八年级下册数学勾股定理8种方式

八年级数学下册勾股定律我们学完以后如何用它来做题呢？那么今天大高老师去讲一下， 利用勾股定律解决线段问题。如图，在 r t 三角形 abc 中，角 a， c， b 等于九十度， ac 等于三， bc 等于四， cd 垂直， ab 垂足为 d， 求 cd 的 长。那我们看一下，这是一个直角三角形，我们根据勾股定律，我们是不是可以求出斜边的长？三的平方加上四的平方 开方，是不是得到它等于五，也就是 ab 等于五。那么看下 cd 如何去求呢？ 三角形面积会不求？三角形 abc 的 面积我是不是可以用底乘高，三乘四乘二分之一等六？ 那么看一下我如何用 cd 去求呢？是不是我用二分之一 ab 乘 cd， 它也是我们这个三角形面积，底乘它对应的高，因为这是垂直吗？ ab 等于五，那么 cd 会求吗？相当于是通过面积求高，先让面积乘二除以谁呀？除以底 是不是等于多少呢？等于五分之十二，所以 c、 d 的 长就是五分之十二。所以我们利用勾股定力去解决线段问题的话，基本上我们都会先 判定他在直角三角形中，根据勾股定力求出对应的斜边长啊，或直角边长，进而去计算。关注大高老师，我们继续学习我们的八年级数学。

