天津中考第24题最后一题解题技巧

通用的方法，只要你第二问不算错，他能拿九分。中考的二十四题一共十分他的难度，第一问是基础，也是简单，第二问的难度是中等，第三问的难度是难。第一问是必拿的，一般是两分到四分，第二问呢，可能有的学生拿不全，第二问一般是四分， 那么第三问呢？二分到四分。第一问求坐标是比较简单的，求哪一点坐标，就直接过那个点向 x 轴做垂线，然后求两段线段长度，就是标准的求坐标的方法，只要不算错，就给那分了。然后第二问呢，它有两种类型，第一种类型呢，它是用 t 去表示线段长。 第二种呢，是用 t 去表示重叠部分的面积，那表示线段长呢？相对简单一点。表示面积呢，要复杂一些，不管是表示面积还是表示线段长，他们用到的都是几何关系 和图形特征。那么几何关系它包括，比如说在三十度、六十度、九十度的直角三角形中，斜边的一半等于直角边啊，三十度所在的直角边等于斜边的一半，是吧？还有些特征图形，比如说菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等等等等，这些呢，都属于图形的特征和几何关系。然后呢，进行表示线段长和面积。那 这个题的方法呢，是相对简单的，但是计算起来比较麻烦，所以在计算这一块特别需要注意的是啊，根式与分数不参与计算，提取出来是个计算技巧，这样可以提高计算的准确率。第二个呢，就是要确定一个 t 的 取舍范围，是吧？用 t 把线段表示出来了，把面积表示出来了，那就要确定 t 的 取舍范围。 t 的 取舍范围怎么确定呢？那就要找临界状态。临界状态怎么去找简单的方法这样的啊，根据图形去找 开始出现和消失的线段，把这两根线段都用 t 表示，然后呢，让这个表达式等于零，把这个 t 解出来， t 会解出两个字，一个大一个小，那么小的那个就是下线，大的就是上线啊，就是 t 的 取式范围，它一共是四分，表达式写出来是两分，然后取式范围呢？写对一个给一分 啊，一共是四分。中考分数想过百，第二问要拿满分，并且这个方法并不是那么难学的啊，念念熟了就就很容易拿满分的。然后他的第三问啊，一百一以上的学生就要把第三问也拿到满分，我们要求或者说希望孩子二十四题呢，至少拿九分。 第三问他有两种问法啊，常见的第一种情况下，相对简单一些啊，方法就是我们将第二问中 s 的 值作为第三问中 s 的 最大值。然后呢，来分析第三问中 t 的 这个两个端点值， a 和 b 哪一个离第二问中 s 表达式的对称轴的 远，谁离的对称轴越远，那么就在哪个端点处取最小值。把这个方法掌握住，然后直接算值，算出两个数，直接在这一填，如果是用告诉 s 去求出 s 的 表达式，那么分别等于 a、 b 解除 t， 还要判断这个 t 是 不是在第二问的取出范围内，然后再进行判断 t 的 取出范围，这就相对复杂一点，如果是这种情况，它的难度会更大一些，这两种都要掌握， 这是一道模拟题的二十四题，它提议呢，是这样的，就是有一个三角形屁股下面的这部分折上去，新的三角形 p o 撇 q 呢，与圆三角形 o a、 b 有 一个重叠部分，它给定一个 t 的 值啊，啊，这段等于 t， 用 t 去表示这个重叠部分的面积，这个他告诉你呢，这个是三十度，那么这个也是三十度，用几何关系的图形，用 t 去表示 s， 那 它是 t， 这段呢，就是根号三 t， 对 吧？啊， o a 是 六， o b 呢，就是六倍的根号三啊，整个这一段是六倍的根号三 啊，六倍的根号三。我们是这样做的啊，这个三角形啊， o p q 折上去，变成了 o 撇 p q， 所以 o p q 的 面积我们就可以表达出来，然后减去这个小三角形的面积，这是直角， 就是这个阴影部分的面积啊，所以我先表达出来 s 三角形 o 撇 p q 的 面积，它就等于 o p q 的 面积，也就是等二分之一 t 乘以刚好三 t。 然后呢，我再去表达这个三角形的面积，这个三角形是个直角三角形，那么表达出 o p m 和 o p n， 用 t 表示，然后这个三角形面积就可以表达成 t， 然后两个 e 作差，就是阴影部分。那么这块是 t， 这一块呢，就是六减 t， 这是个等边三角形，所以 pm 也等于六减 t 啊，这段它也是六减 t， 这个 m o 撇就是 t 减去啊，六减 t， 二 t 减六，是吧？二 t 减六，那么 o p n 这段它就等于根号三倍的二， t 减六， 所以这个三角形的面积 o p m n， 它就应该等于二分之一二 t 减六，乘以根号三倍的二 t 减六，然后再用它减去它， 最后我们得到 s 重合部分的面积，表达式是二分之根号三倍的负三 t 的 平方加上二十四 t 减去三十六。啊，这我没有，没有展开，那怎么确定 t 的 取值范围呢？那我们就看我们在这啊， p q 在 开始的时候啊， p q 在 这的时候，它的折叠之后是这样的，是吧？ 那我们看这两个图形对比，哪一条边是新出现的呢？出现之后变成这个四边形呢？这条边是这条边 p q 吧， 它在这儿就有了，而这条边对应的就是什么 o 撇 q， 对 吧？ o 撇 q 和这条边是一样的， q n 是 它的一部分，那么在这个时候其实 q n 就 已经出现了，而 pm 也已经出现了， pm 就是 这条边上的 一小部分，对吧？那哪条边是后出现的？是不是 m n？ m n 是 后出现的， m n 等于多少？我们用 t 表示， m n 应该等于 o p m 的 二倍， o p m 等于二 t 减六，所以就是二 t 减六的两倍。 m n 后出现，我们让 m n 等于零，找到它刚出现还没出现的那个临界状态，解出 t 呢，是等于三呢？然后我们再看这个 p q 再向上移动的时候，再向上动那么一点点，那就是这样的，是吧？这样的一个图形，这还是那个直角，那我们看哪一段线段它变短了呢？是不是这段线段变短了， pm 变成了，变到这了， 越来越短，越来越短，最后它又消失，它只要消失一条边，这条这个形状就变了，这个 mp 消失的时候又是一个临界状态，那 mp 等于六减 t， 也就是让六减 t 也等于零， 所以 t 等于六，我们解出两个 t， 一个三，一个六，那么小的那一个就是下限，大的那一个就是上限，然后第三位是这个，是这个意思，他告诉你啊， t 大 于等于三分之八，小于等于二分之十一，问 s 的 取值范围，他给定了 t， 让你求 s， 那 这帮怎么处理的呢？我们就让第二分钟我们解出的这个表达式的最大值作为 s 最大值，那我们要求这个二次函数最大值好办，是把它开口向下， t 等于负的二分之 b 等于对称轴的时候， s 要取最大值，那么 t 负的二分之一往里一带应该是四的时候啊，四的时候往里一带算出 s 最大值是六倍的杠三。那最小值怎么确定呢？这个函数的它的图像的对称轴是 t 等于四， 我们就看这个四距离三分之八远，还是距离二分之十一远。四距离三分之八，那么四减去三分之八 等于啊，三分之四对不对？这个四减去二分之十一呢？等于它绝对值啊，它绝对值，它是二分之三对不对？减二分之三要大，也就是二分之十一离四远，所以我就知道 t 等于二分之十一的时候， s 取最小值， 我们来看二分之十一是不是在这个范围内啊？那二分之十一也满足这个表达式，再把二分之十一带进来，带到这个表达式里来，得出 s 是 八分之二十一倍的杠三，就把它 认为是最小值，那么最后的答案就是它，这个就是正确答案，比较标准的二十四题难度啊，通用的方法，通用的，只要你第二步算错，他能拿九分。只要有一步算错了， 这个表达式就错了，这个表达式错了，这个最大值肯定错。第二位是关键，就是我会做，算对难学会怎么做不难怎么。我一遍算对，二分之一根号三， t 的 平方对不对？减去它 对不对？二分之根号三，二 t 减六的平方，对吧？把二分之根号三提出来，变成 t 的 平方减去二， t 减六，括号的平方 算，这里边二分之高三，他们俩都不参与计算，提高计算准确率。如果你把它展开，把这个先算开，再把它乘以，再然后再算， 那就非常麻烦，很容易错。计算的时候有两个要点，第一点就是逐步一步一步的写，不要跳步。第二个问题，算一步查一步，比如说我知道它是 t， 从这作为起点，然后它是六减 t， 确认一下它是不是六减 t， 我表示立刻就检查一下他对不对，就算完就直接查一步 t 减去六减 t， 不要在自己的脑袋中算，一定要写出来，看着算去括号减去六，加上 t， 然后等于二 t 减六。我保证上一步是对的，再进行下一步，尽量去保证一遍算对，如果一遍没算对，没有检查时间。练计算的时候就这样，练越熟，算的越准。

