a³+a²=150函数解法

一节课教你从什么都不会直接搞定三角函数，视频比较长，请大家耐心看完。好，我们来看这道题。我们先说正弦三角函数一定是放在直角三角形当中， 有了它之后呢，我们比如说 sine 二法，找到这个角度二法，然后找到它的相对的这个直角边，它对着的直角边比上斜着的这个斜边啊，所以 sine 二法等于 a 比上 c， 那么余弦呢？我们还是找到这个角，然后余弦等于这个角度相邻的这个直角边比上斜边，也就是 b 比上 c 正。切， 我们还是找到这个角，然后呢，知道是这个角的相对的直角边，比上相邻的直角边，我们必须要记清楚谁比谁，当你记住了谁比谁之后， 我们就可以记住这些个特殊角度的一个三角函数。比方说咱们的 sin 三十度， 我们不用特别的去背啊，只要画出一个直角三角形，我们记住它的编织笔呢，是一比二比上根号三。 四十五度的直角三角形呢，它的编织笔呢是一比一比根号二。好，我们来直接就可以写出来看。在三十度先找到这个三十度 正弦，是指的是三十度的对边比上斜边，所以一比上二就是二分之一。 sine 四十五度，我们找到任意一个四十五度找哪个都行，比如说我们找它，那么 sine 四十五度等于四十五度的相对着的直角边是比上我们上下都乘上根号二之后， 是不是就得到了二分之根号二在六十度，我们需要找到的是六十度 正弦呢？是六十度的对的的直角边，比上我们的斜边是不是等于根号三比二，我们也把它记下来了。 ok， 那 接下来余弦 cosine cosine 三十度，找到三十度，与弦一定是这个角度的相邻直角边比上斜边，所以是根号三比二。 cosine 四十五度，我们还用这个四十五度，是四十五度的相邻直角边比上斜边，是不是一比根号二有理化之后呢，就是二分之根号二。 cosine 六十度，我们找到六十度， 我们知道与弦是这个角度的相邻直角边比上斜边，所以是一比上二。好，接下来正切我们还是看见它三十度，我们找到三十度， 正切指的是三十度的相对直角边比上三十度相邻的直角边，所以是一比根号三，有理化之后呢，就是三分之根号三。 tan angle 四十五度，找到四十五度，那我们用四十五度相对的直角边比上相邻的直角边，就是一比一，结果就是一。那么 tan angle 六十度，我们找到这个六十度， 应该是他的相对的直角边比上相邻的直角边，就是根号三比一，结果呢就是根号三，所以我们完全不需要去一个一个背，我们只需要把这两个头记住就可以了。 而且呢，我们还要明白，这个角度不一定是三十、四十五，六十，也有可能是任意的角度，那比方说这个角度是阿尔法，放在直角三角形当中，那么我们就可以知道塞阿尔法，我们找到阿尔法 正弦值应该是阿尔法的相对直角边比上斜边，那也就是 三比五。同样的， cosine alpha 应该等于 alpha 的 相邻直角边比上斜边就是四比五， 那么 tangent alpha 呢？是不是应该等于 alpha 的 相对直角边，比上相邻直角边就是三比四，那好记这个东西有什么用？我们来看这个 题目中说 r t 三角形中角 c 等于九十度，然后呢角 a 是 三十度， 角 a c 呢是根号六，它就直接让我求出 a b。 放在以前，我们如果想求一条边的话，需要用的勾股定律，那我们必须知道两条边的长度才行，但是这么一个角度， 他就直接给到了我们边之间的关系，那我们来看三十度，给你相邻的直角边，让你去求斜边，那我们肯定用的是鱼弦 cosine， 那 cosine 三十度 我们知道应该是二分之根号三，那它等于的是这道题的 a c 去比上我们的 ab， 而这道题的 a c 给我们的是根号六， 所以我们的 ab 呢，是不是就应该等于交叉相乘，再除以根号三，那就是二倍的。 这行三角函数到底是干什么的？他就是给我们提供了一个角度，再结合一条边，我们就可以把另外的边和角度都求出来，他的用处就是这个。好，我们继续。 但是如果给我的是一个角度，其他的边并没有告诉我，那这个时候我们要注意它其他的边一定是要有关系的。我们来看这个 rt 三角形 abc 中角 c 等于九十度，角 a 是 三十， ab 呢比 bc 要长。好，我们可以设 bc 是 x， ab 是 x 加四，我们把它标到这里面。 好，现在他直接让我求 ab 的 一个长度，那我们看有一个角度，另外两个边虽然都有未知量，但是他之间是不是有关系， 那我们这个时候也可以用三角函数求解，那我们肯定要正弦值，因为给我们的是相对的角边和斜边， 那么 sine 三十度是不是应该等于 x 比上 x 加四，而我们知道 sine 三十度等于二分之一， 解一下二， x 等于 x 加四， x 就 等于四，所以这个边是四，这个边是八，是直接就解出来了。 好了，我们知道了三角函数的用途，我们来看一看怎么样去处理这个三角函数的一个大体 题目中说啊，这个我们读题的时候啊，不用读那么多，我们只需要把关键信息读好了就行了，看 bc 等于二二幺，我们把它标出来， 然后呢角 a、 c、 b 是 四十五度，角 abc 呢是五十八度，都标出来了，他最后让我求 ab 的 长度， ab 的 长度， 那咱们一定要想到四维是什么？这两个角一定要让他在不同的直角三角形当中，这是我们第一个思维，所以我们的辅助线方式一定是 从 a 往下做垂线，垂足为 d， 是 不是切成了两个直角三角形？那第二个思维呢，我们就是去想一想他们之间边之间有什么样的关系，你会发现 a、 d 是不是既在这个直角三角形里，又在这个直角三角形里，他们是公共的边，而且呢在这条线上，你会发现这两条线相加是不是等于二二幺，所以这个就是两个直角三角形之间的关系。那么我们最后想求 ab， 我们脑海中有这么一个数，那我们去列出两个直角三角形中的三角函数就行了，这是第三个思维，你看都是直角边， 都是直角边，那我们肯定用到的是正切函数。我们最简单的思维，我们可以设这个边是 x， 你 会发现通过 tan 的 四十五度， 它是不是等于 a、 d 比上 c、 d 看见四十五度得一， 所以我们可以得到 a、 d 是 不是等于 c、 d 都等于 x， 那 么既然它都等于 x 的 话，咱们的 b、 d 是 不是就等于二百二十一减 x？ 你 会发现在这个三角形当中， 虽然我不知道 x 是 多少，但是这还有一个角度，那我们只需要列出 find 五十八度是不是等于 x， 比上二二幺减 x 即可。 find 五十八度呢？题目中给我的是一点六， 那我们用这个式子是不就可以把 x 给解出来？那有了 x， 有 了这个数，你想求 a、 b 有了直角边，五十八度相对的直角边，想要去求出斜边，我们是不是用 sin 五十八度就行了？那么 sin 五十八度是不是应该等于 a、 a、 d 这个 x 比上我们的 a、 b？ 你要注意，这个已经算出来了， sin 五十八度是不是题目中也有，那我们非常简单的就可以求出我们的 a、 b？ 好， 接下来我们继续深入 再看这个还是我们三个思维啊。第一个，要让这个三十五度，你看这道题里有三十五度和四十二度在不同 三角形中啊，不同的直角三角形中。第二个呢，我们要找到这个直角三角形之间的关系， 看看他们哪些边是重合的，哪些边是有关系的。第三个呢，就是根据题目中给的关系，列出我们的相应的 三角函数，我们来看还是啊，我们直接看题目中给的有效信息就行了，四十二度，三十五度，看，这个是四十二度，这个是三十五度。 塔高 bc 啊， bc 是 三十二啊，这个小的长的是三十二，而求这座山 ab 的 高度啊，他想求出这个高度，好， 我们来把它放大一下啊，这个是三十二，我们把它记住，我们看底下是一个直角三角形， 这个又是一个直角三角形，你会发现这两个直角三角形之间 a、 p 是 不是它们的公共的边，这就叫关系。 那么 ab 和 ac 之间和 bc 之间啊，这个小的直角边和这个长的直角边之间是不是有一个加减的关系？因为 ac 减掉了 ab 是 不是就是三十二，那么这个也叫关系 好。第三步，列式，既然给我的都是直角边啊，都是直角边，那我肯定列出的要是正切函数 tangent， 那 我们现在比方说我们设 ab 是 x， 那 我们通过这个三十五度，我们就可以设出。