2025遂宁中考反比例函数题

今天我们来讲啊，繁体函数，一个繁体函数，我们要把着重的方法，要解决问题的方法，一个是竖形结合啊，叫什么叫竖形结合，第二个我们叫什么是没构造， 就是我们解决繁体函数这类啊，这类题型啊，这类题型的方法啊，我们看这个题目，如图， 已知菱形 o， a， b， c 点 c， 在 x 轴上，直线 y 等于三分之根号三 x 经过 a 点，菱形 o， a， b， c 的 面积啊，是二，若反比例函数经过点 b， 就 我们求反比例函数这个表达式， 看这个题目呢，看到这个题目，我们首先看这个直线 y 等于三分之根号三 x， 好 一看到前面的 k 的 值啊，三分之根号三，我们知道这我们 它与这条直线与 x 的 夹角啊，在我们目前要看到啊，就说要想到它是三十度啊，是三十度的角啊，这是我们从一直线出发的，到高中我们要学的是斜率啊，斜率啊，要知道就说 角 a、 o、 c 等于三十度啊，这是我们出现的一个特殊角。再看一下我们要告诉我们的一条线是菱形的面积， a、 o， c， b 啊，这个菱形的面积，我们知道菱形的面积经常是底乘以高啊，就是我们所谓的平行四边形的面积， 还有什么菱形的特殊性，就说可以等于什么菱形的面积等于对角线积的二分之一，但是我们从这个句话 去想，肯定是啊，底乘以高啊，底乘以高啊，就说我们要知道 o、 c， 如果能知道菱形的面积的边长在求出高，那么哎， 对应的菱形的面积肯定这个是要去用的好经过点的好，我们出，我们知道菱形啊，刚才我们什么从一个条件已经得到了吗？这个角是特殊角，那我们肯定要过 a 点做啊，过 a 点做 s 垂线， 如果是 a m 垂直于 x 中，那同样道理，过 b 做 b， a 垂直于 o c， 我 们显然得知三角形 a， o m 和三角形 b c a 这两个三角形啊，全等的 啊，全等以后，那我们可以来设菱形的边长为 a 的 话啊，知道一个特殊角，那三十度，那所以 a n l， a， m 就 等于二分之 a， 二分之 a， 那 o m 呢？ 就等于什么？二分之根号三 a， 那 刚才说了三角形 a， o m 和 b c， a 是 全等的，那所以这个高就出来了，就等于二分之 a， 二分之 a。 好， 我们知道刚才说了 b 点是在反比例函数上的，那我们通过好，我们要求肯定要把求 k 的 表达式对不对？求反比例，我们要求 k， 那 我们首先通过面积，菱形的面积啊，菱形的面积来求出 b 点的横坐标啊，这样菱形的面积是二，那我们底是几呢？这就是 二分之 a 对 应相等，那所以这个买不买赢也等于二分之根号三 a 的 啊，根号二分之根号三 a， 那 所以这个 菱形的边长是 a， 那 我们可以菱形的面积就等于底，乘以高就等于 a， 乘以二分之 a 等于二，等于二，那所以 a 的 平方就等于四，所以 a 等于正负二负号啊，负的要舍掉， 那所以 o m 的 啊， o m 的 长就等于二分之根号三啊，又等于什么？就等于 o c 加上 c， a 就 等于 a 加上二分之根号三 a。 刚才我们已经算出来了啊， a 是 等于二的啊，等于二加上二分之 k 上三乘以二好，也就等于二加 k 上三好。那所以 b 点的坐标， b 点的坐标就等于 b 点的坐标，就等于横坐标是二加根号三。纵坐标是二分之 a， a 等于二的，那所以纵坐标是一。所以 k 代入反比例函数啊，代入反比例函数，那就等于 y 等于 x 分 之 k。 啊， y 等于 x 分 之 k 带进去， y 就 等于一， x 就 等于二加根号三分之 k， 所以 k 就 等于二加根号三。 所以反比例函数解一次为 x 等于 x 分 之二加根号三好，你学会了吗？

今天我们来讲这道中考压轴题。第一问是求反比例函数的解析式，它这里已经告诉我们，过点负二到四的反比例函数 y 等于 x 分 之 k， 我 们知道一个点就可以确定一个反比例函数，那么我们来写，我们先写一个大大的解字。首先， y 等于 x 分 之 k 代入负二到四， k 等于负二乘四等于负八， y 等于 x 等于负八。没问题，秒杀！第二小问开始上难度了， 如图一，过 a 做 a， c 垂直于 x， 轴于点 c 过 b 做 b， d 垂直于 y， 轴于点 d， b， d 交 a， c 于点 e， a， e 等于四倍根号。二 是求直线 l 一 的解析式。我们知道 l 一 是一个一函数，那么我们需要两个点才能把它解出来，但我们现在只知道一个点 f， 怎么办呢？没关系，我们先把它转换成只有 k 这一个系数的形式。 l 一， 我们直接代入负四到四，四等于负四， k 加 b， 那 我们是不是可以求出 b 啊？ b 等于四加四 k， 那 么 l 一 就指什么呢？ y 等于 k， x 加四， k 加四， 我们得出了 l 一 它大概的一个解析式。那么接下来该做什么呢？因为呢，这个反比函数跟这个 l 一 交于 a， b 两解，接下来我们是不是直接该连利的呀？怎么连利呢？ 我们刚刚算出 y 等于 x 分 之负八，然后呢，得出 y 等于 k， x 加四， k 加四。接下来再看， 得到了这样子一个式子，它是等于零的，那么我们可不可以直接求 delta， 然后算 c x 二呢？那么我们来看 delta 等于 b 方减四， a， c 等于四， k 加四的平方减去四乘上 k 乘八等于十六 k 方加上十六， k 加上十六，哦，不对不对，这里是三十二 减去三十二， k 等于十六倍的 k 方加一， 我们算到单调了，到这里先不动，我们知道我们仅有的一个条件的一个线段是什么， a e a e 等于四倍根号二，那么 a e 等于什么呀？等于 y 一 减 y 二，那么我们 y 一 减 y 二，是不是可以调动到这里来呢？来看， a e 等于 y 一 减 y 二等于 k， x 一 加上四， k 加四， 减去同样的 k， x 二加四， k 加四。 然后呢，这个式子得出来了，是不是等于 k 倍的 x 一 减 x 二， 那么我们能否算出 x 一 减 x 二呢？众所周知哈，一个求一个圆二次方程的求根公式，它是二， a 分 之负， b 加减，根号就是它，那么 x 一 减 x 二是不是就是二， a 分 之二倍根号就是它呢？ 那么我们可以转换成什么呢？单调等于十六，乘上 k 方加一，那么等于四倍根号下的 k 方加一，除以 k。 好， 我们得到这个，我们是否可以把 y 一 减 y 二得出来了呢？也就是这个地方一个除 k， 一个乘 k， 最下头得下来的就只有一个四倍根号下的 k 方加一。 我们知道 a e 是 等于四倍根号二的呀，那么就有 k 方加一等于二， k 等于正负一负一。舍去嘛， 我这个地方写不下了，接到这边来写，我们就知道 b 就 等于四加四等于八，那么 l 一， 它的解析式就为 y 等于 x 加八。这个是第二小问，同学们可以先截屏一下，我们来讲第三小问。接下来我们来看第三小问， 如图二，我们来看哈，我们首先在学数学的时候，先要学会一个技能，叫做猜，你看这个 m h o 它长得像多少度，是不是很像四十五度啊？那么我们就要朝着这方面去正，怎么正呢？我们这时候要做一点辅助线， 我们先不做描述，先来看 pm， pm 它是等于 p f 的， 那么我们怎么求出 p f 呢？ p f 我 们可以由平面直角坐标系内两点之间距离公式来求，那么就是等于什么呢？ 等于根号下的 x 一 加四的平方，加上 y 一 减四的平方。那么函数前面开开呗，也就等于 根号下的这个，完全不用管它，这是 x 一 加四的平方，这边呢，我们把 y 一 我们前面讲到过，这里是 y 等于 k， x 加四， k 加四，那么我们直接用 y 一 减四，是不是就等于 我们得到了之后，就直接把里面的平方打开，然后呢继续开这个也就是， 那么我们该怎么把它化解呢？我们看哈，在这里我们先找到 x 一 的平方是 k 方加一的系数，我们再找到 x 一， 哦对了，这里却写了个 x 一， 它也是八乘上 k 方加一的系数， 那么再来看十六依然是 k 方加一，那我们来写一下，等于 k 方加一倍的 x 一 方， 再加上八倍的 k 方加一倍的 x 一， 再加上 k 方加一乘十六。 那么我们这是个等于什么呢？看到没，直接配方的形式等于根号下的 k 方加一乘上这个地方配出来是多少？ x 一 加四对不对？ 等于什么呢？ x 加四倍的根号下的 k 方 加一。接下来我们就可以开始描述一下这个辅助线，可以同理的得出 q n 和 q f 呀，那么我们来看同理逻辑肯定是一样的， q n 等于 q f 等于负的根号下的 配方加一，为什么这里变成负了呀？因为这个 q 在 f 下面啊，所以这个地方就是用 x 的 值来减 q 的 值。接下来我们就把这个描述一下，如图二， 延长 q n 至 t b， m t 垂直于 n t， 那 么我们描述完了之后，我们来看看最开始我们想证什么来着，我们想知道是不是 m h o， 它等于四十五度， 那么我们知道 q n 平行于 x o， n t 是 不是也平行于 x o 啊？那么我们就可以知道 m n t 等于 m h o 同一角嘛，不管它这个地方怎么变都是一样的， 那么我们也就是求 m n t， 它是四十五度，又是这里是九十度，那么我们是不是就是要求 m n t 是 个等腰 r d 三角形呢？也就是要证了就是 m t 等于 n t 喽，那很简单了， m t 很 容易， y 一 减 y 二，我们第二小问也求过，那么 n t 是 什么呢？ 是不是 x 一 减 x 二，再加上 pm， 再减去 q n， 就 剩下的是 n t 啊？那我们来表示一下喽，就是 y 一 减 y 二 等于。前面讲过，四倍的根号下配方加一，很容易没有悬念。接下来看 n 等于 x 一 减 x 二加上 x 一 加四，对的根号下的 k 方加一， 然后再因为这个地方本身就是减，我们再减一个，它是不是还是加呀？ x 二加四，对的根号下的 k 方加一， 这个地方我们写在上面了哈，不是等于 k 分 之四倍，根号下的 k 方加一，那么我们把这一个提取公因式，也就是加上 x 一 加 x 二加八倍的根号下的 k 方加一。接下来我们来算 x 一 加 x 二 这个地方在我们其实前面已经列过那个式子了， x 一 x 二其实就是等于 k 分 之负四 k 减四，我是习惯性的把这个负加到上面这个 b 去，它是四 k 加四，那么这已经变成负四 k 减四喽，那么我们再给它带进去呢？ n t 等于 k 分 之四倍，根号下的 k 方加一，然后 加上我们这个地方加八呀，那么放到上面就是加八 k 呀，也就等于 k 分 之四 k 减四，根号下的 k 方加一。 四倍根号下的配方加一可是一样了，因为 m t 等于 n t， m t 垂直于 n t， 所以角 m h o 等于角 m n t 等于四十五度横成立 这道题就解决了。这道题其实并不是很难，主要是它有着这种创新思维。今天就到这里可以截屏了。

