山东滨州中考数学几何题解题思路

距离滨州中考仅剩八十五天，数学只有六七十分怎么办？大家好，我是滨州教育讲实话、讲真话的刘老师，曾帮助近千名学生考入理想高中， 家的数学是不是也是在六十分到九十分之间徘徊？是不是上课听得懂一道错题就蒙圈？今天刘老师可以明确告诉大家，这个分数段不是智商的问题，而是方法错了。今天刘老师就把最落地的题拍路线直接给大家讲清楚，大家只要照着做，一样可以冲到几百分以上。 每天九十分钟，共分三步，走第一步专题突破，只抓高频的中档题。方程有不等式应用，一次函数有反比例函数、三角形全等相似解，直角、三角形、四边形，证明计算概率与统计。每天一个难题，练会一个过一个。第二分题限时做， 只做选择的一到十二题，填空的一到四题，解答题的前四到五题，最后两道加油题直接可以放弃， 把时间留给那些拿分的题目，不浪费精力。第三是错题复盘，只盯三类错误，审题看错的关键词、题型模型，不会计算和步骤不规范。每周日把本周的错题重新做一遍， 以刷十套的新试卷都管用。六十分到九十分，这个范式课的核心题型规律就是，中道题不丢分，基本题不丢分，规范步骤不丢分。 只要我们的中大企业正确率能够稳定在百分之九十以上，冲上一百分一点都不难。各位滨州家长，你还有出身高方面的什么样的困惑？评论区打出六七八录取吧！告诉我，我是滨州教育刘老师，关注我，中考路上，我们一起加油！

看看这道题啊，怎么来处理， 给大家证明一下定角夹定高的结论啊， 什么结论呢？就是它定角夹定高，底边最短 b 等腰啊。来，我们看一下这个模型，在三角形 a b p 中，角 a p b 等于阿尔法，它是一个确定的角啊， 然后 p h 垂直于 ab， 那 p h 就是 这个角所夹的一条高，这个高它也是一个定值，我们用小写字母 h 来表示，然后让我们确定何时这个 ab 啊，就下面这条边它最短。好， 当然结论就是他啊，只有当 p a b 为等腰三角形时，就是 p a 等于 p b 时，这个 a b 一定是最短的。好，那如何证明？我们只需要做出三角形 p a b 的 外接圆，然后把它的圆心和三个顶点给他连接上， 再过点 o 向 ab 做一条垂线段。首先呢，我们根据圆周角与圆心角的关系，不难求出 a o g 这个角度也应该是 r 法吧，对吧？此时这个半径啊，我们用小写字母 r 来代，来代替啊，来代替。 好，那接下来怎么推导这个 ab 最小值，怎么证明他是一个等腰三角形呢？好，这样啊，根据我们所做的辅助线，不难看出， ab 应该等于二倍的 ag， 等于二倍的 a g， 然后在这个直角三角形当中，再借助锐角三角函数啊，这个 a g 可以 用这个半径 r 和这个角度 r 来替换啊， 也就是说，这个 a g 比上斜边 a o， 它是不是应该等于三根 r 啊，所以最终就可以得出 a g 等于 r 乘三根 r。 好， 所以这个式子我们接着替换啊，它可以换成什么？ 这个 a g 换成 r 乘个塞阴 r 法对不对？所以 ab 最终变成了它？好，那我们要想让 ab 最小，那在这个式子当中，也就是让这个半径 r 最小，对不对？因为 r 和塞阴 r 法都是定值， 那这个半径最小又如何确定呢？最终要根据 po 加 o g 一定是大于大于等于 ph 的。 来，我们写一下啊， po 加上这个 o g 一定大于等于 p h， 对 吧？接下来呢，我们把这个 po 和 og 也用半径来替换， 其中这个 o p 它本身就是一个半径 r 再加上谁啊？ og 同样用锐角三角函数啊，那这回得用 r 法的余弦值了吧。零点比斜边等于 cosinear， 所以 这个 og 它应该等于 r 乘 cosinear 法 一定大于等于 ph， 其中 ph 是 个定值，它是定高啊，这个高，我们用小写字母 h 来表示的，对不对？好在这个不等关系当中，想一想啊，当什么时候这个半径才能最小呢？ 只有取等于号是吧？因为 h 是 一个定值，对不对？它是一个定值啊，那你要想让 r 最小，只有当它跟 h 相等时，这个半径就是最小的。 好，那什么时候他与 h 才能相等呢？他俩相等，言外之意不就是他们两个相等吗？哎，也就是 p o 加 o g 等于 p h， 对 吧？所以只有当 h 运动到与这个点 g 重合时，当他们重合时啊，这个半径 r 就 一定是，就一定是最小的。 最终啊，当这个 h g 重合时，得到的图形，那就是这种情况啊，就是这种情况，所以最终我们就可以得出，此时 p a b 这个三角形就一定是等腰三角形。看看这道题啊，怎么来处理，给了我们一个三角形， a b c 角 b a c 等于六十度， a d 垂直 bc， 其中这个 a d 为六啊，那这是一个典型的定角夹定高的问题，最后让我们求这个三角形的周长的最小值 啊，那这道题它不仅仅是让我们求这个底边的最小值啊，是吧？之前给大家讲过，定角夹六定高，底边要想最短， 那这个三角形一定是一个等腰三角形哎，也就是当这个他是等腰三角形时，底边最短。但这道题呢，他是让我们求这三边和的最小值，所以需要我们进一步的去转化。如何转化？我们只需要将 c b 向左给它延长， 延长到点 e 吧，使 b e 等于 ab， 我 连接 a e， 那 这是不是一个等腰三角形，那这条边就转换成它了。同样的道理，我把 b c 要是向右延长呢？延长到点 f， 使 ac 和 cf 相等，那 ac 就 转化成 cf， 再连接 af， 那这个 acf 它同样是一个等腰三角形，对吧？所以最后这个周长 ab 加 bc 加 ac， 那 就变成了 be 加 bc 加 cf， 实际上就是这个 ef 的 长。所以这道题最终就转化成让我们求 ef 的 最小值， 而这个角他此时也是一个定角，这个定角是不是就应该是一百二十度啊？怎么正的？因为这个顶角 b a c， 他 是六十度，然后我们设这个角为 r 法，那这个小的这个小角也是 r 法，这两个底角相等， 然后这边这个等腰当中呢两个底角我分别设为贝塔。根据外角啊，那这个角就应该是二 r 法，这个角就应该是二贝塔。 有了顶角为六十度，我们就可以得到二阿尔法加上二贝塔，那他就应该等于一百二十度吧，所以就可以推出阿尔法加贝塔等于多少啊？除个二是不是就是六十度？阿尔法加贝塔，好，阿尔法加贝塔六十度，顶角也是六十度，所以整个这个大钝角啊，他就变成了一百二十度了， 所以我们就给他转化成了一个新的定角加定角，那就是整个这个大三角形，他的定角为一百二十度， 哎，这是固定的角，而他所夹的高呢，是一个定值为六，根据定角夹定高，底边最短必等腰。比如说你要想让 e f 最小，那就说明此时 a e f 他 一定是一个等腰三角形好，当他为等腰三角形时，根据三线合一，那这个角就应该是六十度， 此时这个阿尔法就应该是三十度，对吧？三十度的直角三角形中，三边关系是一比二，比根号三，那你这个是六啊，所以 d e 的 长就应该是六倍的根号三，所以最终 e f 就是 他的两倍，他的最小值就是这个十二倍的根号三啊。

