6年级下册数学的圆柱体体积怎么求

现在大家已经学到了第三单元，关于圆柱体和圆锥这一块，很多孩子对这一块不是很理解，那么今天王老师就用实物来给大家做演示，圆柱体它是由三个面组成的， 分别是由上下两个完全相同的，底面是圆，侧面是一个弯曲的面。我呢现在把这个圆柱体沿高给它剪开，展开之后大家来观察它就是一个长方形，当然还可能是正方形。通过观察我们发现 长方形的这个长刚好是圆柱体底面圆的周长，长方形的宽刚好是圆柱体的高。那么这样我们求圆柱体的侧面积公式立马就出来了，就等于底面圆的周长 乘高，所以 s 侧就等于 c h 啊，等于派 d h 等于二派二 h， 这是关于它的侧面积啊，包括他们的表面积。 那么接下来王老师啊来演示我们如何把这个圆柱体给它转化成长方形，通过长方形的体积进而推到圆柱的体积，那么现在大家看到的是圆柱。接下来王老师来给大家做演示， 大家来观察，刚才是一个圆柱体，现在我把这个圆柱体转化成了我们以前学过的长方体，转化前后，圆柱体的底面积就变成了长方形的底面积，圆柱体的高就变成了长方形的高， 所以根据体积不变，那么我们得到了圆柱体的体积也等于底面积乘高。大家发现啊，通过演示，你说一万遍，不如让孩子演示这一遍，效果可能将记一辈子。

思维题不可怕，学方法，咱们变学霸！黑板上的这道题难住了太多的英雄好汉，各位，你们有没有思路啊？一起来走进这道思维题。有一根圆柱体的木料， 如果将它平行于底面，结成两段，咔，表面就会增加二十五点一二平方厘米。如果沿底面直径竖直的给它切成两部分，多出了两个长方形的面， 表面就会增加四十八平方厘米。问，原来这根木料的体积是多少立方厘米？ 我们知道圆柱体的体积等于底面积乘高，所以我要想求出它的体积，我得根据第一个求出它的底面积，根据第二个求出圆柱体的高， 然后再代入圆柱体的体积公式，从而求出它的体积。思路有了，各位，首先我们知道一刀下去以后，大家想一想，我多出了两个底面，那这两个底面就是圆柱体的底面积， 所以圆柱体的底面积我直接写在这里，是两个二十五点一二，因为增加的这个表面积就是两个底面的面积，所以圆柱体的一个底面的面积，那就是二十五点一二除以二，那求出来结果是十二点五六 平方厘米。第一问，轻松的解决，那我，我们已经求出了圆柱体的底面积，那么同学们想，我要想求出圆柱体的高， 那在这个图形里边，我们是沿着直径给它竖直切开，那么增加的是两个面，各位，增加的是两个面，对不对啊？两个长方形的面啊，而且是相等的，那我能求出一个面的面积， 那么一个面的面积。知道了，要想求高，还得求出圆柱体的底面圆的直径，直径怎么求啊？已经知道圆柱体的底面的面积，我是不是就能求出圆柱体的底面的半径？那半径求出来了，直径不就求出来了吗？所以根据 s 等于 pi r 的 平方，那么这个 r 的 平方我是不是就可以求出来？用面积 s 除以 pi， 也就是十二点五六除以三点一四，那底面圆的半径的平方呢？就是四，那半径的平方是四，那么这个半径我写一下啊， 半径呢？就是二二的字母，对不对啊？二厘米，那半径是二厘米，那这个直径我也就能求出来了，直径等于半径的二倍啊，所以就是二乘二为四厘米，那这个直径我知道了，各位， 直径是四厘米啊，那因为我这样沿直径这样切下去以后，沿高这样切下去以后，那么多出来是两个长方形的面，两个长方形的面是四十八平方厘米，那一个长方形的面，那不就是四十八除以二吗？那这个长方形的面积我求出来了， 那么这个长方形的宽呢？是底面圆的直径，那么这个长方形的来长就是圆柱体的高，那么我是不是就能求出来？那用一个面的面积除以宽就是长，长就是长方形的高，所以圆柱体的高呢？ 求出来是六厘米，那圆柱体的高知道了，底面积也知道了，那它的体积 v 啊，就等于 s h 直接代入数据为，十二点五六乘六，十二点五六是四派，四派乘六是二十四派，二十四派我们背过是七十五点 三六立方厘米。那对王老师所讲的这样的一道思维题有难度啊，你学会了没有？关注王老师，让数学变得更简单！