同学们好，现在讲解九年级中考数学模拟套题里边，呃，反比例函数与一次函数相结合的题型， 呃，那么当然这个题表面看是纯函数题，实际上中途还会有跟几何相结合的，比如说正比例函数的几何是已知，反比例函数的几何是未知，但是它俩交于点 a， m 都二，那么就证明点 a 既符合正比例，又符合反比例函数。咱们做题的特点，干净利索，见点就带 啊，见点就带，所以说就把这个 a 点 m 度二带入这个解析式里边，就可以求出这个 m 是 等于四的，也就是说 a 点坐标是四度二， 那 a 点坐标是四度二，带入反比例函数，这个 y 二就可以得到 x 四分之八。但这个题我不详细给大家去解答了啊。就是，呃，我把这题的思路给大家说一下，呃，接下来看第二问， 他说把 y 一 等于二分之一， x 向上平移三个单位之后，呃，那么他的解析式就可以变为 y 一 等于 y 一 撇吧，等于二分之一， x 加三了。比如说咱们假设他跟 y 轴的交点是 c 吧，那我就可以知道 c 点坐标是零度三。 呃，这个反比例函数，通过第一问，咱们已经求出是 x 分 之八了，他让你咱们求 a o b 的 面积。那么在这里边说到一些个细节问题，咱们再讲，每道题都要讲这个题的考点，那么这个题第一个考点就是见点就待啊，这个大家都理解， 见点就待，在数学语言里边叫待定系数法，待定系数。那么第二个知识点呢？大家讲到平移前后， 这里边暗藏着平行，也就是说 bc 平行于 o a， 那 么第三个知识点就考了平行线间距离相等这个事，所以说就有一些个面积是相等的，大家注意，比如说 o a b c， 我 可以得到 s 三角形 o a b 等于 s 三角形 o a c， 这是两平行线间距离相等嘛，所以说他俩只要等底的话，高也相同，这俩面积就相等。 那么也就是说这个题第二问就用到了这样的一个知识点，既然让我求 aob 的 面积，那 s 三角形 aob 不 就等于 s 三角形 aoc 吗？这样比较简单呀。说，为什么这样求简单呢？那你看 s 三角形 aoc， 我 连上 a c， 它不就可以等于二分之一 o c 乘以 x a 吗？就是 a 的 绝对值，因为它的第一项线加不加绝对值都无所谓。那 o c 的 长度咱刚才也知道是等于三的 a 点的坐标，咱第一问也求出来了，横坐标 m 是 四，所以说乘以四这个题最后面积等于六就求出来了， 就是看四讲起来是云淡风轻的，但是真正涉及到知识点，咱必须是一步一步的去给看好。 呃，这样题也是有难度的，他考了咱们函数的知识点，考了几何的知识点，而且考了他们的数形结合。呃，这个题比较好，大家如果有不理解的地方，或者有什么疑问，可以随时联系我。

