冀教六下数学正比例图像中射线画法

嗨，同学们大家好，欢迎来到咖老师的数学小课堂，我是最懂你们的咖老师。今天我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第二课时，叫做正比例图像。 我们上节课呢，刚刚了解了什么是正比例，那这节课呢，我们再来说一说正比例的图像是什么样子的。好，我们通过下面这道例题来了解一下。 首先呢，说一个彩带的单价是每米四元，让我们根据彩带的单价完成下面这个表格好，这个表格很简单，我们来看一下， 第一行呢是购买彩带的长度，分别是零一二三四五六七米。好，接下来呢，让我们填一下应付的前数是多少，那其实啊，就是让我们求总价了，对吗？好，那这一栏呢，老师快速的填一下，第一个呢，零米相当于没有买好，那我就没有 花钱，应该是零元好，后面呢，依次分别乘以单价，也就是每米四元好，我们就能得到。一米的时候呢，对应的是四元，两米呢， 八元好，三米十二，然后四米十六，五米二十六米二十四，然后七米是二十八元。 好，这页数字我们填完了，接下来呢，来看一下下面这个问题，购买彩带的长度和应付的前数是否成正比例。 结合我们上一节课讲的例题啊，其实这个就很好判断了，我们说呀，本身应付的前数比上购买的长度呢，就等于这个单价，而单价呢是固定不变的，也就相当于是我们说的商一定，所以呢，二者之间是成正比例关系的。好，接下来呢，我们 来看第二位，那第二位上面呢，首先有一个图，哎，这个图猛一看，有点像。什么呀？是不是有点像我们之前学过的折线统计图呀，对吗？好，那接下来呢，我们看第二问，这个问题，图中的红点表示什么？是怎样画出来的？好，我们可以看到 整个呢，这是一条直线，上面呢标了若干个红点。哎，老师刚才说了，这个看起来有点像折线统计图。好，那我们就依照折线统计图的方式来分析一下。好，我们来看一下，这个点表示的是什么呢？ 首先啊，我们可以看到整个图像呢，横轴表示的是购买的长度，纵轴表示的是应付的前数。那么第一个点呢，所在的位置是零。好，那么他所表示的含义就是，当我购买了零米彩带的时候，应付的前数是零元，对吧？这样看， 是不是和折元统计图的表示方法是一模一样的。好，那接下来第二个点，那就是一样的道理了，对应的呢，就是购买一米彩带的时候，应付的钱数应该是四元。好，那这个点是怎么画出来的呢？也就相当于是经过一米和四元这两个点怎么样？分别 竖直水平做了两条直线，这两条直线的交汇点就是我们要找的这个红点了。 好，那后面几个点以此类推，都是表示一样的含义，做法也是一样的，对吧？再举个例子，比如说接下来这个红点， 他表示的含义呢，就是当我购买两米彩带的时候，应付的钱数应该是八元。好，那么三米应付十二元。哎，你会发现啊，刚才这些信息，从图上我们现在也能直观的看出来。好，那 进来呢？第三问，表示正比例关系的图像有什么特点？好，我们前面已经说了，这两组数据之间是成正比例的，然后呢，我们把它描点连线，画成图像之后，哎，这个图像呢， 是一条直线，对吗？哎，这首先是第一个特点，那接下来呢，还有一个特点，就是我们刚刚一开始说的，他是经过零这个点的，哎，零这个点啊，在这里面我们有一个新的名字，叫什么呢？这个点在这个图像里面，我们把它叫做圆点。 好，所以总结一下两个特点，第一个经过原点，第二个是一条笔直笔直的直线。好，那接下来呢，还有第四文，现在啊，让我们不计算，只看图，估计一下当我们购买一点五米彩带的时候要花多少钱，还有购 买五点五米彩带的时候又要花多少钱？好，首先这道题啊，如果带入前面的数据，直接算一下，其实挺简单的，对吗？但现在偏偏不让我们算，让我们直接看图看出答案。好，那这个怎么来看呢？ 也是一样的，首先呢，我们先来看一下啊，购买一点五米彩带，我们先找一下。好，那这个一点五米在哪呢？在一和二的正中间。 那接下来呢，我们就看一下和这个一点五米对应的这条直线上的点在哪里？好，那和刚才低温一样，我们做一条笔直笔直的直线。好，经过这个一点五米就可以了。 好，那这样的话呢，我们就会发现，诶，和这条直线的话呢，相交于这个点。好，把它描一下。好，那对应的 横轴上的电是一点五米，那纵轴上的电是多少呢？哎，我们再做一条水平的直线，所以呢，它和这条纵轴相交于这个电， 那这个点的话呢，正好是在四和八的正中间，所以呢，我们能看出来啊，这个位置对应的应该是六元。好，所以这个我们就估计出来了六元。好，那同样的道理，五点五米是不是也是一样的？我们先找一下横轴上五点五米在哪里呢？五和六的正中间， 然后也是一样，做一条竖直的直线， 好和这条正比一的图像相交于这个点。接下来呢，经过这个点啊，我们再做一条水平的直线， 好相交于这个位置，那这个位置呢，在纵轴上代表的应该是二十二元，因为他正好在二十和二十四的正中间，对吧？好，这样的话呢，这两个问题我们就解决了，都是直接通过图像观察得到的。 好，那么正比例的图像呢？我们就先简单介绍到这里，接下来呢，我们来看一看后面的课后练习题。 首先第一题，一辆汽车平均每小时行驶八十千米，照上面的速度，让我们计算一下下面这个表格里面的数据。 好，那我们可以看到，第一行呢，表示的是时间。好，第二行表示的是路程，那又考察我们路程问题的基本公式了。好，那我们快速的算一下，我们说路程等于速度乘以时间，所以呢，一个小时的时候，那就 是一乘八十还是八十两个小时呢？二乘八十等于一百六十三个小时呢，二百四十四个小时，三百二十五个小时是四百六个小时，是四百八十，最后七个小时是五百六十千米。 好，这行数据啊，我们很快就能填出来，紧接着我们再来看第二问。好，第二问又要考察我们刚刚学过的这个正比例的图像了， 现在让我们把表中的这些数据在下面的方格纸上画图表示出来。好，怎么画？我们前面说了，先描点，再沿线类似于折线统计图的画法。好，那我们首先呢，先描点， 那现在零零这个点我们就不多说了，对吧？就是我们前面一直说的圆点。好，那么后面这些点怎么描呢？还是一样的，比如说 一小时对应的八十千米，那就是横轴是一，纵轴是八十，他们相交会的点应该在这个位置。好，后面都是以此类推，所以呢，老师就直接帮大家把这些点描出来了， 那最后呢，只需要连出一条笔直的直线就可以了。好，那这个图到这我们就画完了，是不是很简单呀？好，那紧接着呢，我们再来看一下第三位， 现在让我们看图，估计一下这辆汽车三点五小时能行驶多少千米，六点五小时又能够行驶多少千米？ 好，和刚才例题一样呀，我们在图上简单的画一画。好，三点五小时，首先你先找到在横轴上呢，三点五小时在这个位置。好，接下来呢，哎，过这个点，竖直的做一条直线， 好，和这个正比例的图像呢，相交于这个位置。那紧接着呢，在水平的做一条直线， 好，这样我们就能看出来了，大概是在这个地方。好，那这个地方呢，正好是在二百四十千米和三百二十千米的正中间。好，那对应的路程是多少呢？我们快速的算一下，应该是二百八十千米， 那紧接着六点五小时也是一样的，先找到六点五小时在横轴上的位置。好，那应该在六和七的正中间笔直的做一条直线。好，然后呢，在水平的做一条直线。 好，那这样的话呢，我们就可以得到右眼五小时对应的路程应该在四百八十和五百六十的正中 间，对应的是多少呢？应该是五百二十千米。好，这样的话呢，两个结果我们就从图上直接找出来了。好，那第一道练习题我们就讲完了，紧接着我们再来看第二道练习题， 一样货车的载重呢是十二吨，现在呢，照这样的运送数量完成。下面这个表格好，依然很简单，运送一次就是十二吨，运送两次呢是两个十二吨，也就是二十四吨。 一送三次啊，三乘十二等于三十六吨。四次呢，四十八五次是六十六次是七十二吨。好，那紧接着第二问，还是考图像，现在呢，让我们直接把上面这些数据在图中画图表示出来。好， 依然是先秒点再连线。好，具体的过程老师就不再重复了。好，那我们就直接画出来，最后的结果应该是这个样子的。好，这个图同学们能看明白吗？ 好，那今天内容呢，到这就全部讲完了，简单总结一下，其实我们说啊，这个正比一的图像呢，和折线统计图有类似的地方，他的画法还有呢，他的一些读法用法都有类似的地方，但是他表示的意义可是截然不同的。 好，我们小学阶段呢，只是对正比例的图像呢，做一个简单的了解，初中呢，还会进一步的去学习。好，那今天的课程呢？到这就全部结束了，同学们，我们下一节课再见。