主攻压轴体啊。二三五最后一问的话，首先你要看看孩子这个模型他掌握的情况怎么样？近七年天津中考啊，像胡不归阿，十元费马点是咱一直没有考过的题型，但是去年出现了，那么说明什么问题呢？说明这几年的考核数学，他会有创新题的出 现。那么你二十四题，二十五题，最后一问，你一定要让孩子多接触模型，多接触题型啊，像将军马的变形，那你要看孩子掌握了有多少 代数综合跟几何综合，他的运用能力是怎么样，因为最后一问他是需要时间还去落实。如果您一直上课在学着模型的话，你应该能发现，孩子在做最后一问时候，他有了孩子不熟的孩子，他将近得用半个小时才能做完这道题。 数学二十五题怎么训练？就是固定这些模型，首先要让孩子去掌握，掌握之后他要形成自己的一个思维。那么比如说啊，我二十五题，我可能第一问都没有问题，第二问我可能会卡，或者是说简单点题，第二问我能做，但是难题第三问我彻底就没有思路了。首先让孩子不要有畏难的情绪，其次在平时做题的时候， 你一定要让他准备一个错题本，这二五题，这道题我不会了，这个题型你要他总结一下，你一定要孩子要还原一下当时做题的现场， 就当时你是怎么思考的啊？是思维的问题，还是对这个模型不熟练的问题？你让他找到根本原因，那么通过老师的指点，技巧性的指导，那么你是可以很快更正的，也就说你不要让孩子做题方向去错，那么如果是说哎，我可能都会，但是我可能就存在练的少，那你让他多去练模型题， 模型题必须要去多练，去总结自己的思维和做题的一些技巧，他是要刷手感的。数学十八题网格题怎么练？这个题呢？不是三分吗？ 然后答对第一问就一分，第二问呢是两分。第二问呢，你找那个圆心其实是很好找的，找到之后呢 又是一分，但是呢，接下来的一分他相对性价比就没那么高。十八粒第二问，咱们可以说是合理放弃啊，因为他在学的过程当中，他需要耗费很大的精力，不说到考试时候，他不是说三五分钟能做出来，甚至要二十分钟才能做出来，保证前面基础拿稳的话，咱们分数也是不错的。

