张宇的课是录播吗

二期考研同学们你们好，今天给大家讲一期考研数学章鱼强化的问题细致说明，一个视频就给你讲的明明白白的，给你讲透。本期视频着重讨论二次章鱼强化的问题。 我一直说，如果你走在我的理想轨道上，你是一定不用听强化课的，如果你基础跟了章鱼老师，那理想轨道是什么呢？第一个就是你适合跟章鱼啊，适合与否要看你的讲义的一刷正确率，而不是说啊，我就感觉章鱼老师很幽默，很适合我就能听得进去。哎，这个 重要啊，这个是完全没法判断你适不适合的，要看你的正确率，因为正确率没法骗人。一千一的印刷正确率，如果你的正确率普遍低于四十到五十，那我只建议你做讲义上的题就够了。 如果一千 a 能达标，那建议也顺带做了一千 a， 那 讲义的正确率如果普遍不低于四十，是最起码跟章鱼的条件。如果你跟章鱼讲义的普遍这个正确率在四十级以下，那我就建议你赶紧考虑换个老师吧，你就不适合跟章鱼老师，你就是跟章鱼老师，就是在走弯路。二、 你确实在备考过程中执行了我说的每天十道错题啊，这个条件是最重要的，这种情况你即使最差的情况，比如说啊，你的讲义是百分之四十的正确率，你也不做一千 a， 但是你只要执行了这个错题的任务，因为你不做一千 a， 只做讲义，那你这个错题也是只在讲义上的题， 那学完之后，你的整体水平绝对会远高于百分之五十的水平，也就是你有实力不进行听课，那你就能自学二三三十讲，这条件最重要，望严肃执行，能少走很多弯路。 ok， 咱们回归正题，二四章鱼的强化是我一直推荐的，但是有些粉丝就很疑惑了，你怎么一会推荐有人看，一会推荐又有人不看呢？而且这些粉丝有时候还会问我，为什么一定是二四的章鱼强化课呢？为什么不能是其他版本呢啊？一 二四的章鱼强化是章鱼老师大改革前的最后一年啊，从二五年开始，章鱼老师的基础三章便是 主要的教材了，基础强化一体化在二五考研之前，根本就没有什么跟章鱼只看基础就够的说法啊，这个是完全不存在的，是都得看基础强化的 啊，因为那个时候章鱼老师的基础三十讲还并没有基础强化一体化，他的基础三十讲还并没有那么多的内容。还有一点就是二四的强化非常的薄，比三十讲薄太多太多太多了。 二，由于没有改革，所以二四的章鱼强化他就类似于现在的武忠祥老师的强化，也就是细致的给你讲基础知识啊，深入做题。所以对于那些基础阶段脱离了我的理想轨道的人，我就建议去看二四强化，给他找补回来。因为二四的强化 相当于你们现在所跟三四讲的浓缩精华版本啊，课时长比三四讲要少很多，还非常的匹配啊。对应章鱼老师三四讲的内容，如果你没法完成自学二三三讲的任务，你就只能依靠二四的章鱼强化来帮助你完成这个任务， 所以你跟二四的强化核心目的就是为了能帮助你完成自学二三三讲的任务。这是核心目的啊，一般什么情况你没在我前面讲的那个条件一或者条件二啊， 你要么是属于不适合跟张宇老师硬着头皮跟的你，要么是属于错题就没做的，因为张宇老师基础阶段的战线最起码也得是两个月，非常的长，你一旦没做错题任务，你前面是忘的非常多的，很难再去自学二三三四讲了。 所以说很无奈，你只能去听二四的张宇强化课来帮你完成自学二三三四讲。所以听二四的张宇强化完全是下下策 无奈之举。那谁让你没有提前知道秘密哥，谁让你一开始没有关注我，谁让你不开始跟着我的规划走呢，是吧？那二四的张宇强化的资源我也放在了苦瓜学长，大家去自取即可。三，如果基本能二刷的动， 只是特定的某一讲二刷不动，这种情况下可以不局限于只听张宇的二次强化了好吧，可以换成其他老师或者 up 都行，但是一定是只听你刷不动的这一讲的内容即可啊，你能刷的动的就不要再听了。总结，如果你听二次的强化，那很遗憾，你确实偏离了我的理想轨道，你走了弯路， 我只能拿相对短期精准匹配三十讲的课来帮你捡回来，帮你找补回来。另外一些一战跟章鱼但是准备二战的选手，也可以考虑直接用二十四的章鱼强化课搭配三十讲给快速捡回来。 如果你是满足了我前面讲的理想轨道的两个条件，你是绝对不用看二十四的章鱼强化的，尤其是条件二，还是那句话，我要带你关注我的朋友们，干碎那些不关注我的朋友们。

哎，你们这个年龄是有什么好休息的？下午上完课布置作业，我作业不会多哎，一般一定会让你在晚上做题做到凌晨六点之前一定可以做完，因为太晚睡觉，第二天腰疼。哎呀， 对不对？所以我要求学生必须六点之前睡觉，第二，早晨不要起太早，多休息一会。哎，然后保持精神，两点钟起床， 要保持充足的睡眠，年轻人睡四个小时充足睡眠。 考试当天用什么作弊方法？只要作弊就行。我站起来，我小超往后一塞都行。监考老师，哎，看见了冲上去，小超抢过来，来，你们俩起来走。我怎么了？ 你作弊，你箭步向前，把纸条向前吃了。纸条？证据呢？证据在哪里？我怎么作弊了？我要申诉你影响我考试。快一边去，监考老师不要在里面随便乱走，穿那鞋叮叮当当的到处跑，到后面站着去，影响我考试。

虽然讲的每一讲，然后接下来呢，我们要开始做题。那做什么题呢？我想主要是两个，一个呢是三是讲每讲课后的习题。当然有的课后习题呢，因为他跟前面的例题我有时候是放在一起讲的，比如说讲到他的公式那块的时候，因为他很重要，所以我像习题我讲了第二个呢，就是一千题的 a 主题，这个我想大家也知道， a 主题每讲我都要讲的，一直会讲到底的。这个大家放心，你把课学完了，然后把课后习题做完之后，大家是完全可以去 通过做一千题的 a 主题啊，来实现巩固知识。我再说一遍，做题是手段，你会更好的去理解知识它是干什么用的。

说实话，刚开始刷三十讲的时候，我也差点崩溃了。宇哥的课听起来确实爽，段子一个接一个，立体讲起来行云流水。但当我信心满满的合上视频，自己动手做立体时，完全没思路，那种落差感就像从山顶直接摔到谷底，特别打击人。后来我才慢慢明白，这不是你一个人的问题，而是三十讲本身的打开方式需要调整。 先搞清楚三式讲到底难在哪。三式讲的例题确实不简单，有些甚至接近强化阶段难度。宇哥在课上讲的例题，很多时候是带着你一步步走的，你觉得自己听懂了，其实只是跟着他的思路在走，并没有真正内化成自己的能力。 更关键的是，三式讲的知识点密度很高，一讲讲完可能还带好几个小模块。如果你像追剧一样，一口气听完一整讲再做题，知识点早就串味了，做题时根本想不起来该用哪个公式， 那到底该怎么学？听课和做题必须碎片化结合，不要等一整讲听完再做题。宇哥讲完一个知识点，比如极限的七种，未定时立刻暂停，把对应的例题独立做一遍，做不出来就再看一遍讲解，直到自己能完整写出来，再听下一个知识点。这样做的好处是，知识还在脑子里热乎着，马上就能用起来，印象会深很多。 对于我们这些在基础阶段挣扎的同学来说，面对考研、数学中这些高密度且容易混淆的知识点，我发现单纯靠死记硬背例题完全行不通。我开始寻找一种能针对我薄弱点进行精准突破的工具。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 例题要二刷甚至三刷，三是讲的例题每道都很经典，第一遍跟着视频写，第二遍必须独立做。如果第二遍还是卡壳，说明这个知识点没真正掌握，标记下来，周末集中攻课，很多人问我例题，下面就是答案，忍不住想看怎么办？ 我的建议是，用白纸把答案盖住，或者去网上找那种三十讲做题本，把例题单独摘出来，留出空白做题的那种，强迫自己独立思考。 遇到完全没思路的题，先别急着看答案，卡壳的时候，先翻回前面的知识点，把公式和定律在草稿纸上默写一遍。很多时候，不是题难，是你想不起来该用什么工具。如果思考十分钟，还是毫无头绪，再去看答案，看完一定要合上答案，自己重新写一遍，直到能独立完成为止。 关于一千题的搭配，三十讲的课后习题其实不算多，很多人听完课就去刷一千题，结果发现寸步难行。我的建议是，先把三十讲例题和课后习题吃透，正确率达到百分之八十以上，再进一千题。 如果基础篇都做的痛苦，说明你三十讲没过关，回去补基础比印刷题更重要。一战失败后的反思中，我发现最大的问题在于自己动手解题能力不够强。有句话说得好，你看到的不一定是你真正看到的。 对于习题而言，就是这样的情况，你看到一道习题，如果你不会做，你可能会去查看答案，然后以为自己掌握了。但事实上，你只是记住了答案而已，并没有真正掌握。正是因为这一点，我要给所有同学的建议是，一定要注重做题加练习计算能力这个重点。 然而简单粗暴的题海战术不是提高数学成绩最有效的方法，应该有针对性的做题，才能提高对知识点的掌握能力。对于我的二战来说，我选择从题目入手，重新学习和消化知识点。 当时我使用了一个刷题平台，名叫智能型考研数学，我二战全程使用了这平台，因为智能型能够让我有针对性的做题，一层层的夯实基础。简单来说，就是能够把知识点分解成小模块来消化，从而建立一个完整无死角的知识框架。 在进行数学学习和复习的过程中，平衡观看课程和做题练习是直观重要的。我一站就是一位看视频不进行做题输出，到了后期才去做题，才发现会出大问题。 我发现光是看视频进行学习，经常会发生一种情况，就是看完了整个视频，甚至也做了笔记，但是看完之后却说不出到底从中获得了什么知识。 但如果直接做题，又会有一种两眼一抹黑的情况发生，这样非常不利于我们对于自己做题的主动性。在使用智能型进行学习时，每一张开始前都会有一个复习要点，包括了核心的知识框架。 