哇，你也太厉害了吧，这么难的瓜豆都被你刷到了，那我们一起通过一道题来走进瓜豆原理。那首先啊，在这道题里面，这里有一条直线， y 等于负的二分之 x 加二， 哎，然后接下来呢，他说这个 p 点是一斗零， q 呢，是直线上的一个动点， 并且呢， p q 撇和 p q 呢，既是垂直的，也是相等的。现在让我们去看 o q 撇的最小值， 这道题呢，我们要去求 o q 撇的最小值，所以呢， o 点和 q 撇点的身份很重要，那这里 o 点是一个定点， q 撇点呢，肯定是个动点了，对吧，那它到底在哪里动呢？哎，我们得去研究清楚，那这里它就完全符合瓜豆原理的条件，所以呢，哎，我们把这个 q 点啊看作是一个主动点， 主动点呢，在线上动的话，那么这个 q 撇点作为它的从动点呢，也就得在线上动，这就叫做种瓜得瓜。那如果主动点在圆上动的话呢，从动点的 q 撇也就在圆上动了，这就叫做种豆得豆。 好的，那么瓜豆原理的条件是什么呢？哎，就三个三定，分别叫做定点、定笔和定角。哎，那在这里的话呢，我们看啊，这个 q 点呢，相当于绕着 p 点，然后呢顺时针旋转了九十度， 所以呢，这里满足了定点，找到定点就是 p 点，对吧，然后定角呢，就是这个九十度，并且呢，这里的这个 p q 和 p q 撇的长度刚刚好就是相等的，所以呢，满足定比是一比一，哎，当然有的时候呢，还会缩放， 比如说这里转过来之后呢，哎，变成它的二倍了，哎，它也是符合刮豆原理的。好的，那我们来看一下啊，定点满足是定点 p 定比呢？满足一比一定角呢，就是九十度。 ok， 好 的，那么它既然是刮痘的话呢，我们就可以用刮痘的方法来解它了，那这里 q 点啊，我们可以找到它其中一个特殊的位置状态，比如说 q 点，在这个直线与 x 轴的交点 a 处的时候，哎，这个位置比较特殊，对吧？你可以叫它是 q 的 起点了，也可以叫它是终点了，哎，其实无所谓，对吧，它就是一个特殊的点， 随便抓一个，比如说你抓这个点也行，他也很特殊，对吧？那我抓这个，这个靠的近一点，好，那么此时呢，我们要找到，哎，他对应的那个 a 撇点在哪里， 哎，那我们知道这里呢，是绕着 p 点，然后呢顺时针旋转了九十度，对吧？长度不变， a 撇点就在这个位置吧。好的，那么接下来要干一件非常重要的事情，就是把这个 a 撇点呢，跟这个 q 撇点啊，给他连接起来， 那么两点，确定一条直线，我知道 q 撇是在直线上运动的了，对吧？那么所以呢，有了 a 撇，有了 q 撇，那么 它 q 撇点的运动轨迹就是这样一条直线，因为呢， p a 撇 q 和 p a q 啊，这两个三角形是全等的，所以呢，这一条直线啊，它一定是一个确定的直线， 它是与水平方向呈固定角度的这样一个直线，只不过呢，我只知道这个角度它的摊进的值是一比二，对吧？是一比二而已。 好的，那么问题回到这里，哎，定点到动点的距离的最小值，哎，定点呢，在这动点呢，在线上运动， 所以点到线的距离什么最短？垂线段最短吧，所以呢，把这个垂线段给它做一，做过 o， 点做一个 a q 撇这条直线上的垂线段。哎，然后呢，我们叫它长度叫 h。 好，现在呢，我们只要把这个 h 求出来，那最小值就有了，那这个 h 该怎么求呢？见于这里啊，这么多垂直，对吧，我们不妨来倒一倒角，这个也是垂直的，所以呢，这个角和它互余， 然后这边呢，有一个垂直的，所以呢，这个角和它也互余。因此呢，我们只要把这段的长度给求出来就行了，也就是把 o b 求出来， 而 o p 呢，是一，所以呢，只需要把 p b 给求出来就行了。那 p b 是 多少呢？哎，我知道 a 撇 p 的 长度就能把 p b 求出来了，所以呢，首先要求 a 撇 p， a 撇 p 的 长度跟 a p 的 长度是相等的，而 a p 的 长度呢， a p 就是 三，因此 a p p 也是三， a 撇 p 是 三的话呢，这个 p b 就 应该是 a 撇 p 的 二分之一吧，因为它的摊进的值是一比二嘛，所以呢，这就是二分之三，那它有了，所以 o b 就 有了， o b 就是 一，加上二分之三，也就是二分之五。 最后一步，因为这个角的 tangent 的 值是一，比上二，所以呢，它的 cosine 值，也就是 h 比上 o b， 就 应该是等于二，比上根号五的 h 呢，就等于根号五。那通过这道难题，你有没有彻底认识清楚瓜豆原理呢？

哎，别走开啊，这么难的刮豆原理都被你刷到了，说明你这个数学一定可以拿高分了，那我们一起通过这道题走进刮豆原理。那首先呢，在这道题里面啊，给到 a 点的坐标是负四豆零，然后接着呢， b 是 外轴上的一个动点， 接着三角形 a b p 呢，是一个等腰直角三角形，现在呢，让我们去求 o p 的 最小值， 那要求 o p 的 最小值啊，首先我们要找一找这个 o 点，哎，它是一个定点，那这个 p 呢，肯定就是一个动点了，那所以要求定点到动点的距离的最小值，我们要搞清楚动点在哪里动， 那此时我们会发现这个 a b p 的 形状呢，是固定住的，然后 p 呢在外轴上动，对吧？所以呢， 这个 b 点肯定是一个主动点，因为 b 在 动，所以呢，会导致这个 p 点的这个从动点在动好。这时候呢，我们来看一看它是否符合 定点定比定角，如果符合的话呢，它就是一道刮豆的题，如果不符合，那就不是，好吧，那么来看一下，首先呢， b 点是绕着 a 点，对吧？然后这个角呢，是一个固定的四十五度转到了这个 a p 的 位置，只不过呢，这个长度是 a 的 话，这个 a p 的 长度呢，是根号二倍的 a， 也就是说呢，这个线段的长度是在放大的，哎，是一比根号二，但是 any 位，我们这里呢，找到了这个定点 a， 找到了这个定比一比上根号二，找到了这个定角是四十五度。 好的，那么这个就是瓜豆的主动点，这个就是瓜豆的从动点，主动点在线上动，从动点呢，也在线上动，但到底在哪条线上动呢？那这时候我们要再去揪住一个特殊点，哎， 这时候我们看一下 b 点，哎，如果在外角上运动到这个位置，啊，这真是太特殊了，对吧？运动到 o 点的这个位置，那么这时候呢，这个 p 点它要运动到哪呢？哎，我们把它的对应点 o 撇给它找出来，还是按照 定点定比定角来找，就是它绕着 a 点，对吧？然后呢，要顺时针旋转，四十五度，四十五度， 然后到哪呢？刚刚好到这个点的时候呢，哎，这个长度之比呢，也是一比根号二，哎，就这个是四十五度，然后呢，这里刚刚好是一个直角，正好满足了 o a 和 o 撇 a 撇之笔呢，是一笔上根号二，所以就找到了此时的 o 撇点，哎，那但凡找到 o 撇点啊，再连接这个 p 点，我们就可以找到 p 点的运动轨迹了。因为两点确定一条直线，所以呢，这个 o p 距离的最小值 点到线的距离垂线段最短，那就把这个垂线段做出来，只要把这个长度 h 给它求出来，那么角值就有了，那这个值好不好求呢？当然是好求的啦，因为呢，我们要抓住 a o b 这个三角形和 a o 撇 p 这个三角形，它们两个呢是相似的，哎， s a s 很 容易推出来它俩相似，那它俩相似的话呢，这里最重要的是什么？ 得到这个角和这个角相等，哎，然后这个角呢，因为我们刚刚知道构造的时候，就知道它是四十五度，所以呢，这个角也是四十五度，那它是四十五度，话好办了，因为这个 a 点的坐标是负四负零，对吧？所以这个长度是四，所以呢，这个 o o 撇也是四， o 撇是四的话呢，这个四十五度所对的边就应该是这个四，除以根号二，所以 h 的 长度就是二倍的根号二，最小值呢？就求出来了。这道题的瓜豆你学会了吗？

逻辑渗透数学思维啊，今天我们讲讲关于非常经典的一个好题，来自于山东滨州市中考数学第七题。这个题我们先铺垫一个非常好知识点，那话说啊，这个只要在往型里面啊，搞一个内切圆，哎， a c， b， 哎，那么这个圆圆与直角三角形相切啊，这个圆心呢，我们称为在这个位置，是吧，这个半径为小二啊，小二。这时候有一个著名结论，那这是 a， 这是 b， 这是 c， 那么这个内圈半径与这个直角三角三边有一个定量关系，即小二等于二分之 a 加 b 减 c， 即直角边之和减去斜边。所以如果告诉直角边，比如三、四五，则这个内圈半径啊，就可以秒杀了。 那么怎么来的呢？哎，思考怎么来，那其实考察啊，第一个知识点就是切线长定律， 那话说啊，圆外引一点，哎，引一点，屁，哎，与这个圆啊，相切啊，相切，那么圆外这一点与切点的距离啊，是相等关系 啊。那么利用这个点，这个题就搞完了。那首先预切线找切点啊，连半径得九十，得九十，得九十， 垂直，垂直，是吧？垂直。那么我们发现这个小小的四边形啊，为什么形状啊？为正方形啊，为正方形，三个角为直角啊，半径相等，包括切线长定力啊，这两个火机也相等，所以这是一个正方形啊，正方形 好，下面可以倒了来感受，他为小二，他为小二，哎，倒过来 b 减二， 好，它为小二，总长为 a， 这是 a 减二，倒过来 a 减二，哎，所以 b 减二，加上 a 减二，不就等于 c 呗，哎，我们第二步啊，利用切线长定力倒一倒，哎，等于 c， 所以两个二就等于 a 加 b 减 c， 最终二等于二分之， a 加 b 减 c 啊，就是这个结论的证明过程。好，明白这个点，这个题就瞬间秒杀了，那画出这个正方形啊， a、 f 和 b， g 和 d， e 和这个 c、 h 相等，也就是说这四周这四个都为直角三角形，并且还是全等形啊，并且还是全等形，好，继续啊，继续。 那么啊，四个 r、 t 三角形啊，均为全等啊，均为全等好，已知 ab 总长为十七， e、 f 为十三啊。注意拓展一下，这里面这个四边形为什么形状， e、 f、 g、 h 为什么形状为正方形？ 因为这四个一号选手，二号选手，三号选手，四号选手全等全等，四条边相等，四边相等，并且我们讲过它俩全等，可以导出来这个对勾角和这个对勾角相等啊，叉勾，叉勾相等， 对吧？所以这是一个直角啊，直角，所以里面是一个正方形啊，这个很关键啊！ 那么下面我们发现这是直角啊，正方形，正方形呢？对应边相等，来感受一下。由于 e、 f 等于十三，所以它也为十三，好，继续走， a、 b 为十七，所以我们发现 bc 也为十七，换句话说，这个 g、 c 啊和这个 c、 h 之和为多少？为十七啊，为十七 哎， ok， 这个题做完了啊，做完了啊，来内七圆按大体画一下啊，这个半径怎么求？因为它俩之和为十七，为什么呢？因为总长为十七，这个火机啊，和它相等，和它相等， 对吧，所以我们发现啊，它俩之和就为十七了。那么利用我们的公式二等于什么？直角边之和，因为直接是十七了， 减去斜边十三除以二就等于四，除以二等于二这个题选 b， 答案收工。此题考察非常经典的直角三角形内七元的公式就可以瞬间秒杀了，你学会了吗？