勾股定律的五种正法在书本的三十二页，先来看到勾股定律的第一种正法， 这个是弦图的另外一种正法，它用的是以斜边为边的正方形的面积加上四个三角形的面积。这里是以斜边 c 为正方形的一个面积，加上外面四个三角形的面积，会等于整个大正方形的面积，是这个意思。 那么这里里面，这里有这个正方形的面积，它就会等于 c 的 平方啊。以斜边为边的正方形的面积，对应的是 c 的 平方加上四个三角形的面积，这四个三角形的面积是外面四个三角形的面积。这一段是 a， 那么这一段就是 a， 这一段是 b， 所以 这一段也是 b 啊。同样的，这段是 a， 这段是 b， 这段是 a， 这段是 b， a、 b 就 这个意思，所以这四个三角形的面积，它就会等于二分之一 a、 b， 然后再乘上一个四啊，就这个意思，等于外面正方形的面积。外面的这个正方形，它的边长是 a 加 b， 所以 是 a 加 b 的 平方。然后再打开 c 的 平方，加上二 a， b 等于 a 的 平方，加二 a， b 后面是完全平方。公式打开， 那加二 a， b， 加二 a， b 抵消掉了，就剩下 c 的 平方，等于 a 的 平方，加上 b 的 平方，你看这个是不是就是个五厘米，对不对？这个是第一种正方。 第二种正法是传说中必达格拉斯的正法。这里提示把图一当中拼成的正方形与图二当中拼成的正方形面积相等就可以了。你看图一，这里是一个正方形，边长是 b， 所以 它的面积是 b 的 平方，这个是 a 的 平方， 然后这四个三角形呢？它的两条直角边分别都是 a 和 b， 所以 它的每一个三角形面积都会等于二分之一 a、 b， 对 吧？好，这里有四个，所以第一个图就是 a 的 平方加上 b 的 平方加上 四乘上二分之一 a、 b， 这是第一个图，第二个图拼成的正方形面积是，这里是 a， 加上 a 加上 b， 是 这个整体的面积啊。但是我们要的不是这个整体的面积，我们要的是把它拆分出来的面积，这里是四个二分之一 a， b， 这里有四个，所以也有四个二分之一 a、 b， 然后中间这个正方形的面积，它是 c 的 平方，它的边长是 c， 所以 我们就可以把它写成四乘二分之一 ab 加上 c 的 平方， 然后四分之一乘二分之一 ab 和这边是可以抵消掉的，就只剩下 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方了，你看勾股定律就出来了，对吧？ 再来看到第三种方法，折矩积矩法，那么它是什么意思呢？它是把三四五这个直角三四为边，往外画了一个正方形，那就是这里， 这里是直角，这里是三，这里是四，这里是五，你可以看得出来，这个正方形就是四的平方， 这个正方形面积就是三的平方，而这个蓝色的正方形，它的面积就是五的平方，它就通过这种方式割补法， 把这个两个正方形的面积割补成一个大的蓝色的正方形的面积，就把这两个三角形的，就把这个两个正方形的面积填充到里面去了。啊，就这个意思。然后后面就是它的割补过程，看一下， 先画成这个样子，然后呢他在这里连条线，原本呢这段是四的，原本这里他是四的，啊，这里割一下，这里就变成了三了啊，他这里结了一个三下来， 所以这一段是三，那这一段也是三，然后接着他又在这里，这一段他是四，是不变的，这一段是四，他是不变的，然后在这个上面又结了一个一下来，所以这一段 是一，这一段是三，所以呢，因为这里是一，这里是三， 这里是一，这里是三，所以这一段或者是反过来画，这一段就是四，所以这条边他也是四，看到了吗？啊，所以刚才的这里的三，四， 这里的三，四，这个三角形它就可以旋转过来填充到这里来了，这里是三，这里是四，对吧？好，然后把这个哎补过来，因为它这里是一，这里是三，正好这里也是一，这里也是三， 那就把这个小长方形补过来了，补过来了之后，那这一段它就是四，原本这里是三，这里是一的，那补过来之后，这里就变成了四，这里变成三了啊，那同样的道理，这里也是三，这里也是四， 所以他就把这个三角形的面积填充到这里来了，这个三角上面这个三角形的面积填充到这里来了，最后整个 大三大正方形的面积就是五的平方，这就是五的平方， 那就把三的平方和四的平方填充到五的平方里面去了，就可以得到三的平方，加上四的平方等于五的平方，它是以这种形式割补法去凑出勾股定律的， 这个是勾股定律的第四种证法。在一本书里面有记载，这本书叫做原本，它也是用面积法去证的， 让直角三角形的三条边往外做三个正方形，如果把这个直角三角形的三条边边长分别叫做 a、 b、 c， 那 么这个三个正方形的面积就是 a 平方、 b 平方、 c 平方。我们的目的就是为了证明出 a 平方加 b 平方等于 c 平方就可以了。 他把下面这个大的正方形分割成两个长方形，让小长方形的面积等于小正方形的面积，大长方形的面积 等于中等正方形的面积，就可以得到这个式子了。好，他这里有提示，正方形的面积等于这个三角形面积的两倍， 然后小长方形的面积等于这个三角形面积的两倍，然后让这两个小三角形全等， 全等之后面积就相等，就可以说明这个小正方形的面积等于小长方形的面积了。好，我们写一下这个过程啊，你连接一下 ig， 再连接一下这个 a、 j， 我 们先证明这里的三角形面积和这个三角形面积相等， 这个三角形面积和这个 a、 d、 j 三角形面积相等啊，怎么来的？都是等底同高。你看， 因为 id 等于 id 同一个三角形，它们的底是相等的，底是同一条，那肯定是相等。然后又因为 这个 h、 c 平行 id， 所以 平行线之间它们的距离处处相等，这个距离指的是垂直距离， 在平行线之间作高，看到没有？高是相等的，所以三角形 i、 d、 g 与三角形 i、 d、 c 它们的这个面积相等，是因为同底等高， 所以我们可以得到三角形 i、 d、 g 的 面积会等于三角形 i、 d、 c。 的 面积，那么由于这个正方形的面积会等于 i、 d、 g。 面积的两倍， 因为 a 的 平方会等于两倍的三角形 i、 d、 g。 的 面积，所以这个 a 的 平方也会等于 两倍三角形 i、 d、 c。 的 面积。好了，这样的话，我们就把第一句话证明出来了，再看第二句话，这个小长方形的面积等于这个 a、 d、 g。 面积的两倍。怎么来的呢？同样的方法， 因为 a、 d 等于 a、 d， 这两个三角形它的底是同一条，那然后这个 a、 d 和 g、 k 是 平行的， 又因为 a、 d 平行 j、 k， 所以 三角形 a、 d、 j 与三角形 a、 d、 g 也是同，也是同底等高， 它们是同底等高的，那高都在这里， 高在这，对吧？然后 g 往下做垂线，高在这，这两条高会相等，所以三角形面积会相等，所以三角形 a、 d、 g。 的 面积会等于三角形 a、 d、 j 的 面积。 面积是相等的。好，那么不难看出，这个矩形面积的一半就等于 a、 d、 j， 因为这个 a、 d、 j 应该是这个 a、 k、 j、 d。 这个矩形的面积 会等于这个小三角形面积的两倍，等于两倍的三角形 a、 d、 j。 的 面积，所以这个 a、 k、 j、 d。 的 面积就会等于两倍的三角形 a、 d、 g。 的 面积。 那么剩下的就是你要证明这两个三角形全等了，那么这个小矩形的面积就等于这个小正方形的面积了， 怎么证明全等呢？你看这两个三角形 i、 d 等于 j、 d、 a、 d 等于 c、 d， 再加上它们中间的夹角是相等的，就是这个角和这个角是相等的，都等于九十度，加上同一个角，对不对？好， 因为算了，我写个全等五好吗？ 在三角形 i、 d、 c 与三角形 g、 d、 a 当中， i、 d 等于 g、 d 角 i、 d、 c 等于角 g、 d、 a， 它都等于九十度，加上这个角 g、 d、 c， 然后最后一个就是 cd 等于 a、 d， 所以 我们可以得到三角形 i、 d、 c 全等于三角形 g、 d、 a。 全等。条件是边角边 全等之后，所以我们就可以得到这两个三角形的面积也是相等的。 好，它们的面积现在是相等，就这两个面积相等了，所以 这个 a、 k、 j、 d 的 面积 a、 k、 j、 d 这个面积就会等于 小正方形的面积 a 的 平方。好，这里我们就证明了。左边的那还有一边呢？这个时候你要连什么呢？哎，你就要需要连这里和这里了，我们连一下。 思路是一样的，那你同时也要连 b、 j 和这个 e、 g。 证明过程我就不写了，思路我写一下。另外一层，就是让这个中等正方形的面积等于这个三角形的面积的两倍，从而也会等于这个三角形的面积的两倍。 这个我写一下。 b 的 平方会等于三角形 g、 c、 e 的 面积的两倍啊，写一下，两倍， 而这个 g、 c、 e 的 面积和这个 d、 c、 e 的 面积也是同底等高的，这两条线平行，对吧？这个是正方形，上下肯定平行的，高相等啊，同底等高，棱底等高，对吧？好，等于两倍的三角形 d、 c、 g 的 面积。好，得到了这个，然后再拿这个长方形的面积，它会等于这个 b、 c、 j 面积的两倍，而这个 b、 c、 j 的 面积会等于 b、 c、 g、 c、 j， 它会等于两倍的三角形 b、 c、 j 的 面积就会等于两倍的 三角形 b、 c、 g 的 面积就等于两倍这个 b、 c、 g 的 面积，而这两个三角形是全等的，你看这里也是九十度， 中间夹了一个角，然后这两条边相等，就是 e、 c 等于 g、 c， 然后这个 b、 c 会等于 dc， 对吧？好，再加上中间的夹角，所以这两个三角形全等，知道吧？啊？又因为三角形 bce 会等于等，它的面积会等于三角形 bcg 的 面积，原因是全等， 因为我在这边已经正过一遍了，我这里就写不下了，就不写了，所以我们就可以得到这个 a、 b、 c、 j 的 面积会等于 b 的 平方的面积，看到了吗？好，现在你再把这两个面积加起来 就会等于 c 的 平方了，知道吧？啊？这是一式，这是二式，你把一式和二式加起来，一式加二式， 你就会得到这个 a、 a、 k、 j、 d 的 面积，加上 a、 b、 c、 j 的 面积就会等于 a 的 平方加 b 的 平方， 这是让左边加左边，右边加右边，而这两个长方形面积加起来就会等于 c 的 平方，所以我们就可以得到 c 的 平方，会等于 a 的 平方加上 b 的 平方，这样的话，我们就可以得到勾股定律的结论了。 欧古定律第五种正法是没文顶的正法，它这里提示是正方形 a、 g、 e、 f 的 面积加上正方形 h、 j、 d， g 的 面积会等于正方形 a、 b、 c、 d 的 面积就可以了。那么它具体是怎么操作的呢？ 也是一样的， a、 g、 d， 这个是一个直角三角形 r、 t， 三角形 a、 g、 d， 然后分别以它们的三条边往外做一个 正方形，不过这条边是往里做了一个正方形，那它这条边是 a， 那 这个就是 a 平方，这条边是 b， 它整个面积就是 b 平方，然后斜边是 c， 那 么这个就是一个 c 平方啊，就是大概是这个意思， 然后进行分割。怎么分割的呢？你看它这里画完之后， 把这个正方形你挪到这里来啊，这边也是 a 啊，因为你看这里是 a， 这里是 b， 你 做了正方形之后，这条边就是 b， 然后这个是一个矩形，对称过来，这条边就是 a， 那这条边就是 b 减 a 啊。接下来你要用全等去证一下，这条边是 c， 这里做垂直，这个是垂直，这个也是垂直，对吧？你可以证明这两个三角形全等， 全等之后，这条边就是 a 了啊。具体的就是九十度，九十度啊，这里是角一、角二、角三角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，所以角一等于角三，所以这两个三角形是全等的，你全等之后，这里是 a 对 称过来，这条边也是 a 啊，这条边也是 a， 然后呢，因为这条边它是 b 啊，这里垂直了，对不对？这条边就是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边也是 b 减 a， 这个是一个直角，所以中间就是个正方形，中间就是个正方形。全等之后，这条边是 b 嘛，这条边也是 b 嘛，对不对？然后这条边是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边是 b 减 a， 所以 这条边就是 a。 好 了，这就是一个正方形，对吧？直角不用考虑，它画的都是垂直， 所以它这个正方形，那么这个正方形小的空白的正方形，就和上面的这个正方形的面积是一样的啊，边长都是 a 的 正方形，然后接下来把这个移下来之后，哎，它把现在它的这个面积就变成了这样的了， 好进行分割，把上面这部分的面积平移下来啊，平移下来覆盖这里，然后把这部分的面积移到右边去，你看用割补法就补出了这个正方形，正方形 c 的 平方就可以了。 如果要写这里的证明过程就太多了啊，我把这个思路大概写一下啊，首先你先证明这个 a、 d、 m 和这个 a、 b、 i 全等三角形 a、 d、 m 全等于三角形 a、 d、 i， 这里有个 i 哦，我遮住了 全等全等条件，角角边全等之后的话，你就可以得到 a、 i 等于 a 啊，然后等于 b、 l 等于 b、 l， 然后再证明这里是一个正方形，就是 四边形 k、 j、 m、 i 为正方形， 你就可以得到这个 b、 k 也等于 a， 那 么这个正方形啊，这个矩形两边都是 a， 所以 它就是正方形，所以我们就可以得到四边形为 四边形 l、 b、 k、 h 为边长 等于 a 的 正方形。好了，那么接下来把这个面积移过来再进行分割就可以了，把它进行拆分， 这里拆分一下这个 c 的 平方会等于什么呢？会等于 这里拆分出来的四个小面积，中间正方形加四个三角形。我们这里写一下三， a、 b、 c、 d 的 面积，这 a、 b、 c、 d 的 面积会等于三角形 a、 b、 i 的 面积，加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上三角形 a、 g、 c 的 面积，加上三角形 a、 b、 c 的 面积。最后再加上中间这个正方形的面积， 那么现在这个 a 的 平方加 b 的 平方会等于什么呢？ a 的 平方加上 b 的 平方会等于这个 a、 f、 g、 h 的 面积。 a、 f、 g， a， 不 对，是 a、 g、 e、 f， 再加上这个 g、 h、 j、 k， 呃， j、 d 的 面积， 而这个面积咱们又可以把它转化成 这个正方形的面积， 是 l、 b、 k、 h， 加上刚才的这个 g、 h、 j、 d 的 面积。好，现在我们就变成了这两部分的面积， 而这两部的面积它又可以拆分成什么呢？它又可以拆分成这个，加上这个，加上这个，再加上这两个。看到了吗？好，我们把它写出来，就是三角形 a、 b、 l 的 面积，加上三角形 a、 b、 i 的 面积，再加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上上面这个三角形 a、 g、 d 的 面积，最后再加上一个最中间的一个正方形，就最中间这一个正方形就是上面这个 整体，往这边挪一点。 好，接下来就一一对应了。那接下来就一一对应了。首先这个面积这三个面积是不变的，这三个面积是不变的。 a、 b， i， 找到 a、 b， i 这个面积不变， 以及 a、 d、 m、 a， d、 m 不 变，还有个正方形的面积不变，那么接下来把这个面积和这个面积分别平移到这里和下面这个位置。啊，注意，这个面积移下来之后，这个空白的地方是补起来了的啊。 好，对应一下。 a、 l、 b， a， b， l 对 应哪一个？对应这个？ d、 j、 c， d， j、 c， 在 这里它们两个可以互换， 然后最后一个就是 a、 g、 d 和 k， b、 c 进行互换， 那 e 对 应相等的，所以你会发现 a 平方加 b 平方得到的五个面积和 c 的 平方得到的五个面积是相等的，所以我们最后就可以说，所以 c 的 平方等于 a 的 平方，加上 b 的 平方就可以了。

