东营市初中二年级，适合学生做的试题

东营七年级的家长同学们看过来啊！刚看完实验中学第二单元的测试卷，我发现一个特别关键的信号，就是这套题已经完全贴合了明年山东省统考新题型，难度和命题逻辑直指中考。今天我用两分多钟的时间给大家讲透难度变化，再给出一整套的落地方案，大家记得点赞收藏。首先，这次难在哪？ 大家可以翻看以前的单元测试卷，完全是两个维度，以前考单词啊，考课本原句的相对多一些，而现在的命题逻辑直接升级。第一，题型升级，新增了完全填空六选五，它不再是简单的选句子，而是要从图表短文中提取信息，考察逻辑分析能力。第二语，进化考察。哪怕是基础的语法，也不是直接考定义了， 藏在动植物自然科普的语篇里，所以光背公式没用，必须要读懂文本，理解语境，灵活运用语法。第三，阅读难度陡增，三篇阅读全是科普类的文章啊，篇幅和中考相差不大。 命题你要找细节，还要学会推理，抓主旨，对孩子的阅读速度和理解能力是一个相对大的考验。总结一句话就是你一定要去读懂文本，以前全靠这种去原文中找到那个单词或理解能力，是一个相对大的考验。总结一句话就是你一定要去读懂文本，以前全靠这种去原文中找到那个原句不太明显。 六十一分到七十分的中等生最多，三十分以下和一百分以上的各占七人，大家看到这个变化了吧？好，接下来我们详细拆解一下一分段的孩子核心问题就是基础不牢， 不会读题，单词放到语境里认不出来，就是大字不认识几个。如果咱们孩子在这个分数段啊，就是四五十分这个段，但是数学比较拔尖的话，一定要找一下王老师啊。 高分段的孩子基础还行，但是拔尖的不多啊。那这部分孩子不仅要把课本打扎实了，还要去练一下统考的相关题型啊。那中等生最容易卡在阅读和语篇应用上，提分空间最大，一定要狠抓精读精翻译啊。总之，七年级命题方向已经变了，越早适应统考思路，接下来两年就会越来越轻松。

大家好啊，深挖底层逻辑，渗透数学思维。我们看一下东营市中考数学几何压轴看这个题如何进行思考呢？ ok， 我 们看这个题该怎么去做 好。首先快速把题盖来走一下。那么啊，前面都是废话，来看一下， a、 c、 b 为九十度，这个角为三十度。好，我们看关键词， 折叠 a、 b、 c， 使得 a、 c 落在 a、 b 上折还是 a、 d。 那 么换句话说，这个 a、 d 啊，其实是 b、 a、 c 的 什么角分线，角一和角二相等啊。好，继续走， 那 a、 c、 d 和这个 a、 e、 d 还是全等，证明这两组关系是否成立啊，非常简单来感受，由于角 b 为三十度啊，所以 b、 a、 c 为六十度， 那么角分线啊，三十度，三十度，所以 a、 d 啊，和 b、 d 相等，那么 a、 b 比上 a、 c 呢，还明显是二比一关系，只要三角形三十度啊，对边等于斜边一半啊，所以左边二比一， 同样 b、 d 可以 换成 a、 d 啊， b、 d 可以 换成 a、 d， 则 a、 d 比 dc 定位 a、 c、 d 这个三六九的这样三角形啊，所以对边比斜边一比二，斜边比对边二比一， 所以这是相等关系。好，这个题，其实啊，不需要角 b 为特殊角，任意三角形啊，一定会满足这个结论。那么这又是非常著名的角平分线定律。 好，如果任意三角形，哎哎，拉条杠，角一和角二相等啊，这个 a、 d 啊，是角 b、 a、 c 的 角分线，那随便一个角角分线，这时候满足左比右等于左比右，即 a、 b 比上 a、 c 啊，就等于 b、 d、 b 上，这个 c、 d 就是 角分线定的结论。怎么证明呢？来看一下啊！第二步，就让我证明这个结论是否成立，这三个项目，三个方案，任选其一都可以，那么我们选择中间这个来讲一讲啊，这两个啊，自己去干一干就可以了。 那么我们发现他说过点， c 作 c e 与 a d 平行啊，构造了一个 a 字相似，角一角二相等啊。第一个考点，如果出现了角平分线， 并且做了平行，角分线与平行线组合呢，就会出现我们非常需要要的等腰三角形来感受。由于角一角二相等啊，他俩平行，所以角一就可以换成这个对勾角了。 角二呢，和这个角角也相等啊，相等对吧？角一角二相等，所以两个角角 b 相等，所以 a e 啊，和 a c 啊，就相等了。 下一步呢，我们直接采用平行线，分线段成比例啊，分线段成比例， 好，那这个题我们就可以快速秒杀喽！