你看 tangent 三十五度是不是等于 x 比上 ap， 那么它减四十二度呢？ 是不是就等于 a c a c， 你 会发现是不是等于三十二加 x 比上 ap？ 而我们看一下这道题里面 x 未知量， ap 未知量这边可都是 数字那么两个方程两个未知量这边可都是数字那么两个方程组了。 我们最简单的方式呢，就是把它做一个除法啊，你会发现它的三十五比上它的四十二，是不是等于零点七比上零点九，也就是七比九， 那么这边一消除呢，是不是把它乘上倒数 ap 就 消掉了？等于 x 比上三十二加上 x， 是 不是就已经搞定了解除 x， 所以 思维啊，一定要做好。 好，接下来我们再看，再看，还是一样的读出有效的信息。他说 d、 e 是 三十六，我们 d e 呢，这条线是三十六， 然后 e、 c 垂直什么的，这里面都有标出垂直，然后呢，注意角度啊，注意角度， c、 d、 b 是 四十五度， c， d， b 这个角度是四十五，然后呢，后边 c、 d， a 是 六度， c， d， a， 哦，底下这个小角是六度， c、 e、 b 这边这个角度是三十一度。好，角度都给我们了，最后让我求 cd 的 一个长度啊， cd 的 一个长度以及 ab 的 高度就是它 cd 和这边的 ab。 好， 那我们把它稍微放大一点啊，稍微放大一点，我们注意这里面的一些角度就行了。好，注意看啊，这里面是二十六度，这是四十五。唯一给我的一个长度啊，唯一给我的一个长度是上面这个 啊， d， e 是 三十六啊， d e 是 三十六。 我们看这里边有几个直角三角形，你看啊，是不是有一个， 两个，三个， 所以呢，我们就围绕着这三个直角三角形去列式子就可以了。那他给的信息你要注意，给了三十二，这个四十五度， 那我们要知道这两条边呢，是不是肯定是相等的，这个 bc 和 cd， 因为这是一个等腰直角三角形，我们完全就可以设这两个边是 x。 未知量的思维对于我们做题来讲很重要。好了，那你会发现有了这个六度，我们的三角函数是干什么用的？ 给你一个边，是不是就可以把另外的边给表示出来，这是我们的用途，而且你会发现，结合这边的三十一度，我们有个角度， 这个边是三十二加 x， 这个边是 x， 是 不是就可以利用三十一度去解掉 x 了？好，那事情就变得简单了，我们只需要列出，你看这是两个直角边， 这是三十二啊，这是三十二啊，三十六啊，三十六， 我们这两边是 x 啊，注意，那 tangent 三十一度是不是等于 x 比上 x 加三十六，而 tangent 三十一度是给我的是零点六， 那我们是不是就可以解出 x 了呢？而有了 x 之后，我们如果想，题目中不是让我求那个 a、 b 吗？求那个 a， d， a、 b 吗？ ab 上面有 x， 下面还差一点，是不是需要用到这个六度了？ tangent 六度等于 ac 比上 x， 那 么 x 已经解出来了， tangent 六度又是已知的，是不是就可以搞定我们的 a c？ 好，最后一个也是稍微有一些难度的一个题目， 还是读有效信息啊， c， d 是 六，我们看这个边是六，然后呢 d， c， e 是 三十，这边给你标出来了，给了一些四十五度，还有二十七度啊，然后最后呢，让我求谁呢？先求 d e 的 长啊，先求这个 d、 e 的 长， 然后呢再求出 a b 射塔 ab 的 高度为 h， 然后用含有 h 的 式子表示 e a 啊，表示这个 e a， 那 咱们到这呢，可以边读边去写了，其实这个事呢，是比较简单的，我们来看啊，这里面 c、 d、 c、 d 是 六，我们根据三十度，我们知道三十度所对的边等于斜边的一半，那所以这个边是三，根据比例，一比二比根号三，一份是三，那么咱们的根号三份呢，就是三倍的根号三， 如果这个比例不会的话，可以看看我上一个视频啊，看一下上一个视频，好，第一问，求 d e， 我 们已经求出来了，应该是三。第二问，它 ab 的 高度设为 h 啊，用 h 式子表示 e， a 啊，表示 e a， 你 会发现这边是个四十五度，你可以用三角函数看见四十五度是不是等于 ab 比上 ac， 它念四十五度等于一嘛？所以这两个边是不是应该是一样的，都是 h， 那 么你会发现 a e 的 长度呢？ 是不是就是三倍根号三加上 h， 非常简单的一个事。最后一问，求塔 ab 的 高度，我们来看求 ab 的 高度，那也就是说去解决 h， 我 们到目前为止用的直角三角形是不是用了一个？用了两个， 第三个你还没有用第三个角度，是不是也得让它在直角三角形当中？所以呢，肯定是把它延长出去，人家已经给你做出来了，比如说到 k 点， 那当你做完了之后，你就会发现了。第二问，为什么让你用含有 h 的 式子表示 a e 呢？就是因为 k d， 是 不是它和 a e 是 一样长的，等于三倍根号三加上 h， 而在这个直角三角形当中， 这个直角边是三倍根号三加 h， 那 么这个直角边呢？你会发现是不是等于 h 减掉了三， 那你看这个直角三角形当中，虽然这两个边都不知道是多少，但是我们仅仅只用一个未知量表示出来了， 再结合这个二十七度，那么就可以解除 h， 这就是我们三角函数的应用。所以我们只需要列出贪婪的二十七度是不是等于 h 减三，比上三倍根号三加 h， 而贪婪的二十七度题目中给我的是已知的，所以一定要明白三角函数的作用， 是不是可以织一个边，结合一个角度求出另外的所有边和角？ 那如果一个边长都没有给我的话，而给了我一个角度，那么如果想求另外的边，那一定是把另外的边的关系而给我。什么关系？你比方说就像这道题， 这个边是 h 减三，这个边是三倍根号三，加 h 是 不是都与 h 有 关？那么这个时候再结合特殊的角度，就可以求出我们想要的一个边。感谢大家的观看。

一个视频速通函数极限，各种常见类型都能帮你一次性把它搞定。首先我们要明确我们计算极限的基本步骤， 那我们计算极限的时候呢，那我们常见的极限很多都是连续性比较好的，所以我们第一步啊，可以先带入，把我们极限 x 区域的这个数往式子里面带，那如果说你能得到一个准确的数，这个时候呢，一般来说我们的极限值就是这个数，那但是呢考试肯定他不愿意这么考， 因为他没有考的意义。所以说呢，我们基本上啊见的更多的是一些不确定的类型，比如说我们会见到以下这些个分类啊，那在这些分类里面呢，我们看到，比如说第一种 有界成零，意思就是说有某一些量，虽然你找不到他的极限，但是我们能够确定这个量是有界的，后边跟他长的一个量，最后趋于零，那根据我们无穷小的性质，我们可以知道他的极限是零。那下面这些类型， 我们说零比零型，无穷比无穷型，还有下面这些类型呢，我们都是没有办法确定它的极限是多少的，这一些类型我们叫做未定式。 接下来我们确定了类型以后，我们就针对这些类型一一的去找他们怎么去化简，怎么去求极限，这也是我们今天要解决的问题。 我们来看，那关于有界成零呢，我们其实刚才讲了，根据无穷小量的性质，我们可以知道啊，有界量如果乘以一个无穷小量，最后的极限肯定是零。那为什么我们还要再次特意说一个题呢？因为这样的题经常会伴随着我们容易出现的误区出现，比如说咱们看黑板上这个题啊，这个题 有人一看到塞 x 比 x 就 高兴了，说这个不是我们学过的这个重要极限吗？这极限一看就是一，但是呢，很明显这是错的，因为你没有注意到 这里面 x 区域是无穷，它和我们重要极限里面 x 区零，那肯定是不一样的，所以说那肯定是不能乱套啊。我们来看这里面 x 区无穷的时候，我们看到这个时候 x 分 母 x 区无穷，然后呢，三 x， 我 们知道三 x 无穷，它是没有极限的，但是呢，我们知道它是一个有界的量， 那有界比上无穷，那是不是就是相当于无穷分之一就是零的？所以它是不是就是一个有界成菱形的？所以我们可以根据 两边夹定里套上绝对值以后，那塞 x 我 就可以给分子放松成一，然后呢，它等于零，然后当 x 趋无穷的时候，那 x 分 之一趋于零，所以根据两边夹啊，这两边一夹，那这个极限必然也是零，所以我们得到最后这个极限值是零，这就很简单。