好，同学们，我们看着这个题目啊，这个题目给了一个反比例函数的图像，然后在这里面画了一个三角形，那毫无疑问，这个题考察的是反比例函数的几何意义啊。那我们如果说 给你一个反比例函数的图像，在这个反比例函数上任取一个点往一条轴做垂线，然后和圆点一连，我们得出来的这个三角形的面积是不是应该等于二分之 k 的 绝对值？ 那根据这个的话，我们看一下这个三角形 a c o， 其实就是点 a， 这个点往外轴做了一个垂线，然后跟圆点连了一下子，得到一个三角形 a c o， 他 其实就应该等于二分之 k 一 的绝对值。同样的，这个三角形 b c o， 他 也是过点 b， 往外轴做了一条垂线，然后跟圆点连了一下子，这样的话，我们得到这个三角形 bco 的 面积，其实就应该是二分之 k 二的绝对值啊。那这样的话，我们题目中给了 s 三角形 aoc 等于一，所以说二分之 k 一 的绝对值就应该等于一啊。 那这样的话，我们可以推出 k 一 是应该等于负二的，因为它是在第二项线，所以说这个 k 应该小于零的。那同样呢，我们可以得到二分之 k 二的绝对值，应该是等于四，这个的话它是在第一项线，所以说我们的 k 二是等于八， 那线索的话，到这就断了。就是如果我们只去考虑这个绝对值的话，我们就只能到这只考虑含内，含外的意义的话，我们只能到这。我们看一下题目中还有一个条件没用哎，就是 o a 垂直于 o b， 那 这个地方这个垂直我们可以用来干什么呢？ 哎，我们发现 oc 这条边啊，就外轴这条线本身跟 ab 这条线他是垂直的，这个地方又出现了一个垂直，那这样的话，我们是不是可以看到这个整体上的这个图，实际上是一个双垂直的图啊？ 那这样的话，我们其实就会得到三角三相似。写相似的话，就是因为角 a c o， 他 其实是等于角 c o 的， 等于九十度，这是由垂直得出来。再有因为我们是知道了这个角 c a o 加上角 c o a 等于九十，角 c o a 加上角 c o b 也等于九十。那根据同一个锐角的 两个余角相等，同角的余角相等，我们可以得出角 c a o 等于角 c o b， 这样的话我们就会得到三角形 a c o 相似于三角形 o c b。 那 有了相似之后，我们可以列相似比能式的 a c 比上 oc 等于 a o 比上 ob 等于 c o 比上 c b， 那这个地方我们相似比该怎么去找呢？首先这两个三角形的面积，一个是一，一个是四，所以说面积的比应该是一比四，那既然面积的比是一比四的话，那他的相似比其实就应该是 一比二，这样的话，我们其实就会得到 o c 分 之 a c， 或者说 a c 比上 o c 就 应该等于二分之一，也就是 o c 是 等于二倍的 a c 啊，那这个地方我们设 a c 等于 x， 这样的话 o c 就 应该等于二 x o c 就 应该等于二 x， 因为它是三角形的面积。三角形 a、 o、 c 的 面积是一的话，我们就会得到二分之一乘以 x 乘以二， x 等于一。解出来 x 的 长度等于一啊， 它这个长度嘛，所以说它不可能是个负的，负的值啊，所以 ac 等于一，那这样的话，有了 ac 的 长度之后，我们其实 oc 的 长度也就知道了是二啊。再回到刚刚那个相似比的式子中去，我们就可以得到 bc 是 等于四的， 那这样的话，我们的 ab 就 应该等于一加四等于五啊。

这个题是关于双曲线的中考常考的类型题，第一问第二问考察的很基础，是送分的啊，这个同学只做对第一问，第二问不应该错，忽略了一个 x 大 于零，是对这类题掌握的不太熟练。下面我们分析分析这道题 点， a 和 b 在 双曲线上，又在直线上。这类题通常的做法就是把点代入到已知的方程当中，求出这个未知的量。第二问，根据图像求不等式的解集，其实就是比较图像的高低， 这里让求的是 x 分 之 k 大 于负 x 的 加五，也就是这个反比例函数所对应的 函数值要大于一次函数对应的函数值。这一步关键的就是要求出双曲线与直线的交点，然后再观察哪一部分双曲线要高于直线。 通过观察我们看到，在 x 大 于零小于一或者是 x 大 于四的时候，反比例函数的图像高于一次函数的图像，也就是反比例的函数值大于一次函数的函数值，所以 x 大 于零小于一或 x 大 于四，就是这个不等式的解集。 上面那个同学错的原因就是他没有考虑到小于零的时候，反比例函数的图像是在第三象限，函数值是小于零的。这里我们主要看看第三问， 以 oabc 为顶点的四边形是菱形，让求的是点 c 的 坐标。根据第一问第二问，我们把 a、 b 的 两点的坐标已经求了出来， o a o b 明显是相等的，这里即使不给出 b 点的坐标，我们也可以把 b 点求出来，因为 a 和 b 是 关于 y 等于 x 对 称， 就是第一象限的那个角平分线，因为负 x 的 加五，这个直线的斜率为负一，这是根据双曲线的对称性来的哈，这也是一个考点啊，同学们要注意，可能出题的时候会让你求双曲线的对称点的坐标。 o a、 o b， a b 都是用勾股定律来求的啊，也就是两点间的距离公式。高中的两点间的距离公式就是勾股定律得来的啊。这里 o a 和 o b 都是根号十七， ab 等于根号十八， 说明 ab 与 o a、 o b 不 相等，那么 o a 和 o b 只能是菱形的边， ab 只能是菱形的对角线， 这应该很容易理解哈，所以点 c 呢，只能在第一象限。那这样就简单了哈，我们设点 c 的 坐标为 x y， 如果两个线段是平行切相等的哈，可以根据线段两个端点的 水平距离与数值距离相等。我们求出 x 和 y 的 值。什么意思啊？在这里啊，是这样的， 你可以看这个图，如果线段 ab 平行于线段 cd， 他 们的坐标分别会写出来了啊，就这一个关系式， x 二减 x 一 等于 x 四减 x 三， y 二减 y 一 等于 y 四减 y 三。因为 x 二减 x 一 就是 a 和 b 的 水平距离， y 二减 y 一 就是 ab 的 数值距离。 这两个三角形明显是全等的，所以说水平距离与他们的数值距离分别相等，所以有这个关系式，利用这个结论的时候，一定是大的减小的得是正值，因为是距离啊， 这里是针对初中生说的啊，如果是高中生，利用向量啊来解，也就是这个式子。好，回过头看这一题， 这里方法一就是利用刚才的那个结论，方法二呢，是利用菱形的性质，菱形的两条对角线相互垂直且平分，对角线的焦点就是 o、 c， a、 b 的 中点，利用中点坐标公式来求出 x 和 y 的 值。

一个月通关初中函数，今天讲反比例函数的三个常考点。第一个，反比例函数的增减性，这里一定要记牢，当 k 大 于零的时候，在每一项线内外随 x 的 增大而减小。 当 k 小 于零的时候，在每一个项线内外随 x 的 增大而增大。重点强调在每一个项线内这几个字。 千万记住，跨项线绝对不能直接比大小，学会了增减性就可以比较函数值大小。先看点在不在同一项线，要是在同一项线，直接用增减性判断，要是不在第一项线，不用纠结，直接看正负就完事了。记住，核心先分项线，再比大小。最后再看反比例函数的对称性， 他可是一个全能选手，首先关于圆点中心对称，其次关于直线 y 等于 x 对 称，还有关于直线 y 等于负， x 也对称。中心对称和轴对称他全都有。 做题的时候一定要注意对称点的坐标，可千万别写反了。今天这几个记错点都是孩子考试中最容易丢分的坑，大家可以在评论区聊聊你家孩子最常栽在哪一块？

