武忠祥基础严选题答案解析第七章

有很多题呢，我做不了啊，这个是不是就这个不正常？那吴老师说很正常，因为这个六六零比这个高等数学基础篇这个严选题难度要更大。那我们基础阶段我们首先应该看什么？作为高等数学，那么基础阶段首先应该看的就是吴老师的高等数学基础篇， 那么吴老师这个高等数学基础篇也是在大学高等数学教材基础上，那么跟大学这个教材无缝的衔接，但是是考研的要求，那就像大学这个高等数学的书，两本书大概有六七百页， 但是吴老师的这个高等数学基础篇，那么这个地方呢，一共是两百一十二页，但是他把大学学的高等数学里边这个作为考研的基础部分的这个主要内容方法都概括在里边。 所以这个高等数学基础篇就是吴老师专门为基础阶段大家考研复习高等数学而编写的一个教材。那么大家注意这个书呢，薄厚一共是两百一十二页。数学一是全要求，那么这个课时也不多，一共是四十八个学生，也就是二十四次课。那么数学二呢，就要求的更少，数学二只要求这里边一百六十页的内容， 一共是三十八个学时，十九次课就把基础阶段就复习完了。那么数学三呢，一共是一百七十六页，四十二个学时，也就是二十一次课。吴老师认为作为基础阶段，用这个基础篇，只要把这个里边的内容立体，把它吃透，这个基本要求就达到了。 当然说我们数学呢，一定要做一定量的练习，通过练习来掌握巩固我们这个阶段所要复习的这个内容。那作为高等数学基础篇的配套练习题，那就是吴老师今年出的这个高等数学基础篇严选举， 那这个呢，是和这个高等数学基础篇这个教材是完全配套的一个练习题。那过去的话，吴老师没有这个基础篇的严选题，很多同学做别的地方题目，因为这个题目跟吴老师讲的内容不太配套，给我们很多同学带来不便。 那所以呢，吴老师今年就专门给基础篇编了高等数学基础篇的严选题，所以内容就看这个教材，做题就做严选题， 这严选题是按章配的，所以我们在学这个内容的时候，包括听课的时候按章，这是我把第一章内容学完了，第一章课也听完了，然后就做严选题的第一章 啊，然后接下来就学第二章内容，听第二章课，再做第二章的题目。不是说啊，我把整本书，我把这全部的课听完，最后来做题，那个时候你很多东西忘掉了，所以是按章学，按章做题。 那么有同学说，老师我基础阶段还有时间，我除过看这一书，听这一课，做这一题，我还可以做什么题呢？那么下面要推荐的就是吴老师和林永乐教授编的这个数学基础过关六百六十题。那么大家注意，这个六百六十题全部是选择填空题，这是我们基础阶段这个同学们常用的一本非常好的一个练习册。 但是这个六六零里边的题目呢？有同学可能会问说，基础阶段呢，有很多题呢，我做不了啊，这个是不是就这个不正常？那吴老师说很正常，因为六六零是这个， 其实就是选择填空题最终的要求，他里边有些题目要用到的方法和这个知识点，可能我在强化版才能讲到。所以这个六六零可以在基础阶段做，但是呢是能做多少做多少，不会做的画记号放在强化阶段再来做，这是一个非常合理的选择。 那么另外呢，就这个做的时候是这样子，就内容一站下来看这个书，先做严命题，难度要更大一点， 所以一定是先做严选题，后做六六零。六六零不要求在基础阶段全做完，能做的把它做掉，做不了的画一个记号放在强化阶段去做，不要去硬做，你 非得要在基础阶段把六六零做完，那这个效率是很低的，因为他里边你不会做或者有些难的题目，他要用到强化阶段讲的内容，那你还没学，你非得要硬做，这个效率很低，也没有这个必要。这就是我们基础阶段复习的主要的思路，我们应该看的书，我们应该做的题。

听了课不会做题怎么办？听了课不会做题这个话讲的有点笼统啊。就听了课不会做题，原因可能是多方面一个呢，就是你听了课以后就直接去做后面题，那这个是有可能就不会做，原因是什么？你还没把课堂的内容消化掉，你可能例题你都没做过。所以呢，你听完课首先是消化课堂内容，先把例题做会， 是自己做会不是看会，然后再做后面那些题，我相信你肯定能做一部分，但是不可能说啊，你这课一听完，后面题都会做了，那除非后面这题都非常简单。你大学也是这样子啊，不是说你大学上一堂课，后面作业题你都会做，有些会做，有些不会做，这是很正常的一件事情， 但是要注意，就听完课不能急于去做题，那是效率最低的一种做法。那就是这个太着急了，听完课一定首先是下来消化课堂的内容，那么课堂老师讲的例题先照模画虎做几道呀？然后你自己再去独立做题啊。 那你小孩学走路，一开始要家长扶着你再走几走一段，然后你再去走，那你说这个一开始学走路就这个，家长不要扶，你自己去走，那肯定是走不了嘛。 所以呢，就是这个，听了课以后，这个例题自己一定要自己先做，招模画虎有了基础，然后慢慢去，再自己独立去做题目。不要太着急啊，就心太急了啊。就是课一听，我去提就会做了，没有哪个老师说你把课一听，你题都会错了。没个老师能做到这样子的啊。也不可能做到这样子的啊。 县级段遇到不会的是直接看答案还是多花点时间？第一个基础阶段不会做的题，你先看一下人家标准答案来看，不光是看怎么做要看啊，我怎么没想到他怎么想到这样做，哎，一定要看这个，但是到强化阶段的时候啊，就不会做，自己要思考，那个时候你思考有基础了， 你现在呢？你要思考你花很多时间，你这个效率很低。所以现在呢，可以看一下答案怎么做，但是不是光看他怎么做更重要，看他怎么想到这样去做。我以后怎么才能想到这样做啊？这很关键。