在听课时，经常会发生听完一节课但脑袋空空的情况，这种情况下，我们就可以在看视频前通过这个知识点列表来明确目标，从而更高效的看课。特别应该利用好智能型的查拆分知识点的功能，先了解本章有哪些知识点，再带着对 diss 知识点的疑惑去看视频中老师是如何讲解，怎么样推出这样的结论的， 这样能让我们避免看完视频仍然脑袋空空的情况。看完课就可以用智能型对这一章进行练习。做题练习是巩固知识、检验理解程度的有效方式，这在对之前看过的知识点起到加强作用的同时，也能查漏补缺。 像这样采取看视频和做题交替进行的方式，可以确保你在学习过程中既能够获取新知识，又能够及时巩固和应用所学内容。一开始，每当我遇到不会的题，就去翻答案，去背答案，最后发现这只是虚假的学会了某道题，而不是学会了一类题，甚至这一题都不一定保证下次能做对， 而把一道题彻底弄明白。底层逻辑，看似用了更多的时间学某一题，其实为之后的学习省去了许多时间。二战我开始正式使用智能型后，我发现它的功能确实超乎我的想象。 首先，它通过人工智能技术和大数据分析，根据我的学习数据提供个性化的学习计划。它会根据我的需要制定一个合理的学习计划，安排课程和复习时间，有效帮助我合理安排时间，特别是到了后期，可以让我有足够的时间复习专业课和背政治。这一点智能型的全程规划中也有说道。 我们可以在刷完智能型相应的章节等级之后，去用习题测对自己的学习成果进行一个检验。比如基础阶段可以用一千八百基础篇，强化阶段可以用六六零、八八零等。冲刺阶段可以用各种模拟卷和真题检验。 基本上在刷完智能型之后，一千八百、六六零等习题测的一刷正确率可以达到百分之八十以上。每个里程碑又分别分为许多任务，大家可以用这些时间做指引，更好的安排自己的复习。 但因为智能型的训练是因人而异的，所以每个人的情况都不一样，可以根据自己的情况做一些调整。总的来说，实际训练时间和你的基础有关，基础越好，训练时间越短，基础越弱，训练时间就会涨一些。在我学习的过程中，对于积分的几章内容学习的比较慢，当时非常焦虑，但在学完之后去做任务中对应的六六零时，就发现努力都不会是白费的 一站。直到后期，我才意识到自己做题不熟练，计算不稳定的问题，可惜为时已晚，犯了一种看到题目知道解法，但答案算不对的毛病。 算到一半放弃，遇到难题不想去计算简单题目又算不对答案，这就是所谓的眼高手低，这个坏毛病让我一站吃了大亏。考研题计算量可以很大，可以涉及分类讨论，可以综合多个知识点，也能涉及高级模型背景 计算是基本要求，如果连计算都做不对，这名题也别指望能完成。有时候运用计算技巧也是非常有意义的，计算一错，全盘皆输。计算能力考验个人的细心和基础功底，所以在复习初期，我们就要踏踏实实的练习计算和常规解析方法，如果做不动题目，通常是因为计算方法不熟练和畏难情绪导致的。 计算不行，解决情绪不行，解决情绪没有捷径可走。对于考研数学这种硬式型的考试，重要的是培养解析思维能力。在备考的第一年，我正是因为缺乏这种思维能力，才在一定程度上导致了失败。 同类型的题目换个数据体干变化一点点就不能立刻联想到考点和具体解法，也不能根据题目的条件选择最合适的方法。 智能型有一种很有效的训练方法，当你在一道应该做的出来的题目卡住时，会给你一道之前做过的类似题目的提示，以达到举一反三的刷题效果。 这种训练方式很好的解决了我之前一看题目就无从下手的坏习惯，我开始主动将之前掌握的知识点和解析思路联系起来。最后想说，三十讲确实有难度，但他难得有道理，他是在帮你搭建一个完整的知识框架，而不是简单的堆砌题型。 接触阶段痛苦一点，强化阶段会轻松很多。如果你现在正被三十讲折磨，别怀疑自己，我去年数一百四十三，前期也被三十讲虐的很惨，但只要方法对了，熬过去就是质变，坚持下去，你一定可以的。二期考研冲。

主播一开始是在认真学习的，没想到章鱼老师实在是太幽默了。大家请看视频，不笑的可以确认抑郁症了。看到这么复杂的表达是立即怎么样啊？放弃考验！ first blood， 不要放弃考验！这是什么老虎？大家大家好，纸老虎又来了啊，纸老虎，画一个啊，纸老虎， 哎，再画这边吧，哎，小老虎，呵呵呵。 paper tiger， double kill 一定能做出来是吧？哎，做不出来怎么办？卷子给你撕了啊？ triple kill 啊，一层那就不叫复合函数是吧？考四层的卷子给它撕了对吧？你点到为止，你考你，你写那么多干什么，对不对啊？ quadra kill 怎么唱来着？就是说如果你愿意， 你会压抑是吧？哎 penta kill 哈哈哈哈哈哈，不得不说章鱼老师还是太幽默了，强烈推荐！

复盘，这个复盘跟呃做题呢实际上有一定的关系。呃，如果你学段学完一段知识啊，一般来说呢是通过做题来巩固和加强你对知识的理解 啊。呃，这个是我认为在复盘当中一个重要的环节，当然复盘不只是通过做题来巩固，呃，还有一个很重要的就是你把我们课上讲过的知识通过做笔记的方式啊，对吧？或者通过这个 自己默念的方式是需要把它整个回顾一遍的啊。你比如说我给你举个例子啊，你怎么复盘，我们学完定积分啊啊？或者学完导数，好吧，你导数积分吧，你学完这个知识之后啊，你应该从概念入手，就说这个这个导数或者这个定积分他的概念是什么， 然后从概念你就可以推出他的性质，因为我们所有的课本里的内容就是讲完概念他就像像讲性质，因为所有的性质都从概念来的 啊。你会去复盘，你比如说定积分这块，你定积分这块你就是可以画图的。定积分是一个曲边矩形的面积是吧？你既然有这个面积了，你马上就可以有一个性质叫做积分的可拆性，你可以把一个大的面积拆成两个小的面积，是不是？这样的话一个积分就写成两个积分的盒 啊。二零二七年考研数学那个大题啊，用的就是这个方法，就非常简单非常朴素的方法啊。我建议就是从基础三十讲上布置好的就基础知识结构啊，然后是基础内容精讲，主要就是两部分，然后你从中间挑出最关键的就是概念性质，然后重要结论， 然后就是题目啊，主要是这么四块来进行复盘。呃，不要抄太多啊。没有必要抄太多，到时候需要好好的去多读一读，去记一下，好不好啊？好，谢谢。

这个是往届的同学经常出现的这个情况，大家在这个复习过程当中啊，高等数学内容是相当多的，线形代数内容也不少，根据统计也不少，数一数三的同学要三门课学完数学，二也要学完两门。那么以往的同学的情况，有的同学把高等数学学完之后啊，就去学线形代数了，学线形代数的时候呢，他整个高等数学全都放下了，那么 全都放之后呢，可能会出现一个情况，就是当你把现行代数全学完了，玩完以后，感觉到非常好，可是你看这个高等数学就忘记了，这个确实是这情况。然后呢，有他在学概率统计去了，学完概率统计觉得也挺有意思的，最后学完之后收获满满，回头看代数就忘了。这个是往届的同学经常出现的这个情况， 但我给你讲两条，第一条，你所谓的忘不是真正的没学过，虽然说这个我怎么不清楚了，但那绝不是，跟那个从没学过的人绝对不一样，这点首先你要有信心。第二条呢，为了防止这种事情出现，我们在学习代数，也就是在学习下一门课的同时，最好每天都能够通过原来的例题习题，然后再回顾一下我们的高等数学知识。 那我的建议呢，你不必去重新看书，但是要有些题目要重新，你可以把学代数的时间，边边角角的时间，你就可以反复的去做 这些曾经不会做或者曾经做错的题。这样的话呢，既能够让你把代数学好，同时呢，高等数学可以最大程度的保持记忆，不至于全忘。大家要承认一个客观现实，人类记忆力都是有限的，它有一个记忆的曲线，你总会忘，忘一点没办法，那有时候还要重新补一补， 这个也不能说完全都记不住，这个对于第一遍学的同学确实有点太困难，希望大家能够克服一下这个困难。

我认为绝大部分同学是要听着这个书课包的课，看着书同步进行的，除非你基础特别好。你说老师，我这全会，我就奔着一百五去的，我这个呢，我不包括在内啊。我说的是绝大部分同学，我们真正要做好的就是要静下心来，你不要以为都很简单，这我告诉你，你以为简单的事情 往往在实际的做题当中，你会忘记的。你比如说概念，后面讲性质，那我问你，定积分有哪些性质？大家都可以思考一下，你有没有在意这个事情？ 有的人其实可能没有在意，你把定积分的定义搞清楚了，然后呢？性质才写一堆，然后接下来就是计算了。那么很多同学就盯着计算题去了，积分不是要算的吗？谁说积分只有计算啊？积分当然要算，这个毋庸置疑的，但是这个有区分度的题目恰恰不在计算上。 其实你们都会算命题，老师想好了，算是给你分的，他想让你把你分给扣掉的，恰恰是那个你没有注意的性质问题。

听课这个事，我不认为这个课要全听，除非你时间很充分。课这个东西是这样，就我先看书是吧？如果书我这一部分看的非常的顺畅，我完全看的懂，那我就没有必要去听这个课。然后呢我书看着看着发现这一部分呢，就是理解上有些困难。那我打开视频， 因为三十讲他是每一个这个节上都有一个二维码，他不是说就是打开课你不知道他在哪，因为这个书上每一块每一节都有二维码，那你说哪一节不懂就听哪一节，你这样的话你也就轻松一些。然后等你第二遍回来看的时候呢，你可能觉得哪一部分你要觉得没听过，你点开他再听一听， 因为三十讲是传统意义上的，就是整个全年的所有的数学复习完了，按道理说三十讲复习完可以上考场了，所以你这个基础 阶段就是所谓你把这个三十讲做完，不要这么大负担。我跟你说的这个意思就是说你三十讲看完了，就相当于你的基础跟强化，所谓的强化阶段内容就已经全部完成了，所以呢，大家还是要这个认真的做这个三十讲。

