 x 零，那有同学说，那当然这个对啊， 那你看 n 趋向无穷，你这个不是趋向于 x 零吗？你趋向 x 零，那这个当然就趋向 a 啊，这个就对啊，是不是？所以说这个对就是经典的错误，标准的零分。 但这个呢，很多同学很觉得这个是对的，但是这个是错的，错在哪里？这就是想强调一下，我们复习数学的时候一定要注意，这概念一定是要理解到位，要理解准确。 好，那我们来看一下啊， x 就 像 x 点 f， 以 a 为极限，那通俗的讲， x 无限靠近 x 点 f 和 a 要多接近有多接近，严格的数学也表述是对任意给的一组，大家从在德尔塔当 x 满足这个关系， f 减 a 的 绝对值小与不减。 那么大家注意，这个时候一定要注意这个地方有个大于零，大于零就是去星领域啊，就是去星领域里边的函数值， 那么和 a 要多接近有多接近。那么所以我们经常说啊， x 趋向 x 零， f 也有极限啊，我们经常说 x 趋向于 x 零， f x 趋向于 a， 但是这两都是趋向，这两是有区别的，区别在哪里？那你要注意看，这地方是个大于零，所以 x 是 趋向 x 零，但是 x 不 等于 x 零，因为这有大于零。看到没有？这有没有大于零？没有啊。所以这个 f x， 它可以趋向 a， 它也可以等于 a， 它也可以横等于 a， 它可以有些点上等于 a， 有 些点上趋向 a， 所以 这两个趋向是不一样的，就是这个字面呢，是趋向 x 零，而不等于 x 零，那这个 f x 呢？趋向 a， 它是可以趋向 a， 也可以等于 a， 总之这个地方是不一样的。那在这就要注意了，那你注意你这个 x， 就是 说这个那 x 的 虚线 x 零不等于 x 零，那么所以呢，这个极限等于 a， 那 那个函数他就说就是这这个极限。我们经常讲的就是 a x 虚线 x 零的时候，他在这一带的极限 与谁啊？与 f x 零无关，就是因为这个大于零，也就说我们研究极限是研究 x 趋向零，而不等 x 零。零极点的变化趋势跟你那点有没有定义，有定义，函数值等于多少毫无关系。那么大家注意，你看我们不是熟悉这个极限吗？ x 趋向于零的时候，三 x 比 x 极限等于谁？一，实际上大家看这个函数在零点就没有定义，但是内在照样可以有极限，是因为我们这个 x 是 趋向零，但是不等于零，它是临近点的变化趋势呀， 所以那点没定义，那点极限照样可以存在。但是我们经常举这个例子，我们说你看那这个，那我们老板说 x 去向零的时候，塞盈 x 塞盈 x 分 之一，比上 x 塞盈 x 分 之一，极限等于一。 那经常有同学说，老师，这个极限等于一，他为什么等于一？他说，老师你看这个，虽然后面不存在无穷小，成语接变无穷小，这个趋向零啊，那这个里边这个也趋向零啊， 所以这个极限等于一啊，为什么呢？因为你 x 趋向零，这个趋向零，这个极限等于一，这个理由成立吗？我们说说这个极限等于一，就是经典的错误，原因是什么？那你注意这个 x 是 自变呢，它是趋向零，但是还有一个它不等于零。 那么你注意你这个东西是趋向零没有问题，第一个满足了，第二个满足不满足，你这个 x 乘以 x 分 之一不等于零，这个条件满足不满足不能满足啊，因为大家知，知道这个在零点的任何曲线都有零点，他虽然是整荡的，但是呢，他始终 会有零点，但他不能满足这个条件啊，这个极限等于一，对这个里边这个是趋向零，不等于零，但是你这个不等于零，不能满足，所以说这个极限等于一就是经典的错误。 那问题就来了，你这个极限等于 a， 注意，你这个 x 是 趋向 x 零，但是这个 x 不 能等于 x 零，因为也可能 f x 零就没意义，但这个时候你可注意，这个 x n 是 趋向于 x 零的， 注意，这个时候这个 x n 是 可以等于 x 零的，它也可以横等于 x 零啊，但是它就不能满足这个条件啊，不能满足这个条件，你就不能说这个极限等于 a 啊，也可能这个 f 在 x 零那点就没有定义，这就是细节。然后完了以后看这个啊，它是 n 取下无穷 x n 取下 x 零， f x n 取下 a， 它就取下 a， 你 注意这是特殊点，特殊点它取下 a， 能不能以任意特殊，能不能推出任意呢？当然不能啊，但是特殊点上，它取下 a， 能推出以任意方式取下它，这个极限等于 a， 那 不能啊， 那么所以这个也不对，那么所以呢，这四个里边呢，只有第一个是对的，那么所以正确的个数只有一个。那么这种主要就是看你对数学的概念到底理解到位没理解到位。概念一定是要理解，不是简单的背，就是概念最核心最本质的东西，一定要理解清楚。 让我们上了考场以后，这个选择题是我们的一大障碍，而选择题经常考的就是概念，考的是理论，所以我们复习考研数学的时候，对概念理论 一定要把它弄清楚，就真正要理解它，理解它的要点，理解它的一些细节，理解它的一些核心，而且简单背一个概念，将把题做好，这就是我们基础阶段夫妻的时候特别应该强调的。