好了，我们看这个题啊，三种函数表达方式从不同角度上反映的 x 和 y 之间的关系，对不对啊？一次函数和反比函数 x y 对 应值。第一个让我们求 ab 并补全表格， ab 当 x 啊。第一个是当 x 等于负的二分之七十， y 理解，哎， y 是 不是就是二 乘上个负的二分之七加 b 啊，加上 b 等于几？哎，等于 a 嘛，二十万就就负七加 b 等于 a， 所以 说是 a 减 b 等于七吧。好，第二个 啊，当 x 等于 a 的 时候，二啊二， a 加 b 等于一，这两个就可以连成什么二元一次方乘组吗？是不是 a 减 b 等于七，二， a 加 b 等于一，可以解吧。解得啊， a 等于负二， b 等于五， 这个时候一次还是能表出来吧。哎， y 就 等于二， x 加减加五吧。当 x 等于一的时候，带进去啊，当 x 等于一的时候， y 等于谁？二加五等于七吧，所以这里填七 啊， a 是 负二，填上啊， a 是 负二， a 是 负二。好，就是到这了， x 等于 y 等于七，所以说这个 k 是 不是就等于一乘七等于七啊， 是吧，那么这个表达式就是 y 的 s 分 之 k， 那 就是 y 的 x 分 之七了吧。带进去，当 x 等于负二分之一的时候， 七除以负的二分之七，那就等于几负二，当 x 等于负二的时候，七除以负二，再等于负的二分之七。 ok， 我 们看第二位一次函数啊，一次函数在反比的函数图像上方时啊，结束 s 选项为就是什么三条线对不对？ 首先我们先把这三这两个表达式先写出来， y 等于二， x 加几加 b 的 话， b 我 们求来是五，所以说加五。第二个是 y 等于 x 分 之七，竖形结合画个图，一次函数 k 是 二 大于零，所以说是上升阶段上升的一个图大于五啊，这就是五。呃， s 分 之七， k 大 于零，也就说在一三相线啊，一三相线画三条线，交点啊，交点三条线一条 啊，他又把 y 轴瞄上，好，注意观察一下，一次函数，一次函数大于反比函数，也就是说一次函数在哪里？哎，在上面，反比函数在下边，一次函数在上，反比在下，哎，这个区间是不是 还有呢？还有是不是这， ok， 这时候我们重点是什么？哎，先写清楚焦点坐标，这时候的焦点坐标你就在图中找呗。焦点坐标，你看这两个是不是相等的？这两个是相等的，所以说 x 就 一样的时候， 第一个那就是负的二分之七，逗号负二吧。第二个教学作文就是一逗号七，也就是说这是一，这是负的二分之七，对吧？ 好，所以说 x 的 取值范围在哪里？在这时候是 x 要大于负的二分之七小于零吧，或大于一的时候，是 x 大 于一的时候。好，这个题学会了没有？

你还在为反比例的问题发愁吗？一节课教会你你这两条抛物线，一个是点 a 所在的，一个是点 c 所在的，且 a c 延长下去，交 x 轴于 b。 那 我们来看一下我的 a 点坐标是不是就可以表示出来了？是不是 x do x 分 之六？那我 c 点的坐标是不是 x do x 分 之 k？ 我 们把它表示出来以后，看 bc 比上 a c 等于一比二， 那我的 bc 就 表示到这里， bc 是 不是 x 分 之 k 啊？那我的 ac 呢？是不是用 ab 减去 bc？ ab 是 不是 x 分 之六？减去 x 分 之 k 就 等于 x 分 之六减 k？ 那 我们看一下 比例关系，是一比二，那我的 bc 是 x 分 之 k， 是 不是比上 x 分 之六减 k， 它等于多少？是不是一比二呀？ 那我们看一下比号，其实就是除号，我就可以换成 x 分 之 k 乘以六减 k， 分 之 x 就 等于二分之一，那 x x 约掉了，最后就是 k 比上六减 k 就 等于二分之一， 那我的 k 是 不是就可以直接算出来了？ k 是 不是就等于二呀？那我们最后答案就算出来了。如果听懂了，帮我点颗赞吧，防止下节课刷不到我了。

分享一位同学的思路啊，这是一道反比例函数的题目，难度是比较大的，看一下你是否可以搞定已知点 b， 在 图像上面，点 i 的 坐标是零，五根号二，说明 i、 c 的 长度是五根号二， 三角形 abc 是 直角三角形，将 abc 旋转至 edc， 就是它旋转到这边来，那么就可以得到什么信息啊？ b、 c 和 c、 d 相等，而且 b 和 d 都在反比例函数的图像上，又因为反比例函数的对称性，它是关于 y 等于 x 对 称的，没有问题吧？ 如果说我连接口误延长，我延长 e、 d 交于 x， 点 q 就 可以得到什么信息？全等，没问题吧？也就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它都是全等的关系，那说明 c、 q 也是 五倍根号二，这个 i、 d、 e 的 面积是三，这个怎么思考？ i、 d、 e 的 面积是三，要么直接求，要么去转化，对吧？这位同学是怎么做的？他是过了点 a 做 c、 d 的 垂线，交 c、 d 于点 p， 就可以知道 a、 d、 e 的 面积是不是可以转化到 e、 d、 c 上面来，就可以转化到 d、 p、 q 上面来，没问题吧？所以我需要连接一下 p、 q 这个三角形的面积就是三，那我就可以设了哦。假设 c p 是 x， d q 就是 x， 那 么 p、 d 就是 x， 分 之六吧。做完了。所以 在三角形 c、 d、 q 中， x 的 平方加上 x 加 x， 分 之六的平方等于 c、 q 的 平方，也就是五十， 没问题吧？就可以把 x 给解出来。 x 等于一或者三倍根号二的，你 x 出来之后， k 是 不是出来了？ k 怎么出来了呢？因为这个 c、 d、 d、 q 和 c、 q 都知道，我只需要知道 d 点的坐标就可以把 q 就 可以把 k 给求出来，对吗？所以说这个垂线有射线，你也可以知道这个高是可以求的，而且这个 c c 什么 c h 的 话，也就是点 t 的 横坐标是不是固定也是可以求的，或者利用相似都可以，对吗？所以最后答案是 k 等于二十五分之三八四，或 k 等于五十分之三四三， ok。

大家好，我是你们的卓老师，今天给大家讲一下反比例函数中 k 的 几何意义。 首先我们看到第一条几何意义过， y 等于 x， 分 之 k， 其中 k 不 等于零的图像上任意一点向两坐标轴作垂线， 与两坐标轴围成的矩形的面积等于 k 的 绝对值。啊，做垂线 什么意思呢？我们看到这个图像，我们在这个图像， y 等于 x 分 之 k 上任取一点向两坐标轴做了垂线，先向 x 轴做垂线，向 y 轴做垂线，我们是不是可以得到一个矩形， 而这个阴影图形，它的面积就是 k 的 绝对值。 好，我们再看第二条几何意义，连接 y 等于 x 分 之 k， 其中 k 不 等于零。图像上任意一点与圆点， 并从该点向 x 轴 y 轴做垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于二分之 k 的 绝对值。我们看图像，我们任取一点， 将它与圆点连接后，可以向 x 轴做垂线，或者向 y 轴做垂线，围成的这个三角形的面积便是二分之 k 的 绝对值。 而上面这个阴影部分的面积也同样是二分之 k 的 绝对值，恰好它就是前面 s 一 这个矩形面积的一半， 因为刚好就是矩形的对角线，将这个矩形的面积一分为二，于是面积就是二分之 k 的 绝对值。 好，总结一下，落过反比例函数图像上的点向两坐标轴做垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积 则可以得到 k 的 值。进而呢，便可以确定函数表达式学会了吗？跟着卓老师数学没烦恼！

这是一道反比例函数图形与应用题结合的中考真题。如果某一项工作，每个人每天完成的工作量相同， 而且一个人十二天就能做完，那么 m 个人共需要 n 天做完。选举六对 m n 秒点如下，哪个正确？像这种题目，不能慌，也不能急，首先要根据应用题的逻辑，把这些字母都表示出来。既然题目说每人每天的工作量是 a， 那么一个人十二天完成，也就意味着十二 a 就是 总的工作量。那么 m 个人一天能完成多少呢？ 完成 m a， 一 天干 m a， 总共十二 a， 这样一来，每天干 m a， 一 共干 n 天，正好干完等于十二 a。 化简一下， m 乘以 n 等于十二，这就是一个反比例函数。所以说本题选 c。