八年级下册数学的勾股定律，我们上个视频学习了，那么在直角三角形中，满足两条直角边的平方等于斜边的平方， 那么勾股定律的逆向定律呢？是通过我们上节课的一个结论去推断它是否为一个直角三角形， 比如说在一个三角形中给出你三边的数据了，如果他满足这么一个等量关系，则就判定这个三角形为直角三角形。看这 在三角形 abc 中， ac 等于七， ab 等于二十四， bc 等于二十五，是不是你发现七二十四和二十五， 二十五是最长，它是一个斜边，这两个呢？我不确定是不是直角边，对不对？我得判断呀。那我看七的平方加上二十四的平方， 他们两个的和和二十五的平方去比较，你发现他们是相等的，如果他们是相等的话，是不是符合两个直角边的平方等于斜边的平方，则三角形 abc 就是 直角三角形， 那么直角三角形的话，看我们这这三角形 abc， 那 么这是二十五，那么这看着啊，二十五这个斜边对应的角就是九十度， 所以满足这个条件，他就是直角三角形。那么在这个我们这个理论的话，经常会在几何证明题中去出现，他会告诉你一个三边的关系，他就是隐藏着 间接的告诉你这个三角形呢，为直角三角形，所以这是我们的勾股定律的逆定律，由我们的结论判断这个形状是直角三角形啊，还是其他三角形，把这个方法掌握好就可以学会了，没有。

同学们，生活里藏着好多数学知识呢！看王师傅家新做了一个门框，他想知道这个门框的角是不是标准的直角，可他手里只有一把卷尺，你们能帮他想想办法吗？ 同学们，我这新做的门框总觉得不太值，可我只有一把卷尺，你快教教我咋检查。 大家回忆一下我们学过的勾股定律，逆定律是什么？如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那它就是直角三角形。 那我们能不能用这个原理帮王师傅设计一个检测方案呢？谁来说说我们需要量出哪些边的长度哦，量三边就行。我量了 ab 是 八十厘米， bc 是 一百七十厘米， 你能帮我判断一下角 b 是 不是直角吗？对了，只要量出门框的两条邻边和对角线的长度，就能判断是不是直角啦！ 那如果我的卷尺只有一米长，量不完整，门框的边还能检查吗？对了，我们可以在边上各量一小段，用小三角形来验证大角是不是直角。这就是数学里以小见大的智慧。懂了，就是在 a、 b 边上量八十厘米， b、 c 边上量六十厘米。在量这两个点之间的距离要是刚好一百厘米，就说明大角是直角，这筐子真省事儿。 同学们，大家有没有注意到两艘轮船的航行路线在空间中形成了一个什么样的几何图形？ 如果我们要判断这两艘轮船的航行路线是否垂直，也就是航线形成的夹角是否为直角，大家可以回忆一下我们学过的哪些数学知识可以帮助我们解决这个问题呢？

大家好，我们这个视频来讲一下高古定律的逆定律及其运用。随便给三个数给你，是不是能够组成三角形啊？比如说现在是六、八、十五， 很明显是不能组成的，因为六加八不大等于不大于十五，比如现在我把十五改为十三，看看能不能组成。哎，你看现在这个三角形，呃， 就存在了，因为这三棵树它符合了一一定的规律，这规律就是三角形等于两边之合，带第三边。那 有没有一种可能就是说三个数符合一定规律，它就组成直角三角形，比如说我们现在改为十，看看啊， 哎，大家看一下度数，其中就有一个角是九十度，那这时候它的就是直角三角形， 那么能组成直角三角形的这样三个数啊，他们之间有什么样的关系啊？我们看一下啊。呃，你看 其中有两个数的平方和等于一百，那第三个数的平方也等于一百，也就是说 对于任意三个数， a、 b、 c 这样。呃，三个数存在， a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么 a、 b、 c 就 能组成直角三角形。比如现在我改，我仍然改为十三， 那现在它 a 平方加 b 平方就不等于 c 平方了。比如说现在我继续改，改为五，这个改为改大一点啊，这个改为十二， 这个改为十六，这个改为二十。看看啊，二十。 呃，现在大家观察啊，现在有一个角也是九十度，那么再来观察它， a 平方加 b 平方等于四百，那 c 平方也刚好等于四百 啊， a 平方加 b 平方加 c 等于 c 平方，那么这样的三个数就能组成直角三角形啊，比如改为五，试一下啊，十二、 十三，这样三个手看一下，这时候也是有一个直角啊，直角三角形， 再观察 a 平方加 b 平方等于一百六十角， c 平方刚好也是一百六十角，也是存在 a 平方加 b 平方加等于 c 平方，所以我们就可以得到这样一个结论啊， 如果三角形的三边 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形，这个就是勾股定律的逆定律。那怎么运用？比如说啊， a、 b 等于十三， a、 c 等于五， b、 c 等于十二，你证明三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。首先我们写条件，题目的条件 还有这个事实就是五平方加十二平方等于十三平方，这不能漏掉这个事实啊， 如果你光写十、十三、五十二，那你没有这个运算的逻辑关系，要展示出来，那也不行，那你看看 a、 c 是 五， 是对应五这里啊， b、 c 十二，把 b、 c 换到这里来， a、 b 十三，把 a、 b 换这里来，所以就有 a、 c 平方加 b， c 平方等于 a、 b 平方， 那么运用高股定力的内定力啊，满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形，所以三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。好，谢谢大家。

八、下数学最难的勾股定律十大题型全部吃透，稳进班级前三！第十七章勾股定律十类题型突破考点一，勾股数问题考点二，用勾股定律解三角形。 考点三，以直角三角形三边为边长的图形面积考点四，勾股定律的证明方法考点五，勾股定律的实际应用 考点六，用公股定律构造图形解决问题。考点七，判断三边是否构成直角三角形。完整版分享！

