哈喽,同学们,大家晚上好,那么继续咱们昨天讲过的分段函数单调性的问题,今天来的一个跟踪训练啊,那这个题目呢,他说在整个区间上都具有单调性,但是他并没有说清楚是单调递增还是单调递减的,所以我们肯定要分情况讨论。那么第一种情况,先来考虑他是单调递增的, 那么由于它是单调递增的,我们可以先大体的画一下它的这个函数的趋势,现在它的分界点是 x 等于二,以二为分界线。 好,那由于是增的话,我们是不是这个图像哦,在左半撇和右半撇是不是分别都是增的?同时左半撇的这个二是一个空心的,没有取到,右半撇这个是取到的, 很明显这个右边的要比左边的必须高,他才能保证他是一个增的,才能是一个增的趋势,对不对?好,先来看左边,也就是我们的上半段是增的,他是一个一次函数啊,所以要求斜率必须要大于零,那 a 减一要大于零。 第二个要求在右半边,也就是我们的下半段,这个指数函数也得是增的,所以 a 需要大于一。好,那第三个要求,也就是咱们这个分界点处,这两个端点要分一个高低。好,先来看这个空心点,是一次函数在 x 等于二,这点处的取值,也就是二 a 二倍的 a 减一,再加上五呢,就是二, a 加上三。好,上半段呢,这个实心点是指数函数在 x 等于二,这点数的取值也就是 a 的 平方。那很显然,我们必须要求 a 方是大于等于二, a 加三的。 那么这三个呢,我们就要去求一个交集啊,上边整理一下,这个很显然是 a 大 于一啊,这个呢,也是 a 大 于一。好,我们对这个式子进行一个处理, a 方减二, a 减三大于等于零,那么要先找等于零的两个根啊, a 方减二, a 减三等于零,负三一一一,所以解得 a 一 等于三, a 二呢,等于负一,那么这个函数图像是开口向上的, 这个是负一,这个是三,所以大于等于零的部分的话,解得是,嗯, a 小 于等于负一,那或者 a 是 大于等于三的,那么这三个我们要去求一个交集的话,可以从图像上来看一下,负一一三小于一 大于一,空心大于一,然后要小于等于负一,或者大于等于三,所以我们最终的公共部分是不是只有这些啊?所以呢,第一种情况,最终得到的是 a 是 属于三到正无穷的。 好,这是第一种情况,那么咱们再来看第二种情况,那么我们还有可能是一个单调递减的函数,那这个时候呢,我们再来画一下它函数的一个大致的变化趋势。 当然有同学说,老师,这个指数函数它是一个曲线,你为什么画成直线呢?这是因为啊,我画的这个是不是表示它它的一个增减性的啊,所以跟它真实的函数图像是有所出入的。好,如果单调递减的话,它是不是只能长这个样子? 嗯,同样呢,左半撇的这个是空心,右半撇的呢,这个是实心。那这个时候我们再来进行一个要求,那在左半撇,也就是上半段的一次函数,它又是一个减的,所以 a 减一要小于零。好, 右半撇,也就是下半段,这个指数函数也要是减的,所以 a 它是大于零小于一。好,然后呢,这个空心点我们知道它是一次函数,在 x 等于二,这点数的取值它是二, a 加三,底下这个是 a 的 平方,此时是二, a 加三啊,必须要大于等于 a 的 平方,那我们对这三个进行一个求交集, 这个时候 a 小 于一啊,这个啊,没有什么变化, a 大 于零小于一,好,这个的话,我们已经在刚才那个题目中是不是进行了一个嗯, 求解了, a 方减二, a 减三,只不过现在是小于等于零了,那小于等于零的话,就是下半段啊,所以这个解得它的 a 是 大于等于负一,然后呢,小于等于三,好,我们对这三个去求一个交集, 还是画一下图,负一零一三,嗯,负一到三,嗯,然后 a 小 于一, 还有一个 a 大 于零小于一,哦,也就说这些公共部分的话,是不就是这中间的部分了?所以呢,这个的最终答案是 a 属于零到一,那这两种情况我们是不是要去给他求一个并集啊?那就是零逗号一,然后并上 三到正无穷啊,这就是你的一个最终的答案,所以 a 的 取值范围我们就可以写成零逗号 e 啊,并上三到正无穷。