则这个 b a 呢，比上啊， b a 比上 a e， 就 等于这个 b d 呢？比上 c d 好。 由于这个，我们发现啊， b a 啊，比上 a e， a e 可以 换成 a c， a e 换成 a c。 因为 a e， a c 相等吗？所以此时此刻，这个结论是成立的，那就是角分线定律的方法啊，证明方法，那么一二三四以干，那么这个证明方法还有很多种，那很多种啊，比如说我们可以采用面积法，也可以证明我们的学方法面积法。 因为角一角二相等啊，所以我们马上利用啊，角分析的性质，角平分点到角两边的距离相等啊，加个 e 加个 f 啊，它俩相等，所以我们发现三角形 abd 的 面积等于二分之一， ab 乘以 d， 三角形 a d c 的 面积等于二分之一，这个 a、 c 乘以 d、 f。 好， 它俩作比的话，哎，你发现，哎，它俩消掉啊，它俩消掉，应该是剩了 a、 b 比上 a、 c 了。 好，继续，三角形 a、 b、 d 面积和三角形 a、 d、 c 面积还有个考点，如果任意一个三角形 a、 b、 c、 d， 则左边和右边的面积比等于底值比。为什么？因为高是一定的， 当高一定时，面值比等于底值比就等于 b、 d 比上这个 c、 d。 所以 你发现这个 a、 c、 ab 比上 ac 就 等于 b、 d 比上 c、 d 啊，也可以来证明这个角分线定律。好了， ok， 我 们看最后一问， 题目告诉 a、 d 是 b、 a、 c 角平分线啊，所以比六葫芦画瓢，由二可知， 按这个 a、 b 比上这个 a、 c 就 等于这个 b、 d 比上 c、 d。 按第一步好，继续走。题目告诉 a、 e 和 d、 e 怎么样相等啊，所以于是会发现这个 b、 d 比上 c、 d。 我 们首先第一步先替换成 a、 b 比上 a、 c， 然后证明 a、 b 比 a、 c 啊，比上 d、 e 比上 c、 e 即可了。由于 d、 e 和 a、 e 相等，所以此题只要证明 a、 b 比 a、 c 等于 a、 e 比上 c、 e 就 ok 了。好，我们看看这四条线段， a、 b 在 这里， a、 c 在 这里， a、 e 在 这里， c 在 这里啊，非常清晰了。要证明这个大的三角形 a、 b、 c 和这个小三角形 a、 c、 e 看是否相似。 好，我们首先正相似的方法有三个，那么基本上都采用第一个方案叫两角相等来感受。那么首先这两个大三角形啊，角 e 这个角属于公共角 啊。那继续走，利用外角定里来看一下。由于这个角和它相等， a、 e 和 d 相等啊，那么利用外角定里，我们可以快速断定来感受 这个 a， d， e 等于角一加这个对勾角，这个 d a， e 等于角二加这个角角角 c e 因为这两个大角相等，角一角二相等，所以这两个小小角啊， b 相等 啊，所以此题就可以断定这个角 b 啊，和这个角 c， a， e 就 相等了。好，再来一遍，由于 a， e 等于 d e 角 a， d， e 和角 d， a， e 相等，利用外角的临可知这个角角等于角一加角 b 啊，角 b 对 勾角，那么这个角角等于角二加角 c a， e 这个角角由于大小相等，角一角二相等，所以两个小小的对勾角 b 相等 啊，那么我们再加上角 e 等于角 e， 其实就是母子形相似，对吧？那么得出三角形 a， b， e 啊，和三角形啊， a 对 c 对 好它 b 对 a， e 好， abc 和 c， a， e 相似，所以我们看一下这组结论是否成立呢？来对好之后就可以写了， ab 比上 c， a 就 等于 a， e 比上 c， 哎，确实没有问题的，对吧？然后下面把 a b 比上 c a 再换成 b d 比 c d 啊， b d 比 c d， 然后把这个 a e 比 c e 啊，把 a e 再换成 d e 啊，此题打完收工了，你学会了吗？