年龄在不断增长，身高呢，也在增长，也随着在增加，我们就说 身高随着年龄的变化而变化。是啊，这一组变量还是有关联的。 到果汁我们已经很熟悉了，这儿有没有变量呢？ 仔细观察表格中的数据，你有什么发现？先说给你的同桌听一听， 有什么发现？ 弄好了，好了，你来。 高度随着体积的变化而变化。嗯，这是女生的发现，是不是这样呢？我们一起来看，高度在不断变化，增加体积呢？ 眼泪多少？如果高度减少，体积也减少，高度和体积就是这样横向变化的。再仔细观察这儿的数据，你又有什么想说的？ 高度比心，你来， 没关系，高度增加了几倍，体积就增加了几 倍，也就是高度增加了几厘米，两厘米体积就随着增加立方厘米，是这样吗？是后面的快速来检验一下。 果然如此，表格除了可以这样看，还可以竖着看来瞧瞧呢，又有什么想说的？你来， 呃，它们的比值都是十五，都是十五，你能来算一算吗？ 呃，三十除以二等于十五，六十除以四等于十五， 九十除以六等于十五，一百二十除以八等于十五， 一百五十除以十等于十五。你说的真好，男生说比值都等于十五，占的十五表示什么意思呀？你来。 是啊，你们的这个发现很有价值，每组中体积与高度的比值都是十五。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现。首先，我们发现 体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样横向变化的。变化中，我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的 比值？是啊，体积与高度的比值，十五是不变的。今天这节课我们就一起来研究变量之间的数量关系。 现在把它们看成五个直条，照这样的规律变化，如果高度是一厘米，体积就是十五厘米，算的真快。高度零点五厘米， 零点五厘米，一点五厘米， 二十二点五立方厘米。像这样的直条还有吗？ 有，说得完吗？说不完。是啊，有很多说也说不完，看它们都长出来了，像什么呀？ 楼梯。哦，是的，一层一层楼梯，说的很形象，现在高度的间隔是零点五，就长这样，如果间隔变成零点一呢？会怎么样？ 你来。哎，那来看看，这儿的阶梯就越来越 有，其实你们的意思就是越来越窄了，对不对？那阶梯的个数就会越来越多，再小一点，零点零一， 阶梯就会自己说更窄，个数更多，再小点，零点零零一， 更窄更多。哦，是的，还要窄，还要多。想象一下，如果间隔无限细分下去会怎么样呢？有感觉了吗？ 你来。嗯，你的意思就是这儿的线 越来越平滑了，是吗？你们同意吗？同意，我们一起来想象，无限细分下去，这儿的阶梯就会越来越 窄哦，越来越窄，最后就会消失了点，就连成线了。我们一起来看稻果汁的整个动态过程， 可你们想的怎么样？妙，表扬，你们越来越会想象了。你看，体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样，同向变化的 变化中，我们还有一个很有价值的发现呢。什么是不变的？高与体积的比？是的，体积和高度的比值是不变的， 我们就说体积与高度是成正比量，正比的量，他们的关系就是成正比量关系。今天这节课就一起来认识正比， 回顾一下刚才的过程，我们是怎样研究正比关系的？首先，然后，最后你会说了吗？ 你来。首先我们先研究它们两个的比值，它们的比值是不变的，体积总是随着高度的变化而变化，之后得出了结论，体积与高度是成正比的量， 成正比关系，女生概括的很好，我们一起来看。首先我们要先找到一组 变量变量，然后通过算一算，发现它们的比值是变的，最后我们就能得到结论了，体积与高度是成正比的量，它们的关系就是成正比关系， 加油，我们也很熟悉了，这会不会成正比关系的量呢？ 一开始说的身高和年龄呢？你们能像这样也来研究一下吗？能吗？能，完成作业纸 写好的同学可以掌声和你们的学歌交流一下。 好，我们一起来看。这是一位同学的作业，他认为金额和油量是 身高和年龄呢，不成正比，你们也是这么想的吗？是的，来说说看。 你来对女生， 金额随着油量的变化而变化，因为他第一个金额是七十七点六，然后除以油量就等于他单价是七点七六，然后后面用一百五十五点二除以二十也等，也等于七点七六， 后面两百三十二点八除以三十等于七点七六，三百一十点四除以四十也等于七点七六，他们的 比值都是一样的，所以金额和油量成正比例关系。你说的真好，女生已经找到了判断的关键，要在变量中找到比值不变。第二呢，你会说了吗？你来， 身高随着年龄的变化而变化，五十比一等于五十 九十七比三约等于三十二点三，你发现比值不相等，所以它们就不成正比关系。是啊，看来不是所有的变量都成正比关系。 这是两辆汽车的行驶情况，哪一辆汽车行驶的路程和时间成正比关系呢？先看一看， 有答案了吗？大声说，哪一辆卡车？你车呢？为什么你车的路程和时间不成正比关系呢？你来， 因为以车它的比值不一样。呃，它，它时间和路程的比值不一样。快速看一看，是这样吗？是啊，刚才你们说打车的路程和时间成正比关系，也来说说看呢？ 你来，因为一百没关系？嗯， 是的，笔直找到了不变量，还要找到变量，会补充了吗？你来， 路程随着时间的变化而变化，时间越长路程越长。是的，刚才女生还说到他们的比值是相等，所以路程和时间就成正比关系。这样的时间还能继续变吗？ 可以，五小时五百千米，六小时六百千米七小时 七百。铅笔说的完吗？说不完。那想象一下表示路程和时间的图像会是怎么样的呢？用你们的手势比划一下。 哦，接收到信号了，是不是这样呢？ 可你们想的要越来越有感觉了。现在速度是一百就长这样，如果变化速度会长什么样呢？想不想来看？想好满足你们。 现在速度想变成多少？随便说，随便说。你说三百。好的，来看看 瞧。它就长这样。现在速度慢一点可以变成多少？你说三十五，好的来看， 你看它成这样了。现在我们再大胆一点，如果不是汽车速度开快一点，你住手，直接喊 啊，一千 out！ 在 看之前先想象一下会是怎么样的，用你们的手势比划一下，哇，是这样吗？看他来了 怎么样？果然和你们想的是的，只要速度一定，路程和时间就成肉体关系。 同学们，刚才我们一起研究了三个正比故事，看一看怎样的两个量会成正比关系呢？ 你来，高个男生笔直相同， 满足了吗？满足，还有没有要补充的？你来，随着第一个量的变化而变化。你的意思就是首先要找到一组 变量，是啊，满足了吗？满足，这这两个量就成正比关系。刚才你们都说要先找到两个变量 变化的量，我们以前学习过的可以用什么来表示？ x 字母，你看 y 总是随着 x 的 变化变化。现在这三个正比故事就需要用三个关系式来表达， 那你们能不能用一个关系式来表示所有的正比故事呢？此时又该如何表示呢？先想一想，完成作业纸， 一起来看两份不同的作业，你们更赞同谁的？ are 都是这么认为，说说看你们的理由，你来， 不是所有的正比关系得它的比值都是七点七六，而 n 可以 概括任何一个数哦。我在女生的发言中听到了一个词， 概括是的字母就具有概括性，所以一般我们数学上就用 k 来表示，因为它是不变量，所以会在后面加上六。 