张宇30讲第二讲第三节在说什么

章鱼基础三日讲到底有哪些可以不用看？前八讲的内容我已经整完了，大家可以截图保存一下，这个视频也是花费了我大量的精力，希望大家可以点点赞，点点关注，感谢各位！ 首先是第一讲的三十页，那么这一部分的话呢，大家可以不用花时间去看，因为基本是不会考的，就是这个超时速，超时速包括到一直到这里，到这个后面的屈和速度，这里其实都是可以不用看的，如果你理解不了的话，不用看啊，当然你后面如果学的还不错，你可以把这个屈和速度再拿回来看一下 这个。至于这个超时数的话，可以完全不用看后是第四十一页，这个无穷小的定义啊，这一部分完全感觉就是章鱼老师给自己写美了，他写的东西都不知道是啥。然后后面这个超时数也可以不用看啊，但是无穷小紧接着就要看了，第五十一页从 这里开始啊，这里也是，你只要只需要把上面这个公式记住，行了，下面这东西你不用看啊，还有这什么考研数学最高境界，跟你毛关系没有，但是到这里就认真看了，因为这里有一部分公式啊，这前面这些东西是可以不用看。好，然后咱们看一下第一讲最后一部分，也就是六十四页，这一部分六十四页 你只要记住这个就可以了，后面这个东西不用看，跟你半毛钱关系不用不用看，不用看。第二讲的这个海列地理可以不用看啊，海列地理不用看，虽然说这个很重要，但是你前期理解不了的话，可以不用看， 同样的竖列极限也比较难嘛，所以第二讲的第八个点，关于区域 a 的 速度问题，也可以不用看啊，这部分的一些例题呢，你都可以不用做， 如果你没有学懂的话，这部分可以不用看。关于第三讲，首先你只需要记得这个就可以了，然后这个例子，然后后面这个第六部分可以不用看啊，因为这一部分太抽象了，可以不用看。 然后是第一百零七页这个专题，这个专题的话你可以去 b 站找，直接就找 f x 与 f x 绝对值，你直接去 b 站搜就可以了，因为这一部分他在二五年是考过选择题的，而且比较难，所以有很多 up 主讲的，可以去 b 站找一下。然后就是咱们的第六讲， 第六讲的微分等式，以微分不等式这一部分可以不用学，如果你的目标在一百二以下的话，可以不用看，如果你的目标在一百三以下，那微分等式要看一下，微分不等式可以不用看啊。 然后是第两百页关于这个结论的解释，你只需要知道这个结论就可以了，一个函数求完导出他的导数可能有震荡，震荡点，哎，至于他怎么去解释的，你无需了解，你只需要知道这个例子就可以了，因为他会举一个例子，那这个例子看一下就行了，不需要去把这个东西看的很深，如果你目标没那么高的话， 那么这个就是张宇前八讲一些没有必要听的地方，那么至于其他没有提及的地方都比较重要，那么本期视频就到这里，下一周我会花时间把后面期讲看一看，然后再给大家出个视频，跟上亚瑟的节奏。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

二期考研同学们，你们好，上期视频咱们讲到了二四章鱼强化的问题，这期视频咱们讲，一讲章鱼基础，三讲结束后的保姆规划细致说明，一个视频就给你讲的透透的啊，我给你们的任何老师的规划都是在我脑海中完美走过一遍的， 直接就是你开始学到考研前的前一天的完整体系，你们不需要操任何其他的心，你只需要按照我的规划努力即可，不必受其他任何的影响，做我的沙兵，拿下二期考研的 fmvp。 我在去年就说市面上的讲题老师 up 已经这么丰富了，为什么这个数学的平均分还是这么稀烂？明明你们享受的已经是全国数一数二的教育资源了，已经和高中完全不一样了，不存在什么山区的教育资源啊，就属于北京差了。那就是啊，你们即使享有最好的教育资源， 你们依旧不会用，依旧乱用，给你们一本分绝，你们根本就没法领悟，甚至走火入魔。那我的出现就是能让你们最大程度的利用这些讲题的教育资源。碰巧的是，今年的数学平均分和总分确实太吓人了， 你们也在网上刷到了大量跟着我考四百加的毫不吹嘘，二六的粉丝在我这低于四百一都排不上号。不过由于试题难度也相对简单，我依旧需要二七年再次拿到一个 mvp 啊，证明一下自己。 过完基础三章讲后的路线如下所示，一、高速二、刷基础，三章讲搭配一千 a 的 这个错题，每天十道错题，这十道错题的选择一定是你。二、刷这一讲之外的题， 比如你要是刷到第五奖了，那你的十道错题的任务应该选择第五奖之外的啊。如果做完上述的任务，你仍然感觉顺利且精力充沛，那你优先选择的应该是同时开限行代数，而不是什么八八零的基础。那高速现代时间占比五五开现代期间最重要的是高速。我不希望有任何一个人给我说， 哎呀，秘密哥，我学完现代了，但是我的高速全忘了，如果你在我这出现了这种情况，我直接给你拉黑了啊。现代基础强化连在一起学， 不是学完一张现代基础就学一张现代强化。不是这样，而是学完全部的现代基础后再开现代强化啊。如果做完上述的任务， 你依旧感觉精力充沛，那你可以考虑加一本八八零的基础的高速部分二，很可惜，你并没有早点发现咪咪哥你是中途才关注我，发现没有实力去二三三四讲， 那你就去搭配二四的强化课，看完一讲就去做二四的强化讲义，二十二对应的基础讲义的全部啊。此讲的一千 a 的 错题，如果你没有做一千 a， 那 就是加上一千 a， 每天死到错题的思路依旧和第一个学习路线一致。注意，绝对不能开现代，绝对不能开现代！搞完二十三的讲，再去开现代 三，你跟着秘密哥做的不错，能不看课二十二的动，但某些章节依旧无奈，比如反常积分等等。像这种情况，二四的章鱼强化已经不再是最优解了，而是民间的老 up 们， 他们会让你得到更爽的补习训练。直接去隔壁最好的大学搜索即可看播放量高的评论区，好评如潮的啊！时到做题的思路依旧，参考路线一， 现在可以同时开，也是参考路线一。当然，如果你们在二刷三刷讲的过程中发现能做秘密 a 四大法任务，记得一定要做，如果不能做，那就等三刷三刷讲时候再做啊！切记， a 四的任务一定是默写，如果你不是默写，一点用处都没有。 如果你不符合我讲的三个路线中的任何一个，那你的情况是比较特殊的。我希望你能在直播间上麦和我交流一下，我有必要跟你们说一下我现在的直播间的每日福利。一、 按点赞数送欧吉里的会员以及言知世会员。二、送作为模板一套。三送两个楞子哥的信号全键打印。这里真的要特别感谢楞子哥，这个东西如果在他那里拿下得花二十八呢，他竟然让我直播间一次就送两个名额， 实属破费了。感谢楞子哥！四，一个月至少有半个月都送五十米圆梦你的 kfc 之梦啊！ kfc 维尼五十 everyday 五、 打字哥一本六百题和两本现代讲义六、遇老的三本现代讲义七、一个星期一本伽马哥的信号提提册啊！补贴这一块，助学金这一块啊！还是那句话，我要带领关注我同学们，干碎那些不关注我的同学们！

属于一百四十三，章宇三十讲从头跟到尾，但我敢说，八零百分号的人都在用错误的方式学这本书。今天这篇就把我的听课节奏、刷题方法、复盘策略和时间安排一次性全讲透，不灌鸡汤，只说实操跟三十讲，如果你只是听课加做课后题，这种传统模式大概率会在强化阶段遇到瓶颈，因为基础盘不够稳。 决定你上不上一百三十的，是那一百二十分的基础盘，因为基础扎实，计算快又准确，考试可以多出很多时间想那几道难题，幺五零分里面真正的难题也就二三十分。所以先搞清楚一件事，你真的学会了吗？这是我踩过最大的坑，也是无数学姐反复提醒，但大家还是会踩的坑。章鱼老师的风格就是内容密度极大， 三十讲包含了基础强化的大部分知识点。这直接导致两个问题，第一是知识点之间的连接不够紧密，前几讲还能跟上，到了积分部分就开始觉得散，有些同学形容每一讲都像在学新课。第二是很多同学会产生虚假的掌握感，上课时觉得全懂了和上书一做题就露馅，这种我以为我会了的错觉才是最耽误时间的。 去年我就深陷这种虚假的掌握感，直到为了稳住基础盘，我偶然发现了一个能精准测出薄弱点的 ai 教练。后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。我去年就这样， 九月之前一直以为自己基础还行，直到以为自己理解了，但用智能型 ai 教练一测，才发现存在大量薄弱点，那种感觉就像你以为期末考试准备充分了，结果一翻卷子全是盲区。后来我就把智能型当成了每一讲的照妖镜，每学完三十，讲的一张，马上去智能型刷对应的专题。 他的逻辑和传统习题策完全不同。考研数学其实没那么难，主要就是量大，知识点多，但考研题型反而更固定，关键是要把知识点划分的够细。智能型就是把大纲拆成了几百个小考点，从不同维度反复考，你哪个角度不行，他就追着你练。传统习题策的问题我深有体会，这些习题策能帮你从一百到一百三十，但无法帮你从零分到一百分。 这就好比爬楼梯，习题测的起点在十楼，但你现在可能还在三楼。如果你基础还没到一百分的水平，就去啃八八零一千。你会体验到那种做一题看一题答案，看答案就懂，但下一题又没思路，这样反复循环，非常沮丧。不是题太难，而是你中间跳过了太多台阶。而智能型不一样，它从最基础的考点开始练，一步一步往上走。 假如考研数学一共就六百个考点，弄懂了就没有新的了，是不是突然感觉没那么可怕了？智能型做的就是帮你一个考点一个考点去突破。有个一百四十五分的学姐跟我说过一句话，印象特别深，相信算法，你让他挖，你的概念哪里理解不清楚，都让智能型挖出来。 他说他大部分时间都在刷智能型，反而课听得不多。所以我的第一条建议是，不管你跟谁的课，都要有一个工具来检测真实水平，尽快结束纯听课阶段，把题练会最重要。听课是输入，做题才是输出的效率拉满， 用同样的时间得到几倍的效果。因为别人在遗忘的时候，你在收获复利。这不是夸张，智能型的综合测试会定期把你学过的内容混在一起考你，帮你把遗忘曲线压下去。 到了后期，你会感受到，当别人在拼命回忆学过的公式时，你早就内化成本能反应了。说完，检测工具来说具体怎么听。三十讲张宇的课信息量大，不是那种舒服的听故事型课程，需要你主动参与。一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会，这是正常的，不要觉得自己笨。 从第四讲开始，我每次听课前，会先自己翻一遍对应章节，把不会的地方做一下标记，这个工作是十分有意义的。你带着问题去听课，注意力会自然集中在不懂的地方，不至于全程走神。如果你基础忘得比较多，看都看不明白，也别硬撑，预习的效果就不大。这样的话，就可以从零基础通关讲义开始学起，等落了门再回来预习也不迟。 很多人喜欢听一遍就过，觉得听懂了就往下赶进度。但第一遍如果没听明白，相当于做一个预习，再去听个两到三遍，把这个内容彻底搞懂，大家不用焦虑，一遍听不明白很正常。数学课本身门槛很高，重复是最正常不过的事情。不过我后来发现一个更高效的办法，第一遍听完，不急着从头重听，而是先去做题。 做题会暴露你没听明白的具体知识点，到底卡在哪个定律，哪个变换上暴露的一清二楚。然后带着这些真问题回去重听对应片段，效率远高于无脑，从头来一遍。 智能型在这个环节很好用，它推给你的题就是你最薄弱的点，做完几道之后，你就清楚每块需要回去重听了，不用自己瞎猜，尤其是积分这种重计算、零碎知识点多的内容。智能型刷几道基础题，很快就能记住公式，理清体系。听完课，大家紧跟着要去做课后习题，三十讲，每一讲后面都有配套题目，习题可以很好的来 巩固和加强我们对于所学知识的掌握。这一步别偷懒跳过，但课后题难度有限，只做课后题容易高估自己的水平。 做完之后，推荐马上去智能型刷对应考点。它的题目有分层，从基础到综合，循序渐进。智能型刷到三级满六六零八八零一千，这些习题测一刷，正确率都是百分之九十左右，到了那个程度，再去碰习题测，你会发现刷题居然是一件有成就感的事，而不是反复受挫。 这三步走下来。预习，带着问题听课，听课之后做题暴露盲区。做题之后用智能型精准补漏，每一讲的吸收率能翻好几倍。关键不在于你花了多少时间，而在于每一分钟都用在了刀刃上。很多人听课做题都能坚持，偏偏在复盘，这不掉了链子。 我的做法是用导图来复盘，我选择以导图的形式规范了每节的内容，在原三十讲开头的导图基础上，扩充了对应的知识点、公式、图形以及小结论非常全面清晰， 大家可用它来复盘总结，哪怕用来睡前记忆也很方便。当然，导图只是个框架，能帮助期末太忙或进度慢的小伙伴节省自己整理的时间，但具体的做题细节仍需你自己不断补充。 复盘到底是在做什么？章鱼老师说过一个特别精辟的比喻，把书由薄变厚，再把书由厚变薄。听课做题的过程是把书由薄变厚，你不断往里面加入自己的理解和细节。而复盘就是把书由厚再变薄，把一整张的内容压缩回一两张纸。基本概念，地理公式、典型例题，你自己的薄弱环节，这张纸就是你真正学到手的东西。 你能不能做到这一步，决定了你是真学会了还是假学会了。总结，复盘的针对性十分重要，不要漫无目的的从头到尾重新看一遍，要盯住不会的和做错的地方。但很多人的问题恰恰是不知道自己到底哪里不会。你翻开笔记，觉得每一页都认识，合上笔记又什么都说不出来，这恰恰是复盘方向不对的表现。 这时候，智能型的价值再次体现，他帮你精准定位，薄弱点，你不需要自己猜。有的同学复盘就是把笔记翻来覆去看，但有个一百四十五分的学姐说了一句话，让我特别认同，错题不要反复看，而是当新题重做，检验自己的方法。 翻错题本是低效的，因为你可能只是记住了答案而已。智能型不会让你做原题，他会换个角度出类似的题，测的是你有没有掌握方法本身。另一个学姐说的更实在，计算过关，学了不忘最重要。考试上来就是计算题，这是纯功夫活，没有捷径。智能型的综合测试会把你学过的知识打散重组来考，你这种学了不忘的效果是单纯翻笔记做不到的。 所以我的复盘流程是这样的，做完题先看导图，回忆整讲的脉络，然后去智能型做综测，看看哪些知识点已经开始模糊了，最后针对性的回头补课或重刷，对应考点这三步形成闭环。每过一轮，你对这一讲的理解就深一层。 复盘不是一次性的工作，而是贯穿整个备考周期的习惯。最后把我的完整时间安排分享出来，你可以根据自己的进度灵活调整。 现在到五月底，全力搞基础。基础阶段的核心是沓实基础，这直接决定后续复习的上线这段时间不追求速度，只看重质量，真正做到吃透知识点。三十讲按顺序过，每讲配合智能型刷，对应考点不同专题的进度可以有快有慢，但出了这个阶段，你的智能型等级至少要上到二级。后期 有一点特别重要，进强化前一定一定要吃透三十讲，去年太多人基础阶段走马观花，结果前期基础不牢固，后期刷题突破举步维艰。 记住，永远是先下线后上线。今年的十八讲我大致看了一下，仅是在三十讲的基础上增补了一些综合题型加做题技巧，属于是拔高上线，基础没打好就直接上十八讲，等于空中建楼。六月到八月进入强化阶段，智能型等级目标拉到三级中后期 智能型强化阶段，同时开始做六六零、八八零的对应专题，重点做智能型 ai 猜推荐的柏洛章节就行，不用每道都刷。如果打算强化阶段，换武忠祥也完全可以，但一定不要上来就听课，针对性的比你没掌握的就够了。九月之后进入冲刺，这时候智能型等级差不多到三级满了，每天花半小时做综测，保持手感就行， 重心转向真题和模拟卷。有个学姐说过一个数据很有参考价值，冲刺阶段他每天大概半小时刷智能型的综测，可以保证柏洛点的巩固。整个规划的核心就一句话，先把基础盘拿死，再去够那些拔高的分。 数学不是一蹴而就的事，是日积月累的结果。开始时感到迷茫是正常的，很多考上的学姐也是从不懂不会开始的。没解决智能型推送的一个薄弱点，你都在向幺四零加靠近一步，找到自己的节奏，坚持执行下去，结果一定不会差。二期考研加油，期待你们明年顺利上岸！

章鱼三十讲零基础部分要不要听？零基础的例题要全部做一遍吗？需要多做会吗？ 主播正式开始各科的备考了，数学每天四小时，四零八每天四小时，英语每天两小时。数学今天学的是章鱼三十讲的零基础部分，这部分属于是初高中数学相关的知识点， 个人还是建议也要学一下。基础好的同学可以用一两天时间快速过一遍，基础差的同学可以用三四天时间搭配课程来学习。主播打算用三天时间来学 基本逻辑解析式的概念与运算坐标系及其变换这三个部分了解即可，只需掌握基础概念，无需深入钻研。 方程与不等式部分，在一元 n 次方程的内容中要重点关注二元相关部分。函数部分是高频使用的重点，需要重点复习数列及其单调性部分是高中学过的，快速回顾梳理一遍即可。零基础部分的例题个人感觉不用全部做，看看就行了。