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

六年级今天我们来学圆柱的体积拓展。一、第一题，一个圆柱的体积是一百点四八立方分米， 高是八分米，它的底面积是多少平方分米？圆柱的体机会等于底面积乘高。 现在知道体积，知道高，要求底面积，我们就可以用体积一百点四八除以高八 求出来，等于十二点五六平方分米，所以它的底面积是十二点五六平方分米。第二题，一个圆柱形水桶的容积是四十升， 水桶的底面积是六平方分密，装了四分之三桶水，水面高几分密？ 首先这个水桶它的容积是四十升，也就是装满水可以装满四十升，但现在只装了四分之三桶水，所以水的容积先求出来。 四十的四分之三，我们用四十乘四分之三等于三十升，那水的体积是三十升， 那水的体机会等于水桶的底面积乘高。那现在单位不一致，我们先换算单位一升等于一立方分米，三十升，那就等于三十立方分米。 单位换算完以后，水的体积知道底面积知道那高，我们就可以用体积除以底面积求出来。高是五分米， 所以水面高就是五分米。第三题，有两个底面积相等的圆柱，一个圆柱的高是六厘米，体积是十八点八四立方厘米，另一个圆柱的高是十厘米， 体积是多少？那既然底面积相等，所以我们先把这个圆柱的底面积求出来。 圆柱的底面积会等于体积除以高，那就用十八点八四除以六求出来。是三点一四平方厘米，那底面积求出来。再看另一个圆柱， 它的底面积是三点一四平方厘米，高是十厘米，那体积就会等于底面积乘高 求出来是三十一点四立方厘米，所以体积就是三十一点四立方厘米。

好，六年级下册求图形的表面积和体积是常考的题型，有很多同学给你一个单独的圆柱或者是圆追求体机会啊，或者是求圆柱的表面积，会，但是如果组合起来就不会了。那我们今天来看这么一道题哈，他说求下列图形的表面积和体积啊， 既让你求表面积，也让你求体积，那我们依次来看哈表面。好，我们先来观察一下这一幅图形，下面一个圆柱，下面一个圆柱，对不对？也就说上面这个小的圆柱是放到呃，这个圆柱的上面了，对不对？上面这个面上，然后告诉你，大的圆柱直径是八，高是六，小的圆柱 直径是四，高是五，让你求它的表面积。我们知道圆柱表面积怎么求呀？应该用侧面积加上下两个底面的面积，对不对？我们一起来求哈，我们先求下面这个大的 侧面积公式，底面周长乘高，底面周长告诉你直径，所以说我们用派底，三点一，四乘八乘六， 这是测面积，再加上下两个底面的面积，三点一，四乘半径是四，对不对？ 然后，好，这是一个面，然后两个面还得乘二，这是下面这个圆柱的表面积，对不对？然后我们再求上面这个圆柱的表面积，你看他俩贴在一起之后，下面这个，嗯，底面是不是不用求？然后上面这个圆，上面这个圆的这个面积正好和下面这个大圆柱的 上面这个面抵消了，对不对？所以说上面这个圆柱我们只需要求侧面积就可以哈，好，我们求上面圆柱的侧面积哈。 派地，同样是派地，三点一，四乘四乘五，好，这就是整个的表面积的，某们注意哈，千万不要算错数，所以说我们一定要仔细哈，就是三点一，四乘六八，四十八，对不对？ 一四乘四十八，加上三点一四乘八十二十四四四十六十六乘二是三十二，加上三点一，四乘二十，然后我们依次来计算一下，一百五十点七二加上一百点四八，加上 六十二点八，最后求出来应该是三百一十四，表面积单位应该是平方厘米，好，这是表面积，求出来之后我们再求体积，那体积就很好求了，对不对？体积直接用底面积乘高，大的圆柱的底面积乘高，小的圆柱的底面积乘高相加，是不就可以了？来看体积看， 所以他就是三点一四乘八除以二的平方，这底面积乘高，然后上面那个圆柱也是底面积乘高 乘五，对，对不对？好，他求出来应该是三点一，四乘四，四十六乘六，加上三点一，四乘二十，最后我应该是三百六十四点二四，体积应该是立方厘米，好，这这个题。