同理，我们可以得出 这个极限，他也是很简单，你只需要做一下倒倒代换，那这个极限自然就换到这个极限去啊，他是一样的。那接下来就是咱们的重点了，那就是未定式的极限。通过刚才的版书，我们知道未定式我们可以通过分类，总共有 七种，我们可以一个一个来看这七种是用什么样的方法来做的。首先我们来看零比零型，那关于零比零型啊，我们高中就学会一个邪修啊，叫做落地打法则，落就完事了，对吧？但是我们一定要注意，落地打法则的使用条件总共有三个， 第一形式必须是零比零型，或者是一会要讲到了无穷比，无穷型。第二，分子分母必须可求导，第三分子分母同时求导完之后的极限他必须存在，可以说这三个条件是缺一不可的，当然一般情况下我们洛必达都是没有很大问题的，只不过呢， 我们一会会给到大家什么时候洛必达不适用的这些情况。我们先来看这三道立体，第一个一带进去，他是零比零型，然后一看分子分母可求导，我求一个导试试， 那分子求导就是 a cosine a x， 分 母求导是 b cosine b x， 这个时候我们把零带进去，再看，这个时候 cosine 零 cosine 零，这个都是去一了，所以最后结果啊， b 分 之 a， 第一个很简单，第二个我们看到这是这个极限，把零带进去一看零比零，行啊，我们还是求导 啊，分母二 x， 分 子变成了三 x， 这时候呢啊，如果说你熟悉重要极限，你立刻可以得出来这个极限是二分之一，如果你不知道也可以，你把这个零再带进去，还是零比零，那我再落一遍就行了。 最后二分之口三 x， 这个时候零再往里一带，这个结果二分之一。第三个我们看这个也是把零往里一带，这是零比零型的，那就落呗，落完了三 x 方一减口三 x， 那 这个如果你把三分之一提出来呢？是不是咱们刚才算过这个，对吧？那最后就是 六分之一，可以说我们绝大多数情况下零比零行，你都可以用落笔法。只不过啊，一会咱们会讲到说有一些情况呢，我可以先做个等价无穷小再去落笔法则， 因为你直接落求倒的话，那可能会稍微比较麻烦。我们接下来看第二种方法，就是等价无穷小。那第二个方法等价无穷小啊，咱们得知道啥叫等价无穷小，简单来讲就是当挂号里面东西趋于零的时候，那前后两项相比，他们的极限是一，简单来讲就是他们在低阶的层面上来看， 几乎没有特别特别大的差别。这里边方块是什么意思呢？就是说我们做题的时候可能碰到复合函数的情况，那如果说我们能保证复合函数的括号，也就是里层这个函数整体趋于零的话，那我们就可以直接的去换这些等加无穷小。那有人又说了啊，那有的老师说那等加无穷小什么啊？乘除可换，加减不可换是什么意思呢？ 其实是因为这样乘除可换，那我们在做等下无穷小的时候，实质上是在做一个乘一变换，也就是说我们去乘了一个前后两项相比的这样一个极限，然后通过约分就能够做到 把下面的东西直接换成另一个，这是乘除用等下无穷小的本质。那什么时候可以用等下无穷小什么时候不能用呢？请听接下来的规则啊。我们乘除可以用等下无穷小 加减呢，如果说加减完你换完之后的结果是零的话，这个时候是绝对不能换的，即便说你换完之后的结果 不是零，这个时候啊，你如果说有更好的方法，也尽量不要用等价五角去换，因为有的古版的老师会觉得这种情况他就是不能换，他有可能就会把你做的题给判错。来看这三道例题啊，这三道例题里面我们看第一个，我们看到啊，这个是零比零型，然后啊 argon， 我 们刚才说我刚才给大家写了 argon 呢，等价五角，它就是 后边是整体三 x， 所以呢，现在是乘除型号，我可以直接换啊，三 x 比二 x， 所以 x 一 约掉它，结果二分之三，很简单。下一个这个呢，我们看到 x 趋零的时候，我们一个一个来看，现在呢，先看分子， 先看分子，分子上 x 三次方是趋于零的，所以呢，这个它可以直接换成 x 三次方。下面呢，这里面一减口算 x， 它也是它等价于二分之 x 方， 所以呢，我下面是 x 乘二分之 x 方，所以呢，我们这个时候约分完，最后结果是二。第三个，我们来看这个时候，如果你一看啊，这个刚才我也写了两等奖无穷小啊，我一看这个你就换呗， 立刻得出这个极限是零了。但是我们刚才说了，乘除可换加减，为啥让你就算不是零，你慎重换，能不换就不换， 尤其像这种减完了是零，绝对不能换，这是一个经典的错误，为什么？就是因为塞 x 和他的 x 这个等价无穷小，只能说明他们俩跟 x 之间在一阶层面上差别不大，不是没有差别，但是他们在更高级的方面啊，他们是有差别的。 而现在是比 x 三字方的情况下，那就这个他们俩之间在更高阶上的差别就会被显露出来，那这个时候这个题我们该怎么做呢？也就是说在等价无穷小失效的时候， 我们该怎么做这种题呢？那接下来就有一个非常非常好的方法，就是泰勒公式。第三个方法，泰勒公式啊，正好也帮大家复习一下。泰勒公式这个东西，简单来讲就是一个函数啊，它在收敛点附近，它可以近似展开成一个多项式，后面啊，带上一个更高阶的无穷小量。那如果让你写 n 阶的泰勒公式啊， 很简单，就是把泰勒公式写到 n 次方，然后再加个小 o， x 减 a 的 n 次方就完事了。那利用泰勒公式算极限，它就没有什么太大的限制，你就把对应的项你给它展开成泰勒公式，后面加小 o 就 完事了。那具体 展开到几阶呢？咱们从题来看，比如说这个题里面，这个题里面我们看到分母是三阶的，所以呢，我们上下做泰勒展开的话，如果你往更高阶展呢？ 那即便有更高阶，它跟 x 三次方也约不完，所以最后那些东西也只会趋于零，所以你只要把泰勒写到三节就够了。我们来看这个时候啊， sin x x 减六分之 x 三次方。 那我们注意看这里面啊，就算你写到啊更高级了，那他只会约掉三个，只会约掉三个 x， 那 其余的 x 约不掉，它去零的话肯定也就没有，所以你只需要写到这个三字方就够。那我们来看这个时候啊，把它括号打开，化简的话，这个 x 消掉了。那然后这里面剩下什么呢？注意每一步的厘米，它一定不要丢。 负二分之 x 三字方加小 o x 三字方，最后结果就是负二分之一。然后我们再看下面这一个，下面这一个涉及到了这么一个项， 这么一个项啊，符合函数。我们说怎么写泰勒？公式很简单，我们从外往内的一步步写就什么意思呢？就是我先把这个 e 的 x 方减一，首先我们看 x 去零，这个东西去零，把它看成一个整体，然后把外层的塞先给它展开泰勒，也就是 e 的 x 方减一，减去 六分之 e 的 x 减一三次方，再加上小 o x 三次方，然后减去 x。 但是这里面理论上严格来说你要写成 e 的 x 方减一的三次方， 然后分母是 x 方， e 的 x 方减一，我们说它是近似，跟 x 是 同接的，所以这个小 o 呢，它实际上就是小 o x 三次方，高阶无穷。小了，那所以这一项跟 x 方，它的极限肯定是零，然后我们接下来就去把这个给它展开， 把这个打开的话，就是 x 加二分之 x 方，因为分母是 x 方，所以我只需要写到两节就够了。 然后那接下来我们开始化简，这里面 x 跟 x 消掉，然后这里面呢，我们先不着急，一定要给他打开算啊，我们来看这里面最低次项是一次的，然后他的三次方，所以呢他肯定也是 x 方的高阶无穷，所以我这个根本不用算它， 我就可以直接就龙头的给它写成 o 小 o x 方。所以最后呢只剩下什么？只剩下二分之 x 方加小 o x 方，除以 x 方，最后结果二分之一，所以我们可以看到符号函数写泰勒公式的 技巧啊，除了说从外往里展之外，还有一个技巧，就是如果说你能写到几阶的话，那比这个阶更高的那些项你是完全不用算的，你只需要把比你他要求的这个项 更低的这些项，把系数给它算清楚就行了。然后我们看一道比较愿意出题的形式啊，就是这种已知极限是什么什么什么啊，让你求 a b。 那 首先 已知这个的式子，它隐含着两个意思，第一个意思是这个极限必须要存在，存在你才能谈极限。第二是这个极限值为零，所以这隐藏着两个条件，意味着我们是要列出两个方程，两个条件。首先我们看这个极限，你如果单纯的把 a b 看成字母，你怎么解？ 