好，学员们，大家好，今天给大家讲一下啊，就是鸿开的呃用书计划，然后学习计划。呃基础阶段呢？我们一般来说就是呃这个高等数学基础篇，然后还有六六零和真题真刷的基础篇，这个是金榜时代推出的呃考研基础三件套。然后我们分开来给大家讲。 首先第一本是呃高等数学基础篇，这本书的话今年新增了一个配套的研试卷，然后我个人认为这个研试卷是非常非常行的 啊，他真的是我觉得真的是一本就非常精髓，然后他也很好的弥补了，就是前几年，嗯，很多，可能我看很多学长学姐他们会说，就是呃做六六零的话做不动，然后演习就很好弥补这一点。然后这个高等数篇的话，我觉得是编的非常棒。然后我们可以看一下他的目录， 嗯，他的话就是每一张里面他都会先讲一下考试内容概要，然后再讲一下常考题型与典型例题，他就是分这两部分讲。然后呢第一部分呢，主要就是他是会集中的介绍一下这张会考什么东西啊？考试的题型，然后呢配合立体来讲， 我们拿呃第四张来举例。第四张呢？第四张他这里有四种，就是不定积分的概念性质。不定积分基本共是三种主要积分法，三类常见可积函数积分。然后他前面就是讲这些，呃，讲这些概念，然后呢配套一些具体来讲， 然后呢？后面呢？他在讲这个长考题型典型问题的时候，他就是比方说这一张他只有一个长考题，就是求不定积分，然后他会配很多，就是这这个部分就几乎全配立体来讲解做这类题的方法。 然后在在这个呃章节的末尾呢，他会配一个就是超链接，就是他会跟六六零联动起来啊，他卷接六六零就是在你刚开始学完这一张时候比较适合做的一些题目。 好，这个是呃高等数学基础篇。然后关于演选题呢，我觉得演选题他非常，他真的是非常非常好，尤其是你刚刚学完这个，刚学完这个高等数学基础篇之后，你去做演选题，你会发现他， 嗯，怎么说能让你错很多吧？可以这样说，就是他对你的基础，对你的概念把握非常好。然后这个选选择题呢，我觉得就是大家刚开始学完错很多是很正常的，因为你看我这里也标了很多，就是在目录这里标了很多我错的题。 就是大家如果一开始错的话，我觉得考研数学就数学，考研数学的学习呢，就是不断的错，然后再不断做错题吗？所以大家错的话，也可以像我一样把错题标在这个，就是目录这里，然后随时就可以回去翻看，也不需要做成错题的，因为那样的话太费费时间精力了。 然后就是这个演选题呢，他也是配有解析的，但是是电子版的解析，然后好像是舞蹈的公众号他也发了。然后 就是这个演选题呢，他题量不是很多，他一张的话，但是也是比较足够的，你可能写一张大概也需要一到两小时，他一张的话，嗯，我算下来就是大概就是看了一下，就是每一张大概是有二十二三十道题这个样子。对，然后都是分为这个选择题、填空题、解答题。 对，我觉得这个演选题真的是他今年呃金宝时代团队做出了一个最好的改编，他这个演选题非常非常棒， 就是他能在你学完知识点的第一个，第一第一时间让你巩固一下这些知识点。而且他对概念的考察非常深刻，我觉得他们就是就跟他们团队做六六零。是，就是风格是一贯，就是他们六六零做的也是很考察那个概念吗？考察你对概念深刻的理解，所以我觉得英语真的是真的非常值得一做。

对于基础阶段藏东西这个问题啊，我们有些同学就是会觉得这个基础严选题可能会稍稍做不动吗？ 那么我们怎么解决呢？就是我个人是觉得啊，基础啊，基础阶段这个基础严选题呢，我们不要把它当做一个啊，这个训练的这种题型来做，我们就把它当成这个立体来做就行了。 因为，呃，就是因为吴老他这个教学特点，所以导致他基础阶段不会给你讲那么详细，那么有一些知识点呢，我们需要在严选题中来给他学习到 我们可以在做严选题的时候啊，通过一些啊，就把这个题不会的，因为基础严选题还是比较基础的。如果说你这道题不是因为计算错误，各种各样的错误犯错，而是因为你 不了解这个知识点，那么你完全就不需要去死扣它。你看到这个，看到这个题第一眼你都想不出来你学过这个知识点，但你不需要去死扣它，你直接 啊，对吧？你直接就是啊，看解析对吧？听讲解，把这道题背后的知识点弄懂了，那你知道这个知识点弄懂了，那你这道题自然自然而然就会做了，所以说，嗯，就是应对藏东西这一点，就是我觉得不要把这个延伸题当成这个训练题来做，你当成一个呃立体来做就行了。 然后我给大家推荐一位我自己在看的一个 b 这个严选题的讲解吧，就是 b 站上有位老师叫陈汉老师，然后他讲的这个严选题的也非常啊，他会给你补充很多知识点， 然后让你在听严选题的讲解的同时呢，也能够把背后的知识点啊。吴老可能没有提到知识点，给它全部弄清楚。

