泸州中考中反比例函数求面积模型

这个题难度有点大，但是呀，他分值相当高啊，很多孩子看见这种题目呢，他根本无从下手，今天教你三秒钟就学会一个绝招来，站在敏敏的肩膀上，咱们轻松秒解这一类难题。 在反比例函数当中，求三角形的面积，它的方法是什么呢？来三角形 c、 o、 d 的 面积把，它的坐标呢？我们这么来写，点 c 的 坐标呢是 一四点 d 的 坐标呢是四一交叉相乘一下子什么意思？让它的横坐标乘以它的纵坐标，乘以它的横坐标就是一乘以一，中间来个减号，减去 四乘以四，因为你不知道是谁正谁负，而面积不可能是个负数，所以一定要加上一个绝对值。下面我们再来一个大名鼎鼎的二就可以了啊，二分之，这个 计算一下，等于了二分之一减十六，所以面积就是二分之十五，我们的答案就出来了，怎么样，是不是很快呢？

这道题全班能做出来的不超过三个，今天我们来看二五年宿迁的选择压轴啊！如图， a、 b 在 双曲线 y 一 等于 x， 分 之 k 一 上，直线 a、 b 分 别与 x 轴 y 轴交于 c、 d 两点与双曲线 y 二等于 x， 分 之 k 二交于一点， 连接 o a、 o、 b， 若 a、 o、 c 的 面积是二十， ab 等于三倍的 bc， 它们是三比一，然后 ad 等于 d、 e， 求 k 二的值。 第一个要跟大家强调的就是我们的竖形结合， 如果你在反比例函数的图形中遇到有点在图像上，比如说这里的 a 点、 b 点和 e 点，我们大概率是要去画出它们垂直于 坐标轴的辅助线的。因为这些，比如说我举一个例子啊，这个矩形的面积，它就是 k 一， 因为这一根线和这根线的长度，在第一项线的话，他们的长度就是 a 点的恒重坐标，而恒重坐标的乘积就是 k 一， 对吧。所以我们这些线是一定要画的，有可能全用上，有可能用一部分，但是你都要画出来，帮助你自己思考，对吧？好， 我们再来看这个题目里有什么我们能分析出来的啊，不做深入分析，就单纯能看出来的。这里的面积是二十，然后这里是三和一，对吧，三比一，所以 a、 o、 b 的 面积是十五， ok 吧？好，十五好像就没有了，然后下面是五，对吧？那我们就看看问题了，因为从条件出发，能分析的内容比较少啊，从问题出发，求 k 二的值，一样的，求 k 二， 我有可以也可以求这个矩形面积，也可以去求这个三角形，假如叫 f 啊，就是 s 三角形， o e f 负二乘以这个，它乘以两倍就得到矩形，为什么？符号？因为 k 二是小于零的，对吧？那这个面积等于什么呢？我们可以看到，等于 s 一 加 s 二， 这负二，这个就是负二乘以 s 一 加 s 二，那这个 s 一 怎么办呢？注意啊，我这里是中点，对吧？这一个关键信息啊，中点，所以 s 一 等于 s 三等于负二乘以 s 三加 s 二等于负二乘以，那这个 s 三和 s 二，这里的 s 二在这边，我给的条件都在这边，所以我要把它变成这边来，怎么办呢？同样的，利用， d 是 中点，所以 s 二就等于 s 三加 s 四， s 三加 s 三加 s 四，这个 s 四就指这个三角形的面积啊，好，对吧？ ok， 因为中点平分面积嘛，那问题就变成了，负二乘以二， s 三加 k 一 除以二， 对吧？ k 一 除以二，因为 s 四是我这个 a 点这个矩形的一半嘛，所以最终这个问题就变成，只要求出 k 一 来，当然这个 s 三也要求啊，我们就可以算出这个题的答案了， 那 k 一 又该如何求呢？这里突破点在于 s 三角形 aob 我 们是知道等于十五的，这里就是我们总结过的一个，这里全部擦掉了，我们已经知道这个题的方向了啊，知道这个方向了，这里 aob 的 面积 也就是过圆点去连接了反比例函数上的两点，圆点连两点， 就是这样一个 o a b 这样一个三角形面积，它是可以等于，注意啊，这里假如刚刚是 f， 对 吧？这个 g 和 h 啊，它是可以等于 s， 它跟梯形 a、 g、 h、 b 是 相等的，为什么呢？来看啊，我们用颜色来看一下啊，首先 这个三角形 o、 a、 g 和 这个三角形的面积是相等的，它们俩都等于二分之 k 一， 对吧？那我抠掉这个公共的部分， 那么剩下来的红色部分和剩这边剩下来的蓝色部分就相等了，而 a、 o b 的 面积， 假如这个点叫 i 的 话， aob 的 面积就是 s。 三角形 aib， 注意啊，我就颜色涂出来吧，你看 aob 是 不是黑色加蓝色呀，蓝色跟红色是相等的， 所以就不写了啊，蓝色跟红色相等的，所以这个 aob 的 面积跟这个梯形的面积是一样的。 那有同学会问，为什么要变成梯形呢？注意，因为这个梯形的面积它可以等于上底 a g 加上下底 h， b 乘以高就是 g h 除以二。而这里的 a g 和 b h 以及我们的 g h 跟我前面说的这个 ab 以及我们画出来的辅助线息息相关， 为什么？我如果啊，就是这个时候，因为题目没有提供任何的坐标信息，对吧？我们就大胆的假设 a 点的坐标是小 a， 逗，小 b， 那 么这一小段就是小 a， 而这一段是小 b。 注意啊， 这里这个信息除了算出了五跟十五之外，好像还没用，对吧？当你画出辅助线的时候， 你看啊，这里是一比三，对吗？哎，那说明这边有一组相似三角形，他们的 a 字相似，对吧？相似比是一比 四，这段是一比四的话，也就 a 的 重坐标是四份，那 b 的 重坐标就是一份，而我们 a 的 重坐标设成了小 b， 所以 b 的 重坐标这里就是 四分之 b， ok， 那 ab 的 纵坐标就是 ab， 对 于 a 点来讲， ab 是 等于 k 一 的，那 b 点的横纵坐标就是四分之 b 乘以 x， 乘以 y 了啊，那这对是 x 啊，乘以它的横坐标应该也等于 k， 所以 x 就 等于四 a。 什么意思啊？我用就在下面画吧。一样的啊，用蓝笔啊，这一段就是四 a， ok 吧，这段就是四 a， 好， 哎，那你如果这样算出来，你就会隐隐的感觉到，我用黄色的啊， 你看你这不是 a 吗？这又是四 a， 那 我这样的 也有一个 a 字相似，对吧？然后它的相似比也是一比四。那我写写在这里啊，就是三角形 a， g， d 相似于三角形 b， h， d， b， h， d 啊，相似比也是一比四，有什么用呢？等会就知道了啊。啊，我们这一步推推到这里了，是为了算梯形面积，因为它要上底下底啊， 然后跟 ab 的 横动坐标有关，是吧？所以我们大胆地设 a 的 坐标，然后进一步通过这个 a 点， b 点它们的横动坐标乘积一样， 然后算出了 b 点的横轴坐标，进一步发现了上面的，因为题目给的是下面绿色的 a 字相似，我们算出坐标，发现四 a 之后，得到了上面的黄色的 a 字相似啊，回顾一下啊，可能有同学不知道到哪了， ok， 好， 那我们接接着回到梯形面积。 回到梯形面积，现在各边都有了这个 a， g 是 a， 对 吧？ h， b 是 四 a 四 a， 这个 h 可能有点看不清了啊，就是 h 啊，然后这个是四分之 b， 对 吧？好，然后这个 g h 整个是 o， o g 是 四， o g 是 b， 然后这个 o h 是 四分之 b， 对 吧？所以 g h 就是 四分之三。 b 除以二等于多少？ 十五，所以前面算一下，就是五， a 乘以上面的三 b 是 十五 a b， 然后这个是八分之十五， a b 等于十五，那么 a b 就 会等于八，注意注意， a b 等于八，说明 k 一 等于八，那我们这里的问题就解决一半了，对吧？ k 一 就等于八了，那还剩下一个什么问题还记得吗？这里前面写的可能有点忘了啊，这个 s 三就是指这里的，我用一个不一样的颜色啊， 黄色小三角形的面积算出来，那么这个问题就解决了。黄色三角形面积怎么算呢？回到我们这个相似比， 你相似比是一比四，说明你们的面积比 s 三角形 a， g， d 比上 s 三角形 b， h、 d 等于一比十六吧，这是相似的性质吧。面积比等于相似比的平方， 然后注意啊，下面这个梯形啊，这我用粗一点的了已经，颜色有点多了， 刚刚这个黑色的梯形的面积算出来是多少的，他等于那个三角形是十五，对吧？你现在这个这个不知道，而你看 bhd 不 就是这个黄色加梯形吗？所以设这个面积是 x 比上 x 加十五，等于一比十六，所以 x 就 等于一吧，那么这一个小块的面积就是一， 这样我们这个题就做完了，难度非常大，对吧？一步一步走到这啊， 做完了，你看 s 三就是一，然后 k 是 八，所以这个是四二乘一加四乘以负二，最终就等于这边是负十二啊。答案，这个刚刚画图挡住了，选 c 的 啊，选 c， ok， 那 这个题目竖形结合要画的辅助线，在反比例函数里面过坐标，呃，过图像上的点做垂直于坐标轴的线， 大家应该作为一个常规的比较基础的。然后呢，这里第二个是一个进阶的点啊，一个进阶的点 就是你做了好几个这样的题目之后，就会总结出这样的方法，因为三角形 a o b 这样的一个面积，你是没有办法直接算的，你只能去转换，而转换成梯形是我们常用的方法，因为它可以跟我们的第一点进行有机结合 啊，你把坐标大胆的设出来就 ok 了，当然最后相似的性质就比较简单了啊。好，那这一题就说到这。

今天我们来看这道题，遇到反比例函数当中垂线，我们要学会做垂线勾到相似三角形。 这道题当中 o、 d 垂直， c， d， o， d 等于二 c， d 要求 o， d 分 之 a， d 的 值， 我们可以想到把这个比例进行转化，利用相似三角形把它进行转化。设想，如果我们过地点做 x 轴的垂线垂直为 f， 那么 a、 d 和 o d 的 比值会不会等于 d， f 和 o f 的 比值呢？当然是因为三角形 d、 f 与三角形 a、 o、 d 相似， 到后面我们会把它写出来的，那除此以外，我们想要构造相似三角形，我们要利用这个垂直的条件， 我们还可以构造一线三垂直线的相似，往往上围成这样一个模型，把这个垂足标为 e， 辅助线的语言我就不写了， 我们开始解答这道题。 我们可以设地点的坐标 为 a， 撇 a 分 之 k， 反比例函数都要去先设点的坐标才能解决题目。 现在我们要利用其中一个相似，我们先利用一线三垂直线来相似， 我简单写，因为三角形 d、 o、 f 与三角形 c、 d、 e 相似，所以我们就可以得到线段的比例关系。因为 o、 d 等于二 c、 d， 所以 对应下来 o， f 也等于二 d， e， 并且 d、 f 也会等于二 c、 e， 因为这里 o， f 和 d， f 的 长度我们都知道的，它们的长度分别等于地点的横坐标和纵坐标，所以就得到 d， e 的 长度应该是 d 点横坐标的一半，也就是二分之 a， 那 c， e 也就是它重坐标的一半。 十二 a 分 之 k， 这样子我们就可以得到 c 点的坐标了， c 点的坐标就是 d 点的横坐标，往回扣得到 c 点的横坐标，所以 c 点的横坐标应该要是 d 点的横坐标减去 c、 e 的 长度， d 点的横坐标是 a， c 点的横坐标就应该要是这样一个式子， 那这样子写，我们还漏了个重坐标，那重坐标应该怎么计算呢？ 计算重坐标，我们应该用原来递减的重坐标，再加上 d、 e 的 长度得到， 也就是 a 分 之 k 加上二分之 a， 那这个式子还未进行通分。我们接下来的思路是根据 c 点的横纵坐标乘积等于 k， 因为 c 也在这个反比例函数的图像上。 