那还是啊，我们加减，尽量不要用等量无穷小，那我们还是啊看 e 的 x 方超函数，我们还是把这个 e 的 x 次方拆的公式展开，那就是一加 x， 那 分母是 x 平方，所以我只需要解到 x 平方拆六就行了。 然后我把这个化减，化减呢啊，一消掉了，然后 x 呢，就是一减 b， x 加上二分之一减 a x 方加小 o x 方。这里面啊，我们看到这一项，首先它这个系数 是一减 b， 然后它是 x 分 之一，那 x 趋于零的时候，这一项趋无穷，你要让极限存在的话，这一项就不能存在。所以我们首先列出式子，那一减 b 必须是零，这一项必须被消掉。 其次这个小 o x 方他跟 x 方相处，那肯定他是极限是零了，这个不用管。然后接下来就剩中间这一项了，中间这一项二分之一减 a， x 方他跟 x 方完全约掉了，所以这个极限值最后他应该是二分之一减 a， 那 现在告诉你，极限值是零，所以我们列的第二方程就是二分之一减 a 等于零， 所以我们最后得到啊， a 等于二分之一， b 等于一，那我们最后得到啊，无穷比无穷型的极限。 刚才我们在讲洛必达的时候说了，对于无穷比无穷型的极限，我们也可以考虑取洛必达法则，但是洛必达法则的时候，我们刚才也讲了，洛必达法则必须三个条件全部满足。这里再给大家回顾一下这三个条件， 那我们这里面就会给大家简单的挖一个坑，提示一下，我们现在来看一下第一个题，先无穷带进去，这是无穷比无穷型啊，于是我们考虑洛洛完之后呢，分子 x 分 之一，分母二，把 x 二点一，然后啊化简， 这里面呢，阿尔法， x 的 阿尔法自密分之一，当然这里面啊，我没指出阿尔法的范围，所以呢，恐怕你这这这里面你就得分情况讨论了。如果说阿尔法大于零的话，这个极限是零，如果阿尔法它等于零的话，你一看到阿尔法等于零，你好像有点高兴，但是 一旦等于零的情况下，你容易掉坑。里边是什么？这里给大家留作悬念。然后二个小于零的时候，很明显我们从这个式子里看不存在。第二个，你一看啊，把 x 趋于无穷带去，虽然三 x 极限不存在，但我知道他有界，所以呢，他一带去还是无穷比无穷。于是我又想落，于是我又想落 啊，落一遍还是看不出来，我再落一遍，那如果你是这样做的话，恭喜你得到了零分。我们看这题是哪里出了问题啊？我们回到这一步， 我们刚才在讲洛必达法则使用条件的时候，提到第三个条件是我分子分母同时求导后的极限，他必须存在，才能考虑用洛必达法则。那你现在在看这第一步落完之后的结果，他的极限你重新来看他存在吗？ x 趋无穷的时候，这个极限，两个极限都不存在，所以说这个极限是不存在的，所以我这个题是不能用落笔打法则的。那么我们这个题怎么做？我们可以这样，既然你知道 sin x 是 有界量，那我就可以上下同除 x， 那上下同时 x 的 话，注意是现在是 x 趋于无穷，所以这个呢？它是趋于零的，这个也是趋于零的，所以最后它的极限是一。我们再看第三个，第三个你往里带一看啊，也是这个无穷比无穷，于是你又想落了，这回落完呢，啊，没太大问题，对吧？为啥呢？这个分子是一分母呢？是 这个，这个你一带完，发现啊，这个极限应该也存在吧，对吧？他考都考了，这个极限存在，那我 得到了这个，他是他的倒数，他应该也存在呀，对吧？正常我是可以录的，但是你反正有点不对劲，我录完之后的结果，单纯的是分子分母倒了一下，那如果我再录一遍，是不是他又倒回来了？ 这就到了我们一个经典的笑话，录不出来，说明我肯定这个我一直录，那只能在他们俩当中来回来回跑，我肯定是算不出极限的， 所以从这我们可以看到洛必达法则，他也不是万能的。那在我们无穷比无穷的题型里呢，经常会碰到说分子分母基本上都是多个区域无穷的量去相加，那这个时候我们怎么办呢？我们一般是看增长最快的这一项，他会在我们分子或者分母里面起主要的作用，所以我们 这个方法通俗来讲叫找大哥就干啥呢？就是比分子和分母他们俩当中的大哥谁增长的更快。我们具体的从这第一道题来看，第一道题两个多项式相除，那我们找大哥的话，很容易能够看到啊，这个最高次项上面三字方，下面四字方，所以我们怎么办呢？我们上面提一个三字方， 下面提个四字方，然后我们看这个时候，这个时候呢 上下一约一比较，肯定分母增长的更快，那因为他们约掉的时候，这个 i 下边还剩一个 x， 所以 最后呢，很明显这个极限值是零。那关于两个多项式相处的这种 极限呢？我们会有一个一般的结论，简单来说就是我只需要比较分子分母他们的次数就行了，如果是分子高次比上分母低次的话，那 x 趋于无穷的时候，他这个极限是无穷大。 如果说他们同次比较的话，那他这个极限值就是两个最高次项的系数的比值，如果说分母的次数更高的话，那这个极限值就是零。那我们再回到刚才我们没算出来的那一个极限当中啊，这个极限怎么算呢？同样我们还是看这里也是无穷比无穷， 那上面的增长是 x， 下面的增长，我们看这两项谁是大哥，很明显他是大哥，所以呢，我们把下面的这里面 提出来，他最高次的注意，提出来时候这个根号二次方，开根号就一次方，然后根号下一加上 x 方分之一，当然这里面准确来说这个极限值应该是正无穷啊，就是因为如果是负无穷的话，这个极限值是不一样的， 于是呢这里面这个 x 约掉了，于是我们最后啊这个结果就是一，那如果说一般情况下的啊，这种无穷比无穷型的题，你能不能找大哥呢？哎，这个时候我们一会会给到大家更一般的去估价的公式啊。我们先看这道题，我们其实思想都是一样的，啥叫抓大哥？抓大哥肯定是抓 增长最快的一项，我们看分子、分母这三项里面哪个增长最快，很明显是五的 x 方增长最快，所以我们呢同时提出来五的 x 方，这时候呢， 这时候我们发现呢啊，你把五的 x 方提出来，那提完之后的这个括号里边其他的这些项都趋于零了， 然后所以这两个括号都是趋一的，这个五的 x 方正好约掉，所以最后这个极限值是一，也就是说我们无穷比无穷强，我们可以看到他们两项相比的极限，也就是说简单来讲就是分子、分母谁增长快，就是由他们当中 接最高的那一项决定的，所以这就是我们抓大哥的核心思路。那接下来就给大家一个比较重要的叫做无穷大孤立翁事。 这里面呢这个符号什么意思啊？就是说如果说，比如说我们看这个这个的意思呢，就是当 x 趋于无穷的时候，然后前面的比上后面的它的极限是零， 也就是说整体上我们说啊小于 x， 指数函数增长的不如密函数快。然后我们来看这个整体啊，整体上指数函数增长的不如密函数快，密函数啊，密是大于零的，密函数呢， 指数越大增长越快，整体上密函数增长的又不如指数函数，指数函数的底大于一，那底越大增长的越快，这是我们函数极限里面常见的误解。也就是说当我们将来碰上无穷比无穷的形的时候，你就去抓那些他在前面的这这一项，如果说啊 这一项增长最快，你就把它单拎出来，然后其他的你给他打个括号，你就比整体上这两个分子分母里面的大哥谁增长的快就行了。 那后两个这个符号呢？这个符号呢，不太合法，因为我们没法对一般的实数去定义结成，当然这个就涉及到后面解析言拓的事情了，即使解析言拓符号也不是他。当然我们这里这么用了，就是因为呢这两个符号，这两个一般是在数列极限里面 用到，所以我们这里呢也一定给大家给出来了。那最为重要的零比零型和无穷比无穷型讲完之后呢？其他的类型我们的整体思路都可以是想个办法给它转换到零比零型或者是无穷比无穷型上面去。我们先看这里面 简单的一种叫零乘无穷型，怎么转化呢？你一定能够想到啊，零可以看成无穷分之一，或者是无穷可以看成零分之一，所以我们整体上思路就是把其中一项给他取个倒数，这就很简单了。 那具体在做题当中，我们到底取谁的倒数比较方便呢？如果说我们要落的话，那肯定是把取完倒好求倒的那个东西给他取取倒数。就比如说我们这道题，这道题里面啊，他是零带进去，那就是零乘无穷型，把小于 x 取负无穷。所以呢，那 你取到的时候，你肯定是不想把 log x 给他取到，就你要落必达的话， log x 取到他肯定是不好求的，所以你肯定是你取他的倒数，你取了他的倒数呢，那就是 log x 比上 x 二分之一，然后你再落， 这时候变成了无穷比无穷型，那你落呗，分母现在变成了负二法， x 二法加一，然后约分，那最后你的 x 去零，正 负阿尔法分之 x 阿尔法四方，这里面阿尔法啊，条件给了阿尔法大于零，所以呢， x 去零的时候，这个极限值是零。