你们知道吗？这儿的 k 啊，其实是俄语中不变量这个单词的首字母。同学们，现在 y 总是随着 x 的 变化而变化，同时又满足 y 比 x 等于 k 六，我们就说 y 和 x 同正比关系。 现在这个式子就能表示所有的正比故事了。除了黑板上的这三个，你还能说出一些正比故事吗？我先来举个例子， 在购物的故事中，如果数量一定，总价和单价就成正比关系。如果单价一定呢？ 总价你们会说了吗？会，你的同桌听一听， 你想到了什么？嗯，很好，那你说说看，谁一定谁和谁？你想到了什么？那应该是谁一定 坐好了，来分享一下。 你来。 嗯，刚才我也分享了这个故事，还有其他的吗？你来，如果工作效率一定的话，工作总量比工作时间就等于工作效率， 那工作总量和工作时间就成正比关系。是的，原来工作的故事中也藏着正比关系呢，还有吗？你来，如果时间一定的话，路程和速度就成正比关系， 同意吗？同意，原来路程问题中也藏着正比关系呢。那像这样的故事还有吗？有， 同学们，原来我们用这些数量关系讲述的是数与数之间的故事，今天呢，我们可以用这个关系式讲述变量之间的正比故事。 现在你们越来越厉害了。带着这样的感觉，我们一起来判断下面每组中的两个量是否成正比关系。先看一看， 看好了吗？来，我们手势判断，第一个 接收到了，第二个，好呢？哎，都是一组变量，怎么一个不成一个成呢？说说看。 你来，你伸，对对，就是你直不同哦，既具体说一说， 吃掉的和还剩的比与它不成正比关系。第一组是一比九，二比八。是的， 吃掉的比上还剩的笔直不一定，所以他们就不成正比关系，你们已经掌握了判断的关键。第二个呢？ 你来。嗯，三根就是三比一，第二个是笔直是三比一，第二个也是三比一，对吗？嗯， 第二个也是三比一，第三个也是三比一，他们的比值都一样。是的，所以比。呃，他们成正比例关系。是的，我们都要在变量中找到比值 笔直不变的关系。这两道题都会判断了，这两道呢，完成作业纸 可以把你的理由写在空白处， 写好的同学可以相互交流一下。 差不多了，一起来看。这是一位同学的作业，他认为正方形的周长和边长是 面积会变长呢，你们也是这么想的吗？是啊，来说说看。你来， 八比二的比值是四，呃，十二比三的比值也是四，十六比四的比值还是四，它们的比值相同，所以就成正比关系。你抓住了判断的关键，真好。最后一个女生， 第二个我认为是不成正比关系的，因为第一个四比二的比值是二，九比三的比值是三，二十五比五的比值是五，他们的比值并不相等，所以这道题面积和边长不成正比关系。你的思路很清晰， 看来原来学习的正方形的周长和边长是成正比关系，这也是我们原来学习过的内容。先看一看， 现在带着正比的眼光再来看。你能找到成正比关系的量吗？第一个 找到了吗？好，男生对 时间和产品数量的。呃，产品数量和时间的比值是十八 五。十四比三等于十八，一百零八比六等于十八一百六，十二比九等于十八，二百一十六比十二等于十八，他们的比值相等，所以成正比关系。 你说的真好，牢牢抓住了比值是一定的，所以它们就成正比关系。原来说的，照这样计算，就是利用正比关系来解决问题的。这儿呢？找到了吗？ 你来。币的枚数比高度，十，十比一点九。呃，一点九比十等于零点一九。你想用硬币的高度，币的高度比硬币的枚数，嗯， 第二个是十九比一百等于零点一九。第三个是一千九比 等于零点一九。第四个是十九万比一百万等于零点一九。最后一个是一千九百万比一亿等于零点一九。 硬币的高度和硬币的枚数成正比。是的，他们的比值，每枚硬币的高度也是一定的，所以也成正比关系。原来以一枚一元硬币的高度，我们也可以利用正比关系来进行推理。 同学们，字母表示数的时候，我们就玩过这样一个游戏，这是一个神奇的信箱，仔细看， 输出的数和输入的数是不是成正比关系呢？ 子弹说说看，没关系好，你来试试， 笔直啊，所以它们就成。说得很好，现在输入的数还可以继续变吗？可以，如果输入一，输出 二点五，怎么算的？一起说吧。一乘二点五等于二点五，如果输入三，输出 七点五，哦，还是乘二点五？你看，每输入一个数，通过这个神奇的信箱，我们都可以对应输出一个数，但是它们之间的关系是 重力关系。那现在你能用一个式子来表示它们之间的关系吗？ 你来 y 比 x 乘等于二点五，可以，还有不同的形式吗？你来。对 x 分 之 y 等于二点五，就是 y 比 x 等于二点五。还可以。你来 x 乘二点五等于 y。 是 的， y 等于二点五 x。 哎，果汁问题中的数据能不能输入这个神奇的信箱？可以，想不想看？想看。它们来了。 找到这把钥匙了吗？找到了，你来。

同学们好，今天我们接着一起六年级下册的第四单元正比例关系来看这个题目。 妈妈散步走的时间和路程如下表所示，那么第一行是时间，每分钟一二三、四五等等，那路程是按米为单位，是五十、一百、一百、五十、二百。还有后面的 来观察一下他每一组一组是对应起来的。题目上问我们了表中有谁和谁这两组相关联的量， 既然是量，那肯定有时间和路程好，里面有时间和路程这两个相关联的量。再来看一下谁是随着谁的变化而变化的。 也就说妈妈走的时间越长，他走的路程就越多，所以路程是随着时间的变化而变化， 随着时间越多，路程也就越长。再来看，因为路程和时间的比值都是多少来路程和时间的比值。第一组 五十比一，它的比值是五十，一百比二，比值五十，一百，五十比三，比值五十，二百比四，也就是比值还是五十等等，所以它的比值都是多少？ 都是五十米每分，也就相当于是什么它的速度，路程除以时间就是速度对不对？所以速度是固定的，那么它们的比值总是怎么样？ 相等的数，比值总是相等的，所以这是相等。所以这个时候我们就可以说路程和时间这两个量是成正比例关系， 所以这个地方是正比例关系的好。什么是正比例关系？一个量随着另外一个量的变化而变化，如果他是减少，那么另外一个量也随着他的减少而减少。 那么我们再看里面的两个空，那五五分钟的时候，它对应的路程应该是多少？它的速度是五十，也就比值是五十，谁除以五等于五十，也就是二百五十。如果路程是三百的情况下，速度是五十，那么谁这个地方应该填几分钟？ 六分钟，然后我们就把空填出来了，所以这样的关系就称为正比例的关系，路程和时间。那么我们再来看字母表达式乘正比例关系的字母表达式应该写成什么呢？就是 y 比 x 等于 k， k 是 什么 比值？所以比值一定的时候，那么这两个量就成为正比例关系好了，正比例你学会了吗？

这个视频我来给你讲讲正比例函数 y 等于 k， x 的 图像和性质。先看 k 大 于零时，以它俩为例，对于 y 等于 x， 当 x 等于零时， y 等于一， 当 x 等于二时， y 等于二。同样的，当 x 等于负一时， y 等于负一，当 x 等于负二时， y 还是等于负二等等等等。然后上坐标系，依次把负二、负二、负一、负一、负一、零零。然后上坐标系，依次把负二、负二、负一、负一、负一零零 一一以及二二这些点都找出来。最后用一条光滑的线把它们都连起来，就得到 y 等于 x 的 图像了。嘿，他居然是一条直线！ 接着看 y 等于二， x 同样把 x 等于这些值时对应的 y 值都求好。然后上坐标系把负二负四、负一、负二零零一二二四这些点都描出来，同样再连起来又是一条直线。 现在擦亮你的眼睛，仔细看一看这两个图像，找找共同点。首先，图像都是一条直线，而且都过圆点。其次，他俩都是经过一三象限的从左下往右上上升，那外就随着 x 的 增大而增大。 共同点找完了，咱再找找不同点。这条直线可比这条要陡一点，那是因为 x 前面的系数二要比一大一些，那随着系数的增加，画出来的直线就越陡。