你一定要放下以往的主观想法和经验，以三十讲的基本陈述为依据， 是吧？呃，我我我说的这句话的意思是讲的你要可能以往呢，你的理解并不一定是呃完全正确的， 所以需要你呢放下以往的一些主观的想法和经验。哎，这一点很重要啊。然后我们再重新以三讲的基础陈述为依据，建立新的客观的想法。

昨天我讲了，呃，大部分的同学都不适合用章鱼的基础三十讲来打基础啊，也不适合跟章鱼老师 啊，为什么好多同学在下面留言啊，就说自己已经从这个呃章鱼转战周养心了。还有同学说，呃转战其他老师的。其实啊，我就特别强调，我说这个基础三十讲，名字叫基础三十讲，同学们，他真的不基础， 你学起来就懂了。里边的东西不是说不好，我感觉拿来给老师背课就不错了，因为它相当于是一个很好的备查的东西。但是对于学生来讲，我说你一上来就去学这么上头的东西，我感觉到最后你一定会崩溃，而且你搞得你自己抓不住重点了。 好多同学第一反馈就是问我说，学长这个应该背哪些公式？这书上了那么多公式，到底应该背哪些？我说实在的，真的是没法搞，如果像这种情况，所以我的建议是什么呢？如果说你们自己是吧你背，你感觉你这个知识框架你构建不起来，反正我自己是整理了这样的一份这个数学思维讲义，就专门呢给大家，就是把那些 将来呃骨干的这个知识吧啊抽取出来，那这样你学起来会快了很多，对吧？啊，不管你跟哪个老师学，我觉得如果说你发现你学的时候你边学边忘，边学边忘，那这个时候呢，你就要怀疑一下你的路线是不是正确的了。我敢说，百分之九十以上的同学，你们跟张女士一定是吃力的啊，因为原因很简单，这个里边的东西 实在是太多了，而且你一下子你是搞不过来。还有一个同学问到呢，他说要不要去学这个基础三角形的时候呢？配套的做一点一千题，我的建议就是百分之九十的同学你是不用做的，因为你根本就没有时间做。你如果说有时间的话，你把你学过的基础三角形好好复习一下，效果会更好一些。

大家能预习是最好的，但我打个括号，打括号的意思是说这个不强求，不是说一定要预习，尤其是呢，就是刚开始有些同学啊，就是这个基础可能忘的比较多了，你让他预习呢，可能刚开始他基本上都看不明白， 习的效果呢，可能就不大了。我们这样的话，你就可以刚开始的零基础啊，或者说这个第一讲，第二讲，第三讲，你可以不预习，但是我建议啊，当你学进入了门之后啊，有了一定的数学学习的这个感觉之后啊，我建议大家还是要把这个预习呢，还是要做一做，就是我不听课，我自己先看一遍，把我会的地方就不做标记，不会的地方做一下标记，其实这个工作是十分有意思有意义的。 然后你再去听课的时候，针对性是非常强，这个对大家听课是很有好处的。

说实话，刚开始刷三十讲的时候，我也差点崩溃了。宇哥的课听起来确实爽，段子一个接一个，立体讲起来行云流水。但当我信心满满的合上视频，自己动手做立体时，完全没思路，那种落差感就像从山顶直接摔到谷底，特别打击人。后来我才慢慢明白，这不是你一个人的问题，而是三十讲本身的打开方式需要调整。 先搞清楚三式讲到底难在哪。三式讲的例题确实不简单，有些甚至接近强化阶段难度。宇哥在课上讲的例题，很多时候是带着你一步步走的，你觉得自己听懂了，其实只是跟着他的思路在走，并没有真正内化成自己的能力。 更关键的是，三式讲的知识点密度很高，一讲讲完可能还带好几个小模块。如果你像追剧一样，一口气听完一整讲再做题，知识点早就串味了，做题时根本想不起来该用哪个公式， 那到底该怎么学？听课和做题必须碎片化结合，不要等一整讲听完再做题。宇哥讲完一个知识点，比如极限的七种，未定时立刻暂停，把对应的例题独立做一遍，做不出来就再看一遍讲解，直到自己能完整写出来，再听下一个知识点。这样做的好处是，知识还在脑子里热乎着，马上就能用起来，印象会深很多。 对于我们这些在基础阶段挣扎的同学来说，面对考研、数学中这些高密度且容易混淆的知识点，我发现单纯靠死记硬背例题完全行不通。我开始寻找一种能针对我薄弱点进行精准突破的工具。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 例题要二刷甚至三刷，三是讲的例题每道都很经典，第一遍跟着视频写，第二遍必须独立做。如果第二遍还是卡壳，说明这个知识点没真正掌握，标记下来，周末集中攻课，很多人问我例题，下面就是答案，忍不住想看怎么办？ 我的建议是，用白纸把答案盖住，或者去网上找那种三十讲做题本，把例题单独摘出来，留出空白做题的那种，强迫自己独立思考。 遇到完全没思路的题，先别急着看答案，卡壳的时候，先翻回前面的知识点，把公式和定律在草稿纸上默写一遍。很多时候，不是题难，是你想不起来该用什么工具。如果思考十分钟，还是毫无头绪，再去看答案，看完一定要合上答案，自己重新写一遍，直到能独立完成为止。 关于一千题的搭配，三十讲的课后习题其实不算多，很多人听完课就去刷一千题，结果发现寸步难行。我的建议是，先把三十讲例题和课后习题吃透，正确率达到百分之八十以上，再进一千题。 如果基础篇都做的痛苦，说明你三十讲没过关，回去补基础比印刷题更重要。一战失败后的反思中，我发现最大的问题在于自己动手解题能力不够强。有句话说得好，你看到的不一定是你真正看到的。 对于习题而言，就是这样的情况，你看到一道习题，如果你不会做，你可能会去查看答案，然后以为自己掌握了。但事实上，你只是记住了答案而已，并没有真正掌握。正是因为这一点，我要给所有同学的建议是，一定要注重做题加练习计算能力这个重点。 然而简单粗暴的题海战术不是提高数学成绩最有效的方法，应该有针对性的做题，才能提高对知识点的掌握能力。对于我的二战来说，我选择从题目入手，重新学习和消化知识点。 当时我使用了一个刷题平台，名叫智能型考研数学，我二战全程使用了这平台，因为智能型能够让我有针对性的做题，一层层的夯实基础。简单来说，就是能够把知识点分解成小模块来消化，从而建立一个完整无死角的知识框架。 在进行数学学习和复习的过程中，平衡观看课程和做题练习是直观重要的。我一站就是一位看视频不进行做题输出，到了后期才去做题，才发现会出大问题。 我发现光是看视频进行学习，经常会发生一种情况，就是看完了整个视频，甚至也做了笔记，但是看完之后却说不出到底从中获得了什么知识。 但如果直接做题，又会有一种两眼一抹黑的情况发生，这样非常不利于我们对于自己做题的主动性。在使用智能型进行学习时，每一张开始前都会有一个复习要点，包括了核心的知识框架。 在听课时，经常会发生听完一节课但脑袋空空的情况，这种情况下，我们就可以在看视频前通过这个知识点列表来明确目标，从而更高效的看课。特别应该利用好智能型的查拆分知识点的功能，先了解本章有哪些知识点，再带着对 diss 知识点的疑惑去看视频中老师是如何讲解，怎么样推出这样的结论的， 这样能让我们避免看完视频仍然脑袋空空的情况。看完课就可以用智能型对这一章进行练习。做题练习是巩固知识、检验理解程度的有效方式，这在对之前看过的知识点起到加强作用的同时，也能查漏补缺。 像这样采取看视频和做题交替进行的方式，可以确保你在学习过程中既能够获取新知识，又能够及时巩固和应用所学内容。一开始，每当我遇到不会的题，就去翻答案，去背答案，最后发现这只是虚假的学会了某道题，而不是学会了一类题，甚至这一题都不一定保证下次能做对， 而把一道题彻底弄明白。底层逻辑，看似用了更多的时间学某一题，其实为之后的学习省去了许多时间。二战我开始正式使用智能型后，我发现它的功能确实超乎我的想象。 首先，它通过人工智能技术和大数据分析，根据我的学习数据提供个性化的学习计划。它会根据我的需要制定一个合理的学习计划，安排课程和复习时间，有效帮助我合理安排时间，特别是到了后期，可以让我有足够的时间复习专业课和背政治。这一点智能型的全程规划中也有说道。 我们可以在刷完智能型相应的章节等级之后，去用习题测对自己的学习成果进行一个检验。比如基础阶段可以用一千八百基础篇，强化阶段可以用六六零、八八零等。冲刺阶段可以用各种模拟卷和真题检验。 基本上在刷完智能型之后，一千八百、六六零等习题测的一刷正确率可以达到百分之八十以上。每个里程碑又分别分为许多任务，大家可以用这些时间做指引，更好的安排自己的复习。 但因为智能型的训练是因人而异的，所以每个人的情况都不一样，可以根据自己的情况做一些调整。总的来说，实际训练时间和你的基础有关，基础越好，训练时间越短，基础越弱，训练时间就会涨一些。在我学习的过程中，对于积分的几章内容学习的比较慢，当时非常焦虑，但在学完之后去做任务中对应的六六零时，就发现努力都不会是白费的 一站。直到后期，我才意识到自己做题不熟练，计算不稳定的问题，可惜为时已晚，犯了一种看到题目知道解法，但答案算不对的毛病。 算到一半放弃，遇到难题不想去计算简单题目又算不对答案，这就是所谓的眼高手低，这个坏毛病让我一站吃了大亏。考研题计算量可以很大，可以涉及分类讨论，可以综合多个知识点，也能涉及高级模型背景 计算是基本要求，如果连计算都做不对，这名题也别指望能完成。有时候运用计算技巧也是非常有意义的，计算一错，全盘皆输。计算能力考验个人的细心和基础功底，所以在复习初期，我们就要踏踏实实的练习计算和常规解析方法，如果做不动题目，通常是因为计算方法不熟练和畏难情绪导致的。 计算不行，解决情绪不行，解决情绪没有捷径可走。对于考研数学这种硬式型的考试，重要的是培养解析思维能力。在备考的第一年，我正是因为缺乏这种思维能力，才在一定程度上导致了失败。 同类型的题目换个数据体干变化一点点就不能立刻联想到考点和具体解法，也不能根据题目的条件选择最合适的方法。 智能型有一种很有效的训练方法，当你在一道应该做的出来的题目卡住时，会给你一道之前做过的类似题目的提示，以达到举一反三的刷题效果。 这种训练方式很好的解决了我之前一看题目就无从下手的坏习惯，我开始主动将之前掌握的知识点和解析思路联系起来。最后想说，三十讲确实有难度，但他难得有道理，他是在帮你搭建一个完整的知识框架，而不是简单的堆砌题型。 接触阶段痛苦一点，强化阶段会轻松很多。如果你现在正被三十讲折磨，别怀疑自己，我去年数一百四十三，前期也被三十讲虐的很惨，但只要方法对了，熬过去就是质变，坚持下去，你一定可以的。二期考研冲。