简单啊，反过来说，我们中考必考题型对不对？那我们今天来重点讲一个方法，就是设啊点啊设啊点的坐标方法，我们来设点的坐标。好，我们看这个题目，如图，双曲线啊，双曲线 y， 随便 a 重新去看 a， 看到吗？注意了， x 是 大于零的。好的，第一项变 经过二次三角形 o m， a 斜边 o m 上，那经过点 a 与直角边 m a 啊，交于点 b 高，我们 o a， o a 等于两倍的 a m。 三角形 a o 啊 a， o， b 的 面积为五，叫我们求 k 的 值啊， k 的 这个题目以后呢，我们发现是 o a 比是二啊，等于两倍的 a 零，它们的比值关系，那我们如果设为 a， 零为 x， 它就是二 x， 好 出现比的形式啊，出现比的形式，那就是 o a， 也就说 o a， 也就是 o a 比上 o a 就 等于二比三。那看到这个比例形式，我们通常想到啊，勾到相似，那过 a 点做垂直就出现了呢？ a 字形相似， 如果是做 a c 啊，做 a， c 垂直于 x 度，那必然就 a 平行相似，是三角形 a， o， c 和三角形 a、 o、 m 是 相似的好，它们的比值必然就有二比三的关系，对不对？有二比，它们的相似比是二比三的关系好，我们再从已知条件出发，他说三角形啊，三角形 o， a， b 的 面积 等于五，我们发现呢，三角形 o， a， b 的 面积等于五。在我们啊，在学反比例函数的时候，在学反比例函数时的时候，我们知道这个三角形 a、 o、 b 的 面积也就等于哪个面积，就等于梯形， 就等于梯形 a、 c， m， b 的 面积好转化它的面积，那就好了，那我们要知道，求出 a， 表示出 a c 和 b m 上比和下比高是 c m 啊，我们来啊，通过这个等式来建立一个关系式，好，那我们可以设 o c 为 a， 那 o m 啊，我们刚才说相似了，那所以 o c 为 a， 那 就是 o c 比上 o m 就 等于二比三的关系， 那所以 o m 就 等于二分之三。刚才我们设的是 o c 为 a， 那 一样的，我们设，同理来设 a c 为 b， 一 样的， a c 比上 m n 就等于也是二比三的关系，那所以 m n 就 等于二分之三 g， 好， 那所以我们可以表示出谁的坐标了？表示出 a 英点的坐标 a 英点的坐标就是二分之三 n 啊，二分之三 b， 好，那同样道理，我们表示出了 o c o m 啊， o m， 那 么 b 点的坐标是在反比例函数上的，那我们这样道理来表示出 b 点的坐标，好，那所以我们代入减一式 o m 知道了，也就是 b 点的横坐标是知道的， b 点的横坐标和 a 型的横坐标是知道，那所以 b 点的横坐标 x 等于二分之三 a， 我 们代入反比例函数减一式，可以求出 b 点的纵坐标啊。 y 等于 s 分 之 k， 那 就等于二分之 三，等于二分之三 a 分 之 k 好， 所以数等于乘以这个数的倒数就等于三 a 分 之二 k， 好， 那所以 b 点呢？啊，我们把 b 点的坐标也可以表示出来，等于二分之三 a， 好， 三分之三 a 分 之二 k， 那所以这个 b 点的动动标就等于三 a 分 之啊 k， 那 a 点的坐标也可以表示出来，这里 a 点在三分之一函数上嘛，那所以一样的啊，带进去啊， a 点的省动标啊， a 点的省动标是 a 吗？ 那动动标就等于 a 分 之 k， 好， 那所以表，我们同样表示出了 a 四的长啊，也是啊， a 分 之 k， 好，那所以那 x、 o 呢？ m， c 呢？就等于刚才我们算出了二分之三 a 减去 o， m 就 减去 a 就 等于二分之一。好，那所以它就等于二分之一 a 的。 好，那我们可以通过梯形，刚才说了，这个三角形 a、 o， b 的 面积就等于梯形 a， c， m， b 的 面积，那就等于上底加下底乘以高除以二就可以了，对不对？那就等于 a 分 之 k 加上啊，下底三分三， a 分 之二 k， 然后乘以高是二分之一 a， 然后再除以二等于五。好，我们画点这个四，求出 k 就 可以了。好，这里面的 a 肯定是能约掉的啊，那我们可以通下分，这是最简公公式。三 a， 那 就等于三 a 分 之啊，三 k 加二 k， 然后乘以二分之一 a， 好， 下面的分母二乘过来就变成了十啊，那我们这个 a 和 a 就 约掉了，上面就是等于啊，这个是五， 这个是六，下面是二，乘以三等于六，六分之四啊，六分之五 k 啊，等于十，所以这个是约掉一，这是二，那所以 k 就 等于 十二，好，这个题目啊，就是通过第一个这个题目的重要要点就是设来设点的坐标，设点的坐标同时告诉我们这个三角形 o， a、 b 的 面积，我们要要转化为这个梯形的面积，建立一个等量关系，求出 k 就 可以了。好，这个题目你学会了吗？