啊，兄弟们大家好，上一期视频发布后，好多兄弟问讲义怎么复盘？真题真刷怎么做？六六零什么阶段做这些问题呢？后面都会出视频解答，然后今天给大家带来分享一下这个五老的高等数学基础篇的使用指南。 古老的高等数学基础篇是他上基础阶段的上课教材，一共有十二张，每一张呢，都是考试内容概要加常考题型与典型例题组成的。第一个部分主要讲解这一张涉及到的知识点，每个知识点下面会有一到两道例题， 比方说啊，单调性，极有性，这里下面会有道例题讲解。然后第二部分呢，主要讲解例题解答方法技巧，注意点。 那么这里呢，就是啊，常考题型，他这里会有很多立体，比方说一道一种题型，他下面会有三道，四道，四道、五道这种立体。 然后学习流程呢，就是先听课建议呢，高等数学基础片的每一张听课要控制在两天以内，一天听考试内容概要，一天听典型立体讲解。 然后呢，每一张内容不一不一样多，比如第一张我我统计了有五个课时啊，两天你可能听不完，那么你花三天，如果有一张比较少，那你一天就可以听完，反正就是听课部分，我们要 尽量快一点，按照自己的节奏尽快听完。听完课后啊，我们要复盘讲义，因为我们听完啊，听课已经花了一两天了，我们需要及时的复习，再去做演选题啊。好多兄弟问怎么复盘，我是先把知识点看一遍，然后尽量记一些，再把再把这个例题的答案遮住了 啊，例题答案拿白纸遮住了，然后再自己再做一遍啊。因为很多兄弟包括我其实是不喜欢预习的，老师上课讲例题的话，你可能没有参与感，这个时候需要你复盘重新做一遍例题， 然后做完之后呢，把不会的例题看解析或者看课搞懂以后做个标记，然后在题旁边做个标记，这样方便我们后期二刷。就是当时不会的例题。 然后这就是啊我们听课所用的这个高等数学基础篇的使用指南啊，下一期给大家分享研选题怎么使用，怎么二刷。

比如说像这种，这就是计算题当中我们最容易出现问题的地方，你看这个地方来说，给出以下四个极限，其中极限不存在的个数，就这四个极限里边有几个是不存在的？ 好，当我们拿到以后呢，大家注意，你看一下啊， x 曲线一，关键是要看这个，这个出现了个意义无穷。 有同学就说异无穷不是无穷吗？我们说这是经典的错误，因为异的正无穷是无穷，异的负无穷是零，所以碰到异无穷一定要分左右。那么大家看，如果你这个 x 要趋向一，从大于一，这边趋向一， 那么大家注意这个 x 减一，从大于零的边取向零，所以这个 e 上面是正无穷， e 正无穷是无穷，下面无穷上面一，这个极限应该是零，但是如果这个 x 从小一的边取向一，这个时候 e 上面这个指数趋向负无穷， e 的 负无穷下面是零，上面一，那这就是无穷。 那么所以呢，这个极限显然是不存在。好，然后我们再看这个，那同学说，哎，老师， x 就 像零，这个里边就像无穷呢？那么阿克泰里无穷，这不是等于二分之派吗？所以这个存在，我们说这就是经典。错， 为什么？那么大家注意阿克贪婪 t， 那 么如果 x 切下于正无穷，这阿克的贪婪 t x 应该等于正的二分之一，但是呢，如果 x 要切下于负无穷呢？那么这个阿克贪婪 t x， 它等于负二分之一。 那么大家注意 x 趋向零的时候，这个 x 减三分之一，固然是趋向无穷，但是你要注意它到底是趋向正无穷还是负无穷。那个同学说，这个怎么确定呢？啊？大家注意，我们是不是有这样个结论， x 大 于零小于二分之 派。我们大家都知道，塞以 x 小 于 x， 小 于 x 小 于 x， 所以 大家注意，如果 x 从大于零的边趋向零， 那么这个时候呢？由于 x 大 于塞盈，所以这个呢？它这个分母应该从大于零的边取向零里边就取向于正无穷。阿克，他的正无穷就是正二分之一。但是大家可注意啊， x 减乘以是个奇函数， 那么在这一边的时候，它是正，那么如果 x 趋向小于零的边趋向零，它就趋向负无穷。阿克他的负无穷等于负二分之一， 所以他的右极限二分之一，左极限负二分之一，那左极限存在不下呢？所以这个是不存在，而不是等于二分之一。然后再来看这个，那么这个呢？ x 趋向零的时候，这个里边是趋向无穷， 那么二个函数，它的无穷是等于谁呢？关键是看里边是趋向零正还是零负，那么这个时候大家注意，我们有这个技能，就是 x 只要大于负一， 那这个时候我们有一个烙印的，一加 x 小 于 x， 而大于谁呀？一加 x 的 x， 这说明在零点的一个小领域里边，它始终是大于它。那么这样子， x 趋向零的时候，这个分母就是当 x 趋向零的时候，这个始终是从大于零点边去的。 那么既然它从大于零这边去向零，这里边就指向正无穷，那这个就等于谁，这个就等于二分之一，这个极限是存在的，那么这个呢？但是小于 x 趋向零，这个就叫无穷。那么对于后面这个阿克泰利题， x 趋向于零，正啊，大家注意，如果 x 趋向零正， 那么这是阿克泰利正无穷，它是正二分之一，那么如果 x 趋向零，从小与零这边去，它是负二分之一， 但是前面有个因子取向零，所以呢，不管你后面取向负二分之一，还是取向正二分之一，这个极限都应该等于谁零呢？那么所以这个是二分之一，这个是零，这个不存在，这个不存在，所以不存在的是几个，就两个，所以应该选 b 选项， 那么大家注意这些题目呢？你看吴老师，这都是吴老师今天编选编的题目，不是在别的书上能够抄一道题目，那么编这些题目呢，就是把我们考卷里边很喜欢考的 这个异无穷和阿克泰的无穷这两个极限，然后呢，通过这样的题目，能够希望大家能够理清楚这种题他的要害是什么，那么这种题不出错，就是把一些重要的考点作为一些典型的题目，把它串起来，省着大家把这些重要的考点掌握好，我们最后才可能得高分 好。那么关于这个演讲题目，就举了三个例子，大家可以体会一下，这里边有概念性的题目，也有方法性的题目，那方法性的题目里边，经常就把我们同学容易犯的一些经典的错误，把它贯穿在这个题目里面，所以我们这个题目是精心编制的题目，希望大家认认真真的去做啊。