好，我们来看十五点一微分方程。好，注意啊，它这里呢是 f 一 x f 二 x 是 两个函数啊， 也就这里用到了一个叠加原理。我们看一下啊，这是有书本上的啊，我们给大家接下来看一下，如果 y 型 x 是 哎，它的一个解， y 型 x 是 另一个函数的一个解。 好，那么他加他两个特解加到一起就是，哎，他加他的一个解，是不是我们现在他的一个特解具有的形式？就应该是啊，他和他的特解加到一起就行了，我们看一下他，哎，这就是叠加原理啊，大家要知道啊， 这有理论根据的叠加原理。好，我们去 先求一下这个特征方程啊，求下特征根的，这是 y 两撇减去四， y 一 撇加上四， y 等于零，我们求一下它的一个特征方程， r 的 平方减去四二加四等于零。好，那么很明显是重根的一个情况， 是不是 r 一 r 相等了，这是重根，我们看 y 一 星， y 一 星， 这是一个 x 平方，我们要写的是它的一个同次，对吧？同次的一个多项式呀， 它是二次方，你同次的多项式，你可不就是 a x 平方加上 b x 加 c 了，是不是你光根据这个就已经选出来答案了，再提出的不是 y 二型还没算呢，是不是 y 二型， 它是什么？好，那你 a b c 用完了，我用个 d 是 吧？这个是个八，那个就是一个常数吗？我们写个 d 了啊， 这是 e 的 二 x 次方，这里要有一个 x k 次方， k 取几取决于这个根，这个根是个二从根，那这个 k 就 取的是二，是吧？我们要对这些解的结构要非常熟练呀，所以铁打的就是 b 选项了，是不是？好，那这个题就讲到这里了。 好，我们讲一下，十五点二， y 一， y 二 y 三呢，是某二解长细数，非其次限性微分方程的三个解 好，则该方程满足这两个条件的特点啊，好，我们说一下啊，这个题有很多同学对概念啊，都不太清楚呀， 我们先说一下对于非其次二阶的长细数，非其次现金微分方微分方程的通解。非奇通啊，非奇通是不是等于其次的通解加非奇特解？这个，这个都能记住，我觉得好，现在啊，我们说一下其次通解，再说非奇特。好吧， 其次通解的话，好，在在这呢。其次先写为方程的通解，是不是？哎，他的解的结构有三种情况呀。好，根据特征方程求出来特征根，再根据根的。哎，特征根的一个情况啊，写出来他通解的一个结构。 好，那通解与特解的一个关系是什么呢？咱先不说非其通，我们就先说其次通解，不管是其通还是非其通，总之有这个通的通出现，也就是通解的意思。通解跟特解的关系就是将， 你看，将这个啊，任意常数 c 一 c 二，将通解中的 c 一 c 二任意常数进行赋值啊， 进行赋值。好，赋，这样写的吧，我也不清楚啊，就这样了，进行赋值。 好，你可以赋任何那个值呀，只要你赋值了，那就是一个具体的情况了，特，特定的一个情况，对不对？这个时候我们就称特减了啊， 你比如说我 c 一 赋值个一， c 二赋值个一。好，你看这种情况的话，那我就不叫通解了呀，是吧，通解就是就是它可以表示这 c 一 c 二，可以表示很多种情况嘛，任意情况，所以叫啊通解，特解，我们就赋具体的一个值了啊，这个时候就就叫其次的特解了啊，你看，其次特解，这个时候就是 e 的 假设啊，这是一个一，这是一个三的话，好，就是一 x 加上一个 e 的 三 x 方，是吧？这种情况下，好其次通解就变成了其次的特解了， 那对于好，哎，非其次的三个解，你看啊，这这里面是不是没有这个 c 一 什么 c 二的呀？没有这种啊， c 一 c 二出现的时候，它就是特解，所以这三个解它指的就是三个特解，特定情况下嘛， 特定 c 一 c 二取值的情况下的解就称为特解啊，所以这就是特解的意思啊，特解好，这特解又怎么来的呢？哎，我们说了啊，你看我们这一个非奇通， 这是啊，一些让大家记得一些结论的啊，非奇通等于奇通加非奇特， 那你非奇特怎么来的呢？不就是把这个通改成特了吗？是不是？那这个特其实就是后边的这个奇通哎，把奇通改为奇特， 是不是也就是非奇特，哎，非其次特解怎么来的，那就是非奇通改成，哎，哎，奇通啊，奇通改成奇特，再加一个非奇特，因为后面本身就是一个特解了吗？对不对？ 所以你看啊，你这几个三个特解怎么来的呀？其实本质上还是其次的通解里面的 c 一 c 二进行赋值，变成特解了，是吧？其次的特解加非奇特就变成了啊，现在那个非奇特。有同学就纳闷啊，这有非奇特，这有非奇特， 你不用去管那么多呀，你只需要记住非其次通解的一个结构就是奇通加非奇特，那这些非奇特怎么来的呢？就是啊，把这个通解里面的 c 一 c 二进行赋值来的。 好，那我们把非奇通给它解出来之后，现在呢，给你限制的是这两种条件，这两种条件下的一个非其次特解，那其实就是把它整个的啊，非奇通解出来之后，这里就会有 c 一， 是吧？比如说是这种情况的话啊，这个奇通就是这种结构啊，奇通， 哎，奇通找到了，哎，这个非奇特对于这个题的话，是不是我们随便找一个非奇特解，随便找一个就行了？题里面不有三个吗？随便找一个过来就行了。 好，我们现在就是满足这两个条件下的非其次特解，是吧？哎，那你这个满足这种条件下的一个非其特解的话，其实就是把这两个条件带到啊，带到这个 非奇通解里面，把 c 一 c 二定出来，对不对？哎，我们现在找特解特解怎么来的呢？就是在通解的这个条件下，满足这两个条件我们就解出来特解，其实就把 c 一 c 二进行赋值的意思嘛，对不对？根据这两个条件就可以把 c 一 c 二解出来了，那就赋赋完值了呀，赋完值之后，这个时候就变成，呃， 这种条件下的一个非奇特解了，对不对？同时我们也可以啊，把这个求出来之后，也可以看一下啊，这三个 a 非奇特解是 c 一 c 二哪种情况下得到的？对不对？我们都可以看一看。好吧， 好，那对于这个题的话，我们已经分析过了啊，这个非奇通解先给他解出来，那就是解奇通加非奇特，非奇特已经有了，对吧？随便找一个就行了。那奇通怎么找呢？奇通解的其次通解的结构不是在这吗？你到底写的是他他他 哪一个呢？好，那就是看啊，这个特征根的一个情况，那特征根又该如何去看？到底相不相等，还是这个公和父根的一个情况呢？好，那就是这个 这一块常考的啊，这个以前需要大家记得一些结论，直接记住就行了，咱们都有推导过程，咱就不给大家推导了，非常简单的啊，我们现在是不是得找 找一下其次的解呀？那其次的解就就说的是其次的特解啊，我们把其次的解找一找。嗯？你为什么找他呀？因为其次的特解有的话，好，我们就知道，其实就是 cec 通解，其次通解 cec 二进行赋值来的嘛。好，我们就根据解的结构嘛，其次的解找到之后，根据其次的解的结构就知道。哎， 这个特征根的一个情况呀，对不对？我们现在其实就是把特征根得找一找呀，对吧？你的其次通解到底写谁，就看你特征根的一个情况了呀。好，那我们其实这个题就考的对这个啊，这个结论， 非其次的特解减去非其次的特解就等于其次的特解，也就是非其解，减非其解等于其解，这不是有三个非其解吗？对不对？我们随便找两个一减就得其次的解了，根据其次解的结构去看一下特征根的情况呀。 好比如说我们 y 一 减去一个 y 三，为什么 y 一 减 y 三呢？你观察一下啊， y 一 减 y 三就会把这个减掉了呀，是吧？好，这就是 e 的 三 x 次方，我们再看一下， y 二减 y 三，哎，两个啊，嗯， 分歧解，一减就是其次解了啊，你看他跟他一减也是把这个减掉了，是吧？那就是等于 e 的 x 次方。好，这得到的是什么呀？得的是其次特减，是吧？其次特减， 而其次的特解怎么来的呀？是其次的通解，把 c 一 c 二进行赋值了，我们去看一下。哎，这种情况，你看啊，它有 e 的 三 x 方，它有 e 的 x 方，其实你心里已经清楚了，它就是 第一种情况，是吧？特增根等于三，特增根呢？是等于一的，你看这个指数部分是吧？一的 x 方，一乘以 x， 三乘以 x 嘛，其实就是 r 一 不等于 r 二的这种情况。那么其次通解其实就可以写出来，它就是这个 c e 的 三 x 方加上 c 二 e 的 x 次方，对不对？好，如果你不理解的话。好，我们从这可以可以看呀。哎，你看这个是不是其次通解我们写出来，我们现在倒着看一下啊，好，怎么去得到其次特解呀？是不是其次的通解，把 c 一 c 二进行赋值呀？你看什么时候能得到 e 的 三个次方呀？是不是我们把 c 二赋值为零， 把你 c 二赋值为零，这不就没有了吗？好，我们其次的特解是不是得到了啊？ c 一 也得等于一，是吧？赋值 c 一 等于零，是不是就得到了一个其次的特解，是不是就是它了？ 好，那其次的通解我们再负一次值，又得一个其次的特解，一定特定情况下呢？想得它的话， c 一 等于零， c 二等于一，是吧？又得一个其次特解， 所以说我们，哎，不管是这样去看，还是根据啊，这个型号，你得能够分析出来它，其次其次通解就得长这样啊，对不对？你三 x x 了，肯定能看出来，这个三就有个一吧，哎，这就是这种情况啊，这种这种解的一个结构的一个情况啊。好， 有的人说，你咋不用 y 一 减 y 二呀， y 一 减 y 二也行啊，只不过他没有这个看的更清。呃，一一下就看出来了吗？那 y 一 减 y 二的话，哎，这个也减掉了，是吧？这个减掉了啊，那就是， 嗯， e 的 三 x 方减去 e 的 x 方，这也能看出来吧，是不是你他很显然不是这种情况呀，也不是这种情况吧，大眼一瞟，他还是这种情况，对不对？所以啊，我们能够看出来，二一等于三，二等于一，他这个通解还是这种结构，你看，在其次通解的情况下，我们 c 负值为 一，你看 c 二负值为负一，是不是得到这种这种条件下的啊？其次的一个特解，对不对？不管你怎么怎么写啊，用谁减去谁两个 非其次特解，一减就等于其次的特解，你得能看出来，根据这个解的结构啊，哎，看出来这个特征，根那个情况。好吧，现在啊，我们就知道非奇通啊， 非奇通，这个写这个是奇通，我们写一个横杠啊，写一个横杠，区分一下。好，它就等于奇通拿过来了啊，奇通 加上非奇特，非奇特，我们找一个简单的是吧，找一个它就行了嘛。好，就是减去 x 一 的二 x 方。好，非奇通有了，我们现在，哎，满足这种特定情况下的一个特解，其实就把 c 一 c 二求出来嘛。好，那我们就去。哎， 把它带入吗？你看 y 零等于零，那就是把 x 等于零一带 x 等于零，一带一的零次方等于一嘛，那就是 c 一 加上一个 c 二。好，零一带这边就等于零了。好，这种情况下是不是等于零啊？我们还有还有一个条件啊，满足这种条件下， y e y 一 撇，那就是求导呀， 求导好，这里啊， e 的 三 x 四方三下来了吧，三乘一个 c 一。 好，后边 c 二 e 的 x 四方减去这里求导啊，左导右不导，加上左不导，右求导，还有一个二， 哎，我把这个符号乘进去啊，可以吧。好，这个时候我再把 x 零一代，对不对？导函数求完之后，把零一代不得等于一吗？我们看一下都得到什么，零一代的话，前面是三倍的 c 一 加 c 二减去一的零次方是等于一，是吧？最后得等于一嘛，这块就等于零了呀。我们这时候啊，根据两个式子把 c c 二解出来，那不就解完了吗？是不是？所以 c 一 等于多少， c 二等于多少？我们看一下啊。第一个式子可以看出来， c 一 是等于负的 c 二嘛。 好，这 c 一 就等于负的 c 二，那就负三倍的 c 二加上一个 c 二减一等于一，那就等于二吗？好，这是多少呀？负二倍的一个 c 二等于二， c 二呢，就等于负一 写过来，那 c 一 呢？ c 一 就等于哎，一，是吧，那我们就求完了呀，你看这个 y 就 等于非奇特减 c 一 是等于一了吗？ c 二等于负一。 好，这就求完了。同时呢，我们也可以看一下啊，题里面给的这三个特减是负值为 c 一 c 二，哪种情况下得的特减？好吧，你看它什么时候得出来这种特减呢？ 它得是 e 的 三 x 方，所以就是 c 一 负值为一个一，是吧？好， c 二呢，是不是负值为零呀？因为，因为它是没有啊， e 的 x 方出现的，对不对？我们再看一下，这个特减是 c 一 负值多少呢？ c 一 赋值为零啊，是不是 c 二呢？ c 二赋值为一，看出来没？哎，再看一下这个特解，这个特解的话，那就是 c 一 赋值为零， c 二也赋值为零，只剩它了，对不对？所以说你得知道通解跟特解之间的关系啊，通解就是带 c 的， 这个不，不是，不带 c 的 话，那就叫特解了，因为都赋完值了吗？那到底赋什么值？你可以根据题里面给的一 c 二就是，哎，你自己要求出来的， 你也可以自己去复制得出来一些。哎，特解特解就非常多嘛，因为因为 c c 二就是任意的常数嘛 c， 所以 我们特解是无穷的格的，对不对？把这些解的结构啊，还要记得一些结论，记一记啊。好，这个题目就讲到这了。 好，我们来看十五点三微分方程的通解，那么我们用描研法描一下啊，它的一个形式是属于哪一类型的，是不是？ 好，那很明显是可分离变量呀，是不是？哎，这个用大眼要会瞄呀。好，我们去分离变量了啊，你看 dy 比上 dy x， tan x， 你 看这这这形式多整洁。好，把右侧的挪过来， 左边的挪过去，哎，那你 tanne x 挪到右边就是 cosine x， 给它写成 cosine x 除以 cosine x dx， 是 不是好进行积分呀？哎，这积分也没什么难度 积分，哎，我们这个直接给它凑为分了啊，是不是 sin x 分 之一，这个就是 d sin x 没问题哦，好，左边的话 也是凑为分，哎，再写一步吧。好， loon y y 分 之一跟后面一凑就是 de loon y 没问题，是吧？好，再写一步啊， 那么这里的 loon y 我 们可以看成一个整体，看成 t 的 话， t 分 之一的不定积分是不是 loon t 的 绝对值啊？好，这边也是一样的， c x 看成一个整体，那么就等于 loon c x 绝对值。 我们说了不定积分要加一个常数，是吧，好，见到 loin 的 啊，我们给它加成 loin 形式的一个常数， 哎，这样的话便于去合并呀，是不是好，记住这样的小技巧就行了。 c 一 这里要求不等于零，如果等于零， loin 零是没有意义的，是吧？你加一个常数，你得有意义啊。好，这样的话，我们知道 loin a 加上一个 loin b 就 等于 loin a 乘以 b 啊， 是吧。对于这个题的话， a 就是 c x 呀，哎， b 就是 c 一 呀，它俩一乘写到绝对值里面不就行了吗？是不是左边 就它右边的话，哎，就是我们写到一起的啊。 c 一 乘以 c x。 好， 它俩既然相等的话，那不就是这块跟这块相等吗？其他部分长的一样呀，都有绝对值，都有 l n， 我 不管呀，是吧，我对应相等就行了呀。 所以零 y 的 话就等于 c 一 乘以 c x， 是 不是这个时候你会发现啊，我 c 一， 我现在可以改成 c， 也就是说在上面你加这个常数的时候， c 一 要要求不等于零，但是到后一步的时候， c 就 可以任取了， c 为任意常数， 你看对不对？ c 完全这个时候可以取零了，因为现在是你俩对应相等了，你俩对应相等，现在解出解出来的是你等于你，这个 c， 没有什么限制呀，等于零也没事是不是？或者呢，我们给它写成 啊，两边取指数的话， e 的 孬用， y 就是 一个 y， 那 就是 e 的 c 乘以 c x c 为任意常数都行的啊， 对吧？你看， c 完全可以取零啊， c 取零的话，一的零次方是不是等于一啊？ y 等于一， y 等于一，没有问题的。 y 等于一是吧？ longen longen， 一 是等于零嘛？好， y 等于一的话啊，一的一个导数的话， 零啊，零等于零没有问题的啊， c 是 可以任取的了啊，注意好啊，咱们加成 longen 的 形式，便于去合并。哎，咱们经常这样做呀。好，这个题就讲到这了。 好，我们来看十五点四，求通解。那么你观察一下，是不是我们说描眼法一定要瞄准了，这除一个 x， 这没了，这除个 x， 这是个一，是不是 y b x y b x 出现了，它是哪一类的呀？哎，一阶其次为方程啊。好，那个描眼法学会了没？ 那么我们先把方程给它转换一下啊，方程可以给它化为 d， y 比 d x 好， 减去 y b x 括号 ark， 贪婪的 y b x 等于一啊， 好，那这个时候啊，我们就令 u 等于 y b x 了，类型找对了，方法啊，方法找对了，你这个没什么难度了是不是？ y 是 不是等于 x u 啊？然后我们利用乘积求导 啊， d y 比 d x， y 对 x 求导。那这里就乘积求导公式的应用啊， u 加上 x d u dx 是 不是好？接下来我们就可以把这个方程再写一下啊，方程则化为， 好上面啊，看这个了， u 加上 x d u dx 减去 u 后面 arc tangent u 好， 等于一，那你再用一下你的大眼睛瞄一下。哎，这就是啊，我们的 变量分离啊，是不是你这个 u 跟 u 没有了？你看这一块跟这一块变量分离是不是？好，我们先给它再给它写一步啊，哎， d u b d x arc tangent 的 u 等于一，变量分离 arc tangent u 好 d u， 哎，你把那个 x 挪右边， x 分 之一了， d x 两边进行积分 好，分离完之后的目的就是为了积分呀， arc tangent u d u x 分 之一 dx 是 不是？好，那这个肯定就是分布积分了呀，好， u， 阿克弹进的 u 减去 u， 然后对它求导，好，是一除以一，加上 u 的 平方 d u 是 不是？后面的话，我们写成 low x 绝对值加上一个 c。 好，老师，哎，有同学说，老师这个时候怎么不写 low in 绝对值 c 了呢？哎，都可以啊，我们再写一步啊，再写一步，后面就是 u arc 贪婪的一个 u 减去。哎，你这个凑一下微分啊，很简单，是不是减去二分之一倍的 这个凑过去之后啊， u 的 平方加个一了嘛，那就是 low in x 绝对值加上一个 c 啊， 你这个啊，可以写成 lo in c 的 一个绝对值。咦，这有 lo in， 它们三个 lo in 可以 整理到一起，但是也也可以不用整理啊，因为这些它就可以的，其实没有必要非要整理的，非常的一个简变啊。 好，那它的一个通结，我们就把 u 给它换成 x 就 可以了啊，有换成 u 比换成 y b x 呀，什么什么呀，说啥呢，我好，那么则通结 给它换一下呗。嗯， y 比上 x， 阿克贪心的 y b x 减去二分之一倍的 low in， 加上 y 的 平方除以 x 平方。 好，或者你把这个 a 挪到这边，我们也见过这种形式的写法，是不是这个直接等一个 c 也可以啊？嗯， c 为任意常数 是不是？哎，就写这个就可以了，你想再整理一下也行啊，总之写对就可以。好，这个题目啊，考了一个其次的一阶，其次的微分方程，还有啊，用到了我们这个变量可分离。好，这个题目就讲到这里啦。 好，我们来看十五点五，那么你这个求通结，你观察一下呗。好，嗯，你这个 y 一 撇，这个含有，这里还有一个 e 的 负 y 次方。好，它并不是限行的， x 也不是限行， y 也不是。 那怎么办呢？你想想，哎，你不想把它给它处理掉不行吗？你处理掉的话，我们等号左右两侧都乘一个它。哎，这个时候你就发现啊，这个豁然开朗了，有时候就是思路稍微的转变一下。 好，我们的方程两边同时乘以 e 的 y 次方，看一下什么情况啊。 这个后面就是 c x 了。哎，你在这里用大眼再描一下，它是谁的岛呀， 不就是 e 的 y 次方的岛吗？这个时候你描不出来，你看看它，那肯定跟它也有关系啊，是不是，哎，这都是关联的啊， e 的 y 次方球岛就是它啊，这个球岛也太简单了啊，要能描出来 这个描眼法，对于微分方程这一章，描眼法是很重要的啊。好，等于 c x， 哎，你这个时候你把它看成一个整体不就可以了？好，我们就令这个 u 等于这个 e 的 y 次方，是吧？ 好，那就是 u 一 撇加上 u 等于 c x， 哎，你这不就是一阶的向量非奇次微分方程了吗？它是有通解的公式啊。好，那么 通解公式我们往这一写，是不是？好？ c， 我 们可以给它拆成两部分啊，哎，我，我们知道那个公式是不是这样的呀？ e 的 好，负的 p x d x 是 不是，然后后面 e 的 好，这里面是 p x d x， 哎，这有个积分 q x d x， 哎，这是它的一个公式，加上 c， 是 不是啊？我们有时候啊，就是可以给它写成两部分，它乘以它，加上它乘以它， 这样的话啊，不用写那么多括号了，是不是啊？我们写成两部分，拆成两部分可以啊，好，拆成两部分，那么把 c 的 这个写到前面。好，负的这个 p x 这个题 p x 是 一个一吧，直接写了啊，一 点 x 好， 加上啊，拆成两部分了，负的好一点 x， 然后 e 的 好，这个里面是 p x 的， 是不是 p x 啊？ e dx 好， q x 谁呀？是 c x 好 dx， 我 们拆成两部分了，哎，这样没有括号了，也也挺好的，是不是？好，这是 c 倍的 e 的 负 x 次方吧。好，加上 e 的 负 x 次方。好，后面的话是这个东西 e 的 x 次方， c x d x， 哎，我们知道啊，你可以去凑微分，然后呢，可以解出来它一个结果，但是这里面呢，可能要两次进行凑微分，是吧？两次凑微分，所以希望大家把这个这样的一个公式给他记住，你记住的话直接套公式，不用凑那么多次的微分了， 不然你容易出错呀，是不是？哎，它的一个积分公式，大家可以刻下啊，记下来。好，反正都是为了提高我们那个正确率，它求导这个 cos 眼也是一样的啊，好，它求导 好， e 的 a x 方往这一放，这个也往这一放，好，最后再加个 c， 是 不是？好，那，那么我们看一下这一块， 它的话，你看 a 的 平方加 b 的 平方，那不就是一个二了吗？你看这里面 e x， 好， 这是 cos x 吧，这是 e x 次方，好，这是 c x 吧， 哎，是不是？这，你，你看这，这不会求了吗？那么就是二分之一倍的 e x 次方，我们提出来就是一个 c x 减去 cos x， 是不是它乘以它，减去它乘以它呀，好，这就是它的结果呀。哎，我们把这个公式啊，希望大家记住好， c， e 的 负 x 方加上 e 的 负 x 方，后面就是这个，我们刚刚算的啊， 好，再给它整理一下， c e 的 负 x 方加上二分之一倍的，因为后面啊，他们他跟他没了啊，变成一了呀， 哎，这就可以了啊，你把这个 u 啊等于 e 的 y 次方再给它 啊，这不用带啊，因为这里面没有含有任何的东西了啊，不像我们上个题，是不是就这就可以了，是吧？ 如果你不放心你做的这个对不对？你就带到这个地方，你去验证一下，你现在不是 u 等于这一堆吗？哎，你求一下 u 一 撇，再加上一个 u， 发现它就是等于 c x， 哎，你可以去简单的验证一下你的一个做题的一个正确率啊。 好，我们只需要把它啊换一下就行了，换成 e 的 y 次方，等于这一对给它抄下来啊， 往这一抄。好， c 为任意常数。好，这 u 还是要换一下的，是不是换一下 u 啊？ 好，你不用不用必要再去解 x 等于多少 y， y 等于多少 x 了，你这这个解它干嘛呢？有时候你解不出来呀，是不是？好，这个题呢？就把这个公式，希望大家通过这个题目再去巩固，回忆，记忆一下不知道的同学。好，这个题目就讲到这里了， 初一初二啊，微分方程的通解，哎呀，考察我们的描眼法，先给他判定下哪一类的是不是好，他就属于不含有音变量 y 的 啊，是不是没有含这个音变量 y 的 可降解的微分方程呀？好，我们去写一下。 哎，这些都是很有套路的啊，大家把这些套路掌握一下。解析的一个步骤，它都是很固定的呀，我们令 y 一 撇等于 p x， 那 y 两撇可不就得是 p x 求一结导了。那么我们的微分方程就化为什么样的了呢？好， x， 那 就是 d p 比 d x 呀，加上 p， 然后还有个三啊，三 p 啊，等于个零。好，那你再整理一下啊，它就是底 p 比底 x 加上 x 分 之三， p 等于零。哎，你坐到这也很熟练的一阶限性。其次，温方程它是有通解的呀。好，通解，往这一带， 这是负的 x 分 之三，再积分一下呗。好， c e， 你 看这上面很简单， low in 的 x 的 负三次方是不是好，它就等于 c 乘以 x 的 负三次方案。 好，接下来，那你这个 p 就 出 p， x 就 出出来了，是不是 p x 呀？那所以我们的 y 一 撇就等于这个 p x 呀，就等于它，你 y 一 撇可以给它写成它呀， dy 比 dx 好， 这又知道了，变量可分离，是不是啊，来回的考究这些东西啊。好，变量可分离，分离一下啊， dy 等于 c 倍的 x 的 负三次方。 dx 变量可分离，分完之后进行积分啊。 好，积分可以得，那你左边积分右边积分都是很简单的一个积分，这就是一个 y。 好， 后面就是 这个简单吧啊， c 倍的 x 的 一个负二次方，那你前面要有一个负二分之一，是不是要补一下这个系数啊。好，加上一个 c 一， 对不对？那你这样的话，你这注意啊，这一块的话，我们完全可以再去另乘一个常数，是不是我们另他一个乘变成 c 二不可以吗？可以啊，负二加上一个 c 一， 是不是 c 一 c 二为任意常数， 这没问题的啊。哎，好，那这个题目就讲到这里了。好，我们看这个题 微分方程的通解，观察一下二阶常系数非其次微分方程通解，就等于奇通加非奇特，是吧，把奇通写出来，好，非奇特。哎，找到。好，我们写一下啊， 咱们按照一个大体的流程写一下吧。先把非其次微分方程对应的其次的微分方程写出来，那它对应的特征方程写出来。好吧，特征方程会写不会的啊， r 方减去一个四等于零， 那特征根你可以写点字，如果是大体的话啊，特征根呢？可以看出来，那不就是二和负二是吧，奇通是不是写出来了呀？很快啊， c 一 倍的， c 二倍的是不是？这不是两个特征根不相等吗？好， 接下来呢，找一下非奇特对，非奇特怎么令出来呢？看一下这边呗， 这边的话，你看它是哪一种结构的？这种是不是让我们再看一下这个二啊？二是不是椭圆根呢？是啊，二是椭圆根，是椭圆根的话，这个这个 k 的 话是 取一还是取二呢？你看它是二重根还是？嗯，单个呀，它是单个吗？是不是所以应该取的是一个一啊，可以取个一，这里是 e 的 二 x 次方，这个怎么写呢？好，它前面不相当于是个一吗？对不对？把一的一般形式写出来，那就是一个常数吗？是不是？这不就是另出来了吗？好，我们另。 哎，它的特解 y 星，那就是 a 乘以 x e 的 二 x 次方，是不是 y 星有了带的非奇次方程里面把这个 a 解出来，急通加非奇特就完事了是吧。这里补充两句，就是关于 这一块特解的一个方法，有同学呢，哎，在学这个微分算子法，是不是讲音里面啊，视频里面有些是啊，都讲到了。那关于微分算子法可学可不学啊？可学可不学， 而这款这是通法，是必须要学的，这是大纲要求，是必须要学的啊，这是选学，你可以学，可以不学，不影响你考研的啊。 如果你觉得好啊，这个我记忆力非常强，我这个学有余力，那我就可以去学学，因为他涉及的这个情况是比较多的，你记他的，他各种形式，你得记准了啊，你要去学你就记准了，你觉得你 那类型太多记不住，你就不用学了，你就老老实实的是吧，把通法学会就够用了啊，就够用了。好，根据个人情况。好吧， 好，那我们就把通法给大家讲了就行了啊，其实我并不是特别建议你，你都得学一学，你可以学一下像这种哎，稍微简单的一种和两种类型的哎，你可以去学一下。那那个设涉及到啊，就再复杂一点的那个搭配类型的，你可以啊，可以略掉。好吧，我们只讲通法啊。 好，通法就够了嘛。对，歪心啊，你带到非曲字里面求一击倒。 好，再看两部分啊，左导右不导，左不导右求导好，是吧，我把这个 e 的 二 x 方和 a 提出来吧，还是一个一加上一个二 x 好， 再去求二阶导，还是看两部分，左导 右不倒加左不倒，右边左倒是一个二好， 是吧，也可以再整理一下啊，这个 a 二也可以提出来是吧。二 a e 的 二 x 次方，这是一加二 x 再加一个一嘛，二加上一个二 x 嘛。好，你带到啊，微分方程里面， 二 a e 二 x 方，二加上一个二 x 减去一个四 y 就是 你吗？ a x e 的 二 x 方好，等于 e 的 二 x 方好，你可以看一下这个指数部分，这一块是可以哎，都甩掉。对，那甩掉的话，你看这是剩的 二二得四 a， 二二得四 a x 减去四 a x 等于一，四 a 就 等于一是吧。 a 不 等于四分之一吗？这就解出来了啊，通解就是其通加非奇特 c 一 c 二好，为任意常数。 再说一下，微分算的法，可学可不学啊，不影响考研。好，那这个题就讲到这了。 好，我们来看十五点八进数一好方程的通解。那么我们先观察一下它是哪一个类型的呀？哎，平方出现了，二阶导出现了， ok， 那 就是一个欧拉方程呀，是不是，那么我们去求啊。 好，这里哎，我们讨论一下 x 大 于零的时候 x 零， x 大 于小于零的时候， 注意啊，那么题里面这是没有给出式条件，我们是这样讨论，是不是如果给了出式条件，你就根据出式条件给的那个信息，你就能判出来 x 大 于零还是小于零，如果给的出式条件是这个样子的， 哎，你这个 x 要等于一，然后 y 是 等于零的，是不是你要用到 x 等于 y 等于零呀？ 那你假如说你令 x 是 小于零的，那肯定不行。好，那 x 大 于零的时候，你看 x 是 等于 e 的 梯次方，是不是？你 t 等于谁呀？你 t 是 等于零 x 呀，如果你是小于零的话啊，你令的 x 是 负的 e 的 梯次方。好，你的 t 是 等于 loin 负 x， 那 你怎么用出式条件儿？你告诉我 x 等于一，你怎么带进去？你带到 x 等于一，你这就 loin 负一，没有意义。 所以说题目给的啊，这里面是一个大于零的数，那么就暗示你就大于零，你根本就不用讨论这种情况，懂我意思不？这个题它没有给出式条件儿啊，没有给出式条件儿，那么要讨论一下啊，这样做题是比较严谨的。好，我们先说 x 大 于零的时候。 好，那这样的话，题目就可以给他写成 x 平方 y 两撇，是不是这样写啊？ 这样写便于我们去改写它的形式，那 x 平方 y 两撇，它就可以写成 y t 的 两撇，减去 y t 的 一撇啊，这个课向大家都会去推导一下啊，这个写法非常推荐大家去写。这个写法好， x 的一次方，然后 y 的 一阶导就可以写成 y 对 t 求一阶导，是不是这个要知道啊，好，那么这个题目我们看啊，这个题目呢，是 x 平方， y 对 x， 求二阶导。 好，那不就是相当于这个吗？我们就给他写成 y t 两撇减去 y， t 一 撇好，减去一个二 y 减去二 y 就是 减去一个二 y 啊，那么它是关于 t 的 一个函数，就写成这个样子就行了。 x 的 平方，那就是 e 的 二梯次方，是不是？好，那这里的话，我们就发现啊，它是一个二阶的啊，其次的，非其次的啊，限行维的方程是不是 好，那么他对应的一个特征方程，我们写一下啊， r 的 平方，减去 r， 减去一个二，等于零，这特征方程解一下特征根，一个是负一，一个是二。好，那么其次的一个通解 可以写出来了，负 t 次方，二 t 次方是不是？好，我们接下来呢，就是找一下非其次的特解，那么就是 y 星。 好，嗯，我们看啊，这个先把这个东西抄下来，是不是？那么看一下他这个前面呢？他是一个一，不就是一个 a 呀？ 好，那这个地方要写 t 的 一个 k 次方，这个 k 怎么去定呢？看一下这个二，这个二是他的什么根，是单根呀，是不是单根你就写 k 就 取一了，所以就是这个样子的。 好，你 y 星啊，已经求出来了，那么你 y 星得求两撇，求两节倒，求一节倒，然后带到这个里面，你待定系数是不是最简单？最常用的方法就是这个待定系数啊，待定 系数，好，你代入系数啊，我们就求一下啊，就就就。好，那么 y 一 撇，我们求一下啊，不过还好，对于这个题目还好啊，我们看成乘积求到啊。好，他加上他， 然后两两撇，你两撇，你看这计算量就上来了，两撇的话，这是四倍的 a， 一 的二 t。 好， 后面 二 a 他， 他不求倒。好，后边求一个倒，那你这里就变成一个四， 是不是？好，你看他求快了，这就错了，你这是个二呀，是不是？这求倒，这怎么能错呢？好，那这样的话，我们看一下，这是四倍的一个 a 啊，这个，这个就可以给它合并到一起了，我们这个擦掉了， 加上它，是不是这里就改成四。好，这样的话就可以带到这里面了呀，你带到这里面，你待定系数呗，我们把这个指数部分都给它约掉啊，指数部分约掉， 那就是四 a 加上四 a t， 好， 这是它再减去 y t 一 撇， 那么就是减去这一块的，减去一个 a， 减去一个二 a t， 好， 再减去一个二倍的 y t 在 这呢啊，减去二倍的它就行了，指数都消掉啊，都除以了，那就变成一了。好，那你看一下啊， 这个 a t 的 有四个啊，减去两个，减去两个没了，那就是三 a 等于个一 a 等于三分之一。好，我们就写一下这个通解， c 一 倍的 e 的 啊，这个负梯次方，是吧？加上 c 二倍的 e 的 二梯次方，加上三分之一倍的 t， e 的 二梯次方，这个呢是 x 大 于零的时候，是不是？那 x 小 于零是一样的啊？ x 小 于零的时候，那么我们注意一下，这里面的步骤都没有发生任何的一个变化呀，你看看是不是没有发生任何的一个变化， 所以我们只需要在结果的部分啊，给他替换一下就行了。我们把上面这种情况啊，这个给他写完整，他把 t 这些都给他改掉啊，给他改成， 还有 x 表达时那 e 的 负梯次方，这里就是 x 分 之一啊，好的， c 二倍的 e 的 二梯次方，那就是 x 的 平方呀，好，那后面就是，哎，抄下来啊， t 的 话它就是 low in loin x 呀，然后 e 的 这里啊，这里啊，看着二 d 四方就是 x 的 一个平方，是不是这个样子呀？我们把这个对调一下啊，不然，不然容易误解 我们小于零的时候呢，我们这一个啊，这个通解它就是把这个 x 的 一个位置给它换成负 x 呀，你看是不是我们只需要换成负 x 就 行了啊， 这是不变的了。好，后面那负 x 平方也不用不用变啊，计算的过程没有任何的一个区别啊，所以我们直接就可以写结果。那么综上我们可以啊，给它总结到一起， 把这个地方和这个地方，哎，我们总总觉得一起加个绝对值就可以了呀，是不是这个通解啊， 就等于 c 一 好，这个地方加一个绝对值，加上 c 二，这平方没有必要了啊，加上三分之一位的 x 平方， long 的 好，再加个绝对值就行了。