一道初中竞赛题，全年级只有一两个学霸会做，我们一起来看。三十六的 m 次方等于二倍的根号下六 m， 应该怎样求呢？今天老师教你同构造，轻松秒解。首先我们把这个根号去掉，也就是方程，左右两边同时给他平方，这一项就变成了 三十六的 m 次方，括号的平方。那么右边平方二倍的根号下六 m 括号的平方，这一项就等于三十六的二 m 次方，那么这一项平方以后等于二十四 m。 接下来我们看三十六可以写成六的平方，结果这一项可以写成二 m， 结果等于二十四 m， 那 么这一项呢，就写成了六的四 m 四方等于二十四 m， 接下来我们跟它同构，怎样同构呢？我们看这里是二十四 m， 我 们可以左右两边同时二十四 m 分 之一， 左边就变成了六的四 m 次方，括号的二十四 m 分 之一次方，那么右边变成了二十四 m 括号的二十四 m 分 之一次方。 接下来我们看右边是不是底数和这个分母一样了，那么左边我们给它变一变乘一乘，也就是这一项就变成了六的四 m 乘二十四 m 分 之一，结果等于二十四 m 括号的二十四 m 分 之一次方。我们看四和二十四约分了， m 和 m 约分了，所以呢，它就等于六的六分之一次方。那么右边不变 二十四 m 括号的二十四 m 分 之一。我们看这个底数和分母一样，这个底数和分母也一样，所以这个方程呢，就是一个同构方程了。那么这时候这个六它就等于二十四 m， 这个 m 呢，就等于四分之一，你学会了吗？

透数学思维，深挖底层逻辑！今天我来到东营市中考数学，这个填空即可压轴，这道题属于秒杀题，你能快速搞定吗？ 话说 a b c d 是 一个正方形， a d e 绕 a 点，顺时针旋转九十度，比如说这个三角形和这个三角形全等，那出现这么一个图形，可能脑海中马上闪现绊脚模型， 但这个题并没有考它啊！ ok， 继续走。那么这个时候 a h 与这个 e f 垂直，那么通过全等可知 a f 和 a e 相等， a h 与 e f 垂直，所以第一个信息呢，记， a g 啊，是 e f 的 中垂线。 好啊，再说一遍，为什么啊？因为 a f 等于 a e 啊，所以三线合一可知啊，这个 f h 和 e h 相等，还垂直，所以 a j 啊，就是 f e 的 中垂线了。好，继续走， d j 呢为二， c j 呢为一。那么让我求 c e 长度啊，求长度，无非三个方法，勾股相似或等积法。那么我们发现这个垂直出现了中垂线，不加思考，不加犹豫的连接 e j 二零 e j， 我们把 e c 的 放到这么一个三角形里面做文章了。好，我们怎么来感受呢？啊！设这块为 x， 全等，这块也为 x， 由于中垂线可知 f g 和这个 e g 相等，哎，等于 x 加二， x 加二，好，继续走，由于正方形边长为三，这块 x， 那 这块很明显就是三减 x， 最终利用勾股定理解决战斗。三减 x 的 平方加上一等于 x 加二的平方，好，算一算啊，九减去六， x 加 x 方 加上一等于 x 方，加上四 x 加上四 x 方， x 方消没了，那最终十 x 等于，这是十减四等于六， x 等于零点六， 那么于是乎这个 c e 长度啊，就用这个三减去零点六等于二点四。打完收工这个题啊，大家课下可以想一想，绊脚模型还有哪些结乱呢？即 e g 等于 b g 加 d e， 其实角 g a e 这个角角为多少度呢？啊，思考一下啊，可以复习下半角模型，那此题其实考察非常简单，就是用勾股定律组方程，然后解决线段长度以及啊钟垂线的性质，此题搞定喽！

透数学思维，深挖底层逻辑。今天我们走一走二零二五年山东东营中考数学这个选择最后一题该怎么思考呢？那首先看这个题干，那么话说呢， abcd 是 一个菱形，菱形四边相等 啊，对角线互相垂直啊，且平分。好说角 a、 b、 c 这个角角为六十度，那么出现菱形，配到六十度，马上闪现 a、 b、 c 和三角形 a、 c、 d。 为什么？三角形啊， 非常好为等边三角形好，继续走， a、 c、 b、 d 垂直。巴拉巴拉巴来看这个 d、 e 与 b、 c 垂直。哦，这个角垂直好了，那么这个角六十度啊，所以平行，则同位角为六十度， 垂直，这个角为三十度，菱形一条掉线平分成对角，所以这两个小角角多少度为六十度？哎，把数据啊，标一标好，继续走，我们看下个有效信息，说 f 是 a、 d 中点，这两个火机相等 好没了。第一万证明 a、 c、 e、 f 是 平行四边形，正平四的传统武器是一组对边平行且相等。由于 af 啊，和这个 c、 e 已经是平行了， 那么于是乎，只要证明 af 与 c、 e 相等即可。好观察，由于 af 是 ad 的 一半， af 等于二分之一， ad。 