来看六下的一道考试的重点题型，一个密闭容器，如图，它的下面是圆柱，上面是一个圆锥， 圆柱的高是十厘米，里面直径啊是十厘米，圆锥的高是六厘米，容器内的页面高啊是七厘米。 将这个容器倒放时，从圆锥的尖端到页面的高是多少厘米？这个题出的太好了，那接下来我们把这个一个圆柱和这个圆锥，当然他们是同底，我给他倒过来， 倒过来以后，同学们发现这个圆柱体， 我简单的画一画，当然我画的不是很标准啊，那么同学们来观察这个圆倒过来以后，这里的这个圆锥，这个页面肯定是这个圆锥啊，就灌满了，然后呢，上面 上面还有一部分有页面，那让我们求的是这一段页面的高到底是多少？ 因为他们是等底的对不对？底是一样的，那这段的高大家看啊，这段的高是不是六厘米？那我只要求出这段的高，我把这两段高加在一起，就是页面的高度是多少， 我们正放的时候，因为他们是等底的，对不对？那么页面的高度是七厘米，我倒过来以后，这个页面的高度要变高，为什么会变高呢？因为外满这一部分的体积，这个高是六厘米的，这个圆锥体的体积和圆柱体的高为 二厘米的，这一部分的高度的体积是相等的，为什么呢？因为他们是等底，圆柱体的体积等于什么呢？等于底面积乘高，那就等于啊，圆锥体，因为他们是等底吗？对不对？圆锥体的体积是三分之一的，底面积乘高 底面积是一样的，所以这个圆柱体的高就等于三分之一，是不是乘六，所以在圆柱体里边，这段高呢？就是不是相当于是二厘米啊？那么同学们想，这一段是二厘米，正着放的时候，总共页面高呢是七厘米，所以上面这部分，这一部分是不是相当于这部分啊？ 这部分的体积，哎，这部分体积是二厘米，那上面这部分体积是不是就是五厘米？这个五厘米再加上这个圆锥体的这部分高是六厘米，所以叶面的高就是十一厘米。 学会了吗？来书写一下具体的思路啊。具体的思路，六乘三分之一，六乘三分之一，这段的体积和这段体积是一样的，这段的体积相当于正面放的时候，圆柱体的体积 为这段二厘米的啊，所以这段是二厘米，那这段是二厘米，那么总共正面放的时候是七厘米，这段是二厘米的液体的体积，那这段还剩 七减二，还剩五厘米啊，所以这段是五厘米，那这段五厘米，再加上圆锥体的这段高是六厘米，所以页面的高其实就是五加六，为十一厘米。 那对于王老师所讲的这道思维题，你们学会了没有啊？关注王老师，让数学变得 so easy！

六年级今天我们来学圆柱的体积拓展。二，如图，把四个高相等，底面半径都是十厘米的小圆柱叠放在一起，组成一个大圆柱。如果拿走一个小圆柱， 表面积就减少三百一十四平方厘米，那么这个大圆柱的体积是多少？要求大圆柱的体积， 我们就要求这个大圆柱它的底面积和高，那底面半径知道十厘米，那底面积我们就可以求用三点四乘半径的平方 等于三百一十四平方厘米，底面积知道。接下来考虑高的问题。这四个是高相等，底面半径都是十厘米的小圆柱，说明四个小圆柱大小是一样的。 好，现在如果说把这个大圆柱呢，拿走一个小圆柱，那表面积就减少三百一十四平方厘米。假如说把上面这一个拿走， 那表面积减少的部分其实就是这个小圆柱的侧面积，因为上顶面 拿走以后，跑到下面这个位置上来这个位置，所以这时候减少部分就是他的侧面积，那这个侧面积就是三百一十四平方厘米，侧面积 会等于底面周长乘高，那底面周长我们先求二乘三点四乘十求出来是六十二点八厘米，底面周长求出来六十二点八厘米，那么 侧面积知道，底面周长知道那高呢？就可以求用三百一十四除以六十二点八 求出来，高是五厘米，一个圆柱的高是五厘米，那么一个圆柱它的底面积是三百一十四平方厘米，那一个圆柱的体积我们就可以用底面积乘高， 求出来是一个圆柱的体积，那这里有这样的四个，所以我们再乘四 求出来，最终是六千二百八十立方厘米，所以这个大圆柱的体积是六千二百八十立方厘米。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱的最后一个立体。例七，计算不规则物体的体积，那如果这个容器它不是圆柱，它是一个不规则物体，我们又该如何求它的体积呢？来看例七， 一个底面内直径是八厘米的瓶子里，水的高度是七厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平。 