好，我们看这个十五点九啊，这个题的话与我们一千题的第十八题，同学们啊，要一起去做啊，其实是同类型的题，就是要把解的结构给它记清楚啊。 好，反正你不管是先做的一千题也好，先做的啊，十五点九也好，这两个题啊，做完它就做它，做完它就做它，好不好？ 我们好再去啊，说一下，希望同学们记下来。这解的结构吗？非其通等于其通加非奇特，我觉得是都知道的，对吧？那非其次解减非其次解等于其次解， 这些我就不会再给大家去啊。推导为什么了？你自己写一个方程，自己去推导推导，然后记下来啊，他是跟我们后边啊，现代的解方程组，方程组 那一张对应着去学啊，这样的话啊，你这边会了，你这边就会了，或者你这边会了，你这边就会了啊，其实是一样的嘛。好， 非奇减非奇就等于其次的减，非奇加减其次的减，就等于非奇的减加减其次减等于其次的减。好，这非奇减加非奇减除以二等于非奇减。当然我们还有一个这个二级结论啊，后续我们再去说啊，这个跟关于啊，这个二分之一 好先先记这么多啊，到现在的时候我们还会有相应的一些补充，我们看一下啊，这个题给的信息啊， y 一 是某二阶我们考察的啊，都是长系数的啊，不然就不会做啊，对吧？咱们学的长系数，二阶长系数非其次微方程的特点好。 v 二呢，是对应的二阶的这个长系数其次微方程的特点是不是 好求啊？这个非其次的二阶非其次向量方程的，嗯，表达式，对吧？我们知道啊，你这个表达是怎么去求呢？肯定先把其次向量方程求出来，再去把这个，哎，小 f x 这里就是小 f x 再求出来，这不就是非其次向量方程就解出来了吗？ 而我们解其次向量方程的话，好，这一类的题的话，那我们肯定是是这样的一个流程啊，它我们要找出来其次特解。而这里啊， 咱们关于其次的啊，这个微分方程的通解，咱们知道的，那这个题他不，他这样的题他不会给你通解的，给你特解你也能得给我对应出来这个特征根吧，是不是给你这样的一个式子啊？给的是通解。通解什么意思呢？有些同学就是搞不清楚啊， 通解的话就是带这些任意常数的呀，是吧？因为你这个常数可以任取嘛？可以任取，所以我们这是通式通解通解啊，它它这个 c 可以 c 一 c 二可以任意的赋值，对吧？所以它是一个通式，叫通解。而特解呢？好，特解的话就是给 c 一 c 二赋值啊， 特解不管是非奇还是奇啊，特解的话，就是好，把这个 c 一 c 二把任意常数给它赋值，对吧？我赋值具体的一具体二了，那这不就是一个特解了吗？特定的一个解了，是吧？哎，本来是任意的，我现在赋值了，就是特解了，不管给你的是通解的形式，这这个型号，那你能够看出来好是 单根的情况，是吧？好，如果给的是特解的形式，我给你付完值之后，好，他还是这种型号的，那不也是能够看出来他的一个特征根的情况是不是？所以不管给你奇通还是给你奇特，你都要能够找出来，根据解的结构找出来。这个其次， 其次微方程的啊，这个对应的特征方程的一个特征根，特征根有了，那么特征方程就有了，那自然微分方程就解出来了，待会我们再解一下小 f x， 找一个是吧？找一个非奇的一个特解带到我们的啊，这个 微分方程里面是吧？非奇微方程里面叫把小 f x 啊，哎，解出来不就行了吗？是吧，就这样的一个流程啊。好，那我们现在就是目标就是 很清晰了，对不对？很清晰了啊，好，我们要去啊，找一下奇特，奇特不在这呢吗？是不是好？ y 二就等于 x 加一好 e 的 x 方，你看一下啊，奇特怎么来的？奇特就是奇通把 c 一 c 二给赋值了是不是？你看它是属于哪一种情况把 c 一 c 二赋值了呢？肯定是这一种情况对不对？ 它没有出现啊，两个指数函数啊，也没有出现 cos 啊，是吧？这个 c 啊，所以它就是这种重根的情况，你会发现它就是， 哎。嗯，奇通对，奇通，我们用这样这样写，带个八，好吧。 y 八啊，奇通的话，它应该就是 c 一 加上 c 二 x， 好，乘以 e 的 一乘一个 i 四方，我们把其通的一个 c 一 c 二给它赋值，好，我们就复制直，根据你看它复制的 c 一 就是一个 e， 对 吧？就这个 e 嘛，或者我们按照这边的一个结构给它写过来，写成这样的啊。 好， c 一 x 对 吧？我们这样写啊，那或者写 c 二 x 可以 吧？ c 二 x 加上一个 c 一， 哎，我们给它点导一下啊，会对应这个结构嘛？好，你看它赋值的是不是把 c 二赋值为一啊？看到没有，这不前面是个系数一吗？好，它把 c 一 赋值的是一个一， 是吧？其通解把 c 一 c 二赋值了，那就变成其次的特解了。那你不管根据其次通解也好，其次特解也好，你都能能看出来这个根据通解的结构或者其特解的结构能看出来这个特正根的一个情况，是吧？所以它是这种结构来的呀，那我们就知道了啊，其次， 唉，其次，维恩方程对应的特征方程它的一个特征根的一个情况，是吧？其次，嗯，其次，维恩方程啊，对应的特征方程 的特征方程的特征根，对吧？就知道了呀，是重根的情况呀，是吧？一啊，你看 r 等于 r 一 等于二等于一啊， 好，重根根已经知道了，那么其次的可证方程自然就出来了，是吧？那就是 r 减一的一个平方等于零啊， 那就是 r 方减去 r 二， r 加个一等于零。好，其次的微分方程就出来了，是吧？你当然会写啊，那不就是 y 撇撇减去一个二， y 一 撇加 上一个 y 吗？你别加一啊，加 y 啊，等于零。好，其次微方程已经有了，我们把，哎，这里添个小 f x 就是 非奇微方程了，把小 f x 解一下，是不是？所以啊，我们的 非奇文方程就是这个样子的，把它解，把它解一下，那现在是非奇文方程，我们带一个特解，是吧？那特解的话， 那非奇的特解也是啊，就是非奇的特解也是因为也是通过非奇通解来的。非奇通解就是奇通加非奇特奇通呢？哎，他带这个是吧？他带 c c 二，给他负一个 c c 二负值。好，再加个非奇特，就是现在的一个非奇通变成非奇特了。 反正我们找一个啊，这个二结常系数非奇次元方程的一个特解带过来，找一个解带过来是吧？好，带过来，那这个就是，是不是带过来，我们把小 f x 求一下啊，这是法一。 好，那我们带过来，那对吧，这是这个 y 一 肯定要满足这个 y 方程嘛，那它等于 x， e 的 x 次方加 e 的 负 x 次方。好，我们求导，因为要带到这里面，求一阶导，二阶导呀。好，这个求导估计同学们都记下来结果了，是吧，它是 x 加 e 的 x 次方，再加上它，那就是负的求导啊。 啊，好，再求二阶导，二阶导，这个估计记下来了吧，你没记下来，你再去写一写，都可能都记下来，这样的，是吧，他的高阶导的公式了啊。好，这边求导就是他的啊，你自己可以算一下。好，后边求导，那就是加上一的负 x 次方。好，我们就代入，是吧？代入这个一式啊，就把这些吗？ 好，代入一式，我们看 y 两撇， y 两撇就是它减去二倍的 y 一 撇就它吗？二倍的，减去二倍的它，那再就是加上二倍的它，是吧？搞清楚啊，再加上 y 加上 y， 是 吧，就等于小 f x， 我 们可以去化简一下，可以吧， 把 e x 次方都 e 的 负 x 次方都可以提出。嗯，我这里是不是这里写的对不对？对的啊，我们把 e x 次方和 e 的 负 x 次方啊整理一下，我们看 e x 次方前面的系数啊，这有一个 x 加二， e x 次方前面的系数减二， x 减去一个二， 还有这里加上一个 x， 好， 这 e x 前 e x 方前面的系数啊。嗯， x 加 x 二， x 减二， x 加二减二没有了，所以 e x 方就前面系数就等于零了，这些 消全消掉了，那就看这里这里这里，是吧，这是二倍的，三倍的，四倍的，那不就是四倍的吗？是吧？四倍的 e 的 负 x 方呀，所以小 f x 就 求出来了。那当然我们的 二阶查系数非其次微分就解出来了，是吧？这样一个流程啊，好，就是 y 一 撇撇减去二， y 一 撇把这里斜过来啊， 加上一个 y 等于，哎，小 f x， 好， 这个就稍微慢一点点，但是能够确保你做的是对的，是不是如果我们对解的结构比较熟悉的话，我们找这个特解啊，可以找的更简单， 更简单的话求二阶导一阶导，是吧，那那你就速度就比别人快嘛。我们找特解可以找更简单的，也就是说法二，根据解的结构啊， 找更更简单，也就是说这个像素更少的，是吧？找更简单的啊。非奇特， 那非奇次特解，非奇解，我们往这里看，解的结构大家可以记一记，是不是？哎，多记一记啊，我们目标就是找一个非奇特解就行了，那非奇特解就是非奇解加，或者是减一个其次的解，我们现在题里面给了一个这个非奇特解，是吧？ 非奇解啊，非奇特解给了一个 y 一 x e 的 x 方加 e 的 负 x 方，我们如果能够找一个 y 三，那 这个其次的减，加上一个非其的减，嗯， sorry 啊，是非其减加一个。哎，这一个其减或者是非其减减去一个其减，它都等于非其减，我们现在是为了 让这一个非奇解呢，是比较简单的一个形式，我们想要想减，为什么？你，对吧？你有两项，我肯定不能再去加一个了，我加一个也行啊，加一个是负的也行，是吧？负的把谁消掉？反正我们肯定是想要只有一项了，对吧？你两项吗？我肯定再简单的形式不就是一项吗？只有一个项啊。 好，那你看一下啊，咱们奇通是知道的，对不对？那奇通知道的话，我就我想减去你，或者是我想减去你，都行，是吧？你看一下啊，我去再找一个奇奇特， 奇特的话就是奇通里面的 c c 二给它赋值不就行了吗？对不对？奇特的话我找一个 y 三，你看我把你赋成零，把你赋成一，可以吧？这不就是一个 奇特吗？或者你，你再去看一下 y 四，再找一个奇特，我把你赋成零。哎，这个啊， 这是 c 二 x， 是 吧？这是 c 一 啊，我把这个 c 二负乘零， c 一 负乘一，那就是负的 e 的 x 方，这负乘零，这负乘一是不是负的 e 的 x 方？这都是其次特解啊，咱们已经解释过了，不再解释了吧。好，其次特解我就找到了啊，比如说我找的是这个 y 三啊， 那我就 y 减 y 三，对不对？因为非奇解减去一个奇解就等于非奇解呀，他一减是不是就把这一个，哎，这个我不想求导的这一块给它减掉了，是吧？那就是剩的就是一的反次方。好，这就是一个。哎，非奇 非奇解，我们找了一个简单形式的一个非奇解，是吧？哎，你现在啊，用它去求一阶导二阶导，是吧？带到这个里面，那方便的很呀，或者呢，我们再找一个非奇解， 就一一个一项，一一个项的一个非奇解，那就是这个 y 四，是吧？那 y 四的话啊，就是奇解吗？我们现在就是非奇解加上一个奇解，因为你是负的吗？是吧？非奇解加上一个奇 奇解，好，它加上一个这个这个 y 四，那就是这个形式，是吧？那就把它给消掉了吗？是不是？那还剩的啊？就是 x e 的 x 四方了，那，但是这个它就没有，这个更 更简便，是不是更简变啊？所以说建议，哎，用它，也就说我们见到啊，这种这个非奇给的这个非奇特解的话，形式非常多的话，他有时候可能再给两项，再给一项，有时候见三项的啊，这个情况是非常多的， 你再去求一阶导，二阶导就慢慢一些了，所以我们想着去消掉一部分，对吧？那你就找一个奇解，找 一个奇减啊，跟它相加，是吧？它加一个奇减或减一起奇减啊，来，把其中一部分你看看是不是就是奇次的减，给它减掉，那就方便多了，你比如说我们就用它当非奇次的减，好，现在就求一阶导，是吧？这个我们就令为 这个 y 星，可以吧？ y 星等于它啊，你看一阶导，那就是它二阶导，哎，又回来了，是吧？你带到啊，带到一是， 嗯，二阶导式，它减去二倍的 y， 一 撇减去二倍的它，那就加上二倍的一个它，再加上一个 y， y， y 就是 y 星吗？对吧？ y 星啊，就是 e 的 反次方，这就是 f x 直接就出来了，是吧？就是这个意思啊，好数， 好，我们看十五点一零设函数 f t 在 零到正无穷上连续，哎，连续用在哪呢？我们稍后看一下， 且满足方程。他求 ft 这一块是个二重积分，那么他积分的结果是不是含有 t 啊，含有 t 的 一个表达式了，那么这前面是 ft， 我 们对等号左右两侧求导。哎，这就出来一个未分方程了，那么就是解未分方程的呀， 好，我们思路清晰了啊，去写就行了，先把这个二重积分给他解出来，这个二重积分，我们知道，他的一个 积分区域是个圆，圆心是零零点，半径是二 t 啊，这很明显吧，很明显啊，我们采用极坐标啊，进行积分比较容易。 c 它零到啊，零到二拍啊， c 它等于零到，二拍 好， r 点先写上，那么很明显是零到它的半径。二 t 是 不是这里面呢？ f 好， 这一块是 r 的 平方，开方呢？就是啊，开方是 r 的 呀，再除一个二，是不是就是他呀？哎，这个求积分简单呀，这都是独立的两个变量，那前面呢，是一个二拍求出来了，后面呢，就先写一下啊，就先写到这， 给他往这里先摆，往这一摆，那么我们再根据题里面的这个等式啊，给他抄下来。四排题的平方这一块就是我们求的这个二重积分，很明显让你去求导 哎，这里就是变现函数积分求导公式的一个应用，是不是？好，我们两边求导 哎，有同学说为什么能求导呢？这就用到我们题里面说的连续了，好， f t 连续，那么你的变现函数肯定是可导的，这是一个性质，大家知道吧，你也是可导的哎，你这边可导，你这边一定可导，是不是？所以可以进行求导。好， 你求倒的话，左边加个撇，后边一的四排 t 的 平方。好，负函数嘛，再乘一下，这是八排 t。 好， 后边二排这一块求倒简单呀。啊，我们把二 t 带到这个里面，二 t 除一个二是个 t 了啊，然后二 t 再求一下，这个倒是一个二， 是不是？那么还有一个 r， 这个 r 也别忘了啊，这个 r 的 话也要写成二 t， 那 就是一个四 t 了啊，这后面直接写个四 t 了。 好，这个得带完全啊，带，带完整不能漏掉。那么我们再写一下啊，八拍 t 啊，给它整理一下，后面二四得八，八拍 t f t。 嗯，我们再给它整理一下，这就给它整理成啊，一阶的限性非其次微分方程了， f t 减去一个八拍 t， f t 是 不是这就是有公式的了？ 这你整理完以后，利用我们的通解公式就可以了。好，所以 f t 把它的公式写出来， e 的 负啊，这个东西 公式要非常熟练，是不是一的它，然后这是 q x dx 加上一个 c。 好， 我们去看一下啊， p p t 是 谁？ 我们现在要求这一块，嗯， p t 的 话啊，就是我们前面直接写到这了啊，就是负的八拍 t， 那 这就是正的八拍 t， 那 么相应的后面这个就得是负的 八拍 t 了。哎，这个得弄弄清楚啊， q x 啊， q x 就是 我们的这个，这一块是不是 八拍 t， 一 的这一对给它抄上来啊，那再用小括号就行了。好，我们去积分一下， 等于一的，那上面的话，八拍提出来，那 t 的 平方除以二，是不是？那就四拍四拍 t 的 平方。好，后面 第一部分一的，那这上面的话就是负的四拍 t 的 平方，你看跟这个啊，他们两个就成完是一个一了，那这里面的呢？就是一个八拍 t， 是 不是八拍 t d x 干嘛 d t 啊？ d t 然后加上一个 c， 你 这个积分也很简单，是不是？好，我们直接擦掉给他写了啊，这就是 四拍 t 的 平方呀，我们擦掉啊，这积分不难呀，没什么难度。四拍 t 的 平方。好，这就是他的一个通解，我们找一下有没有出示条件，是不是出示条件一般从这一行这一行去找啊，我们找一下来，我们一般是把这个变现这一块给它变成零啊，变现积分这块就等于零了，那你 t 等于零的时候，我们看， 那你这是零，这就是一个一啊。好，那我们 f 零的话，哎，就是等于一了，是不是？好，根据出纸条件， f 零等于一，我们就可以解出来这个 c c 是 等于一，所以 f t 就等于这这个东西了啊，是不是？哎，一加上四拍 t 的 平方括号这一块抄一下。好，那这个题目呢，他就是花里胡哨的让你求一个二重积分，是不是也没什么难度？好，这个题目就讲到这里了， 好，我们看一下十五点一，一设四阶的，哎，这高阶的长期数，其次先行微分方程呀，那么第一问求通解，第二问求在 x 去零时四 x 的 三阶无穷小的解 y x。 我 们先看第一问啊， 这种题就是特征根法，是不是？我们把它的一个特征方程求出来，然后把它的特征根求出来，特征方程不用求，直接就能写出来。好，我们写一下它的一个特征方程， 这个回写吧，四次方减三次方加平方减二等于零，这也高阶的啊，去解这个根，不要去害怕，同学又解不出来，你怎么能解不出来呢？描圆法，是不是？我们去猜根啊， 猜根，猜根的话，哎，就是零，正负一常见的这几个，哎，你就记住，哎，这几个肯定能用上，你大眼一瞟，首先有一个根是等于零，是不是？那你有一个零就好说了呀， 那么我们给他改写成 r 乘以 r 的 三次方，减去 r 的 平方，加上 r 减一，这个就是 r 减零的意思，也就是有一个根是零了呀。好，那你这个写成这个样子之后， 我们再去猜一个根，哎，你再去猜一个根也很好猜，是不是？我们说了，哎，你猜个一试试，猜一个一对了呀，是不是？好，所以他这里面可以拆成 r 减一，这个 r 给他写前面了啊。好，你后面，你 r 减一，后面乘的这一堆，他们两个乘完之后得是他。好，那你这个有个负一，那很明显这里是有一个一，是不是？ 好，你这是 r 的 三次方，很明显这是 r 的 一个平方，那你再加一个谁呢？好，你这用待定系数法都可以求出来加一个谁，是不是？哎，这里面就是相当于 a 倍的 r 的 平方加上 b， r 加 c 啊，你就是写成这个样子，你也能待定出来。 好，我们求一下，发现，哎，这个地方是个零，所以它就是 r 的 平方加个一啊，哎，这种题啊，分解音式一般猜一次猜两次就能够把这个式子给它写出来了呀。所以这个 r 一 等于零， r 二有一个一，那这一块它等于零，这是负根了，是不是？ r 三 r 四，它是等于正负 a 呀，这个得知道吧， r 的 平方等于负一， r 等于正负 i， 这相当于我们说的啊， r 法加减这个 beta i 是 不是它的 r 法取的是零， beta 取的是一呀， 所以把通解给它写出来，哎，它的通解的一个结构，哎，你大家都知道啊， 好， c 一 倍的 e 的， 哎，它有个根是零，那你就这样写零 x 方加上 c 二倍的 e 的 一 x 方，是吧？第二个根是一啊， 好，后边还有两个根，它这是负根了，所以它是 e 的 这个阿尔法 x 次方，然后 c 三倍的 cosine better x better 是 一啊，所以直接是 x， 那 c 四倍的还有一个 c 阴 better x， 那 就是 x， 是 不是？ 好，所以我们就把这个写出来了啊。 c 一 加上 c 二 e 的 x 次方， c 三 cos x 次方， c 四 c x 次方，是不是你就椭圆方程写出来？求根的时候用拆根的思想啊？分解因子， c 一 c 二 c 三 c 四为任意常数。 好，我们看一下。第二问， x 去零的时候求的是，去零的时候是 x 三阶无穷小的解 y x 不要被它绕进去，它的意思很明显，就是让你求 y x 比上 x 三次方， 是不是他们的极限是等于一个常数，不能等于零，你等于零的话，你就属于 y x 是 x 三次方的一个高阶，无穷小的啊，他是他的三阶，那么他们比完的极限是等于一个常数 a， 那 么我们就去求这个极限呀， 再用我们的眼睛啊这个描眼法再去描一下，你看我们的 y x 在 这呢，哎，我们这里面有 e x 次方，有 cos x c x， 好， 很明显我们选择泰勒，是不是我们用泰勒公式展开， 哎，因为是跟这个三次方比嘛，我们把这个三次方这个向都给它展开，是不是好 再去回忆一下啊。这几个公式 ex 他的啊，展开到三三次的就可以了啊， 这个是三次方啊，后边高阶的往这一写， cos x， 哎，还记得啊，这些基基基本功啊。好，这后边啊，高阶的了啊。呃，因为他后面再加的话就是四次方的了，是不是？那其实就不用写了啊。好， 因为我们用到哪一节我们就写到哪一节啊。六等于 x 三次方后面也是三节的，其实这里你也可以写上他是 他都没有三三次方，你写这个四，这个四节的他下一他下一项不是四次方的吗？那你也是哎，三次方的高阶，你四次方不是三次方的高阶吗？就这样写就可以啊。 好，最佳方法是泰勒公式，当然你也可以用洛比达，你求出来就可以好不好，我们就选择最佳方法了啊，你这展开式多多方便呢啊，你看 c 一 加上 c 二倍的 一 x 方，哎，给他写展开了啊，开始展开二次方，六分之一倍的 x 的 一个三次方。好，我们高阶的话啊，写到最后啊，高阶稍后我们写到这个最后就行了。 那么继续啊， c 三， cosine 的 x 方 x 啊， cosine x 展开两项就可以了，是不是我们把高阶都写到后面了啊？ c 四倍的，你 c x 的 话。好，我们也是开始展开 x 减去六分之一倍的 x 的 一个三次方， 是不是？哎，这高阶我们往前面挪一下就行了，你写那么多有什么用呢，一次就代表了。好，我们整理一下呗。 好， c 一 加 c 二加 c 三，是不是？哎，这个是常数项，你看 c 二 c 三加上带有 x 的 项，我们能够合并的项有 c 二 有 c 四，是不是有 c 二有 c 四呀？好，再看一下，有平方的这个项，能够合并的平方的项，这里有一个二分之 c 二， 平方的这里有一个减去二分之 c 三没有了，是不是加上还有三次方的项能够合并的？