同学们好，下面呢，我们进入二零二六最后一堂课，这个最后一堂课呢，我们这个以往呢是要大家写笔记的啊，那么今年呢，我们把这个笔记呢给大家做成了，呃，这个临门一脚啊，所以呢，同学们好好的去认真的去看啊，临门一脚就可以了。 那么我在最后一堂课里呢，给大家再强调啊，这么几个问题吧，作为我们最最后对大家的一些叮嘱啊，看看，希望同学们能够在考试当中取得好的成绩，给大家再做一些提示 啊。首先说一个啊，就是在人民一角的第一拼印刷的这个版本当中呢，第五页，这里呢有了一个小的问题，就是第五页的第三个立体一的那么三个结论，第三条呢，这是一个题目啊，这是我新编的一个题目，呃，这里呢漏了几个字，存在 或为这个无穷大啊，正负无穷大。呃，如果加上这个呢，这个答案就圆满了，因为这里呢，如果这个 a 呢？呃，等于就是这个 x 趋向于正无穷的时候， 那么阿克泰尼的正无穷呢？呃，这个是趋向于二分之派的，那么这时候呢？呃，山影二分之派，这个是可以 a 可以 等于一或者负一的，这个极限是存在的，是吧，极限存在的，那么我这个写存在呢，呃，脑子想的时候，其实把这个正负无穷啊当做是一种特殊存在了，所以你加上正负无穷 或为正无穷，那么这个答案呢，就是选 a 啊，哎，可以了啊，那么第二批版本呢，就没有问题了啊，那么就改成，如果没有加这个话，那就四个都是错误的，可以了。好，下面呢我们来给大家在最后呢，呃，就是等于在最后一堂课里呢，给大家做一些提示啊。第一个例子， f x 是 零到一上的 正值连续函数，请你证明，第一个存在 为一的中值可 c 属于零到一的开区间，使得这个式子零到可 c f t t 等于可 c 到一 f t 分 之一。 第二一个对正给的自然数 n 存在唯一的 x n 属于零到一，那么使得 我们的这个 n 分 之一到 x n f t d t 等于 x n 到一 f t d t， 并且这个唯一的这个 x n 呢，它的极限是存在的，就是第一问当中的这个 q c 啊，在第一问当中这个 q c， 呃，这个就说给大家看，这个例子呢啊，主要是说这个在中矩定力问题当中呢，呃，因为大家首先要把握住最基本的啊，记住这个是解决问题的基本工具，包括连续函数在 b 区间上的基本结论是吧，比如说零点定力啊，介制定力啊 等等，然后包括我们的维分终止定理和积分终止定理，这些基基本的首先把握住。然后第二个呢，就是这是一个很久没有考的这种类型的问题了，就是如果我给一个函数列啊，或者叫方程列，那么它就涉及到一个字，对 x 的 这个就是对你这个 f 括号里面的 x n， 哎，它首先这个对这个 x 啊，我这个有单调性，还有对这个 n 有 单调性，它是两个单调性的问题啊，所以这种问题呢，就提醒大家一下，如果出现这个了，那么就是两种单调性，你需要把它区分一下，注意我接下来会详细的讲啊，两种单调性的问题，两种单调性 啊，你把这个这个要搞清楚，那么这种问题就能解啊，这种问题能解好，我们下面来解一下这种问题。首先第一个，那么就是一个比较简单的分析 一啊，我们命这个命的方法，大家是会的，是吧？呃，因为在这个学习当中，大家知道了，首先第一步呢，你要把这个可 c 改成 x， 改写回 x 是 吧？改改写回 x 之后的话呢？然后移向 是等式一边啊，等式一边得零，一边为零啊，另一边命为辅助函数， 命为辅助函数是吧？这个就是最基本的东西啊，我强调越是到最后了，那么越需要大家对这个最基本的东西把它要啊复习到位，是吧？那么这样的话呢，我们这个辅助函数就是命 大 f x， 它就等于，那你把这个可 c 改回 x 头，然后把这一项挪过来啊，等式一边得零，另外一边就是这个大 f 大 f x 等于零到 x f t d t 减去 x 到一 f t 分 之一 d t 是 吧？然后他说存在唯一的可 c 在 零到一里头， 那使得这个式的成立，那么你现在可以看一下小 f， 他 讲的是零到一上是正值连续函数，那么这样的话是不是在 b 区间上有相应的这个定理？是不是？我们来看一下，则 大 f 零，那就等于零到零的，那就等于零了，那这个呢，就是负的积分零到一 f t 分 之一的，所以根据积分的保号线这块是大于零的，那么填一个负号，这个就小零， 就用到积分的保号性了，是吧？然后 f 一， 那就等于零到一 f t d t 啊，那么减去一到一，一到一，这个就是等于零了，那么同样根据积分保号性，这个是大于零的，所以这个积分是大于零的。好，果然是可以用什么连续函数，因为这样大 f 也是连续函数了，是吧？那么由大 f 的 这个在零到一上的这个零点定理，我们就可以用由大 f x 啊，作为连续函数的零点定义，我们就可以知道存在 克 c 属于零到一的开之间，使得那么大 f 克 c 是 等于零，也就是得到了积分，零到克 c f t 就 等于积分克 c 到一啊， f t 分 之一一。 那么我们写完这个，这个是这样作为我们整个这个题目的一个最基础的东西了啊，那么第二个呢，是这个整个题目的一个核心，但是为什么要第一问呢？你第一问的最终的归结到的这个结果上啊，你得是可 c 啊，是极限，是等于可 c 的， 就算收敛到可 c， 所以 你首先必须指明这里的可 c 是 哪一个可 c， 这第一问呢，是要给出这样一个啊，那么到此呢，我们可以得到这个可 c 的 存在性，但是呢，考试的时候呢，提醒大家要注意一下什么啊，就是你解析要仔细啊，他就提到了一个词叫做唯一啊，这个唯一性是具有严谨性的，你必须得有这个唯一性，那么唯一性怎么正啊？这个很简单了，但是很多同学会忘记这个事情 啊，那这个丢分呢，就可惜了，是吧？那我们来把这个违性把它减一下，那么就是右求倒了，对吧？由于小 f 是 连续函数，所以大 f 不 仅连续，而且还是什么？还是可倒的啊。所以呢，我们就求倒大 f， 一 撇 x， 它是等于，那么这个变积分求倒小 f x， 那 么大家知道这个变积分求倒，是变下变求倒，所以呢，他是让他求倒，把 x 带进去之后呢，是负的，负，负得正，加上 f x 之一， 这个小 f 是 大于零，看到没有啊，所以这一步呢，就怕大家漏掉了，那微信不要忘记，哎，那么可知呢，由此我们可以知道，我们这个大 f x 在 零到一上是这个单调递增的， 这样递增的啊，严格单增的啊，因此，因此我们这个可 c 是 具有唯一性的。这样的话呢，我们才把第一问呢，把它完整的解决了啊，完整的解决，这是我们说的第一问，打下了一个基础啊。打下基础，下面第二问， 第二问来说的话呢，就是让你证明存在唯一的 x n x n 呢，在零到一的开区间，使得这件事情成立，并且这个 x n， 它的极限是可 c。 首先第一步呢，呃，你是你需要做这么一个工作，就是我们现在这个里头的，呃，对比一下，你就可以看得出来，我们这里头呢，是零到一，是吧？零到一， 呃，我这个里头现在的问题是，这个是零，这个不是零，这个是什么时候？只有 n 趋向于无穷大的时候，是吧？这个这个位置是趋向于零的，所以我现在的这个辅助函数呢，我需要重新去写一个。第二问，命 大 f， 那 么这时候的大 f 呢？我当然就不是原来那个大 f x 了，因为我给他加一个下标 n f n x， 呃，我写一下，你看啊，那么依然是这样，把这里面的这个，这个 x n 啊，我改写回 x， 把它移向过来，但我就写成了积分 n 分 之一到 x f t d t 减去积分 x 到一 f t 分 之一 t。 大家看一下啊，这里头的这个我的意思就清楚了，什么叫做两种单调性啊？就是刚才我提到的注意两种单调性。这里的第一种单调性呢，就是涉及到 n 的 问题了， 因为这个表达式呢，如果你不看 x 啊，就固定 x， 你 把 x 固定成 x 零，听到没有？那固定成 x 零的话呢，那么它是 n 的 函数， 随着 n 的 变化，那么这个表达式的值是在变化的，是吧？大家，那么所以它首先它是 n 的 函数，那么还有一个固定 n， 要是 n 等于 n 零， n 是 不动的，那么它这 x 可以 变啊，所以它还是 x 的 函数啊，所以这个呢，就涉及到这两种单调性了。那么于是呢，我们接下来要这个详细去讨论这个问题了。 首先第一个，我们依然可以用呃，这样的两个值，一个是 n 分 之一，一个是一，来决定它的什么呢？呃，来决定它的这个是不是有根的问题了？什么意思呢？大家知道啊，显然 f n， 如果我让这个 x 取 n 分 之一 n 分 之一，那么大家就知道这个 n 分 之一到 n 分 之一就是零了， 是吧？啊，这就跟刚才这个是类似的，因为你这个是取取这个，当这 x 的 时候呢，就 x 取零嘛，取零的话，就是零到零，这块没有了啊，有这块，然后你取 x 等于一，那么这一到一，这是零，所以就变成零到一，是吧？大家，哎，你只要把其中一项，把它消失掉啊，让它消失掉， 要让上下线相同啊，那么这样呢？