无水部分是圆柱形，高度是十八厘米，求这个瓶子的容积是多少？这个瓶子它是一个不规则物体，它的容积能直接计算吗？ 不能直接计算它的容积，那我们能不能把它转化成圆柱进行计算呢？首先我们来看一下瓶子的容积，它包括几部分， 一部分是有水部分的体积，一部分是无水部分的体积。无水部分是个不规则形状， 不能直接求。那我们通过瓶子的倒置把它转化成规则图形，这样瓶子里的水倒置以后，水的体积并没有变化。水的体积加上十八厘米高圆柱的体积是不是瓶子的容积？ 那接下来咱们一起来演示一下。下边是油水部分的体积，它是个圆柱，底面积乘高，可以求上面是个不规则物体怎么办？来我们给他把容器倒置， 这样把不规则的无水部分是不是就转化成了规则图形圆柱，所以瓶子的容积就等于油水部分圆柱的体积加上 无水部分圆柱的体积，那油水部分怎么求呢？底面积乘高，无水部分也是底面积乘高，题中给的是底面直径，直径除以二是半径， pi r 的 平方求的底面积 乘油水的高度就是油水部分圆柱的体积，再用 pi r 的 平方底面积 乘无水部分圆柱的高度，那就等于无水部分的体积，因为他们都有相同的底面积。利用乘法分配率三点一四乘十六乘七加十八的和最后结果等于一千二百五十六立方厘米， 结果问的是毫升，因为一立方厘米等于一毫升，所以等于一千二百五十六毫升。那除了这种把它转化成有水部分的圆柱和无水部分两个圆柱的体积， 你还有别的方法吗？瓶子的容积一部分是有水部分的圆柱，另一部分是无水部分，把它也转化成了规则的圆柱， 如果可以平移，我们把这两个圆柱平移在一起，这样是不是就组成了一个高是七加十八等于二十五厘米的 新圆柱的体积？那我们第二种方法就可以直接求出这个新圆柱的体积就可以了， 它的底面积就是 pi r 的 平方，那么它的高度就是有水部分加无水部分总的高度 就是新圆柱的体积。底面积乘高等于一千二百五十六立方厘米，等于一千二百五十六毫升，这种方法是不是更简单？ 好了，孩子们来回顾反思一下我们今天学习的内容，利用的是体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来进行计算体积。 其实呢，这样的方法我们并不陌生，在五年级的时候，我们计算土豆的体积时，是不是也用了这种转化的方法？好了，根据上面这道题的经验，我们来小试牛刀，看这道题， 一个饮料瓶内直径是六厘米，里面水的高度是十厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是九厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！ 通过刚才的学习，我们知道瓶子的容积一部分是油水部分圆柱的体积加上无水部分，它是不规则图形，我们通过瓶子倒置转化成了规则的圆柱体， 所以瓶子的容积就包括油水部分的圆柱加上无水部分的圆柱组成的新圆柱的体积。 所以我们先求出新圆柱的高度，十厘米加九厘米等于十九厘米，再用底面积派 r 的 平方乘新圆柱的高度，就等于瓶子的容积五百三十六点九四立方厘米。最后结果问的毫升一立方厘米等于一毫升，所以等于五百三十六点九四毫升。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先我们知道了求不规则物体的体积或者容积，我们利用转化的方法，把不规则物体转化成规则物体，在转化的过程当中 体积不变，并且我们得到了求瓶子容积的模型，把瓶子的容积转化成有水部分和无水部分新圆柱的体积。 心圆柱的高就是有水部分的高度加无水部分圆柱的高度，它的底面积就是这个容器的底面积，所以用底面积乘高就等于心圆柱的体积，也就是瓶子的容积。如果这节课你觉得学的还不错，给自己点个赞吧！

