分段函数单招

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上呢，给大家更新一个函数单调性的选择题啊，那么这个题目呢，是涉及到了我们分段函数以及单调性，然后他说我在整个定义啊，整个区间上他都是减函数， 那这句话的要求就是说我们上半段他得是一个减函数，下半段还得是一个减函数，那除此之外，在我们的端点处呢，也会有一个限制的要求啊，那么我们可以大致的把这个图像啊，来画一下， 这里的分段点是哪里啊？暗示一，我们是以一作为分界点的，所以呢，我们可以先画一条竖线啊，来表示 x 等于一啊，这是我们的分界线。 那如果说他在啊整个区间上都是减函数的话，那这个分段我肯定分别是减，并且他还是一个这样子的形态，这个地方是减 的，然后这个地方是不是也是减的啊？当然我这两段可能不不一定都是一个直线的状态，但是我这个直线表示的是我这个函数的一个单调性的趋势，对不对？ 好，那有了这个呢，我们先来看一下，首先我要要求我在上半段上是一个减函数，那上半段也就是在 x 小 于一的部分，它是一个一次函数，那么一次函数要想是减的，必须要求我们的这个 case 小 于零的，所以 a 减三，它得小于零啊，这是第一个要求，那么对这个要求进行化减啊， a 是 小于三的好，那么第二个，哎，我们得要求右半撇啊，那也就是说 x 大 于等于一的部分，下半段这个函数是不是也要是一个减的？ 那负的 x 方是一个开口向下的二次函数，这个二次函数它的对称轴是 x 等于零，所以在 x 大 于等于一的部分 啊，这里是 x 等于一，那大于等于一的部分，它的确是一个减函数，所以我们不需要再对它进行任何的要求了，是不是啊？那么第三个呢？也就是刚才咱讲的这个分段点这点处啊，那好，我们看一下 这个蓝色的空心点呢，是上半段这个一次函数在 x 等于一这一点处的取值，所以我们将 x 等于一代入， 将 x 等于一带入， a 减三， x 加上 a 啊，得到是 a 减三，再加上 a 啊，也就是二 a 减三啊，所以上面这个点呢，是二 a 减三。好，再将下面这个点算一下啊，那就是将 x 等于一带入到下半段这个式子带入负的 x 方等于负一啊，所以这个点 啥负一？那么很明显，我上面这个点是不是必须高于下边这个点，它才能是一个减函数啊？为什么呢？哎，同学们，你可以想一想哈，假设啊，假设我上半段 没有比下半段高的话，那这样的话，我就不叫减函数了，我就是先减后增了，对不对？所以它必须是一个这样子的形式，那我们就只需要要求二 a 减三啊，大于等于负一 就可以了。那么进行一个一项二， a 就是 大于等于二的，解得 a 大 于等于一，那么不要忘记和咱们前面两条去求一个交集， a 小 于三，减 a 大 于等于一，所以 a 的 取值范围就是一到三。

一个视频教会大家分段函数如何来求，记住一句话叫做一把钥匙开一把锁，钥匙对应的是 x 的 取值范围，锁对应的是函数式。另外 关于单招数学中的必备公式常考题型李姐已经给大家整理好了，如果你还不知道背哪些公式的话，那你一定要拿去记一记，拿去看一看。好，我们来找一下这里的钥匙。 x 是 钥匙，这里对应的是五，所以找着钥匙之后去找锁， x 是 五的话，它应该是大于等于二的。 x 范围大于等于二，所以对应的锁就在这里，那我们给它带进去 f 五，此时就等于 f 五减去二，把它带进这个式子里边。五减去二等于 f 三。同理，一把钥匙开一把锁，此时 x 是 等于三的，它还是大于等于二的，所以这里我们再继续 它带进去，那此时它又等于 f 三减去二又等于 f 一， 此时要找 f 一。 f 一 x 是 等于一，是小于二的，所以带进去的是这一把锁， 那此时 f 一， 它又等于三， x 加上一把，这个一给它带入就是三，加上一等 等于四，所以 f 五。通过这么一连串的式子得出来，它是等于四的，这就是分段函数找着它对应的钥匙，然后去开它对应的锁。朋友们，你们听懂了吗？听懂的同学记得点个关注和收藏，免得下次找不到了。

来分段函数是一个必考题型，这个容易出错，有的同学看到这个玩意不敢带了。首先我们看这里，先算里面 f 负二， f 负二就是 x 等于负二的函数值，负二很明显，带第二段带进去，有的同学他说没有 x 怎么办？长值函数不要怕，就是你 x 取小于零的时候， 不管你 x 取啥都是根号二，所以说这一坨变成了根号二，那接着算 f 根号二，根号二是大于零的， x 等于根号二的时候，带第一段带进去，等于以二为底，用根号二带 x 换掉，换成根号二。好，这一个变成对数了，对数来抽底， 根号二写成二的二分之一，次方咔嚓一约，所以答案是二分之一秒了，你听懂了吗？好，这个题类似的，来动手练练答案是多少。