我们到最后需要把 c 点的横纵坐标乘起来，为了方便把它们乘起来，我们需要对它们进行通分， 通风后我们会得到 c 点的坐标 长，这样 做，数学代数题目都是这样的，算到一个地方可能就不敢算了，但是如果继续算下去，一定会有发现， 所以我们就要把 c 点的横纵坐标相乘， 因为 c 点的横坐标之 g 等于 k， 所以 把它们相乘，我们会得到这么一长串的式子，它们的结果等于 k。 这个式子的计算过程我就不写了，就是分子、分母分别相乘， 最后等于 k。 现在我们需要去解这一个方程， 如果我们能够求出 a 与 k 之间的关系，那么我们就解决了这道题。为什么呢？ 我们到后面就会知道 a、 d 与 o、 d 的 比值如果转化为一个分式，那么这个分式里面含有的未知数就是 a 和 k 刚刚好可以解决。 我们把它拆开， 大家稍等一下，我要把它拆开， 然后呢把分母乘到后面去， 现在我们发现前面这个式子当中有一项三 k a 平方，后面的结果当中是四 k a 平方，这就是一个同类项，我们可以对它进行合并， 但是现在这个方程看起来还是很棘手，为什么呢？因为它有四次啊。我们遇到这种高次方程，我们就要把平方设为参数， 把未知数的平方设为参数，对它进行降次。我们就要设我们想要解出的， 比如说是字母 a 的 平方为 p， 随便一个字母都可以，因为这里 a 的 次数更高， k 的 次数更低，我们要设的是 a 的 平方，而不是 k 的 平方，这样才有利于降四， 我们就会得到二 p 平方减 k， p 减二， k 平方等于零， 这个时候我们可以把它看成一个关于字母 p 的 二元一元二次方程，说错了，是一元二次方程。然后我们用求根公式对它进行解下， 就会解出 p 等于根号十七加一倍的 k 除以四， 那得到 p 有 什么用呢？ p 就是 a 的 平方，因为我们前面有提到三角形 a、 o、 d 与三角形 d、 o、 f 是 相似的，所以 ad 与 o、 d 的 比值 对应下来，就应该要等于 d、 f 与 o、 f 的 比值，也就是地点的纵坐标与横坐标之比， 纵坐标是 a 分 之 k， 横坐标是 a， 纵坐标除以横坐标就是 a 平方分之 k。 因为我们把 a 平方设为 p 的， 所以 ad 与 o、 d 的 比值就是 p， 分 之 k， 我们把它代入，代入的过程，计算的过程就先不展示了，代入之后 我们就得到 a、 d 与 o、 d 的 比值是四分之，根号是七减一， 这样我们就把这道题解决了。总结一下，遇到反比例函数的压轴题， 一般会涉及垂直和线段比例，我们要利用垂直构造一线三垂直线的相似，再利用线段比例去找到各个线段之间的比例关系， 然后表示出各个点的坐标，最后再利用这个垂直构造一个子母形的相似，把我们所要求的比例进行一个转化。就像在这里把 a d 与 o d 的 比值通过相似三角形子母形的相似转化为了 d f 与 o f 的 比值， 这就是我们所设点的纵坐标与横坐标的比值，解决起来就会轻松很多。今天的讲解就到这里。

这是一道中考真题，已知点 a 和点 b 都在反比例函数上， am 和 b n 这两条线啊，都是数值直线，垂直于 x 轴，然后告诉我们， o m 等于 m， n 等于 n， c。 像这种条件拿到以后就要形成肌肉记忆，直接在图像上标记出 a a a， 然后三角形的面积是六，那么你只需要把它的高设出来。假设 a a a， 然后三角形的面积是六，那么你只需要把它的高设出来。假设 a a， m 是 h， 我 就直接可以写出它的面积。 a o， c 等于二分之底乘以高， 底就是三， a 高就是 h， 它等于六，所以说三倍的 a， h 等于十二，那么 a h 也就等于四。好，我们来看一下 a h 是 什么呀？ a 是 这一段， h 是 这一段， a 乘以 h 就是 这个矩形的面积啊，而这个矩形的面积是什么？因为点 a 在 反比例函数的图像上，所以说这个矩形的面积啊，就是 k， 也就是说我们要计算的 k 等于 a， h 也就等于四。所以本题正确答案四。

一个视频认识反比例函数二十四遍。

同学们大家好，我是天津市第四十二中学的张文静老师，很高兴今天和大家一起来学习这一节课。 我们知道数学与现实生活有着密切的联系，生活中的许多问题都可以抽象成数学问题，并借助数学知识来解决，比如下面这几个问题。 汽车行驶在一段四百八十千米的道路上，其行驶的速度 v 与时间 t 有 怎样的函数关系呢？ 这一问题相信同学们应该很熟悉吧。由时间乘以速度等于路程四百八十，可得 v 等于 t 分 之四百八十， 这说明在路程一定的情况下，时间跟速度成反比例。再来看下面一个问题， 一个容积为十的四次方立方的圆柱体，其底面积 s 与其高度 h 有 怎样的函数关系呢？ 由于底面积乘以高等于容积时的四次方，所以可得 s 等于 h 分 之时的四次方。 可以看到，当圆柱体积一定时，底面积和高就成反比例。 再来看一个问题，一艘轮船上装载的货物总量为五十吨，工人每天的平均卸货速度 v 与卸货天数 t 之间又有怎样的函数关系呢？ 由于工作时间乘以工作效率等于工作量五十吨，所以可得 b 等于 t 分 之五十。这说明当工作量一定时，工作时间与工作效率成反比例。 刚刚这几个例子都是我们生活中常见的具有反比例变化规律的例子。 我们发现，当两个变量的乘积始终不变时，那么这两个变量间的关系就可以用反比例函数关系来刻画。 可以看到，反比例函数是我们从现实生活中抽象出来的，那么它也能应用于解决我们的现实生活中的问题，这也就体现了数学来源于生活又应用于生活。 那么今天我们就进一步探讨如何利用反比例函数来解决实际问题。 好，一起来看一下本节课的学习目标。一、通过分析实际问题中的数量关系，抽象出反比例函数问题。 二、利用反比例函数的性质求函数的值，对变量的变化趋势进行推断，并对实际问题做出解释。 三、通过建立反比例函数模型解决实际问题，进一步培养抽象能力，形成模型观念。 好，明确了目标，让我们一起来进入今天的数学探讨活动吧。先来看，第一 是煤气公司要在地下修建一个容积为十的四次方立方的圆柱形煤气储存室。 第一问，储存式的底面积 s 单位平方米与其深度 d 单位米有怎样的函数关系？ 要解决这个问题，我们首先要把它抽象成数学问题，就是圆柱的体积 v 底面积 s 与高 h 三个量之间的关系，即 v 等于 s 乘以 h， 那么本题中 v 是 个常数十的四次方，而深度 d 其实就是高 h， 于是我们根据圆柱体的体积公式，可得 s 乘以 d 等于十的四次方，所以 s 关于 d 的 函数解析式则为 s 等于 d 分 之十的四次方，这里 d 大 于零， 可以看到这里 s 就是 d 的 反比例函数。那么建立了反比例模型之后，我们就可以进一步利用它来探讨解决问题。来看第二问， 如果公司决定把储存式的底面积 s 定为五百平方米，施工队施工时应该向下掘进多深？ 这一问题呢？相当于我们已知了 s 的 值而去求 d 的 值。所以借助解析式，我们只要把 s 的 值五百代入解析式，就可以求得 d 等于二十。 因此施工队应该向地下掘进二十米深。好，再来看第三问， 当施工队按照第二问中的计划掘进到地下十五米时，公司临时改变了计划，把储存室的深度改为十五米。那相应的储存室的底面积应改为多少呢？ 结果请保留小数点后两位。那其实这一问和上一问是类似的，相当于已知了 d 的 值而去求 s 的 值。 所以我们只要把 d 等于十五代入解析式，就可以求得 s 的 值为十五分之十的四次方，约为六百六十六点六七平方米，所以储存式的底面积应改为六百六十六点六七平方米。 下面我们再来看例，让我们继续体验一下建立函数模型解决问题的过程。 码头工人每天往一艘轮船上装载三十吨的货物，装载完毕恰好用了八天时间。 第一问，若轮船到达目的地后开始卸货，平均的卸货速度 v， 单位是每天每吨与卸货的天数 t 之间有怎样的函数关系？ 那显然这是一个工程问题，我们还是要先根据条件寻找到其中两个变量，卸货速度 v 和卸货天数 t 的 关系，进而建立函数模型。 我们知道平均的装货速度乘以装货的天数会等于货物的总量，所以我们这里可以先求出货物总量，从而得到 v 和 t 的 函数关系式。 因此我们设轮船上的货物总量为 k 吨啊，根据已知条件可以得到 k 等于三十乘以八等于二百四十，所以 v 关于 t 的 函数解一式则为 v 等于 t 分 之二百四十， 这里 t 大 于零。好，那我们再来看第二本。由于遇到了紧急情况，要求船上的货物不超过五天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 这里同学们先要理解不超过五天的意思，就是小于等于五天，那至少要卸或多少吨，这就是求此时卸货速度 v 的 一个范围。 所以这里其实是一个不等关系问题，如何解决呢？ 我们给大家提供一个思路，可以把不等问题转化为相等问题来解决，最后再用反比例函数的增减性找到问题的答案。 好，首先我们可以把 t 等于五代入解析式，求得 v 等于四十八， 那从结果中可以分析出，如果全部的货物恰好用五天卸载完，则平均每天的卸货是四十八吨。 而对于函数 v 等于 t 分 之二百四十，可知当 t 大 于零时， t 越小则 v 越大。 所以这样分析的话，货物如果不超过五天卸载完，则 v 需要大于等于四十八，那也就是说平均每天至少要卸载四十八吨。 这一问题的解决过程提示我们可以利用函数的增减性来求实际问题中变量的范围或描述变化趋势。 好，现在我们回顾一下刚才两个问题的探求过程。我们可以感受到，应用反比例函数解决实际问题的步骤就是先要抽象出问题中变量间的反比例关系， 确定函数解析式，再利用函数的概念、图像和性质去求函数的值，或对变化趋势进行推断，从而解决函数问题。 最后我们再根据数学问题的解来回应或解释实际问题。 大家都理解了吗？下面大家来自主练习两道题目，检验一下你自己的学习成果吧。 第一题，市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为十的六次方平方米，某运输公司承担了运送土石方的任务。 第一问，运输公司平均运送速度 v， 单位是每天每立方米与完成运送任务所需的时间 t， 单位是天之间，具有怎样的函数关系？ 本题中的变量是平均运送速度和时间。由于平均运送速度乘时间等于土十方， 所以我们很容易就可以知道 v 乘以 t 等于十的六次方，所以 v 关于 t 的 函数解析式则为 v 等于 t 分 之十的六次方，这里 t 大 于零。 再来看第二问，这个运输公司共有一百辆卡车，每天可运送土石方十的四次方平方米，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 这一问，我们只要把 v 等于十的四次方带入解析式就可以求得 t 等于一百，所以公司完成全部的运输任务需要一百天。 好，来看第二题，一，司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以六十千米每小时的平均速度用六小时到达目的地。 第一问，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有 怎样的函数关系？ 