好，继续走，我们观察 c、 e， 哎，这个角六十度，这个角三十度，在 d、 e、 c 这个直角三角里面，这个 c、 e 是 二分之一 c、 d。 为什么一个角三十度对边等于其边一半呢？哎，再观察 a、 d 和 c、 d 什么关系？相等，它是等边三角形。那于是乎，这个 a、 f 和 c、 e 是 不是相等了？ 所以 a、 f 平行且等于 c、 e， 那 么一号选手就肯定成立了。好，我们看一下二号小朋友能不能成立，说 f g 与 e g 是 一比三， 那么出现比例关系往往相相似。我们发现，哎，这个三角形既 f d g 和这个 e b g， 这是一个 x 相似，我们单折出来 对不对？好，这是 f、 d、 g、 e、 b。 好， 由于很明显它俩相等，把它看成一份儿，它一份儿， a、 d 和 b c 相等，它两份儿，这是一个平四，所以下面也是一份儿，所以 f d 比上 b e 是 一比三，则 f g 比上 e g 也是一比三，所以第二个就考察这个 x 相似， 哎，搞定了，好，第三个啊，来看一下，我们换个颜色。第三个呢，我们看啊，有氧的考点啊，把头稍一擦一下。 那么证明 o h 的 平方， o h 的 平方等于什么？等于 c h 乘以 d h 好，由于这个角是垂直关系啊，垂直关系好，下面观察图在中考中画的非常的标准， o h 方如果等于 c h 乘以 d h 与 o h 与 c d 必须垂直。考察什么知识点？应该是摄影定律的结论， 那是不是？所以此题我们只要断定这个 o h 与这个 c d 垂直啊，那么此题肯定是第三万是成立的，这是摄影定律的结论啊， o h 方等于 c h 乘以 d h。 好，那么这个火机是否垂直呢？好，那下面我们把数据标好它啊，六十度啊，六十度，六十度，哎，这个 h c 啊，或者 c h 是 o c e 的 角分线哎， c h 是 o c e 的 角分线， o c e 角分线啊，哎，写一写角 o c e 角分线 好了。那么这个题其实非常的经典的，只要证明 o c 和 c e 相等，利用等腰三角形三线合一，对吧？啊，就可以得出垂直 好，怎么盖呢？我们发现由于这个角是垂直，这个角垂直啊垂直，所以这个角为多少度？为三十度。 好，继续感受。那么 oc 啊，和 bc 就 有一个二分之一关系， oc 呢，和 bc 是 一个二分之一关系。来感受感受 oc 和 bc 二分关系。那么 c e 呢？我们通过前面逻辑， c e 等于二分之一 cd， 并且这个 b c 呢，和这个 c d 相等，哎，所以这个 o c 啊，和 c e 确实相等了，那么利用三线合一可知，所以这个火机确实成立，那么利用射影定律，则 o h 方等于 c h 乘以 d h， 哎，没有问题， 来，我们看一下四号小朋友，那么我们看一下怎么操作啊，他说证明 h bc， 俺们再换个颜色啊，证明 hbc 这个小角角的正切值为九分之根号三 正，正切正弦，余弦必须放到二 t 里面啊，放二 t 两个方法，一个是把这个角进行转移啊，第二个就是怎么样直接做垂直构造，这样三角形。 好，我们看一下。由于很多角角啊，所以这个题啊，还有特殊角，所以我们要做垂线，只要过点 h 往 b c 做垂直，哎，加上字母 m， 这时候啊，就可以在二 t 三角形 h m b 中，对吧？我们可以搞出碳角 h b c 这个火机等于 h m 就搞定。来感受我们这个小角角来看多少度为六十度，这是一个三六九的直角三角形，所以使它为一范，它为两范，它为杆号三范。 好，继续感受。嗯，我们还缺谁？缺 bc， 缺 bc， 那 bc 怎么干呢？那怎么干呢？ 好了，我们看一下这个角垂直，这个角为六十度，所以这个角为三十度，那么它为二，所以 o c 呢？就为四？ 好，继续感受。这个角是垂直，这个角为三十度，它为四，所以 bc 为八， c m 为一，则 b m 为九。 哎 h m v 干扰赛。所以此题采用特殊指法，我们就顺心搞定了，你学会了吗？