接下来我们看一下二零二五年德州的几何腰体啊，他说 a、 b、 c 端呢是一个正方形，然后 p 点和 e 点分别是 a、 c 和 b c 边上动点，且不与端点重合。现在做的是 pe， 直接看最后一问，因为前几问太简单了，那连接完 b p 之后啊，连接完 b p 之后，他说这个角 p 啊，角 b p e 等于四十五度，把这个四十五度标上， 把四十度标上之后，他说，哎，现在射线 p e 呢？绕点 p 是 旋转九十度，也就是 p e 呢？绕点 p， 旋转九十度，成为了这个 p f 啊，那么也就是说这个角是等于九十度的，那么这个角是也是等于四十五度。好了，那么接着继续往后读的话，他说 a p 比 p c 等于 k， 然后 p e 呢？等于 a， 那 么现在让我们表示一下这个四边形叫 p e、 b f 的 这个面积，我们看一下整个题当中，它提示我们的是 a p 比 p c 等于 k， p e 等于 a 的 话，我们就可以想到一个，嗯，问题就是如何把它们 给他联系到一起，这个可以给他联系到一起。在这里面 a c 是 对角线，所以说这里出现了几个四十五度角，是吧？都有四十五度角，那既然有四十五度角，然后他又是一个正方形，那么我们就想到四十五度，怎么用？ 四十五度角的话，我们是不是就可以给它做矩形，然后求相似了，对吧？所以说我们的做法啊，我们常规做法就是过 p 点，现在我做一条辅助线，做过 p 点，比如说交 ab， 约点 h， 那 么再做一个 pg， 交这个 bc 呢？约点 g， 那一旦做完之后，我们方我们会发现什么？这个图形当中其实是有好多个相似的，对吧？那最起码的你能看见上面这个三角形叫 a p h 啊，和底下这个三角形，这叫 p c、 e 是 不是都是相似？有四十五度，有九十度，有四十五度，有九十度，我们先把这个相似给它写出来， 那么这个三角形的第一个相似，我们找到的是三角形 a p h， 它是相似于另外一个三角形 c p g， 也就是说我们尽可能的把 a p 和 pc 给它联系到一起，那现在的 a p 比 pc 就 可以写成什么形式呢？ a p 比 pc 是 不是就可以写成 p h？ 比上这个叫 pg p h 在 哪？ p h 是 这个，呃，矩形，我们新做的这矩形长的这个边 p g 呢？是小的这个边。接下来我们看一下还有什么样的一个相，还有什么样的相似。那么在这里我们观察一下，这个 p f h 和这个 p e、 g 实际上也是相似。呃，为什么这么讲呢？我们做完这个矩形之后，我们知道这个角， 呃，角 h p g 是 九十度吧，对吧？我在这里标上，那么呢，因为这个角 h p g， 它也是等于九十度，那么中间又夹一个九十度，那么所以说 我现在直接标记一下，那么这里边儿如果说这个角是这个 alpha 角的话，那么这个底下这个叫，呃， e p g， 它是也是 alpha， 所以 说你会又找到一个 alpha 九十度， alpha 九十度的。呃，这个相似，我们同样的把这个相似也给它写上，并排写吧，我也便于我们的观察。第二个相似，我们找到了 p f h， 这个三角形相似于三角形 p e g， 那 这时候的相似我们又可以写成什么？又可以写成 p e f 比上，嗯，这叫 p e， 对 吧？ p e 它等于的是 p h 比上 p g。 那在这里我们看一下这两个相似就特别好玩的。第二个，哦的相似里面出现了一个 p h 比 p 几，这个里面也出现一个 p h 比 p 几。那么 刚才也说了 a p 比 p c 是 不等于 k 啊？那它是等于 k 的，是吗？那这个是不是也是等于，呃，这个叫 a p 比 p c 等于 k。 那么也就是说这样两个四个三角形，他们之间的这个相似比都是 k 小 的三角形啊，比上大的三大的三角形，比小的三角形，它的这个相似比，它就是 k， 那 既然是 k 的 话，嗯，铁杆当中让我们设的是 pe 等于 a， 那么我们设下这个 p e 是 等于 a 的 话，那么 p e 等于 a 的 话，呃， p f 就是 k 倍的 a， k f 就是 k 倍的 a， 这个没问题。接下来我们继续找相似，这个相似应该怎么找 啊？大家好好看一下，这里面是不是还有一个四十五度没有用呢？就是这里面的角，这个叫 p 啊。角 f p b 没有用，是吧？它是等于四十五度 啊，它是等于四十五度。接下来还有这个 p c e 也是等于四十五度。那么还有没有题干当中又强调一个，这个，这个叫角 b p e 也是等于四十五度， 是吧？这个角是等于四十五度啊，叫 bpe 等于四十五度。而 bpe 等于四十五度，这个里面的 pce 也是等于四十五度，叫 pce 也是等于四十五。所以说在这里面你会发现有以这个叫 b pbc 这个为顶点的反义相似，对吧？那么我们先找一下，第一个叫 bbc， 这个为顶点的就是三角形 bpc， 相似于另外一个三角形，叫 b e p， 这个没问题吧？是角 b 四十五度直角，角 b 四十五度钝角，角 b 四十五度钝角啊， 那么找完它之后，这是一个反 a 啊，那反 a 的 话就是，嗯，分顶点，分两侧线段集相等呗。那么所以说 b p 的 平方等于 b e 乘以 b c， 所以说它是等于 b 乘以 bc 的 啊，这个是沿同色线段极相等，是吧？那么接下来我们继续看，还有没有相似，还是有的，我们再把这个四十五度给它利用上，那利用上之后，你会你还会发现，哎，这个时候我以这个叫这个 顶点，又可以引发出一个反 a 相似来吧？是不是角 a 是 四十五度， 角 a 是 四十五度，这块又是一个四十五度，对吧？这是一个，我用对号画下，这是一个，我用对号画下，你会看见这里是不是又形成一个反义形四，我把这个反义形四也给它写出来。这个反义形四呢，就是三角形的 b f， 相似于另外三角形，叫 b a p 啊，三角形 b a p。 把它写出来之后，我们现在看一下 b p 的 平方 又可以写成什么形式啊？它是不是可以写成引同侧线段极相等，也就是说 b p 啊， b f 乘以 ab 啊，对吧？它是可以写成这个 b f 乘以 ab， 我 们为什么一定要写成这两种形式呢？我们把这两种形式给它结合到一起啊，去看一看它们之间的关系， 不难发现有一个公共的特点是什么呢？这里面有 a、 b， 这里有 b、 c、 l， a b 和 b c 是 不是都相等的，对吧？它们都是正方形的边长，那所以说因为这个里面的 a、 b 它是等于 b、 c 的， 那所以说你的 b e 和 b f 是 不是就相等了？ b e 它就等于了 b f， 也就是说这两段线段它是相等的，我现在是底下太乱了，我把底下先擦一擦， 也就是说这个 b f， 呃， b f 和这个 b 它这两条线段是相等的，那这两条线段相等的话，那么整 个的四边形不是让我们求这个四边形面积吗？这个四边形面积我们就可以给它拆分，一分为二，给它连接一下 e、 f。 一旦说我们连接完 e、 f 的 话，这个四边形是不是就变成了两个三角形啊？而且其中我们有一个三角形，是啊，等等 腰直角三角形，另外一个的三角形的边长，一个叫 p f， 一个叫 pe， 它的边长我们都可以用 a 和 k 来表示出来，是不是？那所以说这道题的话，其实做到这的话，我们就把题做活了。所以说接下来我们连接下 e、 f， 那连接完 e、 f， 刚才也说了，它是一个等腰直角三角形，对吧？既然是等腰直角三角形，所以说它的面积呢？我们就可以表示成 s 三角形叫，呃，这个叫 b f 是 等腰直角三角形。那 p e f 呢？ 我们先把 p f 表示成的 p e f 是 不是二分之一乘以，呃，这个叫 p e 乘以 p f， 对 吗？ 因为它是旋转九十度的嘛，所以说这里有个直角，所以说两个直角边相乘，乘以二分之一。 p e 是 用 a 来表示， p f 是 用 k a 来表示，所以说它就可以写成二分之一的 k a 乘以 a， 那 等于的是二分之一的，嗯， k a 的 平方，这是一种表示形式。那再接下来我们看一下 e f， 在这样的一个三角形当中，我们可以用一下勾股定律啊，给它表示出来，那 e f 的 平方是不是就等于 pe 的 平方 乘以这个 p f 的 平方，那 pe 的 平方乘以 p f 的 平方，就是等于 a 的 平方乘以这个叫 k a 的 平方呗。 那它等于的就是给它还是提取出来，把这个 a 方给它提取出来，就是一加 k 的 倍的 a 方， 它可以等于这个数，是不是？我们为什么一定要用这个 e f 的 平方呢？因为我们要知道后面就是下面这个三角形是等腰值，对吧？那这个等腰直角三角形的面积我们应该怎么表示？ 换一个颜色 s 三角形，这就叫叫 b e f， 这个三角形是不等于二分之一的 b e 乘以 b f， 而 b e 和 b f 又相等，那么所以说它又可以写成二分之一乘以 b e 的 平方，是吗？那写成二分之一 b e 的 平方的话，那么我们看一下二分之一 b e 的 平方是不是又可以写成二分之一的？这个叫 e f 乘以这个二分之一的 e f， 那写成这种形式的话，那么给它变化一下，就变成了四分之一 e f 的 平方。哎，这个时候有 e f 的 平方，四分之一 e f 的 平方，这时候又有一个 e f 的 平方， e f 平方等于什么？我们知道了，是吧？那所以说我们在这里就可以把 e f 的 平方给代入， 嗯，那也就是说这个三角形 b， e、 f 的 面积啊，就可以表示什么呢？把它代入一下， 因为我们是做一个技术的分析，那代入之后，它整体就等于了 四分之括号一加上 k， k 方，擦掉一下，重新擦掉一下，重新写，它等于的是四分之一加上 k 方被的 a 的 平方， 是吧？那两个三角形的面积我们都表示出来了，两个三角形的面积我们都表示出来了，一个是 这个，呃，底下的三角形啊，一个是上面的这个三角形，两个对号，那么所以说我们现在整理一下，将他们两个加到一起，是不是就这个四边形的面积写到上面了？所以说这个四边形的面积就是四四边形 p、 b、 f 的 面积就等于这两个三角形，一个叫 p， e、 f 加上 s 三角形 b， e、 f， 把两个相加呗，那么相加的话，一个是二分之一 k a 方，再加上一个四分之 括号号一加 k 方倍的 a 方， 那两个再加到一起啊，这是二分之一的 k 方啊，二分之一的 k a 方。那么所以说最后整理一下，他最后的结果应该是四分之一加 k 方 乘以 a 方，整个问题就结束了，我们看一下，整理一下子，呃，整题的思路，遇到一个举遇到一个正方形，实际上是我们最幸福的一件事情了。对于整个中考而言，因为正方形里面有对角线啊，有对角线 给它分割出的四十五度还有什么呢？还有边长相等，而且还有四个角是直角，那么这样的话，我们就可以通过四十五度，通过直角可以构建出无数个啊，这个相似对吧？直角三角形的相似， 那么利用相似呢，就会给我们创造出很多个已知的条件信息供我们去使用。好了同志们，这道题呢，我们就讲解完成了啊，有什么不明白的话可以随时给我私信。