这一项就消失了，它等于负的积分，那么 x 取的是 n 分 之一到一 f 分 之一 d t， 然后大家知道这里面由于小 f 是 连续函数，那么在它在零到一里是连续函数，是正值函数，那么所以它的 n 分 之一到一，大家知道 n 分 之一到一是零到一的子区间，那么 f 依然是连续，依然是正值函数，所以这个显然根据积分饱和性，这个是大于零的，添个符号是小于零的， 对不对啊？虽然这个判断起来比刚才第一问要难一些啊，比这个要难一些，但确确实实它是这个也是确定无疑，可以判断出来的，对吧？大家？啊，好，然后接下来 fn， 那 我这是取一了，它就等于，呃，就剩下这一项， n 分 之一到一 f t d 这一项，那就只剩这一项了，因为这项一到一就没有了，所以这个还是大于啊，所以我们可以找到什么呢？固，我们一定可以找到存在 x n 属于 n 分 之一到一，请大家注意啊，我这里要提到一条了，你这里面的这个 x n 是 指 n 固定以后啊，只要 n 确定了，这个 x n 就 就是固定在这个 n 分 之一到一这样一个确定的区间里面的 x n 能听懂意思吧？啊，那么这个是这个问题啊，哎，它是跟 n 的 变化的， n 要变了，这 x n 也在变，是吧？不存在，它属于包含于零到一的开区间，是吧？使得， 那么我的这个大 f n x n 是 等于零的，是吧？大家虽然看得到这里面是涉及的什么，是不是涉及到这个方程的根呢？是吧？方程就是 f n， x 是 它的根啊，就这个 x， n 是 它的根， r 是 它的根，右可以求导，右 f 一 撇对 x 求导，那我们这样一撇的话，不做说明，是对这个括号里面的变量求导的，那么它这样是等于，那这很简单了，还是 f x 加上 f x 分 之一， 这个就不啰嗦了啊，加上 f x 分 之一，那么你这样的话呢？由于它都是大于零的，在这个区间里面，那么导是大于零的话呢，那么于是我们可以知道，于是我们知道这里面的单调性是关于谁的？ 大家看好这个啊，这个是关于谁的，就是注意两种单调性，一种单调性，我们现在在确定要把它说清楚了，那么是关于 x， 对 吧？于是 f n x， 那 么关于 x 在 零到一上是单调递增的 啊，单调增加的，所以这个库呢？我们说这个 x n 是 唯一的啊， x n 是 唯一的。这里的，呃，一个确定性的，就是关于 x 在 零到一上是单调递增的，这就是我们说的第一种单调性啊，这是第一个单调性 好，这是这一段，这段还不算难，因为大家如果看得到这呢，你实际上会发现一条，就是我这一这个答案里面的内容基本上差不多的啊，基本上差不多是吧？哎， 好，接下来的困难在于什么呢？我现在要研究在固定 x 的 情况下，我说到你这一个单调性是不够的，为什么？因为你现在最终的目的，你是要研究这个 x n 的 极限存在， x n 的 极限存在，你要找到 x n 的 什么？你要找到 x n 的 单调性， x n 单调是不是确定有单调性？现在 x n 有 一点是可以确定的， x n 是 有界 的，是吧？它是有界的，这个上下界都有，所以你现在观察证明 x n 它是有没有单调性啊？所以根据大 f 关于 x 的 单调性，是得不到关于 x n 的 单调性的， 是不是啊？所以现在就要就要研究关于 x n 的 单调性。那要关于 x n 的 单调性呢？我想大家这个也比较容易去理解的一件事，就是又由于，那么你比较它这个的话呢？那你就是固定 x 了，来比较在 n 不 同的情况下作差，你看看这个是不是能接受， 对吧？什么叫做第二个单调性啊？这不就是第二个单调性，这就是第二个单调性。 那这个单元型，那就说我现在 x 不 动了，我 n 增加一个，那我看看跟原来这 n 那 么它做差之后是什么关系？是大零还是小零，是吧？大家好，那我们看一下 f n 加一，我拿草稿纸写下了啊， 大家知道 f n 加一呢，那么就是下面就写成了 n 加一分之一到 x， 减去 f n 就是 n 分 之一到 x， 再加上 x 到一，这两个答案就约掉了，所以用它减去它，大家看剩什么？呃，我跟你说过啊，在我们在技术上讲的时候我就提到过，像这种啊，你画个图就行了，是吧？你画个图，呃，你比如说这是 n 加一分之一到 x， 是吧？你减掉 n 分 之一， n 分 之一和 n 加一分之谁大呀？那大家知道这个 n 分 之一，这个显然是这个分母比它小啊，所以就倒过来这个大，是吧？所以这不就是 n 分 之一到 x 吗？是吧？那就是大的这个面积，把这个小的面积把它减掉了，所以你剩下的是什么？你要这样发，剩下的是 n 加一分之一， n 加一分之一到 n 分 之一，就剩下这块面积， 对不对？就是大于零的呀，是吧？所以呢，它就等于积分， n 加一分之一到 n 分 之一， f t e d t， 这个显然是大一点的，是吧？啊，所以第二个单调性就被我们研究清楚了啊，这个，这个很关键，就在这啊，关键在这。好，那么这样的话，大家就看得出来哦，你 x 不 动的情况下， n 增加了，是不是意味着这个函数值在变大？说明什么？说明 f n x 关于 n 是 单调递增的，所以这呢，我们就可以可知 啊，我的 f n x 关于 n 是 单调递增的 啊，是关于 n 是 单调递增的，所以，于是我们才会有下面这样一个重要的比较的式子。那大家想想看啊，这个式子是什么？我们综合刚才说到的这个，我们的根在这儿啊，你一定要去寻找。呃，这个 f， 这个 x n 和 x n 加一之间的关系，是吧？所以你要把这个有用的东西都拿过来， 于是大家知道我的 f n x n 是 等于零的，是吧？我的 f n 加一， x n 加一是等于零的，对吧？大家能看懂意思吗？ 由于这两个是已知的啊，这个我不用解释了啊，你对 n 来说， x n 是 它的方程的根，你对 n 加一来讲， x n 加一是它方程的根，你现在比它的大小是吧？是比它的大小，比它的大小，你就知道 f n x 关于 n 是 带了递增的，所以你这个写起来就很容易啦， 他俩是不是都等于零啊？都等于零，那就意味着他就等于 f n 加一， x n 加一，是吧？大家能看懂吗？然后，哎，对了，你再看，用一下这个，你再用一下这个，呃， f n 加一，你看 f n x n， 他 是等于零的，他也等于零，所以他是不是等于他，他等于他，那么 f n 加一是不是大于谁？大于 f n x n 加一，也就是你固定 x 固定 x n 加一之后，是不是这个数字乘以， 你看懂意思吗？这个单调性，这，这，这是第二个单调性了啊，这个单调性了，我想这大家可能看出来，看懂了啊，这个对应的，这个是看得懂的，是吧？所以呢，这个就不要写了，因为这个我写，写进去了，这个等于号就在这，它也等于，但是呢，由于 f n 加一，固定 x 是 大于 f n 固定 x 的， 于是，于是呢，我们就可以知道 f n x n 是 大于 f n x n 加一的。再用上第一个单调性， 那么 f n x 在 固定 n 的 时候呢，那么你自变量越大，函数值越大，函数值越大，自变量越大，所以在固定 n 之后呢，由于 f n x n 是 大于 f n x n 加一的，所以 x n 大 于 x n 加一，所以由这可以得到 x n 是 大于 x n 加一的。 这题，这个，呃，真正难点就在这个地方啊，在这里，呃，这个点，好久没出题了啊，给大家提示一下吧啊，提示一下这个，这个位置，那大题小题都能出啊，这个都能出。好了，这样的话，单调性就有了，即我这个 x n 呢，是单调减少的。 单调减少有什么界？有下界很好啊，有下界，对吧？嗯， go 极限存在，于是它的极限是存在的， limit n 趋无穷大 x n 极限存在 啊，我们把它记为 a， 记为 a， 呃，记为 a 以后，那么接下来就可以直接在这个两边取极限了，于是 就有积分。那么大家知道，当我要取极限的时候的话呢，就是我这个 n 分 之一呢，去零了，那么上限呢，就是 a 了，这个就是我取其取极限零到 a f t， 这样它就等于积分，这个就是 a 到一 f t 分 之一 t， 那 就按照这个来取了，对吧？来 按照这个来取之后呢，就是根据这个 f n x n 等于零，你就找一个 f n x n x n 等于零，你就取这个极限了啊，那么这样的话，就是它减去，它就等于零，然后呢，把这个给它挪过来，那么它等于它等于它之后呢？那么根据极限的保号线，比如极限保号， 我这个 a 呢，由于 a 是 在零到一里的，它是大于等于零，小于等于一的，对吧？但是呢，当 a 等于零，呃，或者是 a 等于一时，这个等式是不成立的， 是不成立的，对吧？大家这个 a 点零的话，就这边点零了，那么这边就大于零，那么当 a 点一的时候的话呢，就这边就大于零，这边就等于零了，它是不成立的。所以呢， a c a 呢？是大于零小于一的。好了，那么由此我们就可以知道，你对于我们的这个式子呢，我们前面已经证明过了。 呃，凡是有这样的表达式啊，那么他只要成立，他在这个和 c 啊，就是这里的 a 啊，那么必然是在零到一内的唯一的值啊，所以根据一有一值，我这里 a 呢，就等于和 c， 那么这个题目呢？呃，就讲了这道题目呢，应该是有一定难度的啊，是给大家做这么一个详细的讲解啊，希望对同学们有所启发啊，有所启发。我们再来看一个例子，例题 说 f x 等于 x 小 于一， x 大 于 e， g x 等于 e 的 x 减一次方， 第一个求 y x 等于 f g e x。 