三十秒动画让你领悟圆柱圆锥倒置转换问题，此类问题重点抓住水的体积不变，圆柱和圆锥的底面积相等。先看第一想象，我们有魔法可以控制水静止不动。切开， 先让圆柱里的水下落体积不变，剩下高十八厘米是圆锥里的水。先来从公式理解一下圆锥与圆柱之间转换的关系。转化过程，体积不变，所以相等，别忘了这里的底面积也相等，所以柱体的高等于三分之一，锥体的高。 回到题目，这个锥体的水下落体积不变，转换成柱体，其高就是锥体的三分之一，等于六厘米， so easy！ 再看例二，倒立过来水不动，这里是柱体转化为锥体，那就先把锥体填满水。已知锥体的高度是十五厘米， 那他就只能装柱体里五厘米高的水，柱体还剩七厘米的水，下落填满高度还是七厘米，最后就是十五加七等于二十二厘米了，是不是 so easy 呢？

六年级今天我们来学圆柱的体积拓展三，如图，一个圆柱形物体的底面直径是八分米，被斜截后，最低处高十分米，最高处高十五分米。 被截后的物体体积是多少立方分米？首先我们看被截后的这个物体，它是一个不规则的立体图形，没法直接求它的体积，那这时候我们可以用假设法， 假设被斜截去的这一部分，它与剩下部分是完全相同的，那现在我们就在这个立体图形上补充一个与它完全相同的图形， 拼成一个底面直径是八分米，高是十五加十分米的圆柱， 再去求这个圆柱的体积，然后再求出它的一半，那就是被截后的这个物体的体积。底面直径 八分米，那半径我们就可以用八除以二进行计算，等于四分米，半径是四分米，那底面积我们就用三点四乘半径的平方， 再乘高就是体积，那高就是十五加十的和这个是高，那求出来是圆柱的体积，那再除以二，那就是 其中的一半，也就是被解后的物体的体积。三点四乘四的平方，也就三点四乘十六等于五。十点二四乘二十五，再除以二 五十点二四乘二十五，等于一千二百五十六，再除以二，最终会等于六百二十八立方分米，所以被结厚的物体体积是六百二十八立方分米。

今天讲圆柱圆锥的关系，如图，一个圆锥，两个圆柱，先求体积，再你发现什么？圆柱圆锥的体积公式， 圆柱等于底面积乘高，圆柱等于三分之一，底面积乘高。因此我们来求已知，一号图形底面积三十，高是六，所以它的体积 三分之一乘三十乘六，结果等于六十立方厘米。 二号图形圆柱底面积十，高六，所以他的体积底面积乘高等于六十立方厘米。三号图形，圆柱底面积三十高多少？ 哎，从这里到这里是六，那么这个三等份中间的一等份，这里就应该是多少啊，所以他的体积底面积三十乘高多少？结果呢？六十立方厘米 算完了以后，我们发现什么？三个图形的体积相等，所以这是体积相等的圆锥和圆锥。我们先看一号和二号图形， 他俩，你发现什么？他俩的高度都是多少？六，所以一二号图形高相等， 体积也相等，那就看它的底面积了。它的底面积是三十，它的底面积是十，所以它的底面积存在倍数关系，化成最简比，就是三十比十，结果等于三比 一，那也就是圆锥的底面积是圆柱底面积的三倍。因此我们得到结论， 体积相等的圆锥和圆柱若高相等，圆锥的底面积是圆柱底面积的三倍，也就是三比一。 注意，我们这一句话里面，圆锥在前，所以三在前，三比一就是圆锥与圆柱的底面积之比。好，接着我们再来看一号图形和三号图形 来，为了方便比较，我们给它拉过来，我们还是按这个顺序啊， 这是一号图形，这是三号图形，哎，它们体积也相等，都是六十，现在你发现什么？它们的底面积相等。 这两图形底面积相等，体积相等。那我们来看他的高，他的高是多少？六，他的高。是啊，所以他们的高之比，那就是六比二，结果等于三比一， 所以体积相等，底面积也相等，圆锥的高是圆柱高的三倍。因此我们得到，若底面积相等，高之比是三比一，也是三为 c， 三为圆锥， 第一为圆锥。从这个结论，我们发现什么？体积相等的情况下， 高相等也好，底面积相等也好，其中一个条件相等，另外一个条件一定是圆锥是三份，圆柱是一份， 你明白吗？