加一个无穷小，这个做很多关于斜渐线的问题会来的更简洁，比如说二零一七年数学。二啊，那是这个，他说曲线这个的斜渐线方程，那么这种斜渐线我们刚才在前面还讲了一个方法啊，就直接看 看谁他能不能写成一个向量函数加无穷小。那么大家看这个 y 等于谁啊？能不能写成向量函数加无穷小啊？大家注意这个 x 乘一，哎，这个不是就是个一次函数吗？但是后面是谁啊？ 后面是 x 乘上阿克赛引 x 分 之二呀。那么大家注意，如果后面这个要去向零的话， 那他就是心减一些，但后面这个呢？极限等于谁啊？因为这个等加 x 分 之二，所以这个极限等于二呀，不等于零啊，那你说怎么办？那我说这就很简单了，你希望后面去向零，你给后面减个二， 你看这不是就曲线零了吗？但是你不能平白无故减二，你得减二，前面就得加二呀，这不就做完了吗？那这不就写成 x 加二，加上一个后面这个方括号不是曲线零吗？所以另外就知道 y 的 极限线就是 x 加二，那你说上了考场，这个是不是要比这个快很多？ 所以大家要注意，关于这个斜渐线，利用我们给大家总结的他能不能写成一个现象来说，加一个无穷小，这个做很多关于斜渐线的问题会来的更简洁。好，这是我们要看的第十三。

看完基础片的网课后，是先做严选题后，把书文后面的标注的六六零部分的题目做了就可以吗？拿六六零剩一部分强调的这么对，这个问题问的很好啊， 就是看完吴老师的这个基础篇这个课之后，注意不是说把一本书看完了，然后再做题，按章复习第一章内容，看完就做这个严选题的第一章的题， 然后呢，这个第二章看完就做第二章的题，完了以后再做六六零里边在这方标注的啊，第一章六六零他是希望你做什么，你可以去做那个相应的六六零， 然后完了以后呢？有同学就说，哎，六六零不是还有剩余的题吗？剩余的题就可以放在强化阶段来做啊，这就是这个老师帮大家做了一个选择，这样做就比较科学啊。

那么下面呢，我们来看，证明他是个无界函数啊，他没说范围，当然就定义域，他的定义域是谁啊？负无穷到正无穷， 你要证明他是无界，你现在知道什么叫做无界函数，那我们刚才回忆一下啊，什么叫无界函数啊？那就说对任意给定的 m 大 于零， 那么如果存在在电域里边存在那样子 x 零，手与谁啊？手与他的电域能够使得谁？ 使得这一点的函数值的绝对值比你事先给定那个 m 还要来的大，就是不管你 m 给的多么大，我在电域里边始终能够找到，至少找到一点，那点函数值绝对值比你还要大，那这个你就是无解的， 这就是无界的概念。那下面怎么证呢？我们做一个分析啊，你看这个赛盈，我们知道这是个有界函数，它呢最小是负一，最大是正一，它的取值是在负一和正一之间，但是前面这个 x 呢， 它可以取负无穷到正无穷之间的任何值，那就说这个呢，它是在负无穷到正一之间， 但是这个时候注意，如果后面这个等于一，前面这个绝对值要多大有多大？压一乘是不就绝对值可以任意答呀？ 这就是我们证明的思路，所以我们现在证明的思路就取存在，你可以说明存在，你可以找出。怎么说明存在啊？我给你找啊，那我找谁呢？我是不是应该找那样的点，使得这个等于谁啊？这个等于一， 而前面这个 x 绝对值要多大有多大。哎，那么塞盈要等于一，那我们知道哎，你看我找谁？二 n 派加二分之派，他怎么会想到这个呢？第一，塞盈的值始终等于一， 但是前面呢，这个是二 n 派加二分之派，这 n 是 正一正整数，那这个 n 可以 取 五百、五千、一万要多大，开有多大，但是把这个点带进去，大家看这个点上函数值等于它， 由于这个 n 是 任意正整数，你看这些点上函数值绝对值随着 n 增加，他要多大有多大，所以我们就知道了啊，这个时候被任意给定的 m 大 一点，你不管你给的多么大， 那我说只要我的 n 充分大，那我在这个点上的函数只等于它，因为 n 只要充分大，这个 n 是 可以趋向于正无穷的。 那这个时候呢？是不是就是你 m 给的再大，你就要给定，我这个都可以比你大，那这不是就说对，任意给定的 m 不 管你多么大，我在定义里边可以找到这样的点，使得这样点上的函数值的绝对值比你事先给定 m 还来得大， 从而就说明他是无界的。所以数学的这种证明题，那关键就是概念清楚，理论清楚，证明就是一件容易的事情。好。