哈喽，同学们好，今天呢，继续给大家分享我们安徽单招的必考的一个考点，叫做分段函数的内容啊，这个考点呢，在我们每一点考试当中都会出现 啊，方法呢也比较的简单，同学们，这种题目呢，可以说就是送分题。 ok， 我 们一起来看一下哈，二五零这道题目，分段函数，那主要是根据字变量的取值，找到对应的函数解析式，然后分别代入就可以了。 那这种呢，属于嵌套形式的，我们的方法就是从里往外啊，从里往外依次计算就可以， 什么意思呢？那看最里面的 f 负三对不对？先看它负三是不是小于负一呀，小于负一代入到上面这个式子来对不对？所以呢，它就等于负三，加一括号的平方等于四， 对不对呀？那 f 负三就是 f 四，所以把它就写成是 f f 负三啊，用等号连接了嘛，对不对？所以写成是 f 四的值啊，四就等于 f 负三，相等等量代换替换掉 f 四， 那四大于负一代入到下面这个式子来了，对不对？所以写成是四减一等于三，选择的是 c 选项，这第一种类型啊，告诉我们的是复合函数 f f x 对不对？那再看一四二四年这道题目，那给我们两个我们怎么样找到对应的题式？分别代入四怎么样？大于二代入到上面这个式子来，那零怎么样？小与二代入到下面这个式子来，即可分别代入，那 f 四 它等于什么呢？那就是四的平方等于十六，对吧？那 f 零又等于什么呢？下面这个式子，零加上 a 等于 a 啊，一个是 a， 一个是等于十六，那就写成是十六减 a 等于七，那 a 等于几？ a 不 就等于九吗？选择的是二 b 选项啊，找到 对应的范围，分别代入即可。那二三年也是一样道理。好，告诉你， f 三等于三， f 四等于几？ f 负 a， 哎，这里需要判断 a， 那 前面已经告诉我们了，题目中告诉你 a 大 于零，那负 a 怎么样？负 a 是 不是就是小于零啊？ 小与零，我们代入到哪个式子里面来呢？上面大于零，下面是小于等于零，所以我们代入到下面这个式当中来就可以了。 f 负 a 等于二分之， a 负 a 负负得正，加上 a 等于三， 所以就是二分之三， a 等于三，对呢？ a 等于二，是不是道理？ a 等于二，那 f 四 是不是？四是不是大于零，代入到上面这个式的来呀？所以我们继续写 f 四， a 等于二的也算出来了，所以以二为底。四等于也等于二，选择的是四， d 选项即可 啊，关键就是在于求出这个 a， 所以 这道题呢，稍微有一点难，难是因为它是个隐含条件， a 要大于零，在这里要知道负 a 要小于零即可。来第二，二年的这道真题，告诉你， f 负一等于二分之一，负一 怎么样？小雨零带入到上面这个式子来对不对？所以写成是 f 负一，把负一带入是负 a 加一等于二分之一，所以 a 的 值等于多少？ 二分之一对不对？那 f 一 一怎么样？一是大于零，带入到下面这个式子来 对不对？ a 是 二分之一，这是一， a 是 二分之一，一除等于二分之一，选择的是 a 选项即可，分别代入来二一呢，这个题目也是 完美的全释了，什么叫做分别代入哈，这个 f 负一怎么样？小于零属于上面啊，就写成是 f 负一等于二的负一次方等于二分之一， 下面是 f 一 一大于零带入。下面来， f 一 等于一的平方等于一，两者相加二分之三，选择的是 a 即可。 二零年这个题目也是跟二一年题目非常相似，你看 f 负一 f 一 数字的没有变换对不对？负一是这一个式子，所以写成是 f 负一 等于一加二等于三，负一的平方是一吗？老师直接写了哈， f 一 一怎么样？大于零带入到下面这个十字来，等于负一，两者相乘相乘，是不是三乘以负一啊？ 等于负三，选择的是 a 选项即可哈，来一九年这个题目。一九年这个题目呢，看似这个样子， f i 等于二分之一，怎么来？写这种题目更简单哈，叫做代入验证。 怎么带入验证呢？是把选项带入啊，再说一遍哈，我们是把选项带入，看哪一个式子 a 的 值能等于二分之一即可。就这么简单来，第一个，把四分之一带入，四分之一大于零带入，是不是？二乘四分之一减一等于多少？ 二分之一减一能不能等于二？负的二分之一？不能够，他等于负的二分之一，所以，哎，错了，再把 b 代入四分之三代入也是一样大于零对不对？所以二乘以四分之三再减一，刚好等于二分之一。好，正确选择的是二 b 选项即可。所以这道题呢，选择的是二 b 选项就可以了。来，咱们再看一八年两个数字，一个是零，一个是二，对不对？零怎么样？零是小于一的，所以代入到下面这个式子来。 f 零等于四的零，次方等于一，那二呢？大于一，代入到上面这个式子来。那个 以二为底，一的二的对数，它也等于 c， 一 加一等于二，选择的是二 b 选项啊，来最后一个一六年的这个题目是不是还是比较简单的？二负二分之一， 负二分之一，怎么样？小于零，代入到上面这个十字来，二分之一，代入到下面这个十字来，对不对？所以写成是 f 负的二分之一等于二分之一，那二 f 二分之一等于几？这里是个乘数， 记得哈。它大于零是一个常数，是一，所以写零是一加二分之一等于二分之三，选择的是四 d 选项来。以上呢，就是关于我们分段函数的相关内容， 我们要注意两个方法，如果是像这种一五二五年这种题目的，就要从里往外依次计算。如果像二四年这种题目的，我们怎么样找到对应的范围？对应范围的解析式分别代入计算即可。这样说你明白了吗？

