幂运算公式拉马努金

接下第一次月考，这道亚洲题直接全军覆没，因为这道题他考察的就是我们的构造法，而有百分之九十五以上的孩子搞不清楚我们的构造法是什么，所以说今天这个视频，猫老师给大家讲清楚我们构造法的两大技巧，同时大家还要注意， m 的 预算不仅要有技巧，你还要对它所涉及到的公式以及口诀极其的熟悉，所以孟老师把口诀和公式都给你准备好了，同时还有我们 m 预算必考的十五大题型，一定要找我来拿，这样开学以后我们 m 的 预算才能拿满分。好，那我们下面来看一下这道题目，他说若 三的 x 次方，五的 y 次方等于四十五，让我们求这个东西。首先第一个构造技巧，你来观察要求的这个里面有 x， 有 y， 而这个 x 和 y 都在我们已知条件中的什么中出现了指数，所以你要把它们在指数中给它造出来。 那么如何在指数中造出来呢？那一定和这里的有关系，因为这个指数是 x， 所以 在它啊，我就可以写成三， x 的 x 四分之二次方，你看 x 分 之二就在指数上了，那它就等于四十五的 x 分 之二。 ok， 那 接下来用公式，三的 x 的 x 分 之二次方，那就等于三的 x 乘以 x 分 之二，也就是三的二次方等于九。 ok， 那 我们还要造出谁呢？ y 分 之一，所以要借助前面的五的 y 字方，那大家来看，五的 y 次方的 y 分 之一次方，就是四十五的 y 分 之一次方。那注意观察，五的 y 次方的 y 分 之一次方， 就等于五的 y 乘以 y 分 之一，也就是 y 次方，答案就是五。 ok， 那 第二个需要知道的技巧，也就是我们的口诀，你注意观察要构造的这两个指数是相加， y 相乘 利用的是我们的逆行预算，所以这里我要用这两个同底数逆给它进行相乘，那就变成了四十五的 x 四分之二次方。 乘以四十五的 y 分 之一次方，那么就等于四十五的 x 四分之二次方。 加上 y 分 之一次方。那大家注意观察，四十五的 x 分 之二次方等于九，而后面这个等于五，那它俩的乘积就是四十五，而四十五就是四十五的一次方，所以我就可以知道你的指数就等于一。那这个题的答案就是一。好了，那今天学的两个技巧你搞明白了吗？拜拜，我们下期再见。

这道题你都能搞定，那你一定是我们的满分选手。今天梦老师要给大家讲解的是我们七年级下第一次月考的压轴题，他经常在我们的选择和填空的最后一道题目中出现。那有百分之九十的同学拿到这个题目数时候，其实主要是对我们的构造法不熟悉， 对我们密的预算不熟悉。好，下面让我们来看一下哈。已知二的 a 次方等于十，让我们去求它。首先第一步要观察 a 和 b 在 哪里出现，指数中出现。 所以说第一个技巧你要知道了，我们就是要把它当做指数，给它构造出来，那当做指数 a 减一至相减逆相 除。口诀记住，用的是 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，就等于 a 的 m 减 n 次方至相减 b 相除。所以如果我想要出现 a 减一的话，那前面就得是二的 a 次方除以二的一次方，那它就等于二的 a 减一次方，那二的 a 次方是十，十，再除以二就等于五，所以它就等于五。后面有什么呢？ b 减一次方，一样的，我要用五的 b 次方除以五就等于五的 b 减一次方，那五的 b 次方是十，十除以五等于二，那它就是二。第二个技巧仍然啊，我们要继续观察这里，要是它乘以它，指数都有了，而这又是只相乘 相乘逆的乘方，又是我们的口诀来，同学们， a 的 m 次方的 n 次方，是不是才会出现 a 的 m 乘以 n 次方呀？所以，如果我想要出现 a 减一次方的乘以 b 减一次方的话，那比如说我以它为例，那它一定要写成二的 a 减一次方的 b 减一次方，它就直接等于二的 a 减一乘以 b 减一。那你再观察二的 a 减一次方是等于五，所以它就是五的 b 减一次方，而五的 b 减一次方又等于二，所以你就是二， 而二就是二的一次方。因此这个指数是不就等于一啊？那这道题的答案就是一。好了，朋友们，那今天的内容你学会了吗？我们下期再见。拜拜。