初中数学几何天花板全网爆火的等边三角形网红题，一个旋转模型直接拿下，零基础也能学会这个题很多人束手无策，说设 p 点是等边三角形的一点在这，然后 p a 等于 a， p b 等于 b， p c 等于 c， 求三角形 a、 b、 c 面积在这块的话，它没有告诉你具体数字，但是看到这个图之后，我们的脑海里面第一反应应该是旋转。我们可以把三角形 a、 b、 p， 比如说绕 a 点，沿逆时针方向给它转六十度， 发现啊 a、 b 它和 a、 c 就 重合了，我们记这个点是 p 点对应点，比如说是 p 一， 最后如果连接 c p 的 话，这个 c p 对 应过去，它就是 b p。 题目要求三角形 a、 b、 c 面积， a、 b、 p 面积刚好是一部分，比如说我可以记 a、 b、 p 面积是 s 一， 那么这样转过来之后呢，这个三角形 a、 c、 p 面积它也是 s 一， 你下一步 s 一 能转的话，那么三角形 a、 c、 p 能不能转呢？包括三角形 b、 c、 p， 它能不能转呢？ 哎，也可以啊，可以把三角形 a、 c、 p 拿起来，然后绕 c 点转逆时针方向转到 a、 c 和 b、 c 重合。所以这时我们可以发现啊， c p 它也是转六十度， 我们记这个点是 p 二点就是 p 点对应过来的点。最后呢，连接下 b、 p 二，你既然转过来了，所以两个三角形肯定是一模一样的，那我如果记三角形 a、 c、 p 二面积是 s 二，所以下面这个三角形 b、 c、 p 二面积它也是 s。 紧接着还有最后一个三角形，就是 b、 c p 绕 b 点转，是沿着个逆时针方向转到 b、 c 和 ab 重合，所以这时候 b p 应该是绕 b 点转六十度大致是在这个位置， 我们记这个点是 p 三点，最后连接一下 a、 p 三，比如说我可以记三角形 b、 c p 面积是 s 三，那么这样转过去呢？三角形 a、 b、 p 三面积，它也是 s 三。 哎，我们可以发现，本来三角形呢，这个 a、 b、 c 面的，它不是等于个 s 一 加 s 二加上 s 三吗？就是里面三个相加，那么现在 s 一、 s 二、 s 三分散出去了，那不就是这三个相加吗？把这些全部相加之后的话，形成一个六边形，这个六边形就是总共最大这个图形的面积，它里面包含了几个三角形 a、 b、 c 面积啊，不就是两个吗？所以最后我们可以算出六边形的面积 除以二，这样就行了。关键是这个六边形该怎么计算呢？比如说呢，把这个三角形 a、 b、 p 转过去，有你转的是六十度， 这个六十度比较特殊啊，那么这个角应该是六十度吧，而且旋转前后的话对边相等，那我们可以发现啊，这个 a p 它就等于 a p 一 了，所以这时候等腰加六十度，我们必然要连接一下 p 点和这个 p e 点，为了使图形更加清晰一些的话，我可以把里面这些全部擦掉啊，它会干扰你啊，这边的话就是连一下 p、 p 点和 p 点，那么三角形 a p p 它就是一个等边，三角形边长呢？我们可以知道啊，因为 p a 它等于 a 嘛，所以这个边长它就是 a， 而且你转过来之后的话，由于 b p 它是 b， 所以呢，旋转之后，这个 c p a 它也是 b， 那 么 p c 呢？就是 c 了，你刚才是不是把三角形 b c p 也转过去了啊？那么 b p 它也是转六十度，所以同理，这个角六十度，它们两边还相等，所以肯定要连接一下 p 点和 p 三点，那么三角形 b p p 三，它就是一个等边三角形，而且边长呢，它就等于 b 了，那么这个 p p 三呢，它也是 b。 最后还有下面这个图形啊，你把这个三角形 a c p 绕 c 点转过来了，所以呢， p c 它对应过来呢，就等一个 p 二， c 长度也是 c， 包括这个角它也是六十度，所以你肯定要连接下 p 点和 p 二点了。那么连完之后的话，我们说三角形 p c p 二，哎，它就是一个等边三角形。我们发现啊，这个图里面它有三个等边啊，分别是三角形 a p p 一， 三角形 p c p 二，还有左侧这三角形啊， b p p 三，这三个面积之合呢，它就在大的图形面积里面嘛，所以呢，你先把它们三个相加， 可以了。那么这三个弦怎么算呢？比如说看三角形 a p p 这个边长应该是 a 嘛？边长如果是 a 的 话，我们可以做一条高，这高做完之后的话，它必然会有三线合一啊，所以呢，这个角应该是三十度平分顶角，那么下面垂直嘛，而且平分这个边了， 所以呢，这条边应该是二分之 a。 那 我们讲三十度出现之后的话，而且在直角三角形里面，所以呢，长直角边应该是短直角边的根号三倍，所以高应该是二分之，根号三，再乘以 a， 那 么这个面积的话，应该是 s， 等于二分之一乘以个底 a 嘛，再乘以高二分之根号三 a， 这个结果应该是四分之根号三 乘以 a 方，就是边长的平方，再乘以四根号三，这样就可以了。在这里的话，我们就可以直接套用这个结果了，这个边长应该是 a 嘛，所以它结果应该是四分之根号三乘以 a 方，那么第二个三角形是 p c p 二 p c p 二，边长是 c， 所以呢，这个面积应该是四分之根号三，再乘以 c 方，那么第三个呢，边三角形在这边长应该是 b， 所以 面积应该是 四分之根号三乘一个 b 方。最后的话，我们可以把这个提出来，就是提出四分之根号三，所以呢，这三个面积合应该是四分之根号三乘一个 a 方，加上 b 方，那么再加一个 c 方，那么所有的等边我们就处理完了。剩下还有这一部分啊，这个三角形还没有算吧？ 还有这个三角形你也没算吧？还有这个三角形你也没算啊。这些三角形它是有关系的啊，它是由三角形 a c p 转过来的， 你旋转到下面去的话， a p 对 应过来应该是 b p 二， a p 是 a 嘛？ b p 二它也是 a， 这条边是 c 嘛？然后的话呢，我们可以发现这条边呢，它应该是 b， 这条边是 c 嘛？因为它是等边，所以呢，边长也是 abc， 包括这个三角形的话，边长也是 abc 啊，所以发现三个三角形全等算一个面积，最后乘以三不就行了吗？ 但是在这一块的话，很多同学有问题啊，说，老师啊，你看啊，三条边长告诉我，我应该怎么去算三角形面积呢？可以去翻一下课本啊，课本上面有一个公式叫做海伦公式，这个公式的话这么来写啊，如果给出三角形的三条边，比如说是 a、 b、 c， 那 么这时候面积呢，可以写成根号下 p 乘上一个 p 减 a， 再乘上 p 减 b， 再乘上 p 减 c， 那 比如说 p 是 什么呀？ p 的 话就是周长一半啊，这个 p 它等于二分之， a 加 b 加 c 除以二，所以呢往里面带就可以了，那么在这里其实边长都已经知道了，就是 abc， 最后的话直接套公式就可以了啊，那我们说这三个之合的话，就可以算出来啊， 这个 s 等于 p 乘上一个 p 减 a， 再乘上 p 减 b， 然后呢再乘上一个 p 减 c， 但是呢它有三个，所以最后的话， 这个结果我们需要再乘以三，那么总面积的话就可以写成四分之根号三乘上一个 a 方加 b 方加 c 方，然后呢再加上三倍的这个东西啊， p 乘一个 p 减 a， 再乘以 p 减 b， 再乘以 p 减 c， 那 么最后呢，给这个结果整体呢，再除以二就行了，除以二之后就乘二分之一嘛。 好，这个结果的话就是整个的三角形 a、 b、 c 面积啊，这样我们就全部搞定了。这个题的核心就是一个旋转，你转完之后，它的图形面之间存在些关系，四呢，逐个突破就可以了，你听懂没有？别被几何网红题劝退，学会旋转大法，轻松学透融数学，数学有问题就找龙主任。