第二问，如果该司机要在四小时之内回到甲地，那么该司机返程时的平均速度不能小于多少？ 这里同学们可以自己先做一下，一会再跟老师的答案进行核对。 这是一个行程问题，我们还是先根据条件建立反比例函数模型。 第一问，根据时间乘速度等于路程，可以得到 v 乘以 t 等于六十，乘以六等于三百六十，所以 v 关于 t 的 函数解一式则为 v 等于 t 分 之三百六十。 那对于第二问，它是求速度的一个范围，所以它还是一个不等关系问题，我们可以先转化为相等关系，再用函数的增减性来解决。 首先，当 t 等于四时， v 可以 求得为九十千米每小时，那对于函数， v 等于 t 分 之三百六十。当 t 大 于零时， t 越小则 v 越大， 所以要在四小时内返回甲地，则返程的速度不能小于九十千米每小时。 同学们看一看自己做对了吗？好，下面我们来回顾一下本节课的学习。 本节课我们利用反比例函数来解决实际问题，它的一个基本思路就是，一般先从实际问题中发现其中的变量及变量间的反比例关系， 然后抽象出反比例的函数模型，建立反比例函数关系式，把实际问题转化成反比例函数问题。 然后利用反比例函数的概念、图像和性质解决相关的函数问题，得到函数问题的解。最后我们再根据数学问题的解来回应或解释实际问题。 本节课通过解决实际问题，我们进一步认识了反比例函数的性质，也进一步认识了反比例函数是描述现实世界中具有反比例变化规律的数学模型。 其实无论是一次函数、二次函数还是反比例函数，都是从实际情境中发现问题，提出问题，然后抽象出这些函数模型， 从而帮助我们更好的分析变化过程中的变量间的对应关系，把握变化中不变的性质，对变量的变化趋势进行初步的预测，最终解决问题的。 此外，通过本节课的学习，也使我们进一步感受到了数学与现实世界的联系。 今后在解决实际问题时，希望同学们能够主动的尝试从数学的角度运用你所学习的数学知识来解决问题， 不断完善建立数学模型解决问题的思想，增强自己的应用意识。 最后来看一下本节课的课后作业，一是完成教材第十六页习题，二十六点二中第二、五、七三道题 明白同学们可以仔细观察你周围的生活中，看看还有哪些具有反比例关系的两个变量，尝试提出与他们相关的数学问题，并探求如何解决它， 也可以和你的同学一起交流一下。好，今天的课就到这里，谢谢！再见！

同学们大家好，今天我们一起学习一节初三专题复习课，一次函数与反比利函数综合题。 本节课的教学目标是，一、掌握一次函数和反比利函数的概念和性质，建立知识之间的联系。 二、能画出一次函数和反比例函数的图像，理解图像与系数之间的关系，体会数形，结合思想。 三、会结合函数图像，分析函数性质并解决有关问题，提高分析和解决问题的能力。 我们先来回顾一下一次函数与反比例函数的核心知识，一次函数图像的性质一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零。当 k 大 于零时，直线从左向右上升， y 随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时，直线从左向右下降， y 随 x 的 增大而减小。 直线与外轴的交点坐标为零 b。 当 b 大 于零时，直线与外轴交于正半轴。当 b 等于零时，直线经过原点。当 b 小 于零时，直线与外轴交于负半轴。 反比里函数图像的性质反比里函数 y 等于 x， 分 之 k， k 不 等于零。 x， y 的 取值范围 x 不 等于零， y 不 等于零。 当 k 大 于零时，双曲线经过一、三象限，在每一象限内外随 x 的 增大而减小。 当 k 小 于零时，双曲线位于二、四象限，在每一象限内外，随 x 的 增大而增大。双曲线关于原点对称关于 y 等于 x， y 等于负 x 对 称。 反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， k 不 等于零。中 k 的 意义 如图，过反比例函数图像上任意一点 p 分 别做 x 轴、 y 轴的垂线 p， m， p， n 垂足分别为 m， n 所得的矩形 p m， o， n 的 面积 s 等于 k 的 绝对值。下面我们来看几道例题。第一，请大家按下暂停键思考一分钟之后继续学习。 在同一直角坐标系中，一次函数 y 等于 a， x 减 a， a 不 等于零与反比例函数 y 等于 x 分 之 a， a 不 等于零的图像。可能是 我们发现反比例函数和一次函数的表达式中含有相同的字母 a。 当 a 大 于零时， 双曲线过一三象线，直线从左向右上升，此时选项 a b 符合。我们继续观察 一次函数表达式中的长处向为负 a。 当 a 大 于零时，负 a 小 于零，因此直线与外轴应该交于负半轴，所以选项 a 不 可能。 因此，当 a 大 于零时，只有选项 b 符合。当 a 小 于零时， 双曲线过二次象限，直线从左向右下降，此时只有选项 c 符合。我们继续观察一次函数表达式中的常数项负 a。 当 a 小 于零时，负 a 大 于零，因此直线与外轴应该交于正半轴，此时 c 不 符合。所以当 a 小 于零时，所有选项都不可能。 因此这道题的正确答案为 b。 第二， 请大家按下暂停键思考一分钟后继续学习。 如图，已知一次函数 y 一 等于 k 一， x 加 b k 一 不等于零的图像 与反比例函数 y 二等于 x 分 之 k 二。 k 二不等零的图像交于 a 负四负二 b m 四两点与 y 轴交于点 c 一， 求一次函数与反比例函数的表达式。 由于点 a 负四负二，在反比例函数 y 二等于 x 分 之 k 二的图像上可以求出 k 二等于八。 又因为反比例函数 y 二等于 x 分 之八，经过点 b m 四可以求出 m 等于二。 由于点 a 负四、负二和点 b 二四在直线 y 一 等于 k 一， x 加 b 上可以求出 k 一 等于一， b 等于二。 因此两个函数表达式分别为， y 一 等于 x 加二， y 二等于 x。 分 之八第二问， 请大家按下暂停键思考，一分钟后继续学习。 直接写出不等式 k 一 x 加 b 小 于 x 分 之 k 二的解集。求这个不等式的解集等同于求 x 取和值时， y 一 小于 y 二。 我们来观察函数图像，直线与双曲线交于 a， 负四、负二和 b 二四这两个点记，当 x 等于负四和二时， y 一 等于 y 二。 我们过 a、 b 和圆点分别做 x 轴的垂线。 这三条直线将坐标平面分成四部分，我们发现在阴影区域 y 一 小于 y 二，因此 x 小 于负四或 x 大 于零小于二，为不等式的解集。 第三问，请大家按下暂停键思考，两分钟后继续学习。 求三角形 a、 o、 b 的 面积。三角形面积公式为，底乘高除以二。 三角形 a、 o、 b 以谁为底呢？如何根据坐标表示出底和高的线段长呢？ 如果已知轴上两点坐标，我们可以很容易求出这两点间的线段长。因此，我们可以对三角形进行割补， 发现和构造出在轴上或平行于轴的三角形的截线 o c。 比如，将三角形 a、 o、 b 沿外轴分割成两个三角形， o c 为底。在轴上点 c 为直线与外轴交点， 坐标为零二。两个小三角形的高分别为四和二，因此三角形 aob 的 面积等于二分之一，乘以底二，再乘以两条高的和二加四，最终面积为六 类似的，我们也可以将三角形 aob 沿 x 轴分割为两部分。 练习一，请按下暂停键思考三分钟后继续学习。 如图，已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，与反比例函数 y 等于 x 分 之三， x 大 于零的图像交于 a、 m 二、 b 三、 n 两点。 第一问，求一次函数的表达式。 因为反比例函数 y 等于 x 分 之三，经过 ab 两点，可以得出点 a 坐标二分之三二，点 b 坐标三一。 又因为 ab 两点在直线 y 等于 k， x 加 b 上 可以求出一次函数，表达式为 y 等于负三分之二， x 加三。第二问，求三角形 a、 o、 b 的 面积。 我们可以根据上一道例题的经验，发现和构造在轴上或平行于轴的结线，利用割补法求出三角形 a、 o、 b 的 面积。方法一， 用边在轴上的三角形 b、 o、 c 的 面积，减去同样以 o、 c 为边的三角形 a、 o、 b 的 面积，得到三角形 a、 o、 b 的 面积。 方法二，构造出边在轴上的矩形，使点 a、 b 分 别在矩形的边上，矩形的面积减去三个直角三角形的面积，得到三角形 a、 o、 b 的 面积。 方法三，分别过 a、 b 做 x 轴的垂线段 a、 m、 b、 n。 四边形 a、 o、 n、 b 的 面积减去三角形 b、 o、 n 的 面积，即为所求三角形 a、 o、 b 的 面积。根据反比例函数中 k 的 意义可知，三角形 b、 o、 n 与三角形 a、 o、 m 面积相等，均为二分之三，因此三角形 a、 o、 b 的 面积等于直角梯形 a、 m、 n、 b 的 面积。 由于直角梯形的底平行于轴，因此上下底的长度很容易表示出来。 还有其他类似的方法，大家可以选择计算量相对较小的策略完成。最后，三角形 a、 o、 b 的 面积等于四分之九，你做对了吗？第三， 请同学们按下暂停键思考，两分钟后继续学习。 如图，在平面直角坐标系 x、 o、 y 中，已知函数 y 一 等于 x 分 之三， x 大 于零和 y 二等于负， x 分 之一， x 小 于零。 点 m 为 y 轴正半轴上一点，点 n 为 x 轴上一点。 过 m 做外轴的垂线，分别交 y 一、 y 二的图像于 a、 b 两点。由此可知，直线 a、 b 平行于 x 轴， 连接 a、 n、 b、 n， 求三角形 a、 b、 n 的 面积。 由于边 a、 b 平行于 x 轴，由此，当点 n 在 x 轴上的位置发生改变时，根据同底等高的三角形面积相等， 三角形 a、 b、 n 的 面积永远等于三角形 a、 b、 o 的 面积。因此，此题我们只需求三角形 a、 b、 o 的 面积即可。 由于点 m 在 外轴正半轴上，当点 m 位置发生变化时，三角形 a、 b、 o 的 形状跟着发生变化。 根据反比例函数 y 等于 x 分 之 k， k 不 等于零中 k 的 意义可知， 无论三角形 a、 m、 o 的 形状如何发生变化，面积永远等于二分之 k 的 绝对值，也就是二分之三。 同理，三角形 b、 m、 o 的 面积永远等于二分之一。 因此，不论点 m 与点 n 的 位置如何变化，三角形 a、 b、 n 的 面积为定值等于二。 例四，请同学们按下暂停键思考，三分钟后继续学习。 在平面直角坐标系 x、 o、 y 中，直线 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，与双曲线 y 等于 x 分 之八，一个交点为 p 二、 m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 a、 b。 第一问，求 m 的 值，因为点 p 二、 m 在 双曲线 y 等于 x 分 之八上可以求出 m 等于四。 第二问，若 p a 等于二 a、 b 求 k 的 值。由题意可知，直线过定点 p 二、四， 与 x 轴交于 a 点与 y 轴交于 b 点。 当 p a 等于二 a、 b 时，直线的位置只有两种情况，情况一， 过 p 做 x 轴的垂线段 p m， 此时三角形 a、 b、 o 与三角形 a、 p、 m 相似， 因为 p a 等于二 a、 b， p 点坐标为二、四，可以求出点 b 坐标为零。二、 直线经过点 p 二、四和 b， 点零二，可以求出此时直线表达式中的 k 等于一。情况二时， 三角形 a、 b、 o 与三角形 a、 p、 m 相似，因为 pa 等于二 ab， 点 p 坐标为二四，可以求出 b， 点坐标为零负。二、 直线经过点 p 二、四和点 b 零负二，可以求出此时直线表达式中的 k 等于三。综上所述， k 的 值为一或三。 由这道例题我们可以总结得出，当问题中出现动点或动直线时，我们要明确运动图形的可动范围，并在可动范围内扫描， 找到满足条件的所有情况，再分情况进行计算和证明。 通过本节课的学习，希望大家能有如下收获， 一、复习一次函数和反比例函数的图像特征和性质。二、能根据函数的相关知识，解决有关函数图像解析式、 坐标系内图形面积、运动变化等相关内容的问题，积累解析经验。 请同学们完成课后作业中的题目，同学们再见！