可见，对于一般的 y 等于 k， x 这个 k 就 决定了图像的倾斜程度，他就有另一个名字叫斜率。 现在斜率 k 大 于零的咱都搞清楚了，如果 k 小 于零又会怎样呢？那咱把他俩都添个符号看看。 对于 y 等于负 x， 同样把 x 等于这些值时，对应的 y 值都求好。然后上坐标系，把负二二负一、一零零一、负一、二负二这些点都描出来，接着连线图像就画好了。 再看这个， y 等于负二， x 图像上的点有负二四负一、二零零一、负二、二负四， 把它们连线同样轻松搞定。图像画好了，又到找共同点的时候了。这俩图像还是一条过圆脸的直线，不过是经过二、四象限的，从左上扎到右下，那外就随着 x 的 增大而减小。 最后找找不同点，它可比它要陡一点。因为负二小于负一，所以此时是 k 负的越多，画出来的图就越陡。 现在正比例函数的图像和性质是不是都清楚了呢？我再给你总结一下， y 等于 k， x 的 图像是一条经过圆点的直线， k 大 于零时，直线会经过第一、三象限， y 随着 x 增大而增大，斜率， k 越大，直线就越陡。 反过来，当 k 小 于零时，直线会经过第二、四象限， y 随着 x 增大而减小，斜率 k 负的越多，直线就越陡。好了，内容就讲到这，速速刷题去吧！

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例关系图像 这节课的内容。一看题目我们就知道与图像有关。我们先来看一个表格，这个表格是数量和总价之间的关系，那这个关系可以用图像来表示出来吗？ 我们来看这个图，它的纵坐标标的是总价，横坐标标的是数量。我们画图的时候，要先把各个位置的点给找出来 来看，当数量是一的时候，总价是三点五，我们在横坐标上找到一的位置，在交叉的地方标上一个点， 以此类推，找到数量是二、三、四五、六、七、八的对应点在哪里。找到点之后，我们把这几个点连接， 这样就把图像给画出来了。接着我们来看几个问题，第一个问题，从图中你发现了什么呢？这上面所有的点都在同一条，对，上面所有的点都在同一条射线上。 再来看第二个问题，把数对十三十五和十二四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？ 我们先把这两个点给标出来，标完之后连接再延长，我们发现这两个点也在这一条射线上。 好了，正比例关系图像我们已经画出来了，就是这么简单，正比例关系图像就是一条从零零出发的无限延长的射线。 再来看第三题，不计算，根据图像判断，如果满九米彩带总价是多少？ 四十九元能买多少米彩带呢？从途中我们在横坐标找出数量是九米的时候，对应的价格是对三十一点五元，所以如果买九米彩带，总价是三十一点五元， 再从纵坐标找出四十九元，对应的数量是十四米，所以四十九元能买到十四米的彩带。再来看第四问， 小明买的彩带的米数是小丽的两倍，他花的钱是小丽的几倍呢？ 在这里我们要知道的是，彩带的单价是一定的，并且彩带的总价和数量成正比例关系，总价随着数量的增加而增加，当数量翻了两倍，总价也翻了两倍。 所以，若小明买的彩带的数量是小丽的两倍，那么他花的钱应该也是小丽的两倍。 好了，我们来观察一下这个正比例关系图像，你发现他特别像我们之前学过的什么呢？ 对，特别像我们之前学过的折线统计图。那正比例关系图像是折线统计图吗？正比例关系图像描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的， 即射线上的点有无数个，而折线统计图描述的是一些离散的数据， 所以正比例图像不是折线统计图。简单来说，正比例的图像不是一节一节的折线，而是一条直直的穿过零点的斜线，而折线统计图是一节一节的折线， 所以他们两个是不同的。好啦，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第三单元的第二课时，叫做正比例图像。 我们上节课呢，刚刚了解了什么是正比例，那这节课呢，我们再来说一说正比例的图像是什么样子的。好，我们通过下面这道例题来了解一下。 首先呢，说一个彩带的单价是每米四元，让我们根据彩带的单价完成下面这个表格好，这个表格很简单，我们来看一下，第一行呢是购买彩带的长度，分别是 零一二三四五六七米。好，接下来呢，让我们填一下应付的钱数是多少，那其实啊，就是让我们求总价了，对吗？好，那这一栏呢，老师快速的填一下，第一个呢，零米相当于没有买好，那我就没有 花钱，应该是零元好，后面呢，依次分别乘以单价，也就是每米四元好，我们就能得到。一米的时候呢，对应的是四元， 两米呢，八元好，三米十二，然后四米十六，五米二十六米二十四，然后七米是二十八元。 好，这页数字我们填完了，接下来呢，来看一下下面这个问题，购买彩带的长度和应付的前数是否成正比例。 结合我们上一节课讲的例题啊，其实这个就很好判断了，我们说呀，本身应付的钱数比上购买的长度呢，就等于这个单价，而单价呢是固定不变的，也就相当于是我们说的商一定，所以呢，二者之间是成正比例关系的。好，接下来呢，我们 来看第二位，那第二位上面呢，首先有一个图，哎，这个图猛一看，有点像。什么呀？是不是有点像我们之前学过的折线统计图呀，对吗？好，那接下来呢，我们看第二问，这个问题， 图中的红点表示什么？是怎样画出来的？好，我们可以看到整个呢，这是一条直线，上面呢标了若干个红点。哎， 老师刚才说了，这个看起来有点像折线统计图。好，那我们就依照折线统计图的方式来分析一下。好，我们来看一下，这个点表示的是什么呢？首先啊，我们可以看到整个图像呢，横轴表示的是购买的长度， 纵轴表示的是应付的钱数。那么第一个点呢，所在的位置是零。好，那么他所表示的含义就是，当我购买了零米彩带的时候，应付的钱数是零元，对吧？这样看， 是不是和折现统计图的表示方法是一模一样的。好，那接下来第二个点，那就是一样的道理了，对应的呢，就是购买一米彩带的时候，应付的钱数应该是四元。好，那这个点是怎么画出来的呢？也就相当于是经过一米和四元这两个点怎么样？分别 竖直水平做了两条直线，这两条直线的交汇点就是我们要找的这个红点了。好，那后面几个点以此类推，都是表示一样的含义，做法也是一样的，对吧？再举个例子，比如说接下来这个红点，他表示的含义呢？就是当我购买 杨幂采贷的时候，应付的钱数应该是八元。好，那么三米应付十二元。哎，你会发现啊，刚才这些信息，从图上我们现在也能直观的看出来。好，那 接下来呢？第三问，表示正比例关系的图像有什么特点？好，我们前面已经说了，这两组数据之间是呈正比例的，然后呢，我们把它秒点连线画成图像之后，哎，这个图像呢，是一条直线，对吗？哎，这首先是第一个特点，那接下来呢，还有一个特点 是我们刚刚一开始说的，他是经过零这个点的。哎，零这个点啊，在这里面我们有一个新的名字，叫什么呢？这个点在这个图像里面，我们把它叫做圆点。 好，所以总结一下两个特点，第一个经过圆点，第二个是一条笔直笔直的直线。好，那接下来呢，还要第四位，现在啊，让我们不计算，只看图，估计一下当我们购买一点五米彩带的时候要花多少钱，还有购， 购买五点五米彩带的时候又要花多少钱？好，首先这道题啊，如果带入前面的数据，直接算一下，其实挺简单的，对吗？他现在偏偏不让我们算，让我们直接看图看 出答案。好，那这个怎么来看呢？哎，也是一样的，首先呢，我们先来看一下啊，购买一点五米彩带，我们先找一下。好，那这个一点五米在哪呢？在一和二的正中间。 那接下来呢，我们就看一下和这个一点五米对应的这条直线上的点在哪里？好，那和刚才低温一样，我们做一条笔直笔直的直线。好，经过这个一点五米就可以了。