因为最近啊咨询我天津二十四题历学设计实验这个书以及视频的家长特别多，所以这段视频我给家长们讲一下这个二十四题到底适合哪类学生去购买书籍以及视频，然后以及在使用这个书籍在听视频的时候，咱们要注意些什么？这段视频给咱们家长们讲清楚。 咱们同学以及家长拿到这本书之后呢，这本书一共是有五十七页啊，一共是有五十七页，所涉及到的题目一共是不到八十道题，方法一共有不到三十种方法， 而题目当中呢又分成了两部分，一类叫做例题，一类叫做习题啊，接下来咱们来看一下这个目录，在使用这本书的时候要去注意什么。首先呢，我是把这本书当中分成了三个模块，或者说三个部分，这三个部分啊，应该咱们家长现在都可以看到，这是第一部分 啊，然后这是第二部分，我先标个黄字，然后以及这是第三部分，三个部分有什么区别呢？咱们先来看第一部分啊，第一部分他对应的是啊，如果说咱们的同学不会这个方法，比如说二十四题你一点学校也没讲过，那咱们同学第一部分一定要去听 啊，一定要去听，我这里边一共总结了是有不到三十种方法，这不到三十种方法啊，如果说咱们家长以及同学不相信的话，你可以任意拿出来近十年左右的 历学设计实验的测密度的题目啊，比如说像咱们中考题以及模拟题，你任意拿出来一套卷，你去看看对照，对照能不能找到这个方法啊？这几天反馈啊，买过这本书的家长反馈都特别不错 啊，很多家长这两天都在催更，让我去把这个福利的计算赶快出了啊。但是这里边由于我时间确实有限啊，所以，呃，只能说一点一点先出着，因为我这边六日还有课程 啊，现在为了帮助大家啊，所以只能够周一到周五，我暂时我也不打算再去接新生啊，然后我只打算把这个书籍啊全部都更新完完毕 啊。第一部分这个刚才我说了，这一块是必须要去看的啊，这一块必须要去看视频。那么第二部分是什么？第二部分啊，我给他称作叫做例题部分。 然后例题部分是什么呢？如果说你听完方法之后啊，感觉这个方法呀都能听明白，但是你做题的时候未必能做的出来呢。原因是什么？原因是你对于这些方法并不太熟悉， 你还没有把我教的东西变成你自己的东西，所以第二部分例题他是干什么的，就是带你去巩固这些方法啊。你们来看这个例题部分，咱们可以着重去做专题二、专题三，专题一呢，这个是填空啊，填空其实做不做我觉得无所谓啊，只不过咱们有的时候呢，各区一二模，他会出一些填空的二十四题的一个改编， 所以我也少了一些啊，但是不太多啊，咱们着重要做的是第二部分的专题二以及专题三，这两个是重点，这两块做完之后你会发现，基本上我讲的方法你差不多 也就会自己用了，看到不同题目的时候，你就知道该怎么往里边套了，那么这个时候接下来咱们来看第三部分，第三部分叫做什么呢？叫做习体部分啊，什么是习体部分？习体无外乎就是练习，对吧？所以第三部分咱们需要先自己做，再去对答案，或者说听视频 啊，这个是咱们这点啊，咱们也可以看一下我这里边总结的这个方法啊，一共是呃方法的话，一共差不多总结了是不到三十种啊，非常全面。还是说那句话啊，你如果不信的话，你拿到书之后，你可以任意的去翻看，和往往年的二十四题 进行对比啊，比如说你随便找到一套卷子当中的二十四题，只要是立学设计实验的，你去看看我这里边方法能不能对应上啊。 那么接下来解答一下第二个问题，就是咱们哪一类同学适合只买书，哪一类同学适合书将视频一起带走啊？适合买书的同学是哪一类同学？首先你是知道二十四题该怎么做的， 但是苦于市面当中的这个习题特别少啊，因为咱们二十四题，咱们天津是全国啊，目前我所知道的是全国唯一一个二十四题这么考这么考察的一个省市，其他省市都是考，都是以填空的形式考察啊，就像这个专题一样啊，以填空的形式去考察。 所以啊，如果说你找不到大量的习题去练的话啊，你像一飞冲天里边最多好像也就十几道题啊，那这时候你就把这个这本书买走就行啊，视频你可以不买啊，你可以自己去对答案啊，因为我这边书也是有答案的， 这是第一类。那哪一类同学我不太建议只买书呢。啊，那这一类同学啊，我建议你， 你虽然说你买了书，买了答案，可能你也能慢慢给他扣出来，但是作为咱们初三还有三个月马上就要中考的学生，说实话你现在没有时间 啊，你如果说自己自己去扣这本书的话，你大概要用多久呢？我觉得最少也得是十个小时往上啊，但是我的视频五个小时就可以将这本书当中的全部内容全部讲完 啊，然后只要你规规矩矩，按部就班的把第一部分方法听了，第二部分例题啊听了也写了，第三部分习题，每天一组，每组五道题都给他做了 啊，那中考的这二十四题，我不敢说一定能拿六分啊，但是这这个五分或者说四分，我觉得肯定是可以拿到的啊，然后为什么可能会扣那么一两分呢？可能是你表述当中有的时候啊，缺乏一些规范性 啊。所以这个是咱们的第二个问题，就是哪类同学买书，哪类同学书连视频一起带走啊，我已经讲清楚了。

大家好，我是老古，老古编写的二六版中考物理压轴体内部悬案，对于第二章天津中考数学的二十四题， 的确整理了不少关于测固体测液体的模型，但是一开始主要是以加强福利为背景下的这种特殊的解决，目前带了一个孩子，基础不是特别扎实。老古呢，先把常规的，也就是我们八上 这个阶段测固体测液体，这里面呢也有一些特殊法，寻求等量关系进行的处理。老股先进行了一个梳理，先把这个基础的掌握 再讲解了，这里面也是基于我们这种非压箱浮力背景下得效替代，比如说像二二年这个用槽虫称象 来进行处理的。还有一个就是我们这种的通过溢水，只是水不溢出来， 比如说我装满水了，把小球放进去稳定之后去寻求此时这个 m 一 减 m 二，但是需要加上小球的质量来寻求排开液体的质量 好，以及如果有了两个相同的杯子，我们再怎么设计，像二五年河北二模也会有这样的典型题。以及呢，相应的测密度的时候，我也寻求等量关系的求解，也就是质量相等的时候，密度之比和体积的 反比这样的关系进行去求。老古也都带着孩子进行了相应的梳理，所以说我们 不仅仅是这种的历雪综合下的设计，那这种的基础的也进行一个讲解。另外最近比较忙，一直没有时间更新后续的这个视频，大家再等一等，接下来芒果这阵就开始进行相应的录制了。好，我是老古， 踏踏实实，认认真真，这是老古指主编的，虽然没有打 logo 和水印，但是这个封皮仅有一家，那就是老古的，感谢大家，有数学有物理好 都是这样的，颜色不同，记住这样的一个标志，认准老古好，内部上包括这个排版这样的痕迹也是唯一的，后续加不加水印那就再说了。好。

同学们好，今天我们不聊别的，专攻中考数学力的大魔王旋转、变幻，特别是二零一四年天津中考那道经典的第二十四题。很多同学看到旋转俩字就头大，觉得他像迷宫一样找不到北。但我要告诉你，只要你抓住了他的秘门， 这道题其实比切西瓜还简单。要想搞定旋转，你必须先练好内功。记住这三个词，旋转中心、旋转方向、旋转角。这就像跳舞，中心是舞伴，方向是步伐，角度是转身的幅度， 缺一不可。旋转是个魔术师，但他变来变去有个死规矩，形状大小绝对不变，也就是全等。而且每一个点跑的轨迹，其实都是以中心为圆心画的圆，抓住这个圆的特性，你就抓住了解题的钥匙。现在重头戏来了， 这就是传说中的二零一四年天津中考第二十四题。看着这密密麻麻的字，是不是有点腿软？别急， 把它拆解开来看。第一问，当旋转角 alpha 等于九十度时，求 a、 e 和 b、 f 的 长。这时候普习位置最特殊，你会发现旋转后的 e 点刚好站在了 y 轴上，这时候 a、 e 和 b、 f 其实就是两个直角三角形的斜边。直接套用勾股定律， o a 是 二， o e 是 一。因为是终点，所以 a e 等于根号下二的平方，加一的平方等于根号五，是不是很简单？第二问，难度升级。当 alpha 变成一百三十五度时，我们要证明 a、 e 等于 b、 f， 而且他们还要垂直。这里有个绝招，找全等，你会发现， a、 o、 e 和 buff 简直就是一对双胞胎，满足 s a s 全等条件，全等了便自然相等。至于垂直，那是因为角的转移。利用全等得到的对应角相等，再结合直角三角形的内角和 你会发现他们的夹角正好是九十度垂直搞定。第三问，求 p 点纵坐标的最大值，这考验的是你的动态思维。想象一下，当正方形一直转啊转，两条直线的交点， p 也在跟着跑， 什么时候 p 跑的最高？答案是当 a p 与圆相切的时候，这时候点 d 刚好和 p 重合。利用三十度直角三角形的性质， p h 等于 a， p 的 一半，经过一番计算，最大值就是三加一二，这就是几何的动态美。 怎么样？这道题其实并没有想象中那么可怕，旋转问题核心就是抓不变量，找全等看轨迹。只要掌握了这些，中考压轴题也不过如此。 如果你觉得这期视频对你有帮助，别忘了点赞、投币、收藏，一箭三连，下期我们继续挑战更难的题型。我是你们的数学老师，咱们下期见！