大家好，今天呢，就由我和大家一起来复习一下反比例函数的有关知识。 首先看一下本节课的学习目标，一、复习反比例函数的意义，巩固用待定系数法求函数的表达式。 二、复习反比利函数的图像画法，复习巩固反比利函数的图像和性质。三、用反比利函数的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。 好，我们来看一下本部分的知识结构。反比例函数这一部分主要分成四大块内容，第一大块就是反比例函数的概念及其表达式，第二大块是反比例函数的图像， 然后是反比例函数的性质结合。反比例函数的图像和性质，主要包括以下四个内容， 第一个就是图像的形状和位置，第二个是图像的对称者性，第三个是函数的增减性，第四个是反比例函数 k 的 几何意义 在最后一个内容里面，包含着反比例函数的应用，它也是包含着三个主要部分， 一、反比例函数以一次函数的综合。二、反比例函数与几何图形的结合。第三个就是反比例函数的实际应用。 反比例函数是继一次函数、二次函数之后，初中所学的第三个重要基本函数。 反比例函数的学习呢，也是在学习了前面两个函数的基础上，遵循前面研究函数的基本方法学习的。 我们在整个初中先学习了平面直角、坐标系长量与变量，为我们学习函数打下了基础。接下来我们研究了正比例函数、一次函数，然后又学习了二次函数。 学习完反比例函数之后，为我们到高中还要学习三角函数和指对数函数等函数做好了充足的准备。 好，我们来看一下本部分的知识点。第一个，反比例函数的概念及其表达式。 我们回顾一下反比例函数的定义，形如 y 等于 x， 分 之 k， k 不 等于零。 k 为常数的函数叫做反比例函数，其中 x 为自变量， y 是 x 的 函数。 在这里我们要特别注意，自变量 x 的 取值范围是 x 不 等于零，而函数值 y 也不能等于零。 第二个，我们还要注意反比例函数的三种书写形式，除了定义中 y 等于 x， 分 之 k 以外，我们还要注意它还可以写出其他两种形式，一个是 y 等于 k， x 的 负一次方这样的值负指数的形式。 还有一个就是乘积的形式， x 乘以 y 等于 k， 常数 k 不 等于零。 本部分的第二个知识点，反比例函数的图像和性质。这里呢，我们是通过一个表格来复习的， 大家可以回顾一下。我们在学习这里的时候，主要对参数 k 进行了分类讨论。当 k 大 于零的时候，函数图像是经过一、三象限，在每个象限内外随 x 的 增大而减小。 当 k 小 于零的时候，函数图像两个分值分别在二、四象限，那么在每个象限内外随 x 的 增大而增大。 那么在这一部分还有一个重要的性质，就是对称性，关于圆点乘中心对称。关于直线 y 等于 x 或 y 等于负 x 成轴对称。也就是说，反比例函数图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。 结合前面的知识，我们来做一道例题，请大家按下暂停键思考后再继续学习。 通过审题，我们发现只需要求出经过点 a 和点 b 的 反比例函数，那么就可以求出 k 的 取值范围。 这里我们将点 a 带入反比例函数。解析式， y 等于 x 分 之 k 中可得 k 等于一，将点 b 二、二带入得出 k 等于四。 那么因为反比例函数图像是与线段 a、 b 公共点的，所以 k 的 取值范围是大于等于一，小于等于四。我们再来看另外一道例题，有关反比例函数的图像与性质的 已知点 a， e， m 与点 b 三 n 都在反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像上，那么 m 与 n 的 关系是？请按下暂停键思考后再继续学习。 因为反比例函数它的参数 k 是 大于零的，所以在第一象限内外随 x 的 增大而增减小。 又因为零小于一小于三，所以 m 是 大于 n 的， 这里很容易选出答案 b。 我 们来总结一下，反比例函数中自变量的取之范围是 x 不 等于零的时数，故其性质强调在每个象限内外随 x 的 变化而变化的情况。 在比较反比例函数上两点的横坐标或纵坐标的大小关系时，若两点在同一象限内，可以根据其增减性来加以判断。若两点不在同一个象限内，可以通过比较正负来判定。 接下来我们来回顾一下知识要点三，反比例函数 y， x 分 之 k 中的 k 的 几何意义。 如图，过反比例函数图像上任意一点 p 分 别做 x 轴、 y 轴的垂线 p m， p， n 垂足分别为 m、 n 所得的矩形 p m， o， n 的 面积 s 就 等于 k 的 绝对值。 过反比例函数图像上的任意点 e 作 e， f 垂直于其中一条坐标轴，垂足为 f， 连接 e、 o， 那 么三角形 e、 o， f 的 面积就等于二分之一倍的 k 的 绝对值。 好，我们来看一道例题，如图，在平面直角坐标系 x o、 y 中，菱形 o a、 b， c 的 面积为十二点 b 在 外轴上点 c。 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像上， 则 k 的 值为多少？请按下暂停键思考后再继续学习。 审题后我们发现菱形的面积为十二，而菱形的一条对角线恰好落在 y 轴上，那么我们这里就可以连接 a、 c。 这时候两条对角线 a、 c、 b、 d 就 把这个菱形面积四等分， 此时我们就可以得到三角形 o、 c、 d 的 面积是三。而根据菱形的性质， a、 c 垂直于 b， o 于 d， 那 么三角形 o、 c、 d 又是一个直角三角形。 根据反比例函数 k 的 几何 e 就 可以确定出 k 的 值，这里 k 的 值就是负六。 我们再来看一下知识点四，用待定系数法求函数表达式 大家可以回顾一下。用待定系数法求函数表达式的时候，第一步就是设设出反比例函数表达式的一般形式 y 等于 x 分 之 k。 然后第二步是待将 x y 的 对应值带入解析式 y 的 x 分 之 k 中，得到含有待定系数的方程或方程组。第三步就是求求出待定系数 k 的 值。第四步就是写将所求待定系数的值带入所设的函数表达式中。 接下来我们来看一道例题，请大家展摁下暂停键思考后再继续学习。 要想求反比例函数的表达式，我们只需要求出点 c 的 坐标即可。 在这里我们知道 o， a 的 长度是二， o， d 的 长度是一， c， d 又垂直于 a， d， 所以 在直角三角形 a， d， c 中，由于摊进的角 o， a， b 等于二，可以求出 c， d 的 长是六，从而确定点 c 的 坐标就是一负六。 在 c 的 比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像上，那么就可以求出 k 的 值就是负六，所以很容易求出反比例函数的表达式，就是 y 等于负的 x 分 之六。 我们再来看第二个问，点 m 是 这个反比例函数图像上的点，大家可以结合右边的图像来看 过点 m 做 m， n 垂直于外轴，垂足为 n， 这里我已经提前做好了这条垂线段 连接 o m， o， a， n， 这时候我们发现三角形 a， b， n 等于二倍的三角形 om， 这里我们要求 m 的 坐标。大家可以注意到点 m 是 反比例函数图像上的点， 那么 m 在 运动的过程中，我们会发现 omn 这个三角形的面积始终不变，但是他有会有两种情况，就是点 m 会在第三象限出现， 但不论他在哪里出现，我们要想确定点 m 的 坐标，是可以通过面积来求的。我们发现了三角形 om 的 面积，利用参数 k， k 的 值是负六，从而我们可以得到三角形 o， m， n 的 面积就是三。 我们再来看 a， b， n 的 面积，可以利用三角形面积底乘高除以二求得。因为 a 的 坐标是负二零，点 b 的 坐标是零负四。 我们只要设出点 m 的 坐标是 a 负 a 分 之六，则点 n 的 坐标就可以表示成零负 a 分 之六，从而求出三角形 a， b， n 的 面积就是二分之一倍的 负 a 分 之六减去负四的绝对值，再乘以二，它这个面积就等于二倍的三角形 o， m， n 的 面积就等于六。 解这个方程，就可以求出 a 的 值，从而确定点 m 的 坐标是负三二或五分之三负十。 好，我们来总结一下求反比例函数的表达式的方法。 由 k 的 几何意义直接得反比例函数的表达式，这是一种方法，另外一种呢，就是根据图像特征求出双取线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的表达式。 我们再来复习一下知识。要点五也是我们常见的一类反比例函数与一次函数结合的类型。 利用函数图像确定不等式 a， x 加 b 大 于 x 分 之 k， 或 a x 加 b 小 于 x 分 之 k 的 方法。这里我们可以看图像 过交点 a、 b 分 别做 x 的 垂线，它们连同 y 轴，把平面分为了四个部分。相应的，我这里标上了一二三、四。 大家可以注意到，在蓝色区域里，也就是在第一、三部分，反比例函数图像位于依次函数图像的上方，则不等式 a， x 加上 b 就 小于 x 分 之 k 的 解集为 x 小 于 x b 或 x 大 于零小于 x a。 而在第二、四部分，大家可以看到是粉色区域。那么反比例函数图像位于依次函数图像下方，则不等式 a， x 加 b 大 于 x 分 之 k 的 解集为 x， b 小 于 x 小 于零或 x 大 于大于 a。 我 们来看一道例题，请大家按下暂停键思考后再继续学习。 在前面呢，我们已经讲过了，把点 a 带入直线 y 等于二， x 加四这条直线的解析式里，就可以求出 a 的 值是负二。 我们再把点 a 负三负二带入到函数 y 等于 x 分 之 k 中，就可以求出 k 的 值是六。 我们再来看第二个问，大家可以结合右边这个图形， 在途中我已经画出来了过点 p 零 m， 它是在外轴上的一个点，做直线 l， 使直线 l 与外轴垂直。