好，那这， 这样的话呢，我们就会发现，哎，和这条直线的话呢，相交于这个点。好，把它描一下。好呢，对应的 横轴上的点是一点五米，那纵轴上的点是多少呢？哎，我们再做一条水平的直线，所以呢，他和这条纵轴相较于这个点， 那这个点的话呢，正好是在四和八的正中间，所以呢，我们能看出来啊，这个位置对应的应该是六元。好，所以这个我们就估计出来了六元。 好的，同样的道理，五点五米是不是也是一样的？我们先找一下横轴上五点五米在哪里呢？五和六的正中间，然后也是 一样，做一条竖直的直线，好，和这条正比一的图像相较于这个点。接下来呢，经过这个点啊，我们再做一条水平的直线， 好，相较于这个位置，那这个位置呢，在纵轴上代表的应该是二十二元，因为他正好在二十和二十四的正中间，对吧？好，这样的话呢，这两个问题我们就解决了，都是直接通过图像观察得到的。 好，那么正比例的图像呢？我们就先简单介绍到这里，接下来呢，我们来看一看后面的课后练习题。 第一题，一辆汽车平均每小时行驶八十千米，照上面的速度，让我们计算一下下面这个表格里面的数据。好，那我们可以看到，第一行呢，表示的是时间。好， 第二行表示的是路程，那又考察我们路程问题的基本公式了。好，那我们快速的算一下，我们说路程等于速度乘以时间，所以呢，一个小时的时候，那就 是一乘八十还是八十两个小时呢？二乘八十等于一百六十三个小时呢，二百四十四个小时，三百二十五个小时是四百六个小时是四百八十，最后七个小时是五百六十千米。 好，这行数据啊，我们很快就能填出来。紧接着我们再来看第二问。好，第二问又要考察我们刚刚学过的这个正比例的图像了，现在让我们把表中的这些数据在下面的方格纸上画图表示出来。 好，怎么画？我们前面说了，先描点，再沿线类似于折线统计图的画法。好，那么首先呢，先描点，那现在明明这个点我们就不多说了，对吧？就是我们前面一直说的圆点。好，那么后面这些点怎么描呢？还是一样的，比如说 一小时对应的八十千米，那就是横轴是一，纵轴是八十，他们相交会的点应该在这个位置 后面都是以此类推，所以呢，老师就直接帮大家把这些点描出来了。那最后呢，只需要连出一条笔直的直线就可以了。好，那这个图到这我们就画完了，是不是很简单呀？好，那紧接着呢，我们再来看一下第三位， 现在让我们看图，估计一下，这样汽车三点五小时能行驶多少千米，六点五小时又能够行驶多少千米？ 好，和刚才例题一样呀，我们再涂上简单的画一画。好，三点五小时，首先你先找到在横轴上呢，三点五小时，在这个位置。好，接下来呢，哎，过这个点，竖直的做一条直线 好，和这个正比翼的图像呢，相较于这个位置。那紧接着呢，在水平的做一条直线，好，这样我们就能看出来了，大概是在这个地方。好，那这个地方呢，正好是在二百四十千米和三百二十千米的正中间。 好，那对应的路程是多少呢？我们快速的算一下，应该是二百八十千米，那紧接着 六点五小时也是一样的，先找到六点五小时在横轴上的位置。好，那应该在六和七的正中间，笔直的做一条直线。好，然后呢， 水平的做一条直线。好，那这样的话呢，我们就可以得到，六点五小时对应的路程应该在四百八十和五百六十的正中 间，对应的是多少呢？应该是五百二十千米。好，这样的话呢，两个结果我们就从图上直接找出来了。好，那第一道练习题我们就讲完了，紧接着我们再来看第二道练习题， 一辆货车的载重呢，是十二吨，现在呢，照这样的运送数量完成。下面这个表格好，依然很简单，运送一次就是十二吨，运送两次呢是两个十二吨，也就是二十四吨， 一共三次啊，三乘十二等于三十六吨。四次呢，四十八五次是六十六次是七十二吨。好，那紧接着第二问，还是考图像，现在呢，让我们直接把上面这些数据在图中画图表示出来。好， 依然是先描点，再连线好，具体的过程老师就不再重复了。好，那我们就直接画出来，最后 结果应该是这个样子的。好，这个图同学们能看明白吗？好，那今天内容呢，到这就全部讲完了，简单总结一下，其实我们说啊，这个正比一的图像呢，和折线统计图有类似的地方， 画法还有呢，他的一些读法用法都有类似的地方，但是他表示的意义可是截然不同的。好，我们小学阶段呢，只是对正比例的图像呢，做一个简单的了解，初中呢，还会进一步的去学习。好，那今天的课程呢？到这就全部结束了，同学们，我们下一节课再见。

这个视频我们来看一下怎样去读懂正比例关系的图像，这个图描述了一个游泳池进水管打开之后的进水情况，横轴表示的是时间，纵轴表示的是进水量。 从这个图我们可以发现，他进水啊，一共进了是五分钟的时间，他的进水量是一直增长的，那到这一个点，他的进水量达到了最大，达到了五十平方米。进水量和时间他们的关系正好是一条射线，所以他们是一个正比例的关系。 问每分钟的进水量，我们只需要用总的进水量除以他所用的时间，我们可以用五十去除以五等于十， 照这样的速度，也就是每分钟进水量是十立方米。如果给这个游泳池注水二十分钟，那么能注水多少立方米？通过这个图我们知道进水量和时间他们两个的比值是十， 所以现在时间是二十分钟，那注水量呢？就等于二十乘十，等于两百平方米。那如果要给这个游泳池注水七百五十平方米呢？每分钟进水量是十分米，那注七百五十平方米，需要的时间就是七百五十除以十，需要七十五分钟， 那这里问的是需要多少个小时，所以我们把七十五分钟再化成小时，七十五除以六十等于四分之五小时。

上个视频我们已经学习了正比例关系的定义，以及判定两种量是否成正比例关系的方法。那接下来我们再来看正比例关系图像的特点。还是以这道题为例，这个表中表示的是总价和数量的关系。表中每个数量和它对应的总价，我们可以表示成一个数对， 那这些竖对分别就是一、三点五、二七、三十点五，依次往后内推，我们可以把这个表给它画成更加直观的图，横轴表示数量，纵轴呢，表示总价， 数量是一的时候，总价是三点五，数量是二的时候，总价是七。我们在这个图中画出每一个数对它所代表的点，然后我们把这些点给他连起来，这样就得到了一个正比例关系的图像。第一，从图像中发现了什么？ 我们连接起来之后，我们就可以发现正比例关系的图像，它是从零零点出发的，无限延伸的这样一个射线， 也就是你的数量增加，你的总价就会一直增加。在这样一条射线上，除了零零点，所有的点对应的总价和数量，这两个数值他们的比值都是相等的。 第二，把竖对十、三十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面图像连起来再延长，你还能发现什么？我们来找一下十和三十五，那这里是十，那他又应该在这条线上， 那这里是三十五，他应该在这条线上，交叉点就是这个点，十二和四十二，这个点我们也给他标出来，然后呢我们再给他延长，我们发现这两个点和这个原图像在同一条射线上， 通过这个图我们就可以看到，总价是随着数量的变化而变化的，但是无论怎么样变化，那总价和单价对应的数对啊，他都在这一条设线上。 第三，不计算，根据图像来判断，如果买九米的彩带总价是多少。买九米的彩带也就是数量是九，那么他应该在这条线上，我们把这个线给他往上延长九，这个数量和他对应的总价，这个数对一定是在这个线上的， 所以啊，这个点应该是在这里。这个点啊所对应的总价那就应该在这条线对应的这个点上，因为每一个纵向的格表示的都是三点五，这里是二十八，所以呢，这个点啊，表示的总价就应该是二十八加三点五， 所以买九米的彩带对应的总价就是三十一点五元。四十九元能买多少米的彩带？四十九是对应的总价。 我们沿着这个横线的隔线啊，去找他和这一条线的交叉点，交叉点在这里，那这个点对应的总价是四十九，我们再给他往下来看一下他对应的这个数量，那这里的数量正好是十四，所以总价是四十九元的时候，能够买的是十四米。 小明买的彩带的米数是小粒的两倍，也就是数量是小粒的两倍，那他花的钱是小粒的几倍。我们已经明确了总价和数量之间的关系，总价比上，数量等于单价是一个固定的值， 所以小明的总价除以他买的数量等于单价。小丽的总价除以小丽买的数量都等于单价都等于固定的值。所以当小明买的数量是小丽的数量的两倍的时候，那么小明的总价也应该是小丽总价的两倍。