哈喽，欢迎来到汤姆老师的数学课堂，今天咱们要开启初中代数里非常重要的一个板块，密的运算。关于密的概念，你在初一上学期其实就已经学过了，我们简单回顾一下，求 n 个相同因素积的运算叫做乘方，乘方的结果就叫做密，用公式表示就是下面这样， 其中 a 叫做底数， n 叫做指数，这个式子就读作 a 的 n 次方或者 a 的 n 次幂。而今天我们要学的幂的运算就是建立在这个基础概念之上的。一共包含四个核心的运算法则， 同底数密的乘法、密的乘方、积的乘方以及同底数密的除法。在开始学习之前，我们先明确一下本节课的三个核心学习目标。一、熟练掌握密的运算四大核心运算法法则，理解法则的推导原理，能准确完成各类密的基础运算。 掌握四大运算法则的逆运算，能运用逆运算解决求值化简类问题。三、理解并掌握零指数密和负整指数密的定义，能完成相关的计算和大小比较。 ok， 搬好小板凳开课， 我们先从最基础的同底数密的乘法开始。顾名思义， 底数相同的两个或多个密进行相乘的运算，就叫做同底数密的乘法。所以，判断一个算式是不是同底数密的乘法，只有一个核心标准，看底数是否完全相同， 他和指数是多少没有关系。比如二的三次方乘，二的四次方底数都是二，是同底数密的乘法， a 的 平方乘 a 的 三次方乘， a 的 五次方底数都是字母， a 是 同底数密的乘法。负三括号的四次方乘以负，三括号的平方底数都是负三，是同底数密的乘法。 x 减 y， 括号的三次方乘以 x 减 y， 括号的五次方底数都是代数式。 x 减 y， 也是同底数密的乘法。反过来，像二的三次方乘以三的平方底数，一个是二，一个是三。 a 的 平方乘 a 的 三次方底数，一个是 a， 一个是 b， 这些底数不同的，就不属于同底数密的乘法。搞懂了定义，接下来就是核心的运算法则，咱们先从具体的例子入手来推导一下，帮助大家更好的理解和记忆。 比如计算二的三次方乘二的四次方。根据密的定义，二的三次方是三个二相乘，二的四次方是四个二相乘，那两者相乘之后，咱们数一下，这里一共是三加四，等于七个二相乘。 根据密的定义，就是二的七次方，所以二的三次方乘以二的四次方，就等于二的三加四，也就等于二的七次方。 同理， a 的 平方乘 a 的 三次方，前者是两个 a 相乘，后者是三个 a 相乘，相乘之后就是五个 a 相乘，也就是 a 的 五次方。所以 a 的 平方乘 a 的 三次方，就等于 a 的 二加三，也就等于 a 的 五次方。通过这两个例子， 大家就能发现同底数密乘法的核心规则了，即同底数密相乘，底数不变。指数相家用字母表示，就是 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方。简单证明一下，根据密的底， a 的 m 次方表示 m 个 a 相乘， a 的 n 次方表示 n 个 a 相乘。 那么 a 的 m 乘以 a 的 n 次方，就是一共 m 加 n 个 a 连续相乘，而 m 加 n 个 a 相乘，根据密的定义，就可以记作 a 的 m 加 n 次方， 因此也就有了 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方成立。不难理解，这个法则还可以推广到多个同底数密相乘的情况，比如三个、四个甚至更多个同底数密相乘，规则是完全一样的。 另外，还需要强调一个非常重要的点，这个法则的逆运算同样成立，也就是 a 的 m 加 n 次方，就等于 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方。很多同学只记法则的正向使用，却忽略了逆运算，而这个逆运算在后续的求值化解、因式分解中是绝对的高频考点，大家一定要和正运算一起记牢，形成正向和逆向的双向思维。 比如已知 a 的 m 加 n 次方和 a 的 n 次方的值，让你求 a 的 m 次方，就要用逆运算把 a 的 m 加 n 次方拆成 a 的 m 次方，乘以 a 的 n 次方，再代入计算。 ok， 同底数密的乘法法则推到逆运算都讲完了， 那接下来我们通过几道例题来应用一下。第一题，下列各项中两个密是同底数密的，选哪个？根据我们前面讲的同底数密的定义，满足底数相同的密，那就是同底数密。 所以我们分别来看一下。先看 a 选项 x 的 平方，那它的底数显然就是 x， a 的 平方，底数就是 a， 所以 底数不相同。再看 b， 负 a 括号的五次方，它的底数是负 a。 a 的 三次方，它的底数是 a， 底数也不相同。 c 选项 x 减 y， 括号的平方，底数是 x 减 y， y 减 x 括号的平方，它的底数是 y 减 x， 所以底数也不相同，实际上它们是一组互为相反数，所以这道题的答案就选 d。 负 x 的 平方，底数是 x， x 的 三次方，它的底数也是 x， 所以 它们就是一组同底数密。这里稍微提醒一下啊，有的同学可能会误以为这个负 x 的 平方底数是负 x， 这是错的啊，我们讲它可以看作是 x 平方的相反数，底数就是这个 x。 下面我们再来看一下第二题。 第二题考察的是同底数幂的乘法运算，一共四个小问题，我们分别来看一下。第一题让我们计算负外乘以 y 的 平方，再乘以负外括号的三次方。显然在这个算式当中，这个幂的底数是不相同的吧。所以第一步要把它们改写成底数相同的形式，再来进行运算。 那这里负外我们可以写成负一括号乘以 y 的 平方。关键这里的 负 y 括号的三次方，我们可以写成负一乘以 y 的 三次方，因为负数的基次方还是负数啊。那这样我们就可以再进行下一步的运算了。 那负一乘以负一负负得正，所以最终结果是正的，那这里就符合同底数密乘法的运算了。根据同底数密的乘法运算法则，同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以最终结果底数还是 y， 指数相加，这里相当于是 y 的 一次方，一加二加三， 结果就是 y 的 六次方。再来看第二题， p 减 q 括号的五次方，乘以 q 减 p 括号的二次方。哎，这里的底数也不相同，所以我们还是要改写一下啊，改成底数相同的形式，那这里改写呢？显然改写这个是更简单。我们讲这个 q 减 p 括号的平方，那实际上就是 p 减 q 括号的平方，它俩是相等的。为什么呀？其实也很简单，那这里的 q 减 p， 实际上是可以写成负的括号 p 减 q 的 形式吧。括号的平方， 显然我们讲负一的 o 次方还是一，那最终结果就等于这个形式，所以这个算式就等于括号 p 减 q 的 五次方乘以括号 p 减 q， 括号的平方，那底数不变，指数相加，所以最终结果就等于 p 减 q 括号的七次方。再来看第三题，那第一步同样还是把它们改成底数相同的形式吧。那这个是 s 减 t 括号的 m 次方， 这个是 s 减 t， 括号的 m 加 n 次方。所以我们要把这个括号里面的 t 减 s 换成 s 减 t。 改写的方法也很简单，只要填一个符号，那括号里面就是 s 减 t 吧，它就等于 s 减 t， 括号的 m 次方乘以 s 减 t， 括号的 m 加 n 次方，再乘以 负一乘以括号 s 减 t， 那 这里相当于是 s 减 t 的 一次方啊。我们一般的一次方是可以省略不写的，那最终结果呢？就是负的 括号 s 减 t， 底数不变，指数相加，加起来，它就等于二 m 加 n， 再加一。 再看最后一小题， x 的 n 次方乘以 x 的 n 加一次方，那就等于 x 的 二 n 加一次方。加上 x 的 二 n 次方乘以 x， 底数不变，指数相加，也就等于 x 的 二 n 加一次方， 所以最后就等于二倍的 x 二 n 加一次方。再看第三小题，这道题主要考察的是同底数密的逆运数， 我们知道同底数密的乘法法则用字母表示，就是 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方。底数不变，指数相加，那它的逆运算呢？就是 a 的 m 加 n 次方，是可以写成 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方吧。 先看这个第一小问，它告诉我们 a 的 m 次方等于二， a 的 n 次方等于八，让我们求 a 的 m 加 n 的 值，那显然 a 的 m 加 n 次方，它是可以写成 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方吧。这里实际上用到的就是同底数密乘法的逆运算改写成这个形式，那这个问题就简单了，我们说 a 的 m 次方是等于二的 a 的 n 次方是等于八的，所以就是二乘以八，也就等于十六。 再看第二小问， x 的 m 次方等于四， x 的 m 加 n 次方等于六十四，让我们求 x 的 n 次方等于多少，那同样也非常简单，我来简单的写一下这个过程啊。 因为 x 的 m 加 n 次方等于六十四，所以 x 的 m 次方乘以 x 的 n 次方就等于六十四。又 x 的 m 次方等于四， 所以四乘以 x 的 n 次方是等于六十四，那显然这个 x 的 n 次方就等于十六。这道题主要考察的就是同底数逆乘法逆运算的直接应用，同学们只要掌握这个运算规则，那计算起来难度并不大。接下来我们再来看一下第四小题， 已知二的 m 加三次方，加上三的 n 加三次方 也能被十九整除。要想做好这道题，同学们首先需要理解一下这一句话，什么叫做二的 m 加三的 n 次方能被十九整除啊，那换句话说，这句话的意思相当于告诉我们，这个二的 m 次方加三的 n 次方，他应该恰好是十九的倍数吧。 比如说二的 m 次方加三的 n 次方等于十九，哎，那十九可以被十九整除，或者呢，它等于三十八，那三十八也可以被十九整除吧。所以这句话我们可以把它改写成二的 m 次方加三的 n 次方等于十九 k， 这里的 k 呢？ 它可以取一二三，那所有的整数吧。那现在我们就来看一下，这个二的 m 加三次方，加上三的 n 加三次方，是不是也能被式求整除？我们来简单的写一下它的计算过程啊。 结由题可得，二的 m 次方加上三的 n 次方，它应该是十九的倍数，可以写成十九 k， 这里的 k 可以 取大于等于一的整数。下面我们根据这个条件看看能不能推出来这个二的 m 加三次方，再加上三的 n 加三次方，也能够被式求整除。那首先我们把这个算式改写一下，它可以写成二的 m 次方乘以二的三次方，加上三的 n 次方乘以三的三次方，那二的三次方就等于八，所以它就等于八乘以二的 m 次方， 那三的三次方等于二十七，那就加上二十七乘以三的 n 次方。接下来这一步直观重要，同学们，看， 单纯的去看这一步的话，我们好像并不能说明他和十九之间存在某种关联，但是这里我们只要稍作变形，就可以把他和我们前面的条件关联起来。同学们看，这个二十七乘以三的 n 次方，是不是可以改写成 八乘以三的 n 次方，再加上十九乘以三的 n 次方？那有同学可能会有疑惑，哎，为什么要这样去改写呢？这里有一个八乘二的 m 次方，这里有一个八乘三的 n 次方， 他们是不是都有一个数字八呀？那这样我们就可以把这个八提出来了吧，提完以后，他就可以写成二的 m 次方，加三的 n 次方，不就跟我们的这个已知条件关联起来了吗？这一步继续改写，他是可以写成八乘以二的 m 次方，加上 八乘以三的 n 次方，再加十九乘以三的 n 次方，再把它俩合并，那就等于八括号二的 m 次方，加三的 n 次方，再加十九乘以三的 n 次方。 同学们看，这个二的 m 次方加三的 n 次方是等于十九 k 的 吧，所以它就可以写成八乘以十九 k， 再加 十九乘以三的 n 次方。那显然到这里这道题其实就已经证出来了啊，这个算式和这个算式当中都有这个数字十九吧，所以我们可以把这个十九提出来，它就等于八 k 加上三的 n 次方，也就是说，这个二的 m 加三次方，加上三的 n 加三次方，它是等于十九倍的 括号八 k 加三，显然他是能够被这个十九整除的吧。那这样我们就把这道题整完了。在证明的过程当中，我们是用到了这个同底数密 乘法的逆运算，那这道题的关键呢，就是这个二十七乘以三的 n 次方，我们要能想到把它改写成八乘以三的 n 次方，加上十九乘以三的 n 次方吧，同学们花点时间消化一下，学完了同底数密的乘法法则，我们来学习第二个核心法则，密的乘方。 很多同学刚学的时候，会把密的乘方和同底数密的乘法搞混，所以这里一定要认真听。首先咱们先搞清楚什么是密的乘方，从字面的意思就能理解。把一个密看成一个整体，再对它进行乘方计算，就叫做密的乘方。简单说就是 a 的 m 次方，括号 n 次方这样的形式。 其中括号里的 a 的 m 次方本身就是一个密，外面的 n 次方是对这个密进行乘方运算的次数。核心就是先有密，再乘方。 举几个例子， a 的 平方，括号的三次方，就是把密 a 的 平方整体进行三次方，属于密的乘方。 负 a 的 三次方，括号的平方，就是把密负 a 的 三次方整体进行二次方，也属于密的乘方。搞懂了定义，接下来咱们还是用具体的例子推导一下密的乘方的运算法则。比如计算 a 的 平方括号的三次方，根据乘方的定义， 它表示三个 a 的 平方相乘，这是不是就变成了咱们刚学的同底数密的乘法了？底数都是 a， 指数相加二加二加二等于六，所以结果就是 a 的 六次方。 大家看，这里的指数六刚好可以表示成二乘三，也就是括号里的指数二和括号外的指数三相乘的结果。因此，我们可以总结出 me 的 乘方核心法则。 me 的 乘方底数不变，指数相乘公式表示为， a 的 m 次方的 n 次方等于 a 的 m 乘以 n 次方。 简单证明一下，根据乘方的定义， a 的 m 次方，括号的 n 次方表示 n 个 a 的 m 次方相乘， 这是 n 个同底数密相乘。根据同底数密的乘法法则，底数不变，指数相加，也就是一共 n 个 m 相加，等于 m 乘以 n， 所以 最终结果就是 a 的 m n 字方。同样，这个法则也可以推广到多层密的乘方， 比如三个括号的情况，记住，不管有多少层乘方，都是底数保持不变，所有的指数全部相乘，这个推广形式大家也要记牢。 由此可以清楚的看出，密的乘方和同底数密的乘法是完全不同的运算。同底数密相乘是乘法运算，底数不变，指数相加，密的乘方是乘方运算，底数不变，指数相乘， 一个相加一个相乘，大家千万不要搞混了。最后，和同底数幂的乘法一样，幂的乘方法则的逆运算同样成立，也就是 a 的 m 乘以 n 次方等于 a 的 m 次方的 n 次方，也等于 a 的 n 次方的 m 次方，其中 m、 n 均为正整数。 这个逆运算在考试中特别常用，比如已知 a 的 六次方等于八，求 a 的 平方的值，我们就可以把 a 的 六次方拆成 a 的 平方，括号的三次方代入就可以得到 a 的 平方等于二， 这就是逆运算的典型应用，大家一定要掌握。 ok， 接下来咱们同样通过例题来巩固一下这部分的知识点。 先看第一题，那这个第一题主要考察的就是幂的乘方运算和积的乘方运算它的直接应用。先看第一个 x 三次方，括号的三次方，那这里就属于幂的乘方， 那根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，所以它就等于 x 的 九次方， 同理这个也是幂的乘方，底数不变，指数相乘，那负号当然也不变，所以就等于负的 x 的 二 m 次方。再来看负二 a 的 三次方，括号的平方，哎，这个就属于 g 的 乘方了吧。 那根据 g 的 乘方运算法则，我们要把 g 的 每一个因式分别乘方，再把所得的这个幂相乘，所以我们先把这个负二平方， 那就等于四 a 的 三次方，再平方就等于 a 的 六次方，所以结果就等于四 a 的 六次方。 这里千万要注意，一开始计算的时候，很多同学总是会把前面的这个系数负二给他漏掉。继续看负三 x 平方 y 括号的三次方，那根据 g 的 乘方，每一个音式都需要乘方，那首先把负三给他三次方，也就是 负的二十七，那 x 平方的三次方就是 x 的 六次方，那 y 的 三次方，哎，就是 y 的 三次方。 再看负三 x 平方括号的三次方，先把负三给他三次方，他就等于负的二十七乘以 x 的 六次方。这几个相对来说都比较简单，那最后一个呢？ 就稍微有一丢丢难度啊。这里是五分之一乘以十的三次方，括号的五次方，再乘以二十五乘以十的平方括号的三次方。那首先第一步我们还是遵循这个 g 的 乘方， 把它的每一个音式都给他乘方，所以它就等于五分之一括号的五次方。再乘以十的那十的三次方，也就是十的十五次方。乘以二十五的 三次方，再乘以十的六次方。好到这一步，我相信大家都能写出来，对吧？那接下来同学们看 十的十五次方乘以十的六次方，这属于同底数密相乘吧，所以它是等于十的二十一次方。但是前面的这个五分之一的五次方和二十五的三次方呢？哎，那这里是需要稍微变形的啊，二十五，我们讲他是不是五的平方啊， 所以它就是五的平方的三次方，那实际上也就等于五的六次方。所以改写完以后，这个算式它是可以写成五分之一括号的五次方，再乘以五的 六次方。那么同学们看，这里我们还是可以继续简化这个五的六次方呢，我可以把它写成五的五次方乘以五吧， 也就是说这个算式可以写成五分之一括号的五次方，再乘以五的五次方，再乘五，再乘以十的二十一次方。这样改写的话，我们就可以把这两个数放在一起， 那他就可以写成五分之一乘以五括号的五次方。那这里实际上是用到了这个 g 的 乘方的逆运算啊， 再乘以五，再乘以十的二十一次方。同学们看，那这一项是不是就变成一了呀？所以它最终的结果就是五乘十的二十一次方。所以同学们在做这个 me 的 运算的时候，一定要注意灵活变通啊。接下来我们再来看第二题， 那第二题依然是三道计算题，我们分别来看一下第一题，三， x 的 三次方乘以 x 的 七次方，那这个是同底数密的乘法，底数不变，指数相加，所以它是等于三倍的 x 的 十次方。 接下来同学们看这个负二的平方，那就是负四吧，所以相当于是负四的三次方，再乘以 x 的 四次方，是等于负的六十四， 那前面又一个符号，那最终结果就是，正的就加上六十四倍的 x 的 四次方，那这里呢，就是 x 平方的五次方，也就是 x 的 十次方吧，所以减去十倍的 x 的 十次方， 这两个就可以合并同一项了吧。所以最终结果呢，它就等于负七 x 的 十次方，再加上六十四倍的 x 的 四次方。继续看第二题，这里主要考察的是 d 的 乘方， 我们要把这里面的每一项都要记得给它平方吧，那先负四分之五的平方，也就是十六分之二十五，那 x 的 二 n 次方，再乘以 y 的 六 n 次方，那加上同样也是括号里面的每一项都要给它 n 次方，也就是 x 的 二 n 次方 乘以 y 的 六 n 次方，这两个算式也是同一项吧，所以接下来要合并同一项啊，那最终结果就等于十六分之四十一， 再乘以 x 的 二 n 次方，乘以 y 的 六 n 次方。第三题，那前面也是同底数密相乘，底数不变，指数相加，等于负的 a 的 十二次方， 再加五倍的 a 的 十二次方，再减三倍的，这里是 a 的 三次方，括号的三次方就是 a 的 九次方，后面二加一也是 a 的 十二次方，这三个也都是同类项吧，所以最后合并同类项， 负一加五减三，那最终结果就等于 a 的 十二次方。那这个第二题我们就说完了，下面再来看一下第三小题，那这道题主要考察的是密的乘方的逆运算。 关于密的乘方的逆运算，根据我们前面讲的用字母表示，也就是 a 的 m n 次方，它是可以写成 a 的 m 次方，括号的 n 次方， 也可以写成 a 的 n 次方括号的 m 次方吧。我们来看一下这道题，已知 n 为正整数，且 x 的 二 n 次方等于四，让我们求这个算式的值，看起来好像比较复杂啊，那接下来呢，我们就想办法把这个算式 通过化简，跟这个已知条件建立联系。截七倍的括号 x 的 三 n 次方，括号的平方减去十八括号 x 的 平方，括号的二 n 次方。首先根据密的乘方，我们来化简一下，那它就等于七乘以 x 的 六 n 次方，再减去十八乘以 x 的 四 n 次方。这个算式当中和我们的已知条件 x 的 二 n 次方好像看起来没有直接的关联吧， 所以这里我们需要通过这个密的乘方，它的逆运算把这个算式进行改写。同学们看，这个 x 的 六 n 次方是不是可以写成七乘以 x 二 n 括号的三次方啊？这样一改写，哎，这个已知条件不就能用上了吗？ 同样的逻辑，那后面就可以写成减十八乘以 x 的 二 n 次方括号的平方。我们把这个 x 的 四 n 次方改写成这个形式，那这样 我们这个 x 的 二 n 次方就可以带进来了吧，它是等于四，那最终这个算式呢，就可以写成七乘以四的三次方，再减十八乘以四的平方，算出来，最终结果就等于一百六十。接下来我们再来看一下第四题， 那第四题主要考察的就是积的乘方的逆运算，一共三个小问题，我们依次来看一下。先看第一题，计算八的二零二四次方，乘以负的零点一二五，括号的二零二三次方。 显然这道题首先我们要把这个小数改写成分数吧，也就是八的二零二四次方乘以负的八分之一，括号的二零二三次方。 那接下来我们就可以把这个八的二零二四次方改写成八的二零二三次方，再乘以八，再乘以负的八分之一括号的二零二三次方。一旦这样改写以后，我们就可以把它俩 奇合在一起了吧。利用这个 g 的 乘方，它的逆运算，也就是这个 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，是可以写成 ab 括号的 n 次方，所以它就等于括号八乘以负的八分之一，这里改成中括号啊。二零二三次方再乘以八， 这里一结合就变成负一，那负一的二零二三次方还是负一吧，所以最终结果就等于负八。 再看第二题，已知二 x 加上五 y 减三等于零，求四的 x 次方乘以三十二的 y 次方， 它的值是多少？根据这个已知条件，二 x 加上五， y 减三等于零，也就是说这个二 x 加上五 y 等于三，这个条件有什么用呢？不着急，我们来看看要求的这个算式通过改写以后，能不能和它产生关联。 那四的 x 次方乘以三十二的 y 次方，那要想运算的话，我们要把它改成同底数密的乘法吧， 那四就可以写成二的平方括号的 x 次方，那乘以三十二，实际上就是二的五次方。括号的 y 次方也就等于二的二 x 次方乘以 二的五 y 次方。同学们看，同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以它就等于二的二 x 加上五 y 吧。我们又知道这个二 x 加五， y 等于三，那所以最终结果就是二的三次方，那答案就是八。 再来看这个第三小题，那第三题的思路和我们这个第二题的思路是一样的啊。根据这个已知条件，我们要想求这个 x 的 值，所以 要把这里的八和十六都写成以二为底的这个密的形式，那这个已知条件就可以改写成二乘，以八呢，就可以写成二的三次方，括号的 x 次方 十六就可以写成二的四次方，那最终是等于二的二十三次方。那左边它是满足同底数密 相乘吧，那底数不变，指数相加，也就是二的一加上三， x 加四，它是等于二的二十三次方，也就是说一加三， x 加四，它是等于二十三， 最终解出来这个 x 呢，就等于六。同学们花点时间把我们刚才讲的这几道题好好消化一下，接下来我们来学习幂的运算。第三个核心法则，积的乘方。这个法则是后续做整数乘法的基础，尤其是单项式乘，单项式几乎全靠这个法则， 大家一定要认真听。首先我们还是先搞清楚什么是积的乘方，和幂的乘方类似，把几个因素相乘的积 看成一个整体，再对它进行乘方运算，就叫做积的乘方。简单说就是 ab 括号 n 次方这样的形式，其中括号里的 ab 就是 两个因素 a 和 b 相乘的积， 外面的 n 是 对这个积进行乘方的次数，核心是先有积再乘方。比如 ab 括号的三次方，就是把 a 和 b 的 积 ab 整体进行三次方，属于积的乘方。 二 a 括号的四次方，就是把二和 a 的 g 二 a 整体进行四次方，属于 g 的 乘方。负三 x y 括号的平方，就是把负三 x y 的 g 负三 x y 整体进行二次方，也属于 g 的 乘方。 搞懂了定义，咱们还是用具体的例子推导法则。比如计算 ab 括号的三次方，根据乘方的定义，它表示三个 ab 相乘。咱们用乘法、交换律和结合律，把所有的 a 放在一起，把所有的 b 放在一起，就变成了 括号。 a 乘 a 乘 a 乘以括号， b 乘 b 乘 b， 也就是 a 的 三次方乘以 b 的 三次方。所以 ab 括号的三次方 等于 a 的 三次方，乘以 b 的 三次方。你看 g 的 乘方，就是把 g 里的每一个因素分别进行乘方，再把得到的幂相乘，这就是 g 的 乘方的核心法则。用字母表示，就是 ab 括号的 n 次方等于 a 的 n 次方，乘以 b 的 n 次方， 其中 n 为正整数。简单证明一下，根据乘方的定义， ab 括号的 n 次方表示 n 个 ab 相乘。 根据乘法、交换律和结合律，把 a 和 b 分 别分组，就得到了后面的这个式子，也就是 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，因此这个法则成立。然后这里有一个高频易错点， g 里的每一个音式 都分别乘方，千万不能漏乘，尤其是 g 里有数字因素，有负号的时候，一定要记得给数字，给负号也乘方。 比如二 a 括号的三次方，很多同学会写成二 a 的 三次方，这就错了，必须给二也进行三次方，正确的结果是八 a 的 三次方。再比如负三 x 括号的平方，要给负三也进行二次方，结果是九 x 的 平方，而不是负九 x 的 平方， 这是最常见的错误，大家一定要注意。显然，这个法则同样可以推广到多个因素相乘的乘方，这是最常见的错误，大家一定要注意。显然，这个法则同样可以推广到多个因素相乘的乘方。 另外，和前两个法则一样， g 的 乘方法则的逆运算也同样成立，也就是 a 的 n 次方，乘以 b 的 n 次方，就等于 a b 的 n 次方。这个逆运算的用处非常大，尤其是在一些复杂的减变运算中， 适当的变形可以大大简化计算过程。比如计算二分之一括号的十次方，乘以二的十次方。如果我们分别算十次方，再相乘会非常麻烦。但是逆用 g 的 乘法法则就可以变成二分之一乘二括号的十次方，也就等于一的十次方，等于一，一下子就出结果了。 下面还是通过几道例题来巩固一下。先看第一题，计算负 a 的 七次方，除以负 a 的 四次方。根据同底数密除法的运算法则， 同底数密相除，底数不变，指数相减，所以这个第一题，他的底数依然是负 a， 指数相减就是七减四，那就等于负 a 括号的三次方。那化解一下，也就是负的 a 的 三次方。好，再看第二题。那第二题呢？第一步我们要把它的底数统一一下吧，这三个都是 x 减 y， x 减 y， x 减 y， 那 这里是 y 减 x， 所以 给它改写一下，因为这里是平方吧，所以它可以直接写成 x 减 y 括号的平方。关于它为什么可以直接写成这个形式？前面我们有一道题已经详细的讲解过了啊，那这里就不再重复了。统一底数以后，它就可以写成 x 减 y 的 九次方，除以 x 减 y 的 三次方，除以 x 减 y 的 平方，再除以括号， x 减 y， 底数不变，指数相减，所以底数依然是 x 减 y， 那 指数呢，就是九减三减二，再减一，那结果就是 x 减 y， 括号的三次方。 第一题还是比较简单的，我们再来看一下第二题。第二题给到了我们这样的一个条件，让我们求这个 x 的 值，那显然要想求出这个 x， 肯定要把这个等式当中所有的数写成以二为底的密的形式吧。 这里我来简单的写一下它的过程啊。解，二除以八的 x 次方，乘以十六的 x 次方等于二的五次方，那也就是二除以八是二的三次方。括号的 x 次方，二的三次方，括号的 x 次方， 那十六是二的四次方，括号的 x 次方等于二的五次方，也就是二除以二的三 x 次方，乘以二的四 x 次方，等于二的五次方。 那同底数密相除，底数不变，指数相减二，可以写成二的一次方吧，所以它就是二的一减三 x 次方，再乘以二的 四 x 次方，等于二的五次方。这里我们再强调一句啊，就是关于这个既又除又乘的运算，我们说乘除的优先级是一样的吧，所以我们要按照这个从左到右的顺序依次来运算，那最后它就变成了同底数密的乘法运算吧。底数不变， 指数相加，也就是一减三 x， 加上四 x 等于二的五次方，也就得到了这个二的一加 x 次方等于二的五次方，显然这个 x 就 等于四。 下面再来看第三题，第三题给了我们三个已知条件，五的 a 次方等于二，五的 b 次方等于六，五的 c 次方等于四十八。让我们解决接下来的三个小问题，那第一个让我们求 五的三 a 次方的值等于多少？第一个非常简单，根据这个密的乘方，我们知道五的三 a 次方，它是可以写成五的 a 次方括号的三次方吧。我们知道五的 a 次方等于二，所以它就等于二的 三次方，结果就是八。第二小题求五的 c 减二 b 次方，它的值。哎，那这里实际上考察的就是同底数密除法的逆运算， 也就是 a 的 m 次方减 n 次方，它是可以写成 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，所以五的 c 减二 b 次方，它就可以写成五的 c 次方除以五的二 b 次方。 那五的 c 次方我们知道它是等于四十八的吧？那五的二 b 次方呢？根据密的乘方，把五的二 b 次方改写一下，它就可以写成五的 b 次方括号的平方。哎，这样的话，我们就可以把这个已知条件带进来了啊，也就是四十八除以 六的平方算出来，它就等于三分之四。第三小题直接写出字母 abc 之间的数量关系， 五的 a 次方等于二，五的 b 次方等于六，五的 c 次方等于四十八。要想写出这三个字母之间的关系，那显然是要通过二、六、四十八这三个数来进行转化吧。 同学们，看这个四十八，它是不是可以写成六乘以八呀？我们又知道这个四十八，它是等于五的 c 次方， 六它是可以写成五的 b 次方，这个八是不是二的三次方？那我们又知道这个二它就是五的 a 次方吧，所以这个等式它最终就可以写成五的 c 次方，等于五的 b 次方，再乘以 五 a 括号的三次方，也就是五的 c 次方等于五的 b 次方，乘以五的三 a 次方，那根据同底数密的乘法，所以实际上它就是五的 b 加三 a 次方吧， 于是我们就得到了五的 c 次方，是等于五的 b 加三 a 次方，那不就得到了 abc 之间的数量关系吗？也就是这个 c， 它是等于 b 加上三 a。 接下来我们再来看一下第四题， 那第四题看起来还是比较复杂的啊，首先也是给了两个已知条件，让我们求这个代数式的值，那这里是十八次方啊，我们来看一下怎么转化 a 的 三 m 次方等于六十四，同学们看它是不是可以改写成 a 的 m 括号的三次方等于六十四啊， 谁的三次方等于六十四啊？那不就是四吗？实际上我们通过这个条件就得到了这个 a 的 m 次方，实际上是等于四的 a 的 n 次方，它又等于八。那接下来我们肯定要把要求的这个代数是转化成 a 的 m 次方和 a 的 n 次方的形式吧， 只有通过这样的转化，你才能求出它的值啊。我们来看一下括号 a 的 三 n 减去二 m 次方，减三十三，括号的十八次方。根据同底数密除法的逆运算， a 的 三 n 减二 m 次方，它是可以写成 a 的 三 n 次方，除以 a 的 二 m 次方，再减三十三括号的十八次方。继续改写 a 的 三 n 次方，又可以写成 a 的 n 次方，括号的三次方再除以 a 的 m 次方，括号的平方减三十三， 然后再整体给他十八次方吧。同学们看， a 的 n 次方等于八，所以他就等于八的三次方，除以四的平方， 减去三十三括号的十八次方。通过计算，我们发现这个八的三次方除以四的平方呢，他就等于三十二，所以最终这个结果就是负一括号的十八次方，那就等于一。 所以这道题最终这个代数式的值就是一啊。经过前面的学习，我们已经了解了幂的三大乘法运算法则，接下来咱们学习和乘法对应的除法运算法，同底数幂的除法， 这是密的运算最后一个核心法则。学完这个，咱们就把密的运算整体体系搭建起来了。首先先搞清楚什么是同底数密的除法和同底数密的乘法对应。他的定义也特别简单，底数相同的两个密进行相处的运算，就叫做同底数密的除法。 核心判断标准还是底数完全相同，只要底数一样，两个密相处，就是同底数密的除法。比如 a 的 八次方除以 a 的 三次方，底数都是 a， 所以 是同底数密的除法。负 a 括号的七次方除以负 a 括号的四次方，底数都是负， a 也是同底数密的除法。 老懂了定义，咱们还是用具体的例子来推导法则。比如计算 a 的 五次方除以 a 的 三次方。根据密的定义， a 的 五次方是五个 a 相乘， a 的 三次方是三个 a 相乘，所以 a 的 五次方除以 a 的 三次方，就是下面这个式子， 分子分母约分约掉三个 a， 还剩两个 a， 也就是 a 的 二次方。大家看，这里的指数二，刚好就是被除数的指数五减去除数的指数三的结果，所以 a 的 五次方除以 a 的 三次方，就等于 a 的 五减三次方，也就是 a 的 二次方。 由此，咱们就能总结出同底数密的除法的核心法则。同底数密相处，底数不变，指数相减，用字母表示，就是 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方，其中 a 不 等于零， m n 为正整数，且 m 大 于 n。 这里有三个必须要注意的点。第一，底数 a 不 等于零，因为零的任何正整数次密都是零， 而零做除数没有意义，所以底数绝对不能为零。第二，单独的一个字母，它的指数是一，不是零。比如 a 的 六次方除以 a， 这里的 a 的 指数是一，所以结果是 a 的 六次方减一等于 a 的 五次方。很多同学会误以为 a 的 指数是零，算成 a 的 六次方， 这是典型的错误。第三， m 大 于 n， 这一点是为了保证结果里面的这个密，它的指数始终为正整数， 是为了方便你理解。但 m 等于 n 以及 m 小 于 n 的 时候也是成立的，这个我们后面会讲公式的证明方法和前面完全一致，请你思考后自己尝试证明一下。 然后和前面的法则一样，同底数密的除法法则的逆运算也同样成立，也就是 a 的 m 减 n 次方，等于 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，其中 a 不 等于零， m n 为正整数，且 m 大 于 n。 这个法则在求值类题目当中经常会用到。 基础的同底数密的除法法则讲完了，下面来聊两个特殊情况，也就是 m 等于 n 和 m 小 于 n 的 时候，同底数密的除法。咱们先看 m 等于 n 会得到什么结果。比如计算 a 的 五次方，除以 a 的 五次方。根据除法的基本规则， 一个数除以它本身，结果肯定是一。而按照同底数密的除法法则，底数不变，指数相减，结果就是 a 的 五次方。减五次方，也就是 a 的 零次方，这两个结果肯定是相等的， 即 a 的 零次方等于一，此时 a 右上角的指数为零，所以我们就把这种形式的密称为零指数密，并且可以得到零指数密的定义。任何不等于零的数的零次密都等于一。 这里必须重点强调 a 不 能等于零，因为这个 a 的 零次方是通过同底数密的除法推导出来的。如果 a 等于零，那这里分母上的 a 的 n 次方就变成了零，这就没有意义了。因此，零指数密中底数 a 一定不能为零， 这个点是选择题的高频考点，大家一定要记牢。 ok， 这是 m 等于 n 的 情况，我们得到了零指数密的定义。下面再看 m 小 于 n 的 情况。比如计算 a 的 二次方，除以 a 的 五次方。按照分数约分的方法，结果就等于一除。以三个 a 相乘， 也就是一除以 a 的 三次方。按照同底数密的除法法则，底数不变，指数相减，结果就是 a 的 二减五次方，也就是 a 的 负三次方， 这两个结果也是相等的，此时 a 右上角的指数为负的整数，所以我们就把这种形式的密称为负整指数密，并 且可以得到负整指数密的定义。任何不等于零的数的负 p 次密等于这个数的 p 次密的倒数 p 为正整数。公式表示如下， a 的 负 p 次方等于 a 的 p 次方分之一，其中 a 不 等于零， p 为正整数。 这里大家一定要注意，当底数为负数时，需要看指数的奇偶性来判断符号。比如负三括号的负二次方等于负，三括号的平方分之一等于九分之一，此时底数是负三而不是三， 所以在做预算的时候，一定要把负三整体做二次方之后再取倒数。因为二是偶次幂，所以得到的结果不是负数，而是正数， 这一点一定要格外注意。不要以为指数是负数，计算后结果就一定是负的，这个理解是不对的。同底数密的除法法则还有延伸的零指数密、负整指数密咱们就都讲完了。大家有没有发现，我们最开始学密的运算时，指数还只是正整数， 而通过零指数密和负整指数密的定义，我们已经把密的指数范围从正整数扩展到了全体整数。比如我们前面学的同底数密的除法法则，原本要求 mn 为正整数， m 大 于 n， 现在有了零指数密和负整指数密的概念，这个限制就被打破了。 同底数幂的除法法则可以扩展为 a 的 m 次方，除以 a 的 n 次方等于 a 的 m 减去 n 次方，其中 a 不 等于零，且 m n 为整数。 同理可知，我们之前学过的所有幂的运算法则都不再局限于指数为正整数的情况，而是可以推广到指数为任意整数的情况， 即下面这几个公式中的所有指数都不再要求是正整数，只需要是整数即可。了解了这一点，初中所有和密的运算相关的题目我们就都可以做了。那下面咱们就来做几道例题巩固一下。 第一题，若二分之一括号 x 加三的零次方有意义，问 x 的 取之范围，那这里考察的其实就是零指数密吧。我们讲零指数密，这里同学们一定要注意，零的零次方是没有意义的，所以 括号里面只要满足 x 加三不等于零即可，也就是说 x 不 等于负三，所以这道题的答案就选 c。 再看第二题，已知 这个等式等于一，让我们求 x 的 值等于多少。那这道题呢，虽然看起来好像很简单，但是在做的时候是非常容易出错的啊，因为这里实际上是需要考虑分类讨论的。 假设这个底数 x 减一，它就是一的话，我们讲一的任意次方，它的结果都是一， 所以显然是符合要求的吧，对不对？我们来看一下啊。那第一种情况呢，就是当 x 减一，它就是一的话，也就是 x 等于二，那么这个算式它就变成了一的三次方，那显然它就是等于一的，所以是符合要求的。那第一种情况呢，这个 x 呢，就等于二。 同样的逻辑，假设我们这个 x 减一，它是负一的话，负一的偶次方是不是也等于一啊？比如说零次方呀，二次方呀，四次方啊，对吧？只要是它的偶次方， 那么依然满足，结果是一 x 减一等于负一的话，此时 x 是 等于零的吧，那 x 等于零这个算式呢，它就变成了负一括号的负一次方，那显然这个结果是等于负一的啊，它不等于一，所以 x 减一等于负一的时候，它是不符合要求的。 第二种情况排除，还有第三种情况，第三种情况就要考虑到我们这个零指数密码，假设这个 x 方减一，它是等于零的，并且满足 x 减一不等于零，这里要注意啊， 不是说只要零次方就可以了，一定要考虑括号里面不为零，不然它是没有意义的。那这样解出来呢， x 它是等于负一， 所以最终这个 x 等于二和 x 等于负一都是符合要求的。那这道题答案呢，就是二或负一。 我们再来看一下第三题。第三题说 a 是 等于负九十九的零次方，那我们知道任何数的零次方都等于一，所以这个 a 呢，实际上就是一，那 b 呢，它是等于二分之一的负一次方，那这里考察的就是我们的负整指数密啊。 那关于这个负整数数密呢？ a 的 负 p 次方是等于 a 的 p 次方分之一，所以这个 b 它是等于二分之一的负一次方，那实际上就是二分之一的一次方分之一，所以这个结果其实就等于二。 再看这个 c， 它是等于负二的平方，那 c 呢？它就等于四，对吧？这个比较简单，那最终 abc 的 大小，那就是 a 小于 b 小 于 c。 再来看第四小题，那第四小题是涉及到这个零指数密和负整指数密的一些计算，我们分别来看一下。先看这个第一题， 那显然这个三减二派是不带有零的吧，它的零次方呢，那就是一。那二分之一，它的负二次方，也就是二分之一的平方分之一， 再加上二分之一括号的平方分之一，那负一的 g 次方，那就还是负一啊，所以最终算出来这个结果呢，它就等于四。 再看第二题，负二的平方就是负四，那这个 pi 减去三点一四，显然它也不为零啊，所以它的零次方呢，还是一。 二分之一的负二次方，他就再加上二分之一括号的平方分之一，那就是负四。加一，再加，那就是四， 最终结果就等于一。再来看一下这个第三题，那这里实际上考察的还是积的乘方吧。但是现在这个指数是负数，我们说这个指数是负数， 依然满足这个 g 的 乘方。比如说这个 a 的 负三次方，那括号的负二次方，那它就可以写成 a 的 负三次方，乘以负二次方。同样， b 呢，也是的，它的负二次方再乘以负二次方， 再乘 a 的 负三次方，再乘 b 的 三次方，乘以负三次方。 化简一下，它就是 a 的 六次方乘以 b 的 四次方，再乘 a 的 负三次方，再乘 b 的 负九次方。接下来我们满足同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以它就是 a 的 三次方。同理， b 的 四次方乘以 b 的 负九次方，也就是 b 的 负五次方。所以最终结果它就可以写成 a 的 三次方乘以 b 的 负五次方。当然你也可以把它写成 b 的 五次方，分之 a 的 三次方，这样也是可以的啊。 我们再来看一下这个第四小题，我把这个地方区分一下，那首先还是根据这个 g 的 乘方，我们来化解一下，它就等于二的平方乘以 a 的 四次方，再乘以 b 的 负六次方，再乘以 a 的 负二次方，乘以 b 的 负二次方，它们是一个整体啊， 那这里有乘有除，我们讲，那就从左到右依次运算啊。我们先来算前面这个部分，二得四，乘以这个三，那就三四十二。那 a 的 四次方乘以 a， 也就是 a 的 五次方， b 的 负六次方乘以 b， 那 就是 b 的 负五次方，再乘以 c 除以括号， a 的 四次方乘以 b 的 负二次方。同底数密相处，底数不变，指数相减，那就是十二乘以 a 的 五次方减四次方， 那就是 a 的 一次方，就写成 a 就 好了。那同样， b 的 负五次方，底数不变，指数相减，负五减负二，那就是负加二，也就是 b 的 负三次方，那 c 不 动带下来，最终结果，哎，就是十二乘以 a 乘以 b 的 负三次方，再乘以 c， 当然你也可以把它写成 b 的 三次方，分之十二倍的 a， c。 好， 这两个是一样的，都是可以的。 关于这个零指数密和赋值指数密的运算，同学们在计算的时候一定要小心啊。好了，同学们，今天咱们用一节课的时间把密运算的四大核心法则，还有延伸的零指数密、赋值指数密全部讲透了。下面是整节课的关键核心概念总结， 有需要的可以直接截图保存，课后好好复习巩固。今天的课就讲到这里，我是 tom 老师，咱们下节课再见！拜拜！