直线 l 与直线 ab 交于点 m， 它与反比例函数交于点 n， 那 么它问的是，若 p 在 点 m 与点 n 之间，请写出 m 的 取值范围。我们注意到，随着点 p 的 运动， 点 p、 m、 n 三个点之间随着它的变化而变化， 但是要想使点 p 落在 m n 之间，只有在这个时候。因此我们通过图像即可直接写出 m 的 取值范围， m 的 取值范围就是 m 大 于零，小于四。 反比例函数与一次函数的综合体啊，主要利用与坐标轴围成的图形，考察线段面积等知识。解决这类问题的关键呢，就是从两个函数图像的焦点坐标入手，通过求反比例函数与一次函数的表达式，使问题得以解决。 最后一个知识点，反比例函数的实际应用， 利用反比函数的性质解决实际问题啊，主要有以下几个步骤，第一步就是分析问题中的数量关系，列出函数关系式。第二个呢，就是研究自变量的取值范围， 第三个是研究所得的函数。第四个就是检验 x 的 取值是否在自变量的取值范围内，并求出相关的值。第五个解决提出的实际问题， 那么实际问题中的反比例函数往往自变量的取值受到限制，这点大家一定要特别注意，要对应的函数图像应是反比例函数图像的一部分，有可能 我们来看一道实际应用的例题，请大家按下暂停键思考后再继续学习。 通过审阅表格，我们会发现这里的售价与销售量存在着一个关系。 题目中也特别提到了是可以用反比例函数刻画，那么这时候我们只要选举一天 来确定这个反比例函数的表达式，比如说我们这里选举第一天售价为四百的时候，销售量为三十，这样我们就可以很快的求出这个反比例函数的表达式为 y 等于 x 分 之一万二。 第二个问题，在试销八天后，公司决定将这种海产品的售价定为一百五十元每千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天就可以全部售出。 这里我们从题干中找已知量发现海产品总共是两千一百零四千克， 再减去这八天的销售的量，就可以得到剩下的量是一千六百千克。那有的同学就会提到第四天没有给你销售量是多少，但是我们可以结合着第一个问求出来的反比例函数解析式来求出 销。第四天的销售量就是五十千克，然后再用一万二去除以一百五十得到八十，再用一千六除以八十就等于二十，也就是说余下的这些海产品预计再用二十天就可以全部售出。 反比例函数在实际问题和学科问题中有着广泛的应用，应用时呢多与待定系数法和求函数值结合起来。 但要注意的是，在实际问题中一般不会出现负数的情况，所以实际问题中自变量的取值范围要特别注意。 对于带有画出函数图像的题目，往往不会是完整的两只曲线，有时只是一只，有时只是一只的一部分，这点大家要特别注意一下。 那么我们今天的复习内容就到这里，大家回顾一下本节课所复习的内容。第一个就是反比例函数的概念与表达式，第二个就是反比例函数的图像与性质， 第三个就是反比例函数解决数学问题和实际问题。 今天的作业请各位同学完成复件中的作业。好，今天的课就到这里，谢谢大家的聆听，再见！

初中数学开学抢跑，今天我们学反比例函数求值，这是一道最近孩子在讨论的问题，说这个题目不知道如何去入手。其实当你学到了反比例函数和相似结合之后，你会发现很多几何里的一些小技巧小窍门的应用就会变得非常的普遍。 你说你看这个小题啊，他说如图所示，这里边有两个反比例函数，各取了一只，左边是 y 的 负的 x 分 之二，右边是 x 分 之三。如果我在这里边随机找了个 a 和 b， 只要能满足 aob， 这个角等于九 十度就可以。那么他就问，当你满足这个情况的时候，贪准它 a 的 时候呢？你就会发现，贪准它 a 在 这里边等于的是 o b 比上一个 o， 那么我们的目标就集中在我如何去求 o b 比 o a 了。很多同学正好在这就被卡住了，因为 o b 比 o a 从哪去想没招了，那么就回归到最基本的本质，大家想一想，当你在学反比例函数的时候啊，你的脑袋里边就要非常清晰， 所有反比例函数，你在遇到一个综合题没有思路，你要做辅助线的时候只能做什么？有没有两个大字在你的脑子里边想出来，只能做垂直。所有反比例函数的问题，如果遇到做辅助线只做垂直，因为当你做完垂直之后，你就会发现这个三角形它的 面积，因为这个东西 k 得的是一个负二，那么它的三角形的面积就得的是一。当你在这做完垂直，这个三角形的面积，因为它的 k 得三，所以它的面积就得二分之三。这是所有孩子都会的一个 东西，但是不一定代表你能在这个题目里面想到并且会去用。那你得到这一部分的时候，你又会发现这是直角，这是直角三垂直相似， 所以我在这里边我会发现你的三角形 a、 f、 o 和你的三角形 b、 e、 o， 它们之间的关系是个相似，相似的。面积比等于边长比的平方，所以 o、 b 比 o、 a 的 平方就得面积 比，那么左边的面积我们刚才说得一，右边的面积得的是一个二分之三，那我在这里边我就可以知道 o、 b 比 o、 a 不 就得三分之根号 六吗？那么三分之根号六是什么？三分之根号六在这里边就得的是它的 a， 这个题目就完了，是不轻松加愉快，就一个垂直就可以解决问题。

今天我们来讲解三角函数这个专题， 这个专题呢，我同样分为五个部分，第一个部分，定义及应用。这部分呢，会告诉大家一些三角函数的定义，书写要求，还有常见的三角函数值以及三角函数的图像，还有三角函数的应用。第二部分呢，是三角函数的整个计算问题， 三角函数它们之间的关系如何解？直角三角形以及三角函数的求解。这里面会告诉大家很多种方法，比如说做高法、角度转移法、角度平移法等等。还有一些特殊的三角函数时，我们该如何去求解？ 第三部分，三角函数与几何综合。这部分内容呢，非常非常的重要，我会讲解三角函数与三角形，四边形、翻折圆，还有函数它们之间的结合问题。那第四部分是三角函数的一些创新体系，包括规律探索、新定义、 指归作图、网格图、动点最直及胡不规模性啊。第五部分呢，我会找几道中考真题，看看大家掌握的情况。那三角函数在初中阶段呢，相对来说比较简单，他与高中的三角函数有什么区别呢？我们来看一道题， 这个是二零二五年全国高考的压轴题，三角函数放在了最后一道题，作为这一道压轴题，可想而知它的难度是非常非常大的。大家看看这个五倍的 cosine x， 还有 cosine 五 x， 这里面就涉及到了多倍角，涉及到了诱导公式，涉及到了激化和差 和插画机的共事，而且还有结合函数图像去求解。很多考生呢，基本上最后一问没办法把它做对，但是呢，在我们初中阶段，三角函数呢，相对来说比较简单，它主要考察三角函数与几何相结合的能力，但是呢，大家一定要打好基础， 对于你将来高中学好三角函数有非常大的帮助。那我们具体来看一下，我们先看第一个章节定义及应用。 三角函数的定义，我们所说的三角函数往往说的是锐角三角函数就是在一个直角三角形当中，我们如何去定义的？它有三个概念，正弦、 余弦，还有正切三 a， 就 记得角 a 的 正弦，它就等于角 a 的 对边比上斜边，也就是 a 比上 c， 那 余弦呢？我记得考三 a， 它就等于 a 的 邻边比上斜边， 就是 b 比乘 c， 那 正切呢，就摊进的 a， 它就是 a 的 对边，比上 a 的 邻边就是 a， b 乘 b。 当然除了这三个，还有余切、正割、余割等等，还有反三角函数，但是我们初中阶段呢，就这三个定义，大家只要需要掌握就可以了， 那我们来对三角函数做进一步的解释。首先第一个使用范围，正弦、余弦、正切，它们都是在直角三角形中定义了， 它反映的是直角三角形边与角的关系。那第二个本质是什么呀？正弦与弦正切都是一个比值，这个大家一定要记住啊，就是这个三角函数，它一定是一个比值， 是两条线段长度的比，是一个没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的大小无关。第三个思想， 角 a 的 正弦、余弦、正切，都是角 a 的 锐角三角函数。三 a 考三 a， 还有贪镜的 a， 都是以锐角 a 为自变量的函数，一旦 a 度数确定了，那他们的值就是唯一确定的。 那这里面所说的 a 一定是个锐角，即锐角三角函数值随着角度的变化而变化，那它的取值范围是多少呢？ 由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角形的值都为正实数，且三 a 是 零到一，考三 a 是 零到一，贪心的 a 是 大于零。这个我后面会在函数的图像中详细的介绍。 那我们来看一道例题，说在直角三角形 abc 当中，角 c 等于九十度，若三角形三边都缩小五倍，则 c 的 值是不是保持不变啊？ 因为 sin 的 值只与角度有关，与三角形的大小无关，都缩小了五倍，那它的比值是不是依然不变啊？所以这道题选 c， 主要考察的你对锐角三角函数定义是否真正的理解到位。 那我们再来看一道题，说如图，这个梯子长度保持不变，它与地面所成的锐角为而法则表述正确的是第一个说 sin 而法的值越大，梯子越陡， sin 而法的值越大，那儿法是不是越大，而法越大，梯子是不是越陡啊？ 所以第一个正确。第二个考三引，尔法的值越大，梯子越陡。考三引，尔法的值越大，那尔法是不是越小啊？尔法越小，梯子越不陡啊。所以第三个，贪念的尔法的值越小，梯子越陡， 贪念的尔法值越小，尔法也越小，所以它同样也错误。第四个说抖缓程度与尔法的函数值无关，所以它也是错误的。那最终是不是就选 a 啊？所以这是一道与实际结合非常紧密的一道题， 那我们来看下这个。第二部分是输血的要求。第一个，当锐角用一个大写字母或者是一个小写的希腊字母表示的时候， 习惯上省略了这个角的符号，比如说 sin a 或 sin 耳法，就不用说 sin 角 a 或者 sin 角耳法。那当锐角用三个大写字母或者一个阿拉伯数字的时候，这个角的符号就不能省略，比如说 sin 角 abc 或 sin 角二。 第三个，正弦余弦正切符号后面可以直接写锐角的度数，比如说 sin 十八度， sin 三十度， sin 六十度。 第四个就是 sin 的 平方， sin 的 平方可以表示 sin 乘以 sin， 但是呢，不能写成这种形式，不能把平方写到 a 的 地方，那这个平方一定要写在了三角函数后面，比如说啊， sin a 的 平方， tan 的 a 的 平方， 如果你想写到最后面，一定是加一个括号，这个是书写要求，也比较简单。第三部分就是常见的三角函数值， 我相信这张表每一个初中生都见过，而且老师要求必须把它背会，所以我的建议呢，你还是要尽量把它都背会，因为在中考的时候会经常考这样的计算题或者几何题，如果你背会了，那你做题速度会非常非常的迅速，而且它也非常的简单， 三 in 三十度，二分之一，三 in 四十五度，二分之根号二，三六十度，二分之根号三。考三 in 呢？跟三 in 是 不是正好的反过来啊？ 正好调个个中间是不是保持不变啊？三 in 四十五度和考三 in 四十五度是不是正好相等啊？它的三分之根号三一，还有根号三。很多同学说，如果真的记不住，或者害怕考场突然间忘记了怎么办？那你就把这个图画出来， 你画出一个直角三角形，有三十度与六十度，他们的边长是一根二三二，然后你再去求其它们的三角函数值就可以了。同样等腰直角三角形四十五度， 三英四十五度，考三英四十五度，还有它的四十五度是不是就一目了然了？当然你最好把前面的这个表格当中的每一个三角函数记住才是最好的。