第二个求在负无穷到正无穷内的 连续函数 y， 使之在无穷到一上啊，于一到正无穷内，满足无穷方程 y 一 撇，减去 y 等于 y x， 且 y 零等于零。呃，这道题目呢，是 呃，一个非常典型的基础性的问题，那现在考研呢，对大家的这个基本功要求呢，是要很扎实的啊，所以这种命题的方法呢？呃，希望同学们要注意啊，我们来看一下这个题目了，首先第一个结 第一个，呃，求 f x 等于 f g x， 这是个基本功嘛啊，你把它套进去 f x， 那 就等于 f g x， 那就等于，那么你这个 f 里面就是把这里说的 x 改成 g x， 是 吧？然后我们再去算 g x， 这里要求 g x 是 小于一的，然后这是 long g x， 这个要求 g x 是 大于一的， 那我们这经过草稿纸的计算啊，这个就简单了啊，那么你的这个要求呢，是 e 的 x 减一次方是小一的， e 的 x 减一次方小一。那么显然这里要求是小一么，就要求这个指数是小零的，是吧？指数小零的话，那 x 就 小一了， x 小 于 e， 那 么一旦 x 小 于 e， 那 么大家就看得出来，我这时候的 g x 呢，那就是变成我就直接写什么 e 的 x 减一次方就可以了，对吧？然后这边呢是 g， x 大 于，那就要求 x 是 大于 e 的， 这时候是烙印 e 的 x 减一次方，烙印 e 的 x 减一次方，就拿下来变成 x 减 e 就 可以了啊，这个应该同学们不会算错，是吧？如果到考场上这个步骤算错了，那实在是太可惜了。 这是我们的第一问，第二个球在复球的这种球，呃，一般出现这样的话的时候啊，就是很多同学这个就是看到一些表达上比较新颖的语言的时候啊，就容易这个 害怕，或者说就搞不清楚他说的是什么了。嗯，你先不要管他说那么多啊，大家寻找一下这里的关键词啊，这就是我跟你说这考试的时候啊，啊，你最后一堂课实际上讲不了什么东西，那最关键什么呢？就提醒大家一些事情，你遇到这些表述很新的话的时候，你实际上需要做的工作是这个，你要找到这里面的关键词先， 你求的是在什么什么内的什么，使之在这里面满足。对，你现在看的应该看到这个就满足，无用方成吗？对不对？ 你马上就要考虑去解这个无穷方程了，然后你再去把这些个啊，什么连续啊，什么在什么什么什么内满足他呀， y 零等于零啊，再把这些附加条件你再加上， 这样的话你思路就出来了，是不是啊？所以你总的方向就不会出错的，把握清楚，它是要把握清楚，那么这样的话呢，我们来看一下二， 那么由于我们已经给出来了这个罚 x 的 表达式，现在他说是 y 一 撇减 y 等于罚 x， 我 就当这个就当草稿纸用了啊。 y 一 撇减去 y 等于它，是吧？现在你用的是这个 y 一 撇减 y 等于它。那么你这个时候呢？我们平时不怎么见这种啊，自由项还是分段的是吧？分段的呢，就按照分段来做。先看第一段，当我的 x 小 于一的时候， 当 x 小 于 e 的 时候呢？那么我也解的是 y 一 撇减去 y 等于 e 的 x 减 e 次方，对吧？这个显然是一个什么，现在显然是一个 e 阶向量型的。呃，文文方程了，根据通解公式， 根据 e 阶向量型跟大家说过，这种是最爱考的一种，是吧？ e 阶向量文文方程 通解公式。那么我们就有 y 等于 e 的 这个是 p 啊。 p x， 这个是 q x e 的 负的积分负的 p d x e 的 负的积分 p d x， 负就 e 了，积分 d x， 然后积分 e 的 负的积分 d x， 然后乘上 e 的 x 减一 d x 加上 c e， 对吧？哎，好，那么这样的话呢，我们就把它写成这个呢，就变成 e 的 负负这个负 x 了，跟那个 e 的 x 约调和 e 的 负一次方，所以就变成了什么呢？这个就是 e 的 x， 然后剩下这里头呢，就变成了这个是 e 的 负一次方，就 e 分 之 x 了，对吧？ e 分 之 x 加上 c e 啊，像题，这也都不难了，好了，下面来看一下给我们的一些条件啊。这道题目呢，在实测当中就是很多同学就是丢三落四，最后把这个题目他得不到满分啊，看条件啊，现在看条件，我问你答，是不是富无穷到正无穷内都是连续的？那题听我讲了吧，富无穷到正无穷内都是连续的 y， y 零是不是等于零？ 是不是啊？那么我现在写的是在负无穷到一里头的这个情况吗？是吧，那么他也得满足是连续函数，并且 y 等于零啊，对不对？那你现在不就有了吗？有 y 零等于零，那么可以得到 啊， x 取零的时候， y 这边是零，那就等于一的零，次方是一，那么这个里面这个 x 取零了 c 一， 所以是 c 一 等于零，是吧？所以 y 呢，就等于。这里面就很简单了，就这个 x 乘上 e 的 多少 x 减一次方，对吧， 是不是啊？好，大家请注意啊，到这步，你写到这一步呢，你接下来不知道写什么倒没有什么关系，因为待会呢，我还要算到 y 一， 待会再说 y 一 的事情。我如果现在就算 y 一， 你可能会觉得你凭什么就会想到算 y 一， 那我现在先不算啊，我们接下来再来解 y x 大 于一啊，再来看 x 大 于一， 当 x 大 于一的时候，当 x 大 于一的时候呢？那么我们要解的是这个方程吧，那大于一就变成底下这个方程是吧？要解的是 y 一 撇减去 y 等于 x 减一啊，同样的道理，我们依然根据啊，那这个话我就不再啰嗦了啊，依然根据 e 阶的向量方程通解公式有。那么我们这时的 y 呢，是就等于 e 的 积分，它这个 p 不 变的，是 q 变了，是吧？积分 d x， 然后是积分 e 的 负的积分 d x 乘上 x 减一， x 加上 c 二，是这个吧？啊？加上 c 二， 好，这个的话呢，你算一下，这个就很简单了，这个是外面是 e 的 x， 里面得算一下，是吧？分布积分法算一下，算出来，这个我就不写了啊，你大家自己算出来，应该是负的 x e 的 负 x 次方加上 c 二， 哎啊，把它乘开乘进去啊，因为这个显显然你看乘起来就非常简单了，负的 x 啊，然后加上 c 二 e 的 x 次方。 好，这就得到了一个解的情况。首先大家发现了，那么接下来我们就是关键是要确定什么呢？我们接下来关键确定这个 c 二是多少， 你知道吧？啊，现在关键确定这个 c 二是多少？那么现在的问题是什么呢？就是题目的条件给大家的这个分段之后啊，它没有给 x， 等于一，它没有定义， 所以好像就从这个位置呢，把它掐断了啊，你就联系不上他俩。其实题目是可以的啊，题目这个要求是很清楚的，他在父群的政务群内是连续函数， 大家看到没有，他说对我们有一个附加的要求啊，你这个函数 y 啊，你这个 y 不 仅是要在这两个区间分别满足文方程 y 零等零，这个是没问题，且你必须在父群的政务群内是连续函数，这不就给你增加条件了。所以我们实际上一来求求的话呢，就是在这个位置啊， 大家注意看啊，就是在在这个位置，我就可以写一句话了，现在再写啊，这就完全来得及。所以说我说你，你看把这句话补在这了，减，我们由这知道 y e 是 等于 limit x 去向于一负 x e 的 x 减 e 值方的，你看对吧？啊，你是负无穷到正无穷上连续函数，所以在一这个点， yes， 一定是连续的，那么在一这点连续就意味着这一点的函数值是等于这一点的左极限值的，因为你左极限值左边的表达式已经出来的就是它，所以这样的话，我们直接给算出来，这个就等于一的， 所以 y 一 是等一的，看懂意思吧啊，由于这个 y 一 是等一的话呢，那么我们在这个位置就可以继续了，那么右这个 y 一 是等于 等于一对吧？那么它又等于右极限值 x 曲线一正就来了吗？这不是右边的表达式，因为你这个是大于一的情况的，是这个是小于一情况的表达式是吧，但是都可以用这个就把它联系起来，用 y 一 等一把它联系， 这个是负 x 加上 c 二 e 的 x 对 不对？那么这个呢，就等于负一加上 c 二 e， 看懂没啊？ c 二 e， 所以 这样的话呢，由此你就可以得到，或者 c 二就等于你把挪过来是二二除以 e， 是 吧？二倍的 e 的 负一次方。 所以这个题目呢，主要是在这个位置要给大家制造一些障碍，或者说这个区分度很高呢，就是高在这了。像这种题目呢，也是在研究生考试当中呢，呃，多年未出现过的啊，在几十年前实际上也考过这种问题了， 所以最后一堂课给大家提醒的东西呢，嗯，当然也算是一种预测了，但更多的其实还是这样，通过这些优秀的考题，我们希望大家呢，把自己的这个思维状态啊，调整到战斗的状态上去，是吧？新颖的问题怎么办啊？他的新颖，其实题目当中该说的话，他都会告诉你 啊，你要把这个搞清楚，故，这里的 y 呢，就等于负 x， 再加上二倍的 e 的 x 减一， 综上所述啊，我的 y 就 等于啊， x， e 的 x 减一， x 小 a 等于负 x 加上二倍的 e 的 x 减一， x 大 于一 啊，这样的话呢，这个题目就结束了，那通过这个题目呢，我想提示大家的是另外一个点了，遇到新问题 啊，这个没有考过的啊，这种新的这个说法，那么我们该怎么样去解决问题呢？