这是中考反比例函数当中的一道小压轴题，这道题考察焦点问题，难度不难，但是这种考法还是比较可以的。我们先看看这道题它的一个基本条件，反比例函数解式为 y 等于 x 分 之二倍，根号二。 a 点是 x 走上的一个动点，坐标为 a 到零。 b 点是一个定点，坐标为零到四倍，根号二。在 a、 b 的 右侧做了一个正方形 a、 b、 c、 d， 那 么这个正方形它就是一个动态正方形。 如果这个正方形 a、 b、 c、 d 与反 b 的 函数图像有四个交点，让我们来求 a 的 取之范围，也就是那个点 a 应该满足在 x 上，处在哪些位置上的时候可以满足 啊？正方形与这个反比函数图像刚好有四个交点，所以这里它是一个动态正方形，我们可以把这个正方形看作是啊绕着 b 点旋转放缩的一个动态正方形。 那么这样的一个动态正方形与反比函数图像存在有四个焦点的时候，那么我们怎么样来求此时这个 a 点应该在哪些区域呢？ 当然像这种焦点问题，我们一般要去找它的一个临界位置，也就是在正方形动态变化的过程中，刚好与这个反比函数图像处在 一个焦点或者说相切的时候，那么这样的位置一般就是临界位置。我们这里要分两种情况，因为这个点 a、 a 点的坐标他可能在正半轴，也可能在负半轴，所以这里我们要分两个情况来进行一个说明。第一个情况，也就是当这个 a 大于零的时候，也就是当那个点 a 在 x 轴的正半轴上的时候，那么我们来看一看此时应该怎么样的来运动，可以让这个正方形刚好与这个反比函数处在一个相切的一个状态， 因为相切就是个零界值，那这个时候我们直接画一个 a b 这个边长刚好与反比的函数相切的一个图像，我们把它画出来 啊，应该就是这样一个图像， a 点刚好在这个位置，其实这个位置应该就是一个临界位置，因为此时这个正方形他与反比函数异相线的这个分支，他刚好是一个三个交点，包括相切，这里 一共是三个交点，如果这个位置再往右移动啊，他就会存在啊，有四个交点，所以我们只要算出相切的这个位置对应的 a 的 值就可以了。 那么怎么来算相切的时候对应的这个小 a 它的一个曲值呢？我们可以把这个 a b 这条直线它的解析式用这个小 a 先表达出来啊，这里表达非常简单，因为 a 点的坐标就是小 a 到零， b 点的坐标是一个定坐标，那么 a b 的 解析式啊，我们直接用小 a 把它表示出来， y 就 等于负的 a 分 之四倍根号二 x 加一个四倍根号。 好，这个就是 a b 的 一个解析式啊，然后我们用这个 a b 的 解析式来，怎么样的来找到 啊？相切的时候对应 a 的 值呢？相切的时候也就是 a b 这条直线与反比函数，它存在一个交点，连力放生如之后啊，它有一个根，有两个相同的一个根，说它的得二哈是等于零的，说这个地方直接啊，连力啊， 连立啊，这个反比函数 y 等于 x 分 之二倍根号二以及连立 ab， 此时 ab 的 这条直线负 a 分 之四倍根二，加一个四倍根二 连立起来之后，然后就可以得到二 x 的 平方啊，减一个二 a x 加一个 a 等于零 啊，因为它相切只有一个交点，所以这个方程的根它是只有啊，有一个根，也就是两个相同的根，它的 d 它是等于零的，这个 d 它等于零，就可以直接算出来，这个 a 它是等于这个二的 啊，也就是在一相线啊，当这个正方形 ab 这个边长与反边函数啊，在一相线，这个分子相切的时候，它是三个交点，相切是三个交点 啊，当这个 a 大 于二的时候，也就是当这个 a 点有这个相切的位置往右在移动的时候，那么它就会存在于反平方数，在一向下，这个分子有四个交点，所以通过这个可以算得出来，对不对？所以啊，它就可以算得出来 a 满足这个条件，四个交点，它的范围就应该是大于 啊，这个二对不对？好，同样的原理，我们来研究一下，当 a 小 于零啊，在左左边负半轴的时候，那么有四个焦点，怎么来算 a 的？ 它一个曲子，其实方法是一样的。第二个啊，也就是当 a 小 于零的时候，当 a 小 于零到这里，你要去做一下图，就把 a 点画在这个啊负半轴当中，我们先把这个图给它撤掉啊， 也要来画一个相切的一个位置，因为相切是一个临界位置啊，我们先画一个啊，这样的一个位置对 不对？ a 点此时在这个位置对不对？那么这个 a d d 点呢？在这个位置 a d 啊， a 点在负反轴 a d 这个边，刚好于 三相线这个反比函数的分支相切的时候，那么这是一个临界位置，因为此时看得出来，他啊，这个蓝色的那个正方形，他与这个反比函数啊，三相线是相切一个交点，一相线，这里呢，他是一个相交两个交点，此时他是三个交点，所以这里他是一个临界位置 啊，当这个此时相切的这个位置，这个 a 点再往左移动的话，那么它就会与反比函数在三线上，这个分子就会存在两个交点，一共就是四个交点，所以我们也需要来算这个相切的时候对应的这个小 a 的 值就可以了 啊，方法原理是一样的，我们这里就不再对数了，那么这里你还是要去算大点的一个坐标，这个大点的坐标由于它是正方形，你可以建立一个啊，一线三垂直的全等来表示大点的坐标，然后再来表示它的几何式。 在联的方程中，利用对差等于零来算出此时相切的时候对应的这个 a 它的一个坐标，这里我就不再计算了。算出来其实这个 a d 与三相线这个相切对应的 a 的 值啊，这里它是等于这个负四的 a， 它是等于这个负四的啊。 好，然后你你往左移动的话，那个 a 点有这个相切的位置，往左移动，它就会存在四个焦点，一直移动到哪个位置就截止了啊，一直移动到上方的上方的这个 b c 这个边与一象限的这个反面数相切为值，我们直接把这个草图画出来， 移动到这个位置也是，这里是一个 c 点啊，这个位置相切的时候啊，他就已经是最左边的位置了，就不能再移动了，因为再移动的时候他只能是两个焦点，因为相切他上方，这里他又是相切， 相切的时候他就是三个焦点，对不对？所以说我们还是用这个方法算出此时这个 a 点他对应的值啊，这里 a 他 对应的值， 它是 a， 等于负一十六，也就是负一十六到负四这个区间，就表示它刚好有四个焦点的时候，所以这种情况算出来， a 的 取值范围应该是负啊，一十六小于 a 小 于负四。 方法原理与第一个我们刚刚讨论的 a 大 于零这情况的方法原理、计算原理是一样的，尤其是要去画画出它一个相切的一个状态，通过相切算出它的一个临界值，对不对？在这个相切的左右，它的焦点就会不一样，对不对？所以我们要一定要去找这种相切的一个状态，所以中上呢 啊，中上这个 a 的 范围就出来了，对不对啊？一个是 a 啊，大于这个二或者呢 啊，负一十六小于 a 小 于负十。其实这一种题呢，其实呢考的并不是很难，但是这种考法在初中阶段呃是非常少见的，说在中考里面他可能会做一种创新的一种考法在出现说大家可以来进一个参考，来进一个理解， 需要学生具有一定的想象能力和一定的转化能力，中间的这个相切是一个关键。好的，这个方法就是这样。

这是一道中考真题，已知点 a 和点 b 都在反比例函数上， am 和 b n 这两条线啊，都是数值直线，垂直于 x 轴，然后告诉我们， o m 等于 m， n 等于 n， c。 像这种条件拿到以后就要形成肌肉记忆，直接在图像上标记出 a a a， 然后三角形的面积是六，那么你只需要把它的高设出来。假设 a a a， 然后三角形的面积是六，那么你只需要把它的高设出来。假设 a a， m 是 h， 我 就直接可以写出它的面积。 a o， c 等于二分之底乘以高， 底就是三， a 高就是 h， 它等于六，所以说三倍的 a， h 等于十二，那么 a h 也就等于四。好，我们来看一下 a h 是 什么呀？ a 是 这一段， h 是 这一段， a 乘以 h 就是 这个矩形的面积啊，而这个矩形的面积是什么？因为点 a 在 反比例函数的图像上，所以说这个矩形的面积啊，就是 k， 也就是说我们要计算的 k 等于 a， h 也就等于四。所以本题正确答案四。

好，看这道题，嗯，反比例函数，嗯，要求是，呃，这个图像要将矩形 a、 b、 c、 d 内部的这个横轴的标作为整数的点， 嗯，也就常称为，这叫整点，对吧？整，横动目标都是整数，那把里边的这样的点分成数量相等的两部分，嗯，那不含边界啊，不含边界，那咱们看看里边属于那个整点的有几个？ 从 a， 二到二到五到二，这有一个三到二和四到二，对吧？三到二，四到二，然后从 b 到 c， 这竖着分，嗯，上边有从五到二，从二到七呗，二到七有三、四、 五、六啊。那里边的整点，那咱们画一画啊。横动目标都是整数，咱们把这格一画，这整点也就出来了，哎。然后竖着两道， 好，哎，那里边的整点，一个，两个，三、四、五、六、七、八，好，这是里边八个整点， 嗯，要分成，嗯，数量相等的两部分，那好，咱们看，要分的话，咱们肯定中间那穿过去，这样能实现两边数量相等啊，这样中间穿过去，嗯，这里边涉及到一个知识点，就是 k 的， k 的 绝对值越大 啊， k 的 绝对值越大，这个图像离坐标轴越远啊。图像离坐标轴越远，那对应的，咱们看这些点，坐标 大概应该在中间的部分，再把中间的点子坐标数出来，找出来，那个就可以了啊，就能看出 k 到底是应该从哪穿过去，能让他数量均等， 嗯，这，这个点，这是三到，嗯，三到四，对吧？这是三到四，然后这呢？这是三到五，这，这个点是三到五，那他的 k 值如果过这的话， k 值应该是十五，嗯，这个点呢？ 这个点，这是四到。嗯，四到四，对吧？四到四，这，这要过这个点的话应该是，嗯， k 值十六， 那他应该离得更远一点呢？这是十五，这个点 k 值十五，这个点 k 值十六。那要穿过的话应该是这样， 哎，从这过去，哎，从那下边这穿回来，这样的话就能实现这边有一边有四个，对吧？一个、两个、三个、四个。然后这边呢？一个、两个、三个、四个， 哎，这样实现一边是四个啊？嗯，这是十五，这个是十六，从十五的上边十六的下边这样穿过来，那所以这个 k 值应该是大于十五，小于十六。