二月二，龙抬头，李老师在这祝大家百尺竿头更进一步哈，我们今天的这道题啊，他非常非常好，好在哪里？好在呀，他的解析思路已经藏在了他的问题当中，那么我们看他是怎么样藏在问题里的哈，我们来看这道题。 首先啊，这道题他说了什么？如图一，在等边三角形， a、 b， c 中， d 在 a c 上，点 e 在 b c 上。好，然后只给我们了角， a、 p、 b 是 一百二十度。好，我来往后看哈。 第一问，他说求证 a、 b、 d， c， a、 e 全等这一问呐，在这里面有一百二十度的话，我们就要注意，因为等边三角形，他本身就有六十度角，所以在这里面我们看边相等， 角相等，那自然就有全等。第一问，老师就不多做解释，我们来看第二问，他说，若 a、 d 等于二， c、 d 等于四，让我们求 a、 e 的 长 好， a d 等于二， c、 d 等于四，我们求 a、 e。 在 这里面我们看哈这个 a、 e 它是怎么回事？我们在 几何综合题当中求边的时候，最经常用的是什么呀？其实就是勾股定律或者是三角函数。那么在这里面，不管是勾股定律也好，还是三角函数也好，我们本质都需要什么？需要直角三角形。所以在这里面，我们想求 a、 e 的 长度的话，我们就要怎么样， 就要把 a、 e 放到直角三角形当中，那怎么放呀？没有是吧？没有呀，我们就想到了构造，所以 a、 e 放到直角三角形当中，我们想到的就是过点 e 好， 做 e m 垂直，那么做完垂直了之后，这垂直是不是有六十度？那么这个三角形当中，我们可不可以求出来边？为什么可以求出来？因为第一问，我们已经知道了 e、 c 跟谁是相等，是不是跟 a、 d 是 相等的，所以在这里 e、 c 是 二。好，那么 c、 m 就是 一，这个就是根号三，这个三角形我们是不是就解出来了？ 那么我们知道 c、 d 是 四，那么这是一，所以剩的 dm 就是 三，那么 a、 m 这条直角边可不可求，就是五，对吧？所以 a、 e 用勾股定律来求，就是什么？就是根号，下 一条直角边是根号三，那就是根号三的平方，加五的平方就是根号二十八，所以是多少？二倍根号七哈，所以 a、 e 就是 二倍根号七。 好，我们来看图二，它是如图二，在二的条件下，二的条件下是什么呀？就是这些边的长度不变，然后将三角形 a p、 a、 b、 c 重合，怎么样使 b a 与 b c 重合 点 p 的 对应点为 q c q 延长线，怎么样？就把这个图呈现出来了。好，第一问让我们求的是 b 的 平行于 c、 f， 我 们来看哈，这两位是如何联系上？这个错了，这应该是圈二，他们两个是连着的。 好，我们来看啊，这个三角形是不是相当于选到这来了？那么选到这来的话，第一位让我们求的是什么呀？是 b、 d 与 c、 f 平行，那么他说了，在二的条件下，那么本身在这里面还有什么呀？ 是不是还有角的问题？这个角是什么？是一百二十度，那么自然这就是一百二十度，那这面这个角是多少度？是不就是六十？那么想让我们求证 b、 d 与 c、 f 平行，那实际上就让我们求证这个角是六十度呗，对吧？那你看 这个小角加这个角是六十，我把这个小角挪到这了，那么这个角是不是自然还是六十啊？他不变好，内错角相等，两直线平行，这个圈一解决了哈，我们来看这个圈二， 这个圈二啊，他的解析思路其实啊就藏在了圈一当中。为什么要这么说哈？我们来看 他让我们求的是 c、 b、 f 这个面积， c、 b、 f 我 们惯用的三角形面积公式是什么？是底乘高， 那如果这道题我们同样用底乘高的话，底很好解决，是 b、 c 是 等边三角形边长不变的，但是这个高我们很困难， 如果我们尝试在这面做高的话，这个高我们是很难求的，那么莫不如我们就转换一种想法，如果直接求三角形面积不好求的话，我们就间接去求， 间接去求，现在就是间接去求，这个间接是什么样的，对吧？我怎么间接呀？我用哪个方法呀？这个时候就是老师说的圈二的解析思路就藏在了圈一当中。那圈一 b、 d 平行于 c、 f 有 平行，我们就想到什么 平行线是不就有相似？好，那么 b、 d 平行于 fc， 看好 b、 d 平行于 fc， 自然就有什么，自然就有三角形 a 过来哈，大家看不见，自然就有三角形 a、 b、 d 相似三角形 a、 f、 c 是 吧？那么我们要求的是面积呀，那这时候我们就看 啊，我们如果知道 a、 b、 d 的 面积，是不就知道 a、 f、 c 的 面积，为什么这么说？我们看 对应边， a、 d 比 a、 c， 我 们可不可知是可知的，这个比例是多少？是一比三是吧？那么 a、 d 比 a、 c 是 三分之一的话，那么面积比等于什么？相似比的平方，那也就是说三角形 a、 b、 d 的 面积与三角形 a、 f、 c 面积的比就是一比九，因为三角形 a、 b、 d 的 面积我们是可求的，那言外之意也就是什么呀？有三角形 a、 b、 d 的 面积， 三角形 a、 b、 d 的 面积，它就等于什么九分之一三角形 a、 f、 c 的 面积，这地方应该加个三角形分号哈，是不就是这样？ 那求 afc 面积有什么用啊？看好 afc， 在 这我们要求的是谁？是 c、 b、 f 的 面积出来没？ afc 的 面积减 abc 的 面积是不就是我们要求的 a、 b、 c 的 面积？等边三角形已知边长面积可不可求可求的吧。那么 abd 面积在这 第一、二做个高，这个三角形面积可求不？也就说 abd 面积可求，那么也就知道了 afc 的 面积， afc 面积知道了，又可求 abc 面积，那剩的面积我们知不知道 是吧？所以你看，对于圈一和圈二来说，圈二老师并没有过多的去引导大家思路，怎么考虑？就是通过这个平行来的是吧？有平行有相似，有相似就有相似比，有相似比就有面积比， 对吧，就出来了。所以这道题啊，真的很巧妙哈，他的思路就完全藏在这里了，所以 希望通过老师的讲解，同学们能听懂这个题哈，他真的不难，但是李老师，希望大家听了都会哈。好，今天就这样，拜拜。