哎，王老师啊，不刷题，中考数学能上个幺幺五吗？呀，这不肚脐眼放屁吗？这嘛意思，怎么想的呢？中考数学要想上一百一十五分，就六个字，前面快，后面熟。哦，前面快指的是一到二十三题，必须在五十五分钟的时间内完成。 很多孩子大题写不完，就是因为节奏控制的不好。刷题啊，从来不计时计时，二十七分钟刷选填，二十七分钟练解答，可以分板块单独练，比如今天计时刷选填，明天计时练解答，交替刷个那么五六套。哎，这节奏感就有了， 需要计时训练包的找我领，都是各区今年模拟考的好题。嘿，这后面手是嘛意思？后边手指的是二四二五压轴题，要想上幺幺五压轴题，最多扣三分。也就是说，你在考场上如果觉得这个题目很陌生，需要现想思路，那幺幺五肯定就没戏了。 二十四题，十四种模型，二十五题，六大常考模型，都训练到位了，那你见题肯定是面熟的，用百分之三十的时间思考，百分之七十的时间计算，这才能拿下。那要是不熟呢？ 哎，我整理了二四二五题的回变，还有动图分析的视频讲解，需要的领一份给孩子练熟。

天津中考数学二十四题，从这两个角度去分析就可以。呃，很多处于中等或中等偏上的孩子，就大概是九十多分的孩子或一百分左右的孩子啊。嗯，其实你们可以在二十四题上面花点功夫，这道题得满分，其实我觉得相对来说还是比二十五题和十七题要容易的。 如果在我心目中给这三种题型排个排个顺序的话，我会认为二十四题第二问。其次， 其实实际题我认为是比较难的，当然如果你会解析法的话，那实际题相对来说会简单很多。那再说回到二十四题，二十四题的话，其实他只要会两种题型就行。一种是 呃， s 和 t 的 题型，就是给你 s 求 t 和给你 t 求 s， 你 知道解析技巧以后可以很快速就可以 把它给做出来，剩下就是一个计算问题了。那还有一种就是，呃，第三问的话，他会让你去分类讨论，因为今年大概率按规律的话是考折叠嘛，折叠的话他折来折去不就是三角形和四边形吗？那就会让你分类讨论是三角形还是四边形，然后 让去求对应的东西，其实就是一个几何的分类讨论问题。其实就这两种题型，那些考的特别偏的那就不说了，大概率大范围的啊，是考 这两种题型，那你嗯可以跟针对蓝易飞上的折叠问题，那有针对性的去问这两两类题型啊，把它练熟练了，那你考试的时候花点时间，我觉得二十四题得满分还是很划算的。

天津中考数学，想上一百一十二加一百一十三加一百一十五加，想出绝对高分，那二十四啊，二十五啊，就是咱们孩子的生死线。今天杨老师啊，把近十年的压轴题给你扒的明明白白的， 二十四题啊，是几何压轴，今年呢，咱们考平移偶年啊，咱们考折叠，那今年二零二六年啊，是咱们的偶数年，所以啊，很大概率是考折叠的 几何。薄弱的孩子啊，给我听清楚了，折叠里的对称性质，线段相等、角度计算、勾股定律啊，现在闭着眼啊，都要给我做到熟！二十五题的函数综合大题最难啊，也是最有套路的，这么多年考来考去， 无非就是一箭三垂直将军引马胡不归逆等线化学为直，再配上咱们的二次函数综合模型，不熟啊，根本咱就没思路，函数不牢啊，算到你崩溃也白搭。 说到底，二十四题，二十五题啊，都是有模型有套路有方法的模型啊，背死练熟就是关键点。杨老师呢，把二十四题，二十五题的模型以及配套的练习啊，都给大家打包好了，杨老师啊，免费的分享给你！

今年考折叠两个题型，恶心。我们的地方是一样的， t 在 变化，图形的形状也随之变化，三角形，四边形五边形，然后又变回了四边形三角形每个图形的面积都算出来再进行缩减，那么 性价比不高。我的这种方法把对图形变化的考虑缩减到最小。两个题型的哪分错列我都发到了公共群，大家关注无条件进群就可以了。

同学们好！今天我们不聊别的，专攻中考数学力的大魔王旋转变化，特别是二零一六年天津中考那道经典的第二十四题。很多同学看到旋转俩字就头大，觉得他像迷宫一样找不到北。但我要告诉你，只 要你抓住了他的秘门。这道题其实比切西瓜还简单。要想搞定旋转，你必须先练好内功。记住这三个词，旋转中心、旋转方向是步伐，角度是转身的幅度， 缺一不可。旋转是个魔术师，但他变来变去，有两个东西是绝对不变的，一是对应点到中心的距离，二是旋转角的大小。抓住这两个不变量，你就抓住了旋转的灵魂。好，热身结束，让我们来看真题。 这是二零一六年天津中考的压轴题，题目给出了坐标系中的三角形 a、 b 哦，绕点 b， 逆时针旋转。这道题分为三问，层层递进，我们来逐一击破。第一问，旋转角是九十度，求 a， a 的 长度。首先，根据勾股定律， 我们很容易算出 a、 b 的 长度是五。旋转后， a、 b 等于 a， b 也是五，而且 a、 b， a 是 一个等腰直角三角形。再用一次勾股定律， a、 a 的 长度就是五二，很简单，对吧？第二问，旋转角变成了一百二十度，求凹的坐标。这需要我们构造直角三角形，故凹做外轴的垂线，垂足为 h。 因为旋转角是一百二十度，所以 o， b 是 一百二十度，那么 e 就是 三十度。在 r、 t、 o、 h、 b 中，三十度所对的直角边是斜边的一半，所以 b、 h 等于三十二。再用勾股定律或者三角函数算出 o 等于三、三二， o 的 横坐标就是 o， 纵坐标就是 o 等于 o， b 加 b h， 也就是九十二，所以 o 的 坐标是三三二九二。第三问是这道题的精华， 要求 o p 加 b p 的 最小值。这里有个绝妙的技巧，利用旋转性质， b p 等于 b p， 所以 o p 加 b p 就 等于 o p 加 b p， 这不就是将军引马问题吗？我们作 b， 关于 x 轴的对称点， c 连接 o， c 与 x 轴的交点就是 p 点，此时 o p 加 b， p 的 值最小等于 o c 的 长度。然后我们根据 p 点的坐标，结合旋转的性质，就能算出 p 的 坐标了。最终结果是 p 有三十五，两百七十五，是不是很神奇？同学们，这道经典的旋转题你学会了吗？记住，旋转问题的核心就是抓住不变量，灵活运用全等和勾股定力，只要你掌握了方法，中考压轴题也不过如此。我是你们的数学老师，我们下期再见！