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hello, 同学们,大家晚上好,今天晚上呢,给大家更新一个函数单调性的选择题啊,那么这个题目呢,是涉及到了我们分段函数以及单调性,然后他说我在整个定义啊,整个区间上他都是减函数, 那这句话的要求就是说我们上半段他得是一个减函数,下半段还得是一个减函数,那除此之外,在我们的端点处呢,也会有一个限制的要求啊,那么我们可以大致的把这个图像啊,来画一下, 这里的分段点是哪里啊?暗示一,我们是以一作为分界点的,所以呢,我们可以先画一条竖线啊,来表示 x 等于一啊,这是我们的分界线。 那如果说他在啊整个区间上都是减函数的话,那这个分段我肯定分别是减,并且他还是一个这样子的形态,这个地方是减 的,然后这个地方是不是也是减的啊?当然我这两段可能不不一定都是一个直线的状态,但是我这个直线表示的是我这个函数的一个单调性的趋势,对不对? 好,那有了这个呢,我们先来看一下,首先我要要求我在上半段上是一个减函数,那上半段也就是在 x 小 于一的部分,它是一个一次函数,那么一次函数要想是减的,必须要求我们的这个 case 小 于零的,所以 a 减三,它得小于零啊,这是第一个要求,那么对这个要求进行化减啊, a 是 小于三的好,那么第二个,哎,我们得要求右半撇啊,那也就是说 x 大 于等于一的部分,下半段这个函数是不是也要是一个减的? 那负的 x 方是一个开口向下的二次函数,这个二次函数它的对称轴是 x 等于零,所以在 x 大 于等于一的部分 啊,这里是 x 等于一,那大于等于一的部分,它的确是一个减函数,所以我们不需要再对它进行任何的要求了,是不是啊?那么第三个呢?也就是刚才咱讲的这个分段点这点处啊,那好,我们看一下 这个蓝色的空心点呢,是上半段这个一次函数在 x 等于一这一点处的取值,所以我们将 x 等于一代入, 将 x 等于一带入, a 减三, x 加上 a 啊,得到是 a 减三,再加上 a 啊,也就是二 a 减三啊,所以上面这个点呢,是二 a 减三。好,再将下面这个点算一下啊,那就是将 x 等于一带入到下半段这个式子带入负的 x 方等于负一啊,所以这个点 啥负一?那么很明显,我上面这个点是不是必须高于下边这个点,它才能是一个减函数啊?为什么呢?哎,同学们,你可以想一想哈,假设啊,假设我上半段 没有比下半段高的话,那这样的话,我就不叫减函数了,我就是先减后增了,对不对?所以它必须是一个这样子的形式,那我们就只需要要求二 a 减三啊,大于等于负一 就可以了。那么进行一个一项二, a 就是 大于等于二的,解得 a 大 于等于一,那么不要忘记和咱们前面两条去求一个交集, a 小 于三,减 a 大 于等于一,所以 a 的 取值范围就是一到三。

一个视频教会大家分段函数如何来求,记住一句话叫做一把钥匙开一把锁,钥匙对应的是 x 的 取值范围,锁对应的是函数式。另外 关于单招数学中的必备公式常考题型李姐已经给大家整理好了,如果你还不知道背哪些公式的话,那你一定要拿去记一记,拿去看一看。好,我们来找一下这里的钥匙。 x 是 钥匙,这里对应的是五,所以找着钥匙之后去找锁, x 是 五的话,它应该是大于等于二的。 x 范围大于等于二,所以对应的锁就在这里,那我们给它带进去 f 五,此时就等于 f 五减去二,把它带进这个式子里边。五减去二等于 f 三。同理,一把钥匙开一把锁,此时 x 是 等于三的,它还是大于等于二的,所以这里我们再继续 它带进去,那此时它又等于 f 三减去二又等于 f 一, 此时要找 f 一。 f 一 x 是 等于一,是小于二的,所以带进去的是这一把锁, 那此时 f 一, 它又等于三, x 加上一把,这个一给它带入就是三,加上一等 等于四,所以 f 五。通过这么一连串的式子得出来,它是等于四的,这就是分段函数找着它对应的钥匙,然后去开它对应的锁。朋友们,你们听懂了吗?听懂的同学记得点个关注和收藏,免得下次找不到了。