黑板上的这样的题是考试当中的思维题、重点题。在数学实践课上，匆匆用一张长方形的纸板，按如图方式剪下图色部分，这都属于图色部分啊， 刚好做成了一个带盖的圆柱形的盒子，这个盒子的表面积和体积各是多少？接头处忽略不计，那题目中只告诉了我们这一个数据， 就让我们求它的表面积和体积。好多同学说，王老师这个题给的数据不充足，其实各位这一个数据就够了。我们来观察， 这个呢是圆柱体的高，这个呢是圆柱体的底面，圆的周长，那这个是圆柱体的上下两个底面，那么同学们来观察，那这段是不是刚好是这个圆的直径， 那这个圆的直径再加上圆柱体面圆的周长是不是等于二十四点八四？那圆柱体的底面周长，我们知道就等于派地，也就是派地加地是不是等于二十四点八四？ 那么这个 d 我是 不就能求出来，因为这个派 d 加 d 等于二十四点八四， 那这个派取三点一四，没有特殊情况。那么三点一四再加一括起来乘 d 等于二十四点八四，那这个 d 我 是不是就能求出来？那就是二十四点八四除以括号里的三点一四再加一， 三点一四再加一，那三点一四加一是四点一四，二十四点八四除以四点一四求出来，结果刚好等于六 厘米，那圆柱体的底面圆的直径是六厘米，那这个圆柱体的高，各位这个高是不是刚好有两条直径， 所以圆柱体的高。这个 h 啊，那就等于六乘二为十二厘米，那 d 知道了， h 也知道了，那它的表面积和体积是不都能求了？那圆柱体的表面积 s 表公式来派 d 乘括号里的 h 加二分之 d 来代入数据啊，那就是三点一次乘六乘括号里的 h 是 十二加 二分之 d， d 是 六，六除以二是三，那十二加三十五，十五乘六是九，十九派是二十八点二六，那九十派就是 二百八十二点六平方厘米，这是圆柱体的表面积。那圆柱体的体积我们知道圆柱体的体积 v 啊，就等于 y 括号里的二分之 d 括起来的平方乘 h， 那 d 因为 d 有 了，所以我直接代入这个体积公式啊。那就等于三点一次乘括号里的六除以二是三， 火起来的平方乘 h， h 是 十二。通过最终的计算，求出的结果是三百三十九点一二立方厘米。那对王老师所讲的这样的思维题，各位你学会了没有啊？关注王老师，让数学变得更简单。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册圆柱与圆锥的例例，圆柱的容积。首先我们来回忆一下，上一节课我们学习了圆柱的体积， 圆柱的体积公式是怎么推导的？我们把圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体，我们在转化的过程当中，我们发现长方体的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积， 长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以推导出了圆柱的体积也等于底面积乘高。用字母表示 v 等于 s h， 或者是 v 等于 pi r 的 平方 h。 那 今天这节课我们学习的是圆柱的容积， 那大家首先回忆一下什么叫容积，还记得吗？对，容器所能容纳物体的体积叫做容积，也就是说它里边能有多大的空间，就叫做它的容积。 我们在五年级已经学习过长方体、正方体的容积，它和体积的计算方法完全一样，所以容积的计算方法与体积的计算方法相同，但是它所用的数据要从容器的里面来测量。 大家还记得我们常用的容积单位有哪些吗？所有的体积单位都可以用做容积单位，比如立方米、立方分米、立方厘米，但是当里边装液体的时候，我们还要用到容积单位，谁呢？升与毫升， 那么这些容积单位之间的净率是一个非常易错的点，我们来一起梳理一下。一平方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米， 相邻两个体积单位间的净率是一千立方分米呀。当时装液体的时候，它还有另外一个名称，就是升立方厘米，也就是我们所说的毫升。因为立方分米和立方厘米的净率是一千，所以升与毫升的净率 也是一千。不管是做填空题还是解决问题，这些单位的换算特别容易出错，孩子们，请你按下暂停键来记一记吧。 那好，知道了容积的计算方法和体积的计算方法一样，还知道了容积单位之间的戒律。