天津中考数学的二十四题，我有以下几点建议，呃，你听完了一定会有收获。首先第一点就是二十四题的第二问，我要求绝大多数的同学你都得写出来， 然后你要用多种方法去写。比如说有一道题求线段长度，你可以拿三角函数写，你可以拿线段的和差去写，你可以拿比例去写，你也可以拿相似去写。自己只要想到了这种方法，你就多写几种方法。呃，为了是什么呢？咱们考试的时候避免一种方法不会。哎，你第二种方法想不起来，这事不就坏了吗？那你第二种方法如果能快速的想起来， 那你平时的练习就有效，这是第一点。第二点呢，叫做第三问的练习，是辅助第二问用的，你多做几道第三问，你会发现，第三问如果给你足够的时间，你一定能在考场上把它做出来。考场上做不出来是因为我们 第三问的性价比比较低，那两分我们可以不要他，我们去把前面给他把握住，后面二十五题可以给他把握住。然后咱说为什么我建议大家去练第三问，就是因为你练习第三问的时候，第三问相当于若干的第二问，他相当于你把一道题的第二问多做了好几次，多做了好几种。第二问那一道题就发挥出四道题、五道题的优势来了， 我们说这是这一点。然后下一点呢，是你要注意他给你取值范围，或者说你自己写取值范围的时候，那个等号取的上取不上，这是需要注意的。还有需要注意点是什么呢？我给大家看看我的学生做题，他们怎么画， 大家看啊，我要求他们画什么呢？画一个表和一个图，看这一个表是什么？ t 图形 s， 写上一个图是什么？ st 的 函数图像，你必须给他画明白，无论是给 s 求 t， 还是给 t 求 s 啊，无论是什么样的题，你只要列表画图，你心里马上对整个图形的变化概念你都特别特别的清晰，这是我的建议啊！ 还有就是什么别信网上那些那些大招，说什么哎，一眼能看出来 t 来，对吧？哎，一眼能算出来 t 来。如果你不画图，你不列表格，你心中就没有这个图形的变化是怎么来怎么去的， 你怎么能快速的理解，怎么秒杀呢？很多人他站在自己，比如说我教学多少多少年，或者说我写过很多很多题的基础上，我当然能一眼看出 t 是 什么，我当然能知道这个范围，能快速的写，能用多种方法写，但是作为学生的不行。所以我建议大家，现在离中考还有百十来天，你别放弃自己， 自己加油练，多沉淀沉淀，你的能力会提高的很快，别好高骛远，也别去想那些捷径对不对，加油！

中考数学最耗时的两道压轴题，二十四题二十五题也是家长们给孩子花钱最多的两道题，但是啊，这两道题的题分他是有套路的。先来拆解二十四题的几何。这道题的命题范围其实非常明确，每年必考平移、折叠、旋转这三种几何变换中的一种。 有一说一，出题方向是有规律可循的。去年考的是折叠，那今年大概率就会轮到平移或者旋转。而且不管考哪种变换，最终的落脚点基本一致，就是要求孩子根据对应的几何模型去求阴影面积。这个知道了还不够，下面这个更关键。具体到答题方法上，平移和折叠这两类题的套路高度相似， 个人觉得可以归纳为非常固定的三步走，第一步，画出变换后的图形。第二步，在途中找到关键线段。第三步，利用线段关系计算面积。旋转类的题稍有不同，核心在于掌握最值问题的处理方法，但是呢，它的计算量反而比平移和折叠要小一些，所以并不需要过于担心。 咱们接着往下看二十五题的压轴题。二十五题的常考题型是二次函数与几何的综合，说白了，主要考察三个维度的问题，面积、角度和线段。这道题真正拉开差距的是孩子对题目条件的敏感性，比如看到角度相关的条件，能够迅速判断该选用哪种三角函数， 同时知道如何构造直角三角形来辅助求解。划重点了，最后说一下备考策略。在剩下的一百多天里，想要拿下这两道题，建议采取交替刷题的方式， 一天按数量刷几道，强化手感，一天按专题集中刷一类。深入理解，在刷题过程中，务必同步整理出每种题型对应的解析模板、思路和步骤，形成自己的方法体系。天津！

我们都知道呢，二六年中考物理的第二十四题，也就是设计实验大概率是要考测密度的，所以呢，无论是一轮还是二轮复习，他的优先级也都是要高于电学设计实验的。那么如果寒假还没有落实到位的话呢，这学期 尤其是在一模之前，一定要抓紧掌握。那么关于这个专题啊，我也是花足了时间啊，用这个思维导图的形式呢，再一次就是结合着这个教学的实践去不停的打磨啊，去完善，呃，也是有信心的，能够让同学们在极短的时间内掌握到位的，这样的话能节省更多 宝贵的这个复习时间。那么我们结合思维导图的目的呢？实际上呢，就是要尽可能的把所有可能出现的题型以及对应的这个方法有逻辑的展现出来，最终的结果呢，就是看到关键词以后可以立即锁定思路。比如说测固体密度只给天平或只给两桶的时候，从哪入手？ 除了木块和蜡块，还有什么东西可以在水里漂着？又有什么东西它既可以漂着又可以沉底？什么叫规则？什么叫不规则？呃，再比如比较常见的传物法， 还有曹冲称象法，他们的区别是什么？因为你只有知道他们的区别是什么，你才能正确的用出来。另外关于测液体的梅毒啊，有几种方法呀，特殊方法又有哪些？等等，这些考过的，没考过的，还有我自己创新出来的所有题型，全部都在思维导图中有所体现。好吧，有需要思维导图的可以直接进主页找我。