来分段函数是一个必考题型,这个容易出错,有的同学看到这个玩意不敢带了。首先我们看这里,先算里面 f 负二, f 负二就是 x 等于负二的函数值,负二很明显,带第二段带进去,有的同学他说没有 x 怎么办?长值函数不要怕,就是你 x 取小于零的时候, 不管你 x 取啥都是根号二,所以说这一坨变成了根号二,那接着算 f 根号二,根号二是大于零的, x 等于根号二的时候,带第一段带进去,等于以二为底,用根号二带 x 换掉,换成根号二。好,这一个变成对数了,对数来抽底, 根号二写成二的二分之一,次方咔嚓一约,所以答案是二分之一秒了,你听懂了吗?好,这个题类似的,来动手练练答案是多少。

哈喽,同学们好,今天呢,继续给大家分享我们安徽单招的必考的一个考点,叫做分段函数的内容啊,这个考点呢,在我们每一点考试当中都会出现 啊,方法呢也比较的简单,同学们,这种题目呢,可以说就是送分题。 ok, 我 们一起来看一下哈,二五零这道题目,分段函数,那主要是根据字变量的取值,找到对应的函数解析式,然后分别代入就可以了。 那这种呢,属于嵌套形式的,我们的方法就是从里往外啊,从里往外依次计算就可以, 什么意思呢?那看最里面的 f 负三对不对?先看它负三是不是小于负一呀,小于负一代入到上面这个式子来对不对?所以呢,它就等于负三,加一括号的平方等于四, 对不对呀?那 f 负三就是 f 四,所以把它就写成是 f f 负三啊,用等号连接了嘛,对不对?所以写成是 f 四的值啊,四就等于 f 负三,相等等量代换替换掉 f 四, 那四大于负一代入到下面这个式子来了,对不对?所以写成是四减一等于三,选择的是 c 选项,这第一种类型啊,告诉我们的是复合函数 f f x 对不对?那再看一四二四年这道题目,那给我们两个我们怎么样找到对应的题式?分别代入四怎么样?大于二代入到上面这个式子来,那零怎么样?小与二代入到下面这个式子来,即可分别代入,那 f 四 它等于什么呢?那就是四的平方等于十六,对吧?那 f 零又等于什么呢?下面这个式子,零加上 a 等于 a 啊,一个是 a, 一个是等于十六,那就写成是十六减 a 等于七,那 a 等于几? a 不 就等于九吗?选择的是二 b 选项啊,找到 对应的范围,分别代入即可。那二三年也是一样道理。好,告诉你, f 三等于三, f 四等于几? f 负 a, 哎,这里需要判断 a, 那 前面已经告诉我们了,题目中告诉你 a 大 于零,那负 a 怎么样?负 a 是 不是就是小于零啊? 小与零,我们代入到哪个式子里面来呢?上面大于零,下面是小于等于零,所以我们代入到下面这个式当中来就可以了。 f 负 a 等于二分之, a 负 a 负负得正,加上 a 等于三, 所以就是二分之三, a 等于三,对呢? a 等于二,是不是道理? a 等于二,那 f 四 是不是?四是不是大于零,代入到上面这个式的来呀?所以我们继续写 f 四, a 等于二的也算出来了,所以以二为底。四等于也等于二,选择的是四, d 选项即可 啊,关键就是在于求出这个 a, 所以 这道题呢,稍微有一点难,难是因为它是个隐含条件, a 要大于零,在这里要知道负 a 要小于零即可。来第二,二年的这道真题,告诉你, f 负一等于二分之一,负一 怎么样?