下面一个类型比较复杂啊，它是无穷减无穷型。这里首先要给大家排除一个误区，就是无穷它不是一个数，所以 一定不能说有无穷减，无穷等于零这种想法。然后我们看无穷减无穷呢，我们常见的主要是两个类型。第一个类型，我们以第一道题为例，就是我们当我们见到分式、减分式这种类型的时候，我们一般思路肯定是什么？通分，对吧？通分，我们看 通完分之后啊，这个结果，这个结果零，一旦是他变成了零比零型，那变成零比零型，我们一看他就可以落笔拿，对吧？但是我们在落之前我们观察，先观察再落， 你观察一下，上面看，不用说，下面这个本身不太好求导，但是我可以怎么办呢？这个三 x 跟它是长的关系，所以我可以利用等加无穷小把三 x 换成 x， 这样的话分母变成 x 三次方，它就好求导了。所以我们可以看到啊，我们做题时候这些方法它不是孤立的，我们可以把它结合起来使用，这样的话会让我们的做题变得更方便一些。那这个极限我们刚才算过，它的结果负六分之一， 然后我们看第二个，第二个他也是我们无穷减无穷的另一个常见类型，当然这些题他可能后面跟着一一大堆分式，这个不用看。那如果说你题里见到了根号减根号这种无穷减无穷类型的话，我们的处理方式其实我们初中就学过这种方法，叫做有理化。 那有怎么个有理化呢？就是利用平方差公式，分子分母同乘，根号加根号， 然后我们化减，化减之后分子 x 加一，减去 x 减一，那分子就是二。分母呢？就是根号下 x 加一，加根号 x 减一，那我们一看无穷带进去，这是二比成无穷， 也就是有界成零，那最后这个结果就是零。接下来这三类啊，我们把它们放在一起，因为它们有一个统一的名字，它叫做 叫做密值函数，因为顾名思义，密值函数呢，就是底数上啊，和指数上都带着未知数， x 也就是类似于这种方式。那这种方式我们的处理是统一的啊，就是什么呢？就是我们利用指数和对数的关系， 利用这么一个等式去把它做一个转换。我们以这三种形式分别来看啊，如果说 u 趋零， v 趋零的话，那我们说 这样的话啊，易的啊， v 趋零啊， v 是 不变的零，那烙印 u 啊，也就是 u 趋于零的话，烙印 u 它是趋于负无穷的，那甭管负无穷还是正无穷，反正是无穷，对吧？零的零字方形，我们就可以通过这种指令转化化成 e 的 零乘无穷次方，于是呢， e 作为连续函数，我们只需要去看它的极限就行了，于是我们把这种零的零次方直对形的换成了一个零乘无穷型的极限啊，那我们还是无穷的零次方，同理，我们也可以给它换成 e 的 零乘无穷次方 啊，因为烙印 u 趋无穷的时候，烙印 u 也是趋正无穷的，这个时候也是啊，一样的，那一的无穷四方形呢，这个时候我们看 u 趋一烙印 u 呢，它就趋于零，所以呢，同样的，也就是说，我们通过这样的纸对转换， 我们可以把这三种类型都给它化成 e 的 零乘无穷四方形，然后我们按照零乘无穷四方形这种形式的解法来解 就行了。我们来利用这种思想来解一下这三道题。第一个把零带进去，这是一个零的零个方形，于是呢，我们把它通过刚才指定转换给它换成 e 的 x 乘 lo x 方， 然后啊，这样的话呢，我就可以意识连续函数，所以呢，这个极限变成了上面指数上面的极限，那 x 乘 lo x 在 x 区零正的这个极限 我们刚才算过一个，一般的情况就是 x 的 alpha 四方乘到 x， 那 正好对应于刚才那个题的 alpha 等于一，所以呢它就是 e 的 零次方，最后结果是一，然后同样的下面这个类型，第二个题也是把零带进去，现在它是一的无穷四方形，我们也是利用指数转换， 那利用指数转化的话，这个时候把零带进去，那它就变成了一个零比零形的极限。那零比零形极限我们做路币打法和分母二 x 分 子呢，是 绕眼 cosine x 求到，那就是 cosine x 分 之负， cosine x 上面分子是负弹性的 x， 负弹性的 x 等加无穷小变成负 x， 所以 最后这个结果 e 的 负二分之一次方。我们再看第三个题，第三个同样的把零带进去，把零带进去呢， 里边这个极限重要，极限对吧？它趋于一，外边头上趋于无穷，所以也是一的无穷四方形，然后利用直角转换， 利用直角转换得到了一个这个，这个的话呢，同样也是也是做这样一个变换，但是呢，我们发现啊，这块他有个如果你直接洛必达的话，这个求导分子求导不好求，那怎么办呢？我们可以这样， 它既然里层这个极限是一的话，我就可以给它分离出一个，一出来变成什么呢？ 我把它变成这样，变成这样以后我把里面这一块，里面这一块现在是趋于零的，把它看成一个整体，这样的话呢，我就可以利用等压无中小 变成这样啊，变成这样之后啊，那我们这个化简完之后就是三 x 减 x 比 x 三个方，而这个极限我们还是刚刚算过呀， e 的 负六分之一次方，这就是最后的结果。那我们常见的极限的类型就给大家总结完了， 我们可以用下面的一张知识图谱来给大家总结这些类型分别用什么样的解法。最后我们给大家 提供十道题作为练习，感兴趣同学可以做一下。然后呢发在评论区，我们大家一起分享一下做法。那还有什么问题呢？也可以评论区进行留言，我们下期见。

大家好，欢迎来到高质高考端招必学视频，一分钟让你拿下五分！今天我们要学的是定义域，来，我们来看一下什么是定义域呢？定义域它是指 什么？让 x 有 意义就可以了，是吧？话不多说，我们直接上时长啊。第一个，求下列函数的定义域啊。这个函数 y 等于 x 加一，这个函数是什么？它是分式函数，对吧？在这个分数函数里面，你看一下 x 加一作为分母，是不是？我们都知道分母它是怎么样不能为零的？所以呢，你直接让 x 加一不等于零就可以了啊，从这里可以解得，可以把这个 加一移到右边就变成减一，是不是正一移过来就变成负一，所以 x 就 不等于负一？好，这道题就做完，是不是非常简单，是吧？哎，五分倒数，是不是？再看第二种类型，好要求这个函数的定义，那你看一下 在根号里面啊， x 加二，它是什么？它是一个整体，它称为被开放数，我们都知道根号要有意义，是不是？那你被开放数，你一定要大于等于零，是不是？那也就是说 x 加二必须大于等于零，同样的，我们把正二移到右边 也会变成负二，一向要变号啊，所以呢， x 大 于零，负二又做完，简不简单？非常简单。来。第三种类型，对数函数 这一个的话，要求它的定义，那你看这个 s 加，用括号括起来，它是一个整体是吧？它既然是整体的话，哎，它的名称，这一个整体的名称称为真数，所以你要求它定义，必须让真数大于零 啊，一虚大于，也就是说 x 加一大于，把这个正一移到右边就变成了负一，所以呢，解得 x 大 于负一，那这个就是它的解集是吧？前面两种我们都用了这个集合来表示，如果说用区间呢？啊，那就是什么负一到正无穷， 学会了没有啊？就这三道题，五分直接拿下。好吧，来做几道练习试一下。第二道练习。 x 加二要怎么样？ x 加二要不 等于零是吧？所以它 x 怎么样不等于负二是吧？这就错了，这里呢，也是一样，三 x 减六，它在什么？在分母是吧？分母一样的不等于零是不是？哎，负三 x 就不等于负六，是不是？好，两边同时除以负三，那 x 就 怎么样啊？哎，负六移过来就变成正六啊。正六六除以负三就等于负，所以它的解集是吧，不等于负二，或者是说它的定义域就是 x 不 等于负二。 再给他根式来看一下，二 s 减四要怎么样？要大于等于零是不是？哎，把负四移过来就变成二， x 大 于等于四， 是吧？所以呢， x 就 怎么样？大于等于怎么样？怎么算？这个啊， x 前面有二，所以呢，你两边要同时除以二，四除以二就等于二好不好？那这个到第四题也是一样，是不是先把 什么东西先把这个四列出来是吧？负 x 加三大于等于零，三移到右边就变成负三，所以是负 x 大 于等于负三。 好，两边都有负号，我们要求是左边只有一个 s， 没有符号，也没有任何数字，是不是？那也就是说他要把这个符号移到这边来是吧？或者呢，你可以把理解为两边同时乘以负一，好，乘以一个负数，不准，方向要改变就变成这样子了。 负 x 大 于等于三，那 x 就 小于等于三是吧？哈哈哈， ok。 第五题，二 x 减一要怎么样？乘以零是不是大二零的话，哎，把负一移到右边就变成什么正一 x 前面有个二，两边再同时除以二， 左边除以二，二就没了，右边呢？一除以二就等于二分之一，简不简单？恭喜你五分到手。非常简单啊，关注我，让你单招直接满分。