哎，这个负 x 方加这个一元二的方程，是不是去找他的一个最大值啊，对吧？那最大值是不是首先利用配方，然后再进行那个什么吧， 对吧？因为咱知道啊，前面有这个符号的话，那肯定是不行啊，你包括前面有那个二啊，三的，是不是都要去除去啊？那首先咱是不是要第一步是什么？先把这个符号提出来，是吧， 对吧？那先把替号分，咱光光变前面这两个就行啊，因为后面这个，嗯，记住哈，那个配方的话，是不是有个等号，这个是不是没有等号，那也是一样正常变啊，但是前前面这个化成这个 x 方和二 x 要化成这个完全平方公式啊，那是不提一个符号变成 x 方 减二 x 了，对吧？那不正常，还是加四吧，对吧？然后对括号内这个进行配方吧，那配方的话，那不就正常？ x 方减二 x 是 不是要负 x 的 一个未知系数？负二是不是要除以二？ 是不是等于负一？负一的平方是不是加一的平方？加一哈，咱直接就写就行了哈，是不是加一的平方， 对不对？然后后面那后面的话是不是也也要写，对不对？也要写要，因为这你要你想想啊，你去了括号之后， 因为这个是变成减一了，是吧？那后面是要加一了，如果这是加一，那后面要写减一了，因为这有符号，咱权当把它这个变成了一个加一啊，对不对？那所以后面是不是要四再加上一个一了， 对吧？那所以这里面这个完全平方公式哈，那是不是变成了一个负 x 减一的平方加上一个五吗？对不对？他所以说那这里面等于零的时候那最大值吗？那因为他这个，因为前面是负号， 你再取这个平方是不是开出来肯定正前面有符号呢？越来越小，只有这个，当 x 减一等于零的时候，是不是原式只有最大值，那最大值就等于 五了啊？这，这是这个题目啊。首先一定要知道这个配方啊啊，有等号跟无等号是一样的，然后去找这个对应的最大值，问题啊。

看一下这个第五题啊，他说甲乙共承接了这个，甲单独做需二十天，乙单独需要做三十天，那他需要合作多少天才能完成？那需要合作 x 天吧？ 那你这个不就简单了？那首先它的效率是多少价？是二十分之一，对吧？乙的话是不是三十分之一？那合作这个的话，那有效率怎么算？ 那也就说二十分之一加上一个三十分之一乘上一个 x 是 不等于一啊？总共乘两是个一，然后去求嘛？那这个的话，那不就是一个合并的话，六十分之三加上一个六十分之二 乘上 x 等于一个一嘛？六十分之五 x 是 不等于一，然后你换出来， 那 x 等于多少啊？那是不是五就是一除上一个六十分之五，就一乘上一个一乘上一个五分之六吧。五分之六那不是需要合作 十二天吗？通过十二天做完了，对不对？那你看第二问，第二问，那说你先做， 先做五天，剩下的一个合作，那还需多少天？那还需 x 天呗。那你先甲先做五天，那五层上一个甲的那个它的工作量是多少？那二十分之一加上一个，它剩下两对合作，那也就是说二十分之一加上一个 三十分之一乘上一个 x 是 不是等于一个一啊？你这样画出来，你这一约是四分之一加上一个，这个跟这个是不一样的，它这个总不同量去算是十二分之一 x 是 不是等于一个一啊？你算出来， 那你这样算的话，那不就是一个十二分之一 x 是 不等于一个四分之三？那 x 你 求出来四分之三除上一个十，是不是乘上一个十二三？那三乘三九，那所以说这个求出来之后需要九天完成。

看一下这个第一题啊，第一题他说这不利用求根公式吗？对吧？求根公式是什么呢？ x 等于一个二， a 分 之负， b 加减正负根号， b 方减 c， 所以退，对吧？那所以说那 a 的 话是不是一个二次项系数？那你找到 a 是 几了？是不是一了？二， a 是 不是等于二？那 a 是 不等于一？首先 这个都符合，对吧？来再找上面的负 b， 负 b 等于负四， b a l 方加 b l， 那 b 是 负四，那首先 b， 嗯， d 出排出来再找 b 方，那 b 方的话，刚才说的 b 是 不是负四？对，再减去一个， 减去一个四 a c a 是 不是一了？ c 的 话，那不正常减，那是不是减去一个 c 了？因为这是减，减的话是负负得正了，对不对？那所以说这个答案不就出来了，那不就选 a 吗？