好同学们，今天呢，我们来看中考必考的题型，嗯，反比例函数与一次函数以及和面积相结合，那我们来先把这道题完整的读一下，那说如图呢，点 a 和 b 是 在外轴上，然后点 c 和 d 是 在反比例函数 y 等于负 x 分 之四，以及 y 等于 x 分 之 k 的 图像上。 那我们说点 c 的 话，它的表达式就是 y 等于负的 x 分 之四，所以下面也就第四项线的这个反比函数图像的表达式，我们是能够清楚的知道的。那上面的话，第一项线的反比方表达式是 y 等于 x 分 之 k， 这个是我们需要求出来的。 然后第二又说四边形 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，那正方形的话呢，就是四条边都相等，每个角都是直角， 然后点 p 的 坐标三到四是在这个反比函数上。那第一问的话，那就很简单，把 p 点坐标求反比函数表达式，把反比函数图像的点代入，找一个点就行代入，然后能够求出来 k 等于十二，所以我的反比函数就是 y 等于 x 分 之十二， 所以我们把这个给它换一下这个表达式，我们就知道它是 y 等于 x 分 之十二。好了，下面第二问的话，正方形 a、 b、 c、 d 的 面积，那么我们这道题在反比函数图像里面求一个图形的面积，那它很大概率考的就是 k 的 一个几何意义。 但是我们说 k 的 几和 e 是 反比函数图像的点，往 x 轴和 y 轴做垂线所围成的这个矩形的面积就等于 k 的 绝对值。那我们来看这个正方形，其实我就可以以 x 轴进行分割，上面一个矩形，下面一个矩形，那上面这个矩形的话，也就是上面这个矩形的面积的话，就可以表示成 s。 正方形 a o 这个假设标一个 m， md， 这个四边形的面积的话，就等于 k 的 绝对值，也就是十二。然后下面这个正方，下面这个矩形 o， b， c， m 的 话，它的面积的话就是二，也是 k 的 绝对值，因为这里 k 是 负四，所以我们就是四，所以这个正方形的面积就是十二加四等于十六。所以一旦遇到在一个 反比函数图像里面去求一个规则图形的面积的话，我们首先考虑它是否表示的是 k 的 几何意义，所以这个同学们一定要注意。 我们来看第三问，第三问的话，他说连接 pc 交 a d 于点 e， 求点 e 的 坐标。这种类型题，我们在做的时候，他让我们求点 e 的 坐标，我们就要看点 e 是 怎么产生的，以及点 e 在 哪一个位置。 比如像这道题，我能看到图里面点 e 是 在这个位置，那我们就能发现点 e 它的纵坐标 与 a 点和 d 点的纵坐标是相同的，所以我只要求出来 a 点和 d 点的纵坐标呢？说明点 e 的 纵坐标就能求出来那点 e 是 怎么产生的。这一句话说的非常明确，他说点 e 是 pc 与 a、 d 的 交点， 那我们说 p、 c 与 a、 d 的 交点的话，那 a、 d， 那 就说明它的纵坐标与 a、 d 是 相同的，所以我们只需要求出来直线 b、 c 的 表达式，那我把点 d 的 纵坐标代入，那我是不就能求出来点 e 的 横坐标了？ 所以遇到这种题，一定要看看我们求的这个点，它的特殊性在哪里，它是怎么样出来的。好，那这道题的话，那我就要求 p c 的 表达式，那求 p c 表达式 p 点坐标有三到四，所以我的目的也就转移到了我要求点 c 的 坐标。 好，那我们来看点 c 在 哪？点 c 是 在反比函数图像上，且因为它题上告诉我们这是个正方形，所以点 c 是 正方形的一个顶点，所以点 c 的 横坐标 bc 的 长度呢，就是正方形的边长。那我们 根据上一位，我们能够得到正方形的面积是十六，所以正方形的边长就等于根号十六等于四。所以对于点 c 来说，它的横坐标是四的话，那我们求它的纵坐标，把它 把 x 等于四，代入到 y 等于负的 x 分 之四中，我们能求出来点 c 的 纵坐标为负一。 好，这是我们这个，那点 c 的 坐标求出来以后，刚才我们又知道点 c 的 点 p 的 坐标是三到四，所以这两个点一连立，我就能求出来直线 bc 的 表达式，那中间过程的话，老师就省略了。最后算下答案是负五 x 加上十九组成二次方组成求解就可写可以了。那求出来 bc 的 表达式是 y 等于负五 x 加十九。那我们刚才说了怎么求点 e 的 坐标，因为点 e 表示的是直线 pc 与 a d 的 交点，所以我只要求点 e 的 横坐标，那我就要把点 e 的 纵坐标带入。所以我们这道题的关键就在于，那我需要求出来的就是 o a 的 长度， 那 o a 的 长度怎么求呢？因为第一问，因为上面我们已经求出来点 c 的 纵坐标是负一，所以 o b 的 长度就等于一， 然后因为 ab 的 长度等于 bc 的 长度等于四，所以这要跟几何相结合，然后能够求出来。根据这个我就能求出来 o a 的 长度就等于 ab， 减去 ob 等于三，所以对于 点 e 的 纵坐标来说呢，它说明它的纵坐标就是三，所以我们把 y 等于三代入 负五， y 等于负五， x 加上十九里面，然后最后能求出 x 就 等于三分之十六，所以点 e 的 坐标就是三分之十六到 三。好，这就是简易的作弊。就这道题整体的过程，这道题的话，一般来说反比例和反比例的大题都在十八题或者十九题的位置，所以它的难度其实是中等的。那对于这种题的话，我们要反反映出来，那这里面不光是函数题，它还是一个几何题，因为它重点强调它是一个正方形， 所以我们要把函数的知识与几何的知识相结合去考虑这道题。所以这个题的话，那就既是你看第四，我们在写第三问的时候，我们就用到了第二问的一个结论， 那我们在写第二问的时候，就用到了 k 的 一个几何意义，所以一定要把函数和几何结合起来去思考这道题，这是这道题的一个讲解。

应粉丝要求，今天出一期反比例函数相关知识点和中考真题讲解。 hello 朋友们！今天要讲的是九年级下册的反比例函数。首先呢，我们可以看它的定义是形，如 y 等于 x， 分 之 k， 且 k 为常数， k 不 等于零。 如果 k 等于零的话，那么我们把它带进去之后， y 等于零了，它就不是反比例函数，所以 k 不 能等于零，而 x y 呢，也均不为零， x 不 为零，因为分母不能为零，所以 y 也不为零， 我们可以将它变形变行为 x， y 等于 k。 然后呢，就是反比例函数的图像，它图像是一个双曲线，并且无无限靠近坐标轴，但是不与坐标轴相交。然后呢，就是一个比较重要的知识点，就是它的增减性。首先呢，我们可以看，当 k 大 于零时， 它在这个双曲线在一三象限，并且 x y 随 x 增大而减小。 当 k 小 于零时，这个双曲线在二次象限，并且 y 随 x 的 增大而增大。但是啊，我们要注意，这个 y 随 x 增大而减小， y 随 x 增大而增大。前面一定要有一个限定词，叫做在每个象限内， 这个是一定要有的，一般平时练的练习册上的题会给大家挖这个坑。 然后呢，就是 k 的 几何 e 反比例函数图像上任意一点到坐标轴的垂线与坐标轴为成的矩形面积横为 k， 这是什么意思呢？就是反比例图像中任意一个点，我们比如说取这个点，我们向坐标轴的 呃，向 s 轴做垂线，向 y 轴做垂线，最后我们会得到一个矩形，而 s 轴上这个点就是它所对应的 x 值， y 轴上这个点就是它所对应的 y 值，而 s 乘 y 就 等于他们的这个 k 值，我们由这个变形可以得到。 然后呢，我们可以将这个矩形，将它沿对角线连接，可以看到，我们会分成两个三角形，而其中一个三角形呢，就是它的面积就是二分之一 k 的 绝对值。 我们来看第一题，已知反比例函数 y 等于 x， 分 之 b 的 图像，如图所示，则一次函数 y 等于 c， x 加 a 和二次函数 y 等于 ax 方加 b， x 加 c， 在 同一直角坐标系中的图像可能是。 我们先来观察一下这个反比例函数图像，可以看到这个双曲线，它是在二次象限，所以因此我们可以判断出 b 小 于零， 所以呢，我们就一个选项，一个选项来排除。首先我们来看 a 选项，由图像可知，这个二次函数抛物线开口向上，所以呢，我们就可以判断出它的 a 是 大于零的。一次函数图像呢，它是在一三象限，所以 c 也大于零。 但是一次函数图像是 y 等于 x 加 a， 那 个加 a， 它应该是 a 大 于零，对，它整个函数图像应该是在一二三象限，而它 a 选项是在一、三四象限，所以我们可以排除 a 选项。 我们来看 b 选项，二次函数抛物线开口向下，所以 a 小 于零啊。一次函数它数，它是在一三象限，所以 c 大 于零。 然后呢，我们来判断一下，由于 b 是 小于零，根据左同右异可以判断出对称轴应该在 y 轴左边，所以 b 排除。 我们来看 c 选项，由图可知，抛二次函数抛物线开口向下，所以 a 小 于零啊，一次函数在二次相切，所以 c 小 于零。 由于 c x 加 a， a 小 于零，所以整个一次函数图像应该在二、三、四象限，而题中的图像是在一、二、四象限，所以故 c 选项是错误。我们来看 d 选项， 二次函数抛物线开口向上，所以 a 大 于零。一次函数在二、四象限，所以 c 小 于零。 我们来先来检查一下一次函数 y 等于 c 加 a， a 大 于零，所以图像应该在一、二、四象限是对的。再来检查一下二次函数，我们可以看到这这个对称轴是在 y 轴的右侧，然后 b 小 于零， a 大 于零，左同右异。所以啊，这个二次函数图像也是正确的，所以此题选四 d。 接下来我们来看第二道题，如图，在平面直角坐标系中，点 a， b。 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k， x 大 于零的图像上，点 a 的 坐标为 m 勾二连接 o， a， o， b， a， b。 若 o， a 等于 ab， 角 o， a， b 等于九十度，则 k 的 值为。 我们首先来看一下已知条件， a 是 m 勾二 o， a， b 等于九十度。 我们先来做一条辅助线，首先过点 a 做 a， c 垂直于 y 轴于点 c。 然后呢，再延长 c， a 过点 b 做 b， d 垂直于 a， c 于点 d， 我 们就可以构成一个，我们就可以构成三个直角三角形。我们注意观察三角形 a， o， c 和三角形 a， b， d 里面都有一个九十度的直角， 然后 o， a 等于 ab， 也就是说，我们再找一个角，就可以使这两个三角形全等。那么大家请看，角 c， a， o 加上角 d， a， b 等于九十度，而角 c a， o 加上角 c， o， a 等于九十度，所以角 c， o， a 等于角 d a b， 所以 这两个角相等。根据 as， 我 们可以判断这两个三角形全等。我来给大家画上这两个图，黑的三角形全等。 根据我们刚才这个点 a 的 坐标为 m 二，可以判断出 a， c， 它的长是 m， 然后 o， c 的 长是二，然后它们两个还全等，所以 b、 d 的 长是 m， ad 的 长是二， 所以我们点 b 的 坐标就可以表示为 m 加二到 m 二减 m。 根据 k 的 几何意义，反比例函数图像上的任意一点，它的横坐标之积为 k， 也就是说，不管是点 a 还是点 b， 它们的 s 轴和 y 轴的积都是一个数。所以 我们先用点 a 来乘 m 乘二，等于点 b 的 横坐标之积 m 加二乘二减 m， 最后我们解得 m 一 等于负一，加根号五， m 二等于负一，减根号五，而负一减根号五需要舍去，因为我们可以观察到这个函数图像，它是在第一象限， 而这个解是一个负数，所以我们应该舍去这个解，而留下第一个解。所以点 a 的 坐标我们就可以求出来了。将 m 带进去，等于负一加根号五。逗二。所以我们要求 k 值的话，就用点 a 坐标之积就可以了，也就是最后的二倍，根号五减二。