一定先要去寻找在这里面大家熟悉的那部分，就是他让你做什么工作，一定有你熟悉的那一部分呢， 一定要把自己熟悉的那部分呢，牢牢抓住，抓住这个关键的方向，然后去推进，推进的过程当中，那么遇到什么问题，你再回头去找他，在题目当中有没有说过什么话啊，说过不同的什么一些表达，对吧？那么通过这样的办法呢，能够提高我们的解决问题的 办法啊，提高这个自己解决问题的能力，顺利的把它解决掉。我们再来看一个例子啊，例题是四阶实举证 a 与四维的列向量 alpha 北塔满足 a alpha 加上北塔等于四 alpha 加上三北塔， a alpha 减 beta 等于二 alpha 减去三 beta， alpha beta 线性无关。那么方程组 a x 等于零，有两个线性无关的 选项量，一塔一，一塔二。第一问，请你证明 alpha beta 一 塔一，一塔二，线性无关。 第二问，请你判断矩阵 a 与这个矩阵三零零零一，三零零零零零零零零，与这样一个四阶矩阵是否相似，是吧，并 说明理由，并说明理由。我们对于新的代数上的描述的这种问题啊，我想大家也是可以有一个翻译这个过程是吧？ 还有一个就是试算的过程。我这个题啊，呃，编的时候你你应该看得到满族的式子，大家知道这两个，而且告诉你他阿尔卑德线形无关的啊，并且方程组有两个线形无关的解向量，一台一，一台二啊，那么证明这四个向量是线形无关的。 第一问显然又是第二问的一个铺垫啊，所以这是一个很难的问题，但是经过我这样一个拆解，命题式的拆解啊，分解是这样把问题简化了，是不是啊？是这样把它简化了啊，你循着这个命题的这个角度去走，那很多问题并不是困难啊，解决起来并不困难。好，我们来看一下 第一个证明，阿法北塔一塔一，塔二限行无关。呃，那么要想证明的话呢，我想首先有几个基本的知识，大家是要给他分析清楚的。分析一， 那要证明一组抽象型的向量组限行相关限行无关，那基本上就是定义法，对吧？定义法，那么就是你要是存在一组数， 十存在一组数，那我就四四个向量四个数是吧？数 k 一， k 二， k 三， k 四，存在四个数使得， 那么就是说 k 一 阿法加上 k 二贝塔加上 k 三一塔一，加上 k 四一塔二，使得它等于零。 然后大家接下来基本上就是说要想左边给它撑成什么，是吧？啊，开始要化解它了，那么这个题目呢，那当然显然是因为前面有这样一些基本的条件我们要用了呦， a r 法加上北塔等于四 r 法加上三北塔，我这个题命名的还是比较呃，显然的啊，但是那我还可以这样来换，我把这个 a 乘进去 a r 法把这个挪过来，我还可以写成 a 减四倍的单位正乘以 r 法等于，那么比如说三倍的 e 减去 a 乘以北塔， 你能听懂我意思吧？啊，就是像这个式子，我还可以把它写的更复杂一点，因为你 a r 加上 a， b 啊，是等于四 r 加上三 b， 那 我这样要挪过来， a 减去四倍的单位，正乘上 r 等于三倍的单位，正减去 a 乘上 b， 我 要这样写，这个题目就变得更复杂， 是吧，所以拆解的话呢，呃，你要学会移动一下啊，你也自己也学会左边移一下，右边移一下，那这个条件给了一个这样一个条件，那么接下来呢，大家就把它用上就行了。那么 a r 法减去北塔等于二 r 法减去三倍的北塔，那么由这两个我们就可以得到。 你先把它两遍，哎，竖的加一下是吧？竖的加一下， a 倍的 alpha 加上倍，它加上 a 倍的 alpha 减去倍它，那就等于二倍的 a alpha 看到没有？嗯，然后它就等于你把这边把它加起来，你加起来就是六倍的啊，看到没有？六 alpha， 这两就约掉了。 那么于是呢，你这不就得到了 a alpha 等于三倍的 alpha， 所以 那么当 alpha， 因为这个 alpha 肯定是不等于零的了，因为它的弦形无关嘛，是吧，肯定没有零向量，所以这样的话你可以知道。哎，我这个三是 a 的 特征值， alpha 是 对应三的特征向量啊。不，不管能不能用上， 那你至少飞倒的时候是可以得到这样一步的。那么再来就是 a alpha 加上 b， 它减去吧， a 倍的 alpha 减 b， 它等于，那么这样它减掉它之后呢？就剩二 a b 它了，对吧？二 a b， 它等于什么呢？它减去它，它减它是六个 b， 它 六 b 是， 是，哦，哦，不是六 b， 它减去它是二 alpha 加上六 b， 阿尔法加六倍。所以由这呢，你就可以得到 a 比特，就等于阿尔法加上三倍的比特 得到这个。是啊，这里没有特征值，特征向量的这个相应的这个结论了，是吧？好，写到这步之后呢，我们接下来就有了，你把这个往里带了啊，那么在星式两边，星式两边同时左边乘大 a， 对 不对？哎，同时左边乘大 a， 于是 在心式啊，这个两边 同时左边乘大 a 啊，在左边乘大 a， 那 么于是可以得到 a 一 a 阿尔法加上 k 二 a 比特加上 k 三 a 比特一加上 k 四 a 比特二是等于零的。那么由于 a alpha 是 等于三 alpha 的， 即 我们可以得到三 k 一 alpha， 对 吧？然后 a beta 呢，就等于 alpha 加三 beta 的 alpha 加三 beta 再加上 k 二啊，那么 alpha 加上三倍的北塔，是吧？然后这两个就都是零了，因为一塔一，一塔二都是什么？ a x 等于零的解，看到没有，这两个弦无关的解向量，那么你现在不管它是否弦无关，它只要是解的话呢？那我乘进去这两就是没有了，所以它就等于零， 即野鸡啊，你整理一下就可以得到。把 alpha 放一起，三 k 一 加上 k 二，是吧？大家？然后乘上 alpha 加上三 k 二贝塔等于零。你看，由于 alpha， beta 是 现行无关的，由于 alpha beta 现行无关， 那么于是我们马上就可以知道，这个 k 二一定等于三倍的 k 一 加 k 二一定是等于零的 啊，叫系数全为零嘛，对吧？就前面就它为零了，那么它加起来等于零，所以 k 也等于零，所以 k 一 等于 k 二就等于零的。好了，那么你现在 k 一 k 二也都等于零了，那就这两个就没有了，所以大家看 k 三是等于 k 四等于零，因为什么？因为题目讲了一差一，一差二是线圈无关的结 对了吧。啊，所以这样的话呢，我们这个也就对了，所以，于是由于一塔一一塔二也是现行无关的，所以 k 三等于 k 四对顶中上，我们知道 alpha beta， 那 么一塔一一塔二，现行无关。 好，这是我们证明的第一步啊，证明第一步，其实这个我说了，呃，本身这个题目很难啊，我写这个题的时候呢，我相当于是给大家做了一个啊，一个分解式的一个 处理，所以应该没有这么困难了。但是做下来之后呢，那么应该感觉到这个很顺畅，是吧？很顺畅，那么这一步是干什么用的呢？我们在学代数的时候啊，大家知道证明一组向量线圈无关， 以往就证明完就结束了。但事实上，同学们知道，我们如果这组向量啊，刚好拼成的是一个方阵的话，现行无关，意味着他所拼成的这个矩阵是一个可逆矩阵， 是不是啊？这一点在我们这个考研历史上曾经出现过的答题，只不过那时候考的是两个啊，两个就是二维向量，我们现在是四维向量， 是吧？他们接下来问你， a 矩阵和接下来这个矩阵是否相似？其实也就是希望同学们能够想到这样一点啊，所以第二个最关键的就是在这这一步了啊，就是命 p 矩阵等于阿尔卑塔一塔一，一塔二，我们马上得到一句，则 p 是 什么？什么矩阵？合力矩阵， 是不是啊？ p 是 可逆矩阵，然后 p 是 可逆矩阵，然后我们现在就要来，哎，对了，我们就来这样处理了，你既然判断 a 跟这个矩阵是不是相似，那你就是定义法也是 p 呢？ a p 是 不是等于这个 b 矩阵嘛？对不对？所以你要做一个 a 乘 p 矩阵， a 乘 p 矩阵， 那么它就等于 a 乘上阿法北塔一塔一，一塔二，把它乘进去， a， 阿法 a， 北塔 a 一 塔一， a 一 塔二， 对不对啊？其实我们这个应该很清楚，因为 a r 是 多少来着？是三倍的 r， 很好， a， b 塔是多少来着？是 r 加上三倍的北塔 a 一 塔，你写的是零，是吧？ a 一 塔二，是零， 对不对啊？然后它就等于什么呢？很好，它就等于 p 矩阵，你要注意啊，你要写成 p 矩阵，就是 alpha 白塔的阵啊， e 塔一， e 塔二，乘上什么呢？乘上对应的这个，写出一个系数表达的一个数数表，是吧？那就是说这一行乘这列是不是等于三？ alpha 就是 三零零 有了吧，然后这一行成第二列，就等于这个啊，一啊，阿法加三为一三零零，那么现在剩下就是零零零零零， 是不是？哎，这就有了。所以它就等于什么？等于 p 乘上这个矩阵， b a p 等于 p b， 那 么 a p 等于 p b， 由于 p 是 可逆矩阵，即我们可以知道 p e a p 是 等于 b 矩阵的，这个 b 矩阵就是它了。三零零一，三零零零零， 准备完毕啊，就说明完毕啊，这就可以了，我这个题呢，还是挺巧妙的啊。呃，如果你对于相似的这个概念和解析方法掌握的比较好呢，那像解决这种问题，应该来说也是并不困难的啊，应该来说并不困难。嗯，这个题呢，也算在最后一堂课里面给同学们做一个预测吧。啊，做一个预测， 我们再来看例子啊，那么十 a 矩阵是为就是 a 一 负一一 a 负一负一负一， a 对 a 矩阵啊，然后呢， b 的 平方等于三负一，一负一三一一三。 