下面呢，我们再来看这个地方的最后一个问题，就是关于定积分的计算，定积分是一个合适的极限，但是要用那个定义来算一个定积分，但太难了，那所以我们得解决它的计算的问题。 那么第一个呢，就是牛顿莱伯尼公式，那就是 a 到 b 的 积分，只要我找到小 f 的 一个元函数，带上限带下线，上向线一解，那他呢，就是把这个定积分的计算的问题归结为元函数在上象限函数值的差的计算的问题， 实际上也就是把定积分的计算归结为找元函数。好，下面呢，再来看换元法， 定积分，换元法只有一个，不定积分是有第一类和第二类，定积分只有一个。那么另外呢，注意，定积分做换元法的时候，不仅仅要换 b 级函数，而且还要换上下限，因为你原来这个上下限是 x 的 上下限，你现在换成对 t 的 积分，很多同学经常就忘了换这个上下限，就得到错误答案， 那这个换元法里边这个变量代换斐 t 是 关键，那斐 t 怎么选？实际上跟我们不定积分的地方原则是一样的啊，出现根号 a 方减 x 方 n x 等于 a sin t 或者 a cosine t， 出现根号 a 方加 x 方 n x 等于 a tangent 问题，如果出现根号的 x 方减 a 方 n x 等于 a 乘 second 的 t， 这是换元法。还有一个呢，就是分布计算法，那么分布计算法在用的时候两个，第一和谁用，第二如何用？就是把谁先凑进去，这个原则都跟我们不定积分那个地方规律的是一模一样， 就出现两位函数相乘，一般用分布，谁先凑进去，我们再来归大归小一般方法，这就是计算定积分常用的三大一般方法， 还有没有别的方法呢？还有一些针对特殊函数的方法，那就是奇偶性、周期性，那我们就有结论啊，那比如说奇偶性的结论，那就是在对称，关于原点对称区间上，奇函数积分等于零，偶函数的积分等一半是二倍，这从几何上看也很明显。 还有一个呢，就对周期函数，如果这个函数以 t 为周期啊， a 到 a 加 t， 这是一个周期上积分，但这个 a 这个起点随便就等于零到 t 这个周期上积分。实际上就说任何一个周期长度为一个周期的，这个学生的积分值是一样的， 这是从几何上看也很明显的一个结论啊。那你看，比如说我们来看，这个周期是一个 t， 那这就是 t， 这就是二 t， 然后这就是三 t， 那 我们来看一下， a 到 a 加 t， 比如说这个地方是 a， 那 么 a 到 a 加 t， 那 这个 a 加 t， 这个地方要加一个 a， 那 实际上呢？这个时候这就是谁 a 加 t， 那 么 a 加 t 的 积分呢？在几何上就应该是这两块面积加起来，但是事实上我们可以很清楚地看出这一块面积，它跟这一块是一样的呀， 所以你 a 到 a 加 t 的 这个积分，也就等于人家零到 t 的 积分，这从积分上看非常明显，这就是叫做利用奇偶性、周期性来计算定积分。 好，最后一个比较常用的方法，利用已有的公式，那么已有公式呢？这地方呢，有两个公式，一个呢就是零到二分之派塞元方，这个是等于零二分之派 cosine 方，但是这要分奇偶， n 是 偶数，等于它， n 是 奇数，是等于它， 但这个地方呢， n 应该是要大于一的，计数就是三五七。 n 如果要等于一，这个结论就不对了啊，要等于一，这不是散减积分，散减积分就等于一啊，他不是这个结果，所以这是大于一的基数。但是有了这个结论以后，他给我们很多积分的计算就带来方便。那就比如说， 如果人家让你算这个积分，零二分之派，这是散影四次方 x d x， 你 看你要自己算，这是呢，这不是 n 就是 偶数吗？ 啊，这是 n 手术，这是 n 分 之 n 减一，我们 n 等于四， n 分 之 n 减就四分之三，那么下面呢，就是二分之一再乘十二分之派，你是不是立马写答案，那就是十六分之三派。所以有了这些结论，给类似于这的积分就带来方便。那么还有一个 就是零派 x， f 散影等于二分之派，零派 f 散影。当然这个地方呢，对 f 有 一个要求， f 应该连续，在哪里连续？因为 x 是 在零派，散影是在零一之间，所以这个 f 要求在零一区间上连续。 那么大家注意啊，你看这两边这个积分啊，别的地方都一样，就这不一样，这是 x， 这里面没 x， 但前面多一个是二分之派。 这个证明也很简单，用一个谁区间再现，就是令 x 等于 a 加 b 减 t， a 加 b 就是 派，所以就是派减 t， 可以 证明他，但这个结论可以用，直接用啊。定积分计算常用的五种方法，那么大家注意，前三种方法是一般方法用的更多，而后两种方法是针对一些特殊类型所给出的特殊方法， 但是对这种特殊类型，你看往往那个一般方法还不好用，这些特殊方法更有效。好，那这就是关于这个定积分的计算常用的方法。