那么今天我们学习的例六就非常简单了，来看例六 下面的杯子能不能装下两袋这样的牛奶，数据是从杯子里面测量得到的。首先我们来看告诉了杯子的内直径是八厘米，还告诉了一袋牛奶的容积是二百四十毫升。 那要解决这个问题，其实也就是计算什么呢？对这个杯子的容积，杯子它是一个圆柱体，那么我们该怎么样求出圆柱的容积呢？容积和体积的计算方法一样，那我们是不是要求出来这个杯子的底面积 乘高，那告诉的是直径，所以杯子底面积三点一四乘直径除以二的平方等于三点一四乘四的平方，最后结果等于五十点二四平方厘米。知道了杯子的底面积，再用底面积乘高等于它的容积。注意这里得到的是五百零二点四立方厘米， 问能不能装下两袋这样的牛奶，我们要给他换算成毫升，因为一立方厘米还有一个名字就是毫升，所以五百零二点四立方厘米就等于五百零二点四毫升。 接着我们求出来两袋牛奶的体积是二百四十乘二，等于四百八十毫升。然后把杯子的容积和两袋牛奶的体积进行比较，五百零二点四大于四百八十。答，杯子能装下两袋这样的牛奶。 通过这道题我们发现，求圆柱的容积是不是和它体积的计算方法一样，只要注意单位的换算。来，孩子们，我们规范总结一下，圆柱容积的计算方法与体积的计算方法相同，只是所用的数据要从容器的里面来测量， 用到的体积公式是一样的， v 等于 s h 或者 v 等于 pi r 的 平方 h。 第二点也是我们计算时最容易出错的一点，要注意单位是否统一。 掌握了方法以后来看这道练习题，我们教材二十五页做一做的。第一题，小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量底面直径是八厘米，高是十五厘米。 如果两人游玩期间要喝一升水，但这壶水够喝吗？这道题他和例题同一类型，那我就交给你了。王老师把这道题的答案放在评论区，如果你能做对，给自己点个赞吧！

大家晚上好，今天给大家分享一个题目，是关于这个圆柱和圆锥的一个体积的一个综合应用题啊。先给大家读一下题， 把一个高为十八厘米的圆锥容器装满水，然后将水全部倒入到一个底面积与圆柱圆锥相等的圆柱容器中，此时容器里的水面距离杯口还有四厘米。 求让你求这个圆柱形容器的高是多少厘米？拿到这道题呢，首先我们把题的意思呢，要理解清楚啊，他是在求 后来这个圆柱的高，对吧？好，我们再再开始读。一个高为十八厘米的圆柱装满水，说明这个时候说明了什么呢？这句话的半句话说明了什么？说明了 十八厘米高的圆柱的圆锥的这个容器的体积和水的体积是不相等的啊，他已经装满水了，从理论上他们是相等的。好了，然后将水全部倒入到这个底面积啊，底面积 与圆锥相等的，你说这个圆柱的底面积和圆锥的底面积是相等的啊，到了这个圆柱里面之后呢， 水离这个杯口就是杯杯，杯口还有四厘米，对吧？然后让你求这个圆柱的这个圆圆柱形容器的这个高，对吧？嗯，我们现在开始解这道题啊，可以， 既然我们可以得知十八厘米高的圆锥的容器和水的容器是一样的，就是和水的体积是一样的。好了，那我们可以先把这个圆柱圆锥的这个容器的体积表示出来，其实也就是水的体积，对吧？为圆锥，对吧？ 圆锥的体积。大家想象一个水果等于什么呢？是不等于三分之一 pi r 的 平方乘以 h， 这个 pi r 平方指的是什么呢？指的是圆锥的底面积，对吧？它底面是一个圆，对吧？圆的面积，对吧？好，它又等于什么呢？其实就等于装满水这个水的体积，对吧？它其实就等于水的体积。 我们在这个题目里面最关键的一点就是要理解，水从圆锥里面到圆柱里面，它的体积是不变的， 它体积是不变的啊，只是说从不同的容器到另外一个容器里面，可能在圆锥里面它已经 装满了，但是在圆柱里面他可能还没装满，对吧？他题目告诉我们离杯口还有四厘米，说明他没有装满，对吧？好，他求这个高是 h， 呃，就是 h 的 高是多少厘米，对吧？我们现在就要利用水的体积不变。喂水体积它是不变的， 它经过两经过倒了一次之后，它体积是不变，利用这个，对吧？那它第二次，那它第二次等于等于多少嘞？是不等于它在一个圆柱里面？