好，我们给了两个矩阵啊，大家注意，这个矩阵呢，是 b 的 平方啊。第一个，请你求正交矩阵， 求正角矩形 p， 使得 p 的 转至 a， p 等于 number， 并写出 number 啊。第二一个，请，如果 b 是 为正定的 矩阵，那么我们请你求 b 的 三次幂是多少， 那么这道题目呢，就是从一个呃角度啊，实际上这道题目呢，我先讲完之后呢，大家会发现啊，就是说，如果这个题不给 a， 能不能直接由 b 方去求 b 的 三次方三次密，这个题在 b 是 镇定局的情况下也能求啊，也能求的，但是就是难度会大一些， 难度会大一些。所以呢，给大家一个这个 a 矩阵呢，实际上相当于是给了同学们一个就是铺垫啊，铺垫好，我们先来，那你第一位来说的话，这个没有什么难度了，是吧？哎，这个没什么难度了，分析 按部就班啊，轻车熟路第一步，那么这个不用犹豫，那就写 number 的 e 减去 a 的 行列式，我们要求正角对角化，其实就这个目的吧，是吧？这是一个对称，正是对称矩阵，那么显然我们这个想处理它是很容易的，是吧？ 啊？ number 一 减 a 的 函数式，它就等于啊， number 减 a， 然后是负一一，然后是负一 number 减 a 一， 是吧？然后是一一 number 减 a。 呃，由于是三阶矩阵，你得到的是关于 number 的 三次方的多项式，那么我们给大家说过啊，有各种方法去处理了，这里面实际上能看得出来，呃，如果大家是把这个所有列加在一起是处理不了的，因为它并不是行和相等的，是吧？啊，不是每一行元素加起来相同的，不是这样的， 那么这个时候呢，你需要都说观察一下，是吧？或者是直接来成开之后用试根的方法。呃，这一步呢，一般在考场上同学们现在处理起来应该他都是比较容易的，是吧？只要你看得出来，如果这边都添上符号的话，然后再加过去啊，就这个添符号， 然后往这加，是吧？哎，然后这个呢？直接往这加，这样你看出来，这就出现一个是 number 减 a 减二，这里出现一个 number 减 a 减二，这里出现一个负的 number 减 a 减二，是吧？是不是应该会有这么一个啊？那这个留给大家自己去处理了啊。那就等于你首先你能提出一个 number 的 减 a 减去二，哎，这个提出来了，那这边剩下的是一一负一，那就好办了，是不是？ 然后呢？呃，然后你再处理完之后一负一，然后多少倍下来，把这两个变成零一展开，这就有了啊。剩下还有一个就是 number 的 减去 a 加上一的平方。 我提醒大家注意啊，在考场上这种基本计算不要丢分啊，不要丢分是吧？那么所以呢，那么的一减 a 的 行列是等于零，我们用特征方程就得到它对应的特征值， a 的 特征值， 那么的一等于那么的二等于 a 减一，那么的三等于 a 加二， 是吧？这一步呢，在考场上应该大家是不会有问题的，是吧？啊，好，那么接下来当 number 一 等于 number 二等于 a 减一的时候，我们来解方程组 a 减一倍的 e 减去 a， 那 么 x 等于零。 哎，那么这个呢，过程呢，我就不再啰嗦了啊，留给大家，这里面得到的可是一就等于负一一零，可是二等于，那么就是一零一 啊，就待会我们再处理。你这样发现一点之后，这个是对应相乘再相加，并不等于零，是吧？啊，那我们知道，对于相同特征值，那你待会要做做到什么工作？大家别忘记了，我们这里有两个要处理的工作，一个是私密特证交换， 是密特正交化啊，还有一个呢，要单位化啊，这个考前提醒大家啊，你要再帮我好好去做一做。你不要看这道题目，好像显得很简单，实际上在操作起来，做起来过程当中有很多需要处理的地方，首先这个等号你能不能等出来？呃，这是一个问题啊，是不是 再有一个就是说要求出根之后的正交换单位化啊，这些都要提醒大家要注意的啊，我们得到的一他一就给你当作业做一下啊，是呃，你把它当做算法一就行了啊，说这个是不要动的是吧？这个是负的二分之根号二，嗯，二分之根号二 零一，他二正交换之后再单位化，六分之根号六，六分之根号六，三分之根号六 啊，这个当作业大家好好做一下啊，最基本的问题了啊，不要出错好了，然后呢，得到了，这是一塔一，一塔二，然后当 我的 number 三等于 a 加二的时候，那么我们这时候解方程组，那就是说 a 加二倍的 e 减去 a x 等于零，求出这个，可 c 三呢？自己做啊，就相当基本，基本的问题自己做，一负一一 好。那么由于对应于不同特征值，那大家想想看，这个这个里头呢， a 减一和 a 加二是肯定不可能相等的啊，所以这个很确定一点，就是说，呃，他俩是不同特征值，不同特征值对应的项链一定是正交的，所以他不需要再正交，不需要再正交化了，我们直接把单位化， 于是一叉三，那么就等于负的三分之根号三，负的三分之根号三和三分之根号三。好，这样呢，我们就把这个基本步骤呢，把它写完了，写完这个基本步骤，我们就来令 令 p 矩阵等于一叉一，一叉二，一叉三，那就等于，那就是刚才这个是哪来的？负的二分之根号二， 负二分之根号二，二分之根号二零，然后是六分之根号六，六分之根号六六，三分之根号六，然后还有这个负的三分之根号三，负的三分之根号三，三分之根号三， 这就是你要求的这个什么，这就你要求的这个 p 矩阵了，看到没有？叫正角矩阵 p， 那 时的 p t p 等于，那么我们则马上就有，则就会有 p 短至 a p， 那 么它就等于，那么你三个特征值呢，就是 a 减一， a 减一， a 加二， 等于，那么的所以 p 就是 你所求的这个正角矩阵，你要写的，那么的呢，我就写给你了， 这个过程，呃，在考前请大家一定要帮我练好它，不要丢分啊，这个是不能丢分的啊，那么接下来呢，就是展示我们的思维能力的 情况下，这个这个像各种十二分，他有一半呢是基本功，再有一半呢就考察大家对于这个问题处理的灵活处理他的这个能力了啊，我们有了这样一个结论，大家看好了啊，我们有了这样一个结论 啊，就是找到了这个正角矩阵， p 能够把 a 矩阵相似对角化， p t a p 等于它啊，你这个因为为什么就可以叫相似对角化，因为这 p t 是 等于 p e 的 啊，所以就实实际上是相似，然后它这样也是相似的啊，也是合同也是相似的。 那么你现在的问题是，他问你，如果 b 是 正定矩形，能不能把 b 的 三次方求出来，你这个 b 的 平方，他给的不是 b， 他 给的是 b 的 平方，那你现在求 b 的 三次方，那你就思路上来讲，我现在就可以这样考虑，你就是用能不能 b 方把 b 求出来， 就是相当是开形式上现在开根号嘛，是吧，你要把 b 求出来之后，那么 b 方再乘以 b 就是 b 的 三次方啊，是不是可以这样来处理呢？哎，那你就要考虑一下子，一和二，它这是有关系的，我不可能说 a 给了之后，跟后面的 b 方和 b 的 三次方毫无关系，那这个是不可能的，是吧？实际上大家就要有一些观察能力了。 第二个，你是否观察到 a 和 b 的 关系啊？ a 和这个 b 方的关系了，是吧？呃，你这样处理一下，呃，由于 我这样写，不知道大家能不能看出来啊？那就是说这个对应加加就看出来，看出来了，是吧？他除了主对角线之外，其他位置对应相加，是不就是全是零？看出来没有？ a 加上 b 的 平方相当于等于什么啊？三加 a， 三加 a， 三加 a 吧， 是吧？等于三加，这是一个数量证呢，三加 a 倍的单位证，那其他位置就是零了，这就是观察能力啊。这个，这个，这样是一个观察能力了， 是吧？你要盯着他看，哎，那你明显的，这下，这是加起来等零，加起来等零，加起来等零，加起来等零，这，这对应相加，这都是等零的，对不对啊？那你就不去这样去思考，那这样显然就不是很是吧。哎，所以，由于这个 a 加 b 方是等于三加 a 倍的单位正的，所以这个题目呢，我想你处理起来就是 b 方向是什么？ b 方是等于三加 a 倍的单位乘减去 a 啊，减去 a， 那 么由于 a 呢，我们已经能够解出了，它是用这个 p 矩阵啊，和这个 number 矩阵可以表达的，可以表示的， 所以呢，呃，你看它就可以写成什么呢？你这一步实际上就是也很关键了，三加 a 倍的单位证， 你看好啊，然后呢，我减去的啊，是什么东西呢？嗯，拿抄报纸写一下这个位置，实际上大家已经看得出来了， a 等于什么？ a 可以 把它分解出来， a 分 解出来就左边成一 p 了，对不对？然后是 a 减一， a 减一， a 加二，又成什么？ p e 是 吧？ p e 也是 p t 都可以啊，因为我们已经说过了啊，这个 p 是 正交矩阵的，对不对啊？那么你这样的话呢， a 就 可以写成这样一个表达式了。好，大家来看，如果我把 a 写成这样，就是 p 乘上， a 减一， a 减一， a 加二，再乘上 p 的 转制，那么大家看前面这个可以写的什么？前面这个其实也就是什么，哎，对了，呃，你，你会发现一点的话呢，这是一个数量证是吧？这个数量证的话呢，我可以给它乘上一个 p 乘什么？ p 乘 p 转制，是吧？ p 乘上 p 转制。我问大家，这个是不是乘上之后还等于三加 a 倍的单位证？对，因为三加 a 倍的单位证是和任何取证可交换的，那么他给它挪到这边来看， p 乘 p 转制，他还是等于单位证，这是我们的正交取证基本定义了，是不是啊？