命的运算是初一下学期考试的必考点，也是孩子们考试当中特别容易丢分的易错点。很多孩子碰到比较基础的运算还可以，但是像碰到这种稍微复杂一些，带点综合的运算就直接晕掉了。别担心，这类题的解析方法其实就是构造同底数， 或者是构造同指数。一条视频，用最简单的讲法带你掌握这一类题的解析思路。说已知这个结果呢，等于是零，问你他的结果应该是多少？那么去 掌握密的预算，首先呢，你要去掌握好它的四大核心基本公式，带领同学们简单去复习一下。首先第一个呢，是同底数密相乘， a 的 m 字方，乘上 a 的 n 字方，他俩的底数是相同的，都是 a， 那 结果怎么样呢？底数不变，仍然是 a， 把指数进行相加， m 加上 n， 这是我们的第一个公式。那么第二个公式呢，是幂的乘方， a 的 m 字方，它本身是个幂，我再呢把它去乘方，变成它的 n 字方，那这个结果等于多少呢？底数不变，仍然是小 a 指数，干嘛 相乘 m 乘上 n， 结果就出来了。那么第三个公式呢，叫做 g 的 乘方， a 乘 b， 它已经是一个 g 了，然后把它去进行乘方，那这个结果等于多少呢？等于把 g 的 每个音式分别乘方啊，也就变成 a 的 m 字方， b 的 n 次方，再把它俩的结果呢，去进行相乘， a 的 m 次方，乘上 b 的 n 次方，就是第三个公式的结果。好，那么第四个公式呢，跟我们的第一个公式呢，非常像，第一个公式这个地方是乘，那第四个公式， a 的 m 次方，除以 a 的 n 次方，它变成除法了，那这个结果是多少呢？ 你看相乘的时候，这个指数呢是相加，那相处的时候呢，这个指数呢，也就直接相减就可以了，变成 a 的 m 减去 n 次方。那 当然了，在这各位同学们要去注意一下啊，我们这个 a 呢，一定要去强调好，它是不能够等于零的，因为除数这个东西，它是不能够为零的。那接下来呢，我们再来看一下这道题啊，他问的结果是四的二 x 加 y 次方，乘上八的 y 减 x 方，这个结果应该是多少？就这个结果看完之后呢，还是非常发晕的，因为我们在这四大公式当中呢，它的特点要么是指数有点关系， 要么呢是底数相同的。所以说你要进行的第一个操作，一定要把指数或者说是底数变成相同的，也就说我们要构造相同的底数或者是指数，那你说这个题我能构造吗？你看在这个地方呢是一个四，这个地方呢是一个八，它的底数明显是不相同的， 但是你要注意四是个什么东西，四其实就是二的三次方，那他的底数不是相同的吗？都是为二的。 所以说这道题呢，我就可以简单的去改写一下，二的平方的二 x 加 y 次方，然后八的 y 减 x 方，我就可以写为二的三次方的 y 减 x 方。好，那么此时你分别来看一下，这两个式子就变成什么东西了，不就变成了一个幂的乘方了吗？ 那么简单整理一下，它就等于啥呢？要变成了二的，我把这个二直接往外乘二的四 x 去加上二倍的 y， 乘上一个三，直接往外乘，也就变成二的 三 y 减去三倍的 x 也就变成它了。好，那此时你会发现这个底数为二，这个底数也为二。用这四个公式当中的哪一个是不是此时应该是用我们的第一个了呀？同底数密相乘，底数不变，仍然是二。指数相加四 x 减三 x， 它也就变成了一个 x。 二 y 加上三 y， 这个呢，也就变成了五 y， 哦，也就变成了这个结果。那你说 x 加五 y 的 结果是几？人家告诉我们在这减三等于零，那这个东西不就为三了吗？所以说它的结果也就变成二的三字方，结果也就为八。这个题的答案也就出来了，你学会了吗？搞定。