本视频耗时十年，制作共计一百五十小时，带你一口气学完初中数学。看第二个，他说点 p 是 二次函数图像第一项线上的一个点，要使三角形 b、 c p 面积最大的时候，让我们求 p 点的坐标，那么面积问题是不明显，用水盆换个铅水灯。 我当时讲这个题目的时候，教你们怎么做来着？我们按步骤来，第一步是区分动定，那么在这里 p、 b、 c 当中， b 点和 c 点就是两个定点， p 就是 我们的动点。 区分动定之后，动点坐标你要把它设出来，那么把 p 点的横坐标设为 m， 纵坐标就是负的二分之一 m 方加二分之三， m 加二， p 点坐标是不是就知道了呀？然后你再把两个定点所在的直线解析式表示出来， b、 c 所在的直线解析式是不是 y 等于负的二分之一 x 加二。那么区分动定，把动点射出来以后，第二步是怎么样呢？过动点做 y 轴的平行线和两个定点所在的直线是不是交于点 h， 那么 h 点的红坐标就是 m， 那 纵坐标就是负的二分之一 m 加上二，是不把 h 点的坐标也表示出来了呀？那这个时候我们会发现题目当中有限定条件，限定的点 p 是 不是在 b 一 象限？ 既然点 p 在 第一象限，就说明 p 点永远在 h 点的什么上方，是 p 点的纵坐标会更大，那这个时候我们再求 p h 长的时候是不用加绝对值的，直接用点 p 的 纵坐标减去点 h 的 纵坐标，那我们就可以直接写三角形 p， b、 c 的 面积 等于什么呢？二分之一乘水平宽，水平宽是不是两个定点？ b、 c 之间横坐标差的绝对值就是四， 再乘铅垂高，铅垂高就是多少屁点动点和 h 点之间纵坐标差的绝对值，因为这个大小。确定了是不是不用加绝对值，直接用负二分之一 m 的 平方加上二分之三 m 加上二，再减去 括号，负二分之一 m 加二，那么去的括号是不相当于加上二分之一 m 减去二，二分之一乘四，结果就得到了二。然后括号里呢，我们稍微把它整理一下，就是负二分之一 m 的 平方加上多少？加上二 m 对 不对？然后你再把这个二给他乘进去，结果得多少是不得负 m 的 平方加上四 m 到这一步有没有做对？然后你接下来要做的是把它配方，求对的是不是要配方？那么你把这个符号提出来，负的 m 的 平方减去四， m 后面肯定要加几，是不是加四然后就可以得到负的 m？ 嗯？ 加四还要干嘛？减四，然后这个时候就可以得到 m 减二的平方减四， 最后再把这个负号干嘛乘进去，就是负的 m 减二的平方加四。所以这个三角形有面积的最大值是多少？面积最大值是四，什么情况下取得它的面积最大值是四。是不是当 m 等于二的时候， 那当 m 等于二的时候，这个 p 点坐标就是多少？你把这个 m 等于二带进去， p 点坐标就是二斗几，二斗三 是不是就算出来了？然后你们求出 p 点坐标是二到三以后，第二、第三位说的是什么？在二的条件下，使得 b、 c、 p、 q 为顶点的四边形是平行四边形，那在这里面 b 点坐标是多少？零到二， c 点坐标是四斗零， p 点，我们又求出来是二斗三，只有一个 q， 不知道是不是我们讲的平行四边形存在性问题当中的三定一动问题啊？三个定点，一个动点，怎么去求？是不是几何反直接平移就可以了？ b 点坐标零斗二，给你们画在这儿， b 点 零斗二， c 点四斗零，然后还有这个 p 点二斗三， 好给你们复习一下几何法平移，求平行四边形的存在性哈。那么现在你会发现三个点坐标是不是都已经固定了，让你找去第四个点，怎么去找？ 你把这三个点分别都连接起来，那现在你看你想让谁是平行四边形的边，如果你想让 b p 是 平行四边形的边，那我们就平移 b p， 你 的 b p 可以 往哪平移？是不是可以往这平移？那此时第三个点 q 就 在哪？第三个点，第一个点 q 是 不是就在这？ 第一个点 q 在 这个地方，那么此时的 q 是 怎么得来的？你会发现从 b 到 c 的 平移规律是不是就是从 p 到 q 的 平移规律？那从 b 到 c 是 怎么变的？横坐标从零变成四，横坐标加了四，所以从 p 到 q， 横坐标也得加四，就变成了六， 那么从 b 到 c 是 不是纵坐标减了二，那么从 p 到 q， 纵坐标也要减二，六到一，第一个点你就写出来了，然后你再去看我们刚才去平移的是谁呢？我们刚才平移的 b p， 我是 往上去平移，我能不能往下平移？可以的吧，所以这个地方就是我们的什么呢？ q 二， 好，此时这个 q 二哪来的？你会发现是把 b p 往下平移，平到这个位置，那 p 到 c 的 规律就是 b 到 q 的 规律， 那这个 p 到 c 怎么变化的？是不是横坐标加二，纵坐标减三，那么从它到它也是横坐标加二，纵坐标减三，是不是就是二到负一？ ok， 第二个点就出来了， 然后我们刚才平移的都是 b p 这个边，那么接下来看我可不可以平移 p c 这个边，如果你平移 p c 的 话，可以怎么平移？ p c 是 不是可以往这平移？是不是又重合了？那你可不可以往上平移？可不可以平移到这？ 那此时这个 q 三就在哪？ q 三就在这个位置，对不对？所以这个是怎么平移的？是不是把 pc 平移到这个位置了？那么此时从 c 到 d 的 规律就是从 p 到 q 三的规律， 从这个 c 到 b 怎么变化的？横坐标减四，纵坐标加二，所以从这个 p 到 q 三，横坐标减四，纵坐标加二，是负二得五，所以三个答案负二得五， 然后六斗一，二斗负一，都写出来没有？又给你们复习了一下，这个想起来了吧？好，两个动点的，会不会了？两个动点的还记不记得怎么做？这是一个动点的了，两个动点呢？我们要用代数法， 然后第一步列坐标，你值得写下来，位置的设出来，然后第二步讨论对角线，是不是按对角线分三种情况，然后利用什么公式对角线上面两个点横坐标之和相等。 ok， 想起来没？

同学们大家好，今天我们给大家讲一个利用题目中的隐藏信息来求解函数解析式的这样一个题目，它有两种类型，第一种类型的话是说两个函数，但是结构性不同，我们使用负 x 去代学 x， 然后呢，出现另外一个式子，组成一个二元 z 四方中组，就能把函数的解析式给它解出来了。第二个种类型的话，是说呢，同一个函数，但是呢，在题目当中，成对出现了 f x 和 f 负 x， 或者成对出现了 f x 分 之一和 f x， 那 我们用 f x 或者是 x 分 之一去代 x， 那 么会得到另外一个式子，然后呢，把 f x 的 解析式给它解出来就行了。 好，我们看两个例子，第一个是说呢， f x 是 一个奇函数， g x 是 一个偶函数，且 f x 加上一个 g x 等于 e 的 x 次幂，则二倍的 f x 加上一个四倍的 g x 的 最小值是什么？那我们根据题目当中中的信息，它会有 我们 f x 加上一个 g x 就 等于 e 的 x 次幂，这是我们的一式，然后我们用负 x 去代，也就是呢，负的 f x， 因为它是一个奇函数，加上一个 g x 是 偶函数，就等于 e 的 负 x 次幂，然后这是 r 式。我们可以解出来 f x 就 等于二分之 e 的 x 次幂， 减去 e 的 负 x 次密，然后呢， g x 就 等于二分之 e 的 x 次密，加上 e 的 负 x 次密。那这两个函数一个是双曲正弦函数，一个是双曲余弦函数，我们看它要求什么？它要求二倍的 f x 四，然后再加上一个四倍的 g x， 那 这个式子我们看一下它是什么？ 它是 e 的 x 次幂，减去 e 的 负 x 次幂，加上二倍的 e 的 x 次幂，然后再加上一个二倍的 e 的 负 x 次幂，那这个式子显然可以化解，它就是三倍的 e 的 x 次幂，然后再加上 e 的 负 x 次幂。我们根据基本不等式，它大于等于二倍的根号三， 当然等号成立的条件是三倍的 e x 次幂应该等于 e 的 负 x 次幂。好了， 那这个式子我们不解了， x 的 话肯定是符合的，也就说我们的 b 选项是成立的。我们看下第二题，第二题他说已知定义在 r 上面的函数 f x 满足 f x 减去一个二倍的 f 负 x 等于一的 x 次幂，则曲线 y 等于 f x 在 点零 f 零处的期限的斜率是什么？ 那我们通过第一个式子，我们把它当做二元一次方乘组的第一个式，然后呢，我们根据我们的这样一个题型特点，我们把它用负 x 去里面去代，也就是 f 负 x 减去一个二倍的 f x 就 等于 e 的 负 x 次密。那显然我们能把这个方程组给解 解出来，我们的 f x 应该是等于一个三分之 e 的 x 次密，然后呢，再 加上二倍的 e 的 负 x 次幂，那我们对这个函数进行求导， f 撇 x 就 等于一个负的三分之一一倍的 e 的 x 次幂。这边的话，我们符合函数求导，它还有一个符号，所以说呢，它就是一个负三分之二的 e 的 负 x 次幂，那它要求 零 f 零处的这样一个线的斜率，我们直接算 f 撇零就行了，它应该是等于负的三分之二，所以说呢，最终就等于一个三分之一。好，大家体会一下这两道题。