这两天有点事，没有及时给大家更新视频，那么今天给大家说几个我们反比例函数当中比较常见的模型结论，大家能记住更好，其实我们主要去体会的啊，还是我们当中的一个证明思路。 那么第一个就是我们的一点一垂直模型，那么这个其实很简单，我们直接写了啊，在这里我们求的是阴影部分的面积，比如说三角形 p u、 a， 它的面积其实就是我们二分之 k 的 一个绝对值。然后第二个我们之前也说过了，比较简单啊，它在这里求的是我们矩形 s 举 a、 b、 o、 c 的 一个面积，它其实就是我们 k 的 一个绝对值。 那么从第三个开始啊，我们简单的给大家来证明一下，在这里我们求的啊，还是我们三角形的一个面积，那么怎么去求我们三角形的面积？它就是我们二分之一乘底，乘高就 ok 了。 那么第一个我们这个三角形 a、 b、 c 的 面积等于多少？我们用二分之一底是谁啊？在这里我们标了这里有一个垂直， 我是不是可以以 bc 为底啊？然后我们做一下延长线，我过 a 点做一条勾，就是 a h， 那 么这个三角形的面积它就是二分之一乘 bc， 我们再乘 a， 这就可以了吧。那么具体是多少呀？我们来观察一下这个图啊。在这里我们 ab 这条直线是过圆点的，所以说我们 ab 关于圆点肯定是乘一个中对称的，如果说我 b 点的坐标是 x， 逗号 y， 那 么 a 点的坐标肯定就是负 x， 逗号 负外，所以说 bc 的 长度我们是不是有了呀，它就是我们 b 点的一个横坐标，就是 x b， 然后我们乘什么？是不是乘 a h 啊？ a h 的 长度等于什么呀？我们是不是在图里面可以看出来，其实就是我们这一段加上我们这一段啊？那么我们找一下呗， 这一段多长呀？我先看看啊。这个 h 点的坐标，纵坐标就是 b 点的一个纵坐标， 说负 x 的 话 y， 所以 说这一段其实就是 y， 对 吧？然后下面这一小段呢？我要正的，所以说这里我们应该是一个负 y 的 对值吧，所以说在这里我们乘的应该是一个，我直接化简了，我是不是乘一个二 y 就 行了呀？ 那么所以说这我再写一个，就是二分之一，是不是 x 乘二 y， 然后你这个二一消，那么他就是 x 乘 y， 也就是我们的 k 了，对吧？当然啊，你这个图我们过的是一个一三相线，你这里 k 是 大于零的，我直接写 k， 可以。 那么如果说我们过的是一个二四相线，你那个 k 是 不是小于零了呀？ 那么在这里一样呢？我们做的话，我还是把 b c 沿出去，我们过 a 点做一个垂线，你 a c 两点是不是也是关于圆点成对称的呀？所以说在这里我们三角形 abc 的 面积，它就是二分之一乘 bc， 我 们再乘一个 a， 是 了吧？ 然后你二分之一乘 bc， bc 多长呀？它其实就是我们 c 点的一个纵坐标吧，就是 y b， 然后你 a h 多长呀？其实就是这一段，我是不是加上这一段了？这两段 我肯定是相等的，对吧？跟刚才是一样的啊，那么我们是不是乘一个二倍的，是不是 x a 就 行了呀？那么在这里啊，你一乘这是二分之一，我们直接化简乘以 y， 是 不是再乘二倍的 x， 那么最后就是 x， y 也是等于 k， 那 么注意这里是我们过的是二次向量，所以说 k 我 们应该加一个绝对值，然后第三个是我们求我们一个平行四边形的面积，在这里还是看面积，我们这个平行四边形的面积是不是它就等于底乘高啊？ 所以说我们找的话，我们把这个平行四边形的底和高是不是找出来就 ok 了呀？一样的啊，还是观察一下我 b、 d 两点是不是这条直线，我过的是圆点，对吧？所以说它们俩肯定也是关于圆点成正对称的。那假如说 b 是 x， 逗号 y 的 话， 你第一点就是负 x， 逗号负 y， 对 吧？那么你平行四边形 a， d， c b， 那 么它就是等于我们的 ab， 然后我们过 c 点，是不有一条高，就是我们乘一个 ac 就 可以了吧？ ab 是 多少？他就是我们 b 点的横坐标，就乘个 x， 然后 ac 呢？其实他就是我们的 这一段，是不是加这一段了呀？然后你这一段他就是 y 了，对吧？那你这一段呢？他的长度是不是负 y 的 一个绝对值，对吧？所以说我们去节用 x 去乘一个二 y 就 行了吧，所以说这是二倍的 x， y 也就是二 k， 然后下面还是一样的啊，在这里我们过的就是我们的二十四向下了，那么它的面积等于多少呀？还是 s a， b， c， d 一 样的啊，我们可以以 ab 为底，然后以 b、 d 为高吧，我去找它的长度，你 ab 的 长度还是我们还去设一下吧，假如说 a 点是 x 多少 y， 那 你这就是负 x 多少 y， 然后 ab 多长，它是不是就是我们 a 点的一个中坐标，就是 y 了，对吧？那你 b、 d 呢？找一下，是不是就这一段加上我们这一段啊？那么它多长呀？你这一段就是我们 a 点的一个横坐标吧，是 x， 那 同样的这里 我们是不是也是 x？ 注意啊，你这 x 是 不是小于零的呀？所以说在这我们乘的应该是一个 二倍的 x 的 一个绝对值吧，那么它就是二 x 的 值，我们再乘一个 y， 那 么也就是我们二倍的 k 的 一个绝对值。这第四个模型， 那么接着我们再看另一个，还是我们的两线两垂直，这是另一个了另一种模型了，那么这个面积其实也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也好看，它就是我们二分之一乘 c、 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那么在这里也很简单，我们求三角形 a、 bc， 我 们找它们的长度就行了，对吧？还是一样的，你 a、 b 肯定关于原点对称，那么你这段长度，如果说你设 b 是 x 的 话， y 的 话，那你 c、 b 肯定就是 二 x 了吧，你 c 肯定就是二 y 了吧，所以说它就是二分之一乘二 x 乘二 y， 也就是我们二倍的 x， y 也就是二倍 k 的 绝对值，那么后边这个图也是我们不难想，它肯定也是我们二倍的一个 k 的 对值。 第五个两条同号 k 值曲线加一个平行线，然后围成了我们的一个矩形，问我们这个矩形的面积是多少？在这里我们说看两条曲线的对吧？假如说上面是 y 一 等于 x 分 之 k 一， 那 y 二我们是不是等于 x 分 之 k 二，那么这个矩形面积我们怎么求啊？ 那么我们可以通过做差法去表示一下我们这个面积，那么我们怎么做差啊？我们可以因为你这个 d、 c 和你的 ab 是 平行的，我们可以过 cd， 我 们做下延长线，那么你这是肯定也是垂直的呀，标一个点 g 吧， 那么我们这个 s， d， c， b， a， 它的面积我是不是可以转化成为我们矩形 s， c， b， o， g 减去我们矩形的另一个矩形，就是 d， a、 o， g 的 一个面积， 你 c、 b、 o， g 是 不是相当于我过外面的一条，我往 y 轴，往 a 轴做垂线，那么它的面积是不是就是我们的 k 一 了呀？然后你这个 d， a、 o、 g 呢？是过地点，你往 y 轴和 a 轴做垂线，那么你这个面积是不是就是我们的 k 二了呀？所以说你 d、 c、 b， a 的 面积就是我们 k 一 减 k 二，然后这还剩我们在 d 一 象限的，你 k 大 于零的，我们这样写，可以，那么如果说你在 二次相切呢？那么其实这里是一样的，我们还是过 c 点，我们做一个垂线，你这个矩形 d， c， b， a 的 面积，它还是等于我们我们这个大矩形啊，就是 a、 o、 g， d 减我们这个小矩形 b、 o、 g， c 吧，你大矩形面积在这里我们就需要加一个绝对值了，你外边这个还是 y 等于 x 分 之 k 一， 你里边这个是 y 等于 x 分 之 k 二。 你大的减小的，是不是还是我们 k 一 减 k 二啊？只不过我们过的二次相线，所以说在这里啊，我们加一个极对值，那么下一个在这是让我们求一个三角形面积，已知你的 a、 b 和内轴还是平行的，你是不是我们也可以做一条延长线呀？就是我们的 a、 d 也是垂直于我们的 y 轴的，在这里你求我们阴影部分的面积，假如说还是一样的，这外面这是 y 等于 x 分 之 k 一， 里面这是 y 等于 x 分 之 k 二。我们是不是也可以用一个做差法去确定啊？ 在这里你三角形 a、 b、 o 的 一个面积，它是不是就是我们这个大三角形 a、 o、 d 减，你那个三角形 b、 o d 啊？你 a、 o、 d 的 面积在这是多少呀？它 a 点，在这个图像上，你是不是过 a 点做 a 轴外轴的一个垂线，所以说它的面积就是我们的 二分之 k 一 吧，那么你另一个就是我们的二分之 k 二了吧，那么这是第一种，那么这是在一三下线，那么如果说在二四下线呢？一样的，你过这里我们做一条垂线， 那么你 s、 a、 b、 o 的 面积是不是还是等于你这个 s a、 o d 减去 s 三角形 b、 o、 d 啊？ 那么在这里你就需要加一个绝对值了吧？还是一样的，就是我们外面这个是 y 等于 x 分 之 k 一， 里边是 y 等于 x 分 之 k 二，那么它就是我们二分之 k 一 的一个绝对值，是不是减去我们二分之 k 二的一个绝对值了？那么继续往下一个两条异号 k 就 取线， 这个我们怎么求啊？方法其实很简单，跟刚才一样，在这里，假如说我们右边这个是 y 等于 x 分 之 k 一 啊，你左边这个是 y 等于 x 分 之 k 二啊， 你 ab 和 ab 平行，所以说在这我都是垂直的，那么所以说你这个 s a、 o b 的 面积，三角形 a、 o d， 我 们设的是一个点 d， 是 不就是 a o d 加上三角形 b o d 了呀？ 你 a、 o d 的 面积就是我们二分之 k 二的一个绝对值吧，然后你再加上二分之我们 k 一 的绝对值就可以了吧，然后第二个也一样， 所以这个焦点是 d 啊，你 a b 和 y 轴平行的，在这里是，所以说在这我们是不是也是垂直的？那你 x 三角形 a、 o b， 它就等于 s 三角形 a o d 加 s 三角形 b、 o d， 设一下，上面是 x 分 之 k 一，下面是 y 等于 x 分 之 k 二， 那么所以说它的面积就是我们二分之 k 一 加上二分之 k 二吧，你可以都加个绝对值， 一样的啊。然后下一个求矩形了，你矩形也一样，你就是我们稍微简单点讲了啊，你这是 s 一， 这是 s 二啊，你 s 一 加 s 二，你这是这个 k 值是 k 一， 你这个 k 值是 k 二，那么你算的话，是不是也就是 k 一 的一个绝对值？假设我们 k 二的一个绝对值啊？ 然后在这里一样，这是 s 一， 这是 s 二，那你 s 一 加 s 二，它也是我们 k 一 的一个绝对值，加我们 k 二的一个绝对值了。