这道题堪称七下整式乘除密算的压轴王，期中考试几乎全军覆没。其实解决这类问题的关键就在于这两大公式的应用， 很多孩子只学了皮毛，没领悟到精髓，学了会，但一做就错。别急，老师今天就用最简单的方法，带你彻底搞懂密运算压轴王的核心考法，考试遇到直接稳拿分！一起来看题 说，已知二的 m 次方等于七的 n 次方等于一百九十六，那么 m 分 之一加 n 分 之一等于多少？ 先看到了这样一个要求的代数师，我们脑子里边马上想到它是一个非常经典的形式，非常经典，那么它就可以进行一个通分，变成了 m n 乘积分之 m 加 n， 哎，这变成了积分之和的样式。也就是说，我们但凡得到 m n 乘积和 m n 和之间的某一种等量关系，就能求得最后结果了。好，再来观察已知的条件。 我们知道二的 m 次方，七的 n 次方都等于一百九十六，那么观察这些幂的形式之间， 底数不相同，指数也不相同。那么如果我们想运用这样同底数密的乘法公式，或者是 g 的 密算公式，那么我们首先啊，必须把底数变成相同，或者是指数变成相同。所以啊，我们在整理这样已知条件的时候，技巧就是 把底数或指数化为相同。来一起整理一下。有已知条件和已知的等量关系是二的 m 次方，它等于 一百九十六，同时我还知道七的 n 次方也等于一百九十六。按照刚才的原则，把底数或指数画相同，那么的方法来，第一个式子两边呢，就可以同时进行一个 n 次方，同样的思路，第二个式子两边同时进行一个 m 次方，来观察等号，右边幺九六的 n 次，幺九六的 m 次，可以用第几个公式？是不是第一个底数相同， 那么此时我利用同底数密的乘法，底数不变，指数相加，那么我就来试一试了。两个式子可以同时进行乘法运算，一式和二式做乘法，左边和左边相乘， 二的 m 次的 n 次乘上七的 n 次的 m 次。右边和右边相乘，幺九六的 n 次乘上幺九六的 m 次。 ok， 好， 那左边显然我可以稍稍计算一下，这是 m 的 乘方，也就变成了二的 m n 次方，乘上七的 m n 次方。哎，左边变成了指数相同的样式，显然可以用到第二个公式了，逆用 g 的 乘方，所以左边我再次变形呢，就可以得到二乘上七啊。底数相乘之后，再乘方它的 m n 次方 来。右边我同样整理计算一下，幺九六底数不变，指数相加，那么得到这样一个等式之后呢，咱们再来计算一下，左边变成了十四的 m n 次方，右边呢， 幺九六，显然十四的平方咱背过一四一四一九六，所以十四的平方再 m 加 n 次方，也就是十四的二倍的 m 加 n 次方。 得到这样一个等量关系，是不是非常简单，我们就发现了哦，指数部分相等即可， m n 的 乘积等于二倍的 m n 的 核，那么我们刚才想要的那样一个关系，积分之核就等于 二分之一，也就是咱要求的结果了。稍稍总结一下这类密运算相关的问题，核心考察的是密运算的这 大公式和它的利用啊。那么遇到底数、指数都不相同的时候，我们的思路一定是把底数或者是指数想办法化相同，再利用公式进行化简计算，你学会了吗？