同学们好，今天我们学习勾股定律及其逆定律的综合应用。首先进行知识回顾。 勾股定律，如果直角三角形两直角边分别为 a、 b 斜边为 c， 那 么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。如图，由 r、 t 三角形 a、 b、 c 中 角 c 是 直角这一图形结构，可以得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方，即两者角边的平方和等于斜边的平方这一数量关系。因此，勾股定律体现了由形到数的思维过程。 勾股定律的逆定律，如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形。 如图，在三角形 a、 b、 c 中，若有 a 平方加 b 平方等于 c 平方，即两条较短边的平方和等于最长边的平方这一数量关系， 可以得到三角形 a、 b、 c 为直角，三角形最长边 c 所对的角为直角这一图形结构。 因此，勾股定律的逆定律体现了由数到形的思维过程。本节课在勾股定律及其逆定律学习的基础上进行综合应用，研究三角形和四边形中的相关数学问题。下面进行点例分析， 请看例一、如图，四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， b、 c 等于四， c、 d 等于十二， a、 d 等于十。三角 b 等于九十度，求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。请同学们认真审题， 并将已知条件标注头中。本题已知不规则四边形的边长和其中一个内角为九十度，要求它的面积，求不规则四边形的面积。我们通常添加辅助线转化为求三角形的面积。 因为四边形 a、 b、 c、 d 中有已知条件，角 b 等于九十度，所以只能连接 a、 c 才能构造出直角三角形 a、 b、 c 同时得到三角形 a、 c、 d。 直角三角形 a、 b、 c 中已知两直角边面积一，求同学们，那怎么求三角形 a、 c、 d 的 面积呢？ 对了，需要先确定其底和高。题目中已知其两边的长，我们可以先求出第三边。 方法一，判定其是否为直角三角形，若是两直角边，就分别作为底和高，根据三角形面积公式求出其面积。方法二，若不是直角三角形呢？请大家思考。 有同学说可以把其中一边作为底，通过其对顶点做高，设未知数，利用勾股定力建立方程来求高， 再求面积。是的，相当正确，不过计算起来复杂，因此我们先求 a、 c。 在直角三角形 a、 b、 c 中，由勾股定律可以求出其斜边 a、 c 为五，因此三角形 a、 c、 d 三边长分别为五十、二十三，这是一种典型的勾股数， 我们可利用勾股定律的逆定律判断其为直角三角形，进而以两直角边分别作为底和高求出其面积。此题得解， 下面请同学们看具体的解答过程。连接 a、 c。 在 r、 t。 三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于九十度， a、 b 等于三， bc 等于四。 由勾股定律得 a、 c 等于根号下， ab 平方加 bc 平方等于五。在三角形 a、 c、 d 中， a、 c 等于五， c、 d 等于十二， a、 d 等于十三， a、 c 平方加 c、 d 平方等于一百六十九， a、 d 平方等于一百六十九。所以 a、 c 平方加 c、 d 平方等于 a、 d 平方。由勾股定律逆定律得三角形 a、 c、 d 为直角三角形，并且最长边 a、 d 所对的角 a、 c、 d 等于九十度， 所以四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为直角三角形 a、 c、 d 和直角三角形 a、 b、 c 的 面积之和。利用三角形面积公式，我们代入具体数据，得到四边形面积为三十六。 同学们立一用到哪些主要的知识点和方法？我们小节一下 对了。分割转化，通过添加辅助线，将不规则四边形面积转化为两个三角形面积。 还有勾股定律，在直角三角形 a、 b、 c。 中，利用勾股定律求出 a、 c 等于五勾股定律的逆定律。在三角形 a、 c、 d。 中，利用勾股定律、逆定律判定其为直角三角形 三角形面积公式，计算两个三角形的面积，并求和得到四边形的面积，请同学们看跟踪训练便是。一、如图，每个小正方形的边长都为一。 一、求四边形 a、 b、 c、 d 的 周长。二、求证角 b、 c、 d 是 直角。 本题是不规则四边形中求周长，并证明一个内角为直角。 其实要求四边形 a、 b、 c、 d 的 周长，我们需要找出其各边的长度。 本题要求解的部分刚好是圆例题的已知部分。另外，与圆例题的不同之处还有在网格中求不规则四边形的边与角的问题。 求边同学们容易想到构造直角三角形，利用勾股定律进行计算正直角。就目前所学知识，可考虑利用勾股定律、逆定律判定直角三角形。因此，根据网格中四边形各边的位置特点， 如图所示，以四边形各边为斜边，网格线为直角边，沿四边形外部方向构造出四个直角三角形， 当然也可以沿内部方向进行构造。根据网格中小正方形的边长可以得到各直角三角形两直角边的长度，进而利用勾股定律进行计算。 请同学们看具体的解答过程。由勾股定律得四边形 a、 b、 c、 d 各边的长为 a、 b 等于根号下一的平方，加五的平方等于根号二十六。 同样方法可以求得 a、 d 为根号十七， b、 c 为二倍根号五， c、 d 为根号五。因此四边形的周长为三倍根号五，根号十七与根号二十六的和。我们再看第二问， 要证明角 b、 c、 d 是 直角，我们连结 b、 d 得到角 b、 c、 d 所在的三角形 b、 c、 d。 再考虑利用勾股定律、逆定律判定直角，其条件是要满足两边的平方和等于第三边的平方。 同学们借助第一问中构造直角三角形求边长的经验，用同样的方法可以构造出三角形 b、 c、 d 各边所在的直角三角形。 我们先由勾股定律计算各边的平方，再由逆定律条件判定直角三角形。请同学们来看具体的证明过程。 连接 b、 d 由勾股定律得 b、 d。 平方等于三平方加四平方等于二十五， b、 c。 平方等于二平方加四平方等于二十。 c、 d。 平方等于一平方加二平方等于五。因此 b、 c 平方加 c、 d 平方等于 b、 d 平方。所以三角形 b、 c、 d 为直角三角形，且最长边 b、 d 所对角 b、 c、 d 为直角。 本题是网格中找直角三角形和构造直角三角形的综合应用， 让我们学会了网格图形中利用勾股定律求线段长度及勾股定律、逆定律判定直角的方法。本题继续通过头型的变化对头型进行部分截取， 再去掉网格，可以变为以下问题，请同学们看便是。二、 如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b， c 的 中点， f 为 c， d 上一点， c、 f 等于四分之一， c、 d 证明角 a、 e、 f 是 直角。借助上题的头型，此题去掉了网格线，保留了上题中基本的头型结构，变成特殊正方形中判定直角， 其解析思路与上题的证明直角的思路相同。为了方便计算，利用正方形的性质，根据已知条件中 e 和 f 两点在正方形边上的位置， 同学们可设正方形的边长为四 a。 具体解答过程如下， 连接 a、 f， 设正方形的边长为四 a 根据已知条件得 b 一 等于 c， 一 等于二。 a、 c、 f 等于 a， d、 f 等于三 a。 在 r、 t 三角形 a、 b、 e 中，由勾股定律得 a 一 平方等于 a 平方的二十倍。 在 rt 三角形 ecf 中，由勾股定律得 ef 平方等于 a 平方的五倍。在 rt 三角形 adf 中，由勾股定律得 af 平方等于 a 平方的二十五倍。 所以在三角形 a、 e、 f 中，有 a、 e 平方加 e f 平方等于 a、 f 平方。所以三角形 a、 e、 f 为直角三角形，且角 a、 e、 f 是 直角。 本题由变式一网格中不规则四边形的情况去掉网格线，保留了基本头型变为特殊头型。正方形中找直角三角形和构造直角三角形， 让同学们学会在不同环境中应用勾股定律及其逆定律解决问题，请同学们看。例二， 在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于五， a、 c 等于十三、 b、 c 边上的中线 a、 d 等于六，求 b、 c 的 长。请同学们先把已知线段的长度标注头中。 本题已知三角形两边及第三边中线的长，要求第三边。同学们发现这里无法直接利用第三边找出或构造直角三角形， 因此我们紧扣 a、 d 为中线的已知条件，由 d 为中点得 bc 等于二倍 c、 d 或二倍 b、 d。 利用转化的思想方法要求 b、 c。 可以 先求 c、 d 或 b、 d。 在 学习三角形中线的知识时， 同学们经常会用到倍长中线的方法构造三角形全等，我们不妨也实验一下 延长 a、 d 至一，使 d、 e 等于 a、 d 等于六，连接 e、 c。 利用边角边全等判定三角形 a、 d、 b 全等于三角形 e、 d、 c。 婴儿得到 c、 e 等于 a、 b 等于五。请同学们把所求数据标注图中， 容易看出三角形 a、 e、 c 的 三边长是一种勾股术，利用勾股定律、逆定律可判定其为直角三角形，且角 e 为直角。 同学们从中又发现 c、 d 是 小直角三角形 d、 e、 c 的 斜边可以利用勾股定律求得 c、 d 的 长，进而求得 b、 c。 下面请同学们看具体的解答过程。 延长 a、 d 至一，使 d、 e 等于 a、 d。 连接 e、 c。 因为 a、 d 是 b、 c 边上的中线，所以 b、 d 等于 c、 d。 由边角边的全等判定方法证得三角形 a、 d、 b 全等于三角形 e、 d、 c。 进而得到 c、 e 等于 ab 等于五。因为在三角形 a、 e、 c。 中， c、 e 等于五， a、 e 等于二倍 a、 d 等于十二， ac 等于十三 c。 一 平方加 a 一 平方等于一百六十九， ac 平方等于一百六十九，所以 c 一 平方加 a 一 平方等于 ac 平方，所以三角形 a、 e、 c 为直角三角形，且角一等于九十度。 在 r、 t 三角形 d、 e、 c 中由勾股定律求得 c、 d 等于根号六十一，所以 bc 等于二倍根号六十一。 本题是三角形中线。将圆三角形分割成两个小三角形，抓住中线 a、 d， 即 d 是 b、 c 中点得 b、 d 等于 c、 d。 同时利用倍长中线做辅助线构造全等，进一步得到直角三角形，将复杂问题转化为简单问题。求解。 通过两三角形边角边判定全等的结构图，我们连接 a、 c， 得到了原例题的基本头型三角形及其中线，再连接 b、 e， 我们得到一个特殊的四边形，即平行四边形。本节课是第十七章勾股定律的最后一节课，同学们，我们即将开启第十八章平行四边形的学习。 到时按我们把直角三角形融入到平行四边形中，综合利用勾股定律及其逆定律解决更多的数学问题。我们的新课就讲到这里，下面我们进行课堂小结。 通过逆一，我们学习了将不规则的四边形经分割转化为基本头型的数学方法。 通过逆二，我们学习了将中线背长经构造转化为基本图形的数学方法，即分割转化和构造转化。 今天的课就上到这里，同学们再见！

八下数学最难的勾股定律，六大题型全部吃透，逆袭班级前三！八下数学勾股定律六大常考重难题型。题型一，勾股定律的认识。 题型二，利用勾股定律解勾股数问题。题型三，利用勾股定律求线段长度。题型四，利用勾股定律求面积。完整版分享！