来看一下这个第二题哈，第二题他说无论第一问哈，无论 m 取何值时，方程都有整数根去证明啊，对吧？去，那首先你就得知道那个求根公式了，求根公式是什么？是不？ there 等于一个 b 方减 c a c 啊， 对不对？你要去求中，这个都大于等于零了，对吧？首先这个 b 方，那是不是一个负的 m 加三的一个 平方了，对吧？再减去一个四倍的乘以 c， 再乘上一个 m， 是 吧？ 你这个是不是要展开？你注意这个平方之后，就直接就变成正的变成 m 方， 对吧？能变成多少 m 方？嗯， 加上我这先算前面的六 m 加九，再减去一个十二 m， 那 最终是不是都变成了 m 方？因为这个变减去六 m 加九了， 那数变成一个，这是个完全平方公式。把 m 减三的一个平方，那肯定大于等于零啊，那所以说总有十五根，这不就中出来了，对吧？然后再看第二题哈，他说如果等腰三角形一边为四，那另两边是方程的两根， 那么求 m 的 值，那首先你你要看，你要知道啊，那等腰三角形，假如他一一二为四的时候，对吧？一二为四，那是不是有一个根了，对不对？那你是不是把 x 等于四代入这里面， 对吧？那 a 等于四代进去，那不就四十平方？十六减去一个四， m 加十二加三， m 是 不等于零？你解出来，这样解出来 m 是 不等于四了，那此时方程的另一个根是不？你这样解出来 m 四，然后正常解的话，能解出来就行了。 解出来是 a 三，那符合三角形，它没关系。那底为四的时候，那是不是得去求幺啊？ 那 d 为四的时候，方程是不是？呃， d 为四的时候，那它两个是不相等？那相等的话，方程是不是有两个相等数根呢？第二才等于等于零了，对吧？ b 方减 c， c 等于零，那也就是说展开的。呃， 那那也就是说 m 减三的平方是不是等于零了？这，这不是代号。他们前面 m 是 不是等于三了？ m 一 等于 m， 二等于三，那符合三三边关系。对，那不就有两个了吗？那 m 的 值一个三和一个四吗？ 啊，就是这个题啊，利用这个它的一个求根公式， b 方减 c， c 啊。

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各位初中家长，今天为大家讲一讲这个东营的二字函数压轴题啊。我们看一下，抛物线交于 a、 b 两点，外头交于 c， 其中 a、 c 的 表达式已经给我们了， a、 c 的 两点坐标给我们了，直接代入， 把 a 代入零等于负一减 b 加 c， 因为这个 a 这里带负一啊，旁边这个地方啊，是负 b 啊，这是五等于零加零加 c 等于五， c 点五到，我们把它带进去啊，这个 b 等于负一加五就是等于四啊， c 等于五这道表达式啊， y 等于负 x 光加四， x 加五， 这是第一位啊，我们二分，二分到了，你再看第二位，他说 p 值对折一点， 让我们求周长最小的时候 p 的 坐标。这个题在这面没有 p 啊，这边这个 p 呢，你可以任意点 就到这里吧，这里是 p 点啊，我们把这个三角形给它连连起来， 就是说让我们求周长最小三角形， a、 c， p 这个边加 c， p 这个边， 因为这个 a、 c 这两个点是动，是定点，这两点是固定的， p 是 动点，这个长度就已经固定了。所以只要让他们两个最小啊，最小，这个周长呢，就会最小啊，就最小，那他们两个什么时候最小？ 这两个是折线，当他们两个合成一条直线的时候，就会最小，化折为直，这是典型的将军引马问题 啊，做什么？他这是 a 点 b 点，我们做个对对点就可以了，对完对点之后嘛， a 撇点再连线啊，这个点就是嘛，我们找到 p 点洞里，在这里的时候就是最短啊，这两个折线里面一直一条直线， ab， ab， a 撇 b， 就是 这个它加它的最短距离啊，这是我们当中将近一码的问题啊， 所以呢，我们只要找到什么 a 点或 c 点的对称点再连接就可以了，就很通过这个图，很明显 a p 关于这个对称轴对称，所以 a 的 对称点就是 b 点， b 点我们连接 bc。 好， 我们换个颜色连接 bc 这个焦点这个地方，就是我们找什么 p 点啊， p 点就是 p， 在 这个的时候 c p 加上 ap 是 最小的。好，因为其实这个顿轴就相当于吗？就是 ab 的 垂直平分线， ap 就 等于什么 ac 加 ap 就 等于 b p 加 cd 啊，我们可以看到他们两个加啊，就是 bc 啊，就等于 a c 加 b， e c 就是 它的周长，它没让我们求周长啊，如果让求出周长的话，这里就出来了啊，将近一码问题啊，那 p 点做这怎么求呢啊？