一起来看看这道寒假开学考试的重点题型，他考察的是咱密的运算四大公式的灵活运用。那孩子呢，如果对这方面的知识点掌握不足呢？这样的题就会一点思路都没有，认真看完这个视频， 再配合相关的专项练习，轻松攻克这类难题。回复 me 的 运算，分享给你。好，三的 x 次方等于四的 y 次方等于三十六，让我们求这个代数式的值。这道题有点变态啊，你看，还给了一个分式， 貌似这两者之间一点关系都没有。你看，我说了， me 的 运算逃不出咱们的四大公式， 同底数密相乘，底数不变，指数相加，是吧？同底数密相处，底数不变，指数相减，还有什么呢？密的乘方，底数不变，指数相乘，还有 g 的 乘方等于每一个音式分别乘方。我说了，逃不出这四大公式，那我们先对这个这个式子我们先处理一下，你看 x， y 分 之 x 加二， y 分 子是一个多项式，我们可以给它拆开是吧？那你看 x， y 分 之 x 加 x， y 分 之二，那么这个其实说白了就是 y 分 之一加 x 分 之二， 说白了，我们只要能凑出 y 分 之一和 x 分 之二，再让同底数密相乘，指数相加，是不就凑出来它呀？那关键是如何出现 y 分 之一次方， x 分 之二次方呢？那你看，第二个重点就来了，敲黑板了，你看， 三的 x 次方等于三十六，我们能得到什么？你要想出现 x 分 之一次方 对不对？那么我们就给他怎么样？两边同时 x 分 之一次方，但是我们要的是 x 分 之二次方，我们直接进行 x 分 之二次方就可以了。好，三的 x 次方怎么样？它的 x 分 之二次方 是不是等于三十六的 x 分 之二次方，是吧？那我们就得到了三十六的 x 分 之二次方，就等于谁底数不变，指数相乘，那就是三的平方，那这不就等于九吗？是不是同样的道理？那你看， 四的外次方等于三十六，那么所以两边同时外分之一次方，我就直接这样写，三十六的外分之一次方等于四的外次方。括号外的外分之一次方，底数不变，指数相乘等于四的一次方，那么它就等于四。好，大家来观察， 三十六的 x 分 之二次方等于九，三十六的 y 分 之一次方等于四，这两个是不是底数都是三十六，又可以同底数密相乘，底数不变，是不是指数相加了？好，所以我们就可以得到了。 那么三十六的什么 x 分 之二加 y 分 之一次方，那不就等于三十六的 x 分 之二次方。乘 三十六的 y 分 之一次方，那可不就是九乘四等于三十六吗？是吧？那所以咱们就对比一下，得到了 x 分 之二加 y 分 之一，这是一次方吗？等于一，而这个式子是谁？那不就是我们 化简过来得到的他吗？所以咱们这个的值是多少？最终结果就是一，说白了，你记住老师一句话，咱们这样的题逃不出逆的运算，这四大公式着用倒着用，是不是都可以？好，关注老师学习更多数学知识。