好，前面这里有六分之 c 二，三次方的这里有减去六分之 c 四， 是不是？好，把这些啊？这横线擦掉。那我们你看，比上三节，比上 x 三次方得等于一个长数，那么我们这些得等于零，这得等于零，这得等于零，是不是？好，这个， 这个不能等于零了，你是三次方，你也是三次方，你俩比完得是个长数啊，所以你这块不能等于零了。好，我们去写一下， 所以 c 一 加上 c 二加 c 三得等于零，这得清楚吧？你这些如果不等于零的话，我们举一个例子，比如说这一块你再除一个 s 三次方，你下面 比上面这个次数高呀，你这个去零的速度很快，你这样的话，零分之一个相当于一个零分之一个常数了，你是无穷了呀，是不是？这是不满足提议的，所以这些都必须得等于零，这些系数 c 二加 c 四等于零。 好， c 二除以二减去 c 三除以二等于个零， c 二减去 c 四除以个六，这个不能等于零了，是不是？ 我们解一下，这解很简单吧，我们看第二个，第二个的话可以看出来，就第二个式子啊，这一二三四啊， 因为第一个式子有三个嘛，我们先看第二个式子，第二个式子的话，那 c 三， c 二啊， c 四是不是第二个式子？ c 四可以解出来是负的一个 c 二，第三个式子啊，第三个式子，我们可以看出来 c 三是等于 c 二的，是不是？ 这样的话，我们 c 一 加上一个 c 二，再加上一个 c 三， c 三就等于 c 二。 好，它是等于零的，所以 c 一 等于负的二倍的一个 c 二，那么第四个式子 c 二是不能等于 c 四的，我们令这个 c 二啊， c 二作为一个中间的一个中介了，是不是我们令 c 二等于一个 c 就 可以了？ 令 c 二等于 c， 这就可以了呀，所以我们这个时候就是正确的答案了。好， y x， 你 看这些是不是好 c 一， 你就给它写成负二倍的 c， 加上 c 二，就是一个 c e 的 x， 次方加上 c 三， c 三的话也是一个 c。 好， cosine， 一个 x 减去 c 四，减去一个 c 啊，减去 c， 然后 c 一个 x， 因为 c 四是负的一个 c 二，所以是减去 c 倍的 c， 嗯， x， 那 你这里整理一下啊，我们把 c 可以 提出来啊，负二加上这一对， 好，是不是？那么 c 为 c， 为不为零的，你不能为零啊，不为零的任意常数，是不是？ 这个一定要注明它是不能为零呀，这肯定是不能等于零啊，你再等于零的话，你比如说 c 二等于 c 三啊，它都等于零，这一块都等于零了啊，这是不能等于零的系数。 好，那这个题啊，用泰勒公式是比较简编的，你可以采用其他方法，比如说洛比达，是不是啊，但是呢，这个还是推荐泰勒公式，你直接把三次象的啊，这个，呃，象给他展开，对吧？三次的前面的象呢？都给他展开。 好，那对于高阶的乘系数。其次，线圈微分方程要会解它的一个根啊，就用特征根法嘛，去解根就是去猜啊，猜一次两次就能猜出来了啊。好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看十八题，设函数具有二阶导数，曲线 l 与直线相切于圆点，这句话能得到什么信息啊？好，首先 y 零等于零，是不是都过圆点？这个很明显零等于零了啊，能得到这块的一个信息啊， y 零等于零。好，他既然相切于圆点，其实这个 y 等于 x， 就是 这个曲线啊，在零点的一个切线，对不对？切线的斜率是不是等于一啊？是一啊，所以啊，那么 y 对 于这个啊，对这个曲线 l 啊，这个他在零点的导数值是不是就等于一啊？好，导数值等于一，就是说这个 k k 呀，斜率等于一啊。好，这是一个得到信息啊，我们记 r 为曲线 l 在 x y 处切线的一个倾角， 如果 r 法对 x 求到，等于 y 对 x 求到，求一下啊，这个曲线的一个表达式， 这一句话能得到什么信息啊？阿尔法是曲线在这个点处切线的倾角。 好，倾角。那么贪进的阿尔法是不是表示这一点处，就是说这个切线的斜率啊，对不对？斜率啊，贪进阿尔法就是曲线 l 在 这一个点处 切线的一个斜率啊，它念法斜率的话，我们是可以用导数来表示的，对不对？哎，就这个意思啊，好，就是 y 在 x 这一点的一个导数啊， 那我们的信息已经哎挺多了啊，去写一下看看啊，这个题的方法是比较多的啊，首先由提 我们能够知道啊， y 零等于零， y 一 撇零等于一。好，还有这个贪心的阿尔法 等于写，写成 d y 比 d x 放前面啊，好看一点。好，等于贪心阿尔法，还有阿尔法对 x 求导，等于 y 对 x 求导。 哎，你看啊，这是 y 对 x 的， 这是 y 对 x 的， 这思路是比较多了啊。首先第一个想法 看好了，我们想用这一块去解题的话，好，这两边是不是可以积分啊？两边积分的话，那我们得到的是阿尔法 对 x 进行积分啊， r 法是就等于哎， y 加上一个常数啊，对不对？好，你看 r 法是关于 x 函数， y 也是关于 x 函数啊，那你求导的话，是不是哎，他对 x 求导啊，好，你这边求导，你这边求导啊，是不是就是他，这个得能看出来啊， 这个 r 法怎么去给它解出来它表达式呢？好，这是 dy 比 d x， 这是 dy 比 d x， 我 们可以让它相等嘛，对不对？都相等呀，所以这个跟这个是相等的吧。好，那么，所以啊，根据这一堆的话，我们就能得到啊，这个 r 法 d x 求导，就是贪心的 r 法， 是吧，你要得到阿尔法，你肯定要去找阿尔法息息相关的这个式子呀，这不是可分离变量的一个微分方程吗？能看出来吧，把阿尔法的移过来啊，把 x 移到这边。好，我们是可以得 这边除一个，它念 af 啊，这边除一个它念 af， 这边也除一个，它念 af 啊，所以你这个它念 af， 除到这边的话，所以就是 call， 它念的 af 就是 call c in af 比上 c in af， 这没问题吧。这除一个贪心算法为一了啊。这边的话除一个贪心的算法，贪心算法在底下了。贪心算法分之一不就是 cosine 算法吗？就是 cosine 比上 c 啊。好。 d r 法这边，哎，乘一个 d x， 这边乘一个 d x 啊， 这不是可分离变量的微分方程啊。好，我们再去积分呀，两边积分。 积分也比较简单啊，你要么就是直接记住 counting x 它的一个不定积分公式了，你记不住，这直接凑为分也能写出来吧。 d c 是 吧。哎，积分一下，这不就是 lo in 好， c in alpha 是 不是等于这个 x 加上一个 c e 啊？后面可能要用常数啊，我们先写一个 c e， 我 们能得到啊。 c r 法绝对值是不是就等于 e 的， 哎，把这个给它搞出来啊，你要求 r 法，你别忘了啊，给得把 c r 法这会搞出来。 e 的 这个 x 加上一个 c e 是 不是？好，你得可以写成 e c 一 乘以 e x， 我们把绝对值去掉之后，好，你这边是不是得带正负号啊？ e 的 好， c 一 e 的 x 方，你这一块不是一个常数吗？是不是这其实就是一个常数啊，我们可以令它为一个 c 二吧。好，可以令它为一个 c 二啊。 好， e 的 一个 x 方。或者呢？你这个地方啊，你写这个 s 加 c 一 的时候，你直接这样写啊，我们写到这了啊， c f 绝对值等于你有 x 吗？我们可以写成 lo in e 的 x 绝对值啊。 e 的 x。 好， 你给它加上绝对值。为了我们去对应啊。 好像再加一个常数，我直接加上这个 lo in c e 是 吧，我直接这样写没问题吧，你看这一块开出来不就是 x 吗？ 好，加一个常数，只是说这个常数啊，这个 c e 得是大于零的，对吧？没关系的啊，这个只是说为了去解它。好，你看这一块 lo in 两个相加的话，是不是可以写成 lo in 这两块进行成呀？好，也就是 c e 的 x 次方， 是吧。所以，哎，这个 c e e 的 x 次方 也就相当于我们这这样解的话啊，这个 c 一 就是跟这个 c 二是一个意思了啊。 好，总之你现在能得到啊， c 引 r 法是等于啊，一个常数乘一个 e 的 x 次方，我们把这个常数给它定出来呗。好，你看 x 等于零时， 又因为还有等于零的时候啊， y 一 撇零，对吧？是等于一的啊， y 一 撇零是啥呀？是个 tan 的 r 法呀，是吧？ 好，它是等于一，这是一个出式条件啊，给得过来。 tan 减法等于一，那就是 r 法等于四分之派， r 等于四分之派啊，我们可以把这一个 c 二解出来。 sin 四分之拍，是不是二分之根二呀？得，等于这个 c 二乘以 e 的 x 是 等于零。 e 的 零次方不是等于一吗？所以 c 二可以解出来啊，是等于二分之根二的， 没问题吧？ ok， 这 c r 不 就出来吗？走 c r 法啊，就等于二分之根二， c 二乘以 e 的 x 四方呀。好，我们终于啊把这个 r 法给解出来了呀，所以 r 法就等于 ark， 对不对？ c 二分之根二 e 的 x 方，这会写吧，哎，写出来之后我们，哎就知道了啊， r 等于 y 压 c 嘛。 嗯，你再写一下，为什么啊？因为 r 对 x 求导，等于 y 对 x 求导，那么两边积分啊， 写过来，那 r 法就等于 y 加上一个 c 是 吧？我们正刚刚这写的一个 c 一 嘛，这个就写 c 了啊，把这个 c 定出来就行了。 所以我们把 y 解出来，最终要写成 y 等于多少嘛？那 y 就 等于 r 法减去一个 c， 是 不是 r 法给写过来了呀？刚刚不是已经 费劲千辛万苦解出来了，也没多大劲啊，没费多大劲。好，这是 r 法啊，减去一个 c， 出水条件带一下呀， y 零不是等于零吗？对不对？又因为 y 零等于零，所以 c 解一下啊， y 等于零啊， x 要等于零带过来，那就是 e 的 零次方是不是等于一啊？也就是 arc c 二分之根二，是不是这一块啊？ arc c 二分之根二。这边呢，是减去一个啊，这个 c 二个 c 二分之根二，也就是 c 多少等于二分之根二呀，是不是四分之拍呀？哎，四分之拍啊，四分拍减多少等于零啊，所以就是四分之拍啊， c 呢是四分之拍。好，这不就完事了吗？解完了吧， 总结一下就行了啊。所以呢，我们这个 y x 就 等于二克 c 二分之根二，一的 x 四方减去一个 c 就是 四分之 pi。 好， 这个啊，是这个题目啊，最优的一个解法。后面我们再介绍两个方法啊，就是用微分方程 与直线他相切于原点。这句话他的意思是什么呀？就是告诉你一个出式条件啊。好，他既然都相切于原点，他们都过这个点，并且在这一点的斜率相等，这点能够知道吧？好，那就是 y 零等于零， y 零一撇就等于一啊，斜率啊一，是不是斜率得相等？好，出式条件知道了，那么剩下的就是建立一个微分方程的， 我们记阿尔法式曲线 l 在 嗯， x y 处切线的一个轻角，注意是切线的轻角，这句话你得能够找出来一个关系式出来啊，不然人家给你这句话干嘛的呢？是不是你得找一个有用的信息出来？假如说我们的曲线 l 就 这个样子啊，就这个样子吧。 好啊，那这个点就是 x y 好 这一处的一个切线呀。好，切线往这一划，那么这个清角阿尔法，那贪心阿尔法不就是这一点的斜率吗？这个关系得，知道吧，是不是这一点的一个斜率啊？是不是？假如说这个点是一一点，那你贪心的阿尔法 是不是 y 比 x 啊？是不是贪婪的阿尔法 y 比 x， 那 就是等于个一，所以那个斜率就是一个一。哎，这个，这是中学的知识啊，就不解释了。贪念阿尔法就等于这一点的一个斜率， 如果它等于它，哎，这个我们能看出来，阿尔法是关于 x 的 一个函数，是不是？那么求一下 y x 表达式，很明显，我们建立微分方程，再根据出式条件啊，给它解出来这个表达式就可以了。好，我们写一下 由提议我们可以知道的信息先给它摆出来，这样的话至少能得个一两分了，是吧？ 好，等于一，我们还知道说了啊，这个得给他写出来，这个信息得分析出来。好，这就等于 y 一 撇是吧？啊， y 一 撇就默认的是 y 对 x 求一节导的意思啊。好，这个地方我们建立微分方程有两种方法，可以两边 直接求导，两边同时求导啊，同时对谁求导呀？肯定是对 x 求导呀。 好，那我们看一下，前面是 second r 的 平方哎， r 也是关于 x 的 函数呀，所以 d r 比 d x 是 不是复合函数？ 复合函数求到啊，能看出来等于这个这边求到是 y 两撇了好，那么 second r 的 一个平方，我们可以给它整理成一加上 tan in 的 阿尔法的一个平方，是不是好，它是等于谁？题里面告诉我们了呀，是 d y 比 d x， 也就是 y 一 撇呀， 它就等于 y 两撇好， tan in 的 一个阿尔法在这呢啊，它就是等于 y 一 撇，所以这个地方就可以给它写成 y 一 撇的平方，是不是我们直接改写了啊？这写不下了，因为 y 一 撇的一个平方。好，这样的话，哎，微分方程就出来了，我们稍后去解它就行了。 或者呢，这个地方我们看这题里面呢，哎，是 r f 对 x 求导，我们把 r f 解出来呢？对 r f 可以 解出来呀， r f 是 ark tangent 的 y 一 撇哎，这没有问题。是不是？好，那 d r f 对 d r f 比 d x， 不 就是 d r f 对 x 求导？好，那就是 d r f 比上 d x 好，那你求到这是负函数求到一加上 y 一 撇的一个平方，分之 y 两撇，是不是负函数求到啊？好，这样的话， d r 比 d x， 它又是等于 dy 比 d x 呀，就等于 y 一 撇，你看他们两个是不是一样的？你看 y 两撇，等于它乘以它，这 y 两撇都等于，就等于啊，它乘以它一样的啊。好，继续 我们再整理一下这个啊，微分方程是 y 一 撇加上 y 一 撇的一个三次方，是不是等于 y 两撇啊？这里个他们两个乘一下， 那么这个时候我们分析一下，用啊，什么方法去解了，是吧？哎，这是可降解的呀，你可以给他看成不喜不含有这个 y 的 一个微分方程，或者你给他 看成这个不含有这个 x 的 一个微分方程。好，我们两个方法都给它做一下啊，对比一下。好，我们先是方法一， 我们另 y 一 撇等于啊，这个 p x。 好， 这，这种啊，就是给它看成不含有因变量 y 的 微分方程啊，那 y 两撇是不是就等于 p 一 撇呀？ 好，那就等于 p 对 x 啊，求结导的意思。好，那圆方程看给它化成什么样子了啊？ 化为了圆方程在哪呢？在这呢，是不是可以给它写成 p 一 撇加上 p 的 一个三次啊？ p 呀，这个是 p y 一 撇是 p 吗？好， p 加上 p 的 三次方是等于 p 一 撇的，我们把 p 一 撇写到左边啊，这样 走到这很明显变量可分离，是不是变量可分离啊？所以第一 p 除以把右边的挪过来， p 加上 p 的 三次方。好，左边有个 d x 给它挪到右边，那这就是两边积分， 两边进行同时积分了。好，你，你变量可分离就是来积分了啊。好， p 加上 p 的 一个三次方。哎，我们给他提出来一个行不行呀？ p 一 加上 p 的 平方，好，分之一抵 p， 也就是对这个一进行积分了。好，这里的话我们也有两种方法，第一种，我们分子分母都给他乘一个 p， 这些做题的一个小技巧啊，大家掌握一下。那么下面就是 p 的 平方一加上 p 的 平方， 这个目的是什么？很显然想去凑微分。好，他凑过去，这就变成二分之一倍的好，第一， p 的 一个平方是不是？哎， 那么我们给他拆成两部分呀，哎，这很明显可以拆成两部分，是吧？直接就是 p 的 平方减去一加上 p 的 平方，好，这都根本都不用补细处了，哎，这就直接可以拆的好， 这样的话，他的一个结果也很明显，就是 low in 的 绝对值， p 的 平方除以一加上 p 的 平方，没有疑问吧。 好，那么第二个方法呢？就是我们不给它乘一个 p 啊，分子分母不给它乘一个 p， 那 么我们就去硬拆。拆的话，我们是学过啊，有理式，这个拆的拆，拆的方法是不是给它 分母这一块啊？我们给它写成 p 分 之 a， 是 不是加上 e 加上 p 的 平方，哎，这个 b p 加 c 啊， 也就是我们的分子的这一块，他的一个屁的一次方，是比这个下面啊低一次的是不是？那你这个二次，所以上面是一次的，这是一次的，所以上面是个常数啊，这个大家知道这个规律啊，然后我们用待定系数啊，用待定系数给他 啊，给他带出来这个好，那么就可以求到这个 a 是 等于一，大家去求一下啊，就很简单的， b 就 等于负一，所以也能给他写出来啊。 好，课下啊，大家就把这个写去写一下啊，积分的一个结果，最后算一下，我们就按第一个方法继续往下面走啊，好，我们继续往下走，现在的话，这一块是他的一个积分的结果，我们再写一下啊， p 的 平方除以一加上 p 的 平方加个绝对值。严谨一点。好，你后面是一个一，也就是积分的结果是个 x， 我 们为了啊，给它凑成一致的啊，好进行合并嘛。那你 x 完全可以写成 ln e 的 x 的 一个绝对值， 没有问题吧？我把这个绝对值去掉之后是 low 完全可以去掉，是吧？那你结果不也是 x 吗？我就给它写成它好 low in 的 一的 x 绝对值，我是不是还得加一个长竖啊？我加个长竖，我就加一个 low in 的 换一个 b c 一 这个绝对值我就这样写，没有什么问题啊，这都是为了凑凑形式啊，是吧？我长竖我想怎么写怎么写，你不用管我啊。好，那么我们去整理一下。 好，哎，你看这个前面这一块啊，绝对值，我们把这个二分之一给它挪到这个位置啊，那就是根号下 p 的 一个平方，因为他都带绝对值了，我们直接啊挪一下 p 的 平方加上，哎，对对， p 的 平方加个一，后面就是 c 乘以 e 的 x 次方，是不是他们两个合并，这个二分之一挪上去，他们都带绝对值，所以这就直接可以啊，给它开出来。 那么这个样子我们看啊，再带一下出式条件啊，快接近尾声了啊。好，我们出式条件 y 零是等于零， y 撇零是等于 y 撇零是，在这里我们就是一个 p 零呀， p 零是等于一，所以 c 一 可以求出来，是不是 x 等于零的时候， p 等于一。 好，这就底，前面这个就是根二分之一，是吧？好，后面就是一个 c 一， 所以 c 一 就求出来了，就是根二分之一， 所以 p 的 一个平方除以一，加上 p 的 平方。好，我们进行平方，两左右都进行平方一下。好，根二分之一平方一下就是一个二分之一，后边这个平方就是，哎，他这个一的二 x 方呗。好，那么再去整理一下， 就是二 p 的 一个平方等于 e 的 二 x 方，加上 e 的 二 x 方乘以 p 的 平方，这没问题吧？啊，这个整理一下是不是 好，我们的目的啊，就是把 p 给它解出来嘛，好， p， 嗯， p 的 平方可以先解出来， p 的 平方就等于 e 的 二 x 方。好，除一个二减去 e 的 二 x 方，没问题吧？所以 p 可以 解出来， p 就 等于根号下这一对是不是 e 的 二 x 次方除以二减去 e 的 二 x 次方。这里大家不要去纠结 p 为什么不可以是负的啊，出示条件它已经暗示了是不是，你看， 哎，有同学说，那这只是代表一个点处啊，你注意，这是一个应用题，是一个实际问题的啊，它一个点处，它就是暗示你这个 p 啊，它就是取正的， 或者你在这个地方其实绝对是就可以直接打开的意思，懂不懂我的意思，你要站在出体人的一个角度上去解决问题，不要去搁这，哎， 钻牛角尖啊。这个不要觉得一个点处 a 是 一个一是正的，你就觉得其他点它能代表吗？它的意思就是去正的意思啊，我们不要去纠结这一块啊。好， 那么 p 是 谁呀？ p 是 这呀，哎，是 dy 比 d x， 我 们就直接啊变量分离了啊， dy 直接等于这个后面这一块我们，哎进行给它啊，开放了啊， 写一下吧，同学，别跳步，整不明白了，二减去一的二 x 次方。好，我们把 d x 现在挪过来，可以吧？好，这个开放。这，这个二 x 给开了之后，就是一个一的 x 次方了，这一点能看出来啊，这是一个一了啊，所以 这个 y 我 们进行去积分了啊，就不写这么多了。好，这里 e 的 x 方除以这一堆二，减去 e 的 二， x 可以 写成它的一个平方。目的很显然，我们想去凑个微分，是不是他跟他凑到一起啊？ d e x。 好， 上面这个你就得擦掉，那这个是一个公式啊，这个公式大家很熟练吧， r c n 的 a 分 之 x 是 它吧？好，你这个时候加一个常数，我们再利用出式条件。哎， y 零等于一个零，这个时候可以把出式条件解出来，我们看啊，嗯， y 零等于零。好，这是等一个零，那么 x 取零的时候，这个是 r c 的 啊，根二分之一，这是加上一个 c 二。哎，这一块是谁啊？ r c 多少等于二分之根二啊，是四分之拍呀，所以 c 二是负的四分之拍 是不是解出来了呀？那所以 y x 表达式就可以写了啊，它就等于 r c n 的 e 的 x 方除以一个根二减去四分之二。好，我们也用另一种方法啊，给它写成不含有 x 的 一个微分方程去解一下啊。 