八年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们继续来学习勾股令的极其应用，老师们，请你们看看这两幅图，这是美丽的海螺， 在数学中呢，也有这样一幅美丽的海螺形的图啊，这是第七届国际数学教育大会的会，会 叫什么？那么这个绘绘的画是不是一幅美丽的海螺形的图案呢？那么这个图是怎样绘制出来的呢？他与我们所学的数学知识又有哪些联系呢？ 今天我们一起来探求这个知识。今天这节课一共有三个学习目标，第一呢，我们要学会用勾股定力来解决简单的实际问题，建立数形结合的思想， 每一个同学都要学会数形结合的思想，把我们的数学抽象的。 第二个学习目标呢，就是要能够利用勾股令在竖轴上做出表示无理数的 点，哎，竖轴上每一个点都代表着一个数字，但不管是无理数还是有理数都能够在竖轴上表示出来，但是无理数的点表示的时候啊，那就需要知识了， 我们就可以利用勾股定力在竖折上做出来。第三个学习目标呢，就是要能够灵活的运用勾股定力进行计算，并且呢要学会用勾股定力来解决相应的折叠问题。折叠问题， 哎呀，勾股定力也可以解决折叠问题，那么带着三个学习目标进入今天的学习，来学习知识点一证明 h l 我们在八年级上册中间呐，我们曾经通过探讨得到了结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 那么他们既然是直角三角形，那么我们只要用一条斜边和两条直角边中间的一条，我们如果他们完全相等，那么这两个三角形他就是个全等三角形，比如说这两个三角形 a、 b 和次 a、 次 b 相等，斜边相等啊， b、 c 和次 b、 次 c 相等，你看一条斜边加上一条直角边，两条直角边只要用一条就可以了，是吧？啊？就可以证明这两个三角形是全等三角形。 那么学习勾股定律之后，你能不能够证明这一个结论呢？这个结论到底行不行的通啊？斜边加上一条直角边，如果它们完全相反，那么这两个三角形完全相 反，那么我们也可以用勾股定 律用到两个三角形来一起证明证明。如图， 在直角三角形 a、 b、 c， 而直角三角形自 a、 自 b、 自 c， 一 种角 c 等于角 c 等于九十度，那么告诉我们它是直角三角形的。其实直角三角形，直角三角形，起码它有一个角，是直角吧，是吧？直角直角， 同志们，这个直角所对的边是哪条边呢？看看角 c 和角次 c 所对的边呢？角 c 所对的边是不是 ab？ 角次 c 所对的边是不是次 a 次 b， 是 吧？直角边所对的就是斜边 啊。那么 ab 等于次 a、 次 b， ac 等于次 a、 次 c， ab 等于次 a、 次 c 呢？是不是斜边相等， ac 等于次 a、 次 c 呢？是不是直一条直角边相等？ 要我们证明三角形 a、 b、 c 全等于三角形，自 a、 自 b、 自 c， 同志们，你能证明出来吗？那么能不能利用勾股定律把它证明出来呢？我们一起来证明。 证明在直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形自 a、 b、 c， 角 c 等于角自 c 等。 根据勾股定律， b、 c 是 不是等于根号 ab 的 平方减去 bc 的 平方，斜边的平方减去一条直角边的平方，然后再看根号是不是等于另一条直角边呐，前面我们已经学了呀。 好， b、 c 我 们知道了啊。那么次 b 次 c 呢？是不是等于根号？次 a 次 b 的 边方减去次 a 斜边的边方减去一条直角边的边方。开根号是不是等于另一条直角边 啊？又因为 ab 等于自 a 自 c 等于自 a 自 c， 是 不是所以 b、 c 等于自 b 自 c， 所以 bc 等于自比自习，是吧，我们就知道了， bc 他 们也是相等的呀。既然三条边现在都相等了， 那么两个直角三角形，它三条边分别相等，那么这两个直角三角形是不是全等三角形？所以三角形 a b c 四 a 四 b c， 那 么就 得到了我们的三条边都相等的两个三角形，他们就是全等三角形。边边边 s s s， 是 吧？ 好知识！第二，利用勾股令底在数轴上来确定五位数， 在竖折上呢？确定五位数，这个五位数的话，是很难确定的，是很难确定的。你能在竖折上表示根号二的点吗？负根号二呢？我找到了根号二的点，我负根号二，我就好找了， 是吧？好找了啊，零到根到二的距离和零到根负根到二的距离只是方向相反，你在这边，我在那边，对吧？其实他们距离都是相等的 啊。好，竖边上表示根号二的点。同学们，根号二的话，你们想想根号二是怎么得来呢？根号二的话，同学们是不是可以在这里做一个直角三角形啊？直角三角形， 那么直角三角形它的它的直角边是一个单位，是吗？啊，那么斜边呢，是不是等于根号一的平方加上一的平方 斜边的长度，斜边的长度是不是等于一的平方加上一的平方， 哎，一的平方加上一的平方是不是等于根号二呀？做斜边的长度是不是就根号二，是吧？斜边的边这是根号二啊，这是一，那么斜边的长度是不是根号二？ 斜边的长度根号二。那么知道斜边的长长度是根号二的话，同学们，我们拉出圆规，一 点点为圆心，以斜边的长度为两个角的宽度画一条，这个就是呀，以他的为圆心吧。啊，然后画一个圆弧， 哎，圆弧与竖轴的交点是不是就是根号二的这里？因为这是利用了圆里面所有的半径都相等八，是吧，所以说这就是根号二的位置了， 老师们，是不是这样的呢？看看多聪明呐！我们学了数学知识，就是要运用同样的方法，你能做根号三，根号四，根号五，根号六，根号七吗？老师们，看看根 这里，然后再以这里为半径做一条圆弧啊，一条圆弧，那么它的焦点与轴的焦点，它就是根号四，其实就是二的位置，根号四不就等于二呀？那根号五呢？ 我们要以根号二这里为啊，为直角边，是吧？ o 顶点到这个直角边这里的交点，那么以它为圆弧呢？又做一条啊，圆弧与轴的交点就是根号五了， 那么继续往下是不是就找到了根号六的位置了，这就是根号六，然后继续往下的话，我们就可以找到根号七的位置了，根号七在这里， 他什么？那么你弄懂了这个原理吗？其实就是勾股定律来求的呀，勾股定律来求的啊！我们可以构造直角三角形，做出他的边长为五厘数的边， 边长为五厘树的边，你就能在竖折上画出角 上构造直角弯的角，构造直角弯的角作为边长为五厘树的边，边长为五厘树的边，就能在竖折上画出表示五厘树的 边，重为根到十三角形的斜面。 这三角形的节点呢，这个我们真的要看多看多啊，根据上面的位置，我们在坐标上画一个表示根到十三的点啊，根到十三的点， 那么这里的根到十三，根到十三减去， 根到十三减去零。 这个时候呢，如果是直接直接十二 减去二，十三括号的平方，这是十 三十三根号三括号的平方，这是十三十三减去三的平方。 注意，根号四，根号四，这里是不是就是二，根号四等等。 那么根据上面的问题，我们能不能在数轴上画出表示根号十三的点呢？能画出根号十三的点吗？后面两个是可以画的，是 后面两个是可以画的，因为我们得到的它的另一条直角边是一个整数，三、二三和二啊。好步骤是这样的，首先呢，看看三得二啊， 在竖轴点上找到 a 点是 o， a 等于三，是 o， a 等于三。找到啦， 然后再以三这里做一个直角三角形 a 点，然后做直线， l 垂直于 o， a 垂直于 o， a， 取一点 b， a， b 等于二， ab 等于二，是两个单位啊， ab 等于二，这里是二啊，这里是二，然后再连接 o b， 然后再连接 ob， 以 o 为圆心， ob 长为半径作弧，你看，连接 ob， 然后以它为半径来作弧 啊，作弧，弧与竖轴，它的交点交相交于 c， 这个点 c 就是 根号十三的点，看什么？是不是我们就找到了五笔数根号十三的这个点呢？ 啊，就找到了，同学们知道找了吗？也可以使用 o a 等于二， o a 等于二， ab 等于三，同样可以求到 c 点，它们都是同一个点啊，都是同个点，在这里老师点拨方法，同学们 利用勾股定律来表示无理数的方法。第一个呢，是利用勾股定律把一个无理数表示成为直角三角形的两个正数的直角三角形的斜边啊，两个正数的直角三角形的斜边啊， 以圆点为圆形，以无理数的斜边为半径。画符，与竖轴 存在焦点，记住要与竖着存在焦点。在原点的左边的点表示五里数啊，表示负五里数，左边是负五里数，那么原点右边的点呢？就表示正五里数了。老师们，这个你也可要知道啊， 正负都可以表示出来，好考点。一、利用勾股令的在竖轴上确定无理数的点，根到十七，他说根到十七，我们首先要想出一个两个正整数，直角边是两个正整数，等于根到十七了，是吧？ 啊，那么如果是一，那么你们说另外一个是多少？说十七根到十七跨的平方啊，减去一的平方 是不是等于十七？减一等于十六，根号十六是多少，他就是四，是不是根，根号十六等于四，根号十六等于四，那么这个就可以画出来了呀啊啊，先找到一个单位，做法， 在竖折上找到 a 点 o， a 等于找到了 a 点在这里啊，然后再找到以 a 点为直径啊，为啊， 做一条垂线，以 a 点来为垂足，做一条垂线啊，过 a 点做 l 垂直于 o， a 垂直于 o， a 在 直线 l 上面取 b 点， ab 等于四， ab 等于四，这里等于四。 然后呢，连接 o、 b 连接点和 b 连接这里啊， 然后以 o、 b 为半径画一个圆，那么它就是根号十七了。然后呢，以 o 为圆心， o、 b 长为半径作弧，那么弧与这条竖轴的交点就是根号十七的点， 它就是，其实它是四点多一点，四点几，对吧？这是四点几，家人们七点就找到它 啊， c 点就找到了，好在竖折上点 c 的 位置就是根号十七的， 看你是否弄清楚。如图，点 a 表示的实数是多少？点 a 表示的实数是多少？那什么点 a 表示的实数是多少呀？那我们可以算出来啊，我们可以算出来啊， 这个一，一的二，一的平方加上二的平方，一的平方是二的平方是四，那么 a 的 点是不是负根号五？是不是负根号五？ 是 d 等于负根号五。我们根据勾股定律求出这个斜边的，斜边的长度 啊，那斜边的长度其实就是 a 点它的距离，那么 a 又位于负半轴，所以说它就负这个距离，负这个距离，因为它的距离是多少？距离是根号五，那么它在负半轴是不是就是负根号五？好， 下一个题。如图，在长方形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于三， ab 等于一， ab 在 竖轴上， 若以点 a 为圆心，对角线 a、 c 的 长为半径作辅交数轴于点 m， 则点 m 表示的数为多少？点 m 表示的数是多少？ 这个其实也可以运用勾股定律，是吧？我们就可以求出 m 的 位置，它是极的，根到十减一，它的点 m 的 数位是根到十减一，根到十减一。好了， 那么学到这里，我们就初步的探索勾股定律应用。 那么最后呢，老师啊，布置一个题目来考考大家打开书到课后的练习，在练习中呢，选几个题目做一 做，在配套的练习册中选一本做一做，看看今天你所学的知识是否学到位了，如果还不知道做，请你回过头再听一遍我的讲解。今天这节课上到这里，再见！