密预算一共就有八个公式，你记住了，你就是全班的数学天花板。第一个，同底数密相乘，底数不变，指数相加。第二个，同底数密相处，底数不变，指数相减，底数不能为零。第三个，密的密，底数不变，指数相乘。第四个， 积的密，积中的每个因子分别取密，再相乘。第五个，商的密，分子和分母呢？分别取密，然后再消除，分母不能为零。 第六个，零指数密，任何非零数的零次密是等于了一的第七个负指数。任何非零数的负指数次密呢？它是等于了这个数的正指数次密的倒数。

说我们有一个什么样的题不开窍又做不了了啊？三打 m 减一次面，加上这么多，加上这么多等于三十九。最后问我们，他们三个乘在一起等于几？是不是孩子一拿这种题就蒙了？ 那表示来提醒大家一下，关于密运算等于一个数，指数上带字母了，什么类型的题是你会的？哎，咱就想一想，哪个我们会，然后把不会的换成会的，一下是不是就解决了？说我这个三的 m 减一次密， 假如他就等于三， m 等于几，你会不会太会了吧？你这两个数相等，那不就是说你等于三的一次密吗？那不就是说 m 减一等于一吗？哎，那 m 减一得一， m 不 就得二吗？一下就弄出来了是不是？哎，那毕老师来问大家，这个题跟他有什么区别？ 聪明同学会发现我这个题 m 只出现了几次，是不是只出现了一次？类似于咱们解一元一次方程中的合并同类项对吗？哦，把所有含有 m 的 我都给他放在一起，我就会了。但是咱这题 m 出现了几次， 是不是出现了三次分扇子我们就不会，合在一起我们就会了？那关键问题是怎么把它合在一起呢？这个时候我们就要看一下他们三有什么关系了。大家回答我说，我这个 m 减二比这 m 减三怎么样？是不是就差一个一啊？ 换句话说，这 m 减二，他不就是 m 减三额外再加个一吗？啊？那再来 m 减一 他跟 m 减三怎么样？哦，他是不是比这个家伙多二啊？所以他就是 m 减三再加二，而我就是 m 减三 本身大家能看懂了吧？好，这回我就这么写，你是三的 m 减一次密就是这么多啊。你是三的 m 减二次密就是这么多。你是三的 m 减三次密就是这么多，这么多加在一起等于多少？ 等于三十九，是这个道理吧。好，这回指数相加，教科书上有没有告诉我们哪个公式解决这种问题啊？当然有了，就叫做同底数密相乘， 底数不变，指数相加吧。那倒回来，指数相加是不是等于同底数密相乘啊？所以这道题就变成了，三的 m 减三次密怎么样？乘以三的二次密对吗？啊，三的二次密算出来就是 九。好，接下来加上三的 m 减三次密，乘以三的一次密，三的一次密算出来就是 三。好，继续，这就是三的 m 减三次幂乘以几。哦，乘以一呗，乘以一不就得本身了吗？是这个道理吧。接下来怎么样把它们合在一起，是不是倒着用乘法分配率就行了？ 哎，相当于合并同类项，对吧？啊，三的 m 减三次幂乘以第一个是九倍的，第二个是三倍的，再加上这个是一倍的，都成在一起等于多少？等于三十九。那我们来看一眼，一加三加九等于多少？ 是不是等于十三呢？那么十三倍的这么多，它等于十三呢？那么十三倍的这么多，除以十三得几？ 哦，那就等于三吧，三就是三的一次密吧。所以三的 m 减三次密等于三的一次密。哎，是不是就变成你会的题了， m 减三等于一， m 直接等于四， m 等于四，往这里挨个带，那分别就等于三乘二乘一，答案 就是六。毕老师说清楚了没？那么最后顺便提一句，有些老师会告诉我们，见着这样有关系的秘，我们就射圆射哪个呢？射最小的其实就是相当于把最小的怎么样 最终给提出来了，他们是一个效果，只不过那个东西到底是为什么想到的？毕老师这么一讲，你是不是直接就开窍了？

这道题堪称七下密算的压轴王，百分之九十九的孩子呀，连第一行都写不出来，更别说拿分了。 其实解决这类问题的关键在于密运算公式的利用，但很多孩子呀，每次都是看了答案就懂，没有领悟精髓，导致看了就懂，但下次再做新题，毫无章法。 别着急，老师今天就用最简单的方法，教你彻底搞懂密运算的核心考法，考试不管是简单题，压轴王都能轻松拿分。好，我们来看题， 这个题呢，还是蛮常见的，是吧？啊，就是问 x 乘 y 分 之 x 加二 y 的 值，给了你两个式子对不对啊？就是他是一个，对不对？或者说他是一个啊，反正就是两三个式子去求。那么正常的逻辑啊，我不知道大家之前有没有试过我们这种方法是什么，就去构造哎，你需要的东西， 这里面比较容易的一个想法和思路是什么？就是 x 乘 y 的 构造嘛，对不对？你给我三的 x， 我 需要 x 乘 y， 你 就三的 x 次，整体的 y 次等于这边三十六的 y 次，大家都 y 次，就构造了 x 乘 y 嘛，对不对？同样的逻辑呢，你这个四也是一样的，四的 y 次，我再乘个 x 就 等于三十六的 x 次。 很多题咱不都这么做出来的吗？是不是然后呢，就变成了来看？好啊，三的 x y 次乘以四的 x y 次，这什么公式呀？回忆一下。嗯， a 的 m 次乘以 b 的 m 次，是不等于 a 乘 b 括号的 m 次，这是当时学他的一个，你用 你看 g 的 乘方，等于每项应式的乘方， ok， 再乘 g 啊，所以说呢，它就等于什么？它就等于 a 十二倍的 x y， 对 吧？等于来它乘它，对吧？你左边乘左边，右边乘右边，等于三十六倍的 x 加 y。 好，你发现了没有？你的想法行云流水，但跟这个题毫无关联，因为这个题人家问的是 x 加二 y， 请问你的 x 加二 y 呢？有没有？没有？所以啊，常见思路解决这个问题是不靠谱的。好，所以我们学东西啊，一定要灵活。哎，给大家提供第二个思路。 第二个思路是啥呢？就是不能从你最常见的分母去入手二，这个二是怎么出来的呢？你琢磨琢磨， 给大家五秒钟时间，三二一，这个二的灵感来源就来自于这里的 a 三四三十六，你能想到什么？反正我想到了 a 四乘九等于三十六，但你给我的是三呀，我又想到了四乘以三的平方等于三十六， 那这个是不是不是出现二了？所以我们琢磨着啊，你给了我三十六，给了我四，一定想出现九，对不对？那这里应该是三的什么四，是不是三的平方四，所以说这里面按理说应该给他一个平方， 大家懂这个逻辑吧？应该给他一个平方好不好？然后呢？平方还不行，人家是二 y， 所以 你还得给他一个 y。 能理解好，所以说我们来构造一下，因为三的 x 次等于三十六，所以三的 x 次乘以二 y。 别怕啊，因为这里有二 y， 所以 我给他二 y， 因为因为有四九三十六，所以我这里有二。是这个逻辑的啊，等于三十六，也给一个二 y 好， 然后它又变成什么了？你看啊，是不是三的 x 乘二，再乘 y， 可以吧，我继续换，就变成了三的二次 x y 等于三十六的二 y， 所以 九的 x y 是 不等于三十六的二 y， 顺理成章。然后你再去琢磨，你九都 x y 了，你这个时候四干嘛？是不是也可以 x y 一下， x y 一下，对吧？所以说来就变成了四的 y 次。方整体的 x 次等于三十六，也来个 x 次，然后这边变成了四的 x y 次等于三十六的 x 次。 然后你会发现，是不是依然用刚才的这个式子，对吧？都是 x y x y 次。那所以说九的 x y 次乘以四的 x y 次，就等于这个式子就是三十六的二 y 次乘以三十六的 x 次， 它用的公式是它，对不对？就是三十六的 x y 次等于它用哪个公式呢？回到书本，是不是咱们所学的那个同底数密， a 的 m 次乘以 a 的 n 次，等于 a 的 m 加 n 次，它是正用， 对吧？所以这个地方就变成了三十六的二 y 加 x 次，你看都是底数一样，所以 x y 等于二 y 加 x。 当然你这个题就变成了，它就等于 x y 嘛，就变成了 x y 除以 x y。 答案是一。这个题拿下搞定，同学们，你学会了吗？

来，同学们一定要看一下这道题，太经典了，但是很多同学看到之后呢，可能会说，哎，太难了，但是其实啊，你解到后面会发现这道题实在是太妙了。好，那如果说你能把这道题也给解明白的话呢，那我相信所有这类密运算的问题啊，你是掌握到精髓了。 好，那我们来看一下题目，说二的 m 次方等于七的 n 次方等于一百九十六，要去求出 m 分 之一加上 n 分 之一的值。好，那所有这样的密余算题目呢，我们都是两种构造思路，一种呢是构造底数相同，还有一种就是构造指数相同。 底数相同的话，我们可以用这个公式， a 的 m 次方乘上 a 的 n 次方，它等于底数不变，指数相加。好，那如果说指数相同的话呢，我们可以用这个公式， a 的 m 次方乘上 b 的 m 次方，它等于 a 乘 b 的 m 次方 啊，底数相乘，指数不变，但是呢，你会发现这道题什么也不相同，那怎么办呢？好，那我们来看一下这个问的要求的，你会发现， m 和 n 这两个未知数呢，是分开的，各自都在分母上。哎，这可不好搞，那我们给他换个形式， 给他进行一个通分嘛，那就是 m 乘 n 或者是 n 加 m 了，那 n 加 m 只有这个时候才会出现，对不对？但是这里边儿底数不相同，二和七也很难凑出底数相同，所以咱们不凑 n 加 m， 凑这个 m 乘 n， 怎么凑呢？强行运凑，你看，这不是二的 m 次方，它等于一百九十六吗？那我们就给两边同时弄上一个 n 次方，哎，这边也弄上一个 n 次方，那现在是不是还相等？那七的 n 次方，它不是也等于一百九十六吗？那我们给两边同时整一个 m 次方， 好，现在还是相等的，那么我们来计算一下幂的乘方怎么计算的？应该是底数不变，指数相乘，那么就是二的 m 乘 n 次方，它等于一百九十六的 n 次方，而 七的 m 乘 n 次方呢，它就等于一百九十六的 m 次方。好了，那现在你会惊喜的发现，哎，出现了 m 乘 n， 而且这俩的指数相同，这俩的底数相同，那么我们把这两个式子相乘，左边呢，它俩相乘，我们用这个公式，那么就是十四的 m 乘 n 次方， 右边呢，我们用这个公式，那就是一百九十六的 m 加 n 次方。哎，那这样一乘呢，你又发现十四和一百九十六，这不是平方的关系吗？那我们就可以把它改写成十四的平方的 m 加 n 次方。 好，那么根据密的乘方的法则，也就是十四的二倍的 m 加 n 次方。 好，那么现在你看一下它俩相等，所以说呢，这个 m 乘 n， 它也就等于二倍的 m 加 n 了。那最后我们把这个 m n 给它除过来， 把二除过去，好，那么就是二分之一，它等于 m 乘 n， 分 之 m 加 n， 所以 说我们要求的这个式子，它就等于了二分之一。这道题就解决了。好了，这道题你学会了吗？如果学会了，可以关注小七老师，带你学习更多有用的数学技巧。