接着我们看第七个梯形面积模型，在这里它也可以叫做圆点三角形， 那么这个图形的面积我们怎么去求啊？如果说我们用常规的方法去求你这个三角形，它是一个不规则的，对吧？你用常规的方法求它肯定不太好求，我们怎么去做呢？我们可以过 a 点往下做一个垂线， 你交 o、 b 有 点 c， 交 a 轴有点 d， 你 再过 b 点往下做一个垂线，你交 a 轴有一点 h， 其实 很简单，我们是不是可以得到我们这个三角形 a、 o、 t 的 面积，肯定是等于三角形 b、 o、 h 的 面积啊？ 你在这里你会发现啊，我们这两个三角形是不是有一个重合的部分呀？就是我们的三角形 o、 c、 d， 对 吧？那假如说你 o、 c、 d 上面我这个三角形是 s 一 啊，然后你 o、 c、 d 右边这是不是 s 二啊？你 a、 o、 h， 它是不是 s 加上你这个 s 蓝色的部分呀？那么你 b、 o、 h 它是不是 s 二，加上你这个 s 蓝色的部分，那么所以说我们可以得到 我们 s 一， 它肯定等于 s 二了。所以说你 a、 d 这条直线啊，你左边红色的阴影部分，我是不是可以放在我们右边去了呀？那么这我们是不是就不要了？ 这里我们是不是不要了呀？所以说我们求面积，我们求的是三角形 a、 o、 b 的 面积，在这里它是不是应该等于我们梯形 b、 h、 o a 的 一个面积？所以说我们求它是不是就可以了呀？那么也就是 b h 加 a d 阔起来，你乘个高高就是 d h， 你 再乘二分之一就可以了吧？这是一个转化啊。那么继续我们看右边这个图，在右边这个图当中，它只不过就是在每一条曲线上给我们取了两个点，然后我们连接它，我们并与点 o 相连，在这里我们还是有一个三十的面积， 那么这个面积我们如果说直接去求的话，也是不太好求的，那么这个我们怎么做呢？给大家说一下啊，你在这里我们有点 b， 哎，我 b o 是 不是连上了呀？那么我是不是可以 过 o 点哎，我给它延长出去啊？你看啊，那么你与这个坐标轴我是不是还会交了一个点？那么假如说啊，我们这个点是点 c 啊，然后你再把谁连上呀？你再把这个 a、 c 连上， 那么你现在有两个三角形，一个三角形是 s， 三角形 a、 b o， 另一个三角形是 s， 三角形 a、 o、 c， 那 它的面积是什么关系呢？你知道你这个 b 点和我们这个 c 点关于圆点肯定是对称的，所以说我们在这里可以得到我们 b o 肯定等于 o c， 对 不对？所以说你在这个三角形 abc 当中，你 b o， 我 们是不是等于 oc 了呀？所以说你这个 a o 它是不是就是我们底边 bc 上的一个中线的呀？那么中线有什么性质啊？比如说在一个三角形里边啊， abc， 我 取一个中点，我是不是可以得到我们这个三角形 abd 的 面积， 肯定等于三角形 a、 d、 c 的 面积啊？中线我们是等分面积的，所以说在这里啊，我们 a、 b、 o 的 面积肯定等于我们 a、 o、 c 的 一个面积，然后我们求红色阴影布的面积，我是不是可以转化成求我们 绿色阴影布的一个面积，那么绿色阴影布面积怎么求啊？哎，它是不是和我们第一个图就一样的呀？那么你绿色阴影布的面积，我是不是可以给它转化成一个梯形的面积啊？你过 a 点， 你往下做一个垂线，你过 c 点往下做一个垂线，那么你蓝色左边这个绿色的面积，我是 s 一 啊，然后你这个空白部分， 我是 s 二啊，那在这里啊，我们 s 一， 我是不是等于 s 二的呀？所以说我们求 a o c 的 面积，我们就可以让 x 二加 s 三就行了吧，我是不是又转化成了一个梯形的面积啊？所以说这是我们的梯形面积模型啊。第八个，双曲线穿矩形模型。在这里我们先说一下这个图的一个结论， 第一个就是我们用 b f 比上 fc， 它是应该等于我们的 a e 比上 ec 的。 第二个就如果说把 ef 连上，再把 ab 连上，你这个 ef 跟 ab 是 一个平行的关系，那么具体的啊，我们怎么去正一下它呀？那我看这个图 ef 两点啊，我们都是在这个反比函数上的，那么如果说我们过 e 点，我们往下做一个垂线， 然后我们会得到啊，你这个矩形整个的就是 a o b c， 它的面积就是我们矩形 a o h e， 是 不是加上我们这个矩形 e h b c 啊？这个也没问题，对吧？那么还是一样的，你 f 点是不是也在这个图像上的呀？哎，我们如果说过 f 点，你再做一条垂线，这是一点 m， 那么我是不是可以得到你这个矩形 a、 o b c 也是两个矩形相加，对吧？它就是我们的矩形 b o m f 加我们的矩形 a c f m 吧，那么你这两个矩形我们看一下啊，你 a o h e 和你的 b o m f， 它的面积是不是都是我们 k 的 一个绝对值啊？所以说通过这两个调节，我们可以得到你这个矩形 e h b c， 它肯定就是等于我们矩形 a c f m 的， 那么这两面是相等的，那么我们再看这里啊，我们正一个比的关系，那么我们正比的关系我们可以怎么正？也就是说我们看第一组啊，你正 b f bfc 在 这里啊，我们是通过一个矩形的面积是正的啊，你在这里，我们矩形的面积我们用哪一个？你在这里我们先看一下这个 b f、 m o 啊，然后比上我们这个矩形 a c m f， 那 你矩形面积怎么求？你 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 在 这里，我们是不是可以用我们的 b f m o 呀？那么比上谁？你 a c m f， 他 在这里是不是就是我们的 f c 去乘我们的 m f 呀？你 m f 约掉在这里，我是不是得到了 b f 比上我们这个 f c 啊？那么另一组也是一样的啊，我们要谁比谁，是不是要 a e 比 e c 啊？那么我是不是可以用我们的矩形 a e h o 比上我们的矩形 e h b c 啊？那么它就是用我们的 a e 乘 a o 比上我们下面这个就是 e c， 是 不是乘了 a o 啊？ 那么 a o o 约掉他，是不是就来了一个 a e b e c 啊？那么为什么他们的比值相等啊？你前面我们刚才说了，你这两个矩形的面积是相等的，所以说我们可以得到你这两个矩形的面积是不是也是相等的呀？所以说我们通过前面这几个条件啊，我们是不是可以得到 我们的 b f 比上 f c， 它就应该等于我们 a e 比上 e c 了呀？那么这是第一个啊，它的一个边的一个比例，那么第二个我们怎么去称啊？在这里啊，我给大家连上， 用黑色的，我们把 e、 f 还有 a、 b 跟它一连，那么为什么说它是平行的呢？那么刚才我们第一个结论我们证出来了啊，你两条边是成比例的，哎，在这里啊，我们有一个直角，如果说你 b f 比 f c 等于 a， e 比 e c 的 话，那么我是不是可以得到？ 就有这个条件，我是不是可以得到我们的 a c 比上我们的 e c 肯定是等于我们的 bc 比上一个 fc 的 呀？然后其中我们这个角 c 是 公共角啊，那你这个角 c 是 公共角，它是不是等于九度？所以说通过它我是不是可以得到我们三角形 abc 是 相似于我们三角形 e、 c、 f 的 呀？那么我们用的是啊，是 s、 a、 s 边角边吗？如果说相似的话，我们得的话，是不是就是这两个角肯定相等了呀？然后你这两个角是不是也相等的呀？然后内错角相等，是不是两直线平行，所以说我就可以得到我们的 e f 是 不是平行于 a b 了呀？ 第九个双曲线穿直线模型。在这里我们先说结论，它的 c b 肯定是等于 a、 d 的， 我们怎么去证它是相等的呀？那么肯定是证全等呗。那么在这里啊，我们就需要构建一个全等向量形，怎么去构建？我是不是可以过 b 一 点， 你往这里做条垂线，假如说这是 b h， 然后你过 a 点，你往下做垂线，这是 am， 那 么你是不是可以正 b c h 全等于我们去正三角形 b c h 是 不全等于三角形 a d m 就 可以了呀？那么我们找找条件啊，在这里就是指向，然后你这两个角再除以 alpha 和 b， 它，那么我们是不是有 alpha 加 b， 它肯定等于九十度啊？那么我们这个 b， 它啊，是不是加上你这个角 m a d， 他也等于九十度啊？由此我是不是可以得到我们这个角 m a d 肯定就等于我们这个角 r f 了吧？所以说我们标一下，这个角就是 r f， 由此你这个角是被他了呀，然后 你这个角是被他，你这个角是被他。哎，我是不是可以得到？再推一步，那么是不是 h b， 我 们就平行于我们这个 md 了呀？ 然后你正全等在这里，我们有角等了，三个角都是相等的，那么我是不是找一组边就可以了呀？在这里啊，我们找谁？我们找的是 h b 和 md 是 相等的，因为这里有一组平行了吧。那么如果说我们把谁连上，我们把这个 h m e 连， 我们去正，我们有一个四边形了吧？就是我们去正啊，你这个四边形 h b d m， 我 们是一个平行四边形就可以了吧？你有一组边是平行了，我是不是要另一组边是平行就可以，它就是一个平行四边形了？那么我们平行四边形是不是肯定有对边？肯定是相等的呀？我们 h b 是 不肯定就等于 md 了呀？ 那么我们怎么去证它是平行四边形呢？在这里我们就需要用到我们上一个模型的一个结论，我们把它摘出来看一下啊，比如说我们坐标系当中 简单给大家画一下，这是垂直，然后这有一个点，这有一个点， 我这做了个垂直，然后过这里做了个垂直，我连接了它，然后又连接了它， 那么它就类似于我们上个模型，哎，这是垂直的啊，这也是垂直的，我是不是可以把它延延长出去啊？我是不是可以给它补成一个矩形，然后放在我们这个模型当中，也就是说我们过 b 点，我们延长出去，然后你过 a 点，我们再延长出去， 它也就是我们那个双曲线穿矩形的那个模型了吧？我们刚才正了啊，我们这个 b a， 哎， 在这个模型当中是不是肯定是平行于我们这个 hm 的 呀？所以说这个平行形我们就挣出来了，利用的就是什么啊？我们刚才那个双曲线穿矩形， 那么我们正得我们这个 b a 是 不是平行于我们这个 hm 的 呀？由此我们是不是可以得到我们这个 m d 肯定是等于 b h 的 呀？那么它既然相等了，也就说我们这个三角形是不是全等了呀？所以说最后我们退出来，我们这个 c b， 我 们是不是等于我们这个 a d 的 呀？

同学们，我们来看看这道反比例函数问题如何去解决。 反比例函数有一个非常重要的方法，叫什么方法呢？是坐标法， 这个 c 是 o， a 的 中点，那我们就去设 a 点的坐标，横坐标是 m， 正坐标是 c 点的坐标吧。我们设 c 点的坐标，横这边是 m， 正坐标是 m， 分 之 k。 因为 c 是 o， a 的 中点，所以用可以表示出 a 的 坐标，横坐标是二 m， 纵坐标是 m， 分 之二 k， 那 么 d 也在反比函数图像上， g 的 横坐标是二 m， 纵坐标是二 m 分 之 k， 那这个三角形 b， d， e 的 面积是二分之一 b， e 乘以 b， d 是 二分之一 b， e 这边是二 m 零这边是 m， 零就是 b， 就是 m， 再乘以 b， d 是 二 m 分 之五的吧，是四分之 k 等于四分之五，可以算出 k 就 等于五。