啊，有很多兄弟说他严选题错了很多啊，然后我觉得这很正常吧，因为你看我把这个错的，我自己错的题都标在这个目录这里了，其实是就是错特别多，就是因为我做题我觉得 严命题吗？他是一个，我觉得严命题跟其实他是一算，是一个学习的过程，你不能不要把严命题看成一个就是你在训练的过程，因为，呃，高数基础篇你学完之后，其实你还是有一些知识点，你不懂的，你得在习题中去学习， 所以你把这个研试卷当成例题来做就行了，你不会做你就不会做，也不要死磕，不会做。你现在这个研试卷不会做，大概率就是因为你知识没掌握，你直接去听讲解、看解析就行了， 你把知识点掌握之后，你就是这些基础的题，你再回去看，基本上都能都能解决，所以说不用在这里死磕，就说，呃，就是不用一道题不会做就一直死磕，然后也不要特别焦虑吧，错很多很正常。你看我， 尤其是尤其是解答题吧，有的时候解答题就是错很多，然后计算错误，各种错误，对，然后还有兄弟问这个研试卷的电子版解析在哪里找？ 其实这个高等数学纪录片这个上面有个二维码，然后你微信扫一下，然后登录一下就有了，翻到最下面他就会有一个这个呃，电子版的解析。

像这个题就是二零一四年数一双，求下列曲线，就是下列曲线中有渐近线的， 那么有渐近线，那大家想给了一条曲线以后有有没有渐近线，我们得三个，都得看第一个水平的有没有，第二垂直的有没有啊？那么第三斜的有没有？ 那么大家想你这段话给了几个曲线？给了四条曲线，每一条曲线都看一下水平垂直斜有没有？这题得做多长时间 可以做出来，但是就很慢，那么所以呢，怎么会做的更快一点呢？哎，我们再来给大家总结一下，以后可以做的快。你看关于这个斜极限， 我们过去是不是要看两个极限，那么一个呢？啊？是要看谁啊？ x 趋向于无穷的时候啊，这个 y 除 x， 这个极限如果等于 a， 那么并且呢， x 趋向于无穷的时候，那谁呀？外减 a， x 这个极限等于 b， 那 么这两个就可以推出，它就有斜渐近线， y 等于 x 加 b， 那 注意，这三种渐近线确定起来最麻烦的就是第三种斜渐近线，有没有简单的方法呢？实际上我们说有简单的方法，你看斜渐近线怎么定义的呢？ 他是这样定义的啊，那就说这是一条曲线，那这是谁？ y 等于 f x， 那 么如果有一条直线， y 等于 a， x 加 b， 和这个曲线有这样的关系，什么关系呢？就是当曲线上的点 沿着这个曲线去向无穷远处的时候，取线上点到这个直线的距离去向零，那这个直线就叫做它的斜渐线。那么根据这个定义呢，实际上我们可以立马得到一个结论，那就说如果若 这个 y 等于 f x 能够写成谁啊？能够写成一个 a， x 加 b， 再加上一个谁啊？这个阿尔法的 x， 那 么其中这个阿尔法 x 呢？在 x 趋向无穷的时候，它趋向零，那么这个时候则 y 等于 a， x 加 b， 就是 它的斜减点。也就是说，如果你的 f x 能够写成这样一个一次多项式是上一个直线，那么加上一个谁啊？ x 去向无穷的时候的无穷小的话，这个直线就是你的斜减点线啊。 那有了这个以后呢，大家看这个题呢，做起来就方便的多了，为什么呢？那么大家有没有注意看这个，这个呢，就是一个现象函数，但是他后面这个，当 x 趋向于无穷的时候， x 就 像无穷，我们立马知道三 x 和这极限就等于零啊，所以我们立马就知道他应该有斜渐线， y 等于 x， 他 说有渐近线的，那剩下这四个里边就是只有一个有渐近线，我已经知道他有斜渐线，那这个答案肯定是他呀， 那这多方便啊，那这就快了很多很多。所以呢，我们在确定这个斜渐线的时候 以后，可以利用这个技能，如果你这个 f x 能写成一个向量函数加一个 x， 就 像无穷的时候无穷小，那这个向量函数就是它对应的那个斜减减线的方程，只有灵活使用方法，你才会速度快，正确理解。

那在这个历史上啊，人们一开始都想把这个做出来，但是大家都做不出来。再来看，虽然我们有了积分公式，也有了三大积分法，但并不是所有的积分我们都能做出来。那你比如说像这个 e x 方 d x， 哎，这个看的很简单，但我们做一下它等于谁？这个做半天做不出来。那在这个历史上啊，人们一开始都想把这个做出来，但是大家都做不出来。 为什么想做他呢？因为大家知道，在我们那个啊，概率里边，那这个积分非常重要啊，正态分布里边就想用到这个积分，这个要能做出来，那正态分布那地方就带来很多方便。但是历史上大家都做不出来。哎，是他没有原函数啊，不是啊，他背的函数是个连续函数，连续函数一定有原函数，那为什么做不出来呢？ 后来有人就想了啊，虽然他有元函数，但是我们为什么做不出来？因为我们做出来的，你看都是出的函数，就是用那些基本出的函数，经过加减乘除和复合表示出来的。他是有元函数，但是他的元函数会不会不是出的函数？ 那最后经过研究证明，他虽然有元函数，但是他的元函数不是出的函数，那就无法用我们熟悉的基本出的函数和加减乘除来表示他。 所以我们数学上就把这种积分叫做什么记不出的积分，就是说他不是没有元数，是有元函数，记不出是因为他的元函数不是出的函数。 那在这呢，要注意，在我们考研卷子边经常出现的几个记不出的积分，那一个呢，就是 e f x 平方，一个就是 x 分 之三 x， 还有一个谁啊？就是 x 分 之 cosine x。 那也有同学就问了，说考研卷子里边怎么会出现这个呢？他本来就记不出，他怎么会出现这个，哎，你可注意，你知道他记不出，你就得想别的方法呀，别的还有什么办法呢？哪里会出现这个问题呢？ 当然是在二重积分啊，计算每次积分的时候，他会出现这种题目啊，你出现以后，你一看他记不出你就得想别的办法，别的办法是什么？二重积分那个每次积分想别的办法就是交换次序啊， 但是你得认识他，记不出你不认识他，记不出你。在考场上很算这个东西，你三个小时算不出一道题，所以这个常见的一些记不出的积分，那么在这个状态要熟悉啊。那既然有这么多记不出，人们就想了，那什么样的积分一定能记得出来， 如果能记出来有没有一般方法，所以人们就把函数分类进行研究。那么教材上就介绍三类常见的能够记得出的积分，哪三类呢？ 第一类就叫有理函数，有理函数我们用二 x 来表示，二表示谁啊？这个二就表示是有理用算，就是加减乘除，也就说这个函数是由 x 经过有理用算得到的。那我知道有理函数的一般形式就是两个多项式的比。 那么关于有理函数积分，我们的结论是什么呢？我们的结论最后的结论就是所有有理函数积分都能做出来， 而且有一般方法。一般方法是什么？就是不分分式法，那就是我们大学老师教的那个，把分母线分解，因子分解到不能再分解，设出他那个待定的那个形式，叫做拆相积分。那我在大家都有印象，这个方法做起来很麻烦， 但是他是一般方法，我们应该会，但是呢，他呢，不是考察的重点，就这个一般方法，在我们考研卷子边考研已经考了三十多，近四十年，这个一般呢，考过几次就考过一次，这说明他不是我们考察的重点，但这个方法应该知道。 但是呢，有理函数积分我们经常见到，那一般用的什么方法呢？啊？实际上我们平时做有理函数积分用的更多的不是一般方法，而是特殊方法。什么是特殊方法呢？主要是两个，一个就是加项减项拆，实际上我们刚才前面题目里边已经多次用到这个，还有一个呢，就是凑为分降密。 所以这个地方呢，一般方法应该知道用的很少，做两道题应该知道原理，但是重点应该是后面这个特殊法，这是关于有理函数。