法二写不下了啊，写到这了，那么我们令 y 一 撇等于 p， y 是 不是这些啊，得熟练的应用啊， y 两撇就是 p， 哎，底 p 除以一个 d y， 那 么我们的圆方程 就转换成什么样子了呢？化为啊，化为。好，我们把刚刚写的这个文方程先写到这里啊， y 两撇等于 y 一 撇，加上 y 一 撇的一个三次方。 好，那么 y 两撇就可以给它写成一个 p 乘以底 p 除以一个 dy 好， 等于 p 乘以一加 p 的 平方，没问题吧？好，这个整理一下啊， 它是变量可分离，是不是都是这个套路啊？一加 p 的 平方分之一， p 跟 p 消掉之后啊，是不是变量分离一下， d p 就 等于 dy， 对 不对？哎， p 跟 p 消掉啊，这个变量分离得很熟练，那么我们两边进行积分积分一下，这个好像稍微简单一点啊， d p 啊，写习惯了啊， 那你这个积分很简单， ark 摊进的一个 p 好， 它就等于 y 加上一个 c 一， 根据出式条件， y 零， y 零等于零。好， y 一 撇零，也就是 p 零是等于一的，我们可以把这个 c 一 解出来。 好， ark 贪进一是四分之拍，是不是你这是零加上 c 一， 所以 c 一 是等于四分之拍好，所以 ark 贪进的一个 p 就 等于 y 加上四分之拍。 我们想要的是解出来这个 p 在 前面的啊，一些题目里面多次讲到啊，这个反三角函数得会把它给它解出来， p 就 等于贪进的 这个 y 加上百分之四。这块不跟大家解释了，前面已经讲过多次了，大家这个画图的这个映涉关系要搞清楚，这就没有什么问题。好，那么我们仍然变量 变量可分离，是不是因为 p 是 谁呀啊？ p 是 dy 比 dx 呀是不是？你看哎， p 是 dy 比 dx 好， 又整成一个，哎，变量可分离在这里面啊，多次运用到要会好，那我们分离的话，把它除过来，它除过来的话是靠贪心的 y 加上四分之派，没问题吧？你 x 给整过来好，它就 等于哎， d x 呀，是不是变量可分你分你？对了啊，我们两边进行积分，这样积一下啊，直接写了啊。好，这积分的话，好，那我们这里给它改写一下，你 call 裁剪不就是 cosine 除以 sine 吗？ 好，你这样的话，哎，就很明显，我们凑一个微分，它凑过来，是不是？哎，直接写过来了啊，写，写成 decin 这一堆了。 decin y 加上四分之派没有问题啊， 或者有同学我直接记住公式了是吧？他也是有公式的哎，但是考场上有同学反应不过来，其实就是这就是他的一个推导的过程，推导他的一个积分的一个公式的过程呀。好，他就等于这个 啊，这一块我们先我写到这。好，那前面这一堆是不是 low in 的 这个绝对值啊？ c in 的 y 加上四分之八呀？ 同样，后面啊，我们为了给它对应这个 low in 啊，所以给它写成这个，本身它的结果应该是 x 加 c 吗？我们给它写成 low in， e 的 x 绝对值。好，加上一个 low in， c 二的一个绝对值，没问题吧？ 哎，只是一个形式的一个问题啊，为了给它凑成一堆，你看这后面的话，我们给它写成 e 的 x 乘一个 c 二绝对值，这不就是绝对值里面的互相等了吗？ 哎，它就等于 c 二， e 的 x 次方，再加上出使条件 y 零等于零，我们可以把这一个 c 二给它解出来好，看一下啊， 这是 c 四分拍二分之二，就各二分之一，对吧？这是 c 二啊，各二分之一，这就是 c 二，已经求出来了，所以 我们现在这一块是 sin 的 这个东西是不是？那么我们把 y 加四分 z 给它提出来，那就是 ark sin 后边这一对 c 二是根二分之一 是不是？这不是仍然也求出来了吗？哎，一模一样的啊，我们再把这个四分 z 给它挪过去， 阿克森这一堆减去四分之派啊，都可以啊，你看结果一样吧，阿克森这一堆减去四分之派都可以啊，这两种方法都可以。感觉第二种方法好像还简单一点呢。 好，这些这里面用到的一些这个技巧啊，这些都都得会啊，都是很基础的一个东西。还有再说一遍啊，这个出题人的意思啊，这个 y 一 撇啊，我们是 y 一 撇，不就是 y 一 撇零，我们知道是等于一，这是一个大于零的。是不是我们在求解的过程中啊，直接把 p 大 于零啊，就把它看成大于零就行了啊，不用去纠结，不要去过度的纠结这些问题好不好？好，那这个题目就讲到这里了。 好，我们看一下，十五点一三数一数二啊，设函数 f x 可导，并且一阶导大于零。我们知道 f x 是 递增 曲线， y 等于 f x， 定义域是大于等于零，经过坐标原点，能够知道它给了一个出式条件啊。 好，其上面任意一点 m 处的一个切线与 x 轴交于 t， 又知道 m p 垂直于 x 轴点 p 好， 但这就是阅读理解，我们把它转换成一个图形就可以了。 好，已知有曲线，它它它啊，微成的面积与它的一个面积之比三比二，这就不用说了啊，我们去找这个关系，建立微分方程去求解就行了。这个图给它画明白就行了啊。好，画一下，这是 y x， x 是 大于等于零的，是不是 f x 过零零点，所以啊，它过这个圆点，然后它还递增，好，递增， 那么我们取一点 m， 这就是 x y， 是 不是做一条切线呀？切线与 x 轴相交于 t， 好， 做一个切线啊， 相交于 t， 那 么又垂直 m p 垂直于 x 轴，也就是这是一个 p 点。 好，那弄完了啊，给大家，大概已经画完了，有的同学说，我可不可以这个样子，你画一下你就知道了，哎，你这过零零点，你递增，哎，可能是这个样子的，是不是？你这样递增。好，我们取一点 m x y， 好， 做一个切线，那么你这个切线的话，我们交于一个点，是一个 p， 是 吧？然后做 m p 垂直一个 p。 好， 你到这的时候你就发现就不对劲了啊，我们 x 要大于等于零呀，那后面你再进行求面积什么的，你看这一段， 哎，这有 x 小 于零的部分啊，没什么意义了啊，对不对？你再往后看看啊， m p 以及 x 轴， mp 以及 x 轴以及这个曲线，那就是这一块好，它的面积与谁的面积呢？ m t p。 好，黑色的与这个红色三角形的面积比是三比二，你光个这样看，你也不可能，你这个大呀，你这个怎么能占三份，你这整个才占两份呢，这怎么都不对啊，你无论是这里，丁玉还是这里，你怎么都不对，就只有这种情况啊，就是这种情况，放心的画就可以了。 好，这个三比二是哪里呢？是曲线好， mp 还有 x 轴，那就是，哎，这一块它与 m t p， m t p， 那 就是这个小三角形啊， 是不是直角三角三角形好，他们的啊，面积之比是三比二，你看这多合理啊。好，我们要去看一下，这面积比的话啊，这不就是定积分吗？好，首先我们这个蓝色的部分的话，就是对，这个曲线，就是这个曲线 y 等于 f， x 在 零到 p 这个区间上进行积分就行了呀，这很明确吧，这个点的一个坐标，好，那就是 x 零呀。 好，这一块面积我们可以求出来，蓝色部分啊，这个区域就是净积分，那你这个红色的这个三角形的一个面积呢？哎，底乘以高，是不是除以二，你这个底的话，我们需要计算这个 t 坐标。 t 坐标怎么计算？你把切线计算出来呀，是不是？我们这不是有根切线吗？ 把这根切线计算出来，然后啊，令切线这个方程里面的 y 等于零，不就把这个 t 的 一个横坐标解出来了吗？ x 就 解出来了。好，我们去看一下啊，这个切线方程怎么去求啊？这很简单啊， 好，过， m 点的切线方程，我们给它设出来， 你 x y 已经用了，小 x y 已经用了，所以我们用大 x， y 好 点。斜式是不是减去这个点啊，过这个 m 这个点啊，好，等于 斜率，那就是这一点的一个切线啊，这一点的一个斜率就是，嗯，一截倒，是不是 y 一 撇啊， k， 这就是 k， 然后 x 减去小 x， 小 x 用了，用大 x。 好，我们令这个大 y 等于零解出来的这个横坐标，也就是这个大 x 就是 t 点的一个横坐标呀，是不是？好，我们可以得得什么啊？ y 等于零，就是这个样子的啊， y 一 撇，大 x 减去一个小 x， 哎，这个给它除过来。好，那么我们这个大 x 就 解出来了，是不是，哎，小 x 减去一个 y， 除一个 y 一 撇，好，那么 这样写吧，大 x 等于小 x， 它减它，所以 t 点的坐标可以写出来了啊， 我们说了啊，他只有这种情况你，你这个直接就求出来的，这个就是提点的坐标啊，我们刚刚画那个图是不合理的，只有这种图形啊，他是合理的，好，提点的坐标他，然后一个零，没问题吧啊， 接下来啊，就可以建立微分方程了呀。好，所以我们先去求一下蓝色部分啊，他对应的那一块，他的一个定积分啊，就是他的面积啊，求，定积分就是面积， 好，那就是零到 x 进行定积分，是吧？这还用解释吗？再说一遍啊，蓝色部分就是从零到 x， 好，这是 f t 这个函数 d t， 它的面积比上谁的面积啊？三角形的面积啊，三角形的面积是二分之一的底乘以高， 这个底的话，就是 p 点的横坐标减去 t 点的一个横坐标，是不是啊？很明显 p 点就是在后面啊，这个都毫无疑问的。好，那 p 点的横坐标减去 t 点的一个横坐标， 这个就是 t p 的 一个距离啊，你加上一个绝对值，哎，对，加绝对值是表示这个距离啊，我们要用这个距离。 好，这就是小 y 比上 y 一 撇，是不是，你看啊，算完之后你发现 y 是 大于零的啊， y 一 撇也是大于零的，它们除完之后肯定也大于零，所以那么 p 点就是在右侧， t 点就是在左侧啊，就是这个样子的。 好，那么这个是他的一个底，三角形的底，就写一下，这是他的一个底， 高呢，高就是这个 y 呀，是吧？高就是这个 y 呀，他们的一个比是三比二，哎，你就建立出来一个微分方程了，我们去整理一下啊。 好，写到左边了啊，零 x f t d t， 你 这个出现了变现函数，它肯定是求求，肯定是要考求导公式的，是吧，所以把它单拎出来啊，那么整理一下， 整理一下，这就是四分之三倍的 y 的， 哎，您他们两个一乘不就行了吗？ y 的 平方除以啊， y 一 撇没问题啊。好，哎，就用到求导了，两边进行求导， 求导的话左边就是 f x 了， f x 就是 y 呀，哎，这个给它改写一下，因为要用微分方程，要用这个 y 字母了呀。 好，后面求倒，我们把四分之三提出来，这是除法的求倒是吧，好，他的一个平方啊，你这个加个括号，加不加都行啊，你能够看出来就行，我们加一个，严谨一点啊，省得区分开来啊。为了区分开来，好，上面求倒，下面不倒， 注意这里负函数求导，还有一个 y 一 撇，为什么？哎，不要不要，不要太太慌啊，慢一点好，首先它求导是二 y， 对 吧？你 y 对 x 求导啊，我们是对 x 求导啊， y 是 关于 x 函数呀，所以 y 要存一个 y 一 撇，然后这前面的导，然后后面不导，就是分母不导啊，就是 y 一 撇，是不是 好，再减去这个不求的好，分母求的，那么就是 y 两撇，哎，检查一下啊，不要出问题，我们去整理一下啊， 整理一下的话，注意这都含有一个 y 啊，这个等号左右两侧这有个 y， 这有个 y， 这有一个 y， 要都给它除一个 y， 是 不是除一个 y 啊？ 那么我们出一个 y 的 话，看一下这边啊，看一下这边的一个分子部分，分子部分，这就变成了一个六倍的，好，我们分开啊，六倍的 y 一 撇的一个平方，减去，光看分子啊，是不是再减去一个 y 乘以 三倍的 y 乘以 y 一 撇两撇，没问题吧？啊，我们光看分子啊，整理一下，好，然后等于分母乘以，哎，这个对，是不是？那就是乘一个一啊，就是 y 一 撇 它的一个平方，然后这个四不要漏了啊，再乘一个四，四，给他写到这里。 好，你再整理一下，那这个很明显，三倍的 y， y 两撇等于，哎，六根四一减，是不是两倍的 y 一 撇平方啊？ 好，那这样的话，我们观察一下，这不就是不含有 x 的 可降解的微方程是不是？好，我们可以另 y 一 撇等于 p， y， 那么 y 两撇就等于 p 乘以 p 一 撇。注意，我们 y 一 撇题里面已经说了啊，是大于零的，所以这里要清楚的知道， p 是 大于零的，然后我们的 y 是 大于等于零，是不是 也仅在 x 等于零点啊，它是过零点吗？等于零。好，接下来，好，我们的方程 化为了什么个样子，看一下，方程在这呢啊，好，就化成三 y p， 然后 p 一 撇，是不是好，再等于二倍的 p 的 一个平方， 那么我们啊，给它整理一下三 y， 把 p 给它消掉一个，就是底 p 除一个啊。 dy 把这个 p 跟这个 p 消掉一个啊，它就等于二 p。 好， 那这就是变量可分离， 变量可分离， p 分 之一抵 p， 这个分离啊，也得熟练啊，三 y 分 之二抵 y， 分 离完以后，我们进行积分，两边进行积分。 好，那么它就是 low in p。 刚刚说了啊， p 是 大于零的，不用 p 再加绝对值了好，就等于后面的这有一个三分之二，是吧？然后 low in y 的 绝对值， y 也不用加绝对值了， y 是 大于等于零的，那么你现在 log in 在， 你在 log in 里面，那就是 y 大 于零啊，它也取不到零啊。 好，那么我们把这个啊，这个三分之二可以给它挪到这里吧，没问题啊，好，加上一个常数哎，我给它加上一个 log in c 一， 这里就要要求啊，这个 c 一 得大于零，是不是 啊，你得你得，有意义啊，你捞你的话，你自变量得大一点才有意义啊，好，所以这个 p 就 等于 c 一 乘以 y 的 三分之二次方，没有问题吧。 p 是 等于谁呀？ p 是 等于 dy 比 d x 呀，好， c 一 y 的 三分之二次方， ok， 这又是啊， 变量可分离是吧。把 y 的 三分之二次方挪到挪到这个左边，这就是 y 的 负三分之二的次方 dy， 把 dy x 挪到右边 c 一 倍的 dy x， 然后两边再进行积分。好，往这底下写了啊， 好，积分 y 负，这个对不对？按部就班，不要着急，越着急越容易出错，是不是 好， c 一 倍的好，对一进行求积分，好，那这求积分，这个是密函数啊，他是三分之一次方，这里补一个三。好，后面就是 c 一 倍的一个 x 加上一个 c 二，是吧。你这个常数别忘了呀， 我们这里可以用初数条件的呀，初数条件我们在这里都已经写了，是吧，这里可以写一下啊，有题可以知道啊，这个 y 零是等于零的， 又因为 y 零等于零，哎，我们可以把 c 二解出来啊，这很明显啊，你看 y 零等于零，那么这一块啊， 零，那零好， c 二零， c 二是零，所以三倍的 y 的 三分之一次方就等于 c 一 倍的一个 x， 再给他整理一下，就是 y 的 三分之一次方，就等于三分之 c 一 的 x 次方。好，再整理一下， y 等于多少啊？你是开三次方，那我后面给他进行啊，括号的三次方不就行了啊？好， 那么就是他的一个立方， c 一 除一个三，他的一个立方是不是？好，那你这一块的话是个长数呀，我们另这一堆等于个 c 没问题吧？好，这就等于一个 c， 好， 它是 x 的 一个三次方，注意，我们的 c 要要求大于零，是不是？ 我们在这里就已经说了，你这个啊， c 一 要大于零，你这一堆 c 一 除一个三，你定成 c 了，这个整体不也是要大于零的吗？或者我们去从这个地方去啊，验证啊，去理解，它也是要大于零的。 你看啊，我们 y， 你 现在要写成 cx 三次方，你求个倒，对吧？ y 对 x 求个倒，它就等于三倍的 cx 平方，这可是要求要大于零的呀，你这个要求大于零。好，你这是大于等于零的，你这个 c 得大于零啊。所以啊， c 得大于零， 是不是你不管是从这个地方还是从你，你最后写到这个地方，还是要去验证一下，这个 c 必须是大于零的？ 好，那这个题目啊，主要就是把图形给它画出来，然后就是求一个定积分，求一个三角形的面积，然后解出来一个微分方程，哎，发现是可降解的好不，显 x 的 一个啊，高阶微分方程， 那么就按部就班的啊，给它求求出来，最后再注意一下啊，这个 c 是 大于零的啊，就可以了，所以这个通结就是这个后边这个啊， y 等于 c 倍的 x 的 立方，然后 c 是 大于零的任意长数。好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看一下，十五点一四数三的啊，这差分方程的题不难。好，求一阶非奇次限行差分方程，满足出式条件的一个特点。好，我们把它的啊，这个， 嗯，整理一下。咋把参数方程整理一下啊，那它就是 y 的 x 加一对吧，减去 y， x 是 等于三呀，你这得能看出来呀。好，它对应的其次方程， 它是一个非其次的啊，求，求特解，我们先把通解求出来，然后先把其次的一个通解求出来，再求特解。好，这都是知道的啊，微分方程都学到这了，肯定知道。 好，把其次的一个特征根求一下啊，特征根，那么就要把特征方程给它写出来，是不是？ r 减去一等于零，那么特征根就是 r 等于一。好，其次的一个通解就可以写出来了。 哎，这些规则啊，给它记住， c 倍的这个 r 是 一，是吧， x 方，那就是一个 c， 我 们设一下特解， 按不就班，我用 y 星来表示。好，那么我们看一下啊， 这是一个常数三，三，它相当于后面成了一个一的一个 x 次方，是不是？好，我们这个一的 x 次方写到这里， 那么三的话，同次多项式就是一个常数呀，零次多项式是不是？哎，好，你注意你这个一啊，你这个一跟我的特征根啊一样了呀，相同了，所以这里要乘一个 x， 对 不对？所以它整个的话，这就不用写了啊，所以是 a x， 这个要会设它的一个特解形式啊。 好，我们去把这个 a 求出来，你带到这个方程里面，所以是 a 北的 x 加一减去 a x 等于三，哎呀，简单的很， a 等于三，那么 y 星就是等于三 x。 好， 圆方程通解求出来了， 非其次的通解，是不是？然后我们把出式条件一带就可以了？好，那就等于 c 加上一个三 x， 又因为 y 零是等于二的，所以 c 求出来啊， c 等于二呀，走， 那么我们需要所要求的这个特点啊，为多少？ y x 等于二加上三 x 是 不是？好，那这题目啊，都是有套路的，记住就行了。那这个题目就讲到这里了， 仅数三的好差分方程是不是求一下特解，那么我们观察啊，这是两部分，也就是两个函数的，我们要是求特解的时候啊，就是求两次就可以了呗。哎，这也没什么难的呗。好，叠加原理都说过了，是不是在前面遇到过了？ 好，我们去先写一下它对应的一个其次方程，因为它是非其次的啊，我们先把其次的通解求一下，再求特解就就可以了，加到一起，好，其次方程它吧，那么特征方程， 哎，就是求一些根呀，跟 v n 方程啊，对比着去学好，那么它的一个特征根是 r 等于三，好，其次的通解， 其次通解很好，写出来是不是 c， 然后啊，这个 r 写到这里，他的一个 t 次方 c 三 t 的 啊，就这样就行了啊。好，接下来我们去求两个特解啊，我们设方程 y t 加一，因为它有两部分啊，两部分的特解都要求出来。好，它等于二的一个梯次方的特解， 我们用 y 星一，可以吧？啊，两个嘛。好，那你设的时候注意啊，只看这一部分。好， 那么先把它抄这里，是不是，那么它前面因为是一个一，一的话，同次多项式就零次多项式嘛，就是一个常数呀， 然后注意啊，嗯，我们这个根，这个，这个，嗯，特人根是三，他这个底数，这个是二，是不是他们两个？哎，是不相等的，不相等，所以就不用乘一个 t 了啊。如果是特人根的话，这里要乘一个 t， 是 吧？ 好，那么我们继续。所以把 a 求一下，你带到这个方程里面呀，带到这里面 带一下，那就是 a 乘以二的，因为它 t 加一嘛，所以是二的 t 次方乘一个二，这个目的很明显，想把二的 t 次方消掉呀，减去三倍的 y t， y t 就 指 a 乘一个二的 t 次方，后面是二的一个 t 次方， 是不是？我们这都不看了。好，那你前面二 a 减去三， a 是 负， a 等于的一，所以 a 是 等于负一。好 记， a 等于负一，所以这个 y 形负的二的题词方呀。接下来我们把另一个特解设出来， 他是负一，是吧？哎，这个简单呀，负一就是一个常数，所以 y 二星。好，那你常数直接我们用一个 b 呗，那么把它带到这个里面。好，那你都是常数啊，所以是 b 减去三 b 啊，它都是常数啊。好，等于负一，那你这个 b 就 可以解出来，是等于二分之一，是不是？所以为二型 就是一个二分之一。好，那我们就可以写一下啊，这个它的一个通解了啊，所以方程的通解就是非其次的一个通解啊， y 就 等于给他写个小 t c 倍的三的一个题次方，这是其次的通解，再加上两个特解。好，这是一个减号啊，减去二的一个题次方，加上一个二分之一没问题啊，又因为给了一个初试条件。 好，我们可以把这个 c 给解出来二分之三呀，很好解，是不是？ c 减去一个一，加上二分之一，这是等于一 y t 嘛？好， c 就 等于二分之三。好，则方程特解求出来了， 给他写完整啊，二分之一倍的，哎，这个是，本来是这个二分之三，是吧？我们把三呢给它乘到这个里面，可以吧？哎，这 t 加一次方没问题啊， 是不是？哎，因为这个二分之三，我们把三跟这个啊合并一下可以。好，那这题没什么难的啊，记住他的套路就可以了。好，这个题目就讲到这里了。