十秒钟带你速通高中数学核心考点！这是什么恒等式？这是极化恒等式！这是什么元？ 这是猛日元！这又是什么定义？这是奔驰定义！这个不等式代表什么问题？ 这是极致点偏移问题！这三组连在一起是什么不等式？ 这是泰勒展开同步放松一切超越函数的克星！这是什么面积公式？ 这是焦点三角形面积公式！这组坐标乘积是什么？结论， 这是抛物线焦点弦的最强底牌！这个坐标代表什么？这是三次函数的拐点，也是它的对称中心。

各位同学大家好，一道非常经典的压轴题分享给大家。这道题呢，很多同学反应不会做，我们呢就按照常规的方法， 就让你能够容易接受的方法来分享给你。首先告诉我这个函数有且仅有三个零点，那就让 f x 等于零呗。那这个式子是不是变成 l n x 平方， 加上 a 倍的 x 棱 x 减去 x 方等于零？首先对这个函数，我们对它的定律必须得有个清醒的认识， x 要大于零。 第二点，他要想有零点，我们发现当 x 等于一，这个特数值带进去之后，发现这个方程不成立，所以这个 x 还不能等于一，那就是说最终确定了 这个函数定义就是 x 大 于零，且 x 不 等于一。那我们作为每一个高三的学生，到现在必须能做到的就是你能会参变分离，对吧？那 a 就 等于 x 比上 l n x 减去 l n x 比上 x 到这呢有两种方法来处理，我呢就不太用换元的方法，利用复合函数去处理了，那样的话很多同学不容易接受，我们干脆就来个求导，很直接很干脆。 那么这时候一变形以后，实际上就是研究 y 等于 a 这条直线与 g x 函数图像有三个交点就可以了。现在 g x 等于 x 比扔 x 减去，扔 x 比上 x， 我 们通过导数与原函数之间的关系来把 g x 的 图像给它大致画出来，问题就解决了。 那么这一撇 x 对 于他的求导相信很多同学都能搞定，我就不再详细的介绍了啊，那么他这写成 x 平方，上边就是扔 x 减一减去，一减去扔 x 比上 x 平方， 那么与分式就通分，我们这时候是不是就可以得到 s 方乘以 l n x 的 平方上边呢？通过提取公因式能够得到 x 平方加上一个 l n x 平方来乘以 l n x 减去个一。 通过我们观察发现分母一定是个正的，对吧？前面这个音势也是正的，那么影响 g 撇 x 的 正负就与谁啊？ l n x 减一有直接关系，那么 l n x 减一等于零，此时 x 正好等于 e， 我 们可以通过剪图把 g 撇 x 的 图像给它大致画出来。假如说这就是零， 那么这是一，这是一，对吧？那么在这里边我们可以发现这是负的，这是负的，这是正的，对吧？哎，通过导数的正负与原函数的单调性的 之间的关系，我们可以把什么呢？ g x 的 大致图像给它画出来，哎，这是零到一，那么它是减的，对吧？ 然后从一到 e 这个之后，从一到 e 这个位置它要减，然后呢？ 大于 e 到正无穷的时候，它是增，那我们看一看，在 x 等于 e 的 时候，它所对应的这个函数值 就应该是 e 减去 e 分 之一。通过图像，要想保证 y 等于 a， 这条直线与图像有三个交点，我们是不是很轻松的发现 a 是 不是只要大于 e 减去一分之一这个问题就解决了？因此最终答案选择 c， 你 听明白了吗？好了，今天视频分享到这里，祝各位同学高中生活愉快，加油！

各位同学大家好，今天和大家共同分享一道比较经典的压轴题。这道压轴题呢，很多同学容易犯错误，我们一块来看一看。说已知函数 f x 等于 log， 以 a 为底数， e 的 x 次方减 a， b 的 x a 大 于零，且 a 不 等于一，它的值域为全体实数，则此时 a 的 取值范围为多少？ 那么这道题我们要想研究，首先对对数函数，它什么时候值域能是全体实数要有一个认识。哎，我们知道，不论你这个底数 a 是 大于零，小于一的还是大于一的，你要想让对数函数的值域为全体实数，那你这个定域 x 必须得大于零。 那么更深层次的意思就告诉我，它必须取遍所有的正数。明白这一点，我们回到这道题上边，正数位置很显然是一个函数，我们不妨把它设为 g x， 那 也就是说，在这道题当中， g x 如果等于 e 的 x 次方减 a 倍的 x， 那 么这个 g x 的 值域 怎么办？哎，它就必须能够取遍所有的正数。换一句话来说，也就是说，零到正无穷这个这个区间，它应该小于等于 g x 的 值域， 就这么个意思。那好了，明白这一点，再把话说的白一点，也就是 g x， 它的最小值必须比零要小，或者等于零就可以了。那现在我们就求这个 g x 的 最小值就可以了。那么 g x 的 最小值怎么来研究呢？我们对它进行求导， a g 撇 x 就 等于 e 的 x 次方减去 a， 那 么找出它的零点来，那就是 e 的 x 次方减 a 等于零，此时 x 我 们能得到就是了。 a， 我 们把 g 撇 x 的 图像给它画出来 a， 那 么它大致就是这么个图形， 当然是这么个图形，这是楞 a， 看到了吗？那我们知道这是负的，这是正的。根据导数与圆函数之间的关系，我们都能明白，从负无穷到楞 a 这个位置，它是单调递减的。从 楞 a 到正无穷，它是单调递增的。所以通过这个图像，我们可以直观的知道， g x， 它的最小值就是当 x 取楞 a 的 时候，它是单调递增的。所以通过这个图像，我们可以直观地知道， g x 取楞 a 的 时候，它是单调递增的。所以通过这个图像，我们可以直观地知道， e 的 楞 a 次方 减去 a 倍的楞 a， 而它正好等于 a 减去 a 倍的楞 a。 根据我们刚才的分析，知道这个 g x 的 最小值要小于等于零就可以满足题。因此我们得到 a 减去 a 倍的楞 a 就 小于等于零。 那么这个时候我们知道 a 呢，是大于零的，两边同时出一个大于零的数，不等号，分量不会发生改变。整理一下，能够得到楞 a 大 于等于一 二一，是不是正好是任意？所以呢，我们就知道此时的 a 就 大于等于一，因此最终答案选在四号 d。 各位同学，你学会了吗？学会了记得点赞加关注加推荐，让更多的同学学会它。好了，今天视频分享到这里，祝各位同学高中生活愉快，加油！

高中数学选择题里遇到这种带着三次函数还让你求一大串数字和的题，你是不是还在傻乎乎的硬算？ 别当大愿中了，只要是三次函数，它就一定有对称中心！重点来了，记住这个祖传秘方，对称中心的横坐标永远等于负的三 a 分 之 b。 回到刚才这道题， a 等于一， b 等于负。三代入公式，对称中心横坐标就是一，这就意味着 f x 加上 f 二减 x 等于一个定值。 把这堆丑陋的式子首尾配对，外加中间项，五秒钟答案直接秒选 c， 一分钟的视频帮你省下考场上十分钟。屏幕上这道便是题交给你算出来的答案。打在评论区，还不赶紧点赞收藏，万一快高考的时候找不到了呢？