前面讲过分式内的定域以及根式内的定域，现在我们看一下综合形式，把两个合在一起的，你看第一个，他是一个分式加根式， 我们前面讲过根式要被开放数大于等于零，但是这个根式呢？在分母上呢？分母不能为零，记住啊，既然这种类型的，你这个被开放数 x 加二就大于零即可，不能等于零了，等于零就没有意义了。所以 x 大 于负二， 负二往右，负二到正无穷，没有去等开区间选不对选项，明白没？ 你，你直接这个没有等号吗？这这个有等号啊，这个等号啊，这个等号排完了选 b 第二个跟第一个差不多， 你自己打卡吧。好吧，自己算第三个，我讲一下啊，第三个容易出错啊。整体上是一个分式类，分式的话，分母首先 x 减三不等于零， 那么就推出 x 不 等于三，同时还要满足这个分子，你要管呢？它它分子带了个根号，根号叫满足被开放数 大于等于零呢，是吧？所以解得 x 大 于等于一，大于等于一又不等于三大于等于一里面有三把三给它扣掉，所以直接就选 d 选项，你明白没？

好，一分钟教会你一个单招数学秒题小技巧。今天我们要学习的是分段函数的单调性，我们直接秒啊。好，我们看第一题，当你看到这种分式，然后让你求函数单调性的时候，我们就用这种方法啊，什么方法呢？ 交叉做差，然后正增负减。正增负减，意思是如果你求出来的这个数，他要 大于零的话，那它就是一个增函数，如果它这个数是小于零的话，那么它就是一个减函数，大家明白没？那么什么叫作交叉作差呢？好，我们来看题啊，我们看第一个， 你看交叉作差，这是不是它的系数？是不是二，对不对？那么这个系数是负一，负一乘以二，是不是负二，对不对？那么减去这负二乘以三，是不是负 六，对不对？那么就等于负二，加上六对不对？那么就等于四，四是不是大于零啊？ 正增负减大于零，它是一个增函数，直接秒啊。好，我们看第二个同样的方法，这是一，这一乘一是完事一，然后再减去二乘以二，是四，对不对？那么一减四是不是等于负三呀？那么负三小于零，那他们就是一个减函数。好，我们看第三个， 三乘以负一，是不是负三，对不对？那么减去二乘以一，是不是二，对不对？那么就等于 负三减二，是不是负五呀？负五小于零，那他们就是一个减函数，直接秒啊。好，你学会了吗？关注我，每天分享更多单招数学秒题小技巧。