我们可以看到这个 p 呢，我们可以看到这个 p 在 bc 的 什么 与外轴的这个交点上，所以我们只要把 bc 的 直线，把 bc 的 这个 呃，这个直线表达式就出来啊，因为这个 p 点的后面我们已经知道了，就是个对折啊，对折的话，我们可以通过这个表达式把它换成对点式。 y 等于负的啊， x 方减四，我们把它换成对点式啊， 呃，再加上四啊，还要减，减个四，减这个负的正加四，这边加九， y 等于负的 x 啊，减二的方再加九啊，其实这个零点坐标就是二到九啊，二到九，然后这个 p 点的后边出来了， p 点的后边就是二啊， p 点后边就是二，就是 x， p 九等于二， 等于二，我们再把这个求 p 点坐标坐标。好，我们把这个 p 的 直线表达出来就可以了，好，我们把它擦掉， 将这一码，这个问题啊，就是不算，很难啊，就别点了，就记住做对定点再连线就可以了。我们求下这个 b c 的 直线表达式， 这个 b 点坐标他没有给到，我们没有给到，我们只要求 b 点坐标呢，我们可以看一下 b 就是 这个二次函数与 x 的 交点啊，就是在在 y 等于负， x 方加四， x 减五度啊，我们另， 我们另这个另 y 等于零就可以了啊，另 y 等于零， y 等于零，带进去啊，变成 x， x 方我给它挪的挪过去啊， x 方减四， x 加五等于零啊， x 减减一， x 减二，这样的话是加好，所以 x 一 等于一等于负一， x 二等于五啊，所以这个这个 b 呢，它的坐标就是五等于零， b 就是 五零， b 是 五零， 这个是零的五啊，很明显 y 等于 x 加，嗯啊，负 x 加五，负 x 加五 啊，因为这是五，这也是五，它的 k 就是 负一啊， k 是 负一。但我教大家一个知识点，也可以就说这样，就说这个这个直线，当它得成四十五度角的时候，它的这个 k 呢，就等于一， 反过来，这个这个地方是，这个地方是一百三十五度啊，它的 k 呢，就是负一，就是负一。 然后我们就可以求来它的这个 b c 的 表达式， b c 的 表达式，这个 n 的 x 等于二代数就可以了啊， y 等于负二加五啊，所以 p 呢？ y p 呢就等于三啊，所以 p 的 呢？横的标就是二度三啊，二度三。 这样我们把第二本就求出来了。我们看一下这个第三题，他说这个点 m 是 对应轴上一点， m 的 对应轴上在这里， n 在 抛物线上，它说 n 在 这里， 那这里，而它们这个这个四边形呢，是一个平行四边形，就说这个四边形是一个平行四边形啊，请写出 n 的 左边这个题，这是两个，这里有两个动点，然后呢，情况肯定就不是在是一种情况啊，我们把大家你只要做这种，就教给你一个简单的方法，你就什么随便画，随便画一个平行四边形 啊，先画一个平行四边形，我用红色吧，红色比较明显啊，就是说画一个平行四边形， 加这个地方是 a 啊，这个地方是 c， 用上 c， 因为这个 c 啊，你注意啊， a c 这个边有可能当对角线，有可能当当边啊，假如 a c， 我 让它当当边，而这是 m， 这是 d， 这种情况，当 a m 为对角线，对角线， a m 是 对角线，那肯定就在那这个地方就这样了。这个图你注意啊，这个图它不是说 就是我们真实的那个图，它是什么？它就是一种来表达这种关系的图。 好，如果是真的，要是这种情况，这种情况，那这个这个 m 会很长啊，很长，我只用它来什么来表达？ am 是 对角线 啊，这里你能不能搞懂？就这个图不是真实的真实，它这个形状不是这个形状，但是确实 am 也是个对角线 啊，这样的话，你写完之后啊，我们肯定能很好分析了。 x m 减 x n， 它就等于什么？ x c 减 x a， 能不能搞搞懂？因为这个的水水平距离就等于这个的水平距离啊，代代用就可以了啊，因为 m 的 横横着就是二呀， 啊，它这个这个线就是 x 等于二，看见没啊？带就行了。二减去 x， a 等于什么？这个 a， 这里是零，不是 c， 这里是零， a 这里是负一啊，啊，负一啊，所以 x a 等于什么？等一啊？ n 等于一的话，我们带到这个解答式里面去， y 等于负， x 加四， x 加五，带进去就行了。 y 等于负一加四加五， y 等于八，所以这个 n 点就是一逗八， 这是第一种情况啊，这是第一种情况，然后呢？还有什么第二种情况？第二种情况，第二种情况。那我让什么？我让 c 当对角线，我让 c 当对角线。