数学思维，深挖底层逻辑！今天玩一下滨州中考数学二次函数压轴题的第二小问，我们看这一问该怎么操作，你能做对吗？ 好，第一问不讲了，比较简单，我们看第二问来说 n 点 a， b 在 抛物线上入 n 到 y 的 距离小与次，请直接写出 b 的 范围。好，我们翻译成人化 n 到 y 的 距离是指什么意思？是指横坐标的绝对值，如果距离为四，即 a 的 绝对值等于四，按 a 等于正负四 而小与四，则想表达的意思是， a 的 范围在负四和四之间。 哎，这是第一句好，第二句话，那么已知 a 的 范围，既 x 的 范围求 b 的 范围，求 y 的 范围。 而这道题我们讲了无数遍了，其口诀九字真经闪亮登场，叫看范围， 待两端 注意等号。哎，此题就可以秒杀出结果了。 好，首先看一下，那么 a 的 范围大于负四小于四，好，观察。那么这个抛物线啊，是开口向上的，因为这个这个是一，是吧，那么它的对称轴是一，最低点呢？是负四， 也就是说，如果 a 等于一的时候，那，哎，发现这时候他的最小值为几啊？就为负四， 而一在不在这个范围内呢？还明显在范围内，是不是？所以最小值已经找到为负四了，就是看范围。 好，第二步，带两端。哎，最小值找完了，找最大值边，所以把负四 和这个四啊带入抛物线，把 b 求出来，谁大谁紧急。 哎，好，算一下，二十五减去四等于二十一。好，算一下，带进去四减一的平方减四等于九，减四等于五。哦，它最大了， 它最大啊，所以范围搞定了，则 b 的 范围要大于等于负四，最后一步注意等号。为什么这个填等号呢？因为 a 等于一的时候，最小则为负四，而 e 在 这个范围之内， a 可以 去 e。 好，下一个注意陷阱，小尾几二十一，这个千万不要加等号了。为什么？因为 a 去负四时这个范围，注意 a 是 大于负四，没有去等 啊，所以后面千万不要加。所以口诀登场，看范围大于两端注等号，你学会了吗？

啊，来吧，初中几何也是很多同学的一大痛点，对吧？对于这道题啊，我们来看看啊， ab 等于 ac 等于 cd 啊，脑子题目该标的标一标啊， ab 等于 ac 等于 cd 啊，然后当告诉我角 abc 啊，是等于三十度，然后 bcd 呢，是个垂直九十度啊，求角 d。 你 看这个，你，我们去看一下这个题目怎么去做啊，就包括我的俯数线是怎么来的， 这所有的信息是不全部围绕在这个 a、 b、 c 这个地方吗？但是脚底突然冒在这，对不对啊？那你们想看到三十度啊，看到九十度啊，能不能想到一些特殊角啊，是不是三十六十九是这样特殊角啊，对不对？我，我猜啊，就是我猜他是六十度，对不对？有点像啊，但是不能去猜啊， 但是我们可以沿着猜的这个策略去看看。首先都是三角形吧，我能不能去把它补全了呢？对不对？您知道几何图无非就是分，要么是割，对不对？要么就补嘛，对不对？分割割补法嘛。那比如这道题，你去，你去割，比如说我这边去割， 没有任何意义，它还是独立在这个三角形里，对吧？那赶紧把它补起来啊，看我把它补起来啊，具体过程我就不说了，就延长 d、 c 以及延长 b、 a 做它们交点啊，比如说我叫屁点，对不对？就动点屁点啊，那那接下来我们来看看啊，这个 已知这个三十度， a、 b 和 a、 c 相等，那这个角是不是也是三十度啊？那这里是九十，将近一百二，那这个角是不是应该是六十度， 对吧？他也是三十、三十、六十，那你是一百二啊，或者通过外角也能知道这个地方是六十度吗？那六十，六十，六十，那我是不是也是六十度啊？那我就能得到这个 a、 c、 p 是 一个等边三角形。那 a、 c， a、 p、 p、 c 是 不都相等啊？刚刚又知道 a、 c 和 dc 又相等的吧？那接下来就是我们得到得到什么信息啊？就是 pc 是 等于 啊 dc 的 吧，比如说这个 c 点啊，就是这个 d p 的 中点，对不对？然后还知道什么信息？ bc 又垂直于 d p 这条线吧啊？ bc 又垂直于 d p 这条线这个线段， 那对于整个三角形 b、 d p 来说，这东西不是三线合一吗？是不是？那也就是说这个 b、 d p 是 不是我们等腰三角形啊？ 啊？能看出来吗？那既然是等腰三角形，那是不就证明这个角也是六十度吧？当然你这个地方你要用三角形全等于证明，是不也没问题啊？对不对？九十度，九十度，这个边共同的边，这两个边相等，是边角边，所以啊，这道题答案等于这个六十度。

同学们，初中几何题是不是一拿到就发蒙？今天我把几何解题的万能框架给你们扒的明明白白，学会直接套用几何难题直接变简单。 接下来咱们一个一个说透这七大维度。第一个维度，求线段长度，只要看到求线段，脑子立刻过这几招，勾股、定力、全等或相似等量代换法、面积法、变方程，这五招足够你搞定绝大多数的线段题。 第二个维度，求角度大小，按这个顺序想，先想零补角、三线八角这些基本角的关系，再用等腰等边直角、三角形这些特殊图形的性质，接着考虑全等相似，最后设个未知数，列个方程角度，这不就出来了吗？ 第三个，求面积，就四个路子，直接公式法，比如二分之一底乘高割补法、等级转化法、相似比的平方，这四个方法把面积题全覆盖了。 第四个，证明关系类，像正线段、相等角相等垂直平行比例关系，这些可不能靠蒙，得靠全等相似等幺三角形、三线、八角、平行线的性质，每一步都得有依据，这样证明题才能稳稳拿下。 第五个，判断图形的形状，比如给个四边形，让你正矩形、菱形、正方形，那这几种判定条件你必须得倒背如流，不然根本没法下手。 第六个，动点与最值问题，这可是压轴题的重灾区，动点轨迹怎么走？等量关系在哪？将军引马的对称点在哪？垂线段最短怎么用？这些模型要提前练，不提前练，考场上，考场上你根本反应不过来。 第七个，图形变换，像折叠、旋转、平移，记住变换后对应边相等，对应角相等、折痕还垂直平分 这些性质刻在脑子里，这类题就好办了。同学们，赤豆这七个维度初中几何 so easy！

这是第六十一题，是早年的一道数学竞赛题，其中涉及到双内切构造的方法就是同时对两个三角形进行内切构造。这道题是同时对目标三角形 pa 和目标三角形 pbc 做内切构造。在三角形 pa 当中， 是过 p 点做 ab 的 垂线，这里是 n。 在 三角形 pbc 当中，是过 p 点做 bc 的 垂线，这里是 m。 这样构造之后，不仅得到了这四个直角三角形，还得到了这一个矩形， 因为有这个矩形的存在，就让这两个直角三角形的直角边产生了关系，从而可以通过勾股定力列方程求解。 书上是设 b， m 等于 a， b n 等于 b， 那 么 mc 就 等于五减 a， na 就 等于五减 b。 在 这个直角三角形当中，这条直角边是等于 b n 的， 所以它也是 b。 题目告知了 p、 c 的 长度， 于是在这个直角三角形当中，根据勾股定律就可以得到这个等式。五的平方等于 b 的 平方加五减 a 的 平方。 在这个三角形当中，这个直角边是等于 b m 的， 它是等于 a 的。 题目告知了这条边长， 所以在这个直角三角形当中，根据勾股定律可以得到根号五的平方等于五减 b 的 平方加 a 的 平方 连立。这两个等式可以得到 a 等于一或者二。当 a 等于一的时候， b 是 等于三的， a 等于二的时候， b 是 等于四的。注意，得到这两种解之后，我们要验算一下它是不是符合题。当 a 等于 b 等于三的时候， 五减 b 是 等于二的。过 n 做一条垂线，可以知道这里到这里的长度也是等于二的，这个时候 a 等于一，就说明 p 在 这条线段上面，所以 p 是 在 a、 b、 c 的 内部， 这个解是符合题意的。当 a 等于二， b 等于四的时候，五减 b 是 等于一的，这个时候这条线段的长度也是等于一的，而 a 等于二，那么 p 点就会在这里，它就在这个线段之外。 也就是说，这个 p 点在三角形 a、 b、 c 的 外部，它是不符合题意的，也就是 a 只能等于一， b 等于三。当 a 等于一， b 等于三的时候， 在这个直角三角形当中，就可以通过勾股定律求出 p、 b。 这是这道题的解法的介绍， 下面就这道题当中涉及到的双构造方法做专门提示。在这道题当中，单独对这个三角形或者这个三角形，或者这个三角形或者三角形 a、 b、 c 进行构造，都不能实现解析。 同时对这两个三角形做内切构造，却可以解析，这是为什么呢？这是因为这样双内切构造之后，不仅得到了四个直角三角形，还得到了这个矩形，正是因为同时对他们做内切构造，得到了这个矩形，才最终实现了解析。 同时对两个关键三角形进行构造，通过他们的共同作用产生新的关联图形，就是双构造的几何意义。所以我们进行双构造的时候，要把握两点，第一点是要对关联数量和关联地位完全相同的两个三角形同时进行构造。 第二点，双构造之后，要能够得到新的关联图形。在这道题当中，目标三角形 p、 a、 b 和目标三角形 p、 b、 c， 它们的关联数量和关联地位完全相同，在三角形 p、 a、 b 当中， ab 边等于 bc 边。 pa 已知 pb 是 目标线段。在三角形 pbc 当中， bc 等于 abpc 已知 pb 是 目标线段。 它们的关联条件的数量和关联地位是完全相同的。对它们同时进行内切构造之后，可以得到这个矩形。 在前面讲过的二十一题当中，三角形 a、 b、 c 当中，这个角是直角， 这个角加这个角是一百三十五度。三角形 a、 b、 d 当中，这个角是直角，这个角加这个角是一百三十五度。 中心三角形 a、 b、 c 和中心三角形 a、 b、 d 关联条件的数量和关联地位完全相同， 同时对它们做内切构造，得到了这个顶腰直角三角形，从而实现了解题。 在第三十七题当中，三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 当中的关联条件数量和关联地位完全相同，同时对它们做双靠构造之后， 得到了这一对全等三角形实现了解题。回到这道题，在解析过程当中，当发现两个三角形关联条件数量和关联地位完全相同的时候，我们就可以考虑对它们进行双构造，如果能够产生新的关联图形，往往就可以实现解析。 这种双构造方法对绝大多数人而言是比较陌生的，但是在有些题目当中稍为有效，希望大家仔细体会。