这个第七章学完大概听课花了听课加做题，然后一共花了一天吧？听课是听课是花了三个小时， 然后做题是大概是花了四个小时。这一张严选题的这个题量比较多啊， 但是他知道这一张呢，就是比较基础。就是。呃，不是说比较基础吧，就是难度不算那么大， 因为很多攻科的朋友应该大学里面都学过电路啊，自动控制或者信号系统这些这些。呃，这个微分方程这一张的话在这些科目中都有应用。然后这一张我，但是虽然简单吧，然后错的也不少。 嗯，大部分都是错的，大部分都是计算错误。对，这个后面还有二刷。

我们再来看高阶导数，首先我们来看这个问题，这是二零零七年这个数二数三的考题， y 等于它要求零点的 n 阶导数，我们在这呢给大家归类梳理一下，就是求高阶导数的一些方法。 那么第一个呢啊，我们在前面用过，就是如果能用公式，我们就直接用公式，那没有公式呢？那这地方呢，我们可以求用推导公式的思想，求一阶二阶，然后在这个题上归纳 这个 n 阶导数，这是常用的两种方法，还有什么呢啊？注意，还有就是求具体点，我们也可以用泰勒 啊，泰勒公式，这就是求高阶导数比较常用的三个方法。那么拿到题目以后呢啊，我们自然要，哎，那这个要求零点的 n 阶导数，这有 没有公式啊？这个 n 阶导数没有现成公式，那咋办呢？那能不能要求一阶二阶归类规律呢？ 这个当然可以啊，所以这个呢，我们解法一就是求一解二解归纳规律，但是如果说你这个东西直接求一解二解归纳，这个还不太方便， 所以你要归纳规律，要写成归纳起来比较方便的形式，它写成什么形式比较方便，然后就写成二 x 加三的负一次方， 这个为什么方便？因为你看它的一节导数，它是不是就等于负一倍的二 x 加三，这是负二次方，还有乘上二 x 加三对 x 导数，这乘个二。 有同学说，老师我还没看出规律，我再求一次啊，那就等于谁负一，前面乘上负二，然后这就是二 x 加三，这是负三次方，后面再乘二，那就是二平方。 你现在看规律是不就清楚了，那这个时候呢，它求 n 结导数，二结导数，这是负一乘负二， n 结导数是负一乘负二一直乘到负 n， n 跟负一就写成负一的 n 次方，一乘二乘到 n， 就是 n 的 结乘。那么这个地方呢，就是二 x 加三，二结导数负三次方，一结导数负二次方，这是不是就负的 n 加一次方， 二阶导数后面是二平方， n 阶导数就二的 n 次方，这是 n 阶导函数求出来。但是人家是要求 n 阶导函数在零点的值， 那就把 x 呢用零带进去啊，这地方是三的负 n 加一次方，三的负 n 加一次方，是不是就可以把它写到范围上来？三的 n 加一次方，那么上面剩下一个谁？剩下一个负一的 n 次方， n 的 结乘，然后再乘上是二的 n 次方。 做完了这个呢，就用的是方法二啊，因为这个没有现成公式，所以我们用的方法二。