二六，天津中考数学二十四题考什么？一条视频带你盘一盘！天津中考数学二十四题考察题型无非两大一小两大热门平移折叠加一个冷门旋转。三选一考察一般轮着出二三年平移，二四年折叠，二五年，也就是今年考的平移。所以明年大概率考折叠，小概率考 旋转。而旋转作为初三上学期的重难点，也会是期中期末的常课，现在甚至埋藏在月考中。刚刚结束的虹桥十二月月考就考到了。 这个问题一般和长度或者面积挂钩，第一问，求点的坐标、线段的长度或者角度。第二问，考察用含 t 的 式子表示 重叠部分的面积或者线段的长度，并求出 t 的 取值范围。第三问则是问更难的范围求解或者最值求解，性价比比较低，不建议一百一十分以下的孩子死磕第一问，第二问，属于所有孩子的必拿分值。 看孩子的卷子啊，如果还在丢分，一定要重视起来了。期末前用我这份二十四题折叠旋转专题去练一练，期末考就能把二十四题的前两问拿满，快去试试吧！

大家好，我是老古，本期视频想给大家聊一聊在接下来这九十多天的二零二六年天津中考，是物理学科备考上 老古的一些建议和想法。同时也为我们这种目前处于初一初二阶段的，尤其是初二阶段，他已经开始到八下物理了。我们这个在 中考天津这个本地特色下的中考上物理的一些个人的想法和观点。 第一个天津中考的多选题，尤其是历学部分的，他强调的还有咱们二十五题这种的历学综合上 强调的还是以字母符号的推导和整理为主的，还是弱化了我们相应的数学的计算，不像外省的给你一些 具体的数值，你还需要把一些常用单位，基本单位的转化，这部分每次感触很深，有的孩子立方厘米到立方米到底是实得多少次方老是漏魂 天津的他是给了你四母符号，所以说他弱化了一些数学的计算，但是他有四母符号，他就强调的或者他侧重考察的就是你对我们定义概念，处理原则，还有这种公式的准确的把握， 以及我们在基于容器的特征，我们去推到整理中，把不同的一个例，不同的描述对象，在数值上他们大小的统一，进而进行了一个丰富的整理。 所以说在孩子备考中，不要再刷那种外省的给的一些复杂数学计算的，还得强调了孩子的这种的转化单位 计算打测谎的能力的，这样的题的，还是刷咱们天津中考的真题模拟题， 去强调自己这种整式对不对代数式的整理的能力的题，这个也算是数学的能力，只是他测中的一个是那种的有理数实数部分的整理，那天津的就是这种的式子，分式，整式的预算的这样的内容。 好，所以说他弱化了计算，那就是我刚才说的那个点，我再延伸一下，孩子侧重于去整理，推导一般性的结论去抓住。我们这个题目中去做题的时候，历学的你就把情景图找好， 对于受力分析做好处理。原则，压力加强，固体的压力加强，液体的压力加强，先什么后什么，以及我加强那些公式他怎么去用。老虎在前面视频有过这样的整理和说明的，可以再去看一看。 好，这就是历学方面的，那你电学方面呢，一定是强调的是啥呀？我们天津的考察刷注法真题还有模拟题也会发现它测重在也是 不在，不在注重你或者是不是偏向考察你复杂的计算，而是强调你能否准确的找到这个等效电路图，这个电表，电流，电压表的测量对象， 能否识别出变化过程中多开关或者滑变变动引起的是否有局部短路啊？这样的一个求解，那在计算中还是 偏的是较低的计算量，有的呢都是口算级别的，所以说是这样的一个考察。另外呢，实验设计题，这个是天津的特色考题，练学的，那肯定是要重点备考的，在备考中也需要说咱们所说的掌握一些大概的分类 以及呢，最终你历学的就是找 ro 等于 m 比 v， 找 m 找 v 电阻呢，就是 r 等于 u b i 找电压，找电流，基于这两个模块下，你去拆解分析，求解，所以说这个只需要去练，那有强调的 录制的脑鼓也都有，在这里面我感觉有几个点大家可以引起重视，你历学的实验设计体测电阻的，测密度的， 他题目中给的你可能是测固体的，但是你需要说别老是往自己从固体的那里面，自己的武器库里，自己的知识库里去调用，有时候还需要进行一个转化。你比如说有一年说测鸡蛋的密度，那其实是测让鸡蛋恰好悬浮时盐水的密度， 那电学的有一年说我想做一个滑便需要买多少的电阻丝，那实质还是考察了腐竹法测电阻，那只是这里面需要列一个比例关系，找到样品和它 要做的这个长度的和结合电阻的特征，所以说你也要进行转化。包括我们在模考中也有过，比如和平区的有那样的一个题，你学会的是经典的用阿基米的原理去测一个物体的质量，而不是测物体的密度， 那时候已知的是液体的密度，那这个题的思想是一样的，但是他是他让你求液体，他是告诉你的是固体的，你只是整理过程中啊一个未知数，一个等式，进行一个灵活的整理就可以了。在备考中，所以说切实的掌握 这个今年的二十四期，灵活的具体到那个情形下的解决了。好，就是我们在说的二零二六年，也是我们这个新教材下的首次的中考，所以说在老古整理的时候也会说在跨学科实践上 也加上了一些内容，包括我这次春季课的时候讲解的时候也是深有感触的，比如讲 杠杆的部分，我们有自制杆秤传统文化吗？我们知道文化私信，那这是我们所说的需要在试卷中他去呈现出来的，那我们传统文化，数学的，物理的文化，那那里边很多，所以说那里边有大量的节高， 那种时充充米的，或者是我们所说的这样的相当水利结合的这样的装置的，我们就可以去重点练习了。还有一个你密度计部分，我们 新教材跨学科实践也有一个自制密度计去测量酒精的密度的，那这样的跨学科实践也接下来也一定是模考和中考的一个重要的考察，那这些所有的也需要过一过老古呢，重点的也都有整理的， 总归呢，接下来踏踏实实认真备考，牢固的。因为个人原因，的确是有一些视频配套的录制不到位的，也请大家去海涵关注。 后续的我还是在加快尽量的，因为有各种的教学工作，还会以我这边线下教学的，还有线上教学的这样的工作为主，那这个相应的配套视频我也会尽量 给大家进行录制，希望大家理解好。以上我想分享的就这些内容，好后续老股多分享一些，感谢大家。