章宇三十讲啃不动怎么办？学长去年也被三十讲折磨过，听课时觉得都懂，一下笔就猛，基础题正确率才百分之四十。 他后来才明白问题出在哪。第一，就把内容炫技太多，很多高难拓展，其实考研根本不考，白白消耗时间。第二，光听课看例题根本不行，知识点看似懂了，但一到自己选题自己判断怎么做时，漏洞全出来了。第三，刷题就像大海捞针， 不知道自己的弱点在哪，总是重复做已经会的，真正的薄弱点一直没被发现，还总是学了就忘。 但这不是老师的问题，而是视频课程的局限性，不同学习能力的人需要不同的节奏和重点，想学的扎实，关键是看一张刷一张题，及时查漏补缺，建立自己的学习节奏。智能型 ai 教练刚开始在美国伊利诺伊大学的概率课上使用时， 就是因为很多同学听课吃不透。一九年开放给考研同学之后，发现大家在高数现代上也有同样的问题。知能型的知识点分的很细，会找出你隐藏的弱点，把不懂装懂的，不知道自己不知道的都找出来，瞄准突破口， 用针对性的基础题把它补上。再回到综合题，就会发现能够融会贯通了。很多人刷到知能行等级二满，找出来一堆薄弱点后才发现，原来之前听课只听懂了百分之五十。原来老师有这么多话想对我说。相比较而言，伍忠祥的基础阶段难度较低， 是六六零简单题的难度，他会画出一些六六零重点题给基础阶段，缺点是基础阶段结束，解题能力还比较弱，强化阶段需要花的时间会更多。张宇的基础阶段，对标一千题，基础篇计算量较大，难度较高， 缺点是对基础薄弱的同学上手较困难，所以听课觉得很熟悉，一日千里，但看到题就萌， 知识点联系不起来。这是因为很多同学不懂怎么去打基础，以为基础就是听老师讲，不知道刷题才能最高效的联系知识点，知识点兼有联系，感觉就不那么散了，能够融会贯通了。