旗下命运算整式乘除这一章啊，必考的就是有关于乘法公式这里的完全平方公式和平方差公式了， 这是这个章节最核心的一个公式，那涉及到完全平方公式这里啊，他又细分了八大类题型，那有关于这些题型啊，老师也给大家做了一个系统的总结，如果咱们孩子还经常计算马虎出错，复杂题，没有解题的思路的话，一定要带着孩子 逐个题型的学习，把母题做透，然后再去举一反三。那这几类题型呢，分别是？第一个啊，判断一个式子是不是一个完全平方式，考察了你完全平方式的基本形式， a 方加二 a， b 加 b 方，等于 a 加减 b 的 完全平方。 第二个，运用完全公式进行计算，在这里呢，就会出一些代数式的计算，结合着密算整式乘除，考察了计算不能再丢分。 第三个，利用完全平方公式巧算，那在这呢，我们通常会把一个复杂的数的式子构造成 a 加减 b 的 完全平方的形式来简化计算。 那第四个就是乘法公式对应的化简求值问题了，我们代入求值，先化简，再代入求值，和我们之前整式的加减法有一些类似。 第五个题型，完全平方公式的变形，这里面我们主要学习的是知二推一和知一推一的方法。完全平方公式这里十三个变形都记的话，记忆量太大了，但是老师不让你去记，我让你用一个方法，一个核心，立马能够秒出这道题目。 第六个题型呢，就有关于完全平方公式的配方了，分为两种，已知首尾求中央和已知中央求尾巴，这个时候我们已知首尾求中央的时候啊，要分情况讨论，这个是我们同学错的最多的一类题型，一定要注意。 第七个就是完全平方式的代数最值问题了，在这里求最值涉及到你要对完全平方式的非负性来去求最值。 第八个就是有关于完全平方公式的几何应用了，它多数结合着什么去考察，对了，它多数结合着等面积法，利用图形面积来进行考察。那这八类题型你脑子里都有概念吗？没有概念的话抓紧时间去练一练吧。

期下第一次月考的压轴题一定会考命运算综合问题，这是一道考试压轴真题，百分之九十的孩子就是因为不熟悉命运算中的四大公式综合应用导致丢分。这个视频韩老师带你彻底学会听完再练！这套命运算八大必考题，基础道压轴题全都有，做完考试直接拿分！ 我们一起来看这道题。若三的 m 四方乘四的 n 四方等于二十四，三的 n 四方乘四的 m 四方等于七十二，则 m 加 n 的 值是多少？要求解 m 加 n 的 值。先观察一下，它们都在指数上面， 而我们的底数三四三四是一样的，那这里我们就一定要用到咱们的第一个公式，叫乘底数密相乘，底数不变，指数相加。那我不妨就将这两个式子左边和左边相乘，那就是三的 m 次方，乘三的 n 次方，再乘四的 n 次方，乘四的 i m 次方，而右边和右边相乘二十四乘七十二。那么对于同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以是三的 m 加 n 次方，乘四的 n 加 m 次方是等于二十四乘 七十二的。那么接下来我们来看这两个指数又是一样的，那我们应该想到哪一个公式呢？应该想到的是积的乘方分别给每个因式乘方的逆运算，那么这个公式其实是 ab 的 n 次方是等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方，那它的逆用就 是写成三乘四的 m 加 n 四方等于二十四乘七十二，那所以是十二的 m 加 n 四方等于二十四乘七十二，而二十四乘七十二，会发现里面好像都有十二，那我不妨把它写成十二乘二乘十二乘 六，那这个时候就是十二乘十二，再乘十二，也就是十二的三四方。那对于两个式子相等，底数一样，那只需要指数相等，所以 m 加 n 记为三一，听懂了吗？

初一的家长注意了，命的运算是我们旗下考试的重点内容，百分之九十的同学面对这样的问题，总是无从下手，或者是一做就错，公式都记不清，更别说做题了。其实关于命的运算就是这六大公式，今天刘老师带你拆透这六个公式背后的底层逻辑。我们来看一下。 第一个， a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 加 n 次方，这是一个投底数密的乘法对吧？底数是相同的，但是两个底数相同，指数是不同的，所以底数不变，指数相加。那么这个公式它是怎样推导而来的呢？我们可以看一下， a 的 m 次方，就代表有 m 和 a 相乘，也就是 a 乘 a， 再乘 a， 一 共有 m 个 a， 然后去乘以 a 的 n 次方，也就是乘以 a 的 n 次方。有 n 个 a 相乘，也就是 a 乘 a， 再乘 a， 这里的话就有 n 个 a 相乘。那他们来看一下，我们数一下，这一共有多少个 a 相乘呢？是不是 m 个加上什么 n 个，所以一共有 m 加上 n 个 a 相乘，那么就是 a 的 m 加 n 次方啊，这是同底数密的乘法。第二个， a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方啊，这两个也是底数是相同的，但是指数不同，做了除法，那么我们就要要底数不变，指数相减，为什么呢？我们来看一下， a 的 m 次方代表 a 乘 a 乘 a 乘 a， 要 m 个 a 去除以 a 的 n 字吗？也就是 a 乘 a 乘 a 乘 a， 那 这里的话有 n 个 a， 是 不是？那上下一抵消？注意， m 是 大于 n 的 啊，也就上面的 a 多，下面的 a 要什么少？那么我们通过约分 a 和 a 约掉， a 和 a 约掉，一直约下来之后的话来一定要观察，那么剩什么呢？哎，他比他多，那是不是剩 m 减 n 个？什么 a 是 不是剩 m 减 n 个？ a 相乘，那么就等于 a 的 m 减 n 次方 啊，这是同底数 b 的 除法。我们再看第三个公式，这个是什么？叫 g 的 乘方，为什么？你看 a 和 b 是 不是相乘，相乘的结果不就是 g 吗？所以这个叫 g 的 乘方啊， g 的 乘方。我们来看一下 g 的 乘方等于什么呢？就是把括号里的每个音式， a 要乘方， b 也要乘方，也就等于 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方。那么这个公式的推导是怎么来的呢？我们来看 ab 的 m 次方，应该是有 m 个 ab 相乘，是不是也就是 ab 去乘以 ab， 再乘以 ab 再乘以 ab， 一 直有多少组 ab 相乘呢？是不是 m 组好？也就这里的话，一共有 m 组， a b 相乘，那 a b 就是 a 乘 b， 也就意味着是 a 乘 b 乘 a 乘 b 乘 a 乘 b， 是 不是一直有 m 组？这样的 a b 相乘，也就有 m 和 a 以及 m 和 b 相乘？ m 和 a 相乘就应该等于 a 的 什么 m 次方？是不是 m 和 b 相乘，就应该等于 b 的 m 次方？所以 a b 的 m 次方就应该等于 a 的 m 次方乘以 b 的 m 次方，这就是积的乘方。要把这里的每个音式进行什么乘方啊？这个一定要注意好，我们再看下第四个，这个叫做什么呢？叫做 me 的 乘方啊，因为 括号里是 a 的 m 次方，这个也读作 a 的 m 次 me， 这个 a 是 底数。 m 是 什么指数？整体 称作什么？ me 读作 a 的 m 次幂，也读作 a 的 m 次方。好，那这个公式是怎么推导出来的呢？我们来看一下 a 的 m 次幂的 m 次方，应该是表示 n 个 a 的 m 次方向乘啊，也就是 a 的 m 次方乘以 a 的 m 次方，再乘以 a 的 m 次方， 省略号再乘以 a 的 m 次方。那么这里的话应该有多少组 a 的 m 次方呢？是不是应该有 n 组？ 是不是好，有 n 组，那这的话就不是同底数幂的什么法乘法吗？ a 的 m 方乘以 a 的 m 方乘以 a 的 m 方来，这就是同底数幂的乘法。底数是不变的，是不是底数是不变的？指数相加，那么这里的 m 要什么？加 m 再加 m， 加省略号再加 m。 有 多少个 m 相加呢？因为有 n 组 a 的 m 乘方，所以这里的话 应该有 n 个 m。 是 不是 n 个 m 相加不就是 m n 吗？是不是 n 个 m 相加 m 个 n 个 m， a m 相乘相加的和不就是 m 乘以 n 吗？是不是好，所以等于 a 的 m n 次方。 好，那尤其是第五个，第六个。很多同学啊，只背背下了他最终的一个结论，但是很少有同学知道他们的推导过程，其实啊，他俩人的公式都是通过上面的一些东西推导而来。我们来看一下， 好， a 的 零次方等于一啊。当然了， a 是 不等于零的，当 a 等于零的时候，它是无意义的。 a 不 等于零，也就任何数的零次方都等于一。 a 不 为零啊，不为零的数，它的零次方等于一，它是怎么推导过来的呢？我们用的是同底数密的除法推导而来。我们来看一下 a 的 零次方等于一，那我是不是可以理解成 a 的 m 次方去除以 a 的 m 次方，朋友们来看一下，它是等于同底数密的除法，底数是不变的，指数要相减， m 要减 m， 那 同学们观察一下，那是不是等于 m 减 m 是 不是等于零？也就等于 a 的 零次方， 而 a 的 m 次方除以 a 的 m 次方，这两个数是不是相同？相同的两个数相除，它们的商是什么？一， 是不是？同学们，对吧？比如说二的三四方除以二的三四方，二的三四方是八除以二的三四方，八 八除以八是不是等于一？好了， a 的 m 四方除以 a 的 m 四方等于一， a 的 m 四方除以 a 的 m 四方，还等于 a 的 什么零四方都是它的什么结果？所以 a 的 零四方就应该等于这里的什么一。好，这是关于 a 的 零四方等于一这个公式的推导。我们再看一下最后一个 a 的 负 m 次方等于 a 的 m 次方分之一，它是怎么来的呢？好，这里的话就要用到这个公式以及这个公式。我们来看一下 a 的 负 m 次方，我们可以理解成是 a 的 零次方去除以 a 的 m 次方。同学们来观察一下， a 的 零次方除以 a 的 m 次方， a 的 零次方，我们知道是等于一的， 对吧？一除以它不就等于一除以 a 的 m 四方吗？是不是我们再根据同底数密的除法，它还等于什么呢？比数不变，指数相减， 零减 m 好， 那是不是就等于 a 的 零减 m 不 就负 m 吗？也就是 a 的 负 m 四方就应该等于 a 的 m 四方分之一，因为 a 的 负 m 四方是它的结果， a 的 m 次方分之一也是它的结果，所以这两人是什么相等的？所以 a 的 负 m 次方就等于 a 的 m 次方分之一，这就是关于逆的运算。几个公式的推导，你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路。