渗透数学思维，深挖底层逻辑。今天呢，一起玩一下山东省边读式中考数学第十六题，这个题我们看一下该怎么操作，来，我们快速读题。那么话说这是一个正方形，边长为一， abc 都在格点处， 那么只用无刻度直尺在 a c 上找一个点 d， 使得 b、 d 最短。好了， b 点，这个点是一个定点啊，在 a c 上找一个点，使得 b、 d 最短， 那么很明显过直线外一点垂线段最短，也就是说当 b d 啊，与这个 a c 垂直时 啊，则这个 b d 是 最短的。那么怎么找这个垂直点呢？ 啊，他是用无刻度直尺，那这个题怎么办呢？好观察，在中考读啊，这个图啊，画的是非常标准的，感受一下一二，来看一下，一二三四一二三，哎，这是个三四五，这块是五。 继续观察，一二三四五，哦，这块也是五，哎，这个是一个什么图形啊？ abc 是 一个等腰三角形，来，那出现等腰三角形，我们可以考察四个字，到哪四个字来啊， 非常好，叫三线合一，出现等腰，想三线。所以我们发现这个题虽然让我做 b d 与 a c 的 这个垂线本质，其实我们只需要找啊，这个 a c 的 什么点中点可以了， a c 的 中点 好，继续观察，由于 a c 啊，在这个一乘以一二三，在这个一乘以这个三的这个矩形里面，哎，那么考察矩形的一个核心考点， 那么 a c 是 个矩形的对角线，而矩形你发现只要对角线再相连，哎，这个点就是 a c 什么点中点， 为什么与矩形对角线互相平分且相等，所以此题我们只需要连接哎，这个点点和这个点点即可啊，连起来， 哎，那么这个点就是点 d， 好， 这时候我们连接 b d 就 可以了，哎，连接 b d 就 可以了。 好了，那么第一步棋我们就啊搞定了啊，搞定了，好，我们看第二步。好，那么在一的基础上，在 b c 上取一点 m， 使得 m a 加 m d 最小， m a 加 m d a， 发现 a 点和 d 点都为定点 m 呢，是动点，对吧？就是考察经典模型，两定一动，想将军 啊，将军夜马模型闪亮登场了啊，怎么办呢啊，做定点，关于动点所在直线的点，所以找 a 表简单一点是吧，一二三，一二三。哎，这个就是 a 撇 好，连接 a 撇和另一个定点连起来，好，交动点所在直线 m 好， 找到 m 了，这时候我们可以连接 m a， 你 发现 m a 加上 m d 啊，就换成了什么，哎， a 撇 d， a 撇 d， 哎，这是将军夜马的底层逻辑，两条线段结合变成两点之间线段最短了，那么怎么求 a 撇 d 呢？ 好，那么方法有两个，第一个可以通过勾股定律，第二个可以间隙啊，通过两点距离的办公室都可以，那我们就用传统方法去做吧。啊，来感受。 好，我们只需要啊，过 d 点往这条边做垂线，来，我们看一下围绕这个三角形做圆圈， 因为这个点是中点啊，所以往这走呢啊，这几个点也是这条一的中点，所以这块为解，应该为二分之一， 好，一二三四，这块为四啊，所以这个，呃，就是二分之一，加上四等于这个二分之九啊，这只咬边是二分之九， 好继续走啊，因为这个点是终点啊，所以做过来之后呢，这个应该是二分之一啊，二分之一，这是二分之一。 好，那么求这条长度，那么勾出来就可以了，是吧？等于二分之九的平方，加上二分之一的平方。好，开方就可以了。等于四分之八十一 加四分之一啊，开方等于二分之根号八十二。好，八十二。嗯，能不能再往里开呢？不能了，是吧？所以二分之根号下八十二。此题打完，收工。

前面的视频中，毕老师给大家讲了一招叫做已知等腰，造等边出轴对称。哎，结果咱后台就有同学私信毕老师这样一个题啊，说我这个也是已知很多个边长相等，按理说我也有等腰，对吧？但是毕老师，我这个既造不出来等边，也出不了对称啊。大家， 我们在造等边的题的时候，嗯，有一些特殊的题，就是当我们有一堆边长相等的时候，我们造等边是很正常的，但是造等边未必一定对称。哎，今天毕老师就拿粉丝这道题给大家详细讲解一下。说，我这道题呢，表面上是有这四条边相等， a， b 等于 a， c 等于 c， d 等于 d， e 啊，那我这个红的是个等腰赛型，那有些人也想把这个连成等腰赛型，大家别着急啊，这四这四个已经相等了，好，再来再来吧。他又告诉我们， b， e 这段等于 d， e 这段， 嗯，又给了一个等腰，然后男同学就开始射角倒角了，我，射，这是二法，射，这，这个就是二法，这就是二二法，这还是二二法，对吧？啊，最后一顿倒，你会发现， 哎呀，没有等量关系，是这个道理吧， ok 啊，所以最后直接倒脚是算不了的，那詹同学就卡在这了啊，毕老师来帮大家破解一下啊。首先，大家 表面上看起来，我是红色线段等于红色线段，蓝色线段等于蓝色线段，那这里面其实还有两个关键的线段相等，大家能看见吗？哎，那就是我一个红减一个蓝，一个红减一个蓝，这两个边长是不是等量减等量啊？他们两个边长相等， 哦，那一下子这道题就结束了，这两个边长相等，我能不能给它装在全等里呢？比如说这个边本身就在哪个三角形中，哎，就在这个特殊的三角形 a b c 中吧，是吧？所以我也把 a e 这个家伙做一个特殊的等腰三角形，不就可以了吗？是不是？那就要求这个腰跟我这红色线段也相等吧。 这么多红色线段都想相等，那我就不怕了。大家，我知道你怎么做这个，怎么描述这个辅助线是最好的，大家，我过点 e， 做一个线，跟它平行，且这个边长就等于红色这个线段。好吧，那么一组对边平行且等，我只要这么连上，它就应该是一个平行四边形啊。不仅如此，又由于我这个红边等于红边啊，邻边相等的平四变成了什么？ 变成了菱形，也就是说，我黑色的这个四边形，它其实是个菱形，那就意味着这个边等于这个边啊，那就等于它等于它，那就等于它等于它，没问题吧。好，这回再来啊， 大家来看，说，由于你是二倍阿尔法呀。哦，那我这个角呢？一样啊，两只线平行，同位角相等两倍的阿尔法，对吧？你这个小黑，这个边长又是相等的呀。哦，所以 s a s 啊， s a s 这两个三角形就全等，也就是说，我这个蓝色的这个小三角形跟你原来那个红的那个等腰，咱们两个 s a s 全等。 那既然咱们两个 s a s 全等了，那我这个边长也就等于它也得是等腰啊，是不是啊？或者说这个边长等于对应边，那反正也得跟它相等啊，也得是等腰，哦，那最后 你这边长等于这个边长等于这个边长，那我这就是一个什么？就是一个等边三角形，所以这个等边我们就构造出来了，一旦造出来等边，这道题了解了啊，说这是一个等边，它就是六十，是这道理吧？那我这边底角是两倍阿尔法，那么我这个角呢，也是两倍阿尔法，所以剩下这个小角两倍阿尔法减六十，对吧？ 二倍阿尔法减六十，不仅是红色三角形中的小角哎，全等，红蓝全等的时候是不是也是蓝色三角形中的小角啊？啊？这个小角二倍阿尔法减六十，那我这两倍阿尔法，这还两倍阿尔法，所以再加上四倍的阿尔法，最终三角形得和得一百八，对吗？所以六倍的阿尔法就等于两百四十度， 那么一倍的阿尔法就等于四十度，也就是说我这个等腰是一个多少？是一个八十度，八十度、二十度的这样的一个等腰三型， ok， 所以 这块两倍阿尔法自然就等于八十度，那么我隔壁这个大角，也就是要求的 e、 b、 d 就 等于一百度， 老师讲明白了没有？所以讲到这大家就应该知道，但是这道题啊，确实是妥妥的五星难度的题啊，那为什么很多同学到这个级别的压轴题就 hold 不 住了？其实原因很简单，整个全等应该分为四个境界，分别是基本全等、常用辅助线、大招模型，哎，还有就是构造法，咱们今天讲的就是构造方法， 那么所有这些相关的大招技巧，在毕老师六大模块中，光全等就占了两个模块，当然其他的相似代数、函数、代几综合，另外还有四本书，把这个六大模块掌握了，那你的中考压轴题也能够轻松突破。想要同款课程的可以下方评论区联系老毕。