大片，那最后得不到积分，在半径为二的球里边内接一个圆锥，要求这个圆锥体积最大，还是让你求这个最大体积， 这些人就是一个最大最小值得应用题，那么这种题呢，我们说第一步就是建立目标函数，那么怎么来建立目标函数呢？那就是引入一个变量，要把这个题目里面要求最大或者最小的这个量用一个函数表示出来， 那么大家看这个呢，是在半径为二的球里边，我们在这画一个平面图，来，我们画一个平面图，我们来看一下啊，假如说这个内接的圆锥是这样一个 啊，一个圆锥，那这个时候呢要注意这个呢？假如说是球心啊，那么在这呢画一个这个高啊，那这个呢应该是二，我们现在呢是要求内接这个圆锥的体积最大， 那么现在呢，我们就是要把这个体积 v 呢用一个某个变量的函数表示出来，那我现在就要引入变量，引入谁呢？我们知道这个锥的体积是不等于三分之派， 底面圆半径的平方乘上高度 h， 那 么现在引入谁呢？哎，我们一个第一个想法就是引入谁啊，这个锥的底面圆的半径，如果把这个记作一个 x， 那么大家看你这个锥的体积也好表示啊，这个 v 等于谁？ v 等于三分之派 x 平方，这是底面圆半径平方再乘谁要乘上这地方的高度， 但这个高度等于谁，就等于上面这个半径，再加这一段，它这段等于谁？那么这段根据直角三角形的勾股定律，所以它应该等于谁？你看这是上面的半径，再加上这段，这段等于谁？ 根号放到这个直角三角形里边，二方减 x 方再开方，这个是刚好表示的是这段，这段加上上面这段刚好是高，好了，这体积就表示出来了， 那表示出来以后再下来呢？那就是求这个函数的最大值，这就是叫建立目标函数，建立好以后求最大值，这个大家都知道，求导数找住点做判定， 但是这个时候你可注意看，这有 x， 这还有 x， 你 想想这个呢，你要求导数找住点，这个本身导数就比较复杂，你要解住点，解完还得判定，那么这样子呢，就用算量比较大，就很容易出错， 所以这个时候就要特别注意了。有的同学上了考场，这一写出来就闷着头求导数找住点做判定， 结果由于这个目标函数比较复杂，所以用向量就比较大，可能一开始就哪里就算错了，写了一大片，那最后得不到几分， 那么所以碰到这种目标函数建立好，你发现再往下做比较麻烦的时候，这个时候不妨考虑一下有没有更好的目标函数，就是能不能把体积表示的更简单，因为这个目标函数不是唯一的， 那么体积等于谁啊？三分之二派底面圆半径乘高。哎，那么引入高作为他的这个变量呢？ 把这个记做 h， 那 么这个时候呢，大家注意，你看目标函数 v 就是 谁啊，它就应该等于三分之派 h 乘上底面圆半径的平方， 这个的平方等于谁？这个平方是不在这个直角三角形里边，应该等于二的斜边的平方，减去谁减去，注意这一段的平方，但是这一段等于谁呢？这段不是就等于 h 减去二吗？ 啊？那所以你这个底面圆半径的平方就等于二方减去 h 减二的方， 那么这个时候呢？大家看这个写出来是谁？三分之派 h， 对， 这是两数平方差等于两数，和这一和又是个 h 乘上两数的差，那么它减去这个东西，实际上后面就是二二减去一个谁啊？减去一个 h， 那么这个呢？你看这个目标函数就比刚才简单多，这是三分之派，我们把它乘进去，那这就是二二的 h 平方减 h 的 三方， 你注意这是个多项式函数，那所以这个时候你看 d v d h 这个倒数比原来这个简单多了，因为这个求的话是三分之派，那么这个地方就是四二的 h 减去三 h 的 平方， 那这个呢？当然可以往外提一个 h 就是 三分之派，然后 h， 那 么这里边呢？就是四二减谁呀？减这个三 h， 那 这个等于零，那我们就得到谁呀？这个 h 就 等于三分之四的二， h 肯定应该是大于零的，那好了，那么这个我们就得到这个呢，就是他唯一可能取得基值点，并且从这个地方可以看出，你看 h 是 在这 h 要比他小，倒数为正， h 要比他大，倒数为负，那么倒数为正变负，那这个就是增到减，这一点肯定是极大， 但是又是唯一可能取得几值点，那所以这个地方一定是取得最大值，那么最后呢，可以把它带进去，这个最大值带进去算一下，最后我们可以得到这个最大值是八十一分之三十二派二的地方， 那么举这个例子呢，主要是想强调就是对这种最大最小值的应用问题，那么第一步呢，就建立这个目标函数，这步很重要，就是当你把这个目标函数建立好以后，你先要看一下这个坐下去方便不方便。 你比如说像这个目标函数，你一看求导数，找住点不方便，就不要急于蒙着头去往下做，这个时候就得想一想有没有更好的目标函数。 那你想想这个题如果上了考场，有个同学就按这个蒙着头做下去，结果可能就写了一大片，错了一大片，最后得不了几分。但是呢，如果另外一个同学他换了这个目标函数，人家可能写了这样三五行，人家可能就得满分。 这就是我们所强调的就是最大最小值的应用题。这是个第一步，目标函数写好以后，如果你觉得用算比较简单，就算下去，如果不简单，像这个地方你就不要闷头算下去，在这想想有没有更简单的目标函数，您可在这多花点时间，不要把大把的时间都花在那种繁琐的用 算上，这就是做最大最小值应用题最应该值得注意的地方。好，这是我们要看的例八。