考平移、考折叠、考平移、考折叠、考平移、考折叠？别吵了，今年中考数学二十四题到底考折叠还是平移呢？今天我就结合近十年的命题规律，给大家讲透这道中档压轴题的考点趋势和备考建议。点赞、收藏、关注，我给你解析更多天津中考数学重点题型。 首先先明确大家最关心的问题，折叠、平移、旋转考察的概率到底有多高呢？我从近十年天津中考真题来看，平移和折叠是绝对的主力。在过去的八年时间里，平移一共考察了四次， 分别是二零一九年、二零二一年、二零二三和二零二五年。而折叠问题呢，只考察了三次，分别是二零二零、二零二二和二零二四年，加起来八年考了七次。而旋转的问题只在二零一八年出现过，且近七年都没有再考过。 通过这个大家就能看出来平移、旋转翻折的一个频率了吧。那么今年二零二六年旋转考察的概率依然就很小，重点放在折叠和平移上面。咱们再说说这道题的难度和一个得分情况，前两问几乎咱们孩子的数学成绩能不能冲击一百一十五分。 它的考法也很固定，翻来覆去的就是这么两种考法，一种是给定你 t 的 取值范围，让你来求重叠部分的面积的取值范围，要不然就是给你面积的范围，反过来让你去求 t 的 一个取 值范围。不管是哪种考法，它的核心解题方法就一个临界状态法。最后给大家提个备考的小建议，重点刷近五年的二十四题真题，尤其是折叠和平移的题目，咱们把每一道题都吃透，再针对性的练几道同种类型的模拟题，咱们就能稳稳的拿下。后续还会分享更多中考数学的备考技巧，关注我，让咱们孩子少走弯路，冲刺高分！

我刚背完初三全托的数学课，然后我看了一下二十四题，考察的是有规律的，考的是平移、折叠、旋转内容，然后近六年都没有考旋转的内容。 一九年、二一年、二三年，包括二五年这种单数年考察的都是平移。二二二零年、二二年、二四年考察的都是折叠的内容，所以今年也是大概率要考折叠的内容。 然后折叠其实很好做。第一问，他一般都是求点的坐标，那么折叠的话，我们在这做折叠的时候一定要同步一下信息。什么叫同步信息？就是标清楚对应的相等的边跟相等的角，然后借助 x， 嗯，构造一个勾股定律，这样的话 x 的 值就求出来了，边长也都求出来了。第一问，这个求点的坐标都挺好做的，大家现在分数在呃七十分到九十五分之间的，我觉得都可以做一下二十四题的第一问，因为它就是求点的坐标，没有什么技术含量。嗯，而且它的第一问大多数都会给你特殊的直角三角形，要么是三十度，要么是四十五度。 如果他要是没给你特殊的角度的话，那我们可以把这个特殊的角度利用三角函数给它求出来。比如说题中出现刚好三的时候，这个时候我们就要联想到它是否有三十度，然后如果要是有刚好二的时候，是否有四十五度。然后大家平时在练的时候，可以专项的去练，先练平移，再练折叠，然后最后去练习一下旋转。 嗯，虽然根据这几年的规律，他都没有考旋转的内容，但是今年他万一考呢，对吧？我刚做完这个一飞冲天这个专项，然后把这个平移、折叠、旋转上面的所有的题都做了一遍，所以同学们也可以根据这个专项先练习一下，然后看看他都有什么样的一个套路。