小雨零带入到上面这个式子来对不对?所以写成是 f 负一,把负一带入是负 a 加一等于二分之一,所以 a 的 值等于多少? 二分之一对不对?那 f 一 一怎么样?一是大于零,带入到下面这个式子来 对不对? a 是 二分之一,这是一, a 是 二分之一,一除等于二分之一,选择的是 a 选项即可,分别代入来二一呢,这个题目也是 完美的全释了,什么叫做分别代入哈,这个 f 负一怎么样?小于零属于上面啊,就写成是 f 负一等于二的负一次方等于二分之一, 下面是 f 一 一大于零带入。下面来, f 一 等于一的平方等于一,两者相加二分之三,选择的是 a 即可。 二零年这个题目也是跟二一年题目非常相似,你看 f 负一 f 一 数字的没有变换对不对?负一是这一个式子,所以写成是 f 负一 等于一加二等于三,负一的平方是一吗?老师直接写了哈, f 一 一怎么样?大于零带入到下面这个十字来,等于负一,两者相乘相乘,是不是三乘以负一啊? 等于负三,选择的是 a 选项即可哈,来一九年这个题目。一九年这个题目呢,看似这个样子, f i 等于二分之一,怎么来?写这种题目更简单哈,叫做代入验证。 怎么带入验证呢?是把选项带入啊,再说一遍哈,我们是把选项带入,看哪一个式子 a 的 值能等于二分之一即可。就这么简单来,第一个,把四分之一带入,四分之一大于零带入,是不是?二乘四分之一减一等于多少? 二分之一减一能不能等于二?负的二分之一?不能够,他等于负的二分之一,所以,哎,错了,再把 b 代入四分之三代入也是一样大于零对不对?所以二乘以四分之三再减一,刚好等于二分之一。好,正确选择的是二 b 选项即可。所以这道题呢,选择的是二 b 选项就可以了。来,咱们再看一八年两个数字,一个是零,一个是二,对不对?零怎么样?零是小于一的,所以代入到下面这个式子来。 f 零等于四的零,次方等于一,那二呢?大于一,代入到上面这个式子来。那个 以二为底,一的二的对数,它也等于 c, 一 加一等于二,选择的是二 b 选项啊,来最后一个一六年的这个题目是不是还是比较简单的?二负二分之一, 负二分之一,怎么样?小于零,代入到上面这个十字来,二分之一,代入到下面这个十字来,对不对?所以写成是 f 负的二分之一等于二分之一,那二 f 二分之一等于几?这里是个乘数, 记得哈。它大于零是一个常数,是一,所以写零是一加二分之一等于二分之三,选择的是四 d 选项来。以上呢,就是关于我们分段函数的相关内容, 我们要注意两个方法,如果是像这种一五二五年这种题目的,就要从里往外依次计算。如果像二四年这种题目的,我们怎么样找到对应的范围?对应范围的解析式分别代入计算即可。这样说你明白了吗?

前面讲过分式内的定域以及根式内的定域,现在我们看一下综合形式,把两个合在一起的,你看第一个,他是一个分式加根式, 我们前面讲过根式要被开放数大于等于零,但是这个根式呢?在分母上呢?分母不能为零,记住啊,既然这种类型的,你这个被开放数 x 加二就大于零即可,不能等于零了,等于零就没有意义了。所以 x 大 于负二, 负二往右,负二到正无穷,没有去等开区间选不对选项,明白没? 你,你直接这个没有等号吗?这这个有等号啊,这个等号啊,这个等号排完了选 b 第二个跟第一个差不多, 你自己打卡吧。好吧,自己算第三个,我讲一下啊,第三个容易出错啊。整体上是一个分式类,分式的话,分母首先 x 减三不等于零, 那么就推出 x 不 等于三,同时还要满足这个分子,你要管呢?它它分子带了个根号,根号叫满足被开放数 大于等于零呢,是吧?所以解得 x 大 于等于一,大于等于一又不等于三大于等于一里面有三把三给它扣掉,所以直接就选 d 选项,你明白没?