这是用定义来判定可导性，这是重点，这也是难点。我们再来看，比如说像这种问题，在下列函数中啊，在零点不可导的是 就这四个函数，谁在零点不可导，那么大家注意，他们都带有绝对值，要看他的零点可导不可导，那一般都应该使用定义啊。 那么在这呢，我们几个方法都用一下啊，因为是选择题，我们用直接法、排除法，首先我们用直接法，那位同学说，那直接法你怎么看出哪一个一定是在零点不可倒呢？ 但是这个有一个分析过程啊，就是我们一开始呢，一般应该从第一个往后面看，但实际上呢，这个地方大家注意啊，我们说这个， 那些同学说，你怎么知道这个呢？你看按照这个导数的定义，它在零点按导数定义写，是不是应该是这个极限就是 x 去向零，然后呢， f 减 f 零， f 是 谁？ f 是 cosine， 正好 x 绝对值减 f 零， f 零是 cosine， cosine 等于一啊，然后除以谁 x。 那么这个时候我们要熟悉这个键呢，就是 x 去向零的时候，我们知道一减 cosine， x 等于谁？二分之一 x 平方，那么所以这个分子应该等于谁？它是减一，它就等价于 这个负的二分之一，谁根号 x 绝对值的平方，这下除以 x， 那 这个应该等于谁？负的二分之一？ x 趋向于零，下面是 x， 上面是谁？根号 x 绝对值平方，就是 x 绝对值。事实上我们知道这个极限应该是不存在的，为什么？因为它这个极限应该 x 如果趋向零，从大于零的边去里边是正一，那这就是负二分之一， 这样就是诱导数，如果 x 呢？从小于零的边去向零，那这个是负一，那这个就是二分之一，那这说明这个函数在零点左右倒数存在的不相等，当然零点不可倒啊，这是直接说明这个啊是不可倒。

如果你从今天开始考研数学的学习，并且高数基础跟的是武忠祥老师，参考我这样的调整可以助你更上一层楼。那么首先如果你的基础延缓期正确率高于百分之六十，那么后续的规划主要根据你有没有做六六零。如果你基础阶段已经开始做六六零了，而且正确率不错的话，我推荐你直接开武忠祥强化，开二六的课， 那么开五中央强化之后，直接做八八零的基础和综合，八八零可以先刷综合基础留到学现代的时候刷。如果你的八八零综合刷不动，你可以先刷基础，然后学现代的时候再刷八八零综合高速过完开现代记得一定要复盘高速阶段的错题和讲义。 然后开现代的时候分为两条线，一边高入复习，一边现代学习。高入复习主要是复盘奖励加刷八八零的剩余部分。八八零刷完之后呢，你可以买一本一千题刷，或者完成六六零的剩余部分。那么现代学习可以参考主页的现代满分攻略，也就是主页置顶第一个。 如果你基础阶段没有刷六六零，我建议你直接开现代基础高速复习，就是复习讲义加刷六六零。然后现在学习的话，跟刚才一样，现在学完之后再开五中强的高速强化，直接刷八八零，同时复盘八八零的现代错题。如果八八零现在复盘完了，可以买一本一千题刷一下一千题的现代部分。 然后就是两个同样的后续调整。高数现代全部学完之后呢，初二就完成八八零以及一千题剩余部分后再开真题，数一数三就是一边学概论，一边完成高数现代八八零和一千题的剩余部分。你按照这个规划走的话，你的目标给我定在一百三以上。当然习迪策的正确率仅供参考， 如果你的习迪策正确率低于百分之六十，我建议你直接开高数强化技术，学完之后直接跟吴老强化刷八八零， 后续学习以做图八八零为第一目标。高速强化学完开现代，然后也是分为两条线，高速复习线，复盘讲义加八八零，错题后刷六六零。现在学习线就是选择老师听课加做题，如果你的人选题正确率远低于百分之五十，建 议你先做基础七百题，后续学习的规划可以参考我后面要出的视频。然后就是两条路线的参考时间，仅供参考。下一期视频咱们讲一下如果你基础比较差，该怎么样尽可能的去调整。

证明积分中值定律，如果小 f 在 a b 上连续，则 a 到 b， f 减 x 等于 f， 可 c 乘上 b 减 a。 哎，有同学说，这积分中值定律我们已经证明过了， 在前面，但是你注意，这个跟我们过去的结论有区别。哪里有区别？就这啊，你看，过去我们前面性质里边正的这个可 c 是 谁啊？是一个 b 区间啊，是 a 到 b， 现在呢？让你证明可 c 是 开区间，这个结论照样对。换句话说，只要小 f 连续在开区间，一定有个可 c， 能够知道这个式的成立，这这个结论比过去结论强了。 那为什么要证这个呢？因为我们有很多题目用这个结论比你过去这个结论用起来更方便，所以我们在这证明一下。这个结论如何证呢？好，那你注意，小 f 在 这个区间上连续， 那我们知道连续函数一定有圆函数，并且有牛顿的公式，所以呢，你看，因为它连续，它一定有圆函数，所以一定有那么个大 f， 它呢？导数就等于小 f， 这是我们刚才那个变函数定律告诉我们的。这个呢，根据牛顿的公式，那你左边等于谁？那就等于这个圆函数大 f 在 上限的值减去谁啊？下限的值 f b 加大 f 的 a。 好，哎，这个根据我们拉根号的定义，大 f b 减大 f a， 它又等于谁？就等于大 f 一 撇的可 c 乘上谁啊？ b 减 a， 但是大 f 导数等于小 f， 那 大 f 一 撇可 c 就 等于谁，就等于小 f， 可 c 乘上谁啊？ b 减 a， 哎，大家看，左边就是我们的左边，右边不是，就是我们要占的右边，在这个地方要注意，这可 c， b 是 开局键， 那你这个可 c 值在这用了谁？拉格朗日定律，那么拉格朗日定律你回去看为分中值定律，那个可 c 点都是谁啊？开区间，所以我们就证明了这个结论。实际上呢，我们回忆一下，证明这个结论的关键 就是两步，一个呢，就这一步，用了谁？用了牛顿来的公式，把这个定积分的值转化为元函数，在两点函数值的差。 这一步呢，用了微分终止定力，拉格尔终止定力，把两点函数值的差写成中间一点倒数乘上 b 减 a， 这个问题就证明了。好，那我们今天呢，这个核心内容就这么多。