我们这个整个二零二七的考研，数学的基础才是讲，那么这个五块内容啊，就是这么多。这块是数学二不考的啊？数学二只有前面的四个内容啊，四个册子，那么数学一三呢？就是五个册子。

当代考研人四大美德，尊老爱幼。老头，奶奶，你来做。奶奶是不是你忙的？呃，接孙子，买菜，勾搭老奶奶。我也忙啊，对不对？动手能力强，拿着一个东西，我不知道这个题怎么做， 我今天心情不好，我就只做。我把这个题给你知解了。我拿了个题我给你撕了。遵纪守法老神速。你影响我考试。快一边去，监考老师不要在里面随便乱走，穿那鞋叮叮当当的到处跑，坐后面站起善于表达。我能站起来吗？ 他说这样说我就画的这个，这个这个可以，都都对吧？他可以倒这个一百八十度的。

你学完基础内容精讲，你是很难自己独立做一千题的 a 主题的，那么我现在这个内容里头，一千题的 a 主题跟基础习题精讲，你完全可以把它全都当例题去做。你不一定非得说独立做题，那么你可以在答案的提示下，也可以抄答案。你在这个六月底之前 没有必要独立做题。对于绝大部分考研数学学习的同学来讲，刚开始起步就非常困难。你知识还没学完，还没学懂，还没学透，还没记得住， 你就要自己每天去独立做题。要想去检验自己的这个水平，强行要求自己做题，这正确率很高，其实是一个非常得不偿失的非常低效率的办法，因为违反客观规律，这实际上是一个不科学的。我告诉你，为什么你还没有学怎么解题， 你不知道他这个包装是怎么包装的，你看到的答案往往一眼就能看出来，可是你看到题目是不会做的，就是他这个翻译的方式，他包装题目的方式你还没有学透。如果我这样说，你还没听懂的话，那么我用一个最通俗的语言来表达，就 这么一句话，你翅膀还没长硬呢，你飞不起来，你飞不起来。这个时候没有必要独立做题。

第一讲是整个基础上的讲最多的一个章，一章，因为我需要大家在第一讲里头就把很多重要的知识点啊，要把它搞懂吃透。因为我们在历年的教学经验当中，有很多同学第一章只学了计算， 没有去学概念的原理来导致呢，你后面的复习啊，总是磕磕绊绊，因为你连续是什么都搞不清楚，搞不清楚啊，年的暑假之前按完就足够了啊，这不是可以的，你规划一下啊，但你得规划一下。 那从做题的角度来说呢，我前面还说了啊，大家不要太计较计算这个，这个正确率，不必太在意啊，你学个十个题啊，能会做六七个，这个也可以， 当然你最好能全部搞定是吧？这样的话你复习效率是非常高的。但是即使不是这样，大部分同学我们讲平均水平啊，六到七个题 啊，你学十个题，做六到七个题，正确百分之六七十，这个是一个比较正常的水平啊，你也可以再努力提高一些。

那么我说满一点，就是说如果你是奔着满分去的，那我觉得大家这个时候要把以前的所有的卷子和真题啊，应该跟这个三十六讲把它做一个结合，回到你自己总结的三项解体法上去。 我再说一遍，三十六讲无论是让大家去做的你们所谓的二级结论，还是我认为的那是训练素材，还是他的这个解析思路，应该跟大家做模考卷做一个融合。我基本上可以这样讲啊，我不用看我都知道大家在市面上去做各种模考卷之后，你都会在三十六讲里面找到相应的， 但是我说的答案不是那个题目，或者是答案是一样的，我说的答案是说你真正的那个 key step 就是 你的观念那一步怎么想来怎么回事，你最终发现其实还在梳理。那么这个总结出来，我想就是说应该充满信心走上考场。

我知道大家意思啊，后面这个心理负担大，我就告诉你，放心，没那么好。而且刚才有人问这个听课的事情呢？听课这个事我不认为这个课要全听，除非你时间很充分。课这个东西是这样，我先看书，如果书我这一部分看的非常的顺畅，完全看的懂，那我就没必要去听这个课。 然后呢，我书看了看着，我发现这一部分呢，就是理解上有些困难，那我打开视频，因为这个书上每一块每一节都有二维码，那你说我哪一节不懂，我就听哪一节，我觉得这个不会哪里就是点哪里，不就这意思吗？你这样的话你也就轻松一些了。然后等你第二遍回来看的时候呢？你可能觉得哪一部分你要觉得没听过，你点开它再听一遍。