好,一分钟教会你一个单招数学秒题小技巧。今天我们要学习的是分段函数的单调性,我们直接秒啊。好,我们看第一题,当你看到这种分式,然后让你求函数单调性的时候,我们就用这种方法啊,什么方法呢? 交叉做差,然后正增负减。正增负减,意思是如果你求出来的这个数,他要 大于零的话,那它就是一个增函数,如果它这个数是小于零的话,那么它就是一个减函数,大家明白没?那么什么叫作交叉作差呢?好,我们来看题啊,我们看第一个, 你看交叉作差,这是不是它的系数?是不是二,对不对?那么这个系数是负一,负一乘以二,是不是负二,对不对?那么减去这负二乘以三,是不是负 六,对不对?那么就等于负二,加上六对不对?那么就等于四,四是不是大于零啊? 正增负减大于零,它是一个增函数,直接秒啊。好,我们看第二个同样的方法,这是一,这一乘一是完事一,然后再减去二乘以二,是四,对不对?那么一减四是不是等于负三呀?那么负三小于零,那他们就是一个减函数。好,我们看第三个, 三乘以负一,是不是负三,对不对?那么减去二乘以一,是不是二,对不对?那么就等于 负三减二,是不是负五呀?负五小于零,那他们就是一个减函数,直接秒啊。好,你学会了吗?关注我,每天分享更多单招数学秒题小技巧。

当数学常考的这函数的十道题型呢,你肯定有不会的来看,那么第一道题呢,先看这个定域,定域求的是 x 的 范围,根号下的东西呢,需要大于等于零,三大于等于 x, 所以 x 小 于等于三。然后对数的这个真数部分呢,需要大于零,所以 x 减二大于零, x 大 于二, 也就是说大于等于二,小于等于三,用开区间和 b 区间啊,选 c。 然后第二道题呢,它是一个代值的,代值怎么代呢?让你去求这个 f 二,你就直接括号等于括号,让括号里的东西等于它, x 加上一等于二,所以 x 肯定是一嘛,然后把它带入进去一的平方一,一减一就是零,所以照题选 a。 然后第三道题,第三道题,他说既是奇函数又是增函数的。奇函数的话,你首先你可以把二 b 和 c 给排除了,因为对数函数,真那个指数函数,它是没有这个基友性的啊,没有对称性 来看四 d, 这道题直接选四 d, 对 吧?因为 x 是 x 的 一次方,一为基次密嘛,这个二呢,是偶次密,它是偶函数啊。来看第四道题,第四道题他说下列函数在定义域内是增函数的式, a 选项呢,肯定排除,因为它是一个反比例函数, y 等于 x 分 之 k, 这个 k 它大于零,是减函数,小于零的情况下就是增函数了。首先看这个 k 是 不是大于零啊,所以它是减函数,排除了 二。 b 和 c 呢,是对数函数和指数函数,对数函数,指数函数它是底数,这个 a 如果大于一的情况下就是增的,如果说小于一的情况下,它就是减的,很明显。二是增函数,对吧?选 c 来看第五道题,第五道题让你去求值域了, 值域怎么求呢?值域求的就是这个 y 的 范围啊,也就是说咱们先得把里面一步一步给他拆出来看,这个任何数的平方呢,是大于等于零的,他现在加上一个括号三,那我左边加上括号三,我右边肯定也得加上括号三,所以说白了,这个整体呢,他是大于等于括号三的,那咱们直接选 c 就 行了。 第六道题呢,是一个指数函数的值域。值域呢,咱刚刚讲的是 y 的 范围。先看普通的啊, y 等于 a 的 x 次幂。