当数学常考的这函数的十道题型呢，你肯定有不会的来看，那么第一道题呢，先看这个定域，定域求的是 x 的 范围，根号下的东西呢，需要大于等于零，三大于等于 x， 所以 x 小 于等于三。然后对数的这个真数部分呢，需要大于零，所以 x 减二大于零， x 大 于二， 也就是说大于等于二，小于等于三，用开区间和 b 区间啊，选 c。 然后第二道题呢，它是一个代值的，代值怎么代呢？让你去求这个 f 二，你就直接括号等于括号，让括号里的东西等于它， x 加上一等于二，所以 x 肯定是一嘛，然后把它带入进去一的平方一，一减一就是零，所以照题选 a。 然后第三道题，第三道题，他说既是奇函数又是增函数的。奇函数的话，你首先你可以把二 b 和 c 给排除了，因为对数函数，真那个指数函数，它是没有这个基友性的啊，没有对称性 来看四 d， 这道题直接选四 d， 对 吧？因为 x 是 x 的 一次方，一为基次密嘛，这个二呢，是偶次密，它是偶函数啊。来看第四道题，第四道题他说下列函数在定义域内是增函数的式， a 选项呢，肯定排除，因为它是一个反比例函数， y 等于 x 分 之 k， 这个 k 它大于零，是减函数，小于零的情况下就是增函数了。首先看这个 k 是 不是大于零啊，所以它是减函数，排除了 二。 b 和 c 呢，是对数函数和指数函数，对数函数，指数函数它是底数，这个 a 如果大于一的情况下就是增的，如果说小于一的情况下，它就是减的，很明显。二是增函数，对吧？选 c 来看第五道题，第五道题让你去求值域了， 值域怎么求呢？值域求的就是这个 y 的 范围啊，也就是说咱们先得把里面一步一步给他拆出来看，这个任何数的平方呢，是大于等于零的，他现在加上一个括号三，那我左边加上括号三，我右边肯定也得加上括号三，所以说白了，这个整体呢，他是大于等于括号三的，那咱们直接选 c 就 行了。 第六道题呢，是一个指数函数的值域。值域呢，咱刚刚讲的是 y 的 范围。先看普通的啊， y 等于 a 的 x 次幂。指数函数的值域呢，是零到正无穷，就是无论他递增还是递减，因为他的图像呢，大概是这么画的啊，就是零到正无穷，递增递减。然后他现在外面加了一个一， 只要加几或者减几，你后面就写几，他加一的话，就是一到正无穷。那如果说他现在减了个五，那就是负五到正无穷了。 好，来看下面的第七题。第七题他说这个函数呢，在二 m 到 m 加三上具有基有性，具有基有性就是说白了具有对称性了，那么它只要对称的话，说明这两个是相反数，相反数相加应该是零，所以说二 m 加上 m 加上三等于零， 三 m 等于负三，所以 m 就是 负一了。选二 b 这道题来看第八题，下面这道题呢，是一个奇函数的一个转换，那么先看它是一个奇函数，对吧？当 x 大 于零的时候，你可以用这个式子，那它现在里面是 x 是 负二，你是不能用的。但是奇函数的公式是 f 负 x 等于负的 f x， 所以说 f 负二这道题求的它是等于负的 f 二的，那你现在看里面这个 x 是 等于二了，他就可以满足这个条件，带入到这个式子了。 f 二等于二的平方四四减二呢，就是二，所以说 f 二算出来了一个二，但前面加了个负二，所以说就是负二了。那选二 b 来看第九题，第九题的话是一个分段数，那么这两种分段数呢？它的题型不太一样啊，一个是让你去求值的，一个是让你反过来求 x 的。 先看第一种， 这个是 f 零， x 等于零的话，它属于第一个范围，那就代入到第一个，你得出来就是零了。 f 一 的话，这 x 等于一，它是属于这个范围的，大于零小于四，那就代入到这二减一就是一，所以答案呢，零加一就是一啊，选二 b， 那 么第二种题型呢？它是反过来让你去求这个 x， 它只不过把 x 变成了 a， 那 你就得分别去代式，然后看它反符不符合后面这个范围来。第一个，我现在把 x 呢，变成了 a 了， a 加一等于三，所以 a 等于二， a 等于二，他符不合大于等于零啊，符合，那就留下来打开第二种。第二种的话是负 a 是 吧？负 a 等于三，所以 a 就是 负三，负三的话也属于小于零了，所以也留下来。那答案就是二和负三啊，咱们直接选 c 就 ok 了，你掌握了吗？

咱们来秒杀单招数学常考的函数题型，这次看分段复合求值。这道题左边给了我们一个分段函数，分段函数就是 x 的 范围不一样，它带的表达式就不一样， 然后他问咱们 f f 一 等于多少？我们会发现左边这个 f 里面，它又套了一个 f， 这个就相当于复合函数求值。 我们先算里面的 f 一， 那么一呢，它是大于等于零的，所以说我们带上面这个式子，就是一的平方减二。好，那么这个括号里面就是一的平方减二，外面这个 f， 我 们把这个一的平方减二算出来，就是负一，也就是问我们 f 负一， 然后呢，这个负一呢，它是小于零的，所以说我们带下面这个式子，所以 f 负一呢，就是二的负一次方等于二分之一，所以本题选 c。 再看这道题，左边也是一个分段函数，问咱们 f f 负一等于多少？我们先算里面的 f 负一，负一呢，它是小于等于零的，所以说我们带上面这个式子，那就是负一加二，那么这个 f 负一就等于负一加二。好，我们把外面这层 f 抄一下， 那 f 负一加二呢，就是 f 一， 那么一呢，它是大于零的，所以说我们带下面这个式子，所以 f 一 就等于一，加上一分之一就等于二。所以呢，本题选 c， 这道题可以自己尝试一下，期待你的正确答案。