今天我们来看这道题，遇到反比例函数当中垂线，我们要学会做垂线勾到相似三角形。 这道题当中 o、 d 垂直， c， d， o， d 等于二 c， d 要求 o， d 分 之 a， d 的 值， 我们可以想到把这个比例进行转化，利用相似三角形把它进行转化。设想，如果我们过地点做 x 轴的垂线垂直为 f， 那么 a、 d 和 o d 的 比值会不会等于 d， f 和 o f 的 比值呢？当然是因为三角形 d、 f 与三角形 a、 o、 d 相似， 到后面我们会把它写出来的，那除此以外，我们想要构造相似三角形，我们要利用这个垂直的条件， 我们还可以构造一线三垂直线的相似，往往上围成这样一个模型，把这个垂足标为 e， 辅助线的语言我就不写了， 我们开始解答这道题。 我们可以设地点的坐标 为 a， 撇 a 分 之 k， 反比例函数都要去先设点的坐标才能解决题目。 现在我们要利用其中一个相似，我们先利用一线三垂直线来相似， 我简单写，因为三角形 d、 o、 f 与三角形 c、 d、 e 相似，所以我们就可以得到线段的比例关系。因为 o、 d 等于二 c、 d， 所以 对应下来 o， f 也等于二 d， e， 并且 d、 f 也会等于二 c、 e， 因为这里 o， f 和 d， f 的 长度我们都知道的，它们的长度分别等于地点的横坐标和纵坐标，所以就得到 d， e 的 长度应该是 d 点横坐标的一半，也就是二分之 a， 那 c， e 也就是它重坐标的一半。 十二 a 分 之 k， 这样子我们就可以得到 c 点的坐标了， c 点的坐标就是 d 点的横坐标，往回扣得到 c 点的横坐标，所以 c 点的横坐标应该要是 d 点的横坐标减去 c、 e 的 长度， d 点的横坐标是 a， c 点的横坐标就应该要是这样一个式子， 那这样子写，我们还漏了个重坐标，那重坐标应该怎么计算呢？ 计算重坐标，我们应该用原来递减的重坐标，再加上 d、 e 的 长度得到， 也就是 a 分 之 k 加上二分之 a， 那这个式子还未进行通分。我们接下来的思路是根据 c 点的横纵坐标乘积等于 k， 因为 c 也在这个反比例函数的图像上。 我们到最后需要把 c 点的横纵坐标乘起来，为了方便把它们乘起来，我们需要对它们进行通分， 通风后我们会得到 c 点的坐标 长，这样 做，数学代数题目都是这样的，算到一个地方可能就不敢算了，但是如果继续算下去，一定会有发现， 所以我们就要把 c 点的横纵坐标相乘， 因为 c 点的横坐标之 g 等于 k， 所以 把它们相乘，我们会得到这么一长串的式子，它们的结果等于 k。 这个式子的计算过程我就不写了，就是分子、分母分别相乘， 最后等于 k。 现在我们需要去解这一个方程， 如果我们能够求出 a 与 k 之间的关系，那么我们就解决了这道题。为什么呢？ 我们到后面就会知道 a、 d 与 o、 d 的 比值如果转化为一个分式，那么这个分式里面含有的未知数就是 a 和 k 刚刚好可以解决。 我们把它拆开， 大家稍等一下，我要把它拆开， 然后呢把分母乘到后面去， 现在我们发现前面这个式子当中有一项三 k a 平方，后面的结果当中是四 k a 平方，这就是一个同类项，我们可以对它进行合并， 但是现在这个方程看起来还是很棘手，为什么呢？因为它有四次啊。我们遇到这种高次方程，我们就要把平方设为参数， 把未知数的平方设为参数，对它进行降次。我们就要设我们想要解出的， 比如说是字母 a 的 平方为 p， 随便一个字母都可以，因为这里 a 的 次数更高， k 的 次数更低，我们要设的是 a 的 平方，而不是 k 的 平方，这样才有利于降四， 我们就会得到二 p 平方减 k， p 减二， k 平方等于零， 这个时候我们可以把它看成一个关于字母 p 的 二元一元二次方程，说错了，是一元二次方程。然后我们用求根公式对它进行解下， 就会解出 p 等于根号十七加一倍的 k 除以四， 那得到 p 有 什么用呢？ p 就是 a 的 平方，因为我们前面有提到三角形 a、 o、 d 与三角形 d、 o、 f 是 相似的，所以 ad 与 o、 d 的 比值 对应下来，就应该要等于 d、 f 与 o、 f 的 比值，也就是地点的纵坐标与横坐标之比， 纵坐标是 a 分 之 k， 横坐标是 a， 纵坐标除以横坐标就是 a 平方分之 k。 因为我们把 a 平方设为 p 的， 所以 ad 与 o、 d 的 比值就是 p， 分 之 k， 我们把它代入，代入的过程，计算的过程就先不展示了，代入之后 我们就得到 a、 d 与 o、 d 的 比值是四分之，根号是七减一， 这样我们就把这道题解决了。总结一下，遇到反比例函数的压轴题， 一般会涉及垂直和线段比例，我们要利用垂直构造一线三垂直线的相似，再利用线段比例去找到各个线段之间的比例关系， 然后表示出各个点的坐标，最后再利用这个垂直构造一个子母形的相似，把我们所要求的比例进行一个转化。就像在这里把 a d 与 o d 的 比值通过相似三角形子母形的相似转化为了 d f 与 o f 的 比值， 这就是我们所设点的纵坐标与横坐标的比值，解决起来就会轻松很多。今天的讲解就到这里。