各位同学大家好，这个视频分享一道求导的问题，很多同学反映这个函数求导不会求，我们接着这个视频和大家一块来分享一下。 说 f x 等于 x 的 x 分 之一次方， x 大 于零，求 f 撇 x。 首先呢，我们知道 x 是 不是可以写成 e 的 l n x 次方，那所以这个 x 的 x 分 之一次方能写成什么呢？哎，那 x 的 x 分 之一次方就可以写成 e 的 l n x 的 x 分 之一次方，我们按照对数的运算，是不是可以把它是不是提到前边这来？是不是？那所以这个式子就可以写成 e 的 x 分 之一乘以 l n x 再多写一步，是不是可以写成 x 分 之 l n x 这样一种形式？那因此呢，这个 y 是 不是就能写成 e 的 x 分 之 l n x 这个函数了？这不就是一个复合函数吗？复合函数求导非常简单，我们首先令 m u 等于 x 分 之零 x， 然后 f 撇，是不是就等于 e 缪次方求导来乘以缪的导函数就行了？那这样的话，这个 e 的 缪求导非常简单，那是不是就是 e 的 x 分 之零 x？ 而后边这个呢，就非常简单，单独求它的导， 它的岛等于什么呢？往这看，是不是就等于 x 分 之 l n x 的 岛，那它就等于 x 平方，上边是变成 x 分 之一乘以 x 减去 l n x 也就变成了 x 方分之一减去 l n x。 好了，那这是不是就需要乘以 x 平方一减去零 x， 而它是什么？它是不是就是 x 的 x 分 之一次方来乘以 x 平方？这呢？是不是一减去零 x 这个东东就是 f x 的 倒函数啊，也就是 f 撇 x， 各位同学，你学会了吗？好了，今天视频分享到这里，祝各位同学高中生活愉快，加油！

好，诱导公式我们要这样用，下面我们看这个题，在这么复杂的这个诱导公式化简中， 我们没必要非得用每一个式子都化成诱导公式的形式。我们脑子里只需要记住这个图， 我们说过这四条象限的分界线，那么有了它们，我们能快速的把这个题解决。先慢慢来，一起画一下，看一看， 应该一学就会，一做就对。那么像第一个，我们马上看到这个地方是二分之一的计数倍， 根据既变五不变符号看一下线，那么立马可以确定它这个地方要变为 cos alpha。 先记下那么符号，我们来看一下 alpha， 我 们看成锐角时， 中间在这，那么减去二分之 pi， 它会到第四象限，那么第四象限的正弦应该是负的，所以这里是负 cos alpha， 那继续往后看 cosine 二分之三 pi 减 off， 那 我们看到基数倍的，所以要变名，那它就变成 sin alpha， 那 么这一符号我们再立马找到，想到这个二分之三派在这儿，然后减去一个锐角，那么它就上了第三象限。第三象限，那么余弦是负，所以这里是负的。 c alpha， 那同样的，后边看到这里是 pi， 所以 不变平，那肯定是弹力的 alpha， 那 么符号呢？因为 pi 在 这加 alpha 第三项线，第三项线的正切是正的，那这样就可以了，那同样道理，后边变名， 然后呢？ alpha 是 pi 在 这加 alpha 到第二项线，那么它的余弦是负的，所以这里是负的。 那看分母，看到二派不变名，所以是 sin alpha， 那 二派在这儿减 alpha， 所以 它在第四项弦的正弦是负的，所以是负的。 sin alpha， 那 这个地方是 tan 的， 看到负派不变名，所以是 tan 的 alpha， 然后 alpha 是 锐角，那么负 alpha 应该在第四象限，再减去 pi 上对面第二象限，所以第二象限的正切应该是负的，填负号， 那后边这个一看也是不变面，所以是 sin， 然后呢？这个角同样是第二项线，正线应该是正的，所以这个地方直接写成 sin 啊就可以了。 好，然后我们进行化解。首先看，一共有五个符号，所以最后肯定是负的，然后对于 能约分的要进行约分，那像 sin alpha 这里可以约掉谈仁的 alpha， 可以 约掉这个 sin alpha 约掉最后应该剩下 cosine alpha， 那 么这就是最后结果，那么应该一学就会，一做就对。 那这种方法显然要简单做，你学会了吗？

家长们注意了，孩子数学想提分，函数这块真得重视起来。你知道吗？高考数学一百五十分的试卷，跟函数相关的题能占将近一半。选择题有它，填空题有它，最后那道压轴大题基本也都是它的身影。说白了，韩数学明白了，数学整体分数才能往上走。 可偏偏很多孩子一学函数就看不懂定义域、值域总出错，写着写着就卡壳， 越学越没信心。那有没有靠谱的方法帮孩子吃透函数？还真有，我给不少学生推荐过这本哈工大出版的高中函数题型全解， 他不是搞题海战术，而是把函数拆成七大板块，从最基础的概念一步步过渡到图像性质，再到压轴题，逻辑特别清晰，适合函数基础不牢的孩子。每个专题还分成三步走，第一步吃透知识点。第二步练母题，掌握核心题型结构。第三步做辨识题， 学会举一反三。而且每道重点题都配了视频讲解，讲的特别通俗。孩子之前卡壳的地方，一看视频往往就豁然开朗了。 这本书不厚，每天学一点也不累，效果却很实在。高一高二的孩子用它打基础，高三的孩子拿它冲刺巩固都合适。如果咱家孩子数学不是智商不够，就是没找对方法， 那这本函数题型真能帮他突破函数难关。想帮孩子突破题分瓶颈，赶紧安排！

这是昆一中第六次联考卷，朱波得了满分，用时一百零一分钟。整套卷子中，最后两题比较有难度，其他题目比较基础，下面一起来看看朱波是如何完成的吧。 单选前六题很常见，属于简单题，建议同学们做的时候一定要小心，绝对不能做错。第七题是三角函数，覆盖了很多考点，需要重视。第八题考察椭圆离心率。第一定义对计算能力有一定的要求。最后本质上考察函数的值域问题， 只需要将题目给的条件转化一下即可。第九题是复述基础题，主要考察对复述基本概念的理解。第十题考察三角函数的性质，只要将四个选项分别带入验证即可，并不困难。 十一题考察直线和圆，都是高二老生常谈的来历，比较基础。填空前两题很简单，而十四题也只需要判断函数的单条性，带端点式即可， 总的来说选填比较容易。此时还剩下一百分钟。十五题卡方检验纯属送分题，只要计算不出错就行， 这里朱波也是验算了两遍才确定了结果的正确性。十六题是竖列，也是高二经常内的套路题。第一问美加法求通向公式。第二问列向香蕉求和。 十七题例题几何，由于题目中已经给出了线面垂直，所以采取间隙分解两问的方法也比较基础，到这里仅仅用了三十三分钟，这样最后两题有充分的时间思考。 十八值抛物线，前两问也是重分值。第三问比较特殊，朱波一开始采取直驱连力消圆的方法做，但是发现最后解方程的时候计算量过大，在这里耽搁了很久，这也告诉我们，圆锥曲线不一定上来就是设直线，连力消圆，尤其是抛物线，很多题目设点会比设直线简单很多。 这里朱波已经开始怀疑人生了。接下来是枯燥的计算过程，在这种情况下，大家一定不要死磕，先放手。就像这套卷子的十九题， 前两问并不如，如果因为死磕十八题而没时间做，就是因小失大。这里朱波还想挣扎一下，反复检查计算过程，但是并没有看出什么问题，于是打算先去做十九题。 十九题考察函数与导数。第一问是常见的切线放松，第二问用第一问的结论放松累加即可，最后再验证不能取舍。即使是十九题，前两问也很常规，并不难做。 第三问成立问题，核心思路就是参变分离，构造新函数。这里求完一阶导后发现零点求之初考虑零点问题 不太一样的是，本题还需要构造一个新函数，这点不太好想。第三问应该是参考了长沙一中高三第三次阅卷的最后一题。做完最后一题之后，朱波又回头看十八题。到这里朱波还在以为是自己基本出错了，又反反复复检查了好几遍。 这里朱波突然开制了斜率 k， 似乎可以用纵坐标来表示，这一点非常重要，是本题的关键所在。之后朱波也意识到设值线形不通，于是改为设，这样两条直线的斜率就可以用红纵坐标来表示， 也为之后消去未知量。减小计算量。朱波突然惊鸿一瞥，发现 b t 的 斜率肯定是分解后约分， 但是这里因式分解之后忘记带上系数，所以发现一个特别巧妙的思路时，一定不能放松警惕，这个时候最容易出现低级计算错误。这里整理出一个含外一和外二的式子，分离外二，用基本不等式求解。大家想看主播下期做什么卷子，可以在评论区留言。