同学们，我画了一个平行四边形， 这是 a， 这是 c， c 当对角线。那 m a， 那 我们就需要考虑考虑， 那这个肯定是 m 在 右边吧， a 跑了，是吗？左边 啊， c 刀掉掉掉， c 刀掉线了，肯定是 m 在 在右边吧，啊，这样就， 所以，对吧？ x c 减 x m 就 等于 x n 减 x c 啊，你心里一定要记住，这个图只是反映了它们四个点的位置关系，它不是真正的那个图啊，我们要的什么是关系？ 就像我们生活当中，可能我们嘛，可能会什么，不会太多的关注这个过程，我们要的是结果 啊，就这个这个图啊，考试当中是什么？你再画在答卷上就行，你不要画在那个答题卡上啊， 带进去就可以了。所以这是零啊，零减去什么？零减去这个 m 啊， m 的 话就是二，就等于 x a 带进去，再减去什么？减负一啊，这样的话， x n 就 等于什么？加一等于负三 负三，所以这个 n 点的横坐标就是负三负三，嗯，负九减十二加五啊，负二一分啊，负二一，这是十六负十六，这是第二种情况啊，第二种情况， 那我们第三种情况是什么样的呢？为大家写写这里吧，写写在这里。第三种情况，第三种情况啊， 这个什么它这个 am 当对角线了， ac 也当对角线，是不该换什么？换 n 了吧 啊？风水轮轮流做吗？三十年河东，三十年河西，该 n 了吧啊， 哎，那这两个关系有什么呢？ c 肯定在这里吧， m 肯定在这吧，因为 m 得掉右边 c， 掉 c 和 m， 你 肯定这个关系，你要搞懂它啊。 然后的话我们就写了， x n 减 x m 就 等于 x c 减去 x c， a 等于 x 啊，这个 a 不知道代就是赖了一个这个 x m 啊，就是二，等于 c 是 零减负一， x c 正一把挪解三啊三，所以这个 a 的 坐标呢？后头标是三啊，我们把三代去负九加十二再加五， 这个是三，三加五十八啊，三个八，这是 n 的 三种情况啊，它是三种情况， a， a 大 为对角线， a m 大 为对角线， a c 大 为对角线啊，也就只有这三种情况啊，但是你要克服的是什么？就这个 这个形状，他不一定是不是真实的形状啊，但他的反应的关系是对的啊，过程可能没那么重要，我们要看马上是结果 啊，所以这个 c 打有三个答案啊，一八负三度，负十六，三个八 啊，这个题就讲完了啊，你可以就是利用我这个方法来来做一做啊，来做做，只要是这种动能问题，绝对不会是一种答案啊，你可以再去思考思考就可以了啊。好的。

二次根式来看题，根二等于 a， 根三等于 b。 用含 a、 b 的 式子来表示根下零点五四。好，我们开始做题。首先呢，含 a、 b， 我 们就要先把 a、 b 给撑起来，就是二乘以三就等于根下六。好，我们再来看这两个数之间的关系， 根下零点五四就等于根下六乘以多少。根下六乘以多少，等于零点五四乘以零点零九。好，继续，那就等于根下六乘以零点零九。是谁的平方？是零点三的平方。好，继续， 它是平方，零点三能直接放出来。好，根六。再来，根六是多少？是 ab。 好， 最终答案就是零点三 ab。

大家好，我是十二中宣传演员探长，今天我跟我的好朋友成功一起来带大家解锁二中食堂，成功，你觉得我们学校的食堂什么最好吃？二中的食堂都好吃都好吃都好吃！探长，这是我最爱吃的鸡肉拌饭， 真的特别香，很烫了啊，保温板。带大家看一下我们学校的减脂餐，这是我们学校的减脂餐，健康、美味、低脂。我们学校的菜品不仅丰富，而且价格公道，很实惠，还很便宜，快来看， 这是我们学校的麻辣鱼，超便宜，还有我最爱吃的土豆炖排骨，实验中的烤肠就是香，干杯干杯小肉肉的。嗯，好吃好吃。哎呀，这个鸡腿一看就过瘾，好吃好吃， 欢迎同学们报考东营市第二中学啊，这里的饭菜真的太好吃了，鸡腿爆汁的美味。你看这直播，星级食堂的美食啊，真的太赞了，展示啊，排骨 太好吃了吧！我，哇，太好吃了，我兄弟说排骨最好吃了，没事，天天吃，天天都有天天吃， 二中的生活已经美爆了，快来下二中。哇，温暖而至啊，我们的家啊，欢迎爆炒猪年不需要猪年啊。哇，太好吃了，吃的好才能学的好。 这个水真的是热的，非常的暖和，这个味的提拉米苏好吃吗？好吃，吃点吃点。不行不行不行，必须哈哈哈哈喽哈喽哈喽哈喽哈喽哈喽 拜拜拜拜拜。哈哈哈哈，今天我们的美食之旅就到这里了，我是探长。