很多孩子啊，在初一阶段遇到密的预算，不知道如何去考虑他如何利用我们所学的四大公式来解决这类的问题。这个视频我们通过这道题来看一下如何灵活的运用这四大公式。其实这四大公式可以分为两类，前面两个属于底数是相同的， 可以叫做统一底数，后面这两个式子是指数是相同的，我们可以叫统一指数。那我们来看一下这道题如何去考虑它。已知二的 m 次方等于三的 n 次方等于六，那么来求 m 分 之一加 n 分 之一， 这个 m 分 之一加 n 分 之一。在我们初中问题中经常问到，那怎么解决它呢？其实就是将它进行一个通分，它是等于 m 乘以 n 分 之 n 加 m， 那我们只需要从前面的式子得到 m 加 n 和 m 乘以 n 之间的一个数量关系就可以了。那怎么样得到 m 加 n 和 m 乘以 n 之间的数量关系呢？通过题目中我们可以看到二的 m 次方等于三的 n 次方等于六， 那这个时候是统一底数还是统一指数呢？显然这个底数如果想要统一底数，如果题目中出现了比如说二的 m 次方等于四的 n 次方，当这个四是二的平方的时候， s 可以 写成二的平方带 n 次方， 那这个时候我们就可以把底数统一掉了，它等于二的二 n 次方，也就是底数相同，底数相同，我们就能得到指数也是相同的，那所以 m 就 等于二， n 就 找到 m n 之间的一个等量关系了。但是在这个题目中明显能看到二和三呢，它不是一个 这样一个倍数关系，那怎么办呢？那我们就可以想到第三和四中的一个统一指数。那既然这里有 m， 这里有 n， 那 我们就可以利用第四个公式统一都在取 n 次方，也就是二的 m 的 次方的基数上取个 n 次方，那就等于六的 n 次方。你就能得到二的 m 的 n 次方，等于六的 n 次方。然后一样的三的 n 次方的基数上再取 m 次方，那就是六的 m 次方，也就是三的 m 的 n 次方，是等于六的 m 次方。 注意一下啊，三的 n 次方的 m 次方，是等于三的 m 的 n 次方。然后这时候我们能够发现， 算出来的这两个式子中，右边一个是六的 n 次方，一个是六的 m 次方，它就属于同底数了。那既然同底数，我们就可以借助于前面的这样一个第一个式子， 然后左边和左边相乘，右边和右边相乘，也就能得到二的 m 的 n 次方。乘以三的 m 的 n 次方是等于六的 n 次方。乘以六的 m 次方。左边再借助于第三个式子，我们就能得到二乘以三的 m 的 n 次方，是等于六的 右边用第一个方，第一个式子，它就等于六的 m 加 n 次方，也就是六的 m 乘 n 次方，等于六的 m 加 n 次方。那底数相同，指数自然也相同，也就是 m n 是 等于 m 加 n 的， 那既然这样，那 m n 是 等于 m 加 n， 所以 这个 m m n 分 之 m 加 n， 也就是换成了 m 乘以 m 乘以 n， 也就是一。你学会了吗？

注意了，家长们密的预算求值问题来了，这个题啊主要考察的是我们对密预算法则的正反使用， 实际考试当中啊，很多同学不能够完全理解，所以做起来非常困难，我们今天一起来学习一下。首先我们回顾一下密的预算法则的公式，那就是同底数密相乘，底数不变，它指数就相加， 同底数密相除的话，底数不变，指数就相减。含有 a 的 m 次方，在 n 次方呢，它就等于 a 的 m n 次方，它指数相乘，含有 a 的 负 m 次方，就等于 a 的 m 次方分之一， 一个数的负指数方就等于它的正指数方分之一。现在我们常用的这几个公式都复习好了，我们就带着这几个公式，或者是 这几个公式的逆运用。我们来看一下这个题目，题目当中的这个指数呢，跟这个指数它一个是加一，一个是减一，完全不一样，我们有没有办法把它构造成一样的，我们来想办法，因为它指数上相加，其实就是我们同底数密相乘。 为了构造指数的相同，我们可以把 x 的 平方加一呢，看成是 x 的 平方减一再加二。 此时我们的原式呢，就等于二，指数上是 x 的 平方减一，加二加上 二，指数上是 x 的 平方减一，它等于四十。现在我们把指数上这个加二呢，利用我们公式的第一条反向使用，就是要想让指数相加呢，就是同底数密相乘， 所以它的原式就可以写成二，指数上 x 的 平方减一，然后乘以二的 二次方加上二，指数上是 x 的 平方减一，等于四十。我们知道二的平方呢，它等于四，所以这里直接把它写成是四，我们再把二 指数上 x 平方减一呢，作为公因子把它提取出来，那就变成了二指数上 x 的 平方减一。提取之后呢，这边就还剩下四，右边提取之后还剩下一， 他就等于四十。那现在他的计算就非常简单了，那二的指数上 x 平方减一，他就等于四十，除以五就等于八。我们都知道二的三次方呢，是等于八的，所以说 x 的 平方减一，他就等于 三，然后我们 x 的 平方呢，他就等于四，那 x 不 就等于正负二吗？像这样的题型呢， 主要考察的就是我们对我们命运上法则的正反使用，当然这里只用到了我们的第一条和第二条，第三条和第四条，我们也要去巩固练习一下。

家长们注意了，密的预算一定是我们旗下月考的重点内容，也是考场丢分的重灾区，这道题看似非常的复杂，实际啊，它隐藏着很多的化解技巧。 好，今天刘老师带着大家来拆透这种问题的处理方式，让你考场轻松拿满分。我们来看说求证，这个式子能被十三整除，那么看到这个问题能被十三整除，我们首先要大胆的猜想一下，这个式子 n 等于这样的一个式子，化简到最后，他一定是等于十三乘以一个数， 是不是？那么 n 等于十三乘一个数，那么当它除以十三的时候，十三和十三抵消了，那这个数如果是一个整数的话，那不就意味着这个式子能被十三整除了吗？是不是？所以啊，我猜想的结果就是 n 应该等于十三乘以 一个数，是不是？那顺着这个思路，我们来拆分一下这道式子哦，这里出现了三的二 n 加一次方 以及六的 n 加二次方。那么看到这样两个关于幂的计算，我们首先要明白，我们在幂的计算中有一个同底数幂的什么乘法，那就是 a 的 m 次方去乘以 b 的 去乘以 a 的 n 次方，那么就应该等于 a 的 m 加 n 次方，那同学们来看一下，那是不是意味着 a 的 m 加 n 次方就等于 a 的 m 次方乘以 a 的 什么 n 次方？这叫什么 逆的计算呢？逆用好，那我们来看，那这个式子是不是可以利用这样的一个式子来把它拆开呢？好，那么这个式子就应该等于 五的平方去乘以好，三的二 n 加一次方，就应该等于三的二 n 次方去乘以三的一次方， 也就是三的二 n 加一次方。好，再乘以二的 n 次方。来，我们把后面也该 拆开，减去三的 n 次方去乘以六的 n 加二次方去乘以六的 二次方，那么他就应该等于六的 n 加二次方。那到这一步，我们接下来再该怎么处理呢？这里是六的 n 次方， 对吧？这里是三的 n 次方，但这里是三的二 n 次方，而这里是二的 n 次方，只有这个指数啊，与众不同是不是？好，我们可以把它再进行拆分。那么在这里啊，我们就用到了 a 的 m 次方的 n 次方，逆的乘方，那么它就等于 a 的 m n 次方。也就下次我遇到了 a 的 m n 次方，就可以转变成 a 的 m 次方的 n 次方。 好，我们来看，这里是不是就相当于 a 的 m n 次方。好，那么它就应该等于来，我们接着往下写五的平方去乘以把它进行拆分，那么它应该是拆成三的平方的 n 次方。 m 的 乘方啊， m 的 乘方，再乘以三的一次方，乘以二的 n 次方。再减去啊，后面的我们先不动啊， 再乘以六的平方，我们把这儿给算出来，三的平方等于九，好，也就等于五的平方。乘以九的 n 次方，乘以三的 n 次方是三乘以二的 n 次方，再乘以六的平方。 那同学们来看一下这里九的 n 次方乘以二的 n 次方，这里这个式子。哎，这两个逆的运算呀， 指数相同，底数不同，我们又想到了什么？积的乘方啊，解决同质问题啊，什么意思呢？也就是 a， b 的 n 次方是等于 a 的 n 次方去乘以 b 的 n 次方，那么它的逆用就是 指数相同的话，我们可以用什么积的乘方好，那么它和它相乘，不就是来五的平方去乘以三，来这两个我们一组合就变成了九乘以二的 n 次方，是不是指数相同？我们可以把底数相乘，然后进行乘方。哦，那么它展开就是九的 n 次方，乘以二的 n 次方。好，后面的话 同理。三的 n 次方乘以六的 n 次方，那么就等于三乘以六的 n 次方，再乘以六的平方。好，我们来继续把它化解一下。五的平方是二十五，二十五乘以三等于七十五 乘以二九十八，十八的 n 次方减去三六十八，哎，也等于十八的 n 次方乘以六的平方是三十六。好，到这一步我们可以吗？提供一式， 把十八的 n 次方提出来，十八的 n 次方提过之后，还剩七十五减三十六，那么原式就应该等于七十五，减三十六等于三十九，再乘以十八的 n 次方。来到这，很多同学应该能观察出来，三十九是十三的什么倍数啊，也就是三十九，其实就是十三乘以三，再乘以十八的 n 次方，那么我们拿这个式子去除以十三，十三被消掉之后， 那么式子还剩三乘以十八的什么 n 四方，因为十八的 n 四方是一个整数，乘以三，他还是一个整数，所以这个式子一定能被十三整除，是不是？同学们好，你学会了吗？关注刘老师学，一路上不迷路！

彻底弄清楚一道题，比盲目的做十道、二十道都要管用。对于很多孩子来说，存在的问题往往不是听不懂，而是没吃透。 今天拿一个中等难度的题目，就能判断出孩子到底是真学会了，还是不懂装懂。这是北师大版七下同步中关于密运算的一个题目，可以先问问孩子，这道题考察的是什么？ 如果孩子的回答是逆运算，说明他只掌握了一半，没有彻底的吃透这个题目。正确的答案是，逆运算中积的乘方的相关运算。 为什么说是相关运算？因为既可以是积的乘方，也可以是积的乘方的逆运算。那么关于这种题目应该如何求解？我们这里有两条路可以去走，第一条路，把已知信息转化到需要求解的问题上去。 第二条，把需要求解的问题化成含有已知信息的形式。那么刚才说的这个叫做题目的解析思路。如果孩子能清楚的认识到题目可以这样做，还可以那样做，就具备了多种方法解决问题的能力，也就是举一反三的能力。 我们先来处理一下已知信息，因为它可以进一步化简，得到 x 的 三 m 方等于二， 而我们要求解的问题是 x 的 九 m 方等于多少。如果按照我们刚才讲的第一个方法，可以看看已知信息和需要求解的问题之间差了什么，一个是 x 的 三 m 方，一个是 x 的 九 m 方， 很明显指数相差的是三倍，所以我可以运用 g 的 乘方去给他乘一下指数，这样就变成了我们要求解的问题，进而求出答案，等于二的三，四方等于八。 下面我来介绍第二种方法，我们来处理 x 的 九 m 次方，我们要想求得的是 x 的 九 m 次方是多少，而给出的是我们的 x 的 三 m 次方，那么我可以运用积的乘方的逆运算，把这个结果给它化成含有 x 的 三 m 次方的形式， 同样是差了三倍的关系，那么运用积的乘方的逆运算，把这个结果给他倒回去，那么同样可以得到问题的结果。关于这类问题，你学会了吗？