这个视频我们来看怎么样去画出正比例关系的图像。一辆汽车以每小时七十千米的速度在公路上行驶，也就是它的速度是一个定值，它行驶的路程和行驶的时间如下表， 通过这个表我们也可以发现，它的路程和时间的比值都是七十，其实比值啊就是速度，所以当时间是四小时的时候，路程就是四乘七十等于两百八十千米。 当路程是三百五十千米的时候，时间就等于路程除以速度，三百五十除以七十，所以时间是五小时。 根据上表的数据，在下图中描点并连线，横坐标表示时间，纵坐标表示路程，我们挨个把这个点给它描出来。 时间是一的时候，也就是时间在这里的时候，路程是七十，那路程在这里，他们两个交于这一点，时间是二的时候，路程是一百四，他们两个交于这一点，我们再接着画出时间是三、四、五，他所对应的这个路程， 然后我们把这些点去给他连起来。这辆汽车行驶的路程和时间成什么比例关系？因为他们两个的比值是一定的，所以他们是成正比例关系。 这辆汽车行驶七百千米需要多少小时？路程是七百的时候，想要求时间，因为他们的比值是七十，所以呢，我们用路程除以七十就是他所用的时间，七百除以七十等于十个小时。

今天我们接着学习六项第四单元正比例。首先我们来看要判定它是否是正比例关系，看就要看它是否符合这两个条件。第一，两量相关联，一个量变化，另外一个量也随着变化。 第二呢，笔直要一定他们的伤笔直始终保持不变。好，那么接下来我们带着这两个条件来看一下这道题。第一， 一台联敏机联敏的情况如下表，这是时间，这是呢？数量。好，他问的是什么？写出几组对应的联敏数量和工作时间的比，在比效比值的大小。首先我们看 他说是联敏数量和工作时间比，对不对？那就是零点六比一，然后呢 一点二比二，还有呢一点八比三，二点四比四， 然后呢是三比五，好，那要判定它这个大小，是求它的比值对不对？好，第一个比值是前项除以后项零点六，这个呢也是零点六，这里呢也是零点六， 都是零点六，那么它们的比值是相等的，对不对？哦？相等 好，这个比值表示什么？表示什么？是表示它每小时能撵多少吨对不对？ 多少吨呢？零点六吨，好。第三题，我们看联敏机的工作时间和联敏数量成正比例关系吗？是否成正比例关系？我们来看，第一， 它的商看也就是比值是不是始终不变啊？都是零点六，对不对？好，这是第一个条件。第二，我们看 它两个量相关联对不对？时间和数量一个时间变化一二三四，那另外一个量的数量呢？也随着在变化，零点六，一点二，一点八，一点四，好，它是不是符合这两个条件啊？ 符合对不对？那么它是正比例关系好，今天的正比例大家都学会了吗？

拍摄的是汤老师的上班日常，请同学们用数学的眼光去找一找视频中的小亮点， 上班呢？打卡成功！ 先来说一说视频中有哪些量在不断的发生变化。好，你来说。 老师上班的路程一直在变化，总共是走了一千五百米， 你观察的很仔细，还有吗？好，你来说。老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化， 很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。康老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意好不好？像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量，那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试，比如说汤老师上班的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。 说的真好，请坐，还有吗？好，你再来说一说汤老师喝的那杯牛奶，汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少， 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一组 相关相关联的量。像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间变的相关联的量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好，那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？不是，为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试， 等于速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五把他们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样，路程对路程之间的一致， 那么它们之间的比值就表示速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于相当于五百， 都等于三分之五百。在生活中我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 汤老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格。谁来说一说表中有哪两种变量？ 好，你来说。我发现表中的变量是，呃，彩带的，米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确的找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，谁来试一试？ 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？好，下面请同学们开始， 哈哈 哈哈， i let's go！ 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放到上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们组的发现好吗？ 哦，就是，首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃， 然后这然后这里就是用总价除以数量就会等于单价，然后单价就会等于，然后单价就是三天，我们是一定的。 然后呢，我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价除以三加五，呃，比值也还是一定的。 这是第二个同学，这里他也是用，他也是用了它的那个总价除以它的数量 呃，这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价的，也还是它的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价，一直也还是一定的 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价，然后再反过来，也就是总价除以单价等于数啊，等于它的那个， 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价，已知还是一定的。 掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习，单上面还进行了验算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？嗯，好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你爸爸听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。 好，讨论完的小组坐姿告诉老师谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度，一个是他们的比值是一定的，就是三分之五百。 第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五，同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？好，你来说，我还发现他们都是相关联的量，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一组量，在数学中我们就把这样的关系称为正比例关系。 所以在这里我们就说路程和时间是成 正比例关系，路程和时间是一组乘正比例的量，同样的，下面我们可以怎么说？ 价和数量是乘正比例的量，他们俩是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起起读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想你是怎么理解它的？ no， no， no， no， 谁来说一说？跟大家分享一下你圈了哪些词？你是怎么理解的？好，你来说。 圈的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数，有什么样的关系呢？ 好，谁来帮他补充一下什么样的关系，他们就是正比例关系呢？好，你来。是是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种一定会变化，那也就是说这两个量他们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你贴的关键词？ 好，你来说一声，我签了两个字，一个是呈正比例的量，还有一个是正比例的因子， 他这里两种量叫做成正比的量，所以这里只是一个量，他们的关系叫做正比关系，所以一个是量，一个是关系。很好，他还找到了他们之间的区别。还有呢， 好，你再来分享一下。我选出来的是两棵树的比值，一定，如果这两棵树的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样，他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同学们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关人的量， 其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢，他们俩的关系一定要是秉持，一定要是一定的 很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是相关系，其次他们还得满足理直理意。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件。下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断， 啊啊 啊啊， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题，谁来说一说你的判断。 好，你来说， 为什么呢？因为正方形的边长增加，它的周长也会跟着增加，也就是说它们俩，嗯，有关联，对，是一直相关联的。然后呢？ 没有了，是吗？那他们两相关联就一定成正比例吗？好，你在摇头，你来说，并且呢，还需要，呃，比值，一定，他这个人的比值是四， 很好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？ 边长乘四，那么周长比边长就等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说，我认为第二题也是对的，为什么呢？因为他这里说正方形的面积和边长是正比例关系，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长，所以边长就等于面积， 所以当呃，边长增加的时候，他的面积也是会增加的，同意吗？同意，首先他非常值得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有一个默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好，还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想的，先设了一个数字啊，面积等于边长的平方，呃，也就是边长乘边长。呃，首先我设边长为一，那么它的 呃面积设为一，就是一乘一，呃，然而，如果它的边长是二，呃，那么面积是二乘二就等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说？好，你再来说一说。 就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃，面积和边长和面积等于边长和边长都有，边长是在变化，所以它们的比值是不一定的。 很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长？也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，他在变化，他不一定，所以他不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以他们成正比例吗？不符合。好，第三题谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案。 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的，所以 要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们，他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的笔直， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 s， y 除以 s， 也可以是 y 等于 x 等于 k。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手， 都很不错。好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定满。