指数函数的值域呢,是零到正无穷,就是无论他递增还是递减,因为他的图像呢,大概是这么画的啊,就是零到正无穷,递增递减。然后他现在外面加了一个一, 只要加几或者减几,你后面就写几,他加一的话,就是一到正无穷。那如果说他现在减了个五,那就是负五到正无穷了。 好,来看下面的第七题。第七题他说这个函数呢,在二 m 到 m 加三上具有基有性,具有基有性就是说白了具有对称性了,那么它只要对称的话,说明这两个是相反数,相反数相加应该是零,所以说二 m 加上 m 加上三等于零, 三 m 等于负三,所以 m 就是 负一了。选二 b 这道题来看第八题,下面这道题呢,是一个奇函数的一个转换,那么先看它是一个奇函数,对吧?当 x 大 于零的时候,你可以用这个式子,那它现在里面是 x 是 负二,你是不能用的。但是奇函数的公式是 f 负 x 等于负的 f x, 所以说 f 负二这道题求的它是等于负的 f 二的,那你现在看里面这个 x 是 等于二了,他就可以满足这个条件,带入到这个式子了。 f 二等于二的平方四四减二呢,就是二,所以说 f 二算出来了一个二,但前面加了个负二,所以说就是负二了。那选二 b 来看第九题,第九题的话是一个分段数,那么这两种分段数呢?它的题型不太一样啊,一个是让你去求值的,一个是让你反过来求 x 的。 先看第一种, 这个是 f 零, x 等于零的话,它属于第一个范围,那就代入到第一个,你得出来就是零了。 f 一 的话,这 x 等于一,它是属于这个范围的,大于零小于四,那就代入到这二减一就是一,所以答案呢,零加一就是一啊,选二 b, 那 么第二种题型呢?它是反过来让你去求这个 x, 它只不过把 x 变成了 a, 那 你就得分别去代式,然后看它反符不符合后面这个范围来。第一个,我现在把 x 呢,变成了 a 了, a 加一等于三,所以 a 等于二, a 等于二,他符不合大于等于零啊,符合,那就留下来打开第二种。第二种的话是负 a 是 吧?负 a 等于三,所以 a 就是 负三,负三的话也属于小于零了,所以也留下来。那答案就是二和负三啊,咱们直接选 c 就 ok 了,你掌握了吗?

咱们来秒杀单招数学常考的函数题型,这次看分段复合求值。这道题左边给了我们一个分段函数,分段函数就是 x 的 范围不一样,它带的表达式就不一样, 然后他问咱们 f f 一 等于多少?我们会发现左边这个 f 里面,它又套了一个 f, 这个就相当于复合函数求值。 我们先算里面的 f 一, 那么一呢,它是大于等于零的,所以说我们带上面这个式子,就是一的平方减二。好,那么这个括号里面就是一的平方减二,外面这个 f, 我 们把这个一的平方减二算出来,就是负一,也就是问我们 f 负一, 然后呢,这个负一呢,它是小于零的,所以说我们带下面这个式子,所以 f 负一呢,就是二的负一次方等于二分之一,所以本题选 c。 再看这道题,左边也是一个分段函数,问咱们 f f 负一等于多少?我们先算里面的 f 负一,负一呢,它是小于等于零的,所以说我们带上面这个式子,那就是负一加二,那么这个 f 负一就等于负一加二。好,我们把外面这层 f 抄一下, 那 f 负一加二呢,就是 f 一, 那么一呢,它是大于零的,所以说我们带下面这个式子,所以 f 一 就等于一,加上一分之一就等于二。所以呢,本题选 c, 这道题可以自己尝试一下,期待你的正确答案。