应粉丝要求，今天出一期反比例函数相关知识点和中考真题讲解。 hello 朋友们！今天要讲的是九年级下册的反比例函数。首先呢，我们可以看它的定义是形，如 y 等于 x， 分 之 k， 且 k 为常数， k 不 等于零。 如果 k 等于零的话，那么我们把它带进去之后， y 等于零了，它就不是反比例函数，所以 k 不 能等于零，而 x y 呢，也均不为零， x 不 为零，因为分母不能为零，所以 y 也不为零， 我们可以将它变形变行为 x， y 等于 k。 然后呢，就是反比例函数的图像，它图像是一个双曲线，并且无无限靠近坐标轴，但是不与坐标轴相交。然后呢，就是一个比较重要的知识点，就是它的增减性。首先呢，我们可以看，当 k 大 于零时， 它在这个双曲线在一三象限，并且 x y 随 x 增大而减小。 当 k 小 于零时，这个双曲线在二次象限，并且 y 随 x 的 增大而增大。但是啊，我们要注意，这个 y 随 x 增大而减小， y 随 x 增大而增大。前面一定要有一个限定词，叫做在每个象限内， 这个是一定要有的，一般平时练的练习册上的题会给大家挖这个坑。 然后呢，就是 k 的 几何 e 反比例函数图像上任意一点到坐标轴的垂线与坐标轴为成的矩形面积横为 k， 这是什么意思呢？就是反比例图像中任意一个点，我们比如说取这个点，我们向坐标轴的 呃，向 s 轴做垂线，向 y 轴做垂线，最后我们会得到一个矩形，而 s 轴上这个点就是它所对应的 x 值， y 轴上这个点就是它所对应的 y 值，而 s 乘 y 就 等于他们的这个 k 值，我们由这个变形可以得到。 然后呢，我们可以将这个矩形，将它沿对角线连接，可以看到，我们会分成两个三角形，而其中一个三角形呢，就是它的面积就是二分之一 k 的 绝对值。 我们来看第一题，已知反比例函数 y 等于 x， 分 之 b 的 图像，如图所示，则一次函数 y 等于 c， x 加 a 和二次函数 y 等于 ax 方加 b， x 加 c， 在 同一直角坐标系中的图像可能是。 我们先来观察一下这个反比例函数图像，可以看到这个双曲线，它是在二次象限，所以因此我们可以判断出 b 小 于零， 所以呢，我们就一个选项，一个选项来排除。首先我们来看 a 选项，由图像可知，这个二次函数抛物线开口向上，所以呢，我们就可以判断出它的 a 是 大于零的。一次函数图像呢，它是在一三象限，所以 c 也大于零。 但是一次函数图像是 y 等于 x 加 a， 那 个加 a， 它应该是 a 大 于零，对，它整个函数图像应该是在一二三象限，而它 a 选项是在一、三四象限，所以我们可以排除 a 选项。 我们来看 b 选项，二次函数抛物线开口向下，所以 a 小 于零啊。一次函数它数，它是在一三象限，所以 c 大 于零。 然后呢，我们来判断一下，由于 b 是 小于零，根据左同右异可以判断出对称轴应该在 y 轴左边，所以 b 排除。 我们来看 c 选项，由图可知，抛二次函数抛物线开口向下，所以 a 小 于零啊，一次函数在二次相切，所以 c 小 于零。 由于 c x 加 a， a 小 于零，所以整个一次函数图像应该在二、三、四象限，而题中的图像是在一、二、四象限，所以故 c 选项是错误。我们来看 d 选项， 二次函数抛物线开口向上，所以 a 大 于零。一次函数在二、四象限，所以 c 小 于零。 我们来先来检查一下一次函数 y 等于 c 加 a， a 大 于零，所以图像应该在一、二、四象限是对的。再来检查一下二次函数，我们可以看到这这个对称轴是在 y 轴的右侧，然后 b 小 于零， a 大 于零，左同右异。所以啊，这个二次函数图像也是正确的，所以此题选四 d。 接下来我们来看第二道题，如图，在平面直角坐标系中，点 a， b。 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k， x 大 于零的图像上，点 a 的 坐标为 m 勾二连接 o， a， o， b， a， b。 若 o， a 等于 ab， 角 o， a， b 等于九十度，则 k 的 值为。 我们首先来看一下已知条件， a 是 m 勾二 o， a， b 等于九十度。 我们先来做一条辅助线，首先过点 a 做 a， c 垂直于 y 轴于点 c。 然后呢，再延长 c， a 过点 b 做 b， d 垂直于 a， c 于点 d， 我 们就可以构成一个，我们就可以构成三个直角三角形。我们注意观察三角形 a， o， c 和三角形 a， b， d 里面都有一个九十度的直角， 然后 o， a 等于 ab， 也就是说，我们再找一个角，就可以使这两个三角形全等。那么大家请看，角 c， a， o 加上角 d， a， b 等于九十度，而角 c a， o 加上角 c， o， a 等于九十度，所以角 c， o， a 等于角 d a b， 所以 这两个角相等。根据 as， 我 们可以判断这两个三角形全等。我来给大家画上这两个图，黑的三角形全等。 根据我们刚才这个点 a 的 坐标为 m 二，可以判断出 a， c， 它的长是 m， 然后 o， c 的 长是二，然后它们两个还全等，所以 b、 d 的 长是 m， ad 的 长是二， 所以我们点 b 的 坐标就可以表示为 m 加二到 m 二减 m。 根据 k 的 几何意义，反比例函数图像上的任意一点，它的横坐标之积为 k， 也就是说，不管是点 a 还是点 b， 它们的 s 轴和 y 轴的积都是一个数。所以 我们先用点 a 来乘 m 乘二，等于点 b 的 横坐标之积 m 加二乘二减 m， 最后我们解得 m 一 等于负一，加根号五， m 二等于负一，减根号五，而负一减根号五需要舍去，因为我们可以观察到这个函数图像，它是在第一象限， 而这个解是一个负数，所以我们应该舍去这个解，而留下第一个解。所以点 a 的 坐标我们就可以求出来了。将 m 带进去，等于负一加根号五。逗二。所以我们要求 k 值的话，就用点 a 坐标之积就可以了，也就是最后的二倍，根号五减二。

这是一道二零二五年中考数学真题，今天我用一分钟带你用中考标准思路描解这道题呢，属于反比例函数综合应用，它基本上是每年的高频考点。 解这道题的核心就是坐标建模加比例线段。首先题目最后问的是 k 一 比 k 二的值，那么我们现在来观察图像， k 一 比 x 这个函数在第一项线， k 二比 x 这个函数在第四项线，那么我们很容易得到。 k 一 是大于零的， k 二小于零，那么 k 一 比 k 二一定是一个负数，所以我们首先排除 c、 d 选项。 接下来我们回到解题核心的第一步，坐标建模。我们观察这个图像，我们去设 c 点的坐标为 a 零，因为这个 c 点在 x 的 正半轴上，所以 a 一定是大于零的。题目中又告诉我们， ab 平行于外轴，所以 ab 两点的横坐标一定是相同的。 ab 两点的横坐标和 c 点的横坐标一定是一样的，多为 a。 又因为点 a 在 外等于 k 一 比 x 这个图像上，所以 a 点坐标为 a， a 分 之 k 一。 又因为点 b 在 外等于 x 分 之 k 二这个图像上，所以 b 点坐标为 a， a 分 之 k 二。 我们继续第二步，线段长度转化。题目中告诉我们 a、 c 的 长度和 bc 的 长度。 根据题目中的条件， a、 b 平行于 y 轴， a 点、 b 点都在这个反比例函数图像上，所以 a、 c、 b、 c 的 长度就为 a 点 b 点纵坐标的绝对值，所以 a、 c 的 长度就是 a 分 之 k 一 的绝对值， bc 的 长度就是 a 分 之 k 二的绝对值。 那么又因为他们俩是三倍关系，所以我们能得到 a 分 之 k 一 的绝对值等于三倍的 a 分 之 k 二的绝对值。那么两边同时约掉 a， 所以 得到 k 一 的绝对值等于三倍的 k 二的绝对值。 又因为 k 一 大于零， k 二小于零啊，所以 k 一 比 k 二的比值就等于负三。直接锁定答案 a 选项。

今天我们来看一道反比例函数的选择题。四边形 a、 o、 c， b 是 矩形， d 是 b， c 的 中点。 反比例函数外，对于 x 分 之 k 的 图像经过了 a 点和 b 点， c 点的坐标是负一到 m， 我 们要求 k 的 值，而求 k 的 值，也就是求 a 点或 b 点其中一点的坐标， 而我们知道 c 点的坐标是负一到 m。 我 们如果过 c 点向 x 轴作垂的话，那么 o q 就是 一 c， q 是 m， 而我们知道角 c、 q、 o 是 九十度，角 c o a 也是九十度，这时我就看到了 k 型。我们过 a 点向 x 轴作垂，就能得出这两个三角形是一个 k 形的相似， 而我们知道 d 点是 bc 的 中点。我们可以设 c， d 等于 b， d 等于 a， o a 就是 二 a。 而现在我们可以再来表示一下角，我们设角 a、 o、 p 是 r 法，角 q， c、 o 也是 r 法，因为它们是平行的，所以角 c、 o， d 也是 r 法。 r 法的正切值是一比 m， 所以 c、 o 就 等于 am， ab 也是 am。 这时我们通过刚才正出的那组相似，就能根据相似比得出 o p 是 二， ap 是 m 分 之二，但这样仍然不足以求出 k 的 值。 我们在这个三角形 o， a， p 中发现 o， a 是 二， a o a 与 o p 的 比值是 a 比一， 那么我们就想能不能让 o a 和 o p 是 三角形的对应边，让三角形 o， a、 p 和另外一个三角形构成相似，这样相似比就是知道的。 而我们通过观察连接 o、 b 就 能得出三角形 a、 o、 b 与三角形 o， a、 p 是 相似的。 这时因为 ab 是 am， 所以 ap 就 能求出是 m， m 等于 m 分 之二，所以 m 等于正负根号二， 而因为 ap 它是大于零的，所以 m 就 等于根号二。 a 点坐标就是二度根号二， k 的 值就是二倍根号二。