现在这是一个圆圆柱，对吧？这是一个抛面图啊，现在用水倒到这一块， 对吧？你说他这块离这块的这块是多少呢？是不？请我告诉你四厘米，对吧？那我们能求出这个圆柱里面所有的水吧？他其实就是前面这个水的体积，但这圆柱里面是怎么表示呢？是不等于什么呢？这个时候还等于什么呢？喂水还等于什么呢？ 是不等于圆柱这一部分？这部分圆柱，对吧？往下到这，它这会形成一个圆柱的一个水柱的一个体积，对吧？那多少呢？是不等于 快 r 平方乘以 h， 这个时候的 r 平方和两个 r 是 一致的，为什么呢？因为题目告诉我们底面积圆锥和圆柱的底面都是相同的 啊，一个同一个同一个圆，他的这个两个底面积相同呢，说明他两个圆，他的这个半径一定是一致的，因为圆的半径就是 pi， 什么就和半径有很大关系，对吧？那他我们利用这个是不变的。这个小 a 是 什么呢？这个小 a 指的是下面这一段， 这个是水面到容器里面水面到底部的高度，对吧？它实际上并不是整个容器的高度，它只是这个水面到底部的高度，对吧？那它等于什么呢？是不等于上面这一部分，我们从这个式子里面得过，对吧？ 假设这个是 h 一， 这个是 h 二，对吧？这个是原来圆锥的高度，对吧？等于 h 一， 那 h 一 h 一 题目告诉我们是多少呢？是不十八厘米，对吧？那我们把这个带进去是不等于三分之一 high r 平方乘以十八，对吧？ 刚前面题目告诉我们底面积圆锥和圆柱都是相同的，那我们把这部分就可以约掉，对不对？这不可以约掉， 对吧？那等于多少呢？是不等于 h 二就等于多少呢？是不等于这一部分等于多少呢？等于六，对吧？三分之一乘十八等于六六厘米， 这个 h 二是多少呢？ h 二就是这块就这块倒到熔圆柱里面，它的这个到底部的高度，这个这个高度，对吧？ 好的题目让求什么呢？题目是不是让你求的是圆柱容器的高，对吧？那他说高等于什么呢？是不是大？我们记成大 h 等于多少呢？是不等于 h 二加上四厘米也就是等于多少呢？等于六加四，等于十厘米， 对吧？这就是最后求的这个圆柱形容器的高度，对吧？这个题主要就是要利用水的体积，不管从哪个容器里面倒到哪个容器，它的体积是不变的，一定要利用这个啊，利用这个把它提出来，这就是今天这道题，谢谢大家。

难怪现在的孩子这么聪明！六年级学习圆柱，圆锥，老师推荐了这款教具，非常直观好理解，根本不需要死记硬背公式了！ 难怪现在的孩子这么聪明！六年级学习圆柱，圆锥，老师推荐了这款教具，非常直观好理解，根本不需要死记硬背公式了！ 难怪现在的孩子这么聪明！六年级学习圆柱，圆锥，老师推荐了这款教具，非常直观好理解，根本不需要死记硬背公式了！ 难怪现在的孩子这么聪明！六年级学习圆柱，圆锥，老师推荐了这款教！ and then i'm going to take a look at the。

今天我们来学习有关圆柱体积的拓展题，如图，一个圆柱形物体的底面直径是八分米，被斜截后最低处高是十分米，最高处高是十五分米， 被结后的物体体积是多少立方分米？好，题目告诉我们，这个被结后的圆柱体，它最低处是这个十分米，对不对？也就这一条，最高处是十五分米，也就是这一条，那底面的直径是 八分米。好，那这题的破题思路其实就是拼接，那既然这个圆柱体他被斜截了，那我们就复制一个跟他一模一样的残缺的圆柱体， 也就是将我们复制出来的这个跟原来一模一样的残缺的圆柱，把这两个给它拼接成这样一个完整的圆柱。 那我们会知道被结后的这一个物体的体积是等于拼接后的这整个圆柱体积的一半。那现在我们来看拼接后的这个圆柱，它的体积是不是底面积呈高， 那这时候它的高是等于十加十五，对吧？那我们知道底面直径是八分米，那我们就可以求底面的半径。那拼接后的这个圆柱，它的体积就是三点，一四乘 八除以二的平方，再乘它的高，也就是十加十五，这是拼接后的这整个的圆柱它的体积。然后我们要求的是倍结后的物体的体积，那就将整个圆柱的体积再除以二， 算得等于六百二十八立方分米。同学们，你想到这个办法了吗？