满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以把人数和比较满意的他是他，也就是固定的，哪怕是人数不是一定他再加一点，那么的话，嗯，也有可能几家是满意的，或者是比较满意的。不可能两个都是加， 加也会加也不会是。呃，同时加一样的，谁能说的再清楚一点？好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意 和比较满意的人是不会变的。哦，我们刚刚做的调查就是，人数是固定的，对吗？对， 还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用数对来表示位置，如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题，我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的点都找对了吗？对，完成的非常漂亮，而且还标出了数对掌声送给他。 好，我们再来看看这一位同学 他的作品，他把这八个点怎么样连起来了，也就是说他猜想正比例的图像会是一条这样的直线，直线，斜线对吧？好，我们再看看这一位同学的 怎么样？这两幅有什么不一样的地方？ 他连到了零零这个点对吗？好，但是这两位同学他们都会认为正比例的图像是这样的斜线是不是？那我们先来验证一下，看看他们的猜想对不对？ 书上面呢，是给了我们八组数据，数据还不够多，所以我们画出来的都是点，对吗？那么我们让数据再多一些，看看会是怎么样的呢？ 发现了什么？现在已经变成斜线了吗？还没有吧，但是点怎么样？ 越来越多，并且还越来越密。哎，我喜欢这位同学的回答，但是他图像还是点，那么我们让数据再多一点点，看看 怎么样啊？哎，点越来越多，然后这些点就聚成了一条线，线就聚成了一条这样的斜线，就证明刚刚那两位同学的猜想是正确的。好，那他们两个 疑问就停留在了这个零零这一点到底连还是不连呢？那么我们就请同学来说一说。

啊啊 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们怎么发现好吗？ 哦就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃 然后这然后这里就是用总价除以数量就会等于单价然后单价就会等于然后单价就是三天，我们是一定的 然后呢我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价就是值三点五呃比值也还是一定的。 这是第二个同学这里他也是用他的那个总价除以他的数量 呃这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价的也还是它的单价 这个同学他还是一样的他也是用那个总价乘以数量等于单价一直也还是一定的。 哦这是最后一张哦这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价然后再反过来也就是总价除以单价等于数啊等于它的那个， 呃，除除以数量等于他们的单价他们的单价也是一定的第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价总价除以数量也等于单价一直还是一定的。 掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习单上面还进行了验算，把数量和单价相乘看是不是等于总价对不对？嗯好，我们梳理一下刚刚这一位小组他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定，一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你刚刚听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价，同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。 好，讨论完的小组坐姿告诉老师，谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度也是，他们的比值是一定的，就是三分之五百。 第二组的数据，他们的单价就是他们的比值是一定的，也就是三点五，同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？好，你来说，我还发现他们都是相关联的量。说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一种量。在数学中，我们就把这样的关系称为正比例关系， 四六七八三二三四五六七八四二。 所以在这里我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是一组成正比例的量。同样的，下面我们可以怎么说？ 相等的数量是成正比例的量，他们两是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起去读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想，你是怎么理解它的？ 谁来说一说，跟大家分享一下。你猜到哪些词你是怎么理解的？好，你来说。 生的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数，有什么样的关系呢？嗯， 好，谁来帮他补充一下。什么样的关系？他们就是正比例关系呢？好，你来。是，是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种一定会变化，那也就是说这两个量它们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你圈的关键词？ 好，你来说一说。我圈了两个词，一个是正比例关系， 他这里两种量叫做成正比的量，所以这里只是一个量，他们关系叫做正比关系，所以一个是量，一个是关系。很好，他还找到了他们之间的区别。还有呢， 好，你再来分享一下。我选出来的是两个数的比值，一定，如果这两个数的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样，他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同学们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关人的量， 其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢，他们俩的关系一定要是秉持，一定要是一定的 很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是相关系，其次他们还得满足理直理意。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件。下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断， 啊啊啊啊。

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