是不是你碰到勾股数只会傻傻的计算？同桌已经算完了两道题，你还在 a 方加 b 方等于 c 方，那么有关勾股数呢？其实是有一个简单的技巧，今天老师一个视频带你轻松搞定常见的勾股数口诀里的奇数偶数，它指的就是 a， a 是 奇数的时候，那么我们就要去找奇数的平方，三三得九，九等于连续的两个整数相加，那么九就等于四加五，所以有一组勾股数符合三四五。继续来看，五是奇数，五五二十五等于连续的两个数相加，那么就是十二十三 七七七四十九等于连续的两个自然数相加。好，二十四加二十五，九也是奇数，九九八十一，八十一等于四十一。继续来看，十一 十一的平方一百二十一，一百二十一等于六十加六十一。当 a 为奇数的时候， a、 b、 c 符合的规律， a 为奇数时，那么 b 就是 a 方，减一除以二， c 就是 a 方，加一除以二。继续来看口诀的下半句，偶数半方加减一。 如何去理解来举例，六是个偶数，半是指一半，六的一半三三三得九。好嘞，加减一九加一九减一九，减一是八九，加一是十六，八十，是吧？是勾股数。继续继续来，八 八的一半四四四十六，那就是十五十七。来这道考考你，十多少呀？十的一半是五五五二十五，那是二四二五二六。好了，来，我们来一起来总结一下当 a 为偶数时，它的规律。 a 为偶数的话，那么规律就是， a 除以二的平方减一， c 就是 a 除以二的平方加一。你学会了吗？