几何对值问题呢，是我们初中数学必考的一类问题啊，一般会出现在我们的压轴的位置，填空的压轴位置或者是大体的压轴位置，大体的压轴位置可能会出现在几何综合或者代几何当中。 那么我们先抛开代几何，因为代几何的话，我们其实可以把它转化成一个二次函数对值的问题啊。嗯，我们就说一下纯几何的对值问题啊，这里面就是动点的这种问题。 嗯，这个问题对于我们好同学来说觉得有难度，不好思考啊，因为它是一个动态的一个问题啊。那其实呢，我们对于这类问题来说，呃，还是有一些基本的方法的啊。首先这类的问题大概分两种啊，一种就是单动点问题，就一个动点啊。另外呢就是双动点问题， 那不管是哪一种呢？嗯，我们的核心其实都是要把动点的轨迹确定下来，初中阶段的动点轨迹无非就两种，要么是一条线，要么就是弧，对吧？在圆珠上确定了轨迹之后，我们才能够看到那个碎值的状态 啊，这样呢，再结合着一些几何知识来求解。那么轨迹怎么来确定呢？ 那我们其实可以找一些特殊位置啊，因为这个动态问题啊，动点问题，他动起来他肯定是连续的，对不对？那我们其实可以找其中的几个关键的位置，或者找几针出来，就比如我们看电影，对吧？电影本身是一针一针呈现的，我们就看几针啊， 那看这个的话，其实我们就看几个特殊位置啊，然后我们找出三个或者四个来，然后大概的看一下他到底，哎，正好是连成一条线还是一段弧啊？我们有一个这样的直观的一个判断 啊。再就是呢，对于我们的轨迹为弧的这种呢，轨迹为弧的这种呢？我们其实是有这样的几个呃，小绝招的啊。首先第一个呢，我们来去看一下哎，这个动点是不是到几个定点的距离一样 啊？如果说满足这个，那就是轨迹圆呀，对吧？因为圆的定义就是到定点距离能定长啊。 再就是定角定长什么意思呢？就是动点和另外的两个定点的连线的夹角，它是确定的，嗯，然后呢，这个角所对应的这个线段，也就是两个定点连线的这个长是定值，那就是定角定长， 那我们也可以得出来，这个动点的轨迹是一个圆弧啊。再就是定角定比啊，还是这个动点到两个定点的连线的长，它们的夹角是不变的，它们的笔是不变的，满足这个它也是圆弧， 典型的就是我们的二十元，这个我之前发过视频，咱们不妨可以去看一看。那么最后一个呢，就是我们双动点问题的这样的一个场景啊，那就是刮豆原理， 有同学知道，有同学不知道啊，那么对于我们北京同学来说，一定要知道他啊，因为我们北京最后的一道题新定义基本上都是利用了刮豆原理， 那么他说的是什么呢？他其实说的就是这样一类问题啊，就是主动联动的问题，就是两个点他们的运动状态是有关系的啊，有点像我们的这个齿轮似的啊，一个滚动，另外一个也跟着滚动， 所以双动的问题当中，一般情况下两个点的轨迹是一样的啊，一个点的轨迹也是线，一个点的轨迹是弧，另外一个也是弧，那怎么来去判断呢？ 我们就根据这样一条就可以了啊，就看一下这两个动点到某一个定点的连线的夹角是不是一个定角， 这是一个要要求，另外一个就是，哎，这个两个动点到某个定点他们的比啊，距离的比是不是一个定值 要同时满足啊？两个动点到某一个定点的夹角是一个定角，同时到这个定点的距离的比是一个定比满足这个特征的，那么这两个点的轨迹就是一样的，这就是刮刀原理。 刮原理我在之前的视频当中也讲过了啊，咱们不妨呢，可以往前倒看一看之前的视频啊。 嗯，这就是我们关于轨迹为圆弧的这样的几个小妙招 啊，我们的家长一定要给他孩子来看一看啊，其实考察轨迹圆的这种还是比较多的啊，还是比较多的啊，嗯，因为他可选择性也比较多一些啊， 那我们知道了相应的动点的轨迹最后了，那我们就可以把垂直的状态给画出来了啊，如果你的轨迹是一条线的话，垂直的状态其实就是一般就是最小值嘛，那就是垂线段最短 啊，垂线的最短也就相当于说啊，这个动点和某一个定点的连线的话，那就相当于说过那个定点做这个动点的轨迹的这条线的垂线啊，那这个垂线段就是我们的最小值了，那如果说你的轨迹是一个圆或者圆弧的话，对吧？那我们就可以一箭穿心啊， 定点和这个动点轨迹圆的圆心的连线，然后这条线和这个圆的两个交点分别对应了最小值和最大值。 哎，这就是我们的几何最值动点找轨迹的问题，你听明白了吗？

大家好，今天我来教大家用逆向思维来解决这两道题目。我们先来看看第二道题，在等边三角形 a、 b、 c 中， a、 d 等于两倍的 b， e 等于六，所以 a、 g 等于六， b， e 等于三。 将 d、 e 绕点， e 顺时针旋转六十度，得到 ef， 取 ef 的 中点点 g， 我 们连接 ef， 并且延长 c、 f 将 a、 g 与点合区。 第一小题让我们求证 c、 h 平分角 a、 c、 b。 大家看，这是等边三角形，所以这个角是六十度。如果 c、 h 是 角， a、 c、 b 的 角平分线的话，那么我们不就有这个角等于三十度吗？ 所以下面我们只需要证明这个角是三十度就可以了。大家再来仔细观察，这一幅图是由 d、 e 按顺时针旋转六十度得到的呀，所以这个角也是六十度。 在这一条直线上就有两个六十度的角啦，很容易可以联想到一线三等角呀。所以我们能不能在这里也做一个角，使它等于六十度，这样不就会有这两个三角形全等了吗？好，我们在 b、 c 上取一点 m、 n， 使小 f m、 e 等于六十度， 这个角也是六十度。你看，因为就是六十度呀，所以这个锐角加这个钝角等于一百二十度。而在这个三角形中，这个锐角加这个钝角同样也是一百二十度，所以这两个锐角相等。好， 又因为 d、 e 等于 e、 f 还有这两个角都是六十度。角，角边角角边，两个三角形就相等，所以 b、 e 等于 f， m 等于三。 还有 b、 d 是 等于 e、 m 的， 因为等边三角形的三条边都是相等的，而 b、 d 又等于 e、 m， 所以 我们可以得到什么呀？我们可以得到 a、 d 等于 b， e 加 c m， 对 不对？ 因为 b、 e 是 a、 d 的 一半，所以 c、 m 肯定也是 a、 d 的 一半，等于三，那么 c、 m 也等于三，你看 f、 m 也是三， c、 m 也是三，所以这是一个等腰三角形，而它的这个外角是六十度呀，所以我们得到这个角是三十度， 所以 c、 h 平分角 a、 c、 d。 我 们再来看看第二小题，若 a、 h 比上 h 细，等于五比二，那我们求出 b、 d 的 长等于多少？ 在第一小题中，我们证明了这是角平分线，因为这个三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以我们可以延长 c、 h 交 ab 于点 n。 因为等腰三角形的三线合一，我们可以知道 c、 n 是 垂直于 ab 的， 并且点 n 是 ab 的 中点好，也就是 a n 等于 b n， 我们知道 a、 h 比上 h， g 等于五比二， a h 比上 h g 等于五比二，所以我们要充分利用这一组比提关系。那我们能怎么办呢？ 我们就联想到了，我如果不点 g， 同样也做垂线，垂直于 a、 b 的 话，我们就可以把 a、 h 比上 h g 转化到这一边来了，是不是？好？我做垂线， 我做 g， r 也垂直于 a、 b。 大家注意，我们还有一个条件没有用，因为点记是 e、 f 的 中点，点记是 e、 f 的 中点呀，所以我们还会点 e 做 a、 b 的 垂线段，这样的话，我们就可以得到这一条边等于这一条边了。 我们做以 i 垂直于 a、 b 好。 大家来看， a、 h 比上 h， g 等于五比二，所以 a n 比上 n， r 等于五比二呀。因为点 n 是 a、 b 的 中点，所以这是五分，那么这也是五分，而 n r 是 两份。 好，那写下来， n r 是 两份。我们刚刚说过， i r 等于 n， r 也是两份。 b n 是 五份，所以 b i 就是 一份啦。 我们看这个角是六十度呀，所以 b i 我 们可以求出它是一点五，所以一份是一点五。 a b 是 十份，对不对？所以 a b 等于十五。 哪十五减去六等于九，所以 b d 的 长就等于九啦， b d 等于九。好啦，今天的两道题我们就做到这里，明天再见。