那么这样的话呢，就相当于说我得到什么了，我得到就是等于 p 乘上。 哎，大家直接就看出来了，主对角线这边是三个三加 a， 然后减去这样对应的三个数，所以三加 a 减去 a 加一，剩下是四，是吧？这个它减，它也剩下的是四，这个三加 a 减 a 加二，剩下是一，那么这产生 p 的 转置 看到没有？这样的话呢，你就得到了 b 的 平方用 p 矩阵表达的式子了，对不对啊？所以这一步的这一步是很关键的一个一个问题啊，哈哈哈，如果能够想到这一步了，那么这个题目基本上就不会有任何问题了。那么在这样的情况下呢，我们知道右 b 是 为 正定的正定矩阵，那么作为正定矩阵来讲的话，都是正直，所以我们的 b 矩阵也就修出来了，它等于 p， 那么你把这个直接相当于是开根号了，是吧？直接开根号了，那就是 b 方是写成了 p， 那 么二二一再乘上二二一，再乘上 p 的 转制，那么中间再给它写成 p 转制乘上 p， 那 么这样的话呢，这个就是 p b 矩阵了，再乘上一个 b 矩阵， 看到没有啊，这是两 b 矩阵 b 方了，所以 b 呢，就等于 p 乘上二一，再乘上 p 的 转制， 有了吧，哎，就行了。因为 p 矩阵是知道了，所以 b 矩阵呢，就相当于是被我们开放看出来了。那么到这之后呢，这个题密就写完了，你再求 b 的 三次密，大家就不需要再去再去，去成，直接就写成 p 什么，对了，那就直接三次方就行了，八八一，这是 p 的 转制。 好，然后你把这个 p 的 表达式往里带啊，大家注意啊，你这个是求转制就行，求转制很简单了，仔细算一下，不要算错啊，这个就结果呢，是这样的， 三分之十七，负的三分之七，三分之七，负的三分之七，三分之十七，三分之七，三分之七，三分之七，三分之十七， 是吧，这个人就可以了，这也算是给大家的一个这个预测吧，是吧，这道题目呢，我想也应该能够引起大家的这个注意了，是不是 我想从这个最后一堂课这个角度上来说呢，我们有很多的问题啊，值得大家去思考，那么时间有限啊，精力有限，大家，那么我就挑这么几个题目啊，供大家在这个参考，是吧？帮大家参考，呃，实际上来说，呃， 在临门一角出来以后啊，我把我该讲的话啊，能够想这个给大家去创造的这样的一个思考的这个环境啊，都已经给大家写好了啊，希望同学们呢能够好好的 利用好最后的这个时间啊，稳扎稳打啊，祝同学们考出好的成绩，谢谢大家。

谁能想到化妆课能这么好笑张宇教粉丝斜修化妆自己先翻车。笑到眼泪直流。咱们来个斜修吧。这样耶 这样这样这样这样这样这样这样这样这样。好就这样就这样就这样啊。拉倒吧，就这样，一个小 u 包起来走包 好就这样非常棒非常棒。来，那个什么用手指蘸取珠光的高光在鼻尖的地方给我提亮一点点翘起来我的天呐我的天呐我的天呐我的天呐我的天呐来就上面的地方翘起来一点 啊好好好好 stop 哇现在犹如珍珠一样的漂亮一飞哈哈哈但是为什么咱们两个不一样啊啊因为我我不叫一飞啊因为我不像珍珠一样的 亮一个大活人不是大活人。好好的能把这个鼻子上画一个珍珠那是多高的化妆技艺。宝贝你还差点东西啊宝贝听我说这个鼻梁中间是不是没衔接出来啊啊对对对，这个你没衔接出来你没晕开呢这样子。有没有筷子筷子有没有吃饭的筷子吃饭的筷子有没有？有拿一双筷子我给你找一下啊拿双筷子是吧，我教你个斜修法 拿筷子你看你拿筷子这样的话，嗯，顺带吃一口哈哈哈顺带吃一口。饿了阴影这样扫一下，再往里扫一下在里边扫，沿着个沿着个筷子扫 沿着筷子扫沿着筷子。你看这样扫这样扫你的你的修容就画好了呀宝贝这写秀法今天的写秀法，这为你量身定制啊你就适合这种画法呀你看你看哎这个你看你看哎你看，哎这画画鼻子这太好画了宝贝看你看这真的可以啊。你看我画完之后卧槽哈哈哈卧蚕你眯一下眼睛眯一下眼睛我看你眼睛。 你不要有这种表情对着我。你你我让你眯眼睛。不是不是锁稳啊眯眼睛这样眯一下眼睛好眯眼睛。握弹线你看眼里的握弹线 嘟哎握到你的握弹你看眯眼睛哎对走眼睛握弹线嘟嘟 嘚擦掉嘚擦掉擦掉。你这样子我再教你个学习法。有没有吃饭勺子呀。有来拿过来。快点好来画卧蚕这样你把这个卡在这个这个这个这个地方然后呢沿着这个小这个地方走走走走 走。那你的卧蚕画完之后它非常的自然，这个弧度就特别适合新手啊你看我画的它是很自然的 哎这没上色啊二百没上色哎你干什么呢擦擦擦擦擦擦擦擦擦擦擦卧蚕卡了卡这卡这这卧蚕卡完之后 真的是方法这么简单的方法。不是你那是不透明。我这是透明的你知道吗？你透不透明的跟那有什么关系啊我就让你画一个卧蚕吗你这卧蚕有那么难吗有那么难吗有那么难吗哈哈哈哈 刚才卡的太往下了你能不能往上点卡你能不能往上点啊啊哎再往上好再往上再往上再往上。好好好好卡住来上色。我就不信这次画不着我立刻改行别说写休不写休了都不骗人了啊。上刚开开 你那个是不是没上色你看那点如果上色是不是应该很好啊你画的时候注意往上提一提那个勺子往上推一提那勺子哎对好对对对好来上色上一会开。 咋回事啊。还可以眼影再重。擦掉擦掉。你这卧蚕画的多喜庆多好看。哎呦我眼睛瞬间放大两倍咱们珍宝贝你帮我看看眼睛大不大。你说大不大。你先别管他画的好不好看。你先就说大不大你说大大大来。好哇，这卧蚕画的 哎你咱们在直播呢。一飞呀一飞呀。你有些动作啊。大可不必展示在我的面前。一飞第一个小粉色小刷子直接蘸它提亮你的卧蚕提亮它。 行了，就这样吧。好放弃放弃好放弃。现在已经逐渐的肿起来了。哈哈哈是逐渐的肿起来了。他不是卧蚕卧起来了啊。不要画了，就这样先放弃这个地方， 先学学你的修脸，把脸盘子修小。你不想瘦脸吗？对不对啊。对对，瘦脸。对对，大脸盘子先收小一点。来先取粉取那个修容粉把脸消瘦。我让你看看什么脸型怎么修容哈。哎哎你干什么呢 那修容吗？最怕空气突然安静。有你那么卡了吗？有你那么修的吗？有你那才修刷子对吗？你觉得刷子放这能把脸修小吗？修容的大刷子没有吗？ 呦这个最大了啊。对，就那个。来取粉这个颧骨这个太阳穴这块哈，再往这扫，一大大二大大三大大四大大五大大一大大二大大三大大四大大五大大一大大二大大三大大四大大五大大。 他只能跑，五哒哒就不能再多了是不要不就不上色了哈。一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒五哒哒。我的法务团队在不在。咋的了。我就说接个大活。好的 我让你修哪啊。我让你修我让你我让你我让你修。往那划了他。你在这打圈跳舞啊。 啊。那我往前嘛一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒五哒哒嘛。往前。你往前走你你倒是走啊 你倒是往前走啊。你是不是咬肌有点大。看着啊，咱们画瘦哈。来从这个地方准备一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒三哒哒四哒哒五哒哒一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒哒哒。从后往前从后往前从后往前从后边往前走。 一大大二大大三大大四大大五大大一大大二大大三大大四大大五大大一大大四大大五二大大。 stop stop 停停。 ok 不 错。腮红拿过来腮红腮红 腮红拿过来。取完粉之后。然后呢？在你这个地方微笑一下 好在你眼下这个地方从这往从下从这个眼下这个地方往上滑一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒五哒一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒五哒哒一哒哒二哒哒三哒哒四哒哒哒哒。 阿祖阿祖收手吧。其实我有一个人给你推荐一下，我觉得你俩挺适合的，他可以教你化妆我有一个推荐的徒弟给你化，他特别厉害特别适合你俩能碰一块去。叫姥姥谁啊？姥姥 他。咦他化妆真是有两下子。我觉得他的理解能力跟你的理解能力两人就是差不多是一个段位的。我觉得到时候教你你觉得怎么样？姥姥对你回头回头那姥姥多大了？八十好几了。哈哈哈 姥姥他不是八十好几。姥姥今年二十四岁。下次我给你介绍姥爷的女朋友行不行。

你把基础三十讲能够完整的啊，全面的深刻的把它搞清楚啊，弄明白，然后把一千题的 a 组题把它做透 啊。我想这个对于保证你超过国家线是绰绰有余的啊，甚至不只是超过国家线了是吧？超过及格的分数都有可能达到。及格分是九十分的啊，数学的话，无论你考任何学校啊，他的这个数学单科线都不会超过九十分啊。这个是确定的啊，就是说到及格分九十分啊，这数学就不会拖你后腿的。

我知道大家意思啊，后面这个心理负担大，我就告诉你，放心，没那么好。而且刚才有人问这个听课的事情呢？听课这个事我不认为这个课要全听，除非你时间很充分。课这个东西是这样，我先看书，如果书我这一部分看的非常的顺畅，完全看的懂，那我就没必要去听这个课。 然后呢，我书看了看着，我发现这一部分呢，就是理解上有些困难，那我打开视频，因为这个书上每一块每一节都有二维码，那你说我哪一节不懂，我就听哪一节，我觉得这个不会哪里就是点哪里，不就这意思吗？你这样的话你也就轻松一些了。然后等你第二遍回来看的时候呢？你可能觉得哪一部分你要觉得没听过，你点开它再听一遍。