看到课本三十四页，我们来看一下勾股定律的逆定律，通过前面学的勾股定律，我们知道直角三角形当中， 它的两条直角边的平方加起来，也就是平方和会等于斜边长的平方，那如果反过来 一个三角形，它的三条边满足这样的关系，也就是两条直角边的边长的平方和会等于第三条边，也就是斜边的平方。那么这个三角形是不是一个直角三角形呢？哎，我们这里来研究一下， 他这里给了一个图，他说在一个长的绳子上面啊，给一个非常长的绳子打上等距离的十三个结啊，这十三个结每个结之间的距离是相等的，叫做等距离， 然后以三个结间距以及四个结间距。五个结间距，这里是三个结，一二三三个结，这里是四个结，一二三四四个结， 这里五个结间距，一二三四五五个结间距。好，那么它的 三边关系满足三四、五这样的比例，他就说有一个角就是直角，那么这个直角指的就是这个角， 他说这个角就是直角了啊。上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别是三、四、五，他们满足三的平方加上四的平方等于五的平方，那么围成的三角形一般的满足两条边长的平方和 等于第三条边长的平方，这样的三角形是不是三角形呢？我们来观察一下，这叫我们画一画。如果三角形的三边长分别是二点五、六以及六点五， 单位是厘米，那么他们满足二点五的平方加上六的平方等于六点五的平方，他是满足这个等式关系的，也就是满足勾股定律画出的三角形是不是直角三角形呢？画成三条边，分别为四厘米、七厘米、八厘米，再试一试啊， 这里我们回答是的啊，为什么呢？因为它是满足勾股定律的，所以这是一个直角三角形。那么勾股定律的逆定逆定律怎么证明？我们等会再说啊？后面会讲到的，这里教我们画出三角形是直角三角形吗？哎，这个回答是的， 然后换成三条边，分别是四厘米、七点五比上八点五， 他其实就是等于八比上十五，比上十七啊，这是一组勾股数，对吧？所以他也是满足的。这里我们写一下，因为四的平方加上七点五的平方，会等于八点五的平方，所以四直角三角形。 好，这个回答是直角三角形，这里同时也告诉你另外一个结论，什么结论呢？我们画一个三角形，这是一个直角三角形，如果是直角三角形的话，那么 abc， 它就会满足 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，这个是直角三角形。 那如果它是一个钝角三角形的话，这个角是一个钝角的话， abc， 那 么你就会得到这样的结论， a 的 平方加上 b 的 平方，它会怎么样呢？它就会小于 c 的 平方啊。这里还有个结论，就是锐角的，相信大家也应该猜到了，假如说是一个锐角三角形，这样的啊，这个是 a， 这个是 b， 这个是 c， 这是锐角，那你就会发现 a 的 平方加上 b 的 平方，它是大于 c 的 平方的啊。那么咱们勾股定律的逆定律就是，如果三角形的三条边 分别是 abc， 并且满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，那么这个三角形它就是一个直角三角形。所以你在证明题过程当中，你只要写出来三角形满足这个关系，你就可以直接判定它是直角三角形。 这个猜想就是勾股定律的逆命题，那么下面我们来证明一下是怎么来的，我们来证明一下勾股定律的逆定律， 逆定律就是三角形的三边长为 abc， 满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，那么这个三角形就是一个直角三角形。它这里给了一个题目，它这个题目的条件就是让这个三角形的三条边分别是 abc， 并且已经满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。 因为我等会要放大，所以我先把这两个条件写上来啊，这里三角形 a、 b、 c 当中啊，这是已知条件， a， b 等于 c， a， c 等于 b， b， c 等于 a。 已知条件还有一个就是 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方。 那书上的思路是什么呢？书上的思路就是通过这个三角形，他这里不是没有直角吗？对不对？所以他就构造一个另外一个三角形出来，并且让他的两条边和他相等， 然后我们这里构造的是一个直角三角形，这样的话，当这两个三角形全等之后，哎，这个角 c 就 可以等于直角了，他这里构造一个三角形。我们写一下 构造 rt 三角形， a 撇 b 撇 c 撇，并且令有两条边是相等的，令这个 b c 也就是 b 撇， c 撇是等于 a 的 a 撇， c 撇等于 b， 那 还有一个就是角， c 撇等于九十度，它构造的是这三个条件 和前面的三个条件是不一样的，它不是三条边都相等，但是我们可以证明三条边都相等，通过边边边全等证明三角形全等啊，好了，那因为这是一个直角三角形，所以我们可以算出， 因为啊，三角形 a、 a 撇 b 撇 c 撇为 r、 t 三角形，所以它可以满足 a 撇 b 撇的平方会等于 b 撇 c 撇的平方，加上 a 撇、 c 撇的平方，就可以得到 a 撇 b 撇的平方等于 a 的 平方加上 b 的 平方，我们可以得到这个这条边的平方等于 a 的 平方加 b 的 平方。而在前面 这个题目给的三角形当中，它本身就可以得到 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。我们写一下，因为 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，这个 c 的 平方是等于 ab 的 平方的，等于它的平方呢？你来观察一下这两个式子， a 撇 b 撇的平方等于 a 方加 b 方， ab 的 平方也等于 a 方加 b 方。所以我们可以得到什么？我们可以通过这两个式子立马可以确定， ab 的 平方等于 a 撇、 b 撇的平方， 就可以得到 ab 等于 a 撇 b 撇。好了，刚才我们构造这个直角三角形的时候，已经让 b、 c 等于 b 撇 c 撇了， ac 等于 a 撇 c 撇了，现在我们又证明出来了，第三条边，也就是 a、 b 和 a 撇 b 撇相等了，那么这个三角形是不是三边都相等，那是不是就全等了，对不对？所以 我们就可以得到，在三角形 abc 与三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇当中，全等五行， ab 等于 a 撇， b 撇， bc 等于 b 撇， c 撇， ac 等于 a 撇、 c 撇，所以三角形 abc 全等于三角形， a 撇、 b 撇、 c 撇，全等条件是边边边。而在我们构造出来的这个三角形当中，它有一个角， c 撇是等于九十度的，所以 三角形全等，那么对应角就相等，所以角 c 就 会等于角， c 撇等于九十度，所以在前面的这个三角形当中， 所以三角形 a、 b、 c 为 r、 t 三角形就可以了。那它这里也写了比较详细的证明过程，大家可以一个步骤一个步骤看过去，知道吧？那这样我们可以我们证明了勾股定律的逆定律是正确的， 它也是一个定律，就叫做勾股定律的逆定律，它是判定直角三角形的一个依据。 例题一，判断由线段 abc 组成的三角形是不是一个直角三角形。第一个， a 等于八， b 等于十五， c 等于十七。好，我们来算一下， a 等于八，那么 a 的 平方就会等于八的平方，等于六十四，然后 b 等于十五，所以 b 的 平方就会等于十五的平方，等于二百二十五， 然后是 c， c 等于十七， c 的 平方就会等于十七的平方，等于二百八十九。我们来看一下，那么 a 的 平方加 b 的 平方是等于六十四，加上二百二十五的，它正好等于二百八十九， 所以 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，所以四直角三角形。 再看第二个它，这里 a 等于，这里，注意，我们一定要拿这个最长边当做斜边，知道吧？好，这里的 a 等于十四，那么 a 的 平方就等于十四的平方，它就会等于一百九十六， 那 b 的 平方 b 是 等于十三，所以 b 的 平方会等于十三的平方等于一百六十九，就是 c， c 等于十五， c 的 平方等于十五的平方等于二百二十五，我们加一下 a 的 平方，加 b 的 平方就会等于一百九十六，加上一百六十九，它加起来等于三百六十五。 哎，你看 a 平方加 b 平方等于三百六十五，而 c 的 平方等于二百二十五，那么这里我们写一下，因为三百六十五，它不等于二百二十五，所以 a 的 平方加上 b 的 平方不等于 c 的 平方，所以不是直角三角形， 只要它不满足勾股定律当中 a 平方加 b 平方等于 c 平方，这个是指它就不是直角三角形，如果满足它就是直角三角形。 来看到练习判断由线段 abc 组成的三角形是不是直角三角形，这里有四个，一个一个来算， 第一个最长边是六，对吧？另外两个算一下他们的平方，四的平方加上五的平方，四的平方等于十六，五的平方等于二十五，加起来等于四十一，而六的平方是等于三十六的，对不对？所以我们可以得到这个 a 的 平方加上 这个四十一是不等于三十六的，所以 a 的 平方加上 b 的 平方不等于 c 的 平方，所以它是不是直角三角形呢？所以第一个就是不是 再看第二个，这里我们也要算一下才知道最长边是二点五，对吧？我们就算两个短边的平方，二点四的平方 加上零点七的平方，二点四的平方等于五点七六，零点七的平方等于零点四九，加起来等于六点二五，我们再算二点五的平方，二点五的平方，它是等于六点二五的，对不对？所以我们这里可以得到 这个六点就可以得到他的平方，他们两个的平方加起来等于他的平方，所以二点四的平方加上零点七的平方等于二点五的平方。他满足勾股定律，所以他就四直角三角形， 再看第三个，那注意这一个才是最长的，分子相同的情况下，对吧？分母越小，它的分数值就越大啊，当然前提条件它是正数，对吧？好，分子都是一，所以这个是最长的，所以我们要算的是四分之一的平方 加上五分之一的平方啊，四分之一的平方等于十六分之一，五分之一的平方等于二十五分之一。通分一下，他们的最小公倍数是四百，那么加起来的话，他们就等于四百分之四十一， 而再算三的平方，三分之一的平方，三分之一的平方等于九分之一，很明显，四百分之四十一他是不等于九分之一的，对不对？所以我们可以得到五， 这个四分之一，往那边移点啊，四分之一的平方加上五分之一的平方，他不等于三分之一的平方，所以他是不是直角三角形呢？就不是。 再看第三个啊，第四个最长边是什么？根号三，对不对？那我们就要算什么呀？我们就要算 一的平方加上根号二的平方，他们加起来呢？是等于一加二的，一加二就等于三，而根号三的平方也等于三，对不对？好，所以我们可以得到一的平方加上根号二的平方等于根号三的平方，所以它是一个直角三角形，所以 它是不是直角三角形？回答是就可以了。如图，以三角形 a、 b、 c， 它的三条边为直径，分别往外画三个半圆，这三个半圆的面积分别是 s 一、 s 二和 s 三， 如果它们满足 s 一 加上 s 二等于这个 s 三的话，判断三角形 a、 b、 c 是 不是直角三角形，并且说明理由。 我们要判断一个三角形是不是通过他的三条边判断他是不是直角三角形，你就看他的两条短边平方加起来能不能等于长边的平方。也就是说，我们最终的目的是要求出 ab 的 平方加上 bc 的 平方等于 ac 的 平方，你就可以直接判定 它是一个 r、 t 三角形 abc 了啊，就是直角三角形 abc。 接下来我们就根据面积公式算一下这个 s 一 啊，它是以 ab 为边长的，它以 ab 为直径的，它的面积 就会等于这个圆的一半圆的面积等于 pi r 平方。 然后呢，它是半圆，所以我们还要乘个二分之一，所以它等于二分之一 pi， 它这个时候的半径 a、 b 是 直径，那半径就是 ab 的 一半 平方。打开二分之一 pi 乘上四分之 a、 b 平方，你拿这两个分数，一乘二分之一乘四分之一等于八分之一，它就会等于八分之一 pi 乘 ab 的 平方。同样的道理，我们在算 s 二， s 二是以 bc 为直径的圆的一半，所以它会等于二分之一 pi， 而平方等于二分之一乘上 pi 乘上 bc 的 一半做半径，平方等于二分之一乘 pi 乘上四分之 bc 的 平方， 二分之一乘四分之一等于八分之一 pi 再乘 b、 c 的 平方。好，最后一个就是 s 三，它也是二分之一 pi r 平方啊，也是整个圆面积的一半，它就等于二分之一。乘上 pi 再乘上 a、 c 的 一半做半径，半径要平方，所以等于二分之一。乘 pi 乘上四分之 a， c 平方就等于八分之一 pi 乘 a、 c 平方好了，那么在代入这个式子当中算一下，因为题目条件告诉我们， s 一 加上 s 二等于 s 三，所以我们可以一一对应八分之一派 乘 a、 b 的 平方加上八分之一派，乘 b、 c 的 平方再减等于 八分之一派 ac 的 平方，那么由于它这些边长的平方前面的系数都是八分之一派，所以我们两边同时除掉一个八分之一派，那么这个式子它就只剩下 ab 的 平方加上 bc 的 平方等于 ac 的 平方。满足勾股定律，我们就直接说它是一个直角三角形就可以了。

巴夏的同学看过来，最近在学勾股定律吧，计算量有点大吧，今天老黄教你们一个简易方法，别人三分钟算出来，你只需要三秒钟。 这一道题常规的方法计算量是很大的，今天老黄教你们用分数减算法来计算这道题。 嗯，两条已知边三十和十八，先给他约个分，嗯，约个六，那么这里就变成五，这里就变成嗯，三。那么这个五和三是什么意思呢？五比三的意思，那五比三的话，那这里就是五份，这里就是 三分啊。那么看到三和五了，自然应该想到勾股数，勾三股，四选五，那这里就应该是四分。好，确定好份数以后，我们再来看一份是多少， 这里 a c， 它的长度是三十，分数是五分啊，它的长度除以它的分数，得到的就是一份量，一份量就是六，一份的长度是六，那么四分就应该是二十四，那 bc 的 长度就算出来了。 那刚才呢，是带着讲解，我们来看看这一道题，用这个分数减算法能不能三秒钟算出来。 好，先约个分，约个三，这里变成十三，这里变成五啊，五份，十三份，那就是勾股数五十二，十三，这里是十二份。 好，这里是十二份，算一下，一份量十五除以五等于三，一份是三十二份就应该是三十六就出来了啊，这个就是分数减算法，学会了别人三分钟，你只要三秒钟就搞定。

八下数学最难的勾股定律，六大题型全部吃透，逆袭班级前三！八下数学勾股定律六大常考重难题型一，勾股定律的认识。 题型二，利用勾股定律解勾股数问题。题型三，利用勾股定律求线段长度。题型四，利用勾股定律求面积完成吧分享！