hello， 同学们，大家好，我是咱们金鼎教育的数学郭老师。今天咱们对中考二十四题做个分析，很多学生如果基础过关，处于中等或者中等偏上的孩子，大概九十多分，一百分左右，其实可以在二十四题上多花点功夫， 这道题得满分的概率相比二十五题来说会比较容易一些。那么接下来咱们先看看近几年二十四题的考察方向。咱看看二零年到二五年啊，二十四题按说是有三个题型，平移、翻折和旋转。但是他近几年呀，你看他的基数年次 都是考的平移，偶数年次都是考翻折，所以今年大概率啊，大概率会考翻折。所以咱们先掌握翻折，然后再掌握平移，最后去掌握一下旋转，万一呢？万一要考旋转呢？对吧？然后这道题咱们作为中考的 倒数第二题的位置是个几何压轴题，分值分布是第一问，四分、四分、二分或者三四三分布，它主要是以平面直角坐标系为背景，然后去考察图形变换，其实就是考察图形的几何，几何的图形性质，综合的应用，像涉及三边形啊，四边形以及函数思想这些个。然后咱们看一下啊， 他一共分为三小问，我给他分出来了啊。第一问，就是纯基础计算吧，他都会有特殊角度，像三十、四十五、六十去让你求点的坐标，还有线段，线段的长度，角的大小，或者你看到根号三，你就应该想到三十六十 这个角度，对吧？看到根号二，三倍，根号五倍，根号二这种，你应该想到是四十五度这种特殊角，去根据勾股定律去计算这道题，第一问啊，基本就是送分题，咱们练练，确保计算正确就能拿到。 第二问，他属于中等难度，三颗星吧，他是用函数 t 的 式子来表示，让你求线段的长度或者重叠面积，线段比较好求， 你根据特殊角度，然后导出边角的关系，然后就能求出线段的长度，然后重叠面积呢？是在线段的基础上去算一下面积，这面积怎么求？咱是会用割补法，你用大的减小的或者两个小的去求一般是什么三角形或者两个小的去求一般是什么三角形或者四边形，考察的是你这个几何直观的一个能力，需要 你这个脑子里有这个变换图形，变换图形这个形态，然后咱们需要去分类讨论，然后这个 t 的 取值范围，他也是需要分类讨论的，他考察的是两个，你要就是点点点线 或者线线，你去找他们的临界点，然后就可以把他的 t 的 取值范围找到，咱们经过练习找到他的其中规律。这个第二问其实也是可以拿下的，这样来算，你这个二十四题就能拿到了八分，然后最后一个是二分， 相对于来说这二分性价比不高。为什么会这么说呢？咱们因为这个最后一问呀，他考察你的，嗯，综合运用呀，那个代数计算，还有你的计算能力都会需要要求特别高的，你可能这道题你在这计算上，咱就说你如果会的情况下，计算上你都要占占到老长的时间，可能最后还算的不对，因为他都是二次根式的计算， 你算的不对，然后时间也耽耽误了，他也就二分，所以你要先保证他的前两位是对的，然后你前面的所有的基础题，所有的基础题你都拿到手了，咱们再练这道题。 因为为什么你前面基础一一个填空，一个选择，他就占到了三分，对吧？你这三分都白给的分你去检查，如果你一个马虎检查出来，这三分你拿到手了， 你用那个时间去做这道题，你如果这道题没做对，也就二分，能明白吗？咱是说你所有的前面的题都对了，保证你做过的题都对了，都能拿到分了，咱们再练这道题。他考察的是嘛呢？根据你第二遍他 t 的 取值范围，会让你求面积的范围，或者根据你面积范围让你求 t 的 范围。到 第三种考察形式是让你求面积的最值。面积最值相对于简单一些啊，他只是需要把你的表达式转化为二次型，那个二次根式利用配方法或者面积的取值范围，就需要咱们的 综合的几何直观能力啊。然后函数思想还有逻辑推理能力，咱们就能把这个这一问分类讨论求出来一二三，然后再一个综上所述，求一个综合的。嗯，如果咱们所有题都拿到手了，去练这道题也不是难题啊。嗯，掌握他的答题技巧， 咱就可以把这两分也能拿到。这两分呀，是你把高拉开差距的分。好，接下来咱们看一道真题，二四年，二四年考察的是翻折看。第一个，将一个平行四边形纸片 oabc 放置在平面直角坐标系中， 点 o 零点 a， 三零点 b c 在 第一象限告诉你， o c 等于二角 a， o c 等于六十度，特殊角度是不来了，哎，这角 a o c， 这是六十度 第一位。让你求点 c 的 坐标，点 c 你 就得找横坐标，纵坐标呀，这是六十，那这是不是三十？三十度锁对直角边一勾股定力，根号三，那点 c 坐标是不出来了，一根号三， 点 b 坐标呢？点 b 你 也找他的横坐标，纵坐标呀，对吧？那这一块多长呀？ a h， 这 a h， 这和这个 o p 这旮沓是不相等，那就是一，那这是根号三，所以点 p 的 横坐标是这一块四， 四，根号三是不也出来了？送分的啊，白送分的，这一下两空四分就拿到手了。看第二个，若点 p 为 x 轴正半轴以上的一个动点，过点 p 做直线 l， 垂直 x 轴沿直线 l 折叠，该纸片 折叠后，点 o 的 对应点 o 撇落在 x 轴上，正半轴点 c 的 对应点为 c 撇设 o p 等于 t。 第一个，如图二，若直线 l 与边 c b 相交于点 q， 当折叠后的这个四边形与原来的这个平行四边形重叠为五边形时，让你求线段 b e 的 长度， b e 在 这里。 那我们根据谁呀？他用含有 t 的 式子表示 t 是 o p 等于 t， 那 o p 这等于 t， 我 们想求 b e， 是 不得把 a e 这求出来，我们怎么找呀？因为记住了啊，翻折不要忘记，它主要就是轴对称嘛，它对应点，对应线段是不都相等呀？那你 o p 是 t， 这是不是也是 t 啊， 对吧？那我们还知道 o a， 这是三，那 o 撇 a， 这是二 t 减三呗。那我们刚才知道了，这是不是六十度，那折叠过来，这是不是也是六十？平行四边形，这是一百二，那这是六十，那这是一个 a o 撇 e， 这是一个等边三角形，那 a e 是 不是也是二 t 减三呀？ 那 b e 怎么求呀？ b e 是 不是就是 b a 减 a e 啊？ b a 是 几？ b a 是 跟 o c 相等呀？二，那这 b e 这就出来二减二， t 减三等于多少呀？五减二 t， 所以 咱这 b e 是 不也就出来了？好，求吧。然后第二个让你求， p 的 曲值范围 怎么找？ t 的 曲值范围啊？ t 是 谁啊？ t 是 o p， o p 等于 t 让你找 t 的 曲值范围怎么找呀？他让你说啊，重叠部分是五边形，让我们考虑一下，我们自己先画一个图， 这是原来的 o a b c， 我 们怎么折叠呢？我们如果点 c 就 到这点 o 到这跟它重合，这样行不行？这 c 撇，这 o 撇是第一种， 这是谁呀？这重叠是几边形？这是四边形，这一块可以吗？能要吗？是不能要啊，它得让五边形，所以我们最起码得大于这一块吧。那么这一块是多少？ o a 是 三，那它折叠过来一半是二分之三， 所以我们 t 要大于二分之三，对吧？那我们在这个基础上，如往后再折叠，是不就这个图形了，对吧？那在这个图形往后再折叠，是不是点 c 往这边走了？可以点 b 重合吧。那我们画一下，与这个点 b 重合， c 与 b 重合，那这就是 c 撇，那我们折过来，这就是那个 o 撇吧？这是那个 p q 这条直线，对吧？我们是这样折过来，那我们去找这个此时 t 的 曲值范围，那我们这一块是多长？ o a 是 三，对吧？那 a o 撇这多长呢？刚才咱说了，这是不是六十度？对半出来了，这是不是也是六十？这是一个等边三角形，那这是二，这是不是也是二？那它整个长度是五，折过来一半是多少？ 二分之五，那它这是不是四边形？我们不能到这吧？所以是不是 t 得小于二分之三，小于 二分之五，对不对？我们这道题就求完了，我们到这就可以拿八分了。那我们下面这还有还有一问呢？还有一个最后一问，会让你求 s 的 取值范围，或者 t 的 取值范围，会让你求最值。刚才咱说了第三问，他占两分，性价比不高，他讲起来特别的麻烦，需要分类讨论，而且计算也比较难算， 所以咱们就不在这个视频上讲解了。由于时间关系，如果你的所有基础题，还有你的二十四题，刚才咱讲了一个前两问，你都能拿到满分，想通破一下第三问，你可以来机构找郭老师，咱们一对一讲解。好了，今天的视频就到这里，拜拜。

天津中考数学最耗时的两道压轴题，二十四题二十五题也是家长们给孩子花钱最多的两道题，但是啊，这两道题的题分他是有套路的。先来拆解二十四题的几何。这道题的命题范围其实非常明确，每年必考平移、折叠、旋转这三种几何变换中的一种。 有一说一，出题方向是有规律可循的。去年考的是折叠，那今年大概率就会轮到平移或者旋转。 而且不管考哪种变换，最终的落脚点基本一致，就是要求孩子根据对应的几何模型去求阴影面积。这个知道了还不够，下面这个更关键。具体到答题方法上，平移和折叠这两类题的套路高度相似， 个人觉得可以归纳为非常固定的三步走，第一步，划出变换后的图形。第二步，在途中找到关键线段。第三步，利用线段关系计算面积。旋转类的题稍有不同，核心在于掌握最值问题的处理方法， 但是呢，它的计算量反而比平移和折叠要小一些，所以并不需要过于担心。咱们接着往下看二十五题的压轴题。 二十五题的常考题型是二次函数与几何的综合，说白了，主要考察三个维度的问题，面积、角度和线段。这道题真正拉开差距的是孩子对题目条件的敏感性，比如看到角度相关的条件，能够迅速判断该选用哪种三角函数， 同时知道如何构造直角三角形来辅助。求解放重点了。最后说一下备考策略，在剩下的一百多天里，想要拿下这两道题，建议采取交替刷题的方式，一天按数量刷几道，强化手感， 一天按专题集中刷一类。深入理解，在刷题过程中，务必同步整理出每种题型对应的解析模板、思路和步骤，形成自己的方法体系。