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我们本节课的学习内容。好，请课代表把我们的学习目标解读一下。 通过学习目标，呃，我们要了解到勾股定律的逆定律的概念以及它的运用。好，请坐下。我们本节课的学习重点是勾股定律的逆定律以及它的运用难点，也就是掌握勾股定律的逆定律的探求方法。 好，昨天我发给同学们的预习任务，同学们收到没？收到了， 那完成了吗？完成了，那展示一下呗。好，这两组数它们都满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方吗？ 满足，以 abc 为边长。它们都能组成一个三角形吗？能， 你们组成的三角形是个什么样的三角形？直角三角形。那我们来展示一下你们的操作方法。来， 谁来展示第一组线段好了吗？好了，好，好，那你告诉同学们，你们围成的三条边分别是六八十。好， 你们检验是一个什么样的三角形？直角三角形。好，检验是一个直角三角形。好，请上位。还有同学有别的方法展示吗？ 你们展示的是边长？分别是五十二十三的。好，五十二十三。那你们采用的是什么方法呢？用线段拼啊，举高一点让同学们看一下。 好，你们的三条线段分别是五十二十三。好，你们拼成了这样的一个三角形。检测一下你们拼出的三角形的形状是 直角三角形。好，新出的三角形的形状也是一个直角三角形，是吧？好，请坐下。好，我们还有同学有画的方法吗？来，你上去展示一下。 好，告诉同学们你是怎么样做出这个三角形的。我是先截取 a， b 等于六厘米，以点 a 为顶点做半径，半径为八厘米，画弧 之后再以点 b 为顶点，以半径为十厘米再画弧，两条弧的交点即为点 c， 然后连接 a、 c， b、 c。 那 你现在检测一下你画的三角形是个什么样的三角形？它是个直角三角形，同学们看到他说他画的三角形是一个 直角三角形，是吧？好，我们这个语言我们在这里还要进行归化一下，应该是以点 a 为圆心，多长为半径八厘米，八厘米为半径画五，再以 点 b 为圆心，多长十厘米，十厘米为半径，画弧两弧的焦点是 c， 点 c， 点 c， a， c， b， c。 那 我们就做出了三边分别为六八十个三角形，是吧？那他也给我们检测了这个三角形是一个直角三角形，请上位。好，那通过刚才同学们的 话，还有喂，还有听的方法，我们能不能猜想出我们一个命题。好，好，那你猜想出一个什么样的结论呢？好，如果一个三角形的三边满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形是直角三角形。 好，你说如果一个三角形，如果一个三角形的三边三角形，三边分别满足 a 方加 b 方等于 c 方。哦， 满足 a 方， a 方加 b 方加 b 方等于 c 方等于 c 方，那么这个三角形是一个直角三角形， 那么这个三角形是直角三角形，是直角三角形。好，同学们，刚刚的方法呢，都比较特殊，你像你的围了胯了，怎么样 拼呢？我们的三边是不是都有一些特殊值？是，而且呢，你像你们的围拼，他都是有误差的。好，老师，这里呢，我们给你呢一个一般的方法，同学们，看到我这个三角形， 目前 a， c 是 四点七六厘米， b， c 是 二点八九厘米， b， a 是 五点五七厘米，他们三边满足 a， c 的 平方加 b， c 的 平方等于 a， b 等于三乘以两乘以三厘米。好，那现在我来度量一下角 c， 我 看是多少度？同学们可以看到此时我的角 c 多少度？九十度。好， 我再来把这个三角形形状变一下。同学们，看我这个三边数量变了没？ 变了，但是三边所满足的数量关系变了没有？没有，依然满足 a， c 的 平方加 b， c 的 平方等于 a 的 平方。我，此时我再来度量一下我的角 c 的 度数，此时我的角 c 依然是九十度。好，那刚刚我就验证了，大家看一下这个结论是不是正确的呀？ 是，那现在我能把它当定礼来用了吗？不能，我们要想把它当定礼拿来用的话，还需要完成怎样的步骤？证明？还需要完成证明过程。 好，同学们回顾一下，我们证明一个文字命题的步骤，画画写写写写写写写写写，画图 证明证明，是吧？是。好，那现在哪一位同学给我说一下，我这个命题的已知是什么？已知是 a 方加 b 方等于 c 方。 哦，已知是三角形的三边满足 a 方加 b 方等于 c 方。 那我们要求证的结论是什么？求证这个三角形是直角三角形，要求证这个三角形是直角三角形，对不对？对，好，请坐下。那同学们回顾一下， 我们证明一个三角形是直角三角形，以前采用的是什么方法？好，来，有请根据三角形的定义来证明这个三角形是个直角三角形， 根据三角形，直角三角形，哦，根据直角三角形的定义来正出这个三角形是一个直角三角形。 啊，那具体来说，也就是正出这个三角形里面有一个角是九十度的，有一个角是九十度，是吧？那以前呢，我们看证明一个三角形里面有一个角是九十度的话，有一些角之间的一些关系， 那现在我们这里呢，大家看他只有三边之间的关系，是吧？要叫我们来证出这个三角形是一个直角三角形，那肯定同学们有的知识经验了，有点问题，好，请坐下。 好，那老师这里呢，给你们提供了一种证明思路，同学们仔细观察看到这是我已知的三角形，先选择一个点， a、 b、 c， 然后进行一切满足， a 方加 b 方等于 c 方。我们现在要证明的这个三角形是一个直角三角形，然后经过这两个点构造射线过这个点构造垂线，以垂足为圆心， 以 a 为半径画圆，再以垂足为圆心，以 b 为半径画圆。选择这个焦点， 这个焦点，这个焦点构造三角形。同学们可以观察我这个直角三角形和我已知的三角形 a、 b、 c 全等，我们再从理论上进行推导。 根据刚才作图，同学们看到我这条直角边应该等于 a， 这条直角边应该等于 d， 因为我这个三角形是个直角三角形， 那么斜边就等于根号下 a 的 平方加 b 的 平方。有已知条件，这个一般三角形它也满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方， 从而我们的 ab 边它就应该等于根号下 a 的 平方加 b 的 平方，从而我们就可以得出这条斜边根 a b 相等，这样这两个三角形三条边对应相等，我们就可以用边边边公里判定这两个三角形全等，从而得出角 c 是 直角， 我们就证出了割股定律的秘密。题是一个真命题，用方法在数学里面叫做同一法。好， 那现在我们可以把这个命题当成定理来用了吗？可以，可以了，我们就把这个定命题取一个名字叫做定，你的秘密一起读一遍。 如果三角形的三边长 abc 满足 a 到三次方，加密了二次方等于 c 的 二次方， 那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角。 好，那我们在上一节学习了勾股定律，今天我们又学习了勾股定律的逆定律，下面呢，我们就区别一下我们这两个定律有哪些区别和联系。同学们看到我们的 讨论的内容，看到没能，好，那现在小组合作只有数学题，然后我们学到了重要的数学思想，就是数学结合 就是区别不同，区别就是密密密奇，密奇和结合的相反啊，区别和联系都找出来了。好，可以了吗？可以了，好，可以了，那我们来展示一下吧。 好，来这个组来，我们组得到的结论是勾股定律和逆定律，他们的体式和结论相反，刚好相反，你们同意吗？同意。 好，请坐下，有补充的吗？好，勾股定律是直角三角形的吸引力，而勾股定律的力是直角三角形的判定。总结的好不好啊？好，刚刚总结的都非常的到位，那我们给自己鼓掌一下吧。 好，刚刚呢，我听到我们这个组，他总结出来的是他说勾股定力和力定力的提涉和结论刚好相反。那我们 把提涉和结论刚好相反的两个命题，我们有一个名字叫做，叫做复利命题。 好，读一遍。如果两个命题的题丑和结论刚好相反， 我们就将这两个命题为互逆命题，并把其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。 好，嗯，那下面我们来开展一个竞赛，同学们经常小组之间也在打开竞赛。好，我们的竞赛内容在屏幕上找一位同学读一遍。 好，来，小组竞赛，由其中一个小组说出一个命题，竞争组说出他的逆命题并判断真假。 好，明白了吧？明白了，好，开始吧。线段垂直平分线上的点在线段的两线段。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 这是一个真命题，对不对？对，对的。好，请坐下。全等三角形的对应边相等。对应边相等的三角形。是全等三角形，这是一个真命题，有问题吗？有有，有问题，问题在哪里？我觉得应该是两个三角形。 哦，你认为应该是两个三角形，那三个三角形不行吗？可以可以，那到底问题在哪里呢？来，我觉得应该是三条边分别对应相等的两个三角形，是全等三角形， 对不对呀？对，我们的全等三角形的对应边相等。你说的是对应边相等的 两个三角形。怎么样？全等我们的对应边是针对什么样的三角形来说的呀？已经全等了。对，已经全等了。我们是不是才有对应边呀？ 是。那你反过来就不能说对应边相等呗？两个三角形怎么样？全等，因为他还没全等。有没有对应边？没有。好，请坐下，明白了吗？明白了。好。

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